ÇUKUROVA ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ ...Eğer ) değiĢmeli grupsa sağ denklik ile sol denklik çakıĢıktır. (Çünkü −1 ∈ * −ise −1 1∈ * olup =−

ÇUKUROVA ÜNİVERSİTESİ

FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ

YÜKSEK LİSANS TEZİ

Serkan AKOĞUL

SERBEST GRUPLARDA TRANSLATION DENKLİK

MATEMATİK ANABİLİM DALI

ADANA, 2011




Serkan AKOĞUL



Bu Tez 13/10/2011 Tarihinde AĢağıdaki Jüri Üyeleri Tarafından

Oybirliği/Oyçokluğu ile Kabul EdilmiĢtir.

............................................... ...................................... ................................................ Doç. Dr. Ahmet TEMĠZYÜREK Yrd. Doç. Dr. Ela AYDIN Doç. Dr. Perihan DĠNÇ ARTUT

DANIġMAN ÜYE ÜYE

Bu Tez Enstitümüz Matematik Anabilim Dalında hazırlanmıĢtır.

Kod No:

Prof. Dr. İlhami YEĞİNGİL

Enstitü Müdürü

Not: Bu tezde kullanılan özgün ve baĢka kaynaktan yapılan bildiriĢlerin, çizelge ve fotoğrafların

kaynak gösterilmeden kullanımı, 5846 sayılı Fikir ve Sanat Eserleri Kanunundaki hükümlere

tabidir.

I

ÖZ



Serkan AKOĞUL




DanıĢman : Doç. Dr. Ahmet TEMĠZYÜREK

Yıl : 2011, Sayfa: 55

Jüri : Doç. Dr. Ahmet TEMĠZYÜREK

: Yrd.Doç. Dr. Ela AYDIN

: Doç. Dr. Perihan DĠNÇ ARTUT

𝐹𝑛 rankı 𝑛 ≥ 2 olan bir serbest grup olsun. 𝑔, 𝑕 ∈ 𝐹𝑛 ve 𝐹𝑛 nin her 𝜙

otomorfizmi için 𝜙 𝑔 nin devirsel uzunluğu 𝜙 𝑕 nin devirsel uzunluğuna eĢit ise 𝑔

ve 𝑕 elemanlarına 𝐹𝑛 de translation denktir denir. Bu tezde, 𝐹 𝑎, 𝑏 , 𝑎, 𝑏 tarafından üretilen serbest grup ve 𝑤 𝑎, 𝑏 de 𝐹 𝑎, 𝑏 de keyfi seçilmiĢ bir kelime

olmak üzere, her ne zaman 𝑔, 𝑕 ∈ 𝐹𝑛 için 𝑔 ve 𝑕, 𝐹𝑛 de translation denk ise 𝑤 𝑔, 𝑕

ve 𝑤 𝑕, 𝑔 nin de 𝐹𝑛 de translation denk olduğunu göstereceğiz. Ayrıca 𝐹2 rankı 2

olan bir serbest grup olmak üzere, 𝐹2 deki 𝑔, 𝑕 gibi iki elemanının translation denk

olup olmadığına karar veren bir algoritmanın varlığını göstereceğiz.

Anahtar Kelimeler: Serbest grup, Devirsel uzunluk, Translation denklik

II

ABSTRACT

MSc. THESIS

TRANSLATION EQUIVALENT IN FREE GROUPS

Serkan AKOĞUL

ÇUKUROVA UNIVERSITY

INSTITUTE OF NATURAL AND APPLIED SCIENCES

DEPARTMENT OF MATHEMATICS

Supervisor : Assoc. Prof. Dr. Ahmet TEMĠZYÜREK

Year : 2011, Pages: 55

Jury : Assoc. Prof. Dr. Ahmet TEMĠZYÜREK

: Asst. Prof. Dr. Ela AYDIN

: Assoc. Prof. Dr. Perihan DĠNÇ ARTUT

Let 𝐹𝑛 be a free group of rank 𝑛 ≥ 2. Two elements 𝑔, 𝑕 in 𝐹𝑛 are said to be

translation equivalent in 𝐹𝑛 if the cyclic length of 𝜙(𝑔) equals the cyclic lenght of

𝜙(𝑕) for every automorphism 𝜙 of 𝐹𝑛 . In this thesis, let 𝐹(𝑎, 𝑏) be the free group

generated by 𝑎, 𝑏 and let 𝑤 𝑎, 𝑏 be an arbitrary word in 𝐹(𝑎, 𝑏), we show that

𝑤 𝑔, 𝑕 and 𝑤 𝑕, 𝑔 are translation equivalent in 𝐹𝑛 whenever 𝑔, 𝑕 ∈ 𝐹𝑛 are

translation equivalent in 𝐹𝑛 . Besides let 𝐹2 be a free group of rank 2, we show that

there is an algorithm that decides whether or not, for given two element 𝑔, 𝑕 of 𝐹2, 𝑔

and 𝑕 are translation equivalent in 𝐹2.

Key Words: Free group, Cyclic length, Translation equivalent

III

TEŞEKKÜR

Ç.Ü. Matematik bölümünde lisans öğrencisi olarak öğrenime baĢladığım ilk

günden bu yana ve özellikle bu tezin hazırlanması aĢamasında yardımlarını ve

desteğini esirgemeyen değerli danıĢman hocam Doç. Dr. Ahmet TEMĠZYÜREK’e

çok teĢekkür ederim.

Ayrıca yardımlarından dolayı tüm Matematik Bölümü akademik personeline

ve bana her konuda yardımcı olan sevgili arkadaĢım ArĢ. Gör. Mehmet ONAT’a

sonsuz sevgi ve teĢekkürlerimi sunarım.

Bugüne kadar desteklerini esirgemeyen ve her zaman yanımda olan anneme,

babama ve tüm kardeĢlerime sevgi, saygı ve teĢekkürlerimi sunarım.

IV

İÇİNDEKİLER SAYFA

ÖZ ................................................................................................................................. I

ABSTRACT ................................................................................................................ II

TEġEKKÜR ............................................................................................................... III

ĠÇĠNDEKĠLER .......................................................................................................... IV

1. GĠRĠġ ....................................................................................................................... 1

2. TEMEL TANIM VE TEOREMLER ....................................................................... 3

2.1. Gruplar .............................................................................................................. 3

2.2. Grup Homomorfizmleri .................................................................................... 8

2.3. Grup Otomorfizmleri ...................................................................................... 10

2.4. Konjuge ........................................................................................................... 11

2.5. Grup Etkisi ...................................................................................................... 16

2.6. Serbest Gruplar................................................................................................ 17

3. SERBEST GRUPLARDA TRANSLATION DENK ELEMANLAR .................. 29

4. RANKI ĠKĠ OLAN BĠR SERBEST GRUPTAKĠ TRANSLATION DENKLĠK

ALGORĠTMASI ........................................................................................................ 37

KAYNAKLAR .......................................................................................................... 53

ÖZGEÇMĠġ ............................................................................................................... 55

V

1. GĠRĠġ Serkan AKOĞUL

1

1. GİRİŞ

𝐹𝑛 , rankı 𝑛 ≥ 2 olan bir serbest grup ve 𝑔, 𝑕 ∈ 𝐹𝑛 olsun. Her 𝜙 ∈ 𝐴𝑢𝑡𝐹𝑛 için

𝜙(𝑔) ve 𝜙(𝑕) elemanlarının devirsel uzunlukları aynı oluyorsa 𝑔 ve 𝑕 ye translation

denktir denir.

Leininger (2003) çalıĢmasında bir yüzey üzerindeki kapalı eğrilerin homotopi

sınıflarının hiperbolik denkliğini incelemiĢtir. Bu çalıĢmadan esinlenerek Kapovich-

Levitt-Schupp-Shpilrain (2007) serbest gruplar için benzer fenomenin olabileceğini

düĢünerek serbest gruplardaki translation denklik kavramını tanımlayarak ayrıntılı

bir Ģekilde konuyu incelemiĢtir. ‘𝐹, {𝑎, 𝑏} üzerinde bir serbest grup ve 𝑤 𝑎, 𝑏 ∈ 𝐹

herhangi bir kelime olsun. 𝑔 ve 𝑕 de 𝐹 de translation denk olan iki eleman iken

𝑤 𝑔, 𝑕 ve 𝑤 𝑕, 𝑔 translation denk olur mu?’ sorusunu sormuĢtur. Donghi Lee

(2006) da bu soruya olumlu bir cevap vermiĢ ve (2007) deki çalıĢmasında da rankı 2

olan serbest gruplarda herhangi iki elemanın translation denk olup olmadığını

söyleyen bir algoritma vermiĢtir.

Tezin 2. Bölümünde tezde kullanılacak temel tanım ve teoremler verilmiĢtir.

3. Bölümde Shpilrain tarafından sorulan ‘𝑤 𝑔, 𝑕 ile 𝑤(𝑕, 𝑔) translation denk olur

mu?’ sorusuna Donghi Lee tarafından verilen olumlu cevap ayrıntılı bir Ģekilde

incelenmiĢtir. Tezin 4. Bölümünde rankı 2 olan serbest gruplarda translation denklik

algoritması incelenerek algoritmanın çalıĢtığını gösteren örnekler verilmiĢtir.

1. GĠRĠġ Serkan AKOĞUL

2

2.TEMEL TANIM VE TEOREMLER Serkan AKOĞUL

3

2. TEMEL TANIM VE TEOREMLER

2.1. Gruplar

Tanım 2.1.1 𝐴 boĢ olmayan bir küme olmak üzere 𝐴 × 𝐴 dan 𝐴 ya tanımlı bir

∗ : 𝐴 × 𝐴 → 𝐴, 𝑎, 𝑏 → 𝑎 ∗ 𝑏

fonksiyona 𝐴 üzerinde bir ikili işlem denir. Eğer ∗, 𝐴 üzerinde bir ikili iĢlem ise (𝐴,∗)

ifadesine 𝐴 da bir cebirsel yapı denir.

Tanım 2.1.2 𝐺 boĢ olmayan bir küme ve 𝐺 üzerinde bir ∗ ikili iĢlemi tanımlı olsun.

Eğer;

∗ iĢlemi birleĢme özelliğini sağlarsa; yani, ∀𝑎, 𝑏, 𝑐 ∈ 𝐺 için

𝑎 ∗ 𝑏 ∗ 𝑐 = 𝑎 ∗ (𝑏 ∗ 𝑐) ise;

∀𝑎 ∈ 𝐺 için

𝑎 ∗ 𝑒 = 𝑒 ∗ 𝑎 = 𝑎

olacak biçimde bir 𝑒 ∈ 𝐺 varsa (𝑒 ye 𝐺 nin birim elemanı denir);

∀𝑎 ∈ 𝐺 için

𝑎 ∗ 𝑎′ = 𝑎′ ∗ 𝑎 = 𝑒

olacak biçimde bir 𝑎′ ∈ 𝐺 varsa (𝑎′ ne 𝑎 nın bir ters elemanı denir) o zaman (𝐺,∗)

sıralı ikilisine grup denir.

Eğer (𝐺,∗) grubunda ∀𝑎, 𝑏 ∈ 𝐺 için 𝑎 ∗ 𝑏 = 𝑏 ∗ 𝑎 ise bu gruba değişmeli ya

da abelyan denir.


4

Tanım 2.1.3 𝐺 bir grup olsun. Eğer ∀ 𝑎 ∈ 𝐺 için 𝑒𝑎 = 𝑎 olacak Ģekilde bir 𝑒 ∈ 𝐺

varsa 𝑒 ye 𝐺 nin bir sol birim elemanı, eğer ∀ 𝑎 ∈ 𝐺 için 𝑎𝑒 = 𝑎 olacak Ģekilde bir

𝑒 ∈ 𝐺 varsa 𝑒 ye 𝐺 nin bir sağ birim elemanı denir. Eğer 𝑒 hem sol hem de sağ birim

eleman ise 𝑒 ye kısaca 𝐺 nin birimi denir.

Tanım 2.1.4 𝐺 bir grup ve 𝑒 ∈ 𝐺 olsun. Eğer ∀𝑎 ∈ 𝐺 için 𝑒𝑎 = 𝑒 oluyorsa 𝑒 ye 𝐺

nin bir sol sıfır elemanı, eğer ∀𝑎 ∈ 𝐺 için 𝑎𝑒 = 𝑒 oluyorsa 𝑒 ye 𝐺 nin bir sağ sıfır

elemanı denir.

Tanım 2.1.5 (𝐺,∗) bir grup ve 𝐴, 𝐺 nin boĢ olmayan bir alt kümesi olsun. Eğer

∀𝑎, 𝑏 ∈ 𝐴 için 𝑎 ∗ 𝑏 ∈ 𝐴 ise o zaman 𝐴, 𝐺 nin ∗ iĢlemine göre kapalıdır denir.

Tanım 2.1.6 𝐺 bir grup ve 𝐻, 𝐺 nin boĢ olmayan bir alt kümesi olsun. Eğer 𝐻, 𝐺 nin

iĢlemine göre kapalı ve bu iĢleme göre bir grup ise o zaman 𝐻 ye 𝐺 nin bir alt grubu

denir ve 𝐻 ≤ 𝐺 ile gösterilir.

𝐺 ve 𝑒 , 𝐺 nin alt grupları olduğu açıktır. 𝑒 ye 𝐺 nin aşikar alt grubu denir.

𝐻 ≤ 𝐺 olsun. 𝐺 nin kendisinden farklı her alt grubuna 𝐺 nin bir özalt grubu denir.

Teorem 2.1.7 𝐺 bir grup ve 𝐻, 𝐺 nin boĢ olmayan bir alt kümesi olsun. O zaman

𝐻 ≤ 𝐺 olması için gerek ve yeter koĢul 𝑕1 , 𝑕2 ∈ 𝐻 için 𝑕1𝑕2−1 ∈ 𝐻 olmasıdır.

Tanım 2.1.8 𝐺 bir grup ve 𝑎 ∈ 𝐺 olsun. 𝐺 kümesinin kardinalitesine 𝐺 grubunun

derecesi denir ve |𝐺| ile gösterilir. Derecesi sonlu olan bir gruba sonlu grup, derecesi

sonsuz olan bir gruba da sonsuz grup denir. Eğer 𝑎𝑡 = 𝑒 olacak Ģekilde bir 𝑡 pozitif

tamsayısı varsa bu 𝑡 pozitif tamsayılarının en küçüğüne 𝑎 nın derecesi denir ve |𝑎|

ile gösterilir.

Tanım 2.1.9 𝐺 bir grup olmak üzere 𝐺 nin merkezi 𝑍(𝐺) ile gösterilir ve

𝑍 𝐺 = 𝑎 ∈ 𝐺 ∶ 𝑕𝑒𝑟 𝑔 ∈ 𝐺 𝑖ç𝑖𝑛 𝑔𝑎 = 𝑎𝑔


5

olarak tanımlanır.

Teorem 2.1.10 𝐺 bir grup ve 𝐺 nin merkezi 𝑍(𝐺) olmak üzere 𝑍 𝐺 ≤ 𝐺 dir.

Tanım 2.1.11 𝐺 bir grup ve 𝐻 ≤ 𝐺 olsun. 𝑎 ∈ 𝐺 olmak üzere

𝑎−1𝐻𝑎 = {𝑎−1𝑕𝑎 ∶ 𝑕 ∈ 𝐻}

kümesine 𝐻 nin 𝐺 de 𝑎 ya göre eşleniği denir.

Teorem 2.1.12 𝐺 bir grup, 𝑎 ∈ 𝐺 ve 𝐻 ≤ 𝐺 olmak üzere 𝑎−1𝐻𝑎 kümesi 𝐺 nin bir alt

grubudur.

Teorem 2.1.13 𝐺 bir grup ve {𝐻𝑖 ∶ 𝑖 ∈ 𝐼} de 𝐺 grubunun alt gruplarının bir ailesi

olsun. O zaman

𝐻 = 𝐻𝑖

𝑖∈𝐼

de 𝐺 nin bir alt grubudur.

Tanım 2.1.14 𝐺 bir grup ve 𝑋, 𝐺 nin bir alt kümesi olsun. O zaman 𝐺 nin 𝑋 i içeren

bütün alt gruplarının kesiĢimine 𝑋 tarafından üretilen alt grup denir ve 𝑋 ile

gösterilir. 𝑋 e 𝑋 in bir üreteç kümesi denir. Eğer 𝑋 = 𝑥1, 𝑥2, … , 𝑥𝑛 ise

𝑋 = 𝑥1, 𝑥2 , … , 𝑥𝑛 ile gösterilir ve buna 𝑥1, 𝑥2, … , 𝑥𝑛 tarafından üretilen alt grup

denir. Eğer 𝑛 = 1 ise 𝑥1 grubuna 𝑥1 tarafından üretilen devirli alt grup denir.

𝑋 = 𝑥1, 𝑥2 , … , 𝑥𝑛 ise 𝑥𝑖 ∈ 𝑋 ve 휀𝑖 ∈ ℤ olmak üzere 𝑋 , 𝑥1휀1𝑥2

휀2 …𝑥𝑛휀𝑛 formundaki

tüm sonlu çarpımlardan meydana gelir.

Tanım 2.1.15 𝐺 bir grup olsun. Eğer 𝐺 = 𝑎𝑛 ∶ 𝑛 ∈ ℤ = 𝑎 olacak Ģekilde bir

𝑎 ∈ 𝐺 varsa 𝐺 ye 𝑎 tarafından üretilen devirli grup denir.


6

Tanım 2.1.16 𝐺 bir grup ve 𝐻 ≤ 𝐺 olsun. 𝑎, 𝑏 ∈ 𝐺 için 𝑎𝑏−1 ∈ 𝐻 oluyorsa 𝑎 ya

modülo 𝐻 ile 𝑏 ye sağdan denktir denir ve 𝑎 ≡𝑟 𝑏 (𝑚𝑜𝑑𝐻) ile gösterilir. Benzer

Ģekilde 𝑎−1𝑏 ∈ 𝐻 oluyorsa 𝑎 ya modülo 𝐻 ile 𝑏 ye soldan denktir denir ve

𝑎 ≡𝑙 𝑏 (𝑚𝑜𝑑𝐻) ile gösterilir.

Eğer 𝐺 değiĢmeli grupsa sağ denklik ile sol denklik çakıĢıktır. (Çünkü

𝑎𝑏−1 ∈ 𝐻 ise 𝑎𝑏−1 −1 ∈ 𝐻 olup 𝑎𝑏−1 −1 = 𝑏𝑎−1 = 𝑎−1𝑏 dır.) Ayrıca sağ ve sol

denkliğin çakıĢık olduğu halde değiĢmeli olmayan gruplarda vardır. (Örneğin

Quaternionlar Grubu)

Teorem 2.1.17 𝐺 bir grup ve 𝐻 ≤ 𝐺 olsun.

a) Modülo 𝐻 sağ (sol) denklik 𝐺 üzerinde bir denklik bağıntısıdır.

b) Modülo 𝐻 sağ (sol) denklik bağıntısına göre denklik sınıfları ∀𝑎 ∈ 𝐺 için

𝐻𝑎 = {𝑕𝑎 ∶ 𝑕 ∈ 𝐻} (𝑎𝐻 = {𝑎𝑕 ∶ 𝑕 ∈ 𝐻}) dir.

c) 𝐻𝑎 = 𝐻 = |𝑎𝐻|

Tanım 2.1.18 𝐺 bir grup ve 𝐻 ≤ 𝐺 olsun. Modülo 𝐻 sağ (sol) denklik bağıntısına

göre olan her bir denklik sınıfına 𝐻 nin 𝐺 deki bir sağ (sol) koseti denir.

Tanım 2.1.19 𝐺 bir grup ve 𝐻 ≤ 𝐺 olsun. 𝐻 nin 𝐺 deki farklı sol (sağ) kosetlerinin

sayısına 𝐻 nin 𝐺 deki indeksi denir ve (𝐺: 𝐻) ile gösterilir.

Teorem 2.1.20 𝐺 bir grup ve 𝐻 ≤ 𝐺 olsun. O zaman

𝐺 = 𝐺: 𝐻 . |𝐻|

dir.

Teorem 2.1.21 (Lagrange Teoremi) 𝐺 bir sonlu grup ve 𝐻 ≤ 𝐺 ise, 𝐻 nin derecesi

𝐺 nin derecesini böler. Yani; 𝐻 | 𝐺 dir.

Tanım 2.1.22 𝐺 bir grup ve 𝑁 ≤ 𝐺 olsun. Eğer her 𝑔 ∈ 𝐺 için


7

𝑔𝑁𝑔−1 = 𝑁

ise 𝑁 ye 𝐺 nin bir normal alt grubu denir ve 𝑁 ⊲ 𝐺 ile gösterilir.

Her 𝐺 grubunda 𝐺 ve 𝑒 normal alt gruplardır.

Teorem 2.1.23 𝐺 bir grup ve 𝑁 ≤ 𝐺 olsun. Buna göre aĢağıdaki önermeler birbirine

denktir.

a) ∀𝑔 ∈ 𝐺 ve ∀𝑛 ∈ 𝑁 için 𝑔𝑛𝑔−1 ∈ 𝑁 dir.

b) ∀𝑔 ∈ 𝐺 için 𝑔𝑁𝑔−1 ⊂ 𝑁 dir.

c) ∀𝑔 ∈ 𝐺 için 𝑔𝑁𝑔−1 = 𝑁 dir.

d) ∀𝑔 ∈ 𝐺 için 𝑔𝑁 = 𝑁𝑔 dir.

Tanım 2.1.24 𝐺 bir grup ve 𝑁, 𝐺 nin bir normal alt grubu olsun.

𝐺/𝑁 = {𝑎𝑁 ∶ 𝑎 ∈ 𝐺}

kümesi üzerinde bir çarpma iĢlemi Ģöyle tanımlansın. Her 𝑎𝑁, 𝑏𝑁 ∈ 𝐺/𝑁 için

𝑎𝑁 𝑏𝑁 = 𝑎𝑏𝑁

olsun. Bu iĢleme göre 𝐺/𝑁 bir gruptur ve bu gruba 𝐺 nin 𝑁 ile bölüm grubu (çarpım

grubu) denir.

Tanım 2.1.25 𝐺 bir grup ve 𝑥1, 𝑥2, ⋯ , 𝑥𝑛 𝐺 nin elemanları olsun.

𝑥1, 𝑥2 = 𝑥1𝑥2𝑥1−1𝑥2

−1

elemanına 𝑥1 ile 𝑥2 nin komütatörü denir.

𝑋1 ve 𝑋2, 𝐺 grubunun boĢtan farklı alt kümeleri olsun.

𝑋1, 𝑋2 = 𝑥1, 𝑥2 ∶ 𝑥1 ∈ 𝑋1, 𝑥2 ∈ 𝑋2


8

olarak tanımlanır. Burada 𝑋1 = 𝑋2 = 𝐺 ise 𝐺, 𝐺 komütatör grubuna 𝐺 nin

komütatör alt grubu denir ve 𝐺 ′ ile gösterilir.

Tanım 2.1.26 𝐴 boĢ olmayan bir küme olsun. 𝐴 üzerinde tanımlı bire bir ve örten bir

fonksiyona 𝐴 üzerinde bir permütasyon denir. Bir 𝐴 kümesi üzerinde tanımlı bütün

permütasyonların kümesi 𝑆𝑦𝑚 𝐴 ile gösterilir ve 𝑆𝑦𝑚 𝐴 kümesi fonksiyonların

bileĢke iĢlemine göre bir gruptur. 𝑆𝑦𝑚 𝐴 grubuna 𝐴 kümesi üzerindeki simetrik

grup denir.

Tanım 2.1.27 𝐺 bir grup ve 𝐴 bir küme olsun. Eğer bir 𝜑: 𝐺 → 𝑆𝑦𝑚 𝐴

homomorfizması varsa 𝜑 homomorfizmasına 𝐺 nin permütasyon temsili denir.

Teorem 2.1.28 (Cayley Teoremi) Her grup bir permütasyon grubunun bir alt

grubuna izomorftur.

2.2. Grup Homomorfizmleri

Tanım 2.2.1 (𝐺,∗) ve (𝐻,∘) iki grup olmak üzere eğer 𝜑: 𝐺 → 𝐻 dönüĢümü

∀𝑥, 𝑦 ∈ 𝐺 için

𝜑 𝑥 ∗ 𝑦 = 𝜑(𝑥) ∘ 𝜑(𝑦)

Ģartını sağlarsa 𝜑 ye bir grup homomorfizmi ya da kısaca bir homomorfizm denir.

Tanım 2.2.2 𝜑: 𝐺 → 𝐻 grup homomorfizmi bire bir ise 𝜑 ye bir monomorfizm denir.

Tanım 2.2.3 𝜑: 𝐺 → 𝐻 grup homomorfizmi örten ise 𝜑 ye bir epimorfizm denir.

Tanım 2.2.4 𝜑: 𝐺 → 𝐻 grup homomorfizmi hem bire bir hem de örten ise 𝜑 ye bir

izomorfizm denir ve 𝐺 ≅ 𝐻 Ģeklinde gösterilir.


9

Teorem 2.2.5 𝜑: 𝐺 → 𝐻 grup homomorfizmi olsun. Buna göre

a) 𝑒𝐺 , 𝐺 nin birim elemanı ve 𝑒𝐻, 𝐻 nin birim elemanı olmak üzere

𝜑 𝑒𝐺 = 𝑒𝐻

dir.

b) ∀𝑎 ∈ 𝐺 için

𝜑 𝑎−1 = 𝜑(𝑎) −1

dir.

Tanım 2.2.6 𝐺 bir grup, 𝑁 ⊲ 𝐺 olmak üzere 𝜑: 𝐺 → 𝐺 𝑁 ve ∀𝑎 ∈ 𝐺 için

𝜑 𝑎 = 𝑁𝑎

Ģeklinde tanımlanan dönüĢüm örten bir homomorfizmdir. Bu homomorfizme doğal

homomorfizm denir.

Tanım 2.2.7 𝜑: 𝐺 → 𝐻 bir grup homomorfizmi olsun.

𝐾𝑒𝑟 𝜑 = {𝑥 ∈ 𝐺 ∶ 𝜑 𝑥 = 𝑒𝐻}

kümesine 𝜑 nin çekirdeği denir.

Tanım 2.2.8 𝜑: 𝐺 → 𝐻 bir grup homomorfizmi olsun.

𝐼𝑚 𝜑 = {𝜑 𝑔 ∶ 𝑔 ∈ 𝐺}

kümesine 𝜑 nin görüntüsü denir.


10

Teorem 2.2.9 𝜑: 𝐺 → 𝐻 bir grup homomorfizmi olsun. O zaman 𝐾𝑒𝑟 𝜑 ⊲ 𝐺 dir.

Teorem 2.2.10 𝜑: 𝐺 → 𝐻 bir grup homomorfizmi olmak üzere 𝜑 nin bire bir olması

için gerek ve yeter koĢul 𝐾𝑒𝑟 𝜑 = {𝑒𝐺} olmasıdır.

2.3. Grup Otomorfizmleri

Tanım 2.3.1 𝜑: 𝐺 → 𝐺 grup homomorfizmine bir endomorfizm denir.

Tanım 2.3.2 𝜑: 𝐺 → 𝐺, bire bir ve örten bir grup homomorfizmi ise 𝜑 ye grup

otomorfizmi denir.

Teorem 2.3.3 𝐺 bir grup olmak üzere ∀𝑥 ∈ 𝐺 için 𝐼 𝑥 = 𝑥 ile tanımlı 𝐼: 𝐺 → 𝐺

dönüĢümüne birim dönüşüm ya da özdeş dönüşüm denir.

Tanım 2.3.4 𝐺 bir grup ve 𝑎 ∈ 𝐺 olmak üzere 𝐼𝑎 : 𝐺 → 𝐺 dönüĢümü ∀𝑥 ∈ 𝐺 için

𝐼𝑎 𝑥 = 𝑎𝑥𝑎−1

Ģeklinde tanımlanırsa, 𝐼𝑎 dönüĢümü bir grup otomorfizmidir.

Tanım 2.3.5 𝐺 bir grup ve 𝑎 ∈ 𝐺 olmak üzere ∀𝑥 ∈ 𝐺 için

𝐼𝑎 𝑥 = 𝑎𝑥𝑎−1

ile tanımlanan

𝐼𝑎 : 𝐺 → 𝐺

otomorfizmine 𝐺 grubunun iç otomorfizmi denir. 𝐺 grubunun bütün iç

otomorfizmlerinin kümesini 𝐼(𝐺) ile göstereceğiz. 𝐺 değiĢmeli ise 𝐼 𝐺 = {𝐼}


11

birimdir. 𝐺 nin bütün otomorfizmlerinin kümesini de 𝐴𝑢𝑡(𝐺) ile göstereceğiz.

𝐴𝑢𝑡(𝐺) fonksiyonlardaki bileĢke iĢlemi ile bir grup meydana getirir. Bu gruba 𝐺 nin

otomorfizmleri grubu denir.

Teorem 2.3.6 𝐺 bir grup olsun. O zaman

𝐼(𝐺) ⊲ 𝐴𝑢𝑡(𝐺)

dır.

Tanım 2.3.7 𝐻, 𝐺 grubunun bir alt grubu olsun. Her 𝑓: 𝐺 → 𝐺 otomorfizması için

𝑓 𝐻 ≤ 𝐻 ise 𝐻 alt grubuna 𝐺 nin karakteristik alt grubu denir.

Teorem 2.3.8 Bir 𝐺 grubunun normal alt grupları 𝐺 nin bütün iç otomorfizmleri

altında değiĢmezdir (invaryanttır). Yani ∀𝑁 ⊲ 𝐺 için 𝑎 ∈ 𝐺 olmak üzere 𝐼𝑎 𝑁 = 𝑁

dir.

2.4. Konjuge

𝐺 bir grup ve 𝑀 de 𝐺 nin bir alt kümesi olsun. O zaman 𝑔 ∈ 𝐺 için

𝑔−1𝑀𝑔 = {𝑔−1𝑚𝑔 ∶ 𝑚 ∈ 𝑀}

de 𝐺 nin bir alt kümesidir. Eğer 𝑀, 𝐺 nin bir normal alt grubu ise 𝑔−1𝑀𝑔 = 𝑀 dir.

Teorem 2.4.1 𝑀, 𝐺 nin bir alt kümesi olsun. O zaman 𝑔−1𝑀𝑔, 𝐺 nin bir alt grubu

olması için gerek ve yeter koĢul 𝑀 nin 𝐺 nin bir alt grubu olmasıdır. 𝑀 bir alt grup

ise

𝑔−1𝑀𝑔 ≅ 𝑀 ve |𝑔−1𝑀𝑔| = |𝑀|

dır.


12

İspat. 𝑀, 𝐺 nin bir alt grubu olsun. 𝑥, 𝑦 ∈ 𝑔−1𝑀𝑔 için 𝑥 = 𝑔−1𝑚1𝑔 ve

𝑦 = 𝑔−1𝑚2𝑔 olsun. O zaman

𝑥𝑦−1 = 𝑔−1𝑚1𝑔 𝑔−1𝑚2𝑔 −1

= 𝑔−1𝑚1𝑔𝑔−1𝑚2−1𝑔

= 𝑔−1𝑚1𝑚2−1𝑔 ∈ 𝑔−1𝑀𝑔

dır. Çünkü 𝑀 bir alt grup olup 𝑚1𝑚2−1 ∈ 𝑀 dır. Böylece 𝑥𝑦−1 ∈ 𝑔−1𝑀𝑔 dır.

Teorem 2.1.7 den 𝑔−1𝑀𝑔, 𝐺 nin bir alt grubudur.

Diğer taraftan 𝑔−1𝑀𝑔, 𝐺 nin bir alt grubu ve 𝑁 = 𝑔−1𝑀𝑔 olsun. O zaman 𝑁

de 𝐺 nin bir alt grubudur. Böylece

𝑀 = 𝑔−1𝑁𝑔 = 𝑔−1 −1𝑁(𝑔−1)

de 𝐺 nin bir alt grubudur.

𝑓: 𝑀 ⟶ 𝑔−1𝑀𝑔 dönüĢümünü ∀𝑚 ∈ 𝑀 için 𝑓 𝑚 = 𝑔−1𝑚𝑔 olarak

tanımlayalım. O halde 𝑓 bir izomorfizmdir.

Varsayalım ki 𝑔−1𝑚1𝑔 = 𝑔−1𝑚2𝑔 olsun. O zaman

𝑔 𝑔−1𝑚1𝑔 𝑔−1 = 𝑔 𝑔−1𝑚2𝑔 𝑔−1

dir. Böylece

𝑚1 = 𝑚2; 𝑚1, 𝑚2 ∈ 𝑀

dir. O halde |𝑔−1𝑀𝑔| = |𝑀| dir.

∎

Tanım 2.4.2 𝑔−1𝑀𝑔 kümesine 𝑀 nin 𝐺 deki bir konjuge kümesi denir. 𝑔, 𝐺 yi

taradığında 𝐺 nin 𝑀 ye konjuge olan kümelerinin bir koleksiyonunu verir.


13

Teorem 2.1.23 (c) den 𝐻 nin 𝐺 nin bir normal alt grubu olması için gerek ve

yeter koĢul 𝐻 nin self konjuge olmasıdır. Yani; 𝐻 sadece 𝐺 deki 𝐻 ye konjugedir.

Böylece 𝐻, 𝐺 nin bir normal alt grubu olması halinde, 𝐺 de yalnız bir konjuge

kümesi vardır. O da kendisidir.

Genel olarak, eğer 𝑀, 𝐺 de herhangi bir küme ise 𝑀 nin 𝐺 de kaç farklı

konjuge kümesi vardır?

Ġlk olarak eğer 𝑦−1𝑀𝑦 = 𝑀 ise o zaman 𝐺 nin 𝑦𝑥 biçimindeki bütün

elemanları aynı konjuge kümesini verir, yani;

𝑦𝑥 −1𝑀 𝑦𝑥 = 𝑥−1𝑦−1𝑀𝑦𝑥 = 𝑥−1𝑀𝑥

dir.

Tersine eğer 𝑔 ve 𝑥 aynı konjuge kümesi oluĢturuyorlarsa, yani;

𝑔−1𝑀𝑔 = 𝑥−1𝑀𝑥

ise o zaman

𝑥𝑔−1𝑀𝑔𝑥−1 = 𝑀

dir. Böylece 𝑦 = 𝑔𝑥−1 koyarsak, o zaman

𝑦−1𝑀𝑦 = 𝑀 ve 𝑔 = 𝑦𝑥

olur. Bunun anlamı, eğer

𝑁 = 𝑦 ∈ 𝐺 ∶ 𝑦𝑀 = 𝑀𝑦 = 𝑦 ∈ 𝐺 ∶ 𝑦−1𝑀𝑦 = 𝑀

koyarsak, o zaman 𝑥 ∈ 𝐺 için 𝑁𝑥 formundaki elemanların kümesinin hepsi aynı

𝑥−1𝑀𝑥 konjuge kümesini oluĢturur. Aksine eğer 𝑔 ile 𝑥 aynı konjugeyi verirse, o

zaman 𝑔 ∈ 𝑁𝑥 dir.


14

Böylece 𝑀 ye farklı konjuge kümelerinin sayısı, 𝑁𝑥 formundaki farklı

kümelerin sayısına eĢittir. Teorem 2.1.19 dan eğer 𝑁, 𝐺 nin bir alt grubu ise bu sayı

𝐺 deki 𝑁 nin indeksidir. ġimdi burada yukarıda tanımlı 𝑁 kümesinin 𝐺 nin bir alt

grubu olduğunu gösterelim. Yani, 𝑦1, 𝑦2 ∈ 𝑁 için 𝑦1𝑦2−1 ∈ 𝑁 olduğunu gösterelim.

𝑦1, 𝑦2 ∈ 𝑁 olsun. O zaman 𝑦2𝑀 = 𝑀𝑦2 olup 𝑀 = 𝑦2−1𝑀𝑦2 buradan 𝑀𝑦2

−1 = 𝑦2−1𝑀

olur. Böylece 𝑦1𝑦2−1𝑀 = 𝑦1𝑀𝑦2

−1 = 𝑀𝑦1𝑦2−1 dır. Bundan dolayı 𝑦1𝑦2

−1 ∈ 𝑁.

Genelde 𝑁 = 𝑁𝐺 𝑀 ile gösterilir.

Tanım 2.4.3 𝐺 bir grup ve 𝑀 ≤ 𝐺 olsun. O zaman

𝑁𝐺 𝑀 = {𝑦 ∈ 𝐺 ∶ 𝑦𝑀 = 𝑀𝑦}

kümesine 𝑀 nin 𝐺 deki normalleyeni denir.

Tanım 2.4.4 𝐺 bir grup ve 𝑀 ≤ 𝐺 olsun. Eğer 𝑀, bir tek m elemanından oluĢuyor

ise 𝑁𝐺 𝑚 ye 𝑚 elemanının 𝐺 deki merkezleyeni denir, 𝐶𝐺 𝑚 ile gösterilir ve

𝐶𝐺 𝑚 = {𝑦 ∈ 𝐺 ∶ 𝑦𝑚 = 𝑚𝑦}

olarak tanımlanır.

Teorem 2.4.5 𝐺 bir grup ve 𝑀 ≤ 𝐺 olsun. O zaman 𝑀 nin 𝐺 deki farklı konjuge

kümelerinin sayısı (𝐺: 𝑁𝐺 𝑀 ) dır.

Teorem 2.4.6 𝐺 bir grup olsun.

a) Konjuge alt gruplar birbirlerine izomorftur.

b) 𝐻 ≤ 𝐺 ise 𝐻 ⊲ 𝑁𝐺 𝐻 dır.

c) 𝑁, 𝐺 nin herhangi bir alt grubu ve 𝐻 ⊲ 𝑁 ise 𝐻 ⊂ 𝑁 ⊂ 𝑁𝐺 𝐻 dır.


15

Özel olarak 𝑀 kümesi tek elemanlı olsun. Yani; 𝑚 ∈ 𝐺 için 𝑀 = {𝑚} olsun.

O zaman 𝑁𝐺 𝑀 = 𝐶𝐺 𝑚 = 𝑁𝐺 {𝑚} olup Teorem 2.4.5 e göre, 𝐺 deki 𝑥

elemanına konjuge olan 𝐺 nin 𝑦 elemanlarının sayısı (𝐺: 𝑁𝐺 𝑥 ) dır. Yani, 𝑥’in

normalleyeninin 𝐺 deki sayısı kadardır.

Yukarıdaki duruma göre 𝐺 üzerinde bir 𝑅 bağıntısını; ‘‘𝑥, 𝑦 ∈ 𝐺 olmak üzere

(𝑥, 𝑦) ∈ 𝑅 olması için gerek ve yeter koĢul herhangi 𝑔 ∈ 𝐺 için 𝑦 = 𝑔−1𝑥𝑔

olmasıdır.’’ olarak tanımlayalım. Kolayca görülür ki; 𝑅, 𝐺 üzerinde bir denklik

bağıntısıdır. Bu bağıntının denklik sınıfları 𝐺 nin konjuge sınıfları olarak adlandırılır.

Bu 𝑥’i içeren konjuge sınıfı, 𝑥’e konjuge olan 𝐺 nin tüm 𝑦 elemanlarından meydana

gelir. Yani; bazı 𝑔 ∈ 𝐺 için 𝑦 = 𝑔−1𝑥𝑔 dır. 𝑥’i içeren konjuge sınıfındaki 𝐺 nin

elemanlarının sayısı (𝐺: 𝑁𝐺 𝑥 ) dır.

Teorem 2.4.7 𝐺 bir grup olsun.

a) 𝑥’i içeren konjuge sınıfındaki tüm elemanlar aynı mertebeye sahiptir.

b) 𝐻 ⊲ 𝐺 olması için gerek ve yeter koĢul 𝐻 nin tüm konjuge sınıflarının

birleĢiminden meydana gelmesidir.

Teorem 2.4.8 𝐺 bir grup ve 𝑍(𝐺) de 𝐺 nin merkezi olsun. O zaman

a) 𝑍(𝐺), 𝐺 nin bir normal abelyen alt grubudur.

b) 𝐺 bir sonlu grup olsun.

𝐺 = 𝑍 𝐺 + 𝑕1 + 𝑕2 + ⋯ + 𝑕𝑟 ; 𝑕𝑖 > 1

denklemine 𝐺 nin sınıf denklemi denir. Burada 𝑖’inci konjuge sınıfındaki herhangi 𝑥𝑖

elemanı için 𝑕𝑖 = (𝐺: 𝑁𝐺 𝑥𝑖 ) dır (Yani; 𝑕𝑖 , 𝑖’inci konjuge sınıfındaki elemanların

sayısıdır).


16

2.5. Grup Etkisi

Tanım 2.5.1 𝐺 bir grup ve 𝛺 boĢ olmayan bir küme olsun. Bir

𝛺 × 𝐺 ⟶ 𝛺

𝑥, 𝑔 ⟼ 𝑥𝑔

fonksiyonu verilsin. Eğer;

i. ∀𝑥 ∈ Ω için 𝑥𝑒 = 𝑥 (𝑒, 𝐺 nin birimi)

ii. ∀𝑥 ∈ Ω ve 𝑔, 𝑕 ∈ 𝐺 için 𝑥𝑔𝑕 = 𝑥𝑔 𝑕

özelliklerini sağlıyorsa bu fonksiyona 𝐺 nin 𝛺 üzerinde bir etkisi denir.

𝐺, Ω kümesi üzerine etki etsin ve 𝑔 ∈ 𝐺 olsun. ∀𝑥 ∈ Ω için 𝑥𝜍𝑔 = 𝑥𝑔

biçiminde tanımlı 𝜍𝑔 : Ω ⟶ 𝛺 fonksiyonu Ω üzerinde bir permütasyondur ve

𝜍: 𝐺 → 𝑆𝑦𝑚 Ω , 𝑔 ⟼ 𝜍𝑔 biçiminde tanımlı 𝜍 fonksiyonu bir homomorfizmdir.

(Burada 𝑆𝑦𝑚(Ω), Ω nın permütasyonlarının grubudur.)

Yukarıda görüldüğü gibi eğer bir 𝐺 grubu bir Ω kümesi üzerine etki ederse 𝐺

nin her elemanı Ω üzerinde bir permütasyon tanımlar ve 𝐺 den 𝑆𝑦𝑚 Ω içine bir

homomorfizm tanımlıdır. O halde bir 𝐺 grubunun her etkisi 𝐺 nin bir permütasyon

temsilini tanımlar.

Örnek 2.5.2 𝐺 bir sonlu grup ve Ω = 𝐺 olsun. 𝑥 ∈ Ω = 𝐺, 𝑔, 𝑕 ∈ 𝐺 ve 𝑥𝑔 = 𝑔−1𝑥𝑔

alalım.

𝑥𝑒 = 𝑒−1𝑥𝑒 = 𝑥, 𝑥𝑔𝑕 = 𝑔𝑕 −1𝑥 𝑔𝑕 = 𝑕−1 𝑔−1𝑥𝑔 𝑕 = 𝑕−1𝑥𝑔𝑕 = 𝑥𝑔 𝑕 olup

𝑥 ⟼ 𝑥𝑔 , 𝐺 nin Ω = 𝐺 bir etkisidir. Buna 𝐺 grubunun kendi üzerinde eşleniklik etkisi

denir.

Tanım 2.5.3 𝑥, 𝑦 ∈ Ω için Ω üzerinde ~ bağıntısını 𝑥~𝑦 ⟺ ∃𝑔 ∈ 𝐺 öyle ki

𝑥 = 𝑦𝑔olarak tanımlayalım. O halde ~ bir denklik bağıntısıdır.

Tanım 2.5.4 𝑥 ∈ Ω ise ~ denklik bağıntısına göre 𝑥’i içeren denklik sınıfına 𝑥’in

yörüngesi denir ve 𝑜𝑟𝑏(𝑥) ile gösterilir.


17

Yörünge tanımından bir 𝑥 ∈ Ω için 𝑥’in yörüngesi 𝑜𝑟𝑏 𝑥 = {𝑥𝑔 ∶ 𝑔 ∈ 𝐺}

Ģeklindedir.

Tanım 2.5.5 𝑥 ∈ Ω ise 𝐺𝑥 = {𝑔 ∈ 𝐺 ∶ 𝑥𝑔 = 𝑥} kümesine 𝑥’in sabitleyeni denir.

Sonuç 2.5.6 𝐺𝑥 , 𝐺 nin bir alt grubudur.

Teorem 2.5.7 (Yörünge Sabitleyen Teoremi) 𝐺, Ω kümesi üzerine etki etki eden

sonlu bir grup ve 𝑥 ∈ Ω olsun. O zaman |𝑜𝑟𝑏 𝑥 | = (𝐺: 𝐺𝑥) dır.

Örnek 2.5.8 𝐺 bir grup, Ω = 𝐺 ve 𝑥 ∈ Ω, 𝑔 ∈ 𝐺 ise 𝑥𝑔 = 𝑔−1𝑥𝑔 eĢleniklik etkisini

düĢünelim.

𝑥 ∈ 𝐺 ise 𝐺𝑥 = 𝑔 ∶ 𝑥𝑔 = 𝑥 = 𝑔 ∶ 𝑔−1𝑥𝑔 = 𝑥 = 𝑔 ∶ 𝑥𝑔 = 𝑔𝑥 = 𝐶𝐺(𝑥) olup

|𝑜𝑟𝑏 𝑥 | = (𝐺: 𝐶𝐺(𝑥)) dır. ((𝐺: 𝐶𝐺(𝑥)), 𝑥’in 𝐺 deki eĢleniklerinin sayısıdır.)

2.6. Serbest Gruplar

Tanım 2.6.1 𝑋 ≠ ∅ bir küme olsun. 𝑋’in elemanlarının her birine bir harf denir.

𝑋−1, 𝑋 ile aralarında bire bir eĢleme olan küme, 𝑋 ∩ 𝑋−1 = ∅, 𝑋−1 = {𝑥−1 ∶ 𝑥 ∈ 𝑋}

ve 1 ∉ 𝑋 ∪ 𝑋−1 olsun. ∀𝑥 ∈ 𝑋 için 𝑓: 𝑋 → 𝑋−1, 𝑥 → 𝑓 𝑥 = 𝑥−1 Ģeklinde

tanımlansın. 𝑋 ∪ 𝑋−1 ∪ 1 kümesini ele alalım. Bu kümenin elemanlarından oluĢan

ve sonlu terimi dıĢındaki bütün terimleri 1 olan 𝑤 = 𝑎1, 𝑎2, ⋯ , 𝑎𝑛 , 1,1, … dizisine

𝑋’in elemanları üzerinde bir kelime denir.

Özel olarak her terimi 1 olan 1 = (1,1,1, … ) dizisi de bir kelimedir; bu kelimeye boş

kelime denir.

Tanım 2.6.2 𝑤 = 𝑎1, 𝑎2, … , 𝑎𝑛 , 1,1, … bir kelime olsun. Eğer bu kelimede

𝑖 = 1,2, … , 𝑛 ve ∀𝑥 ∈ 𝑋 için 𝑥 ile 𝑥−1 komĢu değilse yani 𝑎𝑖 = 𝑥 ise 𝑎𝑖+1 ≠ 𝑥−1 ve

bir 𝑖 ≥ 1 için 𝑎𝑖 = 1 iken ∀ 𝑗 ≥ 𝑖 için 𝑎𝑗 = 1 özellikleri sağlanır ise 𝑤 ya

indirgenmiş kelime denir.


18

Eğer 𝑤 = 𝑎1, 𝑎2, … , 𝑎𝑛 , 1,1, … bir indirgenmiĢ kelime ise 휀𝑖 = ±1,

𝑖 = 1,2, … , 𝑛, 𝑥𝑖 ∈ 𝑋 ve 𝑎𝑖 = 𝑥𝑖 olmak üzere 𝑤 = 𝑥1휀1𝑥2

휀2 …𝑥𝑛휀𝑛 Ģeklinde

gösterilir.

𝑋 üzerinde bütün indirgenmiĢ kelimelerin kümesi 𝐹(𝑋) olsun. 𝐹(𝑋) üzerinde bir ikili

iĢlem aĢağıdaki gibi tanımlansın.

𝑤 = 𝑥1휀1𝑥2

휀2 ⋯𝑥𝑛휀𝑛 , 𝑣 = 𝑦1

𝛿1𝑦2𝛿2 ⋯𝑦𝑟

𝛿𝑟 ∈ 𝐹(𝑋) olsun. Genelliği

bozmaksızın 𝑛 ≥ 𝑟 kabul edebiliriz. 0 ≤ 𝑘 ≤ 𝑟 olmak üzere 𝑗 = 0,1,2, ⋯ , 𝑘 − 1 için

𝑥𝑛−𝑗

휀𝑛−𝑗 = 𝑦𝑗 +1

−𝛿𝑗+1 koĢulunu sağlayan en büyük tamsayı 𝑘 olsun.

𝑤𝑣 =

𝑥1휀1𝑥2

휀2 ⋯𝑥𝑛−𝑘휀𝑛−𝑘𝑦𝑘+1

𝛿𝑘+1 ⋯𝑦𝑚𝛿𝑚 , 𝑘 < 𝑟 < 𝑛

𝑥1휀1𝑥2

휀2 ⋯𝑥𝑛−𝑟휀𝑛−𝑟 , 𝑘 = 𝑟 < 𝑛

1 , 𝑘 = 𝑛 = 𝑟.

𝐹(𝑋) yukarıda tanımlanan ikili iĢleme göre bir gruptur ve 𝐹 𝑋 = 𝑋 ile gösterilir.

𝐹(𝑋)’e 𝑋 üzerinde bir serbest grup denir.

Tanım 2.6.3 𝐺 herhangi bir grup ve 𝑋 de 𝐺 nin bir üreteçler kümesi olsun. Eğer

𝐺 ≅ 𝐹 𝑋 ise, 𝐺 grubu 𝑋 üzerinde serbest olup 𝑋 e 𝐺 nin serbest üreteçler kümesi

denir.

Teorem 2.6.4 𝐺 bir grup, 𝑋, 𝑌 ⊆ 𝐺 olsun. Eğer 𝐺 grubu hem 𝑋 hem de 𝑌 üzerinde

serbest ise, 𝑋 = 𝑌 dir. BaĢka bir deyiĢle, bir serbest grubun herhangi iki serbest

üreteçler kümesinin kardinalitesi aynıdır. Bu kardinaliteye o grubun rankı denir.

Serbest gruplar için farklı bir bakış açısı:

𝑥1, 𝑥2 , … , 𝑥𝑛 serbest doğuraylar olmak üzere 𝑛 doğuraylı bir 𝐹𝑛 serbest grubu,

doğurayları 𝑥1, 𝑥2 , … , 𝑥𝑛 olan ve boĢ bağıntı ile tanımlı bir gruptur. Yani;

𝐹𝑛 = 𝑥1, 𝑥2, … , 𝑥𝑛


19

Ģeklinde takdime sahiptir.

Bundan böyle aksi belirtilmedikçe 𝐹𝑛 ile 𝑥1, 𝑥2, … , 𝑥𝑛 üzerindeki serbest grup

anlaĢılacaktır.

Tanım 2.6.5 𝐹𝑛 bir serbest grup ve 휀𝑖 = ±1, 𝑣 = 1,2, … , 𝑛 için 𝑥𝑣휀 , 𝑥𝑣

−휀 birer harf

olsun. Eğer 𝑥𝑣휀 ve 𝑥𝑣

−휀 harfleri bir kelimede ardıĢık konumda bulunmuyor ise bu

kelimeye serbest indirgenmiş kelime denir.

Örnek 2.6.6 𝐹𝑛 de 𝑥1𝑥22𝑥1

−1𝑥2−1𝑥1

−1 kelimesi serbest indirgenmiĢ kelimedir fakat

𝑥1𝑥1−2𝑥2

3𝑥2−1𝑥1

−1 kelimesi serbest indirgenmiĢ kelime değildir.

Tanım 2.6.7 𝐹𝑛 de bir 𝑤 serbest indirgenmiĢ kelimesi 𝑥𝑣휀 ile baĢlayıp 𝑥𝑣

−휀 ile

bitmiyorsa 𝑤 ya devirsel indirgenmiş kelime denir.

Örnek 2.6.8 𝐹𝑛 de 𝑥12𝑥2

5𝑥3−1 kelimesi devirsel indirgenmiĢ fakat 𝑥1𝑥2

−2𝑥3𝑥22𝑥1

−1

kelimesi devirsel indirgenmiĢ değildir.

Sonuç 2.6.9 𝑤 ∈ 𝐹𝑛 nin bir devirsel indirgenmiĢ kelime olabilmesi için gerek ve

yeter koĢul 𝑤 nün tüm permütasyonlarının serbest indirgenmiĢ olmasıdır.

Tanım 2.6.10 𝑤1 ve 𝑤2 iki kelime olsun. Eğer bu iki kelime 𝐹𝑛 nin aynı indirgenmiĢ

elemanını temsil ediyorsa, bu iki kelimeye serbest eşit kelimeler denir ve 𝑤1 ≈ 𝑤2

ile gösterilir. Örneğin 𝑤1 = 𝑥1𝑥22𝑥2

−1𝑥32𝑥1

−1𝑥1𝑥3−1𝑥1

−1 ve 𝑤2 = 𝑥1𝑥2𝑥3−1𝑥3

2𝑥1−1 olsun.

𝑤1 ≈ 𝑤2 dir. Çünkü 𝑤1 ve 𝑤2 𝐹𝑛 nin 𝑥1𝑥2𝑥3𝑥1−1 indirgenmiĢ elemanına denktir.

Sonuç 2.6.11 𝐹𝑛 deki her bir kelime serbest indirgenmiĢ bir kelimeye serbest eĢittir.

Bir kelimeyi indirgemenin değiĢik yolları vardır. Yani indirgemeler farklı

sırada yapılabilir. Fakat en sonunda elde edilecek indirgenmiĢ kelime bir tek tanedir.


20

ġimdi bir kelimenin serbestçe eĢit olduğu indirgenmiĢ kelimeyi veren bir tekniği

aĢağıda vereceğiz.

Teorem 2.6.12 𝐹𝑛 bir serbest grup olsun. 𝐹𝑛 nin her bir elemanı bir tek serbest

indirgenmiĢ kelime olarak tanımlar. Yani; 𝑥1, 𝑥2 , … , 𝑥𝑛 nin her bir kelimesi bir tek

serbest indirgenmiĢ kelimeye serbest eĢittir.

İspat. Teoremi ispatlamak için bir kelimeyi serbest indirgeyen bir 𝜌 tekniği

tanımlayacağız. 𝜌 tekniği, verilen bir kelimeyi ilk kısmından baĢlayarak ardıĢık

olarak indirgeme prensibine dayanır.

En genel haliyle 𝜌 tekniğini tümevarım ile

𝜌 1 = 1, 𝜌(𝑥𝑣휀) = 𝑥𝑣

휀 (휀 = ±1; 𝑣 = 1,2, … , 𝑛)

ve eğer

𝜌 𝑈 = 𝑥𝜇1

𝜂1𝑥𝜇2

𝜂2 …𝑥𝜇𝑞

𝜂𝑞 (𝜂𝑖 = ±1; 𝜇𝑖 = 1,2, … , 𝑛),

Ģeklinde ise,

𝜌 𝑈𝑥𝑣휀 = 𝑥𝜇1

𝜂1𝑥𝜇2


𝜂𝑞𝑥𝑣휀 ; eğer 𝜇𝑞 ≠ 𝑣 ya da 𝜂𝑞 ≠ −휀

𝜌 𝑈𝑥𝑣휀 = 𝑥𝜇1

𝜂1𝑥𝜇2

𝜂2 …𝑥𝜇𝑞−1

𝜂𝑞−1 ; eğer 𝜇𝑞 = 𝑣 ya da 𝜂𝑞 = −휀

olarak ifade edebiliriz. Örnek olarak 𝑊 = 𝑥1𝑥2−1𝑥3𝑥3

−1𝑥2 kelimesine 𝜌 tekniğini

uygulayalım.

𝜌(𝑥1𝑥2−1𝑥3𝑥3

−1𝑥2) hesaplayalım.

𝜌 𝑥1 = 𝑥1

𝜌 𝑥1𝑥2−1 = 𝑥1𝑥2

−1

𝜌 𝑥1𝑥2−1𝑥3 = 𝑥1𝑥2

−1𝑥3


21

𝜌 𝑥1𝑥2−1𝑥3𝑥3

−1 = 𝑥1𝑥2−1

𝜌 𝑥1𝑥2−1𝑥3𝑥3

−1𝑥2 = 𝑥1

Ģeklinde hesaplanır.

Bu Ģekilde tanımlı 𝜌 nun bazı özelliklerini aĢağıdaki Ģekilde sıralayabiliriz.

a) 𝜌(𝑊) serbest indirgenmiĢtir.

b) 𝜌(𝑊) ≈ 𝑊 (serbest eĢittir).

c) Eğer 𝑉 serbest indirgenmiĢ ise 𝜌 𝑉 = 𝑉.

d) 𝜌 𝑊1𝑊2 = 𝜌(𝜌 𝑊1 𝑊2).

e) 𝜌 𝑊𝑥𝑣휀𝑥𝑣

−휀 = 𝜌(𝑊), (휀 = ±1; 𝑣 = 1,2, … , 𝑛).

f) 𝜌 𝑊1𝑥𝑣휀𝑥𝑣

−휀𝑊2 = 𝜌(𝑊1𝑊2), (휀 = ±1; 𝑣 = 1,2, … , 𝑛).

a), b) ve e) özellikleri 𝑊 nun uzunluğu üzerinden tümevarımla 𝜌 nun tanımını

kullanarak gösterilebilir.

c) özelliği, 𝑉 nin uzunluğu üzerinden tümevarımla gösterilebilir.

d) özelliği, 𝑊2 nin uzunluğu üzerinden tümevarımla gösterilebilir.

f) özelliği de d) ve e) nin kullanılması ile hemen görülebilir.

Bize iki serbest eĢit kelime verildiğinde, bu iki kelimeye 𝜌 tekniğini

uygulanarak aynı indirgenmiĢ kelimeyi vereceğini göstereceğiz.

𝑈 ≈ 𝑇 olsun. 𝑈 = 𝑈1, 𝑈2, … , 𝑈𝑘 = 𝑇 olacak Ģekildeki dizisini elde edebiliriz.

Bu dizi ardıĢık terimlerin birinden diğerine her bir adımda 𝑥𝑣휀𝑥𝑣

−휀 ile bir tek kısaltma

ya da bir tek araya kelime sıkıĢtırma ile elde edilmiĢlerdir (휀 = ±1; 𝑣 = 1,2, … , 𝑛).

Böylece f) den 𝜌 𝑈𝑖 = 𝜌 𝑈𝑖+1 olup 𝜌 𝑈 = 𝜌 𝑇 dir.

Sonuç olarak, bir 𝑈 kelimesini serbest indirgeyen her metot sonunda 𝜌 𝑈

olmak zorunda olduğunu göstermeliyiz. Kabul edelim ki 𝑈 ≈ 𝑉 ve 𝑉 serbest

indirgenmiĢ olsun. O zaman yukarıdaki durumdan ve c) den 𝜌 𝑈 = 𝜌 𝑉 = 𝑉 dır.

Böylece her bir 𝑈 kelimesi bir tek serbest indirgenmiĢ kelimeye serbest eĢittir.

∎


22

Sonuç 2.6.13 𝐹𝑛 , 𝑥1, 𝑥2 , … , 𝑥𝑛 doğuraylı serbest grup olsun. 1 den farklı her elemanı

sonsuz derecelidir.

İspat. 𝑊 = 𝑥𝑣1

휀1𝑥𝑣2

휀2 …𝑥𝑣𝑝

휀𝑝 (휀𝑖 = ±1; 𝑣𝑖 = 1,2, … , 𝑛) 𝐹𝑛 nin serbest indirgenmiĢ ve

birim olmayan bir elemanı olsun.

(i) Eğer 𝑣1 ≠ 𝑣𝑝 ya da 휀1 ≠ 휀𝑝 ise 𝑊 devirsel indirgenmiĢtir. Böylece, 𝑘 bir

pozitif tamsayı olmak üzere

𝑊𝑘 = 𝑥𝑣1

휀1𝑥𝑣2


휀𝑝 𝑥𝑣1

휀1𝑥𝑣2


휀𝑝 …𝑥𝑣1

휀1𝑥𝑣2


휀𝑝

olup 𝑊𝑘 da serbest indirgenmiĢtir ve boĢ kelime değildir. Böylece 𝑊𝑘 hiçbir zaman

1 i belirlemez. Sonuç olarak 𝑊 sonsuz derecelidir.

(ii) Eğer 𝑊 devirsel indirgenmiĢ değilse, o zaman 𝑊, devirsel indirgenmiĢ bir 𝑉

kelimesine konjugedir. Eğer

𝑊 = 𝑥𝑣1

휀1 …𝑥𝑣𝑟

휀𝑟𝑥𝜇1


𝜂𝑞𝑥𝑣𝑟

−휀𝑟 …𝑥𝑣1

−휀1 , (휀𝑖 , 𝜂𝑖 = ±1; 𝑣𝑖 , 𝜇𝑖 = 1,2, … , 𝑛)

Ģeklinde ise, o zaman 𝑈 = 𝑥𝑣1


휀𝑟 ve 𝑉 = 𝑥𝜇1


𝜂𝑞 olup 𝑊 = 𝑈𝑉𝑈−1 dan 𝑉

devirsel indirgenmiĢ ve 1 den farklıdır. (i) den 𝑉 devirsel indirgenmiĢ olup sonsuz

derecelidir. Dolayısıyla bu sonsuz dereceli elemana konjuge olan 𝑊 da sonsuz

derecelidir (𝑎 = 𝑥𝑏𝑥−1 ise 𝑎 = |𝑏|).

∎

𝐹𝑛 bir serbest grup olsun. ġimdi de 𝐹𝑛 de verilen bir kelimeyi devirsel

indirgenmiĢ kelimeye dönüĢtüren bir teknikten söz edeceğiz. Bu tekniğe 𝜍 diyecek

olursak kabaca 𝜍 tekniği, bir kelimeyi ilk önce indirgenmiĢ kelimeye daha sonrada

devirsel indirgenmiĢ kelimeye dönüĢtürür.

En genel haliyle 𝜍 tekniğini tümevarım ile


23

𝜍 1 = 1, 𝜍(𝑥𝑣휀) = 𝑥𝑣

휀 (휀 = ±1; 𝑣 = 1,2, … , 𝑛),

𝜍 𝑥𝑣휀𝑈𝑥𝜇

𝜂 = 𝑥𝑣

휀𝑈𝑥𝜇𝜂 ; eğer 𝑣 ≠ 𝜇 ya da 휀 ≠ −𝜂,

𝜍 𝑥𝑣휀𝑈𝑥𝜇

𝜂 = 𝜍(𝑈) ; eğer 𝑣 = 𝜇 ve 휀 = −𝜂

olarak ifade edebiliriz. Burada 휀, 𝜂 = ±1 ve 𝑣, 𝜇 = 1,2, … , 𝑛 dir. Sonuç olarak 𝜍,

herhangi bir 𝑊 kelimesi için 𝜍 𝑊 = 𝜍(𝜌(𝑊)) dur.

Örnek olarak 𝑤 = 𝑥1𝑥2𝑥3𝑥3−1𝑥1

−1 kelimesine 𝜍 tekniğini uygulayalım.

𝜍 𝑥1𝑥2𝑥3𝑥3−1𝑥1

−1 = 𝜍 𝑥1𝑥2𝑥1−1 = 𝜍 𝑥2 = 𝑥2.

Kolayca görülebilir ki 𝜍 nın tanımından, 𝑊 kelimesi ile 𝜍(𝑊) devirsel

indirgenmiĢ kelimesi 𝐹𝑛 nin konjuge elemanlarını tanımlar.

Teorem 2.6.14 𝐹𝑛 bir serbest grup olsun. 𝑊1 ile 𝑊2 kelimeleri, 𝐹𝑛 nin konjuge

elemanlarını tanımlaması için gerek ve yeter koĢul 𝑊1 in 𝜍(𝑊1) devirsel

indirgeniĢi, 𝑊2 nin 𝜍(𝑊2) devirsel indirgeniĢinin bir devirsel permütasyonu

olmasıdır.

İspat. Ġlk önce kabul edelim ki 𝜍(𝑊2), 𝜍(𝑊1) in devirsel permütasyonlarından birisi

olsun. Yani;

𝜍 𝑊1 = 𝑥𝑣1

휀1 …𝑥𝑣𝑠

휀𝑠𝑥𝑣𝑠+1

휀𝑠+1 …𝑥𝑣𝑝

휀𝑝

ve

𝜍 𝑊2 = 𝑥𝑣𝑠+1

휀𝑠+1 …𝑥𝑣𝑝

휀𝑝 𝑥𝑣1


휀𝑠

olsun. Burada 휀𝑖 = ±1 ve 𝑣𝑖 = 1,2, … , 𝑛 dir. O zaman 𝐾 = 𝑥𝑣1


휀𝑠 olmak üzere

𝜍(𝑊1) ≈ 𝐾𝜍 𝑊2 𝐾−1 dir. Çünkü 𝜍(𝑊1) ve 𝑊1 ve de 𝜍 𝑊2 ve 𝑊2, 𝐹𝑛 nin konjuge

elemanlarını tanımlar. Böylece 𝑊1 ve 𝑊2, 𝐹𝑛 nin konjuge elemanlarını tanımlar.


24

ġimdi de kabul edelim ki 𝑊1 ve 𝑊2, 𝐹𝑛 nin konjuge elemanlarını tanımlasın.

Yani; 𝑊1 ≈ 𝑇𝑊2𝑇−1 olsun. O zaman 𝜍(𝑊1) ve 𝜍 𝑊2 nin birbirlerinin devirsel

permütasyonları olduklarını göstermeliyiz. Bunun için

𝜌 𝑊1 = 𝜌 𝑇𝑊2𝑇−1

olduğundan

𝜍 𝑊1 = 𝜍(𝜌 𝑊1 ) = 𝜍(𝜌 𝑇𝑊2𝑇−1 ) = 𝜍 𝑇𝑊2𝑇

−1

dir. Böylece 𝜍 𝑇𝑊2𝑇−1 in 𝜍 𝑊2 nin devirsel permütasyonlarından birisi olduğunu

göstermek yeterli olacaktır. Bunu 𝑇 nin uzunluğu üzerinden tümevarım kullanarak

gösterelim. Eğer

𝑇 = 𝑥𝑣휀 (휀 = ±1; 𝑣 = 1,2, … , 𝑛),

ise 𝜍 𝑥𝑣휀𝑊2𝑥𝑣

−휀 ile 𝜍 𝑊2 karĢılaĢtıralım.

𝜍 𝑊2 = 𝜍(𝜌 𝑊2 )

olup

𝑥𝑣휀𝑊2𝑥𝑣

−휀 ≈ 𝑥𝑣휀𝜌(𝑊2)𝑥𝑣

−휀

olduğundan

𝜍 𝑥𝑣휀𝑊2𝑥𝑣

−휀 = 𝜍 𝜌(𝑥𝑣휀𝑊2𝑥𝑣

−휀) = 𝜍 𝜌(𝑥𝑣휀𝜌(𝑊2)𝑥𝑣

−휀)

elde edilir. Varsayalım ki

𝜌 𝑊2 = 𝑥𝑣1


휀𝑟 (휀 = ±1; 𝑣 = 1,2, … , 𝑛);


25

olsun. O zaman

𝜌(𝑥𝑣휀𝜌(𝑊2)𝑥𝑣

−휀) = 𝑥𝑣휀𝑥𝑣1


휀𝑟𝑥𝑣−휀

olduğunu göstermeyi dört durumda inceleyeceğiz.

Durum 1. Hiç bir kısalma olmasın, yani; 𝑣 ≠ 𝑣1 ya da 휀 ≠ 휀1, ve 𝑣 ≠ 𝑣𝑟 ya da

휀 ≠ 휀𝑟 ise, o zaman




휀𝑟𝑥𝑣−휀

dur. Bundan dolayı


−휀 = 𝜍 𝑥𝑣휀𝑥𝑣1


휀𝑟𝑥𝑣−휀 = 𝜍 𝑥𝑣1


휀𝑟 = 𝜍(𝑊2)

olur.

Durum 2. BaĢta ve sonda kısalma olsun, yani; 𝑣 = 𝑣1 = 𝑣𝑟 ve 휀 = −휀1 = 휀𝑟 ise, o

zaman


−휀) = 𝑥𝑣2

휀2 …𝑥𝑣𝑟−1

휀𝑟−1

dir. Böylece


−휀 = 𝜍 𝑥𝑣2


휀𝑟−1

iken

𝜍 𝑊2 = 𝜍 𝑥𝑣1

휀1𝑥𝑣2


휀𝑟−1𝑥𝑣𝑟

휀𝑟 = 𝜍 𝑥𝑣2


휀𝑟−1


26

olup, yine


−휀 = 𝜍 𝑊2

olur.

Durum 3. Sadece baĢta kısalma olsun, yani; 𝑣 = 𝑣1 ve 휀 = −휀1, fakat 𝑣1 ≠ 𝑣𝑟 ya da

휀𝑟 ≠ 휀1 ise, o zaman


−휀) = 𝑥𝑣2


휀𝑟𝑥𝑣−휀 = 𝑥𝑣2


휀𝑟𝑥𝑣1

휀1

dir. 𝑥𝑣1

휀1𝑥𝑣2


휀𝑟 ve 𝑥𝑣2


휀𝑟𝑥𝑣1

휀1 serbest indirgenmiĢ olup ikisi de devirsel

indirgenmiĢtir. Bundan dolayı


−휀 = 𝜍 𝑥𝑣2


휀𝑟𝑥𝑣1

휀1 = 𝑥𝑣2


휀𝑟𝑥𝑣1

휀1

iken


휀1𝑥𝑣2


휀𝑟 = 𝑥𝑣1

휀1𝑥𝑣2


휀𝑟

olup, 𝜍 𝑥𝑣휀𝑊2𝑥𝑣

−휀 , 𝜍 𝑊2 nin devirsel permütasyonlarından birisidir.

Durum 4. Sadece sonda kısalma olsun, yani; 𝑣 ≠ 𝑣1 ya da 휀 ≠ −휀1, fakat 𝑣 = 𝑣𝑟 ve

휀 = 휀𝑟 ise, o zaman




휀𝑟−1 = 𝑥𝑣𝑟

휀𝑟𝑥𝑣1


휀𝑟−1

dir. Böylece


−휀 = 𝜍 𝑥𝑣𝑟

휀𝑟𝑥𝑣1


휀𝑟−1 = 𝑥𝑣𝑟

휀𝑟𝑥𝑣1


휀𝑟−1


27

iken




휀𝑟 = 𝑥𝑣1



휀𝑟

olup, 𝜍 𝑥𝑣휀𝑊2𝑥𝑣

−휀 , 𝜍 𝑊2 nin devirsel permütasyonlarından birisidir.

Böylece dört durumda da 𝜍 𝑥𝑣휀𝑊2𝑥𝑣

−휀 , 𝜍 𝑊2 nin devirsel

permütasyonlarından birisi oluyor. Bu da bize gösterir ki, 𝑇 nin uzunluğu 1 iken

𝜍 𝑇𝑊2𝑇−1 , 𝜍 𝑊2 nin devirsel permütasyonlarından birisidir.

Kabul edelim ki 𝜍 𝐾𝑊2𝐾−1 , 𝜍 𝑊2 nin devirsel permütasyonlarından birisi

olsun. O zaman yukarıdaki durumlardan 𝜍 𝑥𝑣휀𝐾𝑊2𝐾

−1𝑥𝑣−휀 , 𝜍 𝐾𝑊2𝐾

−1 in devirsel

permütasyonlarından birisidir ve böylece tümevarım hipotezinden

𝜍 𝑥𝑣휀𝐾𝑊2𝐾

−1𝑥𝑣−휀 , 𝜍 𝑊2 nin devirsel permütasyonlarından birisidir.

∎

Tanım 2.6.15 (Whitehead Otomorfizmleri) 𝐹, Σ kümesi üzerinde bir serbest grup

olsun. 𝜍 Whitehead otomorfizmi aĢağıdaki Ģekilde tanımlanır.

(W1): 𝜍, Σ±1 de permütasyon elemanıdır.

(W2): 𝑆 ⊂ Σ±1 bir küme ve 𝑎 ∈ Σ±1 bir harf olmakla birlikte 𝑎, 𝑎−1 ∉ 𝑆 ve

𝑐 ∈ Σ±1 için

a) 𝑐 ∈ 𝑆 ve 𝑐−1 ∉ 𝑆 ise 𝜍 𝑐 = 𝑐𝑎 ;

b) 𝑐, 𝑐−1 ∈ 𝑆 ise 𝜍 𝑐 = 𝑎−1𝑐𝑎 ;

c) 𝑐, 𝑐−1 ∉ 𝑆 ise 𝜍 𝑐 = 𝑐.

Eğer 𝜍, (W2) tipinde ise 𝜍 = (𝑆, 𝑎) yazacağız. 𝑆 , 𝑎−1 = (Σ±1 − 𝑆 − 𝑎±1, 𝑎−1)

Ģeklinde ifade edeceğiz.


28

3. SERBEST GRUPLARDA TRANSLATION DENK ELEMANLAR

Serkan AKOĞUL

29


ÇalıĢmamızın bu bölümünde, rankı 𝑛 ≥ 2 olan 𝐹𝑛 serbest grubunda

translation denklik kavramını tanıtmaya çalıĢacağız. 𝑤1, 𝑤2 ∈ 𝐹𝑛 iki eleman olsun.

Eğer 𝜙 𝑤1 = 𝑤2 olacak biçimde bir 𝜙 ∈ 𝐴𝑢𝑡𝐹𝑛 bulunabiliyorsa 𝑤1 ve 𝑤2

elemanlarına otomorfik denktir denir. Bu kısımda inceleyeceğimiz translation denklik

kavramı biraz daha farklı olup, her 𝜙 ∈ 𝐴𝑢𝑡𝐹𝑛 için 𝜙 𝑤1 ile 𝜙 𝑤2 nin devirsel

uzunlukları aynı oluyorsa 𝑤1 ve 𝑤2 elemanlarına translation denk denir. Biz burada

𝐹𝑛 de 𝑔 ve 𝑕 translation denk olan iki eleman iken 𝑤(𝑔, 𝑕) ve 𝑤(𝑕, 𝑔) elemanlarının

da translation denk olduğu göstereceğiz. Daha sonra da 𝐹2 de herhangi iki elemanın

translation denk olup olmadığına karar veren bir algoritmanın varlığını göstereceğiz.

Bu kısımda yararlanacağımız bir kaç tanım ve teoremi aĢağıda vereceğiz.

𝐹 𝑎, 𝑏 , 𝑎, 𝑏 tarafından üretilen serbest grup ve 𝐹 𝑎, 𝑏 de keyfi seçilmiĢ

bir kelime 𝑤 𝑎, 𝑏 ile gösterilsin. Biz her ne zaman 𝑔, 𝑕 ∈ 𝐹𝑛 için 𝑔 ve 𝑕, 𝐹𝑛 de

translation denk ise 𝑤 𝑔, 𝑕 ve 𝑤 𝑕, 𝑔 nin de 𝐹𝑛 de translation denk olduğunu

göstereceğiz.

𝐹𝑛 , 𝑋 kümesi üzerinde rankı 𝑛 ≥ 2 olan bir serbest grup olsun. Bu kısımda

ihtiyaç duyacağımız bazı tanım ve notasyonları verelim. 𝑣 ∈ 𝐹𝑛 olmak üzere;

𝑣 : 𝑋 üzerinde indirgenmiĢ 𝑣 kelimesinin uzunluğudur.

𝑣 devirsel kelime: Devirsel indirgenmiĢ 𝑣 kelimesinin tüm devirsel

permütasyonlarının kümesidir.

𝑣 devirsel uzunluk: 𝑣 ye konjuge olan bir devirsel indirgenmiĢ kelimenin

tüm devirsel permütasyonlarının sayısıdır.


Serkan AKOĞUL

30

Tanım 3.1 𝑔, 𝑕 ∈ 𝐹𝑛 ve 𝐹𝑛 nin her 𝜙 otomorfizmi için 𝜙 𝑔 nin devirsel uzunluğu

𝜙 𝑕 nin devirsel uzunluğuna eĢit ise 𝑔 ve 𝑕 elemanlarına 𝐹𝑛 de translation denktir

denir.

Teorem 3.2 𝑤 𝑔, 𝑕 ∈ 𝐹 𝑎, 𝑏 serbestçe indirgenmiĢ bir kelime olsun. O zaman

herhangi 𝑔, 𝑕 ∈ 𝐹𝑛 için 𝑤 𝑔, 𝑕 ve 𝑤𝑅 𝑔, 𝑕 translation denktir ( 𝑤𝑅 𝑎, 𝑏 =

𝑤 𝑎, 𝑏 −1).

Teorem 3.3 𝑔, 𝑕 ∈ 𝐹𝑛 de translation denk ve 𝑔 ≠ 𝑕−1 olsun. O zaman herhangi

𝑝, 𝑞, 𝑖, 𝑗 pozitif tamsayıları için 𝑝 + 𝑞 = 𝑖 + 𝑗 ise 𝑔𝑝𝑕𝑞 ve 𝑔𝑖𝑕𝑗 de 𝐹𝑛 de translation

denktir.

Kapovich-Levitt-Schupp-Shpilrain (2007) makalesinde, her ne zaman

𝑔, 𝑕 ∈ 𝐹𝑛 de translation denk ve 𝑤 𝑔, 𝑕 ∈ 𝐹 𝑎, 𝑏 de keyfi seçilmiĢ olduğunda

𝑤 𝑔, 𝑕 ve 𝑤 𝑕, 𝑔 nin 𝐹𝑛 de translation denk olup olmayacağını sormuĢtur. Burada

bu soruya cevap vermeye çalıĢılacaktır.

Teorem 3.4 𝑔, 𝑕 ∈ 𝐹𝑛 de translation denk ve 𝑤 𝑎, 𝑏 ∈ 𝐹 𝑎, 𝑏 de keyfi seçilmiĢ bir

kelime olsun. O zaman 𝑤 𝑔, 𝑕 ve 𝑤 𝑕, 𝑔 de 𝐹𝑛 de translation denktir.

İspat. Eğer 𝑤 𝑎, 𝑏 devirsel kelimesi trivial ise yani 𝑤 𝑎, 𝑏 = 1 ise sonuç açıktır.

O halde 𝑤 𝑎, 𝑏 devirsel kelimesi trivial olmasın. Eğer 𝑔 = 𝑕±1 ise de durum

açıktır. Çünkü 𝑔 = 𝑕 ise 𝑤 𝑕, 𝑕 = 𝑤 𝑕, 𝑕 olur, eğer 𝑔 = 𝑕−1 ise 𝑤 𝑕, 𝑕−1 ile

𝑤 𝑕−1, 𝑕 translation denktir. O halde 𝑔 ≠ 𝑕±1 olsun. Eğer 𝑤 𝑎, 𝑏 devirsel

kelimesi sadece bir harften oluĢuyorsa, yani; sıfırdan farklı bazı 𝑖 ler için 𝑤 𝑎, 𝑏 =

𝑎𝑖 ya da 𝑤 𝑎, 𝑏 = 𝑏𝑖 ise durum açıktır. Aksine 𝑤 𝑎, 𝑏 devirsel kelimesi

𝑤 𝑎, 𝑏 = 𝑎𝑙1𝑏𝑚1 …𝑎𝑙𝑘𝑏𝑚𝑘 (3.1)


Serkan AKOĞUL

31

olarak yazılabilir. Burada 𝑙𝑖 , 𝑚𝑖 sıfırdan farklı tamsayılardır. 𝜙, 𝐹𝑛 nin keyfi seçilmiĢ

bir otomorfizmi olsun. Teoremi ispatlamak için 𝜙 𝑤 𝑔, 𝑕 = 𝜙 𝑤 𝑕, 𝑔

olduğunu göstermeliyiz. Kolaylık olması bakımından

𝑋 = 𝜙 𝑔 ve 𝑌 = 𝜙 𝑕

yazalım. 𝐹𝑛 deki 𝑋 ve 𝑌 kelimeleri, 𝑋 ve 𝑌 de devirsel indirgenmiĢ (𝐴 veya 𝐵 boĢ

kelime olabilir) olmak üzere

𝑋 = 𝐴𝑋 𝐴−1 ve 𝑌 = 𝐵𝑌 𝐵−1 (3.2)

indirgenmiĢ kelimeler olarak tek Ģekilde parçalanabilir. 𝑔 ve 𝑕, 𝐹𝑛 de translation

denk olup

𝑋 = 𝑌 (3.3)

dır. (3.1) ile (3.2) ifadeleri birlikte düĢünüldüğünde

𝜙 𝑤 𝑔, 𝑕 = 𝐴𝑋 𝑙1𝐴−1𝐵𝑌 𝑚1𝐵−1 …𝐴𝑋 𝑙𝑘𝐴−1𝐵𝑌 𝑚𝑘𝐵−1

(3.4)

𝜙 𝑤 𝑔, 𝑕 = 𝐵𝑌 𝑙1𝐵−1𝐴𝑋 𝑚1𝐴−1 …𝐵𝑌 𝑙𝑘𝐵−1𝐴𝑋 𝑚𝑘𝐴−1

elde ederiz.

𝐴−1𝐵 çarpımındaki kısalmaya göre, üç durumda inceleyerek ispata devam

edeceğiz.

Durum 1. 𝐴−1𝐵 çarpımındaki ne 𝐴−1 ne de 𝐵 tamamen kısalsın. O zaman

𝑙 = 𝑙𝑖 𝑘𝑖=1 ve 𝑚 = 𝑚𝑖

𝑘İ=1 olsun. Bu durumda (3.4) ün sonucu olarak


Serkan AKOĞUL

32

𝜙 𝑤 𝑔, 𝑕 = 𝑙 𝑋 + 𝑚 𝑌 + 𝑘 𝐴−1𝐵 + 𝑘 𝐵−1𝐴

𝜙 𝑤 𝑕, 𝑔 = 𝑙 𝑌 + 𝑚 𝑋 + 𝑘 𝐵−1𝐴 + 𝑘 𝐴−1𝐵

olup böylece (3.3) den 𝜙 𝑤 𝑔, 𝑕 = 𝜙 𝑤 𝑕, 𝑔 dır.

Durum 2. 𝐴−1𝐵 çarpımındaki hem 𝐴−1 hem de 𝐵 tamamen kısalsın, yani 𝐴 = 𝐵

olsun.

Bu durumda (3.4) den

𝜙 𝑤 𝑔, 𝑕 = 𝑋 𝑙1𝑌 𝑚1 …𝑋 𝑙𝑘𝑌 𝑚𝑘

(3.5)

𝜙 𝑤 𝑔, 𝑕 = 𝑌 𝑚1𝑋 𝑙1 …𝑌 𝑚𝑘𝑋 𝑙𝑘

elde ederiz. Bu durum da herhangi 휀𝑖 = ±1 için 𝑋 휀1𝑌 휀2𝑋 휀3 formundaki çarpımda

ortadaki 𝑌 휀2 tamamen kısalmaz olduğunu göstermeliyiz.

Aksini kabul edelim. Yani 𝑋 휀1𝑌 휀2𝑋 휀3 formundaki çarpımda ortadaki 𝑌 휀2

tamamen kısalsın. Eğer 𝑋 휀1 = 𝑌 −휀2 ya da 𝑋 휀3 = 𝑌 −휀3 ise 𝑋 = 𝑌 ±1 dır. Ayrıca

𝐴 = 𝐵 olup 𝑋 = 𝐴𝑋 𝐴−1 = 𝐵𝑌 ±1𝐵−1 = 𝑌±1 dır. Bu durum ise 𝑔 ≠ 𝑕±1 kabulümüz

ile çeliĢir. Aksi takdirde 𝑋 휀1 in 𝑌1 −휀2

ile bitmesi, 𝑋 휀3 ün 𝑌2 −휀2

ile baĢlaması olan bir

tek olasılık karĢımıza çıkar. Burada 𝑌 휀2 = 𝑌1 휀2𝑌2

휀2, 𝑌 𝑖 > 1 olup 𝑖 = 1,2 dır. 𝑌

devirsel indirgenmiĢ olduğu için bu durum sadece 휀1 = 휀3 olduğunda meydana gelir.

Bununla (3.3) ü birleĢtirirsek 𝑋 휀1 = 𝑌2 −휀2𝑌1

−휀2 = 𝑌 −휀2 olup 𝑋 = 𝑌 ±1 olur. Bu ise

yine çeliĢkidir. Benzer Ģekilde de 𝑌 휀1𝑋 휀2𝑌 휀3 çarpımında her bir 휀𝑖 = ±1 için

ortadaki 𝑋 휀2 nin de tamamen kısalmaz olduğu gösterilebilir. Böylece istenen durum

ispatlanmıĢ olur.

ġimdi bu ispatladığımız durumu teoremin ispatında kullanalım.

𝑥, 𝑦 ∈ 𝑎, 𝑏 ±1 için 𝑛 𝑥𝑦 ile 𝑤 𝑎, 𝑏 devirsel kelimesi içindeki 𝑥𝑦 alt

kelimesinin tekrarlanma sayısı olsun.


Serkan AKOĞUL

33

𝛼1 = 𝑛(𝑎𝑏) ve 𝛼2 = 𝑛(𝑏𝑎)

𝛽1 = 𝑛(𝑎−1𝑏−1) ve 𝛽2 = 𝑛(𝑏−1𝑎−1)

𝛾1 = 𝑛(𝑎𝑏−1) ve 𝛾2 = 𝑛(𝑏−1𝑎)

𝛿1 = 𝑛 𝑎−1𝑏 ve 𝛿2 = 𝑛(𝑏𝑎−1)

koyalım. O zaman

𝛼1 + 𝛽1 + 𝛾1 + 𝛿1 = 𝛼2 + 𝛽2 + 𝛾2 + 𝛿2

(3.6)

2𝛽1 + 𝛾1 + 𝛿1 = 2𝛽2 + 𝛾2 + 𝛿2

dır. 𝜅 = 𝛾1 + 𝛿1 − (𝛾2 + 𝛿2) (𝜅 sıfır olabilir) koyalım. (3.6) daki ikinci eĢitlikten

𝜅 = 𝛾1 + 𝛿1 − 𝛾2 + 𝛿2 = 2𝛽2 − 2𝛽1 dır. Bu yüzden 𝜅 çift tamsayıdır ve

𝛽2 = 𝛽1 + 𝜅/2 dir. Bu ve (3.6) daki birinci eĢitlikle birlikte 𝛼2 = 𝛼1 + 𝜅/2 dir ve

böylece

𝛼1 + 𝛽2 = 𝛼2 + 𝛽1 (3.7)

dır. ġimdi 𝑝1, 𝑝2, 𝑞1, 𝑞2, 𝑟1, 𝑟2, 𝑠1, 𝑠2 tamsayılarını aĢağıdaki gibi tanımlayalım.

𝑝1 = 𝑋 + 𝑌 − 𝑋 𝑌 ve 𝑝2 = 𝑌 + 𝑋 − 𝑌 𝑋

𝑞1 = 𝑋 −1 + 𝑌 −1 − 𝑋 −1𝑌 −1 ve 𝑞2 = 𝑌 −1 + 𝑋 −1 − 𝑌 −1𝑋 −1

𝑟1 = 𝑋 + 𝑌 −1 − 𝑋 𝑌 −1 ve 𝑟2 = 𝑌 + 𝑋 −1 − 𝑌 𝑋 −1

𝑠1 = 𝑋 −1 + 𝑌 − 𝑋 −1𝑌 ve 𝑠2 = 𝑌 −1 + 𝑋 − 𝑌 −1𝑋


Serkan AKOĞUL

34

olsun. O zaman (3.5) eĢitlikleri ve hemen arkasına verilen ispattan

𝜙 𝑤 𝑔, 𝑕 = 𝑙 𝑋 + 𝑚 𝑌 − 𝑝𝑖𝛼𝑖

2

𝑖=1

− 𝑞𝑖𝛽𝑖

2

𝑖=1

− 𝑟𝑖𝛾𝑖

2

𝑖=1

− 𝑠𝑖𝛿𝑖

2

𝑖=1

(3.8)

𝜙 𝑤 𝑕, 𝑔 = 𝑙 𝑌 + 𝑚 𝑋 − 𝑝𝑗𝛼𝑖

2

𝑖=1

− 𝑞𝑗𝛽𝑖

2

𝑖=1

− 𝑟𝑗𝛾𝑖

2

𝑖=1

− 𝑠𝑗𝛿𝑖

2

𝑖=1

elde edilir. Burada 𝑗 = 2 ise 𝑖 = 1; 𝑗 = 1 ise 𝑖 = 2 dir. Ayrıca 𝑝1 = 𝑞2, 𝑞1 = 𝑝2,

𝑟1 = 𝑟2, 𝑠1 = 𝑠2 dır. Bunları (3.7) ile birlikte düĢünürsek

𝑝1𝛼1 + 𝑞2𝛽2 = 𝑝1𝛼1 + 𝑝1𝛽2 = 𝑝1 𝛼1 + 𝛽2

= 𝑞2 𝛼2 + 𝛽1 = 𝑞2𝛼2 + 𝑞2𝛽1 = 𝑝1𝛼2 + 𝑞2𝛽1

𝑝2𝛼2 + 𝑞1𝛽1 = 𝑝2𝛼2 + 𝑝2𝛽1 = 𝑝2 𝛼2 + 𝛽1

= 𝑞1 𝛼1 + 𝛽2 = 𝑞1𝛼1 + 𝑞1𝛽2 = 𝑝2𝛼1 + 𝑞1𝛽2

ve

𝑟1𝛾1 = 𝑟2𝛾1, 𝑟2𝛾2 = 𝑟1𝛾2, 𝑠1𝛿1 = 𝑠2𝛿1, 𝑠2𝛿2 = 𝑠1𝛿2

elde edilir. Tüm bu eĢitlikler ve (3.3) ile (3.8) i birleĢtirirsek 𝜙 𝑤 𝑔, 𝑕 =

𝜙 𝑤 𝑕, 𝑔 sonucunu elde etmiĢ oluruz.

Durum 3. 𝐴−1𝐵 çarpımındaki hem 𝐴−1 ve 𝐵 den sadece biri tamamen kısalsın.

Genelliği bozmaksızın, 𝐴−1𝐵 çarpımındaki 𝐴−1 tamamen kısalsın. O zaman

𝐵 kelimesi 𝐶 > 0 olmak üzere

𝐵 = 𝐴𝐶 (3.9)


Serkan AKOĞUL

35

indirgenmiĢ Ģeklinde parçalanabilir. O zaman (3.4) eĢitlikleri aĢağıdaki Ģekilde ifade

edilebilir.

𝜙 𝑤 𝑔, 𝑕 = 𝑋 𝑙1𝐶𝑌 𝑚1𝐶−1 …𝑋 𝑙𝑘𝐶𝑌 𝑚𝑘𝐶−1

(3.10)

𝜙 𝑤 𝑔, 𝑕 = 𝑌 𝑙1𝐶−1𝑋 𝑚1𝐶 …𝑌 𝑙𝑘𝐶−1𝑋 𝑚𝑘𝐶

Eğer (3.10) daki ifade indirgenmiĢ ise (3.3) den 𝜙 𝑤 𝑔, 𝑕 = 𝜙 𝑤 𝑕, 𝑔

olduğu açıktır. Aksi takdirde, sıfırdan farklı tüm 𝑖 ler için 𝐶𝑌 𝑖𝐶−1 indirgenmiĢ

olduğundan ((3.2) den 𝐵𝑌 𝐵−1 indirgenmiĢti) ve 𝑋 de devirsel indirgenmiĢ

olduğundan ilk kısalma (𝑗 > 0 olmak üzere) sadece 𝐶−1 ve 𝑋 𝑗 ya da 𝑋 𝑗 ve 𝐶

arasında meydana gelebilir, fakat ikisinde de meydana gelemez. Varsayalım ki ilk

kısalma 𝑋 𝑗 ve 𝐶 arasında meydana gelsin. 𝐸, 𝐶−1𝑋 𝐶 çarpımında kısalmadan kalan 𝐶

nin bir parçası olmak üzere (𝐸 boĢ kelimede olabilir)

𝐶 = 𝐷𝐸 (indirgenmiĢ) (3.11)

yazalım. 𝑍 yi de 𝐷−1𝑋 𝐷 nin indirgenmiĢ formu olarak tanımlayalım. O zaman 𝐷 nin

seçimine dikkat edersek 𝑍 , 𝑋 in bir devirsel permütasyonudur ve böylece 𝑍 devirsel

indirgenmiĢ olup 𝑍 = 𝑋 dır. (3.10) ve (3.11) den

𝜙 𝑤 𝑔, 𝑕 = 𝑍 𝑙1𝐸𝑌 𝑚1𝐸−1 …𝑍 𝑙𝑘𝐸𝑌 𝑚𝑘𝐸−1

(3.12)

𝜙 𝑤 𝑔, 𝑕 = 𝑌 𝑙1𝐸−1𝑍 𝑚1𝐸 …𝑌 𝑙𝑘𝐸−1𝑍 𝑚𝑘𝐸

dır. Ġlk önce 𝐸 yi boĢ olmayan bir kelime seçelim. 𝐸 nin seçiminden sıfırdan farklı

tüm 𝑖 ler için 𝐸−1𝑍 𝑖𝐸 indirgenmiĢtir. Hem de sıfırdan farklı tüm 𝑗 ler için de (3.2)

den, 𝐵𝑌 𝑗 𝐵−1 indirgenmiĢ olduğundan 𝐸𝑌 𝑗 𝐸−1 de indirgenmiĢtir. Böylece (3.12)

indirgenmiĢ olup 𝜙 𝑤 𝑔, 𝑕 = 𝜙 𝑤 𝑕, 𝑔 ve 𝑍 = 𝑌 dır. ġimdi de 𝐸 yi

boĢ kelime olarak seçelim. O zaman (3.2), (3.9) ve (3.11) den


Serkan AKOĞUL

36

𝑋 = 𝐵𝑍 𝐵−1 (3.13)

dır. 𝑍 휀1𝑌 휀2𝑍 휀3 formundaki çarpımda, ortadaki 𝑌 휀2 herhangi 휀𝑖 = ±1 için tamamen

kısalmaz, çünkü aksi taktirde Durum 2 deki ispatımızdaki benzer durumdan

𝑍 = 𝑌 ±1, yani, (3.13) den 𝑋 = 𝐵𝑍 𝐵−1 = 𝐵𝑌 ±1𝐵−1 = 𝑌±1 olup bu durum 𝑔 ≠ 𝑕±1

kabulümüz ile çeliĢir. Benzer Ģekilde 𝑌휀1𝑍 휀2𝑌 휀3 formundaki çarpımda, ortadaki 𝑍 휀2

de herhangi 휀𝑖 = ±1 için tamamen kısalmaz.

Böylece Durum 2 den 𝜙 𝑤 𝑔, 𝑕 = 𝜙 𝑤 𝑕, 𝑔 dır.

∎


ALGORĠTMASI Serkan AKOĞUL

37

4. RANKI İKİ OLAN BİR SERBEST GRUPTAKİ TRANSLATION

DENKLİK ALGORİTMASI

Bu bölümde rankı 2 olan ve Σ = x, y üzerinde tanımlı 𝐹2 serbest grubunda verilen

herhangi iki elemanın translation denk olup olmadığını veren bir algoritmadan söz

edeceğiz. Donghı Lee (2007) tarafından verilen bu algoritmanın nasıl çalıĢtığını

göstereceğiz. Bu algoritmayı kullanarak bazı elemanların translation denk olup

olmadığına karar vereceğiz.

Teorem 4.1 𝑢, 𝑣 ∈ 𝐹2 olsun. 𝑢 ve 𝑣 nin 𝐹2 de translation denk olup olmadığına karar

veren bir algoritma vardır.

Algoritma. 𝐹2 = 𝑥, 𝑦 ve Ω, 𝐹2 nin Whitehead otomorfizmlerinin tüm zincirlerinin

kümesi olsun, öyle ki;

ya

𝑦 , 𝑥 𝑚𝑘 𝑥 , 𝑦 𝑙𝑘 … 𝑦 , 𝑥 𝑚1 𝑥 , 𝑦 𝑙1

ya da

𝑦 , 𝑥−1 𝑚𝑘 𝑥 , 𝑦−1 𝑙𝑘 … 𝑦 , 𝑥−1 𝑚1 𝑥 , 𝑦−1 𝑙1

formundadır. Burada 𝑘 ∈ ℕ, 𝑙𝑖 , 𝑚𝑖 ≥ 0 ve 𝑙𝑖 + 𝑚𝑖 ≤ 2 𝑢 + 3𝑘𝑖=1 dır. Açıkça

görülür ki Ω kümesi sonlu bir kümedir. Eğer her 𝜓 ∈ Ω için 𝜓 𝑢 = 𝜓 𝑣 ise 𝑢

ve 𝑣, 𝐹2 de translation denktir, aksi takdirde 𝑢 ve 𝑣, 𝐹2 de translation denk değildir.

Burada algoritmanın ispatından önce, ihtiyaç duyacağımız bazı kavramlar,

notasyonlar ve yardımcı lemmalardan bahsedeceğiz.

𝜍, Tanım 2.6.15 deki (W2) tipinde bir Whitehead otomorfizmi ise, o zaman

𝐹𝑛 deki her 𝑤 devirsel kelimesi için



38

𝑆, 𝑎 𝑤 = 𝑆 , 𝑎−1 (𝑤) (4.1)

dur.

𝑤, 𝐹𝑛 de bir devirsel kelime ve 𝑎, 𝑏 ∈ Σ±1 olsun.

𝑛(𝑤; 𝑎, 𝑏): 𝑤 deki 𝑎𝑏 ve 𝑏−1𝑎−1 alt kelimelerinin toplam tekrarlanma

sayısını gösterelim. Buradan 𝑛 𝑤; 𝑎, 𝑏 = 𝑛(𝑤; 𝑏−1, 𝑎−1) dir.

𝑛(𝑤; 𝑎): 𝑤 deki 𝑎 ve 𝑎−1 alt kelimelerinin toplam tekrarlanma sayısı olmak

üzere 𝑛 𝑤; 𝑎 = 𝑛(𝑤; 𝑎−1) dir.

Tanım 4.2 𝜙 ve 𝜓, 𝐹𝑛 nin iki otomorfizmi olmak üzere, 𝐹𝑛 deki her 𝑤 devirsel

kelimesi için 𝜙 𝑤 = 𝜓(𝑤) oluyorsa 𝜙 ve 𝜓 otomorfizmlerine denktirler denir ve

𝜙 ≡ 𝜓 ile gösterilir.

𝐹2, 𝑥, 𝑦 kümesi üzerinde rankı 2 olan serbest grubu göstersin.

Lemma 4.3 𝛼, Tanım 2.6.15 deki (W2) tipinde 𝐹2 nin bir Whitehead otomorfizmi

olsun. O zaman 𝛼; 1, 𝑥 , 𝑦 , 𝑥 , 𝑦−1 , 𝑦 , 𝑥 ve 𝑦 , 𝑥−1 ifadelerinden sadece

birine denktir.

İspat. 𝛼, (W2) tipinde 𝐹2 nin bir Whitehead otomorfizmi olsun. O zaman (W2) nin

tanımından 𝛼; 𝑥 , 𝑦 , 𝑥−1 , 𝑦 , 𝑥±1 , 𝑦 , 𝑥 , 𝑦−1 , 𝑥−1 , 𝑦−1 ,

𝑥±1 , 𝑦−1 , 𝑦−1 , 𝑥 , 𝑦 , 𝑥 , 𝑦±1 , 𝑥 , 𝑦 , 𝑥−1 , 𝑦−1 , 𝑥−1 ve

𝑦±1 , 𝑥−1 otomorfizmlerinden biridir. Bu otomorfizmler arasında 𝑥±1 , 𝑦 ,

𝑥±1 , 𝑦−1 , 𝑦±1 , 𝑥 ve 𝑦±1 , 𝑥−1 𝐹2 deki her devirsel kelime üzerinde birim

etki olarak rol oynar. Bundan baĢka (4.1) den 𝐹2 de 𝑥−1 , 𝑦 ≡ 𝑥 , 𝑦−1 ,

𝑥−1 , 𝑦−1 ≡ 𝑥 , 𝑦 , 𝑦−1 , 𝑥 ≡ 𝑦 , 𝑥−1 ve 𝑦−1 , 𝑥−1 ≡ 𝑦 , 𝑥 dır.

∎



39

Bundan böyle aksi belirtilmedikçe 𝜍 = 𝑥 , 𝑦 ve 𝜏 = 𝑦 , 𝑥 𝐹2 nin bir

Whitehead otomorfizmi olarak kabul edilecektir. O zaman açıkça görülür ki

𝜍−1 = 𝑥 , 𝑦−1 ve 𝜏−1 = 𝑦 , 𝑥−1 dir.

Lemma 4.4 𝜋, Tanım 2.6.15 deki (W1) tipinde 𝐹2 nin bir Whitehead otomorfizmi

olup 𝑥 → 𝑦 ve 𝑦 → 𝑥−1 götürsün. O zaman aĢağıdaki eĢitlikler sağlanır.

𝜏−1𝜍 ≡ 𝜋𝜏, 𝜏−1𝜋 ≡ 𝜋𝜍, 𝜍−1𝜋 ≡ 𝜋𝜏,

𝜍𝜏−1 ≡ 𝜋𝜍−1, 𝜏𝜋 ≡ 𝜋𝜍−1, 𝜍𝜋 ≡ 𝜋𝜏−1,

𝜏𝜍−1 ≡ 𝜋−1𝜏−1, 𝜏𝜋−1 ≡ 𝜋−1𝜍−1, 𝜍𝜋−1 ≡ 𝜋−1𝜏−1,

𝜍−1𝜏 ≡ 𝜋−1𝜍, 𝜏−1𝜋−1 ≡ 𝜋−1𝜍, 𝜍−1𝜋−1 ≡ 𝜋−1𝜏.

İspat. Birinci eĢitliği gösterelim. Yani 𝜋𝜏 −1 𝜏−1𝜍 ≡ 1 olduğunu gösterelim.

Diğerleri de benzer Ģekilde gösterilebilir.

𝜍 = 𝑥 , 𝑦 olup 𝜍: 𝑥 → 𝑥𝑦, 𝑥−1 → 𝑦−1𝑥−1, 𝑦 → 𝑦, 𝑦−1 → 𝑦−1 götürür.

𝜏−1 = 𝑦 , 𝑥−1 olup 𝜏−1: 𝑥 → 𝑥, 𝑥−1 → 𝑥−1, 𝑦 → 𝑦𝑥−1, 𝑦−1 → 𝑥𝑦−1 götürür.

𝜋−1: 𝑥 → 𝑦−1, 𝑥−1 → 𝑦, 𝑦 → 𝑥, 𝑦−1 → 𝑥−1 götürür.

𝜋𝜏 −1 𝜏−1𝜍 𝑥 = 𝜏−1(𝜋−1 𝜏−1(𝜍(𝑥) ))

= 𝜏−1(𝜋−1 𝜏−1 𝑥𝑦 )

= 𝜏−1 𝜋−1 𝑥𝑦𝑥−1

= 𝜏−1 𝑦−1𝑥𝑦

= 𝑥𝑦−1𝑥𝑦𝑥−1 = 𝑥

∎

Lemma 4.5 𝐹𝑛 nin her 𝜙 otomorfizmi; 𝛽, Tanım 2.6.15 deki (W1) tipinde 𝐹2 nin bir

Whitehead otomorfizmi ve 𝜙′ de



40

(C1): 𝜙′ ≡ 𝜏𝑚𝑘𝜍𝑙𝑘 …𝜏𝑚1𝜍𝑙1

(4.2)

(C2): 𝜙′ ≡ 𝜏−𝑚𝑘𝜍−𝑙𝑘 …𝜏−𝑚1𝜍−𝑙1

formlarından birindeki bir zincir olmak üzere 𝜙 ≡ 𝛽𝜙′ Ģeklinde takdim edilebilir.

Burada 𝑘 ∈ ℕ ve 𝑖 = 1,2, …𝑘 için 𝑙𝑖 , 𝑚𝑖 ≥ 0 dır.

İspat. Whitehead teoremi (Whitehead 1936) ile Lemma 4.3 den 𝐹𝑛 nin bir 𝜙

otomorfizmi

𝜙 ≡ 𝛽′𝜏𝑞𝑡𝜍𝑝𝑡 …𝜏𝑞1𝜍𝑝1 (4.3)

Ģeklinde ifade edilebilir. Burada 𝛽′ , Tanım 2.6.15 deki (W1) tipinde 𝐹2 nin bir

Whitehead otomorfizmi, 𝑘 ∈ ℕ ve 𝑖 = 1,2, …𝑘 için 𝑝𝑖 , 𝑞𝑖 ∈ ℤ dır. Eğer her 𝑝𝑖 ve 𝑞𝑖

aynı iĢarete sahip değilse, (4.3) deki eĢitliğin sağ tarafına Lemma 4.4 deki eĢitlikler

tekrar tekrar uygulayarak

𝜙 ≡ 𝛽′𝜋𝑟𝜏𝑚𝑘𝜍𝑙𝑘 …𝜏𝑚1𝜍𝑙1

ya da

𝜙 ≡ 𝛽′𝜋𝑟𝜏−𝑚𝑘𝜍−𝑙𝑘 …𝜏−𝑚1𝜍−𝑙1

elde ederiz. Burada 𝜋, Lemma 4.4 deki otomorfizm ve 𝑟 ∈ ℤ, 𝑘 ∈ ℕ ve 𝑖 = 1,2, …𝑘

için 𝑙𝑖 , 𝑚𝑖 ≥ 0 dır. 𝛽 = 𝛽′𝜋𝑟 koyarak sonuç elde edilir.

∎

Lemma 4.5 deki aynı notasyonlara bağlı kalarak 𝐹2 deki bir 𝜙

otomorfizminin uzunluğunu (𝑚𝑖 + 𝑙𝑖)𝑘𝑖=1 olarak tanımlayalım ve 𝜙 =

(𝑚𝑖 + 𝑙𝑖)𝑘𝑖=1 ile gösterelim. Açıkça görülür ki 𝜙 = 𝜙′ dır.



41

Lemma 4.6 𝑢, 𝑣 ∈ 𝐹2, 𝑚 ∈ ℤ+ ve Λ da uzunluğu 𝑚 ye eĢit ya da küçük olan (4.2)

formundaki tüm zincirlerin kümesi olsun. Her 𝜓 ∈ Λ için 𝜓 𝑢 = 𝜓 𝑣

olduğunu kabul edelim. O zaman her 𝜓 ∈ Λ için 𝑛 𝜓 𝑢 ; 𝑥 = 𝑛 𝜓 𝑣 ; 𝑥 ve

𝑛 𝜓 𝑢 ; 𝑦 = 𝑛 𝜓 𝑣 ; 𝑦 dır.

İspat: Lemmanın hipotezi altında (Kapovich-Levitt-Schupp-Shpilrain 2007, Lemma

2.2) nin sonucu olarak 𝑛 𝑢 ; 𝑥 = 𝑛 𝑣 ; 𝑥 ve 𝑛 𝑢 ; 𝑦 = 𝑛 𝑣 ; 𝑦 olup 𝜓 = 1

için doğrudur. Her 𝜓1 ∈ Λ ile 𝜓1 = 𝑚′ < 𝑚 için Lemma doğru olsun. O zaman her

𝜓2 ∈ Λ ile 𝜓2 = 𝑚′ + 1 için 𝑛 𝜓2 𝑢 ; 𝑥 = 𝑛 𝜓2 𝑣 ; 𝑥 ve

𝑛 𝜓2 𝑢 ; 𝑦 = 𝑛 𝜓2 𝑣 ; 𝑦 olduğunu gösterelim. Böylesi 𝜓2, bazı 𝜓1 ∈ Λ ile

𝜓1 = 𝑚′ için 𝜍±1𝜓1 ya da 𝜏±1𝜓1 olarak ifade edilebilir.

Ġlk olarak 𝜓2 = 𝜍±1𝜓1 kabul edelim. O zaman 𝑛 𝜓2 𝑢 ; 𝑥 =

𝑛 𝜓1 𝑢 ; 𝑥 ve 𝑛 𝜓2 𝑣 ; 𝑦 = 𝑛 𝜓1 𝑣 ; 𝑦 olduğu açıktır. Çünkü tümevarım

hipotezinden 𝑛 𝜓1 𝑢 ; 𝑥 = 𝑛 𝜓1 𝑣 ; 𝑥 ve 𝑛 𝜓2 𝑢 ; 𝑥 = 𝑛 𝜓2 𝑣 ; 𝑥 dır.

Dahası 𝑛 𝜓2 𝑢 ; 𝑦 = 𝜓2 𝑢 − 𝑛 𝜓2 𝑢 ; 𝑥 ve 𝑛 𝜓2 𝑣 ; 𝑦 = 𝜓2 𝑣 −

𝑛 𝜓2 𝑣 ; 𝑥 dır. Lemmanın hipotezinden 𝜓2 𝑢 = 𝜓2 𝑣 olduğu için

𝑛 𝜓2 𝑢 ; 𝑦 = 𝑛 𝜓2 𝑣 ; 𝑦 dır.

𝜓2 = 𝜏±1𝜓1 olduğu durumda da benzer Ģekilde gösterilebilir.

∎

𝐹2 de devirli bir 𝑤 kelimesi ve bir 𝜍 Whitehead otomorfizmi için, 𝜍(𝑥𝑦𝑟𝑥−1)

de kısalma olmasına rağmen, eğer 𝑥𝑦𝑟𝑥−1(𝑟 ≠ 0) biçiminde 𝐹2 nin bir alt kelimesi

varsa, 𝑤 dan 𝜍(𝑤) ya geçerken 𝑤 invaryanttır.

Böylesi kısalmalara aşikar kısalma denir. AĢikar olmayan kısalmalara da öz

kısalma denir. Örneğin; eğer herhangi 𝑥𝑦−𝑟𝑥 (𝑟 ≥ 1) bir alt kelimesi için 𝜍, w yu

𝑥𝑦−𝑟+1𝑥𝑦 ye dönüĢtürsün, 𝜍(𝑥𝑦−𝑟𝑥) deki kısalma öz kısalmadır.

Lemma 4.7 𝑤, 𝐹2 de devirsel kelime ve 𝜓 de (4.2) formundaki bir zincir olsun. Eğer

𝜓, en azından 𝑤 kadar 𝜍 (ya da 𝜍−1) çarpanı içeriyorsa, o zaman 𝜓(𝑤) dan

𝜍𝜓(𝑤) ya (ya da 𝜓(𝑤) dan 𝜍−1𝜓 𝑤 ya) geçerken öz kısalmalar meydana gelmez.



42

Eğer 𝜓, en azından 𝑤 kadar 𝜏 (ya da 𝜏−1) çarpanı içeriyorsa, o zaman 𝜓(𝑤) dan

𝜏𝜓(𝑤) ya (ya da 𝜓(𝑤) dan 𝜏−1𝜓 𝑤 ya) geçerken öz kısalmalar meydana gelmez.

İspat: 𝜓, (4.2) deki (C1) formunda bir zincir ve 𝜓, en azından 𝑤 kadar 𝜍 çarpanı

içersin, o zaman 𝜓(𝑤) dan 𝜍𝜓(𝑤) ya geçerken öz kısalmalar meydana

gelemeyeceğini gösterelim (Diğer durumlarda benzer Ģekilde gösterilebilir).

Varsayalım ki 𝜓′ , (4.2) deki (C1) formunda bir zincir ve 𝜓′(𝑤) dan 𝜍𝜓′ (𝑤) ya

geçerken öz kısalmalar meydana gelmesin. O zaman 𝜍𝜓′(𝑤) dan 𝜍2𝜓′ (𝑤) ya

geçerken ya da herhangi 𝑡 ≥ 1 için 𝜏𝑡𝜍𝜓′(𝑤) dan 𝜍𝜏𝑡𝜍𝜓′ (𝑤) ya geçerken de öz

kısalmaların meydana gelemeyeceğini de görürüz. Bundan dolayı, eğer 𝜓′ (𝑤) dan

𝜍𝜓′ (𝑤) ya geçerken öz kısalmalar varsa, o zaman öz kısalmalar 𝜓 deki uygulanan 𝜍

nın her adımında meydana gelir. Fakat, 𝜍𝜓 zincirindeki uygulanan 𝜍 nın her bir

adımındaki öz kısalmalar da 𝑦±1 kısalmaları ilk önce zorunlu olarak 𝑤 da ve 𝜍 nın

𝑤 dan daha fazla çarpanı içeren 𝜍𝜓 zincirinde meydana gelir. Bu ise bir çeliĢkidir.

∎

Lemma 4.8 Ω, uzunluğu 2 𝑢 + 3’e eĢit ya da küçük (4.2) formundaki tüm

zincirlerin kümesi olsun. Her 𝜓 ∈ Ω için 𝜓 𝑢 = 𝜓 𝑣 olduğunu kabul edelim.

O zaman 𝑢 ve 𝑣, 𝐹2 de translation denktir.

Bu Lemma ispatlandığında, 𝐹2 deki 𝑢 ve 𝑣 elemanlarının translation denk

oluĢuna algoritmiksel olarak karar verilebilir.

Algoritma. Ω, uzunluğu 2 𝑢 + 3 eĢit ya da küçük (4.2) formundaki tüm zincirlerin

kümesi olsun (Açıkça görülür ki Ω sonlu bir kümedir). Eğer her 𝜓 ∈ Ω için

𝜓 𝑢 = 𝜓 𝑣 ise 𝑢 ve 𝑣, 𝐹2 de translation denktir, aksi takdirde 𝑢 ve 𝑣, 𝐹2 de

translation denk değildir.

𝜙, 𝐹2 nin bir otomorfizmi olsun. Lemma 4.5 den 𝛽, Tanım 2.6.15 deki (W1)

tipinde 𝐹2 nin bir Whitehead otomorfizmi ve 𝜙′ de (4.2) formundaki bir zincir olmak

üzere 𝜙 ≡ 𝛽𝜙′ olarak yazılabilir. Lemma 4.8 in ispatını 𝜙′ nin uzunluğu üzerinden

tümevarım ile yapacağız. Kabul edelim ki 𝜙′ , 𝜙′ > 2 𝑢 + 3 ve (4.2) deki (C1)



43

formunda bir zincir olsun ((C2) durumu da benzer Ģekilde gösterilebilir). Varsayalım

ki |𝜓| < |𝜙′| ve (4.2) formundaki 𝜓 nin tün zincirleri için 𝜓 𝑢 = 𝜓 𝑣 olsun.

Biz 𝜙′ 𝑢 = 𝜙′ 𝑣 olduğunu göstereceğiz. Buda 𝜙 𝑢 = 𝜙 𝑣 olduğunu

göstermekle aynı Ģeydir ( 𝜙 = 𝜙′ ). Varsayalım ki 𝜙′ , 𝜏 ile bitsin (𝜙′ , 𝜍 ile bitsin

durumu da benzer Ģekilde). Yani,

𝜙′ ≡ 𝜏𝑚𝑘𝜍𝑙𝑘 …𝜏𝑚1𝜍𝑙1 ,

burada 𝑘 ∈ ℕ, 𝑖 = 1,2, …𝑘 için 𝑙𝑖 , 𝑚𝑖 ≥ 0 ve 𝑚𝑘 > 0 dır.

𝜙1 ≡ 𝜏𝑚𝑘−1𝜍𝑙𝑘 …𝜏𝑚1𝜍𝑙1

ve

𝑢1 = 𝜙1(𝑢) ve 𝑣1 = 𝜙1(𝑣)

alalım. O zaman 𝜏 𝑢1 = 𝜙′(𝑢) ve 𝜏 𝑣1 = 𝜙′(𝑣) olup

𝜙′ 𝑢 = 𝑢1 + 𝑛 𝑢1 ; 𝑦 − 2𝑛( 𝑢1 ; 𝑦, 𝑥−1)

𝜙′ 𝑣 = 𝑣1 + 𝑛 𝑣1 ; 𝑦 − 2𝑛( 𝑣1 ; 𝑦, 𝑥−1)

dır. Tümevarım hipotezinden 𝑢1 = 𝑣1 dır. Dahası Lemma 4.6 den 𝑛 𝑢1 ; 𝑦 =

𝑛 𝑣1 ; 𝑦 dır. Böylece 𝜙′ 𝑢 = 𝜙′ 𝑣 olduğunu göstermek için

𝑛 𝑢1 ; 𝑦, 𝑥−1 = 𝑛( 𝑣1 ; 𝑦, 𝑥−1) olduğunu göstermek yeterlidir.

Açıkça görülür ki 𝜙1 = 𝜙′ − 1 ≥ 2 𝑢 + 3 dür. Bundan dolayı 𝜙1 deki ya 𝜍 ya

da 𝜏 ların sayısı en azından 𝑢 + 2 tanedir. Bunu iki durumda düĢüneceğiz.

Durum 1. 𝜍, 𝜙1de en azından 𝑢 + 2 kere bulunsun. Bu durumda 𝑙𝑘 > 0 açıktır.

𝑢2 = 𝜏𝑚𝑘−1𝜍𝑙𝑘−1 …𝜏𝑚1𝜍𝑙1 (𝑢) ve 𝑢2′ = 𝜍𝑙𝑘−1 …𝜏𝑚1𝜍𝑙1 (𝑢)



44

koyalım. O zaman 𝑢2 = 𝜏𝑚𝑘−1(𝑢2′ ) dır. [𝑢2

′ ] devirsel kelimesi hakkında bazı

gözlemler ile iddialar ortaya koyacağız.

İddia 1. (i) Eğer 𝑙𝑘 − 1 > 0 ise [𝑢2′ ], 𝑥2 ya da 𝑥−2 alt kelimesine sahip değildir.

(ii) 𝑙𝑘 − 1 = 0 olsun. O zaman [𝜍𝑙(𝑘−1) …𝜏𝑚1𝜍𝑙1 (𝑢)] devirsel kelimesi 𝑥2 ya da 𝑥−2

alt kelimesine sahip değildir. Eğer [𝑢2′ ] de 𝑥2 ya da 𝑥−2 alt kelimesi varsa o zaman

𝑦𝑥2 ya da 𝑥−2𝑦−1 alt kelimesinin aslında bir kısmı sıralıdır.

İspat. (i) 𝑙𝑘 − 1 > 0 olsun. 𝜍𝑙𝑘−2 …𝜏𝑚1𝜍𝑙1 zinciri en azından 𝑢 kadar 𝜍 çarpanı

içerdiğinden Lemma 4.7 den [𝜍𝑙𝑘−2 …𝜏𝑚1𝜍𝑙1 (𝑢)] dan 𝜍𝑙𝑘−1 …𝜏𝑚1𝜍𝑙1 𝑢 = [𝑢2′ ]

ya geçerken öz kısalmalar meydana gelmez. Bunun sonucu olarak 𝑥2 ya da 𝑥−2, [𝑢2′ ]

de alt kelime olarak bulunmaz.

(ii) 𝑙𝑘 − 1 = 0 olsun. O zaman 𝑙(𝑘−1) > 0 ve 𝜍𝑙(𝑘−1)−1 …𝜏𝑚1𝜍𝑙1 zinciri en azından

𝑢 kadar 𝜍 çarpanı içerir. Yine Lemma 4.7 den [𝜍𝑙(𝑘−1)−1 …𝜏𝑚1𝜍𝑙1 (𝑢)] dan

[𝜍𝑙(𝑘−1) …𝜏𝑚1𝜍𝑙1 (𝑢)] ya geçerken de öz kısalmalar meydana gelmez. Bunun sonucu

olarak 𝑥2 ya da 𝑥−2, [𝜍𝑙(𝑘−1) …𝜏𝑚1𝜍𝑙1 (𝑢)] de alt kelime olarak bulunmaz.

Bu sonuçla, eğer olarak 𝑥2 ya da 𝑥−2, [𝑢2′ ] de alt kelime olarak bulunuyorsa,

[𝜍𝑙(𝑘−1) …𝜏𝑚1𝜍𝑙1 (𝑢)] dan 𝜏𝑚 𝑘−1 𝜍𝑙 𝑘−1 …𝜏𝑚1𝜍𝑙1 𝑢 = [𝑢2′ ] ya geçerken de

zorunlu olarak yeniden meydana gelir. Bu da gösterir ki, eğer [𝑢2′ ] de 𝑥2 ya da 𝑥−2

alt kelimesi varsa, o zaman 𝑦𝑥2 ya da 𝑥−2𝑦−1 alt kelimesinin aslında bir kısmı

sıralıdır.

∎

İddia 2. [𝑢2′ ] devirsel kelimesi [𝑤1𝑧1 …𝑤𝑡𝑧𝑡] olarak yazılabilir. Burada 𝑧𝑖 , ya

𝑥𝑦𝑡𝑥−1 ya da 𝑥𝑦−𝑡𝑥−1 (𝑡 ≥ 1) olup 𝑤𝑖 de 𝑦𝑥−1 ya da 𝑥𝑦−1 alt kelimelerini

içermiyor ve ne 𝑥±1 ile baĢlıyor ne de sonlanıyor.

İspat. 𝜍𝑙(𝑘−1) …𝜏𝑚1𝜍𝑙1 zinciri en azından 𝑢 + 1 tane 𝜍 çarpanı içerdiği için,

Lemma 4.7 den [𝑢2′ ] den [𝜍(𝑢2

′ )] ya geçerken öz kısalmalar meydana gelmez. Bu da

gösterir ki, herhangi 𝑦𝑥−1 ya da 𝑥𝑦−1 alt kelimesi, 𝑥𝑦𝑡𝑥−1 ya da 𝑥𝑦−𝑡𝑥−1 (𝑡 ≥ 1)



45

formundaki alt kelimelerin bir kısmı [𝑢2′ ] de bulunmak zorundadır ve [𝑢2

′ ] de de

sıralıdır.

Varsayalım ki 𝑥𝑦𝑡𝑥−2 ya da 𝑥2𝑦−𝑡𝑥−1 (𝑡 ≥ 1), [𝑢2′ ] de bir alt kelime olarak

bulunsun. Ġddia 1. (i) den bu durum sadece 𝑙𝑘 − 1 = 0 olduğunda meydana gelir.

Hem de Ġddia 1. (ii) den de, [𝑢2′ ] deki 𝑥𝑦𝑡𝑥−2 ya da 𝑥2𝑦−𝑡𝑥−1 (𝑡 ≥ 1) formundaki

alt kelime 𝑥𝑦𝑡𝑥−𝑠𝑦−1 ya da 𝑦𝑥𝑠𝑦−𝑡𝑥−1 (𝑠 ≥ 2) formundaki bir alt kelimenin bir

kısmıdır ve [𝑢2′ ] de sıralıdır. Fakat 𝑦𝑥−𝑠𝑦−1 ya da 𝑦𝑥𝑠𝑦−1 (𝑠 ≥ 2) formundaki bir

alt kelime [𝜍𝑙(𝑘−1) …𝜏𝑚1𝜍𝑙1 (𝑢)] da var olmak zorundadır, bu da Ġddia 1. (ii) nin

birinci kısmı ile çeliĢir.

∎

ġimdi 𝑢1′ = 𝜍(𝑢2

′ ) koyalım. Ġddia 2. den 𝑢1′ = 𝜍 𝑤1𝑧1 …𝑤𝑡𝑧𝑡 =

[𝑤1′ 𝑧1 …𝑤𝑡

′𝑧𝑡] olup burada 𝑤𝑖′ = 𝑥 , 𝑦 (𝑤𝑖) dır. O zaman 𝑤𝑖

′ , 𝑦𝑥−1 ya da 𝑥𝑦−1 alt

kelime olarak içermez ve her 𝑖 için 𝑤𝑖 ile aynı ilk ve son harflere sahiptir. 𝑢1 ve 𝑢2,

𝜏𝑚𝑘−1 ya sıralı bir Ģekilde 𝑢1′ ve 𝑢2

′ uygulayarak elde edildiği için

𝑛 𝑢1 ; 𝑦, 𝑥−1 = 𝑛( 𝑢2 ; 𝑦, 𝑥−1)

dir. Benzer Ģekilde

𝑛 𝑣1 ; 𝑦, 𝑥−1 = 𝑛( 𝑣2 ; 𝑦, 𝑥−1)

olup 𝑣2 = 𝜏𝑚𝑘−1𝜍𝑙𝑘−1 …𝜏𝑚1𝜍𝑙1 𝑣 dir. Dahası

−2𝑛 𝑢2 ; 𝑦, 𝑥−1 = 𝜏𝑚𝑘𝜍𝑙𝑘−1 …𝜏𝑚1𝜍𝑙1 𝑢 − 𝑢2 − 𝑛( 𝑢2 ; 𝑦)

−2𝑛 𝑣2 ; 𝑦, 𝑥−1 = 𝜏𝑚𝑘𝜍𝑙𝑘−1 …𝜏𝑚1𝜍𝑙1 𝑣 − 𝑣2 − 𝑛( 𝑣2 ; 𝑦)

olduğu için tümevarım hipotezinden



46

𝜏𝑚𝑘𝜍𝑙𝑘−1 …𝜏𝑚1𝜍𝑙1 𝑢 = 𝜏𝑚𝑘𝜍𝑙𝑘−1 …𝜏𝑚1𝜍𝑙1 𝑣 ve 𝑢2 = 𝑣2

ile Lemma 4.6 dan

𝑛 𝑢2 ; 𝑦 = 𝑛( 𝑣2 ; 𝑦)

olup sonuç olarak

𝑛 𝑢1 ; 𝑦, 𝑥−1 = 𝑛 𝑢2 ; 𝑦, 𝑥−1 = 𝑛 𝑣2 ; 𝑦, 𝑥−1 = 𝑛 𝑣1 ; 𝑦, 𝑥−1

dir, Yani, 𝑛 𝑢1 ; 𝑦, 𝑥−1 = 𝑛 𝑣1 ; 𝑦, 𝑥−1 dır.

Durum 2. 𝜏, 𝜙1 de en azından 𝑢 + 2 kere bulunsun.

Bu durumu iki alt durumda inceleyeceğiz.

Durum I. 𝑚𝑘 ≥ 2.

𝑢3 = 𝜏𝑚𝑘−2𝜍𝑙𝑘 …𝜏𝑚1𝜍𝑙1 𝑢 ve 𝑣3 = 𝜏𝑚𝑘−2𝜍𝑙𝑘 …𝜏𝑚1𝜍𝑙1 𝑣

koyalım. Burada 𝜏𝑚𝑘−2𝜍𝑙𝑘 …𝜏𝑚1𝜍𝑙1 zinciri en azından 𝑢 + 1 tane 𝜏 çarpanı

içerdiğinden, Lemma 4.7 den [𝑢3] den 𝜏 𝑢3 = [𝑢1] ya geçerken öz kısalmalar

meydana gelmez. Bundan dolayı 𝑛 𝑢1 ; 𝑦, 𝑥−1 = 𝑛 𝑢3 ; 𝑦, 𝑥−1 dır. Benzer

Ģekilde 𝑛 𝑣1 ; 𝑦, 𝑥−1 = 𝑛 𝑣3 ; 𝑦, 𝑥−1 dır.

−2𝑛 𝑢3 ; 𝑦, 𝑥−1 = 𝜏𝑚𝑘−1𝜍𝑙𝑘 …𝜏𝑚1𝜍𝑙1 𝑢 − 𝑢3 − 𝑛( 𝑢3 ; 𝑦)

−2𝑛 𝑣3 ; 𝑦, 𝑥−1 = 𝜏𝑚𝑘−1𝜍𝑙𝑘 …𝜏𝑚1𝜍𝑙1 𝑣 − 𝑣3 − 𝑛( 𝑣3 ; 𝑦)

olduğu için tümevarım hipotezinden ve Lemma 4.6 dan

𝑛 𝑢1 ; 𝑦, 𝑥−1 = 𝑛 𝑣1 ; 𝑦, 𝑥−1



47

eĢitliği görülür.

Durum II. 𝑚𝑘 = 1.

Bu durumda 𝑚𝑘−1 > 0 açıktır.

𝑢4 = 𝜍𝑙𝑘𝜏𝑚(𝑘−1)−1 …𝜏𝑚1𝜍𝑙1 𝑢 ve 𝑣4 = 𝜍𝑙𝑘𝜏𝑚 (𝑘−1)−1 …𝜏𝑚1𝜍𝑙1 𝑣

koyalım. Durum I de olduğu gibi

𝑛 𝑢1 ; 𝑦, 𝑥−1 = 𝑛 𝑢4 ; 𝑦, 𝑥−1

𝑛 𝑣1 ; 𝑦, 𝑥−1 = 𝑛 𝑣4 ; 𝑦, 𝑥−1

dır. O zaman

−2𝑛 𝑢4 ; 𝑦, 𝑥−1 = 𝜏𝜍𝑙𝑘𝜏𝑚 (𝑘−1)−1 …𝜏𝑚1𝜍𝑙1 𝑢 − 𝑢4 − 𝑛( 𝑢4 ; 𝑦)

−2𝑛 𝑣4 ; 𝑦, 𝑥−1 = 𝜏𝜍𝑙𝑘𝜏𝑚(𝑘−1)−1 …𝜏𝑚1𝜍𝑙1 𝑣 − 𝑣4 − 𝑛( 𝑣4 ; 𝑦)

olduğu için tümevarım hipotezinden ve Lemma 4.6 dan

𝑛 𝑢1 ; 𝑦, 𝑥−1 = 𝑛 𝑣1 ; 𝑦, 𝑥−1

eĢitliği görülür.

Böylece ispat tamamlanmıĢ olur.

∎

ġimdi de bu algoritmayı kullanarak birkaç örnek verelim.

𝐹2 = 𝑥, 𝑦 ve 𝑢, 𝑣 ∈ 𝐹2 olsun. Algoritmayı kullanarak bu iki elemanın

translation denk olup olmadığını inceleyelim. 𝜍 = 𝑥 , 𝑦 ve 𝜏 = 𝑦 , 𝑥 alalım.



48

Algoritmaya göre Ω, 𝐹2 nin Whitehead otomorfizmlerinin tüm zincirlerinin kümesi

olmak üzere;

ya

𝜏𝑚𝑘𝜍𝑙𝑘 …𝜏𝑚1𝜍𝑙1

ya da

𝜏−1 𝑚𝑘 𝜍−1 𝑙𝑘 … 𝜏−1 𝑚1 𝜍−1 𝑙1

formundadır. Burada 𝑘 ∈ ℕ, 𝑙𝑖 , 𝑚𝑖 ≥ 0 ve 𝑙𝑖 + 𝑚𝑖 ≤ 2 𝑢 + 3𝑘𝑖=1 dır. Eğer her

𝜓 ∈ Ω için 𝜓 𝑢 = 𝜓 𝑣 ise 𝑢 ve 𝑣, 𝐹2 de translation denktir, aksi takdirde 𝑢

ve 𝑣, 𝐹2 de translation denk değildir.

Örnek 4.9 𝑢 = 𝑥𝑦 ve 𝑣 = 𝑥𝑦−1 olsun. O halde 𝑢 ve 𝑣 nin 𝐹2 de translation denk

olup olmadığını gösterelim.

Ġlk önce 𝑢 nun devirsel uzunluğunu bulalım. 𝑢, devirsel indirgenmiĢ olup tüm

devirsel permütasyonları {𝑥𝑦, 𝑦𝑥} dir. O halde 𝑢 = 2 dir.

O zaman 𝑙𝑖 + 𝑚𝑖 ≤ 2.2 + 3𝑘𝑖=1 = 7 olur. 𝜓 = 𝜏𝑚𝑘𝜍𝑙𝑘 …𝜏𝑚1𝜍𝑙1 olsun.

Özel olarak 𝑚𝑘 = 7 ve 𝑚𝑘−1, … , 𝑚1, 𝑙𝑘 , … , 𝑙1 = 0 alalım. O halde 𝜓 = 𝜏7

dır. 𝜓 𝑢 = 𝜓 𝑣 olup olmadığına bakalım.

𝜓 𝑢 = 𝜓 𝑥𝑦 = 𝜏7 𝑥𝑦 = 𝜏6 𝑥𝑦𝑥 = 𝜏5 𝑥𝑦𝑥𝑥 = 𝜏4 𝑥𝑦𝑥𝑥𝑥

= 𝜏3 𝑥𝑦𝑥𝑥𝑥𝑥 = 𝜏2 𝑥𝑦𝑥𝑥𝑥𝑥𝑥 = 𝜏 𝑥𝑦𝑥𝑥𝑥𝑥𝑥𝑥

= 𝑥𝑦𝑥𝑥𝑥𝑥𝑥𝑥𝑥

dır.𝜓 𝑢 nün tüm devirsel permütasyonları {𝑥𝑦𝑥𝑥𝑥𝑥𝑥𝑥𝑥, 𝑥𝑥𝑦𝑥𝑥𝑥𝑥𝑥𝑥, 𝑥𝑥𝑥𝑦𝑥𝑥𝑥𝑥𝑥,

𝑥𝑥𝑥𝑥𝑦𝑥𝑥𝑥𝑥, 𝑥𝑥𝑥𝑥𝑥𝑦𝑥𝑥𝑥, 𝑥𝑥𝑥𝑥𝑥𝑥𝑦𝑥𝑥, 𝑥𝑥𝑥𝑥𝑥𝑥𝑥𝑦𝑥, 𝑥𝑥𝑥𝑥𝑥𝑥𝑥𝑥𝑦, 𝑦𝑥𝑥𝑥𝑥𝑥𝑥𝑥𝑥} olup

𝜓 𝑢 = 9 dur.



49

𝜓 𝑣 = 𝜓 𝑥𝑦−1 = 𝜏7 𝑥𝑦−1 = 𝜏6 𝑥𝑥−1𝑦−1 = 𝜏5 𝑥𝑥−1𝑥−1𝑦−1

= 𝜏4 𝑥𝑥−1𝑥−1𝑥−1𝑦−1 = 𝜏3 𝑥𝑥−1𝑥−1𝑥−1𝑥−1𝑦−1

= 𝜏2 𝑥𝑥−1𝑥−1𝑥−1𝑥−1𝑥−1𝑦−1

= 𝜏 𝑥𝑥−1𝑥−1𝑥−1𝑥−1𝑥−1𝑥−1𝑦−1

= 𝑥𝑥−1𝑥−1𝑥−1𝑥−1𝑥−1𝑥−1𝑥−1𝑦−1

= 𝑥−1𝑥−1𝑥−1𝑥−1𝑥−1𝑥−1𝑦−1

dır.𝜓 𝑣 nün tüm devirsel permütasyonları {𝑥−1𝑥−1𝑥−1𝑥−1𝑥−1𝑥−1𝑦−1,

𝑦−1𝑥−1𝑥−1𝑥−1𝑥−1𝑥−1𝑥−1, 𝑥−1𝑦−1𝑥−1𝑥−1𝑥−1𝑥−1𝑥−1,

𝑥−1𝑥−1𝑦−1𝑥−1𝑥−1𝑥−1𝑥−1, 𝑥−1𝑥−1𝑥−1𝑦−1𝑥−1𝑥−1𝑥−1,

𝑥−1𝑥−1𝑥−1𝑥−1𝑦−1𝑥−1𝑥−1, 𝑥−1𝑥−1𝑥−1𝑥−1𝑥−1𝑦−1 𝑥−1}

olup 𝜓 𝑣 = 7 dir.

O halde 𝜓 𝑢 ≠ 𝜓 𝑣 olup 𝑢 ve 𝑣, 𝐹2 de translation denk değildir.

Örnek 4.10 𝑢 = 𝑥𝑥𝑦 ve 𝑣 = 𝑥𝑦𝑥 olsun. O halde 𝑢 ve 𝑣 nin 𝐹2 de translation denk

olup olmadığını gösterelim.

Ġlk önce 𝑢 nun devirsel uzunluğunu bulalım. 𝑢, devirsel indirgenmiĢ olup tüm

devirsel permütasyonları {𝑥𝑥𝑦, 𝑦𝑥𝑥, 𝑥𝑥𝑦} dir. O halde 𝑢 = 3 tür.

O zaman 𝑙𝑖 + 𝑚𝑖 ≤ 2.3 + 3𝑘𝑖=1 = 9 olur. 𝜓 = 𝜏𝑚𝑘𝜍𝑙𝑘 …𝜏𝑚1𝜍𝑙1 olsun.

Özel olarak 𝑚𝑘 = 1, 𝑙𝑘 = 1 ve 𝑚𝑘−1, … , 𝑚1, 𝑙𝑘−1, … , 𝑙1 = 0 alalım. O halde

𝜓 = 𝜏𝜍 dır. 𝜓 𝑢 = 𝜓 𝑣 olup olmadığına bakalım.

𝜓 𝑢 = 𝜓 𝑥𝑥𝑦 = 𝜏𝜍 𝑥𝑥𝑦 = 𝜏 𝑥𝑦𝑥𝑦𝑦 = 𝑥𝑦𝑥𝑥𝑦𝑥𝑦𝑥

dır. 𝜓 𝑢 devirsel indirgenmiĢtir ve tüm devirsel permütasyonlarının sayısı 8 olup

𝜓 𝑢 = 8 dir

𝜓 𝑣 = 𝜓 𝑥𝑦𝑥 = 𝜏𝜍 𝑥𝑦𝑥 = 𝜏 𝑥𝑦𝑦𝑥𝑦 = 𝑥𝑦𝑥𝑦𝑥𝑥𝑦𝑥



50

dir. 𝜓 𝑣 devirsel indirgenmiĢtir ve tüm devirsel permütasyonlarının sayısı 8 olup

𝜓 𝑣 = 8 dir. O halde 𝜓 𝑢 = 𝜓 𝑣 olur.

ġimdide 𝑚𝑘 = 9 ve 𝑚𝑘−1, … , 𝑚1, 𝑙𝑘 , … , 𝑙1 = 0 alalım. O halde 𝜓 = 𝜏9 dır.

𝜓 𝑢 = 𝜓 𝑣 olup olmadığına bakalım.

𝜓 𝑢 = 𝜓 𝑥𝑥𝑦 = 𝜏9 𝑥𝑥𝑦 = 𝜏8 𝑥𝑥𝑦𝑥 = 𝜏7 𝑥𝑥𝑦𝑥𝑥 = 𝜏6 𝑥𝑥𝑦𝑥𝑥𝑥

= 𝜏5 𝑥𝑥𝑦𝑥𝑥𝑥𝑥 = 𝜏4 𝑥𝑥𝑦𝑥𝑥𝑥𝑥𝑥 = 𝜏3 𝑥𝑥𝑦𝑥𝑥𝑥𝑥𝑥𝑥

= 𝜏2 𝑥𝑥𝑦𝑥𝑥𝑥𝑥𝑥𝑥𝑥 = 𝜏 𝑥𝑥𝑦𝑥𝑥𝑥𝑥𝑥𝑥𝑥𝑥

= 𝑥𝑥𝑦𝑥𝑥𝑥𝑥𝑥𝑥𝑥𝑥𝑥


𝜓 𝑢 = 12 dir.

𝜓 𝑣 = 𝜓 𝑥𝑦𝑥 = 𝜏9 𝑥𝑦𝑥 = 𝜏8 𝑥𝑦𝑥𝑥 = 𝜏7 𝑥𝑦𝑥𝑥𝑥 = 𝜏6 𝑥𝑦𝑥𝑥𝑥𝑥

= 𝜏5 𝑥𝑦𝑥𝑥𝑥𝑥𝑥 = 𝜏4 𝑥𝑦𝑥𝑥𝑥𝑥𝑥𝑥 = 𝜏3 𝑥𝑦𝑥𝑥𝑥𝑥𝑥𝑥𝑥

= 𝜏2 𝑥𝑦𝑥𝑥𝑥𝑥𝑥𝑥𝑥𝑥 = 𝜏 𝑥𝑦𝑥𝑥𝑥𝑥𝑥𝑥𝑥𝑥𝑥

= 𝑥𝑦𝑥𝑥𝑥𝑥𝑥𝑥𝑥𝑥𝑥𝑥

dır. 𝜓 𝑣 devirsel indirgenmiĢtir ve tüm devirsel permütasyonlarının sayısı 12 olup


ġimdide 𝑚𝑘 = 8, 𝑙𝑘 = 1 ve 𝑚𝑘−1, … , 𝑚1, 𝑙𝑘−1, … , 𝑙1 = 0 alalım. O halde

𝜓 = 𝜏8𝜍 dır. 𝜓 𝑢 = 𝜓 𝑣 olup olmadığına bakalım.

𝜓 𝑢 = 𝜓 𝑥𝑥𝑦 = 𝜏8𝜍 𝑥𝑥𝑦 = 𝜏8 𝑥𝑦𝑥𝑦𝑦 = 𝜏7 𝑥𝑦𝑥𝑥𝑦𝑥𝑦𝑥

= 𝜏6 𝑥𝑦𝑥𝑥𝑥𝑦𝑥𝑥𝑦𝑥𝑥 = 𝜏5 𝑥𝑦𝑥𝑥𝑥𝑥𝑦𝑥𝑥𝑥𝑦𝑥𝑥𝑥

= 𝜏4 𝑥𝑦𝑥𝑥𝑥𝑥𝑥𝑦𝑥𝑥𝑥𝑥𝑦𝑥𝑥𝑥𝑥

= 𝜏3 𝑥𝑦𝑥𝑥𝑥𝑥𝑥𝑥𝑦𝑥𝑥𝑥𝑥𝑥𝑦𝑥𝑥𝑥𝑥𝑥

= 𝜏2 𝑥𝑦𝑥𝑥𝑥𝑥𝑥𝑥𝑥𝑦𝑥𝑥𝑥𝑥𝑥𝑥𝑦𝑥𝑥𝑥𝑥𝑥𝑥

= 𝜏 𝑥𝑦𝑥𝑥𝑥𝑥𝑥𝑥𝑥𝑥𝑦𝑥𝑥𝑥𝑥𝑥𝑥𝑥𝑦𝑥𝑥𝑥𝑥𝑥𝑥𝑥

= 𝑥𝑦𝑥𝑥𝑥𝑥𝑥𝑥𝑥𝑥𝑥𝑦𝑥𝑥𝑥𝑥𝑥𝑥𝑥𝑥𝑦𝑥𝑥𝑥𝑥𝑥𝑥𝑥𝑥



51

dır. 𝜓 𝑢 devirsel indirgenmiĢ olup tüm devirsel permütasyonlarının sayısı 29 olup

𝜓 𝑢 = 29 dir.

𝜓 𝑣 = 𝜓 𝑥𝑦𝑥 = 𝜏8𝜍 𝑥𝑦𝑥 = 𝜏8 𝑥𝑦𝑦𝑥𝑦 = 𝜏7 𝑥𝑦𝑥𝑦𝑥𝑥𝑦𝑥

= 𝜏6 𝑥𝑦𝑥𝑥𝑦𝑥𝑥𝑥𝑦𝑥𝑥 = 𝜏5 𝑥𝑦𝑥𝑥𝑥𝑦𝑥𝑥𝑥𝑥𝑦𝑥𝑥𝑥

= 𝜏4 𝑥𝑦𝑥𝑥𝑥𝑥𝑦𝑥𝑥𝑥𝑥𝑥𝑦𝑥𝑥𝑥𝑥

= 𝜏3 𝑥𝑦𝑥𝑥𝑥𝑥𝑥𝑦𝑥𝑥𝑥𝑥𝑥𝑥𝑦𝑥𝑥𝑥𝑥𝑥

= 𝜏2 𝑥𝑦𝑥𝑥𝑥𝑥𝑥𝑥𝑦𝑥𝑥𝑥𝑥𝑥𝑥𝑥𝑦𝑥𝑥𝑥𝑥𝑥𝑥

= 𝜏 𝑥𝑦𝑥𝑥𝑥𝑥𝑥𝑥𝑥𝑦𝑥𝑥𝑥𝑥𝑥𝑥𝑥𝑥𝑦𝑥𝑥𝑥𝑥𝑥𝑥𝑥

= 𝑥𝑦𝑥𝑥𝑥𝑥𝑥𝑥𝑥𝑥𝑦𝑥𝑥𝑥𝑥𝑥𝑥𝑥𝑥𝑥𝑦𝑥𝑥𝑥𝑥𝑥𝑥𝑥𝑥



ġimdi 𝑚𝑘 = 2, 𝑚𝑘−1 = 3, 𝑙𝑘 = 3, 𝑙𝑘−1 = 1 ve 𝑚𝑘−2, … , 𝑚1, 𝑙𝑘−2, … , 𝑙1 = 0

alalım. O halde 𝜓 = 𝜏2𝜍3𝜏3𝜍 dır. 𝜓 𝑢 = 𝜓 𝑣 olup olmadığına bakalım

𝜓 𝑢 = 𝜓 𝑥𝑥𝑦

= 𝜏2𝜍3𝜏3𝜍 𝑥𝑥𝑦

= 𝜏2𝜍3𝜏3(𝑥𝑦𝑥𝑦𝑦)

= 𝜏2𝜍3𝜏2 𝑥𝑦𝑥𝑥𝑦𝑥𝑦𝑥

= 𝜏2𝜍3𝜏(𝑥𝑦𝑥𝑥𝑥𝑦𝑥𝑥𝑦𝑥𝑥)

= 𝜏2𝜍3(𝑥𝑦𝑥𝑥𝑥𝑥𝑦𝑥𝑥𝑥𝑦𝑥𝑥𝑥)

= 𝜏2𝜍2(𝑥𝑦𝑦𝑥𝑦𝑥𝑦𝑥𝑦𝑥𝑦𝑦𝑥𝑦𝑥𝑦𝑥𝑦𝑦𝑥𝑦𝑥𝑦𝑥𝑦)

= 𝜏2𝜍(𝑥𝑦𝑦𝑦𝑥𝑦𝑦𝑥𝑦𝑦𝑥𝑦𝑦𝑥𝑦𝑦𝑦𝑥𝑦𝑦𝑥𝑦𝑦𝑥𝑦𝑦𝑦𝑥𝑦𝑦𝑥𝑦𝑦𝑥𝑦𝑦)

= 𝜏2(𝑥𝑦𝑦𝑦𝑦𝑥𝑦𝑦𝑦𝑥𝑦𝑦𝑦𝑥𝑦𝑦𝑦𝑥𝑦𝑦𝑦𝑦𝑥𝑦𝑦𝑦𝑥𝑦𝑦𝑦𝑥𝑦𝑦𝑦𝑦𝑥𝑦𝑦𝑦𝑥𝑦𝑦𝑦𝑥𝑦𝑦𝑦)

= 𝜏(𝑥𝑦𝑥𝑦𝑥𝑦𝑥𝑦𝑥𝑥𝑦𝑥𝑦𝑥𝑦𝑥𝑥𝑦𝑥𝑦𝑥𝑦𝑥𝑥𝑦𝑥𝑦𝑥𝑦𝑥𝑥𝑦𝑥𝑦𝑥𝑦𝑥𝑦𝑥𝑥𝑦𝑥

𝑦𝑥𝑦𝑥𝑥𝑦𝑥𝑦𝑥𝑦𝑥𝑥𝑦𝑥𝑦𝑥𝑦𝑥𝑦𝑥𝑥𝑦𝑥𝑦𝑥𝑦𝑥𝑥𝑦𝑥𝑦𝑥𝑦𝑥𝑥𝑦𝑥𝑦𝑥𝑦𝑥)

= 𝑥𝑦𝑥𝑥𝑦𝑥𝑥𝑦𝑥𝑥𝑦𝑥𝑥𝑥𝑦𝑥𝑥𝑦𝑥𝑥𝑦𝑥𝑥𝑥𝑦𝑥𝑥𝑦𝑥𝑥𝑦𝑥𝑥𝑥𝑦𝑥𝑥𝑦𝑥𝑥𝑦𝑥𝑥𝑥𝑦𝑥𝑥𝑦𝑥𝑥𝑦𝑥𝑥

𝑦𝑥𝑥𝑥𝑦𝑥𝑥𝑦𝑥𝑥𝑦𝑥𝑥𝑥𝑦𝑥𝑥𝑦𝑥𝑥𝑦𝑥𝑥𝑥𝑦𝑥𝑥𝑦𝑥𝑥𝑦𝑥𝑥𝑦𝑥𝑥𝑥𝑦𝑥𝑥𝑦𝑥𝑥𝑦𝑥𝑥𝑥𝑦𝑥𝑥𝑦𝑥𝑥

𝑦𝑥𝑥𝑥𝑦𝑥𝑥𝑦𝑥𝑥𝑦𝑥𝑥



52


𝜓 𝑢 = 119 dir.

𝜓 𝑣 = 𝜓 𝑥𝑦𝑥

= 𝜏2𝜍3𝜏3𝜍 𝑥𝑦𝑥

= 𝜏2𝜍3𝜏3(𝑥𝑦𝑦𝑥𝑦)

= 𝜏2𝜍3𝜏2 𝑥𝑦𝑥𝑦𝑥𝑥𝑦𝑥

= 𝜏2𝜍3𝜏(𝑥𝑦𝑥𝑥𝑦𝑥𝑥𝑥𝑦𝑥𝑥)

= 𝜏2𝜍3(𝑥𝑦𝑥𝑥𝑥𝑦𝑥𝑥𝑥𝑥𝑦𝑥𝑥𝑥)

= 𝜏2𝜍2(𝑥𝑦𝑦𝑥𝑦𝑥𝑦𝑥𝑦𝑦𝑥𝑦𝑥𝑦𝑥𝑦𝑥𝑦𝑦𝑥𝑦𝑥𝑦𝑥𝑦)

= 𝜏2𝜍(𝑥𝑦𝑦𝑦𝑥𝑦𝑦𝑥𝑦𝑦𝑥𝑦𝑦𝑦𝑥𝑦𝑦𝑥𝑦𝑦𝑥𝑦𝑦𝑥𝑦𝑦𝑦𝑥𝑦𝑦𝑥𝑦𝑦𝑥𝑦𝑦)

= 𝜏2(𝑥𝑦𝑦𝑦𝑦𝑥𝑦𝑦𝑦𝑥𝑦𝑦𝑦𝑥𝑦𝑦𝑦𝑦𝑥𝑦𝑦𝑦𝑥𝑦𝑦𝑦𝑥𝑦𝑦𝑦𝑥𝑦𝑦𝑦𝑦𝑥𝑦𝑦𝑦𝑥𝑦𝑦𝑦𝑥𝑦𝑦𝑦)

= 𝜏(𝑥𝑦𝑥𝑦𝑥𝑦𝑥𝑦𝑥𝑥𝑦𝑥𝑦𝑥𝑦𝑥𝑥𝑦𝑥𝑦𝑥𝑦𝑥𝑥𝑦𝑥𝑦𝑥𝑦𝑥𝑦𝑥𝑥𝑦𝑥𝑦𝑥𝑦𝑥𝑥𝑦𝑥

𝑦𝑥𝑦𝑥𝑥𝑦𝑥𝑦𝑥𝑦𝑥𝑥𝑦𝑥𝑦𝑥𝑦𝑥𝑦𝑥𝑥𝑦𝑥𝑦𝑥𝑦𝑥𝑥𝑦𝑥𝑦𝑥𝑦𝑥𝑥𝑦𝑥𝑦𝑥𝑦𝑥

= 𝑥𝑦𝑥𝑥𝑦𝑥𝑥𝑦𝑥𝑥𝑦𝑥𝑥𝑥𝑦𝑥𝑥𝑦𝑥𝑥𝑦𝑥𝑥𝑥𝑦𝑥𝑥𝑦𝑥𝑥𝑦𝑥𝑥𝑥𝑦𝑥𝑥𝑦𝑥𝑥𝑦𝑥𝑥𝑦𝑥𝑥𝑥𝑦𝑥𝑥𝑦𝑥𝑥

𝑦𝑥𝑥𝑥𝑦𝑥𝑥𝑦𝑥𝑥𝑦𝑥𝑥𝑥𝑦𝑥𝑥𝑦𝑥𝑥𝑦𝑥𝑥𝑥𝑦𝑥𝑥𝑦𝑥𝑥𝑦𝑥𝑥𝑦𝑥𝑥𝑥𝑦𝑥𝑥𝑦𝑥𝑥𝑦𝑥𝑥𝑥𝑦𝑥𝑥𝑦𝑥𝑥

𝑦𝑥𝑥𝑥𝑦𝑥𝑥𝑦𝑥𝑥𝑦𝑥𝑥



Benzer Ģekilde 𝑙𝑖 + 𝑚𝑖 𝑘𝑖=1 ≤ 9 olan 2𝑖9

𝑖=1 tane otomorfizm altındaki

devirsel uzunlukları aynı olacaktır. O halde her 𝜓 ∈ Ω için 𝜓 𝑢 = 𝜓 𝑣 olup 𝑢

ve 𝑣, 𝐹2 de translation denktir.

53

KAYNAKLAR

BAUMSLAG, G., MYASNIKOV A. G. and SHPILRAIN, V., 1999. Open problems

in combinatorial group theory, Contemp. Math., 250:1–27.

________, 2002. Open problems in combinatorial group theory. Second edition,

Contemp. Math., 296 :1–38.

GARDINER, C. F., 1980. A first course in group theory. Springer-Verlag. Berlin,

227s.

KARAKAġ, H. Ġ., 2008. Cebir Dersleri. TÜBA. Ankara, 420s.

KAPOVICH, I., LEVITT, G., SCHUPP, P. E. and SHPILRAIN, V., 2007.

Translation equivalence in free groups, Trans. Amer. Math. Soc.,

359:1527-1546.

LEE, D., 2006. Translation equivalent elements in free groups, J. Group Theory,

9:809-814.

________, 2007. An algorithm that decides translation equivalence in a free group of

rank two, J. Group Theory, 10:561-569.

LEININGER , C. J., 2003. Equivalent curves in surfaces, Geom. Dedicata,

102:151–177.

MAGNUS, W., KARRASS, A. and SOLITAR, D., 1975. Combinatorial Group

Theory. Dover Publications. New York, 444s.

TAġÇI, D., 2007. Soyut Cebir. Alp Yayınevi. Ankara, 671s.

WHITEHEAD, J. H. C., 1936. Equivalent sets of elements in a free group. Ann. of

Math., 37:782–800.

54

55

ÖZGEÇMİŞ

06.06.1987 yılında Adana’nın Kozan ilçesinde doğdu. Ġlk, orta ve lise

öğrenimini Kozan da tamamladıktan sonra 2004 yılında Ç.Ü. Matematik bölümünde

lisans öğrenimine baĢladı ve 2008 yılında mezun oldu. Aynı yıl Ç.Ü. Matematik

bölümünde yüksek lisansa kabul edildi. YADEM’de Ġngilizce hazırlık sınıfını

bitirdikten sonra 2009 yılında yüksek lisansa baĢladı.

Documents

ÇUKUROVA ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ ...Eğer ) değiĢmeli grupsa sağ denklik ile sol denklik çakıĢıktır. (Çünkü −1 ∈ * −ise −1 1∈ * olup =−