EHITUSTEADUSKOND

TUGEVUSPETUS EHITAJATELE

Professor Jaan Rohusaar

TALLINN 2008

2

Strength of Materials for Builders

Compiler Jaan Rohusaar

This study aid is meant used in the Faculties of Constructions and Architecture of the Tallinn

College of Engineering. It can also be used in other colleges offering professional higher

education.

Apart from a conventional presentation of the basic problems of strength of materials the booklet

contains a lot of specific constructional tasks related to the design standards of the EC.

Edited by Tallinn College of Engineering, 2005.

SAATEKS

Kesolev pik Tugevuspetus ehitajatele on redigeeritud ja mnevrra tiendatud vljaanne 1999. aasta vljaandest Tugevuspetus I. Kuna vahepeal on Eesti projekteerimisnormid EPN saanud seaduse ju, on smboolikas ja thistustes ptud arvestada toimunud muudatustega. Olulisem muudatus seisneb selles, et miste arvutustugevus thistatakse thega f, mitte R, nagu eelmises vljaandes. Smbol f, mis eelmises vljaandes thistas suhtelist paigutist, on

kesolevas vljaandes asendatus smboliga . Mned normides EPN esinevad valemid, mis otseselt tulenevad tugevuspetuse seostest, on lisaks tavaprase tugevuspetuse esitusviisile antud ka kujul, nagu nad esineb EPN-is. Selliste valemite tavaprasele thistusviisile (n1.n2.n3), kus n1. thendab peatki numbrit, n2. alapeatki numbrit ja n3 valemi numbrit, on lisatud tiend a. Kuna nidislesandeid sisaldavas Tugevuspetus II on viited Tugevuspetus I pea-tkkidele ja valemitele, on kikide peatkkide ja valemite numeratsioon silitatud.

Autor

Tallinn, 2005

Vljaandja Tallinna Tehnikakrgkool Prnu mnt 62 10135 TALLINN

Trkiarv 800 eksemplari

ISBN 978-9985-9477-7-7

3

SISUKORD

1. Mis on tugevuspetus? 5

2. Tugevuspetuses kasutatavad lihtsustused 7

3. Tugevuspetuse phimisted 10

3.1. Jud 10

3.2. Likevte,sisejud 11

3.3. Mehaaniline pinge 12

3.4. Paigutis ja deformatsioon 13

3.5. Materjalide deformatsiooniomadused 14

3.6. Materjalide tugevus 16

3.7. Varda tseisund 17

4. Pingeteooria alused 19

4.1. Mehaanilise pinge komponendid 19

4.2. Nihkepingete paarsuse seadus 19

4.3. Pinged kaldpindades 20

4.4. Peapinged 22

4.5. Normaalpingete invariantsus 22

4.6. Normaaldeformatsioonid tasandpingusel 23

4.7. Tugevusteooriad 24

5. Pinnamomendid 26

5.1. Pindala 26

5.2. Staatiline moment 26

5.3. Telginertsimomendid 28

5.4. Polaarinertsimoment 28

5.5. Tsentrifugaalmoment 29

5.6. Peakesktelgede leidmine 30

5.7. Vastupanumoment 31

5.8. Inertsiraadius 31

5 9. Mnede lihtkujundite pinnamomendid 31

6. Pike 35

6.1. Sisejud pikkel 35

6.2. Normaalpinged pikkel 36

6.3. Paigutised pikkel 36

6.4. Tugevusarvutused pikkel 38

6.5. Staatikaga mramata lesanded 40

7. Paine 44

7.1. ldmisted 44

7.2. Sisejud pikpaindel 45

7.3. Koormuse ja sisejudude funktsioonide

vahelised analtilised seosed 47

7.4. Normaaldeformatsioonid ja -pinged puhtpaindel 50

7.5. Nihkepinged pikpaindel 53

7.6. Tugevusarvutused paindel 56

7.7. Tugevusarvutused plastse vastupanumomendiga 57

7.8. Mittehomogeense ristlikega tala arvutus 59

4

8. Tala paigutised paindel 62

8.1. Elastse joone vrrand 62

8.2. Paigutiste arvutamise philesanded 64

8.3. Philesannete kasutamise niteid 67

8.4. Tala dimensioonimine jikusele 67

8.5. Tala optimaalsed parameetrid 68

8.6. Varda kverdumine ebahtlasest temperatuurist 71

9. Staatikaga mramata talad 73

9.1. Staatikaga mramata talade miste 73

9.2. Lisatundmatute leidmine paigutisvrranditest 74

9.3. Arvutusniteid 74

9.4. Sisejud tugede paigutusest staatikaga

mramata talades 79

9.5. Plastne liigend staatikaga mramata talades 80

10. Vildakpaine 82

10.1. ldmisted 82

10.2. Sisejud vildakpaindel 82

10.3. Normaalpingeded vildakpaindel 83

10.4. Nihkepinged vildakpaindel 85

10.5. Tugevusarvutused vildakpaindel 85

10.6. Paigutised vildakpaindel 86

11. Pikipaine 88

11.1. Painutatud ja tmmatud (surutud) varras 88

11.2. Ekstsentriline surve (tmme) 88

12. Vne 94

12.1. Vnde nhtus ehituskonstruktsioonides 94

12.2. marvarda vne 94

12.3. Ristklikpiklikega varda vne 97

12.4. Suletud ristlike varda vne 98

13. Ehituskonstruktsioonide stabiilsusest 100

13.1. Stabiilsusprobleemide olemusest 100

13.2. Sirge posti ntke 101

13.3. Ntkepikkus ja posti kriitiline koormus 102

13.4. Kriitiline pinge 104

13.5. Posti kandevime 105

13.6. Tala kiive 106

13.7. Teraselementide kohalik stabiilsus ja

efektiivne ristlige 109

13.8. Materjali kontsentratsiooni printsiibist 111

Tiendav kirjandus 113

5

1. MIS ON TUGEVUSPETUS?

Ehitiste ja seadmete projekteerimisel ja ehitamisel tuleb alati

heaegselt arvestada vga paljude tingimustega. Tarbijat huvitab eelkige

objekti otstarbekus ja meeldiv vlimus. Kuid need pole ainumravad, vaid

ehitise rajamisel tuleb arvestada veel paljude muude tingimustega. Nendeks

on sellised tehnilis-majanduslikud kategooriad nagu tehnoloogilisus,

maksumus, turukonjunktuur. Aga sugugi mitte viimases jrjekorras peab

projekteerija kindlustama objekti vastupidavuse kikvimalikele

ekspluatatsioonitingimustele. See thendab ehitiste jaoks vajalikku

tugevust ja kujupsivust ka kige ebasoodsamatel koormusolukordadel. Ehitis

vi tarbeese ei tohi kasutamise kigus puruneda ega liialt deformeeruda.

Masstoodete puhul leitakse sellele lahendus tavaliselt prototbi

katsetustega. Suurte unikaalobjektide korral, milleks on ka kindlasti kik

suuremad ehitised, ei ole selline asjade kik aga vimalik: liialt kallis.

Seeprast ongi tarvis nendele ksimustele vastus leida projekteerimise

kigus arvutuste teel. Tuleb saada vastus ksimusele - milliste mtmetega

ja millistest materjalidest peaksid olema konstruktsiooni elemendid ja

slmed, et tagada toote vi ehitise turvalisus.

Osaliselt pab sellele vastata ldteoreetiline tehniline distsipliin,

mida eesti keeles on hakatud nimetama tugevuspetuseks. See termin viitab

eesti tehnikateaduse arengu ajaloolistele sidemetele saksa kultuuriga, sest

tugevuspetus, nagu ka soomekeelne "lujuusoppi", on otsene tlge

saksakeelsest terminist Festigkeitslehre. Teistes suurtes keeltes on

selle ppeaine nimi eesti keelde tlgituna materjalide tugevus (prantsuse

keeles - rsistance des matriaux, inglise keeles - strength of materials,

vene keeles ).

Tugevuspetus on loodusteadus, mis hendab helt poolt teoreetilise

mehaanika matemaatilise ranguse ja teiselt poolt materjalide mehaaniliste

omaduste katselise uurimise empiirika. Tulemuseks saadakse suhteliselt

lihtsad matemaatilised seosed koormuste ja konstruktsioonide

purunemistingimuste ja deformatsioonide vahel. Kogu tugevuspetus mahub

tegelikult rmiselt lihtsasse matemaatilisse seosesse:

k , (1.1)

kus on ldistatud sisejud vi paigutis, mille kutsub esile ehitisele

vi seadmele rakendatud koormus ja on konstruktsiooni tugevus vi

lubatud paigutis, mis sltub konstruktsiooni elementide mdetest ja

materjalist, aga ka objekti kasutusalast, mis stestab normidega

kehtestatud vajalikud tagavarategurid. Tegur k on maksimaalselt lubatud

varu, mis nitab kui suure tagavaraga tohib ehitada.

Tegur k ei ole rangelt vttes tugevuspetuse probleem, vaid rohkem

majandusksimus, aga hte otsa pidi ka eetikaprobleem. Pole ju mingi kunst

hsti ehitada, kui on vimalus piiramatus koguses kasutada kikvimalikke

ehitusmaterjale! Probleem ehitaja ja eriti projekteerija jaoks tekib siis,

kui esteetiliselt ja funktsionaalselt maksimaalne tulemus tuleb saavutada

minimaalsete majanduslike ja tehniliste vimalustega. Seda viks nimetada

tinglikult optimaalse projekteerimise kreedoks, mis vastab ka kaasaegse

maailma sstliku arengu programmile. Maakera tooraine ja energiavarud on

piiratud, nende phjendamatu lemrase kulutamisega me vhendame

jreltulevate plvede valikuvabadust oma elu korraldamisel. Sstliku

elulaadi kujundamine algab mttest, algab projektist.

6 Kuid asjal on veel teine klg. Ehitised ja tehnilised seadmed peavad

olema rajatud selliselt, et nad oma ekspluatatsiooniaja jooksul peavad

normaalsetes tingimustes tagama ohutuse. Paraku meie reaalses karedas

maailmas ei ole vimalik garanteerida absoluutset ohutust. Avariisid ei ole

vimalik tielikult vltida, kll on aga vimalik nende esinemise tenosus

ja sellest tuleneva kahju suurus viia mistliku miinimumini vrreldes

selleks kulutatud ehitusmaterjalide ja t maksumusega. Selle tagab

tagavarategurite ssteem, mis seadusega kehtestatakse kikide riikide

projekteerimisnormides ja millede kasutamine ehitiste projekteerimisel on

kohustuslik. Normdokumentidega tutvuvad lipilased eelkige ehitus-

konstruktsioonide ppimisel. Kesolevas pikus puudutatakse neid vaid

pgusalt.

piku koostaja ei sea endale eesmrgiks tugevuspetuse rangelt

teoreetilist ksitlust. Kaugel sellest! Teooriat puudutatakse vaid

niipalju, kui see on vajalik rakenduslike lesannete paremaks mistmiseks.

On ju kige praktilisem asi hea teooria tundmine!

ppevahendi koostamisel, eriti nidislesannete valikul, on silmas

peetud eelkige Tallinna Tehnikakrgkooli ehitusteaduskonna ja

arhitektuuriteaduskonna lipilasi. pik on jaotatud kaheks osaks.

Kesolevas vljaandes tuuakse teoreetiline ksitlus. Teises osas

(Tugevuspetus II, 2001) on toodud nidislesanded ja lesanded iseseisvaks

lahendamiseks.

Jb vaid lisada, et tugevuspetus toetub oma teoreetilises osas

teoreetilisele mehaanikale ja ehitusmaterjalide kursusele ning on oma

olemuselt jrjepidev. Teoreetilise osa kaasamtlemiseks oleks hea tunda

matemaatikat rakenduskrgkooli programmi ulatuses. Kes soovib piirduda vaid

lesannete lahendamise oskusega nidislesannete eeskujul, saab hakkama ka

keskkooli matemaatika hea tundmisega. Iga jrgnev peatkk toetub eelmisele

ja edu tagab vaid sstemaatiline ja pidev t.

Selleks judu!

7

2. TUGEVUSPETUSES KASUTATAVAD LIHTSUSTUSED

Tugevuspetuse teooria ei sea endale eesmrgiks tpselt kirjeldada

nhtusi, mis tekivad konstruktsiooni koormamisel jududega. Selleks on

loodus liialt keeruline. sna tpselt kirjeldavad fsilistes kehades

toimuvaid protsesse nende mehaanilisel mjutamisel mehaanika osad, mida

nimetatakse elastsus- ja plastsusteooriaks. Igapevastes inseneriarvutustes

pole need aga tavaliselt kasutatavad nende liialt keerulise matemaatilise

aparatuuri tttu. Elastsusteooria leiab kasutamist vaid keeruliste

unikaalobjektide projekteerimisel ja mnede oluliste detailide kontroll-

arvutusel. Kuna projekteerimisel kasutatavad lhteandmed (koormused ja

materjalide omadused) ei ole kunagi vga tpselt antud, vaid on mingisuguse

etteantud tenosusega statistilised suurused, vib tugevuspetuse teooria

loomisel kasutada mitmesuguseid oletusi ja lihtsustusi, kartmata sellega

arvutuste lpptulemuse usaldusvrsust oluliselt vhendada, sest sltumata

matemaatilisest aparatuurist, ei saa tulemuse usaldusvrsus olla suurem,

kui on arvutustes kasutatud algandmete tpsus.

Materjalide kohta kasutatavad lihtsustused

Materjal on pideva struktuuriga. See thendab, et materjali kuitahes vike osa kitub samamoodi kui kskik kui suur osa materjalist.

Materjal on homogeenne, see thendab hesuguste omadustega kogu materjaliga tidetud ruumi osa ulatuses.

Materjal on isotroopne, see thendab hesuguste omadustega kikides suundades.

Materjal on lpmatult elastne. See thendab, et koormuse rakendamisel materjalis tekkivad deformatsioonid on vrdelised mjuva juga ja

koormuse krvaldamisel materjal taastab tielikult oma esialgse kuju.

Elastsuse vastand on plastsus. Plastseks nimetatakse materjali, mis

koormuse krvaldamisel silitab deformeerunud kuju. Klassikaline

tugevuspetus plastsete materjalidega ei tegele.

Loomulikult ei vasta kski ehitusmaterjal tielikult nendele

tingimustele. Meenutagem vaid niteks puidus esinevaid oksaauke ja betooni

titematerjalide ebahtset struktuuri ja tugevust. Kuid sellest hoolimata

on enamikel praktikas esinevatel juhtudel tugevuspetuse teooriast

tulenevad arvutusvalemid heas vastavuses tegelikkusega ja nende kasutamine

insenerlikes arvutustes igustatud. Veelgi enam. Tavaprojekteerimisel

kasutatavad arvutused baseeruvad praktiliselt ainult tugevuspetusel!

Konstruktsioonielementide kohta kasutatavad lihtsustused. Neid lihtsus-

tusi nimetatakse tavaliselt printsiipideks:

Judude mju sltumatuse printsiip ehk superpositsiooni printsiip. Jussteemi mju konstruktsioonile vrdub seda jussteemi

moodustavate komponentide mjude summaga komponentide rakendamisel

suvalises jrjekorras (joonis 2.1).

Algmtmete printsiip. Konstruktsiooni elementide geomeetriliste mtmete muutumine koormamise kigus on thine vrreldes nende

esialgsete suurustega ja ei mjuta toereaktsioonide, sisejudude ja

paigutiste leidmist (joonis 2.2).

8

RA(P1) RA(P2) RA(P1,P2)

Joonis 2.1. Lihttala toereaktsioonide leidmisel judude mju sltumatuse printsiip kehtib. RA(P1,P2)=RA(P1)+RA(P2)

Joonis 2.2. Rippkandja horisontaalse toereaktsiooni H ja trossi siseju S leidmisel algmtmete printsiip

ei kehti, kuna tan=2/L

Joonisel 2.2 toodud rippkandja horisontaalne toereaktsioon H ja trossi

sisejud S sltuvad nurgast , see omakorda aga varda sisejust, sest mida

pikemaks venib varras, seda suuremaks lheb nurk . Tegemist on

mittelineaarse seosega koormuse ja siseju vahel.

Nende kahe esimese printsiibi kehtivus vimaldab kasutada lesannete

lahendamisel lineaarseid seoseid judude ja nende toimete vahel. Sellele on

les ehitatud klassikaline tugevuspetuse teooria. Selliseid lesandeid

nimetatakse matemaatikas lineaarseteks lesanneteks. Mittelineaarsus, mis

reeglina ei allu tugevuspetuse arvutuseeskirjadele, vib olla tingitud

ebamugavatest konstruktiivsetest lahendustest (nagu nt joonisel 2.2 toodu)

vi konstruktsiooni materjali mittelineaarsetest deformatsiooniomadustest,

millega tutvume mnevrra hiljem (vt 3.5). Tugevuspetuse vtetega on

selliseid lesandeid vimalik lahendada jrkjrgulise lhenemise teel.

Saint Venanti printsiip. Kontstruktsioonis tekkivad sisejud ja toereaktsioonid koormuse rakenduspunktist piisavalt kaugel ei sltu

koormuse rakenduse viisist. Nii niteks srestiku varda sisejud ei

sltu sellest, kas see varras on slme kinnitatud keevisliitega vi

poltidega. Erinevused on vaid vahetult slme lhedal. Staatika

vrrandite lahendamisel vib lauskoormust asendada tema resultandiga.

Bernoulli hpotees. Varda koormamisest tekkivatel deformatsioonidel ja paigutistel varda ristliked jvad tasapinnalisteks.

Koormamata konstruktsioonis sisejud puuduvad. See thendab, et tugevuspetuse vtetega saame arvutada koormusest tekkivat

sisejudude muutust, mida vajaduse korral, arvestades judude mju

sltumatuse printsiipi, vime teadaolevale algolukorrale alati

lisada. Millised on aga konstruktsioonis sisejud enne koormuse

rakendamist, seda klassikalise tugevuspetuse vtetega ei ole

vimalik leida.

9 Arvutusskeem

Tugevuspetuses vaadeldakse tegelikke konstruktsioone lihtsustatult.

Varda asemel on varda telgjoon, plaate ja koorikuid asendab nende keskpind

ja massiivkeha asemel on tema masskese vi keha kontuuri jrgiv pind.

Detailidevahelised sidemed ja toed on kas liigendid vi jigad

(joonis 2.3). Tegelikkuses ei ole olemas ei absoluutset hrdevaba liigend-

slme ega ka absoluutselt jika slme. Tegelikud slmed jvad alati nende

rmuste vahele, kaldudes kord hele, kord teisele poole. Raudbetoon-

konstruktsioonides vib koos pragude tekkimisega, mis ldiselt ei pruugi

kandevimet vhendada, muutuda ka arvutusskeem.

Joonis 2.3. Toed: 1. Liikuv liigendtugi. 2. Liikumatu liigendtugi. 3. Jik tugi

Detailidevahelised sidemed: 4. Liigend. 5. Jik (paindekange) slm

Joonis 2.4. Nii talasilla kui ka lilleriiuli arvutusskeemiks on lihttala kahel toel

Seega arvutusskeem on tegeliku konstruktsiooni ja koormuse lihtsustatud

kujutis, mille puhul on rakendatavad tugevuspetuse arvutusvtted. Arvutus-

skeem on universaalne miste. he ja sama arvutusskeemi abil on vimalik

kujutada tiesti erineva suuruse ja otstarbega objekte (joonis 2.4). Samas

vib hte objekti arvutada mitme erineva arvutusskeemiga. Arvutusskeemi

igest valikust sltub tulemuse teprasus. Kui hte konstruktsiooni on

vimalik arvutada mitme erineva arvutusskeemi jrgi, siis kogenud

konstruktor teeb seda ja konstruktsiooni seisundi hindamisel kaalub ka

konstruktsiooni jaoks ebasoodsaima olukorra tekkimise vimalust. Ligi-

kaudseteks esialgseteks arvutusteks ptakse keerulisi konstruktsioone ja

koormusolukordi esialgu vaadelda limalt lihtsustatult. Kui lihtsustatud

mudeli abil on saadud mingi esialgne ettekujutus konstruktsiooni tst,

asutakse lahendama juba tegelikule konstruktsioonile lhemalolevaid ja

reeglina keerukamaid arvutusskeeme.

ige arvutusskeemi kasutamine nuab konstruktorilt sageli pikaajalisi

kogemusi.

10

3. TUGEVUSPETUSE PHIMISTED

3.1.Jud

Jud on kehade vastastikuse toime mt, mis avaldub kas keha liikumis-

olukorra muutuses vi keha deformeerumises. Vlisjududeks loetakse vaadel-

davast kehade ssteemist vljaspool olevate kehade toimet. Ssteemi sise-

jud on ssteemi kuuluvate kehade vaheline kontaktjud, aga ka mttelise

likega kehast eraldatud osade vaheline jud, mis realiseerub elementaar-

osakeste vahelise juna. Tuletame meelde teoreetilise mehaanika kursuses

pitut, et vlisjududeks on aktiivsed jud ja nende poolt phjustatud

reaktsioonijud. Tasakaalus olevale kehale vi kehade ssteemile mjuvad

vlisjud moodustavad tasakaalus oleva jussteemi. Ehituslikes lesannetes

nimetatakse aktiivseid vlisjude koormusteks. Vlisjud vivad esineda

lauskoormusena pinnal ja joonel vi kasutusele vetud idealiseeringuna nn

punktkoormusena. Tasakaaluvrrandite koostamiseks on otstarbekas laus-

koormused eelnevalt asendada nende resultantidega (vt Saint Venanti

printsiip).

Rahvusvahelises hikute ssteemis (SI) on ju hikuks njuuton N (N on

jud, mis phjustab kehale massiga 1 kg kiirenduse 1 m/sek). Njuutonit aga

kui liialt vikest hikut inseneriarvutustes tavaliselt ei kasutata.

Konstruktsioonide arvutamiseks on paraja suurusega hikuks 10N=1kN, mis on

umbes 100 kg massiga keha maapealne raskusjud. Lauskoormus joonel antakse

tavaliselt 1 kN/m=N/mm. Pinnale mjuva ju phihikuks SI ssteemis on

1 N/m=1 Pa (paskal), mis on retult vike pinnakoormus, vastates vaid 0,1

mm vee samba rhule. Seeprast on otstarbekas kasutada miljon korda

suuremat lauskoormuse hikut megapaskal (MPa), mis arvuliselt langeb kokku

suurusega 1 N/mm. Need ted peaksid selged olema veel teoreetilise

mehaanika kursusest.

Tasakaaluvrrandite koostamisel on otstarbekas lauskoormus asendada

tema resultandiga (joonis 3.1.1).

Joonis 3.1.1. Lineaarsete lauskoormuste resultandi suurus ja asukoht

Uue mistena toome sisse ajas muutuva koormuse ehk dnaamilise koor-

muse. Kui koormus muutub niivrd aeglaselt, et selle muutusega ei kaasne

konstruktsiooni deformatsioonil ei konstruktsiooni ega koormust phjustava

keha muutuva kiirusega liikumisest inertsijude, on siiski tegemist staa-

tilise koormusega. Kui koormus muutub kiiresti ja konstruktsiooni osade

kiirendus vi koormust phjustava keha pidurdus phjustab arvestatavaid

inertsijude, on tegemist dnaamilise koormusega. Dnaamiline koormus on

ohtlik jikadele haprast materjalist kehadele. Prandale kukkuva portselan-

tassi purustab jrsul pidurdumisel tekkiv inertsijud. Kui tass kukub

kummimadratsile, siis madratsi deformatsioon aeglustab kiiret pidurdust,

tassi inertsijud on viksemad ja ta ei pruugi puruneda.

Ohtlik on paljukordselt sstemaatiliselt ajas muutuv koormus ja eriti

vibratsioon. Miljonkordsel muutumisel vib ka vike jud ohtlikuks muutuda.

Materjalis vib esineda nhtus, mida nimetatakse vsimuseks ja see koos

thise pinnadefektiga, mis staatilisel koormusel ei kujuta konstrukt-

11 sioonile mingit ohtu, vib materjalis toimuvate muudatuste tttu

saatuslikuks saada. Eriti ohtlik on vsimus habrastele materjalidele.

3.2. Likevte, sisejud

Sisejudude leidmiseks kasutatakse likevtet: tasakaalus olevast

kehast mttelise likega eraldatud osa on tasakaalus sellele osale mjuvate

vlisjudude ja likepindadesse jvate sisejudude toimel.

Joonis 3.2.1. Mttelise likega eraldatud osasid hoiavad koos

vastastikustes likepindades olevad vrdsed ja vastassuunalised sisejud SI ja SII

Seega saame likevtte abil leida likepindadesse jvate sisejudude

suurusi, kui tasakaaluvrrandite koostamisel on tundmatuteks sisejud.

Sisejud likes on oma olemuselt aine osakeste vaheline kontaktjud, mis

peab tasakaaluolukorras likepinnal asendama likest teisel pool olevale

osale rakendatud vlisjudude toimet. Kuna tasakaalus olevast kehast

mttelise likega eraldatud osa on samuti tasakaalus ja tasakaalus olevale

kehale on rakendatud tasakaalus olev jussteem, saab sisejudude

leidmiseks kasutada kiki staatika tasakaaluvrrandeid. Sisejud likes on

arvutatav kui kigi hel pool liget olevate vlisjudude resultant.

Likega eraldatud osale rakendatud jud koondatakse like

raskuskeskmesse, kus nad avalduvad resultantjuna ehk ssteemi peavektorina

S ja ssteemi peamomendina M

__________ __________

S=Sx+Sy+Sz ja M=Mx+My+Mz (3.2.1)

Like vastaspooltel olevad sisejud on vrdsed, kuid suunalt vastupidised

(joonis 3.2.1).

Joonis 3.2.2. Sisejud likes: N=Sx -normaaljud, Qxy=SY ja Qxz=SZ -pikjud, Mz ja My-paindemomendid, Mx-vndemoment. Joonisel on nidatud sisejudude positiivsed suunad

Kuna klassikaline tugevuspetus tegeleb peamiselt varda lesannetega,

siis vaatleme edaspidi vaid varda sisejude (joonis 3.2.2). Tasapinnalise

lesande puhul on vardal kolm siseju komponenti: normaaljud, mida

12 tavaliselt thistatakse smboliga N, pikjud Q ja paindemoment Mp. Kik

sisejud on mrgiga suurused. Tugevuspetuse kursuses on traditsiooniliselt

normaalju tmme positiivne ja surve negatiivne, kuid kokkuleppel vib seda

eeldust ka muuta. Niteks euronormide (EC) alusel vlja ttatud Eesti ehi-

tuskonstruktsioonide projekteerimisnormides EPN on normaalju positiivseks

suunaks loetud survejud. Pikju ja momentide mrgil fsikaline sisu

puudub ja mrgi reeglid on kokkuleppelised (vt 7.2). Normaalju ja pikju

hikuks on juhik (N,kN), momendi hikuks on ju ja pikkuse korrutis (N*m,

kN*m,kN*mm). Ruumilise lesande puhul on kuus siseju komponenti, sest

lisanduvad paindemomendi ja pikju komponendid varda teises peatasandis ja

vndemoment (joonis 3.2.2). Jrgnevalt ksitletakse kiki neid misteid

tpsemalt.

3.3. Mehaaniline pinge

Nii nagu punktkoormus on idealiseering, on seda ka sisejud. Sisejud

saab realiseeruda ikkagi like pinnal olevate ju osakeste kaudu. Need ju

osakesed toimivad kuitahes vikesel pinna osal. Siseju intensiivsust

likepinnal nimetatakse mehaaniliseks pingeks (edaspidi pinge).

Elementaarne osa normaaljust kannab nimetust normaalpinge ja thistatakse

tavaliselt kreeka thega [sigma]. Pikju elementaarne osake on

nihkepinge ja seda thistatakse tavaliselt kreeka thega [tau]. Pinge

hikuks on nagu lauskoormuselgi ju ja pinna jagatis (N/m=Pa,

MPa=106N/m=N/mm). Phihik Pa (paskal)

on vga vike suurus ja selleprast

kasutatakse tavaliselt hikut megapaskal

(MPa), mis on miljon paskalit. Nagu

normaaljud ja pikjud, on ka normaal-

pinge ja nihkepinge mrgiga suurused,

kus traditsiooniliselt tmbepinget

loetakse positiivseks ja survepinget

negatiivseks (EC muide vastupidi), aga

nihkepinge mrgil fsikaline sisu

puudub ja see on kokkuleppeline. Nihke-

pinge mrgi reeglid seotakse tavaliselt

varda teljestikuga.

Joonis 3.3.1. Mehaaniline pinge on siseju intensiivsus pinnal =dQ/dA, =dN/dA

Pingete ja sisejdude vahel on integraalne seos. Olgu A kuitahes vike

pinna osake ja mjugu seal kuitahes vike normaalju osa NX ja pikju osa

QXY (joonis 3.3.1). Siis piirvrtuse mistet kasutades saame

lim NX/ A=dNX/dA= X ja (3.3.1) A 0

lim QXY/ A=dQXY /dA= XY, kust (3.3.2) A

NX= XdA ja Q= XYdA (3.3.3) ja (3.3.4) A A

Momendid likepindades tasakaalustatakse samade pingete abil:

paindemoment normaalpingete ja vndemoment nihkepingete abil. Need seosed

on aga mrgatavalt keerulisemad ja nendega tutvume hiljem.

13 3.4.Paigutis ja deformatsioon

Erinevalt teoreetilisest mehaanikast ksitletakse tugevuspetuses

materjali ja konstruktsioone deformeeruvatena. Ju toimel kehas toimuvate

muutuste kirjeldamiseks on mttekas kasutusele vtta kaks erinevat mistet:

paigutis ja deformatsioon. Joonpaigutis ehk siire on vaadeldava keha mingi

punkti lppasendi ja algasendi vahelise ligu pikkus. Joonpaigutise hik on

pikkushik (mm, cm, m). Nurkpaigutis ehk pre on mingi kehaga seotud

joone, niteks varda telje, suuna muutus algasendi suhtes. Nurkpaigutist

mdetakse nurga hikutes, tavaliselt radiaanides (joonis 3.4.1).

Maksimaalsete lubatud paigutiste vrtused on ehituskonstruktsioonides

limiteeritud ja nende leidmine arvutuse teel on konstruktoril

tugevusarvutustega vrdse thtsusega.

Joonis 3.4.1. Joonpaigutis (siire) ja nurkpaigutis (pre)

Normaaldeformatsioon on kuitahes lhikese ligu pikkuse muutuse suhe

tema esialgsesse pikkusesse ja nihkedeformatsioon on mingi konstruktsioonil

oleva tisnurga muutus koormamise kigus. Deformatsioon on hikuta suurus

ja ta iseloomustab materjali seisundit. Normaaldeformatsiooni thistatakse

tavaliselt kreeka thega [epsilon] ja nihkedeformatsiooni this on

tavaliselt [gamma].

Joonis 3.4.2. Normaaldeformatsioon ja nurkdeformatsioon

Olgu mingil deformeeruval kehal enne judude rakendamist punktide A

ja B vahelise ligu pikkus l ja punktid a, b ja c thistagu tisnurka abc

(joonis 3.4.2). Kui kehale rakendada tasakaalus olev jussteem Fn=0, siis keha deformeerub ja kehal olevad punktid vivad saada uued asukohad

vastavalt A, B, a, b ja c. Punkti A siire on joonpikkus A-A ja punkti

B siire on joonpikkus B-B. Joone A-B pre on suundade A-B ja A-B

vaheline nurk. Joone A-B pikkus l muutus pikkuse l vrra ja kui l oli

kuitahes vike suurus, siis suhe l/l thistab normaaldeformatsiooni ja

iseloomustab punktide A ja B mbruses materjali seisundit. Punktid a, b

ja c thistavad nurka abc ja nurkdeformatsioon on nurkade vahe = abc-

abc. Paigutised ja deformatsioonid on omavahel integraalses seoses,

mille mnede juhtudega tutvume edaspidi.

14 Kui paigutised (siire ja pre) on eelkige konstruktsioonide t-

olukorda iseloomustavad suurused, siis deformatsioonid iseloomustavad

materjali seisundit mingis kindlas punktis ja vivad anda teavet

konstruktsiooni osa tugevusvaru kohta.

3.5. Materjali deformatsiooniomadused

Vastavalt Hookei seadusele on materjal lpmatult elastselt

deformeeruv. Deformatsioon on vrdeline pingega. Normaalpinge phjustab

normaaldeformatsiooni ja nihkepinge phjustab nihkedeformatsiooni. Selline

viks olla selle seaduse snastus tnapevases knepruugis, mille Robert

Hooke 1660. a ladina keeles kibele lasi: ut tensio sic vis (milline

paigutis, selline jud). (Robert Hooke, inglise fsik 1635-1693).

Materjali vastupanu deformatsioonile iseloomustab elastsusmoodul, mida

vahel nimetatakse ka Youngi mooduliks. (Thomas Young, inglise fsik 1773

1829). Mida suurem on elastsusmoodul, seda raskemini materjal deformeerub,

seda jigem on vastavast materjalist valmistatud konstruktsioon.

Matemaatiliselt on tegemist lihtsate lineaarsete seostega:

= /E ja = /G, (3.5.1) ja (3.5 2)

kus ja - normaaldeformatsioon ja nihkedeformatsioon (joonis 3.5.1),

ja - normaalpinge ja nihkepinge,

E ja G - normaalelastsusmoodul ja nihkeelastsusmoodul.

Kuna deformatsioonid on hikuta suurused, siis elastsusmoodulite

hikuteks on samad hikud mis pingetelgi: juhiku ja pinnahiku suhe,

tavaliselt MPa=N/mm. Deformatsiooni mrgid tulenevad neid phjustavate

pingete mrkidest. Positiivne normaalpinge phjustab elementaarse mater-

jaliosakese pikkuse suurenemise, negatiivne lhenemise.

Joonis 3.5.1. Normaalpinge phjustab normaaldeformatsioone ja , aga nihkepinge

nihkedeformatsiooni

Lineaarne seos pinge ja deformatsiooni vahel esineb enamus materjalidel

vaid suhteliselt vikeste pingete juures ja on pigem idealiseering kui

reaalsus. Siiski on see idealiseering ks olulisi loodusseadusi, millel

tegelikult phineb kogu klassikaline tugevuspetuse teooria.

Materjali kitumist pingestamisel iseloomustatakse diagrammiga. See

on graafik, kus abstsissteljele kantakse deformatsioon tavaliselt prot-

sentides ja ordinaadiks on seda deformatsiooni phjustanud pinge MPa-tes

(joonis 3.5.2).

15

Joonis 3.5.2. Pinge ( ) ja deformatsiooni () vaheline seos ehk nn diagramm.

a) Habras materjal. b) Sitke materjal. c) Ssinikteras

Hookei seadusele vastav graafik on sirge. Suuremate pingete korral pea

kikidel materjalidel deformatsioonide ja pingete kasvu vahel lineaarne

seos kaob (elastsusmoodul vheneb) ja siis on - diagrammis sirge asemel

kver. Kui nd pinge krvaldada, ilmnevad jvdeformatsioonid ehk plastsed

deformatsioonid (pl joonis 3.5.2). Pinget, mille puhul jvdeformatsioon

pinge kadumisel letab 0,5%, nimetatakse elastsuspiiriks ja thistatakse

e.

Pinge ja deformatsiooni diagrammi jrgi eristatakse hapraid ja sitkeid

materjale. Habras materjal puruneb jrsku, ilma mrgatavate jvate

deformatsioonideta. Sitket materjali iseloomustab enne purunemist suur

venivus ja plastsed deformatsioonid.

Ssinikterasel tekib vahetult prast elastsuspiiri letamist nhtus,

kus teatud pinge v juures esineb nn voolepiir. See on normaaldeformatsiooni

teljel 10...15% pikkune ala, kus deformatsioonid kasvavad ilma pingeid

suurendamata. Selline nhtus seletub ssinikterase erilise kristallilise

struktuuriga ja kaob prast materjali pingestamist le voolepiiri.

Tavaliselt loetakse materjali voolepiirile judmist teraskonstruktsioonile

ohtlikuks, sest siis algavad konstruktsioonis sageli ettearvamatud

paigutiste suurenemised. Kuid teatud paindelesannete puhul vib voolepiiri

letamisega tala kandevimet tsta ilma konstruktsiooni ohtu seadmata (vt

7.7). Voolepiiri letamisega on vimalik terasvarda tugevust tinglikult

suurendada, sest prast voolepiiri letamist on materjali jrgmiseks

ohupiiriks juba tugevuspiir t. Terasvarda deformeerimist le voolepiiri

nimetatakse kalibreerimiseks, mida varemalt kasutati sageli raudbetooni

sarrusvarraste tugevuse suurendamiseks.

Suurimat pinget, mida terasest proovikeha talub, nimetatakse

tugevuspiiriks t. Selle letamisel algab purunemispiirkonnas intensiivne

ristlike ahenemine ja pinge diagrammil tuleks eristada tegelikku pinget

(joonisel 3.5.2 punktiir) ja algristlike jrgi arvutatut. Enne

tugevuspiirile judmist tegelik pinge suureneb, kuigi purustamiseks vaja-

minev jud vheneb, sest kaela tekkimise tttu ristlike pindala vheneb.

Lisaks pingesuunalisele deformatsioonile 1 esineb paljudes

materjalides veel piksuunaline deformatsioon 2 (joonis 3.5.1), mis on

proportsionaalne esimesega:

2/1=, (3.5.3)

kus 1 - pingesuunaline deformatsioon, 2 - piksuunaline deformatsioon, - pikdeformatsiooni e Poissoni tegur,(Simon-Denis Poisson, prantsuse matemaatik 1781-1840).

Pikdeformatsiooni ehk pikahenemise tegur [m] on loomulikult

hikuta suurus ja peaks olema negatiivne, sest piksuunaline deformatsioon

on ju alati vastupidine jusuunalisele deformatsioonile (joonis 3.5.1).

16

Tinglikult loetakse siiski pikdeformatsiooni tegurit alati posi-

tiivseks. Tihedatel materjalidel, mille maht deformeerimise kigus ei

muutu, vib lheneda ta teoreetilisele maksimumvrtusele 0,5, kuid poor-

setel materjalidel, kus deformatsioon toimub thikute kokkusurumiste arvel,

lheneb nullile. Seega 0

17 Katsetulemused tdeldakse tenosusteooriast prinevate seoste abil

ja tulemuseks saadakse kindla tenosusega (tavaliselt 2%) normitugevus,

mida varem thistati R (SNiP), tnapeval f (EPN) ja kus indeksid vivad

thistada katsekeha tugevushinnangu alust ja pinge liiki. Normitugevus on

pinge, mille puhul ette antud tenosusega puruneb oletatavas lpmatus

katsete seerias katsetatud standardproovikehadest mitte rohkem kui

normidega mratud osa.

Selliselt mratud normitugevust konstruktsiooni tugevusarvutustes

siiski ei kasutata, vaid seda vhendatakse veel teatud varuteguri abil,

mille suurus sltub materjali htlusest. EPN-is on selleks materjali

omaduse osavarutegur . Selle varuteguri suurus sltub vaadeldava

materjali tugevusnitajate hajuvusest. Terasel kui vga htlaste omadustega

materjalil on see vaid 1,1...1,25, betoonidel aga 2 vi isegi rohkem.

Tulemuseks on nn arvutustugevus.

Arvutustugevus on materjali standardiga vi sertifikaadiga kindlaks

mratud ja tootja poolt garanteeritud suurus ja on vljendatud mehaanilise

pinge hikutes, tavaliselt megapaskalites (MPa=N/mm). Varuteguri suurus

sltub ldisest arvutustes kasutatavast tagavarategurite ssteemist, mis

erinevates eluvaldkondades ja erinevate riikide standardites (normides)

vivad olla kllaltki erinevad. Ehitajad kasutavad nn diferentseeritud

varutegurite ssteemi, kus osa konstruktsiooni tugevusarvutustes kasuta-

tavast tagavarast arvestab koormuse mramise ebatpsust (koormuse osavaru-

tegur) vi koormuse rakendamisel ja toote valmistamisel tekkida vivaid

ebatpsusi (konstruktsiooni tkindluse tegur). Arvutustugevuse smboliks

on nagu normitugevuselgi kas R vi f ja indeksite ssteem nitab pinge

liiki (surve, tmme, lige, muljumine) ja tugevushinnangu alust. Ssinik-

terase puhul tehakse vahet tugevusele voolepiiri jrgi (vastavalt Ry vi fy)

ja tugevuspiiri jrgi (Ru vi fu). Tugevuspiiriks on suurim pinge, mis

proovikehas tekib prast voolepiiri letamist.

Kesoleva piku esimeses trkis 1999. a oli erinevalt EESTI

PROJEKTEERIMISNORMIDEST arvutustugevuse thisena kasutatud smbolit R.

Kesolevas trkis on see asendatud smboliga f.

Materjalide paljude muude omaduste katseline mramine

projekteerimiseks vajalike parameetrite saamiseks kuulub philiselt

konstruktsioonipetuse valdkonda ja viks olla nendes kursustes tpsemalt

ksitletud.

Materjali tugevuse hinnang annab vimaluse ennustada konstruktsiooni

vastupanuvimet vliskoormusele. Lihtsustatud ettekujutuse jrgi, mis pole

kaugeltki tpne ja ainuige, vime arvestada, et konstruktsioon on psiv

seni, kuni tema mitte heski punktis materjalis tekkiv pinge ei leta

materjali arvutustugevust. Kesolevas pikus nimetame seda teprasena

tunduvat videt loomulikuks tugevustingimuseks. Tavaliselt lisandub siia

veel statistiliste arvutustega phjendatud tugevusvaru, kuid see pole enam

tugevuspetuse ksimus, pigem majanduslik ja sotsiaalne probleem ja seda

pivad lipilased kasutama konstruktsioonipetuses.

3.7. Varda tseisund

Konstruktsiooni tseisundiks nimetatakse nhtuste kogumit, mis tekib

konstruktsioonis selle koormamisel vlisjududega. Varda tseisundit

iseloomustavad sisejud, pinged, deformatsioonid ja paigutised. Teades

varda tseisundit ja varda materjali deformatsiooni- ja tugevusomadusi, on

vimalik hinnata ta tugevus- ja jikusolukorda.

18 Phitseidundiks nimetatakse olukorda, kus vardale mjub koormus,

mis phjustab ainult he siseju ja sellele vastavad pinged, defor-

matsioonid ja paigutised.

Klassikalise tugevuspetuse phiseosed on tuletatud phitseisundite

kohta. Phitseisunditeks on pike (tmme, surve), pige (lige, nihe),

paine ja vne (joonis 3.7.1). Pikkel on vardas vaid normaaljud N, pikel

pikjud Q, paindel paindemoment Mp ja vndel vndemoment Mv.

Joonis 3.7.1. Phitseisundid: A pike, B pige, C paine, D vne

Keerulisemad koormusolukorrad kutsuvad esile nhtuse, mida nimetatakse

liittseisundiks. Liittseisundile vastavad pinged, deformatsioonid ja

paigutised saadakse lihttseisundite vastavate nhtuste summeerimisel.

Selleks tuleb vardale mjuv jussteem lahutada komponentideks, mis

phjustavad ainult lihttseisundeid. Seejrel, kasutades judude mju

sltumatuse ehk superpositsiooni printsiipi, saadakse summeerimise teel

vajalikud suurused ka liittseisundi jaoks. Vltimatuks eelduseks on, et

ju ja selle poolt phjustatud nhtuse vahel on lineaarsed seosed, ehk

teisiti eldes, kehtib algmtmete printsiip (vt 2).

Ehituskonstruktsioonide projekteerimisel vib iga konstruktsiooni osa

olla koormatud erinevate sisejududega vastavalt sellele, milline on

kasutatav koormuskombinatsioon. Koormuskombinatsioonide valiku reglementee-

rivad projekteerimisnormid.

19 4. PINGETEOORIA ALUSED

4.1. Mehaanilise pinge komponendid

Materjali sees oleva punkti pingeseisundi kirjeldamiseks on otstarbekas

luua ssteem, mille abil on vimalik heselt defineerida igat pinge

komponenti. Telgedesihiliste pingete mramiseks kasutatakse ssteemi, kus

pinge komponentide thised seotakse teljestikuga (tavaliselt teljed x-y-z).

Eraldame materjalist kuitahes vikese kuubi, mille servad on

paralleelsed telgedega x-y-z. Kuubil on teatavasti 6 tahku. Neid tahke

thistame materjali seest vljuvate telgedega. Nii on tahkude thisteks

vastavalt x, y, z ja -x, -y ja -z (joonis 4.1.1). Igal tahul saab olla 6

erinevat pinget. Nendeks on tmbepinge, survepinge ja nihkepinge kompo-

nendid kuubi pinnal olevate telgede nii positiivses kui negatiivses suunas.

Nii on materjali igas punktis vimalik 6*6=36 erinevat pinge komponenti.

Nende komponentide thistamiseks kasutame jrgmist indeksite ja mrkide

ssteemi: pinge liiki thistava smboli vi esimene indeks thistab

pinda, millel pinge toimib, teine indeks thistab pinge sihti teljestikul,

pinge mrk aga nitab pinge suunda teljel. Pinge mrgi saame indeksite

mrkidest. Kui indeksite mrgid langevad kokku (positiivsel pinnal pinge

telje positiivses suunas vi vastavalt negatiivsel pinnal negatiivses

suunas), on tegemist positiivse pingega, kui indeksite mrgid on erinevad,

on pinge mrk negatiivne (joonis 4.1.1). Seega koosneb iga vimalik pinge

komponent neljast smbolist: pinge liiki thistav kreeka tht (sigma -

normaalpinge) vi (tau - nihkepinge), selle ees olev mrk ja kaks telgede

thistusega indeksit. Kuna normaalpinge esinemise pind ja pinge siht

langevad alati kokku, on normaalpinge thistamisel tavaliselt teisest

indeksist loobutud.

Joonis 4.1.1. Mehaanilise pinge mrgid ja indeksid on seotud koordinaattelgedega

hel ja samal pinnal ja samas punktis olevad normaalpinged,

aga ka samade indeksitega nihkepinged liidetakse algebraliselt,

erinevate indeksitega nihkepinged aga geomeetriliselt.

Kui materjali hes punktis normaalpinged on ainult hes

sihis, on tegemist olukorraga, mida nimetatakse joonpinguseks.

Tasandpingus ja ruumpingus on vastavalt siis, kui normaalpinged

on hes punktis kahel vi kolmel ristuval pinnal.

4.2. Nihkepingete paarsuse seadus

Vaatleme pingestatud materjali ja eeldame, et pinge muutused on

vaadeldava ruumi ulatuses thised. Olgu materjalist eraldatud kuitahes

vikese kuubi klje pikkused 1 pikkushik. Eeldame, et selle pikkuse

ulatuses on pinge konstantne (unitaarne pinge). Kuubi klje pindala on

seega samuti 1, sedapuhku pinnahik.

20

Mjugu pindadel x nihkepinge xy ja pindadel y nihkepinge yx (joonis

4.2.1). Kuna vaadeldavad pinnad on kuitahes vikesed, siis vime eeldada,

et pingete suurused pinna ulatuses ei muutu ja pinnasuunalised jud Fx ja Fy

saame pinna ja pinge korrutisena ja seega nad arvuliselt vrduvad

nihkepingetega yx ja xy. Normaalpinged x ja y kuubi vastastahkudel

moodustavad samal phjusel tasakaalus oleva jussteemi. Pindadel +x ja +y

olevate judude moment telje z suhtes annab tasakaaluvrrandi:

MZ(F)= yx*1*1*1- yz*1*1*1=0, kust saame

yx= yx (4.2.1)

Seda tsiasja nimetatakse nihkepingete paarsuse seaduseks ja snas-

tatakse jrgmiselt:

ristuvatel pindadel olevad nihkepinged on vrdsed ja suunatud kas

pindade hise likejoone poole vi sealt eemale. See tsiasi kehtib

materjali sees olevate meelevaldsete pindade kohta, aga ka materjali vlis-

pinna ja sellega ristuva pinna kohta materjali sees. Kui materjali vlis-

pind on pingevaba, puuduvad nihkepinged ka materjali vlispinnaga ristuval

pinnal.

Joonis 4.2.1. Nihkepinged ristuvatel pindadel x ja y on vrdsed, xy=yx

4.3. Pinged kaldpindades

Vaatleme nagu eelmises ksitluseski unitaarse pingega materjali osa-

kest. Eraldame vaadeldavast materjalist kihi paksusega 1 ja likame

sellest vlja kolmetahulise prisma, mille phjadeks on tisnurksed kolm-

nurgad hpotenuusi pikkusega 1, kaatetid on aga telgede x ja y sihilised.

Prisma klgpind, mille moodustavad

phjatahkudeks olevate tisnurkse-

te kolmnurkade hpotenuusid ja

kihi paksus, on ruut pindalaga 1

(joonis 4.3.1). Olgu selle ruudu

normaali u ja telje x vaheline

nurk . Sama nurk on ka klg-

pinnal asuva teise telje v ja

telje y vahel. Prisma teised

klgpinnad normaalidega y ja x

on vastavalt sin ja cos .

Joonis 4.3.1. Materjalist eraldatud prisma on tasakaalus

likepindades olevate pingete toimel

21

Olgu pindadel -y ja -x rakendatud pinged y, x, xy, ja yx. Kasutades

mttelise likega eraldatud osa (aga selleks ju vaadeldav prisma on) suhtes

judude projektsioonide tasakaaluvrrandeid telgedel u ja v, saame

vrrandid, mis lisaks antud pingetele sisaldavad tundmatuid pingeid u ja

uv =vu.

U= u- x*cos - y*sin - yx*sin *cos - xy*cos *sin =0

V= uv+ x*cos *sin - y*sin *cos - xy*cos + yx*sin =0

Arvestades tsiasja (4.2.1), et xy= yx ja prast vajalikke trigono-

meetrilisi teisendusi ja algebralisi tehteid, saame pingeavaldised teljega

x nurga vrra kaldu oleval pinnal normaaliga u

u= xcos + ysin + xysin2 ja (4.3.1)

uv=[( y- x)/2]sin2 + xycos2 (4 3.2)

Valemitest (4.3.1) ja (4.3.2) saab teha mningaid huvitavaid jreldusi,

mida tasub meenutada materjali purunemispildi uurimisel varda mitmesugustel

tseisunditel (joonis 4.3.2):

Joonis 4.3.2. Pinged kaldpindades. Maksimaalsed nihkepinged on pindadel,

mis on normaalpingetega 45 nurga all

Joonpingusel on normaalpingega 45 nurga all suurim nihkepinge suurusega

/2.

Kahes ristuvas suunas vrdse normaalpingega pigestatud tasapinnal nihkepinged puuduvad ja kikidel pindadel on normaalpinge vrdne

( x= y= u= v= ).

Tasapinnal, mis on pingestatud kahes ristuvas suunas vrdse, kuid

vastupidise mrgiga normaalpingega ( x=- y), on normaalpingetega 45

nurga all nihkepinge, mille suurus vrdub normaalpingega ( .

Koos nihkepingete paarsuse seadusega (4.2.1) jreldub, et ainult nihkepingega pingestatud pinnast (puhas nihe, nagu see esineb niteks

nihkele ttava needi varres) 45 nurga all olevatel pindadel on

survepinge ja tmbepinge, mille suurused on arvuliselt vrdsed

nihkepingega ( ).

22 4.4. Peapinged

Normaalpinge u avaldisest kaldpinnal u (4.3.1) selgub, et see pinge on

trigonomeetriliste funktsioonide kaudu seotud pingetega pindadel x ja y. Et

leida ekstreemsed (suurim ja vikseim) vimalikest normaalpingetest, on

tarvis avaldisest (4.3.1) vtta esimene tuletis muutuja jrgi,

vrdsustada see nulliga ja lahendada tekkinud trigonomeetriline vrrand.

Vrrandi lahendiks saame nurga, mille vrra on tarvis pinda u pinna x

suhtes prata, et saaksime maksimaalse normaalpingega pinna. Vastus

avaldub kahekordse nurga tangensina:

tan2 = xy/( y- x) (4.4.1)

Saadud avaldis annab esimese peapinna, sellega risti on teine peapind.

Peapindadel asuvad peapinged. Need on antud punktis ekstreemsed pinged.

Asetades avaldise (4.4.1) jrgi leitud nurga vrtuse avaldisse

(4.3.1), saame kaks peapinge vrtust, milledest esimene on maksimaalne,

teine minimaalne.

______ _________

max, min=( x+ y)/2[( x- y)/2]+ xy. (4.4.2)

Kasutades avaldist (4.3.2), pole raske nha, et maksimaalseks

nihkepingeks on normaalpinge avaldise teine pool ja ta asub peapindade

nurgapoolitajal, seega 45 nurga all maksimaalse ja minimaalse

normaalpingega.

Ruumpingusel on kolm peapinget, mida algebralise suuruse jrgi

reastatult thistatakse 1> 2> 3. Peapindadel nihkepinged puuduvad.

Maksimaalne nihkepinge asub pinnal, mis on peapindadega 45 nurga vrra

kaldu ja selle vrtus on:

max=( 1 3 /2 (4.4.3)

4.5. Normaalpingete invariantsus

Joonis 4.5.1. Ristuvatel pindadel on normaalpingete summa konstantne

Vaatleme teljestikuga x-y nurga vrra pratud teljestikku u-v

(joonis 4.5.1). Leiame pindadel u ja v avaldise (4.3.1) abil normaalpinged

ja liidame tulemused.

u= xcos+ ysin+ xysin2

+

v= xsin+ ycos- xysin2

u+ v= x+ y=Iv (4.5.1)

23 Saadud tulemus kannab normaalpingete invariantsuse nime ja

snastatakse jrgmiselt: hes punktis ristuvatel pindadel olevate

normaalpingete summa on konstantne suurus, mida nimetatakse pinge

invariandiks. Olgu lisatud, et samasugune invariantsus kehtib ka

normaaldeformatsioonide kohta, mida iga lipilane viks iseseisvalt

testada, kasutades selleks seoseid (4.6.3) ja (4.6.4).

Lihtsuse mttes vaatlesime pingeid kaldpindades ja sellest tulenevaid

invariantsuse seadusi tasandpinguse olukorras. Siinkohal lisame, et

samasugused invariantsuse seadused kehtivad ka ruumpinguse puhul.

4.6. Normaaldeformatsioonid tasandpingusel

Materjali deformatsiooniomadustega tutvumisel ngime, et materjal

deformeerub ka mjuva normaalpingega ristuval sihil (3.5.3). Tasandpingust

vime alati vaadata joonpinguste summana kahel ristuval suunal (judude

superpositsiooni printsiip). Vaatleme pinnaosakesi, mis on kumbki

pingestatud joonpingega. Kasutades judude mju sltumatuse printsiipi

(joonis 4.6.1), saame x ja y suunalised deformatsioonid:

x=( x- y)/E ja y=( y- x)/E (4.6.1) ja (4.6.2)

Joonis 4.6.1. Teljesuunalise deformatsiooni tekitab nii teljesuunaline kui ka sellega risti olev pinge

Toodud valemid annavad vimaluse leida ristuvatel suundadel

deformatsioonid pingete jrgi. Samadest avaldistest saab algebralise

ttluse teel pingeavaldised deformatsioonide jrgi. Need avaldised leiavad

kasutamist eksperimentaalmehaanikas, kui mdetud deformatsioonide jrgi

leitakse pinged.

x=[E/(1-)]( x+ y) ja (4.6.3)

y=[E/(1-)]( y+ x) (4.6.4)

Valemid (4.6.1.)...(4.6.4.) tuletasime tasandpinguse juhu jaoks. Pole

raske nha, et analoogilised seosed kehtivad ka ruumpinguse korral. Olgu

nende struktuuri nideteks toodud deformatsiooni x ja pinge x avaldised

ruumipingusel:

x=1/E*[ x-( y+ z)] ja (4.6.5)

x=E/(1-)*[ x+ y+ z)] (4.6.6)

24 4.7. Tugevusteooriad

Prast pgusat tutvust pingeteooria mningate nanssidega peaks olema

selge, et loomulik tugevustingimus (vt 3.6) mningatel tasapinguse ja

ruumpinguse juhtudel vib osutuda liialt julgeks hpoteesiks. Seeprast on

vlja ttatud mitmed materjali tugevushinnangu mudelid, millest mnda

jrgnevalt pgusalt tutvustame.

Suurimate peapingete teooria. See teooria phineb hpoteesil, et materjal on ruum- ja joonpingusel

samas olukorras, kui maksimaalsed pinged on vrdsed. See annab

arvutuseeskirjadeks vastavalt tmbel ja survel jrgmised valemid:

max ftm ja min fsur , (4.7.1) ja (4.7.2)

kus ftm ja fsur materjali tmbe- ja survetugevus.

Tingimust (4.7.1) tuleks kasutada kindlasti habraste materjalide

tmbel. Pole raske nha, et joonpingusel (aga just joonpingus tekib pikkel

ja painde ohtlikes ligetes) langeb suurimate peapingete teooria kokku

loomuliku tugevustingimusega.

Suurimate joondeformatsioonide teooria. Videtakse, et materjal on joonpingel ja ruumpingel samas olekus, kui

vastavalt suurimad joondeformatsioonid on vrdsed: maxj= maxr, mis vastavalt

(3.5.1) ja (4.6.5) annab seose x/E=1/E*[ 1-( 2+ 3)], kus 1 , 2, 3 on

ruumpinguse puhul peapinged. Siit tehakse formaalne tehe, vrdsustades

joonpinguse x kandilistes sulgudes oleva avaldisega ja vrreldakse seda

materjali tugevuskarakteristikuga joonpingel. Tulemuseks saame vastavalt

tmbel ja survel jrgmised valemid:

1-( 2+ 3) ftm (4.7.3)

3-( 2+ 1) fsur (4.7.4)

Tasub rhutada, et eeltoodud avaldistes on peapinged mrgiga suurused

ja viimases valemis tuleb smbolit > arvestada loomulikult tema

algebralises thenduses, kus fsur on negatiivne suurus. Seda tugevusteooriat

kasutatakse habraste materjalide survetugevuse hindamisel, aga samuti

teraskonstruktsioonides, kui on karta vsimuspurunemist (vt 3.1).

Suurimate nihkepingete teooria. Selle teooria jrgi on materjal samas olukorras, kui maksimaalsed

nihkepinged joonpingusel ja ruumpingusel on vrdsed, mis vastavalt

avaldisele (4.4.3) annab

j/2=( - 3)/2 ja 1- 3 f. (4.7.5)

Seda soovitatakse kasutada plastsete materjalide korral, kus sageli on

mravaks purunemine nihketugevuse ammendumise tttu. Sellele viitab ka

pehmest terasest proovikeha purunemispildi vaatlemine, kust selgub, et

ristlike keskmine osa puruneb varda teljega ristsuunas, rmised osad aga

sellega 45 nurga all. Jb veel lisada, et joonpinguse korral langeb

tulemus jllegi kokku meie poolt varem formuleeritud loomuliku

tugevustingimusega.

25

Energeetiline tugevusteooria. Siin pstitatakse hpotees, et materjali purustamiseks kulutatud

energia joonpingusel ja ruumpingusel on vrdne. Selle vite alusel on

saadud tulemus, mille tuletamist me siinkohal ei vaata:

________________________

1+ 2+ 3-( 1 2+ 2 3+ 1 3) f (4.7.6)

Selle teooria jrgi arvutatakse tavaliselt keerulises pingeolukorras

olevaid teraskonstruktsioone. Ja jllegi vime lisada, et joonpingusel

( 1 0, 2= 3=0) langeb energeetilise tugevusteooria jrgi formuleeritud

tugevustingimus kokku loomuliku tugevustingimusega.

26

5. PINNAMOMENDID

Pinnamomendid on tasapinnalise kujundi geomeetrilised tunnus-

suurused, mida kasutatakse varda ristlike kirjeldamiseks varda

tugevus- ja jikusarvutustes. Pinnamomenti defineeritakse kui

koordinaadistikus x-y oleva pinnaosa A integraalset suurust

yxkl= x

kyldA, (5.0.1)

A

kus x ja y on vaadeldava punkti koordinaadid, millede suhtes pinnamomente

arvutatakse ja k ning l on astmenitajad, mille suurus vib olla mistahes

positiivne tisarv alates nullist. Integraal vetakse le pinna A (joonis

5.0.1). Tugevuspetuses on kasutusel pinnamomendid k ja l vrtustega 0, 1,

ja 2.

Joonis 5.0.1. Tasapinnaline kujund teljestikus x-y

5.1. Pindala

Kui k=l=0, saame pinnamomendi ammutuntud erijuhu, mida nimetame kujundi

pindala:

A= dA (5.1.1) A

Kujundi pindala leidmiseks on kasutusel paljud analtilised ja

graafoanaltilised meetodid, mida siinkohal ei ksitleta. Kasulik on vaid

teada, et liitkujundi pindala vrdub seda liitkujundit moodustavate osa-

kujundite pindalade summaga:

n

A= Ai , (5.1.2) i=1

kus Ai - i-nda kujundi pindala,

n - osakujundite arv.

Avaldises (5.1.2) toodud tehe thendab, et osakujundid jrje-

korranumbritega 1-st kuni n-ni liidetakse. Kujundi pindala loetakse alati

positiivseks ja pindala hikuks on pikkushik ruudus (m, cm, mm).

5.2. Staatiline moment

Kui k=1 ja l=0, saame suuruse, mida nimetatakse kujundi staatiliseks

momendiks y-telje suhtes. Staatiline moment x-telje suhtes saadakse, kui

vastavalt k=0 ja l=1 (joonis 5.2.1).

Sy= xdA ja Sx= ydA (5.2.1) ja (5.2.2) A A

27 Elementaarset pinnaosa dA loetakse alati positiivseks, koordinaadid x ja

y on aga mrgiga suurused. Seega ka staatiline moment on mrgiga suurus ja

vib vrduda ka nulliga. Mrk sltub telje asendist kujundi suhtes. Kui

enamus pinnast on telje positiivsel poolel, on ka staatiline moment

positiivne. Telg, mille suhtes staatiline moment vrdub nulliga, kannab

nimetust kujundi kesktelg. Kesktelgede likepunkt on kujundi raskuskese. Kui

kujundil on smmeetriatelgi, siis need on kik loomulikult keskteljed.

Staatilise momendi hik on pikkushik kuubis (m, cm, mm).

Joonis 5.2.1. Telgede nihutamine Joonis 5.2.2. Kesktelje asendi mramine

Nihutades telge y paralleelselt iseendaga suuruse xo vrra (joonis

5.2.1), saame telje v, mille suhtes staatiline moment Sv on:

Sy= (x+x0)dA= xdA+ x0dA=Sy+x0A A A A

Analoogiline seos tekib ka telje x paralleellkkel y0 vrra, mille

tulemusena saadakse u telg ja staatiline moment Su. Kui x ja y on kujundi

keskteljed, mille suhtes staatilised momendid vrduvad nulliga, saame

seosed:

Sv=x0A ja Su=y0A, (5.2.3) ja (5.2.4)

kus A - kujundi pindala,

x0 - kujundi raskuskeskme kaugus teljest v,

y0 - kujundi raskuskeskme kaugus teljest u.

Suurused x0 ja y0 on mrgiga suurused. Arvestades, et liitkujundi

staatiline moment vrdub seda kujundit moodustavate osakujundite

staatiliste momentide summaga, on liitkujundi staatilise momendi abil

vimalik leida tema kesktelje asendit (joonis 5.2.2):

n

u= ui*Ai/A (5.2.5) i=1

kus u - liitkujundi raskuskeskme kaugus teljest v,

ui - i-nda osakujundi raskuskeskme kaugus teljest v,

Ai - i-nda osakujundi pindala,

A - liitkujundi pindala,

n - osakujundite arv.

Selles avaldises on koordinaat u ja ui mrgiga suurused. Leides

vhemalt kaks liitkujundi kesktelge, saame nende likepunktina liitkujundi

raskuskeskme. Kuna smmeetriatelg on kujundi kesktelg, on ka smmeetria-

telgede likepunkt loomulikult kujundi raskuskese.

28 5.3. Telginertsimomendid

Kujundi telginertsimomendid telgede x ja y suhtes Ix ja Iy saame, kui

astmenitajad avaldises (5.0.1) on vastavalt k=0 ja l=2 ning k=2 ja l=0.

Seega:

Ix= ydA ja Iy= xdA (5.3.1) ja (5.3.2) A A

Telginertsimoment on alati positiivne suurus (y>0) ja ta hikuks on

pikkushik neljandas astmes (m4, cm4, mm4).

Joonis 5.3.1. Telgede nihutusel koordinaadid muutuvad

Kui teljestiku x-y asemel vtame sellega paralleelse teljestiku u-v,

mille saame telgede x-y nihutamisega vastavalt y0 ja x0 vrra (joonis

5.3.1), saame uue teljepaari u-v suhtes telginertsimomendid:

Iu= (y-yo)dA ja Iv= (x+xo)dA, A A

millest prast vajalikke algebralisi tehteid ja integreerimist saame:

Iu=Ix-2y0Sx+y0A ja Iv=Iy+2x0Sy+x0A. (5.3.3) ja (5.3.4)

Kui aga teljed x-y olid kujundi keskteljed, mille suhtes

teatavasti staatilised momendid vrduvad nulliga (vt 5.2),

muutuvad toodud avaldised lihtsamaks. Seda tsiasja kasutatakse

liitkujundi telginertsimomendi leidmiseks. Arvestades, et liit-

kujundi telginertsimoment mingi telje suhtes vrdub seda

kujundit moodustavate osakujundite telginertsimomentide summaga

sama telje suhtes, saame liitkujundi telginertsimomendi

leidmiseks tema kesktelje suhtes jrgmise algoritmi:

n n

Ix= Ixi+ Aiyi, (5.3.5) i=1 i=1

kus Ix - liitkujundi telginertsimoment tema kesktelje x suhtes,

Ixi - i-nda osakujundi telginertsimoment tema kesktelje xi suhtes,

kus xix,

Ai i-nda osakujundi pindala,

yi - telgede x ja xi vaheline kaugus,

n - osakujundite arv.

5.4. Polaarinertsimoment

Polaarinertsimoment saadakse, kui pinnamomendi ldavaldises (5.0.1) ele-

mentaarpinnaosa dA ristkoordinaadid x-y asendatakse polaarkoordinaadiga r,

mis vetakse ruutu (joonis 5.4.1).

29

I0= rdA. 5.4.1) A

Kuna r=x+y, siis prast integreerimist selgub, et kujundi

polaarinertsimoment teljestiku alguspunkti suhtes vrdub telginertsi-

momentide summaga samade telgede suhtes:

I0=Ix+Iy (5.4.2)

Polaarinertsimomendi hik on nagu

telginertsimomendi hikki pikkushik neljandas

astmes ja ta vrtus on alati positiivne arv.

Joonis 5.4.1. Pinnaosa dA polaarkoordinaat on r

5.5. Tsentrifugaalmoment

Tsentrifugaalmomendi saame, kui pinnamomendi ldavaldises (5.0.1)

koordinaatide astmenitajad on k=l=1.

Ixy= xydA (5.5.1) A

Kuna koordinaadid on mrgiga suurused, siis tsentrifugaalmoment nagu

staatiline momentki on mrgiga suurus ja olenevalt telgede asendist kujundi

suhtes vib ta olla nii positiivne, negatiivne kui ka vrduda nulliga.

Tsentrifugaalmomendi hik on pikkushik neljandas astmes. Teljed, mille

suhtes tsentrifugaalmoment vrdub nulliga, on erilised keskteljed ja neid

nimetatakse peakesktelgedeks. Peakesktelgede suhtes on telginertsimomendid

ekstreemsed. Kui kujundil on smmeetriatelgi, siis need on kik

peakeskteljed.

Liitkujundi tsentrifugaalmoment mingi teljepaari suhtes on seda

liitkujundit moodustavate osakujundite tsentrifugaalmomentide summa samade

telgede suhtes. Et seda leida, peame teadma tsentrifugaalmomendi vrtust

telgede parallellkkel. Uued teljed saadakse telgede x ja y nihutamisel yo

ja xo vrra, saades teljestikuga x-y paralleelse teljestiku u-v (joonis

5.3.1). Uute telgede suhtes avaldub tsentrifugaalmoment siis:

Iuv= (xx0)(yy0)dA= xydAy0 xdAx0 ydAx0y0 dA, A A A A A

kust prast integreerimist saame:

Iuv=Ixyy0Syx0Sxx0y0A (5.5.2)

Kui teljestik x-y oli kujundi peakesktelgedeks, siis Ixy=Sy=Sx=0 ja me

saame liitkujundi tsentrifugaalmomendi arvutamise algoritmi:

n

Iuv= uiviAi , (5.5.3) i=1

kus Ai - i-nda kujundi pindala,

ui - i-nda kujundi peakesktelje yi kaugus liitkujundi raskuskeskmest,

vi - i-nda kujundi peakesktelje xi kaugus liitkujundi raskuskeskmest,

n - osakujundite arv.

30 Tuleb rhutada, et see lihtne avaldis (5.5.3) kehtib ainult siis, kui

xi-yi on osakujundi peakeskteljed ja nad on paralleelsed liitkujundi

keskteljepaariga x-y. Kui xi-yi ei ole osakujundi peakesktelgedeks, tuleb

eelnevalt leida nende suhtes osakujundi staatilised momendid ja

tsentrifugaalmoment ja seejrel kasutada avaldist (5.5.2).

5.6. Peakesktelgede leidmine

Olgu telgedepaar u-v telgede x-y suhtes pratud nurga vrra.

Pinnaosakese dA koordinaadid uues teljestikus on u=OE+AD=xcos +ysin ja

v=CD-CE=ycos -xsin (joonis 5.6.1). Leiame telginertsimomendid Iu ja Iv, kui

koordinaadid u ja v on avaldatud koordinaatide x-y ja nurga kaudu:

Iu= (ycos xsin )dA=Ixcos -Ixysin2 +Iysin ja A

Iv= (xcos +ysin )dA=Iycos +Ixysin2 +Ixsin A

Joonis 5.6.1. Punkti A koordinaadid teljestikus u-v.

Nagu nhtub, on tuletatud telginertsimomendi Iu avaldis tpselt sama

struktuuriga, nagu peapinge u avaldis kaldpinnal (4.3.1), kui normaal-

pingete x ja y asemel oleksid telginertsimomendid Ix ja Iy ja nihkepinge xy

asemel tsentrifugaalmoment Ixy. Jrelikult on ka peakeskteljed ja

ekstreemsed telginertsimomendid leitavad samade vtete ja seoste abil, nagu

seda tegime peapindade ja peapingete leidmisel avaldistega (4.4.1) ja

(4.4.2).

Seega: peakesktelgedeks on teljestikupaar u-v, mille asendi leid-

miseks saame telgede x ja u vahelise nurga , mille arvutame avaldisest:

tan2 =2Ixy/(Iy-Ix) (5.6.1)

Minimaalse ja maksimaalse telginertsimomendi vrtused on aga

vastavalt _____________ ___

Imax,min=[(Ix+Iy)/2][(Ix-Iy)/2]+Ixy. (5.6.2)

Jb veel lisada, et ka telginertsimomentide kohta kehtib

invariantsuse seadus, see thendab et

Ix+Iy=Iu+Iv=Imax+Imin (5.6.3)

31 5.7. Vastupanumoment

Lihtkujundi ja liitujundi vastupanumoment (kasutusel ka nimetused

tugevusmoment ja vastupidavusmoment) saadakse telginertsimomendi jagamisel

kujundi peakeskteljest kige kaugemal oleva punkti koordinaadiga. Kuigi

koordinaat on mrgiga suurus, loetakse vastupanumomendi arvutamisel

ekstreemset kaugust alati positiivseks ja vastupanumoment on tinglikult

alati positiivne suurus. Vastupanumomendi hik on pikkushik kolmandas

astmes (m, cm, mm). Vastupanumomenti, nagu telginertsimomentigi, arvuta-

takse mlema peakesktelje suhtes:

Wx=Ix/|ymax| ja Wy=Iy/|xmax| (5.7.1) ja (5.7.2)

Tuleb rhutada, et liitkujundi vastupanumomendi leidmiseks tuleb alati

enne leida vastava liitkujundi telginertsimoment, vastupanumomenti ei saa

leida osakujundite vastupanumomentide summeerimisega! Analoogiliselt

leitakse ka polaarinertsimomendist polaarvastupanumoment:

W0=I0/rmax (5.7.3)

Paraku on polaarindertsimomendil praktikas kasutatav vrtus vaid ringil

ja rngal. igemini - tpsed lahendid on vaid ringil ja rngal, sest muude

ristligete puhul lihtsalt tugevuspetuse vndeteooria, kus polaarinertsi-

momenti kasutatakse, ei kehti.

5.8. Inertsiraadius

Telginertsimomentidest tuletatud suuruseks on veel inertsiraadiused.

Inertsiraadius iseloomustab kujundi pindala ehk varda ristlike materjali

kaugust kujundi raskuskeskmest. Vastavalt definitsioonile on inertsiraadius

ruutjuur telginertsimomendi ja pindala jagatisest:

____ ____

ix=Ix/A ja iy=Iy/A (5.8.1)

Inertsiraadiuse hikuks on pikkushik (m, cm, mm). Tinglikult loetakse

inertsiraadiust ainult positiivsena. Inertsiraadiust vib arvutada kujundi

kikide kesktelgede kohta. Inertsiraadiuse ekstreemsed vrtused saadakse

loomulikult peakesktelgede inertsimomentidest. Olgu veel lisatud, et

inertsiraadiuse punktid ei saa sattuda vljaspoole kujundi kaugemate

punktidega mratud ala. Homogeenses ristlikes jb inertsiraadius alati

kujundi sisse.

5.9. Mnede lihtkujundite pinnamomendid

Olulisemate lihtkujundite pinnamomendid on toodud pea kikides

mehaanikaalastes ksiraamatutes. Kuidas need tulemused on saadud,

demonstreerime mnede nidete varal.

Rpklik, ristklik, ruut

Alusega paralleelse kesktelje x suhtes telginertsimoment avaldub

vastavalt phivalemile (5.3.1) integraalina muutuja dA jrgi. Otstarbekas

on muutuja dA asendada muutujaga dy, sest (joonis 5.9.1) on ju elementaarne

pinnaosa dA=dyb.

32 Seega

h/2 h/2

Ix= ydA=b ydy=by/3|=bh/12 (5.9.1.) A -h/2 -h/2

Joonis 5.9.1. Rpkliku, ristkliku ja ruudu telginertsimomendid on x-telje suhtes arvutatavad

samade vtetega

Ristklik on rpklik, mille kik nurgad on tisnurgad.

Ruut on ristkliku erikuju, kus alus b vrdub krgusega h ja vrdub

ruudu kljega a. Ruudul on kaks paari smmeetriatelgi, kuna ka diagonaalid

u ja v on smmeetriateljed. Vastavalt telginertsimomentide invariantsuse

seadusele (5.6.3) saame, et Ix+Iy=Iu+Iv. Kui teljed u-v on ruudu diagonaalid,

siis

Ix=Iy=Iu=Iv=a4/12 (5.9.2)

Ristkliku ja ruudu vastupanumomendid klgedega paralleelsete telgede x

suhtes ja ruudu diagonaali u suhtes on vastavalt

Wx=bh/6, Wx=a/6 ja Wu=a 2 /12 (5.9.3) ja (5.9.4)

Ruudu vastupanumoment diagonaali suhtes on viksem, sest ruudu

diagonaal on 2 korda pikem kui klg. Ristkliku (ruudu) inertsiraadiuse telje x suhtes saame selle teljega

risti oleva klje pikkuse h (a) jrgi

ix= /12bhbh3 =h/ 12 (5.9.5)

___

ix=iu=a/12 (5.9.5)

Kolmnurk

Joonis 5.9.2. Alusega paralleelse kesktelje X suhtes on mlema kolmnurga telginertsimomendid arvutatavad sama valemiga, see aga ei kehti Y telje suhtes

Alusega paralleelse keskteljega x paralleelse riba pinnaosakese dA

pindala avaldub koordinaadi y muutujana dy mnevrra keerulisemalt kui

rpkliku puhul, sest kolmnurga laius b(y) on ju koordinaadi y suunas

muutuv suurus (joonis 5.9.2) b(y)=2b/3+yb/h, kust dA=b(y)dy=(2b/3+yb/h)dy.

33 Muutuja dy jrgi saame integraali, mida integreerime piirides y=h/3 kuni

y=-2h/3. Seega

-2h/3

Ix= y(2b/3+yb/h)dy, kust prast integreerimist ja h/3

vajalikke algebralisi tehteid saame:

Ix=bh/36 (5.9.6)

Toodud avaldis kehtib igasuguse kolmnurga kohta. Piisab vaid, et telg,

mille suhtes inertsimomenti arvutatakse, peab olema alusega b paralleelne

ja krgust mdetakse alusega risti.

Jtame meelde, et telginertsimomendi avaldises on alati vaadeldava

teljega paralleelne mde esimeses astmes ja sellega risti olev mde

kolmandas astmes.

Vrdhaarse kolmnurga smmeetriatelje suhtes on telginertsimomenti

otstarbekas leida liitkujundi telginertsimomendi algoritmi (5.3.5)

kasutades. Vaatleme vrdhaarset kolmnurka liitkujundina, mis koosneb kahest

kolmnurgast alusega h ja krgusega b/2 (joonis 5.9.2). Alusega h

paralleelse kesktelje y1 suhtes on kummagi kolmnurga telginertsimoment

Iy1=h(b/2)/36 ja pindala A1=bh/4. Seega

Iy=2[hb/(8*36)+(bh/4)(b/6)]=hb/48 (5.9.7)

Ring

Joonis 5.9.3. Ring. Kaks poolringi on ring. Rngas on vlisringi ja siseringi vahe

Ringi puhul on otstarbekas alustada polaarinertsimomendist.

Polaarinertsimoment I0 on telginertsimomentide summa (5.4.2), seega

kahekordne telginertsimoment, sest on ju ringil kik raskuskeset lbivad

teljed keskteljed ja htlasi ka peakeskteljed. Elementaarpinnaosa dA on

rngas raadiusega ja laiusega d (joonis 5.9.3). Selle rnga pindala on

rnga mbermdu ja laiuse korrutis dA=2 d . Vastupanumomendid saadakse

telginertsimomentidest, kui kaugeima punkti koordinaadiks on D/2.

D/2 D/2

I0= dA= 2 d =2 4|= D4/32 (5.9.8)

A 0 0

millest telginertsimoment Ix, vastupanumoment Wx, inertsiraadius

ix ja polaarvastupanumoment W0 on vastavalt

Ix=Iy= D4/64 (5.9.9)

Wx= D/32 0,1D, ix=D/4 ja (5.9.10) ja (5.9.11)

W0= D/16 0,05D (5.9.12)

34 Poolring

Ringi telginertsimomenti vime vaadelda ka kui kahe poolringi

telginertsimomentide summat ringi diameetriks oleva telje suhtes. Poolringi

smmeetriatelje y suhtes on telginertsimoment lihtsalt pool ringi

telginertsimomendist. Smmeetriateljega y ristuva peakesktelje x1 suhtes

saame poolringi telginertsimomendi vastavalt avaldisele (5.3.5) ja et

telgede (joonis 5.9.3) x ja x1 vaheline kaugus y0=2D/3 saame

Iy=2Iy1=2[Ix1+( D/8)(2D/3 )]= D4/64,

kust avaldame poolringi telginertsimomendid

Iy1= D4/128 ja Ix1=0,00686D

4 (5.9.13) ja (5.9.14)

Rngas

Rnga (toru ristlike) telginertsimomendid ja polaarinertsi-

momendi saame vlisringi ja siseringi inertsimomentide vahena.

hukese seinapaksusega torude korral, kus tulemuseks on suurte

arvude vike vahe, ei ole otstarbekas kasutada numbrilist

lahendit, vaid leida see vahe enne analtiliselt. Thistame

vlisringi ja siseringi diameetrid vastavalt (joonis 5.9.3) D ja

d, mis toru seinapaksuseks annab =(D-d)/2 ja keskmiseks

diameetriks Dk=(D+d)/2. Olgu diameetrite suhe k=d/D ja vastavalt

d=kD. Telginertsimomendi tpse lahendi kskik millise telje t

suhtes saame

Ix=It= D4/64-d4/64=( D4/64)(1-k4) (5.9.15)

Polaarinertsimoment on sellest kaks korda suurem

I0=( D4/32)(1-k

4) (5.9.16)

Ligikaudse lahendi saame, kui kaks korda kasutame ruutude vahet kui

summa ja vahe korrutist ja eeldame, et D+d 2Dk. Saadud tulemus on piisa-

valt tpne ja sobib kasutada tavaliste ehitustel kasutatavate terastorude

korral.

It= /64[(D+d)(D+d)(D-d)]=( /64)(8Dk , kust

It= Dk /8 ja I0= Dk /4 (5.9.17) ja (5.9.18)

Kasutades sama smboolikat, on avaldisest (5.9.17) otstarbekas avaldada

ka rnga ehk toru ristlike inertsiraadius. Rnga pindala on A= Dk . Seega

it=It/A= Dk38 Dk Dk 2 /4 (5.9.19)

ehk toru inertsiraadius on 2 korda suurem kui sama diameetriga tisrist-

likelisel vardal, kui vrdsustada toru keskmine diameeter marvarda

diameetriga (vrdle 5.9.11). Olgu lisatud, et sama vahekord on ka

ruutristlikega kandilistel torudel ja ldse kigil kumeratel hulknurkadel.

Toru telgvastupanumoment ja polaarvastupanumoment on vastavalt

Wt Dk /4 ja W0= Dk /2 (5.9.20) ja (5.9.21)

35 6. PIKE

Pike on phitseisund, kus vardas on ainsaks sisejuks pikkejud ehk

normaaljud. Pikke nhtus on tnapeva ehituskonstruktsioonides kllaltki

levinud olukord: ttavad ju pikkel karkasside postid, srestiku vardad,

rippkandja trossid ja paljud muud detailid. Selleprast alustamegi

phitseisundite vaatlemist pikkest. Olgu veel lisatud, et pike on ka

kige lihtsamini ksitletav varda tseisund.

6.1. Sisejud pikkel

Puhtpikke olukorras on vardas ainukeseks sisejuks normaaljud.

Vastavalt siseju lddefinitsioonile (vt 3.2) snastame:

normaaljud likes avaldub kigi hel pool liget olevate vlisjudude

projektsioonide summana varda teljel.

Puhas pike tekib, kui kik rakendatud jud on varda telje sihilised ja

judude rakenduspunkt asub varda teljel.

Siseju funktsiooni graafiliseks kujutamiseks on otstarbekas kasutada

siseju epri (joonis 6.1.1).

Siseju epr on siseju graafik, mille abstsisstelg on varda teljega

parallelne joon ja ordinaadiks siseju vrtus vaadeldavas punktis.

Siseju epri pealkirjaks on vastava siseju nimi vi smbol ja

siseju hik. Siseju mrk kantakse eprile ja arvuline vrtus numbrina

epri (siseju vrtuse) muutumise kohta. Epri pind viirutatakse,

viirutuse suund nitab graafikul siseju mtmise suunda. Tavaliselt on see

risti varda telje suunaga, kuid kveratel varrastel vib viirutuse suund

silitada paralleelsuse mingi algselt valitud suunaga. On selge, et

viirutuse kuju on siis erinev ja funktsiooni suuruste mtmine graafikult

erinev.

Punktkoormuse rakenduskohtades on normaalju epril jrsk muutus, mida

nimetame hppeks. Lauskoormus, milleks on niteks varda omakaal, phjustab

siseju pidevat muutust. Konstantne lauskoormus, niteks htlase rist-

likega varda omakaal, phjustab lineaarselt muutuva siseju funktsiooni,

mis epril on teljega kaldu olev sirge. Joonisel 6.1.1 on ehitise karkassi

posti normaalju epri kulg. Epr algab koormusega P1=20,6 kN ja edasi

suureneb vastavalt likest lespoole jva

posti osa raskusjule. Kraana tala toetuse

kohal on epris hpe vastavalt koormusele

P2=15,7 kN. Posti alumise osa ristlige on

suurem ja iga pikkushiku kohta epri

vrtus muutub rohkem.

Muutuv lauskoormus, milleks vib olla

niteks muutuva ristlikega varda omakaal,

annab kvera siseju epri. Iga pikkushiku

kohta muutub epri vrtus selle

pikkushiku raskusju vrra.

Seega:

normaalju epril on punktkoormuse

rakenduspunktis hpe, koormustevahelisel

alal epr ei muutu. htlase ristlikega

varda omakaal phjustab lineaarselt muutuva

epri.

Joonis 6.1.1. Normaalju epr. Punktkoormuse rakenduse kohas on epril hpe, mille suurus vrdub koormusega,

htlane lauskoormus phjustab htlaselt kasvava vrtusega epri

36 6.2. Normaalpinged pikkel

Normaalpingete arvutamisel lhtutakse Saint Venanti printsiibist(2).

Eeldatakse, et normaalpinge on konstantne ja jaotub htlaselt le terve

ristlike:

x=Nx/A ja Nx= x*A . (6.2.1) ja (6.2.2)

See lihtne seos vastab tegelikkusele vaid siis, kui varda ristlige on

konstantne vi muutub ilma jrskude leminekuteta. Jrskude leminekute

kohtades esineb nhtus, mida nimetatakse pingekontsentratsiooniks. See on

nhtus, kus ristlike jrskude muutuste

kohal pinge suurus lokaalselt letab

avaldise (6.2.1) jrgi arvutatud

suuruse, seevastu sama ristlike muudes

kohtades jb aga pisut viksemaks.

Pingekontsentratsioon on seda mrgata-

vam, mida jrsem on ristlike muutus.

Joonis 6.2.1. Pingekontsentratsioon tekib ristlike muutuse kohtades

Pingekontsentratsiooni suurust otseselt tugevuspetuse vtetega leida

ei saa, kll on need pinged aga mdetavad mnede eksperimentaalsete meeto-

ditega ja arvutatavad elastsusteooriast tulenevate vtetega. Tugevus-

petuse rakenduslikes lesannetes on pingekontsentratsioon arvutatav

ligikaudse avaldisega

max= k, (6.2.3)

kus - pingekontsentratsiooni tegur,

k - keskmine pinge.

Pingekontsentratsiooni tegur on arvutatud olulisemate juhtude kohta

ja avaldatud ksiraamatutes tabelitena vi nomogrammidena. Keskmine

normaalpinge arvutatakse valemi (6.2.1) abil, kus ristlike pindalaks on nn

puhas ristlige (joonis 6.2.1) ehk netoristlige An, seega

k=N/An (6.2.4)

6.3. Paigutised pikkel

Paigutiste arvutamiseks vtame kasutusele miste paigutisfunktsioon ja

thistame selle x-suunalist komponenti thega u. See thendab, et iga punkt

vardal koordinaadiga x vib koormamise kigus saada paigutise u(x). Olgu

koormamata vardast A-B (joonis 6.3.1) vlja ligatud osakese a-b pikkus x.

Joonis 6.3.1. Normaalju toimel varda A-B pikkus muutub

37 Koormuse rakendamise jrel olgu punktide asukohad vastavalt

A,B,aja b. Osake a-b pikkusega x pikenes suuruse u vrra. Arvestades,

et x vib olla kuitahes vike suurus, saame vastavalt normaal-

deformatsiooni mistele (vt 3.4)

lim u/ x=du/dx= . Seega

x 0

x

=du/dx ja u(x)= dx+u0, (6.3.1) ja (6.3.2) 0

kus u0 on vaadeldava ligu alguspunkti paigutis.

Saadud paigutisfunktsiooni u(x) abil saame arvutada varda pikkuse

muutumist tema meelevaldses punktis. Kuna Hookei seaduse (3.5.1) jrgi

E ja vastavalt normaalpinge avaldisele (6.2.1) =N/A, saame valemist

(6.3.2) prast asendamisi

x

u(x)= [N(x)/E(x)A(x)]dx+u0, (6.3.3) 0

kus N(x) - normaalju funktsioon,

E(x) - normaalelastsusmooduli funktsioon,

A(x) - varda ristlike funktsioon,

u0 - paigutisfunktsiooni u(x) vrtus integreerimisrajal x=0.

Saadud avaldis (6.3.3) on universaalne seos varda deformatsiooni-

olukorra kirjeldamiseks. ldjuhul vivad ju kik integraali alused suurused

olla koordinaadi x suhtes muutuvad suurused.

Jrgnevalt vaatleme mningaid erijuhte.

o Otstest koormatud htlane varras

See thendab, et avaldises (6.3.3) on kik integraali all olevad

suurused konstandid ja neid vib integraali alt vlja tuua. Suuruse dx

integraal on loomulikult varda pikkus L. Kui varda pikkuse muutu ehk hest

otsast liikumatult kinnitatud varda puhul varda teise otsa siiret u(x=L)

thistame L, saame

L=PL/EA, (6.3.4)

kus P=N - koormus varda otsal ehk konstantne sisejud,

L - varda esialgne pikkus,

E - varda materjali elastsusmoodul,

A - varda ristlike pindala.

Saadud avaldis on lihtsasti mistetav: varda pikkuse muut on vrdeline

varda esialgse pikkuse ja mjuva juga ning prdvrdeline varda ristlike

normaaljikusega. Suurus EA, mis iseloomustab vastupanu normaalju toimele,

kannab nimetust ristlike normaaljikus.

o Paigutis omakaalust

Olgu homogeensest materjalist meelevaldse ristlikega A(x) varras

pikkusega L riputatud lemisest otsast (joonis 6.3.2). Koordinaadi algus-

punktiks x=0 olgu varda kinnituspunkt. Varda materjali mahukaal on .

38 Likes koordinaadiga x jb likest allapoole varda osa pikkusega L-x,

mille raskusjud on P=A(L-x) dx, kus integraali vrtus tuleb leida piir-

konnas x...L. Konstantse ristlike A(x)=const korral on normaalju funkt-

sioon vardas N(x)=A (L-x) ja paigutisfunktsiooni ldavaldise (6.3.3) jrgi

x

u(x)= A (L-x)/EA]dx+u0, kust prast integreerimist, 0

eeldades et varda kinnitus jb endiseks ja u0=0, saame

u(x)= (Lx-x/2)/E (6.3.5)

Joonis 6.3.2. Varda pikenemine omakaalust

Selle avaldise abil on vimalik leida konstantse ristlikega varda

meelevaldse punkti paigutist omakaalust. Varda kinnituspunktis (x=0) on

paigutis loomulikult 0. Varda kogu pikenemine omakaalust ehk paigutis

punktis x=l on

L= L/2E , (6.3.6)

kus - materjali mahukaal (raskusjud/maht), E - materjali normaalelastsusmoodul,

L - varda pikkus.

Loomulikult varda pikenemine ainult omakaalust ei sltu varda

ristlikest! Paigutisfunktsioon on vrdeline normaaljuga, seega paigutise

muutus ei ole lineaarne, vaid muutus on kiirem varda kinnituspunktile

lhemal, kus sisejud omakaalust on suurem. Varda kesklikes on toimunud

juba 3/4 kogu pikenemisest.

6.4. Tugevusarvutused pikkel

Tugevusarvutused pikkel viiakse lbi tavaliselt loomuliku

tugevustingimuse jrgi. Kuna pikke puhul on tegemist vaid joonpingusega,

siis langeb see alati kokku kigist lejnud tugevusteooriatest tulenevate

tugevustingimustega (vt 4.7). Erinevused tulevad esile surutud saledate

varraste puhul, kus varda kandevime mrab ntkumine, see on varda

ootamatu kverdumine koos tieliku kandevime kaoga. Ntke ksimusi

siinkohal ei ksitleta, need on kesoleva raamatu 13. peatkis.

Kui jtame krvale insenerarvutustes kasutatavad tagavarategurid, siis

tugevustingimus vljendub vrratuses

max f (6.4.1)

39 htlase vi aeglaselt muutuva ristlikega varda tmbel saame sellest

kolme suurust siduva vrratuse

N/An f, (6.4.2)

kus N - sisejud vardas, An - varda netoristlige sisejuga samas likes, F - varda materjali arvutustugevus.

Kui varda ristlige jrsult muutub, tuleb arvestada ka pinge-

kontsentratsiooni ja avaldis (6.4.2) vtab kuju (N/An f.

Toodud seos (6.4.2) annab kolm erinevat tpi praktilist lesannet.

Pingekontroll

See praktikast tuntud lesanne snastatakse nii: on antud

konstruktsiooni geomeetrilised suurused ja materjali tugevus ning mjuv

koormus. Kontrollida, kas kehtivate normatiivsete eeskirjade jrgi

konstruktsioon peab vastu vi puruneb.

lesande lahenduseks leitakse suurima pingega ristlige ja tehakse

pingekontroll vastavalt avaldisele (6.4.2).

Kandevime mramine

On antud konstruktsiooni geomeetrilised suurused ja materjali tugevus.

Leida, milline on maksimaalselt vimalik koormus, mida konstruktsioon

suudab kanda.

Avaldisest (6.4.2) leitakse maksimaalselt vimalik sisejud [N] A*f

ja lubatud siseju [N] jrgi leitakse koormus P, mis selle siseju

phjustab: [N] P. See on siseju leidmise vastandlesanne, kuid lahendatav

samade vtetega. Kui konstruktsioonis on mitu erinevat varrast, tuleb leida

maksimaalselt vimalik koormus kigi varraste jrgi ja saadud tulemustest

valida vhim.

Dimensioonimine

On antud konstruktsiooni arvutusskeem ja koormused. Leida konstrukt-

sioonielementide vajalikud ristliked.

See on tavaline projekteerija-konstruktori lesanne. Pikke lesande

puhul thendab see avaldisest (6.4.2) suuruse A leidmist, kus A N/f.

Ristlike suuruse A jrgi valitakse vajalik varras kas profiilide

kataloogist, arvutatakse niteks marvarda diameeter D= 4A/ vi

mratakse vajalikud prussi mted A=b*h. Nagu nha, on vajaliku prussi

heselt mramiseks tarvis ette anda kas ks kljepikkus vi kljepikkuste

suhe. Ruutristlike serva pikkuse a saame loomulikult heselt mrata ja

see tehe on ruutjuure vtmine, kuna A=a.

Pingekontsentratsioonist

Mningad erinevused on sitkete ja habraste materjalide

tugevusarvutustes pikkel. Sitketele materjalidele ei ole staatilisel

koormamisel pingekontsentratsioon tavaliselt ohtlik ja seda ei ole vaja

arvestada. Toimuvad ju sitkes materjalis enne purunemist kllaltki suured

deformatsioonid ja selline lokaalne materjali deformatsiooniolukorra muutus

ei ohusta konstruktsiooni kui tervikut (joonis 6.4.1). Ohtlik olukord tekib

alles siis, kui kogu ristlige on pingestunud voolepiirini v. Koormamisel

40 pinge maksimaalne vrtus alul ei suurene, suurenevad vaid

deformatsioonid pingekontsentraatori mbruses. Avaldises (6.4.1) max asemel

tuleb seega kasutada suurust k (6.2.4). Seevastu habrastel materjalidel

tuleb arvestada tugevusarvutustes pingekontsentratsiooni. See thendab, et

avaldises (6.4.1) tuleb maksimaalne pinge arvutada avaldise (6.2.4) jrgi.

Seega konstruktsiooni psimiseks on vaja

rahuldada vrratus (N/Ak)*f. Ettengelik

konstruktor teeb seda dnaamilise, eriti vib-

reeriva koormuse korral ka pehmest ssinik-

terasest konstruktsiooni tugevusarvutusel.

Joonis 6.4.1. Maksimaalne pinge pingekontsentraatori kohal saab

pehmes terases kasvada vaid voolupiirini

6.5. Staatikaga mramata lesanded

Teoreetilise mehaanika kursuses jid krvale lesanded, kus tundmatuid

toereaktsioone vi sisejude oli rohkem kui vastava jussteemi tasakaalu-

vrrandeid. Pikke puhul on ju tegelikult ainult ks judude

tasakaaluvrrand, kas projektsioonide vrrand hel teljel vi momendi

vrrand mingi punkti mber. Staatikaga mramata lesannete lahendamiseks

tugevuspetuses aga koostatakse paigutistingimusi arvestades tiendavad

paigutisvrrandid, mis sisaldavad toereaktsioone. Tekib vrrandissteem,

mis sisaldab lisaks tasakaaluvrrandi(te)le paigutisvrrandeid. Kuna paigu-

tisvrrandid sisaldavad tundmatuid toereaktsioone vi sisejude, on varem

lahendamatutena tundunud lesanded lahendatavad. Jrgnevalt demonstreerime

mnda sellist vtet.

Otstest kinnitatud varras

Pikkel on teatavasti vaid ks tasakaaluvrrand. Tavaliselt kasutatakse

selleks judude projektsioonide summat varda teljel X=0. Kui varras on

kinnitatud aga kahest otsast (joonis 6.5.1), phjustab aktiivne vlisjud P

kaks tundmatut toereaktsiooni RA ja RB. Seega tasakaaluvrrandile

RA+RB-P=0 (6.5.1)

on tarvis lisada veel teine vrrand, mille saame paigutise vrrandist.

Vabastame varda he otsa ja vaatleme jussteemi ja paigutisi komponentide

kaupa, kasutades selleks judude mju superpositsiooni printsiipi (2).

Joonis 6.5.1. Otstest kinnitatud varda toereaktsioonide leidmiseks saadakse tiendav vrrand

paigutistingimusest

41

Toel B phjustab jud P paigutise B,P ja toereaktsioon RB paigutise

B,RB. Siin ja edaspidi on paigutiste esimeseks indeksiks paigutise

asukoht, teiseks indeksiks paigutise phjus. Tegelikus konstruktsioonis

jb punkt B paigale, mis thendab, et B,P= B,RB ja see paigutistingimus

annabki teise vrrandi, mis seob aktiivse ju P ja toereaktsiooni RB.

Kasutades valemit (6.3.4), saame

P*a/EA=RB*L/EA, (6.5.2)

mis koos vrrandiga (6.5.1) annab RB=P*a/L ja RA=P*b/L, sest (joonis 6.5.1)

a+b=L. Seega: toereaktsioon on prdvrdeline koormuse kaugusega toest. On

huvitav mrkida, et formaalselt samasuguse tulemuse saime teoreetilisest

mehaanikast tuntud lihttala toereaktsioonide leidmiseks!

Pinged temperatuuri muutusest

Mlemast otsast jigalt kinnitatud vardas tekivad ka temperatuuri

muutusest pinged. Kui tem