:

~JO.5 ~e (1 .68)

idecidido el incremento en la capacidad de la linea y se

longltud dellazo se puede usar la ecuaci6n (1.69) asi

) I (, I .1

(1.74)

ecuaci6n de 8n ecuaciones de las formas rias se puede

(1 .75)

n se puede

(1 .76)

Partiendo de la ecuaci6n (1 .76) las expresiones para Le Y qnew/qold para sistemas de tuberfas en serie son

(1 .66a)

~ n,,, =(~. )"."(~ )" =I( ~~ )'(: )" (168a) / ,IId If \ c'

y cuando de=d

Cl ne'lI (170a)=

Para sistemas en paralelo

. I I "

d "-" "L = (1.72a)=

"

~. = ( :':' ]h(~)' " (168a) q"Id ,. d

para sistemas de lazos

1-( q old ]11" 1_( :' ,,'d 1" X _--...:.--=-q...-:,"" -=---__ =__::..1'11" 11n_ (174a)L 1 I

' -H~; rl 'Tt; lT Las constantes a, b, c y d en las ecuaclones anteriores dependen de la ecuaci6n que se aplique; la siguiente tabla muestra el resumen de los valores de tales constantes para algunas de las ecuaciones mas conocidas

59

a b c d Weymouth 16/3 0.50 8/3 2.0 Panhandle A 4.854 0.5394 2.618 18 Panhandle B 4.961 0510 2.530 1.968

Finalmente , es comun tambien tener un sistema de tuberias conformado por una tuberia principal y ramales 0 tuberias secundarias que salen 0 lIegan a ella . Este es el caso , par ejemplo , de un gasoducto que entrega gas en diferentes sitios de su recorrido 0 recibe gas en diferentes puntos de entrega de su recorrido .

Cuando el gasoducto entrega gas en su recorrido , la caida , presion hasta un punto cualquiera de entrega i se puede calcular asi :

(1 .77)

y cuando a la tuberia estc'm entrando aportes en diferentes puntos , la caida de presion en un punto de aporte se obtiene de

(1 .78)

En las ecuaciones (1 .77) y (1 .78) el valor de C y las constantes a - d depend en de la ecuacion usada y el valor de C ademas tambiEm depende de la unidades usadas para las variables tal como se mostro en la tabla para los valores de C para cad a ecuacion. Los valores de a-d se obtienen de la tabla recien mostrada.

CUe tub. que can tUbE prot inch muc intel pun' grar una gas. imp< habr' una ecuc exce

Norn que : los n cond

2.1.

Node dondl

Tram se PI tambi En el presi(

60

b c d 0.50 8/3 2.0 .5394 2.618 1.8 ~ . 51 0 2.530 1.968

~r un sistema de tuberias conformado por erias secundarias que salen 0 Ilegan a ella .

gasoducto que entrega gas en diferentes en diferentes puntos de entrega de su

!n su recorrido, la caida , presion hasta un je calcular asi:

(1 .77)

aportes en diferentes puntos, la caida de -ne de:

(1.78)

lr de C y las constantes a - d dependen lemas tam bien depende de la unidades 10stro en la tabla para los valores de C a-d se obtienen de la tabla reclen

2. FLUJO DE GAS EN REDES

Cuando se trata de lIevar gas de un sitio a otro simplemente se requiere de una tuberia que una los dos puntos con capacidad para transportar la cantidad de gas que se desee; la situacion se puede complicar un poco cuando aumente la cantidad de gas que se desea transportar y para ello hay necesidad de adicionar tuberias paralelas a la inicial; aunque el sistema se ha complicado un poco, el problema sigue siendo el de Ilevar gas de un punto a otro y el calculo solamente incluye la aplicaci6n de la ecuacion para flujo de gas en tuberias. Un problema mucho mas complejo se presenta cuando se tiene un conjunto de tuberias interconectadas en varias direcciones y que transportan gas desde uno 0 dos puntos hacia un gran numero de puntos 0, al contrario, que Ilevan gas desde un gran numero de puntos hacia una tuberia principal. En el primer caso se trata de una red para distribucion de gas y en el segundo de una red para recoleccion de gas. En adelante se hablara solamente de redes de distribuci6n pero es importante aclarar que ambos tipos de redes se trabaja en igual forma , quizas habra una pequer'ia diferencia en el tipo de ecuaci6n utilizada pues generalmente una red de recoleccion trabaja a presiones altas y en ella es aconsejable usar la ecuaci6n de Panhandle, mientras que una red para distribuci6n, con algunas excepciones, trabaja a presiones bajas y en ella es aconsejable usar Wymouth.

Normalmente el flujo en una red es bajo condiciones inestables porque los flujos que salen de la misma varian con el tiempo, pero para efectos de simplicidad en los metodos de calculo se supondra en este capitulo que el flujo en la red es bajo condiciones estables.

2.1. Elementos de una Red de Gas

Nodo: Es el punto donde se conectan dos 0 mas tuberias de una red, 0 el punto donde ocurre un flujo externo.

Tramo: Es la secci6n de tuberia que un€.' dos nodos. Accesorios de la red donde se presentan cambios bruscos en la presion , como compresores y valvulas, tambien se consideran tramos 0 algunas veces se les llama nodos funcionales. En ellos al igual que en los tramos se tienen expresiones para calcular la caida de presion. Todo tramo 0 node funcional implica la presencia de dos nodos.

61

Caudal 0 Tasa de Flujo: Es la cantidad de gas que pasa por un tramo de la red , por unidad de tiempo.

Flujo Externo: Es la cantidad de gas que sale 0 entra a la red por algun punto de ella (nodo). Si entra a la red se conoce como aporte y si sale se conoce como consumo. En general, todo nodo esta asociado a un flujo externo. EI nodo donde ocurre aporte se conoce como fuente.

Malia: Es todo recorrido cerrado formado por un conjunto de tramos en la red de tal manera que no quede ningun tramo encerrado por el.

La figura 3 es un esquema de una red donde se pueden apreciar cada uno de los elementos de una red mencionados anteriormente. La red consta de 6 nodos, 7 tramos y dos mallas. La malla A esta compuesta por los tramos 1-2, 2-3, 3-4 Y 4-1 Y la malla B por los tramos 2-5, 5-6 , 6-3, 3-2. En los nodos 1 y 6 hay aportes y en los demas hay consumos; tal como 10 indica la direcci6n de las flechas.

\ / / /\ /~--------------------+-------------------~

52

A B

>" 3 6/

Figura 3 -. Elementos de una Red

2.2. Diagrama de una Red

Es la representaci6n gratica de los elementos que conforman una red, deben aparecer todos los datos de que se dispongan y sean necesarios para iniciar su soluci6n , aunque algunos de estos datos puedan ser supuestos . EI diagrama de una red supone todo un problema de diseno, pues se deben obtener los flujos

62

Idad de gas que pasa por un tramo de la red,

'3 la red por algun punto de y si sale se conoce como J externo . EI nodo donde

de tramos en la red de

'eciar cada uno de los ';onsta de 6 nodos, 7 JS 1-2, 2-3,3-4 y4-1 '6 hay aportes y en flechas .

)en su ie s

externos a cada uno de los nodos, definir el tamano de cada uno de los tramos de tuberia y la forma como van a ser interconectados .

Cuando una red se va haciendo grande empieza a hacerse dificil la elaboraci6n del diagrama pues resulta complicado representar todos los flujos externos y los tramos ; en estos casos se debe simplificar la red. La simplificaci6n del diagrama de una red , consiste en la concentraci6n de datos relacionados con consumos en ciertos puntos de la red y en la eliminaci6n de tramos. Cuando se tiene, por ejemplo , una red para distribuir gas en una ciudad , a 10 largo de cada tramo habra muchas salidas de gas hacia los consumidores; si se tratara de representar cada consumo en todos los tramos se necesitaria un diagrama muy extenso ; por tanto se acostumbra a concentrar estas cargas en los extremos (nodos) del tramo, de la siguiente manera : Se suman todos los consumos que ocurran a 10 largo del tramo , la mitad de esta suma se presenta como consumo en un nodo y la otra mitad en el otro nodo del tramo . Sin embargo , se debe tener en cuenta que si en el tramo se presenta en algun sitio un consumo alto de gas (como es el caso de un consumo industrial 0 comercial) , este debe representarse donde ocurra ; en segundo lugar, cuando uno de los nodos del tramo es un punto de aporte la carga se concentra en el otro nodo . Se ha encontrado que esta simplificaci6n mediante concentraci6n de cargas no introduce errores apreciables en el calculo de la red .

Una vez hecha la concentraci6n de cargas (consumos) se puede simplificar aun mas la red mediante la eliminaci6n de tramos , 10 que se conoce como demallaje. Este consiste en eliminar tramos de la red y distribuir hacia los nodos el caudal que pas a por el , sumando al consumo del nodo de donde sale y restando al consumo del nodo a donde lIega . AI hacer demallaje se debe primero analizar la red para decidir los tramos a eliminar; se aconseja eliminar los mas cortos y de menor diametro 0 los que presentan las ratas de flujo mas bajas .

En las figuras 4 y 5 se muestran los procedimientos mencionados de concentraci6n y demallaje. La simplificaci6n por concentraci6n de cargas se ilustra en la figura 4 y en la figura 5 se ilustra la simplificaci6n por demallaje.

La parte superior de la figura 4 muestra un tramo de una red en el cual se indica todos los consumos que ocurren a 10 largo de el ; la parte inferior a la misma pagina muestra como se representaria el mismo tramo con sus cargas concentradas en sus puntos terminales.

La red de figura 5 consta de 12 nodos , 17 tramos y 6 mallas ; se indican los flujo y su direcci6n en cada tramo, asi como los flujos externos en cada nodo . Se ha decidido eliminar los tram os 2-7 y 6-11, y en la parte inferior de la misma pagina se muestra la red luego del demallaje; n6tese que el numero de tramos es menor 10 mismo que el numero de mallas ; n6tese tambien la variaci6n de los flujos externos en los nodos conectados por los tramos eliminados.

63

Se debe aclarar aqui que el diagrama de una red no es un dibujo a escala ; solo da idea de la forma de interconexi6n de tramos y la distribuci6n de caudales y flujos externos, aunque algunas veces se indican las presiones. Las dimensiones de los tramos generalmente no aparecen en el diagrama.

Finalmente, cuando se necesita distribuir gas en una zona bastante extensa y poblada, como es el caso de una ciudad grande, el sistema completo de distribuci6n consta de varias redes superpuestas 0 independientes. Cuando son superpuestas, se tiene una red principal que trabaja a presi6n alta y en ella se ubican nodos que van a servir como fuente para redes secundarias. Una red secunda ria distribuye gas a un sector de la ciudad y trabaja a presiones bajas. Cuando las redes del sistema son independientes no hay red principal 0 de alimentaci6n , cada red tiene su fuente aisladamente porque la zona tiene varios sitios para almacenaje del gas 0, 10 menos comun , tiene varias terminales de gasoducto. En ambos casos el sistema total se trabaja red por red , pero en el caso de redes superpuestas se trabaja primero la red principal con el fin de obtener las presiones y los aportes en las (uentes de las redes secundarias.

a

/,:# 'J

<-.-....._---------------------/ ' ..­/ ,

b

Figura 4 Simplificaci6n de una Red por Concentraci6n de Gargas.

2.3. Descripcion del Flujo en una Red

En una red dada , de un node salen varios tramos que 10 conectan con otros tantos nodos; por tanto, aunque se conozca la presi6n en dicho node y la cantidad de fluido que sale de el, por aplicaci6n directa de la ecuaci6n de flujo no se puede determinar la cantidad y direcci6n del flujo en cada tram~ , ni la presi6n en el node conectado. Sin embargo, el flujo en cada tramo debe cumplir la ecuaci6n de flujo de gas en tuberias y como de todo node salen varios tramos, la presi6n en un

64

node I

que s,

F

Reso diamE presl( de 10:

pued,

presll EI pn los n flujos conJu

~

~

de una red no es un dibujo a escala ; solo da tramos y la distribucion de caudales y flujos

Indican las presiones. Las dimensiones de los Cl el diagrama.

en una zona bastante extensa y grande, el sistema completo de S 0 independientes. Cuando son \baja a presion alta y en ella se 'a redes secundarias. Una red ,d y trabaja a presiones bajas. ~s no hay red principal 0 de e parque la zona tiene varios " tiene varias terminales de ')aja red par red , pero en el red principal con el fin de

") redes secundarias.

-2

2

1S.

'ros tantos ntidad de •e puede

el nodo de flujo

en un

nodo debe satisfacer simultc'meamente las ecuaciones de flujo de todos los tramos que salen de el.

2.0 401. 0 2040 30\ \, 8. 0 / / 4

32

1 o1. 0 3.0 4 0

2.02 0 05 2.0/ y 2.0 /"/

5 1 0 67 2 5 8

051 51 5 4.0

05 1.0 1.0

/'" 1. 0 l/ 1.5 V 3.0

9 10 11 12 \

\ 70 a

\ 80 40 / 20 20

/ 2.0 30

-' 40 1

2 3 4

40 1.0

/? 05

/ 1 0

1/ .. 1 0

8 2.0 17 25 6 20 5 1.5 1 5

/ '" 05

1/ 1 0

1.5 ? 1 5 40

12

9 1.0 10 1 1 3.0 '--70

b

Figura 5 Simplificacion del Diagram a de una Red p or Demallaje

Resolver una red consiste en hallar las presiones en cada uno de sus nodos y los diametros y las tasas de flujo en sus tramos. Es claro que si se conocen las presiones en los nodos se puede hallar la tasa y la direccion de flujo en cada uno de los tramos de la red 0, al contrario , si se conoce la tasa y direccion de flujo se puede conocer las presiones en los nodos siempre y cuando se conozca la presion al menos en uno de los nodos de la red . EI problema de resolver una red se reduce entonces a calcular las presiones en los nodos y a partir de elias , los flujos en los tramos 0 10 contra rio, calcular los flujos en los tramos y a partir de ellos, las presiones en los nodos, para un conjunto de diametros de los tramos.

65

Para hallar las presiones 0 las tasas de flujo se debe tener una sene de ecuaciones simultaneas en las cuales estas 0 aquellas sean las incognitas; tal sistema de ecuaciones describe el flujo en la red.

2.4. Sistemas de Ecuaciones que Describen el Flujo en una Red

Las ecuaciones simultaneas que describen el flujo en una red pueden estar dadas en funcion de las presiones en los nodos, de las tasas de flujo 0 de un factor de ajuste en las tasas de flujo ; es decir, se pod ran tener tres tipos de sistemas de ecuaciones segun sean las incognitas, en funcion de las cuales esten dadas las ecuaclones.

La obtencion de estos sistemas de ecuaciones se basa en las IIamadas primera y segunda ley de Kirchoff sobre flujo estable en redes. La primera ley de Kirchoff, mas conocida como Ecuacion de Continu idad , se formula asi:

"En todo nodo de una red , la cantidad de masa que entra es igual a la cantidad que sale" ; en otras palabras: "La suma algebraica de los caudales en todo nodo de una red es igual a cera" . Si nos fijamos en esta segunda definicion, puede concluirse que los flujos en los caudales de un nodo, deben ir precedidos de un signo y par convencion se establece que cuando el caudal IIega al nodo se considera negativo y si sale de el se considera positivo.

La segunda ley de Kirchoff se conoce tambien como ley de Conservacion de Energia y se enuncia asi

"En toda malla de red, la suma algebraica de las caidas (diferencias) de presion en sus tramos es igual a cera". Para el caso de flujo de gases, en esta definicion, en lugar de "caidas (diferencias) de presion", se toma las caidas (diferencias) del cuadrado de la presion". Nuevamente aqui, se deber tener un signo para las caidas de presion en cada uno de los tramos de la malla a la cual se Ie esta aplicando la Ecuacion de Energia . Par convencion , se considera que la caida de presion en un tramo es positiva, cuando al hacer el recorrido de la malia, la direccion del flujo es en el sentido horario y sera negativa si es en el sentido contraharario .

7 0 (1)

3 0

(4)

Figura 6 Rei

EI recorrido partida. En ya sea harar

Una ilustrac continuacion

Tal como in! cinco tramm parentesis y

Si se aplica I

4.0 +~

7.0 =

Si se apl ica el sentido he

donde, hi] = sea del nod(

h = '.I

66

flujo se debe tener una serie de o aquellas sean las incognitas; tal d.

~ Flujo en una Red

en una red pueden estar dadas 1sas de flujo 0 de un factor de ·ner tres tipos de sistemas de Ie las cuales esten dadas las

:l en las lIamadas primera y La primera ley de Kirchoff, a asi :

fa es igual a la cantidad caudales en todo nodo unda definicion , puede ~n ir precedidos de un dal lIega al nodo se

e Conservacion de

ncias) de presion n esta definicion , (diferencias) del

signo para las ~ual se Ie esta 'Je la caida de ~ la malia , la ~n el sentido

70 ( 1) 40 (2) 3.0

4.0

(4) (3), .

Figura 6 Red de Dos Mallas, Senaladas I y II, Cinco Tramos y Cuatro Nodos

EI recorrido de una malla se hace de tal manera que se regrese al punto de partida. En una red se acostumbra recorrer todas las mallas en el mismo sentido , ya sea horario 0 contrahorario.

Una ilustracion practica de 10 dicho acerca de estas dos leyes se discute a continuacion:

Tal como indica la figura 6 se dispone de una red de gas de dos mallas (I y I~), cinco tramos y cuatro nodos. Los nodos estan marcados par los numeros entre parentesis y las flechas indican las direcciones de flujo .

Si se aplica la ecuacion de continuidad en el nodo (1) se tiene:

4 .0 +3.0 - 7.0 =0

7.0 =4 .0 + 3.0

Si se aplica la ecuacion de conservacion de energia a la malla I, recorriendola en el sentido horario , se tiene:

donde, hij = caida de presion a 10 largo del tramo ij , cuando la direccion de flujo sea del nodo i al nodo j . Este valor esta dado por:

h = p2 _ p2 '.I ' .I

67

donde Pi, Pi = presiones en los nodos i y j

De acuerdo con las dos expresiones quedaria :

Para la malla II se tendria :

anteriores la ecuacion para la malla I

b) \ ley , obti(

Con, NL) para

N~

Apliq l la figl exterr indica corchl

4 ­

7.0

\.'4 ' ,

Figura i

Las ecuc

, ( I . ,), . . \1

en dondt ecuacion

(PC _p,2)_(p 2 _ p2 )+ (p 2 _p l )= O 1· ' ·1 1 4 2

Aplicando la ecuacion de continuidad en cada uno de los nodos de una red , se obtiene una serie de ecuaciones en funcion de las tasas de flujo ; ademas , si a cada tramo se aplica la ecuacion de flujo de gas en tuberias, se tendran las ecuaciones de continuidad en funcion de las presiones en los nodos de la red . De igual manera, cuando se aplica la ecuacion de energia a las mallas de una red , se obtiene un sistema de ecuaciones en funcion a las presiones en los nodos , pero si se aplica la ecuacion de flujo de gas a cada tramo se obtiene las caidas de presion en funcion de los caudales en los tramos y por tanto , las ecuaciones de energia en las mallas quedan dadas en funcion de los caudales en los tramos.

Como antes se menciono, aplicando las ecuaciones de continuidad y energia a una red se pueden obtener tres tipos diferentes de sistemas de ecuaciones que describen el flujo en la red :

1. Sistema de Ecuaciones en el cual las Incognitas son las Tasas de Flujo en cada Tramo.

Supongamos una red con NP tramos . Este sistema tendra NP incognitas y para que tenga solucion , se deben tener NP ecuaciones linealmente independientes (U). Estas ecuaciones se obtienen en la siguiente forma :

a) Aplicando la ecuacion de continuidad . Supongamos una red NJ nodos donde se conoce los aportes y consumos, 10 que supone que pudiera obtenerse NJ ecuaciones de continuidad; sin embargo, no pueden contarse como NJ, ya que una de elias esta dada en funcion de las demas, es decir, realmente son (NJ - 1) ecuaciones. Solo cuando en un node de la red se desconoce un aporte 0

consumo (liamados flujos externos) , las NJ ecuaciones de continuidad si suman NJ .

68