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TrigonometraCompendio de Ciencias - I - A

111SISTEMA HELICOIDAL

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Trigonometra Compendio de Ciencias - I - A

112 PASCUAL SACO OLIVEROS

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1.1 NGULO TRIGONOMTRICO Es aquel ngulo generado por la rotacin de unrayo de una posicin inicial hasta una posicin final

en un mismo plano.

Caractersticas:

Si se cambia el sentido de la rotacin de

un ngulo, entonces su medida cambiar

de signo.

1.2 SISTEMAS DE MEDICIN ANGULARSon aquellos sistemas que nos permiten repre-

sentar y medir a los ngulos trigonomtricos. Los

sistemas convencionales son el Sistema Sexagesi-

mal, Centesimal yRadial.

1.2.A Sistema Sexagesimal (Ingls)Unidad de medida: grado sexagesimal (1)

Subunidades: Minuto sexagesinal (1')

Segundo sexagesimal (1'')

Equivalencias:

1.2.B Sistema Centesimal (Francs)Unidad de medida: grado centesimal (1g)

Subunidades: Minuto centisimal (1m)

Segundo centesimal (1s)

Equivalencias:

1.2.C Sistema Radial (Circular)Unidad de medida: radin

Equivalencia:Aproximaciones para :

Luego de los sistemas de medidas angulares

debemos de recordar que la medida de un ngulo

trigonomtrico se puede indicar en los tres sistemas.

Por ejemplo:

Describir los sistemas de medicin angular.

Indicar las equivalencias de cada sistema.

Describir la relacin entre los sistemas.

Aplicar el Mtodo del Factor de Conversin.

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1.3 CONVERSIN DE UNIDADESPara convertir un ngulo de un sistema a otro

se aplica uno de los mtodos llamado Factor de

Conversin, que se deduce de la relacin:

180 < > 200g < > rad 9 < > 10g

1.3.A Si se quiere convertir de grados a radia-nes o viceversa se emplea el factor:

Ejemplos:

1. Convertir 20 a radianes.

2. Convertir 30g a radianes.

3. Convertir a grados sexagesimales.

1.3.B Si se quiere convertir de grados sexa-gesimales a grados centesimales o

viceversa se emplea el factor:

Ejemplos:

1. Convertir 27 a grados centesimales.

2. Convertir 80g

a grados sexagesimales.

La notacin

Ejemplos:

1. 2 30' 2 + 30'

2. 3'20'' 3'+30''3. 20 + 30' + 40'' 20 30'40''

4. 90 90 90 90 + 90 + 9

5. Convertir al sistema sexagesimal.

NOTA: 1 rad 57 17 44''

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1. Si: , calcule el mayor nmero entero de grados sexagesi-males de .Resolucin:

I. Convertimos al sistema radial.

II. Para que tome su mayor nmero entero de grados sexagesimales debe ser el menor

entero de grados sexagesimales, es decir:

III.

2. Problema Si: 1g 2m + 3g 4m + 5g 6m + ...

Demustrese que el menor nmero entero de grados centesimales es 582g.

Resolucin:

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1. Calcule:

Rpta.: ...........................................................

2. Hallar k si:

Rpta.: ...........................................................

3. Calcuel x del grfico mostrado:

Rpta.: ...........................................................

4. La suma de dos ngulos es 50g y su diferen-

cia . Halle la medida del mayor en

el sistema radial y la del menor en el sistema

sexagesimal.

Rpta.: ...........................................................

5. Los ngulos agudos de un tringulo rectngulomiden: (x 1) y (9x)g. Calcule x.

Rpta.: ...........................................................

6. Calcule:

Rpta.: ...........................................................

7. Si:

Calcule en el sistema radial.

Rpta.: ...........................................................

8. Si: Halle:

Rpta.: ...........................................................

9. Si: . Calcule:

Rpta.: ...........................................................

10. Si: a es la 40ava. parte de 1g

y b es la 18ava. parte de 1

calcule:

Rpta.: ...........................................................

11. Si:

calcular:

Rpta.: ...........................................................

12. Si: x + y + z = 80, adems:

halle: a + b + c

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Rpta.: ...........................................................

13. Halle la naturaleza del tringulo si dos de sus

ngulos interiores miden

Rpta.: ...........................................................

14. Calcule a si:

Rpta.: ...........................................................

15. Si es el menor ngulo tal que cumpla con:

calcule:

Rpta.: ...........................................................

1. Calcule x:

A) 8 B) 9 C) 10 D) 11 E) 12

2. Los ngulos interiores de un cuadriltero miden

, calcule x.

A) 27 B) 36 C) 45 D) 68 E) 72

3. Si: , calcule:

A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 E) 5

4. Reducir:

A) 2 B) 3 C) 5 D) 6 E) 9

5. Calcule:

A) 10 B) 11 C) 12 D) 13 E) 14

6. Calcule:

A) 2 B) 3 C) 4 D) 5 E) 6

7. Calcule la medida de en el sistema radialsi:

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A) B) C)

D) E)

8. Sealar Verdadero (V) o Falso (F) en las si-guientes proposiciones:

I. 9 10g II. 1 > 1g

III. 180 IV. = 180

A) VVVV B) VVVF C) VVFV

D) VVFF E) VFFV

9. Si a y bg son ngulos complementarios queestn en la relacin de 2 a 3, calcule:

A) 8 B) 9 C) 10 D) 11 E) 12

10. Encontrar la naturaleza del tringulo si lasmedidas de sus ngulos interiores son:

A) Escaleno B) Issceles

C) Equiltero D) Rectngulo

E) Issceles

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Indicar la frmula de conversin.

Aplicar la frmula general o reducida.

Indicar la frmula para calcular la longitud de un arco.

Aplicar la medida radial de un ngulo para calcular la longitud de un arco.

FRMULA DE CONVERSIN Todo ngulo trigonomtrico se representa por:

donde:

S : representa el # de grados sexagesimales.

C : representa el # de grados centesimales.

R : representa el # de radianes

tal que:

tambin:

S, C y R tambin se les conoce

como los nmeros convencionales de un

ngulo trigonomtrico.

Ejemplos:1. Si: C S = 4, hallar R.

Resolucin:

Por frmula:

donde: S = 9k; C = 10k;

en la condicin:

nos piden:

2. Reducir:

Resolucin:

Sabemos:

Reemplazando:

LONGITUD DE ARCO En una circunferencia se tiene:

tal que: donde:

Ejemplos:1. Calcule la longitud de un arco en una circunfe-

rencia de radio 12m. que subtiende un ngulo

central de 30.

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Resolucin:

2. De la figura se tiene sectores circulares:

Adems:

Calcule:

Resolucin:

Si:

Reemplazando:

Un radin es la medida del ngulo central

tal que subtiende una longitud de arco

igual a la longitud del radio de la circun-

ferencia.

ProblemaSi S, C y R son los nmeros convenciona-

les de un ngulo trigonomtrico tal que:

, adems: demuestre que: x + y =

19.

Resolucin:

1. Por frmula:

2. En la condicin:

3. Elevando a ambos trminos a la 90k:

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4. Adems:

De (4) y (3):

ProblemaEn la figura se muestran sectores circulares:

demustrese que:

Resolucin:

1. Si S, C y R son los nmeros convencio-

nales, reducir:

Rpta.: ...........................................................

2. Hallar R si: 2S C = 16 siendo S, C,R los nmeros convencionales.

Rpta.: ...........................................................

3. Calcule:

si:

S, C y R nmeros convencionales

Rpta.: ...........................................................

4. Hallar R si:

S, C y R nmeros convencionales

Rpta.: ...........................................................

5. En el grfico calcule la longitud del arcosi R = 180m. y O = centro.

Rpta.: ...........................................................

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6. Calcule: en los sectores cir-culares ilustrados.

Rpta.: ...........................................................

7. En los sectores circulares mostrados calculex.

Rpta.: ...........................................................

8. El promedio de los nmeros convencionales

de un ngulo trigonomtrico es .

calcule su medida radial.

Rpta.: ...........................................................

9. Halle R si:

Rpta.: ...........................................................

10. Calcule R si:

Rpta.: ...........................................................

11. Si los nmeros de grados sexagesimales ycentesimales son nmeros pares consecutivos,

calcule la medida radial del ngulo trigonom-

trico.

Rpta.: ...........................................................

12. Calcule R si:

Rpta.: ...........................................................

13. Si:calcule R.

Rpta.: ...........................................................

14. Calcule x en los sectores circulares mostra-dos.

Rpta.: ...........................................................

15. Calcule: 2 + .(AOB y COD: sectores circulares).

Rpta.: ...........................................................

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1. S, C y R son los nmeros convencionalesdel ngulo trigonomtrico, calcule:

A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 E) 5

2. Reducir:A) 5 B) 10 C) 15 D) 20 E) 25

3. Halle R si:

A) B) C) D) E)

4. Calcule C S si:A) 2 B) 3 C) 4 D) 5 E) 10

5. En la semicircunferencia mostrada halle la

longitud del arco si AC = 12u.

6. Si: calcule R.

A) B) C)

D) E)

7. Si: calcule R.

A) B) C) D) E)

8. Reducir:

A) B) C)

D) E)

9. Calcule el permetro de la regin sombreada:

siendo A y B centros de los arcos OP y OQ

respectivamente, adems OA = OB = 6u.

A) B) C)

D) E)

10. Del grfico calcule la longitud que recorre el

punto P hasta que choque con el lado

del tringulo equiltero ABC.

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RAZN TRIGONOMTRICAEs el cociente entre dos lados de un tringulo

rectngulo.

RAZN TRIGONOMTRICA CON RESPEC-TO A UN NGULO AGUDO

Ejemplo:

Definir la razn trigonomtrica de un ngulo agudo.

Aplicar la definicin en situaciones problemticas.

Aplicar el Teorema de Pitgoras para calcular las razones trigonomtricas.

Por definicin:

TEOREMA DE PITGORASEn todo tringulo rectngulo la suma de los

cuadrados de sus catetos es igual al cuadrado de la

hipotenusa.

Ejemplos:

1. Si:

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calcule:

Resolucin:

Por definicin:

Reemplazando:

2. Calcule:

Resolucin:

Por definicin:

Reemplazando:

3. En un tringulo ABC (B = 90) calcule a si se

cumple: b2 sen A sen C tg A = 25

Resolucin:

Reemplazando:

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ProblemaEn un tringulo rectngulo ABC demustreseque:

Resolucin:

1.

2. Se prolonga el cateto hasta una longitud

igual a

dondel el tringulo PAC es issceles.

3. Sabemos que: a2 + c2 = b2

ProblemaEn un tringulo rectngulo ABC (C = 90)

demuestre que:

Resolucin:

1. Si: , calcule:

Rpta.: ...........................................................

2. Si: , calcule:

Rpta.: ...........................................................

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4. Calcule x si:

Rpta.: ...........................................................

5. Calcule , adems ABCD esun cuadrado.

Rpta.: ...........................................................

6. En un tringulo ABC (B = 90) se cumple:

.

Calcule b si p: semipermetro.

Rpta.: ...........................................................

7. En un tringulo ABC (C = 90) se cumple:

, calcule:

Rpta.: ...........................................................

8. En un tringulo ABC (B = 90) se cumple:c t g C = 3 c s c A , c a l c u l e :

Rpta.: ...........................................................

9. El permetro de un tringulo rectngulo es 36u,adems el seno de uno de sus ngulos agudos

es 0,6. Calcule la longitud de la hipotenusa.

Rpta.: ...........................................................

10. Calcule: ctg

Rpta.: ...........................................................

11. Si:

adems:

calcule:

Rpta.: ...........................................................

12. Calcule: si AD=15 y BC=10.

Rpta.: ...........................................................

13. Calcule:

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Rpta.: ...........................................................

14. Si AOB es sector circular, adems:

. Calcule:

Rpta.: ...........................................................

15. Calcule:

Rpta.: ...........................................................

1. Si: ,calcule:

A) 0,1 B) 0,2 C) 0,3 D) 0,4 E) 0,5

A) B) C)

D) E)

3. Si: ,

calcule:

A) B) C) D) E)

4. En un tringulo ABC (A = 90) se cumple:

. Calcule b.

A) 2 B) 3 C) 4 D) 6 E) 12

5. De la figura halle:

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A) B) C) D) E) 2

6. Calcule: tg si AC = 13 y BD = 9

A) B) C) D) E) 2

7. Calcule: si: AB = 5 y DE =3

A) B) C) 2 D) 3 E) 4

8. Calcule:

A) 2 B) 3 C) 4 D) E)

9. Calcule:

A) 1 B) C) D) E)

10. Calcule:

A) 1 B) 2 C) 3 D) E)

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Describir la relacin de los lados de los tringulos notables.

Calcular las razones trigonomtricas de los ngulos notables.

Aplicar las razones trigonomtricas de los ngulos notables en situaciones problemti-

TRINGULOS NOTABLES

RAZONES TRIGONOMTRICASDE LOS NGULOS NOTABLES

OTROS TRINGULOS NOTABLES

Ejemplos:1. Calcule: k = 2 sen 30 + 3 tg 45 + 4 sec 37

Resolucin:

Por las R.T. de ngulos notables:

2. Calcule: tg

Resolucin:

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3. Calcule:

si:

Resolucin:

Por tringulos notables:

Reemplazando:

ProblemaSi y son ngulos agudos, adems:

demustrese que:

Resolucin:

1. De la condicin:

formando cuadrados perfectos:

2. Si:

De (1.):

3. Por razones trigonomtricas de ngulos nota-

bles:

ProblemaDe la figura, si: AD=2(BC) y BM=MC

demustrese que:

Resolucin:

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1. Calcule:k = 2 cos 60 + 3 ctg 45 + 5 cos 37

Rpta.: ...........................................................

2. Calcule: E = 2 tg2 60 + 3 sec2 45 + 3 csc37

Rpta.: ...........................................................

3. Si:Calcule:

Rpta.: ...........................................................

4. Calcule: tg .(AOB: sector circular).

Rpta.: ...........................................................

5. Halle: si es equiltero.

Rpta.: ...........................................................

Rpta.: ...........................................................

7. Si:calcule:

Rpta.: ...........................................................

8. Si ABCD es un cuadrado, calcule:

Rpta.: ...........................................................

Rpta.: ...........................................................

10. Si: AI y CI son bisectrices,

calcule:

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Rpta.: ...........................................................

11. Calcule: ctg

Rpta.: ...........................................................

12. Si: y son agudos, adems:

calcule: +

Rpta.: ...........................................................

13. Si: AB = BC, halle tg

Rpta.: ...........................................................

14. Si AOB es un sector circular, calcule: tg

Rpta.: ...........................................................

15. Calcule cos en el cubo mostrado.

Rpta.: ...........................................................

1. Calcule:

A) 0 B) 1 C) 2 D) 1 E) 2

2. Si es un ngulo agudo, tal que:

, halle

A) 30 B) 37 C) 45 D) 53 E) 60

3. Calcule: csc

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si:

A) B) C)

D) 5 E)

4. Si es equiltero, calcule tg .

5. Calcule ctg

A) 1,5 B) 1,8 C) 2

D) 2,5 E) 2,8

6. Halle sec

7. Calcule tg si 0

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