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7/25/2019 Transparents Bruit M2 CSA
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Le bruit
enlectronique
Grard [email protected]
Tel : 05 56 84 57 58/59
Dept GEII 15 rue Naudet CS 10207
33175 Gradignan cedex
mailto:[email protected]:[email protected]:[email protected]:[email protected]7/25/2019 Transparents Bruit M2 CSA
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1) lectronique pour linstrumentation : du capteur auprocesseur
2) Les tlcommunications analogiques et numriques
Le programme dlectronique des Depts. GEII fait apparatre
deux grands sous-ensembles
Ces deux sous-ensembles sont concerns par le bruit. Le bruit
limite les performances des dispositifs lectroniques.
La prsentation est ici principalement ddie au bruit eninstrumentation avec un trs bref aperu du bruit dans les
transmissions numriques. La prsentation permet de passer en
revue les concepts de base utiliser pour traiter le bruit en gnral.
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Processeur(mP, mcontrleur,
DSP, FPGA, )Interfacehomme-machine
Numrique
Analogique
Numrique Analogique
Processus
industriel
capteurs
Module de
puissance
Programmedlectron ique
Programme dlectr on ique -
lectr otechnique
Programme de Physique-lectron ique
Programme dlectron ique
Programme d info-industrielle
Leprogrammedautomatiqueest le
trait dunion entre les
diffrents sous
ensembles : il les
rend intelligents
Programme de physique
domaine concern par le bruit
Bruit et instrumentation
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1- Problme typique dinstrumentation : un capteur et un amplificateur
oprationnel
2- Quelques capteurs et circuits intgrs de linstrumentation
3-Bruit des composants lmentaires : rsistances et diodes
4-Rpartition du bruit dans le domaine des frquences : introduction de la densit
spectrale
5-Bruit dans les transistors
6-Modlisation du bruit dans les AOP
7-Manipulation des densits spectrales, bande passante quivalente de bruit dun
amplificateur, facteur de bruit dun amplificateur, facteur de bruit dune chane
damplificateurs,temprature quivalente de bruit
8-Bruit en sortie des montages non inverseur et inverseur
PLAN
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9-Etude de cas : lacclromtre et son conditionement
10- Transmission numrique et bruit : un bref aperu
11-Dtection synchrone
Complment 1 : Fonctions de corrlation : auto corrlation et inter corrlation
Complment 2 : Densit spectrale en sortie des montages non-inverseur etinverseur
Complment 3 : Valeur crte dun bruit Gaussien et crest factor
Bibliographie
Prrequis : Thormes de Norton et Thvenin, valeur efficace dunsignal, srie
de Fourier, calcul intgral, notions de probabilit et statistique
PLAN (suite)
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1-Problme typique dinstrumentation :
un capteur et un amplificateur oprationnel
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Problme typique dinstrumentation
Un capteur transforme une grandeur physique en une grandeur lectrique, le
traitement numrique de la grandeur physique ncessite gnralement un
conditionnement dont le rle est de rendre compatible les niveaux de sortie ducapteur avec la pleine chelle du convertisseur analogique numrique. Le capteur
choisi pour illustrer lexposest ici un acclromtre.
pleine chelledu CAN
plage ducapteur
Vcmax
Vcmin
VFS
0
)V(V
V)V(VV
cmincmax
FScmincs
Capteur N bitsS/H
Horloge
CAN+_
conditionnement
VsA
refV
cV
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Lacclromtre ADXL103 est un capteur capacitif
masse
raideurk
m
dd
)(
12
acclration
lectrode mobilepoint dancrage
lectrode immobilelectrode immobile
Quand lacclration est nulle, llectrode mobile est au milieu des lectrodes
immobiles : d2=d1.
d1d2
d2 d1
Quand lacclration est diffrente de zro, llectrode mobile est dplace soitvers la gauche soit vers la droite suivant le sens de lacclration: d2d1.
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1)( 21 CCRSi alors et)tcos(
d
dd
EV
21
s
21
2
2 dd
E
Vout
lectronique du capteur acclromtre
masse
raideurk
mdd
)( 12
acclrationavec: KVout
E1
C1
C2R Vs
multiplieur
Vout
Filtre passe basFrquence coupure
Fc
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Plage de mesure + rsolution nombre de bits N
1) On choisit une rsolution (exemple : mesurer une acclration 0,01g prs).
La plage de mesure (exemple : de1g 1g) et la rsolution fixent le nombre debits N du convertisseur analogique numrique, (N=8).
Plage de mesure + sensibilit capteur + pleine chelle CAN conditionnement
2) La plage de mesure, la sensibilit du capteur (exemple : 1V/g) et la pleine
chelle du convertisseur analogique numrique permettent de dimensionner le
conditionnement.
Mthodologie
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Le conditionnement
Ralisation du conditionnement
Dans la dmarche prcdente, nous avons oubli que nous vivons la temprature
de 300K et que les capteurs et amplificateurs sont des sources de bruit !
1
2ref
1
2cs
RRV
RR1VV
+
_
R2R1
Vref
VcAOP
)V(V
V)V(VV
cmincmax
FScmincs
+_
conditionnement
Vc VsA
refV cmincmax
cmincmaxFS
1
2
VV
VVV
R
R
cmincmaxFS
cminFSref
VVV
VVV
Une ralisation possible
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Le signal de sortie du capteur fluctue dans le temps. Les fluctuations ont deuxorigines : 1) mcanique, llectrodemobile vibre* et 2) lectronique.
*valeur quadratique moyenne des fluctuations : aB2
21 Tk2
1)d(dk
2
1
123B JK101,38k
x : constante de Boltzmann, aT : Temprature ambiante
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Le signal Vs lentre du CAN est bruit, le bruit provient du capteur et de
lamplificateurralisant le conditionnement.
Question: le nombre de bits impos par la rsolution est-il compatible avec le
bruit du signal ? Si la tension de bruit est plus grande que le quantum le CAN est
sur dimensionn.
Conclusion : il faut se familiariser avec les donnes constructeurs pour tre en
mesure dvaluerlordrede grandeur du bruit.
1 quantum
t
Vs
2,5V
Signal Vs pour une acclration nulle
VFS=5V
?
La tension de bruit est-elle infrieure ou suprieure au quantum ?
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2- Quelques capteurs et circuits intgrs de linstrumentation
Capteur de temprature : AD590
Capteur de champ magntique : AD22151
Photodiode et amplificateur intgr : OPT30
Amplificateur dinstrumentation : INA101
Multiplieur : AD534
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3- Bruit des composants lmentaires :
rsistances et diodes
B it th i (b it J h ) d i t
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Bruit thermique (bruit Johnson) des rsistances
Origine physique:Dans la limiteTa0les atomes sont immobiles. A la temprature
ambiante (Ta=300K), les atomes vibrent autour de leurs positions dquilibre. La
vibration des atomes entrane une fluctuation spatiale de la densit lectronique
gnrant ainsi une fluctuation de tension.
t
e
Ta=300K
eR
Rsistance avec bruit
e
Rrsistancesans bruit
source debruit entension
teR
uQuand Ta0K, le
bruit disparat
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Thermal noise
Thermal noise Johnson or Nyquist-noise
Phys Rev, 32 (1928) no 1, pp 97-113.
Origin of thermal noise : Brownian motion (1827) of free charge carriers (electrons
1897)
Electrons within a conductors lattice make a random walk at T > 0K.
Average kinetic energy of an electron:* 21 3
2 2thE m v kT
We observe in a bandwidth f a variance of the
voltage or current fluctuations given by :
= 4kTRf or = (4kT/R)f
These expressions need a quantum correction if hf is comparable to kT
2
n
4hf f e R
hfexp 1kT
kT6250 GHz
h
Thermal noise exists with IDC=0
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Extension to Noequilibrium: free carriers are subjected to an external electric field
Diffusion noise is caused by collisions of the carriers with the lattice :
Thermal noise
I 2
m
4kT 1S
R 1 2
mmean time between
collisions of free charge
carriers
I
4kTS
R for f
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On peut supprimer les parasites lectromagntiques mais pas le bruit.
Cage de Faraday
moteur eTa=300K R t
e
eTa=300K Rmoteur te
parasites
B i d ill ( h i ) d di d j i l i
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Bruit de grenaille (shot noise) dune diode jonction polarise en
directe
t
IIImoy
source debruit encourant
diode avec bruitdiode sans
bruit
I
Imoyi
i
t
Origine physique : Le bruit de grenaille est d la fluctuation dans le temps duflux de porteurs passant duncot lautrede la jonction (I=dQ/dt). Le courant
est limagedu peloton du tour de France : le nombre de coureurs passant, par
seconde, devant un observateur immobile fluctue dans le temps.
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Shot noise is due to the corpuscular nature of charge transport.
1918Walter Schottky discovered shot noise in radio tubes.
In a tube, under steady-state conditions, the time-averaged current is constant, but
arrival times of the electrons are not equally spaced, because the electrons leave the
cathode at random times.
This leads to fluctuations in the measured current, which can be described by simple
Poisson statistics.
i(t)
tt1 t2 t3
iii t = q t-t
Shot Noise
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Shot Noise
If the average transit time is and G is the generation rate (s-1) of electrons at the
cathode, then we have at the average = G. crossing electrons underway.
The noise is in the emission-time and also in the transit-time due to initial velocity
fluctuations.
2
2 2
2
Nq Nq qI= I= I = N
2
2 2
2
q qPoisson : N =N I =N =I
C(t) = 0 for t > t0 (no overlap in populations) and for 0 < t <
2
C t = I 1- t Power Spectral Density SI
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C(t) = 0 for t > t0 (no overlap in populations) and for 0 < t <
2
C t = I 1- t Power Spectral Density SI
I0
4qI tS =4 C t cos tdt= 1- cos tdt
0
2
I
sin fS =2qIf
IS =2qI for f 1
Shot Noise
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4- Rpartition du bruit dans le domaine des
frquences : introduction de la densit
spectrale
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Dans le cas des signaux priodiques non sinusodaux, les coefficients de la srie de
Fourier renseignent sur la rpartition de la puissance dans le domaine des
frquences.
Question : comment obtenir une information sur la rpartition en frquence dun
bruit, encore appel signal alatoire ?
Problme : le bruit nest pas priodique et on ne dispose pas dune expression
analytique dans le domaine temporel. Intuitivement, la valeur moyenne dunbruit
est nulle, par contre le carr de la valeur moyenne est diffrent de zro.
eTa=300K
t
eR
t
e2
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La valeur quadratique moyenne , encore note e2, est une information
intressante mais ne renseigne pas sur la rpartition du bruit dans le domaine
des frquences.
On peut par contre chercher la rpartition de la valeur quadratique dans le
domaine des frquences. Pour cela il suffit desinspirerde lexpriencesuivante,
faite sur des signaux classiques.
nobservatioddurelaestT
dtteT
ebruitdemoyenneequadratiquValeur T
T
'
)(1
lim0
22
eTa=300K
t
eR
t
e2
2e
Rappel sur la notion de valeur efficace et quadratique moyenne
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Rappel sur la notion de valeur efficace et quadratique moyenne
Conclusion : Les 3 sources ont mme valeur efficace car elles produisent la mme
puissance dans la charge R.
R
e(t)E
i(t)
tR
ERdsdissipemoy.puissanceP
2
.
2
)(. Etede.quad. moyVal
t R
e(t)2E
T
i(t)R
Edttite
TP
T2
0)()(
1
20 2 )(1)( EdtteTtemoy. deVal. quad. T
e(t)
R
t
E
E
T/2T/2
i(t)R
Edttite
TP
T2
0)()(
1
2
0
2
)(
1
)( EdtteTtemoy. deVal. quad.
T
0
)(
n
2n
2
stemoy. deVal. quad.Bessel-Parseval
Les 3 sources ont effectivement la mme valeur quadratique moyenne (carr de
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domaine temporel domaine frquentiel
f
f
s0
s1
[en V]
s1
f
s2 s3 s41/T
t
t
t
[en V]
Les 3 sources ont effectivement la mme valeur quadratique moyenne(carr de
la valeur efficace) et pourtant la rpartition de la puissance dans le domaine des
frquences est trs diffrente dans les 3 cas. La rpartition en puissance dpend
de la distribution du signal e(t) dans le domaine des frquences. La
dcomposition en srie de Fourier de e(t) renseigne sur la distribution :
Avec =2/T, sn et jn sont respectivement lamplitude et la phase de
lharmoniquede rang n.
)cos()(
0n
nn tnste j
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La valeur quadratique moyenne dun signal peut scrire soit dans le domaine
temporel soit encore dans le domaine frquentiel :
0
22
00
02
2)cos(1)(1...
n
nT
nnn
T sdttnsT
dtteT
moyquadVal j
La puissance dissipe dans la rsistance R se met sous la forme :
La quantit est la val. quad. moy. de lharmoniquede rang n, est
la valeur efficace.
2/2ns 2/ns
0
22
2
1
n
ns
RR
EP
2
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Question : Comment accder aux val. quad. moy. ?2/2ns
Rponse: en mesurant la val. quad. moy en sortie dun filtre passe-bande defrquence centrale variable.
n/T
1
dfMesure de la
valeurquadratique
frquence
filtre passe-bande
t
E
E
T/2T/2
e(t)
2/2ns
f1/T
Val. quad. moy.des harmoniques
[en V2]2/
24s
2/23s2/22s
2/21s
Quand on remplace le signal priodique de priode T par un bruit lectronique
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Quand on remplace le signal priodique, de priode T, par un bruit lectronique
non priodique, cest dire de priode , lcart entre deux raies tend vers
zro et le signal de sortie du mesureur de val. quad. moy. devient un signal continu
en fonction de la frquence.
T
0
x 105
-8
-6
-4
-2
0
2
4
6
8
t
0
x 105
-2
-1.5
-1
-0.5
0
0.5
1
1.5
2
t
x
10
f
Val. quad. moy.
ds. une plage df
source de
bruit
Mesure de lavaleur
quadratique
f
df
frquence
filtre passe-bande
1
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On crit que la valeur quadratique moyenne de bruit mesure en sortie est
proportionnelle : 1) la largeur de bande df et 2) une grandeur appele densit
spectrale:
Si la source de bruit est un gnrateur de courant, cas de la diode, la densit
spectralesexprimeen [A2/Hz].
Val. quad. moy. de bruit dans une plage df situe en f = e(f) df
[V2
] [V2
/Hz] [Hz]Les units
La densit spectrale e(f) dune source de bruit est donc la valeur quadratique
moyenne de bruit par unit de frquence, cest dire pour une largeur de bande 1
Hertz.
Densits spectrales des rsistances et diodes
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Densits spectrales des rsistances et diodes
(sans dmonstration ce niveau dtude)
NB : En toute rigueur, les densits spectrales e(f) et i(f) ne sont pas constantes,
elles diminuent aux frquences trs leves.
R
rsistance sansbruit la
temprature Ta
source de bruiten tension densit spectralee(f)=4kBTaR
kB=1,38x10-23JK-1: constante de
Boltzmann, Taen Kelvin et R en W f
e(f)
I
source debruit encourant
Imoydensit spectrale
i(f)=2qImoy
diode sans
bruit f
i(f)
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5- Bruit dans les transistors
Bruit dans les transistors
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Bruit dans les transistors
Transistors = diodes + rsistances daccs sources de bruit
Un transistor cest au minimum 2 diodes et trois rsistances daccs, en
consquence il nest pas envisageable, pour obtenir le bruit en sortie dun
transistor de le calculer partir des densits spectrales de chaque source. Enpratique, on adopte une mthode similaire celle utilise pour traiter par
exemple loffsetdunAOP
AOP avec offset Loffset est rejet lentre de lAOP
AOP sans offsetTensiondoffset
+
_
+
_
Bruit dans les transistors
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t
Avec un court-circuit lentre, on
observe du bruit en sortie
transistor t
Avec un circuit ouvert lentre, on
observe du bruit en sortie
transistor
Question : combien de sources de bruit pour reprsenter le bruit duntransistor ?
Bruit dans les transistors
Bruit dans les transistors
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Un gnrateur de bruit en tensionpermet dexpliquer le bruit de sortie
Un gnrateur de bruit en courantpermet dexpliquer le bruit de sortie
Transistoridal
Transistor rel
Transistoridal
Transistor rel
Conclusion : 2 gnrateurs de bruit,un de tension et un de courant, de
densit spectrale en(f) et in(f), sont
ncessaires pour modliser le bruit
duntransistor.
Transistoridal
Transistor rel
en(f)
in(f)
Bruit dans les transistors
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Attention : les units verticales (nV et pA) et linformationBANDWIDTH=1.0Hz nous
disent que les graphes donnent les racines carresdes densits spectrales en(f) et in(f).
Exemple : Ic=1mA, f=100Hz en2x10-17
V2
/Hzet in11x10-24
A2
/Hz
Bruit dans les transistors
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Remarque : Les graphes de en et inen fonction de la frquence mettent envidence une remonte de bruit aux basses frquences. Le bruit thermique
des rsistances et le bruit de grenaille (shot noise) ont des densits spectrales
indpendantes de la frquence, en consquence, ils ne peuvent donc
expliquer eux seuls la dpendance en frquence des sources enet in.
Il existe effectivement dautressources de bruit en particulier le flicker
noise dont la densit spectrale varie peu prs comme linverse de la
frquence. Ce bruit est souvent appel bruit en 1/f.
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6- Modlisation du bruit dans les AOP
Modlisation du bruit dans les AOP
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Le bruit des AOP est modlis par trois gnrateurs de bruit : deux de courant, de
densits spectrales inn(f) et inp(f) dus la paire diffrentielle dentre, et un de
tension de densit spectrale en(f).
-VEE
VCC
_+
Entre dun AOP JFET (ex : TL081)
Paire
diffrentielledentre
_
en(f)
inn(f)
inp(f)
+ +
_
Modlisation du bruit dans un AOP
AOPsansbruit
NB: inn(f) inp(f)=in(f)
Modlisation du bruit dans les AOP
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Bruit en 1/f
Attention : le graphe donne les racines carresdes densits spectrales en(f) et in(f)
et non les densits spectrales.
Exemple : f=100Hz en9x10-18V2/Hzet in8x10-25A2/Hz
Modlisation du bruit Bruit en sortie dun montage non-inverseur
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Montage non-inverseur
Ad = gain mode diffrence
R1
R2
AOPvs
R3
signal
R2
R14kBTaR1
R34kBTaR3
+
_
in(f)
in(f)
en(f)
vs(f)
v
v
4kBTaR2
Sources de bruit du montage non-inverseur
Gain aux basses frquences :
1
2mRR1G
Question : quelle est la valeur efficace de bruit en sortie de lamplificateur?
)( vvAv ds
Modlisation du bruit Bruit en sortie dun montage inverseur
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R2
Montage inverseur
R1
AOPvs
Ad = gain mode diffrence
signal
Gain aux basses frquences :
1
2
m R
R
G
R3
)( vvAv ds vs(f)
R2
R14kBTaR1
R34kBTaR3 +
_
in(f)
in(f)
en(f)
v
4kBTaR2
Sources de bruit du montage inverseur
Remarque : la valeur efficace de bruit en sortie de lamplificateurest identique
celle du montage non-inverseur.
v
Modlisation du bruit dans les AOP
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Le fait que les densits spectrales de bruit des composants lectroniques ne
sont pas constantes en fonction de la frquence complique quelque peu lecalcul de la valeur efficace de bruit en sortie duncomposant, heureusement
nous disposons aujourdhui doutils logiciels capables de faire ces calculs.
Avant dutiliserces outils, il est bon cependant de stre initier au calcul en
utilisant les datasheets des constructeurs et un crayon. Avant de se lancer
dans un tel calcul il faut apprendre manipuler les densits spectrales, cest
que nous faisons maintenant. Nous en profitons aussi pour introduire : la
bande passante quivalente de bruit, le facteur de bruit dunamplificateur, lefacteur de bruit dunechane damplificateurs et la temprature quivalente
de bruit dunamplificateur.
7/25/2019 Transparents Bruit M2 CSA
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7- Manipulation des densits spectrales
Bande passante quivalente de bruit dun amplificateur
Facteur de bruit dun amplificateur
Facteur de bruit dune chane damplificateurs
Temprature quivalente de bruit
Manipulation des densits spectrales : exemple n1
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Nous avons appris manipuler les gnrateurs de tension et de courant,
maintenant il nous faut apprendre manipuler les densits spectrales. Pour
aborder simplement ce problme prenons le cas de deux sources de bruit en
tension et montes en srie dont les densits spectrales sont respectivement e1(f) et
e2(f) et cherchons la densit spectrale quivalente eeq(f)
e1(f)
e2(f)eeq(f)=?
Manipulation des densits spectrales : exemple n1
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e1(t)
e2(t)eeq(t)= e1(t)+e2(t)
Pour rsoudre ce problme, on introduit momentanment deux gnrateurs de
tension e1(t) et e2(t) dont les densits spectrales sont gales e1(f) et e2(f). Nous ne
disposons pas bien entendu dexpression analytique pour e1(t) et e2(t), ce sontjuste des intermdiaires de calcul qui disparatront dans le rsultat final.
TT
TT
TT
TeqT
dttete
T
dttete
T
dtteteT
dtteT
moyquadval
021
0
22
21
02
2102
)()(21
lim)()(1
lim
)()(1
lim)(1
lim...
Calculons la val. quad. moy. de bruit de la source quivalente :
Manipulation des densits spectrales : exemple n1
7/25/2019 Transparents Bruit M2 CSA
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Des galits :
)(1
lim)(
)(1
lim)(
)(1
lim)(
0 20 2
00
00
dtteT
dffe
dtte
T
dffe
dtteT
dffe
T 2T
T 2
1T1
T 2eqTeq
On tire :
0 21T210 eq (t)dt(t)ee
Tdffefe(f)dfe
2lim)()(
0
Lintgrale nous renseigne sur la corrlation des
sources de bruit e1(t) et e2(t). Pour comprendre ce questla corrlation, mettons
par exemple deux rsistances en srie. Le bruit est, comme nous lavonsdj dit,
d aux fluctuations spatiales de la densit lectronique, dire que les sources sont
corrles revient dire quelles se connaissent. Faisons lhypothse, non
raisonnable, que les fluctuations sont les mmes dans les deux rsistances, il
sensuitque e1
(t) = e2
(t) et donc e1
(f) = e2
(f).
0 21T (t)dt(t)ee
T
2lim
Manipulation des densits spectrales : exemple n1
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Dans ce cas :
0 10 10 eq
(f)dfe2(f)dfe2(f)dfe (f)4e(f)e 1eq et
Dans la ralit, les dplacements des lectrons dans les deux rsistances sonttotalement indpendant, autrement dit les deux sources de bruit ne sont pas
corrles et lintgrale est nulle.
0 21T (t)dt(t)ee
T
2lim
Dans le cas o les sources de bruit ne sont pas corrles, ce qui sera toujours
suppos vraie par la suite, les densits spectralessajoutent.
e1(f)
e2(f)
eeq(f)=e1f() + e2(f)
Pour en savoir plus, voir complment 1 (cliquez ici)
Manipulation des densits spectrales : exemple n2
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eeq(f)=?
Rsen(f)
4kTRs
in(f)Rs
Dans un premier temps on introduit 3
gnrateurs, 2 de tension e(t) et en(t)et un de courant in(t) dont les densits
spectrales sont gales 4kBTRs, en(f)
et in(f)
en(t)
e(t)
in(t)Rs
Intressons nous maintenant au cas de deux sources de tension et dunesource de
courant, cestun cas trs frquemment rencontr.
T
eqTeq dtteT
dffemoyquadVal0
20
)(1lim)(...
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TnsnnsnT
T
nsnT
TnsnT
dttiRtetiRteteteT
dttiRteteT
dttiRteteT
T
0
02222
02
00
)()()()()()(2
lim
)()()(
1
lim
)()()(1
lim
)0()0()0(2)()()()(...
02
0
nnnn ieseisee
nsneq
CRCRC
dffiRfefedffemoyquadVal
)0()0()0(2
)()()(1
lim0
2222
nnnn ieseisee
TnsnT
CRCRC
dttiRtete
T
Si les 3 sources e, en et inne sont pas corrles :
0)0()0()0( nneiee iCeCC nn
)()(4)( 2 fiRfekTRfe nsnseq
Remarque : valeurs quadratiques et signaux dterministes
7/25/2019 Transparents Bruit M2 CSA
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e1(t)=Ecos(t)
Val. quad. E2/2
e2(t)=Ecos(t)
Val. quad. E2/2
eeq(t)= 2Ecos(t)Val. quad. 2E2
Val. quad. E2
eeq(t)= Ecos(t)+Ecos(2t)
e1(t)=Ecos(t)
Val. quad. E2/2
e2(t)=Ecos(2t)
Val. quad. E2/2
Comme pour les sources de bruit, la val. quad. dunsignal dterministe nestpas
toujours la somme des val. quad.
Les deux signaux e1(t) et e2(t) sont indpendant, la val. quad. de eeq(t) est la somme des val. quad.
Les deux signaux e1(t) et e2(t) ne sont pas indpendant, la val. quad. de eeq(t) est diffrente de la
somme des val. quad.
Bande passante quivalente de bruit dun amplificateur
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Un amplificateur, suppos sans bruit, de gain en tension G(f) est attaqu par un
gnrateur de bruit de densit spectrale e(f).
Question : quelle est la valeur efficace de bruit en sortie de lamplificateur?
amplificateur
e(f)
f
G(f)
e(f)
f
df
Val. eff. de la source de bruit dans une plage df : dffe )(
Val. eff. en sortie de lampli. dans une plage df : dffefG )()(
Val. quad. moy. en sortie de lampli. dans une plage df : dffefG )()(2
Val. quad. moy. en sortie de lampli. :
0
2e(f)dfG(f)
Bande passante quivalente de bruit dun amplificateur
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Dans le cas o la densit spectrale est indpendante de la frquence, e(f)=ef, cest
le cas par exemple dunersistance, la val. quad. moy. de bruitscrit:
02
f02
dfG(f)ee(f)dfG(f)
Lintgrale , zone hachure rouge, est encore gale la zone hachure
noire : , o Gm et BENBW sont le gain aux basses
frquences et la Bande Passante quivalente de Bruit (Equivalent Noise
BandWidth)
0 2 dfG(f)
0 ENBWm
2BGdfG(f)
2
Gm
f
ef
G(f)
f
Gm2
G(f)2
BENBW
Bande passante quivalente de bruit dun amplificateur
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La bande passante quivalente de bruit BENBW est relie la bande passante 3dB
Passe-bas du 1erordre de frquence de coupure f-3dB3dB
et
do :BENBW = (/2)f-3dB
dBm
dB
m fGdf
f
f
G3
20 2
3
2
21
dB
m
f
fj
GfG
31
)(
Passe-bande de frquence centrale f0et de coef. de surtension Q
et
do :BENBW = (/2)(f0/Q)
Q
fGdf
Qf
f
f
f
Qf
f
G mm02
02
0
22
0
2
02
21
1
1
Qf
fj
f
f
Qf
f
jGfG m
11
1
)(
0
2
0
0
Facteur de bruit dun amplificateur
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Un amplificateur gnre du bruit, en consquence, la val. quad. moy. de bruit est
suprieure . tudions le cas trs frquemment rencontr dun
amplificateur de gain Gmaux basses frquences et de bande passante quivalente
de bruit BENBW attaqu par un gnrateur de rsistance de source Rs.
0
2e(f)dfG(f)
ef = 4kBTaRs
Rs
Amplificateur(Gm, BENBW)
Si lamplificateurtait sans bruit, la val. quad. moy. de bruit en sortiescrirait:
saBENBWm0 saB2
RT4kBGdfRT4kG(f) 2
Pour caractriser le bruit de lamplificateuron introduit le facteur de bruit (NF en
anglais pour Noise Figure), dont la dfinition est la suivante :
; NF>0dB
ENBWmsaB
10dBen
BGRT4k
bruitdemoyquadval10logNF
2
...
Facteur de bruit dun amplificateur : exemple
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On crit le rapport Signal/Bruit :
On trouve E 18,2mV. Avec une telle tension dentre, la sortie sera distordue !
Conclusion : il faut rduire la bande et chercher un ampli. avec NF plus petit.
Quelle doit tre la valeur crte E du signal dentredunamplificateur caractris
par Gm=100, BENBW=10kHz et NF=10dB pour obtenir en sortie un rapport
Signal/Bruit de 80 dB par exemple. La rsistance de source Rsdu gnrateur estgale 1kW et est la temprature Ta=300K.
Amplificateur (Gm= 100,
BENBW= 10kHz, NF = 10 dB)
fSignal : Ecos(0t)
Rs
4kBTaRs
G(f)
f0
NF/10ENBW
2msaB
2m
1010BGRT4k
2E/G10log80dB2
Facteur de bruit dun amplificateur : autre dfinition
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On donne souvent comme autre dfinition du facteur de bruit NF dun
amplificateur, la dfinition suivante :
Soit :
sortie
entre10dBen
Bruit
Signal
Bruit
Signal
10logNF
uitmoy. de brval. quad.
)2(E/G
BRT4k
)2(E/
10logNF22
m
ENBWsaB
2
10dBen
Aprs simplification, on retrouve bien :
ENBWmsaB10dBen
BGRT4k
bruitdemoyquadval10logNF
2
...
Facteur de bruit dune chane damplificateurs
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On va montrer que, dans une chane damplificateurs,le facteur de bruit quivalent
de la chane est grosso modo gal au facteur de bruit du premier amplificateur,
dolintrtdavoirun premier amplificateur performant. La dmonstration se fait
pour une largeur de bande de 1 Hz.
Rs
4kBTaRs
NF/102
msaB 10GRT4kbruitdemoyquadVal ..
Cherchons dans un premier temps exprimer le bruit apport par un amplificateur.
Rappel :
2msaB GRT4kbruitnssuppos saamplibruitdemoyquadVal )(..
Le bruit apport par lamplificateur est donc la diffrence, soit :
110GRT4kamplilparapportbruitdemoyquadVal NF/102msaB '..
Facteur de bruit dune chane damplificateurs
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RsR
sRs
Rs
G1
NF1
Rs
G2
NF2
Rs
Rs
G3
NF3
Soit une chane de trois amplificateurs de gain en tension G1, G2 et G3, et de
facteurs de bruit NF1, NF2et NF3 (en dB). Les amplificateurs sont adapts, cest
dire que les rsistances de sortie et dentresont toutes gales la rsistance Rsde la source.
Rs
Rs
G1G2G3
NFeq
Rs4
On cherche le facteur de bruit NFeqquivalent la chane des trois amplificateurs.
Facteur de bruit dune chane damplificateurs
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Val. quad. moy. de bruit en sortie du deuxime amplificateur :
110GRTkG4
110GRTk
/10NF22saB
22
/10NF21saB
21
Val. quad. moy. de bruit en sortie du premier amplificateur :
/10NF21saB
/10NF21
ss
ssaB
11 10GRTk10G
RR
RRT4k
2
Val. quad. moy. de bruit apport par le premier amplificateur :
110GRTk /10NF21saB 1
Val. quad. moy. de bruit en sortie du troisime amplificateur :
110GRTk
G4
1110GRTkG
4
110GRTk
/10NF2saB
23
/10NF22saB
22
/10NF21saB
21
33
(1)
Facteur de bruit dune chane damplificateurs
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sont les gains en puissance du premier
La comparaison des relations (1) et (2) donne :
P121 G
2
G
P2
22 G2
G
et
et deuxime tage.
22
21
/10NF
21
/10NF/10NF/10NF
2
G
2
G
110
2
G
1101010
321eq
)()(
Val. quad. moy. de bruit en sortie de lamplificateur quivalent :
(2)/10NF2321
ss
ssaB
eq104
GGG
RR
RRT4k
2
Facteur de bruit dune chane damplificateurs
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...)()( P2P1
/10NF
P1
/10NF/10NF/10NF
GG110
G1101010 321eq
On obtient finalement la relation :
Dans le cas o GP1et GP2, .. >>1, on peut crire en premire approximation que :
/10NF/10NF 1eq 1010
Soit encore : 1eq NFNF
En conclusion, le facteur de bruit quivalent une chane damplificateurs est
approximativement gal au facteur de bruit du premier amplificateur, do
limportancede choisir un premier amplificateur faible bruit.
Facteur de bruit et temprature quivalente de bruit
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Rs
4kBTaRsAmplificateur (Gm, BENBW, NF)
NF/102msaB 10GRT4kuitmoy. de brval. quad.
Val. quad. moy de bruit en sortie dun ampli. de facteur de bruit NF>0dB et
attaqu par une rsistance Rs la temprature ambiante Ta.
4kBTeqRsAmplificateur (Gm, BENBW, NF=0dB)
Rs 2mseqB GRT4kuitmoy. de brval. quad.
On obtient la mme valeur en prenant NF = 0dB et une temprature quivalente
de bruit Teqde la rsistance gale :NF/10
aeq 10TT
Exemple : Ta=300K, NF = 10 dB, Teq=3000K
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8- Bruit en sortie des montages
non inverseur et inverseur
Valeur efficace de bruit en sortie des montages non-inverseur etinverseur
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inverseur
R2
R14k
BT
aR
1
R34kBTaR3
+
_
in(f)
in(f)
en(f)
vs(f)
v
v
4kBTaR2
Sources de bruit des montages non-inverseur et inverseur
On rappelle ci-dessous le schma lectrique pour calculer la valeur efficace de
bruit en sortie dunmontage non-inverseur ou inverseur.
Valeur efficace de bruit en sortie des montages non-inverseur etinverseur
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Une estimation de la valeur quad. moy de bruit en sortie, ou de la val. efficace, est
obtenue en procdant ainsi :
2- on intgre sur la bande passante de lamplificateur,celle-ci dpend du gain en
boucle ouverte de lAOPet des rsistances R1et R2.
Pour en savoir plus, voir complment 2 (cliquez ici)
1 en appliquant les rgles daddition des densits spectrales, on calcule la
densit spectrale vs(f) de bruit en sortie du montage :
2
21
212
3nsaBnT RR
RRRiRT4k(f)e(f)vavec :
et21
213s
RR
RRRR
)()( fvR
R1fv
T
2
1
2
s
inverseur
Exemple : montage non-inverseur avec AOP 227
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Pour obtenir un gain Gm=(1+R2/R1)=1000 par exemple, on prend R2=1MW,
R1=1kW , prenons R3=R1//R2=1kW. Compte tenu des ordres de grandeur, on peut
ngliger leffetdu courant de bruit in(f), cestgnralement le cas avec les AOP
entre JFET ou MOSFET, condition que la rsistance de source Rsne soit pas
trop leve. On obtient donc en premire approximation :
saBnT RT4k(f)e(f)v avec Rs=2kW
Flicker noiseGain = 1000
Fc=ef 8kHz
Exemple : montage non-inverseur avec AOP 227
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Question : est-ce bien raisonnable de poursuivre lintgrationjusqu f 0 ?
Autrement dit le continu existe t-il ?
La densit spectrale en(f) varie comme K/f du continu Fc10Hz (corner
frequency), elle est constante et gale ef 10-17 V2/Hz pour F>Fc. Daprs le
graphe de en(f), doK = 4x10-17V2. La bandepassante Fh3dB du montage est voisine de 8kHz, en consquence, la val. quad.
moy. de bruit en sortie du montage est approximativement donne par :
HzV10200,1Hz)(fe 9n / 2x
Remarque: lintgraledu flicker noise en K/f diverge !
)(V10541dff
10410 29
10 17
6x
0x
2112
1
20
2
1
2 hsaBfF FRRRT4kedf
fK
RR c
Exemple : montage non-inverseur avec AOP 227
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En pratique, pour des frquences plus basses que 0,1Hz, il y a probablement
dautreseffets, comme la temprature par exemple, susceptibles de faire changer la
tension dans le circuit.
En pratique, si un montage fonctionne pendant une heure la frquence la plus basse
correspond 1/3600 2,7x10-4Hz et la val. quad. moy. de bruit
est gale : 2
xV10420Ln(f)104df
f
10410 1210
102,7
1110
102,7
176
x4
xx
4
x
dff
K
R
R1 c
F2
1
2
0
Le mme calcul effectu sur une dure de 1 an (soit une frquence de 3,17x10-8Hz)
conduit :
2V10782Ln(f)104dff
10410 1210
103,17
1110
103,17
176
x8
xx
8x
x
Le rsultat est du mme ordre de grandeur
Exemple : montage non-inverseur avec AOP 227
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2
V10184Ln(f)104dff
104
10
1210
0,1
1110
0,1
176
xx
x
En prenant comme limite la plus basse de lintgrale la frquence de 0,1Hz , on
obtient :
Il est intressant de comparer cette valeur celle donne par une simulation
utilisant les modles SPICE. A cet effet on peut utiliser par exemple le logiciel
gratuit TINA-TI de la socit Texas Instruments (www.ti.com)
La val. quad. moy. de bruit en sortie de lamplificateurest donc gale :
)(V105411054110184 29912 xxx
La contribution du flicker noise est quasiment ngligeable. La val. efficace de bruit
est donc finalement gale :
V73510541 9x m
Rsultat de simulation : montage non-inverseur avec AOP 227
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Par simulation, la val. eff. de bruit est voisine de 735mV.
735mV
Autre exemple : montage inverseur avec AOP 227
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Pour obtenir un gain Gm=-R2/R1=-1000 par exemple, on prend R2=1MW, et
R1=R3=1kW . Comme pour le montage non inverseur, on peut ngliger leffetdu
courant de bruit in(f). On obtient donc en premire approximation :
saBnT RT4k(f)e(f)v avec Rs=2kW
Flicker noiseC1=200pF
Fc=ef 800Hz
Montage inverseur avec AOP 227 : influence de la bande passante
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C1=0, bande passante Fh8kHz, val. eff. de bruit 735 mV
C1=200pF, bande passante Fh1800Hz, val. eff. de bruit 232 mV,
Le calcul donne : V232
8000
80073
F
F73
h
h m 55 1
735mV
232mV C1=200pF
C1=0
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9- Etude de cas :
lacclromtre et son
conditionnement
Lacclromtre et son conditionnement
C hi d h d l i i 1 1
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Cahier des charges : mesurer des acclrations comprises entre 1g et +1g et
conditionner le signal pour un CAN unipolaire de pleine chelle VFS=5V
pleine chelledu CAN
-1g1,5V
VFS=5V
plage ducapteur
0V
+1g3,5V0g2,5V
0V
Caractristiques techniques de lacclromtre
C
Lacclromtre et son conditionnement
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Vref 2,5V
R1 1kW
R2 1,5kW
R4 47kW
R3 15kW
C1 56nF
C2 82nF
Cx 100nF
Vref 2,5V
R1 1kW
R2 1,5kW
R4 47kW
R3 15kW
C1 5,6nF
C2 8,2nF
Cx
10nF
Composantspour une
bande passante
BP= 50Hz
Composantspour une
bande passanteBP= 500Hz
Vc
R1R2
Vref
OP227_
+
C1
C2
R4R3
acclromtre
Lacclromtre et son conditionnement
C l l b d l l A 103 ? d l
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Comment simuler le bruit de lacclromtre ADXL103 ? daprs la
caractristique technique la densit spectrale de bruit est gale :
(110x10-6)2g2/Hz. La sensibilit de lacclromtre est gale 1V/g, en
consquence, la densit spectrale, exprime en V2/Hz, est gale :
(110x10-6)2V2/Hz.
Pour valuer le bruit par simulation, il suffit de ramener le bruit sur la rsistance
RFILT=32kWet dcrireque cette rsistance se trouve une temprature Teqtelleque :
26FILTeqB )10(110RT4k
x
Soit : K106,8T 9eq x
RFILT=32kW Xout
4kBTeqRFILT
Source de bruit quivalente de lacclromtre
ADXL103
Lacclromtre et son conditionnement : rsultat de simulation
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1,7mV
2,3mVBP=500Hz
BP=50Hz
Avec une bande passante de 50Hz, la valeur efficace de bruit est gale 1,7mV,
elle devient gale 2,3mV pour 500Hz.Lacclromtreest la principale source
de bruit, le bruit de linstrumentationest ici quasiment ngligeable.
Lacclromtre et son conditionnement :choix du nombre de bits duCAN
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La valeur efficace de bruit est une bonne indication pour valuer le nombre N de
bits du CAN de pleine chelle VFS
=5V. En premire approximation N doit vrifier
lingalit:
NNFS3x2
Vquantum101,7de bruitval. eff.
2
5
En prenant comme critre que la valeur eff. de bruit doit tre infrieure au 1/10
dunquantum, on obtient :
8,2101,710
logN32
xx
5soit N=8 bits
Un autre indicateur plus pertinent pour le calcul de N est la valeur crte crte du
bruit.
Question : comment estimer la valeur crte crte dun bruit ?
Lacclromtre et son conditionnement : choix du nombre de bits duCAN
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Faisons lhypothseraisonnable que le bruit en sortie de lamplificateura une
densit de probabilit p(u) Gaussienne, u est la valeur de la tension de bruit :
2
2
222
1)(
mu
eup
O m et sont respectivement la valeur moyenne et la valeur quadratique
moyenne, pour une bande passante de 50Hz. Enpratique la valeur moyenne m est gale zro.
2
)(x2 223
Ven)10(1,7
-0.01 -0.005 0 0.005 0.010
50
100
150
200
250
Tension u [V]
p(u)
Lacclromtre et son conditionnement : choix du nombre de bits duCAN
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Pour un bruit Gaussien, on montre quavecun crestfactorCF= 3,3, la tension
de bruit est 99,9% du temps dans lintervalle [-valeur crte=-3,3, valeur
crte=3,3].
2
En toute rigueur la tension u peut aller de moins linfinijusquplus linfini,mais
avec une probabilit videmment extrmement faible.Dunpoint de vue pratique,
on dfinit une valeur crte crte comme tant 2x3,3=6,6 fois la valeur efficace
de bruit (Industry-standard crest factor [CF]=3,3). Le crest facteur est le rapport
de la valeur crte sur la valeur efficace, pour un signal sinusodal par exemple le
crest facteur est gal .
Si, pour calculer le nombre N de bits du CAN, on impose comme critre :
on obtient : N=5,47N
3x
10
1quantum
10
1101,76,6crteval. crte
2
5 x
Pour en savoir plus, voir complment 3 (cliquez ici)
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10- Transmission numrique
et
bruit :
un bref aperu
Transmission numrique et bruit
Le bruit est au cur des transmissions ici on ne sintresse quaux transmissions
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Le bruit est au curdes transmissions, ici on nes intressequ auxtransmissions
en bande de base sans porteuse. On cherche donc transmettre une suite dtats
logiques 0 et 1avec un dbit 1/T (en bits/s) o T est la dure minimale dun
tat. Aux tats 0 est associe une tension A, aux tats 1 est associe une
tension A. Le rcepteur, muni dune horloge de priode T, doit prendre une
dcision sur un signal bruit : si le signal prlev linstant nT est >0 alors il
sagitduntat 1,dans le cas contraire ilsagitduntat 0.
Question : Quel est le taux derreurpour un rapport Signal/Bruit donn ?
Canal detransmissionEmetteur + +
bruit
Rcepteur sans bruit(prise de dcision)A
-A
T
Modlisation dune chane de transmission numrique
Transmission numrique et bruit
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Signal mis
Signal rcupr, deux
erreurs notes 1 et 2
Signal avant prise dedcision, en vert les tops
de lhorloge de rception
1 2
-A
A
Transmission numrique et bruitHypothse : le bruit est de type Gaussien, sa valeur quadratique moyenne est note
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Hypothse : le bruit est de type Gaussien, sa valeur quadratique moyenne est note
2. Soient P0et P1les probabilits dmettreun tat 0et un tat 1,la probabilit
derreurPescrit:
0110e PPP
10P = Prob. de rcuprer un tat 1 quand un tat 0 a t mis
0
2
A)(u
200010 due
2
1PduupPP 2
2
0
)(
01P = Prob. de rcuprer un tat 0 quand un tat 1 a t mis
0 2
Au
21
01101 due
2
1P(u)dupPP 2
2
Transmission numrique et bruit
0 5
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Les densits de probabilit de bruit p1(u) et p0(u) sont centres respectivement
autour des valeurs A et -A
-6 -4 -2 0 2 4 6-0.1
0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
Tension [V]
p1(
u),
p0(u)
A-A
10P01P
p1(u)p0(u)
On fait lhypothse que la probabilit P dmettre un tat 0 est gale la
Transmission numrique et bruit
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On fait l hypothse que la probabilit P0 d mettre un tat 0 est gale la
probabilit P1dmettreun tat 1: P0= P1=1/2.
2
0 2
Au
210
2
Aerf1
2
112
1due
2
112
1P
22
De la mme manire :
2
0 2
Au
201
2
Aerf1
4
1due
2
1
2
1P
2
2
O la fonction erf est dfinie comme suit :
21
2
Auerf1
2
1due
2
1 1u 2
Au
2
2
2
Transmission numrique et bruit
Fi l t
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Finalement :
22
0110e
2
Aerf
4
1
2
Aerf
4
1
2
1PPP
En introduisant la fonction erfc : erf(x)1erfc(x)
22e
2
Aerfc2
1
2
Aerf2
1
2
1P
Le rapport A/reprsente le rapport Signal/Bruit lentredu rcepteur
xerfxerf En utilisant la proprit des fonctions erf :
On obtient :
2e 2
Aerf2121P
Transmission numrique et bruitLog10(Pe)
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0 5 10 15 20 25 30 35 40
-6
-5
-4
-3
-2
-1
0
20log10(A/)
Log10(Pe)
Exemple : un rapport Signal/Bruit de 20dB gnre une probabilit derreur
Pe3x10-3, autrement dit sur 300 tats reus, un tat est probablement faux.
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11- Dtection synchrone
Dtection synchrone
La dtection synchrone permet dextraire un signal de frquence connue noy dans
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La dtection synchrone permet d extraireun signal de frquence connue noy dans
le bruit.
f
densitspectrale e(f)
f0
A
df
Filtrepasse-bande
La premire mthode qui vient lespritpour extraire lamplitudeA dunsignalAcos(0t) noy dans un bruit de densit spectrale e(f) consiste utiliser un filtre
passe-bande de largueur df aussi troite que possible. On fait lhypothse
raisonnable que la densit spectrale e(f) est quasi constante sur la largueur df. En
sortie du filtre de gain suppos gal lunit,le rapport Signal/Bruitscrit:
dffe
A20log
B
S
010
filtrage
dB )(
2/
Dtection synchrone
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Le rapport Signal/Bruit est dautant plus grand que la largeur de bande df est
faible.Dunpoint de vue pratique il est difficile de raliser un filtre passe-bande
avec df trs faible, en effet pour obtenir df trs faible il faut un coefficient desurtension Q trs lev (df=f0/Q). Si par ailleurs la frquence f0du signal vient
changer, il faut dplacer la frquence centrale du filtre passe-bande. En pratique,
il est difficile de raliser un filtre passe-bande troit avec une frquence centrale
ajustable. Une alternative cette difficult consiste transposer le signal lafrquence zro et utiliser alors un filtre passe-bas de faible largeur de bande.
Pour transposer le signal de frquence f0 la frquence zro, cest dire en
continu, il suffit de multiplier le signal Acos(0t) par le signal de rfrence de
frquence f0.
Multiplieur de
Dtection synchrone
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Multiplieur deconstante 1V-1
Filtre passe-
basVoie rfrence
Bos(0t)
Voie signal
Acos(0t)+bruit
AB/2
f2f0
e(f0)B2/4
AB/2
Fc
densit spectralede bruit
filtre
Rapport Signal/Bruit en sortie du filtre passe-bas
c010
c
20
10
synchronedtection
dB Ffe
2A20log
F4
)e(f
22
20logB
S
)(
/
Dtection synchroneIl est intressant de comparer la dtection synchrone avec le filtrage passe-
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bande, que gagne t-on ?
c10
filtrage
dB
synchronedtection
dB F
df20log
B
S
B
S
Il nypas a priori de limite sur la bande Fcdu filtre passe-bas comme il y en a sur
la bande df du passe-bande.Dunpoint de vue mathmatiques si Fc0, le gain est
infini, mais ne rvons pas si Fc0, le rsultat est obtenu au bout duntemps infini
. Le choix de Fcrsulte duncompromis entre le rapport Signal/Bruit acceptableet le temps de rponse.
0 0.5 1 1.5 20
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
Temps [s]
Sortie
detecteursync
hrone
0 0.5 1 1.5 20
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
Temps [s]
Fc=10Hz Fc=1Hz
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Complment 1
Fonctions de corrlation :
auto corrlationet
inter corrlation
Fonction dauto corrlation
L l ( ) d d l l A
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Le signal x(t) ci-dessous prend la mme valeur A aux instants t1, t2, t3, t4, t5, t6, t7,t8, t9,t10, etc ... Question: les valeurs aux instants t1+t, t2 +t, t3 +t, t4 +t,
t5 +t,t6 +t, t7 +t,t8 +t,t9 +t,t10 +t, etc sont-elles prvisibles ? Si oui lesignal x(t) est dit dterministe, sinon il est dit alatoire.
0
A
t1 t2 t3 t4 t5 t6 t7 t8 t9 t10 x(t)
Fonction dauto corrlation
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Pour rpondre cette question, on introduit la fonction dauto corrlation. La
fonction dautocorrlation Cxx() dunsignal x(t) est dfinie comme suit :
T
Txx dttxtxT
limC0
)()(1
)(
Cxx() est obtenue en calculant la val. moy. du signal x(t) multipli par le signal
retard de , loprationest rpte pour les diverses valeurs de .
Si les valeurs prises aux instants t1+t, t2 +t, t3 +t, t4 +t, t5 +t, t6 +t, t7+t,t8 +t,t9 +t,t10 +t, etc sont indpendantes des valeurs prises aux instants
t1, t2, t3, t4, t5, t6, t7,t8,t9,t10, etc, alors Cxx() est nul partout sauf videmmentpour =0, o Cxx(0) est gale la valeur quad. moy. du signal.
TTxx dttx
TlimC
02 )(
1)0(
Fonction dauto corrlation dun bruit blanc
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Dans cet exemple, le signal x(t) a une fonction dauto corrlation quasiment
nulle partout sauf en =0, o la fonction Cxx()=. Le signal x(t) est un bruit
blanc, blanc fait rfrence a la densit spectrale de x(t) qui dans ce cas
particulier prend une valeur constante indpendante de la frquence.
t
x(t)
Cxx()
0
2x
0
La densit spectrale x(f) du signal x(t) est la transforme de Fourier de la
Fonction dauto corrlation et densit spectrale
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La densit spectrale x(f) du signal x(t) est la transforme de Fourier de la
fonction dauto corrlation (thorme de Wiener-Khintchine sans dmonstration
ici). Un signal de densit spectrale constante contient donc toutes les frquences
avec la mme valeur efficace. En pratique, les bruits ne sont jamais compltement
blanc, la densit spectrale dcrot aux hautes frquences. Dans le cas du bruit
thermique des rsistances par exemple, on peut montrer que la densit spectrale,
gale 4kBTaaux basses frquence, est divise par 2 la frquence de ~1012Hz.
Pour les montages lectroniques une rsistance peut donc tre considre comme
une source de bruit blanc.
Cxx()
f
x(f)
Fonction dauto corrlation Densit spectrale0
Lintroduction de la transforme de Fourier introduit videmment lapparition
Transforme de Fourier et fonction dauto corrlation
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de frquences ngatives qui posent toujours un problme nos tudiants,
fallait pas introduire les nombres complexes ! Avec lintroductionde Fourier la
densit spectrale devient complexe et est dfinie sur lintervallede frquence
[-, ]. Avec Fourier la densit spectrale de bruit thermique nestplus gale
4kBTaR mais 2kBTaR. Pour calculer la val. quad. moy. de bruit en sortie dun
amplificateur il faut alors utiliser le gain complexe de lamplificateurdfini lui
aussi sur lintervalle[-, ].
Val. quad. moy. de bruit
NB : on retrouve le rsultat obtenu
sans lintroductiondes complexes.
La ralit est peut tre complique
mais elle nestpas complexe !
2kBTaRs Rs
amplificateur
-Fc -Fc
Module du gaincomplexe
Gm
Densitspectrale
f
c2msaB
FF
2msaB FGRT4kdfGRT2k
c
c
Fonction dauto corrlation dun signal priodique
Dans le cas dun signal priodique, de priode T, la fonction dauto corrlation est
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t
Cxx()=(A2/2)/cos()
x(t)=A cos(t)
Dans le cas d unsignal priodique, de priode T, la fonction d autocorrlation est
dfinie comme suit :
T
xx dttxtx
T
C0
)()(1
)(
Si x(t) est de la forme Acos( t) par exemple, alorsCxx()=(A2/2) cos( ). Cest
une fonction priodique, de mme priode que le signal. En effet, quand le signal
est translat de T, on retrouve le mme signal.
Fonctions dauto corrlation et dinter corrlation
S it 3 i l t i (t) (t) t (t) O h h i il i t d
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Soit 3 signaux alatoires x(t), y(t) et z(t). On cherche savoir s il existe des
relations entre eux. Pour cela on calcule les fonctions dintercorrlation Cxy() et
Cxz() : T
Txy dttytxT
C0
)()(1
lim)( T
Txz dttztxT
C0
)()(1
lim)( et
La fonction Cxy() nous dit que le
signal y(t) est identique au signal
x(t) retard de la quantit . La
fonction Cxz() nous dit que le
signal z(t) est sans relation avec
le signal x(t), il nexistedonc pas
de corrlation entre ces 2
signaux.
x(t)
y(t)
z(t)
Cxx()
0
0
0
Cxy()
Cxz()
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Complment 2
Densit spectrale en sortie des montages
non-inverseuret
inverseur
R2e2(t)
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vs
+
_
en(t) )( vvAv ds
v
v
R1e1(t)
in1(t)
R3e3(t) in2(t)
Dans un premier temps on introduit 6 gnrateurs dpendant du temps, quatre de
tension e1(t), e2(t), e3(t) et en(t) et deux de courant in1(t) et in2(t) dont les densitsspectrales sont respectivement gales 4kBTaR1, 4kBTaR2, 4kBTaR3, en(f) et in(f).
21
21n11
21
2s2
21
12nnds RR
RR(t)i(t)e
RR
R(t)v(t)e
RR
RtiRteteAtv )()()()( 33
RRRRR
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On crit les expressions des val. quad. moy. dans les domaines temporel et
frquentiel :
On fait lhypothseque les sources de bruit e1(t), e2(t), e3(t), en(t), in1(t) et in2(t) ne
sont pas corrles.
dffvdttvT
sT
sT )()(1
lim00
2
21
21n11
21
2221
1n233ndd
21
1s
RR
RR(t)i(t)e
RR
R(t)e
RR
R(t)iR(t)e(t)eAA
RR
R1(t)v
21
21n1
21
21
21
12n233n
1
21s
RR
RR(t)i
RR
R(t)e
RR
R(t)e(t)iR(t)e(t)e
R
RR(t)v
2
221
2
212
3aBn2
RRRRRT4kfe )(
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oavec :
Finalement : )(fvR
R1(f)v T
2
1
2s
2
21
2123nsaBnT RR
RRR(f)iRT4k(f)efv )(
21
213s
RR
RRRR
2
212123n
221
221
3aBn2
1
21s
RRRRRfi
RRRRf
R
RRfv
)(
)(
)(
2
21
212
3n21
21
3aBn
2
1
21
s RR
RRRfi
RR
RRRT4kfe
R
RRfv )()()(
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Complment 3
Valeur crte dun bruit Gaussienet
crest factor
Probabilit pour que la tension u soit infrieure une valeur u1:
2
2
1u
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1 )(
uduup avec :
2222
1)(
eup et 1duup
)(
Industry-standard crest factor [CF] = 3,3 3,3u1
Probabilit pour que la tension u soit comprise entre3,3et 3,3:
0,9992
3,3erf
En introduisant la fonction erf, on obtient :
22
uerf1
2
1duup 1
u1 )(
Probabilit pour que la tension u soit comprise entreu1et u1:
car : )(xerfxerf
21
2)()( 11
uerfduupduup
uu
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Bibliographie
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Sites Web constructeurs www.ti.com, www.analog.com
Bonnie C. Baker, Matching the noise performance of the operationalamplifier to the ADC, Analog Applications Journal, 2006, TexasInstruments
James Karki, Calculating noise figure in op amps, Analog ApplicationsJournal, 2005, Texas Instruments
Ron Mancini, Op Amps for everyone, August 2002, Texas Instruments
A. Glavieux et M. Joindot, Communications numriques, Introduction,Masson (1996)
M. et F. Biquard, Signaux systmes linaires et bruit en lectronique,
Ellipses (1992)D. Ventre, Communications analogiques, Ellipses (1991)
http://www.ti.com/http://www.analog.com/http://www.analog.com/http://www.ti.com/