Transformación de Moebius (Mobius)

8/13/2019 Transformacin de Moebius (Mobius)

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U T F S MUniversidad Tecnica Federico Santa Maria

TRANSFORMACIONESDE

MBIUS

Una IntroduccinRubn A. Hidalgo

Departamento de MatemticaUniversidad Tcnica Federico Santa Mara


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Rubn A. Hidalgo

TRANSFORMACIONES DEMBIUS:

UNA INTRODUCCIN

PRIMERA EDICIN 2012


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Rubn A. Hidalgo

Departamento de Matemtica, Universidad Tcnica Federico Santa Mara,Valparaso, Chile.

E-mail : [email protected]

Url : http://docencia.mat.utfsm.cl/~rhidalgo

Classificacin matemtica por tema(2000). 30F40.

Palabras claves. Transformaciones de Mbius, Grupos Kleinianos, Superfi-cies de Riemann, Variedades hiperblicas, Espacio hiperblico.

Primera Edicin 2012 .

ISBN XXXXXXX .

Este libro fu patrocinado por los proyectos Fondecyt 1030252, Fondecyt 1070271,UTFSM 12.05.21, UTFSM 12.08.01 y un sabtico otorgado por la Universidad TcnicaFederico Santa Mara durante el periodo 2006.


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TRANSFORMACIONES DE MBIUS:UNA INTRODUCCIN

PRIMERA EDICIN 2012

Rubn A. Hidalgo


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A Betty, Cata y Pucky


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INTRODUCCIN

Cuando se me solicit dictar en uno de los Encuentros de Matemtica de lazona sur, pens as en escribir unas notas sobre las transformaciones de Mbiusen la esfera de Riemann, dando vida as a una primera aproximacin del primercaptulo. Una vez terminada una primera versin de esta parte, me pareci naturalempezar a escribir la versin multidimensional, dando as vida a los dems captu-los. Por supuesto, quedan muchos tpicos que no hemos incluido, pero esperamosque estas permitan una primera incursin en el tema de transformaciones de M-bius, grupos Kleinianos y variedades hiperblicas. Existen en la actualidad unaenorme cantidad de literatura en el tpico, la mayora de ellas en ingls. El prop-sito de estas notas es poder entregar al mundo de habla hispana algunas nocionessobre transformaciones de Mbius y sus uniformizaciones en nuestro idioma, elCastellano.

En su programa de Erlangen (1872), Felix Klein observ que la geometra esel estudio de las propiedades de un espacio que quedan invariables bajo un grupode transformaciones de tal espacio. Del teorema de geometrizacin de Poincar yKoebe, las geometras ms importantes son la esfrica, la Euclidiana y la hiperb-lica. Todas ellas son casos particulares de geometra conformal, es decir, dondeel espacio es la esfera unitaria n-dimensionalSn y el grupo de transformacioneses dado por el grupo de MbiusMn. Es importante observar que no es posibledotar aSn de una mtrica Riemanniana de manera que Mn acte como grupo deisometras. Uno puede ver geometra conformal como un borde al infnito de lageometra hiperblica.

La idea principal de este libro es mostrar algunas de las propiedades bsicasque tienen las transformaciones (extendidas) de Mbius, tanto en el caso planarcomo en el espacial. Por ejemplo, una transformacin (extendida) de Mbiusn-dimensional resulta ser un automorfismo conformal (anticonformal) de la esferaSn y viceversa. A continuacin estudiamos algunos modelos del espacio hiperb-lico, con nfasis en el caso planar y de dimensin tres, y sus grupos de isometras,las cuales resultan ser exctamente aquellas transformaciones de Mbius que de-jan invariante el modelo escogido. En particular, estudiamos los grupos Fuchsia-nos, que son los grupos discretos de transformaciones de Mbius que actun comogrupos de isometras del plano hiperblico (en algn modelo escogido).


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x INTRODUCCIN

El espacio hiperblico n-dimensional tiene como borde conformal la esfera

(n 1)-dimensional. As, por la extesin de Poincar y el teorema de Liouville,podemos ver que las isometras del espacio hiperblico n-dimensional resultanser extensiones naturales de los homeomorfismos conformales y anticonformalesde la esfera (n1)-dimensional. De esta manera, en el caso particular n = 3vemos una hermandad entre la geometra hiperblica 3-dimensional y el anli-sis complejo en una variable. Estudiamos en poco detalle variedades y orbifoldshiperblicos3-dimensionales, dando algunas construcciones concretas que per-mitan ver de manera ms clara estas.

Otro tpico al cual dedicamos algunos captulos es respecto a las uniformiza-ciones por grupos de Schottky, que resultan ser los cubrimientos planares mas cer-canos a las superficies de Riemann cerradas. Nos concentramos en las relaciones

entre estas uniformizaciones, grupos de automorfismos de las superficies unifor-mizadas y sus matrices de periodos de Riemann. Se analizan uniformizaciones porgrupos de Schottky de superficies de Riemann reales, es decir, superficies de Rie-mann admitiendo un automorfismo anticonformal de orden dos con puntos fijos(usualmente llamada una reflexin o una simetra).

Esta monografa slo es una pequea introduccin al tema y hay variados temasque no son tratados, pero que el lector interesado podr encontrar en la bibliografadada y en la bibliografa de aquellos.

Quiero, en primer lugar, dar mis primeros agradecimientos a Betty, Cata y Pu-cky, a quienes quite tiempo de dedicacin para escribir esta monografa, por sucomprensin durante ese tiempo. Mis agradecimientos a Maximiliano Leyton,Mauricio Godoy, Alexander Vasiliev, Mariela Carvacho, Pedro Montero, Maria

Elisa Valds y Pilar Johnson, quienes leyeron parte de estas notas y me indicaronvarios errores que fueron corregidos. Los que restan (que an son muchos) sonde mi responsabilidad y espero que los lectores me hagan llegar sus comentarios,por lo cual les estar profundamente agradecido y as producir una segunda ver-sin con menor cantidad errores que esta. No puedo dejar de agradecer al Grupode Geometra Compleja de Chilepor sus contantes y enriquecedoras discusiones,en particular mis agradecimientos a Vctor Gonzlez y Rub Rodrguez quienesguiaron mis primeros pasos en el rea de las superficies de Riemann. Por ltimo,mis agradecimientos a mi tutor de doctorado y querido amigo Bernard Maskit dequien aprend sobre los grupos Kleinianos y quien ha sido durante los ltimosaos co-autor en varios trabajos relacionados a extensiones de grupos de Schottky

por transformaciones extendidas de Mbius.

Valparaso, Chile 2012 Rubn A. Hidalgo


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TABLA DE MATERIAS

Introduccin. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ix

1. Transformaciones de Mbius Planares. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11.1. Superficies de Riemann. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11.2. Superficies de Klein. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31.3. Funciones holomorfas, anti-holomorfas y di-analticas : Automorfismos 51.4. Teorema de uniformizacin de Koebe. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61.5. Transformaciones (extendidas) de Mbius. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71.6. El lema de Schwarz. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101.7. Orbifolds de Riemann . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

1.8. Razn cruzada. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131.9. Crculos generalizados. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 151.10. Puntos fijos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 151.11. Clasificacin de transformaciones de Mbius. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 161.12. Clasificacin de transformaciones extendidas de Mbius . . . . . . . . . . 181.13. Reflexiones. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 191.14. Distorsin de reas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 201.15. Crculos isomtricos. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 211.16. Proyeccin estereogrfica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

2. El Plano Hiperblico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 252.1. Algunos modelos del plano hiperblico. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25

2.2. Forma infinitesimal de la mtrica hiperblica. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 302.3. Area de polgonos hiperblicos. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 322.4. Crculos hiperblicos. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 342.5. Trigonometra hiperblica. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36

3. Transformaciones de Mbius n-Dimensionales. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 393.1. La proyeccin estereogrfica. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 393.2. Transformaciones (extendidas) de Mbiusn-dimensionales . . . . . . . . . 403.3. Clasificacin de las transformaciones de Mbius. . . . . . . . . . . . . . . . . . 423.4. Extensin de Poincar. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 433.5. Esferas isomtricas. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 453.6. Distorsin del volumen. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46


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xii TABLA DE MATERIAS

3.7. Razn cruzada enRn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 464. El Espacio Hiperblico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 494.1. Mtricas hiperblicas. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 494.2. Forma infinitesimal. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 524.3. El espacio hiperblico3-dimensionalH3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 534.4. Norma de elementos deAut(H3) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 544.5. Volumen hiperblico3-dimensional. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 544.6. La funcin de Lobachevskii. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55

5. Grupos Discontinuos, Variedades y Orbifolds . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 575.1. Grupos discretos. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 575.2. Grupos discontinuos y propiamente discontinuos. . . . . . . . . . . . . . . . . . 58

5.3. Cocientes por grupos discontinuos. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 655.4. Variedadesn-dimensionales. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 675.5. Orbifolds. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69

6. Grupos Kleinianos y Discretos enMn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 716.1. Grupos Kleinianos. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 716.2. Algunos ejemplos de grupos Kleinianos. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 726.3. Grupos Kleinianos y sus estabilizadores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 756.4. Cocientes de grupos Kleinianos son Hausdorff . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 776.5. Dominios fundamentales. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 796.6. Grupos discretos en

Mn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80

6.7. Grupos discretos versus grupos Kleinianos. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82

7. Propiedades de Grupos Discretos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 857.1. Loxodrmicos en grupos discretos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 857.2. Radios de esferas isomtricas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 867.3. Grupos discretos enMn son convergentes. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 877.4. Grupos finitos. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 887.5. Grupos elementales y no-elementales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 887.6. Puntos lmites son puntos lmites de rbitas. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 917.7. Existencia de loxodrmicos. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 927.8. Subgrupos de ndice finito . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 967.9. Subconjuntos cerrados invariantes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 967.10. Subgrupos normales. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 977.11. Aplicacin : Aut(M) es finito para M variedad hiperblica de

volumen finito. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1007.12. Teorema de rigidez de Mostow. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1007.13. Lema de Selberg . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1017.14. Lema de Margulis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105

8. Propiedades de Grupos Discretos Planares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1078.1. Lema de Shimizu-Leutbecher. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1078.2. Una serie de Poincar. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1098.3. Componentes de(G) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1108.4. Una desigualdad importante. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1118.5. Desigualdad de Jrgensen. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112


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TABLA DE MATERIAS xiii

8.6. Lema de Margulis : Caso n=3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115

8.7. Convergencia algebraica. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1168.8. Teoremas de combinacin. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1178.9. Teorema de la finitud de Ahlfors . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 120

9. Grupos Fuchsianos : Superficies de Riemann . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1239.1. Grupos Fuchsianos. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1239.2. Polgonos fundamentales : dominios de Dirichlet . . . . . . . . . . . . . . . . . 1249.3. Teoremas de isomorfa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1279.4. Teorema del polgono de Poincar. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1299.5. Cubrimiemtos finitos ramificados. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1339.6. Lema del collar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1369.7. Producto Fibrado. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1379.8. Superficies de Riemann Hiperelpticas. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141

10. Grupos Hiperblicos3-dimensionales. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14510.1. Grupos Hiperblicos. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14510.2. Grupos hiperblicos sin torsin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14510.3. Grupos hiperblicos con torsin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15010.4. Teorema del polihedro de Poincar. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15110.5. Teorema de Poincar : un par de ejemplos. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15410.6. Complemento de nudos. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15610.7. Fibrados sobreS1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15710.8. Gnero uno y un borde. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16210.9. Caso de superficies cerradas. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16310.10. Picarones pegados := Handlebodies. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 166

11. Cubrimientos Homolgicos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16711.1. Jacobianas y matrices de Riemann. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16711.2. Variedades de Prym . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16911.3. Automorfismos de superficies de Riemann y Jacobianas . . . . . . . . . . . 17411.4. Superficies de Klein y Jacobianas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17611.5. Cubrimiento homolgico de superficies de Klein . . . . . . . . . . . . . . . . . 179

12. Grupos de Schottky Planares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18512.1. Cubrimientos regulares planares. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18512.2. Grupos de Schottky (planares) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18612.3. Grupos Schottky-Admisibles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19012.4. Grupos de Schottky y Automorfismos. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19212.5. Grupos de Schottky reales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19512.6. Representaciones simplcticas de grupos de tipo Schottky. . . . . . . . . 19612.7. Grupos de Schottky reales y representaciones simplcticas. . . . . . . . 200

13. Superficies de Riemann Maximal Simtricas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20313.1. Superficies maximales simtricas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20313.2. Uniformizaciones deS/K(S, ) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20413.3. Superficies maximales simtricas de gnero 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20613.4. Superficies maximales simtricas de gnero 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21313.5. Superficies de Riemann maximal simtricas de gnero 5. . . . . . . . . . 219


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xiv TABLA DE MATERIAS

Referencias. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 229

Indice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 235


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CAPTULO 1

TRANSFORMACIONES DE MBIUS PLANARES

En un primer curso de variable compleja estudiamos las funciones holomor-fas (analticas) definidas en algn conjunto abierto del plano complejo C. Cuandoempezamos a estudiar funciones meromorfas, vemos que no hay gran diferenciaentre estas y las funciones holomorfas. Esto queda muy claro cuando compactifi-camos el plano complejo adicionando un punto al infinito para obtener la esferade RiemannC. As vemos que una funcin meromorfa f : CC, dondees algn abierto del plano complejo, es lo mismo que una funcin holomorfaf : CC. Para clarificar an ms esto, procedemos a definir lo que son lassuperficies de Riemann. Recomendamos el libro de Farkas y Kra [21] como unamuy buena referencia en el tema de superficies de Riemann.

1.1. Superficies de Riemann

Definicin 1.1.1. Una superficie de Riemann Ses un espacio topolgicoHausdorff y segundo numerable junto con una colleccin maximal

A={(U, z) :I}satisfaciendo las siguientes propiedades :

1. eachUes un abierto de S;

2.IU= S;3. eachzes un homeomorphismo entre Uy un abierto del plano complejoC ;

4. siU U=, entoncesz z1 :z(U U)z(U U)

es un biholomorfismo.

En este caso, A es llamado laestructura de superficie de Riemanny cadazes llamada unacarta localde tal estructura.


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2 CAPTULO 1. TRANSFORMACIONES DE MBIUS PLANARES

Observacin 1.1.2. 1. En la definicin anterior no pedimos que la superfi-

cie sea conexa, aunque en algunos textos se pide la conectividad. En caso deser necesario hablaremos de una superficie de Riemann conexa.

2. En la definicin anterior, podemos eliminar la condicin de maximalidad deA ; en cuyo caso es llamado una atlas de la estructura de superficie de Rie-mann. El Lema de Zorn nos asegura que todo atlas determina una estructurade superficie de Riemann.

Ejemplo 1.1.3. Ejemplos simples de superficies de Riemann son los abiertosdel plano complejo, en particular, el mismo plano complejo es una superficie de

Riemann.

Ejemplo 1.1.4. Otro ejemplo es la esfera de RiemannC considerando las dossiguientes coordenadas locales

z1 : C C :zz, z2:C {0} C :z 1z

Ejemplo 1.1.5. Otros ejemplos, los toros, pueden ser obtenidos de la siguientemanera. Por cada

C, con parte imaginaria positiva Im() > 0, podemos

definir la siguiente relacin de equivalencia en C :z, w C son equivalentes si existen enterosn, mde manera que

w= z + n + m

El conjunto de las clases de equivalenciaTresulta ser una superficie de Rie-mann que es topolgicamente equivalente al toroS1 S1.

Definicin 1.1.6. Una superficie de Riemann que es homeomorfa a la sumaconexa degcopias de toros es llamada unasuperficie de Riemann de gnero g.Unasuperficie de Riemann de gnero 0es una que sea homeomorfa a la esfera

de RiemannC.Ejemplo 1.1.7. Consideremos una funcin holomorfa

F :V C2 C : (z, w)F(z, w) =u,dondeVes un abierto de C2. Si tenemos que u0 F(V)es un valor regular,es decir, el gradiente de Fno se anula en puntos de S = F1(u0), entonces elteorema de la funcin implta nos dice que Ses una superficie de Riemann. Demanera similar, si tenemos una funcin holomorfa no-constante (luego algebraica)

F : CP2CP

1,


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1.2. SUPERFICIES DE KLEIN 3

y p un valor regular de F, enonces S = F1(p)es una superficie de Riemanncompacta.

Ejercicio 1. Verificar los detalles de los ejemplos anteriores.

Definicin 1.1.8. SeaSuna superficie de Riemann de gnerogcon kpuntosremovidos. Decimos que Ses una superficie de Riemann analticamente finita designatura(g, k). Denotemos porSla superficie de Riemann compacta obtenidadeSa colocar de vuelta los puntos removidos.

Problemas. 1.- Verifique que efectivamente los toros definidos en el ejemplo 1.1.5 son su-

perficies de Riemann. Determine cuando dos de esos toros son holomrfica-mente equivalentes.

2.- Verificar que toda superficie de Riemann es orientada.

3.- Verifique que si Ses una superficie de Riemann de gnerog , entonces noes posible incrustarla holomrficamente dentro de algn Cn.

4.- Considere en el espacio proyectivo CPn, n 2, el conjunto Sn,k de los

ceros comunes del sistema

xk1+ xk2+ x

k3 = 0

a1xk1+ x

k2+ x

k4 = 0

a2xk1+ x

k2+ x

k5 = 0

... ...

...an2xk1+ x

k2+ x

kn+1 = 0

dondek {2, 3, 4,...},a1,...,an2C {0, 1}son dos a dos diferentes.Verifique queSn,kes una superficie de Riemann cerrada. Calcule su gnero.

1.2. Superficies de KleinDefinicin 1.2.1. Unasuperficie de KleinSes un espacio topolgico Haus-dorff y segundo numerable junto con una colleccin maximal

A={(U, z) :I}satisfaciendo las siguientes propiedades :

1. eachUes un abierto de S;

2.

IU= S;

3. eachzes un homeomorphismo entre Uy un abierto del plano complejoC ;


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4. siU

U

=

, entonces

z z1 :z(U U)z(U U)es un biholomorfismo o un anti-biholomorfismo.

En este caso,Aes llamado laestructura de superficie de Klein y cadazesllamada unacarta localde tal estructura.

Observacin 1.2.2. 1. Como en el caso de superficies de Riemann, en ladefinicin anterior no pedimos que la superficie sea conexa, aunque en al-gunos textos se pide la conectividad. En caso de ser necesario hablaremos

de una superficie de Klein conexa.2. Podemos eliminar la condicin de maximalidad deA ; en cuyo caso es lla-

mado una atlas de la estructura de superficie de Kleini. El Lema de Zorn nosasegura que todo atlas determina una estructura de superficie de Klein.

Ejemplo 1.2.3. De la definicin podemos ver que toda superficie de Riemannes un caso particular de una superficie de Klein. Un par de ejemplos simples deuna superficie de Klein son dadas por el plano proyectivoPR2=

C/Hy la botella

de KleinK = C/G, donde Hes el grupo generado por la involucin (z) =1/zyG es el grupo generado por la traslacin A(z) = z+ iy la pseudo-traslacinB(z) =z+ 1. Ms ejemplos sern vistos ms adelante cuando definamos grupos(extendidos) Kleinianos.

Definicin 1.2.4. Una superficie de Klein que es homeomorfa a la suma co-nexa de g copias de planos proyectivos es llamada una superficie de Klein noorientable de gnerog.

Observacin 1.2.5. Note que toda superficie de Riemann es una superficie di-ferenciable real orientada. Una superficie de Klein que no es una superficie deRiemann es una superficie diferenciable real no-orientada. Por supuesto, toda su-perficie de Klein (que no sea de Riemann) puede ser no orientable. Los dosejemplos dados en ejemplo 1.2.3 son no-orientables, pero la superficie de Kleindada por la esfera de RiemannC con las siguientes dos coordenadas locales

z1: C C :zzz2:C {0} C :z 1z

resulta ser orientable, pero no orientada.


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1.3. FUNCIONES DI-ANALTICAS 5

Definicin 1.2.6. Sea Suna superficie de Klein de gnero g con k puntos

removidos. Decimos que Ses una superficie de Kleinanalticamente finitadesignatura(g, , k), donde el signo es + si Ses una superficie de Riemann si no lo es. Denotemos por Sla superficie de Klein compacta obtenida de Sacolocar de vuelta los puntos removidos.

Problemas. 1.- Verificar que toda superficie de Riemann es una superficie de Klein.

2.- Dar ejemplos de superficies de Klein orientables y no orientables.

3.- Verificar que toda superficie de Klein orientable tiene una estructura de

superficie de Riemann.

1.3. Funciones holomorfas, anti-holomorfas y di-analticas : Automorfismos

Ahora que tenemos las superficies de Riemann y de Klein, necesitamos fun-ciones entre ellas que sean compatibles con sus estructuras de superficies de Rie-mann Klein. Estas son las funciones holomorfas, lasfunciones antiholomor-fasy lasfunciones di-analticas.

Definicin 1.3.1. Sea f : S Runa funcin entre dos superficies de Rie-mann. Diremos que esta es holomorfa (respectivamente, anti-holomorfa) si para

cada punto p Ses posible encontrar coordenadas locales z : U V paraS y w : W Z para R tales que p U, f(U) W y w f z1 :V C C sea holomorfa (respectivamente, anti-holomorfa) en el sentidousual. En el caso que f : S R es biyeccin holomorfa (respectivamente,anti-holomorfa), entonces decimos que esta es un biholomorfismo (respectiva-mente,anti-biholomorfismo) y que las superficies de RiemannSy Rsonbiho-lomorfas bin que sonholomrficamente equivalentes(respectivamente,anti-biholomorfas). CuandoS = R y f : S Ses un biholomorfismo (respectiva-mente, anti-biholomorfismo), diremos quefes un automorfismo holomorfo (res-pectivamente, anti-holomorfo) deS. Denotamos porAut+(S) (respectivamente,

Aut(S)) al grupo (con la regla de composicin) de todos los automorfismos ho-lomorfos (respectivamente, holomorfos y anti-holomorfos) de S.

Observacin 1.3.2. CuandoSyR son abiertos del plano complejo, esta de-finicin coincide con la usual. Adems, cuando Ses una abierto del plano com-plejo,R =C yf : S R es holomorfa en la definicin anterior, obtenemos ladefinicin usual de una funcin meromorfa.

Definicin 1.3.3. Seaf : S R una funcin entre dos superficies de Klein.Diremos que esta es di-analtica si para cada punto p

Ses posible encontrar


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coordenadas localesz : U

V paraSy w : W

ZparaR tales quep

U,

f(U) W ywfz1 : V C Csea holomorfa anti-holomorfa enel sentido usual. En el caso que f : S Res biyeccin di-analtica, entoncesdecimos que que las superficies de Klein S y R sonsuperficies de Klein di-analticamente equivalentes. Cuando S = R y f : S Ses un biyeccindi-analtica, diremos quefes un automorfismo di-analtico deS. Denotamos porAut(S)al grupo (con la regla de composicin) de todos los automorfismos di-analticos deS.

Problemas. 1.- Sea Runa superficie de Klein no-orientable. Verificar que existe una super-

ficie de RiemannSadmitiendo un automorfismo anti-holomorfo :SSactuando sin puntos fijos, de manera que R = S/.2.- SeanR,Sycomo en Problema 1.-. Verificar que el grupo de automor-

fismos di-analticos deR es naturalmente isomorfo al grupo de automorfis-mos holomorfos y antiholomorfos deSque conmutan con. En particular,verificar que es isomorfo al grupo de automorfismos holomorfos de Squeconmuta con.

3.- Sea R una superficie de Klein orientable. Puede usted construir una su-perficie de RiemannScon un automorfismo anti-holomorfo tal que R =S/

?

4.- Verificar que si Ses una superficie de Riemann (respectivamente, una su-perficie de Klein), entonces Aut(S)es en efecto un grupo con la regla decomposicin de funciones.

5.- Verificar que la relacin de ser biholomrficamente equivalenteses unarelacin de equivalencia. Lo mismo para la relacin de ser di-analticamenteequivalentes.

6.- Verificar la observacin 1.3.2

1.4. Teorema de uniformizacin de Koebe

Dada una superficie de Klein X, no-orientable, entonces podemos considerarsu doble cobertor orientable P : S X. En este caso, Ses una superficie deRiemann admitiendo una automorfismo antiholomorfo de orden dos : S S,actuando sin puntos fijos, tal que es el grupo cobertor deP. Luego, el estudiode superficies de Klein no-orientables puede ser interpretado como el estudio desuperficies de Riemann admitiendo automorfismos de orden dos antiholomorfos.

SeaSuna superficie de Riemann. Uno puede considerar su cobertor universal

Sy un cubrimiento universal Q :

S S. Podemos levantar la estructura de

superficie de Riemann de Spor Q para dotar aSde una estructura de superficie de


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1.5. TRANSFORMACIONES (EXTENDIDAS) DE MBIUS 7

Riemann simplemente conexa. El cubrimientoQ :SSqueda un cubrimientouniversal holomorfo y el grupo cobertor G=1(S, p)un grupo de automorfismosholomorfos deSactuando de manera discontinua y sin puntos fijos.Teorema 1.4.1( Teorema de uniformizacin de Koebe[21])

Toda superficie de Riemann simplemente conexa es holomrficamente equiva-

lente a una y slo una de las siguientes tres :

(i) C ;(ii)C ;(iii) H ={z C :Im(z)> 0}.

Podemos, por el teorema de uniformizacin, suponer queSes una de esas tresposibilidades.

Caso 1 :SiS=C, entonces la nica manera que Gacte sin puntos fijos es queG={I}. En este caso,Ses la esfera de Riemann.Caso 2 :SiS = C, entonces la nica manera queG acte sin puntos fijos y demanera discontinua es que sea uno de los siguientes dos formas, mdulo conjuga-cin :

(a) G=A(z) =z + 1 ; (b) G=

A(z) =z + 1, B(z) =z +

, donde

H.

En el primer caso, Ses holomrficamente equivalente aC{0} y en el segundocaso,Ses un toro (homeomorfo a S1 S1, dondeS1 es el crculo unitario).Caso 3 :Todas las otras superficies de Riemann tienen al plano H como cobertoruniversal. Estas superficies son llamadassuperficies de Riemann hiperblicas.

Problemas. 1.- Usando el teorema de uniformizacin, verifique que toda superficie de

Klein simplemente conexa posee una estructura de superficie de Riemannsimplemente conexa.

2.- Sea Suna superficie de Riemann hiperblica y < Aut(H2) tal queH2/ = S. Verifique que existe un isomorfismo entre Aut(S) y N/y entre Aut+(S) y N

+/, donde N es el normalizador de dentro de

Aut(H2)yN+ es su subgrupo que preserva orientacin.

1.5. Transformaciones (extendidas) de Mbius

Una muy buena referencia en el tpico de las transformaciones (extendidas) deMbius es el libro de B. Maskit [56]. Otro muy buen libro para consultar sobretodo lo que escribiremos de ahora en adelante es [61].


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Definicin 1.5.1. Consideremos una matriz a bc d

SL(2,C),

entonces :(a) Unatransformacin de Mbius es una funcin de la esfera de Riemann

de la forma

t(z) =az+ b

cz+ d;

(b) Unatransformacin extendida de Mbiuses una funcin de la esfera deRiemann de la forma

t(z) =az+ b

cz+ d.

Definicin 1.5.2. Denotaremos por M2 al grupo de las transformaciones deMbius y porM2 al grupo generado porM2 y las transformaciones extendidas deMbius.

1.5.1. Automorfismos deC. Teorema 1.5.3. Los automorfismos holomorfos (respectivamente, anti-holomorfos) de la esfera de RiemannC son las transformaciones de Mbius(respectivamente, las transformaciones extendidas de Mbius).

Demonstracin. Observemos que cada transformacin de Mbius es de hechoun automorfismo holomorfo de la esfera de Riemann. Luego, sites un automor-fismo holomorfo deC, entonces podemos componer a la izquierda por una trans-formacin de Mbius para suponer que t fija 0 y. Ahora miramos la serie deTaylor de la funcin enterat(z) =a0+ a1z+ . Ya quet(0) = 0, tenemos quea0= 0. Adems, como t() =, tenemos que wtw1 es una funcin enteraque fija0, dondew(z) = 1/z. Luegoa2 = a3 = = 0. As,t(z) = a1z, cona1= 0. Pero en este caso,Tes en s una transformacin de Mbius, probando laprimera parte de la proposicin. Para ver la segunda parte, basta ver que laconju-gacinJ(z) =z es automorfismo anti-holomorfo de

C y que la composicin de

Jcon cualquier automorfismo anti-holomorfo ser un automorfismo holomorfo,obteniendo as la segunda parte del teorema.

1.5.2. Generadores deM2. Teorema 1.5.4. Toda transformacin de Mbius, diferente de la identidad, escomposicin de las siguientes :

(i) zz + a,a C {0} (Traslacin) ;(ii) zaz,a >1 (Dilatacin) ;(iii) zeiz(Rotacin) ;(iv) z

1/z(Inversin).


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1.5. TRANSFORMACIONES (EXTENDIDAS) DE MBIUS 9

Toda transformacin extendida de Mbius es composicin de las anteriores y la

conjugacin

J(z) =z.

Demonstracin. Sea

t(z) = az+ b

cz+ dSi tenemosc = 0, entonces tenemos quet(z) =t1 t2 t3(z), donde

t3(z) = ad1

|ad1|z

t2(z) = |ad1|z

t1(z) = z+ bd1

Supongamos ahora quec= 0. En este caso tenemos

t(z) =1|c|2

|c|c

2 1z+ d/c

+a

c.

La aseveracin sobre los automorfismos anti-holomorfos es clara ya que estosson composicin de una transformacin de Mbius conJ(z) =z .

1.5.3. Conformalidad y preservacin de ngulos Euclidianos.

Teorema 1.5.5. Toda transformacin de Mbius es conformal, es decir,preserva ngulos y orientacin. Toda transformacin anti-holomorfa es anti-

conformal, es decir, preserva ngulos pero invierte la orientacin.

Demonstracin. Las traslaciones, dilataciones, rotaciones preservan tanto laorientacin como los ngulos. La inversinz 1/zcorresponde a una rotacinen la esfera (con eje uniendo los puntos iyi), luego preserva la orientaciny los ngulos. La conjugacin J(z) = z preserva los ngulos, pero invierte laorientacin. As, la demostracin se obtiene como consecuencia del teorema 1.5.4

Problemas. 1.- Ver que cada transformacin de Mbius tiene al menos un punto fijo y a loms dos enC.

2.- Ver que existen transformaciones extendidas de Mbius que no tienen pun-tos fijos.

3.- Sean f , g M2 dos transformaciones de Mbius, ambas diferentes de laidentidad. Verificar que f g = gfs y slo si vale alguna de las dossiguientes :

(i) fygtienen los mismos puntos fijos ; bin(ii) f2 =g2 =Iy cada una intercambia los puntos fijos de la otra.


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4.- Consideremos una transformacin de Mbius

f(z) =az+ b

cz+ d

donde a,b,c,d C son tales que adbc= 1. Entonces existe tM2M2tal quet2 = fs y slo si (a+d) R. En este caso verifique que existeninfinitastpara talf.

5.- Seafuna transformacin de Mbius. Supongamos quez, w,f (z), f(w) /{}. verificar la igualdad

(f(z) f(w))2 =f(z)f(w)(z w)2

6.- Verificar que el grupo de automorfismos holomorfos y antiholomorfos dela esfera de Riemann es dado por el grupo extendido de MbiusM2.

7.- Verificar que todo automorfismo holomorfo (respectivamente, anti-holomorfo) del plano complejo C se extiende continuamente a un homeo-morfismo de la esfera de Riemann de manera que fija el punto. Concluirque los automorfismos holomorfos (respectivamente, anti-holomorfos) delplano son exctamente aquellos automorfismos holomorfos (respectiva-mente, anti-holomorfos) de la esfera de Riemann que fijan, es decir, de

la format(z) =az +b (respectivamente,t(z) =az +b), dondea, b C ya= 0.8.- Diremos que una mtricad: X X[0, +)en un conjuntoX= es

trivial si existea0tal que

d(x, y) =

a x=y0 x= y

Verificar que toda mtrica en la esfera de Riemann que tenga M2 como iso-metras debe ser trivial.

1.6. El lema de Schwarz

Recordemos el lema de Schwarz, el cual nos permitir calcular el grupo deautomorfismos (holomorfos y anti-holomorfos) del disco unitario

={z C :|z|< 1}

Lema 1.6.1(Lema de Schwarz). Seaf : una funcin holomorfa talquef(0) = 0, Entonces

|f(z)

| |z|, para todoz

.


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1.6. EL LEMA DE SCHWARZ 11

Si

|f(z)

|=

|z

|para algnz

{0

} bin

|f(0)

|= 1, entonces

f(z) =eiz, para cierto R.Demonstracin. Ya que f(0) = 0y fes holomorfa, entonces la funcin g : C definida por

g(z) =

f(z)

z z= 0

f(0) z = 0es una funcin holomorfa.

Sir(0, 1), entonces tenemos que para todo |z|= rvale la desigualdad

|g(z)|=|f(z)||z| 0}

1.7. Orbifolds de Riemann

Anteriormente hemos definido lo que es una superficie de Riemann. Ms ade-lante, cuando miremos grupos Kleinianos, veremos otra estructura aparecer, lasorbifolds de Riemann, la cual procedemos a definir a continuacin de las si-guientes observaciones.

Supongamos que tenemos el disco unitarioyGes el grupo cclico finito ge-nerado por un automorfismo conformal t: . Tal automorfismo t debe tenerun punto fijo en. Mdulo conjugacin por otro automorfismo conformal de ,podemos asumir que t(0) = 0, es decir, podemos asumir que t(z) =e2i/kz, paraciertok {1, 2,...}. Tenemos la relacin de equivalencia definida por tendela siguiente manera :

pq 0nk 1 : tn(p) =q

Denotemos por/Gal conjunto de las clases de equivalencia y por : /Ga la proyeccin natural. Dotamos a /Gde la topologa cociente. Entoncestenemos que resulta ser continua y abierta (ya que tes funcin abierta). No esdifcil ver que /Ges topolgicamente , pero con un punto distinguido : laclase del punto fijo de t. Uno puede pensar que es un cono con vrtice en tal clase.Sik = 1, entonceses de hecho un homeomorfismo.


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1.8. RAZN CRUZADA 13

Supongamos ahora que tenemos dos grupos finitos G1 y G2 como arriba y

consideremos las proyecciones naturales

1 : /G1, y 2 : /G2.Sea V /G1 un abierto y f : V /G2 una funcin. Si es posible

encontrar una funcinh: 11 (V)tal que2 h= f 1,

entonces diremos quehes un levantamiento defy quefse puede levantar.

Definicin 1.7.1. Una orbifold de Riemann

Oes un espacio topolgico Haus-

dorff y segundo numerable tal que para cada puntopSexisten :(i) un abiertoU O,pU;(ii) un grupo cclico finitoGp, generado por un automorfismo conformal del

disco unitario ;(iii) un homeomorfismoz : U /G ;

de manera que si tenemos dos se estos homeomorfismos, digamos

z1: U1/G1 y z2: U2/G2tales queU1 U2=, entonces

z2

z11 :z1(U1

U2)

z2(U1

U2),

se puede levantar a una funcin holomorfa (luego biholomorfa).

Ejemplo 1.7.2. Toda superficie de Riemann es una orbifold de Riemann to-mando en la definicink = 1en cada punto.

Problemas. 1.- Sea G


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Observemos que la transformacin de Mbius

t(z) = [z, z2; z3, z4],

es la nica que satisface : t(z3) = 0,t(z2) =y t(z4) = 1. Una consecuenciadel Lema 1.5.4 es el siguiente.

Proposicin 1.8.2. Las transformaciones de Mbius preservan las razonescruzadas, mientras que las transformaciones extendidas de Mbius conjugan las

razones cruzadas, es decir :

[t(z1), t(z2); t(z3), t(z4)] := [z1, z2; z3, z4] sitM2

[z1, z2; z3, z4] sitM2 M2La razn cruzada permite dar otra manera equivalente de definir transforma-

ciones (extendidas) de Mbius.

Proposicin 1.8.3. Sea f :CC una funcin tal que f(),f(0) y f(1)son tres puntos diferentes. Entonces :

(i) fes una transformacin de Mbius s y slo si preserva las razones cruza-

das.

(ii) fes una transformacin extendida de Mbius s y slo si enva cada razncruzada en su conjugada.

Demonstracin. La proposicin anterior nos da una direccin de este. Vea-mos las direcciones opuestas. Componiendofcon la reflexinJ(z) =z permiteobtener (ii) como consecuencia de (i). De esta manera, slo necesitamos verificar(i).

Consideremos una funcinf :CC que preserve las razones cruzadas y demanera que los valores f(), f(0)y f(1)son diferentes. Sea Tla transformacinde Mbius tal queT(f()) =,T(f(0)) = 0yT(f(1)) = 1. De esta manerag = T

fsatisface queg(

) =

,g(0) = 0y g(1) = 1. Por otra lado, como

Tpreserva las razones cruzadas, tenemos que g tambin lo hace. Ahora, paraz=, tenemos

z= [z, ; 0, 1] = [g(z), g(); g(0), g(1)] = [z, ; 0, 1] =z,es decirg(z) =zpara todozC, con lo cual probamos lo deseado.Problemas.

1.- Verificar de manera directa que la razn cruzada es preservada por la accinde una transformacin de Mbius. (Ind. Use el Lema 1.5.4).


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1.10. PUNTOS FIJOS 15

2.- Seanz1, z2, z3, z4cuatro puntos diferentes de la esfera de Riemann. Consi-

dere todos los valores que se obtienen usando todas las razones cruzadas quese pueden obtener entre ellos. Obtener que estos son 6 valores que son per-mutados por un grupo de Mbius isomorfo al grupo de permutaciones en treselementos. Determinar, como consequencia, un homomorfismo sobreyectivodel grupo simtrico en cuatro letras en el grupo simtrico en tres letras.

1.9. Crculos generalizados

Definicin 1.9.1. Uncrculo generalizadoen la esfera de Riemann es binun crculo en el plano complejo bin la unin de una recta del plano complejo

con el punto .

Proposicin 1.9.2. Tanto transformaciones de Mbius como transforma-ciones extendidas de Mbius envan crculos generalizados en crculos generali-

zados.

Demonstracin. Esto es claro para las traslaciones, dilataciones, rotaciones yla conjugacin. Viendo la inversin z 1/z como una rotacin de la esfera,vemos que esto es tambin vlido para esta. Ahora el resultado sigue del Lema1.5.4.

Problemas. 1.- Verificar que cuatro puntos diferentes z1, z2, z3, z4Cestn contenidos

en un mismo crculo generalizado s y slo si [z1, z2; z3, z4] R. Indi-cacin : estos puntos viven en un crculo generalizado s y slo si existeuna transformacin de Mbius que enva estos puntos en0,1,,x, dondex R {0, 1}.

2.- SeaCun crculo generalizado. Verificar que existe una transformacin ex-tendida de Mbius de orden dos sin puntos fijos (una reflexin imaginaria)que permuta ambos discos acotados por

C. Determine todas tales reflexiones

imaginarias en trminos deC.

3.- Verificar que la ecuacin de un crculo generalizado es de la forma

a|z|2 + bz+ bz+ c= 0dondea, c R,b C y |b|2 ac > 0.

1.10. Puntos fijos

Definicin 1.10.1. Sea f : X Xuna funcin. Un punto x Xtal quef(x) =xes llamado unpunto fijodef.


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Proposicin 1.10.2. Una transformacin de Mbius diferente de la identidadtiene al menos un punto fijo y a lo ms dos. El conjunto de puntos fijos de una

transformacin extendida de Mbius puede ser (i) , (ii) un punto, (iii) dos puntos, (iv) un crculo generalizado.

Demonstracin. Supongamos primero que tenemos una transformacin deMbius

t(z) =az+ b

cz+ d,

dondea,b, c, dC son tales quead bc= 1. Observemos quet() =s yslo sic= 0. Si miramos la ecuacin de puntos fijos deten C obtenemos

cz2 + (d

a)z

b= 0.

Ya que toda ecuacin polinomial compleja tiene ceros y a lo ms tiene tantosceros como su grado, obtenemos nuestro resultado para las transformaciones deMbius.

Supongamos ahora que tes una transformacin extendida de Mbius con almenos tres puntos fijos, digamosp1, p2, p3. Seasuna transformacin de Mbiusque satisfaces(p1) = 0,s(p2) = 1ys(p3) =. La transformacin de Mbiusses de hecho dada por

s(z) =(z p1)(p2p3)(z p3)(p2p1) = [z, p3;p1, p2].

Entoncesu = s t s1

resulta ser una transformacin extendida de Mbiuscuyo conjunto de puntos fijos es la imgen por sde los puntos fijos det. Ahora,como u(0) = 0 y u() =, entonces u(z) = z. Tambin tenemos queu(1) = 1de donde = 1. As, u(z) =zy su conjunto de puntos fijos es dado porel crculo generalizadoR = R{}. Ya que transformaciones de Mbius envancrculos generalizados en crculos generalizados obtenemos nuestro resultado paralas transformaciones extendidas de Mbius.

Problemas. 1.- Dar un ejemplo de cada situacin descrita en la Proposicin 1.10.2.

1.11. Clasificacin de transformaciones de Mbius

Hemos visto que toda transformacin de Mbius, diferente de la identidad,tiene al menos un punto fijo y a los ms dos.

Definicin 1.11.1. Sea

t(z) = az+ b

cz+ duna transformacin de Mbius, diferente de la identidad, tal quea, b, c, d C yad

bc= 1.


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1.11. CLASIFICACIN DE TRANSFORMACIONES DE MBIUS 17

(1) Sittiene exctamente un punto fijo, entonces diremos quetes unatrans-

formacin parablica. Podemos conjugarla por una transformacin de M-bius para asumir que tal punto fijo es. En tal caso tenemos que t(z) =az +b, donde a= 0. Pero si a= 1, entonces tendremos queb/a esotro punto fijo, lo cual produce una contradiccin a nuestro supuesto. Ahora,conjugando esta por la transformacin de Mbius q(z) = z/b, obtenemosque toda transformacin parablica es conjugada por una transformacin deMbius ap(z) =z + 1.

(2) Supongamos ahora que esta transformacin t tiene dos puntos fijos. Conju-gando por una transformacin de Mbius adecuada, podemos asumir que es-tos puntos fijos son0y , es decir,t(z) =eiz, ciertoei C {0, 1}.Si tenemos que = 1, entonces diremos que Tes unatransformacin elp-tica. En caso contrario diremos que es una transformacin loxodrmica.Una transformacin loxodrmica para la cual = 0es tambin llamada unatransformacin hiperblica.

Problemas. 1.- Seanf, g M2 transformaciones de Mbius, ambas diferentes de la iden-

tidad. Supongamos que fno es parablica y g tiene exctamente un puntofijo en comn conf. Entonces la transformacin de Mbius[f, g] =f g f1

g1 es parablica cuyo punto fijo es el punto fijo comn.

2.- Seafuna transformacin de Mbius, diferente de la identidad, digamos

f(z) =az+ b

cz+ d

dondea, b, c, d C son tales quead bc= 1. Verifique que :(i) fes elptica s y slo si (a + d)(2, 2) ;(ii) fes parablica s y slo si(a + d) {2} ;(iii) fes loxodrmica s y slo sia + d /[2, 2] ;(iv) fes hiperblica s y slo sia + d

R y

|a + d

|> 2.

3.- Dado un punto cualquiera pC, verifique que existe una transformacinparablica que tiene apcomo punto fijo. Determine todas tales transforma-ciones.

4.- Dado dos puntos diferentesp, qC, verifique que existe una transforma-cin loxodrlica que tiene a p y qcomo puntos fijos. Determine todas talestransformaciones.

5.- Dado dos puntos diferentes p, qC, verifique que existe una transfor-macin eltica que tiene a p y qcomo puntos fijos. Determine todas talestransformaciones.


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1.12. Clasificacin de transformaciones extendidas de Mbius

En el caso de transformaciones extendidas de Mbius, hemos visto que tenemostres posibilidades.

Definicin 1.12.1. Sea una transformacin extendida de Mbius

t(z) =az+ b

cz+ d,

dondea,b, c, d C tales quead bc= 1.(1) En el caso que esta no tenga puntos fijos, entonces diremos que esta es una

transformacinpseudo-elptica. En este caso, t2 es una transformacin deMbius con al menos un punto fijo. Podemos conjugar t por una transfor-macin de Mbius que enva tal punto fijo a, luego,t2 fija. Adems,podemos conjugar por una traslacin para tambin asumir que t() = 0.As, debemos tener t(0) =. Luego, obtenemos que t(z) = /z, paracierto C [0, +). Ahora al conjugar t por una dilatacin podemostambin asumir que|| = 1. De esta manera, toda transformacin pseudo-elptica es conjugada por una transformacin de Mbius a una de la format(z) =ei/z, para cierto(0, 2).

(2) Supongamos ahora que t tiene exctamente un punto fijo. Diremos queesta es una transformacinpseudo-parablica. Podemos conjugar por una

transformacin de Mbius para asumir que el punto fijo esy t(0) = 1,en cuyo caso,t(z) = az + 1, para cierto valor aC,a= 0. La condicinquet no tenga ms puntos fijos obliga a tener a = 1. De esta manera, todatransformacin pseudo-parablica es conjugada por una transformacin deMbius a una de la format(z) =z + 1.

(3) Sit tiene exctamente dos puntos fijos, entonces diremos que esta es unatransformacinpseudo-hiperblica. En esta caso, podemos conjugar t poruna transformacin de Mbius para asumir que los puntos fijos son 0 y.En tal caso,t(z) = az , ciertoaC,a= 0. Ya quetno tiene otros puntosfijos, debemos tener que |a| = 1.

(4) Supongamos ahora quettiene un crculo generalizado de puntos fijos. Eneste caso diremos que esta es una reflexin. Estudiaremos esta reflexionesen la prxima seccin.

Problemas. 1.- Seatuna transformacin extendida de Mbius. Determine el tipo por me-

dio det2.

2.- Dado un punto cualquiera pC, verifique que existe una transformacinpseudo-parablica que tiene ap como punto fijo. Determine todas tales trans-formaciones.


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1.13. REFLEXIONES 19

3.- Dado dos puntos diferentesp, q

C, verifique que existe una transforma-cin pseudo-hiperblica que tiene ap y qcomo puntos fijos. Determine todastales transformaciones.

4.- Dado un crculo generalizado CC, verifique que existe una reflexinque tiene aCcomo crculo de puntos fijos.

1.13. Reflexiones

Cada crculo generalizado Cdefine de manera nica un automorfismoanti-holomorfo de orden 2 cuyo conjunto de puntos fijos es exctamente .De manera ms concreta,

1.- Supongamos quees la unin del punto con una lnea que pasa por unpuntopy tiene direccinei. En este caso,

(z) =e2i(z p) +p

2.- En el caso que es un crculo Euclidiano de centro en p y radio R > 0,entonces tenemos

(z) = R2

z p + p

Es claro de las definiciones que el conjunto de puntos fijos de la reflexin esexctamente el crculo generalizado . Observemos adems que la conjugacinJ(z) =zes la reflexin en el crculo generalizado definido por el eje real.

Proposicin 1.13.1. Las reflexiones en los crculos generalizados generanM2.Demonstracin. Basta con verificar que los generadores dados por el Lema1.5.4 pueden escribirse como composicin de reflexiones.

(i) Seab C {0}. Tomemos las lneas paralelasL1y L2, donde(a) L1es ortogonal a la lnea por 0yb ;(b) 0L1; y(c) b/2L2.

Si denotamos porj las reflexiones enLj ,j = 1, 2, entonces2 1(z) =z+ b.

(ii) TomemosC1y C2dos crculos Euclidianos concntricos en 0y radiosR1y R2, respectivamente. Si denotamos por j la reflexin en Cj , j = 1, 2,entonces2 1(z) = (R2/R1)2z.

(iii) Si tomamos dos lneas que pasan por0y forman un nguloy denotamossus reflexiones por1y 2, respectivamente, entonces2 1(z) =e2iz.

(iv) La inversin z 1/zse obtiene de componer la conjugacin Jcon lareflexin en el crculo unitario.


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Ya que cada reflexin invierte la orientacin, lo anterior nos permite adems el

siguiente resultado.

Corolario 1.13.2. El grupo de transformaciones de Mbius es generado porlas composiciones de un nmero par de reflexiones. Toda transformacin exten-

dida de Mbius es composicin de un nmero impar de reflexiones.

Problemas. 1.- Sean 1 y 2 dos reflexiones. Describir, en trminos de la configuracin

de sus cculos generalizados de puntos fijos, que tipo de transformacin deMbius est = 2

1.

2.- Verificar que toda reflexin es conjugada por una transformacin de Mbiusa la reflexinJ(z) =z .

1.14. Distorsin de reas

Una reflexinen un crculo generalizado consistiendo del punto y de unalnea Euclidiana es una isometra Euclidiana. De esta manera, si E Ces unconjunto de dimetro Euclidiano dE, entonces (E) tendr el mismo dimetroEuclidiano. Pero si la reflexin es sobre un crculo Euclidiano, entonces la inva-

riancia del dimetro Euclidiano ya no es vlida. En este caso tenemos la siguienteinformacin. Denotamos por diamEucl(A)el dimetro Euclidiano de un subcon-juntoAde C.

Proposicin 1.14.1. Sea la reflexin en el crculo Cde centro enp y radioR >0. SiEC es un conjunto cerrado tal quep /E, entonces

diamEucl((E))2R2/donde es la distancia Euclidiana de p al conjunto E. Si adems, E,entonces tambin tenemos que

diamEucl((E))R2/

Demonstracin. Ya que rotaciones y traslaciones son isometras Euclidianas,podemos asumir quep = 0y luego(z) = R2/z. Seaq Eun punto de Etalque|q| = . Entonces el disco D de centro en 0 y radio est contenido en elexterior deE(adems es tangente a E). Como(E)C (D)y este ltimoes el disco de centro en0y radioR2/, tenemos la primera desigualdad. Por otrolado, si tenemos que E, entonces(E)contiene0 y un punto en el bordedel disco

C (D), obteniendo la segunda desigualdad.


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1.15. CRCULOS ISOMTRICOS 21

1.15. Crculos isomtricos

Consideremos una transformacin de Mbius

t(z) = az+ b

cz+ d

dondea,b, c, d C yad bc= 1, tal quet()=, es decir,c= 0.En este caso tenemos los siguientes puntos en C :

p = t1() = d/c,q = t() = a/c

Si consideramos un crculoC, centrado enpy radioR, entonces sabemos quet(C)debe ser un crculo generalizado. Como p /

C, tenemos que

/

t(C),

luego,t(C)es un crculo Euclidiano en C. Adems,t(C)debe separarqde .

Lema 1.15.1. En las condiciones anteriores, t(C)es un crculo centrado enqy radio r(r) = 1/(c2r).Demonstracin. Observemos que la afirmacin es invariante por traslacionesy rotaciones. Luego, podemos asumir que p = 0y q (0, +). En este caso,a= q,b=1/cyd= 0.

Sea la reflexin en el crculo C, que ahora es un crculo de radio r > 0ycentro en el orgen. As,

(z) =r2

zSip = q, definimoscomo la funcin identidad. En caso que q=p, entonces

es la reflexin en la lneaLque pasa por(p + q)/2y que es ortogonal a la lneadeterminada porpyq. En nuestra situacin

(z) =z+ qConsideremos la transformacin de Mbius b = t1 . Es claro que

b(0) = 0yb() =, es decir,b(z) =z . De manera ms concreta,

b(z) = 1

c2r2z

Ya quet= b1, obtenemos quet(C)es un crculo centrado enqy radior(r) = 1/(c2r), como queramos verificar.La funcinr : (0, +)(0, +)es una funcin estrictamente decreciente

que tiende a +(respectivamente, a0) cuandor tiende a0 (respectivamente, a+). En particular, debe existir un nico punto r > 0tal quer = r; de hecho,r = 1/|c|. En otras palabras, existe un nico crculo centrado en t1()cuyaimgen port es un crculo del mismo radio (que adems debe estar centrado ent()).


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Definicin 1.15.2. Sea

t(z) = az+ bcz+ d

dondea,b, c, d C yad bc= 1, tal quet()=, es decir,c= 0. El crculoIt={z C :|z+ d/c|= 1/|c|}

es llamado elcrculo isomtricodet, denotado porIt.

Como consecuencia de la Proposicin 1.14.1 obtenemos el siguiente hecho.

Proposicin 1.15.3. Seat una transformacin de Mbius tal que t()=y seaRt el radio del crculo isomtricoIt det. SiE

C es un conjunto cerrado

tal quet1

() /E, entoncesdiamEucl(t(E))2R2t /

dondees la distancia Euclidiana det1()al conjuntoE. Si adems, E,entonces tambin tenemos que

diamEucl(t(E))R2t /

Ya que una transformacin extendida de Mbiussse puede escribir comos =Jt, donde J(z) =zy t es una transformacin de Mbius, lo anterior nos permiteasegurar el mismo resultado, es decir :

Proposicin 1.15.4. Sea s una transformacin extendida de Mbius tal ques()=y seaRs el radio del crculo isomtricoIt det, donde t = J s. SiEC es un conjunto cerrado tal quet1() /E, entonces

diamEucl(s(E))2R2t /dondees la distancia Euclidiana det1()al conjuntoE. Si adems, E,entonces tambin tenemos que

diamEucl(s(E))R2t /

Problemas.

1.- Seat(z) =

az+ b

cz+ ddondea, b, c, d C yad bc= 1, tal quet()=, es decir,c= 0.

(i) Verificar la igualdad

t(It) =It1 ={z C :|z a/c|= 1/|c|}(ii) Concluir de (i) que

t= rdonde es la identidad sip= q bin la reflexin en la lnea orthogonalal trazo que unep con qen el punto medio, res una rotacin (que puede


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1.16. PROYECCIN ESTEREOGRFICA 23

revertir orientacin) bin la identidad (luego y r son isometras

Euclidianas) yes la reflexin en el crculo isomtricoIt.

2.- Seafuna transformacin de Mbius, diferente de la identidad, digamos

f(z) =az+ b

cz+ d

donde a,b,c,d C son tales que adbc= 1. Como antes, Ify If1denotanlos crculos isomtricos defyf1, respectivamente. Verifique que :

(i) IfyIf1son disjuntos s y slo si |a + d|2 >4 ;(ii) IfyIf1son tangentes s y slo si |a + d|2 = 4 ;(iii) IfyIf1 se interceptan en exctamente dos puntos s y slo si 0 1yT(b) =, que se tiene la siguiente igualdad

[a, z; w, b] = [0, 1; T(w), ] =T(w)> 1,luegodH(z, w)> 0. Como

T(w) =(w a)(z b)

(w b)(z a),


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26 CAPTULO 2. EL PLANO HIPERBLICO

se tiene una forma explcita paradH:

dH(z, w) = ln(w a)(z b)

(w b)(z a)

.

De esta manera tenemos que dH(z, w) 0, y quedH(z, w) = 0s y slo siz = w. Por otro lado, de la definicin, siz=w, entonces

dH(w, z) = ln[b, w; z, a] = ln[a, z; w, b] =dH(z, w).

De esta manera, lo nico que nos falta verificar para ver quedHes una mtricaes la desigualdad triangular, la cual procederemos a ver luego.

Definicin 2.1.3. Por una isometra (hiperblica) de (H, dH)entenderemosun homeomorfismot : HHtal quedH(z, w) =dH(t(z), t(w)).

La invariancia de la razn cruzada por una transformacin de Mbius nos per-mite notar que los objetos definidos anteriormente son invariantes bajo las trans-formaciones de Mbius y extendidas de Mbius. Si consideramos otro crculogeneralizadoCy uno de los discosHdeCC, entonces podemos construir unatransformacin de Mbius s tal que s(C) =Cy s(H) =H. Tenemos que s envalneas hiperblicas deHen lneas hiperblicas deHy tenemos quesresulta seruna isometra, es decir,dH(z, w) = d H(s(z), s(w)). Tomando

H =H, esto nos

d el siguiente :

Proposicin 2.1.4. SeaCun cculo generalizado y Huno de los dos discos(generalizados) determinados porC. Entonces

Aut(H)< IsodH(H)

dondeI sodH(H)denota el grupo de isometras deH respectodH.

Lo anterior tambin nos dice que para verificar quedHsatisface la desigualdadtriangular y, en particular, que es una mtrica en H, basta con asumir H = ,donde

={z C :|z|< 1}Primero obtenemos una forma dedque nos permitir hacer clculos explci-

tos.

Lema 2.1.5. Siz, w,z=w, entonces

d(z, w) = ln|1 zw| + |w z||1 zw| |w z|

de manera equivalente

d(z, w) = ln1 +

1


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2.1. ALGUNOS MODELOS DEL PLANO HIPERBLICO 27

donde

= |w z||1 zw|Demonstracin. Sea

t(u) = u z1 zu Aut()

En este caso,t(z) = 0,a =t(w)/|t(w)| yb = t(w)/|t(w)|. Luego,d(z, w) =d(0, t(w)) = ln[t(w)/|t(w)|, 0; t(w), t(w)/|t(w)|] =

= ln1 + |t(w)|1 |t(w)|

Lema 2.1.6(Desigualdad Triangular). Seanu, z ,w. Entoncesd(z, w)d(z, u) + d(u, w)

La igualdad vale s y slo si u, z ,w viven en una misma lnea hiperblica, es

decir, si son colineales.

Demonstracin. Ya queAut()< Isod(), podemos asumir si perdida degeneralidad queu= 0yw(0, 1). En esta situacin tenemos que

d(z, w) = ln1 +

1 ; donde=

|w z||1 zw|

d(u, z) = ln1 + |z|1 |z|

d(u, w) = ln1 + |w|1 |w|

Ahora observemos que

1 +

1 =(1 + )2

1 2 = (|1 zw| + |w z|)2

(1 |w|2)(1 |z|2)

(1 + |z||w| + |z| + |w|)2

(1 |w|2

)(1 |z|2

)

= 1 + |z|

1 |z|1 + |w|

1 |w|Ahora el resultado sale del hecho que logaritmo es una funcin creciente.Usando el hecho quew >0, podemos ver que la igualdad se produce s y slo

siz(, 0).

Resumiendo todo lo anterior es el siguiente.

Teorema 2.1.7. dHes una mtrica para el disco generalizado H. Adems, laslneas hiperblicas son las lneas geodsicas.


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Definicin 2.1.8. El par (H, dH)es llamado un mdelo delplano hiperb-

lico.

Ahora que tenemos verificado que dHes una mtrica del plano hiperblicoH, y que sabemos que Aut(H) es un grupo de isometras, nos gustara sabersi existen otras isometras aparte de estas. Volvamos a nuestro modelo del discounitario. Si tomamos un punto z , entonces podemos usartAut()taquet(z) = 0. Luego, los puntos deque equidistan dez a una distancia r >0son enviados a los puntos deque equidistan de0a una distanciar. Pero en estecaso, siwes tal qued(0, w) =r, entonces

r= ln

1 +

|w

|1 |w|de donde obtenemos que

|w|= er 1

er + 1=R >0

Es decir, los puntos que equidistan de0 a una distancia hiperblica r forman uncrculo Euclidiano centrado en 0 y radio Euclidiano R. Como las transformacionesde Mbius envan crculos generalizados en crculos generalizados, obtenemos elsiguiente.

Proposicin 2.1.9. Los puntos que equidistan a una distancia r > 0 de unpunto dado enH, respecto a la mtrica hiperblicadH, forman un crculo Eucli-diano.

Ahora procedemos a responder nuestra pregunta sobre las isometras del planohiperblico.

Teorema 2.1.10. El grupo de las isometras hiperblicas de H es excta-menteAut(H) 0yalos puntos de interseccin de Ccon(1, 1). Entoncest(a) = a y t(a) =a.SiqC {a, a}, entoncest(q)C {a, a} debe satisfacer

d

(q, a) =d

(t(q), a) =r


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2.1. ALGUNOS MODELOS DEL PLANO HIPERBLICO 29

Ahora, el crculo hiperblico centrado enay radio hiperblicores un crculo

Euclidiano y debe cortar al circulo Cen exactamente dos puntos, uno en cadasemi-disco. As, las nicas posibilidades que podemos tener sont(q) = q bint(q) = q. Esto ltimo no puede ocurrir ya que t preserva el semi-disco superior.Ahora es claro quet = I.

Ejemplo 2.1.11. Si tomamosH= , entonces ya vimos que

d(z, w) = ln1 +

1 ; donde= |w z||1 zw|

y que su grupo de isometras hiperblicas es

Aut() =

zei z a

1 az :|a|< 1

Este es llamado el modelo dePoincar del plano hiperblico.

Ejemplo 2.1.12. Tomemos elsemiplano superior

H= H ={z C :I m(z)> 0}.La transformacin de Mbius

t(u) =

u

i

u + i

satisface quet(H) = . Entonces

dH(z, w) =d(t(z), t(w))

y su grupo de isometras hiperblicas es

Aut(H) =P SL(2,R)

Este es llamado el modelo delsemiplano superior del plano hiperblico.

Problemas. 1.- Verificar que

dH(z, w) = ln|z w| + |w z||z w| |w z|

2.- SeanL1y L2dos lneas hiperblicas en el plano hiperblico (H, dH). Su-pongamos queL1 L2 = y que los puntos finales deL1son diferentes delos puntos finales de L2. Verifique que existe una y slo una lnea hiperblicaortogonal a ambas. Indicacin : Use por ejemplo el modelo del semiplano su-periorH y suponga que una de las lneas es el semieje imaginario.


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3.- Verificar que las lneas hiperblicas de H2 son las geodsicas para la m-

trica Riemanniana anterior y que la mtrica que esta define en H coincidecondH.

4.- Verificar que la mtrica Riemanniana respectiva para el modelo de Poincar(, d)es dada por

ds= 2|dz|1 |z|2

En este caso el elemento de rea es dado por

dA= 4dxdy

(1 |z|2)2

2.2. Forma infinitesimal de la mtrica hiperblica

Si tomamos un modelo (H, dH)del plano hiperblico, como lo hemos hechoen la seccin anterior, entonces tenemos queHes un abierto de la esfera de Rie-mann, luego una superficie de Riemann. En particular, Hes una variedad real dedimension dos diferenciable. En cada puntoz Htenemos un plano tangente aH, es decir,TzH.

Nos podemos preguntar si es posible dotar a Hes unamtrica Riemannianaque sea compatible con la distancia hiperblica, es decir, dotar a cada plano tan-genteTzHde un producto interior positivo (que depende diferenciablemente en

z) de manera que la mtrica que esta defina sobre Hcoincida con la mtrica hi-perblica.

Basta analizar esto en un modelo en particular, digamos el modelo del semi-plano superior H = H. Si tomamos en cada plano tangente TzH el productointerior positivo definidods= (z)|dz|, es decir, siu, vTzH, entonces

< u, v >=(z)2u v,donde : H (0, +)es una funcin diferenciable y u vdenota el productopunto. Observemos que en este caso el ngulo que define es el mismo quedefine el producto punto, es decir, el ngulo Euclidiano.

Queremos que cada automorfismo holomorfot

Aut(H) = P SL(2,R)sea

una isometra, es decir,(t(z))|t(z)|= (z)

valga para todoz H. Ahora,Aut(H)est generado por las transformaciones dela forma

t1(z) =z + a; a Rt2(z) =bz; b > 0

t3(z) =1

zDe esta manera, queremos tener

(z+ a) =(z); para todoaR


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2.2. FORMA INFINITESIMAL DE LA MTRICA HIPERBLICA 31

(bz) =

(z)

b ;para todo

b >0

(1z

) =|z|2(z)La primera ecuacin nos dice que (z) = (Im(z)). Luego debemos buscar

una funcin: (0, +)(0, +)

que satisfaga las condiciones :

(br) = (r)

b ; para todob, r >0

(1

r

) =r2(r); para todor >0

De esta manera,

(r) = 0

rdonde0 > 0. Es claro que para cada eleccin de 0 obtendremos una mtricaRiemanniana en H

ds= 0|dz|Im(z)

para la cual P SL(2,R) acta como grupo de isometras. No es difcil ver quet(z) =z tambin acta como isometra en tal mtrica Riemanniana, es de-cir,Aut(H)est contenido en el grupo de isometras de la variedad Riemanniana(H, ds= 0|dz|Im(z)). La longitud (en tal mtrica Riemanniana) de un camino diferen-ciable: [a, b] H es dado por

l() =0

ba

|()|dIm(())

Si calculamos la longitud del camino () =i,[1, 2], obtenemos que

l() =0

21

d

=0ln 2

Ahora, como sabemos que el camino parametrizado por es geodsica hi-perblica, debemos tener ln 2 = dH(i, 2i) = l(), es decir, 0 = 1. De estamanera, la mtrica Riemanniana buscada enH es dada por

ds= |dz|Im(z)

Adems, cuando tenemos una mtrica ds = (z)|dz|, z = x+ iy, tenemosque el elemento de rea es dado por dA = (z)2dxdy. Luego, en este caso elelemento de rea es dada por

dA= dxdy

y2

Usando el hecho que cualquier otro modelo del plano hiperblico(H, dH)esisomtrico con el modelo(H, dH)por medio de alguna transformacin de Mbius,y el hecho que toda transformacin de Mbius preserva los ngulos Euclidianos,tenemos el siguiente.


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Proposicin 2.2.1. La nocin de ngulo hiperblico es el mismo que el dengulo Euclidiano.

Problemas. 1.- Verificar que para el modelo del plano hiperblicose tiene que la forma

infinitesimal de la mtrica hiperblica es dada por

ds= 2|dz|1 |z|2

2.3. Area de polgonos hiperblicos

Consideremos cualquier modelo(H, dH)del plano hiperblico.

Definicin 2.3.1. Una lnea hiperblicaLHdivideHen dos partes. Cadauna de esas partes es llamado unsemiespacio hiperblicodeH.

Definicin 2.3.2. Unpolgono hiperblico P HCes la interseccinde un nmero finito de semiespacios hiperblicos. Un lado de Pes dado por unarco maximal de lnea hiperblica contenida en el borde de P. Un vrtice dePes un punto del borde de P(incluido aquellos puntos del borde deH) comn ados lados diferentes. Si un vrtice dePest contenido en el borde deH, entonces

diremos que este esta en el infinito; en este caso los dos lados adyacentes a talvrtice son lneas hiperblicas que hacen un ngulo igual a 0. Por otro lado, sitenemos un vrtice al interior de H, entonces el ngulo (interno al polgono) viveen(0, ). Un polgono puede tener en su borde arcos del borde de H, diremos queellos son lados al infinito. Un polgono hiperblico que no tiene lados al infinito yque tienen3lados ser llamado unpolgono hiperblico finito de nlados.

Observacin 2.3.3. Hay una definicin ms general de polgonos hiperblicosque la que hemos dado aqu y que se puede ver en [11].

Definicin 2.3.4. Un subconjunto X Hes llamadoconvexosi para todopar de puntos diferentes en Xocurre que el trazo de lnea hiperblica que ellosdefinen est completamente contenida enX.

Teorema 2.3.5(Frmula de Gauss-Bonnet). Sea P un tringulo hiperb-lico, es decirPun polgono hiperblico finito de3 lados, con ngulos interiores1,2 y 3. Entonces el rea hiperblica dePes finita y tiene el valor

Area(P) = 3

j=1j


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2.3. AREA DE POLGONOS HIPERBLICOS 33

Demonstracin. Usemos el modelo del semiplano superior H para hacer los

clculos. Supongamos primero que nuestro tringulo tiene al menos dos vrtices alinfinito. Luego, por una isometra hiperblica, podemos suponer que los vrticesson ,1(1 = 2= 0) y el tercero vive el el semi-crculo de radio1y con centroen0. As, el tercer vrtice tiene la forma ei ( igual a 1si este est al infinito).En este caso podemos observar que3 = . Ahora, si calculamos el rea dePobtenemos

P

dxdy

y2 =

1cos()

1x2

dy

y2dx=

1cos()

dx1 x2 == 3

Ahora, supongamos que el tringulo hiperblico slo tiene un vrtice al infinito.

Entonces podemos llevarlo por una isometra hiperblica a un tringulo con elvrtice al infinito siendo y los dos otros vrtices contenidos en el semi-crculode radio 1 y centro en 0. Es fcil ver que este tringulo se puede ver como ladiferencia de dos tringulos como los vistos anteriormente, obteniendo nuestroresultado en tal caso.

Si el tringulo no tiene vrtices al infinito, entonces podemos poner dos desus vrtices en el semi-crculo de radio 1 y centro en0, y el tercero sobre el ejeimaginario. Este tipo de tringulos se puede escribir como unin e interseccin delos anteriores.

Ejercicio 3. Completar los detalles de la demostracin anterior.

Teorema 2.3.6. SeaPun polgono hiperblico finito den lados y sean1,...,n sus ngulos interiores. Entonces el rea hiperblica de Pes finita y tiene el

valor

Area(P) = (n

2)

n

j=1 jDemonstracin. Primero observamos que podemos descomponer Pen n tri-gulos hiperblicos, todos con un vrtice en comn en el interior de P. El rea dePes la suma de las reas de tales tringulos y, en consecuencia, el resultado saledel teorema anterior.

Corolario 2.3.7. No existen rectngulos hiperblicos.


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Problemas.

1.- Determine cuales son los tringulos hiperblicos de mayor rea.

2.- Considere un polgono hiperblico finito de 4g lados, donde g 2, y talque todos sus vrtices viven en el plano hiperblico. Si la suma de todos sungulos interiores es2, entonces el rea de este es 4(g 1).

3.- Sean3un entero y sea[0, +)tal que(n 2) > n

Verifique que es posible construir un polgono hiperblico finito de nladosy todos su ngulos interiores iguales a .

4.- Sean3un entero y sean1,...,nreales no-negativos tales que

(n 2) >n

j=1

j

Verifique que existe un polgono hiperblico finito de nlados cuyos ngulosinteriores son1,...,n.

5.- Verificar que los siguientes subconjuntos son convexos :(i) Semiespacios hiperblicos ;(ii) Polgonos hiperblicos ;

(iii) Arcos de lneas hiperblicas ;(iv) Puntos.

6.- SiXHes conjunto finito convexo, entoncesXdebe tener cardinalidad1.

7.- Sea Pun polgono hiperblico. Verificar que si P tiene rea hiperblicafinita, entoncesPdebe ser un polgono hiperblico finito.

2.4. Crculos hiperblicos

Definicin 2.4.1. Sea(H, dH)un modelo del plano hiperblico. Undisco hi-perblicode radio y centropHen Hes el conjunto de puntos de Hque estna distancia menor que del puntop. De manera similar, uncrculo hiperblicoderadioy centropHen Hes el conjunto de puntos deHque estn a distanciadel puntop.

Consideremos el modelo del disco unitario de Poncar como modelo delplano hiperblico. Entonces tenemos que la distancia hiperblica es dada por

d(z, w) = ln1 +

1 , donde=

|w z|

|1 zw|,


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2.4. CRCULOS HIPERBLICOS 35

la forma infinitisimal de la mtrica Riemanniana es dada por

ds= 2|dz|1 |z|2

y la forma de rea es dada por

dA= 4dxdy

(1 |z|2)2Ya que el grupo ortogonal del plano O2 < Aut(), tenemos que los crculos

hiperblicos centrados en el orgen son crculos Euclidianos centrados en el or-gen. Este argumento nos permiti asegurar que en el plano hiperblico los crculoshiperblicos son crculos Euclidianos.

Ahora, un crculo hiperblico de radio hiperblico y centro en0, es un crculoEuclidiano de radio Euclidiano ry centro0. Luego debemos tener que d(0, r) =, de donde obtenemos la relacin

r= tanh(/2)

Su permetro hiperblico es 20

2rd

1 r2 = 4r

1 r2 = 2 sinh()

Si denotamos porDrel disco centrado en 0y radio Euclidianor, entonces surea hiperblica es dada por

Dr

4dxdy(1 |z|2)2 = r0

2

04rddr

(1 r2)2 = 2(cosh() 1) = 4 sinh2(/2).

En resumen tenemos el siguiente hecho.

Teorema 2.4.2. SeaCun crculo hiperblico de radio hiperblico y seaDel disco acotado porC. Entonces :

(i) El permetro hiperblico deCes

2 sinh().

(ii) El rea hiperblica deD es

2(cosh() 1) = 4 sinh2(/2).

Ejemplo 2.4.3. Si g2, entonces el rea hiperblica de un polgono hiperb-lico finito de 4g lados y con la suma de todos sus ngulos interiores igual a 2es4(g 1). El resultado anterior entonces asegura que no es posible colocar enel interior de tal polgono un disco hiperblico de radio si cosh() > 2g 1.Por ejemplo, si tomamosg = 2, entonces no es posible incrustar isomtricamenteun disco hiperblico de radio hiperblico > 1.76275...dentro de un polgonohiperblico de8lados.


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Problemas.

1.- Considere un tringulo hiperblico Tcuyos ngulos interiores son de laforma /a, /b y /c, donde a,b,c2son enteros. Determinar el radio deldisco hiperblico de mayor rea que se puede colocar dentro de tal tringulo(incluido sus bordes). Generalize esto a otros polgonos hiperblicos.

2.- Sean p1, p2, p3 tres puntos diferentes y no-colineales dentro del planohiperblico. Dar condiciones en esos puntos de manera que sea posibleconstruir un tringulo hiperblico Tconteniendo uno de los puntos en cadauno de sus tres lados y cuyos ngulos interiores son una fraccin entera de.

3.- Sea D un disco hiperblico de radio y Dsu crculo borde. Sea A()el rea hiperblica de D y sea L() su permetro hiperblico. Calcule elcociente

f() =A()

L()

y analice el comportamiento def()cuandose aproxima tanto a0como a. Compare sus resultados con el equivalente para el caso Euclideano.

2.5. Trigonometra hiperblica

Usemos como modelo de plano hiperblico al disco unitarioConsideremos un tringulo hiperblico compactoT, cuyos vrtices son deno-tados pora,byc, y cuyos ngulos (Euclideanos) interiores son,y , corres-pondientemente. Denotemos porlt (donde t {a,b,c}) la longitud hiperblicadel lado deTopuesto al vrticet.

Ya que ngulos, longitudes (hiperblicas) son invariantes por isometras hi-perblicas, podemos suponer que

a= 0, 0< b < 1 c =|c|ei.En este caso, tenemos que

b= tanh lc2 ,|c|= tanh lb2 .Por otro lado,

sinh2

la2

= sinh2

d(b, c)

2

=

|b c|2(1 b2)(1 |c|2) ,

de donde se obtiene que

|b c|2 = (1 b2)(1 |c|2) sinh2

la2

.

Ahora, como

|b

c|2 =b2 +

|c|2

2b

|c|

cos() =


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2.5. TRIGONOMETRA HIPERBLICA 37

= tanh

2 lc2+ tanh2 lb2 2tanh lc2 tanh lb2 cos(),de lo anterior se concluye la igualdad siguiente

sinh2

la2

sinh2

lb2

sinh2

lc2

=

= tanh2

lb2

tanh2

lc2

2tanh

lb2

tanh

lc2

cos().

Multiplicando ambos lados por

cosh2 lb2 cosh2 lc2y luego simplificando, se obtiene la igualdad

sinh2

la2

= sinh2

lb2

sinh2

lc2

+ sinh2

lb2

cosh2

lc2

2sinh

lb2

sinh

lc2

cosh

lb2

cosh

lc2

cos(),

que es equivalente a la identidad siguiente

Teorema 2.5.1(Ley de Cosenos I).

cosh(la) = cosh(lb)cosh(lc) sinh(lb) sinh(lc) cos().

De manera similar se pueden obtener las siguientes leyes trigonomtricas.

Teorema 2.5.2(Ley de Cosenos II).

cos() = cos() cos() + sin()sin() cosh(lc).

Teorema 2.5.3(Ley de Senos).

sinh(la)

sin() =

sinh(lb)

sin() =

sinh(lc)

sin() .

Notemos que la Ley de Cosenos II nos dice que las longitudes de los lados deun tringulo hiperblico compacto estn nicamente determinadas por los ngulosinteriores. Esto no es verdad en el caso Euclideano ! !


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Problemas.

1.- Obtener, como consecuencias de la Ley de Cosenos I, la Ley de Cosenos IIy la Ley de Senos.

2.- SiTes un tringulo rectngulo compacto, establecer el equivalente al teo-rema de Pitgoras.

3.- Si Tes un tringulo compacto. Ver que si sus tres ngulos interiores soniguales, entonces sus tres lados tienen la misma longitud. Recprocamente, silos tres lados tienen la misma longitud, entonces sus tres ngulos interioresson iguales.

4.- Determine un espacio que parametrize todos los tringulos hiperblicoscompactos mdulo isometras hiperblicas.


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CAPTULO 3

TRANSFORMACIONES DE MBIUSN-DIMENSIONALES

En este captulo extenderemos los resultados y observaciones hechas paratransformaciones (extendidas) de Mbius planares para el caso de cualquierdimensin. Para esto primero definiremos las reflexiones en esferas generaliza-das en forma similar a como definimos reflexiones en crculos generalizados.Luego obtendremos las transformaciones (extendidas) de Mbius por mediode composicin de reflexiones. Como consecuencia del teorema de Liouvilleveremos que de esta manera obtenemos todos los automorfismo conformales yanticonformales de la esfera. A continuacin daremos una clasificacin de ellas ydefiniremos sus esferas isomtricas. Podemos ver la esfera unitaria n-dimensional(por medio de una proyeccin estereogrfica) como una esfera generalizada enla esfera (n+ 1)-dimensional. Veremos que podemos extender la accin de lastransformaciones (extendidas) de Mbius en dimensin n a transformaciones(extendidas) de Mbius de dimensin(n + 1): la extensin de Poincar.

3.1. La proyeccin estereogrfica

Consideremos la funcin:Rn Sn, definida por(x) =

2x1

x2 + 1 , ..., 2xnx2 + 1 ,

x2 1x2 + 1

() = (0, ..., 0, 1),

dondeSn es la esfera unitaria centrada en el orgen de Rn+1.

Definicin 3.1.1. El homeomorfismo:Rn Sn es llamado laproyeccinestereogrfican-dimensional.

Problemas. 1.- Verificar que es un homeomorfismo. Verifique adems que si SRn

es una esfera generalizada, entonces (S) es la interseccin ortogonal deSn con (i) una esfera n-dimensional deRn+1 bin (ii) un subespacio li-neal de dimensinnde Rn+1. Este tipo de homeomorfismo es llamado una


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40 CAPTULO 3. TRANSFORMACIONES DE MBIUS N-DIMENSIONALES

proyeccin estereogrfica (compare con el caso bi-dimensional discutido an-

teriormente).

3.2. Transformaciones (extendidas) de Mbiusn-dimensionales

De manera similar que en el caso de dimensin dos, podemos hablar de esfe-ras generalizadas enRn y de sus reflexiones. De manera ms concreta ; primeroconsideramos la compactificacin de AlexandroffRn = Rn {}.

Definicin 3.2.1. Unaesfera generalizadade dimensin k {1, 2,...,n1}en el espacioR

n es una esfera Euclidiana k-dimensional deRn bin la unin

del puntocon un planok-dimensional en Rn. Cuandok = n 1hablaremosde una esfera generalizada sin referirnos a su dimensin.

Cada esfera generalizadaenRn define un difeomorfismo:Rn Rn

de orden dos que preserva ngulos pero que invierte la orientacin ; concreta-mente :

(i) Sies una esfera en Rn de radior >0y centro enp Rn, entonces

(x) =r2(x p)x p2

+p

(ii) Si es un hiperplano que pasa por el punto p Rn y que tiene comovector ortogonalvSn1, entonces

(x) =x 2{(x p) v}v

Definicin 3.2.2. Denotamos porMn al grupo de difeomorfismos deRn ge-nerado por las reflexiones en las esferas generalizadas. El subgrupo de ndice dosde difeomorfismos que preservan la orientacin es denotado por Mn. Los ele-mentos de Mn son llamadostransformaciones de Mbius y los que viven en

Mn Mn son llamadostransformaciones extendidas de Mbius.Proposicin 3.2.3. El grupoMn est generada por las siguientes transforma-ciones :

(i) Traslaciones:t(x) =x + a, dondea Rn ;(ii) Dilataciones:t(x) =x, donde(0, +) ;(iii) Rotaciones:t(x) =Rx, dondeRSOn;(iv) Inversin: t(x) =x/x2.

Demonstracin. Ver Problema 1.-.


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3.2. TRANSFORMACIONES (EXTENDIDAS) DE MBIUS n-DIMENSIONALES 41

Teorema 3.2.4. Toda transformacin (extendida) de Mbius enva esferas ge-neralizadas de dimensin k en esferas generalizadas de dimensin k. Adems,

cada una de esas transformaciones preserva ngulos Euclidianos, en particu-

lar, las transformaciones (extendidas) de Mbius son automorfismos conformales

(anti-conformales) deRn.Demonstracin. Ver Problema 2.-.

Observacin 3.2.5(Esferas generalizadas y esferas topolgicas)El resultado anterior nos permite dar una definicin equivalente de esferas ge-

neralizadas como sigue. Unaesfera generalizadade dimensin k {1, 2,...,n1}enRn es la imgen por una transformacin (extendida) de Mbius de la k-esfera Euclidiana

Sk ={(x1,...,xn) :xk+2= = xn= 0, x21+ + x2k+1= 1}.De manera similar uno tiene las k-esferas topolgicas deRn (cuando k= n1

hablaremos de una esfera topolgica) que son la imgen homeomorfa de Sk, esdecir, incrustaciones topolgicas deSkenRn.

Es importante hacer notar aqu que aunque cada esfera generalizada divideRnen dos bolas Euclidianas, para el caso de esferas topolgicas la situacin es mspatolgica. Por ejemplo, en n 3se pueden construir esferas topolgicas quedividenRn en abiertos que no son contractibles.

Ya habamos visto que paran = 2las transformaciones de Mbius y extendi-das de Mbius dan todos los automorfismos conformales y anticonformales de laesfera de dimensin2. El siguiente resultado muestra que en efecto esto tambines verdad paran3.

Teorema 3.2.6(Teorema de Louville[8]). Seann3,U, VRn,U, V= subconjuntos abiertos y conexos. Entonces toda funcin inyectiva conformal(respectivamente, anticonformal)

f :U

V

es la restriccin de una transformacin de Mbius (respectivamente, extendida de

Mbius).

Corolario 3.2.7. Si n 3 y U= es un subconjunto abierto y conexo deRn, entonces su grupoAut(U)de automorfismos conformales y anticonformalessatisface que

Aut(U) ={tMn :t(U) =U}y en particular

Aut(Rn) =Mn


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42 CAPTULO 3. TRANSFORMACIONES DE MBIUS N-DIMENSIONALES

Problemas.

1.- Verificar que traslaciones, dilataciones, rotaciones e inversin estn enMny demostrar la Proposicin 3.2.3.

2.- Probar el Teorema 3.2.4.

3- Verificar que toda transformacin de Mbius es composicin de un nmeropar de reflexiones y que cada transformacin extendida de Mbius es unacomposicin de un nmero impar de reflexiones.

4.- Verificar que cada transformacin (extendida) de Mbius preserva ngu-los. Qu pasa con la orientacin ?

3.3. Clasificacin de las transformaciones de Mbius

Supongamos que tenemos una transformacin (extendida) de Mbius t, di-ferente de la identidad, que tiene al menos un punto fijo. Podemos conjugarlapor un transformacin de Mbius para asumir que tal punto fijo es. Podemoscomponer a la izquierda por una traslacin pde manera que pt(0) = 0. Yaque pt preserva ngulos, tenemos que existe una transformacin ortogonal rtal que rpt satisface que rpt(ej ) = jej , para j = 1,...,n, dondee1= (1, 0, ..., 0),e2= (0, 1, 0, ..., 0),...,en= (0, ..., 0, 1). Si miramos la diferen-cial de r

p

t y usamos el hecho que debe preservar ngulos, entonces tendremos

que1 = = n= . En resumen, tenemos el siguiente resultado.

Proposicin 3.3.1. Sea t una transformacin (extendida) de Mbius, diferentede la identidad, con al menos un pun

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