Traction

CHAPITRE 3. TRACTION - COMPRESSION . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . - 3.1 -3.1. Introduction : Traction (compression) pure . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . - 3.1 -3.2. Formules de calculs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . - 3.1 -

3.2.1. Etudes des contraintes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . - 3.1 -3.2.1. Etudes des allongements . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . - 3.3 -

3.3. Contraintes de bridage (soumise une diffrence de temprature) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . - 3.6 -3.3.1. Notion de coefficient de dilatation linaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . - 3.6 -3.3.2. Calcul des efforts et contraintes de bridage . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . - 3.7 -

3.4. Traction (compression) dans une pice forme de deux matriaux diffrents . . . . . . . . . . - 3.10 -3.5. Dimensionnement des boulons . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . - 3.13 -

3.5.1. ! Boulons soumis traction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . - 3.13 -A) Dimensionnement statique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . - 3.13 -B) Dimensionnement dynamique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . - 3.15 -C) Dimensionnement pratique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . - 3.15 -

3.5.2. Calcul dun assemblage avec boulons haute rsistance (HR) . . . . . . . . . . . . . . - 3.17 -3.6. ! Le matage . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . - 3.18 -3.7. ! Enveloppe mince . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . - 3.19 -

3.7.1. Calcul de leffort F sollicitant lenveloppe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . - 3.20 -3.7.2. Modes de rupture : trois ruptures possibles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . - 3.20 -

A) Rupture du rservoir suivant le plan diamtral . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . - 3.21 -B) Rupture du rservoir suivant une gnratrice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . - 3.21 -C) Rupture du rservoir suivant une section droite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . - 3.21 -

3.8. ! Cble . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . - 3.24 -3.9. Socle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . - 3.29 -3.10. ! Contraintes de compression au contact de surfaces courbes : formules de Hertz . . . . - 3.31 -

3.10.1. Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . - 3.31 -3.10.2. Formules de Hertz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . - 3.32 -

Version du 23 octobre 2013 (19h02)

Dfinition : la traction ou la compression pure est un tat de charge tel que danstoute section droite dune pice il nexiste quun effort normal N appliqu aucentre de gravit.

CHAPITRE 3. TRACTION - COMPRESSION

3.1. Introduction : Traction (compression) pure

On sait par lintroduction ce cours que :< la traction est la sollicitation la plus simple qui soit;< lessai de traction dune pice prismatique en constitue lapplication la plus lmentaire et la

plus instructive;< Ltat de contrainte se rduit donc en la seule composante normale . La distribution des

contraintes est uniforme dans la section. Si la barre tend sallonger ( se raccourcir),leffort normal est appel traction (compression).

Larchtype de la pice tendue est le cble ou le tirant. On rencontre galement des pices tenduesdans certaines des membrures dune poutre ou dun pont en treillis.

Attention le prsent paragraphe ne traite que de la traction (compression) pure, cest--direlorsque les forces extrieures de traction agissent dans laxe de la pice tendue.

Tout ce quil sera dit dans ce paragraphe est valable aussi bien pour la traction que pour lacompression.

Cependant il existe une diffrence fondamentale entre les sollicitations de traction et decompression sera le danger de flambement qui menace en principe la stabilit de toute pice comprimeet auquel sera consacr un chapitre entier.

3.2. Formules de calculs

3.2.1. Etudes des contraintes

En application des principes fondamentaux, faisons une fois pour toutes le raisonnement suivant :la partie G tient la partie D grce aux contraintes dans la section A, contraintes dont la rsultantevaut ; l quilibre de translation horizontale de G pris isolment (schma du corps rendu libre !) Aimplique que :

fig.3.1. -

R. Itterbeek Rsistance des Matriaux - Traction-Compression Page - 3.1 -

N rsultante des contraintes A= =

Do :

=NA

(q. 3.3.)

et pour rester conforme aux rglements et normes, il faudra sarranger pour que la contrainte relle provoque par leffort N demeure infrieure ou gale la contrainte admissible adm, do la relationfondamentale, qui constitue la condition de rsistance :

= NA adm

(q. 3.4.) = NA adm

Notations : NAadm

effort extrieur de traction sollicitant la piceaire de la section droite de la picecontrainte relle de traction en tout point de la sectionAcontrainte admissible du matriau constituant la pice

Nmm2

N/mm2N/mm2

De cette relation, on tire les formules utiles de calcul :

< problme de vrification : consiste vrifier si une pice tendue par N, de section A connueet en matriau de contrainte admissible adm est bien dimensionne; il faut effectuer le test :

< problme de dimensionnement : problme de dimensionnement consiste donner la piceune section A telle quelle puisse rsister un effort N compte tenu de sa contrainte admissible adm ; la section A est donne par :

A N

adm

(q. 3.6.)

Cest--dire que la section A doit tre au moins gale (qui peut le plus peut leN Amoins !)

< recherche de la capacit portante : consiste rechercher leffort Nmax quune pice de sectionA en matriau de contrainte admissible adm peut reprendre au maximum; la valeur rechercheest donne par :

Faux

Vrai

Redimensionner la pice ouChoisir un matriaux plus rsistant

OK

= NA adm


Par convention :allongements relatifs et contraintes de traction : positifsraccourcissements relatifs et contraintes de compression : ngatifs

N A admmax = (q. 3.8.)

Par application dun principe que nous voquerons souvent et qui dit quune pice a desperformances maximales lorsque les contraintes y ont atteint la limite permise (adm).

3.2.1. Etudes des allongements

Sachant que : et que : et si nous remplaons ces deux valeurs dans la loi de = NA0

= ll0

Hooke ( ), nous obtenons : = E

mml N lE A

=0

0(q. 3.12.)

Notations : l0A0E

E A

la longueur initiale de la barrela surface de la section droitemodule dlasticit longitudinale ou module deYoungrigidit de la section transversale en traction

mmmm2

N/mm2N

Cette relation, comme la loi de Hooke, nest valable que dans la zone dlasticit linaire.

Cette relation qui nous apprend que :

< lallongement varie dans le mme sens que leffort N et la longueur initiale l0 (on sen seraitdout !),

< lallongement est dautant plus petit que la pice a une grosse section, toutes autres chosestant gales (on le comprend aisment !),

< lallongement est dautant plus petit que le matriau de la pice a un module dlasticit E(rigidit) lev, toutes autres choses tant gale,

Cette dernire rflexion signifie en pratique que par exemple une pice en acier sallongerabeaucoup moins (environ 3 fois moins) que la mme pice ralise en aluminium et soumise au mmeeffort de traction. Pour sen rendre compte, il suffit de comparer Eacier et Ealu. Cela explique en partie quelacier est davantage un matriau de structure que laluminium, outre le prix.

Dans certains problmes, on demandera de vrifier si lallongement rel l de la pice ne dpassepas un allongement admissible fix par le client. Sil y a dpassement, on augmentera la section Ajusqu ce que l redescende dans les limites acceptables. La dernire formule encadre ci-avant permetdeffectuer cette opration.

Remarque :


fig.3.3. - Rpartition des contrainte detraction.

Application 3.1. Une barre dacier de 10 mm de diamtre reoit une force de traction de 12560 N.Quelle sera lallongement de la barre sur 5 mtres si . Quelle sera alors laE N mm= 210000 2

contrainte dans cette barre ?

On remarque que toute section droite le reste aprs dformation si la longueur de la barreest infinie. Dans le cas dune pice de longueur finie, la loi de conservation des sectionsdroites reste pratiquement valable tant que lon fait abstraction des zones voisines dupoint dapplication de la charge.

Exprimentalement, cette loi est confirme par le fait que lallongement (ou leraccourcissement) dune barre est uniformment rparti tant que leffort nest pas troplev.

Et daprs la loi de Hooke il existe une relation linaire entre la dformation et lacontrainte, si lallongement (ou le raccourcissement) dune barre est uniformmentrparti, il en sera de mme pour les contraintes.

Solution :Recherche de la section de la barre :

A d mm= = = 2 2

2

410

47854.

Lallongement de la barre :

l N lE A

mm= =

=0 12560 5000

210000 785438

..

La contrainte sera gale :

= = = NA

N mm N mm125607854

159 9 1602 2.

.


Application 3.2. Un barreau prismatique de section et de longueur , est soumis A cm= 6 2 l m= 4une traction axiale de 123 kN. Lallongement total mesur est de 4 mm. Trouver le module dlasticitdu matriau.

Solution :Module dlasticit

Nous le dterminerons au moyen de lquation de lallongement :

Cest un acier.

l N lE A

E N ll A

N mm= = =

=0 0 2123000 4 000

4 600205000


Application 3.3. A 15C une tige de cuivre mesure 2.5 m de long. Trouver lallongement quand elleest chauffe 35 C. Le coefficient de dilatation linaire du cuivre utilis est gal 17 10! 6 C ! 1.

3.3. Contraintes de bridage (soumise une diffrence de temprature)

3.3.1. Notion de coefficient de dilatation linaire

Ainsi, dire que lacier a un signifie quune barre de 1 m de longueur chauffe = 12 10 6 1Cde 1C sallonge de l2 10! 6 m, soit l2 m.

Quant est-il prsent barre de longueur soumise une diffrence de temprature :l m0 1T T T C= 0 1

Notations : TT0

temprature finaletemprature initiale

CC

En proportionnalisant la dfinition de on obtient la variation de longueur l due unevariation de temprature :

( ) l T lT = 0 (q. 3.20.)

Notations : l0

coefficient de dilatation thermique linaire du matriau longueur initiale du barreau

C ! 1m

On remarquera que l et T ont le mme signe du fait de cette galit. Donc :< si chauffement allongement;T T> 0 T > 0 l > 0< si refroidissement raccourcissement.T T< 0 T < 0 l < 0

La longueur aprs dilatation thermique lT scrit : ( )l l l l T lT T= + = +0 0 0

( )l l TT = +0 1 (q. 3.28.)

Solution :Formule de lallongement due une diffrence de temprature

( ) ( ) l T l m mmT = = = = 0 617 10 35 15 2 5 0 00085 085. . .

Dfinition : le coefficient de dilatation thermique linaire dun matriau estlallongement (le raccourcissement) que subit lunit de longueur de ce matriausoumis une lvation (diminution) de temprature de 1 C.Unit de : C ! 1 (ou K ! 1)


3.3.2. Calcul des efforts et contraintes de bridage

Dans le cas qui nous occupe, brider une pice signifie empcher toute modification de longueurde cette pice, en lattachant solidement un environnement fixe. On ccomprend ds lors que si lonmodifie la temprature dune pice bride, du fait de la tendance de celle-ci de modifier sa proprelongueur, vont natre au sein. de la matire des efforts, et donc des contraintes, dits de bridage.

Que valent ces efforts et ces contraintes, et quel est leur sens ?

Pour rpondre cette double interrogation, on va raisonner sur le cas suivant : soit une barrede longueur l et de section A, ralise dans un matriau caractris par et E; cette barre est solidementancre dans 2 murs distants de l et infiniment rigides; l est donc invariable; on chauffe cette barre demanire ce que sa temprature passe de T0 T C avec .T T> 0

Dans ces conditions, la barre a tendance sallonger et carter les murs lun de lautre, mais lebridage len empche. La barre sera donc le sige dun effort de compression Ncomp et de contraintes decompression comp, tous deux de bridage.

< Effet de T sans bridage :

(allongement)( ) l T lT = > 0< Effet du bridage :

leffort de bridage Ncomp, tant un effort de compression, va raccourcir la pice dunelongueur :

(raccourcissement)( )l N lA Ecomp

= < 0

Bilan :

( ) ( ) l lT + = 0Par application du principe de superposition, car la barre na pas chang de longueur au cours de

lopration, le raccourcissement tant compens par lallongement .( )l T ( )l Cette dernire galit peut aussi scrire :

( ) T l N lA E

comp+

= 0

do lon tire lexpression la plus gnrale de leffort de bridage Nbridage :

N T A Ebridage = (q. 3.37.)

On remarquera :< si chauffement compressionT T> 0 Nbridage < 0< si refroidissement tractionT T< 0 Nbridage > 0


+ si tractionN A ! si compressionN A

+ si refroidissement (traction) T E ! si chauffement (compression) T E

En divisent leffort de bridage par la section A, on obtient la contrainte de bridage :

bridage T E= (q. 3.42.)

avec les mmes remarques que ci-dessus :< si chauffement : les contraintes de bridage sont de compression< si refroidissement : les contraintes de bridage sont de traction

Conclusion pratique importante :Les contraintes de bridage se superposent aux contraintes de service provoques par lescharges dexploitation et par les charges permanentes. Il se peut donc quen certainspoints de la structure, les contraintes totales dpassent la contrainte admissible (voire Reou Rm). Pensons par exemple au bton qui supporte trs mal les contraintes de traction.

Ceci doit nous convaincre de la ncessit de joints de dilatation dans toute structure dsque les dimensions deviennent importantes.

Dans la rsolution dun grand nombre de problmes, en mme temps que des allongements dus leffort de traction (compression) N, on doit prendre en considration les allongements(raccourcissements) dus la temprature.

Et ce cas on obtient :

= NA

T E (q. 3.43.)

Nous vrifierons le signe de chaque terme :

Remarque :Tout ce qui cest dit sur les contraintes thermiques nest valable que si E varie peu avecla temprature (pour les aciers : valable jusque 300 ... 400 C).

Le Tableau 3.1. donne la valeur de pour divers matriaux.


Application 3.4. Quelle est la valeur du jeu minimum quil faut prvoir entre deux rails de chemin defer, si le plus grand cart de temprature est de 50 C ? La longueur dun rail est de 12 m. Quelle serala contrainte engendre ?

Coefficient de dilatation linaire en 1/C(Les valeurs du tableau sont multiplier par : 10 ! 6)

Matriaux Matriaux Aluminium 23.7Aciers 12.0Aciers Inox 17.3Fonte grise 12.0Cuivre 16.0Laiton 18.9Bronze ordinaire 12.0Plomb 29.0Magnsium 23.0Zinc 30.0Nickel 13.1Tungstne 4.5Invar (Fe+36%Ni) 1.5Silicium 3.0Verre 9.0

Epoxyde 55.0Nylon 6-6 80.0Nylon 6-6 +33% fibres de verre

20.0Polythylne 100.0Polythylne +33% fibres deverre 48.0Polystyrne 70.0Al2O3 6.7ZrO2 stabilis 10.6SiC 4.3Si3N4 3.3Granite 8.7Grs 17.1

Tableau 3.1. - Coefficients de dilatation linaire.

Solution :Coefficient de dilatation thermique de lacier

Dans le tableau on trouve pour lacier : acier C=

12 10 6 1

Recherche de lallongement( ) l T l mmT = = = 0 612 10 50 12 000 7 2.

Remarque :Si la dilatation est libre : la contrainte est nulle !Si la dilatation est empche : lallongement est nul et la contrainte engendre est gale :

bridage T E N mm= = = 12 10 50 210000 1266 2

Contrainte de compression.

Une autre approche serait dutiliser la loi de Hooke :

(en compression) = = = =E ll

E N mm0

27 212 000

210000 126.


3.4. Traction (compression) dans une pice forme de deux matriaux diffrents

Considrons, pour fixer les ides, une poutre constitue dun profilen acier enrobe de bton comme reprsent ci-contre.

Soit Aa et Ab les surfaces des sections droites respectivement delacier et du bton. De mme, soit Ea et Eb leurs modules dlasticit Onadmettra que les contraintes dans le bton sont suffisamment faibles pourpouvoir le considrer comme lastique. La poutre tant soumise un effortde traction N, il faut dterminer quelles sont les parts Na et Nb de cet effortreprises par chacun des matriaux.

On rsout ce problme en exprimant que lacier et le bton subissentla mme dformation car ladhrence de ces deux matriaux empche tout glissement relatif.

Pour une longueur l0 de la poutre travaillant en priode lastique (loi de Hooke), on a :

= l N lE A

0

0

l l N lE A

N lE Aa b

a

a a

b

b b

= = 0 0 NE A

NE A

a

a a

b

b b

= (q. 3.50.)

Dautre part, on sait par la statique que les efforts intrieurs quilibrent les efforts extrieurs,cest--dire :

N N Na b+ = (q. 3.51.)

En remplaant lexpression q.3.50. dans lquation q.3.51., on obtient :

N N E AE A E A

N N E AE A E A

aa a

a a b b

bb b

a a b b

=

+

=

+

(q. 3.52.)

On peut en dduire que leffort N se rpartit entre les deux pices au prorata de leurs rigiditsen traction et .( )E Aa a ( )E Ab b

Les contraintes dans les deux matriaux valent donc :

aa

a

a

a a b b

bb

b

b

a a b b

NA

N EE A E A

NA

N EE A E A

= =

+

= =

+

(q. 3.55.)

On peut gnraliser sans peine les rsultats prcdents pour des pices composes dun nombrequelconque de matriaux.

fig.3.4. -


Application 3.5. Une poutre en bton est renforce avec 4 fers en acier de diamtre d inconnu. Lapoutre est rectangulaire (200 x 220). La contrainte maximale admissible en compression du bton estde 7 N/mm tandis que celle de lacier est de 150 N/mm2. Le module de Young du bton vaut 14000N/mm2 et celui de lacier 210000 N/mm2. Si la poutre doit supporter une charge de compression N de500 kN, dterminer le diamtre d des fers.

Solution :Hypothse :

< Ladhrence entre le bton et lacier empche tout glissement relatif;< On nglige les effets du flambement (poutre courte).

Dmarche de rsolution :On commence le calcul par la matire qui a la plus faible contrainte admissible, soit dans ce cas-ci le bton.

Compression dune structure forme de deux matriaux diffrentsUtilisons lexpression de la contrainte dans le bton :

bb

b

b

a a b badm b

NA

N EE A E A

= =

+

N E

E d E A db

a b poutre

adm b

44

44

2 2

+

( )( )

( )

=

=

=

d

N E E A

E E

mm

b

adm bb poutre

a b

500000 14 0007

14 000 200 220

210000 14 000

24 9.

Gamme de diamtres standards : 6, 8, 10, 12, 14, 16, 20, 25, 28, 32, 40, 50 et 63.5 mm.

Les diamtres des fers bton normaliss suprieurs sont 25 mm et 28 mm.Dans notre cas prendre est un peu juste (si on prend on trouved mm= 25 E N mma = 200000

2

), donc on prendra .d mm= 256. d mm= 28

fig.3.5. -


Vrification de la contrainte dans le btonIl sagit maintenant de vrifier si la contrainte dans le bton ne dpasse pas la limite maximaleadmissible de 7 N/mm :

( )

bb

a a b b

N EE A E A

N mm

=

+

=

+

=

500000 14 000

210000 4 284

14 000 200 220 4 284

6 4

2 2

2.Cette contrainte dans le bton de 6.4 N/mm2 est donc bien infrieure la contrainte maximaleadmissible de 7 N/mm2.


3.5. Dimensionnement des boulons

3.5.1. ! Boulons soumis traction

A) Dimensionnement statique

Le problme que nous tudions ici se rencontre trs souvent; il intresse les assemblages parboulons des organes de machines. Un assemblage serr par boulon est soumis un effort externe F ayantpour effet de tendre dissocier les lments prcontraints, cet effort F se rpartit entre le boulon soustension et lassemblage sous compression proportionnellement leur facteur de raideur pour autant queleffort de prcontrainte Fp a t suffisant pour maintenir lassemblage en compression.

Nous devons donc vrifier en premier lieu la condition de non dcollement des surfaces, soit :

F F Fnbs

KK Kp p b

a

a b

> =+

minmax (q. 3.64.)

Notations : FpFmaxnbsbKaKb

force de prcontrainte dans le bouloneffort maximum de traction subit par lassemblagenombre de boulonsraideur de lassemblageraideur du boulon

NN-N/mmN/mm

Dfinition : La raideur K, en N/mm, est dfinie par :

( )K E A la= (q. 3.65.)

Notations : ElaAEA

module dlasticitlongueur activesurface sous contraintemodule de rigidit la traction

N/mm2mmmm2N

La raideur est donc :Leffort produisant une dformation damplitude gale lunit.

En effet :

avec l N lE A

N K la a a= = la = 1

Ayant dfini la force de prcontrainte minimum afin que les surface ne se dcolle pas, il fautchoisir une force de prcontrainte relle gale 1.2 ... 1.8 fois la force de prcontrainte minimum.

Il faut vrifier ensuite que cette valeur est infrieur la force maximum admissible en fonctionde la classe de boulons choisies (voir tableau en annexe)

La contrainte dans le boulon b sera, quant elle, gale la somme de la contrainte due leffortde prcontrainte Fp et de celle due leffort extrieur maximum Fmax au prorata des raideurs,


Rappel : Pour calculer la contrainte dans un boulon, on se sert de la section de tensionAt. Celle-ci est la moyenne entre la section du noyau et la section flanc defilet.

do : b p Fb

a badm b

KK K

= ++

max (q. 3.68.)

Notations : p contrainte dans le boulon, due Fp p

p

t b

FA

=

avec At b la section de tension du boulon

N/mm2

F max contrainte dans le boulon, due Fmax F

F

t b

FAmax

max=

avec Fmax b la force maximale dans le boulon( )F nbsbmax

N/mm2

adm b contrainte admissible dans le boulon N/mm2

et cette contrainte b devra obligatoirement tre infrieur (ou gal) la contrainte admissible dans leboulon. Soit, en statique :

B adm b eR 08 0 9. ... . (q. 3.72.)

Nous percevons, en consquence, lintrt dadopter :

1) pour un assemblage devant supporter des efforts purement statiques (ex. : tuyau sous-pression) :

< un boulon trs peu lastique (raideur Kb forte), donc une petite longueur et une grossesection;

< un assemblage compressible (raideur Ka faible) (ajout dun joint dtanchitdformable);

Cest la condition de non dcollement qui est prpondrante. En effet il ne peut y avoirde fuite. Cest pourquoi, afin de diminuer la raideur de lassemblage (ex. : flasque) on rajouteun joint dtanchit dformable. Cest une faon de diminuer la raideur de cet assemblage.

2) pour un assemblage devant supporter des efforts pulss (ex. : boulons de culasse) :

< un boulon trs lastique (raideur Kb faible), donc une grande longueur et une faiblesection;

< un assemblage peu compressible (raideur Ka leve);

Dans ce cas, cest la condition de contrainte qui est prpondrante. Il faut que lescontraintes dorigines externes ne sajoutent (pratiquement) pas aux contraintes statiques deprcontrainte; le supplment dallongement cr dans les boulons par les surtensions


dynamiques soulage, en effet, les structures comprimes de lassemblage, donc diminue leursractions sur le boulon tendu avec un gradient de relaxation croissant avec la raideur desparties prcomprimes Ka .

De plus, le taux de serrage (en ralit nous devrions dire le taux dallongement) doit treaussi lev que le permet la limite des contraintes totales admissibles.

B) Dimensionnement dynamique

Si lassemblage boulonn doit support une charge qui fluctue entre un minimum nul et unmaximum Fmax (cest par ailleurs ce type de charge que la plupart des assemblages boulonns doiventsupporter), le genre dapproche de calcul est un peu diffrent.

En plus des deux conditions purement statiques il convient de vrifier linquation suivante :

a bF b

a ba adm b

KK K

=

+max

2(q. 3.73.)

Notations : a ba adm bF max

contrainte alterne subie par le bouloncontrainte alterne admissible dans le bouloncontrainte dans le boulon, due Fmax

N/mm2N/mm2N/mm2

On peut, dans une premire approche, vrifier que la contrainte alterne a dans le boulon nedpasse pas les contraintes admissibles a adm donnes par le tableau ci-dessous :

Classe M 4 M 8 M 10 M 16 M 18 M 30

8.8 - 12.9 60 N/mm2 50 N/mm2 40 N/mm2

Tableau 3.2. - Contraintes dynamiques admissibles pour une contrainte statique moyennem = 0.7 Re

Si le design initial ne savre pas satisfaisant, il y a, de manire gnrale, trois possibilits :

< diminuer la force de prcontrainte, et risquer que le boulon ne se desserre;< augmenter le rapport raideur assemblage / raideur boulon ( );K Ka b< utiliser un plus grand nombre de boulons.

C) Dimensionnement pratique

Si les matriaux du boulon et de lassemblage sont les mmes, il sensuit que les modulesdlasticit longitudinale sont les mmes aussi. De plus, sauf cas relativement rare, les longueurs activesdu boulon et de lassemblage sont aussi identiques. Cest pourquoi, on peut simplifier les formulesprcdentes en utilisant, non pas les raideurs K, mais directement les surfaces sous contraintes A.


Application 3.6. Vrifiez la tenue dun assemblage par boulons entre unchapeau et le corps de bielle. Cet assemblage, comprenant deux boulonsM8, est soumis une force dextension F de 12000 N.

fig.3.6. -

Solution :Calculons les diffrentes raideurs :

Comme la bielle et le boulon sont fait en acier (E gaux) et que leslongueurs actives sont les mmes, la raideur K se rduit la surfacecomprim.

K E Al

K A= =

A mma =

=105 228

4180 7

22. .

A mmb = 36 62.

Calculons la force de prcontrainte :

F F Fnbs

KK K

N

p pb

a

a b

> =+

= +

=

minmax

.. .

.12 000

2180 7

180 7 36 64989 4

Prenons comme scurit , et donc :S = 15.F Np =15 5000 7500.

Vrifions que le M8 de la classe 8.8 supporte cetteprcontrainte :

7 500 16550< OKVrifions la contrainte dans le boulon :

b p Fb

a badm b

KK K

N mm

= ++

= + +

=

max

. ..

. ..

750036 6

12 000 236 6

36 6180 7 36 6

232 5 2

232 5 0 7 0 908 640 512

. . ... ..

=

ROK

e

Vrifions le dimensionnement dynamique :

a bF b

a ba adm b

KK K

N mm

=

+

= +

=

max

. .. .

.

26000 36 6

236 6

180 7 36 6138 2

OK( )138 60 88 82. . N mm MLes boulons sont un peu surdimensionns.

fig.3.7. - Section A-B


3.5.2. Calcul dun assemblage avec boulons haute rsistance (HR)


3.6. ! Le matage

Le matage est une compression locale (superficielle) entre deux lments presss lun contrelautre. La loi exacte de rpartition des pressions sur la surface crase ntant pas connue, pour simplifierles calculs techniques on suppose par convention que la pression est uniformment rpartie non sur lasurface crase, mais sur laire Amat, qui est la projection de la surface crase sur un plan perpendiculaire la direction de la force de pression pmat. Cette erreur est prise en considration dans la valeur de lacontrainte de matage admissible padm mat. Dans la pratique, la pression (contrainte) admissible de matagepadm mat peut tre prise gale deux fois la contrainte admissible en traction-compression.

padm mat adm traction 2 (q. 3.86.)

En ce qui concerne les clavettes, la pression admissible de matage doit tre beaucoup plus faible.En effet, il faut que lon puisse facilement monter et dmonter lassemblage. Aucune dformation nestpermise. (Voir tableau 5.1)

Ci-dessous quelques valeurs de pression admissible pour diffrents matriaux.

Matriau Pression admissible MPa

Acier recuitAcier structurauxAcier tremp + revenuAcier cmentAcier inoxydableAcier NiCr austnitiqueFonteFonte graphite sphrodalAlliage daluminium (forg)Alliage daluminium (moul)Alliage de magnsiumAlliage de titaneComposite

240 320400 700

750 10001400 1800

210460 860450 550600 900230 260220 380180 210

890120

St37 (acier doux)St50 (acier mi-dur)C45v (acier trait)CDMgA19 (fonte allie)GKMgA19 (fonte allie)GKAlSi6Cu4 (fonte allie)GG22 (fonte lamellaire)

300500900200200300

1000Tableau 3.3. - Pression admissible de matage.


Une enveloppe mince est un corps dont une des dimensions (lpaisseur) est bienplus petite que les deux autres.

3.7. ! Enveloppe mince

Une autre application des contraintes normales distribues uniformment apparat dans lanalyseapproximative des rcipients sous pression paroi mince, tels que des rcipients de forme cylindrique,sphrique, conique ou torodale soumis une pression interne ou externe due un gaz ou un liquide. Dansce chapitre, nous traiterons seulement des rcipients paroi mince de rvolution et nous nous limiteronsaux dformations symtrie axiale dans ces rcipients.

Limitations

Le rapport de lpaisseur de la paroi e lun quelconque des rayons de courbure r ne doit pasdpasser approximativement 0.10.

Soit : e r 010. (q. 3.87.)

Il ne doit pas y avoir de discontinuit dans la structure. La solution simplifie prsente ici nepermet pas de prendre en considration des anneaux de renforcement. Elle ne peut non plus donner uneindication prcise sur les contraintes et dformations au voisinage des plaques de fermeture dextrmitdes rcipients cylindriques sous pression. Cette analyse est cependant satisfaisante pour de nombreuxproblmes de conception.

Les problmes qui suivent concernent les contraintes dues une pression interne uniformeagissant dans un rcipient de rvolution paroi mince. Les formules donnant les diverses contraintesrestent valables lorsque le sens de la pression est invers, cest--dire lorsquune pression extrieure agitsur le conteneur. Pourtant, il doit tre not quune considration supplmentaire, qui dpasse le cadre decet ouvrage, doit tre prise en compte. Il faut non seulement chercher la distribution des contraintes, maisaussi procder une autre tude de nature entirement diffrente pour dterminer la charge laquelle lercipient flambe sous leffet de la compression. Une rupture de flambement ou dinstabilit peut seproduire, mme si la contrainte la plus leve est trs infrieure la contrainte pratique du matriau.

Applications

Les rservoirs de stockage et les conteneurs de liquide, les canalisations deau, les chaudires,les coques de sous-marins et certaines pices davion, sont des exemples courants de rcipients souspression paroi mince.

Rappel : la pression sollicitant lenveloppe est la pression effective.

p p peff ext= int (q. 3.88.)

Notations : pintpext

la pression interne lenveloppe (pression absolue)la pression externe lenveloppe (souvent la pressionatmosphrique)

N/mm2

N/mm2

Le problme du calcul des enveloppes minces (de rvolution) se rsout le plus simplementlorsquon peut admettre que les contraintes dans lenveloppe sont distribues uniformment dans sonpaisseur.


fig.3.8. -

fig.3.9. - Suivant plan diamtral - une gnratrice - une section droite.

3.7.1. Calcul de leffort F sollicitant lenveloppe

Soit un rservoir de diamtre intrieur d, de longueur l et soumis une pression effective peff.Considrons la demi-enveloppe suprieur, F tant la rsultante des composantes verticales des pressionspeff.

Dans ce cas, on peut dmontrer que :

F p l deff= (q. 3.89.)

Et donc nous pouvons en dduire une conclusion importante :

Leffort F est gal au produit de la pression effective peff par la surface diamtrale .l d

De mme, leffort F est le mme que celui qui agirait sur la face latrale du paralllpipdecirconscrit au rservoir (surface projete).

3.7.2. Modes de rupture : trois ruptures possibles

Calculons lpaisseur du rservoir dans chaque cas en considrant les donnes suivantes :< le diamtre d en mm;< la longueur l en mm;< la pression effective peff en N/mm.


fig.3.10. -

fig.3.11. -

fig.3.12. -

A) Rupture du rservoir suivant le plan diamtral

Nous avons la contrainte qui vaut : = FA

avec : etF p l deff= ( )A e l= 2do : ( ) =

p l de l

eff

2

et donc : ep deff

adm

=

2 (q. 3.95.)

B) Rupture du rservoir suivant une gnratrice

Nous avons la contrainte qui vaut : =F

A2

avec : etF p l deff= ( )A e l= '

do :( )

( ) =p l d

e leff 2

'

et donc : ep deff

adm

' =2

(q. 3.100.)

C) Rupture du rservoir suivant une section droite

Nous avons la contrainte qui vaut : = FA

avec : etF pd

eff=

2

4( )A d e= "

do : ( )

=

p

d

d e

eff

2

4"

et donc : ep deff

adm

" =4

(q. 3.105.)

En conclusion : en comparant les formules, on remarque que la rupture suivant un plan diamtralou suivant une gnratrice sont les cas les plus dfavorables puisquils exigent une paisseur e double dee. Nous ne retiendrons donc quune seule relation :

ep deff

adm

2 (q. 3.106.)


Application 3.7. Quelle paisseur faut-il donner aux tles dun rservoir air comprim de 1500 mmde diamtre, sachant que la pression effective est de 8 bars et que la tension de rupture des tles estde 360 N/mm2 et la limite lastique 270 N/mm2, si le coefficient de scurit 3 et que le rservoir est enconstruction soude ?

Application 3.8. Le submersible pour recherches profondes Aluminaut a une coque cylindrique dediamtre extrieur de 240 cm et dpaisseur 14 cm. Il est construit en alliage daluminium 7079-T6 delimite dlasticit de 420 N/mm2. Calculer la contrainte maximale de la partie cylindrique de la coquelorsque le submersible est sa profondeur oprationnelle de 4500 m en dessous du niveau de la mer.Utiliser dans les calculs le diamtre moyen de la coque et prendre 1024 kg/m3 pour masse volumiquede leau de mer. Quel a t le coefficient de scurit utilis ?

Ou :

= p d

eeff

adm2(q. 3.107.)

La formule prcdente est valable quand toutes les gnratrices ont la mme rsistance (quandlenveloppe est tourne). Cependant lorsquelle est soude, la soudure cre un affaiblissement de la viroled aux effets thermiques le long de la soudure et de ce fait la contrainte admissible sera moindre.

Dans ce cas on utilisera : adm soudure adm= 0 65. (q. 3.108.)

De plus, on majore ensuite le rsultat obtenu de 1 ou plusieurs millimtres (2 mm), pour lesaciers, pour tenir compte de la corrosion ou de lusure de lenveloppe.

Remarque :

Dans la cas dune sphre la relation est : ep d

sphreeff

adm

4 (q. 3.109.)

Solution :Recherche de la contrainte admissible

adm soudure admeR

SN mm= = = =0 65 0 65 0 65 270

3585 2. . . .

Lpaisseur vaut :

soit 12 mmep deff

adm

=

=

208 15002 585

10 3

..

.

Solution :Recherche de la pression existante 4500 m de profondeur

p g h Pa bars= = = = 1024 9 81 4500 452 10 4526. .

Recherche du diamtre moyen de la coque


d d e mmmoyen ext=

= =2 2 2 400 140 2 260

Recherche de la contrainte dans la coque( )

= =

=

p de

N mmeff moyen2

452 10 10 2 260

2 140365

6 62

.

Recherche du coefficient de scurit :

S Re= = =

420365

115.

Remarque :p est directement la pression effective car la patm sexerce au-dessus de la mer et lintrieur du sous-marin.


fig.3.13. - Exemple de cble.

3.8. ! Cble

1) Un cble (ou fil flexible) ne rsiste qu la traction.

2) Charge de rupture relle est de 10 20 % infrieure celleque lon obtiendrait en considrant la section totale des filset la rsistance la rupture de lacier : consquence ducblage.

3) Nous savons que pour les fils dacier, le module de Young. Mais dans les cbles, les filsE N mm= 210000 2

composant les torons sont enrouls en hlice, ce qui fausseles rsultats. Des essais ont donn, dans lensemble des cbles, des valeurs de

, variables suivant le type de cble.E N mmcable 1200002

4) Lenroulement des cbles sur les tambours ou sur la poulie cre dans les fibres extrieures un excsde tension qui sajoute la tension de traction. On doit mettre beaucoup dimportance au diamtre deceux-ci. Pour viter cela, les diamtres denroulement seront :

a) 7 15 fois le diamtre du cble en chanvre (15 = cordes serres)

b) 500 fois le diamtre du fil pour le cble mtallique.

Dans les cbles de grande longueur par exemple le cble de mines nous devons compte du poids propredu cble. Ces cbles sont plats et la section nest pas constante sur toute la longueur.

5) Dans le cas du calcul des cbles, le coefficient de scurit, par rapport la limite de rupture, sera prisgal 12.

Pour le calcul des contraintes dans un cble, en pratique, on tient compte de :

A) la contrainte de traction (poids de la charge + ventuellement le poids du cble).

B) la contrainte due au dmarrage (inertie de la charge).

C) la contrainte dincurvation du cble sur la poulie.

A) Calcul de la contrainte de traction (poids de la charge et le poids du cble) (1)La contrainte dans une section quelconque dun cble, de section constante, soumise laction

dune force extrieure de traction F, compte tenu du poids propre du cble, peut tre dterminer daprsla formule :

11

=

NAcable

et ici :N F Poids du cable F g A lcable cable1 = + = +

Notations : masse volumique ( )acier kg m= 7800 3 kg/m3

g acclration de la pesanteur ( )g m s= 9 81 2. m/s2


Acblelcble

section du cblelongueur du cble

m2m2

et donc : 1 =

+= +

F g A lA

FA

g lcable cablecable cable

cable

(q. 3.122.)

B) Calcul de la contrainte due au dmarrage (2)Il faut se rendre compte que lors du dmarrage de la charge, il existe une acclration et donc,

en raison de la relation fondamentale de la dynamique ( ), cette acclration crera une force F m a=

dinertie qui sajoutera la charge.

Donc : F m aTot=

Notations : amTot

acclration maximummasse totale (charge + ventuellement celle du cble sicelle-ci est importante)

m/s2kg

La masse totale quivaut :m m A lTot cable cable= +charge

La contrainte correspondante :

2 = =F

Am aA

in

cable

Tot

cable

et donc : 2 = +m a

Al a

cablecable

charge

(q. 3.127.)

C) Calcul de la contrainte dincurvation du cble sur la poulie (3)Cette dernire contrainte nous est donne par la relation empirique :

3 08= . Ed

dcablefil

poulie(q. 3.128.)

D) La contrainte globale dans le cble (cble) sera : cable = + +1 2 3 (q. 3.129.)

Laquelle contrainte devra tre infrieure la contrainte admissible dans le cble !

E) Recherche de la section nette du cble (Acble)

Si nous ne tenons pas compte du poids du cble dans un premier temps, nous aurons :

cablecable cable

admF

Am a

A = + + charge 3


Application 3.9. Un cble dacier comporte 6 torons de 19 fils de 1 mm de diamtre. Lacier unersistance la rupture de 200 daN/mm2. Quelle sera la charge maximale admissible sachant que lecoefficient de rduction est de 15 % de la charge admissible et que le coefficient de scurit est de 5 ?

Application 3.10. Quelle est la section nette dun cble dascenseur sachant que celui-ci doit reprendreune charge de 20000 N subissant une acclration de 1 m/s2. Lacier utilis a une rsistance la tractionde 2000 N/mm2 et un coefficient de rduction de 20 %.

AF m a

cableadm

+

charge

3(q. 3.131.)

Cest avec cette section que lon pourra calculer le poids du cble et vrifier alors la bonne tenuede celui-ci.

Solution :Section du fil :

Ad

mmfilfil

= =

=

2 2

2

41

40 785.

Section du cble :A A nbs nbs mmcable fil fil torons . .= = =0 785 19 6 89 5

2

Contrainte admissible :Si on admet une rduction de 15 % :

admmR

SN mm= = =085 085 2 000

5340 2. .

Recherche de la charge admissible

admadm

cableadm adm cable

NA

N A N= = = =

.340 89 5 30430

Solution :La section du cble est donn par :

AF m a

cableadm

+

charge

3

Recherche de la force et de la masse

F N et m Fg

kg= = = =20000 200009 81

2040charge .

Recherche de la contrainte admissibleOn prendra un coefficient de scurit gal 12 pour tenir compte notamment de la contraintedincurvation

admmR

SN mm= = =080 080 2 000

121333 2. . .


Application 3.11. Un wagon de funiculaire (masse totale ), tract par un cble de 500 mm kg= 3000de long, gravit une pente de 100 % (45). Il atteint une vitesse de 3 m/s en 2.5 s. Calculer la section ducble, sa masse et son allongement.On prendra ; ; . adm cable N mm = 100

2 E N mmcable = 1200002 acier kg m= 7800 3

fig.3.14. -

Section nette du cble :( )A F m a mmcable

adm .

+

=

+ =

charge

3

220000 2040 11333

165

Solution :

= =NA

A Nadmadm

Il suffit ds lors de dterminer la valeur de leffort N quesubit le cble.

Cette valeur est constitue de 4 parties :

< leffort du la masse du funiculaire mfuniculaire;< leffort dinertie du funiculaire;< le poids du cble (dans la direction de la pente);< leffort dinertie du cble.

=

+ +

+ PA

FA

m gA

FAcable

in funiculaire

cable

cable

cable

in cable

cableadm

sin sin

45 45

=

+ +

+ m g

Am a

AA l g

AA l a

Afuniculaire funiculaire cable cable

adm

sin sin 45 45

Ce qui nous permet de mettre en vidence la section du cble :( )

( )m g a

l g aAfuniculaire

adm cablecable

sinsin

45

45 +

+

Recherchons lacclration. Cest un MRUA :v v a t a a m s= + = + =0 23 0 2 5 12. .

Et donc la section minimale du cble vaut :( )

( )3000 9 81 45 12

10010 500 7800 9 81 45 123576

2. sin .. sin .

+

+= mm Acable

La masse du cble, avec la section nette, vaut :m V A l

kgcable = =

= =

357 10 500 7800 13926


Recherchons lallongement. La force N qui tend allonger le cble sera gale :

( )N Effort F m g F

N

in funiculairecable

in cable= + + +

= + + +

=

sin

. . sin .

245

20810 3000 12 13922

9 81 45 1392 12

30910

Remarque :Nous avons pris la moiti du poids du cble car celui-ci est rparti sur toute la longueurdu cble.

Et donc lallongement total vaut :

l N lE A

m= =

=

06 6

30910 50012000010 357 10

0 361.


Application 3.12. Une poutrelle HEB,repr 1 sur la figure, supporte un effort decompression de 50000 daN. La poutrelleest soud sur un plat carr en acier de ctb repr 2. Lensemble repose sur unsupport circulaire 3 en bton de diamtre dpos mme le sol.a) Calculer la section (dnomination) de la

poutrelle si la contrainte admissible delacier est de 100 N/mm2.

b) Dterminer le cot b du carr 2 si lacontrainte admissible en compression dubton est de 4 N/mm2.

c) Calculer le diamtre d du socle 3 si lacontrainte admissible lcrasement dusol est de 25 N/cm2

d) Quel hauteur h fautil donner au bloc debton ?

On ngligera le poids de la poutrelle..bton kg m= 2 400 3

3.9. Socle

Solution : a) Recherche de la section de la poutrelle HEB

NA

A N mmHEB

adm acier HEBadm acier

= =

500000100

5000 2

La poutrelle HEB 160 convient avec une section A cmHEB = 54 32.

b) Recherche du ct b du plat en acierN

AA N mm cm

platadm bton plat

adm bton

= = =

5000004

125000 12502 2

A b b A cm cmplat plat= = = = 2 1250 354 36.

c) Recherche du diamtre du socleEn ne tenant pas compte du poids du bton :

NA

A N mm cmsocle

adm sol socleadm sol

= = =

5000000 25

2 000000 200002 2.

A d d A cm cmsocle socle= = = =

2

44 4 20000 159 6 160.

d) Recherche de la hauteur du soclePente 45 pour avoir que de la compression dans le socle en bton (voir fig. 3.16.).Pour le calcul de la hauteur, on pourrait prendre soit la coupe AA, soit la coupe BB. On doitprendre imprativement la longueur la plus courte (cest celle qui donnera la hauteur la plusgrande). Et donc :

fig.3.15. -


h d b msol= = =2

16 0 362

0 62. .

.

fig.3.16. -


3.10. ! Contraintes de compression au contact de surfaces courbes : formules de Hertz

3.10.1. Introduction

Nous avons vu que la contrainte de traction (compression) se dfinissait comme tant le rapport

dune force sur la surface de contact, soit : . = NA

Lorsque nous avons une surface courbe (exemple : rouleau, bille,...) qui appuie sur une autresurface, plane par exemple, la formule dfinie plus haut na plus aucun sens.

En effet, comme hypothse de base de la rsistance des matriaux, nous avons dfinis que lesmatriaux utiliss taient indformables. De ce fait, la surface de contact :

< entre un rouleau et un plan : cest une ligne< entre une sphre et un plan : cest un point.

La surface dune ligne ou dun point est nulle, et donc la formule de la contrainte de traction -compression devient :

. = = = NA

N0

!!!

Cest pourquoi, dans le cas qui nous proccupe, il nous faut chercher la rponse dans une autrethorie qui ne tient pas compte de lindformabilit des matriaux, cest la thorie de llasticit.

Les formules donnes ci-dessous sont connues sous le nom de formules de Hertz (1) .

Hypothses :[H1] Les dimensions des surfaces en contact entre les deux corps considrs sont faibles, en

particulier par rapport aux rayons de courbure aux points de contact.

[H2] Les contraintes sont telles que la limite lastique de compression nest pas atteinte.

Remarques : 1) Dans les formules, E reprsente le module dlasticit longitudinale du mme

matriau des corps en contact. Si ces corps sont en matriaux diffrents, E reprsenteun module fictif donn par la relation :

1 1

21 1 2

1 2

1 2

1 2E E EE E E

E E= +

= +

E1 et E2 tant les modules dlasticit longitudinale des matriaux (respectivement 1 et 2).

2) De plus, les diffrentes relations ont ts obtenues avec un coefficient de Poisson gal 0.3, cest--dire pour les aciers. On peut encore les appliquer aux alliagesdaluminium ( ) et en alliage de cuivre ( ) et pour tout autre = 0 33. = 0 31 0 33. ... .alliage qui possde un coefficient de Poisson tel que : ; mais le0 27 0 33. ... ... .rsultat est entach dune erreur, dailleurs faible, donc acceptable.

(1) Hertz Heinrich Rudolf (1857 [Hambourg] - 1894 [Bonn] ) : ingnieur et physicien allemand.


fig.3.17. -

fig.3.18. -

3.10.2. Formules de Hertz

A) Sphre sur surface plane

Les actions de la surface plane sur la sphre, consquence de ladformation des solides en contact, sont ingalement rparties sur un cerclede rayon a tel que :

a P rE

= 111 3.

La contrainte maximale de compression est donn par :

max .= 0 3882

23

P Er

On remarquera queffectivement la contrainte de compression nest pas gale : . = NA

B) Sphre sur sphre

Utiliser les relations prcdentes en prenant pour r la valeur donne par la relation :

(r1 et r2 les rayons des sphres en contact)1 1 1

1 2

1 2

1 2r r rr r r

r r= + =

+

C) Cylindre de rayon r sur surface plane

La zone de contact, consquence de la dformation des solides, estun rectangle de cts :

l (longueur du cylindre)2 b (la largeur)

b est donne par la relation suivante :

bP rE L

= 152.

La contrainte maximale de compression est donn par :

max .= 0 418P EL r


fig.3.19. -

Application 3.13. Laction dune roue de pont roulant sur le rail est de 50000 N; le diamtre de la roue; la largeur du rail , la roue et le rail sont en acier.d mm= 600 l mm= 50

a) Calculer la contrainte maximale de contact entre la roue et le rail.b) Calculer la largeur de la surface rectangulaire de contact par la formule de Hertz.

D) Cylindre sur cylindre

Utiliser les relations prcdentes (cylindre sur surface plane)en prenant pour r la valeur donne par la relation :

1 1 1

1 2

1 2

1 2r r rr r r

r r= + =

+

(r1 et r2 les rayons des sphres en contact)

Notons de plus que dans le cas de la figure fig. 3.19. ci-contre, il faut donner r2, la valeur ngative de - r2.

( )( )r

r rr r

r rr r

=

+ =

1 2

1 2

1 2

2 1

Solution :a) Formule concernant un cylindre sur un plan

avec : et . Soit :r mm= 300 E N mm= 210000 2

max . . .= =

=0 418 0 418 50000 210000

50 300349 7 2P E

l rN mm

La valeur trouve est leve, mais lexprience montrequelle est acceptable, car elle peut atteindre et mmedpasser, sans dommage pour la construction, la valeur dela limite lastique (de traction) du matriau.

Une autre mthode (empirique) consiste considrerentre rail et galet un rectangle de contact correspondant un angle au centre du galet de 1.La surface de ce rectangle vaut :

( )A l rmm

rail=

=

=

501180

300 2618 2.

La contrainte vaut dans ce cas :

= = =NA

N mm500002618

191 2.

b) La demi-largeur est donne par la formule :

b P rE L

mm= =

=152 15250000 300210000 50

182. . .

fig.3.20. -


La largeur vaut donc :largeur = = =2 2 182 364b mm. .

Dans le cas de la mthode empirique, la largeur vaut :

l eur r mmarg .= = = 1180

300 524


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