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CATEDRA:
CATEDRATICO:
TEMA:
ANALISIS MATEMATICO IV
UNIVERSIDAD NACIONAL DE
HUANCAVELICA
Mg. Mat. César CASTAÑEDA CAMPOS
PRIMERA PRÁCTICA DE ANÁLISIS MATEMATICO
IV
E.A.P. DE CIVILHUANCAVELIC
A
INTEGRANTES:
CANDIOTTI QUISPE, Jhoan
CAPANI LLANCO, Jorge
ESTEBAN RAMOS Saúl
HUAMAN ARROYO, Mariluz
MATAMOROS BENDEZU, Leonidas
TITO RAMOS, Nils Meyer
ZUÑIGA SOLDEVILLA, Porfirio
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UNIVERSIDAD NACIONAL DE HUANCAVELICA
FACULTAD DE CIENCIAS DE INGENIERÍA
ESCUELA ACADÉMICO PROFESIONAL DE INGENIERÍA CIVIL
PRIMERA PRÁCTICA DE ANÁLISIS MATEMATICO IV
I. Hallar el orden y grado de cada una de las ecuaciones diferenciales ordinarias:
1). ( d4 yd x4 )
56 +( d5 y
d x5 )4
−x2 y2=1
SOLUCIÓN:
(( d4 yd x4 )
56)
6
=(1+x2 y2−( d5 yd x5 )
4)6
( d4 yd x4 )
6
=(1+x2 y2−( d5 yd x5 )
4)6
ORDEN: 5GRADO: 24
2). ( d3 yd x3 )
43 +( x( d2 y
d x2 )+( d3 yd x3 )
2)74= y y(5)
SOLUCIÓN:
[( d3 yd x3 )
43 +(x ( d2 y
d x2 )+( d3 yd x3 )
2)74 ]
4
=( y y (5 ) )4
C04( d
3 yd x3 )
163 +…+( x( d2 y
d x2 )+( d3 yd x3 )
2)7
=( y y (5 ) )4
GRUPO “OK”
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[( d3 yd x3 )
163 +…+( x( d2 y
d x2 )+( d3 yd x3 )
2)7]
3
=[ ( y y (5) )4 ]3
C03( d
3 yd x3 )
16
+…+(x ( d2 yd x2 )+( d
3 yd x3 )
2)21
=( y y ( 5) )12
( d3 y
d x3 )16
+…+{C021 [x ( d2 y
d x2 )]21
+…+( d3 y
d x3 )42}=( y y (5 ) )12
ORDEN: 3GRADO: 42
3).d5 xdy5 −2( d5 x
dy5 )52−d
2 xdy2 +x (5 ) y=x2
SOLUCIÓN:
d5 xdy5 −2( d5 x
dy5 )52−d
2 xdy2 +x (5 ) y=x2
Si :u=−x2−d2 xdy2 + d
5 xdy5
2( d5 xdy5 )
5
=(−x2−d2 xdy2 + d
5 xdy5 + y . d
5 xdy5 )
2
( d5 x
dy5 )5
=(u+ y . d5 x
dy5 )2
2=u
2
2+uy . d
5 x
dy5+ y
2
2.( d
5 x
dy5 )2
ORDEN: 5GRADO: 2
4). y5+4 ( y ' ' ' )−3− y' '+2¿
SOLUCIÓN:
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y5+ 4
( y ' ' ' )3− y ' '+2 ( y ' )2−x2 y−1=0
y5 ( y ' ' ' )3+4− y ' ' ( y ' ' ' )3+2 ( y ' )2 ( y ' ' ' )3−x2 y ( y ' ' ' )3−( y ' ' ' )3=0
y5 ( y ' ' ' )3− y ' ' ( y' ' ' )3+2 ( y ' )2 ( y ' ' ' )3−x2 y ( y ' ' ' )3−( y ' ' ' )3+4=0
ORDEN: 3GRADO: 3
5). ( y(4))3 /7−2 x2 ( y ' ' )3+2 x2 y ' ' '−x4 y '=4 x
SOLUCIÓN:
( y(4))3 /7−2 x2 ( y ' ' )3
+2 x2 y ' ' '−x4 y '−4 x=0
[ ( y(4 ))3/7 ]7−[ 2x2 ( y ' ' )3 ]7+ [2x2 y ' ' ' ]7−[ x4 y ' ]7−[ 4 x ]7=0
( y(4))3−[14 x14 ( y ' ' )21 ]1+14 x14 ( y ' ' ' )7−x28 ( y' )7−28 x7=0
ORDEN: 4GRADO: 3
6). x−3 ln ( y(5 ))−3ex y' '
+6 x y ( 4 )=e2 x−1
SOLUCIÓN:
e2x= y
ln (e( x ) )=ln ( y )
x=ln ( y )
x−3 ln ( y (5 ) )=6 x y (4 )+3ex y' '
+e2 x−1
ln ( y ( 5) )=6 x y (4 )+3ex y' '
+e2 x−1x−3
y (5 )=e(6 x y( 4)+3ex y
' '
+ e2 x−1x−3 )
y (5 )−e( 6x y (4 )+3ex y
' '
+e2x−1x−3 )
=0
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ORDEN: 5GRADO: NO DEFINIDO
7). ln 2(xy ´ ´ ´ )+x ( y ´ ´ )4−e xy=2 x
SOLUCIÓN:
ln 2 ( xy ´ ´ ´ )+x ( y ´ ´ ) 4−e xy+2x=0
ORDEN: 2GRADO: NO DEFINIDO
8). PORFI
9). x3 ( y5 )53−[ x2 sec(x2)]
10). LEO
II. Verificar que la función dada es o no una solución de la ecuación diferencial ordinaria que la acompaña y especificar el intervalo o los intervalos donde ocurre cuando sea una solución:
1). y=A x2+Bx2−C x2+ Dx3
3; x2 y ' ' '+2x y ' '+ y '+3 y=x+2
SOLUCIÓN:
y=A x2+Bx2+C x2−Dx3
3
y '=2 Ax+2Bx+2Cx−D x2
y ' '=2 A+2B+2C−2Dx
y ' ' '=−2D
Reemplazandoen :
x2 y ' ' '+4 x y ' '+ y '−6 y=x2+x
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x2 (−2D )+4 x (2 A+2B+2C−2Dx )+2 Ax+2Bx+2Cx−D x2−6 (A x2+B x2+C x2−Dx3
3)=x2+x
−2Dx2+8 Ax+8 Bx+8Cx−8D x2+2 Ax+2Bx+2Cx−D x2−6 A x2+6B x2+6C x2+2Dx3=x2+x
2Dx3−6 A x2−6 B x2−6C x2−11D x2+10 x (A+B+C)≠ x2+x
∴ y=A x2+B x2+C x2−Dx3
3 noes unasolucion.
2). x−2 y2− y3 x2=c ; y dx+( x−3 y )dy=0
SOLUCIÓN:
3). y=√ x2+cxx
; (x2+ y2 )dx+4 x2 ydy=0
SOLUCIÓN:
dydx
=x∂∂x
(√x2+cx )−(√ x2+cx ) ∂∂ x
(x)
x2
dydx
=
2x2−cx2√x2+cx
−√ x2+cx
x2
Sesabe :(xy )2=x2−x2 y2=x2(1− y2)
dydx
=
2x2−x2(1− y2)
2√x2+x2(1− y2)−√x2+x2(1− y2)
x2
dydx
=
x2(1+ y2)
2√ x2 y2−√ x2 y2
x2
x2 dydx
=x(1+ y2)
2 y−xy
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4 y x2dy=[2 x (1+ y2)−4 x y2 ]dx
4 y x2dy−[2 x−2 x y2 ] dx=0
∴ y=√x2+cxx
No es solucionde la EDO .
4). y=A ex+Be−2x+C e2x…(1); y ' ' '+2 y ' '−4 y '+10 y=0
SOLUCIÓN:
y '=Aex−2Be−2x+2C e2x… (a)
Sesabe :de (1 ) Aex= y−Be−2 x−Ce2x
Remplazandoen (a ) y '= y−3Be−2 x+C e2 x…(2)
y ' '= y '+6Be−2x+2Ce2x…(b)
Sesabe :de (2 ) 6 Be−2x=2 y−2 y '+2C e2 x
Remplazandoen (b ) y ' '=2 y− y '+4C e2x… (3)
y ' ' '=2 y ' '+ y ' '+8Ce2x…(c )
Sesabe :de (3 )8C e2 x=2 y ' '+2 y '−4 y
Remplazandoen (c ) y ' ' '=2 y '− y ' '+2 y ' '+2 y '−4 y
y ' ' '=4 y '+ y ' '−4 y
y ' ' '− y' '−4 y '−4 y=0
∴ y=A ex+Be−2 x+C e2 xNoes solucionde la EDO .
5). { x=t 2 ln|t|+ t−3
y=t 2(ln2(t 2)+1); y ' ln ( y ' )=x + y
SOLUCIÓN:
dxdt
=[ t+2 tln (t )−3 t−2 ]
dydt
=[2 t+4 t ln2 ( t )−2 t−2 ]
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⟹ dydx
=dydtdtdx
dydx
=[2 t+4 t ln2 ( t )−2 t−2 ] 1
[ t+2 tln (t )−3 t−2 ]
dydx
=2 t [1+2 ln2 (t )−t−3 ] 1
t [1+2 ln ( t )−3t−3 ]
y '=¿
∴ y ' ln ( y ' )=x+ y noesuna solucion .
6). {x=t+arcsen (√ t )
y=−t 3
2+√1−t 2
; x=2 y '+arctan ( y ' )
SOLUCIÓN:
dxdt
=( t )'+(arcsen (√t ) )'
dxdt
=1+ 1
√1−t
dydt
=(−t 3
2 )'
+ (√1−t 2) '
dydt
=−3 t 2
2− 2 t
2√1−t 2
dydt
=−( 3 t 2
2+ t
√1−t2 )dydt
=−t (3 t2
+1
√1−t 2 )Dividiendo :
y '=
−t( 3 t2
+1
√1−t 2 )1+ 1
√1−t
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y '=¿
x=−t+arcsen (−t )
7). y=¿
SOLUCIÓN:
de la expresión :
y=¿
y '=−4 (c−sen (2 x ) ) cos (2x )………… (1 )
paraformar la expresion :( y ' )2+2 y cos2 ( x )=0 de (1 ) :
( y ')2+2 y cos2 ( x )=0
(−4 (c−sen (2 x ) ) cos (2 x ))2+2 (c−sen (2x ) )2 cos2 ( x )=0
−8 (c−sen (2 x ) )2 cos2 (2x )+2 (c−sen (2 x ))2cos2 ( x )=0
(c−sen (2 x ) )2(−8cos2 (2 x )+2cos2 (x ))=0
(c−sen (2 x ))¿
¿
(−8 (1−sen2 ( x ))−8 sen2 ( x ))+2cos ( x )=0
(−8+8 sen2 ( x ))−8 sen2 ( x ) ¿+2 cos ( x )=0
(−8)+2cos ( x )=0
cos (x )=4
∴noesunasolucion de la EDO
8). y=c (x+√−x ); ( y¿¿ ')2− yx [√−x+1
2 (x+1 )+1]=0¿
SOLUCIÓN:
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Derivando :
y=c (x+√−x )
y '=c (1+ −12√−x )
y '=c (2√−x−12√−x )
reemplazando :
[c ( 2√−x−12√−x )]
2
−c (x+√−x )
x [ √−x+12 (x+1 )
+1]=0
c2 (2√−x−1 )2
−4 x−c (x+√−x )
x [ √−x+2 x+32 ( x+1 ) ]=0
c (2√−x−1 )2(2x2+2x )+4 x ( x+√−x ) (√−x+2x+3 )=0
( 4 x−4 √−x+1 ) (2 x2c+2 xc )+4 x2 √−x+8 x3+12x2+4 x2+8 x2 √−x+12 x√−x=0
8 x3 c+8 x2 c−8 x2c √−x−8 xc√−x+2x2 c+2xc+12 x2√−x+8 x3+16 x2+12x √−x≠0
∴ y=c (x+√−x ) ;noes soluciónde la EDO
9). y=c−sen ( x )
cos ( x ); y ' ' sen ( x )−xy2 y ' (cos ( x )+ ysen ( x ) )=0
SOLUCIÓN:
y=c+sen ( x )
cos ( x )
dydx
=(−cos ( x ) cos ( x )+(c−sen ( x ) ) sen ( x ) )
cos2 ( x )…(a)
ahora si :c= ycos ( x )+sen (x)
Reemplazandoen la ecuacióna
y ´=(−cos ( x )cos ( x )+( ycos ( x )+sen (x )−sen ( x ) ) sen ( x ) )
cos2 ( x )
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y ´=(−cos2 ( x )+ y cos (x ) sen (x ) )
cos2 ( x )
y ´ cos2 ( x )=−cos2 ( x )+ y cos ( x ) sen ( x )
y ´ cos2 ( x )+cos2 ( x )− y cos ( x ) sen ( x )=0
∴ y=c+sen ( x )
cos ( x ) Noesunasolución .
III. Hállese una ecuación diferencial ordinaria correspondiente a cada una de las relaciones con las constantes arbitrarias indicadas:
1). y=Asen (nx )+Bcos (nx )+Cx ; A ,B ,C∈R
SOLUCIÓN:
y '=Ancos (nx )−Bnsen (nx )+x
y ' '=−An2 sen (nx )−Bn2cos (nx )
y ' '=( Asen (nx )+Bcos (nx ) ) (−n2)
si : y−Cx=Asen (nx )+Bcos (nx )
y ' '=( y−Cx ) (−n2 )
y ' '
n2 =Cx− y
y ' '
n2 + y=Cx…… .. (a )
y ' ' '
n2 + y '=C
Side la ecuación(a)
y ' '
xn2 + yx=C
Reemplazando
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y ' ' '
n2 + y '= y ' '
x n2 +yx
y ' ' '
n2 − y ' '
x n2 + y'− yx=0
2). x=At e−t+Be−t+2Csen (t ) ; A ,B ,C∈ R
SOLUCIÓN:
x=At e−t+Be−t+2Csen (t )……………… (1)
x=−At e−t−B e−t+2Ccos ( t )………………(2)
x=At e−t+Be−t−2Csen ( t )………………(3)
x+ x=2 At e−t+2Be−t………………(4 )
x=−At e−t−B e−t+2Ccos ( t )………………(5)
x+ x=−2 At e−t−2B e−t………………(6)
Sumando (6 ) y (4)
x+ x+ x+x=0
x+2 x+x=0
3). Ax2+B y2−Cx=0 ;C∈R
SOLUCIÓN:
4). r=Aln|y|+By+C e− y ; A ,B ,C∈ R
SOLUCIÓN:
5). y=Ax3+B x2+Cx+D;A ,B ,C , D∈R
SOLUCIÓN:
y=Ax3+B x2+Cx+D………………………....(1)GRUPO “OK”
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y '=3 Ax2+2Bx+C………………………(2)y ' '=6 Ax+2B ……………………………...(3)y ' ' '=6 A………………………………………(4)y ' ' '
6=A ………………………………………..(5)
(5) en (3)y ' '=6
y' ' '
6x+2 B
y ' '= y ' ' ' x+2B
y ' '− y ' ' ' x2
=B………………………………….(6)Reemplazando (6) y (5) en (2)y '=3( y ' ' '6 ) x2+2( y ' ' x− y ' ' ' x2
2 )+C
y '= y ' ' '
2x2+ y ' ' x− y ' ' ' x2+C
y '− y ' ' '
2x2−( y ' ' x− y ' ' ' x2 )=C………………(7)
Reemplazando (7) , (6) y (5) en (1)y=( y ' ' '6 )x
3
+( y' ' x2
2− y ' ' ' x3
2 )+( y '− y' ' '
2x2−( y ' ' x− y ' ' ' x2 )) x
y ' ' ' (−4 x3
3− x2
2 )− y ' ' x2
2+ y '-y= 0
6).x2
a2 −y2
b2 =1;¿ x2
a2 + y2
b2 =1 ;a , b∈R
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SOLUCIÓN:
y=ba
√ x2−a2
y '=ba ( x
√x2−a2 )…(a)
se sabe : y=ba
√ x2−a2≈y
√ x2−a2=ba
Remplazandoen (a)
y '=( y
√x2−a2 )( x
√x2−a2 )y '= xy
x2−a2
y ' '=(x2−a2 ) ∂
∂x( xy )−( xy ) ∂
∂ x(x2−a2 )
(x2−a2 )2
y ' '=(x2−a2 ) (x y '+ y )−2x2 y
(x2−a2 )2…(b)
se sabe : y '= xy
x2−a2≈ x2−a2= xy
y '
Remplazandoen (b)
y ' '=( xyy ' )( x y '+ y )−2 x
2y
( xyy ' )2
( xyy ' )2
y' '
=x2 y+ x y2
y '−2 x2 y
y' '
( y ' )2= 1y ' x
− 1y
∴la EDOcorrespondientees : y ' '+( y ' )2
y−y '
x=0
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7). x=Ae−t+Be−t+C e2t+De−2t ; A , B ,C ,D ,∈R
SOLUCIÓN:
x=Ae−t+Be−t+C e2t+De−2t………… ..(1)
x '=−Ae−t−Be−t+2C e2 t−2De−2 t……. (2)
Sesabe :de (1 )
−Ae−t−B e−t=C e2 t+De−2 t−x…………(3)
Remplazandoen (3 ) en (2)
x '=3Ce2 t−De−2 t−x………….(4)
x ' '=6Ce2t+2De−2 t−x……….(5)
Sesabe :de ( 4 )
2 x'+2De−2t+2x=6Ce2 t…….(6)
Remplazandoen (6 )en (5)
x ' '=2x '+4De−2 t+x………….(7)
x ' ' '=2 x ' '−8De−2 t+x '……….(8)
Sesabe :de (7 )
8De−2 t=2 x ' '−4 x '−2 x………….(9)
Remplazandoen (9 )en (8)
x ' ' '=2 x ' '−(2 x ' '−4 x '−2 x )+ x'……….(8)
∴la EDOCorrespondiente es : x ' ' '−5 x '−2x=0
8) y=Ae−ktcos (nt )+Be−kt sen(nt ); A ,B , k∈R;n∈N
SOLUCIÓN:
y=A e−ktcos (nt )+Be−kt Sen (nt )
lo derivamos :
y '=(A e−ktcos (nt )+Be−kt Sen (nt ) ) '
y '=(A e−ktcos (nt ) )'+(Be−kt Sen (nt )) '
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y '=[ (−kA e−ktcos (nt ) )−(Ane−kt Sen (nt ) )]+[ (Bne−kt cos (nt ) )−(Bk e−kt Sen (nt ) )]…(1)
ky=kA e−ktcos (nt )+kB e−ktSen (nt )…….(2)
sumando (1 ) y (2)
y '=[ (−kA e−ktcos (nt ) )−(Ane−kt Sen (nt ) )]+[ (Bne−kt cos (nt ) )−(Bk e−kt Sen (nt ) )]ky=kA e−ktcos (nt )+kB e−ktSen (nt )
y '+ky=Bne−ktcos (nt )−Ane−kt Sen (nt )……….(3)
lo derivamosnuevamente :
( y '+ky )'=(Bne−kt cos (nt )−Ane−kt Sen (nt ) )'
y ' '+ky '=(Bne−kt cos (nt ) )'−(Ane−kt Sen (nt )) '
y ' '+ky '=[ (−kBne−ktcos (nt ) )−(Bn2e−kt Sen (nt ) )]+[ (Akne− ktSen (nt ) )−(An2 e−kt Sen (nt )) ].. (4)
y n2=An2e−kt cos (nt )+Bn2e−kt Sen (nt )………(5)
sumando ( 4 ) y (5)
y ' '+ky '=[ (−kBne−ktcos (nt ) )−(Bn2e−kt Sen (nt ) )]+[ (Akne− ktSen (nt ) )−(An2 e−kt Sen (nt )) ]y n2=An2e−kt cos (nt )+Bn2e−kt Sen (nt )
y ' '+k y '+ y n2=Ank e−kt Sen (nt )−Bnk e−kt cos (nt )……….(6)
ky '+ y k2=Bnk e−ktcos (nt )−Ank e−kt Sen (nt )……. (7)
sumando (6 ) y (7 )
y ' '+k y '+ y n2=Ank e−kt Sen (nt )−Bnk e−kt cos (nt )
ky '+ y k2=Bnk e−ktcos (nt )−Ank e−kt Sen (nt )
y ' '+k y '+ y n2+ky '+ y k2=0
∴ y ' '+2k y '+ y (n2+k2 )=0
9) x=Ae−t+Be−t+C e t sen ( t )+De−t cos (t) ;A ,B ,C ,D∈RSOLUCIÓN:
10) y=A e−x+Be x+C ex senh ( x )+Dexcosh (x ) ;A ,B ,C ,D∈R SOLUCIÓN:
y=A e−x+Be x+C ex senh ( x )+Dexcosh ( x )……………………1
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y '=−e−x A+exB+C ex senh ( x )+C ex cosh ( x )+Dexcosh ( x )−Dex senh ( x )……… .2
y ' '=e−x A+exB+2C excosh ( x )−2Dex senh ( x )………………… .3
y ' ' '=−e−x A+exB−2C ex senh ( x )+2C excosh ( x )−2Dexcosh ( x )−2Dex senh ( x )……….4
2(2)+(4)
2 y '+ y ' ' '=−3e−x A+3exB+4C excosh ( x )−4De xsenh ( x )…………………5
(5)−2(3)
2 y '+ y ' ' '− y ' '=−e−x A+exB……………….6 Derivandola ecuación6
2 y ' '+ y(4)− y ' ' '=e− xA+exB………….. 7 (7)−(6)
y(4)−2 y ' ' '+3 y ' '−2 y '=2e− x A………………8
Derivandola ecuación8
y(5 )−2 y(4 )+3 y ' ' '−2 y ' '=2e− x A………………9(9)-(8) y(5 )−3 y(4 )+ y ' ' '+ y ' '−2 y '=0
11) y=A ex+Be− x+C ex sen ( x )+Dexcos (x) ;A ,B ,C ,D∈RSOLUCIÓN:
y=A ex+Be− x+C ex sen ( x )+Dexcos (x )…………… .1
y '=Aex−Be− x+C excos ( x )−Dex sen(x ) ---------2y ' '=A ex+B e− x−Ce xsen ( x )−Dexcos (x) ---------3y ' ''=A ex−B e−x−C excos ( x )+Dex sen (x) ---------4sumando (3 )+(1)
y ' '+ y=2 A ex+2Be−x ---------5sumando ( 4 )+(2)
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y ' ' '+ y '=2 A ex−2B e−x ---------6restando (6−5 )
y ' ' '+ y '− y ' '− y=−4 Be−x ---------7derivando7
y ' ' ' '+ y ' '− y' ' '− y '=4 Be−x ---------8sumando¿+7)y ' ' ' '− y=o
12) y=A ex+Be2x+Ce−2x senh (x )+De− xcosh ( x ) ; A ,B ,C ,D∈R
SOLUCIÓN:
y=A ex+Be2x+Ce−2x senh (x )+De− xcosh ( x )……… ..(i)
d erivando por primera ves se obtiene
y '=Aex+2B e2x−2C e−2x senh ( x )+Ce−2x cosx−De− xcosh ( x )+De− x senx…… ( ii )
sumandoi y ii se obtiene
y+ y '=2 Aex+3Be2x−C e−2x senh ( x )+De−x senx+C e−2xcosx… ..(iii )
d erivando por segunda ves seobtiene
y '+ y ' '=2 Aex+6 Be2x+2C e−2x senh ( x )−C e−2 xcosx−De−x senx+De− xcosx−2C e−2x cosx−C e−2 x senx……..( iv)
sumando2( iii) y iv seobtiene
2 y+2 y'=4 Ae x+6 Be2x−2Ce−2x senh ( x )+2De−x senx+2Ce−2x cosx… ..2 (iii )
y '+ y ' '=2 Aex+6 Be2x+2C e−2x senh ( x )−3Ce−2 xcosx−De−x senx+De−x cosx−C e−2x senx…… ..(iv)
2 y+3 y '+ y ' '=6 Aex+12Be2x−C e−2x cosx+De−x senx+De−x cosx−Ce−2x senx…… ..(v)
d erivando por tercera ves se obtiene
2 y '+3 y ' '+ y ' ' '=6 Aex+24 Be2x+2C e−2x cosx+Ce−2x senx−De−x senx+De−x cosx−D e−xcosx−De−x senx+2C e−2 x senx−C e−2 xcosx… (vi)
sumando2(v ) y vi seobtiene
4 y+6 y '+2 y ' '=12 A ex+24B e2x−2C e−2xcosx+2De− xsenx+2De− xcosx−2C e−2x senx…… ..(v )
2 y '+3 y ' '+ y ' ' '=6 Aex+24 Be2x+2C e−2x cosx+Ce−2x senx−De−x senx+De−x cosx−D e−xcosx−De−x senx+2C e−2 x senx−C e−2 xcosx…… ..(vi)4 y+8 y '+5 y ' '+ y ' ' '=18 A ex+48e2x+2De−x cosx+Ce−2x senx−Ce−2x cosx…… .. (vi )
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d erivando por cuarta ves seobtiene
4 y '+8 y' '+5 y ' ' '+ y4=18 Aex+96 e2 x−2De− xcosx−2De− x senx−2Ce−2 xsenx+C e−2x cosx+2Ce−2x cosx+Ce−2 xsenx…….. ( vii )
sumando2(vi) y vii se obtiene
4 y+12 y '+13 y ' '+6 y ' ' '+ y 4=36 Aex+144 e2x−2De− xsenx+2C e−2xcosx…….. (vii )
d erivando por quinta ves se obtiene
4 y '+12 y ' '+13 y ' ' '+6 y 4+ y5=36 Aex+288e2x+2De− x senx−2De−x cosx−4Ce−2 xcosx−2C e−2x senx… .. ( viii )
sumando2(vii) y viii se obtiene
4 y+16 y '+25 y ' '+19 y' ' '+7 y4+ y5=72 A ex+232e2 x−2C e−2x cosx−2De−x cosx−2Ce−2 xsenx… .. (ix )
d erivando por sexta ves se obtiene
4 y '+16 y' '+25 y ' ' '+19 y 4+7 y5+ y6=72 A ex+464 e2 x+4Ce−2 xcosx+2C e−2 x senx+2De− xcosx+2De−x senx+4C e−2x senx−2Ce−2 xcosx… .. ( x )
sumando2 ( ix ) y x seobtiene:4 y+10 y '+41 y ' '+44 y' ' '+26 y4+8 y5+ y6=144 A ex+696e2 x+4Ce−2 xcosx+2C e−2 x senx+2De− xcosx+2De−x senx+4C e−2x senx−2Ce−2 xcosx… .. ( x )
13) Porfi
IV. Hállese una ecuación diferencial para cada uno de las siguientes familias de las curvas en el plano XY:
1) Todas lasrectas con pendiente iguala½
SOLUCIÓN:
y=mx+b
por lo tanto para que la pendiente seaigual1/2
y=12x+0↔ y= x
2
y ,−12=0⇒ y ,=1
2
2) Todas lasrectas con pendiente iguala (−m)
SOLUCIÓN:
y=mx+b
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paraque la pendiente sea−m(b=0)y=− xmy ,+m=0
y ,=−m y= y , x⇔ y− y , x=0
3) Rectas con la pendiente y laintersecciónconel eje Y iguales .
SOLUCIÓN:
y=mx+b
La interseccionde larecta conel eje Y (x=0)
y=becuacion(1)
Perola pendiente es iguala estainterseccion
yx=b
Derivando :
y=xb
y '=b
Reemplazandoen la ecuacion(1)
y− y '=0
4) Rectas con la pendiente y laintersecciónconel eje X iguales .
SOLUCIÓN:
donde la ecuación de larecta es : y− y1=m(x−x1)
y− y1=m(x−x1)
Reemplazando los valores en laecuación tenemos :
y−0=m ( x−A )
y=mx−mA
Derivandoimplícitamente la ecuaciónanterior tenemos :
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y '=m
5) Rectas con lasumaalgebraica de las interseccionesiguales ak
SOLUCIÓN:
Sea lafamilia derectas : y=Ax+B
si y=0≈0=Ax+B
x=−BA
k=B− BA
Ak=AB−B…….(1)
y=Ax+B
y '=A⇒B= y− y ' x…… ..(2)
Remplazando (2 ) en(1)
y ' k= y ' ( y− y ' x )−( y− y ' x )
y ' k= y ' y−( y ' )2 x− y+ y ' x
( y ' )2 x− y ' y+ y− y ' x+ y 'k=0
y ' x ( y '−1 )− y ( y '−1 )+ y 'k=0
∴ ( y '−1 )( y ' x− y)+ y ' k=0
6) Circunferencias conel centro enel origen y radio arbitrario
( x−h )2+ ( y−k )2=r2
Derivando : (x−h )+( y−k ) y '=0……….(a)
se sabe : (h , k )=(0,0)
x2+ y2=r2
x+ y y '=0⇒ x=− y y '……………………….(b)
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1+ y y ' '+( y ' )2=0⟹ y=−( y ' )2+1
y ' '……..(c)
Remplazando (b ) y (c ) en(a)
(− y y '−h )+(−( y ' )2+1
y ' '−k ) y '=0
∴ y' ' ( y+ hy ' +k )+( y ' )2+1=0
7) Circunferencias conel centro encualquier punto del plano XY y radio arbitrario .
SOLUCIÓN:
( x−h )2+ ( y−k )2=r2
Derivando1 ° ,2 ° y3 ° vez .
( x−h )+ y ' ( y−k )=0
y ' ( y−k )=−( x−h )………………………(1)
y ' ' ( y−k )+( y¿¿' )2=−1………………………(2)¿
y ' ' ' ( y−k )+ y ' ' y '+2 y ' ' y '=0
y ' ' ' ( y−k )+3 y' ' y'=0………………………(3)
Reemplazando2 y3
y ' ' ' ¿
− y ' ' ' ¿
y ' ' ' ¿
8) Circunferencias sobre el eje X yradio arbitrario .
SOLUCIÓN:
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C :(x−h)2+( y−k )2=r2
Si sucentroesta sobre x :
k=0
(x−h)2+( y−0)2=r2
(x−h)2+( y)2=r2… (1 )
Derivando conrespecto ax :
2(x−h)+2 ydydx
=0
Hallando el valor de h :
2 x−2h+2 yy '=0
−2h=−2 y y '−2 x
h= y y '+x
Reemplazandoen la ecuación1 :
(x−h)2+( y)2=r2
(x−( y y '+x ))2+( y)2=r2
x2−2 x ( y y '+ x )+ ( y y '+x )2+( y)2=r 2
x2−2 xy y '−2 x2+ y y'2+2 xy y '+x2+( y )2=r2
−2 xy y '+ y y '2+2 xy y '+( y )2=r2
y ( y '2+ y )−r2=0
9) Circunferencia concentro sobre larecta y= x2y que pasen por el origen .
SOLUCIÓN:
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ecuacion general de la circunferencia:
( x−h )2+ ( y−k )2= (r )2
el centro seubica en larecta y= x2
; h=k2
(x− k2 )2
+ ( y−k )2=(r )2………1
2(x− k2)+2 ( y−k ) y '=o
(x− k2 )=−( y−k ) y '…………2
remplazandoen2en1
( ( y−k ) y ' )2+ ( y−k )2=(r )2…………3
( ( y−k ) )2( y2+1)=(r )2
( y−k )2 ∂∂ x
( y '2+1 )+( y '2+1 ) ∂∂ x
( y−k )2=0
( y−k )22. y ' . y ' '+2 ( y'2+1 ) ( y−k ) . y '=0
( y−k ) . y ' '+ ( y '2+1 )=0
( y−k )=−( y '2+1 )y ' '
…………….4
Trabajando con las ecuaciones3 y 4
[ ( y'2+1 )y ' ' ]
2
( y '2+1 )=r2
[ ( y '2+1 ) ]y ' '2
3
=r2
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y ' '2∂∂ x
[ ( y '2+1 ) ]3+[ ( y'2+1 ) ]3 ∂∂xy ' '2
y ' '4=r2
y ' '23 [ ( y '2+1 ) ]22. y ' . y ' '+[ ( y'2+1 ) ]3 2 y ' ' . y ' ' '
y ' '4=o
y ' '23 [ ( y '2+1 ) ]22. y ' . y ' '
y ' '4+
[ ( y '2+1 ) ]32 y ' ' . y ' ' '
y ' '4=o
Dividiendo2 [ ( y '2+1 ) ]2tenemos
y ' '23 [ ( y '2+1 ) ]22. y ' . y ' '
2 [ ( y '2+1 ) ]2 y ' '4+
[ ( y '2+1 ) ]32 y ' ' . y ' ' '
2 [ ( y '2+1 ) ]2 y ' '4=o
3 y '
y ' '+
[ ( y '2+1 ) ]. y ' ' 'y ' '3
=0
3 . y ' '2 . y '+ y ' '' . [ ( y '2+1 ) ]=0
10)Circunferencias concentro enel punto arbitrario P (C , D ) yradio igualar
SOLUCIÓN:
ecuacion general de la circunferencia:
( x−h )2+ ( y−k )2= (r )2
parael punto(C ,D)( x−C )2+ ( y−D )2=(r )2……… (1)primero loderivamos :
(( x−C )2+( y−D )2) '¿ ((r )2 ) '
2 ( x−C )+2 ( y−D ) y '=0
( x−C )=−( y−D ) y'
en (1 ) reemplazamos :
( x−C )2+ ( y−D )2=(r )2
(− ( y−D ) y ' )2+ ( y−D )2=(r )2
( y−D )2 ( y ' )2+( y−D )2=(r )2
( y−D )2 [ ( y' )2+1 ]=(r )2…… ..(2)
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derivamos esta expresión :
[ ( y−D )2 [ ( y ' )2+1 ]]'=( (r )2 )'
( y−D )2 (2 y ' y ' ' )+2 y ' ( y−D ) [ ( y ' )2+1 ]=0
( y−D ) y ' '+ ( y ' )2+1=0
( y−D )=−[ ( y ' )2+1 ]
y ' '……(3)
en (2 ) reemplazamos(3) :
( y−D )2 [ ( y' )2+1 ]=(r )2
( [ ( y ' )2+1 ]y ' ' )
2
[ ( y ' )2+1 ]=(r )2
[ ( y' )2+1 ]3=(r )2 ( y ' ' )2
[ ( y' )2+1 ]32=r y ' '
∴ [ ( y ' )2+1 ]32−r y ' '=0
(r es arbitrario¿
11) Parábolas conel eje paralelo al eje“ y” y con ladistancia del vértice al foco igual a“ A”
SOLUCIÓN:
Ecuación de la parábola: ( x−h )2=±4 p( y−k )
( x−h )2=±4 A( y−k )
derivando:
2 ( x−h )=±4 A( y' )
1=±2 A ( y ' ')
y ´ ´=± 12a
12) Parábolas conel eje y el foco sobreel eje X .
SOLUCIÓN:
( x−h )2=4 p ( y−k )… (1 )
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y ´ ´= 12ap . concava
y ´ ´=−12a
p . convexa
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Primeraderivada2 ( x−h )=4 py 'x−h=2 p y '… (2 )Remplazando(2)en(1)(2 p y ' )2
=4 p ( y−k )( p y ' )2=p ( y−k )… (3 )Segundaderivada2 py ' ( p y ' ' )=py 'p y ' '=1
2
p= 1
2 y ' '…(4 )
Reemplazando(4)en(3)
( y '
2 y ' ' )2
=( y−k )2 y ' '
( y ' )2
2 y ' '= y−k
Tercera derivada
2 y ' ' (2 y ' y ' ' )−( y ' )2 (2 y ' ' ' )4 ( y ' ' )2
= y '
2 y ' ' (2 y ' y ' ' )−( y ' )2 ( 2 y ' ' ' )=4 y ' ( y ' ' )2
2 y ' ' ( y ' ' )− y ' y ' ' '=2 ( y ' ' )2
22 ( y ' ' )2− y ' y' ' '=2 ( y ' ' )2
0= y ' y ' ' '
13) Parabolas conel eje paralelo al eje X .
SOLUCIÓN:
Laecuacion de la parabola coneje paralelo al eje X
( y−k )2=4 p (x−h )
2 ( y−k ) y ,=4 p
( y−k ) y ,=2 p…………………… (1 )
c+( y , )2=0…………………… .. (2 )
( y−k ) y ,, ,+3 y , y , ,………………… (3 )
Despejandola ecuacion (2 )
( y−k )=−( y , )2
y , ,
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Reemplazamosen laecuacion (3 )
( y−k ) y ,, ,+3 y , y , ,=0
(−( y , )2
y ,, ) y ,, ,+3 y , y , ,=0
−( y , )2 y ,, ,+3 y , ( y , ,)2=0
14) Hipérbolas equiláteras con centroenQ (M , N )
SOLUCIÓN:
( x−h ) ( y−k )=a2
2
( x−M ) ( y−N )=a2
2
xy−xN−My+MN=a2
2
Derivando2 veces :
1 °¿ y+x y '−N− y 'M=0
2 °¿ y '+ y '+ x y ' '− y ' 'M=0
2 y ' x y ' '− y ' 'M=0
x= y ' 'M−2 y 'y ' '
Derivando :
1=( y ' ' 'M−2 y ' ' ) y ' '− y ' ' '( y ' 'M−2 y ')
( y ´ ´ )2
( y ´ ´ )2=( y' ' 'M−2 y ' ' ) y ' '− y ' ' ' ( y ' 'M−2 y ')
Simplificando:
3 ( y ´´ )2=2 y ' ' ' y '
∴2 y ' ' ' y '−3 ( y ´ ´ )2=0
15)Circunferencias tangentes aleje X .
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SOLUCIÓN:
( x−h )2+ ( y−k )2=r2
( x−h )2+ ( y−r )2=r 2….(1)
2 ( x−h )+2 ( y−r ) y '=0…(2)
( x−h )=−( y−r ) y '
[ ( y−r ) y ' ]2+( y−r )2=r2….(3)
( y−r )2 [ ( y ' )2+1 ]=r2
( y−r )2 .∂ [ ( y ' )2+1 ]∂ x
+[ ( y ' )2+1 ] ∂ ( y−r )2
∂ x=0
( y−r )2 .(2 y ' . y ' ')+2 [ ( y ' )2+1 ]( y−r) y '=0
( y−r )2 . y ' '+[ ( y ' )2+1 ] ( y−r )=0
( y−r ) . y ' '+ ( y ' )2+1=0
y−r=−(( y ' )¿¿2+1)
y ' '… (4)¿
analizando en laecuacion3 y 4
¿¿
(( y ' )¿¿2+1)3
( y ' ' )2=r2¿
( y ' ' )2 . ∂ (( y ' )¿¿2+1)3
∂ x−(( y ' )¿¿2+1)3
.∂ ( y ' ' )2
∂ x=0¿¿
( y ' ' )2 (3 )( ( y ' )¿¿2+1)2. ∂
( ( y ' )¿¿2+1)∂ x
−2( ( y ' )¿¿2+1)3. y ' ' . y '' '=0¿¿¿
6 ( y ' ' )2 (( y ' )¿¿2+1)2 . y ' . y ' '
2(( y ' )¿¿2+1)2. y ' '−2
( ( y ' )¿¿2+1)3 . y' ' . y '' '
2(( y ' )¿¿2+1)2 . y ' ' ¿¿¿
¿
( y ' ' )2 . y '−(( y ' )¿¿2+1). y '' '=0¿
16)Cónicas centrales conel centroenel origen y vértices sobre los EjesCoordenados
SOLUCIÓN:
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17) Tangentes ala parabola ; y2=−6 x
SOLUCIÓN:
Sesabe :
y− y0= y' (x−x0 )……. (1)
y02
6=−x0………………(2)
Derivando : y2=−6 x
y '=−3y…………(3)
Remplazando (3 ) y (2 )en (1)
y− y0=−3y ( x+ y0
2
6 )y2− y0 y=−3x−
y02
2………… ..(4)
Derivando : y2− y0 y=−3 x−y0
2
2
y0=2 y y'+3y '
……… ...(5)
Remplazando : (5 ) en (4 )
y2−( 2 y y '+3
y ' ) y=−3 x−( 2 y y '+3
y ' )2
2
∴ y2−3( yy ' +x)− y− 9
2( y ')2 =0
V. Resuélvase cada una de las siguientes ecuaciones diferenciales ordinarias de variables separables:
1) (t−ln ( t ) )dx−(ln(x ))2 tdt=0¿
SOLUCIÓN:
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AN
AL
ISIS
M
AT
EM
AT
ICO
IV
–
EJE
RC
ICIO
S R
ES
UE
LT
OS
dx
( ln(x))2− tdt
(t−ln (t ) )=0
∫ dx
( ln(x ))2−∫ tdt
( t−ln ( t ) )
∫ dxln( x)
− xln(x )
−t−∫ lnt
(t−ln (t ) )dt
2) ex3− y3
− y
x2
dydx
=0
SOLUCIÓN:
ex3− y3
x2dx+ ydy=0
ex3
e− y3
x2dx+ ydy=0
ex3
x2dx+ y
e− y3 dy=0
∫ ex3
x2dx+∫ y
e− y3 dy=∫ 0
∫ ex3
x2dx+∫ ey3
ydy=∫0
ex3
3+ e
y3
3=C
SoluciónGeneral :
∴3e x3
+3e y2
=9C
3)dvdu
+cos( u−v2 )=cos (u−v2 )SOLUCIÓN:
dvdu
+sen ( u−v2 )=sen( u−v2 )dvdu
+sen ( u−v2 )−sen( u−v2 )=0
dvdu
+2 sen( u−v2−u−v
22 )cos ( u−v2
+u−v2
2 )=0
dvdu
+2 sen (0 )cos (u−v )=0
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dv+2 sen ( v2 )cos ( u2 )du=0
dv
sen ( v2 )+2 cos( u2 )du=0
∫ dv
sen ( v2 )+2∫ cos( u2 )du=∫0
2 ln|csc( v2 )−ctg( v2 )|+4 sen ( u2 )=C
Solución General:
∴ ln|csc( v2 )−ctg( v2 )|+2 sen (u2 )=C24) (1− y2) (e2 xdx+e y dy )−(1+ y )dy=0
SOLUCIÓN:
( (1− y2 )e2xdx+( 1− y2 )e ydy )−(1+ y )dy=0
(1− y2) e2x dx+(e y− y2 e y−1− y )dy=0
e2x dx+(ey− y2e y−1− y )
(1− y2 )dy=0
e2x dx+e y(1− y2 )1− y2 dy−
(1+ y )1− y2 dy=0
integrando
∫ e2 xdx+∫e y dy−∫ dy
1− y2+∫ y
1− y2=C
12e2x+e y−arctan ( y )+ 1
2ln|1− y2|=C
5)(xy4− y4−x+1 )dx+( x4 y−2x3 y+x4+2 x2 y−2 x3+2x2 )dy=0
SOLUCIÓN:
¿
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¿
x−1
x4−2 x3+2x2dx+ y+1
y4−1dy=0
∫ x−1
x4−2x3+2x2dx+∫ y+1
y4−1dy=0
12
arctan ( x−1 )+ 12 x
−12
arctan ( y )−12
ln ( y2+1 )+ 12
ln ( y−1 )+c=0
8) y ,= −x+3 y3x+3 y+1
comodydx
= y ,
SOLUCIÓN:
( x+3 y )dx+ (3 x+3 y+1 )dy=0↔a1a2≠b1b2noson paralelos
M (x , y )=x+3 y=0
N( x , y )=3 x+3 y+1=0desarrollandoobtenemos :
larecta se intersecan en (h ;k )=(−12;
16 )
→x=t−12; y=u+ 1
6
Reemplazando tenemoslo siguiente :
[ t−12+3(u+ 1
6 )]dt+[3(t−12 )+3(u+ 1
6 )+1]du=0
(t+3u )dt+(3 t+3u )du=0……………………………. (1 )
Seau=mt→du=mdt+tdm…………………… (2)
Reemplazando la ecuacion (2 ) en la (1)
(t+3 (mt ) )dt+ (3 t+3 (mt ) ) (mdt+ tdm )=0
t (3m2+6m+1 )dt+3 t2 (m+1 )dm=0
t
3t 2dt+ m+1
3m2+6m+1dm=0
Integrando :
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∫ dt3 t
+∫ m+1
3m2+6m+1dm=0→
13
ln ( t )+(∫ m+1
3m2+6m+1 )dm=c
13
ln (t )+ 16∫
drr
=c↔ dr6 (m+1 )
=dm
13
ln (t )+ 16
ln (r )=c↔ 13
ln (t )+ 16
ln (3m2+6m+1 )=c
2 ln (t )+ ln (3m2+6m+1 )=6c
Luego :2 ln(x+ 12 )+ln [3 ( y−
16
x+ 12
)+6( y−16
x+12
)]=6c
9) (x2 y3+2 x y2+ y )dx+(x3 y2−2 x2 y+x )dy=0
SOLUCIÓN:
Sea : t=xy→ y= tx↔dy= xdt−tdx
x2
Reemplazando :
(x2( tx )3
+2x ( tx )2
+ tx )dx+( x3( tx )
2
−2 x2( tx )+x )( xdt−tdxx2 )=0
( t3x + 2t 2
x+ tx )dx+ x (t 2−2 t+1 )( xdt−tdxx2 )=0
(t 3+2t 2+t )dx+( t2−2 t+1 ) (xdt−tdx )=0
4 t2dx+x (t 2−2 t+1 )dt=0→dxx
+ t2−2 t+1
4 t 2 dt=0
Integrando :
∫ dxx
+∫( t2−2t+14 t 2 )dt=0→ ln ( x )− ln ( t )
2+ t−t
−1
4=c
ln (x)−2 ln (t )+t−t−1=4 cComot=xy
4 ln ( x )+2 ln (xy )+xy−( xy )−1=4c
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VI. Resuélvase las siguientes ecuaciones diferenciales ordinarias mediante el cambio de variable:
3) (x4 y2+1 )dx+2x4 dy=c
SOLUCIÓN:
(x2 y2 x2+1 )dx+2 x4dy=c
hacemosuncambio devariable :
z=xy
dzdx
=x dydx
+ y
dz=xdy+ ydx
dy=dz− ydxx
Remplazando :
( z2 x2+1 )dx+2 x4( dz− ydxx )=c
( z2 x2+1 )dx+2 x3dz−2 x3 ydx=c…… ..( y= zx )
( z2 x2+1 )dx+2 x3dz−2 x3( zx )dx=c( z2 x2+1−2 x2 z )dx+2 x3dz=c
x2 z [ ( z−1 )+1 ] dx+2x3dz=c
z [ (z−1 )+1 ]dx+2 xdz= c
x2…….La formaMdx+Ndy=0
No puede descomponerse (noson variables separables )
4) (x3 y4+ y+x−2 )dx+(x4 y3+x )dy=0
SOLUCIÓN:
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[ y (x3 y3+1 )+(x−2)]dx+ [ x (x3 y3+1)]dy=0
hacemosuncambio devariable :
z=xy
dzdx
=x dydx
+ y
dz=xdy+ ydx
xdy=dz− ydx
Remplazando :
[ y ( z3+1 )+(x−2)]dx+( z3+1 ) (dz− ydx )=0……… y= zx
[( zx ) ( z3+1 )+(x−2)]dx+( z3+1 )dz−( z3+1 )( zx )dx=0
( z4
x+ zx+x−2− z4
x− zx )dx+( z3+1 )dz=0
( x−2 )dx+( z3+1 )dz=0
∫ ( x−2 )dx+∫ ( z3+1 )dz=c
x2
2−2 x+ z
4
4+z=c
∴ x2
2−2x+ x
4 y 4
4+xy=c
5) (x+ y−2+ 1x )dx−(2−x− y )dy=0
SOLUCIÓN:
hacemos :u=x+ y−2⇒du=dx+dy⇒dy=du−dx…… (∝ )
reemplazamos (∝ ) enla ecuación :
⇒(u+ 1x )dx+u (du−dx )=0
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⇒(u+ 1x−u)dx+udu=0
⇒ dxx
+udu=0
separando variables tenemos :
dxx
+udu=0
integramos :
⇒∫ 1xdx+∫ udu=0
⇒ ln (x )+ u2
2=c………(β )
reemplazamosu=x+ y−2en (β ) :
⇒2 ln (x)+( x+ y−2 )2=c
∴ ln ( x2 )+x2+ y4+2 x . y−4 x−4 y=c
6) (5 x+5 y−x ex )dx−(5x+5 y−1 )dy=0
SOLUCIÓN:
hacemos :u=5 x+5 y⇒du=5dx+5dy⇒ dy=du−5dx5
… (∝ )
reemplazamos (∝ ) enla ecuación :
⇒ (u+ xex )dx+(1−u )( du5 +dx)=0
⇒ (u+ xex )dx+(1−u )( du5 +dx)=0
⇒ (u+ xex+1−u )dx+ (1−u )5
du=0
⇒ (x ex+1 )dx+ (1−u )5
du=0
separando variables tenemos :
(x ex+1 )dx+ (1−u )5
du=0………( β)
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integramos :
⇒∫ (x ex+1 )dx+∫ (1−u )5
du=0
⇒∫ x ex dx⏟A
+∫ dx+¿ 15∫ du−
15∫udu+¿=0¿¿
usamos integracion por partes en A :
A=∫ xex dx hacemos : m=xdm=dx
dn=exdxn=ex
como sabemos :
∫udv=uv−∫ vduA=xex−∫ exdxA=xex−ex
reemplazamos A :
⇒ x ex−e x+x+ 15u− 1
10u2=c
reemplazamosu=5x+5 y en (β ) :
⇒ x ex−e x+x+x+ y−52(x2+ y2+2 xy)2=c
∴2ex ( x−1 )+4 x+2 y−5 (x2+ y2+2 xy )2=c
7)dydx
= √x+ y+√ x− y√x+ y−√x− y
SOLUCIÓN:
dydx
= √x+ y+√ x− y√x+ y−√x− y
[ x+√(x+ y )(x− y )]dx− ydy=0seauna EDOhomonegiasea y=ux xd=udx+xdu[ x+√ ( x+ux ) ( x−ux ) ]dx−ux (udx+xdu )=0
[x+√ (x2−u2 x2 ) ]xd−ux (udx+xdu )=0
[ x+x √1−u2 ] xd−u2 xdx−u x2du=0
x (1+√1−u2 ) xd−u2 xdx−u x2du=0
x (√1−u2+1−u2 ) xd−u x2du=0
∫ xdx
x2−∫ udu
√1−u2+1−u2=c
ln|x|−∫ udu
√1−u2+1−u2=c
ln|x|−(−12 ∫ da
√a+a )ln|x|+ 1
2∫da
√a (1+√a )
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ln|x|+ 12∫a
−12 (a1
2+1)−1
da
m=−12n=1
2p=−1
CASO I p<0 p=−1a=t 2da=2 tdt
ln|x|+ 12∫ t
−1 ( t+1 )−1 2tdt
ln|x|+∫ tdtt ( t+1 )
ln|x|+|n|t+1=cln|x|+|n|√a+1=cln|x|+|n|√1−u2+1=c
ln|x|+ ln(√ x2− y2
x2 +1)=cln [x (√ x2− y2+ x2
x2 )]=c
8)dydx
=2 yx
+ x3
y+ xcos( yx2 )
SOLUCIÓN:
[ dydx ] . x=[ 2 yx
+ x3
y+xcos( yx2 )] . x
[ dydx ] . x=[ 2 y2+x4+x2 ycos ( yx2 )y ] . x
x . ydy=[2 y2+x 4+x2 ycos ( yx2 )] . dx[2 y2+x4+x2 ycos( yx2 )] . dx−x . ydy=0
Veremos si es homogénea
M (rx ,ry )=¿
N (rx , ry )=(rx ) . (ry )……………………………eshomogeneade grado1
∴la EDOnoeshomogenea
VII. Resuélvase las siguientes ecuaciones diferenciales ordinarias como exactas o convirtiéndolas a exactas:
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1) ( y exy+ y3 x2+2 yln ( x )x )dx+(x exy+x3 y2−ln2 ( x ) )dy=0
SOLUCIÓN:
2) ( ytan ( xy )− ysec ( xy ) )dx+(xtan ( xy )−xsec (xy ))dy=0
SOLUCIÓN:
Hacemos :M (x ; y )= ytan ( xy )− ysec (xy)N ( x ; y )=xtan ( xy )−xsec( xy)Entonces :
⇒∂M ( x ; y )∂ y
= ∂∂ y
( ytan ( xy )− ysec(xy ))
∂M ( x ; y )∂ y
=xy . se c2 ( xy )−tan ( xy )+xy . sec ( xy ) . tan (xy )−sec (xy)
Ahora:
⇒∂ N (x ; y )∂x
= ∂∂x
( xtan ( xy )−xsec( xy))
⇒∂ N (x ; y )∂x
=xy . se c2 ( xy )−tan (xy )+xy . sec ( xy ) . tan ( xy )−sec (xy )
Entonces :∂M ( x ; y )∂ y
=∂N ( x ; y )∂x
⇒ la EDO esexacta
∴∃F ( x ; y )/∂ F ( x ; y )=( ytan ( xy )− ysec (xy))dx+(xtan (xy )−xsec(xy ))dyHacemos :
⇒∂ F ( x ; y )∂ x
= ytan ( xy )− ysec (xy)……… ..(I )
⇒∂ F ( x ; y )∂ y
=xtan ( xy )−xsec(xy )……… .. ( II )
Integramos ( I ) :∫ ∂F (x ; y )=∫ ( ytan ( xy )− ysec (xy))dxF ( x ; y )=∫ ytan (xy )dx−∫ ysec (xy )dxF ( x ; y )=∫ tan ( xy )dxy−∫ sec ( xy )dxyF ( x ; y )=∫ tan (u )du−∫ sec (u )du…. para :u=xyF ( x ; y )=−ln ( cos (u ) )−ln (sec (u )+ tan (u ) )+g ( x )∴F (x ; y )=−ln (cos ( xy ) )−ln [sec ( xy )+ tan ( xy ) ]+g ( x )…………(∝)Ahoraderivamos (∝ ) respecto a y :∂F ( x ; y )∂ y
= ∂∂ y
(−ln (cos ( xy ) )−ln [sec ( xy )+ tan ( xy ) ]+g ( x ) )∂F ( x ; y )∂ y
=−[cos ( xy ) ] '
cos ( xy )−
[sec ( xy )+ tan ( xy ) ] 'sec ( xy )+ tan (xy )
+g ' ( x )
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∂F ( x ; y )∂ y
=−(−sen ( xy ) ) ( xy ) '
cos (xy )−sec (xy ) . tan ( xy ) . ( xy ) '+sec2 ( xy ) . ( xy ) '
sec ( xy )+ tan ( xy )+g' (x )
∂F ( x ; y )∂ y
=xsen(xy )cos ( xy )
−x sec ( xy ) . tan ( xy )+x sec2 (xy )
sec ( xy )+ tan ( xy )+g ' ( x )
∂F ( x ; y )∂ y
=x . tan ( xy )−x sec ( xy ) . [sec ( xy )+ tan ( xy ) ][sec ( xy )+ tan ( xy ) ]
+g ' ( x )
∂F ( x ; y )∂ y
=x . tan ( xy )−x sec ( xy )+g ' (x )………… (β )
Ahoraigualamos (β ) y ( II ) :
xtan ( xy )−xsec (xy )+g ' ( x )=xtan ( xy )−xsec(xy )⇒ g ' ( x )=0∴g ( x )=C∴F (x ; y )=−ln (cos ( xy ) )−ln [sec ( xy )+ tan ( xy ) ]+C
3) [ sen2 ( x+ y )+cos2 (2x+2 y )+sen2 (2 x+2 y ) ]dx+(−cos (2+2 y )2
+sen (2x+2 y )
2 )dy=0
SOLUCIÓN:
M (x ; y )=sen2 ( x+ y )+cos2 (2 x+2 y )+sen2 (2x+2 y )dMdy
=2 sen ( x+ y ) cos ( x+ y )−4 sen (2x+2 y )cos (2x+2 y )+4 sen (2 x+2 y )cos (2 x+2 y )
dMdy
=2 sen ( x+ y ) cos ( x+ y )
dMdy
=sen ( 2 ( x+ y ) )
N ( x ; y )=−cos (2+2 y )2
+sen (2 x+2 y )
2dNdx
=(0 ) 12sen (2+2 y )+ 1
22 cos (2 x+2 y )
c=cos (2x+2 y )dNdx
=cos (2 ( x+ y ) )
dMdy≠dNdy
⇛ la EDO noesexacta
4) (4 x3 y− y4 cos ( x ) )dx+(x4 y−4 y3 sen ( x ) )dy=0
SOLUCIÓN:
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M (x ; y )=4 x3 y− y4 cos ( x )⇔dMdy
=4 x3−4 y3 cos ( x )
N ( x ; y )=x4 y−4 y3 sen ( x )⇔ dNdx
=4 x3 y−4 y4 cos ( x )
EntoncesdMdy≠dNdx
⇒ la EDOes exacta
Ahoraconvertimosaexcta .M (x ; y )dx+ (x4 y−4 y3 sen ( x ) )dy=0………………………………… (θ )
Considerando quees exacta cumpleque :dMdy
=dNdx
dM (x ; y )dy
=4 x3 y− y 4 cos ( x )
Integramos :
∫ dM ( x ; y )=4∫ x3 ydy−∫ y 4 cos ( x )dy
M (x ; y )=2 x3 y2−15y5cos (x )……………………………………………. ( i )
Reemplazamos ( i )en (θ )Entonces laecuaciondiferencial exacta sera :M (x ; y )dx+ (x4 y−4 y3 sen ( x ) )dy=0
(2 x3 y2−15y5cos (x ))dx+ (x4 y−4 y3 sen ( x ) )dy=0
Como sabemosque :dM (x ; y)
dy=dN (x ; y )dx
⇒∃F ( x ; y )dF ( x ; y )
=(2x3 y2−15y5 cos ( x ))dx+(x4 y−4 y3 sen ( x ) ) dy
F ( x ; y )dx
=(2x3 y2−15y5 cos ( x ))……………………… .. ( I )
F ( x ; y )dy
=x4 y−4 y3 sen (x )……………………………… .. ( II )
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