Trabajo de Analisis Estructural Ultimo22

UNIVERSIDAD PRIVADA DEL NORTE

ENERGIA DE DEFORMACION Y METODOS ENERGETICOS

ANALISIS ESTRUCTURAL

Cajamarca-2014

Facultad de Ingeniera Civil

ENERGIA DE DEFORMACION T METODOS ENERGETICOS

ANALISIS ESTRUCTURAL Pgina 1

INTRODUCCION

La energa de deformacin es un concepto fundamental en la mecnica aplicada, ya que

sus principios se usan ampliamente para determinar la respuesta de mquinas y

estructuras sometidas a cargas estticas y dinmicas.

En el presente informe mostramos el estudio realizado a la energa de deformacin as

como tambin los mtodos energticos que son extremadamente tiles para solucionar

problemas relacionados con elementos estructurales que a veces resultan tediosos y

complicados.



OBJETIVOS:

Estudiar la energa de deformacin en sus diferentes situaciones

Estudiar y analizar los principales teoremas energticos



ENERGA DE DEFORMACIN Y MTODOS ENERGTICOS

I. ENERGA DE DEFORMACIN

Para los fines de las aplicaciones en la ingeniera, se considera que los cuerpos o

sistemas mecnicos estn formados por materia que consiste en partculas

denominadas puntos materiales y cuyo conjunto constituye la configuracin del

sistema. Se dice que el sistema experimenta una deformacin cuando cambia su

configuracin, o sea cuando se desplazan sus puntos materiales cambiando las

distancias relativas entre los puntos.

Si se supone un sistema de fuerzas aplicado a un cuerpo, este se deforma hasta que

el sistema de fuerzas internas equilibra el sistema de fuerzas externas. Las fuerzas

externas realizan un trabajo que se transforma y acumula en el cuerpo. Este

trabajo o energa de deformacin es utilizado por el cuerpo para recuperar su

forma cuando cesa la accin del sistema de fuerzas externas. Si el cuerpo

recupera exactamente su forma inicial se dice que es un cuerpo perfectamente

elstico, e indica que el trabajo de las fuerzas externas durante la deformacin del

cuerpo se transform totalmente en energa de deformacin, desprecindose las

prdidas pequeas por cambio de temperatura. En cualquier caso, se cumple

siempre la ley de la Termodinmica: el trabajo efectuado por las fuerzas externas

ms el calor que absorbe el sistema del exterior es igual al incremento de energa

cintica ms el incremento de energa interna. Por otra parte, el incremento de

energa cintica es igual a la suma de los trabajos de las fuerzas externas y de las

fuerzas internas. En los sistemas elsticos se desprecian las perdidas por calor y la

energa interna del sistema (energa potencial de las fuerzas internas) es la energa

o trabajo de deformacin de dicho sistema. Las estructuras por lo general se hacen

de madera, concreto y acero. Cada una de ellas tiene diferentes propiedades

materiales que deben ser consideradas para el anlisis y el diseo. Debe

conocerse el mdulo de elasticidad E de cada material para cualquier clculo de

desplazamiento.



E E E

1 1 1

En la figura 1, se muestran curvas tpicas esfuerzo-deformacin para los tres

materiales antes mencionados. El mdulo de elasticidad E se define como la

pendiente de la curva esfuerzo-deformacin. Para deformaciones localizadas a la

izquierda de las lneas punteadas que se muestran en cada grfica, la curva es

aproximadamente una lnea recta. La pendiente es constante y por ello tambin E

lo es. Dentro de esta regin, el comportamiento se lo denomina lineal.

Considrese la barra elstica de seccin transversal A y longitud L, sujeta a una

carga axial P, aplicada gradualmente, como se muestra en la figura 2

P (1, P1)

L

0

P

Figura 2 Barra sujeta a una carga axial P. Figura 3. Relacin P- lineal.

Se supone que se cumple la ley experimental de elasticidad lineal de Hooke,

como se indica en la figura 3. Donde la fuerza por unidad de rea que soporta un

material se suele denominar esfuerzo en el material, y se expresa matemticamente

de la forma:

Dnde:

: es el esfuerzo o fuerza por unidad de rea

P : es la carga aplicada y

Madera Concreto Acero

Figura 1 Esfuerzo vs Deformacin



A : es el rea de la seccin transversal

El valor de la deformacin unitaria es el cociente del alargamiento (deformacin

total) y la longitud L en la que se ha producido. Por tanto

.

Consideremos de nuevo los diagramas de esfuerzo-deformacin representados en la

figura 1, y observemos las partes rectilneas. La pendiente de la recta es la relacin

entre el esfuerzo y la deformacin; representada por mdulo de elasticidad E.

Pendiente de la lnea esfuerzo-deformacin

Esto no expresa otra cosa que la conocida ley de Hooke. En principio, Hooke solo

enuncio la ley de que el esfuerzo es proporcional a la deformacin. Fue Thomas

Young, quien introdujo la expresin matemtica con una constante de

proporcionalidad que se llam mdulo de Young. Finalmente, este nombre se

sustituy por el mdulo de elasticidad o modulo elstico

Otra forma de expresin de la ley de Hooke, muy conveniente a veces, es la que

se obtiene al sustituir por su equivalente P/A y por /L de modo que:

= E

P = E

A L

O lo que da igual

Dnde:

: Deformacin en la barra

E: Modulo de elasticidad de Young La carga P se aplica gradualmente y la deformacin aumenta gradualmente segn



la ecuacin anterior. El trabajo desarrollado en contra de las fuerzas internas del

sistema es:

De las ecuaciones anteriores tenemos:

Por tanto:

P P

C C

W W

Figura 4. Energa de deformacin Figura 5. Energa de deformacin

Caso Lineal Caso No Lineal

El trabajo realizado por una fuerza se define como el producto de la fuerza por la

distancia que esta recorre en su propia direccin. Cuando un cuerpo elstico

est sometido a un conjunto de fuerzas externas, ciertos esfuerzos internos se

desarrollan en el cuerpo, y durante la deformacin de esta, estos esfuerzos realizan

algn trabajo. Este trabajo se designa normalmente como energa de deformacin

del cuerpo, siendo:

W = U.

El trabajo energa de deformacin U corresponde al rea sombreada del

tringulo mostrado en la figura 6, es decir, est representado por el rea bajo la

recta.

La ecuacin de la Ley de Clapeyron, que nos dice que la energa de deformacin,



cuando la carga se aplica paulatinamente vale la mitad de la energa que se

desarrolla cuando la misma carga se aplica instantneamente. En el caso de

elasticidad no lineal (figura 5), la energa de deformacin es el rea bajo la curva.

1.1 Energa Complementaria de Deformacin

Se denomina energa complementaria de deformacin y se representa con W al

rea arriba de la curva Carga-Deformacin y limitada superiormente por la

recta horizontal que corresponde a la carga P, cuyo valor se calcula con la integral y

tiene importancia al considerar los Teoremas de Castigliano.

La energa complementaria de deformacin corresponde al rea ubicada por encima de la curva carga-deformacin y limitada por una recta horizontal correspondiente a la carga P. Esta energa cobrar importancia cundo se aborden los teoremas de Castigliano.Su valor se calcula con la integral

Para materiales lineales W*=W Para materiales no lineales W*W

1.2 Energa de Deformacin en Barras

Considrese una barra prismtica en el espacio tridimensional, que cumple la Ley de

Hooke y que se encuentra sujeta a los elementos mecnicos: fuerza normal, fuerzas

cortantes, momentos flexionantes y momento torsionante.

Se supone que se cumple el estado de esfuerzos de Saint Venant, o sea:

Cada uno de los elementos mecnicos se considera por separado y se aplica el

principio de superposicin de causas y efectos, mencionado anteriormente.



A. Efecto de Fuerza Normal Si acta la fuerza normal N, slo se produce el esfuerzo normal

Setiene que

Y por lo tanto

Integrando y reemplazando se tiene:

Donde N,E,A spn constantes de una seccion transversal y

Finalmente obtenemos:

Que es el trabajo o energia de deformacion por fuerza normal

Esfuerzo Normal



Esfuerzo Tangencial

Barras Sometidas A Esfuerzo Axial



B. Efecto del momento flexionante

Si acta el momento flexionante Mx, las tensiones normales en un punto cualquiera de la seccin transversal de la viga en la flexin se determinan por la frmula:

yI

M

X

X

Donde Ix es el momento de Inercia de la seccin con respecto al eje x, e y es la distancia del punto donde se calcula el esfuerzo al eje neutro (eje sin compresin ni tensin).

Donde Mx, E e Ix son constantes en una seccin entonces:

Es el trabajo o energia de deformacion por momento flexionante



Flexin en vigas

S: Momento esttico de rea bajo o sobre la zona en que se desea evaluar el esfuerzo tangencial () con respecto a la lnea neutra



Es la energia de deformacion por aplicado en vigas por flexion

C. Efecto de la fuerza de Corte

Aqu consideramos la fuerza cortante T , donde la magnitud de la tensin tangencial se determina por la frmula de D. Zhuravski.

Dnde:

Q = momento esttico del rea limitada entre la fibra en estudio y la fibra ms alejada de la seccin. b = ancho de la fibra en estudio Entonces, se tiene

Donde G es el mdulo de elasticidad transversal y vara entre los valores 0,4 E y 0,5 E

De donde



Es el trabajo o energia de deformacion por fuerza de corte flexionante, donde K, solo

depende de la forma de la seccion que puede cambiar a lo largo de la barra y se

denomina coeficiente de forma . en general la forma de la seccion se conserva aun para

secciones variables a lo laargo de la pieza. Asi el coefienete K vale 1.2 para secciones

rectangulares y triangulares 10/9 para secciones circulares y A seccion/A alma para

perfiles laminados

D. Efecto del momento torsionante

Se ha determinado que una barra sujeta a momento torsionante M produce esfuerzos tangenciales, que para secciones circulares o anulares estn dados por

Dnde:

J = momento polar de inercia r = distancia del centro de la seccin al punto en estudio

Entonces se tiene

Donde M, G y J son constantes en una seccin, entonces



Por lo tanto,

En la mayora de los casos las secciones no son circulares o anulares y se utiliza el momento polar de inercia modificado, Jm. Finalmente,

Es el trabajo o energia de deformacion por momento torsionante

II. TEOREMAS ERGETICOS

2.1 Teorema de Betti

Enunciado: El trabajo de las fuerzas de un sistema debido a los desplazamientos

que en sus puntos de aplicacin le produce otro sistema de carga es igual al

trabajo de las fuerzas del segundo sistema debido a la aplicacin del primer

sistema de fuerzas.

Considrese un cuerpo elstico en equilibrio al que se aplican dos sistemas de

carga A y B, como se indica en las figuras 2.5-1 y 2.5-2, respectivamente

Cada uno de los sistemas de carga se encuentra en equilibrio independientemente,

al igual que su aplicacin simultnea, y se calcula la energa de deformacin

debido a la aplicacin sucesiva de dichos sistemas de carga, aplicados

gradualmente.

Si se aplica primero el sistema A y despus el sistema B, se tiene



donde los ndices repetidos indican suma,* correspondiendo los desplazamientos

i a las fuerzas Pi y los j a las fuerzas Fj, respectivamente, indicando ij los

desplazamientos de los puntos de aplicacin de las fuerzas Pi debido a la

aplicacin del sistema Fj.

*La notacin simplificada de la ecuacin (2.5-1) corresponde al clculo de

El ltimo trmino de la ecuacin (2.5-1) representa el trabajo del primer

sistema de fuerzas debido a los desplazamientos que le causa la aplicacin del

segundo sistema de cargas. Con el trmino de fuerzas se indican fuerzas

concentradas y momentos y el trmino desplazamientos se aplica a

desplazamientos lineales y angulares.

De manera semejante, si se aplica primero el sistema B y despus el

sistema A, se

obtiene:



Las ecuaciones (2.5-1) y (2.5-2) son iguales ya que representan la misma energa

de deformacin, debido a que no dependen del orden de aplicacin de los sistemas de

carga.

Igualando las ecuaciones (2.5-1) y (2.5-2) se obtiene

El que es el Teorema de Betti

2.2 Teorema de Maxwell

Se conoce tambin con el nombre de Teorema de los trabajos recprocos y es

un caso particular del Teorema del Betti.

Considrese un cuerpo elstico en el acta una fuerza P en un punto 1 y despus

una fuerza P en un punto 2, como se muestra en las figuras. 2.6-1y 2.6-2.



Por el Teorema de

Betti

Donde 12 es el desplazamiento en 1 cuando P se aplica en 2 y 21 es el

desplazamiento en 2 cuando P se aplica en 1.

Enunciado: El desplazamiento de un punto 1 en la direccin AB cuando en

el punto 2 acta una fuerza P en la direccin CD es igual al desplazamiento del

punto 2 en la direccin CD cuando en el punto 1 acta una fuerza P en la

direccin AB.

Como ejemplos de aplicacin de este Teorema, considrense las estructuras

presentadas en la figura 2.6-3.

Estructura I

Estructura II



Estructura III

De las estructuras I y II

Estos resultados permiten, en un trabajo experimental con una carga mvil,

verificar la exactitud de las mediciones o la posibilidad de efectuar la mitad de

dichas mediciones.

De las estructuras II y III

Si P y M son iguales o unitarios

Lo que permite medir desplazamientos lineales producidos por un par de

fuerzas o giros producidos por una fuerza, siendo dichas deformaciones iguales

numricamente, salvo la existencia de un factor de escala debido a la diferencia

entre las unidades de fuerza y las de momento.



2.3 Teoremas de Castigliano

En el ao 1870, el ingeniero ferroviario italiano Alberto Castigliano

public en dos partes su trabajo sobre la variacin de la energa de deformacin

de los sistemas elsticos. Las partes I y II de su trabajo se conocen

frecuentemente como primer y segundo teorema de Castigliano

respectivamente.

Primer Teorema de Castigliano:

Enunciado: Si se aplica un conjunto de cargas sobre una estructura

linealmente elstica y la energa de deformacin U se expresa como una funcin

de los desplazamientos en los puntos de aplicacin de las cargas y acta en sus

direcciones, la derivada parcial de U con respecto a uno de estos

desplazamientos i es igual a la carga

(esfuerzo) correspondiente Pi .

La ecuacin (2.7-1) se conoce como el primer Teorema de Castigliano

cuando se aplica a fuerzas concentradas y desplazamientos lineales.

Segundo Teorema de Castigliano

Enunciado: La derivada parcial de la energa de deformacin con respecto

a una fuerza que acta en un cuerpo es igual al desplazamiento del punto de

aplicacin de la fuerza en la direccin de dicha fuerza.

Considrese un cuerpo elstico sujeto a la accin de un sistema de

fuerzas, como se muestra en la figura 2.5-1. El trabajo o energa de deformacin

esta en funcin de las

fuerzas es decir:



Si esta funcin se supone diferenciable:

Donde tiende a cero cuando Pi tiende a cero y recprocamente.

Supngase que se aplica primero el sistema Pi, y despus el

sistema Pi, obtenindose:

Donde:

O sea que:

Igualando las ecuaciones (2.7-3) y (2.7-6)

Dividiendo ambos miembros entre Pi y tomando lmites cuando Pi tiende a

cero, se obtiene finalmente que:

Similarmente la derivada parcial de la energa de deformacin con

respecto a un momento que acta en un cuerpo es igual a la rotacin del

punto de aplicacin del momento en la direccin de dicho momento lo que se

expresa con:

Las ecuaciones (2.7-8) y (2.7-9) corresponden al caso particular representado por el

diagrama de la energa de deformacin caso lineal figura 2.1-4, es decir, cuando la

energa de deformacin es una expresin cuadrtica en los desplazamientos como se



presentan en la ecuacin (2.1-4). Si la ecuacin (2.1-5) se expresa solo en funcin de P,

sustituyendo en ella la ecuacin (2.1-1), y se deriva con respecto a P se

obtiene la ecuacin (2.7-8).

El Teorema de Castigliano generalizado se refiere a la energa complementaria

de deformacin y se deriva con respecto a P en la ecuacin (2.2-1), obteniendo la

ecuacin

La ecuacin (2.7-10) se conoce tambin como el verdadero teorema de

Castigliano. La derivacin presentada de los Teoremas de Castigliano se ha

efectuado entonces para el caso particular en que la energa de deformacin

complementaria es igual a la energa de deformacin C = U, debido a que se trata

estructuras linealmente elsticas, que es la hiptesis usual en la mayora de los

casos. Para condiciones distintas se deber hacer uso de la ecuacin (2.7-10).

2.4 Principio del Trabajo Virtual

El trabajo realizado por las fuerzas externas durante la deformacin del

cuerpo ocasionado por estas fuerzas se denomina trabajo externo o

simplemente trabajo. Ahora el concepto de trabajo se extender al fenmeno en

el cual el trabajo es realizado por un sistema de cargas durante su

desplazamiento debido a causas diferentes a las cargas en si mismas. Por

ejemplo, si se toma un cuerpo rgido en equilibrio bajo el sistema de fuerzas P

como se muestra en la figura 2.8-1, y se supone que el cuerpo se mueve

como un cuerpo rgido a causa de algunos otros efectos independientes del

sistema P, y que toma una nueva posicin como se indica con las lneas a trazos,

el trabajo realizado por las fuerzas P durante este pequeo movimiento se llama

trabajo virtual y a los desplazamientos vi los llamaremos desplazamientos

virtuales.



En consecuencia, el trabajo virtual es:

Puesto que el cuerpo ha experimentado un movimiento de cuerpo rgido, vi ser

el mismo en todas partes, o sea vi = v0; por consiguiente

Sin embargo, como se estableci previamente, el cuerpo estaba en equilibrio

bajo el sistema de cargas P, luego

Que hace:

La ecuacin (2.8-4) establece que si un sistema de fuerzas que acta sobre un

cuerpo rgido esta en equilibrio, cuando al cuerpo se le d un pequeo

desplazamiento virtual, el trabajo total realizado por esas fuerzas es igual a cero.

Inversamente, si el trabajo realizado por un sistema de fuerzas que acta sobre

un cuerpo rgido es cero, entonces dicho cuerpo est en equilibrio.

Este enunciado que normalmente se conoce como el principio de

trabajo virtual de Bernoulli, puede aplicarse tambin a un cuerpo deformable.

Por ejemplo, supongamos

que el cuerpo elstico mostrado en la figura 2.8-2 est sometido a un conjunto



de fuerzas P y permanece en equilibrio en su forma deformada. Un elemento

diferencial sacado del cuerpo estar tambin en equilibrio bajo la accin de los

esfuerzos desarrollados en su contorno interior por el sistema de fuerzas P.

Supongamos ahora que por alguna razn, por ejemplo otro conjunto de cargas, la

temperatura, etc., el cuerpo se deforma mientras el sistema de cargas P est

presente.

Verdaderamente, durante su deformacin cualquier elemento diferencial como el

que se muestra achurado en la figura 2.8-2 se desplazara y los esfuerzos

virtuales sobre sus contornos realizaran algn trabajo. Designemos este trabajo

por dWs. Parte de este trabajo se debe al movimiento como cuerpo rgido del

elemento y la otra parte se debe al cambio de forma del elemento. Ya que al

cambio de forma del elemento lo hemos llamado deformacin del elemento, el

trabajo realizado por los esfuerzos P durante tal deformacin se llamara dWd.

En consecuencia, la parte remanente del trabajo, dWs dWd, se realiza por

los esfuerzos P durante el movimiento del elemento como cuerpo rgido, sin

embargo como los esfuerzos sobre los contornos del elemento estn en

equilibrio, el trabajo realizado por ellos durante el movimiento de cuerpo rgido

es igual a cero.

De donde:



O, para el cuerpo completo

Donde Ws representa la suma de los trabajos virtuales realizados por los

esfuerzos P sobre los contornos de cada elemento del cuerpo. Sin embargo, cada

elemento tiene superficies de contorno comunes con el elemento adyacente en

las cuales los esfuerzos son iguales y opuestos uno a otro. Verdaderamente, el

trabajo realizado por los esfuerzos iguales y opuestos durante el mismo

desplazamiento es igual a cero. Como resultado de esto, el trabajo realizado por

los esfuerzos P en todas las superficies de contorno interiores suma cero. Por

tanto, Ws ser nicamente el trabajo realizado por las fuerzas externas P

aplicadas sobre los contornos externos.

En consecuencia, la ecuacin (2.8-6) establece que si un sistema de

fuerzas P acta sobre un cuerpo deformable est en equilibrio cuando en el

cuerpo se presenta pequeas deformaciones ocasionadas por otros efectos, el

trabajo virtual externo realizado por las fuerzas P es igual al trabajo virtual

interno realizado por los esfuerzos

P.

Este enunciado es vlido independientemente de la causa o el tipo de

deformacin virtual teniendo en cuenta que durante las deformaciones virtuales

la geometra de las estructuras no se altera apreciablemente y que las fuerzas P

permanecen en equilibrio.



III. CONCLUSIONES:

Se logr estudiar la energa de deformacin en sus diferentes situaciones

Se logr estudiar y analizar los principales teoremas energticos

IV. BIBLIOGRAFIA:

Zrate, J. A. (2005). Anlisis Estructural. Colombia.

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