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o,ÍFÍl , lU=(olÍtlI

MATEMATICA DISCRETAATICA KlFP1

CENTRO deESTUDIANTES deINGENIERIATECNOTOGICA

UTN.BñUNIVERSIDAD TECNOLOGICA NACIONAL

FACULTAD REGIONAL BUENOS AIRES

?//?t2,rrtila¿gwrn@Jfz,-,%abrtz/gaau*z¿ qg¿o,zal &tatn&

-{i2ü,Ingeniela en Sistenws ile Infurmación

MATEUTÁTTCE DISCRETA

CÁTSDRA CRANADO PERAITA

AÑO eorr

o1o5172l28

J3

4251

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INDICE

Tópico

Programa

Trabajo Práctico no rTrabajo Fráctieo no zTrabajo Práctico no 3Trabajo Práctieo no 4Trabajo Práctieo no 5Trabajo Práctico no 6Trabajo Práctico no 7Trabajo Práctico no 8Trabajo Práctico no 9

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1h,n"'rg¿12¿Teao@am'Jtrdona/%aru*n/fu uona/g¿Klra&-{i/er'

Departamento Ingenieria en Sistemas de Información

ASil@TATURA:

DEPAXTAMENTO ING EN SIST DEINFORMACiON

ARf,"T

Br.oQtlE

MODALIDAD:

HOR-A,S SEM.: 6.horas'

HOnAS/AÑO: qobóras

HORASRELOJ

NTVEL: la

¡Ño DEDICTADO:

2011

q* as"g+ UformtcrOndélfrrturo'Ingenieio,"' .,.;';' : "

Et úpido desarrollo ile las actuales computadoras, con su inmensa capacidad de cálculo, con

$¡ enorme rapidez, versatilidad, potencia de representación gráfica, posibiüdades para la

modelización sin pasar por la forrrulación matemática de corte clásico,... ha abierto mulütud

de campos diversos, con origen no ya en ia fisica sino en ohas muchas ciencias tales como la

economía, las ciencias de Ia organización, biología,... cuyos problemas resultaban opacos' en

parte por las enormes mÍrsas de información que había que tratar hasta llegar a dar con las

intuiciones matemáticas valiosas que pudieran conducir a procesos de resolución de los

dificiles problemas propuestos en estos campos.Por otra parte, el aceuto en los algoriüros discretos, usados en las ciencias de la computación,

en la informática, así como en la modelización de diversos fenómenos, ha dado lugar a u:r

faslado de énfasis eu la matemáüca actual hacia la matemática discreta. Ciertas porciones de

ella son suficientemente elementales como para poder formar parte con éxito de un progrÍrma

inicial de matemática.Para un profesional en sistemas de información, que precise una fo¡mación que le permita

desarrollar investigaciones en la Informática aplicada le es muy impoftante domina¡ los

temas básicos y avanzados de la Matemática Discreta Hay temas fundamentales parÍr uningeniero en sistemas tales como lógica, álgebra de Boole, máquinas de estados finitos y

grafos, métodos de demostración, sistemas de numeración y relaciones de recurrencia (i.e.

eq¡aciones en diferencias) que no pueden ignorar-Por todo lo orpuesto se hace imprescindible que los alumnos conozcan y manejen

correctamente los conceptos basicos de la Matemática Discreta y que comprendan que son

necesarios para conseguir soluciones rigurosas a problemas de muy diversas áreas que

encontrarán en asignaturas posteriores del plan de Estudios. De igual forma se pretende que

D

?//r/?r€tda¿Ter:zofo r:n,Jfubn¿gaal/fa¿@grbna/&rttpt'.{¿/?},

Departamento Ingeniería en Sistemas de Informacióndichos alumnos desarrollen una cepacidad de resolución de problemas en la que tengaimportancia el análisis previo a su propia resolución.

' t : r t l

r dplicar métodos inductivos, deductivos y recursivos en la resolución de situacionesproblemáticas y demostraciones matemáticas.

. Comprender los conceptos y procedimientos necesarios para resolver relaciones derecurreneia.

. Aplicar propiedades y funciones definidas en los números enteros y enteros nonegativos.

o Caracterizar distintas estructuras algebraicas, enfatizando las que sean finitas y lasálgebras de Boole.

. Aplicar propiedades de grafos, ügrafos y árboles en la resolución de situacionesproblemáticas.

,

6 horas catedra de acuerdo a lo establecido en el plan de estudios.

c-oúi ryÉl$#{ffi.l!ryqq ii:,.',:i,,.,,;,,,,,,'t:

. Ióg¡ca proposicional Clasica y de predicados de Primer Orden.

. Teoúa de Números.

. Indueción Matemática

' Relacionesderecurrencia.¡ EsfructurasAlgebraicas FinitasyAgebras de Boole.. Grafos dígrafosyárboles

coát ,iiñát i!¡,,, ;¡,r,,': ,,t ,;. :.,i¡,.¡ ¡;,,,,,,'.,,:,;i',

Unidad l: C¡áIcrrlo proposicional y crálculo de predicadosProposiciones. Conectivos. Equivalencias lógicas. Le,ves de la lógica. Tautologías yeon[adicciones. Cuanüficadores. Implicaciones y derilaciones tógicas. Componentessintácticos del eálculo de predicados. Variables libres y ligadas. Lógica de primer orden:sintaxis, semántica, reglas de inferencias, sistemas deductivos.

Logros oedagógicos: Conocer la formalidad del lenguaje matemático y laesfuctura de ios razonamientos bien formados

%¿osrvúidg¿¡rro&hz'JVA¿rztzJgazl/tu¿ qgfural gut ?n' túkt'

Departamento Ingeniería en Sistemas de Información

Iffidtr: Teoúa de ConfuntosOqtsmm y subconjuntos. I¿s operaciones y sus propiedades. Producto cartesiano y

ff-*. Relaciones, matrices y dígrafos. Propiedades de las relaciones. Relaciones de

tfeleneia y particiones. Relaciones de orden, elementos notables y diagrama de Hasse.

Loeros pedagósicos: Manejarhenamientas importantes para resolver

cuestionei afines a }a asignatura con la computadora y conocer la

fundamentación de las bases de datos relacionales'

Eridad III: Teoría de NúmerosDivisíbilidad. Algoritmo de ta üvisión. Máximo común üüsor y mínimo común multiplo-

Torema fundamental de Ia a¡itrnética. Congruencias. Ecuación lineal de congruencias.

Tenrena cle Fermat.

Logros oedagógicos: Conocer las bases matemáticas de las herramientas

utilizadas frecuentemente en teoría de la información

Uridad fV: Induccién y RecursividadConjuntos inductivos y Principio de inducción matemáüca. Definiciones recursivas'

F"elaciones de resurrencia lineales homogéneas con coefieientes constantes con raíces simples

y reales, complejas y simples, reales múltiples. Relaciones de recurrencia lineales no

bomogéneas

Log.oe pedaeógicos: Reconocer y resolver ecuaciones recursivas aplicando

metodologías específicas o un usando un proceso iterativo y que además sea

capaz de validar su resultado usando indueción matemáüca'

Uniitad V: Eslructuras Algebraicas Finitas

operaciones ceradas. Propiedades. Definición y ejemplos de grupos. subgrupos. Grupos

cíclicos. Isomorfismo de grupos. co-clases y subgrupo normal. Teorema de Lagrange' Grupo

cociente.

Iogros pedagógicos: Couocer la estructura de grupo y aplicarla para

diseñar códigos de detección de errores en código en bloque (cóügos de

grupo)

üEidadVt i{Igebras de BooleRetícr¡lo: definición y ejenplos. Principio de Dualidad. Isomorfismos. Álgebras de Boole

Áhebras de Boole finitas. Maxitérminos y mini$rminos' Formas canónicas' Redes de

mpuertas.

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?lnaxnüz¿g"zro@za'Jnatua/gazlh¿ qglbra/ &E to&

-{Ü?8'Departamento Ingeniería en sistemas de Información

Loo.os pedagógicos: Conocer la estructura matemática del Álgebra de

noot. pñ pod* uplicarla a problemas concretos y diferenciarla del modelo

matemiático de gruPo'

Unidad VII: Grafos, Dígrafos y,{rboles

Grafo: definición formal ! oociones elementales. Matrices de adlncencia y de incidencia'

Subgrafos. Caminos y ciclás de Euler. Caminos y ciclos de Hamilton. Isomorfismo de grafos'

G¡afos dirigidos: definición formal y nocionei elementales. Matrices de adyacencia y de

ineidencia. caminos y ciclos de Euler. caminos y ciclos de Hamilton ' catactenTación de los

arboles. Arboles dirigidos y no dirigidos. Á¡boles con raí2. Recorrido ile árboles'

I . .ogrospedaeóqicos:Usargrafos,dígrafosyarbolesparamodelar

Probiemas concretos'

Unidad VIII: Lenguajes, Gramáticas y Autómatas

Operaciones con palabias. Operaciones con lenguajes. Clausu¡as de Kleene y Positiva de un

lenguaje. Gramáticas: definición formal, obtención de palabras y clasificación' Lenguajes

regulares y autómatas ñnitos-

Lorros pedaeógicos: se pretende dar una introducción al tema Lenguajes,

gr"-ád"* y autómatas que pmfunü?t* en la asignatura Sintaxis y

éemantica clel Lenguaje con el objeto de relaciona¡ muchos de los temas

desarrollados durante el cuatrimesfe en un tema específico de la carrera'

EqüáiEÁñúMctéAol-€iés-'":;.;,,:,'i:;:¡;,"|rii

N considera¡ el aprendizaje como eonstmcción no se puede aceptar una separación arbitraria

entre teoría y práctica: la propuesla es acercarse a los problemas integrando la teoúa con la

práctica como forma de gineración de conocimientos y vinculanclo al alumno de una forma

más interesante y ugr"ábi. con la disciplina, utilizando nuevas tecnologías y distintas

estrategias didácticas según la unidad'

En las clases, que seránLórico- prácticas se inducirá al alumno a participar activamente ; se

ponclra especial énfasis en formar al estudiante como ln investigador en el tratamiento de

cada uno de los temas abordados induciéndolos a formular, probar y modelizar'

Con ¡eferencia a las demostraciones de propiedades sólo se harán las que por su aporte a la

formación se consideren pertinentes, otras, "propiedades menores", que generalmentt

"p"t."u" en la guía de Trabajos Prácticos, las harán los alumnos con Ia ayuda del doeente; el

todos los casos se priorizará el conocimiento y manejo de las hipótesis al hecho de poder

demostrar algo que tiene dos inconvenientes: por un lado está en todos los libros y por el otrt

la estutlian de memoria.se Ie dará especial importancia al desarrollo de la capacidad creaür'a' que a lo largo de Ii

carrera y en su profesión le permiürá ser sensible a los cambios del contexto cufi

consecuencia es logfar soluciones específicas adaptadas a cada circunstancia'

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?//r¿(t?rda¿Tezzo@an,Jtrt'orrz/gaaúa¿egkbn¿&rrlroe.{i/%'

Departamento Ingeniería en Sistemas de Inforrnación

r{erti¡nte el análisis de datos para el uso de propiedades se facilitará una actitud de

cryr'o;bación sistemáüca de la validez de los supuestos sobre los cuales se basan

afirmaciones.Se ¡dacionarán cada una de las unidades temáücas con otras asignaturas con el objetivo de

f¡mecer una actitud interdisciplinaria en el batamiento de los problemas.

Ccncretando, esta propuesta apunta a la combinación integrada de conocimientos,

habiliclades y actitudes eonducentes a un desempeño adecuado y oporfuno en diversos

cotrtextos.

roñiu:6, ,;::;¡ir,,;;::iiif,:;;iii.;,:.,::,,'.iii¡.,.;.1,;.'.,,',,Í,i,';;:,::;|.i-i!'la ecaháción de los Conocimientos adquiridos es conti¡ua y se formaliza de la siguiente

forma:

a) Entrega y defensa de un Trabajo Práctico integrador con problemas (no ejercicios) a

resolver en grupo y defensa individual que inciuye todos los temas del programa.

b) Aprobación del 75oÁ de parciales correspondientes a cada una de las unidades adesrrrollar ( evaiuación de proceso)

c) La aprobación de un Parcial integrador que abarca todos los temas de la materia, que

s€gunla normaüva puede ser recuperado dos veces

d) Si ha crrmplimentado las instancias anteriores está en condiciones de rendir el ex¡menfinal que está dirigido y prioriza (como durante toda la cursada)Ia formación de un cuerpo de

conocimientos)

Algo para tener en cuenta es que todos los documentos escritos entregados por el alumno se

les corrigen y entregan para que puedan eonsultar acerca de sus errores'

r¡¡¡fii,ó, ii,:.,.,;i,,,¡r.;i-;-:,r:lrii,i';:.i',

Se armará¡ equipos integrados por un mínimo de cuatro alumnos y un máximo de seis los

c$ales propondriin y üevarán adelante una idea-proyecto de carácter técnico-¡*minisüativo relacionado con la carrera dento del área de su interés. A partir de la idea,

csostruirán en forma gradual cada pieza clave mediante la utilización de los procesosnecssgrios aprendidos en el transcurso de Ia asignatura-

Sbüograña obligatoria

L Dorronsoro, J. .,Hernandez,E. ; tgg6; Números, grupos v anill6s,; Addison Wesley

Skaenalzd{ernnfotam'gaa/tu¿ggrbna/&ftttut{i/?¿,

Departamento Ingeniería en Sistemas de Información2. Granado Peralta, S.; zoog; Matemática Discreta; Eütorial CEIT

3. Isasi; Martinez & Borrajo; 1997; Lengaajes, Gramáticas y Autómatas :un enfoquepráctico ;Addison Wesley

4. Johnsonbaugb, R; 2oo5; Matemátióas Discretas; Prentice Hall.

S. Ross, IC,Wright,R; r99o; Matemáticas Discretas ; Prentice HaIl

Bibliografr a eomplementaria

Grassmann,W. ; Tremblal', J ; tggS ; Matemática Discreta y lógica, Prenüce HallKol¡nan Busbl', Ross; rg96;Discrete Mathematical Structures ; Prentice HallLiu, C. L; tggS Elementos de Matemáticas Discretas;. Mc.Graw HillScheinerman, E. ; zool; Matemáticas Discretas, Math;Trembla¡ J.Manohar, R; 1996; Matemáticas discretas con apiicaciones a lasciencias de la computación; CECSA

1.2.

3.4.5.

iT

U.T.N.F.R.B¿--DNPENT¡TTTNNTO DE INGENIERÍA EN SISTEMAS DE INFORMACIÓNMArEMÁTrcA DrscRgrA - cÁrgune cn¡N¡oo pERAlrA

AñozouTRABAJO PRAC'TI@N" T

Calculo proposicional y crilculo de predicados

r.r Sabiendo que p = "Marcos es un bebé", g= "Marcos es feliz' escribir las siguientesafirmaciones en forma simbólica

a) Marcos no es un bebé o es felizb) Marcos es un bebé y es felizc) Marcos es bebé o es felizd) Si Marcos es bebé entonces es feiize) Marcos es feliz si y sólo es bebé.

r.z Idenüñcar las proposiciones simples y expresar simbólicamente

a) Mateo es alto y Marcos es pequeño y ágil.b) Six es un número menor que g y y es menor que z entonces x es menor que z.c) Si no ü mal, Carlos conducía un auto colorado y deportivo y estaba

acompañado por una mujer rubia.d) La inflación cederá si y sólo si se reduce el gasto público.e) Habrá un brindis sólo si no llueve.

r.3 Construir en cada caso la tabla de verdad, -indica¡

si se trat¡ de u€ tautología,eonüngencia o contradicción e identificar loy'enunc,radqslquiyalentgü )

a) (p^(p=+q))=+qb) (p=+q)<+(-pvq)c) ((p+ q) n(q= r))= (p=r)d) (p eq) <+ ((p

" q) v (-p

^-9))e) -

(p v( q^ r)) c+ ((p vd n ( p vr))

r.4 Considerar las proposiciones p, q, r y coDtestar cada una de las siguientescuesüones:

[a) Usandolatautología p v -p,

demostrar que (p = g),, -

(-qnp )r es unatautología

b) Sio hacer la tabla de verdad mostrar que las siguientes proposiciones sonequivalentes: [ (p vq) = r ],v [(p = r) n (q + r)]

cJ Idempara [ (p"q)=]r l y [ -r+- (p.rq)]

d) Si ( -p

v g) es falso dar el valor de verdad de p

Da¡ los casos para los cuales la proposición (q +[ (- p v r) n -s ]) n [-s + (- r n

q)l es verdadera

0 Dar un ejemplo de una proposición compuesta que sea verdadera si a Iosumo dos ile las tres proposiciones simples son verdaderas

g) Demostrar que p =(q=r) y ( p ¡ q) =+r son equivalentes

i fL-.

U.T.N.F.R.B.A,-DEPARTAIVIENTo DE INGEÑIERÍA EN SISTEMAS DE INFORMACIÓNMATEMT4JTICA DISCRETA - CATEDRA GRANADO PERALTA

AÑOzouTRABAJOPRÁflICIONO T

Cálculo proposicional y cálculo de predicados

LS Para cada una de las siguientes proposiciones se pide negarlas y simplificarlas

(p.rq)=+q(pv- g)

^ l(- p v q) v (

- (- p v

- r)) n ql

[ - (prq)nr]v -qp v- e, , [ (p ^

q) "

(p v- g) n (-P n q)](p.r(s^ e))v(-qns)[ [ [ (p

" q) n r ] v [(p ^r ) n- r ] l v- ql=s

Considerar el siguiente enunciado: "Si estudio Matemática Discreta, entoncesaprobaré el finaf. Se pide escribirla en lenguaje simbóüco y dar los enunciadosrécíproco, inverso (contrario) y contrarreeíproco en forma coloquial ]'simbólicamente.

Para la proposición' si un polígono es un tiiángulo entonces la suma de sus ángulosinteriores es 18o", se pide:

Escúbirla simbólicamenteDar su valor de verdadEscribir la reeíproca, la contrarrecíproca y la contrariaDar el valor de verdad en cada caso

r.8 Probar que las siguientes proposiciones son tautologías

a) ((p r q) ,. -

p) =q (silogismo disyuntivo)

b) (p"(p=+q))=q (modusponens)

c) p= (pv q) ( leyde aüción)

d) ( p "

q) =p ( ley de simplificación)

e) ((p ?e) n (q+r)) = (p=rr) (silogismo hipotético o implicación lógica)

f) ((p ==rq) ^-

q) 3 -p

( modustollens)

r.9 Para cada uno de Ios siguientes casos indicar las reglas de inferencia que se usÍron:

a) Si Pedro descubre que el auto está chocado, se pondrá fu¡ioso. Se que Pedro está

al tanto de que el auto está chocado. Por lo tanto Pedro se pondrá furioso.

b) Sabemos que Mario compraría un Ford o un Corsa. Mario no compró el Corsa. Por

Io tanto Ma¡io comPró el Ford

c) Si yo Io hice, estoy arrepentida, si no lo hice también estoy arrepentida. Por lo

tanto estoy arrePentida

1.1o Dar la validez de los siguientes razonamientos

a) t$ =r) n (- p+9) z' (q >s)l = (-r =s)b) [[(- pv

- e) = (r >s)] ¡. (r:+t) r. -tl +p

a)b)c)d)e)f)

t.6

L.7

a)b)c)d)

U.T.N.F.R.B.A.-DEPARTAMENTO DE INGENIERÍA EN SISTEMAS DE INFORMACIÓNMAIEMATTCA DISCREIA - CAIEDRA GRANADO PENALTA

. AÑozouTRABAJO PRAC,IICONO 1

Calculo proposicionaly calculo de predicados

c) [p ^ (p

" q) n[q+ (r +s)] n (t +r)l = (- sv

- t)

r.uConsiderar las siguientes proposiciones abierlas:

l (x):xS+;U(x):x+2esimpar;r(x):x)o, def inidas sobre el eonjunto Z, de los

números enteros. Se pide dar, justificando, su valor de verdad:

. / \ . - f / \ ¡ \ ' l / \ [ / \ . | '1 r / \ / \ ]

alp(o);b)o(-+);c)-r(z) ;d) [n(z)^q(-3) l=+ r(z)p)=x: [n(x)n-q(x)] ; f )vx: l r (xJ^ q(xJl

r.:.2 Considerar, sobre el conjunto de ios números enteros, las siguientes proposiciones

abiertas:

P(x): x" -V+ 1o = o

q(x):x2-2x-3=6

r (x): x<o

a) Determinar el yalor de verdad de las siguientes proposiciones , justifica¡ cada afirmación :

r '

\ z r - ' l - . T / \ r r - l - f , / \ l . . f - l - - .T- ' z rr

v x[p(x)= -r(x) ] ;v r [o(*)+ r(x) j ; ] x[a(x)= r(x]J; l x l l (x) + r(xJl

b)Dar las respuestas anteriores sobre el conjunto de los números naturales

c) Dar las repuestas si el universo son los números 5' 2

1.13 Considerar el conjunto N de los números naturales, y las siguientes

proposiciones abiertas: p (x; -v) ='y es multiplo de x"

Determinar el valor cle verdad en cada uno de los sigUientes casos:

a)VÉy: p(x;y); b)Wfx: p(x;y) c)3.v-lx: p(x;v)a¡=xr¡" p(x;v)

1.14 Para la siguiente proposición abierta: p(x;y) y -x = Y * x2, definida para el

conjunto Z de }os números enteros, se pide:

a)p(o;o), b)p(r;r), c) p(o; r), d) p( o;3),e) vy , p(o;v),0 ly p(r;9'

g) vx,v y p(x;9, h) vx 3-v p(x;y), i) 3y vx p(x;y)' j) vy lx p(x; y)

r.r5 Con referencia al ejereicio r.r2., dar los valores de x para los que es verdadera

proposición [p(*)n q(x)]n r(x)

r.16 Considerar el universo de los polígonos de tres )¡ cuabo lailos y las siguientes

proposiciones abiertas :

a(x): todos los ángulos internos son igualese(x): x es un triángulo equiláteroh(x): todos los lados de x son igualesi(x): x es un triángulo isóscelesp(x): xtiene un angulo interior mayor que r8o o

q(x): x es un cuadriláteror(x): x es un rectángulo

E

U.T.N.F.R.B.A--DEPARTAMENTIO DE INGENETÍA EN S¡STEI¡S T IXF(IIITCTÓIÍMATEIIATICA DISCREIA - CATEIITA G3AXlrU) IEIáETA

¡ÑoeorrTRABAJO PRÁCTIOO ¡'O T

CáIculo proposicional y cálcr¡lo de predicadc

s(x): x es un cuad¡adot(x): x es un riángulo

Dar el valo¡ de verdad de las siguientes proposiciones:

v x[a(x)v t (x) ]v x[ i (x)=e(x)] t x[ t (x)n p(") ]v x[a(x)=+"(x)] ;

v x[(a(x)n t (x))<+e(x)] l * [a(")n -r(x) ]F

x[r(x)n -s(x) ] ;v " [u( ' )n

e(") ] ;

v x[(n(x)n q(*))* s( ' ) ] ; i * [o(,)n p(*)] i i x[r(x)= -p(x)] ;

v x[a(x) = -(e(x).+ r(x)) ]

v x[s(x) e (a(x)n tr(x)) ] ;v x[ t(x) = (a(x) <r h(x)) ]

r.r7 Identificar las variables libres ¡'acotadas en las siguientes proposiciones definidas en sudominio

V xV y[sec'x- sec'y = tang2x-tang"v];v x: z[cos(x+y) = t.tt(r- t)]

3 x3 y[x" -y' =z]F r[ar = v]

r.r8Negary expresar en funcion de : -,

ur, v

I x[n(x)v q(*) ] t * [ (n( ' )v q(*))=r(x) ] ;v * [n(*)=q(*) ]y x[r(x)n -q(*) ]

1.1 9 Da¡ el valor de verdad de las siguientes proposiciones definidas en el conjunto de losnúmeros reales:

lx3y[ay = r] ; lxvylxr = r] ; Vx3y[x-v = r] ;

VxVy[sen2x+ cos"x = setr2y + cos"y];3dy[(ex+ y = 5)n(x- 3y = -B)]

r.zo Para la proposición: V xl y[x+ y = 17] determinar su valor de verdad en los conjuntos

de los enteros; naturales; enteros para )9 enteros positivos naturales) para y; enterospositivos para x, enteros para y

U.T.N.F.R.B.A..DEPARTAMENTO DE INGENTERÍA EN SISTEMAS DE INFORMACIÓNMATETUATICA DISCNETA - CATEOT,E CNANADO PENALTA

AÑo ¿or¡TRABA'O PRACTICCI NO Z

Teoría de Conjuutos

1. l¡s conjuntos ]¡ sus operaciones

r.r Considerar los conjuntos A = {a,ia},b}vn

= {a,{l},U}e indicar, justificando, el

valor de verdad de los siguientes enunciados:

a)a e A,b)a e B,c){a}e dd){a} e B,

e)a g A"f)a c B,g){a}: A"h){a} s B,

i){b}e A, j)tb} e n,k){{b}} a,t ' t1{{b}} = e,

m){{a}} c e,n) {{a}} e B,o){a, {a}} s A,n){a, {a}} e n

r.z iCuáles de las siguientes proposiciones son verdaderas?

a)aea;b)slz;c)ag{s};

üa e{a,a};db e{o,a};03A /b c A

r.3 Para cada uno de los siguientes enunciados determinar si son verdaderos o falsos;demuestre si es verdadera y presente un contraejemplo si es falso.

a) AnB gAcAuBb) B gA<+A n B= A <+Au B= Bc),{ ,BgC<+AuBcCd) CcA"B<+CcAnBe) (A-B) u ( B-A) v (An B) = AuB0 Ag(A-B)eAaB=A

-g) (AnB)=AuB

r.+Si Ay B son conjuntos cualesquiera. Desarrolle completamente cada una de las siguientes

operaciones de conjuntos usando propiedades.

|_- \a) (AuB)n[A.\B]=

b) [(enn)-e] u[n-(enn)] =e) (a-n)u(n-e)=d) (A-B)nB=

e) (e. ' 'n) l r1enu)u(ene) =

r.5 Para cada uno de los casos siguientes determine el conjunto A tr B, A n B, A-8, B-Ay represente geométricamente en la recta real, los conjuntos A, B y cada uno de losobtenidos

a) A= [-z;S], B = (o;Z)b) A=(-oo;6], B = l-z; q)

c) e =i-5;31, B ={-5, 5, o, 9}

k

U.T.N.F.R.B.A..I}EPARTAMENTO DE INGENIBfA Et¡ STTI/TA E ÑüTú'IMATEIII.áJIICA DISICRETA - C¡XE)IA GI.|¡XTN' E]Tf,E¡

¡Ñororr

Tm"m'd) A: (-o;6),8=(9; +a:,)e) A: (-o;6),8=[6; +e)

0 A: {-*;6),8=[-6; +ca)

r.6 Sea A un conjunto, llamamos conjunto potencia o conjuuto de parbs de A y loindicamos P(A) al siguiente conjunto:r(a){xx s e}a)calcular y / o enpresar el conjunto de Partes para cada uno de los siguientes czrs(E:

A= {-L 2, 3}, A = {(a; b), (c; d)}, A= A,A = (-3; zf, A= {r, {r, z}}

b) Probar que para dos conjuntos Ay B se verifica que:

1.P(A)nP(B)=r(enn);

z.r(.r ,)uP(B)g n(a u n)

r.7 Sea U un conjunto universal y sea I un conjunto de índices, para

cadai . I , seaB, g!Demostrarquesi Ag U sever i f ica,on[¡-" , ' |= U(^nBi) .l ie l I ie l '

Enunciar y demostrar la expresión dual.

z. Pro.ducto Cartesiano

z.t Probar o refutar el valor de verdad de cada una de las siguientes proposicionessabiendo que A, B, C g U

a) e*(Buc) = ( , t , .s)u(e"c)

b) (ene).c : (A"c)n(e"c)

c) (n"n)-(e, .e) : (e-n).(n-n)

d) (eue).(eun) e (e 'n)u(n'a)

e) A"(B-c):(e, .n)-(e"c)

z.z Mostra¡ que, para cualquier conjunto A, in u) ' A : ({r} , ,rr) u {{t} . n)

2.3 Para un conjunto finito A de cardinal z, se pide:

a) Expticitan la'l,lr1e)lvl* (o')lb) Contestar las mismas cuestiones para el conjunto vacíoc) Contestar las mism¡s cuestiones para un conjunto finito A de ca¡dinal n-

2.4 SeandB dos conjuntos , probar o refutar cada una de las siguientes afirmaciones:

u'T'N.F.n-Bá--DEP4FTAlfENro DE TNGENTERfa EN srsrEMAs DE INFoRMAcTóNMATEMATICA DISCRETA -- cATEDn¡, cneN¡oó_p}n¡rre

ANO ¿orrTRABA.'OPRÁCTIOONO Z

Teoría de Coniuntos

a)AxB =ñeA=QvB=A

b)AxB=BxA<+A=Bc) P(A) x P(B) = P(Ax B)

2.5 sea n e N,fr, nj = {x e N / x < n} r (4, )..* rou famüa de conjuntos, se pide:

a) Si n= 2 y lArl = m,lArl = r caracterizar a los elementos deAr xAzb)Caracterizar los elementos que pertenecen & A, x A, x A, x ......... x A,r;si j € N, Vj, j = 1, ¡

g.Relaciones

3.r Para los conjuntos A = {* € z / - 2 < x < 6}y n = {x e z / - t < x < +} y hs relaciones

R e Ax B,S c A x B definidaspor: aRb o glu _ b,S = {(r;v)¡ y = ,l*l} , se pide :

Un diagrama para la relación Rl¿ relación S por extensiónPorcomprensión RnS

Dominio e imagen de R,S,R-t,5

3'z sea A = {-2, o, z, r} y las relaciones que se dan a continuación, definidas en A x A:

R¡={(x;y) /x=t} ,Rz={(x;r) /y=z-x},Rs={(x; l ' ) /y=x2-4},&={(x;y) /X2+y2=1},Rs ={ $;y) /x2 + 1¿>rB}, Ro ={ {x;y) lx2 + y2 <rB},

Se pide:

a) Cada una delas relaciones por extensiónb) Dominio e imagen en cadatasoc) I¿ relación inversa y la complementaria para cada unad) Rr- Rge) Rz^ &0 nsuR,B) ¡¡"¡u

3'3Sean A y B dos conjuntos y RgAxB"Se AxB, probar la validez de las siguientesafirmaciones:

a)R i S =+ R-l c S-1 ;b)R e S + 5 g ñ; c)Dn_, = I¡ ;dX¡_, = DR :e)(R n S)-' = ¡-' n g-..

0(n u s)-' = R-' us-';s)F'ñq = n u S;n¡(n@ = ñ uS

3.4 Completar con I , >, ó = según corresponda

a) | Ax B 1. . . . . . . . . . . . . i BxAlb) Si R=AxBentonceslRl . . . . . lRr i

a)b)c)

d)

U.T.N.F.N.B.A.-DEPARTAMENTO DE INGENIERIA EN SISTEMAS DE INFORMACIÓNMAtrMAficA DIscREra - cÁrr,pn¡ cn¡N¡oo pERALTA

Añozou

W""mffffil"'c) Si"RgAxBentonces I R1.... . . .1 O Id) Si RgAx B entonces lAx B | .......1R Ie) Si& ScAxBentonces I Rn S 1. . .1 Rlf) siR-cAxBentonces lnl . . lfe"B)-Rl

4. Manejo Maqlia] de Retaoo

4.r Considerar los conjuntos,A={*e N/xf e}VU={x€Z/- t<xS3} Se def ine la

relación R C AxB, xRy <+ y = x+r. Sepide:

a) Dominio e imagen de Rb) Formato de la matriz de la relación Rc) Domino e imagen de la relación recíproca R'd) i,a matriz de R'yla taspuesta de la matriz Re) Dominio e imagen de la relación complementaria de Ry el formato de su matriz

4.2 Considerar el conjuntoA = {r,2,g,4,5} y m rehciones

&S definidas enddadasporaRb <+ b = a - 1 y

s = {("; +), (g; 5 ), (r; r), (s; z),(+;z),(+;s)} . Se pide:

a) I¿s matrices Mn y Ms de las relaciones R y' S respectivamenteb) Formato de ia matriz de la relación complementaria de Rc) Formato de la mat¡iz de Ia relación total (A"A)d) Matriz de la relación vacía

e) It{atriz IvIR-r, de la relación inversa de R

4.3 En el conjunto F = { {a, b}, {c,d }, {a, b, c}, {d, e}, $, g}, {9, h, i}, {g}} se define R se definede la forma que se da a continuación: x R y <+ X c Y

Se pide:a) I¿ relaeión Rpor enumeraciónb) Iá matriz de la relaciónc) la matiz de la relación recíproca

4.48n el conjunto F = { {a, b}, {c ,d }, {a, b, c}, {d, e}, {f, g}, {9, h, i}, {S}} ia relación S sedefine por su matriz

{a.b} {c.dl {a.b.c} {d.e} {f.e} {s-h-i} {e}{a,b} o 1 o I 1 1 1

{c,d} 1 o o o 1 1 1

{a,b,c} o o o I I I 1

{d,e} 1 o 1 o 1 1 I

{f,s} t I 1 I o o o{g,h,i} 1 I 1 1 o o o{e} 1 I 1 I o o o

I

U.T.N.F.R-B-A--DEPARTAMENT0 DE INGENIEnÍA EN sIsTEMAs DE INFoRMAcTóNMArEMArrca Drscnsre _- cArBDn¡ c*¡Nenri-ñRALTAANOzoil

TRABA'O PR.¡í.CTTCO NO 2Teoría de Coniuntos

Se pide:a) Iá relación S por enumeraciónb) f¿s matrices de la relaciones recíproca y complementaria

5 Relacionesl'Dígrafos

5.1 En el conjunto A : {ab,c"d}se definen las relaciones

n : {(a; a), (a; b), (a; a), (b; u), (u; a), (u; c), (c; u), (a; c)}

s = {(e a ) , (u; b), (c; c), (c: a ) , (c; o), (u; a), (u '

")}Se pide:

a) El dígrafo para cada relaciónb) Los dígrafospara las relaciones R nS,R USc) Los dÍgrafos paralas relaciones n -S.3- n-l

5-z Dado el conjunto A = {Ír, b, e, 4 e} y la relación R: A -+ A cuyo dígrafo es:

Se pide:

a) R por extensión y su matriz Mnb) R.ysu dígrafo

c) [ ysu matiz

d) (F)', M,:-, IeldígrafoiRi-i , ¡

s.g Para los conjuutos A = {r,2,3,4},8 = {t,4,g,7,n},C = {r,5,ro,rz.15} yhs relaeionesR g A xB,S ! B xC definidaspor:aRb <+ b = a?,bSc +) d = c+ rSe pide:

a) Dar cada relación por enumeraciónb) Dar SoR y Mro*

c)Mostrar que(SoR)-t - R-ro S-1

d)Si Tc Cx D, siendo D = {r, o, 1o}, T ={(S; 5), (ro; r)} mostrar (foS)on = fo(SoR)

e) Mostrar que (s u T)oR = (son) u (ron)0 Calcular Ro, R*, ídem para la relación S

"\ \

"Yü

U.T.N.F.N.B.A..DEPARTAMENTO DE INCq\IERÍA EN SISTEMAS DE INFORMACIÓNMATEMAIIcA DISCRETA _. CATEDn,A c.¡

t*"-S?iH"o*,Teoría deC,onjuntos

[orolt l

5.4sea M* =f r r rJ hmatrizdelarelaciónRdefinidaen A:{au.c}.Describir lasloloj

matrices de Rn, R* y de R*

ó Prooiedades de las Relaciones

u't *Sjtfl

las propiedades de la relación R, dada por su matriz Ma deñnida en el conjuntornorcado en cacla caso

a)A = {r ,2,3,4,S},M* =

Sobre el conjunto A : {a, b, c, d} dar un ejemplo de:

Una relación reflexiva y simétrica pero no transiüvaUna relación reflexiva y transitiva pero no simétricaUna relación simétrica y transitiva pero no reflexivaUna relación simétrica y antisimétrica

Da¡ condiciones para las qu€ una reración no es reflexiva, no es simétrica, no estransiüva, no es anüsimétrica.

Eshldiar las-propiedades de cada una de las siguientes relaciones definidas en elconjunto indicado en cada caso:

R _€ Nz,aRb <+ alU

REZ2,aRbealU

R e N2,aRb <+ fk e N/ at = kb,darlos elementos de losconjuntos{n /+n¡}V {m i mna}

11111

()1111

oo 111

ooo11

ooool

[ "" lb)A={r,2,3,4,5}, t-=l l I i : : l

looott lloool lJ

6.2

a)

b)c).l)

6.3

6.4

a)

b)

c)

U.T.N.F.R.B.A.-DEPARTAMENTO DE INGENIAÍA EN SISTEMAS DE INFORMACIÓNMATEMÁTrcA DTScRETA - cÁr¡nne cn¿r¡¡oo pERAr.'TA

,"""-S?i&coNozTeoría de Conjuntos

d) R -c p (e)' P (A),x,Y, z E IeZ esfijo, XRY <+ X o Z = Y . z

e) Para los conjunto A = {o, 1, z, g, 4} y Z ={2,3,4} aplicar el resultado anteriorf) R g R2,xRy o lS-v I = lv- gl

g) Sobre N x N,(x;y)R(z;t) ++ x < z zr. ¡rlt

h)SobreZ xZ,{x;y)S(z;t) <+ (-r)- = (-r)-' n zlt - y

6.5 Sean Ry S relaciones deñnidas sobre A, probar o refutar cada una de las siguientesafirmaciones:

a) R es reflexiva =+ R ñ F.-t * g

b) Resreflexiva <+ AA g R

c) SiResreflexira ylAl :n + lnl > n

d) Si R ySsonsimétricas + R USes simétrica

e) Sea R una relación deñnida sobre un conjunto no vacío d tal que Dom(R)= A" si R essimétrica y transitira entonces R es reflexira

f) Si R,S son transitivas + R U S es transitiva

g) Si R yS son antisimétricas + R flSes antisimétrica

h) SiR ySsonsimétr icas + R oS ySoR son simétr icas

i) Restransi t iva ++RoRe Rj) & S son transitiras =+ RoS y SoR son transitivas

k) Si R,Ssonreflexivas <+ RoS ySoR son reflexiras

6.6 Sea R una relación definida sobre un conjunto d que es simética y transitiva pero no es

reflexiva. Para la relación complementaria [ , dar el valor de verdad de las siguientesproposiciones, justificar adecuadamente.

a) F es reflexira

b) R- es simétrica

c) F no es antisiméuica

d) ñ es transitiva

7. Relaeiones de eoui'r'alencia

7.r Analizar cuales de las siguientes relaciones son de equivalencia y en caso afirmativodescribir las elases de equivalencia corresponüentes.

a) Sobre Z: mRn si y solamente si m y n son coprimos.

b) Sobre Z: aRb si y solamente a < b.

c) Sobre R z definimos: (x;,v) S (x"; yJ siy solamente y = ]'o.d) Sobre Z: mR n si y solamente m - n es par.

tI

U'T'N'F R-B'A'-DEPARTAMENTO DE rNGE¡rrERlA EN srsTEltlAs DE rNFoRMAcróNMarEMLrrca ¡rscnsrA _ cAr¡DRA-ci¡ñÁñó psRALTA

ITABA'O PNACTICONO 2Teoría de Coniuntos

7.2 Sea f : A --r g ¡rn¿ firnción,la relación aRb ++ f(a) = f(b) se llama relación asociada a f.Sepide:a)probar que es unarelación de equivalenciab)da¡ las clases de equivalencia para la siguiente función real F : R - R

[x-r ,s i<x-rF(x)={3,s i 1<x<2

t_I x"srx>2

7.3 Considerar el conjunto R de los números reales y la fulción f(x) = sgLx, aplicar elresultado anterior, dar las clases de equir.,alencia5, el conju-nto coeiente.

7'4 Para las relaeiones d), e), f) h) del ejerci eio 6.4dar las clases de equivalencia y el conjuntocociente.

7'5 Probar si las sicuientes relaciones son de equivalencia en el conjunto A donde estándefinidas-

a) A=Z,n€N,aRb <+ nla-bb) A=R,aSb(*o=bvab=7

c) A=R,aSb ̂ . , a=b va2b2 =zd) 4=R,aSb eb-aeZ

e) e = R",(x;y)S(z;t) €) x = z nly -el = lO-tl0 A= t l " , (x;y)R(z; t ) <+ x-z= 2lsk eZ n(t-2y) €Ng) A = R2,(x;y)S(r; t ) <+ Sx2 -x- Sz2 +z =! - t

7'6 PaJa el conjunto A = {r,e,3,4,s,6}, indicar, justificand.o, cuáIes de las siguientes sonparticiones- Cuando corresponda da¡ ta relación de equivalencia que la determina.

") {{t,z},{s,o},{s}}b){{r,2,3,4,s,6}}

"){{r, +}, {2,3, r}, {s, o}}d) {is} , {.} , {¿} ,{"} ,{o} ,{s}}ú{{2,s,+},o,{r,5,0}i0{{+},e - {+}}

7.7 sea-A un conjunto y-sean { Ar,............, a" } r { B,,....--....-. B. } do6 particiones de aProba¡ {{,qr n B¡ con i = 1, D ¡' j = 1, m} - A}é. ""upurtiAOo,be

7'8 rndicar cuáles de las siguientes son particiones del conjunto N, de lc números naturales

a){{n:n>S},{n:n<S}}b) {{n : n > S }, { r } , {2, g, 4,SI}

U.T.N.F.R.B.A.DEPARTAMENTO DE INGENIERÍA EN SISTEMAS DE INFORMACIÓNMATEMATTcA DrscREfa - cÁrgox,e cn¡xe¡o PERALTA

AÑoaorr

H"?"'mff.I"'c){{n : n2 > 11 }, {n : nz < rr }}d){{n:n>o},{n:n<o}}

7.9 Responder las mismas cuestiones con referencia al conjunto R, de los números reales

7.to Sean A y B dos conjuntos no vacíos en los que están definidas, respectivamente, lasrelaciones de equil'alencia R y S. Probar que en el conjunto producto cartesiano A x B, la

relación T definida como sigue: (a; b) T (c; d) <+ a R c ¡' b S d es una relación deequivalencia, hallar las clases de equivalencia y el conju:rto cociente.

T.rL Sea A un conjunto en el que están definidas ias relaciones de equivalencia R y S.

Probar que RnS es una relación de equivalencia. Determinar las clases de equivalencia y

el conjunto cociente.

2.12 Considerar el conjunto Z, de los números enteros y las siguientes relaciones R, Sdeñnidas sobre Z de la forma que se da a continuación:

g = {(a;b)DZx Z | &L bz= 7k,kAZ}, xSy tr zl x - y. Se sabe que S es de equivaiencia.Se pide dar las propiedades de & hallarRflS , si es de equivalencia, dar las clases de equil'alencia y el conjunto cociente, si no loindica¡ cual es la propiedad que no se verifica .Jusüficar adecuadamente cadaafirmación.

7.tg Si A es un conjunto tal que 14 = 90 y Ar, Ao, ,{3, son cla.ses de equivalenciadonde lA,l = lA"l =!\31- Se pide indicar el cardinal de la relación de equivalencia quedetermina tal partición.

8. Conjuntos Ordenados

8.r Probar que las siguientes relaciones son de orden. Indicar si es un orden total y /ounbuen orden. Si corresponde hacer el üagrama de Hasse.

a) Sea A = {a,b},en P(A) se define xRy e x ! y

b)S C R2,xSy (* x ) y, R es eI conjunto de los números reales

c) Sobre R x n, (x; y) S (z; t) + x > z ^,

y ! t, R es el conjunto de los números reales

d)Sobre N x N,(x;y)S (z;t) -++ xlz n y > t , N es el conjunto de los números naturales

e) En A = {2, 4,6, 8, to}, xRy<+ y el múltiplo de x

f) EnA={x=2n, n €N, 2 < n < 6}, xRy++xly

S.zConsiderar el conjunto A = {t, 2,3, 4,5} con el orden dado por el diagrama de Hasse13

\ - ,zA

4-/ b

13

U.T.N.F.R.B.I-DEPARTAMENTo DE INGENTER,fA EN SISTEI}IAS DE INFONMACIÓNMATI :&{.TICADISCRETA-CAIEDRAGRANADOPI'IGA¡-. TA

AÑozouTRABAIO PRACTI@NO T

. TeoríadeConjuntos

De los siguientes subconjuntos {1, 2, 4},{3,4},{t,2,3},{5,2,3},{5, +}.de A, indicar

cuales son cadenasy cuales no.

B.3Sea el conjunto A={a, b, c, d, e, f, g}eon el orden dado por el diagrama de Hasse, dar

todas las cadenas que contengil , d menos, tes elementos.

8.4Sobre N2 se define la reiación (x;y)S(z;t)<+ (Zx +t).21 < (Zz+t).2v. Probar que es

una relación de orden total y ordenar, según S, los elementos del conjunto

¡ = {r,z,B}"

8.5s9an (¡c <)y(B; >) dos conjuntos ordenados. Se pide:

a) En A x B definir la relación & (x;y)n(z;t) -++ x < z A y > ty probar que es de orden

(orden del producto)b) Indicar, justificando, si A x B queda totabnente ordenado si Ay B lo están

8.ó Considerar el conjunto N de los números natu¡ales y las relaciones:

R, c NxN,aRlb <+ alb yR, e NxN,aR"b <+ a > b.

a) Definir el orden del producto e indica¡ si el conjunto queda totalmente ordenado por esa

relación

b) Consiclerar{3,O,u} , restringir el orden de} producto y hacer e} diagrama de Hasse

c)D* ={xe N,xles}ordenadoporladiüsibi i idadyP(A)conA={a,b}ordenadoporla

inclusión. Se pide el diagrama de Hasse para Dru " P (A).

4.7 Sean (A,< o ) V (n;< " ) aos conjuntos ordenados. En el producto cartesiano A x B se define

(";y)< (z; t)e(x*zAx{o z)v(x =zAy <" t) .Sepidedemostrarquelarealciónesd.eorden

e indicar si el conjunto queda totalmente ordenado.

8.8Probar o refuta¡ con un contraejemplo:

a) Un conjunto A está bien ordenado por R si -v solamente si está totalmente ordenado por R

b) Si R es ¡na relación de orden en Ay @ *B g A entonces R n (BxB) es una relación de

orden

L4

U.T.N.F.R-B-&-DEPARTAMENTO DE INGENTER.ÍA EN SISTEMAS DE INFORMACIÓNMATEIVIATICA DISCRETA _ CATEDRA GRANADO PERALTA

AÑo zorr

TY"?:Js"Tff,T""c) Si R es un orden en A entonces R' es un orden en A

d) Si un conjunto A está parcialmente ordenado por R entonees ningún subconjunto no

vacío de A esta totalmente ordenado por Re) Si R es una relación de orden y S una relación de equivalencia definida en el mismo

conjunto A entonces R nS es una relación de orden

8.9 Para el conjunto ordenado del ejercicio 8.3, se pide

a) Hallar maximalesy minimales

b) paraB= {c,d,f},

g = {a,b}, ¡= {lu} y g= {c,d}darcotassuperiores einferiores

c) Repetir las cuestiones anteriores pero con el orden recíproco

d) Indicar en cada uno de los casos anteriores si ha,v máximoy / o mínimo

B.roPara¡={(o;o),(r :o)(z;o)(3;o),(o;r) , ( r ; r ) , (z;r) , fs;r) , (o;z) , (s;z) , (uz),(z;z)}

ordenado por (x;y)S(z;t) + v 1 z Ay < t. Se pide:

a) El diagrama de Hasseb) Las cotas superiores, inferiores' supremo, máximo, ínfimo y mínimo para

B = {(r; r), (r; z), (e; r) }

S.rrConsiderar el conjunto A C (n;S),e = {x e lR / x2 > +e}e inücar si está acotado, si

corresponde dar máximo y / ó mínimo'

8.rz Hallar, si es posible, el eonjunto de maximales, minimales' máximo y mínimo para

cada una de los siguientes casos. Justificar

a) (r(e):e)

b) (¡¡,1 )c) (N-{r} ' l )

8.rg Hatla¡ el conjunto de maximales, minimales, cotas superiores, cotas inferiores,indicar si hay má.ximoy I o mínimo para B en cada uno de los siguientes casos:

a) En el conjunto N, de los números naturales, ordenado por la relación "divide a",

considerar B =Dn = {x e N, xln}

b) En el conjunto N, de los números naturales, ordenado por la relación "divide ao,

considerar B ={2, 3,4,5,.....,198, r99, zoo}

c) En el conjunto A={t2,g,g,4,8,16,25,g2,64,27,8t} ordenado por: a Rb <='b es multiplo de

a', considerat B ={23,4,t6}.

B.r4 Se considera en D¿e x N el orden del producto correspondiente a tomar el orden

divisibilidad en el primer factor y el orden usual en el segundo facto¡.Sea S ={(2;2), @;á), G;z), (6;3), (6;t), (4; z)}. Se pide hallar:

15

U.T.N.F.R.B.&.DEFARTAMENTIo DE INGENIERfA EN SISTEMAS DE INFORMACIÓNM TEMATICA DISCRETA - CÁTEDRA GRANADO PERALTA

AÑozorr

T"#"ff*ffi,#=a) Si existen, las cotas superiores e inferiores,b) Elementos maximales y minimales,c) Máximo, mínimo, supremo e ínfimo de S.

S.r5Probar o refutar con un contraejemplo

a) Todo conjunto ordenado tiene al menos un elemento minimal.

b) Si A es un conjunto ordenado y a +B gA , entonces ninguna cota

( superior y / o inferior) pertenecen a B

c) SiAes un conjuntoordenado y o +B qA yc es cota superiorde B en (A;R) entonces c es

cota inferior de B en (A; R -')

d) Si A está totalmente ordenado y M es el conjunto de maximaies (minimales)

entonceslMl=r.

8.16 Sea Aunconjunto,sealAl=oyt*M*la matriz de la relación & de orden,

ilefinida sobre d se pide:

a) Indicar la forma de reconocer un elemento maximal(minimal) usando la matrü

b) Indicar la forma de reconocer el elemento máximo o mínimo usando la matriz

t6

a)b)e)d)e)D

: "

U.T.N.F.R-B-A-.DEPARTAMENTO DE INGENIERfA EN SISTEMAS DE TNFonMAcIÓNM.{TEMATICA DTSCRETA - CATEDRA GR.ANADO PERAI'TA

AñO rorrTRABA.TO PRACTICONO 3

Teoría de Números

r'r Indicar cuales de las siguientes proposiciones son verdaderas, justificar.

Todo número ente¡o que es divisible por 4lo es porr6Todo número entero que es divisible por 9 lo es por gTodo número entero que es divisible por 6lo es por 2 o por 3Si un número entero no es divisible por 6 no es divisible por 3 ni por zTodo número entero que no es divisible por 6 no lo es pox 2 o por gHa-v números naturales menores que too que son ür'isibles por S J¡ por g

r.z Considerar el clnjunto Z, de los números enteros y para las proposiciones que se dan acontinuación, se pide demostra¡ las verdaderas y dar uniontrae;ernplo si son faisas.

a) Sia+o=a lab) Sia;Éo,^.neN=a lanc) Sia+o-a I l " l " l " l I ad) SiaÉo^a lb+c+a lbrra lce) Sia;Éo,c+o, a lb+a.c I b.c0 Sia+o,alb<+lal l lUlg) Sia*o^alr+lal=rh) Si a + o, bÉ o, a I b n b |

" = I a | = | U l, éque pasaría si a, b fueran números naturales?

i) Sia+o,c*o, (a lbr ,c I d)=a.c I b.dj) Sia+o,b+o,c*o,(alb¡b lc)=a lck) Sia+o,a lb+cna lb;+a lc

r.3 Demostrar que si al b n al c +aj (bx + c 1) donde x, y son núme¡os enteros

r.4 éCuales de los siguientes números son primos.7S, ST,87, tz4, J7, g4S?

r.5 Inücar si alguno de los siguientes pares x y de números enteros son primos

a) x=Lza+g, y=1oa+6 aeZb) x= 5a+7b,y=20a+zb a,beZ

r.6 Para los siguientes pares de números da¡ cociente y resto en ta división de b por a

a) b= 423L, a=7b) b=-4e3r,a=7

t.Z !9 sape Qge el resto de la división de un número entero por 4 es 3 y si se lo diüde por 9 s 5,se pide dar el resto dé la división de ese mismo número por 30.

17

.u.T.N.F.R-B¿--DEIaRTAMENIo DE qycENrERfA r¡l bibrnrvr¡s DE rNFoRMAcróNa . . r u¡rm¡arrcADrscR-Era-ffamnne cneteoo PERAL,TA ;

*"t-ffiñ|+co*s '.

Teoúa de Números

r.8 Demostrar las siguientes propiedades:

a) a ez,b ez+(a,b)= ( l" l , l ¡D = (b,a)

b) a eZ,b eZ,c ez + (a,(b,c)) = (1a,U¡, . )

c) a = o,(a,b)= lal <+ alb

d) (a,b) = dn(c,b) =r + (a.c,b) = d

e) (a,b) = r,alc n blc =, a.blc

r.9 Para cada uno de los siguientes casos, se pide dar el máximo común divisor y escribirlocomo combinación lineal entera.

a) a= 19o, b = 68b) b= 21o, b = 25c) c= 45O, b = uo5

r.ro Completary demostrar o demostra¡, según corresponda

Sia e Z =+ [a,a ]= . . , . . . . .

Sia,b e Z,la,b ]= b ,+ ........

Sia,b e Z,lub ]= (u,b) ++.... . . . .

d) Siab e Z,fa,b ]= lu.Ul <+ ........e) Si4b e Z,la,b ]= [¡,u] <+.... . . . .

0 a eZ,b €Z,c ez =r [a,[b,c]] = .. . . . . . . . .

r.rr Indicar cuáles de los siguientes números son congruentes móduio n

a) r =-r(z)b) gS=o(rr)c) rg 43(ro)d) 8=57Q)e) s=4(g)

r.rz Dar el valor de verdad de las siguientes proposiciones

a) rr=-r(6)b) :.g=o(z)c) roo=ro(g)d) 3r=-r8(7)e) 8g-:r(9)

a)

b)

c)

r8

- :

q:

U.T.N.F.R*B*L-DEPARTAMENTO DE INGEMERfA EN SISTEMAS DE INFORMACIÓNMATEMATICA DISCRETA - CATEDRA GRANADO PERAI'TA

Año¿orrTRABAJO PRaCarCON"S

Teoría deNúmeros

L13 Dar los valores de n que hacen verdadera cada una de las proposiciones que se dan aconünuación

a) S=+(n)b) S=-+ (n)c) r=o(n)d) 9=-9(n)e) lzz49Q)

r.r4 Probar las siguientes propiedades

a) a=a(n)b) a: b (n) +b = a(n)c) a=b (n) nb =c(n)=a= c(n)d) a=o(n)<+n/ae) a=b(n) ¡ c=d(n) =a + c=b + d(n)0 a=b(n)n c=d (n) +a: c=b.d(n)g) (m, tr) =1, a=b (m), a=b (n) =a=b(n. m)h) ac=bc(c.n)+a=b(n)i) ac = b c (n) n (c, n) =1 )3¿= !(¡)

r.i5 Para n=e, L S, se pide:

a) Darla partición que determina la relación de equivalencia a=b(n) definida en el conjunto Z,de los números enteros

b) Generaliza¡ Ia expresión del conjunto cociente para cualquier n natural

1.16 Usando ap = a(p), , se pide calcular el resto de dividir ab por t: r(a¡, t) en cada uno de lossiguientes casos

a) r(5+'2,3¡b) {47nts,71c) r(3'osz,6r)d) r(3'olz,61¡e) r(47o,tt)

r.r7 Sabiendo que para un número natural, n, denominamos funeión phi de n, al cardinal delconjunto de los núme¡os naturales menores o iguales a n y coprimos con n, que indicamos:

q(n) = lix e N/ x < n n(x,n) = r)l

Por ejemplo si n = t8, q(18)= | {x eN / x<r8 n (x,r8)=111= l{r,5,7 ,11' 13, 77ll=6

r a, p soD enteros, p es primo, si (a, p) = l=aF-: =a(p) PEQUEÑO TEORE¡{A DE FER}vL{t

19

U.T.N.F.R-B-A--DEPARIIMENTO DE INCENIERfA EN STSTEMAS DE INFORMACIÓNMATEMATTCA.DTSSRETA - cÁr¡¡n¡ cn¡Nmo PERATTA

AñogouTRABAJO PRAC'IICOi}{" 3 -'

.

Teoría de Números

Se pide calcular:

a) q(r)=r

b) e(z) = 1

c) q(g)={ xeN / x<3 ^(x,3)=1}={r,

z}=z

d) p(+)={ x€ N / xS4 n(x,4)=r}={r, 3}=z

e) q(rS)={x€ N / x< r5 n(x,r5)-r}={r, 2, 4,7,8, tr, t3, r4}=$

0 q(p)={ x€ N / x<12 n(x,rz)=1}={L, g,l,7r}=Q

r.r8 Resolve¡ si es posible cada una de las siguientes ecuaciones, indicando, si corresponde,todas sus soluciones

a) Sx=r+(t8)b) zx+(z)c) rox= 9(3)d) gx=7(1t)e) SrSx=Zz(r3)0 27re6$)g) roai = t4(tz)U) SSx=r4(r8z)i) r8x= o(r5)j) zx=r(u)k) r9x:1 (14o)

U.T.N.F.R.B.A-DTPERT¡MTWTO DE INGEI{TEN,ÍA EN SISIEMAS DE INFORMACIÓNMATEñrATrcA DTSCRETA - cÁrson¡ cn¡N¡no PERALTA

AÑozou

'ffi:;t#tr'S,L1. Inducción

It Indicar, justificando, cuáles de los siguientes conjuntos son inductivos

a) A=[-z; +oo)b) {-r, o} u(r, +oo)

c) {x eZ / - 6 =x< r}u {xeZ / x>t}d) { r , 2,3, 5,6,7} w(7; +a)e)Q

r.z Para cada uno de los siguientes casos indicar si harv alguna hipótesis del principiode inducción matemáüca que no se verifica.

")p(") :n < z;b)p(n) ' " rñ 'e N;c)p(n) =zn+ 1< n2;d)p(") :3n' > ro;

f lp(n):znln+t

r.g Probar, usando inducción matemática, si los siguientes enunciados son r'áIidos:

n z r i

" l i f 5 l =o-5"- '- f , \6/ " 6n

u) f i tz i ' )=r-(n-r)zni= l

t / r2

c) r+23 +33 +43 +. . .+n3 = o- (o*rJ

4

, ,9. 3n(n+l)o) )_r = ---;-

i=r zn^tr

e) t3 i - '= ó -^

- tn

- st / . ,2 I a \

I ) L3. \2r-7) = n.(4n- - 1)i=r

. . - -1-* 1 -

=3- 1o'2 ' -1

92-1 (n+r)2-r 4 z(n+r) z(n+z)

2nhlf x =2n(2n+r)

r - l

i )VneN,ncn2

j)Sike R,k ) o,n € N,entonces(r+k)o > I + n.k

, i# i.it

$

n e N,[r,n] = {xeN /

*s"}v(e¡),.*

1. sin= ev ln,l : tqlerl : rproba¡que l,,t,'A"l = le'l'l¿"1z. Demostrar gue: lA, * A" x A, x.".""' x e"[ = le,l'le"l'letl""""'le"|

U.T.N.F.R-B.A-Drp¡nr¡u¡NtoDEINGENIERIAENsIsIEM¡sDEtr.[FoRMActÓNüarEú,ÁrrcA orscnsre - caTEDRA GnANADo PERALTA

AÑozourn¿n¡¡o PnÁcrrooNo4

: Ioducción Y Recursividad

k)Si o > l,n € N,n ) 2 entoncesq" - r>n'(o - r)

l) sea n un número natural o cero, probar que si A es un conjunto con n elementos

entonces P(A) tiene cardinal zn

n) Sea una familia de conjuntos, se Pide:

m) siA*,A2,..................,An, B son conjuntos' Entonces mt

n: rlr(4u e)

r.4 usando inducción matemática probar la validez de las siguientes proposroones

VneN,6.7n-2.3n

a) VneN, n3- n es divisible Por 3

b) Vn € N,nz + 3n + r es imPar

c) VneN, zn + (-r) s+l es divisible por 3

d) Vn e N u {o!,3o -7o - z es divisible por 8

e) Vn e N,6.7n - z-3n es divisible por 4

0 Vn € N,ton + 3.4o*t + 5 es divisible por 9

g) Yn € N,x2n - yto "s

divisible por x*.y

z. Sucesiones

z.r Hallar una expresión general para cada uno de los siguientes casos:

a) 1r-1, 1,-1, 1,-1, ...

b) r, g, 6, 10, 15,...c) L, 4, t6,64,256,.--d) S,8, rL,14,L7,..,e) S, 15, 45, 135, ..-..

z.z Hallar pa¡a cada caso la o'presión general en forma no restrrsiva

a) a1 = 1i án = án-r * 2, Sin >1

b)a1 = 2iAn=On-r*2n-1, s in>1

c) a1 = O; an = an-t * (n -f), Si n > Z

d) ao - o;at= V2;dn = r l ? n -2: s in> e

e) a1 = 3i Írn = án-r * 3n, si n >f

U.T.N.F.R.B.A.-DEPARTAMENTIO DE INGEN¡ERfA EN SISTEMAS DE INFORMACIÓNMATEMATICA DISCRSTA - CATEDRA GRANAD.O PERAIJTA

AÑo¿ouTRABA.¡O PATíCTIOON" ¿

Indu cció¡ y Recrusivi dad

2.3 Para cada uua de las siguientes relaciones de recurrencia dar el orden, indicar si es,homogénea, si sus coeficientes son constantes, si es lineal.

a)ao = -2an-rrb)an = 2fr?¡-.tc)áo = 2nan-3 * an-r, d)ao = 8án-" - 6an-, + ot * s,

e)flo = (nlogz)aro - 6(""-r)", f)ao = -2&n-r+ n, g) aR +n(n - 1) =n!

z.¿ Definir las siguientes sucesiones mediante una relación de recu¡rencia y clasiñcarla

a) S,= o; U 3; 6; ro; 15;-...........b) S,= r ;g;4;7; r r ; rB;c) Su= 1;3;7; i5;3r;d)54=1;-g;9; -27;8r;e) Su= 2;3;5; B;

' " ; . . . . . . . . . . . . . .0 So= 2; 4;8; t6; . . . . . . . . .

2.5 Dar la solución general y Ia solución particular para las conüciones iniciales dadasen da uno de los siguientes casos

&)an =.an-, +8an-.rao = 1ral = o

b)ao=6ao-r ,ao=2

c)ao = 7an_r -1oa¡_2,2o = $,fl, = 2

d)a, = -8do-, - 16an-2,ao = 2rat = -:ro

e)ao - 48o-r- 4a¡-2,ao = z,at = o

f)ar, = 3ao-, - 2an-z,ao = L,r, = 2

g)ao = 8n-¿ - ?n-e +ao_" -?n_rrao = 1 = agrar = 2 = ?4

2.6 Probar, usando inducción los resultados del ejercicio 2.5

2.7 Resolver cada una de las siguientes cuesüones

a) Encontrar una relación de recunencia lineal, homogénea con coeficientes constantes, conuna condición inieial, que determine la siguiente sucesión y verifica¡ usando inducción.

'S"=3;6; tz;24;

b) Encontrar la solución general de la recureneia : t n+z - 3 an+r = o. Probar lo obtenido

usando indueción.

c) Pa¡a la siguienterelación de recurrencia:2 r¡¡ = 12 r n-r - 22r n-z + 12 r n-3 se pide:

la solución general y una solución particular para las condiciones iniciales:ár=Oia2=-1ya3=L

23

U.T.N.F.R.B.A.DEPARTAMENTO DE INGENIERIA EN SISTEMAS DE INFORMACIÓNMATEMJí,TICA I}ISCRSTA - CA]IEDN/i GNANADO PERALTA

*4""r#iffi"oNo+,, Inducción y Recr¡rsividad

d) Sabiendo eü€ 11 = -1 y r, = 2, son los ceros de la ecuación característica de una relación derecunencia lineal y homogénea eon coeficientes constarxtes, se pide deñnir la relación ydar Ia solución particular si ao = 1! 8r = -2 son las mndiciones iniciales.

e) Silasolucióndeunarelaciónderecurreneiaes ar, =i(r)' -r(-r)",tr )o,sepide4

reconstruirla indicando las condiciones iniciales y clasificarla.

Relaciones recurrencia con raíces complejas

Observación: cuando los ceros de la ecuación característica son números complejos, parahallar la solución general debemos usar la fórmula que nos brinda el Teorema de Moilret

Ia expresión polar de un número complejo es z= x + y i= r (cosg + i seng)

El teorema de Moirre se usa para calcular la potencia enésima de un número complejo ytiene la siguiente o'.presión:

zñ= rn (cos ng + i sen ng) ( que puede probarse usando inducción ).

En el caso qlre tengamos que resolver una ecuación de reeurrenbia donde las raíces de laecuación característica sean complejas, sólo hallaremos, en este curso, la solución generalya que para calcular las soluciones particulares es necesario poner enjuego saberes previosque Dotenemos.

Ejemplo para a¡ = 2 an-r - 2añ-2

El polinomio característico es p(x)= x2 -27(. + 2

I¡s ceros de la ecuación característica sorl 11 = 1 * i, rz= 1 -i

I¿ solución general €s á¡: A(r + i)n + B( r -i)".

2.8 Da¡la solución general de las siguientes relaciones de recurrencia

?) a¡ = -¿o-,

b) a¡= -4an-z

C) an = ¿n-r* án-z

' Se uüliza para calcular las raíces de un número complejo

24

U.T.N.F.R.B.A--DEPARTAMENTO DE INGEÑIERfA EN SISTEMAS DE INFORMACIÓNMATEMATICA DISCRETA - CÁIEDRA GRANADO PERALTA

AñOzouTRABA'O PRÁCTTCO NO ¿

Inducción v Recursividad

Relaciones recurrencia lineal no homogénea

Llamamos relación de recurrencia lineal no homogéneas de orden k, con coeficientesconstante, a una eriipresión de la forma siguiente:

a¡= k1a¡-1 + keÍrn-z +...+ kr án-r CoIl n > r (I)

donde Vi=o,k, los ki son números reales

n>k,neN

an=f(n)

Si f(n)= o eshomogénea

Algunos ejemplos:

a) an = 2an-r + 3( 2n)

b) an+2an-r=n2-n-1

c) í in-2á.n- l*án-z=3

iCómo se resuelven?

r) Dada (I) ( que es la ecuación de recurrencia que se quiere resolver), llamamosrelación de recurrencia homoeénea asociada a (I) a la Siguiente:

O= kr?n-r + kzfln-z +...+ kr án-r CoIl Ir ) r (II)

z) Aceptamos, sin demostrar,la siguiente propiedad:

Cualquier solución (an) de (I), para determinadas cond.iciones iniciales puede escribirseoomo:

¿¡=p¡*hn

hn es la solución de homogénea asociada

Iln es nna solución particular de (t)

3) Para hallar ia solución parlicular de (I) , no hay una regla general, sino unconjunto de pautas

4) Algunos ejemplos:

a) an-3on-r=2

en este caso f(n) es nna constante, no depende de n, se puede probar con ñ¡ = d

25

U.T.N.F of r¡¡cngmnfeEN sIsrEMAs or nvronrvr¡crÓNrcr¡, - o(TEDRA GRANADo PERALTA

rxer.a.ro rnÁerrco r" 4Inducción y Recursividad

se sustituye en la ecuación y se obtiene:

A - e A =2, de donde A= -1 , por lo tantO la solución particular buscada €s 8n=-1

sólo resta busca¡ la solución de la homogénea asociada

b) ao*r- án= D, az =1 n)2 (I)

La homogénea asociada €S án +r- á¡=O, de donde 3n +1= a¡ cula solución eS

K{r)nIa solución padcular se puede pensar como un polinomio de grado r, digamos

A n + B, siendo B solueión de la homogénea, por ser una constante de donde

conviene multiplicar (A n + B) por la ¡fienor potencia de n que asegUre la no

existencia de constantes (en este caso n)

Queda &n= An2 + Bn , (I) se escribe &D +t= á.n + n

Se reemplaza y queda:

A(n +r)z + B( n+r)= A n2 + Bn +n , operando y comparando los coeñcientes de

las potencia semejantes queda:

Para n2: A=A,Paran: eA +B= B+rPara eltérmino independiente: A +B = o

¡= I, B=;i¿4

La solución particular es:r - l

&¡ = i!.¿ +t-JD-¿

I¿ solución de lahomogénea asociada es k

. I¿ solución que sebusca es:

t - l

an= fu2 +(f)n + c

Usando las condieiones iniciales queda que c debe ser o y por lo tanto

un = F= *(?"

c) Si la ecuación €s ?¡= 3 an -r + 5( 3n) se puede proponer pn= A3o

Como la solución de la homogénea asociada s k3o, reemplazando se llega a

una contadieción y por lo tanto se modifica por pn= An3o y queda 5n3¡r como

solución particular quedando como solución general: an = k3t+ 5¡r3n, donde el

valor de k se obtiene aplicando las eonüciones iniciales.

z6

U.T.N.F,R-BJ"-DEPARTAMENTO DE INGENIERÍA EN SISTEMAS DE INFONMACIÓNMATEMATICA DISCREIA _ CáTEDRA GRANADO PEN,ATTA

'AÑo:ou, TRABA'OPNACTIOOT{O4Indu cción y Rectrsiüdad

n

ng

nt t natural

rnr real

d) La siguiente tabla nos ayrda para encontrar la forma de la solución particular enalgutros casos determinados

Solución particular

constanteAn+B

An2+Bn+CPolinomio completo de grado t

Arn

2.9 Resolver cada una de las siguientes recurrencias

a) an = 4an+ - 3(4n)

b) an*2&¡-1 =¡2

c) an - 2á¡-1 = 3n

4

1.

a)

b)c)d)

e)

0

s)

A=N, a+b=2a.bA=2, a*b = a+2bA=P(B), a*b=añbA = R, a*b = 2a+b-3c,c > a-b

A=& "*¡=la.bl

A = N, a* b = {min {a'b}si min {a'b} s +"

t max{a,bi en otro casoI ( r r - r ' l

\

Io=] l l I l ,u,u .z l r l , **y=*.yt l lD al I t\ \LJJ/

(e= {a, la\,{u},{a,u}}r),r* y = (xt,r)- (* ^v)

(a = n - {o} " Rf ),(x;y) * (";t) = (x.z;y.z + t}

u.T.N.F.n-B-A-DEpARTAMENTo DE INcENTERfa EN srsrEMAs DE üvFoRMAcIóNMATEMATTca orscng:r"lr - cÁrrpn¡ GRáI$ADo PERATTA

Año¿orrTRABAIo rrulc'rrcoxo5

Estmchrras Al gebraicas Finitas

Justificando, indicar cuales de las siguientes operaciones binarias son cerradas en el conjunto

dado en cada caso:

Con referencia al ejercicio anterior, cuando correspond4 estudiar ias propiedades y Ia existencia

de elementos ca¡acterísücos

Analizar si los siguientes p¿rres de operaciones se üsnibuyen mutuamente

a * b = a + b, a o b = a. ben el conjunto R de los números reales

a *b =a+ b, a a b = aben el conjunto R delos númeiosreales

a,rb= (a,b),a o b = [a,bJ enelconjuntoN delosnúmerosnaturales

a * b = X nY, a o b = X uY enA = {@,{a,b},{c},{a, b, c}}

a *b = XnY, a c b = XvYen P(A), V A

Considerar A = {a, b} y el conjunto ¡e = {f: A -+ Ai. En AA se deñne f*g = I t f I (x)

Vx e A . Se pide dar la tabla para la operación *.Estudiar las propiedades y hallar el

elemento neutro. Indicar los elementos que tienen simétrico'

Para el conjunto A = {e,4, 8, 16, 3z} y hs operaeiones binarias y cerradas

a* b = (ab)Va. b = [a,b]donde(a,b)denotaelmáximocomúnüvisorentre ayb,y

[a, b] el mínimo común múlüplo.Se pide : a)Estudiar en cada caso las propiedades, b) la existencia

de elementos ca¡acteústicos, c)indicar si se distribuyen mutunmente d)Justificar cada afirmación.

Indicar, justificando, cuá'les de los siguientes pares alcanzan la estructura de grupo, cuales

son semigmpos y en todos los casos analizar la conmutatiüdaü

h)

i)

3.

a)

b)c)d)e)

4.

5.

6.

c)fnr) .a*¡=u'b-3- \ ' / ' 2 g

d)(R-{o}f) ,a*b=+

" l le=f[ ' o l . ¡ , ) \

' t tL¡ rJ ' =zJ{ ) 'x* Y = rY

0(A = {a,{u},{b},{a,b}} '* ) ,* * y = (x- v)u(v- *)

s)(e = n - {o} x R;*),(x;y) * (" ; t ) = ( :u;o)

7. Sea G = {a, b, g d} V (C;*¡ on grupo.Se pide determinar los elementos que faltan en la tabla

de la operación *

8.SeaX+Z,demostrarque(A'={f :S+S/fesbiyect iva};") ,dondef *S=f le(") ] ,vxeS t iene

estrustura de gnrpo. iQué pasa si las funciones son inyectivas?

9. Apli€r el resultado anterior aI conjunto finito ¡ = {a,b, c} .

ro. Sean (C, ;., ) v (C" f , ) dos grupos con neutro e1Y e.r respectivamente. Probar que

(G, "

G";*),(*;y)* (r; t) = (x * tziy

* zt)es un grupo, e inücar las condieiones para gue sea

abeüano.

rr. Aplicar el resultado del ejercicio anterior a

(e = {o,r};*, ),

tz. Demostra¡:

( r = {o,r ,z} f") ,012

r20

201

a) Si (G; *)es un semigrupo con neubo e, el conjunto G' = Inv (G) = {x e G / x' e G}

29

u.T.N.F.RB-a-DEpARTAMENTo DE INGENTEnIa n ¡ sr^srgues DE trifFoRMAcróNMArEMirrcA DtscR%ñ3f?RA cR.eNADo PERALTA

TRABAIoPRTíCTTCON" 5Estructuras Algebraicas Finitas

es un 8rupo.b) si (G;*)es un grupo entonces(G;')donde x' y : y* x es un grupo

c) Si (G;*)esun grupo con neutro €, X.y e G entonces (* * y)' = y'* x'

d) (C;*)es un grupo abeliano o (x " y)' = x'* y'

e) Si (G; *) es un grupo con neutro e; dados a, b probar que existen x, -v tales que

a * x = b,y * a = b.v que esos elementos son únicos

f) Si (G;*) esungrupo conneutroe,probar: a*c = b*c=a= b,c*a= c"b +a= b

g) Si (G;*) esungrupoconneutroedondeparaeadaelementox, x*x:e entoncesGesun

grupo abeüano

13. Reso)ver, si es posible, las ecuaeiones en el conjunto dado con Ia operación indicada en

cada caso

a)(Z; . ) ,2.x= z

b)(r;z)* (";y) = (o;r) en el grupo del ejercicio no rr

c) (t ; Z) + (*; y) = (z; l)en (N2; *) , N es el conjunto de los números naturales

d) zx + 1 = -g €n R con la mulüplicación usual

14. Se sabe que en todo grupo, el elemento neutro es su propio simétrico. Probar que si

(C;-) o un grupo y lCl es par, entonces hay, por lo menos, otro elemento de G que

es su propio simétrico

15. Sea (Cf ) u" grupo con neutlo e, sea H c G. Demostrar que H es un subgrupo de G si y

solamente si :H+ @,

a e H,b e H entoncesa* b' e H

16. Responder cada una de las siguientes cuestiones:

a) Para el grupo (e = {4,{a}, [ t ] , {a,u}} f ) ,**y = (xu'y)-(xny).

probar si H = {a, {.^\), T = {4, {a, b}}, P = {{b}, {"}} son subgrupos

b) sea s = {a,b,c} v el grupo(A = {f s -+ s / f es biyectiva} ;*),f * g = f [g (x)], vx .

Probar si H = {f'f"},T = {q,fo,fu} son subgrupos' Considerar:

3o

u.r.N.r,.ng;;pARTAMENTo DE n{GENrERfa EN srsreuAs DE nüFoRMAcróN

- {l:,, r"ruon¡rr*"Xmffi;cRÁr{Ar}spERALrA

' ' 'EsurÉturas Algebraicas Finitas

f, = {(a;a),(b;b),(c; ' : - )} , f , = {(a;b),(b;c),(c;a)}, f ,

= {(a;c),(b;b),(c;a)},

f* = {(a;a),(b;e),(c;b)} , fu = {(a;b),(b;a),(c;c)} , fu

= {(a;c) , (b;a),(c;b)}

c) para el grupo (2.*),probar que H = nZ = {x eZ,x = Lz,n,z e Z,nesfijo} es subgrupo

17. Sea (GÍ) un grupo y sean ]¡ H, K subgrupos. Demostrar o refutar cada una de la-s siguientes

afirmaciones:

a,¡H n K es un subgrupo de (G;-)

b)H u, K esun subgrupo de (C;*)

c)H - Kes un subgrupo de (G;*)

dIHAK es un subgrupo de (G;*)

18. Considerar el conjuntoA = {(o;o),(o;r),(r;o),(r;r)}yla operación * dadapor:

- . . f ( "*c;b+d)si a+c< r ,b+d <r(a; bJ * (c; oJ.l , .' ' -

[(o;o)encualquierotrocaso

Se pide: analizar si (/q*) tiene estructura de grupo En caso afirmaüvo, determinar todos los

subgrupos. En caso negativo, d.efinh un subconjunto de A que eon la misma operación tenga

esFuctura de grupo y determinar todos sus subgrupos. Justificar'

r9. Probarque:

a)(2";+)coni4;tb]= [a + b]es nn srupo abeüano

b) (zo ; @) con [a] e [U] = [a.b] es un semigrupo abeiiano

c) Probar que en el grupo (A = {r, 2,3, +} Í) con la operación dada por

432L

la relación R c ,A.2 definida porla siguiente matrizM*

432L34722t43L234

432

[ t roo' l

=l ' ' o ollo

o 1 ' l

LoolrJ

es una relaeión de congruencia (equivalencia -v

compatible con la operación dada)

31

U.T.N.F.R.B-A.DNP¡IT¡UENTO DE INGENIERfA EN SISTEMAS DE INFORMACIÓNMArEIVÍATICA DISCR.ETA - CATI,ON¡ CNá¡I¿OO PERALTA

AÑozouT.RABA'O PRr(CTIOO N" 5

Estructuras Algebraicas Finitas

zo. Hallar el subgrupo generado por el elemento dado en cada uno de los siguientes casos:

") (i),(c = {r,-r,i,-i} ; .)

b) ((" ;b) , ( ¡ ;c) , (c;a) )en s,

c) (c) en (Cf) con la operación definida por la siguiente tabla : abcdef

ab

bc

cd

de

ef

fa

cd

de

ef

fa

ab

bc

ef

fa

ab

bc

cd

de

zr. Sabiendo que para el grupo de los restos móduio n,los generadores son:

Gen Zo {[t] ¡ (t.n¡ = 1,1 < k < n - r], se pide da¡ los generadores para n = t8 y n primo.

ze. Dar la red de subgrupos para el grupo simétrico 53, para el grupo de los restos móduio 8, móduio

5 y módulo rz y el grupo del ejercicio no 18

29. Un grupo G üene subgrupos H y K Encontrar todos los posibles órdenes de HtrKpara cada uno de los siguientes casos:

a) lHl= 16, lKl= 2sb) lHl = lKl= 7c) lHl=3, lKl =Sd) Si lGl= z4 yl H l= 4,icuáles son los posibles órdenes para el cardinal de K?

24. Halla¡ las clases laterales determinada^s por cada subgrupo en el grupo dado en cada caso.Indicar, además cuáIes son subgrupos normales

a¡((o;o))en el grupo del ejercicio rr

b) Para los subgrupos del grupo del ejercicio nol8/U^ ^\ ) \

c)Parael srupoi { l ' l f ,a,c,de R};+ ly el subg¡upo S= {f : : ) ," . *}' \ t \ " d l ' ' ' ) ' ) ' [ \c o/ ' )

d) Para el grupo (2,"1),n = (o)

e) Para el grupo (z,u- {o};e); H = {;,;,;,;}

25. Sea (G;*)un grupo y sea el conjunto Ze = {x e G / x* a = a * x, Va € G} . Probar que es nn

subgrupo de G e indicar si es normal. Justificar cada afirmación.

26. Sean (Cl)"" grupo y H un subgrupo probar:

32

u.r.N.F.B-"ffHoffiHffi*Hfl"m|hffi 'Ó"AÑozou

TRABA'O PRÁCTICO NO 5Estructuras Algebraicas Finitas

a) si lcl= n,Hessubg¡upoae(cr)vlul= luotoo""s H es normal¡ \ t - | | 2

b) si lcl = u, E[ es subsrupo de (Gf ) ento"""r ful / lcf

z7.Sea (c;-) ungrupoy (tr),.* unafamiliadesubgruposde (c¡)-Nssstssnjuntodelos

números naturales, probar qo" .ñ H, es un subgrupo del grupo dado. Si todos losr=1

subgrupos fueran normales, se pid.e demostrar que la intersección es un subgrupo normal.Justifi car cada afi rmación.

zB. Probar si las siguientes funciones son homomorfismos de grupos, si corresponde dar núcleo eimagen

alr,lzri)- (2, i) ¡ t([x]) = s - xb)f :{z;+} * (sz;+) / f (x) = p¡

c)r : (n- {o} ' ) * (R - {o} ; . ) / r (x) = lx l

29. Hallar todos los isomorfismos entre los grupos (zo;i)l (zu - {o} O)

3o. Indicar, justificando, si el grupo simétrico So es isomor{o al grupo de los restos módulo z4

lz^;+) r l

3r. Probarquelatunción f :(R;+)-(M"(n);.)/r(*)=l:::1- ]""" lesunhomomorfismode'' ' l senx cosx Igrupos. Clasificarlo.

32. Considerar el subgrupo multiplicaüvo de C (números complejos), (i) = {i,-i,r,-r}y el grupo los

restos módulo 4. Se pide probar que son isomorfos.

33. Sea f : G, + G"un isomorfismo de grupos, probar que la función inversa ff' : G" -+ Gies

también un isomorfismo

34. HaIIar el índice que cada subgrupo deterrnina en el grupo simétrico S. y en el grupo de los restos

módulo 12. Dar, cuando corregponda el grupo cociente.

35.Responder, justificando adecuadamente si los siguientes enunciados son verdaderos o falsos:

a) En un grupo cada elemento tiene un único simétricob) Un grupo puede tener mas de un neutroc) Puede haber un grupo donde falle la propiedad cancelatilad) Todo conjunto de números que es grupo bajo la suma lo es respecto de la multiplicacióne) Todo subconjunto de un grupo es un subgrupo bajo la operación inducida0 El gupo simétrico Sn üene n elementos

u'r'"''*Bfi mfffi ÍmHt"üm*ffi 'Ó"TRá.BAro PnÁcrroo N3 5

Esrncturas Algebraicas Finitas

g) Todo grupo cíclico es abelianoh) Todo grupo abeliano es cíelicor) Todo zubgrupo de un grupo abeliano es abeliano ynormal

t Si un subgrupo de un grupo G es abeliano, el grupo G es abelianok) Todo grupo factor de un grupo infinito es infinitol) Ia composición de homomorfismos de grupos es un homomorfismo de gruposm) Todos los grupos del mismo orden son isomorfos

U'TJr¡.F-R-B-A--DEPARTAMENTI0 DE rNGENrEnfa EN srsTEltAs DE INFoRltAcróNMATEMIJTcI' "tr.."i"#f;

u cn¡¡¡¡oo-pln¿rr¡ ;.--.- --- -

rn¡nuo pnÁgnco ¡r"oAgebras de Boole

Redes

1' Indicar, justiñcando, cuáles de los siguientes conjuntos ordenados e€üstituye una red

b

de

0o

z. Considera¡ el conjunto ordenado(A = {t,2,g,4,5,6,7,g,9,ro};<). Se sabe

+ llz l lg,s l iz,6ll I l l 9,m.c-i.{z,s} = z,*.". i.{s,z} = 3, vx,1<< x,vx"rq << xm.c. i . {Z,B}=m.c. i . {7,6}=m.c. i . {2,9}=Z,m.c.s.{2,5}=m.c.s.{3,5}=*." .s.{+,S}=5,

m.c-s.{5,6}=6- Si "m.c.s'significa menor cota superior y "m.c.i." significa mayor cotainferior, indicar si la infor¡nación suministrada es suficiente pÍrra hacer ei diagrama de Hasse.

3. Demos[ar o refutar:

a) Si (e;<<) est¡á bien ordeuado entonces es una red

b) Sea (A;<<)una red, A esfá totalmente ordenado {+ Vx € A Vy e ,tm.c.s. {x, y} = y, m.c.i. {& y} = *

c) El conjunto {o, r} con la conjunción y la disyunción es una red-

4. Resolver, justificando, cada una de las siguientes cuestiones:

a) Para la red (Daz; i) hallar dos subconjuntos distintos B y C de manera tal que B con elorden restringido sea una subred y que C no Io sea.

¡l sea (p (e) ; c) , con A = {r, z, 3} .oefinir las operaciones ceradas

n:r(A)'p(e)- r(a)u : P (A) x r(e) * P(A),y mosta¡ que (r (e) ; u; n) es una red-

a

$

a

l l \l^.. I\ )

g

b

eldI

.tJ

U.T.N.F.R.B-A--DEPARTAI}ÍENTO DE INGENIERÍA EN SISTEMAS DE INFONMACIÓNMATEVÍATICA DISCRETA - CATEDRA GRANAD.O PENALTA

AÑoeorrTRA.BAJO PRACTICO NOó

Álgebras de Boole

5. Cousidera¡ en conjunto A = {a, b, c, d, e, f g } y las operaciones dadas por las tablas

abcdefg abcdefS

a

b

d

f

oD

a

c

d

e

a

c

ccdeag

bcdebg

ccdecg

dddgdg

eegeeg

bcdefg

gggcgE

a

b

d

f

o

afaLafa

fbbbbfb

abcccfc

abcdcfd

abccefe

f f f f f f f

abcdefE

Se pide dibujar el diagrama de Hasse, y probar si (lu v; a)es una red

6. Sea A = {a-b,c,d,p,m}, completar la siguiente tabla y definir la operación dual, de

modo de obtener una red.

abcdm

a

b

d

m

P

bdd

PPd

apbpcpdp

p

T. Sobre un conjunto finito d considerar una red con primer elemento p y ultimo

elemento u, e indicar los elementos neutro y absorbente para cada una de las

operaciones. Justificar en cada caso.

8. iCuáles de las siguieDtes son redes distribuüvas?

a) Dzo, a v b = mcm { a, b }= [ a, b ]; a ¡ b = mcm { a, b }= ( a, b )

b)A= P (B) conB = {x, ,v,z} y a vb = aubi anb = a nb

c)a

36

U.TJiIJI.B.A--I}EPAXTAUENTO DE INGENIERÍA EN SISIEMAS DE INFOXMACIÓNUATtrÁIICá DISCTEIA - CÁTEDRA GRANADO PERAXTA

AñozouTRABA'O PNACTICO NOó

,{lgebras de Boole

g. Sean(ls<r)y(B;<r)dosredes, se pide:

a) Probarque (AxB;<)donde(*;y) < (z; t) <+ x i , zAy <" tes'na red

b) si (¡qvl ;n, ) y (By. ; n" ) son redes distribuüvas, probar que (e x ny¡), donde :

(";v)v (z;t) = (x v. z;y v" t),

(x;y) r, (z; t) = (x A, z;y r,, t)

Es una red disbibutiva.

ro. Considerar las redes de los ejercicios 4, S, 6 y 8 y hallar los elementos eomplementarios.

Identificar los easos en que cada elemento tiene un únicn complemento, agriellos en los

que todos los elementos üenen complemento y aquellos en los que existen elementos

sin complemento.

11. Resolver indicando si la solución existe y en ese caso deci¡ si es única,

' - r , [ " ,Y] = x VY,(r<,-v) = t nY

),{ tu}nx = "

, [ t ,y]=xVy,(x,-v)=*¡y

:^2. Establecer un isomorfismo para cada uno de los siguientes casos.

a)A=Do.,B=D3o

d)

a) En (no.{avj{x,r)), {; l: l=

b) En (r(e)un),coo¡ = {a,b,c

c) En (D"o{*,yjl,,,r)),{áv * = t

37

U.T.N.F.R.B.A--DEPARTA¡IENTO DE INGENIERÍA EN SISTEMAS DE INFORMACIÓNMATEMÁTICA DTSCNETA - CAIEDRA GRANADO PENALTA

AÑozo11TR.ATA.'O PNACTICONOó

Algebras de Boole

b¡ e =f (C), C = {r,z;g} y B = {x e P(L)}, L es el conjunto de átomos de P (C)

Álgebra de Boole - Funciones booleanas

Probar que (e = {1,23,4}yn) , donde las operaciones están definidas por ias tablas que

se dan a conünuación, alcanza la estructura de álgebra de Boole:

7234 ^

e

+

7234

2222

3232

4224

1

2

4

11

12

13

74

11

3431L4

z. Indicar, justific¡ndo, cuáIes de los siguientes conjuntos con las operaciones dadas encada caso alcanzan la estmctura de Álgebra de Boole.

a)(Dovn), avb = [a,b] ,a r ,b = (a,b),n = pr.ps.ps. . . .pu conpi +p,si i * j

b) (Do¡¡;n),a v b = [a,b],a ̂ 5 = (a,b)

c)(Ay¡),dondelel=19

d) Si A es un conjunto, {r(a)vn)

3. Aneliz¡r la validez de las siguientes propiedades en un álgebra de Boole B, con neut¡oOgVlt para las operaciones v, n respectivamente, dar un contraejemplo si son falsas

a) va,Vb,a = b <> (" "

b)" (a" U) = o"

b)vavb,(a nb)v (a "

U)= a

c) Va, Vb,(a n b) = ¿ r, 6

d) va,vb,vsu " ( l ^.)

= ; ; (b ' ")

e)Va,Vb,a<bc+b<a

flva,vb,sia < b = a n (b n c) = b n (a n c)

g)Va,Vb,Vc,a v (b n c) = 6 n(a v c)

4. Parael áIgebra de Boole (O,ouvr.)aonde a v b = [a,b],a ^ ¡ = (a,b), se pide :

El diagrama de Hasse.El complemento de cada elemento

a)b)

g8

b)f(x, ;x, ;xr) = I ( t , n x,) , , (x" r . . x.) t xs] n x"

c)f(x, :xr) = * , n [* . ' r ( r , ^( , . , " ; r ) ) ]

U.T.NJT.B.L-DEPARTAJWENTO DE INGE¡{IERÍA EN SISTEMAS DE INFONMACIÓNMAIEMÁJTICA DIS.CRSIA - CAIE.DRA GRANADO PERALTA

r*o*-#..?ffi"o*"uAgebras d.e Boole

c) 3 sub algebras distintas de la trivial

d) Identificar los átomos y establecer definir un isomorfismo ente (nrorv;n)f el conjunto

de partes de los átomose) iCuántos isomorfismos se pueden definir? d,euántas funciones biyectivas no son

isomorfismos?

S. Para cada una de las siguientes expresiones booleanas dar la función booleana quedeterminan.

a) F,'(xr; xri xg) = Xr V (x" n x3 )b) E"(x'; xzi xJ = (xr v x") n (xr v xs)c )Ee( xr; xzi xg ) = ( x1 n xs ) v ( x, ¡ x" ) v ( x2 n x' n x. )

6. Simpüfiear

a)f (x, ;x" ;x,)= * , ' [ ( t " . . )n (" , . , * .

" \ ) ]

7. Expresar las siguientes funciones booleanas en forma canónica en minitérminos(forma normal disyuntiva) y en forma canónica en maxitérminos (forma normalconjuntiva)

a) f (x, ;x";x, ) = [ "

(r.] )

b) f(x';x";xs) = x1 V (x, v x3)

c)f(x, ;x. ;xr)= *" "( . , " \ )

cl) f (x';xr;xJ = (xr v x" ) n (x' v xg)e) f (x'; x2) = (x' v x2) n (x' a xr)

8. Cada una de las siguientes tablas definen fu¡ciones booleanas. Se pide:

a) Las formas canónicas en minitérminos y ma;iitérminos en cada caso.

b) La forma canónica en ma;ritérminos para h(x) = f(x; y; z) ng(x; y; z)

c) la forma canónica en minitérminos para t(x) = ¡¡¡t y; z) vg(x;y; z)

x v z f. (x;y; z) g(x; y; z)1 1 I 1 o1 I o 1 o1 o I o oI o o o o

39

o 1 1 o 1

o 1 o o 1

o o 1 o 1

o o o 1 o

U.T.N.F.R.B^á--DEP¿RTAUNNTO DE INGENIENfA EN SISTEMAS DE INFORMACIÓNMATEMATICA DIS,CREIA _ CAIEDNA GRANADO PERALTA

Año zorrTRABA'O PRACTICO NO6

Agebras de Boole

g. Diseñar una red de compuertas con entradas x, y que produzca salidas a, b, c en lassiguientes condi ciones :

- a=1,b=C=O,SiX)y- b-c=O,a=1,six =y

- C=a=1,b=O,SiX(y

10' Un examen consta de 4 preguntas. I¿s respuestas correctas son la ro es Verdadera,la zo es Falsa, la 30 es Verdadera y la 40 es Falsa. Const¡r¡ir una función booleanaque analice cada examen y distinga los aprobados de los reprobados. Se consideraaprobado con tres o más respuestas correctas.

u. Se quiere consEuir una alarma para un automóvil a través de un sistema decompuerlas de modo tal que la alarma suene si: Si el motor está funcionando valguna de ias puerLas se encuentre abierta. El motor está sin funcionar, las lucÁencendidas y algunas de las ventanas está abierta El motor está funcionando y elcinturón de seguridad se encuentra desabroehado. Se pide diseñar eI sistema y darsu forrna normal disyunüw

re. Carlos ganó un bono de $6Zoo en un superniercado y el dinero se efectivizará sóloen el caso de utilizar la mayor canüdad posible, no repetir productos y elegirlos dela lista que se da a continuación. se pide diseña¡ oo" ,ud de compuelas queotplicite la situación.

TELE\IISOR $3zooDVD $nooNOTEBOOK $4sooNETBOOK s23oO

Describü, concompuertas

una función booleana, cada uno de los siguientes üagramas de13.

40

U.T.N.F.R.B*A--DEPARTAMENTO DE INGENIERfA EN SISTEMAS DE INFORMACIÓNMATEMÁrrcA DTScRETA - cÁrgon¡' cn¡N¡oo PERALTA

AÑozouTRABA.'o PRAgnCON"6

Algebras de Boole

---------------_ \\

t l

-----l-----7-.

ff--

E)

F)

4t

U.T.N.F.N.BÁ.DEPARTAMENTO DE INGENIERfA EN SISTEMAS DE TNFORMAC¡ÓNMATEM.Á.TICA DISCRETA - CATEDNA GRANAIX) PERALTA

rn¡¡¡¡#rifficor*" zGrafos, Digrafos, r{¡boles

Grafos

r. Dibujar el grafo G = ({r,2,3, 4,s,6\da,a2,a3,a4,a5,a6,a7}ro)dado por

a, larararaoauaoa,

p(a,)l{s,z} {s,t} {+l {s,s} lo,qi {o,r}{z,r}

z. Para cada uno de los siguientes grafos, dar explícitamente la función de incidencia

¡ l' a1ó-ú

u. I u"

/a lu,| ,z'ul I

aY )c\Juo

nn€4----1

\. l'¿\l

\ .P\^

g. Dar para cada uno de los grafos de los ejercicios anteriores ejemplos de vérticesadyacentes, lazos, aristas ad,vacentes y paralelas y en cada caso las matrices deadyacencia e incidencia.

4. Para el grafo C = (v¡,¡p ) eula matriz de adyacencia es M" , dada por:

101

o10

1()1

101

o10

111

Se pide:

a) El üagrama del grafob) I¿ matrü de incidenciac) El subg¡afo que se obtiene suprimiendo el subconjunto de los vértices cu,vos elementosseanlos de mayorymenor grado.

M"=

1()1

011

101

oooo10ooo

42

U.T.N.F.LB.A.DEPARTAITfENTO DE INGENIER'A EN SÍSTEMAS DE INFORMACIÓNMATEMÁTICA DISCRETA _ CA' TEDRA GRANADO PERALTA

AÑozorrTRABAJO PnriCTrCONo 7

Grafos, Digrafos, Arboles

d) El subgrafo que se obtiene suprimiendo las aristas que inciden en pol lo menos un

vértice de grado par.

S. Dibujar el grafo G = (v; ,q ,p i cuya matriz de incidencia es M, , dada por:

[orroloI

lo I o o I 1M,: lo o r 1 o I

lo o o o o 0Ll 00ooo

6. Establecer una relacióndiagrama del grafo.

. '1

; lI

r lI

0lIol

entre la matriz de incidencia y las características del

T. Resolver cada una de las siguientes cuestiones:

a) Identificar los caminos simples de maJ'or y menor longitud para el grafo del

ejercicio rb) Indicar el camino elemental de mayor longitud para el grafo i) del ejercicio z

c) Mostrar un camino finito y cerrado para el grafo ii) del ejercicio z

d) Dar los caminos simples y elementales para los grafos de los ejercicios r y z

e) Idenüficar los grafos conexos de los ejercicios 1, 2, 4,5

8. Considera¡ el siguiente grafo:

Resolver cada una de las siguientes qrestiones:

a) Caminos simples entre aY g

43

U'T.N.F.RBá.DEPARTAJ}ÍENToDEINGENIERÍAENsIsTEMAsDEINFoRMACIÓNMATiii&tncatls"*okmRA GRANADo PERAITA

"'ff#f'#trHilí"'b) Menor número de aristas que es neeesario suprimir para interrumpir el camino

entre b y dc) i ,Hayalgúncaminocerradoentrecycdemaneraquepasesolamenterrnavez

por cada uno de los vértices restantes?

d) if,s posible partir del vérrice c, pasar por todos los vértices y no regresar al c?

e) i, se puede comenzar por un vértice recolTer torl¡s las aristas exastamente una

vez?( se permite pasar mas de una vez por los vértices y no es necesario volver al

vértice del que Partió)

9. Dar el grado de cad"a vértice de los grafos de los ejercicios 8 y r

ro. Si G = (V; A;<p) es un grafo simple de 15 vértices' épueden todos tener grado 5?

rr. Dar elnúmero de arista^s de un grafo simple si sus vértices tienen los siguientes

grados: 8,6,6,4,4

r¿'Estuüarsiexisteungrafosimpecon5vérticesylossiguientesgrados

a) 3,3, 3,3 '3,2b) o,1, 2,2,3c) 3, 4,3,3, 2

$. si G = (v;A;q) es un grafo conexo con I A l=26 y grad. (v) >4 püa todos los

vértices de v, se pide indicar el número mayor del cardinal que puede alcanzarv'

r+. Si G es un grafo simple con 52 aristas dar el menor número de r'értices que puede

tener

r5.Ungrafot iene3zaristas,4r 'ért icesdegradoS'3degrado4-velrestodegradoz'- Se pide dar, justificando, el número de vértices'

16. Sea 6 = (V;A;g) un grafo conexo sin bucles donde cada vértice tiene grado 3'

Calcrr larelnúmerodearistasydevért icesisesabeque|A|=zlVl-6

17. Considerar los grafos completo K,, r bipartito completo K*,n ; se pide:

a) En cada caso el cardinal de los conjuntos de aristas -v

vértices

bi Caracterizarla matriz de adyacencia en cada caso

"j C*u"t..izar la matriz de incidencia en cada caso

d) Indica¡, justificando si todo subgrafo de un grafo bipartito completo es bipartito

comPletoe) Dar el número de puentes en cada caso

44

u.TJa¡|¡-t¡.lErID¡úEraIt rlE INGqIIERÍA EN STSTEMAS DE INFORMACIÓN

aÑOzorrTTABAJOPB,ÁgnCoNoT

Grafos, ügrafos, t{rboles

r8. Demosrar o rfucon rm connaejemplo:

a) Si G = (r'I,;g)esuugrócompleto"oolvl= n, entonce'lol=9

b) En todo grafr & dos e mas vértices debe haber dos vértices del mismo grado

c) Todo subgrafo de un grafo bipartito es bipanito

19. Si es posible da¡un camino y / o un ciclo de Euler para los siguiente, *o,'

a) Grafo bipartito comPleto K a4

b) Grafo del ejercicio 8

20' Para los grafos bipartito completo Km'n Y completo Kn' Dar condiciones sobre m

y n para el primero de los grafos y sobre n para eI segUndo pala que existan

caminos de Euler. Caracterizar, además en ambos casos la matriz de adyacencia

zr. sea G = (v;A;p) un grafo con un número par (zn) de vértices y matriz de

adyacencia:

f-e clMIS DJ

Se sabe que B, C, D son matrices cuadradas de orden n Responder,jusüficando,

cada una de las siguientes cuestiones:

a) Si C es la maEiz nula, ies conexo?b) Si B=D, ées bipartito comPleto?c) Si G es conexo y la suma de los vértices es 2n-2, ies un fubol?

zz. éCuáles de los siguientes grafos tienen caminos y / o ciclos de Hamilton

23. Si es posible da¡ un camino y / o un eiclo de Hamilton para los siguientes casos:

a) Ks,K4 d'influ,ve quen seaparo impar?

b) &,g,L*Kr,, iinfluye que n' m sean ambos pares o ambos impares' o uno par

y el otro impar?

15

U.T.N.F.R-Bá.DEPARTAMENTO DE INGENIENfA EN SISTEMAS DE INFORMACIóNMATEMÁTIQ\ DISCRETA - CÁTEDRA GRA¡{ADO PERALTA

AÑo zorrTRABAJO PRACTICONO

"Grafos, Dígrafos, r4¡boles

z4.Paralas siguientes añrmaciones se pide, demostrarlas si son verdaderas y e>rüibirun contraejemplo si son falsas

a) En un grafo mmpleto K,r, n > 3. el número de aristas es lel = n (n - 3) + ¡n

b)Para un grafo bipartito completo G = Krn.n , el cardinal de las aristas es n.m y el de los

r'értices m+n

c) Todo subgrafo de un grafo bipartito completo es bipartito eompleto

d) Si G = (Vg q) es un grafo no conexo con k componentes conexa.s y lfrl = n, lAl = m.

Entonces,n S m+k

25. Indicar si los siguientes pares de grafos son isomorfos, si corresponde exhibir elisomorfismo

26. Demostrar o refuta¡:

a) Grafos isomorfos tienen igual número de vértices y aristas

b) f : (q;A,;o.) -+ (v,;A";o, ) es un isomorfismo d.e grafos, v e \ entonces el grado

de v es el mismo que el grado de f(v)c) Existen grafos no isomorfos con eI mismo número de vértices y aristasd) Si G y T son dos grafos isomorfos y T tiene un cido de Euler entonces todos losvértices cle G tiene grado par.

e) Si G, =(\;A,;g,) yG, =(V;Ar;gr) son isomorfosexisteunordenconvenienteen

V¿lMa(&)=\{a(Ge)

a)

b)

+6

u.T.N.F.R.Bá.DEPAI$AMENToDEINGENIERIAENsIsTEMAsDEINFoIMACIÓN-- MAffitrc¡ orscn¡r¡ - cA¡noRA cR'aN¡l)o PER'ALTA

tl¡nl¡o rnÁcrtco N" zGrafos, Dígrafos, Árboles

Dígrafos

1. Para el dígrafo G = (V;AS) ' cuyo diagrama se da a continuación:

v5'

Resolver cada una cle ias siguientes cuestiones:

a) Deñnición formalbi Buclesc) Aristas paraielas,v antiparalelasd) Vértices.v aristas adYacentes

ei Matriz de adYacenciag Matriz de incidenciag) Pozos Y fuentestr¡ C*Ao positivo, negaüvo, neto y total para cada vértice

Z. Siete ciudades A, B, C, D, E, F, G estan conectadas por nn sistema de autopistas, de la

forma que se da'a continuación:

(t) !-zzva de A a C Pasando Por B(z) I-Sg va de C a D, pasa por B y sigue hacia F

tB) I-q+va de D Por E hacia A(+) I-SS va de F a B Pasando Por G

G) I-66 va de G a D.

Considerando que las ciudades son los vértices ile un dígrafo y las autopistas las aristas,

se pide:

a) Modelizar ia situación usando un dígrafo

b) Darlos caminos simples entre GyD

"i Indicar el menor oú*"ro de tramos de autopista que se pueden cerTar de modo que

el paso entre B y D quede intemrmpido

d) Justificar si es posible salir de -c

y t"gr"t* a c pasando por todas las otras ciudades

solameute unaveze) Inücar si es posible'esmenzar en alguna ciudad y üajar por todas las autopistas

pasando por cada,una de ellas solamente una vez(se pude visitar una ciudad mas de una

vez y no es necesa¡io regresar a la ciudad de la que se partió)

?7

17

U.T.N.F.R-B.A.DEPARTAI}ÍENTO DE INGENIERIA EN SISTEMAS DE INFORMACIÓNMATEMATTcA DrscRErlñBgl?RA cRAI\¡ADo pERAL'ra

ffif'#ffKü':,g. Hay cuatro tipos brásicos de sangre A, B, AB y o. El tipo o puede donar sangre a los

cuatro tipos, Ay B pueden dona¡ aAB lo mismo que a su propio tipo pero el üpo AB sólopuede donar aAB. Dibujar un grafo dirigido que muestre esa información.

4. Sea G = [V; A;6) un dígrafo, en el conjunto de vértices V se define la siguiente relación v

Rw eov = wv existe un camino de v a w vexisteun camino de wav"Probar que la relación R es de equivalencia.

Árboles

1. Para el grafo G=(y; A; q ) ,con lV ¡= 5 dibujar todos los arboles no isomorfos.

2. sean G, = (V, A, ;e, ) y Gz = (v" l\2 ;e" ) dos árboles donde i Az l= 26 Y

[Vrl = zlAzl. Deterrninar: l\'11, V"lV l¡tl.

3. Sea G : (V*t;p) un grafo conexo que tiene 29 aristas, 7 vértices de grado t, 3 de grado 2,

Z de grado 3 y n vértices de grado a determinar para satisfacer, si es posible, cada una delas siguientes situaciones:

a) G seaun arbolb) G no tlebe ser árbo]

4. Probar que un arbol con n vértices üene (n - r) aristas

S. Sea T uu á¡bol con rz vértices que tiene 3 vértices de grado 3, r vértice de grado z. Se pidedarla sucesión de gados de los vértices

' 6. Seaungrafo G=(VA;q) ,conexo,sinciclosyconnvért ices,entonces IS(")=z(n-r)vIV

7. Sea G = (Vlug) un grafo conexo, probar que es un árbol si y solamente si toda arista es unpuente.

8. Sea G = (\r;A;g) un bosque con n vértices y k componentes. Deducir y demostrar una

erpresión que calcule el número de aristas.

g. Despues de eüquetar los vértices que no lo están en el üagrama I que representa un árbol ,se pide responder cada una de las siguientes preguntas:

a) iCuáles de los vértices son hojas?b) iQué vértice es la raíz?c) ¿Qué vértice es el padre de g?il) d,Qué vértices son los descendientes de fle) iCuáles son los hermanos de d?f) ¿Cuál es el número de nivel del vértice j?

+8

Ellt¡I-f-LrElatfalrElv¡o DE TNGENTERÍa EN srsTEMAs DE rNFoRMAcróN- IAXfl¡IICADISCnETA_CATEDn¡C¡e¡¡¡b-r-rx¿r,r¿

Año zorrTRABAJO PRÁCTICO NO Z

Grafos, DÍgrafos, Á¡boles

g,) ¿Qr¡evtrces üenen el nivel 3 ?h) ¿ftál es la altura del árbol?i) iEs u¡ á¡bol balanceado?j) iEs m- ario, para algún m?k) ¿Es regular?l) ¿Es pleno?m) Dar los subarboles con raíz en f, b ¡'d. Caracterizarlos.

diagrama (I)

10. Para el rárbol del ejercicio anterior establecer rrn orden para los hijos del mismo padre.

u. rndicar, al menos un par de arboles isomorfos entre los siguientes:

+! -r^->,Í +

#-ü^rz. Considerar el siguiente árbol, etiquetarlo v recor¡erlo, si es posible, en orden prwio, orden

simético y orden posterior

. . / \/ \fa

aa

49

13.

14,

15.

U.T.N.F.N-B3.DEPARTAMENM DE INGENIERÍA EN SISTEMAS DE INFORMACIÓNMATEMATICA DISCRETA - CáTEDN,A GRANADO PER.{I,'TA

AÑo ¿orrTRABA.'O rnaCrrCO rrr" 7

Grafos, Dígrafos, Árboles

Ia siguienteetpresión:xy+31ry-gt-xy * ¡ "rndadaennotaciónnotuor**".r . , r .pide recuperar el árbol, escribirla en notación infija usual y simplificarla

Ia siguiente expresión: ((Z-a) /S) * ((a + b)tg) está dada en notación infija uzual, se piderecuperar el árbol, escribiria en notación poiaca 1'en notación polaca inversa

Ia siguiente expresión: (a + b-c) I (d * es) esta dada en notación infija usual , se piderecuperar el árbol, escribirla en notación polaca y polaca inversa

16. Dar un ejemplo de arbol binario, con por lo menos 3 vértices en el que:

a) Los reeonidos en orden previo y orden simétrico sean el mismob) l.os recorridos en orden posterior y orden simético sea¡ los mismos

17. Indicar si los siguientes enunciados son verdaderos. Justificar

ú Ia siguiente erpresión dada en notación polaca inversa no puede ser expresada ennotación infija usual ab + cd*ef /-+a *

b) El recorrido de un árbol en orden simétrico alcanzapara definir una operación aritrnéüca

U.TJ{J @rraÚúl E¡ SFrrxrs rtE llfutrsét'rrñE.rc --Gffi^ GIANAIX} PER^LTA

rfu-orrr|Dslt¡crraoN"8

r -Er+=,

ganáticas, autómatas

Icnguajes

1. Parataspalabrasl{r = 1oo1, \r2 = o, w3 = 2deV" siendo y = {o,r} se pide:

w1w2, lw1rrrg, w3wr, wrRwz, ( wrRwz )R, (*g*rR)R, (w1t'2w3)R, (w1w3Rw2R)R

z. Considerar el alfabeto y = {ab.c}y dar, por enumeración:

a) Todaslas paiabras de longitud < r

b) Todas las paiabras de longitud < z

c) Todas las palabras de longitud < 3

3. Darla longitud de cada una de las palabras del ejercicio r

4. probar que si Ves un alfabeto, el conjunto V* de todas las palabras que se pueden

escribir con las letras de V es un semigrupo, bajo la concatenación y caracterizarlo.

5. Probar, usando inducción matemática que si Ves un alfabeto, w e V',n e N u {O}

entonces long(wo ) = t.loog*

6. Paral¡=321{deV*,conV={o,r.2,3,4},sepidedar: long(wto), to"g( l* to)to

T. Para los lenguajes L, = {ab.ba},L" = {UaU},r, = ttr},L+ = ñ, de

V',siendoV = {a,b1t se pide:

L,L,,L rL 3,L, L4, L4L3, (L't " )*, {{, {r,f , Lo u Lsr, L, n L5,,, I{ u Lo

B. Probar que si V es un alfabeto, el conjunto P (V*) de todos los lenguajes de V*es un

semigrupo, bajo la concatenación y caracterizarlo

g. Considerar eI alfabeto y={o,r} y los lenguajes Lr={Ot,tr,o} y Lz= {ro,r}, se pide:

a) Calcular L, x L" yLrLreindicar, en cada caso, eI cardinal

bi Dar un ejemplo donde ll,rl=l.ll.rlll."l

ro. Descríbir L|L',L1I¿ y(L1L2)" si

rr. Se sabe que paratodolenguaje I

rz. Proba¡ o refuta¡ :

a){I}= {l}- = {rf

Lr={1},L"={o}

l,eL:*, icuandotreL*?

51

U.T.N.F.R-B*&-DEPART4MEMO DE INGENIERÍA EN SISTEMAS DE INFORMACTÓNMATEMAncA nrscnrrSSflpnl' GRANADo PERALTA

TR,ABAIO PRJ{CTICO N" 8

Lenguajes, gramáticas, autómatas

b) Si V es un lenguaje, V+ = V* -{ 2 }

13. Calcular las clausuras positiva y de Kleene del lenguaje vacío

Gramáticas

1. Para lagramática 6 = (vo;\t f;s)dondevo = {a,b,s},v, = {o,r,a}-vlas

producciones de P están dadas por: s -+ ab, a + 01 | oar, b -+ z I bz'

Se pide dar por lo menos 4 palabras del lenguaje que Senera y las derivaciones para

encontrar las palabras aL222, ooo111222

e. Considerar la gramática G =( { e, u, t, v, f h{ i, *, *, (,), h P; e) donde las

produecionesde Pestándadaspor: e ) u, u ) t /u+t,v ) f /v ' r f , f ) i /(e) . Dar cinco palabras del ienguaje que genera'

g. Halla¡ una gramáüca que genere cada uno de los siguientes lenguajes:

a) ¡= {oen conn>e}

b) l¿= {omlD2m,tr2o,m>1}c) I¿= {ont2n,n>1}i t ) Lo= {(or)nol ,n>o}

4. Considerar la gramática G = ({x, y, z, t} do, r} P;x) y clasificarla de acuerdo con las

reglas gramaticales que se dan en cad'a caso:

x--+zyt , t+o l1,oy-)1, 1y+ a,oz-+ 1 '12-+o l1

x +zt" zt-+tY, Y-+L, z-+a

x+zylyz, z+1, y-+o

x-+ly l tuy-+o,z-+ol1

Para las expresiones regulares sobre el alfabeto V ={o,t} , que se dan a

en cada caso dar cinco*

conünuaciónt o1*o;o*t*;(or)-;o* v 01* ;(o t' r)o- ;(o-r- )

palabras y el lenguaje regular asociado

6. Mostrar si las siguientes gramáticas son equivalentes:

Gr= ({a, b, ch{o,rhP; a)

a -+ co; co -+ rbr; 1c -+ obo; b -+L I o ; c --+L

Gz = ({a, b, ch{o,rhP; a)

a+rb; b->t / rc loc,c-+1

a)

b)c).1)

5.

52

L-.T*\[JT N [ {In|S T,]Tu|ÍTO D€ fT¡GE¡iIBfA E]t[ SISTEMAS DE INFORI{ACIÓNil,JrTffi.{TÉ\ D|aMELI' - CÁTEDBA GRANA.DO PERAL'TA

.l$o zorrTr.ABJuo plÁctlcox" 8

T en8¡¡qies, gramátic¡s, autómatas

e = i{a- b}:io.:.}:p: a)

a --+ rbt, u; b --+r I o

Autómatas

1. Dibujar el diagrama de transición y dar ia definición formal para cada uno delos siguientes diaglamas de transiciones:

a es estado inicial

a, b son estados finales

o12a es estado iniciai

c es estado final

o es estado inicial

a)

b)

a)

b)

a

b

c

abc

bca

c a b

c)

o

1

2

J

o1

r {o, z}

31

31

r es estado final

Dado el üagrama de transiciones dar explícitamente la función de transiciones y la

definición formal

tra

c)

U.T.N.F.R-B.A.-DNPENT¡ITEXTO DE INGENTERfA EN SISTEMA.S DE INFORMACIÓNMATE¡&(TICA DISCRETA _ CATEDRA GRANADO PERALTA

rn¡.r¿.¡S?ifficox"e'' " -' ' knguajes, gramáticas, autómatas

3. Con referencia al ejercicio anterior y mediante la observación del dígrafo dar ellenguaje que reconoce cada autómata. Justificar usa¡do las reglas.

4. Ciasificar los autómatas de los ejercicios anteriores en determinísticos, nodeterminísticos y completos.

5. Considerar el alfabeto 1r= {o,r}y diseñar un AF. que responda cada una de las

siguientes situaciones

Acepte un lenguaje no finito cu1'as paiabras tengan un número impar de cerosAcepte solo las siguientes palabras ooq 1oo; ooo; 111Acepte un lenguajes no finito cuyas palabras tengan un número impar de letras

Diseña¡ un autómata finito determinístico que reconozca el lenguaje

¡ = (ab., aba)* v a* , y dar el diagrama de transiciones.

Sea el autómata finito M = ({p,q}da,u}fu {o})donde la función 6 se define por la

tabla de transiciones:

a)b)c)

6.

n

6l a b

t[e,=]-61-q | @ {p,q}

Se pide indicar,justificando, si ias palabras azb, ba, b2a pertenecen al lenguajereconocido por el autómata

8. Diseñar un autómata finito que reconozca un lenguaje no finito, sobre V = {o,r}cuyas palabras tengan un número par de ceros j¡ un número impar de unos

9. Definir una gramática regular que genere el lenguaje I= {aa,bb, ab, ba} y dar elAutómata finito que lo reconoce

I

5¿+