TP matematica discreta granado peralta

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    24-Dec-2015

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Trabajos practicos . Materia matematicas discreta catedra susana granado peralta

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    o,Fl , lU=(oltlI

    MATEMATICA DISCRETAATICA KlFP1

    CENTRO deESTUDIANTES deINGENIERIATECNOTOGICA

    UTN.BUNIVERSIDAD TECNOLOGICA NACIONAL

    FACULTAD REGIONAL BUENOS AIRES

  • ?//?t2,rrtilagwrn@Jfz,-,%abrtz/gaau*z qgo,zal &tatn&

    -{i2,Ingeniela en Sistenws ile Infurmacin

    MATEUTTTCE DISCRETA

    CTSDRA CRANADO PERAITA

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    INDICE

    Tpico

    Programa

    Trabajo Prctico no rTrabajo Frctieo no zTrabajo Prctico no 3Trabajo Prctieo no 4Trabajo Prctieo no 5Trabajo Prctico no 6Trabajo Prctico no 7Trabajo Prctico no 8Trabajo Prctico no 9

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    Fk-

  • 1h,n"'rg12Teao@am'Jtrdona/%aru*n/fu uona/gKlra&-{i/er'

    Departamento Ingenieria en Sistemas de Informacin

    ASil@TATURA:

    DEPAXTAMENTO ING EN SIST DEINFORMACiON

    ARf,"T

    Br.oQtlE

    MODALIDAD:

    HOR-A,S SEM.: 6.horas'

    HOnAS/AO: qobras

    HORASRELOJ

    NTVEL: la

    o DEDICTADO:

    2011

    q* as"g+ UformtcrOndlfrrturo'Ingenieio,"' .,.;';' : "

    Et pido desarrollo ile las actuales computadoras, con su inmensa capacidad de clculo, con

    $ enorme rapidez, versatilidad, potencia de representacin grfica, posibidades para la

    modelizacin sin pasar por la forrrulacin matemtica de corte clsico,... ha abierto multud

    de campos diversos, con origen no ya en ia fisica sino en ohas muchas ciencias tales como la

    economa, las ciencias de Ia organizacin, biologa,... cuyos problemas resultaban opacos' en

    parte por las enormes mrsas de informacin que haba que tratar hasta llegar a dar con las

    intuiciones matemticas valiosas que pudieran conducir a procesos de resolucin de los

    dificiles problemas propuestos en estos campos.Por otra parte, el aceuto en los algoriros discretos, usados en las ciencias de la computacin,

    en la informtica, as como en la modelizacin de diversos fenmenos, ha dado lugar a u:r

    faslado de nfasis eu la matemca actual hacia la matemtica discreta. Ciertas porciones de

    ella son suficientemente elementales como para poder formar parte con xito de un progrrma

    inicial de matemtica.Para un profesional en sistemas de informacin, que precise una fomacin que le permita

    desarrollar investigaciones en la Informtica aplicada le es muy impoftante domina los

    temas bsicos y avanzados de la Matemtica Discreta Hay temas fundamentales parr uningeniero en sistemas tales como lgica, lgebra de Boole, mquinas de estados finitos y

    grafos, mtodos de demostracin, sistemas de numeracin y relaciones de recurrencia (i.e.

    eqaciones en diferencias) que no pueden ignorar-Por todo lo orpuesto se hace imprescindible que los alumnos conozcan y manejen

    correctamente los conceptos basicos de la Matemtica Discreta y que comprendan que son

    necesarios para conseguir soluciones rigurosas a problemas de muy diversas reas que

    encontrarn en asignaturas posteriores del plan de Estudios. De igual forma se pretende que

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    Departamento Ingeniera en Sistemas de Informacindichos alumnos desarrollen una cepacidad de resolucin de problemas en la que tengaimportancia el anlisis previo a su propia resolucin.

    ' t : r t l

    r dplicar mtodos inductivos, deductivos y recursivos en la resolucin de situacionesproblemticas y demostraciones matemticas.

    . Comprender los conceptos y procedimientos necesarios para resolver relaciones derecurreneia.

    . Aplicar propiedades y funciones definidas en los nmeros enteros y enteros nonegativos.

    o Caracterizar distintas estructuras algebraicas, enfatizando las que sean finitas y laslgebras de Boole.

    . Aplicar propiedades de grafos, grafos y rboles en la resolucin de situacionesproblemticas.

    ,

    6 horas catedra de acuerdo a lo establecido en el plan de estudios.

    c-oi ryl$#{ffi.l!ryqq ii:,.',:i,,.,,;,,,,,,'t:

    . Igca proposicional Clasica y de predicados de Primer Orden.

    . Teoa de Nmeros.

    . Induecin Matemtica

    ' Relacionesderecurrencia. EsfructurasAlgebraicas FinitasyAgebras de Boole.. Grafos dgrafosyrboles

    cot ,iit i!,,, ;,r,,': ,,t ,;. :.,i,. ;,,,,,,'.,,:,;i',

    Unidad l: CIcrrlo proposicional y crlculo de predicadosProposiciones. Conectivos. Equivalencias lgicas. Le,ves de la lgica. Tautologas yeon[adicciones. Cuanficadores. Implicaciones y derilaciones tgicas. Componentessintcticos del elculo de predicados. Variables libres y ligadas. Lgica de primer orden:sintaxis, semntica, reglas de inferencias, sistemas deductivos.

    Logros oedaggicos: Conocer la formalidad del lenguaje matemtico y laesfuctura de ios razonamientos bien formados

  • %osrvidgrro&hz'JVArztzJgazl/tu qgfural gut ?n' tkt'

    Departamento Ingeniera en Sistemas de Informacin

    Iffidtr: Teoa de ConfuntosOqtsmm y subconjuntos. Is operaciones y sus propiedades. Producto cartesiano y

    ff-*. Relaciones, matrices y dgrafos. Propiedades de las relaciones. Relaciones de

    tfeleneia y particiones. Relaciones de orden, elementos notables y diagrama de Hasse.

    Loeros pedagsicos: Manejarhenamientas importantes para resolver

    cuestionei afines a }a asignatura con la computadora y conocer la

    fundamentacin de las bases de datos relacionales'

    Eridad III: Teora de NmerosDivisbilidad. Algoritmo de ta visin. Mximo comn sor y mnimo comn multiplo-

    Torema fundamental de Ia aitrntica. Congruencias. Ecuacin lineal de congruencias.

    Tenrena cle Fermat.

    Logros oedaggicos: Conocer las bases matemticas de las herramientas

    utilizadas frecuentemente en teora de la informacin

    Uridad fV: Induccin y RecursividadConjuntos inductivos y Principio de induccin matemca. Definiciones recursivas'

    F"elaciones de resurrencia lineales homogneas con coefieientes constantes con races simples

    y reales, complejas y simples, reales mltiples. Relaciones de recurrencia lineales no

    bomogneas

    Log.oe pedaegicos: Reconocer y resolver ecuaciones recursivas aplicando

    metodologas especficas o un usando un proceso iterativo y que adems sea

    capaz de validar su resultado usando induecin matemca'

    Uniitad V: Eslructuras Algebraicas Finitas

    operaciones ceradas. Propiedades. Definicin y ejemplos de grupos. subgrupos. Grupos

    cclicos. Isomorfismo de grupos. co-clases y subgrupo normal. Teorema de Lagrange' Grupo

    cociente.

    Iogros pedaggicos: Couocer la estructura de grupo y aplicarla para

    disear cdigos de deteccin de errores en cdigo en bloque (cgos de

    grupo)

    EidadVt i{Igebras de BooleRetcrlo: definicin y ejenplos. Principio de Dualidad. Isomorfismos. lgebras de Boole

    hebras de Boole finitas. Maxitrminos y mini$rminos' Formas cannicas' Redes de

    mpuertas.

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  • ?lnaxnzg"zro@za'Jnatua/gazlh qglbra/ &E to&

    -{?8'Departamento Ingeniera en sistemas de Informacin

    Loo.os pedaggicos: Conocer la estructura matemtica del lgebra de

    noot. p pod* uplicarla a problemas concretos y diferenciarla del modelo

    matemitico de gruPo'

    Unidad VII: Grafos, Dgrafos y,{rboles

    Grafo: definicin formal ! oociones elementales. Matrices de adlncencia y de incidencia'

    Subgrafos. Caminos y cicls de Euler. Caminos y ciclos de Hamilton. Isomorfismo de grafos'

    Gafos dirigidos: definicin formal y nocionei elementales. Matrices de adyacencia y de

    ineidencia. caminos y ciclos de Euler. caminos y ciclos de Hamilton ' catactenTacin de los

    arboles. Arboles dirigidos y no dirigidos. boles con ra2. Recorrido ile rboles'

    I . .ogrospedaeqicos:Usargrafos,dgrafosyarbolesparamodelar

    Probiemas concretos'

    Unidad VIII: Lenguajes, Gramticas y Autmatas

    Operaciones con palabias. Operaciones con lenguajes. Clausuas de Kleene y Positiva de un

    lenguaje. Gramticas: definicin formal, obtencin de palabras y clasificacin' Lenguajes

    regulares y autmatas nitos-

    Lorros pedaegicos: se pretende dar una introduccin al tema Lenguajes,

    gr"-d"* y autmatas que pmfun?t* en la asignatura Sintaxis y

    emantica clel Lenguaje con el objeto de relaciona muchos de los temas

    desarrollados durante el cuatrimesfe en un tema especfico de la carrera'

    EqiEMctAol-is-'":;.;,,:,'i:;:;,"|rii

    N considera el aprendizaje como eonstmccin no se puede aceptar una separacin arbitraria

    entre teora y prctica: la propuesla es acercarse a los problemas integrando la teoa con la

    prctica como forma de gineracin de conocimientos y vinculanclo al alumno de una forma

    ms interesante y ugr"bi. con la disciplina, utilizando nuevas tecnologas y distintas

    estrategias didcticas segn la unidad'

    En las clases, que sernLrico- prcticas se inducir al alumno a participar activamente ; se

    ponclra especial nfasis en formar al estudiante como ln investigador en el tratamiento de

    cada uno de los temas abordados inducindolos a formular, probar y modelizar'

    Con eferencia a las demostraciones de propiedades slo se harn las que por su aporte a la

    formacin se consideren pertinentes, otras, "propiedades menores", que generalmentt

    "p"t."u" en la gua de Trabajos Prcticos, las harn los alumnos con Ia ayuda

    del doeente; el

    todos los casos se priorizar el conocimiento y manejo de las hiptesis al hecho de poder

    demostrar algo que tiene dos inconvenientes: por un lado est en todos los libros y por el otrt

    la estutlian de memoria.se Ie dar especial importancia al desarrollo de la capacidad crear'a'

    que a lo largo de Ii

    carrera y en su profesin le permir ser sensible a los cambios del contexto cufi

    consecuencia es logfar soluciones especficas adaptadas a cada circunstancia'

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    ?//r(t?rdaTezzo@an,Jtrt'orrz/gaaaegkbn&rrlroe.{i/%'

    Departamento Ingeniera en Sistemas de Inforrnacin

    r{ertinte el anlisis de datos para el uso de propiedades se facilitar una actitud de

    cryr'o;bacin sistemca de la validez de los supuestos sobre los cuales se basan

    afirmaciones.Se dacionarn cada una de las unidades temcas con otras asignaturas con el objetivo de

    fmecer una actitud interdisciplinaria en el batamiento de los problemas.

    Ccncretando, esta propuesta apunta a la combinacin integrada de conocimientos,

    habiliclades y actitudes eonducentes a un desempeo adecuado y oporfuno en diversos

    cotrtextos.

    roiu:6, ,;::;ir,,;;::iiif,:;;iii.;,:.,::,,'.iii.,.;.1,;.'.,,',,,i,';;:,::;|.i-i!'la ecahcin de los Conocimientos adquiridos es contiua y se formaliza de la siguiente

    forma:

    a) Entrega y defensa de un Trabajo Prctico integrador con problemas (no ejercicios) a

    resolver en grupo y defensa individual que inciuye todos los temas del programa.

    b) Aprobacin del 75o de parciales correspondientes a cada una de las unidades adesrrrollar ( evaiuacin de proceso)

    c) La aprobacin de un Parcial integrador que abarca todos los temas de la materia, que

    sgunla normava puede ser recuperado dos veces

    d) Si ha crrmplimentado las instancias anteriores est en condiciones de rendir el exmenfinal que est dirigido y prioriza (como durante toda la cursada)Ia formacin de un cuerpo de

    conocimientos)

    Algo para tener en cuenta es que todos los documentos escritos entregados por el alumno se

    les corrigen y entregan para que puedan eonsultar acerca de sus errores'

    rfii,, ii,:.,.,;i,,,r.;i-;-:,r:lrii,i';:.i',

    Se armar equipos integrados por un mnimo de cuatro alumnos y un mximo de seis los

    c$ales propondriin y evarn adelante una idea-proyecto de carcter tcnico-*minisativo relacionado con la carrera dento del rea de su inters. A partir de la idea,

    csostruirn en forma gradual cada pieza clave mediante la utilizacin de los procesosnecssgrios aprendidos en el transcurso de Ia asignatura-

    Sbograa obligatoria

    L Dorronsoro, J. .,Hernandez,E. ; tgg6; Nmeros, grupos v anill6s,; Addison Wesley

  • Skaenalzd{ernnfotam'gaa/tuggrbna/&ftttut{i/?,

    Departamento Ingeniera en Sistemas de Informacin2. Granado Peralta, S.; zoog; Matemtica Discreta; Etorial CEIT

    3. Isasi; Martinez & Borrajo; 1997; Lengaajes, Gramticas y Autmatas :un enfoqueprctico ;Addison Wesley

    4. Johnsonbaugb, R; 2oo5; Matemtias Discretas; Prentice Hall.

    S. Ross, IC,Wright,R; r99o; Matemticas Discretas ; Prentice HaIl

    Bibliografr a eomplementaria

    Grassmann,W. ; Tremblal', J ; tggS ; Matemtica Discreta y lgica, Prence HallKolnan Busbl', Ross; rg96;Discrete Mathematical Structures ; Prentice HallLiu, C. L; tggS Elementos de Matemticas Discretas;. Mc.Graw HillScheinerman, E. ; zool; Matemticas Discretas, Math;Trembla J.Manohar, R; 1996; Matemticas discretas con apiicaciones a lasciencias de la computacin; CECSA

    1.2.

    3.4.5.

  • iT

    U.T.N.F.R.B--DNPENTTTTNNTO DE INGENIERA EN SISTEMAS DE INFORMACINMArEMTrcA DrscRgrA - crgune cnNoo pERAlrA

    AozouTRABAJO PRAC'TI@N" T

    Calculo proposicional y crilculo de predicados

    r.r Sabiendo que p = "Marcos es un beb", g= "Marcos es feliz' escribir las siguientesafirmaciones en forma simblica

    a) Marcos no es un beb o es felizb) Marcos es un beb y es felizc) Marcos es beb o es felizd) Si Marcos es beb entonces es feiize) Marcos es feliz si y slo es beb.

    r.z Idencar las proposiciones simples y expresar simblicamente

    a) Mateo es alto y Marcos es pequeo y gil.b) Six es un nmero menor que g y y es menor que z entonces x es menor que z.c) Si no mal, Carlos conduca un auto colorado y deportivo y estaba

    acompaado por una mujer rubia.d) La inflacin ceder si y slo si se reduce el gasto pblico.e) Habr un brindis slo si no llueve.

    r.3 Construir en cada caso la tabla de verdad, -indica

    si se trat de u tautologa,eonngencia o contradiccin e identificar loy'enunc,radqslquiyalentg )

    a) (p^(p=+q))=+qb) (p=+q)

  • U.T.N.F.R.B.A,-DEPARTAIVIENTo DE INGEIERA EN SISTEMAS DE INFORMACINMATEMT4JTICA DISCRETA - CATEDRA GRANADO PERALTA

    AOzouTRABAJOPRflICIONO T

    Clculo proposicional y clculo de predicados

    LS Para cada una de las siguientes proposiciones se pide negarlas y simplificarlas

    (p.rq)=+q(pv- g)

    ^ l(- p v q) v (

    - (- p v

    - r)) n ql

    [ - (prq)nr]v -qp v- e, , [ (p ^

    q) "

    (p v- g) n (-P n q)](p.r(s^ e))v(-qns)[ [ [ (p "

    q) n r ] v [(p ^r ) n- r ] l v- ql=s

    Considerar el siguiente enunciado: "Si estudio Matemtica Discreta, entoncesaprobar el finaf. Se pide escribirla en lenguaje simbco y dar los enunciadosrcproco, inverso (contrario) y contrarreeproco en forma coloquial ]'simblicamente.

    Para la proposicin' si un polgono es un tiingulo entonces la suma de sus ngulosinteriores es 18o", se pide:

    Escbirla simblicamenteDar su valor de verdadEscribir la reeproca, la contrarrecproca y la contrariaDar el valor de verdad en cada caso

    r.8 Probar que las siguientes proposiciones son tautologas

    a) ((p r q) ,. - p) =q (silogismo disyuntivo)

    b) (p"(p=+q))=q (modusponens)

    c) p= (pv q) ( leyde acin)

    d) ( p "

    q) =p ( ley de simplificacin)

    e) ((p ?e) n (q+r)) = (p=rr) (silogismo hipottico o implicacin lgica)

    f) ((p ==rq) ^-

    q) 3 -p

    ( modustollens)

    r.9 Para cada uno de Ios siguientes casos indicar las reglas de inferencia que se usron:

    a) Si Pedro descubre que el auto est chocado, se pondr fuioso. Se que Pedro est

    al tanto de que el auto est chocado. Por lo tanto Pedro se pondr furioso.

    b) Sabemos que Mario comprara un Ford o un Corsa. Mario no compr el Corsa. Por

    Io tanto Maio comPr el Ford

    c) Si yo Io hice, estoy arrepentida, si no lo hice tambin estoy arrepentida. Por lo

    tanto estoy arrePentida

    1.1o Dar la validez de los siguientes razonamientos

    a) t$ =r) n (- p+9) z' (q >s)l = (-r =s)b) [[(- pv - e)

    = (r >s)] . (r:+t) r. -tl +p

    a)b)c)d)e)f)

    t.6

    L.7

    a)b)c)d)

  • U.T.N.F.R.B.A.-DEPARTAMENTO DE INGENIERA EN SISTEMAS DE INFORMACINMAIEMATTCA DISCREIA - CAIEDRA GRANADO PENALTA

    . AozouTRABAJO PRAC,IICON...