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UNQ. Dpto de Cienc ia y Tecnol ogíaAnáli si s Mat emáti co II
Año 2015 - 1
DIPLOMATURA EN CIENCIA Y TECNOLOGIA (UNQ)PROGRAMA DE ANALISIS MATEMATICO II
(Vigente desde el 1er Cuatrimestre de 1998 con posteriores modificaciones)
UNIDAD 1: Integrales impropias.
UNIDAD 2: Polinomio y fórmula de Taylor. Aplicaciones al cálculo aproximado.
UNIDAD 3: Representaciones en R3. Concepto de: distancia, entorno, punto deacumulación, conjuntos abiertos y cerrados. Funciones en varias variables. Curvas ysuperficies de nivel. Límite doble. Continuidad.
UNIDAD 4: Derivada parcial: definición e interpretación geométrica. Derivadas deorden superior. Diferenciabilidad. Plano tangente a una superficie.
UNIDAD 5: Derivada direccional: definición e interpretación geométrica. Gradiente.
UNIDAD 6: Derivada de la función compuesta: regla de la cadena.
UNIDAD 7: Funciones implícitas.
UNIDAD 8: Extremos libres y condicionados. Multiplicadores de Lagrange. Método de
los mínimos cuadrados. Fórmula de Taylor en dos variables.
UNIDAD 9: Ecuaciones diferenciales: conceptos básicos. Ecuaciones diferencialesseparables y homogéneas. Ecuaciones lineales de primer orden. Ecuaciones exactas.
Ecuaciones lineales de segundo orden: homogéneas y no homogéneas. Aplicaciones.
BIBLIOGRAFIA LARSON - HOSTETLER - EDWARS. "Cálculo". Editorial Mac Graw Hill. LEITHOLD LOUIS. "El cálculo con geometría analítica". Editorial Harla. SIMMONS GEORGE. “Ecuaciones Diferenciales con aplicaciones”. MacGraw Hill. STEIN SHERMAN K.. "Cálculo y geometría analítica". Editorial Mac Graw Hill. STEWART JAMES. "Cálculo". Grupo Editorial Iberoamérica (1ra y 2da edición)
//.Editorial Thomson (3ra/ 4ta edición) SWOKOWSKI EARL W. "Cálculo con geometría analítica". Grupo Editorial
Iberoamérica. ZILL DENNIS. "Cálculo con geometría analítica". Grupo Editorial Iberoamérica. ZILL DENNIS. "Ecuaciones diferenciales y aplicaciones". Grupo Editorial
Iberoamérica. THOMAS-FINNEY. “Cálculo en una variable”. Pearson-Addison Wesley-Logmans
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UNQ. Dpto de Cienc ia y Tecnol ogíaAnáli si s Mat emáti co II
Año 2015 - 2
Trabajo Práctico Número 0
Temas:
I-Repaso de conceptos de Análisis Matemático I
II-Repaso de algunos gráfico en R 2
III-Calculo de límites aplicando la regla de L’Hopital
SECCION I
Ejercicio 1: Cuando sea posible calcular los siguientes límites
(no aplicar la regla de L’Hopital )
a) 9 x
3 x 2 x l im 2
2
3 x
b) 3) (x 9) (x
3 x 2 x l im 2
2
3 x
c) 9) (x
3) (x 3) x 2 (x l im 2
2
3 x
d) 1) (x
1
1 x
e l i m
e) 2) (x
7 3 x l im
2
2 x
f) 4x
sen(5x) l im
0 x
nota: cuando los límites laterales sean
de distinto signo diremos que el límite
existe y es
g) ?consucedeQué¿
)(lim
2
2
2) ln(x l im
2 x l n
x
x
h) 5x x
1 2x x l im
4
2
x
i) 5x x
1 2x x l im 4
x
75
4
j) 3 x
3| |x l im
3 x
k) )x
1 sen( .x l im
0 x
l) senx l im x
Respuestas:
a) 2/3 b) c) 0 d) no existe
e)7
72 f) 5/4 g) h) 0
i) -5/7 j) no existe k) 0 l) no existe
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UNQ. Dpto de Cienc ia y Tecnol ogíaAnáli si s Mat emáti co II
Año 2015 - 3
Ejercicio 2:
2 si x 2
Sea f(x) = - x 2 + 4 si 1 x < 2
3x si x
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UNQ. Dpto de Cienc ia y Tecnol ogíaAnáli si s Mat emáti co II
Año 2015 - 4
Ejercicio 6: Calcular las siguientes integrales:
1. dx x 3
9. 2
1
.52 3
dx e x x 16.
dx x x ).1(
12
2. dx x 3 10. dx e x 3
4x 5 17. (*) dx x tg
3. dx 4 x
1
11. (*)dx l nx 18. dx 1 x
x
4. (*)dx 4 x
1 2
12. 2
1
dx x l n 19. (*))(cos2 dx x
5. dx 4 x
x 2
13. dx x l nx 20. (*)dx (7x) cos
2
6. dx e x )5( 14. dx
x x
1 3
7. (*))5( dx e x x
15. dx x 1) (x
1 2
8. dx e x x
3.52
(*) Verificar resultado con tabla de integrales
Algunas indicaciones y respuestas
1. C x
4
4
8. C e x
35
15
1
15. Sugerencia: aplicarfracciones simples
2. C x 34
4
3 9.
15
540 ee 16.Sugerencia: aplicar
fracciones simples
3. 4 x Ln + C 10. Sugerencia: efectuarprimero una sustitución con
u= 4x3 y luego por partes
17. C x )cos(ln
4. C x
arctg )2(
2
1
11. C x x x )ln( 18. Sugerencia: efectuarsustitución con u= x
1/2
5. C x Ln )4(2
1 2 12. 2 ln(2) -1 19. Sugerencia: recordar que
(cos u)2 = (1 + cos 2u)/2
6. C
e x
5
5
13. C x 2
)(ln 2
20. Sugerencia: recordar que
(cos u)2
= (1 + cos 2u)/2
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UNQ. Dpto de Cienc ia y Tecnol ogíaAnáli si s Mat emáti co II
Año 2015 - 5
7. C e x x )(251
5
5 14. Sugerencia: aplicarfracciones simples
Ejercicio 7:
Dada la ecuación de la circunferencia x2 + y 2 = 9
-a) hallar la ecuación de la recta tangente en (1; - 8 )-b) demostrar que en dicho punto la recta tangente es perpendicular al radio
-c) interpretar gráficamente.
Rta: y + 81/2
= 81/2
(x-1) /8
Ejercicio 8:
Una caja de base cuadrada tiene un volumen de 1000 cm3.
a) Encontrar las dimensiones de la caja para que su área lateral incluidas las tapas sea
mínima (respuesta: la caja es un cubo de lado 10 cm)
b) ¿es posible encontrar las dimensiones de la caja para que su área lateral incluidas las
tapas sea máxima? Justifique (respuesta: no es posible ya que la función área no estáacotada superiormente)
c) Responder a),b) sabiendo que 12≤ x≤ 15 siendo x una arista de la base (respuesta:
si hay porque la función área es continua en un intervalo cerrado, el área es mínima
cuando las aristas de la base miden 12cm y la altura 125/18 cm, el área es máxima
cuando las aristas de la base miden 15cm y la altura 40/9
Ejercicio 9:
Sea c(t) el caudal de agua que fluye hacia un depósito en función del tiempo t, es decir
c(t) representa la rapidez instantánea
-a) ¿Qué unidades tiene c(t)?; -b) ¿Qué representa físicamente c'(t)? -c) ¿Qué
representa 2
1
t
t
c(t).dt siendo t2 >t1
. SECCION II
Ejercicio 1: Graficar todos los puntos de R 2 que satisfacen las siguientes ecuaciones:
a) 1 3x y b) 6x x y 2
c) 10 8x 2x y 2 d) 2522 y x
e) 0 6y 2x y x 22 f) 1
9
)3(
4
22
y x
g) 14 22 y x h) 1
4
22
y x
i)x
y 1 j) 2
3
1
x y
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UNQ. Dpto de Cienc ia y Tecnol ogíaAnáli si s Mat emáti co II
Año 2015 - 6
k)2
1
x y l)
x e y
m) x y ln n) )3ln( x y
o) |3|ln x y
.
SECCION III
Ejercicio N° 1: Evaluar aplicando la regla de L´Hopital cuando sea posible.
a) lim o x 23
1
x x
e x
d) lim o x
xe x1
1
1
g) lim 0 x xec x g coscot
b) lim t
t
t
cos1
sen5 2
e) lim x x 1/1 xe h) lim 1 x )1ln()1( 3 x x
c) lim 0 x x
x
3ln
2ln
f) lim x xe x 35
i) lim x x
x x sen
Respuestas: a) 1/3; b) 10; c) 1; d) -1/2; e) 1; f) 0; g) 0; h) 0; i) 1
Ejercicio N°2:
Calcular las asíntotas horizontales y verticales para:
I) f(x) = x e x II) f(x) = x
xln III)
x
x x f
ln)(
IV))cosh(
)()(
x
x senh x f V)
)(
)cosh()(
x senh
x x f
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UNQ. Dpto de Cienc ia y Tecnol ogíaAnáli si s Mat emáti co II
Año 2015 - 7
Trabajo Práctico Número 1
Tema: Integrales Impropias
Ejercicio N° 1: Calcular si la integral impropia es convergente:
a) dx x
1
2
1 b) dx
x
x
2
ln
c)
1
5 x
dx d) dx
x
x
42
e)
0
cos dx x f)
dx x3
g) dxe x x
0
h)
0
dxe x x
i)
1
ln dx x x j) dxe x
3
k)
0
))(1( dx x sen
respuestas: son CV: a-g-j son DV :b-c-i-k-h Oscilante :e No CV :d-f
Ejercicio N° 2: Justificar analíticamente e interpretar gráficamente que:
dx x3
t
t
dx x3tlim
Ejercicio N° 3: Justifique lo siguiente:
111 11
11
x
dx
x
dxdx
x x
EjercicioN°4: Determinar todos los valores de k de modo de que la integral impropia
sea convergente. Interpretar la respuesta gráficamente.
a)
1
k x
dx b) dxe
kx
0
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Año 2015 - 8
respuesta: a) k >1 b) k
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Año 2015 - 9
b) 0
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Año 2015 -10
Ejercicio N° 12: (Aplicación física para los alumnos que han cursado Fìsica I) Sea
)(r F la fuerza que se realiza sobre un cuerpo en la dirección del eje r . Se define el
trabajo que se realiza para mover el cuerpo desde una posición r 1 hasta una posición r 2
como: 2
1
)(
r
r
dr r F W
Sea T la tierra, R el radio terrestre. Sea F(r) la fuerza (módulo) de la atracción entre
ella y un cuerpo de masa m.
Calcular
R
dr r F W )( en los siguientes casos:
a) 0)( k r
k
r F (constante)
b) 0)(2
k r
k r F (constante)
Interpretar físicamente. (Nota : la situación real es la (b)).
Propiedad: Criterio de comparación
H1) Sean f, g continuas en [a, + )
H2) )()(0),[ x g x f a x
1°) si
a
dx x g )( es
a
dx x f CV )( es CV
2°) Si
a
dx x f )( es
a
dx x g DV )( es DV
Ejercicio N° 13:
a) Usando el criterio de comparación, probar que las siguientes integrales sonconvergentes:
I) dxe x
1
2
II) dxe x
0
2
m
r
T
R
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UNQ. Dpto de Cienc ia y Tecnol ogíaAnáli si s Mat emáti co II
Año 2015 -11
III) dx x x
x
132 10
IV) dx x
x
1
2
2sen
V)
0 xe x
dx
b) Idem, probar que las siguientes integrales son divergentes:
I) dx x
e x
1
II) dx xe
e x
x
2
Ejercicio N°14: Analizar si las siguientes integrales impropias son convergentes o
divergentes aplicando el criterio de comparación
a)
1
31 x
dx b)
0
3 1 xe
dx c)
4 1 x
dx d)
22 1 x
dx
e)
0
6
1 x
dx x f)
2
ln x
dx g) dx
x
x
cos2 h) dx
x
senx
2
1
respuesta : son CV :a-b-e-h son DV : c-d-f-g
Ejercicio N°15: Se sabe que f, g son continuas en el intervalo [0, +∞), )()(0 x g x f
y
0
)( dx x g es CV. ¿Puede asegurar la CV de las siguientes integrales? Justifique
a) dx x x x f
02 3
)( b)
0
dx x x f )(
Ejercicio N°16:
Determinar si está acotada o no el área entre f(x) y g(x) con x ≥ 0
f (x)= 5+ e-3x , g(x)= 5+e-7x efectuar un gráfico aproximado de las funciones
indicando lo que está calculando
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UNQ. Dpto de Cienc ia y Tecnol ogíaAnáli si s Mat emáti co II
Año 2015 -12
Trabajo Práctico Número 2
TEMA: Polinomio de Taylor, fórmula de Taylor. Gráficos de Taylor
Ejercicio N° 1:
Simplificar las siguientes expresiones:
a)2)!4(
!16 b)
)!1(
!
n
n c)
)!2(
)!1()1( 2
m
mm d)
2)!3(
)!!3(
Ejercicio N°2:
I) hallar )(),1(),(),1(),0(),( )2()()()10()10()10( x f f x f f f x f nnn para las
funciones a) f(x)= x3 b) f(x) = 1/(2x+5)
II) Para cada una de las siguentes funciones encontrar una expresión para la derivada n-
ésima:
a) f(x)=ln x b) f(x) xe 2 c) f(x)=senhx d) f(x)=sen x e) f(x)=
)5(
1
x
f) f(x) = 32 5
1 x
x
Ejercicio N° 3: Dada xe x f )(
a) Desarrollar en potencias de x para n = 1, 2, 3.
b) Graficar en el mismo par de ejes cartesianos f(x), P 1(x), P 2(x), P 3(x) (usar
graficador)
c) Calcular con P 1(x), P 2(x), P 3(x) e0.2
, e-0.2
y compararlo con el valor exacto
d) Obtener P n(x)
e) A partir de c) mostrar que!
1....
!3
1
!2
111
ne . Verificar con la calculadora
para n = 5; 10; 20.
Ejercicio N° 4:
a) Escribir )()()( x R x P x f nn para xe x f )( alrededor de x = 0
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UNQ. Dpto de Cienc ia y Tecnol ogíaAnáli si s Mat emáti co II
Año 2015 -13
b) Calcular aproximadamente e con n = 5 y comparar con el valor de la
calculadora
c) Calcular aproximadamente1.0
e con n=2,3,4,5,10 y comparar con el valor de lacalculadora
d) Demostrar que si x es un número real positivo, entonces xe > )( x P n . Interpretar
gráficamente
e) ¿qué sucede si x
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Año 2015 -14
Ejercicio N° 8: Dada x x f 1)(
a) Hallar P 3(x) alrededor de x = 0.
b) Calcular 1,1 con P 3(x) y comparar con el resultado obtenido con la calculadora.
Respuesta: a) P3(x)=1+1/2 x- 1/8 x2+ 1/16 x3
Ejercicio N° 9: Sea 3)( x x f
a) Hallar P 3(x) alrededor de x = 8.
b) Calcular 3 6,7 con P 3(x) y comparar con el resultado obtenido con la
calculadora.
Respuesta: a) P3(x)=2+1/12 (x- 8) - 1/288 ( x-8)2 + 5/33 29 (x-8)3
Ejercicio N° 10: Justifique la validez de las siguientes fórmulas aproximadas para
x
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UNQ. Dpto de Cienc ia y Tecnol ogíaAnáli si s Mat emáti co II
Año 2015 -15
c) ln(1+x)= Pn(x) + R n(x) = =)1()1(
1)1()1(
1
11
1
n
x
ck
x n
n
nk n
k
k
d) ex= Pn(x) + R n(x) =)!1(!
1
0
n
xe
k
x nck n
k
e) x1
1 = Pn(x) + R n(x) =
1
20 )1(
1
nn
k n
k
xc
x
f) shx= P2n+1 (x) +R 2n+1(x) =)!22()!12(
2212
0
n
x shc
k
x nk n
k
nota: en todos los casos c está entre 0 y x
Ejercicio N° 12: Teniendo en cuenta los desarrollos del ejercicio N° 11 y
propiedades obtener P n(x) alrededor de x = 0 para:
a) f(x)= xe b) f(x)= sh 3x c) f(x)=21
1
x
d) f(x)=
x1
1 e) f(x)= x.e
x f) f(x)=
2 xe
g) f (x)=sen 3 x
respuestas :
a) n k
k
k
x
0 !)1( b)
n k k
k
x
0
1212
)!12()3( c) k
n
x2
0
d) n
k k x0
)1( e) n k
k x
0
1
! f)
n k
k
k x
0
2
!)1( g)
n k
k k
k
x
0
1212
)!12()3()1(
Ejercicio N° 13:
Sea g(x)= )2( 4 x f donde f(x)= ln(1+x)
a) aplicando propiedades escribir el polinomio genérico de Taylor de g(x) alrededor de
a=0 y determinar su grado
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UNQ. Dpto de Cienc ia y Tecnol ogíaAnáli si s Mat emáti co II
Año 2015 -16
b) teniendo en cuenta (a) escribir el polinomio de grado 12 y con el hallar
)0(),0( )8()7( g g
Ejercicio N° 14: Calcular mediante un desarrollo de Taylor del numerador y/o eldenominador. Utilizar los primeros términos del desarrollo y el resto correspondiente.
Verificar el resultado del límite por otro método.
Nota: tener en cuenta al calcular el límite que
1°) para toda función continua en un punto a existe un entorno de centro a dónde f está
acotada
2°) el límite del producto de una función acotada por otra que tiene límite 0 es 0
a) x xlim x sen0 b)
x xlim x cos10
c)
20
cos1
x
xlim x
d)k x
x
xlim
cos10
con N k e) 30
cos
x
x xelim
x
x
f)
1
ln1
x
xlim x
g)
21
sen20 x
xe
x xlim
x
x
h) x
x g
xlim x
cot120 (pista: primero reemplazar cotgx=cosx/senx y sumar las
fracciones)
Ejercicio No
15: Sea
t p
y
1001 con P > 0, t tiempo
a) Encontrar el tiempo para el cual y = 2 mediante una fórmula exacta.
b) Demostrar que el tiempo es aproximadamente igual a P
70 para valores
suficientemente pequeños de P . (Sugerencia, utilizar x x x )1(ln0 ).
Ejercicio N° 16: sabiendo que xe x 1 para x pequeños.
a) Aproximar
k
t t
e
0
con k y t 0
constantes.
b) Reemplazar en la expresión anterior para: I) t 0 = 1 ; t = 1,3 ; k = 10II) t 0 = 1 ; t = 1,3 ; k = 10
-4
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UNQ. Dpto de Cienc ia y Tecnol ogíaAnáli si s Mat emáti co II
Año 2015 -17
Verificar con la calculadora. ¿Qué conclusiones obtiene?
Ejercicio N°17: Calcular dx x x
5
4
)1(1 . (Indicación: utilizar Taylor en el
numerador alrededor de x=1)
Ejercicio N° 18: Sea f(x) cuatro veces derivable en el entorno de x=1. Su polinomio de
Taylor de grado 3 es P3(x)=2+(x-1)-1/2 (x-1)2+5(x-1)
3.
Sea g(x)=ef(x). Hallar Q3(x) siendo el polinomio de Taylor de grado 3 de g(x) alrededor
de x=1.
Ejercicio No
19: (optativo )En la teoría de la relatividad de Einstein, la masa de un objeto que se mueve a la
velocidad v es:
2
2
0
1c
v
mm
La energía cinética del objeto 202 .. cmcmk (1)
a) Demostrar v
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Año 2015 -18
b) dx x1
0
2sen Utilizar los tres primeros términos no nulos de P n(x)
(Indicación: efectuar previamente el desarrollo de sen x y luego sustituir por sen x2).
Ejercicio N° 22:
a) Decir si es posible desarrollar f(x) según la fórmula de Taylor alrededor de x = a,
I) 3)( x x f a = 0
II) x
x f
1
1)( a = -1
III) 3)( x x f a = 3
b) )()()( x R x P x f nn Donde f es una función infinitamente derivable en R. ¿Es
verdadera la siguiente afirmación?
0)(: x Rlim R x nn
Indicación :observar la gráfica del ejercicio 25-5
Ejercicio No24 (optativo )
Un hilo pesado sostenido por sus extremos, bajo la acción de la fuerza de la gravedad
se deforma según la curva llamada catenaria, cuya expresión analítica es:
a
xa y cosh. con a > 0
(Recordar cosh x =2
x x ee )
a) Demostrar analíticamente que para valores dea
x
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Año 2015 -19
a = 1 1 x a = 1 1.0 x
Ejercicio N° 25 : para contestar este ejercicio tenga en cuenta los gráficos de la guía
complementaria
1.1) en el gráfico n° 1 identifique la función ln x, y su asíntota vertical por derecha en
x=0
1.2) en el gráfico n°1 identifique los distintos polinomios de Taylor y agregue la recta
tangente
1.3) en el gráfico n°1, mirando la gráfica ¿cuál es el intervalo de aproximación?
1.4) ¿cuál es la relación entre el gráfico n°1 y el n° 2 ? relacionar con el ejercicio 7
2.1) en el gráfico n° 2 identifique la función ex, y su asíntota horizontal por izquierda
en x=0
2.2) en el gráfico n°2 identifique los distintos polinomios de Taylor y agregue la recta
tangente
2.3) observe que para x>0 los polinomios de Taylor se aproximan por defecto (ejercicio
4) ¿qué sucede si x
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UNQ. Dpto de Cienc ia y Tecnol ogíaAnáli si s Mat emáti co II
Año 2015 -20
6.1)en el gráfico n° 7 para P3 (x) tener en cuenta el ejercicio 8.Identificar la función y
los polinomios
Gràficos de Taylor:
1) Taylor de la funciòn Logari tmo f(x) = lnx alrededor de x = 1 degrado 2,3, y 4
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Año 2015 -21
1bis)Taylor de la funciòn Logari tmo f(x) = ln (x+1) alrededor de x = 0de grado 2,3, y 4
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Año 2015 -22
2)Taylor de la función exponencial f(x) = e x alr ededor de x = 0 de grado
2,3, y 4
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Año 2015 -23
3)Desarrollo de Taylor de la función f (x) = sin x alr ededor de x= 0 paragrados 1,3 y5
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Año 2015 -24
4)Desarrollo de Taylor de la función f(x) = cos x alrededor de x = 0 paragrados 2,4,y6
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Año 2015 -26
6)Grafica de la función f( x) = e x con su polinomio de Taylor de grado
10 alrededor de x = 0
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7)Polinomio de Taylor de la función f(x) = SQRT (1+x) de grado 3, 6 y 9alr ededor de x = 0