tor vergata - anmil.it · nome di biomeccanica. La biomeccanica ha come oggetto lo studio del movimento del corpo umano; in parti-colar modo studia ed analizza: la distribuzione delle

universita degli studi di roma“tor vergata”

Facolta di Ingegneria

Corso di Laurea Specialistica in Ingegneria Medica

Applicazione del principio di minima azione

di Gauss all’analisi biomeccanica

di sistemi multibody

Relatore: Candidata:

Prof. Ettore Pennestrı Martina Trebbi

Correlatori:

Dott. Francesco Nappi

Dott. Diego Rughi

Anno Accademico 2008/2009

A Nash

Abstract

The biomechanical evaluation of working activities is currently based on the indications

given by the standard ISO 11228. These indications require objective and subjective

estimations. The aim of the present work was to contribute in making this biomechanical

evaluation more objective.

In order to reach this goal it was created a 2D biomechanical model for the characte-

rization of dynamic and kinematic aspects of the human body, regarded as a multibody

system. The model, implemented in Matlab programming language, reconstructs the cen-

ters of mass trajectories, as well as their velocities and accelerations. Constraint forces

and driving torques at the joints are computed as well.

The model receives as input centers of mass initial positions, forces applied to bodies,

antropometric data, such as segment’s masses and moments of inertia, and the rehonomic

constraints. The latter are the only information required for each time instant conside-

red. Kinematic data (rehonomic constraints data) are experimentally obtained from an

optoelettronic system, while antropometric data are obtained from literature. The equa-

tions of motion for the constrained system are solved, by means of the Udwadia-Kalaba

formulation. Then, using a numerical integration routine, velocities and positions are

computed.

The model has been validated comparing its kinematic outputs with those of the opto-

elettronic system, while for the dynamic outputs the comparison has been made with that

of a muscular model developed in another thesis. In both cases a satisfactory agreement

with experimental data was obtained.

The model has been tested for monitoring a simple case of manual material handling,

one of the main causes of working related injures. In particular, the results have been

compared to the standard ISO 11228-1, based on NIOSH lifting equation. The results

obtained are fully consistent with those from lifting equation. As a general pattern it was

observed that a lifting activity can be considered safe when the subject, adopting small

and unconscious postural adaptations, is able to avoid drastic increases in joint torques.

Indice

1 Il fascino del moto 1

1.1 Modelli matematici . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

1.2 Studio biomeccanico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

1.3 Motivazioni e metodi del presente lavoro di tesi . . . . . . . . . . . . . . . 10

1.4 Overview della tesi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

2 Dinamica analitica 13

2.1 Sistema di riferimento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

2.2 Postulati fondamentali della dinamica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

2.3 Relazione simbolica della dinamica continua . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

2.4 Equazione simbolica della dinamica continua . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

2.4.1 Relazione ed equazione simbolica della Statica . . . . . . . . . . . . 18

2.5 Principio di d’Alembert . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

2.6 Equazioni di Lagrange . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

2.7 Principio variazionale di Hamilton . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25

2.8 Principio di d’Alembert-Lagrange generalizzato . . . . . . . . . . . . . . . 27

2.9 Equazioni di Gibbs-Appell . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29

2.10 Minimizzazione di una funzione soggetta a vincoli . . . . . . . . . . . . . . 32

i

INDICE

2.11 Equazioni di Lagrange per sistemi di corpi . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32

2.12 Sistema di equazioni algebrico-differenziali . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34

3 Formulazione dinamica

con il principio di Gauss 37

3.1 Spazio di configurazione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39

3.2 Vincoli . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40

3.2.1 Vincoli olonomi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40

3.2.2 Vincoli non olonomi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43

3.3 Principio di Gauss . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46

3.4 Operativita del principio di Gauss . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48

3.5 La reazione dei vincoli . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51

3.6 Un ulteriore esame dell’equazione fondamentale . . . . . . . . . . . . . . . 52

3.7 Equazione fondamentale e meccanica Lagrangiana . . . . . . . . . . . . . . 53

3.8 La formulazione di Udwadia-Kalaba . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57

3.9 Formulazione stabilizzata di Baumgarte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59

4 Analisi della struttura cinematica 61

4.1 Definizioni . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61

4.2 Coppia rotoidale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65

4.3 Coppia prismatica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67

4.4 Vincoli reonomi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70

5 Analisi del movimento 72

5.1 Basi di ricostruzione 3D . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74

5.2 Calibrazione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79

5.3 Markers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81

5.3.1 Markers attivi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82

ii

INDICE

5.3.2 Markers passivi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82

5.4 Videocamere . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83

5.5 Sincronizzazione dei sensori e marker detection . . . . . . . . . . . . . . . . 84

5.6 Elaborazione da parte del computer . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85

5.7 Sistema BTS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87

5.7.1 Componenti del sistema . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88

5.7.2 Calibrazione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91

6 Modello 95

6.1 Main . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97

6.2 Scrittura delle equazioni vincolari . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103

6.2.1 Constraint . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103

6.2.2 Driving . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103

6.2.3 Driving derivatives . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105

6.2.4 Interpolazione spline . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105

6.3 Generazione degli elementi costitutivi delle equazioni del moto . . . . . . . 106

6.3.1 Jacobian . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106

6.3.2 Massa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106

6.3.3 Forza & Timeforcevar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107

6.3.4 Fgamma . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107

6.3.5 Lambda . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108

6.4 Risoluzione delle equazioni del moto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108

6.4.1 Accel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108

6.4.2 Dinamica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109

6.5 Funzioni accessorie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109

6.6 Output grafici del modello . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 110

iii

INDICE

7 Analisi sperimentale e risultati 111

7.1 Flesso-estensione della spalla . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112

7.1.1 Setup sperimentale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112

7.1.2 Modellazione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114

7.1.3 Risultati . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 117

7.1.3.1 Doppia flesso-estensione della spalla . . . . . . . . . . . . 117

7.1.3.2 Estensione della spalla . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122

7.2 Flesso-estensione del ginocchio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 127


7.2.2 Modellazione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 129

7.2.3 Risultati . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 133

7.2.3.1 Doppia flesso-estensione del ginocchio . . . . . . . . . . . 133

7.2.3.2 Flesso-estensione del ginocchio . . . . . . . . . . . . . . . 138

7.3 Flesso-estensione del gomito . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 142


7.3.2 Modellazione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 143

7.3.3 Risultati . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 147

7.3.3.1 Doppia flesso-estensione del gomito . . . . . . . . . . . . . 147

7.3.3.2 Flesso-estensione del gomito . . . . . . . . . . . . . . . . . 150

8 Movimentazione manuale dei carichi 154

8.1 Metodo NIOSH . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 155

8.2 Limiti di applicabilita . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 159

8.3 Modellazione del caso sperimentale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 160

8.4 Analisi biomeccanica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 163

Conclusioni 171

iv

INDICE

A Inversa generalizzata di una matrice 174

A.1 MP-inversa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 175

A.2 G-inversa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 175

A.3 L-inversa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 175

A.4 Esistenza ed unicita della MP-inversa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 176

A.5 Calcolo numerico della MP-inversa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 178

A.5.1 Calcolo matrice pseudoinversa mediante fattorizzazione di Gram-

Schmidt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 180

A.5.2 Calcolo matrice pseudoinversa mediante decomposizione SVD . . . 180

A.5.3 Calcolo matrice pseudoinversa mediante algoritmo di Greville . . . 181

Bibliografia 183

v

Elenco delle figure

1.1 Scamnum Hippocraticum . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2

1.2 Giovanni Alfonso Borelli, padre della biomeccanica . . . . . . . . . . . . . 3

4.1 Nomenclatura . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64

4.2 Coppia rotoidale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65

4.3 Coppia prismatica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68

5.1 Le derby d’Epsom, Theodore Gericault, 1821 . . . . . . . . . . . . . . . . . 72

5.2 Il cavallo in movimento, 1878 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73

5.3 Illustrazione 2D dell’approccio fotogrammetrico . . . . . . . . . . . . . . . 75

5.4 Un sistema a tre telecamere . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76

5.5 Architettura sistema optoelettronico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88

5.6 Markers passivi BTS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89

5.7 Telecamere BTS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90

5.8 Smart-Analyzer . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91

5.9 Terna s.d.r. assoluto per sistema optoelettronico . . . . . . . . . . . . . . . 92

5.10 Processo di calibrazione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93

5.11 Risultato della calibrazione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94

vi

ELENCO DELLE FIGURE

6.1 Posizione del corpo i-esimo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97

6.2 Struttura del programma . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102

7.1 Posizione markers per flesso-estensione spalla . . . . . . . . . . . . . . . . . 113

7.2 Schema protocollo flesso-estensione spalla . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116

7.3 Andamenti cinematici tra schiena e braccio . . . . . . . . . . . . . . . . . . 118

7.4 Andamenti cinematici tra braccio e avambraccio . . . . . . . . . . . . . . . 118

7.5 Confronto coordinate braccio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 119

7.6 Confronto coordinate avambraccio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 119

7.7 Confronto velocita & accelerazioni schiena-braccio . . . . . . . . . . . . . . 120

7.8 Confronto velocita & accelerazioni braccio-avambraccio . . . . . . . . . . . 120

7.9 Dinamica per l’articolazione della spalla . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121

7.10 Dinamica per l’articolazione del gomito . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122





7.15 Confronto velocita & accelerazioni schiena-braccio . . . . . . . . . . . . . . 125

7.16 Confronto velocita & accelerazioni braccio-avambraccio . . . . . . . . . . . 125



7.19 Posizione markers per flesso-estensione ginocchio . . . . . . . . . . . . . . . 128

7.20 Schema protocollo flesso-estensione ginocchio . . . . . . . . . . . . . . . . . 131

7.21 Andamenti cinematici tra schiena e coscia . . . . . . . . . . . . . . . . . . 133

7.22 Andamenti cinematici tra coscia e gamba . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 134

7.23 Confronto coordinate coscia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 135

7.24 Confronto coordinate gamba . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 135

vii

ELENCO DELLE FIGURE

7.25 Confronto velocita & accelerazioni schiena-coscia . . . . . . . . . . . . . . . 136

7.26 Confronto velocita & accelerazioni coscia-gamba . . . . . . . . . . . . . . . 136

7.27 Dinamica per l’articolazione dell’anca . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 137

7.28 Dinamica per l’articolazione del ginocchio . . . . . . . . . . . . . . . . . . 137

7.29 Andamenti cinematici tra schiena e coscia . . . . . . . . . . . . . . . . . . 138

7.30 Andamenti cinematici tra coscia e gamba . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 138

7.31 Confronto coordinate coscia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 139

7.32 Confronto coordinate gamba . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 139

7.33 Confronto velocita & accelerazioni schiena-coscia . . . . . . . . . . . . . . . 140

7.34 Confronto velocita & accelerazioni coscia-gamba . . . . . . . . . . . . . . . 140

7.35 Dinamica per l’articolazione dell’anca . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141

7.36 Dinamica per l’articolazione del ginocchio . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141

7.37 Posizione markers per flesso-estensione gomito . . . . . . . . . . . . . . . . 142

7.38 Schema protocollo flesso-estensione gomito . . . . . . . . . . . . . . . . . . 146













viii

ELENCO DELLE FIGURE

8.1 Fattori demoltiplicativi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 158

8.2 Classi di rischio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 158

8.3 Posizione markers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 162

8.4 Cinematica tra schiena e braccio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 164

8.5 Confronto coppie alla schiena . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 165

8.6 Angolo schiena . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 166

8.7 Confronto coppie alla spalla . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 166

8.8 Confronto coppie all’articolazione del gomito . . . . . . . . . . . . . . . . . 167

8.9 Confronto potenze nella schiena . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 168

8.10 Confronto potenze nella spalla . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 168

8.11 Confronto parziale coppie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 169

8.12 Confronto parziale potenze . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 170

ix

Capitolo 1Il fascino del moto

La meccanica e una branca della fisica che studia il movimento e la deformazione di corpi

solidi inanimati sui quali agiscono disturbi meccanici chiamati forze. Verso la fine del XVII

secolo si inizio ad applicare la teoria meccanica anche ai sistemi biologici considerati come

strutture fisiologiche sottoposte, anch’esse, a sollecitazioni statiche e dinamiche. Lo studio

della meccanica dei sistemi biologici, in particolar modo del corpo umano, prese quindi il

nome di biomeccanica .

La biomeccanica ha come oggetto lo studio del movimento del corpo umano; in parti-

colar modo studia ed analizza:

� la distribuzione delle sollecitazioni ossee;

� le azioni a livello articolare;

� l’intervento muscolare durante il movimento e il mantenimento posturale.

Il primo connubio tra meccanica e anatomia si puo far risalire all’antica Grecia grazie al

contributo di Aristotele (384-322 a.C.) il quale, nel “De Motu Animalium”, non si limito ad

osservare il movimento dell’animale, ma prese in considerazione anche questioni specifiche,

come ad esempio la differenza fisiologica tra immaginare un’azione ed eseguirla. Si puo

quindi riguardare Aristotele come un antesignano biomeccanico.

1

Cap.1 Il fascino del moto

Ippocrate (460-377 a.C.), uno dei padri della medicina, intorno al 400 a.C. sfrutto la

forza di gravita per alleviare la pressione sui dischi intervertebrali e per ridurre l’insorgenza

e gli effetti del mal di schiena. Per fare cio utilizzo una sorta di scala a cui veniva legato

il sofferente. Ideo inoltre un letto per la trazione vertebrale che chiamo Scamnum.

Figura 1.1: Scamnum Hippocraticum

Le prime ricerche in merito a come si muove il corpo umano furono pero condotte

solamente due millenni dopo ad opera di Leonardo da Vinci (1452-1519), seguito poi da

Galileo Galilei (1564-1643) e Isaac Newton (1642-1727), i quali gettarono le basi per la

comprensione teorica della fisica e delle scienze naturali. Un allievo di Galileo, Giovanni

Alfonso Borelli (1608-1679) sulla scorta delle sue conoscenze di medicina, matematica e

fisica, inizio un percorso di studi sul movimento del corpo umano: mostro che i muscoli e

le ossa formano un sistema di leve, e che durante alcuni movimenti ci sono articolazioni

che trasmettono forze molto maggiori del peso corporeo. Determino la posizione del centro

di gravita corporeo, e dimostro che la respirazione e un processo guidato dai muscoli nella

fase dell’ispirazione, mentre l’espirazione e dovuta all’elasticita tissutale. Raccolse le sue

scoperte nell’opera “De Motu Animalium”, pubblicato postumo e da molti definito come

il vero e proprio inizio della biomeccanica.

2


Figura 1.2: Giovanni Alfonso Borelli, padre della biomeccanica

Borelli fu certamente tra i primi ad effettuare, in campo biologico, quelle operazioni di

idealizzazione della realta naturale indicate dalla rivoluzione galileiana.

e interessante la descrizione che Borelli fornisce dell’uomo che cammina

“L’uomo non avanzerebbe se sollevasse solo alternativamente i piedi da terra e li rimet-

tesse poi nelle stesse posizioni dalle quali li aveva alzati, ma occorre che cambi posto sul piano

dell’orizzonte, muovendo in avanti tutta la mole del corpo umano. Bisogna dunque ricercare

con quali organi e con quali azioni avvenga cio. Ad un primo sguardo il camminare umano

si puo paragonare al movimento di un compasso...”

Questa descrizione, sebbene affascinante dal punto di vista estetico, mostra come lo

studio biomeccanico fosse ancora ad un livello embrionale, sia per le scarse conoscenze

fisiche sia per l’impossibilita di vedere il fenomeno ad una velocita ridotta. All’inizio per

ambedue questi motivi, poi per il secondo soltanto, gli studiosi del diciottesimo secolo

e di buona parte del diciannovesimo furono condannati ad una visione quasi-statica del

fenomeno uomo in movimento.

e solo con la nascita dell’analisi del movimento, ad opera di Eadweard Muybridge

(1830-1904) in America e Ettiene-Jules Marey (1830-1904) in Francia, che fu possibile ef-

3


fettuare il decisivo passaggio dalla statica alla dinamica. L’opera di Marey “La machine

animal, locomotion terrestre et arienne” segna la nascita della cronofotografia e del supe-

ramento dei limiti sensoriali del ricercatore, consentendo un’analisi piu approfondita del

fenomeno movimento umano.

L’era moderna per la disciplina della biomeccanica comincia negli ultimi anni del Nove-

cento con i lavori sulla locomozione umana di Wilhelm Braune (1831-1892) e Otto Fischer

(1861–1916). Mediante tecniche stereofotogrammetriche questi studiosi riuscirono a ricava-

re le traiettorie di punti di repere anatomici, insieme alle relative velocita ed accelerazioni;

furono anche tra i primi a determinare alcune delle forze agenti all’interno del corpo uma-

no. Nella prima meta del ventesimo secolo non ci furono grandi innovazioni dal punto di

vista della descrizione meccanica del movimento umano, ma piuttosto nuove conoscenze

nel campo della neurofisiologia indagarono sui meccanismi regolatori del Sistema Nervoso

Centrale e fornirono una visione piu precisa dei processi di comando dei movimenti e della

natura riflessa di alcune azioni motorie, grazie soprattutto al contributo degli scienzia-

ti russi I.P. Pavlov (1839-1936) e I.M. Secenov (1829-1905), ed alla scoperta del riflesso

condizionato. Nel 1967 lo scienziato russo N. A. Bernstein (1896-1966) presento la sua

tesi sul carattere circolare dei processi di comando, con la quale intuı che e impossibile

capire il movimento, senza tenere conto della meccanica e delle caratteristiche dei muscoli

“attuatori” del movimento stesso. Gran parte dello sviluppo della biomeccanica si deve

alla scuola russa dell’ex URSS, in particolare la sua evoluzione in ambito sportivo. Nel

1939 venne pubblicato il manuale “La biomeccanica degli esercizi fisici” redatto da E.A.

Kotikov, docente di biomeccanica presso l’Universita di Leningrado. Nel 1958 la biomecca-

nica divento studio obbligatorio in tutte le scuole superiori di educazione fisica dell’URSS.

I paesi socialisti (URSS), durante la Guerra Fredda, tentarono di dimostrare la propria

supremazia attraverso l’unico punto di contatto con i paesi occidentali, cioe le manifesta-

zioni sportive internazionali. La ricerca biomeccanica si presto perfettamente allo scopo;

solo successivamente anche nel resto d’Europa e negli USA cominciano a circolare e a

4

Cap.1 Il fascino del moto § 1.1 Modelli matematici

diffondersi traduzioni di testi che illustravano i principi biomeccanici.

Ad oggi, l’analisi del movimento trova spazio in molti settori:

� medico, sia clinico che riabilitativo;

� scientifico, per lo studio del movimento;

� sportivo, per l’analisi del gesto sportivo;

� cinematografico e ludico, nei film di animazione e nei videogiochi di ultima genera-

zione.

Esistono molti sistemi per la cattura e l’analisi del movimento; sicuramente il gold standard

e rappresentato dai sistemi ottici, come il Vicon, ma accanto a questi sistemi ne sono fioriti

molti altri: inerziali, elettromagnetici, o basati sull’uso di accelerometri o goniometri.

Ognuno di questi sistemi ha pregi e difetti. Nel seguito si fara riferimento solamente a

sistemi ottici, sicuramente i piu diffusi in ambito scientifico e commerciale.

1.1 Modelli matematici

Esistono varie classificazioni dei modelli matematici utilizzati per caratterizzare la cine-

matica e la dinamica dei corpi; ogni classificazione mette in luce aspetti diversi dei modelli

stessi. Una prima classificazione e quella che divide i modelli in fenomenologici ed anato-

mici. I primi sono sicuramente piu rudimentali dei secondi, poiche descrivono il compor-

tamento dei corpi in esame senza addentrarsi in una dettagliata modellazione delle loro

strutture; i secondi, pero, richiedendo un’accurata descrizione della geometria dei corpi

indagati, nonche delle proprieta meccaniche dei materiali che li costituiscono, non sono

adatti alla descrizione di sistemi complessi di corpi. Tipicamente vengono quindi utilizzati

nello studio di singole articolazioni.

Una seconda classificazione che puo essere adottata riguarda lo scopo per il quale il modello

e stato realizzato; adottando tale classificazione, ad esempio si avranno:

5


� modelli predittivi, in cui si usano sistemi di motion capture per creare un modello

che predica il moto futuro del corpo in esame, ad esempio per analizzare i movi-

menti anticipatori di aggiustamento della postura. L’autore di riferimento in questo

ambito e Chaffin [13], il cui modello si basa sulla regressione: un gran numero di

dati vengono collezionati con una strumentazione che permette di catturare il mo-

vimento, compresi gli andamenti temporali degli angoli tra i segmenti corporei in

esame. Questi angoli sono poi input per il modello di regressione, che e usato per

predire l’andamento dell’angolo tra i segmenti corporei in un task simile; il problema

di questo modello e che non sempre i movimenti predetti sono attuabili. Un altro

metodo, sviluppato da McGuan [38] con l’utilizzo del software ADAMS (Mechanical

Dynamics, MSC Softwares), usa la motion capture per predire il moto e fa ricorso

ad un sistema di controllo per scartare movimenti fisicamente inattuabili.

� modelli per l’analisi di un singolo movimento, con applicazioni in scienza dello sport,

medicina, ortopedia e ergonomia; in questo caso tipicamente si modella solamente il

distretto corporeo di interesse. Il movimento sicuramente piu analizzato e il cammi-

no; gli autori piu autorevoli in questo campo sono Winter [49], Anderson & Pandy

[4], Davy & Audu [21]. Molti altri movimenti sono stati presi in esame, come ad

esempio il salto, il calcio, il sollevamento da posizione seduta o il maneggiamento di

un oggetto.

� modelli per la creazione di realta virtuali, utilizzati soprattutto nella computer gra-

phic e nella simulazione di eventi. Esistono in commercio molti software basati su

tali modelli. Un impiego alternativo e stato sviluppato da un team italiano per l’ana-

lisi della postura: questi autori hanno creato un modello 3D parametrico total body

(LAMPO). I parametri da settare sono ricavabili a partire dalle posizioni dei mar-

kers ottenute mediante sistema optoelettronico, e tali parametri vengono utilizzati

per adattare i parametri antropometrici presenti nel modello al soggetto in esame.

6


Con questa caratterizzazione si ricavano le dimensioni dei vari segmenti ossei, non-

che la loro posizione; mediante un software di modellazione grafica 3D si ottiene la

ricostruzione tridimensionale dello scheletro del soggetto. Con tale approccio si puo

studiare la postura del soggetto, e valutare in tempo reale le correzioni alla postura

apportate mediante applicazione di dispositivi correttivi.

Un’ulteriore classificazione distingue i modelli sulla base delle grandezze che vengono for-

nite in input e in output; in questo caso si parlera di modelli cinematici, se si indagano

le relazioni tra i parametri del moto senza correlarli alle condizioni di carico, mentre si

parlera di modelli cinetici se nel modello si cerca la relazione tra parametri del moto e

carichi applicati. Ovviamente i modelli cinetici sono piu approfonditi, poiche legano il

moto alle cause che l’hanno generato. Questi modelli sono ulteriormente classificati in

statici e dinamici. I primi determinano le forze e i parametri del moto in condizioni di

equilibrio per varie posizioni assunte dal corpo in esame; i modelli statici sono stati studia-

ti piu approfonditamente poiche, rispetto a quelli dinamici, presentano notevoli vantaggi

relativamente alla semplicita di modellazione e computazionale. Nei modelli statici, pero,

non vengono tenuti in conto gli effetti di carichi inerziali, e questo puo comportare di sot-

tostimare notevolmente lo stess sul sistema muscoloscheletrico, come mostrato da Ayoub

e Bernard [6, 9]. Per questo motivo i modelli piu diffusi sono sicuramente quelli dinamici,

che risolvono le equazioni del moto, soggetto a vincoli, per ottenere le forze e i parametri

del moto sotto condizioni dinamiche di carico.

Storicamente lo studio della dinamica si divide in due branche:

� dinamica diretta, se sono note le forze agenti sul corpo e da queste si vuole ricavare

il movimento del corpo stesso;

� dinamica inversa, se invece e noto il movimento e si vogliono conoscere le forze che

lo hanno causato.

7

Cap.1 Il fascino del moto § 1.2 Studio biomeccanico

Per questo motivo convenzionalmente si parla di modelli dinamici diretti e inversi; bisogna

notare, tuttavia, che il modello matematico in se non differisce tra dinamica diretta e

inversa, quello che cambia e solamente la scelta di quali gradezze considerare come dati

noti e quali invece come incognite da ricavare.

Di seguito verranno presi in considerazione solamente i modelli dinamici fenomenolo-

gici, poiche il modello sviluppato in questo lavoro di tesi appartiene a questa categoria.

1.2 Studio biomeccanico

L’obiettivo in biomeccanica e quello di ottenere modelli matematici in grado di descrivere

le proprieta dinamiche dello scheletro e i processi elettrochimici e fisiologici che avvengono

a livello cellulare e che determinano lo sviluppo della forza muscolare. Dal momento che la

deformazione elastica delle ossa puo essere trascurata nella maggior parte dei movimenti

umani, lo scheletro puo essere modellato come costituito da corpi rigidi, e si puo fare

ricorso all’approccio dei sistemi multibody. Applicando quindi i principi della meccanica

si derivano le equazioni del moto per il sistema di corpi in esame, e queste equazioni,

associate allle equazioni che esprimono i vincoli agenti sui corpi, formano un sistema di

equazioni algebrico-differenziali. Alla fine si avra un sistema di corpi rigidi, ognuno dotato

di una massa e di un momento di inerzia e connesso agli altri mediante coppie ideali prive

di attrito.

Inserendo ora nel modello anche i muscoli, a causa del problema della ridondanza

presente nel reclutamento muscolare, si dovra fare ricorso a tecniche di controllo ottimo.

Tenendo in conto tutte queste azioni si possono realizzare modelli muscoloscheletrici di

tutto il corpo umano; i maggiori esponenti in questo ambito sono Eberhard [25] e Rasmus-

sen [20], il cui modello e alla base del software commerciale AnyBody (Anybody Modeling

System TM). Modelli muscoloscheletrici sono stati sviluppati anche per singoli distretti

corporei, vedi Pennestrı [41] per l’arto superiore e Zajac [31] per quello inferiore.

8

Cap.1 Il fascino del moto § 1.2 Studio biomeccanico

Il problema maggiore presentato da questo tipo di modelli e la loro complessita, soprat-

tutto dovuta alla ridondanza del sistema muscolare, a causa della quale un dato esercizio

puo essere compiuto seguendo infiniti possibili moti. Sorge cosı il problema di compren-

dere il motivo per cui un dato individuo usa una specifica postura o moto; la postura

ed il moto dipendono dalla fisiologia, da strutture anatomiche individuali, da abitudini

personali, dall’esercizio, dalla motivazione e dall’ambiente in cui il moto ha luogo. Gli

esseri umani non solo si muovono in maniera differente gli uni dagli altri, ma si muovono

in maniera diversa a seconda dell’esercizio che intendono compiere e dei vincoli ambientali

che li circondano.

La ridondanza del sistema muscolare comporta che l’attivazione muscolare non puo

essere ricavata direttamente dalla dinamica inversa, e l’impostazione di un problema di

controllo ottimo e un processo complesso il cui risultato non e univoco. Inoltre, nelle

equazioni che bisogna risolvere per ricavare l’attivazione muscolare si devono impostare

molti parametri muscolari. Alcuni si possono ricavare da misure sperimentali, ma altri

devono essere presi dalla letteratura; poiche pero il valore di tali parametri e generalmente

variabile da soggetto a soggetto, la scelta del valore deve essere ponderata e verificata

sperimentalmente.

Per questi motivi molti autori hanno preferito sviluppare modelli in cui non vengono

presi in considerazione i muscoli, se non come azioni complessive sul sistema scheletrico

che generano il movimento. I modelli biomeccanici che non tengono in considerazione

i muscoli vengono detti scheletrici; questi ultimi, per essere veramente realistici, devono

modellare tutto il corpo e devono poter prevedere dei movimenti tridimensionali dei suoi

segmenti. Questo tipo di modelli ha una complessita computazionale notevole, che per

essere gestita ha bisogno di un calcolatore potente.

9

Cap.1 Il fascino del moto § 1.3 Motivazioni e metodi del presente lavoro di tesi

1.3 Motivazioni e metodi del presente lavoro di tesi

La valutazione biomeccanica del gesto lavorativo e attualmente fondata sull’impiego dello

standard ISO 11228, che richiede valutazioni di natura oggettiva e soggettiva. L’impor-

tanza di tale valutazione deriva soprattutto dalla necessita di certificare la non pericolosita

del gesto medesimo per la persona che lo compie.

Il lavoro svolto in questa tesi vuole essere un contributo per rendere piu oggettiva la

valutazione biomeccanica del gesto lavorativo e metterla quindi in relazione a grandezze

cinematiche rilevate sperimentalmente mediante l’impiego di un sistema optoelettronico.

Le grandezze dinamiche coinvolte nel gesto lavorativo, ovvero le coppie articolari, sono

state qui stimate utilizzando le equazioni della dinamica dedotte tramite metodologia

multibody.

Il modello biomeccanico sviluppato e un modello 2D total body implementato in lin-

guaggio Matlab; esso viene descritto nel dettaglio nel capitolo 6. La scelta di un approccio

bidimensionale e stata dettata da due circostanze: la prima e che il notevole aumento

della complessita di calcolo avrebbe richiesto prestazioni molto superiori di quelle che ha il

computer sul quale e stato fatto girare il modello, la seconda e che per i movimenti che si

intendeva analizzare, movimenti in gran parte compresi all’interno di un piano anatomico,

non era necessario ricorrere ad una formulazione tridimensionale. Il modello ricostruisce

traiettorie, velocita ed accelerazioni dei centri di massa, nonche le reazioni vincolari e le

coppie alle articolazioni. Gli input necessari sono le posizioni iniziali dei centri di massa,

le forze applicate ai corpi, i dati antropometrici, come masse e momenti d’inerzia dei seg-

menti, e i vincoli reonomi. Questi ultimi sono l’unica informazione richiesta dal modello

in ogni istante di tempo considerato. Tali input vengono in parte presi dalla letteratura

(per i dati antropometrici) e per la restante parte vengono ricavati sperimentalmente con

l’ausilio di un sistema optoelettronico. Le equazioni del moto del sistema vincolato sono

risolte, applicando la formulazione di Udwadia-Kalaba, che fa uso del principio di minima

10

Cap.1 Il fascino del moto § 1.4 Overview della tesi

azione di Gauss per ricavare le accelerazioni del sistema vincolato. Attraverso un processo

di integrazione numerica, poi, si derivano velocita e accelerazioni.

Dopo una fase di validazione, il modello e stato applicato all’analisi della sicurezza

sul lavoro in caso di movimentazione manuale dei carichi: analizzando la normativa vi-

gente si e rilevato che essa e basata su un metodo sviluppato dal National Institute for

Occupational Safety and Health che richiede di effettuare valutazioni sia oggettive che sog-

gettive, e che tra l’altro e teso ad evitare sforzi dannosi solamente a livello dell’articolazione

lombo-sacrale. I risultati ottenuti sono pienamente in accordo con quanto indicato dalla

normativa. Come caratteristica generale e stato osservato che un sollevamento puo essere

considerato sicuro se il soggetto, adottando piccoli e inconsci aggiustamenti posturali, e in

grado di evitare aumenti drastici delle coppie articolari.

1.4 Overview della tesi

Nel secondo capitolo vengono fornite le basi della dinamica analitica, secondo l’approccio

lagrangiano: partendo dai postulati fondamentali della dinamica si ricava l’equazione sim-

bolica della dinamica continua (PLV). Questa, espressa in termini di spostamenti virtuali

e tenuto conto dei vincoli, porta a ricavare le equazioni di Lagrange. Nel caso particolare

di spostamenti sincroni, integrando il PLV su un intervallo finito di tempo si ottiene il

principio variazionale di Hamilton. Grazie poi al principio di d’Alembert-Lagrange gene-

ralizzato si e arrivato a scrivere le equazioni di Gibbs-Appell, che rappresentano la forma

piu semplice delle equazioni del moto in meccanica lagrangiana. Si e poi provveduto ad

applicare le equazioni di Lagrange a sistemi di corpi, ottenendo il sistema di equazioni

algebrico-differenziali da cui si parte per ricavare il moto del sistema di corpi preso in

esame.

Nel terzo capitolo si ricava la formulazione di Udwadia & Kalaba: si parte dalla clas-

sificazione dei vincoli in olonomi e non-olonomi e si enuncia il principio di minima azione

11

Cap.1 Il fascino del moto § 1.4 Overview della tesi

di Gauss, mediante il quale si ricava l’espressione dell’accelerazione di un sistema vinco-

lato. Questa espressione viene utilizzata per ottenere l’accelerazione del sistema di corpi

in esame anche nel caso in cui i vincoli applicati non siano linearmente indipendenti tra

loro, ma solamente congruenti. Si mostra poi l’equivalenza tra equazione fondamentale di

Gauss e meccanica lagrangiana. Infine, si illustra la formulazione stabilizzata di Baumgar-

te, che permette di tenere sotto controllo le violazioni delle equazioni vincolari che possono

insorgere in seguito all’operazione di integrazione numerica svolta per ricavare velocita e

posizioni a partire dalla conoscenza delle accelerazioni del sistema.

Nel quarto capitolo vengono fornite le definizioni fondamentali della cinematica e ven-

gono ricavate le equazioni vincolari, nonche gli elementi della matrice Jacobiana e del

vettore γ, dovute alla presenza di coppie rotoidali e prismatiche e di vincoli reonomi.

Il quinto capitolo comincia illustrando i principi della ricostruzione fotogrammetrica,

mediante la quale si ricostruisce la posizione nello spazio di una distribuzione di punti a

partire da una serie di proiezioni bidimensionali della distribuzione stessa. Si illustrano

quindi i componenti fondamentali di un sistema di analisi del movimento. Infine, viene

descritto il sistema optoelettronico di analisi del movimento utilizzato.

Il sesto capitolo e dedicato alla descrizione del modello 2D sviluppato che permette

di risolvere il problema dinamico diretto di un sistema di n corpi rappresentati come

aste unidimensionali rigide ed inestensibili connesse tra loro mediante coppie rotoidali o

prismatiche ideali.

Nel settimo capitolo vengono presentate le prove sperimentali svolte e i risultati conse-

guiti per validare il modello e per confrontare i suoi risultati con quelli ricavati dal sistema

optoelettronico.

Nell’ottavo capitolo si decrive come il modello sia stato utilizzato per verificare la

validita della normativa esistente sulla movimentazione manuale dei carichi.

12

Capitolo 2Dinamica analitica

I modelli matematici per l’analisi dinamica di sistemi costituiti da corpi rigidi rientrano in

due categorie per quanto riguarda le equazioni che li governano:

� sistemi vincolati, cioe sistemi in cui il numero di coordinate utilizzate per descriverli

eccede il numero di gradi di liberta del sistema;

� sistemi con un numero minimo di coordinate.

Nel primo caso le equazioni del moto che si derivano formano un set di equazioni algebrico-

differenziali, computazionalmente inefficiente da risolvere, e affetto dal problema della

violazione dei vincoli.

L’altro approccio e quello di utilizzare un numero minimo di coordinate, che danno vita

ad un sistema di equazioni differenziali ordinarie di semplice integrazione numerica e non

affetto dal problema della violazione dei vincoli. Per un confronto tra le due metodologie

sara utile consultare [10]. Purtoppo la formulazione con un numero minimo di coordinate

puo essere molto complessa, soprattutto per sistemi con un numero di corpi elevato; per

questo motivo di seguito si ricaveranno le equazioni del moto solamente per il caso di

sistema descritto da un numero sovrabbondante di coordinate. Dopo aver ricavato tali

equazioni, si mostrera un metodo che permette di passare da un sistema costituito da

13

Cap.2 Dinamica analitica § 2.1 Sistema di riferimento

equazioni algebrico-differenziali ad un sistema di sole equazioni differenziali, e infine si

mostrera la formulazione stabilizzata di Baumgarte [7, 8], che permette di risolvere il

problema della violazione delle equazioni vincolari.

2.1 Sistema di riferimento

Per descrivere matematicamente un fenomeno meccanico e necessario anzitutto definire

un sistema di riferimento. Mentre in cinematica il s.d.r. puo essere scelto in maniera

arbitraria, in dinamica la scelta del s.d.r. influenza la forma delle equazioni di moto. Si

vorrebbe, pertanto, scegliere un sistema di riferimento rispetto al quale le equazioni del

moto abbiano la forma piu semplice possibile.

Osserviamo che, rispetto ad un s.d.r. qualsiasi, lo spazio e eterogeneo e anisotropo,

ed il tempo non e omogeneo; questo implica che, anche se un corpo non interagisce con

un altro corpo, le sue posizioni e orientazioni nello spazio, cosı come i diversi istanti di

tempo, non sono equivalenti. Tuttavia si puo sempre trovare un s.d.r. rispetto al quale

il tempo sia omogeneo e lo spazio omogeneo e isotropo; un s.d.r. siffatto viene chiamato

sistema di riferimento assoluto. La caratteristica fondamentale di tale s.d.r. e che la

sua terna di assi e solidale, o in moto rettilineo uniforme, con le stelle fisse. Il riferimento

temporale assoluto sara proporzionale all’angolo di rotazione della Terra rispetto alle stelle

fisse, mentre il riferimento spaziale assoluto sara misurato rispetto alla terna di assi del

s.d.r. assoluto.

2.2 Postulati fondamentali della dinamica

La derivazione delle formulazioni per la risoluzione della dinamica continua si basa su due

assiomi detti postulati fondamentali della dinamica.

Il primo postulato della dinamica dei sistemi afferma che:

14

Cap.2 Dinamica analitica § 2.3 Relazione simbolica della dinamica continua

Il moto di un sistema di n punti materiali1 P1, P2, ..., Pn, comunque vincolati tra loro

e verso il mondo esterno, puo essere determinato considerando i punti materiali privi di

vincoli, purche si aggiungano alle forze attive le reazioni vincolari che i vincoli esercitano

su di essi.

Il secondo postulato della dinamica dei sistemi, invece, afferma che:

Il lavoro (la potenza) delle reazioni vincolari in un sistema di n punti materiali

P1, P2, ..., Pn soggetto a vincoli lisci (o ideali), unilateri o bilateri, non e mai negativo

(negativa) per ogni atto di moto virtuale.

Di conseguenza, se l’atto di moto e reversibile e i vincoli sono lisci, unilateri o bilateri,

il lavoro (la potenza) delle reazioni vincolari e nullo.

Da questi postulati discendono la relazione simbolica della dinamica continua e l’ equazione

simbolica della dinamica continua, valide per sistemi qualsiasi, olonomi o anolonomi.2

2.3 Relazione simbolica della dinamica continua

Definite ~Fi la risultante delle forze attive e ~Ri la risultante delle reazioni vincolari agenti

sul generico punto materiale Pi (i = 1, 2, ..., n) di massa mi e accelerazione ~ri, dal primo

postulato si ricava che:

~Fi + ~Ri = mi~ri i = 1, 2, ..., n (2.1)

La relazione precedente puo essere riscritta come:

1Per punto materiale o particella si intende una particella che abbia dimensioni trascurabili rispettoallo spostamento cui e sottoposta, e possa quindi essere immaginata occupare un punto nello spazio.

2Un vincolo che si traduce in una relazione in termini finiti (o in ternini differenziali ma integrabili)tra le n coordinate e detto olonomo; tale vincolo non permette al sistema di raggiungere tutte le ∞n

configurazioni che raggiungerebbe se non fosse vincolato.Un vincolo anolonomo, invece, si traduce in una relazione differenziale non integrabile tra le n coordinate;tale vincolo permette al sistema di raggiungere tutte le∞n configurazioni che raggiungerebbe se non fossevincolato, ma impone delle limitazioni al modo in cui il sistema, partendo da una configurazione, ne puoraggiungere un’altra.

15

Cap.2 Dinamica analitica § 2.3 Relazione simbolica della dinamica continua

~Fi −mi~ri = −~Ri i = 1, 2, ..., n (2.2)

Moltiplicando scalarmente ambo i membri per lo spostamento virtuale3 δ~ri del generico

punto materiale Pi e sommando su tutti i punti materiali del sistema si ricava il lavoro

virtuale delle forze agenti sul sistema:

δL =n∑

i=1

(~Fi −mi

~ri

)· δ~ri = −

n∑i=1

~Ri · δ~ri (2.3)

Se invece si moltiplicano scalarmente ambo i membri della (2.2) per la velocita virtuale

δ~ri del generico punto materiale Pi e sommando su tutti i punti materiali del sistema si

ottiene la potenza virtuale delle forze agenti sul sistema:

δΠ =n∑

i=1

(~Fi −mi

~ri

)· δ~ri = −

n∑i=1

~Ri · δ~ri (2.4)

Per il secondo postulato inoltre, se i vincoli sono lisci, si ha:

n∑i=1

~Ri · δ~ri ≥ 0 (2.5)

e

n∑i=1

~Ri · δ~ri ≥ 0 (2.6)

Da cui si ricava

δL =n∑

i=1

(~Fi −mi

~ri

)· δ~ri ≤ 0 (2.7)

3Spostamento virtuale di un punto P, che si trova all’istante to nella posizione ~ro, e uno degli infinitispostamenti elementari tangenti alla traiettoria passante per ~ro che il punto puo compiere con vincoliirrigiditi all’istante di tempo to.

16

Cap.2 Dinamica analitica § 2.4 Equazione simbolica della dinamica continua

δΠ =n∑

i=1

(~Fi −mi

~ri

)· δ~ri ≤ 0 (2.8)

Quest’ultima disequazione e detta relazione simbolica della dinamica continua.

2.4 Equazione simbolica della dinamica continua

Se l’atto di moto e reversibile, se quindi i vincoli permettono di sostituire δ~ri con −δ~ri e

δ~ri con −δ~ri, si ottiene:

n∑i=1

~Ri · δ~ri = 0 (2.9)

n∑i=1

~Ri · δ~ri = 0 (2.10)

e quindi

δL =n∑

i=1

(~Fi −mi

~ri

)· δ~ri = 0 (2.11)

δΠ =n∑

i=1

(~Fi −mi

~ri

)· δ~ri = 0 (2.12)

La relazione (2.11) viene detta equazione simbolica della dinamica continua, o Principio

dei Lavori Virtuali (PLV), mentre l’equazione (2.12) e nota come Principio delle Potenze

Virtuali (PPV). E bene sottolineare che questi principi hanno origine ben diversa da quella

qui riportata e basata su un approccio assiomatico; per approfondimenti si puo vedere [12].

17

Cap.2 Dinamica analitica § 2.5 Principio di d’Alembert

2.4.1 Relazione ed equazione simbolica della Statica

Dalla relazione e dall’equazione simbolica della dinamica continua si possono dedurre la

relazione e l’equazione fondamentali della statica; ponendo ~ri = 0 nelle equazioni (2.7) e

(2.11) si ha:

n∑i=1

F · δ~ri ≤ 0 (2.13)

n∑i=1

F · δ~ri = 0 (2.14)

o anche dalle equazioni (2.8) e (2.12):

n∑i=1

F · δ~ri ≤ 0 (2.15)

n∑i=1

F · δ~ri = 0 (2.16)

dette rispettivamente relazione simbolica della Statica ed equazione simbolica della Statica.

2.5 Principio di d’Alembert

Confrontando le equazioni (2.7), (2.8) con le (2.13), (2.15), e le equazioni che esprimono il

PLV e il PPV (equazioni (2.11)(2.12)) con le (2.14) e (2.16) si deduce che la forza ~Fi−mi~ri

soddisfa la condizione di equilibrio, ovvero la forza d’inerzia −mi~ri equilibra in ogni istante

di tempo le forze attive agenti sul punto Pi.

Tuttavia si puo dare un’altra interpretazione alla forza ~Fi−mi~ri, riscrivendo l’equazione

(2.2) come:

18

Cap.2 Dinamica analitica § 2.6 Equazioni di Lagrange

(~Fi −mi

~ri

)+ ~Ri = 0 (2.17)

Il termine ~Fi−mi~ri equilibra la reazione vincolare ~Ri, e puo quindi essere visto come una

forza spesa per effetto dei vincoli. A patto di sostituire alle forze attive le forze perdute

e percio possibile passare dalle equazioni di equilibrio statico alle equazioni di equilibrio

dinamico del sistema. Questo principio e noto come Principio di d’Alembert. Esso, pur non

esprimendo niente di nuovo dal punto di vista matematico, e di fondamentale importanza

perche permette di ricondurre un qualsiasi problema di equilibrio statico al corrispondente

problema dinamico e viceversa.

2.6 Equazioni di Lagrange

Le equazioni di Lagrange rappresentano un potente strumento per dedurre le equazioni

del moto di un sistema meccanico.

Si consideri un sistema olonomo costituito da n punti materiali Pi (i = 1, 2, ..., n) soggetto

a vincoli lisci e bilateri; siano x1, x2, ..., xN le N coordinate generalizzate4 del sistema,

con N=3n in generale nello spazio euclideo. Il moto del punto materiale Pi sara funzione

delle N coordinate del sistema, e in presenza di vincoli reonomi, del tempo t :

~ri = ~ri (x1, x2, ..., xN , t) = ~ri(~x, t) i = 1, 2, ..., n (2.18)

Per derivazioni successive si ricavano la velocita e l’accelerazione del generico punto ma-

teriale Pi:

~ri =d~ridt

=N∑k=1

∂~ri∂xk

xk +∂~ri∂t

(2.19)

4In meccanica razionale un sistema di coordinate generalizzate (o lagrangiane) e un sistema dicoordinate, di numero pari ai gradi di liberta del sistema, che determina univocamente lo stato del sistema.

19


~ri =d2~ridt2

=N∑k=1

∂~ri∂xk

xk +N∑k=1

N∑j=1

∂~ri∂xk∂xj

xkxj +∂2~ri∂t2

(2.20)

Avvalendosi della regola pratica per il calcolo degli spostamenti virtuali5 si ottiene facil-

mente:

δ~ri =N∑k=1

∂~ri∂xk

δxk (2.21)

Poiche il sistema e olonomo, esisteranno s equazioni che descrivono i vincoli ( s < N ), e

sara possibile esprimere queste equazioni in termini finiti in funzione delle N coordinate e

del tempo t :

ϕh = ϕh (x1, x2, ..., xN , t) = ϕh(~x, t) = 0 h = 1, 2, ..., n (2.22)

Poiche inoltre gli spostamenti virtuali devono essere compatibili con i vincoli, segue neces-

sariamente che tali spostamenti devono soddisfare la relazione:

N∑k=1

∂ϕh

∂xkδxk = 0 (2.23)

L’equazione simbolica della dinamica continua in termini di spostamenti virtuali puo quindi

essere riscritta come:

δL =N∑k=1

n∑i=1

(~Fi −mi

~ri

)· ∂~ri∂xk

δxk = 0 (2.24)

Occorre tuttavia notare che in questa equazione non compaiono i vincoli; per ottenere

un’equazione di moto che tenga conto anche della presenza dei vincoli occorre introdurre

nell’equazione (2.31) l’equazione (2.23); per fare cio si osservi che, per definizione, gli spo-

5Si calcolano gli spostamenti differenziali effettivi d~ri, facendo comparire i differenziali dqk delle coor-dinate e il differenziale dt del tempo, quindi si sostituiscono i differenziali dqk con gli spostamenti virtualiδqk e si pone il differenziale dt pari a zero.

20


stamenti virtuali sono compatibili con i vincoli, e quindi e possibile tenere conto nell’equa-

zione (2.31) della presenza dei vincoli introducendo s moltiplicatori arbitrari λ1, λ2, ..., λs

detti moltiplicatori di Lagrange:

n∑i=1

(~Fi −mi

~ri

)· ∂~ri∂xk

=s∑

h=1

λh∂ϕh

∂xkk = 1, 2, ..., N (2.25)

Infatti, sostituendo la (2.25) nella (2.31) si ricava:

N∑k=1

s∑h=1

λh∂ϕh

∂xkδxk =

s∑h=1

λh

N∑k=1

∂ϕh

∂xkδxk (2.26)

che, per la (2.23), e identicamente nulla.

Le N equazioni scalari (2.25) dipendono, oltre che dagli s moltiplicatori di Lagrange,

dalle variabili xk e dalle loro derivate prime e seconde rispetto al tempo. Queste equazioni,

associate alle relazioni algebriche (2.28), consentono di determinare il valore dei moltipli-

catori di Lagrange e l’andamento delle coordinate xk, una volta che siano assegnate le

condizioni iniziali di integrazione, e vengono dette prima forma delle equazioni di Lagran-

ge. Tali equazioni hanno il vantaggio di consentire di scrivere le equazioni del moto di un

qualsiasi sistema in modo automatico, ma hanno lo svantaggio di introdurre un numero

sovrabbondante di incognite (N coordinate e s moltiplicatori, con un numero di g.d.l. del

sistema pari a N-s).

Si vuole ora derivare la seconda forma delle equazioni di Lagrange; per farlo si consideri un

sistema olonomo costituito da n punti materiali Pi (i = 1, 2, ..., n) soggetto a vincoli lisci

e bilateri; siano q1, q2, ..., qo le o coordinate libere, o coordinate lagrangiane, del sistema

(con n° g.d.l.=o). Il moto del generico punto materiale Pi sara funzione delle o coordinate

libere del sistema, e in presenza di vincoli reonomi, del tempo t :

~ri = ~ri (q1, q2, ..., qo, t) = ~ri(~q, t) i = 1, 2, ..., n (2.27)

21


Si potranno calcolare la velocita e l’accelerazione del punto come:

~ri =d~ridt

=o∑

k=1

∂~ri∂qk

qk +∂~ri∂t

(2.28)

~ri =d2~ridt2

=o∑

k=1

∂~ri∂qk

qk +o∑

k=1

o∑j=1

∂~ri∂qk∂qj

qkqj +∂2~ri∂t2

(2.29)

Come sopra, dall’equazione (2.28) si ricava:

δ~ri =o∑

k=1

∂~ri∂qk

δqk (2.30)

L’equazione simbolica della dinamica continua scritta in termini di spostamenti virtuali

sara:

δL =o∑

k=1

n∑i=1

(~Fi −mi

~ri

)· ∂~ri∂qk

δqk = 0 (2.31)

Poiche tale equazione deve essere verificata per ogni spostamento virtuale segue necessa-

riamente che:n∑

i=1

(~Fi −mi

~ri

)· ∂~ri∂qk

= 0 k = 1, 2, ..., o (2.32)

Le equazioni appena ricavate sono o equazioni differenziali del secondo ordine nelle o

coordinate lagrangiane qk = qk(t); note 2o condizioni iniziali mediante integrazione si

risale al moto del sistema. Si procedera ora alla riscrittura di queste equazioni in una

forma piu canonica; per farlo si parte dall’espressione dell’energia cinetica del sistema

considerato:

T =1

2

n∑i=1

mi~ri · ~ri (2.33)

e in tale espressione si sostituisce l’espressione della velocita del generico punto materiale

Pi:

22


T =1

2

n∑i=1

mi

(o∑

k=1

∂~ri∂qk

qk +∂~ri∂t

)·

(o∑

h=1

∂~ri∂qh

qh +∂~ri∂t

)(2.34)

Sviluppando ora tale espressione si avra:

T =1

2

o∑k=1

o∑h=1

(n∑

i=1

mi∂~ri∂qk· ∂~ri∂qh

)qkqh +

o∑k=1

(n∑

i=1

mi∂~ri∂qk· ∂~ri∂t

)qk+

+

(1

2

n∑i=1

mi∂~ri∂t· ∂~ri∂t

)(2.35)

Se i vincoli sono fissi l’espressione dell’energia cinetica si semplifica notevolmente, diven-

tando una funzione quadratica omogenea in ~q:

T =1

2

o∑k=1

o∑h=1

(n∑

i=1

mi∂~ri∂qk· ∂~ri∂qh

)qkqh (2.36)

Derivando l’espressione dell’energia cinetica rispetto a qk e rispetto a qk si ottiene:

∂T

∂qk=

n∑i=1

mi~ri ·

∂~ri∂qk

(2.37)

∂T

∂qk=

n∑i=1

mi~ri ·

∂~ri∂qk

(2.38)

Derivando inoltre l’espressione della velocita ~ri del generico punto materiale Pi rispetto a

qk si ha:

∂~ri∂qk

=∂~ri∂qk

(2.39)

Sostituendo l’ultima espressione nella (2.38) si avra:

∂T

∂qk=

n∑i=1

mi~ri ·

∂~ri∂qk

(2.40)

23


Derivando infine rispetto al tempo

d

dt

∂T

∂qk=

n∑i=1

mi~ri ·

∂~ri∂qk

+n∑

i=1

mi~ri ·

∂~ri∂qk

(2.41)

Indicando con Qk le componenti della forza attiva secondo le coordinate libere qk e con

Qik le componenti opposte alle forze d’inerzia:

Qk =n∑

i=1

~Fi ·∂~ri∂qk

k = 1, 2, ..., o (2.42)

Qik =n∑

i=1

mi~ri ·

∂~ri∂qk

k = 1, 2, ..., o (2.43)

e ricordando la (2.37) si puo riscrivere l’equazione (2.32) come:

d

dt

∂T

∂qk− ∂T

∂qk= Qk k = 1, 2, ..., o (2.44)

Le precedenti o equazioni scalari vengono dette seconda forma delle equazioni di Lagrange,

o anche semplicemente equazioni di Lagrange. Queste equazioni dicono che se due sistemi

hanno la stessa espressione dell’energia cinetica (in coordinate lagrangiane) e le stesse com-

ponenti delle forze attive, allora essi sono dinamicamente equivalenti, poiche presentano le

stesse equazioni di moto.

Un caso particolare, e particolarmente importante, e quello in cui le forze attive siano

posizionali e conservative, ovvero, detto U il potenziale delle componenti lagrangiane delle

forze attive, sia valida la:

Qk =∂U

∂qkk = 1, 2, ..., o (2.45)

24

Cap.2 Dinamica analitica § 2.7 Principio variazionale di Hamilton

In questo particolare caso le equazioni di Lagrange si potranno riscrivere nella forma:

d

dt

∂T

∂qk− ∂T

∂qk=∂U

∂qkk = 1, 2, ..., o (2.46)

L’energia cinetica del sistema e funzione delle coordinate lagrangiane ~q, della loro derivata

prima ~q e, se i vincoli sono reonomi, del tempo t, mentre l’energia potenziale del sistema

V = −U , nel caso in cui le forze attive siano posizionali e conservative, e funzione delle

sole coordiante libere ~q. Di conseguenza la funzione

L = T + U = T − V (2.47)

sara funzione di ~q, ~q e t :

L = L( ~q, ~q, t) (2.48)

La funzione L e anche detta funzione di Lagrange; si possono riscrivere le equazioni di

Lagrange per sistemi conservativi (eq.ne (2.46)) in termini della funzione di Lagrange,

ottenendo:

d

dt

∂L∂qk− ∂L∂qk

= 0 k = 1, 2, ..., o (2.49)

Un sistema nella forma (2.49) e detto sistema lagrangiano.

2.7 Principio variazionale di Hamilton

Si consideri l’equazione simbolica della dinamica continua (eq.ne (2.11)), e come sposta-

menti virtuali si consideri il caso particolare di spostamenti sincroni6. Si integrino entrambi

6Si definisce sincrono uno spostamento funzione del tempo

25

Cap.2 Dinamica analitica § 2.7 Principio variazionale di Hamilton

i membri dell’equazione (2.11) in un intervallo di tempo [t1, t2]:

t2ˆ

t1

o∑i=1

~Fi · δ~ridt−t2ˆ

t1

o∑i=1

mi~ri · δ~ridt = 0 (2.50)

Definito δ∗L il lavoro virtuale delle forze attive, si puo riscrivere l’equazione precedente

come:t2ˆ

t1

δ∗Ldt−o∑

i=1

mi

t2ˆ

t1

~ri · δ~ridt = 0 (2.51)

Integrando per parti il secondo integrale si ha:

t2ˆ

t1

~ri · δ~ridt =[~ri · δ~ri

]t2t1−

t2ˆ

t1

~ri ·d

dtδ~ridt (2.52)

Il secondo integrale a sua volta puo essere scritto come:

t2ˆ

t1

~ri ·d

dtδ~ridt =

t2ˆ

t1

~ri · δ~ridt =

t2ˆ

t1

1

2δ~r2

i dt =

t2ˆ

t1

δTdt (2.53)

L’equazione (2.51) si potra percio riscrivere:

t2ˆ

t1

(δ∗L+ δT ) dt =o∑

i=1

mi

[~ri · δ~ri

]t2t1

(2.54)

Ma il moto variato sincrono deve rispettare le configurazioni estreme:

[δ~ri]t=t1= 0 [δ~ri]t=t2

= 0 (2.55)

⇒t2ˆ

t1

(δ∗L+ δT ) dt = 0 (2.56)

26

Cap.2 Dinamica analitica § 2.8 Principio di d’Alembert-Lagrange generalizzato

Equazione che esprime il principio variazionale di Hamilton. Nel caso in cui tutte le forze

attive agenti sul sistema siano conservative, detto U il potenziale di tali forze si avra

δ∗L = δU , e quindi:

δ

t2ˆ

t1

(T + U) dt = 0 (2.57)

Il termine tra parentesi quadre non e altri che la funzione lagrangiana, e l’equazione

diventa:

δ

t2ˆ

t1

Ldt = δS = 0 (2.58)

dove S viene detta azione hamiltoniana. Il principio variazionale di Hamilton per sistemi

conservativi potra quindi essere formulato nel modo seguente: il moto naturale di un

sistema materiale, soggetto a vincoli bilateri lisci e a forza conservativa e quello che rende

stazionaria l’azione hamiltoniana S rispetto a tutti i moti variati sincroni che rispettano

le condizioni estreme.

2.8 Principio di d’Alembert-Lagrange generalizzato

Per derivare il principio variazionale di Hamilton si e fatto uso della variazione virtuale δ;

esistono tuttavia principi variazionali che fanno ricorso a variazioni virtuali di ordine supe-

riore. Si definisce allora variazione virtuale di ordine h la variazione infinitesima conforme

ai vincoli della derivata totale di ordine h nel tempo; tale variazione verra indicata come

δh, e puo essere ottenuta calcolando le derivate totali nel tempo della generica variabile qk

e imponendo che tutte le derivate fino all’ordine h-1 siano identicamente nulle:

dh−1qk = dh−2qk = ... = dqk = dt = 0 (2.59)

Detto

~ri = ~ri (q1, ..., qo, t) (2.60)

27

Cap.2 Dinamica analitica § 2.8 Principio di d’Alembert-Lagrange generalizzato

il vettore posizione del generico punto materiale Pi, la sua derivata totale rispetto al tempo

sara

~ri =o∑

k=1

∂~ri∂qk

qk +∂~ri∂t

(2.61)

Derivando questa espressione rispetto a qk si otterra

∂~ri∂qk

=∂~ri∂qk

(2.62)

Derivando nuovamente rispetto al tempo la (2.61) si avra

~ri =o∑

k=1

∂~ri∂qk

qk +o∑

k=1

∂~ri∂tqk +

∂~ri∂t

=o∑

k=1

∂~ri∂qk

qk +o∑

k=1

∂~ri∂qk

qk +∂~ri∂t

(2.63)

La derivata rispetto a qk sara

∂~ri∂qk

=∂~ri∂qk

(2.64)

e, ripetendo il procedimento per la generica derivata di ordine h:

∂~ri∂qk

=∂~ri∂qk

= ... =∂h~ri

∂q(h)k

(2.65)

Ora se nell’equazione simbolica della dinamica continua scritta in termini di spostamen-

ti virtuali (2.31) si sostituiscono le uguaglianze (2.65) si puo riscrivere il principio di

d’Alembert-Lagrange come

δL =o∑

k=1

[n∑

i=1

(~Fi −mi

~ri

)· ∂

(h)~ri

∂q(h)k

]δ(h)qk = 0 (2.66)

Affinche l’uguaglianza sia rispettata, osservato che le variazioni δ(h)qk sono indipendenti

tra loro, necessariamente il termine tra parentesi quadre dovra essere nullo:

n∑i=1

(~Fi −mi

~ri

)· ∂

(h)~ri

∂q(h)k

= 0 (2.67)

28

Cap.2 Dinamica analitica § 2.9 Equazioni di Gibbs-Appell

Introducendo il concetto di forza generalizzata, definita come

Qk =n∑

i=1

~Fi ·∂(h)~ri

∂q(h)k

= ... =n∑

i=1

~Fi ·∂~ri∂qk

=n∑

i=1

~Fi ·∂~ri∂qk

(2.68)

le equazioni (2.67) si possono riscrivere in forma piu compatta come

n∑i=1

mi~ri ·

∂(h)~ri

∂q(h)k

= Qk (2.69)

Ora nel caso particolare in cui h sia pari ad uno l’equazione (2.66) diventera:

δL =o∑

k=1

[n∑

i=1

(~Fi −mi

~ri

)· ∂~ri∂qk

]δqk =

n∑i=1

(~Fi −mi

~ri

)· ∂~ri = 0 (2.70)

uguale all’equazione (2.31); tale equazione prende il nome di principio di Jourdain. Se

invece h=2 allora l’equazione (2.66) diventa

δL =o∑

k=1

[n∑

i=1

(~Fi −mi

~ri

)· ∂

2~ri∂q2

k

]δ2qk =

n∑i=1

(~Fi −mi

~ri

)· ∂−→r i = 0 (2.71)

equazione che esprime il principio di Gauss-Gibbs.

e evidente come dalla (2.66), detta principio di d’Alembert-Lagrange generalizzato, sia

possibile ricavare una serie di principi variazionali.

2.9 Equazioni di Gibbs-Appell

Sfruttando l’equazione (2.65) e l’uguaglianza

1

2

∂

∂qk

(~ri · ~ri

)= ~ri ·

∂~ri∂qk

(2.72)

29


e possibile riscrivere le equazioni (2.69) come

(∂S

∂qk−Qk

)= 0 k = 1, 2, ..., o (2.73)

che esprimono le equazioni di Gibbs-Appell ; in tali equazioni con S si e indicata la cosid-

detta funzione di Gibbs :

S =1

2

n∑i=1

mi~ri · ~ri (2.74)

Le equazioni di Gibbs-Appell sono spesso espresse non in coordinate lagrangiane, bensı

nelle cosiddette quasi coordinate7. Per farlo si devono anzitutto esprimere le coordinate

libere in funzione delle quasi coordinate:

qk = β0k +o∑

j=1

βjkuj k = 1, 2, ..., o (2.76)

Introdotte le quasi coordinate la derivata della velocita del generico punto materiale

rispetto alla coordinata libera sara

∂~ri∂qk

=o∑

j=1

∂~ri∂uj

∂uj∂qk

(2.77)

mentre la variazione virtuale della velocita sara pari a

δ~ri =o∑

k=1

∂~ri∂qk

δqk =o∑

k=1

(o∑

j=1

∂~ri∂uj

∂uj∂qk

)δqk =

7Una variabile uj e detta quasi coordinata se soddisfa le seguenti proprieta:

1. le sue derivate sono combinazioni lineari delle derivate prime delle coordinate lagrangiane, ovvero

uj = aj0 +o∑

k=1

ajkqk j = 1, ..., o (2.75)

dove con ajk si sono indicate delle funzioni differenziabili delle coordinate lagrangiane;

2. le combinazioni lineari (2.75) non sono integrabili.

Un esempio di quasi coordinata e la velocita angolare, perche puo essere espressa come combinazionelineare delle coordinate ma non puo essere integrata.

30


=o∑

j=1

∂~ri∂uj

(o∑

k=1

∂uj∂qk

δqk

)=

o∑j=1

∂~ri∂uj

δuj =o∑

j=1

∂~ri∂uj

δuj (2.78)

avendo sfruttato la sostituzione

δuj =o∑

k=1

∂uj∂qk

δqk (2.79)

e l’uguaglianza

∂~ri∂uj

=∂~ri∂uj

(2.80)

Derivando la funzione di Gibbs rispetto ad uj si ha

∂S

∂uj=

n∑i=1

mi~ri ·∂~ri∂uj

(2.81)

Per esprimere le equazioni di Gibbs-Appell in funzione delle quasi coordinate si riparta

dal principio di Jourdain; tenuto conto delle equazioni (2.78) e (2.81) tale principio si

riscrivera come:

δL =n∑

i=1

(~Fi −mi

~ri

)δ~ri =

n∑i=1

(~Fi −mi

~ri

) o∑j=1

∂~ri∂uj

δuj =

=o∑

j=1

[(n∑

i=1

~Fi ·∂~ri∂uj

)− ∂S

∂uj

]δuj = 0 (2.82)

Introducendo le forze generalizzate in funzione delle quasi coordinate, ovvero

Qj =n∑

i=1

~Fi ·∂~ri∂uj

= ~Fi ·∂~ri∂uj

(2.83)

e ricordando che le variazioni virtuali δuj sono indipendenti, le equazioni di Gibbs-Appell

in funzione delle quasi coordinate saranno:

∂S

∂uj−Qj = 0 j = 1, 2, ..., o (2.84)

31

Cap.2 Dinamica analitica § 2.10 Minimizzazione di una funzione soggetta a vincoli

2.10 Minimizzazione di una funzione soggetta a vin-

coli

Il metodo di seguito riportato e comunemente noto come metodo dei moltiplicatori di

Lagrange e consente di passare da un problema di ottimizzazione vincolata ad un problema

di ottimizzazione senza vincoli. Come esempio si voglia rendere stazionaria una funzione

continua e derivabile L(q1, q2) soggetta al vincolo Ψ(q1, q2) = 0; per farlo si costruisce una

funzione obiettivo

L∗ = L− λΨ (2.85)

nelle variabili q1, q2, λ, con λ una variabile introdotta artificialmente. La condizione di

stazionarieta per L∗ si verifichera se:

∂L∗

∂q1

≡ ∂L

∂q1

− λ∂Ψ

∂q1

= 0 (2.86)

∂L∗

∂q2

≡ ∂L

∂q2

− λ∂Ψ

∂q2

= 0 (2.87)

∂L∗

∂λ≡ Ψ = 0 (2.88)

La soluzione di questo sistema di equazioni coincide necessariamente con la soluzione del

problema di ottimizzazione vincolata.

2.11 Equazioni di Lagrange per sistemi di corpi

Nella formulazione di Hamilton le equazioni della dinamica si ottenevano imponendo la

stazionarieta dell’integrale

δ

t2ˆ

t1

Ldt = 0 (2.89)

32

Cap.2 Dinamica analitica § 2.11 Equazioni di Lagrange per sistemi di corpi

Se si confronta la formulazione lagrangiana con quella hamiltoniana la prima puo esse-

re interpretata come un metodo per rendere stazionario l’integrale presente nella (2.89);

seguendo tale approccio condizione necessaria e sufficiente affinche l’integrale

t2ˆ

t1

L (q1, q2, ..., qn; q1, q2, ..., qn; t) dt (2.90)

sia reso stazionario e che, supposte nulle le variazioni delle variabili agli estremi di inte-

grazione, sia soddisfatto il sistema di equazioni differenziali

d

dt

(∂L

∂qj

)− ∂L

∂qj= 0 j = 1, 2, ..., n (2.91)

Attraverso la formulazione hamiltoniana il problema dell’analisi dinamica di un sistema

vincolato si riconduce ad un problema di ottimizzazione vincolata in cui la funzione obietti-

vo e l’integrale (2.89), mentre i vincoli tra le variabili (coordinate generalizzate) sono quelli

dovuti alla non olonomicita del sistema. Il metodo di ottimizzazione vincolata fondato sui

moltiplicatori di Lagrange richiede l’introduzione di una funzione lagrangiana estesa:

L = T − V − (λ1Ψ1 + ...+ λpΨp) (2.92)

Se si applicano le equazioni di Lagrange alla funzione lagrangiana estesa, e indicati con [M ]

la matrice delle masse, {Fe} il vettore delle forze generalizzate e [Ψq]T la trasposta della

matrice Jacobiana associata al sistema {Ψ} = {0} delle equazioni di vincolo, si perviene

alle seguenti equazioni del moto per il sistema:

[M ] {q}+ [Ψq]T {λ} = {Fe} (2.93)

33

Cap.2 Dinamica analitica § 2.12 Sistema di equazioni algebrico-differenziali

2.12 Sistema di equazioni algebrico-differenziali

L’approccio multibody per la descrizione della dinamica di un sistema meccanico mediante

un set ridondante di coordinate porta alla scrittura di un set di n equazioni differenziali

nelle incognite q1, ..., qn; λ1, ..., λp, oltre ad un set di equazioni algebriche vincolari Ψ1 =

0, ..., Ψp = 0. In totale si avranno n+p incognite in n+p equazioni algebrico-differenziali

(DAE).

La formulazione cosiddetta ridondante offre sostanziali vantaggi quali:

� caratteristiche cinematiche dei membri ottenute simultaneamente e senza calcoli

aggiuntivi;

� semplicita di sviluppo e manutenzione del codice di calcolo;

� possibilita di calcolo delle reazioni vincolari nelle coppie cinematiche;

� impiego di algoritmi ottimizzati per le matrici sparse.

Per contro, questa formulazione richiede la generazione e la soluzione di un sistema di

equazioni algebrico-differenziali di indice differenziale8 elevato. Inoltre, lo studio delle

DAE e molto piu recente e meno sviluppato di quello delle equazioni differenziali ordinarie

(ODE); per le DAE e molto piu difficile stabilire l’esistenza e l’unicita delle soluzioni,

oltre alle proprieta che un metodo di risoluzione numerica deve possedere per trovare una

soluzione accettabile.

Una possibile via per la risoluzione e quella che prevede di differenziare due volte

rispetto al tempo le equazioni di vincolo:

[Ψq] {q} = − ([Ψq] {q})q {q} − 2 [Ψqt] {q} − {Ψtt} = {γ} (2.94)

8Per indice differenziale di un sistema DAE (differential algebraic equation) si intende il numero minimodi volte che tutte le parti del sistema stesso devono essere differenziate rispetto al tempo per estrarre,attraverso la manipolazione simbolica, un’ ODE (ordinary differential equation) esplicita per tutte leincognite.

34


In questo modo si passa da un sistema algebrico-differenziale di indice differenziale 3 con

vincoli sulle posizioni ad un sistema puramente differenziale di indice differeziale 1 con

vincoli sulle accelerazioni; infatti le equazioni della meccanica per vincoli olonomi sono

riconducibili ad equazioni di indice 3, poiche le equazioni algebriche che le costituisco-

no dipendono solo da incognite differenziali le cui equazioni non contengono le incognite

algebriche stesse.

Le p equazioni cosı trasformate possono essere risolte simultaneamente, insieme alle

altre n equazioni, costruendo il sistema

M ΨTq

Ψq 0

q

λ

=

Fe

γ

(2.95)

nelle incognite {q} e {λ}, ossia accelerazioni e moltiplicatori di Lagrange. Mediante

differenze finite si stimeranno posizioni e velocita all’istante di tempo t+ ∆t:

{q}(t+∆t) ≈ {q}t + {q}t ∆t (2.96)

{q}(t+∆t) ≈ {q}t + {q}t ∆t+1

2{q}t ∆t2 (2.97)

tutto il procedimento verra iterato finche il tempo t non sara minore di un valore fissato. Il

procedimento appena descritto non e molto affidabile, perche conduce ad un rapido accu-

mularsi dell’errore; per questo motivo si dovra cercare di adottare metodi numericamente

piu robusti.

Inoltre, si puo osservare che la matrice

M ΨTq

Ψq 0

(2.98)

e simmetrica, pertanto per la sua inversione ci si puo avvalere di speciali algoritmi, ad

35


esempio delle formule di inversione per matrici partizionate:

M ΨTq

Ψq 0

−1

=

C11 C12

C21 C22

(2.99)

dove si e posto

[C22] =(

[Ψq] [M ]−1 [Ψq]T)−1

(2.100)

[C11] = [M ]−1 − [M ]−1 [Ψq]T [C22] [Ψq] [M ]−1 (2.101)

[C12] = [C21]T = − [M ]−1 [Ψq]T [C22] (2.102)

Mediante l’applicazione di tali formule si perviene al seguente risultato:

{q} = [C11] {Fe}+ [C12] {γ} (2.103)

{λ} = [C21] {Fe}+ [C22] {γ} (2.104)

In ultimo e bene notare che le condizioni iniziali non possono essere arbitrariamente scelte,

ma devono essere congruenti con le equazioni vincolari.

36

Capitolo 3Formulazione dinamica

con il principio di Gauss

Si consideri un punto materiale di massa m, che al tempo t, sottoposta alla forza

{Fx(t), Fy(t), Fz(t)}, occupa la posizione {x(t), y(t), z(t)} in un sistema di riferimento

inerziale. La seconda legge di Newton afferma che, all’istante di tempo t, la forza agente

sulla particella e data dal prodotto della massa per l’accelerazione. Al variare del tempo

la particella descrivera una traiettoria; se si indicano con {x(t), y(t), z(t)} le componenti

dell’accelerazione, il moto della particella sara descritto dalle seguenti tre equazioni scalari:

m · x (t) = Fx (t)

m · y (t) = Fy (t) (3.1)

m · z (t) = Fz (t)

Se si assegnassero la posizione e la velocita iniziale si potrebbe integrare, almeno numeri-

camente, l’equazione (3.1) e ottenere la traiettoria descritta dalla particella.

Si consideri ora il caso piu generale di un sistema costituito da n particelle di masse

m1, ..., mn il cui moto, animato dalle forze impresse {F1x(t), ..., Fnx(t)} ,

37

Cap.3 Formulazione dinamicacon il principio di Gauss

{F1y(t), ..., Fny(t)

}, {F1z(t), ..., Fnz(t)} sia descritto dalle 3n coordinate

{x1(t), ..., xn(t)} , {y1(t), ..., yn(t)} , {z1(t), ..., zn(t)}. Se ogni particella e libera di muo-

versi, indipendentemente dal moto delle altre n-1 particelle, il moto del sistema sara

descritto dalle 3n equazioni:

mi · xi (t) = Fix (t)

mi · yi (t) = Fiy (t) i = 1, 2, , ..., n (3.2)

mi · zi (t) = Fiz (t)

o, in forma piu compatta, adottando la notazione matriciale in cui si considera x(t) =

[x1(t), ..., x3n(t)]T e F (t) = [F1(t), ..., F3n(t)]T :

Mx(t) = F (t) (3.3)

Il caso visto finora, pero, non e il caso piu generale, poiche i sistemi di particelle sono

spesso vincolati: le particelle possono essere vincolate tra loro o vincolate a muoversi

lungo traiettorie particolari; la presenza di vincoli si esprime attraverso l’imposizione di

un dato sistema di m equazioni di vincolo consistenti:

D(x(t), t)x = g(x(t), t) (3.4)

In cui D ha dimensioni m x 3n mentre g e un vettore m x 1. Le condizioni iniziali su

posizione e velocita siano assegnate compatibilmente ai vincoli imposti. Il problema da

risolvere nel moto vincolato sara, allora: dati x(t), x(t), F (t), si determini l’accelerazione

istantanea x(t) in presenza dei vincoli, ovvero come, e di quanto, le accelerazioni del

sistema vincolato deviano da quelle del sistema non vincolato. La presenza del generico

vincolo (3.4) causa l’insorgenza di forze aggiuntive di vincolo che devono essere applicate

38

Cap.3 Formulazione dinamicacon il principio di Gauss § 3.1 Spazio di configurazione

alle particelle; l’equazione che descrive il moto del sistema diventera:

Mx(t) = F (x(t), x(t), t) + F c(t) (3.5)

Si vuole percio determinare il vettore forza di vincolo F c(t).

3.1 Spazio di configurazione

Si consideri un sistema costituito da n punti materiali, ciascuno dotato di una propria

massa mi, i = 1, ..., n. Per indicare univocamente la posizione della generica particella di

massa mi bisognera specificare 3 coordinate xi, yi, zi1. Estendendo questo stesso principio a

tutti gli n punti costituenti il sistema, la configurazione del sistema stesso ad un generico

istante di tempo t sara individuata mediante 3n coordinate, raggruppabili in un unico

vettore x = x1, y1, z1, ..., xn, yn, zn. Ogni vettore descrivera un’unica configurazione del

sistema, ovvero ad esso corrispondera un unico punto nello spazio 3n-dimensionale, detto

spazio di configurazione del sistema.

Il moto del sistema sara descritto dalla seguente equazione:

Mx(t) = F (t) (3.6)

M = diag {m1,m1,m1, ...,mn,mn,mn}

F = [F1x, F1y, F1z, ..., Fnx, Fny, Fnz]

1Sotto l’ipotesi che le coordinate siano prese in un sistema di riferimento ortogonale

39

Cap.3 Formulazione dinamicacon il principio di Gauss § 3.2 Vincoli

3.2 Vincoli

3.2.1 Vincoli olonomi

Si immagini per semplicita che il sitema meccanico sia costituito da una unica particella

di massa m che si muova lungo l’asse x di un sistema di riferimento inerziale. L’equazione

del moto di tale particella, dette x la posizione della particella stessa ed Fx(x, x, t) la forza

agente sulla particella, sara:

Mx = Fx(x, x, t) (3.7)

In maniera del tutto analoga il moto poteva essere descritto come

mx = Fx(x, x, y, y, z, z, t)

my = Fy(x, x, y, y, z, z, t) (3.8)

mz = Fz(x, x, y, y, z, z, t)

con l’aggiunta dei vincoli

y(t) = 0

z(t) = 0 (3.9)

L’analogia tra queste due scritture si puo facilmente verificare differenziando due volte le

equazioni di vincolo

y(t) = 0

z(t) = 0 (3.10)

40


e sostituendo queste espressioni nelle (3.8), ottenendo:

Fy(t) = 0

Fz(t) = 0

mx(t) = Fx(x, x, 0, 0, 0, 0, t) (3.11)

identica alla (3.7). Un vincolo come z(t) = 0 puo essere scritto in generale nella forma:

f(x, y, z, t) = 0 (3.12)

Per un sistema di n particelle si avra:

f(x1, y1, z1, ..., xn, yn, zn, t) = 0 (3.13)

Tale vincolo viene detto olonomo. Se nella sua espressione compare esplicitamente il tempo

si parlera di vincolo reonomo, altrimenti si classifichera come vincolo scleronomo. Per

capire meglio il significato dei vincoli olonomi si consideri un sistema meccanico costituito

da una unica particella, sottoposta ad un vincolo scleronomo della forma

f(x1, y1, z1) = 0 (3.14)

Lo spazio di configurazione della particella e uno spazio tridimensionale, e in tale spazio

il vincolo rappresenta una superficie bidimensionale. La particella, per effetto della pre-

senza del vincolo, non potra muoversi liberamente nello spazio di configurazione, ma sara

costretta a muoversi lungo la superficie bidimensionale individuata dal vincolo olonomo.

Poiche il vincolo e scleronomo, la superficie su cui e vincolata a muoversi la particella sara

invariante nel tempo; se il vincolo fosse stato reonomo la superficie si sarebbe spostata

41


e deformata al trascorrere del tempo. Se la particella fosse soggetta a due vincoli indi-

pendenti, il suo moto sarebbe possibile solamente lungo la curva intersezione tra le due

superfici bidimensionali che definiscono i vincoli, mentre se i vincoli fossero tre la parti-

cella sarebbe costretta a rimanere nel punto intersezione tra le tre superfici, punto fisso

(v. scleronomo) o variabile (v. reonomo) nel tempo. In quest’ultimo caso il moto della

particella risulta indipendente dalle forze agenti su di essa, pertanto, affinche il moto della

particella sia dipendente dalle forze agenti su di essa, il numero di vincoli indipendenti

deve essere minore della dimensione dello spazio di configurazione.

Ovviamente quanto detto vale solamente nel caso in cui i vincoli siano consistenti tra

loro, ovvero quando il soddisfacimento di un vincolo non precluda la realizzazione di un

altro vincolo; si sottolinea come la condizione di consistenza sia meno restrittiva di quella

di indipendenza lineare.

Se la funzione f nella (3.13) ha le derivate parziali prime, il suo differenziale totale sara

df =n∑

i=1

∂f

∂xi· dxi +

n∑i=1

∂f

∂yi· dyi +

n∑i=1

∂f

∂zi· dzi +

∂f

∂t· dt = 0 (3.15)

Gli spostamenti infinitesimi dxi, dyi, dzi di un sistema vincolato con vincoli reonomi devono

soddisfare questa equazione; mentre la (3.13) imponeva delle restrizioni sugli spostamenti

finiti, la (3.15), detta forma Pfaffiana dell’equazione di vincolo, da indicazioni sugli spo-

stamenti infinitesimi. Se si deriva la (3.13) rispetto al tempo si ricava la forma equivalente

in cui compaiono le velocita

df

dt=

n∑i=1

∂f

∂xi· xi +

n∑i=1

∂f

∂yi· yi +

n∑i=1

∂f

∂zi· zi +

∂f

∂t= 0 (3.16)

Una qualsiasi 3n-upla {xi, yi, zi} che soddisfi questa relazione e una velocita possibile del

sistema, compatibile con il vincolo imposto. Sebbene nell’espressione del vincolo olonomo

non compaiano espressamente le velocita, comunque la velocita del sistema e soggetta a

42


delle restrizioni perche la (3.16) deve essere rispettata, quindi in un sistema soggetto a

vincoli olonomi la velocita del sistema e sempre vincolata.

Riassumendo si puo affermare che per decrivere h vincoli olonomi e necessario intro-

durre il sistema di equazioni

fi(x, t) = 0 i = 1, 2, ..., h (3.17)

Effettuando il differenziale totale della (3.17) si ricava la rappresentazione Pfaffiana di tali

equazioni:

df =3n∑j=1

dij(x, t)dxj + gi(x, t)dt = 0 i = 1, 2, ..., h (3.18)

o, equivalentemente, in termini di velocita possibili

df

dt=

3n∑j=1

dij(x, t)xj + gi(x, t)dt = 0 i = 1, 2, ..., h (3.19)

dij (x, t) =∂fi (x, t)

∂xj

gi (x, t) =∂fi (x, t)

∂t

3.2.2 Vincoli non olonomi

Si definisce non olonomo ogni vincolo che non possa essere messo nella forma (3.13). Un

esempio di vincolo non olonomo e il vincolo che prescrive ad una particella di rimanere

appoggiata sopra una superficie, ad esempio la superficie orizzontale di normale Z :

z(t) ≥ 0 (3.20)

Esiste anche un altro tipo di vincoli non olonomi, che sono espressi da relazioni di ugua-

glianza non integrabili nel tempo, come ad esempio il sistema

43


3n∑j=1

dij(x, t)dxj + gi(x, t)dt = 0 i = 1, 2, ..., r (3.21)

Anche per i vincoli non olonomi si puo adottare la classificazione in v. reonomi e sclero-

nomi.

Questo tipo di vincoli impone delle restrizioni agli spostamenti infinitesimi del siste-

ma, ma la non integrabilita dei vincoli fa sı che sia impossibile trovare le corrispondenti

restrizioni agli spostamenti finiti del sistema. Pur non essendo integrabili, i vincoli non

olonomi, come i vincoli olonomi, sono derivabili, a patto che le funzioni dij(x, t) e gi(x, t)

siano sufficientemente regolari; se si derivano le (3.21) e le (3.18) si ottiene un sistema di

m = h+ r equazioni

3n∑j=1

dij(x, t)xj +3n∑j=1

3n∑k=1

dij(x, t)xkxj +3n∑j=1

∂dij(x, t)

∂txj+

+3n∑k=1

∂gi(x, t)

∂txk +

∂gi(x, t)

∂t= 0 i = 1, 2, ..., m (3.22)

o analogamente, nella forma matriciale,

A(x, t) · x = b(x, x, t) (3.23)

in cui il generico elemento (i, j) della matrice A e dij(x, t) , mentre l’i-esimo elemento del

vettore riga b e dato da:

b(x, x, t) = −3n∑j=1

3n∑k=1

dij(x, t)xkxj −3n∑j=1

∂dij(x, t)

∂txj −

3n∑k=1

∂gi(x, t)

∂txk −

∂gi(x, t)

∂t(3.24)

Il numero di gradi di liberta del sistema sara definito come il numero minimo di coordinate

neccessarie a descrivere la configurazione del sistema, diminuito del numero di vincoli

indipendenti. Detto k il numero di equazioni del sistema (3.23) linearmente indipendenti,

44


il sistema potra essere risolto assegnando 3n-k componenti del vettore x, e risolvendo il

sistema nelle rimanenti k componenti incognite di x.

Si vuole ora approfondire il significato della imposizione di un vincolo non-olonomo;

per farlo si consideri il caso semplice in cui il sistema sia costituito da un’unica particella,

soggetta al seguente vincolo:

dy = z · dx (3.25)

Questo vincolo impone una limitazione agli spostamenti infinitesimi della particella. L’e-

quazione (3.25) non puo essere integrata, dal momento che non esiste nessun fattore inte-

grante; si vuole comunque capire come tale vincolo limiti lo spazio di configurazione della

particella, e quindi se esiste una traiettoria dello spazio di configurazione che conduca la

particella per esempio dall’origine ad un qualsiasi altro punto dello spazio di configura-

zione, rimanendo comunque valido il vincolo. In effetti un vincolo di uguaglianza non-

olonomo non fissa delle restrizioni alle traiettorie possibili della particella; per dimostrarlo

si consideri la seguente traiettoria:

y = f(x)

z = f ′(x)

(3.26)

Questa traiettoria soddisfa il vincolo nonche le condizioni iniziale e finale; inoltre esistono

infinite altre funzioni che soddisfano il vincolo e non limitano la traiettoria della particella.

In definitiva si puo dimostrare che un vincolo di uguaglianza Pfaffiano non integrabile

non limita la dimensione della zona dello spazio di configurazione accessibile alla particella,

a differenza dei vincoli olonomi.

Riassumendo si puo affermare che:

� le equazioni di vincolo applicate al sistema devono essere consistenti tra loro, ma

non necessariamente linearmente indipendenti;

45

Cap.3 Formulazione dinamicacon il principio di Gauss § 3.3 Principio di Gauss

� differenziando i vincoli non-olonomi una volta rispetto al tempo ed i vincoli olonomi

due volte rispetto al tempo si possono mettere le equazioni di vincolo in un unico

sistema lineare nelle accelerazioni;

� per quanto riguarda l’equazione fondamentale di Gauss non c’e differenza tra vincoli

olonomi e vincoli di uguaglianza non-olonomi Pfaffiani; la stessa cosa vale per i

vincoli scleronomi e reonomi. Si e comunque voluto fornire la definizione dei vari

tipi di vincoli sia per comprendere le differenze qualitative tra i vincoli sia perche in

letteratura la distinzione tra vincoli olonomi e non-olonomi e sempre riportata.

3.3 Principio di Gauss

Si consideri un sistema di n particelle di masse mi, i = 1, ..., n. La posizione della

i -esima particella sara nota una volta stabilite le coordinate [xi, yi, zi]. Se sulla particella

agisce la forza Fi(t), in assenza di vincoli la sua accelerazione sara ai(t) = Fi(t)mi

. Si assuma,

inoltre, che le particelle siano vincolate tramite delle interconnessioni, espresse ad esempio

con il fatto che debbano stare su qualche superficie dello spazio di configurazione o che

debbano soddisfare qualche vincolo Pfaffiano. L’obiettivo che ci si pone e di determinare

le accelerazioni effettive delle particelle ad ogni istante di tempo, come risultato delle forze

impresse e dei vincoli, a patto di conoscere posizioni e velocita al tempo t. Se non ci fossero

vincoli, l’equazione del moto sarebbe:

Ma(t) = F (x(t), x(t), t) (3.27)

Dove il 3n vettore F e definito forza esterna impressa al sistema.

In presenza di vincoli l’accelerazione del sistema di particelle differira da a(t); indicato

con x(t) il vettore accelerazione, e noti al tempo t sia il vettore posizione x che il vettore

46

Cap.3 Formulazione dinamicacon il principio di Gauss § 3.3 Principio di Gauss

velocita x, e quindi anche il vettore della forza impressa, compatibili con i vincoli assegnati,

il principio di Gauss [29] afferma che:

Di tutte le accelerazioni, compatibili con i vincoli, che il sistema puo avere all’istante

di tempo t, l’unica che effettivamente ha luogo e quella che rende minima la quantita

G(x) = (x− a)T M (x− a) = (xn − an)T (xn − an) (3.28)

dove si sono indicate con il pedice N le accelerazioni normalizzate

xN = M1/2x aN = M1/2a (3.29)

La funzione scalare G e definita Gaussiana del sistema. La quantita ∆x = x − a e

la deviazione dell’accelerazione del sistema vincolato da quella che il sitema avrebbe in

assenza di vincoli, quindi la gaussiana puo essere vista come il quadrato della lunghezza

normalizzata del vettore ∆x, rispetto alla matrice M.

Da qui in avanti si considereranno solamente i vincoli esprimibili con relazioni di ugua-

glianza tra le accelerazioni, che possono cioe essere messi mella forma (3.23); i vincoli del

tipo (3.20) non verranno presi in considerazione. In questo modo i vincoli che saranno trat-

tati troveranno posto nella Meccanica Lagrangiana; inoltre i vincoli saranno considerati tra

loro consistenti, ma non necessariamente descritti da equazioni linearmente indipendenti.

Da ultimo si definira matrice dei vincoli la matrice AM− 12 , e d’ora in poi la si indichera

sinteticamente con la lettera B.

47

Cap.3 Formulazione dinamicacon il principio di Gauss § 3.4 Operativita del principio di Gauss

3.4 Operativita del principio di Gauss

Ad ogni istante di tempo t il 3n-vettore che rappresenta l’accelerazione di un sistema di n

particelle, in presenza di vincoli espressi dalla (3.23) e dato da

x = a+M− 12

(AM− 1

2

)+

(b− Aa) (3.30)

ovvero

x = a+M− 12B+(b− Aa) (3.31)

in cui B+ =(AM− 1

2

)+2 e l’unica inversa della matrice dei vincoli B.

Si dimostrera ora tale affermazione; dapprima si dimostra che l’accelerazione ottenuta con

la (3.30) soddisfa l’equazione dei vincoli (3.23), ovvero minimizza la Gaussiana G ; sotto

tali condizioni, infatti, il principio di Gauss affermerebbe che l’accelerazione contenuta

nella (3.30) e proprio l’accelerazione che caratterizza i punti del sistema vincolato.

L’equazione (3.23), considerando che M12M− 1

2 = I, puo essere messa nella forma

AM− 12

(M

12 x)

= AM− 12 (xN) = b (3.32)

ovvero

BxN = b (3.33)

Affinche la (3.32) sia congruente, ovvero x sia soluzione, deve essere necessariamente

2Con la notazioneB+ si e indicata la MP-inversa della matrice B. Per approfondimenti sulla MP-inversasi puo fare riferimento all’appendice.

Inoltre, se X e una matrice definita positiva, si puo definire la X12 come

X12 = WΛ

12WT ;

X− 12 = WΛ− 1

2WT ;

48


verificata la condizione di congruenza3

AM− 12

(AM− 1

2

)+

b = b (3.34)

Sostituendo ora l’espressione per x fornita dalla (3.30) nell’equazione appena scritta si ha

Ax = Aa+ AM− 12

(AM− 1

2

)+

(b− Aa) =

[I − AM− 1

2

(AM− 1

2

)+]Aa+ AM− 1

2

(AM− 1

2

)+

b =

[I − AM− 1

2

(AM− 1

2

)+](

AM− 12

)M

12a+ AM− 1

2

(AM− 1

2

)+

b = (3.35)

[(AM− 1

2

)− AM− 1

2

(AM− 1

2

)+ (AM− 1

2

)]M

12a+ AM− 1

2

(AM− 1

2

)+

b =

[AM− 1

2 − AM− 12

]M

12a+ AM− 1

2

(AM− 1

2

)+

b = b

L’accelerazione definita dalla (3.30) soddisfa l’equazione dei vincoli (3.23).

Resta ora da dimostrare che tale accelerazione e anche quella che minimizza la Gaus-

siana G. Per farlo si ipotizzi che esista un vettore u, diverso da x, che soddisfa l’equazione

(3.23) e che differisce da x di una quantita v, ovvero u = x+ v. Si dovra dimostrare che,

per ogni v 6= 0, necessariamente G(u) > G(x). Poiche per ipotesi u soddisfa l’equazione

(3.23), sara sempre verificata l’equazione

Au = b (3.36)

ovvero

A (x+ v) = Ax+ Av = b (3.37)

Si sa altresı che Ax = b, quindi necessariamente Av = 0. Questa uguaglianza puo anche

3Un sistema Ax = b e congruente ⇔AAGb = b, dove AGe una delle G-inverse di A, ovvero AAGA = A

49


essere espressa come:

(M

12v)T (

AM− 12

)+

= 0 (3.38)

Se si scrive ora l’espressione della Gaussiana per u si ottiene:

G(u) =

[(AM− 1

2

)+

(b− Aa) +M12v

]T [(AM− 1

2

)+

(b− Aa) +M12v

]=

=

[(AM− 1

2

)+

(b− Aa)

]T [(AM− 1

2

)+

(b− Aa)

]+

[(AM− 1

2

)+

(b− Aa)

]TM

12v+

(M

12v)T [(

AM− 12

)+

(b− Aa)

]+(M

12v)T (

M12v)

(3.39)

Il primo termine del secondo membro e G(x), il secondo ed il terzo termine sono nulli per

la (3.38); semplificando si ottiene:

G(u) = G(x) +(M

12v)T (

M12v)

(3.40)

Poiche la matrice delle masse e definita positiva, il secondo termine a secondo membro e

sempre non negativo, ed e uguale a zero solamente nel caso in cui v = 0. Come conseguenza

G(u) ≥ G(x), cio vuol dire che la Gaussiana di u ha un minimo per u = x.

Si osservi infine che nel caso particolare in cui la matrice delle masse sia diagonale con

tutte le masse uguali si ha

M− 12

(AM− 1

2

)+

= m−12 I(m−

12AI

)+

= A+ (3.41)

e l’equazione fondamentale (3.30) si semplifica nel modo seguente:

x = a+ A+(b− Aa) (3.42)

50

Cap.3 Formulazione dinamicacon il principio di Gauss § 3.5 La reazione dei vincoli

Questa semplice forma per l’equazione del moto di un sistema vincolato si puo ottenere

anche nel caso in cui le particelle che costituiscono il sistema meccanico abbiano masse

diverse tra loro, scalando i vettori accelerazione di un’opportuna quantita.

3.5 La reazione dei vincoli

Si e visto come la presenza dei vincoli costringa l’accelerazione del sistema a deviare da

quella che si avrebbe se non ci fossero i vincoli; tale deviazione nell’accelerazione e determi-

nata da una forza esercitata sul sistema in virtu del fatto che il sistema non vincolato deve

ora soddisfare anche i vincoli. Le equazioni del moto del sistema non vincolato saranno

date dalla:

Ma = F (t) (3.43)

in cui F e il vettore delle forze esterne impresse sul sistema. Le equazioni del moto del

sistema vincolato, invece, saranno date da:

Mx = Ma+M− 12

(AM− 1

2

)+

(b− Aa) (3.44)

o, sostituendo la (3.43) nella (3.44)

Mx = F (t) +M− 12

(AM− 1

2

)+

(b− Aa) = F (t) + F c(t) (3.45)

Pertanto, ad ogni istante di tempo, il sistema vincolato e sottoposto ad una forza di vincolo

aggiuntiva F c(t); questa forza costringe l’accelerazione del sistema al tempo t a passare

dal valore non vincolato a(t) al valore vincolato x(t).

51

Cap.3 Formulazione dinamicacon il principio di Gauss § 3.6 Un ulteriore esame dell’equazione fondamentale

3.6 Un ulteriore esame dell’equazione fondamentale

Si vuole approfondire la portata dell’equazione fondamentale (3.30); innanzitutto si osservi

come nell’equazione si fa uso della MP-inversa che, com’e noto, e unica. Questo vuol dire

che, dati i vettori a e b, nonche le matrici M ed A, il secondo membro e univocamente

determinato, il che implica che le accelerazioni del sistema vincolato hanno un unico valore,

in accordo con il comune senso fisico. Inoltre, dalle proprieta della MP-inversa, vale

l’uguaglianza4:

X+ = XT(XXT

)+(3.46)

Sfruttando questa uguaglianza ed il fatto che la matrice M− 12 e simmetrica l’equazione

fondamentale puo essere riscritta nella forma

x = a+M−1AT(AM−1AT

)+ (b− AM−1a

)(3.47)

Premoltiplicando ambo i membri per M scompare la M− 12 dall’equazione fondamentale:

Mx = F + AT(AM−1AT

)+ (b− AM−1F

)(3.48)

Nel caso particolare in cui la matrice A, di dimensioni mxn, ha rango pieno (ovvero le

equazioni di vincolo sono mutuamente indipendenti), considerato che M e definita positiva,

il rango della matrice mxm AM−1AT sara pieno e la matrice sara non singolare; si potra

sostituire la MP-inversa con l’inversa e l’equazione fondamentale si riscrivera come:

x = a+M−1AT(AM−1AT

)−1 (b− AM−1a

)(3.49)

4XT(XXT

)+= XT

(W ∧ V TV ∧WT

)+= XT

(W ∧2 WT

)+= V ∧WTW ∧−2 WT = V ∧−1 WT =

X+

52

Cap.3 Formulazione dinamicacon il principio di Gauss § 3.7 Equazione fondamentale e meccanica Lagrangiana

3.7 Equazione fondamentale e meccanica Lagrangia-

na

Si consideri un sistema di n particelle non vincolate; detti M la matrice diagonale delle

masse, a il vettore accelerazione e F il vettore delle forze impresse, il moto del sistema

sara descritto dalla relazione:

Ma (t) = F (t) (3.50)

Come si e visto, in presenza di vincoli le accelerazioni delle particelle differiranno da a, e

verranno indicate con x. Esprimendo i vincoli con le m equazioni

ϕi (x, x, t) = 0 i = 1, ..., m (3.51)

e differenziando tali equazioni rispetto al tempo si ottiene

A (x, t) x = b (x, x, t) (3.52)

dove la matrice A mxn e l’m-vettore b sono funzioni note di x, x, t; affinche l’accelerazione

del sistema vincolato sia compatibile con i vincoli, dovra rispettare l’equazione precedente.

Si applichi ora la sostituzione

r (t) = M12 x (t) (3.53)

nell’equazione di vincolo (3.52):

AM− 12 r = Br = b (3.54)

e noto che la soluzione generale dell’equazione appena scritta e

r = B+b+(I −B+B

)y = B+b+Ry (3.55)

53


in cui y e un arbitrario n-vettore. Se si assume che, all’istante di tempo t, siano note

posizioni e velocita, allora la matrice A ed il vettore b, funzioni delle posizioni e delle

velocita, saranno univocamente determinati; il primo termine alla destra dell’uguale sara

pertanto noto, e per ottenere l’accelerazione del sistema occorrera solamente determinare

il termine Ry. La determinazione di questo termine e dettata dai principi della meccanica,

ovvero dal principio di Gauss; secondo questo principio l’accelerazione del sistema vincolato

ad ogni istante di tempo deve minimizzare la Gaussiana

G(x) = (x− a)T M (x− a) =(M

12 x−M

12a)T

(M12 x−M

12a) =

(r −M

12a)T

(r −M12a)

(3.56)

Sostituendo la (3.55) nell’espressione della Gaussiana e necessario trovare il vettore y che

minimizzi la funzione

G(y) =[Ry −

(M

12a−B+b

)]T [Ry −

(M

12a−B+b

)](3.57)

Ora il vettore y che minimizza questa funzione e dato da

y = R+(M

12a−B+b

)+(I −R+R

)z (3.58)

in cui z e un n-vettore arbitrario. Ricordando ora la definizione di R, risulta R+ = R;

inoltre R e idempotente, e quindi RR = R. Applicando queste relazioni si ottiene:

y = R+(M

12a−B+b

)+ (I −R) z (3.59)

Premoltiplicando per R si ricava

Ry = RR+(M

12a−B+b

)+R (I −R) z =

54


= RR+(M

12a−B+b

)+ (R−RR) z = (3.60)

= R(M

12a−B+b

)Si e ricavata l’espressione di Ry ; sostituendola nella (3.55) si ha

r = B+b+R(M

12a−B+b

)= B+b+

(I −B+B

) (M

12a−B+b

)=

= M12a+B+BB+b−B+BM

12a = M

12a+B+b−B+BM

12a = (3.61)

M12a+B+

(b−BM

12a)

= M12a+

(AM− 1

2

)+

(b− Aa)

Premoltiplicando ambo i membri per M12 si perviene infine all’espressione dell’accelerazio-

ne del sistema vincolato:

x = a+M− 12

(AM− 1

2

)+

(b− Aa) (3.62)

che e l’equazione fondamentale.

Si vuole ora stabilire il legame tra principio di Gauss e meccanica Lagrangiana. Per

farlo si osservi che l’accelerazione del sistema vincolato si puo esprimere come:

x(t) = M− 12B+b+M− 1

2Ry =

= M− 12B+b+M− 1

2R(M

12a−B+b

)= (3.63)

M− 12B+b+

(a−M− 1

2B+b)

L’accelerazione totale puo essere quindi vista come somma di due vettori: il primo e

determinato dall’imposizione sul sistema dei vincoli, mentre il secondo e presente perche

l’accelerazione deve soddisfare il principio di Gauss, cioe e determinato dai principi della

Meccanica. Premoltiplicando ambo i membri dell’equazione (3.62) per la matrice delle

55


masse si ottiene:

Mx (t) = Ma+M12

(AM− 1

2

)+

(b− Aa) =

= F (t) + F c (t) (3.64)

in cui

F c (t) = M12

(AM− 1

2

)+

(b− Aa) (3.65)

Il vettore F (t) rappresenta le forze impresse sul sistema, mentre il vettore F c (t) esprime

le forze che devono essere applicate affinche i vincoli siano rispettati. Ora il prodotto(AM− 1

2

)+

(b− Aa) puo sempre essere espresso come(AM− 1

2

)+

λ, con λ un m-vettore.

λ e detto moltiplicatore di Lagrange, poiche Lagrange fu il primo ad utilizzarlo nella

descrizione del moto di sistemi vincolati. Con l’introduzione di questo vettore ad ogni

istante di tempo t la forza di vincolo puo essere espressa come

F c (t) = M12

(AM− 1

2

)+

(b− Aa) = M12

(AM− 1

2

)+

λ = ATλ (3.66)

e l’equazione che regola il moto del sistema vincolato si riscrivera come

Mx (t) = F (t) + ATλ (3.67)

Questo risultato e valido anche quando le equazioni di vincolo non sono indipendenti, e

quindi il rango di A e minore di m.

Attraverso l’equazione fondamentale si e provata l’esistenza di un m-vettore λ che,

moltiplicato per la matrice AT , da luogo alla forza di vincolo F c (t). L’equazione (3.67),

sulla quale si basa la meccanica Lagrangiana, non e altro che un risultato dell’equazio-

ne fondamentale. Resta cosı dimostrata la conformita dell’equazione fondamentale alla

meccanica Lagrangiana.

56

Cap.3 Formulazione dinamicacon il principio di Gauss § 3.8 La formulazione di Udwadia-Kalaba

3.8 La formulazione di Udwadia-Kalaba

Nel precedente paragrafo si e ottenuta la seguente uguaglianza per l’inversa della matrice

dei coefficienti: M ΨTq

Ψq 0

−1

=

M−1 −M−1ΨTq

(ΨqM

−1ΨTq

)−1ΨqM

−1 −M−1ΨTq

(ΨqM

−1ΨTq

)−1

−(ΨqM

−1ΨTq

)−1ΨqM

−1(ΨqM

−1ΨTq

)−1

(3.68)

Tale espressione e valida solamente sotto l’ipotesi che la matrice dei coefficienti abbia

tutte le righe indipendenti, ovvero solo se la matrice Jacobiana [Ψq] ha rango pieno; la

formulazione di Udwadia-Kalaba [47] nasce per calcolare le accelerazioni anche nel caso in

cui tale ipotesi non sia verificata; per dedurla indicato con

{qf} = [M ]−1 {Fe} (3.69)

il vettore delle accelerazioni che si avrebbero in assenza di vincoli, si ottengono per le

accelerazioni e per i moltiplicatori di Lagrange le seguenti espressioni:

{q} = {qf}+ [M ]−1 [Ψq]T(

[Ψq] [M ]−1 [Ψq]T)−1

({γ} − [Ψq] {qf}) (3.70)

{λ} =(

[Ψq] [M ]−1 [Ψq]T)−1

({γ} − [Ψq] {qf}) (3.71)

Indicando ora con

[M ]−1 = [M ]−12 [M ]−

12 (3.72)

[D] = [Ψq] [M ]−12 (3.73)

57

Cap.3 Formulazione dinamicacon il principio di Gauss § 3.8 La formulazione di Udwadia-Kalaba

e ricordando la definizione di matrice pseudoinversa sinistra

[D]+ = [D]T(

[D] [D]T)−1

(3.74)

la (3.70) si puo riscrivere come:

{q} = {qf}+ [M ]−12

([M ]−

12 [Ψq]

T)(

[Ψq] [M ]−12 [M ]−

12 [Ψq]

T)−1

({γ} − [Ψq] {qf}) =

= {qf}+ [M ]−12 [D]T

([D] [D]T

)−1

({γ} − [Ψq] {qf}) =

= {qf}+ [M ]−12 [D]+ ({γ} − [Ψq] {qf}) (3.75)

La (3.75), che esprime la formulazione di Udwadia-Kalaba, ha notevoli vantaggi:

� puo applicarsi anche nel caso in cui i vincoli siano sovrabbondanti o nel caso in cui

la matrice Jacobiana [Ψq] non abbia rango pieno;

� permette di avvalersi dell’uso di solutori di ODE ottenendo simultaneamente tutte

le variabili del sistema, pur non impiegando un numero minimo di coordinate;

� richiede che i vincoli siano congruenti tra loro, ma non necessariamente indipendenti.

Da queste considerazioni appare evidente come tale formulazione sia ideale nel caso in cui

si vogliano ricavare i parametri di moto di un sistema meccanico per via numerica.

Da ultimo e bene osservare che in questa trattazione si e implicitamente supposto che

la matrice delle masse sia diagonale, ipotesi sempre valida in caso di moto rigido piano, in

cui la matrice associata alla massa del generico i-esimo corpo assume la forma

[Mi] =

mi 0 0

0 mi 0

0 0 Ii

(3.76)

58

Cap.3 Formulazione dinamicacon il principio di Gauss § 3.9 Formulazione stabilizzata di Baumgarte

In caso di moto rigido spaziale, in cui la la matrice associata alla massa del generico i -esimo

corpo assume la forma

[Mi] =

miIi 0 0

0 miIi 0

0 0 Ji

(3.77)

tale ipotesi e valida solamente nel caso in cui la matrice dei momenti d’inerzia [Ji] sia

diagonale, ovvero solamente se tale matrice e valutata rispetto ad assi principali d’inerzia.

3.9 Formulazione stabilizzata di Baumgarte

Come visto in precedenza, per effettuare l’analisi dinamica di un sistema meccanico occorre

risolvere al tempo t = t il sistema

M ΨTq

Ψq 0

q

λ

=

Fe

γ

(3.78)

rispetto alle variabili incongnite q e λ. Le velocita e le posizioni al tempo t si ricavano

poi per differenze finite; putroppo questo modo di procedere puo portare ad un rapido

accumularsi dell’errore, e comunque puo dare luogo a violazioni delle equazioni vincolari

Ψ = 0.

A Baumgarte [7, 8] si deve lo sviluppo di una formulazione che permette di tenere sotto

controllo possibili violazioni delle equazioni vincolari. Per illustrare tale formulazione si

cominci sottolineando che le equazioni vincolari che devono essere rispettate, ad ogni

istante di tempo, sono le seguenti

Ψ ≡ Ψ (q, t) = 0 (3.79)

Ψ ≡ [Ψq] {q}+ {Ψt} = 0 (3.80)

59

Cap.3 Formulazione dinamicacon il principio di Gauss § 3.9 Formulazione stabilizzata di Baumgarte

Ψ ≡ [Ψq] {q} − {γ} = 0 (3.81)

nelle incognite, rispettivamente, q, q e q. Per smorzare le violazioni delle equazioni vin-

colari che si verificano durante il processo di integrazione numerica, Baumgarte propose

di inserire tali violazioni proprio nelle equazioni vincolari, in particolare di aggiungere alle

(3.81) le equazioni

Ψ + 2αΨ + β2Ψ = 0 (3.82)

con α e β funzioni peso, sempre positive, scelte arbitrariamente dall’utente. Con l’aggiunta

di queste equazioni il sistema si trasforma nel:

M ΨTq

Ψq 0

q

λ

=

Fe

γ − 2αΨ− β2Ψ

(3.83)

Per quanto attiene alla scelta delle funzioni α e β tipicamente si fissano costanti e pari

all’inverso del passo di integrazione; per conoscere strategie piu complesse si puo consultare

il lavoro di Nikravesh [15]; comunque risulta evidente come la scelta di α e β debba essere

fatta con attenzione, verificandola mediante analisi dei risultati.

Utilizzando questa formulazione le accelerazioni possono essere computate mediante le

equazioni:

{q} = {qf}+ [M ]−1 [Ψq]T(

[Ψq] [M ]−1 [Ψq]T)−1 (

{γ} − 2α{

Ψ}− β2 {Ψ} − [Ψq] {qf}

)(3.84)

I moltiplicatori di Lagrange, invece, devono essere calcolati risolvendo il sistema di par-

tenza, poiche quelli calcolati in seguito all’introduzione della stabilizzazione potrebbero

essere moto diversi da quelli originari.

60

Capitolo 4Analisi della struttura cinematica

4.1 Definizioni

Di seguito vengono riportate alcune definizioni utili ai fini della comprensione degli argo-

menti trattati. Tutta la terminologia verra riferta ai corpi rigidi, quindi corpi indeformabili

in grado di muoversi nello spazio.

Si definisce membro cinematico un singolo corpo, o un insieme di corpi tra loro collegati

in modo tale che sia inibito il moto relativo tra di essi.

Per ottenere l’instaurarsi di un moto relativo tra due membri e necessaria la presenza di

un elemento cinematico, che non e altro che la zona del corpo rigido sagomata in modo

tale da consentire il collegamento e il moto relativo con un altro corpo.

Per coppia cinematica si intende l’insieme di due elementi cinematici che consentono il

collegamento tra due membri. A Releaux si deve la classificazione delle coppie cinemati-

che in coppie cinematiche inferiori, caratterizzate da contatti superficiali in corrispondenza

degli elementi cinematici (coppia prismatica, rotoidale, elicoidale, sferica...) e coppie cine-

matiche superiori, caratterizzate, in corrispondenza degli elementi cinematici, da contatti

lineari e puntiformi (denti con profili coniugati...). Ad ogni coppia si puo associare un

grado di liberta della coppia, indicato con fi, che consiste nel numero di moti relativi in-

61

Cap.4 Analisi della struttura cinematica § 4.1 Definizioni

dipendenti che sono possibili tra gli elementi collegati dalla coppia. Il numero di moti che

vengono soppressi nel moto relativo tra i due corpi che costituiscono la coppia cinematica

e detto grado di vincolo, g.d.v.

Un’altra definizione fondamentale nell’analisi della struttura cinematica e quella che

consente di distinguere tra catena cinematica e meccanismo:

� La catena cinematica e un insieme di membri ciascuno dei quali sia collegato, attra-

verso elementi cinematici, almeno ad un membro dello stesso insieme;

� Il meccanismo e una catena cinematica nella quale un membro, detto telaio, e stato

reso fisso.

Grado di liberta di un sistema meccanico e il minimo numero di coordinate indipendenti

necessarie per descrivere la configurazione del sistema.

Esistono vari metodi per calcolare il numero di gradi di liberta di un sistema. I piu semplici

sono sicuramente i metodi topologici, seguendo i quali il numero di gradi di liberta F si

calcola come:

F = (g.d.l. dei membri svincolati)− (g.d.v. dei membri, introdotti dalle coppie) (4.1)

Indicato con l il numero di membri, con j il numero di coppie cinematiche e con λ il

parametro di mobilita (pari a 6 per sistemi animati da moto spaziale e pari a 3 per sistemi

in moto piano), il numero di g.d.l. secondo Kutzbach e dato da:

F = λ(l − 1)−j∑

i=1

(λ− fi) = λ(l − j − 1) +

j∑i=1

fi (4.2)

La formula di Kutzbach e solo un esempio di metodo topologico; e importante ricordare

pero che i criteri topologici non sempre permettono di calcolare esattamente il numero

di gradi di liberta. Infatti in questi criteri il numero di g.d.l e funzione solamente della

62


struttura cinematica, mentre il numero di g.d.l. e influenzato anche da altri parametri,

quali la configurazione del sistema, la geometria dei membri, etc.

Per calcolare in maniera corretta F occorre ricorrere a dei metodi analitici; si cita il

metodo matriciale dovuto a Whittaker, secondo il quale i g.d.l. di un sistema, detto n il

numero di coordinate usate per definire la configurazione del sistema e p il numero delle

relazioni indipendenti che si possono stabilire tra le variazioni infinitesime delle coordinate,

sono dati da:

F = n− p (4.3)

La trattazione che segue non vuole avere nessuna pretesa di esaustivita. Per ulteriori

approfondimenti si rimanda ai testi di meccanica, ad esempio [16].

Per effettuare l’analisi cinematica si e scelto di applicare il metodo delle equazioni di

vincolo. La scelta e ricaduta su questo metodo perche, nonostante il gran numero di

equazioni e di variabili che coinvolge, ha il vantaggio di essere facilmente implementabile

in un’ottica di lavoro multibody. Nel seguito verranno considerati sistemi in cui i membri

sono animati da moto piano.

I vincoli che caratterizzano meccanismi articolati possono essere dei seguenti tipi:

� vincoli scleronomi (indipendenti dal tempo), dovuti alla presenza delle coppie cine-

matiche;

� vincoli reonomi (dipendenti esplicitamente dal tempo), dovuti a delle leggi di moto

assegnate ai membri.

Le equazioni relative ai vincoli reonomi devono essere inserite direttamente, mentre le

equazioni relative agli altri vincoli possono essere generate automaticamente una volta

stabilita la topologia del sistema e la geometria dei membri.

Da qui in avanti verra utilizzato un sistema di coordinate generalizzate: ad ogni membro

63


mobile verra associato un sistema di riferimento cartesiano oi − xiyi.

La posizione del membro i-esimo, rispetto ad un riferimento inerziale O−XY , sara definita

una volta specificate le tre coordinate generalizzate q3i−2, q3i−1, q3i, in cui le prime due

coordinate specificano la posizione dell’origine del s.d.r. mobile, mentre la terza indica

l’angolo esistente tra gli assi delle ascisse dei due s.d.r., misurato a partire da X in senso

antiorario. Nella figura seguente viene mostrata la convenzione utilizzata:

Figura 4.1: Nomenclatura

a

b

c

d

e

f

g

h

l

Y

q3i-1

q3i

q3i-2

xi

yi

Oi

X

corpo i

Posto

[oiA] =

cos q3i −sin q3i

sin q3i cos q3i

(4.4)

la trasformazione che permette di ottenere le coordinate assolute (X, Y ) di un generico

punto a partire dalla conoscenza delle coordinate nel riferimento locale(x, y) e la seguente:

X

Y

= [oiA]

x

y

+

q3i−2

q3i−1

(4.5)

Si ricavano nel seguito le equazioni di vincolo per coppie rotoidali e prismatiche, unici

vincoli scleronomi previsti dal modello sviluppato; entrambe queste coppie hanno un grado

di liberta, e pertanto nel caso di moto piano introdurranno due gradi di vincolo.

64

Cap.4 Analisi della struttura cinematica § 4.2 Coppia rotoidale

4.2 Coppia rotoidale

Nel caso di coppia rotoidale tra i membri i e j le equazioni da introdurre traducono la

condizione di coincidenza tra i punti Ai e Aj:

Ψk ≡ XAi−XAj

= 0 (4.6)

Ψk+1 ≡ YAi− YAj

= 0 (4.7)

Figura 4.2: Coppia rotoidale

a

b

c d

e

f

g

h

i

r

s

u

v

q3i-1

q3j-1

q3i-2

q3j-2

yAi

xAi y

Aj

xAj

oi

oj

Ai=A

j

X

Y

Ricordando la 4.5, le equazioni vincolari si trasformano in:

Ψk ≡ (q3i−2 + xAicos q3i − yAisin q3i)−

(q3j−2 + xAj

cos q3j − yAjsin q3j

)= 0 (4.8)

Ψk+1 ≡ (q3i−1 + xAisin q3i + yAicos q3i)−

(q3j−1 + xAj

sin q3j + yAjcos q3j

)= 0 (4.9)

65

Cap.4 Analisi della struttura cinematica § 4.2 Coppia rotoidale

Per effettuare l’analisi cinematica e indispensabile ricavare gli elementi della matrice Ja-

cobiana [Ψq] e del vettore γ, pertanto nel seguito si ricaveranno tali elementi dovuti alla

presenza della coppia rotoidale:

∂Ψk

∂q3i−2

= 1 (4.10)

∂Ψk

∂q3i−1

= 0 (4.11)

∂Ψk

∂q3i

= − (xAisin q3i + yAi

cos q3i) = q3i−1 − YAi(4.12)

∂Ψk

∂q3j−2

= −1 (4.13)

∂Ψk

∂q3j−1

= 0 (4.14)

∂Ψk

∂q3j

= xAjsin q3j + yAj

cos q3j = YAj− q3j−1 (4.15)

∂Ψk+1

∂q3i−2

= 0 (4.16)

∂Ψk+1

∂q3i−1

= 1 (4.17)

∂Ψk+1

∂q3i

= xAicos q3i − yAi

sin q3i = XAi− q3i−2 (4.18)

66

Cap.4 Analisi della struttura cinematica § 4.3 Coppia prismatica

∂Ψk+1

∂q3j−2

= 0 (4.19)

∂Ψk+1

∂q3j−1

= −1 (4.20)

∂Ψk+1

∂q3j

= −xAjcos q3j + yAj

sin q3j = q3j−2 −XAj(4.21)

γ (k) = −[q2

3i (q3i−2 −XAi)− q2

3j

(q3j−2 −XAj

)](4.22)

γ (k + 1) = −[q2

3i (q3i−1 − YAi)− q2

3j

(q3j−1 − YAj

)](4.23)

4.3 Coppia prismatica

Per coppie prismatiche, invece, le condizioni da imporre sono:

1. I punti Ai e Bi del corpo i devono essere allineati con il punto Cj del corpo j lungo

l’asse della coppia;

2. La differenza ∆ϕij tra le coordinate q3i e q3j deve essere costante, poiche la presenza

della coppia prismatica non permette la rotazione relativa tra i corpi.

67


Figura 4.3: Coppia prismatica

Bib

Ai

Cj

xi

yi

xj

yj

oi

oj

Pertanto le equazioni vincolari da imporre saranno:

Ψk ≡

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣XAi

YAi1

XBiYBi

1

XCjYCj

1

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣= 0 (4.24)

Ψk+1 ≡ q3i − q3j −∆ϕij = 0 (4.25)

Gli elementi della matrice Jacobiana [Ψq] e del vettore γ per coppia prismatica sono:

∂Ψk

∂q3i−2

= YBi− YAi

(4.26)

∂Ψk

∂q3i−1

= XAi−XBi

(4.27)

∂Ψk

∂q3i

= − (XBi−XAi

)(Xcj − q3i−2

)− (YBi

− YAi)(Ycj − q3i−1

)(4.28)

∂Ψk

∂q3j−2

= YAi− YBi

(4.29)

68


∂Ψk

∂q3j−1

= XBi−XAi

(4.30)

∂Ψk

∂q3j

= − (XBi−XAi

)(q3j−2 −Xcj

)− (YAi

− YBi)(Ycj − q3j−1

)(4.31)

∂Ψk+1

∂q3i−2

= 0 (4.32)

∂Ψk+1

∂q3i−1

= 0 (4.33)

∂Ψk+1

∂q3i

= 1 (4.34)

∂Ψk+1

∂q3j−2

= 0 (4.35)

∂Ψk+1

∂q3j−1

= 0 (4.36)

∂Ψk+1

∂q3i

= −1 (4.37)

γ(k) = 2q3i [(YAi− YBi

) (q3i−1 − q3j−1) + (XAi−XBi

) (q3i−2 − q3j−2)] +

+q23i [(XAi

−XBi) (q3i−1 − q3j−1) + (YBi

− YAi) (q3i−2 − q3j−2)] (4.38)

69

Cap.4 Analisi della struttura cinematica § 4.4 Vincoli reonomi

γ (k + 1) = 0 (4.39)

4.4 Vincoli reonomi

Detto F il numero di gradi di liberta di un sistema, affinche si possa effettuare l’analisi

cinematica bisogna specificare F leggi di moto per i membri. Un esempio di vincolo

reonomo e quello che traduce l’esistenza di un moto uniformemente accelerato:

Ψ = q −(q0 + q0t+

t2

2q0

)(4.40)

Pertanto, per effettuare l’analisi delle posizioni sara sufficiente imporre, per ogni vincolo

di movimento, l’uguaglianza

Ψ = 0 (4.41)

Derivando rispetto alle incognite derivate qk, (k = 1, ..., 2j1 + F ) si perviene all’analisi

delle velocita:

[Ψq] {q} = −{Ψt} (4.42)

Per l’analisi delle accelerazioni occorrera derivare rispetto al tempo l’ultima equazione:

d

dt{[Ψq (q, t)] {q}} =

[d

dtΨq (q, t)

]{q}+ [Ψq (q, t)]

{˙q}

=

[∂

∂q[Ψq (q, t)] {q}+

∂Ψq

∂t

]{q}+ [Ψq (q, t)]

{˙q}

(4.43)

d

dt{Ψt (q, t)} = [Ψtq] {q}+ {Ψtt} (4.44)

70

Cap.4 Analisi della struttura cinematica § 4.4 Vincoli reonomi

⇒ [Ψq]{

˙q}

= {γ} (4.45)

Dove con γ si indica:

{γ} = − ([Ψq] {q})q {q} − 2 [Ψqt] {q} − {Ψtt} (4.46)

71

Capitolo 5Analisi del movimento

La storia dell’analisi del movimento inizia nel 1878 grazie ad un noto fotografo paesaggista,

Eadweard Muybridge, al quale era stato commissionato di risolvere attraverso la fotografia

un quesito che al tempo destava grande interesse: c’e qualche momento della corsa di un

cavallo in cui tutte e quattro le zampe dell’animale si trovano sollevate dal terreno? Era

infatti convinzione comune che il cavallo si staccasse completamente da terra nella posizione

di massima estensione, situazione che fu spesso raffigurata nei dipinti e disegni degli inizi

del 1800, come nell’esempio di Theodore Gericault:

Figura 5.1: Le derby d’Epsom, Theodore Gericault, 1821

Per rispondere al quesito Muybridge si avvalse della tecnica denominata cronofoto-

72

Cap.5 Analisi del movimento

grafia1; utilizzando 24 fotocamere sistemate parallelamente al tracciato percorso da un

cavallo in corsa dimostro che gli zoccoli si sollevano dal terreno contemporaneamente, ma

non nella posizione di completa estensione, come era comunemente raffigurato.

Figura 5.2: Il cavallo in movimento, 1878

Altri pionieri come Etienne-Jules Marey contribuirono a gettare le basi per l’analisi

del movimento; per ulteriori approfondimenti sara utile consultare il sito [1]. Dai primi

esperimenti degli inizi del ventesimo secolo le conoscenze e la tecnologia in questo campo

sono notevolmente aumentati; i sistemi di analisi del movimento oggi disponibili commer-

cialmente sono ottici, magnetici, meccanici o ibridi. Ognuno di questi sistemi presenta

vantaggi e svantaggi:

� sistemi basati su elettrogoniometri ed accelerometri : permettono di misurare diret-

tamente le variabili di interesse, ma comportano la presenza di dispositivi elettrici a

contatto con la superficie del corpo. Inoltre sono ingombranti, e causano una ridotta

naturalita del movimento.

1Per cronofotografia si intende la possibilita di registrare in un’unica immagine ed in un’unica lastrafotografica, varie posizioni di un soggetto in movimento in corrispondenza di diversi momenti temporali.

73

Cap.5 Analisi del movimento § 5.1 Basi di ricostruzione 3D

� sistemi elettromagnetici : permettono di effettuare misure dirette della cinematica

mediante un generatore esterno di campo magnetico. Il grande svantaggio e l’elevata

sensibilita dell’accuratezza della misura alla presenza di oggetti ferromagnetici.

� sistemi optoelettronici : utilizzano telecamere operanti nella gamma del visibile e nel

vicino infrarosso. E’ la soluzione piu diffusa sebbene forniscano una stima e non una

misura diretta della variabili cinematiche.

Il sistema utilizzato in questo lavoro di tesi e di tipo optoelettronico; di seguito si forniranno

le basi concettuali per una completa comprensione della strumentazione utilizzata.

5.1 Basi di ricostruzione 3D

Per poter effettuare l’analisi del movimento bisogna anzitutto riuscire a catturare delle

informazioni sul movimento stesso mediante un sistema di imaging; gli strumenti piu

utilizzati sono sicuramente telecamere, videocamere, e sistemi radiografici.

L’immagine creata da una camera rappresenta una proiezione bidimensionale di un

oggetto tidimensionale, pertanto l’obiettivo che ci si deve porre e come ricreare l’oggetto

3D a partire dalla sua immagine 2D, sapendo che per ricostruire la posizione nello spazio

di un oggetto 3D servono almeno due proiezioni 2D; questo processo va sotto il nome di

ricostruzione fotogrammetrica. Per illustrarlo si consideri un oggetto puntiforme, indica-

to con la lettera A, e due telecamere; si vogliano determinare le coordinate XA, YA che

definiscono la posizione di A in uno spazio bidimensionale.

74


Figura 5.3: Illustrazione 2D dell’approccio fotogrammetrico

.A (X

A , Y

A)

(X02

, Y02

)(X01

, Y01

)

O1

O2

X

Y

La radiazione elettromagnetica che origina da A crea un’immagine sulla superficie foto-

sensibile di ciascuna telecamera; per ogni immagine si puo immaginare di creare un sistema

di coordinate locali U1 e U2. La posizione spaziale dell’oggetto puo essere ricostruita tro-

vando l’intersezione dei due raggi che originano nelle immagini e passano attraverso i centri

ottici delle telecamere. Di conseguenza per ricostruire la posizione spaziale del punto le

informazioni necesarie sono le coordinate nei sitemi di riferimento locali e la posizione dei

centri ottici delle telecamere. Se lo spazio in cui e definito l’oggetto puntiforme invece

di essere bidimensionale e tridimensionale le coordinate spaziali (X, Y, Z) dell’oggetto si

possono ricavare

� combinando le informazioni provenienti da due telecamere planari

� combinando tre coordinate lineari indipendenti da tre telecamere unidimensionali.

Mediante i principi di ricostruzione fotogrammetrica [50], con un minimo di due differenti

prospettive di vista le coordinate spaziali di un oggetto possono essere ricostruite. La

fotogrammetria, secondo la definizione della Societa americana di Fotogrammetria, e

75


“L’arte, la scienza e la tecnologia che permette di ottenere informazioni affidabili su

oggetti fisici e sull’ambiente mediante i processi di registrazione, misura e interpretazione

di immagini fotografiche e patterns di energia elettromagnetica radiante o altri fenomeni.”

Esistono due distinti tipi di analisi fotogrammetrica:

� Fotogrammetria metrica, che consiste nell’effettuare misure precise da immagini o

altre fonti per determinare la posizione di markers o punti;

� Fotogrammetria interpretativa, che invece consiste nell’usare tecniche sistematiche di

analisi per riconoscere ed identificare gli oggetti.

I moderni sistemi di analisi del movimento coinvolgono entrambi. Per poter ricostruire

la posizione di punti di interesse, o markers, bisogna anzitutto definire un sistema di

riferimento fisso, normalmente definito sistema di riferimento di laboratorio, rispetto al

quale vengono calcolate le coordinate dei markers. Sui segmenti del corpo si possono poi

definire dei sistemi di riferimento locali, mobili. Nella figura sono riportate tre telecamere

fisse che ricostruiscono la posizione del marker.

Figura 5.4: Un sistema a tre telecamere

.X1

Y1

Z1

u1

v1

X2

Y2

Z2

v2

u2

Y3

Z3

v3

u3

X3

L’origine del sistema di riferimento per ogni telecamera e posizionata nel punto focale.

Assumendo che l’immagine che si genera e piatta, un asse puo essere eliminato; i restanti

76


due assi vengono denominati ui e vi rispettivamente. Una volta definiti i sistemi di ri-

ferimento vengono risolte delle equazioni per risalire alle coordinate spaziali assolute del

marker. In queste equazioni compaiono sia parametri esterni (l’orientazione spaziale della

telecamera) sia parametri interni, come le caratteristiche della lente o il tipo di telecamera;

l’esatta conoscenza di tali valori e la base di una corretta ricostruzione.

La tecnica standard si fonda sull’utilizzo di due immagini; ogni altra immagine viene utiliz-

zata per creare una coppia di telecamere aggiuntiva (con quattro telecamere, ad esempio,

si avranno sei coppie).

Uno dei principi fondamentali alla base dell’analisi fotogrammetrica e la condizione di

colinearita, che richiede che un marker e la sua immagine formino una linea retta che passa

attraverso il punto focale. Un’altra condizione altrettanto importante e la condizione di

complanarieta, che richiede che il marker, la sua coppia di immagini e i due punti focali

giacciano su uno stesso piano. Se queste due condizioni sono rispettate, la posizione

spaziale del marker puo essere ricostruita. Detto punto principale dell’immagine l’origine

degli assi del s.d.r. della telecamera, e adottata la seguente notazione:

� (X, Y, Z) coordinate assolute del marker

� (X0, Y0, Z0) coordinate assolute del punto focale

� (u, v) coordinate del punto proiezione del marker nell’immagine

� ∆u e ∆v gli errori su u e v

� (up, vp) coordinate del punto principale dell’immagine

� C la lunghezza focale

� λ il fattore di scala lineare

� M una matrice di trasformazione 3 x 3 dal s.d.r. dell’immagine al s.d.r. assoluto

77


le equazioni che permettono di ricostruire la posizione del marker costituiscono il sistema:

u− up + ∆u

v − vp + ∆v

−C

= λ [M ]

X −X0

Y − Y0

Z − Z0

(5.1)

Le equazioni (5.1) nel tempo sono state molto rimaneggiate; ad oggi vengono soprattut-

to utilizzate tecniche implicite per la ricostruzione delle coordinate del marker. Queste

tecniche si basano tutte sul sistema di equazioni classico, trasformato in una serie di para-

metri incogniti, funzione di costanti o delle coordinate del punto oggetto. Le costanti sono

complesse relazioni matematiche che coinvolgono uno o piu parametri della telecamera.

Per determinare tali parametri sperimentalmente e necessaria una calibrazione, e un

dispositivo per la calibrazione. I passi da seguire per la ricostruzione delle coordinate dei

markers sono quindi due:

� inizialmente il dispositivo utilizzato per la calibrazione viene fotografato, e la sua im-

magine, insieme alle coordinate assolute dell’oggetto, sono utilizzate per determinare

le costanti presenti nelle equazioni;

� successivamente il dispositivo per la calibrazione viene sostituito con i markers inco-

gniti le cui coordinate devono essere determinate.

Sicuramente la tecnica piu utilizzata per la ricostruzione 3D e quella sviluppata da Mar-

zan&Karara e basata sulla Direct Linear Transformation (DLT). Questa tecnica riscrive

le equazioni classiche nella forma:

u+ ∆u =L1X + L2Y + L3Z + L4

L9X + L10Y + L11Z + 1

v + ∆v =L5X + L6Y + L7Z + L8

L9X + L10Y + L11Z + 1(5.2)

78

Cap.5 Analisi del movimento § 5.2 Calibrazione

Per una descrizione dettagliata si puo consultare [37]. L’ulteriore vantaggio nella formu-

lazione implicita di Marzan e che non e piu necessario che gli assi ottici delle telecamere

siano paralleli, condizione indispensabile invece se si fa ricorso alle (5.1).

5.2 Calibrazione

Affinche il sistema restituisca risultati corretti, e necessaria una calibrazione (che va ese-

guita prima di effettuare l’acquisizione vera e propria), in modo da permettere al software

di calcolare la posizione e l’orientamento assoluti di ogni videocamera e di interpretare

correttamente le coordinate ricevute. Dal punto di vista operativo, la calibrazione consi-

ste nel calcolare gli 11 coefficienti DLT per ciascuna camera utilizzata; questi coefficienti

esprimono:

� parametri interni:

– lunghezza focale

– coordinate del punto principale

– coefficienti di distorsione

� parametri esterni:

– posizione del sistema di riferimento della telecamera rispetto a quello assoluto

Il processo di ricostruzione delle coordinate spaziali di un oggetto e soggetto a molte fonti di

errore; probabilmente la piu comune e la piu comunemente trascurata e la qualita e la cura

impiegate durante la calibrazione. L’accuratezza2 dello strumento usato in calibrazione e

cruciale perche influenzera anche l’accuratezza della ricostruzione 3D. Sara impossibile

2Nella teoria degli errori, l’accuratezza e il grado di corrispondenza del dato teorico, desumibile da unaserie di valori misurati (campione di dati), con il dato reale o di riferimento, ovvero la differenza tra valormedio campionario e valore vero o di riferimento.

79

Cap.5 Analisi del movimento § 5.2 Calibrazione

avere un’accuratezza nella conoscenza delle coordinate dell’oggetto maggiore di quella che

si e ottenuta in fase di calibrazione; per questo motivo si raccomanda di usare particolare

attenzione in calibrazione.

Il numero minimo di punti selezionati necessari per determinare i parametri incogniti

nell’algoritmo di ricostruzione varia a seconda della tecnica di ricostruzione utilizzata; per

la DLT sono necessari almeno sei markers. Con sei markers si otterrano dodici equazioni

nelle undici incognite L1, ..., L11; il numero di equazioni sara sovrabbondante , e si dovra

ricorrere al metodo dei minimi quadrati per risolvere il sistema. Da notare che l’errore

non e drasticamente influenzato dal numero di punti utilizzato, a patto di effettuare la

calibrazione con sufficiente accuratezza.

Per effettuare la calibrazione, inizialmente si creava nel volume di lavoro una distri-

buzione di markers secondo delle posizioni note con estrema precisione; questo implicava

la necessita di creare delle strutture di markers ingombranti e costose. Un approccio dif-

ferente e rappresentato da una procedura di auto-calibrazione, sviluppata da Borghese

& Cerveri [11] che non richiede la preventiva conoscenza delle posizioni dei markers 3D.

Con questo approccio basta disporre di una barra rigida ai cui estremi sono collocati dei

markers; il sistema deve conoscere la distanza 3D tra i due markers. La barra deve poi

essere mossa all’interno del volume di lavoro; il sistema riconosce, grazie ad un algoritmo

di template matching, i markers. Dalla registrazione della posizione dei markers istante

per istante si ricava la distanza tra i markers stessi, e questa distanza viene comparata con

il valore vero che il sistema ha in memoria. Il confronto tra la distanza nota e quella sti-

mata fornisce informazioni sull’accuratezza delle misure effettuate dal sistema e permette

di stimare la componente casuale di errore associata al processo di misura. Con questa

procedura, un grande numero di punti di calibrazione distribuiti lungo tutto il volume puo

essere collezionato in poco tempo. L’unica informazione metrica di cui il sistema deve

disporre e la vera distanza 3D tra le estremita della barra, e questo valore e critico per

una corretta calibrazione; se la distanza non e fornita correttamente, si introduce una

80

Cap.5 Analisi del movimento § 5.3 Markers

degradazione nella accuratezza. Ovviamente, poiche questa misura deve essere presa una

sola volta, e ragionevole assumere che potra essere effettuata con adeguata accuratezza.

5.3 Markers

I markers sono degli oggetti di forma predeterminata e di lucentezza maggiore rispetto a

qualsiasi altro oggetto presente nel volume di lavoro, che vengono riconosciuti dal siste-

ma e la cui posizione nel tempo viene registrata. La forma scelta deve essere invariante

rispetto alla rotazione, altrimenti cambierebbe quando il corpo si muove. Per il riconosci-

mento della forma i sistemi utilizzano algoritmi di pattern recognition, mediante i quali

un oggetto viene riconosciuto come marker solamente se la sua forma eguaglia quella pre-

definita, mentre per il riconoscimento del segnale deve essere impostato un valore di soglia

sul segnale video. Per l’analisi biomeccanica i markers vengono posizionati su cosiddetti

punti di repere anatomico, punti in cui lo scorrimento tra la cute e l’osso e minimo. Per

la definizione dei punti di repere si e fatto riferimento allo standard della Societa interna-

zionale di Biomeccanica (ISB), in particolare a [43] per gli arti inferiori ed a [51] per quelli

superiori.

I markers utilizzati nei sistemi optoelettronici possono essere di due tipi:

� markers attivi, che emettono un segnale luminoso. Tipicamente sono costituiti da

LED a bassa potenza ( < 1W). Richiedono una sorgente di energia esterna;

� markers passivi, oggetti costituiti da sfere o semisfere di materiale plastico rivestiti

di carta catarinfrangente; la forma sferica, oltre a garantire l’invarianza rispetto

alla rotazione, permette la miglior riflessione dei raggi infrarossi (ampi angoli di

riflessione).

Di seguito vengono analizzati nel dettaglio i due tipi di markers.

81

Cap.5 Analisi del movimento § 5.3 Markers

5.3.1 Markers attivi

Sebbene nel passato siano stati utilizzati vari tipi di markers attivi, ad oggi vengono comu-

nemente utilizzati i LED; tipicamente la lunghezza d’onda scelta e nel vicino infrarosso,

poco sopra gli 800 nm, per evitare disturbi visivi ai soggetti. Il maggiore vantaggio connes-

so con l’utilizzo dei markers attivi e la semplicita nell’etichettatura (labeling), oltre all’alta

frequenza di campionamento quando vengono utilizzati pochi markers.

La scelta dell’uso di markers attivi comporta pero notevoli problemi:

� necessita dell’alimentazione esterna, che comporta la presenza di cavi elettrici che

limitano la liberta di movimento del soggetto;

� limitato angolo di emissione luminosa, che implica problemi nel caso in cui, durante

il movimento, il marker debba ruotare. Si puo aumentare l’angolo di emissione, ma

questo va a scapito dell’intensita della radiazione luminosa che raggiunge la camera.

� i sensori che rilevano il segnale luminoso proveniente dai markers generalmente ri-

chiedono che il segnale provenga in modo consequenziale tra i vari markers; questo

limita il numero di markers che possono essere utilizzati e causa un campionamento

non simultaneo delle coordinate dei markers.

5.3.2 Markers passivi

I markers passivi riflettono la luce nella direzione da cui proviene. I vantaggi connessi

con l’utilizzo di questi markers sono che i movimenti del soggetto non sono ostacolati

dalla presenza dei markers stessi, neanche nel caso di rotazioni, e che i markers passivi

sono visibili da ogni direzione. Non richiedendo l’applicazione di cavi, possono essere

utilizzati anche in caso di studio di movimenti rapidi e ampi. Il fatto che i markers vengano

visti contemporaneamente dai sensori e vantaggioso dal punto di vista del processamento

del segnale, ma come svantaggio comporta la necessita di un’operazione di labeling per

82

Cap.5 Analisi del movimento § 5.4 Videocamere

assegnare un’etichetta ad ogni coppia di coordinate; questo processo e usualmente espletato

durante una fase del processing detta tracking.

Altri vantaggi sono la liberta del movimento e la possibilita di fare ricorso ad un numero

potenzialmente illimitato di markers. Uno svantaggio e che la frequenza di campionamento

e limitata dalla videocamera utilizzata; tipicamente le frequenze utilizzate sono intorno ai

100 Hz, mantenendo un’elevata risoluzione e accuratezza, oppure ai 200 Hz, con una signi-

ficativa riduzione delle stesse. Queste frequenze, comunque, sono ampiamente sufficienti

per descrivere i comuni movimenti umani, anche nel caso di analisi di un gesto sportivo.

5.4 Videocamere

Sono unita integrate di cattura ed elaborazione delle immagini; la parte sensibile e costi-

tuita da un sensore optoelettronico. I sensori optoelettronici possono essere divisi in due

classi: sensori addressable e non addressable.

Un sensore addressable, o indirizzabile, e in grado di associare ogni pixel dell’immagine

con una coppia di coordinate; le videocamere sono un esempio di questo tipo di sensori,

poiche l’imagine e codificata nel cosiddetto formato raster : l’immagine e scansionata linea

per linea e colonna per colonna, ottenendo una rappresentazione monodimensionale del

segnale. In pratica le relazioni spaziali tra diverse parti dell’immagine sono trasformate

in scostamenti temporali. Questo tipo di sensore puo raccogliere in una stessa immagine

le informazioni provenienti da piu sensori contemporaneamente. I piu diffusi sensori di

tipo addressable sono CCD (Charge Coupled Device) e CMOS (Complementary Metal

Oxide Semiconductor); i primi hanno costituito la tecnologia dominante fino agli anni ’80,

ma con l’avvento del digitale si e preferito passare ai CMOS, dotati di un’uscita di tipo

digitale.

Un sensore non addressable, invece, da un’informazione complessiva sull’immagine a

quel dato istante di tempo. I fotodiodi a effetto laterale, ad esempio, forniscono come out-

83

Cap.5 Analisi del movimento § 5.5 Sincronizzazione dei sensori e marker detection

put le coordinate del punto nell’immagine maggiormente illuminato. Per questa ragione,

se vengono utilizzati per rilevare i segnali luminosi provenienti dai markers, e necessario

che sia illuminato un unico marker per volta. Questo ovviamente e possibile solamente se

si fa ricorso a markers attivi; inoltre, la luce proveniente da un marker puo riflettersi su

delle superfici, il che potrebbe portare ad una falsa detezione di un marker su un qualche

sensore, situazione che corromperebbe la misura.

L’illuminazione della scena e affidata ad una corona di led IR che circonda l’obiettivo.

Per quanto concerne la scelta dell’illuminazione infrarossa, questa e dovuta al fatto che

la lunghezza d’onda propria degli infrarossi non e percepita dall’occhio umano, risultando

dunque invisibile. Questo permette, in fase di cattura, di lavorare con normali luci ar-

ticiali, mentre e sconsigliata la presenza di luce solare sulla scena, in quanto essa invade

parzialmente il campo di emissione infrarosso, e potrebbe generare quindi rifessi rilevabili

dalle videocamere.

Un cavo USB standard alimenta sia la videocamera sia la corona di led IR.

5.5 Sincronizzazione dei sensori e marker detection

Per effettuare una misura tridimensionale, e necessario utilizzare almeno due sensori; que-

sto fa sorgere il problema della sincronizzazione dei segnali provenienti dai vari sensori.

Per i sensori di tipo addressable questo problema e risolto inserendo nell’hardware un

sincronizzatore; per l’altro tipo di sensori il problema e piu complicato, perche i segnali

provenienti dai vari sensori devono essere convertiti in forma digitale in modo sincrono,

e questa operazione deve essere fatta per tutti i markers attivi, che come si e visto in

precedenza sono scansionati sequenzialmente nel tempo.

Per quanto riguarda, invece, la rilevazione dei markers il problema che sorge e quello di

trovare il giusto equilibrio tra collezionare sufficienti informazioni per la ricostruzione 3D

e evitare di sovraccaricare il sistema con troppe informazioni, che comporterebbero anche

84

Cap.5 Analisi del movimento § 5.6 Elaborazione da parte del computer

l’eventualita di creare dei falsi positivi. Nei moderni sistemi di analisi del movimento si

utilizzano due approcci: la creazione di un valore di soglia, al di sotto del quale il segnale

non viene memorizzato, e il processing del segnale immagine. Innanzitutto il segnale

video viene comparato, pixel per pixel, con un valore di soglia; questo stadio e molto

semplice e allo stesso tempo molto efficace. Ovviamente con questo approccio esiste la

possibilita di trascurare il segnale proveniente da un marker perche troppo debole, e allo

stesso tempo di accettare come valido un segnale di intensita elevata, ma non proveniente

da un marker. Sul segnale vengono poi applicati degli algoritmi di pattern recognition:

l’immagine viene comparata con un’immagine di riferimento. Se l’immagine concorda con

quella di riferimento, la funzione di cross-correlazione e massimizzata. La maschera con

cui viene fatta la comparazione e studiata in modo tale da massimizzare la reiezione del

rumore; il risultato e che il rapporto segnale-rumore dopo l’applicazione della maschera e

notevolmente aumentato.

5.6 Elaborazione da parte del computer

La quantita di dati che il computer riceve e la velocita alla quale tali dati devono essere

trattati dipende da vari fattori:

� N numero di markers

� S numero di sensori

� F frequenza di campionamento

La relazione che lega tutti questi fattori e la seguente:

T = N · S · F (5.3)

85

Cap.5 Analisi del movimento § 5.6 Elaborazione da parte del computer

Dove T e un parametro che esprime l’ammontare di dati che devono essere elaborati

ad ogni istante di tempo. Se si vuole conoscere la quantita di dati che devono essere

elaborati durante un’intera acquisizione bastera moltiplicare il parametro T per la durata

dell’acquisizione stessa:

D = N · S · F · t = T · t (5.4)

Per dare un’idea del numero di bites totali richiesti da una singola acquisizione si consideri

che, per 20 markers visti da 4 sensori che lavorano ad una frequenza di 100 Hz per 30

secondi, assumendo una codifica a 4 bit, si dovranno elaborare 960000 bites.

Durante l’acquisizione dei dati il sistema deve effettuare anche un processing on-line

dei dati stessi, per valutare la loro affidabilita e per effettuare una compressione. Dopo

queste due fasi il processing di base che il sistema deve operare e costituito da:

� esaltare le coordinate

� etichettare i markers

� correggere le distorsioni

� effettuare la ricostruzione 3D

L’etichettatura dei markers e una procedura richiesta in caso ci si avvalga di markers

passivi e di sensori addressable. L’utente e chiamato a specificare un’etichetta per ogni

marker nei primi frames. Il sistema, poi, seguendo la curva che caratterizza le coordinate di

ciascun marker, assegna la stessa etichetta a quel marker per ogni frame. A volte qualche

marker puo scomparire per qualche frame, ad esempio a causa di un oscuramento ad opera

di una parte del corpo; per ovviare a questo fenomeno puo essere richiesto di interpolare

una parte mancante di traiettoria di qualche marker.

La correzione delle distorsioni serve a compensare le non linearita ottiche e dei sen-

sori; essa viene usualmente portata a termine mediante un’espressione polinomiale con

coefficienti computati, in fase di calibrazione, in base alla misura di un oggetto di controllo.

86

Cap.5 Analisi del movimento § 5.7 Sistema BTS

Per quanto attiene alla ricostruzione 3D delle coordinate, infine, si e gia esposto, nel

paragrafo 5.1, l’approccio basato sulla DLT. Il set di equazioni che trasforma le coordinate

spaziali nelle coordinate nel piano dell’immagine e il seguente:

x− x0 = −c · M11 (X −X0) +M12 (Y − Y0) +M13 (Z − Z0)

M31 (X −X0) +M32 (Y − Y0) +M33 (Z − Z0)(5.5)

y − y0 = −c · M21 (X −X0) +M22 (Y − Y0) +M23 (Z − Z0)

M31 (X −X0) +M32 (Y − Y0) +M33 (Z − Z0)(5.6)

dove si e indicato con c la lunghezza focale delle lenti, con (x0, y0) le coordinate del

punto principale, con (X0, Y0, Z0) le coordinate del punto focale e con Mij i nove elementi

della matrice di rotazione che permette di passare dal riferimento spaziale al riferimento

dell’immagine [50]; di questi nove elementi solamente tre sono indipendenti.

Il grande problema nell’utilizzo di questa equazione e la natura non lineare delle due

equazioni. La DLT supera questo ostacolo riarrangiando i termini delle equazioni, e

introducendo altri parametri.

5.7 Sistema BTS

Il sistema BTS Smart-D e un sistema optoelettronico digitale ad alta risoluzione che con-

sente l’analisi di ogni tipo di movimento. e un dispositivo medico e come tale soddisfa i

requisiti essenziali della direttiva Dispositivi Medici 93/42/CEE recepita in Italia con il

decreto legislativo 24 Febbraio 1997 numero 46. Il sistema e anche conforme alle direttive

europee inerenti la Compatibilita Elettromagnetica (89/336/CEE e successive modifiche)

e alle direttive sugli apparecchi in Bassa Tensione (73/23/CEE e successive modifiche).

Smart-D e in grado di ricostruire tridimensionalmente le traiettorie di un insieme di

markers applicati al corpo del paziente. L’acquisizione del movimento e fatta mediante te-

lecamere ad infrarossi posizionate attorno al volume in cui avviene l’azione, le cui posizioni

sono state precedentemente calcolate attraverso una procedura di calibrazione.

87


Le prestazioni fornite sono in linea con i piu precisi sistemi ottici. Lo stesso sistema,

con una semplice sostituzione degli obiettivi, puo essere utilizzato per volumi di lavoro

che vanno da poche decine di centimetri fino a qualche metro di lato. Smart-D e anche

compatibile con segnali EMG, con piattaforme di forza e con altri dispositivi di misura

per poter svolgere un’analisi clinica maggiormente dettagliata.

L’architettura del sistema di acquisizione e riportata nella figura:

Figura 5.5: Architettura sistema optoelettronico

Struttura di

acquisizione

Software di

elaborazione

Movimento

Sequenza di

immagini

Telecamere,

illuminatori,

schede di

acquisizione …

Rilevazione dei

marcatori

5.7.1 Componenti del sistema

Di seguito vengono analizzati i principali componenti del sistema:

� markers: sono markers passivi, sfere di materiale plastico ricoperte di carta rin-

88


frangente e posizionate su supporti di varie lunghezze; il diametro va dai 3 ai 20

mm.

Figura 5.6: Markers passivi BTS

� illuminatori: generano gli infrarossi che, dopo aver investito il volume di lavoro ed

essere stati rifratti dai markers, vengo rilevati dalle telecamere. Formano una corona

circolare posta attorno all’obiettivo di ciascuna telecamera, e sono costituiti da led

IR. Gli illuminatori sono sincronizzati tra loro e con le telecamere; la loro frequenza

di accensione-spegnimento puo essere impostata dall’operatore.

� videocamere: sono 6 telecamere ad infrarossi e 3 nel visibile. Quelle ad infrarossi

(λ = 880 nm) hanno una frequenza di acquisizione massima di 200 Hz (facq =

200, 100, 50 ∨ 25 Hz) ed una risoluzione di 800x600 pixels; l’accuratezza e <0.2mm

su un volume di 3x2x2m, mentre la risoluzione e fino a 1.4 Mpixel. Sono montate

su treppiedi e quindi possono essere facilmente spostate e riposizionate. Il numero

cosı alto di telecamere e dovuto alla necessita di avere dati ridondanti ed al fatto che

durante il movimento il singolo marker puo non essere visto da tutte le telecamere

in ogni istante di tempo.

89


Figura 5.7: Telecamere BTS

� set per calibrazione, costituito da tre aste ortogonali tra loro sulle quali sono posti

dei markers; una delle aste, detta wand, si puo estrarre per eseguire la seconda fase

della calibrazione.

� software Smart-D, con tre principali applicazioni:

– Smart Capture, che consente di abilitare l’acquisizione dei segnali voluti (op-

toelettronico, elettromiografico, dinamometrico...), di effettuare la calibrazione

per ognuno di questi segnali e di attivare la registrazione dei segnali stessi; a

questo livello si puo anche settare la soglia al di sotto della quale il segnale non

viene riconosciuto come proveniente da un marker.

– Smart Tracker, che effettua il labeling ed il tracking dei markers;

– Smart Analyzer, nel quale si possono creare protocolli per ottenere grandezze a

partire dalla conoscenza delle posizioni dei markers, ad esempio s.d.r. relativi,

vettori tra markers, angoli tra questi vettori...

90


Figura 5.8: Smart-Analyzer

5.7.2 Calibrazione

Quando si comincia una calibrazione, innanzitutto bisogna posizionare le telecamere in

modo tale che siano centrate sul volume di lavoro che si vuole analizzare; dopo averle

posizionate occorrera focalizzarle; ovviamente questa operazione deve essere ripetuta so-

lamente se il volume di lavoro e stato cambiato dopo l’ultima calibrazione, oppure se le

telecamere sono state spostate. Dopo avere effettuato queste operazioni preliminari, si

puo procedere alla calibrazione vera e propria; in accordo con Borghese & Cerveri [11], la

calibrazione e un processo a due step.

Il primo passo e l’acquisizione della posizione del s.d.r. assoluto: all’interno del vo-

lume di lavoro viene posizionata una terna cartesiana, della quale il sistema conosce le

caratteristiche; in particolare la terna e cosı fatta:

91


Figura 5.9: Terna s.d.r. assoluto per sistema optoelettronico

Y

X

Z

Come si vede, ad ogni asse cartesiano e associato un numero preciso di markers; quando

si comincia la calibrazione bisogna specificare quale asse e posizionato in verticale. Per

default viene preso come asse verticale l’asse Y. Per quanto riguarda il posizionamento

degli altri due assi, tipicamente si fa in modo di posizionare l’asse X nella direzione del

movimento, dove previsto. Questa non e una regola, ma e comodo nelle elaborazioni suc-

cessive. Dopo aver posizionato la terna al centro del volume di lavoro, si acquisisce per

circa 5 secondi la sua posizione. e importante sottolineare che non occorre che tutte le

telecamere vedano la terna: la visuale di una telecamera puo anche essere parzialmen-

te oscurata, senza che questo comporti il fallimento della procedura di calibrazione: la

posizione viene ricostruita a partire dalle informazioni raccolte dalle restanti telecamere.

92


Figura 5.10: Processo di calibrazione

Lo step successivo e quello di spazzolare il volume di lavoro con una stecca, detta wand,

su cui sono posizionati dei markers. Nel caso del sistema BTS il wand non e altro che l’asse

Y della terna cartesiana. Questa acquisizione e piu lunga della precedente, tipicamente

intorno ai 90 secondi, e deve essere condotta muovendo il wand parallelamente agli assi

cartesiani, secondo tutte le loro direzioni. Il razionale del processo di calibrazione e stato

descritto nel paragrafo 5.2.

Al termine del processo di calibrazione il sistema calcola gli 11 parametri DLT mediante

un algoritmo iterativo; quando l’errore e al di sotto di un valore cosiderato accettabile

l’utente interrompe il ciclo e la calibrazione termina. Viene mostrata una schermata in cui

e specificato il risultato della calibrazione, per ogni telecamera:

93


Figura 5.11: Risultato della calibrazione

3D Reconstruction Mean and Standard Deviation rappresentano una statistica della

differenza tra le interdistanze nominali della bacchetta e quelle ricostruite. 2D Recon-

struction Mean and Standard Deviation rappresentano parametri statistici dell’errore di

ri-proiezione sul piano immagine di ciascuna telecamera.

Il sistema BTS ha una risoluzione spaziale garantita di 1/5 di millimetro.

94

Capitolo 6Modello

Il modello sviluppato e un modello 2D che permette di risolvere il problema dinamico

attraverso una formulazione multibody delle equazioni del moto. In esso lo scheletro

viene modellato come un sistema costituito da aste unidimensionali rigide ed inestensibili,

connesse tra loro mediante coppie rotoidali o prismatiche ideali. Le ipotesi, quindi, su cui

si fonda il modello sono:

� moto planare. Questa e forse l’ipotesi piu forte, perche limita il campo di appli-

cabilita del modello ai soli movimenti che si svolgono interamente all’interno di un

piano. In realta con buona approssimazione molti movimenti tipici possono essere

considerati planari, come ad esempio movimenti di sollevamento-abbassamento del

corpo o movimenti di maneggiamento di oggetti.

� corpi rigidi. Questa ipotesi e consistente con la rigidita delle strutture ossee.

� coppie prismatiche e rotoidali. Con buona approssimazione la maggior parte delle

articolazioni puo essere assimilata ad una di queste due coppie. Ovviamente ogni

articolazione in realta ha una struttura complessa ed e in grado di collegare i membri

ossei in piu di un piano, ma se ci si limita allo studio di un moto planare allora le

articolazioni posssono essere modellate come coppie rotoidali o prismatiche. Si noti

95

Cap.6 Modello

che un modello che permette di effettuare una descrizione puntuale della struttura e

della motilita delle articolazioni sarebbe molto complesso; tipicamente tali modelli,

detti fenomenologici (vedi paragrafo1.1), vengono sviluppati quando si vuole studiare

una unica articolazione.

� articolazioni prive di attrito. Anche questa sembra un’ipotesi ragionevole dal mo-

mento che fisiologicamente il moto relativo tra le ossa e coadiuvato dalla presenza

del liquido sinoviale.

Fermo restando tali ipotesi, il modello e valido per un numero qualsiasi di corpi; e necessario

che uno di questi sia preso come membro di riferimento, o telaio.

Prima di effettuare l’analisi dinamica bisogna descrivere le struttura cinematica del

meccanismo in esame. Per fare cio si e creata una matrice, detta matrice di connetivita, in

cui ad ogni riga corrisponde una coppia cinematica. Le righe della matrice di connettivita

contengono tutte le informazioni ncessarie a caratterizzare completamente la coppia stessa,

come la posizione, il tipo, i membri che connette.

Nel modello ad ogni membro cinematico deve essere associato un sistema di riferimento

locale, con origine nel centro di massa e orientazione arbitraria. Poiche il moto e planare,

per descrivere la posizione di un membro bastera specificare tre coordinate, che sono le

due coordinate dell’origine del s.d.r. locale piu l’angolo tra l’asse delle ascisse del s.d.r.

globale e quello del s.d.r. locale, misurato in senso antiorario.

96

Cap.6 Modello § 6.1 Main

Figura 6.1: Posizione del corpo i-esimo

q3i

q3i-1

q3i-2 X

Y

x

y

O

Oi

corpo i

Evidentemente questo approccio porta a definire un numero di coordinate sovrabbon-

dante, ma ha il vantaggio di essere facilmente implementabile e di generare delle equa-

zioni con complessita algebrica ridotta rispetto all’approccio con un numero minimo di

coordinate.

Le analisi dinamica e cinematica che il modello svolge necessitano che in input vengano

forniti gli andamenti degli angoli relativi tra i segmenti corporei; questi vengono assimilati

a dei vincoli, e vengono aggiunti ai vincoli dovuti alla presenza delle coppie cinematiche.

Nel seguito vengono descritte le subroutines che compongono il programma, insieme

al main che costituisce l’interfaccia con l’utente. Per una maggiore comprensione le sub-

routines vengono divise in blocchi funzionali; si individuano tre blocchi: il blocco delle

equazioni di vincolo, il blocco per la preparazione dei termini che compaiono nell’equa-

zione del moto, il blocco che genera e risolve l’equazione del moto. In ultimo verranno

descritte delle subroutine accessorie che completano il programma.

6.1 Main

Il main e la parte del programma che riceve gli input e quindi l’unica parte che deve essere

modificata per adattare il modello al caso sperimentale in esame. I dati da specificare

97


sono:

� nbodies : numero di corpi presi in esame. Come detto puo essere un qualsiasi numero

naturale maggiore di uno.

� nrev : numero di coppie rotoidali presenti.

� nprism: numero di coppie prismatiche

� ndriv : numero di driving constraint.

� nframe: numero del corpo che funge da telaio.

� con: matrice di connettivita, dotata di 10 colonne e un numero di righe pari al

numero di coppie totali. Il tipo di coppia e specificato con un numero pari a 10

in caso di coppia rotoidale e pari ad 11 per coppia prismatica. Con la convenzione

adottata nei paragrafi 4.2 e 4.3, la generica riga relativa ad una coppia rotoidale si

esprimera

i j 10 xAi yAi xAj yAj 0 0 0

mentre la generica riga relativa ad una coppia prismatica sara:

i j 11 xAi yAi xBi yBi xCj yCj ∆ϕij

dove con i e j si sono indicati i corpi connessi dalla coppia.

� bodylength: vettore riga i cui elementi sono pari alle lunghezze dei corpi.

� mi ed Ii: vettori delle masse e dei momenti di inerzia, i cui elementi esprimono le

masse e i momenti d’inerzia dei corpi.

Per quanto riguarda i dati antropometrici da inserire (massa dei corpi e momenti di

inerzia), le fonti a cui fare riferimento sono varie, ma riconducibili a due approcci:

98


– Dati provenienti dallo studio su cadaveri, come in Dempster [24], Clauser [17] e

Chandler [14]. Il problema che sorge nell’utilizzare questi dati e la scarsa genera-

lizzabilita, poiche gli studi sono stati condotti su pochi soggetti, anche solo due

o tre cadaveri, e sempre maschi caucasici; inoltre i Body Segment Parameters

(BSP) variano molto con la morfologia: la massa, ad esempio, e proporzionale

al cubo dell’altezza. Infine, il corpo subisce delle modificazioni post-mortem

(ad esempio la massa del tronco aumenta a causa delle tecniche utilizzate per

la conservazione), e quindi anche i parametri antropometrici variano.

– Dati presi da soggetti vivi, come Jensen [32], Zatsiorsky [52] e de Leva [23], che

ha aggiustato i dati ricavati da Zatsiorsky riferendoli al s.d.r. comunemente

utilizzato nell’analisi biomeccanica; il problema di questo approccio e il danno

alla salute dei soggetti in esame, perche si tratta di tecniche in cui si fa uso

di radiazioni elettromagnetiche, il tempo necessario a ricavare i dati e il costo

della procedura. Un metodo alternativo e stato proposto da Damavandi in [19]

ed e basato sull’utilizzo di una piattaforma di forza, quindi assolutamente non

invasivo e non dannoso. L’inconveniente di questo metodo e che non consente

di ricavare i momenti di inerzia, ma solamente le masse e le posizioni dei centri

di massa dei segmenti corporei.

In [19] e mostrato un confronto tra i dati ricavati dai vari autori, e da questo confronto

emerge che i dati di de Leva [23] sono i piu affidabili, oltre ad essere anche completi;

per queste ragioni si e scelto di fare riferimento a questa fonte per ricavare i dati

antropometrici.

� forces : matrice delle forze, in cui ogni riga esprime una forza, mentre gli elementi

della riga i-esima esprimono, rispettivamente:

– forces(i, 1): corpo sul quale la forza e esercitata;

99


– forces(i, 2), forces(i, 3), forces(i, 4): componenti cartesiane della forza;

– forces(i, 5), forces(i, 6): coordinate del punto di applicazione della forza, espres-

se nel sistema di riferimento locale;

– forces(i, 7): questo elemento e pari a 0 se le componenti cartesiane della forza

sono espresse nel s.d.r. assoluto, mentre e pari ad 1 se tali componenti sono

fornite nel s.d.r. locale.

– forces(i, 8): pari a 0 se la forza e costante nel tempo, mentre e pari al nu-

mero che esprime il case corrispondente nella subroutine Timeforcevar (vedi

paragrafo 6.3.3) se la forza e variabile nel tempo.

� alpha1 : fattore α di Baumgarte (paragrafo 3.9).

� beta1 : fattore β di Baumgarte.

� t initial : tempo iniziale.

� t final : tempo finale.

� numpoints : numero di istanti di tempo totali che si vuole costituiscano il tempo

discreto di riferimento.

� q0: vettore colonna in cui sono specificate le posizioni iniziali dei centri di massa dei

corpi; sotto l’ipotesi che i corpi siano costituiti da aste unidimensionali ed omogenee, i

centri di massa si trovano a meta dei segmenti. Le posizioni devono essere specificate

seguendo l’ordine con cui sono stati numerati i corpi. A titolo di esempio il vettore

100


per un sistema costituito da due corpi sara:

q3i−2

q3i−1

q3i

q3j−2

q3j−1

q3j

� driving : matrice con un numero di righe pari al numero di frames e tante colonne

quanti sono i drivings. Questa matrice specifica l’andamento nel tempo degli angoli

relativi tra i corpi in esame; l’andamento e cosı imposto, e il modello deve calcolare

le posizioni, le velocita e le accelerazioni dei centri di massa dei segmenti congruenti

con le posizioni iniziali e questi moti imposti.

Dopo aver preso tutti i dati necessari al programma, il Main si occupa di effettuare l’in-

tegrazione numerica, richiamando la funzione ode23 della libreria di Matlab® (The Ma-

thWorks TM). Ode23 e un solutore a singolo step di equazioni differenziali ordinarie del

tipo:

y = f (t, y) (6.1)

Gli input che riceve sono la funzione f , il vettore tempo all’interno del quale si vuole

effettuare l’integrazione, le condizioni iniziali e dei parametri opzionali che cambiano le

proprieta di integrazione impostate di default. L’output e la y. Ode23 e meno popolare di

ode45, altro solutore di Matlab, perche e meno preciso, ma viene preferito nel caso in cui la

tolleranza sui valori sia alta (bassa in modulo). Nel caso del modello sono stati impostati

dei valori di tolleranza dell’ordine di 10−4. La funzione f e la funzione Dinamica, che verra

descritta nel seguito, mentre le condizioni iniziali sono le posizioni iniziali (il vettore q0) e

101


le velocita iniziali, calcolate in modo congruente con i vincoli risolvendo il sistema

[Ψq] {q0} = −{Ψt} (6.2)

Il Main, infine, si occupa di lanciare alcuni output grafici, sia cinematici che dinamici:

per i primi vengono graficati gli andamenti degli angoli, delle velocita e delle accelerazioni

relative tra segmenti ossei adiacenti, mentre per i secondi viene mostrata l’animazione del

modello stick&ball, degli angoli relativi, delle reazioni vincolari e delle coppie relative tra

segmenti ossei adiacenti.

Per una maggior comprensione della struttura del programma, si faccia riferimento al

seguente schema, che riassume l’organizzazione del programma stesso:

Figura 6.2: Struttura del programma

Main

Analisi

cinematica

Analisi

dinamica

eq.ni vincolomatrice

Jacobiana

vettori Gamma

e Psit

matrice delle

massevettore forze

esterne

lettura stampa

102

Cap.6 Modello § 6.2 Scrittura delle equazioni vincolari

6.2 Scrittura delle equazioni vincolari

6.2.1 Constraint

Genera le equazioni di vincolo. Per quanto riguarda i vincoli scleronomi, le equazioni

vengono generate mediante un ciclo for che scorre le righe della matrice di connettivita e

valuta il tipo di coppia presente, analizzandone il terzo elemento. Se tale elemento e pari a

10 (coppia rotoidale) allora viene richiamata la funzione Revolute, che genera le equazioni

di vincolo dovute alla presenza di una coppia rotoidale (si faccia riferimento al paragrafo

4.2). Se, invece, tale elemento e pari ad 11 (coppia prismatica), in accordo con quanto

detto nel paragrafo 4.3, le equazioni di vincolo corrispondenti saranno:

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣XAi

YAi1

XBiYBi

1

XCjYCj

1

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣= 0 (6.3)

q3i − q3j −∆ϕij = 0 (6.4)

dove ∆ϕij e l’ultimo elemento della riga della matrice di connettivita che si sta valutando.

Per quanto attiene ai vincoli reonomi, invece, la funzione Constraint non fa altro che

richiamare la funzione Driving, e aggiungendo alle equazioni di vincolo gia calcolate quelle

dovute ai vincoli di movimento.

Infine, vengono aggiunti i vincoli dovuti alla presenza del telaio, imponendo che le tre

coordinate del membro telaio non varino nel tempo.

6.2.2 Driving

In questo modulo vengono specificate le seguenti grandezze:

� i corpi coinvolti nel vincolo di movimento, detti body i(1) e body j(1);

103


� la direzione in cui agisce il vincolo di movimento:

– body i(2)=2 e body j(2)=2 se il vincolo agisce lungo la direzione x;

– body i(2)=1 e body j(2)=1 se il vincolo agisce lungo la direzione y;

– body i(2)=0 e body j(2)=0 se il vincolo e di tipo angolare.

� gli elementi del vettore dei vincoli Ψdriv;

� gli elementi della matrice Jacobiana Ψq driv;

� la derivata prima del vettore dei vincoli, detta Ψt driv;

� la derivata seconda del vettore dei vincoli, detta Ψtt driv.

I corpi interessati dall’i-esimo vincolo di movimento non sono altro che il primo e secondo

elemento della i-esima riga dell matrice di connettivita.

Per quanto riguarda invece la scrittura degli elementi del vettore dei vincoli si egua-

glia la differenza tra le coordinate dei corpi coinvolte nel vincolo con il valore ottenuto

interpolando il driving constraint in input al modello al tempo t nel quale interessa calco-

lare il vincolo. Per fare cio occorre richiamare la funzione Interpolazione spline che verra

descritta nel seguito. Per chiarezza si consideri il caso di vincolo angolare relativo tra il

corpo 1 e il corpo 2; l’elemento i-esimo del vettore dei vincoli sara:

Ψdriv(i− esimo) = (q6 − q3)− i1 (6.5)

Dove con i1 si e indicato il valore della funzione interpolante al tempo t.

Lo stesso ragionamento viene poi applicato alle derivate prima e seconda rispetto al

tempo di Ψdriv, cosı come alla derivata rispetto a q.

104


6.2.3 Driving derivatives

Questa funzione si occupa di fare le derivate rispetto al tempo dei driving che vengo-

no dati in input al modello. Per farlo si avvale delle funzioni di differenziazione dette

Derivative cwt e Derivative dwt, sviluppate da Luo, Bai & Shao in [35] sulla base della

Trasformata Wavelet. Queste sono le migliori funzioni disponibili in Matlab per effettuare

la differenziazione; gli input che richiedono sono, oltre naturalmente al vettore che si vuole

derivare e al passo di differenziazione, il nome della wavelet che si vuole utilizzare e il

fattore di scala per la funzione wavelet.

Nel programma si e utilizzata la Trasformata Wavelet Discreta, perche rende possibile

il calcolo della trasformata wavelet senza necessita di ricorrere alle approssimazioni insite

nella discretizzazione della Trasformata Wavelet Continua. Per ulteriori approfondimenti

sulla teoria della trasformata wavelet si rimanda a [26].

6.2.4 Interpolazione spline

Effettua l’interpolazione sulla base della funzione di Matlab interp1 (interpolazione uno-

dimensionale di dati). L’interpolazione viene eseguita su di un set di dati, oltre che sulla

sua derivata prima e seconda, calcolate richiamando la funzione Derivative dwt.

Gli Input che richiede sono i dati da interpolare, insieme alla loro derivata prima e

seconda, il vettore rispetto al quale sono stati derivati e il vettore contenente i punti in

cui vogliono essere interpolati.

105

Cap.6 Modello § 6.3 Generazione degli elementi costitutivi delle equazioni del moto

6.3 Generazione degli elementi costitutivi delle equa-

zioni del moto

6.3.1 Jacobian

Genera la matrice Jacobiana [Ψq] e il vettore Ψt, procedendo riga per riga. Come la

funzione Constraint, con un ciclo for valuta il terzo elemento della matrice di connettivita;

a seconda del valore inserisce gli elementi dovuti ad una coppia rotoidale oppure quelli

dovuti ad una coppia prismatica.

Aggiunge poi gli elementi di [Ψq] dovuti alla presenza del telaio, e quelli dovuti ai

vincoli di movimento, richiamando Driving.

6.3.2 Massa

Questa funzione assembla la matrice delle masse. Per moto bidimensionale che coinvolge

n corpi tale matrice e pari a:

[M ] =

M1 0 · · · 0

0 M2 0 0

... 0. . .

...

0 0 · · · Mn

(6.6)

dove il generico blocco i-esimo e pari a:

[Mi] =

miIi 0 0

0 miIi 0

0 0 Ii

(6.7)

Come detto in precedenza, mi ed Ii sono forniti dall’utente nel Main, e rappresentano

rispettivamente la massa ed il momento d’inerzia del membro i-esimo.

106

Cap.6 Modello § 6.3 Generazione degli elementi costitutivi delle equazioni del moto

6.3.3 Forza & Timeforcevar

Genera il vettore delle forze generalizzate. Prende in input la matrice forces creata nel

main; a seconda del valore che costituisce l’ottavo elemento della i-esima riga della matrice

valuta se la forza e costante o variabile nel tempo. Nel secondo caso richiama la funzio-

ne Timeforcevar. In questa funzione, con uno switch, viene fornito un andamento della

forza diverso a seconda del numero che e stato specificato nella matrice forces. Questo

andamento deve essere fornito dall’utente.

Dopo aver raccolto gli andamenti sia delle forze costanti che di quelle variabili, per ogni

riga della matrice controlla se la forza e espressa nel s.d.r. assoluto o in quello relativo,

andando a valutare il settimo elemento della riga. A seconda del valore trovato modifica

il valore delle componenti cartesiane della forza, fornite con gli elementi da due a quattro

della matrice forces.

6.3.4 Fgamma

Questa subroutine assembla il vettore γ. Il principio di azione e lo stesso della funzione

Jacobian: valuta il terzo elemento della i-esima riga della matrice di connettivita, e a

seconda del valore crea la i-esima riga del vettore γ compatibile con quella coppia. Quando

arriva alla fine della matrice di connettivita aggiunge al vettore γ tre righe nulle che tengono

conto del telaio, e poi tante righe quanti sono i driving constraints; l’i-esimo elemento

dovuto ad un vincolo di movimento e posto pari al termine del vettore Ψtt driv relativo a

quel vincolo e creato dalla funzione Driving.

107

Cap.6 Modello § 6.4 Risoluzione delle equazioni del moto

6.3.5 Lambda

Lambda calcola le reazioni vincolari utilizzando il metodo delle matrici partizionate. In-

nanzitutto assembla la matrice dei coefficienti A:

A =

M ΨTq

Ψq 0

(6.8)

partiziona l’inversa:

A−1 =

C11 C12

C21 C22

(6.9)

ed infine calcola {λ} dalle formule ricavate nel paragrafo 2.12:

{λ} = [C21] {Fe}+ [C22] {γ} (6.10)

6.4 Risoluzione delle equazioni del moto

6.4.1 Accel

Calcola le accelerazioni sulla base della formulazione di Udwadia-Kalaba, esposta nel pa-

ragrafo 3.8, modificata introducendo i fattori di Baumgarte. Questa formulazione e stata

scelta perche non richiede che la matrice dei coefficienti abbia tutte le righe linearmente

indipendenti, ovvero che la matrice Jacobiana abbia rango pieno, ed inoltre non impone

che i vincoli siano indipendenti tra loro, ma solamente che siano congruenti. In accordo

con la formulazione di Udwadia-Kalaba, per calcolare le accelerazioni del sistema vincolato

e necessario cacolare la pseudoinversa della martice

[D] =(

[Ψq] [M ]−12

)(6.11)

108

Cap.6 Modello § 6.5 Funzioni accessorie

Tale calcolo e portato a termine mediante l’utilizzo della funzione di libreria di Matlab

pinv, la quale si avvale della decomposizione SVD (si veda A.5.2); la tolleranza con cui

tale decomposizione e effettuata puo essere impostata dall’utente, ma per default viene

posta pari a

tol = max(m,n) ∗ norm(X) ∗ eps

Accel richiede in input gli output delle funzioni Massa, Jacobian, Constraint, Fgamma,

Forza, nonche i fattori di Baumgarte e posizioni e velocita all’istante di tempo considerato,

che vengono calcolati nel Main.

6.4.2 Dinamica

e la funzione che risolve le equazioni del moto, ricavando le accelerazioni a partire dalla

conoscenza di posizioni e velocita. In Dinamica vengono richiamate tutte le funzioni

che generano elementi delle equazioni del moto; questo passaggio e necessario per poter

richiamare Accel, che in input richiede che vengano fornite tutte queste grandezze. Dopo

aver richiamato anche Accel, la funzione Dinamica si occupa di lanciare Lambda e, quindi,

di computare le reazioni vincolari.

L’output di Dinamica sono le velocita e le accelerazioni al tempo t considerato.

6.5 Funzioni accessorie

Sono funzioni di complemento al funzionamento delle subroutine sopra descritte oppure

sono utilizzate per generare output grafici.

� Abmat : genera la matrice di trasformazione dal s.d.r. relativo a quello assoluto.

� Confronto coord : si occupa di confrontare le coordinate dei centri di massa dei

membri ottenute dal modello con quelle ricavate in fase sperimentale dal sistema

optoelettronico.

109

Cap.6 Modello § 6.6 Output grafici del modello

� Confronto vel&acc: come la funzione precedente, effettua il confronto tra velocita e

accelerazioni computate dal modello con quelle rilevate dal sistema optoelettronico.

� Coords: richiamando Abmat permette di ricavare le coordinate assolute a partire

dalla conoscenza delle coordinate relative.

� Lambdamod : poiche le λ che vengono presentate in output grafico sono i moduli delle

reazioni vincolari, questa subroutine calcola per ogni articolazione il modulo della

reazione vincolare.

� Revolute: genera le equazioni vincolari dovute alla presenza di una coppia rotoidale.

Viene richiamata da Constraint.

6.6 Output grafici del modello

Gli output sono cinematici e dinamici.

Per quanto riguarda gli output cinematici il modello calcola gli angoli relativi tra i corpi,

come differenza tra le coordinate angolari dei corpi considerati, le velocita angolari rela-

tive e le accelerazioni angolari relative. Gli andamenti di queste grandezze sono mostrati

in ndriv figure, ognuna contenente l’andamento dell’angolo, della velocita e dell’accele-

razione relativi tra due corpi adiacenti. Lanciando poi le subroutines Confronto coord e

Confronto vel&acc si grafica il confronto tra coordinate, velocita ed accelerazioni calcolate

dal modello e rilevate in fase sperimentale.

Per quanto attiene agli output dinamici, invece, vengono mostrati gli andamenti dei

moduli delle reazioni vincolari e delle coppie relative tra corpi adiacenti; si fa notare che

le reazioni vincolari non sono altro che i moltiplicatori di Lagrange relativi alla coppia che

unisce i due corpi in esame, mentre le coppie sono i moltiplicatori di Lagrange relativi al

driving presente tra i corpi considerati.

110

Capitolo 7Analisi sperimentale e risultati

Il modello sviluppato e stato validato mediante una serie di acquisizioni, riconducibili a

tre movimenti di base:

� flesso-estensione del gomito

� flesso-estensione del ginocchio

� flesso-estensione della spalla

La scelta di questi movimenti e stata dettata dall’esigenza di analizzare movimenti pla-

nari e dall’impossibilita di effettuare acquisizioni prolungate o con un elevato numero di

markers, a causa della limitata capacita di calcolo dei calcolatori utilizzati; questi movi-

menti sono comunque rappresentativi di movimenti molto comuni, che vengono compiuti

frequentemente anche in ambito lavorativo. Per ognuno di questi movimenti fondamentali

sono state acquisite sequenze semplici e doppie. Si sottolinea comunque che il modello puo

lavorare con un numero qualsiasi di markers e di corpi, purche il movimento analizzato sia

tutto compreso in un piano.

Durante le acquisizioni sono stati registrati, oltre alla posizione dei markers, anche il

segnale elettromiografico e l’immagine video. Tutti e tre questi segnali sono perfettamente

sincroni, pur avendo frequenze di acquisizione in generale diverse tra loro. Come ulteriore

111

Cap.7 Analisi sperimentale e risultati § 7.1 Flesso-estensione della spalla

validazione del modello i soggetti scelti per svolgere le tre acquisizioni sono diversi: il

modello, infatti, tra gli altri input richiede i parametri antropometrici del soggetto, ed

e quindi completamente adattabile, fatta salva la scarsa letteratura esistente per alcune

classi di soggetti, come donne oppure soggetti non caucasici.

I parametri del moto che sono stati registrati e che servono come input per il modello

sono le posizioni iniziali dei centri di massa dei corpi, ricavati a partire dalla conoscenza

delle posizioni iniziali dei markers, situati nei punti di repere anatomici [43, 51], e gli

angoli relativi tra i corpi, ricavati a partire dalla conoscenza delle posizioni dei markers

nel tempo.

7.1 Flesso-estensione della spalla

7.1.1 Setup sperimentale

In questa serie di acquisizioni i corpi presi in esame sono stati la schiena, l’avambraccio

ed il braccio destri. Il soggetto era chiamato a compiere, in posizione seduta, una flesso-

estensione della spalla ad una velocita ritenuta normale dal soggetto. I markers sono

stati posizionati sull’acromion destro e sinistro, sull’olecrano destro, sulle porzioni distali

dell’ulna e del radio, in corrispondenza della settima vertebra cervicale e tra L5 ed S1.

112


Figura 7.1: Posizione markers per flesso-estensione spalla

Per quanto attiene al prelevamento del segnale elettromiografico, sono stati registrati

i segnali provenienti dal deltoide (deltoideus anterior) e dal bicipite (biceps brachii caput

longus), mediante l’applicazione di due coppie di elettrodi sulla cute, posizionati seguendo

le Raccomandazioni Europee per l’Elettromiografia di Superficie [39, 2].

Per calibrare il sistema si e acquisita la posizione del s.d.r. assoluto per 8.8 secondi,

mentre il volume di lavoro e stato spazzolato con il wand per 120 secondi. In tabella sono

riportati i risultati della calibrazione:

Tabella 7.1: Calibrazione flesso-estensione spalla

3D reconstruction [mm] Mean Standard DeviationWand 0.250 0.263

2D residual [pixel] Mean Standard DeviationCamera 1 0.098 0.076Camera 2 0.086 0.057Camera 3 0.091 0.063Camera 4 0.086 0.069Camera 5 0.111 0.103Camera 6 0.108 0.079

Dopo aver acquisito la Massima Contrazione Volontaria (MCV) sia per il bicipite che

113


per il deltoide, si e passato ad effettuare le acquisizioni.

Il soggetto era chiamato a svolgere delle flesso-estensioni della spalla destra da posi-

zione seduta cercando di mantenere la schiena ferma e il movimento il piu possibile nel

piano sagittale. Sulla mano destra era applicato un peso di 3 kg, per aumentare lo sforzo

muscolare. Si sono eseguite due acquisizioni:

� una doppia flesso-estensione, di durata 10.55 secondi;

� una estensione, durata 3.37 secondi.

7.1.2 Modellazione

Dopo aver acquisito le posizioni nel tempo dei markers ed aver effettuato il tracking neces-

sario per assegnare i markers, si e creato un protocollo nello Smart-Analyzer per generare

le grandezze in input al modello:

� baricentro braccio destro come nuovo punto tra marker acromion destro e marker

olecrano destro;

� baricentro avambraccio destro come nuovo punto tra marker olecrano destro e punto

medio tra i due markers applicati sul polso destro;

� baricentro schiena come nuovo punto tra marker c7 e marker sacro (marker L5-S1).

� nuovo punto, definito come punto medio tra acromion destro e sinistro;

� vettore tra c7 e punto medio tra gli acromion;

� vettore tra c7 e sacro;

� piano sagittale come piano definito dai due vettori precedenti.

� vettore braccio come vettore tra acromion destro ed olecrano destro;

114


� vettore avambraccio come vettore tra olecrano destro e punto medio tra i due markers

applicati sul polso destro;

� vettore schiena come vettore tra c7 e sacro.

� proiezione acromion destro su piano sagittale;

� proiezione baricentro braccio su piano sagittale;

� proiezione baricentro avambraccio su piano sagittale;

� proiezione -asse x s.d.r. assoluto (-lab i) su piano sagittale;

� proiezione asse y s.d.r. assoluto (lab j ) su piano sagittale;

� prodotto vettoriale tra proiezione -lab i e proiezione lab j.

� nuovo s.d.r. relativo con origine nella proiezione dell’acromion destro sul piano

sagittale e con assi pari a:

– asse x: proiezione -lab i su piano sagittale;

– asse y: proiezione lab j su piano sagittale;

– asse z: prodotto vettoriale tra proiezione -lab i e proiezione lab j.

� proiezione baricentro braccio su piano sagittale espresso nel s.d.r. relativo⇒ q04, q05

� proiezione baricentro avambraccio su piano sagittale espresso nel s.d.r. relativo ⇒

q07, q08

� angolo tra asse x s.d.r. relativo e vettore proiezione braccio ⇒ q06

� angolo tra asse x s.d.r. relativo e vettore proiezione avambraccio ⇒ q09

115


� angolo tra proiezione -lab j e vettore proiezione braccio ⇒ driving1

� angolo tra vettore proiezione braccio e vettore proiezione avambraccio ⇒ driving2

� lunghezza vettore proiezione braccio ⇒ lunghezza iniziale braccio

� lunghezza vettore proiezione avambraccio ⇒ lunghezza iniziale avambraccio

Figura 7.2: Schema protocollo flesso-estensione spalla

Xrel

Zrel

Yrel

labi

labj

labk

driv1 driv2

schiena avambraccio

braccio

3 kg

Per quanto riguarda la matrice delle forze, e stata considerata una forza peso co-

stante sul braccio e sull’avambraccio, e un peso di 3 kg applicato sul punto piu distale

dell’avambraccio (mano).

I rimanenti input per il modello erano i parametri antropometrici, calcolati a partire

da [23] (si veda il paragrafo 6.1) sulla base della conoscenza del peso del soggetto in esame

(73 kg), le posizioni iniziali della schiena e le funzioni peso α e β della formulazione di

116


Baumgarte. Le posizioni iniziali della schiena non sono state prese a partire dalle posizioni

dei markers (proiezione baricentro schiena nel s.d.r. relativo) perche il telaio (la schiena)

nel modello e stato considerato fermo; per questo motivo le posizioni iniziali del baricentro

della schiena sono state fissate arbitrariamente, in accordo con le restanti posizioni iniziali

e soprattutto con la posizione del’origine del s.d.r. relativo. Le funzioni peso, invece, sono

state prese nulle perche non c’erano violazioni significative delle equazioni vincolari dovute

al processo di integrazione numerica.

Gli ultimi parametri da settare erano gli input per la funzione derivative dwt ; si e scelto

di utilizzare come wavelet function una spline a sei punti, perche questa dava i risultati

migliori in termini di regolarita: se si diminuiva il numero di punti gli andamenti delle

derivate dei drivings erano troppo irregolari, ma se si aumentava sopra sei il numero di

punti l’andamento diventava troppo regolare e si perdevano informazioni importanti.

7.1.3 Risultati

7.1.3.1 Doppia flesso-estensione della spalla

Una volta inseriti tutti gli input si e lanciato il Main del modello con Matlab; i risultati

delle analisi cinematica e dinamica sono stati raccolti in grafici. I primi grafici ad essere

mostrati sono quelli che illustrano l’andamento degli angoli relativi tra corpi adiacenti e

delle loro derivate prima e seconda:

117


Figura 7.3: Andamenti cinematici tra schiena e braccio

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

20

40

60 angolo relativo

[s]

[deg

]

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10−40

−20

0

20

40velocità angolare relativa

[s]

[deg

/s]

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

−50

0

50 accelerazione angolare relativa

[s]

[deg

/s2 ]

Figura 7.4: Andamenti cinematici tra braccio e avambraccio

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

12141618202224

angolo relativo

[s]

[deg

]

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10−10

0


[s]

[deg

/s]

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10−10

0

10

20accelerazione angolare relativa

[s]

[deg

/s2 ]

Come si vede dall’andamento degli angoli relativi, il movimento comincia dopo circa 1

secondo dall’inizio dell’acquisizione; l’angolo relativo tra schiena e braccio varia da circa 0°

a circa 70°, mentre l’angolo relativo tra braccio ed avambraccio rimane circa costante, anche

se l’andamento e simile a quello dell’altro angolo. Le velocita e le accelerazioni relative

sono correttamente calcolate dalla funzione di differenziazione basata sulla trasformata

wavelet.

I risultati dell’analisi cinematica sono stati validati confrontando le posizioni dei bari-

centri fornite dal modello con quelle registrate dal sistema optoelettronico:

118


Figura 7.5: Confronto coordinate braccio

0 2 4 6 8 10

0.05

0.1

0.15

coord x baricentro calcolata dal modello

[s]

[m]

0 2 4 6 8 10

−0.15

−0.1

−0.05

coord y baricentro calcolata dal modello

[s]

[m]

0 2 4 6 8 100

0.05

0.1

coord x baricentro da sistema optoelettr

[s]

[m]

0 2 4 6 8 10

−0.15

−0.1

−0.05

coord y baricentro da sistema optoelettr

[s]

[m]

Figura 7.6: Confronto coordinate avambraccio

0 2 4 6 8 10

0.1

0.2

0.3

0.4


[s]

[m]

0 2 4 6 8 10

−0.4

−0.3

−0.2

−0.1


[s]

[m]

0 2 4 6 8 100

0.1

0.2

0.3

0.4


[s]

[m]

0 2 4 6 8 10

−0.4

−0.3

−0.2

−0.1


[s]

[m]

C’e un’ottima corrispondenza sia per gli andamenti che per i valori. In piu, a circa 9.8

secondi il sitema optoelettronico perde per qualche frame il baricentro dell’avambraccio;

questo non influisce assolutamente sul modello. Infatti gli unici input che vengono forniti

al modello per tutta la durata dell’acquisizione sono gli andamenti degli angoli relativi

tra i corpi; se il sistema optoelettronico perde la posizione del baricentro dell’avambraccio

per qualche frame, allora anche l’angolo relativo tra braccio ed avambraccio si perdera.

119


Tuttavia, utilizzando la funzione derivative dwt, si e in grado di interpolare le parti di

traiettoria mancanti, purche queste siano relative a pochi frames.

Lo stesso confronto e stato fatto per le velocita e per le accelerazioni calcolate e

misurate:

Figura 7.7: Confronto velocita & accelerazioni schiena-braccio

0 2 4 6 8 10

−0.5

0

0.5

vel ang rel calcolata dal modello

[s]

[rad

/s]

0 2 4 6 8 10

−1

−0.5

0

0.5

1

acc ang rel calcolata dal modello

[s]

[rad

/s2 ]

0 2 4 6 8 10

−0.5

0

0.5

vel ang rel calcolata dal sistema optoelettr

[s]

[rad

/s]

0 2 4 6 8 10

−1

0

1

2

acc ang rel calcolata dal sistema optoelettr

[s]

[rad

/s2 ]

Figura 7.8: Confronto velocita & accelerazioni braccio-avambraccio

0 2 4 6 8 10

−0.15

−0.1

−0.05

0

0.05

0.1

0.15


[s]

[rad

/s]

0 2 4 6 8 10

−0.1

0

0.1

0.2

0.3


[s]

[rad

/s2 ]

0 2 4 6 8 10−0.2

−0.1

0

0.1

0.2vel ang rel calcolata dal sistema optoelettr

[s]

[rad

/s]

0 2 4 6 8 10

−0.2

0

0.2

0.4

acc ang rel da sistema optoelettr

[s]

[rad

/s2 ]

Il confronto si mantiene ottimo per le velocita, mentre risulta piu scadente per le

accelerazioni.

120


Dopo aver risolto la cinematica si e passato alla dinamica; gli output grafici relativi

alla dinamica sono le reazioni vincolari dovute alla presenza delle coppie cinematiche e le

coppie alle articolazioni generate dai vincoli di movimento.

Figura 7.9: Dinamica per l’articolazione della spalla

−0.6 −0.4 −0.2 0 0.2 0.4 0.6

−0.6

−0.4

−0.2

0

0.2

0.4

0.6

x [m]

y [m

]

0 2 4 6 8 10

10

20

30

40

50

60

70

angolo relativo

[s]

[deg

]

0 2 4 6 8 10

40.4

40.6

40.8

41

41.2

41.4

Modulo della reaz vincolare

[s]

[N]

0 2 4 6 8 10

5

10

15

20

25

Coppia

[s]

[N*m

]

Inizialmente il braccio e la schiena sono quasi paralleli, e quindi la coppia presente

tra questi due corpi e quasi nulla; quando invece l’angolo relativo e al valore massimo, la

coppia relativa e massima anch’essa. Per quanto riguarda il modulo delle reazioni vincolari,

invece, questo oscilla attorno ad un valore di circa 41 N. La stessa situazione si ripropone

per il gomito, in cui pero il valore della coppia e piu basso (la variazione angolare e piu

contenuta) mentre il modulo della reazione vincolare vale circa 63 N.

121


Figura 7.10: Dinamica per l’articolazione del gomito

−0.6 −0.4 −0.2 0 0.2 0.4 0.6

−0.6

−0.4

−0.2

0

0.2

0.4

0.6

x [m]

y [m

]

0 2 4 6 8 10

12

14

16

18

20

22

24

angolo relativo

[s]

[deg

]

0 2 4 6 8 10

61

62

63

64

65


[s]

[N]

0 2 4 6 8 102

4

6

8

Coppia

[s]

[N*m

]

Poiche il sistema optoelettronico non calcola la dinamica, non e stato possibile effet-

tuare il confronto tra il modello ed il sistema stesso.

7.1.3.2 Estensione della spalla

Per questa acquisizione il setup sperimentale e il protocollo per lo Smart-Analyser sono

rimasti invariati; l’unica differenza e il movimento che il soggetto era chiamato a compie-

re, una semplice estensione della spalla invece che due flesso-estensioni. Gli andamenti

cinematici sono mostrati nelle seguenti immagini:

122



0 0.5 1 1.5 2 2.5 3180

200

220

240

260

angolo relativo

[s]

[deg

]

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3

10

20

30


[s]

[deg

/s]

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3

−20

0

20

40


[s]

[deg

/s2 ]


0 0.5 1 1.5 2 2.5 3

16

18

20

22

24

angolo relativo

[s]

[deg

]

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3

2

4

6

8

velocità angolare relativa

[s]

[deg

/s]

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3−10

0


[s]

[deg

/s2 ]

L’angolo relativo tra schiena e braccio varia da 0° (180° in figura) a circa 90° (270°),

con un andamento monotono crescente; la velocita ha un massimo nel punto di flesso

dell’angolo. Gli andamenti tra braccio ed avambraccio sono analoghi, ma con escursioni

molto minori.

Il confronto tra coordinate dei centri di massa calcolate dal modello e misurate dal

sistema optoelettronico fornisce risultati analoghi al caso precedente:

123



0 0.5 1 1.5 2 2.5 30

0.05

0.1

0.15


[s]

[m]

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3

−0.15

−0.1

−0.05


[s]

[m]

0 0.5 1 1.5 2 2.5 30

0.05

0.1


[s]

[m]

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3

−0.16

−0.14

−0.12

−0.1

−0.08

−0.06

−0.04coord y baricentro da sistema optoelettr

[s]

[m]

Anche qui il confronto fornisce un ottimo riscontro; non solo, la coordinata del bari-

centro dell’avambraccio viene perduta dal sistema optoelettronico dopo circa 1.2 secondi

di acquisizione. Il modello riesce comunque, interpolando l’andamento a disposizione, a

calcolare la parte di curva mancante:


0 0.5 1 1.5 2 2.5 3

0.1

0.2

0.3

0.4


[s]

[m]

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3

−0.4

−0.3

−0.2

−0.1

0


[s]

[m]

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3

0.1

0.2

0.3

0.4


[s]

[m]

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3

−0.4

−0.3

−0.2

−0.1


[s]

[m]

Si mostrano anche gli andamenti delle velocita ed accelerazioni computate e misurate:

124


Figura 7.15: Confronto velocita & accelerazioni schiena-braccio

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3

0.2

0.4

0.6

0.8


[s]

[rad

/s]

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3

−0.5

0

0.5

1


[s]

[rad

/s2 ]

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3

0

0.2

0.4

0.6

0.8


[s]

[rad

/s]

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3

−1

−0.5

0

0.5

1

1.5


[s]

[rad

/s2 ]

Figura 7.16: Confronto velocita & accelerazioni braccio-avambraccio

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3

0.02

0.04

0.06

0.08

0.1

0.12

0.14


[s]

[rad

/s]

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3

−0.1

0

0.1

0.2

acc ang relcalcolata dal modello

[s]

[rad

/s2 ]

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3

0

0.05

0.1


[s]

[rad

/s]

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3−0.2

−0.1

0

0.1

0.2

0.3acc ang rel da sistema optoelettr

[s]

[rad

/s2 ]

Anche qui il confronto tra le velocita si mantiene ottimo, mentre quello tra le accele-

razioni risulta leggermente piu degradato, pur mantenendosi pienamente accettabile.

Per quanto riguarda la dinamica, si sono ottenuti i seguenti andamenti:

125



−0.6 −0.4 −0.2 0 0.2 0.4 0.6

−0.6

−0.4

−0.2

0

0.2

0.4

0.6

x [m]

y [m

]

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3180

200

220

240

260

angolo relativo

[s]

[deg

]0 0.5 1 1.5 2 2.5 3

40.6

40.8

41

41.2

41.4


[s]

[N]

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3

5

10

15

20

25

Coppia

[s][N

*m]


−0.6 −0.4 −0.2 0 0.2 0.4 0.6

−0.6

−0.4

−0.2

0

0.2

0.4

0.6

x [m]

y [m

]

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3

16

18

20

22

24

angolo relativo

[s]

[deg

]

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3

61

62

63

64

65

66Modulo della reaz vincolare

[s]

[N]

0 0.5 1 1.5 2 2.5 32

4

6

8

Coppia

[s]

[N*m

]

Questi andamenti sono perfettamente analoghi a quelli ricavati per la doppia flesso-

estensione.

126

Cap.7 Analisi sperimentale e risultati § 7.2 Flesso-estensione del ginocchio

7.2 Flesso-estensione del ginocchio


In questa serie di acquisizioni i corpi presi in esame sono stati la schiena, la coscia e la

gamba destri. Il soggetto era chiamato a compiere, sdraiato su di un tavolo in posizione

prona, una flesso-estensione del ginocchio; la scelta di questa posizione e stata dettata

dall’esigenza di non interferire con il monitoraggio del segnale elettromiografico, compri-

mendo le sonde. Si voleva prelevare, infatti, il segnale elettromiografico proveniente dai

seguenti cinque muscoli:

� vasto mediale

� semitendinoso

� gastrocnemio mediale

� gastrocnemio laterale

� bicipite femorale breve

Una volta posizionati gli elettrodi secondo le raccomandazioni del SENIAM [2], poiche

gli elettrodi del semitendinoso e del bicipite femorale andavano posizionati nella porzione

posteriore della coscia, per evitare di schiacciare le corrispondenti sonde si e dovuto far

sdraiare il soggetto in posizione prona.

Per quanto riguarda il posizionamento dei markers, invece, sono stati posti su: fronte,

c7, acromion destro e sinistro, spina iliaca superiore posteriore destra e sinistra, trocantere

destro, ginocchio interno ed esterno destro, caviglia interna ed esterna destra.

127


Figura 7.19: Posizione markers per flesso-estensione ginocchio


mentre il volume di lavoro e stato spazzolato con il wand per 146 secondi. In tabella sono

riportati i risultati della calibrazione:

Tabella 7.2: Calibrazione flesso-estensione ginocchio



Dopo aver acquisito la Massima Contrazione Volontaria (MCV) per tutti i muscoli, si

e passato ad effettuare le acquisizioni.

Il soggetto era chiamato a svolgere delle flesso-estensioni del ginocchio destro da po-

sizione sdraiata e prona cercando di mantenere la schiena ferma e il movimento il piu

possibile nel piano sagittale. Si sono eseguite due acquisizioni:

128



� una flesso-estensione, durata 5.3 secondi.

7.2.2 Modellazione



le grandezze in input al modello:

� baricentro schiena come nuovo punto tra marker c7 e marker trocantere destro;

� baricentro coscia destra come nuovo punto tra marker trocantere destro e punto

medio tra i due markers applicati sul ginocchio destro;

� baricentro gamba come nuovo punto tra punto medio tra i due markers applicati sul

ginocchio destro e punto medio tra i due markers applicati sulla caviglia destra.

� nuovo punto, definito come punto medio tra spina iliaca destra e sinistra;

� vettore tra c7 e proiezione punto medio tra le spine iliache sul piano della terra (piano

X-Z s.d.r. assoluto);

� vettore tra c7 e fronte;

� piano sagittale come piano definito dai due vettori precedenti; il motivo per cui si e

scelto di definire il vettore tra c7 e la proiezione del punto medio tra le spine iliache

sul piano della terra e stato che l’angolo tra c7-fronte e c7-punto medio spine iliache

era basso, circa pari a 30°, e di conseguenza il piano che veniva generato era troppo

soggetto ad errore.

� vettore coscia come vettore tra trocantere destro e punto medio tra i markers appli-

cati sul ginocchio destro;

129


� vettore gamba come vettore tra punto medio tra i markers applicati sul ginocchio

destro e punto medio tra i due markers applicati sulla caviglia destra;

� vettore schiena come vettore tra c7 e trocantere destro.

� proiezione trocantere destro su piano sagittale;

� proiezione baricentro schiena su piano sagittale;

� proiezione baricentro coscia su piano sagittale;

� proiezione baricentro gamba su piano sagittale;

� proiezione asse x s.d.r. assoluto (lab i) su piano sagittale;


� prodotto vettoriale tra proiezione lab i e proiezione lab j.

� nuovo s.d.r. relativo con origine nella proiezione del trocantere destro sul piano


– asse x: proiezione lab i su piano sagittale;


– asse z: prodotto vettoriale tra proiezione lab i e proiezione lab j.

� proiezione baricentro coscia su piano sagittale espresso nel s.d.r. relativo ⇒ q04, q05

� proiezione baricentro gamba su piano sagittale espresso nel s.d.r. relativo ⇒ q07, q08

� angolo tra asse x s.d.r. relativo e vettore proiezione coscia ⇒ q06

� angolo tra asse x s.d.r. relativo e vettore proiezione gamba ⇒ q09

130


� angolo tra vettore proiezione schiena e vettore proiezione coscia ⇒ driving1

� angolo tra vettore proiezione coscia e vettore proiezione gamba ⇒ driving2

� lunghezza vettore proiezione schiena ⇒ lunghezza iniziale schiena

� lunghezza vettore proiezione coscia ⇒ lunghezza iniziale braccio

� lunghezza vettore proiezione gamba ⇒ lunghezza iniziale avambraccio

Figura 7.20: Schema protocollo flesso-estensione ginocchio

Xrel

Zrel

Yrel

labi

labj

labk

driv1

driv2

schiena

gamba

coscia

piano di appoggio

Per quanto riguarda la matrice delle forze, e stata considerata una forza peso costante

sulla coscia e sulla gamba; a questa forza peso e stata aggiunta una forza contraria che

annullava l’effetto della gravita negli intervalli dell’acquisizione in cui la coscia e la gamba

erano appoggate al piano, e che variava con legge quadratica fino ad annullarsi quando

la coscia e la gamba non erano piu appoggiate al piano. In questo modo si e riuscito ad

introdurre gradatamente l’azione della forza di gravita. La forza e stata introdotta con

un case in Timeforcevar ; le parti di codice in cui sono stati specificati gli andamenti della

forza sono:

131


1 case (37) % a c q 3 f o r z a marco 22 d i c corpo 3

2 i f t<=0.5

3 Fp(1) =0. ;

4 Fp(2) =(9.8) *mi (3) *(−1.4142* t +0.7071) ˆ2 ;

5 torque =0. ;

6 e l s e i f t>4.5

7 Fp(1) =0. ;

8 Fp(2) =(9.8) *mi (3) * (0 .5590* t −2.5155) ˆ2 ;

9 torque =0. ;

10 e l s e

11 Fp(1) =0. ;

12 Fp(2) =0. ;

13 torque =0. ;

14 end

per la flesso-estensione del ginocchio e

1 case (5 ) % acq 4

2 i f t<=0.300

3 Fp(1) =0. ;

4 Fp(2) =(9.8) *mi (3) *(−2.3570* t +0.7071) ˆ2 ;

5 torque =0. ;

6 e l s e

7 Fp(1) =0. ;

8 Fp(2) =0. ;

9 torque =0. ;

10 end

per la doppia flesso-estensione.

132


I rimanenti input per il modello erano i parametri antropometrici, calcolati sempre a

partire da [23] sulla base della conoscenza del peso del soggetto in esame (73 kg), e gli

input per la funzione derivative dwt e derivative cwt ; si e scelto di utilizzare derivative dwt

con una spline a sei punti come wavelet function nel caso della flesso-estensione singola,

mentre una spline a 38 punti con derivative cwt nel caso della doppia flesso-estensione.

7.2.3 Risultati

7.2.3.1 Doppia flesso-estensione del ginocchio

Nelle due figure seguenti e mostrato l’andamento degli angoli relativi tra corpi adiacenti e


Figura 7.21: Andamenti cinematici tra schiena e coscia

0 1 2 3 4 5 6 7 82

4

6

8

10angolo relativo

[s]

[deg

]

0 1 2 3 4 5 6 7 8−4

−2

0

2

4

6


[s]

[deg

/s]

0 1 2 3 4 5 6 7 8−10

−5

0

5

accelerazione angolare relativa

[s]

[deg

/s2 ]

133


Figura 7.22: Andamenti cinematici tra coscia e gamba

0 1 2 3 4 5 6 7 8

0

50

100angolo relativo

[s]

[deg

]

0 1 2 3 4 5 6 7 8

−50

0


[s]

[deg

/s]

0 1 2 3 4 5 6 7 8

−100

0


[s]

[deg

/s2 ]

Il movimento comincia dopo meno di mezzo secondo dall’inizio dell’acquisizione, il che

giustifica l’introduzione della forza opposta a quella di gravita durante i primi 0.3 secondi;

l’angolo relativo tra coscia e gamba ha un’escursione di circa 80°, mentre quello tra schiena

e coscia rimane circa costante, in accordo con il fatto che sia la coscia che la gamba sono

appoggiate.

I risultati dell’analisi cinematica sono stati validati confrontando le posizioni dei ba-

ricentri fornite dal modello con quelle registrate dal sistema optoelettronico; si mostra il

confronto solo per coscia e gamba, dal momento che la schiena era praticamente immobile:

134


Figura 7.23: Confronto coordinate coscia

0 2 4 6 8

0.219

0.2192

0.2194

0.2196

0.2198

0.22


[s]

[m]

0 2 4 6 8

−20

−15

−10

−5

0

x 10−3 coord y baricentro calcolata dal modello

[s]

[m]

0 2 4 6 8

0.22

0.2205

0.221

0.2215


[s]

[m]

0 1 2 3 4 5 6 7 8

−0.014

−0.012

−0.01

−0.008

−0.006


[s][m

]

Figura 7.24: Confronto coordinate gamba

0 1 2 3 4 5 6 7 8

0.45

0.5

0.55

0.6


[s]

[m]

0 1 2 3 4 5 6 7 8

−0.05

0

0.05

0.1

0.15


[s]

[m]

0 1 2 3 4 5 6 7 8

0.4

0.45

0.5

0.55

0.6


[s]

[m]

0 2 4 6 8

0.06

0.08

0.1

0.12

0.14

0.16


[s]

[m]

C’e un’ottima corrispondenza nel caso della gamba; per la coscia e evidente come

il sistema optoelettronico fallisca quando la posizione del baricentro rimane pressocche

costante: la precisione sulle coordinate ricostruite dal sistema optoelettronico e garantita

fino alla prima cifra decimale dopo il millimetro, ed e evidente come questa precisione non

basti quando la posizione del marker non varia significativamente.

135



misurate:

Figura 7.25: Confronto velocita & accelerazioni schiena-coscia

0 1 2 3 4 5 6 7 8

−2

0

2

4


[s]

[deg

/s]

0 1 2 3 4 5 6 7 8

−5

0

5


[s]

[deg

/s2 ]

0 1 2 3 4 5 6 7 8−4

−2

0

2

4

6


[s]

[deg

/s]

0 1 2 3 4 5 6 7 8

−10

−5

0

5

10


[s]

[deg

/s2 ]

Figura 7.26: Confronto velocita & accelerazioni coscia-gamba

0 1 2 3 4 5 6 7 8

−60

−40

−20

0

20

40


[s]

[deg

/s]

0 1 2 3 4 5 6 7 8

−100

−50

0

50

100acc ang rel calcolata dal modello

[s]

[deg

/s2 ]

0 1 2 3 4 5 6 7 8

−50

0

50


[s]

[deg

/s]

0 1 2 3 4 5 6 7 8

−200

−150

−100

−50

0

50

100


[s]

[deg

/s2 ]

Anche qui il confronto delle velocita e delle accelerazioni e buono: l’andamento viene

conservato dal modello, anche se le scale sono diverse.

Si passa ora ad analizzare gli output dinamici.

136


Figura 7.27: Dinamica per l’articolazione dell’anca

−1 −0.5 0 0.5 1−1

−0.5

0

0.5

1

x [m]

y [m

]

0 1 2 3 4 5 6 7 8

2

4

6

8

10

angolo relativo

[s]

[deg

]0 1 2 3 4 5 6 7 8

15

20

25

30

35


[s]

[N]

0 1 2 3 4 5 6 7 8

10

12

14

16

18

20

Coppia

[s][N

*m]

Come si vede dalla figura, l’introduzione della forza che annulla l’effetto della gravita

al tempo zero ha notevolmente influito sugli andamenti e sulle escursioni della coppia e

della reazione vincolare sia dell’anca che del ginocchio, ma c’e da ritenere che questo sia

l’andamento corretto dal momento che agli estremi dell’intervallo di acquisizione nessun

corpo risente della presenza della gravita e pertanto le reazioni vincolari e le coppie saranno

minime.

Figura 7.28: Dinamica per l’articolazione del ginocchio

−1 −0.5 0 0.5 1−1

−0.5

0

0.5

1

x [m]

y [m

]

0 1 2 3 4 5 6 7 8

−20

0

20

40

60

80

100angolo relativo

[s]

[deg

]

0 1 2 3 4 5 6 7 8

25

30

35

40

45


[s]

[N]

0 1 2 3 4 5 6 7 8

0

2

4

6

Coppia

[s]

[N*m

]

137


7.2.3.2 Flesso-estensione del ginocchio

Nelle due figure seguenti e mostrato l’andamento degli angoli relativi tra corpi adiacenti e


Figura 7.29: Andamenti cinematici tra schiena e coscia

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 55

6

7angolo relativo

[s]

[deg

]

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5

−2

0

2


[s]

[deg

/s]

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5

−5

0


[s]

[deg

/s2 ]

Figura 7.30: Andamenti cinematici tra coscia e gamba

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 520

40

60

80

100angolo relativo

[s]

[deg

]

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5

−50

0

50


[s]

[deg

/s]

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5−150

−100

−50

0

50


[s]

[deg

/s2 ]

Il movimento comincia dopo circa mezzo secondo dall’inizio dell’acquisizione, il che

giustifica l’introduzione della forza opposta a quella di gravita durante tale intervallo;

138


l’angolo relativo tra coscia e gamba ha un’escursione di circa 80°, mentre quello tra schiena

e coscia rimane circa costante, in accordo con il fatto che sia la coscia che la gamba sono

appoggiate.


ricentri fornite dal modello con quelle registrate dal sistema optoelettronico; anche qui si

mostra il confronto solo per coscia e gamba:

Figura 7.31: Confronto coordinate coscia

0 1 2 3 4 5

0.2235

0.2236

0.2237

0.2238

0.2239

0.224coord x baricentro calcolata dal modello

[s]

[m]

0 1 2 3 4 5

−0.016

−0.014

−0.012

−0.01

−0.008

−0.006


[s]

[m]

0 1 2 3 4 5

0.224

0.2245

0.225

0.2255


[s]

[m]

0 1 2 3 4 5

−8

−7

−6

−5

x 10−3 coord y baricentro da sistema optoelettr

[s]

[m]

Figura 7.32: Confronto coordinate gamba

0 1 2 3 4 5

0.45

0.5

0.55

0.6


[s]

[m]

0 1 2 3 4 5

0.04

0.06

0.08

0.1

0.12

0.14

0.16


[s]

[m]

0 1 2 3 4 5

0.4

0.45

0.5

0.55

0.6


[s]

[m]

0 1 2 3 4 5

0.04

0.06

0.08

0.1

0.12

0.14

0.16


[s]

[m]

139


Come nell’acquisizione precedente, la corrispondenza tra coordinate calcolate e misu-

rate e ottima nel caso della gamba; per la coscia, come sopra, il sistema optoelettronico

da risultati non realistici.


misurate:

Figura 7.33: Confronto velocita & accelerazioni schiena-coscia

0 1 2 3 4 5

−2

−1

0

1

2


[s]

[deg

/s]

0 1 2 3 4 5

−6

−4

−2

0

2

4


[s]

[deg

/s2 ]

0 1 2 3 4 5−3

−2

−1

0

1

2

3

4vel ang rel calcolata dal sistema optoelettr

[s]

[deg

/s]

0 1 2 3 4 5

−10

−5

0

5

10acc ang rel calcolata dal sistema optoelettr

[s]

[deg

/s2 ]

Figura 7.34: Confronto velocita & accelerazioni coscia-gamba

0 1 2 3 4 5

−60

−40

−20

0

20

40


[s]

[deg

/s]

0 1 2 3 4 5−150

−100

−50

0

50


[s]

[deg

/s2 ]

0 1 2 3 4 5

−60

−40

−20

0

20

40

60


[s]

[deg

/s]

0 1 2 3 4 5−200

−150

−100

−50

0

50

100


[s]

[deg

/s2 ]

140


Anche qui il confronto delle velocita e delle accelerazioni e buono: l’andamento viene

conservato dal modello, anche se le scale sono diverse.

Si passa ora ad analizzare gli output dinamici.

Figura 7.35: Dinamica per l’articolazione dell’anca

−1 −0.5 0 0.5 1−1

−0.5

0

0.5

1

x [m]

y [m

]

0 1 2 3 4 5

5

5.5

6

6.5

7

7.5

8angolo relativo

[s]

[deg

]

0 1 2 3 4 5

20

25

30


[s]

[N]

0 1 2 3 4 510

12

14

16

18

20

Coppia

[s]

[N*m

]

Come si vede dalla figura, l’introduzione della forza che annulla l’effetto della gravita

al tempo zero e al tempo finale ha notevolmente influito sugli andamenti della coppia e

della reazione vincolare sia dell’anca che del ginocchio.

Figura 7.36: Dinamica per l’articolazione del ginocchio

−1 −0.5 0 0.5 1−1

−0.5

0

0.5

1

x [m]

y [m

]

0 1 2 3 4 5

20

40

60

80

100

angolo relativo

[s]

[deg

]

0 1 2 3 4 5

25

30

35

40


[s]

[N]

0 1 2 3 4 5

−1

0

1

2

3

4

5

6

Coppia

[s]

[N*m

]

141

Cap.7 Analisi sperimentale e risultati § 7.3 Flesso-estensione del gomito

7.3 Flesso-estensione del gomito


In questa serie di acquisizioni i corpi presi in esame sono stati la schiena, l’avambraccio

ed il braccio destri. Il soggetto era chiamato a compiere, in posizione seduta, una flesso-

estensione del gomito ad una velocita ritenuta normale dal soggetto. I markers sono

stati posizionati sull’acromion destro e sinistro, sull’olecrano destro, sulle porzioni distali

dell’ulna e del radio, in corrispondenza della settima vertebra cervicale, sul manubrio e tra

L5 ed S1.

Figura 7.37: Posizione markers per flesso-estensione gomito

Per quanto attiene al prelevamento del segnale elettromiografico, sono stati registrati

i segnali provenienti dal deltoide (deltoideus anterior) e dal bicipite (biceps brachii caput

longus), mediante l’applicazione di due coppie di elettrodi sulla cute, posizionati seguendo

le Raccomandazioni Europee per l’Elettromiografia di Superficie [39, 2].


mentre il volume di lavoro, di dimensioni 3.85x1.87x4.73 m3 e stato spazzolato con il wand

per 150.2 secondi. In tabella sono riportati i risultati della calibrazione:

142


Tabella 7.3: Calibrazione flesso-estensione gomito



Dopo aver acquisito la Massima Contrazione Volontaria (MCV) sia per il bicipite che

per il deltoide, si e passato ad effettuare le acquisizioni.

Il soggetto era chiamato a svolgere delle flesso-estensioni del gomito destro da posi-

zione seduta cercando di mantenere la schiena ferma e il movimento il piu possibile nel

piano sagittale. Sulla mano destra era applicato un peso di 3 kg, per aumentare lo sforzo

muscolare. Si sono eseguite tre acquisizioni:


� una flesso estensione, di 4.86 secondi;

� una flessione, durata 3.35 secondi.

7.3.2 Modellazione



le grandezze da dare in input al modello:

� baricentro braccio destro come nuovo punto tra marker acromion destro e marker

olecrano destro;

143


� baricentro avambraccio destro come nuovo punto tra marker olecrano destro e punto

medio tra i due markers applicati sul polso destro;

� baricentro schiena come nuovo punto tra marker c7 e marker sacro (marker L5-S1).

� nuovo punto, definito come proiezione del marker su c7 sul piano terreno (piano X-Z

s.d.r. assoluto);

� nuovo punto, definito come proiezione del marker sul manubrio sul piano terreno;

� vettore tra c7 e sacro;

� vettore tra proiezione manubrio e proiezione c7 sul piano terreno;

� piano sagittale come piano definito dai due vettori precedenti.

� vettore braccio come vettore tra acromion destro ed olecrano destro;

� vettore avambraccio come vettore tra olecrano destro e punto medio tra i due markers

applicati sul polso destro;

� vettore schiena come vettore tra c7 e sacro.

� proiezione acromion destro su piano sagittale;

� proiezione baricentro braccio su piano sagittale;

� proiezione baricentro avambraccio su piano sagittale;

� proiezione -asse x s.d.r. assoluto (-lab i) su piano sagittale;


� prodotto vettoriale tra proiezione -lab i e proiezione lab j.

144


� nuovo s.d.r. relativo con origine nella proiezione dell’acromion destro sul piano


– asse x: proiezione -lab i su piano sagittale;


– asse z: prodotto vettoriale tra proiezione -lab i e proiezione lab j.

� proiezione baricentro braccio su piano sagittale espresso nel s.d.r. relativo⇒ q04, q05

� proiezione baricentro avambraccio su piano sagittale espresso nel s.d.r. relativo ⇒

q07, q08

� angolo tra asse x s.d.r. relativo e vettore proiezione braccio ⇒ q06

� angolo tra asse x s.d.r. relativo e vettore proiezione avambraccio ⇒ q09

� angolo tra proiezione -lab j e vettore proiezione braccio ⇒ driving1

� angolo tra vettore proiezione braccio e vettore proiezione avambraccio ⇒ driving2

� lunghezza vettore proiezione braccio ⇒ lunghezza iniziale braccio

� lunghezza vettore proiezione avambraccio ⇒ lunghezza iniziale avambraccio

145


Figura 7.38: Schema protocollo flesso-estensione gomito

Xrel

Zrel

Yrel

labi

labj

labk

driv1 driv2

schiena avambraccio

braccio

3 kg

Per quanto riguarda la matrice delle forze, e stata considerata una forza peso costante

sul braccio e sull’avambraccio, e un peso di 3 kg applicato sul punto piu distale dell’avam-

braccio (mano). Nel caso della doppia flesso-estensione si e fatto partire il movimento da

posizione appoggiata (braccio ed avambraccio scarichi), quindi alla forza di gravita si e

aggiunta una forza variabile con legge quadratica che al tempo t=0 annullava la forza di

gravita e che si esauriva entro il primo mezzo secondo, cioe entro l’inizio del movimento.

I rimanenti input per il modello erano i parametri antropometrici, calcolati a partire

da [23] (si veda il paragrafo 6.1) sulla base della conoscenza del peso del soggetto in esame,

e le posizioni iniziali della schiena. Queste non sono state prese a partire dalle posizioni

dei markers (proiezione baricentro schiena nel s.d.r. relativo) perche il telaio (la schiena)

nel modello e stato considerato fermo; per questo motivo le posizioni iniziali del baricentro

della schiena sono state fissate arbitrariamente, in accordo con le restanti posizioni iniziali

146


e soprattutto con la posizione del’origine del s.d.r. relativo.

Gli ultimi parametri da settare erano gli input per la funzione derivative dwt ; anche

in questo caso i risultati migliori si sono ottenuti utilizzando come wavelet function una

spline a sei punti.

7.3.3 Risultati

7.3.3.1 Doppia flesso-estensione del gomito

Dall’andamento dell’angolo relativo tra schiena e braccio si vede come il moto relativo tra

questi corpi e praticamente nullo, e la velocita e l’accelerazione relative sono molto basse:


0 1 2 3 4 5 6178

180

182angolo relativo

[s]

[deg

]

0 1 2 3 4 5 6−1

0

1

2 velocità angolare relativa

[s]

[deg

/s]

0 1 2 3 4 5 6

−2

0

2


[s]

[deg

/s2 ]

147



0 1 2 3 4 5 690

100

110

120

130angolo relativo

[s]

[deg

]

0 1 2 3 4 5 6−40

−20

0

20


[s]

[deg

/s]

0 1 2 3 4 5 6−100

−50

0


[s]

[deg

/s2 ]

L’angolo tra braccio ed avambraccio, invece, ha un’escursione di circa 40°; il movi-

mento comincia dopo circa mezzo secondo, il che concorda con la scelta di annullare la

forza di gravita durante i primi 0.5 secondi. Le velocita e le accelerazioni relative sono

correttamente calcolate dalla funzione di differenziazione basata sulla trasformata wavelet.

I risultati dell’analisi cinematica sono stati validati confrontando le posizioni dei bari-

centri fornite dal modello con quelle registrate dal sistema optoelettronico:


0 1 2 3 4 5 60

2

4

6

8

10

12x 10

−3 coord x baricentro calcolata dal modello

[s]

[m]

0 1 2 3 4 5 6

−0.1675

−0.1675

−0.1674

−0.1674


[s]

[m]

0 1 2 3 4 5 6

0

2

4

6

8

x 10−3 coord x baricentro da sistema optoelettr

[s]

[m]

0 1 2 3 4 5 6

−0.167

−0.166

−0.165

−0.164

−0.163

−0.162

−0.161


[s]

[m]

148



0 1 2 3 4 5 6

0.11

0.12

0.13

0.14

0.15


[s]

[m]

0 1 2 3 4 5 6

−0.32

−0.3

−0.28

−0.26


[s]

[m]

0 1 2 3 4 5 60.09

0.1

0.11

0.12

0.13

0.14

0.15coord x baricentro da sistema optoelettr

[s]

[m]

0 1 2 3 4 5 6

−0.32

−0.3

−0.28

−0.26

−0.24


[s][m

]

Si puo notare come il confronto sia ottimo nel caso dell’avambraccio, mentre la coor-

dinata y del baricentro del braccio non viene predetta correttamente dal modello.

Il confronto delle velocita e delle accelerazioni viene qui omesso per non appesantire la

trattazione.

Per quanto riguarda l’analisi dinamica si puo osservare che la coppia nell’articolazione

del gomito e molto simile a quella della spalla; il modulo della reazione vincolare, invece,

e piu elevato di circa 1/3 nell’articolazione del gomito.

149



−0.6 −0.4 −0.2 0 0.2 0.4 0.6

−0.6

−0.4

−0.2

0

0.2

0.4

0.6

x [m]

y [m

]

0 1 2 3 4 5 6

178

179

180

181

182

183

angolo relativo

[s]

[deg

]0 1 2 3 4 5 6

25

30

35

40


[s]

[N]

0 1 2 3 4 5 6

5

6

7

8

9

10

11Coppia

[s]

[N*m

]


−0.6 −0.4 −0.2 0 0.2 0.4 0.6

−0.6

−0.4

−0.2

0

0.2

0.4

0.6

x [m]

y [m

]

0 1 2 3 4 5 690

100

110

120

130

angolo relativo

[s]

[deg

]

0 1 2 3 4 5 6

40

45

50

55

60


[s]

[N]

0 1 2 3 4 5 6

5

6

7

8

9

10

Coppia

[s]

[N*m

]

7.3.3.2 Flesso-estensione del gomito

Questa acquisizione e stata effettuata su un soggetto diverso rispetto alla precedente; il

braccio e l’avambraccio sono carichi gia al tempo iniziale, quindi non e stata introdotta

nessuna forza correttiva della forza di gravita. L’angolo relativo tra schiena e braccio

150


rimane pressocche invariato, mentre l’angolo relativo tra braccio ed avambraccio varia di

circa 50° (10° in piu rispetto al soggetto precedente):


0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5

2

4

6

8 angolo relativo

[s]

[deg

]

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5−4

−2

0

2

4


[s]

[deg

/s]

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5−10

0


[s]

[deg

/s2 ]


0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5

80

100

120angolo relativo

[s]

[deg

]

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5−40

−20

0

20


[s]

[deg

/s]

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5

−50

0

50


[s]

[deg

/s2 ]

La velocita del movimento e paragonabile a quella del caso precedente.


ricentri fornite dal modello con quelle registrate dal sistema optoelettronico: a differenza

della doppia flesso-estensione, il modlelo predice correttamente tutte le coordinate dei

baricentri.

151



0 1 2 3 40.005

0.01

0.015

0.02

0.025


[s]

[m]

0 1 2 3 4−0.1685

−0.168

−0.1675

−0.167

−0.1665


[s]

[m]

0 1 2 3 40.005

0.01

0.015

0.02

0.025


[s]

[m]

0 1 2 3 4

−0.168

−0.166

−0.164

−0.162


[s][m

]


0 1 2 3 40.13

0.135

0.14

0.145

0.15

0.155

0.16


[s]

[m]

0 1 2 3 4−0.36

−0.34

−0.32

−0.3

−0.28

−0.26

−0.24


[s]

[m]

0 1 2 3 4

0.12

0.13

0.14

0.15


[s]

[m]

0 1 2 3 4

−0.35

−0.3

−0.25


[s]

[m]

I risultati dell’analisi dinamica sono perfettamente comparabili con quelli della doppia

flesso-estensione, ulteriore dimostrazione del fatto che il modello e robusto a variazioni dei

parametri di input come posizioni iniziali, setup sperimentale e parametri antropometrici.

152



−0.6 −0.4 −0.2 0 0.2 0.4 0.6

−0.6

−0.4

−0.2

0

0.2

0.4

0.6

x [m]

y [m

]

0 1 2 3 4

2

4

6

8

angolo relativo

[s]

[deg

]

0 1 2 3 440.3

40.4

40.5

40.6

40.7

40.8Modulo della reaz vincolare

[s]

[N]

0 1 2 3 4

8

8.5

9

9.5

10

10.5

Coppia

[s][N

*m]


−0.6 −0.4 −0.2 0 0.2 0.4 0.6

−0.6

−0.4

−0.2

0

0.2

0.4

0.6

x [m]

y [m

]

0 1 2 3 4

80

90

100

110

120

130

angolo relativo

[s]

[deg

]

0 1 2 3 4

59.5

59.6

59.7

59.8

59.9

60

60.1


[s]

[N]

0 1 2 3 45

6

7

8

9

Coppia

[s]

[N*m

]

153

Capitolo 8Movimentazione manuale dei carichi

Il dolore lombo-sacrale, o Low-Back Pain, e una delle piu frequenti cause di riduzione

temporanea o permanente della capacita lavorativa. Nella societa attuale sono in diminu-

zione le malattie tipiche da lavoro un tempo particolarmente frequenti (silicosi, asbestosi,

malattie da metalli, asma bronchiale allergico, ipoacusie da rumore ecc.), mentre si assiste

all’evolversi della patologia professionale verso una sempre maggior visibilita delle malat-

tie legate a movimenti ripetitivi, alla movimentazione dei carichi e a posture incongrue

[18]. Queste situazioni sono riconducibili, nella maggior parte delle loro manifestazioni,

alla carente o nulla applicazione dei principi ergonomici alle attivita lavorative. Dal punto

di vista epidemiologico, tra le malattie suddette, la patologia professionale dovuta a mo-

vimenti ripetitivi rappresenta la maggior causa di lesioni muscolo-scheletriche e nervose

periferiche, superando in alcuni ambiti la patologia traumatica da infortunio; nella mag-

gior parte dei casi i movimenti ripetuti comportano un sovraccarico meccanico degli arti

superiori, e interessano soprattutto le strutture osteo-articolari e muscolo-tendinee [28].

L’altro gruppo di patologie, piu conosciuto ma ancor oggi poco affrontato dal punto di

vista valutativo e di ricerca delle possibili soluzioni, e costituito dalle affezioni discoarti-

colari della colonna lombare secondarie alla movimentazione manuale dei carichi (Manual

Material Handling, MMH). Esse rappresentano uno dei principali problemi sanitari nel

154

Cap.8 Movimentazione manuale dei carichi § 8.1 Metodo NIOSH

mondo del lavoro, stanti la rilevanza delle sofferenze e dei costi economici e sociali che

comportano (assenza per malattia, cure, modificazioni del lavoro, invalidita).

Il National Institute of Occupational Safety and Health (NIOSH USA) pone tali pato-

logie al secondo posto nella lista dei dieci problemi di salute piu importanti nel luogo di

lavoro. La movimentazione manuale dei carichi puo determinare lesioni acute e croniche

delle strutture del rachide del tutto indistinguibili dalla patologia degenerativa vertebra-

le riscontrabile nella popolazione generale, ove e legata ad una serie di fattori di ordine

generale (predisposizione genetica, obesita, malattie endocrino-metaboliche) e distrettua-

li (scoliosi, osteocondrosi, dismorfismi congeniti . . . ), e per tale ragione ancora oggi esse

vengono con difficolta inquadrate come malattie professionali.

Nonostante cio negli Stati Uniti il low-back pain determina una media di circa 28,5

giorni all’anno di assenza per malattia ogni 100 lavoratori e gli indennizzi per patologie

professionali della colonna assorbono circa 1/3 dei costi totali di indennizzo.

A livello internazionale la norma di riferimento per la valutazione della movimentazione

manuale dei carichi e la ISO 11228-1 del 2003, basata sulle linee guida stilate dal NIOSH nel

1993 [48] e comunemente note come Metodo Niosh. In Italia la movimentazione manuale

dei carichi e regolamentata dal decreto legislativo 106/09 (correttivo del D.Lgs 81/08), nel

quale si fa esplicito riferimento alla norma ISO 11228-1,2,3, sebbene tale norma non sia

cogente.

8.1 Metodo NIOSH

Consente la valutazione del rischio di insorgenza di patologie lombo-sacrali in seguito

allo svolgimento di attivita di sollevamento e abbassamento dei carichi. Consiste nella

determinazione di un Indice di Sollevamento (Lifting Index, LI) che da una valutazione

del movimento in termini di danno a lungo termine della colonna vertebrale, in particolar

modo del disco intervetebrale L5-S1.

155


Si parte dall’assunto che esista un massimo peso sollevabile in condizioni ideali, o

Costante di Peso (Load Constant, LC), e che sia possibile valutare tutti gli elementi sfa-

vorevoli (altezza del sollevamento, distanza, rotazione del tronco, ...) che impediscono

l’utilizzo di tale peso massimo, ovvero di quelle caratteristiche dell’azione di sollevamento

che contribuiscono a far variare il fattore di rischio legato ad uno specifico compito. Tali

fattori negativi vengono raggruppati in un’equazione, e determinano dei fattori demolti-

plicativi che contribuiscono a ridurre il peso massimo sollevabile ad un valore che e detto

Peso Limite Raccomandato (Reccomended Weight Limit, RWL), e che dovra essere valu-

tato per ciascuna azione di sollevamento esaminata. Ciascun fattore demoltiplicativo puo

assumere valori compresi tra 0 ed 1. Quando l’elemento di rischio potenziale corrisponde

ad una condizione ottimale, il relativo fattore assume valore unitario e pertanto non porta

ad alcun decremento del peso ideale iniziale. Quando l’elemento di rischio e presente,

discostandosi dalla condizione ottimale, il relativo fattore assume un valore inferiore a 1;

esso risulta tanto piu piccolo quanto maggiore e l’allontanamento dalla relativa condizione

ottimale: in tal caso il peso massimo movimentabile diminuisce di conseguenza. In taluni

casi l’elemento di rischio e considerato estremo: il relativo fattore viene posto uguale a 0,

significando che si e in una condizione di inadeguatezza assoluta per via di quello specifico

elemento di rischio. Il rapporto tra il Peso Effettivamente Sollevato (Load Weight, L) ed

il peso limite raccomandato determina il valore dell’indice di sollevamento.

Il peso limite raccomandato si calcola come:

RWL = LC X HM X VM X DM X AM X FM X CM (8.1)

mentre l’indice di sollevamento e dato da:

LI =L

RWL(8.2)

Di seguito vengono descritti i vari fattori demoltiplicativi presenti nell’equazione 8.1 e il

156


loro significato:

� Horizontal Multiplier HM: tiene conto della distanza orizzontale tra il baricentro

del corpo e quello del peso sollevato. Si calcola come 25/H, dove con H si indica la

distanza orizzontale massima del carico sollevato rispetto al corpo durante l’azione di

sollevamento, misurata dalla linea congiungente i malleoli interni al punto di mezzo

tra la presa delle mani (proiettato sul terreno).

� Vertical Multiplier VM: tiene conto dell’altezza delle mani dal suolo. Vale 1 −

0.03 |V − 75|, dove con V si intende la distanza verticale dal piano di appoggio dei

piedi al punto di mezzo tra la presa delle mani.

� Distance Multiplier DM: e un fattore che rende conto dello spostamento verticale

delle mani durante il sollevamento. Si calcola come 0.82− 1.8/D, dove D e definito

come il valore assoluto della differenza tra l’altezza delle mani all’origine e alla fine

del sollevamento.

� Asymmetric Multiplier AM: descrive l’ampiezza del movimento di torsione per sol-

levamenti che iniziano o terminano al di fuori del piano sagittale. Si ottiene da

1− 0.032A, dove l’angolo di asimmetria A e l’angolo fra la linea di asimmetria e la

linea sagittale. La linea di asimmetria congiunge idealmente il punto di mezzo tra le

caviglie e la proiezione a terra del punto intermedio alle mani.

� Coupling Multiplier CM: esprime un giudizio sulla presa del carico, che potra essere

buona, discreta o scarsa.

� Frequency Multiplier FM: indica il numero medio di sollevamenti effettuati in un

minuto durante tutta la durata del compito.

157


Figura 8.1: Fattori demoltiplicativi

Tipicamente l’RWL si calcola nella posizione iniziale del sollevamento; quando tuttavia

il sollevamento richiede un controllo fine sulla posizione dell’oggetto, il calcolo si effettua

anche nella posizione finale. Il calcolo dell’indice di sollevamento verra in tal caso effettuato

utilizzando il piu basso tra i due valori di RWL. Il valore del LI ricavato viene utilizzato

per avere una stima del rischio per le strutture ossee; in Italia, la norma UNI EN 1005-2

stabilisce tre classi di rischio, a seconda del valore assunto dal LI:

Figura 8.2: Classi di rischio

RISCHIO TOLLERABILE

RISCHIO SIGNIFICATIVOUna percentuale (1 ÷÷÷÷ 10 %) della

popolazione lavorativa potrebbe non essere adeguatamente protetta

RISCHIO ELEVATONecessità di riprogettareurgentemente il compito

IR ≤≤≤≤ 0,85

0,86 < IR < 1

IR > 1

158

Cap.8 Movimentazione manuale dei carichi § 8.2 Limiti di applicabilita

8.2 Limiti di applicabilita

Il metodo puo essere applicato solo qualora siano verificate determinate condizioni relative

a caratteristiche biomeccaniche, fisiologiche e psicofisiche:

1. Sollevamento-abbassamento come attivita prevalenti: le attivita diverse da quella

di movimentazione devono essere trascurabili e non devono richiedere significativo

dispendio energetico. Pertanto non sono contemplate attivita di sostegno statico di

un carico, attivita di traino e spinta e trasporto.

2. Condizioni particolari: attivita svolte con una sola mano, in posizione seduta o in

ginocchio o attivita svolte in spazi ristretti.

3. Stabilita: deve esserci condizione di assoluta stabilita del carico e dell’operatore.

4. Condizioni microclimatiche: devono essere soddisfatte le seguenti condizioni:

19°C ≤ T ≤ 26°C

35% ≤ UR ≤ 50%

Condizioni diverse possono avere rilevanti implicazioni fisiopatologiche nel determi-

nismo del danno.

5. Velocita: lo spostamento deve essere effettuato a bassa velocita. Alte velocita non

consentono un’adeguata predisposizione dell’assetto del sistema muscolo-scheletrico

e possono comportare fenomeni microtraumatici a fine corsa.

6. Peso sollevato maggiore di 3 kg; per pesi minori di 3 kg la normativa fa riferimento

al metodo OCRA sui movimenti ripetitivi degli arti superiori.

159

Cap.8 Movimentazione manuale dei carichi § 8.3 Modellazione del caso sperimentale

7. Soggetti di sesso diverso dal maschile e non lavoratori; questo limite viene superato

dalla norma ISO 11228-1, che fornisce dei valori di LC diversi a seconda del sesso e

del campo di applicazione (lavorativo o non).

Da questa breve panoramica risulta evidente come il metodo di calcolo del LI non consenta

di calibrare l’analisi sul lavoratore in esame. Inoltre e altrettanto evidente come la misura

dei fattori demoltiplicativi sia svolta con strumenti ben poco precisi, il che comporta che

uno stesso movimento, esaminato da due consulenti diversi, possa essere valutato in due

modi differenti.

Da tali considerazioni e nata l’idea di sfruttare il sistema di analisi del movimento e

il modello sviluppato per cercare di rendere piu oggettiva la valutazione del rischio da

movimentazione di carichi. Si e scelto di analizzare tre movimenti di sollevamento di

un peso, il primo dei quali, applicando il metodo Niosh, risultasse sicuro, il secondo dei

quali fosse al limite della zona ritenuta in sicurezza, mentre il terzo fosse fuori dal range

considerato sicuro.

8.3 Modellazione del caso sperimentale

Il primo problema che si e presentato e stato che il modello sviluppato e bidimensionale, e

pertanto il movimento da analizzare doveva avvenire interamente in un piano; si e scelto di

fare un sollevamento di un peso all’interno del piano sagittale. In effetti questa non e una

condizione particolarmente restrittiva, dal momento che molte azioni di movimentazione

dei carichi rimangono all’interno del piano sagittale. Si e scelto di sollevare un peso di

5 kg, perche la sperimentazione e stata condotta su un soggetto non lavoratore (non

essendo a disposizione un lavoratore); di conseguenza il massimo peso movimentabile era

10 kg. Inoltre, per limiti di capacita computazionale del pc sul quale e stato fatto girare

il modello, non si e potuto analizzare un movimento ripetuto, e quindi si e adottata la

frequenza minore prevista dal Niosh, ovvero minore di 0.2 sollevamenti/minuto. L’oggetto

160


sollevato non era dotato di manici, e pertanto si e valutata una scarsa presa sul carico;

questo viene normalmente fatto anche dai consulenti, i quali giudicano la presa sul carico

sempre scarsa, a vantaggio della sicurezza del lavoratore. Per quanto riguarda l’ampiezza

dello spostamento dell’oggetto, a causa di limiti dovuti all’ingombro del peso sollevato la

minima distanza orizzontale era pari a 28 cm; la massima distanza orizzontale, invece,

e stata di 63 cm, limite massimo consentito dal NIOSH. Infine, l’escursione verticale del

carico e stata scelta in modo tale che nel primo sollevamento si rimanesse in sicurezza, nel

secondo sollevamento e nel terzo si fosse al limite della sicurezza per questo parametro. In

tabella sono riassunti i valori assunti dai vari fattori che costituiscono l’equazione per il

calcolo del LI, valutati nella posizione piu sfavorevole dei sollevamenti (posizione finale):

Tabella 8.1: Valori assunti dai fattori demoltiplicativiSollevamento sicuro Sollevamento limite Sollevamento non sicuro

L 5 kg 5 kg 5 kgLC non lavoratore �10 kg non lavoratore �10 kg non lavoratore �10 kgAM 0° torsione �1 0° torsione �1 0° torsione �1CM presa scarsa � 0.9 presa scarsa � 0.9 presa scarsa � 0.9DM 40 cm � 0.93 80 cm � 0.875 70 cm � 0.88FM soll/min < 0.2 � 1 soll/min < 0.2 � 1 soll/min < 0.2 � 1HM 28 cm � 0.89 28 cm � 0.89 63 cm � 0.4VM 120 cm � 0.87 160 cm � 0.75 160 cm � 0.75

Il calcolo del LI ha portato ai seguenti risultati:

LI =L

RWL=

=L

LC ×HM × VM ×DM × AM × FM × CM=

0.77 posizione sicura

0.95 posizione limite

2.02 posizione non sicura

Conclusa l’analisi “tradizionale” si e passato all’analisi mediante sistema optoelettronico.

Al soggetto sono stati applicati markers sui seguenti punti di repere anatomici: c7, fron-

161


te, sacro, acromion destro e sinistro, olecrano, polso, trocantere, ginocchio e caviglia destri.

Figura 8.3: Posizione markers

Dopo aver calibrato il sistema, si sono effettuate tre acquisizioni, una per ciascun caso.

Con il tracking si sono definiti sei segmenti corporei:

� piede

� gamba

� coscia

� schiena

� braccio

� avambraccio

Successivamente si e passato al protocollo, del tutto analogo ai protocolli gia descritti.

In questo caso il piano sagittale e stato definito come formato dal vettore c7-sacro ed il

162

Cap.8 Movimentazione manuale dei carichi § 8.4 Analisi biomeccanica

vettore c7-punto medio tra gli acromion, mentre il s.d.r. relativo aveva come origine la

proiezione della caviglia nel piano sagittale e come assi cartesiani le proiezioni degli assi del

s.d.r. assoluto nel piano sagittale. Grazie al protocollo si sono ricavate le posizioni delle

proiezioni dei baricentri dei segmenti sul piano sagittale, espresse in coordinate relative,

nonche le lunghezze delle proiezioni dei segmenti sul piano sagittale e gli angoli relativi tra

i segmenti; i parametri antropometrici sono stati calcolati sempre secondo [23] sulla base

di un peso corporeo di 50 kg. Noti cosı tutti gli input necessari al modello, si e effettuata

l’analisi biomeccanica.

8.4 Analisi biomeccanica

Per questa serie di acquisizioni si e suddiviso il corpo umano in sei segmenti: piede (che

costituiva il telaio), gamba, coscia, schiena, braccio ed avambraccio. A questi segmenti

si sono applicati come driving constraints i cinque angoli relativi tra i corpi. Le forze

applicate, costanti, sono state la forza di gravita sui segmenti corporei e una forza applicata

all’estremita distale dell’avambraccio che tenesse conto del peso di 5 kg applicato sulle

mani. Nelle immagini seguenti viene presentato il confronto tra grandezze cinematiche e

dinamiche delle tre acquisizioni; la durata e stata normalizzata in modo tale da risultare

sempre minore di uno.

I grafici che mostrano gli andamenti degli angoli relativi, delle velocita e delle ac-

celerazioni angolari relative vengono qui omessi. L’unico grafico che viene mostrato e

quello dell’angolo relativo tra schiena e braccio, poiche e l’unico che presenta variazioni

significative.

163


Figura 8.4: Cinematica tra schiena e braccio

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1−20

0

20

40

60

80

100

tempo

ango

lo [d

eg]

angolo relativoin sicurezzaangolo relativolimiteangolo relativonon in sicurezza

Poiche il movimento compiuto e diverso tra le tre acquisizioni, l’andamento dei tre

angoli non e lo stesso; la posizione iniziale e comune nei tre movimenti, mentre l’angolo

finale e via via maggiore, come da setup sperimentale.

Per quanto riguarda l’analisi dinamica vengono presentati solamente i confronti tra le

coppie alle articolazioni di interesse, dal momento che le reazioni vincolari non variano

significativamente ne tra un esercizio e l’altro ne all’interno dello stesso esercizio al variare

del tempo. I grafici che vengono mostrati sono normalizzati rispetto al tempo, in modo

da avere una scala temporale uniforme tra le tre acquisizioni.

Il primo confronto e tra le coppie presenti all’articolazione della schiena:

164


Figura 8.5: Confronto coppie alla schiena

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1−10

0

10

20

30

40

50

60

tempo

copp

ia [N

*m]

coppia in sicurezzacoppia limitecoppia non in sicurezza

Come si vede dalla figura, l’andamento nel caso sicuro e in quello limite e circa lo

stesso, mentre la coppia aumenta notevolmente quando ci si allontana dalla condizione

di sicurezza. Se si analizza piu in dettagli il caso limite, si vede che la prima parte del

suo andamento coincide, a meno di piccole differenze dovute a diversita nella posizione

assunta non controllabili dal soggetto, con l’andamento del caso in sicurezza; infatti la

prima parte dell’acquisizione limite coincide con tutta l’acquisizione in sicurezza. Quando

durante lo svolgimento dell’esercizio limite si entra nella zona a rischio per la sicurezza

la coppia non aumenta, ma rimane circa costante. Per spiegare questo comportamento

occorre analizzare l’andamento dell’angolo assoluto della schiena; l’angolo e misurato in

senso antiorario a partire dall’orizzontale; come si vede il soggetto porta indietro la schiena

di 20° per bilanciare con il proprio corpo il peso del carico. Questo movimento fa sı che la

coppia non aumenti considerevolmente.

Quando, invece, non si e in sicurezza il soggetto non puo compiere lo stesso aggiusta-

mento posturale proprio a causa dell’esercizio che e chiamato a compiere: poiche il peso,

oltre che sollevato, deve essere allontanato dal corpo, la schiena non puo ruotare all’indie-

tro e il meccanismo di compensazione della coppia non si puo attivare. Per questa ragione

la coppia aumenta drasticamente.

165


Figura 8.6: Angolo schiena

0 0.5 1 1.5 2 2.5 392

94

96

98

100

102

104

106

108

110

tempo [s]

ango

lo [d

eg]

angolo assoluto schiena fornito dal sistemaOPT

L’altro set di coppie rilevanti e quello alla spalla:

Figura 8.7: Confronto coppie alla spalla

0 0.2 0.4 0.6 0.8 15

10

15

20

25

30

35

tempo

copp

ia [N

*m]


La compensazione del carico presente a livello della schiena nella spalla non puo av-

venire perche l’angolo della spalla e imposto dal movimento che il soggetto e chiamato a

compiere; per questo motivo la coppia aumenta in tutte e tre le situazioni. Il valore finale

della coppia in condizioni di non sicurezza e due volte piu alto di quello in condizioni di

sicurezza; questo dato e importante, considerato anche il fatto che nel metodo Niosh non

viene preso in considerazione il carico su articolazioni diverse da quella a livello L5-S1.

166


L’ultimo confronto di coppie presentato e quello riguardante l’articolazione del gomito:

Figura 8.8: Confronto coppie all’articolazione del gomito

0 0.2 0.4 0.6 0.8 12

4

6

8

10

12

14

tempo

copp

ia [N

*m]


Anche qui la coppia in sicurezza coincide con la prima parte della coppia limite; la

coppia limite dopo la seconda meta dell’acquisizione diminuisce di piu rispetto a quella

in sicurezza perche il movimento in questa parte di acquisizione si diversifica tra le due

acquisizioni. La coppia in condizioni non sicure e completamente diversa, a causa del

differente compito da svolgere. Di nuovo la coppia in condizioni giudicate non sicure per il

Niosh e maggiore di quelle in condizioni giudicate accettabili dal protocollo Niosh, anche

se non in maniera rilevante.

La differenza tra i tre casi si puo analizzare anche sotto il profilo delle potenze svilup-

pate: nel caso considerato non sicuro dal Niosh la potenza all’articolazione della schiena

necessaria a compiere il sollevamento e molto maggiore di quella che serve negli altri due

casi; inoltre, e evidente come il soggetto inizialmente riesca a compensare l’aumento della

potenza, ma che durante la seconda meta dell’acquisizione il compenso non sia piu possibile

e di conseguenza la potenza aumenti drasticamente.

167


Figura 8.9: Confronto potenze nella schiena

0 0.2 0.4 0.6 0.8 10

2

4

6

8

10

12

14

tempo

pote

nza

[W]

potenza in sicurezzapotenza limitepotenza non in sicurezza

Lo stesso discorso si puo applicare alla potenza alla spalla; la potenza nel caso non

in sicurezza dopo una crescita rapida diminuisce fin quasi ad annullarsi, e cio e dovuto

al fatto che la velocita angolare relativa tra schiena e spalla segue lo stesso andamento.

La coppia, invece, continua ad aumentare, come visto in precedenza, ma tale aumento e

sovrastato dalla diminuzione della velocita angolare relativa.

Figura 8.10: Confronto potenze nella spalla

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1

0

5

10

15

20

25

30

35

40

tempo

pote

nza

[W]

potenza insicurezzapotenza limitepotenza nonin sicurezza

Per riassumere puo essere utile confrontare i valori assoluti delle coppie caso per caso

e tra le varie articolazioni. Per farlo si analizzi la figura seguente, nella quale sono stati

168


riportati in colonna gli andamenti delle coppie del gomito, della schiena e della spalla per

le tre acquisizioni, ed in riga le varie acquisizioni: dalla figura risulta ancora piu evidente

come tutta l’acquisizione del caso in sicurezza coincide perfettamente con la prima parte

dell’acquisizione del caso limite, e quest’ultima coincide con la prima parte dell’acquisizione

non in sicurezza, in accordo con il setup sperimentale. Inoltre si vede come man mano che

ci si allontana dalla zona ritenuta sicura le coppie aumentano drasticamente di valore; la

variazione piu sostanziale si ha per la coppia alla schiena, ma anche la coppia alla spalla

subisce una variazione significativa.

Figura 8.11: Confronto parziale coppie

tem

po [s

]

0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5

100

200

300

400

500

0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50

Coppia schiena Coppia spalla Coppia gomito

Sicurezza

Limite

Non in sicurezza

[N*m]

Lo stesso confronto puo essere effettuato per le potenze in gioco; anche in questo caso

l’acquisizione del caso in sicurezza coincide con la prima parte dell’acquisizione del caso

limite e quest’ultima coincide con la parte iniziale dell’acquisizione non in sicurezza. La

variazione maggiore di potenza si ha nell’articolazione della spalla, in cui le potenze nel

caso non in sicurezza sono tre volte piu grandi del caso limite.

169


Figura 8.12: Confronto parziale potenze

tem

po [s

]

0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5

50

100

150

200

250

300

350

400

450

500

550

−5 0 5 10 15 20 25 30 35

Potenza schiena Potenza spalla Potenza gomito

Sicurezza

Limite

Non in sicurezza

[W]

170

Conclusioni

Scopo di questo lavoro di tesi e stato di sviluppare un modello 2D che permettesse di

effettuare un’analisi biomeccanica del movimento umano, in particolar modo nei riguardi

dell’analisi del gesto lavorativo, con il fine di rendere piu oggettiva la valutazione dello

stesso.

Le equazioni differenziali che governano il moto dei segmenti articolari sono state de-

dotte avvalendosi della metodologia multibody e risolte utilizzando la formulazione che

discende dall’applicazione del principio di minima azione di Gauss. Alcuni dei dati ri-

chiesti in input dal modello provengono da un sistema di analisi del movimento basato su

tecnologia optoelettronica.

La validazione del modello e stata effettuata analizzando sei movimenti elementari;

confrontando la cinematica stimata dal modello con quella misurata dal sistema optoe-

lettronico si e ottenuta una piena concordanza. Per quanto riguarda la dinamica, invece,

non si e potuto effettuare la validazione mediante confronto con il sistema optoelettronico,

dal momento che quest’ultimo non fornisce dati dinamici; i risultati dinamici sono stati

comunque confrontati con quelli ricavati dal modello sviluppato in un altro lavoro di tesi1.

Conclusa la validazione del modello si e passato ad applicare il modello all’analisi del

sollevamento di un oggetto, movimento tipico in ambito lavorativo. Si sono cosı stimate

1Per approfondimenti si consulti [36]

171

la dinamica e la cinematica dei corpi presi in esame, e queste sono state confrontate con

le indicazioni della normativa vigente in campo di movimentazione manuale dei carichi.

Dal confronto e emerso che la normativa e sostanzialmente adeguata: nei movimenti che

vengono valutati come sicuri il soggetto, mediante piccoli aggiustamenti posturali, peral-

tro involontari, riesce a mantenere limitate le coppie alle articolazioni; quando invece il

movimento che il soggetto e chiamato a compiere e tale da non consentire piu degli aggiu-

stamenti posturali, le coppie alle articolazioni aumentano drasticamente e per la normativa

non si e piu in sicurezza. Attraverso il modello, quindi, la valutazione biomeccanica della

movimentazione manuale dei carichi puo essere svolta in maniera oggettiva e ripetibile;

inoltre, considerato che la normativa prende in considerazione solamente gli sforzi agen-

ti sull’articolazione tra le vertebre L5-S1, con il modello si ottiene una prospettiva piu

ampia, che permette di indagare cio che avviene a livello di tutte le articolazioni di inte-

resse. Con il modello, poi, si riesce a particolarizzare lo studio al soggetto effettivamente

preso in esame. Infine, non bisogna dimenticare che il Metodo Niosh ha numerosi limiti

di applicabilita. Ad esempio non puo essere utilizzato se il soggetto si trova in posizione

seduta; il modello, invece, permette di calcolare gli sforzi alle articolazioni anche in caso

di restrizioni imposte al movimento del soggetto.

Un’ importante estensione del lavoro svolto riguarda il passaggio dal caso bidimensio-

nale a quello 3D, passaggio che permetterebbe di tenere in conto della torsione del busto

durante la movimentazione manuale dei carichi.

Un altro limite del presente lavoro e la compatibilita tra il formato in cui vengono

forniti i dati del sistema optoelettronico e quello in cui tali dati devono essere portati

per l’analisi in Matlab; il problema piu grande comunque, dovuto ad una limitazione del

sistema optoelettronico impiegato, resta il fatto che gli angoli non vengono forniti dal

sistema con una convenzione univoca (ad esempio misurati in senso antiorario a partire

dall’orizzontale), e quindi devono essere controllati e modificati dall’utente di volta in

volta.

172

Infine, si potrebbe pensare di estendere lo studio sulla movimentazione manuale dei

carichi anche alle operazioni di trasporto, traino e spinta (ISO 11228-2) e movimentazione

di carichi leggeri ad alta frequenza (ISO 11228-3).

173

Appendice AInversa generalizzata di una matrice

Per risolvere il sistema algebrico di equazioni

A · x = b (A.1)

rispetto all’incognita x occorre invertire la matrice dei coefficienti A:

x = A−1b (A.2)

Se la matrice A e quadrata e non singolare l’inversione non presenta problemi, almeno

concettualmente. Se pero la matrice e non singolare ma anche non quadrata, ad esempio

ha dimensioni mxn, per risolvere il sistema sara necessario estendere il concetto di inversa

e sviluppare un’inversa “generalizzata”. Esistono vari tipi di inversa generalizzata; nel

seguito se ne definiranno tre: la G-inversa, la L-inversa e la MP-inversa.

La G-inversa si usa per risolvere un sistema algebrico di equazioni lineare consistente

in cui A e non quadrata; la L-inversa si adotta per risolvere un problema di minimo

quadrato, ovvero la ricerca del vettore x che minimizzi la quantita ‖A · x− b‖2 sempre nel

caso generale in cui A sia non quadrata.

174

App.A Inversa generalizzata di una matrice §A.1 MP-inversa

A.1 MP-inversa

Si definisce inversa generalizzata di Moore-Penrose della matrice A, di dimensioni mxn e

rank(A) = r, r ≤ m, una matrice A+, di dimensioni nxm che soddisfi le condizioni MP:

AA+A = A (A.3)

A+AA+ = A+ (A.4)

AA+ =(AA+

)Tovvero AA+ ∈ Sym (A.5)

A+A =(A+A

)Tovvero A+A ∈ Sym (A.6)

A.2 G-inversa

Si consideri la matrice A di dimensioni mxn e rank(A) = r, r ≤ m. Si definira G-inversa

di A una matrice nxm che soddisfi la prima condizione MP, ovvero:

AAGA = A (A.7)

A.3 L-inversa

Si consideri la matrice A di dimensioni mxn e rank(A) = r, r ≤ m. Si definira L-inversa

di A una matrice nxm che soddisfi la prima e la terza condizione MP, ovvero:

AALA = A (A.8)

AAL =(AAL

)T(A.9)

175

App.A Inversa generalizzata di una matrice §A.4 Esistenza ed unicita della MP-inversa

Poiche la L-inversa deve soddisfare una condizione in piu rispetto alla G-inversa, segue

necessariamente che ogni L-inversa e anche una G-inversa. Inoltre, si osservi che possono

esserci piu di una G-inversa e piu di una L-inversa per una data matrice, mentre la MP-

inversa e unica. Infine, poiche la MP-inversa soddisfa condizioni piu restrittive delle altre

due inverse, ogni MP-inversa e anche una G-inversa e una L-inversa.

A.4 Esistenza ed unicita della MP-inversa

Si comincia dimostrando l’esistenza, ovvero che per ogni matrice A non quadrata di di-

mensioni mxn e rango r esiste una matrice nxm che soddisfa le quattro condizioni MP.

Decomponendo la matrice A in valori singolari:

A = WΛV T = λ1w1vT1 + ...+ λrwrv

Tr (A.10)

si puo scrivere la matrice pseudoinversa come:

A+ = V Λ−1W T =1

λ1

v1wT1 + ...+

1

λrvrw

Tr (A.11)

Per verificare che quella appena scritta sia effettivamente la pseudoinversa di A si deve

controllare che essa soddisfi le quattro condizioni MP. Si comincia verificando che A+

soddisfa la prima delle quattro condizioni:

AA+ = WΛV TV Λ−1W T = WΛIrΛ−1W T = WIrW

T = WW T (A.12)

⇒ AA+A = WW TA = WW TWΛV T = WIrΛVT = WΛV T = A (A.13)

Che AA+sia simmetrica, ovvero che sia valida la terza condizione, segue poi dal lato

destro dell’equazione (A.12). Analogamente si puo dimostrare che A+soddisfa le altre due

176

App.A Inversa generalizzata di una matrice §A.4 Esistenza ed unicita della MP-inversa

condizioni:

A+A = V Λ−1W TWΛV T = V Λ−1IrΛVT = V IrV

T = V V T (A.14)

⇒ A+AA+ = V V TA+ = V V TV Λ−1W T = V IrΛ−1W T = V Λ−1W T = A+ (A.15)

Infine, l’ultima condizione e verificata dall’ultima uguaglianza dell’equazione (A.14).

Si passa ora a dimostrare l’unicita della MP-inversa, procedendo per assurdo; biso-

gna quindi dimostrare che, data una matrice A, se A+1 ed A+

2 sono due sue MP-inverse,

necessariamente A+1 = A+

2 e quindi

AA+

1 = AA+2

A+1 A = A+

2 A

(A.16)

infatti, se valgono queste due uguaglianze, allora

A+2 = A+

2 AA+2 = A+

2

(AA+

2

)= A+

2

(AA+

1

)=(A+

2 A)A+

1 =(A+

1 A)A+

1 = A+1 AA

+1 = A+

1

(A.17)

ed il teorema e dimostrato. Rimane ora solo da dimostrare che, se se A+1 ed A+

2 sono due

MP-inverse di A, allora valgono le due relazioni (2.61); per farlo si comincia applicando la

prima MP-condizione ad A+1 e postmoltiplicando entrambi i membri per A+

2 :

AA+2 = AA+

1 AA+2 (A.18)

Ora per la terza MP-condizione applicata ad A+2 il primo membro deve essere simmetrico

e, affinche sia valida l’uguaglianza, lo deve essere anche il secondo membro:

AA+1 AA

+2 =

(AA+

1 AA+2

)T(A.19)

⇒ AA+2 = AA+

1 AA+2 =

((AA+

1

) (AA+

2

))T=(AA+

1

)T (AA+

2

)T=

177

App.A Inversa generalizzata di una matrice §A.5 Calcolo numerico della MP-inversa

=(AA+

1

) (AA+

2

)=(AA+

2 A)A+

1 = AA+1 (A.20)

e quindi la prima delle condizioni (A.16) e verificata. Ora si applichi la prima delle MP-

condizioni ad A+1 e sene premoltiplichino ambo i membri per A+

2 :

A+2 A = A+

2 AA+1 A (A.21)

Ora per la quarta MP-condizione applicata ad A+2 il primo membro deve essere simmetrico

e, affinche sia valida l’uguaglianza, lo deve essere anche il secondo membro:

A+2 A = A+

2 AA+1 A =

(A+

2 AA+1 A)T

=((A+

2 A) (A+

1 A))T

=

=(A+

1 A)T (

A+2 A)T

=(A+

1 A) (A+

2 A)

= A+1

(AA+

2 A)

= A+1 A (A.22)

e la seconda delle (A.16) e dimostrata.

A.5 Calcolo numerico della MP-inversa

Come si e mostrato, la matrice Moore-Penrose e associata alla soluzione, con il criterio dei

minimi quadrati, del sistema lineare:

A · x = b (A.23)

quando il numero m di equazioni e diverso da quello n delle incognite. Si osserva che la

matrice A non ha necessariamente rango pieno. Possono quindi distinguersi i seguenti casi:

1. sistema sovradeterminato (m > n): affinche

h = ‖A · x− b‖22 (A.24)

178


abbia un minimo, necessariamente deve risultare

ATA · x = AT · b (A.25)

e la soluzione del sistema lineare di partenza sara

x = A+ · b (A.26)

dove con A+ si e indicata la matrice pseudoinversa destra, ovvero:

A+ =(ATA

)−1AT (A.27)

2. sistema sottodeterminato (m<n): la soluzione si ottiene imponendo che il vettore

x abbia norma euclidea minima, ovvero

g = ‖x‖22 (A.28)

Quindi, introducendo una nuova funzione obiettivo

g′ = g + λT (A · x− b) (A.29)

la soluzione si otterra risolvendo il sistema I AT

A 0

x

λ

=

0

b

(A.30)

ovvero

x = A+ · b (A.31)

179


purche si indichi con

A+ = AT(AAT

)−1(A.32)

la matrice pseudoinversa sinistra.

A.5.1 Calcolo matrice pseudoinversa mediante fattorizzazione di

Gram-Schmidt

Un semplice metodo per il calcolo della matrice inversa generalizzata di A con vettori

colonna indipendenti consiste nell’eseguire su tale matrice la decomposizione di Gram-

Schmidt, ovvero nel suddividere la matrice di partenza nel prodotto di due matrici

[A]mxn = [Q]mxn [R]nxn (A.33)

dove Q e una matrice unitaria e R e una matice triangolare quadrata con rango pieno.

Quindi, tenuta presente la proprieta sulla generalizzata inversa di prodotti di matrici, si

procede al calcolo della pseudoinversa di A:

A+ = (QR)+ = R+Q+ = R−1QT (A.34)

A.5.2 Calcolo matrice pseudoinversa mediante decomposizione

SVD

Mediante decomposizione SVD si decompone la matrice A di rango r nel prodotto

[A]mxn = [V ]mxm [Λ]mxn [U ]Tmxm (A.35)

dove

UTU = I, V TV = I (A.36)

180


V V T = I (A.37)

La SVD puo anche essere espressa in forma ridotta: posto

[V ] =

[V1(mxr) V2(mx(m−r))

](A.38)

Λ =

Λ1(rxr) 0

0 0

(A.39)

[U ]T =

UT1(rxn)

UT2((n−r)xn)

(A.40)

si dimostra essere

[A]mxn = [V1]mxr [Λ]rxr [U1]Trxn (A.41)

Ricordando le proprieta (A.36) e (A.37)di cui godono le matrici U e V, la pseudoinversa

di A discende dal prodotto

[A]+ = [U1] [Λ1]−1 [V1]T (A.42)

A.5.3 Calcolo matrice pseudoinversa mediante algoritmo di Gre-

ville

I passi dell’algoritmo sono tre:

1. si decompone la matrice [A]mxn nei suoi vettori riga {ai} , i = 1, 2, ...,m

2. si pone

[Ai]ixn =

Ai−1

ai

(A.43)

con [A1]1xn = {a1}1xn;

181


3. Per i = 2, ...,m si valuta la matrice [Ai]+ come

[Ai]+nxi =

[[Ai−1]+ − {bi}T {di} | {bi}T

](A.44)

in cui si e indicato con

{di}1x(i−1) = {ai} [Ai−1]+ (A.45)

{ci}1xn = {ai} − {di} [Ai−1] (A.46)

{bi}1xn =

{ci}

{ci}{ci}T(‖ci‖ 6= 0)

{di}[A+i−1]

T

1+{di}{di}T(‖ci‖ = 0)

(A.47)

[A1]+ =

{a1}T

{a1}{a1}T(‖a1‖ 6= 0)

{a1}T (‖a1‖ = 0)

(A.48)

Dopo m cicli [Am]+ fornisce la pseudoinversa [A]+mxn di A.

182

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Ringraziamenti

Ringrazio innanzitutto i miei genitori, senza l’aiuto e l’impegno dei quali non avrei mai

potuto raggiungere questo traguardo; ringrazio la mia famiglia per essermi stata vicina.

Grazie a mia sorella per le sue consulenze artistiche in tutti i campi e per avermi, a volte,

sopportato.

Ringrazio il Professor Pennestrı, senza il quale non avrei realizzato questo lavoro; lo

ringrazio anche per la sua gentilezza e pronta disponibilita, e per avermi mostrato la gioia

e la bellezza del sapere. Grazie anche al Dott. Nappi e al Dott. Rughi per aver sempre

cercato di venirmi incontro, anche quando questo comportava dover indossare tute ridicole

o saltare il pranzo.

Ringrazio Silvia, perche con lei ho condiviso questo percorso che a volte e stato anche

molto duro; la sua presenza mi e stata di grande conforto; grazie anche a Marco per aver

fatto da cavia.

Grazie a Shanna perche c’e sempre stata per me, a lei ho confidato sentimenti e paure.

Non potrei desiderare un’amica piu generosa o con maggior συµπαϑεια.

Ringrazio tutti gli amici che ho conosciuto nel percorso universitario, per me Ingegne-

ria Medica e stata come una seconda famiglia; siamo un gruppo molto unito e spero lo

rimarremo. In particolare ringrazio Giordano, per essermi stato vicino in tutti questi anni,

Nashwan, la cui gioia e dedizione verso lo studio, la vita e il prossimo rimarranno per

sempre come un faro per me, Lucia, la mia compagna di studi con la quale ho condiviso

moltissime esperienze, e Paola, perche da lei ho imparato che bisogna credere nelle pro-

prie capacita. Ringrazio anche Sandro e Andrea per la loro disponibilita e le loro piccole

attenzioni, e Ilaria per la sua gioia di vivere e il suo contagioso entusiasmo. Grazie an-

che a Diego, Giusy, Sabina, Marco, Cipro, Flavio, Annachiara, Laura, Federica, Isabella,

Raffaele e tutti gli altri, ognuno mi ha donato qualcosa di se e gliene sono grata.

Voglio ringraziare anche il Professor Maceri per aver istituito questo Corso di Laurea,

che racchiude in se le affascinanti conoscenze ingegneristiche e mediche, e per averlo reso

particolarmente difficile; dover combattere ci ha reso tutti piu uniti e probabilmente meno

superficiali.

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tor vergata - anmil.it · nome di biomeccanica. La biomeccanica ha come oggetto lo studio del movimento del corpo umano; in parti-colar modo studia ed analizza: la distribuzione delle