Topologia

G. RUBIANO

Topologıa general[un primer curso]

G. RUBIANO

G. RUBIANO

Topologıa general[un primer curso]

Gustavo N. Rubiano O.Profesor titular

Universidad Nacional de ColombiaFacultad de Ciencias

Sede Bogota

G. RUBIANO

vi, 284 p. : 3 il. 00ISBN 978-958-719-442-5

1. Topologıa generalGustavo N. Rubiano O.

Topologıa general, 3a. edicionUniversidad Nacional de Colombia, Sede BogotaFacultad de Ciencias, 2010

Mathematics Subject Classification 2000: 00–00.

c© Edicion en castellano: Gustavo Nevardo Rubiano OrtegonUniversidad Nacional de Colombia.

Diagramacion y diseno interior en LATEX: Gustavo Rubiano

Tercera edicion, 2010

Impresion:Editorial UNBogota, D. C.Colombia

G. RUBIANO

Contenido

Prologo vi

0 Preliminares en conjuntos 1

0.1 Operaciones entre conjuntos . . . . . . . . . . . . . . . . . 1

0.2 Relaciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

0.2.1 Funciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

0.2.2 Relacion de equivalencia . . . . . . . . . . . . . . . 5

0.2.3 Relacion de orden . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

0.3 Cardinalidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

1 Conjuntos con topologıa 9

1.1 Los reales —una inspiracion— . . . . . . . . . . . . . . . . 9

1.2 Abiertos basicos (generacion de topologıas) . . . . . . . . . 16

1.3 Vecindades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24

1.4 Nuevos ejemplos: subespacios de un espacio . . . . . . . . . 29

2 Espacios metricos 35

2.1 Metrica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35

2.2 Espacios unitarios o euclidianos . . . . . . . . . . . . . . . . 43

2.2.1 Caracterizacion de los espacios euclidianos . . . . . . 48

2.3 Topologıa para una metrica . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52

2.3.1 Metricas equivalentes . . . . . . . . . . . . . . . . . 55

v

G. RUBIANO

vi CONTENIDO

3 Bases y numerabilidad 63

3.1 2-contable . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63

3.2 1-contable . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65

4 Funciones —comunicaciones entre espacios— 70

4.1 Funciones continuas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70

4.2 La categorıa Top . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76

4.3 Propiedades heredables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78

5 Filtros, convergencia y continuidad 80

5.1 Filtros . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80

5.1.1 Base de filtro . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81

5.2 Ultrafiltros . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83

5.3 Sucesiones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86

6 Homeomorfismos –o geometrıa del caucho– 94

6.1 Homeomorfismos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94

6.2 Invariantes topologicos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102

7 Espacios de identificacion –cociente– 107

7.1 Topologıa cociente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107

7.1.1 Descomposicion canonica por una funcion . . . . . . 110

8 La topologıa producto 117

8.1 Definicion sintetica de producto entre conjuntos . . . . . . . 117

8.2 La topologıa producto –caso finito– . . . . . . . . . . . . . 118

8.3 La topologıa producto —caso infinito— . . . . . . . . . . . 120

8.4 Propiedades productivas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123

8.5 La topologıa producto —en los metricos— . . . . . . . . . . 128

8.6 Continuidad para el producto . . . . . . . . . . . . . . . . . 131

G. RUBIANO

CONTENIDO vii

8.7 Topologıas al inicio y al final . . . . . . . . . . . . . . . . . 133

8.7.1 La topologıa inicial . . . . . . . . . . . . . . . . . . 133

8.7.2 La topologıa final . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 135

9 Posicion de un punto respecto a un conjunto 138

9.1 Conjuntos cerrados y adherencia . . . . . . . . . . . . . . . 138

9.1.1 Operadores de clausura . . . . . . . . . . . . . . . . 143

9.1.2 La adherencia es productiva . . . . . . . . . . . . . . 145

9.2 Puntos de acumulacion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 147

9.2.1 Puntos aislados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 149

9.3 Interior – exterior – frontera . . . . . . . . . . . . . . . . . . 151

9.4 Subconjuntos densos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 155

10 Compacidad 162

10.1 Espacios compactos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 163

10.2 Dos caracterizaciones de la compacidad . . . . . . . . . . . 169

10.2.1 Compacidad vıa cerrados . . . . . . . . . . . . . . . 169

10.2.2 Compacidad vıa filtros . . . . . . . . . . . . . . . . 171

10.2.3 Compacidad vıa ultrafiltros . . . . . . . . . . . . . . 172

10.3 Producto de dos compactos . . . . . . . . . . . . . . . . . . 173

10.4 Teorema de Tychonoff . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 178

10.5 Compacidad y sucesiones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 180

10.6 Compacidad para metricos . . . . . . . . . . . . . . . . . . 187

10.7 Ordinales como ejemplo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 191

10.8 Compacidad local . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 195

10.8.1 Compactacion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 198

11 Espacios metricos y sucesiones —completez— 202

11.1 Sucesiones de Cauchy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 202

G. RUBIANO

viii CONTENIDO

11.1.1 Filtros de Cauchy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 204

11.2 Espacios de Baire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 207

11.3 Completez de un espacio metrico . . . . . . . . . . . . . . . 210

11.4 Espacios de funciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 212

12 Los axiomas de separacion 215

12.1 T0, T1 y T2 o de Hausdorff . . . . . . . . . . . . . . . . . 215

12.2 Regulares, T3, Tychonoff . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 220

12.2.1 Inmersion en cubos . . . . . . . . . . . . . . . . . . 224

12.3 Normales, T4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 226

12.4 Lema de Urysohn o existencia de funciones . . . . . . . . . . 231

12.5 Tietze o extension de funciones . . . . . . . . . . . . . . . . 236

13 Conexidad 242

13.1 La conexidad como invariante topologico . . . . . . . . . . . 242

13.2 Subespacios conexos maximales . . . . . . . . . . . . . . . . 249

13.3 El conjunto C de Cantor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 251

13.4 Conexidad local . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 256

13.5 Conexidad por caminos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 259

Bibliografıa 267

G. RUBIANO

Prologo

El tema central de esta tercera edicion es presentar un texto que sirvacomo guıa para un primer curso formal en topologıa general o de conjuntos.Se han hecho cambios importantes que justifican que se trate de una nuevaedicion y no de una simple reimpresion de la anterior.

La mayorıa de las herramientas y conceptos utilizados en el estudiode la topologıa se agrupan en dos categorıas: invariantes topologicos yconstrucciones de nuevos espacios a partir de los ya conocidos.

En la parte de invariantes, el enfasis en los espacios 1-contable o espa-cios que satisfacen el primer axioma de enumerabilidad, como espacios paralos cuales las sucesiones son suficientes para describir la topologıa, justificala introduccion del concepto de filtro como una adecuada nocion de con-vergencia, que resulte conveniente para describir la topologıa en espaciosmas generales; de paso, este concepto nos proporciona una manera comodapara llegar al teorema de Tychonoff, imprescindible en cualquier curso notrivial, teorema que corresponde a la parte de construcciones.

Nuevos capıtulos, secciones, demostraciones, graficos y referencias histo-ricas han sido introducidos a fin de motivar al lector y presentar de maneraactiva una de las areas mas prolıficas de la matematica y la ciencia.

Como en casi todo libro de texto, poco o nada es original por parte delautor, excepto posiblemente la manera de manejar la influencia de variosclasicos sobre el tema o la introduccion de algunos ejemplos nuevos.

Agradezco a la Facultad de Ciencias de la Universidad Nacional de Co-lombia, Sede Bogota, el darme ese tiempo extra que siempre necesitamoslos docentes para plasmar de forma escrita la experiencia diaria.

Gustavo N. Rubiano [email protected]

ix

G. RUBIANO

G. RUBIANO

0 Preliminares en conjuntos

En este capıtulo presentamos de manera sucinta los conceptos de lateorıa de conjuntos que el lector debe tener presente para la lectura de estetexto, con la finalidad de establecer un lenguaje comun entre el autor y ellector respecto a la notacion.

0.1 Operaciones entre conjuntos

Algunas veces es conveniente adjudicar un nombre o ındice a cada elementode una coleccion A de conjuntos.

Un conjunto J y una correspondencia f : J → A definida por j 7→ Aj–para cada j ∈ J , el conjunto f(j) ∈ A es notado como f(j) = Aj– queasigna a cada j ∈ J un conjunto Aj constituye por definicion una familiaA indizada por J y brevemente la notamos

A = Aj : j ∈ J.Siempre olvidamos como se definio f y lo unico que registramos es que lafamilia quedo efectivamente indizada como A = Ajj∈J . Definimos lossiguientes conjuntos:

1. Union de una familia de conjuntos,⋃A =

⋃j∈J

Aj = x | x ∈ Aj , algun j ∈ J.

2. Interseccion de una familia de conjuntos,⋂A =

⋂j∈J

Aj = x | x ∈ Aj , para cada j ∈ J.

1

G. RUBIANO


3. Producto de una familia de conjuntos,∏j∈J

Aj = f : J −→⋃j∈J

Aj | f(j) ∈ Aj.

4. Suma de una familia de conjuntos. Tambien se acostumbra notarcomo

∐j∈J Aj y llamarse entonces el coproducto de la familia,∑

j∈JAj = (a, j) | a ∈ Aj , j ∈ J.

Si A = Aj | j ∈ J es tal que cada Aj ⊆ X, decimos entonces que A esuna familia de subconjuntos de X.

Si J = ∅ —el conjunto vacıo— entonces,

1.⋃j∈J Aj = ∅.

2.⋂j∈J Aj = X.

Decimos que la familia A = Aj | j ∈ J es una particion de X si paratodo i, j ∈ J se tiene que

1. Aj 6= ∅.

2. i 6= j implica Ai ∩Aj = ∅.

3.⋃j∈J Aj = X.

La condicion 3 dice que A es un cubrimiento de X.

Dadas las familias A = Aj | j ∈ J, B = Bi | i ∈ I en X se tienenlas siguientes igualdades —Ac, X\A o A denotan el complemento de Aen X—:

1. (⋃j∈J Aj)

c =⋂j∈J A

cj .

2. (⋂j∈J Aj)

c =⋃j∈J A

cj .

3. (⋃j∈J Aj)

⋂(⋃i∈I Bi) =

⋃i∈I(

⋃j∈J(Aj

⋂Bi)).

G. RUBIANO

0.2 Relaciones 3

4. (⋂j∈J Aj)

⋃(⋂i∈I Bi) =

⋂j∈J(

⋂i∈I(Aj

⋃Bi)).

El axioma de eleccion1 dice que∏j∈J Aj 6= ∅ si y solo si Aj 6= ∅ para

cada j ∈ J 6= ∅.5.∏j∈J Aj ⊆

∏j∈J Bj si y solo si Aj ⊆ Bj para cada j ∈ J.

6.∏j∈J Aj

⋂ ∏j∈J Bj =

∏j∈J(Aj

⋂Bj).

7.∏j∈J Aj

⋃ ∏j∈J Bj ⊆

∏j∈J(Aj

⋃Bj).

8. (⋃i∈I Ai)× (

⋃j∈J Bj) =

⋃(i,j)∈I×J(Ai ×Bj).

0.2 Relaciones

Una relacion R de un conjunto X en un conjunto Y es un subconjunto deX ×Y . Si (x, y) ∈ R entonces notamos xRy, o R(x) = y. El dominio deR se define como

dom(R) = x : (x, y) ∈ R para algun y ∈ Y .

La relacion inversa de R se define como

R−1 = (b, a) : (a, b) ∈ R.

Dadas dos relaciones R ⊆ X × Y , S ⊆ Y × Z definimos la composicionS R ⊆ X × Z como

S R = (x, z) : para algun y ∈ Y, xRy y ySz.

En el caso que X = Y decimos que R es una relacion en X.

0.2.1 Funciones

Una relacion f ⊆ X × Y se llama una funcion si

1. dom(f) = X,

1 Introducido en la primera decada del siglo XX por Ernst F. F. Zermelo (1871-1953),transformo la teorıa de conjuntos de Cantor y Dedekind.

G. RUBIANO


2. xfy y xfz implica y = z —para cada x la imagen es unica—.

En este caso es usual notar la funcion f como f : X −→ Y . Definimos laimagen de A ⊆ X por f como el conjunto

f(A) = y ∈ Y : y = f(x) para algun x ∈ A.

La imagen inversa de B ⊆ Y por f es el conjunto

f−1(B) = x ∈ X : f(x) ∈ B.

Sean Ai | i ∈ I, Bj | j ∈ J familias de conjuntos en X y Y respectiva-mente. Es un ejercicio verificar las siguientes propiedades:

1. f(⋂i∈I Ai) ⊆

⋂i∈I f(Ai).

2. f(⋃i∈I Ai) =

⋃i∈I f(Ai).

3. f−1(⋂j∈J Bj) =

⋂j∈J f

−1(Bj).

4. f−1(⋃j∈J Bj) =

⋃j∈J f

−1(Bj).

5. f−1(Bcj ) = (f−1(Bj))c.

6. f(f−1(Bi)) ⊆ Bi.7. Ai ⊆ f−1(f(Ai)).

Notese que el comportamiento de f−1 —la imagen inversa por f— esimpecable.

Una funcion f : X −→ Y se dice sobre o sobreyectiva si f(X) = Y ;f se dice uno a uno o inyectiva si x 6= y implica f(x) 6= f(y).

Dada f : X −→ Y y cualesquiera A,B ⊆ X, C ⊆ Y tenemos que:

1. f es inyectiva si y solo si f(A ∩B) = f(A) ∩ f(B).

2. f es sobre si y solo si f−1(C) 6= ∅ para todo C 6= ∅.3. Si f es inyectiva y sobre —biyeccion— entonces f−1 es una biyeccion

de Y en X.

4. Si f es biyeccion entonces f(Ac) = f(A)c.

G. RUBIANO

0.2 Relaciones 5

5. f es sobre si y solo si f(f−1(C)) = C.

6. f es inyectiva si y solo si f−1(f(A)) = A.

7. f es biyeccion si y solo si para cada y ∈ Y , f−1(y) es un conjuntounitario de X. Caso para el cual f−1 : Y −→ X es una funcion biendefinida.

La siguiente afirmacion utiliza el concepto de composicion de relaciones.Sean f : X −→ Y , g : Y −→ X dos funciones tales que g f = idX dondeidX : X −→ X es la funcion identidad, entonces g es sobre y f es uno auno.

Si H es una familia indizada de funciones

H = hi : Xi −→ Yii∈I

definimos la funcion producto h =∏i∈I hi :

∏Xi∈I −→

∏Yi∈I como

h((xi)i) := (h(xi))i.

0.2.2 Relacion de equivalencia

Decimos que una relacion R en X es:

1. Reflexiva: (x, x) ∈ R para todo x ∈ X —esto es equivalente a decirque ∆(X) ⊆ R, donde ∆(X) es la relacion identica o diagonal deX—.

2. Simetrica: (x, y) ∈ R implica (y, x) ∈ R. —R−1 = R—.

3. Antisimetrica: (x, y), (y, x) ∈ R implica x = y —R−1 ∩ R ⊆∆(X)—.

4. Transitiva: (x, y), (y, z) ∈ R implica (x, z) ∈ R —R R ⊆ R—.

R es de equivalencia si es reflexiva, simetrica y transitiva. Cada relacion deequivalencia determina una particion X/R = [x] : x ∈ X de X formadapor las clases de equivalencia [x] = y : xRy; de manera natural existeuna funcion sobreyectiva

q : X −→ X/R.

G. RUBIANO


Toda funcion f : X −→ Y define una relacion ∼ de equivalencia en X sidefinimos x ∼ y si y solo si f(x) = f(y). En este caso notamos la relacion(y la particion) como Rf con Rf = f−1(t) : t ∈ f(X).

El siguiente diagrama es conmutativo, don-de Rf se encarga de igualar los puntos quetienen una misma imagen, con lo cual hfdefinida como hf ([x]) := f(x) esta bien de-finida, es un monomorfismo y por su codo-minio es un epimorfismo, i. e., tenemos unisomorfismo con inversa h−1

f (y) = f−1(y).

X Y

X/Rf f [X]

-f

?

q

-hf

-≈

6

i

El diagrama se conoce como teorema de la factorizacion de funcionesentre conjuntos o teorema del cociente para conjuntos.

0.2.3 Relacion de orden

R ⊆ X × X es una relacion de orden si es reflexiva, antisimetrica ytransitiva. Es comun en este caso notar a R como ≤ (o `) de suerte que(x, y) ∈ R se nota x ≤ y (x ` y, o x < y si x 6= y) y decimos —lease—que x es menor o igual a y (o x menor que y). El par (X,≤) se llama unconjunto ordenado.

Un elemento b ∈ X es una cota superior (inferior) para A ⊆ X sia ≤ b (b ≤ a) para todo a ∈ A —b debe ser mayor (menor) o igual quecada elemento de A—.

Con A↑—lease el superior de A— denotamos el conjunto de las cotassuperiores de A, y con A↓ el conjunto de las cotas inferiores. Si A = a,A↑es notado como ↑ a, o [a,→).

Si existe un elemento s ∈ A tal que a ≤ s (s ≤ a) para cada a ∈ Adecimos que s es el maximo (mınimo) de A. Notese que s ∈ A es elmınimo de A si A ⊆↑ s.

Un elemento m ∈ X es maximal para X si m ≤ x implica m = x—cada vez que m este relacionado, m debe ser entonces mayor o igual,esto es, m no es superado por ningun elemento en X.

El elemento mınimo de A↑(si existe) es el supremo de A denotado por∨A o supA (no tiene por que ser un elemento de A). De manera dual se

define el ınfimo de A, denotado∧A o inf A. En el caso en que A = x, y,

G. RUBIANO

0.3 Cardinalidad 7

simplemente notamos

x ∨ y := sup x, y y x ∧ y := infx, y.

Si para todo par de elementos x, y existen x∨y y x∧y, se dice que (X,≤)es un retıculo. (X,≤) es un retıculo completo (o reticulado completo)si para todo subconjunto S de X existen

∨S = supS y

∧S = inf S. Si

se quiere resaltar el papel de X se escribe∨X S y

∧X S, respectivamente.

Notese que en un retıculo completo (X,≤) se tiene

inf ∅ = supX = maximo de X = >,sup ∅ = inf X = mınimo de X = ⊥.

Un subconjunto P de X es totalmente ordenado o es una cadena sipara cada par de elementos a, b ∈ P se tiene que a ≤ b o b ≤ a; u ∈ X esuna cota superior para P si x ≤ u para todo x ∈ P .

Un resultado fundamental —y equivalente al axioma de eleccion— co-nocido como el Lema de Zorn2, nos asegura la existencia de elementos(exactamente de elementos maximales):

Si en un conjunto X ordenado —parcial o total— todo subconjunto P total-mente ordenado posee una cota superior en X, entonces X tiene al menosun elemento maximal.

0.3 Cardinalidad

Dos conjuntos X,Y son equivalentes si existe una biyeccionf : X −→ Y . Esta es una relacion de equivalencia en la coleccion delos conjuntos, y a cada clase de equivalencia la llamamos un numero car-dinal y la notamos #(X). El cardinal de N lo notamos de manera especialcomo ω o ℵ0. El cardinal de R como c.

X es finito si es equivalente al conjunto 1, 2, 3, 4, . . . , n para algunn ∈ N. En caso contrario decimos que X es infinito. Si X es finito oequivalente a N, decimos que X es enumerable o contable.

2 Este es el nombre dado por J. Tukey a un principio maximal introducido en 1935 porM. Zorn (1906-1993), aunque principios similares ya habıan sido introducidos por otrosmatematicos como Hausdorff, Kuratowski y Brouwer.

G. RUBIANO


Sin duda alguna el problema irresoluble mas famoso —desde los axiomasusuales de la teorıa de conjuntos— es el primer problema de Hilbert:

Hipotesis del continuo —Cantor—: Si X ⊆ R es no contable entoncesexiste una biyeccion f : X −→ R.

Si J es enumerable y cada conjunto Aj es enumerable, entonces tambienlo es

⋃j∈J Aj .

Tenemos una gran diferencia entre uniones enumerables y productos

enumerables. Si J es enumerable infinito y cada Aj es enumerable, entonces∏j∈J Aj es no enumerable.

Teorema de Cantor3. Si ℘(X) —o 2X— denota el conjunto de lossubconjuntos de X 6= ∅, entonces el cardinal de X es menor que el cardinalde ℘(X).

La aritmetica de los numeros cardinales la podemos resumir como:

1. Sean d, e numeros cardinales con d ≤ e, d 6= 0 y e infinito. Entoncesd+ e = e y d · e = e.

2.ab m ℵ0 c

n nm c 2c

ℵ0 ℵ0 c 2c

c c c 2c

3La teorıa de conjuntos nacio en diciembre de 1873 cuando G. Cantor (1845-1918)establecio que la coleccion de los numeros reales es incontable. En 1873 Cantor probo quelos numeros racionales son numerables, es decir, que pueden colocarse en correspondenciauno a uno con los numeros naturales. Tambien mostro que los numeros algebraicos, esdecir, los numeros que son raıces de ecuaciones polinomiales con coeficientes enteros, sonnumerables. Sin embargo, sus intentos por decidir si los numeros reales eran numerables,le hacıan ver que se trataba de un problema mas difıcil. Cantor pudo probar que losnumeros reales no son numerables hasta diciembre de 1873. En las decadas siguientes lateorıa florecio con sus trabajos sobre los numeros ordinales y cardinales.

G. RUBIANO

1 Conjuntos con topologıa

1.1 Los reales —una inspiracion—

No hay nada mas familiar a un estudiante de matematicas que el conjuntoR de los numeros reales y las funciones f : R −→ R. Si unicamentetuvieramos en cuenta la definicion usual de funcion de R en R, es decir,una coleccion de pares ordenados (x, y) ∈ R×R donde cada elemento de Res la primera componente de una y de solo una pareja ordenada, estarıamosdesperdiciando el concepto de intervalo que conocemos para los numerosreales y, aun mas, el hecho de que en R podemos decir quienes son losvecinos de un punto x ∈ R.

En efecto, los vecinos al punto x en una distancia menor que un ε > 0son todos los y ∈ R tales que |x−y| < ε; es decir, el intervalo (x−ε, x+ε)es la vecindad basica de x con radio ε. Cuando a una funcion de R en Rla obligamos a tener en cuenta el concepto anterior de vecindad basica, loque estamos exigiendo es que se satisfaga la definicion ε, δ de continuidadempleada en el calculo.

Revisemos esta definicion de continuidad. La funcion f : R −→ R sedice continua en el punto c ∈ R si:

“Para cada numero positivo ε, existe un numero positivo δ tal que|f(x)− f(c)| < ε siempre que |x− c| < δ”.

Pero |f(x)− f(c)| < ε significa f(x) ∈ (f(c)− ε, f(c) + ε); ası mismo,|x− c| < δ significa x ∈ (c− δ, c+ δ); luego la definicion entre comillas lapodemos reescribir como

“Dado ε > 0 (ver fig. 1.1) se puede encontrar δ > 0 tal quesi x ∈ (c− δ, c+ δ) entonces f(x) ∈ (f(c)− ε, f(c) + ε)”.

Hablando en terminos de los intervalos abiertos como las vecindades

9

G. RUBIANO


f(c)

c2!

2" g(c)

c

Figura 1.1: La continuidad en R.

basicas, esta definicion es:

“Dada una vecindad basica de radio ε alrededor de f(c), podemos en-contrar una vecindad basica de c y con radio δ tal que

si x ∈ (c− δ, c+ δ) entonces f(x) ∈ (f(c)− ε, f(c) + ε)”.

Lo que de nuevo reescribimos como: “Dada una vecindad de f(c) po-demos encontrar una vecindad de c con la propiedad que, la imagen por fde esta ultima se encuentra dentro de la vecindad de f(c)”.

Informalmente decimos que:

Un cambio ‘pequeno’ en c produce un cambio ‘pequeno’ en f(c).K

Hemos visto entonces que el concepto de continuidad en R esta liga-do esencialmente a la definicion que podamos hacer de ‘vecindad’ paraun punto y la relacion entre las imagenes de las vecindades. Luego, siquisieramos abstraer el concepto de continuidad para otros conjuntos queno sean nuestros numeros reales usuales, debemos remitirnos a obtener dealguna manera —pero con sentido— el concepto de ‘vecindad’ para estosconjuntos.

Al definir un conjunto abierto en R como un conjunto que es union deintervalos abiertos —nuestras vecindades basicas— es facil verificar que:

1. ∅ es abierto —la union de una familia vacıa—.

2. R es abierto.

3. La union de una coleccion de abiertos es un abierto.

4. La interseccion de un numero finito de abiertos es un abierto.

Motivados por las anteriores propiedades damos la siguiente definicion.

G. RUBIANO

1.1 Los reales —una inspiracion— 11

Definicion 1.1. Una topologıa1 para un conjunto X es una familia

T = Ui : i ∈ I, Ui ⊆ X

tal que:

1. ∅ ∈ T, X ∈ T.

2.⋂i∈F Ui ∈ T para cada F subconjunto finito de I —F b I—.

3.⋃i∈J Ui ∈ T para cada J ⊆ I.

Esto es, T es una familia de subconjuntos de X cerrada tanto para la unionarbitraria como para la interseccion finita. La condicion 1 es consecuenciade 2 y 3 cuando tomamos como conjunto de ındices I = ∅.

Los elementos de T se llaman abiertos y el par (X,T) es por definicionun espacio topologico. Brevemente lo notamos X cuando no es necesariodecir quien es T. Los elementos de X son los puntos del espacio. Lascondiciones en la definicion anterior se llaman los axiomas de una estructuratopologica.

A menos que se especifique lo contrario, en este texto la palabra espacio

significara espacio topologico. Los complementos de los conjuntos abiertosse llaman conjuntos cerrados.

EJEMPLO 1.1

Ru. En R definimos una topologıa T conocida como la usual (el espacio esnotado Ru) definiendo U ∈ T si U es union de intervalos abiertos. O demanera equivalente, U ⊆ R es abierto si para cada punto x ∈ U existe unintervalo (a, b) que contiene a x y esta contenido en U .

1Se le acuna la invencion de la palabra topologıa al matematico aleman de ascendenciacheca Johann B. Listing (1808-1882) en una carta dirigida a su viejo maestro de escuelaMuller.

G. RUBIANO


EJEMPLO 1.2

Orden. El ejemplo 1.1 lo podemos generalizar a todo conjunto X que sealinealmente —totalmente— ordenado por una relacion ≤. Definimos T≤ latopologıa del orden o la topologıa intervalo sobre (X,≤) tomando comoabiertos todos los U ⊆ X que se pueden expresar como union de intervalosde la forma

1. (x, y) := t : x < t < y —intervalos abiertos acotados—.

2. (x,→) := t : x < t —colas a derecha abiertas—.

3. (←, y) := t : t < y —colas a izquierda abiertas—.

En el caso en que X no posea elementos maximo y mınimo, basta considerar

tan solo los intervalos acotados (x, y) —¿por que?—.

EJEMPLO 1.3

Discreta: Dado un conjunto X definimos T = 2X —partes de X o℘(X)—. Esta es la topologıa discreta de X —permite que todo seaabierto—. Es la topologıa sobre X con la mayor cantidad posible deabiertos.

Grosera: Contrario a lo anterior, dado un conjunto X definimos T = ∅, X,conocida como la topologıa grosera de X —practicamente no permite lapresencia de abiertos—. Es la topologıa con la menor cantidad posible deabiertos.

Notese que toda topologıa T para X se encuentra entre la topologıa groseray la topologıa discreta, i. e., ∅, X ⊆ T ⊆ 2X .

EJEMPLO 1.4

Punto incluido. Sea X un conjunto y p un punto elegido en X. Definimosla topologıa punto incluido Ip como U ∈ Ip si p ∈ U , o, U = ∅.

La definicion de esta topologıa se puede extender a cualquier A ⊆ X y lanotamos como IA.

G. RUBIANO


EJEMPLO 1.5

Extension cerrada de (X,T). La anterior topologıa permite la siguientegeneralizacion. Dado un espacio (X,T) y p /∈ X, definimos la extensionX∗ = X ∪ p y T∗ = V ∪ p : V ∈ T ∪ ∅. (X∗,T∗) es un espacio ylos cerrados de X∗ coinciden con los de X.

El ejemplo 1.4 es la extension Y ∗ para el caso (Y = X − p, 2Y ).

EJEMPLO 1.6

Punto excluido. Sea X un conjunto y p un punto elegido en X. Definimosla topologıa punto excluido Ep como U ∈ Ep si U = X, o, p /∈ U .

EJEMPLO 1.7

Sierpinski. En X = 0, 1 construimos todas las posibles topologıas:

1. J1 = ∅, X,2. J2 = ∅, X, 0,3. J3 = ∅, X, 1,4. J4 = ∅, X, 0, 1, 0, 1.

•

•

•

•

J2

J1

J3

J4

El diagrama muestra como es la contenencia entre estas cuatro topologıas,ası que J2 y J3 no son comparables. J2 = ∅, X, 0 se conoce como latopologıa de Sierpinski2. Es el espacio mas pequeno que no es trivial nidiscreto.

2En honor al matematico polaco Waclaw Sierpinski (Varsovia,1882-1969). En 1920,Sierpinski, junto con Zygmunt Janiszewski y su ex alumno Stefan Mazurkiewicz, fundaronuna influyente revista matematica, Fundamenta Mathematica, especializada en trabajossobre teorıa de conjuntos. Durante este periodo, Sierpinski trabajo sobre todo en teorıade conjuntos, pero tambien en topologıa de conjuntos y funciones de una variable real.Tambien trabajo en lo que se conoce actualmente como la curva de Sierpinski.

G. RUBIANO


EJEMPLO 1.8

Complementos finitosa. Dado un conjunto X, definimos la topologıa(T, cofinitos) como U ⊆ X es abierto si su complemento U c es finito,o U = ∅. En este ejemplo —como en cada ejemplo donde los abiertos sedefinan en terminos de cardinalidad— es interesante tener en cuenta lostres casos, dependientes de que X sea finito, infinito contable, o infinito nocontable.

aTambien conocida como la topologıa de Zariski en honor al matematico bielorrusoOscar Zariski (1899-1986).

EJEMPLO 1.9

Complementos enumerables. Dado un conjunto X, definimos la topologıa(T, coenumerables) como U ⊆ X es abierto si su complemento U c esenumerable o contable —finito o infinito—, ademas del ∅, por supuesto.

EJEMPLO 1.10

Espacio de Fort. Sea X un conjunto y p un punto en X. Definimos U ∈ Eωpsi U c es finito, o p /∈ U .

La coleccion Top(X) de todas las topologıas sobre un conjunto X es unconjunto parcialmente ordenado por la relacion de inclusion: T1 ≤ T2 siT1 ⊆ T2, caso en el cual decimos que T2 es mas fina que T1. Por tanto,sobre Top(X) tiene sentido hacer referencia a todos los conceptos relativosa conjuntos ordenados.

Dado un conjunto finito X con n elementos, notemos por T(n) el con-junto de topologıas definibles sobre X. Una pregunta natural y formuladadesde el inicio de la topologıa es: ¿cuantas topologıas existen sobre X? o¿quien es el cardinal |T(n)|? La pregunta es difıcil de contestar y por ellose trata de un problema abierto; mas aun, para este problema de conteo noexiste —a la fecha— ninguna formula cerrada ni recursiva que de una so-lucion. Tampoco existe un algoritmo eficiente de computacion que calculeel total de T(n) para cada n ∈ N.

Para valores pequenos de n el calculo de |T(n)| puede hacerse a mano;por ejemplo, |T(1)| = 1, |T(2)| = 4, |T(3)| = 29. Pero el crecimientode T(n) es exponencial, como lo muestra la tabla 1.1. De hecho, exis-ten 261492535743634374805066126901117203 posibles topologıas para un

G. RUBIANO


n Numero de topologıas en T(n)1 12 43 294 3555 6.9426 209.5277 9.535.2418 642.779.3549 63.260.289.423

10 8.977.053.873.04311 181684603873619212 51935557106577402113 20788139365666895304114 11561705197705426780746015 8873626911858624449248512116 9341111341171003956521049409517 13413795009333788067232186872584618 261492535743634374805066126901117203

Tabla 1.1: Numero de topologıas para un conjunto de n elementos.

conjunto con n = 18 elementos, y a la fecha este valor de n es el mayorpara el cual el numero de topologıas es conocido.

Ejercicios 1.1

1. ¿Como son los cerrados para los espacios de los ejemplos anteriores?

2. Construya todas las topologıas para X = a, b, c.3. Muestre que, para un conjunto X, la interseccion de topologıas sobreX es de nuevo una topologıa.

4. Muestre que la union de dos topologıas sobre un conjunto X nonecesariamente es una topologıa.

5. En cada uno de los ejemplos dados en esta seccion, revise la perti-nencia de la cardinalidad del conjunto X.

G. RUBIANO


•• • •• • •• •

•• • •• • •• •

•• •

6. Muestre que (Top(X),⊆) es un retıculo completo. En particular,para el caso de dos topologıas T, I el sup ∨T, I esta formado portodas las posibles uniones de conjuntos de la forma

U ∩ V : U ∈ T, V ∈ I.

7. Revise el ejemplo 1.10 en terminos del ejercicio anterior.

1.2 Abiertos basicos (generacion de topologıas)

Entre los abiertos de un espacio, algunas veces —casi siempre— es impor-tante resaltar algunos de ellos que en cierta manera generan o describen alos demas, i. e., toda la estructura topologica puede ser recuperada a partirde una parte de ella.

Definicion 1.2. Si (X,T) es un espacio, una base para T es una subfamiliaB ⊆ T con la propiedad que: dados un abierto U y un punto x ∈ U , existeun B ∈ B tal que x ∈ B ⊆ U .

Cada abierto en T es union de elementos en B.

EJEMPLO 1.11

Los intervalos abiertos de R constituyen una base para la topologıa en Ru.Revise la definicion de la topologıa del orden.

Por supuesto, para un espacio (X,T), T en sı misma es una base de ma-nera trivial; la palabra trivial se justifica porque una de las cualidades mas

G. RUBIANO

1.2 Abiertos basicos (generacion de topologıas) 17

importantes para una base es exigir que su cardinalidad no sea muy grande—espacio 2–contable—.

¿Como reconocer que una coleccion B de subconjuntos de X pueda serbase para alguna topologıa?

K

Teorema 1.3. Sea X un conjunto. B ⊆ ℘(X) es base de una topologıapara X si y solo si se cumple que

1. X =⋃B : B ∈ B, i. e., B es un cubrimiento de X.

2. Dados cualesquiera U, V ∈ B y x ∈ U ∩ V , existe B en B conx ∈ B ⊆ U ∩ V . Esto es, U ∩ V es union de elementos de B paratodo par U, V de B.

Notese que, en particular, un cubrimiento B ⊆ ℘(X) cerrado para inter-secciones finitas es una base.

Demostracion. ⇒) 1) Supongamos que B es base para una topologıa T deX. Veamos que X =

⋃B : B ∈ B; en efecto, dado x ∈ X existe U ∈ T

tal que x ∈ U , y como B es base, existe B con x ∈ B ⊆ U —la otrainclusion es obvia—. 2) Si U, V ∈ B entonces, dado x ∈ U ∩ V , por ser B

una base, existe B tal que x ∈ B ⊆ U ∩ V —U, V estan en T, y por tantoU ∩ V ∈ T—.

⇐) Construyamos una topologıa T para la cual B es una base. De-finimos U ∈ T si U es union de elementos de B. Por supuesto tanto Xcomo ∅ estan en T —∅ por ser la union de la familia vacıa—. Si toma-mos la union de una familia en T, ella finalmente es union de elementosde B. Ahora veamos que B es base de T. Si U, V ∈ T y x ∈ U ∩ V ,por la definicion de T, existen BU , BV en B conteniendo a x y contenidosen U y V respectivamente; por la condicion 2 sobre B, existe B tal quex ∈ B ⊆ (BU ∩BV ) ⊆ U ∩ V .

La topologıa dada por el teorema anterior se conoce como la topologıagenerada por la base B y la notamos T = 〈B〉3.

EJEMPLO 1.12

Si X es un conjunto y p ∈ X, una base de la topologıa Ip del punto incluidoes B = x, p : x ∈ X.

3Una misma topologıa puede ser generada por bases diferentes.

G. RUBIANO


EJEMPLO 1.13

Particion. Dada una particion R sobre un conjunto X —o lo que es igualuna relacion de equivalencia R—, la coleccion R junto con el conjunto ∅ esuna base para una topologıa sobre X. Un subconjunto de X es entoncesabierto si es union de subconjuntos pertenecientes a la particion.

EJEMPLO 1.14

Lınea de Khalinsky. En Z definimos la base

B = 2n− 1, 2n, 2n+ 1 : n ∈ Z⋃2n+ 1 : n ∈ Z.

En la topologıa generada, cada entero impar es abierto y cada entero pares cerrado.

EJEMPLO 1.15

Topologıa a derecha. Para un conjunto (X,≤) parcialmente ordenado, elconjunto de las colas a derecha y cerradas

x ↑ := [x,→) := t : x ≤ t,

es una base para una topologıa ya que

[x,→) ∩ [y,→) =⋃z

[z,→) para z ∈ [x,→) ∩ [y,→).

La topologıa generada se nota Td y se conoce como la topologıa a derecha—dualmente existe la topologıa a izquierda—.

La anterior topologıa es saturada o de Alexandroff4 en el sentido quela interseccion arbitraria de abiertos es de nuevo un abierto. Notese que lascolas abiertas son tambien abiertos para esta topologıa.

(a,→) =⋃b>a

[b,→).

4En general una topologıa se dice de Alexandroff o A–topologıa si las interseccionesarbitrarias de conjuntos abiertos son de nuevo un abierto. Fueron estudiadas inicialmentepor P. S. Alexandroff en 1937. Notese que toda topologıa finita es de Alexandroff.

G. RUBIANO


EJEMPLO 1.16

Una topologıa puede tener diferentes bases. En R2 definamos dos basesB1,B2 que nos conducen a una misma topologıa: la usual.

B1: U ∈ B1 si U = (x, y) :((x− u)2 + (y − v)2

)1/2< ε para algun

ε > 0 y algun (u, v) en R2. U se acostumbra denotar como Bε((u, v))—U es el interior de un disco en R2 de centro en (u, v) y radio ε—.

B2: V ∈ B2 si V = (x, y) : |x−u|+ |y−v| < ε para algun ε > 0 y algun(u, v) en R2 —V es el interior de un rombo en R2 con centro en (u, v)—.

Es un ejercicio verificar que lo que se puede expresar como union de ele-mentos de B1, lo puedo expresar tambiencomo union de elementos de B2,

con lo cual las dos topologıas generadas coinciden.

EJEMPLO 1.17

De manera mas general, en Rn definimos una base B de la manera siguiente:

B = Bε(x) : ε > 0, x = (x1, . . . , xn) ∈ Rn

donde,

Bε(x) =

(y1, . . . , yn) ∈ Rn

∣∣∣∣(

n∑i=1

(xi − yi)2)1/2

< ε

.

Bε(x) es la bola abierta de centro en x con radio ε. La topologıa generadapor esta base se conoce como topologıa usual de Rn y notamos Rn

u.

No olvide en los dos ejemplos anteriores demostrar que efectivamente estasbases satisfacen la condicion para serlo, y hacer los graficos respectivos paralas bolas abiertas en Ru y R2

u.

Dado un conjunto X es posible obtener una cantidad de subfamilias departes de X, de tal manera que ellas cumplan los requisitos de ser basepara alguna topologıa. Cuando dos bases generen una misma topologıalas vamos a identificar, es decir, establecemos un criterio de ‘igualdad’acomodado por nosotros para nuestros intereses. En otras palabras, defi-nimos una relacion de equivalencia y lo que llamamos equivalente es esa‘igualdad’ acomodada.

G. RUBIANO


Definicion 1.4. Sean X un conjunto y B1, B2 dos bases como en la defi-nicion 1.2. Decimos que B1 ≡ B2 —son dos bases equivalentes— si lastopologıas generadas son iguales, i. e., 〈B1〉 = 〈B2〉.Proposicion 1.5. B1 ≡ B2 si y solo si dados B1 ∈ B1 y x ∈ B1 existeB2 ∈ B2 tal que x ∈ B2 ⊆ B1, con lo cual 〈B1〉 ⊆ 〈B2〉 y viceversa.

Demostracion. Ejercicio.

El lector debe verificar que esta relacion es de equivalencia sobre elconjunto de todas las posibles bases para un conjunto X fijo. Ası que, dadauna topologıa sobre X podemos escoger, de la clase de equivalencia querepresenta esta topologıa, el elemento base que mejor se acomode a nuestrointeres —canonico—.

Dado un cubrimiento D de X, es posible crear la menor topologıa sobreX que tenga entre sus abiertos la coleccion D. Para ello, creamos a partirde esta coleccion una base y luego generamos la topologıa.

K

Teorema 1.6. Dado un cubrimiento D de X, existe una unica topologıa T

para la cual los elementos de D son abiertos y cualquier otra topologıa Hque contenga a D es mas fina que T, esto es, T ⊆ H.

Demostracion. Definimos la coleccion B como el conjunto de todas lasintersecciones finitas de elementos de D, es decir B ∈ B si B =

⋂ni=1Di

para Di ∈ D; B es una base de topologıa y D ⊆ B.

Sea T = 〈B〉. En otras palabras, un elemento U de T es aquel quepodemos expresar como una reunion de intersecciones finitas de elementosde D. Si H es una topologıa para X tal que D ⊆ H , es claro que todoelemento de T tambien es elemento de H por la definicion de topologıa.

En general definimos una subbase de la manera siguiente.

Definicion 1.7. Sea (X,T) un espacio. Una subbase para la topologıa T

es una subcoleccion D ⊆ T con la propiedad que la familia formada por lasintersecciones finitas de elementos de D es una base para T.

EJEMPLO 1.18

Los intervalos de la forma (a,→), (←, b) con a, b ∈ R forman una subbasepara la topologıa usual. Generalice a la topologıa del orden.

G. RUBIANO


EJEMPLO 1.19

Para un conjunto X la coleccion D = X − x : x ∈ X es una subbasepara la topologıa de los cofinitos.

Ejercicios 1.2

1. (R2, verticales). Por cada x ∈ R sea Bx = (x, y) : y ∈ R.Muestre que B = Bx : x ∈ R es base de una topologıa para R2

¿Como son los abiertos?

2. (R2, triangulares). Dados a, b, c ∈ R, con a > 0, definimos la regioncomprendida entre dos rectas

Da,b,c = (x, y) : y ≥ ax+ b y y ≥ −ax+ c ⊆ R2.

Sea D = Da,b,c : a > 0, b, c ∈ R. D es una coleccion de regionestriangulares infinitas. Muestre que D es base para una topologıa.

b •

c •

Figura 1.2: Las regiones del ejercicio 2.

3. Cuando tenemos un conjunto (X,≤) totalmente ordenado y sin ele-mentos maximo ni mınimo, es posible definir otras topologıas diferen-tes de la usual para el orden. Consideremos las siguientes familias desubconjuntos y verifiquemos que efectivamente se trata de bases paranuevas topologıas:

G. RUBIANO


(a) Bd = x ↑= [x,→) : x ∈ X genera la topologıa Td de las colasa derecha y cerradas, o topologıa a derecha (ver ejemplo 1.15).

(b) Bi = x ↓= (←, x] : x ∈ X genera la topologıa Ti de las colasa izquierda y cerradas. Al igual que la anterior, esta topologıaes de Alexandroff. Tambien se dice que la topologıa es generadapor los inferiores x ↓ de cada elemento. En estos dos casos noes necesario que el orden sea total, basta tener una relacion deorden parcial en X.

Bi tambien genera los intervalos de la forma

(←, a) =⋃b<a

(←, b],

con lo cual es inmediato ver que Tai ≤ Ti.

(c) Bad = (x,→) : x ∈ X genera la topologıa Tad de las colasa derecha y abiertas. En este caso es necesaria la no existenciadel mınimo.

(d) Bai = (←, x) : x ∈ X genera la topologıa Tai de las co-las a izquierda y abiertas. Necesitamos de la no existencia demaximos.

(e) B+ = [x, y) : x, y ∈ X genera la topologıa T+ de los interva-los semiabiertos a derecha. En el caso X = R, T+ es llamadatopologıa de Sorgenfrey o del lımite inferior5.

B+ genera: (a, b) =⋃t>a

[t, b),

[a,→) =⋃a<b

[a, b),

(a,→) =⋃a<b

(a, b),

(←, b) =⋃a<b

(a, b).

5Introducida por R. H. Sorgenfrey (1915-1996) en 1947 para los numeros reales, esuna fuente de utiles contraejemplos.

G. RUBIANO


(f) B− = (x, y] : x, y ∈ X genera la topologıa T− de los interva-los semiabiertos a izquierda.

B− genera: (a, b) =⋃x<b

(a, x],

(←, a] =⋃b<a

(b, a],

(a,→) =⋃b<a

(a, b),

(←, b) =⋃a<b

(a, b).

Verifique el diagrama 1.3, el cual muestra la relacion de conte-nencia entre estas topologıas y dice quienes no son comparables.

....................................................................................................

......................

......................

......................

....................................................

........................

........................

....................................................

.................................................................................................................................

.........................................................................................................

.......................

........................

.....................................................

.......................

........................

.....................................................

....................................................................................................

........................

........................

....................................................

....................................................................................................

Ji

J!

2X

J0

Jai Jad

J+

Jd

Figura 1.3: Contenencia entre topologıas.

4. Sea B ⊆ ℘(X) un cubrimiento de X cerrado para las interseccionesfinitas —propiedad de la interseccion finita PIF—. Muestre que B esbase para una topologıa en X.

5. Dado el intervalo unidad I = [0, 1] ⊆ R, consideremos el conjunto

X = Mor(I, I) = f | f : I −→ I.Por cada S ⊆ I, definimos

BS = f ∈ X : f(x) = 0, para cada x ∈ S.La coleccion B = BSS⊆I es base para una topologıa en X.

G. RUBIANO


1.3 Vecindades

En la motivacion de este capıtulo utilizamos el termino ‘vecindad’ en elcontexto de los numeros reales; hagamos la generalizacion a espacios to-pologicos de acuerdo con la siguiente definicion.

Definicion 1.8. Sea (X,T) un espacio. Decimos que V ⊆ X es vecindad6

de x ∈ X —la notamos Vx— si existe U ∈ T tal que x ∈ U ⊆ Vx. Alconjunto de todas las vecindades del punto x lo notamos V(x).

................................

...............................................................................................................................................................................................................................................

.....................................

............................................................................................. ......................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................

...............................................

..................................

......................................................................................................................................................

.......................................................................................................................................................................................................................................................

............................................................................................................................................................

Vx

x•y

U

•

Figura 1.4: Propiedad 4 de la axiomatizacion de vecindad.

Proposicion 1.9. Sean (X, T) un espacio y x ∈ X. El sistema V(x) devecindades de x ∈ X posee las siguientes propiedades:

1. Si V ∈ V(x) entonces x ∈ V .

2. Si V ∈ V(x) y V ⊆W entonces W ∈ V(x).

3. Si V,W ∈ V(x) entonces V ∩W ∈ V(x).

4. Para cada V ∈ V(x) existe U ∈ V(x) con U ⊆ V tal que V ∈ V(y)para todo y ∈ U .

Demostracion. La demostracion se deja como ejercicio.

6Fue el matematico aleman Felix Hausdorff quien en 1.914 introdujo la nocion deespacio topologico en Grunzuge der Mengenlehre, Leipzig, Veit and Co., 1914, partiendode una axiomatizacion del concepto de vecindad. Tambien trabajo en teorıa de conjuntose introdujo el concepto de conjunto parcialmente ordenado.

G. RUBIANO

1.3 Vecindades 25

En particular de 1, 2 y 3 podemos deducir que el sistema V(x) es unfiltro para cada x ∈ X —el concepto de filtro se define en el capıtulo 5,pag. 81—. Una manera informal de describir la propiedad 4 es decir que

Una vecindad de un punto x es tambien vecindad de los puntos suficien-temente cercanos a x.

El siguiente teorema es interesante porque compara la axiomatizacionde Hausdorff con la dada por N. Bourbaki7 un cuarto de siglo mas tarde, lacual es nuestra definicion inicial de topologıa.

Felix Hausdorff

Teorema 1.10. Sea X un conjunto. Supongamos que a cada x ∈ X se leasigna un conjunto V(x) no vacıo de subconjuntos de X que cumple 1, 2,3 y 4 de la proposicion 1.9; entonces existe una unica topologıa T para Xtal que para cada x ∈ X la coleccion V(x) es precisamente el sistema devecindades de x en el espacio (X,T).

Demostracion. Definimos U ∈ T si para cada x ∈ U se tiene que U ∈ V(x)—U es vecindad de cada uno de sus puntos—. Veamos que en efecto T

es una topologıa. Por vacuidad, vacıo esta en T. Por hipotesis, V(x) es

7Un grupo de matematicos, en su mayorıa franceses, quienes bajo este seudonimocomenzaron a reunirse en 1930 con la intencion de escribir de una manera unificada lamatematica existente.

G. RUBIANO


diferente de vacıo para x ∈ X, y por tanto X ∈ V(x). Dado x ∈ U ∩ Vdonde U, V ∈ T, tenemos U ∩ V ∈ V(x) ya que U, V ∈ V(x). Dada Ui,(i ∈ I) una familia en T y x ∈ U =

⋃Ui : i ∈ I, existe i ∈ I tal quex ∈ Ui, y como Ui ∈ V(x), por la propiedad 2 tenemos U ∈ V(x).

Veamos ahora que V(x) = W(x) donde W(x) es el sistema de vecin-dades de x en (X,T). Si Vx es una vecindad de x, existe U ∈ T tal quex ∈ U ⊆ Vx. Como U ∈ T, significa que U ∈ V(x) y ası Vx ∈ V(x).

Mostremos finalmente que V(x) ⊆ W(x). Dada V ∈ V(x), definimosU = y ∈ V : V ∈ V(y); claramente x ∈ U ⊆ V , ası que solo resta mirarque U ∈ T. Por definicion, si y ∈ U entonces V ∈ V(y) y por 4 existe Wen V(y) tal que V ∈ V(z) para cada z ∈ W , con lo cual W ⊆ U , y por 2,U esta en V(y), pero como esto se tiene para cada y ∈ U , entonces U ∈ T

por la definicion de T.

Es un ejercicio verificar que la topologıa T es unica.

Definicion 1.11. En un espacio (X,T) un SFV sistema fundamental devecindades para un punto x ∈ X, es una familiaW = Wii de vecindadesde x, tal que para cada vecindad Vx existe una Wi con Wi ⊆ Vx.

Los elementos de un SFV son suficientemente finos para estar dentro decada vecindad.

Definicion 1.12. Un espacio (X,T) se dice T1 si dado cualquier par depuntos x, y ∈ X existen Vx, Vy tales que y /∈ Vx y x /∈ Vy.

Definicion 1.13. Un espacio (X,T) se llama espacio de Hausdorff, T2,o separado, si dado cualquier par de puntos x, y ∈ X existen vecindadesVx, Vy con Vx ∩ Vy = ∅. Es decir, podemos separar los puntos por mediode vecindades disyuntas.

El nombre de Hausdorff para esta propiedad se debe al hecho de habersido F. Hausdorff8 quien la introdujo como un axioma adicional a los de laproposicion 1.9.

8F. Hausdorff (1868-1962) crecio en la ciudad de Leipzig, Alemania, se graduo dela Universidad de Leipzig y fue docente allı hasta 1910. Comenzo su carrera de genialmatematico como un astronomo. Por su inmenso aporte es considerado como uno delos padres de la topologıa. Tambien escribio poesıa y filosofıa. En 1942 prefirio cometersuicidio (junto con su esposa) antes que ser deportado a un campo de concentracion nazi.

G. RUBIANO

1.3 Vecindades 27

EJEMPLO 1.20

En (X, discreta) el conjunto W(x) = x es un SFV de x. En Ru elconjunto W(x) = (x− 1

n , x+ 1n)n∈N es un SFV de x ∈ R.

Ejercicios 1.3

1. Muestre que en un espacio X, U ⊆ X es abierto si y solo si esvecindad de cada uno de sus puntos.

2. Muestre que en un espacio T1 los conjuntos unitarios x son cerra-dos.

3. ¿Cuales espacios de los que hemos definido son T1?

4. ¿Cuales de los espacios topologicos que hemos definido son Haus-dorff?

5. B = (a, b) : b− a ≤ 1 es base para la topologıa usual de R.

6. ¿En (R2, verticales) quienes forman a V((0, 0))?

7. Muestre la unicidad en el teorema 1.10.

8. Sea (X,T) un espacio. Muestre que la topologıa T es de Alexandroffo A–topologıa si y solo si cada punto x ∈ X posee una vecindad Axmınima, i. e., Ax esta contenida en cualquier otra Vx.

9. Muestre que toda topologıa finita es de Alexandroff.

10. Lexicografico. En R2 definamos el orden lexicografico de la manerasiguiente: (a, b) < (c, d) si a < c, o para el caso en que a = ctenemos b < d. Los intervalos abiertos y acotados ((a, b), (c, d)) eneste espacio, resultan ser rectangulos infinitos hacia arriba y haciaabajo, con parte de los lados verticales incluidos, segun sea el caso(ver figura).

Luego un abierto para la topologıa generada sera todo lo que logremosexpresar como union de estos elementos basicos. Notese que estadefinicion puede extenderse a Rn y coincide con la manera comoordenamos un diccionario.

G. RUBIANO


a c

b

d

(a) Dibuje al menos tres vecindades delpunto (0, 0) para la topologıa indu-cida por este orden.

(b) ¿Como es geometricamente el inter-valo ((0, 0), (2, 3))?

(c) ¿Que relacion existe entre la topo-logıa usual y la topologıa de ordenasociada al lexicografico?

(d) ¿Como puede usted generalizar estatopologıa a cualquier conjunto orde-nado?

(e) Trate de observar como es esta topo-logıa si el conjunto X es el cuadradounidad I × I.

11. Muestre que B = ((a, b), (a, c)) : b < c es tambien una base parala topologıa del orden lexicografico.

12. La topologıa del orden para N es la topologıa discreta.

13. La topologıa del orden para N×N con el orden lexicografico no es latopologıa discreta.

14. La topologıa del orden para Z × Z con el orden lexicografico es latopologıa discreta.

15. Sea X un conjunto. En los siguientes numerales definimos para cadax ∈ X un conjunto V(x). ¿En que casos la coleccion de las V(x)constituye un sistema de vecindades? ¿Cual es la topologıa generadapor este sistema?

(a) V(x) = A ⊆ X : x ∈ A.(b) V(x) = x.(c) V(x) = X.(d) Sea X = N ∪ ω donde ω /∈ N. Por cada n ∈ N definamos

i. V(n) = A ⊆ X : n ∈ A,ii. V(ω) = A ⊆ X : ω ∈ A y Ac es finito.

(e) Sea X = (N× N) ∪ ω donde ω /∈ N× N. Por cada (m,n) ∈N× N definamos:

G. RUBIANO

1.4 Nuevos ejemplos: subespacios de un espacio 29

i. V((m,n)) = A ⊆ X : (m,n) ∈ A,ii. V(ω) = A ⊆ X : ω ∈ A, donde A contiene casi todos los

puntos de casi todas las filas.En otras palabras, a cualquier fila le pueden faltar finitos numeros,y solo a un numero finito de filas le pueden faltar infinitosnumeros. La fila k-esima es por definicion el subconjunto N×kla cual notamos Nk. A ∈ V(ω) si ω ∈ A y existe m ∈ N tal queNk −A es finito para todo m < k.

La topologıa generada es la de Arens-Fort9: un abierto contienea ω si unicamente un numero finito de filas contienen ‘huecossignificativos’. Revise el ejemplo 1.10.

1.4 Nuevos ejemplos: subespacios de un espacio

Esta seccion presenta una ‘maquina’ de construccion para nuevos espaciosa partir de espacios ya conocidos.

Dados un espacio (X,T) y A ⊆ X, A hereda una estructura topologicaTA de manera natural con respecto a T.

Proposicion 1.14. Sean (X,T) un espacio y A ⊆ X. La coleccion

TA := U ∩A | U ∈ T

es una topologıa sobre A.

TA se llama la topologıa de subespacio inducida sobre A o la topologıaasociada al subespacio A.

Demostracion. Claramente ∅ = ∅ ∩ A y A = X ∩ A son elementos de TA.Si M,N ∈ TA entonces M = U ∩ A, N = V ∩ A para U, V ∈ T, con locual (U ∩A) ∩ (V ∩A) = (U ∩ V ) ∩A, y como U ∩ V ∈ T, tenemos queM ∩N ∈ TA. Por induccion esto es valido para cualquier interseccion finitade elementos de TA.

Si Mi, (i ∈ I) es una familia de elementos de TA, cada Mi = Vi ∩Apara un Vi ∈ T. Ası que M = ∪i∈IMi = ∪i∈I(Vi ∩ A) = A ∩ (∪i∈IVi), ycomo ∪i∈IVi ∈ T, tenemos M ∈ TA.

9Marion K. Fort, Jr. (1921-1964) matematico estadounidense. Los espacios Fort yArens-Fort son llamados en su honor.

G. RUBIANO


Los abiertos en A se obtienen de interceptar los de X con A.

EJEMPLO 1.21

1. Sea X = R2u. Entonces cualquier subconjunto del plano puede ser

visto como un espacio topologico. En particular las figuras de lageometrıa, como circunferencias, discos, polıgonos, etc., pueden serahora vistas como espacios.

Examinemos el caso de la recta real R = (x, 0) : x ∈ R ⊆ R2.La topologıa de subespacio es la topologıa usual de R. En efecto,dado M abierto de R, M = R ∩ V para V abierto de R2. LuegoV = ∪i∈IBi, donde cada Bi es una bola abierta; entonces

M = R ∩ (∪i∈IBi) = ∪i∈I(R ∩Bi)

y cada R ∩ Bi es un intervalo abierto o el ∅, luego M es reunion deintervalos abiertos, i. e., M es abierto de la topologıa usual.

2. Lo mismo sucede en R3 y Rn con la topologıa usual, cuando consi-deramos alguno de sus subconjuntos. Por ejemplo, al dar topologıa alas esferas Sn.

La siguiente proposicion dice como obtener una base para la topologıa in-ducida sobre A ⊆ X a partir de una base para la topologıa en X.

Proposicion 1.15. Si B = Bii∈I es una base para (X,T) entoncesD = Bi ∩A : Bi ∈ B es una base de TA.

Demostracion. Veamos que tenemos un cubrimiento. Si x ∈ A entoncesx ∈ Bi para algun i y por tanto x ∈ Bi ∩ A. De otra parte, si x ∈

G. RUBIANO


(Bi ∩ A) ∩ (Bj ∩ A), existe Bk ⊆ Bi ∩Bj lo que implica x ∈ (Bk ∩ A) ⊆(Bi ∩A) ∩ (Bj ∩A).

Un subconjunto abierto en (A,TA) no tiene por que serlo en (X,T).

Un subespacio A ⊆ X cuya topologıa de subespacio es la discreta sellama subespacio discreto de X. Esto es equivalente a decir que para cadapunto a ∈ A existe un subconjunto abierto en X cuya interseccion con Aes solo el punto a.

EJEMPLO 1.22

En Ru, la topologıa inducida sobre los enteros es la discreta; n es ahoraabierto en Z, pero no lo era en R. Por tanto, debemos tener cierta discrecioncuando hablamos de abiertos en el contexto de espacios o subespacios.Ası, Z es un subespacio discreto de R, mientras que Q pareciera que tambienlo es ya que entre cada par de racionales existe un numero irracional; sinembargo, no lo es; de hecho, este subespacio es un ejemplo de un espaciocon propiedades interesantes.

EJEMPLO 1.23

Sea A = [0, 2]∪[3, 7) subconjunto de R y consideremos la topologıa inducidade Ru. El subconjunto [3, 7) es abierto en TA pero no lo es en Ru.

EJEMPLO 1.24

Si B = 1n : n ≥ 1, la topologıa inducida de Ru es la discreta. Si agre-

gamos a B el punto 0 ya no obtenemos la discreta.

EJEMPLO 1.25

En R3u consideremos el siguiente subconjunto T llamado el toro (ver fig.

1.6). Dados a > b, dos reales positivos, T esta formado por todas las triplasde la forma

((a+ b · cosφ)cosθ, (a+ b · cosφ)senθ, b · senφ)

cuando φ, θ varıan en el intervalo [0, 2π].

Notese que la parte

(a+ b · cosφ, b · senφ) = (x(φ), y(φ))

G. RUBIANO


parametriza la circunferencia centrada en (a, 0) y radio b y enseguida loque hacemos es rotar esta circunferencia en torno al eje z, por medio de laecuacion (x(φ)cosθ, x(φ)senθ, y(φ)), la cual da una vuelta de radio x(φ)para cada φ. Los elementos de la base para la topologıa de T inducida porla usual de R3, seran las intersecciones de las esferas sin borde de R3 conT (ver fig. 1.6).

Figura 1.5: Parametrizaciones interrumpidas para θ y para φ respectivamente.

Figura 1.6: Un abierto basico del toro.

EJEMPLO 1.26

Sea M3×3 o M3(R) el conjunto de todas las matrices reales de tamano3×3. Usando las 9 entradas (ai,j) en cada matriz como coordenadas para unvector, podemos identificar M3×3 con R9. El subconjunto GL(3,R) ⊆ R9

de las matrices invertibles es un espacio con la topologıa de subespacio (verejemplo 2.7).

G. RUBIANO


EJEMPLO 1.27

Aunque en R la topologıa inducida por el orden usual coincide con latopologıa usual, esto no sucede para los subespacios.

El conjunto A = (5, 7) ∪ [8, 10) tiene el orden ≤ usual de los numeros yla topologıa T≤ inducida por este orden es diferente a la topologıa ‘usual’TA inducida del orden usual de R. Por ejemplo, [8, 9) = (7, 9) ∩ A es unabierto en la ‘usual’, pero no lo es en la inducida por el orden de A porqueno corresponde a ningun ‘intervalo’ de A, pues no existe 8 ∈ (a, b) ⊆ [8, 9).

EJEMPLO 1.28

Sobre el cuadrado A = I×I = [0, 1]×[0, 1] podemos considerar y comparartres topologıas:

• La topologıa TI×I inducida por la usual de R2.

• La topologıa T inducida por su orden lexicografico.

• La topologıa TI×I inducida del espacio (R2,T) donde T es la in-

ducida por el orden lexicografico de R2.

(a) (b)

p•

p•

Figura 1.7: (a) un abierto en TI×I , (b) un abierto en T.

Estudie la contenencia entre estas tres topologıas (ver fig. 1.7).

Los anteriores ejemplos motivan la siguiente pregunta: ¿cuando losabiertos de un subespacio son tambien abiertos para el espacio?

G. RUBIANO


Proposicion 1.16. Sean (X,T) un espacio y A ⊆ X. Entonces TA ⊆ T siy solo si A es abierto.

Demostracion. Sea M ∈ TA es decir M = V ∩ A donde V ∈ T. ComoA ∈ T tenemos V ∩A ∈ T.

Ejercicios 1.4

1. ¿Como es la topologıa de subespacio para S1 ⊆ R2?

2. En (R2, verticales), pag. 21 ej. 1, ¿como son las topologıas inducidassobre R× 0 y 0 × R?

3. En Ru ¿como son las topologıas heredadas para Q y para A = 1/n |n ∈ N ∪ 0?

4. En (R2, lexicografico) ¿como es la topologıa inducida sobre la rectareal y sobre I × I?

5. Sean (X,T) un espacio y A ⊆ X. Muestre que F ⊆ A es cerradoen (A,TA) si y solo si F es la interseccion de A con un subconjuntocerrado de X.

6. En X = 1, 2 × N con el lexicografico, todo unitario es abiertoexcepto uno; ¿de que punto se trata?

7. Y ⊆ (X,≤) se dice convexo si para todo a, b ∈ Y con a < b elintervalo (a, b) ⊆ Y . Muestre que en este caso las topologıas T

Y y

TY coinciden (ver ejemplo 1.28).

G. RUBIANO

2 Espacios metricos

En este capıtulo vemos los espacios metricos como una clase particularde espacios topologicos. Por supuesto que los espacios metricos, en sı mis-mos, son extremadamente importantes y dentro de la matematica merecensu propio espacio y por supuesto su propio texto. La presentacion que aquıhacemos es con la finalidad de prepararnos —motivarnos, dar ejemplos—para las futuras definiciones en topologıa concernientes a las nociones decercanıa y lımite, pero no pretendemos hacer una exposicion tan siquieraincompleta.

Estos espacios —el concepto— fueron introducidos por el matematicofrances Maurice Rene Frechet (1878–1973) en 1906 y constituyeron unode los pasos decisivos en la creacion de la Topologıa general. Se tratabade definir el concepto de ‘distancia’ de la manera mas general posible paraobjetos matematicos de naturaleza no especıfica —no necesariamente pun-tos de Rn, curvas o funciones—. Con tan pocas condiciones (ver siguientedefinicion) Frechet pudo introducir de nuevo todas las nociones topologicasintroducidas hasta ese entonces para Rn, esto es, lımites, continuidad, ve-cindades para un punto, conjuntos abiertos, conjuntos cerrados, puntos deacumulacion, compacidad, conexidad, etc.

2.1 Metrica

Definicion 2.1. Una metrica d para un conjunto X es una funciond : X × X −→ R≥0 = [0,∞) —toma valores en los numeros realespositivos— que satisface las siguientes condiciones para todo x, y, z ∈ X:

1. d(x, y) = 0 si y solo si x = y,

2. d(x, y) = d(y, x),

35

G. RUBIANO

36 Espacios metricos

3. d(x, y) ≤ d(x, z) + d(z, y).

El numero d(x, y) se llama la distancia entre x y y. El par (X, d) se llamaun espacio metrico.

La desigualdad en 3, llamada la desigualdad triangular, nos recuerdael hecho de que la distancia mas corta entre dos puntos es la que se tomadirectamente entre ellos —claro que el sentido del termino distancia es algoque nosotros hemos definido por medio de d, a nuestro antojo—.

Una consecuencia inmediata de 3 es

|d(x, y)− d(z, y)| ≤ d(x, z) (2.1)

puesto que d(x, y) ≤ d(x, z) + d(z, y) implica d(x, y)− d(z, y) ≤ d(x, z) e,intercambiando el papel de x por el de z, tenemos d(z, y)−d(x, y) ≤ d(z, x),con lo cual

− d(x, z) ≤ d(x, y)− d(z, y) ≤ d(x, z). (2.2)

Dados (X, d), x ∈ X y ε > 0, el conjunto de puntos y tales que d(x, y) < εlo llamamos la bola abierta Bε(x). (Ver definicion 2.8).

EJEMPLO 2.1

El conjunto R de los numeros reales, con la funcion d(x, y) = |x− y| es unespacio metrico. Este ejemplo incluye su curso de calculo I en este texto.La desigualdad triangular es en este caso |x − y| ≤ |x − z| + |z − y|. Alreemplazar a = x − z, b = z − y tenemos la clasica desigualdad |a + b| ≤|a|+ |b|.

EJEMPLO 2.2

Sea X el conjunto de pueblos en un mapa vial escogido; si definimos d(x, y)como la longitud del camino mas corto entre todas las rutas que comunicana x con y, tenemos que d es una metrica.

EJEMPLO 2.3

Metrica discreta. Si X es un conjunto cualquiera, la metrica discreta sedefine como: para x, y ∈ X

d(x, y) :=

1 si x 6= y,

0 si x = y.

G. RUBIANO

2.1 Metrica 37

EJEMPLO 2.4

Dados x = (x1, x2, . . . , xn), y = (y1, y2, . . . , yn) dos puntos en Rn defini-mos

d2(x,y) = |x−y| = ((x1−y1)2 +(x2−y2)2 + · · ·+(xn−yn)2)1/2. (2.3)

Esta metrica se llama distancia euclidiana —la manera de medir usual—.Para verificar la desigualdad triangular basta recordar las desigualdades de:

• Minkowski,(n∑i=1

(xi + yi)2) 1

2

≤(

n∑i=1

xi2

) 12

+

(n∑i=1

yi2

) 12

(2.4)

• Bunjakovski-Cauchy-Schwartz,

n∑i=1

|xiyi| ≤(

n∑i=1

xi2

) 12(

n∑i=1

yi2

) 12

(2.5)

Para obtener la desigualdad triangular, aplicamos la desigualdad de Min-kowski:

d(x,y) + d(y, z) = |x− y|+ |y − z|≥ |(x− y) + (y − z)| = |x− z|= d(x, z).

Podemos generalizar del ejemplo anterior y definir una metrica dp en Rn

para cada numero real p ≥ 1 —no necesariamente p = 2, i. e., tenemosuna coleccion infinita de metricas— (ver fig. 2.4).

dp(x,y) :=

(n∑i=1

|xi − yi|p) 1

p

, p ≥ 1, (x,y ∈ Rn).

El espacio metrico resultante es notado por algunos autores como lnp , desuerte que para el caso p = 2, que es la manera usual de medir en Rn,notamos ln2 .

G. RUBIANO


EJEMPLO 2.5

El espacio l∞ de todas las sucesiones acotadas. Sea l∞ el conjunto detodas las sucesiones acotadas de numeros reales, i. e., las sucesiones x =(x1, x2, ...) = (xn) tales que supn |xn| <∞. Si x = (xn), y = (yn) ∈ l∞,definimos la metrica

d∞(x,y) = supn|xn − yn|.

Verifiquemos la desigualdad triangular. Si z = (zn) ∈ l∞, entonces

|xn − yn| ≤ |xn − zn|+ |zn − yn|≤ sup

n|xn − zn|+ sup

n|zn − yn|

= d∞(x,y) + d∞(y, z).

Por tanto,

d∞(x,y) = supn|xn − yn| ≤ d∞(x, z) + d∞(z,y).

EJEMPLO 2.6

Sea C([0, 1],R) el conjunto de todas las funciones continuas de [0, 1] en R,y definamos la metrica d2 como

d2(f, g) =(∫ 1

0(f(x)− g(x))2dx

) 12

.

Si tomamos el conjunto de todas las funciones, no necesariamente conti-nuas, la formula anterior no define una metrica ¿por que?.K

EJEMPLO 2.7

Grupo lineal general GLn o GL(n, R). Denotemos por Mn(R) el conjuntode las matrices de tamano n× n con entradas en R (ver ejemplo 1.26).Si cada matriz A = (aij) se identifica con el punto

(a11, . . . , a1n, a21, . . . , a2n, . . . , an1, . . . , ann) ∈ Rn2

entonces GL(n,R) queda identificado con Rn2y por tanto lo podemos ver

como un espacio metrico.

G. RUBIANO

2.1 Metrica 39

Una matriz A es invertible (multiplicacion) si existe una matriz B tal queAB = I = BA (donde I es la matriz identidad) o de manera equivalenteDet(A) 6= 0 (determinante distinto de cero).

En Mn(R) se distingue el subconjunto GL(n,R) o GLn(R) de las ma-trices invertibles. Por su sigla lo llamamos grupo lineal general.

Recordemos que At denota la transpuesta de A, donde las filas de At

son las columnas de A, esto es, (At)ij = Aji. Cada matriz define unafuncion A : Rn → Rn como A(x) = Ax.

Una matriz A se llama ortogonal si es invertible con A−1 = At, i. e.,AAt = I.

EJEMPLO 2.8

On o O(n, R). El subconjunto On ⊆ GLn de las matrices ortogonales,se llama grupo ortogonal y corresponde a las transformaciones lineales deRn que preservan la longitud de los vectores, o de manera equivalente a lasisometrıas de Rn que fijan el origen.Si A ∈ On, entonces det(A) ∈ 1,−1 puesto que

det(A)2 = det(A)det(At) = det(AAt) = det(I) = 1.

EJEMPLO 2.9

El subconjunto SOn ⊆ On de las matrices A ∈ On con det(A) = 1 se llamagrupo ortogonal especial y corresponde a las matrices que tienen deter-minante 1 y cuya inversa corresponde a su transpuesta. Este subconjuntocoincide con las rotaciones de Rn alrededor del origen.

Para el caso 2–dimensional n = 2 tenemos SO2. Dado un angulo θdefinimos las matrices

Rθ =(

cos θ −sen θsen θ cos θ

)Sθ =

(cos θ sen θsen θ −cos θ

).

Estas matrices son ortogonales y det(Rθ) = 1, det(Sθ) = −1. Por tantoRθ ∈ SO2 y Sθ ∈ O2 − SO2. Pero mucho mas, cualquier matriz A ∈ SO2

es de la forma Rθ para algun θ y cualquier matriz A ∈ O2 − SO2 es de laforma Sθ para algun θ.

Rθ representa una rotacion de medida θ en sentido contrario a las ma-necillas del reloj.

G. RUBIANO


Sθ representa una reflexion por la lınea que pasa por el origen en anguloθ/2 con respecto al eje x.

Una isometrıa de Rn es una funcion f : Rn → Rn de la forma f(x) =Ax + a para alguna matriz ortogonal A ∈ On y algun vector a ∈ Rn.Denotamos por Isomn el conjunto de tales funciones. Como lo indicasu nombre, una isometrıa f preserva distancias, esto es, d(f(x), f(y)) =d(x, y) para todo x, y ∈ Rn. De manera recıproca, para cualquier funcionf : Rn → Rn que preserva distancias existen A ∈ On y a ∈ Rn tal quef(x) = Ax+ a para todo x ∈ Rn.

Ejercicios 2.1

1. Dados (X, d),(Y,m) dos espacios metricos muestre que parax = (x1, y1), y = (x2, y2) con x, y ∈ X × Y las siguientes funcionesdefinen metricas sobre X × Y :

(a)

d2(x, y) := (d(x1, x2)2 +m(y1, y2)2)12 . (2.6)

Sugerencia: para la desigualdad triangular apoyese en la siguien-te desigualdad: Si a, b, c, x,y, z son numeros reales no nega-tivos con a ≤ b + c, x ≤ y + z, entonces (a2 + x2)1/2 ≤(b2 + y2)1/2 + (c2 + z2)1/2.

(b)

d∞(x, y) := max d(x1, x2),m(y1, y2). (2.7)

(c)

d(x, y) := d(x1, x2) +m(y1, y2). (2.8)

2. Generalice las metricas del ejemplo anterior para un producto finitode espacios metricos.

3. La metrica del mensajero. En el espacio euclidiano R2, definimos lametrica m del mensajero como m(p, q) := d2(0, p) + d2(0, q) donde0 = (0, 0), p, q ∈ R2. Si p = q definimos m(p, q) = 0.

El mensajero reparte en p, vuelve a la oficina en 0 y sale nuevamentea repartir en q (figura 2.1). ¿Como es B1(p), i.e., que puntos per-tenecen a esta bola?

G. RUBIANO

2.1 Metrica 41

p

q

•

•

•

Figura 2.1: La metrica del mensajero.

4. Sea X un conjunto no vacıo. En XN definimos d, la metrica pri-meriza o de Baire como: dadas dos sucesiones x = (x1, x2, . . .),y = (y1, y2, . . .) en X,

d(x,y) := 1/k, si xn = yn para todo n < k y xk 6= yk.

Es decir, k es la coordenada donde por primera vez las dos sucesionesdifieren. Si xn = yn para todo n ∈ N, definimos d(x,y) = 0.Muestre que (XN, d) es un espacio metrico.

En el caso en que X = N obtenemos la coleccion de todas las sucesionesde numeros naturales (el cual tiene la misma cardinalidad que R) y, comocuriosidad, este espacio no es mas que otra manera de describir al conjuntode los numeros irracionales vıa ‘fracciones continuas’.

5. De acuerdo con el ejercicio anterior, el conjunto 0, 1N de todaslas cuerdas o palabras infinitas formadas con el alfabeto 0, 1 es unespacio metrico. La distancia esta dada en terminos de la longitud kdel primer prefijo que comparten.

Algunos autores prefieren tomar para este caso concreto 0, 1N la

distancia d(x,y) :=12k.

Veamos la desigualdad triangular para esta nueva metrica. Seana, b, c sucesiones y mostremos que

d(a, b) ≤ maxd(a, c), d(c, b).Sea k la longitud del mayor prefijo comun entre a y c, y sea m lalongitud del mayor prefijo comun entre c y b. Si n = mink,m,sabemos que las primeras n letras de a coinciden con las primeras nletras de c; y que las primeras n letras de c coinciden con las primeras

G. RUBIANO


n letras de b. Ası, las primeras n letras de a coinciden con las primerasn letras de b. Luego, el prefijo comun entre a y b tiene longitud almenos n.

Por tanto,

d(a, b) ≤ (1/2)n = (1/2)mink,m (2.9)

= max(1/2)k, (1/2)m (2.10)

= maxd(a, c), d(c, b). (2.11)

Esta ultima ultra–desigualdad implica la desigualdad triangular ya que

maxd(a, c), d(c, b) ≤ d(a, c) + d(c, b).

6. Un espacio ultrametrico X es un espacio metrico (X, d) en el cualla metrica d satisface la ultra-desigualdad triangular:

d(x, z) ≤ maxd(x, y), d(y, z).

(a) Muestre que los dos ejercicios anteriores son ejemplos de espaciosultrametricos.

(b) En un espacio ultrametrico cualquier punto de una bola (verdefinicion 2.8) puede ser su centro, i. e., si y ∈ Bε(x) entoncesBε(x) = Bε(y). Deduzca que dos bolas abiertas no disyuntasson comparables por la inclusion.

(c) Una bola cerrada es un conjunto abierto.K

(d) Una bola abierta es un conjunto cerrado.

7. Sean (X, d) un espacio metrico y A ⊆ X. Muestre que la funcion drestringida a A×A define una metrica dA para A. Al espacio (A, dA)lo llamamos subespacio metrico.

8. En X = ℘(N) defina d(A,B) = 0 si A = B, de lo contrario defina

d(A,B) =1k

donde k = minn : n ∈ (A ∪B)− (A ∩B).

Sugerencia: d(A,B) <1m

si y solo si A ∩ [1,m] = B ∩ [1,m].

G. RUBIANO

2.2 Espacios unitarios o euclidianos 43

2.2 Espacios unitarios o euclidianos

Recordemos que los espacios euclidianos Rn con la suma usual de vectoresy el producto por escalar no son mas que elementos canonicos de espaciosvectoriales normados de dimension finita.

Definicion 2.2. Un espacio vectorial —lineal— real es un conjunto V novacıo —los elementos de V se llaman vectores— sobre el cual esta definidauna operacion binaria + llamada la adicion de vectores, y una multiplicacionescalar —multiplicacion de un vector por un numero real— que satisfacenlas siguientes propiedades: para x, y, z ∈ V y α, β ∈ R tenemos

1. x+ y = y + x.

2. x+ (y + z) = (x+ y) + z

3. Existe un unico 0 ∈ V —llamado el elemento cero— tal que x+0 = xpara todo x.

4. A cada x corresponde un unico elemento −x ∈ V —llamado el inversoaditivo de x— tal que x+ (−x) = 0.

Hasta aquı, de 1, 2, 3 y 4 tenemos una estructura de grupo.

5. α(βx) = (αβ)x.

6. (α+ β)x = αx+ βx.

7. α(x+ y) = αx+ αy.

8. 1x = x.

Definicion 2.3. Sea X un espacio vectorial real. Una norma para X esuna funcion ‖ ‖ : X −→ [0,∞) que a cada vector x le asocia el numeroreal positivo ‖x‖ con las siguientes propiedades:

1. ‖x‖ = 0 si y solo si x = 0 —el vector modulo—.

2. ‖λx‖ = |λ|‖x‖, para todo x ∈ X, λ ∈ R —homogeneidad absoluta–.

3. ‖x+ y‖ ≤ ‖x‖+ ‖y‖, para x, y ∈ X —subaditiva o triangular—.

Al par (X, ‖ ‖) lo llamamos espacio —vectorial— normado.

G. RUBIANO


Como consecuencia de la subaditividad 3 tenemos∣∣ ‖x‖ − ‖y‖ ∣∣ ≤ ‖x− y‖,al tomar

‖x‖ = ‖x− y + y‖ ≤ ‖x− y‖+ ‖y‖‖y‖ = ‖y − x+ x‖ ≤ ‖y − x‖+ ‖x‖

con lo cual

−‖x− y‖ ≤ ‖x‖ − ‖y‖ ≤ ‖x− y‖.

Teorema 2.4. Si (X, ‖ ‖) es un espacio vectorial normado, la formula

d(x, y) := ‖y − x‖

define una metrica para X.

Demostracion. 1, 2 y 3 de la definicion de metrica son inmediatas. Para ladesigualdad triangular notemos que

d(x, y) + d(y, z) = ‖y − x‖+ ‖z − y‖≥ ‖(y − x) + (z − y)‖ = ‖z − x‖ = d(x, z).

Decimos que la metrica es inducida por una norma.

Cada espacio normado es de manera intrınseca un espacio metrico.

Esta metrica es invariante por traslaciones, i. e.,

d(x, y) = d(a+ a, y + a) para todo vector x, y, a.

Por geometrıa, los vectores de Rn tambien poseen un producto escalaro punto; es decir, no son mas que ejemplos de espacios vectoriales conproducto interior.

Definicion 2.5. Un producto interior —o un producto escalar— para unespacio vectorial real X es una funcion 〈 , 〉 : X×X −→ R que a cada par(x, y) le asocia el numero real 〈x, y〉 y satisface:

1. 〈x, x〉 ≥ 0, y 〈x, x〉 = 0 si y solo si x = 0 —definido positivo—.

G. RUBIANO


2. 〈x, y〉 = 〈y, x〉 —simetrıa—.

3. 〈λx+ µy, z〉 = λ〈x, z〉+ µ〈y, z〉, para x, y, z ∈ X, λ, µ ∈ R.

Al par (X, 〈 , 〉) lo llamamos espacio unitario o euclidiano o espaciopre-Hilbert.

Teorema 2.6. Sea (X, 〈 , 〉) un espacio unitario. La formula

‖x‖ :=√〈x, x〉

define una norma para X.

Demostracion. Para la demostracion basta verificar las siguientes dos de-sigualdades clasicas (Bunjakovski-Cauchy-Schwartz)

|〈x, y〉|2 ≤ 〈x, x〉〈y, y〉, (2.12)

|〈x, y〉| ≤ ‖x‖ ‖y‖. (2.13)

Decimos en este caso que la norma es inducida por el producto interior.

EJEMPLO 2.10

En Rn veamos las siguientes normas y sus respectivas metricas inducidas:

1. La metrica d1 conocida como metrica del taxista y definida por

d1(x,y) = |x1 − y1|+ |x2 − y2|+ · · ·+ |xn − yn|;la norma en este caso es

‖x‖1 = |x1|+ |x2|+ · · ·+ |xn|.

2. La metrica euclidiana d2 inducida por la norma

‖x‖2 = (x21 + x2

2 + · · ·x2n)1/2,

la cual proviene del producto interior

〈x,y〉 = x1y1 + x2y2 + · · ·+ xnyn,

con lo cual

d2(x,y) = ((x1 − y1)2 + (x2 − y2)2 + · · ·+ (xn − yn)2)1/2.

G. RUBIANO


3. Los subındices 1, 2 de las anteriores metricas d1, d2 no son en maneraalguna fortuitos, son casos particulares de la siguiente definicion masgeneral. Para cada numero real p ≥ 1 definimos

‖x‖p := (|x1|p + · · ·+ |xn|p)1/p.

Esta norma nos induce la metrica dp definida por (ver definicion dela pag. 37)

dp(x,y) :=

(n∑i=1

|xi − yi|p) 1

p

, (x,y ∈ Rn).

4. La metrica d∞ del sup definida como —¿por que el sımbolo ∞?—

d∞(x,y) = max|x1 − y1|, |x2 − y2|, . . . , |xn − yn|

la cual es a su vez inducida por la norma

‖x‖∞ := max|x1|, |x2|, . . . , |xn|.

EJEMPLO 2.11

El espacio l∞ de todas las sucesiones acotadas (ejemplo 2.5) es un espaciovectorial con la suma usual (xn)n + (yn)n = (xn + yn)n y multiplicacionpor escalar α(xn)n = (αxn)n. Si para x ∈ l∞ definimos

‖x‖ = supn|xn|

entonces la metrica d∞ es inducida por esta norma.

El siguiente espacio metrico es un clasico de la topologıa y del analisisfuncional; por esto, lo discutimos de manera amplia y reiterada.

EJEMPLO 2.12

El espacio de Hilbert H, tambien notado como l2:

Si en RN —el espacio vectorial formado por el conjunto de todas las suce-siones en R con las operaciones usuales de suma de sucesiones y multipli-cacion por escalar— quisieramos definir una metrica modelando la metrica

G. RUBIANO


euclidiana para el caso finito Rn, tendrıamos que dadas dos sucesionesx = (x1, x2, . . .), y = (y1, y2, . . .), la suma infinita( ∞∑

i=1

(xi − yi)2) 1

2

(2.14)

debe ser un numero real y, por tanto, debemos restringirnos a un subcon-junto H de RN.

El espacio de Hilbert1 H esta formado por el conjunto de todas lassucesiones x = (xn) de numeros reales tales que

∑∞n=1 x

2n <∞. H provisto

de la adicion y del producto escalar para sucesiones es un espacio vectorialreal de dimension infinita —subespacio de RN—.

La funcion 〈 , 〉 : H×H −→ R definida para x = (xn),y = (yn) ∈ Hcomo

(x,y) 7→ 〈x,y〉 =∞∑k=1

xkyk (2.15)

es simetrica, bilineal y definida positivamente, luego es un producto interiorsobre H. Para verificar la buena definicion, esto es, que efectivamentela serie correspondiente a 〈x, y〉 es un numero, basta tomar lımites en ladesigualdad (2.4) para los espacios Rn y obtenemos la siguiente desigualdad,la cual asegura que la serie converge absolutamente

〈x,y〉 ≤∞∑k=1

|xk||yk| ≤( ∞∑k=1

x2k

)1/2( ∞∑k=1

y2k

)1/2

. (2.16)

Por tanto, el par (H, 〈 , 〉) es un espacio euclidiano de dimension infinita—sera de Hilbert cuando demostremos que es completo—.

De otra parte, tenemos canonicamente asociada a este espacio unametrica d inducida por la norma asociada a este producto interior

d(x,y) = ‖x− y‖ =

( ∞∑k=1

(xk − yk)2)1/2

(2.17)

1El nombre dado a estos espacios es en honor al matematico aleman David Hilbert(1862, Konigsbergl-1943, Gottingen, Alemania), quien los utilizo en su estudio de lasecuaciones integrales. Hilbert invito a Einstein a Gottingen para que impartiera unasemana de lecciones entre junio y julio de 1915 sobre relatividad general y su teorıa de lagravedad en desarrollo. El intercambio de ideas llevo a la forma final de las ecuacionesde campo de la Relatividad General. Aunque Einstein y Hilbert no llegaron nunca a unadisputa publica sobre prioridad, ha habido discusion sobre a quien corresponde el meritodel descubrimiento de las ecuaciones de campo.

G. RUBIANO


Hablamos de el espacio de Hilbert —un espacio euclidiano, completo,separable y de dimension infinita— en honor a David Hilbert; la unicidadpor cuanto este espacio es unico salvo isomorfismo. Este ultimo hechono es trivial, pues aunque todo espacio euclidiano n-dimensional siemprees isomorfo a Rn, no es verdad que todo par de espacios euclidianosinfinito-dimensionales lo sea.

Por ejemplo, el espacio (C2([0, 1],R),m) con m definida como

m(f, g) :=(∫ 1

0[f(t)− g(t)]2dt

) 12

no es isomorfo a l2 pues el primero no es completo mientras que el segundosı lo es.

2.2.1 Caracterizacion de los espacios euclidianos

Dado V un espacio vectorial —lineal— real y normado, miremos bajoque circunstancias V es euclidiano —posee un producto escalar—. Enotras palabras, buscamos condiciones adicionales sobre la norma de V quenos garanticen que dicha norma es inducida por cierto producto escalardefinido en V .

Teorema 2.7. Una condicion necesaria y suficiente para que un espaciolineal normado V sea euclidiano es que

‖f + g‖2 + ‖f − g‖2 = 2 (‖f‖2 + ‖g‖2) (2.18)

para cada f, g ∈ V .

Demostracion. Si pensamos en f + g y f − g como las diagonales delparalelogramo en V con lados f y g la igualdad (2.18) puede ser interpretadacomo el analogo de la familiar propiedad del paralelogramo en el plano: ‘lasuma de los cuadrados de las diagonales de un paralelogramo es igual a lasuma de los cuadrados de sus lados’.

La necesidad de (2.18) es clara, ya que si V es euclidiano entonces

‖f + g‖2 + ‖f − g‖2 = 〈f + g, f + g〉+ 〈f − g, f − g〉= 〈f, f〉+ 2〈f, g〉+ 〈g, g〉+ 〈f, f〉 − 2〈f, g〉+ 〈g, g〉= 2 (‖f‖2 + ‖g‖2). (2.19)

G. RUBIANO


........

........

........

........

........

........

........

........

........

........

........

........

........

........

........

........

........

........

........

........

........

........

........

........

........

........

........

........

........

........

........

........

........

........

........

........

........

...................

................

.................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................. ................

.................................................................................................................

.................................................................................................................

.................................................................................................................

.....................

....................................................................................................................................................................................................................

....................................................................................................................................................................................................................................................

................................................................................................................

.................................................................................................................

.................................................................................................................

...................................... ................

............. ............. ..........

... .......................... .....

........ ............. .............

............. ............. ..........

... .......................... .....

........ ............. .............

............. ............. ..........

... .......................................

.......................................

.......................................

.......................................

.......................................

.......................................f ! g

f + g

Figura 2.2: La ley del paralelogramo.

Para probar que (2.18) es suficiente, definamos

〈f, g〉 =14(‖f + g‖2 − ‖f − g‖2) (2.20)

y mostremos que si (2.18) se tiene, entonces (2.20) posee las propiedadesde un producto escalar —la igualdad en (2.20) se tiene en todo espacio conproducto interior y expresa el producto en terminos de la norma—.

Por (2.20) tenemos

〈f, f〉 =14(‖2f‖2 + ‖f − f‖2) = ‖f‖2 (2.21)

lo cual muestra que este producto escalar efectivamente genera la norma.

De (2.20) y (2.21) tenemos que

1. 〈f, f〉 ≥ 0 donde 〈f, f〉 = 0 si y solo si f = 0,

2. 〈f, g〉 = 〈g, f〉.

La demostracion de las propiedades de linealidad

〈f + g, h〉 = 〈f, h〉+ 〈g, h〉

〈αf, g〉 = α〈f, g〉requiere de mas trabajo y se deja como ejercicio de consulta.

G. RUBIANO


EJEMPLO 2.13

En C([0, 1],R) definimos la distancia d∞ entre dos funciones f, g por

d∞(f, g) = sup |f(x)− g(x)| : x ∈ I.

Lo que es equivalente a definir en C(I) la norma

‖f‖∞ = sup|f(x)| : x ∈ I.

d∞ es conocida como la distancia uniforme.

La desigualdad triangular

d∞(f, h) ≤ d∞(f, g) + d∞(g, h) (2.22)

se sigue del hecho que para cada x ∈ I se tiene

|f(x)− h(x)| ≤ |f(x)− g(x)|+ |g(x)− h(x)| (2.23)

y por tanto,

supx|f(x)− h(x)| ≤ sup

x|f(x)− g(x)|+ sup

x|g(x)− h(x)| (2.24)

ya que sup(A+B) ≤ supA+ supB.

EJEMPLO 2.14

C([0, π/2],R) con la norma ‖ ‖∞ no es euclidiano. Consideremos el par defunciones f(t) = cos(t) y g(t) = sen(t). Entonces

‖f‖∞ = ‖g‖∞ = 1,

‖f + g‖∞ = max0≤t≤π/2 : cos(t) + sen(t) :=√

2,

‖f − g‖∞ = max0≤t≤π/2 : cos(t)− sen(t) :=√

1,

con lo cual

‖f + g‖2∞ + ‖f − g‖2∞ 6= 2(‖f‖2∞ + ‖g‖2∞).

Por lo tanto, la norma no puede ser generada por ningun producto escalar.Lo mismo es cierto para el espacio (C[a, b],R) para cada a < b.

G. RUBIANO


EJEMPLO 2.15

De manera mas general: sean (Y, d) un espacio metrico con una metricaacotada d y J un conjunto cualquiera no vacıo. Sobre el conjunto Y J =Hom(X,Y ) =

∏j∈J Y de todas las funciones de J en Y definimos la

metrica uniforme d∞(f, g) = supd(f(j), g(j)) : j ∈ J.

Ejercicios 2.2

1. Un segmento de recta ab en R2 puede ser descrito como

x : d2(a, x) + d2(x, b) = d2(a, b).

¿Como luce esta definicion, i. e. este conjunto, si la metrica involucra-da es d1? Haga la misma reflexion con la definicion de circunferencia,elipse, parabola, etc.

2. Muestre que una metrica d en un espacio vectorial real X provienede una norma si y solo si es compatible con la estructura lineal delespacio, esto es, si se satisface:

(a) d(x+ a, y+ a) = d(x, y), para todo a, x, y ∈ X (invarianza portraslacion).

(b) d(λx, λy) = |λ|d(x, y) para λ ∈ R, x, y ∈ X (homogeneidad).

Sugerencia: Defina ‖x‖ = d(x, 0). Por supuesto no toda metrica enun espacio vectorial proviene de una norma; ¿por que?

Por lo anterior, dado un espacio vectorial, entre las normas arbitrariasy los espacios metricos homogeneos e invariantes por traslacion, existeuna correspondencia biunıvoca natural.

3. Rnp o lnp no es euclidiano si p 6= 2 —la norma no puede ser generada

por un producto escalar—.

Sugerencia: considere el par de vectores u = (1, 1, 0, . . . , 0) y v =(1,−1, 0, . . . , 0).

4. El siguiente ejercicio generaliza los ejemplos 2.5 y 2.13. Sea X con-junto. La coleccion

E = f | f : X −→ R, acotada

G. RUBIANO


es un espacio vectorial con las operaciones usuales de suma de fun-ciones y multiplicacion por escalar. Para cada f ∈ E definimos

‖f‖ = supx∈X|f(x)|. (2.25)

Muestre que en efecto se trata de una norma y de una generalizacion.

5. Hilbert generalizado. Para cada p ≥ 1 definimos el conjunto lp detodas las sucesiones de numeros reales, x = (x1, x2, ...) = (xn)n talesque la serie

∑∞n=1 |xn|p <∞. Si x,y ∈ lp, muestre que x− y ∈ lp

y que la funcion dp es una metrica en lp, donde

dp(x,y) =

( ∞∑n=1

|xn − yn|p) 1

p

.

2.3 Topologıa para una metrica

Dado un espacio metrico (X, d), existen unos subconjuntos relevantes deel, capaces de describir a los vecinos de un punto controlando la distancia—grado de cercanıa— y que ademas seran los encargados de definirnos latopologıa inherente a la metrica.

Definicion 2.8. Sean x ∈ (X, d) y ε > 0 un numero real. Los conjuntos

Bε(x) = y : d(x, y) < ε, (2.26)

Bε(x) = y : d(x, y) ≤ ε, (2.27)

Sε(x) = y : d(x, y) = ε (2.28)

son respectivamente, la bola abierta, la bola cerrada y la esfera de centroen x y de radio ε en el espacio (X, d).

• • •

Figura 2.3: Bola abierta, bola cerrada y esfera en R2.

G. RUBIANO

2.3 Topologıa para una metrica 53

Figura 2.4: B1((0, 0)) para p = 1, 2, 7 en R3p.

EJEMPLO 2.16

En R32 una bola tiene efectivamente la forma de una ‘bola usual’; pero esto

esta bien lejos de suceder cuando utilizamos en R2 otras metricas diferentesa la usual, como en R3

1 y R37 (fig. 2.4) donde una bola puede tener otras

formas, pero al fin bolas.

EJEMPLO 2.17

En el espacio (C([0, 1]), d∞) (ejemplo 2.13) las bolas abiertas toman unaforma muy especial (fig. 2.5), son franjas abiertas llenas de todos los seg-mentos continuos imaginables —no se alza la mano del papel al trazarlos—i. e., dados ε > 0 y f ∈ C(I,R), la bola Bε(f) consiste de todas lasfunciones que permanecen estrictamente dentro del area acotada por lasfunciones f − ε, f + ε.

f + !

f ! !

f

Figura 2.5: Bola abierta en la metrica d∞ para C([0, 1],R).

G. RUBIANO


Contrario al caso anterior, para la metrica

d1(f, g) =∫ 1

0|f(x)− g(x)|dx (2.29)

sobre [0, 1], las bolas son muy difıciles de imaginar.

Teorema 2.9. Si (X, d) es un espacio metrico, entonces el conjunto

B = Bδ(x) : x ∈ X, δ > 0 (2.30)

de todas las bolas abiertas es base para una topologıa en X.

••

•!x

p•

"y

!

Figura 2.6: Las bolas en un espacio metrico forman una base.

Demostracion. Sean Bδ(x), Bε(y) dos bolas y p ∈ Bδ(x)∩Bε(y). Si r > 0es tal que r < m, donde m = minδ − d(p, x), ε − d(p, y), la bolaBr(p) esta contenida en la interseccion de las dos bolas dadas (fig. 2.6).En efecto, veamos primero que Br(p) ⊆ Bδ(x); a partir de la desigualdadtriangular tenemos que si d(t, p) < r entonces

d(t, x) ≤ d(t, p) + d(p, x)< r + d(p, x)≤ δ − d(p, x) + d(p, x) ≤ δ.

De manera similar se muestra la otra contenencia.

G. RUBIANO


Definicion 2.10. La topologıa T asociada a la base formada por la totalidadde las bolas abiertas se llama topologıa inducida o generada por la metricad, y la notamos T = 〈d〉.

La definicion anterior nos permite crear una clase muy especial de espa-cios topologicos. Cuando un espacio topologico (X,T) tiene una topologıatal que T = 〈d〉 para alguna metrica d, decimos que el espacio (X,T) esmetrizable, o que su topologıa proviene de una metrica.

Las preguntas obligadas son:

1. ¿Todo espacio topologico es metrizable?

2. ¿Pueden metricas diferentes inducir la misma topologıa?

3. ¿Como saber cuando un espacio es metrizable?

2.3.1 Metricas equivalentes

Una metrica induce una base, ası que la pregunta 2 puesta en terminos debases nos conduce a la siguiente definicion.

Definicion 2.11. Dos metricas d,m en un conjunto X se dicen topologi-camente equivalentes —notamos d ≡ m— si generan la misma topologıa;esto es, 〈d〉 = 〈m〉.

La primera contenencia 〈d〉 ⊆ 〈m〉 de la igualdad 〈d〉 = 〈m〉 implicaque cada bola en d se puede expresar como una union de bolas en m, y lorecıproco para la otra contenencia.

!y

x

En terminos mas explıcitos, dada Bdε (x)

—una bola ‘cuadrada’ en d— y un punto ycon y ∈ Bd

ε (x), es posible encontrar una bolaBmδ (y) —‘redonda’ en m y de centro en y—

de tal manera que

y ∈ Bmδ (y) ⊆ Bd

ε (x).

Tambien debemos tener lo recıproco para la otra contenencia. ¿Por quepodemos escoger la bola Bm

δ (y) de suerte que resulte centrada en y? Mas

G. RUBIANO


aun, para la equivalencia topologica entre dos metricas nos podemos reducira la respectiva contenencia de bolas centradas en el mismo punto; esto es,para cada x ∈ X dada Bd

ε (x) existe Bmδ (x) ⊆ Bd

ε (x) y viceversa.

Definicion 2.12. Un espacio metrico (X, d) es acotado si la funcion d esacotada. De manera mas general, dado A ⊆ (X, d) definimos el diametrode A como

diam(A) := supd(x, y) : x, y ∈ A.En caso que diam(A) <∞ decimos que A es acotado.

El diametro de A es la distancia entre los puntos mas distantes en A (sitales puntos existen). Por ejemplo, en R si A = [0, 1) su diametro es 1 sinque tales puntos de A existan.

EJEMPLO 2.18

Dado el espacio metrico (X, d), definimos dos nuevas metricas:

1. e(x, y) := min1, d(x, y).

2. f(x, y) :=d(x, y)

1 + d(x, y).

Tanto e como f son metricas acotadas por 1, y lo que es aun mas intere-sante, d ≡ e y d ≡ f . En efecto, dada la metrica d y la metrica asociadae = min1, d tenemos que para la bola Bd

r (x) —radio r en la metrica d—al tomar s = min1, r se satisface Be

s(x) ⊆ Bdr (x). La otra inclusion es

obvia. Para el caso f =d

1 + des facil verificar que

Bfr

1+r(x) ⊆ Bd

r (x) y Bdr

1−r(x) ⊆ Bf

r (x), r < 1.

Por tanto, toda metrica es topologicamente equivalente a una metricaacotada.

El ejemplo anterior muestra que el espacio topologico asociado a X pormedio de las metricas d y e es el mismo. Luego la propiedad de acotamientoes exclusivamente metrica, que la perdemos cuando pasamos a estructurasmas generales, como es el caso de la topologica.

Definicion 2.13. Decimos que dos metricas d,m para un mismo conjuntoX, son metricamente equivalentes o fuertemente equivalentes (ver

G. RUBIANO


teorema 2.14) si existen dos numeros reales positivos s, t tales que paratodo par de puntos x, y ∈ X se satisface

d(x, y) ≤ sm(x, y) , m(x, y) ≤ t d(x, y). (2.31)

Teorema 2.14. Ser metricamente equivalentes implica ser topologicamenteequivalentes.

Demostracion. Sean d,m dos metricas que son metricamente equivalentes;por lo tanto, existen dos numeros s, t que satisfacen la definicion 2.13.Dada la bola abierta Bd

ε (x) tenemos que Bmε/s(x) ⊆ Bd

ε (x) lo cual muestra

〈d〉 ⊆ 〈m〉. Similarmente Bdε/t(x) ⊆ Bm

ε (x) y por tanto 〈m〉 ⊆ 〈d〉.

EJEMPLO 2.19

El recıproco del teorema anterior no es cierto. Sabemos que toda metrica des topologicamente equivalente a la metrica e = min1, d; pero claramented, e no tienen por que serlo metricamente. Por ejemplo, en el caso de Rn

u noes posible encontrar s > 0 que satisfaga d(x, y) ≤ se(x, y) para todo par depuntos x, y ∈ Rn

u. Sin embargo, la metrica e es metricamente equivalente

a la metrica f =d

1 + dpues tenemos la desigualdad f ≤ e ≤ 2f .

Normas equivalentes. Para el caso de un espacio vectorial normado,decimos que dos normas ‖ ‖1, ‖ ‖2 son topologicamente o metricamente K

equivalentes si las respectivas metricas asociadas lo son. De otra parte,decimos que ellas son equivalentes si existen s, t ∈ R>0 tales que,

‖ ‖1 ≤ s‖ ‖2 y ‖ ‖2 ≤ t‖ ‖1 —las notamos ‖ ‖1 ≡ ‖ ‖2—.

En este caso de los espacios normados no tenemos necesidad de distinguir,como pasaba en los espacios metricos, entre distintas formas de equivalen-cia ya que estas tres definiciones de equivalencia son iguales, con lo cualpodemos utilizar simplemente el adjetivo normas equivalentes. Mas aun,es posible demostrar que en un espacio vectorial normado de dimensionfinita, todas las normas son equivalentes.

EJEMPLO 2.20

Las metricas ln1 , ln2 y ln∞ son topologicamente equivalentes. Para esto, bastamostrar la desigualdad

B∞r/√

2(x) ⊆ B1

r (x) ⊆ B2r (x) ⊆ B∞r (x).

G. RUBIANO


-1 -0.5 0.5 1

-1

-0.5

0.5

1

Figura 2.7: B1((0, 0)) para p=1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 en R2p.

Para el caso del plano, al graficar las bolas B1((0, 0)) para cada una de lasmetricas dp, obtenemos la figura 2.7 donde, en la medida en que p crece,obtenemos una deformacion continua del rombo de d1 al cuadrado de d∞,en que la circunferencia en d2 no es mas que un paso en el camino.

La justificacion de la notacion d∞ para la metrica del sup la obtenemosdel siguiente lema.

Lema 2.15. Para cada x = (x1, . . . , xn) ∈ Rn se tiene que

limp→∞ ‖x‖p = max|x1|, . . . , |xn| = ‖x‖∞.

Demostracion. Es claro que

‖x‖p∞ ≤ |x1|p + · · ·+ |xn|p ≤ n‖x‖p∞. (2.32)

Si a cada lado de la desigualdad elevamos a la potencia 1/p, obtenemos

‖x‖∞ ≤ ‖x‖p ≤ n1/p‖x‖∞. (2.33)

Como n1/p → 1 cuando p → ∞, tenemos nuestro lımite. Notemos que ladesigualdad en 2.33 muestra que para cada p la norma ‖ ‖p es equivalentea ‖ ‖∞, con lo cual todas las ‖ ‖p son equivalentes en Rn, esto es, inducenla misma topologıa.

G. RUBIANO


En la definicion de la metrica dp para los espacios Rn (ver recuadro pag.37) la condicion p ≥ 1 no debe pasar desapercibida, puesto que en el casop < 1 no obtenemos una norma y por lo tanto no inducimos una metrica.Por ejemplo, para p = 1/2 y n = 2 la desigualdad triangular no se verificaen el caso de los puntos x = (1, 1), y = (0, 0), z = (1, 0) pues d(x, y) = 4mientras que d(x, z) = d(z, y) = 1.

EJEMPLO 2.21

Una maquina para construir metricas equivalentes. Dados un espaciometrico (X, d) y una funcion f : R+ → R+ estrictamente creciente, conf(0) = 0 y f(u+ v) ≤ f(u) + f(v), la compuesta f d es una metrica. Siademas f es continua en 0, las dos metricas f y f d son topologicamenteequivalentes.Verifiquemos, antes de todo, que m = f d definida como m(x, y) =f(d(x, y)) es una metrica.

1. m(x, y) es positiva por la definicion de f . Por ser f creciente tenemosque f(d(x, y)) = 0 implica d(x, y) = 0 con lo cual x = y. Para larecıproca de esta afirmacion recordemos que f(0) = 0.

2. La simetrıa en m es consecuencia de la simetrıa en d.

3. La desigualdad triangular,

m(x, z) = f(d(x, z)) ≤ f(d(x, y) + d(y, z))≤ f(d(x, y)) + f(d(y, z))= m(x, y) +m(y, z)).

Para verificar que las dos metricas nos llevan a la misma topologıa, debemostener las contenencias entre las respectivas bolas.Como f es continua en 0, dado ε > 0, existe δ > 0 tal que x < δ implicaf(x) < ε. Por tanto d(x, y) < δ implica m(x, y) = f(d(x, y)) < ε, lo cualno es mas que contenencia entre bolas.Por ser f creciente se verifica que si m(x, y) = f(d(x, y)) < f(ε) entoncesd(x, y) < ε, con lo cual tenemos la otra contenencia entre las bolas.

A manera de ejemplo, notemos que las funciones

αu (para α > 0),u

1 + u, log(1 + u), min1, u, arctanu

G. RUBIANO


satisfacen las condiciones para f . ¿Que metricas son inducidas por estasfunciones?

1

x y

Para el caso X = R con la metricausual del valor absoluto, y la funcionf(u) = arctanu tenemos que su com-puesta produce la metrica

f(d(x, y)) = | arctanx− arctan y|.

Esta nueva metrica mide el angulo (me-dido en radianes) entre las rectas des-critas por la figura —en este caso serestan, pero si x y y tienen diferente

signo entonces se suman—. Es una metrica acotada por π, y ademas re-sulta ser topologicamente equivalente con la usual ya que la funcion f escontinua en 0.

En el sentido contrario a como hemos desarrollado esta ultima seccion,obtenemos una pregunta que ha influenciado el desarrollo de la Topologıa:dado un espacio topologico (X, T) ¿existe una metrica d para X tal que latopologıa T sea inducida por d? El estudio de la metrizabilidad, es decir, labusqueda de condiciones necesarias y/o suficientes para que una topologıaprovenga de una metrica, es un capıtulo abierto a la investigacion con suspropios teoremas, algunos de ellos clasicos en la literatura matematica.

Ningun espacio topologico (X,T) donde X es un conjunto finito y T noes la discreta, es metrizable. En otras palabras, si (X, d) es metrico conX finito, siempre tenemos que 〈d〉 = discreta.

Ejercicios 2.3

1. Muestre que la relacion de equivalencia topologica para las metricases en efecto una relacion de equivalencia.

2. ¿Como son las bolas en la metrica del mensajero? —ver pag. 40—.

3. A partir de la definicion de elipse en la metrica usual, ¿como es unaelipse, una circunferencia, una recta para la metrica del taxista?

G. RUBIANO


4. Dados dos espacios metricos (X,m), (Y, n) muestre que las metricasd1, d2, d∞ (ejercicio 1 de 2.1) son equivalentes.

Sugerencia: para todo par de puntos x, y ∈ X × Y se verifica

d∞(x, y) ≤ d2(x, y) ≤ d1(x, y) ≤ 2d∞(x, y).

5. Generalice el problema anterior para un producto finito cualquiera deespacios metricos.

6. Muestre que toda metrica sobre un conjunto finito genera la topologıadiscreta.

7. De un ejemplo de una metrica sobre un conjunto enumerable que nogenera la topologıa discreta.

8. Ya hemos definido la metrica d∞ del sup para el conjunto de las fun-ciones continuas C([0, 1],R). Pero la notacion nos lleva a conjeturarla existencia de toda la gama de metricas dp para p ≥ 1 —notamosCp[0, 1] = ((C[0, 1],R), dp)— que mide la distancia entre dos funcio-nes f, g asignandoles el numero

dp(f, g) :=(∫ 1

0|f(x)− g(x)|p

) 1p

.

El estudio de estas metricas se sale de las pretensiones de este texto.Pero para el caso concreto de p = 1, 2 muestre que efectivamente setrata de metricas y que

(a) 〈d∞〉 * 〈d2〉.(b) 〈d2〉 ⊆ 〈d∞〉.(c) 〈d1〉 * 〈d∞〉.(d) 〈d∞〉 * 〈d1〉.

Sugerencia caso a: Para la desigualdad triangular en d2 apoyese en ladesigualdad de Schwartz(∫ b

af(t)g(t)dt

)2

≤∫ b

af2(t)dt

∫ b

ag2(t)dt.

Para negar la contenencia considere la sucesion de funciones continuasgn —figura 1.5— definidas como

gn(x) =

1− nx si 0 ≤ x ≤ 1

n

0 si 1n ≤ x ≤ 1

G. RUBIANO


Note que cada gn tiene un segmento de recta en el eje X cada vez

1n

14

13

12

1

1 ...................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................

.............................................................................................................................................................................................................................................................................................................

...............................................................................................................................................................................................................................................................................................................................

......................................................................................................................................................................................................................................................................................................

...........................................................................................................................................................

x

y

Figura 2.8: Las funciones gn.

mas largo. Es facil ver que

d2(0, gn) =

√1

3n

mientras que d∞(0, gn) = 1. Luego la bola B1/2(0) en d∞ de centrola funcion nula y con radio 1/2, no contiene a ninguna gn, con lo cual,no existe en d2 alguna bola centrada en la funcion nula, que puedaestar contenida en B1/2(0) ya que 1/3n→ 0 cuando n→∞.

Sugerencia caso c: tome δ = ε.

Sugerencia caso d : considere la sucesion de funciones continuas gndefinidas como

gn(x) =

−4nx+ 4 si 0 ≤ x ≤ 1

2n

2 si 12n ≤ x ≤ 1.

Para la funcion constante f(x) = 2 verifique que cada gn ∈ B11n

(f) y

gn /∈ B∞1 (f).

Esta contenencia no se tiene, pues siempre podemos encontrar fun-ciones g tales que su integral (area bajo la curva) sea tan pequenacomo queramos y sin embargo tengan una ‘punta’ tan larga comoqueramos.

G. RUBIANO

3 Bases y numerabilidad

Un espacio (X,T) puede poseer muchas bases, siendo la mayor de todasla misma T. Cuando en un espacio tenemos en cuenta la cardinalidad delas bases, motivamos las siguientes definiciones, cuyos nombres respondenmas a un caracter historico que descriptivo.

3.1 2-contable

Definicion 3.1. Un espacio (X,T) se dice 2-contable si entre sus basesexiste alguna con un numero enumerable —finito o infinito— de elementos.

Esta condicion impone una cota al numero de abiertos en la topologıa(ver ejercicio 12 de la pag. 69). Tambien nos dice que la topologıa puedeser descrita en terminos de un numero contable de piezas de informacion.

EJEMPLO 3.1

Ru es 2-contable. Por supuesto la base formada por todos los interva-los abiertos no es enumerable, pero de ella podemos extraer la subfamiliaenumerable

B = (p, q) : p < q, p, q ∈ Q.Esta subfamilia es de nuevo una base —verifıquelo!— y es enumerable yaque su cardinal es el mismo de Q×Q.

EJEMPLO 3.2

(R, cofinitos) no es 2-contable.

63

G. RUBIANO


Supongamos que existiera una base enumerable B = B1, B2, . . .. CadaBn es un abierto y por tanto Bc

n es finito, con lo cual⋃i=1B

cn = (

⋂i=1Bn)c

es un conjunto enumerable, luego existe un elemento y ∈ ⋂n=1Bn y comoR−y es un abierto, debe existir un j ∈ N para el cual Bj esta contenidoen el, pero esto es imposible ya que para todo n ∈ N se tiene y ∈ Bn.

EJEMPLO 3.3

X = (RN, primeriza) no es 2-contable (ver ej. 4 de la pag. 41).

Recordemos que en este espacio lo que importa es el comportamiento inicialde las sucesiones, a diferencia de lo ‘usual’ en sucesiones, donde importa elcomportamiento final. Si existiera una base B = B1, B2, . . ., por cadan ∈ N tomamos un elemento (i. e., una sucesion) tn = (tnk)∞k=1 ∈ Bn.Ası, la sucesion tn1∞n=1 esta formada por la primera coordenada de cadasucesion tn.Construimos ahora una sucesion q = (qn) en la cual q1 6= tn1 para cada n,con lo que la primera componente de q es diferente de la primera compo-nente de cada una de las sucesiones tn, lo que implica tn /∈ B1/2(q) paratodo n, puesto que al diferir q y tn en su primera componente, ya estan lomas lejanas posible, esto es d(q, tn) = 1. Ası que ninguna Bn de la basepuede estar contenida en B1/2(q).

EJEMPLO 3.4

El espacio H de Hilbert es 2-contable.

Definimos una base B enumerable de la manera siguiente.

Sea D =⋃Dn, (n ∈ N) donde

Dn := (xn) ∈ H, xn ∈ Q : si k > n entonces xk = 0.

D esta constituido de todas las sucesiones en H formadas por numerosracionales y a la larga constantes a cero. D es enumerable. Definimos

B := Br(d) : d ∈ D, r ∈ Q.

B es enumerable. Para verificar que B es una base, probaremos que cual-quier abierto U ⊆ H es reunion de bolas en B. En efecto, dado t = (tk) ∈ Uexiste una bola Bε(t) ⊆ U . Ahora veamos que podemos encontrar una bola

G. RUBIANO

3.2 1-contable 65

Br(q) (q ∈ D, r ∈ Q) con la propiedad que t ∈ Br(q) ⊆ Bε(t). Comot ∈ H, sabemos que

∑k=1 t

2k es convergente y por tanto existe un termino

xN en la sucesion, a partir del cual la suma de la serie es menor que ε2/9,esto es ∑

k=N+1

t2k < ε2/9.

De otra parte, para cada k = 1, 2, . . . , N existe qk ∈ Q tal que

|qk − tk| < ε2

9N,

y por tanto q = q1, q2, . . . , qN , 0, 0, 0, . . . verifica que d(q, t) < ε/3.

Notese que t ∈ B2ε/3(q) ⊆ Bε(t). Sea r ∈ Q con ε/3 < r < 2ε/3,entonces t ∈ Br(q) ⊆ Bε(t), pues si d(z, q) < r entonces

d(z, t) ≤ d(z, q) + d(q, t) ≤ 2ε/3 + ε/3 = ε.

3.2 1-contable

El concepto de base para un espacio lo podemos localizar en un punto—tener una definicion local— de la manera siguiente.

Definicion 3.2. Sean (X,T) un espacio y x ∈ X. Decimos que Bx ⊆ T

es una base local para x si dado U ∈ T con x ∈ U , existe B ∈ Bx tal quex ∈ B ⊆ U .

Los conceptos de base y base local estan relacionados por la siguienteproposicion.

Proposicion 3.3. Sea (X,T) un espacio. B ⊆ T es una base si y solo sipara cada x ∈ X el conjunto Bx = B ∈ B : x ∈ B es base local en x.

Demostracion. ⇒) Sea U ⊆ X un conjunto abierto con x ∈ U . Por ladefinicion de base, existe B ∈ B con x ∈ B ⊆ U , pero por la definicion deBx tenemos B ∈ Bx.

⇐) B =⋃x∈X Bx es una base.

G. RUBIANO


La clase de espacios topologicos que a continuacion definimos es mas am-plia que la de los espacios metricos, y tendra un comportamiento idealcuando hagamos referencia a conceptos topologicos en los cuales inter-venga la nocion de convergencia de sucesiones.

Y lo que es mas, en esta clase de espacios 1-contables las sucesionesresultan ser adecuadas para describir la topologıa.

Definicion 3.4. Un espacio (X,T) se dice 1-contable —o que satisfaceel primer axioma de enumerabilidad1— si cada punto del espacio posee unabase local enumerable.

EJEMPLO 3.5

Todo espacio metrico es 1-contable. Dado x ∈ X, la familia de las bolasabiertas

Bx = B 1n

(x) : n ∈ N,es una base local en el punto x.

EJEMPLO 3.6

Todo espacio 2-contable es 1-contable. Si B ⊆ T es una base enumerablepara un espacio (X,T) y p ∈ X, el conjunto Bx = B ∈ B : p ∈ B esuna base local y enumerable en p.

EJEMPLO 3.7

El espacio de Sorgenfrey (R, [a, b)) es 1-contable. Dado x ∈ R el conjuntoBx = [x, q) : q ∈ Q, q > x es una base local enumerable. Muestre queno es 2-contable.

EJEMPLO 3.8

El espacio Tpω del ejemplo 1.11 puede ser generado por una base constituida

por dos clases de elementos: cualquier conjunto unitario diferente de p,o el complemento de cualquier conjunto finito de puntos. Este espacio fallaen ser 1-contable tan solo por uno de sus puntos. Sea X un conjunto nocontable y p un elemento elegido en X. Esta topologıa para X no admiteuna base local enumerable en el punto p —pruebelo—.

1Esta clasificacion se debe al matematico estadounidense Robert L. Moore (Dallas,Texas 1882 -1974 Austin, Texas) en 1916 en su intento por dar fundamento a la topologıaen una serie de axiomas. Moore es reconocido por su manera inusual de ensenar con unmetodo llamado hoy por su nombre.

G. RUBIANO

3.2 1-contable 67

Definicion 3.5. Dados un espacio (X,T) y un cubrimiento abierto U ⊆ T,decimos que D ⊆ U es un subcubrimiento para U si D es de nuevo uncubrimiento abierto de X. —Podemos descartar elementos en U—.

Teorema 3.6 (Lindelof2). Sea (X,T) un espacio 2-contable. De cadacubrimiento abierto U de X podemos extraer un subcubrimiento contable.

Demostracion. Sea B = B1, B2, . . . una base para X. En B considera-mos el siguiente subconjunto de ındices:

S = n : Bn ⊆ U, algun U ∈ U.

Sabemos que la coleccion enumerable C = Bn : n ∈ S cubre a X, puesdado x ∈ X, existe U ∈ U con x ∈ U . Como B es base, existe Bk ∈ B

con x ∈ Bk ⊆ U , luego k ∈ S y por tanto Bk ∈ C y ası x ∈ ⋃ C.

Por cada n ∈ S elegimos Un ∈ U tal que Bn ⊆ Un. Definimos D—el subcubrimiento contable— como D := Un : n ∈ S. Claramente⋃ C ⊆ ⋃D y por tanto D es un cubrimiento de X y D ⊆ U .

Demos nombre a la propiedad anterior.

Definicion 3.7. Un espacio (X,T) se dice de Lindelof o w-compacto sicada cubrimiento abierto de X se puede reducir a uno enumerable.

EJEMPLO 3.9

(R, coenumerables) es de Lindelof y no es 2-contable.

EJEMPLO 3.10

(R, [a, b)) es de Lindelof y no es 2-contable. Dado un intervalo [q, s) conq irracional, solo otro intervalo de la forma q ∈ [q, a) con a < s puedecontener al punto q y estar contenido en [q, s). por tanto, toda base debetener un cardinal mayor o igual al cardinal de los numeros irracionales.

!2 4

2Ernst Leonard Lindelof (1870-1946), matematico finlandes, nacido en Helsinki.

G. RUBIANO


Corolario 3.8. Si el espacio (X,T) es 2-contable, entonces es de Lindeloff.

Corolario 3.9. Sea (X,T) un espacio 2-contable. Entonces cualquier baseQ = Qi : i ∈ I se puede reducir a una base enumerable. Esto es, no tansolo existe una base enumerable en el espacio, sino que cualquiera se puedereducir a una enumerable.

Demostracion. Sea B = B1, B2, . . . una base para X. Por ser Q unabase, cada elemento Bn ∈ B se puede escribir como Bn =

⋃i∈I Qi, (Qi ∈

Q) y esta coleccion se puede reducir a una contable para cada Bn, puesdado x ∈ Bn existe Qx ∈ Q tal que x ∈ Bx ⊆ Qx ⊆ Bn. Bx ∈ B y lacoleccion Bx : x ∈ Bn es claramente contable y por tanto tambien lo esla coleccion Qn = Qx : Bx ⊆ Qx. Al variar n en Bn, obtenemos unacoleccion enumerable de enumerables Qn, la cual es una base.

Ejercicios 3.2

1. Muestre que Rnu es 2-contable.

2. Dada Bx = B1, B2, . . . una base local en x. Muestre que podemosconstruir B∗1 , B∗2 , . . . base local en x, tal que B∗1 ⊇ B∗2 ⊇ · · · , estoes, existe una base local encajada.

3. Muestre que (R, [a, b)) no es 2-contable.

4. Sean T1,T2 dos topologıas para X tales que T1 ⊆ T2. Si T2 es2-contable (Lindeloff) ¿puede inferirse que T1 lo sea?

5. Muestre que la topologıa (X, cofinitos) en cualquier espacio metrico(X, d) es menos fina que la topologıa inducida por la metrica.

6. Muestre que la topologıa (X, cofinitos) es la topologıa menos finaque es T1.

7. ¿(R2, lexicografico) es 2-contable?

8. (I × I, lexicografico) es 1-contable y no es 2-contable.

9. ¿(R, cofinitos) es 1-contable?

10. ¿(N, cofinitos) es 2-contable?

G. RUBIANO

3.2 1-contable 69

11. ¿Cuales de los espacios considerados en los ejercicios 8, 9, 10 son deLindelof?

12. Si (X,T) es 2-contable entonces |T| ≤ |R| = 2ℵ0 .

13. Si (X,T) es 2-contable y T0 entonces |X| ≤ |R| = 2ℵ0 .

14. Muestre que si el espacio (X,T) es 1-contable y |X| = ℵ0 entoncesel espacio es 2-contable.

15. El espacio de Arens-Fort (pag. 29, ejercicio 15 de 1.3) no es 1-contable ya que no es 2-contable. Pruebelo!

16. Muestre que las propiedades 2-contable y 1-contable son hereditarias.

17. Muestre que en espacio metrico (X, d) las propiedades de 2-contabley Lindelof son equivalentes.

Sugerencia: para cada n ∈ N, considere el cubrimiento abierto con-sistente en todas las bolas de radio 1/n. La propiedad de Lindelofdice que lo podemos reducir a uno enumerable Bn. Muestre queB = ∪nBn es una base enumerable.

18. Muestre que si un espacio tiene un subespacio discreto no contableentonces no es 2-contable. Utilice este resultado para mostrar que(I × I, lexicografico) no es 2-contable.

Sugerencia: considere A = (x, y) : y = 1/2.

G. RUBIANO

4 Funciones —comunicaciones entreespacios—

Hasta aquı hemos definido y tenemos lo que podrıamos llamar los obje-tos de nuestra teorıa, es decir, ası como en la teorıa de conjuntos los objetosprincipales son los conjuntos, no basta el que ellos existan para que la teorıasea valorada: necesitamos contar con un medio o una manera de relacio-nar los conjuntos entre sı, esto es, requerimos las flechas de las funciones,para que ası podamos llegar a conceptos como los de cardinalidad, infinito,isomorfismo, producto cartesiano, etc.

Por tanto necesitamos de flechas o medios de comunicacion entre nues-tros espacios topologicos. Como ellos primariamente son conjuntos, nues-tras flechas, en su base, seran funciones entre estos conjuntos. Pero de-bemos enriquecerlas en el sentido que tengan en cuenta la estructura to-pologica adicional que hay en cada espacio; por eso, requerimos funcionescon un adjetivo como lo da la siguiente definicion.

4.1 Funciones continuas

Definicion 4.1. Sea f : (X,T) −→ (Y,H) una funcion entre espacios.Dado a ∈ X decimos que f es continua en a si dada una vecindad Vf(a)

en Y existe una vecindad Ua en X tal que f(Ua) ⊆ Vf(a).

Si f es continua en cada punto de X, decimos que f es continua.

EJEMPLO 4.1

La definicion de continuidad del calculo coincide con esta definicion cuandoa los numeros reales les damos la topologıa usual.

70

G. RUBIANO

4.1 Funciones continuas 71

La anterior definicion —puntual— de continuidad es equivalente a la sigui-ente definicion dada exclusivamente en terminos de abiertos.

Teorema 4.2. f : (X,T) −→ (Y,H) es continua si y solo si para cadaV ∈ H se tiene que f−1(V ) ∈ T, i. e., f−1(H) ⊆ T.

Demostracion. ⇒) Sea f continua y V un elemento de H; para ver quef−1(V ) es abierto, lo expresaremos como una union de abiertos. Sea x ∈f−1(V ), por ser f continua existe Ux abierto tal que f(Ux) esta contenidoen V , luego Ux ⊆ f−1(V ) y ası

f−1(V ) =⋃Ux | x ∈ f−1(V ).

⇐) Sean x ∈ X y V ∈ H tales que f(x) ∈ V . Como x ∈ f−1(V ) ∈ T yf(f−1(V )) ⊆ V , tenemos que f es continua en x, y como x fue cualquiera,f es continua.

Para verificar la anterior caracterizacion de continuidad es suficiente queverifiquemos la condicion f−1(B) ⊆ T para una base B cualquiera ¿porque?; mas aun, f−1(S) ⊆ T de una subbase S cualquiera.

K

Por supuesto la continuidad no es algo que dependa exclusivamente dela funcion en sı; las topologıas son determinantes como lo muestran lossiguientes ejemplos.

EJEMPLO 4.2

1. Cualquier funcion f : (X, 2X) −→ (Y,H) es continua.

2. Cualquier funcion f : (X,T) −→ (Y, ∅, X) es continua.

3. La funcion identica id : R −→ R, donde las topologıas respectivasson la usual y la de complementarios finitos es una funcion continua,pero no lo es si invertimos las topologıas.

4. La funcion identica idX : (X,T) −→ (X,H) es continua si y solo siT es mas fina que H.

5. Toda funcion constante es continua.

6. La funcion f(x) = −x es continua para Ru pero no para (R, [a, b)).

G. RUBIANO

72 Funciones —comunicaciones entre espacios—

Para el caso de los espacios metricos la definicion de continuidad adopta lasiguiente forma, mas familiar en terminos de distancias.

Sean (X, d), (Y,m) dos espacios metricos. f : X −→ Y es continua enel punto a de X si y solo si para todo ε > 0 existe δ > 0 tal que, si x ∈ Xsatisface d(a, x) < δ entonces m(f(a), f(x)) < ε. En otras palabras,

x ∈ Bdδ (a) implica f(x) ∈ Bm

ε (f(a)).

Un tipo de continuidad mas fuerte que la usual se define para los espaciosmetricos de la manera siguiente.

Definicion 4.3. Sean (X, d), (Y,m) dos espacios metricos. Una funcionf : X −→ Y se llama uniformemente continua si para cada ε > 0, existeδ > 0 tal que si d(x, y) < δ entonces m(f(x), f(y)) < ε.

En otras palabras, dado cualquier ε > 0, existe δ > 0 —δ dependiendounicamente de ε, con lo que δ es uniforme para todos los puntos x ∈

X a diferencia de la continuidad usual— tal que para cualquier x ∈ X,f(Bδ(x)) ⊆ Bε(f(x)).

EJEMPLO 4.3

Sean (X, d), (Y,m) dos espacios metricos. f : (X, d) −→ (Y,m) se llamaLipschitziana con factor de contraccion k si para todo par de puntosx, y ∈ X se tiene

m(f(x), f(y)) ≤ k d(x, y) con k > 0.

f es uniformemente continua. Dado ε > 0 tomemos δ = ε/k. Parad(x, y) < δ se tiene que m(f(x), f(y)) ≤ kd(x, y) < kδ < ε. Si k = 1,esto es, m(f(x), f(y)) = d(x, y) decimos que f es una isometrıa —escontinua e inyectiva—. Si f es sobreyectiva entonces f−1 es una isometrıacon lo que los espacios resultan homeomorfos.

EJEMPLO 4.4

Por supuesto toda funcion uniformemente continua es continua. Pero locontrario no se tiene:

Una funcion tan simple como f : Ru −→ Ru definida por f(x) = x2 escontinua pero no lo es uniformemente. En efecto, para ε = 1 no existe

G. RUBIANO


δ tal que |x − y| < δ implique |x2 − y2| < 1 para todo par x, y; por

ejemplo para x =1δ

+δ

2, y =

1δ

. Pero si x2 es restringida a un intervalo

cerrado y acotado [−A,A] entonces sı es uniformemente continua, pues

|x− y| < ε

2A+ 1implica

|x2 − y2| = |x+ y||x− y| ≤ 2Aε

2A+ 1< ε

para x, y ∈ [−A,A]. Contrario a la anterior funcion, las funciones x 7→ x+1y x 7→ x

1 + x2de R en R sı lo son.

La propiedad de ser uniformemente continua es metrica —no topologi-ca— en el sentido de que cambiando la metrica d sobre el espacio (X, d)por una metrica d∗ topologicamente equivalente, podemos hacer que unafuncion continua f sea o no uniformemente continua.

De acuerdo con el ejercicio 9 de la pagina 93, desde un punto de vis-ta estrictamente topologico, todas las funciones continuas entre espaciosmetricos resultan ser en un sentido uniformemente continuas. Aunque pa-rezca extrano, podemos cambiar la metrica del espacio en el dominio poruna equivalente que nos produzca la uniformidad.

EJEMPLO 4.5

Sea A ⊆ (X, d). Dado x ∈ X, definimos la distancia d(x,A) de x a Acomo

d(x,A) := infd(x, a) : a ∈ A.La funcion f : X −→ R definida como f(x) = d(x,A) es uniformementecontinua.

En efecto, dado ε > 0 encontremos δ > 0 tal que si d(x, y) < δ entonces|d(x,A)−d(y,A)| < ε. Para esto es suficiente probar que para cada par depuntos x, y ∈ X se tiene |d(x,A) − d(y,A)| ≤ d(x, y), con lo cual δ = εsatisface la condicion —tenemos una contraccion—.

d(x,A) = infd(x, a) | a ∈ A≤ infd(x, y) + d(y, a) | a ∈ A= d(x, y) + infd(y, a) | a ∈ A= d(x, y) + d(y,A),

G. RUBIANO


invirtiendo los papeles de x y y obtenemos d(y,A) ≤ d(x, y) + d(x,A) conlo cual

d(x,A)− d(y,A) ≤ d(x, y) y d(y,A)− d(x,A) ≤ d(x, y)

lo que implica |d(x,A)− d(y,A)| ≤ d(x, y).

EJEMPLO 4.6

Dado (X, d), la funcion d : X × X −→ R es uniformemente continuacuando a X ×X lo dotamos de la metrica

d∞(x, y) = maxd(x1, y1), d(x2, y2)

para x = (x1, x2), y = (y1, y2).

En efecto, dado ε > 0 tomemos δ = ε/2. Si d∞(x, y) < δ esto implicaque d(x1, y1) < δ, d(x2, y2) < δ. Como d(x1, x2) ≤ d(x1, y1) + d(y1, y2) +d(y2, x2) entonces

d(x1, x2)− d(y1, y2) ≤ d(x1, y1) + d(x2, y2) < 2d∞(x, y) < 2δ = ε.

Similarmente d(y1, y2)− d(x1, x2) < ε, con lo cual,

|d(x1, x2)− d(y1, y2)| < ε.

EJEMPLO 4.7

En (C(I,R), sup) la funcion∫I : C(I,R) −→ R definida por

∫I(f) =∫ 1

0 f(t)dt es uniformemente continua. En efecto, basta verificar la siguientedesigualdad que muestra que tenemos una contraccion,∣∣∣∣∫

If −

∫Ig

∣∣∣∣ ≤ ∫I|f − g| ≤

∫I‖f − g‖∞ = ‖f − g‖∞.

EJEMPLO 4.8

La funcion

f : (R, (a, b]) −→ (R, usual)

descrita en la figura es continua. Si enel dominio tuvieramos la topologıa usual,ella es un clasico de no continuidad en unpunto.

G. RUBIANO


EJEMPLO 4.9

Metricas exoticas para R. Sean X un conjunto y (Y,m) un espaciometrico. Dada una funcion inyectiva f : X −→ Y , definimos una metricad∗ llamada la metrica inducida por la funcion f como

d∗(x, y) := m(f(x), f(y)),

la cual hace de f una isometrıa; si f es sobre entonces tanto f como f−1

resultan ser continuas.Para el caso X = Y = R y m = usual, obtenemos metricas exoticassegun consideremos a f . Por ejemplo, d∗(x, y) =| arctag(x)− arctg(y) |,| ex − ey |, o en el caso de considerar R>0 obtenemos | 1/x− 1/y |.

Pero ¿cuales de estas metricas resultan equivalentes a la usual?

Si f : (X, d) −→ (Y,m) es un homeo-morfismo —f es biyectiva y tanto f co-mo f−1 son continuas— entonces la metricad∗(x, y) := m(f(x), f(y)) es equivalente ala metrica d. Para ello basta ver que la fun-cion identidad idX : (X, d) −→ (X, d∗) esun homeomorfismo —ejercicio 4 pag. 75—.

(X, d) (Y,m)

(X, d∗)

-f

@@@@@R

idX

?

f−1

En el caso de la funcion tan : (−π/2, π/2) −→ R y su inversa arctan,obtenemos que la metrica usual es equivalente a la metricad∗(x, y) = | arctan(x) − arctan(y) | (ver pagina 60). De manera simi-lar para | ex − ey |.

Ejercicios 4.1

1. La compuesta de funciones continuas es continua.

2. Muestre que f : (X,T) −→ (Y,H) es continua si f−1(B) ⊆ T parauna base B ⊆ H.

3. En Ru muestre la continuidad de f : R −→ R, f(x) = x2 observandocomo es f−1((a, b)).

4. Sean (X, d), (X,m) dos espacios metricos. Muestre que d y mson topologicamente equivalentes si y solo si las funciones identidadidX : (X, d) −→ (X,m) y idX : (X,m) −→ (X, d) son continuas.

G. RUBIANO


5. Si X,Y tienen la topologıa de los cofinitos, f : X −→ Y no constantees continua si y solo si f tiene fibras finitas.

6. Si X,Y tienen la topologıa del punto incluido, f : X −→ Y escontinua si y solo si f preserva los puntos incluidos.

7. Sea (X,J ) un espacio para el cual toda f : (X,J ) −→ Ru escontinua. Muestre que J es la discreta.

8. Decimos que una funcion f : X −→ Y entre espacios es abierta(cerrada) si la imagen de un subconjunto abierto (cerrado) es unabierto (cerrado) en Y . De ejemplos de funciones abiertas que no seancontinuas, de funciones continuas que no sean abiertas, de funcionescontinuas y abiertas, de funciones ni continuas ni abiertas.

Sugerencia: considere las proyecciones de R2u en Ru.

9. Sean X,Y conjuntos linealmente ordenados. Toda f : X −→ Yestrictamente creciente —x < y implica f(x) < f(y)— y sobreyectivaes continua.

4.2 La categorıa Top

Las definiciones de espacio topologico y funcion continua satisfacen lossiguientes numerales:

1. Se definio una clase de objetos Top, llamada los espacios topologicos.

2. A cada par de objetos —espacios topologicos— le hemos definido unconjunto

Mor(X,Y ) = f | f : (X,T) −→ (Y,H) es continua llamado el conjunto de las flechas o el conjunto de los morfismos deX en Y .

3. Dados X,Y,W en Top existe una ley de composicion

Mor(X,Y )×Mor(Y,W ) −→Mor(X,W ) definida por (f, g) 7→ gf.Ademas 1, 2 y 3 satisfacen:

4. h (g f) = (h g) f —asociatividad—.

G. RUBIANO

4.2 La categorıa Top 77

5. Dado X en Top, existe la funcion identica idX ∈Mor(X,X) la cuales una flecha y satisface f idX = f, idX g = g cada vez que lascomposiciones sean posibles.

Estas propiedades las podemos generalizar para llegar al concepto de cate-gorıa.

Definicion 4.4. Una categorıa (O,M)consiste en una coleccion O lla- K

mada los objetos de la categorıa, y de una coleccion M de conjuntos cu-yos elementos se llaman los morfismos o las flechas de la categorıa, conla propiedad que para cada par de objetos A,B ∈ O existe un conjuntoMor(A,B) ∈M que satisface:

1. Para cada trıo A,B,C de objetos existe la composicion de morfismosdenotada por tal que si f ∈Mor(A,B), g ∈Mor(B,C) entoncesg f ∈Mor(A,C).

2. Dados los morfismos f, g, h entonces h (g f) = (h g) f cadavez que la composicion este definida.

3. Para cada objetoA ∈ O existe un morfismo identidad idA ∈Mor(A,A)con la propiedad que es neutro para la operacion de composicion.

EJEMPLO 4.10

1. La clase de todos los conjuntos y las funciones entre conjuntos es unacategorıa.

2. La clase de todos los grupos y los homomorfismos de grupos es unacategorıa.

3. Dado un conjunto X y un orden parcial ≺ sobre X, si tomamos comoobjetos los elementos de X y como morfismos Mor(x, y) el conjuntounitario, o el conjunto vacıo, segun sea que x este o no relacionadocon y, obtenemos una categorıa.

El concepto de categorıa puede ser visto como una abstraccion a las pro-piedades compartidas por una gran variedad de sistemas en matematicas.Ha llegado a ser tambien un area de las matematicas puras con su pro-pio interes. Brevemente, una ‘categorıa’ es un campo del discurso ma-tematico, caracterizado de una manera muy general y por lo tanto suteorıa puede ser utilizada como un conjunto de herramientas que puedenatravesar un espectro muy amplio de la vida matematica.

G. RUBIANO


4.3 Propiedades heredables

Cuando una propiedad del espacio tambien pasa a los subespacios, decimosque la propiedad es hereditaria; por ejemplo, la propiedad de poseer unabase enumerable es hereditaria, al igual que poseer una base enumerable enun punto. Otro ejemplo de una propiedad que se hereda a los subespacioses la metrizabilidad.

Proposicion 4.5. Si (X,T) es un espacio metrizable, entonces para cadaA ⊆ X la topologıa TA de subespacio es de nuevo metrizable.

Demostracion. Sea d : X ×X −→ R una metrica que genera la topologıaT; la restriccion d|A×A de d al subconjunto A × A es una metrica. Paraver que la topologıa generada por d|A×A coincide con la topologıa TA desubespacio, basta notar que un abierto V de TA es de la forma V = U ∩Adonde U es un abierto de T, esto es, U =

⋃i∈I Bi donde cada Bi es una

bola para la metrica d, con lo cual

U ∩A = (∪i∈IBi) ∩A = ∪i∈I(Bi ∩A).

Dado x ∈ Bε(y) ∩ A tomando δ = mind(x, y), ε − d(x, y) tenemos

Bd|A×A

δ (x) ⊆ Bε(y) ∩ A; luego las bolas abiertas en d|A×A son base parala topologıa inducida TA.

EJEMPLO 4.11

Si X es un espacio discreto —grosero— entonces cualquier A ⊆ X heredala discreta —grosera— como la topologıa de subespacio, pues dado a ∈ Ael conjunto a = A ∩ a es un abierto de la topologıa inducida.

EJEMPLO 4.12

Sea (X,T) un espacio y (A,TA) un subespacio de X. La funcion inclusioni : A → X con i(x) = x es una funcion continua, pues claramente si U esabierto de X, i−1(U) = U ∩ A que es la forma como hemos definido losabiertos.

Nota. Parece que la topologıa de subespacio de A fuese expresamentedefinida para hacer la funcion inclusion contınua de la mejor manera —K

¿por que?—.

G. RUBIANO

4.3 Propiedades heredables 79

Ejercicios 4.3

1. ¿Cuales de las siguientes propiedades son hereditarias: discreto, 1-contable, 2-contable, T1, Hausdorff, convergencia trivial, convergen-cia unica, Alexandroff?

2. Teorema del pegamiento. Sean (X,T) y A, B cerrados en X. Sif : A −→ Y , g : B −→ Y son funciones continuas tales que f |A∩B= g |A∩B entonces h : A ∪B −→ Y es continua.

G. RUBIANO

5 Filtros, convergencia y continuidad

Los conceptos de filtro1 y ultrafiltro aparecen en un espectro amplio deramas de la matematica: teorıa de modelos, topologıa, algebra combinato-ria, teorıa de conjuntos, logica, etc. En esta seccion estudiamos su relacioncon la topologıa y en especial con el concepto de convergencia.

5.1 Filtros

Recordemos que el conjunto V(x) de las vecindades de un punto x en unespacio (X,T) satisface las propiedades: 1) La interseccion de dos vecinda-des es una vecindad —cerrado para intersecciones finitas— 2) Si Vx es unavecindad de x entonces cualquier conjunto W tal que Vx ⊆W es de nuevouna vecindad —cerrado para superconjuntos—.

La siguiente definicion, que se debe a H. Cartan en 1937, es dada en elespıritu de estas dos propiedades.

Definicion 5.1. Dado un conjunto X, un filtro F para X es una coleccion,no vacıa, de subconjuntos, no vacıos, de X tal que:

1. Si F1, F2 ∈ F entonces F1 ∩ F2 ∈ F ,

2. Si F ∈ F y F ⊆ G entonces G ∈ F .

Si permitimos que ∅ ∈ F obtenemos ℘(X) o el filtro impropio.

1Para el estudio de la convergencia en los espacios topologicos en general, las suce-siones ordinarias (i. e., funciones definidas sobre los numeros naturales) son demasiadorestrictivas. Hoy en dıa existen dos generalizaciones, una es el concepto de filtro, intro-ducido por Henri Cartan, la otra es el concepto de red, introducido por Moore y Smith.Las dos teorıas son equivalentes, pero si uno aprende la de filtros, estoy seguro que todomundo estara de acuerdo que esta es de lejos la manera mas natural y elegante de hacerlas cosas.

80

G. RUBIANO

5.1 Filtros 81

EJEMPLO 5.1

Dados un espacio (X,T) y un punto x ∈ X, el conjunto V(x) de lasvecindades de x es un filtro para X.

5.1.1 Base de filtro

Definicion 5.2. Dado un filtro F decimos que B ⊂ F es una base defiltro para F si dado F ∈ F existe B ∈ B tal que B ⊆ F .

Usualmente los filtros se definen dando tan solo algunos de sus elemen-tos, a partir de los cuales los demas pueden obtenerse por la contenenciade la propiedad 2 de la definicion 5.1, i. e., los elementos del filtro son lossuperconjuntos de los elementos de la base.

La definicion de base de filtro no es puntual, como en el caso de la defi-nicion de base para una topologıa.

Teorema 5.3. B ⊆ 2X es una base para un unico filtro F de X si y solosi satisface:

1. ∅ /∈ B y B 6= ∅,2. Si B1, B2 ∈ B entonces existe B3 ∈ B con B3 ⊆ B1 ∩B2.

Al filtro F lo denotamos como F = 〈B〉 y lo llamamos el filtro generadopor B. Es el filtro mas pequeno que contiene a B.

Demostracion. Definimos

F := F ⊆ X | B ⊆ F para algun B ∈ B = 〈B 〉.

F es el conjunto de todos los superconjuntos de los elementos en B. QueF es un filtro es inmediato. Si G tambien tiene como base a B, entonceses claro que G esta contenido en F . Para la otra contenencia notemos queB ⊆ G. Luego dado F ∈ F sabemos que existe B ∈ B ⊆ G tal que B ∈ Fcon lo cual F ∈ G por ser G un filtro.

La condicion 2 garantiza que la coleccion B cumple: la interseccion finitade elementos de la familia nunca es vacıa —propiedad de la interseccionfinita PIF—. Inversamente, cualquier familia S de subconjuntos de X que

G. RUBIANO


satisface la PIF es por definicion una subbase para un filtro F en el sentidoque la familia S junto con todas las intersecciones finitas de sus miembrosforma una base de filtro.

Esta condicion dice tambien que una base de filtro con la relacion ⊇ esun conjunto dirigido2.

EJEMPLO 5.2

1. Sea A ⊆ X. B = A es una base de filtro. El filtro generadoF〈A〉 = 〈A 〉 se llama filtro principal asociado a A. El caso en queA = a —un conjunto unitario— es un ejemplo interesante.

2. Para un punto x en un espacio, el conjunto de las vecindades abiertases una base de filtro para el filtro V(x). Notese que V(x) ⊆ 〈x〉.

3. Sea B ⊆ 2N el conjunto de las colas de N, esto es

B := Sn | n ∈ N con Sn := n, n+ 1, . . ..

El filtro generado se llama filtro de Frechet.

4. En un conjunto infinito X, Fc = A ⊆ X | Ac es finito es el filtrode los complementos finitos.

5. En R la coleccion de las colas a derecha abiertas tiene la PIF.

Nota. Analogo a como sucede con las bases en los espacios topologicos, esde esperarse que existan bases de filtro que generen un mismo filtro; en talcaso, tambien es util definir una relacion de equivalencia.

Definicion 5.4. Sean X 6= ∅ y B1, B2 dos bases de filtro en X. Decimosque son equivalentes si 〈B1〉 = 〈B2〉 —las notamos B1 ≡ B2—.

El ejemplo siguiente nos muestra que a cada filtro corresponde un espaciotopologico el cual no puede ser de Hausdorff —¿por que?—.

2Un conjunto dirigido (D, 6) es un conjunto parcialmente ordenado con la propiedadadicional que para cada par de puntos a, b ∈ D existe un elemento c ∈ D que los supera,i. e., a 6 c y b 6 c. En particular, todo conjunto totalmente ordenado es un conjuntodirigido. Un ejemplo importante de conjunto dirigido es, el conjunto de las vecindadesde un punto x en un espacio topologico, dotado de la relacion de inclusion ⊇ donde unconjunto se dira ’mayor´ que otro si esta incluido en el.

Los conjuntos dirigidos son importantes, entre otras cosas, porque dan origen al con-cepto de red, una generalizacion al concepto de sucesion.

G. RUBIANO

5.2 Ultrafiltros 83

EJEMPLO 5.3

Dado un filtro F en X, T = F ∪ ∅ es una topologıa —filtrosa—.

En general, si F ,G son dos filtros sobre X tales que F ⊆ G, decimosque G es mas fino que F —este concepto corresponde al de subsucesion.Esta relacion define un orden parcial sobre el conjunto Fil(X) de todoslos filtros sobre X, y por supuesto tendremos derecho de hablar de todaslas definiciones conexas a un orden.

En particular Fil(X) es inductivo, esto es, toda cadena tiene unacota superior —¿por que?— luego sera posible ‘zornificar’ como en elteorema 5.6. Si admitimos el filtro impropio ℘(X) (a los demas filtroslos llamamos propios) entonces Fil(X) resulta ser un retıculo completo.

5.2 Ultrafiltros

Definicion 5.5. Dado un conjunto X, un ultrafiltro U para X es un ele-mento maximal de Fil(X); esto es, ningun filtro es mas fino que U.

Teorema 5.6. Dado un filtro F en X, existe un ultrafiltro U en X tal queF ⊆ U.

Demostracion. (Usaremos el lema de Zorn: ‘Si (P,≺) es un conjunto par-cialmente ordenado, con la propiedad que cada cadena —una cadena esun subconjunto de P que sea totalmente ordenado por ≺— tiene una cotasuperior en P , entonces P tiene un elemento maximal’). Sea

M = G | F ⊆ G y G un filtro en X.M se ordena por la inclusion. Sea H una cadena en M. Si definimosH =

⋃M, i. e., H es la reunion de todos los filtros que estan en M,vemos que H es un filtro y es cota superior para M; luego, aplicando ellema de Zorn, existe un elemento maximal U enM, es decir U es maximal enel conjunto de los filtros que contienen a F , por tanto es un ultrafiltro.

Si A ⊆ X con A = a, el filtro generado por A es un ultrafiltro llamadoprincipal o fijo (los otros ultrafiltros se llaman no principales o libres).Fuera de este ejemplo no conocemos mas ultrafiltros de manera concreta;los demas tendran la garantıa de existir pero no los conoceremos.

G. RUBIANO


¿Como podemos reconocer si un filtro dado es un ultrafiltro?

Proposicion 5.7. Un filtro U en X es un ultrafiltro si y solo si dado A ⊆ Xentonces A ∈ U o Ac ∈ U .

Demostracion. ⇐) Si F es un filtro tal que U ⊆ F , debemos mostrar queU = F . Si existiera F ∈ F tal que F /∈ U entonces F c ∈ U y por tantoF c ∈ F , lo cual implica que ∅ ∈ F .

⇒) Supongamos que existe A tal que A /∈ U y Ac /∈ U . La coleccion

B := F ∩A | F ∈ Ues una base de filtro en X, pues se tiene la PIF y si F ∩ A = ∅ para algunF esto implica F ⊆ Ac y por tanto Ac ∈ U . El filtro G = 〈B〉 contiene a Uy es mas fino ya que A ∈ G, lo cual contradice que U es un ultrafiltro.

Proposicion 5.8. Sean U un ultrafiltro en X y A,B ⊆ X. Si A ∪ B ∈ Uentonces A ∈ U o B ∈ U .

Demostracion. Si B ∈ U hemos terminado. Supongamos entonces queB /∈ U y veamos que necesariamente A ∈ U . Si sucede que A /∈ U ,entonces

F := M ⊆ X | A ∪M ∈ Ues un filtro en X mas fino que U y estrictamente mas fino ya que B ∈ F .

La anterior demostracion nos indica una manera de crear nuevos filtrosa partir de uno ya conocido y, de paso, refinarlo al tomar un elemento queK

no este en el.

EJEMPLO 5.4

El filtro de Frechet en N no es un ultrafiltro, pues N = P ∪ I —los paresunidos con los impares— y tanto P como I no estan en Frechet.

Proposicion 5.9. Un filtro F en X es la interseccion de todos los ultrafiltrosen X que lo contienen.

Demostracion. Sea D la coleccion de todos los ultrafiltros que contienen aF . Dado A ∈ ∩D veamos que A ∈ F . Si A /∈ F entonces Ac ∩ F 6= ∅para todo F ∈ F , luego existe un ultrafiltro D para el cual Ac ∈ D con loque A /∈ D, y esto contradice que A ∈ ∩D.

G. RUBIANO

5.2 Ultrafiltros 85

Si un ultrafiltro U contiene al filtro Fc de los cofinitos entonces U es noprincipal o libre. Lo interesante es anotar que este es el unico tipo deultrafiltro libre.

Teorema 5.10. Sea U un ultrafiltro sobre un conjunto infinito X. EntoncesFc ⊆ U o U es principal.

Demostracion. Si no se tiene la contenencia, existe A /∈ U con A ∈ Fc.Como Ac es finito y Ac ∈ U existe x ∈ Ac con x ∈ U y ası U es principal.

Si U no es principal, para todo x ∈ X tenemos xc ∈ U. Dado A ∈ Fc,la interseccion finita A =

⋂xc : x ∈ Ac esta en U.

Ejercicios 5.2

1. Muestre que un filtro F sobre X es una familia de subconjuntos novacıos de X que satisface la condicion

A ∩B ∈ F ⇔ A ∈ F y B ∈ F .

2. Dado un conjunto ordenado (X,≺) las colas x ↑= y : x y sonuna base de filtro en X.

3. Dado un conjunto infinito X, sea X+ = X ∪ ω con ω /∈ X. Dadoun filtro F sobre X muestre que

(a) T(F) := 2X ∪ F ∪ ω | F ∈ F es una topologıa para X+.

(b) ¿Quien es V(x) para cada x ∈ X?

(c) ¿Quien es V(ω)?

(d) Muestre que si F1 ⊆ F2 entonces T(F1) ⊆ T(F2).

4. ¿Tiene la anterior construccion alguna relacion con el espacio deArens-Fort? (Pag. 29).

5. Dados un conjunto X y p ∈ X, muestre que para cada ultrafiltro Uen X la siguiente familia de subconjuntos define una topologıa

G(p,U) := 2X−p ∪ U .

G. RUBIANO


6. Sea F un filtro sobre X y A ⊆ X. Muestre que la traza de X sobreA, esto es,

F ∩A := F ∩A | F ∈ Fes una base de filtro en A si y solo si cada F ∩ A 6= ∅. ¿Como es larelacion de contenencia entre estos filtros? (creando nuevos filtros).

7. * Sea U un ultrafiltro en un conjunto X. Si T ⊆ X y T ∩S 6= ∅ paratodo S ∈ U entonces T ∈ U.

8. Sea U un ultrafiltro en X. Si un miembro de U es particionado enfinitas partes entonces una de las partes pertenece a U.

9. * Muestre que U ⊆ 2X es un ultrafiltro en un conjunto X si y solo siU es maximal en (2X ,⊆) con respecto a la PIF.

10. * Muestre que si un ultrafiltro posee un conjunto finito, entonces esprincipal.

11. Encuentre —construya— un filtro en N mas fino que el filtro deFrechet.

12. * Consulte una demostracion de la afirmacion: existe un numero nocontable de ultrafiltros mas finos que el filtro de Frechet en N.

13. Muestre que la interseccion de filtros es un filtro.

14. Sea f : X −→ Y una funcion sobreyectiva y F un filtro sobre Y .Muestre que

f∗(F) := f−1(A) : A ∈ Fes un filtro sobre X.

5.3 Sucesiones

Recordemos que una funcion f : N −→ X se llama una sucesion en X y ladenotamos por (xn) donde xn = f(n).

Definicion 5.11. Sean X un espacio y (xn) una sucesion en X. La sucesionconverge a un punto x ∈ X, i. e., xn → x si dada cualquier vecindad Vx,existe k ∈ N tal que si m ≥ k entonces xm ∈ Vx —a la larga o finalmentetodos los terminos de la sucesion estan en la vecindad—.

G. RUBIANO

5.3 Sucesiones 87

Si una sucesion converge a un punto x, cualquier vecindad del punto esun superconjunto para alguna cola de la sucesion. Es como si las colasfuesen una base para un filtro mas fino que las vecindades de x.

EJEMPLO 5.5

En R con la topologıa cofinita casi todas las sucesiones convergen, las unicassucesiones no convergentes son las sucesiones en las cuales existe mas deun punto que se repite de manera infinita —existe mas de una subsucesionconstante—.

EJEMPLO 5.6

En (R2, lexi) la sucesion ( 1n ,

1n2 ) no converge al punto (0, 0). Para que una

sucesion converja a (0, 0), debe hacerlo a lo largo de una recta vertical quepase por (0, 0).

EJEMPLO 5.7

El espacio del disco tangente, plano de Moore o semiplano de Niemytzki,se debe a Niemytzki, 1928 (ver fig. 5.1).

Sea P = (x, y) | y > 0 ⊆ R2 dotado de la topologıa T de subespacio.Denotemos por L = (x, 0) | x ∈ R al eje real. Definimos una topologıaT∗ para X = P ∪L anadiendo a T los conjuntos de la forma a∪D dondea ∈ L y D es un disco abierto en P , el cual es tangente a L justamenteen el punto a. Notemos que (X,usual) ⊆ (X,T∗) donde la usual es la desubespacio de R2.La sucesion yn = ( 1

n , 0), que en R2u es convergente al punto (0, 0) no lo es

en el semiplano de Niemytzki. Una sucesion para poder converger a (0, 0)debe ‘aproximarse’ por ‘dentro’ de un disco.

Definicion 5.12. Decimos que el espacio X es de convergencia unica sidada cualquier sucesion (xn) que converge, ella lo hace a un unico punto.

Proposicion 5.13. Si X es un espacio de Hausdorff entonces X es deconvergencia unica.

Demostracion. Si (xn) converge tanto a x como a y para x, y ∈ X, por serX de Hausdorff existen Vx, Vy con Vx ∩ Vy = ∅. Pero de otra parte, casi

G. RUBIANO


•

Figura 5.1: La topologıa del disco tangente.

toda (xn) esta en Vx y casi toda (xn) esta en Vy, y esto no puede sucedera menos que x = y.

El recıproco de la proposicion anterior no se tiene —¿puede dar un ejemplo?—a menos que el espacio sea 1-contable.

Proposicion 5.14. Sea X un espacio 1-contable. Si X es de convergenciaunica entonces X es de Hausdorff.

Demostracion. Si X no es de Hausdorff existen x, y ∈ X tales que paratodo par Vx, Vy tenemos Vx ∩ Vy 6= ∅. En particular para las bases localesenumerables Bx = Bx

1 , Bx2 , . . ., By = By

1 , By2 , . . . tenemos Bx

n∩Byn 6= ∅

para cada n. Por cada n ∈ N elegimos xn ∈ Bxn ∩ By

n (podemos suponerque cada una de estas dos bases locales esta encajada —¿por que?—) locual nos produce una sucesion (xn) que converge tanto a x como a y, ynos contradice la convergencia unica.

Definicion 5.15. Un espacio (X,T) se dice de convergencia trivial si lasunicas sucesiones convergentes son las sucesiones a la larga constantes; esdecir, no convergen sino las inevitables.

EJEMPLO 5.8

Un espacio discreto es de convergencia trivial.

G. RUBIANO

5.3 Sucesiones 89

EJEMPLO 5.9

El espacio de Arens-Fort X = (N × N) ∪ w (pag. 29) es un espacio deconvergencia trivial:

1. Ninguna sucesion puede converger a un punto de N × N a menosque a la larga sea constante, ya que para estos puntos los conjuntosunitarios son abiertos.

2. Ninguna sucesion puede converger a w. Si xn → w entonces cada filacontendra, a lo mas, finitos terminos de la sucesion. Excluyendo estosterminos en cada una de las filas, obtenemos un conjunto abierto quecontiene a w y no contiene los terminos de la sucesion.

Por supuesto, este espacio no es discreto y ademas no es 1-contable preci-samente en el punto w, pues de existir una base local Bw = B1, B2, . . .,por cada i ∈ N existe xi = (mi, ni) ∈ Bi con mi, ni > i; esto es, cadaelemento de la base posee un punto tan arriba y tan a la derecha de la dia-gonal como queramos. Luego el conjunto Uw = (X − xi | i ∈ N) ∪ wes un abierto y por supuesto ningun Bn satisface Bn ⊆ Uw.

Las funciones continuas tienen la propiedad que respetan la convergenciaen el sentido de la siguiente proposicion.

Proposicion 5.16. Sea f : (X,T) −→ (Y,H) una funcion continua entreespacios. Si xn → x entonces f(xn)→ f(x).

Demostracion. Si (f(xn)) no converge a f(x), existe Vf(x) tal que parainfinitos n ∈ N, f(xn) /∈ Vf(x); luego no existirıa Vx tal que f(Vx) ⊆ Vf(x),puesto que cada Vx contiene a partir de algun xk todos los demas terminosde la sucesion.

Cuando una funcion f satisface la propiedad de la proposicion anteriorse llama secuencialmente continua o continua por sucesiones. Para losespacios metricos tenemos la siguiente caracterizacion de la continuidad.

Teorema 5.17. Una funcion f : (X, d) −→ (Y,m) entre espacios metricoses continua si y solo si dada xn → x entonces f(xn)→ f(x).

Demostracion. Por el teorema anterior basta probar que si la condicion setiene para f entonces f es continua. Si f no fuera continua, existirıa un

G. RUBIANO


punto x ∈ X y una vecindad Vf(x) de f(x) para la cual no existe Vxcon f(Vx) ⊆ Vf(x). En otras palabras, ninguna bola Bε(x) satisface quef(Bε(x)) ⊆ Vf(x), luego para cada n ∈ N existe un elemento xn de Xtal que xn ∈ B1/n(x) y f(xn) /∈ Vf(x). Claramente, para la sucesion asıdefinida tenemos que xn → x, y de otra parte Vf(x) no contiene a ningunf(xn), lo que niega la propiedad.

En la demostracion anterior lo realmente basico para esta caracterizacionde continuidad es el hecho de que en (X, d) existe una base local contable encada punto, i.e., 1-contable; luego podemos generalizar el teorema anterior.

Teorema 5.18. Para los espacios 1-contable, la continuidad secuencial esequivalente a la continuidad en general.

Demostracion. Como el espacio de dominio de la funcion es 1-contable, porcada x ∈ X existe Bx = B1, B2, . . ., base local encajada para el punto x.Para ella razonamos como en el teorema anterior y extraemos la sucesion(xn) conveniente.

EJEMPLO 5.10

La identidad idR : (R, coenumerables) −→ (R, usual) es secuencial-mente continua pero no es continua. ¿Que sucesiones convergen en(R, coenumerables)?

La siguiente definicion extiende la nocion de convergencia hasta el con-cepto de filtro.

Definicion 5.19. Sea F un filtro en (X,T). Decimos que F converge alpunto x ∈ X si F es mas fino que el filtro de vecindades de x. Lo notamosF → x.

EJEMPLO 5.11

1. Si X es un espacio y x ∈ X, el filtro principal Fx → x. Si X tienela topologıa discreta, Fx converge no solo a x sino a cualquier otropunto.

2. En Ru el filtro Fcofinitos no converge, pues todo punto tiene vecin-dades que no pertenecen al filtro.

G. RUBIANO

5.3 Sucesiones 91

Nota. En un espacio metrico (X, d) la topologıa generada por la metricapuede describirse completamente en terminos de la convergencia de suce-siones; esto es, un subconjunto A ⊆ X es cerrado si y solo si, dada (xn) K

una sucesion de puntos en A con xn → x, entonces debemos tener quex ∈ A. Este resultado no se generaliza a espacios topologicos arbitrarios.Por ejemplo el conjunto A = (0, 1) no es cerrado en (R, coenumerables) ysin embargo satisface la propiedad, i. e., toda sucesion en A que es conver-gente lo hace a un punto en A —solo convergen las sucesiones constantes—.

En los espacios topologicos, en general, no podemos caracterizar el serde Hausdorff —al menos sobre los que no son 1-contable— en terminos de laconvergencia usual de sucesiones. Necesitamos entonces de un mecanismode convergencia no en terminos de sucesiones. Veremos que los filtros nosproporcionan este mecanismo.

La razon por la cual las sucesiones no son adecuadas es que, al tomarun punto xU por cada vecindad U de x, estamos en general forzados ahacer un numero no contable de escogencias. Esto no serıa necesariosi el espacio fuera 1-contable. Es decir, en los espacios 1-contable lassucesiones son adecuadas para describir la topologıa, en particular para losespacios metricos. Pero para espacios mas generales necesitamos cambiarla palabra sucesion por filtro.

Sea x un punto en un espacio X. Por Conv(x) notamos el conjunto detodos los filtros F convergentes a x. Todos los filtros en Conv(x) sonmas finos que V(x) el filtro de vecindades de x, y como V(x) ∈ Conv(x),tenemos que V(x) =

⋂F Conv(x). Esto significa que la topologıa de un

espacio puede ser determinada por la convergencia de los filtros.

A cada sucesion en un espacio se le asocia de manera canonica un filtrode la manera siguiente.

Definicion 5.20. Sea (xn) una sucesion en el espacio X y para cada n ∈ Nconsideremos la cola Xn = xn, xn+1, . . .. Definimos F(xn) el filtroasociado a la sucesion como

F(xn) := A ⊆ X | Xn ⊆ A para algun n ∈ N.F(xn) esta constituido por todos los subconjuntos de X que contienen acasi toda la sucesion.

Teorema 5.21. Sean X un espacio y (xn) una sucesion en X. xn → x siy solo si F(xn)→ x.

G. RUBIANO


Demostracion. ⇒) Si xn → x entonces dada Vx tenemos por la definicionde convergencia de sucesiones que Vx esta en el filtro asociado.

⇐) Si cada vecindad esta contenida en el filtro asociado a la sucesion,entonces dada una Vx existe una cola Xn tal que Xn ⊆ Vx.

El hecho que el concepto de filtro sea mas general que las propiedadesde vecindad tiene reflejos en la continuidad entre los espacios topologicos,ya que esta continuidad se puede caracterizar en terminos de filtros, asıcomo la caracterizamos en terminos de convergencia de sucesiones.

Proposicion 5.22. Sea f : X −→ Y una funcion entre conjuntos. Dadoun filtro F en X, la coleccion

f(F) := f(F ) | F ∈ Fes una base para un filtro en Y notado f∗(F). Si f es sobre f(F) = f∗(F).Ademas f∗ preserva el orden –la contenencia– entre filtros.

Demostracion. Es claro que cada elemento de f(F) es no vacıo. DadosG1, G2 elementos de f(F), existen F1, F2 ∈ F con f(F1) = G1, f(F2) =G2. Como F1 ∩ F2 ∈ F tenemos f(F1 ∩ F2) ⊆ f(F1) ∩ f(F2).

Si f es sobre, veamos que f(F) es un filtro. Supongamos que H ⊆ Yes tal que G ⊆ H para algun G ∈ f(F). Existe F ∈ F para el cualf(F ) = G. Luego F ⊆ f−1(G) y f−1(G) ∈ F , ası pues, F ⊆ f−1(H)y por tanto f−1(H) ∈ F . Pero f(f−1(H)) = H por ser f sobre y estomuestra que H ∈ f(F).

Para mostrar que f∗ es monotona, es suficiente mostrar que para todofiltro F se tiene A ∈ f∗(F) si y solo si f−1(A) ∈ F . (Ejercicio)

Teorema 5.23. f : (X,T) −→ (Y,H) es continua en el punto x ∈ X si ysolo si para cada filtro F de X tal que F → x el filtro 〈f(F)〉 → f(x).

Demostracion. ⇒) Supongamos que f es continua y que F → x. DadaVf(x) vecindad de f(x), existe Vx con f(Vx) ⊆ Vf(x). Como Vx ∈ F ,tenemos que Vf(x) ∈ 〈f(F)〉.⇐) Si f no fuera continua en el punto x existirıa Vf(x) para la cual

ninguna vecindad Vx satisface f(Vx) ⊆ Vf(x). Claramente el filtro V(x) delas vecindades de x converge a x; luego, 〈f(F)〉 deberıa converger a f(x)y esto no puede suceder ya que Vf(x) /∈ 〈f(V(x))〉.

G. RUBIANO

5.3 Sucesiones 93

Ejercicios 5.3

1. Un espacio X es de Hausdorff si y solo si todo filtro F que convergees de convergencia unica.

2. Muestre que (R, coenumerables) y (R, discreta) tienen el mismotipo de convergencia de sucesiones.

3. Muestre que si (X,T) es de convergencia trivial entonces es T1. ¿Setiene el recıproco?

4. Muestre que si (X,T) es mas fino que (X, coenumerables) entonceses de convergencia trivial.

5. Muestre que (X,Tp) —punto elegido— es de convergencia unica ex-cepto para la sucesion constante a p.

6. Sea (X,) un conjunto linealmente ordenado y considere la topo-logıa Tad. Si X tiene un elemento mınimo, entonces todo filtro esconvergente.

7. Muestre que en (R, cofinitos) todo ultrafiltro es convergente.

8. Sea F un ultrafiltro en N mas fino que el filtro de Frechet. En el con-junto RN de todas las sucesiones en R, definimos la siguiente relacion:(an) ≡ (bn) si y solo si n | an = bn ∈ F . Muestre que ≡ es deequivalencia. El conjunto R∗ := RN/ ≡ de las clases de equivalenciaes un modelo de los numeros reales no estandar. Demuestre que estarelacion es consistente con las operaciones de suma, multiplicaciony orden asociado a las sucesiones. R∗ es un modelo de un cuerpoordenado no completo.

9. Sea f : (X, d) −→ (Y,m) una funcion continua entre espaciosmetricos. Si definimos

d∗(x, y) := d(x, y) +m(f(x), f(y))

muestre que d, d∗ son topologicamente equivalentes y, ademas, d∗hace de f una funcion uniformemente continua. Sugerencia: muestreque d, d∗ son equivalentes si

xn → x en (X, d) si y solo si xn → x en (X, d∗).

G. RUBIANO

6 Homeomorfismos –o geometrıa delcaucho–

En teorıa de conjuntos, dos conjuntos A,B se definen equivalentes —iguales en algun sentido y el sentido es precisamente la definicion de larelacion de equivalencia— si ellos tienen el mismo cardinal, es decir, siexiste una biyeccion f : A −→ B. Que f sea una biyeccion tambien sepuede expresar diciendo que existe g tal que f g = 1B y g f = 1A.

Al querer generalizar este concepto a los espacios topologicos, a mas dela cardinalidad, parte inherente a los conjuntos, debemos pedir una relacionentre las topologıas de los dos espacios. En una categorıa cualquiera Ddados dos objetos A,B decimos que son equivalentes isomorfos si existenf ∈Mor(A,B) y g ∈Mor(B,A) tales que f g = 1B y g f = 1A. Mo-delando esta definicion para el caso de los espacios topologicos obtenemosla siguiente definicion.

6.1 Homeomorfismos

Definicion 6.1. Dados dos espacios (X,T), (Y,H) decimos que X es ho-meomorfo a Y —o que X es topologicamente equivalente a Y y nota-mos X ≈ Y— si existe una biyeccion f : X −→ Y con f y f−1 continuas.

La funcion f se llama un homeomorfismo y

U ∈ T ⇐⇒ f(U) ∈ H.

Un homeomorfismo f no es tan solo una relacion biunıvoca entre loselementos de los espacios, sino que tambien lo es entre los elementosabiertos de las topologıas respectivas.

94

G. RUBIANO

6.1 Homeomorfismos 95

Por tanto, cualquier afirmacion sobre un espacio que se exprese solo enterminos de conjuntos abiertos, junto con las relaciones y operaciones entre

estos, es cierta para (X,T) si y solo si lo es para (Y,H).

La relacion de homeomorfismo definida en la clase de todos los espa-cios topologicos es de equivalencia —demuestrelo—. Y el gran objetivode la topologıa es determinar que espacios pertenecen a una misma clasede equivalencia. A cambio de estudiar cada espacio de manera individual,estudiamos su clase de equivalencia.

EJEMPLO 6.1

La redondez —es una sensacion— no afecta pa-ra nada el hecho que dos subespacios topologi-cos de Rn sean homeomorfos. Dado el seg-mento de recta L y el arco de circunferencia S,ellos son homeomorfos y el homeomorfismo fes definido como en el dibujo que muestra laproyeccion desde p.

....................................................................................................................................................................................................................

...........

........

........

........

........

........

........

........

........

........

........

........

........

........

........

........

........

........

........

........

........

........

........

........

........

........

.

................................

................................

................................

...............................

................................

...............................

...............................................

.......................................................................................................................................................................................................................... ...................

......................................................................................................................................................................................................................................... ...................p• L S

EJEMPLO 6.2

El tamano —es subjetivo— no interesa en topologıa, por ejemplo el intervalo(−1, 1) y R, cada uno con la topologıa usual, son homeomorfos mediante f :R −→ (−1, 1) definida como f(x) =

x

1 + |x| , la cual es un homeomorfismo.

Note que f tiene como inversa a g : (−1, 1) −→ R donde g(x) =x

1− |x| .

Los dos ejemplos anteriores se pueden combinar en el siguiente.

EJEMPLO 6.3

La proyeccion estereografica de S2−p en R2, donde el punto p =(0, 0, 1) es el polo norte.

La funcion F es un homeomorfismo de S2−p en R2,

F (x, y, z) =(

x

1− z ,y

1− z , 0).

G. RUBIANO

96 Homeomorfismos –o geometrıa del caucho–

F tiene como inversa a

G(u, v, 0) =(

2uu2 + v2 + 1

,2v

u2 + v2 + 1,u2 + v2 − 1u2 + v2 + 1

).

La proyeccion estereografica envıa a una circunferencia ‘paralela’ al ecua-dor en una circunferencia del plano y si la circunferencia es cada vez mascercana al polo su imagen sera cada vez mas grande en el plano. Un meri-diano se envıa en una lınea recta.

........

........

.....................................................

.......................

....................................

..............................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................

.......................................................................................................

..........

..................... . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . .

....

............................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................

.....................

.....................

....................

....................

......................

....................

.....................

....................

.....................

.....................

...........

..........................................................................................................................

..................................................................

!p

F (x, y, z)

R2

(x, y, z)

!

S2

!

••

!

...................................................

...............................................................

Figura 6.1: La proyeccion estereografica

Hay que estar atentos a los espacios involucrados. La funcionf : [0, 1) −→ S1 que ‘dobla’ al intervalo sobre la circunferencia —comosi fuesen de alambre— f(x) = (cos 2πx, sin 2πx) es biyecctiva y continuapero no un homeomorfismo: la imagen de [0, 1

2) no es un abierto en S1.

G. RUBIANO


Las deformaciones realizadas sobre una estructura de goma o caucho enel sentido de poder moldearla y darle una forma arbitraria con tal deno perforarla, ni cortar de ella pedazos para suprimirlos o trasladarlosde lugar, son tan solo una manera vulgar —en el sentido de vulgo— decomo construir espacios homeomorfos a partir de uno dado. El sentido dehomeomorfismo es mucho mas amplio y formal.

Por ejemplo, esta figura como subespa-cio de R3 es homeomorfa al toro sin que seaposible deformar la una en la otra —a la ma-nera del caucho—. Se trata simplemente deun Toro enredado como una manguera —nonos importa el numero de vueltas— dondela unica manera de desenredarlo serıa cor-tando, lo que es interpretado como un pasono continuo.

Otro ejemplo es pensar en la cinta de Mobius1, una tira de papel dondelos bordes mas pequenos se pegan —identifican— despues de dar un girode media vuelta. (Ver ejemplo 7.2).

Figura 6.2: Cinta de Mobius.

Dos cintas de Mobius (ver fig. 6.3) son homeomorfas si ambas tienenun numero impar de giros. Ellas son homeomorfas aunque en este mundoreal —de tres dimensiones— nos sea imposible deformar la una en la otraa menos de romperlas. Si el numero de giros es par, obtenemos un espaciono homeomorfo a la cinta de Mobius; se trata en efecto de un cilindro.

1August Ferdinand Mobius (1790-1868), matematico y astronomo aleman. Hizo eldescubrimiento de esta superficie cuando era profesor en la Universidad de Leipzig. Elnombre de Mobius esta ligado con muchos objetos matematicos importantes, como lafuncion de Mobius, que introdujo en su artıculo de 1831 Uber eine besondere Art vonUmkehrung der Reihen (Sobre una forma especial de invertir las series), y la formula deinversion de Mobius.

G. RUBIANO


Figura 6.3: Cintas de Mobius homeomorfas con diferente numero de giros.

Claro que la posibilidad o no de deformacion manual en estos ejem-plos tiene relacion directa con la dimension del espacio en que los hemosconstruido y el espacio 3-dimensional en que actuamos.

Figura 6.4: Anillos homeomorfos.

Ası como un nudo no se puede desatar en dos dimensiones sin romperlo,es por ello que su representacion sobre una hoja de papel necesariamenteda el sentido de autointerseccion, mientras que en tres dimensiones sı lopodemos desatar o su representacion no se intercepta, seguramente en unmundo de cuatro dimensiones podrıamos desdoblar la cinta de Mobius sinromperla para deformar una de tres giros a una de tan solo un giro. Algunasveces los autores prefieren eliminar este problema de la dimension y la reali-zacion, suponiendo que en un modelo 3-dimensional la autointerseccion noexiste, por ejemplo la representacion de una botella de Klein (ver fig. 6.5).Es como si el grosor no existiese; en efecto, son verdaderas superficies deespesor igual a cero y, la botella pudiera pasar a traves de sı misma.

Por esto no es nada nuevo que, al pintar un nudo en dos dimensiones,su interseccion la representamos como pasar por encima un trazo de lıneasobre el otro —uno de los dos es interrumpido—.

G. RUBIANO


Figura 6.5: Botella de Klein.

Una de las construcciones mas famosas en cuatro dimensiones es elhipercubo —algo como un cubo de cubos— el cual fue imaginado en tresdimensiones —desdoblado— y utilizado por Salvador Dalı en su pintura delano 1954 Hipercubo de Cristo (figura 6.6).

EJEMPLO 6.4

La circunferencia se deforma en un cuadrado. Sean la circunferencia S1 =(x1, x2) : x2

1 + x22 = 1 y el rombo R = (x1, x2) | |x1|+ |x2| = 1.

Definimos f : S1 −→ R como f((x1, x2)) =(

x1

|x1|+ |x2| ,x2

|x1|+ |x2|)

.............................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................

......................

......................

......................

......................

......................

............................................................................................................ ........................................................................................................................................................................................................................................

...............................................................................................................................................................................

..........................

....................................................................................................................................................................................................................

f

la cual es una biyeccion continua, coninversa tambien continuaf−1((x1, x2)) =(

x1

(x12 + x2

2)1/2,

x2

(x12 + x2

2)1/2

).

Verifique que las compuestas de estasdos funciones corresponden a la identidad respectiva.

G. RUBIANO


Figura 6.6: Hipercubo de Cristo.

EJEMPLO 6.5

El plano punteado se deforma en un cilindro infinito.

Sean el plano punteado X = R2 − (0, 0) y el cilindro infinitoY = (x1, x2, x3) | x1

2 + x22 = 1.

Definimos h : X −→ Y como

h((x1, x2)) =(

x1

(x12 + x2

2)1/2,

x2

(x12 + x2

2)1/2,

12log(x1

2 + x22))

donde

h−1((x1, x2, x3)) = (x1ex3 , x2e

x3) .

G. RUBIANO


.................................................................................................................................................

........

........

........

........

........

........

........

........

........

........

........

........

........

........

........

........

........

........

.

........................................................................................................................................................................................................

........................................................................................................................................................................................................

................................................................................................................................................................. .................................................................................................................................................................................................

.............................................. ................h

................................

.............................

......................................

...............................................

.........................................................

...............................................

......................................

.............................

...................

...................

................................................................................................................................................ ........ ........ ........ ........ ........ ........ ........ ........ ........ ........ ........ ........ ........ ........

........ ........................

........

........ ........................

........................

................................................................................................................................ ........ ........ ........ ........ ........ ........ ........ ........ ........ ........ ........ ........ ..

...... ........

Figura 6.7: Del plano punteado al cilindro infinito.

Ejercicios 6.1

1. En un espacio la funcion identica es un homeomorfismo.

2. La composicion de homeomorfismos es un homeomorfismo.

3. Una biyeccion f : X −→ Y entre espacios es un homeomorfismo si ysolo si

(a) Para cada x ∈ X, f transforma la coleccion V(x) exactamenteen la coleccion V(f(x)).

(b) f envıa la coleccion de todos los conjuntos abiertos de X exac-tamente en la coleccion de todos los conjuntos abiertos en Y .

(c) Si B es una base para la topologıa en X entonces

f(B) := f(B) | B ∈ B

es una base para el espacio Y .

4. Muestre que toda isometrıa f —d(x, y) = m(f(x), f(y))— de unespacio metrico sobre otro es un homeomorfismo para las topologıasinducidas por las respectivas metricas.

5. Considere las veintinueve topologıas posibles para X = a, b, c.¿Cuantas clases de equivalencia existen en Top(X)? (ver pag. 16).

6. Para X = 0, 1, 2, 3 considere las topologıas

(a) U = X, ∅, 0, 0, 1, 0, 1, 2, 1(b) V = X, ∅, 0, 0, 1, 0, 1, 2.

G. RUBIANO


La funcion idX : (X,U) −→ (X,V) es biyectiva, continua, pero noes un homeomorfismo.

7. Muestre que dos espacios discretos son homeomorfos si y solo si tienenla misma cardinalidad.

8. Sea f : (X,T) −→ (Y,H) un homeomorfismo y sea (A,TA) unsubespacio de X. Muestre que la restriccion

f |A : (A,TA) −→ (f(A),Hf(A))

es un homeomorfismo.

9. Sean (X,≤), (Y,E) espacios totalmente ordenados. Una biyeccionf : (X,T≤) −→ (Y,TE) es un homeomorfismo si y solo si f esestrictamente creciente.

6.2 Invariantes topologicos

Algunos autores definen la topologıa como el estudio de las propiedades delespacio que permanecen invariables cuando el espacio se somete a homeo-morfismos. Llamamos a estas propiedades invariantes topologicos.

Por ejemplo, la propiedad que tiene la circunferencia de dividir el planoen dos regiones —teorema de Jordan2— es un invariante topologico; sitransformamos la circunferencia en una elipse, o en el perımetro de untriangulo, etc., esta propiedad se mantiene.

Por el contrario, la propiedad que tiene la circunferencia de poseer encada punto una unica recta tangente no es una propiedad topologica, puesel triangulo no la posee en cualquiera de sus puntos vertices, a pesar depoderse obtener como una imagen homeomorfa del cırculo.

Definicion 6.2. Una propiedad P del espacio X se llama un invariantetopologico si todo espacio Y ≈ X tambien satisface a P .

2Camille Jordan (Lyon 1838-Parıs 1922), matematico frances, conjeturo y creyo haberdemostrado el teorema que llevarıa su nombre, pero dicha demostracion era incorrecta yno pudo vencer esta dificultad. Murio sin haberlo demostrado rigurosamente. La primerademostracion satisfactoria del teorema de Jordan debio esperar hasta 1905, y se debe aO. Veblen. Mas tarde surgieron generalizaciones para n dimensiones con E. J. Brower,demostradas por J. W. Alexander en 1922.

G. RUBIANO

6.2 Invariantes topologicos 103

Cualquier propiedad que sea definida en terminos de los miembros delespacio y de la topologıa sera automaticamente un invariante topologico.Formalmente, la topologıa es el estudio de los invariantes topologicos.

EJEMPLO 6.6

La propiedad de ser 2-contable es un invariante topologico.

En efecto, sean (X,T), (Y,H) espacios homeomorfos y X 2-contable; sih : X −→ Y es un homeomorfismo y B = B1, B2, . . . es una base paraX, veamos que h(B) = h(B1), h(B2), . . . es una base para Y . SeanV un abierto de Y y y ∈ V , entonces existe U tal que h−1(y) ∈ U yh(U) ⊆ V . Por ser B una base, existe Bi tal que h−1(y) ∈ Bi ⊆ U . Luegoy ∈ h(Bi) ⊆ h(U) ⊆ V .

Nota. La propiedad de ser Lindeloff es un invariante topologico, pero aunmas: tan solo utilizamos la continuidad de h para demostrar la invarianzatopologica —es decir, la imagen continua de un espacio de Lindeloff es denuevo de Lindeloff —. Sin embargo, este no siempre es el caso, es decir,existen propiedades donde no es suficiente la continuidad en un solo sentido;por ejemplo

idR : Ru −→ (R, grosera)

es continua, mientras que el primer espacio es de Hausdorff y el segundono. Demuestre que sin embargo ser Hausdorff es un invariante topologico.

La utilidad de los invariantes topologicos es obvia en el sentido que,si pretendemos saber cuando dos espacios topologicos son equivalentes,basta encontrar una propiedad que sea invariante y uno de los dos espaciosla posea mientras que el otro no, lo cual establece que no pertenecen auna misma clase.

Las siguientes son algunas de las preguntas elementales con respecto alas propiedades que son invariantes:

• ¿Cuando los subespacios heredan la propiedad?

• ¿Como se comportan las funciones continuas con respecto a la pro-piedad?

• ¿La propiedad se comporta de manera especial en los espacios metricos?

G. RUBIANO


• ¿La propiedad es productiva? —comportamiento en el producto deespacios—.

El hecho de que un espacio sea metrizable obliga a que todos sus espa-cios equivalentes tambien lo sean.

Teorema 6.3. Sean (X,T), (Y,H) espacios homeomorfos y h : X −→ Yun homeomorfismo. Si X es metrizable entonces Y es metrizable.

Demostracion. Sea d una metrica en X que genera la topologıa T. Defini-mos

d∗ : Y × Y −→ R, como d∗(y1, y2) := d(h−1(y1), h−1(y2)).

d∗ es una metrica, ¡demuestrelo!. Veamos que si W = 〈d∗〉 entoncesW = H. Primero verifiquemos que H ⊆ W, i. e., que si V ∈ entonces Vse puede expresar como reunion de bolas en d. Sean V ∈ H y y ∈ V ; comoh−1(y) ∈ h−1(V ) ∈ T, existe Bd

ε

(h−1(y)

) ⊆ h−1(V ) —una bola segund— y para este ε se tiene que Bd∗

ε (y) ⊆ V , pues dado z ∈ Bd∗ε (y) —lo que

es igual a decir que d∗(y, z) < ε— tenemos d(h−1(z), h−1(y)) < ε, lo queimplica h−1(z) ∈ Bd

ε (h−1(y)) ⊆ h−1(V ), es decir z ∈ V .

Para ver queW ⊆ H tomemos W ∈ W y z ∈W . Existe Bd∗ε (y) con z ∈

Bd∗ε (y). Como h−1(z) ∈ Bd

ε

(h−1(y)

)tenemos z ∈ h (Bd

ε (h−1(y))). Pero

Bdε (h−1(y)) ∈ T implica h(Bd

ε (h−1(y))) ∈ H pues h es homeomorfismo yademas h(Bd

ε (h−1(y)) esta contenido en Bd∗ε (y); por tanto, Bd∗

ε (y) es unionde elementos de H y esto implica que W tambien es union de elementosde H.

La siguiente definicion da una propiedad invariante bajo homeomorfismo,la cual es tema central de muchos y diversos topicos en matematicas.

Definicion 6.4. Un espacio X tiene la propiedad del punto fijo PPF si cadafuncion continua f : X −→ X deja al menos un punto fijo; esto es, existeun x ∈ X tal que f(x) = x.

Encontrar una condicion necesaria y suficiente para que un espacio Xtenga la PPF no es facil; en cambio, esta propiedad nos ayuda a decidir enalgunos casos no triviales si dos espacios son equivalentes o no.

Teorema 6.5. La PPF es un invariante topologico.

G. RUBIANO

6.2 Invariantes topologicos 105

Demostracion. Sea h : X −→ Y un homeomorfismo entre espacios. Si Xtiene la PPF, veamos que Y tambien la tiene. Dada la funcion continuaf : Y −→ Y queremos encontrar un y ∈ Y tal que f(y) = y. La funcionh−1 f h de X en X es continua y por tanto tiene un punto fijo a,(h−1 f h)(a) = a, con lo que f(h(a)) = h(a); tomando y = h(a)obtenemos el punto fijo para f .

EJEMPLO 6.7

El intervalo unidad I = [0, 1] con la topologıa de subespacio de los realestiene la PPF.

En efecto, dada f : I −→ I continua, definimos g : [0, 1] −→ R comog(x) = f(x)−x; lo que g hace es medir la distancia entre (x, x) y (x, f(x)).Luego necesitamos ver que g(x) es igual a cero en algun punto de [0, 1]. Sif(0) = 0 o f(1) = 1 ya lo hemos encontrado. Si f(0) > 0 y f(1) < 1,tenemos que g(0) > 0 y g(1) < 0. Como g es continua, por el teorema deBolzano del calculo elemental, existe x tal que g(x) = 0.

EJEMPLO 6.8

Los subespacios [0, 1] y (0, 1) de R no son homeomorfos, ya que el segundono posee la PPF —¿por que?—.

Uno de los teoremas del folklore de la teorıa de puntos fijos —su de-mostracion usual utiliza tecnicas de la topologıa algebraica— conocidocomo el teorema del punto fijo de Brower asegura que un disco cerra-do —homeomorfo al cuadrado [0, 1]× [0, 1]— tiene la PPF. Una manerafısica de interpretar este teorema es la siguiente: tome una taza de cafe,revuelva suavemente el contenido y espere hasta que el cafe deje de mo-verse. Cada partıcula de cafe tiene una posicion inicial y una final. Comoel movimiento fue suave, los puntos de la superficie, homeomorfa a I× I,permanecen superficiales, de tal suerte que debe existir un punto queregresa a la posicion inicial, esto es, su cafe no quedo bien revuelto.

G. RUBIANO


Ejercicios 6.2

1. ¿S1 y (0, 1) con la topologıa usual son homeomorfos?

2. Muestre que Sn no tiene la PPF para cada n ∈ N.

3. Sea X un espacio discreto (resp. indiscreto) y sea Y un espacio.Demuestre que Y ≈ X si y solo si Y es discreto (resp. indiscreta) yX y Y tienen el mismo cardinal.

4. Muestre que en R, Tx ≈ Ty para todo x, y ∈ R.

5. Muestre que (R, [a,→)) y (R,Tx) no son homeomorfos.

6. * Sea f : (X,T) −→ (Y,H) una biyeccion. Muestre que f es unhomeomorfismo si y solo si H es la topologıa mas grande sobre Y delas que hacen continua a f .

7. Considere en el producto N × [0, 1) el orden del diccionario o lexi-cografico y en R≥0 la topologıa inducida por la usual de R. Pruebeque estos espacios son homeomorfos.

G. RUBIANO

7 Espacios de identificacion –cociente–

En un curso de algebra se encuentran los conceptos de grupo cociente oanillo cociente, en los cuales la idea es dar una estructura algebraica al con-junto de coclases de un subgrupo o un ideal. Estos conceptos (basados enuna relacion de equivalencia) dan una estructura algebraica a una particiondel grupo o del anillo.

En lo concerniente a la topologıa, el concepto equivalente es el de es-pacio cociente al dar una topologıa a una particion del espacio donde loselementos seran ahora las clases de equivalencia inherentes a la particion.

Si R es una relacion de equivalencia en el espacio X, ¿como dar unatopologıa al conjunto cociente X/R (de las clases de equivalencia oelementos de la particion) a partir de la topologıa de X?

7.1 Topologıa cociente

Dados un espacio (X,T) y una relacion R de equivalencia en el conjuntoX, queremos ante todo que la funcion cociente

q : X −→ X/R definida por x 7−→ [x]

sea por supuesto continua y de la mejor manera, i. e., de manera que X/Rtenga la mayor cantidad posible de abiertos y q sea continua.

Definicion 7.1. Dados un espacio (X,T) y una relacion R definimos latopologıa cociente T/R para X/R como

T/R := V ⊆ X/R : q−1(V ) es un abierto de X.

107

G. RUBIANO


Un subconjunto de X que es union de elementos de una particion sellama saturado. El conjunto saturado mas pequeno que contiene a A ⊆ Xse llama la saturacion de A. A es saturado si q−1(q(A)) = A, i. e., A esigual a su saturacion.

V ⊆ X/R es abierto si y solo si V = q(A) con A ⊆ X abierto y saturado.

EJEMPLO 7.1

En el intervalo [0, 1] identificamos 0 ≡ 1. [0, 1]0≡1 ≈ S1. Tenemos que laparticion es 0, 1⋃a : a ∈ (0, 1).

Figura 7.1: Esquema para la construccion de S1.

EJEMPLO 7.2

Cinta de Mobiusa. Muchos espacios se construyen a traves de otro identi-ficando algunos puntos; por ejemplo, M la cinta de Mobius.

aEsta superficie fue encontrada en 1858 por el matematico y astronomo aleman, Au-gust Mobius (1790-1868). Mobius fue estudiante y profesor de la Universidad de Leipzig.Curiosamente, el escrito que Mobius presento a la ‘Academie des Sciences’ en el cualdiscutıa las propiedades de una superficie de una sola cara solo fue encontrado despuesde su muerte.

Figura 7.2: Esquema para la construccion de una cinta de Mobius.

A partir del rectangulo X = [0, 3]× [0, 1] con la topologıa T de subespaciode R2 hacemos la identificacion R esquematizada por la figura 7.2 (observe

G. RUBIANO

7.1 Topologıa cociente 109

(0, y)

(3, 1! y)

Figura 7.3: La imagen inversa de un abierto en la cinta de Mobius.

la orientacion de las flechas) donde (0, y)R(3, 1 − y) y los demas puntossolo se relacionan con sı mismos.

La preimagen de un disco abierto en la cintaes, o bien el conjunto formado por los dossemidiscos abiertos, o un disco abierto inte-rior al rectangulo. En todo caso se trata deun abierto en X/R pues su preimagen por qcorresponde a un abierto en la topologıa delrectangulo (fig. 7.3).

La construccion anterior, hecha sobre una relacion de equivalencia, pue-de ser tambien descrita en terminos de la particion.

Definicion 7.2. Sea (X,T) un espacio y sea R = Ai una particion odescomposicion de X. Formamos un nuevo espacio Y , llamado el espacioidentificacion o cociente, como sigue. Los puntos de Y son los miembrosde R y si q : X −→ Y es la funcion cociente q(x) 7→ Ai si x ∈ Ai, latopologıa para Y es la mas grande para la cual q es continua, es decir,U ⊆ Y es abierto si y solo si q−1(U) es abierto en X. Esta topologıa sellama identificacion o cociente para la particion R y notamos T/R:

T/R := U ⊆ Y : q−1(U) es un abierto de X.

Pensemos en Y como esos subconjuntos de X que han sido identificadosa un solo punto por medio deR. Como cada particionR genera una relacionde equivalencia R (notada de la misma manera), el conjunto Y tambien esnotado como Y = X/R. De suerte que

U es abierto en X/R si y solo si q−1(U) =⋃

[x]∈U [x] ∈ T.

G. RUBIANO


La continuidad para estos espacios identificacion esta determinada porla continuidad desde el espacio inicial, como afirma el siguiente teorema degran utilidad en topologıa.

Teorema 7.3. Sean X/R un espacio identifica-cion, Z un espacio y f : X/R −→ Z. f escontinua si y solo si f q es continua –dondeq : X −→ X/R. (Si el domino es un cocientelo podemos remplazar por el espacio).

X X/R

Z

-q

@@@@R

fq?

f

Demostracion. Si f es continua claramente f q tambien lo es. En el otrosentido, asumamos que f q es continua y sea U ⊆ Z con U ∈ T. Paraver que f−1(U) es un abierto de X/R debemos tener que q−1(f−1(U)) seaabierto de X, es decir, (f q)−1(U) lo sea.

7.1.1 Descomposicion canonica por una funcion

Dada una funcion sobreyectiva f : X −→ Y entre conjuntos, la coleccionde las fibras Rf := f−1(y)y∈Y determina una particion en X.

La funcion cociente q : X −→ X/Rfsatisfa-

ce q(x) = [x] = f−1(f(x)); luego la funcionhf : X/Rf −→ Y dada por hf ([x]) := f(x) ohf (f−1(y)) = y esta bien definida y es una biyec-cion.

X X/Rf

Y

-q

@@@@R

f

?

hf

Teorema 7.4. Si X,Y son espacios y f : X −→ Y es continua, entonceshf : X/Rf −→ Y es continua. (Como f = hf q decimos que el diagramarepresenta la descomposicion canonica de f).

Demostracion. Dado U un abierto de Y , tenemos h−1f (U) = q(f−1(U)),

con lo cualq−1(h−1

f (U)) = q−1(q(f−1(U)) = f−1(U),

y como f−1(U) es abierto en X, tenemos que h−1f (U) es abierto en X/Rf

por la definicion de la topologıa cociente.

Podemos ahora preguntarnos que tanto se identifica, i. e., ¿cuando hf esun homeomorfismo? (teorema 7.5), esto es, ¿cuando h−1

f (y) = f−1(y)es continua?

G. RUBIANO


Teorema 7.5. Sean X,Y dos espacios y f : X → Y continua y sobreyec-tiva. Si f es abierta o cerrada entonces hf : X/Rf

−→ Y es un homeo-morfismo.

Demostracion. Supongamos que f es abierta y veamos que hf tambien loes. Sea U un subconjunto abierto en X/Rf

, entonces hf (U) = f(q−1(U))el cual es un abierto. En caso que f sea cerrada, la demostracion se dejacomo ejercicio.

La siguiente clase de funciones generaliza a las funciones cociente q :X −→ X/R.

Definicion 7.6. Sean (X,T) un espacio, Y un conjunto y f : X −→ Yuna funcion sobreyectiva. La topologıa cociente o identificacion sobre Yes la coleccion

TfY = V ⊆ Y | f−1(V ) ∈ T.

La topologıa cociente algunas veces se llama la topologıa final con respectoa la funcion f .

La topologıa TYf es mucho mas que requerir la continuidad, pues la re-quiere de la ‘mejor’ manera (la mas fina sobre Y que hace que f seacontinua), por eso algunas veces se conoce como topologıa de continui-dad fuerte. El siguiente teorema es la razon por la cual los espacios deidentificacion son tambien llamados cociente.

El siguiente teorema generaliza al teorema 7.3.

Teorema 7.7. Supongamos que Y tienela topologıa cociente T

fY para la funcion

f : (X,T) −→ Y . Entonces

1. f : X −→ Y es continua, y

2. Una funcion g : Y −→ Z es continua si ysolo si g f lo es.

X Y

Z

-f

@@@@R

gf?

g

La topologıa cociente es la unica topologıa sobre Y con estas dos propie-dades.

Demostracion. Por la definicion de TfY la continuidad de f es inmediata

pues f−1(TfY ) ⊆ T (teorema 4.2).

G. RUBIANO


Si g es continua entonces lo es la compuesta g f . En el otro sentido,supongamos que g f es continua y tomemos un abierto U ⊆ Z, entonces(g f)−1(U) = f−1(g−1(U)) es abierto pues g f es continua, con lo cualg−1(U) es abierto por definicion de la topologıa identificacion.

Finalmente, notese que la funcion identica idY : (Y,TfY ) −→ (Y,H)es un homeomorfismo si Y esta equipado de una topologıa H con estaspropiedades.

Definicion 7.8. Una funcion sobreyectiva f : (X,T) −→ Y es una funcioncociente si la topologıa sobre Y es la topologıa cociente.

Esto significa que una funcion sobreyectiva f : (X,T) −→ Y es unafuncion cociente si y solo si para todo V ⊆ Y .K

f−1(V ) es abierto en X si y solo si V es abierto en Y.

En este caso decimos que Y es un espacio de identificacion —la razonpara este nombre es que Y puede ser mirado como un espacio cociente,teorema 7.9—.

Teorema 7.9. Sean X,Y espacios y f : X −→ Y una funcion cociente.Entonces Y ≈ X/Rf —Y es homeomorfo a identificar puntos en X—.

Demostracion. Veamos que hf es abierta, esto es,h−1f es continua. Sea U un subconjunto abierto

de X/Rf . Como f es una funcion cociente, bastamostrar que f−1(hf (U)) es abierto en X. Perof−1(hf (U)) = q−1(U) y como q es continua, te-nemos que q−1(U) es abierto. Si observamos quehf q = f obtenemos que h−1

f f = q es continuay como f es una cociente, por el teorema anteriorh−1f es continua.

X X/Rf

Y

-q

@@@@R

f

?

≈hf

¿Como podemos reconocer las funciones cociente? i. e., ¿bajo que con-diciones una topologıa dada proviene de una funcion cociente? Parte dela respuesta la da el siguiente teorema.

Teorema 7.10. Sea f : (X,T) −→ (Y,H) continua y sobre. Si ademas fes abierta o cerrada, entonces f es una funcion cociente, i. e., H= TYf .

G. RUBIANO


Demostracion. Debemos ver que H = TfY . Claramente H ⊆ T

fY por la

definicion de TfY .

Para la contenencia TfY ⊆ H tomemos U ∈ T

fY ; como f−1(U) es abierto

entonces U = f(f−1(U)) es un abierto en H, puesto que la funcion f esabierta y sobreyectiva.

Si f es cerrada, el mismo argumento se aplica cambiando ‘abierto’ por‘cerrado’.

Corolario 7.11. Sea f : (X,T) −→ (Y,H) continua y sobre. Si ademas Xes compacto y Y es de Hausdorff, entonces f es una funcion cociente.

Demostracion. El concepto de compacto se define en el capıtulo 7 dondeademas se muestra que con la hipotesis del corolario 7.11 f es cerrada.

EJEMPLO 7.3

Sean X = [0, 2π] y Y = S1. f : X −→ Y definida como f(x) :=(cos(x), sen(x)) es una identificacion, con lo cual S1 ≈ [0, 2π]/R donde Ridentifica los extremos, i. e., a 0 con 2π.

EJEMPLO 7.4

El toro. Sea X = [0, 1]× [0, 1] con la topologıa de subespacio usual de R2.Particionamos a X en cuatro clases mediante la siguiente relacion R (verfigura 7.4).

1. (0, 0), (1, 0), (0, 1), (1, 1): las esquinas se identifican.

2. (x, 0), (x, 1) para cada x ∈ (0, 1): ‘pegamos’ el borde inferior conel borde superior.

3. (0, y), (1, y) para cada y ∈ (0, 1): ‘pegamos’ los lados.

4. (x, y) para x ∈ (0, 1) y y ∈ (0, 1): el interior no cambia.

El espacio T asociado a esta particion es el toro, tambien descrito comoT = S1 × S1, el producto de dos circunferencias.

Estas dos descripciones coinciden. Definimos

f : [0, 1]× [0, 1]→ S1 × S1

G. RUBIANO


Figura 7.4: Una particion sobre I × I que conduce al Toro

como f(x, y) =(e2πix, e2πiy

)donde e2πix := (cos 2πx, sin 2πx) y e2πiy :=

(cos 2πy, sin 2πy). La relacion Rf en [0, 1]× [0, 1] definida por la funcionf , es decir

Rf = f−1(a) : a ∈ Tes exactamente la particion inicial R; luego, por el corolario 7.11

[0, 1]× [0, 1]/Rf ≈ S1 × S1

ya que como [0, 1]× [0, 1] es compacto y S1×S1 es de Hausdorff, f resultaser una identificacion.

Figura 7.5: Un famoso homeomorfismo entre una taza y el toro.

EJEMPLO 7.5

Nuevamente en X = [0, 2π] × [0, 2π] —nuestra hoja de papel— conside-ramos una relacion definida como en el esquema de la figura 7.6, dondelos lados verticales nos producen el cilindro y los lados horizontales identifi-can la base de la botella con su boca pero en sentido contrario —como lohabıamos hecho en la cinta de Mobius— y es aquı donde surge la imposibi-lidad de realizacion en tres dimensiones; y hablamos de botella ya que estaconstruccion se conoce como botella de Klein

G. RUBIANO


Figura 7.6: Botella de Klein.

Curiosamente, si una botella de Klein sufriera una caıda que produjerauna rotura en dos partes y a lo largo, ¡obtendrıamos dos cintas de Mobius!Esto es, la botella de Klein es obtenible vıa sutura para los dos bordesde dos cintas de Mobius, pero el coser estos dos bordes es imposible ennuestro universo tridimensional, aunque cada borde no sea mas que unacircunferencia —¡intentelo!—

Figura 7.7: Botella de Klein partida por la mitad.

Ejercicios 7.1

1. Muestre que la topologıa cociente es en efecto una topologıa y quees la mas fina para la cual la funcion proyeccion es continua.

G. RUBIANO


2. Muestre que un subconjunto es cerrado para la topologıa cociente sies la imagen de un conjunto saturado y cerrado.

3. Sean ≡, ∼ relaciones de equivalencia sobre los espacios X,Y res-pectivamente. Dada una funcion continua f : X −→ Y tal quea ≡ b implica f(a) ∼ f(b) entonces f : X/≡ −→ Y/∼ definida porf([x]) = [f(x)] es una funcion bien definida y continua.

4. Sea f : X −→ Y una funcion cociente. Decimos que A ⊆ X esf-saturado o f -inverso si f−1(f(A)) = A.

(a) Muestre que A es f–saturado si existe B tal que A = f−1(B).

(b) ¿Como caracterizar los abiertos en una funcion cociente? Losabiertos de Y son precisamente las imagenes por f de los sub-conjuntos abiertos f -saturados de X.

(c) ¿Puede caracterizar los cerrados en una funcion cociente?

5. ¿Es la composicion de funciones cociente una funcion cociente?

6. Sea f : X −→ Y sobreyectiva. Muestre que f es una funcion cocientesi para todo V ⊆ Y se tiene

f−1(V ) es cerrado en X si y solo si V es cerrado en Y.

7. Muestre que una biyeccion continua es una funcion cociente si y solosi es un homeomorfismo.

8. Muestre que la topologıa TfY es la mejor —mas fina— que hace a f

continua.

G. RUBIANO

8 La topologıa producto

Dados dos conjuntos X,Y , una construc-cion familiar es su producto cartesiano,el cual se define —de manera analıtica—como X × Y := (x, y) | x ∈ X, y ∈ Y .

Visto X × Y de otra manera — sintetica yno analıtica— tenemos lo siguiente.

C

X Y

X × Y

f H

HHHjg

?

[f,g]

HHHYp

X*p

Y

8.1 Definicion sintetica de producto entre conjuntos

Si tomamos a X,Y como objetos en la categorıa de los conjuntos, es-te producto cartesiano es un objeto que tiene asociadas de manera na-tural dos flechas o morfismos, las proyecciones pX : X × Y −→ X ypY : X × Y −→ Y . La propiedad fundamental de este objeto X × Y yde las flechas pX , pY que ademas lo caracteriza es: si existe otro conjuntoC con dos funciones f : C −→ X, g : C −→ Y entonces estas funcioneslas podemos factorizar por medio de pX , pY . En otras palabras, existe unaunica funcion [f, g] : C −→ X × Y tal que el diagrama conmuta, i. e.,f = pX [f, g] y g = pY [f, g].

Posiblemente para el lector no sea familiar esta propiedad del producto K

cartesiano. Su valor consiste en que no hace referencia a la parte intrınsecadel conjunto, sino a las propiedades que este objeto y sus flechas tienendentro de la categorıa de los conjuntos —factoriza tanto a f como a g—lo cual nos da una vision sintetica del concepto.

Otro ejemplo en esta lınea de pensamiento —no analıtico— es el de lasfunciones inyectivas y sobreyectivas. Dados dos conjuntos A,B una funcionf : A −→ B notada como f ∈ Mor(A,B) es inyectiva si dados cualquier

117

G. RUBIANO


conjunto C y cualquier par de flechas m,n que satisfacen f m = f npodemos concluir m = n (cancelacion a izquierda).

La ventaja de mirar estos conceptos en terminos de flechas y diagramasconsiste en que los podemos generalizar a categorıas donde el concepto nodepende de la definicion puntual —por elementos— de un conjunto.

8.2 La topologıa producto –caso finito–

Una tarea importante en topologıa es construir nuevos espacios a partirde los ya conocidos. La seccion anterior motiva la definicion de productopara dos espacios topologicos, donde ademas de mirar la parte conjun-tista debemos hacer intervenir la estructura topologica; es decir, dados(X,T), (Y,H) dos espacios topologicos, el producto X × Y de los dos es-pacios debe tener una topologıa que haga que las dos proyecciones seanmorfismos topologicos, es decir, las dos funciones pX : X × Y −→ X ypY : X × Y −→ Y ‘deben’ ser continuas.

Como pX debe ser continua, dado un abierto U ⊆ X, p−1X (U) = U ×Y

debe ser abierto en X×Y ; similarmente p−1Y (V ) = X×V debe ser abierto

si V lo es en Y . Ası que tanto U × Y como X × V deben ser abiertos, ypuesto que queremos una topologıa en X×Y la interseccion de los abiertostendra que ser un abierto, i. e., (U × Y ) ∩ (X × V ) = U × V debe ser unabierto de X × Y .

Proposicion 8.1. Dados (X,T), (Y,H) espacios, la coleccion

B = U × V : U ∈ T, V ∈ Hes base para una topologıa en X × Y .

Demostracion. Claramente B es un cubrimiento. Sean B1, B2 en B conB1 = U1 × V1, B2 = U2 × V2. Dado (m,n) ∈ B1 ∩ B2 existe B3 =(U1 ∩ U2)× (V1 ∩ V2) tal que (m,n) ∈ B3 ⊆ B1 ∩B2 con B3 ∈ B.

La topologıa de la proposicion anterior se llama topologıa producto enX × Y para los espacios (X,T), (Y,H).

La topologıa producto es la ‘mejor’, la que posee la menor cantidad posiblede abiertos de tal manera que las proyecciones sean continuas, o en otraspalabras, la topologıa producto es la interseccion de todas las topologıasen X × Y que hacen las proyecciones continuas.

G. RUBIANO

8.2 La topologıa producto –caso finito– 119

Definimos la topologıa producto para un numero finito de espaciostopologicos X1, . . . , Xn como la topologıa generada por la subbase S for-mada por la coleccion de las imagenes inversas de abiertos por medio de lasproyecciones

S = p−1i (Ui) : Ui abierto de Xi, i = 1, . . . , n.

Los conjuntos

p−1i (Ui) = X1 ×X2 × · · · × Ui × · · · ×Xn = Ui ×

∏j 6=i

Xj

se denominan cilindros abiertos. De suerte que los elementos de la basegenerada (llamados cajas abiertas) son de la forma

B = U1 × U2 × · · · × Un. (8.1)

Ejercicios 8.2

1. ¿Es el producto de dos espacios groseros un espacio grosero?

2. ¿Como es la topologıa para el producto de dos espacios, uno con latopologıa discreta y el otro con la topologıa grosera?

3. Sean (X,T), (Y,H) dos espacios topologicos. Muestre que si BX ,BY son bases para X, Y respectivamente, entonces

BX ×BY = BX ×BY : BX ∈ BX , BY ∈ BY es una base para el espacio producto.

4. ¿Se puede localizar el anterior ejercicio para obtener una base localen el punto (x, y) ∈ X × Y a partir de bases locales para x y yrespectivamente?

5. Muestre que el producto finito de espacios 2–contable es un espacio2–contable.

6. Muestre que si A es cerrado en X y B es cerrado en Y entoncesA× B es cerrado en X × Y . ¿Se tiene la recıproca?, i. e., ¿es todocerrado un producto de cerrados?

Sugerencia: (X × Y )/(A×B) = ((X/A)× Y ) ∪ (X × (Y/B)).

G. RUBIANO


7. Muestre que X × Y es ‘canonicamente’ isomorfo a Y ×X.

8. Muestre que (R, usual)× (R, usual) = (R2, usual).

9. ¿Es pX : X × Y −→ X una funcion abierta? ¿Una funcion cerrada?

10. * Sean (X,<), (Y,<) dos conjuntos ordenados linealmente. Muestreque si Y no tiene maximo ni mınimo entonces la topologıa del orden(X × Y )< es igual a la producto Xd × Y< donde Xd es X conla topologıa discreta y Y< es Y con la del orden. Esta topologıa(X × Y )< es mas fina que la producto X< × Y<.

Sugerencia: muestre que

(←, (a, b)) =

(⋃x<a

x × Y) ⋃

(a × (←, b)) .

11. Cuando (X,<), (Y,<) son dos conjuntos ordenados linealmente te-nemos dos topologıas para (X × Y ), la producto X< × Y< y la delorden para el producto (X × Y )<, donde Y< es Y con la del or-den. Estas topologıas en general no son iguales, mas aun, ni siquieracomparables.

Considere el caso de N con el orden usual.

8.3 La topologıa producto —caso infinito—

Recordemos que para una familia indizada de conjuntos Xi, (i ∈ I)su producto cartesiano

∏Xi, (i ∈ I) se define como el conjunto de las

funciones x : I −→

⋃i∈I

Xi

∣∣∣ x(i) ∈ Xi

donde normalmente escribimos xi a cambio de x(i) y la llamamos la coor-denada i-esima de x = (xi)i∈I . El axioma de eleccion nos dice que esteconjunto producto es no vacıo si cada factor Xi no lo es.

Este concepto conjuntista del producto se puede caracterizar en termi-nos sinteticos por medio de las funciones proyeccion ‘que seleccionan unacoordenada especıfica de cada (xi)’.

pj :∏i∈I

Xi −→ Xj , pj((xi)) = xj para cada j ∈ I.

G. RUBIANO

8.3 La topologıa producto —caso infinito— 121

De manera analoga al caso finito, la topologıa producto para una familia(Xi,Ti), (i ∈ I) de espacios topologicos debe garantizar que las proyec-ciones sean continuas; es decir, dados i ∈ I y cualquier Ui abierto de Xi elsubconjunto p−1

i (Ui) debe ser abierto en∏i∈I Xi.

Ası que definimos como topologıa producto la generada por la subbaseS conformada por los cilindros abiertos p−1

i (Ui), exactamente

S = p−1i (Ui) | Ui ∈ Ti, i ∈ I.

De suerte que los abiertos U que conforman la base son las cajas abiertasformadas por la interseccion de finitos cilindros, i. e., U =

⋂nk=1 p

−1ik

(Uik)o, de manera equivalente,

U = Ui1 × Ui2 × · · · × Uin ×∏i∈I

Xi, i 6= i1, i2, . . . , in.

Esto es, U es un producto donde todos los espacios coordenados son los Xi

Figura 8.1: Andrei N. Tychonoff y Pavel S. Alexandroff.

salvo para un numero finito de ındices ik donde tenemos abiertos propios decada uno de los espacios indizados. Finalmente, un abierto de la topologıaproducto algunas veces llamada topologıa producto de Tychonoff1, seratodo lo que podamos expresar como union de cajas abiertas.

1Andrey Nikolayevich Tychonoff (1906-1993), matematico ruso, celebre por introduciresta topologıa en 1929 y demostrar el teorema que lleva su nombre, el cual tambien estaasociado a una clase de espacios.

G. RUBIANO


Una manera practica de visualizar los elementos de la subbase es pre-sentar cada espacio Xi como un segmento de recta —¿mirarlo de lado?—y observar que p−1

i (Ui) consiste de todas las funciones (xi) en el productoque asignan a cada ındice j 6= i un punto cualquiera de Xj pero a la coor-denada i le debe asignar un punto dentro del abierto Ui; esto es, tenemostodas las funciones que pasan a traves del intervalo Ui ubicado en la rectavertical que representa al espacio coordenado Xi. (Ver fig. 8.2).

...............................

.............................................

.............................................................................................

.......................................................................................................................................................................

.....................................................................................................................................................................................................................................

................................................................................................................

................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................

................................................

.........................................

...........................................

..........................................

...........................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................

...................................................

...........................................

......................................

.....................................

...................................................

............................................................................................................................................................

................................................................................................................................................................

............................................

..........................................

...................................

.........................................

...................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................

........

........

........

........

........

........

........

........

........

........

........

........

........

........

........

........

........

........

........

........

........

........

........

........

........

........

........

........

........

........

........

........

........

........

........

........

........

........

........

........

........

........

........

........

........

........

........

........

........

........

........

........

........

........

........

........

........

........

........

........

........

........

........

........

........

........

........

........

........

........

........

........

........

........

........

........

........

........

........

........

........

........

........

........

........

........

........

........

........

........

........

........

........

........

........

........

........

........

........

........

........

........

........

........

........

........

........

........

........

........

........

........

........

........

........

........

........

........

........

........

........

........

........

........

........

........

........

........

........

........

........

........

........

........

........

........

........

........

........

........

........

........

........

........

........

........

........

........

........

........

........

........

........

........

........

........

........

........

........

........

........

........

........

........

........

........

........

........

........

........

........

........

........

........

........

........

........

........

........

........

........

........

........

........

........

........

........

........

........

........

........

........

........

........

........

........

........

........

........

........

........

........

........

........

........

........

........

........

........

........

........

........

........

........

........

........

........

........

........

........

........

........

........

........

........

........

........

........

...............................

...............................

.............

!

!

X1 X2 X3 Xi

· · · · · ·

Figura 8.2: Un elemento en la subbase de la topologıa producto de Tychonoff.

EJEMPLO 8.1

Topologıa caja. Para el caso infinito el producto arbitrario de abiertos —cajas infinitas— no tiene por que ser un abierto en la topologıa producto deTychonoff, pues solo para finitos ındices estos factores abiertos pueden serdiferentes del espacio. Si tomamos como base para una nueva topologıa losconjuntos que sean producto arbitrario de abiertos, esto es, definimos ×Uiuna caja, como

×Ui :=∏i∈I

Ui, con Ui abierto en Xi

obtenemos la llamada topologıa caja2, la cual posee mas abiertos quenuestra topologıa producto y por tanto la contiene. Por supuesto, en el casode un numero finito de ındices, la topologıa caja coincide con la topologıaproducto.

2Introducida por H. Tietze en Beitrage zur allgemeinen topologie I, Math. Ann. 88,280-312, (1923), e historicamente anterior a la introducida por Tychonoff.

G. RUBIANO

8.4 Propiedades productivas 123

A menos que se especifique otra cosa, cuando hablemos del espacioproducto

∏i∈I Xi entendemos que la topologıa involucrada es la producto

de Tychonoff. Y la hemos preferido ya que la topologıa caja adolece deciertos defectos como:

• Posee demasiados abiertos si lo que queremos es hacer a las proyec-ciones continuas.

• No siempre el producto de espacios compactos es compacto.

• No siempre el producto de espacios conexos es conexo.

• La continuidad de una funcion que llega a un espacio producto nopuede ser caracterizada en terminos de la continuidad de las funcionescoordenadas.

• Aun en el caso de productos enumerables no se garantiza que el pro-ducto de espacios 1-contable es 1-contable.

La siguiente proposicion realza las propiedades de las funciones proyeccion.

Proposicion 8.2. Si∏i∈I Xi es un espacio producto, para cada i ∈ I la

proyeccion pi :∏i∈I Xi −→ Xi es continua, abierta y sobreyectiva.

Demostracion. Por la definicion de producto cartesiano es inmediato quecada proyeccion es sobre. La continuidad se sigue de la definicion de latopologıa producto. Para mostrar que cada proyeccion pi es abierta bastaconsiderar los abiertos basicos de X, puesto que para toda funcion la imagende la union de una familia es la union de la familia de las imagenes. Sea

U = Ui1 × Ui2 × · · · × Uin ×∏

Xi, i 6= i1, i2, . . . , in

un abierto basico; si i = ik entonces pi(U) = Uik ; si i 6= i1, i2, · · · , inentonces pi(U) = Xi. En cualquier caso pi(U) es abierto en Xi.

8.4 Propiedades productivas

Las propiedades topologicas poseıdas por un espacio producto dependen,por supuesto y en gran medida, de las propiedades poseıdas por los espaciosfactores.

G. RUBIANO


Definicion 8.3. Una propiedad P de un espacio se dice productiva si unespacio producto X =

∏i∈I Xi tiene a P cuando cada espacio coordenado

Xi tiene a P.

A continuacion veremos varios teoremas concernientes a propiedadesproductivas.

Teorema 8.4. Un espacio producto∏i∈I Xi satisface la propiedad Tk de

separacion (k = 0, 1, 2) si y solo si cada factor Xi es un espacio Tk.

Demostracion. ⇒) Supongamos que Xj no es un espacio Tk para algunj ∈ I. Existe entonces un par de puntos aj , bj ∈ Xj para los cualesel axioma Tk no se tiene. Por cada ındice i 6= j escojamos un puntoxi = ai = bi ∈ Xi, con lo que los puntos a = (ai), b = (bi) son identicosexcepto por la coordenada j–esima. La propiedad Tk falla entonces para elpar de puntos a, b del producto ya que no los podemos separar.

⇐) Si a = (ai), b = (bi) son dos puntos diferentes existe al menosun ındice j ∈ J tal que aj 6= bj . Si Xj es T2 existen vecindades Vaj , Vbjabiertas y disyuntas. Los abiertos Ua = p−1

j (Vaj ) y Ub = p−1j (Vbj ) son

disyuntos en el producto y ademas a ∈ Ua, b ∈ Ub; por tanto,∏i∈I Xi es

de Hausdorff. Si lo que tenemos en cada espacio factor es la propiedad T0

o T1, procedemos de manera similar.

Si el conjunto de ındices I es enumerable —finito o infinito—, la pro-piedad 1–contable es productiva.

Teorema 8.5. Un espacio producto X =∏i∈I Xi es 1-contable si y solo

si cada factor Xi es 1-contable y, a excepcion de un numero contable deındices, todos los espacios tienen la topologıa grosera.

Anadir a un producto de espacios, nuevos factores con la topologıa gro-sera, es como anadir nada.

Demostracion. ⇒) Cada espacio factor Xi es 1-contable, ya que esta pro-piedad se transmite por funciones continuas, abiertas y sobreyectivas, comoes el caso de las proyecciones.

Supongamos que existe J ⊆ I, J no enumerable para el cual la topologıaen cada Xj (j ∈ J) no es la grosera, i. e., existe una vecindad abiertano trivial Vj 6= Xj . Definimos x = (xi) con la condicion que para las

G. RUBIANO


coordenadas j ∈ J , xj ∈ Vj . Como X es 1–contable, existe una Bx baselocal enumerable, y por cada Bn ∈ Bx tenemos pi(Bn) = Xi exceptopara finitos ındices i, ya que Bn contiene a un elemento de la base de latopologıa.

Al variar n en los Bn, la union enumerable de estos finitos ındices esenumerable, y como J no es enumerable, existe un ındice j ∈ J para el cualpj(Bn) = Xj para todo Bn ∈ Bx. Pero para este j sabemos que existeVj 6= Xj , luego p−1

j (Vj) es una vecindad abierta de x para la cual no existe

algun Bn ⊆ p−1j (Vj) y esto contradice a Bx como base local.

⇐) Supongamos que cada espacio factor Xi es 1–enumerable y queademas existe K ⊆ I subconjunto enumerable tal que si i ∈ I−K entoncesXi es grosero. Dado x = (xi) ∈ X veamos que existe una base localenumerable Bx de x. Por cada xi sea Bxi una base local enumerable enXi —claramente Bxi = Xi si i ∈ I −K—. Sea

B = p−1i (U) | i ∈ I, U ∈ Bxi

la coleccion de las preimagenes de todas las bases locales que hemos con-siderado. B es enumerable ya que para i ∈ I −K tenemos p−1

i (U) = X.Definimos Bx como la familia de todas las intersecciones finitas de elemen-tos de B con lo cual Bx es enumerable y es base local en x.

Cuando en un producto∏i∈I Xi todos los factores Xi son iguales a un

mismo espacio A, i. e., Xi = A para todo I ∈ I, notamos

AI =∏i∈I

Xi = f | f : I −→ A =⋃i∈I

Xi.

EJEMPLO 8.2

El conjunto de las sucesiones de numeros reales con la topologıa caja.

X = (RN, caja) =

(∏i∈N

Ri, caja

)donde cada Ri = (R, usual).

Cada factor Ri es 1–contable pero el espacio producto X no lo es. Puesde existir una base local B0 = B1, B2, . . . en el punto 0 = (0)n —la

G. RUBIANO


sucesion constante a cero— con cada Bn =∏i∈N(ani , b

ni ), se tiene que

para la vecindad

V0 =∏n∈N

(ann2,bnn2

)no existe Bn ⊆ V0.

El siguiente espacio producto —conjunto de las sucesiones digitales—es toda una fuente de contraejemplos.

EJEMPLO 8.3

El producto infinito de espacios discretos no necesariamente es discreto.

Sean (0, 1, discreta) y X = 0, 1N. Veamos que el conjunto unitarioB cuyo unico elemento es la sucesion constante a cero B = 0 = (0)nno es un abierto en la topologıa producto.Como B es un conjunto unitario lo podemos expresar comoB =

∏n∈NBn, con Bn = 0 para cada n. Pero por otra parte, si B

fuese de la base, los Bn podrıan ser unitarios unicamente para un numerofinito de naturales.

EJEMPLO 8.4

El cubo X = [0, 1][0,1] no es 1-contable.

Dado y ∈ X, supongamos que tenemos una base local contable B1, B2, . . .en el punto y. Como cada Bm es un abierto, pi(Bm) = I excepto paraun numero finito de ındices i ∈ I, digamos im1 , . . . , imk

; cuando m varıaen los enteros positivos, obtenemos una coleccion enumerable de conjun-tos enumerables de numeros y como I no es enumerable, existe io tal quepio(Bm) = I para todo m. Ası, si U es una vecindad abierta de yio —lacoordenada io de y— con U 6= I, p−1

io(U) es una vecindad abierta de y, la

cual no puede contener a ningun Bm puesto que en la coordenada io, Bmtiene a I mientras que p−1

io(U) tiene a U .

Ejercicios 8.4

1. Muestre que la topologıa producto es en efecto ‘la mejor’ que hacelas funciones proyeccion continuas.

G. RUBIANO


2. Muestre que la imagen por una funcion continua y abierta de unespacio 1–contable es un espacio 1–contable.

3. Muestre que la imagen por una funcion continua y abierta de unespacio 2–contable es un espacio 2–contable.

4. ¿Es el producto de espacios groseros un espacio grosero?

5. Muestre que el producto de espacios discretos es discreto si y solo siel numero de factores es finito.

6. Muestre que el producto de subespacios es un subespacio del espacioproducto.

Sugerencia: considere el espacio∏i(Xi,Ti). Si Ai ⊆ Xi (i ∈ I)

existen dos maneras de dar topologıa a∏iAi. Una como la inducida

de la topologıa producto en∏iXi y otra al tomar la topologıa pro-

ducto de todas las topologıas Ti|Ai . Muestre que estas dos topologıascoinciden.

7. Sea X =∏i∈I Xi un espacio producto. Entonces X es 2–contable si

y solo si cada factor Xi es 2–contable y, a excepcion de un numerocontable de ındices, todos los espacios tienen la topologıa grosera.

Sugerencia: muestre que si Bi = Binn es una base enumerable enXi (para cada i), entonces las cajas de la forma

Ui1n1 × Ui2n2 × · · · × Uiknk×∏i∈I

Xi, i 6= i1, i2, . . . , in

son una base enumerable en el espacio producto.

8. Sean (Xi,Ti), (i ∈ I) una coleccion de espacios topologicos y F unfiltro en el conjunto de ındices I. Muestre que el conjunto de todaslas cajas ×Ui tales que i | Ui = Xi ∈ F forman una base para unatopologıa en

∏i∈I Xi llamada F-topologıa (depende de F).

(a) Si F = 2I es el filtro trivial entonces la F-topologıa es la topo-logıa caja.

(b) Si F es el filtro de los cofinitos para I, la F-topologıa es latopologıa producto de Tychonoff.

(c) Si F, G son filtros con F ⊆ G entonces la F-topologıa estacontenida en la G-topologıa.

(d) La U-topologıa en el caso de un ultrafiltro U es una ultra-topologıa en el sentido que solo es superada por la discreta.

G. RUBIANO


8.5 La topologıa producto —en los metricos—

La topologıa usual de los espacios euclidianos Rn es precisamente la to-pologıa producto cuando cada espacio coordenado es Ru.

Teorema 8.6. SeaH la topologıa usual de Rn y sea T la topologıa productopara

∏ni=1 Ri, Ri = Ru para cada i. Entonces H = T.

Demostracion. Veamos que H ⊆ T. Sea U ∈ H un elemento de la base,U = Bd

ε (x) donde x = (x1, x2, . . . , xn) y d es la metrica usual. Por cadacoordenada xi tomemos

Ui =y ∈ R : |xi − y| < ε√

n

= Bε/

√n(xi) ⊆ R.

Es claro que x ∈ U1×U2×· · ·×Un y ademas U1×U2×· · ·×Un ⊆ Bdε (x)

pues u = (u1, u2, . . . , un) ∈ U1 × U2 × · · · × Un implica

d(x, u) =

(n∑i=1

(xi − ui)2)1/2

<

(n

(ε√n

)2)1/2

= ε.

Para verificar T ⊆ H tomemos U1×U2×· · ·×Un un elemento de la base de latopologıa producto y x = (x1, x2, . . . , xn) ∈ U1×U2×· · ·×Un. Para cada xiexiste Bεi(xi) ⊆ Ui donde Bεi(xi) es una bola de la metrica usual de Ri =R. Si ε = minε1, ε2, . . . , εn, veamos que Bd

ε (x) ⊆ U1 × U2 × · · · × Un.En efecto, si y = (y1, y2, . . . , yn) ∈ Bd

ε (x) entonces para cada coordenadai tenemos

|xi − yi| ≤(

n∑i=1

|xi − yi|2)1/2

< ε ≤ εi,

y por tanto cada yi ∈ Bdε (x) ⊆ Ui, es decir y ∈ U1 × U2 × · · · × Un.

El siguiente teorema muestra que el producto finito de espacios metricoses de nuevo un espacio metrico.

Teorema 8.7. Sean (X1, d1), (X2, d2), . . . , (Xn, dn) espacios metricos. En-tonces la topologıa producto proviene de una metrica en X =

∏ni=1Xi.

G. RUBIANO

8.5 La topologıa producto —en los metricos— 129

Demostracion. Consideremos la metrica d :∏ni=1Xi ×

∏ni=1Xi −→ R

d(x, y) =

(n∑i=1

di(xi, yi)2)1/2

donde x = (x1, . . . , xn), y = (y1, . . . , yn). Procediendo como en el teoremaanterior se tiene el resultado.

En general la metrizabilidad no es una propiedad productiva, i. e., elproducto de una familia infinita de espacios metricos no necesariamentees metrizable, lo cual implica que en la categorıa de los espacios metricoscon las funciones continuas como morfismos, no siempre el producto esde nuevo un objeto de la categorıa; pero cuando el conjunto de ındices esenumerable, tenemos el siguiente teorema.

Teorema 8.8. Sea (Xi, di), (i ∈ N) una familia enumerable de espaciosmetricos. Entonces el espacio producto X =

∏i=1Xi con la topologıa

producto es metrizable.

Demostracion. Recordemos que dos metricas equivalentes generan la mismatopologıa; ası que, podemos reemplazar cada metrica di por la metricaacotada d∗i (x, y) = min1, di(x, y).

Definimos la funcion d :∏i=1Xi ×

∏i=1Xi −→ R como

d(x, y) =∞∑i=1

d∗i (xi, yi)2i

donde x = (xn), y = (yn). Veamos que d es una metrica:

1. Por cada i ∈ N tenemos

2−i min1, di(xi, yi) = 2−i min1, di(yi, xi) ≥ 0,

luego

d(x, y) = d(y, x) ≥ 0.

2. d(x, y) = 0 si y solo si 2−i min1, di(xi, yi) = 0 para cada i ∈ N,esto es, para cada i se tiene di(xi, yi) = 0 lo cual sucede si y solo sixi = yi por cada i. En otras palabras, x = y.

G. RUBIANO


3. Por cada i ∈ N tenemos

d∗i (xi, zi) ≤ d∗i (xi, yi) + d∗i (zi, yi),

luego2−id∗i (xi, zi) ≤ 2−id∗i (xi, yi) + 2−id∗i (zi, yi),

lo que implicad(x, z) ≤ d(x, y) + d(y, z).

Notemos ademas que d es una metrica acotada

d(x, y) ≤∞∑i=0

12i

= 2.

Veamos ahora que la topologıa generada por esta metrica es la topologıaproducto. Primero veamos que la topologıa generada esta contenida enla producto. Sea Bd

ε (x) un elemento de la base. Escojamos p ≥ 1 losuficientemente grande para satisfacer

∑∞i=p 2−i < ε/2. Para cada i ∈ N

definimos una bola abierta Bεi(xi) ⊆ Xi de la siguiente manera: si i ∈0, 1, 2, . . . , p − 1 entonces εi = ε/4; y si i ≥ p, tomamos Bεi(xi) = Xi.El conjunto

V = Bε0(x0)×Bε1(x1)× · · · ×Bεp−1(xp−1)×Xp ×Xp+1 × · · ·es un abierto de la topologıa producto que contiene al punto x. AdemasV ⊆ Bd

ε (x) pues dado y ∈ Vd(x, y) =

∑i≥0

2−idi(xi, yi)

≤p−1∑i=0

2−idi(xi, yi) +∑i≥p

2−i

<

p−1∑i=0

2−iε

4+∑i≥p

2−i

≤ 2(ε

4

)+∑i≥p

2−i <ε

2+ε

2= ε.

Para la otra inclusion, consideremos un abierto basico de la topologıa pro-ducto U =

∏n∈N Un y un punto x ∈ U . Un = Xn excepto para finitos

ındices n1, n2, . . . , nk donde

Uni = Bd∗niεi (xni) ⊆ Xni .

G. RUBIANO

8.6 Continuidad para el producto 131

Para ε = minε1/2, . . . , εk/2k la bola Bdε (x) ⊆ U , pues si y es tal que

d(y, x) < ε entonces

d∗i (xi, yi) < 2iε ≤ εi para cada i = 1, 2, . . . , k

y esto implica yni ∈ Bd∗niεi (xni) para cada i = 1, · · · , k; luego y ∈ U .

Corolario 8.9. Para cada n ∈ N sea In = [0, 1]. El producto∏n∈N In = IN

—llamado el cubo de Hilbert— es metrizable. Otra presentacion del cubode Hilbert es mostrarlo como el producto de intervalos cerrados∏

n∈N

[1n,− 1

n

].

EJEMPLO 8.5

Para Xi = (0, 1, discreta), (i ∈ R) el espacio∏i∈RXi no es metrizable.

Muestre que este espacio producto no es 1–contable, verificando que noexiste una base local contable en 0 = (xi), donde xi = 0 para cada i.

8.6 Continuidad para el producto

Dada una funcion f : X −→ ∏i∈I Yi, usualmente f se nota f = (fi) por

medio de las funciones coordenadas fi = pi f : X −→ ∏i∈I Yi −→ Yi.

La estrecha relacion entre la continuidad de f y la de las fi resulta de lasiguiente proposicion.

Proposicion 8.10. f : X −→∏i∈I Yi es continua si y solo si las aplicacio-

nes coordenadas fi son continuas.

Demostracion. ⇒) Si f es continua, claramente lo son las fi = pi f paracada i ∈ I.

⇐) Si cada fi es continua, dado un abierto basico V =∏i∈I Vi =⋂

i∈I p−1i (Vi) ⊆ Y tenemos que cada f−1

i (Vi) es un abierto en X y portanto, f−1(V ) = f−1(

⋂i∈I p

−1i (Vi)) =

⋂i∈I f

−1i (Vi) es tambien un abierto

—notese que casi todos los f−1i (Vi) son iguales a X excepto para finitos

ındices i—. Como es suficiente este criterio sobre los abiertos basicos,tenemos que f es continua.

G. RUBIANO


Los espacios coordenados heredan en general muchas propiedades delespacio producto. Por el teorema 8.2, heredan cualquier propiedad que seainvariante bajo sobreyecciones que sean continuas y abiertas. Un problemamas difıcil e importante es deducir informacion acerca del espacio productoa partir de los espacios coordenados, como hemos visto en los teoremasanteriores.

La siguiente proposicion nos dice aun mas: cada espacio factor se puedesumergir en el espacio producto sin alterar su topologıa, de suerte quecualquier propiedad que se hereda a los subespacios de un espacio, tambiense hereda a los espacios coordenados cuando el espacio producto la posea.

Proposicion 8.11. Sea X =∏i∈I Xi un espacio producto. Dados a =

(ai) ∈ X y un ındice i ∈ I, existe un subespacio Xai ⊆ X tal que a ∈ Xa

i

con Xai homeomorfo a Xi.

Demostracion. Definimos Xai := (xi) : xj = aj , si j 6= i. Conside-

remos la funcion restriccion pi|Xai

: Xai −→ Xi. Esta funcion es continua y

biyectiva. Resta ver que es abierta —ejercicio—.

EJEMPLO 8.6

Podemos identificar a R con el subespacio R× 0 de R2, etc.

Ejercicios 8.6

1. Sean Xii∈I y Yii∈I familias de espacios y fi : Xi → Yi unafuncion continua para cada i. Entonces la funcion

f =∏

fi :∏

Xi →∏

Yi

definida por f((xi)) = (fi(xi)) es continua.

2. Si Xi ≈ Yi para cada i ∈ I (homeomorfos) entonces∏Xi ≈

∏Yi.

3. Muestre el teorema 8.8 utilizando la metrica

d((xn), (yn)) = sup 1nd∗n(xn, yn)

4. Muestre que la proposicion 8.10 junto con el hecho que las proyeccio-nes son continuas caracteriza a la topologıa producto.

G. RUBIANO

8.7 Topologıas al inicio y al final 133

8.7 Topologıas al inicio y al final

En esta seccion generalizamos la construccion de las topologıas producto ycociente respectivamente.

8.7.1 La topologıa inicial

Dados un espacio (X,T) y A ⊆ X, la topologıa de subespacio para A sepuede definir como la mejor topologıa —con menos abiertos— que hacede la inclusion i : A → X una funcion continua. Similarmente, dada unafamilia de espacios topologicos Xi, (i ∈ I), la topologıa producto para elconjunto

∏i∈I Xi fue definida como la mejor —la solucion mas eficiente—

que hace cada una de las funciones proyeccion pi continua.

X X1

X2

X3

X4

Xi

f1

f2

fi

...

Figura 8.3: Objeto inicial.

Si generalizamos el parrafo anterior, queremos que dada una familia deespacios (Xi,Ti)i∈I y un conjunto X junto con una coleccion de funcionesG = fi : X −→ Xii∈I , se pueda encontrar la ‘mejor’ topologıa inicialpara X que haga continuas las funciones fi (la topologıa discreta es unasolucion, pero no es la mejor); esto es, la topologıa menos fina o mas gruesa—como se trata del dominio sera la menor en el orden de inclusion, la quemenos abiertos posea—. Lo que entonces queremos es que cada f−1

i (Vi)sea abierto cuando Vi lo sea en Xi; esta topologıa inicial TG (notada T sino hacemos referencia a la familia) es la generada por la subbase

B = f−1i (Vi) | Vi ∈ Ti, i ∈ I.

G. RUBIANO


TG tambien es conocida como la topologıa debil, inducida por la coleccionde funciones G.

La topologıa inicial nos sirve para caracterizar las funciones continuasque llegan a X; en efecto, tenemos el siguiente teorema.

Teorema 8.12. Sea (X,T) un espacio donde T es la topologıa inicial —debil— inducida por la familia G = fi : X → Xi | i ∈ I. Una funciong : Y → X donde Y es un espacio, es continua si y solo si la compuestafi g : Y → X → Yi es continua para cada i ∈ I.

Demostracion. ⇒) Si g es continua claramente tambien lo son las funcionescompuestas fi g.

⇐) Sea U un abierto en X; podemos asumir que U sea un abierto dela subbase, esto es, U = f−1

i (Vi) para algun i ∈ I con Vi abierto en Xi.Ası g−1(U) = g−1(f−1

i (Vi)) = (fi g)−1(Vi) es abierto por hipotesis.

La anterior propiedad de la topologıa inicial de ninguna manera es circuns-tancial; por el contrario, se llama universal en el sentido que caracterizala topologıa inicial.

Proposicion 8.13. Sea X un conjunto y G = fi : X −→ (Xi,Ti)i∈I unacoleccion de funciones continuas. Una topologıa H para X es igual a latopologıa inicial T = TG si y solo si H satisface las condiciones del teoremaanterior —propiedad universal—.

Demostracion. ⇒) Ya hemos demostrado que T satisface la propiedad uni-versal.

⇐) Supongamos entonces que H tambien satisface la propiedad uni-versal y veamos que H = T. Al aplicar la propiedad de H para idX :(X,H) −→ (X,T) tenemos que fi es una funcion continua fi = fi idX :(X,H) −→ (X,T) −→ (Xi,Ti); luego, si cada fi es continua, T ⊆ Hpor definicion de T. Para la otra contenencia tomemos la funcion idX :(X,T) −→ (X,H). Como cada fi idX = fi es continua, por la propiedadde H tenemos que idX es continua, luego H ⊆ T.

G. RUBIANO


EJEMPLO 8.7

Sean (X, d) un espacio metrico y f : Y −→ X una biyeccion. La topologıainicial para Y inducida por f se puede caracterizar como la topologıa indu-cida por la metrica df : Y × Y −→ R donde df (m,n) := d(f(m), f(n)).Para la demostracion revise el teorema que muestra la metrizabilidad comoun invariante topologico. df es conocida como la metrica inducida por f.

Ejercicios 8.7

1. Sea X un conjunto y G = fi : X −→ (Xi,Ti)i∈I una coleccion defunciones continuas.

(a) Muestre que TG —de la definicion de topologıa debil— hacecada fi continua y que en efecto es la ‘mejor’.

(b) Una sucesion (xn)n → x en X si y solo si (fi(xn))n → fi(x)para cada i.

(c) Muestre que F → x si y solo si el filtro 〈fi(F)〉 → fi(x).

2. Muestre que f : (X, J) −→ (Y,H) es continua si y solo si TG ⊆ J.

3. Dados (X, d) y a ∈ X, la funcion da : X −→ R definida comoda(x) = d(a, x) es continua. Muestre que la topologıa inicial sobreX inducida por la coleccion (da), (a ∈ X) es la topologıa inducidapor d.

4. Dada una coleccion (X,Ti)i∈I de topologıas, ¿como se puede ex-presar el inf de estas topologıas en terminos de la topologıa inicial?

5. Para la funcion f : R −→ Ru, f(x) = x2, ¿como es la topologıainicial?

Sugerencia. Los abiertos seran los abiertos en el sentido usual queademas son simetricos con respecto al origen.

8.7.2 La topologıa final

De manera dual a la subseccion anterior, queremos que dado un conjuntoX junto con una coleccion de funciones G = fi : (Xi,Ti) −→ Xi∈I , sepueda encontrar la ‘mejor’ topologıa final para X (la topologıa indiscreta

G. RUBIANO


XX1

X2

X3

X4

Xi

f1

f2

fi

...

Figura 8.4: Objeto final.

∅, X es una solucion, pero no es la mejor); esto es, la topologıa mas finao menos gruesa —como se trata del codominio sera la mayor en el ordende inclusion, la que mas abiertos posea— que garantice la continuidad decada fi; lo que queremos entonces es que el conjunto U sea abierto en Xsi para cada i se tiene que f−1

i (U) es abierto en Xi.

Esta topologıa final TG se define como

TG = U ⊆ X : f−1i (U) ∈ Ti, para cada i ∈ I.

TG se conoce como la topologıa final inducida por la coleccion G.

La topologıa final nos sirve para caracterizar las funciones continuas quesalen de X; en efecto, tenemos el siguiente teorema.

Teorema 8.14. Sea (X,T) un espacio donde T = TG es la topologıa finalinducida por G = fi : Xi −→ Xi∈I . Una funcion g : (X,T) −→ (Y,H)es continua si y solo si g fi : (Xi,Ti) −→ (X,TG) −→ (Y,H) es continuapara cada i ∈ I.

Demostracion. ⇒) Si g es continua claramente tambien lo son las funcionescompuestas g fi ya que TG hace cada fi continua.

⇐) Sea U un abierto en Y . Como f−1i (g−1

i (U)) = (g fi)−1(U) esabierto para cada i, entonces g−1(U) es un abierto en X.

Ejercicios 8.7

G. RUBIANO


1. Dado un conjunto X junto con una coleccion de funciones G = fi :(Xi,Ti) −→ Xi∈I , muestre que:

(a) TG es una topologıa sobre X.

(b) TG es la topologıa mas fina sobre X que hace continua a cadauna de las fi : Xi −→ X.

(c) Caracterice los cerrados en TG en terminos de la coleccion G.

2. Enuncie una proposicion para las topologıas finales que sea dual a laproposicion 8.13.

G. RUBIANO

9 Posicion de un punto respecto a unconjunto

Con conceptos relativamente simples como los de abierto y continuidad,hemos podido crear una gran variedad de espacios topologicos y, a partirde estos, otros espacios teniendo en mente algunas construcciones conjun-tistas. Para continuar desarrollando nuevos espacios y poderlos analizar, esnecesario que tengamos mas herramientas. En esta seccion discutiremosotras maneras de dotar de una topologıa a un conjunto, entre ellas el ope-rador de adherencia en el sentido de K. Kuratowski. Tambien se podrıanusar otros operadores como interior, exterior, frontera o derivado dado quecualquiera de ellos determina completamente la topologıa sobre el conjunto.

9.1 Conjuntos cerrados y adherencia

Definicion 9.1. Sean (X,T) un espacio y F ⊆ X. F se llama cerrado sisu complemento F c es abierto.

EJEMPLO 9.1

En Ru los intervalos cerrados [a, b] son conjuntos cerrados.

Por supuesto un conjunto no tiene por que ser abierto o cerrado, por ejem-plo, el subconjunto N en (R, cofinitos). Tampoco estos adjetivos sonexcluyentes, pues en un espacio discreto todo conjunto es simultaneamenteabierto y cerrado, i. e., aberrado. En (R, Sorgenfrey) los miembros de labase [a, b) son aberrados.

138

G. RUBIANO

9.1 Conjuntos cerrados y adherencia 139

EJEMPLO 9.2

En un espacio (X,T), a partir de las leyes de De Morgan podemos inferir:

1. ∅ y X son cerrados.

2. Si Aii∈I es una coleccion de cerrados entonces⋂iAi es cerrado.

3. Si Ajj∈J —J finito— es una coleccion de cerrados entonces⋃j Aj

es cerrado.

El concepto de topologıa se puede introducir a partir del concepto decerrado. Dado un conjunto X y una familia C de subconjuntos cerradapara intersecciones arbitrarias y uniones finitas, definimos la topologıa T

como la coleccion de todos los Ac con A ∈ C.

Las funciones continuas se pueden caracterizar en terminos de los con-juntos cerrados.

Proposicion 9.2. Sean (X,T), (Y,H) espacios y f : X −→ Y . f escontinua si y solo si la imagen inversa por f de un subconjunto cerrado deY es un subconjunto cerrado de X.

Demostracion. Es inmediata, si recordamos que para cualquier U subcon-junto de Y se tiene f−1(U c) = (f−1(U))c.

EJEMPLO 9.3

Los cerrados del subespacio A son las intersecciones de los cerrados de Xcon A. Sean (X,T) un espacio y A ⊆ X donde A hereda la topologıa desubespacio. Un M ⊆ A es cerrado en A si M = F c para un F abierto de A,esto es M = F c = (A∩U)c donde U es abierto de X; luego, M = Ac∪U cy por tanto M ∩ A = (Ac ∪ U c) ∩ A = U c ∩ A con lo cual M = N ∩ Adonde N = U c es cerrado de X.

Definicion 9.3. Sean (X,T) un espacio y A ⊆ X. Decimos que b ∈ Xes un punto adherente o adherido a A, si b no puede ser separado delconjunto A por ninguna de sus vecindades. Esto es, para toda Vb se tieneVb ∩A 6= ∅ —efectivamente b esta adherido a A—.

El conjunto de todos los puntos adherentes a A lo notamos A y lollamamos adherencia de A, i. e.,

A = x : x es adherente a A.

G. RUBIANO

140 Posicion de un punto respecto a un conjunto

Teorema 9.4. Sean (X,T) un espacio y A ⊆ X. A es el menor cerradoque contiene a A, i. e.,

A =⋂F : F es cerrado y A ⊆ F.

Demostracion. Sea x ∈ ⋂F : F es cerrado y A ⊆ F y veamos quex ∈ A. Dada Vx vecindad de x existe U abierto con x ∈ U ⊆ Vx. SiVx ∩ A = ∅ entonces U ∩ A = ∅ luego A ⊆ U c, ası que U c es un cerradoque contiene a A y por hipotesis x ∈ U c, lo cual es una contradiccion. Asıque Vx ∩A 6= ∅ para toda Vx.

En el otro sentido, sea x ∈ A. Si x /∈ ⋂F | F es cerrado y A ⊆ Fexiste F cerrado tal que A ⊆ F y x /∈ F . Luego x ∈ F c con F c abierto yademas F c ∩A = ∅ lo cual contradice que x ∈ A.

Corolario 9.5. Sean (X,T) un espacio y A,B ⊆ X. Entonces

1. ∅ = ∅.2. A ⊆ A, para cada A ⊆ X.

3. A es cerrado.

4. A = A si y solo si A es cerrado.

5. A = A.

6. Si A ⊆ B entonces A ⊆ B.

7. A ∪B = A ∪B.

8. A ∩B ⊆ A ∩B.

Demostracion. Se deja como ejercicio.

EJEMPLO 9.4

La propiedad 7 del corolario 9.5 no es verdad mas alla del caso finito, aun enel caso de una union enumerable. Por ejemplo, si cada An = 1

n entonces1n

: n ∈ N

=⋃n

An 6=⋃n

An = 0⋃

1n

: n ∈ N,

pues en R con la usual A = 1n : n ∈ N tiene como punto adherente, a

mas de los del propio A, el punto 0.

G. RUBIANO


EJEMPLO 9.5

Si X es un espacio infinito con la topologıa de los cofinitos y A ⊆ Xentonces A = X si A es infinito.

EJEMPLO 9.6

La topologıa para R determina la adherencia de [0, 1]. Por ejemplo, cofinitoso coenumerables satisfacen [0, 1] = R.

EJEMPLO 9.7

En (I × I, lexi), la lınea A sobre el x-eje, i. e.,

A = (x, y) : 0 ≤ x ≤ 1, y = 0,

tiene como puntos adherentes, a mas del propio A, los que estan en lalınea de la parte superior del cuadrado excepto la esquina (1, 1), esto es,A = A ∪ (x, y) : 0 ≤ x < 1, y = 1.

Figura 9.1: Adherencia en la topologıa del orden lexicografico.

EJEMPLO 9.8

Sean T1, T2 dos topologıas sobre un conjunto X con T1 ⊆ T2. Para A ⊆ Xnotemos por A

ila clausura de A con respecto a Ti. Entonces A

2 ⊆ A1.

En T1 hay menos abiertos y por tanto menos cerrados que en T2. Por estarazon, la interseccion de todos los cerrados en T1 que contienen a A nopuede ser mas pequena que la interseccion de todos los cerrados en T2 quecontienen a A.

En los espacios metricos el concepto de punto adherente se puede carac-terizar en terminos de la distancia.

G. RUBIANO


Proposicion 9.6. Sean (X, d) un espacio metrico y A ⊆ X. Para x ∈ X,x ∈ A si y solo si d(x,A) = 0.

Demostracion. ⇒) Si x ∈ A entonces B1/n(x) ∩ A 6= ∅ para cada n ∈ N.Luego d(x,A) < 1/n para cada n, i. e., d(x,A) = 0.

⇐) Sea d(x,A) = 0 Si existe Vx con Vx ∩ A = ∅, entonces existen ∈ N tal que B1/n(x) ⊆ Vx –estas bolas forman una base local– y asıB1/n(x) ∩A = ∅, lo cual contradice d(x,A) = 0.

Si el espacio es 1-contable, las sucesiones caracterizan la adherencia.

Proposicion 9.7 (Lema de las sucesiones). Sean (X,T) un espacio 1–contable y A ⊆ (X,T). x ∈ A si y solo si existe una sucesion (xn), (n ∈ N)con xn ∈ A tal que xn → x.

Demostracion. ⇒) Si x ∈ A por cada n ∈ N tomamos xn con xn ∈Bn(x) ∩ A para B1, B2, . . . una base local en x —¡encajada! Es claroque la sucesion ası definida satisface xn → x.

⇐) Si existe una sucesion (xn) en A con xn → x, entonces dadacualquier vecindad Vx tenemos Vx∩A 6= ∅ pues por la convergencia existeninfinitos xn elementos de A con xn ∈ Vx ∩A.

EJEMPLO 9.9

Si el espacio no es 1-contable, la anterior caracterizacion de la adherenciano siempre es cierta. Este es el caso para los numeros irracionales I siconsideramos a (R, coenumerables) —no es 1-contable— I = R pero noexiste una sucesion (xn) en I con xn → 2.

El siguiente ejemplo muestra la utilidad de la proposicion 9.7.

EJEMPLO 9.10

(RN, caja) no es metrizable ya que no se tiene el lema de las sucesiones.

En efecto, sea A = (xn) : xn > 0, n ∈ N el conjunto de las sucesionesde terminos positivos. El punto 0 = (0) —la sucesion constante a cero—

G. RUBIANO


pertenece a A, pero no existe una sucesion —de sucesiones— (xn) conxn = (xmn )∞m=i convergente a 0. El producto de intervalos

U = (−x11, x

11)× (−x2

2, x22)× (−x3

3, x33)× · · ·

es una vecindad abierta del punto 0 pero no contiene ningun elemento dela sucesion.

9.1.1 Operadores de clausura

En 1922 el matematico polaco K. Kuratowski1 reconocio las propiedades K

que tenıa la adherencia y las resumio en el siguiente operador llamado declausura. Para un conjunto X la adherencia es una funcion K : 2X −→ 2X

tal que para cada A ⊆ X, K(A) := A con las siguientes propiedades:

1. K(∅) = ∅.2. A ⊆ K(A) —expansion—.

3. K(A ∪B) = K(A) ∪ K(B).

4. K(K(A)) = K(A) —idempotente—.

Teorema 9.8. Cualquier funcion K : 2X −→ 2X que satisfaga 1, 2, 3, 4 delparrafo anterior se llama un operador de clausura y determina una unicatopologıa sobre X, en la cual los conjuntos cerrados son los conjuntos paralos cuales K(A) = A —puntos fijos del operador—.

Demostracion. Definimos la coleccion

T = U ⊆ X | K(U c) = U c.Verifiquemos que T es topologıa. Por 1, 2 tenemos ∅, X ∈ T.

Dada Vi, (i ∈ I) con Vi ∈ T, veamos que⋃i∈I Vi esta en T. Notese

que A ⊆ B implica K(A) ⊆ K(B) y por tanto

K((⋃

i∈IVi

)c)= K

(⋂i∈I

V ci

)⊆ V c

i para cada i,

1Kazimierz Kuratowski (Varsovia, 1896-1980), matematico y logico polaco. La investi-gacion de Kuratowski se baso en estructuras abstractas topologicas y metricas. Junto conAlfred Tarski y Waclaw Sierpinski, construyo casi toda la teorıa de los espacios polacos, asıllamados en honor a estos tres matematicos. En teorıa de grafos, hizo la caracterizacionde los grafos planares llamada teorema de Kuratowski.

G. RUBIANO


con lo cual K (⋂i∈I Vci

) ⊆ ⋂i∈I K(V c

i ) ⊆ ⋂i∈I V

ci y esto junto con la

contenencia en 2 nos dice que K ((⋃i∈I Vi)c) = (

⋃i∈I Vi)

c.

Si U, V ∈ T, veamos que su interseccion es un abierto, es decir, sucomplemento es un punto fijo.

K ((U ∩ V )c) = K(U c ∪ V c) = K(U c) ∪ K(V c) = U c ∪ V c = (U ∩ V )c.

La unicidad de T es clara, pues la definicion determina la unicidad de loscerrados, que son aquellos para los cuales F = K(F ).

EJEMPLO 9.11

Sea X un conjunto con mas de un elemento. Dado p ∈ X definimosK(A) = A ∪ p, K(∅) = ∅. K satisface los axiomas del teorema anterior.¿Como es la topologıa generada?

El siguiente teorema nos muestra que la continuidad se puede caracterizaren terminos de la adherencia.

Teorema 9.9. Sean (X,T), (Y,H) espacios y f : X −→ Y . f es continuasi y solo si para cada A ⊆ X se tiene f(A) ⊆ f(A).

‘Si x es arbitrariamente cercano a A entonces f(x) lo es a f(A)’.

Demostracion. ⇒) Sean A ⊆ X, y ∈ f(A). Tomemos x ∈ A tal quey = f(x). Dada cualquier Vy, existe Vx tal que f(Vx) ⊆ Vy —por lacontinuidad—. Como x ∈ A, sea p ∈ Vx ∩A, con lo cual

f(p) ∈ f(Vx ∩A) ⊆ f(Vx) ∩ f(A) ⊆ V y ∩ f(A)

y por tanto y ∈ f(A).

⇐) Consideremos un cerrado C de Y y veamos que f−1(C) es uncerrado. Como f

(f−1(C)

)⊆ f(f−1(C)) ⊆ C, al aplicar f−1 obtenemos

f−1(C) ⊆ f−1(C) y como C = C tenemos f−1(C) ⊆ f−1(C), luego porlas propiedades de la adherencia f−1(C) = f−1(C), con lo cual f−1(C) esun cerrado, es decir f es continua.

G. RUBIANO


9.1.2 La adherencia es productiva

Teorema 9.10. Sean (Xi,Ti)i∈I una coleccion de espacios topologicosy Ai ⊆ Xi, Ai 6= ∅ para cada i. Entonces∏

i∈IAi =

∏i∈I

Ai

Demostracion. Veamos que∏i∈I Ai ⊆

∏i∈I Ai. Sea x ∈ ∏i∈I Ai y Vx

una vecindad abierta del punto x = (xi). Existe un abierto∏i∈I Ui de

la base de la topologıa producto con x ∈ ∏i∈I Ui ⊆ Vx. Como xi ∈ Aitenemos Ui ∩Ai 6= ∅ para cada i y ası

Vx ∩∏i∈I

Ai ⊇(∏i∈I

Ui

)∩(∏i∈I

Ai

)=∏i∈I

(Ui ∩Ai) 6= ∅,

luego x ∈∏i∈I Ai.

.....................

........................................................................................................................................................................

........................

.................................................................... ........................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................

.................................

........................

..........................................................................................................

..

..

.

..

..

..

..

..

..

.

..

..

..

..

..

..

..

..

.

..

..

..

..

.

..

..

..

..

.

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

.

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

.

..

..

..

..

.

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

.

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

.

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

.

..

..

..

..

..

.

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

.

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

.

..

..

..

..

..

.

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

.

..

..

..

..

..

..

..

..

..

.

..

..

..

..

.

..

..

..

..

..

..

..

.

..

..

.

......

......

......

......

......

......

......

......

......

......

......

......

......

......

......

......

......

......

......

......

......

......

......

......

......

......

......

......

......

......

......

......

......

......

......

......

......

......

......

......

...................................................................................................................................

..............................................................................................................................................................................

.................................................................................................................................................................................................................................................................................................

..........................

...........................

..........................

...........................

...........................

...........................

..........

p1(A)

p2(A)

A

Figura 9.2: A ⊆∏i∈I pi(A).

Recıprocamente, como cada proyeccion pi es continua,

pi

(∏i∈I

Ai

)⊆ pi

(∏i∈I

Ai

)= Ai

para cada i, luego∏i∈I Ai ⊆

∏i∈I Ai pues si A ⊆ ∏

i∈I Xi entoncesA ⊆∏i∈I pi(A) (ver fig. 9.2).

G. RUBIANO


Corolario 9.11. Sean (Xi,Ti)i∈I una coleccion de espacios topologicosy Ai ⊆ Xi, Ai 6= ∅ para cada i. Entonces∏

i∈IAi es cerrado si y solo si cada Ai es cerrado. (9.1)

Demostracion. ⇒) Sea∏i∈I Ai un cerrado en el espacio producto. Como∏i∈I

Ai =∏i∈I

Ai =∏i∈I

Ai (9.2)

tenemos Ai = Ai para cada i.

⇐) Como cada Ai = Ai entonces,∏i∈I

Ai =∏i∈I

Ai =∏i∈I

Ai. (9.3)

Ejercicios 9.1

1. Dada Bε(x) en Rnu, ¿quien es su adherencia?

2. Dada Bε(x) en un espacio metrico, muestre que su adherencia nosiempre coincide con la bola cerrada.

3. La adherencia se comporta respecto a los subespacios de la siguientemanera. Si A ⊆ B ⊆ X entonces A como subespacio de B es iguala la interseccion de A —como subespacio de X— con B, es decir

AB = AX ∩B.

4. Sean (R2, verticales) y A = (x, y) : x2 + y2 = 1, x ≤ 0, y ≤ 0—ver ejercicio 2 de 1.2— Calcule:

(a) A con respecto a S1.

(b) A con respecto a R2.

¿Que relacion existe entre estos dos conjuntos?

G. RUBIANO

9.2 Puntos de acumulacion 147

5. Muestre que en un espacio cualquiera el conjunto de puntos lımitesde una sucesion es cerrado.

6. * Sean X un espacio y A ⊆ X. Muestre que x ∈ A si y solo si existeun filtro F en el espacio X con A ∈ F y F → x.

7. Una funcion f : X −→ Y entre espacios topologicos es continua si ysolo si para cada B ⊆ Y se tiene f−1(B) ⊆ f−1

(B).

8. Una funcion f : X −→ Y entre espacios topologicos es cerrada si ysolo si para todo A ⊆ X se tiene f(A) ⊆ f (A).

9. Una funcion inyectiva f : X −→ Y entre espacios es un homeomor-fismo si y solo si para cada A ⊆ X se tiene f

(A)

= f(A).

9.2 Puntos de acumulacion

Si A ⊆ (X,T) es claro que todo punto que esta en A es un punto adheridoa A. Pero ¿como caracterizar aquellos puntos que estan adheridos a Ano solo por el hecho de pertenecer al conjunto? Estos son puntos dondeel conjunto A se acumula en el sentido de la siguiente definicion.

Definicion 9.12. Sean (X,T) un espacio y A ⊆ X. Decimos que b ∈ Xes un punto de acumulacion de A (A se acumula en b) o que b es unpunto lımite del conjunto A, si para cualquier Vb se tiene (Vb − b) ∩A6= ∅. Es decir, cada vecindad del punto b contiene puntos de A diferentesde b mismo, i. e., b ∈ A− b.

El conjunto de puntos de acumulacion de A lo notamos Aa y lo llamamosderivado de A,

Aa = x | x es un punto de acumulacion de A.

Claramente todo punto de acumulacion de un conjunto es un puntoadherente del conjunto.

Teorema 9.13. Si (X,T) es un espacio y A ⊆ X entonces

A = A ∪Aa.

G. RUBIANO


Demostracion. Veamos que A ∪ Aa ⊆ A. Si x /∈ A, existe Vx tal queVx ∩A = ∅, es decir x /∈ A y x /∈ Aa.

Para la otra contenencia sea x tal que x /∈ A∪Aa; luego existe Vx con(Vx − x)∩A = ∅, y como x /∈ A podemos concluir que Vx ∩A = ∅, conlo cual x /∈ A.

Corolario 9.14. Sean (X,T) un espacio A ⊆ X. A es cerrado si y solo siAa ⊆ A.

Demostracion. A = A = A ∪Aa, lo que implica Aa ⊆ A.

EJEMPLO 9.12

1. En el subespacio A = (0, 2] ∪ 3 ⊆ Ru se tiene que 3 /∈ Aa aunqueeste en A, mientras 0 ∈ Aa aunque no este en A.

2. En el ejemplo anterior 3 ∈ A−Aa es un punto ‘aislado’ de su comu-nidad.

3. En (X, 2X) se tiene Xa = ∅.4. En un espacio X el conjunto a es abierto si y solo si a /∈ Xa.

5. En general Aa no es conjunto cerrado. Para X = x, y, z, T =∅, X, x, y, z y A = x tenemos Aa = y.

Aunque Aa no siempre es cerrado, en los espacios de Hausdorff si lo podemosgarantizar.

Proposicion 9.15. Si (X,T) es un espacio de Hausdorff, entonces Aa escerrado para todo A subconjunto de X.

Demostracion. De acuerdo con el corolario 9.14 veamos que (Aa)a ⊆ Aa.Sean x ∈ (Aa)a y Vx vecindad de x. No hay perdida de generalidad sitomamos Vx como abierta, ya que si no lo es, existe Ux abierto con Ux ⊆ Vxy trabajamos con este Ux. Sea y ∈ (Vx − x) ∩ Aa, luego y 6= x cony ∈ Aa. Por tanto, Vx que es vecindad tanto de x como de y satisface(Vx − y) ∩A 6= ∅ por estar y ∈ Aa.

De otra parte, Uy = (Vx−x) es un abierto que contiene a y —puestoque x es cerrado—. Luego ((Vx − x) − y) ∩ A 6= ∅, y por tanto

G. RUBIANO

9.2 Puntos de acumulacion 149

podemos tomar z ∈ (Ux−y)∩A; claramente z ∈ (Vx−x)∩A con loque x ∈ Aa.

Las funciones continuas e inyectivas respetan los puntos de acumulacion.

Proposicion 9.16. Sean (X,T), (Y,H) espacios y f : X −→ Y continua einyectiva. Si A ⊆ X y x ∈ Aa entonces f(x) ∈ f(A)a —f(Aa) ⊆ f(A)a—.

Demostracion. Sea x ∈ Aa y veamos que f(x) ∈ f(A)a. Como f escontinua, dada Vf(x) existe un abierto Ux con f(Ux) ⊆ Vf(x). Luego f(Ux−x) ⊆ Vf(x)−f(x) ya que f es 1-1 y no puede existir otro punto distintode x cuya imagen sea f(x). Por tanto

∅ 6= f((Ux − x) ∩A) ⊆ f(Ux − x) ∩ f(A) ⊆ (Vf(x) − f(x)) ∩ f(A)

con lo cual f(x) ∈ f(A)a.

9.2.1 Puntos aislados

Como Aa ⊆ A, ¿que podemos decir de los puntos en el otro espectro, esdecir, los puntos que estan en A − Aa? Estos son puntos x de A para loscuales existe una Vx que no contiene puntos de A diferentes de x mismo—puntos aislados—.

Definicion 9.17. Sean (X,T) un espacio y A ⊆ X. Decimos que b ∈ Xes un punto aislado de A si existe una vecindad Vb en X para la cualVb ∩ A ⊆ b. Es decir, existe una vecindad del punto b que no contienepuntos de A diferentes de b mismo.

G. RUBIANO


EJEMPLO 9.13

En Ru consideremos:

1. El subconjunto Z. Si n ∈ Z entonces

n = Z ∩ (n− 12, n+

12

).

Por tanto la topologıa de subespacio para Z es la discreta.

2. Los subconjuntos P = 1/n | n ∈ N y P ∗ = P ∪ 0. Como cadapunto en P es aislado, el subespacio es discreto; mientras que, alagregarle un punto y obtener P ∗, el nuevo subespacio tiene al punto0 como punto de acumulacion, con lo cual deja de ser un espaciodiscreto.

Proposicion 9.18. Dado (X,T) un espacio y A ⊆ X. (A,TA) es discretosi y solo si cada punto de A es aislado.

Demostracion. En el subespacio (A,TA) un punto a ∈ A es aislado si ysolo si a es abierto en la topologıa del subespacio.

Ejercicios 9.2

1. Si (X,T) es un espacio y A,B ⊆ X, muestre que el conjunto derivadoposee las siguientes propiedades:

(a) Si A ⊆ B entonces Aa ⊆ Ba.

(b) (A)a = Aa para A ⊆ X.

(c) (A ∪B)a = Aa ∪Ba para A,B ⊆ X.

(d)⋃i∈I A

ai ⊆ (

⋃i∈I Ai)

a, Ai ⊆ X.

2. En contraposicion a la clausura, el segundo conjunto derivado no tienepor que ser igual al original. De un ejemplo donde Aaa * Aa.

3. Demuestre el teorema 9.15 con la condicion que el espacio sea T1 acambio de T2.

4. Sea R con la topologıa generada por la base formada por las colas(a,→). Muestre que 0a no es cerrado.

G. RUBIANO

9.3 Interior – exterior – frontera 151

5. Sea f : X −→ Y una funcion uno a uno entre espacios topologicos;f es continua si y solo si f(Aa) ⊆ f(A)a para todo A ⊆ X.

6. Sea f : X −→ Y una funcion entre espacios. f es un homeomorfismosi y solo si f(Aa) = f(A)a para todo A ⊆ X.

7. Muestre que el conjunto de puntos de acumulacion de una union deconjuntos no es necesariamente la union de puntos de acumulacionde cada uno de los conjuntos.

8. Sean (X,T) un espacio de Hausdorff y A ⊆ X. x ∈ Aa si y solo sicada Vx contiene infinitos puntos de A.

9. Sean A ⊆ (X,T) y Ais(A) su conjunto de puntos aislados. Se tieneentonces que:

(a) Ais(A) ∩Aa = ∅.(b) Ais(A) ∪Aa = A.

(c) Ais(A) ⊆ Ais(A).

(d) Ais(A) = ∅ si y solo si A ⊆ Aa.

10. * El filtro de las vecindades Vx es un ultrafiltro si y solo si el punto xes un punto aislado de X.

9.3 Interior – exterior – frontera

Definicion 9.19. Sean (X,T) un espacio yA ⊆ X. Decimos que b ∈ X es un puntointerior de A si existe U ⊆ X abierto tal queb ∈ U ⊆ A. Al conjunto de puntos interiores deA lo llamamos el interior de A y lo notamosA

A = x : x es interior a A.

Proposicion 9.20. Sean (X,T) un espacio y A ⊆ X. A es el mayorabierto contenido en A.

Demostracion. Veamos que A =⋃A donde la familia

A = Ui ⊆ X : Ui ⊆ A y Ui es abierto.

G. RUBIANO


Si x ∈ A, existe un abierto Ux con x ∈ Ux ⊆ A con lo cual Ux ∈ A yası x ∈ ⋃A.

Si x ∈ ⋃A existe i para el cual x ∈ Ui ⊆ A y por tanto x ∈ A.Corolario 9.21. Sean (X,T) un espacio y A ⊆ X. A ⊆ X es abierto si ysolo si A = A.

Demostracion. Es equivalente a decir que A es abierto si y solo si A esvecindad de cada uno de sus puntos.

Las propiedades del interior se describen en la siguiente proposicion, lacual resume lo que llamamos un operador de interior.

Proposicion 9.22. Si (X,T) es un espacio y A,B ⊆ X entonces

1. A ⊆ A.

2. (A ∩B) = A ∩B.3. (A) = A.

4. X = X.

5. A ∪B ⊆ (A ∪B).

Demostracion. Se deja como ejercicio.

Cualquier operador I : 2X −→ 2X que satisface las propiedades de laanterior proposicion genera una topologıa G sobre X definida por

G = A ⊆ X : I(A) = A

y para esta topologıa I(A) = A.

Dual al concepto de punto interior esta el concepto de punto exterior.

Definicion 9.23. Sean (X,T) un espacio, A ⊆ X y b ∈ X. Decimos queb es un punto exterior a A si existe una vecindad Vb tal que Vb ⊆ Ac.

El conjunto de los puntos exteriores a A se llama exterior de A y lonotamos Ext(A):

Ext(A) = x | x es exterior a A.

G. RUBIANO

9.3 Interior – exterior – frontera 153

Notese que Ext(A) es el interior de Ac. Un punto que no pertenece alinterior ni al exterior de un conjunto se llama punto frontera.

Definicion 9.24. Dados A ⊆ (X,T) y b ∈ Xdecimos que b es un punto frontera de A sipara toda Vb se tiene Vb ∩A 6= ∅ 6= Vb ∩Ac.El conjunto de los puntos frontera de A lo no-tamos Fr(A):

Fr(A) := x | x es un punto frontera para A.

Un subconjunto A de un espacio genera una particion sobre el espaciode la siguiente manera.

Proposicion 9.25. Sean (X,T) un espacio y A ⊆ X. X es la uniondisyunta

X = A ∪ Fr(A) ∪ Ext(A).

Demostracion. Las definiciones son excluyentes.

EJEMPLO 9.14

Para Q como subconjunto de Ru se tiene Q = ∅, Ext(Q) = ∅, Fr(Q) = R.¿Como es la particion si tomamos a (R, cofinitos)?

Ejercicios 9.3

1. Continuidad en terminos del interior. Una funcion f : X −→ Y escontinua si y solo si f−1 (B) ⊆ (f−1(B)) para cada B ⊆ Y .

2. Muestre que:

(a) A = Ext(A)c.

(b) A = (X −M).(c) A = X − (X −A).

(d) Fr(A) = A ∩Ac.(e) Fr(A) = Fr(Ac).

(f) Fr(A) ⊆ Fr(A).

G. RUBIANO


(g) Fr(A) ⊆ Fr(A).

(h) Fr(A ∪B) ⊆ Fr(A) ∪ Fr(B).

(i) Fr(A) = x | x /∈ A y x /∈ (Ac) =(A ∪ (Ac)

)c.

3. Muestre que:

(a) A es abierto si y solo si A ∩ Fr(A) = ∅.(b) A es cerrado si y solo si Fr(A) ⊆ A.

(c) A es aberrado si y solo si Fr(A) = ∅.4. Continuidad en terminos de la frontera. La funcion f : X −→ Y es

continua si y solo si Fr(f−1(B)) ⊆ f−1(Fr(B)) para cada B ⊆ Y .

5. Para (R2, verticales) y (R2, lexicografico) ¿como es la adherencia,interior, frontera y exterior de los siguientes conjuntos?

(a) (0, 0).(b) (x, y) : x2 + y2 < 1.(c) S1.

(d) (x, y) | y > 0.(e) (x, y) | x > 0.(f) (0, y) | y > 0.(g) R× 0.(h) 0 × R.

6. Si (X,T) es un espacio y A,B ⊆ X entonces A ×B = (A×B).¿Que sucede si el conjunto de ındices es arbitrario?

7. Muestre que Cl Int Cl Int A = Cl Int A, i. e.,(A)

=A.

8. Problema de Kuratowski, 1922. Dado un subconjunto A de unespacio, existen a lo mas 14 conjuntos diferentes que pueden ser cons-truidos aplicando cualquier permutacion de la clausura, el interior yel complemento sobre A.

Sugerencia: recurra a la literatura. Muestre que en Ru el conjuntoA = [0, 1] ∪ (2, 3) ∪ [(4, 5) ∩ Q] ∪ [(6, 8) − 7] ∪ 9 satisface elproblema.

9. Si (X,T) es un espacio y A ⊆ X, muestre que la funcion caracterısticaΞ|A : X −→ Ru es continua en el punto x si y solo si x /∈ Fr(A).

G. RUBIANO

9.4 Subconjuntos densos 155

9.4 Subconjuntos densos

Un subconjunto A que esta por todas partes del espacio (X,T) mereceun nombre especial.

Definicion 9.26. Sean (X,T) un espacio y A,B ⊆ X. A se llama densoen B si B ⊆ A. Si A es denso en X, i. e., A = X, lo llamamos densoen toda parte o simplemente denso —no hacemos referencia a ningunsubconjunto—. En otras palabras, A es denso si para cualquier Vx decualquier x ∈ X tenemos Vx ∩A 6= ∅.

EJEMPLO 9.15

Los numeros irracionales I son densos en R con la topologıa usual.

EJEMPLO 9.16

Un espacio X es discreto si y solo si tiene un unico subconjunto denso.

⇒) Si el espacio es discreto, cada subconjunto es cerrado y por tanto elunico denso es X.⇐) Si X no fuera discreto, existe un punto x tal que x no es abierto, ypor tanto X − x es denso.

Si el conjunto denso no es muy grande, el espacio merece un adjetivo.

Definicion 9.27. Sea (X,T) un espacio. Decimos que X es separable siexiste A ⊆ X enumerable y denso.

EJEMPLO 9.17

Cada Rn es separable —basta considerar a Qn—.

Proposicion 9.28. Si X es 2-contable entonces X es separable.

Demostracion. Sea B = B1, B2, . . . una base enumerable. Por cada Bntomamos un xn ∈ Bn y formamos el conjunto D = x1, x2, . . .. D esdenso, pues dado cualquier abierto U , por ser B una base, existe Bi conxi ∈ Bi ⊆ U .

G. RUBIANO


El recıproco de la proposicion anterior no es cierto en general como semuestra en el siguiente ejemplo; pero en el caso de los espacios metricossı se tiene la equivalencia entre los conceptos 2–contable y separable.

EJEMPLO 9.18

(R, cofinitos) es un espacio separable pues N = R, pero ya sabemos que(R, cofinitos) no es 2-contable.

(R, coenumerables) no es separable. Si D ⊆ R fuera denso y enumerable,entonces R−D es abierto, y por tanto para x ∈ R−D se tiene que x /∈ D.

Proposicion 9.29. Si (X, d) es un espacio metrico y separable, entonceses 2-contable.

Demostracion. Sea D = d1, d2, . . . un subconjunto denso en X. Lacoleccion B = B 1

n(dm) : m,n ∈ N es una base enumerable para la

topologıa generada por d. Dado un abierto U y x ∈ U existe Bε(x) ⊆ U .Sea dm ∈ D con dm ∈ B ε

4(x). La bola B ε

2(dm) satisface

x ∈ B ε2(dm) ⊆ Bε(x) ⊆ U

pues si t ∈ B ε2(dm) entonces d(t, x) ≤ d(t, dm) + d(dm, x) ≤ ε

2 + ε4 .

La utilidad de la equivalencia de estos dos conceptos en los espacios metri-zables se muestra en el siguiente ejemplo.

EJEMPLO 9.19

(R, [a, b)) no es metrizable, ya que es separable pero no es 2-contable.

G. RUBIANO


EJEMPLO 9.20

La propiedad de separabilidad no es hereditaria (no se hereda a los subes-pacios); por ejemplo, en R2 la siguiente coleccion B de ‘cuadrados semi-abiertos’ forma una base

B = [a, b)× [c, d) | a < b, c < d, a, b, c, d ∈ R.

Un abierto basico para la topologıa generada tiene la forma descrita por lafigura 9.3. Esta topologıa, conocida como topologıa de Sorgenfrey, esseparable pues Q×Q = R× R.El subconjunto formado por la recta diagonal

L = (x,−x) : x ∈ R

es un subconjunto cerrado pues su complemento es abierto. La topologıade subespacio es la discreta y, por lo tanto, L no es separable. Notemosque el cubrimiento abierto de R2

R2 − L⋃[−a, 1)× [a, 1) : a ∈ R

no se puede reducir a uno enumerable y por tanto el espacio no es deLindeloff.

................................................................................................................

........

........

........

........

........

........

........

........

........

........

........

........

...........................................

...........................................

...........................................

...........................................

...........................................

............................................

...........................................

...........................................

........

...........

.......

............

...........

.......

............

..................................................................

x

y!

!.....

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

Figura 9.3: Un abierto en la topologıa de Sorgenfrey.

En caso que el subespacio sea abierto la separabilidad sı se hereda.

Proposicion 9.30. Sean (X,T) un espacio separable y A ⊆ X con Aabierto. El subespacio (A,TA) es separable.

G. RUBIANO


Demostracion. Si D es denso y contable en X, D ∩A lo es en TA.

La propiedad de separabilidad es productiva para una cantidad enumerablede factores.

Teorema 9.31. Si (Xn,Tn), (n ∈ N) es una coleccion de espacios se-parables, el espacio producto

∏n∈NXn es separable.

Demostracion. Sea Dn un subconjunto denso en Xn, Dn = xn0 , xn1 , . . ..Consideremos el conjunto M de todos los subconjuntos finitos de N. Mes un conjunto contable. Para cada K ∈M definimos

SK = f | f : K −→ N.

SK es enumerable y por tanto F :=⋃K∈M SK es tambien enumerable.

Dada f ∈ F definimos xf ∈∏n∈NXn como

xf (n) =

xnf(n), si n esta en el dominio de f,

xf (n) = xno si n no esta en el dominio de f .

Sea

U = Un1 × · · · × Unj ×∏i 6=nj

Xn

un abierto basico. Por cada ni escogemos mi tal que xnimi∈ Uni (densidad

de Dni). Para f definida como f(ni) = mi, (i = 1, . . . , k) se tiene quexf ∈ U . Luego D := xf : f ∈ F es denso.

G. RUBIANO


EJEMPLO 9.21

El producto arbitrario de espacios separables no siempre es separable.

Para cada i sea Xi = (0, 1, discreta) donde I = 2R es el conjunto deındices. Veamos que el producto

X = 0, 12R=∏i∈I

Xi

con la topologıa producto no es separable.

Supongamos que existe D ⊆ X denso y enumerable. Por cada ındice i ∈ Iconsideramos el subconjunto Di := D∩p−1

i (1). Para cada i 6= j se verificaque Di 6= Dj . Esto define una funcion inyectiva h : I −→ 2D dada porh(i) := Di; con lo cual el cardinal de I resulta menor o igual que el cardinalde 2D.

Por supuesto, la separabilidad es un invariante topologico.

Teorema 9.32. La separabilidad es un invariante topologico.

Demostracion. Sean f : (X,T) −→ (Y,H) un homeomorfismo, D ⊆ Xdenso y enumerable; veamos que f(D) es denso en Y . Dado V ∈ H, paraf−1(V ) existe d ∈ D con d ∈ f−1(V ) y ası f(d) ∈ V —solo utilizamosque f es continua y sobre—.

Concluimos esta seccion con un teorema de unicidad, en el sentido quesolo hay una manera de extender una funcion continua a todo el espaciouna vez este definida sobre un subconjunto denso.

Teorema 9.33. Sean f, g : (X,T) −→ (Y,H) continuas, donde Y es deHausdorff. Si f(x) = g(x) para cada x ∈ D, D denso en X, entoncesf = g.

Demostracion. Si f 6= g sea z ∈ X para el cual f(z) 6= g(z). Tomamos dosabiertos disyuntos U, V vecindades de f(z) y g(z) respectivamente. Comoz ∈ f−1(U)∩ g−1(V ), que es un abierto que no corta a D, tendrıamos quez /∈ D, lo cual contradice la densidad de D.

G. RUBIANO


EJEMPLO 9.22

Ser 2–contable tiene consecuencias interesantes.

Por ejemplo, si (X,T) es 2–contable y de Hausdorff, la cantidad deabiertos en X puede ser acotada; en efecto, el cardinal de T es a lo masel cardinal del continuo 2ℵ0 . Como cada U ∈ T es union de elementosde la base, hay tantos abiertos como uniones de elementos en la baseenumerable; esto es, tantos como subconjuntos de un conjunto enumerable.

Tambien podemos acotar el numero de elementos en X. Como X es deHausdorff, la funcion f : X −→ T con f(x) := X − p es inyectiva y portanto el cardinal del dominio es menor o igual al cardinal del codominio.

EJEMPLO 9.23

Si debilitamos aun mas las hipotesis sobre los espacios del ejemplo anterior,es decir, exigimos que (X,T) sea 1–contable, separable y Hausdorff,2ℵ0 = 2ω es todavıa una cota para la cardinalidad de X.

Como X es separable, sea S un subconjunto denso y contable de X. ComoX es 1-contable, para cada p ∈ X construimos una sucesion (sp) en S queconverge a p. Entonces, para p 6= q, el ser de Hausdorff implica (sp) 6= (sq).El numero de tales sucesiones es a lo mas SN = ωω = 2ω, con lo cual#(X) ≤ 2ω.

El argumento anterior muestra que en un espacio X de Hausdorff, 1-contable y con un subconjunto denso de cardinalidad menor o igual a 2ω,el conjunto X tiene cardinalidad menor o igual a 2ω puesto que #(cN) = c.

Dado que #(X) ≤ 2ω y X es 1–contable, X tiene una base —la unionde todas las bases locales— de cardinalidad menor o igual a

N · 2ω = #(N) · c = c = 2ω.

Luego el numero de conjuntos abiertos en X es a lo mas 22ω. Ademas,

22ωes la mejor cota sobre el numero de conjuntos abiertos para estos es-

pacios. Por ejemplo R2 con la topologıa de Sorgenfrey (ver ej. 9.20).

Si solo asumimos que (X,T) es un espacio de Hausdorff y separable, lamejor cota para la cardinalidad de X es 22ω

y la mejor cota para el numero

de abiertos en X es 222ω

.

G. RUBIANO


De otra parte, 2ω es una cota para el numero de funciones continuasde X en R. En efecto, sea S un subconjunto denso y contable de X.El numero de funciones de S en R es a lo mas (2ω)ω = 2ω. Si f, g sonfunciones continuas de X en R, que coinciden sobre S, entonces f = g. Elhecho de que X sea de Hausdorff no se usa en este argumento.

Ejercicios 9.4

1. Muestre que A ⊆ X es denso si y solo si A intercepta a todo abiertono vacıo de X.

2. Sean A,B subconjuntos densos en X,Y respectivamente. Muestreque A×B es denso en X × Y .

3. Muestre que C([0, 1]) con la topologıa 〈d∞〉 del sup es separable.

Sugerencia: Teorema de aproximacion de Weierstrass 1.885. Los po-linomios con coeficientes racionales forman un conjunto denso.

4. Muestre que en el espacio X+ = X ∪ω generalizado de Arens-Fort—ejercicio 4 de 5.3 pag. 94— X es denso en X+.

5. Para el caso de R+ = R ∪ ω con el filtro de Frechet, este espaciono es separable pero sı es de Lindeloff.

6. Muestre que en (X,Tp) cada abierto no vacıo es denso.

7. ¿En (X,Tp) que subconjuntos son densos?

8. Dado un espacio (X,T), decimos que M ⊆ X es diseminado o densoen ninguna parte si (M) = ∅.(a) Muestre que Z es diseminado en (R, usual). ¿En (R, cofinitos)?

(b) M es diseminado si y solo si (M)c es denso.

9. Muestre que (I × I, lexi) no es separable.

G. RUBIANO

10 Compacidad

Iniciamos este capıtulo recordando el celebre teorema del calculo conoci-do con el nombre de Heine-Borel-Lebesgue1 el cual resalta una propiedadimportante (si no la mas) de los intervalos cerrados y acotados de R quepermite restringir el estudio de los cubrimientos abiertos de estos intervalosa cubrimientos finitos; esto es, tenemos una condicion sobre el cardinal.

Definicion 10.1. Dados un espacio (X,T) y A ⊆ X decimos que unacoleccion U = Uii∈I de abiertos (cerrados) de X es un cubrimientoabierto (cerrado) de A si

A ⊆⋃U =

⋃i∈I

Ui.

Si existe J ⊆ I tal que Uj, (j ∈ J) es tambien cubrimiento de A, a lafamilia Ujj∈J la llamamos un subcubrimiento de U .

Teorema 10.2 (Heine-Borel-Lebesgue). Un intervalo [a, b] ⊆ R tiene lapropiedad que cada cubrimiento abierto U de [a, b] admite un subcubri-miento finito.

Demostracion. Consideremos a [a, b] con la topologıa usual inducida de Ry sea U un cubrimiento abierto de [a, b]. Definimos

M = x ≤ b : [a, x] esta contenido en un subcubrimiento finito de U.M es no vacıo y esta acotado superiormente por b. Ası, M admite unamınima cota superior s. Veamos que s ∈ M y s = b. Sea U un elemento

1Introducido por el matematico aleman Heinrich Heine (Berlın 1821-Halle 1881) en1872 (quien tambien formulo el concepto de la continuidad uniforme), modificado porel matematico y polıtico frances Felix Borel (Saint-Affrique 1871-Parıs 1956) en 1894 ypor Henri Leon Lebesgue (Beauvais 1875-Parıs 1941), matematico frances que formulola teorıa de la medida en 1910.

162

G. RUBIANO

10.1 Espacios compactos 163

de U que contiene a s. Como U es abierto, existe ε > 0 tal que (s−ε, s] ⊆ Usi s = b o para s < b tendrıamos (s − ε, s + ε) ⊆ U y por ser s un supexiste δ > 0 tal que δ < ε y s − δ ∈ M . Luego el intervalo [a, s − δ] estacontenido en la union de un subcubrimiento finito de U , llamemoslo M.Por tanto M∪U es un recubrimiento finito de [a, s], es decir s ∈M . Sis fuese menor que b entonces (∪M)∪U contendrıa a [a, s+ε] y contradiceque s es sup de M .

Esta propiedad de los intervalos cerrados y acotados de R la gene-ralizamos a los espacios topologicos y con la siguiente definicion2 le damosnombre.

10.1 Espacios compactos

Definicion 10.3. Un espacio (X,T) se dice compacto si cada cubrimientoabierto de X admite un subcubrimiento finito.

A ⊆ X es compacto si A como subespacio de X es compacto; i. e.,dado un cubrimiento abierto A ⊆ ⋃i∈I Vi —A =

⋃i∈I(Vi ∩ A) es reunion

de abiertos del subespacio—, existe una subfamilia finita Vi1 , Vi2 , . . . , Viktal que A ⊆ ⋃k

i=1 Vik ; esto implica A =⋃nk=1(Vik ∩A).

La siguiente visualizacion de la compacidad s debe a John D. Baum:

Supongamos que una gran multitud de personas —posiblemen-te infinitas— estan afuera bajo la lluvia, y que cada una de estaspersonas usa su sombrilla, claramente ellas permaneceran sinmojarse. Pero por supuesto es posible que ellas esten juntas demanera tan compacta, que no sea necesario sino que un numerofinito de ellas abran sus sombrillas y todavıa permanezcan sinmojarse. En este caso pensamos que ellas forman una especiede espacio compacto.

2Fue introducida en 1923 con el nombre inicial de bicompacto y de manera indepen-diente por el gran topologo ruso Pavel Alexandroff (1896-1982 Moscu) y por el matematicoucraniano Pavel Urysohn (Odessa, Ucrania 1898–Francia 1924).

G. RUBIANO

164 Compacidad

EJEMPLO 10.1

1. Si X es un conjunto finito toda topologıa es compacta.

2. (R, cofinitos) es compacto pues dado un cubrimiento abierto U , to-memos U ∈ U ; como U c es finito necesitamos adjuntarle a U tansolo finitos miembros de U para obtener un subcubrimiento abierto.

3. Ru no es compacto pues el cubrimiento abierto formado por la colec-cion (n− 1, n+ 1) para n ∈ Z no tiene un subcubrimiento finito.

4. Para un conjunto infinito X y a ∈ X, (X,Ta) es compacta mientras(X,Ta) no lo es.

EJEMPLO 10.2

La compacidad no se hereda.Por ejemplo, el intervalo (0, 1) ⊆ [0, 1] no es compacto pues (0, 1 −1/n)n∈N es un cubrimiento abierto de (0, 1) que no se puede reducir aun subcubrimiento finito.

En caso que el subespacio sea cerrado, la compacidad si es hereditaria.K

Teorema 10.4. Sean (X,T) un espacio compacto y A ⊆ X un cerrado,entonces A es compacto.

Demostracion. Sea U una familia de abiertos de X tal que A ⊆ ⋃U . Sianadimos a U el conjunto Ac obtenemos un cubrimiento abierto de X.Luego existen U1, . . . , Un en U tales que X = U1 ∪ U2 ∪ . . . ∪ Un ∪ Ac ypor tanto A ⊆ U1 ∪ U2 ∪ . . . ∪ Un.

EJEMPLO 10.3

En (R, [a, b)) el subespacio [0, 1] no es compacto, pues [0, 1) no lo es y esun cerrado en [0, 1].

La compacidad es un invariante topologico; mas aun, es preservada porlas funciones continuas y esta es otra manera de mostrar si un espacio escompacto: viendolo como una imagen continua de un compacto.

Teorema 10.5. Sea f : (X,T) −→ (Y,H) sobre y continua. Si X escompacto entonces Y es compacto.

G. RUBIANO


Demostracion. Sea U un cubrimiento abierto de Y . La familia

f−1(U) = f−1(U) : U ∈ U

es un cubrimiento abierto de X. Como X es compacto, existe un subcu-brimiento f−1(U1), . . . , f−1(Un) de f−1(U) y por ser f sobre tenemosf(f−1(Uk)) = Uk para 1 ≤ k ≤ n. Ası, Y = f(X) = U1 ∪ . . . ∪ Un y portanto U admite un subcubrimiento finito.

Corolario 10.6. No existe f : [0, 1] −→ (0, 1) continua que sea sobreyecti-va. Por tanto estos espacios no pueden ser homeomorfos.

Los subconjuntos compactos de un espacio de Hausdorff tienen propieda-des deseables, que pueden faltarles a los espacios compactos en general.Esta es una razon para que algunos autores llamen ‘compacto’ a lo quenosotros hemos definido, exigiendo ademas que el espacio sea de Haus-dorff —bicompactos para la antigua escuela rusa y aun para la escuelaBourbaki—.

Una de estas propiedades es que ellos se pueden ‘separar’ de los puntosque no contienen.

............................................................

...............................................................................................................................................................................................................

..........................

..........................................

.......................

•x

a•

.........................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................

........................

................................................................

........................................ ........ ........ ........ ........

................................

................

................................................ ........ ........ ......

..........

A

Uxa

Uax

Figura 10.1: Los compactos en un espacio de Hausdorff son cerrados.

Teorema 10.7. Sean (X,T) un espacio de Hausdorff y A un subespaciocompacto de X. Dado x ∈ X con x /∈ A, existen vecindades disyuntas Vx,VA de x y de A respectivamente. —En particular esto implica que A escerrado—.

Demostracion. Sea a ∈ A. Como X es de Hausdorff, existen abiertosdisyuntos Uxa , Uax de a, x respectivamente. Cuando a varıa en A, obtenemosun cubrimiento de A dado por U = Uxa | a ∈ A y de el extraemos un

G. RUBIANO

166 Compacidad

subcubrimiento finito Uxa1, . . . , Uxan

. Si Ux =⋂ni=1 U

aix entonces Ux ∩

(⋃ni=1 U

xai

) = ∅ y ademas A ⊆ ⋃ni=1 U

xai

.

El hecho de que una funcion continua f sea una biyeccion asegura laexistencia de su inversa, pero no la continuidad de esta ultima, i. e., nopodemos tener la certeza de que f sea una funcion abierta. El teorema 10.8muestra que bajo ciertas circunstancias, como en el caso de los espacioscompactos, todas las biyecciones continuas son funciones abiertas.

En general compacidad y Hausdorff son una buena combinacion, de hechoforman una propiedad optima (realmente minimal, ejercicio 18). Unatopologıa que es mas fina que una topologıa de Hausdorff es de Hausdorff,mientras que una topologıa que es mas gruesa que una topologıa compactaes a su vez compacta.

Teorema 10.8. Sean (X,T), (Y,H) espacios con X compacto y Y deHausdorff. Si f : X −→ Y es una biyeccion continua entonces f es unhomeomorfismo.

Demostracion. Solo nos resta verificar que f−1 es continua, i. e., f escerrada. Si C en un cerrado de X entonces C es compacto y por tanto f(C)es compacto en Y , y como Y es Hausdorff, f(C) es ademas cerrado.

EJEMPLO 10.4

Un camino sobreyectivo f : [0, 1] −→ [0, 1]× [0, 1].

Figura 10.2: Construccion de una curva de Peano.

G. RUBIANO


Estos caminos existen3 aunque la intuicion nos falle y se construyen me-diante un proceso iterativo como en la figura 10.2— no puede ser inyectivo,i.e., el camino pasa dos veces por el mismo punto, pues de lo contrario serıauna biyeccion y por el teorema anterior un homeomorfismo, y ya sabemosque estos espacios no son homeomorfos. K

Ejercicios 10.1

1. Sean (X,T), (Y,H) espacios con X compacto y Y de Hausdorff. Sif : X −→ Y es continua entonces f(A) = f(A) para todo A ⊆ X.

2. ¿Es la interseccion de espacios compactos un compacto?

Sugerencia: considere el espacio producto

X = (R, usual)× (0, 1, grosera).

Grafique los subespacios

(a) A = [a, b]× 0 ⋃ (a, b)× 1,(b) B = (a, b)× 0 ⋃ [a, b]× 1.

Como cada abierto que contiene al punto (a, 0) contiene al punto(a, 1), entonces A y B son compactos. Pero A ∩B = (a, b)× 0, 1no es un compacto ya que el intervalo (a, b) no lo es.

3. ¿Es la union de espacios compactos un compacto?

4. Muestre que ([0, 1), usual) no es compacto.

5. Considere a (0, 1) con la base (0, 1/n)n∈N. ¿Quien es la adherenciade (0, 1/2)? ¿Es (0, 1/2) compacto?

6. Muestre que en un espacio de Hausdorff, A es compacta si A lo es.

7. Sea (X,T) un espacio 1-contable. X es de Hausdorff si y solo si cadasubconjunto compacto es cerrado.

3Fue el matematico italiano Giuseppe Peano (Spinetta 1858–Turın 1932) el primero endescubrir una de ellas, y se llaman desde entonces curvas de Peano. La famosa curva dePeano que llena el espacio aparecio en 1890 como un contraejemplo que uso para mostrarque una curva continua no puede ser encerrada en una region arbitrariamente pequena.Este fue un ejemplo temprano de lo que se conoce como fractal.

G. RUBIANO

168 Compacidad

8. Sea X = ([0, 1), usual). Muestre que la funcion e : X −→ S1

definida por e(t) = (cos 2πt, sen 2πt) —la restriccion de la funcionexponencial— es una biyeccion continua que no es un homeomorfis-mo.

9. Muestre que el conjunto [0, 1]×[0, 1] como subespacio de (R2, lexico)no es compacto.

10. Sea (X,≤) un conjunto parcialmente ordenado con un primer ele-mento y dotado con la topologıa de colas ↑ x a derecha (filtros deorden principales). Muestre que X es compacto.

11. Sea (X,≤) un conjunto totalmente ordenado. La topologıa del or-den es compacta si y solo si X es un retıculo completo. Revise lademostracion del teorema 10.2.

12. Muestre que un espacio discreto es compacto si y solo si es finito.

13. Sean T1, T2 dos topologıas para X. Muestre que si T1 es compactay T2 ⊆ T1 entonces T2 es compacta.

14. Regularidad–compacidad local. Muestre que en un espacio Hausdorffy compacto, dado x ∈ X y cualquier vecindad Vx, existe una vecindadabierta Ux tal que Ux ⊆ Ux ⊆ Vx.

15. No abundan los compactos. Si (X,T) es de Hausdorff y todos lossubconjuntos de X son compactos entonces la topologıa es discreta.

16. Sea (X,T) un espacio. La familia

Gcompacto := U ∈ G : U c es compacto ∪ ∅

es una topologıa compacta para X.

17. Muestre que en un espacio metrico todo subconjunto compacto escerrado y acotado. ¿Se tiene la recıproca?

18. Muestre que compacto–Hausdorff es una propiedad minimal: si X escompacto y de Hausdorff con respecto a una topologıa T, entoncescualquier otra topologıa que sea estrictamente mas fina que T es deHausdorff pero no compacta, mientras que toda otra topologıa masgruesa que T es compacta pero no de Hausdorff.

Sugerencia: aplique el teorema 10.8 a la funcion identica de X.

G. RUBIANO

10.2 Dos caracterizaciones de la compacidad 169

10.2 Dos caracterizaciones de la compacidad

10.2.1 Compacidad vıa cerrados

Sean X un conjunto y A = Aii∈I , una familia de subconjuntos de X.A tiene la propiedad de la interseccion finita PIF si la interseccion decualquier subfamilia finita de A es no vacıa, i. e., si para todo J ⊆ I finitose tiene

⋂j∈J Aj 6= ∅. El siguiente teorema da una caracterizacion de la

compacidad en terminos de los subconjuntos cerrados del espacio.

Teorema 10.9. Un espacio (X,T) es compacto si y solo si cada coleccionC = Cii∈I de cerrados que posee la PIF satisface que ∩C 6= ∅.

Demostracion. ⇒) Para cada i ∈ I, sea Ui = X − Ci. Si⋂i∈I Ci = ∅

entonces⋃i∈I Ui = X y por tanto Uii∈I es un cubrimiento abierto de

X. Como X es compacto existe Ui1 , Ui2 , . . . , Uin un subcubrimiento finito⋃nk=1 Uik = X y al tomar complementos en esta igualdad se contradice la

PIF para C.

⇐) Si X no es compacto existe Uii∈I cubrimiento abierto que no sepuede reducir a uno finito. Sea Ci = X − Ui para cada i ∈ I. ClaramenteC = Cii∈I tiene la PIF pero ∩C = ∅, lo que contradice la hipotesis.

Corolario 10.10 (Encaje de Cantor). Sea (X,T) un espacio compacto. SiC = Ci, (i ∈ I) es una cadena descendente —encaje— de cerrados novacıos entonces ∩C 6= ∅.

Demostracion. C satisface la PIF.

EJEMPLO 10.5

Ru no es compacto, ya que la familia de cerrados [z,∞)z∈R tiene la PIF,y sin embargo la interseccion de todos los elementos de esta familia es vacıa.

La siguiente proposicion generaliza el clasico teorema de B. Bolzano4 dadoen 1830 en el contexto de los numeros reales: cada subconjunto infinito yacotado de numeros reales tiene un punto de acumulacion.

4Matematico checo (1781 Praga-1848 Praga). Bolzano libero de manera exitosa alcalculo del concepto de infinitesimal. Tambien dio ejemplos de funciones 1-1 entre ele-mentos de un conjunto infinito y elementos de un subconjunto propio. Se adelanto a losanalistas rigurosos del siglo XIX, a saber: en el concepto de funcion continua y en la de-mostracion de sus propiedades, en el criterio de convergencia de series, y en la existencia

G. RUBIANO

170 Compacidad

Proposicion 10.11 (Bolzano-Weierstrass). Todo subconjunto infinito deun espacio compacto X tiene un punto de acumulacion.

Demostracion. Si A es un subconjunto de X que no tiene puntos de acu-mulacion, veamos que A es finito. Como A no tiene puntos de acumulacion,entonces para todo x ∈ X existe Vx tal que Vx∩A = ∅ o Vx∩A = x en elcaso que x ∈ A. La coleccion Vx, (x ∈ X) forma un cubrimiento abiertode X (compacto) el cual admite un subcubrimiento finito Vx1 , . . . , Vx2 . Cla-ramente A ⊆ ⋃n

i=1 Vxi = X y por tanto A tiene a lo mas x1, x2, . . . , xnpuntos.

En un espacio compacto todo subconjunto que no tenga puntos de acu-mulacion es finito, i. e., todo se acumula excepto lo finito.

Si el espacio compacto es ademas de Hausdorff, el siguiente teorema dacondiciones para su cardinalidad.

Teorema 10.12. Sea X un espacio compacto y de Hausdorff, con la propie-dad que cada uno de sus puntos es de acumulacion, i. e., no posee puntosaislados. Entonces X es incontable.

Demostracion. Dado A = a1, a2, . . . ⊆ X mostremos que existe x ∈ Xtal que x /∈ A. Para encontrar tal x construiremos un encaje de cerradosno vacıos C1 ⊇ C2 ⊇ C3 ⊇ · · · con la propiedad que an /∈ Cn y como Xes compacto existe x ∈ ⋂∞n=1Cn.

Para la construccion de Cnn utilizamos de manera inductiva el si-guiente hecho: dados un abierto U 6= ∅ y b ∈ X, existe una vecindad Wcontenida en U y tal que b /∈W (b puede estar o no en U). En efecto, seay ∈ U con y 6= b (si b ∈ U utilizamos que b es de acumulacion, si b /∈ Utomamos y ∈ U pues U 6= ∅). Como el espacio es de Hausdorff, existenvecindades V y

b ∩ V by = ∅; luego, Wy = V b

y ∩ U satisface b /∈W .

La construccion: sea X el primer abierto y escojamos W1 ⊆ X cona1 /∈ W1. Hagamos C1 = W1. Sea W2 ⊆ W1 con a2 /∈ W2 y C2 = W2.Continuamos este proceso escogiendo Wn+1 ⊆ Wn con an+1 /∈ Wn+1 yhacemos y Cn+1 = Wn+1. La interseccion

⋂∞n=1Cn nos proporciona el

punto x /∈ A.

de funciones continuas sin derivadas; pero por haber publicado sus escritos de analisisen Praga, ciudad entonces alejada de los centros cientıficos, o por permanecer ineditos,como su importante Teorıa de Funciones, que aparecio en 1930, la influencia de sus ideasfue escasa. Definio lo que hoy se conoce como sucesiones de cauchy.

G. RUBIANO

10.2 Dos caracterizaciones de la compacidad 171

Corolario 10.13. R es incontable.

10.2.2 Compacidad vıa filtros

Definicion 10.14. Sea F un filtro en el espacio (X,T). Un punto x ∈ Xes adherente al filtro si para toda Vx y todo F ∈ F se tiene Vx ∩ F 6= ∅.Es decir, V(x) ∩ F es una base de filtro.

Definimos F la adherencia del filtro como el conjunto de puntos queson adherentes al filtro; en particular

F =⋂F | F ∈ F.

Teorema 10.15. Un espacio X es compacto si y solo si cada filtro en Xtiene un punto adherente.

Demostracion. ⇒) Sean X compacto, F un filtro en X y veamos que⋂F | F ∈ F 6= ∅. La coleccion C := F | F ∈ F posee la PIF, puesdada F1, F2, . . . , Fn una subfamilia finita de C

n⋂i=1

Fi ⊆n⋂i=1

Fi

y como F es un filtro tenemos⋂ni=1 Fi 6= ∅, con lo cual

⋂ni=1 Fi 6= ∅. Por

tanto ∩C 6= ∅ y ası F = ∩C 6= ∅.⇐) Para verificar que X es compacto tomemos una familia C de cerrados

con la PIF. C es una subbase de un filtro F pues el conjunto M de todaslas intersecciones finitas de elementos de C es una base de filtro ya que

1. La interseccion no vacıa de dos elementos de M contiene a un ele-mento de M.

2. M es no vacıo y el conjunto vacıo no es un elemento de M.

Sea F el filtro generado por M, i. e.,

F := 〈M〉 = F ⊆ X : M ⊆ F, algun M ∈M.Sabemos que F 6= ∅ y por tanto existe x ∈ X con x ∈ ⋂F | F ∈ F ycomo C ⊆ F tenemos⋂

F : F ∈ F ⊆⋂C : C ∈ C =

⋂C : C ∈ C,

pues cada C es cerrado. De tal manera que x ∈ ⋂C : C ∈ C.

G. RUBIANO

172 Compacidad

EJEMPLO 10.6

(R, cofinitos) es compacto (vıa los filtros).

Sea F un filtro en R y supongamos que a ∈ R satisface que a /∈ F , i. e.,existen Va y F ∈ F para los cuales Va ∩ F = ∅. Luego F ⊆ X − Va ycomo la topologıa es la de los cofinitos F es un conjunto finito, digamosF = x1, x2, . . . , xn.Afirmamos que existe un ındice i ∈ 1, 2, . . . , n para el cual se satisface queel punto xi esta en todos los elementos del filtro, pues en caso contrarioexisten F1, . . . , Fn ∈ F (uno por cada ındice) tales que xk /∈ Fk, (k =1, . . . , n) y ası F ∩ (F1 ∩ . . .∩Fn) = ∅ lo cual no puede suceder. Para esteındice i se tiene entonces que xi ∈ F .

10.2.3 Compacidad vıa ultrafiltros

La compacidad tiene una definicion en terminos de los ultrafiltros.K

Teorema 10.16. Un espacio (X,T) es compacto si y solo si cada ultrafiltroen X es convergente.

Demostracion. ⇒) Sea U un ultrafiltro en X y supongamos que U no esconvergente; para cada x ∈ X existe Vx abierta tal que Vx /∈ U , y comoU es un ultrafiltro entonces V c

x ∈ U . Por supuesto Vx, (x ∈ X) es uncubrimiento abierto de X y por la compacidad lo podemos reducir a unsubcubrimiento finito Vx1 , Vx2 , · · · , Vxn . Ası, (

⋃ni=1 Vxi)

c =⋂ni=1 V

cxi

= ∅,con lo cual ∅ estarıa en U y esto no puede suceder.

⇐) Consideremos una familia C = Cii∈I de cerrados en X con laPIF y veamos que ∩C 6= ∅. C es una subbase de filtro, en el sentido que lacoleccion de las intersecciones finitas de elementos de C forman una basede filtro.

Sea U un ultrafiltro que contiene al filtro generado por esta subbase,〈C〉 ⊆ U . Como U es convergente, sea p ∈ X tal que U → p. Tenemos quep ∈ ∩C pues de lo contrario existe C ∈ C con p ∈ Cc, luego Cc ∈ U porser vecindad de p y tendrıamos que tanto C como Cc estan en U , lo cualno puede suceder.

G. RUBIANO

10.3 Producto de dos compactos 173

EJEMPLO 10.7

(R, cofinitos) es compacto (vıa los ultrafiltros).

Sea U un ultrafiltro en R y veamos que el es convergente. Si U es principalentonces claramente es convergente. Si no es principal todos sus elementosson infinitos, y por tanto dado un x y una vecindad Vx cualquiera se tieneque Vx ∈ U pues de lo contrario V c

x ∈ U , pero sabemos que U no la admitepor ser finita. Por tanto U converge a todo punto.

10.3 Producto de dos compactos

Teorema 10.17. Sean (X,T), (Y,H) dos espacios. La topologıa productopara X × Y es compacta si y solo si X y Y son compactos.

Demostracion. ⇒) Si X × Y es compacto, las proyecciones nos garantizanque tanto X como Y tambien son compactos.

⇐) Sea O = Oi, (i ∈ I) un cubrimiento abierto de X × Y . Porcada (x, y) ∈ X × Y existen abiertos V y

x ⊆ X, V xy ⊆ Y tales que (x, y) ∈

V yx × V x

y ⊆ Oi para cada Oi que contenga a (x, y). Luego es suficientemostrar que los rectangulos basicos V y

x × V xy construidos de esta manera

contienen una subfamilia finita que recubre a X × Y , ya que para cadaelemento de esta subfamilia tomamos uno de los Oi que lo contiene.

Dado y ∈ Y , consideremos la familia V yx x∈X , la cual es un cubri-

miento abierto de X y por tanto existe un subcubrimiento V yx1 , V

yx2 , . . . , V

yxm

G. RUBIANO

174 Compacidad

—m(y) es un entero que depende de y—. Por cada i = 1, . . . ,m(y) con-

sideremos el respectivo V xiy y construyamos Qy =

⋂m(y)i=1 V xi

y una vecindadabierta de y. Notese que

V yx1×Qy, V y

x2×Qy, . . . , V y

xm(y)×Qy

es un cubrimiento abierto de X×Qy. Como este Qy fue construido para uny dado, la familia Qyy∈Y es cubrimiento abierto de Y . Sea Qy1 , . . . , Qyn

un subcubrimiento finito; luego la familia

V ytxk×Qytt=1,2,...,n

k=1,2,...,m(yt)

es un cubrimiento abierto y finito de X × Y . Como Qy ⊆ V xky la familia

V yx × V x

y (x,y) , (x, y) ∈ X × Y

admite un subcubrimiento finito.

¿Como caracterizar los subespacios en Rnu que son compactos?

Teorema 10.18. A ⊆ Rnu es compacto si y solo si A es cerrado y acotado.

Demostracion. ⇒) Si A es compacto entonces A es cerrado. Para verque es acotado notemos que Bn(0), (n ∈ N) con 0 = (0, 0, . . . , 0) esun cubrimiento abierto de A. Como A es compacto, esta contenido en launion de un numero finito de estas bolas, pero esta union es precisamentela bola de radio m para m el mayor de los radios.

⇐) SiA es acotado lo podemos colocar dentro de un cubo n–dimensional,i. e., existe un t ∈ N tal que

A ⊆ [−t, t]× [−t, t]× · · · × [−t, t] —n copias de [−t, t]—y como cada [−t, t] es compacto, tenemos que A es un cerrado contenidoen un compacto, luego A es compacto.

EJEMPLO 10.8

Los subconjuntos de matrices On y SOn (ejemplo 2.8) son compactos porser subconjuntos cerrados y acotados de Rn2

, mientras que GLn no lo espues se trata de un subconjunto abierto; tampoco es conexo por cuanto esla union disyunta de los abiertos formados por las matrices con determinantepositivo y negativo respectivamente.

G. RUBIANO


EJEMPLO 10.9

El toro T y la cinta de Mobius son compactos por ser cerrados y acotados.Note que T tiene una representacion en R3 que equivale a pegar en cadapunto de S1 al mismo S1 algo mas reducido, luego lo podemos ver comoel producto S1 × S1 de dos compactos.

EJEMPLO 10.10

Una funcion numerica y continua sobre un espacio compacto es acotada ytiene valores tanto maximo como mınimo.

En otras palabras, si X es compacto y f : X −→ Ru es continua, entoncesexisten a, b ∈ X tales que f(a) ≤ f(x) ≤ f(b) para todo x ∈ X. Estoes consecuencia directa del hecho que el conjunto f(X) ⊆ R es cerrado yacotado.

Proposicion 10.19. Sean (X,T), (Y,H) espacios topologicos con Y com-pacto. Si M ⊆ X × Y es un cerrado entonces la proyeccion pX(M) es uncerrado en X —la funcion proyeccion pX es cerrada—.

Demostracion. Veamos que el complemento de pX(M) es un conjuntoabierto. Si a /∈ PX(M) entonces a × Y ⊆ M c. Por cada (a, y) existeun abierto basico V y

a × V ay ⊆ M c. La coleccion V a

y , (y ∈ Y ) cubre aY y la reducimos a una finita V a

yini=1; entonces Va =

⋂ni=1 V yi

a satisfaceVa ∩ PX(M) = ∅ y ası Va ⊆ PX(M)c.

EJEMPLO 10.11

En la proposicion 10.19, si Y no es compacto pX(M) no necesariamente escerrado; por ejemplo, si M = grafo(f) ⊆ R2

u y f(x) = 1/x.

Proposicion 10.20 (Wallace). Sea A×B un subespacio compacto de unespacio producto X × Y . El conjunto

V1 × V2 : V1 ∈ V(A), V2 ∈ V(B)

es un sistema fundamental de vecindades del conjunto A×B.

Demostracion. Sea W un abierto con A×B ⊆W . Por cada (x, y) ∈ A×Bexiste Uyx × V x

y ⊆ W . La coleccion Uyx, (x ∈ A) es un cubrimiento de

G. RUBIANO

176 Compacidad

....................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................... ................

........

........

........

........

........

........

........

........

........

........

........

........

........

........

........

........

........

........

........

........

........

........

........

........

........

........

........

........

........

........

........

........

........

........

........

........

........

........

........

........

........

........

........

........

........

........

......................

................

.................................................................................................... ..........................................................

........

........

........

........

........

........

........

........

........

........

........

........

........

........

........

........

........

........

........

........

........

........

........

........

........

........

........

........

........

........

........

........

........

........

........

........

........

........

........

........

........

........

........

........

........

........

........

........

........

........

........

........

........

........

........

........

........

........

........

........

........

........

........

........

........

........

........

........

........

........

........

........

........

........

........

........

........

........

........

........

........

........

........

........

........

........

........

........

........

........

........

........

........

........

........

........

........

........

............................................................................................................ ......................................................................................

.......................................................................

..........................................................................................................

.............................................................................................................................................

.............................................................................................................................................

.............................................................................................................................................

.............................................................................................................................................

.............................................................................................................................................

..........................................................................................................

.......................................................................

....................................

....................................

.......................................................................

.......................................................................

.......................................................................

.......................................................................

.......................................................................

.......................................................................

.......................................................................

..................................................................

.......

...

........................................

....................

..........

..........

..............................

.......... ..............................

.......... ....................

..........

..........

........

........

........

........

........

........

........

........

........

........

........

........

........

........

........

........

........

........

........

........

........

........

........

........

........

........

........

........

........

........

........

.

..................................................................................................................................................................................................................................................................................

..................................................................................................................................................................................................................................................................................

........

........

........

........

........

........

........

........

........

........

........

........

........

........

........

........

........

........

........

........

........

........

........

........

........

........

........

........

........

........

........

.

............................................

........

....................................

........

.......................

.............

............................................

...............

........

...

........

...

........

...

........

...

........

...

........

...

........

...

........

...

........

...

........

...

........

...

........

...

........

... ........... ........... ........... ........... ........... ........... ........... ........... ........... ........... ........... ........... ........... ....................................................................................................................................................................................................................................................................................................

........... ........... ........... ........... ........... ........... ........... .....

........................................................................................

...........................................................................................

......................................................................................................................

!

!! !

................................................................................................................................................................................................................................................

........................................................................................................................................................................................................................................................................

.................................................................................................................................................................................................................................................................................................. .............................................

A"BW

U " V

B

A" y

A

V

U

A×y el cual reducimos a uno finito Uyxini=1; consideremos la vecindadVy =

⋂ni=1 V

xiy .

Para los abiertos Uy =⋃ni=1 U

yxi y Vy tenemos que A×y ⊆ Uy×Vy,

luego la coleccion Vy, (y ∈ B) es un cubrimiento abierto de B el cualpodemos reducir a uno finito Vy1 , . . . , Vym ; de suerte que U =

⋂ni=1 V

yi ,V =

⋃ni=1 Vyi satisfacen A×B ⊆ U × V ⊆W .

EJEMPLO 10.12

Si A, o B no son compactos, la pro-posicion 10.20 deja de ser verdad; porejemplo, en (R2, usual) considere elsubconjunto [1,∞) × [1, 2]. El abier-to W es asintotico a A×B y por tantono podemos encontrar U × V ⊆W .

Corolario 10.21 (Teorema del tubo). Considere el espacio producto X×Y ,donde Y es compacto. Si W es un abierto que contiene a la fibra x0×Yentonces W contiene un tubo Vx0 × Y .

Demostracion. x0 × Y es un compacto en el espacio X × Y .

G. RUBIANO


Ejercicios 10.3

1. Muestre que la caracterizacion en el teorema 10.18 no se puede ex-tender a los espacios metricos en general.

2. La distancia o metrica de Hausdorff mide cuan lejos estan uno deotro dos subconjuntos compactos de un espacio metrico.

Sea (X, d) un espacio metrico. En

H = A ⊆ X | A es compactodefinimos la distancia entre dos conjuntos como

dH(A,B) := maxd(A,B), d(B,A)donde

d(a,B) := infd(a, b) : b ∈ Bd(A,B) := maxd(a,B) : a ∈ A.

A B

d(B, A)

d(A, B)

Figura 10.3: Distancias d(A,B) 6= d(B,A) entre dos discos A y B.

Muestre que dH es una metrica para H conocida como metrica odistancia de Hausdorff. En general d(A,B) 6= d(B,A) —en R2

u

considere dos discos, fig. 10.3—. Es la maxima distancia de unconjunto al punto mas cercano en el otro conjunto.

3. Sean X,Y espacios de Hausdorff con Y compacto. f : X −→ Y escontinua si y solo si grafo(f) es cerrado en X × Y .

G. RUBIANO

178 Compacidad

10.4 Teorema de Tychonoff

Los siguientes parrafos estan encaminados a demostrar el resultado que A.Tychonoff presento en 1930, el cual ha sido descrito algunas veces como elresultado —individualmente— mas importante de la topologıa general. Loque sı es cierto sin ninguna duda, es que es uno de los medios mas podero-sos para garantizar la compacidad de ciertos espacios clasicos del Analisis,ya que asegura la compacidad para el producto arbitrario de espacios com-pactos5.

Figura 10.4: ....

Ya vimos como caracterizar la convergencia de una sucesion en un es-pacio producto en terminos de la convergencia de las proyecciones. Veamosahora como caracterizar la convergencia para los filtros.

Lema 10.22. Sean X =∏i∈I Xi un espacio con la topologıa producto,

x = (xi) un punto en X y F un filtro en X. F → x si y solo si para cadai ∈ I el filtro —dado por la proyeccion— pi(F)→ xi en Xi.

Demostracion. ⇒) Como pi es continua y F → x entonces pi(F)→ xi.

5 J. L. Kelley mostro en 1950 que el teorema de Tychonoff es equivalente al axioma deeleccion; no es de extranar ası que toda demostracion de este teorema involucre al Lemade Zorn o alguna otra forma equivalente al axioma de eleccion.

G. RUBIANO

10.4 Teorema de Tychonoff 179

⇐) Consideremos Vx ⊆ X una vecindad de x. No perdemos generalidadsi suponemos que Vx es un abierto basico:

Vx = Ui1 × Ui2 × · · · × Uin ×∏

Xi, i 6= i1, . . . , in.

Luego pik(Vx) = Uik es una vecindad de xik puesto que las proyeccionesson abiertas. Como pik(F) → xik , pik(Vx) ∈ pik(F), y por tanto existeF ∈ F tal que pik(F ) ⊆ pik(Vx), luego F ⊆ Uik ×

∏i 6=ik Xi. Por ser F un

filtro tenemos que Uik ×∏i 6=ik Xi esta en F para cada k = 1, . . . , n. Por

tanto, la interseccion finita

n⋂k=1

(Uik ×∏i 6=ik

Xi) = Vx ∈ F

lo que significa F → x.

Teorema 10.23 (Tychonoff 6). Sea X =∏i∈I Xi un espacio con la topo-

logıa producto. Entonces X es compacto si y solo si cada espacio coorde-nado Xi es compacto.

Demostracion. ⇒) Si X es compacto, por ser cada proyeccion pi continuatenemos que cada Xi es compacto.

⇐) Veamos que cada ultrafiltro U de X es convergente. Ya que lasproyecciones son sobreyectivas, por cada i ∈ I, pi(U) es un ultrafiltro enXi y como cada Xi es compacto, pi(U) → xi para algun xi ∈ Xi. Por ellema 10.22, U converge al punto x = (xi), (i ∈ I) de X.

La prueba del teorema de Tychonoff que hemos presentado es, por su-puesto, diferente a la original, la cual en su tiempo no contaba con lasherramientas de los filtros —concepto que fue introducido para estudiarla convergencia—, lo que hoy la hace tan sencilla.

Es posible encontrar al menos otras diez demostraciones diferentes deeste teorema, una de ellas en terminos de subbases, Lema de Alexander, yotra en terminos de la teorıa de convergencia de redes. Parece que el teore-ma de Tychonoff marchara en contra del sentido comun, pues compacidad

6El teorema recibe su nombre de Andrey Nikolayevich Tychonoff, quien en 1930 lodemostro para el producto del intervalo unidad [0, 1] y en 1935 lo enuncio de maneramas general pero anotando que la demostracion en este caso discurrıa como en el casoanterior. La primera demostracion publicada se debe a Eduard Cech en un artıculo de1937.

G. RUBIANO

180 Compacidad

es una propiedad de ‘finitud’ (cubrimientos abiertos finitos) y no se esperarıaque una construccion involucrando infinitud de espacios compactos fuese denuevo compacta.

EJEMPLO 10.13

El cubo IN =∏i∈N[0, 1]i es compacto si lo dotamos de la topologıa pro-

ducto.

EJEMPLO 10.14

Sean (0, 1, Sierpinski) y (X,T) un espacio topologico cualquiera. Con-sideremos el espacio producto

σ(X) =∏U∈T

0, 1U con 0, 1U = 0, 1 para cada U ∈ T.

σ(X) con la topologıa producto es compacto. Ahora definamos la funcion : X −→ σ(X) como x 7→ x(U), donde x(U) = 0 si x ∈ U o x(U) = 1 six /∈ U . Claramente es continua ya que ası lo son las funciones proyeccion

(pU )−1(0) = x ∈ X : x(U) = 0 = x : x ∈ U = U ;

o mas aun, ya que X tiene la topologıa inicial dada por . Ademas esabierta pues

U = x : x ∈ U = x : xU = 0 = p−1U (0) ∩ X.

En caso que X sea T0 tenemos que es inyectiva y por tanto un homeo-morfismo sobre X, i. e.,

X ≈ X ⊆∏U∈T

0, 1U .

10.5 Compacidad y sucesiones

Historicamente la primera nocion de ‘compacidad’ se dio en terminos dela convergencia de sucesiones. Esta propiedad no implica ni es implicadapor la nocion de compacidad que hemos definido en terminos de cubrimien-tos abiertos. Veremos que esta nocion de compacidad es mas fuerte que

G. RUBIANO

10.5 Compacidad y sucesiones 181

la compacidad contable pero resultan ser equivalentes en la clase de losespacios 1-contable.

Definicion 10.24. Un espacio (X,T) se dice compacto por sucesiones sicada sucesion en X contiene una subsucesion convergente.

EJEMPLO 10.15

1. Todo subconjunto finito de un espacio es compacto por sucesiones (latopologıa de subespacio).

2. Ru no es compacto por sucesiones y tampoco lo es el espacio(R, coenumerables). En ambos casos la sucesion (xn) = N no ad-mite ninguna subsucesion convergente.

Los conceptos de compacto y compacto por sucesiones no son equivalentes.En general existen espacios compactos que no son compactos por sucesionesy viceversa, aunque como veremos unas lıneas adelante, los ejemplos sonmas bien esotericos. Claro esta que en el contexto de los espacios metricosestos conceptos son equivalentes (seccion 10.6).

La compacidad por sucesiones es preservada por la continuidad; de aquıque sea un invariante topologico.

Proposicion 10.25. Sea f : (X,T) −→ (Y,H) una funcion continua ysobre. Si X es compacto por sucesiones, tambien lo es Y .

Demostracion. Sea (yn) una sucesion en f(X). Definimos (xn) en X to-mando xn ∈ f−1(yn). Como X es compacto por sucesiones, existe unasubsucesion (xnk

) y x0 ∈ X tal que xnk→ x0. Por ser f continua, en

particular es secuencialmente continua y ası yn → f(x0).

Una forma de compacidad mas debil que la compacidad usual y la compa-cidad por sucesiones es exigir tan solo que los cubrimientos abiertos quedeben tener subcubrimientos finitos sean los cubrimientos contables. Estacompacidad contable posee muchas de las propiedades topologicas queposee la compacidad; mas aun, en el contexto de los espacios metrizableso aun en espacios de Lindeloff ellas son equivalentes.

Definicion 10.26. Un espacio (X,T) se dice compacto contablementeo ω–compacto si cada cubrimiento abierto y enumerable de X admite unsubcubrimiento finito.

G. RUBIANO

182 Compacidad

Si recordamos que un espacio es de Lindelof si cada cubrimiento abiertoadmite un subcubrimiento enumerable, entonces los espacios compactos sonlos que son tanto de Lindelof como ω–compacto

La diferencia entre compacidad secuencial y compacidad contable es tanfina que practicamente se necesita la opinion de un experto. Veamos laimplicacion de una de ellas sobre la otra y posteriormente en 10.16 unrefinado contraejemplo para la otra implicacion.

El corolario 10.32 muestra que en el marco de los espacios 1–contablelos dos conceptos son equivalentes.

Teorema 10.27. Si (X,T) es un espacio compacto por sucesiones entoncesX es compacto contablemente.

Demostracion. Si X no es contablemente compacto existe un cubrimientoabierto U = U1, U2, . . . con la propiedad que no se puede reducir a unsubcubrimiento finito, i. e., para cada n ∈ N existe xn ∈ (

⋃ni=1 Ui)

c. Sea(xnk

) una subsucesion convergente de (xn) y sea x el punto de convergencia.Tomemos Uj ∈ U tal que x ∈ Uj . Para m > j sabemos que xm ∈(⋃mi=1 Ui)

c =⋂mi=1 U

ci luego xm ∈ U cj . Ası que, para todos los elementos

xnkcon nk > j se tiene xnk

/∈ Uj , lo cual contradice la convergencia de lasubsucesion.

EJEMPLO 10.16

El cubo X = [0, 1][0,1] es un espacio compacto y por tanto contablementecompacto, pero no es compacto por sucesiones.

X no es compacto por sucesiones —miramos a X como el conjunto de to-das las funciones de I = [0, 1] en I—. Definimos una sucesion de funciones(αn)n∈N con αn ∈ X de la manera siguiente: dado x ∈ I, αn(x) es el n-esimo dıgito en la expansion binaria de x. (αn)n∈N no tiene ninguna subsu-cesion convergente; en efecto, si (αnk

)nk∈N es una subsucesion que convergeal punto α ∈ X, entonces para cada x ∈ I, αnk

(x) → α(x) —recordemosque la convergencia en la topologıa producto para X es puntual—. Seat ∈ I con la propiedad que αnk

(t) = 0 si nk es impar, αnk(t) = 1 si nk es

par. La sucesion (αnk(t)) = 0, 1, 0, 1, 0, 1, . . . no puede converger.

En el ejemplo 8.4 mostramos que no es 1-contable.

G. RUBIANO


EJEMPLO 10.17

(R, cofinitos) es contablemente compacto y ademas compacto por suce-siones.

EJEMPLO 10.18

(R, coenumerables) no es compacto por sucesiones.

El siguiente ejemplo muestra que en general, la propiedad de ser contable-mente compacto no se hereda a los subespacios.

EJEMPLO 10.19

[0, 1] con la topologıa usual es compacto; luego en particular es conta-blemente compacto. Pero (0, 1) ⊆ [0, 1] no es contablemente compacto,ya que el cubrimiento abierto (0, 1 − 1/2n), (n ∈ N) no admite algunsubcubrimiento finito.

En caso que el subespacio sea cerrado, el lector debe verificar que la propie-dad sı se hereda.Tambien se debe mostrar que ser contablemente compacto K

es un invariante por medio de las funciones continuas.

Con la ayuda del siguiente concepto, mas debil que el concepto depunto lımite, podemos obtener una forma equivalente a la definicion decompacidad contable; ver teorema 10.29.

Definicion 10.28. Sean (X,T) un espacio y (xn) una sucesion en X. Deci-mos que x ∈ X es un punto adherido, de adherencia o de acumulacionde la sucesion (xn)n∈N si toda Vx tiene infinitos terminos de la sucesion.

Si una sucesion (xn) tiene una subsucesion convergente entonces tieneun punto adherido. Pero el hecho de que la sucesion posea un puntode clausura no significa que posea una subsucesion convergente, como lomuestra el siguiente ejemplo.

EJEMPLO 10.20

El espacio X = (N × N) ∪ (0, 0) de Arens-Fort posee una sucesion quetiene un punto de clausura y no tiene una subsucesion convergente.

G. RUBIANO

184 Compacidad

Observemos que el conjunto X − (0, 0) es enumerable, i. e., existe unabiyeccion f : N −→ X − (0, 0). f es una sucesion que tiene a (0, 0)como punto de clausura ya que toda vecindad de este punto tiene infinitosterminos de la sucesion, pero ninguna subsucesion es convergente a (0, 0)pues ya hemos visto que este espacio es de convergencia trivial.

Por supuesto que en los espacios metricos no tendrıamos este problema.Mas aun, en los espacios 1–contables tampoco lo tenemos; si x es un puntode acumulacion de (xn) y B1, B2, . . . es una base local encajada parax, por cada k ∈ N podemos encontrar nk ≥ k tal que xnk

∈ Bk y lasubsucesion xnk

→ x.

EJEMPLO 10.21

Dados (X,T) un espacio y una sucesion (xn) en X, un punto x es un puntode clausura para la sucesion si y solo si x es adherente al filtro asociado ala sucesion.

EJEMPLO 10.22

En Ru, 0 es un punto de clausura para la sucesion 0, 1, 0, 1 . . ..

Teorema 10.29. (X,T) es un espacio contablemente compacto si y solo sicada sucesion tiene un punto adherido en X.

Demostracion. ⇒) Sea (an) una sucesion en X que no tiene un punto deadherencia, es decir, para cada x ∈ X existen una vecindad abierta Wx y unN ∈ N tales que Wx ∩ aN+1, aN+2, . . . = ∅. Por cada n ∈ N definimos

Un =⋃Wx : Wx ∩ an+1, an+2, . . . = ∅, x ∈ X.

Cada Un es un conjunto abierto y la coleccion Un, (n ∈ N) es un cu-brimiento abierto de X que no admite un subcubrimientro finito, o de locontrario para X = Ui1 ∪ . . . ∪ Uim y m = maxi1, . . . , im se tiene queUm solamente puede tener finitos terminos de la sucesion que esten antesde am+1 y ası am+2 no pertenece al subcubrimiento finito; luego X no serıacontablemente compacto.

⇐) Si X no fuera contablemente compacto, existe un cubrimiento abier-to Un, (n ∈ N) que no admite un subcubrimiento finito. Por cada n ∈ N,el conjunto X −⋃n

i=1 Ui 6= ∅. Sea x1 ∈ X − U1. Definimos Un1 como elprimer Ui donde x1 esta. Ahora tomemos x2 ∈ X −

⋃n1i=1 Ui. Supongamos

G. RUBIANO


que xk ha sido escogido y xk ∈ Unk; escogemos xk+1 ∈ X −

⋃nki=1 Ui. Con

estas definiciones, la sucesion (xk) de infinitos terminos diferentes debe po-seer un punto x adherente a la sucesion y ademas x ∈ Un para algun n ∈ N.Pero si N ∈ N es suficientemente grande, digamos N > n, tenemos quexk /∈ Un para k > N . Luego Un ∈ V(x) y contiene tan solo finitos terminosde la sucesion, es decir, x no es un punto de clausura.

La siguiente nocion de punto de ω-acumulacion para un subconjunto A—una clase particular de punto de acumulacion— fue introducida por Haus-dorff.

Definicion 10.30. Dado A ⊆ (X,T), decimos que a ∈ X es un punto deω-acumulacion para A y notamos Aaω si para toda vecindad Va se tieneque Va ∩A es un conjunto infinito. Notese que Aaω ⊆ Aa.

EJEMPLO 10.23

En un espacio compacto X todo subconjunto infinito A ⊆ X posee almenos un punto de ω-acumulacion. Pues de lo contrario, por cada x ∈ Xpodemos encontrar una Vx abierta con Vx ∩ A finito; esta coleccion devecindades forma un recubrimiento abierto el cual reducimos a uno finitoVx1 . . . Vxn . Por tanto

A = A ∩X = A ∩ (∪nk=1Vxk) = ∪nk=1(A ∩ Vxk

)

serıa finito.

Corolario 10.31. Un espacio (X,T) es compacto contablemente si y solosi para cada A subconjunto infinito se tiene Aaω 6= ∅.

Demostracion. ⇒) Sea A ⊆ X infinito que no admite un punto de ω-acumulacion. Una sucesion (an) en A de terminos diferentes, no tiene unpunto adherido o de lo contrario A lo tendrıa.

⇐) Aplicamos literalmente el teorema 10.29.

EJEMPLO 10.24

En N consideremos la topologıa generada por la base

1, 2, 3, 4, 5, 6, . . ..

G. RUBIANO

186 Compacidad

En este espacio todo A ⊆ N posee un punto de acumulacion; pero, por ejem-plo, los numeros pares no poseen un punto de ω-acumulacion. Note que esteespacio no es compacto por sucesiones, ya que la sucesion 1, 2, 3, 4, . . .no contiene ninguna subsucesion convergente y tampoco admite un puntode clausura. Finalmente este espacio no es contablemente compacto, puesla base misma es un cubrimiento abierto que no admite un subcubrimientofinito.

Corolario 10.32. En un espacio 1-contable, los conceptos de compacidadcontable y compacidad por sucesiones coinciden.

Demostracion. ⇒) Sea (xn) una sucesion en X. Si A = xn : n ∈ N esfinito existe una subsucesion constante convergente. Si A es infinito, porel corolario 10.31 existe un punto a de ω-acumulacion, y al considerar unabase encajada obtenemos una subsucesion convergente al punto a.

⇐) Como en el teorema 10.29.

Ejercicios 10.5

1. Muestre que la compacidad por sucesiones es cerrada-hereditaria, i.e., se hereda a los subespacios cerrados.

2. Si un espacio 1–contable es compacto, entonces es compacto porsucesiones.

3. Muestre que la compacidad contable se hereda a los subespacios ce-rrados.

4. Muestre que el producto de dos espacios compactos por sucesiones esde nuevo compacto por sucesiones.

5. Muestre que la compacidad contable es un invariante topologico.

6. De un ejemplo donde Aaω = Aa.

7. Muestre que en un espacio 2-contable los conceptos de compacidad,compacidad contable y compacidad secuencial son equivalentes.

8. Estudie los conceptos de compacidad para la lınea de Khalinsky delejemplo 1.14 (pagina 18).

G. RUBIANO

10.6 Compacidad para metricos 187

10.6 Compacidad para metricos

El estudio de la compacidad en los espacios metricos se facilita dado el grannumero de formas equivalentes a las cuales se puede recurrir y que no sedan para los espacios en general. No olvidemos que el concepto primariode compacidad viene del estudio de espacios de funciones de subespaciosde Rn en Rm.

El proposito principal de esta seccion es mostrar que en los espaciosmetricos los conceptos de compacidad, compacidad contable, compaci-dad por sucesiones y la propiedad B-W son equivalentes.

Definicion 10.33. Un espacio metrico (X, d) se dice totalmente aco-tado si dado ε > 0 existe un subconjunto finito F = x1, x2, . . . , xn—dependiendo de ε— llamado ε-red tal que X =

⋃ni=1Bε(xi), (xi ∈ F ).

Lo de ε-red se justifica porque dado x ∈ X tenemos d(x, F ) < ε; esto es,una bola de radio ε no pasa sin tocar a F .

......................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................

.................................

..............................................................................................................................................................................................................................................................................................................

......................

.........................

................................

.......................................................

.........................

...................................................................................................................................................................

........................................

.............................................................................................................................

............................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................ .................

........

........

........

........

........

........

........

........

........

........

........

........

........

........

........

........

........

........

........

........

........

........

........

........

........

........

........

........

........

........

........

........

........

........

........

........

........

........

........

........

........

........

........

........

........

........

........

........

........

........

........

........

........

....................

.................

.....................................................•

•• •• •

• •

•

•

•• •

!

(1, 1)

••

••

••

••

••

••

••

••.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

Figura 10.5: Un disco es totalmente acotado.

Como el concepto de totalmente acotado depende de la funcion metrica,es de esperarse que no sea una propiedad topologica. En efecto (0, 1)y (1,→) son homeomorfos por medio de f(x) := 1/x, pero el segundoespacio no es totalmente acotado. ¿por que?

El concepto de totalmente acotado implica el de acotado para los espa-cios metricos en general; pero no todo espacio metrico acotado es necesa-riamente totalmente acotado.

G. RUBIANO

188 Compacidad

EJEMPLO 10.25

R con la metrica d′(x, y) = inf1, |x− y| no admite una ε-red finita paraε < 1. En el caso de (Rn, usual) estos dos conceptos coinciden.

La compacidad por sucesiones en los espacios metricos, se relaciona con lapropiedad de totalmente acotado de acuerdo con el siguiente teorema.

Teorema 10.34. Todo espacio metrico (X, d) compacto por sucesiones estotalmente acotado.

Demostracion. Si X no es totalmente acotado, existe un ε > 0 para elcual no existe ninguna ε-red finita. Construimos de manera inductiva unasucesion que no admite una subsucesion convergente. Sea x1 ∈ X, comox1 no es ε-red, existe x2 con d(x1, x2) ≥ ε. Supongamos que hemosconstruido x1, x2, . . . , xn en X con la propiedad que d(xi, xj) ≥ ε paratodo i, j ≤ n, (i 6= j). Como x1, x2, . . . , xn no es una ε-red existe xn+1

con d(xi, xn+1) ≥ ε, (i = 1, . . . , n). Es claro que la sucesion (xn) noadmite una subsucesion convergente.

Corolario 10.35. Todo espacio metrico (X, d) compacto por sucesiones es2-contable y separable.

Demostracion. Como X es totalmente acotado, para cada n existe unafamilia de bolas abiertas B1/n(xn1), . . . , B1/n(xnk

) que cubre a X, donde

Fn = xn1 , . . . , xnk es una 1

n–red. La coleccion de todas estas bolas nosproduce una base enumerable para X y la reunion D :=

⋃n=1 Fn nos da

un subconjunto enumerable y denso en (X, d).

Para el caso de los espacios metricos ya tenıamos otra manera de ca-racterizar la compacidad contable.

Corolario 10.36. Sea (X, d) un espacio metrico. X es contablementecompacto si y solo si es compacto por sucesiones.

Demostracion. Por el corolario 10.32.

Teorema 10.37. Todo espacio metrico (X, d) compacto es 2-contable.

G. RUBIANO

10.6 Compacidad para metricos 189

Demostracion. Para cada (n ∈ N) la coleccion Bn = B1/n(x) : x ∈ X esun cubrimiento abierto el cual se puede reducir a uno finito An ⊆ Bn. Lacoleccion A :=

⋃n=1An es contable. Dado un abierto U y x ∈ U tomemos

Bε(x) ⊆ U y consideremos n tal que 1/n < ε/4. Existe B1/n(y) ∈ An conx ∈ B1/n(y). Veamos que B1/n(y) ⊆ Bε(x). Si t ∈ B1/n(y) entonces

d(t, x) ≤ d(t, y) + d(y, x) ≤ 1/n+ 1/n < ε/4 + ε/4 = ε.

Numero de Lebesgue

Dado un cubrimiento abierto Uαα de un espacio metrico, el numero deLebesgue para este cubrimiento es un numero ε > 0 tal que cada bolaBε(x) en X esta contenida en al menos un conjunto Uα del cubrimien-to. Este numero depende del cubrimiento que se tome y nos informa queun cubrimiento no puede tener todos sus elementos por debajo de ciertodiametro.

El siguiente teorema nos garantiza la existencia del numero de Lebesguepara los espacios metricos compactos.

Teorema 10.38. Sea U un cubrimiento abierto del espacio metrico (X, d)donde X es compacto por sucesiones. Entonces existe un δ > 0 —δ esel numero de Lebesgue— tal que para cada x ∈ X existe U ∈ U conla propiedad que Bδ(x) ⊆ U . Decimos que el cubrimiento Bδ(x)x∈X esmas fino que U .

Demostracion. Razonando por contradiccion, supongamos que para U noexiste tal numero; es decir, por cada n ∈ N existe xn tal que B1/n(xn)no esta contenida en ningun miembro de U . Como X es compacto porsucesiones, la sucesion (xn) tiene un punto adherido x. Sea U ∈ U conx ∈ U . Tomemos r = d(x, U c), ası r > 0 y escogemos N ∈ N el cualsatisfaga simultaneamente que d(xN , x) < r/2 y 4/N < r. Con estascondiciones B1/N (xN ) ⊆ U ya que si d(y, xN ) < 1/N entonces y ∈ Upuesto que

d(x, y) ≤ d(x, xN ) + d(xN , y) ≤ r/2 + 1/N < r/2 + r/4 < r

y esto finalmente contradice la manera como escogimos a xN .

Con el anterior teorema podemos probar la equivalencia entre las dife-rentes definiciones de compacidad, cuando nos restringimos a la categorıade los espacios metricos.

G. RUBIANO

190 Compacidad

Corolario 10.39. Sea (X, d) un espacio metrico. X es compacto si y solosi X es compacto por sucesiones.

Demostracion. ⇒) Si X es compacto, entonces lo es contablemente com-pacto y ası, es compacto por sucesiones.

⇐) Si X es compacto por sucesiones, dado un cubrimiento U abiertode X, sea δ el numero de Lebesgue. Al ser X totalmente acotado tomamosuna δ-red =x1, x2, . . . , xn y por cada Bδ(xi) escogemos un Ui ∈ U talque Bδ(xi) ⊆ Ui. Luego U1, U2, . . . , Un es un subcubrimiento finito deU .

Corolario 10.40 (Continuidad para compactos). Una funcion continua f :(X, d) −→ (Y,m) de un espacio metrico compacto X a un espacio metricoY es continua uniformemente.

Demostracion. Dado ε > 0, la coleccion Bε/2(y)y∈Y es un cubrimientoabierto de Y y por tanto f−1(Bε/2(y))y∈Y lo es para X. Si δ es elnumero de Lebesgue asociado a este cubrimiento, cada bola Bδ(x) satisfacef(Bδ(x)) ⊆ Bε/2(y) para alguna bola Bε/2(y). Por tanto, si d(x, a) < δentonces

m(f(x), f(a)) ≤ m(f(x), y) +m(y, f(a)) < ε/2 + ε/2 = ε.

Ejercicios 10.6

1. Muestre que en un espacio metrico los conceptos de compacidad,compacidad contable y compacidad secuencial son equivalentes.

2. Muestre que en un espacio metrico los conceptos de separable, 2-contable y Lindeloff son equivalentes.

3. Muestre que un espacio metrico compacto es Lindeloff y por tanto es2-contable y separable.

4. Muestre que todo cerrado de un espacio Lindeloff es de nuevo Lin-deloff.

5. Muestre que un espacio metrico (X, d) es separable si y solo si dadoε > 0 existe D ⊆ X, D contable tal que X =

⋃Bε(d), (d ∈ D).

G. RUBIANO

10.7 Ordinales como ejemplo 191

6. Sea (X,T) un espacio compacto. Dada una sucesion (xn) con ununico punto de clausura, muestre que ella converge a este punto.

7. Sea A ⊂ (X, d). A es totalmente acotado si y solo si A lo es.

8. Si U es un cubrimiento abierto del espacio metrico (X, d), el numeroδ de Lebesgue para U satisface: para cada A ⊆ X con diam(A) < δexiste un elemento del cubrimiento que contiene a A.

9. Muestre que toda funcion continua de un espacio compacto en unespacio metrico es acotada.

10.7 Ordinales como ejemplo

Figura 10.6: Numeros ordinales.

Los numeros ordinales son la consecuencia inmediata al concepto deconjunto bien ordenado —conjuntos totalmente ordenados en los cualescada subconjunto no vacıo tiene un primer elemento— adjudicando a ca-da conjunto bien ordenado un numero ordinal; dos conjuntos A,B bienordenados tienen el mismo numero ordinal, i. e., son equivalentes, si son

G. RUBIANO

192 Compacidad

isomorficamente ordenados, es decir, existe un isomorfismo f en su cate-gorıa: f : A −→ B biyectiva y a ≤ b si y solo si f(a) ≤ f(b).

Usualmente se utilizan las letras griegas minusculas α, β, γ, . . . para de-notar los numeros ordinales y la letra O para denotar la coleccion total.Introducimos un orden en O de la manera siguiente. Sean α, β numerosordinales y A,B conjuntos bien ordenados que los representan; escribimosα β si A es isomorfo con un ideal7 I en B. Este orden sobre O es totaly ademas cualquier subconjunto de O es bien ordenado.

El conjunto de los numeros ordinales es util en la construccion de ejem-plos en topologıa. O es no contable y bien ordenado por . El conjunto(O,) contiene un elemento Ω con la siguiente propiedad: si α ∈ O yα ≺ Ω entonces β | β α es contable. Ω se llama primer ordinal nocontable. Por ω denotamos el primer elemento en O con la propiedad queel conjunto α | α ≺ ω es contable pero no finito; ω es llamado primerordinal infinito.

Los numeros ordinales pueden representarse como

O = 0, 1, 2, . . . , ω, ω + 1, ω + 2, . . . , 2ω, 2ω + 1, 2ω + 2, . . . , 3ω, . . .

. . . , ω2, ω2 + 1, . . . , ω3, . . . , ω4, . . . , ωω, ωω + 1, . . . ,Ω, . . .

Las notaciones se deben a G. Cantor pues fue el quien nos enseno a contar.

Note que ω, ω + 1 son ordinales contables —es decir, su cardinalidad esla misma de N—; ademas ω = 0, 1, 2, . . . es diferente de

ω + 1 = ω ∪ ω = 0, 1, 2, . . . , ω

ya que el primero no tiene un ultimo elemento, mientrasque el segundo sı.

En general llamamos a un numero ordinal un ordinal lımite si no tieneun predecesor8 inmediato. ω es el primer ordinal lımite, el segundo ordinallımite es 2ω = 0, 1, . . . , ω, ω+1, . . . Ası tambien lo son 3ω, . . . , ω2, . . . , ω3, ..y llegamos a ωω donde su cardinal no es NN=c, ¡el todavıa es un ordinalcontable —insomnio—! Si un numero ordinal no es lımite lo llamamos

ordinal sucesor.7Recordemos que I ⊆ B es un ideal si dados x, y ∈ B con x ∈ I, y ≤ x implica

y ∈ I; es decir, para cualquier elemento y ∈ I se tiene ↓ y ⊆ I (todos los precedentes ael tambien pertenecen a I).

8Una justificacion para este nombre es que un ordinal lımite es en efecto un lımite enel sentido topologico de todos sus ordinales mas pequenos (respecto a la topologıa delorden).

G. RUBIANO

10.7 Ordinales como ejemplo 193

Existe un significado natural para ωωω, . . . y al final de esta hilera arri-

bamos a un ordinal el cual Cantor llamo ξ. ¡Este es todavıa un ordinalcontable! Ahora aparece Ω, el primer ordinal no contable.

Finalmente, y como curiosidad, sea

R = x | x es un numero ordinal.

R es un numero ordinal y R no es un conjunto; de paso, R es el uniconumero ordinal que no es un conjunto.

La siguiente propiedad de los numeros ordinales nos sera util. K

Proposicion 10.41. Si A ⊆ O es contable y Ω /∈ A entoncessupA ≺ Ω.

Demostracion. Sea X = β | β α, para algun α ∈ A; es decir, X estaformado por los elementos de A o cualquier elemento de O que precedaalguno de A. X es contable ya que por cada α ∈ A el conjunto de sus pre-decesores es contable. Como O es bien ordenado, existe un primer elementoµ de Xc. Ası µ es una cota superior para X y ademas es la menor de lascotas superiores. Por otra parte, δ | δ µ es contable ya que si δ µentonces δ ∈ X. Por tanto µ no puede ser Ω; es decir, supA ≺ µ ≺ Ω.

En lo que sigue, los conjuntos Ω = [0,Ω) y Ω + 1 = [0,Ω] son dotadosde la topologıa del orden para la relacion de orden inducida.

Proposicion 10.42. [0,Ω] es compacto.

Demostracion. Esto es consecuencia de que [0,Ω] es completo, es decir,cada subconjunto no vacıo posee tanto sup como inf —completez—. Enefecto, dado U un cubrimiento abierto de [0,Ω], sea A el subconjunto forma-do por todos los t tales que [0, t) puede ser cubierto por un subcubrimientofinito de U . Sean α = sup A y U ∈ U tal que α ∈ U , por tanto U ⊆ A—¿por que?—. Luego existe (η, ζ) ⊆ U tal que α ∈ (η, ζ) (a menos queα = Ω), pero como α es el sup de A, tenemos que (α, ζ) = ∅, luego ζ ∈ A,pero esto no puede suceder, con lo cual A = [0,Ω].

Note que cada subespacio cerrado [0, β] ⊆ [0,Ω] es ahora compacto.

Proposicion 10.43. [0,Ω] no es 1-contable.

G. RUBIANO

194 Compacidad

Demostracion. Por la proposicion 10.41 el punto Ω no posee una base localcontable, pues si (αn,Ω], (n ∈ N) es una base local, entonces para β =supαn tenemos β ≺ Ω, luego no existirıa ningun elemento de la basecontenido en (β + 1,Ω].

Proposicion 10.44. [0,Ω) es 1-contable.

Demostracion. Basta verificar que el unico punto en [0,Ω] que no poseeuna base local contable es Ω.

Proposicion 10.45. [0,Ω) y [0,Ω] no son separables.

Demostracion. Demostremos que [0,Ω) no lo es. Dado un subconjunto Acontable, sea α = supA. Por 10.41, α ≺ Ω y por tanto existe un intervalo(α+ 1,Ω) ⊆ Ac, con lo cual A no puede ser denso.

Proposicion 10.46. [0,Ω) no es compacto ni de Lindeloff.

Demostracion. Sea U = [0, ζ) : ζ ≺ Ω. U es un cubrimiento abiertodonde cada elemento del cubrimiento es contable y U no admite un sub-cubrimiento finito o contable, pues si C ⊆ U es contable entonces ∪C escontable y no puede contener a [0,Ω).

Corolario 10.47. [0,Ω) no es compacto pero sı es contablemente compactoy compacto por sucesiones.

Demostracion. Si no es contablemente compacto, existe U = U1, U2, . . .un cubrimiento abierto para el cual no existe un subcubrimiento finito; portanto, para cada n existe xn /∈ U1 ∪ . . . ∪ Un. Si α = supn αn entoncespor el teorema 10.41, α ∈ [0,Ω) y ninguna subcoleccion finita de U cubreal compacto [0,Ω].

Como es 1-contable y de Hausdorff, es compacto por sucesiones.

Ejercicios 10.7

1. Revise el argumento en la demostracion de la proposicion 10.42 y elutilizado en el teor. 10.2 para mostrar que [0, 1] es compacto.

G. RUBIANO

10.8 Compacidad local 195

2. Sea (X,≺) un conjunto bien ordenado con la topologıa del orden.Muestre que X es compacto si y solo si contiene un elemento maximal.

3. Muestre que los ordinales finitos y ω son espacios discretos, y ningunordinal mayor que ellos es discreto.

4. Muestre que el conjunto de puntos de acumulacion (o puntos lımite)de un ordinal α es precisamente el conjunto de ordinales lımite me-nores que α.

5. El espacio [0, ω) es precisamente N con la topologıa discreta, mientrasque [0, ω] es el compactado de Alexandroff de N.

6. Muestre que [0,Ω] coincide con N ∪ w donde la topologıa es

T(F) = 2N ∪ F ∪ w : F ∈ F

para F el filtro de Frechet en N.

7. Muestre que los ordinales sucesores (y el cero) menores que α sonpuntos aislados en α.

8. Muestre que el ordinal α es compacto como espacio si y solo si α esun ordinal sucesor.

9. Muestre que cualquier ordinal es, por supuesto, un subconjunto abier-to de cualquier ordinal mayor.

10.8 Compacidad local

Aunque el espacio no sea compacto, el concepto de compacidad lo podemoslocalizar en un punto.

Definicion 10.48. (i) Un espacio (X,T) es localmente compacto si cadapunto del espacio posee una vecindad compacta, i. e., si cada x ∈ X estaen el interior de un subconjunto compacto.

G. RUBIANO

196 Compacidad

EJEMPLO 10.26

1. Todo espacio compacto es localmente compacto.

2. (Rn, usual) es localmente compacto, pues las cajas cerradas son com-pactas.

3. Si X es infinito, la topologıa discreta es localmente compacta (paracada x, x es una vecindad compacta) pero no es compacta.

4. Para X infinito, la topologıa Ix del punto incluido es localmente com-pacta (pero no compacta).

5. (R, (a,→)) no es localmente compacto.

Es comun en la literatura de este tema encontrar la siguiente definicion decompacidad local, diferente a la def. 10.48.

Definicion 10.49. (ii) Dados un espacio (X,T) y x ∈ X, decimos que Xes localmente compacto en x si dada una vecindad abierta Ux existe otravecindad Vx abierta con V compacta que satisface

x ∈ Vx ⊆ Vx ⊆ Ux.Esta definicion exige que para el punto x exista un sistema fundamental devecindades cerradas y compactas. Si X es localmente compacto en cadapunto decimos que es localmente compacto.

EJEMPLO 10.27

(R, cofinitos) es localmente compacto segun (i) pero no lo es segun (ii)pues la adherencia de una vecindad de un punto es todo R.

Sobre los espacios de Hausdorff estas dos definiciones coinciden; es decir,la existencia de una sola vecindad compacta para el punto, asegura laexistencia de todo un sistema fundamental de vecindades compactas parael punto.

EJEMPLO 10.28

Sea X un espacio de Hausdorff. X es localmente compacto si, y solo si,todo filtro convergente en X tiene un miembro compacto.

G. RUBIANO


⇒) Si X es localmente compacto y F es un filtro en Xconvergente ax, por definicion toda vecindad de x pertence a F. Pero entonces bastatomar una vecindad compacta de X (que existe porque X es localmentecompacto) y se concluye que F contiene un miembro compacto.

⇐) Sea x un punto cualquiera de X. Como la coleccion de todas lasvecindades de x es un filtro que converge a x, por hipotesis debe conteneralgun miembro compacto, ası que x posee una vecindad compacta Vx.

EJEMPLO 10.29

La topologıa de intervalos encajados. Para X = (0, 1) ⊆ R definimosT = (0, 1− 1

n)n (n = 2, 3, 4, . . .) y por supuesto anadimos el ∅ y X.

Esto nos da un ejemplo de un espacio que satisface la definicion 10.48pero no la definicion 10.49 puesto que la adherencia de cualquier vecindades todo el espacio el cual no es compacto. Muestre que en este espacio elunico subespacio cerrado que es compacto es el vacıo y que todo subespacioabierto es compacto, excepto X mismo.

Proposicion 10.50. El espacio de Hilbert H no es localmente compacto.

Demostracion. Dados x ∈ H y ε > 0 veamos que la bola cerrada Bε(x) noes compacta. Sea x = (x1, x2, . . .) y por cada n ∈ N definimos

yn = (x1, x2, . . . , xn−1, xn + ε, xn+1, . . .).

yn ∈ Bε(x) y ademas d(yi, yj) =√

2ε para todo i, j ∈ N. Ası, la sucesion(yn) no admite una subsucesion convergente; es decir, Bε(x) no es com-pacta por sucesiones, lo que es equivalente en este espacio metrico a decirque no es compacta.

EJEMPLO 10.30

La compacidad local en general no es hereditaria. Q con la topologıa desubespacio de Ru no es localmente compacto en el punto 0 pues ningunavecindad de 0 es compacta. En efecto, dado un intervalo [p, q] en Q quecontenga a 0, podemos obtener un cubrimiento abierto de [p, q] no reduciblea uno finito; basta tomar t ∈ R−Q con p < t < q y considerar la coleccion[p, t−1/n)∪(t+1/n, q], (n ∈ N) trazada con Q —algunas interseccionespueden resultar vacıas—.

G. RUBIANO

198 Compacidad

Claro que esto no sucede en caso que los subespacios sean abiertos o cerra-dos, es decir, la compacidad local es hereditaria–cerrada (¡demuestrelo!).

0.1 0.2 0.3 0.4 0.5

-1

-0.5

0.5

1

Figura 10.7: Grafo de f(x) = sen(1/x).

EJEMPLO 10.31

Sea D el grafo de la funcion f(x) = sen(1/x) para 0 < x ≤ 1/π. Elconjunto D∗ = D∪(0, 0) dotado de la topologıa de subespacio de R2

u noes localmente compacto en el punto (0, 0) ya que cualquier vecindad V deeste punto contiene una sucesion de puntos —sobre una recta paralela alx–eje que no posee un punto de acumulacion en V , i. e., V no es cerrada.

EJEMPLO 10.32

La compacidad local no se preserva por funciones continuas en general. Lafuncion idQ : (Q, discreta) −→ (Q, usual) es continua pero no preserva lacompacidad local. Pero si f ademas de continua es abierta sı se preserva.

10.8.1 Compactacion

La esfera S2 es una compactacion del plano R2 ya que la proyeccion es-K

tereografica identifica al plano con la esfera punteada (el polo norte esremovido).

G. RUBIANO


Hemos identificado un espacio no compacto con uno que sı lo es alanadirle un punto —S2 es compacto—.

Definicion 10.51. Sea (X,T) un espacio. Un espacio (Y,H) compacto sellama un compactado de X si existe una funcion f : X −→ Y continuae inyectiva tal que f : X −→ f(X) ⊆ Y es un homeomorfismo con f(X)denso en Y .

En particular decimos que f realiza la compactacion de X. Si ademasY−f(X) se reduce a un conjunto unitario, decimos que Y es un compactadode Alexandroff o compactado por un punto.

La siguiente construccion es un metodo general de construir desde X unespacio compacto X∗ = X∪∞ que tenga a X como un espacio inmerso.

Proposicion 10.52. Sean (X,T) un espacio y un punto ∞ /∈ X. ParaX∗ = X ∪ ∞ definimos la topologıa T∗ que tiene tanto a T como a losW ⊆ X∗ tales que ∞ ∈W y W c es un cerrado y compacto en X.

El par (X∗,T∗) se llama compactado (por un punto) de Alexandroffde X.

Demostracion. Claramente ∅ y X∗ estan en T∗ pues ∅ es trivialmente com-pacto. Veamos que T∗ es cerrada para la interseccion finita. Si U, V ∈ T∗ yambos estan en T entonces U ∩ V ∈ T∗; si U ∈ T y ∞ ∈ V , V c es cerradoy compacto en T luego V ∩X es abierto en X y ası U ∩ V ∈ T ⊆ T∗. Si∞ esta tanto en U como en V entonces U c, V c son cerrados y compactosen X, luego (U ∩V )c = U c ∪V c tambien es cerrado y compacto en X porser union de dos compactos, con lo que U ∩ V ∈ T∗.

Ahora examinemos la union de una familia V = Vii ⊆ T∗. Si∞ /∈ ⋃Ventonces

⋃V ∈ T ⊆ T∗. Pero si ∞ ∈ Vi ∈ V entonces (⋃V)c ⊆ V c

i ; como(⋃V)c es cerrado y V c

i es compacto tenemos que (⋃V)c es cerrado y

compacto, esto es⋃V ∈ T∗.

Proposicion 10.53. El espacio (X∗,T∗) es compacto.

Demostracion. Sea U un cubrimiento abierto de X∗. Existe U0 ∈ U con∞ ∈ U0 y U c0 compacto. Claramente U es tambien cubrimiento abierto deU c0 , luego lo podemos reducir a un subcubrimiento finito U1, . . . , Un y asıX∗ ⊆ ⋃n

i=0 Ui.

Proposicion 10.54. X es denso en X∗ si y solo si X no es compacto.

G. RUBIANO

200 Compacidad

Demostracion. ⇒) Si X = X∗ entonces X no es compacto, pues de locontrario X serıa cerrado y compacto con lo cual ∞ serıa un abierto y∞ ∩X = ∅, negando que ∞ ∈ X.

⇐) Basta ver que∞ ∈ X. Sea V∞ una vecindad de∞ en T∗. EntoncesV c∞ es un subconjunto cerrado y compacto de X, con lo cual V c∞ no puedeser todo X, ası que V∞ ∩ X 6= ∅, y por tanto ∞ ∈ X, lo que implicaX = X∗ en T∗.

En el caso de partir en la construccion desde un espacio de Hausdorff,tenemos el siguiente teorema.

Teorema 10.55. (X,T) es Hausdorff y localmente compacto si y solo si(X∗,T∗) es Hausdorff.

Demostracion. ⇒) Sea X localmente compacto y de Hausdorff. Dadosx, y ∈ X∗ veamos que los podemos separar. Si x, y ∈ X no hay nadaque demostrar puesto que X es T2. Si x = ∞, como X es localmentecompacto y Hausdorff, existe Vy compacta y por tanto cerrada, luego ∞ ∈(X∗ − Vy) ∈ T∗ y (X∗ − Vy) ∩ Vy = ∅.⇐) Supongamos que (X∗,T∗) es Hausdorff. X como subespacio de X∗

es de nuevo Hausdorff. Veamos que X es localmente compacto. Sea x ∈ Xy encontremos una vecindad compacta. Existen Vx, V∞ abiertas en T∗ conVx∩V∞ = ∅, esto es, X∗/V∞ es un subconjunto cerrado y compacto de Xcon Vx ⊆ X∗ − V∞; luego Vx ⊆ X∗ − V∞ y por ser Vx un cerrado dentrode un compacto, es compacta.

Corolario 10.56. Cada espacio localmente compacto y Hausdorff es ho-meomorfo a un subespacio de un espacio compacto y de Hausdorff.

Demostracion. Basta considerar la inclusion i : X → X∗. Dado U ⊆ X,U es abierto en x si y solo si lo es en X∗. Luego G∗ induce la topologıaoriginal G de X. (X,T) no se pierde en (X∗,T∗).

En resumen, hemos demostrado el siguiente teorema.

Teorema 10.57. Sea X un espacio localmente compacto y no compacto.Entonces i : X → X∗ —la inyeccion canonica— es una compactacion deAlexandroff para X.

G. RUBIANO


Ejercicios 10.8

1. Muestre que en los espacios de Hausdorff la compacidad local sehereda a los subconjuntos cerrados o abiertos.

2. Muestre que la compacidad local es un invariante topologico.

3. Muestre que un espacio producto de espacios es localmente compactosi y solo si cada espacio coordenado es localmente compacto y todosexcepto un numero finito de espacios coordenados son compactos.

4. Sea X = Ru. Muestre que X∗ (la compactacion de Alexandroff) eshomeomorfo a S1 con la topologıa usual.

Sugerencia: la funcion f : X∗ −→ S1 es un homeomorfismo si esdefinida por

f(x) =

(

1− x2

1 + x2,

2x1 + x2

), x ∈ X

(−1, 0) x =∞.

5. Sea (X,T) un espacio Hausdorff y localmente compacto. Si A ⊆ Xy x /∈ A, existen vecindades disyuntas de A y x —podemos separarpuntos de cerrados—.

G. RUBIANO

11 Espacios metricos y sucesiones—completez—

Una manera clasica de presentar al espacio Ru es la siguiente: es elmenor espacio metrico completo que contiene a Q como subespacio. Elsentido de ‘completo’ y su generalizacion es lo que estudiamos en estecapıtulo. Intuitivamente un espacio metrico es completo si cada sucesionque ‘quiere’ converger realmente tiene a donde hacerlo.

11.1 Sucesiones de Cauchy

Definicion 11.1. Sea (X, d) un espacio metrico. Una sucesion (xn) en Xse dice sucesion de Cauchy si dado un ε > 0 existe un entero positivo N(depende de ε) tal que si m,n ≥ N entonces d(xm, xn) < ε —podemoscontrolar la distancia entre los puntos a partir de un momento dado ycontrolarla tanto como queramos—.

Definicion 11.2. Un espacio metrico (X, d) es completo si cada sucesionde Cauchy en X es convergente a algun punto de X. (Las sucesiones quequieren converger encuentran a quien hacerlo).

Proposicion 11.3. En un espacio metrico (X, d) una sucesion de Cauchyes un conjunto acotado.

Demostracion. Existe N1 tal que para m,n ≥ N1, d(xm, xn) ≤ 1. Enparticular para todo n ≥ N1 tenemos d(xn, xN1) ≤ 1, y tomando para losterminos que estan anteriores a xN1 el maximo M = maxk≤N1 d(xk, xN1),tenemos que todo xn satisface d(xn, xN1) ≤ maxM, 1.Proposicion 11.4. Si una sucesion de Cauchy en un espacio metrico (X, d)tiene una subsucesion convergente entonces la sucesion converge.

202

G. RUBIANO

11.1 Sucesiones de Cauchy 203

Demostracion. Sea (xn) una sucesion de Cauchy para la cual existe unasubsucesion xnk

→ l ∈ X. Para ε > 0 existen Nε y kε en N tales que paratodo m,n ≥ Nε, d(xm, xn) < ε

2 y para todo k ≥ kε, d(xnk, l) < ε

2 .

Si M = maxNε, nkε entonces para n ≥M tenemos

d(xn, l) ≤ d(xn, xnkε) + d(xnkε

, l) ≤ ε, y ası xn → l.

Las proposiciones 11.3, 11.4 implican que los espacios metricos que soncompactos son completos. Pero esto no significa que haya escasez deespacios metricos completos que no sean compactos, por ejemplo Ru.

Desafortunadamente la propiedad de completez no es un invariantetopologico. Por ejemplo Ru ≈ (0, 1) pero el segundo no es completo.

Como la definicion de sucesion de Cauchy no es una cualidad topologicasino que depende de la metrica usada en particular, podemos tener lamisma topologıa proveniente en un caso de un espacio completo y enotro de un espacio no completo —la nocion de sucesion de Cauchy no estopologica—.

Por ejemplo, si sobre R definimos la metrica

d(x, y) =∣∣∣∣ x

1 + |x| −y

1 + |y|∣∣∣∣ ,

tenemos que (R, d) es homeomorfo a Ru —metricas exoticas— pero lasucesion (n)n∈N es de Cauchy en la metrica d y no lo es en la usual.

Esta situacion, mas bien estresante, puede ser remediada de manera K

parcial con la introduccion del concepto de completez topologica.

Definicion 11.5. Un espacio metrico (X, d) es completo topologica-mente si existe una metrica m equivalente a d y (X,m) es completo.

Por supuesto, los espacios metricos completos son completos topologica-mente. La pregunta es si todo espacio metrico puede tener una metricaequivalente que lo haga completo topologicamente. Aunque la respuestaes no, por ejemplo Q, veremos en la seccion 11.3 como completar cualquierespacio metrico.

G. RUBIANO

204 Espacios metricos y sucesiones —completez—

EJEMPLO 11.1

(RN, d) con d la metrica primeriza o de Baire (ver pag. 41) es completo.

Si x = (xn)n∈N es una sucesion de Cauchy en R con xn = (xkn)k y donde xknes la k-esima coordenada del termino n-esimo de la sucesion x— entonces,por la definicion de la metrica de Baire, para cada k la sucesion (xkn)nes a la larga constante, digamos a xk, pues dado ε > 0 existe 1

N cond(xn, xm) < 1

N para n,m > N , lo que implica que las dos sucesiones seigualan a partir del ındice N en adelante. Claramente xn → (xk).Esta es una metrica que harıa de Q ∩ (0, 1) un espacio completo al tomarcada racional en su expansion decimal.

11.1.1 Filtros de Cauchy

Ası como para las sucesiones en un espacio metrico, tambien existe unaversion de Cauchy para los filtros.

Definicion 11.6. Sea (X, d) un espacio metrico y F un filtro en X. Sedice que F es de Cauchy en X si para cada ε > 0 existe un F ∈ F tal que

F × F ⊆ (x, y) ∈ X ×X : d(x, y) < ε.

El filtro posee elementos con diametro tan pequeno como queramos.

Proposicion 11.7. Si una sucesion (xn)n∈N es de Cauchy, entonces el filtroasociado tambien es de Cauchy.

Demostracion. Para abreviar, diremos que F ⊆ X es ε–pequeno si satisfacela condicion del enunciado, a saber

F × F ⊆ (x, y) ∈ X ×X : d(x, y) < ε.

El filtro asociado F(xn) tiene como base a las colas Sk = xn : n ≥ k.Fijado ε > 0, como (xn) es de Cauchy existe r ∈ N tal que si n,m ≥ rtenemos d(xn, xm) < ε. Ası pues la seccion Sr (y todas las Sk, con k < r)son ε–pequenas y por tanto F es de Cauchy.

Proposicion 11.8. Si F es un filtro de Cauchy en (X, d) entonces F con-verge a cada uno de sus puntos adheridos.

G. RUBIANO

11.1 Sucesiones de Cauchy 205

Demostracion. Sean F un filtro de Cauchy en X y x un punto adherente deF, es decir, x ∈ F para cada F ∈ F. Para ver la convergencia es suficientemostrar que las bolas abiertas Bε(x) pertenecen al filtro. Pero esto setiene ya que dada Bε(x) existe F ∈ F que es ε/2–pequeno y esto implicaF ⊆ Bε(x). En efecto, dado y ∈ F tomemos z ∈ Bε/2(x) ∩ F y como Fes ε/2–pequeno, tenemos d(y, x) ≤ d(y, z) + d(z, x) < ε.

En los espacios metricos completos los filtros de Cauchy caracterizan alos filtros convergentes.

Proposicion 11.9. Sea (X, d) un espacio metrico completo. Un filtro F esconvergente si y solo si es de Cauchy.

Demostracion. ⇒) Supongamos que F converge a x. Entonces Bε/2(x) ∈F y ademas Bε/2(x) es ε–pequena.

⇐) Sea F de Cauchy. Construyamos una sucesion (xn) de Cauchyy mostremos que F converge al punto que converge tal sucesion. Dado ntomamos Fn que sea 1

n–pequeno y elegimos xn ∈ F1∩· · ·∩Fn. La sucesion(xn) ası definida es la que necesitamos.

EJEMPLO 11.2

La completez no es hereditaria. R es completo ya que toda sucesion deCauchy al ser acotada esta contenida dentro de un subespacio compacto ypor lo tanto compacto por sucesiones, con lo cual se admite una subsucesionconvergente y por 11.4 tenemos la completez.En Q con la topologıa de subespacio usual de R la sucesion(1, 1.4, 1.41, 1.414, 1.4142, . . .) es de Cauchy y no converge —quiere con-verger a

√2 que no esta en Q—.

Teorema 11.10. En un espacio metrico completo (X, d), los subespaciosque son completos son los cerrados.

Demostracion. ⇒) Sea A un subespacio de X. Si A es cerrado, dada (xn)de Cauchy en (A, dA), ella tambien lo es en (X, d) y su lımite pertenece aA ya que A es cerrado.

⇐) Si (A, dA) es completo, todo punto b adherente a A admite unasucesion (xn) en A que es convergente a b, pero como (xn) es de Cauchyy A es completo, b ∈ A.

G. RUBIANO


La propiedad de completez es mas debil que la de compacidad; una evi-dencia de esto son los espacios metricos Rn. Algo mas interesante aunes que, tomando separadamente la completez y la propiedad de total-mente acotado, ellas no son propiedades topologicas, pero al tomarlassimultaneamente dan un invariante topologico que es la compacidad (teo-rema 11.11). Ya vimos en la pagina 203 que la compacidad en un espaciometrico implica su completez. El siguiente teorema da condiciones paragarantizar la inversa.

Teorema 11.11. Sea (X, d) un espacio metrico. X es compacto si y solosi X es completo y totalmente acotado.

Demostracion. ⇒) Proposiciones 11.3, 11.4.

⇐) Sea (xn) en X. Si un termino se repite un numero infinito de veces,ella contiene una subsucesion convergente —constante—. Si este no es elcaso, veamos que de todas formas existe una subsucesion convergente, locual muestra que X es compacto por sucesiones; lo que para nuestro casometrico es equivalente a compacidad.

Dado un ε > 0 existe una ε-red finita y por tanto un cubrimiento Bε

—finito— por bolas de radio ε. Ası, para cada ε existe una bola Bε(tε) enBε —algun tε— que contiene infinitos terminos de la sucesion (xn). Seaxn1 el primer termino de la sucesion contenido en B1(t1). Similarmenteescogemos a xnj como el primer elemento de xk : k > nj−1 contenidoen B1/j(t1/j). La subsucesion (xnj ) es de Cauchy y como X es completoella converge a algun x ∈ X.

La siguiente es una propiedad importante de los espacios metricos com-pletos. Es una generalizacion de la propiedad de Cantor en Rn.

Teorema 11.12 (Encaje de Cantor). Sea (X, d) un espacio metrico com-pleto. Si A1 ⊃ A2 ⊃ A3 ⊃ . . . es un encaje decreciente de subconjuntoscerrados de X con lim(diam(An)) = 0 (el lımite de los diametros es cero)entonces

⋂n∈NAn = x para algun x ∈ X.

Demostracion. Por cada entero positivo n seleccionamos un xn ∈ An. Vea-mos que (xn) es de Cauchy y que su lımite es el punto en

⋂n∈NAn. Dado

ε > 0, existe un entero positivo N tal que diam(AN ) < ε. Como la sucesionAnn es decreciente, para xm, xn con m,n > N tenemos d(xm, xn) < ε,con lo cual (xn) es de Cauchy y convergente digamos al punto x. Para

G. RUBIANO

11.2 Espacios de Baire 207

cada j ∈ N, la sucesion (xj+i), (i = 1, 2, . . .) es una sucesion en Aj conxj+i → x; ası, x ∈ Aj para cada j pues Aj es cerrado. Si existiera otropunto y ∈ ⋂n∈NAn entonces diam(An) ≥ d(x, y) > 0.

11.2 Espacios de Baire

El siguiente teorema fue introducido por B. Baire1 en 1889 para los numerosreales y por F. Hausdorff en 1914 para los espacios metricos completos.

Teorema 11.13. Supongamos que (X, d) es un espacio metrico completoy sea Dnn∈N una coleccion enumerable de conjuntos abiertos y densosen X. Entonces

⋂n∈NDn es densa en X.

Demostracion. Veamos que para cualquier abierto U se tiene

U ∩(⋂n∈N

Dn

)6= ∅.

Como U ∩D1 6= ∅ entonces existe una bola abierta B1 con B1 ⊆ U ∩D1

y diam(B1) ≤ 1. De manera inductiva se puede construir una sucesion(Bn)n∈N de bolas abiertas con la siguiente propiedad:

Bn ⊆ (Bn−1) ∩Dn y diam(Bn) ≤ 1/n, (n ∈ N).

Entonces ⋂n∈N

Bn ⊆ U ∩(⋂n∈N

Dn

),

y como las Bn forman un encaje que satisface las condiciones del teorema11.12 tenemos

⋂n∈NBn 6= ∅ lo que implica U

⋂(⋂n∈NDn

) 6= ∅.La anterior propiedad no es exclusiva de los espacios metricos completos,mas aun, puede ser poseıda por espacios topologicos no metrizables. Losespacios que comparten esta propiedad se conocen como espacios deBaire.

1Rene-Louis Baire (Parıs, 1874-Chambery, 1932) matematico frances, notable por sustrabajos sobre continuidad de funciones, los numeros irracionales y el concepto de lımite.Su libro Lecons sur les theories generales de l’analyse (1908) se convirtio en un clasico dela didactica del analisis matematico.

G. RUBIANO


Definicion 11.14. Un espacio (X,T) se dice espacio de Baire si dadauna familia enumerable Dnn∈N de abiertos densos en X su intersecciones densa en X.

Proposicion 11.15. Sea (X,T) un espacio de Baire. Si Cnn∈N es uncubrimiento por cerrados de X, entonces al menos uno de los Cn contieneun conjunto abierto (tiene interior no vacıo).

Demostracion. Es una aplicacion de las leyes de De Morgan. Si X =⋃n∈NCn tomando complementos se tiene

⋂n∈NCn

c = ∅ y como el espacioes de Baire, alguno de los Cn

c no es denso, i.e., Cn contiene un abierto.

En un espacio topologico se puede pensar que los conjuntos cerrados coninterior vacıo son como ‘puntos’ en el espacio (son demasiado delgadospara contener ‘algo’). Ignorando los espacios con puntos aislados, que sonsu propio interior, un espacio de Baire es grande en el sentido que no puedeconstruirse como una union enumerable de estos conjuntos ‘delgados’.

Por ejemplo en R2u cualquier coleccion enumerable de lıneas, sin im-

portar que lıneas escojamos, no pueden cubrir al espacio.

Los conjuntos del parrafo anterior reciben un nombre especial.

Definicion 11.16. Sean (X,T) un espacio y M ⊆ X. Se dice que M es

magro, delgado o diseminado en X siM= ∅

EJEMPLO 11.3

Los subconjuntos finitos y Z son diseminados en Ru. Q no lo es.

Ejercicios 11.2

1. Muestre que (xn) es sucesion de Cauchy si

d(xn, xm)→ 0 cuando n,m→∞.

2. Muestre que la definicion de sucesion de Cauchy es equivalente a decirque el filtro F generado por la sucesion (xn) satisface que, dado ε > 0,existe F ∈ F tal que el diametro de F sea menor que ε; esto es,

diam(F ) = sup d(F × F ) = supd(x, y) : x, y ∈ F < ε.

G. RUBIANO

11.2 Espacios de Baire 209

3. Muestre que en Rn una sucesion converge si y solo si es de Cauchy.Este ejercicio muestra que la clase de las sucesiones de Cauchy es lamisma que la de las sucesiones convergentes. Pero en general estono es ası para los espacios metricos, y da origen a la definicion decompletez.

4. Muestre que el recıproco del teorema 11.12 es cierto; es decir, si tene-mos la propiedad para cada encaje es porque el espacio es completo.

5. Sea (xn) una sucesion en el espacio metrico (X, d). Muestre que(xn) es de Cauchy si y solo si limn→∞ diam(Xn) = 0 donde Xn =xn, xn+1, . . ..

6. Muestre que H —el espacio de Hilbert— es completo.

Sugerencia: si (qm) es una sucesion de Cauchy en H con

qm = qm1 , qm2 , . . . , qmn , . . .,

muestre que

(a) Para cada j, (qmj )m∈N es una sucesion de Cauchy en los reales.Luego existe su lımite zj .

(b) z = (z1, z2, . . .) ∈ H.

(c) qm → z.

7. Muestre que un espacio (X,T) de Hausdorff y localmente compactoes de Baire.

8. Si (X,T) es un espacio de Baire entonces

(a) La union de cualquier familia numerable de subconjuntos dise-minados o densos en ninguna parte tiene interior vacıo.

(b) X no se puede expresar como una union enumerable de conjun-tos densos en ninguna parte.

(c) Toda union enumerable de subconjuntos cerrados con interiorvacıo, tiene interior vacıo.

9. Si (X,T) es Hausdorff y compacto entonces X es de Baire.

10. Si M es diseminado en (X,T) tambien lo es M .

11. Si M es diseminado en (X,T) entonces ext(M) es denso en X.

G. RUBIANO


11.3 Completez de un espacio metrico

Uno de los metodos —introducido por Hausdorff en 1914— de construirlos numeros reales es a partir de los numeros racionales, usando clases deequivalencia de sucesiones de Cauchy en los numeros racionales.

Por supuesto, existen otros metodos como el propuesto por Dedekindutilizando sus llamadas cortaduras y luego extendido por MacNeille paraconjuntos parcialmente ordenados.

Lo que haremos en esta seccion no es mas que resaltar la belleza dela tecnica utilizada por Hausdorff, para mostrar una de las formas clasicasde abstraer en matematicas y de paso ‘completar’ un espacio metricocualquiera.

Recordemos que una isometrıa es una clase particular de funcion con-tinua f : (X, d) −→ (Y,m) entre espacios metricos que, como su nombrelo indica, no cambia la medida, esto es m(f(x), f(y)) = d(x, y) para todox, y ∈ X. Por ejemplo, R esta isometricamente inmerso en R2 a traves deleje ordenado x, precisamente f : R −→ R2 con f(x) = (x, 0).

En general decimos —cuando existe una isometrıa— que el espaciometrico X esta inmerso isometricamente en Y por medio de f . Lo quemostraremos en estos parrafos es: si nuestro espacio metrico (X, d) no escompleto podemos obtener un espacio metrico X∗ de tal modo que X∗ escompleto y X esta inmerso en X∗ de una manera representativa; esto es,la copia de X por medio de la isometrıa es un subconjunto denso en X∗.

Teorema 11.17. Sea (X, d) un espacio metrico. Existe un espacio metrico(X∗, d∗) completo y una isometrıa f : X −→ X∗ tal que f(X) es denso enX∗. El par (f, (X∗, d∗)) se llama un completado del espacio (X, d).

Demostracion. Notemos por S el conjunto de todas las sucesiones de Cau-chy en X. Sobre S definimos la siguiente relacion:

(xi) ≈ (yi), si y solo si limid(xi, yi) = 0, (i ∈ N).

Es inmediato ver que ≈ es de equivalencia. Sea X∗ = S/ ≈ el conjuntode todas las clases [(xi)] de equivalencia. Definimos una metrica sobre X∗

como

d∗([(xi)], [(yi)]) = limid(xi, yi), (i ∈ N).

G. RUBIANO

11.3 Completez de un espacio metrico 211

Para ver que d∗ es una metrica basta notar que si (xi), (yi) ∈ S entonces(d(xi, yi)) es de Cauchy en R, por lo cual su lımite existe.

Cada elemento x ∈ X lo identificamos en X∗ con la sucesion x = (x)constante al punto x, con lo cual f : (X, d) −→ (X∗, d∗) definida porf(x) = x = [(x)] es una isometrıa con X := f(X).

Para verificar que X = f(X) es denso en X∗ consideremos (xn) ∈ Sy veamos que [(xn)] ∈ X. Dado ε > 0, sea [xi] = [(xi, xi, . . .)] para cadai —note que [xi] = f(xi) pertenece a f(X)—. Como (x1, x2, · · · ) es deCauchy, existe un entero N tal que d(xi, xj) < ε para cada i, j ≥ N . Luego

d([(xn)], f(xN ) = limnd(xn, xN ) < ε,

ası, [(xn)] es un punto adherente a X (f(xN ) es un punto en f(X)), luegoX = f(X) es denso en X∗.

Finalmente revisemos la completez. Sea (xn) una sucesion de Cauchyen X∗ donde xn = [(xn1 , x

n2 , x

n3 , . . .)]. Podemos asumir que el diametro del

conjunto xni | i ∈ N es menor que 1/n ya que para algun K, d(xni , xnj ) <

1/n, para i, j ≥ K y ası (xn1 , xn2 , . . .) es equivalente a (xnk , x

nk+1, . . .) con lo

cual (xn) puede ser representada por esta ultima sucesion.

Veamos que x = (x11, x

22, x

33, . . . ) es una sucesion de Cauchy. Dado

ε > 0 existe N tal que d(xm,xn) = limk d(xkn, xkm) < ε para m,n > N .

Luego para algun K fijo K ≥ N , tenemos d(xKn , xKm) < ε/3 para m,n > N .

Escojamos M tal que 1/M < ε/3. Entonces para m,n ≥ N tenemos

d(xmm, xnn) ≤ d(xmm, x

Km) + d(xKm, x

Kn ) + d(xKn , x

nn) < 3ε/3 = ε.

Como d(xm, [x]) = limK d(xKn , xKK) < ε/3 para n ≥ N entonces (xn)→

[x], es decir X∗ es completo.

Corolario 11.18. Un espacio metrico X es completo si y solo si X ≈ X∗

—homeomorfos—.

Demostracion. ⇒) Si X ≈ X∗ entonces X es completo.

⇐) Si X es completo, dado x ∈ X∗ con x representado por la su-cesion de Cauchy (x1, x2, . . .) entonces (x1, x2, . . .) → x, (x ∈ X) y ası(x1, x2, . . .) es equivalente a (x, x, . . .), con lo cual x puede representarsepor (x, x, . . .) y por tanto x ∈ X.

G. RUBIANO


11.4 Espacios de funciones

Recordemos que si X es un conjunto y (Y, d) es un espacio metrico, sobreel conjunto B(X,Y ) de todas las funciones acotadas de X en Y , definimosla metrica d∞(f, g) = supx∈Xd(f(x), g(x)). Esta metrica genera latopologıa del sup o topologıa de la convergencia uniforme.

Definicion 11.19. Sean (X,T) un espacio, (Y, d) un espacio metrico y(fn)n∈N una sucesion de funciones fn : (X,T) −→ (Y, d). Supongamosque para cada x ∈ X el limn(fn(x)) existe. Si definimos f(x) como elvalor de este lımite, entonces f(x) define una f : (X,T) −→ (Y, d). Eneste caso decimos que (fn) converge puntualmente a f .

Si suponemos en la definicion anterior que cada fn es continua, engeneral no podemos esperar que f tambien sea continua. Necesitamos

entonces un tipo de convergencia mas fuerte para una sucesion de funciones—evoquemos lo que es la continuidad uniforme para una funcion f— detal manera que la funcion lımite pueda heredar la continuidad a partir delas fn.

Definicion 11.20. Sean (X,T) un espacio, (Y, d) un espacio metrico y (fn)una sucesion de funciones con fn : (X,T) −→ (Y, d). Decimos que (fn)nconverge uniformemente a una funcion f si para cada ε > 0 existe N ∈ Ntal que si n ≥ N entonces d(fn(x), f(x)) < ε para cada x ∈ X.

Si (fn) → f uniformemente, en particular lo hace puntualmente; estoes, la continuidad uniforme de funciones implica la convergencia puntual,pues el N de la definicion de convergencia uniforme depende unicamentede ε mientras que en la puntual tambien debe depender del punto x.

Teorema 11.21. Sean (X,T) un espacio, (Y, d) un espacio metrico y (fn)con fn : (X,T) −→ (Y, d) una sucesion de funciones continuas. Si fn → funiformemente entonces f es continua.

Demostracion. Dados a ∈ X y ε > 0 veamos que existe una Va tal quepara cada x ∈ Va se tiene d(f(x), f(a)) < ε. Como fn → f , existe N ∈ Ntal que d(fN (x), f(x)) < ε/3 para todo x ∈ X. De otra parte,

d(f(x), f(a)) ≤ d(f(x), fN (x)) + d((fN (x), f(N (a)) + d(fN (a), f(a))< d(fN (x), fN (a)) + 2ε/3

G. RUBIANO

11.4 Espacios de funciones 213

y como fN es continua, existe Va tal que para x ∈ Va, d(fN (x), fN (a)) <ε/3, con lo cual se satisface que, x ∈ Va implica d(f(x), f(a)) < ε.

La siguiente es la razon por la cual la metrica d∞ sobre B(X,Y ) se llamala distancia de la convergencia uniforme.

Teorema 11.22. Sean (X,T) un espacio, (Y, d) un espacio metrico y (fn)una sucesion en B(X,Y ). En (B(X,Y ), d∞), fn → f si y solo si laconvergencia es uniforme.

Demostracion. ⇒) Como fn → f en la topologıa del sup, dado ε > 0 existeN ∈ N tal que para n ≥ N se tiene d∞(f, fn) < ε. Luego en particularpara cada x ∈ X tenemos que

d(f(x), fn(x)) ≤ supxd(fn(x), f(x)) = d∞(fn, f) < ε.

⇐) Dado ε > 0 existe N ∈ N tal que para n ≥ N se tiene d(fn(x), f(x)) <ε/2 para cada x ∈ X. Luego si n > N entonces supxd(fn(x), f(x)) ≤ε/2 < ε con lo cual d∞(f, fn) < ε para n > N .

Proposicion 11.23. Sean (X,T) un espacio y (Y, d) un espacio metricocompleto. El espacio B(X,Y ) de las funciones acotadas con la metrica d∞de la convergencia uniforme es completo.

Demostracion. Sea (fn)n∈N una sucesion de Cauchy en B(X,Y ), i. e.,dado ε > 0, existe Nε ∈ N tal que para m,n ≥ Nε se tiene

supx∈X

d(fn(x), fm(x)) ≤ ε.

En particular para un x fijo, la sucesion (fn(x))n es de Cauchy en el espaciocompleto (Y, d) y por tanto existe su lımite, el cual notamos como f(x) =limn(fn(x)).

Hemos definido ası f : X −→ Y . Veamos que ella es acotada. ExisteN1 ∈ N tal que d∞(fN1 , fn) ≤ 1 para todo n ≥ N1. Sea a ∈ Y y notemospor a la funcion a : X → Y constante a a. Para todo x ∈ X y n ≥ N1,

d(a, fn(x)) ≤ d(a, fN1(x)) + 1 ≤ d∞(a, fN1) + 1.

Fijando x y tomando el lımite cuando n→∞ obtenemos

d(a, f(x)) ≤ d∞(a, fN1) + 1

G. RUBIANO


y como esto es independiente de x, tenemos que f ∈ B(X,Y ).

Veamos por ultimo que efectivamente fn → f . Para ε > 0 y x ∈ Xtenemos la desigualdad d(fn(x), fm(x)) ≤ ε si m,n ≥ Nε. Tomando ellımite cuando m → ∞ y fijando a x obtenemos d(fn(x), f(x)) ≤ ε paratodo x y n ≥ Nε. Como Nε no depende de x, tenemos d∞(fn, f) ≤ ε. Portanto, limn→∞ d∞(fn, f) = 0 y ası fn → f .

Corolario 11.24. Sean (X,T) un espacio y (Y, d) un espacio metrico com-pleto. El espacio CB(X,Y ) de las funciones continuas y acotadas con lametrica d∞ de la convergencia uniforme es completo.

Figura 11.1: La convergencia uniforme.

Demostracion. Sea (fn)n∈N una sucesion de Cauchy en CB(X,Y ). Solonos falta verificar que f de la demostracion del teorema 11.23 es continua.Sea a ∈ X y veamos que f es continua en a. Dado ε > 0 existe un enteroN tal que d(fn(x), f(x)) < ε/3 para n ≥ N y cada x ∈ X. Como fn escontinua existe una vecindad abierta Ua de a, tal que para cada x ∈ Ua,d(fn(x), fn(a)) < ε/3. Luego

d(f(x), f(a)) ≤ d(f(x), fn(x))+d(fn(x), fn(a))+d(fn(a), f(a)) < 3ε

3= ε.

Ası, f es continua en a. En particular, CB(X,Y ) es un subconjuntocerrado de B(X,Y ).

Corolario 11.25. Sean (X,T) un espacio compacto y (Y, d) un espaciometrico completo. El espacio C(X,Y ) de las funciones continuas con lametrica d∞ de la convergencia uniforme es completo.

G. RUBIANO

12 Los axiomas de separacion

La definicion de espacio topologico es en sı muy general: una coleccionde subconjuntos con dos propiedades de clausura, una para la union y otrapara la interseccion; por tanto, no muchos teoremas pueden demostrarse amenos que limitemos las clases de espacios a considerar. Para obtener estasclases especıficas, debemos imponer condiciones de suerte que, a mas condi-ciones, mas especıfica sea la clase y entonces mas teoremas —propiedades—puedan ser demostrados.

Hemos visto como algunas propiedades topologicas de un espacio (X,T)dependen directamente de condiciones impuestas sobre la cardinalidad de T

o mas precisamente de la cardinalidad de sus bases, por ejemplo 2-contable,1-contable, ejerciendo a su turno un control sobre la cantidad de abiertosinvolucrados en el espacio.

Esta cardinalidad tambien afecta a la continuidad, en el sentido de que,a mayor cantidad de abiertos para el espacio en el dominio, la posibilidadde continuidad aumenta, o disminuye para el caso del codominio.

12.1 T0, T1 y T2 o de Hausdorff

Otras condiciones que interesan y comenzamos a estudiar son la maneracomo los abiertos estan ‘distribuidos’ sobre el espacio. Estas separacionesfueron estudiadas por Alexandroff y Hopf1, bajo la denominacion de axiomasTk, k = 0, 1, 2, 3, 4, los cuales nos muestran basicamente el grado en quepuntos y conjuntos pueden mantenerse aparte, o separarse por medio deconjuntos abiertos.

Este estudio surge en relacion con los problemas de seudometrizacion y

1En un excelente libro sobre Topologıa del ano 1932.

215

G. RUBIANO


metrizacion de un espacio topologico. Pretendıan encontrar una condicionde separacion, bajo la cual los espacios topologicos resultaran metrizables obien seudometrizables.

Figura 12.1: P. Alexandroff y H. Hopf, Zurich, 1931.

Al hablar de separacion en un espacio topologico nos referimos a la sepa-racion que podemos inducir entre los puntos del espacio valiendonos delos conjuntos abiertos. En un espacio indiscreto, por ejemplo, esta sepa-racion es nula pues para cualesquiera dos puntos es imposible hallar unabierto que contenga a uno de ellos sin contener al otro. Nuestro estudiose limitara a los axiomas Tk mencionados, aunque no dejan de existir es-fuerzos en crear cada dıa otro Tk, k-racional, donde podrıa pensarse quela separacion optima la poseen los espacios metricos.

El axioma de separacion mas primitivo afirma que, dados dos puntos delespacio, al menos uno de ellos se puede separar del otro por medio de unabierto2.

Definicion 12.1. Un espacio (X,T) es T0 o de Kolmogoroff3 si, dadosx, y ∈ X con x 6= y, existe una vecindad abierta Ux de x que no contienea y o existe una vecindad abierta Uy de y que no contiene a x.

2En 1935 se publico el libro Topologie I de Pavel S. Alexandroff y Heinz Hopf. En estese indica que el axioma de separacion mas debil fue introducido por Andrei Kolmogoroff.

3Andrei Kolmogoroff (Tambov 1903-Moscu 1987), matematico ruso que hizo progre-sos importantes en los campos de la teorıa de probabilidad y de la topologıa. En particular,desarrollo una base axiomatica que supone el pilar basico de la teorıa de las probabili-dades a partir de la teorıa de conjuntos. Trabajo al principio de su carrera en logicaconstructivista y en la serie de Fourier. Fue el fundador de la teorıa de la complejidadalgorıtmica.

G. RUBIANO

12.1 T0, T1 y T2 o de Hausdorff 217

EJEMPLO 12.1

El espacio de Sierpinsky 0, 1 (pag. 13) es T0.

EJEMPLO 12.2

Dado un conjunto parcialmente ordenado (X,≤), el espacio (X,Td) con latopologıa generada por las colas a derecha cerradas es T0.

Ser T0 es equivalente a cualquiera de las siguientes afirmaciones:

1. Dados x 6= y, x /∈ y o y /∈ x.2. Si x y y son puntos distintos de X entonces x 6= y.

EJEMPLO 12.3

1. El espacio del ejemplo 10.29 —intervalos encajados— no es T0 puestodo abierto no vacıo contiene simultaneamente a los puntos 1

10 , 18 .

2. Dado un conjunto X y a, b ∈ X definimos

G := A ⊆ X : a, b ⊆ A ∪ ∅.

En este espacio los puntos a, b no se pueden “distinguir” to-pologicamente.

3. Si (X,T) un espacio T0 y 2-contable, la cardinalidad del conjunto Xqueda acotada por |X| ≤ 2ω. Si B := B1, B2, . . . es una base lafuncion f : X −→ 2B definida por f(x) = B ∈ B : x ∈ B esinyectiva y por tanto |X| ≤ 2B ≤ 2ω.

Definicion 12.2. Un espacio (X,T) es T1 o accesible4 si, dados x, y ∈ Xcon x 6= y, existen vecindades abiertas Ux, Uy tales que y /∈ Ux y x /∈Uy. Este axioma algunas veces es referido como de Frechet o axioma deseparacion de Riesz.

EJEMPLO 12.4

(R, cofinitos) es un espacio T1.

4En 1907 Friedrich Riesz introdujo el axioma de separacion T1.

G. RUBIANO


Nota. La definicion de T1 es equivalente a que cada conjunto unitario adel espacio sea cerrado. En efecto, el complemento de a es un conjuntoabierto, pues por cada x 6= a tomamos una vecindad abierta V a

x de x talque a /∈ V a

x , y ası ac =⋃x 6=a V

ax .

El axioma de separacion mas conocido fue introducido por Hausdorff5 yes el que nosotros hemos exigido en la definicion de un espacio de Haus-dorff o T2. Algunas veces este espacio se llama ‘separado’, que no debeconfundirse con separable, lo cual tiene un significado completamente dife-rente.

Ya hemos visto que esta es una propiedad heredable y productiva, la cualresulta de un valor apreciable cuando se trata de espacios compactos. Enlos espacios de Hausdorff la convergencia de una sucesion o de un filtro,en caso de existir, es unica, lo que es uno de los requisitos mınimos paradesarrollar una teorıa de convergencia.

EJEMPLO 12.5

1. Todo espacio metrico es de Hausdorff.

2. (R, cofinitos) es T1 pero no es T2.

3. Muchos otros ejemplos de espacios que no son de Hausdorff puedenser construidos, pero ellos de alguna manera son no ‘naturales’.

4. Por supuesto tenemos la implicacion T2 → T1 → T0.

Ejercicios 12.1

1. Muestre que, en un espacio T0, la relacion x ≤ y si x ∈ y es deorden en el conjunto X.

K

2. Muestre que, un espacio (X,T) es T0 si y solo si para todo par x, y ∈X con x 6= y se tiene x 6= y.

3. Muestre que, en un espacio (X,T), ser T1 es equivalente a cada unade las siguientes afirmaciones:

5El 1914 Felix Hausdorff introdujo el axioma de separacion T2 en su famoso libroGrundzAuge der Mengenlehre.

G. RUBIANO

12.1 T0, T1 y T2 o de Hausdorff 219

(a) Todos los conjuntos unitarios son cerrados.

(b) Todos los subconjuntos finitos son cerrados.

(c) Para cada A ⊆ X la interseccion de todos los abiertos UA quecontienen a A es el propio A.

(d) Para cada a ∈ X la interseccion de todos los abiertos Ua quecontienen al punto a es a.

(e) Cada subconjunto de X es union de subconjuntos cerrados.

(f) Cada subconjunto no vacıo contiene algun subconjunto cerradono vacıo.

(g) Para cada x ∈ X el conjunto xa = ∅.(h) Para cada A ⊆ X, Aa = Aaω (definicion 10.30).

4. Un espacio (X,T) es TD si y solo si para todo x ∈ X el conjuntoxa es cerrado. Muestre que T1 implica TD.

5. Muestre que si (X,T) es T1 entonces Aa es cerrado para cada A ⊆ X.

6. Muestre que todo espacio finito que es T1 necesariamente es discreto.

7. Muestre que la definicion de un espacio (X,T) de Hausdorff es equi-valente a:

(a) Para cada a ∈ X la interseccion de todas las vecindades cerradasdel punto a es el conjunto a.

(b) La diagonal∆X = (x, x) : x ∈ X

es cerrada en el espacio producto X ×X.

(c) La convergencia de filtros es unica.

8. Muestre que la propiedad de ser T2 no es equivalente a la propiedadde la convergencia unica por sucesiones.

9. Sea f : (X,T) −→ (Y,H) continua y (Y,H) un espacio T2. Entoncesel grafo de f ,

Gf := (x, f(x)) | x ∈ X,es cerrado en el espacio producto X × Y .

Sugerencia: considere la funcion

h = (f, idY ) : X × Y −→ Y × Y, (x, y) 7→ (f(x), y).

G. RUBIANO


Entonces

h−1(∆Y ) = h−1 ((y, y) | y ∈ Y )= (x, y) | f(x) = y, x ∈ X= (x, f(x)) | x ∈ X = Gf .

10. Sean f, g : (X,T) −→ (Y,H) continuas y (Y,H) un espacio T2.Entonces el subconjunto de coincidencia

C(f, g) = x ∈ X : f(x) = g(x)

donde f y g coinciden, es cerrado.

Sugerencia: considere la funcion (f, g) : X −→ Y × Y .

11. ¿Las propiedades T0, T1, T2 son hereditarias?

12. Muestre que T0, T1, T2 son invariantes topologicos.

13. Muestre que T0, T1, T2 son productivas, i. e., el espacio producto∏i∈I(Xi,Ti) es T0, T1, T2 si y solo si cada espacio factor lo es.

14. Muestre que si f : (X,T) −→ (Y,H) es una funcion inyectiva ycontinua con (Y,H) de Hausdorff entonces X es de Hausdorff.

15. (R, co-compacto). En R definimos C ⊆ R cerrado si C es cerrado yacotado en el sentido usual. Muestre que este espacio es T1 pero noes T2.

16. (X,T) es T2 12

o de Urysohn, si todo par de puntos puede ser separado

por vecindades cerradas. Un espacio T2 12

es de Hausdorff.

12.2 Regulares, T3, Tychonoff

En esta seccion vemos la separacion entre puntos y conjuntos, con un axiomaintroducido por Vietoris6 en 1921.

6Leopoldo Vietoris (1891 Radkersburg, Austria–Innsbruck, Austria 2002). Vivio 110anos (de hecho casi 111, murio menos de dos meses antes) en tres siglos diferentes.Es conocido principalmente por sus estudios en topologıa, rama de las matematicas dela que se le considera uno de los fundadores e impulsores. Tambien se intereso por lahistoria de las matematicas, la filosofıa y fue un gran alpinista y esquiador. Durante todasu vida publico 80 trabajos en diversos campos, el ultimo de ellos a los 104 anos.

G. RUBIANO

12.2 Regulares, T3, Tychonoff 221

Definicion 12.3. Un espacio (X,T) es regular si, dados x ∈ X y uncerrado F ⊆ X con x /∈ F , existen abiertos Vx, VF disyuntos que contienena x y a F respectivamente.

Algunos autores prefieren llamar a estos espacios T3.

EJEMPLO 12.6

Un espacio que es T2 pero no es regular.

En R definimos una subbase anadiendo a la topologıa usual el conjuntoQ. La topologıa generada T es T2, pues esta subbase es mas fina que lausual. Notese que hemos agregado los intervalos que constan unicamentede numeros racionales o union de los intervalos usuales con los intervalosformados exclusivamente por racionales. El conjunto I de los numeros irra-cionales es cerrado en (R,T) pero no lo podemos separar del punto x = 0,pues cualquier vecindad VI necesariamente tiene que ser igual a R.

EJEMPLO 12.7

En R consideremos el conjunto A = 1/n | n ∈ N. Definimos unatopologıa T para R ası: V ∈ T si y solo si V = U ∩Bc donde U es abiertode la topologıa usual de R y B ⊆ A.Esto es, los elementos de la topologıa son los abiertos de la usual, con elderecho a extraerles cualquier cantidad de numeros de la forma 1/n. Noteque la usual esta contenida en T y por lo tanto T es Hausdorff. Sin embargo,este espacio no es regular pues el punto 0 y el conjunto cerrado A (A escerrado ya que Ac = R ∩Ac es abierto) no pueden separarse. ¿Por que?

La siguiente es una caracterizacion local de los espacios regulares y es quizasla forma mas util de presentar este axioma.

Teorema 12.4. Un espacio (X,T) es regular si y solo si para cada subcon-junto abierto U y para cada x ∈ U existe un abierto Vx tal que

x ∈ Vx ⊆ Vx ⊆ U.

Un espacio (X,T) es regular si para cada x ∈ X las vecindades cerradasde x forman un sistema fundamental de vecindades de x; i. e., cadavecindad de x contiene una vecindad cerrada.

G. RUBIANO


Demostracion. ⇒) Sean U abierto y x ∈ U . Como U c es cerrado existenvecindades disyuntas abiertas V,W de x y U c respectivamente. Ası, x ∈V ⊆W c y como W c ⊆ U tenemos x ∈ V ⊆ V ⊆ U ya que W c es cerrado.

⇐) Dado un F cerrado y x /∈ F , el conjunto F c es una vecindad abiertade x. Ası que existe Vx tal que Vx ⊆ Vx ⊆ F c. Si tomamos U =

(Vx)c

entonces F ⊆ U y ademas Vx ∩ U = ∅.

EJEMPLO 12.8

Bajo la anterior caracterizacion es claro que la topologıa de los complemen-tos finitos en R no es regular, ya que ninguna vecindad de un punto escerrada.

No siempre es el caso que cada espacio regular implique los demas axiomasde separacion T0, T1, T2. Por ejemplo (X, grosera) es regular pero no ne-

cesariamente es T2 pues un punto no necesita ser un conjunto cerrado. Espor ello que a los espacios regulares los reforzamos en la siguiente definicionpara que ası Ti implique Ti−1.

Definicion 12.5. Un espacio (X,T) que es regular y ademas T1 se llama unespacio T3. Esto es, ademas de poder separar puntos de conjuntos cerrados,exigimos que los conjuntos unitarios sean cerrados.

Proposicion 12.6. La propiedad de ser T3 es hereditaria.

Demostracion. Sea A ⊆ (X,T) donde X es T3. Basta notar que, parax ∈ A, si V(x) es un sistema fundamental de vecindades cerradas de x en(X,T) entonces

VA(x) = V ∩A : V ∈ V(x)es un sistema fundamental de vecindades cerradas de x en (A,TA).

Proposicion 12.7. Un espacio producto X =∏i∈I Xi con la topologıa

producto es regular si y solo si cada Xi es regular.

Demostracion. ⇒) Supongamos que para algun ındice i0, Xi0 no es regulary veamos que entonces X tampoco lo es. Luego existen xi0 ∈ Xi0 y uncerrado Ai0 ⊆ Xi0 que no contiene a xi0 , los cuales no pueden separarse.Definimos un punto x = (xi) ∈ X tomando a xi0 en la componente i0 yen las otras i–ordenadas elegimos un punto cualquiera xi para cada i. SeaA = p−1

i0(Ai0) =

∏i 6=i0 Xi×Ai0 —el cilindro—; consideremos Ux =

∏Uxi ,

G. RUBIANO


(i ∈ I) una vecindad cualquiera de x y UA cualquier vecindad abierta deA. Entonces

UAi0:= yi0 | y = (yj) ∈ UA y yi = xi para cada i 6= i0

—hemos elegido las coordenadas i–esimas de estos puntos y = (yi)— es

un abierto en Xi0 con Ai0 ⊆ UAi0, con lo cual Uxi0

y UAi0tambien se

interceptan. Por tanto Ux y UA se interceptan, es decir, x no puede serseparado de A.

⇐) Supongamos que Xi es regular para cada i. Sea Ux =∏Uxi ,

(i ∈ I) un abierto de x en X —no perdemos generalidad si lo suponemosbasico—. Si Uxi = Xi definimos Vi = Xi. Si Uxi $ Xi escogemos Viabierto tal que x ∈ Vi ⊆ Vi ⊆ Uxi . Entonces V =

∏Vi, (i ∈ I) es

abierto y∏Vi, (i ∈ I) es un cerrado con x ∈ V ⊆ V ⊆ Ux, es decir X es

regular.

Corolario 12.8. El espacio X =∏Xi, (i ∈ I) con la topologıa producto

es T3 (regular y T1) si y solo si cada Xi es T3.

Demostracion. Muestre que un espacio producto es Ti, (i = 0, 1) si y solosi cada espacio factor lo es (ejercicos 7.1).

EJEMPLO 12.9

Sorgenfrey (R,J+) es T3. Dados U abierto y x ∈ U existe [a, b) tal quex ∈ [a, b) ⊆ U . Recordemos que esta topologıa es mas fina que la usual;ası, los intervalos abiertos tambien son abiertos de esta topologıa, con locual los elementos [a, b) de la topologıa son simultaneamente abiertos ycerrados. Por el teorema 12.4 tenemos la regularidad. Solo resta verificarque el espacio es T1.

De manera mas general tenemos el siguiente ejemplo.

EJEMPLO 12.10

Sea (X,≤) un espacio totalmente ordenado. Entonces las topologıasJ0, J+, J− son T3 (pag. 23).

1. J0. Un sistema fundamental de vecindades de x es V(x) = (a, b) :a < x < b. Es suficiente mostrar que todo elemento en V(x)contiene una vecindad de x que es cerrada. Sea (a, b) ∈ V(x):

G. RUBIANO


(a) Si existen t, t′ tales que a < t < x y x < t′ < b entoncesx ∈ (t, t′) ⊆ [t, t′] ⊆ (a, b).

(b) Si no existe t tal que a < t < x entonces: o bien existe t′ conx < t′ < b, con lo cual x ∈ (a, t′) ⊆ [a, t′] ⊆ (a, b), o bien noexiste t′ con x < t′ < b, con lo cual (a, b) = x es vecindadcerrada de x.

(c) Si no existe t′ tal que x < t′ < b, razonamos como en (b).

2. T+. Sabemos que es T2 y recordemos que los abiertos [x, y) sonigualmente cerrados pues

[x, y)c =⋃a<x

[a, x)⋃ ⋃

y<b

[y, b).

3. T−. Como en (2).

12.2.1 Inmersion en cubos

La siguiente clase de espacios asegura la existencia de funciones –sobre elespacio– continuas y no constantes con valores en los numeros reales.

Definicion 12.9. Un espacio (X,T) se dice completamente regular sipara cada cerrado F ⊆ X y cada x /∈ F existe una funcion continuaf : X −→ [0, 1] tal que f(x) = 0 y f(F ) = 1 —se dice que f distinguepuntos de cerrados—.

La razon del nombre para estos espacios es que son mas que regulares; enefecto, los conjuntos f−1([0, 1/2)) y f−1((1/2, 1]) son vecindades disyuntasde x y F respectivamente.

Definicion 12.10. Un espacio (X,T) completamente regular y T1 se llamaespacio de Tychonoff o T31

2—estos espacios estan entre los T3 y T4—.

Fue Tychonoff quien en 1930 dio un ejemplo de un espacio T3 que no escompletamente regular.

Recordemos que los productos de la forma [0, 1]I =∏i∈I [0, 1]i –donde

cada [0, 1]i es el intervalo unidad con la topologıa usual– con la topologıaproducto de Tychonoff son llamados cubos I-dimensionales. En particular,el cubo Iℵ0 se llama cubo de Hilbert.

G. RUBIANO


Si (X,T) es un espacio de Hausdorff y F = f | f : X −→ [0, 1] es lafamilia de todas las funciones continuas, la funcion evaluacion

e : X −→∏f∈F

[0, 1]f

definida por e(x) := (f(x))f∈F es una funcion continua (ver teorema 8.10).e es inyectiva si y solo si la familia F es capaz de distinguir puntos; en otraspalabras, para cada par de puntos x, y ∈ X existe f ∈ F con f(x) 6= f(y).

Si F distingue puntos de cerrados o X es completamente regular en-tonces e es una funcion abierta de X en e(X). En efecto, dado un abiertoU ⊆ X veamos que e(U) es abierto en e(X). Sean q ∈ e(U) y p ∈ Ucon e(p) = q. Como X − U es cerrado y p /∈ X − U existe g ∈ F cong(p) /∈ g(X − U) —la adherencia tomada en g(X)—. El conjunto

V = y ∈∏f∈F

[0, 1]f : g(y) /∈ g(X − U),

es un abierto basico de la topologıa producto con lo que V ∩ e(X) es unabierto basico en e(X) para el cual q = g(p) ∈ V ∩ e(X) ⊆ e(U) y asıe(U) es abierto en e(X). Por tanto X ≈ e(X) ⊆ ∏f∈F [0, 1]f . Hemosdemostrado el siguiente teorema.

Teorema 12.11. Cada espacio de Tychonoff puede ser inmerso en un cubo.

Como e(X) es determinado completamente por la familia F , podemosafirmar que las funciones continuas son adecuadas para describir la topo-logıa en X.

Ejercicios 12.2

1. Sea (X,T) un espacio T3. Muestre que para cada F cerrado, F ⊆ Xtenemos F =

⋂V | V ∈ V(F ).

2. ¿Es la regularidad un invariante continuo?

3. Demuestre que regular, completamente regular y Tychonoff son propie-dades hereditarias.

G. RUBIANO


4. En R considere la topologıa J definida como el sup de la usual ycoenumerables. ¿Es (R,J ) un espacio T3?

Sugerencia: muestre que U es un abierto en J si y solo si U = V −Adonde V es un abierto de la usual y A es un subconjunto enumerable.

5. Muestre que (X,T) es completamente regular si y solo si T es latopologıa inicial para la familia de funciones continuas

F = f | f : X −→ [0, 1].

6. Muestre que (X,T) es completamente regular si y solo si para cadaX ∈ X y cada Vx existe una funcion continua f : X −→ [0, 1] talque f(x) = 0 y f(X − Vx) = 1.

12.3 Normales, T4

La normalidad fue introducida por Tietze en 1923; veremos que en algunosaspectos se comporta muy diferente a los otros axiomas de separacion, yaque no es una propiedad hereditaria ni pasa al producto; mas no por elloes menos importante.

Definicion 12.12. Un espacio (X,T) se dice normal si cada par de sub-conjuntos cerrados y disyuntos F,G pueden separarse por abiertos; es decir,existen abiertos disyuntos UF , UG conteniendo a F y G respectivamente.

EJEMPLO 12.11

Sean X = a, b, c, d, e y T = X, ∅, a, b, c, d, a, b, c, b, c, d, e,b, c, d, b, c, b, b, d, e, b, d, d, e, d. (X,T) es normal, perono es regular ya que a, d, e es un cerrado que no puede ser separado delpunto c, c /∈ a, d, e.

Lo anterior no se puede dar en el caso que los conjuntos unitarios seancerrados.

Definicion 12.13. Un espacio (X,T) que es normal y T1 se dice T4.

Proposicion 12.14. Si (X,T) es T4 entonces es T3.

G. RUBIANO

12.3 Normales, T4 227

Demostracion. Si X es T1, el conjunto x es cerrado para cada x ∈ X, yser regular es un caso particular de ser normal.

Teorema 12.15. Un espacio (X,T) es normal si y solo si para cada abiertoU y para cada cerrado F ⊆ U existe un abierto V tal que

F ⊆ V ⊆ V ⊆ U.

Demostracion. Como F y U c son cerrados disyuntos, por ser X normalexisten abiertos disyuntos M,N que los contienen respectivamente, y asıF ⊆ M ⊆ M ⊆ N c ⊆ U . Para verificar la normalidad tomemos F,Gcerrados disyuntos; como F ⊆ Gc, existe una vecindad VF de F con F ⊆V ⊆ V ⊆ Gc y por tanto F ⊆ V y G ⊆ X − V .

El siguiente ejemplo muestra que los espacios normales son abundantes.

EJEMPLO 12.12

Todo espacio metrico (X, d) es normal. En efecto, dados dos cerrados F,Gdisyuntos, por cada g ∈ G tomamos εg > 0 tal que Bεg(g) ∩ F = ∅ —recuerde que d(g, F ) > 0 puesto que g no es adherente a F—. Entonces⋃Bεg/2(g), (g ∈ G) es un abierto que contiene a G y no intercepta a F . De

manera similar construimos un abierto para F que no corte a G. Muestreque realmente estos abiertos no se cortan.

Por supuesto existen espacios normales que no son metrizables.

EJEMPLO 12.13

Sea R con la topologıa T definida como: U ∈ T si U c es contable o 0 /∈ U .

La topologıa T es de Hausdorff, pues dados x 6= y, uno de los dos, digamosx, es diferente de 0; por tanto x y R− x son abiertos.

Para ver que (R,T) es normal tomemos F,G cerrados disyuntos novacıos; uno de los dos no contiene al punto 0, digamos F , luego F esabierto y F c es tambien un abierto conteniendo a G.

De otra parte, no existe una base local enumerable para el punto 0 yaque si existiera B1, B2, . . . tenemos que

⋂n=1Bn = 0 y de otra parte

G. RUBIANO


⋃n=1B

cn deberıa ser contable puesto que 0 ∈ Bn para cada n, y como cada

Bn es abierto, solo puede serlo si Bcn es contable.

¿Puede ver usted el filtro involucrado en este ejemplo y la construccionen general?

EJEMPLO 12.14

El semiplano de Niemytzki del ejemplo 5.7 es un espacio que muestra queser T4 no es consecuencia de ser T1 y regular. Veamos a continuacion susprincipales propiedades:

Para ver que (X,T∗) es regular utilicemos la caracterizacion local; es decir,dado un abierto U y b ∈ U , existe Vb abierta tal que Vb ⊆ V b ⊆ U . SeanU ∈ T∗ y b ∈ U . Si b ∈ P , como U es abierto existe una Bε(b) ⊆ U ,luego para Vb = Bε/2(b) tenemos la condicion. Si b ∈ L, existe D un discotal que b ∪D ⊆ U , esto es (Bε((b, x)) ∪ b) ⊆ U —algun x—. AsıBε/2((b, x/2)) satisface la condicion.

Ahora mostremos que no es normal. En efecto, construyamos dos sub-conjuntos cerrados que no se pueden separar. Dado A ⊆ L, Ac es abiertoen T∗ con lo cual cada A ⊆ L es cerrado —diferente a decir que todoA ⊆ L es abierto, pues el complemento se toma en todo X—. Por tanto,los subconjuntos Q = (x, 0) | x es racional, I = (x, 0) | x es irracionalson cerrados, y veremos que Q, I no pueden separarse por abiertos.

Sean VQ, VI abiertos disyuntos separando a Q, I. Por cada (x, 0) ∈ I ⊆VI existe un disco Dx ⊆ VI de radio rx y tangente a L en el punto (x, 0).Sea Sn = (x, 0) ∈ I | rx > 1/n. Ası, Sn ⊆ Sn+1 y la coleccion Snjunto con los puntos de Q forman un cubrimiento contable de L.

Veamos que en R sucede lo siguiente:

Si R es una union contable de los subconjuntos Sn entonces por lomenos uno de ellos contiene un intervalo abierto.

Supongamos que cada Sn tiene interior vacıo, esto es, dado cualquierintervalo I ⊆ L, existe un subintervalo J ⊆ I tal que Sn ∩ J = ∅ (recuerdeque Sn es cerrado y esto es equivalente a decir que el interior de la adherenciade cada Sn es vacıo, es decir Sn es denso en ninguna parte).

Como los racionales son enumerables, sea q1, q2, . . . una enumeracionde ellos. Para n = 1 tomamos un intervalo I1 tal que q1 /∈ I1; ası, existeJ1 ⊆ I1 tal que J1 ∩ S1 = ∅. Si q2 ∈ J1, tomamos un subintervalo I2 ⊆ J1

G. RUBIANO

12.3 Normales, T4 229

tal que q2 /∈ I2 y de este extraemos J2 tal que J2 ∩ S2 = ∅ ; si q2 /∈ J1

tomamos un I2 ⊆ J1 tal que I2 ∩ S2 = ∅. De esta manera, construimosinductivamente una sucesion de intervalos cerrados In tal que In+1 ⊆ Incon qn /∈ In y In ∩ Sn = ∅. Por el principio de Cantor para los intervalosencajados, existe un numero t tal que t ∈ ⋂n∈NIn . Claramente t no es unnumero racional y para algun n suficientemente grande tenemos t ∈ Sn,pero esto contradice que In ∩ Sn = ∅.

Luego para algun numero natural n se debe tener que existe un intervaloI de la recta real tal que cada subintervalo de I corta a Sn. Ası que cadapunto de I es un punto de acumulacion de Sn; en particular existe unracional r con r ∈ San. Sea Bδ((r, 0)) ⊆ VQ. Para x1 ∈ Sn suficientementecercano a r, existe un disco Bε((x1, 0)) con Bδ((r, 0))∩Bε((x1, 0)) 6= ∅, yesto contradice que VQ, VI son disyuntos.

En un espacio las propiedades de ser Hausdorff, normal y compacto serelacionan de acuerdo con el siguiente teorema.

Teorema 12.16. Si (X,T) es un espacio de Hausdorff y compacto entoncesX es normal.

Demostracion. Si F,G son dos cerrados disyuntos, como el espacio es deHausdorff y es compacto ellos son compactos. Dado g ∈ G, lo podemosseparar de cada punto f ∈ F por medio de vecindades disyuntas V f

g , V gf

de g y f respectivamente.

La coleccion V gf | f ∈ F es un cubrimiento abierto de F , el cual lo po-

demos reducir a un subcubrimiento finito V gfi, (i = 1, 2, . . . , n). Definimos

Vg =⋂ni=1 V

fig —la interseccion de las vecindades de g correspondientes a

estos fi— y definimos UgF =⋃ni=1 V

gfi

. Ası F ⊆ UgF . Repitiendo el anteriorproceso para cada g ∈ G, obtenemos un cubrimiento Vg | g ∈ G de G elcual lo reducimos a uno finito Vg1 , Vg2 , . . . , Vgm .

Finamente M :=⋃mi=1 Vgi y N :=

⋂mi=1 U

gi

F son vecindades abiertasdisyuntas de G y F respectivamente.

G. RUBIANO


EJEMPLO 12.15

Tablon de Tychonoff . Sea X = [0, ω] × [0,Ω]; cada factor es un espaciocompacto, pues cada una de sus topologıas provienen de un orden completo.X es normal de acuerdo con el teorema 12.16. Definimos W el tablon deTychonoff como el espacio X menos el punto (ω,Ω), i. e.,

W = X − (ω,Ω) = [0, ω]× [0,Ω]− (ω,Ω).

Probemos que el tablon no es normal con la topologıa de subespacio, ne-gando ası que la normalidad sea hereditaria.

0 1 2 3 4 !01234

!

!

••••

A

••••

• • •

• B

••••

•••••

••

•••

•

•

· · ·...

· · ·· · ·

· · ·· · ·

...

•

••

!

•••

•••

• • • • •

• • • • • •

(!,!)......................................................................................

.

.................................................................................................................................................

Figura 12.2: El tablon de Tychonoff.

Para ello construyamos dos cerrados disyuntos A, B en W y mostre-mos que es imposible separarlos. A = (x,Ω) | x ∈ [0, ω) la ultima filasuperior, B = (ω, y) | y ∈ [0,Ω) la ultima columna a la derecha. Soncerrados en la topologıa de subespacio de W ya que sus complementos enW son claramente abiertos.

Supongamos que existen UA, UB abiertos que separan. Entonces porcada α ∈ [0, ω) sea βα el menor elemento en [0,Ω] tal que (α, β) ∈ UApara β > βα. La coleccion S = βα, (α ∈ [0, ω)) es contable, luego so =supS < Ω (proposicion 10.41) y por tanto (α, β) | α < ω, β > so ⊆ UA.Notemos que para β con so < β < Ω se tiene que el punto (ω, β) ∈ UB,luego puntos ‘cercanos’ a el, estan tanto en UA como en UB.

G. RUBIANO

12.4 Lema de Urysohn o existencia de funciones 231

Ejercicios 12.3

1. Muestre que el producto de espacios normales no necesariamente esnormal, aun en el caso de un numero finito de factores.

Sugerencia: considere el espacio —ejemplo 9.20— con la topologıa delos cuadrados semiabiertos de Sorgenfrey y considere los subconjuntosF , G en la diagonal, dados por los puntos con componentes racionalesy los puntos con componentes irracionales respectivamente.

Este ejemplo muestra tambien que T3 no implica T4.

2. El espacio de Sierpinski es un ejemplo de un espacio normal que noes regular.

3. Muestre que la normalidad se respeta por homeomorfismos, pero noes un invariante bajo continuidad. ¿Que sucede si f es continua,cerrada y sobre?

4. Muestre que en el ejemplo 12.14, X es separable pero el subespacioL no lo es.

5. Muestre que si un espacio producto es normal, entonces cada espaciofactor es normal.

6. Si (X,T) es regular y de Lindelof entonces es normal.

7. Si (X,T) es regular y 2-contable entonces es normal.

8. Revise el ejemplo 12.13 y generalıcelo para cualquier filtro en cualquierconjunto X.

12.4 Lema de Urysohn o existencia de funciones

El objeto de esta seccion es resaltar la relacion entre la normalidad enel espacio X y la existencia de funciones f : X −→ Ru continuas y noconstantes.

Definicion 12.17. Dados (X,T) y A,B ⊆ X, decimos que A,B son se-parados por funciones continuas si existe f : X −→ R con f(A) = 0,f(B) = 1.

G. RUBIANO


Notese que si esto sucede entonces A y B son disyuntos pues el conjuntocerrado f−1(1) contiene a A y por tanto contiene a A. Lo mismo sucedepara f−1(0) y B. Podemos preguntarnos: si A,B son subconjuntos cerradosdisyuntos, ¿existira f que los separe?

Para los espacios metricos la respuesta es afirmativa.

B

A

B

!" 0

!" 1

A

Figura 12.3: Una funcion que separa.

Proposicion 12.18. Si A,B son dos cerrados disyuntos no vacıos de unespacio metrico (X, d) entonces existe f : X −→ [0, 1] continua y tal quef(A) = 0, f(B) = 1.

Demostracion. Definimos f como f(x) :=d(x,A)

d(x,A) + d(x,B).

Lo que veremos ahora es que esta propiedad —creacion de funcionescontinuas— puede usarse para caracterizar la normalidad. Tenemos el si-guiente lema —el cual es un teorema—.

Figura 12.4: Construccion en el lema de Urysohn.

G. RUBIANO


Teorema 12.19 (Lema de Urysohn). Un espacio (X,T) es normal si y solosi dado un par de subconjuntos A,B cerrados, disyuntos y no vacıos de X,existe u : X −→ [0, 1] continua y tal que u(A) = 0, u(B) = 1.

Demostracion. La ‘idea’ en la demostracion es brillante pero no por esocomplicada; la funcion u es obtenida como la ultima (el lımite) de unasucesion de funciones escalonadas que al ir definiendolas en una region quese expande entre A y Bc (figura 12.4) crecen gradualmente desde u(A) = 0hasta u(B) = 1. Estas funciones en cada paso incrementan el numero deescalones a fin de dejar una funcion definida de manera continua con rangoen [0, 1]. El numero de escalones en cada paso esta dado por una cadenaenumerable de subconjuntos entre A y Bc:

A = A0 ⊆ A1 ⊆ . . . ⊆ An ⊆ . . . ⊆ Bc

y la funcion escalonada se define involucrando los ındices de cada Ai. Comoqueremos que Ai−1 nunca toque la frontera de Ai a fin de garantizar la

construccion de los escalones, debemos garantizar entonces que Ai−1 ⊆Ai

y es aquı donde de manera inductiva aplicamos la normalidad del espacio.

Figura 12.5: Un paso no permitido en la construccion de las funciones escalonadas.

En [0, 1] tomamos los numeros racionales de la formap

2n, 0 < p < 2n

donde p, n son enteros positivos. Este conjunto de numeros se llama frac-ciones diadicas —fracciones cuyo denominador es una potencia de 2— ylo denotamos por D.

D =

12,14,34,18,38,58,78,

116, . . . ,

1516, . . .

G. RUBIANO


es denso en [0, 1], pues se obtiene de dividir sucesivamente de dos en dosel intervalo [0, 1]; efectivamente, dado (a− δ, a+ δ) para a ∈ [0, 1] veamos

que existe d ∈ D con d ∈ (a− δ, a+ δ). Como12n→ 0 existe una potencia

q = 2N tal que 0 < 1/q < δ. Ya que

[0, 1] =[1,

1q

]∪[

1q,2q

]∪[

2q,3q

]∪ . . . ∪

[q − 2q − 1

,q − 1q

]∪[q − 1q

, 1]

existe m con a ∈[mq ,

m+1q

], luego m

q ≤ a ≤ m+1q y como 1/q < δ entonces

a− δ < mq ≤ a < a+ δ.

A continuacion definimos una coleccion de abiertos Ud | d ∈ D conla propiedad que si d1 < d2 entonces

A ⊆ Ud1 ⊆ Ud1 ⊆ Ud2 ⊆ Ud2 ⊆ Bc.

Ademas utilizamos sistematicamente la siguiente propiedad: en un espacionormal, dado un cerrado A y un abierto U conteniendo a A, existe unabierto V tal que A ⊆ V ⊆ V ⊆ U .

Luego existe un abierto llamemoslo U1/2 con A ⊆ U1/2 ⊆ U1/2 ⊆ Bc.Al aplicar de nuevo la propiedad obtenemos abiertos U1/4, U3/4 tales que

A ⊆ U1/4 ⊆ U1/4 ⊆ U1/2 ⊆ U1/2 ⊆ U3/4 ⊆ U3/4 ⊆ Bc.

A partir del paso anterior ya podemos inducir como es el siguiente en nuestraconstruccion de la coleccion Ud; a manera de ejemplo, el paso siguientenos darıa todos los Ud para d = 1/8, 2/8, 3/8, . . . , 7/8 caso en el cual solohemos agregado los U1/8, U3/8, U5/8, U7/8. Esto es, del paso Uk/2n alpaso Uk/2n+1 unicamente resta por agregar los abiertos Uk/2n+1 para losk = 2i + 1 impares. Para un tal k = 2i + 1 existe un abierto U con lapropiedad

U2i/2n+1 ⊆ U ⊆ U ⊆ U2i+1/2n+1 ⊆ Bc

y es a este U al que llamamos U2i+1/2n+1 , con lo cual tenemos la manerainductiva de crear a D.

Notemos que la coleccion Ud, (d ∈ D) es un encaje para el ordennatural en D.

Definimos la funcion u : X −→ [0, 1] como

u(x) =

0, si x ∈ Ud para todo d

supd : x /∈ Ud, en caso contrario

G. RUBIANO


—tomamos el ındice del conjunto Ud mas grande que no contiene a x—.

Por la definicion tenemos u(A) = 0 pues si x ∈ A entonces x esta entodos los Ud. Por otra parte, u(B) = 1 pues x ∈ B implica que x no estaen Ud para todo d, con lo cual el sup es 1.

Para ver que u es continua en el punto x, basta ver que u−1([0, a)) yu−1([a, 1)) son abiertos para todo 0 < a < 1 ya que los intervalos de laforma [0, a), (a, 1] son una subbase cuando 0 < a < 1.

En efecto, verifiquemos que

u−1([0, a)) = x | u(x) < a =⋃d<a

Ud

lo cual muestra que se trata de un abierto: dado x ∈ u−1([0, a)) tenemosu(x) ∈ [0, a), o lo que es igual, 0 ≤ u(x) < a; existe entonces dx ∈ D talque u(x) < dx < a, lo que significa u(x) = supd | x /∈ Ud < dx < a yesto implica x ∈ Udx y por tanto x ∈ ⋃d<a Ud y ası u−1([0, a)) ⊆ ⋃d<a Ud.

De otra parte, dado y ∈ ⋃d<a Ud existe dy ∈ D tal que dy < a y y ∈Udy . Luego u(y) = supd | y /∈ Ud ≤ dy < a y por tanto y ∈ u−1([0, a)),con lo cual

⋃d<a Ud ⊆ u−1([0, a)).

De manera similar,

u−1([a, 1)) = x | u(x) > a =⋃d>a

Udc

es un abierto ya que u(x) > a si y solo si x /∈ Ud para algun d > a. Parala recıproca es suficiente considerar a u−1([0, 1/2)) y u−1((1/2, 1]).

El lema anterior no depende de la forma de D, tan solo de la propiedadtopologica de denso. Tampoco nos garantiza que u(x) = 0 unicamentepara x ∈ A, o que u(x) = 1 unicamente para x ∈ B, es decir A = u−1(0),B = u−1(1). Para que una funcion ası exista —u es llamada de Urysohn—debemos exigir ademas que los conjuntos A,B sean Gδ.

La notacion Gδ proviene del idioma aleman: G simboliza la pala-bra Gebiet ‘region’ y δ la palabra durchschniff ‘interseccion’. Un Gδ esun conjunto que puede expresarse como una interseccion enumerable deabiertos.

G. RUBIANO


EJEMPLO 12.16

Trivialmente, todo subconjunto abierto es un Gδ.

En un espacio metrico los conjuntos cerrados son Gδ pues si A ⊆ (X, d) esun cerrado, entonces A =

⋂n∈N S1/n(A), donde

S1/n(A) = x : d(x,A) < 1/n

y por tanto es un abierto.

La necesaria generalizacion del Lema de Urysohn a intervalos cerrados cua-lesquiera es inmediata.

Corolario 12.20. Sea (X,T) un espacio. X es normal si y solo si dadosA,B subconjuntos cerrados, disyuntos y no vacıos, existe g : X −→ [a, b]continua con g(A) = a, g(B) = b.

Demostracion. Recordemos que la funcion h : [0, 1] −→ [a, b] definida porh(x) = (b−a)x+a para cada x ∈ [0, 1] es un homeomorfismo con h(0) = ay h(1) = b. Si u es una funcion con las propiedades del lema de Urysohnentonces g = h u satisface las condiciones de nuestro corolario.

12.5 Tietze o extension de funciones

Definicion 12.21. Dados A ⊆ X y una funcion f : A −→ Y , decimosque la funcion F : X −→ Y es una extension de f si para cada a ∈ A,f(a) = F (a).

De la anterior definicion, el lema de Urysohn puede interpretarse comoun teorema que garantiza la existencia de la extension de una funcion;dados A,B dos subconjuntos cerrados disyuntos del espacio (X,T) lafuncion f : A ∪ B −→ [0, 1] definida como f(x) = 0 si x ∈ A, f(x) = 1si x ∈ B —es una funcion continua definida sobre el subespacio A ∪ Bpues A,B son simultaneamente abiertos y cerrados en este subespacio—admite a la funcion u : X −→ [0, 1] dada por el lema de Urysohn comouna extension.

Por supuesto el problema de garantizar la existencia de extensiones defunciones no es trivial y en general no es posible encontrar tales extensiones.

G. RUBIANO

12.5 Tietze o extension de funciones 237

Por ejemplo, para f : (0, 1] −→ R dada por f(x) = sen( 1x) —la curva seno

del topologo— es imposible 13.7 encontrar una extension continua para elespacio [0, 1], pues, no importa el valor que le asignemos a f(0) siemprees posible encontrar una sucesion convergente a 0 y cuya imagen no esconvergente a f(0) —tomar lıneas paralelas al eje x—.

El siguiente teorema garantiza una solucion al problema cuando de losespacios normales se trata. Fue demostrado por Urysohn, pero lleva elnombre de Tietze, ya que fue este ultimo quien antes lo habıa demostradopara los espacios metricos.

Teorema 12.22 (Extension de Tietze). Sea (X,T) un espacio normal. Da-da f : L −→ [a, b] una funcion continua de un subespacio cerrado L ⊆ X,existe una extension F de f con F : X −→ [a, b].

Demostracion. Sea f : L −→ [−1, 1] continua. Tomamos a [−1, 1] enlugar de [a, b] y esto no es perdida de generalidad ya que [a, b] y [−1, 1]son homeomorfos. A continuacion definimos una sucesion de funcionesg1, g2, . . . definidas sobre todo X, la cual nos definira a nuestra extensionF de acuerdo con la formula F (x) =

∑∞n=1 gn(x) —F (x) es por definicion

el lımite de la sucesion infinita de sumas parciales (sn(x)) con sn(x) =∑ni=1 gi(x)—.

Sean

A0 =x ∈ L : f(x) ≤ −1/3 = f−1([−1,−1/3])

B0 =x ∈ L : f(x) ≥ 1/3 = f−1([1/3, 1]).

A0, B0 son cerrados y disyuntos.

Por el lema de Urysohn existe g1 : X −→ [−13 ,

13 ] continua y tal que

g1(A0) = −13 , g1(B0) = 1

3 ; luego para cada x ∈ L, | f(x) − g1(x) |≤ 23

—notese que los puntos −13 y 1

3 dividen el intervalo [−1, 1] en tres partesiguales de longitud 2

3—. Definimos f1 := f − g1 la cual es una funcioncontinua con

f1 : L −→[−2

3,23

].

Sean

A1 = f−11 ([−2

3,−1

3(23

)]), B1 = f−11 ([

13

(23

),23

).

G. RUBIANO


Nuevamente, y como antes, existe

g2 : X −→[−1

3

(23

),13

(23

)],

con g2(A1) = −13(2

3), g2(B1) = 13(2

3) y ademas

| f1(x)− g2(x) |≤(

23

)2

,

para x ∈ L; esto es, | f(x)− (g1(x) + g2(x)) |≤ (23)2.

Supongamos que g1, g2, . . . , gn han sido definidas sobre X con la propiedad

| gi(x) |≤ 13

(23

)i−1

| f(x)−n∑i=1

gi(x) |≤(

23

)npara x ∈ L.

De manera inductiva definimos

fn(x) = f(x)−n∑i=1

gi(x).

Ası obtenemos dos conjuntos disyuntos An, Bn definidos como

An =f−1n

([(−2

3

)n,−1

3

(23

)n])Bn =f−1

n

([13

(23

)n,

(23

)n])con lo cual el lema de Urysohn asegura la existencia de

gn+1 : X −→[−1

3

(23

)n,13

(23

)n]con | gn+1(x) | ≤ 1

3

(23

)ny ademas ∣∣∣∣∣f(x)−

n+1∑i=1

gi(x)

∣∣∣∣∣ ≤(

23

)n+1

para x ∈ L.

La sucesion g1, g2, . . . es una sucesion de funciones continuas sobre X talque

G. RUBIANO


| gn(x) |≤ 13

(23

)n−1

, x ∈ X (12.1)

∣∣∣∣∣f(x)−n∑i=1

gi(x)

∣∣∣∣∣ ≤(

23

)n, x ∈ L. (12.2)

Luego

‖gn‖ = sup|gn(x)| : x ∈ X ≤ 13

(23

)n−1

y como∑∞

i=0(12)(2

3)n = 1 tenemos que∑∞

i=1 gi es uniformemente conver-gente y converge a la funcion F definida como F (x) =

∑∞i=1 gi(x).

F es continua ya que es el lımite uniforme de la sucesion de funcionescontinuas sn con sn(x) =

∑ni=1 gi(x). Finalmente, por la desigualdad en

12.2 tenemos que para x ∈ L, F (x) = f(x).

Corolario 12.23. Si un espacio (X,T) tiene la propiedad de extender fun-ciones como en el teorema anterior, entonces es normal.

Demostracion. Es suficiente ver que un espacio con esta propiedad satisfacelas condiciones en el lema de Urysohn y este ultimo asegura entonces queX es normal.

EJEMPLO 12.17

El disco unitario cerrado D ⊆ R2 es un espacio metrico y por tanto esnormal. Entonces para cada funcion continua f : S1 → [0, 1] existe unaextension continua al disco D.

Como una curiosa consecuencia de este ejemplo, tenemos la siguiente: to-mamos la temperatura como una funcion continua. Supongamos que te-nemos una moneda, y la consideramos como el disco unidad D. Podemosafirmar que dada una temperatura en el borde de la moneda, es posiblerepartir calor en toda la moneda de forma que la temperatura en el bordecoincida con la dada en su borde.

Si en el teorema 12.22 omitimos la condicion de cerrado para L, entoncesel teorema no se tiene. Por ejemplo para X = [0, 1], L = (0, 1] y f(x) =sen(1/x), 0 < x ≤ 1; ya hemos visto que f no puede ser extendida demanera continua.

G. RUBIANO


Nota. Cuando un espacio Y se comporta como el espacio R para el teoremade Tietze 12.22, lo llamamos un RA o retracto absoluto.

Definicion 12.24. El espacio (Y,H) es un RA si para cada espacio (X,T)normal y para cada L ⊆ X cerrado, dada f : L −→ Y continua, existe unaextension continua F : X −→ Y .

EJEMPLO 12.18

Los espacios Rnu y los cubos de dimension finita (In, usual) son retractos

absolutos. Para ver que Rn es un retracto absoluto consideremos f : L −→Rn continua. Si pi es la proyeccion i-esima entonces fi = pi f es continuacomo funcion de L en R y sea Fi su extension a todo X. Si definimosF : L −→ Rn como F (X) = (F1(x), . . . , Fn(x)), F es continua y ademases extension de f .

EJEMPLO 12.19

Existencia de homotopıas. Sean (X,T) normal y A ⊆ X cerrado. Dadaf : A −→ Rn existe F : X −→ Rn extension de f ; en efecto, para cadafuncion coordenada fi = pi f existe una extension continua Fi : A −→ Ry por tanto la funcion F = (Fi)1=1,2,...,n es continua.El espacio (I × I, usual) es normal y el subconjunto A formado por loslados superior e inferior del cuadrado unidad es cerrado, i. e.,

A = (x, y) : y = 1 ∪ (x, y) : y = 0.

Si f : A −→ R2 es continua, existe una extension continua

F : (I × I, usual) −→ R2

llamada homotopıa.

Ejercicios 12.5

1. Decimos que (X,T) es un espacio completamente normal si la pro-piedad es hereditaria, i.e., cada subespacio de X es normal.

Muestre que (X,T) es completamente normal si y solo si todo par deconjuntos separados pueden ser separados por vecindades.

G. RUBIANO


2. (X,T) es un espacio T5, o un espacio completamente T4, si es com-pletamente normal y Hausdorff, o, equivalentemente, si cada subes-pacio de X es T4.

(X,T) es un espacio perfectamente normal si cada par de conjuntoscerrados disjuntos pueden ser separados exactamente mediante unafuncion continua f : X → [0, 1], i.e., ellos son las imagenes inversasde 0 y 1 respectivamente.

3. Muestre que el teorema de Extension de Tietze sigue siendo validopara funciones continuas f : L −→ R; es decir, no tenemos necesidadde restringirnos en el codominio a intervalos cerrados.

4. Sea Y = R − 0 con la topologıa de subespacio usual de R. Con-sideremos A = [−1,−1/2] ∪ [1/2, 1], iA : A → Y . Muestre que iAes continua y no admite una extension a todo R. ¿Ve la importanciadel codominio?

5. De manera analoga a la definicion de los conjuntos Gδ, decimos queA ⊆ X es un conjunto Fσ si A se puede representar como una unionenumerable de cerrados. Muestre que A es Gδ si y solo si Ac es Fσ.

G. RUBIANO

13 Conexidad

Algunos espacios topologicos, como el intervalo unidad, la recta real, eltoro (con las topologıas usuales), parece que estan formados de una solapieza o literalmente sus partes constituyentes no estan desconectadas, comosucede en contraste con ciertos subespacios en R2, entre ellos:

1. El constituido por dos segmentos de lınea que no se interceptan.

2. El complemento de una circunferencia en el plano, el cual resulta serunion disyunta de dos subespacios abiertos.

Figura 13.1: Dos globos en R3 constituyen un subespacio no conexo.

A continuacion precisamos este concepto de conexidad y veremos que resultaser de valor topologico; es decir, es un invariante.

13.1 La conexidad como invariante topologico

Definicion 13.1. Dado un espacio (X,T), una separacion para X la consti-tuye un par A,B de subconjuntos no vacıos, abiertos y tales que A∪B = Xy A ∩B = ∅.

242

G. RUBIANO

13.1 La conexidad como invariante topologico 243

Notese que en la definicion anterior los conjuntos A y B son comple-mentarios entre sı; esto es equivalente a requerir que A y B sean amboscerrados a cambio de abiertos, o que exista A ⊆ X no vacıo, abierto ycerrado, i. e., aberrado.

Ademas, no es suficiente con exigir que A y B sean disyuntos, pues todoespacio con mas de un punto serıa trivialmente no-conexo. Queremos querealmente A y B sean dos piezas separadas; esto es, que no haya puntosde A adherentes a B o viceversa. Luego A debe estar contenida en Bc,A ⊆ Bc, y como A = Bc, concluimos que A y B deben de ser amboscerrados o equivalentemente ambos abiertos.

Definicion 13.2. Un espacio (X,T) es conexo si no existe una separacionpara X.

Por supuesto un subespacio sera conexo si visto como espacio es conexo;claramente, la posible conexidad del subespacio solo depende de el y no delespacio que lo contiene.

EJEMPLO 13.1

La figura 13.2(a) es una region circular conexa y 13.2(b) es el subespaciode R2 formado por las circunferencias de centro el origen y radio 1− 1/n,(n ∈ N) atadas por el segmento de recta [1/2, 1), junto con S1.

........

........

........

........

..........................................................................................

.......................

..........................

....................................

..........................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................

.......................................

.........................................................................................................................................................................................

....................................

..................................

........................................................................................................................................................................................................................................................................................

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . .. . . . . . . . .. . . . . .. . .

. . . . .. . . . . .. . . . . . . . .. . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . .. . . . . . . .. . . . . . . .. . . . . . .. . . . . .. . . . . .. . . . . . .. . . . . . .. . . . . .. . . . . .. . . . . . .. . . . . . . .. . . . . . . .. . . . . . . . .

. . . . . . . . .. . . . . . . .. . . . . . . .. . . . . . .. . . . . .. . . . . .. . . . . . .. . . . . . .. . . . . .. . . . . .. . . . . . .. . . . . . . .. . . . . . . .. . . . . . . . .

(a)

........

........

......................................................

..........................

...........................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................

........................................................................................... ........

........

........

................................................................

.......................

...............................

.............................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................

..................................

.................................................................................................................. ........

........

........

........................................................................

.......................

............................

..............................................

...............................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................

........................................................................................................................................................ .........................................................................................................

.......................

............................

...........................................

.......................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................

..................................................................................................................................................................................................................................................................................

.......................

............................

.........................................

..................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................

.............................................................................................................................................................................................................................................................................................

.......................

............................

.......................................

.......................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................

....................................................................................................................................................................................................................................................................................................

.......................

...........................

.....................................

....................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................

......................................

......................................................................................................................................................................................................................................................................................

......................

.........................

................................

..........................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................

............................................................................................................................................................................................. ........

........

........

........

.........................................................................................

......................

.........................

..............................

................................................

...................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................

................................

.....................................................................................................................................................................................

.................................

.............

.............

.............

..........................

........................................................................................................

..........................

..........................

..............................................................................

..........................

............. ............. ............. ............. ............. ............. ............. ..........................

....................................................................................................................................................................

(b)

Figura 13.2: (a) es conexo; aunque menos obvio, (b) tambien es conexo.

Teorema 13.3. Ru es un espacio conexo.

G. RUBIANO

244 Conexidad

Demostracion. Supongamos que existe una separacion A,B para R. Vea-mos que algun punto de A es un punto de acumulacion de B o viceversa,lo cual muestra que ambos no pueden ser cerrados simultaneamente.

Sean a ∈ A, b ∈ B con a < b. Definimos M := x ∈ A | a < x < b.M es acotado y sea m = supM . Supongamos que m ∈ A, con lo cualm < b, y entonces todos los puntos que estan entre m y b estan en B y portanto m es un punto de acumulacion de B, con lo cual B no serıa cerrado.De otra parte, si m /∈ A entonces m ∈ B y en este caso m serıa un puntode acumulacion de A, lo cual contradice la manera como hemos elegido aA.

El siguiente teorema caracteriza los subconjuntos de R que pueden serconexos.

Teorema 13.4. Un subconjunto A no vacıo de Ru es conexo si y solo si Aes un intervalo.

Demostracion. ⇒) Si A es conexo y no es un intervalo, existen a, b ∈ A yun punto p /∈ A tal que a < p < b. Sean U = (←, p)∩A, V = (p,→)∩A;claramente U, V son una separacion para el subespacio A.

⇐) Si A es un intervalo, para verificar su conexidad la demostracion delteorema anterior se adapta facilmente.

EJEMPLO 13.2

(R, cofinitos) es conexo. Lo mismo sucede para todo subespacio infinitode este espacio.

La lınea de Sorgenfrey (R, [a, b)) no es conexa pues [7,∞) es aberrado.

EJEMPLO 13.3

Todo espacio no unitario con la topologıa discreta es no-conexo, mientrasque todo espacio con la topologıa grosera es conexo.

La siguiente caracterizacion para la conexidad en terminos de funcionescontinuas, aunque aparentemente no nos exprese directamente el conceptointuitivo de la conexidad, es util y facil de aplicar.

Teorema 13.5. Un espacio (X,T) es conexo si y solo si toda funcion con-tinua f : X −→ 0, 1 —0, 1 con la discreta— es constante.

G. RUBIANO


Demostracion. ⇒) Si X es conexo y existe f : X −→ 0, 1 continua ysobre, los conjuntos f−1(0), f−1(1) forman una separacion para X.

⇐) Si X es no conexo, existe una separacion A,B para X. Si definimosf : X −→ 0, 1 como f(x) = 0 para x ∈ A y f(x) = 1 para x ∈ B,tenemos que f es continua y sobre, lo cual contradice nuestra hipotesis.

EJEMPLO 13.4

Por el anterior teorema, no existen funciones continuas sobreyectivas de unespacio conexo en uno no conexo. Por ejemplo, no existe una sobreyeccioncontinua R −→ R− 0.

1. La n–esfera Sn es conexa si n > 0, ya que podemos definir unasobreyeccion continua f : Rn+1 − 0 −→ Sn por f(x) = x

‖x‖ (el corolario

13.11 muestra que Rn+1 − 0 es conexo).

2. El espacio GL(3,R) no es conexo, ya que R− 0 no lo es y existe unafuncion det continua y sobreyectiva

det : GL(3,R) −→ R− 0

definida por M 7→ det(M) —determinante de M—. Es sobreyectiva: para

t ∈ R− 0 la matriz(t 0 00 1 00 0 1

)es invertible y tiene determinante t.

Es intuitivo que si a un subespacio conexo le agregamos parte de sus puntosadherentes seguimos teniendo conexidad (ver figura 13.2 donde agregamosS1). Este es el tema del siguiente teorema.

Teorema 13.6. Sea A un subconjunto conexo de un espacio topologico(X,T). Si B es tal que A ⊆ B ⊆ A entonces B es conexo.

Demostracion. Sea f : B −→ 0, 1 continua. Sabemos que f(A) es unconjunto unitario puesto que la restriccion f |A es continua y A es conexo,luego f(B) ⊆ f(A) ⊆ f(A) es tambien unitario y ası f no es sobreyectiva.

Proposicion 13.7. Sea (X,T) un espacio y A,B una separacion de X. SiC es un subespacio conexo de X entonces C ⊆ A o C ⊆ B.

G. RUBIANO

246 Conexidad

Demostracion. Si se diera simultaneamente A ∩ C 6= ∅ y B ∩ C 6= ∅,entonces estos dos conjuntos formarıan una separacion para C.

Veamos ahora que la conexidad es respetada por las funciones continuasy por tanto es un invariante topologico.

Teorema 13.8. Sean (X,T), (Y,H) espacios. Si X es conexo yf : X −→ Y es continua entonces f(X) es conexo.

Demostracion. Si f(X) es no conexo, existe g : f(X) −→ 0, 1 continuay sobre. Por tanto g f es continua y sobre, lo cual contradice que sudominio X es conexo.

El siguiente corolario nos explica por que algunas veces al tener una fun-cion f : R −→ R decimos que es continua, si al dibujar su grafo no haynecesidad de levantar el lapiz del papel; es decir, su grafo es un solo trazo,con lo cual es conexo.

Corolario 13.9. Sean (X,T), (Y,H) dos espacios. Si X es conexo y f :X −→ Y es una funcion continua entonces

Gf := (x, f(x)) | x ∈ X ⊆ X × Y

—el grafo de f— es un subespacio conexo.

Demostracion. La funcion g : X −→ X×Y definida como g(x) = (x, f(x))es continua ya que sus proyecciones son la funcion idX y f .

Nota. Tenemos aun mas de lo que dice el anterior corolario. El espacio Xes homeomorfo a Gf ; esto es, X es homeomorfo a su ‘imagen’ dada por fen X × Y .

Consideremos la biyeccion h : X −→ Gf dada por h(x) = (x, f(x)). Lafuncion h es continua ya que sobre la base Gf ∩(U×V ) : U ∈ T, V ∈ Htenemos h−1(Gf ∩ (U × V )) = U ∩ f−1(V ).

De otra parte, para U ∈ T, h(U) = (x, f(x)) | x ∈ U = Gf ∩(U×V )tambien es un abierto en Gf , con lo que h−1 es continua.

Moraleja: Dada f : R −→ R continua, no importa lo que hagamos conR, el grafico de la funcion es ‘de nuevo’ R.

G. RUBIANO


Conexidad en el producto

Aunque la interseccion de dos espacios conexos no necesariamente es co-nexa —¿por que?—, sı lo es su producto cartesiano.

Teorema 13.10. Si (X,T), (Y,H) son espacios conexos entonces el espacioproducto X × Y con la topologıa producto es conexo.

a1 b1

a2

b2

....................... ...............

.......................

...............Y

X

•

•g

h

......

......

......

......

......

......

......

......

......

......

......

......

......

......

......

......

......

......

......

......

......

......

......

..

.......................................................................................................................................................................................

Figura 13.3: Conexidad en el producto.

Demostracion. Si X×Y no es conexo, existe f : X×Y −→ 0, 1 continuay sobre. Sean a = (a1, a2), b = (b1, b2) tales que f(a) = 0, f(b) = 1.Definimos las funciones (fig. 13.3) g : X −→ 0, 1, h : Y −→ 0, 1como g(x) := f(x, b2) y h(y) := f(a1, y). g, h son continuas —lo sonsus proyecciones— con lo cual g(X) y h(Y ) son conjuntos unitarios. Porser g(b1) = f(b1, b2) = 1 tenemos g(a1) = 1. Por otra parte, comoh(a2) = f(a1, a2) = 0 tenemos h(b2) = 0, de donde obtenemos f(a1, b2) =g(a1) = 1 6= 0 = h(b2) = f(a1, b2), lo cual contradice la definicion defuncion de f . Ası que X × Y debe ser conexo.

Corolario 13.11. Rnu es conexo.

Lema 13.12. Sea (X,T) un espacio. Si Cii∈I es una familia de sub-conjuntos conexos de X con la propiedad que existe un ındice j ∈ I talque para cada i ∈ I tenemos que Ci ∩ Cj 6= ∅, entonces C =

⋃i∈I Ci es

conexo.

G. RUBIANO

248 Conexidad

Demostracion. Si A,B es una separacionde C entonces para cada Ci tenemos queCi ⊆ A o Ci ⊆ B. Si suponemos queCj ⊆ A entonces, para ningun ındice i, Ciesta contenido en B puesto que Cj no esdisyunto de algun Ci. Ası, todos los Ci es-tarıan en A obligando a que B sea el con-junto vacıo, lo cual contradice que A,B esuna separacion.

...................................................

...................................................................................................................................................................................................................................

...................................................................................................................................................................................................................................................................................

.........

......................................

......................

........................

............................

..........................................................................................................................................................

.....................................................................................................................................................................................................................................................................................

.

.......................................................................................................................................................

...............................................................................................................................

...................................................................................................................................................................................................................................................................................

.......................................................................................................................................................................................

......................

........................

............................

..................

.........................................................................................................................................

.............................................................................................................................................

...................................................................................................................................

......................................................................................................................................................................................

Veamos que en el teorema 13.10 no es relevante la cardinalidad en elnumero de factores.

Teorema 13.13 (La conexidad es productiva). Sea X =∏i∈I Xi un espa-

cio producto con la topologıa producto. Si cada espacio coordenado Xi esconexo entonces X es conexo.

Demostracion. Sea a = (ai)i∈I un elemento arbitrario pero fijo de X. SeaCa la union de todos los conjuntos conexos en X que contienen al punto a—Ca es la componente conexa de a—. Como el conjunto unitario a esconexo, por la proposicion anterior tenemos que Ca es conexo.

Ahora veamos que Ca es un subconjunto denso en X, lo cual muestraque X es conexo por ser la adherencia de un conexo. Para cada J , J ⊆ Iy finito, el subespacio

AJ =∏i∈J

Xi ×∏i/∈Jai

es conexo ya que es homeomorfo a∏i∈J Xi —un producto finito— y

ademas contiene al punto a. Por tanto, AJ esta contenido en Ca paracada J finito. Dado un abierto basico U cualquiera

U = Ui1 × · · · × Uin ×∏i 6=ik

Xi, en este caso J = i1, · · · , in

AJ corta a U , i. e., Ca corta a U , con lo cual Ca es denso.

Ejercicios 13.1

1. En R2u es: ¿Q×Q conexo? ¿(R×Q) ∪ (Q× R)? (No, sı.)

G. RUBIANO

13.2 Subespacios conexos maximales 249

2. Si Aa, (a ∈ L) es una coleccion de subespacios conexos de unespacio X y para cada par a, b ∈ L tenemos que Aa ∩ Ab 6= ∅entonces

⋃a∈LAa es conexo.

3. De un argumento envolviendo la conexidad para mostrar que (0, 1) yS1 no son homeomorfos.

4. Pruebe el teorema del calculo conocido como teorema del valorintermedio para funciones utilizando argumentos de esta seccion.

5. Muestre que Rn − 0 es conexo para n > 1.

6. Muestre que la esfera Sn ⊆ Rn+1 es conexa para n ≥ 1.

7. Muestre que el espacio de Sorgenfrey (R,J+) no es conexo.

8. Muestre que un espacio (X,T) es conexo si y solo si para todo A ⊆ X,A 6= ∅ se tiene que Fr(A) 6= ∅.

9. Dados un espacio (X,T) y A,B ⊆ X con A un subespacio conexo,muestre que si A ∩B 6= ∅ 6= A ∩Bc entonces A ∩ Fr(B) 6= ∅. Estapropiedad se conoce con el nombre de teorema del paso de aduana.

10. Revise el corolario 13.9 y de topologıas para R de tal manera queexista una funcion f continua y su grafo no sea un solo trazo.

11. Sea (X,T) conexo y R una relacion de equivalencia en X. Muestreque el espacio identificacion X/R es conexo.

12. Muestre que si n > 1 entonces Rn no es homeomorfo a R.

13. Toda topologıa por debajo de una conexa es conexa. Si (X,T)es conexo y H ≤ T entonces (X,H) es conexo.

14. Los espacios finitos (no unitarios) conexos y T1 no existen.Muestre que si (X,T) es conexo y T1 entonces X es infinito o unitario.

13.2 Subespacios conexos maximales

Un espacio no conexo obviamente puede tener subespacios conexos, y entreestos vamos a analizar aquellos que son maximales con respecto a la relacionde inclusion, lo cual nos brinda una manera natural de definir una particiondel espacio, haciendo uso del concepto de conexidad. En otras palabras,vamos a definir una relacion de equivalencia.

G. RUBIANO

250 Conexidad

Definicion 13.14. Sean (X,T) un espacio y A un subespacio de X. Deci-mos que A es una componente conexa de X o un conexo maximal en Xsi A es conexo y no es subconjunto propio de algun otro subespacio conexode X.

Como la adherencia de un conexo es de nuevo conexa (teorema 13.6) lascomponentes son subconjuntos cerrados del espacio, y cada punto x ∈ Xpertenece a una unica componente: exactamente a la union de todos lossubespacios conexos que contienen el punto x. Ası, el conjunto de lascomponentes conexas de un espacio X determina una particion de X.

Si las componentes son unicamente conjuntos unitarios tenemos la si-guiente definicion.

Definicion 13.15. Un espacio (X,T) se llama desconectado totalmentesi las componentes conexas son los conjuntos unitarios x.

EJEMPLO 13.5

Cada espacio discreto es desconectado totalmente; pero existen espa-cios desconectados totalmente que no son discretos, por ejemplo X=0 ∪ 1/n | n ∈ N, o X = Q (como subespacios de (R, usual)).

Por supuesto todo espacio desconectado totalmente es T1. Mas aun, cual-quier subespacio contable de un espacio metrico es totalmente desconecta-do, y algunos no contables, como los irracionales I ⊆ Ru.

Ejercicios 13.2

1. Muestre que (R, [a, b)) es totalmente desconectado.

2. Muestre que las componentes conexas en un espacio X son conjuntosdisyuntos no vacıos cuya reunion es X.

3. Sea (X,T) un espacio. La relacion x ≡ y si y solo si x, y pertenecena la misma componente conexa es una relacion de equivalencia.

4. Sea (X,T) un espacio. Muestre que si X tiene finitas componentesconexas entonces, para cada x, la componente conexa que contienea x es un aberrado.

G. RUBIANO

13.3 El conjunto C de Cantor 251

5. Muestre que un espacio es conexo si y solo si posee una unica com-ponente conexa.

6. Sea (Xi,Ti), (i ∈ I) una familia de espacios topologicos. Dadoun punto x = (xi) en el espacio producto de esta familia, muestreque la componente conexa del punto x es igual al producto de lascomponentes conexas de cada xi.

7. Muestre que el numero de componentes es un invariante topologico.

8. Muestre que si A ⊆ (X,T) es un subespacio conexo y ademas abe-rrado entonces A es una componente conexa de X.

9. Si (X,T) es un espacio con la propiedad que: dado cualquier parde elementos x, y ∈ X existe un subespacio conexo de X que loscontiene entonces X es conexo.

13.3 El conjunto C de Cantor

El siguiente espacio totalmente desconectado es uno de los espacios maspatologicos e interesantes que ha acompanado a la topologıa desde susinicios.

Fue introducido independientemente por G. Cantor1 y por H. J. Smith en1875; Cantor lo construyo para resolver de manera afirmativa un problemaque se habıa planteado en el marco de la naciente topologıa, a saber, siexistıa o no un subconjunto compacto no vacıo de R que fuera totalmentedesconectado y denso en sı mismo. Posteriormente se demostro que todoslos conjuntos con estas caracterısticas son topologicamente equivalentes—homeomomorfos—. Hoy se conoce como el conjunto C de Cantor.

1Georg Cantor (San Petersburgo, 1845-Halle, 1918), matematico aleman, inventor conDedekind y Frege de la teorıa de conjuntos, que es la base de las matematicas modernas.Gracias a sus atrevidas investigaciones sobre los conjuntos infinitos fue el primero capazde formalizar la nocion de infinito bajo la forma de los numeros transfinitos (cardinalesy ordinales). Murio en una clınica psiquiatrica de monjas, aquejado de una enfermedadmanıaco-depresiva (la cual se le atribuye a su edad).

G. RUBIANO

252 Conexidad

C es un subconjunto no contable del interva-lo [0, 1]; exactamente consiste de todos losnumeros reales x que pueden ser representa-dos de la forma

x =∞∑i=1

αn3−n,

donde αn ∈ 0, 2 para cada n ∈ N. Aun-que hablamos del conjunto de Cantor, el llevaintrınsecamente la topologıa de subespacio de(R, usual). La definicion anterior hace quealgunas veces se le llame conjunto triadicoo ternario de Cantor.

En otras palabras, C es el conjunto de todos los numeros x ∈ [0, 1] cuyaexpansion x = 0.x1x2 . . . xn . . . en la base 3 no utiliza el dıgito 1, esto esxi 6= 1 para todo i con lo que xi ∈ 0, 2. Debido a esta descripcion unpunto x ∈ C es en la practica un elemento x ∈ 0, 2N, x : N −→ 0, 2 locual nos hace pensar en un producto cartesiano.

Geometricamente puede describirse formando los siguientes subconjun-tos An cerrados en [0, 1]:

A0 =[0, 1]A1 =[0, 1/3] ∪ [2/3, 1]A2 =[0, 1/9] ∪ [2/9, 1/3] ∪ [2/3, 7/9] ∪ [8/9, 1]A3 =[0, 1/27] ∪ [2/27, 1/9] ∪ [2/9, 7/27] ∪ [8/27, 1/3] ∪ [2/3, 19/27]∪

[20/27, 7/9] ∪ [8/9, 25/27] ∪ [26/27, 1]. . .

etc.; en general Ai+1 se obtiene de Ai removiendo la tercera parte en elmedio de cada una de las componentes de Ai, con lo que

C =⋂i∈N

Ai.

Notese que cada punto en los extremos de las componentes de los Aipertenece a C.

Tenemos ası dos definiciones para C, una en terminos de sucesiones y otrade manera constructiva.

G. RUBIANO


0 19

29

13

23

79

89 1

....................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................

...................................................................................................................... .........................................................................................................................

........................................ ........................................ ........................................ ...........................................

........................... ............. ............. ........................... ...............................

A0

A1

A2

A3

. . . . . .

Figura 13.4: Conjunto de Cantor.

No es difıcil ver la relacion entre estas dos definiciones si notamos queal construir A1, cuando retiramos el intervalo (1/3, 2/3) lo que hacemosprecisamente es eliminar todos los numeros reales en [0, 1] que requierenx1 = 1 en su desarrollo en base tres, i. e., los numeros que empiezan por0,1 (menos el 1/3 que tambien se puede escribir 0, 02222222222 . . . en basetres).

Como segundo paso, en A2 retiramos los intervalos intermedios de[0, 1/3] y [2/3, 1] —los numeros reales en [0, 1] que requieren x2 = 1 en sudesarrollo triadico— eliminando ası el intervalo (1/3, 2/3) que correspondea los numeros que empiezan por 0,1 (menos el 1/3 que tambien se puedeescribir 0, 02222... en base tres) y el intervalo (1/9, 2/9) que correspondea los numeros que empiezan por 0,01 y ası sucesivamente. Por ejemplo14 = .020202 . . ., 2

3 = .2000 . . ., 1 = .222 . . .

Las dos presentaciones anteriores motivan la siguiente proposicion.

Proposicion 13.16. El conjunto C de Cantor es homeomorfo al espacioproducto X =

∏i∈NXi, donde Xi = (0, 2, discreta) para cada i. Este

espacio se llama discontinuo de Cantor.

Demostracion. Sea x ∈ X, con x = (x1, x2, . . .) donde xn ∈ 0, 2. Defi-nimos

f :∏i∈N

Xi −→ C como f(x) :=∞∑i=1

xn3−n

con lo cual f es una funcion biyectiva. Para verificar la continuidad de ftomemos un x ∈ X y por cada n ∈ N consideremos

Vx(n) := q ∈ X : qi = xi para i ≤ n

G. RUBIANO

254 Conexidad

—los que coinciden con x en las primeras n-componentes—. Dado ε > 0,existe N ∈ N tal que la serie

∞∑n=N+1

(23

)n< ε

y por tanto si q ∈ Vx(N) entonces

| f(x)− f(q) |=∣∣∣∣∣∞∑

n=N+1

xi − qi3n

∣∣∣∣∣ ≤∞∑

n=N+1

(23

)n< ε

esto es, f es continua. Como X es compacto y C es de Hausdorff, entoncesf−1 tambien es continua.

• Por construccion C es cerrado y es compacto, pues es la interseccionde subconjuntos cerrados del espacio compacto [0, 1]. Luego es unespacio metrico completo y por tanto satisface todos los axiomas Tide separacion.

• Si µ es la funcion de medida —longitud— en R, entonces C tiene“medida” 0 pues la medida de su complemento con respecto a [0, 1]es la medida de la union de las terceras partes medias, esto es

µ(Cc) = 1/3 + 2/9 + 4/27 + 8/81 + · · · =∞∑i=1

2i−1

3i=

12

∞∑i=1

2i

3i= 1.

Pero como [0, 1] tiene tambien medida 1, entonces C tiene medidacero. Ası que “el todo no es mayor que cada una de sus partes”.

• C no tiene puntos aislados, es decir C ⊆ Ca, todo punto es de acumu-lacion de C mismo. Dado x ∈ C, x es un punto de acumulacion deC − x pues dado p ∈ C cualquier abierto Up ⊆ C contiene puntosde C distintos de p; por tanto, C es denso en sı mismo —X es densoen Y si Y ⊂ X—.

• Pero de otra parte C es denso en ninguna parte con respecto a [0, 1]pues dados x, y ∈ C con x < y, existe un intervalo J = (a, b) ⊆ Cctal que x < a < b < y —mire la expansion binaria de los puntosx, y—, esto es, (C) = C = ∅.• C es tambien totalmente desconectado —dados x, y ∈ X existe una

separacion A,B de X tal que x ∈ A, y ∈ B— pues las componentesconexas de cada punto se reducen al propio punto.

G. RUBIANO


• [0, 1] es una imagen continua de C. La funcion f : C −→ [0, 1]definida por

f(x) =∞∑i=1

(12xn

)2−n para x =

∞∑i=1

xn3−n

es continua y sobreyectiva. Esto muestra que C no es contable.

• En general cualquier espacio metrico que sea compacto, totalmentedesconectado, denso en sı mismo —todo punto sea de acumulacion—,es homeomorfo al conjunto de Cantor. Ası que las anteriores propie-dades topologicas son una carta de presentacion para C, excepto porla forma disfrazada con que se presente el espacio homeomorfo. Peroen topologıa el color no nos concierne.

• C es homeomorfo a C × C. Considere a f : C → C × C definida comof((a1, a2, a3, ...), (b1, b2, b3, ...)) := (a1, b1, a2, b2, a3, b3, ...).

Figura 13.5: Variacion fractal en el conjunto de Cantor.

Como un ultimo comentario, si al lector le incomoda la base 3, defina elconjunto de Cantor como los puntos de [0, 1] que tienen en su expansion K

decimal tan solo 0 o 9. ¿Como sera su representacion grafica? ¡Intentelo!

En una frase final, C tiene una infinidad no enumerable de puntos peroningun intervalo cabe en el, es denso en sı mismo pero tambien densoen ninguna parte y contiene muchos mas puntos que los extremos de losintervalos en el proceso de construccion.

G. RUBIANO

256 Conexidad

13.4 Conexidad local

Casi de igual manera a como fue ‘localizado’ el concepto de compacidadpodemos localizar la conexidad en un punto.

Definicion 13.17. Un espacio (X,T) es localmente conexo en el puntox ∈ X si dada cualquier vecindad Ux existe una vecindad abierta y conexaVx tal que x ∈ Vx ⊆ Ux. Si X es localmente conexo en cada punto decimosque es localmente conexo —cada punto posee un sistema fundamental devecindades conexas—.

EJEMPLO 13.6

El siguiente espacio no es conexo localmen-te. Por cada entero positivo n definamos elsegmento de recta An ⊆ R2 como An =(x, 1

n) : 0 ≤ x ≤ 1 y A0 = (x, 0) : 0 ≤x ≤ 1. Sea X = A0 ∪ (∪n=1An). Las com-ponentes conexas de X son A0, A1, A2, . . .Sabemos que A0 es cerrada, pero claramen-te no es abierta en X. Esto nos produce unejemplo de un espacio cuyas componentes nonecesitan ser abiertas.

...........................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................

...........................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................

...........................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................

...........................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................

...........................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................

...........................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................

......................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................

...........................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................

............. ............. ............. ............. ............. ............. ............. ............. ............. ............. ............. ............. ............. ............. ............. ............. ............. ..

El siguiente teorema muestra que para los espacios localmente cone-xos no se tiene la consecuencia del ejemplo 13.6. ¿Podra ser esta unajustificacion para haberlos definido?

Teorema 13.18 (Caracterizacion). Un espacio (X,T) es localmente conexosi y solo si las componentes de cada subespacio abierto de X son abiertas.

Demostracion. Supongamos que X es localmente conexo y que C es unacomponente de un subconjunto U abierto. Dado c ∈ C existe una Vc conexay abierta —segun X— tal que Vc ⊆ U ; ası Vc ⊆ C, pues C es maximal ypor tanto C es abierta.

En el otro sentido, dados x ∈ X y Ux vecindad abierta de x, la compo-nente conexa Vx de Ux que contiene a x es abierta y x ∈ Vx ⊆ Ux. LuegoX es localmente conexo.

Corolario 13.19. Cualquier componente en un espacio localmente conexoes abierta y cerrada —aberrada—.

G. RUBIANO

13.4 Conexidad local 257

Demostracion. Considere a X como un subconjunto abierto de sı.

EJEMPLO 13.7

La curva seno del topologo. Es definida como la unionA∪B en R2 del grafo A de la funcion sen

(1x

), (0 <

x ≤ 1π ) con el segmento B de recta en el eje Y dado

por los puntos (0, y) | −1 < y < 1 y un arco decircunferencia que une los extremos de la curva y larecta (ver figura 8.4). Este espacio es conexo perono localmente conexo en cada uno de los puntos delsegmento (0, y) | −1 < y < 1. Note que A =A ∪B.

........................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................

..............................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................

........

........

........

........

........

........

........

........

........

........

........

........

........

........

........

........

........

........

........

........

........

........

........

........

........

........

........

.......................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................

........

........

........

........

........

........

........

........

........

........

........

........

........

........

........

........

........

........

........

........

........

........

........

........

........

........

........

...

......................................................................................................................................................................................................................................................

...........................

......................

..............................................................................................................................................................................................................................................................................................................

........

...

........

...

........

...

........

...

........

...

........

...

........

...

........

...

........

...

........

...

........

...

........

La imagen por una funcion continua de un espacio localmente conexono es en general localmente conexa; de lo contrario, todo espacio (X,T)serıa localmente conexo, puesto que es imagen del espacio (X, discreta) pormedio de la funcion identica. El siguiente teorema nos da las condicionesnecesarias (en particular muestra que la conexidad local es un invariantetopologico).

Teorema 13.20. Sean (X,T), (Y,H) espacios con X localmente conexoy f : (X,T) −→ (Y,H) una funcion continua, cerrada (abierta) y sobre.Entonces Y es localmente conexo.

Demostracion. Sea U ∈ H y sea C una componente conexa de U . Por elteorema 13.18 debemos ver que C es abierta. Por cada x ∈ f−1(C) seaCx la componente conexa de x en f−1(U). Sabemos que Cx es abierta ycomo f(x) ∈ C el conjunto conexo f(Cx) debe estar contenido en C. Ası,

f−1(C) =⋃Cx : x ∈ f−1(C)

con lo que f−1(C) es abierto. Como f es cerrada y sobre f(f−1(C)c) = Cc,con lo cual Cc es cerrado ya que f−1(C)c es un cerrado; esto demuestraque C es abierta.

Es un ejercicio demostrar el teorema con la hipotesis de f abierta acambio de cerrada.

G. RUBIANO

258 Conexidad

EJEMPLO 13.8

Sean X = 0, 1, 2, . . ., Y = 0, 1, 1/2, 1/3, . . . con la topologıa de subes-pacios de (R, usual). La funcion f : X −→ Y definida por f(0) = 0,f(n) = 1/n es una biyeccion continua; pero X es localmente conexo mien-tras que Y no lo es, pues en el punto 0 se acumula el espacio, impidiendoası tener vecindades conexas.

Teorema 13.21. El producto finito de espacios localmente conexos es lo-calmente conexo.

Demostracion. Sean X1, . . . , Xn espacios localmente conexos y X =∏Xi,

(i = 1, . . . , n) el espacio producto. Sean x = (x1, . . . , xn) ∈ X y U unabierto en X tal que x ∈ U . Existe un abierto basico U1 × . . . × Un ⊆ Uconteniendo a x, y como cada Xi es localmente conexo, tomemos por cadai un Vi abierto y conexo tal que xi ∈ Vi ⊆ Ui. Entonces V = V1× . . .×Vnes un abierto y conexo contenido en U y que tiene a x.

Ejercicios 13.4

1. Muestre el teorema 13.20 suponiendo que f es abierta a cambio decerrada.

2. ¿Es necesaria en el teorema 13.21 la condicion sobre el cardinal parael numero de factores?

3. Sean X = a, b, c, d, T = ∅, a, a, b, a, b, c, X. ¿Es (X,T)un espacio conexo? ¿Localmente conexo?

4. Muestre que todo espacio finito es localmente conexo.

5. Muestre que ser localmente conexo no es una propiedad hereditaria.

6. Muestre que todo subespacio abierto de un espacio localmente conexoes localmente conexo.

7. Muestre que si un espacio tiene un numero finito de componentesentonces cada componente es aberrada.

G. RUBIANO

13.5 Conexidad por caminos 259

13.5 Conexidad por caminos

La primera nocion de ‘conexidad’ fue dada por K. Weierstrass2, la cualen el contexto de R2 intuitivamente significa lo siguiente: un subconjuntoM ⊆ R2 es conexo si dos puntos cualesquiera de M pueden ser conectadospor un camino que no se sale de M .

EJEMPLO 13.9

La figura (un disco con una circunferencia exterior) esno conexa segun este criterio ya que todo ‘camino’ quevaya de la circunferencia al disco, tiene que pasar por‘fuera’ de las dos regiones —la region comprendidaentre ellas—. Claro que en este ejemplo el criterio deconexidad de Wierstrass y el que vimos en la seccionanterior coinciden, pero no siempre es el caso.

Definicion 13.22. Un camino en un espacio X es una funcion continuaf : [0, 1] −→ X. Si f(0) = a, f(1) = b, decimos que el camino tiene puntoinicial en a y punto final en b. f conecta a con b.

El concepto de camino es mucho mas sutil de lo que aparenta. En lamayorıa de los casos al camino lo identificamos con f([0, 1]) y es en estasituacion cuando nos sorprende lo que pueda llegar a ser un camino. Jordanen 1877 y Peano en 1890 anunciaban la existencia de curvas capaces dellenar un cuadrado. ¿Se trataba de ‘monstruos’ desprovistos de utilidad?En un comienzo se creyo ası, pero poco a poco se apropiaron, con justa razony valor, de su propio derecho a existir y hoy en dıa los podrıamos ubicarcomo pioneros de la teorıa de los “fractales” de Mandelbrot. Cerremos estecomentario evocando las palabras de Cantor a Dedekind, 20 junio de 1877:(ver figura 10.2 de la pagina 166)

“ ... lo veo pero no puedo creerlo... se trata de mostrar que lassuperficies, los volumenes e incluso las variedades continuas den dimensiones pueden ponerse en correspondencia unıvoca concurvas continuas, o sea con variedades de una sola dimension,y que por consiguiente las superficies, los volumenes y las varie-dades de n dimensiones tienen tambien la misma potencia quelas curvas...”.

G. RUBIANO

260 Conexidad

Definicion 13.23. Un espacio (X,T) es conexo por caminos si dadosx, y ∈ X, existe un camino f con punto inicial en x y punto final en y.Cada par de puntos en X puede ser unido por un camino.

EJEMPLO 13.10

1. Para cada n ∈ N, Rnu es conexo por caminos.

2. Para cada n ∈ N, la esfera Sn es conexa por caminos.

3. S = 0, 1 con la topologıa de Sierpinski es conexo por caminos.f : [0, 1] −→ S definida por f(t) = 0 si t ∈ [0, 1) y f(1) = 1 escontinua.

El concepto de conexidad por caminos es mas fuerte que el de conexidad.

Teorema 13.24. Si (X,T) es conexo por caminos entonces es conexo.

Demostracion. Sea a ∈ X. Para cada x ∈ X existe un camino αx :[0, 1] −→ X que conecta a con x. αx([0, 1]) ⊆ X es conexo para cadax ∈ X; ademas, αx(0) = a = ∩xαx([0, 1]) y por el lema 13.12 esto implicaque X = ∪xαx([0, 1]) es conexo.

EJEMPLO 13.11

X = [0, 1]× [0, 1] con el orden lexicografico es conexo pero no conexo porcaminos.

Si existe α : [0; 1] −→ X con α(0) = (0, 0), α(1) = (1, 1), α tiene quepasar por todos los valores intermedios, esto es Im(α) = X. Entoncespara cada intervalo vertical Ux en X, Ux = ((x, 0), (x, 1)), α−1(Ux) es unabierto no vacıo y podemos encontrar un intervalo abierto Ix ⊆ [0, 1] talque α(Ix) ⊆ Ux. Como los Ix son disjuntos, tenemos que [0, 1] contiene auna union no numerable de intervalos disjuntos y esto es imposible.

Producto de caminos

En el conjunto C([0, 1], X) de los caminos sobre X —subconjunto de XI—introducimos una operacion interna .

G. RUBIANO


Definicion 13.25 (multiplicacion de caminos). Dados un espacio X, y doscaminos f, g con f(1) = g(0), definimos un nuevo camino f g:

f g(t) :=

f(2t) si 0 ≤ t ≤ 1/2g(2t− 1) si 1/2 ≤ t ≤ 1.

(13.1)

....................................................

.......

..............................

...................................................

..............................

.................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................

.............................

................................

...................................

........................................

..............................................

..........

..................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................

..................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................

•..........................................................................................

..................................................................

..................................................................

..................................................................

.......................................................................... ...............

........

........

........

........

........

........

........

........

........

........

........

........

........

........

........

........

........

........

........

........

....................

...............

....................................................................................................................

....................................................................................................................

....................................................................................................

...................................................................................................................................................................

........

.....

........

.....

........

...............

.............

............. ............. ............. ............. ............. ............. ............. ............. ................. .............

........

.....

........

.....

........

.....

........

.....

........

.....

........

.....

........

.....

........

.....

........

.....

........

.....

........

..................

.............

••

•

•

•

0 12

1

0 1

f

g

1

•

...........................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................

Figura 13.6: En f g los caminos f, g se recorren a doble velocidad.

Basicamente, f g consiste en poner un camino a continuacion del otro,pero para no gastar mas tiempo en el recorrido (el tiempo es [0, 1]) cadauno de los caminos se recorre ahora a doble velocidad como en la ecuacion13.1 (f(2t) y g(2t− 1)).

f g es una funcion continua, puesto que f(2t) y g(2t−1) estan definidassobre los conjuntos cerrados [0, 1/2], [1/2, 1] y el conjunto donde coincidenes 1/2, que es la interseccion de los dos intervalos cerrados (para t = 1/2tenemos f(2 · 1

2) = f(1) = g(0) = g(2 · 12 − 1)). La demostracion se basa

en el siguiente hecho bien conocido de extender la continuidad.

Teorema 13.26 (Teorema del pegamiento de funciones). Si A, B son sub-conjuntos cerrados del espacio X y existen funciones continuasf : A → Y , g : B → Y sobre un espacio Y tales que f y g coincidensobre la interseccion A ∩ B, entonces podemos extender la continuidad auna funcion H : A∪B → Y definida de manera natural como h(x) = f(x)si x ∈ A o h(x) = g(x) si x ∈ B.

G. RUBIANO

262 Conexidad

Si f es un camino desde a hasta b en X, entonces existe el caminoinverso fr (el reverso de f) desde b hasta a dado por fr(t) = f(1 − t);notese que fr tiene el mismo “lugar” de f , pero su direccion es la contraria.

fr f es entonces un camino cerrado —el punto inicial coincide con elpunto final—. Por comodidad tambien notaremos fr = f r.

EJEMPLO 13.12

Un espacio que es conexo, pero no conexo por caminos es la curva senodel topologo (pag. 257) puesto que no existe un camino que una al punto( 1π , 0) con (0, 0).

Si existe un camino α : [0, 1] −→ X con α(0) = ( 1π , 0) y α(1) = (0, 0), al

ser α([0, 1]) conexo tenemos α([0, 1]) = X —¿por que?—. Seleccionamosen [0, 1] una sucesion de puntos x1 < x2 < . . . con xn → 0 y ademasα(xn) teniendo como segunda componente a 1 o −1 segun que n sea paro impar. Por tanto α(xn) no converge y α no serıa continua.

Este ejemplo muestra que, contrario a la conexidad, la conexidad por cami-nos no pasa a la adherencia.

Para obtener una condicion, la cual garantice que los espacios conexostambien sean conexos por caminos, debemos hacer local nuestra definicion.

Definicion 13.27. Un espacio (X,T) es localmente conexo por caminossi dados x ∈ X y un abierto Ux existe un abierto V conexo por caminos—V considerado como subespacio— tal que x ∈ V ⊆ Ux.

Teorema 13.28. Si (X,T) es un espacio conexo y localmente conexo porcaminos entonces X es conexo por caminos.

Demostracion. Sea x ∈ X y considere el conjunto

A = z ∈ X | existe un camino de x a z.A es no vacıo y veamos que A es aberrado en X. Dado z ∈ A, por serX localmente conexo por caminos existe Vz ⊆ X, Vz abierto y conexo porcaminos; luego Vz esta contenida en A y, ası, A es abierto. Para ver que Ac

es abierto tomemos z ∈ Ac y sea Wz una vecindad de z conexa por caminos.Si A ∩Wz 6= ∅, existe un punto w en la interseccion de tal manera quex se puede conectar por un camino con z, lo que contradice que z ∈ Ac.

G. RUBIANO


Ası Wz ⊆ Ac, es decir Ac es abierto. Como X es conexo A = X, esto es,cada punto en X se puede conectar por medio de un camino con x, lo queimplica que X es conexo por caminos.

Corolario 13.29. Los subconjuntos conexos y abiertos de Rnu son conexos

por caminos.

Demostracion. Cada bola abierta es una vecindad conexa, lo cual produceun sistema fundamental de vecindades conexas.

Definicion 13.30. Un espacio (X,T) compacto, conexo y Hausdorff esllamado un continuo.

EJEMPLO 13.13

Cada subconjunto cerrado, acotado y conexo de Rn es un continuo.

EJEMPLO 13.14

La union de dos continuos que se interceptan es un continuo.

Por la definicion misma, ser continuo es un invariante topologico.

Definicion 13.31. Un espacio metrico (X, d) continuo y localmente conexose llama un continuo de Peano.

Definicion 13.32. Un arco en un espacio (X,T) es una inmersion f :[0, 1] −→ X con I ≈ f(X) homeomorfos.

Esta definicion, de sencillez aparente, esconde formas inimaginables; H.Mazurkiewicz demostro en 1913 que todo continuo de Peano es una ima-gen continua del arco I = [0, 1]. Por tanto, existe una funcion continuay sobreyectiva de I en el cubo n-dimensional o, aun mas asombroso, deI sobre el cubo de Hilbert. El descubrimiento hecho por Peano en 1890de que I podıa ser enviado de manera continua sobre todo el cuadradounidad creo (como ya dijimos pero insistimos en repetir) un estremeci-miento en el mundo matematico de la epoca —en otros mundos nadiedijo nada—. Aunque no demostraremos este hecho, a cambio damos unejemplo universal, motivo de la portada de este texto.

G. RUBIANO

264 Conexidad

Figura 13.7: La curva universal o esponja de Menger.

EJEMPLO 13.15

La curva universal o esponja de Menger. Este es un continuo de Peano dedimension uno con la propiedad que cada continuo 1-dimensional puedeser inmerso en ella. La construccion se basa en el procedimiento de Cantoro en las llamadas carpetas de Sierpinski.

Comenzamos con el cubo unidad, dividimos cada una de sus caras en nuevecuadrados iguales; hacemos un agujero a traves del interior de los cuadradoscentrales y extraemos hacia el interior del cubo (ver figura 13.7). Estaextraccion nos produce a M1 formado por 20 nuevos cubos. En cada unode ellos, procedemos como en el paso anterior y obtenemos a M2 formando400 nuevos cubos, etc. En la sexta iteracion M6 tenemos 64.000.000 cubos.La esponja es quien esta al final del proceso, i. e., es el objeto lımite dadopor la interseccion

⋂nMn.

Ejercicios 13.5

G. RUBIANO


Figura 13.8: Dentro de M .

1. Muestre que la conexidad por caminos es preservada por las funcionescontinuas.

2. De un ejemplo en R2 que muestre la necesidad de ser abierto en lashipotesis del corolario anterior.

3. Muestre que el producto finito de espacios es conexo por caminos siy solo si cada factor lo es. ¿Es necesario que el producto sea finito?

4. En oposicion al concepto de conexidad, de un ejemplo de un A ⊆ R2

que sea conexo por caminos pero su adherencia no lo sea.

G. RUBIANO

266 Conexidad2

com

pact

opo

rsu

cesi

ones

w-c

ompa

cto

com

pact

o

com

pact

o+H

ausd

or!

norm

alco

mpl

etam

ente

regu

lar

com

plet

amen

teno

rmal

topo

logı

aor

den

cont

inuo

linea

l

cone

xo

cone

xopo

rca

min

os

sepa

rabl

e

2-co

ntab

le

1-co

ntab

le

met

riza

ble

regu

lar+

2-co

unta

ble

lem

ade

lasu

cesion

Lin

delo

f

buen

-ord

ento

polo

gıa

desc

onec

tado

tota

lmen

te

cone

xolo

calm

ente

com

pact

olo

c.

Hau

sdor

!co

mpa

cto

loc.

regu

lar

Hau

sdor

!

T1

+m

etri

zabl

e

+m

etri

zabl

e

+m

etri

zabl

e

+m

etri

zabl

e+

1-co

ntab

le+

T1

Figura 13.9: Relaciones entre espacios.

G. RUBIANO

Bibliografıa

[1] Armstrong, M. A., Basic Topology, UTM Series, SpringerVerlag, Berlin Hei-delberg New York, 1997.

[2] Crossley, M. D., Essential Topology, Series: Springer Undergraduate Mathe-matics Series, SpringerVerlag, Berlin Heidelberg New York, 2005.

Uno de los tıtulos mas recientes como texto introductorio.

[3] Christenson, C., Voxman W., Aspects of Topology Series: Pure and appliedMathematics, M. Dekker, New York, 1977.

Un texto con material para dos semestres con una coleccion excelente deejercicios. Se puede leer una y otra vez... Una primera parte en topologıa deconjuntos y una segunda en topologıa algebraica con un tratamiento especialen teorıa simplicial y sistemas inversos.

[4] Dugundji, J., Topology, Allyn and Bacon, Boston, 1966.

“... Dugundji’s book is short, modern, and impeccable. It covers every topican undergraduate should know and even more. It is still useful for me afteryears of use. It exposes all important concepts of set topology and gives ashort but focused introduction to algebraic topology...”.

[5] Gamelin, T. W., Greene, R. E., Introduction to Topology, second edition,Dover Publ., Inc., Mineola, NY, 1999.

[6] Garcıa Marrero, M., Topologıa, Alhambra, Madrid, 5 vols. 1975.

Un esfuerzo enciclopedico que consta de cinco volumenes.

[7] Janich, K., Topology. Springer, 1984.

¡Este hermoso libro debe ser leıdo ya! Contenido: Introduction - FundamentalConcepts - Topological Vector Spaces - The Quotient Topology - Comple-tion of Metric Spaces - Homotopy - The Two Countability Axioms - CW-Complexes - Construction of Continuous Functions on Topological Spaces -Covering Spaces - The Theorem of Tychonoff - Set Theory (by T. Br—cker)- References - Table of Symbols -Index.

[8] Hrbacek, K., Jech, T., Introduction to set theory, Monographs and Textbooksin Pure and Applied Series, vol. 220, Marcel Dekker, New York, NY, 1999.

267

G. RUBIANO

268 BIBLIOGRAFIA

Este es uno de los pocos libros solidos en la moderna teorıa de conjuntos. Cu-riosamente su primer intento de publicacion, por parte de sus autores checos,fue fallido.

[9] Komjath, P., Totik, V., Ultrafilters, American Mathematical Monthly, 115(2008), 33-44.

Una excelente introduccion ludica al concepto de ultrafiltro.

[10] Lefschetz, S., Topology, AMS Coll. Publ. 12, Providence, RI, 1930.

Como dice el autor, “se trata de un libro-texto de caracter introductorio, sinpretensiones de ser una obra de referencia”.

[11] http://www-history.mcs.st-and.ac.uk/ MacTutor History of Mathe-matics Archive, donde han sido consultadas varias referencias historicas.

[12] Munkres, James R., Topology: a first course, second edition, Prentice Hall,Inc., Englewood Cliffs, NJ, 1999.

514 M966top 21. Deberıa ser el texto guıa en muchos cursos.

Como material introductorio a la topologıa general es mi favorito.

[13] Steen, L. A., Seebach, J. A., Counterexamples in Topology, Dover Publ. Inc.,Mineola, NY, 1995.

Una referencia obligada.

[14] Vassiliev, V. A., Introduction to Topology (Student Mathematical Library, V.14), A. Sossinski (translator), American Mathematical Society, Providence,RI, 2001.

[15] Viro, O. et alt., Elementary Topology, a first course, 2005.

Puede y debe consultarse en: http://www.math.uu.se/~oleg/2topoman.pdf

[16] Prasolov, V., Intuitive Topology, American Mathematical Society 1995.

[17] http://es.wikipedia.org/ Donde han sido consultadas varias referen-cias historicas.

Documents

Topologia