Aplicaciones con Matem tica Simb lica a oM.Sc. Ricardo Rodrguez
Bustinza [email protected]
Pr logo o1. Introducci n o 1.1. Comenzando con el Help . . . . .
. . . . . . . 1.2. Creando Variables Simb licas y Expresiones . . o
1.3. Conversiones Simb licas y Num ricas . . . . . o e 1.4.
Construcci n de variables Reales y Complejas . o 1.5. Creando
Matrices Simb licas . . . . . . . . . . o 1.6. Creando Funciones
con Matem tica Simb lica a o 2. C lculo a 2.1. Diferenciaci n . o
2.2. Integraci n . . o 2.3. Lmites . . . . 2.4. Series de Taylor 3.
Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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1
PROLOGO
PROLOGO
Pr logo oMuchas veces nos hemos visto en la necesidad de
trabajar problemas relacionados a la teora de control que integren
por ejemplo a las variables en forma simb lica. Surge entonces la
necesidad de interactuar el Toolbox de Control o con el Toolbox de
Matem tica Simb lica. Un ejemplo pr ctico vemos cuando se requiere
reemplazar el operador a o a s de Laplace por el operador de
transformaci n de un aproximador digital como el bilineal para
llevar a cabo o operaciones de control digital. Otras aplicaciones
frecuentes est n relacionados con la linealizaci n de sistemas no a
o lineales a los que posteriormente se les aplicara t cnicas de
control para sistemas lineales invariantes en el tiempo. e An lisis
de los circuitos el ctricos y sus fen menos transitorios, etc.
Podemos seguir enumerando las aplicaciones a e o m s frecuentes, y
veremos que en realidad es muy util manipular convenientemente las
herramientas de matem tica a a simb lica del programa MATLAB.
Finalmente, espero este articulo le sirva de ayuda amigo lector
especialmente a o los estudiantes de pregrado que es a los que va
dirigido el documento.
El Autor
M.Sc. Ricardo Rodrguez Bustinza
2
1 INTRODUCCION
1. Introducci n oEl Toolbox de Matem tica Simb lica (TMS)
incorpora computaci n simb lica en el ambiente num rico a o o o e
de MATLAB, siendo adem s vers til y de f cil adaptaci n.
Complementa las soluciones de los entornos a a a o num rico y gr co
mediante c mputo num rico, entre ellos tenemos: e a o e 1. C lculo
: Derivada, Integral, lmites, sumatorias y series de Taylor a 2.
Algebra lineal : Inversas, determinantes, valores propios,
descomposici n de valores singulares y o formas can nicas de
matrices simb licas o o 3. Simplicaci n : M todos de simplicaci n
de expresiones algebraicas o e o 4. Soluci n de ecuaciones :
Soluciones simb licas y num ricas de algebra y ecuaciones de
diferencia o o e 5. Precisi n aritm tica : Evaluaci n num rica de
expresiones matem ticas o e o e a 6. Transformadas : Transformadas
de Laplace, Fourier, Z y sus inversas 7. Funciones especiales :
Funciones especiales cl sicas aplicadas a matem ticas. a a
1.1. Comenzando con el HelpPara llamar alguna funci n para uso
del TMS digitamos: o help sym/function Donde, sym es la versi n
simb lica y function es el nombre de la funci n. Por ejemplo si
queremos o o o informaci n de la funci n de derivada (diff)
digitamos: o o help sym/diff
1.2. Creando Variables Simb licas y Expresiones oEl comando sym
indica la construcci n de variables y expresiones simb licas. Por
ejemplo. o o x=sym(x) b=sym(beta) Crea las variables simb licas x y
beta e imprime asignando a las variables x y b respectivamente. o
Ejemplo: Supongamos que tenemos que usar una variable simb lica
para representar el resultado de una o area. Ingresamos el c digo.
o area=sym((4+sqrt(3))/5) Como ha sido almacenado la variable area,
podemos utilizarla para realizar operaciones matem ticas, a por
ejemplo podemos llamarla as. f=area+1 f= 3^(1/2)/5 + 9/5 M.Sc.
Ricardo Rodrguez Bustinza 3
1.3 Conversiones Simb licas y Num ricas o e
1 INTRODUCCION
Ejemplo: Sea la funci n cuadr tica. o a f = ax2 + bx + c
Asignamos a la expresi n cuadr tica a la variable f . En este caso
el TMS no crea las variables correspono a dientes en t rminos de la
expresi n a, b, c y x. Necesitamos crear las variables
explcitamente. e o a=sym(a) b=sym(b) c=sym(c) x=sym(x) O
simplemente se recomienda usar esta forma syms a b c x. Esta ultima
forma es la que usaremos en adelante. Resolvemos el problema
ingresando el siguiente c digo que se lista debajo para a = 1, b =
2 y o c = 1. syms a b c x f=a*x^2+b*x+c; solve(f) % ans = % -(b +
(b^2 - 4*a*c)^(1/2))/(2*a) % -(b - (b^2 - 4*a*c)^(1/2))/(2*a) %
calcula races s=subs(f,{a,b,c},[1 2 1]); raices=solve(s); % raices
= % -1 % -1
1.3. Conversiones Simb licas y Num ricas o eSe utiliza una t
cnica de conversi n de un n mero escalar o matriz a la forma simb
lica. Por ejemplo sea e o u o la variable S, donde A es una expresi
n a evaluar y ag es el tipo de formato. o S=sym(A,flag) La t cnica
para convertir n meros es especicado por el segundo argumento flag
que puede ser. e u - Racional r n meros del punto otantes obtenidos
por la evaluaci n de las expresiones de la forma: p/q, p /q, u o q
para los enteros clasicados seg n el tama o, p y q son convertidos
a la forma simb lica. p, y 10 u n o - Estimaci n de error e o la
forma r (tomada por defecto en MATLAB) se reemplaza por un t rmino
que involucra a la e variable eps qu estima la diferencia entre la
expresi n racional te rica y el actual punto otante. e o o - Posici
n decimal d o el n mero toma una exactitud de 32 dgitos
signicativos. u M.Sc. Ricardo Rodrguez Bustinza 4
1.4 Construcci n de variables Reales y Complejas o
1 INTRODUCCION
Ejemplo: Asignemos la variable T=sqrt(2) T=sqrt(2) % T = %
1.4142 Luego digitamos sym(T,f) % ans %
=(2^0+1865452045155277*2^-52) sym(T,r) % ans % =sqrt(2) sym(T,e) %
ans % =sqrt(2)+64*eps/147 sym(T,d) % ans %
=1.4142135623730951454746218587388
1.4. Construcci n de variables Reales y Complejas oEl comando
sym especica las propiedades matem ticas de las variables simb
licas usando la opci n a o o real, mediante el c digo. o syms x y
real z=x+j*y; real(z) % ans % x imag(z) % ans % y Creando las
variables simb licas x e y que tienen la propiedad matem tica de
adicionar variables reales. o a Especcamente esto signica que la
expresi n. o f = x2 + y2 Es estrictamente no negativa. Entonces z
es una variable compleja y puede ser manipulada de acuerdo con los
comandos. conj(z) % ans= % x-i*y expand(z*conj(z)) % ans= %
x^2+y^2
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1.5 Creando Matrices Simb licas o
1 INTRODUCCION
1.5. Creando Matrices Simb licas oUna matriz circulante tiene la
propiedad que cada la se obtiene de la anterior permutando las
entradas cclicamente hacia adelante. Nosotros creamos la matriz
circulante A con elementos a, b y c que usa el c digo. o syms a b c
A=[a b c;b c a;c a b] sum(A(1,:)) % ans % a+b+c
sum(A(1,:))==sum(A(:,3)) % ans % 1 syms beta delta A(2,3)=beta;
A=subs(A,b,delta) % A = % [ a, delta, c] % [ delta, c, beta] % [ c,
a, delta]
1.6. Creando Funciones con Matem tica Simb lica a oExisten dos
formas de crear funciones: usando expresiones simb licas y creando
archivo M. o Usando expresiones simb licas o syms x y z
p=sqrt(x^2+y^2+z^2) q=cos(x*y)/(x) genera las expresiones simb
licas p y q. Podemos usar diff, int, subs y otras funciones del TMS
o de MATLAB para manipular las tales expresiones. Creando un
archivo M Los archivos M permiten un uso m s general de funciones.
Por ejemplo, suponga que se quiere a crear la funci n evalsin para
evaluar sin(x)/x. Para hacer esto, creamos un archivo M en el o
directorio sym. function z=evalsin(x) if x==sym(0) z=1; else
z=sin(x)/x; end % llamando a evalsin a=evalsin(0) % a = % 1
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2 CALCULO
2. C lculo aEl TMS provee funciones de operaciones b sicas para
el c lculo como son: diferenciaci n, Integraci n, a a o o lmites,
expansi n de la serie de Taylor. o
2.1. Diferenciaci n oPresenta la siguiente estructura. d n f (x)
= diff( f , x, n) dt n Donde n representa el orden de la derivada.
Por ejemplo, creamos la expresi n simb lica de f=sin(ax) o o para
hallar su primera y segunda derivada. syms a x f=sin(a*x)
df=diff(f,x,1) % df= % cos(a*x)*a df=diff(f,x,2) % df = %
-sin(a*x)*a^2 Tambi n, df=diff(f)=diff(f,x), que determina la
primera derivada con respecto a la variable simb lie o ca (en este
caso x). La siguiente tabla muestra la diferenciaci n simb lica con
MATLAB. o o Funciones Matem ticas a f = xn f g = nxn1 g = acos(at +
b) = acos(at + b) Comando en MATLAB f=x^n diff(f) o diff(f,x)
g=a*cos(a*t+b) diff(g) o diff(g,t)
2.2. Integraci n oSi f es la expresi n simb lica, entonces. o o
b
f (x)dx = int( f , v, a, b)a
Los esfuerzos por encontrar otra expresi n simb lica, F, para
que el diff(F)=int(f) retorna la integral o o o antiderivada de f
(proporciona la existencia en la forma cerrada). Similar a la
derivaci n. Se usa el o objeto simb lico a v como la variable de
integraci n. o o Sea f una funci n, a, b los lmites de integraci n.
Escribir la soluci n simb lica int(f,a,b) de las o o o o siguientes
funciones: f1 (x) = x7 [0, 1] y f2 (x) = log(x) x [0, 1]
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2.2 Integraci n o
2 CALCULO
syms x f1=x^7; f2=log(x)*sqrt(x); intf1=int(f1,0,1) % 1/8
intf2=int(f2,0,1) % -4/9 La siguiente tabla muestra la integraci n
simb lica con MATLAB. o o Funciones Matem ticas a n x dx /20
Comando en MATLAB int(x^n) o int(x^n,x) int(sin(2*x),x,0,pi/2)
g=cos(a*t+b) int(g) o int(g,t)
sin(2x)dx = 1
g = cos(at + b)
g(t)
Integraci n con Constantes Reales oUna de las subttulos
involucrado en la integraci n simb lica es el valor de varios par
metros. Por ejemplo, o o a es evidente que la expresi n o f (x) =
e(kx)2
Es positiva, la curva campana tiende a 0 y x tiende a para
algunos n meros reales de k. Un ejemplo u o de esta curva es cuando
k = 1/ 2. Ingresamos el c digo en MATLAB para plotear la curva en
forma de campana que se muestra en la Figura 1. syms x
k=sym(1/sqrt(2)); f=exp(-(k*x)^2); ezplot(f)exp(1/2 x2)
1
0.8
0.6
0.4
0.2
0
3
2
1
0 x
1
2
3
Figura 1: Curva acampanada.
M.Sc. Ricardo Rodrguez Bustinza
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2.3 Lmites
2 CALCULO
2.3. Lmites La idea fundamental en c lculo es hacer que los c
lculos en las funciones como una variable se acerque a a a un
cierto valor. Llamando a la denici n de la derivada que es dada por
un lmite. o f (x + h) f (x) = limit( f , h, 0) h0 h Con tal de que
el lmite existe. El TMS computa los lmites de las funciones de
manera directa. Ingresamos en c digo. o f (x) = lm syms h x
lim=limit((cos(x+h)-cos(x))/h,h,0) % -sin(x) Escribir el c digo
MATLAB para los siguientes lmites: lmx0 1 , lmx0 1 , y lmx0+ 1 . o
x x x lim1=limit(1/x,x,0) % NaN lim2=limit(1/x,x,0,left) % -inf
lim3=limit(1/x,x,0,right)% +inf
Funciones Matem ticas ax0 xa
Comando en MATLAB limit(f) limit(f,x,a) limit(f,x,a,left)
limit(f,x,a,right)
lm f (x) lm f (x) lm f (x) lm f (x)
xa xa+
2.4. Series de TaylorLa serie de Taylor es dada por. f (x) = f
(a) + f (a)(x a) + f (a)(x a)2 f (n1) (a)(x a)n1 + ... + + Rn 2! (n
1)!
Donde Rn es el resto despu s de los primeros t rminos, se pueden
hallar por cualquiera de las siguientes e e f rmulas: o f (n) ( )(x
a)n n! f (n) ( )(x )n1 (x a) resto de Cauchy Rn = (n 1)!
resto de Lagrange Rn =
El valor de est comprendido entre a y x, puede ser diferente en
las dos f rmulas. Este resultado v lido a o a siempre que f (x)
tenga derivadas continuas de orden n como mnimo. Sea:n
lm Rn = 0 9
M.Sc. Ricardo Rodrguez Bustinza
2.4 Series de Taylor
2 CALCULO
Se obtiene una serie innita que es llamada Serie de Taylor de f
(x) en torno a x = a. En el caso en que a = 0 se suele llamar Serie
de McLaurin. La declaraci n de la serie de Taylor con matem tica
simb lica o a o es dada por la funci n. o f (x) = taylor( f , n)
Donde f es el polinomio (n 1) orden de la aproximaci n de McLaurin.
Si n = a signica una aproxio maci n respecto del punto a. o syms x
T=taylor(exp(x),3); % 1+x+1/2*x^2 T cnicamente, T es la serie de
McLurin, con punto base a = 0. e syms x g=exp(x*sin(x))
H=taylor(g,2,2); %
exp(2*sin(2))+exp(2*sin(2))*(2*cos(2)+sin(2))*(x-2) Genera primero
2 t rminos diferentes de cero en la serie de Taylor alrededor de x
= 2. Ahora plotearemos e estas funciones en una misma ventana para
ver qu bien aproxima la serie de Taylor respecto de la funci n e o
real g(x). (usar taylor(g,12,2)) syms x g=exp(x*sin(x));
T=taylor(g,12,2); % 12 trminos alrededor de x=2 e t=1:0.05:3;
yd=double(subs(g,x,t)); ezplot(T,[1 3]), hold, plot(t,yd,m:)
title(Aproximacion Taylor vs Funcin Actual) o ylabel(g(x),T)
legend(Funcin Real,Aprox Taylor) o En la Figura 2 muestra buena
aproximaci n de la funci n g(x) realizada por la expansi n de la
serie de o o o Taylor.Aproximacion Taylor vs Funcion Actual Funcion
Real Aprox Taylor 6
5
g(x),T
4
3
2
1 1 1.2 1.4 1.6 1.8 2 x 2.2 2.4 2.6 2.8 3
Figura 2: Aproximaci n de g(x) con Series de Taylor. o
M.Sc. Ricardo Rodrguez Bustinza
10
3 EJERCICIOS
3. EjerciciosEjemplo # 1Hallar el voltaje de un inductor, L =
0.1H, cuando la corriente en el mismo es: i = 20te2t A, t > 0
i(0) = 0
Soluci n oEl voltaje para t > 0 es. v = L di dt
d (20te2t ) dt = 2(2te2t + e2t ) V = (0.1) = 2e2t (1 2t) V syms
t i=20*t*exp(-2*t); L=0.1; v=L*diff(i,t); % v =
2*exp(-2*t)-4*t*exp(-2*t) i=20*t*exp(-2*t); v=L*diff(i,t);
a=factor(v) % a = -2*exp(-2*t)*(-1+2*t) Amplitud=subs(a,{t},{0}); %
Amplitud = 2 subplot(211) ezplot(v,[0 4]), grid subplot(212)
ezplot(i,[0 4]), grid2 exp(2 t)4 t exp(2 t) 4 3 2 1 0 1
0
0.5
1
1.5
2 t 20 t exp(2 t)
2.5
3
3.5
4
4 3 2 1 0 1
0
0.5
1
1.5
2 t
2.5
3
3.5
4
Figura 3: Curvas de tensi n y corriente por la inductancia. o El
voltaje es igual a 2V cuando t = 0, y la onda de corriente alcanza
un m ximo y que el voltaje es cero a en t =0.5 segundos (ver Figura
3). M.Sc. Ricardo Rodrguez Bustinza 11
3 EJERCICIOS
Ejemplo # 2Hallar la corriente i en el circuito de la Figura 4
para t > 0 cuando v f = 10e2t u(t)V. Suponga que el circuito est
estable en t = 0 . a
Figura 4: Circuito RL.
Soluci n oPuesto que la funci n forzante de la tensi n es
exponencial, cabe esperar que la respuesta forzada para la o o
corriente i f o , sea tambi n exponencial de la forma: e i f o =
Be2t para t > 0. Planteando la LVK alrededor del lazo, se tiene
L o di + Ri = v f dt
di + 4i = 10e2t dt
para t > 0. Sustituyendo i f o = Be2t , se tiene 2Be2t +
4Be2t = 10e2t donde B = 5 y i f o = 5e2t La respuesta natural puede
obtenerse de la ecuaci n: o L usando el operador s = d/dt, se
tiene: (Ls + R)i = 0 de forma que s= y en consecuencia in = AeRt/L
La respuesta completa es: M.Sc. Ricardo Rodrguez Bustinza 12 R L di
+ Ri = 0 dt
3 EJERCICIOS
i = in + i f o = Ae4t + 5e2t La condici n inicial i(0) = i(0 )
se halla a partir de la fuente de 10 voltios conectada antes de t =
0. o Recordar que vi = 0 para t < 0. Entonces i(0 ) = 10/5 =
2Amp. Empleando la condici n inicial en la o ecuaci n anterior se
tiene. o 2 = A+5 luego i = (3e4t + 5e2t )Amp t > 0 Primera
Soluci n con TMS o H=dsolve(Dx+4*x=10*exp(-2*t),x(0)=2); pretty(H);
% 5 3 % -------- - -------% exp(2 t) exp(4 t) ezplot(H,[0 3]) A =
3
5/exp(2 t) 3/exp(4 t) 2 1.5 1 0.5 0 0 1 t 2 3
Figura 5: Curva de corriente de caso 1.
Segunda Soluci n con TMS y Toolbox de Control o syms x t s L
h=sym(x(t)); dh=sym(diff(x(t),t)); eq=dh+4*h-10*exp(-2*t); %
Transformada de Laplace La=laplace(eq,t,s);
La=subs(La,{laplace(x(t), t, s),x(0)},[L 2]); Lb=solve(La,L);
Lb=collect(Lb); Lb=factor(Lb); pretty(Lb); M.Sc. Ricardo Rodrguez
Bustinza 13
3 EJERCICIOS
% 2 (s + 7) % --------------% (s + 4) (s + 2) Lb=expand(Lb); %
Transformada Inversa de Laplace lb=ilaplace(Lb,s,t); pretty(lb); %
5 3 % -------- - -------% exp(2 t) exp(4 t) % Ploteo Simblico o
ezplot(lb,[0 3]); % Conversion TMS a Toolbox de Control
[N,D]=numden(Lb); N=sym2poly(N); D=sym2poly(D); % FT con Toolbox de
Control G=tf(N,D); hold h=0.001; t=0:h:3; u=[1/h
zeros(1,length(t)-1)]; ci=2; y=lsim(G,u,t,ci); plot(t,y,-)
legend(Toolbox Simbolico,Toolbox Control)
5/exp(2 t) 3/exp(4 t) Toolbox Simbolico Toolbox Control 2
1.5
1
0.5
0
0
0.5
1
1.5 t
2
2.5
3
Figura 6: Curva de corriente de caso 2.
M.Sc. Ricardo Rodrguez Bustinza
14
3 EJERCICIOS
Ejemplo # 3Considere el p ndulo simple que se muestra en a
Figura 7, cuya ecuaci n din mica es dado por: e o a T = ml 2 +
mglsin
Figura 7: P ndulo simple. e
Se presentan la linealizaci n de se ales peque as que es usado
tpicamente en la aproximaci n lineal de o n n o sistemas no
lineales. Desde la expansi n de la serie de Taylor obtenemos: o f
(T, ) = f (0, 0) +
f
0,0
+
f T
0,0
T + ...t rminos de orden alto e
Con nes pr cticos, hacemos g/l = 1 y 1/ml 2 = 1, entonces la
ecuaci n din mica queda representada de a o a la siguiente forma: =
T sin Donde es funci n de T y , siendo adem s el punto de
equilibrio dado por f (0, 0) = 0. Entonces o a reemplazamos en la
expansi n de Taylor. o = 0 + (cos ) Para el p ndulo invertido
tenemos. e = 0 + (cos )0, 0,0
+ T = + T
+T = +T
Estos modelos de sistema linealizados deben ser probados en el
sistema original para vericar la aceptabilidad de la aproximaci n.
Vamos a representar nuestro sistema en el espacio estado. Para ello
escogemos o las variables de estado, x1 = y x2 = . De ello se
deduce. f1 (x1 , x2 , u) = x1 = x2 g 1 f2 (x1 , x2 , u) = x2 = sin
x1 + 2 T l ml La representaci n del sistema linealizado en el
espacio estado es. o ][ ] [ ] [ ] [ x1 x1 f1 / x1 f1 / x2 f1 / u +
u = f2 / x1 f2 / x2 x2 f2 / u x2
M.Sc. Ricardo Rodrguez Bustinza
15
3 EJERCICIOS
Soluci n oLinealizando el sistema p ndulo invertido usando matem
tica simb lica de MATLAB. e a o % Linealizacin Pndulo Simple o e
syms x1 x2 T g l m u % Ecuacin de estado del pndulo simple o e
f1=x2; f2=-(g/l)*sin(x1)+(1/m*l^2)*T; f=[f1;f2]; % Vector de
estados y se~al de entrada n V=[x1 x2]; U=[T]; % Condiciones
iniciales en el punto de operacin o x1=0; x2=0; % x2=pi; u=0; %
Construimos el Jacobiano A=subs(jacobian(f,V));
B=subs(jacobian(f,U)); %A = %[ 0, 1] %[ -g/l, 0] % B = % [ 0] % [
1/m*l^2] % Parmetros de sistema a g=9.8; l=1; m=1;
A=subs(jacobian(f,V)); B=subs(jacobian(f,U)); Creamos las funciones
para el p ndulo simple no linealizado y lineal. Vamos a comprobar
en qu medida e e el punto de operaci n compromete la estabilidad
del sistema para el caso del sistema linealizado. o function
dot=pend_nolinfun(t,x) g=9.8; l=1; m=1; T=0.5; dot(1)=x(2);
dot(2)=-(g/l)*sin(x(1))+(1/m*l^2)*T; dot=[dot(1);dot(2)]; Creando
la funci n no lineal o function dot=pend_linfun(t,x) g=9.8; l=1;
m=1; T=0.5; dot(1)=x(2); dot(2)=-(g/l)*x(1)+(1/m*l^2)*T;
dot=[dot(1);dot(2)]; M.Sc. Ricardo Rodrguez Bustinza 16
3 EJERCICIOS
El siguiente programa en MATLAB comprueba que el sistema no
lineal, se vuelve m s inestable a medida a que se incrementa el
torque T . Es importante mantener el sistema para peque as
variaciones en la posici n n o del angulo alrededor de cero cuando
se le tenga que controlar al sistema del p ndulo simple. e %
Sistema No Lineal % Ploteo de la funcin no lineal debido a un T=0.5
o tn0=0; tnf=5; xn0=[0;0]; [tn,xn]=ode23(pend_nolinfun,[tn0
tnf],xn0); figure plot(tn,xn(:,1),k,tn,xn(:,2),m) grid
legend(posicin,velocidad) o % Sistema Linealizado % Ploteo de la
funcin lineal debido a un T=0.5 o tl0=0; tlf=5; xl0=[0;0];
[tl,xl]=ode23(pend_linfun,[tl0 tlf],xl0); figure
plot(tl,xl(:,1),k,tl,xl(:,2),m) grid legend(posicin,velocidad) o %
Comparando posicin no lineal y posicin lineal o o figure
plot(tn,xn(:,1),k) hold plot(tl,xl(:,1),k-.), grid title(Posicin
para el pndulo si T=0.5) o e legend(Pos. No Lineal,Pos. Lineal) Las
Figuras 8 y 9 muestran como el sistema no lineal se hace m s
inestable a medida que se aumenta el a torque T .Posicion para el
pendulo si T=0.5 0.12 Pos. No Lineal Pos. Lineal
0.1
0.08
0.06
0.04
0.02
0
0
0.5
1
1.5
2
2.5
3
3.5
4
4.5
5
Figura 8: Curva de posici n del p ndulo para un torque T =
0.5Nm. o e
M.Sc. Ricardo Rodrguez Bustinza
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3 EJERCICIOS
Posicion para el pendulo si T=2 0.45 Pos. No Lineal Pos. Lineal
0.4
0.35
0.3
0.25
0.2
0.15
0.1
0.05
0
0
0.5
1
1.5
2
2.5
3
3.5
4
4.5
5
Figura 9: Curva de posici n del p ndulo para un torque T = 2Nm.
o e
Ejemplo # 4Se requiere llevar a cabo un redise o de un sistema
de control integral con una red de adelanto para obtener n una
respuesta del circuito RC (R = 2K y C = 46 F) para las
consideraciones de dise o con sobrepaso n Mp 30 % con un tiempo
pico t p 0.5 seg. La ecuaci n de la red de compensaci n de adelanto
de fase o o con acci n integral presenta el siguiente modelo matem
tico. o a Gc (s) = Kc s+z s(s + p)
Donde Kc es la ganancia de la red de compensaci n. A partir de
las especicaciones de desempe o deo n seadas se determin la ubicaci
n de los polos dominantes deseados las que son detalladas en el c
digo o o o MATLAB. Gp = tf(1,[tau 1]); % Calculo del periodo de
muestreo %ltiview(step,Gp) T = 0.202/10; Mp = 0.3; tp = 0.5; wd =
pi/tp; e = 1/((sqrt((pi/(-log(0.3)))^2 + 1))); wn = wd/(sqrt(1 -
e^2)); sigma = e*wn; zero = -1/tau; polo = zero/2; pd = -sigma
+1j*wd; % Calculo de la ganancia n2 = [1 -zero]; d2 = conv([tau 1
0], [1 -polo]); k1 = polyval(n2, pd); k2 = polyval(d2, pd); K =
abs(k2/k1); % TMS syms s R =(1/(tau*s
+1))*((s-zero)/(s-polo))*(1/s); M.Sc. Ricardo Rodrguez Bustinza
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3 EJERCICIOS
R=simplify(R); pretty(R) K = 1/abs(subs(R,s,pd)); Gc = tf(K*[1
-zero],[1 -polo 0]); Gc=zpk(Gc); F = Gp*Gc/(1 + Gp*Gc); %
Estrategia de control digital (Redise~o) n [N,D] = tfdata(Gc,v); N
= poly2sym(N,s); D = poly2sym(D,s); syms z Gd = N/D; Gd =
subs(Gd,{s},(2*(z-1))/(T*(z+1))); Gd = simplify(Gd); Gd =
vpa(Gd,4); pretty(Gd); [ND DD] = numden(Gd); ND = sym2poly(ND); DD
= sym2poly(DD); GD = tf(ND, DD,T); sim(adelanto_rc_mdl); El
controlador digital se basa en la t cnica de control por redise o
por aproximaci n bilineal que viene e n o representado en la
siguiente funci n de transferencia: o D(z) = 0.045857(z + 1)(z
0.8022) (z 1)(z 0.8959)
En la Figura 10 se muestra la respuesta de sistema de control
debido a una entrada escal n unitario. Esta o respuesta es obtenida
desde el programa en Simulink que queda para el lector completar
las simulaciones, entre ellas la se al de control. n1.4
1.2
1
0.8 y(t) 0.6 0.4 0.2
y(t) y(tk) u(t) 0 0.5 1 1.5 t(seg) 2 2.5 3
0
Figura 10: Respuesta de sistema de control debido a una entrada
escal n unitario. o
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3 EJERCICIOS
Tablas de Comandos Usados en Matem tica Simb lica a oC lculo a
diff int jacobian limit symsum taylor Derivada Integral Matriz
jacobiana Expresi n de lmite o Sumatoria de serie Expansi n de
serie de Taylor o
Algebra Lineal colspace det diag eig expm inv jordan null poly
rank tril triu Simplicaci n o collect expand factor horner numden
simple simplify subexpr Colecciona t rminos comunes e Expande
polinomios y funciones elementales Factor Representaci n de
polinomio aninado o Numerador y denominador Busca la forma corta
Simplicaci n o Rescribe los t rminos o subexpresiones e Base
espacio de columna Determinante Crea o extrae diagonales valores y
vectores propios Matriz exponencial Matriz inversa Forma can nica
de Jordan o Base para el espacio nulo Polinomio caracterstico Rango
de matriz Tri ngulo inferior a Tri ngulo superior a
Soluci n de Ecuaciones o compose dsolve nverse solve Precisi n
Aritm tica o e digits vpa Conjunto de variables de precisi n o
Variable de precisi n aritm tica o e 20 Composici n de funciones o
Soluci n de ecuaciones diferenciales o Inversa de una funci n o
Soluci n de una ecuaci n algebraica o o
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3 EJERCICIOS
Operaciones Aritm ticas e + .* / ./ \ .\ . . Aplicaciones Gr cas
a ezplot funtool rsums Operaciones B sicas a ccode conj ndsys imag
latex pretty real Expresi n c digo C para expresiones simb licas o
o o Complejo conjugado Determina variables simb licas o Parte
imaginaria de un n mero complejo u A Representaci n simb lica en
LTEX o o Imprime expresiones simb licas o N mero con parte o
imaginaria u Funci n de ploteo o Funci n calculadora o Suma de
Riemann Adici n o Sustracci n o Multiplicaci n o Arreglo de
multiplicaci n o Divisi n por la derecha o Arreglo de divisi n por
la derecha o Divisi n por la izquierda o Arreglo de divisi n por la
izquierda o Operador potencia Arreglo de operador potencia
Transpuesta conjugada compleja Arreglo de transpuesta
Transformadas e Inversas fourier ifourier ilaplace iztrans
laplace ztrans Transformada de Fourier Transformada inversa de
Fourier Transformada inversa de Laplace Transformada inversa Z
Transformada de Laplace Transformada Z
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