SubstitutionsTimo Jolivet

Équipe Automates et Applications

Doctorant sous la direction de Valérie Berthéet Jarkko Kari (Université de Turku, Finlande)

Journée de rentrée du LIAFA6 octobre 2011, Paris

1. Substitutions sur desmots

1 7→ 122 7→ 1

a 7→ aabbb 7→ aabb

0 7→ 101 7→ 01

x 7→ xxyzy 7→ yzz 7→ xyz

1 7→ 122 7→ 133 7→ 144 7→ 1

1 7→ 122 7→ 1 1

a 7→ aabbb 7→ aabb

0 7→ 101 7→ 01

x 7→ xxyzy 7→ yzz 7→ xyz

1 7→ 122 7→ 133 7→ 144 7→ 1

1 7→ 122 7→ 1 12

a 7→ aabbb 7→ aabb

0 7→ 101 7→ 01

x 7→ xxyzy 7→ yzz 7→ xyz

1 7→ 122 7→ 133 7→ 144 7→ 1

1 7→ 122 7→ 1 121

a 7→ aabbb 7→ aabb

0 7→ 101 7→ 01

x 7→ xxyzy 7→ yzz 7→ xyz

1 7→ 122 7→ 133 7→ 144 7→ 1

1 7→ 122 7→ 1 12112

a 7→ aabbb 7→ aabb

0 7→ 101 7→ 01

x 7→ xxyzy 7→ yzz 7→ xyz

1 7→ 122 7→ 133 7→ 144 7→ 1

1 7→ 122 7→ 1 12112121

a 7→ aabbb 7→ aabb

0 7→ 101 7→ 01

x 7→ xxyzy 7→ yzz 7→ xyz

1 7→ 122 7→ 133 7→ 144 7→ 1

1 7→ 122 7→ 1 1211212112112

a 7→ aabbb 7→ aabb

0 7→ 101 7→ 01

x 7→ xxyzy 7→ yzz 7→ xyz

1 7→ 122 7→ 133 7→ 144 7→ 1

1 7→ 122 7→ 1 121121211211212112121

a 7→ aabbb 7→ aabb

0 7→ 101 7→ 01

x 7→ xxyzy 7→ yzz 7→ xyz

1 7→ 122 7→ 133 7→ 144 7→ 1

1 7→ 122 7→ 1 1211212112112121121211211212112112

a 7→ aabbb 7→ aabb

0 7→ 101 7→ 01

x 7→ xxyzy 7→ yzz 7→ xyz

1 7→ 122 7→ 133 7→ 144 7→ 1

1 7→ 122 7→ 1 1211212112112121121211211212112112121121211211212112121

a 7→ aabbb 7→ aabb

0 7→ 101 7→ 01

x 7→ xxyzy 7→ yzz 7→ xyz

1 7→ 122 7→ 133 7→ 144 7→ 1

1 7→ 122 7→ 1 1211212112112121121211211212112112121121211211212112121

a 7→ aabbb 7→ aabb

0 7→ 101 7→ 01

x 7→ xxyzy 7→ yzz 7→ xyz

1 7→ 122 7→ 133 7→ 144 7→ 1

1 7→ 122 7→ 1 1211212112112121121211211212112112121121211211212112121

a 7→ aabbb 7→ aabb a

0 7→ 101 7→ 01

x 7→ xxyzy 7→ yzz 7→ xyz

1 7→ 122 7→ 133 7→ 144 7→ 1

1 7→ 122 7→ 1 1211212112112121121211211212112112121121211211212112121

a 7→ aabbb 7→ aabb aabb

0 7→ 101 7→ 01

x 7→ xxyzy 7→ yzz 7→ xyz

1 7→ 122 7→ 133 7→ 144 7→ 1

1 7→ 122 7→ 1 1211212112112121121211211212112112121121211211212112121

a 7→ aabbb 7→ aabb aabbaabbaabbaabb

0 7→ 101 7→ 01

x 7→ xxyzy 7→ yzz 7→ xyz

1 7→ 122 7→ 133 7→ 144 7→ 1

1 7→ 122 7→ 1 1211212112112121121211211212112112121121211211212112121

a 7→ aabbb 7→ aabb aabbaabbaabbaabbaabbaabbaabbaabbaabbaabbaabbaabbaabbaabbaabbaabb

0 7→ 101 7→ 01

x 7→ xxyzy 7→ yzz 7→ xyz

1 7→ 122 7→ 133 7→ 144 7→ 1

1 7→ 122 7→ 1 1211212112112121121211211212112112121121211211212112121

a 7→ aabbb 7→ aabb aabbaabbaabbaabbaabbaabbaabbaabbaabbaabbaabbaabbaabbaabbaabbaabb

0 7→ 101 7→ 01

x 7→ xxyzy 7→ yzz 7→ xyz

1 7→ 122 7→ 133 7→ 144 7→ 1

1 7→ 122 7→ 1 1211212112112121121211211212112112121121211211212112121

a 7→ aabbb 7→ aabb aabbaabbaabbaabbaabbaabbaabbaabbaabbaabbaabbaabbaabbaabbaabbaabb

0 7→ 101 7→ 01 0

x 7→ xxyzy 7→ yzz 7→ xyz

1 7→ 122 7→ 133 7→ 144 7→ 1

1 7→ 122 7→ 1 1211212112112121121211211212112112121121211211212112121

a 7→ aabbb 7→ aabb aabbaabbaabbaabbaabbaabbaabbaabbaabbaabbaabbaabbaabbaabbaabbaabb

0 7→ 101 7→ 01 10

x 7→ xxyzy 7→ yzz 7→ xyz

1 7→ 122 7→ 133 7→ 144 7→ 1

1 7→ 122 7→ 1 1211212112112121121211211212112112121121211211212112121

a 7→ aabbb 7→ aabb aabbaabbaabbaabbaabbaabbaabbaabbaabbaabbaabbaabbaabbaabbaabbaabb

0 7→ 101 7→ 01 0110

x 7→ xxyzy 7→ yzz 7→ xyz

1 7→ 122 7→ 133 7→ 144 7→ 1

1 7→ 122 7→ 1 1211212112112121121211211212112112121121211211212112121

a 7→ aabbb 7→ aabb aabbaabbaabbaabbaabbaabbaabbaabbaabbaabbaabbaabbaabbaabbaabbaabb

0 7→ 101 7→ 01 10010110

x 7→ xxyzy 7→ yzz 7→ xyz

1 7→ 122 7→ 133 7→ 144 7→ 1

1 7→ 122 7→ 1 1211212112112121121211211212112112121121211211212112121

a 7→ aabbb 7→ aabb aabbaabbaabbaabbaabbaabbaabbaabbaabbaabbaabbaabbaabbaabbaabbaabb

0 7→ 101 7→ 01 0110100110010110

x 7→ xxyzy 7→ yzz 7→ xyz

1 7→ 122 7→ 133 7→ 144 7→ 1

1 7→ 122 7→ 1 1211212112112121121211211212112112121121211211212112121

a 7→ aabbb 7→ aabb aabbaabbaabbaabbaabbaabbaabbaabbaabbaabbaabbaabbaabbaabbaabbaabb

0 7→ 101 7→ 01 10010110011010010110100110010110

x 7→ xxyzy 7→ yzz 7→ xyz

1 7→ 122 7→ 133 7→ 144 7→ 1

1 7→ 122 7→ 1 1211212112112121121211211212112112121121211211212112121

a 7→ aabbb 7→ aabb aabbaabbaabbaabbaabbaabbaabbaabbaabbaabbaabbaabbaabbaabbaabbaabb

0 7→ 101 7→ 01 0110100110010110100101100110100110010110011010010110100110010110

x 7→ xxyzy 7→ yzz 7→ xyz

1 7→ 122 7→ 133 7→ 144 7→ 1

1 7→ 122 7→ 1 1211212112112121121211211212112112121121211211212112121

a 7→ aabbb 7→ aabb aabbaabbaabbaabbaabbaabbaabbaabbaabbaabbaabbaabbaabbaabbaabbaabb

0 7→ 101 7→ 01 0110100110010110100101100110100110010110011010010110100110010110

x 7→ xxyzy 7→ yzz 7→ xyz

1 7→ 122 7→ 133 7→ 144 7→ 1

1 7→ 122 7→ 1 1211212112112121121211211212112112121121211211212112121

a 7→ aabbb 7→ aabb aabbaabbaabbaabbaabbaabbaabbaabbaabbaabbaabbaabbaabbaabbaabbaabb

0 7→ 101 7→ 01 0110100110010110100101100110100110010110011010010110100110010110

x 7→ xxyzy 7→ yzz 7→ xyz

x

1 7→ 122 7→ 133 7→ 144 7→ 1

1 7→ 122 7→ 1 1211212112112121121211211212112112121121211211212112121

a 7→ aabbb 7→ aabb aabbaabbaabbaabbaabbaabbaabbaabbaabbaabbaabbaabbaabbaabbaabbaabb

0 7→ 101 7→ 01 0110100110010110100101100110100110010110011010010110100110010110

x 7→ xxyzy 7→ yzz 7→ xyz

xxyz

1 7→ 122 7→ 133 7→ 144 7→ 1

1 7→ 122 7→ 1 1211212112112121121211211212112112121121211211212112121

a 7→ aabbb 7→ aabb aabbaabbaabbaabbaabbaabbaabbaabbaabbaabbaabbaabbaabbaabbaabbaabb

0 7→ 101 7→ 01 0110100110010110100101100110100110010110011010010110100110010110

x 7→ xxyzy 7→ yzz 7→ xyz

xxyzxxyzyzxyz

1 7→ 122 7→ 133 7→ 144 7→ 1

1 7→ 122 7→ 1 1211212112112121121211211212112112121121211211212112121

a 7→ aabbb 7→ aabb aabbaabbaabbaabbaabbaabbaabbaabbaabbaabbaabbaabbaabbaabbaabbaabb

0 7→ 101 7→ 01 0110100110010110100101100110100110010110011010010110100110010110

x 7→ xxyzy 7→ yzz 7→ xyz

xxyzxxyzyzxyzxxyzxxyzyzxyzyzxyzxxyzyzxyz

1 7→ 122 7→ 133 7→ 144 7→ 1

1 7→ 122 7→ 1 1211212112112121121211211212112112121121211211212112121

a 7→ aabbb 7→ aabb aabbaabbaabbaabbaabbaabbaabbaabbaabbaabbaabbaabbaabbaabbaabbaabb

0 7→ 101 7→ 01 0110100110010110100101100110100110010110011010010110100110010110

x 7→ xxyzy 7→ yzz 7→ xyz

xxyzxxyzyzxyzxxyzxxyzyzxyzyzxyzxxyzyzxyzxxyzxxyzyzxyz

1 7→ 122 7→ 133 7→ 144 7→ 1

1 7→ 122 7→ 1 1211212112112121121211211212112112121121211211212112121

a 7→ aabbb 7→ aabb aabbaabbaabbaabbaabbaabbaabbaabbaabbaabbaabbaabbaabbaabbaabbaabb

0 7→ 101 7→ 01 0110100110010110100101100110100110010110011010010110100110010110

x 7→ xxyzy 7→ yzz 7→ xyz

xxyzxxyzyzxyzxxyzxxyzyzxyzyzxyzxxyzyzxyzxxyzxxyzyzxyz

1 7→ 122 7→ 133 7→ 144 7→ 1

1234

1 7→ 122 7→ 1 1211212112112121121211211212112112121121211211212112121

a 7→ aabbb 7→ aabb aabbaabbaabbaabbaabbaabbaabbaabbaabbaabbaabbaabbaabbaabbaabbaabb

0 7→ 101 7→ 01 0110100110010110100101100110100110010110011010010110100110010110

x 7→ xxyzy 7→ yzz 7→ xyz

xxyzxxyzyzxyzxxyzxxyzyzxyzyzxyzxxyzyzxyzxxyzxxyzyzxyz

1 7→ 122 7→ 133 7→ 144 7→ 1

1213141

1 7→ 122 7→ 1 1211212112112121121211211212112112121121211211212112121

a 7→ aabbb 7→ aabb aabbaabbaabbaabbaabbaabbaabbaabbaabbaabbaabbaabbaabbaabbaabbaabb

0 7→ 101 7→ 01 0110100110010110100101100110100110010110011010010110100110010110

x 7→ xxyzy 7→ yzz 7→ xyz

xxyzxxyzyzxyzxxyzxxyzyzxyzyzxyzxxyzyzxyzxxyzxxyzyzxyz

1 7→ 122 7→ 133 7→ 144 7→ 1

1213121412112

1 7→ 122 7→ 1 1211212112112121121211211212112112121121211211212112121

a 7→ aabbb 7→ aabb aabbaabbaabbaabbaabbaabbaabbaabbaabbaabbaabbaabbaabbaabbaabbaabb

0 7→ 101 7→ 01 0110100110010110100101100110100110010110011010010110100110010110

x 7→ xxyzy 7→ yzz 7→ xyz

xxyzxxyzyzxyzxxyzxxyzyzxyzyzxyzxxyzyzxyzxxyzxxyzyzxyz

1 7→ 122 7→ 133 7→ 144 7→ 1

1213121412131211213121213

1 7→ 122 7→ 1 1211212112112121121211211212112112121121211211212112121

a 7→ aabbb 7→ aabb aabbaabbaabbaabbaabbaabbaabbaabbaabbaabbaabbaabbaabbaabbaabbaabb

0 7→ 101 7→ 01 0110100110010110100101100110100110010110011010010110100110010110

x 7→ xxyzy 7→ yzz 7→ xyz

xxyzxxyzyzxyzxxyzxxyzyzxyzyzxyzxxyzyzxyzxxyzxxyzyzxyz

1 7→ 122 7→ 133 7→ 144 7→ 1

1213121412131211213121412131212131214121312131214

1 7→ 122 7→ 1 1211212112112121121211211212112112121121211211212112121

a 7→ aabbb 7→ aabb aabbaabbaabbaabbaabbaabbaabbaabbaabbaabbaabbaabbaabbaabbaabbaabb

0 7→ 101 7→ 01 0110100110010110100101100110100110010110011010010110100110010110

x 7→ xxyzy 7→ yzz 7→ xyz

xxyzxxyzyzxyzxxyzxxyzyzxyzyzxyzxxyzyzxyzxxyzxxyzyzxyz

1 7→ 122 7→ 133 7→ 144 7→ 1

1213121412131211213121412131212131214121312112131214121312131214121312112131214121312141213121

Substitutions, dynamique, fractals

σ :

1 7→ 122 7→ 133 7→ 1

Substitutions, dynamique, fractals

σ :

1 7→ 122 7→ 133 7→ 1

Substitutions, dynamique, fractals

σ :

1 7→ 122 7→ 133 7→ 1

Substitutions, dynamique, fractals

σ :

1 7→ 122 7→ 133 7→ 1

Substitutions, dynamique, fractals

σ :

1 7→ 122 7→ 133 7→ 1

Substitutions, dynamique, fractals

σ :

1 7→ 122 7→ 133 7→ 1

Substitutions, dynamique, fractals

σ :

1 7→ 122 7→ 133 7→ 1

Substitutions, dynamique, fractals

σ :

1 7→ 122 7→ 133 7→ 1

Substitutions, dynamique, fractals

σ :

1 7→ 122 7→ 133 7→ 1

Substitutions, dynamique, fractals

σ :

1 7→ 122 7→ 133 7→ 1

Substitutions, dynamique, fractals

σ :

1 7→ 122 7→ 133 7→ 1

Substitutions, dynamique, fractals

σ :

1 7→ 122 7→ 133 7→ 1

Substitutions, dynamique, fractals

σ :

1 7→ 122 7→ 133 7→ 1

Substitutions, dynamique, fractals

σ :

1 7→ 122 7→ 133 7→ 1

Dynamique de l’échange de morceaux1 7→ 12, 2 7→ 1312, 3 7→ 112

Dynamique de l’échange de morceaux1 7→ 12, 2 7→ 1312, 3 7→ 112

Dynamique de l’échange de morceaux1 7→ 12, 2 7→ 1312, 3 7→ 112

Dynamique de l’échange de morceaux1 7→ 12, 2 7→ 1312, 3 7→ 112

Dynamique de l’échange de morceaux1 7→ 12, 2 7→ 1312, 3 7→ 112

Dynamique de l’échange de morceaux1 7→ 12, 2 7→ 1312, 3 7→ 112

Dynamique de l’échange de morceaux1 7→ 12, 2 7→ 1312, 3 7→ 112

Orbite : 2

Dynamique de l’échange de morceaux1 7→ 12, 2 7→ 1312, 3 7→ 112

Orbite : 21

Dynamique de l’échange de morceaux1 7→ 12, 2 7→ 1312, 3 7→ 112

Orbite : 213

Dynamique de l’échange de morceaux1 7→ 12, 2 7→ 1312, 3 7→ 112

Orbite : 2131

Dynamique de l’échange de morceaux1 7→ 12, 2 7→ 1312, 3 7→ 112

Orbite : 21312

Dynamique de l’échange de morceaux1 7→ 12, 2 7→ 1312, 3 7→ 112

Orbite : 213121

Dynamique de l’échange de morceaux1 7→ 12, 2 7→ 1312, 3 7→ 112

Orbite : 2131212

Dynamique de l’échange de morceaux1 7→ 12, 2 7→ 1312, 3 7→ 112

Orbite : 21312121

Dynamique de l’échange de morceaux1 7→ 12, 2 7→ 1312, 3 7→ 112

Orbite : 213121211

Dynamique de l’échange de morceaux1 7→ 12, 2 7→ 1312, 3 7→ 112

Orbite : 2131212112

Dynamique de l’échange de morceaux1 7→ 12, 2 7→ 1312, 3 7→ 112

Orbite : 213121211212131

Dynamique de l’échange de morceaux1 7→ 12, 2 7→ 1312, 3 7→ 112

Orbite : 21312121121213121213

Dynamique de l’échange de morceaux1 7→ 12, 2 7→ 1312, 3 7→ 112

Orbite : 2131212112121312121312121

Dynamique de l’échange de morceaux1 7→ 12, 2 7→ 1312, 3 7→ 112

Orbite : · · · 2131212112121312121312121· · · ∈ Sσ ⊆ {1, 2, 3}Z

Dynamique de l’échange de morceaux1 7→ 12, 2 7→ 1312, 3 7→ 112

Orbite : · · · 2131212112121312121312121· · · ∈ Sσ ⊆ {1, 2, 3}Z

(Sσ , décalage d’une lettre

)�

(, échange de morceaux

)

2. Substitutions 2D

1 7→ 1 22 1

2 7→ 2 11 2

1 7→ 1 22 1 7→1 2 2 12 1 1 22 1 1 21 2 2 1

7→

1 2 2 1 2 1 1 22 1 1 2 1 2 2 12 1 1 2 1 2 2 11 2 2 1 2 1 1 21 2 2 1 2 1 1 22 1 1 2 1 2 2 12 1 1 2 1 2 2 11 2 2 1 2 1 1 2

7→

1 2 2 1 2 1 1 2 2 1 1 2 1 2 2 12 1 1 2 1 2 2 1 1 2 2 1 2 1 1 22 1 1 2 1 2 2 1 1 2 2 1 2 1 1 21 2 2 1 2 1 1 2 2 1 1 2 1 2 2 12 1 1 2 1 2 2 1 1 2 2 1 2 1 1 21 2 2 1 2 1 1 2 2 1 1 2 1 2 2 11 2 2 1 2 1 1 2 2 1 1 2 1 2 2 12 1 1 2 1 2 2 1 1 2 2 1 2 1 1 22 1 1 2 1 2 2 1 1 2 2 1 2 1 1 21 2 2 1 2 1 1 2 2 1 1 2 1 2 2 11 2 2 1 2 1 1 2 2 1 1 2 1 2 2 12 1 1 2 1 2 2 1 1 2 2 1 2 1 1 21 2 2 1 2 1 1 2 2 1 1 2 1 2 2 12 1 1 2 1 2 2 1 1 2 2 1 2 1 1 22 1 1 2 1 2 2 1 1 2 2 1 2 1 1 21 2 2 1 2 1 1 2 2 1 1 2 1 2 2 1

1 7→ 1 22 1

2 7→ 2 11 2

1

7→ 1 22 1 7→1 2 2 12 1 1 22 1 1 21 2 2 1

7→

1 2 2 1 2 1 1 22 1 1 2 1 2 2 12 1 1 2 1 2 2 11 2 2 1 2 1 1 21 2 2 1 2 1 1 22 1 1 2 1 2 2 12 1 1 2 1 2 2 11 2 2 1 2 1 1 2

7→

1 2 2 1 2 1 1 2 2 1 1 2 1 2 2 12 1 1 2 1 2 2 1 1 2 2 1 2 1 1 22 1 1 2 1 2 2 1 1 2 2 1 2 1 1 21 2 2 1 2 1 1 2 2 1 1 2 1 2 2 12 1 1 2 1 2 2 1 1 2 2 1 2 1 1 21 2 2 1 2 1 1 2 2 1 1 2 1 2 2 11 2 2 1 2 1 1 2 2 1 1 2 1 2 2 12 1 1 2 1 2 2 1 1 2 2 1 2 1 1 22 1 1 2 1 2 2 1 1 2 2 1 2 1 1 21 2 2 1 2 1 1 2 2 1 1 2 1 2 2 11 2 2 1 2 1 1 2 2 1 1 2 1 2 2 12 1 1 2 1 2 2 1 1 2 2 1 2 1 1 21 2 2 1 2 1 1 2 2 1 1 2 1 2 2 12 1 1 2 1 2 2 1 1 2 2 1 2 1 1 22 1 1 2 1 2 2 1 1 2 2 1 2 1 1 21 2 2 1 2 1 1 2 2 1 1 2 1 2 2 1

1 7→ 1 22 1

2 7→ 2 11 2

1 7→ 1 22 1

7→1 2 2 12 1 1 22 1 1 21 2 2 1

7→

1 2 2 1 2 1 1 22 1 1 2 1 2 2 12 1 1 2 1 2 2 11 2 2 1 2 1 1 21 2 2 1 2 1 1 22 1 1 2 1 2 2 12 1 1 2 1 2 2 11 2 2 1 2 1 1 2

7→

1 2 2 1 2 1 1 2 2 1 1 2 1 2 2 12 1 1 2 1 2 2 1 1 2 2 1 2 1 1 22 1 1 2 1 2 2 1 1 2 2 1 2 1 1 21 2 2 1 2 1 1 2 2 1 1 2 1 2 2 12 1 1 2 1 2 2 1 1 2 2 1 2 1 1 21 2 2 1 2 1 1 2 2 1 1 2 1 2 2 11 2 2 1 2 1 1 2 2 1 1 2 1 2 2 12 1 1 2 1 2 2 1 1 2 2 1 2 1 1 22 1 1 2 1 2 2 1 1 2 2 1 2 1 1 21 2 2 1 2 1 1 2 2 1 1 2 1 2 2 11 2 2 1 2 1 1 2 2 1 1 2 1 2 2 12 1 1 2 1 2 2 1 1 2 2 1 2 1 1 21 2 2 1 2 1 1 2 2 1 1 2 1 2 2 12 1 1 2 1 2 2 1 1 2 2 1 2 1 1 22 1 1 2 1 2 2 1 1 2 2 1 2 1 1 21 2 2 1 2 1 1 2 2 1 1 2 1 2 2 1

1 7→ 1 22 1

2 7→ 2 11 2

1 7→ 1 22 1 7→1 2 2 12 1 1 22 1 1 21 2 2 1

7→

1 2 2 1 2 1 1 22 1 1 2 1 2 2 12 1 1 2 1 2 2 11 2 2 1 2 1 1 21 2 2 1 2 1 1 22 1 1 2 1 2 2 12 1 1 2 1 2 2 11 2 2 1 2 1 1 2

7→

1 2 2 1 2 1 1 2 2 1 1 2 1 2 2 12 1 1 2 1 2 2 1 1 2 2 1 2 1 1 22 1 1 2 1 2 2 1 1 2 2 1 2 1 1 21 2 2 1 2 1 1 2 2 1 1 2 1 2 2 12 1 1 2 1 2 2 1 1 2 2 1 2 1 1 21 2 2 1 2 1 1 2 2 1 1 2 1 2 2 11 2 2 1 2 1 1 2 2 1 1 2 1 2 2 12 1 1 2 1 2 2 1 1 2 2 1 2 1 1 22 1 1 2 1 2 2 1 1 2 2 1 2 1 1 21 2 2 1 2 1 1 2 2 1 1 2 1 2 2 11 2 2 1 2 1 1 2 2 1 1 2 1 2 2 12 1 1 2 1 2 2 1 1 2 2 1 2 1 1 21 2 2 1 2 1 1 2 2 1 1 2 1 2 2 12 1 1 2 1 2 2 1 1 2 2 1 2 1 1 22 1 1 2 1 2 2 1 1 2 2 1 2 1 1 21 2 2 1 2 1 1 2 2 1 1 2 1 2 2 1

1 7→ 1 22 1

2 7→ 2 11 2

1 7→ 1 22 1 7→1 2 2 12 1 1 22 1 1 21 2 2 1

7→

1 2 2 1 2 1 1 22 1 1 2 1 2 2 12 1 1 2 1 2 2 11 2 2 1 2 1 1 21 2 2 1 2 1 1 22 1 1 2 1 2 2 12 1 1 2 1 2 2 11 2 2 1 2 1 1 2

7→

1 2 2 1 2 1 1 2 2 1 1 2 1 2 2 12 1 1 2 1 2 2 1 1 2 2 1 2 1 1 22 1 1 2 1 2 2 1 1 2 2 1 2 1 1 21 2 2 1 2 1 1 2 2 1 1 2 1 2 2 12 1 1 2 1 2 2 1 1 2 2 1 2 1 1 21 2 2 1 2 1 1 2 2 1 1 2 1 2 2 11 2 2 1 2 1 1 2 2 1 1 2 1 2 2 12 1 1 2 1 2 2 1 1 2 2 1 2 1 1 22 1 1 2 1 2 2 1 1 2 2 1 2 1 1 21 2 2 1 2 1 1 2 2 1 1 2 1 2 2 11 2 2 1 2 1 1 2 2 1 1 2 1 2 2 12 1 1 2 1 2 2 1 1 2 2 1 2 1 1 21 2 2 1 2 1 1 2 2 1 1 2 1 2 2 12 1 1 2 1 2 2 1 1 2 2 1 2 1 1 22 1 1 2 1 2 2 1 1 2 2 1 2 1 1 21 2 2 1 2 1 1 2 2 1 1 2 1 2 2 1

1 7→ 1 22 1

2 7→ 2 11 2

1 7→ 1 22 1 7→1 2 2 12 1 1 22 1 1 21 2 2 1

7→

1 2 2 1 2 1 1 22 1 1 2 1 2 2 12 1 1 2 1 2 2 11 2 2 1 2 1 1 21 2 2 1 2 1 1 22 1 1 2 1 2 2 12 1 1 2 1 2 2 11 2 2 1 2 1 1 2

7→

1 2 2 1 2 1 1 2 2 1 1 2 1 2 2 12 1 1 2 1 2 2 1 1 2 2 1 2 1 1 22 1 1 2 1 2 2 1 1 2 2 1 2 1 1 21 2 2 1 2 1 1 2 2 1 1 2 1 2 2 12 1 1 2 1 2 2 1 1 2 2 1 2 1 1 21 2 2 1 2 1 1 2 2 1 1 2 1 2 2 11 2 2 1 2 1 1 2 2 1 1 2 1 2 2 12 1 1 2 1 2 2 1 1 2 2 1 2 1 1 22 1 1 2 1 2 2 1 1 2 2 1 2 1 1 21 2 2 1 2 1 1 2 2 1 1 2 1 2 2 11 2 2 1 2 1 1 2 2 1 1 2 1 2 2 12 1 1 2 1 2 2 1 1 2 2 1 2 1 1 21 2 2 1 2 1 1 2 2 1 1 2 1 2 2 12 1 1 2 1 2 2 1 1 2 2 1 2 1 1 22 1 1 2 1 2 2 1 1 2 2 1 2 1 1 21 2 2 1 2 1 1 2 2 1 1 2 1 2 2 1

7→

7→

7→

7→

7→

7→

7→

7→

7→

7→

7→

7→

1 7→ 12

13 2 7→ 1

2 3 7→ 12

3

Comment “concaténer” ? !

12 7→ 1

23

1

12

3 1 7→ 12

3

112

3 11 7→

12

13

112

3

2 1 7→ 12

12

13 3

1 7→12

3

12

31

1 7→ 12

13 7→

12

7→12

131

2

1312

3

12

3

12

31

12

3

12

31

12

12

12

3 12

1

121

12

3

1 7→ 12

13 2 7→ 1

2 3 7→ 12

3

Comment “concaténer” ? !

12 7→ 1

23

1

12

3 1 7→ 12

3

112

3 11 7→

12

13

112

3

2 1 7→ 12

12

13 3

1 7→12

3

12

31

1 7→ 12

13 7→

12

7→12

131

2

1312

3

12

3

12

31

12

3

12

31

12

12

12

3 12

1

121

12

3

1 7→ 12

13 2 7→ 1

2 3 7→ 12

3

Comment “concaténer” ? !

12 7→ 1

23

1

12

3 1 7→ 12

3

112

3 11 7→

12

13

112

3

2 1 7→ 12

12

13 3

1 7→12

3

12

31

1 7→ 12

13 7→

12

7→12

131

2

1312

3

12

3

12

31

12

3

12

31

12

12

12

3 12

1

121

12

3

1 7→ 12

13 2 7→ 1

2 3 7→ 12

3

Comment “concaténer” ? !

12 7→ 1

23

1

12

3 1 7→ 12

3

112

3 11 7→

12

13

112

3

2 1 7→ 12

12

13 3

1 7→12

3

12

31

1

7→ 12

13 7→

12

7→12

131

2

1312

3

12

3

12

31

12

3

12

31

12

12

12

3 12

1

121

12

3

1 7→ 12

13 2 7→ 1

2 3 7→ 12

3

Comment “concaténer” ? !

12 7→ 1

23

1

12

3 1 7→ 12

3

112

3 11 7→

12

13

112

3

2 1 7→ 12

12

13 3

1 7→12

3

12

31

1 7→ 12

13

7→12

7→12

131

2

1312

3

12

3

12

31

12

3

12

31

12

12

12

3 12

1

121

12

3

1 7→ 12

13 2 7→ 1

2 3 7→ 12

3

Comment “concaténer” ? !

12 7→ 1

23

1

12

3 1 7→ 12

3

112

3 11 7→

12

13

112

3

2 1 7→ 12

12

13 3

1 7→12

3

12

31

1 7→ 12

13

7→12

7→12

131

2

1312

3

12

3

12

31

12

3

12

31

12

12

12

3 12

1

121

12

3

1 7→ 12

13 2 7→ 1

2 3 7→ 12

3

Comment “concaténer” ? !

12 7→ 1

23

1

12

3 1 7→ 12

3

112

3 11 7→

12

13

112

3

2 1 7→ 12

12

13 3

1 7→12

3

12

31

1 7→ 12

13 7→

12

7→12

131

2

1312

3

12

3

12

31

12

3

12

31

12

12

12

3 12

1

121

12

3

1 7→ 12

13 2 7→ 1

2 3 7→ 12

3

Comment “concaténer” ? !

12 7→ 1

23

1

12

3 1 7→ 12

3

112

3 11 7→

12

13

112

3

2 1 7→ 12

12

13 3

1 7→12

3

12

31

1 7→ 12

13 7→

12

7→12

131

2

1312

3

12

3

12

31

12

3

12

31

12

12

12

3 12

1

121

12

3

1 7→ 12

13 2 7→ 1

2 3 7→ 12

3

Comment “concaténer” ? !

12 7→ 1

23

1

12

3 1 7→ 12

3

112

3 11 7→

12

13

112

3

2 1 7→ 12

12

13 3

1 7→12

3

12

31

1 7→ 12

13 7→

12

112

3

7→12

131

2

1312

3

12

3

12

31

12

3

12

31

12

12

12

3 12

1

121

12

3

1 7→ 12

13 2 7→ 1

2 3 7→ 12

3

Comment “concaténer” ? !

12 7→ 1

23

1

12

3 1 7→ 12

3

112

3 11 7→

12

13

112

3

2 1 7→ 12

12

13 3

1 7→12

3

12

31

1 7→ 12

13 7→

12

112

3

7→12

131

2

1312

3

12

3

12

31

12

3

12

31

12

12

12

3 12

1

121

12

3

1 7→ 12

13 2 7→ 1

2 3 7→ 12

3

Comment “concaténer” ? !

12 7→ 1

23

1

12

3 1 7→ 12

3

112

3 11 7→

12

13

112

3

2 1 7→ 12

12

13 3

1 7→12

3

12

31

1 7→ 12

13 7→

12

112

3

12

13

7→12

131

2

1312

3

12

3

12

31

12

3

12

31

12

12

12

3 12

1

121

12

3

1 7→ 12

13 2 7→ 1

2 3 7→ 12

3

Comment “concaténer” ? !

12 7→ 1

23

1

12

3 1 7→ 12

3

112

3 11 7→

12

13

112

3

2 1 7→ 12

12

13 3

1 7→12

3

12

31

1 7→ 12

13 7→

12

112

3

12

13

7→12

131

2

1312

3

12

3

12

31

12

3

12

31

12

12

12

3 12

1

121

12

3

1 7→ 12

13 2 7→ 1

2 3 7→ 12

3

Comment “concaténer” ? !

12 7→ 1

23

1

12

3 1 7→ 12

3

112

3 11 7→

12

13

112

3

2 1 7→ 12

12

13 3

1 7→12

3

12

31

1 7→ 12

13 7→

12

112

3

12

13

12

3

7→12

131

2

1312

3

12

3

12

31

12

3

12

31

12

12

12

3 12

1

121

12

3

1 7→ 12

13 2 7→ 1

2 3 7→ 12

3

Comment “concaténer” ? !

12 7→ 1

23

1

12

3 1 7→ 12

3

112

3 11 7→

12

13

112

3

2 1 7→ 12

12

13 3

1 7→12

3

12

31

1 7→ 12

13 7→

12

112

3

12

13

12

37→

12

131

2

1312

3

12

3

12

31

12

3

12

31

12

12

12

3 12

1

121

12

3

Mais. . .

Qu’est-ce qui garantit que :I les images ne se chevauchent pas ?I la substitution est bien définie (une seule image possible) ?

Réponse : rien (dans le cas général).

Ces deux propriétés sont en fait indécidables !

Mais. . .

Qu’est-ce qui garantit que :I les images ne se chevauchent pas ?I la substitution est bien définie (une seule image possible) ?

Réponse : rien (dans le cas général).

Ces deux propriétés sont en fait indécidables !

Mais. . .

Qu’est-ce qui garantit que :I les images ne se chevauchent pas ?I la substitution est bien définie (une seule image possible) ?

Réponse : rien (dans le cas général).

Ces deux propriétés sont en fait indécidables !

21 3

321 3

31 31 32

1 32

1 3 32

1 3

1 32

31 32

21 31 3

3

1 3 32

1 3 31 3

2

1 31 32

1 33

2

21 3 31 3

21 32

1 3 31 3

1 32

331 3

1 3

21 32

1 31 3

1 32

32 1 3 3

2

1 31 3 3

21 31 3

3

1 32 2

1 32 33

21 3

1 32

1 3

321 3

1 331 3

2 1 32

1 3 321 3 3

2

1 3

1 32

1 3

1 331 3

2 1 3 32

1 32

1 31 32 1 3 3

21 32

321 3 31 3

31 32 1 3

1 32 1 3

1 31 3 3

2

2 1 3 32

1 32

23

321 31 3

31 31 3

1 32

21 3

1 31 3 31 3

231 3

2 1 3 32

1 31 3 3

1 31 3 3

2

2 1 32

321 32

1 31 3

31 32

21 31 3

1 3 3

31 31 32

1 321 3

1 32

1 33

1 31 32

2 1 3 32

32

32

1 3

31 321 31 3

31 31 3

2 1 32 2

1 32

1 31 3

23

3

21 3

1 32 1 3

231 3

1 32

2 1 32

3

1 3321 3

321 3 3

1 31 31 3

231 3

2 1 3 32

31 3

1 31 32

31 3

1 32

1 31 32

31 31 32

1 31 3 32

1 331 3

1 32

1 3

2

1 3 32

2 1 3 32

1 32

3

1 31 32 1 3

1 3 31 3

1 3 31 31 32 1 3

2

31 32

21 31 32

1 321 3

1 32

1 32 1 3 3

21 32

3

23

2

3321 3 31 3

1 331 32

221 3 3

1 31 31 3

23

3

1 32

1 3

1 31 3231 3

1 321 3

1 32

1 33

2 1 31 3

1 32

2 1 3 32

321 3 3

21 3

1 32 1 3

23

321 3 31 3

1 33

2

1 3

21 3

1 32 1 3 3

2

321 3 3

21 3

31 31 32

31 32 1 3

2 1 321 3

1 321 32

1 31 3

31 31 32 1 3 3

1 31 3 3

1 31 3 3231 3

2 1 3 32

1 3

2

321 31 3

3

1 32

2

21 3 3

1 31 3 3

1 31 3 3

21 3 32

1 31 32

31 31 3

1 31 3

31 31 32

1 31 31 3

1 32

1 31 323

1 33

33

1 3

331 321 3

2

1 3

2

1 31 32 1 3

1 322

32

22

31 32

21 3

1 3231 32

1 3 32

1 32 1 3

1 31 32

32

2 1 32

3

32

1 3

1 32

1 31 32 1 3

1 3 31 3231 3

231 3

1 32

2 1 32

31 32

2

1 32 1 3 3

2

321 31 3

1 331 3

1 3

1 3

32

3

1 32

1 31 3231 3

1 331 3

2 1 3 31 32

1 3 31 31 323

1 31 32 1 3

23

321 31 3

31 3

3

231 3

1 31 32 1 3 3

2

32

1 32

21 32

1 3 32 1 3

1 321 3

32

1 31 3

31 323

1 3231 3

1 31 32 1 3

231 3

2

322

1 31 32

1 331 3

21 32

1 3

21 3

21 3

1 31 3

2 1 32 1 3

1 32 1 3

21 3

32 1 3

1 31 3

31 321 31 3

3

1 31 3

32

3

31 3

2

2 1 32

32

2

321 3 3

21 3

1 31 32

1 31 32 1 3

2 1 31 32 1 3

231 3

1 31 3 3

2

21 32

21 32

1 32

3

1 31 3

1 31 3

23

3

32 1 3

23

1 33

3

321 31 3

1 331 3

1 3

21 32

3

31 32 1 3

23

1 3231 3

231 3

1 321 3 3

1 31 3

1 32 2 1 3

1 3 321 3

2231 3

2 1 3 32

1 32

1 321 3

1 3 31 31 32 1 3 3

1 3 3

21 31 3

31 31 3

1 321 3 31 3

31 321 3

1 32 1 3

21 3

1 32

31 3

1 3 31 3

23

1 3

23 2

32

2

21 32

À table !