Time-Frequency Signal Processingusers.isy.liu.se/en/rt/fredrik/spcourse/slides3.pdf · 2012. 11. 7. · [tfr,tr,fr]={tfrstft, tfrsp, tfrwv, tfrspwv} (x,t,n) Calculates the TFR for

Time-Frequency Signal ProcessingApplications and Theory

Frida Gunnarsson

S. Qian, D. Chen, F. Hlawatsch and G.F. Boudreaux-Bartels

Time-Frequency Signal Processing – p.1

Contents

Introduction

Signal representation

Intuition

Applications

Bat Noise

Laser Radar on Vehicles

Whale Song

Other Examples

Different Analysis Methods

Linear TFR

Qudaratic TFR

Cohen’s class

In Pratice

Software

Discussion subjects

Exercizes


Introduction


Signal representation

s(t) =

∫ ∫Tx(τ, φ)

[g(t− τ)ej2πφt

]dτ dφ

Tx(t, f) spectral component or Time Frequency Representation

g(t) basis signal or synthesis window


Intuition

Takt 10-13 ur March från Nötknäpparsviten, Tchaikovsky.

PSfrag replacements 261.5 Hz 523 Hz

1046 Hz


Applications


Bat Noise


Laser Radar on Vehicles

s(t) = cos(ωct+ µ sin(ωvt))

fc, carrier frequency due to the velocity

fv, vibration frequency due to characteristics of the vehicle.


Whale Song


Other Examples

Acoustic signal processing

Speech coding, recognition, analysis

Room reverberation

Medecin and biology

Stochastic signal processing

Image processing


Different Analysis Methods


Linear TFR

STFT — Short Time Frequency Transform

Fourier transform in a time-window, i.e., local spectrum.

Is generalized and discretized with the Gabor Expansion

x(t) =∑

n

∑

k

Gx(n, k)gnk(t)

gnk(t) = g(t− nT )ej2πkFt

WT — Wavelet Transform

= Can be written as scalar products

T (γ)x (t, f) =< x,OP tfγ >

<> Different time-frequency resolution characteristics


Qudaratic TFR

Combines instantaneous power and spectral energy density =

Energetic TFR

( Combine temporal correlation and spectral correlation = Correlative

TFR )

WD — Wigner Distribution

Optimal time-frequency concentration

Wxy(t, f) =

∫

τ

x(t+τ

2)y∗(t− τ

2)e−j2πfτdτ

Interference terms, IT, are significant


Cohen’s class

Class of all time-frequncy shift invariant quadratic TFRs

All members can be derived from WD, by a time-frequencyconvolution.

Tx(t, f) =

∫

τ

∫

φ

ΨT (t− τ, f − φ)Wx(τ, φ) dτ dφ

Smoothing WD reduces interference and time-frequencyconcentration

Specially

Spectrogram, Tx = |STFTx|2.

Smoothed psuedo WD, SPWDg,Hx , g and H determine time and

frequency smoothing independently.ΨSPWD(t, f) = g(t)H(f)


Reduced interference

Fig. 27 on page 51 in Hlawatsch and Boudreaux-Bartels.


In Pratice


Software

Time-Frequency Signal Analysis Software Package

$590 for the latest version.

Kernel of Fortran

http://www.sprc.bee.qut.edu.au/tfsa/demo.html

Time Frequency Analysis Demos

Free via ftp.

For use with Matlab

http://www.eecs.umich.edu/˜wjw/index.html


Software II

Time Frequency Toolbox

Free to download.

Matlab 6 toolbox.

http://crttsn.univ-nantes.fr/˜auger/tftb.html

Now available from/home/rt/frida/matlab/SigProc/TimeFrequency/Toolbox/

addpath ’.../Toolbox/’addpath ’.../Toolbox/mfiles,demos,mat,manuals/’help current

sig1=fmlin(128); %Linear freq.mod.[tfr,fr]=tfrwv(sig1); %WVD of sig1mesh(1:128,fr,tfr);colormap(cool);


Linear Frequency Modulation

020

4060

80100

120140

0

20

40

60

80

100

120

140−40

−20

0

20

40

60

80

100


Discussion subjects

Optimal koncentration och osäkerhetsprincipen

Varför blir Gauss-funktionen (14) i Qian&Chen optimal?

Interferens

Vad innebär interferenstermerna i WD? Korsspektra? Varförär de oscillativa?

Samplingstakt TF < 1, numerisk stabilitet

Finns pratiska problem med val av samplingstakt?

Intuition och tolkning

Vad innebär det pratiskt att STFT och WT har olikakaraktäristik på upplösningen?

Vad får med oändlig upplösning i någon dimension? t.ex. avscalogram.


Exercizes

Data finns i katalogen’/home/rt/frida/matlab/SigProc/TimeFrequency/Exercize/’

Dataset: ’data.mat’ ger data som innehåller signalerna s1 och s2 ochalla konstanter. I makedata.m syns hur s1 och s2 konstruerats.

s1(t) = aδ(t− t0) + bδ(t− t1) + cej2πf0t + dej2πf1t

Uppgift: Testa t.ex. STFT, WT, WD, spectrogram och SPWD (olikafönster) på båda signalerna. Vilket ger bäst upplösning i både tidoch frekvens, med minst interferens? Hur ser man konstanterna,a, b, c, d och t0, t1, f0, f1 bäst? Vad händer om man adderar brustill signalerna, noisecg?

Obs: Beräkningar kan bli tunga. Använd alltid två-potenser somlängder. Du kan ställa in antalet tid och frekvenspunkter som TFRska beräknas i. Default är lika många som signalens längd.


Exercizes, cont.

Dataset: ’music.mat’ innehåller y och fs.

Uppgift: Vilken låt är detta en halv sekund av? Börjar ca 45s in ilåten. Plotta bara de intressanta frekvenserna.

Tips: Sampla om! Använd set(gca,’YScale’,’log’) ochset(gca,’YTicks’,523*2.∧[-2:2] för att få tonen C’splacering.

Obs: Lägg inte ner så mycket tid på detta. Var noga med att angestorlek på resulterande TFR enligt föregående “Obs”.


Matlab

Path to toolbox:’/home/rt/frida/matlab/SigProc/TimeFrequency/Toolbox/’ and subdirectories.Or download all or parts from ’http://crttsn.univ-nantes.fr/ auger/tftb.html’.

help contents Produces a list of all available commands for the tool-box

tfdemo, tfdemo1-7, paramfun Demos with code print outs. Very nice.

fmlin, fmsin, fmhyp Produces signals with different frequency character-istics, Linear, Sinusoidal and Hyperbolic

noisecg, noisecu Addition of noise

[tfr,tr,fr]=tfrstft, tfrsp,tfrwv, tfrspwv

(x,t,n) Calculates the TFR for the signal x together with thetime and freqeuncy points. t is the time instanceswanted and n is the number of frequency points.

tfrview, tfrqview Visualization of TFR


So

rterade

Frag

or

Bakg

run

dWavelets

dykerupp

itidoch

otid.K

annagon

somlast

mer

omdessa

geen

bra(kortfattad)

introduktiontill

osssom

barasett

demi

forbi-

farten?/Peter

Berakn

ing

aro

chim

plem

entatio

n

Ifigur6,-92-artikeln,visas

hurm

ankan

anvandaS

TF

Tsom

finlterbank.H

urstar

sigden

harlosningen

jamfortm

edde

iShynk?

ST

FT

bordevara

mer

berakningskravande?/S

tina

Detenda

somnam

nsom

modell-baserade

metoder

ariprincip

attdet

arm

ycketdyrareattrakna

padem

.H

urm

yckethargjorts

pa

modellbaserade

metoder

forT

FD

?E

llerar

detsaattdetinte

ar

nagonm

eningattbry

sigom

detfordetalltid

blirfor

dyrt?/Thom

as

Finns

deteffektivaalgoritm

erfor

berakningav

wavelets?/M

arkusD

Finns

detnagotbra(effektivt)sattattim

plementerS

TF

T,elleranvands

FF

T+

fonsterfor

attbyggaupp

STFT

(m∗T,n∗

Ω)?/R

ickard

Op

timalko

ncen

tration

och

osakerh

etsprin

cipen

Iartiklarnapratar

man

mycketom

”uncertatityprinciple”,hur

langtgaendear

dennaanalogi?

Vidare

sagerm

anidetta

samm

anhangattG

auss-funnktionenar

optimaltkoncentrerad

iden

omsesidiga

FT-dom

anen,hurser

man

detta?/T

homas

Med

Fouriertransform

kanfrekvensupplosningen

forbattrasm

ed

langretidssignal(och

pam

otsvarandesattforttidsupplosningen).

Kan

upplosningeniT

FR

forbattrasm

edlangre

signalereller

paannat

sattgenomattvalja

signalenannorlunda?/S

vanteB

.

23-1

Vad innebar det att ekvation (14) (i Qian) uppnar optimal ”joint

time-frequency concentration”./Jonas J

I (Qiang och Chen) sags att ekv 14 ger optimal joint time-frequency

concentration i en uncertainty point of view. Varfor? Vad ar opti-

malt?/Niclas

Interferens

Forfattarna skriver att WD:s tillampningar ar ”restricted” pa grund av

korstermerna, men samtidigt att den anvands flitigt i diverse olika

tillampningar. Ar det ”smoothed WD” man i praktiken

anvander?/Andreas E

Ar interferenstermerna i WD energi som hamnat fel i

tids-frekvensplanet? Borde deras energi hora till autotermerna? Har

autotermerna lagre energi an de borde pga interferenstermerna?

/Svante B.

Varfor blir det interferenstermer for spektrogrammet precis da

autotermer overlappar?/Svante B.

Ar korstermerna i Wignerdistributionen (WD) och

mangtydighetsfunktionen (Ambiguity function) korsspektra resp.

korskovarians? De bor val vara med for att ge en korrekt bild av

signalen som analyseras? /Svante B.

For att oka bade tids- och frekvensupplosning anvands Wigner-Ville

distributionen. Den introducerar en oonskad ”cross-term” som sags

vara ”almost always strongly oscillated” (Qiang och Chen) For att re-

ducera ”cross-termen” anvands ett 2-D filter (Cohen’s class). Jag an-

tar att det bygger pa att ”cross-termen” ar just oscillativ. Ar den nastan

(vad menas med nastan) alltid det? Varfor ar den nastan alltid det? I

vilka fall ar den inte det? /Niclas

23-2

Begransningar i prestanda

Finns det nagra grundlaggande begransningar i prestanda for TFR:er

som ingen TFR kan ge battre prestanda an? Begransningar for kvadratiska

TFR:er?/Svante B.

Samplingstakt TF < 1, numeriskt stabilitet

Vilken samplingstakt ar lamplig for Wigner-Ville distributionen? Ar det

critical sampling eller ska stor oversampling anvandas eftersom det

ar en berakningseffektiv algoritm? /Stefan

TF < 1 rekommenderas for numerisk stabilitet men ger linjart be-

roende gaborkoefficienter. Ger det linjara beroendet praktiska prob-

lem?/Markus D

Intuition och tolkning

Antar WD i sjalva verket en signalmodell med endast en

signalkomponent och darfor inte kan hantera signaler med flera

signalkomponenter? /Svante B.

Intuitivt, varfor har man olika tekniker for att skatta S(t, w)respektive P (t, w) = |S(t, w)|2? Om det finns battre satt att

skatta P (t, w) an att kvadrera STFT:en, kan da dessa skattningar

anvandas for att forbattra skattningen av S(t, w)? Enda skillnaden

tycks ju vara fasinformationen./Ola

Pa sidan 31 (i Hlawatsch) jamfors skillnad mellan STFT och WT. En

skillnad ar att STFT har ett konstant langd pa ”analys fonstret”

medans WT far ett mindre foster (i tidsdoman) for hogre frekvenser.

Vad ar den praktisk konsekvensen av detta? Finns det nagon

tumregel for vilken metod som lampar sig bast - om man kanner den

analyserade signalens egenskaper?/Jonas J

23-3

Formel (3.2) i (F. Hlawatsch mfl). Spektrum ar ju vart vanliga

periodogram, fast nu tidsberoende, dvs energins fordelning i

frekvensplanet (nu tidsvariabelt). Vad ar tolkningen av ”scalogram” ?

/Rickard

Ar det bara med Short Time Fourier Transform som man far tillbaka

Fouriertransformen respektive tidssignalen om man later frekvensupplosningen

resp. tidsupplosningen ga mot oandligheten? /Jonas E

Praktiskt arbete

Ar det nagon som har anvant TFD i sitt arbete/forskning?/Peter

Ovrigt

Varfor kan det vara bra med korstermer i automatiserad signalanalys

(s. 57)?/Svante B

Besvarade fragor

Q. 1. Om man skall anvanda algoritmen som ar beskriven pa sidan 60 sa

behover man G och H (bl a). Hur far man tag pa dessa? (For de ar val

olika for olika signaler, s)./Erik

A. 1. G och H ar analys- och syntesmatriser och fas ur (22). (28) ar ett

annat satt att skriva (22).

Q. 2. Bada artiklarna pratar forfattarna om biortogonala expansioner. Om

man tittar i Fig. 3 s. 54 i -99-artikeln, betyder en biortogonal expan-

sion att vektorn s inte ar entydigt bestamd(till skillnad fran en ortogonal

exp.)? Kortform: vad ar en biortogonal expansion?/Stina

A. 2. Om syntesfunktionen bildar en bas, men analys- och syntes fun-

tkion ar inte ortogonal, kallas expansionen av signalen s mha dessa

analys och syntesfunktioner for en biorthogonal expansion.

Q. 3. I figur 6, -92-artikeln, ar ett steg i filterbanksprocessandet en ”STFT

modification M” - vad ar det? M namns inte i texten./Stina

23-4

A. 3. M ar en modifikation av vad slag som helst pa signalen/STFT-

samplen. Nagot vi vill gora med data helt enkelt.

Q. 4. Kan man pa nagot enkelt satt berakna resultatet av att filtrera en signal

pa nagon TFR-form. (Motsvarande Y = HX for fouriertransformer-

ade signaler) /Andreas E

A. 4. Borde int vara nat problem om man anvander formuleringarna

(28) och (29) i Qian&Chen

Q. 5. Finns det i litterturen en sammanstallning med klara regler for hur man

ska valja en lamplig TFR?/Svante B.

A. 5. Tror att det ar mycket beroende pa tillampning och erfarenhet.

Vad vill vi visa, osv?

Q. 6. Det verkar som signal-adaptive radially-Gaussian kernel distribution

ar bast (fig 21i, 27e). Hur beraknas den? Har den nagra nackdelar?

/Svante B.

A. 6. Inte kvadratisk, dvs., berakningstung. Passar bast for just multi-

komponent signale med linjar frekvensmodulation. Den finns angiven

pa slutet i Table I, s.25 i Hlawatsch&Boudreaux-Bartels.

Q. 7. Var definieras ”time smoothing spread” ∆t och ”frequency smoothing

spread” ∆f i artikeln. De anvands pa sidan 42-43. /Svante B.

A. 7. Det ahndlar om hur utbredd glattningsfunktionen ΨSPEC ar i

tids- och frekvensplanet. jfr, stodet for en en-dimensionell funktion.

Q. 8. Vad ar funktionen η(x) i Pseudo Wigner Distribution?/Svante B.

A. 8. En omskrivning av filtret for frekvens-glattning, se Table I

Hlawatsch&Boudreaux-Bartels.

Q. 9. Pa sidan 34 star det att man inte kan tolka en kvadratisk TFR som

energi i varje punkt i tids-frekvensplanet. Men det ar val det man vill?

Om det inte gar ar val TFR:n vardelos?/Svante B.

A. 9. Det gar inte darfor att vi inte kan ha perfekt upplosning i bada

dimensionerna samtidigt. Det blir dock en approximation.

Q. 10. Om man tittar i Figur 18 verkar det svart att fa ut nagon information ur

en signal som innehaller flera frekvenser under samma tidsintervall.

23-5

Finns det nagon transform som klarar en sadan signal bra? /Jonas E

A. 10. Det gor flera av dem. Studera uppgifterna.

Q. 11. Hur valjer man lampliga funktionerh och γ for Gabor utvecklingen?/Stefan

A. 11. Normalt arh en Gauss-bubbla, men det kan man valja beroende

pa vilka effekter man vill se, t.ex. om man vill sprida ut funktione mer i

frekvens for att undvika IT. γ valjs sedan mha (2.9a) som syntesfunk-

tion.

23-6

Documents

Time-Frequency Signal Processingusers.isy.liu.se/en/rt/fredrik/spcourse/slides3.pdf · 2012. 11. 7. · [tfr,tr,fr]={tfrstft, tfrsp, tfrwv, tfrspwv} (x,t,n) Calculates the TFR for