AbstractTomography using CT scans
andMRIscansisnowwell-knownasamedical diagnostic tool which
allowsfordetectionof
tumorsandotherabnormalitiesinanoninvasiveway,providing very
detailed images of theinsideof thebodyusinglowdosageX-rays and
magnetic fields. They ha-vebothalsobeenusedfordetermi-nationof
materialdefectsinmode-ratesizeobjects.
Inmedicalandot-herapplicationstheycomplementconventionaltomography.
Therearemanysituationswhereonewantstomonitortheelectricalconductivityof
different portions of an object, forinstance, to find out whether a
metalobject, possiblylarge, hasinvisiblecracks. Thiskindof
tomography,usuallycalledElectricalImpedanceTomography or EIT, has
also medicalapplicationslikemonitoringofbloodflow.
WhileCTandMRIarerelated to Euclidean geometry, EIT
iscloselyrelatedtohyperbolicgeo-metry. Aquestionthathasariseninthe
recent past is whether there is si-milar topographic
methodtomo-nitorthehealth of networks. Ourobjective is to explain
how EIT ideascan in fact effectively be used in
thiscontext.IntroduccinProblemas tomogrficos aparecenen varios
contextos, desde el monito-reoderedeshastaelprocesamientode seales,
as como situaciones rela-cionadas a biologa y medicina,
con-secuentemente, haydiferentestiposde aplicaciones de tomografa y
tpi-cos miscelneos en anlisis harmni-co y complejo que se
relacionan.
Es-tosproblemassonvistoscomopro-blemasinversosyentreestosaque-llos
de ndole discreto sobre conduc-tividadenredes,
locualsebasaenideasymtodostomogrficosyaexistentesparaelcasocontinuo.
Miinvestigacin se enmarca en este tipode problemas que realizo con
la cola-boracin de Carlos Berenstein, quien129* Exalumno del
Colegio Salesiano Santo Toms Apstol de Riobamba-Ecuador. Profesor
de Matemticaen Montgomery College, Rockville, Maryland-USA.Franklin
Gavilnez*TOMOGRAFA: MS ALL DE LAS APLICACIONES
MDICASesunexpertomundialeneltemaeinvestigadorenlaUniversidaddeMarylandenCollegePark,
EstadosUnidos.El impacto causado por
activida-desinvestigativasdeBerensteinesgrande.
Partedeltrabajodelesmotivadoporalgunasinterrogantesque aparecen en
el estudio de proce-samiento de seales e imgenes (ob-tenidas con
uso de rayos X). Para serconciso, esta investigacin se
originaenlapreguntadecmoobtenerlamxima cantidad de resolucin de
laimagendealgnrganohumano,porejemplo,
minimizandolacanti-dadderadiacinotiempodeexpo-sicin de acuerdo al
contexto,
preci-samenteestollevaBerensteinacrearunanuevaconfiguracindescannersdetomografacomputari-zadaquepermitelalocalizacin,
esdecir, la obtencin de informacin
yprocesamientodeimgenesslodelaregindeinters, queesunaca-racterstica
que los scanners conven-cionalesnopuedenlograr.
Poresto,Berenstenrecibiunapatentedelgobierno de los Estados Unidos
(pa-tenteUS-5953388). Unoinfierequeadems de las aplicaciones en
radio-loga mdica como por ejemplo me-jorar la resolucin en el rea
de
inte-rsclnicosinnecesidaddeincre-mentarlaexposicintotaldelafuente
de energa, la real motivacinfuefacilitarelescaneodeobjetosgrandes
tales como partes de coheteso alas de aviones para determinar
laexistenciaderesquebrajamientos.Unavariacindestaesconsidera-da, en
el problema de
conductividadinversaascomoelproblemadeladeteccinderoturasenmateriales.Ahoradescribircomoestasitua-cin
es anloga a preguntas naturalesacerca de la performance y
seguridadderedesyquepermiteladeteccintemprana de ataques a
ellas.Lacombinacindeideastomo-grficasylamatemtica,
especfica-mentedeconvolucin, estsiendousado en nuevos equipos de
radiolo-gadesarrolladoporC. Jeanguillau-me,
unradilogoenAngers(Fran-cia).
Estamismacombinacindeideastomogrficasestambinfun-damentalpararesolverelproblemadecmoobtenerrpidayrobustadiscriminacindediferentesfuentesdesonidoconunmnimonmerodemicrfonos(identificacinose-paracindesonidos).
Estodescribebrevementelaenormeinfluenciadeideas tomogrficas y su
importancia.Miinvestigacinsecentraento-mografa,
transformadadeRadn,problemasinversosenredes(grafosparticulares) y
aplicaciones. En nues-tra sociedad, la transformada de
Ra-dnEuclidianajuegaunrolfunda-mentalenlaobtencindeimgenesFranklin
Gavilnez130mdicas. Porejemplo, enelplanoEuclideo, tenemos lo que
conocemoscomotomografaderayosX. Enelcaso del plano hiperblico (no
Eucli-deo),
latransformadadeRadnhi-perblicaaparecenaturalmentealestudiarelproblemadeconductivi-dad
inverso tambin conocido comotomografadeimpedanciaelctrica.EIT (por
sus siglas en ingls), o pro-blema de Neumann-Dirichlet.
Existetambintrabajonumricoparade-tectarroturasenunplatometlicousandomedicionessolamenteenlafronteradelplato.
Serainteresantepoderusarondeletasenelcontextodelageometrahiperblicaparaes-tudiarlatransformadadeRadn.Porotrolado,
hayevidenciagenera-daporcomputadoresquelatrans-formadadeRadnhiperblicaenelplanopuedesertilparaentenderredes,
por ejemplo, redes de comuni-cacin. Enelcasoderedes,
siunoquiereobtenerinformacinacercadel interior de la red o estimar
par-metrosalolargodeconexionesin-ternas,
suenanaturalconsiderarideasanlogasdirectamenteenelcontexto de
grafos, lo que uno podrallamartomografaderedes,
esdecir,entenderlosmodelosdetrficoeninternet y garantizar su
seguridad. Almenos dos de estos problemas tienenuna interpretacin
natural en trmi-nos de EIT:(1)
Medianteobservacionesdeca-ractersticasdetrficodeunpuntoaotropunto,
reconstruirlas caractersticas de la red.(2) Desarrollar mtodos para
detec-tar el comienzo de una interrup-cin de la red.Desde el punto
de vista de tomo-grafaderedes. Uno
puedereferirsealtrabajodeFanChung, Grahamysus colaboradores para
determinar laestructura de un grafo usando un en-foque
probabilsticoal problema deNeumannDirichlet, loqueelloslla-man
firingchips sobregrafosmuyperceptivo. En trminos no
tcnicos,siunnodooungrupodenodoshaparadodefuncionarentonceslaes-tructuradelgrafohacambiado.
Porotrolado, partedela red(ejemplouna red de cajeros automticos o
unaautopista)podravolversetansatu-rada por el trfico que se vuelve
prc-ticamenteinfuncionalaunquelaes-tructura del grafo (red) no haya
cam-biado. Enestecaso, unoquisieramantenerinformacindelacanti-dad
de trfico entre los nodos, estoes, considerar un grafo con pesos,
pa-radetectarelcomienzodetalinte-rrupcinatravsdelatransforma-cindeNeumann-Dirichlet.
Estopuede ser fcilmente considerado
co-mounproblemadeNeumannDi-richletdeloperadordeLaplaceque131Tomografa:
mas all de las aplicaciones mdicasinvolucre el trfico presente, es
decirdebemosconsiderarenelgrafounLaplaciano con pesos.Otros
problemas tales como
pro-blemasqueinvolucranlaidentifica-cindegrafoshanestadoentrelosmsimportantesyfamososproble-mas
abiertos en teora de grafos.Lamayoradeltrabajoenestadireccin se ha
concentrado en teo-ra espectral de grafos, sobre la rea-lizacin de
grafos con distancias da-dasysobrelareconstruccindegrafos a partir
de subgrafos sin vr-tices. Por lo tanto, la teora espectralha sido
una de las ms
significantesherramientasusadasparaestudiargrafosyhaconllevadoalnotableprogreso
en el estudio acerca de losproblemasmencionadosanterior-mente.
Pero, comoesbiensabido,grafos no son en general completa-mente
caracterizados porsu
espec-troyestomotivamiinvestigacinenunaformamsconcisaquelaexpongo
aqu:ProblemasCuantificarlacorrespondenciaentre EIT, tomografa en el
caso con-tinuo y el modelo discreto sobre gra-fos
(redes).Extenderalcasodiscretolastc-nicasyausadasenelcasocontinuode
tomografa.ObjetivoDescubrirrpidamentesilaredha sido comprometida y
en donde.Desarrollar un modelo
matemti-codelInternetquenospermitade-terminar rpidamente donde y
cuan-do interrupciones de la red
ocurren.Losmtodosadesarrollarsesonba-sados en ideas
tomogrficas.AplicacionesPermitirladeterminacintem-prana de la
ubicacin de los
ataquesaunaredporlotantopermitiendomedidasrpidasparadeteneroalmenos
contener el ataque.Determinarypararlaintrusinenredesadhoc
grandescomolain-ternet, redes mviles, redes de paguepor ver,
etc.MetodologaExtensindelosmtodostomo-grficosyabiendesarrolladosenelcasodemedioscontinuosparade-terminardistribucionesdedensidaden
una forma no invasiva. La idea
essimilaraaquellasusadasentomo-grafamdicayenladeterminacinde
defectos en materiales.Redes, enparticular,
redesdeco-municacincomolainternetsehanvuelto una parte esencial del
diario vi-Franklin
Gavilnez132viryporellolasinterrupcionespue-dencausarconsecuenciasmuyseriasy,
por lo tanto, aparece la necesidad deprevenir o al menos detectar
tempra-namente tales interrupciones. El pro-blema a enfrentar es
aquel de obtenerinformacindelaestructurainternade la red a partir
de la recoleccin dedatos en la periferia de la red. Esto
esanlogoaproblemastomogrficosquehansidoestudiadosenelcasocontinuoyesprecisamenteestaana-loga
mi fuente de
Investigacin.Elproblemadedescubrirlaes-tructurainternadelaredenformadetalladaapartirdelarecoleccinde
dalos en la frontera de la red pue-de ser visto como un tipo de
proble-mainversoanlogoaaquellosqueexistenentomografaconvencionalslo
que en este caso estamos en unambientediscreto.
Lasituacinmsrealista corresponde a usar coleccio-nes ms pequeas de
datos para ob-tener informacin solamente de
unasubregindelaredlocualcorres-pondealatomografalocalizadaenel caso
convencional. Una de las for-mas de tratar de entender lo que
es-tocurriendoesvisualizarelgrafodirigido que representa a la red
en elespaciohiperblicodedimensin3o inclusive en el espacio
hiperblicodedimensin2, dadoqueenestosespacios el volumen de la
esfera cre-ce exponencialmente en funcin delradio, lo cual es
distinto al caso de laesferaenelespacioEuclideodedi-mensin3,
respectivamentededi-mensin
2.Nosotroshemosdesarrolladounainnovadoraformulacinmate-mticadeestosproblemas,
usandoesta representacin de la red incrus-tada en el plano
hiperblico. En estarepresentacin,
loscaminosentrenodossevuelvenlasgeodsicasdelplanohiperblico. Luego,
nuestraformulacinymtodosdesolucinalproblemaconfirmanquelaco-rrecta
tomografa a usar no es la Eu-clidiana sino aquella del espacio
hi-perblico real en dos dimensiones otres.
Hayvariasrazonesporlasqueestemodelopareceserelcorrecto.Primero, la
evidencia emprica y re-cientes anlisis de la topologa de lainternet
y conexiones de redes pare-cidasalainternet,
lascualeshanmostradoqueelnmerodenodosde las redes tienen una ley de
creci-mientopolinomialconrespectoacualquier punto de la red.
Segundo,eltrabajodevisualizacindeMun-zer(yvariosreportesdeCAIDA)que
muestra como estos tipos de re-des pueden ser visualizados en el
es-pacio hiperblico real.El principal objetivo de mi
inves-tigacinesobteneralgoritmoscom-putacionalmenteeficientesparaso-lucionartalesproblemasinversos,
es133Tomografa: mas all de las aplicaciones mdicasdecir,
elprocedimientoparadeter-minarelperfilinternodelared.
MiideasebasaentrabajospreviosdeBerenstein donde l estudia un
pro-blemainversoclsicodeecuacionesdiferencialesparciales,
elproblemade conductividad inversa o
tomogra-fadeimpedanciaelctrica, EITmencionadoanteriormente.
Esteproblemaeselanlogoenelcasocontinuodeproblemasdetomogra-fa en
redes elctricas.Los problemas de EIT que
apare-cendeproblemastomogrficossonmssimilaresaproblemasinversosen
redes elctricas discretas como
losinvestigadosyresueltosporCurtisyMorrow[5]enelcasodeunaredcuadradaderesistencias(lattice).Nuestraaproximacincombinalosmtodos
de Curts y Morrow con losantiguosmtodostomogrfiospararbolesygrafos,
almismotiempoque extiende estos mtodos a
mode-losprobabilsticosysituacionesco-mo el caso de arbitrarios
grafos fini-tos donde algn tipo de peso o trafi-co w se ha
definido.Curts y Morrow muestran que laconductividad
puedeserdetermi-nadaenformanicayproponenunalgoritmo para computar .
En el ca-so de grafos arbitrarios planos y
fini-tosenlosquesedefinenunpeso,junto con Berenstein y S-Y Chung
seprobunresultadodeunicidadelcual permite determinar el peso a
par-tir de valores conocidos en la frontera,y que lo describo a
continuacin: da-dosdospesospositivos, 1y2en-tonces 1= 2si y
solamente si el ma-peo de Neumann a Dirichlet asociadoa 1es igual
al mapeo de NeumannaDirichlet asociado a
2.Enmiinvestigacintratodeen-contrarmtodoscomputacionalesqueseanefectivosparamonitorearsubconjuntosespecficosSdegrafosplanosarbitrarios(regionesdeinte-rs)
provistos de un peso a partir delafundninput-output
correspon-dienteacaminosquehancruzadotalesregionesydesdeaqudetermi-nar,
porejemplo, reascongestiona-das, o mejor an, anticipar reas
quesecongestionarnyaspoderreco-mendar medidas para evitar la
para-lizacin del trafico (peso).Conseguido esto, mi siguiente
ob-jetivoesdesarrollarunaestrategiapara determinar el peso w para
el ca-sodegrafosengeneralprovistosdeun peso. Para poder lograr
esto, con-sideroregionesdeintersS
relativa-mentepequeasyconeleccionesapropiadasdedatos delproblemade
Neumann asociado al peso positi-vo para obtener soluciones
nicasUlas cuales satisfacen U 0 en Sque es la ecuacin de Laplace
corres-pondientealLaplacianoconpeso, (es decir Ues harmnica)
yFranklin Gavilnez134tambinlacondicinenlafrontera de S, indicada
por S, la de-rivadanormalasociadaalpeso.Dado que S es un grafo
relativamen-tesimple, Uesobtenidaapartirdeapropiadas elecciones de
valores de ydeaqu
seencuentranumrica-menteutilizandoalgnsoftwareexistente para
resolver sistemas de al-gebra lineal. Esto permitir
determi-narunaestrategiaparaencontrarparaelcasodegrafosgeneralesS,dondelamatrizT,
asociadoalsiste-ma linear que tiene w, como incgni-ta es una matriz
muy grande pero sinmuchos ceros.Me parece que tal estrategia se
ba-sar en ondeletas para el caso discre-to, es decir, considerando
apropiadasfunciones , que se comportan comoondeletas y que sern
definidas en lafrontera de S, para producir una ma-triz T, con
muchos ceros.Enelcasodeproblemasinversoscontinuossobreunconjunto,
unoobserva que la condicin de desvane-cimiento de una ondeleta
correspon-deexactamentealhechoquecual-quiersolucindelproblemaconti-nuo
de Neumann tiene promedio ce-ro en todo el conjunto y esto es
debi-do al teorema de Green. Antes de
re-tornaralproblemaquenosocupa,quieroindicarotracaractersticadelresultadoprincipalen[4],
elcualpiensoquepuedesertilcuandoseestudian redes muy grandes. Es el
lla-mado principio de localizacin. En elcaso continuo, considerando
la trans-formadadeRadn, estosignificalosiguiente:
Supongamosqueunoestsolamenteinteresadoendeterminarlosvaloresdeunafuncinf
enunasubregin S1de una entera regin
SoyqueestoselograusandorayosX,entonces,
solamentesenecesitaquelosrayosX pasenatravsdeS1paradeterminar los
valores de f en S1. Pa-rasermspreciso, unonecesitaquelos rayos X
pasen a travs de un con-junto S1ligeramente ms grande
queS1.Elingredienteclaveparaprobareste resultado fue el uso de
ondeletas,principalmenteelhechoquelason-deletassonfuncionesconpromediocero,
estoesqueelintegralsobrelafrontera es igual a
cero.Regresandoalproblemasobrere-des,
estamosalmomentotrabajandoendesarrollarunateoraanlogaaaquelladelasondeletasparaimple-mentarexplcitamenteladetermina-cin
del peso o las cargas del trfico alo largo de las aristas de la
red. Deboindicar que para redes muy grandes elresultado de
localizacin mencionadoantes puede ser muy importante
dadoquenospermitiramonitorearsola-mentelasregionesdeintersdentrode
la red en forma muy
eficiente.Elambientematemticoquesedefineparaestudiarelproblema135Tomografa:
mas all de las aplicaciones mdicasmencionado antes es aquel de
grafosconunpeso definidoensusaris-tas. A parte de esto, es asumido
que
elsubyacentegrafoesconocidoporquienesestnmonitoreandolared.Enestecontextodiscretoyomodeloelproblemaenlasiguienteforma.Consideremos
un grafo finito conec-tado G = G(E, V), donde E denota
elconjuntodearistasdeGy Velcon-junto de nodos. Dos nodos x y y
sonadyacentesyseindicaporx~y, siellossonlosextremosdeunaaristaen G.
Esasumidotambinquehayunsubconjuntonovacomuyespe-cfico Gde G,
llamado la frontera deGlacualrepresentalosnodosqueson accesibles a
nosotros para moni-toreareltrfico(peso). Adicional-mente, se asume
que a cada arista enEse asociaunnmerononegativo(x, y) el cual
corresponde al trficoentrelosextremosx yy delaarista.El grado x de
un nodo x en el gra-foGconpeso esdefinidopor El operador Laplaciano
correspon-dienteaestepeso sedefinecomodonde f es una funcin que
acta so-bre los vrtices.En este modelo, hay dos tipos
deinterrupcionesdetrficodedatosque podran presentarse. En uno
deellos,
lasinterrupcionesocurrencuandounaaristadejadeexistir,enestecasola
topologa delgrafoha cambiado. Este tipo de interrup-cin esta fuera
del objetivo de mi in-vestigacin. Enelotro, lospesoscambian debido
a que el trfico au-menta, esdecir,
laconfiguracindelaredpermaneceigualperolospe-sos han ya sea
aumentado o perma-necido
igual.Unoconcluyequeescogiendounabasecomoelconjuntodedatosdel
problema de Neumann uno pue-dedecidirsihayunincrementodetrfico o no
en algn lugar de la red.Aunqueesteessolamenteunteore-madeunicidad,
sinembargo, esteconlleva a la posibilidad de
computarefectivamenteelpesoactualapartirdelconocimientodelosdatosdelproblemadeDirithlet(output)porconvenienteseleccionesdelosdatosdelproblemadeNeumann(input).Estoasuvezconllevaalapreguntanaturalsobreladeterminacinefec-tiva
del peso w en dicho grafo.De nuevo, monitorear la red en
es-tecontextomatemticosignificaqueestamos monitoreando la cantidad
detrafico w (cargas o pesos) a lo largo
delasaristasduranteunperodoenelcuallaredesttrabajandoyloqueFranklin
Gavilnez136queremosestomaralgunasmedidaspreventivas en caso de que
el trfico alo largo de algunas aristas esta cerca
desobrecargaraquellasaristasycausarunainterrupcinmayor. Ntesequeen
este modelo si una arista se vuelvesaturada,
esprcticamentelomismoque decir que la arista no existe ms y,por lo
tanto, el grafo ha cambiado. Porsupuesto, el punto es luego tener
me-didasamanoparasolucionaresteproblema.
Antesdefinalizarntesequeusoelterminotomografadere-des en realidad
para indicar que estoypensando en este problema en
trmi-nosdeunaanalogamuycercanaalusodelatransformadadeRadnenun nmero
de aplicaciones en el casocontinuo, porejemplo, aqueldelosCT
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