Thèses de l'INSA de Lyon | Les Thèses de l'INSA de Lyon - …theses.insa-lyon.fr/publication/2000ISAL0096/these.pdf · 2016-01-11 · Finally, an application to cooling tower shell

N° d’ordre 00 ISAL/0096 Année 2000

THESE

Présentée devant

L’INSTITUT NATIONAL DES SCIENCES APPLIQUEES DE LYON

Pour obtenir

LE GRADE DE DOCTEUR

Génie Civil: Sols, Matériaux, Structures, Physique du bâtimentÉcole doctorale MEGA

(Mécanique, Energétique, Génie Civil et Acoustique)

Par

Richard WITASSE(Ingénieur Ecole Centrale de Nantes)

Contribution à la compréhension du comportement d’une

coque d’aéroréfrigérant vieilli : définition d’un état initial,

influence des effets différés sous sollicitations hydro-

mécaniques

Soutenue le 22 Décembre 2000 devant la commission d’examen composée de :

G. ARLIGUIE RapporteurG. DEBICKI ExaminateurJ.F. GEORGIN ExaminateurB. GERARD ExaminateurA. MILLARD ExaminateurJ.M. REYNOUARD Directeur de thèseJ.P. TOURET ExaminateurF.J. ULM ExaminateurA. VERGNE ExaminateurF.H. WITTMANN Rapporteur

Cette thèse a été préparée au laboratoire URGC-Structures de l’INSA de Lyon

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AVANT PROPOS

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RESUMELes nombreuses études réalisées concernant le vieillissement des aéroréfrigérants et l’analysedes retours d’expérience en matière d’auscultation d’ouvrage ont mis en évidence la nécessitéde déterminer un état d’endommagement initial à la mise en service. Dans ce contexte, la miseen place d’un modèle numérique capable de décrire le comportement mécanique du bétonfissuré et intégrant les déformations de retrait et de fluage pouvant être générées par latechnique particulière de fabrication et les conditions de fonctionnement a fait l’objet de cetterecherche.

Les transferts d’humidité au sein du béton sont décrits à l’aide d’une équation de diffusionnon linéaire. Le retrait de dessiccation est supposé proportionnel à la variation d’humidité etpeut ainsi être localement évalué. Afin de prendre en compte les déformations de fluage, unmodèle de comportement visco-élastique couplé à un modèle de plasticité a été développé.Celui-ci a été mis en œuvre dans le cadre de l’analyse d’éprouvettes en béton et de structuresen béton armé soumises à la dessiccation. Les résultats des simulations effectuées ont étécomparés avec l’expérience et ont montré la capacité du modèle à fournir une prédictionfiable du comportement des spécimens étudiés.

L’outil numérique développé est finalement utilisé pour l’étude du comportement desréfrigérants atmosphériques afin d’apporter des éléments de réponse à la problématiqueindustrielle posée. L’ensemble des résultats de calcul obtenus dans le cadre des modélisationseffectuées permet de conclure que les déformations de retrait dues au séchage du béton sontun facteur potentiel de dégradation des coques d’aéroréfrigérant. D’autre part, dans le cadredes scénarios de chargement envisagés, la prise en compte d’un état initial endommagé nousapparaît pertinente pour l’étude du comportement mécanique de l’ouvrage puisqu’elle permetde mettre en évidence une poursuite de la dégradation du matériau au niveau des zones pré-endommagées.

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ABSTRACTNatural draught cooling towers often develop over their lifetimes visible cracks asconsequences of progressive damage processes. In order to predict cracking in anyenvironment and to rationally ensure the durability and long-term serviceability of theseconcrete structures, it seems important to be able to determine a initial pre-damaged shell. Inthis context, a numerical formulation to analyse creep and shrinkage of concrete is presentedin this thesis.

Both humidity effects and non-linear mechanical behaviour of the constitutive materials aretaken into account. Moisture migration is described using a single non-linear diffusionequation in which the relative humidity is the driving force and delayed strains are obtained ina phenomenological way. To capture the time-dependent behaviour, an extension of acontinuum plasticity model which incorporates viscous behaviour, has been developed and itsmain parameters are obtained from experimental results. The effects produced by internalstresses that result from time dependent deformations are finally presented for concretespecimens and for beams subjected to a classic four-point bending test. In this context,numerical results show close agreement with experimental data.

Finally, an application to cooling tower shell is carried out. A particular attention has beendevoted to reproduce the particular way of building such a structure with self-climbingshuttering technique. In this context, we demonstrate that shrinkage deformation contributessignificantly to the damage of this structure. Moreover, our studies concluded that thepropagation of cracks could then be attributed to gale and temperature actions which maycause accumulative inelastic deformations particularly at the bottom of the shell and next tothe upper rim.

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SOMMAIRE

INTRODUCTION GENERALE................................................................................... 1

CHAPITRE I : PRESENTATION DU PROBLEME

Introduction......................................................................................................................... 6

1. Description de l’ouvrage et des pathologies observées...................................... 7

1.1. Les réfrigérants atmosphériques à tirage naturel .............................................................. 71.1.1. Description générale de l’ouvrage....................................................................... 71.1.2. Conception et calcul de la structure des tours..................................................... 91.1.3. Technique de fabrication des aéroréfrigérants....................................................13

1.2. Des structures fragiles ...................................................................................................... 141.2.1. Effondrement et démolitions................................................................................ 151.2.2. Dommages observés sur les parcs thermique et nucléaire français.................... 15

1.3. Conclusions ...................................................................................................................... 16

2. Les principaux facteurs de dégradation des coques d’aéroréfrigérants....... 17

2.1. Les eaux............................................................................................................................ 172.1.1. Composition chimique des eaux........................................................................... 172.1.2. Action chimique des eaux..................................................................................... 19

2.2. Le gaz carbonique............................................................................................................. 202.3. L’action de la température et de l’humidité...................................................................... 21

2.3.1. Action de l’humidité............................................................................................. 212.3.2. Action de la température...................................................................................... 212.3.3. Caractère cyclique des variations........................................................................ 22

2.4. La réactivité des granulats ................................................................................................ 222.5. Les facteurs biologiques ................................................................................................... 222.6. La qualité de construction................................................................................................. 232.7. Conclusions ...................................................................................................................... 23

3. Etat de l’art de la modélisation du comportement des aéroréfrigérants....... 25

3.1. Origine des défauts géométriques et de la fissuration ...................................................... 253.1.1. Recherche des mécanismes de fissuration........................................................... 253.1.2. Recherche des mécanismes de déformation......................................................... 27

3.2. Evolutions des dommages ................................................................................................ 283.2.1. Etude des implications des sollicitations habituelles........................................... 283.2.2. Etude de l’effet de l’ensoleillement...................................................................... 303.2.3. Tentative d’estimation de l’état initial précontraint en endommagé................... 31

3.3. Etude du comportement jusqu’à la ruine.......................................................................... 323.3.1. Effet du gradient thermique en service................................................................ 323.3.2. Influence de la corrosion des armatures.............................................................. 323.3.3. Etude d’une coque pré-endommagée................................................................... 33

3.4. Conclusions : les enseignements des modélisations effectuées........................................ 34

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4. Présentation de nouvelles perspectives d’étude pour les aéroréfrigérants.. 36

4.1. Replacer le problème dans un plus vaste contexte ........................................................... 364.1.1. Construction de l’aéroréfrigérant........................................................................ 364.1.2. Fonctionnement de l’aéroréfrigérant................................................................... 374.1.3. Scénario de dégradation...................................................................................... 38

4.2. Conclusions : proposition d’un nouveau thème de recherche .......................................... 39

Conclusion........................................................................................................................... 42

CHAPITRE II : MODELISATION DES TRANSFERTSHYDRIQUES DANS LE BETON

Introduction......................................................................................................................... 44

1. Mécanismes de transport de l’eau dans le béton................................................. 45

1.1. L’eau dans le béton........................................................................................................... 451.1.1. Etats de l’eau dans le béton................................................................................. 451.1.2. Hygroscopicité du matériau : phénomènes de sorption de vapeur d’eau............ 46

1.2. Les différents mécanismes de transport mis en jeu .......................................................... 471.2.1. Ecoulement de fluide par perméation.................................................................. 471.2.2. Transport par diffusion dans le réseau poreux du béton..................................... 471.2.3. Illustration : le séchage du béton......................................................................... 47

1.3. Etude succincte des couplages mécanique-hydrique dans le béton.................................. 49

2. Description mathématique des transferts d’humidité........................................ 51

2.1. Transfert d’humidité sous forme liquide .......................................................................... 512.2. Transfert d’humidité sous forme gazeuse......................................................................... 532.3. Modélisation des transferts hydriques dans le béton ........................................................ 54

2.3.1. Equation générale du transfert de masse en conditions isothermes.................... 542.3.2. Conditions aux limites.......................................................................................... 562.3.3. Formulation variationnelle et résolution numérique........................................... 562.3.4. Analyse critique de la formulation proposée....................................................... 57

3. Validation du modèle : séchage des structures en béton................................... 62

3.1. Présentation des essais...................................................................................................... 623.1.1. Les expériences de sorption de vapeur d’eau...................................................... 623.1.2. Les expériences de gammadensimétrie................................................................ 63

3.2. Détermination des paramètres du modèle ........................................................................ 633.3. Validation du modèle et analyse des résultats .................................................................. 64

Conclusion........................................................................................................................... 67

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CHAPITRE III : PROPOSITION D’UN MODELE POURL’ETUDE DU COMPORTEMENT MECANIQUE DU BETON EN

PRESENCE DE DEFORMATIONS DIFFEREES

Introduction......................................................................................................................... 70

1. Présentation des mécanismes et choix d’une approche de modélisation..... 71

1.1. Les déformations différées du béton ................................................................................ 711.1.1. Le retrait de dessiccation..................................................................................... 711.1.2. Le fluage............................................................................................................... 751.1.3. Conclusions.......................................................................................................... 79

1.2. Comportement mécanique et fissuration du béton ........................................................... 801.2.1. Comportement expérimental................................................................................ 811.2.2. Modélisation du comportement mécanique du béton........................................... 841.2.3. Conclusions.......................................................................................................... 87

2. Description mathématique des phénomènes mis en jeu.................................... 88

2.1. Fluage propre.................................................................................................................... 882.1.1. Théorie de la visco-élasticité linéaire.................................................................. 882.1.2. Formulation incrémentale.................................................................................... 90

2.2. Retrait de dessiccation ...................................................................................................... 922.3. Fluage de dessiccation intrinsèque ................................................................................... 922.4. Fissuration ........................................................................................................................ 93

2.4.1. Introduction.......................................................................................................... 932.4.2. Théorie de la plasticité......................................................................................... 932.4.3. Développements particuliers du modèle de comportement élasto-plastique....... 95

2.5. Conclusions ...................................................................................................................... 98

3. Résolution numérique de la formulation proposée............................................. 99

3.1. Intégration des équations constitutives de la visco-élasticité ........................................... 993.2. Intégration des équations constitutives de la plasticité : principe .................................... 1003.3. Application au calcul des structures : Méthode des éléments finis .................................. 102

3.3.1. Equilibre et travaux virtuels................................................................................. 1023.3.2. Discrétisation spatiale par éléments finis............................................................ 1033.3.3. Analyse incrémentale itérative............................................................................. 104

3.4. Conclusions ...................................................................................................................... 108

4. Eléments de validation................................................................................................. 109

4.1. Retrait de dessiccation sur éprouvettes en béton et étude de sensibilité du modèle......... 1094.1.1. Présentation......................................................................................................... 1094.1.2. Détermination des paramètres du modèle........................................................... 1094.1.3. Modélisation du retrait de dessiccation et comparaison avec les résultats

expérimentaux...................................................................................................... 1094.1.4. Etude de sensibilité.............................................................................................. 1144.1.5. Conclusions.......................................................................................................... 118

4.2. Application sur structures en béton armé ......................................................................... 119

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4.2.1. Détermination des paramètres du modèle........................................................... 1204.2.2. Etude d’une poutre armée.................................................................................... 1214.2.3. Conclusions.......................................................................................................... 125

Conclusion........................................................................................................................... 126

CHAPITRE IV : APPLICATION A L’ETUDE DESREFRIGERANTS ATMOSPHERIQUES

Introduction......................................................................................................................... 128

1. Caractéristique de l’ouvrage et des matériaux..................................................... 129

1.1. Présentation de l’ouvrage étudié....................................................................................... 1291.2. Caractéristiques des matériaux ......................................................................................... 130

1.2.1. Béton.................................................................................................................... 1301.2.2. Acier..................................................................................................................... 130

2. Analyse du comportement hydromécanique d’une tour de réfrigérant :phasage de construction et séchage du béton....................................................... 132

2.1. Principe de modélisation ..................................................................................................1322.2. Analyse des mécanismes de fissuration............................................................................ 1342.3. Analyse des mécanismes de déformation......................................................................... 1372.4. Conclusions ...................................................................................................................... 139

3. Modélisation tridimensionnelle du réfrigérant : apport à la compréhensiondu fonctionnement global de l’ouvrage.................................................................. 140

3.1. Description des modèles géométriques adoptés ............................................................... 1403.2. Détermination d’un état d’endommagement à la mise en service.................................... 1413.3. Prise en compte d’un état initial endommagé pour l’étude du comportement global de la

coque................................................................................................................................. 1463.3.1. Effets d’une mise en service................................................................................. 1463.3.2. Effets du vent : étude du comportement jusqu’à la ruine..................................... 151

3.4. Conclusions ...................................................................................................................... 153

Conclusion........................................................................................................................... 154

CONCLUSION GENERALE......................................................................................... 155

REFERENCES BIBLIOGRAPHIQUES................................................................... 161

ANNEXES ........................................................................................................................... 174

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INTRODUCTION GENERALE

Introduction générale

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Le développement des grandes unités de production d’énergie a conduit à l’utilisation accruedes aéroréfrigérants depuis maintenant une vingtaine d’années. L’intérêt que suscite l’analysede ces structures est avant tout économique. Tout d’abord parce que les aéroréfrigérantsreprésentent 2 à 3 % du coût d’investissement d’une unité de production et ensuite parce quele non fonctionnement d’une tour implique nécessairement l’arrêt temporaire du réacteurnucléaire correspondant et donc d’une partie de la production. Ces structures sont ensuite desouvrages d’exception de par leur dimension, leur géométrie et leur rôle particulier au sein desinstallations nucléaires. Leur construction et leur fonctionnement font donc appel à desdisciplines complexes dans des domaines très divers tels que le génie civil, la mécanique desfluides ou la thermodynamique et nécessitent des études approfondies. Enfin, les tours derefroidissement, très hautes et élancées rejetant dans l’atmosphère des nuages de vapeur sontsymboliques de la production d’électricité par l’énergie nucléaire. Et bien qu’il n’y ait aucunenjeu vis à vis de la sûreté, leur effondrement aurait des conséquences néfastes sur l’opinionpublique.

Malgré toutes les précautions prises pour leur réalisation, les tours de refroidissement restentdes structures fragiles. Les différents sinistres survenus dans le monde (effondrements oudémolitions) ainsi que la puissance sans cesse croissante des tranches nucléaires nécessitantdes conceptions toujours plus audacieuses, ont donc conduit les exploitants à entreprendre descontrôles systématiques et réguliers de ces ouvrages.

Aujourd’hui, en France, l’ensemble des réfrigérants atmosphériques du parc nucléaire d’EDFprésente un état d’endommagement plus ou moins avancé caractérisé par la présence dedéfauts géométriques et de fissuration. Les mesures successives montrent également, pourcertains ouvrages, l’évolution de ces dommages dans le temps (comme par exemplel’augmentation du nombre et de la longueur des fissures).

Afin de maintenir la meilleure disponibilité possible des aéroréfrigérants et d’optimiser leurdurée de vie, EDF a lancé, depuis 1987, un vaste programme de recherche, tant sur le planexpérimental que dans le domaine de la modélisation numérique pour l’identification decritères de déformations et de dégradation de ces ouvrages. C’est dans le cadre de ceprogramme et d’une collaboration industrielle avec la division Génie Civil du Service Etudeset Projets Thermiques et Nucléaires d'EDF (SEPTEN) que ce travail est réalisé.

Le premier chapitre de ce mémoire a pour but de présenter la problématique industrielle et dedéfinir les objectifs à atteindre à l’issue de cette thèse. Après s’être intéressé à la descriptiongénérale des aéroréfrigérants et à l’analyse des retours d’expériences en matièred’auscultation d’ouvrage, nous avons tenté de dresser un état des connaissances en matière demodélisation des tours de refroidissement. En effet, afin de mieux comprendre lecomportement de ces structures très particulières, de nombreuses études concernant levieillissement de ces structures ont été effectuées. L’ensemble des résultats obtenus dans cecontexte constituait une base de données qu’il convenait d’exploiter. Finalement, un bilancomplet de l’ensemble des facteurs de dégradation des coques et de leurs modes d’actionrespectifs a pu être établi. Il permet d’offrir une vision plus claire du problème qui nous estposé. A la lumière de ce travail de synthèse, la détermination d’un état d’endommagementà la mise en service semble tout à fait justifiée. Plus particulièrement, la mise en place d’unmodèle numérique capable de décrire le comportement mécanique du béton fissuré etintégrant les déformations de retrait et de fluage pouvant être générées par la techniqueparticulière de fabrication et les conditions de fonctionnement des tours de refroidissementapparaît être une perspective intéressante.


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Lors du séchage du béton, le départ d’eau va provoquer dans la matrice cimentaire, un retraitappelé retrait de dessiccation. La lenteur des processus mis en jeu fait apparaître de fortsgradients de teneur en eau créant ainsi dans la structure des retraits différentiels. Ainsi, dans lecadre de l’analyse des effets de ce retrait sur le comportement mécanique des ouvrages enbéton armé, il est indispensable de mettre au point un outil numérique pour la description destransferts d’humidité au sein du matériau si l’on souhaite pouvoir exprimer localement lesdéformations de retrait. Ce travail fait l’objet du second chapitre. L’approche de modélisationchoisie, qui consiste à résoudre une équation de diffusion non linéaire, est souvent proposéedans la littérature. Elle présente l’avantage de pouvoir obtenir les profils d’humidité avec unnombre restreint de paramètres facilement identifiables expérimentalement. Toutefois, il nousa semblé intéressant de situer notre approche dans un cadre plus général de description desmouvements d’eau au sein du béton où interagissent différents constituants (eau, air, béton)sous divers états (solide, liquide, vapeur). Ce travail permet de bien identifier les hypothèses àintroduire pour la mise au point d’un modèle de transfert simplifié et de les discuter au regarddes résultats fournis par des modèles plus riches.

Le troisième chapitre est consacré à la description mathématique du modèle numérique utilisépour l’étude du comportement mécanique du béton en présence de déformations différées. Lemodèle présenté dans ce chapitre est issu de divers travaux de recherche effectués au sein denotre laboratoire. Nous supposons tout d’abord que le retrait de dessiccation est proportionnelà la variation d’humidité. Les déformations libres associées à la perte en eau du béton peuventainsi être localement évaluées. Pour ce qui concerne le fluage du béton, il est modélisé àl’aide de la théorie de la visco-élasticité. En effet, sous sollicitations de service, le principe desuperposition peut s’appliquer tout du moins tant que la contrainte maximale de compressionne dépasse pas 50% de la résistance ultime. Toutefois, il est nécessaire de pouvoir tenircompte d’une éventuelle fissuration et de son évolution, si on désire obtenir des états decontraintes et de déformations réalistes pour l’étude du comportement à long terme desstructures en béton armé sous chargements hydriques. Dans ce contexte, un modèlerhéologique basé sur la théorie de la plasticité couplé à un modèle visco-élastique de type« chaîne de MAXWELL » a été utilisé. L’intérêt de notre approche de modélisation est declairement dissocier les phénomènes à ce jour connus et de les décrire avec un nombreraisonnable de paramètres identifiables à l’échelle macroscopique. Le modèle proposé a enfinété mis en œuvre dans le cadre de l’analyse d’éprouvettes en béton et de structures en bétonarmé soumises à la dessiccation. Les résultats des simulations effectuées ontsystématiquement été comparés avec l’expérience et ont montré la capacité du modèle àfournir une prédiction fiable du comportement mécanique des spécimens étudiés.

L’outil numérique développé ayant pu être validé, nous l’utilisons finalement pour l’étude ducomportement des réfrigérants atmosphériques dans le cadre de sollicitations hydro-mécaniques afin d’apporter des éléments de réponse à la problématique initialement posée.Pour ce dernier chapitre, deux types de modélisation sont entrepris. Tout d’abord, un calculaxisymétrique est effectué pour l’étude des effets du séchage et de la technique deconstruction sur le comportement mécanique de l’ouvrage. Il s’agit d’une application« naturelle » de l’outil numérique développé compte tenu de la géométrie de l’ouvrage. Elleoffre de plus une relative facilité de mise en œuvre des calculs permettant d’effectuer desétudes de sensibilité à quelques paramètres du modèle. Toutefois, compte tenu du modèle decomportement mécanique adopté, cette approche ne permet pas de décrire le comportementnon linéaire du béton dans la direction orthoradiale. Elle rend également délicate la prise encompte de chargements non axisymétriques. Dans ce contexte, une modélisation


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tridimensionnelle de l’ouvrage par éléments de plaque multicouches a été mise au point.L’ensemble des résultats de calcul obtenus dans le cadre des modélisations effectuées permetde conclure que les déformations de retrait dues au séchage du béton sont un facteur potentielde dégradation des coques d’aéroréfrigérant. D’autre part, dans le cadre des scénarios dechargement envisagés, la prise en compte d’un état initial endommagé nous apparaîtpertinente pour l’étude du comportement mécanique de l’ouvrage puisqu’elle permet demettre en évidence une poursuite de la dégradation du matériau au niveau des zones pré-endommagées.

Enfin, une conclusion générale est élaborée pour faire le point sur les performances de cemodèle et définir les axes de développement permettant son amélioration et son extension.Les principaux résultats concernant la problématique industrielle sont également abordés etdes perspectives d’études dans ce domaine sont enfin évoquées.

Nous tenons à souligner que l’ensemble des développements numériques réalisés dans lecadre de cette thèse ainsi que les résultats de calcul qui sont présentés dans ce mémoire ont étéeffectués avec le code de calcul CASTEM2000 du CEA [CAST96].

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CHAPITRE I

PRESENTATION DU PROBLEME

Chapitre I Présentation du problème

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Introduction

L’ensemble des réfrigérants atmosphériques du parc thermique et nucléaire français présenteaujourd’hui un état d’endommagement (fissuration, défauts géométriques, aciersapparents,…) plus ou moins important. Soucieux d’évaluer leur durée de vie et les risques derupture encourus à court ou moyen terme, EDF - SEPTEN a lancé, depuis 1987, un vasteprogramme de recherche, tant sur le plan expérimental que dans le domaine de lamodélisation numérique, pour l’identification de critères de déformations et de dégradation deces ouvrages. Ce premier chapitre a donc pour but de présenter la problématique industrielledans laquelle notre travail de recherche s’est inscrit et de définir les objectifs à atteindre àl’issue de cette thèse.

Nous avons choisi de consacrer les deux premières parties de ce chapitre à la descriptiongénérale de ces structures très particulières que sont les aéroréfrigérants et à l’analyse desretours d’expériences en matière d’auscultation d’ouvrage. Nous y montrerons notammentque les aéroréfrigérants sont des constructions à haut risque de vieillissement rapide comptetenu de leur dimensionnement et des conditions environnementales agressives auxquelleselles sont parfois exposées.

La troisième partie de ce chapitre dresse un état des connaissances en matière de modélisationdes tours de refroidissement. En effet, afin de mieux comprendre le comportement de cesstructures très particulières, de nombreuses études concernant le vieillissement de cesstructures ont été effectuées. Elles ont permis de dégager quelques conclusions surl’identification des paramètres prépondérants en ce qui concerne les phénomènes d’évolutiondes dommages ainsi que sur les mécanismes de ruine potentiels de ces ouvrages. L’ensembledes résultats obtenus dans ce contexte constitue une base de données qu’il convient à présentd’exploiter.

Enfin, la dernière partie tente de dresser un bilan complet de l’ensemble des mécanismespotentiels de dégradation des coques et de leurs modes d’action respectifs. Ce travail nous apermis d’avoir une vision plus claire d’un problème complexe où les processus dedégradation sont nombreux, divers et bien souvent couplés. A la lumière de ce travail desynthèse, une problématique de recherche a pu être définie.


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1. Description de l’ouvrage et des pathologies observées

1.1. Les réfrigérants atmosphériques à tirage naturel

1.1.1. Description générale de l’ouvrage

1.1.1.1. Bref historique et évolution des technologies

L’art du refroidissement est très ancien et l’utilisation du phénomène de transfert de chaleurpar évaporation et convection pour contrôler le niveau de température, est à la based’inventions les plus diverses.

Il faut cependant attendre le début du XXème siècle pour voir apparaître l’applicationindustrielle des réfrigérants atmosphériques humides fonctionnant sur ce principe physique.

Les réfrigérants à tirage naturel des années 1900 étaient des tours rectangulaires construitessur des charpentes en bois (rarement en structure métallique) d’une vingtaine de mètres dehauteur. Du fait de leur hauteur, des tours rectangulaires furent renversées par le vent. Cecivint à renforcer l’idée de construire des tours circulaires mais toujours réalisées en charpenteen bois.

L’utilisation progressive du béton comme matériau fut une idée logique, liée à des formesplus complexes de tours. C’est en 1910 que VAN ITERSON, sidérurgiste hollandais, proposal’utilisation d’une coque monolithique en forme d’hyperboloïde et réalisée en béton armé. Ils’agissait d’utiliser les propriétés de stabilité qu’engendrait une double courbure afin derésister à l’effet du vent et aux tassements miniers. Les premières tours construites selon cetteconception furent réalisées en 1917 aux Pays-Bas.

Le développement de cette technique basée sur l’hyperboloïde, s’est effectué principalementen France et en Angleterre, pendant que d’autres voies s’écartaient de ce nouveau conceptdans le souci d’accroître la part de la préfabrication en béton. Ces techniques connurent vers1930-1940 des succès divers (tours à claveaux MONNOYER en France, tours à élémentstriangulaires en Allemagne, tours à losange en Hongrie). En fait, jusqu’à la seconde guerremondiale, toutes les techniques ont cohabité.

Ce n’est qu’après 1950 que les dimensions des ouvrages ont imposé de recourirdéfinitivement à des constructions monolithiques en béton armé. La forme de la cheminéeavec convergent et divergent, a évolué de troncs de cône raccordés par des ceintures toriques,à une surface engendrée par une méridienne sans discontinuité. Dans le même temps, lesépaisseurs de voile ont augmenté.

Pendant une longue période, les échafaudages ont reposé sur le sol et occupaient tout levolume de la tour, représentant ainsi une phase de travail considérable. SHUKHLOV, vers1950, proposa des échafaudages suivant l’hyperboloïde, pour réduire d’un facteur deux levolume de tubes nécessaires à leur mise en place. Les échafaudages « grimpants » furentfinalement adoptés pour la première fois en France en 1955 et l’idée d’utiliser la coque enelle-même comme support permit un gain de temps considérable dans la réalisation desouvrages. Cette technique, après quelques améliorations, constitue la solution encore utiliséeactuellement.


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Aujourd’hui, pour les grandes unités, la technologie de la tour quasi-hyperbolique en bétonarmé domine toujours. Cependant, on peut signaler deux expériences pour s’affranchir dubéton comme matériau :

− une tour en plaques d’aluminium, fixées sur résille métallique, d’une hauteur de147 mètres et d’un diamètre à la base de 141 mètres, a été construite enAllemagne, à Schmehausen en 1978, dans le cadre de la réparation d’un réfrigérantà échangeurs secs,

− une tour en textile armé de fibres de verre, d’une hauteur de 70 mètres et d’undiamètre à la base de 63 mètres, a été réalisée en France, pour un réfrigéranthumide.

Il faut noter l’intérêt de ces techniques (avec un moindre coût très sensible pour la seconde)dans les zones à moyenne sismicité.

En France, une vingtaine de tours d’une centaine de mètres de hauteur ont été mises enservice entre 1950 et 1970 pour équiper des tranches à combustible fossile de 125 à 250 MW.Le développement du programme nucléaire a conduit à la construction de tours de hauteurencore supérieure et deux étapes sont à signaler :

− pour une tranche « R.E.P. » (Réacteur à Eau sous Pression) de 900 MW mise enservice en 1978, la tour mesurait 165 mètres de haut pour un diamètre de 120mètres au linteau,

− pour une tranche « R.E.P. » de 1400 MW mise en service en 1991, les dimensionssont de 172 mètres en hauteur et 135 mètres de diamètre au niveau du linteau.

Il faut noter la faible différence de taille entre les deux tours bien que la puissance thermiqueait été augmentée de plus de 50 %. Les progrès spectaculaires réalisés, au cours des 15dernières années, au niveau des performances des corps d’échange ont permis la constructionde tours plus performantes sans accroissement notable de dimensions par rapport au palier des900 MW.

1.1.1.2. Fonctionnement d’un réfrigérant atmosphérique à tirage naturel

Le fonctionnement des aéroréfrigérants à tirage naturel est assuré par trois principauxéléments :

− un circuit d’eau qui a pour but d’amener jusqu’au réfrigérant le fluide à réfrigérer(généralement de l’eau de rivière), permet ensuite de récupérer dans un bassinl’eau refroidie avant qu’elle ne soit reconduite jusqu’à la source chaude,

− un corps d’échange où l’eau à réfrigérer est mise en contact avec l’air. Ces corpsd’échange sont constitués de lamelles de géométrie plus ou moins complexefabriquées en acier ou en résine,

− une tour, la plupart du temps en béton armé, ouverte à sa base, qui assure lacirculation d’air par tirage naturel.


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L’évacuation de la chaleur s’effectue sous forme de vapeur d’eau et le circuit d’eau doit êtreconstamment réapprovisionné afin de compenser les pertes.

1.1.1.3. Description de la tour d’un réfrigérant atmosphérique à tirage naturel

On appelle tour l’ensemble constitué de la coque, des éléments de supportage et desfondations de l’ouvrage.

Les fondations de la structure dépendent essentiellement du site de construction. Elles sontsouvent constituées d’un anneau ou de plots rectangulaires. En présence d’un sol decaractéristiques médiocres ou trop hétérogènes, les fondations sont de type profondespermettant de prendre appui sur des matériaux, situés à des niveaux inférieurs, plus résistantset dont les caractéristiques sont plus homogènes.

Dans le cas de terrains plus sains éventuellement pré-traités, les fondations seront de typesuperficielles. Généralement, le choix se porte sur une fondation de type semelle annulaireplacée soit directement sur le sol brut soit sur des remblais compactés. Cette semelle annulaireest dimensionnée pour reprendre principalement les efforts radiaux imposés par le poids de lastructure, les efforts axiaux étant supposés être repris par l’ensemble sol-semelle.

La liaison entre la semelle et la coque est réalisée par l’intermédiaire d’un supportageconstitué de colonnes support (piles, diagonales, poteaux en X). Ces poteaux sontdimensionnés et disposés de façon à optimiser l’entrée d’air et donc le rendement del’installation.

Sur les premières constructions, les colonnes support étaient des diagonales (en forme de VRX�GH�� RX�GHV�SRWHDX[� HQ�;��PDVTXDQW� DLQVL� HQWUH� �� HW� ��GH� O¶RXYHUWXUH�� 6XU� OHV

réalisations plus récentes, l’utilisation de piles verticales de section variable disposées dans leprolongement des méridiennes de la coque permet de ne masquer qu’entre 10 % à 15 % del’ouverture.

Comme nous l’avons vu précédemment, la forme actuelle d’hyperboloïde de la coque s’estrévélée être la plus efficace sur le plan mécanique. Cependant, l’équation de la génératricedoit être optimisée en vue d’une part, d’obtenir un écoulement optimal de l’air et d’autre part,une quantité optimale de béton à mettre en œuvre

Les coques sont, en général, renforcées à la base par un linteau (raccordement au supportage)et au sommet par un couronnement (chemin de circulation en forme de U ou de Γ).

1.1.2. Conception et calcul de la structure des tours

1.1.2.1. Conception générale et dimensions de la coque

La coque dont la méridienne est, en ce qui concerne les anciens réfrigérants, une hyperbole ouune succession de segments d’hyperbole souvent raccordés en partie basse à une droite. A cejour, l’augmentation des dimensions des tours et la banalisation dans les bureaux d’études decodes de calcul numérique aux éléments finis, conduisent les constructeurs à optimiser lescourbes de méridiennes, l’objectif étant de minimiser les quantités de béton à mettre enœuvre, tout en respectant en tous points les conditions exigées pour le taux de travail desmatériaux.


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Il s’agit, dès lors, d’une entreprise difficile, compte tenu des nombreux paramètres mis en jeu,et qui aboutit à des dessins fortement personnalisés par l’auteur du projet. Les quelques règlesgénérales de dessin de la géométrie des coques, du point de vue génie civil, sont lessuivantes :

- maintien d’une double courbure en tous points pour la recherche de la plus grandestabilité,

- limitation de l’inclinaison sur la verticale de la partie haute pour la réduction descontraintes de traction sous poids propre dans cette zone, soit tan . < 0,12 où . estl’angle formé par la verticale et la méridienne de la coque au niveau ducouronnement,

- inclinaison de la base de la coque au maximum autorisé par les cahiers descharges, soit tan . < 0,32 où . désigne l’angle entre la verticale et la méridienne dela coque au niveau du linteau.

L’épaisseur de la tour est plus forte à la base, de façon à répartir l’effort local des colonnesdans le linteau. La partie supérieure de la coque est progressivement épaissie et comporte laplupart du temps un couronnement qui rigidifie le haut de la coque.

Pour les coques ne dépassant pas une centaine de mètres de hauteur, on n’utilisait qu’uneseule nappe d’armatures et les épaisseurs de béton étaient faibles (10 à 15 cm). Cettedisposition, peu satisfaisante en ce qui concerne les moments sous vents ou sous gradientsthermiques conduit à une exécution délicate : si l’on veut vibrer correctement le béton, il esten effet très difficile de maintenir une armature au milieu d’une paroi aussi mince. Une simpleerreur d’implantation des aciers de 2 cm (ce chiffre est souvent dépassé) conduit à l’obtentiond’une épaisseur de béton d’enrobage trop élevée qui générera à coup sûr de la fissuration. Lesarmatures peuvent parfois apparaître à la surface du béton, ce qui est nuisible à la durabilité del’ouvrage.

L’adoption d’un ferraillage constitué d’une double nappe d’armatures, très soigneusementpositionné, est l’une des premières mesures qui marque l’ère des grands réfrigérants. Il enrésulte une condition générale sur l’épaisseur du béton. En effet, pour effectuer une vibrationcorrecte, il est nécessaire de disposer d’une distance de 8 cm entre les nappes d’acier pour lepassage des aiguilles vibrantes. Ainsi avec un enrobage de 3 cm, l’épaisseur minimale dubéton est de 16 cm.

Cependant, cette valeur minimale devient insuffisante pour les grands aéroréfrigérants enraison des risques d’instabilité et finalement on préconise une épaisseur minimale égale à :

3 2min 003,0 hRe ×= , (1.1)

avec h : hauteur totale de la coque depuis la sous-face du linteau,

R : rayon de la coque à la cote considérée.

Cette formule, due à PADUART [CAUD91], est toujours d’actualité pour la construction detrès grands réfrigérants.


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Enfin, le diamètre des aciers doit être au moins égal à 8 mm. Comme les aciers utilisés sontdes aciers à haute adhérence, les autres conditions minimales sont définies en considérant lafissuration comme préjudiciable pour l’ouvrage avec une restriction un peu plus sévère pourl’écartement minimal des aciers horizontaux (20 cm).

1.1.2.2. Charges à prendre en compte dans le calcul

Les réfrigérants atmosphériques sont des ouvrages en béton armé et, comme tels, sont soumisaux règles spécifiques s’appuyant sur les documents réglementaires en usage. En France, ils’agit notamment des règles C.C.B.A. 68, des règles B.A.E.L. et des règles N.V. 65,complétées et modifiées par différents documents techniques.

La méthode préconisée par les règles C.C.B.A. consiste à faire un calcul sous les actionsnormales, en affectant les contraintes dans les matériaux de coefficients de sécurité, puis unsecond calcul sous des actions majorées, en réduisant les coefficients de sécuritéprécédemment affectés aux matériaux.

La spécificité des réfrigérants atmosphériques conduit à préciser les différentes actions.

Le vent est défini par les règles N.V. 65, mais le choix de certains coefficients nécessitequelques précisions (coefficient de dimension non appliqué, coefficient de majorationdynamique supérieur à celui défini, répartition du vent en fonction de l’azimut).

La grande emprise au sol de ce type d’ouvrage fait que l’on est conduit à envisager une actiondes tassements différentiels qu’il est évidemment difficile de quantifier à l’avance. C’estpourquoi EDF tient compte arbitrairement d’une déformation du plan de surface de fondationen forme de dièdre.

Les principales actions à prendre en compte sont les suivantes :

- la charge permanente pour laquelle il convient d’adopter une valeur de la massespécifique égale à 25 kN/m3,

- les effets thermiques : le gradient thermique dans l’épaisseur est dû d’une part aufonctionnement du réfrigérant et d’autre part à l’action du soleil. Il faut noter queles phénomènes thermiques sont complexes,

- le séisme éventuellement.

1.1.2.3. Méthodes de calcul

Jusqu’aux années 1950, les aéroréfrigérants étaient calculées comme une cheminée (consoleencastrée) : cette théorie conduit à des moments d’ovalisation importants. Par ailleurs, lerapport de la hauteur au diamètre montre évidemment que cette hypothèse est fausse et quel’on doit recourir à la théorie des voiles minces étant donnée la faible épaisseur de la coque.

Les diverses méthodes « manuelles » utilisées sont les suivantes [SNBA86] [CAUD91]:


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- méthode de CHAMBAUD (cône tangent) : c’est une simplification qui al’avantage de ramener le problème à celui de l’équilibre d’un cône pour lequel leséquations intégrales sont découplées,

- décomposition en tronc de cône : cette méthode, préconisée par le professeurPADUART, conserve la simplicité du cas précédent, mais est plus précise car ellefait intervenir à chaque niveau la charge réelle,

- méthode d’intégration analytique (SCRIVEN) : elle s’applique dans le cas destours à forme d’hyperboloïde.

Toutes ces méthodes présentent le gros désavantage de n’envisager que l’équilibre demembrane. Aujourd’hui, les ordinateurs permettent de traiter entièrement l’équilibre descoques (membrane et flexion) par une approximation de type éléments finis.

1.1.2.4. Instabilité

Plusieurs types d’instabilité sont susceptibles d’affecter les coques des réfrigérants.

Les instabilités dues à la nature pulsatoire du vent sont prises en compte en affectant l’actiondue au vent d’un coefficient de majoration forfaitaire β = 1,2. Cependant, du fait de la réponseaéroélastique de l’obstacle lui-même, une excitation pulsatoire peut créer une mise enrésonance. La réponse de la structure est très différente suivant que le réfrigérant est isolé ouen situation d’interaction. L’étude de ce phénomène est réalisée en soufflerie sur desmaquettes en résine et les résultats montrent qualitativement l’intérêt du renforcement auniveau de la partie basse et de la partie haute de la tour [CAYT91].

Une deuxième forme d’instabilité peut naître du fait de l’augmentation des contraintes decompression dans un voile de faible épaisseur. Cette instabilité se présente dans les deux cassuivants :

- suivant les sections horizontales. Ce type d’instabilité, par enfoncement de laparoi, est bien connu pour les réservoirs cylindriques sans toit. La majoration del’épaisseur pour les raisons exposées au chapitre 1.1.2.1. (formule de PADUART)fait que ce risque n’est plus déterminant,

- dans les régions où les contraintes de compression sont les plus fortes, c’est-à-diredans le tiers inférieur de l’ouvrage, l’instabilité peut apparaître sous forme decloquage. L’étude expérimentale de ce type de déformation est délicate car il fautsimuler simultanément l’effet de la pesanteur et celui du vent. Le professeurMUNGAN a effectué de nombreuses expérimentations à l’Université deBOCHUM afin de cerner les problèmes, mais malheureusement le mode dechargement qu’il a utilisé (pression hydrostatique avec charge axiale décentrée) estassez différent du chargement réel et les conditions aux limites ne sont pasreprésentatives. Cependant, c’est l’étude la plus complète réalisée en ce domaineactuellement et les résultats des expériences de BOCHUM sont appliqués encore àce jour pour contrôler le dimensionnement de l’épaisseur des coques [FAUV83].


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Enfin, il est devenu usuel d’aborder le problème de l’instabilité élastique par le calculnumérique. Les cahiers des charges exigent un coefficient de flambement eulérien minimumpour les tours d’aéroréfrigérants (λ = 10 sous poids propre et vent).

1.1.2.5. Incidence des caractéristiques du béton armé : détermination du ferraillage

Les études numériques menées sur le comportement des coques de réfrigérant tendent àmontrer, comme nous le verrons par la suite, que la rupture par excès de traction dans lesecteur des coques soumises au vent interviendrait bien avant la rupture par flambement.C’est pourquoi, pour les aéroréfrigérants les plus récents, le taux de ferraillage requis pourtoute la coque doit respecter le critère de non-fragilité : la section d’acier doit être capable dereprendre une force au moins égale à celle entraînant la rupture par traction de la sectioncomplète du béton. Cette règle est applicable dans les deux directions de ferraillage,méridienne et parallèle.

En pratique, le processus suivi dans le dimensionnement des armatures des toursd’aéroréfrigérant est le suivant :

- partant du des documents d’avant projet dans lequel l’équation de méridienne etl’épaisseur de coque ont été définies, les efforts dans la coque et le supportage sontdéterminés en supposant la structure élastique et les matériaux homogènes etisotropes,

- pour la coque, il est vérifié que les contraintes de traction qui apparaissent dans lebéton et l’acier n’excèdent pas les seuils fixés par le cahier des charges en fonctionde diverses sollicitations. Les épaisseurs de coque définies au stade d’avant-projetsont éventuellement retouchées à ce niveau d’étude,

- le supportage, le linteau et le couronnement sont calculés comme des poutresclassiques, selon la théorie du béton armé, les contraintes étant déterminées ensection fissurée.

Il est à noter que le ferraillage de coque issu du calcul est souvent couvert par le ferraillageminimum imposé par la condition de non-fragilité, pour les pressions de vent correspondantaux normes françaises.

1.1.3. Techniques de fabrication des aéroréfrigérants

Dans la construction des aéroréfrigérants, trois étapes principales sont à distinguer :

- la mise en œuvre des fondations,

- les supports de la coque qui relie les fondations au linteau comme nous venons del’expliquer, qui sont coulés en place,

- la coque elle-même qui fait appel aujourd’hui à des techniques d’échafaudagesgrimpants qui s’appuient sur les bétons coulés depuis deux ou trois jours etsupportent des panneaux de coffrage d’au plus 1,50 m de hauteur.


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Ainsi, la technicité requise pour la construction de ce type d’ouvrages fait que peud’entreprises en France sont ou ont été capables de construire des coques d’aéroréfrigérants.Au plus fort du programme nucléaire, trois entreprises seulement étaient présentes (NORDFRANCE, COIGNET et E.G.I.).

L’organisation du chantier est conçue pour permettre l’exécution d’une levée par jourouvrable, comprenant les phases suivantes :

- ferraillage,

- montée du coffrage-échafaudage,

- réglage des panneaux de coffrage par mesure topographique,

- coulage du béton.

Ainsi, entre deux levées successives, il existe donc un joint sec de reprise de bétonnage, lacoulée du jour (j - 1) ayant fait prise lorsque la coulée du jour j est effectuée. Cettediscontinuité peut avoir des conséquences néfastes vis-à-vis de la durabilité de la structure.Ainsi, des règles de traitement de la surface de reprise sont spécifiées dans le cahier descharges et ont pour objet de proposer des méthodes pour atténuer cette discontinuité. Souvent,le traitement consiste en un lavage de la surface de reprise soit à l’eau basse pression 3 ou 4heures après bétonnage de la levée soit à l’eau haute pression 12 à 16 heures après.

Comme nous pourrons le voir par la suite, les déplacements observés sur les coques et leurévolution dans le temps sont une des préoccupations majeures des exploitants de réfrigérantsatmosphériques. A ce titre, il semble important de donner quelques précisions sur lestolérances vis-à-vis de la géométrie de la structure telles qu’elles sont prescrites par le C.R.T.[CRT92].

Pour l’exécution de la coque, la tolérance relative ∆R (cm) par rapport au point central duréfrigérant à la hauteur h (m) du point considéré, est donnée par :

+±=∆

505

hR . (1.2)

Ainsi, pour une tour de 150 mètres de hauteur, l’imperfection géométrique tolérée au sommetpeut atteindre une amplitude de 16 cm crête à crête. Pour l’épaisseur de la coque, la toléranceest fixée à 0,5 cm et exceptionnellement 1 cm au niveau des chemins de roulement ducoffrage. Enfin, l’erreur sur la pente, vérifiée après chaque levée, doit être inférieure à 0,01radian.

1.2. Des structures fragiles

Plusieurs sinistres survenus dans le monde ainsi que la puissance sans cesse croissante destranches nucléaires nécessitant des conceptions toujours plus audacieuses, ont conduit lesexploitants à entreprendre des contrôles systématiques et réguliers de ces ouvrages poursuivre l’évolution de leur comportement dans le temps.


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Aujourd’hui, l’ensemble des réfrigérants atmosphériques du parc nucléaire d’EDF présente unétat d’endommagement plus ou moins avancé caractérisé par la présence de défautsgéométriques et de fissuration [GENE97]. Les mesures successives montrent égalementl’évolution de ces dommages dans le temps (comme par exemple l’augmentation du nombreet de la longueur des fissures).

1.2.1. Effondrements et démolitions

Tout d’abord, il semble intéressant de rappeler les circonstances de quelques incidentssurvenus dans le monde (cf. tableau 1.1).

Tableau 1.1 : Démolitions et effondrements des coques d’aéroréfrigérants

Lieu Année Résultats de l’expertiseFerrybridge(Angleterre)

1965 Effondrement sous vent de 3 tours : mauvaisdimensionnement (calculs par théorie membranaire)

Ardeer(Ecosse)

1973 Effondrement après 7 ans d’exploitation : effetsthermiques, fissures méridiennes et défauts géométriques

Port Gibson(Etats-Unis)

1978 Endommagement : effondrement d’une grue

Bouchain(France)

1979 Effondrement après 10 ans d’existence : fissuration,manque de soin dans la réalisation et faible marge de

sécuritéBrowns Ferry(Angleterre)

1979 Effondrement : problèmes de construction etd’échafaudage

Fiddlers Ferry(Angleterre)

1984 Effondrement après 20 ans d’exploitation : défautsgéométriques et dégradation des armatures

Pont sur Sambre(France)

1987 Démolition : amplitude des défauts géométriques etfissuration de la coque

Ansereuille(France)

1988 Démolition : amplitude des défauts géométriques etfissuration de la coque

Si les effondrements des tours de Ferrybridge et de Port Gibson s’expliquent facilement, lesrapports des commissions d’expertise et les raisons invoquées quant à la ruine d’autres de cesouvrages ne sont pas toujours très convainquants.

1.2.2. Dommages observés sur les parcs thermique et nucléaire français

Afin de maintenir la meilleure disponibilité possible des aéroréfrigérants et d’optimiser leurdurée de vie, EDF procède tous les ans à une auscultation des réfrigérants en service. Celle-cis’articule autour de trois mesures distinctes :

- l’altimétrie qui permet le suivi des tassements des fondations des ouvrages,

- la planimétrie qui permet le contrôle de la déformation de la coque,

- l’inspection visuelle qui permet le contrôle de l’état de dégradation du parementexterne.


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Ces contrôles ont mis en évidence sur plusieurs structures, d’une part des déplacementsd’amplitude non négligeable vis-à-vis des dimensions de l’ouvrage et une importantefissuration pour certaines structures, et d’autre part l’évolution de ces dommages dans letemps.

Plusieurs exploitations des mesures effectuées sur les ouvrages les plus dégradés [AFLA90][BAIL93] [DJER95] ont permis de tirer les conclusions suivantes :

- présence de déplacements sous forme d’ondulations principalement dans ladirection circonférentielle,

- le mode circonférentiel prépondérant en déplacement est variable en fonction de lahauteur,

- certains modes élevés sont présents sur toute la hauteur,

- les amplitudes maximales sont situées légèrement en dessous du col,

- la fissuration est presque exclusivement méridienne. Cette observation peut êtregénéralisée à un grand nombre de structures,

- les fissures se situent principalement au niveau du tiers supérieur et du tiersinférieur de la coque.

Un des réfrigérants atmosphériques (que nous avons dénommé réfrigérant 3) a fait l’objetd’une surveillance assez poussée en raison de son niveau d’endommagement (le plus avancédu parc EDF). Une exploitation des mesures qui y ont été effectuées est fournie en annexe A.

1.3. Conclusions

Les tours de refroidissement de centrale nucléaire sont des structures particulières de par leurdimension, leur géométrie et leur condition de fonctionnement. Malgré le soin apporté à leurconception et à leur fabrication, une dégradation de certains ouvrages est constatée.

L’intérêt que suscite l’analyse de ces structures est essentiellement économique. Tout d’abordparce que les aéroréfrigérants représentent 2 à 3 % du coût d’investissement d’une unité deproduction et ensuite parce que le non fonctionnement d’une tour implique nécessairementl’arrêt temporaire du réacteur nucléaire correspondant et donc d’une partie de la production.

De plus, les tours de refroidissement, très hautes et élancées rejetant dans l’atmosphère desnuages de vapeur d’eau sont symboliques de la production d’électricité par l’énergienucléaire. Et bien qu’il n’y ait aucun enjeu vis à vis de la sûreté, leur effondrement aurait desconséquences néfastes sur l’opinion publique.

Ainsi, en France, l’ensemble des réfrigérants atmosphériques du parc d’EDF fait l’objet d’unesurveillance. Quelques tours présentent une évolution significative de la fissuration. Al’étranger, des problèmes identiques ont également été constatés [DROC96] [GOLC96] et destravaux de réparation ont dû être entrepris [BOSM96] [KOCH96] [LASU96]. Dans cecontexte, il nous semble intéressant d’effectuer une analyse approfondie des retoursd’expérience concernant les facteurs de dégradation de ce type de structures.


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2. Les principaux facteurs de dégradation des coquesd’aéroréfrigérants

Une étude du C.E.B.T.P. [SALO91] a permis de mettre en évidence les principaux facteurs dedégradation propres au fonctionnement des aéroréfrigérants. Nous allons maintenant enprésenter la synthèse.

L’ensemble des facteurs qui agissent sur le béton armé de ces structures est particulièrementcomplexe et les contraintes que subissent les matériaux d’un réfrigérant atmosphérique enphase d’exploitation sont nombreuses :

- contraintes de caractère chimique dues à 1’action d’eaux faiblement minéralisées,d’eau de refroidissement chargée en agents corrosifs ou à l’exposition au dioxydede carbone atmosphérique,

- contraintes de caractère physique engendrées par des cycles alternéshumidification-séchage, par des cycles gel-dégel et chauffage-refroidissement ouencore par des gradients de température,

- contraintes de caractère mécanique qui ont fait l’objet de nombreuses études (poidspropre, tassement différentiel, action du vent, …) et que nous n’évoquerons pasdans cette partie, la partie suivante leur étant pleinement consacrée.

A cet ensemble, il faut ajouter les contraintes en phase de construction de l’ouvrage, dues auxcadences rapides d’exécution (décoffrages précoces, fixation du coffrage sur un béton qui n’apas encore acquis ses propriétés mécaniques finales, exécution par temps défavorable).

La dégradation de la coque est le résultat de l’action de l’ensemble de ces contraintes.

2.1. Les eaux

La paroi intérieure des réfrigérants atmosphériques en fonctionnement est en permanence aucontact de l’eau, mouillée par les condensats qui ruissellent vers le bas. Au voisinage dupacking, les condensats se mélangent avec les gouttelettes d’eau du circuit de refroidissement.La paroi extérieure est également exposée à l’eau, mais de façon discontinue, soit à l’eau desprécipitations, soit à la condensation éventuelle de l’humidité de l’air et des vapeurs.

2.1.1. Composition chimique des eaux

2.1.1.1. L’eau du circuit de refroidissement

Une partie très limitée de la paroi interne, en bas de la coque, y est exposée. La compositionde l’eau du circuit de refroidissement est généralement la mieux connue puisqu’elle estcontrôlée pour ne pas être trop agressive vis-à-vis des installations et du béton armé.Cependant, certains facteurs chimiques de cette eau peuvent être, à long terme, nocifs pour lebéton armé. De plus, d’éventuels incidents lors du traitement ne sont pas a priori exclus. Ceseaux sont caractérisées par :


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- la présence d’ions sulfates ajoutés en raison de 200 à 850 mg/l pour le détartragedes installations (acide sulfurique) et pour permettre la floculation de matière ensuspension (sulfate d’ammonium),

- la présence d’ions chlorures utilisés également pour la floculation sous forme dechlorure ferrique,

- la présence d’eau de Javel utilisée ponctuellement pour un traitement antifongiquedes installations. Elle libère des vapeurs de chlore, d’acide chlorhydrique oud’acide hypochlorique. L’ensemble de la paroi interne peut y être exposé,

- un pH pouvant être inférieur à 7 dans le cas d’utilisation des eaux pollués ourésiduaires pour le circuit de refroidissement.

2.1.1.2. L’eau des condensats et des précipitations atmosphériques

Il s’agit en général d’eaux pures. Cependant, elles dissolvent des gaz et des matières ensuspension de l’air tels que :

- les polluants industriels,

- le gaz carbonique atmosphérique.

La dissolution des polluants industriels et du gaz carbonique dans l’eau de pluie et lescondensats leur confère un caractère acide d’autant plus prononcé que la concentration estimportante.

Dans le cadre du projet « Définition des paramètres de vieillissement du béton d’unréfrigérant » lancé par EDF/SEPTEN, le CEBTP a prélevé et analysé les condensats pour lestours de refroidissements de trois sites nucléaires français [SALO94]. Cette étude a permis dedresser les conclusions suivantes :

- tout d’abord, le pH et la conductivité des condensats ruisselants sur la paroi de lacoque sont peu influencés par les conditions climatiques externes et la hauteurd’emplacement des collecteurs. Seuls les débits évoluent sensiblement en fonctionde la hauteur (les débits étant plus importants à 40 m qu’à 110 m),

- la composition des condensats ruisselants est peu variable d’un réfrigérant à l’autre(cf. tableau 1.2),

- la composition des condensats ruisselants traduit l’intensité de la lixiviationsuperficielle du béton comme l’indique la comparaison avec la composition descondensats de vapeurs sans contact avec le béton. Celle-ci met en évidence laprésence de silice et une variation de teneur en Ca2+ de l’ordre de 11 mg/l et dedureté totale de 2,4 à 3 °F,

- la composition des condensats de vapeur confirme le faible taux de minéralisationet leur agressivité pour le béton,


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Tableau 1.2 : Analyse des condensats

Réfrigérant 1 Réfrigérant 2 Réfrigérant 3R V R V R V

pH 7,7 6,2 6,6 6,5 5,9 5,6Conductivité (�6� 119 18 72 26 73 18

Dureté (°F) 4 1 3,4 1 3,8 1Ca2+ (mg/l) 15 4 14 4 15 4Na+ (mg/l) 2 < 1 0,9 0,4 0,9 0,6K+ (mg/l) 5 < 1 1,4 0,4 1 0,3

SiO2 (mg/l) 9 < 1 7 < 1 8 < 1SO4

2- (mg/l) 7 2 4 2 5 1Cl- (mg/l) 8 7 4 2 4 1

R : condensats ruisselants V : condensats de vapeurs (sans contact avec le béton)

2.1.2. Action chimique des eaux

A partir des facteurs agressifs présents dans les eaux au contact de la coque des réfrigérantsatmosphériques, nous pouvons dégager essentiellement trois mécanismes probables dedégradation du béton armé [SALO94] :

- l’élimination des produits hydratés du ciment par lessivage compte tenu del’acidité des eaux,

- la formation de produits expansifs (cristallisations d’ettringite dans les vacuoles)dans le béton par réaction entre les ions sulfates et les composés hydratés duciment,

- la dépassivation de l’acier des armatures et l’amorçage de leur corrosion dus àl’infiltration d’ions chlorures mais aussi sous l’effet de la carbonatation du bétond’enrobage par le dioxyde de carbone comme nous allons à présent le voir.

Dans ce contexte, le CEBTP et EDF [SALO94] ont tenté d’estimer les conséquences globalesdes processus de carbonatation et de lixiviation en face interne en admettant des loisd’évolution des mécanismes mis en jeu proportionnelles au temps (alors que ces processus detransfert et de diffusion suivent plus généralement des lois en racine carrée du temps). Ils ontainsi pu constater que même la prise en compte des hypothèses les plus défavorables (débitsdes condensats et vitesse de condensation maximaux, dissolution limitée uniquement à laportlandite) ne faisait pas craindre, même à long terme, de risques de dégradationimportants du béton de peau et d’initiation de corrosion des armatures dans le cadre lel’action chimique des eaux.

D’autre part, même si la cristallisation d’ettringite dans les vacuoles est un point préoccupantdu point de vue de la durabilité à très long terme, elle n’apparaît pas comme un risqued’endommagement rapide dans la mesure où la disponibilité des sulfoaluminates dans laphase cimentée est limitée et compte tenu du fait qu’il n’y ait pas d’apport externe d’ionssulfates.


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2.2. Le gaz carbonique

En dehors de sa forme dissoute dans l’eau, le dioxyde de carbone atmosphérique peutdirectement pénétrer, à l’état gazeux, dans les pores non saturés du béton et réagir avec leshydrates du ciment. La carbonatation qui en résulte devient dangereuse lorsqu’elle neutralisele béton qui enrobe l’acier et permet dès lors l’amorçage de la corrosion par diminution du pHde la solution interstitielle.

Les mesures de profondeur de carbonatation oscillent en moyenne entre 3 mm et 18 mm avecdes zones carbonatées plus importantes au niveau de la face externe qu’au niveau de la faceinterne (cf. tableau 1.3). Elles ne font pas apparaître, en revanche, de variations extrêmementnettes de la profondeur de carbonatation en fonction de la hauteur ou de l’exposition[SALO94].

Tableau 1.3 : Profondeurs de carbonatation des carottes (en mm)

Aéroréfrigérant 1 Aéroréfrigérant 2 Aéroréfrigérant 3Intérieur Extérieur Intérieur Extérieur Intérieur Extérieur

Moy. Max. Moy. Max. Moy. Max. Moy. Max. Moy. Max. Moy. Max.Partie basse 7 15 9 15 8 12 4 6 5 7 10 18

Au niveau du col 6 12 5 10 2 3 10 12 - - - -Partie haute 6 10 18 25 2 4 8 10 3 7 5 8

Pour les aéroréfrigérants 2 et 3, les profondeurs de carbonatation ont également été mesuréesà partir de l’échelle à crinoline et comparées aux mesures d’enrobage obtenues aux mêmesendroits (cf. tableau 1.4).

Les mesures réalisées sur les coques des réfrigérants 1 et 2, sur les différents paliers entre 10m et le sommet confirment des profondeurs de carbonatation inférieures à 15 mm au niveaude l’extrados.

Les mesures d’épaisseur d’enrobage montrent que :

- pour l’aéroréfrigérant 3 : 80 % des aciers sont situés à plus de 30 mm de la surfaceexterne,

- pour l’aéroréfrigérant 2 : 90 % des aciers ont une épaisseur de béton d’enrobagesupérieure à 35 mm.

Ainsi, d’une façon générale, le front de carbonatation n’a pas atteint et reste éloigné desarmatures. Les aciers sont maintenus en état de passivation comme le confirment les mesuresde potentiel du CEBTP [SALO94] qui ne détectent pas, dans ces zones, de gradients depotentiel indiquant une corrosion active, exception faite de quelques zones très localiséescorrespondant à des défauts d’enrobage (de l’ordre de 1 à 2 cm) pour le réfrigérant 3.


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Tableau 1.4 : Profondeurs de carbonatation et enrobage moyen sur ouvrage

Aéroréfrigérant 2 Aéroréfrigérant 3

Palier n° Carbonatation(mm)

Enrobage moyen(cm)

Palier n° Carbonatation(mm)

Enrobage moyen(cm)

2 10 - 15 5,5 3 < 5 33 - 4,5 4 - 4,54 10 4,5 - 5 6 10 45 - 5 - 5,5 7 - 5 - 5,56 10 - 15 3,5 9 10 78 10 4,5 12 5 5 - 5,510 10 - 15 5 15 5 312 5 4 18 5 714 1 - 2 5 21 10 5,5

2.3. L’action de la température et de l’humidité

A cause de la différence du milieu ambiant entre la paroi interne et la paroi externe, la coquedes réfrigérants atmosphériques est exposée à des gradients de température et d’humidité. Cesgradients produisent d’une part des déformations différentielles dans le sens de l’épaisseur(dilatation thermique, retrait de séchage, gonflement d’humidification) et influent d’autre partsur la totalité des différents processus de dégradation définis précédemment. Enfin, il fautsouligner le caractère cyclique de ces sollicitations.

Les actions de l’humidité et de la température sont en fait deux phénomènes intimementcouplés et leur influence sur le processus de dégradation des coques d’aéroréfrigérants n’estpas encore parfaitement connue.

2.3.1. Action de l’humidité

Un gradient hydrique est toujours présent tant que le aéroréfrigérant fonctionne de par laprésence de condensats à l’intérieur de la coque comme nous l’avons montré précédemment.Un mouvement d’eau peut donc s’instaurer par capillarité entre la paroi mouillée et la paroisèche, mouvement d’autant plus important que l’épaisseur est faible. Ce mouvementcontribue ainsi au transport des substances solubilisées dans le béton vers la surface externede la coque comme en témoigne la présence d’efflorescences et de taches.

L’eau des précipitations et l’humidité atmosphérique participent également aux mouvementsd’eau. Il s’agit alors d’un phénomène commun à toutes les structures exposées.

2.3.2. Action de la température

La coque des aéroréfrigérants est exposée en permanence à des conditions de températurevariables aussi bien dans l’espace que dans le temps compte tenu des conditionsatmosphériques et des conditions de fonctionnement du réfrigérant.


- 22 -

L’action multiple de la température est généralement associée à l’action de l’eau. Ainsi partemps froid, on assistera à la transformation de l’eau interstitielle en glace et par temps chaudà l’élimination de cette eau par évaporation.

Le gradient de température provoque des déséquilibres physico-chimiques des phases solublesdans l’eau interstitielle. Ces déséquilibres (solubilité différentielle) sont la force motrice desions à travers l’épaisseur de la coque et ne font qu’amplifier le mouvement généré par legradient d’humidité.

2.3.3. Caractère cyclique des variations

De part sa faible inertie thermique, la coque est surtout sensible aux variations de températureet elle subit des cycles à plusieurs échelles :

- variations journalières : échauffement le jour et refroidissement la nuit,

- variations saisonnières : périodes chaudes l’été et froides l’hiver,

- variations de service : échauffement pendant le fonctionnement et refroidissementen phase d’arrêt.

Etant donné que l’inertie hygrométrique de la coque est en revanche de plusieurs mois, lapériode des cycles des mouvements d’eau à travers l’épaisseur de la coque ne peut-êtreestimée qu’à l’échelle de l’année (séchage en périodes estivales et humidification en périodeshivernales). En raison de ces variations (essentiellement thermiques), les matériaux sontsoumis à des sollicitations répétitives qui peuvent conduire à des dégradations de toute sorte(cycle gel-dégel, fatigue,…)

2.4. La réactivité des granulats

Mis à part les facteurs exogènes de dégradation du béton armé comme l’eau ou encore ledioxyde de carbone, des facteurs endogènes, c’est à dire propres aux caractéristiques desmatériaux, sont également à considérer. En effet, certains granulats de composition siliceuseou carbonatée ont été utilisés pour la confection des bétons des coques d’aéroréfrigérants.

La dégradation du béton par alcali-réaction pourrait alors être à craindre d’autant plus que lefonctionnement hygro-thermique du réfrigérant s’y prête particulièrement (humidité relativeélevée au niveau de la paroi interne).

Cependant, mis à part un seul ouvrage, aucun endommagement matériel par réactionalcali-granulats n’a pu être constaté sur les tours en service.

2.5. Les facteurs biologiques

Les micro-organismes peuvent participer indirectement à la dégradation de la coque paracidification de l’eau du circuit de refroidissement. De plus, les conditions hydro-thermiquesà l’intérieur de la coque favorisent la prolifération des algues sur la paroi interne [APRO88].


- 23 -

Des études [COST89] ont permis l’identification de ces algues. Il a été observé que ledécrochage des algues entraîne une faible épaisseur de ciment de surface. L’analyse de ceciment montre un déficit en oxyde de calcium qui laisse à supposer un lessivage du ciment parattaque acide en dehors de son érosion superficielle par décrochage.

Toutefois, dans l’état actuel des connaissances, il n’est pas mis en évidence unmécanisme organominéral de dégradation du béton, propre à la prolifération des alguesde coque.

2.6. La qualité de construction

Mis à part les défauts géométriques qui peuvent provoquer la fissuration de la coque, d’autresdéfauts de construction peuvent être à l’origine d’un vieillissement accéléré de la coquecomme par exemple :

- enrobage insuffisant des armatures,

- mauvaise étanchéité des reprises de bétonnage entre les différentes levées,

- bullages et nids de cailloux en surface et dans la masse du béton,

- béton gelé ou asséché en cours de durcissement,

- temps de cure insuffisant.

qui sont autant de facteurs facilitant la pénétration des agents agressifs dans le béton. Ainsi,les paramètres de construction jouent là un rôle prépondérant sur la vitesse de vieillissementde la coque puisqu’ils sont déterminants vis-à-vis de la perméabilité du béton aux agentsagressifs.

2.7. Conclusions

Les coques d’aéroréfrigérants sont donc des constructions à haut risque de vieillissementrapide, à cause de leur dimensionnement et leur exposition à des conditionsenvironnementales agressives.

Tout d’abord, la coque est exposée à des facteurs pouvant directement conduire à ladégradation du béton :

- les eaux faiblement minéralisées comme les condensats sur la paroi interne ou lesprécipitations atmosphériques sur la paroi externe qui en fonction de leur aciditépeuvent dégrader le béton par lixiviation,

- les eaux chargées en ions sulfates par les polluants atmosphériques ou par lestraitements de l’eau du circuit de refroidissement qui peuvent conduire à laformation de produits expansifs dans le béton,

- les valeurs extrêmes de température dues aux conditions climatiques qui peuventpar le gel ou l’assèchement endommager le béton.


- 24 -

D’autre part, les conditions particulières de fonctionnement des tours de refroidissement sonttrès favorables au développement de mécanismes de dégradation :

- les valeurs élevées de température et d’humidité relative au niveau de l’intradosgénèrent dans l’épaisseur de la coque des gradients hydriques et thermiques.

- l’alternance des conditions météorologiques (journalières, saisonnières, annuelles) etl’alternance des phases d’arrêt et de fonctionnement de la structure, soumettent lacoque à des cycles humidité-séchage et chauffage-refroidissement.

- l’ensemble des sollicitations (mécaniques, thermiques et hydriques) en liaison avecl’endommagement initial de la tour peuvent conduire à une fissuration oumicrofissuration du matériau facilitant ainsi la pénétration d’agents agressifs.


- 25 -

3. Etat de l’art sur la modélisation du comportement desaéroréfrigérants

Depuis l’effondrement de réfrigérants atmosphériques sont un en France et plusieurs enAngleterre, beaucoup de chercheurs se sont intéressés au comportement des coques deréfrigérants atmosphériques, et plus particulièrement à la modélisation de ces structures dansleur environnement très particulier, afin d’une part d’expliquer les raisons de ces ruinesspectaculaires et d’autre part, être capable de concevoir des ouvrages beaucoup plus fiables.Compte tenu de la complexité des phénomènes mis en jeu, il s’agissait là d’un défi audacieuxqui, aujourd’hui, n’est pas complètement relevé comme en témoigne encore le manqued’explications quant aux phénomènes de dégradation observés.

Comme nous l’avons souligné, l’ensemble des réfrigérants atmosphériques du parc thermiqueet nucléaire français présente aujourd’hui un état d’endommagement (fissuration, défautsgéométriques, aciers apparents,…) plus ou moins important. Soucieux d’évaluer leur durée devie et maintenir la meilleure disponibilité possible de ces ouvrages, EDF a engagé, depuis1987, plusieurs études concernant les problèmes liés au vieillissement de ces structures.

Ces études tentent d’évaluer les effets relatifs de certaines actions (poids propre, tassement dusol, gradient thermique,…) qui s’exercent habituellement sur ce type de structures. Elles ontpermis de dégager quelques conclusions sur l’identification des paramètres prépondérantsdans les phénomènes d’évolution des dommages ainsi que les mécanismes de ruine potentielsde ces ouvrages.

L’ensemble des résultats obtenus dans ce contexte constitue une base de données qu’ilconvient à présent d’exploiter pour tenter d’apporter des éléments de réponse aux questionssuivantes :

- Quelles sont les origines des défauts de forme et de la fissuration observés sur lesréfrigérants atmosphériques ?

- Quels sont les phénomènes majeurs influençant leur évolution ?

- Qu’en est-il vraiment des problèmes de durabilité ?

- Quel critère de durée de vie pourrait-on adopter pour ses structures ?

3.1. Origine des défauts géométriques et de la fissuration

3.1.1. Recherche des mécanismes de fissuration

3.1.1.1. Comportement du béton au jeune âge et phasage de construction

Les fissures observées sur les ouvrages en béton proviennent souvent des phénomènes deretrait (retrait endogène et retrait de dessiccation). L’expérience montre que, pour un bétondont le retrait est totalement empêché, la fissuration est inévitable au bout de quelques heures[ACKE88].


- 26 -

Excepté en partie basse, l’épaisseur modérée de la coque conduit à des élévations detempératures en cours de prise relativement modestes. L'exothermie du béton ne suffit doncpas à la fissurer. Par contre, le phasage de construction (une levée par jour) provoque un légerbridage de l’anneau n par l’anneau (n - 1), du fait des retraits thermiques et endogènesdifférentiels et peut conduire à la fissuration au niveau des reprises de bétonnage.

DE LARRARD et al. [DELA93] ont tenté d’évaluer les contraintes induites à long terme entenant compte du procédé de construction des tours d’aéroréfrigérants. Le calcul mené sur unmodèle axisymétrique est limité à trois levées :

- une levée fictive 0 (correspondant en fait à quatre levées réelles), supposéeconstruite et refroidie, qui constituera le substratum de la levée 1,

- lors de la première phase, on coule la levée 1, zone qui est étudiée en détail,

- ensuite, la levée 2 est coulée lors de la deuxième phase. Les levées ultérieuresn’ont pas d’interaction avec la levée 1.

Après un calcul thermique, un calcul mécanique est entrepris en « élasticité vieillissante »avec prise en compte des déformations thermiques et endogènes. Les valeurs de contrainte ontété forfaitairement majorées par un coefficient de fluage (valant 2 pour le béton ordinaire).Les seules contraintes significatives apparaissent dans le bas de la levée 2 et au milieu de lalevée 1. Ce sont des contraintes horizontales de traction dont la valeur maximale est égale à0,2 MPa et ne peuvent donc pas provoquer de la fissuration.

JURKIEWIEZ [JURK97] s’est intéressé aux effets de la prise en compte du mode particulierde fabrication dans le cadre de l’analyse du comportement différé d’un réfrigérant.L’application mise au point (calcul axisymétrique avec formulation du problème visco-élastique en variables généralisées) intègre le phasage de construction de l’ouvrage parassemblages successifs de sous structures : chaque étape de construction s’accompagne del’apparition d’une partie élémentaire de l’ouvrage, les conditions de réalisation et de liaisonavec la partie existante étant intégrées par le biais de conditions internes appropriées. Lesrésultats obtenus dans ce contexte ont montré une influence relativement discrète de la priseen compte de la technique particulière de fabrication dans le cadre de l’étude du desdéformations différées sur le comportement de l’ouvrage.

3.1.1.2. Séchage du béton et retrait empêché

Dans le cadre d’une analyse élastique et en imposant instantanément un déplacementcorrespondant à un retrait de 500 µm/m à un béton ayant ses propriétés mécaniques finales,BAILLIS [BAIL96] a calculé les niveaux de contraintes en peau interne et externe sur toute lahauteur de la coque. En partie courante, le retrait du béton n’est gêné que par les armatures etles contraintes de traction ainsi induites sont relativement peu élevées (de l’ordre de 0,5 MPaen moyenne). En revanche, en partie basse, la présence du supportage semble être beaucoupplus préjudiciable et les niveaux de contraintes obtenus sont susceptibles de générer de lafissuration à la fois méridienne et circonférentielle.

En définissant un retrait moyen au niveau de la section, JURKIEWIEZ aboutit également auxmêmes résultats [JURK97].


- 27 -

Cependant, ces résultats ont été obtenus au moyen de simulations simples dans le cadred’hypothèses simplificatrices : la forte non linéarité des processus de transferts générant desretraits différentiels n’est pas prise en compte.

3.1.1.3. Effets des gradients thermique et hydrique de fonctionnement

DE LARRARD et al. [DELA93] ont également étudié l’effet des gradients thermique ethydrique en service. Nous allons à présent donner le cadre et les résultats de ces études.

Effets d’un gradient thermique en service

Les calculs ont été effectués dans le cas d’un aéroréfrigérant en fonctionnement. A l’intérieur,la température en surface du béton est de 20 °C, alors qu’à l’extérieur, elle peut varier selonles saisons et l’ensoleillement, dans une large gamme. Les contraintes apparaissant ont étéévaluées dans le cas d’un chargement thermique rapide, c’est à dire lorsque l’écart detempérature entre les deux parois de la coque augmente brusquement, et que le matériaurépond à cette sollicitation avec son module instantané (cas évidemment le plus défavorable).La température extérieure prise en compte est -20°C.

Les calculs réalisés sur l’ensemble de la structure montrent que les gradients thermiquesn’engendrent que des moments dans la coque. Les contraintes calculées en supposant unmatériau élastique sont importantes (2,2 MPa selon la direction circonférentielle et 2,0 MPaselon la direction axiale en moyenne pour une épaisseur en partie courante de coque de 21cm). Elles sont cependant insuffisantes pour fissurer le béton sauf peut-être pour les partiesles plus épaisses.

Effets d’un gradient hydrique en service

La dernière grande cause de fissuration est liée au séchage du béton, et au retrait différentielqui en résulte. Le séchage est un phénomène lent qui est gouverné principalement par lesconditions aux limites moyennes [DELA93]. Ainsi, les hypothèses retenues sont un peuparticulières : elles correspondent au cas d’une tour séchant avec prise en compte desconditions hygrométriques de fonctionnement comme conditions limites. Ainsi en peauinterne, l’hygrométrie est supposée égale à 100% alors qu’à l’extérieur, elle ne vaut que 50%.

Des calculs thermique et hydrique avec prise en compte des non linéarités des phénomènes dediffusion sont tout d’abord effectués. Les résultats obtenus permettent ensuite d’effectuer uncalcul mécanique avec adoption d’une loi de comportement élastique pour décrire lecomportement du béton.

Sous ces hypothèses, le séchage du béton induit des contraintes de traction qui font fissurer lebéton au bout de quelques mois sans cependant de direction privilégiée. C’est de loin, le casde chargement le plus défavorable.

3.1.2. Recherche des mécanismes de déformation

Il faut tout d’abord souligner la pauvreté de la bibliographie dans ce domaine.

BAILLIS a tenté d’expliquer la présence des défauts tels qu’ils ont pu être constatés sur sitepar relevés photogrammétriques (cf. annexe A). Les origines des défauts géométriques sont


- 28 -

recherchées sur la structure en cours de construction. Cette recherche consiste à analysersystématiquement les déformations créées par les sollicitations de gradient de retrait, degradient thermique, de poids propre et de tassement différentiel des fondations.

Tout d’abord, les déformations observées sur la structure semblent être identiques à celle desréfrigérants précédemment étudiés par AFLAK et al. [AFLA90] et dont la conception estdifférente (présence de deux nappes d’armatures dans le cas présent). Ceci permet desupposer, dès lors, l’existence d’un mécanisme de déformation caractéristique de cesconstructions.

De plus, parmi toutes les possibilités envisagées mais toujours dans le cadre des hypothèsessuggérées (à savoir entre autres l’existence de modes privilégiés de déformation (modescirconférentiels 4, 8, 12, 20) et surtout le comportement beaucoup plus raide des piles desupportage), le tassement différentiel est le seul chargement capable de générer desdéformations d’amplitudes comparables à celles observées. Il existerait alors un mode proprede tassement différentiel auquel la structure serait particulièrement sensible.

Cependant, cette déformation du sol ne peut générer que des modes bas et aucune desanalyses entreprises ne permet d’expliquer les modes élevés pourtant bien présents. Beaucoupde chercheurs s’accordent à dire qu’ils pourraient finalement être initiés par la méthodeparticulière de fabrication des tours.

3.2. Evolution des dommages

DJERROUD et al. ont travaillé pendant près de 4 ans sur la modélisation numérique desaéroréfrigérants et des différentes actions auxquelles ils étaient soumis en vue de simuler leurcomportement et de tenter d’expliquer les déformées mesurées sur l’aéroréfrigérant 3. Nousallons à présent faire la synthèse de leurs travaux.

Les calculs non linéaires déjà effectués sur une autre tour [DJER93] ont permis d’une part, demettre au point la modélisation et d’autre part, de montrer que, sous l’action du poids propreet du vent, la présence des défauts ne perturbaient pas notablement la déformée de la coque. Ils’avérait alors particulièrement intéressant d’étudier les effets d’autre cas de sollicitations.

3.2.1. Etude des implications des sollicitations habituelles

Pour apprécier les effets relatifs des chargements qui sollicitent habituellement ce type destructures (poids propre, tassements différentiels, gradients thermiques et vent), cinqcombinaisons de charge ont été envisagées :

- cas 1 : P.P. (avec ou sans prise en compte des phénomènes de fluage, la loi utiliséeétant celle du B.P.E.L. 91),

- cas 2 : P.P. + TAS82,

- cas 3 : P.P. + ∆TAS,

- cas 4 : P.P. + ∆TAS + ∆�,


- 29 -

- cas 5 : P.P. + ∆TAS + ∆� + V.

avec :

P.P. : poids propre,

V : vent normal en région II,

TAS82 : tassements différentiels du sol mesurés en 1982,

∆TAS : accroissement des tassements différentiels du sol entre 1982 et 1994,

∆� : gradient thermique uniforme de fonctionnement imposé linéairementdans l’épaisseur de la coque. Le calcul de ce gradient est donné par leC.R.T. [CRT92].

Le cas 1 permet d’étudier la sensibilité de la coque, vis-à-vis de son écrasement axial et del’évolution des défauts radiaux sous l’effet du poids propre d’une part et du fluage du bétonsur 12 ans d’autre part. Les cas 2 et 3 ont été choisis afin de vérifier l’implication destassements différentiels du sol dans les dégradations observées sur la coque en 1982 (cas 2) etde leur évolution sur 12 ans (cas 3). Enfin, le cas de charge 4 permet l’étude des effetscombinés des sollicitations supposées permanentes sur l’évolution des dégradations de lacoque.

Grâce au dernier cas de charge, nous examinons l’effet du vent associé aux sollicitationspermanentes. L’ensemble des résultats obtenus sont synthétisés dans le tableau 1.5 :

Tableau 1.5 : Synthèse des résultats pour les cinq cas de charge envisagés

Cas de charge ( )intlz

courz UU −∆94

82minRU∆94

82maxRU∆94

82

1 (P.P. avec fluage) -0,4 cm -0,26 cm 0,12 cm2 (P.P. + TAS82) × -1,8 cm 2,4 cm3 (P.P. + ∆TAS) -0,68 cm -0,77 cm 0,91 cm

4 (P.P. + ∆TAS + ∆θ,) -0,11 cm -0,49 cm 1,2 cm5 (P.P. + ∆TAS + ∆θ + V.) -0,26 cm -4,2 cm 4,3 cm

Relevés photogrammétriques -5 cm -15 cm 15 cm

A l’issue de cette étude, l’analyse des nombreux résultats (répartition des contraintes,déplacement radiaux et axiaux de la coque) obtenues sous les différentes combinaisons desollicitations ont permis de souligner les points importants suivants :

- les effets de fluage sous poids propre tel qu’il a été modélisé n’expliquent ni les 5cm d’affaissement de la coque, ni l’évolution des défauts radiaux mesurés entre1982 et 1994. Le fluage ne semble pas non plus à l’origine de ces défauts deforme,

- les tassements différentiels totaux mesurés en 1982, ne sont pas à l’origine desdéfauts initiaux constatés sur la coque du réfrigérant 3. En effet, les valeursextrêmes du champ de déplacement radial calculées n’excèdent pas 2,6 cm


- 30 -

d’amplitude, tandis que les défauts réels mesurés en 1982 présentent des valeursmaximales de l’ordre de 25 cm. Ces tassements différentiels n’expliquent pas nonplus à eux seuls l’évolution des dégradations observées sur 12 ans,

- l’action combinée des trois sollicitations principales (poids propre, accroissementdes tassements différentiels et gradient thermique homogène de fonctionnement)reste encore sans effet considérable sur les deux grandeurs de référence à savoirl’écrasement axial de la coque et l’évolution des défauts radiaux,

- enfin, l’analyse des résultats sur la contrainte principale majeure dans le béton (autravers des différentes couches de la coque) montre que, pour toutes lescombinaisons de charge envisagées, le béton reste globalement en dessous de lalimite en traction. Néanmoins, sous les cas de charges faisant intervenir le gradientthermique, le modèle détecte quelques rares fissures sans incidence notable sur lecomportement général de la structure.

3.2.2. Etude de l’effet de l’ensoleillement

Cette étude avait pour but d’observer l’influence des sollicitations thermiques de typeensoleillement et gradient de fonctionnement.

Pour étudier distinctement les effets des sollicitations thermiques, le chargement considéré(sur la coque déformée bien entendu) était composé :

- des charges permanentes à savoir le poids propre de la structure et les tassementsdifférentiels du sol de fondation relevés en 1982,

- de l’une des sollicitations thermiques classées en deux catégories : celles quicorrespondent à une température maximale au cœur du béton et celles permettantd’obtenir un gradient maximum dans le béton.

Pour mieux cerner les effets de l’ensoleillement, DJERROUD et al. [DJER97] ont fait ladistinction entre phase d’arrêt et phase de fonctionnement permettant de mettre en évidenceles seuls effets de l’ensoleillement (correspondant à la phase d’arrêt).

A l’issue de cette étude, on pouvait conclure que la structure déformée était peu sensible àl’effet des sollicitations thermiques telles qu’elles ont été appliquées :

- les valeurs extrêmes du champ de déplacement calculées n’excèdent pas 4,1 cmd’amplitude,

- seul le cas de charge faisant intervenir le gradient thermique en phase deconstruction permet la détection des premières fissures,

- une dilatation d’ensemble de la coque a été également mise en évidence avec unallongement méridien maximum de 6 cm.

3.2.3. Tentative d’estimation de l’état initial précontraint et endommagé d’unaéroréfrigérant


- 31 -

Malgré toutes les études réalisées, les interrogations concernant l’origine des dommages, leurévolution et leur influence sur la tenue de ces structures ne semblent pas avoir trouvé deréponse dans le cadre des hypothèses choisies. La seule constatation qui peut être faite est quela structure déformée sans contrainte et sans endommagement initial est peu sensible auxeffets de toutes les combinaisons de charge envisagées.

Avec l’aide d’EDF, DJERROUD et al. ont ainsi pensé qu’il serait plus réaliste d’étudier lesmécanismes d’évolution de l’endommagement en prenant en compte un état initialprécontraint et endommagé et ont donc proposé une méthode d’évaluation de cet état initial.

L’idée avancée est qu’une proportion des défauts radiaux mesurés par photogrammétrie estgénératrice de contraintes.

Pour approcher au mieux l’état initial de contraintes et d’endommagement, DJERROUD aadopté la démarche suivante :

- génération d’un maillage déformé à partir de l’exploitation des relevésphotogrammétriques,

- application d’un chargement composé du poids propre, du tassement différentielmesuré en 1982 et d’un déplacement radial imposé du type αUR où α est unparamètre compris entre 0 et 1 et UR le champ de déplacement mesuré en 1982,

- calcul non linéaire effectué sous ce chargement (en déplacements imposés),

- détermination des réactions équivalentes Rα à partir des résultats du précédentcalcul,

- calcul non linéaire sous l’action du poids propre, du tassement différentiel mesuréen 1982, des réactions équivalentes Rα et du type de chargement dont on souhaiteétudier l’influence. Celui-ci peut être : l’accroissement de tassement différentiel,les sollicitations thermiques ou les deux simultanément.

Cette démarche est effectuée pour différentes valeurs de α (de 3 à 100 %) et pour lesdifférents cas de charge envisagés. Les résultats du calcul sont alors confrontés à l’évolutiondes déplacements radiaux de 1982 à 1994 mesurés pour permettre d’évaluer le pourcentage duchamp de déplacement générateur de contraintes.

Avec ces hypothèses, le couplage du chargement thermique et de l’accroissement destassements différentiels est le cas de charge le plus sévère. L’accroissement de déplacementradial moyen calculé pour de telles sollicitations et comparé à son évolution entre 1982 et1994, conduit à penser que moins de 5% du déplacement radial mesuré en 1982 fût réellementgénérateur de contraintes et de dommages. Enfin, pour des valeurs de α inférieures à 0,1, lescontraintes et les déformations restent faibles dans la majeure partie de la coque. Néanmoins,DJERROUD et al. ont constaté une concentration de contraintes et de déformations dans leszones au voisinage du couronnement et du linteau.

3.3. Etude du comportement jusqu’à la ruine


- 32 -

Compte tenu de la surface de prise au vent qu’offrent les tours de réfrigérants (supérieure à unhectare), les forces de pression engendrées par le vent ont souvent été mises en cause lors deseffondrements de ces structures. Ainsi, beaucoup d’analyses numériques des coquesd’aéroréfrigérants traitent du comportement de la structure soumise à son poids propre (et àd’éventuelles charges permanentes supplémentaires) et à la pression du vent [MANG83][GOUL84].

Nous n’avons retenu ici que les travaux de l’équipe de recherche dirigée par KRATZIG à laRuhr University de BOCHUM qui nous ont semblé les plus pertinents. Ils ont étudiél’influence des cycles de chargements subis par la structure et de l’évolution de quelquescaractéristiques du matériau sur la capacité portante de l’ouvrage. Une description plusdétaillée des courbes charge-déplacement que nous allons présenter et des mécanismes dedégradation induits sous l’effet du vent est présentée en annexe B.

3.3.1. Effet du gradient thermique en service

0,0

0,4

0,8

1,2

1,6

2,0

2,4

2,8

0,0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7

Déplacement (m)

Fac

teur

de

char

ge λ

g + λ w

g + t + λ w

Figure 1.1 : Courbes charge-déplacement : influence du gradient thermique [GRUB96]

Les deux courbes de la figure 1.1 constituent les courbes de référence de la structure dans lecadre des études numériques menées. Elles correspondent en fait au comportement sous ventd’une structure parfaite sous l’action du vent en phase d’arrêt (g + λw) et en phase defonctionnement (g + t + λw).

3.3.2. Influence de la corrosion des armatures

Pour illustrer les effets néfastes que peut produire la détérioration du matériau béton armé,l’influence de la corrosion des armatures sur la charge de ruine a tenté d’être modélisée[GRUB96]. La prise en compte de cette pathologie consiste à une simple réduction de lasection d’aciers. Dans le cadre de ces hypothèses simplificatrices, les courbes charge-déplacement s’en trouvent sérieusement modifiées comme le montre la figure 1.2.

V3


- 33 -

0,0

0,4

0,8

1,2

1,6

2,0

2,4

2,8

0,0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7

Déplacement (m)

Fac

teur

de

char

ge λ

sans corrosion

g + λ w corrosion de 40 %

corrosion de 20 %

Figure 1.2 : Influence de la corrosion des armatures [KRUB96]

3.3.3. Etude d’une coque pré-endommagée

Le comportement sous l’action du vent d’une tour pré-endommagée a également été étudié.Les figures 1.3 et 1.4 montrent les résultats de ces études.

0,0

0,4

0,8

1,2

1,6

2,0

2,4

2,8

-0,04 0,04 0,12 0,20 0,28 0,36 0,44 0,52

Déplacement (m)

Load

fact

or λ

chargement monotone

après 20 cycles de chargement

chargement monotone

g + t + λ w

Figure 1.3 : Courbes charge-déplacement après 20 cycles de chargement à λ = 1 [KRAT96]

V3

V3


- 34 -

0,0

0,4

0,8

1,2

1,6

2,0

2,4

2,8

-0,1 0,0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 1,0 1,1 1,2

Déplacement (m)

Fa

cteu

r d

e ch

arg

e λ

1. chargement

g + t + λ w

2. chargement

déchargement

Figure 1.4 : Courbes charge-déplacement après un chargement à λ = 2 [GRUB96]

Si l’action répétée du vent tel qu’il est défini dans les règles de calcul (c’est à dire λ = 1) n’apratiquement aucune influence, l’effet d’une seule rafale (λ = 2) modifie considérablement lecomportement jusqu’à la ruine.

Cependant, les charges de ruine obtenues correspondent à des cas de charges extrêmementsévères. La probabilité qu’une coque ait à supporter une telle sollicitation de la part du ventest quasiment nulle.

3.4. Conclusions : les enseignements des modélisations effectuées

Tout d’abord, bien qu’il faille noter la bonne description du comportement jusqu’à la ruine dela structure sous l’action du vent, les sollicitations de services telles qu’elles sont sensées agirsur la structure (vent d’intensité « normale », tassement, poids propre, gradient thermique defonctionnement) ne permettent pas d’expliquer le niveau et l’état d’endommagement desstructures étudiées. Seule, la prise en compte des gradients hydriques en phase de constructionfait apparaître des contraintes de traction pouvant engendrer de la fissuration.

Compte tenu du nombre et de la complexité des phénomènes mis en jeu d’une part, et destemps de calcul que nécessite la modélisation de ces structures d’autre part, le chercheur estparfois contraint de simplifier son problème, en vue de limiter le nombre d’itérations àeffectuer et permettre ainsi de plus larges études paramétriques. Cependant, pour ce type destructure fortement hyperstatique où les redistributions de contraintes au sein de la coqueaprès fissuration jouent un rôle prépondérant vis-à-vis de la réponse de la structure à lasollicitation soumise, l’introduction d’un comportement élastique isotrope des matériauxconstitutifs semble peu réaliste.

D’autre part, toutes les études réalisées dans le cadre de la recherche des mécanismesresponsables de l’évolution de l’endommagement (défauts géométriques ou fissuration) sonteffectuées sur des structures supposées initialement parfaites (non fissurées, non

V3


- 35 -

contraintes). La définition d’un état initial à la mise en service de la structure s’avèrepourtant indispensable si l’on veut pouvoir comparer résultats de calculs et retoursd’expérience.

De plus, les caractéristiques matérielles (module d’YOUNG, résistances, …) sont desconstantes des études menées. Il n’est presque jamais tenu compte du vieillissement desmatériaux :

- altération des propriétés mécaniques du béton,

- fissuration structurelle initiale,

- éventuelle corrosion des armatures.

Enfin, tous les travaux de recherche ont été entrepris dans le cadre de la mécanique statique.La prise en compte d’une probable propagation de fissures suite à des chargements de typecyclique (phénomène de fatigue) n’a, à ce jour, pas encore été effectuée.

Nous retiendrons finalement les travaux de KRUBER [KRUB96] et KRATZIG [KRAT96]présentés dans le paragraphe 3.3. Il s’agit là d’une approche intéressante qui permet pour deschargements complexes d’étudier l’évolution des paramètres caractéristiques des courbescharge-déplacement (charge de fissuration, charge de ruine). La prise en compte del’évolution des caractéristiques du matériau avec le temps est également possible. Bien queces études nécessitent des temps de calcul considérables et que la prise en compte desproblèmes spécifiques liés au vieillissement des bétons se fasse dans le cadre d’hypothèsessimples, elles constituent une perspective intéressante où la notion de scénario de dégradationest pour la première fois introduite. Les courbes charge-déplacement proposées constituentégalement des indicateurs d’endommagement de la structure à l’échelle globale. Nouspensons que c’est vers cette façon d’appréhender le problème qu’il faut aujourd’hui s’orienter.


- 36 -

4. Présentation de nouvelles perspectives d’étude pour lesaéroréfrigérants

4.1. Replacer le problème dans un plus vaste contexte

4.1.1. Construction de l’aéroréfrigérant

Même si la mise au point d’une modélisation, prenant en compte les différentes phases deconstruction et le comportement du béton au jeune âge, apparaît délicate de par la complexitédes phénomènes mis en jeu, elle nous semble nécessaire. En effet, elle permettrait dequantifier la part de l’endommagement engendré par cette étape et de définir un état initial àla mise en service sur lequel pourraient ensuite s’appuyer des études pour la recherche desmécanismes responsables de l’évolution de cet endommagement.

La construction des coques d’aéroréfrigérants fait appel à des techniques d’échafaudagesauto-grimpants qui s’appuient sur les bétons coulés depuis trois jours et supportent lespanneaux de coffrages permettant la réalisation d’une levée de 1,30 à 1,50 mètre par jour.

Tout d’abord, le béton est chargé au jeune âge et n’a donc pas encore acquis ses propriétésmécaniques de service. D’autre part, le phasage de construction va provoquer un léger bridagede la levée n par la levée (n - 1) empêchant les déformations de retrait et pouvant ainsiprovoquer la fissuration. Enfin, comme nous l’avons précédemment évoqué, il existe entredeux levées successives, une reprise de bétonnage qui peut avoir des conséquences néfastesvis-à-vis de la durabilité de la structure.

La figure 1.5 rassemble l’ensemble des phénomènes mis en jeu au cours de la phase deréalisation de la coque.

Figure 1.5 : Principaux mécanismes de dégradation au cours de la construction de la coqued’un aéroréfrigérant

• Qualité defabrication

Tolérancegéométrique

Reprises de bétonnageBéton d'enrobage

• Maturationdu béton

Fissuration possible Défauts géométriques

Retrait endogèneRetrait thermique

Localement, béton dequalité médiocre

STRUCTURE FISSUREE, DEFORMEE ET MATERIAUX LOCALEMENTENDOMMAGES

• Conditionsatmosphériques


- 37 -

4.1.2. Fonctionnement de l’aéroréfrigérant

Afin de mieux comprendre la problématique à laquelle nous sommes confrontés dans lecontexte de la dégradation des coques d’aéroréfrigérants, il semble intéressant de présenterl’ensemble des phénomènes mis en jeu ainsi que le mode d’action.

Les coques d’aéroréfrigérants sont des structures à haut risque de vieillissement rapide, àcause de leur géométrie et de leur exposition à des conditions environnementales agressives.

En premier lieu, la coque est exposée à des facteurs qui peuvent directement entraîner ladégradation du béton :

- les eaux (condensats sur la paroi interne ou précipitations sur la paroi externe) quien fonction de leur acidité peuvent dégrader le béton par lessivage,

- les variations de température dues aux conditions atmosphériques qui peuvent parle gel ou l’assèchement, dégrader le matériau.

Figure 1.6 : Fonctionnement de l’aéroréfrigérant : phénomènes de dégradation mis en jeu

Altération dubéton

Gradientd'humidité

Gradientthermique

Corrosion desarmatures

Réduction dessections d'acier

Fatigue parcyclages

Retrait

Humiditérelative

Agentsagressifs Vent

Interaction sol-structure

Poids propre

Effets dynamiques

Evolution de lafissuration

Evolution de ladéformée

Structureendommagée

Actionmécanique

Dégradation progressive desmatériaux constitutifs et de la

structure

Action chimique surle béton

• Conditions particulières defonctionnement

• Environnementphysico-chimique

• Environnementphysico-mécanique

Température


- 38 -

Ensuite, la coque est exposée à des conditions propices au développement des mécanismes dedégradation comme par exemple l’alternance des conditions météorologiques (journalières,saisonnières et annuelles) en liaison avec le fonctionnement du réfrigérant, soumettant lacoque à des cycles humidité-séchage et chauffage-refroidissement.

Enfin, les sollicitations mécaniques, thermiques et hydriques en liaison avec les défauts deconstruction (hétérogénéités, joints de levées), la qualité et la mise en place du béton(perméabilité, enrobage des armatures) peuvent conduire à une fissuration ou unemicrofissuration de la coque qui facilite la pénétration des agents agressifs.

L’ensemble des facteurs mis en jeu est présenté sur la figure 1.6.

4.1.3. Scénario de dégradation

A la lumière des descriptions précédemment fournies, nous pouvons à présent proposer unscénario de dégradation possible des coques de réfrigérants atmosphériques (cf. figure 1.7). Ilne s’agit là que d’une schématisation très simplifiée présentant de façon succincte lesprincipaux phénomènes.

Figure 1.7 : Scénario de dégradation : schéma de principe

Temps

Dégradation dela structure

CONSTRUCTION EXPLOITATION

Qualité de construction

Maturation du béton

❷ Vieillissement desmatériaux constitutifs.Dégradation physico-

chimique❶ Dégradation structurelle(fatigue, retrait, tassement

différentiel,…)

Durée de vie optimale pour une qualité deconstruction donnée

Niveau d’endommagement conduisant à la ruine de la structure

EFFONDREMENT DE LA STRUCTURE❸ Dégradation due à dessollicitations de typeaccidentel (rafale de vent, fortensoleillement, séisme, ...)

❶ + ❷

❶ + ❷ + ❸


- 39 -

Une telle présentation permet d’une part, d’intégrer le comportement des toursd’aéroréfrigérants dans un schéma temporel, et d’autre part de fournir un cadre d’étude plusvaste dans le domaine de la modélisation de ces structures.

En fonction de l’âge de la structure, on représente l’évolution de l’endommagement de lastructure (au sens très général du terme, il s’agit en fait d’une variable conceptuelle) à la foispendant les phases de construction et de fonctionnement de la tour.

Comme nous avons déjà eu l’occasion de le remarquer, la coque d’un aéroréfrigérant présenteun état de dégradation à la mise en service.

Pendant la phase d’exploitation, la coque est soumise à une dégradation fonctionnelle liée auxconditions environnementales et de fonctionnement (❶ + ❷). Cette évolution del’endommagement est inévitable et correspond à ce que l’on pourrait appeler « vieillissementnormal » à la fois pour la structure (❶) et pour les matériaux constitutifs (❷). De plus, lesdégradations liées à des sollicitations accidentelles auxquelles la structure, compte tenue de sagéométrie particulière, est plus sensible, doivent être prises en compte (❸). Enfin, tous cesmécanismes de détérioration conditionnent les performances mécaniques de l’ouvrage. Ainsi,la résistance ultime de la tour est d’autant plus faible qu’elle est dégradée.

4.2. Conclusions : proposition d’un nouveau thème de recherche

Le travail de synthèse qui vient d’être effectué dresse un bilan de l’ensemble des mécanismespotentiels de dégradation des coques de réfrigérants atmosphériques et met en évidence lacomplexité du problème auquel nous sommes confrontés. Les processus de dégradation sontnombreux, divers et bien souvent couplés. Ainsi, tenter aujourd’hui d’évaluer la contributionde chacun dans le processus de dégradation de ces structures paraît utopique : le tempsimparti à la préparation d’une thèse est trop court et l’état actuel des connaissances danscertains domaines en matière de modélisation numérique (fatigue du béton armé, couplagesentre les divers mécanismes) est insuffisant pour de telles perspectives.

Pourtant, l’étude de la contribution de chacun des mécanismes présentés et la mise au pointd’une hiérarchisation des facteurs d’importance n’en restent pas moins l’objectif principal àlong terme et dans ce contexte, il nous a paru intéressant de faire cette présentation.

Tout d’abord, elle dresse un bilan complet de tous les facteurs de dégradation et de leur moded’action respectif tant à l’échelle du matériau qu’à celle de la structure. D’autre part, elle nousoffre une vision plus claire de la problématique de recherche dans laquelle s’inscrit notreétude, à savoir l’identification de critères de déformation et d’endommagement pour ce typede structures. Enfin, elle permet d’estimer plus facilement les acquis et les lacunes dans ledomaine de la modélisation numérique de ces structures.

Jusqu’à présent, trop peu d’études numériques sur ce sujet se sont intéressées à intégrer lefacteur « temps » dans leur modélisation. Souvent, les modélisations adoptent comme étatinitial une structure saine pour l’étude de la réponse de la tour à divers types de sollicitationsou pour l’étude de son comportement jusqu’à la ruine (cf. figure 1.8).


Il faudrait,compte de(cf. figureet on pour

Figure

Structureparfaite

Sollicitations mécaniques, thermiques et hydriques

Sollicitations extrêmes

P

Compd’a

contrib

Sollicitations deservice

Ruine de la structure
Structure plus ou moins
endommagéeCritères globaux :fissures et défauts

- 40 -

Figure 1.8 : Cadre des études réalisées

à terme, être capable de pouvoir effectuer les calculs dans un schéma qui tiendrait l’histoire de la structure et plus généralement de la notion de « réfrigérant vieilli »

1.9). Dès lors, la comparaison avec les retours d’expérience s’avérerait plus réalisterait entrevoir la définition d’un critère de ruine.

1.9 : Prise en compte du vieillissement pour l’étude du comportement des coquesd’aéroréfrigérants

athologies structurelleset matérielles

Construction

Aéroréfrigérantpré-endommagé

Evolution de la déformée et dela fissuration de la structure

Vieillissement desmatériauxconstitutifs

Aéroréfrigérantvieilli

Ouvrage en service Sollicitations extrêmes

Ruine

Sollicitations mécaniques, thermiques et hydri ques

araison possible avec les bilansuscultations. Evaluation de laution des mécanismes mis en jeu

Définition d’un critère de ruine

Temps


- 41 -

L’analyse des retours d’expérience met souvent en cause les sollicitations thermiques ethydriques vis-à-vis des dégradations matérielles et structurelles observées. De plus, des étudesnumériques ont montré, dans le cadre d’hypothèses simplificatrices toutefois, que lesgradients hydriques pouvaient s’avérer particulièrement pénalisants pour ces ouvrages[DELA93] [HOFS95] [WITA98]. Ainsi, dans ce contexte, l’étude du comportement hydro-mécanique des coques d’aéroréfrigérant semble tout à fait justifiée.

Plus particulièrement, la mise au point d’un modèle numérique capable de décrire lecomportement mécanique du béton fissuré et intégrant les déformations de retrait et de fluagepouvant être générées par la technique particulière de fabrication et les conditions defonctionnement des tours de refroidissement apparaît être une perspective intéressante.

Notons de plus, que dans le cadre du projet MVGC (Modélisation du Vieillissement pour lesouvrages en béton du Génie Civil) d’EDF, les aspects fluage, corrosion, fatigue et altérationpar des eaux agressives sont traités sous une forme disciplinaire. La recherche de lacontribution des couplages mécanique-hydrique et la détermination d’un étatd’endommagement à la mise en service n’en devient que plus justifiée comme un travailcomplémentaire qui pourra bénéficier ultérieurement des autres compétences acquises.


- 42 -

Conclusion

La description générale de ces structures très particulières que sont les tours derefroidissement et l’analyse des retours d’expériences en matière d’auscultation d’ouvrage ontpermis de montrer que les aéroréfrigérants sont des constructions à haut risque devieillissement rapide compte tenu de leur dimensionnement et des conditionsenvironnementales agressives auxquelles elles sont parfois exposées. C’est pour ces raisonsque de nombreuses études concernant les problèmes liés au vieillissement de ces structuresont été réalisées.

Il faut tout d’abord souligner la différence des points de vue adoptés dans ce domaine. Laplupart des calculs réalisés traitent du comportement jusqu’à la ruine de ces structures pour demultiples cas de figures. On modélise souvent les tours de réfrigérants en cherchant toujours ày intégrer le plus grand nombre de phénomènes possible. Certains proposent ainsi denouveaux outils d’aide à la conception, d’autres tentent d’expliquer les ruptures spectaculairessurvenues dans le monde. Si les mécanismes de ruine possibles sous les différentescombinaisons de chargement envisagées ont pu être identifiés dans un cadre purementmécanique, la recherche des facteurs prépondérants pouvant être responsables de ladétérioration progressive de ces structures n’est, par contre, presque jamais évoquée.

En France, l’analyse des retours d’expérience en matière d’auscultation d’ouvrage a permis dequantifier quelque peu le problème, et la recherche s’est plutôt orientée sur l’origine et surtoutl’évolution des dommages observés.

Ainsi, les nombreuses campagnes de mesures menées sur l’aéroréfrigérant 3 et les analyseseffectuées au sein de notre laboratoire ont permis d’apporter quelques éléments de réponsequant à l’origine potentielle de ces défauts. Ceux-ci ont vraisemblablement été initiés durantla phase de construction du réfrigérant atmosphérique par la méthode particulière defabrication (tolérance admise sur la géométrie de la structure, technique de coffrage auto-grimpant). En revanche, les différentes études entreprises n’ont pas permis d’identifierclairement la ou les origines de l’évolution des dommages (déformée et fissuration) observés.Malgré la précision des modélisations réalisées, aucune des sollicitations ou combinaisons dechargement envisagées n’a en effet permis de retrouver quantitativement l’évolution de cesdommages ou l’identification de mécanismes de dégradation.

Cependant, des simulations simplifiées visant à étudier les effets de la prise en compte duphasage de construction et des déformations différées du béton ont permis de mettre enévidence des contraintes significatives de traction pouvant générer de la fissuration.

Dans ce contexte, nous avons choisi de consacrer notre travail de recherche à la mise en placed’un modèle numérique capable de décrire le comportement mécanique du béton fissuré enintégrant les déformations différées pouvant être générées en phase de construction et par lesconditions particulières de fonctionnement des tours de refroidissement. Ce modèlepermettrait la détermination d’un état initial de la structure à sa mise en service indispensableen vue d’étudier les effets des sollicitations classiques sur une tour pré-endommagée et detenter de quantifier leur contribution à la progression de cet endommagement.

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CHAPITRE II

MODELISATION DES TRANSFERTSHYDRIQUES DANS LE BETON

Chapitre II Modélisation des transferts hydriques dans le béton

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Introduction

Lors du séchage du béton, comme nous le montrerons dans le troisième chapitre, le départd’eau va provoquer dans la matrice cimentaire, un retrait appelé retrait de dessiccation. Lalenteur des processus mis en jeu fait apparaître de forts gradients de teneur en eau créant ainsidans la structure des retraits différentiels. Ainsi, dans le cadre de l’analyse des effets de ceretrait sur le comportement mécanique des ouvrages en béton armé, il est indispensable demettre au point un outil numérique pour la description des transferts d’humidité au sein dumatériau si l’on souhaite pouvoir exprimer localement les déformations de retrait.

La première partie de ce chapitre constitue une brève revue de la documentation concernant lecomportement hydrique du béton. La description des états de l’eau, la présentation desdifférents mécanismes de transport mis en jeu pendant la dessiccation ainsi que l’étude descouplages mécanique-hydrique y sont fournies.

La deuxième partie est consacrée à la description mathématique des transferts d’humiditédans le béton. L’approche de modélisation choisie, qui consiste à résoudre une équation dediffusion non linéaire, est souvent proposée dans la littérature [BAZA72] [MENS88][ALVA93] [GRAN96]. Elle présente l’avantage de pouvoir obtenir les profils d’humiditéavec un nombre restreint de paramètres facilement identifiables expérimentalement.Toutefois, il nous a semblé intéressant de situer notre approche dans un cadre plus général dedescription des mouvements d’eau au sein du béton où interagissent différents constituants(eau, air, béton) sous divers états (solide, liquide, vapeur). Ce travail permet de bien identifierles hypothèses à introduire pour la mise au point d’un modèle de transfert simplifié et de lesdiscuter au regard des résultats fournis par des modèles plus riches.

Nous présentons enfin, dans une troisième partie, les résultats de simulations d’essais degammadensimétrie sur éprouvettes en béton et montrons que le modèle développé est apte àreproduire le séchage des structures en béton.

L’ensemble des développements numériques réalisés dans ce contexte ainsi que les résultatsde calcul qui sont présentés dans ce chapitre ont été effectués avec le code de calculCASTEM2000 du CEA [CAST96].


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1. Mécanismes de transport de l’eau dans le béton

1.1. L’eau dans le béton

Les vides présents dans la matrice solide du béton sont plus ou moins remplis d’eau. Cet étathydrique dépend essentiellement du degré d’hydratation du matériau, de l’humidité relativerégnant dans le réseau poreux (traduisant le caractère hygroscopique du matériau comme nousle montrerons ultérieurement), des conditions de cure et de la taille des pores considérés.

L’eau présente est un des constituants à part entière de la microstructure du matériau. En effet,l’eau adsorbée des micropores du gel, par exemple, de par sa structuration et grâce aux forcesqui la lient au solide participe avec lui à la cohésion et à la résistance mécanique du matériau.Il en est de même pour l’eau capillaire, liée au solide par des forces de tension superficielles,dont les mouvements entraînent des déformations de la matrice cimentaire (retrait ougonflement).

L’eau va donc jouer un rôle essentiel dans le comportement du matériau durci, non seulementsur le plan mécanique (résistance, retrait de dessiccation et fissuration induite dus àl’évaporation de l’eau des pores, fluage,…) mais aussi sur celui de la durabilité, parl’intermédiaire de paramètres tels que la perméabilité aux liquides et aux gaz régissant lestransports d’agents agressifs au sein du matériau.

1.1.1. Etats de l’eau dans le béton

L’eau introduite au cours de la fabrication est présente sous de multiples états dans le bétondurci. L’étude de ses formes a fait l’objet de nombreuses classifications que nous nedétaillerons pas ici. Nous retiendrons seulement la classification simplifiée suivante[BARO94] :

- l’eau chimiquement liée qui participe à la réaction d’hydratation pour donnerprincipalement le gel de CSH,

- l’eau adsorbée : il s’agit principalement des premières couches d’eau soumises auchamp des forces superficielles au niveau des surfaces du réseau poreux. On distingueprincipalement deux types d’interactions :

• fixation par liaisons chimiques : c’est l’adsorption chimique,

• fixation par liaisons intermoléculaires de VAN DER WAALS : c’estl’adsorption physique.

- l’eau capillaire est constituée de la phase condensée remplissant (par condensationcapillaire) le volume poreux au-delà de la couche adsorbée et séparée de la phasegazeuse par des ménisques. Elle obéit donc aux lois de la capillarité (lois de JURIN,KELVIN-LAPLACE),

- l’eau libre qui n’est plus sous le champ d’influence des forces superficielles. Elle setrouve principalement dans les pores capillaires et les macropores. Elle représente, en


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fait, un cas particulier de l’eau capillaire et rentre, dans la plupart des études, danscette dernière classe.

L’eau est donc présente dans le béton sous différents états. En général, du point de vue del’identification des phénomènes mis en jeu pour l’étude des transferts hydriques, il estbeaucoup plus simple de distinguer eau « évaporable » et eau « non évaporable ».

Dans ce cas, l’eau « non évaporable » comprend :

- l’eau adsorbée fortement liée,

- l’eau chimiquement liée.

Et l’eau « évaporable » comprend donc :

- l’eau capillaire,

- l’eau adsorbée la moins liée.

1.1.2. Hygroscopicité du matériau : phénomènes de sorption de vapeur d’eau

L’ hygroscopicité traduit la capacité du matériau à adsorber ou désorber de l’eau et à laretenir, que ce soit par adsorption moléculaire surfacique ou par condensation capillaire, enfonction de l’humidité relative de l’air ambiant. Ce sont les caractéristiques microstructuralesqui confèrent au béton une hygroscopicité sur tout le domaine des valeurs de l’humiditérelative.

Lorsque l’espèce adsorbée se trouve en équilibre avec la phase gazeuse, sa concentrationsuperficielle dépend de la pression du gaz (ou de la pression partielle de la vapeur dans le casde l’air humide), de la température, de la nature du gaz, ainsi que de la nature et de l’état desurface du solide. A température fixée, le nombre de couches de molécules de vapeur d’eauadsorbées (adsorption moléculaire surfacique) sur la surface d’un solide dans l’air humideest une fonction croissante de la pression partielle, donc de l’hygrométrie (rappelons quel’hygrométrie est définie par le rapport de la pression de vapeur d’eau sur la pression devapeur saturante). Les énergies de liaison (d’adsorption) de ces diverses couches d’eaudiminuent avec la distance au solide, ce qui diminue la quantité d’eau fixée.

Le tracé d’isothermes d’adsorption permet de décrire ce phénomène. Avec les matériauxporeux, au-delà d’une certaine humidité, l’accroissement d’épaisseur de la couche adsorbéeconduit à une condensation de l’eau dans les pores : c’est la condensation capillaire. On peutégalement montrer que ce sont dans les pores les plus fins que ce phénomène est le plusimportant puisque ce sont eux qui présentent le rapport surface/volume le plus élevé.

La forme des isothermes d’adsorption est modifiée lorsque la condensation capillaire seproduit. Comme le montre la figure 2.1, un phénomène d’hystérésis peut être observé entrel’adsorption (à hygrométrie croissante) et la désorption (à hygrométrie décroissante).L’hystérésis est fréquemment expliquée par la forme géométrique des pores, des vides étantconnectés à leurs voisins par des cols de taille inférieure.


- 47 -

Figure 2.1 : Isothermes d’adsorption et de désorption obtenues pour une pâte de ciment[BARO94]

Ces phénomènes de sorption de vapeur d’eau sont essentiels, car ils englobent tous lesmécanismes d’interaction solide – liquide – phase gazeuse au sein de la matrice poreuse surtout le domaine de l’activité de l’eau et ils sont en particulier responsables du retrait dedessiccation qui se produit lors du séchage du béton.

1.2. Les différents mécanismes de transport mis en jeu

1.2.1. Ecoulement de fluide par perméation

Ce type de transport intervient dans plusieurs situations. Un écoulement d’eau en phaseliquide se produit dans le cas d’un béton durci s’il est soumis à un gradient de pressionhydraulique ou s’il est exposé, à l’état saturé, à une dessiccation (l’écoulement en phaseliquide est engendré par les tensions capillaires) ou encore si le béton, à l’état sec, subit uneascension capillaire d’origine externe. Il peut également s’agir d’un mode de transfert de lavapeur d’eau où le mouvement de fluide est dû à un gradient de pression de gaz.

1.2.2. Transport par diffusion dans le réseau poreux du béton

La diffusion désigne le processus de transport d’un constituant dans un milieu donné sousl’effet de son agitation aléatoire à l’échelle moléculaire. S’il existe des différences deconcentration entre deux points du milieu, ce phénomène engendre un transport global duconstituant considéré, orienté de la zone la plus concentrée vers la zone la moins concentrée.

1.2.3. Illustration : le séchage du béton

Le séchage du béton est le résultat de plusieurs processus de transport, l’importance dechacun d’entre eux variant avec l’humidité relative (souvent notée H.R.) du milieuenvironnant.


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Lors du séchage du béton, on observe quatre états caractéristiques, au cours desquelsinterviennent, successivement ou simultanément, différents mécanismes. Ceux-ci sontillustrés sur la figure 2.2 et BAROGHEL BOUNY [BARO94] en donne la descriptionsuivante.

1.2.3.1. Hautes valeurs d’humidité relative

A saturation, tout le réseau est rempli d’eau liquide et cette phase « capillaire » est continue.Cependant, le béton est très vite « désaturé » par autodessiccation (consommation d’eau par laréaction d’hydratation). Dès que les pores en surface ne sont plus saturés, un écoulementcapillaire depuis l’intérieur vers l’extérieur du système poreux se crée.

Ainsi, au tout début du séchage, tant que la phase capillaire reste continue et que laperméabilité à l’eau liquide est encore relativement forte, c’est le transfert en phase liquide,provoqué par des forces capillaires, qui est prépondérant : c’est la pression capillaire quigouverne les mouvements d’eau.

Figure 2.2 : Illustration des quatre types de transferts d’humde l’air ambiant (d’après [BARO9

Saturation ou phase capillairecontinue :

Ecoulement dans la phase condensée

Ec nsée

Eau liquide

Hum

idité

rel

ativ

e dé

croi

ssan

te

Phase capillaire dispersée :« Evaporation – condensation »oulement dans la phase conde

idité possibles suivant l’humidité4])

Adsorption monomoléculaire :Diffusion gazeuse

Adsorption multimoléculaire :Diffusion gazeuse et surfacique


- 49 -

1.2.3.2. Valeurs intermédiaires d’humidité relative

C’est le domaine où il y a coexistence de la phase gazeuse et la phase liquide. Au fur et àmesure que l’humidité relative décroît, les pores se vident et les filets d’eau liquide serompent : on assiste alors à un phénomène d’évaporation donc à un transfert diffusionnel del’humidité.

De l’eau capillaire est présente dans le réseau (elle remplit uniquement les pores les plus fins),mais ne forme pas une phase continue dans le milieu. En pareil cas, il ne peut y avoirmouvement d’eau dans ces îlots capillaires que par suite d’un échange par évaporation-condensation, avec la phase gazeuse, de part et d’autre des ménisques.

S’il n’existe pas de chemin continu d’eau, entre ces îlots, donnant lieu à un flux liquide, àl’échelle macroscopique, la totalité du flux de masse doit alors être affectée à la diffusiongazeuse.

1.2.3.3. Faibles valeurs d’humidité relative

Ici, le transfert en phase gazeuse est dominant. Un film liquide, de quelques moléculesd’épaisseur, est adsorbé sur la surface solide. En plus de la diffusion gazeuse, on va doncavoir une migration des molécules d’eau du film (appelée diffusion surfacique).

Pour les valeurs d’humidité relative les plus basses, lorsque l’eau condensée n’estpratiquement plus présente , le seul transfert possible est une diffusion gazeuse.

1.3. Etude succincte des couplages mécanique-hydrique dans le béton

L’étude de l’influence des contraintes et de la fissuration sur les propriétés de transfert dubéton est un problème délicat.

La littérature semble fournir des résultats contradictoires à ce sujet. En effet, L’HERMITE ETMAMILLAN [LHER68] ont conclu grâce à des essais de perte en masse sur éprouvetteschargées et non chargées que la vitesse de séchage ne dépendait pas de l’état de contraintealors que TANABE et ISHIKAWA [TANA93] ont reporté une perte en masse 0,1 % à 0,3 %induit par compression sur éprouvettes chargées au jeune âge.

Une étude plus approfondie montre toutefois que le niveau de contraintes en compression estprépondérant. Les essais de KERMANI [KERM91] rapportés par GERARD [GERA96] ontmis en évidence pour trois bétons différents, un accroissement de facteur de perméation aprèsque le niveau de contraintes ait dépassé 40 % de la charge ultime. GERARD a conclu quel’évolution de la perméabilité était directement corrélé à la création de fissures dans le casd’un matériau chargé en compression.

Dans le cadre des chargements en compression avec lesquels nous travaillerons, noussupposons l’influence de l’état de contraintes sur les transferts d’humidité négligeable.Cependant, les fissures qui se développent dans les ouvrages en service sont généralementdues à des contraintes de traction. Plus particulièrement, le retrait de dessiccation, commenous le montrerons ultérieurement, génère une fissuration de peau. Par la suite, certaines de


- 50 -

ces fissures se refermeront pour laisser place à des fissures plus larges et plus profondes[ACKE88] [GRAN96].

Malheureusement peu de données sont disponibles sur les bétons soumis à de tellessollicitations. Quelques expériences ont été rapportées par GERARD [GERA96] mais neconcernent malheureusement que les fissures largement ouvertes (supérieures à 0,1 mm).Nous retiendrons toutefois une étude expérimentale réalisée par BAZANT et al. [BAZA86]sur des portiques fissurés. Ils ont proposé empiriquement de décrire les transferts d’humiditépour des structures fissurées en multipliant le coefficient de diffusion hydrique équivalent parle facteur :

s

/�

3

1+= . (2.1)

où / est la largeur maximale des fissures et s leur espacement. Dans ce contexte, GRANGER[GRAN96] précise que pour une éprouvette 16 cm × 32 cm où les fissures atteignent unelargeur de 25 �P� HW� DYHF� XQ� HVSDFHPHQW� GH� O¶RUGUH� GX�PLOOLPètre, le coefficient � est trèsproche de 1.

Compte tenu de ces éléments, la prise en compte de l’influence de la réponse mécanique surles transferts d’humidité ne nous semble pas primordiale et nous n’en avons donc pas tenucompte.


- 51 -

2. Description mathématique des transferts d’humidité

Afin de prévoir la répartition et l’évolution des teneurs en eau à l’intérieur du milieu poreuxque constitue le béton, de nombreux modèles de transferts d’humidité ont été développés.Parmi les différentes approches proposées, on peut distinguer trois axes de recherchesprincipaux [BARO94] :

- la méthode d’homogénéisation qui consiste à considérer le milieu poreux comme unassemblage d’éléments microscopiques. Elle permet alors de trouver des loismacroscopiques à partir des lois microscopiques valables à l’échelle de l’élément.

- l’approche microscopique de type réseau, faisant appel à la notion de percolation quise déroule en trois étapes :

• schématisation de la microstructure du matériau par un réseau plus ou moinscomplexe à mailles régulières de sphères (sites) connectées par des tubescylindriques (liens),

• description du transport à travers un pore élémentaire cylindrique par uneanalyse microscopique,

• couplage des deux analyses précédentes pour obtenir une estimation descoefficients effectifs de transfert dans le matériau modèle considéré.

Les caractéristiques du réseau modèle (diamètres des capillaires, connectivités,…)sont choisies à partir de l’image que l’on veut avoir de la microstructure réelle d’aprèsles résultats obtenus par des méthodes d’investigation telles qu’injection par mercure,adsorption gazeuse, microscopie et analyse d’images. Cette approche de type réseauest assez récente [DAIA86], [QUEN89] et se développe actuellement dans le sensd’une modélisation du réseau poreux de plus en plus réaliste, grâce à des méthodesd’analyses et de résolution de plus en plus sophistiquées [BENT95].

- l’approche à l’échelle macroscopique où le milieu poreux est assimilé à un milieucontinu fictif équivalent. Les différentes phases (solide, liquide, gaz), occupant toutl’espace géométrique, se superposent et sont caractérisées par des champs continus devariables qui représentent une valeur moyenne sur un volume élémentaire représentatif(V.E.R.). La méthode qui est généralement utilisée consiste, connaissant lescoefficients de transfert, à résoudre le système d’équations couplées [GENT97][LEPO99] [MAIN99].

C’est dans le cadre de cette dernière approche que nous décrirons les transfertsd’humidité au sein du réseau poreux que constitue le béton.

2.1. Transfert d’humidité sous forme liquide

A l’échelle macroscopique, le flux massique de liquide est donnée par la loi de DARCY :

llll hgradk!J→→

−= , (2.2)


- 52 -

où kl est le coefficient de perméabilité à l’eau liquide (m/s), hl est la charge hydraulique del’eau et !l est la masse volumique de l’eau liquide. La charge hydraulique, quant à elle, estdéfinie par :

zg!

Ph

l

ll += , (2.3)

avec Pl pour la pression d’eau liquide, z définissant la cote verticale positive vers le bas etg l’accélération de la pesanteur. Avec la relation (2.3) et en négligeant l’action de la gravité,nous pouvons réécrire la loi de DARCY sous une forme plus couramment utilisée dans lalittérature :

le

lll Pgrad�

K!J

→→−= , (2.4)

où �e est la viscosité dynamique de l’eau liquide et Kl est la perméabilité à l’eau liquide(exprimée en m2) valant :

g!

k�K

l

lel = . (2.5)

De manière à exprimer le flux d’eau liquide sur toute la plage d’humidité (loi de DARCYgénéralisée), on écrit souvent la perméabilité à l’eau liquide Kl sous la forme :

( )lrell

tinll SKKK = , (2.6)

où Klint est la perméabilité intrinsèque du matériau (telle que la définit la loi de DARCY pour

un milieu saturé) et Klrel est la perméabilité relative (comprise entre 0 et 1) qui est fonction du

degré de saturation Sl.

0,01

0,1

1

10

100

1000

10000

0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7

Porosité

Per

méa

bilit

é (1

0-20 m

2 )

Pâtes de ciment

Mortiers et bétons

Figure 2.3 : Corrélation entre perméabilité à l’eau et porosité efficace [GERA96]


- 53 -

La prédiction des propriétés de perméation d’un matériau poreux n’est pas chose aisée. Uneétude détaillée des approches utilisées a été proposée par MARCHAND et GERARD[MARC95]. Nous retiendrons de cette étude la dépendance de la perméabilité à l’eau vis à visde la porosité efficace (définie par : porosité totale / (1 – fraction volumique d’ajouts solides))illustrée sur la figure 2.3.

2.2. Transfert d’humidité sous forme gazeuse

Dans le cadre de la thermodynamique des milieux poreux, la positivité de la dissipation(conséquence du second principe [COUS91]) associée au transfert de la phase gazeuse permetde montrer que le transfert d’humidité est lié :

- à un phénomène de type perméation (loi de DARCY) sous gradient de pressiontotale (c’est à dire pression d’air + pression de vapeur d’eau),

- à un phénomène de type diffusion (loi de FICK) lié aux gradients deconcentration.

Cependant, la littérature considère souvent que la pression totale est constante dans lematériau et néglige dès lors le transfert d’humidité associé aux gradients de pression totale[GRAN96] [BARO94]. Ainsi, les mouvements d’eau sous forme vapeur peuvent êtrecorrectement décrits par une loi de FICK exprimant le flux massique de vapeur d’eau par[LEPO99] :

g

vgv

!

!gradD!J

→→−= , (2.7)

où !g est la masse volumique de la phase gazeuse, !v est la masse volumique de la phasevapeur et D est le coefficient de diffusion libre de la vapeur dans le milieu poreux.

Dans un milieu poreux non saturé, la vitesse de déplacement de la vapeur d’eau est inférieureà celle obtenue dans le cas d’une diffusion dans l’air. On peut alors introduire un facteur derésistance f tel que [COUS00] :

0fDD = , (2.8)

où D0 est le coefficient de diffusion libre de la vapeur d’eau dans l’air. Il vaut 2,47.10-5 m2.s-1

pour T = 20°C et P = Patm [DAIA86].

La phase gazeuse n’est pas présente dans tout le volume poreux mais uniquement dans lazone non occupée par les phases capillaire ou adsorbée. Le facteur de résistance f doit donctenir compte de la section réelle �eff de passage du flux de vapeur définie par :

( )lleff S�� −=−= 1φφ , (2.9)

où �l est teneur en eau volumique et φ la porosité du milieu.

D’autre part, à l’échelle macroscopique, le coefficient de diffusion de la vapeur dans le bétonD est fonction des paramètres de la structure poreuse. Ainsi :


- 54 -

- La trajectoire des molécules n’est pas rectiligne ce qui conduit à introduire unfacteur de « tortuosité ».

- Le réseau poreux est le siège d’interconnexions entre des pores de tailles trèsdiverses. Une formulation du flux de vapeur doit donc également tenir compted’un facteur de « connectivité ».

- Enfin, le transfert des molécules de vapeur d’eau a lieu dans des pores dont lesdimensions sont très petites par rapport au libre parcours moyen des moléculesdans l’air. Les parois des pores ont donc une influence sur les chocs mutuels entreles molécules et ralentissent la diffusion : c’est l’effet KNUDSEN.

Dans ce contexte, le coefficient de diffusion D peut finalement s’écrire :

( ) 01 D�SD l−= φ , (2.10)

où � est un facteur de tortuosité et de connectivité du réseau poreux reflétant également uneéventuelle interaction entre les molécules diffusées et la surface des pores [GARB90].

2.3. Modélisation des transferts hydriques dans le béton

2.3.1. Equation générale du transfert de masse en conditions isothermes

En ne tenant pas compte de la consommation d’eau par la réaction d’hydratation, l’équationde conservation de la masse d’eau s’écrit localement :

+−=

∂∂ →→

vl JJdivt

w, (2.11)

où w est la teneur massique en eau (exprimée en kg.m-3). La résolution de l’équation (2.11)nécessite le choix d’un potentiel de résolution unique en fonction duquel les flux de vapeurd’eau et d’eau liquide doivent être exprimés. Nous avons choisi l’humidité relative définiepar :

satv

v

P

Ph = , (2.12)

où satvP est la pression de vapeur saturante. L’équation de KELVIN permet de décrire

l’équilibre thermodynamique entre la phase gazeuse et la phase liquide, soit :

hlnM

RT!PPP

e

llgc −=−= . (2.13)

où Pc est la pression capillaire, Pg est la pression de la phase gazeuse supposée constante etégale à la pression atmosphérique, R est la constante des gaz parfaits, Me est la masse molairede l’eau et T est la température absolue. Nous pouvons alors écrire le transfert d’eau liquideen utilisant les équations (2.4), (2.6) et (2.13), soit :


- 55 -

hgradhM�

RTKK!J

ee

rell

tinl

2l

l

→→−= . (2.14)

Le flux massique de vapeur d’eau doit également être exprimé en fonction du « potentielhumidité relative ». Il faut cependant faire attention lorsque nous manipulons la loi de FICK(équation (2.7)) car l’hypothèse d’une pression totale de gaz Pg constante n’implique pas unemasse volumique de la phase gazeuse !g constante. En effet, en utilisant la loi de DALTON eten considérant les gaz parfaits, nous avons :

( ) ( )[ ]vaegaveaavag PMMPMRT

PMPMRT

!!! −+=+=+= 11, (2.15)

où Pa est la pression d’air sec, !a est la masse volumique de l’air sec et Ma est la massemolaire de l’air sec. La masse volumique du mélange air-vapeur est donc fonction de lapression de vapeur d’eau. Ainsi, en utilisant les relations (2.7), (2.8) et (2.15), le fluxmassique de vapeur d’eau peut être formulé sous la forme :

( ) vaega

veg

g

vgv PMMPM

PMgradfD!

!

!gradfD!J

−+−=−=

→→→

00 . (2.16)

En développant (2.16), nous obtenons :

( )[ ] ( )( )[ ]20

vaega

veavevvaegaegv

PMMPM

PgradMMPMPgradPMMPMMfD!J

−+−+−+

−=

→→→

, (2.17)

expression qui, après simplifications, donne :

( )[ ] v

vaega

gaegv Pgrad

PMMPM

PMMfD!J

→→

−+−= 2

0 . (2.18)

Comme pour l’expression du flux d’eau liquide, il est intéressant d’exprimer la relation (2.18)en fonction de l’humidité relative et nous pouvons écrire finalement :

( )[ ] hgradhPMMPMRT

PPMMfDJ

satvaeatma

satvatmae

v

→→

−+−= 0 . (2.19)

En utilisant les expressions (2.14) et (2.19), l’équation (2.11), traduisant la conservation de lamasse d’eau, peut finalement s’écrire sous la forme :

( )[ ]

−++=

∂∂

∂∂ →

hgradhPMMPMRT

PPMMfD

hM�

RTKK!div

t

h

h

wsat

vaeatma

satvatmae

ee

rell

tinl

2l 0 , (2.20)

expression qui plus symboliquement s’écrit :


- 56 -

=

∂∂

∂∂ →

hgradDdivt

h

h

w eqh , (2.21)

dans laquelle eqhD fait figure de coefficient de diffusion hydrique équivalent.

2.3.2. Conditions aux limites

Pour notre étude, nous avons uniquement supposé des conditions aux limites de type« convectif » au niveau des surfaces d’échanges entre le matériau et l’air ambiant. Ellespeuvent s’écrire, dans ce cas, de la façon suivante :

( )ahh� −=nq. , (2.22)

où q est le flux d’humidité, n est un vecteur unitaire normal à la surface d’échange, � est lecoefficient d’échange, h est la valeur de l’humidité relative pour le béton au droit de la surfaced’échange et ha est l’humidité relative de l’air ambiant. Tous nos calculs sont effectués avec lavaleur classique � = 5 mm/jour [ALVA94].

2.3.3. Formulation variationnelle et résolution numérique

Pour résoudre l’équation de diffusion non linéaire formulée précédemment, nous réécrivonsl’équation (2.21) sous sa formulation faible :

0=

∂∂

∂∂−

∂∂

∂∂

∫ dVh

Dt

h

h

wh/

V

eqh xx

, (2.23)

équation devant être vérifiée quel que soit δh. Après intégration par parties, nous obtenons :

( )[ ] 0=−+

∂∂

∂∂+

∂∂

∂∂

∫∫ ∫ dShh�h/dVh

Dh

/dVt

h

h

wh/ aSV V

eqh xx

. (2.24)

L’approximation par éléments finis sur un élément à n nœuds consiste à dire que le champd’humidité relative hel peut s’écrire de la façon suivante :

( ) ( ) ( )∑=

=n

iii

el thNth1

, xx , (2.25)

où Ni sont les fonctions d’interpolation sur l’élément considéré et hi sont les valeurs del’humidité relative aux nœuds de l’élément. En introduisant l’équation (2.25) dans (2.24),nous obtenons :

{ } { } { }FhKhC.

=+ , (2.26)

où {h} est le vecteur des valeurs aux nœuds de la grandeur h recherchée sur toute la structure.Les composantes du vecteur force {F} et des matrices de capacité C et de conductivité K sontdonnées pour un élément par :


- 57 -

{ } dVh

welV

T NNC el ∫ ∂∂= , (2.27)

{ } { }∫=elS

Ta

el dSh� NF , (2.28)

{ }∫∫ +∂∂

∂∂=

elel S

T

V

Teqh dS�dVD NN

xN

xN

K el . (2.29)

L’équation différentielle matricielle (2.26) est résolue pas à pas [GIAN98]. La méthode derésolution consiste, pour chaque pas de temps ∆t = tn-1 – tn, à remplacer la valeur d’humiditérelative par l’expression suivante :

{ } ( ){ } { } 11 ++ +−= nn�n �� hhh , (2.30)

où θ est un paramètre compris entre 0 et 1. En écrivant la dérivée par rapport au temps de lamanière suivante :

t

hh

t

h nn

∆−

=∂∂ +1 (2.31)

et en introduisant cette relation dans l’équation (2.26), nous aboutissons à la résolution del’équation algébrique non linéaire suivante :

[ ]{ } ( )[ ]{ } { } 11 1 ++ ∆+∆−−=∆+ nnn tt�t� FhKChKC . (2.32)

En fait, la non-linéarité est masquée dans la présente formulation et provient du fait que lesmatrices C et K sont fonctions de {h} n+1. Ainsi, tous les coefficients de l’équation (2.32)doivent être évalués pour {h} n+θ et des itérations de convergence pour chaque pas de tempssont nécessaires.

2.3.4. Analyse critique de la formulation proposée

Dans le cadre d’hypothèses simplificatrices (pression totale constante pour la phase gazeuse,conditions isothermes), le transport d’humidité au sein du béton peut être décrit à l’aide del’équation de diffusion (2.20).

De nombreuses études ont été réalisées dans le but de prédire les propriétés de perméation àl’eau liquide et de diffusion de la vapeur d’eau des matériaux cimentaires et plus largementdes matériaux poreux. Il s’est avéré qu’elles dépendaient de nombreux paramètres (type deciment, formulation, mode de fabrication, conditions de cure, …) rendant très difficile laprédiction des transferts hydriques sans l’acquisition de données expérimentales propres aumatériau utilisé [GERA96] [GRAN96]. Le calcul des profils d’humidité au sein du matériaun’en reste pas moins un problème essentiel pour l’étude du comportement mécanique desstructures en béton armé soumises à des sollicitations hydriques. Il devient donc nécessaire dequantifier le coefficient de diffusion équivalent et de justifier les modifications que nousapporterons à l’expression de celui-ci.


- 58 -

Grâce à la détermination d’une isotherme de sorption, BAROGHEL-BOUNY et al [BARO99]ont formulé une expression de la pression capillaire en fonction du degré de saturation dutype :

m

mlc SaP−

−

−=

11

1 , (2.33)

avec a = 18,6 MPa et m = 0,44. Grâce à la relation de KELVIN (2.13), nous obtenonsl’isotherme de sorption représentée sur la figure 2.4.

0

50

100

150

200

250

300

350

400

450

0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 1

Humidité relative

Pre

ssio

n ca

pilla

ire (

MP

a)

00,10,20,30,40,50,60,70,80,91

Deg

ré d

e sa

tura

tionPression capillaire

Degré de saturation

Figure 2.4 : Courbe de pression capillaire et isotherme de sorption [BARO94] [BARO99].

Toujours dans le cadre de leur étude sur la caractérisation et l’identification des paramètres detransfert hydrique des bétons, une expression de la perméabilité relative a été proposée parBAROGHEL-BOUNY et al [BARO99] :

21

2

1

11

−−=

m

mllrell SSK . (2.34)

La détermination du coefficient �, pour la prise en compte de l’effet KNUDSEN et desphénomènes de tortuosité et de connectivité, s’avère par contre plus délicate. La seuleindication que nous ayons trouvée est une relation proposée par MILLINGTON [MILL59]pour le facteur de résistance f et citée par BAROGHEL BOUNY et al [BARO99] sous laforme :

( ) 3

103

4

1 lSf −= φ . (2.35)

Enfin, nous avons choisi une perméabilité intrinsèque à l’eau liquide de 10-18 m2 qui sembleêtre une valeur tout à fait courante pour un béton comme le montre la figure 2.3.


- 59 -

Tableau 2.1 : Valeurs utilisées pour le tracé du coefficient de diffusion hydrique équivalent

T R Me Ma �e !l

293 K 8,31 J.mol-1.K-1 18 g.mol-1 29 g.mol-1 10-3 kg.m-1.s-1 1000 kg.m-3

φ Patmsat

vP D0

int

lK

0,15 101300 Pa 2340 Pa 2,5.10-5 m2.s-1 10-18 m2

A partir des données du tableau 2.1, nous avons tracé sur la figure 2.5, le coefficient dediffusivité équivalent introduit dans l’équation (2.20) en fonction de l’humidité relative.

1,0E-10

1,0E-09

1,0E-08

1,0E-07

1,0E-06

1,0E-05

1,0E-04

1,0E-03

0 0,2 0,4 0,6 0,8 1Humidité relative

Coe

ffici

ent D

he

q (

kg.m

-1.s

-1)

Figure 2.5 : Coefficient de diffusion hydrique équivalent en fonction de l’humidité relative.

Le résultat obtenu met en évidence la non linéarité du processus de diffusion d’humidité ausein du matériau béton. Toutefois, les valeurs obtenues nous apparaissent anormalementélevées puisque notre modèle permet de reproduire les courbes expérimentales de perte enmasse pour des valeurs du coefficient Dh

eq comprises entre 10-7 kg.m-1.s-1 et 10-11 kg.m-1.s-1. Ils’agit d’un résultat qui nous semble intéressant de commenter.

Quelques éléments de réponse nous ont fort heureusement été apportés par COUSSY et al.[COUSS00]. Les calculs qu’ils ont effectués avec l’introduction d’un coefficient de diffusionéquivalent (dans ce sens où il est écrit comme la somme de deux termes associant les deuxmodes de transport comme nous venons de le présenter) ne leur ont, non plus, jamais permisde retrouver les cinétiques de perte en masse expérimentales. Les simulations numériquesentreprises ont toujours rendu compte d’un séchage trop rapide vis à vis des résultatsexpérimentaux même avec une perméabilité intrinsèque pour l’eau liquide de 10-25 m2 !

L’utilisation d’un modèle de comportement hydrique plus riche avec prise en compte d’unepression de gaz non constante (avec résolution couplée des équations de conservation de la

Phase liquide Phase vapeur

Coefficient de diffusion équivalent


- 60 -

masse d’eau et de la masse d’air permettant l’introduction du « potentiel pression de gaz ») arévélé une surpression du mélange gazeux qui aurait pour conséquence de stopper la diffusionde l’humidité sous forme vapeur du fait d’une uniformisation de la concentration en vapeurd’eau au bout d’une dizaine de jours [COUS00]. Ainsi, les transferts d’humidité ontessentiellement lieu sous forme liquide sous gradient de pression liquide (tout du moins pourdes valeurs d’humidité relative courante, c’est à dire supérieure à 50%) mais leurs cinétiquessont pilotées par la phase gazeuse. L’expression du coefficient de diffusion hydriqueéquivalent (équation (2.20)) n’est physiquement pas valable puisqu’elle suppose une pressionde gaz constante.

Toutefois, bien que la mise au point d’un modèle de comportement hydrique biphasique(liquide, vapeur) à deux constituants (air sec et eau) offrirait une meilleure description destransferts d’humidité au sein d’un milieu poreux et une meilleure compréhension desmécanismes mis en jeu, nous avons préféré orienter notre travail plus sur les conséquencesmécaniques des gradients hydriques apparaissant au cours du séchage que sur l’établissementet l’évolution de ceux-ci. Le développement d’un tel modèle n’en reste pas moins uneperspective intéressante à plus long terme.

Ainsi, dans la littérature, des expressions du coefficient de diffusion sont proposées[BAZA72] [MENS88] [ALVA93] [GRAN96] pour l’étude du séchage du béton. MENSI et al[MENS88] proposent, dans le cadre d’une résolution de l’équation non linéaire de diffusionavec le potentiel w, une expression de la forme :

( ) )exp(BwAwD = , (2.36)

pour laquelle les paramètres A = 1,8.10-13 m2.s-1 et B = 0,05 permettent une bonne descriptiondes cinétiques de perte en masse d’un béton ordinaire. Nous avons tracé l’évolution de D enfonction de l’humidité relative telle que la décrit la relation (2.36) et l’avons comparée àcelles initialement obtenues pour différentes valeurs de la perméabilité à l’eau liquide.

1,0E-12

1,0E-11

1,0E-10

1,0E-09

1,0E-08

1,0E-07

1,0E-06

0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 1Humidité relative

Coe

ffici

ent D

he

q (

m2 .s

-1)

Liquide+Vapeur

Mensi

Figure 2.6 : Comparaison des coefficients de diffusion

10-18 m2

10-19 m2

10-20 m2

10-21 m2


- 61 -

La figure 2.6 illustre clairement nos précédents propos et met de nouveau en défautl’hypothèse d’une pression de gaz constante comme en témoigne les valeurs élevées ducoefficient de diffusion équivalent pour un matériau proche de la saturation. Nous remarquonségalement, pour de plus faibles valeurs d’humidité relative où les transferts sous forme vapeursont prépondérants, que l’expression du flux de vapeur donnée par la relation (2.19) rendraitcompte d’un séchage trop rapide si l’on compare à h = 0,5, les valeurs de Dh

eq à celle obtenueà partir de l’expression proposée par MENSI et al [MENS88]. Ce résultat, qui nous semblepouvoir être attribué a des valeurs du facteur de résistance f trop élevées, témoigne de ladifficulté d’évaluer à l’échelle macroscopique, les phénomènes d’interaction entre lesdifférentes phases à l’échelle microscopique (tortuosité, connectivité et effet KNUDSEN).

Nous retenons donc finalement que les transferts d’humidité au sein du béton mettent en jeudes phénomènes fortement non linéaires et nous choisirons des expressions du coefficient dediffusion équivalent simples telles qu’elles sont proposées dans la littérature. Ces expressionscorrespondent en fait à des coefficients de transport global de l’eau sous toutes ses formes etrevêtent donc un caractère quelque peu empirique. Elles offrent l’avantage de présenter unnombre restreint de paramètres facilement identifiables expérimentalement.

L’utilisation du « potentiel humidité relative » pour la résolution de l’équation (2.21) nous aincité à utiliser l’expression proposée par BAZANT et al. en fonction de l’humidité relative[BAZA72] :

−−+

−+= 41

1

11

1

c

eqeqh

h

h

..DD . (2.37)

dont l’évolution sur toute la plage d’humidité relative est représentée sur la figure 2.7 avec lesparamètres proposés par défaut à savoir . = 0,04 et hc = 0,75.

0

0,2

0,4

0,6

0,8

1

0 0,5 1

Humidité relative h

Dh

eq

/ D1

eq

α

h c

Figure 2.7 : Evolution du coefficient de diffusion hydrique équivalent proposé par BAZANT


- 62 -

3. Validation du modèle : séchage des structures en béton

Dans son ouvrage intitulé « Caractérisation des pâtes de ciment et des bétons »,BAROGHEL-BOUNY [BARO94] a constitué une véritable base de données en matière decaractéristiques microstructurales et propriétés hydriques des matériaux à base cimentaire.Plus particulièrement, bon nombre de données expérimentales concernant des bétonstraditionnels y sont présentées. Les travaux expérimentaux effectués dans ce contexte, offrentun ensemble de résultats complet et pertinent pour la détermination des paramètres et lavalidation de notre modèle à l’échelle macroscopique.

3.1. Présentation des essais

Tous les essais que nous allons présenter ont été effectués sur le même matériau qualifié debéton « ordinaire » par BAROGHEL-BOUNY. Il s’agit d’un béton dosé à E/C = 0,49, demasse volumique ! = 2461 kg.m-3 et dont la composition est donnée par le tableau 2.2.

Tableau 2.2 : Formulation du béton étudié

Gravier 4/20 Sable 0/5 Ciment CPA 55 Eau

1192 kg.m-3 744 kg.m-3 353 kg.m-3 172 kg.m-3

3.1.1. Les expériences de sorption de vapeur d’eau

Les isothermes d’adsorption et de désorption de vapeur ainsi que les cinétiques de transfert àsavoir les pertes et les gains d’eau en fonction du temps pour les différents paliers d’humiditérelative considérés, ont été obtenues sur des disques de béton durci de masse initiale 35 g,d’épaisseur environ 3 mm et de diamètre 80 mm obtenus par sciage à partir de cylindres.

De manière à travailler sur des matériaux les plus stabilisés possible (chimiquement ethydriquement), les échantillons ont été conservés pendant plus d’un an dans une ambiance àH.R. = 100 %. Le protocole expérimental consiste ensuite à disposer les échantillons dans desdessiccateurs, au dessus d’une solution saline saturée qui impose une humidité relative h dansla phase gazeuse de cette enceinte.

Pour notre étude, nous nous sommes plus particulièrement intéressés aux cinétiques dedésorption de vapeur d’eau dans une enceinte où régnait successivement une humidité relativede 80 %, 71 %, 54 % et 33 %. Les déterminations des pertes relatives de masse ont étéeffectuées en prenant comme référence la masse des échantillons à H.R. = 90 % (humiditérelative initiale).

Cette première série d’essais va nous permettre de déterminer non seulement les paramètresde notre modèle, comme nous le montrerons dans la partie suivante, mais aussi d’étudier lacapacité du modèle à reproduire les cinétiques de perte en masse dans diverses ambianceshygrométriques.


- 63 -

3.1.2. Les expériences de gammadensimétrie

La répartition de la teneur en eau à l’intérieur d’éprouvettes en béton durci, et son évolutiondans le temps, peuvent être mesurées de manière non destructives, par gammadensimétrie(absorption des rayons � ) [BARO94]. C’est sur ce principe que BAROGHEL-BOUNY amesuré les variations de masse (et donc de teneur en eau) au cours du temps, lors du séchageisotherme (T = 20 °C) et monodimensionnel à H.R. = 50 %, d’éprouvettes cylindriques aupourtour protégé et aux deux faces sciées séchantes (cf. figure 2.8).

Figure 2.8 : Description de l’expérience de gammadensimétrie [BARO94].

Ces éprouvettes de diamètre 16 cm et de hauteur 10 cm sont issues de cylindres 16 cm × 32cm, initialement protégés de la dessiccation par aluminium adhésif et âgés de deux ans.

Grâce à cette méthode, le séchage est suivi de façon locale en fonction de la hauteur zmesurée par les courbes de gammadensimétrie et de façon globale en mesurant la masse del’éprouvette par pesée préalable à chacun des essais.

3.2. Détermination des paramètres du modèle

La résolution de l’équation de diffusion non linéaire (équation (2.20)) pour l’étude du séchagedes structures en béton nécessite la détermination d’une isotherme de désorption et d’uncoefficient de diffusion équivalent.

Les expériences de désorption de vapeur d’eau ont fourni pour la formulation de bétonétudiée, l’isotherme représentée sur la figure 2.9 . La détermination du coefficient de diffusionéquivalent à saturation D1

eq de l’équation (2.37) s’obtient en modélisant par éléments finisl’essai de perte en masse obtenu au cours de l’expérience de gammadensimétrie. Sur la figure2.10 sont représentés les résultats expérimentaux et numériques ayant permis de trouver lavaleur D1

eq = 1,7.10-8 kg.m-1.s-1.

D = 16 cm

H = 10 cmEmette�

z


- 64 -

0102030405060708090

100

0 0,2 0,4 0,6 0,8 1

Humidité relative

Ten

eur

en e

au (

kg.m-3

)

Figure 2.9 : Isotherme de désorption [BARO94].

0

0,2

0,4

0,6

0,8

1

1,2

1,4

0 50 100 150 200 250 300 350 400

Temps (jours)

Per

te e

n m

asse

rel

ativ

e (%

)

Expérience

Calcul

Figure 2.10 : Perte en masse relative en fonction du temps : obtention de D1eq

3.3. Validation du modèle et analyse des résultats

Grâce aux paramètres précédemment trouvés, l’expérience de gammadensimétrie a pu êtrereproduite. Compte tenu des symétries (géométrie de révolution et conditions aux limites) queprésente l’éprouvette, nous avons effectué un calcul axisymétrique. Le maillage, représentésur la figure 2.11, est composé d’éléments QUA8 (quadrilatère à huit nœuds). Initialement,l’humidité relative de l’éprouvette vaut 90 % . La résolution de l’équation de diffusion nonlinéaire est effectuée dans un schéma classique d’intégration à un pas de temps présenté auparagraphe 2.3.3. de ce chapitre (équation (2.32)) avec un coefficient � = 0,5 (schéma derésolution dit de CRANCK-NICHOLSON).


- 65 -

Figure 2.11 : Maillage et conditions aux limites pour le calcul

Les résultats obtenus dans ce contexte ont été reportés sur la l’évolution des gradients est globalement bien reproduite et lescalcul au niveau du cœur et des surfaces d’échange de l’éprorésultats expérimentaux.

-3

-2,5

-2

-1,5

-1

-0,5

0

0,5

0 20 40 60 8

Hauteur z (mm)

Var

iatio

n de

mas

se v

olum

ique

(%

) t

t = 7 jours

t = 63 jours

t = 128 jours

t = 356 jours

Figure 2.12 : Comparaison des résultats numériques (trait pleipointillé) sur l’essai de gammadensimét

H.R. = 50 %

H.R. = 50 %

→n

0. =→→nqh

hydrique de l’éprouvette

figure 2.12. Nous constatons que pertes en eau obtenues par leuvette sont en accord avec les

0 100

n) et expérimentaux (trait enrie


- 66 -

De manière à estimer la capacité du modèle à reproduire les cinétiques de perte en masse dansdiverses ambiances hygrométriques, nous avons simulé les expériences de désorption devapeur d’eau sur les disques en béton avec les paramètres utilisés pour l’essai degammadensimétrie (cf. figure 2.13).

0

0,5

1

1,5

2

2,5

3

0 100 200 300 400

Temps (jours)

Per

te e

n m

asse

rel

ativ

e (%

)

90% --> 33%

90% --> 53%

90% --> 71%

90% --> 80%

Figure 2.13 : Simulation des essais de désorption de vapeur d’eau

Si les pertes en masse finales sont correctement reproduites (résultat logique puisque ce sontces valeurs qui ont permis de déterminer expérimentalement l’isotherme de désorption), nossimulations rendent compte en revanche d’un séchage trop rapide pour les plus faiblesvariations d’humidité.

Il faut cependant souligner que l’équation de transfert d’humidité résolue est relativementsimple. L’expression du coefficient de diffusion revêt plus un caractère phénoménologiqueque physico-chimique qui rend essentiellement compte d’un séchage d’autant plus lent que lematériau est sec (cf. figure 2.7). L’avantage d’une telle formulation est de faciliter la phased’identification des paramètres.

Ainsi, dans le cadre des hypothèses introduites, nous estimons l’ensemble des résultatsnumériques obtenus satisfaisants pour l’étude du séchage des structures en béton.


- 67 -

Conclusion

Le séchage du béton est un phénomène extrêmement lent qui peut être correctement décrit parune équation de diffusion non linéaire. Cette équation met en jeu deux paramètres qui sont :

- le coefficient de diffusion de l’humidité obtenu par modélisation de l’essai de perteen masse en cherchant à approcher au mieux la courbe obtenue expérimentalement,

- l’isotherme de désorption qui constitue véritablement un « paramètre-clé » en ce sensoù elle seule permet la détermination des teneurs en eau à une humidité relativedonnée.

Toutefois, compte tenu du facteur dissuasif que constitue la longueur des essais de sorption devapeur d’eau, même sur des échantillons de faibles dimensions, peu de résultats relatifs à cetype d’expérience sont présents dans la littérature pour les matériaux tels que les pâtes deciment et les bétons. La détermination de ce paramètre n’en reste pas moins un passage obligépour la validation d’un modèle de transfert d’humidité à l’échelle macroscopique.

En l’absence de cette donnée expérimentale, nous supposerons que Sl = H.R. (approximationlinéaire de l’isotherme de désorption proposée par BAROGHEL-BOUNY). Dans ce contexte,une étude de sensibilité à la fonction Sl = f (H.R.) a été effectuée sur l’essai degammadensimétrie précédemment modélisé. La comparaison des résultats numériquesreprésentés sur la figure 2.14 montre que cette hypothèse est tout à fait acceptable.

0,4

0,5

0,6

0,7

0,8

0,9

1

0 20 40 60 80 100Hauteur z (mm)

Hum

idité

rel

ativ

e

isotherme linéarisée

isotherme expérimentale

Figure 2.14 : Sensibilité à l’isotherme d’adsorption

Ainsi, Sl étant défini par le rapport de la teneur en eau w sur la teneur en eau à saturation w0,

nous avons :

( )b

e

!

hhw

m

m −≈

∆

∞

00 , (2.38)


- 68 -

où (∆m/m)� est obtenu par extrapolation sur l’essai de perte en masse. Cette méthode permet

de déterminer la valeur de w0 et donc d’obtenir une isotherme d’adsorption pour le bétonétudié.

En l’absence de toute donnée expérimentale, la teneur en eau à saturation peut êtreapproximativement calculée par la relation suivante :

φl!w =0 , (2.39)

où φ est la porosité du matériau et !l est la masse volumique de l’eau liquide.

Il faut cependant souligner que l’équation de transfert d’humidité adoptée est relativementsimple et l’expression du coefficient de diffusion revêt plus un caractère plusphénoménologique que physico-chimique qui rend essentiellement compte d’un séchaged’autant plus lent que le matériau est sec. Même si une telle formulation facilite la phased’identification des paramètres, elle est en revanche limitée au niveau de ses applicationspour l’étude du comportement hydrique des matériaux poreux.

- 69 -

CHAPITRE III

PROPOSITION D’UN MODELE POURL’ETUDE DU COMPORTEMENT

MECANIQUE DU BETON EN PRESENCEDE DEFORMATIONS DIFFEREES

Chapitre III Proposition d’un modèle pour l’étude du comportement mécanique du béton

- 70 -

Introduction

Le précédent chapitre a été consacré à la mise en place d’un outil numérique permettant dedécrire les transferts d’humidité lors du séchage du béton. Nous allons à présent proposer uneformulation numérique pour la description du comportement mécanique du béton intégrant lesdéformations de retrait et de fluage et prenant en compte la fissuration. Le modèle présentédans ce chapitre est issu des travaux de GEORGIN [GEOR98] et de BERTHOLLET[BERT99].

La première partie de ce chapitre est consacrée à la présentation des mécanismes mis en jeu.Elle se compose d’une recherche bibliographique sur les déformations différées des matériauxcimentaires et d’une brève revue de la documentation concernant le comportement mécaniquedu béton et de sa modélisation pour l’étude des structures en béton armé. L’objectif de cettepartie est surtout de présenter les phénomènes supposés majeurs pour notre étude et dejustifier les hypothèses faites et l’approche de modélisation choisie.

La deuxième partie est consacrée à la description mathématique du modèle développé.L’approche de modélisation choisie consiste à décrire de manière phénoménologiquel’ensemble des déformations mises en jeu en supposant une partition des déformations.L’intérêt d’une telle approche est de clairement dissocier les phénomènes à ce jour connus etde les décrire avec un nombre raisonnable de paramètres identifiables à l’échellemacroscopique. Elle suppose en revanche un faible couplage entre les déformationsintroduites.

Ensuite, dans une troisième partie, nous détaillons les techniques d’intégration des équationsconstitutives introduites. Les méthodes de résolution des équations d’équilibre d’une structurediscrétisée par éléments finis sont également abordées dans le cadre du modèle decomportement hydro-mécanique présenté.

Enfin, la dernière partie a pour but de présenter quelques éléments de validation. Toutd’abord, les résultats de simulations d’essais sur éprouvettes en béton sont présentés. Lescalculs entrepris dans ce contexte sont destinés à étudier la réponse du modèle dans diversessituations de manière à évaluer les effets des différentes hypothèses introduites. Ils permettentégalement de mettre en évidence les limites de celui-ci. Nous présentons ensuite l’analyse ducomportement différé d’une poutre armée soumise à différents niveaux de sollicitation. Cetteétude permet de valider la capacité du modèle à fournir une prédiction fiable ducomportement mécanique des structures en béton armé.


- 71 -

1. Présentation des mécanismes et choix d’une approche demodélisation

1.1. Les déformations différées du béton

Nous allons ici nous intéresser aux déformations de retrait et de fluage du béton. Il ne s’agit làque d’une description sommaire des principaux mécanismes à ce jour identifiés et nousinvitons le lecteur à consulter les ouvrages d’ACKER [ACKE88], BAROGHEL BOUNY[BARO94], BAZANT [BAZA88] et GRANGER [GRAN96] pour une présentation pluscomplète des déformations différées des matériaux cimentaires. Nous signalons également untravail bibliographique très intéressant proposé par VAN ZIJL [VANZ00].

1.1.1. Le retrait de dessiccation

1.1.1.1. Causes

Lors de la fabrication des bétons ordinaires, la quantité d’eau pour obtenir un béton maniableest toujours supérieure à celle strictement nécessaire à l’hydratation du béton. En effet, onpeut montrer que la masse d’eau permettant une hydratation complète est de l’ordre de 20 à25 % de la masse de ciment anhydre initiale [BARO94]. Ainsi, pour un béton classiqued’ouvrage d’art formulé avec un rapport E/C = 0,45, seulement la moitié environ de l’eau degâchage sera consommée au cours de l’hydratation. Le béton, contient de ce fait un surplusd’eau qui, en s’évaporant, va provoquer le séchage du matériau. Ce processus commence dèsle décoffrage, lorsque la surface de la structure se trouve en déséquilibre hygrométrique avecle milieu ambiant. Il peut même commencer avant la prise, si les faces non coffrées n’ont pasété protégées.

Comme nous l’avons précédemment décrit, le gradient de concentration d’eau apparaissantentre le cœur (quasiment saturé) et la surface (70% d’humidité relative pour nos climats) de lastructure induit un transfert d’humidité de l’intérieur vers l’extérieur du béton. Ces transfertssont très lents et les gradients hydriques, considérables au voisinage des surfaces del’ouvrage, vont subsister très longtemps, de plusieurs années à plusieurs siècles pour lespièces les plus épaisses. Ainsi, le séchage des ouvrages reste pendant la majeure partie de leurdurée de vie, un phénomène de surface.

Lors du séchage du béton, le départ d’eau dans la matrice cimentaire provoque un retraitappelé retrait de dessiccation. Ce retrait est la réponse mécanique du matériau soumis auséchage. Vu la lenteur des processus mis en jeu, la déformation de retrait observée est unedéformation différée.

1.1.1.2. Conséquences

A l’échelle microscopique, le gel CSH, très poreux et de grande surface spécifique, subit unediminution de volume alors que par exemple, la portlandite Ca(OH)2 n’en subit pratiquementpas. La différence des retraits et des caractéristiques mécaniques entre les deux principauxproduits d’hydratation conduit à des contraintes à l’échelle microscopique au niveau desparticules Ca(OH)2.


- 72 -

De même, à l’échelle supérieure (ou échelle mésoscopique [WITT83]), les variationsdimensionnelles de la pâte de ciment sont gênées par la présence des granulats. Ellesprovoquent donc une étreinte des granulats et donnent naissance à un champ de contraintes àl’échelle des inclusions. On observe ainsi une déformation apparente de la structure en béton,inférieure à celle de la même structure en pâte de ciment [BARO94].

Enfin, aux champs de contraintes locaux va venir se superposer un champ de contraintesmacroscopique. Les gradients de teneur en eau (très forts au voisinage des surfaces d’échangeavec le milieu ambiant) créent des retraits différentiels dans la structure et donc des gradientsde contraintes (« effet de structure ») [PICK46][WITT80][BAZA88][ALVA94]. En effet, leretrait dû au séchage est différent entre parement et cœur (il est deux à trois fois supérieur ensurface [LHER73]). La zone située en bordure des surfaces d’échange est donc soumise à descontraintes de traction très importantes (retrait gêné) alors que le cœur de la structure est encompression (champ d’autocontraintes). Ces contraintes de traction bien supérieures à larésistance du béton vont induire une fissuration superficielle de l’ouvrage. L’ensemble desmécanismes que nous venons de décrire est illustré sur la figure 3.1.

Sur

face

d’é

cha

nge

(a) (c)

(b) (d)

Figure 3.1 : Illustrations de (a) séchage non uniforme (b) déformations induites (c) champd’autocontraintes (d) fissuration de peau (d’après [BAZA88] et [VANZ00]).

Ainsi, les valeurs du retrait de dessiccation intrinsèque s’obtiennent en mesurant ladéformation d’échantillons de très faible épaisseur [VERB68] [BARO94] pour lesquels lesgradients hydriques sont très faibles. Cela permet d’uniformiser le retrait induit par la perte eneau et de s’affranchir presque totalement de l’effet de structure.

1.1.1.3. Mécanismes mis en jeu

Il n’est pas aisé de trouver une relation simple entre retrait de dessiccation et perte en eau depart la diversité des mécanismes mis en jeu. La figure 3.2 semble indiquer une relation

Humidité relative

0,9

0,8

0,7

0,6

0,5


- 73 -

bilinéaire pour une pâte de ciment avec un net changement de pente pour 10 % d’humiditérelative suggérant ainsi l’apparition d’un nouveau mécanisme à ce stade.

0

0,2

0,4

0,6

0,8

1

1,2

1,4

0 5 10 15 20 25

Perte en masse relative (%)

Ret

rait

(10-3

)

Figure 3.2 : Relation entre retrait de dessiccation et perte en masse pour une pâte de ciment[VERB68]

En effet, le retrait de dessiccation dépend de l’état de la liaison de l’eau avec le solide. Ledépart d’eau libre contenue dans les pores ne provoque pas de variation dimensionnelle etseule l’eau liée au solide peut entraîner, par son déplacement, une déformation de ce solide.La littérature propose trois mécanismes de retrait de dessiccation :

- le retrait par variation de la dépression capillaire,

- le retrait par variation de la tension superficielle,

- le retrait par variation de la pression de disjonction,

respectivement associés à :

- l’eau des pores capillaires,

- l’eau adsorbée,

- l’eau des micropores qui est l’eau contenue dans des espaces confinés oùl’adsorption est gênée.

Nous ne détaillerons pas ici les divers mécanismes énoncés. Nous retiendrons cependant quebien que ces mécanismes aient été clairement identifiés, l’influence de leur mode d’action surtoute la plage d’humidité relative n’est aujourd’hui toujours pas clairement établie comme lemontre le tableau 3.1, proposé par VAN ZIJL [VANZ00].

0 %

100 %

85 %

55 %

65 %

45 %7 %


- 74 -

Tableau 3.1 : Les divers mécanismes de retrait (d’après [SORO79])

Humidité relative0 0,2 0,4 0,6 0,8 1,0

POWERS (1965) Pression de disjonctionDépression capillaire

ISHAI (1965) Energie superficielle Dépression capillaireFELDMAN et SERADA (1970) Eau interfeuillet Dépression capillaire et énergie superficielleWITTMANN (1968) Energie superficielle Pression de disjonction

La relation entre retrait de dessiccation et mouvement d’humidité devient plus complexe aucours de cycles séchage-humidification. Comme le présente la figure 3.3, une partie de ladéformation de retrait n’est jamais recouverte par les cycles d’humidité ce qui induit un retraitirréversible apparaissant essentiellement au cours du premier cycle séchage-humidification[LHER49] [PARR82] [SABR82]. Cette constatation suggère qu’en plus des mécanismes deretrait réversible qui viennent d’être décrits (cf. tableau 3.1), des réactions chimiquesmodifient la microstructure de la matrice cimentaire. NEVILLE attribue l’apparition du retraitirréversible à la formation de nouvelles liaisons au sein du gel CSH favorisée par lerapprochement des particules [NEVI81].

Go

nfle

me

ntR

etr

ait

Figure 3.3 : Gonflements et retraits du béton sous cycles d’humidité : Schéma de principe(d’après [VANZ00])

La complexité des phénomènes mis en jeu rend délicat la mise au point d’une approchethéorique, basée sur de simples considérations physico-chimiques, pour la détermination devaleurs quantitatives du retrait de dessiccation.

La prévision du retrait de dessiccation dans le cadre d’une modélisation mécanique se faitdonc le plus souvent de manière phénoménologique et à l’échelle macroscopique[BAZA88] [WITT77] [ALVA95] en utilisant des expressions simples entre déformation deretrait et humidité relative.

Retrait réversible

Retrait irréversible

Temps


La figure 3.4(b) présente les déformations de retrait obtenues pour des échantillons de pâte deciment de faible épaisseur soumis à la dessiccation sous diverses conditions hygrométriques.Elle montre l’approximation linéaire proposée par ALVAREDO et al [ALVA95] pour unehumidité relative comprise entre 0,4 et 1,0.

0

0,1

0,2

0,3

0,4

0,5

0,6

0,7

0,8

0,9

1

0 0,2 0,4

Humidit

Ret

rait

(10-3

)

0

0,1

0,2

0,3

0,4

0,5

0,6

Ret

rait

(10-3

)

(

Figure 3.4 : Relationsd’un cycle séchage-hu

divers

La figure 3.4(a) met clnécessité d’adopter dèselon que l’on sèche effets hystérétiques obnous avons illustrés su

1.1.2.. Le fluage

1.1.2.1. Introduction

Le béton, lorsqu’il esélastique à la sollicisubsiste, on observe qtemps. Ces deux phénLa déformation de fluaun phénomène importa

En règle générale, on sollicitation constante déformation initiale déde déformation définit une augmentation demicrofissuration induitedes macrofissures quila ruine est inévitable.

Séchage

n

w/c = 0,4

w/c = 0,5
Humidificatio
- 75 -

0,6 0,8 1

é relative

0,7

0,8

0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 1

Humidité relative

a) (b)

entre retrait de dessiccation et humidité relative obtenues à partir (a)midification (d’après [SABR82]) (b) des valeurs de retrait finales poures conditions hygrométriques (d’après [ALVA95])

airement en évidence le retrait irréversible que nous avons évoqué et las lors des expressions différentes du retrait en fonction de l’humidité

ou que l’on réhumidifie le matériau. Ce résultat est à rapprocher desservés au cours des essais de sorption et désorption de vapeur d’eau quer la figure 2.1.

t maintenu sous charge, continue à se déformer après la réponsetation imposée. Réciproquement, lorsqu’une déformation imposéeue la force nécessaire au maintien de cette déformation diminue dans leomènes appelés fluage et relaxation sont schématisés sur la figure 3.5.ge est de l’ordre de 2 à 3 fois la déformation élastique et s’avère êtrent dans le comportement à long terme des structures en béton armé.

distingue trois phases dans l’évolution de la déformation de fluage sous(cf. figure 3.5(a)). Pendant le fluage primaire, la grande vitesse decroît continuellement jusqu’à devenir constante. La vitesse constantele fluage secondaire. Le fluage tertiaire, quant à lui, se caractérise par la vitesse de déformation et conduit à la ruine du matériau. La par le chargement devient de plus en plus dense et donne naissance à

se propagent : la capacité portante de la structure s’en trouve réduite et


- 76 -

Déf

orm

atio

n

Fo

rce

(a) (b)

Figure 3.5 : Présentation des phénomènes (a) de fluage (b) de relaxation

La plupart des explications des phénomènes de fluage et de relaxation reposent sur lesmouvements de fluide au sein du matériau. Il existe plusieurs théories tentant d’expliquer lesmécanismes responsables du fluage et nous nous proposons de retenir celles présentées parGRANGER [GRAN96] :

- la théorie de la consolidation s’inspire de celle que l’on retrouve en mécanique dessols où une redistribution de contraintes apparaît entre l’eau interstitielle et lesquelette granulaire suite à une conduction de l’eau par perméation. Cette explicationconduit cependant, pour le béton, à des échelles de temps beaucoup plus faibles quecelles constatées expérimentalement et a, de ce fait, été rejetée par la communautéscientifique,

- la théorie plastique propose, comme pour l’acier, des mouvements de cristaux au seinde la matière. Cette explication n’est cependant pas acceptée non plus pour descontraintes inférieures à 70 % de la résistance à la rupture,

- le fluage pourrait être lié au rôle lubrificateur de l’eau contenue dans le gel CSH dontles particules peuvent glisser les unes sur les autres. Cette théorie semble cependanten contradiction avec le fait que le fluage propre soit proportionnel à l’humiditérelative puisque l’eau interfeuillet et l’eau dans les micropores du gel CSH n’estdirectement touchée par le séchage que pour les très faibles valeurs d’humiditérelative,

- ROSSI propose un couplage entre les fissures créées à l’intérieur du matériau[ROSS93]. Il en résulterait des tensions capillaires dans la zone entourant la fissure.Le phénomène est entretenu par le fait que les tensions capillaires vont à leur tourengendrer de nouvelles fissures. Cependant aucun essai ne permet de savoir s’ils’agit là d’une cause ou d’une conséquence du phénomène de fluage,

- le fluage pourrait être lié à une diffusion sous contrainte de l’eau adsorbée entre lesparticules de gel (« seepage theory »). A la pression occasionnée par la charges’ajoute celle de la tension capillaire engendrée par le séchage faisant ainsi apparaîtreun couplage séchage/fluage,

Fluagesecondaire

Fluagetertiaire

Fluageprimaire

Recouvrance partielleaprès décharge

Temps Temps


- 77 -

- le fluage pourrait être lié à un processus de pression – dissolution des hydrates quivont diffuser dans le milieu interstitiel pour se redéposer, sous contrainte nulle(comme pour la théorie de la solidification proposée par BAZANT et al [BAZA89])dans des zones moins chargées et de porosité suffisante pour se solidifier.

De cette longue liste, aucun des mécanismes proposés n’a pu réellement s’imposer et il estaujourd’hui impossible d’établir une formulation mathématique des déformations de fluage àpartir de la description élémentaire de plusieurs mécanismes physico-chimiques à l’échellemicroscopique.

Il n’en reste pas moins que la prévision des déformations de fluage s’avère prépondérantepour l’étude du comportement mécanique à long terme des structures en béton armé. Ainsi, ons’intéresse plutôt à l’étude et à la caractérisation des mécanismes apparents du fluage. Lesfacteurs les plus importants ayant pu être identifiés sont le niveau de contraintes, latempérature et l’humidité relative.

1.1.2.2. Influence du niveau de contraintes

A de faibles niveaux de chargement, on constate expérimentalement que la déformation defluage augmente à vitesse décroissante. Pour de telles charges, environ 40 à 50 % de la chargeultime [BAZA88], le fluage semble proportionnel à la contrainte appliquée (cf. figure 3.6(a)).

0,1

1

10

1 10 100 1000

Temps (jours)

Déf

orm

atio

ns (

10-3)

6,9 MPa

14,4 MPa

23 MPa

20

30

40

50

60

70

80

90

100

110

1 10 100 1000 10000Temps (jours)

J(t,

t') (

10-6

/MP

a)

28 jours

91 jours

365 jours

2645 jours

(a) (b)Figure 3.6 : (a) Déformations mesurées sur des cylindres de pâte de ciment protégés de la

dessiccation pour divers niveaux de sollicitations [WITT85] (b) Fonctions de fluage obtenuesà différents instants de chargement d’éprouvettes en béton [BAZA88].

On remarque également que le fluage est un phénomène vieillissant en ce sens où plus lematériau est âgé lors du chargement, plus les déformations mesurées sont faibles comme lemontre la figure 3.6(b).

Cela fait maintenant plus d’un siècle que la linéarité des déformations de fluage par rapport àla contrainte appliquée a été exploitée et a permis de formuler le principe de superposition(équations de BOLTZMANN) qui permet de déterminer la réponse d’un matériau à unesollicitation variable en sommant les contributions de chaque incrément de sollicitation. Cettethéorie, également appelée visco-élasticité, donne dans beaucoup de cas une bonneapproximation de la déformation suite à une histoire de contraintes.


- 78 -

Cependant de fortes non linéarités apparaissent pour les niveaux de contraintes les plus élevéset les mécanismes pouvant en être responsables n’ont toujours pas été clairement mis enévidence : la présence de fissuration pour ces niveaux de chargement y contribuecertainement. Ainsi, on considère qu’au-delà de 50 % de la résistance ultime en compression,le principe de superposition n’est plus valable [BAZA88].

Enfin, il faut préciser que si le fluage en compression du béton a fait l’objet de nombreusesétudes, le fluage en traction a souvent été laissé pour compte. Toutefois, il semblegénéralement admis que le fluage en traction soit du même ordre, sinon plus grand, que lefluage en compression. D’autre part, il affiche des similitudes importantes avec le fluage encompression (proportionnalité avec la contrainte, apparition de non linéarité à partir de 50 %de la charge ultime, couplage fluage/séchage) exception faite des cinétiques de déformationqui sont plus rapides pour le fluage en traction [BISS00].

1.1.2.3. Influence de l’humidité relative et fluage de dessiccation

L’eau est un facteur essentiel et nécessaire au phénomène de fluage propre du béton.BAZANT et CHERN [BAZA85] ainsi que WITTMANN [WITT68] ont montré que plus unbéton ou une pâte de ciment était préalablement séché à une basse hygrométrie, plus sesdéformations de fluage étaient faibles. De même, ACKER [ACKE88] affirme que ladéformation de fluage est quasiment nulle pour un béton séché à 105 °C. Ainsi, le fluagepropre est proportionnel à l’humidité interne du matériau.

On pourrait dès lors supposer que pour une éprouvette soumise à la dessiccation, lesdéformations de fluage obtenues soient bornées entre celles mesurées après préséchagerespectivement dans les conditions hygrométriques initiales et finales : il n’en est rien commele montre la figure 3.7.

0

200

400

600

800

1000

1200

1400

0,01 0,1 1 10 100Temps (années)

Déf

orm

atio

ns (

10-6)

HR = 100 %

HR = 70 %

HR = 50 %

Figure 3.7 : Déformations de fluage obtenues sur éprouvettes en béton soumises à ladessiccation dans diverses ambiances hygrométriques ([TROX58]).


- 79 -

Ce paradoxe, appelé « effet PICKETT », rend donc compte du fait que la déformation d’uneéprouvette chargée en déséquilibre hydrique avec le milieu extérieur sera supérieure à celled’une éprouvette analogue chargée de la même façon mais pour laquelle on empêche leséchanges d’humidité avec l’extérieur. Le séchage sous contrainte induit ainsi une déformationsupplémentaire à celle du fluage propre : c’est le fluage de dessiccation (cf. figure 3.8).

En fait, la présence d’une charge a pour effet de créer un champ de contrainte qui sesuperpose à celui induit par le retrait et vient donc contrecarrer les contraintes de traction quirègnent en peau et réduire l’effet de la fissuration. La déformation résultante de retrait s’entrouve forcément augmentée [WITT80].

Déf

orm

atio

n to

tale

Figure 3.8 : Illustration de l’effet PICKETT (d’après [VANZ00])

Bien que la communauté scientifique s’accorde sur l’existence de ce mécanisme apparent dû àun effet de structure, il ne semble pouvoir expliquer qu’une partie du fluage de dessiccation etl’existence d’un mécanisme intrinsèque au matériau est aujourd’hui souvent évoqué sous laforme d’un couplage entre fluage et dessiccation [BAZA94][GRAN96].

Dans ce contexte, BAZANT et al. [BAZA97] considère que c’est la diffusion au sein desmicropores (appelée microdiffusion) en direction des macropores les plus proches. Elle auraitcomme conséquence d’arracher les particules de matière solide (« debonding ») du gel quiiraient se recristalliser dans les micropores voisins… Cette théorie n’a cependant jamais puêtre vérifiée expérimentalement.

1.1.3.. Conclusions

Dans cette partie, nous nous sommes intéressés à la description des déformations différées dubéton ainsi qu’au principe de modélisation des mécanismes associés.

Fluage propre

Retrait

Fluage dedessiccation

Temps


- 80 -

Nous avons choisi de ne pas présenter les déformations apparaissant au jeune âge (généréespar la contraction LE CHATELIER, l’auto-dessiccation et la contraction thermique après laprise) parce que leur prise en compte ne semble pas indispensable à notre étude. En effet, pourles bétons ordinaires, le retrait endogène (plus précisément celui engendré par l’auto-dessiccation) est négligeable tout au moins généralement négligé [BAZA88], [TAZA93].Cette hypothèse est d’autant plus justifiable dans le cadre d’une étude du comportementhydro-mécanique du béton de coque d’un aéroréfrigérant pour deux raisons :

- une attention particulière a été portée à la formulation des bétons sur site pour limiterce type de retrait ainsi que l’élévation de température engendrée par l’hydratation,

- la très faible épaisseur de la paroi induit de faibles gradients thermiques et tend àuniformiser le degré d’hydratation dans la structure. L’apparition de retraitdifférentiel s’en trouve limitée.

Dans ce contexte, nous remarquons qu’à l’échelle microscopique, l’origine des déformationsde retrait et de fluage ne fait pas l’unanimité dans la communauté scientifique et lesmécanismes mis en jeu ainsi que les différents couplages ne sont, à ce jour, pas tousidentifiés.

Ainsi, la mise au point d’un modèle numérique complet formulé à partir de considérationsphysico-chimiques est difficilement concevable tant sur le plan théorique (pour les raisonsque nous venons d’évoquer) que sur le plan de sa validation qui nécessiterait uneexpérimentation lourde et coûteuse pour la détermination des paramètres de couplage commele souligne très justement GRANGER [GRAN96].

Il nous semble donc plus intéressant de nous orienter vers une approche simplifiée décrivantde manière phénoménologique les déformations mises en jeu. Dans un cadre général, ladéformation du béton 0béton peut se décomposer de la façon suivante :

fluageretraitmécaniquebéton0000 ++= , (3.1)

où 0mécanique est la déformation induite par le chargement et tient compte des non-linéarités ducomportement mécanique du béton (que nous allons présenter au paragraphe suivant), 0

retrait

est la déformation de retrait (retrait de dessiccation et/ou retrait thermique) et 0fluage est la

déformation de fluage (tenant éventuellement compte du couplage fluage/séchage). Cedécoupage est souvent adopté et suppose donc que l’ensemble des déformations soientfaiblement couplées.

L’intérêt d’une telle approche est de clairement dissocier les phénomènes à ce jour connus etde les décrire avec un nombre raisonnable de paramètres identifiables à l’échellemacroscopique. De plus, elle facilite la prise en compte du comportement non linéaire dubéton et de la fissuration induite dans un cadre phénoménologique.

1.2. Comportement mécanique et fissuration du béton

Il existe une littérature très abondante sur les aspects expérimentaux du comportementmécanique du béton ainsi que sur les divers outils de modélisation aujourd’hui utilisés. Parmila communauté scientifique française, des revues de la bibliographie détaillées ont étéeffectuées entre autres par MILLARD [MILL96], GERARD [GERA96], FLEURY [FLEU96]


- 81 -

et GEORGIN [GEORG98]. Nous n’en avons retenu que les éléments qui nous semblentessentiels et nous allons à présent les exposer.

1.2.1. Comportement expérimental

1.2.1.1. Comportement en compression simple

Le comportement en compression simple est habituellement caractérisé par un essai decompression uniaxiale sur une éprouvette cylindrique (16 cm × 32 cm). La microfissurationqui se développe dans le mortier ainsi qu’aux interfaces entre le mortier et les granulats avantmême sa mise en charge, conduit à une réponse non linéaire du spécimen sous chargement.La courbe contrainte-déformation obtenue pour un tel essai est représentée sur la figure 3.9.Elle permet d’identifier la limite en compression simple fc utilisée dans la plupart desmodèles.

(a) (b)

Figure 3.9 : Comportement du béton en compression simple

On distingue cinq phases dans l’analyse microscopique du matériau soumis à cet essai :

- jusqu’à 30% de la résistance ultime en compression fc, la microfissuration ne variepas et on observe une réponse linéaire du matériau,

- entre 30% et 50% de fc, les fissures d’interfaces commencent à croître et ladéformation cesse d’être linéaire,

- entre 50% et 75% de fc, les fissures d’interfaces se rejoignent en formant desmacrofissures dans le mortier,

- entre 75% et 100% de fc, on constate une nette augmentation des fissures dans lemortier ainsi qu’une expansion volumique pour des valeurs voisines de fc,

- au-delà de fc, le nombre de chemin de contraintes a considérablement diminué et lacapacité du matériau s’épuise.

Déformation longitudinale01

Déformation radiale02 = 03

1

0,3

1

Déformation volumique01 � 02 � 03

cf

11

cf

11


- 82 -

Dans le cas de la compression simple, ces micro-fissures s’orientent parallèlement à l’axe desollicitation. De plus, il a été montré [TORR94] que les déformations se localisent dansl’éprouvette au pic d’effort, ce qui implique que le comportement post-pic observé est celuid’une structure dans laquelle le matériau ne répond pas de façon homogène. L’informationexpérimentale fournie par cet essai ne peut donc pas être utilisée directement pour identifier lecomportement du béton. L’interprétation de cette information doit tenir compte de cephénomène de localisation. Cette démarche en est toutefois encore au stade de la recherche eten pratique on utilise le plus souvent des courbes contrainte-déformation obtenues à partir decet essai en supposant le comportement homogène dans l’éprouvette. L’erreur commise estcertainement beaucoup moins grande que pour des sollicitations de traction, dans la mesureoù la microfissuration est assez bien répartie dans l’éprouvette [MILL96].

1.2.1.2. Comportement en traction

La résistance à la traction du béton est souvent mesurée de façon indirecte par des essais telsque celui de fendage ou celui de flexion.

0

1

2

0 1 2

Déformation (10-4)

Con

trai

nte

(MP

a)

Figure 3.10 : Courbe contrainte-déformation obtenue par un essai de traction directeuniaxiale [TERR80]

Les essais de traction directe permettent d’obtenir une courbe contrainte-déformation quiressemble à la réponse en compression simple et qui pose des problèmes analogues (cf. figure3.10). Par contre, le comportement est pratiquement linéaire jusqu’au pic, et, dans la partiepost-pic, des microfissures se joignent pour former une macrofissure perpendiculaire à ladirection de sollicitation.

La localisation de la zone de rupture est beaucoup plus prononcée qu’en compression simpleet les déformations mesurées dépendent fortement de la position des jauges sur l’éprouvette.Parmi les solutions proposées dans la littérature pour traiter la non homogénéité de la réponse,on peut retenir les deux suivantes :

1

1

0

Module tangent

0e

ft


- 83 -

- Une première solution [HILL83] consiste à utiliser des éprouvettes pré-entaillées,de façon à forcer la fissuration à se produire dans une bande située à l’intérieurd’une zone dont on mesure l’allongement. Cet allongement est comparé à celuid’une zone de longueur identique mais non fissurée. On en déduit par différenceune courbe donnant la contrainte en fonction de ce que l’on conviendra d’appelerl’ouverture de la fissure w. L’aire sous la courbe contrainte-ouverture de fissurereprésente l’énergie consommée dans le processus de rupture en traction par unitéde surface de l’éprouvette. Cette énergie est appelée énergie de fissuration et estnotée Gf. Elle est souvent considérée comme une propriété caractéristique dumatériau, bien que certains auteurs mettent en cause son caractère intrinsèque.

- A l’inverse, une deuxième solution [MAZA88] [BERT91] consiste à empêcher,dans la mesure du possible, la localisation des déformations dans l’éprouvette, enlui adjoignant des barrettes métalliques qui vont permettre de préserver unecertaine homogénéité (essai PIED : Pour Identifier l’Endommagement Diffus). Enprocédant, là encore, par différence entre le comportement de l’ensemble et celuides barrettes supposé connu, on en déduit une loi contrainte-déformationcaractérisant l’endommagement diffus du béton (l’essai est applicable également àdes sollicitations de compression).

Les essais de traction uniaxiale cycliques permettent de mettre en évidence le caractèreunilatéral du comportement du béton dû au phénomène de refermeture des fissures. Onl’observe aussi bien sur les résultats d’essais conduits selon la première méthode ou laseconde.

1.2.1.3. Comportement multi-axial

Le comportement du béton sous chargement biaxial se caractérise généralement par unaccroissement de la résistance relativement au comportement uniaxial. Plusieurs essais desollicitations biaxiales ont été réalisés pour différents chemins de contraintes 11 et 12 . On peutciter les essais de KUPFER [KUPF69] qui sont les plus connus. Ils conduisent à une courbeenveloppe de la résistance du béton dans l’espace des contraintes principales. KUPFERobserve un accroissement de résistance sous compression biaxiale (11 = 12) d’environ 16 %.

Les conditions limites imposées par la situation expérimentale ont une importance sur lerésultat. KOTSOVOS et PAVLOVIV [KOTS95] ont répertorié les essais réalisés parplusieurs laboratoires avec chacun différentes techniques pour réduire plus ou moins lefrettage de l’éprouvette. Les méthodes qui permettent réellement d’éliminer une partie dufrettage, convergent vers les mêmes résultats. Par conséquent, la courbe enveloppe présentéesur la figure 3.11 est généralement admise pour représenter le comportement du béton soussollicitation biaxiale.

Les essais triaxiaux montrent que la résistance du béton dépend fortement du degré deconfinement. La technique de réalisation de ces essais est double. Dans les essais simples suréprouvettes cylindriques, la contrainte axiale est imposée de manière variable à l’aide d’unemachine courante (presse) tandis que les contraintes radiales sont égales et constantes. Celles-ci sont imposées par un fluide mis en pression. Par ailleurs, des essais triaxiaux purs sontréalisés sur des éprouvettes prismatiques dans lesquelles les trois directions de chargementsont contrôlées constamment au cours de la mise en charge. Différentes combinaisons dechemins de sollicitations sont alors possibles. L’appareillage d’essai est plus complexe et les


- 84 -

conditions limites sont plus difficiles à maîtriser. Ces essais conduisent à la détermination desurfaces enveloppes dans l’espace des contraintes principales (11��12 et 13) qui définissent lescombinaisons de contrainte de rupture en état triaxial de sollicitation.

Figure 3.11 : Enveloppe de rupture en contrainte biaxiale [DARW77].

1.2.2. Modélisation du comportement mécanique du béton

Au cours de ces trente dernières années, les outils traditionnels de conception établis à partirde la résistance des matériaux ont progressivement été remplacés par des modèles numériquesplus réalistes et performants.

Les premiers modèles qui ont été utilisés pour le béton sont les modèles de fissuration discrètequi considèrent la fissure comme une discontinuité géométrique. Les fissures sont modéliséespar une séparation entre les frontières d’éléments originellement connectés. Cette approchenécessite donc un changement continu des connexions entre nœuds. Dans les premièresversions, la fissure devait suivre un chemin prédéfini le long des frontières des éléments. Destechniques de remaillage automatique ont permis par la suite de modéliser des fissures quidivisent un élément du maillage initial. Dans cette approche, des éléments d’interface sontnécessaires entre les éléments de béton une fois la fissure formée, pour rendre compte ducomportement de la fissure dans ses différents modes (ouverture/refermeture et glissements).

Le concept de fissuration répartie considérant le béton fissuré comme un milieu continu estapparu ultérieurement. La description de la fissuration est alors prise en compte dans lesrelations entre contraintes et déformations. Ce type d’approche est beaucoup plus répandueaujourd’hui, car elle permet de garder le maillage originel et n’impose pas de contraintes àpriori sur l’orientation des fissures.

Comme le souligne FLEURY [FLEU96], ces deux approches sont complémentaires, et ilsemble qu’elles pourraient être compatibles et utilisées ensemble pour décrire la réalité


- 85 -

physique. En effet, la réalité nous montre (et particulièrement dans le cas du retrait dedessiccation) qu’il existe simultanément d’une part des macro-fissures qui séparent clairementdeux blocs de béton, et d’autre part des micro-fissures diffuses distribuées autour de cesmacro-fissures et réparties dans le volume de béton. Les modèles continus pourraient alorsêtre utilisés tant que la fissuration est en deçà d’un certain seuil d’ouverture, après quoi unefissure discrète serait créée.

Les modèles que nous allons illustrer se situent dans la catégorie de la représentation parfissuration répartie et sont uniquement basés sur la mécanique de l’endommagement et de laplasticité (nous n’évoquerons donc pas les concepts de la mécanique de la rupture).

1.2.2.1. Modèles d’endommagement

La théorie de l’endommagement sert de fondement pour de nombreux modèles et a étéinitialement introduite par KACHANOV en 1958. Dans cette théorie, l’effet de la micro-fissuration est représenté par des variables qui affectent le comportement du matériau auniveau macroscopique. KACHANOV a défini une variable d’endommagement comme lerapport de la surface résistante sur la surface initiale.

MAZARS [MAZA84] développa le concept plus avant et l’appliqua au béton armé. Dans cemodèle, la variable d’endommagement est scalaire, l’endommagement est isotrope etn’affecte que la raideur. Cependant, l’hypothèse de l’isotropie peut poser des problèmes pourdes chargements qui sont fortement non radiaux ou cycliques dans les domaines de traction-compression (comme d’ailleurs tout autre modèle isotrope). En effet, après la formation d’unemacro-fissure, le modèle n’est plus capable de développer de la traction dans quelquedirection que ce soit, ce qui assouplit artificiellement la réponse.

Ainsi, d’autres auteurs ont utilisé un endommagement tensoriel qui permet d’introduirel’anisotropie [KRAJ81][SUAR84][FICH96]. Les travaux de LABORDERIE [LABO91] sontvenus compléter le modèle de MAZARS pour décrire les chargements cycliques grâce à laprise en compte de l’aspect unilatéral de la fissuration et des déformations résiduelles.

1.2.2.2. Théorie de la plasticité

Dans la théorie de la plasticité, il existe deux états distincts caractérisant le comportement dumatériau. Celui-ci peut-être soit élastique soit plastique. Le domaine élastique est délimité,dans l’espace des contraintes, par une surface de charge pouvant évoluer au cours de l’histoiredu chargement du matériau. Si à l’état de contraintes du matériau correspond un point situésur cette surface de charge, on considère alors que le matériau travaille en plasticité.

Les modèles de plasticité peuvent se classer suivant le critère adopté, le type d’écoulement(associé ou non) et la loi d’écrouissage. Pour le béton, les surfaces ultimes sont en général detype DRUCKER-PRAGER, ressemblant à un cône ouvert du côté de la tricompression.Citons les critères de OTTOSEN, WILLAM-WARNKE ou HSIEH-CHEN qui sontperformants dans le cadre triaxial le plus général [GEOR98].

A l’origine, il s’agissait de critères de rupture. C’est à dire qu’ils définissent dans l’espace descontraintes principales, un domaine pour lequel le matériau n’est pas ruiné. Lorsque l’état decontrainte se situe à l’extérieur de ce domaine, on considère alors qu’il y a rupture.


- 86 -

Cette théorie a été étendue dans le cadre de la théorie de la plasticité. On rend possiblel’évolution de cette surface grâce à la règle d’écrouissage. Cette surface représente alors nonplus une limite mais un seuil. Celui-ci évolue d’un état initial définissant la limite élastiquejusqu’à un seuil maximum caractérisant la rupture. La théorie de la plasticité permet alors dedécrire le caractère irréversible des déformations mises en jeu et les déformations plastiquessont définies par une loi d’écoulement qui peut être soit associée (matériau standard) soit nonassociée (matériaux non standards).

1.2.2.3. Problèmes de localisation

La plupart des modèles numériques développés pour le comportement mécanique du bétonsuppose le matériau homogène et continu. Bien que cette hypothèse soit valable compte tenude l’échelle d’observation adoptée, le béton présente à l’échelle microscopique une fortehétérogénéité (répartition aléatoire des constituants de taille diverses, présence de micro-fissures et de vides).

Comme nous l’avons déjà évoqué, la rupture provient d’une dégradation progressive dumatériau due à l’évolution des défauts de la microstructure et se traduit, à l’échellemacroscopique, par un comportement adoucissant (diminution de la contrainte accompagnéed’une augmentation de déformations) favorisant l’apparition des phénomènes de localisationdes déformations. L’ensemble des problèmes théoriques et numériques liés à la localisation aété présenté entre autres par DE BORST et al. [DEBO93-1], PAMIN [PAMI94] et MEFTAH[MEFT97]. Nous en retiendrons que, pour un matériau à comportement adoucissant, on peutmontrer dans le cadre de la mécanique des milieux continus que le problème devientmathématiquement mal posé et qu’il conduit à des difficultés numériques dans sa résolutiondont entre autres une réponse de la structure dépendante de la taille du maillage utilisé.

Pour pouvoir enrichir la description mécanique du milieu (pour une meilleure description desétats non homogènes de déformations et pour préserver la nature mathématique du problèmemécanique), plusieurs modèles de comportement ont été proposés et constituent ce que l’onappelle des limiteurs de localisation. Ces techniques de régularisation consiste à introduiredans la loi de comportement un paramètre appelé « longueur caractéristique » qui permet despécifier la largeur de la zone de localisation tout en prévenant les éventuels problèmesnumériques qui lui sont liés. La longueur caractéristique peut être introduite dans laformulation de différentes façons souvent classées de la manière suivante :

- introduction d’effets micro-polaires (milieux de COSSERAT),

- utilisation de théories non locales,

- ajout de termes d’ordre supérieur (endommagement et plasticité au gradient),

- utilisation d’une formulation dépendante du temps (visco-plasticité).

Cependant, la mise au point de ces modèles nécessitent un investissement important (d’unpoint de vue théorique et numérique) et une technique plus simple et facile à mettre en œuvrepermet de diminuer la sensibilité à la finesse du maillage : il s’agit de l’approche par énergiede fissuration qui consiste à faire dépendre la pente post-pic de la relation contrainte-déformation en fonction de la taille de l’élément de sorte à dissiper à la rupture une énergieconstante [HILL83].


- 87 -

1.2.3. Conclusions

Le béton présente un caractère fragile et la dégradation de ce matériau est liée à des processusde fissuration. Le développement d’une fissure fait apparaître des déformations irréversibles,une perte de rigidité et une localisation des déformations au niveau des zones endommagées.La prise en compte du comportement non linéaire du béton est donc indispensable pourl’étude des structures chargées soumises à la dessiccation.

Parmi les approches de modélisation qui offrent une capacité de prédiction du comportementet surtout une application industrielle aisée, on distingue les approches macroscopiquescomme les modèles issus de la théorie de la plasticité et de l’endommagement.

Au sein de notre laboratoire, GEORGIN [GEOR98] a développé un modèle de comportementélasto-plastique du béton. Sa bonne description du comportement adoucissant post-pic(plasticité avec écrouissage négatif et introduction d’une longueur caractéristique) permet unedescription réaliste des mécanismes de fissuration dans le cadre de l’étude des structures enbéton armé. C’est donc sur la base de ces travaux que nous avons choisi de développer notremodèle hydro-mécanique pour l’étude des aéroréfrigérants.


- 88 -

2.Description mathématique des mécanismes mis en jeu

Nous proposons maintenant une formulation mathématique permettant de décrireindividuellement les phénomènes de retrait, fluage et fissuration. Nous supposons, en effet,qu’une description phénoménologique des mécanismes de retrait et de fluage couplés à uneéventuelle fissuration du béton est suffisante pour la modélisation des structures en bétonarmé chargées et soumises à des gradients hydriques et thermiques. Cette approchecouramment employée [BAZA86] [GRAN95] [VANZ00] consiste à supposer une partitiondes déformations pouvant être représentée de la façon suivante :

nfissuratiofluageretraitélastique00000 +++= . (3.2)

2.1.Fluage propre

2.1.1. Théorie de la visco-élasticité linéaire

Le fluage des matériaux cimentaires est souvent considéré comme étroitement lié à desphénomènes visqueux. Bien que les déformations de fluage soient difficiles à estimer avecprécision, de nombreux travaux de recherche ont permis de montrer que la théorie de la visco-élasticité en fournissait une approximation satisfaisante pour des niveaux de contraintescorrespondants à ceux des ouvrages en service. On parle alors de déformation visco-élastique0

ve définie par :

( ) ( ) ( )t0t0t0feve += , (3.3)

où 0e est la déformation élastique et 0f est la déformation de fluage. Dans ce contexte, un

comportement visco-élastique du béton implique une loi de comportement unidimensionnelledu type :

( ) ( ) ( )t0tRt1ve,τ= , (3.4)

dans laquelle R(2�� W) est la fonction de relaxation décrivant l’évolution dans le temps de lacontrainte 1 pour une déformation unitaire de déformation 0

ve agissant depuis le temps 2. Ladescription mathématique du phénomène de relaxation pour un matériau vieillissant nécessite,en effet, l’introduction d’une fonction R dépendante à la fois de l’instant et de la durée duchargement. Il est également possible de formuler le problème en utilisant une fonction defluage J(2��W) et d’obtenir ainsi l’évolution de la déformation visco-élastique en fonction de lacontrainte et des variables t et 2 :

( ) ( ) ( )t1tJt0ve ,τ= , (3.5)

Les évolutions des modules de relaxation et de fluage en fonction du temps sont représentéessur la figure 3.12 dans le cas d’un matériau vieillissant.


- 89 -

(a) (b)

Figure 3.12 : Evolution des modules de relaxation (a) et de fluage (b) pour différents instantsde chargement 2

De manière à pouvoir calculer la réponse du matériau vis-à-vis d’une sollicitation variable,nous appliquons le principe de superposition qui consiste à faire la somme des contributionsde chaque incrément infinitésimal de sollicitation. Ainsi, lorsque la déformation imposéevarie au cours du temps, nous avons :

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )∫∫ +=+=t

t

vet

t

veve d0tRt1dtRt0ttRt100

,,, 000 τττττετ �� . (3.6)

De même, le principe de superposition permet d’obtenir la réponse à un niveau de contraintevariable :

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )∫∫ +=+=t

t

vet

t

ve2d21t2Jt02d21t2Jt1ttJt0

00

,,, 000 �� . (3.7)

Les deux expressions précédentes formulées en une dimension peuvent être généralisées aucas tridimensionnel :

( ) ( ) ( ) ( )∫+=t

t

ve2d2t2Rtt

0

,0 0D11 � (3.8)

( ) ( ) ( ) ( )∫+=t

t

veve2d2t2Jtt

0

,0 1C �εεεε . (3.9)

où C et D sont des matrices telles que C = D-1 et définies par :

( )

+−−

−−−−

=

�

��

��

��

12000

01

01

01

C (3.10)

t

R(2, t)

21 22 23 24

t

J(2, t)

22 23 2421


- 90 -

( )( )

−−

−−

−+=

2

21000

01

01

01

211

1

��

��

��

��D . (3.11)

2.1.2. Formulation incrémentale

Afin d’éviter le stockage et l’intégration de toute l’histoire de sollicitation pour la résolutiond’un problème visco-élastique, les formulations intégrales (3.8) et (3.9) sont transformées enformulations incrémentales obtenues en développant les fonctions de relaxation et de fluageen séries de DIRICHLET :

( )∑=

−−+=N

� �

�

�

2t2E2Et2R

10 exp)(),( , (3.12)

( )∑=

−−

−−+=N

� �

�

�

2t22t2J

1

110 expE)(E),( , (3.13)

dans laquelle E� et E� sont les modules de rigidité et �� et �� sont les temps de relaxation et deretard de la �ième branche des modèles rhéologiques associés. En introduisant la fonction derelaxation décomposée (équation (3.12)), nous obtenons :

( ) ( ) ( ) ( )∫ ∑

−−++==

t

t

veN

� �

�2d2

�

2t2E2Ett

0 100 exp)( 0D11 � , (3.14)

que l’on peut dériver par rapport au temps pour obtenir :

( ) ( ) ( )∑=

+=N

�

�

ve tttEt1

0 )( 10D1 �� , (3.15)

avec :

( ) ( ) ( ) 2d2�

2ttEt ve

�

t

t ��0D1 �

−−= ∫ exp0

, (3.16)

qui est l’état de contrainte dans la �ième branche du modèle rhéologique associé. Il est possibled’obtenir une expression de la dérivée par rapport au temps de l’expression (3.16) grâce authéorème de LEIBNITZ :

( ) ( ) ( )t�

ttEt�

�

ve��

10D1

1)( −= �� (3.17)

Au regard des équations (3.15) et (3.17), il apparaît que la formulation visco-élastique enrelaxation peut être représentée par un modèle de MAXWELL où E� et �� = �� × E� sont


- 91 -

respectivement le module d’élasticité du ressort et la viscosité de l’amortisseur de la �ième

branche du modèle rhéologique associé comme le montre la figure 3.13(a).

(a) (b)

Figure 3.13 : Modèles rhéologiques de MAXWELL (a) et de KELVIN (b)

Il est possible dès lors d’exprimer une loi de comportement sous forme incrémentale à partirde (3.15) et (3.17) du type :

hist10D1 += û

~û , (3.18)

oùD~

est une matrice d’élasticité équivalente induite par la formulation visco-élastique et quin’est fonction que du temps t. Le dernier terme 1hist est un état de contraintes rendant comptede la mémoire du matériau et peut être exprimé en fonction d’un nombre restreint de variablesd’état comme nous le montrerons ultérieurement. Une formulation semblable peut égalementêtre établie à partir d’une discrétisation en série de DIRICHLET de la fonction de fluage(équation (3.13)). Nous obtenons dans ce cas :

( ) ( ) ( ) ( )∫ ∑

−−++==

−−t

t

N

� �

�

veve2d2

�

2t22tt

0 1

1100 expE)(E 1C00 � , (3.19)

qui après dérivation par rapport au temps donne :

η2 ηµ ηNη1

EµE2E1

E0

1

1

E0

1

η1E1

η2E2

η�E�

ηNEN

EN

1


- 92 -

( ) ( ) ( )∑=

+=N

�

�

ve tttt1

1-0 )(E 01C0 �� , (3.20)

où :

( ) ( ) ( ) 2d2�

2t2t

�

t

t ��1C0 �

−−−= ∫ − exp1E0

1 . (3.21)

De manière semblable à l’équation (3.17), le théorème de LEIBNITZ donnera :

( ) ( ) ( )t�ttt��01C0 �� −= )(E-1 (3.22)

Les expressions (3.20) et (3.22) montrent que la formulation en fluage peut dans ce contextese ramener à l’étude d’un modèle rhéologique de type chaîne de KELVIN où E� et �� = E�×��sont respectivement le module d’élasticité du ressort et la viscosité de l’amortisseur de la �

ième

branche du modèle rhéologique associé.

2.2. Retrait de dessiccation

Comme nous l’avons expliqué précédemment dans le paragraphe 1.1.1., les mécanismes deretrait dans les matériaux cimentaires sont induits par des mouvements d’eau. Il peut êtrecorrectement évalué en étant simplement supposé proportionnel à la variation d’humidité dubéton (de manière analogue au retrait thermique) et nous supposerons que le retrait dedessiccation peut localement être exprimé par [VANZ00][BAZA97] [ALVA95] :

Ph.retret �� =0 , (3.23)

oùh� est la variation d’humidité relative par rapport au temps au point considéré, .ret est le

coefficient de retrait (généralement supposé constant). Nous supposons le retrait isotrope etnous avons dès lors :

{ }T0,1,1,1== IP (3.24)

2.3.Fluage de dessiccation intrinsèque

L’étude expérimentale d’une éprouvette chargée soumise à la dessiccation montre que ladéformation de fluage obtenue dans ce contexte est supérieure à la somme des déformationsde retrait et de fluage propre mesurée séparément sur la même éprouvette. Dans ce contexte,une modélisation à l’échelle macroscopique a été proposée par BAZANT et XI [BAZA94] ensupposant qu’un mécanisme de déformation était induit par des mouvements d’eau localisésentre les zones d’absorption empêchée et les pores capillaires de la pâte de ciment(phénomène de micro-diffusion). Ainsi, la viscosité du matériau est fonction de cette micro-diffusion et permet d’écrire dans un cadre très général :

h�χηη

+=0

11, (3.25)


- 93 -

où �0 est la viscosité sans micro-diffusion et $ est une constante positive. Ainsi en considérantla loi de comportement d’une branche du modèle de MAXWELL, nous avons d’après (3.17)et (3.25) :

IhhE

ret �� αχη

−=

++ −−

01D1D 1

0

1 11. (3.26)

Cette expression donne finalement :

( )h.�E

retret �� 1rI01D1D +−=+ −− 1

0

1 11, (3.27)

où :

( ) 11 −− == DD retret

ret rhr �signeα

χ. (3.28)

BAZANT et KIM [BAZA85] proposent pour le coefficient rret la relation :

t

ret

t fr

f

8,02,0 ≤≤ (3.29)

2.4. Fissuration

2.4.1. Introduction

La modélisation de la fissuration est primordiale pour l’étude du comportement mécanique dumatériau béton. Depuis maintenant plus de trente ans, la méthode des éléments finis estlargement employée pour l’analyse des structures en béton armé. Dans ce contexte, deuxtypes de modélisation pour la prise en compte de la fissuration sont apparues : l’approchediscrète et l’approche continue. La modélisation discrète de la fissuration consiste à diviser unnœud du maillage en deux nœuds distincts dès que le critère de non-fissuration y est violé.Bien que cette technique soit très proche de la réalité, le problème numérique devientrapidement lourd puisqu’il nécessite souvent la reconstruction du maillage, et donc de lamatrice de rigidité, et met rapidement en jeu un grand nombre de nœuds. De plus, il requiertla connaissance préalable de la direction de fissuration. Ce sont pour ces raisons quel’approche continue lui est souvent préférée. Dans ce cadre, un modèle de comportementélasto-plastique du béton de type « smeared crack », issu des travaux de FEENSTRA[FEEN93] a été développé par GEORGIN [GEOR98] à l’INSA de LYON. Il suppose quel’ouverture de fissure peut être traitée comme une déformation.

2.4.2. Théorie de la plasticité

Mathématiquement, la surface de charge peut être décrite par :

0),( =q1f , (3.30)


- 94 -

où 1 représente l’état de contraintes du matériau et q l’ensemble des paramètresd’écrouissage. Dans la théorie de la plasticité usuelle, on suppose la partition d’un incrémentde déformation totale en une partie élastique réversible ∆0e et une partie plastique irréversible∆0p :

pe000 ûûû += . (3.31)

L’évolution de la déformation plastique découle généralement d’un potentiel plastique noté gqui est tel que :

1

0

∂∂= g

�pûû , (3.32)

où ∆λ correspond à l’amplitude (multiplicateur plastique) et �g/�1 à la direction de ladéformation plastique.

On peut à présent définir un comportement élastique par :

( ) 0, <q1f , (3.33) 0=∆� , (3.34)

et un comportement plastique par :

( ) 0, =q1f , (3.35) 0>∆� . (3.36)

Ainsi dans tous les cas, le multiplicateur plastique et la surface de charge doivent vérifier lesconditions de KUHN-TUCKER :

( ) ( ) 0.,,0,0, =∆≥∆≤ �f�f q1q1 . (3.37)

La surface de charge évolue au cours du temps et dépend de l’histoire de sollicitations dumatériau. Dans ce contexte, on considère souvent que l’écrouissage est décrit par unparamètre unique �. De façon à définir une loi d’écrouissage rendant compte des variations dece paramètre au cours de l’histoire du chargement, GEORGIN [GEOR98] a admisl’hypothèse du travail plastique :

pT� 01 ∆=∆ , (3.38)

Ainsi, en considérant la relation (3.32), on peut écrire qu’il existe un coefficient h(1, �) telque :

( ) ��h� ∆=∆ ,1 (3.39)

Nous serons parfois amenés à déterminer l’incrément de déformation plastique pour despoints singuliers correspondants à l’intersection de deux surfaces de charge. Dans ce contexte,l’ambiguïté sur l’écoulement plastique peut être levée par la proposition de KOITER[KOIT53] qui suggéra de considérer la contribution individuelle de chaque surface de chargeet d’écrire dans ce cas l’incrément de déformation plastique comme la combinaison linéairedes incréments induits pour chacune des surfaces actives mises en jeu :


- 95 -

11

0

∂∂+

∂∂= 2

21

1 ûûûg

�g

�p (3.40)

2.4.3. Développements particuliers du modèle de comportement élasto-plastique

Les expériences réalisées par KUPFER et GERSTLE [KUPF73] sur des dalles en béton nonarmées soumises à différents cas de chargements biaxiaux ont été retenues pour définir lalimite élastique. On peut observer sur la figure 3.14 une représentation géométrique de latrace du critère global dans le plan des contraintes principales (13 = 0).

Figure 3.14 : Représentation de la surface de charge à deux critères dans l’espace descontraintes

Le traitement rhéologique est réalisé en tenant compte de la contrainte 1zz. Dans le cas où ils’agit d’un problème de contrainte plane, la condition 1zz = 0 est imposée. Les composantesdes tenseurs des contraintes et des déformations sont respectivement :

{ } { }xyzzyyxxT

1111 ,,,=1 , (3.41) { } { }xyzzyyxxT

�000 ,,,=0 . (3.42)

Dès lors, la formulation mathématique générale des surfaces qui composent le critère sont :

Pour le critère de RANKINE :

Le critère de RANKINE limite la contrainte principale majeure 11 par :

tf1 ≤1 , (3.43)

Critère de RANKINE

fc

fc

ft

ft

12

11

Critère de DRUCKER PRAGER


- 96 -

où ft est la limite de résistance en traction du béton. Des considérations d’équilibre du milieucontinu conduisent à la relation suivante (cercle de MOHR) entre la contrainte principalemajeure et les contraintes exprimées dans un repère quelconque d’axe (O,x,y,z). Ainsi :

( ) ( ) 221 4

1

2

1xyyyxxyyxx 111111 +−++= . (3.44)

On peut remarquer que le comportement dans la direction z n’influence pas celui dans le plan(O,x,y). En d’autres termes, on suppose que la fissuration peut uniquement se produire dans ceplan. Le critère de RANKINE s’écrit aussi sous la forme vectorielle de la façon suivante :

{ } [ ]{ } { } { } ( ) 02

1

2

111

2

1

1 =−+

= κ1f TT

11P1 11 � , (3.45)

dans laquelle :

[ ]

−

−

=

2000

0000

002

1

2

1

002

1

2

1

1P , (3.46) { } { }0,0,1,11 =T

� . (3.47)

Pour le critère de DRUCKER-PRAGER :

{ } [ ]{ } { } { } ( ) 02

1222

2

1

2 =−+

= κ1�.f

TT111 �P2 , (3.48)

avec :

[ ]

−−−−−−

=

6000

0211

0121

0112

2P , (3.49) { } { }0,1,1,12 =T

� , (3.50)

où . est fonction du rapport �cc des résistances de compression simple et de bicompression,soit :

cc

cc

�

�.

21

1

−−= , (3.51)

cc

cc

�

��

21−= . (3.52)

Dans le cadre d’une modélisation par éléments finis, une longueur caractéristique dépendantede la taille de l’élément a été introduite pour la définition des relations 1 = f (�). Celles-ci sontainsi formulées avec un module d’écrouissage adapté à la taille de l’élément et l’énergie defracture dissipée pour la création d’une unité de longueur de fissure (qui est une


- 97 -

caractéristique intrinsèque du matériau) reste constante indépendamment du maillage utilisé[ROTS88]. Cette longueur équivalente est définie par :

el A.l = (3.53)

où Ae est l’aire de l’élément et .l est un coefficient valant 1 pour des éléments quadratiques et¥��SRXU�GHV�pOpPHQWV�OLQpDLUHV��3RXU�OD�WUDFWLRQ�uniaxiale, la relation suivante a été retenue :

−=

ut

�

�f1

,1

11 exp , (3.54)

ft étant la résistance en traction. La relation adoptée en compression est plus complexe ets’écrit :

( )( )

<≤

−−−

<

−+

=

ue

eu

ec

e

ee

c

��

��f

��

�

�

�f

1

,222,2

22

22

222

2

si1

si2413

, (3.55)

où fc est la résistance en compression. La déformation équivalente �e pour laquelle larésistance ultime en compression est atteinte vaut :

E

f� c

e 3

4= . (3.56)

σ

f t

g ft

κ

f c

σ

g fc

κκ e κ u

f c /3

(a) (b)

Figure 3.15 : Représentation des courbes uniaxiales (a) de traction (b) de compression


- 98 -

L’hypothèse de l’existence d’une longueur équivalente permet d’écrire l’énergie dissipée parle matériau au cours du processus de rupture sous la forme :

( )∫∞

=0

�d�1lGf . (3.57)

Cette relation permet de définir les valeurs de �1,u et �2,u qui sont :

t

ftu lf

G� =,1 , (3.58) e

c

fcu �

lf

G�

48

115,1,2 −= . (3.59)

2.5. Conclusions

Nous avons présenté une formulation phénoménologique pour l’étude du comportement dubéton soumis à des déformations de retrait et de fluage avec prise en compte de la fissurationdans laquelle chaque mécanisme est décrit de manière simple. L’incrément de contrainte peutêtre relié à l’incrément de déformation élastique de la façon suivante :

( ) histpret1000D1

ve +∆−∆−∆=∆ . (3.60)

La formulation choisie pour la résolution d’un problème visco-élastique avec prise en comptede la fissuration peut être schématiquement représentée par la figure 3.16.

Figure 3.16 : Modèle rhéologique adopté

η2

ηµ

ηN

η1

EN

Eµ

E2

E1

E0

1σ1

ft

Ecrouissage

Fluage RetraitFissuration


- 99 -

3. Résolution numérique de la formulation proposée

3.1. Intégration des équations constitutives de la visco-élasticité

Comme nous l’avons précédemment souligné, l’objectif principal de la formulationincrémentale de la visco-élasticité linéaire est de s’affranchir de la nécessité de stocker enmémoire toute l’histoire des sollicitations. Rappelons que :

( ) ( ) ( ) ( )∫+=t

t

ve2d2t2Rtt

0

,0 0D11 � . (3.61)

En introduisant la fonction de relaxation sous la forme d’une série de DIRICHLET dansl’équation intégrale (3.61), nous pouvons écrire pour le pas de temps courant [tn ; tn+1] :

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) 2d2�

2tt2E2d22E

2d2�

2tt2E2d22Et

2d2�

2tt2E2Ettt

N

�

tt

t�

n�

tt

t

N

�

t

t�

n�

t

t

tt

t

N

� �

n�n

n

n

n

n

nn

n

veve

veve

ve

0D0D

0D0D1

0D11

��

��

�

∑∫∫

∑∫∫

∫ ∑

=

++

=

+

=

−+−++

−+−++=

−+−++=+

1

ûû

0

100

û

100

ûexp)(

ûexp)(

ûexp)(û

00

0

, (3.62)

où ∆t = tn+1 – tn est la valeur du pas de temps courant. En remarquant que :

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2d2�

2t2E2d22Ett

N

�

t

t�

n�

t

tn

nn veve0D0D11 �� ∑∫∫

=

−−++=

100

00

exp)( , (3.63)

nous pouvons écrire :

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( ) 2d2�

2t2E2d2

�

2tt2E

2d2�

2tt2E2d22E

N

�

t

t�

n�

N

�

t

t�

n�

N

�

tt

t�

n�

tt

t

nn

n

n

n

n

veve

veve

0D0D

0D0D1

��

��

∑∫∑∫

∑∫∫

==

=

++

−−−

−+−

+

−+−+=

11

1

ûû

0

00

expû

exp

ûexp)(û

, (3.64)

qui après simplifications donne :

( ) ( ) ( )

( ) ( ) 2d2�

t

�

2t2E

2d2�

2tt2E2d22E

�

N

�

t

t�

n�

N

�

tt

t�

n�

tt

t

n

n

n

n

n

ve

veve

0D

0D0D1

�

��

−

−−−

−+−+=

∑∫

∑∫∫

=

=

++

ûexp1exp

ûexp)(û

1

1

ûû

0

0

. (3.65)


- 100 -

En reconnaissant la variable d’état 1� (tn) qui est le vecteur des contraintes pour la �ième

branche du modèle de MAXWELL, nous avons :

( ) ( ) ( )

( )n�

N

� �

N

�

tt

t�

n�

tt

t

t�

t

2d2�

2tt2E2d22E

n

n

n

n

1

0D0D1veve

∑

∑∫∫

=

=

++

−

+

−+−+=

1

1

ûû

0

1û

exp

ûexp)(û ��

. (3.66)

En supposant que toutes les fonctions introduites varient linéairement à l’intérieur de chaquepas de temps, on peut écrire :

( )t

2ve

û

ûve

0

0

�� = , (3.67) ( ) ( ) ( )n

�

n��t2

t

EtE2E −+=

û

û, (3.68)

qui finalement permettent d’aboutir à la formulation incrémentale suivante :

histE 10D1ve +∆=∆ ~

, (3.69)

dans laquelle :

( )

( )∑=

−−

−+

−−+

+=

N

�

�

�

�

�

n��

n

t

�

t�

E�

ttE�

t

EtEE

1

00

û

ûexp1

1ûû

exp1û

1

2

û~

(3.70)

( )∑=

−

−=

N

� �

n�

hist

�

tt

1

1û

exp11 . (3.71)

3.2. Intégration des équations constitutives de la plasticité : principe

Le problème est de trouver les variables (état de contraintes et paramètre d’écrouissage) quicaractérisent l’état du matériau après que celui-ci ait subi un incrément de déformation. Avantcet incrément, les variables à l’instant t = tn sont connues et nous voulons déterminer lesvariables à l’instant t = tn+1 après application de ∆0. Nous avons :

histthret g� 1

1

000D1ve +

∂∂−−−= ûûûûû . (3.72)

On introduit alors le vecteur prédicteur élastique (« elastic trial stress ») défini par :

( ) ( ) histthretven

trial t 1000D11 +−−+= ûûû . (3.73)


- 101 -

de manière à obtenir :

( )1

D11

∂∂−=+ g

�tt vetrialn ûû (3.74)

Trois cas peuvent alors se présenter, il peut s’agir soit :

d’un déchargement élastique : ( ) 0, <ntrial �f 1 , (3.75)

d’un chargement neutre : ( ) 0, =ntrial �f 1 , (3.76)

d’un chargement plastique : ( ) 0, >ntrial �f 1 , (3.77)

Le troisième cas n’est physiquement pas acceptable et témoigne d’un écoulement plastique lelong de la surface de charge. Tout le problème réside alors dans la détermination dumultiplicateur plastique qui permettra l’évaluation du retour du prédicteur élastique sur lasurface de charge finale.

Durant le chargement plastique, l’état de contraintes induit 1n+1 = 1n + ∆1 reste sur la surfacede charge et doit vérifier à l’instant tn+1 = tn + ût la condition :

( ) 0û,û =++ ��f nn 11 . (3.78)

En exprimant l’incrément de contraintes ∆1 en fonction de l’incrément du multiplicateurplastique ∆� (relation (3.74)), nous aboutissons finalement à la résolution d’une équation dutype :

( ) 0û =�F . (3.79)

Figure 3.17 : Calcul du multiplicateur plastique par la « méthode de la tangente »

F (û�)

û�

û�ni

û�ni+ 1


- 102 -

Cette équation est résolue en utilisant la « méthode de la tangente » qui consiste à linéariser lecritère au point courant (indicé i). La figure 3.17 montre l’interprétation géométrique de cetteméthode.

3.3. Application au calcul des structures : Méthode des éléments finis

3.3.1.. Equilibre et travaux virtuels

Sous forme intégrale, l’équilibre d’une structure s’écrit :

∫∫ ∫∫∫ =+S V

dV!dS 0gnΣ , (3.80)

où Σ est le tenseur des contraintes de CAUCHY, n la normale extérieure à la surface (dS), ρ lamasse volumique et g l’accélération de la pesanteur. Les conditions aux limites, elles,s’écrivent :

puutn == ouΣ , (3.81)

où t représente les pressions extérieures. En utilisant le théorème de la divergence, l’équilibrepeut s’écrire localement :

0div =+ g1 ! , (3.82)

qui peut également s’écrire :

0=+ g1L !T , (3.83)

en introduisant pour un état plan de contraintes, l’opérateur LT défini par :

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

=

000

00

00

z

xy

yx

TL . (3.84)

L’équilibre d’un solide déformable peut également être décrit, et cela de manière équivalente,par le principe des travaux virtuels : pour tout champ de déplacement cinématiquementadmissible δu, la variation de travail des forces extérieures δWext est égale à la variation del’énergie interne δWint. En utilisant l’opérateur LT défini par (3.84), nous pouvons donnerl’expression des quantités mises en jeu, soit :

( ) dV/W/T

Vint 1uL∫∫∫= , (3.85)

dS/dV!/W/S

T

V

Text tugu ∫∫∫∫∫ += , (3.86)


- 103 -

l’équilibre de la structure s’écrivant alors :

extint WW δδ = . (3.87)

3.3.2. Discrétisation spatiale par éléments finis

L’approximation par éléments finis sur un élément à n nœuds, dont les déplacements nodauxai (aix, aiy, aiz) sont considérés comme les principales inconnues, consiste à dire que le champde déplacement u peut s’écrire de la façon suivante :

( ) iau ζζηηξξ ,,1

∑=

=n

iih , (3.88)

où hi sont les fonctions d’interpolation sur l’élément considéré et �� le système decoordonnées locales de l’élément. En introduisant le vecteur déplacement ae propre àl’élément considéré :

{ }n21e aaaa ,...,,=T , (3.89)

et la matrice H définie par :

=

n

n

n

hhh

hhh

hhh

00.........0000

00.........0000

00.........0000

21

21

21

H , (3.90)

alors (3.88) s’écrit plus simplement sous la forme :

eHau = . (3.91)

Le vecteur déplacement ae peut s’exprimer en fonction du vecteur déplacement global a de lastructure par :

aZa ee = , (3.92)

où Ze est une matrice 3n×N dans le cas d’une structure à N degrés de liberté. Ainsi enconsidérant les équations (3.85), (3.86) et (3.87) nous pouvons écrire pour une structure àNEL éléments :

( ) ( ) ( ) dSdVdVNEL

e

T

S

NEL

eV

TNEL

eV

T

eee

taHZgaHZ1aLHZ eee ∑∫∫∑∫∫∫∑∫∫∫===

+=111

δδρδ . (3.93)

Après simplifications (3.93) s’écrit :

( ) dSdVdVNEL

e

T

S

TTNEL

eV

TTTNEL

eV

TTT

eee

tHZagHZa1LHZa eee ∑ ∫∫∑ ∫∫∫∑ ∫∫∫===

+=111

δρδδ . (3.94)


- 104 -

La relation (3.94) est vraie pour tous déplacements virtuels, ainsi :

( ) dSdVdVNEL

e

T

S

TNEL

eV

TTNEL

eV

TT

eee

tHZgHZ1LHZ eee ∑ ∫∫∑ ∫∫∫∑ ∫∫∫===

+=111

ρ . (3.95)

Cela peut encore s’écrire :

extint ff = , (3.96)

avec f int forces générées par les contraintes à l’intérieur de la structure :

∫∫∫∑=

=eV

TNEL

e

T dV1BZf eint1

, (3.97)

où B = LH et fext sont les forces induites par les efforts extérieurs :

dSdVNEL

e

T

S

TNEL

eV

TT

ee

tHZgHZf eeext ∑ ∫∫∑ ∫∫∫==

+=11

ρ . (3.98)

3.3.3. Analyse incrémentale itérative

La question qui se pose maintenant est de savoir comment les déplacements des nœuds de lastructure évoluent pour équilibrer les forces extérieures appliquées. De part la non-linéaritédes équations à résoudre (relation (3.95)) et de part le fait que souvent les matériaux employéspour réaliser la structure ont des comportements également non linéaires, fext est décomposéeen pas de charge. A l’instant tn+∆t, nous cherchons à déterminer les composantes du vecteurcontraintes noté ttn ∆+

1 qui peut également s’écrire :

111 ∆+=∆+ nn ttt . (3.99)

La relation (3.99) introduite dans (3.95) permet d’écrire :

ttNEL

eV

tTT

V

TNEL

e

T n

e

n

e

dVdV ∆+

==

=+ ∑ ∫∫∫∫∫∫∑ extee f1BZ1BZ11

û , (3.100)

ou encore :

nn

e

ttt

V

TNEL

e

T dV intexte ff1BZ −= ∆+

=∫∫∫∑ û

1

, (3.101)

La résolution du système d’équations défini par (3.101) nécessite l’utilisation d’une méthodeitérative. Il faut pour cela « linéariser » les équations à résoudre. L’incrément de contraintedépend de l’incrément de déformation qui lui même dépend de l’incrément du champ dedéplacement, soit :

( )( )u011 ûûûû = . (3.102)


- 105 -

Après linéarisation, nous obtenons :

uu0

0

1

1 ûû

nn tt

∂∂

∂∂= . (3.103)

En remarquant que :

nt

∂∂=0

1

D , (3.104)nt

∂∂=u0

L , (3.105)

et en utilisant (3.91), nous pouvons écrire :

aDBaDLH1 ûûû == . (3.106)

Ainsi, en notant :

eV

TNEL

e

Te dV

e

ZBDBZK

= ∫∫∫∑=1

, (3.107)

alors (3.101) devient :

nn tttext intffaK −= +û

û , (3.108)

K étant la matrice de raideur tangente de la structure entre tn et tn+∆t. Cette linéarisation audébut de chaque incrément de charge permet ainsi de calculer aisément l’incrément dedéplacement induit, soit :

( )nn tttext intffKa −= +− û1

û . (3.109)

Figure 3.18 : Représentation de la méthode incrémentale pure

Solution exacte

Solution numérique

Incrément de charge

a

fext


- 106 -

Cependant si l’on ne s’en tient qu’à cette linéarisation, la solution numérique vaprogressivement, au fur et à mesure des incréments effectués, s’éloigner de la solution exactecompte tenu des non linéarités mises en jeu (cf. figure 3.18).

Cette erreur peut être largement corrigée en incluant, à chaque incrément de charge, desitérations permettant de rétablir l’équilibre entre forces externes fext et forces internes fint

jusqu’à ce que leur différence || fext - fint || soit inférieure à une valeur suffisante petite pourque l’on puisse considérer les conditions d’équilibre satisfaites à la fin de l’incrément decharge (cf. figure 3.19).

Figure 3.19 : Représentation de la méthode de NEWTON-RAPHSON

En effet, une fois trouvé l’incrément du champ de déplacement ∆u, la relation (3.103) permetde déterminer l’incrément de contrainte correspondant ∆1 (résolution des équilibres internes).Ainsi, nous sommes en mesure de calculer le nouvel état de contrainte de la structure etd’associer le vecteur force interne correspondant. Nous répétons alors le procédé définiprécédemment à partir de la relation (3.108). Nous pouvons écrire l’algorithme de résolutiondu problème posé sous la forme :

1) Calcul de K à l’itération i

2) Calcul de fint,i+1 :

( )i,tt

extind intffKa −= +−

+û1

1 (3.110)

iii daaa +∆=∆ +1 (3.111)

11 ûû ++ = ii aB0 (3.112)

111 ûû +++ = ii 0D1 i (3.113)

fext

a


- 107 -

101 û ++ += ii 111 (3.114)

∫∫∫∑ +=

+ =eV i

TNEL

e

T dV11

1 σσBZf eint,i (3.115)

3) Critère de convergence :

Si TOLitt ≤− +

∆+1,intext ff

alors i = i+1 et aller à 1)

sinon FIN

L’algorithme proposé ci-dessus correspond à la méthode de NEWTON-RAPHSON (figure3.19). Cet algorithme présente une variante (méthode de NEWTON-RAPHSON modifiée) quiconsiste, pour alléger les calculs, à considérer la matrice K constante sur l’incrément decharge (figure 3.20). Cependant, comme le montre cette figure, cette méthode nécessite plusd’itérations pour atteindre la convergence.

Figure 3.20 : Représentation de la méthode de NEWTON-RAPHSON modifiée

a

fext


- 108 -

3.4. Conclusions

Finalement, la résolution d’un problème de structures en béton armé soumises à ladessiccation peut être schématiquement représentée par la figure 3.21.

Figure 3.21 : Modélisation des structures sous fluage de dessiccation – Schéma de principede résolution des équations introduites

Résolution del’équation de transfert

de masse

Détermination de ladéformation de retrait

Intégration des équationsconstitutives de la plasticité

et de la viscoélasticité

Vérification deséquations d’équilibre

pour la structureConvergence?

Oui

Non

Calcul de l’incrémentde déplacement

n 8 n + 1


- 109 -

4. Eléments de validation

4.1. Retrait de dessiccation sur éprouvettes en béton et étude desensibilité du modèle

Une étude détaillée des déformations de retrait de dessiccation sur éprouvettes cylindriques aété menée par ALVAREDO et WITTMANN [ALVA93]. Les résultats expérimentauxobtenus dans ce contexte ont été retenus pour la validation de notre modèle. Ils constituentégalement un cadre intéressant de discussion sur la validité des hypothèses introduites.

4.1.1. Présentation

Deux couples d’éprouvettes de diamètre φ = 148 mm de longueur l = 480 mm et 960 mm ontété réalisées avec un béton contenant 400 kg/m3 de ciment et formulé à E/C = 0,55. Après unepériode de conservation de 62 jours à T = 20 °C et H.R. = 100 %, elles ont été placées dansune enceinte climatisée à T = 23°C et H.R. = 45 % afin d’y effectuer les mesures dedéformations de retrait à différents niveaux de l’éprouvette comme l’illustre la figure 3.22.

Figure 3.22 : Description schématique des mesures de retrait [ALVA93]

4.1.2. Détermination des paramètres du modèle

L’ensemble des caractéristiques matérielles du béton utilisé a été obtenu expérimentalement,exception faite du coefficient de retrait. Concernant les propriétés mécaniques du matériau,les valeurs mesurées par ALVAREDO et WITTMANN [ALVA93] et utilisées pour nossimulations sont reportées sur le tableau 3.2.

Tableau 3.2. : Propriétés mécaniques du béton

fc E ft Gft

32 MPa 36000 MPa 2,4 MPa 80 N.m-1

ûl1 ûl2

ûl3


- 110 -

Les propriétés de transfert hydrique ont, quand à elles, été obtenues grâce à l’analyse descourbes expérimentales de perte en masse d’éprouvettes cylindriques. Elle a mis en évidenceque les transferts d’humidité pour le béton étudié étaient correctement décrits par uneéquation non linéaire du type :

( )

=

∂∂ →

hgradhDdivt

h, (3.116)

avec D(h) = 2,8.10-10 × exp (4,7Sl). En l’absence des données expérimentales concernant lesévolutions de perte en masse des échantillons testés, nous avons choisi une isotherme linéaire(Sl = h) et avons adopté les mêmes propriétés de transfert que celles adoptées parALVAREDO et al. [ALVA93].

4.1.3. Modélisation du retrait de dessiccation et comparaison avec les résultatsexpérimentaux

Le calcul des déformations de retrait nécessite tout d’abord la détermination des profilsd’humidité. Compte tenu des fortes variations d’humidité relative au niveau des surfacesd’échanges et des problèmes de convergence que poserait l’utilisation d’un maillage régulierpour la résolution de l’équation de transfert, les calculs hydrique et mécanique sont effectuéssur deux maillages distincts représentés sur la figure 3.23. Les déformations de retrait sont enfait calculées par projection des valeurs d’humidité relative sur le maillage mécanique.

H.R. = 45 %

Figure 3.23 : Maillages (éléments QUA8) et conditions aux limites adoptés

0. =→→nqh

→n

→n


- 111 -

La mesure du retrait de dessiccation intrinsèque, c’est à dire la réduction d’un élément devolume libre de toute contrainte, est impossible : la lenteur des processus de transferthydrique au sein du matériau font apparaître des forts gradients d’humidité et doncl’apparition d’autocontraintes élevées qui conduisent inévitablement à la fissuration.Toutefois, si en première approche, nous supposons un coefficient de retrait constant (en cesens où il ne dépend pas de l’humidité relative) et si nous négligeons, de plus, l’influence dela fissuration et de l’état de contrainte (rret = 0), la valeur de .ret peut être estimée à partir duretrait mesuré 0∞

ret lorsque l’éprouvette est en équilibre hygrométrique avec le milieuenvironnant. Ainsi :

( )0hh

0.

e

retret

−= ∞ . (3.117)

Cependant, pour notre étude, la valeur de 0∞ret s’avère délicate à obtenir expérimentalement

puisque les mesures de retrait n’ont été fournies que jusqu’à 50 jours. Dans ce contexte, lavaleur .ret = 1,5.10-3 proposée par ALVAREDO et al. [ALVA93] a été retenue.

Nous avons choisi, dans un premier temps, de tracer sur la géométrie déformée (facteurd’amplification de 400) les isovaleurs de la contrainte majeure principale 11 induite parséchage.

t = 1 jour t = 10 jours t = 30 jours t = 180 jours t = 360 jours

Figure 3.24 : Isovaleurs de la contrainte majeure principale 11


- 112 -

La figure 3.24 montre que très rapidement des contraintes de traction apparaissent au niveaude la surface d’échange qui à un jour ont déjà provoqué une fissuration de peau. Ensuite, lesvariations de contrainte sont pilotées par l’évolution du front de séchage au sein del’éprouvette avec un maximum à trente jours et un état d’équilibre atteint au bout d’un an.

&RQFHUQDQW� OH� UHWUDLW�ûl1 à court terme, nous remarquons une bonne corrélation entre lesdéplacements expérimentaux et ceux calculés comme le montrent les figures 3.25 et 3.26

0

0,01

0,02

0,03

0,04

0,05

0,06

0 0,5 1 1,5 2Temps (jours)

Ret

rait ∆

l 1 (

mm

)

Calcul

Expérience

Figure 3.25 : Evolutions des déplacements à court terme au niveau de la surface d’échangepour l’éprouvette H = 480 mm

0

0,01

0,02

0,03

0,04

0,05

0,06

0 0,5 1 1,5 2Temps (jours)

Ret

rait ∆

l 1 (

mm

)

Calcul

Expérience

Figure 3.26 : Evolutions des déplacements à court terme au niveau de la surface d’échangepour l’éprouvette H = 960 mm


- 113 -

Trois phases sont clairement apparentes. Au cours des premières heures, le retrait croitlinéairement avec le temps (comportement élastique pour l’ensemble de l’éprouvette).Ensuite, un point d’arrêt est observé et l’évolution de la déformation est considérablementralentie (comportement adoucissant du béton à proximité de la surface d’échange).Numériquement, l’évolution des déformations plastiques rend compte d’une instabilité(diminution du déplacement calculé). Une fois créée la fissuration en peau, une vitesse deretrait fixe semble s’établir et l’évolution du déplacement est alors contrôlée par le processusde diffusion de l’humidité.

0

0,1

0,2

0,3

0 10 20 30 40 50 60 70Temps (jours)

Ret

rait ∆

l (m

m)

Calcul

Figure 3.27 : Evolution des déplacements pour l’éprouvette H = 960 mm

0

0,05

0,1

0,15

0,2

0 10 20 30 40 50 60 70Temps (jours)

Ret

rait ∆

l (m

m)

Calcul

Figure 3.28 : Evolution des déplacements pour l’éprouvette H = 480 mm

∆l1∆l2

∆l3

∆l1


- 114 -

L’ensemble des résultats obtenus pour les déplacements longitudinaux à plus long terme estprésenté sur les figures 3.27 et 3.28. Il est à noter que les valeurs expérimentales complètesn’ont été fournies que pour l’éprouvette de hauteur H = 960 mm.

Nous remarquons, tout d’abord un décalage entre les déplacements ûl1� HW�ûl2 dû à la nonlinéarité des processus de diffusion de l’humidité mis en jeu. Nous constatons également queles mesures de déplacements à la surface de l’éprouvette rendent compte d’une déformationGH� UHWUDLW� SOXV� JUDQGH� SRXU� ûl1� TXH� SRXU� ûl3. Ce surplus de déformation peut en parties’expliquer par la présence de zones au niveau des bords supérieur et inférieur de l’éprouvetteoù le retrait peut s’effectuer plus librement qu’en partie courante. La comparaison desdéplacements ûl1 pour les deux éprouvettes met également en évidence cet effet de structure,les zones de retrait empêché étant proportionnellement plus importante pour H = 960 mm quepour H = 480 mm.

L’ensemble de ces phénomènes est qualitativement bien reproduit par le modèle, et bien quele retrait mesuré aux extrémités (ûl1) ne soit pas correctement décrit, nous estimonsl’ensemble des résultats obtenus satisfaisant compte tenu de l’approche de modélisationchoisie.

4.1.4. Etude de sensibilité

4.1.4.1. Dépendance du coefficient de retrait à l’humidité relative

Pour notre étude, nous avons supposé un coefficient de retrait constant. Cependant, commenous l’avons précédemment évoqué, une forte dépendance à l’humidité relative a été reportéepar ALVAREDO et al. [ALVA95] pour le retrait d’éprouvettes de pâte de ciment. Dans cecontexte, un calcul avec prise en compte d’une variation linéaire du coefficient .ret enfonction de l’humidité relative a été effectué.

0

0,1

0,2

0,3

0 10 20 30 40 50 60 70Temps (jours)

Ret

rait ∆

l (m

m)

constant

linéaire

Figure 3.29 : Influence de la dépendance du coefficient de retrait à l’humidité relative pourl’éprouvette H = 960 mm


- 115 -

0

0,05

0,1

0,15

0,2

0 10 20 30 40 50 60 70Temps (jours)

Ret

rait ∆

l (m

m)

constant

linéaire

Figure 3.30 : Influence de la dépendance du coefficient de retrait à l’humidité relative pourl’éprouvette H = 480 mm

La détermination de ce coefficient s’obtient en écrivant :

( )∫∫∞∞

=00

dhh.dt retretε� , (3.118) avec ( ) ahh.ret = . (3.119)

Nous en déduisons finalement l’expression suivante :

( ) ( )retcons

ee

ret

.hhhh

a0

20

2

22

+=

−= ∞ε

. (3.120)

Les figures 3.29 et 3.30 montrent que l’utilisation d’un coefficient de retrait exprimé commeune fonction linéaire de l’humidité relative conduit à de meilleurs résultats. Il faut toutefoisconsidérer ce résultat avec quelques précautions dans la mesure où le calcul des déplacementsûl1 aux extrémités de l’éprouvette est également sensible au choix des paramètres ft et Gft.

4.1.4.2. Objectivité du maillage

L’analyse mécanique des déformations de retrait a été réalisée pour 3 maillages représentéssur la figure 3.31, le maillage M2 étant celui utilisé pour les calculs précédemment effectués.Pour cette étude, nous avons conservé un maillage identique à celui proposé sur la figure 3.23pour la détermination des profils d’humidité et nous avons supposé une déformation de retraitproportionnelle à l’humidité relative.

Les résultats obtenus sont présentés sur la figure 3.32. On observe une très légère dépendanceau maillage pour le calcul des déplacements ûl1�HW�ûl2 induite nécessairement par la techniquede projection des cartes d’humidité. Nous en retiendrons que les maillages à adopter pour lecalcul mécanique ne doivent pas être trop « grossier » ou tout du moins être construit avecune densité d’éléments plus importante au niveau des surfaces d’échange.


- 116 -

M1 M2 M3

Figure 3.31 : Maillages utilisés pour l’étude de sensibilité

0

0,1

0,2

0,3

0 10 20 30 40 50 60 70Temps (jours)

Ret

rait

∆l (

mm

)

M1

M2

M3

Figure 3.32 : Influence du maillage sur la réponse mécanique

4.1.4.3. Hétérogénéité des propriétés mécaniques du béton

En fabrication courante, les structures en béton présentent au niveau des surfaces de coffragedes propriétés mécaniques moins performantes. Ce phénomène est essentiellement lié au faitque la taille des granulats est plus faible lorsque on se rapproche des parois. De manière àprendre en compte cet effet de bord, nous avons effectué une simulation sur une éprouvette


- 117 -

finement discrétisée (maillage M3) pour laquelle les trois rangées d’éléments à proximité dela surface d’échange ont été affectées de propriétés mécaniques réduites par rapport à cellesdu cœur de la structure. Les valeurs adoptées ont été reportées sur le tableau 3.3 : ce sontcelles proposées par ALVAREDO et al. [ALVA93] pour leurs simulations.

Tableau 3.3 : Propriétés mécaniques du béton adoptées pour la prise en compte de l’effet deparoi

Rangée 3 Rangée 2 Rangée 1E 0,92× Et

c 0,77× Ec 0,56× Ec

Gft 0,87× Gftc 0,75× Gft

c 0,25× Gftc

.ret 1,7.10-3 1,9.10-3 2,5.10-3

L’hétérogénéité du matériau se traduit également par une répartition non uniforme descaractéristiques mécaniques au sein de l’éprouvette. Ainsi, afin d’étudier les effets de lalocalisation des déformations induite par cette non uniformité, une distribution statistique del’énergie de fissuration et de la résistance en traction pour les trois rangées d’éléments a étéadoptée. ALVAREDO et al. [ALVA93] ont proposé de les répartir selon une loi normaletronquée dont les valeurs moyennes sont celles du tableau 3.3 avec une déviation standard de10 % pour ft et 20% pour Gft. Les résultats obtenus dans ce contexte sont représentés sur lesfigures 3.33 et 3.34.

t = 1 jour t = 10 jours t = 30 jours t = 180 jours t = 360 jours

Figure 3.33 : Isovaleurs de la déformation plastique équivalente �1


- 118 -

Le tracé des isovaleurs de la déformation plastique équivalente nous apparaît intéressant. Ilmet en évidence l’apparition dès les premiers instants de séchage d’un très grand nombre depetites fissures en peau. Ensuite, certaines d’entre elles continuent de s’ouvrir au niveau despoints de faible résistance constituant ainsi un réseau de fissures espacées et plus profondes etrendant compte d’un mécanisme de fissuration plus réaliste que la présence d’une zoned’endommagement homogène habituellement obtenue.

La figure 3.34 montre que la prise en compte de l’hétérogénéité du matériau ne modifie guèreles déplacements calculés. La légère évolution constatée sur le déplacement ûl1 n’est due qu’àla modification des propriétés mécaniques à proximité de la surface d’échange. En effet, bienque la prise en compte des distributions statistiques pour ft et Gft offre une meilleuredescription des mécanismes mis en jeu localement, elle n’a aucune influence sur les résultatsde calcul à l’échelle globale.

0

0,1

0,2

0,3

0 10 20 30 40 50 60 70

Temps (jours)

Ret

rait ∆

l (m

m)

sans effet de bord

avec effet de bord

Figure 3.34 : Influence de l’hétérogénéité du matériau pour l’éprouvette H = 960 mm

4.1.5. Conclusions

Nous retiendrons de l’ensemble des résultats présentés un effet de structure rendant délicate ladétermination du retrait intrinsèque. Ces résultats de calcul ont également montré unesensibilité à l’expression du coefficient de retrait en fonction de l’humidité relative. Signalonstoutefois que cette dépendance à été mise en évidence sur des éprouvettes en pâtes de cimentet non pas sur des spécimens en béton.

Toutefois, nous jugeons que le modèle développé pour l’étude du retrait de dessiccationdonne des résultats corrects pour l’étude du séchage d’éprouvettes en béton. Plusparticulièrement le déplacement ûl3 mesuré en surface, au niveau de la zone médiane del’éprouvette où le retrait est le plus gêné, est correctement reproduit. Cela nous semble être lepoint essentiel pour l’application de notre modèle aux structures en béton armé où lesdéformations de retrait seront fortement empêchées.


4.2. Application sur structure en béton armé

Les résultats expérimentaux et numériques obtenus pour une poutre en béton armé soumise àdes déformations différées vont maintenant être présentés. Le travail effectué dans ce contexteconstitue la deuxième étape de notre travail de validation. Les expériences utilisées pour nossimulations sont issues d’un benchmark proposé par la RILEM [ESPI93] pour l’étudenumérique des déformations de retrait et de fluage. Des résultats expérimentaux concernant lecomportement d’éprouvettes en béton et de structures en béton armé soumises à desdéformations de retrait et de fluage y sont présentés. Plus particulièrement, les travaux deJACCOUD et FAVRE [JACC82] pour la vérification expérimentale d’une méthode de calculdes flèches des structures en béton armé ont servi de référence pour la validation de notremodèle.

Afin de bien cerner la relation moment-flèche, une série d’essais de longue durée (mesureseffectuées jusqu’à l’âge de 510 jours), comprenant sept dalles sollicitées sous cinq niveaux decharges différents fut réalisée selon le dispositif de la figure 3.35.

Outre le pappliquéess’échelonnbéton armd’humiditétoutes idenm d’épaiss

Niveau

P P

10

Figure 3.35 : Cara

oids propre de la pout à une distance de 1,ent sur l’ensemble desé (cf. tableau 3.4) et s relative sur des bandetiques et ont les dimeneur.

Tableau 3.4 : Pr

de sollicitationM/Mu

Charge

0,2 5,8 kN0,3 12,2 k

0,4 18,6 k

0,5 25,0 k

0,6 31,5 k

2

00 1100

- 119 -

ctéristiques des essais sur poutres armées

re, le chargement est constitué de deux forces concentrées00 m de chaque appui. Les niveaux de sollicitations choisis phases caractéristiques du comportement des structures en

ont appliquées pendant 510 jours dans une ambiance à 60%s de dalle (poutre simple) âgées de 28 jours. Les poutres sontsions suivantes : 3,10 m de portée, 0,75 m de largeur et 0,16

ésentation des niveaux de chargement

P Dalle No. Phase

C11 Stade homogèneN C12 et C22 Apparition des premières fissures

N C13 Stade fissuré

N C14 et C24 Stade fissuré avancé

N C15 Limite de l’état de service

2

1000

130

750

15

155Ø12

2Ø6


- 120 -

4.2.1. Détermination des paramètres du modèle

Les valeurs des déformations de retrait et de fluage sont mesurées sur des prismes dedimensions 160 mm × 160 mm × 320 mm et sont reportées sur les figures 3.36 et 3.37. Lesvaleurs du coefficient de fluage 3(t, t0), défini comme le rapport de la déformation de fluagesur la déformation élastique, sont déduites de mesures de déformation d’éprouvettes chargéesà l’âge t0 de 28 jours sous une contrainte de compression de 4 MPa.

Nous avons dans un premier temps effectué un calcul de séchage de manière à reproduirel’évolution de la seule déformation de retrait. Comme aucune donnée expérimentale n’estfournie concernant le comportement hydrique du béton employé, nous avons adoptél’isotherme d’adsorption obtenue par BAROGHEL-BOUNY [BARO94] sur des bétonsordinaires ayant le même rapport E/C=0,5 que les bétons des éprouvettes de retrait. Pour lecoefficient de diffusion hydrique, la formulation introduite par BAZANT et al. [BAZA72] aété retenue (équation (2.37)).

En prenant en compte un coefficient de diffusion à saturation D1 = 4×10-8 kg.m-1.s-1 et uncoefficient de retrait .ret = 1,5.10-3, nous obtenons des résultats numériques satisfaisantsreprésentés sur la figure 3.36.

0

200

400

600

1 10 100 1000Temps (jours)

Ret

rait

(10-6

)

C12

C15

C22

Calcul

Figure 3.36 : Déformations de retrait mesurées sur éprouvettes

De manière à obtenir les paramètres de la chaîne de MAXWELL dans le cadre d’un matériauvisco-élastique vieillissant, une procédure numérique proposée par JURKIEWIEZ [JURK97]et développée par BERTHOLLET [BERT99] a été utilisée (cf. annexe C).

A partir de la fonction de fluage définie par le modèle ACI 209 [ACI92] (cf. annexe D), cetteprocédure a permis l’obtention des coefficients E� et �� pour une chaîne de MAXWELL à 7branches avec des temps de relaxation variant de 0,001 jours à 1000 jours. Les résultatsthéoriques obtenus dans ce contexte (cf. figure 3.37) montrent que notre modèle reproduitcorrectement les déformations de fluage mesurées sur éprouvettes.


- 121 -

0

0,5

1

1,5

2

2,5

3

1 10 100 1000Temps (jours)

ϕ (t

,t0)

C12

C15

C22

Chaîne de Maxwell

Figure 3.37 : Déformations de fluage mesurées sur éprouvettes

4.2.2. Etude d’une poutre armée

4.2.2.1. Comparaison des résultats de calcul avec les résultats expérimentaux

L’étude des déformations de retrait et de fluage obtenues sur éprouvettes a permis de calibrercorrectement les paramètres de notre modèle. Chaque mécanisme étant correctement décrit,nous pouvons à présent étudier le comportement d’une structure pour des sollicitations detype plus complexe.

Compte tenu des symétries de chargement et de géométrie, nous n’avons modélisé que lamoitié de la poutre. Le maillage réalisé avec des éléments quadrilatères à huit nœuds pour lebéton et des éléments barre à deux nœuds pour l’acier des armatures, est représenté sur lafigure 3.38.

Figure 3.38 : Maillage et conditions aux limites pour le calcul mécanique

Pour tous les calculs effectués, nous avons supposé un état plan de contrainte et uniquementpris en compte les transferts d’humidité dans la direction verticale. Les caractéristiquesmécaniques et rhéologiques du béton ont également été mesurées sur éprouvettesprismatiques de dimensions 160 mm × 160 mm × 320 mm. Un module d’élasticité E = 29500

F


- 122 -

MPa a été trouvé expérimentalement et une résistance caractéristique du béton de dalle fc = 23MPa a pu être déduite. D’après les recommandations du CEB [CEB90], la résistance entraction et l’énergie de fissuration associée peuvent en être déduites. Dans ce contexte, lesvaleurs caractéristiques ft = 2,1 MPa et Gf = 70 N.m-1 ont été retenues pour toutes nossimulations.

Sans prendre en compte, dans un premier temps, les effets différés induits par la durée duchargement, nous avons déterminé la courbe charge-déplacement pour la poutre arméereportée sur la figure 3.39.

0

5

10

15

20

25

30

35

40

45

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

Flèche (mm)

For

ce (

kN)

Expérience

Calcul

Figure 3.39 : Evolution de la flèche instantanée en fonction de la charge appliquée

De manière à reproduire exactement les résultats expérimentaux obtenus juste après la miseen charge, nous avons choisi un module de YOUNG E = 25000 MPa légèrement inférieurdonc à celui reporté par JACCOUD et FAVRE [JACC82]. En effet, il est nécessaire d’obtenirnumériquement un déplacement instantané à mi-travée aussi proche que possible de la réalitéde façon à pouvoir porter un regard plus critique sur les résultats théoriques obtenus dans lecadre d’une étude des déformations différées et de ces effets.

Finalement, un calcul sur poutre en béton armé avec prise en compte des transferts d’humiditéet des déformations de retrait associées ainsi que du comportement « visco-élasto-plastique »du béton a été effectué à l’aide des divers paramètres précédemment déterminés.

Les résultats obtenus sont présentés sur la figure 3.40 et comparés aux valeursexpérimentales. Exception faite de la poutre C15 soumise au chargement le plus élevé, lesdéplacements à mi-travée induits par des sollicitations de longue durée sont correctementreproduits par notre modèle. Les écarts observés sur les deux derniers cas de charge peuventen partie être justifiés par le fait que le principe de superposition ne peut théoriquement plusêtre appliqué. En effet, les valeurs P = 25 kN et P = 31,5 kN du chargement correspondentrespectivement à 50 % et 60 % du chargement ultime.


- 123 -

0

5

10

15

20

25

30

1 10 100 1000Temps (jours)

Flè

che

(mm)

C11C12/C22C13C14/C24C15

Figure 3.40 : Comparaison des flèches mesurées et calculées pour des sollicitations de longuedurée

4.2.2.2. Analyse des résultats

De nouvelles simulations ont été entreprises pour les trois premiers niveaux de chargementavec seule prise en compte du phénomène de fluage. Les résultats obtenus dans ce contextesont comparés à ceux précédemment trouvés dans le cadre d’un calcul complet et sontreprésentés sur les figures 3.41, 3.42, 3.43 et 3.44.

0

2

4

6

8

10

12

14

16

0 100 200 300 400 500 600Temps (jours)

Flè

che

(mm

)

Fluage + retrait Fluage

Figure 3.41 : Flèches calculées : influence des déformations de retrait

M/Mu = 0,4

M/Mu = 0,3

M/Mu = 0,2


- 124 -

(791 fissures)

Figure 3.42 : Faciès de fissuration initial pour M/Mu = 0,3

(a) Fluage (846 fissures)

(b) Fluage et retrait (2093 fissures)

Figure 3.43 : Faciès de fissuration à t = 1 an pour M/Mu = 0,3

t = 0

t = 30 jours

t = 1 an

Figure 3.44 : Isovaleurs de la déformation plastique équivalente �1 obtenues dans le cadred’un calcul complet pour M/Mu = 0,3


- 125 -

Comme le montre la figure 3.41, la prise en compte du retrait de dessiccation a pourconséquence d’augmenter les déplacements calculés. En effet, dans le cadre d’un essai deflexion, la partie supérieure de la poutre est en compression et la partie inférieure est entraction. La contribution des déformations de retrait est donc plus importante en fibresupérieure qu’en fibre inférieure, expliquant de ce fait l’effet observé au niveau desdéplacements. Dans ce contexte, l’influence du retrait est plus marquée pour des niveaux dechargement plus élevés pour lesquels des fissures sont instantanément créées en fibre tenduedès la mise en charge, annulant de ce fait la contribution des déformations de retrait en partieinférieure de la poutre.

Si, d’une manière générale, nous remarquons que la contribution des déformations de fluageest plus importante que celle des déformations de retrait vis-à-vis des déplacements calculés,elle s’avère en revanche beaucoup plus discrète dans l’évolution de la fissuration de la poutrecomme le montrent les figures 3.42 et 3.43(a). Celle-ci est essentiellement pilotée par lesdéformations de retrait en partie supérieure de la structure qui génèrent une évolutionsignificative de l’endommagement (cf. figure 3.43(b) et 3.44).

4.2.3. Conclusions

La description phénoménologique des déformations de retrait de dessiccation et de fluageavec prise en compte de la fissuration s’avère satisfaisante pour l’étude des structures enbéton armé soumises à la dessiccation sous chargements de longue durée. Chacun desmécanismes est décrit de manière simple et les paramètres requis pour leur modélisation sontobtenues à partir d’essais expérimentaux classiques sur éprouvettes. Les principaleshypothèses de ce modèle sont :

- non prise en compte d’une éventuelle influence de la réponse mécanique sur lecomportement hydrique du matériau,

- la formulation des déformations de retrait et de fluage est la même en compression eten traction.

De plus, il est à noter qu’aucune attention n’a été portée sur l’effet PICKETT qui est laconstatation expérimentale que la déformation de fluage sur éprouvette soumise à ladessiccation est supérieure à la somme des déformations de retrait et de fluage propre mesuréeséparément sur la même éprouvette. Cependant, il est très difficile de fournir unemodélisation de ce phénomène à l’échelle macroscopique. Bien que ce « paradoxe »commence à trouver des explications (la communauté scientifique s’accorde sur l’existenced’un mécanisme apparent dû à un effet de structure et d’un mécanisme intrinsèque aumatériau supposé induit par des mouvements d’eau localisés entre les zones d’absorptionempêchée et les pores capillaires de la pâte de ciment) et qu’une descriptionphénoménologique fut proposée par BAZANT et al. [BAZA97], nous n’avons pas introduitun terme représentatif de l’effet PICKETT dans la partition des déformations.

En effet, les données expérimentales ne nous permettent pas d’identifier ce termed’interaction hydro-mécanique. Notons, toutefois, que le coefficient de fluage� 3(t,t0) estobtenu à partir d’une déformation de fluage sur éprouvette soumise à la dessiccation àlaquelle on a soustrait la déformation de retrait de la même éprouvette non chargée. Ainsi, lachaîne de MAXWELL tient compte approximativement de l’effet PICKETT puisque la partdu fluage propre n’est pas identifiée expérimentalement sur les éprouvettes chargées.


- 126 -

Conclusion

Le but de ce chapitre était de proposer une formulation numérique pour la description ducomportement mécanique du béton intégrant les déformations de retrait et de fluage et prenanten compte la fissuration.

L’étude bibliographique réalisée dans ce contexte a mis en évidence qu’à l’échellemicroscopique les mécanismes mis en jeu ainsi que les différents couplages ne sont, à ce jour,pas tous identifiés. Ainsi, la mise au point d’un modèle numérique complet formulé à partir deconsidérations physico-chimiques est difficilement concevable tant sur le plan théorique quesur le plan de sa validation qui nécessiterait une expérimentation lourde et coûteuse pour ladétermination des paramètres de couplage.

Nous avons donc préféré nous orienter vers une approche simplifiée en supposant unepartition des diverses déformations mises en jeu. Ce découpage est souvent adopté dans lalittérature et suppose donc que l’ensemble des déformations soient faiblement couplées.

Les déformations différées de type retrait de dessiccation sont obtenues directement à partirdes champs d’humidité. Afin de prendre en compte les déformations de fluage, un modèle decomportement visco-élastique couplé à un modèle de plasticité mis au point parBERTHOLLET et GEORGIN [BERT99] [GEOR98] a été utilisé. Ainsi, dans le cadre d’uneapproche phénoménologique, nous disposons d’un modèle permettant de rendre compte ducomportement mécanique du béton fissuré sous sollicitations hydriques. Ce modèle a étédéveloppé dans le code de calcul par éléments finis CASTEM2000 [CAST96].

Le modèle proposé a enfin été mis en œuvre dans le cadre de l’analyse d’éprouvettes en bétonet de structures en béton armé soumis à la dessiccation. Les résultats des simulationseffectuées ont systématiquement été comparés avec l’expérience et ont montré la capacité dumodèle à fournir une prédiction fiable du comportement mécanique des spécimens étudiés.

Toutefois, il nous semble important d’identifier un certain nombre de limites de ce modèle.Les premières imperfections sont liées au traitement de la fissuration. En effet, lamodélisation proposée dans le cadre de la plasticité ne permet pas de décrire correctementl’anisotropie liée à l’apparition de fissures. De plus, l’effet unilatéral n’est pas pris en compteet rend difficile son application à l’analyse des structures sous des chargements cycliques.

D’autre part, en ce qui concerne les déformations de fluage, l’application du principe desuperposition ne permet pas l’étude du comportement mécanique des structures fortementchargées. Nous supposons, de plus, que les phénomènes mis en jeu sont isotropes et que lescinétiques de déformations sont les mêmes en compression qu’en traction.

Enfin, les dernières lacunes sont engendrées par le manque de données expérimentales. Nouspensons notamment à celles permettant l’identification du terme d’interaction « hydro-mécanique » pour la prise en compte de l’effet PICKETT. Pour pouvoir identifier ce terme decouplage, nous devons disposer des cinétiques de déformations de retrait, de fluage propre etde fluage de dessiccation obtenues expérimentalement pour le matériau utilisé.

- 127 -

CHAPITRE IV

APPLICATION A L’ETUDE DESREFRIGERANTS ATMOSPHERIQUES

Chapitre IV Application à l’étude des réfrigérants atmosphériques

- 128 -

Introduction

Le modèle proposé dans le précédent chapitre a été mis en œuvre pour l’analyse ducomportement de spécimens en béton et de structures en béton armé soumis à la dessiccation.L’outil numérique développé ayant pu être validé, nous l’utilisons à présent pour l’étude ducomportement des réfrigérants atmosphériques dans le cadre de sollicitations hydro-mécaniques afin d’apporter des éléments de réponse à la problématique initialement posée.

Dans ce contexte, deux types de modélisation sont entrepris. Tout d’abord, un calculaxisymétrique est effectué pour l’étude des effets du séchage et de la technique deconstruction sur le comportement mécanique de l’ouvrage. Il s’agit d’une application« naturelle » de l’outil numérique développé compte tenu de la géométrie de l’ouvrage. Elleoffre de plus une relative facilité de mise en œuvre des calculs permettant d’effectuer desétudes de sensibilité à quelques paramètres du modèle.

Toutefois, compte tenu du modèle de comportement mécanique adopté, cette approche nepermet pas de décrire le comportement non linéaire du béton dans la direction orthoradiale.Elle rend également délicate la prise en compte de chargements non axisymétriques tels que levent ou les tassements différentiels, par exemple. Dans ce contexte, une modélisationtridimensionnelle de l’ouvrage par éléments de plaque multicouches a été mise au point.

Les deux approches de modélisation offrent un ensemble de résultats complémentaires et ilnous semble intéressant qu’elles soient chacune présentées.


- 129 -

1.Caractéristiques de l’ouvrage et des matériaux

1.1. Présentation de l’ouvrage étudié

L’ouvrage étudié, construit en béton armé, est composé d’une coque supportée par 52 pairesde diagonales. Il culmine à environ 165 mètres et son diamètre extérieur est compris entre 78et 122 mètres. Sur la majeure partie de l’ouvrage, la coque présente une épaisseur qui varie de21 à 32 cm. Elle est rigidifiée en partie haute par une galerie de visite (également appeléecouronnement) et en partie basse par une poutre de renfort (linteau) dont les épaisseurs sontrespectivement de 110 et 120 centimètres. Enfin, l’ensemble de la structure repose sur unesemelle de fondation annulaire continue. Les principales caractéristiques géométriques de lacoque sont présentées sur la figure 4.1.

Elévation

Section transversale

Linteau Col Couronnement

Rayon (m) 61 39 42Hauteur (m) 11 127 165

Epaisseur (m) 1,2 0,21 1,1

Figure 4.1. : Présentation de l’ouvrage

La coque est armée de manière identique sur chaque face d’un double réseau de barresverticales (aciers méridiens) et horizontales (aciers circonférentiels) avec une épaisseur debéton d’enrobage de 3 centimètres. Le pourcentage d’acier moyen est de 0,3% pour chacun

Couronnement

Linteau

Col

Intrados

Extrados


- 130 -

des lits d’armatures et il est sensiblement uniforme sur toute la hauteur de l’ouvrage,exception faite du couronnement et du linteau.

Comme nous l’avons évoqué au chapitre I, le mode de construction des tours derefroidissement fait appel à des techniques d’échafaudages auto-grimpants qui s’appuient surles bétons coulés depuis deux ou trois jours et supportent des panneaux de coffrage. Pourl’aéroréfrigérant étudié, la coque fut construite en 118 levées de 1,3 m à raison d’une levéepar jour exception faite des 12 premières levées pour lesquelles l’important volume de béton àmettre en œuvre ne permet pas une telle cadence. Ces levées sont alors réalisées en plusieursjours par juxtaposition de tronçons de coque.

1.2. Caractéristiques des matériaux

1.2.1. Béton

L’ouvrage a été réalisé à l’aide d’un béton dosé à 350 kg/m3 de ciment CPF400 avec unrapport E/C = 0,5. La formulation est donnée sur le tableau 4.1.

Tableau 4.1 : Formulation du béton de coque

Gravier 4/25 Sable 0/5 Ciment CPF 400 Eau

1110 kg.m-3 750 kg.m-3 350 kg.m-3 175 kg.m-3

Les caractéristiques mécaniques à 28 jours ont été mesurées sur éprouvettes 16 mm × 32 mm.Elles sont égales à fc = 40 MPa, ft = 3,2 MPa et E = 40000 MPa. En l’absence de donnéesexpérimentales concernant l’énergie de fissuration Gft, nous adoptons la valeur proposée parle CEB [CEB90], soit :

7,0

42 c

maxft f

dG

+= , (4.1)

où dmax est la taille du plus gros granulat. Avec dmax = 25 mm, nous obtenons Gft = 110 N.m-1

et en déduisons Gfc = 50Gft = 5,5.103 N.m-1 [FEEN95].

Si les caractéristiques mécaniques du béton de coque ont été clairement identifiées, nous nedisposons pas d’essais permettant l’évaluation des propriétés de transferts hydriques et ladétermination des déformations de retrait et de fluage du matériau. Dans ce contexte, lesprofils d’humidité sont calculés en utilisant le coefficient de diffusion proposé par BAZANTet al. [BAZA72]. La valeur du coefficient D1

eq = 1,7.10-8 kg.m-1.s-1 obtenue grâce aux essaisde perte en masse de BAROGHEL-BOUNY [BARO94] a été retenue comme valeur deréférence à T = 20 °C. Concernant la description des déformations différées, nous avonschoisi un coefficient de retrait .ret = 1,5.10-3 et la fonction de fluage de l’ACI [ACI92]présentée en annexe D.

1.2.2. Acier

Un modèle de comportement élasto-plastique parfait est adopté pour l’acier avec un moduled’élasticité E = 210000 MPa et une limite élastique fe = 440 MPa. Ce comportement est


- 131 -

supposé parfaitement isotrope et est représentée sur la figure 4.2. Notons enfin que les acierssont systématiquement considérés comme parfaitement adhérents au béton.

Figure 4.2 : Rhéologie de l’acier

0

1

Tract

Compression

fe

- fe

-E/fe

E/fe


- 132 -

2. Analyse du comportement hydromécanique d’une tour deréfrigérant : phasage de construction et séchage du béton

Comme nous l’avons évoqué en introduction de ce chapitre, une partie de notre travail s’estattachée à l’étude des déformations différées sur le comportement mécanique de l’ouvragedans le cadre d’une modélisation axisymétrique. Les résultats qui vont maintenant êtreprésentés ne concernent que l’étude du comportement hydro-mécanique de l’ouvrage depuisle début de sa construction jusqu’à sa mise en service et tentent d’apporter quelques élémentsde réponse quand à l’état de déformation et de dégradation parfois observé sur site à la miseen service.

2.1.Principe de modélisation

Dans le cadre de la formulation développée, la description précise du phasage de constructionet de l’historique de fabrication de la structure s’avérerait particulièrement lourde et coûteusesur le plan numérique. Ainsi, quelques simplifications ont été effectuées.

Tout d’abord, la tour est décomposée en 26 couronnes : 1 pour le linteau, 24 pour la partiecourante (où une couronne équivaut à 5 levées) et 1 pour le couronnement. De plus, elle estintégralement matérialisée dès le début du calcul, le phasage de construction étant pris encompte de manière simplifiée par l’introduction de fonctions « seuil » au niveau desconditions limites pour la détermination des profils d’humidité et au niveau du chargementmécanique en phase de construction (poids propre) pour le calcul mécanique. Les épaisseursdes couronnes et les dates de début de chargement sont représentées sur le tableau 4.2.

Tableau 4.2. : Définition des épaisseurs des couronnes et des dates de chargementassociées

Couronne Epaisseur (m) Date de débutchargement (jours)

Couronne Epaisseur (m)Date de début dechargement (jours)

1 1,20 0 14 0,25 1002 1,11 20 15 0,24 1053 0,43 40 16 0,23 1104 0,32 50 17 0,22 1155 0,31 55 18 0,21 1206 0,30 60 19 0,21 1257 0,29 65 20 0,21 1308 0,28 70 21 0,21 1359 0,28 75 22 0,21 14010 0,27 80 23 0,23 14511 0,26 85 24 0,81 15012 0,26 90 25 0,95 16513 0,25 95 26 1,10 170

Les calculs ont été menés sur une période de quatre ans (dont 6 mois de construction) ensupposant une hygrométrie constante h = 70 % et une température moyenne de T = 12°C pourle milieu environnant. Les maillages utilisés pour la détermination des profils d’humidité et larésolution du problème mécanique couplé, dans le cadre de l’étude du comportementhydromécanique de la tour, sont présentés sur la figure 4.3.


- 133 -

① ②

① ②

① ②Figure 4.3 : Maillages adoptés pour le calcul axisymétrique

(① : calcul hydrique,② : calcul mécanique )


- 134 -

Ce maillage a été obtenu à partir de la procédure de génération de maillage tridimensionnel(cf. annexe E) à partir duquel nous n’avons conservé que les points de discrétisation d’uneméridienne. Pour la représentation du béton, des éléments massifs quadrilatères à 8 nœudssont utilisés. L’épaisseur de la couronne de supportage est déterminée de manière à assurerune rigidité de flexion équivalente à celle générée par la présence des piles de supportage. Lesaciers sont quand à eux modélisés par des éléments de coque à 2 nœuds (type COQ2).

2.2. Analyse des mécanismes de fissuration

Nous avons choisi dans un premier temps d’analyser les effets des déformations de retrait surle comportement mécanique de l’ouvrage en supposant successivement le matériau bétonélastique et visco-élastique. Cette première approche nous semble pouvoir offrir une meilleurecompréhension des mécanismes de dégradation sous l’action des déformations différées.L’étude des effets de la prise en compte de la fissuration (ou plus exactement desdéformations plastiques) sera traitée ultérieurement.

Dans ce contexte, nous avons tracé les évolutions des contraintes axiales 1zz et orthoradiales1tt obtenues au niveau de la fibre extérieure du béton. Les valeurs représentées sur les figures4.4 et 4.5 correspondent à une contrainte moyenne par élément et sont données sur toute lahauteur de la tour. Nous avons également jugé intéressant de faire figurer en annexe (cf.annexe F) les profils de contraintes dans l’épaisseur de la coque obtenus au niveau des zonescritiques de l’ouvrage (correspondant aux levées situées au niveau du linteau, du col et ducouronnement) afin d’offrir une présentation complète des résultats de calcul obtenus dans cecontexte

En phase de construction, les contraintes apparaissant en peau du béton sont exclusivementdes contraintes de traction. Comme nous l’avons évoqué, les gradients d’humidité relativefont apparaître des retraits différentiels dans l’épaisseur de la coque et les champsd’autocontraintes, s’établissant dès lors, conduisent inévitablement à l’apparition de zonestendues à proximité des surfaces d’échanges.

0

20

40

60

80

100

120

140

160

180

-2 0 2 4 6 8 10Contrainte σzz (MPa)

Hau

teur

(m

)

Retrait Retrait + Fluage

Figure 4.4 : Evolution de la contrainte axiale 1zz en fibre extérieure du béton

Finale

Construction


- 135 -

0

20

40

60

80

100

120

140

160

180

-2 0 2 4 6 8 10Contrainte σtt (MPa)

Hau

teur

(m

)

Retrait Retrait + Fluage

Figure 4.5 : Evolution de la contrainte orthoradiale 1tt en fibre extérieure du béton

Le calcul élastique avec prise en compte des seules déformations de retrait de dessiccation faitapparaître presque systématiquement des contraintes supérieures à la résistance en traction dumatériau. Elles engendreraient une fissuration méridienne et circonférentielle de peau surl’ensemble de l’ouvrage.

L’introduction d’un modèle de comportement visco-élastique pour le béton permet toutefoisd’améliorer ce diagnostic. Les contraintes obtenues par le premier calcul se trouventfortement relaxées (d’un facteur 2 environ) mais restent cependant suffisamment élevées pourprovoquer la fissuration au niveau des pièces les plus « massives » de la coque. En effet, pourles levées situées à proximité du couronnement, des fissures dans les directions axiales etorthoradiales apparaîtront. La partie inférieure de l’ouvrage bénéficie en revanche du poidspropre de la structure et il semble que seule la fissuration méridienne y soit à craindre.

Ces premiers calculs entrepris dans le cadre de la théorie de la viscoélasticité linéairepermettent de dresser un premier bilan quand aux mécanismes de dégradation de l’ouvragevis-à-vis des déformations de retrait de dessiccation : C’est au niveau des partiesinférieures et supérieures de l’ouvrage, là où les gradients hydriques sont les plusimportants compte tenu des épaisseurs mises en jeu, mais également à proximité des élémentsde forte rigidité que constituent le linteau et le couronnement, que le risque de fissurationest le plus à craindre.

Dans ce contexte, l’exploitation d’un calcul hydro-mécanique avec prise en compte del’écrouissage du béton en traction nous apparaît donc indispensable pour une meilleuredescription du comportement de l’ouvrage et une analyse plus fine des mécanismes defissuration au niveau des zones les plus sensibles de la coque.

Sur les figures 4.6 et 4.7 ont donc été reportées les profils de contraintes axiales 1zz dansl’épaisseur, calculés un an après le début de la construction. Ces valeurs sont données pourdeux couronnes situées respectivement au dessus du linteau (couronne n° 2) et en dessous ducouronnement (couronne n° 25).

Finale

Construction


- 136 -

-4

-3

-2

-1

0

1

2

3

4

60,6 60,8 61 61,2Rayon (m)

Con

trai

nte σ

zz (

MP

a)

retrait retrait + fluage poids propre

Figure 4.6 : Profils des contraintes axiales 1zz dans l’épaisseur de la couronne n°2

-2

-1

0

1

2

3

4

41,4 41,8 42,2 42,6Rayon (m)

Con

trai

nte σ

zz (

MP

a)

retrait retrait + fluage poids propre

Figure 4.7 : Profils des contraintes axiales 1zz dans l’épaisseur de la couronne n° 25

Le calcul élasto-plastique intégrant les déformations de retrait rend compte d’un état decontraintes dans l’épaisseur très différent de celui causé par le poids propre de la structure. Ladistribution des contraintes dans l’épaisseur est fortement perturbée par l’apparition de retraitsdifférentiels et par le comportement adoucissant du béton. Les niveaux de contrainte atteints àproximité de l’intrados et de l’extrados dépassent la résistance en traction du matériau mêmepour les zones où régnaient initialement des contraintes significatives de compression. Ainsiprès des surfaces d’échange, on observe une chute de contrainte caractéristique d’un matériauen phase d’adoucissement.

Comme précédemment, l’introduction du phénomène de fluage permet de constater unrelâchement des contraintes dont la principale conséquence est de limiter l’épaisseur de la

Position des aciers

Position des aciers


- 137 -

zone endommagée. La figure 4.8, sur laquelle ont été reportées les isovaleurs de ladéformation plastique �1, quatre ans après le début de la construction, en est une bonneillustration.

Couronne n° 2 Couronne n° 25

(a) Retrait

Couronne n° 2 Couronne n° 25

(b) Retrait + fluage

Figure 4.8 : Isovaleurs de la déformation plastique équivalente �1 – Influence du phénomènede fluage sur l’état d’endommagement de la tour à la mise en service (t = 4ans)

2.3. Analyse des mécanismes de déformations

Tous les calculs entrepris dans le cadre de l’analyse des déplacements de la coque prennent encompte le comportement adoucissant du béton en traction. Le poids propre de la structure estégalement systématiquement appliqué. Les simulations effectuées tentent, à présent,d’apporter des éléments de réponse quand aux mécanismes de déformations de l’ouvrage.

Les figures 4.9 et 4.10 représentent l’évolution des déplacements au cours du temps pourdiverses hypothèses de calcul (retrait seul, fluage seul, retrait et fluage simultanémentconsidérés).


- 138 -

0

20

40

60

80

100

120

140

160

180

-10 -8 -6 -4 -2 0 2Déplacement u r (mm)

Hau

teur

(m

)

Fluage Retrait Retrait + fluage

Figure 4.9 : Déplacements radiaux calculés sur la hauteur de l’ouvrage

0

20

40

60

80

100

120

140

160

180

-60 -50 -40 -30 -20 -10 0Déplacement u z (mm)

Hau

teur

(m

)

Fluage Retrait Retrait + fluage

Figure 4.10 : Déplacements axiaux calculés sur la hauteur de l’ouvrage

Le calcul complet révèle un tassement maximal de 5 cm au sommet de la tour et undéplacement radial de 0,8 cm en partie courante de l’ouvrage.

Tout d’abord, nous tenons à signaler que ces calculs ont également été entrepris en supposantun comportement linéaire du béton : ils ont abouti sensiblement aux mêmes résultats. Lecomportement de l’ouvrage est donc piloté par les déformations mises en jeu à l’échelle de lasection et semble peu sensible à l’apparition de la fissuration de peau dans le cadre d’unemodélisation géométrique axisymétrique.

Finale

Construction

Finale

Construction


- 139 -

Le retrait de dessiccation semble être le phénomène prépondérant dans l’évolution desdéplacements au cours du temps et l’effet des déformations de fluage est plus discret. Lesniveaux de contraintes de compression dans les levées sont relativement faibles (cf. annexe F)et le phénomène de relaxation ne provoque finalement que de faibles déplacements au niveaude chaque couronne.

Ainsi, le comportement radial est entièrement piloté par le retrait de dessiccation avec desvaleurs de déplacements plus faibles en haut et en bas de la coque. Il s’agit en effet des partiesles plus épaisses de l’ouvrage pour lesquelles les niveaux d’humidité restent élevés au cœurdes levées générant ainsi des déformations de retrait relativement faibles.

L’influence du fluage est en revanche plus marquée en ce qui concerne les déplacementsaxiaux calculés au sommet de la coque. Compte tenu du poids propre de l’ouvrage, lesniveaux de contrainte sont ici légèrement plus élevés que ceux mis en jeu dans la directionorthoradiale et l’accumulation des « affaissements » de chaque levée rend finalement compted’un déplacement d’environ 10 cm supérieur à celui calculé avec prise en compte des seulesdéformations de retrait.

Toutefois, nos calculs ne permettent pas de retrouver les valeurs élevées des déplacementsradiaux mesurés in situ (cf. annexe A).

2.4. Conclusions

L’ensemble des résultats de calcul obtenus dans le cadre de la modélisation axisymétrique ducomportement hydro-mécanique d’un réfrigérant permet de dresser un premier bilan quandaux effets des déformations différées de retrait et de fluage :

- les différents profils de contraintes calculés permettent de conclure à l’apparitionde fissures, principalement dans la direction méridienne, en partie inférieure etsupérieure de l’ouvrage,

- la prise en compte du phénomène de fluage nous apparaît nécessaire pour unedescription correcte du comportement mécanique de l’ouvrage soumis à ladessiccation. Il intervient de manière significative au niveau des déplacementsaxiaux calculés au sommet de la coque et modifie considérablement lesmécanismes de fissuration induite par les retraits différentiels.

Bien qu’elles ne permettent pas d’expliquer l’ampleur des déformations mesurées sursite à la mise en service, les déformations de retrait dues au séchage du béton noussemble bien être un facteur potentiel de dégradation des coques d’aéroréfrigérant etsont à notre avis à l’origine de la fissuration observée sur la structure étudiée.


- 140 -

3. Modélisation tridimensionnelle du réfrigérant : apport àla compréhension du fonctionnement global de l’ouvrage

L’approche de modélisation présentée dans la partie précédente ne permet malheureusementpas de décrire le comportement non linéaire du béton dans la direction orthoradiale, comptetenu du modèle de plasticité utilisé qui est plus adapté à la résolution de problèmesmécaniques à état plan de contraintes ou de déformations. Dans ce contexte, une modélisationtridimensionnelle de l’ouvrage par éléments de plaque multicouches a été mise au point pourla prise en compte des non linéarités dans la direction orthoradiale. Elle permet égalementl’étude des effets de chargements non axisymétriques et plus particulièrement la descriptiondu comportement de l’ouvrage sous l’action du vent.

3.1. Description des modèles géométriques adoptés

La coque est modélisée par des éléments de plaque constitués d’un empilage de 11 couchesexcentrées avec une discrétisation plus fine au niveau des surfaces d’échange comme lemontre la figure 4.11. L’intégration dans l’épaisseur est effectuée par la méthode deSIMPSON. L’élément utilisé pour la représentation d’une couche résulte de la superpositiond’un élément classique de membrane à trois nœuds et d’un élément de plaque triangulairecompatible appelé DKT (« Discrete KIRCCHOFF Triangle ») proposé par BATOZ[BATO90]. Ce dernier type d’élément, utilisé pour traiter la flexion des structures mincesdans le cadre de la théorie de KIRCCHOFF (basée sur l’hypothèse cinématique dite dessections planes), suppose la conservation des normales : l’effet du cisaillement transversal estdonc négligé. L’intégration dans le plan est réalisée avec 3 points de GAUSS situés au milieudes côtés des couches. Enfin, nous supposons pour chaque couche un état plan de contrainte.

Figure 4.11 : Représentation d’un élément de béton armé

Les aciers d’armatures méridiennes et circonférentielles sont représentés discrètement par deséléments de barre spatiale excentrée (type BAEX dans CASTEM2000) avec comportement

zy

x

Surface moyenne : maillage support

Armatures dans la direction x

Armatures dans la direction y

Couche de béton i

Excentrement ei


- 141 -

mécanique uniaxial. Ces éléments de renforts linéiques sont superposés aux élémentsreprésentant le béton, chaque élément étant défini par la position des nœuds et par des barresde liaison normales au plan de l’élément de plaque (cf. figure 4.11). Nous tenons à préciserque deux couches ont systématiquement étaient placées entre les lits d’armatures et lessurfaces d’échange au niveau de l’intrados et de l’extrados. Leur épaisseur est constantesur toute la hauteur de la coque et vaut 1,5 cm.

La semelle et le supportage sont modélisés par des éléments de poutre avec prise en comptedu cisaillement transversal. Ce modèle géométrique est basé sur la théorie deTIMOSHENKO (type POUT TIMO dans CASTEM2000) pour laquelle l’hypothèse dite dessections droites est adoptée sans cependant supposer que les sections des éléments restentnormales à la fibre moyenne. Le maillage tridimensionnel finalement adopté est représenté surla figure 4.12.

Figure 4.12 : Maillage adopté pour l’étude du comportement d’un aéroréfrigérant

3.2. Détermination d’un état d’endommagement à la mise en service

Etant donné que le calcul des profils d’humidité n’est possible que pour des problèmes à deuxdimensions, une procédure spécifique a été mise au point pour obtenir les cartes d’humiditésur la géométrie 3D. La technique employée consiste dans un premier temps à construire unmaillage de la méridienne dans le cadre d’une modélisation géométrique axisymétrique avecune disposition des éléments dans la direction radiale identique à la répartition des couchesdans l’épaisseur de l’élément DKT. Les champs d’humidité obtenus précédemment sont alorsprojetés sur le maillage intermédiaire et la moyenne des valeurs obtenues au pointd’intégration de chaque élément est récupérée pour la construction des cartes d’humidité surla géométrie 3D. Les résultats obtenus dans ce contexte sont présentés sur la figure 4.13.

Béton de coque Armatures Supportage Semelle de fondation


- 142 -

0,65

0,70

0,75

0,80

0,85

0,90

0,95

60,40 60,60 60,80 61,00 61,20 61,40 61,60 61,80

Rayon (m)

Hum

idité

rel

ativ

e

(a)

0,65

0,70

0,75

0,80

0,85

0,90

0,95

38,65 38,70 38,75 38,80 38,85 38,90 38,95

Rayon (m)

Hum

idité

rel

ativ

e

(b)

Figure 4.13 : Projection des champs d’humidité relative sur la géométrie 3D(a) en bas de la coque (couronne n°2) (b) au col (couronne n°18)

On constate sur les profils d’humidité créés (trait pointillé), un léger « effet tampon » auniveau des couches limites pour les premiers instants de calcul dû à la technique particulière

Valeurs initialesValeurs projetées1 mois1 an4 ans


- 143 -

d’obtention de ces profils. Toutefois, la méthode employée donne des résultats trèssatisfaisants sur l’ensemble de l’ouvrage.

Dans le cadre de cette modélisation géométrique tridimensionnelle, nous avons donc entreprisun calcul complet (retrait, fluage et comportement mécanique non linéaire des matériauxconstitutifs). Les principaux résultats de calcul obtenus dans ce contexte sont présentés sur lesfigures 4.14, 4.15, 4.16 et 4.17.

Le tracé des isovaleurs de la déformation plastique équivalente �1 rend compte du niveaud’endommagement de la tour à la mise en service, quatre ans après le début de sa construction(cf. figure 4.15). Seules les couches situées près des surfaces d’échange font état de laprésence de zones endommagées. Elles sont situées au niveau du tiers inférieur de la coque età proximité du couronnement. Comme nous l’avons évoqué dans la partie précédente, il s’agitbien d’une fissuration de peau, légèrement plus profonde toutefois en partie supérieure del’ouvrage comme en témoigne les figures 4.15(b) et 4.15(d) correspondant aux couchesplacées juste devant les aciers. Dans ce contexte, cette fissuration pourrait donc laissercraindre un risque de développement de corrosion des armatures surtout à l’intérieur de lacoque pour laquelle les conditions de fonctionnement, entraînant l’apparition d’un épaisnuage de vapeur, y sont particulièrement propices.

Il s’agit d’une fissuration qui apparaît principalement dans la direction méridienne exceptépour le couronnement où des fissures horizontales sont majoritairement détectées comme lemontre la figure 4.14. Ce faciès de fissuration est à rapprocher de celui relevé in situ sur lastructure étudiée (présenté en annexe A) et semble une nouvelle fois confirmer que lesdéformations de retrait sont à l’origine de la fissuration observée sur la tour étudiée.

Figure 4.14 : Relevé de fissuration à la mise en service au niveau de l’extrados(couche 1)


- 144 -

(a) (b)

(c)

(d) (e)

Figure 4.15 : Isovaleurs de la déformation plastique équivalente �1 à la mise en service

0

0,5E-05

1,0E-04

2,0E-04

1,5E-04

2,5E-04

3,0E-04

4,0E-04

3,5E-04

(a) Couche 1 (intrados)(b) Couche 2(c) Couches 3-9(d) Couche 10(e) Couche 11 (extrados)


- 145 -

Nous avons ensuite comparé les déplacements obtenus à ceux présentés dans la partieprécédente (cf. figures 4.16 et 4.17). Nous constatons tout d’abord pour les déplacementsaxiaux que le calcul avec utilisation des éléments DKT fournit une réponse plus souple quecelui effectué en axisymétrique. Nous pensons que cet effet est dû à la différence demodélisation du supportage.

0

20

40

60

80

100

120

140

160

180

-70 -60 -50 -40 -30 -20 -10 0Déplacement u z (mm)

Hau

teur

(m

)

Calcul DKT complet Calcul axisymétrique

Figure 4.16 : Evolution des déplacements axiaux : comparaison des deux approches demodélisation

0

20

40

60

80

100

120

140

160

180

-10 -8 -6 -4 -2 0 2Déplacement u r (mm)

Hau

teur

(m

)

Calcul DKT complet Calcul DKT visco-élastique

Figure 4.17 : Evolution des déplacements radiaux : influence de la prise en compte ducomportement non linéaire du béton

Mise en service

1 an après le début de laconstruction

Mise en service1 an après le début de la

construction


- 146 -

L’analyse des déplacements radiaux (cf. figure 4.17) met en évidence l’effet de la prise encompte du comportement adoucissant du béton dans la direction orthoradiale. Un calculviscoélastique, au cours duquel les couches extrêmes reprennent toujours des efforts malgrédes contraintes de traction élevées offrant ainsi à la structure une rigidité de flexion plusgrande, rend donc compte d’un comportement plus raide de l’ouvrage. En revanche,l’influence du type d’approche de modélisation s’avère ici beaucoup plus discrète.

3.3. Prise en compte d’un état initial endommagé pour l’étude ducomportement global de la coque

L’étude du phasage de construction et des déformations différées de retrait et de fluage sur lecomportement mécanique de l’aéroréfrigérant étudié a permis de conclure à l’apparition d’unefissuration de peau en partie inférieure et supérieure de l’ouvrage principalement dans ladirection méridienne. Nous allons à présent tenter de quantifier l’effet de la prise en compted’un état initial endommagé sur le comportement de la coque pour de nouveaux types dechargement. L’étude des effets de quelques unes des sollicitations classiques de servicepermettra également d’apporter de nouveaux éléments de réponse quand à l’état dedégradation observé in situ pour l’ouvrage étudié.

3.3.1. Effets d’une mise en service

L’analyse des effets d’une mise en service qui vont mettre en jeu des gradients hydriques etthermiques dans l’épaisseur de la coque de par les conditions particulières de fonctionnement,nous semble être une suite logique de la précédente étude. En effet, l’outil numériquedéveloppé permet d’intégrer des chargements de type déformations imposées dans le cadred’un comportement élasto-plastique du béton et peut donc être également employé pourdécrire les mécanismes de dilatation thermique et de gonflement par adsorption d’eau pour lematériau.

3.3.1.1. Présentation du calcul

Les profils de température sont obtenus par la résolution d’une équation de diffusion du type :

Tkt

TC! ∆=

∂∂

, (4.2)

traduisant localement la conservation de l’énergie. Dans cette expression, û� HVW� O¶RSérateurlaplacien, T est la température, ! est la masse volumique du béton, C est sa chaleur spécifiqueet k est sa conductivité thermique. Les paramètres adoptés pour la résolution de l’équation(4.2) sont présentés sur le tableau 4.3 [HEIN98].

Tableau 4.3 : Paramètres adoptés pour le calcul thermique

Masse volumique ! Chaleur spécifique C Conductivité thermique k2385 kg.m-3 930 J.kg-1.K-1 1,6 W.m-1.K-1

Les conditions aux limites adoptées sont de type « convectif » qui s’écrivent de la façonsuivante :

( )aTT. −=nq. , (4.3)


- 147 -

où q est le flux de chaleur, n est un vecteur unitaire normal à la surface d’échange, . est lecoefficient d’échange convectif, T est la valeur de la température du béton au droit de lasurface d’échange et Ta est la température de l’air ambiant. Tous nos calculs sont effectuésavec la valeur . = 10 W.m-2.K-1.

Les évolutions des gradients d’humidité relative sont toujours décrites à l’aide de l’équationde diffusion non linéaire présentée au chapitre II (équation (2.20)). L’effet des variations detempérature est pris en compte de manière simplifiée en considérant un coefficient dediffusion équivalent fonction de la température comme l’a fait GRANGER dans le cadre de sathèse [GRAN96]. Il utilise une formulation proposée par BAZANT et al. [BAZA72] du type :

( )

−−=

000

11exp),(,

TTR

Q

T

TThDThD s

hh , (4.4)

où T0 est la température de référence (égale à 20 °C), Qs est l’énergie d’activation de séchageet R est la constante des gaz parfaits. Dh (h,T0) est le coefficient de diffusion hydriqueéquivalent à T0 est vaut 1,7.10-8 kg.m-1.s-1 valeur référence précédemment évoquée dans ladeuxième partie de ce chapitre. En l’absence de données expérimentales, BAZANT et al[BAZA72] recommandent de prendre Qs/R = 4700 K-1.

Les conditions aux limites adoptées pour cette étude sont représentées sur le tableau 4.4 et lesprofils d’humidité et de température obtenus dans ce contexte sont présentés en annexe G.

Tableau 4.4 : Conditions aux limites adoptées pour l’étude des effets d’une mise en service

Intrados ExtradosH.R. 100 % 70 %

T 30 °C 12 °C

Les calculs ont été menés sur une période de 30 ans en introduisant un coefficient dedilatation thermique .th = 1,2.10-5 K-1 et en conservant les mêmes paramètres matériaux queceux adoptés précédemment exception faite du coefficient de retrait .

ret. En effet, nous avonsmontré au chapitre III que la relation entre retrait de dessiccation et mouvement d’humiditédevient plus complexe au cours de cycles séchage-humidification et qu’une partie de ladéformation de retrait n’est jamais recouverte par les cycles d’humidité induisant un retraitirréversible qui apparaît essentiellement au cours du premier cycle séchage-humidification[LHER49] [PARR82] [SABR82]. La figure 3.4(a) du chapitre III met clairement en évidencela présence de ce retrait irréversible. Dès lors, nous avons adopté une expression différente duretrait en fonction de l’humidité selon que l’on sèche ou que l’on réhumidifie le matériau etnous avons forfaitairement divisé par deux les déformations de gonflement générées paradsorption d’eau au niveau de l’intrados obtenues après la mise en service.

3.3.1.2. Principaux résultats

Les déplacements calculés sont représentés sur les figures 4.18 et 4.19. D’une manièregénérale, on constate que la contribution des gradients hydriques de fonctionnement pourl’évolution des déplacements est relativement faible par rapport à celle des gradientsthermiques.


- 148 -

0

20

40

60

80

100

120

140

160

180

-70 -60 -50 -40 -30 -20 -10 0Déplacement u z (mm)

Hau

teur

(m

)

Mise en service Sans gradient thermique Avec gradient thermique

Figure 4.18 : Déplacements axiaux calculés sur la hauteur de l’ouvrage

0

20

40

60

80

100

120

140

160

180

-10 -8 -6 -4 -2 0 2 4Déplacement u r (mm)

Hau

teur

(m

)

Mise en service Sans gradient thermique Avec gradient thermique

Figure 4.19 : Déplacements radiaux calculés sur la hauteur de l’ouvrage

En conditions isothermes, le gonflement généré par la réhumidification n’a quasiment aucuneinfluence sur les déplacements axiaux. Le comportement dans la direction radiale n’estmodifié qu’au niveau des levées de plus faible épaisseur qui au bout de quatre ans ontquasiment atteint l’équilibre hygrométrique avec le milieu environnant et pour lesquelles lescinétiques de transfert d’humidité sont plus rapides. Pour les pièces les plus massives (situéesen partie inférieure et supérieure de la tour), la réhumidification ne reste qu’un phénomène desurface et l’évolution des déplacements est pilotée par la poursuite de la dessiccation au cœurde ces pièces (cf. annexe G).

Début de mise enservice

Finale

Début de mise en service

Finale


- 149 -

L’effet du gradient thermique est donc prépondérant dans l’évolution des déplacements. Ilrévèle une dilatation axiale totale de la coque de 2 cm et un déplacement radial maximal de0,6 cm environ. Toutefois, les déplacements calculés ne permettent pas de conclure à unecontribution significative des gradients de service vis-à-vis de l’évolution de la déformée de lacoque mesurée sur site (qui fait état d’un affaissement global de 5 cm et d’une progressionmoyenne des déplacements radiaux de ±5 cm (cf. annexe A).

En revanche, l’exploitation des faciès de fissuration obtenus sur la coque soumise auxgradients de fonctionnement s’avère beaucoup plus riche d’enseignements. Dans ce contexte,les fissures détectées sur les trois dernières couches (situées à proximité de l’extrados) après30 ans de fonctionnement sont présentées sur la figure 4.20(b) et comparées à celles obtenuesà la mise en service de la structure (cf. figure 4.20(a)). Nous avons également fourni lesisovaleurs de la déformation plastique �1 pour ces deux instants de calcul afin de quantifier leniveau d’endommagement des zones fissurées. Ces isovaleurs sont tracées sur la figure 4.21.

Couche 9 Couche 10 Couche 11

(a)


(b)

Figure 4.20 : Comparaison des faciès de fissuration (a) Mise en service (b) Après 30 ans


- 150 -


(a)


(b)

Figure 4.21 : Comparaison des isovaleurs de la déformation plastique équivalente �1

(a) Mise en service (b) Après 30 ans

Ces figures montrent très clairement l’effet des gradients de fonctionnement sur l’évolution del’endommagement de la structure comme en témoigne l’apparition de nouvelles fissures sur lacouche 9 (initialement saine à la mise en service) et la couche 10 (essentiellement en partieinférieure de l’ouvrage). La comparaison des isovaleurs représentées sur la figure 4.21 montreégalement, au niveau des zones présentant déjà un matériau en phase d’adoucissement à lamise en service, une augmentation des déformations plastiques pouvant être interprétéecomme un élargissement ou une propagation de fissures préexistantes.

Nous tenons également à signaler qu’un calcul élasto-plastique sur structure initialement« saine » avec seule prise en compte des gradients thermiques ne détecte la présence d’aucune

0

0,5E-05

1,0E-04

2,0E-04

1,5E-04

2,5E-04

3,0E-04

4,0E-04

3,5E-04

0

0,5E-05

1,0E-04

2,0E-04

1,5E-04

2,5E-04

3,0E-04

4,0E-04

3,5E-04


- 151 -

zone endommagée sur l’ouvrage. Ce résultat avait d’ailleurs déjà été mis en évidence pard’autres auteurs [BAIL96][DJER96]. Ainsi la prise en compte d’un état initial endommagépermet de mettre en évidence un nouveau mécanisme de dégradation de l’ouvrage sousl’action des gradients de fonctionnement.

3.3.1.3. Conclusions

Les écarts de température s’établissant dans l’épaisseur de la coque entre l’intrados etl‘extrados qui sont pourtant relativement faibles compte tenu des conditions aux limitesadoptées (cf. annexe G) sont toutefois suffisants pour générer une progression del’endommagement de la tour.

Il faut noter que les calculs entrepris dans ce contexte sont basés sur des modélisationssimplifiées des phénomènes mis en jeu et revêtent un caractère peut-être plus qualitatif quequantitatif concernant les effets d’une mise en service. Nous n’avons, de plus, envisagé qu’unscénario unique de chargement correspondant à une mise en service perpétuelle et pour lequelles valeurs de température et d’humidité relative correspondent à des grandeurs moyennes surune année. Toutefois, l’approche de modélisation adoptée dans ce contexte, nous sembleacceptable au regard des résultats expérimentaux à disposition concernant les mécanismes deretrait au cours des cycles séchage-humidification [LHER65][LHER68][ALVA95] et comptetenu des faibles valeurs de températures mises en jeu.

L’identification et la description des couplages thermique-hydrique et des mécanismes dedéformations induits n’en restent pas moins une perspective intéressante à plus long terme.Elles permettraient d’étudier plus finement le caractère cyclique des variations thermiques ethygrométriques générées par les conditions météorologiques et l’alternance des phases d’arrêtet de fonctionnement du réfrigérant.

3.3.2. Effet du vent : étude du comportement jusqu’à la ruine

Le vent est l’action variable prépondérante dont l’effet est caractérisé par une pressionstatique équivalente normale à la coque. La pression du vent Pv

ref que nous avons utilisée pournos calculs est celle imposée par le Cahier des Règles Techniques [CRT92] dont lesrecommandations sont issues des règles NV65. Cette pression de référence est définie enannexe H.

Nous avons dans un premier temps tracé la courbe charge-déplacement obtenue sur unestructure « saine ». Le facteur de charge � représenté sur la figure 4.22 est défini par :

refvv P�P = , (4.5)

où Pv est le chargement de pression appliqué sur la coque pour notre calcul. L’évolution desdéplacements est donnée pour un point situé face au vent au niveau du col (z = 127 m, � = 0°)

Dans la première partie [OA] le comportement est pratiquement linéaire. L’apparition dequelques fissures est détectée à � = �f = 1,34 mais elles n’ont aucune influence sur la réponseglobale de l’ouvrage. La deuxième partie [AB] correspond à un palier de fissuration. Elle estcaractérisée par une propagation rapide de fissures et accompagnée d’une forte perte derigidité de la structure à � = �p = 1,71. La dernière partie [BC] correspond à la reprise par lesaciers d’armatures des efforts libérés par la fissuration du béton. Elle se distingue donc par


- 152 -

une légère reprise de raideur et aboutit à un palier correspondant à la plastification des acierspour � = �u = 2,55 correspondant à la charge de ruine de la structure.

0

1

2

3

0 0,2 0,4 0,6 0,8 1

Déplacement radial (m)

Fac

teur

de

char

ge

λ

Figure 4.22 : Courbe charge-déplacement obtenue sur structure saine

Dans le cadre de notre étude, nous avons soumis au vent des structures pré-endommagées parl’action des déformations de retrait jusqu’à la mise en service et par les gradients thermiqueset hydriques s’établissant par la suite dans l’épaisseur de la coque en phase defonctionnement. Les résultats obtenus dans ce contexte sont présentés sur la figure 4.23.

0

1

2

3

0 0,2 0,4 0,6 0,8 1

Déplacement radial (m)

Fac

teur

de

char

ge

λ

Structure initiale Mise en service 30 ans de fonctionnement

*

Figure 4.23 : Courbe charge-déplacement : influence d’un pré-endommagement

A B

C


- 153 -

Si l’allure générale des courbes charge-déplacement reste sensiblement identique à celleobtenue sur structure saine, les valeurs caractéristiques du facteur de charge relevées au coursde l’évolution des déplacements sont légèrement modifiées comme le montre le tableau 4.5.

Tableau 4.5 : Valeurs caractéristiques du facteur de charge

�f �p �u

Structure saine 1,34 1,71 2,55Structure à la mise service 0,91 1,64 2,45

Structure après 30 ans de fonctionnement 0,85 1,58 2,42

On constate tout d’abord un assouplissement en partie linéaire au niveau de la réponse globalede la structure. Cet effet est dû à la dégradation des couches situées à proximité des surfacesd’échange par les gradients thermo-hydriques mis en jeu comme nous l’avons montréprécédemment. Une analyse plus fine de la réponse, toujours pour les plus faibles niveaux dechargement (� < �p), met en évidence un léger changement de pente pour des facteurs decharge � = 0,91 et � = 0,85 dans le cas d’une structure chargée respectivement à la mise enservice et après 30 ans de fonctionnement. L’apparition des premières fissures due à l’actiondu vent est donc plus dommageable pour des structures pré-endommagées. Au regard desvaleurs des facteurs de charge mises en jeu, un risque de dégradation par fatigue estdonc tout à fait envisageable au niveau des zones endommagées.

L’apparition du palier de fissuration et la ruine de l’ouvrage sont toutefois détectées pour desvaleurs de � proches de celles obtenues pour une structure saine et l’effet de la prise encompte d’un pré-endommagement est ainsi beaucoup plus discrète vis à vis de la capacitéportante de l’ouvrage.

3.4. Conclusions

L’approche de modélisation tridimensionnelle ici présentée a donc permis de déterminer unétat initial d’endommagement à la mise en service. Les résultats de calculs mettent enévidence l’apparition d’une fissuration de peau située au niveau du tiers inférieur de la coqueet à proximité du couronnement.

D’autre part, la prise en compte d’un état initial endommagé nous apparaît pertinente pourl’étude du comportement mécanique de l’ouvrage soumis à des chargements classiques. Nousl’avons illustré pour les sollicitations thermo-hydriques induites par la mise enfonctionnement du réfrigérant et pour l’action du vent. L’étude des effets d’autres types desollicitations « permanentes » et notamment ceux induits par les tassements différentielsfournirait sans doute de nouvelles informations quand aux mécanismes de dégradation de cesstructures.


- 154 -

Conclusion

Ce dernier chapitre a été principalement consacré à l’étude des effets des déformations deretrait de dessiccation sur le comportement mécanique de la tour et à la détermination d’unétat initial d’endommagement de la structure à la mise en service.

L’ensemble des résultats de calcul obtenus dans le cadre des modélisations effectuées permetde conclure que les déformations de retrait dues au séchage du béton sont un facteurpotentiel de dégradation des coques d’aéroréfrigérant. Ces déformations font apparaîtreune fissuration de peau situées au niveau du tiers inférieur de la coque et à proximité ducouronnement où elle est légèrement plus profonde. Elles ne permettent pas en revanched’expliquer l’ampleur des déplacements mesurés sur site à la mise en service.

Dans le cadre des hypothèses introduites et des scénarios de chargement envisagés, nousavons qualitativement évalué la contribution des sollicitations thermo-hydriques induites parla mise en fonctionnement du réfrigérant et celle de l’action du vent quand à la progression decet endommagement. Si l’action mécanique des gradients de température et d’humidité mis enjeu n’ont quasiment aucune influence sur la capacité portante de l’ouvrage, une poursuite dela dégradation du matériau au niveau des zones pré-endommagées est en revancheclairement mise en évidence.

Dans ce contexte, la prise en compte d’un état initial endommagé nous apparaît pertinentepour l’étude du comportement mécanique de l’ouvrage soumis à des chargements classiques.L’étude des effets d’autres types de sollicitations « permanentes » et notamment ceux induitspar les tassements différentiels fournirait sans doute de nouvelles informations quand auxmécanismes de dégradation de ces structures.

Nous tenons toutefois à souligner que nous ne disposons d’aucune information concernantl’ampleur des déformations de retrait et de fluage du béton employé pour la réalisation del’ouvrage. Les cinétiques de transferts ne sont pas non plus connues pour le matériau utilisé.Ainsi des valeurs « courantes » des paramètres représentatifs de ces phénomènes ont étéutilisées. La mise au point d’une expérimentation peut s’avérer particulièrement intéressantepour une prédiction plus fiable du comportement de la coque soumise à des sollicitationshydro-mécaniques.

Une autre alternative pourrait être de reconsidérer les études réalisées dans le cadre de cechapitre afin d’y intégrer le caractère dispersif des paramètres intervenant dans celles-ci (nouspensons notamment au coefficient de retrait de dessiccation) et d’effectuer une analyse desensibilité plus approfondie du comportement hydro-mécanique de ces structures dans lecadre d’une approche mécano-fiabiliste.

- 155 -

CONCLUSION GENERALE

Conclusion générale

- 156 -

Notre travail de recherche avait trois buts principaux :

- dresser un état de l’art en matière de modélisations numériques desaéroréfrigérants afin de définir une problématique de recherche. Dans ce contexte,la détermination d’un état initial à la mise en service et la contribution descouplages mécanique-hydrique dans les processus d’endommagement de lastructure nous a semblé tout à fait justifiée,

- mettre en place un modèle numérique capable de décrire le comportementmécanique du béton fissuré et intégrant les déformations de retrait et de fluagepour une prédiction fiable du comportement des structures en béton armé soumiseà la dessiccation,

- utiliser le modèle développé pour l’étude du comportement des réfrigérantsatmosphériques dans le cadre de sollicitations hydro-mécaniques élémentaires afind’apporter des éléments de réponse quand à la problématique initialement posée.

Les enseignements

La description générale de ces structures très particulières que sont les tours derefroidissement et l’analyse des retours d’expériences ont permis de montrer que lesaéroréfrigérants sont des constructions à haut risque de vieillissement rapide compte tenu deleur dimensionnement et des conditions environnementales agressives auxquelles elles sontparfois exposées. C’est pour ces raisons que de nombreuses études concernant les problèmesliés au vieillissement de ces structures ont été réalisées.

En France, les nombreuses campagnes de mesures menées sur l’aéroréfrigérant 3 et lesanalyses effectuées au sein de notre laboratoire ont permis d’apporter quelques éléments deréponse quant à l’origine potentielle de ces défauts. Ceux-ci ont vraisemblablement été initiésdurant la phase de construction du réfrigérant par la méthode particulière de fabrication(tolérance admise sur la géométrie de la structure, technique de coffrage auto-grimpant). Enrevanche, les différentes études entreprises n’ont pas permis d’identifier clairement la ou lesorigines de l’évolution des dommages (déformée et fissuration) observés. Malgré la précisiondes modélisations réalisées, aucune des sollicitations ou combinaisons de chargementenvisagées n’a en effet permis de retrouver quantitativement l’évolution de ces dommages oul’identification de mécanismes de dégradation.

Cependant, des simulations simplifiées visant à étudier les effets de la prise en compte duphasage de construction et des déformations différées du béton ont permis de mettre enévidence des contraintes significatives de traction pouvant générer de la fissuration.

Dans ce contexte, il nous apparaissait intéressant de consacrer notre travail de recherche à lamise en place d’un outil numérique capable de décrire le comportement mécanique du bétonfissuré en intégrant les déformations différées pouvant être générées en phase de constructionet par les conditions particulières de fonctionnement des tours de refroidissement. Ce modèlepermettrait, dans ce contexte, la détermination d’un état initial de la structure à sa mise enservice indispensable en vue d’étudier les effets des sollicitations classiques sur une tour pré-endommagée et de tenter de quantifier leur contribution à la progression de cetendommagement.


- 157 -

A l’échelle microscopique, les mécanismes mis en jeu dans le cadre des phénomènes de retraitet de fluage ainsi que les différents couplages pouvant apparaître ne sont, à ce jour, pas tousidentifiés. Ainsi, la mise au point d’un modèle numérique complet formulé à partir deconsidérations physico-chimiques est difficilement concevable tant sur le plan théorique quesur le plan de sa validation qui nécessiterait une expérimentation lourde et coûteuse pour ladétermination des paramètres de couplage. Nous avons donc préféré orienter la démarche demodélisation vers une approche simplifiée en supposant une partition des diversesdéformations mises en jeu. Ce découpage est souvent adopté dans la littérature et supposedonc que l’ensemble des déformations soient faiblement couplées.

Lors du séchage du béton, le départ d’eau va provoquer dans la matrice cimentaire, un retraitappelé retrait de dessiccation. La lenteur des processus mis en jeu fait apparaître de fortsgradients de teneur en eau créant ainsi dans la structure des retraits différentiels. Ainsi, dans lecadre de l’analyse des effets de ce retrait sur le comportement mécanique des ouvrages enbéton armé, il est indispensable de mettre au point un outil numérique pour la description destransferts d’humidité au sein du matériau si l’on souhaite pouvoir exprimer localement lesdéformations de retrait.

La dessiccation du béton est un phénomène extrêmement lent qui peut être correctementdécrit par une équation de diffusion non linéaire. Cette équation met en jeu deuxparamètres : le coefficient de diffusion de l’humidité obtenu par modélisation de l’essai deperte en masse en cherchant à approcher au mieux la courbe obtenue expérimentalement etl’isotherme de désorption qui constitue véritablement un « paramètre-clé » en ce sens où elleseule permet la détermination des teneurs en eau à une humidité relative donnée. Il fautcependant souligner que l’équation de transfert d’humidité adoptée est relativement simple etl’expression du coefficient de diffusion revêt un caractère plus phénoménologique quephysico-chimique qui rend essentiellement compte d’un séchage d’autant plus lent que lematériau est sec. Même si une telle formulation facilite la phase d’identification desparamètres, elle est en revanche limitée au niveau de ses applications pour l’étude ducomportement hydrique des matériaux poreux.

Afin de prendre en compte les déformations de fluage, un modèle de comportement visco-élastique couplé à un modèle de plasticité mis au point par BERTHOLLET et GEORGIN[BERT99] [GEOR98] au sein de notre laboratoire a été utilisé. Le modèle proposé a été misen œuvre dans le cadre de l’analyse d’éprouvettes en béton et de structures en béton armésoumis à la dessiccation. Les résultats des simulations effectuées ont systématiquement étécomparés avec l’expérience et ont montré la capacité du modèle à fournir une prédictionfiable du comportement mécanique des spécimens étudiés.

Toutefois, il nous semble important d’identifier un certain nombre de limites de ce modèle.Les premières imperfections sont liées au traitement de la fissuration. En effet, lamodélisation proposée dans le cadre de la plasticité ne permet pas de décrire correctementl’anisotropie liée à l’apparition de fissures. De plus, l’effet unilatéral n’est pas pris en compteet rend difficile son application à l’analyse des structures sous des chargements cycliques.

D’autre part, en ce qui concerne les déformations de fluage, l’application du principe desuperposition ne permet pas l’étude du comportement mécanique des structures fortementchargées. Nous supposons, de plus, que les phénomènes mis en jeu sont isotropes et que lescinétiques de déformations sont les mêmes en compression qu’en traction.


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Enfin, les dernières lacunes sont engendrées par le manque de données expérimentales.Nous pensons notamment à celles permettant l’identification du terme d’interaction « hydro-mécanique » pour la prise en compte de l’effet PICKETT. Pour pouvoir identifier ce terme decouplage, nous devons disposer des cinétiques de déformations de retrait, de fluage propre etde fluage de dessiccation obtenues expérimentalement pour le matériau utilisé.

Le dernier chapitre a été principalement consacré à l’étude des effets des déformations deretrait de dessiccation sur le comportement mécanique d’une tour et à la détermination de sonétat initial d’endommagement à la mise en service.

L’ensemble des résultats de calcul obtenus dans le cadre des modélisations effectuées permetde conclure que les déformations de retrait dû au séchage du béton sont un facteurpotentiel de dégradation des coques d’aéroréfrigérant. Ces déformations font apparaîtreune fissuration de peau située au niveau du tiers inférieur de la coque et à proximité ducouronnement où elle est légèrement plus profonde. Elles ne permettent pas en revanched’expliquer l’ampleur des déplacements mesurés sur site à la mise en service.

Dans le cadre des hypothèses introduites et des scénarios de chargement envisagés, nousavons qualitativement évalué la contribution des sollicitations thermo-hydriques induites parla mise en fonctionnement du réfrigérant et celle de l’action du vent quand à la progression decet endommagement. Si l’action mécanique des gradients de température et d’humidité mis enjeu n’ont quasiment aucune influence sur la capacité portante de l’ouvrage, une poursuite dela dégradation du matériau au niveau des zones pré-endommagées est en revancheclairement mise en évidence.

Dans ce contexte, la prise en compte d’un état initial endommagé nous apparaît pertinentepour l’étude du comportement mécanique de l’ouvrage soumis à des chargements classiques.L’étude des effets d’autres types de sollicitations « permanentes » et notamment ceux induitspar les tassements différentiels fournirait sans doute de nouvelles informations quand auxmécanismes de dégradation de ces structures.

Nous tenons toutefois à souligner que nous ne disposions d’aucune information concernantl’ampleur des déformations de retrait et de fluage du béton employé pour la réalisation del’ouvrage. Les cinétiques de transferts ne sont pas non plus connues pour le matériau utilisé.Ainsi des valeurs « courantes » des paramètres représentatifs de ces phénomènes ont étéutilisées. La mise au point d’une expérimentation peut s’avérer particulièrement intéressantepour une prédiction plus fiable du comportement de la coque soumise à des sollicitationshydro-mécaniques.

Les perspectives

• Au niveau du modèle

La première perspective que nous entrevoyons est l’extension du modèle proposé pour l’étudedu comportement à long terme des ouvrages en béton armé soumis aux conditions climatiquessaisonnières impliquant des variations hygrométriques et thermiques.

Cette perspective passe tout d’abord par une meilleure description des transferts d’humiditédans le béton avec prise en compte des couplages thermo-hydriques. Dans ce contexte,


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l’utilisation d’une seule équation de diffusion non linéaire n’est peut-être plus appropriée. Laprise en compte d’une hygrométrie ambiante variable et l’étude des effets des variations detempérature nous semblent devoir nécessiter la résolution d’un système d’équations auxdérivées partielles pour la prise en compte de la conservation de la masse d’eau, de la massed’air et de l’énergie. Nous signalons que ce type de modèle existe déjà et sont maintenantcouramment employés [LEPO99][MAIN99].

C’est peut-être pour la description des déformations différées apparaissant dans ce contexteque les plus importants travaux de recherche doivent être consacrés notamment au niveau del’identification des mécanismes physico-chimiques responsables du retrait (ou gonflement) etdu phénomène de fluage. Dans le cadre de notre approche de modélisation, le point essentielnous semble toutefois être la prise en compte du retrait irréversible apparaissant au cours descycles séchage-humidification. La figure 3.4(a) met clairement en évidence ce retraitirréversible et la nécessité d’adopter dès lors des expressions différentes du retrait en fonctionde l’humidité selon que l’on sèche ou que l’on réhumidifie le matériau. Ce résultat est àrapprocher des effets hystérétiques observés au cours des essais de sorption et désorption devapeur d’eau que nous avons illustrés dans le chapitre II. Dans ce contexte, le choix dupotentiel « humidité relative » pour l’expression des déformations de retrait y trouve peut êtreses limites et il semblerait plus judicieux de définir le retrait de dessiccation en fonction de lateneur en eau sous la forme :

w�0retetrûû = .

Ainsi, le seul coefficient �ret permettrait de décrire simultanément les déformations de retraitet de gonflement au cours des cycle séchage-humidification, l’irréversibilité du retrait étant enfait prise en compte par l’introduction d’une isotherme de sorption différente selon que l’onsèche ou que l’on humidifie le matériau.

Enfin, le modèle de comportement mécanique du béton se doit de décrire la fissuration avecprise en compte de l’effet unilatéral. L’extension du modèle dans le cadre de la théorie del’endommagement (modèle élasto-plastique endommageable) nous semble tout à faitpertinente pour la prise en compte du caractère cyclique des chargements hydriques.

• Au niveau de la problématique industrielle

Dans le cadre particulier des sollicitations thermo-hydriques :

L’approche de modélisation que nous avons choisie pour la description du comportementmécanique du béton en présence de déformations différées est souvent adoptée dans lalittérature et nous semble pertinente vis-à-vis du problème industriel posé. Elle nécessitecependant l’identification de quelques paramètres et la mise au point d’une expérimentationpeut s’avérer particulièrement intéressante.

Tout d’abord, il faudrait être capable de quantifier les pertes en masse (sur éprouvettescylindriques par exemple). Cela permettrait d’une part d’identifier le coefficient de diffusionéquivalent. Plus particulièrement, la détermination de Dh

eq pour des valeurs de températuredifférentes (T = 20°C et T = 40°C par exemple) et la réalisation de cycle séchage-humidification permettraient d’effectuer des simulations précises à la fois pendant la phase deconstruction, la phase d’arrêt ou la phase de fonctionnement de l’aéroréfrigérant.


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D’autre part, l’étude des variations dimensionnelles sur éléments de béton massif aboutirait àl’établissement d’une relation entre variation d’humidité et déformation de retrait pour unbéton de coque. Cette étude pourrait entre autres s’intéresser :

- aux mesures sur échantillons de différentes dimensions (effet d’échelle) avec relevédes déplacements au cœur et à la surface des éprouvettes,

- à l’adaptation du matériau sous l’effet de cycle séchage-humidification.

L’ensemble des données expérimentales obtenues dans ce contexte seront autant d’élémentsde validation d’un modèle intégrant parfaitement les couplages thermo-hydriques.

Enfin, une fois les phénomènes de transferts d’humidité et retraits associés clairementidentifiés pour les bétons d’éprouvette, un plan d’expérimentation de plus grande envergureest tout à fait concevable. Il serait l’occasion de reproduire plus réellement les conditions defonctionnement des tours de refroidissement sur structures faiblement armées (poutresou dalles). Ainsi, l’étude des déformations de fluage sous sollicitations thermiques et del’influence des variations thermo-hydriques sur la fissuration du béton armé pourraient êtreeffectuées et bénéficierait à la fois de l’analyse des résultats expérimentaux sur éprouvettes etd’un modèle de comportement hydromécanique avec prise en compte de la fissuration.L’identification des phénomènes mis en jeu à l’échelle de la structure serait alors possibledans le cadre des actions des gradients thermiques et hydriques sur les aéroréfrigérants etpermettrait une prédiction plus fiable du comportement de la coque soumise à de tellessollicitations.

Dans un cadre plus général d’étude sur le vieillissement des aéroréfrigérants :

Deux types de perspectives se dessinent alors. Il s’agit, d’une part, de reconsidérer les étudesréalisées dans leur ensemble afin éventuellement d’y intégrer le caractère dispersif desparamètres intervenant dans celles-ci et d’effectuer une analyse de sensibilité plusapprofondie du comportement de ces structures dans le cadre d’une approche mécano-fiabiliste. Ce type d’approche a déjà été adoptée pour l’analyse de ces structures et constituevéritablement un outil d’aide à la décision performant [MILL00]. D’autre part, il estnécessaire de compléter ces études par la prise en compte de chargements et decomportements du béton qui n’ont pas encore été introduits et plus particulièrement :

- du comportement du béton sous sollicitations cycliques incluant les problèmes defatigue du matériau,

- de la corrosion des armatures.

Elles permettraient d’apporter de nouveaux éléments de réponse quand aux mécanismes dedégradation de ces structures.

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ANNEXES

Annexes

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Annexe A : Mesures effectuées et exploitations pourl’aéroréfrigérant n°3

L’aéroréfrigérant n°3 a fait l’objet d’une surveillance poussée en raison de son niveaud’endommagement assez important.

Dans ce contexte, un contrôle géométrique par voie photogrammétrique sur 8000 points demesure a été réalisé en septembre 1994 sur le voile de la coque. Le but de ce contrôle était depermettre d’une part, une comparaison avec l’état géométrique relevé en 1982 et ainsi mettreen évidence d’éventuelles évolutions et d’autre part, de corréler les mesures de déformations àinspection fissurométrique exhaustive du voile réalisées en 1994.

De plus, en tant qu’ouvrage particulièrement dégradé, il fait l’objet de contrôles réguliers(planimétrie, altimétrie, inspection visuelle).

A.1. Relevés photogrammétriques

A.1.1. Correction des mesures

Les relevés photogrammétriques fournissent les coordonnées axiales (altitude z) et radiales(rayon R) pour 59 parallèles répartis sur la hauteur de la coque avec en moyenne 130 pointsde mesure par parallèle (cf. figure A.1).

Figure A.1 : Représentation en coordonnées polaires d’un point de mesure

En vue d’obtenir des grandeurs significatives pour les défauts et leur exploitation future(décomposition modale en série de FOURIER, génération de maillages déformés), ces

θ

Rz

M : point de mesure

X

Y

Z

méridien

Annexes

- 176 -

mesures brutes et les défauts radiaux doivent pouvoir être obtenus pour des altitudesmoyennes sur chaque parallèle.

Plusieurs méthodes d’approximation peuvent être utilisées mais la plus précise semble être laméthode des «splines cubiques approximants » parfaitement détaillée par DJERROUD et al.[DJER95]. Elle permet d’obtenir un rayon déformé moyen en fonction de l’altitude z pourtoutes les positions azimutales � décrites par les points de mesures. Cette méthode peut encoreêtre réutilisée sur une circonférence de manière à pouvoir obtenir les valeurs des défauts pourdes valeurs de ��régulièrement espacées (nécessaires pour une décomposition modale).

A.1.2. Analyse des déplacements

L’exploitation des relevés photogrammétriques permet de tirer quelques conclusions (cf.figure A.2) :

- il apparaît très clairement que l’amplitude des défauts n’a que peu évolué en 12ans. La progression moyenne des défauts est de ±5 cm avec des valeurs maximalesde ±15 cm enregistrées au niveau du col,

- on peut également constater que ces défauts sont apparus très tôt et localementl’amplitude de ces défauts peut atteindre 25 cm. Leur origine remonteprobablement à la phase de construction. Cette hypothèse est d’ailleurs soutenuepar d’autres auteurs dont BAILLIS [BAIL96],

- on a enfin pu constater un abaissement de la hauteur de la coque d’environ 5 cm.

Les aéroréfrigérants sont des structures faisant partie de la catégorie des coques minces etl’analyse des déplacements par décomposition en série de FOURIER semble parfaitementadaptée. Elle permettrait de mettre en évidence d’éventuels modes de déplacement privilégiés.

Ainsi un ensemble de valeurs (fn)n=1,N peut s’écrire sous la forme :

∑

+

+=

mmmn N

n�mb

N

n�ma

af

2sin

2cos

20 , (A.1)

où n correspond au numéro de la mesure et m au numéro du mode. Ces coefficients peuventpar exemple être calculés par l’algorithme de COOLEY-TUKEY [BAIL96]. On peutégalement rappeler que l’amplitude du mode m est définie par :

22mmm baW += . (A.2)

Annexes

- 177 -

Figure A.2 (a) : Isovaleurs des défauts relevés en 1982

Figure A.2 (b) : Isovaleurs des défauts relevés en 1994

Annexes

- 178 -

Figure A.3 (b) : Evolution des défauts radiaux entre 1982 et 1994

Sur chacun des parallèles de la coque où nous disposons des mesures des défauts radiaux unedécomposition du type précédemment décrit a été réalisée par DJERROUD et al. [DJER96].Ces résultats montrent clairement que l’évolution de la déformée radiale concerneessentiellement les modes bas (1,3,4,5,7,8,9,10) avec une prédominance pour le mode 1 (cf.figure A.3). Les modes élevés n’évoluent, quant à eux, pratiquement pas.

0

1

2

3

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20

Mode

Am

plitu

de (

cm)

1982 1994

Figure A.3 : Modes de déformations circonférentielles. Amplitudes moyennes par parallèlessur l’ensemble de la coque

Annexes

- 179 -

Plusieurs auteurs [DJER96] [BAIL96] s’accordent à dire que l’origine du mode 20 estprobablement liée à un défaut de construction, quant au mode 1, il pourrait être imputé autassement des fondations ou à la déformation de flexion d’ensemble de la structure parrenversement sous l’effet du vent.

A.2. Etat du parement externe

A.2.1. Faciès de fissuration

Le relevé de fissuration de la coque de l’aéroréfrigérant n°3 a été effectué 14 ans après la finde la construction, c’est à dire en 1994. Les fissures ont été relevées de façon visuelleuniquement sur la face extérieure et il n’y a donc pas d’information quant à leur ouverture etleur profondeur. De plus, des fissures trop petites ou trop peu ouvertes ne peuvent pas êtrerelevées. Le faciès de fissuration est représenté en plan sur la figure A.4.

La première constatation est que la fissuration est assez intense et presque exclusivementméridienne à l’exception d’une série de fissures horizontales localisées à la base de la coque,juste au-dessus du linteau.

La seconde constatation est que la plupart des fissures se situent sur la moitié inférieure et surle couronnement qui est très fortement endommagé.

Enfin, la plupart des fissures ont une longueur moyenne de 1 mètre.

Figure A.4 : Représentation en plan du faciès de fissuration observé en 1994 sur la coque del’aéroréfrigérant n°3

Annexes

- 180 -

A.2.2. Caractérisation de l’état de dégradation de la coque

Les résultats des inspections visuelles C.N.S. (Cartographie Numérique des Structures)complètes réalisées en 1992 et 1994 sur l’aéroréfrigérant n°3 ont permis de suivre l’évolutiondu nombre de défauts et des longueurs de fissures (cf. tableau A.1).

Date Août 1992 Juillet 1994Fissures 2204 2897

Suintements 324 448Corrosions 705 954

Divers 185 329

Longueurs cumulées desfissures (m)

2540 3372

Tableau A.1 : Résultats des inspections visuelles effectuées

Nous constatons que le nombre de défauts relevés ainsi que les longueurs de fissures ontévolué de manière significative en 2 ans.

Cette constatation a pu également être faite sur deux autres aéroréfrigérants du parc nucléairefrançais qui ont également subi deux inspections visuelles complètes compte tenu de l’étattrès médiocre de leur parement externe.

A.3. Tassements différentiels

L’évolution des tassements différentiels de l’aéroréfrigérant n°3 entre 1977 et 1994 estreprésentée sur la figure A.5.

Le tassement des fondations semble être dorénavant très amorti. Les décompositions modalesdes tassements mesurés en 1982 et 1994 montrent une prédominance des modes 1 et 2 ettémoignent de la pertinence de la « règle du dièdre » (utilisée pour le calcul réglementaire).

Tassement des fondations (origine : novembre 1977)

N° de la paire de diagonale

Figure A.5 : Evolution des tassements de fondations dans le temps

Annexes

- 181 -

Annexe B : Principaux résultats sur la modélisationnumérique des aéroréfrigérants soumis au vent

Compte tenu de la surface de prise au vent qu’offrent les tours de réfrigérants (supérieure à unhectare), les forces de pression engendrées par le vent ont souvent été mises en cause lors deseffondrements de ces structures.

Ainsi, la majeure partie des analyses numériques des coques d’aéroréfrigérants traite ducomportement de la structure soumise à son poids propre (et à d’éventuelles chargespermanentes supplémentaires) et à la pression du vent. Il nous semble intéressant d’en retenirles principaux résultats.

B.1. Comportement de la structure jusqu’à la ruine

B.1.1. Prise en compte des non linéarités matérielles

B.1.1.1. Courbes charge-déplacement : fissuration et mécanismes de ruine

Sous l’action croissante de la pression du vent, la structure présente un comportementfortement non linéaire décrit pour la première fois par MANG [MANG83] pour la tour dePort Gibson aux Etats Unis sous l’effet du poids propre et du vent (qui seul est paramètré parle facteur de charge χ).

D’une manière générale, les courbes charge-déplacement obtenues au niveau d’un point situéface au vent, ont la forme présentée sur la figure B.1.

Cette courbe présente deux zones (« State I » et « State II ») correspondant à descomportements très différents du matériau.

La première zone correspond au béton intact non fissuré dont le comportement est élastiquelinéaire.

La deuxième zone correspond à un changement brusque de comportement. Celui-ci est lié àl’apparition de la fissuration qui une fois amorcée s’effectue en chaîne par un plateau defissuration jusqu’à ce que les aciers prennent le relais lors de la redistribution des efforts. Enfait, trois parties distinctes peuvent être considérées :

- un plateau de fissuration dont la longueur dépend du pourcentage d’acier etcorrespondant à la réaction en chaîne entraînant une augmentation rapide desdéplacements sans accroissement rapide de la charge. On peut égalementremarquer qu’à la fin du plateau de fissuration, les déplacements atteignent deuxfois l’épaisseur moyenne de la coque,

- une zone de raffermissement liée au transfert des efforts du béton fissuré vers lesaciers qui autorisent une possible augmentation de la charge,

Annexes

- 182 -

- un deuxième plateau correspondant à la plastification des aciers et leur écoulementtraduisant la ruine de la structure. En fait, l’écrouissage des aciers autorise encoreune légère augmentation de charge avant la rupture définitive.

Figure B.1 : Allure générale des courbes charge-déplacement d’après [MANG83]

L’étude du comportement local du béton (évolution de la fissuration dans la coque en fonctiondu niveau de sollicitations) a montré que l’endommagement de la structure peut se produiresuivant deux mécanismes de fissuration :

- le premier est défini comme l’apparition d’une fissuration méridienne, parovalisation du couronnement. Celle-ci induit une seconde fissurationcirconférentielle liée à la transformation de cette zone en une succession debiellettes de béton assimilable à un assemblage de poutres en flexion,

- le second mécanisme d’endommagement est initié par la formation d’une zone defissuration délimitée par deux lignes de rupture obliques, inclinées à 45° de part etd’autre de la méridienne face au vent et joignant deux points au sommetrespectivement à 70° et 290°. Ce mode de ruine a été observés sur des cas réels derupture de réfrigérant.

B.1.1.2. Influence des paramètres de la modélisation

MANG et SCHNOBRICH ont étudié le comportement de la même tour (Port Gibson auxEtats-Unis) [MANG83] [SCHN84]. Le tableau B.1 résume les principaux résultats obtenus.

0.0

0.5

1.0

1.5

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8

Displacement w (m)

Load

fact

or

State II

State I

Crack plateau

HardeningYield plateau

A BC

Annexes

- 183 -

Tableau B.1 : Comparaison des résultats obtenus sur la tour de Port Gibson

MANG et al. SCHNOBRICH et al.Facteur de charge χ

Début de fissuration 1,34 1,5Rupture 1,49 1,725

La comparaison des résultats obtenus par les deux équipes de recherche fait apparaître unedifférence au niveau des charges de ruine et de fissuration liée essentiellement aucomportement du béton tendu. En effet, MANG a pris en compte la partie descendante(« tension stiffening ») du béton de façon moins significative que SCHNOBRICH. Leursrésultats se rejoignent pour de faibles résistances post-fissuration. Il est donc clair que lecomportement du béton en traction joue un rôle dominant dans la rupture des coquesd’aéroréfrigérant notamment la diffusion des efforts dans le béton tendu. En effet, le bétonpeut être décrit par un comportement plus ou moins « fragile » suivant la pente post-fissuration choisie pour la modélisation [REY84].

MAHMOUD et al. [MAHM93] ont également retrouvé ce résultat. Ils ont, de plus, comparéles résultats numériques obtenus sur une même structure avec des modèles de comportementdifférents pour le béton. Ils ont ainsi pu noter que la prise en compte d’une loi decomportement linéaire pour le béton en compression ou que le choix d’une approche« rotating crack » (à défaut de l’approche « fixed crack » couramment utilisée pour ladescription du comportement du béton en traction), n’avaient quasiment aucune influence surles résultats obtenus.

Enfin, la prise en compte des effets précédemment définis pour la modélisation du supportagepar approche semi-locale [DJER95] ne jouaient pas un rôle crucial dans le mécanisme deruine de l’ouvrage. La coque reste le point sensible à étudier.

B.1.1.3. Les principaux résultats

L’apparition des modélisations des tours d’aéroréfrigérants avec prise en compte des nonlinéarités matérielles dans un cadre purement mécanique ont permis d’étudier l’influencedes caractéristiques propres à ces structures On a ainsi pu mettre en évidence que la charge deruine dépendait essentiellement :

- du pourcentage d’aciers [MANG83] [SCHN84] [DJER93],

- du niveau de fissuration de la structure [BAIL96],

- de la présence d’un raidisseur au niveau du couronnement [DJER95].

En revanche, on a pu noter la faible influence des défauts de forme sur la valeur de la chargeultime [DJER96].

B.1.2. Prise en compte des non linéarités géométriques

Nous sommes en présence de structures dont l’élancement est très important. En effet, lerapport entre rayon moyen et l’épaisseur est relativement élevé (de l’ordre de 200) ce qui,

Annexes

- 184 -

sous sollicitations extrêmes, laisse envisager des effets non linéaires géométriques et desrisques d’instabilité.

Dans ce contexte, BAILLIS et al. [BAIL94] ont travaillé sur la sécurité de ces structures vis-à-vis du flambement. Les résultats obtenus pour l’aéroréfrigérant n°3, dans le cadre d’une loide comportement élastique linéaire pour le béton, pour différents cas de charges, sont donnésdans le tableau B.2.

Tableau B.2 : Charges critiques et mode circonférentiel prépondérant de flambement pour lacoque parfaite

λ (PP) λ (PP + V) PP + λ (V)λ Mode λ Mode λ Mode9 5 10,02 6 43,5 6

Dans le cadre de ces hypothèses, DJERROUD et al. [DJER93] ont retrouvé des résultatssemblables. Il faut cependant remarquer qu’il ne s’agit là que de résultats « qualitatifs »compte tenu des hypothèses considérées.

Tableau B.3 : Influence des défauts initiaux d’après [BAIL93]

λ (PP) λ (PP + V) PP + λ (V)λ Mode λ Mode λ Mode

Défaut mode 4 10,07 6 10,1 6 48 6Défaut mode 8 12,26 8 10,11 6 42 8Défaut mode 12 10,93 6 10,37 6 38 7Défaut mode 20 11,75 6 10,81 6 47,6 7Défaut mode 4,

8, 12, 2011,45 6 10,29 6 45 10

L’influence des déformations initiales sur la charge critique de flambement a également étéétudiée par BAILLIS [BAIL93] et AFLAK [AFLA91]. Les défauts générés sur la structuresont issus de la décomposition modale des valeurs mesurées sur l’aéroréfrigérant n°3. Lesvaleurs obtenues figurent sur le tableau 2.3. Ainsi les défauts observés rigidifient lastructure par rapport au flambage.

Dans le cadre de ses travaux de recherche, BAILLIS a évalué la charge critique deflambement sous diverses configurations (prise en compte du tassement différentiel, effet dugradient thermique, influence des défauts initiaux de forme, influence de la fissuration par laméthode de la coque orthotrope,...) [BAIL96]. Même si dans tous les cas de combinaisons desollicitations envisagées, la présence de fissuration méridienne fait chuter le coefficient desécurité vis-à-vis du flambement, les valeurs de charges critiques obtenues sont supérieuresaux charges de ruine calculées lors des études du comportement de la structure sous vent.

B.1.3. Charge de ruine ou charge de flambage ?

La comparaison des charges de ruine liées au comportement « fragile » du béton et celles deflambage obtenues sur un matériau élastique linéaire fait apparaître un écart considérable dans

Annexes

- 185 -

la plupart des cas ce qui pourrait conduire à penser qu’il ne s’agit pas du tout de flambagemais simplement de problèmes de comportement matériel.

Cependant, calculer des charges de flambage avec seule prise en compte des non linéaritésgéométriques, sur la base d’un comportement élastique linéaire, sans fissuration ni plasticité,ne semble pas très réaliste. Ainsi, un calcul de flambage ou de bifurcation réalisé sur unchemin de « préflambage » avec prise en compte de toutes les non linéarités abaisseraitnotablement les charges critiques.

Annexes

- 186 -

Annexe C : Identification des paramètres du modèle deMaxwell

C.1. Conversion de la fonction de fluage en fonction de relaxation

Notre modèle est formulé en relaxation alors que la bibliographie fournit presqueexclusivement des fonctions de fluage. Il faut donc dans un premier temps être capabled’obtenir les valeurs de R(t0, t).

Le principe de superposition permet d’obtenir les équations suivantes également appeléeséquations de BOLTZMANN :

( ) ( ) ( ) ( ) ( )∫+=t

t2d21t2Jt1ttJt0

0

,,0 � , (C.1a)

( ) ( ) ( ) ( ) ( )∫+=t

t2d20t2Rt0ttRt1

0

,,0 � . (C.1b)

En intégrant par parties l’équation (C.1a), nous aboutissons à l’une des équations deVOLTERRA :

( ) ( ) ( ) ( ) ( )∫ ∂∂−=

t

t2d21

2

t2Jt1ttJt0

0

,, . (C.2)

En supposant une sollicitation unitaire et constante en déformation, l’équation (C.1b) donne :1(t) = R(t0, t). Ainsi, la formulation précédente permet d’écrire que :

( ) ( ) ( ) ( )∫ =∂

∂−t

t2d2tR

2

t2JttRttJ

0

1,,

,, 00 . (C.3)

Pour résoudre cette équation, nous pouvons nous contenter d’une simple discrétisation quidonnent des résultats satisfaisants [JURK97]. En divisant l’intervalle de temps [t0, t] enintervalles finis [tj, tj+ 1] et en notant Jj,k = J(tj, tk) et Rj,k = R(tj, tk), l’équation (C.3) devient :

( ) ( ) 1,,

10,0,

1

=∂

∂− ∑∫= −

k

j

t

tkkk

j

j

2d2tR2

t2JRJ . (C.4)

La fonction R(t0, 2) est remplacée par sa valeur moyenne à l’intérieur de chaque pas de temps.Le calcul de l’intégrale donne alors :

( ) ( ) ( )∫∫

−− ∂∂+

≈∂

∂ − j

j

j

j

t

t

jjt

t2d

2

t2JRR2d2tR

2

t2J11

,

2,

, 1,0,00

( )kjkjjj JJ

RR,1,

1,0,0

2 −− −

+= (C.5)

En incluant (C.5) dans (C.4), nous obtenons après simplifications :

Annexes

- 187 -

( ) ( )kkkk

k

jkjkjjkk

k JJ

JJRJJR

R,1,

1

1,1,1,0,0,10,0

,0

2

−

−

=−+

+

−+−+=

∑, (C.6)

où Rk,k = E(t0) = Jk,k-1. Dans le cas d’un matériau non vieillissant, la formulation précédente

reste valable en posant Jj,k = J(tk – tj) et Rj,k = R(tk – tj).

C.2. Décomposition de la fonction de relaxation en série deDIRICHLET

Une fois la fonction de relaxation obtenue sous forme discrète, nous devons déterminer lesparamètres du modèle de MAXWELL à savoir E� et ��. Dans ce contexte, il est intéressant desupposer les temps de relaxation �� égaux aux termes d’une suite géométrique [BAZA74] :

jours10 1−= �

�� . (C.7)

A partir de la fonction de relaxation R*(t0, t) obtenue par inversion numérique de la fonctionde fluage, nous cherchons les (N+1) valeurs des paramètres E�(t0) de la fonction de relaxationécrite sous la forme :

( )∑=

−−+=N

� �

�

�

tttEtEttR

1

00000 exp)(),( . (C.8)

Pour ce faire, nous utilisons la méthode des moindres carrés. Pour chaque instant dediscrétisation tj (j ∈ [0, k]), nous introduisons l’expression suivante :

( ) ( )[ ]∑=

−=N

jjjj ttRttRwS

1

2

0*

0 ,, , (C.9)

où wj sont les coefficients de pondération définies par [JURK97]:

( )( )( )( ) [ ]

( )( )

−−=

−∈∀−−

=

−−=

−

−+

0

1

1

11

0

010

1,12

tt

ttkw

kjtt

ttkw

tt

ttkw

k

kkk

k

jjj

k

. (C.10)

Les conditions de minimalisation de la fonction S:

N�E

S

�

,00 =∀=∂∂

, (C.11)

conduisent à la résolution du système d’équations suivant :

Annexes

- 188 -

{ } { }BEA = , (C.12)

où A est une matrice carrée de dimension (N+1) définie par :

Nqp�

tt

�

ttwA

k

j q

j

p

jjpq ,0,expexp

0

00 =∀

−−

−−= ∑

=

, (C.13)

et {B} est un vecteur dont les (N+1) composantes sont :

( ) Nq�

ttttRwB

k

j q

jjjq ,0exp,

0

00

* =∀

−−= ∑

=

, (C.14)

Les écritures (C.13) et (C.14) supposent �0 = ��/D�UpVROXWLRQ�HVW�HIIHFWXpH�SDU�OD�PpWKRGH�GH

GAUSS.

C.3. Application au cas des matériaux vieillissants

Dans le cas d’un matériau vieillissant, la détermination des (N+1) paramètres E� est effectuéeselon la méthode des moindres carrés pour différents temps de chargement t0 ∈ [t0,1,…, t0,i,…,t0,k]. Ainsi, pour chaque coefficient E�, nous disposons d’une liste de (k+1) valeurs E�(t0) quel’on cherche également à approcher à l’aide d’une nouvelle série exponentielle de la forme :

∑=

−−Γ+Γ=M

i ii��

�

tttE

1,0,

'exp)( , (C.15)

où t’ et �i sont fixés à priori. Cette approximation est réalisée par la méthode des moindrescarrés de manière identique à celle ayant permis de trouver les paramètres E�(t0).

Annexes

- 189 -

Annexe D : Présentation du modèle de fluage ACICommittee 209

La fonction de fluage s’exprime par :

( ) ( )[ ]tt3tE

ttJc

,11

),( 00

0 += , (D.1)

où t0 est la date d’application de la charge. Dans cette expression, Ec (t0) désigne le moduled’élasticité du béton à l’âge t0 :

( ) ( )0

00 28

t�.

tEtE cc +

= . (D.2)

Les valeurs des coefficients . et � dépendent du type de ciment utilisé et des conditions decures. Elles sont données sur le tableau D.1.

Tableau D.1 : Valeurs proposées pour les coefficients . et �

Cure humide à température ambiante Etuvage en atmosphère humideCiment type I Ciment type III Ciment type I Ciment type III

. 4,0 2,3 1,0 0,7� 0,85 0,92 0,95 0,98

Le coefficient de fluage est donné par l’expression suivante :

( ) ( )( ) ∞−+−= 3

tt

ttt3 6,0

0

6,00

010

, (D.3)

où 3∞ représente le coefficient de fluage ultime (t = ∞) défini par :

crA

crF

crS

crTH

crH

crt KKKKKK30

35,2=∞ . (D.4)

Les paramètres crtK0

, crHK , cr

THK , crSK , cr

FK , crAK sont des coefficients correcteurs permettant de

prendre en compte respectivement :

- l’âge de chargement du béton,

- l’humidité relative du milieu environnant,

- l’épaisseur minimale de l’élément de béton considéré,

- la consistance du béton frais,

- la teneur en fines,

Annexes

- 190 -

- le pourcentage d’air occlus.

Les valeurs proposées pour les coefficients correcteurs sont les suivantes :

( )( )

≥

≥=

−

−

jours 1 humide atmosphèreen étuvage13,1

jours 7 ambiante re températuà humide cure25,1

0095,0

0

0118,0

0

0 tt

ttK cr

t , (D.5)

%40pour 0067,027,1 ≥−= eecrH hhK , (D.6)

−≤−−

=ultimes valeurslespour 043,010,1

jours 536pour 058,014,1

min

0min

d

ttdK cr

TH , (D.7)

sK crS 17,0082,0 += , (D.8)

fK crF 024,088,0 += , (D.9)

>+≤

=%6pour 09,046,0

%6pour 0,1

aa

aK cr

A , (D.10)

où he, f et a sont respectivement l’humidité relative du milieu environnant, la teneur massiqueen fines et le pourcenatge en air occlus. La grandeur dmin correspond à l’épaisseur minimalede l’élément de béton considéré et s est la valeur du slump. Ces valeurs doivent ici êtreexprimées en cm.

Annexes

- 192 -

Annexe E : Elaboration d’une procédure de génération demaillage tridimensionnel

Pour la discrétisation par éléments finis de la structure étudiée, une procédure de générationde maillage tridimensionnel a été mise au point par DJERROUD [DJER96]. Sachant que laconduite des calculs doit être faite sur la coque moyenne du réfrigérant, nous avons dans unpremier temps estimé les valeurs des couples (Rm, Zm) à partir des valeurs des rayons etcoordonnées axiales internes Ri et Zi lues directement sur les plans de construction. Nousavons donc :

+=

+=

2

sin2

cos

.

eZZ

.

eRR

im

im

(E.1)

où e est l’épaisseur moyenne de la coque au point considéré et . est l’angle de la normale à lasurface moyenne de la coque par rapport à la direction horizontale (cf. figure E.1).

Figure E.1 : Estimation du rayon moyen de la coque

Le méridien théorique moyen est alors estimé au moyen d’une fonction de degré 3 appelée« spline cubique approximante ». Cette méthode consiste à trouver pour chaque intervalle [�i,�i+1] un polynôme du troisième degré de sorte que la fonction d’interpolation résultante surl’intervalle [�1, �n] ainsi que les dérivées première et seconde de cette fonction soientcontinues. La fonction polynomiale Si représentant le spline de degré 3 est donnée pourchaque intervalle [�i, �i+1] par :

( ) ( )( ) nij

�xcxS

j

ji

jii ,,2,1!1

4

1

1

�=∀−

−= ∑=

−

(E.2)

.

e/2 e/2Ri

Re

Annexes

- 193 -

où n est le nombre de couples de mesure (�i, fi), �i et fi sont respectivement l’abscisse Zm etl’ordonnée Rm du ième point de mesure. Les cij sont les coefficients du polynômed’interpolation et sont obtenues par l’algorithme d’AKIMA [IMSL94].

Par cette méthode, nous obtenons une discrétisation de la méridienne dont nous déduisons parsymétrie de révolution l’ensemble des points nécessaires à la construction du maillage.

Annexes

- 194 -

Annexe F : Profils des contraintes obtenues avec prise encompte du retrait de dessiccation : comparaison des résultats

des calculs élastique et viscoélastique

F.1. Contraintes au niveau du linteau

-6

-4

-2

0

2

4

6

8

60,6 60,8 61 61,2Rayon (m)

Con

trai

nte σ

zz (

MP

a)

1 mois 6 mois 1 an 4 ans

(a) retrait

-4

-3

-2

-1

0

1

2

3

60,6 60,8 61 61,2Rayon (m)

Con

trai

nte σ

zz (

MP

a)


(b) retrait et fluage

Figure F.1 : Comparaison des contraintes axiales 1zz obtenues au niveau du linteau

Annexes

- 195 -

-4

-2

0

2

4

6

8

10

60,6 60,8 61 61,2Rayon (m)

Con

trai

nte σ

tt (

MP

a)


(a) retrait

-2

-1

0

1

2

3

4

5

60,6 60,8 61 61,2Rayon (m)

Con

trai

nte σ

tt (

MP

a)



Figure F.2 : Comparaison des contraintes orthoradiales 1tt obtenues au niveau du linteau

Annexes

- 196 -

F.2. Contraintes au col

-6

-4

-2

0

2

4

6

8

38,8 38,9 39 39,1Rayon (m)

Con

trai

nte σ

zz (

MP

a)

1 mois 6 mois 1an 4 ans

(a) retrait

-5

-4

-3

-2

-1

0

1

2

3

38,8 38,9 39 39,1Rayon (m)

Con

trai

nte σ

zz (

MP

a)



Figure F.3 : Comparaison des contraintes axiales 1zz obtenues au col

Annexes

- 197 -

-6

-4

-2

0

2

4

6

8

38,8 38,9 39 39,1Rayon (m)

Con

trai

nte σ

tt (

MP

a)


(a) retrait

-3

-2

-1

0

1

2

3

38,8 38,9 39 39,1Rayon (m)

Con

trai

nte σ

tt (

MP

a)



Figure F.4 : Comparaison des contraintes orthoradiales 1tt obtenues au col

Annexes

- 198 -

F.3. Contraintes au niveau du couronnement

-4

-2

0

2

4

6

8

10

41,4 41,6 41,8 42 42,2 42,4 42,6Rayon (m)

Con

trai

nte σ

zz (

MP

a)


(a) retrait

-2

-1

0

1

2

3

4

5

41,4 41,6 41,8 42 42,2 42,4 42,6Rayon (m)

Con

trai

nte σ

zz (

MP

a)



Figure F.5 : Comparaison des contraintes axiales 1zz obtenues au niveau du couronnement

Annexes

- 199 -

-2

0

2

4

6

8

10

41,4 41,6 41,8 42 42,2 42,4 42,6Rayon (m)

Con

trai

nte σ

tt (

MP

a)


(a) retrait

-2

0

2

4

6

41,4 41,6 41,8 42 42,2 42,4 42,6Rayon (m)

Con

trai

nte σ

tt (

MP

a)



Figure F.6 : Comparaison des contraintes orthoradiales 1tt obtenues au niveau ducouronnement

Annexes

- 202 -

Annexe G : Gradients d’humidité relative et gradients detempérature obtenus pour l’étude d’une mise en service

G.1. Gradients calculés au niveau du linteau

0,6

0,7

0,8

0,9

1

60,4 60,6 60,8 61 61,2 61,4 61,6 61,8Rayon (m)

Hum

idité

rel

ativ

e

Mise en service 3 mois 1 an 30 ans

(a) Humidité relative

0

5

10

15

20

25

30

60,4 60,6 60,8 61 61,2 61,4 61,6 61,8Rayon (m)

Tem

péra

ture

(°C

)

Mise en service 10 jours 1 mois 30 ans

(b) Température

Figure G.1 : Gradients d’humidité relative et de température au niveau du linteau

Annexes

- 203 -

G.2. Gradients calculés au col

0,6

0,7

0,8

0,9

1

38,65 38,75 38,85 38,95Rayon (m)

Hum

idité

rel

ativ

e



0

5

10

15

20

25

30

38,65 38,75 38,85 38,95Rayon (m)

Tem

péra

ture

(°C

)


(b) Température

Figure G.2 : Gradients d’humidité relative et de température au col

Annexes

- 204 -

G.3. Gradients calculés au niveau du couronnement

0,6

0,7

0,8

0,9

1

41,6 41,8 42 42,2 42,4 42,6 42,8Rayon (m)

Hum

idité

rel

ativ

e



0

5

10

15

20

25

30

41,6 41,8 42 42,2 42,4 42,6 42,8Rayon (m)

Tem

péra

ture

(°C

)


(b) Température

Figure G.3 : Gradients d’humidité relative et de température au niveau du couronnement

Annexes

- 1 -

Annexe H : Définition de la pression statique équivalentepour la prise en compte de l’action du vent

Le vent est l’action variable prépondérante dont l’effet est caractérisé par une pressionstatique équivalente normale à la coque. La pression du vent que nous avons utilisée pour noscalculs est celle imposée par le Cahier des Règles Techniques [CRT92] dont lesrecommandations sont issues des règles NV65. La pression dynamique est définie par :

( ) ( )[ ] S�CCC�gzCqP dmrref

v +××××××= 10 (H.1)

H.1. Pression dynamique de base q10

La pression dynamique q exprimée en daN.m-2 est donnée par :

3,16

2h

h

Vq = , (H.2)

où Vh est la vitesse du vent (m2.s-1). Pour les calculs, la pression dynamique de base est cellequi s’exercent à une hauteur de 10m au dessus du sol. L’aéroréfrigérant étudié étant situé enrégion II, nous aurons q = q10 = 70 daN.m-2 (soit une vitesse de vent égale à 33,8 m.s-1).

H.2. Effet de la hauteur au dessus du sol : définition de C(z)

Le coefficient C(z) est défini par :

( )6018

5,210 +

+×==z

z

q

qzC z . (H.3)

La pression du vent q(z) est représentée sur la figure H.1.

0

50

100

150

200

0 50 100 150Pression du vent q z (daN.m-2)

Hau

teur

z (

m)

Figure H.1. : Pression du vent en fonction de la hauteur

Annexes

- 2 -

H.3. Répartition transversale de la pression dynamique

Le coefficient g(�) rend compte de la répartition transversale de la pression dynamique sur lacirconférence de l’ouvrage. Cette fonction de distribution angulaire correspond à unedécomposition en série de FOURIER à dix termes d’une fonction proposée par les règlesNV65 :

( ) ∑=

=10

0

cosk

k �ka�g . (H.4)

Tableau H.1 : Coefficients de FOURIER pour la définition de g(�)

Mode k Coefficients ak

0 -0,34831 0,28642 0,75623 0,40814 -0,054105 -0,093696 -0,00056607 0,014858 0,0072989 0,0111110 0,01287

Les coefficients de FOURIER ak de la relation (H.4) proposés par le CRT [CRT92] sontdonnés dans le tableau H.1 et l’allure de la distribution circonférentielle correspondante estreprésentée sur la figure H.2.

-1,5

-1

-0,5

0

0,5

1

1,5

-180 -90 0 90 180Angle θ

g( θ

)

Figure H.2 : Répartition angulaire de la pression dynamique

Annexes

- 3 -

H.4. Modifications de la pression dynamique de base

Afin de prendre en compte l’effet de rugosité, l’effet de masque et l’effet de dimension, lescoefficients de réduction Cr, Cm et Cd sont respectivement introduits dans les règles NV65. LeCRT [CRT92] recommande de ne tenir compte d’aucune réduction ainsi : Cr = Cm = Cd = 1.En revanche, un coefficient de majoration pour effets dynamiques est exigé et vaut � = 1,2.

H.5. Dépression interne induite par le vent

Elle est supposée uniforme et vaut :

qS 4,0= , (H.5)

q étant la valeur de la pression dynamique prise sans majoration au sommet de la tour. Ainsi :

2daN.m5760165

18165705,24,0 −≈

++×××=S .

Finalement, nous présentons sur la figure H.3, l’allure de la distribution circonférentielle de lapression induite par le vent sur la structure.

Figure H.3 : Distribution circonférentielle de la pression induite par le vent

+ +++

++

+++ +

++

+

++

+

++

Documents

Thèses de l'INSA de Lyon | Les Thèses de l'INSA de Lyon - …theses.insa-lyon.fr/publication/2000ISAL0096/these.pdf · 2016-01-11 · Finally, an application to cooling tower shell