FACULTEIT WETENSCHAPPENDEPARTEMENT FYSICA

Academiejaar 2014 - 2015

Spintronica en valleitronica met siliceen

Nathan MISSAULT

Promotor: Prof. Dr. F. PEETERSBegeleider: B. VAN DUPPEN

Proefschrift voorgelegd tot het behalen van de graad vanMASTER IN DE FYSICA

Abstract

In this work I study silicene, a two-dimensional crystal of silicon with ahoneycomb structure like graphene, but with a buckled structure insteadof flat planar one. This material is a possible candidate for construct-ing spintronics and valleytronics applications. In short, I have improvedwith this research the understanding of the resonant behaviour of thetransmission probabilities through multiple barriers and I have managedto optimize both spin- and valley-polarizations of the tranmitted elec-trons as a function of the perpendicular electric field, magnetization andelectron energy to the point that I suggest a construction for a spin-valley filter which can give a current any spin- and valley-polarization. Ifirst construct the Hamiltonian within the tight-binding fomalism. ThisHamiltonian will give us a low energy approximation of the energy bandstructure and the density of states. Next, I investigate the transmissionand reflection probabilities through one dimensional barriers of width d,which are magnetized by the use of ferromagnetic strips. On top of that,I apply a perpendicular electric field which, as I show, will manipulate thegap in the energy band structure. So far, this research has been limitedto only one or two barriers of equal width. In order to optimize the spin-and valley polarization, I study the tranmission properties through anynumber of barriers and I also briefly consider two barriers with differentwidths. These transmissions show a resonant structure and for a criticalelectric field value, which closes the bandgap, the transmission becomesperfect at normal incidence for all energy values (Klein-tunneling). I amalso the first to express the transmission probability through two barriersanalytically in such a way that the resonant structure can easily be under-stood and predicted. We also observe a small probability (∼10−3) for anelectron to be transmitted while the direction of its spin changes due tospin-orbit interactions. Integrating over these transmissions gives us theconductance through these barriers, which are different for electrons withdifferent spin and valley degrees of freedom. Using these conductances, Icalculate the spin- and valley-polarization of the transmitted current andstudy their behaviour as a function of several different parameters. Thisis done for different barrier constructions. I found that the magnetizedbarriers manage to produce a spin-polarized current for which the conduc-tance and the valley-polarization can be controlled with the electric field,making silicene an excellent material for both spintronics and valleytron-ics applications. Finally, I study the dispersion relation and the densityof states of silicene with a one-dimensional superlattice potential, whichdisplay a miniband structure and additional Dirac points in the Brillouinzone. I am the first to do this for silicene.

1

Inhoud

1 Samenvatting 3

2 Inleiding 42.1 Siliceen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42.2 Spintronica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62.3 Doelstelling . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

3 Monolaag grafeen 83.1 Tight binding beschrijving van grafeen . . . . . . . . . . . . . . . 83.2 Ontwikkeling rond een Diracpunt . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123.3 Klein-tunneling . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 153.4 Spinor golffuncties . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 153.5 Eén-dimensionale potentiaalstap . . . . . . . . . . . . . . . . . . 173.6 Eén-dimensionale potentiaalbarrière . . . . . . . . . . . . . . . . 20

4 Siliceen 244.1 Tight binding beschrijving van siliceen . . . . . . . . . . . . . . . 25

4.1.1 Spin-orbitaal koppeling . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 294.1.2 Intrinsiek Rashba SOC effect . . . . . . . . . . . . . . . . 314.1.3 Loodrecht elektrisch veld . . . . . . . . . . . . . . . . . . 324.1.4 Magnetizatie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 324.1.5 Totale Hamiltoniaan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32

4.2 Spinor golffuncties . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 364.3 Eén-dimensionale potentialen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41

4.3.1 Potentiaalstap . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 424.3.2 Potentiaalbarrière . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 434.3.3 Spinverandering bij transmissie . . . . . . . . . . . . . . . 464.3.4 Meerdere potentiaalbarrières . . . . . . . . . . . . . . . . 494.3.5 Conductantie en polarizatie . . . . . . . . . . . . . . . . . 53

4.4 Superroosterpotentiaal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63

5 Conclusies 67

6 Appendix 706.1 Tweede naaste nabuur benadering . . . . . . . . . . . . . . . . . 706.2 Bilaag grafeen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71

6.2.1 Tight-binding Hamiltoniaan . . . . . . . . . . . . . . . . . 716.2.2 Reductie van de Hamiltoniaan . . . . . . . . . . . . . . . 736.2.3 Spinorgolffuncties . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 756.2.4 Stappotentialen met transfermatrixmethode . . . . . . . . 79

6.3 Eén-dimensionale potentiaalputten . . . . . . . . . . . . . . . . . 86

7 Referenties 89

8 Paper 91

2

1 Samenvatting

In deze thesis heb ik onderzoek gedaan naar siliceen, een vlak materiaal datslechts een enkele atoomlaag dik is. Siliceen is opgebouwd uit silicium-atomendie geordend zijn in een zeshoekige oriëntatie, zoals een honingraat. Bij debeschrijving van siliceen beperk ik me tot een benadering die enkel geldig iswanneer de elektronen in siliceen een voldoende lage energie hebben. Ik benbegonnen met te bestuderen wat de waarschijnlijkheid is, dat een stroom elek-tronen in siliceen doorheen een potentiaalbarrière geraakt. Dit is afhankelijkvan de energie van de elektronen die op deze barrière invallen, de hoek waaron-der ze erop invallen en de hoogte van de barrière, wat in een klassiek gevalovereenkomt met de energie die een deeltje nodig heeft om doorheen de barrièrete geraken. In siliceen blijkt echter dat ook elektronen met een energie lager dande hoogte van de barrière doorgelaten kunnen worden, en in sommige gevallen,die we resonanties noemen, is de waarschijnlijkheid hiervan zelfs erg hoog (tot100%). Ik heb onderzocht waar deze resonanties vandaan komen.Indien we de barrière een magnetizatie geven en een loodrecht elektrisch

veld aanleggen in ons materiaal, zijn deze transmissiewaarschijnlijkheden ver-schillend voor elektronen met verschillende spin. De spin van een elektron iseen kwantum mechanische eigenschap die ofwel ‘up’of ‘down’is. Dit is inter-essant aangezien men op zoek is naar manieren om een stroom elektronen tefilteren zodat deze enkel nog spin-up of spin-down elektronen bevat. Zo eenspin-gepolarizeerde stroom is nuttig voor spintronica, wat een soort elektronicais waarbij de spin van de elektronen gebruikt wordt om informatie mee op teslaan en te verwerken. Buiten deze spin zijn de transmissiewaarschijnlijkhedenook anders voor de vallei-vrijheidsgraad, een eigenschap die elektronen in sil-iceen en gelijkaardige materialen hebben. Het is ook nuttig om de stroom envallei-polarizatie te geven, wat een gelijkaardige toepassing heeft in iets wat menvalleitronica noemt, een soort elektronica waarbij men de valleivrijheidsgraadgebruikt.Ik heb gevonden dat een gemagnetizeerde barrière in combinatie met een

elektrisch veld een stroom elektronen inderdaad kan polarizeren op vallei enspin, en onder welke omstandigheden deze polarizatie het beste is. Eén vandeze omstandigheden is dat de energie van de elektronen net iets hoger of netiets lager moet liggen dan de hoogte van de barrière. De magnetizatie van debarrière bepaalt de spin-polarizatie en de vallei-polarizatie kan gecontroleerdworden aan de hand van het elektrisch veld. In het geval er meerdere barrièresgebruikt worden, wordt de polarizatie nog beter, maar neemt het totaal aantaldoorgelaten elektronen af. Aan de hand van twee parallelgeschakelde barrière-sets met tegengestelde magnetizaties en een elektrisch veld zijn we dus in staatom elke combinatie van spin- en vallei polarizaties te verwezenlijken.Tenslotte heb ik ook kort onderzocht wat het effect is van een oneindige set

barrières. Dit blijkt de relatie tussen de totale energie van de elektronen binnensiliceen en hun bewegingsenergie sterk te beïnvloeden.

3

2 Inleiding

In 2004 slaagden A. Geim en K. Novoselov er in om via de ’scotch tape’methodeeen monolaag grafeen te produceren. Dit deden ze door met een soort tapeenkele lagen grafeen van een stuk grafiet te halen en dit vervolgens de deponerenop een siliciumrooster. Door dit proces veelvuldig te herhalen neemt het aantalovergebrachte lagen grafeen af tot er slechts één overblijft. Vervolgens werdener baanbrekende elektrische metingen uitgevoerd die er voor zorgden dat zij in2010 de Nobelprijs van de fysica kregen voor hun experimenteel onderzoek overgrafeen.Vooraleer grafeen als enkele laag geïsoleerd werd, geloofden onderzoekers

dat het onmogelijk was om dit te doen. Uit theoretisch onderzoek bleek dateen monolaag grafeen niet kon bestaan vanwege thermische instabiliteit. Lateronderzoek heeft echter uitgewezen dat de koolstofbindingen in grafeen zo kort ensterk zijn dat ze verhinderen dat thermische fluctuaties het materiaal destabiliz-eren. Bovendien is een grafeenoppervlak niet volledig planair, maar vertoont heteen bepaalde golving die ook bijdraagt tot de stabiliteit ervan door de elasticiteitvan het materiaal te verhogen [1][2].Grafeen heeft vele interessante eigenschappen. Het breekt recorden op het

gebied van materiaalsterkte, elektrische en thermische geleidbaarheid en meer.Bovendien kan het een veelbelovende rol spelen in verschillende mogelijketoepassingen variërend van biosensoren, fotodetectoren, transistoren, enzovoort.Het is dan ook niet al te verbazingwekkend dat sinds de isolatie van grafeenhet onderzoek naar de eigenschappen van dit wondermateriaal exponentieel isgegroeid.Maar naast onderzoek naar grafeen is ook onderzoek naar andere twee-

dimensionale materialen sterk toegenomen. Sommige van de geweldige eigen-schappen worden namelijk ook teruggevonden in andere twee-dimensionale ma-terialen, terwijl ze ook andere eigenschappen kunnen vertonen die hen geschiktermaken voor specificieke toepassingen.Eén van de eigenschappen die ontbreekt bij grafeen is een manipuleerbare

bandkloof in het energiespectrum. Het energiespectrum van grafeen heeft geenbandkloof, en hoewel het mogelijk is om een kleine bandkloof te creëren, is ditniet praktisch. Dit is onder andere te wijten aan de zwakke spin-orbitaalkoppelingin grafeen. De reden waarom we een bandkloof willen die we voldoende goedkunnen manipuleren is om het materiaal te gebruiken in transistortechnologie opnanoschaal. Zonder een bandkoof is de verhouding tussen de "ON" en "OFF"toestanden namelijk te klein.

2.1 Siliceen

Hier komt siliceen om de hoek kijken. Siliceen is, net als grafeen, een twee-dimensionaal materiaal met een honingraatstructuur, maar in plaats van kool-stofatomen is het opgebouwd uit siliciumatomen. Dit materiaal heeft, in tegen-stelling tot grafeen, een sterke spin-orbitaalkoppeling die ons toelaat om eenbandkloof te induceren door het aanleggen van een loodrecht elektrisch veld. [3]

4

Gelijkaardige structuren opgebouwd uit Ge-, Sn- of Pb- atomen hebben ook eensterke spin-orbitaalkoppeling en zijn dus ook interessante materialen om te on-derzoeken, maar siliceen heeft het voordeel dat eenvoudiger te integreren is in debestaande Si-gebaseerde technologie. De Hamiltoniaan die we zullen gebruikenom siliceen te beschrijven is echter ook in staat om deze andere kandidaten tebeschrijven.In dit onderzoek kijken we naar de elektronische eigenschappen van siliceen

en berekenen we de tranmissie- en reflectiewaarschijnlijkheden doorheen elektro-statische barrières. Bovendien manipuleren we het elektronisch spectrum in eenlage-energiebenadering met behulp van een elektrisch veld en een magnetizatievan het materiaal binnen de barrières. Er zal al snel blijken dat deze eigenschap-pen anders zullen zijn voor "spin-up" en "spin-down" elektronen, wat siliceeneen interessante kandidaat maakt om een stroom elektronen te polarizeren opspin, wat interessant is voor toepassingen in de spintronica. Dit is een vorm vanelectronica waarbij de spin van de ladingsdragers gebruikt wordt om informatieop te slaan en te verwerken. De interesse in siliceen als materiaal hiervoorwordt nog versterkt door het feit dat siliceen een langere spin-diffusietijd enspin-coherentielengte heeft in vergelijking met grafeen. [4]Experimenteel is men er in geslaagd om epitaxiaal siliceen te groeien op

verschillende metaal-substraten, zoals op een Ag oppervlak [5][6] en op dunneZrB2 vlakken [7]. Het nadeel van metallische substraten is echter dat deze degeadsorbeerde laag siliceen afschermen van een loodrecht aangelegd elektrischveld, waardoor de bandkloof niet meer vrij te manipuleren is. Er is echteral theoretisch bewijs dat siliceen ook stabiel is op een substraat van h-BN,grafeen, SiC en tussen een grafeen-sandwich [8][9][10]. Siliceen is een interessantmateriaal om nieuwe nanotchnologie te ontwikkelen. Deze technologie staat voorde uitdaging om steeds kleinere transistoren te bouwen om snelheid en effi ciëntiete bevorderen. Op nanoschaal zou men bijvoorbeeld geen last meer kunnenhebben van de verstrooiing van elektronen aan onzuiverheden in het materiaal,wat een belangrijke oorzaak is van resistiviteit en warmte-ontwikkeling. Dereden hiervoor is dat de geleiding dan gebeurt langs topologisch beschermdemetallische randtoestanden en zo de meeste imperfecties kan omzeilen. [11] Denood aan nanomaterialen die hiervoor geschikt zijn is dus duidelijk. Een recentepublicatie in Nature [12] vermeldt de productie van een op kamertemperatuurfunctionerende siliceen-gebaseerde veldeffecttransistor. Hoewel deze nog niethet hoge rendement haalt van de huidige halfgeleider-gebaseerde transistoren,is het een belangrijke doorbraak.Aangezien siliceen een complexere variant is van het materiaal grafeen, be-

ginnen we met de transmissie-eigenschappen van grafeen te onderzoeken. De re-sultaten hiervan zijn in zekere mate overdraagbaar op siliceen en dit is daaromeen prima opstap naar ons materiaal. Maar alvorens te beginnen gaan we watdieper in op spintronica.

5

2.2 Spintronica

Spintronica [13], of spin electronica, is een vorm van elektronica waarbij, naastde lading van de ladingsdragers, ook de spin-vrijheidsgraad gecontroleerd en ge-manipuleerd wordt voor het verwerken van informatie op een niet-binaire schaal.In plaats van twee toestanden 0 en 1, die staan voor lading en geen lading, iser dan een combinatie mogelijk van geen lading, spin-up gepolarizeerde lading,spin-down gepolarizeerde lading en eventueel ook niet-gepolarizeerde lading. Ditkan men ook uitbreiden met andere vrijheidsgraden, zoals de vallei-index in sil-iceen. Elektronica die de vallei-vrijheidsgraad gebruikt wordt ook valleitronicagenoemd. Een enkele ‘bit’is dan niet alleen in staat om een toestand 0 of 1 opte slaan, maar kan meer informatie bevatten, afhankelijk van het aantal gecon-troleerde vrijheidsgraden. Een direct gevolg hiervan is dat een berekening danminder van deze ‘bits’nodig heeft en dus sneller kan gebeuren.Er komen hier echter een aantal complicaties bij kijken, die verder gaan

dan de vraag ‘hoe kunnen we een systeem effi ciënt polarizeren’. Men moetnamelijk ook in staat zijn deze spin-polarizatie in stand te houden. Dit is nietvanzelfsprekend aangezien de spin van een deeltje geen behouden grootheid is, endeze dus kan veranderen ten gevolge van spin-orbitaal en hyperfijn interacties.De levensduur hiervan wordt gekarakterizeerd door de spin-diffusietijd en despin-coherentielengte in een materiaal. Bovendien moet men ook in staat zijnde spin- (en de vallei-) toestand in een bit kunnen detecteren, zodat men nietalleen informatie kan opslaan, maar deze ook weer kan uitlezen.Er zijn al verschillende manieren bestudeerd om met deze problemen om

te gaan. Voor een uitgebreide review hiervan en een waaier aan toepassingen,waaronder spinfilters, spin-diodes en spin-transistoren, verwijs ik naar [13].In de ontwikkeling van spintronica toestellen is er specifiek een vraag naar

niet-magnetische spin-filters. Het feit dat siliceen hiervoor van pas komt, is alaangetoond in [14], waar men een concreet voorstel heeft voor een Y-vormigtoestel dat elektronen met verschillende spin- en vallei vrijheidsgraden naar ver-schillende uitgangen stuurt. De stroom kan hierdoor bijna 100% gepolarizeerdworden door een van de uitgangen te sluiten, en is dus een potentieel onderdeelvan spintronica-circuits. Een schets hiervan is weergegeven in figuur 1. Dezespin-filter werkt via een combinatie van een loodrecht op het vlak aangelegdelektrisch veld en een elektrisch veld in het vlak waardoor spin-up en spin-downelektronen een verschillende Hall-conductiviteit krijgen. Voor meer details ver-wijs ik naar de paper. Recent is ook een review gepubliceerd die verschillendespintronica toestellen beschrijft die opgebouwd zijn uit siliceen. [15]

6

Figuur 1: Schets van een Y-vormige spin-vallei filter opgebouwd uit siliceen,overgenomen uit referentie [14]

2.3 Doelstelling

Siliceen is dus een interessant materiaal dat een belangrijke rol kan gaan spe-len in nano-elektronica en spintronica, twee gebieden die van hoog technolo-gisch en industrieel belang zijn, nu en in de toekomst. Om de elektronischegeleidingseigenschappen van dit materiaal beter te begrijpen, onderzoeken wede transmissie- en reflectie-eigenschappen doorheen elektrostatische potentiaal-barrières. Hierbij besteden we speciale aandacht aan de verschillen tussen despin-up en de spin-down elektronen. Dit is namelijk belangrijke informatie voorhet creëren van een effi ciënte spin-filter. We beperken ons bovendien niet alleentot enkele barrières, maar bestuderen ook de geleiding doorheen meerdere bar-rières en de polarizatie van de doorgelaten elektronen. Ook de invloed van vrijeparameters zoals de constructie van de barrières, de potentiaalhoogte, een lood-recht aangelegd elektrisch veld en een lokale magnetizatie op de conductantie ende polarizatie worden onderzocht, om een beeld te krijgen van de omstandighe-den die goede geleiding van elektronen met de gewenste eigenschappen toelaten.Tenslotte wordt ook kort aandacht besteed aan een systeem bestaande uit

siliceen met een superroosterpotentiaal bestaande uit een oneindige, periodischereeks elektrostatische barrières. In vergelijking met vrij siliceen zal dit systeemeen ander energiespectrum vertonen. Dit is een interessante, eenvoudige meth-ode om de invloed van een substraat op siliceen te bestuderen, wat belangrijk isaangezien losstaand siliceen niet thermisch stabiel is en dit materiaal dus altijdop een substraat zal worden gegroeid.

7

3 Monolaag grafeen

De volgende opstelling van de tight-binding hamiltoniaan van monolaag grafeenen de berekening van de transmissiewaarschijnlijkheid zijn geïnspireerd op ref-erenties [16], [17] en [18].Grafeen is opgebouwd uit koolstofatomen die zich in een sp2-hybridisatietoestand

bevinden. Hierbij vormen drie van de vier valentie-elektronen sp2-orbitalen inéénzelfde vlak. Loodrecht op dit vlak bevindt het vierde valentie-elektron zich ineen 2p orbitaal. De drie sp2-orbitalen gelegen in het xy-vlak zorgen ervoor datnaburige koolstofatomen σ-bindingen aangaan met elkaar, wat resulteert in eenhexagonaal rooster. De σ-bindings-elektronen zijn sterk gelokaliseerd en dragenniet bij tot geleiding in het materiaal. De overblijvende 2pz-orbitalen vormentwee aan twee π-bindingen tussen de koolstofatomen. Er zijn twee mogelijkeconfiguraties voor de π-bindingen in een benzeenring. In de werkelijkheid is deconfiguratie een superpositie van de twee getoonde configuraties, waardoor deπ-elektronen gedelokaliseerd zijn over de hele benzeenring. Een schema hier-van is weergegeven in figuur 2. Bij uitbreiding naar meerdere ringen (grafeen)zijn de π-elektronen gedelokaliseerd over het hele vlak. Deze elektronen zijnverantwoordelijk voor de elektrische geleiding in grafeen.

Figuur 2: Schets van de bindingen in een benzeenring. De superpositie vande twee configuraties wordt weergegeven met een ring die de gedelokalizeerdeπ-elektronen symbolizeert.

3.1 Tight binding beschrijving van grafeen

De basis van grafeen bevat twee koolstofatomen. De roostervectoren zijn gegevendoor:

−→a1 = (

√3a

2,

3a

2) (1)

−→a2 = (−√

3a

2,

3a

2)

8

met a=0.142 nm de afstand tussen twee naburige koolstofatomen.Aan de hand hiervan vindt men de volgende reciproke roostervectoren:

−→b1 = (

2π√3a,

2π

3a) (2)

−→b2 = (− 2π√

3a,

2π

3a) .

Figuur 3 toont de roostervectoren in de reële ruimte en de Brillouinzone met dereciproke roostervectoren

Figuur 3: Links: hexagonale structuur van grafeen. De vectoren ~δi verbinden denaaste naburen en de roostervectoren ~ai construeren de eenheidscel. Rechts: DeBrillouinzone van grafeen met de reciproke roostervectoren~bi. Ook de Diracpun-ten K en K ′ zijn aangeduid. Figuur overgenomen uit [17].

Aangezien grafeen twee atomen bevat die niet equivalent zijn onder de roost-ertranslaties (aangeduid met A en B), wordt de tight-binding golffunctie gegevendoor

Ψk(−→r ) = cA(−→k )ΦAk (−→r ) + cB(

−→k )ΦBk (−→r ) (3)

De golffuncties van de subroosters zijn superposities van de atomaire golffunctiesmet een fasefactor. De totale golffunctie kan men dus als volgt herschrijven

Ψk(−→r ) =1√N

∑−→Rj

ei−→k ·−→Rj (cA(

−→k )φAk (−→r −

−→RA) + cB(

−→k )φBk (−→r −

−→RB)) (4)

waarbij N het aantal atomen in het rooster voorstelt, en−→Rj = n−→a1 + m−→a2 de

roosterpuntposities zijn met j=(n,m). Om de coëffi cienten cA(−→k ) en cB(

−→k ) te

9

bepalen projecteren we de Hamiltoniaan op de orbitalen van de subroosters.

〈Φi|H|Ψ〉 = E(−→k ) 〈Φi|Ψ〉 (5)∑

j

cj 〈Φi|H|Φj〉 = E(−→k )∑j

cj 〈Φi|Φj〉 .

We gaan er van uit dat de golffuncties van de subroosters orthonormaal zijn, endus 〈Φi|Φj〉 = δij .∑j

cj1

N

∑−→Ri

∑−→Rj

ei−→k ·(−→Rj−

−→Ri)⟨φi(−→r −−→Ri)|H|φj(−→r −

−→Rj)⟩

= E(−→k )ci (6)

∑j

cj(−→k )∑−→Rj

ei−→k ·(−→Rj−

−→Ri)γij = E(

−→k )ci(

−→k ) .

Aan de hand van deze laatste formule kunnen we de Hamiltoniaan voor grafeenvinden. In de naaste nabuur benadering vinden we de volgende set van vergelijkin-gen:

E(−→k )cA(

−→k ) = γAAc

A(−→k ) + γAB(1 + e−i

−→k ·−→a1 + e−i

−→k ·−→a2)cB(

−→k ) (7)

E(−→k )cB(

−→k ) = γBA(1 + ei

−→k ·−→a1 + ei

−→k ·−→a2)cA(

−→k ) + γBBc

B(−→k )

waaruit we kunnen concluderen dat in eerste benadering de Hamiltoniaan voormonolaag grafeen gegeven is door

H =

(γAA γABf(

−→k )

γBAf∗(−→k ) γBB

)(8)

waarbij f(−→k ) = 1 + e−i

−→k ·−→a1 + e−i

−→k ·−→a2 . Indien de twee niet-equivalente atomen

A en B dezelfde potentiaal ondervinden, mag men stellen dat γAA = γBB = 0.Verder geldt wegens het hermitisch zijn van de Hamiltoniaan dat γAB = γBA =γ. De Hamiltoniaan wordt dus gegeven door

H = −t∑〈i,j〉

∣∣∣φAj ⟩⟨φBi ∣∣∣ (9)

waarbij de indices j en i respectievelijk over de atomen in subrooster A en Blopen en t de hopping parameter genoemd wordt, een parameter die de energiebepaald voor een ladingsdrager om van het ene atoom naar een andere overte springen. De grootte van deze parameter is γ = -t = -3.12 eV. De energie-eigenwaarden van deze Hamiltoniaan vinden we aan de hand van

det(H − λI) = 0 (10)

λ2 − γ2∣∣∣f(−→k )∣∣∣2 = 0

λ = ±γ∣∣∣f(−→k )∣∣∣ = E(

−→k ) .

10

Expliciet kunnen we de energie van het systeem dus schrijven als

E(−→k ) = ±

(1 + cos(

√3a

2kx +

3a

2ky) + cos(−

√3a

2kx +

3a

2ky)

). (11)

Dit energiespectrum is weergegeven in figuur 4 en is opgebouwd uit twee en-ergiebanden. Elk koolstofatoom draagt één elektron in een π-binding bij aan deelektrische geleiding. In de grondtoestand is de onderste band, de π-valentieband,volledig gevuld en de bovenste band, de π-conductieband, helemaal leeg. HetFermi-niveau ligt dus bij de nulpunten van de structuurfunctie f(

−→k ). Deze

nulpunten noemt men de Dirac-punten, en worden als volgt gevonden:

f(−→k ) = 0 (12)

1 + e−i−→k ·−→a 1 + e−i

−→k ·−→a 2 = 0

cos(3

2aky)− i sin(

3

2aky) = − 1

2 cos(√

32 akx)

.

Uit deze laatste uitdrukking vinden we kx en ky door het imaginaire en reëledeel van het linker- en rechterlid van de vergelijking aan elkaar gelijk te stellen.

sin(3

2aky) = 0 (13)

=⇒ ky =2nπ

3a, n ∈ Z

1

2 cos(√

32 akx)

= − cos(nπ)

=⇒ kx =

± 2π

3√

3a+ 4πm√

3a, n oneven

± 4π3√

3a+ 4πm√

3a, n even

,m ∈ Z .

11

Figuur 4: Boven: 3D weergave van het tight binding energiespectrum van mono-laag grafeen. Onder: Energiespectrum voor kx = 0. De twee nulpunten stellende hierboven beschreven Diracpunten voor.

In de appendix wordt kort onderzocht wat de bijdrage is van de tweedenaaste naburen, die we hierboven verwaarloosd hebben.

3.2 Ontwikkeling rond een Diracpunt

De Diracpunten beschreven door K en K’vormen een hexagonaal rooster in hetreciproke vlak. Er zijn slechts twee van deze punten die niet equivalent zijn

12

onder de translatie met de reciproke roostervectoren−→b1 en

−→b2 . Deze punten zijn−→

K ξ =(ξ 4π

3√

3a, 0), waarbij we de vallei-index ξ = ±1 ingevoerd hebben. Indien

een elektron een lage energie heeft, bevindt het zich in één van de twee valleienrond

−→K ξ. Men kan de benadering maken dat het elektron niet verstrooit tussen

de twee valleien. Deze benadering is geldig indien het elektron een golfvectorheeft die slechts weinig verschilt van de vallei

−→K ξ. Er is dus geen verstrooiing

tussen de valleien indien|−→q |a << 1 (14)

waarbij −→q =−→K ξ−−→k . Dit is meestal het geval, omdat het anders zou impliceren

dat er een grote verandering is in de impuls.Voor de ontwikkeling rond een Diracpunt herschrijven we de Diracpunten

−→K ξ

in functie van de reciproke roostervectoren:

−→K ξ = ξ

−→b 1 −

−→b 2

3. (15)

Aan de hand van deze formule vinden we de volgende resultaten.

−→K ξ · −→a 1 = ξ

2π

3+ 2πn′ (16)

−→K ξ · −→a 2 = −ξ 2π

3+ 2πm′ ,

met n’en m’gehele getallen. Vervolgens substitueren we−→k =

−→K ξ + −→q in de

uitdrukking voor f(−→k ).

f(−→k ) = 1 + e−i

−→q ·−→a 1e−iξ2π3 + e−i

−→q ·−→a 2eiξ2π3 . (17)

Vervolgens voeren we de benadering |−→q |a << 1 in door e−i−→q ·−→a i te benaderen

als eerste orde Taylor-reeks.

f(−→k ) ≈ 1 + (1− i−→q · −→a 1)e−iξ

2π3 + (1− i−→q · −→a 2)eiξ

2π3 (18)

f(−→k ) ≈ 1 + 2 cos(

ξ2π

3)− i−→q · −→a 1

(cos(

ξ2π

3)− i sin(

ξ2π

3)

)−i−→q · −→a 2

(cos(

ξ2π

3) + i sin(

ξ2π

3)

)f(−→k ) ≈ i

2−→q · (−→a 1 +−→a 2)− ξ

√3

2−→q · (−→a 1 −−→a 2) .

Aangezien −→a 1 +−→a 2 = (0, 3a) en −→a 1 −−→a 2 = (√

3a, 0), vinden we tenslotte alseerste orde benadering van de structuurfunctie rond een Diracpunt:

f(−→k ) ≈ −3a

2(ξqx − iqy) . (19)

13

In een nieuwe basis (A−→K+, B

−→K+, A

−→K−, B

−→K−) krijgen we dan de benaderde

Hamiltoniaan

H = t3a

2

0 qx − iqy 0 0

qx + iqy 0 0 00 0 0 −qx − iqy0 0 −qx + iqy 0

. (20)

Bij lage energie (geen verstrooiing) kunnen we ons beperken tot één van devalleien. Indien we het gekozen Diracpunt

−→K+ bovendien als nulpunt nemen,

krijgen we als Hamiltoniaan:

H = ~vF(

0 kx − ikykx + iky 0

)(21)

waarbij vF de Fermi-snelheid is:

vF =1

~

∣∣∣∣dEdk∣∣∣∣ =

t

h

3a

2. (22)

De rond−→K+ benaderde Hamiltoniaan heeft de vorm van de relativistische Dirac-

HamiltoniaanHD = c−→α · −→p + βmc2 (23)

waarbij voor vier dimensies geldt: αi =

(−σi 0

0 σi

)(met i gaande over x, y

en z) en β =

(0 I2I2 0

)en voor twee dimensies αI = σI (met I gaande over x

en y) en β = σz. Hierbij zijn σi de Pauli-matrices en is I2 de twee dimensionaleeenheidsmatrix. De Pauli-matrices zijn gegeven door:

σx =

(0 11 0

)(24)

σy =

(0 −ii 0

)(25)

σz =

(1 00 −1

). (26)

Indien we in onze Hamiltoniaan ~−→k substitueren met −→p dan kan deze her-

schreven worden alsH = vF (pxσx + pyσy) . (27)

Dit is een Dirac-Hamiltoniaan voor massaloze deeltjes met een snelheid die velemalen kleiner is dan de lichtsnelheid: vF ≈ c

300 .

14

3.3 Klein-tunneling

Beschouw de Dirac-Hamiltoniaan met een één-dimensionale potentiaalterm. Westellen voor de eenvoud ~ = 1.

H = vF (kxσx + kyσy) + V (x)I2 . (28)

In het Heisenbergbeeld wordt de snelheidsoperator gegeven door

vx = −i[x, H] (29)

= −i[x, vF kxσx]

= vF σx .

Indien we de tijdsverandering hiervan beschouwen krijgen we

∂

∂tvx = −i[σx, H] (30)

= −i[σx, vF kyσy]

= 2vF σzky .

Waardoor geldt dat∂

∂tσx ∝ ky . (31)

Aangezien we een systeem beschouwen dat translatiesymmetrie heeft in de y-richting, zal ky een behouden grootheid zijn. Indien een elektronengolf dus lood-recht invalt op een één-dimensionale potentiaalstap of -barrière (m.a.w. ky = 0),heeft dit tot gevolg dat de snelheid vx en dus ook de pseudospin σx behoudengrootheden zijn. Dit zal er voor zorgen dat een loodrecht invallende golf nietgereflecteerd kan worden aan een potentiaalbarrière, maar met 100% waarschi-jnlijkheid doorgelaten wordt. Wanneer de energie van de invallende golf kleineris dan de potentiaalhoogte, zal de golf tunnelen door toestanden in de valen-tieband. Dit fenomeen heet Klein-tunneling.Klein-tunneling is een concept dat zijn oorsprong heeft gevonden in de quan-

tum electrodynamica (QED), waar het oorspronkelijk de Klein paradox genoemdwerd. Hoewel het in fenomeen in de QED goed begrepen was, was het vanwegepraktische limitaties nooit experimenteel aangetoond. Toen duidelijk werd datKlein-tunneling ook optrad in grafeen, werd grafeen een belangrijk medium voorexperimenten over het relativistische Klein-tunneling en andere QED fenome-nen [2][16]. Klein-tunneling werd onder andere experimenteel waargenomen in[19].

3.4 Spinor golffuncties

We zoeken nu de eigenvectoren van de twee bij twee Dirac-Hamiltoniaan. Dezewordt gegeven door

(H − λI)ψ = 0 (32)

15

waarbij λ = ε = ±~vF |k| de eigenwaarden zijn van de Hamiltoniaan. Hieruitvolgt dat (

±|k| kx − ikykx + iky ±|k|

)(ψ1

ψ2

)=

(00

). (33)

Aan de hand van deze twee vergelijkingen vinden we volgende vergelijking infunctie van ψ1

ψ1 =k2x + k2

y

|k|2 ψ1 . (34)

Indien we nu veronderstellen dat ons systeem altijd translatiesymmetrie heeftin de y-richting, kunnen we voor de golfvergelijking in de y-richting uitgaan vaneen vrij deeltje, en kunnen we de golffunctie herschrijven als

ψn(x, y) = ξn(x)eikyy . (35)

Vervolgens voeren we de differentiaaloperator-vorm van de golfvector in: kxi =−i ∂

∂xi. De ψ1-vergelijking wordt dan

ξ1(x)eikyy = −(~vFE

)2(∂2

∂x2+

∂2

∂y2

)ξ1(x)eikyy (36)

0 =∂2ξ1(x)

∂x2−((

E

hvF

)2

− k2y

)ξ1(x) .

Indien we nu de definitie kx =

√(E~vF

)2

− k2y invoeren heeft deze tweede orde

differentiaalvergelijking als oplossing

ξ1(x) = Aeikxx +Be−ikxx . (37)

Nu we een uitdrukking voor ψ1 gevonden hebben, kunnen we ook de uitdrukkingvoor ψ2 vinden.

ξ2(x)eikyy =~vFs|ε|

(−i ∂∂x

+∂

∂y

)(Aeikxx +Be−ikxx)eikyy (38)

=1

s|k|((Akxe

ikxx −Bkxe−ikxx) + iky(Aeikxx +Be−ikxx))eikyy

=1

s

(kx + iky|k| Aeikxxeikyy − kx − iky

|k| BAe−ikxxeikyy)

waarbij s het teken van de energie E is. De laatste vergelijking kunnen we ookuitdrukken in poolcoördinaten, waarbij kx + iky = |k|eiφ en kx − iky = |k|e−iφ.Met deze notatie kunnen we de eigenspinor schrijven als

ψ(x, y) = A

(1

seiφ

)eikxxeikyy +B

(1

−se−iφ

)e−ikxxeikyy . (39)

Deze spinor beschrijft een linkslopende en een rechtslopende golf.

16

3.5 Eén-dimensionale potentiaalstap

Aan de hand van de gevonden golffunctie kunnen we nu de transmissiewaarschi-jnlijkheid doorheen een één-dimensionale stappotentiaal berekenen:

V (x) =

0

U0

x < 0

x > 0. (40)

We voeren nu volgende substituties in:

ε =E

~vF(41)

v0 =U0

~vF.

Zodat we kx als volgt kunnen beschrijven:

kx =

√ε2 − k2

y√(ε− v0)2 − k2

y

x < 0

x > 0. (42)

Aangezien we hier werken met een ééndimensionale stappotentiaal, is ky hiereen behouden grootheid. Voor de eenvoud stellen we kx(x < 0) = kx en kx(x >0) = qx. De hoeken voor en in de stappotentiaal zijn dan

φ = arctan(kykx

) (43)

θ = arctan(kys′qx

) .

Waarbij s′ = sign(E−U0). Aangezien ky behouden blijft, volgt hier ook uit dat

ε sin(φ) = (ε− v0) sin(θ) (44)sin(φ)

sin(θ)=

ε− v0

ε= n1,2 .

We herkennen hier de optische brekingswet van Snellius in. Merk hier op datindien de energie lager is dan de hoogte van de potentiaal, de brekingsindex n1,2

negatief wordt. In dat geval is een monolaag grafeen dus een metamateriaal.Het breken van de golf aan de potentiaalstap is weergegeven in figuur 5.

17

Figuur 5: Schets van de breking van de golf aan de potentiaalstap (a) en schetsvan de potentiaalstap (b).

Uit de definitie voor qx vinden we dat er een kritische hoek bestaat waarbijde golfvector exponentieel uitdooft in de potentiaalstap. Dit gebeurt wanneer|ky| > |ε− v0|. De set van golffuncties die dit probleem beschrijven zijn:

ψ(x, y) =

(1

seiφ

)eikxxeikyy + r

(1

−se−iφ)e−ikxxeikyy

t(

1eis′θ

)eis′qxxeikyy

x < 0x > 0

. (45)

Merk op dat we voor E<U0 de links propagerende gatengolf gebruiken als trans-missiegolf.Aangezien er in de Hamiltoniaan slechts een 1e orde afgeleide zit, volstaat hetom hier continuïteit voor de golffuncties te eisen in x=0. De continuïteit van deafgeleide van de golffunctie wordt niet geëist. Hieruit volgt:(

1

seiφ

)+ r

(1

−se−iφ

)= t

(1

eis′θ

)(46)

=⇒ seiφ − rse−iφ = (1 + r)eis′θ

waaruit volgt dat

18

r =sei2φ − ei(s′θ+φ)

s+ ei(s′θ+φ)(47)

t =s(1 + ei2φ)

s+ ei(s′θ+φ).

Hiermee vinden we de reflectie- en transmissiewaarschijnlijkheden:

R =1− s cos(s′θ − φ)

1 + s cos(s′θ + φ)(48)

T =2s cos(s′θ) cos(φ)

1 + s cos(s′θ + φ).

De transmissiewaarschijnlijkheid aan een potentiaalstap is weergegeven in Figuur6. Zoals voorspeld treedt voor loodrechte inval Klein-tunneling op: ongeacht dehoogte van de potentiaal en de energie van het elektron wordt de golf 100%doorgelaten. Verder vinden ze enkel transmissie in de regio waar zowel degolfvector buiten de potentiaal, kx, en die binnen de potentiaal, qx, reëel zijn.Dit gebeurt respectievelijk wanneer |ky| > ε en wanneer |ky| > |ε− v0|.

Het feit dat we voor energieën lager dan de potentiaalhoogte zo’n hogetransmissiewaarschijnlijkheid vinden is erg bijzonder. Voor een vrij deeltje(parabolisch energiespectrum) zal de golffunctie de potentiaalstap ook kunnenbinnentunnelen, maar dit leidt slechts tot een lage transmissiewaarschijnlijkheid,ook voor loodrechte inval. De transmissiewaarschijnlijkheid daalt exponentieelnaarmate de sterkte van de potentiaal toeneemt.

19

Figuur 6: Links: transmissiewaarschijnlijkheid door een potentiaalstap voormonolaag grafeen in functie van de energie en de invalshoek θ. De potentiaal-hoogte is U0=0.5γ1. Deze parameter wordt later verduidelijkt. Rechts: po-larplot van de transmissie door een potentiaalstap voor monolaag grafeen. Decurves hebben verschillende verhoudingen tussen de energie en de potentiaal-hoogte. Blauw: E

U0= 1

2 , rood:EU0

= 910 , groen:

EU0

= 21 .

3.6 Eén-dimensionale potentiaalbarrière

We beschouwen volgende potenitaalbarrière:

V (x) =

0U0

0

x < 00 < x < dx > d

. (49)

We bereken de transmissiewaarschijnlijkheid met behulp van de transferma-trixmethode. Voor de eenvoud schrijven we de gollfunctie als een product vanmatrices:

ψj(x, y) = aj

(1

seiφ

)eikxxeikyy + bj

(1

−se−iφ

)e−ikxxeikyy (50)

= PjEjCj .

20

Waarbij de index j verwijst naar de verschillende gollfuncties binnen of buitende barrière en waarbij:

Pj =

(1 1seiφ −se−iφ

)(51)

Ej =

(eikjx 0

0 e−ikjx

)eikyy

Cj =

(ajbj

).

We eisen opnieuw continuïteit van de golffunctie aan de rand van de potentiaal-barrière (x=u):

P1E1(x = u)C1 = P2E2(x = u)C2 (52)

=⇒ C1 = E−11 (x = u)P−1

1 P2E2(x = u)C2 .

De transfermatrix M aan de potentiaalstap wordt dus gegeven door

M1−→2 = E−11 (x = u)P−1

1 P2E2(x = u) = M . (53)

De transfermatrix aan het einde van de potenitaalstap wordt simpelweg gegevendoor

M2−→1 = E−12 (x = u)P−1

2 P1E1(x = u) = M−1 . (54)

Waardoor de transfermatrix van de barrière tenslotte gegeven wordt door

M bar = M(x = 0)M−1(x = d) . (55)

Om de transmissiewaarschijnlijkheid te berekenen moeten we nu volgend stelseloplossen: (

1r

)=

(M bar

11 M bar12

M bar21 M bar

22

)(t0

)(56)

=⇒ t =1

M bar11

.

Waardoor de transmissiewaarschijnljkheid gegeven wordt door:

T =1∣∣M bar11

∣∣2 (57)

=cos2 φ cos2 θ

cos2 φ cos2 θ cos2(qxd) + (sinφ sin θ − 1)2 sin2(qxd)

=1

1 + (F 2 − 1) sin2(qxd)

waarbij

F =

(sinφ sin θ − 1

cosφ cos θ

)2

. (58)

21

Uit deze uitdrukking is al onmiddelijk af te leiden dat we onder twee om-standigheden perfecte tranmissie vinden. De eerste is wanneer F 2 = 1, waaraanvoldaan is wanneer θ = φ = 0, met andere woorden voor loodrechte inval.Dit is de Klein-tunneling die we eerder al vermeld hebben. Verder vinden weperfecte tranmissie wanneer sin(qxd) = 0. Deze resonanties zijn net als bij deSchrödingervergelijking een volledige transmissie die optreedt wanneer de elek-tronen een staande golf vormen in de barrière, m.a.w. wanneer de dikte van debarrière een geheel aantal keren de helft van de golflengte van de invallende golfbedraagt. Dit is een soort Fabry-Pérot resonantie en zullen we in de rest van ditwerk ook zodanig benoemen. Net als bij een Fabry-Pérot interferometer kan degolf binnen de barrière een paar keer reflecteren aan de randen alvorens ergensdoorgelaten te worden. Indien de helft van golflengte van de golf een geheelaantal keer in de barrière past (ofwel d = nλ

2 , n ∈ N0) zullen de doorgelatengolven constructief met elkaar interfereren, wat leidt tot maximale transmissie.Deze transmissiewaarschijnlijkheid is weergegeven in Figuur 7.

Figuur 7: Links: Transmissiewaarschijnlijkheid voor een barrière met hoogteU0 = 0.5γ1 en dikte 100nm. Rechts: Polarplot van de transmissie voor dezelfdepotentiaalbarrière maar voor verschillende invalsenergieën. Blauw: E

U0= 2

5 ,rood: EU0 = 3

4 , groen:EU0

= 54 .

Het gedrag van de resonanties is gemakkelijk af te leiden uit de Fabry-Pérot

22

resonantievoorwaarde dqx = nπ. Indien we dit oplossen naar E(θ) vinden we:

E(θ)

U=

sign(U)±√

1 +((

nπvFV d

)2 − 1)

cos2(θ)

cos2(θ)(59)

waarbij n ∈ Z. Dit kunnen we benaderen als

E(θ)

U=sign(U)± 1

cos2(θ)+α

2+O(α2 cos2(θ)) . (60)

Voor bepaalde waarden van n zal α klein zijn en kan deze uitdrukking verderbenaderd worden als

E =1

2

((nπvFUd

)2

− 1

). (61)

Dit komt overeen met de zo goed als horizontale lijnen die we zien in figuur X bijde lage energiewaarden. Voor hogere waarden van n vinden we bij benaderingdat E ∝ cos−2(θ), wat het gedrag van de hoger gelegen resonanties verklaart.

Een gelijkaardige methode kan men ook gebruiken om het energiespectrumen de transmissie-eigenschappen voor meerdere lagen grafeen te bestuderen. Inde appendix is dit uitgewerkt voor bilaag grafeen.

23

4 Siliceen

Nu we de belangrijkste eigenschappen voor grafeen gevonden hebben, kun-nen we overgaan op de iets complexere variant siliceen. Siliceen is een twee-dimensionale, hexagonale structuur van Si-atomen. In tegenstelling tot grafeen,liggen de atomen echter niet langer in hetzelfde vlak, maar vertonen ze eenlicht hoogteverschil, zoals weergegeven in figuur 8. In het Engels spreekt mendan van ’buckling’. We definiëren 2l als het hoogteverschil tussen de twee sub-roosters. De geknikte structuur is een gevolg van de grotere ionaire straal vansilicium vergeleken met koolstof. De laatste jaren is de interesse in siliceensterk toegenomen omdat de meeste interessante elektronische eigenschappenvan grafeen ook voorkomen in siliceen, met daarbovenop een grotere band-kloof in de Dirac-kegel van de bandenstructuur, die elektrisch te manipuleren is.Verder lijkt siliceen gemakkelijk te integreren in de moderne silicium-gebaseerdehalfgeleidertechnologie en zijn er zelfs mogelijk toepassingen in spintronica, eenopkomende technologie die naast de lading ook de spin van elektronen benut.

Figuur 8: Schets van de honingraatstructuur van siliceen met geknikte structuurwaardoor de subroosters A en B verschillen in hoogte met een afstand 2l. Ezduidt het elektrisch veld aan dat loodrecht op het siliceenvlak wordt aangelegd.De hoek θ is de hoek die gevormd wordt door de Si-Si-binding en de z-richting.

24

4.1 Tight binding beschrijving van siliceen

De beschrijving van de Hamiltoniaan van siliceen is gebaseerd op debeschrijvingen in referenties [3] en [20].The tight binding Hamiltoniaan voor grafeen was opgebouwd met de pz-

orbitalen aangezien enkel deze orbitalen verantwoordelijk waren voor elektrischegeleiding in grafeen. In siliceen spelen echter vanwege de geknikte structuur ookandere orbitalen een rol, namelijk de 3s , 3px, 3py en 3pz orbitalen. Aangezien deeenheidscel van siliceen, net als bij grafeen, twee verschillende sites A en B bevat,gebruiken we de representatie

∣∣pAz ⟩ , ∣∣pBz ⟩ , ∣∣pAy ⟩ , ∣∣pAx ⟩ , ∣∣sA⟩ , ∣∣pBy ⟩ , ∣∣pBx ⟩ , ∣∣sB⟩om de tight binding Hamiltoniaan van siliceen op te bouwen. De totale Hamil-toniaan rond het K punt wordt dan gegeven door

H0 =

(Hπ Hn

H†n Hσ

)(62)

met

Hσ =

(E TT† E

). (63)

Hn, Hπ en Hσ zijn respectievelijk een 2x6, een 2x2 en een 6x6 matrix. Wenemen als nulpuntsenergie het energieniveau van het 3p orbitaal. De E ma-trix stelt de on-site energie voor van de verschillende orbitalen die in dit gevalgegeven wordt door

E =

0 0 00 0 00 0 ∆

(64)

waarbij ∆ het energieverschil tussen het 3s en het 3p orbitaal is. Uit eenvoudgaan we er van uit dat deze basis orthogonaal is.Net als bij grafeen nemen we als eenheidscel de cel opgebouwd uit de vectoren

~a1 = a

(1

2,

√3

2, 0

)(65)

~a2 = a

(−1

2,

√3

2, 0

).

Voor siliceen is de celparameter a = 3.86 A.De verschillende hopping-matrixelementen worden gegeven door

t(k) =

3∑i=1

t(~di)ei~k·~di (66)

waarbij t(~di) de verschillende hopping-parameters zijn en ~di de translatie-vectoren

25

naar de naaste naburen zijn. Deze zijn gegeven door

~d1 =a√3

(√3

2,

1

2, cot θ

)(67)

~d2 =a√3

(−√

3

2,

1

2, cot θ

)~d3 =

a√3

(0,−1, cot θ)

waar θ de hoek is tussen de Si-Si binding en de z-richting, zoals aangegevenop figuur 5. Aan de hand hiervan is te vinden dat de hopping-matrices bij hetK-punt ( 4π

3a , 0) gegeven worden door

T =

−V1 −iV1 V2

−iV1 V1 −iV2

−V2 iV2 0

(68)

Hn =

(0 0 0 V3 −iV3 0V3 iV3 0 0 0 0

)waarbij

V1 =3

4sin2 θ(Vppπ − Vppσ) (69)

V2 =3

2sin θVspσ

V3 =3

2sin θ cos θ(Vppπ − Vppσ) .

Vssσ, Vspσ, Vppσ en Vppπ stellen de hopping parameters van de σ- en de π-binding voor die gevormd worden door de 3s en 3p orbitalen. Hun waarde komtovereen met de energie die nodig is om tussen de respectievelijke orbitalen tehoppen. Hopping gebeurt voor lage energiewaarden niet rechtstreeks tussende twee pz-orbitalen van naburige atomen, en ook niet tussen de s-orbitalen,maar wel tussen het pz-orbitaal en naburige px- en py-orbitalen, tussen de px-en py-orbitalen en naburige s-, px-, py en pz-orbitalen en tussen het s-orbitaalen naburige px- en py-orbitalen. De volledige tight binding Hamiltoniaan in debasis

∣∣pAz ⟩ , ∣∣pBz ⟩ , ∣∣pAy ⟩ , ∣∣pAx ⟩ , ∣∣sA⟩ , ∣∣pBy ⟩ , ∣∣pBx ⟩ , ∣∣sB⟩ wordt dus gegeven door

H0 =

0 0 0 0 0 V3 −iV3 00 0 V3 iV3 0 0 0 00 V3 0 0 0 −V1 −iV1 V2

0 −iV3 0 0 0 −iV1 V1 −iV2

0 0 0 0 ∆ −V2 iV2 0V3 0 −V1 iV1 −V2 0 0 0iV3 0 iV1 V1 −iV2 0 0 00 0 V2 iV2 0 0 0 ∆

. (70)

26

Om deze Hamiltoniaan te diagonaliseren herschrijven we deze eerst in de basispAz , sA, ϕB2 , pBz , sB , ϕA1 , ϕ3, ϕ4 waarbij

ϕA1 = − 1√2

(pAx + ipAy ) = −∣∣pA+⟩ (71)

ϕB2 =1√2

(pBx − pBy ) =∣∣pB−⟩

ϕ3 = − 1√2

[∣∣pA−⟩+∣∣pB+⟩]

ϕ4 =1√2

[∣∣pA−⟩− ∣∣pB+⟩]zodat H0 −→ H1 :

H1 =

0 0 −iV ′3 0 0 0 0 00 ∆ iV ′2 0 0 0 0 0iV ′3 −iV ′2 0 0 0 0 0 00 0 0 0 0 −iV ′3 0 00 0 0 0 ∆ −iV ′2 0 00 0 0 iV ′3 iV ′2 0 0 00 0 0 0 0 0 V ′1 00 0 0 0 0 0 0 −V ′1

(72)

waarbij V ′1 = 2V1, V′2 =√

2V2, V′3 =√

2V3. Deze Hamiltoniaan is op te delen indrie blokdiagonalen: HA, HB en HC .De energie-eigenwaarden van HA en HB voldoen aan de vergelijking:

det(HA/B − εI3) = 0 (73)

ε3 −∆ε2 − (V ′22 + V ′23 )ε+ ∆V ′23 = 0 .

De eigenvectoren vinden we aan de hand van(HA/B − εiI3

)~ui = 0 . (74)

Hiermee vinden we dat de unitaire transformatie naar de diagonale basis voorHA gegeven wordt door

φ1, φ2, φ3 = pAz , sA, ϕB2 UA (75)

UA =

1α1

1α2

1α3

V ′2 ε1α1(∆−ε1)V ′3

V ′2 ε2α2(∆−ε2)V ′3

V ′2 ε3α3(∆−ε3)V ′3

iε1α1V ′3

iε2α2V ′3

iε3α3V ′3

= uij (76)

met normalisatiefactoren

αi =

√1 +

[V ′2εi

(∆− εi)V ′3

]2

+

(εiV ′3

)2

(77)

27

en die voor HB :φ4, φ5, φ6 = pBz , sB , ϕA1 UB (78)

UB =

u11 u12 u13

−u21 −u22 −u23

u31 u32 u33

. (79)

Als we verder definiëren dat φ7 = ϕ3 en φ8 = ϕ4, vinden we dus dat de unitairetransformatie

φ1, φ4, φ2, φ5, φ3, φ6, φ7, φ8 = pAz , pBz , pAy , pAx , sA, pBy , pBx , sBU (80)

de Hamiltoniaan diagonaliseert:

H ′0 = U†H0U (81)

H ′0 =

ε1 0 0 0 0 0 0 00 ε1 0 0 0 0 0 00 0 ε2 0 0 0 0 00 0 0 ε2 0 0 0 00 0 0 0 ε3 0 0 00 0 0 0 0 ε3 0 00 0 0 0 0 0 V ′1 00 0 0 0 0 0 0 −V ′1

.

Aangezien siliceen een vrij lage buckling heeft, is V ′3 klein en zijn de oplossingenvan vergelijking (???) bij benadering

ε1 ≈ ∆V ′23

V ′22

(82)

ε2 ≈ ∆ +√

∆2 + 4V 22

2

ε3 ≈ ∆−√

∆2 + 4V 22

2.

Vanwege de half-gevulde schil van silicium weten we dat 4 van deze 8 energien-iveaus onder het Fermi-niveau liggen. Aangezien V1 en ε3 onder ε1 liggen en derest erboven, weten we dat het Fermi-niveau van siliceen in de buurt van ε1 ligt,dus voor een lage energie-benadering kunnen we ons beperken tot de volgendetwee toestanden:

φ1 = u11pAz + u21s

A + u31

[1√2

(pBx − ipBy

)](83)

φ4 = u11pBz − u21s

B + u31

[− 1√

2

(pAx + ipAy

)].

Om de fysica rond het K-punt te bestuderen voeren we een eerste ordeexpansie van de Hamiltoniaan rond dit punt uit die we vervolgens projecteren opde toestanden φ1, φ4. Op deze manier vinden we de herkenbare Hamiltoniaan

HK = ε1I2 +

(0 vF (kx + iky)

vF (kx − iky) 0

)(84)

28

waarbij we ~ = 1 hebben gesteld en waar de Fermi snelheid gegeven wordt door

vF =−√

3a

2[u2

11(Vppπ sin2 θ + Vppσ cos2 θ)− u221Vssσ (85)

+2u11u21 cos θVspσ −1

2|u31|2 sin2 θ(Vppσ − Vppπ)] .

Voor siliceen is deze waarde gegeven door vF = 5.52 · 105 m/s. Merk op datin het geval dat θ = π

2 , zoals het geval is bij grafeen, vF = −√

3a2 Vppπ. We

zien dus dat bij siliceen de Fermi snelheid de verschillende hopping parametersVppπ, Vppσ, Vssσ en Vspσ bevat, terwijl deze bij grafeen enkel bepaald wordt doorVppπ. Dit wisten we al aangezien bij de planaire structuur de orbitalen een sp2-hybridisatie vertonen en bij de niet-planaire configuratie iets tussen een sp2- ensp3-hybridisatie.In de lage energiebenadering zien we dus dat we aan een gelijkaardige Hamil-

toniaan als die voor grafeen komen. Het voornaamste verschil zit zich tot nutoe in de Fermi-snelheid. Deze Hamiltoniaan moet echter nog aangevuld wordenmet enkele niet-triviale effecten.

4.1.1 Spin-orbitaal koppeling

Een van de interessante eigenschappen van siliceen is de grotere spin-orbitaalkoppeling in vergelijking met grafeen. Dit zorgt namelijk voor een bandkloof inde Dirac-kegel bij het K-punt. Deze interactie wordt beschreven door

Hso = ξ0~L · ~s (86)

= ξ0

(L+s− + L−s+

2+ Lzsz

).

De matrix-elementen in de basis pAz , pBz , pAy , pAx , sA, pBy , pBx , sB⊗↑, ↓ kunnendan berekend worden met behulp van de volgende formules:

L+ |l,ml〉 =√l(l + 1)−ml(ml + 1) |l,ml + 1〉 (87)

L− |l,ml〉 =√l(l + 1)−ml(ml − 1) |l,ml − 1〉

Lz |l,ml〉 = ml |l,ml〉s+ |s,ms〉 =

√s(s+ 1)−ms(ms + 1) |s,ms + 1〉

s− |s,ms〉 =√s(s+ 1)−ms(ms − 1) |s,ms + 1〉

sz |s,ms〉 = ms |l,ms〉 .

Hierbij stellen l en s het draaimoment- en spin-kwantumgetal voor, en ml en ms

de bijbehorende magnetische kwantumgetallen. Herinner dat l = −1,+1 nietovereenkomen met px, py. In het algemeen geldt dat de toestanden |px〉 en |py〉superposities zijn van de toestanden |1,−1〉 en |1, 1〉 , die onderling orthonormaal

29

zijn. Eén van de opties hiervoor is het volgende:

|px〉 =1√2

(|1, 1〉 − |1,−1〉) (88)

|py〉 =i√2

(|1, 1〉+ |1,−1〉) .

Als voorbeeld werken we enkele matrixelementen expliciet uit:

〈pz, ↑ |Hso|px, ↓〉 = − ξ0

2√

2

⟨1, 0;

1

2,

1

2|L−s+|1, 1;

1

2,−1

2

⟩(89)

= − ξ0

2√

2

√2− 0

√3

4+

1

4

= −ξ0

2,

〈pz, ↓ |Hso|px, ↑〉 =ξ0

2√

2

⟨1, 0;

1

2,−1

2|L+s−|1,−1;

1

2,

1

2

⟩(90)

=ξ0

2√

2

√2 + 0

√3

4+

1

4

=ξ0

2.

Aan de hand van gelijkaardige berekeningen is eenvoudig aan te tonen dat

Hso =ξ0

2

O2 iσx −iσy O2

−iσx O2 iσz O2

iσy −iσz O2 O2

O2 O2 O2 O2

. (91)

Deze matrix is weergegeven in de basis pA/Bz , pA/By , p

A/Bx , sA/B en elk element

is een 2x2 matrix in de spin-basis ↑, ↓. σx,y,z zijn de Pauli-matrices en O2 isde nulmatrix.Deze matrix kan getransformeerd worden naar de basis φ1, φ4, φ2, φ5, φ3, φ6, φ7, φ8⊗↑, ↓ via de unitaire transformatie

Uso = U ⊗ I2 (92)

H ′so = U†soHsoUso .

In de lage-energie basis φ↑1, φ↓1, φ↑4, φ↓4 komt dit overeen met de eerste orde

spin-orbitaalkoppeling (kortweg SOC) rond het K-punt:

H1stso =

−λso 0 0 0

0 λso 0 00 0 λso 00 0 0 −λso

(93)

30

waarbij λso = ξ02 |u31|2. Dit effect kan samengevat worden als

∣∣pAz ↑⟩ V−→∣∣pB− ↑⟩ − ξ02−→ ∣∣pB− ↑⟩ V−→

∣∣pAz ↑⟩ (94)∣∣pAz ↓⟩ V−→∣∣pB− ↓⟩ ξ0

2−→∣∣pB− ↓⟩ V−→

∣∣pAz ↓⟩∣∣pBz ↑⟩ V−→∣∣pA+ ↑⟩ ξ0

2−→∣∣pA+ ↑⟩ V−→

∣∣pBz ↑⟩∣∣pBz ↓⟩ V−→∣∣pA+ ↓⟩ − ξ02−→ ∣∣pA+ ↓⟩ V−→

∣∣pBz ↓⟩ .In woorden zegt dit het volgende: een lading in orbitaal pAz interageert met hetpB−-orbitaal van een naaste nabuur. Vervolgens verschuift, door de introductievan de spin-orbitaal interactie, het energieniveau van spin-up elektronen met - ξ02en die van spin-down elektronen met ξ02 . Tenslotte interageert de lading met hetpAz -orbitaal van een andere naaste nabuur. Aangezien het intrinsieke atomaireSOC effect slechts één maal voorkomt in dit proces, is λso proportioneel met ξ0.Een schets van de eerste orde spin-orbitaalkoppeling is weergegeven in figuur 9.

Figuur 9: Schets van de eerste orde spin-orbitaal koppeling in siliceen.

4.1.2 Intrinsiek Rashba SOC effect

In grafeen wordt bij het aanleggen van een elektrisch veld loodrecht op hetgrafeenvlak, of door interactie met een substraat, de spiegelsymmetrie van hetrooster gebroken. Dit brengt een aantal extra termen in de Hamiltoniaan metzich mee, en staat bekend als het extrinsiek Rashba SOC effect [21]. Bij sil-iceen is deze symmetrie echter al gebroken door de buckling. De termen in deHamiltoniaan die hiermee gepaard gaan schrijven we daarom toe aan het ’in-trinsiek’Rashba SOC effect. Let wel op dat dit in essentie sterk verschilt vanhet extrinsieke Rashba effect.

31

Deze Rashba termen worden in de basis φ↑1, φ↓1, φ↑4, φ↓4 gegeven door

HR(k) =

0 −iλRak− 0 0

iaλRk+ 0 0 00 0 0 iaλRk−0 0 −iaλRk+ 0

. (95)

Deze termen zijn enkel verschillend van nul voor een eindige afwijking ~k van hetK-punt.

4.1.3 Loodrecht elektrisch veld

Voor ons onderzoek leggen we een elektrisch veld aan loodrecht op het siliceen-vlak. Dit zorgt voor een afwisselende subrooster potentiaal die evenredig is methet hoogteverschil tussen de twee subroosters. De termen die hierdoor aan detotale Hamiltoniaan toegevoegd moeten worden in de basis φ↑1, φ

↓1, φ↑4, φ↓4 zijn

bij benadering:

HEz =

lEz 0 0 00 lEz 0 00 0 −lEz 00 0 0 −lEz

. (96)

Dit is een benadering aangezien de eigenvector φ1 niet volledig bepaald wordtdoor de orbitalen van het A-subrooster, en φ4 niet volledig van die van het B-subrooster. Het deel dat bij het andere subrooster hoort (zie vgl. (84)), is echterklein bij kleine buckling. Dit elektrisch veld brengt ook het extrensiek RashbaSOC effect met zich mee, maar aangezien dit in onze lage-energiebenadering eenerg zwak effect is, zullen we het in de rest van dit onderzoek verwaarlozen.

4.1.4 Magnetizatie

Het is mogelijk een magnetizatie te verkrijgen in siliceen door een ferromag-netische strip in de nabijheid van het siliceen-oppervlak te brengen [4]. Dezemagnetizatie zal ervoor zorgen dat de spin-up en de spin-down elektronen in hetmateriaal een ander energieniveau krijgen. Deze Zeeman-splitting kunnen wegebruiken om de transmissie-eigenschappen van de verschillende spin-toestandente doen verschillen en zo een spinfilter te construeren. In de basis φ↑1, φ

↓1, φ↑4, φ↓4

wordt de bijdrage hiervan tot de volledige Hamiltoniaan gegeven door:

HM =

M 0 0 00 −M 0 00 0 M 00 0 0 −M

. (97)

4.1.5 Totale Hamiltoniaan

Als conclusie wordt de totale lage energie-Hamiltoniaan in de basis φ↑1, φ↓1, φ↑4, φ↓4,

voor kleine buckling, met een loodrecht op het vlak aangelegd elektrisch veld en

32

ontwikkeld rond het K-(en K’-)punt gegeven door

HeffK (~k) =

M + lEz − λso −iλRak− vF k+ 0

iaλRk+ −M + lEz + λso 0 vF k+

vF k− 0 M − Ez + λso iaλRk−0 vF k− −iaλRk+ −M − lEz − λso

HeffK′ (~k) =

M − lEz + λso iλRak− vF k− 0−iaλRk+ −M − lEz − λso 0 vF k−vF k+ 0 M + lEz − λso −iaλRk−

0 vF k+ iaλRk+ −M + lEz + λso

.

(98)

Deze Hamiltoniaan bescrijft niet alleen siliceen, maar ook grafeen, germa-neen en staneen. Deze laatste twee materialen hebben dezelfde structuur alssiliceen maar in plaats van silicium zijn deze respectievelijk opgebouwd uitgermanium- en tin-atomen. De parameters voor de verschillende materialenstaan samengevat in Tabel 1.

vF (105 m/s) λso (meV ) λR (meV ) l (A) a (A)

grafeen 9.80 0 0 0 2.46siliceen 5.52 3.9 0.7 0.23 3.86

germaneen 4.57 43 10.7 0.32 4.02staneen 4.85 29.9 9.5 0.43 4.70

Tabel 1: Waarden van de verschillende materiaalparameters van grafeen, sil-iceen, germaneen en staneen. Gedeeltelijk overgenomen uit [20] en aangevuldmet behulp van [22] en [23].

De energie-eigenwaarden van deze Hamiltoniaan zijn gegeven door :

Esz,ξ = ±

√(Ezl + szξ

√a2λ2

Rk2 + λ2

so

)2

+ v2F k

2 + szM , (99)

waarbij ik gebruik gemaakt heb van de spin- en de vallei-indices, repectievelijksz en ξ. Dit energiespectrum is weergegeven in figuur 10.

33

Figuur 10: Energiespectrum voor siliceen met Ez = 0, M = λso (links) enEz = Ez,c, M = 0 (rechts). De pijlen geven aan of de energieband overeenkomtmet een spin-up of een spin-down deeltje.

In het geval dat er geen elektrisch veld en geen magnetizatie aanwezig is,zijn de spin-up en de spin-down toestanden ontaard en is er een bandkloof ter

grootte van 2√a2λ2

Rk2 + λ2

so bij de Diracpunten. Indien er een elektrisch veldaangelegd is, zal dit de bandkloof groter of kleiner maken. Er bestaan twee kritis-che veldwaarden waarvoor de bandkloof volledig gesloten wordt, namelijk wan-

neer Ez,cl = ±√a2λ2

Rk2 + λ2

so. Merk op dat indien de bandkloof bij het K-puntverdwijnt voor spin-up elektronen, deze voor de spin-down elektronen verdwijntbij het K’-punt en vice versa. Het elektrisch veld zorgt aan de Diracpunten voorspin-vallei polarizatie, maar angezien de spin-vallei polarizatie aan de verschil-lende Diracpunten tegengesteld is, resulteert dit op zich niet in een werkelijkespin-polarizatie. De magnetizatie zal tenslotte één van de twee spin-toestandeneen hogere energie geven dan de andere, wat de sleutel zal zijn tot het verkrijgenvan totale spin-polarizatie.We kunnen het energiespectrum ook gebruiken om de toestandsdichtheid

(DOS) van siliceen te vinden [24]. Deze wordt namelijk gegeven door

D(E) =∑~k

δ(E − E(~k)) (100)

=1

2π

∫dk2δ(E − E(~k))

=1

π

∫dk k δ(E − E(~k))

=1

π

∫dk k

∑sz

δ(k − ksz )∣∣∣∂(E−E(~k))∂k

∣∣∣ksz

waarbij sz sommeert over de verschillende nulpunten van E − E(~k). Om desituatie te vereenvoudigen verwaarlozen we de Rashba-term λR, en schrijven we

34

de dispersierelatie als

Esz,ξ = ±√

∆2sz + v2

F k2 + szM . (101)

De afgeleide hiervan wordt dan gegeven door

∂(E − E(~k))

∂k= − v2

F k√∆2sz + v2

F k2

(102)

en de twee nuloplossingen van E − E(~k) door

ksz =

√E2 −∆2

sz

vF(103)

zodat de toestandsdichtheid gegeven wordt door

D(E) =1

πv2F

∫dk∑sz

δ(k − ksz )∣∣∣∣√∆2

sz + v2F k

2sz

∣∣∣∣ (104)

=1

πv2F

∫dk∑sz

δ(k − ksz ) |E + szM |

=1

πv2F

∑sz

Θ(k − ksz ) |E + szM |

wat overeenkomt met

D(E) =1

πv2F

∑sz

|E + szM |Θ(|E + szM | − |Ezl + szξλso| (105)

Deze toestandsdichtheid is weergegeven in figuur 11. Hier hebben we gekozenom de toestandsdichtheid voor spin-up en voor spin-down apart te tonen. DeDOS is evenredig met de absolute waarde van de energie van de elektronen, envertoont dezelfde bandkloof als het energiespectrum.

35

Figuur 11: De toestandsdichtheid van siliceen voor spin-up en spin-down elek-tronen. De gebruikte parameters zijn Ez = Ez,c en M = 0.

4.2 Spinor golffuncties

Voor het vinden van de spinor-golfuncties lossen we de Schrödingervergelijkingop. Deze wordt gegeven door

HeffK (~k)Ψ =

M + lEz − λso −iλRak− vF k+ 0

iaλRk+ −M + lEz + λso 0 vF k+

vF k− 0 M − lEz + λso iaλRk−0 vF k− −iaλRk+ −M − lEz − λso

φ↑1φ↓1φ↑4φ↓4

= EΨ . (106)

Dit komt neer op het uitwerken van het stelsel

αφ↑1 = −iaλRk−φ↓1 + vF k+φ↑4 (107)

βφ↓1 = iaλRk+φ↑1 + vF k+φ

↓4

γφ↑4 = vF k−φ↑1 + iaλRk−φ

↓4

δφ↓4 = vF k−φ↓1 − iaλRk+φ

↑4

waarbij

α = (E − lEz + λso −M) (108)

β = (E − lEz − λso +M)

γ = (E + lEz − λso −M)

δ = (E + lEz + λso +M)

36

wat reduceert tot

αφ↑1 =a2λ2

R

βk2φ↑1 −

iaλRvFβ

k2φ↓4 +v2F

γk2φ↑1 +

iaλRvFγ

k2φ↓4 (109)

δφ↓4 =iaλRvF

βk2φ↑1 +

v2F

βk2φ↓4 −

iaλRvFγ

k2φ↑1 +a2λ2

R

γk2φ↓4

en vervolgens tot(α−

(v2F

γ+a2λ2

R

β

)k2

)φ↑1 =

(− iaλRvF

β+iaλRvF

γ

)k2φ↓4 (110)(

δ −(v2F

β+a2λ2

R

γ

)k2

)φ↓4 =

(iaλRvF

β− iaλRvF

γ

)k2φ↑1

zodat tenslotte, voor problemen met translatie-invariantie in de ky-richting:(δ +

(v2F

β+a2λ2

R

γ

)(∂2

∂x2− k2

y

))(α+

(v2F

γ+a2λ2

R

β

)(∂2

∂x2− k2

y

))φ↑1

=

(2lEzaλRvF

βγ

)2(∂4

∂x4− 2k2

y

∂2

∂x2+ k4

y

)φ↑1 . (111)

Dit is een differentiaalvergelijking van vierde orde met als oplossing

φ↑1 =(A′eik1x +B′e−ik1x + C ′eik2x +D′e−ik2x

)eikyy (112)

waarbij

k1 =√k2F1 − k2

y

k2 =√k2F2 − k2

y

kF1 =

√1(

a2λ2R + v2

F

)2 (a2λ2R(E2 + E2

z l2 − λ2

so −M2) + v2F (E2 − E2

z l2 − λ2

so −M2)−∆2”)

kF2 =

√1(

a2λ2R + v2

F

)2 (a2λ2R(E2 + E2

z l2 − λ2

so −M2) + v2F (E2 − E2

z l2 − λ2

so −M2) + ∆2”)

∆2” = 2Γ

√a4λ4

R (lEzE + λsoM)2

+ a2λ2Rv

2FΩ + (lEzλso +ME)

2v4F

Γ = sign[M(EzlE + λsoM)(a2λ2REzl + v2

FM)]

Ω =(E2z l

2(E2 − E2

z l2 + λ2

so

)+ 4lEzEλsoM +

(E2 + 2E2

z l2 + λ2

so

)M2 −M4

). (113)

Deze golfvector kan gevonden worden door de dispersierelatie op te lossen. Hetteken σ zal hier echter niet uit volgen. De reden waarom dit wordt toegevoegd isvanwege de koppeling die bestaat tussen de spin-up en de spin-down toestandenvia de λR-term. Deze koppeling zal ervoor zorgen dat wanneer de curves kx(E)voor de spin-up en de spin-down toestanden elkaar willen kruisen, dit verhinderd

37

wordt. Dit fenomeen staat gekend als ’anti-crossing’. Wanneer dit gebeurtcorrespondeert k1 na het kruisen niet meer met de spin-up toestand, maar metde spin-down toestand, en hetzelfde geldt voor k2. Dit is weergegeven in figuur12. Het teken σ zorgt ervoor dat de golfvectoren voor alle energie-waardenovereenkomen met eenzelfde spin. Dit vereenvoudigt het interpreteren van deresultaten. Wanneer de intrinsieke Rashba SOC verwaarloosd wordt, moet menhier uiteraard geen rekening mee houden.Binnen een potentiaal met sterkte U zijn de golfvectoren net iets anders,

maar zijn gegeven door in de bovenstaande formules de substitutie E −→ E−Uuit te voeren:

q1(E,U) = k1(E − U) (114)

q2(E,U) = k2(E − U) .

Aan de hand van bovenstaand stelsel zijn ook de andere golffuncties af te leiden.Indien we opnieuw gebruik maken van de matrixnotatie

Ψj = PjEj(x)Cj (115)

zoals ingevoerd bij onze berekeningen voor grafeen, waarbij de index j aanduidtof we de golffuncties beschrijven buiten (j=1) of binnen (j=2) de potentiaal,dan wordt de vierspinor voor siliceen in aanwezigheid van een elektrisch veldEz loodrecht op het vlak gericht en inclusief magnetizatie beschreven door dematrices

P1 =

1 1 µ µ

ζ (k1 − iky) −ζ (k1 + iky) η (k2 − iky) −η (k2 + iky)ξ (k1 + iky) −ξ (k1 − iky) χ (k2 + iky) −χ (k2 − iky)

ν ν 1 1

E1(x) =

eik1x 0 0 0

0 e−ik1x 0 00 0 eik2x 00 0 0 e−ik2x

Cj =

AjBjCjDj

(116)

38

Figuur 12: (a) Originele oplossing voor golfvector kx(E) waarbij de curves voorspin-up en spin-down elkaar niet kruisen. (b) Aangepaste definitie zodat degolfvectoren niet van energieband wisselen, (c) Gewone kruising bij verwaarloz-ing van de λR-term.

39

waarbij

µ =iaλRvF

(1γ −

1β

) (k2

2 + k2y

)α−

(a2λ2Rβ +

v2Fγ

) (k2

2 + k2y

) (117)

ν =−iaλRvF

(1γ −

1β

) (k2

1 + k2y

)δ −

(a2λ2Rγ +

v2Fβ

) (k2

1 + k2y

)ζ =

iaλR + vF ν

β

η =iaλRµ+ vF

β

ξ =iaλRν + vF

γ

χ =iaλR + vFµ

γ.

De matrices P2 en E2(x) komen overeen met respectievelijk P1 en E1(x) waarbijde substitutie E −→ E − U (en dus k1/2 → q1/2) uitvoeren.

Dit alles is geldig rond het K-punt. Voor het K’-punt verloopt de redeneringvolledig analoog maar ter volledigheid worden de formules toch gegeven:

P ′1 =

η′ (k′1 + iky) −η′ (k′1 − iky) ζ ′ (k′2 + iky) −ζ ′ (k′2 − iky)

1 1 ν′ ν′

µ′ µ′ 1 1χ′ (k′1 − iky) −χ′ (k′1 + iky) ξ′ (k′2 − iky) −ξ′ (k′2 + iky)

(118)

E′1(x) =

eik′1x 0 0 0

0 e−ik′1x 0 0

0 0 eik′2x 0

0 0 0 e−ik′2x

Cj =

AjBjCjDj

40

k′1 =√k′2F1 − k2

y (119)

k′2 =√k′2F2 − k2

y

k′F1 =

√1(

a2λ2R + v2

F

)2 (a2λ2R(E2 + E2

z l2 − λ2

so −M2) + v2F (E2 − E2

z l2 − λ2

so +M2)−∆2”′)

k′F2 =

√1(

a2λ2R + v2

F

)2 (a2λ2R(E2 + E2

z l2 − λ2

so −M2) + v2F (E2 − E2

z l2 − λ2

so +M2) + ∆2”′)

∆2”′ = 2sign

√a4λ4

R (lEzE − λsoM)2

+ a2λ2Rv

2FΩ′ + (lEzλso −ME)

2v4F

sign = sign[M(EzlE − λsoM)(a2λ2REzl + v2

FM)] (120)

Ω′ =(E2z l

2(E2 − E2

z l2 + λ2

so

)− 4lEzEλsoM +

(E2 + 2E2

z l2 + λ2

so

)M2 −M4

)

µ′ =iaλRvF

(1δ′ −

1α′

) (k′22 + k2

y

)β′ −

(a2λ2Rα′ +

v2Fδ′

) (k′22 + k2

y

) (121)

ν′ =−iaλRvF

(1δ′ −

1α′

) (k′21 + k2

y

)γ′ −

(a2λ2Rδ′ +

v2Fα′

) (k′21 + k2

y

)ζ ′ =

iaλR + vF ν′

α′

η′ =iaλRµ

′ + vFα′

ξ′ =iaλRν

′ + vF

δ′

χ′ =iaλR + vFµ

′

δ′

α′ = (E − lEz + λso −M) (122)

β′ = (E − lEz − λso +M)

γ′ = (E + lEz − λso −M)

δ′ = (E + lEz + λso +M) .

4.3 Eén-dimensionale potentialen

De volgende onderdelen bespreken de transmissiewaarschijnlijkheid, conduc-tantie en de spin- en vallei-polarizatie voor elektronen in monolaag siliceen. Demethode en berekeningen hiervoor zijn geïnspireerd op referenties [4],[25][26].

41

4.3.1 Potentiaalstap

Een potentiaalstap met hoogte V wordt gegeven door

V (x) =

0

U

x < 0

x > 0. (123)

De golffunctie hoort continu te zijn aan de rand van de potentiaalstap (x=0):

P1E1(0)C1 = P2E2(0)C2 (124)

C1 = MC2

waarbij de transfermatrix gedefinieerd wordt als

M = P−11 · P2 . (125)

De transmissie- en reflectiewaarschijnlijkheden vinden we door het oplossen vanhet volgende stelsel:

1r1

0r2

= M

t1t2t3t4

. (126)

Herinnner dat, indien de energie van het invallend elektron hoger ligt dan depotentiaalbarrière, het elektron een kans heeft om in de conductieband binnende potentiaalstap te belanden, terwijl in het andere geval Klein-tunneling op-treedt. In het eerste geval zijn de coëffi cienten t2 en t4 gelijk aan nul, en in hettweede zijn t1 en t3 gelijk aan nul. De reden hiervoor is dat deze coëffi cientendan de amplitude voorstellen van een terugreizende golf in de potentiaalstap(ofwel reizend in de negatieve x-richting). In totaal zijn er dus in beide gevallenslechts vier onbekenden en kan dit stelsel opgelost worden.In onderstaande figuur 13 worden voor spin-up en spin-down de transmissie-waarschijnlijkheden T = 1− |r1|2 − |r2|2 weergegeven in functie van de energieE en de invalshoek θ. We zien opnieuw enkel transmissie in de regio’s waar kxen qx reëel zijn, maar in tegenstelling tot bij grafeen zijn deze regio’s bij het K-punt verschillend voor spin-up en spin-down elektronen. Bij het K’-punt kerende rollen van de twee spin-toestanden om. Het is duidelijk dat voor de juisteinvalsenergie enkel de spin-up elektronen doorgelaten worden bij het K-punt.Bij het K’-punt worden dan enkel de spin-down elektronen doorgelaten.

42

(127)

Figuur 13: Totale transmissiewaarschijnlijkheid bij het K-punt voor spin-up(links) en spin-down (rechts) elektronen. De gebruikte parameters zijn: U = 50meV, Ez = Ez,c en M = 0.

4.3.2 Potentiaalbarrière

Beschouw een potentiaalbarrière met dikte d beschreven door

V (x) =

0U0

x < 00 6 x 6 dx > d

. (128)

Het verschil met de potentiaalstap is dat we nu ook de transfermatrix nodighebben voor de omgekeerde potenitaalstap. Deze wordt eenvoudigweg gegevendoor het inverse van de transfermatrix voor de potentiaalstap. De volledigetransfermatrix voor een potentiaalbarrière wordt dan gegeven door:

m = M(0) ·M−1(d) (129)

= E−11 (0)P−1

1 P2E2(0) · E−12 (d)P−1

2 P1E1(d) .

Deze transfermatrix geeft het verband tussen de coëffi cienten van de golffunctievoor en na de potentiaalbarrière:

1

r↑↑0

r↑↓

= m

t↑↑0

t↑↓0

. (130)

43

Hieruit volgt dat de transmissiewaarschijnlijkheid voor spin-up elektronen gegevenwordt door

T = |t↑↑|2 (131)

=m(3, 3)

m(1, 1)m(3, 3)−m(1, 3)m(3, 1)

waarbij m(i, j) de matrixelementen van de transfermatrix m voorstellen.Indien we de intrinsieke Rashba SOC verwaarlozen, kunnen we een analytis-

che uitdrukking vinden voor zowel∣∣∣t↑↑∣∣∣2 en ∣∣∣t↓↓∣∣∣2. De transmissies waarbij de

spin verandert,∣∣∣t↑↓∣∣∣2 en ∣∣∣t↓↑∣∣∣2, zijn in dat geval nul. De analytische uitdrukking

wordt gegeven door:

T =1

1 + sin2(dqx)(F (kx, qx, ky)2 − 1)(132)

waarbij

F (kx, qx, ky) =k2xε

2b + k2

xε2w + k2

y(εb − εw)2

2kxqxεbεw(133)

enεi = E − Vi − szMi + λso + szηEz,il . (134)

Uit deze uitdrukking kunnen we opnieuw afleiden dat we perfecte transmissievinden op de Fabry-Pérot resonanties en voor wanneer aan de Klein-tunnelingconditie voldaan is. Dit is het geval voor loodrechte inval en wanneer de band-kloof gesloten is, met andere woorden wanneer het elektrisch veld de kritischewaarde heeft.Uit eenvoud beschouwen we enkel magnetizatie binnen de potentiaalbarrière.

Het elektrisch veld is overal gelijk. Een schets van deze barrière is weergegevenin figuur 14.

44

Figuur 14: Schets van de barrière in het (x,y)-vlak (a) en het (x,V)-vlak (b).

Figuur 15: Transmissiewaarschijnlijkheden T ↑↑ (links) en T↓↓ .(rechts) doorheen

een enkele potentiaalbarrière Gebruikte parameters zijn: U = 50 meV, Ez =Ez,c, M = 0 en d = 100 nm.

45

In figuur 15 tonen we de transmissiewaarschijnlijkheden T ↑↑ en T↓↓ voor een

potentiaalbarrière met dikte d.. Binnen de regio’s waarin de golfvectoren reëelzijn zien we de Fabry-Pérot resonanties, en voor de spin-vallei combinatie waar-voor de bandkloof gesloten is, zien we opnieuw de Klein-tunneling bij loodrechteinval. Voor de spin-up elektronen vinden we voor te lage energieën geen oplossin-gen omdat voor deze energiewaarden de golfvector kx niet reëel is.

4.3.3 Spinverandering bij transmissie

Met de huidige Hamiltoniaan bestaat er een kleine kans dat de spin na trans-missie is omgekeerd. Zoals eerder vermeld is dit een gevolg van de koppel-ing tussen de spin-toestanden die bestaat vanwege de intrinsieke Rashba spin-orbitaal koppeling. Voor siliceen is dit een verwaarloosbaar kleine kans (slechtvan orde grootte ∝ 10−3, zie onderstaande figuren) en het is dus zeker te ver-antwoorden om de λR-term achterwege te laten voor zwaardere berekeningen.Voor germaneen en andere varianten van deze structuur is de waarde van λRechter groter en is het dus zeker de moeite waard om hier wat dieper op in tegaan alvorens het achterwege te laten. Als men er namelijk in zou slagen omde kans voor het omkeren van de spin te vergroten voor één bepaalde spin, kandit gebruikt worden om een effi ciente spin-filter te maken. Voor siliceen zien wedat deze transmissiewaarschijnlijkheid ongeveer even groot is voor beide spin-toestanden. Verder lijkt deze te pieken in het gebied waar de transmissiege-bieden voor beide spin-toestanden niet overlappen. Dat dit belangrijk is wordtbevestigd door het feit dat deze tranmissiewaarschijnlijkheid overal nul is in hetgeval Ez = M = 0, of als de twee spintoestanden dus volledig ontaard zijn.

We kunnen de transmissiegebieden voor de twee soorten spin nog sterkervan elkaar doen verschillen door het materiaal een zekere magnetizatie te geven.In de praktijk brengt men hiervoor een ferromagnetische strip aan bovenop hetsiliceen-oppervlak dat men wil magnetizeren. Hierdoor zal het gebied waar de re-gio’s niet overlappen vergroten en zo wordt ook het (E,k) gebied waarin de spin-verandering optreedt groter. De volgende figuren tonen de transmissiewaarschi-jnlijkheid T ↑↓ voor verschillende waarden van M en voor de kritische veldwaarde

Ez = Ez,c. De resultaten voor T↓↑ zijn identiek.

46

Figuur 16: Transmissiewaarschijnlijkheid T ↑↓ waarbij de spin omkeert voor ver-schillende magnetizatiewaarden. Boven: M=0, midden: M=λso, onder: M=2λso.

47

Het blijkt dat indien het materiaal in de barrière gemagnetizeerd is, dezebijzondere transmissie sterk toeneemt. In tegenstelling tot wat men zou kun-nen verwachten, is de transmissiewaarschijnlijkheid T ↓↑ niet groter of kleiner dan

T ↑↓ . Dit fenomeen zal dus de totale transmissiewaarschijnlijkheid niet beïnvloe-den en draagt dus niet bij tot polarizatie. Uit nieuwsgierigheid is een analogeberekening uitgevoerd voor germaneen, aangezien de waarde van λR meer dantien keer groter is dan die voor siliceen. Het resultaat is getoond in figuur 17. Inde K-vallei zien we nu wel een duidelijk verschil in transmissiewaarschijnlijkheidvoor de twee spins, en ook de twee valleien vertonen verschillende resultaten, integenstelling tot wat we vonden bij siliceen. Toch blijft dit een klein, verwaar-loosbaar fenomeen: ondanks de veel sterkere intrinsieke Rashba koppeling, is degrootte orde voor deze transmissie nog steeds gelijkaardig aan die voor siliceen.

Figuur 17: Transmissiewaarschijnlijkheid voor germaneen met Ez = Ez,c enM = 3 meV. Links: T ↑↓ , rechts: T

↑↓ . Boven: K-punt. Onder: K’-punt.

Hoewel het een interessant fenomeen lijkt, helpt het ons niet verder in hetcreëren van een polarizatie. We gaan daarom voor de rest van dit onderzoekdeze bijdrage volledig verwaarlozen.

48

4.3.4 Meerdere potentiaalbarrières

Aangezien we een soort spinfilter willen creëren, spreekt het voor zich om ook detransmissie doorheen twee of meer barrières te beschouwen. Twee filters zoudennamelijk beter kunnen werken dan één. Een schets voor de dubbele potenti-aalbarrière is weergegeven in figuur 18. Hierbij stellen d1 en d2 de breedte vanrespectievelijk de eerste en de tweede barrière voor, en w de afstand tussen debarrières. We beschouwen opnieuw enkel magnetizatie binnen de barrières. Dezeschets toont ook een constructie opgebouwd uit een serie potentiaalputten, watde situatie is voor U < 0. De transmissiewaarschijnlijkheden voor verschillendeaantallen potentiaalputten zijn weergegeven in de appendix.

Figuur 18: schets van de dubbele barrière (a) en van superroosters opgebouwduit barrières (b) en putten (c).

De dubbele elektrostatische potentiaalbarrière wordt beschreven door:

V (x) =

0V0V0

x < 00 ≤ x < d1

d1 ≤ x < d1 + wd1 + w ≤ x < d1 + w + d2

d1 + w + d2 ≤ x

. (135)

De volledige transfermatrix hiervoor is het product:

m2 = M(0) ·M−1(d1) ·M(d1 + w) ·M−1(d1 + w + d2) . (136)

Met deze transfermatrix kunnen we nu opnieuw de transmissie- en reflectiecoëf-ficienten vinden, volledig analoog aan de berekeningen bij een enkele barrière.

49

De transmissiewaarschijnlijkheid doorheen een dubbele barrière met breedted1 = d2 = d kan analytisch uitgedrukt worden als:

T2 =1

1 + sin2(dqx)(F 2 − 1)4(cos(wkx) cos(dqx) + F sin(wkx) sin(dqx))2.

(137)Merk op dat voor w = 0 deze uitdrukking zich reduceert tot de transmissiewaarschi-jnlijkheid doorheen een barrière met breedte 2d.

T1(2d) =1

1 + sin2(2dqx)(F 2 − 1). (138)

Uit deze uitdrukking zien we duidelijk dat we perfecte transmissie krijgen wan-neer bij de Fabry-Pérot resonanties die we eerder hebben besproken (sin(dqx) =0), wanneer F 2 = 1, wat overeenkomt met Klein-tunneling indien de bandkloofgesloten is, en uiteindelijk ook wanneer aan de nieuwe conditie cos(wkx) cos(dqx)+F sin(wkx) sin(dqx) = 0 is voldaan. Fysisch is dit een soort Fabry-Pérot reso-nantie over het volledige barrièresysteem. In de volgende figuren worden detransmissiewaarschijnlijkheden voor spin-up en spin-down elektronen doorheende dubbele potentiaalbarrière weergeven. Om de structuur hiervan wat te ver-duidelijken, zijn de verschillende soorten resonanties in het wit aangeduid. Merkop dat de extra resonanties ook doorgaan in het gebied waar qx, de golfvectorbinnen de barrière, niet reëel is en de golf dus niet propageert. Numeriek vindenwe echter dat de transmissie in dat gebied toch uitdooft.

Figuur 19: Transmissiewaarschijnlijkheden doorheen een dubbele barrière bijhet K-punt. Links: T ↑↑ , rechts: T

↓↓ . De witte streeplijnen stellen de Fabry-Pérot

resonanties binnen een barrière voor, en de witte stiplijnen duiden de resonantiesover het volledige barrièresysteem aan. Links: spin-up, rechts: spin-down.

50

Om de transmissiewaarschijnlijkheid doorheen een willekeurig aantal bar-rières te berekenen, maken we gebruik van de volgende eigenschap van de trans-fermatrix doorheen één barrière bij x = x0:

M(x0) = E−11 (x0)P−1

1 P2E2(x0)E−12 (x0 + d2)P−1

2 P1E1(x0 + d2) (139)

= E−11 (x0)M(0)E1(x0) .

We kunnen een transfermatrix voor een barrière op een punt x0 dus herschrijvenals functie van de transfermatrix van een barrière op x = 0. Aangezien de trans-fermatrix voor n barrières eenvoundigweg het product is van transfermatricesvan enkele barrières op verschillende punten, kan men deze als volgt reduceren:

mn = M(0)M(d)M(2d)...M((n− 1)d)

= M(0)E−11 (d)M(0)E1(d)E−1

1 (2d)M(0)E1(2d)...E−11 ((n− 1)d)M(0)E1((n− 1)d)

= M(0)E−11 (d)M(0)E−1

1 (d)M(0)E−11 (d)...E−1

1 (d)M(0)E1((n− 1)d)

= M(0)[E−11 (d)M(0)]n−1E1((n− 1)d) . (140)

Aan de hand van deze transfermatrix vinden we bovendien de volgende algemeneuitdrukking voor de transmissieamplitude:

tn =(e−ikxl(cos(dqx) + iF sin(wkx))n −Θ(n > 1)eikxlin sinn(dqx)Gn−2(F 2 − 1)

)−1

l = (n− 1)w + (n− 2)d

G =(iky(εw − εb) + kxεb)

2 − q2xε

2w

2kxqxεbεw. (141)

Deze transmissiewaarschijnlijkheden zijn weergegeven in de volgende figurenvoor 3 en 10 barrières.

51

Figuur 20: Transmissiewaarschijnlijkheden bij het K-punt doorheen 3 (boven)en 10 (onder) barrières. Links: T ↑↑ , rechts: T

↓↓

Ook voor meerdere barrières zien we extra resonanties naast de Fabry-Pérotresonanties. Deze zijn echter veel minder uitgesproken dan voor twee barrières.Ook voor 10 barrières zijn er resonanties maar deze zijn zo dun en subtieldat ze niet zichtbaar zijn in bovenstaande plots. Er is geen gesloten formuledie aangeeft waar deze resonanties vandaan komen, maar ze hebben hoogst-waarschijnlijk een gelijkaardige oorsprong als de extra resonanties bij n=2, watwil zeggen dat het resonanties zijn van de golffunctie langs de volledige lengtevan het barrièresysteem.Verder valt op hoe de transmissie doorheen 10 barrières lijkt op een sherpere

versie van die doorheen één barrière. Dit is logisch als men het effect vande barrière beschouwt: voor sommige waarden in het (E,k)-vlak zien we eenhoge tranmissie, en voor andere een lagere transmissie. Indien we dit effect

52

verschillende keren herhalen, zullen de gebieden met lage transmissie geleidelijkreduceren tot nul, terwijl de gebieden met hoge tranmissie meer uitgesprokenworden.In het volgende hoofdstuk zullen we zien dat voor meerdere barrières ook

het filteren van de spin effi cienter werkt.

4.3.5 Conductantie en polarizatie

De conductantie aan het K-punt is een maat voor de hoeveelheid elektronendie langs het K-punt doorheen de barrière(s) geraken. In elektrische experi-menten is dit gewoonlijk wat er gemeten wordt. De conductantie berekenen wedoor de transmissiewaarschijnlijkheid als volgt te integreren over de mogelijkeinvalshoeken:

g↑ =

∫ π/2

−π/2T

(K)↑ (θ)E cos θdθ (142)

g↓ =

∫ π/2

−π/2T

(K)↓ (θ)E cos θdθ

g′↑ =

∫ π/2

−π/2T

(K′)↑ (θ)E cos θdθ

g′↓ =

∫ π/2

−π/2T

(K′)↓ (θ)E cos θdθ

gc = g↓ + g′↓ + g↑ + g′↑ .

Aan de hand van deze conductanties is het eenvoudig een definitie op te stellenvoor de polarizatie van de stroom na transmissie. Voor spin polarizatie is dit hetgenormalizeerde verschil tussen de conductantie van de spin-up en de spin-downelektronen:

ps =

(g↑ + g′↑

)−(g↓ + g′↓

)g↓ + g′↓ + g↑ + g′↑

. (143)

Analoog kunnen we een vallei-polarizatie definiëren die aanduid hoeveel van deelektronen van het K-punt of het K’-punt komen.

pv =(g↑ + g↓)−

(g′↑ + g′↓

)g↓ + g′↓ + g↑ + g′↑

. (144)

Nu we een uitdrukking hebben voor de verschillende polarizaties, is het mo-gelijk om deze te plotten in functie van verscheidene parameters en zo te onder-zoeken onder welke omstandigheden de polarizatie optimaal is.

We beginnen met de totale conductantie gc, de spin-polarizatie ps en devallei-polarizatie pv te plotten als functie van de hoogte van de potentiaalbar-rière, U voor een contante energie EF .

53

Figuur 21: Conductantie (boven), spin-polarizatie (midden) en vallei-polarizatie(onder) in functie van de potentiaalhoogte U . De gebruikte parameters wordengegeven door: EF = 40 meV, M = λso, Ez = 2Ez,c, d = 100 nm en w = 50 nm.De n in de legende duidt het aantal barrières aan.

54

Uit deze figuren kan men afleiden dat de conductantie minimaal is wanneerde energie EF ongeveer overeenkomt met de potentiaalhoogte U , en toeneemtnaarmate het verschil groter wordt. Ook zien we dat de spin- en vallei-polarizatiejuist optimaal zijn indien de energie van de elektronen net iets hoger of net ietslager is dan de hoogte van de potentiaalbarrière. De oscillaties zijn nog eenmanifestatie van de Fabry-Pérot resonanties. Verder zien we dat de polarizatiebeter is voor meerdere barrières.Vervolgens plotten we deze 3 waarden als een functie van het elektrisch veld

en de magnetizatie, de twee parameters die het energiespectrum manipuleren.

Figuur 22: Conductantie (boven), spin-polarizatie (links onder) en vallei-polarizatie(rechts onder) in functie van de elektrische veldsterkte en de magnetizatie.Gebuikte parameters zijn: EF = 40 meV, U = 50 meV, d = 100 nm en w = 50nm. De conductantie is uitgedrukt in (10−3 e2/h).

Aan de conductantie in figuur 22 zien we dat deze toeneemt naarmate demagnetizatie toeneemt. Dit is logisch aangezien de magnetizatie de energie

55

van de elektronen verhoogt of verlaagt, en de energie dus verder weg brengtvan potentiaalhoogte U , wat de conductantie doet toenemen, zoaals we gezienhebben in figuur 21. We zien opnieuw dat voor een te grote waarde van deelektrische veldsterkte de conductantie nul wordt. Dit kan men gebruiken omaan de hand van het elektrisch veld de stroom aan of uit te zetten. Dit noemtmen in het Engels ’electric-field controlled switching’ [4]. De spin-polarizatieis een even functie van de veldsterkte en een oneven functie van de magnetiza-tie. Voor M = 0 is deze polarizatie dan ook nul. De vallei-polarizatie is eenoneven functie van zowel de magnetizatie als de elektrische veldsterkte, en isdan ook nul wanneer M = 0 of Ez = 0. Verder zien we dat de spin-polarizatieafneemt voor een elektrische veldsterkte in de buurt van de kritische veldsterkte±Ez,c. Rond deze waarde is de bandkloof zo klein dat beide spin-toestanden eenhoge transmissiewaarschijnlijkheid hebben voor loodrechte transmissie (Klein-tunneling). Als een gevolg hiervan is de spin-polarizatie minder uitgesprokenrond deze veldsterkte.Voor meerdere barrières is de stroom sterker gepolarizeerd en neemt de con-

ductantie af. De resultaten voor drie en tien barrières zijn weergegeven in devolgende figuren.

56

Figuur 23: Conductantie (boven), spin-polarizatie (midden) en vallei-polarizatie(onder) in functie van de magnetizatie en de elektrische veldsterkte voor drie(links) en tien (rechts) barrières. Gebuikte parameters zijn: EF = 40 meV,U = 50 meV, d = 100 nm en w = 50 nm. De conductantie is uitgedrukt in(10−3 e2/h).

57

Op bovenstaande figuren zijn met de witte symbolen ’x, + en ∗’drie verschil-lende vallei-polarizaties aangeduid (-1, 0 en 1) voor een constante magnetizatiedie gepaard gaan met een sterkte spin-polarizatie en een voldoende grote con-ductantie. Dit illustreert dat we vrij elke combinatie van de spin-(-1 of 1) envalleipolarizatie (-1, 0 of 1) kunnen kiezen door de parameters juist te kiezen.Tenslotte kunnen we kijken naar de invloed van de breedte van de barrières,

d, en de afstand tussen de barrières, w. De resultaten zijn weergegeven infiguur 24 en 25. Hierop zien we dat de breedte van de barrière geen belangrijkeparameter is voor de polarizaties. Dit is een belangrijke observatie, aangezien wewel een aanzienlijke verbetering zien in de vallei-polarizatie binnen de regio waarde conductantie voldoende hoog is. Het lijkt dus effi cienter om te werken meteen serie barrières dan met één brede barrière. Verder zien we wat oscillaties tengevolge van het feit dat het variëren van de breedte de Fabry-Pérot resonantiesveplaatsen in het (E,k)-vlak. Deze oscillaties zijn gelijkaardig voor verschillendeaantallen barrières. Ook de afstand van de barrières geeft geen belangrijkebijdrage. Deze parameter verandert de extra resonanties die we vonden voormeerdere barrières. Deze zijn sterk uitgesproken voor 2 barrières, en nemensterk af als het aantal barrières verder toeneemt. Voor tien barrières is defrequentie van de oscillaties zo klein dat ze op de getoonde schaal niet zichtbaarzijn. Dit komt overeen met onze observaties bij de transmissieplots.

58

Figuur 24: Conductantie (boven), spin-polarizatie (midden) en vallei-polarizatie(onder) in functie van de barrièrebreedte. De gebuikte parameters zijn: EF = 25meV, U = 50 meV, M = λso, Ez = 2Ez,c en w = 50 nm.

59

Figuur 25: Conductantie (boven), spin-polarizatie (midden) en vallei-polarizatie(onder) in functie van de afstand tussen de barrières. De gebuikte parameterszijn: EF = 25 meV, U = 50 meV, M = λso, Ez = 2Ez,c en d = 100 nm.

60

Constructie van twee barrières Tot nu toe hebben we ons beperkt tot eenherhaling van identieke barrières. Het is echter ook interessant om te kijken naareen constructie van twee barrières met verschillende breedtes en verschillendemagnetizaties. De resultaten zijn weergegeven in figuur 26:

Figuur 26: Conductantie (boven), spin-polarizatie (links onder) en vallei-polarizatie(rechts onder) in functie van de magnetizatie van de eerste en de tweede bar-rière. Gebruikte parameters zijn: EF = 40 meV, U = 50 meV, Ez = 2Ez,c,d1 = d2 = 100 nm en w = 50 nm. De conductantie is uitgedrukt in (10−3 e2/h).

Voor kleine magnetizaties blijkt de spin-polarizatie optimaal wanneer debarières dezelfde magnetizatie hebben. Wanneer de magnetizaties echter beidensterker worden dan 5 λso, verdwijnt de spin-polarzatie. De spin-polarizatie blijftwel goed indien één van de magnetizaties deze grens niet overschrijdt. Verder

61

zien we dat zowel de spin- en de vallei-polarizatie nul worden indien de tweemagnetizaties even groot zijn maar een tegengesteld teken hebben. Om zoweleen goede spin- als vallei-polarizatie te krijgen lijkt de meest praktische oplossingom de barrières dezelfde magnetizatie M1 = M2 = λso te geven.

Figuur 27: Conductantie (boven), spin-polarizatie (links onder) en vallei-polarizatie(rechts onder) in functie van de breedte van de eerste en de tweede barrière. Ge-bruikte parameters zijn: EF = 40 meV, U = 50 meV, Ez = 2Ez,c, M1 = M2 =λso en w = 50 nm. De conductantie is uitgedrukt in (10−3 e2/h).

De beste conductantie wordt uiteraard gevonden voor dunne barrières, maarhier gaat geen goede spin- of valleipolarizatie mee gepaard. Voor optimale po-larizaties met deze opstelling lijkt de beste keuze om twee even brede barrières

62

te kiezn met breedtes tussen 90 en 150 nm. De breedte die we tot nu toe voorde barrières gekozen hebben ligt in deze regio.

4.4 Superroosterpotentiaal

Het volgende deel is geïnspireerd door referenties [27][28]Nu beschouwen we een superrooster bovenop ons materiaal met de periodis-

che eenheid afgebeeld in figuur 28.

Figuur 28: periodische eenheid van het superrooster met potentiaalhoogte U ,barrièrebreedte d2 en barrière-afstand d1.

Aan de hand van deze potentiaal-eenheid kunnen we een oneindig super-rooster aanleggen door er periodische randvoorwaarden aan op te leggen. Vol-gens de Bloch theorie kunnen we zeggen dat de golfvector continu moet zijn aande randen op een fasefactor na. Samen met de continuïteitsvoorwaarde aan depotentiaalstap hebben we dus de volgende randvoorwaarden:

Ψ(0−) = Ψ(0+) (145)

Ψ(d2) = Ψ(−d1)eik(d1+d2) .

Zoals eerder kunnen we deze golffunctie beschrijven in de matrixnotatie:

Ψj = PjEj(x)Cj . (146)

In deze notatie kunnen we de randvoorwaarden herleiden tot de volgenderelatie tussen de coëffi cienten C1 en C2:

C1 = P−11 P2C2 (147)

C1 = E−11 (−d1)P−1

1 P2E2(d2)e−ikdC2 .

Hieruit volgt dat

(P−11 P2E2(d2)e−ikd − E1(−d1)P−1

1 P2)C2 = 0 . (148)

63

waarbij d = d1 + d2. Dit stelsel vergelijking heeft een niet-triviale oplossingindien de determinant nul is:

det(P−11 P2E2(d2)e−ikd − E1(−d1)P−1

1 P2) = 0 . (149)

Dit reduceert zich tot de volgende vergelijking:

cos((d+ w)k) = cos(wkx) cos(dqx) + F sin(wkx) sin(dqx) . (150)

Indien we deze vergelijking oplossen vinden we een nieuwe dispersierelatie E(k)voor siliceen met een superrooster. De numerieke oplossingen hiervoor zijnhieronder weergegeven:

Figuur 29: Dispersierelatie E(k,ky) voor spin-up (links) en spin -down (rechts)elektronen bij het K punt van siliceen met een superrooster. Voor het K’puntzijn de resultaten voor spin-up en spin-down opnieuw omgekeerd. Slechts deeerste twee banden zijn getoond.

We zien onmiddelijk dat deze dispersierelatie extra Diracpunten vertoont dieeen gesloten bandkloof hebben bij de kritische veldwaarde, als gevolg van de ex-tra periodiciteit van het systeem, vergeleken met vrij siliceen. Deze periodiciteitbeperkt zich tot de kx-component omdat de barrières periodisch voorkomen inde x-richting. Voor de relatie E(ky) is er ook iets veranderd: voor lage ky is deenergie niet altijd lineair in ky maar is deze afhankelijk van de kx-component.Voor bepaalde waarden gedraagt een elektron in dit systeem zich dus niet alsvrij deeltje in de y-richting. Voor hoge ky vinden we wel opnieuw de lineairerelatie E ∝ ky. De energiebanden zijn, tegenover vrij siliceen, ook verschovenmet de helft van de potentiaalsterkte, nl. U/2.De dispersierelatie inclusief de hogere energiebanden zijn hieronder weergegeven,

waarbij ky, Ez en M gevarieerd zijn om het gedrag hiervan te onderzoeken.

64

Figuur 30: (a) Dispersierelatie E(k,ky) voor spin-down elektronen bij het Kpunt van siliceen met een superrooster voor verschillende magnetizaties. (b)Dispersierelatie E(k,ky) voor spin-down elektronen bij het K punt van siliceenmet een superrooster voor verschillende elektrische veldwaarden. (c) Disper-sierelatie E(k,ky) voor spin-up elektronen bij het K punt van siliceen met eensuperrooster voor verschillende ky-waarden. (d) Dispersierelatie E(k,ky) voorspin-down elektronen bij het K punt van siliceen met een superrooster voorverschillende ky-waarden.

We zien dat de magnetizatie en de elektrische veldwaarde een gelijkaardigeffect hebben als op het energiespectrum van vrij siliceen. De magnetizatie ver-hoogt of verlaagt de energiebanden naargelang de spin-toestand, het loodrechtelektrisch veld opent de bandkloof van de eerste banden. Voor de hogere bandenblijven de lokale bandkloven gesloten.We kunnen deze nieuwe dispersierelatie gebruiken om de toestandsdichtheid

te berekenen voor siliceen met een superrooster, die in dit geval gegeven wordtdoor

D(E) =∑n,~k

δ(E − En(~k)) (151)

waarbij n de index is die over de verschillende minibanden loopt. Het numeriekeresultaat is hieronder weergegeven.

65

Figuur 31: Toestandsdichtheid voor siliceen met een superrooster-potentiaal,waarbij spin-up en spin-down toestanden gescheiden worden weergegeven.

Deze DOS heeft, ten gevolge van de superrooster-potentiaal, een soort os-cillerend karakter. De pieken komen overeen met zadelpunten in het energiespec-trum voor kx = 0 en met lokale minima voor kx=π, waar het aantal toestandenophoopt vanwege het afvlakken van de energiebanden. De minima lijken lin-eaire curves te volgen die vertrekken vanuit E = U/2. Het lijkt er dus op dat deenergie van het systeem toegenomen is met U/2 ten gevolge van de superroost-erpotentiaal, en dat de minima nog de DOS van vrij siliceen volgen, die lineairis met de energie, zoals eerder weergegeven in figuur 11.

66

5 Conclusies

Ik heb siliceen bestudeerd aan de hand van een tight binding model in eenbenadering voor lage energie-waarden. Het energiespectrum van siliceen datik met deze Hamiltoniaan heb gevonden vertoont een bandkloof die te manip-uleren is met een elektrisch veld, als een gevolg van de geknikte structuur diede twee verschillende subroosters van siliceen een verschillende hoogte geeft.Voor een kritische veldwaarde Ez,c sluit deze bandkloof voor één spintoestandaan het K-punt en voor de andere spintoestand aan het K’-punt. Wanneer debandkloof gesloten is, wordt, net als bij grafeen, perfecte transmissie voor lood-rechte inval gevonden. Indien het materiaal gemagnetizeerd wordt, verhogende energietoestanden voor de ene spin en verlagen ze voor de andere. Hierdoorzijn de transmissie- en reflectie-eigenschappen doorheen een elektrostatische engemagnetizeerde barrière in siliceen verschillend voor elektronen met verschil-lende spin- en vallei-vrijheidsgraden. Hier wordt gebruikt van gemaakt om eeneffi ciënte spin-valleifilter te creëren, met het oog op toepassingen in de spin-tronica en de valleitronica. Om de transmissie-elektronen zo goed mogelijk tepolarizeren op de gewenste spin- en vallei-vrijheidsgraad, heb ik dit onderzoekvoor het eerst gedaan voor niet enkel één barrière, maar voor series van elkaantal barrières. Het gebruik van meerdere barrières optimalizeert de spin- ende valleipolarizatie maar verlaagt wel de totale conductantie.De transmissiewaarschijnlijkheden vertonen een resonante structuur die af-

hangt van de hoogte en breedte van de potentiaalbarrière, de energie van de in-vallende elektronen en de hoek waaronder de elektronen op de barrière invallen.Voor een enkele barrière is deze resonante structuur beperkt tot een soort Fabry-Pérot resonantie binnen de barrière. De transmissie is dan maximaal indien dehelft van de x-component van golflengte een geheel keer in de breedte van debarrière past. Voor twee barrières zien we bovenop deze resonanties ook andereomstandigheden waarvoor de transmissie maximaal is. Ik ben er als eerste ingeslaagd om de transmissiewaarschijnlijkheid doorheen twee barrière van gelijkebreedte analytisch uit te drukken op zo’n manier dat het duidelijk is aan welkevoorwaarden deze extra resonanties voldoen. Fysisch komt het erop neer dat degolf die doorheen de barrières reist een staande golf vormt binnen het geheel vande twee barrières en de ruimte ertussen. Deze resonanties zijn dan ook sterkafhankelijk van de breedte van de barrières en de afstand tussen de barrières.Voor hogere aantallen barrières zien we ook een gelijkaardige resonantie maarde tranmissiewaarschijnlijkheden die hiermee gepaard gaan zijn laag en het be-lang hiervan neemt verder af naarmate het aantal barrières toeneemt. Voortien barrières lijken deze al volledig verdwenen. Ik heb ook als eerste de trans-missiewaarschijnlijkheden onderzocht waarbij de spin van het elektron verandertten gevolge van spin-orbitaal interacties. De koppeling tussen de verschillendespin-toestanden wordt vaak verwaarloosd, maar aangezien ik in dit onderzoekmijn focus leg op de spin van de elektronen wilde ik hier toch wat dieper op in-gaan. Ik heb gevonden dat de kans dat de spin verandert bij transmissie zelfs bijeen sterke magnetizatie vrij klein is (∼ 10−3) en dat deze, althans voor siliceen,niet bijdraagt tot de spin-polarizatie.

67

Aan de hand van de tranmissies met behoud van spin heb ik de conduc-tantie doorheen de barrières berekend, een maatstaaf voor het totaal aantalelektronen dat doorheen de barrières geraakt die ook experimenteel gemetenkan worden. Aangezien deze conductanties verschillend zijn voor elektronenmet verschillende spin- en vallei-vrijheidsgraden, heb ik daarmee ook de spin-en de vallei-polarizatie van de doorgelaten elektronen kunnen berekenen, enheb ik deze ook kunnen bestuderen in functie van de verschillende parameters,waardoor ik exact heb kunnen vinden waar de polarizaties van afhangen enonder welke omstandigheden deze optimaal zijn. De spin-polarizatie hangt afvan het teken van de magnetizatie en is optimaal wanneer de energie van deelektronen net iets hoger of net iets lager is dan de hoogte van de potentiaalbar-rière. Als een direct gevolg hiervan blijkt dat ook de magnetizatie niet te sterkmag zijn, omdat de energie van de elektronen dan sterker kan verschillen vande potentiaalhoogte. De vallei-polarizatie is slechts optimaal onder specifiekeomstandigheden, maar kan gecontroleerd worden aan de hand van de sterktevan het elektrisch veld. Voor een te sterk elektrisch veld wordt de conductantienul, wat ook zijn nut heeft voor bijvoorbeeld transistortechnologie. De verschil-lende polarizaties veranderen niet veel in functie van de barrièrebreedte en deafstand tussen de barrières. De geobserveerde lichte oscillaties zijn een gevolgvan de besproken resonanties. De polarizaties verbeteren wel onder sommigeomstandigheden wanneer het aantal barrières toeneemt.Tenslotte heb ik ook het effect van een superroosterpotentiaal, ofwel een

oneindige reeks één-dimensionale potentiaalbarrières, op siliceen onderzocht.Deze verandert de dispersierelatie en de toestandsdichtheid van siliceen grondig.Er verschijnen extra Diracpunten in de Brillouinzone, de dispersierelatie wordtperiodisch en vertoont een minibanden-structuur. Dit laatste zien we natuurlijkook in de nieuwe toestandsdichtheid. Als een gevolg hiervan vertoont de nieuwetoestandsdichtheid verschillende pieken waar energietoestanden zich ophopen,in tegenstelling tot de toestandsdichtheid van vrij siliceen, die, in de gebruiktebenadering, grotendeels lineair is met de absolute waarde van de energie.Ik heb er dus voor gezorgd dat de resonante structuur doorheen verschillende

barrières beter begrepen en, in het geval van twee barrières, zelfs voorspelbaaris, en ik heb omstandigheden gevonden waarvoor er met siliceen een effi ciëntespin-en vallei-filter te maken is. Indien men de spin-polarizatie wil kunnenkiezen, stel ik voor om met twee parallelgeschakelde barrières te werken mettegengestelde magnetizatie. Aan de hand van het elektrisch veld kan men dande vallei-polarizatie kiezen en eventueel de conductantie naar nul brengen. Watons tot de algemene conclusie brengt dat siliceen een uitstekende kandidaat isvoor spintronica en valleitronica toepassingen.Een verdere studie naar siliceen zou kunnen kijken of deze resultaten over-

dragen wanneer men een stuk siliceen met eindige afmetingen beschouwt, watvaak het geval zal zijn als dit materiaal gebruikt zou worden in nanotechnologie.Dit introduceert namelijk zogenaamde ’edge states’die de situatie zouden kun-nen doen veranderen. Het kan ook interessant zijn om te kijken naar de invloedvan de bekende substraten waar siliceen op gegroeid wordt. Verder is het ookmisschien de moeite waard om te kijken naar wat de invloed is van de termen

68

die we verwaarloosd hebben vanwege de lage buckling van siliceen. Voor germa-neen en staneen is dit namelijk al groter en kunnen deze termen eventueel eenbelangrijke invloed hebben. Voor de spintronica en de valleitronica is het ookinteressant om te bestuderen of we met siliceen elektronen met een bepaaldepolarizatie kunnen opslaan en ook weer kunnen uitlezen. Siliceen is in iedergeval de moeite waard om verder te bestuderen en kan een belangrijke rol gaanspelen in een spannende technologie die nog maar in haar kinderschoenen staat.

69

6 Appendix

6.1 Tweede naaste nabuur benadering

Tot nu toe hebben we ons in de Tight-Binding beschrijving beperkt tot de naastenabuur benadering. We onderzoeken nu of de invloed van de tweede naastenaburen verwaarloosbaar is of een belangrijke invloed heeft. We construeren deHamiltoniaan op dezelfde manier als we eerder hebben gedaan, namelijk volgensde formule ∑

j

cj(−→k )∑−→Rj

ei−→k ·(−→Rj−

−→Ri)γij = E(

−→k )ci(

−→k ) . (152)

Tweede naaste naburen behoren beide tot hetzelfde subrooster, de hopping pa-rameter tussen naaste naburen definiëren we daarom als γAA′ en γBB′ :

H =

(γAA + γAA′g(

−→k ) γABf(

−→k )

γBAf∗(−→k ) γBB + γBB′g(

−→k )

)(153)

waarbij g(−→k ) = g∗(

−→k ) = e−i

−→k ·−→a1 + e−i

−→k ·−→a2 + ei

−→k ·−→a1 + ei

−→k ·−→a2 + e−i

−→k ·(−→a1−−→a2) +

ei−→k ·(−→a1−−→a2). Indien de subroosters onderhevig zijn aan dezelfde potentiaal kun-

nen we opnieuw stellen dat γAA = γBB = 0 en bovendien geldt dat γAB =γBA = γ en γAA′ = γBB′ = γ′. De vereenvoudigde Hamiltoniaan is dan

H =

(γ′g(−→k ) γf(

−→k )

γf∗(−→k ) γ′g(

−→k )

). (154)

We willen deze Hamiltoniaan opnieuw tot eerste orde ontwikkelen rond eenDirac-punt. Hiervoor herschrijven we eerst de structuurfunctie g(

−→k ) en vervol-

gens ontwikkelen we een Taylor-reeks voor deze functie rond−→K+ =.

(4π

3√

3a, 0)

g(−→k ) = 2(cos(

−→k · −→a 1) + cos(

−→k · −→a 2) + cos(

−→k · (−→a 1 −−→a 2)) (155)

= 4 cos(

√3a

2kx) cos(

3a

2ky) + 2 cos(

√3akx)

≈ g(−→K+) +

((kx −Kx)

∂g

∂kx+ (ky −Ky)

∂g

∂ky

)Kx,Ky

≈ −3 .

De benaderde Hamiltoniaan wordt dan

H =

(−3γ′ − 3a

2 γ(qx − iqy)− 3a

2 γ(qx + iqy) −3γ′

). (156)

Dit kunnen we vereenvoudigen door te stellen dat γ′ = Xγ.

H = ~vF

(2Xa kx − iky

kx + iky2Xa

). (157)

70

De energie-eigenwaarden van deze Hamiltoniaan zijn

E(−→k ) = ~vF (

2X

a± |k|) (158)

en de eigentoestanden zijn dezelfde als degene die we gevonden hebben voor denaaste nabuur benadering. Het energiespectrum is dus het enige dat verandertdoor de bijdrage van de extra buren. De next nearest neighbour hopping para-meter is zo’n twintig keer kleiner dan die voor de naaste nabuur. De bijdragevan de extra buren is dus in eerste benadering te verwaarlozen.

6.2 Bilaag grafeen

Deze berekeningen over bilaag grafeen zijn geïnspireerd op het werk in referenties[16] en [29].De volgende stap is het onderzoeken van twee lagen grafeen. De meest

stabiele configuratie is die waarbij de A2-atomen van de bovenste laag zich netboven de B1-atomen vand e onderste laag bevinden terwijl de B2-atomen vande bovenste laag niet boven de A1-atomen van de onderste laag liggen. Denieuwe eenheidscel bevat nu 4 niet-equivalente atomen. De roostervectoren −→a1

en −→a2 zijn nog dezelfde als die voor monolaag grafeen, maar er omt nu een extraroostervector −→a3 bij die loodrecht op de andere twee staat. Deze is gedefinieerdals

−→a3 = (0, 0, c0) (159)

waarbij c0 de afstand tussen de twee lagen is.

6.2.1 Tight-binding Hamiltoniaan

De tight-binding gollfunctie voor bilaag grafeen wordt nu bepaald door eensommatie over de 4 atomen in de eenheidscel:

Ψk(−→r ) = cA1(−→k )ΦA1

k (−→r ) + cB1(−→k )ΦB1

k (−→r ) + cA2(−→k )ΦA2

k (−→r ) + cB2(−→k )ΦB2

k (−→r )

=∑ξ

cξ(−→k )Φξk(−→r ) (160)

met de volgende lokale tight-binding functies:

Φξk(−→r ) =1√N

∑j

ei−→k ·−→Rξjφξk(−→r −−→R ξ

j) (161)

zodat

Ψk(−→r ) =1√N

∑ξ

cξ(−→k )∑j

ei−→k ·−→Rξjφξk(−→r −−→R ξ

j) (162)

waarbij−→Rξj de roosterposities voorstellen. De Hamiltoniaan wordt gegeven door:

H = −∑ξ,ζ

tξ,ζ∑〈i,j〉

∣∣∣φξj⟩⟨φζi ∣∣∣ . (163)

71

Om de coëffi ciënten cξ(−→k ) te bepalen projecteren we de golffunctie Ψk(−→r ) op

een eigenfunctie φαl :

E(−→k ) 〈φαl |Ψk〉 = 〈φαl |H|Ψk〉 (164)

= − 1√N

∑ξ,ζ

tξ,ζ∑〈i,j〉

⟨φαl |φ

ξj

⟩⟨φζi

∣∣∣∑

β

cβ(−→k )∑m

ei−→k ·−→Rβm

∣∣∣φβm⟩

= − 1√N

∑ξ,ζ

∑〈i,j〉

∑β

∑m

tξ,ζcβ(−→k )ei

−→k ·−→Rβm

⟨φαl |φ

ξj

⟩⟨φζi |φ

βm

⟩= − 1√

N

∑ξ,ζ

∑〈i,j〉

∑β

∑m

tξ,ζcβ(−→k )ei

−→k ·−→Rβmδα,ξδl,jδζ,βδi,m

= − 1√N

∑ζ

∑i

∑β

∑m

tα,ζcβ(−→k )ei

−→k ·−→Rβmδζ,βδi,m

= − 1√N

∑β

∑m

tα,βcβ(−→k )ei

−→k ·−→Rβm

en

〈φαl |Ψk〉 =1√N

∑ξ

cξ(−→k )∑j

ei−→k ·−→Rξj

⟨φαl |φ

ξj

⟩(165)

=1√N

∑ξ

cξ(−→k )∑j

ei−→k ·−→Rξj δα,ξδl,j

=1√Ncα(−→k )ei

−→k ·−→Rαl

zodat

E(−→k )cα(

−→k ) = −

∑β

∑m

tα,βcβ(−→k )e

i−→k ·(−→Rβm−

−→Rαl

)(166)

=∑β

Hαβ(−→k )cβ(

−→k ) .

Aangezien de Hamiltoniaan Hermitisch moet zijn geldt dat Hαβ = H∗βα. Webeginnen met het herhalen van de structuurfunctie binnen de lagen:

HAB = −t(1 + e−i−→k ·−→a1 + e−i

−→k ·−→a2) (167)

= γ0f(−→k ) .

Bovendien stellen we net als bij monolaag tαα = 0. Vervolgens beschouwen wede overgang tussen de lagen. Dit kan op verschillende manieren, maar we zullenons in eerste benadering beperken tot de overgang langs de z-as tussen roosterB1 en A2, die het dichtst bij elkaar liggen. Aangezien deze overgang enkel

72

binnen de eenheidscel gebeurt, blijven we bij dezelfde roosterpuntpositie−→R ξj en

krijgen we simpelweg

HB1A2 = −tB1A2 (168)

= γ1

waarbij de waarden van de parameters gegeven zijn door γ0 = 3.12 eV enγ1 = 0.377 eV. Bij benadering wordt de Hamiltoniaan dus gegeven door

H =

0 γ0f(

−→k ) 0 0

γ0f∗(−→k ) 0 γ1 0

0 γ1 0 γ0f(−→k )

0 0 γ0f∗(−→k ) 0

. (169)

De eigenwaarden van deze Hamiltoniaan zijn gegeven door

E(−→k ) = ±

(γ1

2±√γ2

0

∣∣∣f(−→k )∣∣∣2 +

(γ1

2

)2). (170)

Dit energiespectrum is weergegeven in figuur 4.

6.2.2 Reductie van de Hamiltoniaan

We hebben al eerder gezien bij monolaag grafeen hoe we de structuurfunctief(−→k ) kunnen ontwikkelen rond de Diracpunten. Dit kunnen we ook toepassen

voor bilaag grafeen. Na ontwikkeling rond het punt Kξ wordt de Hamiltoniaangegeven door

H = ~vF

0 ξkx − iky 0 0

ξkx + iky 0 23a

γ1γ0

0

0 23a

γ1γ0

0 ξkx − iky0 0 ξkx + iky 0

. (171)

Voor kleine energie kan deze 4-bands-Hamiltoniaan gereduceerd worden tot een2-bands Hamiltoniaan. Hiervoor beschouwen de rond K+ ontwikkelde Hamil-toniaan als stelsel van de 4 componenten van de 4-spinor

Ψk =

ψA1

ψB1

ψA2

ψB2

(172)

waarbij we nog voor het noteergemak volgende substituties doorvoeren: ε = E~vF

en σ = 23a

γ1γ0

= γ1~vF

εψA1= (kx − iky)ψB1

εψB1= (kx + iky)ψA1

+ σψA2

εψA2= (kx − iky)ψB2

+ σψB1

εψB2= (kx + iky)ψA2

. (173)

73

Voor kleine energie is ε << σ en kan me de tweede en derde vergelijking be-naderen als

−σψA2= (kx + iky)ψA1

−σψB1= (kx − iky)ψB2

. (174)

Indien we dit in de andere twee vergelijkingen substitueren krijgen weεψA1

= − (kx−iky)2

σ ψB2

εψB2= − (kx+iky)2

σ ψA1

. (175)

Dit komt overeen met de Hamiltoniaan

H = −~2v2F

γ1

(0 (kx − iky)2

(kx + iky)2 0

). (176)

Deze tweebandsbenadering Hamiltoniaan heeft de vorm van de Schrödinger-Hamiltoniaan voor vrije deeltjes −~2k22m . Om deze ananlogie door te trekkenkunnen we een soort massa definiëren:

m =γ1

2v2F

. (177)

Deze Hamiltoniaan is enkel geldig voor een energie veel kleiner dan de parameterγ1 en voor k-waarden in de buurt van het Diracpunt. Een vergelijking vande twee gereduceerde banden met de vier originele banden, in beide gevallenontwikkeld rond een Diracpunt, is weergegeven in Figuur A1.

Figuur A1: Links: Het energiespectrum voor bilaag grafeen voor kx = 0. Rechts:Vergelijking van het vierbands-(blauw) en het tweebandsspectrum (paars) on-twikkeld rond een Diracpunt. We zien duidelijk dat de parabolische tweebands-benadering slechts opgaat voor een energie kleine dan de interlaags hoppingparameter γ1 (wat neerkomt op het energieverschil tussen de bovenste twee ofde onderste twee banden).

74

6.2.3 Spinorgolffuncties

De tweespinor Nu de Hamiltoniaan gekend is kunnen we op zoek naar deeigenvectoren die voldoen aan de Schrödingervergelijking Net als bij monolaagbeschouwen we dit slechts als een één-dimensionaal probleem.

E(−→k )ψA1

= − ~22m (kx − iky)2ψB2

E(−→k )ψB2

= − ~22m (kx + iky)2ψA1

. (178)

Het systeem wordt invariant beschouwt in de y-richting, dus we voeren volgendesubstituties in: kx− > −i ∂∂x , ky− > ky. Vervolgens substitueren we de enevergelijking de andere:

E2ψA1=

(~2

2m

)2

(− ∂2

∂x2+ k2

y)2ψA1(179)(

2mE

~2

)2

ψA1=

(∂4

∂x4− 2

∂2

∂x2k2y + k4

y

)ψA1

.

We vinden dus volgende differentiaalvergelijking van 4de orde:

∂4

∂x4ψA1− 2k2

y

∂2

∂x2ψA1−((

2mE

~2

)2

− k4y

)ψA1

= 0 . (180)

De oplossing is een superpositie van 4 mogelijke exponentiële functies:

ψA1(x) = Aeikxx +Be−ikxx + Ceκxx +De−κxx . (181)

De waarde van kx en κx zijn eenvoudig te achterhalen door respectievelijk deoplossingen eikxx en eκxx in te vullen in de differentiaalvergelijking:

k4x + 2k2

xk2y −

((2mE

~2

)2

− k4y

)= 0 (182)

=⇒ (k2x + k2

y)2 =

(2mE

~2

)2

=⇒ kx =

√2m|E|~2

− k2y

κ4x − 2κ2

xk2y −

((2mE

~2

)2

− k4y

)= 0 (183)

=⇒ (κ2x − k2

y)2 =

(2mE

~2

)2

=⇒ κx =

√2m|E|~2

+ k2y .

75

Indien we nu de Fermi golfvector invoeren, kunnen we kx en ky definiëren aande hand van een hoek φ die de golfvector met grootte kF maakt met de x-as.

2mE

~2= sk2

F = s(k2x + k2

y

)(184)

kx = kF cos(φ) (185)

ky = kF sin(φ)

=⇒ kx + iky = kF eiφ

=⇒ kx − iky = kF e−iφ ,

waarbij s het teken van de energie is, net als bij monolaag grafeen. Vervolgensbepalen we de tweede component van de tweespinor:

ψB2= − ~2

2mE(−i ∂

∂x+ iky)2ψA1

(186)

= − ~2

2mE((kx+ iky)2Aeikxx + (−kx+ iky)2Be−ikxx

+(−iκx + iky)2Ceκxx + (iκx + iky)2De−κxx)

= − 1

sk2F

(k2F e

i2φAeikxx + k2F e−i2φBe−ikxx

−(√k2F + k2

y − ky)2Ceκxx − (√k2F + k2

y + ky)2De−κxx)

= −s(ei2φAeikxx + e−i2φBe−ikxx − hCeκxx − h−1De−κxx

)waarbij

h =

(√1 + sin2(φ)− sin(φ)

)2

(187)

h−1 =

(√1 + sin2(φ) + sin(φ)

)2

.

We vatten de tweespinor samen als een product van matrices analoog aan degenebij monolaag grafeen. De tweespinor heeft opnieuw de vorm

Ψj = PjEjCj (188)

76

waarbij de index j opnieuw wijst op de verschillende golfvectoren binnen ofbuiten een potentiaalbarrière. De matrices zijn gegeven door

Pj =

[1 1 1 1

−sei2φj −se−i2φj shj sh−1j

](189)

Ej =

eikx,jx 0 0 0

0 e−ikx,jx 0 00 0 eκx,jx 00 0 0 e−κx,jx

Cj =

AjBjCjDj

.

De vierspinor We kunnen de eigenvectoren ook zoeken voor de niet-gereduceerdeHamiltoniaan. Het op te lossen stelsel is dan

εψA1= −(i ∂∂x + iky)ψB1

εψB1= −(i ∂∂x − iky)ψA1

+ σψA2

εψA2= −(i ∂∂x + iky)ψB2

+ σψB1

εψB2= −(i ∂∂x − iky)ψA2

. (190)

Substitutie in de tweede en de derde vergelijking levertεψB1

= 1ε (− ∂2

∂x2 + k2y)ψB1

+ σψA2

εψA2= 1

ε (− ∂2

∂x2 + k2y)ψA2

+ σψB1

(191)ψA2

= εσψB1

− 1εσ (− ∂2

∂x2 + k2y)ψB1

εψA2= 1

ε (− ∂2

∂x2 + k2y)ψA2

+ σψB1

en verdere substitutie levert

∂4

∂x4ψB1

+ 2(ε2 − k2y)∂2

∂x2ψB1

+(ε2(ε2 − σ2)− 2ε2k2

y + k4y

)ψB1

= 0 . (192)

Dit is opnieuw een differentiaalvergelijking van vierde orde, wat als algemeneoplossing heeft

ψB1(x) = Aeikxx +Be−ikxx + Ceκxx +De−κxx . (193)

De waarde van kx en κx vinden we opnieuw door het invullen van respectievelijkeikxx en eκxx:

k4x − 2(ε2 − k2

y)k2x + (ε2 − k2

y)2 = ε2σ2 (194)

=⇒ k2x − ε2 + k2

y = εσ

=⇒ kx =√εσ + ε2 − k2

y

77

κ4x + 2(ε2 − k2

y)κ2x + (ε2 − k2

y)2 = ε2σ2 (195)

=⇒ κ2x + ε2 − k2

y = εσ

=⇒ κx =√εσ − ε2 + k2

y .

Aan de hand van het stelsel waarmee we zijn begonnen vinden we dan de overigecomponenten van de vierspinor.

ψA1= (

kx − ikyε

)Aeikxx−(kx + iky

ε)Be−ikxx−(

iκx + ikyε

)Ceκxx+(iκx − iky

ε)De−κxx

(196)

ψA2=

(ε

σ− 1

εσ(k2x + k2

y)

)Aeikxx +

(ε

σ− 1

εσ(k2x + k2

y)

)Be−ikxx (197)

+

(ε

σ+

1

εσ(κ2x − k2

y)

)Ceκxx +

(ε

σ+

1

εσ(κ2x − k2

y)

)De−κxx

=

(ε

σ− 1

εσ(εσ + ε2)

)Aeikxx +

(ε

σ− 1

εσ(εσ + ε2)

)Be−ikxx

+

(ε

σ+

1

εσ(εσ − ε2)

)Ceκxx +

(ε

σ+

1

εσ(εσ − ε2)

)De−κxx

= −Aeikxx −Be−ikxx + Ceκxx +De−κxx

ψB2= −(

kx + ikyε

)Aeikxx+(kx − iky

ε)Be−ikxx−(

iκx − ikyε

)Ceκxx+(iκx + iky

ε)De−κxx .

(198)Dit kan opnieuw geschreven worden als het product van matrices:

Ψj = PjEjCj (199)

met

Pj =

kx,j−iky

εj−kx,j+ikyεj

− iκx,j+ikyεj

iκx,j−ikyεj

1 1 1 1−1 −1 1 1

−kx,j+ikyεj

kx,j−ikyεj

− iκx,j−ikyεj

iκx,j+ikyεj

(200)

Ej =

eikx,jx 0 0 0

0 e−ikx,jx 0 00 0 eκx,jx 00 0 0 e−κx,jx

Cj =

AjBjCjDj

Deze golffuncties beschrijven twee lopende en twee uitdovende golven. Als weechter kijken naar de definitie van κx, zien we dat voor ε > σ, ofwel indien de

78

energie hoger is dan de hopping parameter tussen de lagen (E > γ1), κx imag-inair wordt en we dus geen uitdovende golven hebben, maar vier verschillendelopende golven:

ψB1(x) = Aeik

+x x +Be−ik

+x x + Ceik

−x x +De−ik

−x x (201)

met golfvectoren

k±x =√±εσ + ε2 − k2

y

zodat de vierspinor samen te vatten is als product van de matrices

Pj =

k+x,j−iky

εj−k

+x,j+iky

εj

k−x,j−ikyεj

−k−x,j+iky

εj

1 1 1 1−1 −1 1 1

−k+x,j+iky

εj

k+x,j−ikyεj

k−x,j+ikyεj

−k−x,j−ikyεj

(202)

Ej =

eik

+x,jx 0 0 0

0 e−ik+x,jx 0 0

0 0 eik−x,jx 0

0 0 0 e−ik−x,jx

Cj =

AjBjCjDj

.

6.2.4 Stappotentialen met transfermatrixmethode

Tweebandsbenadering Hamiltoniaan In de tweebandsbenadering bevatde Hamiltoniaan een tweede orde differentiaalvergelijking. Dit heeft als gevolgdat we twee continuïteitseisen hebben aan de rand x = u van de potentiaalstap,namelijk de continuïteit van de golfvectoren en de continuïteit van de eersteafgeleiden.

P1E1(x = u)C1 = P2E2(x = u)C2 (203)

P1d

dxE1(x = u)C1 = P2

d

dxE2(x = u)C2 .

Deze vergelijkingen kunnen we compacter uitschrijven door een nieuwe matrixP’te definiëren:

P ′j =

1 1 1 1

−sei2φj −se−i2φj shj sh−1j

ikx,j −ikx,j κx,j −κx,j−sikx,jei2φj sikx,je

−i2φj sκx,jhj −sκx,jh−1j

(204)

zodatP ′1E1(x = u)C1 = P ′2E2(x = u)C2 . (205)

79

Hiermee kunnen we net als bij monolaag de transfermatrix berekenen:

M1−→2 = E−11 (x = u)P ′−1

1 P ′2E2(x = u) . (206)

Eén-dimensionale stappotentiaal In tegenstelling tot bij monolaag grafeen,is deze transfermatrix te complex om een analytisch resultaat te vinden voor detransmissiewaarschijnlijkheid in bilaag grafeen bij een één-dimensionale poten-tiaalstap. We kunnen deze echter wel nog steeds numeriek berekenen. Indiende energie E hoger is dan de hoogte V van de potentiaal, worden de randvoor-waarden van het probleem gegeven door

1rC1

0

= M1−→2

t00D2

(207)

waarbij genormaliseerd wordt op de rechtslopende invallende golf. De exponen-tiëel uitdovende golf voor de potentiaalstap en de exponentiëel toenemende golfin de stap worden weggelaten omdat deze divergeren respectievelijk voor en nade stap. In dat geval vinden we de transmissie- en reflectiecoëffi ciënten aan dehand van

r =M21M44 −M24M41

M11M44 −M14M41(208)

t =M44

M11M44 −M14M41

waarbij Mij de matrixelementen van de transfermatrix M1−→2 voorstellen. In-dien echter de energie kleiner is dan de potenitaalhoogte, dan is de trnasmissiegolf geen rechtslopende elektronengolf maar een linkslopende gatengolf. Derandvoorwaarden veranderen dan in

1rC1

0

= M1−→2

0t0D2

(209)

zodat de reflectie-en transmissiecoëffi ciënten gevonden worden door

r =M22M44 −M24M42

M12M44 −M14M42(210)

t =M44

M12M44 −M14M42.

De transmissiewaarschijnlijkheid door een potentiaalstap voor de gereduceerdeHamiltoniaan is weergegeven in Figuur A2.

80

Figuur A2: Links: Transmissiewaarschijnlijkheid voor een potentiaalstap methoogte U0 = 0.5γ1. Rechts: Polarplot van de transmissie voor dezelfde potenti-aalstap maar voor verschillende invals-energieën. Blauw: E

U0= 1

2 , paars:EU0

= 45 ,

beige: EU0

= 95 . Bij bilaag grafeen blijkt er dus geen Klein-tunneling meer plaats

te vinden. We zien hier wel tunneling voor bepaalde ky-waarden verschillendvan nul.

Eén-dimensionale potentiaalbarrière Voor een potentiaalbarrière metbreedte d wordt de totale transfermatrix gegeven door

M bar = M1−→2(x = 0)M2−→1(x = d) . (211)

De randvoorwaarden, voor de golven voor en achter de barrière, worden nugegeven door

1rC1

0

= M bar

t00D3

(212)

zodat de reflectie-en transmissiecoëffi ciënten weer gevonden worden door

r =M21M44 −M24M41

M11M44 −M14M41(213)

t =M44

M11M44 −M14M41

waarbijMij nu de matrixelementen van de transfermatrixM bar voorstellen. Degezochte transmissiewaarschijnlijkheid is weergegeven in figuur A3 en A4. We

81

zien opnieuw resonanties voor energieën lager dan de potentiaal, maar nooitvoor loodrechte inval. Ook voor energieën groter dan de potentiaalhoogte zienwe duidelijk resonanties.

Figuur A3: Links: Transmissiewaarschijnlijkheid voor een potentiaalbarrièremet hoogte U0 = 0.5γ1 en dikte. Rechts: Polarplot van de transmissie voordezelfde potentiaalbarrière maar voor verschillende invals-energieën. Blauw:EU0

= 12 , paars:

EU0

= 45 , beige:

EU0

= 95 .

Figuur A4: Links: De transmissie voor bilaag grafeen in functie van de dikte.Rechts: Polarplot van de transmissie voor barrières met verschillende diktesvoor een invalsenergie E = 0.2γ1 en potentiaalhoogte U0 = 0.5γ1.

82

Vierbands Hamiltoniaan In de vierbands Hamiltoniaan staat slechts eeneerste orde afgeleide, zodat continuïteit van de golfvectoren aan de rand van depotentiaalstap de enige continuïteitseis is die we opleggen.

Eén-dimensionale potentiaalbarrière Aan de hand van de matrices diewe eerder hebben gedefinieerd voor de vierspinor, is de transfermatrix voor eenpotentiaalbarrière met dikte d te definiëren als

M bar = M1−→2(x = 0)M2−→1(x = d) (214)

metM1−→2 = E−1

1 (x = u)P−11 P2E2(x = u) . (215)

Dit is opnieuw te complex om analytisch weer te geven. Het nieuwe aan devierbands Hamiltoniaan is dat er nu voor voldoende hoge energie (E > γ1) tweemogelijke rechtslopende golven zijn. Een elektronengolf kan dus van de ene vormnaar de andere overgaan. Dit zorgt ervoor dat we verschillende transmissie enreflectiecoëffi ciënten moeten beschouwen, namelijk transmissie en reflectie metof zonder verandering van golfgetal. Voor een invallende golf met golfgetal k+

x

kunnen we voor voldoende hoge energie de randvoorwaarden als volgt samen-vatten:

1r++

0r+−

= M bar

t++0t+−0

(216)

terwijl de randvoorwaarden voor een invallende golf met golfgetal k−x samengevatworden als

1r−+0r−−

= M bar

t−+0t−−0

. (217)

Indien echter de energie kleiner is dan de interlaag hopping parameter zijn derandvoorwaarden dezelfde als bij de tweebandsbenadering. Let wel op dat deorde van de golven hier anders is. eik

+x x wordt namelijk e−κxx zodat in dit geval

C1 en D3 nul worden. Samengevat vinden we alle mogelijke coëffi ciënten in

83

functie van de transfermatrix-elementen als volgt:

r++ =

M21M33 −M23M31

M11M33 −M13M31(218)

t++ =M33

M11M33 −M13M31

r+− =

M41M33 −M43M31

M11M33 −M13M31Θ(E − γ1)

t+− =−M31

M11M33 −M13M31Θ(E − γ1)

r−+ =M11M23 −M13M21

M11M33 −M13M31Θ(E − γ1)

t−+ =−M13

M11M33 −M13M31Θ(E − γ1)

r−− =M11M43 −M41M13

M11M33 −M13M31Θ(E − γ1)

t−− =M11

M11M33 −M13M31Θ(E − γ1) .

De reflectie- en transmissiewaarschijnlijkheden vinden we dan aan de hand vanvolgende formule

T ξχ =jχx,+(x > d)

jξx,+(x < 0)=

∣∣tξχ∣∣2 kχxkξx

(219)

Rξχ =jχx,−(x < 0)

jξx,+(x < 0)=

∣∣rξχ∣∣2 kχxkξx

.

Wegens symmetrie-overwegingen geldt dat

T+− = T−+ (220)

R+− = R−+ .

Dat gezegd zijnde, zijn alle verschillende waarschijnlijkheden weergegeven infiguren A5, A6 en A7.

84

Figuur A5: Links: Transmissiewaarschijnlijkheid T++ als functie van de energie

en de transversale impuls voor een barrière met een hoogte U0 = 0.5γ1 en dikte20nm. Rechts: Reflectiewaarschijnlijkheid R+

+ als functie van de energie en detransversale impuls voor dezelfde barrière.

Figuur A6: Links: Transmissiewaarschijnlijkheid T−− als functie van de energieen de transversale impuls voor een barrière met een hoogte U0 = 0.5γ1 en dikte20nm. Rechts: Reflectiewaarschijnlijkheid R−− als functie van de energie en detransversale impuls voor dezelfde barrière. Deze en de volgende grafieken zijnslechts gedefiniëerd voor dat deel van (E, ky)-vlak waarvoor k−x reëel is.

85

Figuur A7: Links: Transmissiewaarschijnlijkheid T+− als functie van de energie

en de transversale impuls voor een barrière met een hoogte U0 = 0.5γ1 en dikte20nm. Rechts: Reflectiewaarschijnlijkheid R+

− als functie van de energie en detransversale impuls voor dezelfde barrière.

In de grafieken hierboven onderscheiden we vier verschillende gebieden geschei-den door parabolen. Onderaan zien we bij T+

+ en R++ dezelfde resonanties als we

bij de tweebandsbenadering opmerkten, met ook resonanties in een band voorE>U0. Deze resonanties verdwijnen in de band waar we de meeste transmissieen reflectie zien voor T+

− en R+−. Tenslotte zien we in de hoogste parabool de

waarschijnlijkheden T−− en R−−,die eveneens resonanties vertonen.

6.3 Eén-dimensionale potentiaalputten

De berekeningen voor deze transmissiewaarschijnlijkheden verlopen analoog aandie voor barrières, maar in plaats van een positieve potentiaalhoogte U werkenwe hier met een negatieve diepte −|U |.

86

Figuur A8: Transmissiewaarschijnlijkheden T ↑↑ (links) en T↓↓ .(rechts) doorheen

een enkele potentiaalput. De gebruikte parameters zijn: U = −50 meV, Ez =Ez,c, M = 0 en d = 100 nm.

Figuur A9: Transmissiewaarschijnlijkheden T ↑↑ (links) en T↓↓ .(rechts) doorheen

twee potentiaalputten De gebruikte parameters zijn: U = −50 meV, Ez = Ez,c,M = 0, w = 50 nm en d = 100 nm. Gestreepte lijnen duiden de Fabry-Pérotresonanties in de barrière aan en de stippellijnen de extra resonanties langs hetvolledige barrièresysteem.

87

Figuur A10: Transmissiewaarschijnlijkheden T ↑↑ (links) en T↓↓ .(rechts) doorheen

tien potentiaalputten. De gebruikte parameters zijn: U = −50 meV, Ez = Ez,c,M = 0 en d = 100 nm.

De transmissiewaarschijnlijkheden afgebeeld in figuren A8-A10 vertonen dezelfderesonanties die we bij barrières hebben gezien. Een belangrijk verschil is datde golfvector qx nu reëel is voor alle invalshoeken. Tenslotte zien we bij eengesloten bandkloof nog steeds Klein-tunneling.

88

7 Referenties

[1] Geim, Andre K., and Konstantin S. Novoselov. "The rise of graphene."Nature materials 6.3 (2007): 183-191.

[2] Katsnelson, Mikhail I. "Graphene: carbon in two dimensions." Materialstoday 10.1 (2007): 20-27.

[3] Ezawa, Motohiko. "Valley-polarized metals and quantum anomalous Halleffect in silicene." Physical review letters 109.5 (2012): 055502.

[4] Vargiamidis, V., and P. Vasilopoulos. "Electric-and exchange-field con-trolled transport through silicene barriers: Conductance gap and near-perfectspin polarization." Applied Physics Letters 105.22 (2014): 223105.

[5] Vogt, Patrick, et al. "Silicene: compelling experimental evidence forgraphenelike two-dimensional silicon." Physical review letters 108.15 (2012):155501.

[6] Lalmi, Boubekeur, et al. "Epitaxial growth of a silicene sheet." AppliedPhysics Letters 97.22 (2010): 223109.

[7] Fleurence, Antoine, et al. "Experimental evidence for epitaxial siliceneon diboride thin films." Physical review letters 108.24 (2012): 245501.

[8] Kaloni, T. P., M. Tahir, and Udo Schwingenschlögl. "Quasi free-standingsilicene in a superlattice with hexagonal boron nitride." Scientific reports 3(2013).

[9] Cai, Yongmao, et al. "Stability and electronic properties of two-dimensionalsilicene and germanene on graphene." Physical Review B 88.24 (2013): 245408.

[10] Liu, Hongsheng, Junfeng Gao, and Jijun Zhao. "Silicene on substrates:A way to preserve or tune its electronic properties." The Journal of PhysicalChemistry C 117.20 (2013): 10353-10359.

[11] Hasan, M. Zahid, and Charles L. Kane. "Colloquium: topological insu-lators." Reviews of Modern Physics 82.4 (2010): 3045.

[12] Tao, Li, et al. "Silicene field-effect transistors operating at room tem-perature." Nature nanotechnology 10.3 (2015): 227-231.

[13] Zutic, Igor, Jaroslav Fabian, and S. Das Sarma. "Spintronics: Funda-mentals and applications." Reviews of modern physics 76.2 (2004): 323.

[14] Tsai, Wei-Feng, et al. "Gated silicene as a tunable source of nearly 100%spin-polarized electrons." Nature communications 4 (2013): 1500.

89

[15] Wang, Yangyang, et al. "Silicene Spintronics." arXiv preprint arXiv:1506.00917(2015).

[16] Katsnelson, M. I., K. S. Novoselov, and A. K. Geim. "Chiral tunnellingand the Klein paradox in graphene." Nature physics 2.9 (2006): 620-625.

[17] Peres, N. M. R. "Colloquium: The transport properties of graphene: Anintroduction." Reviews of Modern Physics 82.3 (2010): 2673.

[18] Reich, Stephanie, et al. "Tight-binding description of graphene." Phys-ical Review B 66.3 (2002): 035412.

[19] Stander, N., B. Huard, and D. Goldhaber-Gordon. "Evidence for kleintunneling in graphene p- n junctions." Physical Review Letters 102.2 (2009):026807.

[20] Liu, Cheng-Cheng, Hua Jiang, and Yugui Yao. "Low-energy effectiveHamiltonian involving spin-orbit coupling in silicene and two-dimensional ger-manium and tin." arXiv preprint arXiv:1108.2933 (2011).

[21] Min, Hongki, et al. "Intrinsic and Rashba spin-orbit interactions ingraphene sheets." Physical Review B 74.16 (2006): 165310.

[22] Behera, Harihar, and GautamMukhopadhyay. "First-principles study ofstructural and electronic properties of germanene." arXiv preprint arXiv:1111.6333(2011).

[23] Modarresi, M., et al. "Effect of external strain on electronic structureof stanene." Computational Materials Science 101 (2015): 164-167.

[24] Vargiamidis, V., P. Vasilopoulos, and G. Q. Hai. "Dc and ac transportin silicene." Journal of Physics: Condensed Matter 26.34 (2014): 345303.

[25] Yokoyama, Takehito. "Spin and valley transports in junctions of Diracfermions." New Journal of Physics 16.8 (2014): 085005.

[26] Vargiamidis, V., and P. Vasilopoulos. "Polarized spin and valley trans-port across ferromagnetic silicene junctions." Journal of Applied Physics 117.9(2015): 094305.

[27] Barbier, Michaël, et al. "Dirac and Klein-Gordon particles in one-dimensional periodic potentials." Physical Review B 77.11 (2008): 115446.

[28]Barbier, M., P. Vasilopoulos, and F. M. Peeters. "Extra Dirac points inthe energy spectrum for superlattices on single-layer graphene." Physical ReviewB 81.7 (2010): 075438.

[29] Van Duppen, B., and F. M. Peeters. "Four-band tunneling in bilayergraphene." Physical Review B 87.20 (2013): 205427.

90

8 Paper

De volgende pagina’s bevatten, als afsluiting van deze thesis, een paper waarik, in samenwerking met onder andere mijn promotor, Prof. dr. F. Peeters, enmijn begeleider, B. Van Duppen, mee aan heb kunnen werken. Deze paper zalkort na het indienen van deze thesis ingediend worden bij Physical Review B.Het betreft het onderwerp van deze thesis en is een mooie aanvulling tot ditwerk.Tenslotte wil ik mijn promotor en mijn begeleider nog bedanken om deze

thesis succesvol ten einde te helpen brengen en voor de hulp gedurende deafgelopen twee jaar.

91

Spin- and valley-dependent transport through arrays of ferromagnetic silicenejunctions

N. Missault,1 P. Vasilopoulos,2, ∗ B. Van Duppen,1, † V. Vargiamidis,2, ‡ and F. M. Peeters1, §

1Departement Fysica, Universiteit Antwerpen Groenenborgerlaan 171, B-2020 Antwerpen, Belgium2Department of Physics, Concordia University, Montreal, Quebec, Canada H3G 1M8

We study ballistic transport of Dirac fermions through arrays of silicene barriers, of width d,in the presence of an exchange field M and a tunable potential of height U or depth −U . Awayfrom the Dirac point (DP) the spin- and valley-resolved conductances, as functions of U or M ,exhibit resonances and close to it a pronounced dip that becomes a gap when a critical electric fieldEz is applied. This gap widens by increasing the number of barriers and can be used to realizeelectric field-controlled switching. The spin ps and valley pv polarizations of the current near theDP increase with Ez or M and become nearly perfect above certain of their values. The ranges ofM values in which ps and pv are perfect widens significantly by increasing the number of barriers.Also, ps and pv oscillate nearly periodically with the separation between barriers or wells and canbe inverted by reversing the direction of M .

PACS numbers: 71.70.Di, 72.76.+j, 72.25.-b, 73.43.-f

I. INTRODUCTION

Silicene, a monolayer of silicon atoms forming a two-dimensional (2D) honeycomb lattice, has been predictedto be stable [1] and several attempts have been made tosynthesize it [2, 3]. It has attracted considerable atten-tion [4] because due to its buckled honeycomb lattice, ithas Dirac cones similar to those of graphene but withsome important differences. Contrary to graphene, sil-icene has a strong intrinsic spin-orbit interaction (SOI)which leads to a gap of approximately 1.55 meV wide[5, 6] in the low-energy band structure. The structure isa remarkable property of silicene that graphene does notpossess and can facilitate the control [6, 7] of its band gapby the application of an external perpendicular electricfield Ez. Accordingly, silicene could overcome difficul-ties associated with potential applications of graphenein nanoelectronics (lack of a controllable gap) due to theavailable spin and valley degrees of freedom. This and itscompatibility with silicon-based technology led to studiesof important effects such as the spin- and valley-Hall ef-fects [5, 8–10], the quantum anomalous Hall effect [7, 11],and spin-valley coupling [12] and many more. For a re-view see Ref. 13.

The strong SOI in silicene [14] can lead not only tospin-resolved transport, but also to a cross correlationbetween the valley and spin degrees of freedom. Further,silicon has a longer spin-diffusion time [15, 16] and spin-coherence length [17] compared with graphene [18], thusmaking silicene appear even more suitable for spintron-ics applications, for instance, the very recently reportedfield-effect transistors [19].

∗ p.vasilopoulos@concordia.ca† ben.vanduppen@uantwerpen.be‡ vasileios.vargiamidis@concordia.ca§ francois.peeters@uantwerpen.be

In earlier works several novel features have been stud-ied such as ferromagnetic (FM) correlations [20] and res-onant transport through double barriers [21] in graphene,the conductance [22] across FM strips on the surface ofa topological insulator, and valley and spin transport inFM silicene [23, 24].

More recently the influence of electric and exchangefields on ballistic transport through single [23, 25] anddouble [25] FM barriers on silicene has been studied andnovel results have been reported such as a field dependenttransport gap and near perfect spin and valley polariza-tions. Naturally, one wonders whether a better controlcan be obtained if one uses multiple barriers or wells andhow the reported effects carry over to these systems. Toour knowledge this has not been done and is the subjectof this study.

The main findings of this work are as follows. We con-firm the development of a gap in the charge conductancegc not only as a function of U [25] but also as a func-tion of the strength M of the FM field which widens byincreasing the number of barriers. We also quantify thespin and valley polarizations and show that the ranges ofM in which they are near perfect widen significantly byincreasing the number of barriers. In addition, we showthat for wells the conductance gc oscillates with M butthe polarizations are much smaller than those for barri-ers. All these quantities oscillate nearly periodically withthe separation between barriers or wells.

The paper is organized as follows. In Sec.II we presentthe calculation of the spin- and valley-resolved conduc-tance through a FM junction in silicene and show thatthe charge conductance can be controlled with Ez. InSec.III we discuss the effects of the exchange field on thecharge, spin, and valley transport through one or severalbarriers or wells. We conclude with a summary in Sec.IV.

2

II. TRANSPORT THROUGH A FM JUNCTION

We study ballistic electron transport across a FM stripin silicene with a metallic gate above it which extendsover a region of width d (see Fig.1(a)). The effectiveHamiltonian of low-energy fermions is given by [14]

Hη = ~υF (τxkx − ξτyky) + ∆ξszτz + U − szMI; (1)

here η = ±1 distinguishes between the two valleys, K andK ′, ∆ξsz = ∆z − ξszλso, and υF ≈ 5 × 105 m/s is theFermi velocity. The first term in Eq. (1) is the familiarDirac-type Hamiltonian. The second term describes theintrinsic SOI in graphene through λso, and controls theSOI gap through the perpendicular electric field term∆z = e`Ez with 2` ≈ 0.46 A the vertical separation ofthe two sublattices that is due to the buckled structure.The second term, and hence the band gap, is suppressedif the electric field is at its critical value of Ec = λso/`. Inthis case in each valley one of the two spin componentswill get a gapless linear spectrum as shown in Fig. .... The third term represents the barrier potential due tothe gate voltage, and in the last term M is the exchangefield due to a FM film and I the identity matrix. Further,sz = ±1 represents spin-up (↑) and spin-down (↓) states,and τi are the Pauli matrices of the sublattice pseudospin.

In Fig. ... we show the energy spectra correspondingto the Hamiltonian in Eq. 1 and the influence of thetunable parameters Ez and M on it. This figure showsthe concept of the polarization mechanism discussed inthis work. Indeed, tuning the electric and exchange fieldslocally affects the energy spectrum and with it the pos-sibility for modes of a certain spin and valley type topropagate at a given Fermi level. Tuning the Fermi levelin regions where only some types of carriers are propa-gating, allows for the selection these types and leads tospin or valley polarization.

A. Transmission and resonances

The eigenfunctions of Eq. (1) in regions I, II, and IIIcan be written in terms of incident and reflected wavesand are matched at the interfaces of between these re-gions. The calculation is based on the one presented inRef. 26 and its details are given in the appendix. Withaccount taken of the translational symmetry along the yaxis, the transmission through a single barrier takes theanalytical form

Tηsz (kx, ky) =1

1 + sin2(dqx)[F 2(kx, qx, ky)− 1

] , (2)

where

F (kx, qx, ky) =k2xε

2b + q2xε

2o + k2y(εb − εo)2

2kxqxεbεo, (3)

where εb = E − U − szMb + λso + szηEz,bl and εo =E − szMo + λso + szηEz,ol. The subscripts b and w

x

III IIIy

x

U,M

III III

d

V(x)

(a)

(b)

... x

...

x

x

V(x)

d w

w

(c)

V(x)

(d)

V(x)

(e)

FIG. 1. (a) Schematics of a barrier of width d impinged bya particle with angle of incidence θ and angle of refraction

φ. The vectors ~k and ~q represent the wave vectors inside andoutside the barrier respectively. (b) Potential profile of thebarrier where U denotes the height of the barrier and M theinduced exchange field in the barrier region. (c) Potentialprofile for a double barrier system with inter-barrier separa-tion w. (d) and (e) Set of identical barriers and wells withwidth d and separation w.

indicate the corresponding quantities in the barrier (b)and outside it (o). Eq.2 is slightly more general thanthat of Refs. [23, 25] because the fields Ez and M arepresent in the entire structure whereas in Refs. [23, 25]are present only in the barriers. It reduces to this resultfor Ez = M = 0 outside the barrier. Notice that forqxd = nπ, n integer, the transmission is perfect. TheseFabry-Perot resonances occur when half the wavelengthof the wave inside the barrier fits inside the barrier widthn times.

A considerable simplification of Eq. (2) occurs at nor-mal incidence (ky = 0):

Tηsz (kx, 0) =1

1 + sin2(dqx)(α− α−1)2/4, (4)

where α = kεb/qεo. From this analytical result the differ-ence with the graphene result T = 1 is clear. Due to theSOI and the field Ez the factor α differs from 1. SettingEz = λso = 0, one obtains α = 1 and therefore the wellknown graphene result T = 1 no matter what the widthd of the barriers is. This unimpeded tunneling at normalincidence, called the Klein tunneling effect, is also foundin silicene if the electric field is tuned to its critical valueEz,b/o = Ec. In this case however only the spin-up (spin-down) electrons at the K-point (K’-point) experience theKlein effect. The origin of this partial Klein tunnelingcan be found in Eq. (2) where in that case the conditionF 2(kx, qx, 0) = 1 is fulfilled.

The two barriers transmission probability can also becalculated as

T (2)ηsz (kx, ky) =

1

1 + sin2(dqx)(F 2 − 1)4R2ε

, (5)

Rε = cos(wkx) cos(dqx) + F sin(wkx) sin(dqx). (6)

3

This reduces to the single barrier transmission with widthd to 2d when the barrier separation width w = 0. Againthe function F will be responsible for Klein tunneling atnormal incidence. Because both barriers are consideredto be of the same width, the single barrier resonances arepertained. The added factor defined in Eq. (6) howeverallows for an additional resonance pattern which corre-sponds to a resonance over the total double barrier sys-tem.

For n barriers the transmission amplitude is given by

t(n)ηsz =[e−ikxl(cos(dqx) + iF sin(wkx))n

−Θ(n > 1)eikxlin sinn(dqx)Gn−2(F 2 − 1)]−1

,(7)

l = (n− 1)w + (n− 2)d, (8)

G =(iky(εo − εb) + kxεb)

2 − q2xε2o2kxqxεbεo

. (9)

For more than two barriers the additional resonances thatoccurred in the two barriers case fade away but the singlebarrier Fabry-Perot resonances become sharper.

B. Conductance and polarizations

The spin- and valley resolved conductance is definedas

gszη = g0

∫ π/2

−π/2Tszη(θ)E cos θ, dθ (10)

where g0 = e2kFLy/2πh and Ly is the length of the bar-rier along the y direction. The total conductance is ob-tained by summing Eq. (10) over η and sz.

Making use of the measurable conductance, we candefine the spin polarization as

ps =(g↑K + g↑K′)− (g↓K + g↓K′)

g↑K + g↓K + g↓K′ + g↑K′, (11)

which equals ±1 if the electrons are fully polarized inthe up (down) mode. Analogously we define the valleypolarization by

pv =(g↑K + g↓K)− (g↑K′ + g↓K′)

g↑K + g↓K + g↓K′ + g↑K′. (12)

Here pv = ±1 corresponds to a current that is localisedcompletely in the K (K’) valley.

III. NUMERICAL RESULTS

We first present results for transmission, conduc-tance, and spin and valley polarizations through oneor several barriers and then those for one or several wells.

A. Barriers

In Fig. 2 we present (E, θ) contour plots of the spinresolved transmission through one, two, and ten barriersin the 1st, 2nd, and 3rd row, respectively, at the K val-ley. The left (right) column is for spin-up (spin-down)electrons. The electric field is chosen to be the criti-cal field as discussed in the previous part. Accordingly,the spin-down electrons have a gapless and linear energyspectrum and therefore for normal incidence (θ = 0) thetransmission for this state is 1 following the Klein tunnel-ing effect. Since the spin-up state’s spectrum still showsa gap, transmission is suppressed in a energy region thesize of the gap around the height of the potential barrier.

Moving to the 2nd row of the figure, for two barriers,one sees the additional resonances we discussed earlier.Remarkably they also appear in the gap, which is becausethey correspond to localized states in the region betweenboth barriers that are trapped due to the gapped state.Note however that they disappear again as we move tothe 3rd row (10 barriers). This is because the additionalresonances appearing for n = 2 are due to a confinementin the total barrier structure and that becomes highlydamped for n = 10. Therefore increasing the numberof barriers renders the resonances sharper and the gap(θ = 0) wider because this is a feature shared by everybarrier individually. The residual transmission seen forthe single barrier case due to near resonance conditionsis exponentially suppressed with the addition of extrabarriers and therefore the resonances are sharper.

The shape of the Fabry-Perot resonances in the (E,θ)-plane can be understood by solving the condition qxd =nπ for the energy. The result for the simplified case whereEz = M = 0 is

E(θ)

V=

sign(V )±√

1 +((

nπvFV d

)2 − 1)

cos2(θ)

cos2(θ). (13)

This relation is shown as dashed lines in Fig. 2. For the

values of n for which(nπvFV d

)2 − 1 is small, the energysolutions become approximately independent of θ, whichcorresponds to horizontal line resonances at low energies.For other values of n the resonant energies behave pro-portional to cos(θ)−2.

Because experimentally one measures the conductanceand not the transmission, in Fig. 3 we show the con-ductance as a function of the field Ez and as a functionof the FM field M for 1, 3, and 10 barriers as indicated.We see that the conductance is symmetric with respect toboth Ez and M , it is reduced by increasing the number ofbarriers, and, perhaps more important, it develops a gap,i.e., it vanishes, when plotted versus M , for very strongfields Ez. This transport gap originates from the energygap in the spectrum induced by the electric field. For onebarrier this is similar to the transport gap of the conduc-tance, plotted versus the energy at the Dirac point [25].If the Fermi level is fixed at the correct value, inside the

4

FIG. 2. (Colour online) (E, θ) Contour plots of the trans-mission probability through 1, 2, and 10 barriers in the 1st,2nd, and 3rd row, respectively. The left (right) column is forspin-up (spin-down) electrons at the K point. The dashedwhite curves show the resonances calculated by Eq. (13) andthe dotted white curves correspond to the solutions of Rε = 0from Eq. (6). In the white region in the left column the trans-mission is undefined due to the lack of propagating states out-side the barrier. Parameters used: d = 100 nm, w = 50 nm,M = 2.5 meV, Ez = Ez,c V/m, and U = 50 meV.

barrier region there are no propagating modes. The ex-change field can then be used to shift the spectra of bothspins to coincide again with the Fermi level. This givesrise to the observed abrupt increase in the conductanceas a function of M . Due to multiple barriers the evanes-cent transmission for states near propagating modes issuppressed and this sharpens and widens the gap.

Because the evanescent tunneling is suppressed withthe number of barriers, the spin ps and valley pv polar-izations are altered as plotted in Fig. 4 versus M . Againfor one barrier this is similar to the ps or pv results (versus

FIG. 3. (a) and (b) Conductance through n barriers versuselectric field for M = 2.5 meV and M = 10 meV respectively.(c) and (d): Conductance versus M for electric field Ez =Ez,cand Ez = 5Ez,c, respectively. Other parameters: d = 100nm, w = 50 nm, U = 50 meV and E = 40 meV.

U/EF ) of Ref. [25]. Notice, though, that the M rangesof near perfect ps and pv increase with the number ofbarriers.

In Fig. 5 we show the dependence of the conductance,spin and valley polarization on the exchange and elec-tric field. The results show that it is possible to achieveindependently a strong spin and valley polarization de-pending on which combination of electric and exchangefields are considered. For example for the position of thecross, the current is polarized in the K’ valley (pv = −1)but also only consists of spin-up particles (px = 1). Theuse of multiple barriers makes this polarization more pro-nounced. The maps in Fig. 5 enable one to pick the de-sired spin and valley polarization by tuning the electricand exchange fields.

We can also exploit the additional degree of freedomgiven by the inter-barrier width w to tune polarization.In Fig. 6 we show a (d,w) contour plot of the conduc-tance and polarizations for 2 barriers. As shown, increas-ing the barrier width d has a progressively detrimentaleffect on the conductance. But thanks to the periodicdependence of all these quantities at appropriate valuesof d it is possible to realize pure spin polarization for avalley mixed state as indicated in Fig. 6.

We further explore the spin and valley polarizationsby changing the magnetization of the two barriers inde-pendently at fixed barrier width d as shown in Fig. 7. (M1,M2) and changing the barrier width at fixed ex-change field as shown in Fig. 8. In the first plot M1

5

FIG. 4. Spin and valley polarizations through n barriers ver-sus exchange field M . Parameters used: d = 100 nm, w = 50nm, Ez = 5Ez,c , E = 40 meV and U = 50 meV

FIG. 5. (Colour online) Conductance (left),spin (middle) andvalley polarization (right) through 2 (top row) and 10 (bottomrow) barriers as a function of the electric and exchange field.Parameters used: d = 100 nm, w = 50 nm, E = 40 meV andU = 50 meV

and M2 are the FM fields in the first and second barrier,respectively, and in the second d1 and d2 the correspond-ing widths. In either figure the left panels are for theconductance, the central ones for the spin polarization,and right panels for the valley polarization. The centralpanel in Fig. 8 shows a near perfect spin-up polarizationfor a very wide range of d1 and d2. This can becomespin-down polarization if we reverse M . In either casewe have a perfect spin filter, say, for di ≥ 7 nm, i = 1, 2

B. Wells

Formally changing U to −U in Eq. (2) allows us toconsider wells as presented in Fig. 1(e). In Fig. 9 weshow (E, θ) contour plots of the transmission in the pres-ence of 1, 2, and 10 wells. The left (right ) column is forspin-up (spin-down) electrons. As seen, similar to thecase of graphene [28], for certain angles the transmission

FIG. 6. (d,w) contour plot of the conductance (left) through2 barriers, of the spin polarization (centre), and of the valleypolarization (right) for M = 2.5 meV, Ez = 5Ez,c, E = 40meV and U = 50 meV.

FIG. 7. (M1,M2) contour plot of the conductance (left)through 2 barriers, of the spin polarization (centre), and ofthe valley polarization (right). Parameters used: Ez = 2Ez,c,d1 = d2 = 100 nm, w = 50 nm, E = 40 meV and U = 50meV

is periodic in the energy. Similar to the barriers, for thedouble well there is a new resonance pattern appearingand for a large number of wells the resonances becomesharper and only those related to the single well casesurvive. One also sees that the transmission is nearlyperfect for a wider range of angles θ compared to thatfor barriers.

As far as the conductance is concerned, Fig. 10 showsthat its overall behaviour, versus Ez and M , is similar tothat for barriers shown, respectively, in Fig. 3. However,we don’t have a gap, versus M , as that shown in Fig.3 because now the modes are always propagating. Asfor the spin and valley polarizations, they are about oneorder of magnitude smaller than those involving barriersand are not shown.

As a function of the energy, the conductance is shownin Fig. 11 through n barriers on the left and over nwells on the right. Notice the difference in the verticalscales and the overall reduction with increasing n. Forn = 1 the behaviour is similar to that of Refs. [23, 25]for silicene and Ref. [28] for graphene. The reductionwith increasing n can be understood by the fact that forsmaller barriers, not only resonant tunneling leads to thetotal conductance, but also near resonant modes. This

6

FIG. 8. (d1, d2) contour plot of the conductance (left) through2 barriers, of the spin polarization (centre), and of the valleypolarization (right). Parameters used: Ez = 2Ez,c, M1 =M2 = 2.5 meV, w = 50 nm, E = 40 meV and U = 50 meV

results in a smearing of the resonances and central Klein-tunneling related transmission as observed before. In thesystem with multiple barriers or wells, the resonances andcentral ky = 0 transmission are sharpened and these nearresonant modes do not contribute to the conductance anymore, resulting in a diminished conductance.

IV. SUMMARY AND CONCLUSIONS

The use of multiple barrier and well structures allowsfor a new degree of freedom in the search for a tunablevalley and spin polarizator using silicene. The analyticalresults presented in this paper show a complete compre-hension of the resonance structure of silicene multi bar-riers.

We found that for multiple barriers the transport gapas a function of the exchange field is widened becauseof the suppression of nearly propagating modes. Thissame mechanism also sharpens the resonances found inthe single barrier case.

The quantification of the conductance and valley andspin polarization as functions of the applied electric andexchange fields, the length of the barriers and their sep-aration allows for a selection of parameters to tune thedesired spin and/or valley polarization.

Finally we showed that for wells the conductance oscil-lates with the exchange field and that the transport gapobserved for barriers is absent.

ACKNOWLEDGMENTS

This work was supported by the the Canadian NSERCGrant No. OGP0121756 (MT, PV) and by the FlemishScience Foundation (FWO-Vl)(FMP) by a PhD researchgrant to BVD.

The Hamiltonian for silicene with a perpendicular elec-tric field Ez and magnetization M at the K point in the

FIG. 9. Colour online)(E, θ) Contour plots of the transmis-sion through one, two, and ten wells in the 1st, 2nd, and3rd row respectively. The left (right ) column is for spin-up(spin-down) electrons. The dashed white curves show the res-onances calculated by Eq. (13) and the dotted white curvescorrespond to the solutions of Rε = 0. In the white regionin the left column the transmission is undefined due to thelack of propagating states outside the barrier. Parametersused are: d = 100 nm, w = 50 nm, M = 2.5 meV, Ez = 17meV/Aand U = −50 meV

basis φ↑A, φ↓A, φ

↑B , φ

↓B is given by

HK(~k) =

E1(1, 1) iλRak− vF k− 0

−iaλRk+ E1(−1, 1) 0 vF k−vF k+ 0 E1(1,−1) −iaλRk−

0 vF k+ iaλRk+ E1(−1,−1)

(14)

7

FIG. 10. (a) Conductance over n wells versus electric field.(b) Conductance versus M for electric field. The parame-ters are d = 100 nm, w = 50 nm, M = 2.5 meV, Ez = 85meV/Aand U = −50 meV.

FIG. 11. (a) Conductance through n barriers versus electricfield. (b) Conductance over n wells versus M . The param-eters are d = 100 nm, w = 50 nm, M = 2.5 meV, Ez = 85meV/Aand U = −50 meV.

and at the K’ point by

HK′(~k) =

E−1(1, 1) −iλRak− vF k+ 0

iaλRk+ E−1(−1, 1) 0 vF k+vF k− 0 E−1(1,−1) iaλRk−

0 vF k− −iaλRk+ E−1(−1,−1)

(15)

where

Eη(sz, τz) = ηλsoszτz + lEzτz +Mzsz. (16)

We describe the wave functions Ψ with the matrixproduct

Ψj = PjEj(x)Cj (17)

which, for the K point, are given by:

P1 =

1 1 µ µζk1− −ζk1+ ηk2− −ηk2+ξk1+ −ξk1− χk2+ −χk2−ν ν 1 1

, (18)

E1(x) =

eik1x 0 0 0

0 e−ik1x 0 00 0 eik2x 00 0 0 e−ik2x

, (19)

Cj = (Aj , Bj , Cj , Dj)T , (20)

where T denotes the transpose and ki± = ki ± iky, i =1, 2. Also, with aλ = a2λ2R we have

k1 = [k2F1 − k2y]1/2, k2 = [k2F2 − k2y]1/2, (21)

kF1 =[aλE

2+ + v2FE

2− −∆2”

](aλ + v2F )−1/2, (22)

kF2 =[aλE

2+ + v2FE

2+ + ∆2”

](aλ + v2F )−1/2, (23)

∆2” = 2σ√a2λN

2 + aλv2FΩ +N2v4F , (24)

σ = sign[M(∆zE + λsoM)(aλ∆z + v2FM)], (25)

Ω = ∆2zE

2+ + 4∆zEλsoM + (E2

+ + ∆2z)M

2 −M4, (26)

where E2± = E2 ± ∆2

z − λ2so + M2 and N2 =

(∆zE + λsoM)2.

µ =iaλRvF (β − γ)k2F2

αβγ − (a2λ2Rγ + βv2F )k2F2

, (27)

ν =−iaλRvF (β − γ)k2F1

δβγ − (a2λ2Rβ + v2F γ)k2F1

, (28)

ζ =iaλR + vF ν

β, η =

iaλRµ+ vFβ

, (29)

ξ =iaλRν + vF

γ, χ =

iaλR + vFµ

γ. (30)

α = (E − lEz − λso −M)

β = (E − lEz + λso +M)

γ = (E + lEz + λso −M)

δ = (E + lEz − λso +M) (31)

and at the K’ point:

P ′1 =

η′k′1+ −η′k′1− ζ ′k′2+ −ζ ′k′2−1 1 ν′ ν′

µ′ µ′ 1 1χ′k′1− −χ′k′1+ ξ′k′2− −ξ′k′2+

(32)

where k′i± = k′i ± iky, i = 1, 2. The matrix E′1(x) isobtained from E1(x) by changing ki to k′i. Also, k′i andk′Fi are obtained from ki and kFi by the same changefollowed by ∆2”→ ∆2”′.

µ′ =iaλRvF (α′ − δ′)k2F2

β′α′δ′ − (a2λ2Rδ′ + v2Fα

′)k2F2

(33)

ν′ =−iaλRvF (α′ − δ′)k2F1

γ′α′δ′ − (a2λ2Rα′ + v2F δ

′)k2F1

(34)

ζ ′ =iaλR + vF ν

′

α′, η′ =

iaλRµ′ + vFα′

, (35)

ξ′ =iaλRν

′ + vFδ′

, χ′ =iaλR + vFµ

′

δ′. (36)

8

α = (E − lEz − λso −M)

β = (E − lEz + λso +M)

γ = (E + lEz + λso −M)

δ = (E + lEz − λso +M) (37)

α′ = (E − lEz + λso −M)

β′ = (E − lEz − λso +M)

γ′ = (E + lEz − λso −M)

δ′ = (E + lEz + λso +M) (38)

To calculate the transmission through an arbitrarynumber of barriers n, we exploit the following propertyof the transfer matrix through a single barrier at x = x0:

M(x0) = E−11 (x0)P−11 P2E2(x0)E−12 (x0 + d2)

× P−12 P1E1(x0 + d2) = E−11 (x0)M(0)E1(x0) (39)

The transfer matrix through n barriers is constructed as

follows:

Mn = M(0)M(d)M(2d)...M((n− 1)d)

= M(0)E−11 (d)M(0)E1(d)E−11 (2d)M(0)E1(2d)

...E−11 ((n− 1)d)M(0)E1((n− 1)d)

= M(0)E−11 (d)M(0)E−11 (d)M(0)E−11 (d)

...E−11 (d)M(0)E1((n− 1)d)

= M(0)[E−11 (d)M(0)]n−1E1((n− 1)d) (40)

The transmission amplitudes are found by solving thesystem of equations(

1 , r↑↑ , 0 , r↑↓

)T= m

(t↑↑ , 0 , t

↑↓ , 0

)T(41)

where m is the total transfer matrix of the barrier struc-ture and T denotes the transpose of the row vectors.

[1] G. G. Guzman-Verri and L. C. Lew Yan Voon,Phys. Rev. B 76, 075131 (2007); S. Lebegue and O. Eriks-son, Phys. Rev. B 79, 115409 (2009).

[2] P. Vogt, P. De Padova, C. Quaresima, J. Avila,E. Frantzeskakis, M. C. Asensio, A. Resta, B. Ealet,and G. Le Lay, Phys. Rev. Lett. 108, 155501 (2012);A. Fleurence, R. Friedlein, T. Ozaki, H. Kawai, Y. Wang,and Y. Yamada-Takamura, ibid. 108, 245501 (2012).

[3] D. Chiappe, E. Scalise, E. Cinquanta, C. Grazianetti,B. v. Broek, M. Fanciulli, M. Houssa, and A. Molle, Adv.Mater. 26, 2096 (2014).

[4] Z. Ni, Q. Liu, K. Tang, J. Zheng, J. Zhou, R. Qin, Z. Gao,D. Yu, and J. Lu, Nano Lett. 12, 113 (2012); Y. Cai, C.-P. Chuu, C. M. Wei, and M. Y. Chou, Phys. Rev. B 88,245408 (2013); M. Neek-Amal, A. Sadeghi, G. R. Berdiy-orov, and F. M. Peeters, Appl. Phys. Lett. 103, 261904(2013).

[5] C.-C. Liu, W. Feng, and Y. Yao, Phys. Rev. Lett. 107,076802 (2011).

[6] N. D. Drummond, V. Zolyomi, and V. I. F’alko,Phys. Rev. B 85, 075423 (2012).

[7] M. Ezawa, New. J. Phys. 14, 033003 (2012).[8] A. Dyrda l and J. Barnas, Phys. Stat. Sol. RRL 6, 340

(2012).[9] M. Tahir, A. Manchon, K. Sabeeh, and U. Schwingen-

schlogl, Appl. Phys. Lett. 102, 162412 (2013).[10] C. J. Tabert and E. J. Nicol, Phys. Rev. B 87, 235426

(2013).[11] M. Ezawa, Phys. Rev. Lett. 109, 055502 (2012).[12] L. Stille, C. J. Tabert, and E. J. Nicol, Phys. Rev. B 86,

195405 (2012).[13] A. Kara, H. Enriquez, A. P. Seitsonen, L.C. Lew Yan

Voon, S. Vizzini, B. Aufray, and H. Oughaddoub, Surf.Sci. 67, 1 (2012).

[14] C.-C. Liu, H. Jiang, and Y. Yao, Phys. Rev. B 84, 195430(2011).

[15] B. Huang, D. J. Monsma, and I. Appelbaum,Phys. Rev. Lett. 99, 177209 (2007).

[16] Y. Wang, J. Zheng, Z. Ni, R. Fei, Q. Liu, R. Quhe, C. Xu,J. Zhou, Z. Gao, and J. Lu, Nano 07, 1250037 (2012).

[17] S. Sanvito, Chem. Soc. Rev. 40, 3336 (2011).[18] N. Tombros, C. Jozsa, M. Popinciuc, H. T. Jonkman,

and B. J. van Wees, Nature 448, 571 (2007).[19] L.Tao, E. Cinquanta, D. Chiappe, C. Grazianetti, M.

Fanciulli, M. Dubey, A. Molle and D. Akinwande NatureNanotechnology 10, 227 (2015)

[20] H. Haugen, D. Huertas-Hernando, and A. Brataas,Phys. Rev. B 77, 115406 (2008).

[21] J. Milton Pereira, Jr., P. Vasilopoulos, and F. M. Peeters,Appl. Phys. Lett. 90, 132122 (2007).

[22] S. Mondal, D. Sen, K. Sengupta, and R. Shankar,Phys. Rev. Lett. 104, 046403 (2010).

[23] T. Yokoyama, Phys. Rev. B 87, 241409(R) (2013).[24] B. Soodchomshom, J. Appl. Phys. 115, 023706 (2014).[25] V. Vargiamidis and P. Vasilopoulos, Appl. Phys. Lett.

105, 223105 (2014); J. Appl. Phys. 117, 094305 (2015).[26] B. Van Duppen, S. H. R. Sena, and F. M. Peeters,

Phys. Rev. B 87, 195439 (2013)[27] M. Barbier, F. M. Peeters, P. Vasilopoulos, and J. Milton

Pereira, Jr., Phys. Rev. B 77, 1 (2008).[28] J. Milton Pereira, Jr., P. Vasilopoulos, and F. M. Peeters,

Appl. Phys. Lett. 90, 132122 (2007).