Theoretical Examination

Page 1 of 11

වඩා නවැරදතාවය සදහා වවනම ලැවෙන ඉංග‍රස ප ‍රශනන ත‍රය ද යයවන

(T1) True or False - හර වහෝ වැරද Determine if each of the following statements is True or False. In the Summary Answersheet, tick the

correct answer (TRUE / FALSE) for each statement. No justifications are necessary for this question.

පහත සදහන ප‍රකාශන , හර හහෝ වැරද බව තරණය කාරන . ප‍රකාශන වට දදශ වවරද ළතරර හහර හහෝ වැරද බව) සංකෂපත ළතරර පත‍රහේ, දදශ ප‍රනන දංකාය දදරහයන ත හකාශවහ , හර ටකණකන

සටකන කාරන . හෙෙ ප‍රනන ය සදහශ පෙණකෂ, ළතරර සශධශරණකාරණය කරෙ හළතරර ටබශ ගත ආකාශරය ) දවනය හ ශවනහනය.

(T1.1) In a photograph of the clear sky on a Full Moon night with a sufficiently long exposure, the

colour of the sky would appear blue as in daytime.

පර පසහ ශසනවකා ද කා දරග වරශවරණයකෂ සහතව ගත රශත‍ර දහහසන යශයශපයපයකා රශත‍ර දහස දවල කාශටහේ හෙන වල පැහැහයන දැකා ගත හැකා.

(T1.2) An astronomer at Bhubaneswar marks the position of the Sun on the sky at 05: 00 UT every day

of the year. If the Earth's axis were perpendicular to its orbital plane, these positions would trace

an arc of a great circle.

Bhubaneswar හ සට තශරකාශ වදයඥහයකෂ, වසහර සෑෙ ද කා ෙ 05:UT ට ද දහහසන හරහේ

පහටෙ සටකණ කාරය. පෘථවහේ දකෂෂ එහ කාකෂෂ තටය ටමබකා ම, එෙ සනථශ වනශට වෘතතයකා හකාශ සකෂ හචශපයකෂ) සටකන කාරය.

(T1.3) If the orbital period of a certain minor body around the Sun in the ecliptic plane is less than the

orbital period of Uranus, then its orbit must necessarily be fully inside the orbit of Uranus.

සරයයශ සට ‍ශන වටය සහත තටහය හ හර ව ශ එකෂතරශ කඩශ වසනරවකා කාකෂය

කාශටශවරතය, යහර සනහේ කාකෂය කාශටශවරතය වඩශ දඩ ය. එව එහ කාකෂෂය දවහනයයන ෙ සමපරණ හටස, යහර සනහේ කාකෂෂය රට ළහටය යර ය.

(T1.4) The centre of mass of the solar system is inside the Sun at all times.

හසෞරග‍රහ ෙඩටහේ සනකානධ හකෂනද‍රය සෑෙ ව ෙ සරයයශ රට ළහ ශ තත.

(T1.5) A photon is moving in free space. As the Universe expands, its momentum decreases.

හ ශහ ෝ යකෂ වදහසන දවකාශනහේ චට ය හ . වනනවය ප‍රසශරණය හ ම, හ ශහ ෝ හේ ගෙයතශව දඩ හ .

(T2) Gases on Titan - ය න හේ වශයන

Gas particles in a planetary atmosphere have a wide distribution of speeds. If the r.m.s. (root mean square)

thermal speed of particles of a particular gas exceeds 1/6 of the escape speed, then most of that gas will

escape from the planet. What is the minimum atomic weight (relative atomic mass), 𝐴min, of an ideal

monatomic gas so that it remains in the atmosphere of Titan?

ග‍රහහටෝකා වශයහගෝටයකා ත වශය දංශන හේ හ ගයන පළල පරශසයකා වයශපතතව ව හේ. කසයම වශයවකා වශය දංශන හේ තශප හ ගහේ වරග ෙදය ලට ප‍රහ ගය හr.m.s.) ග‍රහහටෝකාහේ වහයෝග හ ගහයන 1/6 වැඩ වැඩ වවහහශත එවය එෙ වශයහ හබශහහශෙයකෂ වශයව ග‍රහහටශහවන දවතවන

තත. ය න වශයහගෝටහේ රැද බය හැක එකා පරෙශණකා පරපරණ වයවකා හideal monatomic

gas)දවෙ පරෙශණකා සනකානධය හ(relative atomic mass, 𝐴min,) කෙකෂද?

Given, mass of Titan 𝑀T = 1.23 × 1023 kg, radius of Titan 𝑅T = 2575 km, surface temperature of

Titan 𝑇T = 93.7 K.

(T3) Early Universe

Cosmological models indicate that radiation energy density, 𝜌r, in the Universe is proportional to

(1 + 𝑧)4, and the matter energy density, 𝜌m, is proportional to (1 + 𝑧)3, where 𝑧 is the redshift. The

dimensionless density parameter, Ω, is given as Ω = 𝜌/𝜌c, where ρc is the critical energy density of the

Universe. In the present Universe, the density parameters corresponding to radiation and matter, are

Ωr0 = 10−4 and Ωm0

= 0.3, respectively.

2

2

2

2

2

10

Theoretical Examination

Page 2 of 11

වනනවය ළතබද ආකාෘ වට දනව වනනවහේ කරණ නකෂ ඝ තවය, 𝜌r යන , (1 + 𝑧)4, සෙශනපශ කා

හ . පදශරථ නකෂ ඝ තවය, 𝜌m, යන (1 + 𝑧)3, සෙශනපශ කා හ . හෙහ z යන රකෂත වසනථශප ය

ය. ෙශ රහත ඝ තව පරශම ය Ω, යන Ω = 𝜌/𝜌c ෙගන හදන ටබ දතර හෙහ 𝜌c යන වනනවහේ

දවධ නකෂ ඝ තවය ය. වරතෙශ වනනවහේ, වකරණ සහ පදශරථ වට දදශ ඝ තව පරශමතන

ළතහවලන Ωr0 = 10−4 සහ Ωm0

= 0.3 හ .

(T3.1) Calculate the redshift, 𝑧e, at which radiation and matter energy densities were equal.

කරණ සහ පදශරථ ඝ තව සෙශ දවසනථශහ ද, රකෂත වසනථශප ය , 𝑧e, ගණ ය කාරන .

(T3.2) Assuming that the radiation from the early Universe has a blackbody spectrum with a

temperature of 2.732 K, estimate the temperature, 𝑇e, of the radiation at redshift 𝑧e.

වනනවහේ මල දවධහේ, වනනවහයන පැමණ වකරණවට කාෘෂනණ වසනර වරණශවලයකෂ හේ යය උපකාලප ය කාර, රකෂත වසනථශප හේ ද, වකරණවට උෂනණතවය තකෂහසනර කාරන

(T3.3) Estimate the typical photon energy, 𝐸ν (in eV), of the radiation as emitted at redshift 𝑧e.

වකරණ සහ පදශරථ ඝ තව සෙශ දවසනථශහ ද, රකෂත වසනථශප ය ගණ ය කාරන .

(T4) Shadows - හසව ැල

An observer in the northern hemisphere noticed that the length of the shortest shadow of a 1.000 m

vertical stick on a day was 1.732 m. On the same day, the length of the longest shadow of the same

vertical stick was measured to be 5.671 m.

Find the latitude, 𝜙, of the observer and declination of the Sun, 𝛿⊙, on that day. Assume the Sun to be a

point source and ignore atmospheric refraction.

උරර දරධහගෝටහේ සට වරකෂෂකායක සරසනව ළහට 1.000 m උස හකාෝවවකා හසව ැලට 1.732 m.

බව දක ටද. එෙ ද හේදෙ හකාෝවහ ෙව ටද දගෙ හසව ැලට වහේ 5.671 m හටස ද ෙව ටද.

වඑෙ ද හයද වරකෂෂකායශ සට දකෂෂශංනය, 𝜙, ද සරයයශ හේ ‍ශන ය 𝛿⊙, ද හසශයන . සරේයය

ලකෂය ප‍රභවවයකෂ හටස ද යහගශලය වරත ේ හ ශගනය හැක තරම කඩශ හටසද සටකාන .

(T5) GMRT beam transit Giant Metrewave Radio Telescope (GMRT), one of the world's largest radio telescopes at metre

wavelengths, is located in western India (latitude: 19∘6′ N, longitude: 74∘3′ E). GMRT consists of 30

dish antennas, each with a diameter of 45.0 m. A single dish of GMRT was held fixed with its axis

pointing at a zenith angle of 39∘42′ along the northern meridian such that a radio point source would pass

along a diameter of the beam, when it is transiting the meridian.

What is the duration 𝑇transit for which this source would be within the FWHM (full width at half

maximum) of the beam of a single GMRT dish observing at 200 MHz?

Hint: The FWHM size of the beam of a radio dish operating at a given frequency corresponds to the

angular resolution of the dish. Assume uniform illumination.

GMRT යන, ම ර තරංග ආයශෙ පරශසහේ හබ , බ හර දනදයශහ ළහ ශ ත (latitude: 19∘6′ N,

longitude: 74∘3′ E), හටෝකාහේ හටශකෙ හරඩහයෝ දහරකෂෂවලන එකාක. වෂනකාමභවය 45.0 ම ර ව දස තන ශ 30 කන GMRT සෙනවත හ . GMRT හ තැට සනථශප ය කාර තතහත, එහ එකෂ දසයකාඑහ දකෂෂය දහසන මදහන ස ත හකාෝණය 39∘42′ ව පර ද ෙධයය හරාශහ උරර දග වන ේ. එෙ වසශ, ටකෂය හරඩහයෝ ප‍රභවවයකෂ ෙධයය හරාශව හරහශ ය ව , එය කෂදමමබහේ වෂනකාමභවය ෙ න යන තත. GMRT එකාතැටයකෂ 200 MHz හ වරකෂෂණය කාර ව , එෙ ප‍රභවවය FWHM හfull width at half

maximum)රට පව කාශ පරශසය 𝑇transit කෙකෂ ද? ඉගය: ද ත සංායශතයකා ද ‍රයශතෙකා ව හරඩහයෝ තැටහේ තරංගහේ FWHM වනශටතවය, තැටහේ හකාෝණකා වහේද ය දනපයප හ . ඒකාශකාර ප‍රදප යකෂ ත බව උපකාලප ය කාරන .

3

3

4

10

10

Theoretical Examination

Page 3 of 11

(T6) Cepheid Pulsations - වසනෆඩ සනතදන

The star 𝛽-Doradus is a Cepheid variable star with a pulsation period of 9.84 days. We make a simplifying

assumption that the star is brightest when it is most contracted (radius being 𝑅1) and it is faintest when it is

most expanded (radius being 𝑅2). For simplicity, assume that the star maintains its spherical shape and behaves

as a perfect black body at every instant during the entire cycle. The bolometric magnitude of the star varies

from 3.46 to 4.08. From Doppler measurements, we know that during pulsation the stellar surface expands or

contracts at an average radial speed of 12.8 km s−1. Over the period of pulsation, the peak of thermal radiation

(intrinsic) of the star varies from 531.0 nm to 649.1 nm.

බ ශ-Doradus තශරකාශව යන, සනපනද කාශටශවරතය ද 9.84කෂ ව හසනෆඩ වචටය තශරකාශවක. හටසත

උපකාලප ය කාරන . තශරකාශව උපරෙ සංහකාෝච ය ව ව හදරය R1 ) එය දප ෙත ව බවත, තශරකාශව උපරෙ ප‍රසශරණය ව ව එය දප හයන හ ව බවත උපකාලප ය කාරන . තශරකාශව එහ හගෝටශකාශර

සනවභවශවහේ ෙ පව බවත, සමපරණ ච‍හේ සෑෙ හෙශහහශතකා ෙ එය පරපරණ කාෘෂනණ වසනරවකෂ හටස

හැසහර බවත උපකාලප ය කාරන . තශරකාශහ හබශහටශම කා වනශටතවය 3.46 ස 4.08 දකෂවශ

වචට ය හ . හඩශපටර මනමවට දනව, සනපනද ය ව කාශටය ර ද. 12.8 km s−1. සශෙශ ය දරය

හ ගයකන, තශරය පෘෂනඨය ප‍රසශරණය හහෝ සංහකාෝච ය හ . සනපනද ය ව කාශටශවරතය රට ද, තශරකාශහ

තශපජ වකාරණහේ උපරෙය 531.0 nm ස 649.1 nm දකෂවශ වචට ය හ .

(T6.1) Find the ratio of radii of the star in its most contracted and most expanded states (𝑅1/𝑅2).

තශරකාශව උපරෙ සංහකාෝච ය සහ උපරෙ ප‍රසශරණය පව දවසනථශහ ද, එහ දරයයන දතර

දනපශතය (𝑅1/𝑅2) ගණ ය කාරන .

(T6.2) Find the radii of the star (in metres) in its most contracted and most expanded states

(𝑅1 and 𝑅2).

තශරකාශව උපරෙ සංහකාෝච ය සහ උපරෙ ප‍රසශරණය පව දවසනථශහ ද, එහ දරයයන හව

හව ෙ හසශයන (𝑅1 and 𝑅2)..

(T6.3) Calculate the flux of the star, 𝐹2, when it is in its most expanded state.

තශරකාශව එහ උපරෙ ප‍රසශරණ දවසනථශහ ත ව එහ ස‍රශවය 𝐹2 ග ය කාරන .

(T6.4) Find the distance to the star, 𝐷star, in parsecs.

තශරකාශව ත දර 𝐷star,, පශහසකෂ වලන හසශයන .

(T7) Telescope optics In a particular ideal refracting telescope of focal ratio 𝑓/5, the focal length of the objective lens is 100 cm

and that of the eyepiece is 1 cm.

එකෂතරශ වරතකා දහරකෂෂයකා ශභය දනපශතය 𝑓/5 ව දතර එහ දවහ හත ශභය දර 100 cm සහ උපහ හත හeyepiece) ශභය දර 1cm හ .

(T7.1) What is the angular magnification, 𝑚0, of the telescope? What is the length of the telescope,

𝐿0, i.e. the distance between its objective and eyepiece?

දහරකෂෂහේ හකාෝණකා වනශට ය 𝑚0 හකාශපෙණ ද? දහරකෂෂහේ දග 𝐿0 හඑ ම උපහ ත සහ දවහ ත දතර දර ) හකාශපෙණ ද?

An introduction of a concave lens (Barlow lens) between the objective lens and the prime focus is a

common way to increase the magnification without a large increase in the length of the telescope. A

Barlow lens of focal length 1 cm is now introduced between the objective and the eyepiece to double the

magnification.

දහරකෂෂහේ දග වනශට වනහයන හව සන හ ශකාර, ලලකා ශභගත ටකෂෂයත දවහ තත දතර දවතට කාශචයකෂ හBarlow lens) තැබෙ ෙගන දහරකෂෂහේ වනශට ය වැඩ කාරගත හැකා. දැන දහරකෂෂහේ

වනශට ය හදගණ කාර ගැනෙ සදහශ ශභය දර 1 cm කෂ ව බරහටෝ කාශචයකෂ එකාකෂ එකාර කාර තතැ ය සටකාන .

7

3

5

5

4

Theoretical Examination

Page 4 of 11

(T7.2) At what distance, 𝑑B, from the prime focus must the Barlow lens be kept in order to obtain this

desired double magnification?

බටශහපශහරශතර ව දවවතව වනශට ය ටබශ ගැනෙ සදහශ, බරහටෝ කාශචය ලලකා ශභය ටකෂෂයහේ ස හකාශපෙ දරකන තැබය යර ද?

(T7.3) What is the increase, Δ𝐿, in the length of the telescope?

දහරකෂෂහේ දග වැඩ වෙ, Δ𝐿, හකාශපෙණ ද?

A telescope is now constructed with the same objective lens and a CCD detector placed at the prime focus

(without any Barlow lens or eyepiece). The size of each pixel of the CCD detector is 10 µm.

දහත ක දවහ තත, ලලකා ශභය ටකෂෂයහේ CCD ද ශවරකායකත තබශ හබරහටෝ කාශචයකෂ හහෝ

උපහනතකන හතශරව) දැන දහරකෂෂයකෂ ත න ටැහේ. CCD ද ශවරකාහේ සෑෙ pixel එකාකා ෙ

වනශටතවය 10 µm හ .

(T7.4) What will be the distance in pixels between the centroids of the images of the two stars , 𝑛p, on

the CCD, if they are 20′′ apart on the sky?

දහහසන ත තර හදකාකෂ එකහ කා 20′′ ඈ න තත ම, CCD ද ශවරකාය රට ඒවශහේ පරතරය pixel වලන හකාශපෙණ ද?

(T8) U-Band photometry

A star has an apparent magnitude 𝑚U = 15.0 in the U-band. The U-band filter is ideal, i.e., it has perfect

(100%) transmission within the band and is completely opaque (0% transmission) outside the band. The

filter is centered at 360 nm, and has a width of 80 nm. It is assumed that the star also has a flat energy

spectrum with respect to frequency. The conversion between magnitude, 𝑚, in any band and flux density,

𝑓, of a star in Jansky (1 Jy = 1 × 10−26 W Hz−1 m−2) is given by

𝑓 = 3631 × 10−0.4𝑚Jy

U-කාටශපහේද තරවකා දෘනය වනශට ය 𝑚U = 15.0 හ . U-කාටශපහේ හපරහ ය පරපරණ එකාක.

එ ම, දදශ කාටශපය ර 100% සමහේෂණය හ . දදශ කාටශපහයන ළ ත කසද සමහේෂණයකෂ සද

හ ශ හ . හපරහ ය 360 nm හ ෙධය ගත කාර ත දතර එහ වසනතශරය 80 nm හ . සෑෙ සංායශතයකෂ සදහශෙ තරහ නකෂ වරණශවලය එකාෙ දගයකෂ ත බව උපකාලප ය කාරන . තරවකා ඕ ෑ ෙ

කාටශපයකා වනශටතවය 𝑚, ස‍රශව ඝ තවය 𝑓 හරවෙ Jansky(1 Jy = 1 × 10−26 W Hz−1 m−2) වලන

𝑓 = 3631 × 10−0.4𝑚Jy හ .

(T8.1) Approximately how many U-band photons, 𝑁0, from this star will be incident normally on a

1 m2 area at the top of the Earth's atmosphere every second?

ආසන වනහයන, හෙෙ තරව වසශ සෑෙ තතපරයකාද ෙ හකාශපෙණ U-band හ ෝහ ෝ ප‍රෙශණයකෂ සශෙශ යහයන පෘථව වශයහගෝටහේ දහට වරග ට ර එකාකා ප‍රහදවනයකෂ රට පත ය

හව වශ ද?

This star is being observed in the U-band using a ground based telescope, whose primary mirror has a

diameter of 2.0 m. Atmospheric extinction in U-band during the observation is 50%. You may assume

that the seeing is diffraction limited. Average surface brightness of night sky in U-band was measured to

be 22.0 mag/arcsec2.

දහත තශරකාශව ෙ හපශ හ ත දහරකෂෂයකෂ ෙගන U-band (U-කාටශපහේ) ද වරකෂෂණය කාරන ටැහේ.

එහ ප‍රධශ දරපණය 2.0 m වෂනකාමභවයකන යකෂත හ . වරකෂෂණ කාශටය රට ද U කාටශපහේ වශයහගෝලය

වහරෝධ ය 50% කෂ හ . දරන ය වෙ වවරත සෙශව ය තව ත බව උපකාලප ය කාරන . U

කාටශපහේ ෙව ටද දහහසන සශෙශ ය ෙරළ දප ය 22.0 mag/arcsec2. හ .

(T8.2) What is the ratio, 𝑅, of number of photons received per second from the star to that received

from the sky, when measured over a circular aperture of diameter 2′′?

2′′ වෂනකාමභවයකෂ සහත වෘතතශකාශර වවරයකන ෙැන ව , තතපරයකෂ ර තශරකාශහවන පැමණ හ ෝහ ෝ ප‍රෙශණය සහ තතපරයකෂ ර දහහසන පැමණ හ ෝහ ෝ දතර දනපශතය

R, හසශයන .

6

4

6

8

8

Theoretical Examination

Page 5 of 11

(T8.3) In practice, only 20% of U-band photons falling on the primary mirror are detected. How many

photons, 𝑁t, from the star are detected per second?

U කාටශපහයන වැහ හ ෝහ ෝ වලන 20% කා ප‍රෙශණයකෂ ප‍රහයෝගකා ව, ප‍රධශ දරපණය

දණශවරණය හ . තතපරයකෂ රට ද දහරකෂෂය දණශවරණය කාරගන ශ, තශරකාශහවන

පැමහණ හ ෝහ ෝ ගණ , 𝑁t, හකාශපෙණ ද?

(T9) Mars Orbiter Mission India's Mars Orbiter Mission (MOM) was launched using the Polar Satellite Launch Vehicle (PSLV) on

5 November 2013. The dry mass of MOM (body + instruments) was 500 kg and it carried fuel of mass

852 kg. It was initially placed in an elliptical orbit around the Earth with perigee at a height of 264.1 km

and apogee at a height of 23903.6 km, above the surface of the Earth. After raising the orbit six times,

MOM was transferred to a trans-Mars injection orbit (Hohmann orbit).

The first such orbit-raising was performed by firing the engines for a very short time near the perigee.

The engines were fired to change the orbit without changing the plane of the orbit and without changing

its perigee. This gave a net impulse of 1.73 × 105kg m s−1 to the satellite. Ignore the change in mass due

to burning of fuel.

2013 හ හවමබර ෙස 5 වැව දශ, ධ‍රැවය චනකාශ දයතකාර යශ ය (PSLV) ෙගන දනදයශහ දගහර

ග‍රහයශ හවත යැව Mars Orbiter Mission හMOM) වයශපෘ ය දයත කාර ටද. MOM හ වයත සනකානධය

හbody +instrument) කහටෝ ග‍රෑම 500කෂ හ . එය රැහග ගය දනධ වට සනකානධය කහටෝ ග‍රෑම 852 කෂ

හ . ආරමභවහේ ද, එය පෘථවය ව ශ දලපසශකාශර කාකෂෂයකා කාකෂෂකා ගත කාර ටද. එය පෘථවය

ආසන හයන ෙ ය ව , උපභඋමකාය ටකෂෂය පෘථව පෘෂනඨහේ ස උස 264.1 km වය. එය පෘථවය ඈ න ය ව , වභමකාය පෘථව පෘෂනඨහේ ස උස 23903.6 km වය. සය වතශවකෂ එහ කාකෂෂය මදන

කරහෙන ද රර ව, එයදනතර දගහර ප‍රකෂහෂනප හ trans-Mars injection) කාකෂෂය හ(Hohmann

orbit) ෙශර කාර ටද.

යශ ය පෘථවය ආසන හයන ෙ ය ව , එෙ ටකෂෂයය ආසන හේ ද, තතපර 42.6 රට එනෙ දහ ය

කරෙ ෙගන ප ම කාකෂෂ මදන කරෙ සද කාර ටද. එහ ද යශ ය ටැබණ ශදවධ ආහ ගය1.73 ×105kg m s−1හ . දනධ දහ ය වසශ සද ව සනකානධ හව ස හ ශසටකාශ හරන .

(T9.1) What is the height of the new apogee, ℎa above the surface of the Earth, after this engine burn?

එනෙ දහ හයන පස, යශ ය පෘථවය ආසන හයන ෙ ය ව , උපභමකාය පෘථව

පෘෂනඨහේ ස උස හකාශපෙණ හ ද?

(T9.2) Find the eccentricity (𝑒) of the new orbit after the burn and the new orbital period (𝑃) of MOM

in hours.

එනෙ දහ හයන පස යශ හේ හMOM), දලත කාකෂෂහේ වහකෂනද‍රතශව හe) සහ දලත කාකෂය කාශටශවරතය පැය වලන හසශයන .

(T10) Gravitational Lensing Telescope

Einstein's General Theory of Relativity predicts bending of light around massive bodies. For simplicity,

we assume that the bending of light happens at a single point for each light ray, as shown in the figure.

The angle of bending, 𝜃b, is given by

𝜃b =2𝑅sch

𝑟

where 𝑅sch is the Schwarzschild radius associated with that gravitational body. We call 𝑟, the distance of

the incoming light ray from the parallel 𝑥-axis passing through the centre of the body, as the “impact

parameter”.

4

14

6

Theoretical Examination

Page 6 of 11

A massive body thus behaves somewhat like a focusing lens. The light rays coming from infinite distance

beyond a massive body, and having the same impact parameter 𝑟, converge at a point along the axis, at a

distance 𝑓𝑟 from the centre of the massive body. An observer at that point will benefit from huge

amplification due to this gravitational focusing. The massive body in this case is being used as a

Gravitational Lensing Telescope for amplification of distant signals.

ආහටෝකාය ද වනශට වසනර ගන ය ව ැටෙකා ටකෂව බව දයනසන යනහේ සශහපකෂෂතශවශදය ෙගන ප‍රකාශන කාරය. හෙහ ද පයපහේ දකෂවශ ත පරද සෑෙ දහටෝකා කරණයකෂෙ එකාෙ සනථශ යකා ද ැටෙකා ටකෂ ව බව උපකාලප ය කාරන . ැමහම හකාෝණය පහත හටස දැකෂවය හැකා.

𝜃b =2𝑅sch

𝑟

හෙහ 𝑅sch යන ගරතවජ වසනරව සෙග සමබනධ Schwarzschild දරයය. r යන, වසනරහ හකෂනද‍රය

හරහශ ය හරාශවත, එෙ හරාශව සෙශනතර ව පැමහණ ආහටෝකා කරණයත දතර දර ය. එය ඝට

පරශම ය“impact parameter” හටස සැටකය හැකා. එෙ වසශ, ද වනශට වසනරවකෂ දරසනථ සංඥශ වසශට කාය කාර ගරතව කාශච දහරකෂෂයකෂ හටස හයශදශගතැ හැකා.

(T10.1) Consider the possibility of our Sun as a gravitational lensing telescope. Calculate the shortest

distance, 𝑓min, from the centre of the Sun (in A. U.) at which the light rays can get focused.

දපහේ සරයයශ ගරතව කාශච දහරකෂෂයකෂ ම සර ෙධයහේ ස ආහටෝකා කරණ ශේගත කාට

හැක දවෙ දර , 𝑓min, කෂෂත‍ර ඒකාකා වලන ග ය කාරන . (T10.2) Consider a small circular detector of radius 𝑎, kept at a distance 𝑓min centered on the 𝑥-axis and

perpendicular to it. Note that only the light rays which pass within a certain annulus (ring) of

width ℎ (where ℎ ≪ 𝑅⊙) around the Sun would encounter the detector. The amplification factor

at the detector is defined as the ratio of the intensity of the light incident on the detector in the

presence of the Sun and the intensity in the absence of the Sun.

දරය a ව කඩශ වෘතශකාශර ද ශවර යකෂ 𝑓min දරකන එකෂසන දකෂෂහේ ෙධයය වන සහ

එය ටමභවකාව තබන ටැහේ. හර ව ශ යම දරකන ළහට ප ට ℎ (where ℎ ≪ 𝑅⊙) ව

වටයශකාශර හපහදසකන තරණය ව ආහටෝකා කර පෙණකෂ ද වර කාය ෙත ප ත ව බව සවවහන කාරගන . සරයයශ සහතව හශ රහතව ද වරකාය ෙත ප තව ආහටෝකා ව‍රතශ දතර දනපශතය ද ශ ර කාහේද වනශට දනපශතය හ .

Express the amplification factor, 𝐴m, at the detector in terms of 𝑅⊙ and 𝑎.

𝑅⊙ සහ 𝑎 තසහරන ද ශවරකාද වනශට දනපශතය 𝐴m, සදහශ ප‍රකාශන යකෂ ටබශ හදන .

(T10.3) Consider a spherical mass distribution, such as dark matter in a galaxy cluster, through which

light rays can pass while undergoing gravitational bending. Assume for simplicity that for the

gravitational bending with impact parameter, 𝑟, only the mass 𝑀(𝑟) enclosed inside the radius

𝑟 is relevant.

ෙනදශකව හපශකරකෂ දසට ත දදර පදශරථ වැව ව ගරතවය වසශ ආහටෝකා කරණ ැමෙකා ටකෂ වය හැක හගශලය සනකානධ වයශප යකෂ සටකාන . ගැ ලව සරට වෙ සදහශ

impact parameter, 𝑟, ව ගරතව ැටෙකෂ සදහශ බටපශනහේ දරය 𝑟 සහත ප‍රහදවනයකෂ රට ත සනකානධය 𝑀(𝑟) පෙණකෂ බව සටකාන .

What should be the mass distribution, 𝑀(𝑟), such that the gravitational lens behaves like an ideal optical

convex lens? ගරතව කාශචය, සතය උතතට දරපණයකෂ හටස හසරෙ සදහශ දවැස සනකානධ වයශප ය කෙකෂද?

8

6

6

Theoretical Examination

Page 7 of 11

ලකණ තනහ ෙැග ලැවෙන දග ‍රශනන වද වමතැ ස පට (T11) Gravitational Waves

The first signal of gravitational waves was observed by two advanced LIGO detectors at Hanford and

Livingston, USA in September 2015. One of these measurements (strain vs time in seconds) is shown in

the accompanying figure. In this problem, we will interpret this signal in terms of a small test mass 𝑚

orbiting around a large mass 𝑀 (i.e., 𝑚 ≪ 𝑀), by considering several models for the nature of the central

mass.

ෙෑතකාද හසශයශගත ගරතව තරංග සේ ල එකා පහත දකෂවශ තත. දප එය, වනශට සනකානධයකෂ ව M ව ශ පරේරෙ ය ව කඩශ පරහේෂකා සනකානධයකෂ ව m හයශදශගවමන ෙධය සනකානධහේ සනවභවශවය පැහැදල කාර සටකාරණ දකාෘ හයශදශ පැහැදල කාරන උතසහ කාරනහ ම.

The test mass loses energy due to the emission of gravitational waves. As a result the orbit keeps on

shrinking, until the test mass reaches the surface of the object, or in the case of a black hole, the innermost

stable circular orbit – ISCO – which is given by 𝑅ISCO = 3𝑅sch, where 𝑅sch is the Schwarzschild

radius of the black hole. This is the “epoch of merger". At this point, the amplitude of the gravitational

wave is maximum, and so is its frequency, which is always twice the orbital frequency. In this problem,

we will only focus on the gravitational waves before the merger, when Kepler’s laws are assumed to be

valid. After the merger, the form of gravitational waves will drastically change.

කඩශ සනකානධය ගරතව තරංග ළ කරදෙ වසශ නකෂ ය ‍ෙහයන ැ ව යය. එෙවසශ කාකෂෂය වසනරහ ෙරළ එ හතකෂ හැකහල - ැතහහශත කාලකහරයකා තරටතෙ සනථශය වෘතතශකාශර කාකෂෂය – ISCO

– ෙත එය. එෙ දරය 𝑅ISCO = 3𝑅sch, where 𝑅sch is the Schwarzschild radius of the black hole. ෙගන

හදනටැහේ. හෙය “epoch of merger" හටස ද හනවන ටැහේ. හෙෙ දවසනථශහ ද ගරතව තරංග වට වසනතරේ උපරෙ ව දතර සංායශතයහහෙය සැෙ ව ෙ කාකෂය සංායශතය හෙන හදගණයක.) ද උපරෙ හ . හෙෙ ගැ ලහ ද එකෂවෙ හපර දවසනථශ සටකා වසශ චලතය ළලබද හකාපටර හේ වයෙයන ග ය සදහශ හයශදශගත හැකා.

(T11.1) Consider the observed gravitational waves shown in the figure above. Estimate the time period,

𝑇0, and hence calculate the frequency, 𝑓0, of gravitational waves just before the epoch of

merger.

දහත ප‍රසනථශරය හ ත වරකෂෂ ය කාට ගරතව තරංග ෙගන epoch of merger හෙශහහශතකා

හපර තරංග වට කාශටශවරතය 𝑇0, සහ සංායශතය 𝑓0, ග ය කාරන .

3

10

Theoretical Examination

Page 8 of 11

(T11.2) For any main sequence (MS) star, the radius of the star, 𝑅MS, and its mass, 𝑀MS, are related by

a power law given as,

𝑅MS ∝ (𝑀MS)𝛼

where 𝛼 = 0.8 for 𝑀⊙ < 𝑀MS

= 1.0 for 0.08𝑀⊙ ≤ 𝑀MS ≤ 𝑀⊙

If the central object were a main sequence star, write an expression for the maximum frequency

of gravitational waves, 𝑓MS, in terms of mass of the star in units of solar masses (𝑀MS/𝑀⊙)

and 𝛼.

ෙැද ත වසනරව ප‍රධශ දනකෂ‍ෙ හේ තරවකෂ ම ගරතව තරංග වට උපරෙසංායශතය 𝑓MS, සදහශ

ප‍රකාශනයකෂ සරය සනකානධ (𝑀MS/𝑀⊙) සහ 𝛼 තසරන ටබශ ගන .

(T11.3) Using the above result, determine the appropriate value of 𝛼 that will give the maximum

possible frequency of gravitational waves, 𝑓MS,max for any main sequence star. Evaluate this

frequency.

දහත ප‍ර ඵටය හයශදශගවමන ප‍රධශ දනකෂ‍ෙ හේ තරවකෂ සදහශ ගරතව තරංග වට උපරෙ

සංායශතය 𝑓MS,max

දය හැක 𝛼 හ දසන තෙ දගය ග ය කාරන . හෙෙ සංායශතයහසෝ ද

ග ය කාරන .

(T11.4) White dwarf (WD) stars have a maximum mass of 1.44 𝑀⊙ (known as the Chandrasekhar limit)

and obey the mass-radius relation 𝑅 ∝ 𝑀−1/3. The radius of a solar mass white dwarf is equal

to 6000 km. Find the highest frequency of emitted gravitational waves, 𝑓WD,max, if the test

mass is orbiting a white dwarf.

(T11.5) Neutron stars (NS) are a peculiar type of compact objects which have masses between

1 and 3𝑀⊙ and radii in the range 10 − 15 km. Find the range of frequencies of emitted

gravitational waves, 𝑓NS,min and 𝑓NS,max, if the test mass is orbiting a neutron star at a distance

close to the neutron star radius.

(T11.6) If the test mass is orbiting a black hole (BH), write the expression for the frequency of emitted

gravitational waves, 𝑓BH, in terms of mass of the black hole, 𝑀BH, and the solar mass 𝑀⊙.

(T11.7) Based only on the time period (or frequency) of gravitational waves before the epoch of merger,

determine whether the central object can be a main sequence star (MS), a white dwarf (WD), a

neutron star (NS), or a black hole (BH). Tick the correct option in the Summary Answersheet.

Estimate the mass of this object, 𝑀obj, in units of 𝑀⊙.

(T12) Exoplanets බහරග‍රහ වරකෂෂ හේද බහටව හයශදශගන ශ ඔබ දන ශ ‍ෙ හදකාකෂ ළතබද වසනතර ෙතකෂ වෙ පහත දකෂවශ ද දතර වසනතර දවසශ හේද ප‍රසන තරහේ. Two major methods of detection of exoplanets (planets around stars other than the Sun) are the radial

velocity (or so-called “wobble”) method and the transit method. In this problem, we find out how a

combination of the results of these two methods can reveal a lot of information about an orbiting exoplanet

and its host star.

Throughout this problem, we consider the case of a planet of mass 𝑀p and radius 𝑅p moving in a circular

orbit of radius 𝑎 around a star of mass 𝑀s(𝑀s ≫ 𝑀p) and radius 𝑅s. The normal to the orbital plane of

the planet is inclined at angle 𝑖 with respect to the line of sight (𝑖 = 90𝑜) would mean “edge on” orbit).

We assume that there is no other planet orbiting the star and 𝑅s ≪ 𝑎.

“Wobble” Method:

When a planet and a star orbit each other around their barycentre, the star is seen to move slightly, or

“wobble”, since the centre of mass of the star is not coincident with the barycentre of the star-planet

system. As a result, the light received from the star undergoes a small Doppler shift related to the velocity

of this wobble.

8

7

5

9

8

Theoretical Examination

Page 9 of 11

The line of sight velocity, 𝑣𝑙, of the star can be determined from the Doppler shift of a known spectral

line, and its periodic variation with time, t, is shown in the schematic diagram below. In the diagram, the

two measurable quantities in this method, namely, the orbital period 𝑃 and maximum line of sight velocity

𝑣0 are shown.

(T12.1) Derive expressions for the orbital radius (𝑎) and orbital speed (𝑣p) of the planet in terms of

𝑀𝑠 and 𝑃.

ග‍රහයශහේ කාකෂෂහේ දරය (𝑎) සහ කාකෂෂහේ හ ගය (𝑣p) සදහශ ප‍රකාශන 𝑀𝑠 සහ 𝑃.තසරන

වයතපන කාරන .

(T12.2) Obtain a lower limit on the mass of the planet, 𝑀p,min in terms of 𝑀s, 𝑣0 and 𝑣p.

ග‍රහයශහේ සනකානධහේ 𝑀p,min දවෙ දගය 𝑀s, 𝑣0 සහ 𝑣p තසරන හග හැර දකෂවන .

Transit Method:

As a planet orbits its host star, for orientations of the orbital plane that are close to “edge-on” (𝑖 ≈ 90o),

it will pass periodically, or “transit", in front of the stellar disc as seen by the observer. This would cause

a tiny decrease in the observed stellar flux which can be measured. The schematic diagram below (NOT

drawn to scale) shows the situation from the observer's perspective and the resulting transit light curve

(normalised flux, f, vs time, t) for a uniformly bright stellar disc.

If the inclination angle 𝑖 is exactly 90o, the planet would be seen to cross the stellar disc along a diameter.

For other values of 𝑖, the transit occurs along a chord, whose centre lies at a distance 𝑏𝑅s from the centre

4

3

Theoretical Examination

Page 10 of 11

of the stellar disc, as shown. The no-transit flux is normalised to 1 and the maximum dip during the transit

is given by Δ.

The four significant points in the transit are the first, second, third and fourth contacts, marked by the

positions 1 to 4, respectively, in the figure above. The time interval during the second and third contacts

is denoted as 𝑡F, when the disc of the planet overlaps the stellar disc fully. The time interval between the

first and fourth contacts is denoted by 𝑡T. These points are also marked in the schematic diagram below

showing a “side-on” view of the orbit (NOT drawn to scale).

The measurable quantities in the transit method are 𝑃, 𝑡T, 𝑡F and Δ.

සං‍ෙණ ‍ෙහේද ෙැවය හැක දගයන වනහේ 𝑃, 𝑡T, 𝑡F සහ Δ හ .

(T12.3) Find the constraint on 𝑖 in terms of 𝑅s and 𝑎 for the transit to be visible at all to the distant

observer.

දර සට වරකෂෂකායශ සං‍ශන ය දසනවෙ ම 𝑖 සදහශ ව සෙශ 𝑅s සහ 𝑎 තසරන හසශයශ දකෂවන .

(T12.4) Express Δ in terms of 𝑅s and 𝑅p.

(T12.5) Express 𝑡T and 𝑡F in terms of 𝑅s, 𝑅p, 𝑎, 𝑃 and 𝑏.

(T12.6) In the approximation of an orbit much larger than the stellar radius, show that the parameter 𝑏

is given by

තරකාශහ දරය වඩශ හබහහවන ෙ වැඩ කාකෂෂයකෂ සදහශ 𝑏 හ දගය දසන වනහයන පහත දයරන දය හැක බව හපනවන .

𝑏 = [1 + Δ − 2√Δ1 + (

𝑡F𝑡T

)2

1 − (𝑡F𝑡T

)2]

1 2⁄

(T12.7) Use the result of part (T12.6) to obtain an expression for the ratio 𝑎/𝑅s in terms of measurable

transit parameters, using a suitable approximation.

සදස ආසන කරෙකෂ හයශදශගවමන දහත 12.6 හ ළතරර උපහයෝග හකාශ හග 𝑎/𝑅s දනපශතය සදහශ ප‍රකාශනයකෂ ෙැවය හැක සං‍ශන පරශම යන හයශදශ ටබගන .

(T12.8) Combine the results of the wobble method and the transit method to determine the stellar mean

density 𝜌s ≡𝑀s

4𝜋𝑅s3/3

in terms of 𝑡T, 𝑡F, Δ and 𝑃.

හදෝට ‍ෙය සහ සං‍ශන ‍ෙය ළතරර එකාරකාර තරහ ෙධය ය ඝ තවය 𝜌s ≡𝑀s

4𝜋𝑅s3/3

පරශමතන ව 𝑡T, 𝑡F, Δ සහ 𝑃.තසරන ග ය කාරන .

Rocky or gaseous:

Let us consider an edge-on (𝑖 = 90o) star-planet system (circular orbit for the planet), as seen from the

Earth. It is known that the host star is of mass 1.00𝑀⊙. Transits are observed with a period (𝑃) of 50.0

days and total transit duration (𝑡T) of 1.00 hour. The transit depth (Δ) is 0.0064. The same system is also

observed in the wobble method to have a maximum line of sight velocity of 0.400 ms−1.

2

2

5

3

6

1

8

Theoretical Examination

Page 11 of 11

(T12.9) Find the orbital radius 𝑎 of the planet in units of AU and in metres.

කෂෂත‍ර ඒකාකා වලන සහ ට ර වලන ග‍රහයශහේ කාකෂෂහේ දරය හසශයශ දකෂවන .

(T12.10) Find the ratio 𝑡F/𝑡T of the system.

පදවධ ය සදහශ 𝑡F/𝑡T දනපශතය හසශයන .

(T12.11) Obtain the mass 𝑀p and radius 𝑅p of the planet in terms of the mass (𝑀⊕) and radius (𝑅⊕) of

the Earth respectively. Is the composition of the planet likely to be rocky or gaseous? Tick the

box for ROCKY or GASEOUS in the Summary Answersheet.

ග‍රහයශහේ සනකානධය 𝑀p සහ දරය 𝑅p පෘථව සනකානධහේ (𝑀⊕) සහ දරහේ (𝑅⊕) ප‍රෙශණයනහගන

ටබශගන . ග‍රහයශහේ සංය ය වයහැකෂහකෂ පශෂශණෙය ද ැතහහශත වශයෙය ද? සනකෂපත ළටරර පත‍රහේ දදශට හකාශවව දදරහේ හROCKY or GASEOUS) හර ටකණ සටකණ ඔ ඔබහේ ළතරර සපයන .

Transit light curves with starspots and limb darkening:

(T12.12) Consider a planetary transit with 𝑖 = 90o around a star which has a starspot on its equator,

comparable to the size of the planet, 𝑅p. The rotation period of the star is 2𝑃. Draw schematic

diagrams of the transit light curve for five successive transits of the planet (in the templates

provided in the Summary Answersheet). The no-transit flux for each transit may be normalized

to unity independently. Assume that the planet does not encounter the starspot on the first transit

but does in the second.

වරකෂෂය උඩ හරලපයකෂ වැව තරටපයකෂ හප‍රෙශණය ග‍රහයශ , 𝑅p සෙශ )ළහ ත

තරවකෂ ව ශ ව 𝑖 = 90o ව ග‍රහ සං‍න යකෂ සටකාන . තරහ භ‍රෙණ හ ගය 2𝑃.

ග‍රහයශ වසන තරව ෙ ං ය ළ ළ සං‍ශන 5 කා ආහටෝකා ව‍රතශ ව‍ හtransit light curve) පහකා දට ප‍රසනථශර ස හන ද ත සනකෂපත ළටරර පත‍රකාශවට කඩශව දදන . ප ම සං‍න යහේ ද ග‍රහයශ තරටපය හම හ ශව දතර හදවනහනද හමහ .

(T12.13) Throughout the problem we have considered a uniformly bright stellar disc. However, real

stellar discs have limb darkening. Draw a schematic transit light curve when limb darkening is

present in the host star.

හෙෙ ගැ ලව පරශෙ ඒකාශකාශර හටස දප ෙත ව තශරය තැටයකෂ සටකා ටද. එහහත තශරය

තැට වට වශට දදරවෙ දැකය හැකය. තශරහ වශට දදරවෙ සැටකලට හග ග‍රහයශ

සං‍ෙණය වහමද තතත වනහයන ෙ දැකය හැක ආහටෝකා ශ‍රශවහේ දටප‍රසනථශරයකෂ හlight

curve) තද දකෂවන .

4

2

2

8