THE REPRODUCTIVE SOLUTION FOR FERMAT’S LAST THEOREM(ELEMENTARY ASPECT)

7/29/2019 THE REPRODUCTIVE SOLUTION FOR FERMAT’S LAST THEOREM(ELEMENTARY ASPECT)

http://slidepdf.com/reader/full/the-reproductive-solution-for-fermats-last-theoremelementary-aspect 1/11

Bulletin of Mathematical Sciences & A pplications ISSN: 2278-9634 Vol. 2 No. 3 (2013), pp. 05-15 www.bmsa.us

© Bulletin of Mathematical Sciences & A pplications

5

THE REPRODUCTIVE SOLUTION FOR FERMAT’S LAST THEOREM

(ELEMENTARY ASPECT)

PROF. DR. K. RAJA RAMA GANDHI1

AND REUVEN TINT2

Resource person in Math for Oxford University Press and Professor at BITS-Vizag1

Number Theorist, Israel2

Abstract. We give a proof of the solvability in a natural numbers for Fermat’s Last theorem and the

equations

and

has not been found earlier, significantly different from known, and allow us to obtain infinite set of

solutions in natural numbers, and examples.

Theorem 1.

We must to prove that the equation

has no solutions in natural numbers (positive integers) for .

Proof:

1.1. Suppose

,

where - are arbitrary natural numbers, as

[1].

Then,

, .

1.1.1. Whenever

then

, , .

http://www.bmsa.us/

http://www.bmsa.us/

http://www.bmsa.us/





6

For

.

Therefore, and , since the inequality is valid only for the case whencomparing the elements of the same numerical system - the natural numbers. It follows that,ultimately, to the equation

(for and ):

,

and since is not greater than two, that lead to equations

and 1.1.2. If

,then

and

Multiply the two numbers and in the system of natural numbers for is

incorrectly.

1.1.3. If

,

then

and

.

For

Multiply the two numbers and in the system of natural numbers is incorrectly.

Sets of functions and are not closed under superposition.

1.2. It is easy to verify, that if

http://www.bmsa.us/

http://www.bmsa.us/

http://www.bmsa.us/





7

,

then

, , , [2], where

, , , ,- are relatively prime integers, - are pairwise relatively prime integers(having no common

factor other than one).

1.3.

is impossible since

. 1.4. If

, , and , , ,then it is impossible.1.5. Thus, consider all possible variants for our case the solutions of equation

1.6. Therefore, the equation

is not solvable in natural numbers for as required. This completes the proof.

This is an elementary proof, with a high degree of probability could be obtained by Fermat.

2.1. Multiplying [1] by

.Given

2. 2.

, , ,

, ,

, ;

, , ,

,as .

2.3. If

,then

and

=- In fact, there is a slightly modified solution of L. Yushmanovich – (6, page 74).2.4. Using the equation [2], if

http://www.bmsa.us/

http://www.bmsa.us/

http://www.bmsa.us/





8

are any (or minimal solution) related above equations in natural numbers for fixed values

,then

, ,

, ,

, ,

- are arbitrary natural (whole) numbers or zero, and

+ =

= . 2.5.

+ =

= 2.6. If

….. ,then

=

,

where

….. – are arbitrary natural numbers;

;

... – are pairwise relatively prime arbitrary natural numbers,

;

…., – are numbers of brackets; …., - are numbers inside brackets;

, - are signs of sum and products;

http://www.bmsa.us/

http://www.bmsa.us/

http://www.bmsa.us/





9

2.7. If given and of values, then and determined by the in the following

equations:

=1.

2.8. For example, for

, and if ,

.

,

.

2.9. If

- is well-known solution, then

- In fact, there is a slightly modified solution of L. Yushmanovich

for arbitrary natural numbers and arbitrary dimensions ( ) – (6), стр.74.

References:

1 H.Davenport, “The Higher Arithmetic”, Moscow, 1965. 2. V. Sierpiński, “250 Problems in Elementary Number Theory”, Moscow, 1968. 3. U. Davidov, “ Problems and exercises in theoretical arithmetic of whole numbers ”,

Minsk, 1963.

4. A. Kurosh, “ Higher Algebra”, “ Science”, Fizmatgiz, Moscow, 1971. 5. Н.Н. Воробьев, “Признаки делимости”, “ Science”, Fizmatgiz, Moscow, 1974.

6. V. Sierpiński, “О решении уравнений в целых числах” , Fizmatgiz, Moscow, 1961.

http://www.bmsa.us/

http://www.bmsa.us/

http://www.bmsa.us/





10

Репродуцированное решение Ферма его “Великой” теоремы

(элементарный аспект)

PROF. DR. K. RAJA RAMA GANDHI1 AND REUVEN TINT2

Resource person in Math for Oxford University Press and Professor at BITS-Vizag1

Number Theorist, Israel2

Аннотация. В работе приведено доказательство о разрешимости в натуральных числах

“Великой” теоремы Ферма, а также уравнения типа

и

,

существенно отличающиеся от известных и позволяющие получать

бесчисленное множество решений в натуральных числах, и примеры.

Теорема 1.

Требуется доказать, что уравнение

не имеет решений в натуральных числах (целых положительных) при .

Доказательство:

1.1. Представим

,

где - произвольные натуральные числа, в виде

[1].

Тогда,

, .

1.1.1. И если

http://www.bmsa.us/

http://www.bmsa.us/

http://www.bmsa.us/





11

то

, , .

При

.

Отсюда, и , поскольку неравенство корректно только для того

случая, когда сравниваются элементы одной и той же числовой системы - натуральных

чисел. Решение привело, в конечном итоге, к уравнению

(при и ):

,

а поскольку не больше двух, то к уравнениям

и 1.1.2. Если

,

то

и

Умножение двух чисел и в системе натуральных чисел при

некорректно.

1.1.3. Если

,

то

и

.

При .

http://www.bmsa.us/

http://www.bmsa.us/

http://www.bmsa.us/





12

Умножение двух чисел и в системе натуральных чисел некорректно.

Множества функций и незамкнуты относительно суперпозиции.

1.2. И только так, поскольку, если

,то

, , ,

где

, , , , [2],

- взаимно простые натуральные числа, - попарно взаимно простые натуральные числа

(не имеющие общих множителей, кроме единицы). 1.3.

невозможно, так как

. 1.4. При

, , и , , ,что невозможно.

1.5. Таким образом, рассмотрены все возможные для нашего случая варианты решений

уравнения

. 1.6. Поэтому уравнение

неразрешимо в натуральных числах при , что и требовалось доказать.

Доказательство полностью завершено. И это доказательство возможно было получено

Ферма.

2.1. Умножим [1] на

.Получим

2. 2.

, , ,

, ,

, ;

, , ,

,если .

http://www.bmsa.us/

http://www.bmsa.us/

http://www.bmsa.us/





13

2.3. Если

,То

и

=- по сути, решение несколько видоизменѐнной проблемы Л. Юшмановича –(6), стр.74.

2.4. Из [2], если

какие либо (или минимальные решения) соответствующих вышенаписанных уравнений в

натуральных числах при фиксированных значениях ,то

, ,

, ,

, ,

-произвольные натуральные (целые) числа или нуль, и

+ =

= . 2.5.

+ =

= 2.6. Если

….. ,то, в частности,

=

,

где

….. - произвольные натуральные числа;

http://www.bmsa.us/

http://www.bmsa.us/

http://www.bmsa.us/





14

;

... -попарно взаимно простые произвольные натуральные числа,

;

…., - номер скобки; …., - номер в скобке;

, - знаки суммы и произведения;

2.7. Если заданы значений и , то и определяются из нижеследующих

уравнений:

=1.

2.8. Например при

, а при

,

.

,.

2.9. Если

- известное решение, то

- по сути, решение несколько видоизменѐнной проблемы Л. Юшмановича

для произвольных натуральных и произвольных размерностей ( ) –(6), стр.74.

http://www.bmsa.us/

http://www.bmsa.us/

http://www.bmsa.us/





15

Литература:

1 Г. Дэвенпорт, “Высшая арифметика”, Москва, 1965.

2. В. Серпинский, “ 250 задач по элементарной теории чисел”, Москва, 1968.

3. У. Давыдов, “Задачи и упражнения по теоретической арифметике целых чисел”, Минск, 1963.

4. А. Г. Курош, “Курс высшей алгебры”, “Наука”, Физматгиз, Москва, 1971.

5. Н.Н. Воробьев, “Признаки делимости”, “Наука”, Физматгиз, Москва, 1974. 6. В. Серпинский, “ О решении уравнений в целых числах” ,Физматгиз, Москва 1961.

http://www.bmsa.us/

http://www.bmsa.us/

http://www.bmsa.us/

Documents

THE REPRODUCTIVE SOLUTION FOR FERMAT’S LAST THEOREM(ELEMENTARY ASPECT)