The Radius of Univalence of the Error Function

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  • 8/3/2019 The Radius of Univalence of the Error Function

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    N u m e r i s c h e M a t h e m a t i k , 1, 7 8 - - 8 9 (1 95 9)

    T h e r a d i u s o f u n i v a l e n c e o f t h e e r r o r f u n c t i o n *B y

    E R W I N K R EY SZ IG a n d J O H N T O D D

    O. I n t r o d u c t i o nW e s h a l l d e t e r m i n e t h e r a d i u s o f u n i v a l e n c e ~ o f t h e e r r o r f u n c t io n , w h i c h

    w e t a k e i n t h e f o l l o w in g n o r m a l i z a t i o n * *,e r f z = f e x p ( - - t ~) d t = ~ ( - - 1 ) ~ 2 ~ + 1 / ( 2 n + l ) n ! = z - - (za/3) + . . . .

    0 n=0

    T h e r a d i u s o f u n iv a l e n c e i s t h e r a d i u s o f t h e l a r g e s t o p e n c i r c u la r d i sk , ] z [ < o ,i n w h i c h e r f z i s s c h l i c h t . S o m e l o w e r b o u n d s f o r ~ h a v e b e e n o b t a i n e d p r e v i o u s l y ,n a m e l y :

    { ~ ( ~ '~ + t ) ~ - t}.~ = t . o7 . . . .(~I2)~ -- t .25 . . . .

    t h e l a r g e s t p o s i t i v e r o o t R o f t h e e q u a t i o n( 4 R 4 - t ) ~ - - a r c t a n ( 4 R 4 - t) ~ = ~ , R = t .5 1 . . . . (0 .1 )

    T h e s e b o u n d s w e r e o b t a i n e d b y d i f f e r e n t , r a t h e r g e n e r a l m e t h o d s , b y N EH A R I ~11,R OG OZ lN [ 2] , a n d R E A DE [ 3] . W e r e c o v e r , i n c i d e n t a l l y , b y e l e m e n t a r y m e a n s ,t h e b o u n d s o f R o c o z I N a n d R E AD E . O u r m e t h o d s a r e b a s e d o n s p ec i a l p r o p e r t i e so f e r r z , a n d w e r e s u g g e s t e d b y a d e t a i l e d s t u d y o f a c t u a l n u m e r i c a l v a l u e s o fe r f z , w h i c h w e r e c o m p u t e d o n th e I B M 7 04 a t t h e N a t i o n a l B u r e a u o f S t a n d a r d s ,b y E L LE N BR A U ER a n d J . C . G AG ER a n d o n t h e D a t a t r o n 2 05 a t t h e C a l i f o r n i aI n s t i t u t e o f T e c h n o l o g y .

    T h i s p a p e r c o n s i s t s o f t h r e e p a r t s . I n t h e f i r s t t w o w e p r e s e n t d i f f e r e n t p r o o f so f t h e f o l lo w i n g t h e o r e m .

    T h e o r e m . T h e r a d iu s o / u n i v a l e n c e o / e r/ z is th e m i n i m u m d i s t a n c e / r o m th eo r i g i n , o ] p o i n t s n o t o n th e x - a x i s , / o r w h i c h e r z i s r e al .

    B o t h p r o o f s h a v e a c o n s t r u c t i v e c h a r a c t e r a n d c a n b e u s ed t o o b t a i n b o u n d sf o r 0" W i t h t h e s e c o n d p r o o f w e i n c l u d e a d e s c r i p t i o n o f s o m e h a n d c a l c u l a t i o n sw h i c h l e a d t o t h e f o l lo w i n g i n e q u a l i t i e s

    1 . 5 7 4 6 < ~ < 1 . 5 8 5 8 .A n a n n o u n c e m e n t o f t h e r e s u l t s o f t h is p a p e r a p p e a r e d i n t h e B u l l . A m e r . M a t h ,S o c. 6 4, 3 6 3 - - 3 6 4 ( t9 5 8) , T h e w o r k d e s c r i b e d h e r e w a s c a r r i e d o u t i n p a r t w i t h t h es u p p o r t o f t h e O f f ic e o f N a v a l R e s e a r c h .

    ~ * I n a p a p e r t o a p p e a r i n t h e P a c i f ic J o u r n . M a t h . w e h a v e s h o w n t h a t t h er a d i u s o f u n i v a le n c e o f E ( z ) = e x p (z=) f e x p ( - - t ~) d t i s 0 .92 41 38 87 .

    0

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    R a d i u s o f u n i v a l e n c e o f t h e e r r o r f u n c t i o n 7 9I n t h e t h i r d p a r t o f t h e p a p e r w e d e s c r i b e s o m e c a l c u l a t i o n s , a l o n g t h e l i n e s

    o f t h e f i r s t p r o o f , w h i c h u s e th e m o r e e l a b o r a t e n u m e r i c a l r e s u l t s to w h i c h w eh a v e a l r e a d y r e f e r r e d . T h e s e s u g g e s t t h a t a s e v e n - d e c i m a l v a l u e o f Q i s

    o = 1 . 5 7 4 8 3 7 6 .B e f o r e b e g i n n i n g t h e s e p a r a t e p r o o f s o f o u r t h e o r e m , w e o b s e r v e t h a t i f z 0

    i s a p o i n t n o t o n t h e x - a x i s a t w h i c h t h e m i n i m u m d i s t a n c e d i s a t t a i n e d , t h e n~o :4-zo a n d

    e rr go - -- -e r f z o = e r r z 0 .T h u s th e c i rc l e ]z] : d m a p s i n to a c u r v e w i t h a d o u b l e p o i n t a n d so ~ d . W ec a n c o m p l e t e t h e p r o o f b y s h o w i n g t h a t e r r z i s s c h l i c h t in Iz] < d , a n d f o r th i si t w i l l b e s u f f i c ie n t t o d e a l w i t h t h e f i r s t q u a d r a n t b e c a u s e o f t h e r e f l e c t i o n p r o p -e r t i e s o f e r f z ,

    e r f ( - - z ) = - - e r f z , e r f ~ e r f z .1 . F i r s t p r o o f

    T h e f i rs t p r o o f is b a s e d o n a s t u d y o f t h e m a p s ~ i n t h e w = u + i v p l a n eo f t h e a r c s V , : z = r e io , O < = t g < = ~ : z. W e s h a l l s h o w t h a t t h e r e i s a 0 > 0 s u c h t h a t

    h a s t h e f o r m i n d i c a t e d o nt h e r i g h t - h a n d s i de of F i g . t .F o r [z I < 0 , 0 < 0 ~ , i t w i l lb e s e e n t h a t e r f z i s n o t r e a l .T h u s Q i s t h e m i n i m u m d i -s t a n c e r e f e r r e d t o i n t h et h e o r e m . W e c o m p l e t e t h ep r o o f a s f o l lo w s . L e t V * d e -n o t e t h e c lo s e d c u r v e c o n -s i s t i n g o f O < _ x < _ ~ , ( y ~ O ) ;7 '~ ; ~ y > ~ O , ( x - O) a n d l e t/ ' * d e n o t e i t s m a p . W e s h a l ls h o w t h a t a s z d e s c r i b e s V *i n t h e p o s i t i v e d i r e c t i o n , e r f zd e s c r ib e s F * o n ce , a n d t h a t

    r ~

    \ ,~ , 3 o . . . V l = r ~ z S z l \P o = ~ P o P o x r o = r s T o r o 5 ~z

    z = s c + i d t p l a n e c o = u + i v p l e n eFig. t. Not to scale

    F * i s s i m p l e . I t f o l lo w s , s i n c e e r f z i s r e g u l a r e v e r y w h e r e t h a t e r f z g i v e s a o n e -t o - o n e a n d c o n f o r m a l m a p p i n g o f t h e i n t e r i o r o f ~,* o n t o t h e i n t e r i o r o f F *( J . E . L I T T L E W O O D [ 8 j ) .

    I n s t e a d o f a p p e a l i n g t o th i s b a s i c t h e o r e m i n c o n f o r m a l m a p p i n g , i t w o u l db e p o s s i b le t o c o m p l e t e t h e p r o o f in a n e l e m e n t a r y w a y , b y p r o v i n g d i r e c t l y t h a te r f z 1=t= e r f z 2 fo r z 1 a n d z 2 i n t h e i n t e r i o r o f ) J*, a l o n g t h e l i n e s i n d i c a t e d i n t h es e c o n d p r o o f .

    1 . 1 . P r e l i m i n a r i e s . a ) W e h a v e , d e n o t i n g p a r t i a l d e r i v a t i v e s b y s u b s c r i p ts ,u o + i v o = i r ( u r + i v , ) = i r e i ~ e x p ( - - z 2)

    = i r e x p ( - - r 2 c o s 2 v~ ) E e os ( r ~ s i n 2 v - - O ) - - i s i n ( r 2 s i n 2v~ - - t g ) l ,s o t h a t

    v o = r e x p ( - - r 2 c o s 2 t9 ) c o s ( r 2 s i n 2 t9 - - t g) . ( t . t . 1 )6*

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    8 0 E R W lN K R E V SZ m a n d J O H N T o n D :I f v o = - 0 , w e m u s t h a v e

    c o s ( r 2 s i n 2 v - - v ) = O , r ~ s i n 2 # - - v = 8 9 2 m + 1 ) 7c, m i n t e g r a l .S i m i l a r ly , i f u o = 0 , w e m u s t h a v es i n ( r 2 s i n 2 ~9 - - 0 ) = 0 , r 2 s i n 2 0 - - 0 = m ~ , m i n t e g r a l .

    b ) C o n s i d e r n o w t h e i n d e f i n i t e i n t e g r a lzf e x p ( - t 2) d t

    e v a l u a t e d a l o n g a c u r v e o n w h i c h r e = O. W e f i n d , u s i n g t h e r e s u l t s j u s t o b t a i n e d ,zf e x p ( - - t 2) d t

    0= ~ f e x p { - - (~ + ~ - ( 2 m + t ) @ c o s e c 2 a ( c o s 2c~ + i s i n 2 e ) } ( d ~ + i r ) e i ~ d c ~0- - - - ( - - l ) m + l f e x p { - - ( 0~ + - t 2 - ( 2 m + l ) ~ ) c ~ -d~drdo~r= I ( 2 m + t ) ) c o t 2 c ~ } d r . ( 1 . t . 2 )- , ) ' + i f e x p { -- +

    I n a s i m i l a r w a y , i f w e i n t e g r a t e a l o n g a c u r v e o n w h i c h u o = O , w e o b t a i ng v,~ f e x p ( - t 2) d t = ( - - l ) " f e x p { - - (~ + m x ) c o t 2c~} d ~

    r= ( - - t ) ' ~ f e x p { - - ( o c + m x ) c o t 2 ~ } d r . (1 .1 .3 )c ) W e s h a l l p r o v e t h a t ~ = v ( ] / ~ , 8 8 n o n - p o s i t iv e . W e h a v e

    V ~ ( I + / )---- ~ f e x p ( - - t 2 ) d t0

    a n d i n t h is i n t e g r a l w e c a n c h o o s e t h e p a t h t o b e f r o m 0 t o ] / - ~ a l o n g t h e r e a la x i s a n d t h e n f r o m V ~ t o V 8 9 (1 + i ) a l o n g a p a r a l l e l t o t h e i m a g i n a r y a x i s.I t i s c l e a r t h a t t h e f i r s t p a r t i s e n t i r e l y r e a l so t h a t

    = ~ f e x p ( - - ~ + y 2 - - V 2 ~ i y ) i d y0 1 / [ ; ,

    = e x p ( - - { ~ ) f e x p ( y ~) c o s ( V ~ y ) d yo= ( t / V ~ ) e x p ( - - ~ ) f { e x p ( t2 /2 ~ ) - - e x p (( ~ - - t )2 / 2 ~ ) c o s t d t r o ,

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    R a d i u s o f u n i v a l e n c e o f t h e e r r o r f u n c t i o n 8 1r 2 s i n 2 v ~ - - v b eg in s b y in c re a si ng a n d h a s a m a x i m u m w h e n c o s 2 0 = 8 9 -2.T h e v a l u e o f t h is m a x i m u m is

    V ( r ~ - _ ~ _ 89co s- l ( 89 2)a n d t h i s in c r e as e s f r o m z e ro a t r = r o. T h i s m a x i m u m is 89 for

    r = R = 1 . 5 1 . . .w h e r e R i s t h e l a r g e s t p o s i t i v e r o o t o f t h e e q u a t i o n ( 0.1 ). F o r a n y f i x e d r ~ R ,t h e n , v i n c r e a s e s s t e a d i l y w i t h ~9, 0 ~ 0 ~ { a g . T h i s , t h e n , i s a l o w e r b o u n d f o r ~o.I t is , i n f a c t , t h e l o w e r b o u n d o b t a i n e d b y R E A D E [ 3] .

    T h e l o w e r b o u n d V ~ o b t a i n e d b y , - _ a . . . . . . . .R O GO ZlN [ 2 ] c a n b e o b t a i n e d b y n o t i n gt h a t t h e m a x i m u m o f r 2 s in 2 0 - - 0 c er -t a i n l y d o e s n o t e x c e e d r 2 s o t h a t t h e r e is ~tac e r t a i n l y u n i v a l e n c e o f r 2 1- g a g .

    1 . 3 . T h e b e h a v i o r o / th e c u r v e s 4 . /S e c o n d p h a s e . W e r e fe r b a c k t o F i g . 2 .F o r r > R , b u t s u f f ic i e n t ly s m a l l, t h e r ea r e e x a c t l y t w o v a l u e s o f v , s a y 0 1 a n d0 =, f o r w h i c h % = 0 . A l t h o u g h t h e g r a p ho f / h a s o n l y t w o i n t e rs e c t i o n s w i t h t h el i n e ~ ag,1 i n t e r s e c t i o n s w i t h 89 2 n + t ) : z g iv er is e t o z e r o s o f % . H o w e v e r , w e s h a l ls ee b e l o w t h a t t h e r a n g e o f r i n w h i c h w ea r e i n t er e s te d is b o u n d e d a b o v e b y V~ ,a n d s o, c e r t a in l y , / = r ~ s in 2 0 - - 0 < a g .

    W e n o w o b s e r v e t h a t v d e c r e a s es int h e r a n g e 0 1 ~ 0 =< 0 2 . T h i s f o l l o w s f r o m - /t h e r e p r e s e n t a t i o n ( 1 . t .t ) s in c e i n t h a tr a n g e w e h a v e

    a g > r 3 s i n 2 0 - - 0 > ~ ~ z , /- - - ~ - a zc o s ( r 2 s i n 2 0 - - 0 ) < 0

    f o r r e l e v a n t r , i .e . , R < r < V ~ . Fig. 2W e n e x t o b s e r v e t h a t a s r i n cr e as e s , b o t h v ( r , 0 1 ) a n d v ( r , 0 3 ) d e c r e a s e . W eh a v e

    v ( r ' , O ~ ) - - v ( r , 0 ~ ) = ~ f e x p ( - - t 3 ) d t .T h e p a t h o f i n t e g r a t i o n is a t o u r d i sp o s a l a n d w e c h o o s e t h e p a t h o n w h i c hv o = 0 . U s i n g th e r e p r e s e n t a t i o n ( 1 .t .2 ) , n o t i n g t h a t m = 0 , w e f i n d

    r ~v ( r ' , 0 '1 ) - - v ( r , ~ ) = - - f ex p {- - (v + i ag) co t 2~9}d r .f

    S i n c e t h e i n t e g r a n d i s i n v a r i a b l y p o s i t i v e , i t i s c l e a r t h a t v ( r , v a ~ ) d e c r e a s e s a s ri nc re as e s. T h e s a m e a r g u m e n t s h o w s t h a t v ( r , 0 3 ) d e c r e a s e s a s r i n c r e a s e s .

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    8 2 E R W l N K R EY S ZIG a n d J o ~ T o D I~ :W h a t w e h a v e n o w a c h i e v e d is a p r o o f t h a t v (r, t92), w h i c h i s c e r t a i n l y p o s i t i v e

    f o r r : R , 0 2 = t 9 2 ( R ) = , 9 1 ( R ) = t g * , d e c r e a s e s a s r in c r e a s e s f r o m R . T h e r e s u l t( 1.1 .4 ) s h o w s t h a t t h e r e i s a l e a s t r > = R f o r w h i c h v (r , 0 2 ) = 0 . W e d e n o t e t h i sb y e , a n d w e s h a l l p r o v e t h a t ~ i s t h e r a d i u s o f u n i v a l e n c e . F r o m ( 1 .t .4 ) w eh a v e Q < V ) .

    1.4 . The behavior o / the curve Fe* . W e h a v e t o s h o w t h i s is a s i m p l e c u r v e ,d e s c r i b e d e x a c t l y on c e a s z d e s c r i b e s V *. W e d e n o t e t h e p o i n t s ~ a n d i ~ b y P oa n d P4 a n d t h e p o i n t s ~e al a n d ~oe ~ b y P 1 a n d P a ; t h e m a p o f P / b y w = e r f zi s d e n o t e d b y T ( se e F i g . 1 ).

    D e n o t e b y ,93 t h e f i r s t p o s i t i v e z e r o o f s i n ( o 2 s i n 2 t g - - t g ) . W e d e n o t e 0 e i~b y P a a n d i t s m a p b y T3. I n v i r t u e o f o u r c o m p u t a t i o n ( t . 1 .4 ) , w e h a v e

    ~Yr> ~3>~ 2 9I t i s c l e a r t h a tt9u = f ~ e x p ( - - ~2 c o s 2 ~ ) s i n (Q2 s i n 2 ~ - - ~ ) d ~

    0

    + f e x p (- - 12) d t0

    i s s t r i c t l y i n c r e a s i n g f o r 0--< v - < t~ , s i n c e t h e f i r s t i n t e g r a n d i s p o s i t i v e . F r o m t h i s i tf o ll o w s , r e m e m b e r i n g t h a t e r f x i s a n i n c r e a s i n g f u n c t i o n o f x , t h a t e r f z 1 4= e r f zz,f o r z1 , z 2 o n t h e a r c OPoP1P ,2P .

    W e n o t e a l so t h a t u q = 0 i n t h e r a n g e t g a = < 0 < 8 9 F o r , i n t e g r a t i n g a l on g ar a d i u s z = z e i L 0 < = ~ < = ~ w h e r e ~v i s f i x e d , O 3 ~ < ~ r , w e h a v e

    ou = f e x p ( - - z~ cos 2 ~v) co s (z 2 s in 2 ~ - - 99) d r .o

    I n t h e p r e s e n t c i r c u m s t a n c e s , z ~ s i n 2 ~ 0 - - ~ o i n c r e a s e s f r o m - - ~ o f o r , = 0 t oQe s i n 2 ~v - - % w h i c h l i e s b e t w e e n 0 a n d - - { er [ cf . F i g . 2 ~. H e n c e t h e i n t e g r a n di s p o s i t i v e .

    N e x t c o n s i d e r t h e b e h a v i o r o f v f o r z o n t h e a r c P AP 4. S i n c e~9v = f ~ e x p ( - - ~2 c o s 2 ~ ) c o s (~)2 s i n 2~ - - c~) doe

    o

    i s s t r i c t l y i n c r e a s i n g f o r Oa ~ v =< 89 , t h e i n t e g r a n d b e i n g p o s i t i v e , i t fo l lo w s t h a te r f z1 q = e r f z 2 f o r zl , z2 o n PAP4.

    O n t h e a r c P a O , e r r z i s p u r e i m a g i n a r y , w i t h v d e c r e a s i n g s t e a d i l y :Yv = f e r O < y < 0 .

    0

    T h e r e c a n t h e r e f o re b e n o i n t e r s e c t io n o f PaO a n d P a Pa n o r o f P aO a n d O P ~ p a P ,s i n c e , a s w e h a v e a l r e a d y n o t e d , u q = 0 f o r 0

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    R a d i u s o f u n i v a l e n c e o f t h e e r r o r f u n c t i o n 8 3T h i s i s d o n e a s f o l lo w s . F o r r = R , s i n c e v i s s t e a d i l y i n c r e a s i n g

    v ( R ) ) > v ( 0 1 ( R ) ) .W e h a v e a l r e a d y n o t e d t h a t v (01 ( r) ) i s a d e c r e a s i n g f u n c t i o n o f r . I t w i l l t h e r e f o r eb e s u f f i c i e n t t o s h o w t h a t v(Oa(r) ) i s a n i n c r e a s i n g f u n c t i o n o f r. T o s e e th i s w ep r o c e e d a s in w 1 .3 , o n l y i n t e g r a t i n g t h i s t i m e a l o n g t h e c u r v e o n w h i c h u o = O .U s i n g t h e r e p r e s e n t a t i o n ( t .1 .3 ) , r e m e m b e r i n g t h a t w e h a v e m = 0 b e c a u s e o f( 1 .1 .4 ) , a n d u s i n g t h e f a c t t h a t a s r i n c r e a s e s 03 i n c r e a s e s , w e h a v e

    v ( r ' , 0 3 ) - - v ( r , 0 8 ) > O .

    2 . S e c o n d p r o o fO u r p r e v i o u s c o n s i d e r a t i o n w a s b a s e d o n t h e p r o p e r t i e s o f t h e c u r v e s Iz l =

    co n s t a n t i n t h e w - p l a ne . W e s h a ll n o w d e m o n s t r a t e t h a t t h e c o n s i d e r a t io n of t h ec u r v e s a r g e rf z = c o n s t a n t i n t h e z - p l a n e l e a d s t o a n o t h e r c h a r a c t e r i z a t i o n a n db o u n d s o f ~ .

    2 .1 . The d i f f eren t ia l equa t ion /or the curves a r g e r f z = c o n s t a n t . L e tw = R ex p ( i 0 ) = / ( z)

    b e a n a n a l y t i c f u n c t i o n r e g u l a r i n a d o m a i n D o f t h e z -p l a n e . T h e n t h e c u r v e si n D c o r r e s p o n d i n g t o 0 = constan t s a t i s f y t h e d i f f e r e n t i a l e q u a t i o nd y = t a n ( 0 - - c r ( 2 .1 )d x

    w h e r e ar = a r g / ' ( z ) . F o r t h e e r ro r f u n c t i o n t h i s e q u a t i o n t a k e s t h e f o r md s _ t a n ( 2 x y + 0 ) . (2 .2 )d x

    I n p a r t i c u l a r , t h e c u r v e s ~ e r f z = 0 in t h e z - p l a n e a r e s o l u t io n s o f t h e e q u a t i o nd y _ t a n 2 x y . (2 .3)d x

    2.2 . The characterizat ion o/ Q. C o n s i d e r t h e c u r v e s ~ e r f z = 0 i n Q 1, t h e f i r s tq u a d r a n t . L e t C d e n o t e t h a t c u r v e w h i ch h a s i t s d i s t a n c e f r o m t h e o r i g in am i n i m u m . W e p r o v e f i rs t t h a t C l ie s i n t h e d o m a i n B b e t w e e n t h e t w o h y p e r b o l a s

    H i : x y = ~ : z , H 2: x y = 8 9 (2 .4 )I n t e g r a t i n g p a r a l l e l t o t h e c o o r d i n a t e a x e s w e h a v e

    x y ye r f z : f ex p ( - - t 2) d t + e x p ( - - x 2) f e x p t ~ s in 2 x t d t + i e x p ( - - x 2) . f e x p t 2 co s 2 x t d t .0 0 0

    L e t A b e t h e d o m a i n b o u n d e d b y H 1 a n d t h e p o s i t i v e c o o r d i n a t e a x es . I n Ac o s 2 x y ~ 0 a n d t h e r e f o r e ~ e r f z > 0 . I n B w e h a v e c o s 2 x y < 0 . S in c e e x p y ei n c r e a s e s s t e a d i l y w i t h y , w e h a v e ~ e r f ( x o + i y ) = 0 f o r e x a c t l y o n e y i n t h ei n t e r v a l ( : z / 4 X o ) < y < ( : z / 2 X o ) , w h e r e x 0 > 0 i s a r b i t r a r y b u t f ix e d . T h i s p r o v e st h a t C l i e s i n B .

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    8 4 ERWIN KREYSZIG a n d JOHN TODD :W e n o w p r o v e t h a t f o r a n y z , z 1 i n D ~ A ~ H 1 ~ B w e h a v e e r f z 4 : e r f z 1.

    B e c a u s e o f t h e s h a p e o f D w e c a n i n t e g r a t e a l o n g a p a t h c o n s i s t i n g o f t w os e g m e n t s , S h , S v , p a r a l l e l t o t h e c o o r d i n a t e a x e s . L e t z l = x l + i y 1. T h e n

    x ya ( z) ~ e r f z - - e r f z l = e x p y ~ f e x p ( - - t 2) c o s 2 t Y l d t + e x p ( - - x 2) f e x p t 2 s i n 2 x t d tX l 21x y

    - - i e x p y l 2 f e x p ( - I 2) s i n 2 t y l d t + / e x p ( - x 2) f e x p t ~ c o s 2 x t d t.X t Y *

    O n t h e h o r i z o n t a l s e g m e n t S h t h e f u n c t i o n a ( z ) , c o n s i d e r e d a s a f u n c t i o n o f xb e h a v e s a s f o ll o w s . ~ a (z) i s a s t e a d i l y d e c r e a s i n g f u n c t i o n o n t h e e n t i r e s e g m e n t

    3 S h . T h e r e a l p a r t ~R a (z) i n c r e a s e s s t e a d i l yo n A c~Sh a n d d e c r e as e s s t e a d i l y o nB c~ S h . O n t h e v e r t i c a l s e g m e n t , ~ a ( z) ,

    t a s a y , i n c r e a s e so n s i d e r e d f u n c t i o n ofy s t e a d i l y ; H a ( z ) i n c r e a s e s s t e a d i l y o n

    Svc~A a n d d e c r ea s e s s t e a d i l y o n S ~ B .2 T h i s s h o w s t h a t t h e p o s i t i o n o f t h e

    p o i n t s z~ a n d z i n D p l a y s a c e r t a i n r o l ea n d l e a d s to a n u m b e r o f d i f f e r e n t c a se s .I n e a c h c a s e w e c a n f i n d a p a t h f r o m z It o z c o n s i s t i n g o f s e g m e n t s p a r a l l e l tot h e c o o r d i n a t e a x e s a n d s u c h t h a t~ lta (z ) o r ~ a (z ) i s a m o n o t o n e f u n c t i o no n t h e e n t i r e p a t h o f i n t e g r a t i o n . F o re x a m p l e , ~ a ( z ) i n c r e a s e s s t e a d i l y o nS h ~ S ~ , b e c a u s e S h r u b = 0 ( F i g . 3 ).S i m i l a r l y , ~ a (z) d e c re a s e s s t e a d i l y o nS h a ~ S~ a . F i n a l l y , ~ a (z) d e c r e a s e s s t e a d i l yo n S ~ : , I ~ S h : , ~ S ~ s 2 b e c a u s e Shrc~A = 0

    o a n d a l o n g th e t w o v e r t i c a l s e g m e n t s w ei n t e g r a t e i n t h e n e g a t i v e y - d i r e c t i o n .N o t e t h a t i n t h i s c a se , t h e p a t h zlz2z d o e s

    n o t l i e i n D a n d o n t h e p a t h zlz~z n e i t h e r t h e r e a l n o r t h e i m a g i n a r y p a r t o f e r f zi s m o n o t o n e . T h i s c a s e a c t u a l l y i s t h e o n l y o n e in w h i c h w e n e e d m o r e t h a n t w os e g m e n t s a l t o g e th e r . T h e o t h e r c a s e s m a y b e c o n s i d e r e d i n a s i m i l a r f a sh i o n .T h i s s h o w s t h a t e r f z h a s d i f f e r e n t v a l u e s a t a n y t w o d i f f e r e n t p o i n t s i n D .H e n c e ~ = d , a n d t h e T h e o r e m i s p r o v e d .

    2 . 3 . B o u n d s / o r Q . S i n c e t h e d i s t a n c e o f B f r o m t h e o r i g i n is V ~ / 2 a n d s i n c e Ci n t e r s e c t s t h e l i n e y = x in B w e c o n c l u d e t h a t< < V ( 2 . 5 )

    W e n o t e t h a t t h e l o w e r b o u n d o b t a i n e d h e r e is t h a t o b t a i n e d o t h e rw i s e b yRO GO ZIN [ 2] . T h e u p p e r b o u n d w a s a l s o o b t a i n e d i n t h e c o u r s e o f o u r f i r s t p r o o f .

    W e s h a ll n o w d e r i v e s o m e b e t t e r b o u n d s . W e h a v ee r f ( r ~ ) = f e - " d t = V i f e - ' " d t

    0 0

    \ \ \ \ \

    z~SoLrf/J ~ z \ \

    / X "F i g . 3

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    R a d i u s o f u n i v a l e n c e o f t h e e r r o r f u n c t i o n 8 5a n d t h u sw h e r e

    e r f ( r [ /3 ) - - 2 ~ [ C ( r ) - - S ( r ) ]

    c ( ~ ) = f c o s t ~ d t , s (~ ) = f s i n l ' a t0 0

    a r e t h e F r e s n e l i n t e g r a l s . H e n c e t h e c u r v e C i n t e r s e c t s t h e l i n e y = x a t t h e p o i n t13o : X o = y o = r o / W ; 2 w h e r e r o i s t h e s m a l l e s t p o s i t i v e r o o t o f t h e r e a l e q u a t i o n

    c ( ~ ) = s ( 0 .W e t h u s o b t a i n t h e f o ll o w in g u p p e r b o u n d :

    e ~ r o .T h e n u m e r i c a l v a l u e o f ro :

    r o = 1 . 5 8 5 8 . . .w a s o b t a i n e d a s a b y - p r o d u c t o f t h e D a t a t r o n p r o g r a m f o r e r f z r e f e r re d t o i nw 3 b e lo w ; t h i s v a l u e w a s c h e c k e d b y c o m p a r i s o n w i t h s t a n d a r d t a b l e s o f t h eF r e s n e l i n t e g r a l s . U s i n g th i s v a l u e o f r o, w e s h a l l d e r i v e a r a t h e r a c c u r a t e l o w e rb o u n d f o r ~ . W e s h a l l p r o v e t h a t

    ~ > k = 1 . 5 7 4 6 . . . ( 2 .6 )w h e r e k i s t h e d i s t a n c e b e t w e e n t h e o r i g in a n d t h e c i rc l e o f c u r v a t u r e K o f Ca t P o .

    T h e t a n g e n t T t o C a t Po c a n b e r e p r e s e n t e d i n t h e f o r my = a x + b , a = y ' ( X o ) = t a n r ~ , b = x o ( l - - a ) ,

    a s f o l lo w s f r o m ( 2.3 ). I t t h u s h a s t h e d i s t a n c e

    f r o m t h e o r ig i n . C a l c u l a t i o n s h o w s t h a tz J = t . 5 6 5 8 , . .

    W e f i r s t p r o v e t h a t Q ~ A . T h e i s o c l in e s o f (2 .3 ) a r e h y p e r b o l a s x y = c = c o n s t a n t .I n B [ c f . ( 2 . 4 ) j , y ' v a r i e s fr o m - - o o ( a lo n g H ~) t o 0 ( a lo n g H 2 ). T h e h y p e r b o l aH o : x y = r ~ / 2 p a s s e s t h r o u g h P o. I t i n t e r s e c t s T a t P o a n d a t P~ : x = - - x o / a ,y = - - a y o . L e t P ~ d e n o t e t h e l e f t - h a n d p o i n t o f i n t e r s e c t i o n b e t w e e n H 1 a n d 1".L e t S d e n o t e t h e s e g m e n t P1 P2 . N o t e t h a t t h e a b s c i s s a o f P2 i s g r e a t e r t h a nt h a t o f t h e p o i n t o f i n t e r s e c t i o n P 3 b e t w e e n H i a n d t h e c i r c l e ]z[ = r o . W e p r o v et h a t C c a n n o t h a v e a p o i n t w h o s e d i s t a n c e f r o m t h e o r i g in i s s m a l l e r t h a n ZI.I t s u f f i c i e s t o s h o w t h a t t h e a r c C * o f C c o r r e s p o n d i n g t o x (P ~ )= < x G x (P ~ ) d o e sn o t h a v e p o i n t s b e l o w S . T h r o u g h e a c h p o i n t i n B t h e r e p a ss e s p r e c i s e ly o n es o l u t i o n o f ( 2 .t ) , a s f o l l o w s f r o m f a m i l i a r e x i s t e n c e a n d u n i q u e n e s s t h e o r e m s ,c f. E . K A M K E [ 6] . W e p r o v e t h a t a n y s o l u t i o n o f (2 .1 ) h a v i n g p o i n t s b e l o w Sc a n n o t p a s s t h r o u g h P 0. L e t _P b e a n y p o i n t in t h e d o m a i n B 1 b o u n d e d b y p o r -t i o n s o f H 1 , x = x o , a n d S , l y i n g t o t h e l e f t o f x = x 0 . L e t y e ( x) d e n o t e t h e s o l u -

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    8 6 E R W l N I {R E Y S Z I G a n d J O H N T O D D :

    2 .6

    1 . 5

    a 5

    O

    t i o n o f (2 .1 ) t h r o u g h P . N o w [ y ' ( P ' ) [ > l y ' ( P 0 ) l a n d y ' ( P ' ) < O f o r a ll p o i n t s P 'i n B 1 . H e n c e f o r x ( P ) ~ x < = x ( P o ) t h e s o l u t i o n y v ( x ) m u s t l i e b e l o w t h e p a r a l l e lt o S t h r o u g h P . T h e r e fo r e y p ( x ) c a n n o t p a s s t h r o u g h P 0 ; t h a t is , C * c a n n o th a v e p o i n t s P , x ( P ) < x(Po) , b e lo w S . F u r t h e r m o r e , i f C * w o u l d h a v e p o i n t sQ , x ( Q ) > x (P 0) b e l o w S s o m e o f t h e s e p o i n t s m u s t l ie i n t h e d o m a i n B e b o u n d e db y p o r t i o n s o f H 0 a n d S . L e t y Q (x ) b e t h e s o l u t io n o f (2 .1 ) t h r o u g h a n y p o i n t

    ' , \ ' , , ' , , ,

    , r ' , ,\ V ' ~ x x ' .- - . V " "# - x (Po) b e lo w S. W e h a v e s h o w n t h a tt h e d i s t a n c e o f C f r o m t h e o r i g i n i s a t l e a s t A .

    W e s h a ll n o w e s t a b l i s h ( 2. 6) . F r o m ( 2.3 ) i tf o ll ow s t h a t t h e c u r v a t u r e o f C a t P is~ o = 2r o s in ro + - 4 - '

    a n d n u m e r i c a l c a l c u l a t i o n y i e l d s~ 0 ~ 0 .5 0 0 9 . . .

    A n e l e m e n t a r y c o n s i d e r a t io n s h o w s t h a t t h ed i s t a n c e o f K f r o m t h e o r i g i n is

    k = (~ o 2 + 2 ~ o 1 Zl + r02)~ - - Xo 1,a n d n u m e r i c a l c a l c u l a t i o n y i e l d s th e v a l u e o f k g i v e n i n ( 2.6 ). L e t P4 d e n o t et h e l e f t - h a n d p o i n t o f i n t e r s e c t i o n o f 2/" a n d t h e c i rc l e Izl ~ - k , a n d l e t Q 4 C K b es u c h t h a t x ( Q 4 ) = x ( P4 )- O n t h e a r c Q , P o o f K t h e s lo p e o f t h e t a n g e n t t o Ki s l a r g e r ( t h a t is , l es s n e g a t i v e ) t h a n t h e v a l u e o f y ' a s g i v e n b y ( 2.3 ) a t t h o s ep o i n t s o f K . H e n c e t h e c o r r e s p o n d i n g a r c o f C l ie s i n s id e K , a n d t h u s C c a n n o th a v e p o i n t s w h o s e d i s t a n c e f r o m t h e o r i g i n is s m a l l e r t h a n k . T h i s p r o v e s (2 .6 ).

    W e h a v e o b t a i n e d t h a t1 . 5 7 4 6 < Q < t . 5 8 5 8 . ( 2. 7)

    I t i s c l e a r t h a t i n s t e a d o f u s i n g t h e n u m e r i c a l v a l u e o f r o w e m a y d e r i v es u b s t a n t i a l l y s i m i l a r r e s u l ts u s i n g b o u n d s o f r o. F o r in s t a n c e , t o g e t a lo w e rb o u n d f o r r o w e c o n s i d e r

    r

    g ( r ) ~ 2 - 8 9 ( C ( r ) - - S ( r ) ) = f s in (_z~ _ _ t ~ d r ., ! \ 20

    F o r 0 < t < ] / ~ / i t h e in t e g r a n d is p o s i t iv e , a n d f o r V~ -]2-< t < V 5 ~ / 2 i t i s n e g a t i v e .I f b a n d L ( r ) a r e s u c h t h a t

    g ( ~ ) > b , g (r ) - g( - v ~ )a n d t h e e q u a t i o n L ( r ) = b

    < L ( , ,)

    (2 .8)h a s a re a l s o l u ti o n , t h e s m a l l e st s o l u t i o n is a l o w e r b o u n d o f r 0. A n u p p e r b o u n do f r 0 c a n b e o b t a i n e d b y s i m i l a r a r g u m e n t . I t i s i n t e r e s t i n g t o n o t e t h a t a l r e a d y

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    R a d i u s o f u n i v a l e n c e o f t h e e r r o r f u n c t i o n 8 7s i m p l e a p p r o x i m a t i o n s o f t h e c u r v e o f t h e i n t e g r a n d o f g ( r ) b y p o r t i o n s o f t a n -g e n t s a n d c h o r d s le a d t o c lo s e b o u n d s , a n d t h e c o r r e s p o n d i n g b o u n d s o f ~ o b t a i n e db y t h e p r e c e d i n g a r g u m e n t a r e o f t h e s a m e o r d e r o f a c c u r a c y a s t h e b o u n d s o f r 0.

    3 . T h e c o m p u t a t i o n o f OW e s h a l l i n d i c a t e h o w t h e t w o m e t h o d s o f p r o o f o f o u r T h e o r e m c a n b e u s e d

    t o c o m p u t e ~ , b u t w e s h a l l c a r r y t h r o u g h t h e d e t a i l s in t h e f ir s t m e t h o d o n l y .W e s h a l l c o n t e n t o u r s e lv e s w i t h a r ea s o n a b l e , p r a c t i c a l c o m p u t a t i o n w h i c h w i l ll e a d t o a p l a u s i b l e 7 - d e c i m a l v a l u e f o r ~ . A c o p y of t h e b a s i c n u m e r i c a l m a t e r i a lh a s b e e n d e p o s i t e d in t h e f il e s o f t h e p e r i o d i c a l M a t h e m a t i c s T a b l e s a n d O t h e rA i d s t o C o m p u t a t i o n .

    3 . 1 . F i r s t m e t h o d . U s i n g t h e I B M 70 4 a t t h e N a t i o n a l B u r e a u o f S t a n d a r d s ,E L L E N BR AV ER a n d J A ~ E C . G A ~ E R f i r s t p r e p a r e d t a b l e s o f u , v t o 9 D f o r r =0 ( 0 . t ) 2 , ~ 9 = 0 ~ ~ 9 0 ~ T h e s e v a l u e s w e r e c o m p u t e d b y s u m m i n g a n a d e q u a t en u m b e r o f t e r m s o f t h e p o w e r s e r i e s a n d u s i n g t 0 D t a b l e s o f s i n 4 , c o s # . T h e s ev a l u e s w e r e s p o t - c h e c k e d b y c o m p a r i s o n w i t h t h e R u s s i a n t a b l e s [5 , 1 6] a n dm a n u s c r i p t t a b l e s c o m p u t e d a t t h e N a t i o n a l B u r e a u o f S t a n d a r d s b y F . J . STO CK -W AL a n d W . F . CA HILL . A f t e r t h i s p r e l i m i n a r y c a l c u l a t i o n s , v a l u e s w e r e o b t a i n e df or r = l . 5 ( 0 . 0 1 ) 1 . 6 . T h e n , e s t im a t e s of t h e c o r r e s p o n d i n g m i n i m a v ( r , 0 2 ( r ) )w e r e o b t a i n e d u s in g s t a n d a r d t e c h n i q u e s (S A Lz ER [ 7] ). F r o m t h e s e v a lu e s , i n v e r s ei n t e r p o l a t i o n g a v e a n e s t i m a t e f o r ~ . A s a f ir s t c h e c k w e c o m p u t e d t h e f o l l o w i n gv a l u e s o f r

    r - - t . 5 7 4 8 3 7 5 v = 0 . 0 0 0 0 0 0 1 3 4v = 4 9 . 9 7 ~ r = t . 5 7 4 8 3 7 6 v = - - 0 . 0 0 0 0 0 0 0 0 7

    r = 1 . 5 7 4 8 3 7 7 v = - - 0 . 0 0 0 0 0 0 1 6 4 .W e n e x t c o m p u t e d t h e f o l l ow i n g a d d i t i o n a l v a l u e s :

    { v = 4 9 . 9 6 ~ v = 0 . 0 0 0 00 0 0 3 0r = 1 . 5 7 4 8 3 7 6 ~9 = 4 9 . 9 7 ~ v = - - - 0 . 0 0 0 0 0 0 0 0 7v = 4 9 . 9 8 ~ v = 0 .0 0 00 O 0 O 7 5 .F r o m t h is w e c o n c lu d e t h a t= 1 . 5 7 4 8 3 7 6 .

    T h e e s s e n t i a l p a r t o f t h e s e c a l c u l a t io n s w e re r e p e a t e d o n t h e D a t a t r o n 2 05 ,a t t h e C a l i f o r n i a I n s t i t u t e o f T e c h n o l o g y . S p e c i f i c a l ly , u s i n g f l c a t i n g p o i n t a r i t h -m e t i c , c a r r y i n g e i g h t s i g n i f i c a n t f ig u re s , w e c o m p u t e d v ( r , ~ ) f o r r = 1 . 5 7 4 8 3 6 6(1 0 -7) 1 .5 7 48 3 8 5 i n t h e c r i t i c a l r a n g e o f 0 . T h e p r o g r a m w a s w r i t t e n o n l y f o r va n in t e g r a l n u m b e r o f d e g re e s a n d t h e l a t e r p a r t o f o u r c a l c u l a t i o n w a s r a t h e rd i f f e r e n t f r o m t h a t d e s c r i b e d a b o v e . W e u s e d t h e v a l u e s o f v f o r r = 1 . 5 74 8 3 81 ,, 9 = 4 4 ~ ~ 55 ~ w h i c h w e g i v e t o 7 D b e l o w . A g a i n u s i n g S A LZ ER 'S f o r m u l a e w ef o u n d t h a t t h e m i n i m u m o f v ( t . 5 7 4 8 3 8 t , t~) o c c u r r e d a t 0 = 4 9 .9 6 87 ~ a n d , i n t e r -p o l a t i n g , u s i n g E V ER E TT 'S m e t h o d w i t h m o d i f i e d s e c o n d d i f f e re n c e s w e f i n d

    v ( t . 5 74 8 3 8 t , 0 ) = - - 0 . 0 0 0 0 0 0 7 .N o w w e h a v e a l r e a d y n o t e d t h a t

    v = - - f e x p { - - (t9 + 89~ ) c o t 2 v } d r

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    8 8 E R W I N K R E Y S Z I G a n d J O H N T O D D :

    where the integration is along the curve on which a v i a n is zero. Hence~Vor - - exp{ - - ( 0+ J2 ~ )co t20 }- - t .5 for t~= ~ .

    The appropriate correction in r is therefore about --0.0000005 and we thereforerecover the value

    o = t .57 483 76.v (1.574 838L O)

    44 ~ 0.014318045 ~ 0.010851846 ~ 0.007 570147 ~ 0.004630048 ~ 0.002224549 ~ 0.000587550~ --0.000000151 ~ 0.000794452 ~ 0.003361453 ~ 0.008154554 ~ 0.015694555 ~ 0.0265741

    Sixt h differences are negligible and the modifiedsecond diffe rences cor re spo nd ing to z9 = 49 ~ an d v = 50 ~are

    0.00t0399 and 0.00t3715

    3 .2 . S e c o n d M e t h o d . Another way of obtaining 0 by computation is thenumer ical integra tion of the differential equa tion (2.3) start ing from the point P0 :X o = Y o = r o / V 2 . This approach is rather simple because the poin t of C at m in im umdist ance from the origin lies close to Po. A crude calc ulation, using the Rung e-Ku tt a Method, working at inter val 0.0t, to 6D, gives 0 =1. 5748 4.

    R e f e r e n c e sWe have i ncluded here, for completeness, some references [9--181 on the q u a n t i t a -

    tive behav ior of erf z, which are n ot referred to d irect ly in the t e x t .[11 NEHARI, Z. : The Schwarzian d eri vat ive and schlicht functions. Bull. Amer.Math. Soc. 5 5 , 545--551 (1949).[2] ROGOZlN,V. S.: Two sufficient condi tions for the univalence of a mapping .Rostov Gos. Univ. Uc. Zap. Fiz.-Mat. Fak. 32, 135--137 (1955).[3] READE, M. O.: On Umezawa 's criteria for univalence. J. Math. Soc. Japan 9,234--238 (1957).[41 READE, M. O.: A radius of uni val enc e for f e - ~ ' d ~ . Preli minary Report. Bull.oAmer. Math. Soc. 63, 193 (1957).[8j FADDEEVA,V.N. , and N. N. TERENTIEV: Tab licy znacenii funkc ii w(z) =

    e - * ' I + ~ / _ e e ' d t ot kompleksnogo argumenta. Moscow 1954.o[61 KAMKE, E. : Different ialg leichungen reelle r Funk ti on en , 2. Aufl. Leipzig 1952.[7] SALZER,H. E. : Formulas for finding the arg ume nt for which a f unctio n has agiven derivative. Math. Tables and Other Aids to Computati on 5, 213--215(195t).[8] LITTLEWOOD, J. E. : Lectures on the theory of functions, p. 121. Oxford 1944.[91 WmTEHEAD, S. : An approx ima te met hod for calcula ting heat flow in an infinitemedium heated b y a cylinder . Proc. Phys. Soc. $6, 357- -366 (1944).

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    R a d i u s o f u n i v a l e n c e o f t h e e r r o r f u n c t i o n 8 9[101 L A IB L E, T . : H S h e n k a r t e d e s F e h l e r i n t e g r a l s . Z . a n g e w . M a t h . P h y s . 2, 4 8 4 - - 4 8 7

    ( 1 9 5 1 ) .E l l I SA LZ~R , H . E . : C o m p l e x z e ro s o f t h e e r r o r f u n c t io n . J . F r a n k l i n I n s t i t u t e 2 60 ,2 0 9 - - 2 1 1 ( ' 1 9 5 5 ) . oo[121 C L EM M O 'W , P . C . , a n d C . M . M U N F O R D : A t a b l e o f V ~ e ~ , e ' / 2 f e - i = a ' 1 2 d 2 f o rQc o m p l e x v a l u e s o f ~ . P h i l . T r a n s . R o y a l S o c . L o n d o n A 2 4 5, 1 8 9 - - 211 ( ! 9 5 2) .[13] H O R N ER , F . : A t a b l e o f a f u n c t i o n u se d i n r a d i o - p r o p a g a t i o n t h e o r y . P r o c .I n s t i t u t e E l e c t r i c a l E n g i n e e r s C 1 02 , 1 3 4 - - 1 37 ( t 9 5 5) .[ 1 6 1 S A L Z E R , H . E . " F o r m u l a s f o r c a l c u l a t i n g t h e e r r o r f u n c t i o n o f a c o m p l e x v a r i a b l e .M a t h . T a b l e s a n d O t h e r A i d s t o C o m p u t a t i o n 5, 6 7 - - 7 0 ( 19 51 ).

    g Yf e - " d x .151 ~ r { o s s e R , J . B . : T h e o r y a n d a p p l i c a t i o n o f f e - X ' d x a n d f e - P 2 Y * d y ~0 0 0P a r t I . M e t h o d s o f C o m p u t a t i o n . B r o o k l y n , N . Y . 1 9 48 .$E161 KARPOV,K . A . : T a b l i c y f u n k c ii w ( z ) = e - z ' f e x ~ d x v k o m p l e k s n o i o b l a s t i .M o s c o w 1 9 56 . 0z[17] KARPOV,K . A . : T a b l i c y f u n k c i i F ( z ) = f e * d x v k o m p l e k s n o i o b l a s t i. M o s c o w1958 . 0[181 L A IE R , F . : D i p l o m a r b e i t , D a r m s t a d t 1 9 4 3 ".

    O h i o S t a t e U n i v e r s i t yC o l u m b u s , O h i oa n d

    C a l i f o r n ia I n s t i t u t e o f T e c h n o l o g yP a s a d e n a , C a l i f o r n i a(Rece ived Octo b er 2 , 1 9 5 8 )

    * P r o f e s s o r A . "V VA LTIJER h a s i n f o r m e d u s t h a t t h i s t h e s i s, p r e p a r e d u n d e r h i sd i r e c t io n , w h i c h w e h a v e n o t y e t s ee n , a n d l a t e r u n p u b l i s h e d i n v e s t i g a t i o n s b y t h ea u t h o r , a r e c o n c e r n e d w i t h t h e b e h a v i o r o f er r z i n t h e c o m p l e x p l a n e.