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The Plasma Dispersion Function
THE HILBERT TRANSFORM OF THE GAUSSIAN
Burton D. Fried Ramo-Wooldridge Division
Thompson Ramo Wooldridge Inc., Canoga Park, California
Samuel D. Conte Space Technology Laboratories, Inc.,
Los Angeles, California
Academic Press NEW YORK AND LONDON
1961
COPYRIGHT © 1961, BY ACADEMIC PRESS INC.
ALL RIGHTS RESERVED
NO PART OF THIS BOOK MAY BE REPRODUCED IN ANY FORM BY PHOTOSTAT, MICROFILM, OR ANY OTHER MEANS,
WITHOUT WRITTEN PERMISSION FROM THE PUBLISHERS.
ACADEMIC PRESS INC. I l l FIFTH AVENUE
NEW YORK 3, N. Y.
United Kingdom Edition Published by
ACADEMIC PRESS INC. (LONDON) LTD. 17 OLD QUEEN STREET, LONDON S.W. 1
Library of Congress Catalog Card Number 61-16627
PRINTED IN THE UNITED STATES OF AMERICA
PREFACE
The theory of small amplitude waves in a very hot, uniform plasma has been thoroughly worked out in the past few years. In the application of these general results to specific problems, however, complex variable calculations occur which can be extremely onerous unless one has at hand tables of a certain special function, Z, which is essentially the Hilbert transform of a Gaussian. This function, together with its first derivative, Ζ', is tabulated here in a form which has proved convenient for these plasma wave problems.
These tables should be of particular value to anyone concerned with waves or linearized disturbances in a very hot, not too dense, uniform plasma, i.e., one whose collision frequency is low enough to justify a description in terms of the correla-tionless or " collisionless" kinetic equation (also referred to occasionally as the Vlasov equation). Such plasmas are common to many fields of research, including hypersonics, ionospheric physics, extraterrestrial geophysics and space physics, as well as the large effort, in many countries, aimed at achieving controlled thermonuclear reactions. (Of course, the functions tabulated here are useful also in many other fields of physics and engineering; in particular, they play a prominent role in the acoustics of rarefied gases.)
The tabular material is preceded by a short expository section which summarizes some of the principal mathematical characteristics of Z, explains in detail its application to plasma physics problems, and discusses the numerical methods used to generate the tables. The range of the complex-valued argument, f = x + iy, of Z is 0 < x < 10, —10 < y < 10, the values of Z being given at intervals Ax — Ay = 0.1, to an accuracy of five significant figures. Asymptotic expressions adequate to deal with arguments outside this range are given in the introduction section.
OCTOBER, 1961 BURTON D. FRIED SAMUEL D. CONTE
I. INTRODUCTION
In the theory of linearized waves or oscillations in a hot plasma, with or without a magnetic field, a certain function of complex argument, which we will call the plasma dispersion function, occurs repeatedly whenever the unperturbed velocity distribution is taken to be Maxwellian (i.e., Gaussian). This function may be defined as
Z(n = x-1/2 Γ dx exp (-x*)/(x - f) (1) J — oo
for Im f > 0 and as the analytic continuation of this for Im ξ < 0. The alternative representation
Z(f) = 2* exp ( - f 2 ) / exp (-t2) dt (2) • ' - c o
is valid for either sign of Im f and, in addition, shows that Z (f) is closely related to the error function. In plasma applications, the variable f = x + iy has the significance of the ratio of phase velocity of the wave to some thermal velocity,
ξ = ω/ka (3)
where ω and k are the frequency and wave number of a wave and a is the thermal velocity of the particles. For waves which are either damped or unstable, ω will be complex, and the analysis of such waves requires, therefore, a knowledge of Z (or of the error function) for complex arguments.
Since the error function of complex argument arises also in other physical applications, the literature contains several tabulations of functions closely related to Z, but for the most part each of these covers only a very limited range. The most complete tables seem to be those of Fadeeva and Terent'ev,1 who give the function w(f) = Ζ{ξ )/ίπ1/2. However, they include only positive values of y and tabulate only Z and not the derivative, Z'. Although simple formulas express Z'(f) and ^ ( — ?*) m terms of Z(f), the complex arithmetic involved becomes quite onerous in the course of any extended calculations. Our present situation may be likened to that of someone whose tables of trigonometric functions include only the sine, for arguments between 0 and 22.5°. By using a few identities, he could from this compute all other trigonometric functions, for all arguments, with only simple algebraic operations, but it is clearly desirable to have tables (even if they have limited accuracy) of sin, cos, and tan over the whole range 0-90°.
In view of the large (and still expanding) effort in plasma physics, it appears
1 V. N. Fadeeva and N. M. Terent'ev, " Tables of Values of the Probability Integral for Complex Arguments." State Publishing House for Technical Theoretical Literature, Moscow, 1954.
1
2 T H E PLASMA DISPERSION FUNCTION
that a table giving the real and imaginary parts of both Z and Z' over a fair region of the complex plane (both above and below the real axis) should be very useful. Anyone faced with extensive machine calculations on plasma waves will, of course, simply generate the Z function in the course of the computation (as one does with trigonometric, Bessel, and other functions, notwithstanding the existence of tables). The need, therefore, is not for a table with very small intervals or very great accuracy, but simply for one suitable for hand computations or for a study of qualitative properties.
As might be expected, the functions tabulated here find applications also in fields other than plasma physics. For example, the study of acoustic phenomena in rarefied gases using kinetic theory methods leads also to equations involving Z and Z', since the method of analysis (linearization of a kinetic equation about a Max-wellian distribution) is very similar to that used in studying plasma wave phenomena. We shall not attempt to catalog here these other applications, since most of them require not Z or Z' but rather functions closely related to them. It will suffice to emphasize that, as follows directly from (1) and (2),
(a) Z(f) can be expressed in terms of the error function: Ζ(ζ) = t 'V^exp ( - f 2 ) [ l + erf ( if)]
(b) The real part of Z for real argument is \Λτ times the Hilbert transform of the Gaussian:
_ z*00 dt exp ( — t2) Re Z(x) = VV P / —
' - c o w(t — X)
To supplement the range covered by the tables, it is useful to have asymptotic expansions, power series, etc. These are summarized in Section II, along with the symmetry properties and the relations between Z for special arguments and other tabulated functions (error function, Fresnel integrals, etc.). Section III gives the dielectric constant tensor for a plasma in a magnetic field in terms of the Z and Z' functions. Section IV describes the methods used to generate the tables and the accuracy of the calculations. Section V shows the real and imaginary parts of Z and Z' as functions of x for representative values of y.
The tables of values cover generally the region 0 < x < 10, —10 < y < 10. Intervals of 0.1 in x and y are used and the function values are accurate to at least 5 significant figures, save for the exceptions noted in Section IV.
II. PROPERTIES OF Z
A. Symmetry Properties
Re Z(x, y) = —Re Z( —x, y) Im Z(x, y) = Im Z(—xfy) or
z(n = -cz(-f)]* For y > 0
Z(x - iy) = Z(x + iy) + 2ίπ112 exp [ - (x - iy)22
2 T H E PLASMA DISPERSION FUNCTION
that a table giving the real and imaginary parts of both Z and Z' over a fair region of the complex plane (both above and below the real axis) should be very useful. Anyone faced with extensive machine calculations on plasma waves will, of course, simply generate the Z function in the course of the computation (as one does with trigonometric, Bessel, and other functions, notwithstanding the existence of tables). The need, therefore, is not for a table with very small intervals or very great accuracy, but simply for one suitable for hand computations or for a study of qualitative properties.
As might be expected, the functions tabulated here find applications also in fields other than plasma physics. For example, the study of acoustic phenomena in rarefied gases using kinetic theory methods leads also to equations involving Z and Z', since the method of analysis (linearization of a kinetic equation about a Max-wellian distribution) is very similar to that used in studying plasma wave phenomena. We shall not attempt to catalog here these other applications, since most of them require not Z or Z' but rather functions closely related to them. It will suffice to emphasize that, as follows directly from (1) and (2),
(a) Z(f) can be expressed in terms of the error function: Ζ(ζ) = t 'V^exp ( - f 2 ) [ l + erf ( if)]
(b) The real part of Z for real argument is \Λτ times the Hilbert transform of the Gaussian:
_ z*00 dt exp ( — t2) Re Z(x) = VV P / —
' - c o w(t — X)
To supplement the range covered by the tables, it is useful to have asymptotic expansions, power series, etc. These are summarized in Section II, along with the symmetry properties and the relations between Z for special arguments and other tabulated functions (error function, Fresnel integrals, etc.). Section III gives the dielectric constant tensor for a plasma in a magnetic field in terms of the Z and Z' functions. Section IV describes the methods used to generate the tables and the accuracy of the calculations. Section V shows the real and imaginary parts of Z and Z' as functions of x for representative values of y.
The tables of values cover generally the region 0 < x < 10, —10 < y < 10. Intervals of 0.1 in x and y are used and the function values are accurate to at least 5 significant figures, save for the exceptions noted in Section IV.
II. PROPERTIES OF Z
A. Symmetry Properties
Re Z(x, y) = —Re Z( —x, y) Im Z(x, y) = Im Z(—xfy) or
z(n = -cz(-f)]* For y > 0
Z(x - iy) = Z(x + iy) + 2ίπ112 exp [ - (x - iy)22
THE PLASMA DISPERSION FUNCTION
B. Values for Special A rguments
Real Argument
Z(x) = tV'exp (-x2) - 2xY(x) where
Y(x)= [exp ( -ζ 2 ) /χ ] f exp (t2) dt
Imaginary Argument
Z{iy) = t7T1/2exp (y2)(l - erf y)
Modulus 5° Zip exp ( -*t /4) ] = tV^exp (ip2){l + (201/2[C(p2) - tS(p2)]}
where C and 5 are the Fresnel functions
C(x) +iS(x) = f exp (ττΛ2/2) eft
C. Power Series
Z(f) = tV1'2 exp (-f2) - 2f[l - 2f*/3 + 4f«/15 - 8r6/105 + · · · ]
= tx1« exp (-f2) - f Σ, ( - r ) V ' V ( n + 1 / 2 ) !
F(x) = 1 - 2x2/3 + 4z4/15 - 8ζ6/105 + · · ·
Z). Asymptotic Expansion
Ζ(η^ίτ1,2σ exp (~f2) - Γ ΐ ΐ + l/2f2 + 3/4f4 + . . . ]
= t W e x p (-f2) - ΣΓ( 2 η + 1 )(η - 1/2)!/ττ1/2
n=0
where F(z) = (l/2z2)[l + l/2x2 + 3/4z4 + · · · ]
fO 2/ > 0 1 2/ = 0
12 y < 0
.E. Differential Equation Characterization
Z' = -2 (1 + f Z ) for all f.
Z(0) = tV2
4 THE PLASMA DISPERSION FUNCTION
III. APPLICATIONS TO PLASMA PHYSICS
The function Z occurs in the dispersion equation for linearized waves in a non-relativistic plasma when the equilibrium velocity distribution function is assumed to be Maxwellian. A concise summary of the results of the linearized theory of plasma waves with neglect of two-body correlations* is as follows.
In presence of a uniform time-independent magnetic field, B0, the dispersion equation for plane waves [exp (tk-x — co£)] is
c2k X (k X E) + ω2(Ε + 4π^ ·Ε /ω) = 0
where d, the effective "conductivity tensor" of the plasma, is a sum of terms, one from each of the constituent species. The contribution to d from particles with charge q, mass m, plasma frequency
cop = (4:wnq2/my/2
and cyclotron frequency
isz
where
and
wc = qBv/mc
d = - (iü>p2/W)f0 j άη exp (-ij2)T
Txx = Σ (n2/X2)vlJn(Kv)jZn —oo
Txy = - Γ „ = ί Σ (n/\)v*Jn(\v)Jn'(\v)Zn — oo
— OO
oo
T„ = Tzx = -Ση\-^η(\^Ζη'/2 — oo
oo
Tn = ~ T y l = -i^V2Jn(\v)Jn'(\v)Zn'/2 —oo
oo
— OO
Zn = Z(f . ) ZJ = Ζ'(Γη).
* Sometimes described as a neglect of collisions. 2 B. D. Fried, "Future Foundations of Electronics," chapter on Magnetohydrodynamics,
McGraw-Hill, New York (in press).
THE PLASMA DISPERSION FUNCTION 5
Jn is the nth-order Bessel function and
λ = /cj_a/coc ξ n = (ω — nü)c)/k\\a
where fcM, /cj_are the components of k parallel and perpendicular to B0 and a is the thermal velocity, the equilibrium velocity distribution for this species being
f(v) = expl-(v/ayy(awU*y
On using the properties of Z given in Section II, it is readily verified that this reduces to the usual well-known results in limiting cases (B0 = 0, a —> 0, etc.).
An alternative form for d, obtained by using Weber's second exponential integral,3 is
d = — (ίωρ2/ωπ )f oS
Sxx = [exp ( - λ 2 / 2 ) / 2 λ 2 ] Σ Ζ η / η ( λ 2 / 2 ) η 2
— 00
&, = -S„ = [ texp ( - λ 2 / 2 ) / 4 ] Σ Ζ η [ / / ( λ 2 / 2 ) - / „ ( λ 2 / 2 ) > — oo
Sm = exp ( -λ2 /2)(λ2 /8) Σ 2,[/»(λ2/2) + / η"(λ2 /2) + (8/λ2 - 2)7„'(λ2/2)] — 00
S„ = + S „ = - [ e x p ( -λ 2 /2 ) /4λ ] Σ Ζ Λ ( λ ! / 2 ) η —oo
8V = - 5 „ = -t'Cexp ( -λ 2 /2 )λ /8 ] Σ ζ η ' [ / η ' ( λ 2 / 2 ) - /„(λ2 /2)] — 00
S» = [exp ( - λ 2 / 2 ) / 4 ] Σ,Ζη%Ιη(\*/2)
— 00
Instead of giving d, some authors specify the "dielectric constant tensor/'
ε = 1 — (47Tt '^)d
IV. TABLE GENERATION AND ACCURACY Several methods have been proposed for computing the error function in various
regions of the complex f plane.4 For small values of y, numerical integration of the
3 G. N. Watson, "Theory of Bessel Functions," p. 395. Cambridge Univ. Press, London and New York, 1952.
4 H. E. Salzer, Formulas for calculating the error function of a complex variable, Math. Tables Aids Compui. 35, 67 (1951).
THE PLASMA DISPERSION FUNCTION 5
Jn is the nth-order Bessel function and
λ = /cj_a/coc ξ n = (ω — nü)c)/k\\a
where fcM, /cj_are the components of k parallel and perpendicular to B0 and a is the thermal velocity, the equilibrium velocity distribution for this species being
f(v) = expl-(v/ayy(awU*y
On using the properties of Z given in Section II, it is readily verified that this reduces to the usual well-known results in limiting cases (B0 = 0, a —> 0, etc.).
An alternative form for d, obtained by using Weber's second exponential integral,3 is
d = — (ίωρ2/ωπ )f oS
Sxx = [exp ( - λ 2 / 2 ) / 2 λ 2 ] Σ Ζ η / η ( λ 2 / 2 ) η 2
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&, = -S„ = [ texp ( - λ 2 / 2 ) / 4 ] Σ Ζ η [ / / ( λ 2 / 2 ) - / „ ( λ 2 / 2 ) > — oo
Sm = exp ( -λ2 /2)(λ2 /8) Σ 2,[/»(λ2/2) + / η"(λ2 /2) + (8/λ2 - 2)7„'(λ2/2)] — 00
S„ = + S „ = - [ e x p ( -λ 2 /2 ) /4λ ] Σ Ζ Λ ( λ ! / 2 ) η —oo
8V = - 5 „ = -t'Cexp ( -λ 2 /2 )λ /8 ] Σ ζ η ' [ / η ' ( λ 2 / 2 ) - /„(λ2 /2)] — 00
S» = [exp ( - λ 2 / 2 ) / 4 ] Σ,Ζη%Ιη(\*/2)
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Instead of giving d, some authors specify the "dielectric constant tensor/'
ε = 1 — (47Tt '^)d
IV. TABLE GENERATION AND ACCURACY Several methods have been proposed for computing the error function in various
regions of the complex f plane.4 For small values of y, numerical integration of the
3 G. N. Watson, "Theory of Bessel Functions," p. 395. Cambridge Univ. Press, London and New York, 1952.
4 H. E. Salzer, Formulas for calculating the error function of a complex variable, Math. Tables Aids Compui. 35, 67 (1951).
6 THE PLASMA DISPERSION FUNCTION
differential equation is both accurate and convenient. For large values of y, and especially along the positive imaginary axis, this method is unsatisfactory because of the accumulation of truncation and round-off errors. In this range, a continued fraction based on the asymptotic expansion of Z(f) was derived and proved to be completely satisfactory. The continued fraction is an analytic continuation of the asymptotic expansion for Z(f) and is most easily derived using the quotient difference algorithm.5 The continued fraction has the form
-r2 + * + (-Oft) r2 + \ + (-2)(f)
-f2 + 1 + -ttn+l bn+l + —Cln+2
where in general
n(2n - 1) αη+ι = , n = 1, 2, · · ·
Δ
bn+1 = -f2 + \ +2n, n = 0, 1, · · ·
ai = f
The continued fraction is evaluated by the recursion relations
Λη+1 = On+iAn + fln+l^n-l
Bn+1 = On+lAn + an+lDn_l
4_! = 1 ^0 = 0
B_i = 0 ß 0 = 1 and
Z(f) = lira An/Bn y>0 n-*co
For y < 0, the formula used is
Z(f) = 2zV/2exp (-f2) + Z ( f * )
When the continued fraction is used, the values of Z'(f) are computed from the differential equation Z' = —2(1 + fZ).
Although based on the asymptotic expansion for Z(f) , it can be shown that the continued fraction is valid in the entire complex plane except for points along the real axis. However, the number of terms required for convergence increases for points near the real axis, and there are serious problems in maintaining accuracy
6 P. Henrici, Quotient difference algorithm, NatL Bureau Standards, U. S. Appl. Math. Ser. 49.
T H E PLASMA DISPERSION FUNCTION 7
due to overflow or underflow. For I y | > 1, the number of terms required for convergence was usually 5 or 6, but occasionally somewhat larger. Thus, it seemed reasonable to divide the region of interest into two parts:
I y I < 1, 0 < x < 10 and 10 > | y \ > 1, 0 < x < 10
using the differential equation in the first region and the continued fraction in the second region.
Both methods were programmed in single precision floating point arithmetic for an IBM 709 computer. The entries are given to 5 significant digits with the corresponding power of 10. The output format differs slightly for the two methods, the power of 10 being preceded by E in the continued fraction results and being omitted for the numerical integration. The continued fraction results are uniformly correct to 5 significant digits. The entries are given in intervals of 0.1 in the regions of interest except for some points in the triangular region y < — x and y < —9.3 where the functional values are exceedingly large and where the asymptotic expression Z ^ 2ζ*7Γ1/2 exp (y2 — x2 + 2ixy) completely dominates.
The differential equations were integrated first along the imaginary axis (x = 0, — 1 < y < 1) to obtain the correct starting values and then along the lines y = constant. The integrating step size was Ax = 0.01 and the results given are also correct to 5 significant figures with the exception of Im (Z) and Im (Ζ') along the real axis.
For y = 0, 5 < x < 10, the entries for Im (Z) and Im (Ζ') become extremely small and significance is gradually lost. At x — 9.0, the first four digits are still significant, but, thereafter, the machine encounters underflow difficulties and the power of 10 as well as the figures themselves are probably incorrect. For precise work in this region, the formula Im Z{x) = tV/2 exp (—x2) should be used. The numerical integration was spot checked using the continued fraction in the region of common convergence.
V. GENERAL BEHAVIOR OF THE FUNCTIONS
For y = 0, the real and imaginary parts of Z and Z' vary with x as shown in Figs. 1 and 2. None of the functions has a nonzero root except for Re Z' which vanishes at x = 0.925. For positive values of y, the curves are quite similar save that all amplitudes decrease and the locations of the maxima in Re Z and in Im Z' and the root of Re Z' all shift slightly to higher values of x as y increases. This is shown in Figs. 3-6, which give the real and imaginary parts of Z and Z' for y = 1, 2, 5, and 10.
For negative values of y, the functions all have very strong oscillations for I # I ~ I V I· This behavior is illustrated by Figs. 7 and 8 which show the functions for y = —1.0. All except Re Z have one more zero than they do for y = 0. As — y increases further, the number of zeros of each function increases, as does the
T H E PLASMA DISPERSION FUNCTION 7
due to overflow or underflow. For I y | > 1, the number of terms required for convergence was usually 5 or 6, but occasionally somewhat larger. Thus, it seemed reasonable to divide the region of interest into two parts:
I y I < 1, 0 < x < 10 and 10 > | y \ > 1, 0 < x < 10
using the differential equation in the first region and the continued fraction in the second region.
Both methods were programmed in single precision floating point arithmetic for an IBM 709 computer. The entries are given to 5 significant digits with the corresponding power of 10. The output format differs slightly for the two methods, the power of 10 being preceded by E in the continued fraction results and being omitted for the numerical integration. The continued fraction results are uniformly correct to 5 significant digits. The entries are given in intervals of 0.1 in the regions of interest except for some points in the triangular region y < — x and y < —9.3 where the functional values are exceedingly large and where the asymptotic expression Z ^ 2ζ*7Γ1/2 exp (y2 — x2 + 2ixy) completely dominates.
The differential equations were integrated first along the imaginary axis (x = 0, — 1 < y < 1) to obtain the correct starting values and then along the lines y = constant. The integrating step size was Ax = 0.01 and the results given are also correct to 5 significant figures with the exception of Im (Z) and Im (Ζ') along the real axis.
For y = 0, 5 < x < 10, the entries for Im (Z) and Im (Ζ') become extremely small and significance is gradually lost. At x — 9.0, the first four digits are still significant, but, thereafter, the machine encounters underflow difficulties and the power of 10 as well as the figures themselves are probably incorrect. For precise work in this region, the formula Im Z{x) = tV/2 exp (—x2) should be used. The numerical integration was spot checked using the continued fraction in the region of common convergence.
V. GENERAL BEHAVIOR OF THE FUNCTIONS
For y = 0, the real and imaginary parts of Z and Z' vary with x as shown in Figs. 1 and 2. None of the functions has a nonzero root except for Re Z' which vanishes at x = 0.925. For positive values of y, the curves are quite similar save that all amplitudes decrease and the locations of the maxima in Re Z and in Im Z' and the root of Re Z' all shift slightly to higher values of x as y increases. This is shown in Figs. 3-6, which give the real and imaginary parts of Z and Z' for y = 1, 2, 5, and 10.
For negative values of y, the functions all have very strong oscillations for I # I ~ I V I· This behavior is illustrated by Figs. 7 and 8 which show the functions for y = —1.0. All except Re Z have one more zero than they do for y = 0. As — y increases further, the number of zeros of each function increases, as does the
8 THE PLASMA DISPERSION FUNCTION
amplitude of the oscillations. Figures 9 and 10 show the case y = —1.2, for which Re Z has two more zeros than at y = 0, while the others all have one more than at y = 0. For larger values of —y, the oscillations become so violent that plots of this type are of little value. The oscillatory character, the number of zeros, etc., can then be read directly from the tables, by inspection.
ACKNOWLEDGMENTS
I t is a pleasure to acknowledge the assistance of various members of the Computation and Data Reduction Center at Space Technology Laboratories where these tables were computed. In particular, the work of Mr. Frank Welsh, Mr. K. M. Brown, and Dr. Chester Sensenig was invaluable in carrying out the numerical analysis and computer programming.
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FIG
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y =
—
1.2.
10
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W
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O
d o o 2
TABLE FORMAT
The tabular material has been reproduced photographically from the output of an IBM 709 computer, a procedure which avoids typesetting errors but results in certain typographical peculiarities which are explained here for the benefit of readers unaccustomed to computer print-outs.
Each entry in the table consists of a six-digit number lying between zero and one, followed by a two-digit number, positive or negative, which gives the appropriate power of ten by which the six-digit number should be multiplied to arrive at the correct function value. Those entries corresponding to values of y between zero and one have no zero to the left of the decimal point, while for y values above 1.0, there is a zero to the left of the decimal point and also an E preceding the exponent. This difference in format results from the use of different computational routines for 0 < y < 1 and 1 < y < 10, as explained in Section IV, but may be ignored in using the tables.
Since the computer's accuracy is limited, although large, an entry of .000000-39 is to be regarded as being precisely zero, while +39 is the largest exponent which can be regarded as significant. Entries are correct to at least five significant figures, save for a few exceptions noted in Section IV. This section should be consulted for further details concerning the computational techniques.
15
y = 0 . 0
X
1 ll li 1 ll
1 1 1 1< 1
2 2 2 2 2
2 2 2i 2 2
3 3 3 3 3
3 3 3 3 3
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0 1 2 3 4
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»5 »6 i7 ,8 i9
ReZ .000000-
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•39 00 00 00 00
00 00 01 01 01
01 01 01 00 00
00 00 00 00 00
00 00 00 00 00
00 00 00 00 00
00 00 00 00 00
00 00 00 00 00
00 00 00 00 00
00 00 00 00 00
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01 ~i 01 01 00 -« 00 -i
00 « 00 00 < 00 < 00 <
00 < 00 -01 -01 < -01
-01 -01 -01 < -02 i -02
-02 -02 -02 -03 , -03 i
-03 -03 i -04 -04 , -04
-05 -05 -05 -06 -06
-06 -07 -07 -07 -08
-08 -08 -09 -09 i -10 i
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01 00 00 00 -01
00 00 00 00 00
00 00 00 00 00
00 00 00 00 00
00 00 00 00 00
00 00 00 00 00
-01 -01 -01 -01 -01
-01 -01 -01 -01 -01
-01 -01 -01 -01 -01
-« -< ~ l — 4
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-4 -< --— <
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ImZ' oooooo-►350964 ►681182 ►971940 ►120831
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.256069-
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■39 00 00 00 01
01 01 01 01 01
01 01 01 00 00
00 00 00 00 00
00 -01 -01 -01 -01
-01 -01 -02 -02 -02
-02 -03 -03 -03 -03
-04 -04 -04 -05 -05
-05 -06 -06 -06 -07
-07 -07 -08 -08 -09
x 1 To] • 1 • 2 • 3 .4
• 5 .6 • 7 .8 • 9
1.0 1.1 1·2| 1.3 1.4
1.5 1.6 1.7 1.8 1.9
2.0 2.1 2.2 2.3 2.4
2.5 2.6 2.7 2.8 2.9
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4.5 4.6 4.7 4.8 4.9
16
y=o.o χ
r* \5i
\5t 5, r4 5<
\5i
\5i 5i
\5i
61 6< 61 6< 6<
6t 61
\6i
64 64
7i \li \li 7< 7<
7i 7i 7i 7i 7i
84 84
\8i 8< 8.
84 8< 'β, 8, 8<
9i 9t 9i 9, 9
9 \9t 9( 9' 9
► 0 ► 1 »2 »3 ► 4
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► 0 ► 1 ► 2 »3 ► 4
i5 »6 ► 7 ► 8 ► 9
l0 »1 »2 ► 3 »4
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|0 ► 1 »2 .3 »4
i5 ► 6 ► 7 »8 »9
l0 ► 1 i2 ► 3 i4
»5 »6 »7 »8 »9
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00 00 00 00 00
00 00 00 00 00 00 00 00 00 00
00 00 00 00 00
00 00 00 00 00
00 00 00 00 00
00 00 00 00 00
00 00 00 00 00
00 00 00 00 00
00 00 00 00 00
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•149075-37 •149075-37 < .149075-37 < .149075-37 < .134376-37 4
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ImZ' »246159-09 »914491-10 »332882-10 »118728-10 »414932-11
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5 5, 5, 5< 5,
5( 5( 54 54 5« 6, 64 64 64 64
64 64 64 64 64
74 74 74 74 74
7< 7( 74 74 74
84 84 84 84 84
84 84 84 84 81
94 9 94 9< 9
9 9, 9< 9t 9
X
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IO »1 »2 »3 »4
i5 »6 i7 .8 i9
17
y = o.i
X (To • 1 • 2 • 3 • 4
• 5 • 6 ♦ 7 • 8 • 9
1.0 1.1 1.2 1.3 1.4
1.5 1.6 1.7 1.8 1.9
2.0 2.1 2.2 2.3 .2.4
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3.5 3.6 3.7 3.8 3.9 4.0 4.1 4.2 4.3 4.4 4.5 4.6 4.7 4*8 4.9
ReZ •000000-
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00 00 00 00 00
00 00 00 00 00
00 00 00 00 00
00 00 00 00 00 00 00 00 00 00
00 00 00 00 00 00 00 00 00 00 00 00 00 00 00
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01 -. 01 -. 01 -. 01 -· 01
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00 i 00 i 00 i 00 i 00 «
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-02 -02 -02 -0 2 -02 -02 -02 -02 -02 -02 -02 -02 -02 -02 -02
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»01 00 00 00 00
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56
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2.4
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Ol Ol Ol Ol Ol
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ImZ '
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65
2.5
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66
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67
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Ol Ol Ol Ol
b4
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K
1 2 ► 3 ► 4
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84
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85
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86
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100
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126
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147
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151
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152
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1 If 1 If ll
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2, 2i 2i 2f 2
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3 3 3 3 3f
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4 4 4 4f 4
K 1
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i5 »6 >l\ 18 i9\ ιθ »1 »2 i3 i4
i5 16 i7 18 i9
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156
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6, 6i 6i 6, 6«
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6. 6i 6, 6, 6<
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7ι 7( 7ι 7, 7,
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8. 8, 8< Si 8,
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9< 9ι 9, 9ι 9(
157
7.1
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1 1 1< 1< 1<
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Γ 1 4| 4« 4«
X
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ι5 • 6 »7 »8 ► 9
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0« Οι 0· 0« 0«
Οι 0· 0· Οι Οι
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-0« -Οι -0« -Οι -0
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-Οι -0, -Οι -Οι -0,
-Οι -Οι -Οι -0« -ο< -Οι -0· -Οι -Οι -0,
-ο< -ο« -0« -Οι -Οι
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-Οι -ο· -0« -0· -Οι
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-0< -0« -0« -0« -0 -ο< -ο< -Οι -Οι -ο< -Οι -ο< -Οι -Οι -Οι
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-Οι -ο< -Οι -Οι -ο< -Οι -ο< -Οι -Οι -Οι -Οι -Οι -Οι -ο· -ο· -Οι -ο· •Οι -Οι -Οι
-Οι -0« -Οι -Οι -Οι
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0 0 0 0 0 1 1 1, 1, 1
1 1, 1< 1< 1ι
2< 2, 2« 2ι Zi
2i 2, 2, 2( 2ι
3< 3, 3< 3{
3( 3ι 3ι 3< 3ι 3i
4ι 4, 4ι 4ι 4<
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X
»1 »2 • 3 ι4
• 5 ι6 • 7 ι8 • 9
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ι5 ι6 ι7 »8 »9
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158
y = 7.i
. 0 • 1 • 2 . 3 • 4
• 5 • 6 • 7 #8 • 9
• 0 • 1 • 2 . 3 • 4
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- 0 . - 0 · - 0 . - 0 . - 0 .
- 0 · - 0 · - 0 · - 0 · - 0 .
- 0 . - 0 · - 0 . - 0 . - 0 ·
- 0 · - 0 . - 0 . - 0 · - 0 .
- 0 . - 0 . - 0 . - 0 . - 0 .
- 0 . - 0 . - 0 . - 0 . - 0 .
- 0 · - 0 · - 0 . - 0 · - 0 .
- 0 .
- 0 · - 0 . - 0 · - 0 ·
- 0 . - 0 · - 0 · - 0 . - 0 ·
- 0 . - 0 · - 0 · - 0 · - 0 .
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161
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► 5 ► 6 7 8 9
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-0. -Oi -0* -Oi - O I
ReZ
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2i 2i 2 2i 2
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3i 3i 3i 3i 3i
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4< 4i 4 4 4« 4i
X
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i5 »6 >7 »8 »9
162
y = 7.3
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-ο< -ο< -ο< -Οι -0«
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9.0 9.1 9.2 9.3 9.4 9.5 9.6 9.7 9.8 9.9
163
7.4
Γ* 0, ο, 0, 0<
\ο< ρ, \0( 0< ρ, \li 1, 1« 1-1
1 1 1 1 1
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2< 2< 2 2< 2ι
3, 3 3< 3< 3
3 3 3( 3 3< 4, 4< 4, 44 4<
4< 4, 4ι 4« 44
Κ
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>5 »6 »7 »8 »9
ιθ »1 »2 ι3 »4
• 5 ι6 ► 7 »8 ι9
ιθ »1 ι2 »3 »4
»5 »6 ► 7 »8 »9
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>5 ► 6 »7 »8 ► 9
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-0 -0 -0< -0 -0<
-0 -0< -0, -0< -0< -0< -0< ~0< -0, -0,
-0< -0< -0( -0, -0,
-0, -0, -0, -0< -0< -0< -0< -Οι -0< -0,
-0« -0« -Οι -Οι -Οι
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186
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187
y = 8.6
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190
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191
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192
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8.5 8.6 8.7 8.8 8.9
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215
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216
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217
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00 00 00 00 00
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-03 -03 -04 -04 -04 -05 -05 -05 -06 -06 -06 i -07 -07 -07 -08
-08 -08 -09 -09 -10
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00 00 00 00 00
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266
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>0 ,1 >2 ,3 >4
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314
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-4.9
0 P \0i
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321
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5i \5i
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► 3 Λ
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414
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\5i
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419
![Hilbert maps: scalable continuous occupancy mapping with ... · challenge. In an attempt to resolve some of these issues, the Gaussian processes occupancy map (GPOM) [11, 10] was](https://img.pdfslide.us/doc/110x75/602edd1eda0d9538f8427fe7/hilbert-maps-scalable-continuous-occupancy-mapping-with-challenge-in-an-attempt.jpg)
![[FisTum] Hilbert](https://img.pdfslide.us/doc/110x75/577ccefd1a28ab9e788e96f5/fistum-hilbert.jpg)
