the Atlas of Finite Groups Ten Years On

7/18/2019 the Atlas of Finite Groups Ten Years On

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2 4 9

T h e A t l a s o f F i n i t e

G r o u p s : T e n Y e a r s O n

E d i t e d b y

R o b e r t C u r t i s & R o b e r t W i l s o n

C A M B R I D G E

U N I V E R S I T Y P R E S S



L O N D O N M A T H E M A T I C A L S O C I E T Y L E C T U R E N O T E S E R I E S

M a n a g i n g E d i t o r : P r o f e s s o r J . W . S . C a s s e l s , D e p a r t m e n t o f P u r e M a t h e m a t i c s a n d M a t h e m a t i c a l S t a t i s t i c s ,

U n i v e r s i t y o f C a m b r i d g e , 1 6 M i l l L a n e , C a m b r i d g e C B 2 I S B , E n g l a n d

T h e t i t l e s b e l o w a r e a v a i l a b l e f r o m b o o k s e l l e r s , o r , i n c a s e o f d i f f i c u l t y , f r o m C a m b r i d g e U n i v e r s i t y P r e s s .

4 6

p - a d i c A n a l y s i s : a s h o r t c o u r s e o n r e c e n t w o r k , N . K O B L I T Z

5 9

A p p l i c a b l e d i f f e r e n t i a l g e o m e t r y , M . C R A M P I N & F . A . E . P I R A N I

6 6 S e v e r a l c o m p l e x v a r i a b l e s a n d c o m p l e x m a n i f o l d s I I ,

M . J . F I E L D

8 6

T o p o l o g i c a l t o p i c s ,

I . M . J A M E S ( e d )

8 7 S u r v e y s i n s e t t h e o r y , A . R . D . M A T H I A S ( e d )

8 8 F P F r i n g t h e o r y ,

C . F A I T H & S . P A G E

8 9 A n F - s p a c e s a m p l e r ,

N . J . K A L T O N , N . T . P E C K & J . W . R O B E R T S

9 0 P o l y t o p e s a n d s y m m e t r y ,

S . A . R O B E R T S O N

9 2

R e p r e s e n t a t i o n o f r i n g s o v e r s k e w f i e l d s ,

A . H . S C H O F I E L D

9 3 A s p e c t s o f t o p o l o g y ,

I . M . J A M E S & E . H . K R O N H E I M E R ( e d s )

9 6

D i o p h a n t i n e e q u a t i o n s o v e r f u n c t i o n f i e l d s , R . C . M A S O N

9 7

V a r i e t i e s o f c o n s t r u c t i v e m a t h e m a t i c s , D . S . B R I D G E S & F . R I C H M A N

9 8

L o c a l i z a t i o n i n N o e t h e r i a n r i n g s , A . V . J A T E G A O N K A R

9 9

M e t h o d s o f d i f f e r e n t i a l g e o m e t r y i n a l g e b r a i c t o p o l o g y , M . K A R O U B I & C . L E R U S T E

1 0 0

S t o p p i n g t i m e t e c h n i q u e s f o r a n a l y s t s a n d p r o b a b i l i s t s , L . E G G H E

1 0 4

E l l i p t i c s t r u c t u r e s o n 3 - m a n i f o l d s ,

C . B . T H O M A S

1 0 5

A l o c a l s p e c t r a l t h e o r y f o r c l o s e d o p e r a t o r s ,

I . E R D E L Y I & W A N G S H E N G W A N G

1 0 7

C o m p a c t i f i c a t i o n o f S i e g e l m o d u l i s c h e m e s ,

C . - L . C H A I

1 0 9

D i o p h a n t i n e a n a l y s i s , J . L O X T O N & A . V A N D E R P O O R T E N ( e d s )

1 1 3

L e c t u r e s o n t h e a s y m p t o t i c t h e o r y o f i d e a l s , D . R E E S

1 1 4

L e c t u r e s o n B o c h n e r - R i e s z m e a n s , K . M . D A V I S & Y : C . C H A N G

1 1 6

R e p r e s e n t a t i o n s o f a l g e b r a s , P . 1 . W E B B ( e d )

1 1 9

T r i a n g u l a t e d c a t e g o r i e s i n t h e r e p r e s e n t a t i o n t h e o r y o f f i n i t e - d i m e n s i o n a l a l g e b r a s , D . H A P P E L

1 2 1

P r o c e e d i n g s o f G r o u p s - S t A n d r e w s 1 9 8 5 , E . R O B E R T S O N & C . C A M P B E L L ( e d s )

1 2 8

D e s c r i p t i v e s e t t h e o r y a n d t h e s t r u c t u r e o f s e t s o f u n i q u e n e s s , A . S . K E C H R I S & A . L O U V E A U

1 3 0 M o d e l t h e o r y a n d m o d u l e s , M . P R E S T

1 3 1

A l g e b r a i c , e x t r e m a l & m e t r i c c o m b i n a t o r i c s , M : M . D E Z A , P . F R A N K L & I . G . R O S E N B E R G ( e d s )

1 3 2

W h i t e h e a d g r o u p s o f f i n i t e g r o u p s , R O B E R T O L I V E R

1 3 3

L i n e a r a l g e b r a i c m o n o i d s , M O H A N S . P U T C H A

1 3 4

N u m b e r t h e o r y a n d d y n a m i c a l s y s t e m s , M . D O D S O N & J . V I C K E R S ( e d s )

1 3 7 A n a l y s i s a t U r b a n a , 1 ,

E . B E R K S O N , T . P E C K , & J . U H L ( e d s )

1 3 8 A n a l y s i s a t U r b a n a , I I , E . B E R K S O N , T . P E C K , & J . U H L ( e d s )

1 3 9

A d v a n c e s i n h o m o t o p y t h e o r y ,

S . S A L A M O N , B . S T E E R & W . S U T H E R L A N D ( e d s )

1 4 0

G e o m e t r i c a s p e c t s o f B a n a c h s p a c e s , E . M . P E I N A D O R & A . R O D E S ( e d s )

1 4 1

S u r v e y s i n c o m b i n a t o r i c s 1 9 8 9 , J . S I E M O N S ( e d )

1 4 4

I n t r o d u c t i o n t o u n i f o r m s p a c e s ,

I . M . J A M E S

1 4 6

C o h e n - M a c a u l a y m o d u l e s o v e r C o h e n - M a c a u l a y r i n g s , Y . Y O S H I N O

1 4 8 H e l i c e s a n d v e c t o r b u n d l e s , A . N . R U D A K O V e t a t

1 4 9

S o l i t o n s , n o n l i n e a r e v o l u t i o n e q u a t i o n s a n d i n v e r s e s c a t t e r i n g , M . A B L O W I T Z & P . C L A R K S O N

1 5 0

G e o m e t r y o f l o w - d i m e n s i o n a l m a n i f o l d s 1 ,

S . D O N A L D S O N & C . B . T H O M A S ( e d s )

1 5 1

G e o m e t r y o f l o w - d i m e n s i o n a l m a n i f o l d s 2 ,

S . D O N A L D S O N & C . B . T H O M A S ( e d s )

1 5 2 O l i g o m o r p h i c p e r m u t a t i o n g r o u p s , P . C A M E R O N

1 5 3

L - f u n c t i o n s a n d a r i t h m e t i c , J . C O A T E S & M . J . T A Y L O R ( e d s )

1 5 5

C l a s s i f i c a t i o n t h e o r i e s o f p o l a r i z e d v a r i e t i e s , T A K A O F U J I T A

1 5 6 T w i s t o r s i n m a t h e m a t i c s a n d p h y s i c s , T . N . B A I L E Y & R . J . B A S T O N ( e d s )

1 5 8

G e o m e t r y o f B a n a c h s p a c e s , P . F . X . M O L L E R & W . S C H A C H E R M A Y E R ( e d s )

1 5 9 G r o u p s S t A n d r e w s 1 9 8 9 v o l u m e 1 ,

C . M . C A M P B E L L & E . F . R O B E R T S O N ( e d s )

1 6 0

G r o u p s S t A n d r e w s 1 9 8 9 v o l u m e 2 ,

C . M . C A M P B E L L & E . F . R O B E R T S O N ( e d s )

1 6 1

L e c t u r e s o n b l o c k t h e o r y , B U R K H A R D K O L S H A M M E R

1 6 2 H a r m o n i c a n a l y s i s a n d r e p r e s e n t a t i o n t h e o r y , A . F I G A - T A L A M A N C A & C . N E B B I A

1 6 3

T o p i c s i n v a r i e t i e s o f g r o u p r e p r e s e n t a t i o n s , S . M . V O V S I

1 6 4

Q u a s i - s y m m e t r i c d e s i g n s , M . S . S H R I K A N D E & S . S . S A N E

1 6 6 S u r v e y s i n c o m b i n a t o r i c s , 1 9 9 1 , A . D . K E E D W E L L ( e d )

1 6 8 R e p r e s e n t a t i o n s o f a l g e b r a s , H . T A C H I K A W A & S . B R E N N E R ( e d s )

1 6 9 B o o l e a n f u n c t i o n c o m p l e x i t y , M . S . P A T E R S O N ( e d )

1 7 0

M a n i f o l d s w i t h s i n g u l a r i t i e s a n d t h e A d a m s - N o v i k o v s p e c t r a l s e q u e n c e , B . B O T V I N N I K

1 7 1 S q u a r e s , A . R . R A J W A D E

1 7 2

A l g e b r a i c v a r i e t i e s , G E O R G E R . K E M P F

1 7 3

D i s c r e t e g r o u p s a n d g e o m e t r y , W . J . H A R V E Y & C . M A C L A C H L A N ( e d s )

1 7 4 L e c t u r e s o n m e c h a n i c s ,

J . E . M A R S D E N

1 7 5 A d a m s m e m o r i a l s y m p o s i u m o n a l g e b r a i c t o p o l o g y 1 ,

N . R A Y & G . W A L K E R ( e d s )

1 7 6 A d a m s m e m o r i a l s y m p o s i u m o n a l g e b r a i c t o p o l o g y 2 ,

N . R A Y & G . W A L K E R ( e d s )

1 7 7

A p p l i c a t i o n s o f c a t e g o r i e s i n c o m p u t e r s c i e n c e , M . F O U R M A N , P . J O H N S T O N E & A . P I T T S ( e d s )

1 7 8

L o w e r K - a n d L - t h e o r y , A . R A N I C K I

1 7 9

C o m p l e x p r o j e c t i v e g e o m e t r y , G . E L L I N G S R U D e t a t

1 8 0 L e c t u r e s o n e r g o d i c t h e o r y a n d P e s i n t h e o r y o n c o m p a c t

m a n i f o l d s , M . P O L L I C O T T



1 8 1 G e o m e t r i c g r o u p t h e o r y I , G . A . N I B L O & M . A . R O L L E R ( e d s )

1 8 2 G e o m e t r i c g r o u p t h e o r y I I ,

G . A . N I B L O & M . A . R O L L E R ( e d s )

1 8 3 S h i n t a n i z e t a f u n c t i o n s , A . Y U K I E

1 8 4 A r i t h m e t i c a l f u n c t i o n s , W . S C H W A R Z & J . S P I L K E R

1 8 5

R e p r e s e n t a t i o n s o f s o l v a b l e g r o u p s , O . M A N Z & T . R . W O L F

1 8 6 C o m p l e x i t y : k n o t s , c o l o u r i n g s a n d c o u n t i n g ,

D . J . A . W E L S H

1 8 7 S u r v e y s i n c o m b i n a t o r i c s , 1 9 9 3 ,

K . W A L K E R ( e d )

1 8 8

L o c a l a n a l y s i s f o r t h e o d d o r d e r t h e o r e m , H . B E N D E R & G . G L A U B E R M A N

1 8 9

L o c a l l y p r e s e n t a b l e a n d a c c e s s i b l e c a t e g o r i e s ,

J . A D A M E K & J . R O S I C K Y

1 9 0

P o l y n o m i a l i n v a r i a n t s o f f i n i t e g r o u p s ,

D . J . B E N S O N

1 9 1 F i n i t e g e o m e t r y a n d c o m b i n a t o r i c s , F . D E C L E R C K e t a l

1 9 2 S y m p l e c t i c g e o m e t r y , D . S A L A M O N ( e d )

1 9 4

I n d e p e n d e n t r a n d o m v a r i a b l e s a n d r e a r r a n g e m e n t i n v a r i a n t s p a c e s , M . B R A V E R M A N

1 9 5 A r i t h m e t i c o f b l o w u p a l g e b r a s , W O L M E R V A S C O N C E L O S

1 9 6 M i c r o l o c a l a n a l y s i s f o r d i f f e r e n t i a l o p e r a t o r s , A . G R I G I S & J . S J O S T R A N D

1 9 7 T w o - d i m e n s i o n a l h o m o t o p y a n d c o m b i n a t o r i a l g r o u p t h e o r y , C . H O G - A N G E L O N I ,

W . M E T Z L E R & A . J . S I E R A D S K I ( e d s )

1 9 8

T h e a l g e b r a i c c h a r a c t e r i z a t i o n o f g e o m e t r i c 4 - m a n i f o l d s , J . A . H I L L M A N

1 9 9

I n v a r i a n t p o t e n t i a l t h e o r y i n t h e u n i t b a l l o f C " , M A N F R E D S T O L L

2 0 0

T h e G r o t h e n d i e c k t h e o r y o f d e s s i n s d ' e n f a n t ,

L . S C H N E P S ( e d )

2 0 1

S i n g u l a r i t i e s , J E A N - P A U L B R A S S E L E T ( e d )

2 0 2 T h e t e c h n i q u e o f p s e u d o d i f f e r e n t i a l o p e r a t o r s , H . O . C O R D E S

2 0 3

H o c h s c h i l d c o h o m o l o g y o f v o n N e u m a n n a l g e b r a s ,

A . S I N C L A I R & R . S M I T H

2 0 4 C o m b i n a t o r i a l a n d g e o m e t r i c g r o u p t h e o r y ,

A . J . D U N C A N , N . D . G I L B E R T & J . H O W I E ( e d s )

2 0 5

E r g o d i c t h e o r y a n d i t s c o n n e c t i o n s w i t h h a r m o n i c a n a l y s i s , K . P E T E R S E N & I . S A L A M A ( e d s )

2 0 6

A n i n t r o d u c t i o n t o n o n c o m m u t a t i v e d i f f e r e n t i a l g e o m e t r y a n d i t s p h y s i c a l a p p l i c a t i o n s ,

J . M A D O R E

2 0 7

G r o u p s o f L i e t y p e a n d t h e i r g e o m e t r i e s , W . M . K A N T O R & L . D I M A R T I N O ( e d s )

2 0 8

V e c t o r b u n d l e s i n a l g e b r a i c g e o m e t r y , N . J . H I T C H I N , P . N E W S T E A D & W . M . O X B U R Y ( e d s )

2 0 9 A r i t h m e t i c o f d i a g o n a l h y p e r s u r f a c e s o v e r f i n i t e f i e l d s ,

F . Q . G O U V E A & N . Y U I

2 1 0

H i l b e r t C * - m o d u l e s , E . C . L A N C E

2 1 1

G r o u p s 9 3 G a l w a y / S t A n d r e w s I ,

C . M . C A M P B E L L e t a l ( e d s )

2 1 2

G r o u p s 9 3 G a l w a y / S t A n d r e w s I I , C . M . C A M P B E L L e t a l ( e d s )

2 1 4 G e n e r a l i s e d E u l e r - J a c o b i i n v e r s i o n f o r m u l a a n d a s y m p t o t i c s b e y o n d a l l o r d e r s , V . K O W A L E N K O ,

N . E . F R A N K E L , M . L . G L A S S E R & T . T A U C H E R

2 1 5

N u m b e r t h e o r y 1 9 9 2 - 9 3 ,

S . D A V I D ( e d )

2 1 6

S t o c h a s t i c p a r t i a l d i f f e r e n t i a l e q u a t i o n s , A . E T H E R I D G E ( e d )

2 1 7

Q u a d r a t i c f o r m s w i t h a p p l i c a t i o n s t o a l g e b r a i c g e o m e t r y a n d t o p o l o g y , A . P F I S T E R

2 1 8 S u r v e y s i n c o m b i n a t o r i c s , 1 9 9 5 , P E T E R R O W L I N S O N l e d )

2 2 0

A l g e b r a i c s e t t h e o r y , A . J O Y A L & I . M O E R D I J K

2 2 1

H a r m o n i c a p p r o x i m a t i o n ,

S . J . G A R D I N E R

2 2 2

A d v a n c e s i n l i n e a r l o g i c , J : Y . G I R A R D , Y . L A F O N T & L . R E G N I E R ( e d s )

2 2 3 A n a l y t i c s e m i g r o u p s a n d s e m i l i n e a r i n i t i a l b o u n d a r y v a l u e p r o b l e m s , K A Z U A K I T A I R A

2 2 4 C o m p u t a b i l i t y , e n u m e r a b i l i t y , u n s o l v a b i l i t y ,

S . B . C O O P E R , T . A . S L A M A N & S . S . W A I N E R ( e d s )

2 2 5 A m a t h e m a t i c a l i n t r o d u c t i o n t o s t r i n g t h e o r y ,

S . A L B E V E R I O , J . J O S T , S . P A Y C H A , S . S C A R L A T T I

2 2 6

N o v i k o v c o n j e c t u r e s , i n d e x t h e o r e m s a n d r i g i d i t y I ,

S . F E R R Y , A . R A N I C K I & J . R O S E N B E R G ( e d s )

2 2 7

N o v i k o v c o n j e c t u r e s , i n d e x t h e o r e m s a n d r i g i d i t y I I ,

S . F E R R Y , A . R A N I C K I & J . R O S E N B E R G ( e d s )

2 2 8 E r g o d i c t h e o r y o f Z d a c t i o n s , M . P O L L I C O T T & K . S C H M I D T ( e d s )

2 2 9

E r g o d i c i t y f o r i n f i n i t e d i m e n s i o n a l s y s t e m s , G . D A P R A T O & J . Z A B C Z Y K

2 3 0 P r o l e g o m e n a t o a m i d d l e b r o w a r i t h m e t i c o f c u r v e s o f g e n u s 2 ,

J . W . S . C A S S E L S & E . V . F L Y N N

2 3 1 S e m i g r o u p t h e o r y a n d i t s a p p l i c a t i o n s ,

K . H . H O F M A N N & M . W . M I S L O V E ( e d s )

2 3 2

T h e d e s c r i p t i v e s e t t h e o r y o f P o l i s h g r o u p a c t i o n s ,

H . B E C K E R & A S . K E C H R I S

2 3 3

F i n i t e f i e l d s a n d a p p l i c a t i o n s ,

S . C O H E N & H . N I E D E R R E I T E R ( e d s )

2 3 4

I n t r o d u c t i o n t o s u b f a c t o r s ,

V . J O N E S & V . S . S U N D E R

2 3 5 N u m b e r t h e o r y 1 9 9 3 - 9 4 , S . D A V I D ( e d )

2 3 6

T h e J a m e s f o r e s t ,

H . F E T T E R & B . G A M B O A D E B U E N

2 3 7 S i e v e m e t h o d s , e x p o n e n t i a l s u m s , a n d t h e i r a p p l i c a t i o n s i n n u m b e r t h e o r y , G . R . H . G R E A V E S ,

G . H A R M A N & M . N . H U X L E Y ( e d s )

2 3 8

R e p r e s e n t a t i o n t h e o r y a n d a l g e b r a i c g e o m e t r y , A . M A R T S I N K O V S K Y & G . T O D O R O V ( e d s )

2 3 9 C l i f f o r d a l g e b r a s a n d s p i n o r s , P . L O U N E S T O

2 4 0 S t a b l e g r o u p s , F R A N K O . W A G N E R

2 4 1 S u r v e y s i n c o m b i n a t o r i c s , 1 9 9 7 , R . A . B A I L E Y l e d )

2 4 2 G e o m e t r i c G a l o i s a c t i o n s 1 ,

L . S C H N E P S & P . L O C H A K ( e d s )

2 4 3

G e o m e t r i c G a l o i s a c t i o n s 1 1 ,

L . S C H N E P S & P . L O C H A K ( e d s )

2 4 4 M o d e l t h e o r y o f g r o u p s a n d a u t o m o r p h i s m g r o u p s , D . E V A N S ( e d )

2 4 5 G e o m e t r y , c o m b i n a t o r i a l d e s i g n s a n d r e l a t e d s t r u c t u r e s ,

J . W . P . H I R S C H F E L D , S . S . M A G L I V E R A S

& M . J . D E R E S M I N I ( e d s )

2 4 6

p - A u t o m o r p h i s m s o f f i n i t e p - g r o u p s , E . I . K H U K H R O

2 4 7

A n a l y t i c n u m b e r t h e o r y , Y . M O T O H A S H I ( e d )

2 4 8

T a m e t o p o l o g y a n d o - m i n i m a l s t r u c t u r e s , L O U V A N D E N D R I E S

2 4 9

T h e a t l a s o f f i n i t e g r o u p s : t e n y e a r s o n , R O B E R T C U R T I S & R O B E R T W I L S O N ( e d s )

2 5 0 C h a r a c t e r s a n d b l o c k s o f f i n i t e g r o u p s , G . N A V A R R O

2 5 1 G r o b n e r b a s e s a n d a p p l i c a t i o n s ,

B . B U C H B E R G E R & F . W I N K L E R ( e d s )

2 5 2 G e o m e t r y a n d c o h o m o l o g y i n g r o u p t h e o r y ,

P . K R O P H O L L E R , G . N I B L O , R . S T O H R ( e d s )



L o n d o n M a t h e m a t i c a l S o c i e t y L e c t u r e N o t e S e r i e s . 2 4 9

T h e A t l a s o f F i n i t e G r o u p s :

T e n Y e a r s o n

E d i t e d b y

R o b e r t C u r t i s a n d R o b e r t W i l s o n

U n i v e r s i t y o f B i r m i n g h a m

C A M B R I D G E

U N I V E R S I T Y P R E S S



P U B L I S H E D B Y T H E P R E S S S Y N D I C A T E O F T H E U N I V E R S I T Y O F C A M B R I D G E

T h e P i t t B u i l d i n g , T r u m p i n g t o n S t r e e t , C a m b r i d g e C B 2 1 R P , U n i t e d K i n g d o m

C A M B R I D G E U N I V E R S I T Y P R E S S

T h e E d i n b u r g h B u i l d i n g , C a m b r i d g e , C B 2 2 R U , U n i t e d K i n g d o m

4 0 W e s t 2 0 t h S t r e e t , N e w Y o r k , N Y 1 0 0 1 1 - 4 2 1 1 , U S A

1 0 S t a m f o r d R o a d , O a k l e i g h , M e l b o u r n e 3 1 6 6 , A u s t r a l i a

© C a m b r i d g e U n i v e r s i t y P r e s s 1 9 9 8

T h i s b o o k i s i n c o p y r i g h t . S u b j e c t t o s t a t u t o r y e x c e p t i o n

a n d t o t h e p r o v i s i o n s o f r e l e v a n t c o l l e c t i v e l i c e n s i n g a g r e e m e n t s ,

n o r e p r o d u c t i o n o f a n y p a r t m a y t a k e p l a c e w i t h o u t

t h e w r i t t e n p e r m i s s i o n o f C a m b r i d g e U n i v e r s i t y P r e s s .

F i r s t p u b l i s h e d 1 9 9 8

A c a t a l o g u e r e c o r d f o r t h i s b o o k i s a v a i l a b l e f r o m t h e B r i t i s h L i b r a r y

I S B N 0 5 2 1 5 7 5 8 7 7 p a p e r b a c k

T r a n s f e r r e d t o d i g i t a l p r i n t i n g 2 0 0 3



C o n t e n t s

I n t r o d u c t i o n

v i i

A d d r e s s e s o f r e g i s t e r e d p a r t i c i p a n t s

i x

A d d r e s s e s o f n o n - p a r t i c i p a t i n g a u t h o r s x i i i

P r o g r a m m e o f l e c t u r e s x i v

C o n f e r e n c e p h o t o g r a p h a n d k e y

x v i

C . M . C a m p b e l l , G . H a v a s , S . A . L i n t o n a n d E . F . R o b e r t s o n

S y m m e t r i c p r e s e n t a t i o n s a n d o r t h o g o n a l g r o u p s

1

F . C e l l e r a n d C . R . L e e d h a m - G r e e n

A c o n s t r u c t i v e r e c o g n i t i o n a l g o r i t h m f o r t h e s p e c i a l l i n e a r g r o u p

1 1

J . H . C o n w a y a n d C . S . S i m o n s

R e l a t i o n s i n M 6 6 6

2 7

R . T . C u r t i s

A s u r v e y o f s y m m e t r i c g e n e r a t i o n o f s p o r a d i c s i m p l e g r o u p s

3 9

G . H i s s

H a r i s h - C h a n d r a t h e o r y , q - S c h u r a l g e b r a s , a n d d e c o m p o s i t i o n m a t r i c e s

f o r f i n i t e c l a s s i c a l g r o u p s 5 8

D . F . H o l t

T h e M e a t a x e a s a t o o l i n c o m p u t a t i o n a l g r o u p t h e o r y

7 4

J . F . H u m p h r e y s

B r a n c h i n g r u l e s f o r m o d u l a r p r o j e c t i v e r e p r e s e n t a t i o n s o f t h e

s y m m e t r i c g r o u p s

8 2

G . A . J o n e s

C h a r a c t e r s a n d s u r f a c e s : a s u r v e y

9 0

W . K i m m e r l e

O n t h e c h a r a c t e r i z a t i o n o f f i n i t e g r o u p s b y c h a r a c t e r s

1 1 9

A . S . K o n d r a t i e v

F i n i t e l i n e a r g r o u p s o f s m a l l d e g r e e

1 3 9

W . L e m p k e n , C . P a r k e r a n d P . R o w l e y

M i n i m a l p a r a b o l i c s y s t e m s f o r t h e s y m m e t r i c a n d a l t e r n a t i n g g r o u p s 1 4 9

M . W . L i e b e c k a n d A . S h a l e v

P r o b a b i l i s t i c m e t h o d s i n t h e g e n e r a t i o n o f f i n i t e s i m p l e g r o u p s 1 6 3

K . L u x a n d M . W i e g e l m a n n

C o n d e n s i n g t e n s o r p r o d u c t m o d u l e s

1 7 4

V . D . M a z u r o v a n d V . I . Z e n k o v

I n t e r s e c t i o n s o f S y l o w s u b g r o u p s i n f i n i t e g r o u p s 1 9 1



v l

S . P . N o r t o n

A n a t o m y o f t h e M o n s t e r . I

1 9 8

R . A . P a r k e r

A n i n t e g r a l ' M e a t - a x e ' 2 1 5

W . P l e s k e n

F i n i t e r a t i o n a l m a t r i x g r o u p s : a s u r v e y

2 2 9

P . R o w l e y

C h a m b e r g r a p h s o f s p o r a d i c g r o u p g e o m e t r i e s

2 4 9

R . A . W i l s o n

A n A t l a s o f s p o r a d i c g r o u p r e p r e s e n t a t i o n s

2 6 1

F . Z a r a

P r e s e n t a t i o n s o f r e d u c t i v e F i s c h e r g r o u p s 2 7 4

J . H . C o n w a y , R . T . C u r t i s a n d R . A . W i l s o n

A b r i e f h i s t o r y o f t h e A T L A S

2 8 8




T h i s b o o k c o n t a i n s t h e p r o c e e d i n g s o f a c o n f e r e n c e o n g r o u p t h e o r y a n d i t s

a p p l i c a t i o n s h e l d i n B i r m i n g h a m , J u l y 1 0 t h - 1 3 t h , 1 9 9 5 , t o m a r k t h e t e n t h

a n n i v e r s a r y o f t h e p u b l i c a t i o n o f t h e ` A T L A S o f f i n i t e g r o u p s ' . T h e t h e m e o f

t h e c o n f e r e n c e w a s t o s u r v e y d e v e l o p m e n t s i n t h e s u b j e c t d u r i n g t h e i n t e r -

v e n i n g t e n y e a r s , a n d i n p a r t i c u l a r t h o s e t h a t w e r e f a c i l i t a t e d o r i n s p i r e d i n

s o m e w a y b y t h e A T L A S i t s e l f . T h e c o n f e r e n c e w a s s u p p o r t e d b y a g r a n t f r o m

t h e E n g i n e e r i n g a n d P h y s i c a l S c i e n c e s R e s e a r c h C o u n c i l , a n d u n d e r w r i t t e n

b y t h e L o n d o n M a t h e m a t i c a l S o c i e t y .

T h e c o n f e r e n c e b r o u g h t t o g e t h e r a l l f i v e a u t h o r s o f t h e A T L A S , f o r t h e f i r s t

t i m e i n m a n y y e a r s ( i f n o t t h e f i r s t t i m e e v e r ) , a n d a n u m b e r o f d i s t i n g u i s h e d

s p e a k e r s w h o s e t a l k s a r e l i s t e d b e l o w . T h e t w e n t y p a p e r s i n t h i s v o l u m e

m o s t l y r e p r e s e n t e x p a n d e d v e r s i o n s o f s o m e o f t h e s e t a l k s . W e w e r e a l s o a b l e

t o c e l e b r a t e n o t o n l y t h e b i r t h d a y o f t h e A T L A S o f F i n i t e G r o u p s , b u t t h e

b i r t h o f a n e w A T L A S , t h e ` A T L A S o f B r a u e r c h a r a c t e r s ' , w h o s e p u b l i c a t i o n

w a s b r o u g h t f o r w a r d t o e n a b l e t h e f i r s t 3 0 c o p i e s t o b e s o l d a t t h e c o n f e r e n c e .

I f t h i s i s v o l u m e 2 o f t h e A T L A S s e r i e s , p e r h a p s w e c a n e x p e c t v o l u m e 3 i n

a n o t h e r t e n y e a r s .

A l t h o u g h t h e a r t i c l e s i n t h i s b o o k d o n o t f a l l e a s i l y i n t o w e l l - d e f i n e d c a t e -

g o r i e s , w e c a n r o u g h l y d i v i d e t h e m i n t o t h o s e c o n c e r n e d w i t h p r e s e n t a t i o n s o f

g r o u p s , t h o s e d e a l i n g w i t h r e p r e s e n t a t i o n s a n d c h a r a c t e r s , f o l l o w e d b y c o m p u -

t a t i o n a l m e t h o d s , a n d v a r i o u s a s p e c t s o f s u b g r o u p s a n d g e o m e t r i e s , a n d f i n a l l y

a p p l i c a t i o n s a n d g e n e r a t i o n .

I n t h e t h e o r y a n d p r a c t i c e o f p r e s e n t a t i o n s , w e h a v e p a p e r s b y C o n w a y

a n d S i m o n s o n p r e s e n t a t i o n s o f t h e M o n s t e r , C a m p b e l l e t a l .

a n d C u r t i s

d i s c u s s i n g t w o d i f f e r e n t t y p e s o f s y m m e t r i c p r e s e n t a t i o n s , a n d Z a r a w i t h s e r i e s

o f p r e s e n t a t i o n s f o r s o m e F i s c h e r 3 - t r a n s p o s i t i o n g r o u p s .

I n r e p r e s e n t a t i o n t h e o r y , w e b e g i n w i t h t w o s u r v e y s , o n e b y H i s s o n r e c e n t

a d v a n c e s i n t h e r e p r e s e n t a t i o n t h e o r y o f c l a s s i c a l g r o u p s i n n o n - d e f i n i n g c h a r -

a c t e r i s t i c , t h e o t h e r b y K i m m e r l e o n t h e Z a s s e n h a u s c o n j e c t u r e s o n i n t e g r a l

g r o u p r i n g s . T h e n w e h a v e a n a r t i c l e b y H u m p h r e y s o n m o d u l a r r e p r e s e n -

t a t i o n s o f d o u b l e c o v e r s o f s y m m e t r i c g r o u p s , a n d W i l s o n ' s d e s c r i p t i o n o f a

c o m p u t e r i z e d A T L A S o f g r o u p r e p r e s e n t a t i o n s .

T h i s a r e a o v e r l a p s s u b s t a n t i a l l y w i t h t h e a r e a o f c o m p u t a t i o n a l m e t h -

o d s , w h e r e P a r k e r d e s c r i b e s n e w a l g o r i t h m s m a k i n g u p a c o m p l e t e M e a t a x e

s y s t e m f o r i n t e g r a l r e p r e s e n t a t i o n s . A d i f f e r e n t a p p r o a c h t o i n t e g r a l r e p -

r e s e n t a t i o n s i s e x p l o r e d i n P l e s k e n ' s p a p e r , w h i c h d e s c r i b e s a c o m p u t a t i o n a l

c l a s s i f i c a t i o n o f l a t t i c e s i n d i m e n s i o n s u p t o 3 1 . L u x a n d W i e g e l m a n n d e s c r i b e

a n e x t e n s i o n o f t h e M e a t a x e , u s i n g a c o n d e n s a t i o n t e c h n i q u e t o a n a l y s e t h e

s t r u c t u r e o f t e n s o r p r o d u c t m o d u l e s , a n d H o l t d i s c u s s e s M e a t a x e t e c h n i q u e s

i n g e n e r a l . S o m e w h a t d i f f e r e n t c o m p u t a t i o n a l i d e a s a r e d e v e l o p e d b y C e l l e r



a n d L e e d h a m - G r e e n i n t h e i r p a p e r d e s c r i b i n g a n e x p l i c i t i s o m o r p h i s m t e s t f o r

p r o j e c t i v e s p e c i a l l i n e a r g r o u p s .

T h e p a p e r s o n s u b g r o u p s a n d g e o m e t r i e s r a n g e w i d e l y , f r o m N o r t o n ' s a r t i -

c l e o n s u b g r o u p s o f t h e M o n s t e r , w h i c h m a k e s g e n e r a l l y a c c e s s i b l e f o r t h e f i r s t

t i m e a w e a l t h o f d e t a i l e d i n f o r m a t i o n , a n d K o n d r a t i e v ' s p a p e r o n s u b g r o u p s

o f g e n e r a l l i n e a r g r o u p s o f d e g r e e u p t o 2 7 , v i a t h e p a p e r o f M a z u r o v a n d

Z e n k o v o n i n t e r s e c t i o n s o f S y l o w s u b g r o u p s , t o g e o m e t r i c a s p e c t s o f S y l o w

s u b g r o u p s d i s c u s s e d b y L e m p k e n e t a l . a n d R o w l e y .

F i n a l l y , J o n e s ' s c o m p r e h e n s i v e s u r v e y o n a p p l i c a t i o n s o f c h a r a c t e r t h e o r y

t o s u r f a c e s i n c l u d e s s o m e d i s c u s s i o n o f w a y s o f g e n e r a t i n g s i m p l e g r o u p s , a

t o p i c w h i c h i s i n v e s t i g a t e d f r o m a p r o b a b i l i s t i c p o i n t o f v i e w b y L i e b e c k a n d

S h a l e v . W e r o u n d o f f t h e b o o k w i t h a s h o r t h i s t o r i c a l n o t e , o u t l i n i n g t h e

d e v e l o p m e n t o f t h e A T L A S p r o j e c t o v e r m a n y y e a r s .

I n a d d i t i o n t o t h e s e r i o u s b u s i n e s s o f t h e c o n f e r e n c e , w e h a d a b i r t h d a y

c a k e m a d e i n t h e s h a p e o f a n A T L A S , c o m p l e t e w i t h r e d i c i n g a n d a l l t h e

l e t t e r i n g f r o m t h e c o v e r o f t h e r e a l A T L A S , a n d t e n c a n d l e s . T h e e v e n i n g b o a t

t r i p o n t h e c a n a l t o t h e G a s S t r e e t B a s i n p r o v e d p o p u l a r , a s d i d t h e r e c e p t i o n

i n t h e B a r b e r I n s t i t u t e ( w i t h g u i d e d t o u r o f t h e a r t g a l l e r y b y P r o f . R i c h a r d

V e r d i i n c l u d e d ) , a n d t h e c o n f e r e n c e d i n n e r i n t h e b o t a n i c a l g a r d e n s .



A d d r e s s e s o f r e g i s t e r e d p a r t i c i p a n t s

M . A s h w o r t h , S c h o o l o f M a t h e m a t i c s a n d S t a t i s t i c s , T h e U n i v e r s i t y o f

B i r m i n g h a m , E d g b a s t o n , B i r m i n g h a m B 1 5 2 T T .

D r . R . W . B a d d e l e y , D e p a r t m e n t o f M a t h e m a t i c s a n d C o m p u t e r S c i e n c e ,

U n i v e r s i t y o f L e i c e s t e r , L e i c e s t e r L E 1 7 R H .

P r o f . R . A . B a i l e y , S c h o o l o f M a t h e m a t i c a l S c i e n c e s , Q u e e n M a r y a n d

W e s t f i e l d C o l l e g e s , L o n d o n U n i v e r s i t y , M i l e E n d R o a d , L o n d o n E l 4 N S .

B . B a u m e i s t e r , D e p a r t m e n t o f M a t h e m a t i c s , I m p e r i a l C o l l e g e , H u x l e y B u i l d -

i n g , 1 8 0 Q u e e n ' s G a t e , L o n d o n S W 7 2 B X .

D r . A . B o r o v i k , D e p a r t m e n t o f M a t h e m a t i c s , U M I S T , P . O . B o x 8 8 , M a n c h -

e s t e r M 6 0 1 Q D .

J . N . B r a y , S c h o o l o f M a t h e m a t i c s a n d S t a t i s t i c s , T h e U n i v e r s i t y o f B i r m -

i n g h a m , E d g b a s t o n , B i r m i n g h a m B 1 5 2 T T .

D r . T . B r e u e r , L e h r s t u h l D f u r M a t h e m a t i k , R W T H A a c h e n , T e m p l e r -

g r a b e n 6 4 , D - 5 2 0 6 2 A a c h e n , G e r m a n y .

P r o f . R . M . B r y a n t , D e p a r t m e n t o f M a t h e m a t i c s , U M I S T , P . O . B o x 8 8 ,

M a n c h e s t e r M 6 0 1 Q D .

P r o f . P . J . C a m e r o n , S c h o o l o f M a t h e m a t i c a l S c i e n c e s , Q u e e n M a r y a n d


D r . C . M . C a m p b e l l , M a t h e m a t i c s I n s t i t u t e , S t A n d r e w s U n i v e r s i t y , N o r t h

H a u g h , S t A n d r e w s , F i f e K Y 1 6 9 S S , S c o t l a n d .

P r o f . R . W . C a r t e r , M a t h e m a t i c s I n s t i t u t e , W a r w i c k U n i v e r s i t y , C o v e n t r y

C V 4 7 A L .

D r . F r a n k C e l l e r , L e h r s t u h l D f u r M a t h e m a t i k , R W T H A a c h e n , T e m p l e r -


M r . A . D . C h a p l i n , D e p a r t m e n t o f M a t h e m a t i c s , U M I S T , P . O . B o x 8 8 ,

M a n c h e s t e r M 6 0 1 Q D .

D r .

I . M C h i s w e l l , S c h o o l o f M a t h e m a t i c a l S c i e n c e s , Q u e e n M a r y a n d


P r o f . J . H . C o n w a y , D e p a r t m e n t o f M a t h e m a t i c s , U n i v e r s i t y o f P r i n c e t o n ,

F i n e H a l l , P r i n c e t o n , N J 0 8 5 4 4 , U S A .

D r . P . C o v e y - C r u m p , G C H Q , P r i o r s R o a d , C h e l t e n h a m , G l o u c e s t e r , G L 1

1 N C .

D r . R . T . C u r t i s , S c h o o l o f M a t h e m a t i c s a n d S t a t i s t i c s , T h e U n i v e r s i t y o f


D r . H . C u y p e r s , D e p a r t m e n t o f M a t h e m a t i c s , T e c h n i c a l U n i v e r s i t y E i n d -

h o v e n , P . O . B o x 5 1 3 , 5 6 0 0 M B E i n d h o v e n , N e t h e r l a n d s .

D r . M . E d j v e t , D e p a r t m e n t o f M a t h e m a t i c s , U n i v e r s i t y o f N o t t i n g h a m ,

U n i v e r s i t y P a r k , N o t t i n g h a m N G 7 2 R D .

A . F e i g , F a c h b e r e i c h M a t h e m a t i k d e r U n i v e r s i t a t M a i n z , S a a r s t r a s s e 2 1 , D -

5 5 0 9 9 M a i n z , G e r m a n y .



x

D r . P . J . F l a v e l l , S c h o o l o f M a t h e m a t i c s a n d S t a t i s t i c s , T h e U n i v e r s i t y o f


D r . A . D . G a r d i n e r , S c h o o l o f M a t h e m a t i c s a n d S t a t i s t i c s , T h e U n i v e r s i t y

o f B i r m i n g h a m , E d g b a s t o n , B i r m i n g h a m B 1 5 2 T T .

D . A . G e w u r z , V i a M u z i o A t t e n d o l o , 1 3 , 0 0 1 7 6 R o m a , I t a l y .

D r . R . G r e e n , M a t h e m a t i c a l I n s t i t u t e , 2 4 - 2 9 S t G i l e s , O x f o r d , O X 1 3 L B .

P r o f . R . K . G u y , U n i v e r s i t y o f C a l g a r y , C a l g a r y , A l b e r t a , C a n a d a T 2 N

1 N 4 .

A . H a n y s z , D P M M S , 1 6 M i l l L a n e , C a m b r i d g e C B 2 1 S B .

D r . S . H e i s s , M a r t i n - L u t h e r - U n i v e r s i t a t , F a c h b e r e i c h M a t h e m a t i k a n d I n -

f o r m a t i k , D - 0 6 0 9 9 H a l l e - S a a l e , G e r m a n y .

P r o f . D r . C . H e r i n g , M a t h e m a t i s c h e s I n s t i t u t , U n i v e r s i t a t T u b i n g e n , A u f

d e r M o r g e n s t e l l e 1 0 , D - 7 2 0 7 6 T u b i n g e n , G e r m a n y .

P r o f . D r . G . H i s s , L e h r s t u h l D f u r M a t h e m a t i k , R W T H A a c h e n , T e m p -

l e r g r a b e n 6 4 , D - 5 2 0 6 2 A a c h e n , G e r m a n y .

D r . A . H . M . H o a r e , S c h o o l o f M a t h e m a t i c s a n d S t a t i s t i c s , T h e U n i v e r s i t y


D r . D . F . H o l t , I n s t i t u t e o f M a t h e m a t i c s , U n i v e r s i t y o f W a r w i c k , C o v e n t r y

C V 4 7 A L .

D r . J . H r a b e d e A n g e l i s , F a c h b e r e i c h M a t h e m a t i k d e r U n i v e r s i t a t M a i n z ,

S a a r s t r a s s e 2 1 , D - 5 5 0 9 9 M a i n z , G e r m a n y .

S . H u d s o n , S c h o o l o f M a t h e m a t i c s a n d S t a t i s t i c s , T h e U n i v e r s i t y o f B i r m -


D r . J . F . H u m p h r e y s , D e p a r t m e n t o f P u r e M a t h e m a t i c s , L i v e r p o o l U n i -

v e r s i t y , P . O . B o x 1 4 7 , L i v e r p o o l L 6 9 3 B X .

D r . N . I n g l i s , D e p a r t m e n t o f M a t h e m a t i c s a n d S t a t i s t i c s , L a n c a s t e r U n i -

v e r s i t y , F y l d e C o l l e g e , L a n c a s t e r L A 1 4 Y F .

D r . A . A . I v a n o v , D e p a r t m e n t o f M a t h e m a t i c s , I m p e r i a l C o l l e g e , H u x l e y

B u i l d i n g , 1 8 0 Q u e e n ' s G a t e , L o n d o n S W 7 2 B X .

P r o f . G . D . J a m e s , D e p a r t m e n t o f M a t h e m a t i c s , I m p e r i a l C o l l e g e , H u x l e y


D r . C . J a n s e n , L e h r s t u h l D f u r M a t h e m a t i k , R W T H A a c h e n , T e m p l e r -


D r . G . A . J o n e s , D e p a r t m e n t o f M a t h e m a t i c s , S o u t h a m p t o n U n i v e r s i t y ,

H i g h f i e l d , S o u t h a m p t o n S 0 1 7 1 B J .

D r . R . W . K a y e , S c h o o l o f M a t h e m a t i c s a n d S t a t i s t i c s , T h e U n i v e r s i t y o f


D r . W . K i m m e r l e , M a t h . I n s t i t u t B d e r U n i v e r s i t a t S t u t t g a r t , P f a f f e n -

w a l d r i n g 5 7 , D - 7 0 5 6 9 S t u t t g a r t , G e r m a n y .

P r o f . A . S . K o n d r a t i e v , I n s t i t u t e o f M a t h e m a t i c s a n d M e c h a n i c s , U r a l

B r a n c h o f R u s s i a n A c a d e m y o f S c i e n c e s , S . K o v a l e v s k a y a S t r e e t 1 6 , 6 2 0 2 1 9

E k a t e r i n b u r g , R u s s i a .



x i

D r . P . H . K r o p h o l l e r , S c h o o l o f M a t h e m a t i c a l S c i e n c e s , Q u e e n M a r y a n d


D r . C . R . L e e d h a m - G r e e n , S c h o o l o f M a t h e m a t i c a l S c i e n c e s , Q u e e n M a r y

a n d W e s t f i e l d C o l l e g e s , L o n d o n U n i v e r s i t y , M i l e E n d R o a d , L o n d o n E l 4 N S .

D r . W . L e m p k e n , I n s t i t u t e f o r E x p e r i m e n t a l M a t h e m a t i c s , U n i v e r s i t y o f

E s s e n , E l l e r n s t r a s s e 2 9 , D - 4 5 3 2 6 E s s e n , G e r m a n y .

P r o f . M . W . L i e b e c k , D e p a r t m e n t o f M a t h e m a t i c s , I m p e r i a l C o l l e g e , H u x -

l e y B u i l d i n g , 1 8 0 Q u e e n ' s G a t e , L o n d o n S W 7 2 B X .

D r . S . A . L i n t o n , M a t h e m a t i c s I n s t i t u t e , S t A n d r e w s U n i v e r s i t y , N o r t h


D r . K . L u x , D e p a r t m e n t o f M a t h e m a t i c s , U n i v e r s i t y o f A r i z o n a , T u c s o n ,

A r i z o n a 8 5 7 2 1 , U S A .

M . M a r j o r a m , D e p a r t m e n t o f M a t h e m a t i c s , U n i v e r s i t y C o l l e g e D u b l i n ,

B e l l f i e l d , D u b l i n 4 , I r e l a n d .

D r . R . M a r s h , D e p a r t m e n t o f M a t h e m a t i c s , U n i v e r s i t y o f G l a s g o w , U n i -

v e r s i t y G a r d e n s , G l a s g o w G 1 2 8 Q W .

D r . A . W . M a s o n , D e p a r t m e n t o f M a t h e m a t i c s , U n i v e r s i t y o f G l a s g o w ,

U n i v e r s i t y G a r d e n s , G l a s g o w G 1 2 8 Q W .

D r . A . M a t h a s , D e p a r t m e n t o f M a t h e m a t i c s , I m p e r i a l C o l l e g e , H u x l e y


P r o f . V . D . M a z u r o v , I n s t i t u t e o f M a t h e m a t i c s , N o v o s i b i r s k 6 3 0 0 9 0 , R u s -

s i a .

D r . T . M c D o n o u g h , D e p a r t m e n t o f M a t h e m a t i c s , U n i v e r s i t y o f W a l e s ,

A b e r y s t w y t h S Y 2 3 3 B Z .

P r o f .

J . M c K a y , D e p a r t m e n t o f C o m p u t e r S c i e n c e , S G W C , C o n c o r d i a

U n i v e r s i t y , M o n t r e a l , Q C , C a n a d a H 3 G 1 M 8 .

N . M u d a m b u r i , S c h o o l o f M a t h e m a t i c s a n d S t a t i s t i c s , T h e U n i v e r s i t y o f


B . M i i h l h e r r , M a t h e m a t i s c h e s I n s t i t u t , U n i v e r s i t a t T n b i n g e n , A u f d e r M o r -

g e n s t e l l e 1 0 , D - 7 2 0 7 6 T n b i n g e n , G e r m a n y .

D r .

J . M u l l e r , I W R U n i v e r s i t a t H e i d e l b e r g , I m N e u e n h e i m e r F e l d 3 6 8 ,

H e i d e l b e r g , G e r m a n y .

J . M u n c k e , D e n z e n b e r g S t r a s s e 4 1 , 7 2 0 7 4 T n b i n g e n , G e r m a n y .

D r . P . M . N e u m a n n , Q u e e n ' s C o l l e g e , O x f o r d , O X 1 4 A W .

D r . S . P . N o r t o n , D P M M S , 1 6 , M i l l L a n e , C a m b r i d g e C B 2 1 S B .

D r . C . W . P a r k e r , S c h o o l o f M a t h e m a t i c s a n d S t a t i s t i c s , T h e U n i v e r s i t y


R . A . P a r k e r , ` S p r i n g f i e l d s ' , F r o g L a n e , S h e p t o n M a l l e t , S o m e r s e t , B A 4

4 P P

D r . D . V . P a s e c h n i k , R I A C A / C A N , 4 1 9 K r u i s l a a n , 1 0 9 8 V A A m s t e r d a m ,

T h e N e t h e r l a n d s .

S . P e r l o - F r e e m a n , M a t h e m a t i c s I n s t i t u t e , W a r w i c k U n i v e r s i t y , C o v e n t r y



X n

C V 4 7 A L .

D r .

G . P f e i f f e r , M a t h e m a t i c s I n s t i t u t e , S t A n d r e w s U n i v e r s i t y , N o r t h


B . J . P h i l p , S c h o o l o f M a t h e m a t i c s a n d S t a t i s t i c s , T h e U n i v e r s i t y o f B i r m -


L . P i r n i e , D e p a r t m e n t o f M a t h e m a t i c s , U M I S T , P . O . B o x 8 8 , M a n c h e s t e r

M 6 0 1 Q D .

P r o f .

D r . W . P l e s k e n , L e h r s t u h l B f u r M a t h e m a t i k , R W T H A a c h e n ,

T e m p l e r g r a b e n 6 4 , D - 5 2 0 6 2 A a c h e n , G e r m a n y .

P r o f . C . P r a e g e r , D e p a r t m e n t o f M a t h e m a t i c s , U n i v e r s i t y o f W e s t e r n A u s -

t r a l i a , N e d l a n d s , W A 6 9 0 7 , A u s t r a l i a .

P r o f . G . R o b i n s o n , D e p a r t m e n t o f M a t h e m a t i c s a n d C o m p u t e r S c i e n c e ,


S . J . F . R o g e r s , S c h o o l o f M a t h e m a t i c s a n d S t a t i s t i c s , T h e U n i v e r s i t y o f


D r . C . A . R o w l e y , O p e n U n i v e r s i t y , 5 2 7 F i n c h l e y R o a d , L o n d o n N W 3

7 B G .

D r . P . J . R o w l e y , D e p a r t m e n t o f M a t h e m a t i c s , U M I S T , P . O . B o x 8 8 ,

M a n c h e s t e r M 6 0 1 Q D .

D r . J . S a x l , D P M M S , 1 6 , M i l l L a n e , C a m b r i d g e C B 2 1 S B .

D r .

I . J . S i e m o n s , S c h o o l o f M a t h e m a t i c s , U n i v e r s i t y o f E a s t A n g l i a ,

U n i v e r s i t y P l a i n , N o r w i c h N R 4 7 T J .

D r . G . C . S m i t h , S c h o o l o f M a t h e m a t i c a l S c i e n c e s , B a t h U n i v e r s i t y , C l a v e r -

t o n D o w n , B a t h B A 2 7 A Y .

D r .

L . H . S o i c h e r , S c h o o l o f M a t h e m a t i c a l S c i e n c e s , Q u e e n M a r y a n d


F . S p i e z i a , S c h o o l o f M a t h e m a t i c s , U n i v e r s i t y o f E a s t A n g l i a , U n i v e r s i t y

P l a i n , N o r w i c h N R 4 7 T J .

D r .

C . S t a c k , D e p a r t m e n t o f M a t h e m a t i c s , T h e U n i v e r s i t y o f R e a d i n g ,

W h i t e k n i g h t s , P . O . B o x 2 2 0 , R e a d i n g R G 6 6 A X .

S . A . S t a n l e y , S c h o o l o f M a t h e m a t i c s a n d S t a t i s t i c s , T h e U n i v e r s i t y o f


H . S u l a i m a n , D e p a r t m e n t o f M a t h e m a t i c s , U M I S T , P . O . B o x 8 8 , M a n c h -

e s t e r M 6 0 1 Q D .

P r o f . C . T a m b u r i n i , D i p a r t i m e n t o d i M a t e m a t i c a , U n i v e r s i t y C a t t o l i c a ,

V i a T r i e s t e 1 7 , 2 5 1 2 1 B r e s c i a , I t a l y .

D r . R . M . T h o m a s , D e p a r t m e n t o f M a t h e m a t i c s a n d C o m p u t e r S c i e n c e ,


J . T o m p s o n , O x f o r d U n i v e r s i t y P r e s s , W a l t o n S t r e e t , O x f o r d .

D r . J . v a n B o n , S c h o o l o f M a t h e m a t i c a l S c i e n c e s , Q u e e n M a r y a n d W e s t -

f i e l d C o l l e g e s , L o n d o n U n i v e r s i t y , M i l e E n d R o a d , L o n d o n E l 4 N S .

D r . M . V a u g h a n - L e e , C h r i s t C h u r c h , O x f o r d , O X 1 1 D P .



D r . L . A . W a l k e r , D e p a r t m e n t o f M a t h e m a t i c s a n d S t a t i s t i c s , U n i v e r s i t y

o f C e n t r a l L a n c a s h i r e , P r e s t o n P R 1 2 T Q .

P . G . W a l s h , S c h o o l o f M a t h e m a t i c s a n d S t a t i s t i c s , T h e U n i v e r s i t y o f B i r m -


D r . D . L . W i l k e n s , S c h o o l o f M a t h e m a t i c s a n d S t a t i s t i c s , T h e U n i v e r s i t y


P r o f . J . S . W i l s o n , S c h o o l o f M a t h e m a t i c s a n d S t a t i s t i c s , T h e U n i v e r s i t y


D r . R . A . W i l s o n , S c h o o l o f M a t h e m a t i c s a n d S t a t i s t i c s , T h e U n i v e r s i t y


J . Y o r k , S c h o o l o f M a t h e m a t i c s a n d S t a t i s t i c s , T h e U n i v e r s i t y o f B i r m i n g -

h a m , E d g b a s t o n , B i r m i n g h a m B 1 5 2 T T .

P r o f . F . Z a r a , 3 4 h i s , a v . V i c t o r - H u g o , 9 2 3 4 0 B o u r g - l a R e i n e , F r a n c e .

T . E . Z i e s c h a n g , U n i v e r s i t y o f S a a r l a n d , G e b . 3 6 , G r a d u i e r t e n k o l l e g , P o s t -

f a c h 1 1 5 0 , D - 6 6 0 4 1 S a a r b r i i c k e n , G e r m a n y .

A d d r e s s e s o f n o n - p a r t i c i p a t i n g a u t h o r s

G . H a v a s , D e p a r t m e n t o f C o m p u t e r S c i e n c e , U n i v e r s i t y o f Q u e e n s l a n d , B r i s -

b a n e , 4 0 7 2 A u s t r a l i a .

E . F . R o b e r t s o n , M a t h e m a t i c s I n s t i t u t e , S t A n d r e w s U n i v e r s i t y , N o r t h


A . S h a l e v , I n s t i t u t e o f M a t h e m a t i c s , T h e H e b r e w U n i v e r s i t y , J e r u s a l e m

9 1 9 0 4 , I s r a e l .

C . S . S i m o n s , D e p a r t m e n t o f M a t h e m a t i c s , U n i v e r s i t y o f P r i n c e t o n , F i n e

H a l l , P r i n c e t o n , N J 0 8 5 4 4 , U S A .

M . W i e g e l m a n n , L e h r s t u h l D f u r M a t h e m a t i k , R W T H A a c h e n , T e m p l e r -


V . I . Z e n k o v , I n s t i t u t e o f M a t h e m a t i c s a n d M e c h a n i c s , S . K o v a l e v s k a j a

S t r e e t 1 6 , E k a t e r i n b u r g , 6 2 0 0 6 6 , R u s s i a .



P r o g r a m m e o f l e c t u r e s

C . M . C a m p b e l l , S y m m e t r i c p r e s e n t a t i o n s

R . W . C a r t e r , P a t h s a n d c r y s t a l s

J . H . C o n w a y , T h e A t l a s : p a s t , p r e s e n t a n d f u t u r e

R . T . C u r t i s , M o n o m i a l m o d u l a r r e p r e s e n t a t i o n s a n d s y m m e t r i c g e n e r a t i o n

o f s p o r a d i c s i m p l e g r o u p s

G . H i s s , R e p r e s e n t a t i o n s o f f i n i t e g r o u p s o f L i e t y p e i n n o n - d e f i n i n g c h a r a c -

t e r i s t i c

D . F . H o l t , T h e M e a t a x e a s a t o o l i n c o m p u t a t i o n a l g r o u p t h e o r y

J . H r a b e d e A n g e l i s , A n e w p r e s e n t a t i o n o f t h e H e l d g r o u p

J . F . H u m p h r e y s , B r a n c h i n g r u l e s f o r m o d u l a r p r o j e c t i v e r e p r e s e n t a t i o n s

o f t h e s y m m e t r i c g r o u p s

G . D . J a m e s , P r o b l e m s q u e u i n g u p

G . J o n e s , A p p l i c a t i o n s t o t h e s t u d y o f c o v e r i n g s o f s u r f a c e s

W . K i m m e r l e , C h a r a c t e r t a b l e s a n d Z a s s e n h a u s ' c o n j e c t u r e f o r Z G

A . S . K o n d r a t i e v , M o d u l a r r e p r e s e n t a t i o n s o f f i n i t e q u a s i s i m p l e g r o u p s

C . R . L e e d h a m - G r e e n , R e c o g n i s i n g t e n s o r p r o d u c t r e p r e s e n t a t i o n s

W . L e m p k e n , O n p ' - s e m i r e g u l a r g r o u p s

M . W . L i e b e c k , S i m p l e g r o u p s a n d p r o b a b i l i s t i c m e t h o d s

K . L u x , C o n d e n s a t i o n m e t h o d s i n m o d u l a r r e p r e s e n t a t i o n t h e o r y

V . M a z u r o v , I n t e r s e c t i o n s o f S y l o w s u b g r o u p s i n f i n i t e g r o u p s

J . M c K a y , S o m e t h o u g h t s o n r e p l i c a b l e f u n c t i o n s a n d t h e M o n s t e r

P . M . N e u m a n n , G o l d b a c h ' s c o n j e c t u r e a n d s o l u b l e p e r m u t a t i o n g r o u p s

S . P . N o r t o n , P r o p e r t i e s o f t h e M o n s t e r a l g e b r a

R . A . P a r k e r , M o d u l a r c h a r a c t e r s

W . P l e s k e n , F i n i t e r a t i o n a l m a t r i x g r o u p s

C . E . P r a e g e r , T h e A T L A S : a t o o l f o r f i n i t e p e r m u t a t i o n g r o u p s

P . R o w l e y , C h a m b e r s

J . S a x l , F a c t o r i z a t i o n s o f g r o u p s

L . H . S o i c h e r , T h e c l a s s i f i c a t i o n o f m u l t i p l i c i t y - f r e e a n d o f d i s t a n c e - t r a n s i t i v e

p r i m i t i v e r e p r e s e n t a t i o n s o f t h e s p o r a d i c s

J . G . T h o m p s o n , T h e s p o r a d i c s i m p l e g r o u p s a s G a l o i s g r o u p s

R . A . W i l s o n , C o n s t r u c t i n g t h e M o n s t e r ?

F . Z a r a , P r e s e n t a t i o n s o f c l a s s i c a l F i s c h e r g r o u p s



S I

-

K r

r '





K e y t o c o n f e r e n c e p h o t o g r a p h

1 . H a n s C u y p e r s

2 . R i c k T h o m a s

3 . R o b e r t B a d d e l e y

4 . T o n y G a r d i n e r

5 . G e o f f R o b i n s o n

6 . G a r e t h J o n e s

7 . C h r i s P a r k e r

8 . G o t z P f e i f f e r

9 . R o g e r C a r t e r

1 0 . P a u l M a r t i n

1 1 . A l e c M a s o n

1 2 . S t e p h e n S t a n l e y

1 3 . J u l i a n Y o r k

1 4 . S a s h a I v a n o v

1 5 . P e t e r N e u m a n n

1 6 . J o h n T h o m p s o n

1 7 . C h r i s R o w l e y

1 8 . C o l i n C a m p b e l l

1 9 . P e t e r K r o p h o l l e r

2 0 . G o r d o n J a m e s

2 1 . T h i l o Z i e s c h a n g

2 2 . W i l h e l m P l e s k e n

2 3 . P e t e r C a m e r o n

2 4 . J u r g e n M u l l e r

2 5 . L e o n a r d S o i c h e r

2 6 . J o h n v a n B o n

2 7 . D a n i e l e G e w u r z

2 8 . B e r n h a r d M u h l h e r r

2 9 . J o h n B r a y

3 0 . R o g e r B r y a n t

3 1 . S t e v e L i n t o n

3 2 . S t e f a n H e i s s

3 3 . F r a n k C e l l e r

3 4 . A m y s t e r y c u s t o m e r

3 5 . C h a r l e s L e e d h a m - G r e e n

3 6 . A n a t o l i i K o n d r a t i e v

3 7 . F r e d e r i c a S p i e z i a

3 8 . M i c h e l l e A s h w o r t h

3 9 . J o M a i o

4 0 . M u r r a y M a c b e a t h

4 1 . J o h n M c K a y

4 2 . D i m a P a s e c h n i k

4 3 . W o l f g a n g L e m p k e n

4 4 . H o w a r d H o a r e

4 5 . P e t e r R o w l e y

4 6 . J o h a n n e s S i e m o n s

4 7 . J o r g H r a b e d e A n g e l i s

4 8 . F r a n c o i s Z a r a

4 9 . W o l f g a n g K i m m e r l e

5 0 . D e r e k H o l t

5 1 . C h r i s t o p h H e r i n g

5 2 . L e w i s P i r n i e

5 3 . T h o m a s B r e u e r

5 4 . S u e B e n n e t t

5 5 . C h i a r a T a m b u r i n i

5 6 . S a m u e l P e r l o - F r e e m a n

5 7 . R o b e r t M a r s h

5 8 . G e r h a r d H i s s

5 9 . P a v e l Z a l e s s k i i

6 0 . A n d r e w M a t h a s

6 1 . A n d r e w C h a p l i n

6 2 . N i c k I n g l i s

6 3 . V i k t o r M a z u r o v

6 4 . M i c h a e l C o l l i n s

6 5 . R i c h a r d G r e e n

6 6 . R i c h a r d K a y e

6 7 . T e t s u o D e g u c h i

6 8 . B a r b a r a B a u m e i s t e r

6 9 . A n g e l i k a F e i g

7 0 . L o u i s e W a l k e r

7 1 . J u l i a T o m p s o n

7 2 . K l a u s L u x

7 3 . R i c h a r d P a r k e r

7 4 . R o b C u r t i s

7 5 . J o h n C o n w a y

7 6 . S i m o n N o r t o n

7 7 . R o b W i l s o n

7 8 . C h r i s t o p h J a n s e n

7 9 . J o h n W i l s o n

8 0 . H a j a r S u l a i m a n

8 1 . C h e r y l P r a e g e r

8 2 . R o s e m a r y B a i l e y





S y m m e t r i c p r e s e n t a t i o n s a n d o r t h o g o n a l

g r o u p s

C o l i n C a m p b e l l , G e o r g e H a v a s ,

S t e p h e n L i n t o n a n d E d m u n d R o b e r t s o n

A b s t r a c t

I n t h i s p a p e r w e e x a m i n e s e r i e s o f f i n i t e p r e s e n t a t i o n s w h i c h a r e

i n v a r i a n t u n d e r t h e f u l l s y m m e t r i c g r o u p a c t i n g o n t h e s e t o f g e n e r a -

t o r s . E v i d e n c e f r o m c o m p u t a t i o n a l e x p e r i m e n t s r e v e a l s a r e m a r k a b l e

t e n d e n c y f o r t h e g r o u p s i n t h e s e s e r i e s t o b e c l o s e l y r e l a t e d t o t h e

o r t h o g o n a l g r o u p s . W e e x a m i n e c a s e s o f f i n i t e g r o u p s i n s u c h s e r i e s

a n d l o o k i n d e t a i l a t a n i n f i n i t e g r o u p w i t h s u c h a p r e s e n t a t i o n . W e

p r o v e s o m e t h e o r e t i c a l r e s u l t s a b o u t 3 - g e n e r a t o r s y m m e t r i c p r e s e n t a -

t i o n s a n d m a k e a n u m b e r o f c o n j e c t u r e s r e g a r d i n g n - g e n e r a t o r s y m -

m e t r i c p r e s e n t a t i o n s .

1


S y m m e t r i c p r e s e n t a t i o n s h a v e b e e n m u c h s t u d i e d o v e r a l o n g p e r i o d ; s e e f o r

e x a m p l e [ 1 , 9 , 1 0 , 1 4 , 2 3 1 , w h i c h f o c u s o n s y m m e t r i c r e l a t i o n s . A n a l t e r n a t i v e

a p p r o a c h , d i r e c t e d t o w a r d s s y m m e t r i c g e n e r a t i n g s e t s , i s t a k e n b y C u r t i s

[ 1 1 , 1 2 , 1 3 ] .

S u p p o s e G i s a f i n i t e 2 - g e n e r a t o r g r o u p w i t h g e n e r a t o r s x 1 i x 2 a n d a n a u t o -

m o r p h i s m 9 w i t h x 1 6 = x 2 a n d 9 2 = 1 . T h e n G h a s a s y m m e t r i c p r e s e n t a t i o n

P = { x 1 , x 2 I w i ( x 1 , x 2 ) = w i ( x 2 , x 1 ) = 1 , i = 1 , 2 , . . . , m } .

N o t e t h a t a n y f i n i t e n o n - a b e l i a n s i m p l e g r o u p h a s s u c h a s y m m e t r i c p r e -

s e n t a t i o n . F o r , i f G i s a f i n i t e n o n - a b e l i a n s i m p l e g r o u p , t h e n G = ( a , b ) w h e r e

a 2 = 1 [ 1 9 ] . N o w c o n s i d e r H = ( b , b a ) < G . E i t h e r G = H o r I G : H I = 2 .

B u t G i s s i m p l e , s o G = H = ( b , b a ) a n d h e n c e G h a s a s y m m e t r i c p r e s e n t a -

t i o n .

R e c e n t l y M i k l o s A b e r t ( u n p u b l i s h e d ) h a s g e n e r a l i z e d t h e r e s u l t s o f [ 1 4 ] a n d

c o n j e c t u r e s t h a t , g i v e n a n y n o n - t r i v i a l g r o u p G , t h e n G h a s a p r e s e n t a t i o n

w h i c h , w h e n s y m m e t r i z e d , p r e s e n t s a n o n - t r i v i a l i m a g e o f G . T h e a b o v e

c o m m e n t o n s y m m e t r i c p r e s e n t a t i o n s f o r s i m p l e g r o u p s i s a c o n s e q u e n c e o f

t h e r e s u l t s o f A b e r t .

1



2 C a m p b e l l , H a v a s , L i n t o n a n d R o b e r t s o n

N e x t , f o r a n y g r o u p G w i t h s y m m e t r i c p r e s e n t a t i o n P a n d a n y n > 2 , w e

d e f i n e t h e n - g e n e r a t o r s y m m e t r i c p r e s e n t a t i o n

P ( n ) = { x 1 i x 2 , . . . , x , , I w = ( x j , X k ) = 1 , i = 1 , 2 , . . . , m , 1 < j # k < n } .

F o r e x a m p l e , i f P = { x 1 , x 2 I x 1 = x 2 = ( x 1 x 2 ) 2 = 1 } t h e n ( P ) = A 4

a n d ( P ( n ) ) = A n + 2 i t h e a l t e r n a t i n g g r o u p o f d e g r e e n + 2 , s e e [ 7 ] .

T h i s

e x a m p l e w a s g e n e r a l i z e d b y S i d k i [ 2 7 ] ( w i t h a r e l e v a n t c o r r e c t i o n i n [ 2 8 ] )

w h o c o n s i d e r e d Q t ( n ) , w h e r e Q t = { x 1 , x 2 I x i = x 2 = ( x 1 2 ) 2 = 1 ,

1 <

i < ( t - 1 ) / 2 , t o d d } . S i d k i s h o w e d t h a t t h e g r o u p s ( Q t ( n ) ) a r e r e l a t e d t o

o r t h o g o n a l g r o u p s . I n t h i s p a p e r w e s h o w t h a t o r t h o g o n a l g r o u p s a r i s e a s t h e

g r o u p s ( P ( n ) ) f o r o t h e r s y m m e t r i c p r e s e n t a t i o n s P . M o r e o v e r , t h e n a t u r e o f

( P ( n ) ) v a r i e s w i t h i n c r e a s i n g n i n v e r y d i v e r s e w a y s d e p e n d i n g n o t o n l y o n

t h e g r o u p ( P ) b u t a l s o o n t h e p r e s e n t a t i o n P .

W e a c h i e v e m a n y o f o u r r e s u l t s b y s y s t e m a t i c a n d s u b s t a n t i a l u s e o f i m p l e -

m e n t a t i o n s o f a l g o r i t h m s . A c c e s s t o g r o u p - t h e o r e t i c a l g o r i t h m s i s p r o v i d e d

v i a t h e c o m p u t e r a l g e b r a s y s t e m s C a y l e y [ 6 ] , G A P [ 2 5 ] a n d M A G M A [ 2 ] ; t h e

p a c k a g e s Q u o t p i c [ 1 8 ] a n d t h e A N U p - Q u o t i e n t P r o g r a m [ 1 6 , 2 1 ] ; a n d v a r i o u s

s t a n d - a l o n e p r o g r a m s , s e e f o r e x a m p l e [ 1 7 ] . A f u n d a m e n t a l t o o l f o r c o m p u t -

i n g w i t h f i n i t e l y p r e s e n t e d g r o u p s i s c o s e t e n u m e r a t i o n . W e u s e d e s c e n d a n t s

o f t h e p r o c e d u r e d e s c r i b e d i n [ 1 5 ] w h i c h a r e a v a i l a b l e i n M A G M A a n d i n s t a n d -

a l o n e p r o g r a m s . W e u s e M a p l e f o r g e n e r a l s y m b o l i c c a l c u l a t i o n . W e u s e t h e

A T L A S [ 8 ] a s o u r s o u r c e o f s t r u c t u r a l i n f o r m a t i o n a n d n o t a t i o n f o r s i m p l e

g r o u p s .

I n s e c t i o n 2 w e e x a m i n e t h e g r o u p s ( P ( 3 ) ) w h e r e P ( 2 ) i s o n e o f a f a m i l y

o f p r e s e n t a t i o n s f o r L 2 ( p ) . S e c t i o n 3 e x a m i n e s 4 - g e n e r a t o r v e r s i o n s o f t h e s e

g r o u p s a n d s h o w s t h a t b o t h f i n i t e a n d i n f i n i t e g r o u p s c a n o c c u r . A s e r i e s o f

s y m m e t r i c p r e s e n t a t i o n s c a n c o l l a p s e t o t h e t r i v i a l g r o u p a s n i n c r e a s e s a n d

s e c t i o n 4 i n v e s t i g a t e s t w o d i f f e r e n t c a s e s , e a c h s t a r t i n g f r o m a s y m m e t r i c a l

p r e s e n t a t i o n o f L 3 ( 3 ) . T h e f i n a l s e c t i o n i n c l u d e s a n u m b e r o f c o n j e c t u r e s ,

b a s e d o n f u r t h e r c o m p u t a t i o n a l e v i d e n c e .

2 A f a m i l y o f p r e s e n t a t i o n s

W e c o n s i d e r t h e 2 - g e n e r a t o r s y m m e t r i c p r e s e n t a t i o n

S p , c = { x 1 , x 2 I

1 3 . S i d k i [ 2 6 ]

s h o w e d t h a t i t s u f f i c e s t o t a k e i = 1 , 2 , 4 i n S p , 1 . I t i s e a s y t o s e e t h a t , f o r a n y

c , 1 < c 3 . T h e m a i n r e s u l t o f

t h i s s e c t i o n i s t h e a n a l y s i s o f ( S , ( 3 ) ) f o r g e n e r a l p r i m e p > 5 . ( F o r p = 3 w e

o b t a i n a l t e r n a t i n g g r o u p s , a s s h o w n i n [ 7 ] . )




3

T h e o r e m 1 L e t G = ( S P , , ( 3 ) ) ( p p r i m e , p > 5 a n d c # 0 ) w i t h p r e s e n t a t i o n

{ x , y , z I X P = y P = z P = ( x " y c / " ) 2 =

( y " Z c / " ) 2

= ( z x c I " ) 2 = 1 , V a E G F ( p ) * } .

I f

c 1 2 E G F ( p ) , t h e n G ^ _ 0 4 + ( p ) = 2 ( L 2 ( p ) x L 2 ( p ) ) .

P r o o f : T h e p r o o f i s b y w a y o f g e n e r a l h a n d c a l c u l a t i o n s o f t h e s t y l e o f t h o s e

i n [ 4 ] . T h e d e t a i l s o f t h e p r o o f i n v o l v e f r e q u e n t u s e o f t h e f o l l o w i n g l e m m a .

L e m m a 1 I f u , v E G , u P = v P = 1 , f o r p a n o d d p r i m e , a n d ( u " v 2 / " ) 2 = t E

Z ( G ) f o r a E { 1 , 2 } , t h e n u - 1 v u = v u v - 1 .

P r o o f o f L e m m a 1 :

v 2 u 2 = v 2 u 2

= v ( v u 2 ) _ ( v 2 u ) u

= # - V U - 2 V - I t

U - I V - 2 U t

C a n c e l t h e i s a n d r a i s e t o t h e p o w e r - 1 / 2 ( m o d p ) t o g e t t h e r e s u l t .

T h e p r o o f o f t h e t h e o r e m h a s t h e f o l l o w i n g s i m p l e s t r u c t u r e . F o r

c / 2 E

G F ( p ) w e s h o w ( 1 ) t h a t 2 ( L 2 ( p ) x L 2 ( p ) ) i s a h o m o m o r p h i c i m a g e o f G a n d

( 2 ) t h a t G i s a h o m o m o r p h i c i m a g e o f 2 ( L 2 ( p ) x L 2 ( p ) ) . W e u s e t h e f o l l o w i n g

p r e s e n t a t i o n f o r H = 2 ( L 2 ( p ) x L 2 ( p ) ) :

{ x i , x 2 , y l , y 2 , t I x p = y i = 1 , [ x l , x 2 1 = [ x l , y 2 ] = [ y 1 , x 2 ] = [ y l , y 2 ] = 1 ,

( x a y a / " ) 2

= t ,

t 2 = 1 ,

I t , x i ] _ [ t , y i ] = 1 ; i = 1 , 2 ; a E G F ( p ) * } .

O b s e r v e t h a t i t s u f f i c e s t o p r o v e ( 1 ) a n d ( 2 ) f o r c = 2 . T h i s f o l l o w s f r o m

a c o n s i d e r a t i o n o f t h e T i e t z e t r a n s f o r m a t i o n o f G g i v e n b y x - 3 x

2 / ,

y - >

2

/ , z - + z

2 7 ` ( r e p l a c i n g a b y

c / 2 a ) a n d a n a l o g o u s t r a n s f o r m a t i o n s f o r

H .

T h e d e t a i l s o f b o t h s t e p s o f t h e p r o o f a r e s t r a i g h t f o r w a r d b u t t e d i o u s .

H e r e w e g i v e o n l y t h e h o m o m o r p h i s m s a n d o m i t t h e e x p l i c i t c a l c u l a t i o n s .

( 1 ) D e f i n e x 0 = x 1 y 2 , y q 5 = y 1 x 2 , z ¢ = x l y l x l 1 x 2 y 2 x 2 1 .

W e c l a i m t h a t x 0 , y q 5 a n d z o s a t i s f y t h e r e l a t i o n s o f G a n d t h a t t h e m a p

0 i s o n t o .

( 2 ) D e f i n e x 1 = ( y x z ) 2 , y l = ( z y x ) 2 , x 2 , = ( x y z ) 2 , y 2 ' & = ( z x y ) 2 .

A g a i n w e c l a i m t h a t t h e i m a g e s o f t h e g e n e r a t o r s o f H s a t i s f y t h e r e l a t i o n s

o f H a n d t h a t t h e m a p

' i s o n t o .

T h e o r e m 2 L e t G = ( S P , , ( 3 ) ) ( p p r i m e , p > 5 a n d c # 0 ) .

I f

c 1 2 V G F ( p ) , t h e n 0 4 ( p ) N L 2 ( p 2 ) i s a h o m o m o r p h i c i m a g e o f G .



4

C a m p b e l l , H a v a s , L i n t o n a n d R o b e r t s o n

P r o o f : T h i s t i m e w e p r o v i d e m a p p i n g s t o m a t r i x g e n e r a t o r s . D e f i n e

_

1

1

1

0

1 + 2 / c 1

X 0

-

( 0

1

) ' Y O

( - 2 / c

1

) ' z

- 2 / c

1 -

2 / c

)

.

T h e s e m a t r i c e s g e n e r a t e S L 2 ( p 2 ) s i n c e t h e i m a g e s o f x a n d y g e n e r a t e t h e

m a x i m a l s u b g r o u p S L 2 ( p ) a n d t h e i m a g e o f z i s o u t s i d e t h i s , a s

2 / c V

G F ( p ) . T h e n t h e i r i m a g e s f a c t o r e d b y t h e c e n t r e g e n e r a t e L 2 ( p 2 ) .

C o n j e c t u r e 1 L e t G = ( S p , , ( 3 ) ) ( p p r i m e , p > 5 a n d c # 0 ) .

I f

c / 2 V

G F ( p ) , t h e n G = O 4 ( p ) - L 2 ( p 2 ) .

A s i m i l a r a r g u m e n t t o t h a t i n t h e p r o o f o f T h e o r e m 1 i m p l i e s t h a t w e o n l y

n e e d t o p r o v e t h i s f o r o n e s u c h c .

T o c o m p l e t e t h i s p r o o f i t w o u l d b e s u f f i c i e n t t o f i n d a h o m o m o r p h i s m f r o m

L 2 ( p 2 ) o n t o G . W e h a v e n o t s u c c e e d e d i n d o i n g s o , u s i n g e i t h e r m a t r i x g e n e r -

a t o r s f o r L 2 ( p 2 ) o r a p r e s e n t a t i o n . W e h a v e t r i e d t o u s e v a r i o u s p r e s e n t a t i o n s

f r o m [ 5 ] a n d [ 2 9 ] .

W e h a v e v e r i f i e d t h e c o n j e c t u r e f o r p < 4 3 u s i n g M A G M A .

3

F o u r - g e n e r a t o r p r e s e n t a t i o n s

D e f i n i t i o n 1 L e t X p ( n ) b e t h e s e t { x 1 , . . . , x , } o f g e n e r a t o r s i n ( P ( n ) ) .

W h e n P i s u n d e r s t o o d , w e s i m p l y w r i t e X ( n ) .

T h e f o l l o w i n g e a s y l e m m a i s u s e f u l h e r e .

L e m m a 2 I f ( P ( n - 1 ) ) i s a s i m p l e g r o u p t h e n e i t h e r

( i ) ( P ( n ) ) i s t h e t r i v i a l g r o u p , o r

( i i ) a n y n - 1 e l e m e n t s o f X ( n ) g e n e r a t e a s u b g r o u p i s o m o r p h i c t o ( P ( n - 1 ) ) .

T h e o r e m 3 L e t G = ( 8 5 , 1 ( 4 ) ) . T h e n G = ' 0 5 ( 5 ) .

P r o o f : C o s e t e n u m e r a t i o n o v e r H = ( x 1 , x 2 , x 3 ) r e v e a l s t h a t t h i s s u b g r o u p

h a s i n d e x 6 0 0 i n G . B y T h e o r e m 1 a n d L e m m a 2 , t h i s s h o w s t h a t I G I _

1 0 5 ( 5 ) 1 -

U s i n g t h e M A G M A s y s t e m w e c o n f i r m t h a t t h e p e r m u t a t i o n s g i v i n g t h e

a c t i o n o f G o n t h e c o s e t s o f H g e n e r a t e a g r o u p i s o m o r p h i c t o 0 5 ( 5 ) , w h i c h

i s t h u s a h o m o m o r p h i c i m a g e o f G . T o g e t h e r w i t h t h e v a l u e o f I G I o b t a i n e d

a b o v e , t h i s c o n c l u d e s t h e p r o o f .

I n c o n t r a s t , h o w e v e r , w e h a v e

T h e o r e m 4 ( 5 5 , 2 ( 4 ) ) i s a n i n f i n i t e g r o u p .

I t h a s a h o m o m o r p h i s m o n t o

0 5 ( 4 ) , a n d t h e k e r n e l o f t h i s m a p h a s a h o m o m o r p h i s m o n t o a n i n f i n i t e 2 -

g r o u p .



S y m m e t r i c p r e s e n t a t i o n s a n d o r t h o g o n a l g r o u p s 5

P r o o f : U s i n g t h e l o w i n d e x s u b g r o u p a l g o r i t h m i n C a y l e y w e q u i c k l y f i n d a

s u b g r o u p ( x 1 , x 2 ) x 3 , x 4 x i x 2 1 x 3 1 x 2 1 x 1 1 x 4 1 , x 4 x 2 1 x 3 x 4 x 2 1 x 1 1 x 4 1 ) o f i n d e x

1 3 6 . U s i n g M A G M A , w e s h o w t h a t t h e p e r m u t a t i o n a c t i o n o n t h e c o s e t s o f

t h i s s u b g r o u p g e n e r a t e s t h e g r o u p 0 5 ( 4 ) o f o r d e r 9 7 9 2 0 0 .

U s i n g Q u o t p i c , w e c o n s t r u c t t h e h o m o m o r p h i s m o n t o t h i s g r o u p , c o n s i d -

e r e d a s a p e r m u t a t i o n g r o u p o n 8 5 p o i n t s , a n d o b t a i n a p r e s e n t a t i o n f o r t h e

p r e - i m a g e H o f t h e p o i n t s t a b i l i z e r , 2 6 : ( A 5 x 3 ) . T h e n , u s i n g t h e l o w i n d e x

s u b g r o u p s a l g o r i t h m i n s i d e Q u o t p i c , w e f i n d a s u b g r o u p K o f i n d e x 4 i n H ,

w h o s e c o r e , n , K 9 , h a s i n d e x 2 8 1 0 5 ( 4 ) 1 i n G .

T h e p r e s e n t a t i o n o f K o b t a i n e d b y Q u o t p i c i s t h e n s i m p l i f i e d b y T i e t z e

t r a n s f o r m a t i o n s ( a l s o i n Q u o t p i c ) t o o b t a i n a p r e s e n t a t i o n w i t h 3 g e n e r a t o r s

a n d 1 7 r e l a t i o n s , o f t o t a l l e n g t h 2 6 5 . W e t h e n r e s t a r t Q u o t p i c w i t h t h i s

p r e s e n t a t i o n a s i n p u t .

T h e a b e l i a n q u o t i e n t o f K i s c y c l i c o f o r d e r 3 , a n d t h e d e r i v e d s u b g r o u p

h a s a s i n g l e h o m o m o r p h i s m o n t o A 5 w h i c h i s f o u n d b y Q u o t p i c , l e a d i n g t o a

p r e s e n t a t i o n o f a s u b g r o u p L o f i n d e x 1 8 0 i n K .

W e s i m p l i f y t h i s p r e s e n t a t i o n , f i r s t u s i n g t h e T i e t z e t r a n s f o r m a t i o n p r o -

g r a m i n Q u o t p i c a n d t h e n ( t o f u r t h e r i m p r o v e t h e p r e s e n t a t i o n ) t h e o n e i n

G A P , t o a p r e s e n t a t i o n w i t h 6 1 g e n e r a t o r s , 6 2 4 r e l a t i o n s a n d t o t a l l e n g t h

1 6 2 4 4 . T h e A N U p - Q u o t i e n t P r o g r a m , a p p l i e d t o t h i s p r e s e n t a t i o n , q u i c k l y

r e v e a l s t h a t t h e l a r g e s t e x p o n e n t - 2 c l a s s - 2 q u o t i e n t o f t h i s g r o u p h a s c e n t r a l

f a c t o r s o f o r d e r s 2 6 1 a n d

2 1 5 2 9 .

A t h e o r e m o f M . F . N e w m a n [ 2 0 ] ( a d j u s t e d

f o r 2 - g r o u p s a s i n [ 2 2 ] ) t h e n i m p l i e s t h a t t h i s g r o u p m u s t h a v e a n i n f i n i t e

2 - q u o t i e n t .

R e m a r k s : T h e C a y l e y r u n w h i c h f o u n d t h e i n d e x 1 3 6 s u b g r o u p a l s o f o u n d

a n i n d e x 2 7 2 s u b g r o u p . A p r e s e n t a t i o n o f t h e i n d e x 1 3 6 s u b g r o u p o f G

w a s a l s o o b t a i n e d a n d s i m p l i f i e d u s i n g s t a n d - a l o n e p r o g r a m s t o o n e w i t h

2 g e n e r a t o r s a n d 2 1 r e l a t i o n s o f t o t a l l e n g t h 2 5 3 . S u b g r o u p s o f t h i s g r o u p ,

o f i n d e x 2 4 , 3 2 a n d 6 4 , w e r e t h e n f o u n d b y l o w i n d e x s u b g r o u p m e t h o d s o r

r a n d o m c o i n c i d e n c e s [ 2 , E x a m p l e H 1 1 E 2 0 ] .

4

P r e s e n t a t i o n s f o r L 3 ( 3 )

W e c o n s i d e r t w o s y m m e t r i c p r e s e n t a t i o n s f o r L 3 ( 3 ) a n d o b s e r v e h o w t h e y

b e h a v e d i f f e r e n t l y b o t h f r o m t h e e x a m p l e s a l r e a d y c o n s i d e r e d a n d f r o m e a c h

o t h e r .

F i r s t c o n s i d e r P 1 = { x 1 , x 2

I x 1 3 = x 2 3 =

x i x 2 x i x 2 - 3

= x 2 x 1 x 2 x 1 3 = 1 } .

T h e g r o u p ( P 1 ) i s L 3 ( 3 ) , s e e [ 3 ] . ( P 1 ( 3 ) ) i s t r i v i a l , a n d i n f a c t t h e s a m e

r e s u l t s h o l d f o r t h e c o r r e s p o n d i n g f i n i t e l y p r e s e n t e d s e m i g r o u p . P r o o f s o f

b o t h r e s u l t s a r e v i a c o s e t e n u m e r a t i o n s .

F o r t h e s e m i g r o u p g i v e n b y t h e

p r e s e n t a t i o n { x 1 i x 2

I x 1 4 = x 1 , x 2 4 = X 2 , x i 4

3

4

x 2 X 1 = x 2 , x 2 x 1 x 2 = x i } t h e



6


p r o c e d u r e d e s c r i b e d i n [ 2 4 ] s h o w s t h a t t h e s e m i g r o u p i s a c t u a l l y t h e s a m e

a s t h e g r o u p w i t h t h a t p r e s e n t a t i o n , a n d t h e s a m e h o l d s f o r t h e a n a l o g o u s

3 - g e n e r a t o r p r e s e n t a t i o n .

W e n o w c o n s i d e r a m e m b e r o f t h e p a r a m e t r i z e d f a m i l y o f s y m m e t r i c p r e -

s e n t a t i o n s : T ( p ; 2 1 , 2 2 / ; 2 3 ) 2 4 ;

. .

. ) =

1

{ x x

I =

= ( x

1 x 2 2 ) 2

= ( x 2 1 x 2 2 ) 2 = ( x E 3 x 2 4 ) 2 = ( x 2 3 x ) 4 ) 2 =

= 1 } .

) 2

1

2 1 2 2 1 1 2 2 1

L e t P 2 = T ( 1 3 ; 1 , 2 ; 3 , 3 ; 6 , 6 ) . T h e n t h e g r o u p ( P 2 ) i s L 3 ( 3 ) , b y c o s e t e n u -

m e r a t i o n .

H o w e v e r , i n t h i s c a s e , ( P 2 ( 3 ) ) i s e a s i l y s e e n t o b e L 3 ( 3 ) x L 3 ( 3 ) , b u t a

d i r e c t c o s e t e n u m e r a t i o n o f P 2 ( 4 ) o v e r t h e t r i v i a l s u b g r o u p f a i l s . W e c a n

h o w e v e r s h o w :

T h e o r e m 5 T h e g r o u p ( P 2 ( 4 ) ) i s t r i v i a l .

P r o o f : A c o s e t e n u m e r a t i o n s h o w s t h a t t h e i n d e x 1 ( P 2 ( 4 ) ) : H ) I , w h e r e H i s

t h e s u b g r o u p g e n e r a t e d b y t h r e e o f t h e s y m m e t r i c g e n e r a t o r s , i s 1 .

T h e n l e t G b e ( P 2 ( 4 ) ) , w h i c h m u s t b e i s o m o r p h i c t o a q u o t i e n t g r o u p o f

L 3 ( 3 ) x L 3 ( 3 ) . I f G i s n o t t r i v i a l , t h e n G a d m i t s a g r o u p S 4 o f a u t o m o r p h i s m s

a c t i n g n a t u r a l l y a n d f a i t h f u l l y o n t h e g e n e r a t o r s X P 2 ( 4 ) . S i n c e t h e o u t e r

a u t o m o r p h i s m g r o u p o f L 3 ( 3 ) x L 3 ( 3 ) i s d i h e d r a l o f o r d e r 8 , i t i s e a s y t o s e e

t h a t t h e r e m u s t b e a g r o u p A - A 4 o f i n n e r a u t o m o r p h i s m s o f G , a l s o a c t i n g

n a t u r a l l y o n X ( 4 ) .

S i n c e t h i s i s a t r a n s i t i v e a c t i o n t h e g e n e r a t o r s a r e a l l c o n j u g a t e i n G . T h e

p o i n t s t a b i l i z e r i n t h i s a c t i o n i s c y c l i c o f o r d e r 3 , i m p l y i n g t h a t t h e c e n t r a l i z e r

o f a g e n e r a t o r i n G c o n t a i n s a c y c l i c s u b g r o u p o f o r d e r 3 9 . T h i s i m p l i e s t h a t

G

L 3 ( 3 ) s i n c e L 3 ( 3 ) c o n t a i n s n o e l e m e n t s o f o r d e r 3 9 .

F i n a l l y , s u p p o s e t h a t G - L 3 ( 3 ) x L 3 ( 3 ) . E l e m e n t s o f o r d e r 1 3 i n G h a v e

c e n t r a l i z e r e i t h e r 1 3 x L 3 ( 3 ) ( w h e n w e s a y t h e y a r e o f n o n - d i a g o n a l t y p e )

o r 1 3 2 ( w h e n w e s a y t h e y a r e o f d i a g o n a l t y p e ) . I t i s e a s y t o s e e t h a t e a c h

x E X ( 4 ) m u s t b e o f d i a g o n a l t y p e , o r e l s e t h e y c o u l d n o t b e c o n j u g a t e a n d

g e n e r a t e t h e w h o l e g r o u p G . T h i s c o n t r a d i c t s t h e e x i s t e n c e o f a n e l e m e n t o f

o r d e r 3 9 i n C G ( x ) .

R e m a r k s : T h e c o s e t e n u m e r a t i o n I ( P 2 ( 4 ) )

:

( x 1 i x 2 , X 3 ) 1 n e e d s a m a x i m u m

a n d a t o t a l o f b e t w e e n t e n a n d t w e n t y t h o u s a n d c o s e t s u s i n g c o s e t t a b l e

o r i e n t e d m e t h o d s . E x p e r i e n c e s u g g e s t s t h a t t o e n u m e r a t e o v e r ( x 1 , x 2 ) w o u l d

r e q u i r e a m a x i m u m o f a b o u t 5 0 0 0 t i m e s a s m a n y c o s e t s . T h i s w o u l d l e a d t o a

m u c h e a s i e r p r o o f f r o m a t h e o r e t i c a l p o i n t o f v i e w , b u t w o u l d r e q u i r e a m u c h

h a r d e r c o s e t e n u m e r a t i o n .

E v e n t h o u g h b o t h p r e s e n t a t i o n s , P 1 a n d P 2 , a r e b a s e d o n p a i r s o f g e n -

e r a t o r s o f o r d e r 1 3 t h e y c a n b e d i s t i n g u i s h e d b y o b s e r v i n g t h a t i n P 1 t h e

g e n e r a t o r s a r e i n d i f f e r e n t c o n j u g a c y c l a s s e s w h i l e i n P 2 t h e y a r e i n t h e s a m e

c l a s s .



S y m m e t r i c p r e s e n t a t i o n s a n d o r t h o g o n a l g r o u p s 7

5

C o n c l u d i n g r e m a r k s

F o r G n , = ( S . 5 , 1 ( n ) ) , t h e r e s u l t s o f s e c t i o n s 2 a n d 4 s h o w t h a t :

G 2 = L 2 ( 5 ) - 0 3 ( 5 )

G 3 = L 2 ( 2 5 ) = 0 4 - ( 5 )

G 4 S 4 ( 5 )

0 5 ( 5 )

U s i n g t h e c o m p u t a t i o n a l t o o l s d e s c r i b e d e a r l i e r , w e c a n s h o w t h a t

G 5 = 2 L 4 ( 5 ) = 2 0 6 ( 5 )

G 6 = 5 6 : G 5

G 7 = 2 0 8 ( 5 )

G 8 = 0 9 ( 5 )

B a s e d o n t h i s i n f o r m a t i o n , w e c o n j e c t u r e t h a t

G , , = O n + 1 ( 5 ) , n = 0 , 2 , 4 ( 8 )

G n

0 -

+ 1

( 5 ) , n 1 , 3 ( 8 )

G n = 2 0 n + + , ( 5 ) , n = 5 , 7 ( 8 )

G n = 5 ' n : G n - 1 , n = 6 ( 8 )

S i m i l a r l y , f o r H n = ( S s , 2 ( n ) ) , t h e r e s u l t s o f s e c t i o n s 2 a n d 3 s h o w t h a t

H 2 = L 2 ( 5 ) = 0 3 ( 5 ) , H 3 = 2 ( L 2 ( 5 ) x L 2 ( 5 ) ) 0 4 ( 5 ) a n d H 4 i s i n f i n i t e .

N o t e t h a t w e c a n e q u a l l y w e l l s a y t h a t H 2 = L 2 ( 4 ) = 0 3 ( 4 ) a n d H 3

2 ( L 2 ( 4 ) x L 2 ( 4 ) ) = ' 0 4 + ( 4 ) . F u r t h e r m o r e H 4 h a s a q u o t i e n t i s o m o r p h i c t o

S 4 ( 4 ) = 0 5 ( 4 ) . W e c o n j e c t u r e t h a t H n i s i n f i n i t e f o r n > 4 . N o t i c e t h a t t h e

r e s u l t s o f s e c t i o n 4 s h o w t h a t , i n c e r t a i n c a s e s , t h e g r o u p c a n c o l l a p s e a s n

i n c r e a s e s , s o t h e r e i s n o o b v i o u s p r o o f o f t h i s l a s t c o n j e c t u r e .

F o r o t h e r v a l u e s o f p s i m i l a r r e s u l t s h o l d f o r ( S p , , ( n ) ) a l t h o u g h f o r 5 < p

2 3 b o t h o f t h e s e r i e s a p p e a r t o g i v e f i n i t e g r o u p s f o r a l l n , e x c e p t w h e n p = 5

a n d

c / 2 E G F ( 5 ) o r p = 7 a n d

c / 2 ¢ G F ( 7 ) .

F o r n = 2 , ( S 1 7 , 1 ( n ) ) a n d ( T ( 9 ; 1 , 2 ; 4 , 4 ) ( n ) ) a r e b o t h L 2 ( 1 7 ) a n d t h e i r

s e r i e s a g r e e f o r 2 < n < 4 , d e s p i t e h a v i n g g e n e r a t o r s w i t h d i f f e r e n t o r d e r s ;

l i k e w i s e f o r ( S 1 7 , 3 ( n ) ) a n d ( T ( 9 ; 1 , 1 ; 3 , - 4 ) ( n ) ) . I t i s p r o b a b l e t h a t , w e r e w e

a b l e t o c o m p u t e t h e s e s e r i e s f o r l a r g e r n , w e w o u l d f i n d t h a t t h e f o u r s e r i e s

a r e a l l d i s t i n c t . W e c a n e x h i b i t f o u r d i s t i n c t s e r i e s o f f i n i t e g r o u p s c o n t a i n i n g

o r t h o g o n a l g r o u p s o v e r G F ( 8 ) .

P r e s e n t a t i o n

n

2 3

4

5

6

T ( 9 ; 1 , - 2 ; 3 , 4 ) 0 3 ( 8 )

0 4 ( 8 ) 0 5 ( 8 ) 0 6 ( 8 ) 0 7 ( 8 )

T ( 9 ; 1 , 2 ; 3 , - 4 ) 0 3 ( 8 )

0 4 + ( 8 ) 0 5 ( 8 ) 0 6 ( 8 ) 0 7 ( 8 )

T ( 9 ; 1 , 2 ; ( a l b - t a b - 2 ) 2

= 1 )

0 3 ( 8 )

0 4 + ( 8 ) 0 5 ( 8 ) 0 - ( 8 )

0 7 ( 8 )

Q 7 ( n )

2 6 . 0 2 ( 8 ) O a ( 8 ) 0 5 ( 8 ) 0 6 ( 8 ) 2 1 8 : 0 6 ( 8 )



8


W e h a v e c o m p u t e d m a n y o t h e r s e r i e s o f g r o u p s w i t h s y m m e t r i c p r e s e n t a -

t i o n s , a l l c o n t a i n i n g g r o u p s c l o s e l y r e l a t e d t o o r t h o g o n a l g r o u p s . T h e r e s u l t s

a r e a v a i l a b l e f r o m t h e a u t h o r s .

A C K N O W L E D G E M E N T S

T h e a u t h o r s w i s h t o a c k n o w l e d g e t h e s u p p o r t f r o m E u r o p e a n C o m m u n i t y

G r a n t E R B C H R X C T 9 3 0 4 1 8 , w h i c h h e l p e d t o m a k e p o s s i b l e t h e v i s i t o f t h e

s e c o n d a u t h o r t o t h e U n i v e r s i t y o f S t . A n d r e w s d u r i n g w h i c h t h i s w o r k w a s

u n d e r t a k e n . T h e s e c o n d a u t h o r w a s a l s o p a r t i a l l y s u p p o r t e d b y t h e A u s -

t r a l i a n R e s e a r c h C o u n c i l .

R e f e r e n c e s

[ 1 ]

M . J . B e e t h a m , A s e t o f g e n e r a t o r s a n d r e l a t i o n s f o r t h e g r o u p P S L ( 2 , q ) ,

q o d d , J . L o n d o n M a t h . S o c . 3 ( 1 9 7 1 ) , 5 5 4 - 5 5 7 .

[ 2 ] W . B o s m a a n d J . C a n n o n , H a n d b o o k o f M A G M A f u n c t i o n s , C o m p u t e r

A l g e b r a G r o u p , U n i v e r s i t y o f S y d n e y , 1 9 9 5 .

[ 3 ] C . M . C a m p b e l l a n d E . F . R o b e r t s o n , S o m e p r o b l e m s i n g r o u p p r e s e n -

t a t i o n s , J . K o r e a n M a t h . S o c . 1 9 ( 1 9 8 3 ) , 1 2 3 - 1 2 8 .

[ 4 ] C . M . C a m p b e l l , E . F . R o b e r t s o n a n d P . D . W i l l i a m s , E f f i c i e n t p r e s e n -

t a t i o n s o f t h e g r o u p s P S L ( 2 , p ) x P S L ( 2 , p ) , p p r i m e , J . L o n d o n M a t h .

S o c . ( 2 ) 4 1 ( 1 9 8 9 ) , 6 9 - 7 7 .

[ 5 ]

C . M . C a m p b e l l , E . F . R o b e r t s o n a n d P . D . W i l l i a m s , O n p r e s e n t a t i o n s

o f P S L 2 ( p n ) , J . A u s t r a l i a n M a t h . S o c . 4 8 ( 1 9 9 0 ) , 3 3 3 - 3 4 6 .

[ 6 ]

J . J . C a n n o n , A n i n t r o d u c t i o n t o t h e g r o u p t h e o r y l a n g u a g e , C a y l e y ,

i n C o m p u t a t i o n a l g r o u p t h e o r y ( e d . M . D . A t k i n s o n ) , p p . 1 4 5 - 1 8 3 . A c a -

d e m i c P r e s s , L o n d o n / N e w Y o r k , 1 9 8 4 .

[ 7 ] R . D . C a r m i c h a e l , A b s t r a c t d e f i n i t i o n s o f t h e s y m m e t r i c a n d a l t e r n a t i n g

g r o u p s a n d c e r t a i n o t h e r p e r m u t a t i o n g r o u p s , Q u a r t . J . P u r e A p p l . M a t h .

4 9 ( 1 9 2 3 ) , 2 2 6 - 2 8 3 .

[ 8 ] J . H . C o n w a y , R . T . C u r t i s , S . P . N o r t o n , R . A . P a r k e r a n d R . A . W i l s o n ,

A T L A S o f f i n i t e g r o u p s , C l a r e n d o n P r e s s , O x f o r d , 1 9 8 5 .

[ 9 ]

H . S . M . C o x e t e r , S y m m e t r i c a l d e f i n i t i o n s f o r t h e b i n a r y p o l y h e d r a l

g r o u p s , P r o c . S y m p o s . P u r e M a t h . 1 ( 1 9 5 9 ) , 6 4 - 8 7 .




9

[ 1 0 ] H . S . M . C o x e t e r a n d W . O . J . M o s e r , G e n e r a t o r s a n d r e l a t i o n s f o r

d i s c r e t e g r o u p s , 4 t h e d i t i o n , S p r i n g e r , B e r l i n , 1 9 7 9 .

[ 1 1 ] R . T . C u r t i s , S y m m e t r i c p r e s e n t a t i o n s . I . I n t r o d u c t i o n , w i t h p a r t i c u l a r

r e f e r e n c e t o t h e M a t h i e u g r o u p s M 1 2 a n d M 2 4 , i n G r o u p s , c o m b i n a t o r i c s

a n d g e o m e t r y ( e d s . M . W . L i e b e c k a n d J . S a x l ) , p p . 3 8 0 - 3 9 6 . L M S L e c -

t u r e N o t e S e r i e s 1 6 5 , C a m b r i d g e U n i v e r s i t y P r e s s , 1 9 9 2 .

[ 1 2 ] R . T . C u r t i s , S y m m e t r i c p r e s e n t a t i o n s . I I . T h e J a n k o g r o u p J 1 i J . L o n -

d o n M a t h . S o c . ( 2 ) 4 7 ( 1 9 9 3 ) , 2 9 4 - 3 0 8 .

[ 1 3 ] R . T . C u r t i s , A s u r v e y o f s y m m e t r i c g e n e r a t i o n o f s p o r a d i c s i m p l e g r o u p s ,

t h e s e p r o c e e d i n g s , p p . 2 6 - 4 4 .

[ 1 4 ] W . E m e r s o n , G r o u p s d e f i n e d b y p e r m u t a t i o n s o f a s i n g l e w o r d , P r o c .

A m e r . M a t h . S o c . 2 1 ( 1 9 6 9 ) , 3 8 6 - 3 9 0 .

[ 1 5 ] G . H a v a s , C o s e t e n u m e r a t i o n s t r a t e g i e s , i n P r o c e e d i n g s o f t h e 1 9 9 1 i n -

t e r n a t i o n a l s y m p o s i u m o n s y m b o l i c a n d a l g e b r a i c c o m p u t a t i o n ( e d . S . M .

W a t t ) , p p . 1 9 1 - 1 9 9 . A C M P r e s s , N e w Y o r k , 1 9 9 1 .

[ 1 6 ] G . H a v a s a n d M . F . N e w m a n , A p p l i c a t i o n o f c o m p u t e r s t o q u e s t i o n s l i k e

t h o s e o f B u r n s i d e , i n B u r n s i d e g r o u p s ( e d . J . L . M e n n i c k e ) , p p . 2 1 1 - 2 3 0 .

L e c t u r e N o t e s i n M a t h . 8 0 6 , S p r i n g e r - V e r l a g , B e r l i n , 1 9 8 0 .

[ 1 7 ] G . H a v a s a n d E . F . R o b e r t s o n , A p p l i c a t i o n o f c o m p u t a t i o n a l t o o l s f o r

f i n i t e l y p r e s e n t e d g r o u p s , i n C o m p u t a t i o n a l s u p p o r t f o r d i s c r e t e m a t h -

e m a t i c s ( e d s . N . D e a n a n d G . E . S h a n n o n ) , p p . 2 9 - 3 9 . D I M A C S S e r .

D i s c r e t e M a t h . T h e o r e t . C o m p u t . S c i . , V o l . 1 5 , 1 9 9 4 .

[ 1 8 ] D . F . H o l t a n d S . R e e s , A g r a p h i c s s y s t e m f o r d i s p l a y i n g f i n i t e q u o t i e n t s

o f f i n i t e l y p r e s e n t e d g r o u p s , i n G r o u p s a n d c o m p u t a t i o n ( e d s . L . F i n k e l -

s t e i n a n d W . M . K a n t o r ) , p p . 1 1 3 - 1 2 6 . D I M A C S S e r . D i s c r e t e M a t h .

T h e o r e t . C o m p u t . S c i . , V o l . 1 1 , 1 9 9 3 .

[ 1 9 ] G . M a l l e , J . S a x l a n d T . W e i g e l , G e n e r a t i o n o f c l a s s i c a l g r o u p s , G e o m .

D e d i c a t a 4 9 ( 1 9 9 4 ) , 8 5 - 1 1 6 .

[ 2 0 ] M . F . N e w m a n , P r o v i n g a g r o u p i n f i n i t e , A r c h . M a t h . 5 4 ( 1 9 9 0 ) , 2 0 9 -

2 1 1 .

[ 2 1 ] M . F . N e w m a n a n d E . A . O ' B r i e n , A p p l i c a t i o n o f c o m p u t e r s t o q u e s t i o n s

l i k e t h o s e o f B u r n s i d e , I I , I n t e r n a t . J . A l g e b r a C o m p u t . 6 ( 1 9 9 6 ) , 5 9 3 -

6 0 5 .



1 0


[ 2 2 ] D . B . N i k o l o v a a n d E . F . R o b e r t s o n , O n e m o r e i n f i n i t e F i b o n a c c i g r o u p ,

C . R . A c a d . B u l g a r e S c i . 4 6 ( 1 9 9 3 ) , 1 3 - 1 5 .

[ 2 3 ] E . F . R o b e r t s o n a n d C . M . C a m p b e l l , S y m m e t r i c p r e s e n t a t i o n s , i n G r o u p

t h e o r y ( e d s . K . N . C h e n g a n d Y . K . L e o n g ) , p p . 4 9 7 - 5 0 6 . W a l t e r d e

G r u y t e r , B e r l i n / N e w Y o r k , 1 9 8 9 .

[ 2 4 ] E . F . R o b e r t s o n a n d Y . U n l i i , O n s e m i g r o u p p r e s e n t a t i o n s , P r o c . E d i n -

b u r g h M a t h . S o c . 3 6 ( 1 9 9 2 ) , 5 5 - 6 8 .

[ 2 5 ] M . S c h o n e r t e t a l . , G A P - G r o u p s , A l g o r i t h m s a n d P r o g r a m m i n g , L e h r -

s t u h l D f u r M a t h e m a t i k , R h e i n i s c h - W e s t f a l i s c h e T e c h n i s c h e H o c h s c h u l e ,

A a c h e n , 1 9 9 5 .

[ 2 6 ] S . S i d k i , H K n K H i n g r o u p s , T r a b a l h o d e M a t e m a t i c a 9 6 , U n i v e r s i d a d e

d e B r a s i l i a , 1 9 7 5 .

[ 2 7 ] S . S i d k i , A g e n e r a l i z a t i o n o f t h e a l t e r n a t i n g g r o u p s - a q u e s t i o n o n f i n i t e -

n e s s a n d r e p r e s e n t a t i o n , J . A l g e b r a 7 5 ( 1 9 8 2 ) , 3 2 4 - 3 7 2 .

[ 2 8 ] S . S i d k i , S L 2 o v e r g r o u p r i n g s o f c y c l i c g r o u p s , J . A l g e b r a 1 3 4 ( 1 9 9 0 ) ,

6 0 - 7 9 .

[ 2 9 ] P . D . W i l l i a m s , P r e s e n t a t i o n s o f l i n e a r g r o u p s , P h . D . t h e s i s , U n i v e r s i t y

o f S t . A n d r e w s , 1 9 8 2 .



A c o n s t r u c t i v e r e c o g n i t i o n a l g o r i t h m f o r t h e

s p e c i a l l i n e a r g r o u p

F . C e l l e r

a n d

C . R . L e e d h a m - G r e e n

A b s t r a c t

I n t h e f i r s t p a r t o f t h i s n o t e w e p r e s e n t a n a l g o r i t h m t o r e c o g n i s e

c o n s t r u c t i v e l y t h e s p e c i a l l i n e a r g r o u p . I n t h e s e c o n d p a r t w e g i v e

t i m i n g s a n d e x a m p l e s .

1


I t s e e m s p o s s i b l e , u s i n g A s c h b a c h e r ' s c e l e b r a t e d a n a l y s i s o f s u b g r o u p s o f c l a s -

s i c a l g r o u p s [ 5 ] , t o d e v e l o p a l g o r i t h m s t h a t w i l l a n s w e r b a s i c q u e s t i o n s a b o u t

t h e g r o u p G g e n e r a t e d b y a s u b s e t X o f G L ( d , q ) , f o r m o d e s t v a l u e s o f d a n d q ,

a s i s a l r e a d y p o s s i b l e f o r p e r m u t a t i o n g r o u p s . T h e b e s t s t r a t e g y m a y i n v o l v e

t r y i n g t o r e c o g n i s e v e r y l a r g e s u b g r o u p s o f G L ( d , q ) b y s p e c i a l t e c h n i q u e s .

I n t h e c a s e o f p e r m u t a t i o n g r o u p s , s p e c i a l t e c h n i q u e s a r e u s e d t o r e c o g n i s e

t h e a l t e r n a t i n g a n d s y m m e t r i c g r o u p s . T h i s i s d o n e b y m a k i n g a r a n d o m

s e a r c h f o r e l e m e n t s o f a c e r t a i n c y c l e t y p e . I f s u c h e l e m e n t s a r e f o u n d i n a

p r i m i t i v e g r o u p , t h e g r o u p i s k n o w n t o c o n t a i n t h e a l t e r n a t i n g g r o u p . I f n o

s u c h e l e m e n t s a r e f o u n d a f t e r a s u f f i c i e n t l y l o n g s e a r c h , o n e p r o c e e d s w i t h t h e

e x p e c t a t i o n t h a t o n e i s d e a l i n g w i t h a s m a l l e r g r o u p . F o r l i n e a r g r o u p s , t h e

c o r r e s p o n d i n g q u e s t i o n i s t o d e t e r m i n e w h e t h e r o r n o t t h e g r o u p i n q u e s t i o n

c o n t a i n s a c l a s s i c a l g r o u p .

I t i s p o s s i b l e t o r e c o g n i s e t h e c l a s s i c a l g r o u p s i n a n o n - c o n s t r u c t i v e w a y a s

d e s c r i b e d i n [ 6 ] , [ 7 ] , a n d [ 2 ] . T h i s s t i l l l e a v e s t h e f u r t h e r p r o b l e m o f e x h i b i t i n g

a n e x p l i c i t i s o m o r p h i s m , t h a t i s t o s a y , g i v e n t h a t t h e g r o u p G = ( X ) c o n t a i n s

a c l a s s i c a l g r o u p , h o w c a n o n e e x p r e s s a g i v e n e l e m e n t A o f G a s a w o r d i n

X ? W e c a l l a n a l g o r i t h m t o s o l v e s u c h a p r o b l e m a c o n s t r u c t i v e r e c o g n i t i o n

a l g o r i t h m .

T h e n a t u r a l i d e a i s t o f i n d a s u i t a b l e g e n e r a t i n g s e t Y f o r G a n d e x p r e s -

s i o n s f o r t h e e l e m e n t s o f Y a s w o r d s i n X , s u c h t h a t w e h a v e a n a l g o r i t h m

e x p r e s s i n g A a s a w o r d i n Y . W e p r e s e n t a n a l g o r i t h m w h i c h a l l o w s o n e t o

1 1



1 2 F . C e l l e r a n d C . R . L e e d h a m - G r e e n

d o t h i s i n t h e c a s e o f t h e s p e c i a l l i n e a r g r o u p ; h e r e Y w i l l b e a s u i t a b l e s e t o f

t r a n s v e c t i o n s a s i t i s w e l l k n o w n t h a t S L ( d , q ) i s g e n e r a t e d b y t r a n s v e c t i o n s .

U s i n g G a u s s i a n e l i m i n a t i o n i t i s p o s s i b l e t o r e w r i t e a n e l e m e n t o f S L ( d , q ) a s

a p r o d u c t o f e l e m e n t a r y m a t r i c e s , w h i c h i n t u r n c a n b e w r i t t e n a s a p r o d u c t

o f t r a n s v e c t i o n s . H e n c e , o u r g o a l i s t o f i n d t h e t r a n s v e c t i o n s r e q u i r e d i n a

G a u s s i a n e l i m i n a t i o n a s w o r d s i n X , a n d t h e n u s e t h e G a u s s i a n e l i m i n a t i o n

t o r e w r i t e a n e l e m e n t o f G a s a w o r d i n t h e s e t r a n s v e c t i o n s .

T h e w o r d s i n X t h a t d e f i n e t h e t r a n s v e c t i o n s m a y b e v e r y l o n g . I t i s

t h e r e f o r e s e n s i b l e t o g i v e t h e s e w o r d s a s ` s t r a i g h t l i n e p r o g r a m s ' . T h a t i s t o

s a y , t o d e f i n e a w o r d w i n X w e d e f i n e a s e q u e n c e o f w o r d s w 1 , w 2 , . . . , w , , i n

X , w h e r e e a c h w 1 i s e i t h e r o f t h e f o r m x } 1 f o r x E X , o r o f t h e f o r m w t ' w k 1

f o r j , k < i o r w . - 1 f o r j < i . T h i s m a y r e d u c e t h e n u m b e r o f m u l t i p l i c a t i o n s

r e q u i r e d t o d e f i n e w d r a m a t i c a l l y . F o r e x a m p l e i f w = x ' , t h e n w c a n b e

d e f i n e d i n t h i s w a y b y 0 ( l o g n ) m u l t i p l i c a t i o n s .

O n e o f t h e m a i n a p p l i c a t i o n s o f t h e c o n s t r u c t i v e r e c o g n i t i o n a l g o r i t h m w i l l

b e i n t h e f o l l o w i n g s e t t i n g . I n i n v e s t i g a t i n g a m a t r i x g r o u p H a l o n g t h e l i n e s

o f A s c h b a c h e r ' s c l a s s i f i c a t i o n , o n e e n d s u p w i t h e i t h e r a c l a s s i c a l g r o u p , a n

a l m o s t s i m p l e g r o u p , o r a r e d u c t i o n t o a s m a l l e r g r o u p ; i n t h e l a t t e r c a s e , w e

g e t a h o m o m o r p h i s m c p o f H i n t o S , w h e r e S i s c y c l i c , a p e r m u t a t i o n g r o u p ,

o r s o m e m a t r i x g r o u p o f s m a l l e r d i m e n s i o n o r o v e r a s m a l l e r f i e l d . I f W ( H ) i s a

m a t r i x g r o u p c o n t a i n i n g t h e s p e c i a l l i n e a r g r o u p i n i t s n a t u r a l r e p r e s e n t a t i o n ,

w e c a n u s e t h e c o n s t r u c t i v e a l g o r i t h m t o p r o d u c e e l e m e n t s o f t h e k e r n e l o f W .

W e a s s u m e t h a t t h e a l g o r i t h m i s a p p l i e d w h e n w e h a v e a l r e a d y p r o v e d ,

u s i n g t h e m u c h f a s t e r n o n - c o n s t r u c t i v e r e c o g n i t i o n a l g o r i t h m , t h a t ( X ) d o e s

c o n t a i n S L ( d , q ) . A s a n a l t e r n a t i v e , t h e p r o g r a m c o u l d r e p o r t f a i l u r e i f s o m e

r a n d o m i z e d c o m p o n e n t o f t h e a l g o r i t h m f a i l e d t o c o m p l e t e i n t h e e x p e c t e d

t i m e . T h e e f f e c t o f p r o v i n g i n a d v a n c e t h a t G d o e s c o n t a i n S L ( d , q ) i s t o

c h a n g e t h e a l g o r i t h m f r o m a M o n t e C a r l o a l g o r i t h m , w h e n f a i l u r e w o u l d

g i v e s t a t i s t i c a l e v i d e n c e t h a t G d o e s n o t c o n t a i n S L ( d , q ) , t o a L a s V e g a s

a l g o r i t h m , w h e r e t h e r a n d o m i z e d f e a t u r e s o f t h e a l g o r i t h m m e r e l y m a k e t h e

r u n t i m e u n c e r t a i n .

W e a l s o a s s u m e d > 1 i n t h e f o l l o w i n g .

T h e a l g o r i t h m d e s c r i b e d i n t h i s p a p e r i s r a n d o m i z e d ; h o w e v e r e x p l i c i t

i s o m o r p h i s m s c o n s t r u c t e d w i l l a l w a y s b e c o r r e c t . S u c h a l g o r i t h m s a r e c a l l e d

L a s V e g a s a l g o r i t h m s ; t h e o u t p u t i s e i t h e r c o r r e c t o r t h e a l g o r i t h m r e p o r t s

f a i l u r e ( w i t h p r e s c r i b e d p r o b a b i l i t y < E ) .

T o s a y t h a t a L a s V e g a s a l g o r i t h m h a s ( L a s V e g a s ) c o m p l e x i t y f , w h e r e f

i s s o m e f u n c t i o n o f t h e i n p u t , m e a n s t h a t , f o r s o m e e , 0 < e < 1 , i t w i l l , w i t h

p r o b a b i l i t y a t l e a s t 1 - e , t e r m i n a t e i n t i m e l e s s t h a n k f f o r s o m e c o n s t a n t k

i n d e p e n d e n t o f t h e i n p u t . T h e a l g o r i t h m w i l l t h e n t e r m i n a t e w i t h p r o b a b i l i t y

1 - e 2 , i n t i m e l e s s t h a n 2 k f , a s o n e c o u l d s i m p l y r u n t h e p r o g r a m t w i c e . S o e

c a n b e s q u a r e d b y d o u b l i n g k , a n d h e n c e t h e a l g o r i t h m h a s c o m p l e x i t y f f o r



C o n s t r u c t i v e r e c o g n i t i o n a l g o r i t h m f o r S L

1 3

a n y e , 0 < e < 1 , h o w e v e r s m a l l . H e n c e r u n n i n g t h e a l g o r i t h m u n t i l s u c c e s s

h a s e x p e c t e d c o m p l e x i t y O ( f ) . T h e s t a t e d r u n n i n g t i m e s a n d c o m p l e x i t i e s i n

t h e f o l l o w i n g s e c t i o n s a r e a l w a y s t o b e u n d e r s t o o d a s e x p e c t e d r u n n i n g t i m e s

a n d c o m p l e x i t i e s .

2

C o n s t r u c t i n g a t r a n s v e c t i o n

A t r a n s v e c t i o n i s a n e l e m e n t o f G L ( d , q ) a c t i n g t r i v i a l l y o n a h y p e r p l a n e a n d

o n i t s q u o t i e n t s p a c e ; w e s h a l l c a l l t h i s h y p e r p l a n e t h e c e n t r a l i z e d s u b s p a c e o f

t h e t r a n s v e c t i o n . A t r a n s v e c t i o n i s c o n j u g a t e t o d i a g ( J 2 ( 1 ) , I d - 2 ) , t h e b l o c k

m a t r i x w i t h J 2 ( 1 ) a n d I d - 2 o n t h e d i a g o n a l , w h e r e J 2 ( 1 ) i s a J o r d a n b l o c k o f

d i m e n s i o n 2 a n d e i g e n v a l u e 1 a n d I d - 2 i s t h e i d e n t i t y o f G L ( d - 2 , q ) . A l t h o u g h

o n l y a s m a l l p r o p o r t i o n o f t h e e l e m e n t s o f G L ( d , q ) a r e t r a n s v e c t i o n s , w e s h o w

i n t h i s s e c t i o n t h a t t h e t r a n s v e c t i o n s a r e r e l a t i v e l y e a s y t o f i n d p r o v i d e d q i s

n o t t o o l a r g e .

L e t F q b e t h e f i n i t e f i e l d w i t h q e l e m e n t s , q = p k , w h e r e p i s p r i m e .

I n o r d e r t o f i n d a t r a n s v e c t i o n , w e l o o k f o r a n e l e m e n t c o n j u g a t e t o

d i a g ( J 2 ( a ) , R ) , t h e b l o c k m a t r i x w i t h J 2 ( a ) a n d R o n t h e d i a g o n a l ; J 2 ( a )

i s a J o r d a n b l o c k o f d i m e n s i o n 2 a n d e i g e n v a l u e a

0 , R i s a n e l e m e n t o f

G L ( d - 2 , q ) , s u c h t h a t a i s n o t a n e i g e n v a l u e o f R a n d R i s s e m i s i m p l e . A s R

i s s e m i s i m p l e , p d o e s n o t d i v i d e t h e o r d e r o ( R ) o f R . R a i s i n g d i a g ( J 2 ( a ) , R )

t o t h e l e a s t c o m m o n m u l t i p l e m o f t h e o r d e r s o f R a n d a y i e l d s a t r a n s v e c -

t i o n ; R ' i s t r i v i a l , J 2 ( a ) m =

( 1 0

m a i - 1

/

a n d m a 1 0 0 b e c a u s e p d o e s

n o t d i v i d e o ( R ) o r o ( a ) . I n o r d e r t o f i n d r a n d o m e l e m e n t s i n ( X ) = G L ( d , q )

w e u s e t h e a l g o r i t h m d e s c r i b e d i n [ 3 ] , w h i c h r e q u i r e s , a f t e r a p r e p r o c e s s i n g

p h a s e , o n e m a t r i x m u l t i p l i c a t i o n p e r r a n d o m e l e m e n t ; b u t i n a d d i t i o n w e a l s o

k e e p t r a c k o f t h e e x p r e s s i o n s f o r t h e r a n d o m e l e m e n t s i n t h e g i v e n g e n e r a t o r s

X .

N o t e t h a t i t i s p o s s i b l e t o o b t a i n a s u i t a b l e m u l t i p l e o f o ( R ) f r o m t h e

d e g r e e s o f t h e f a c t o r s o f t h e m i n i m a l p o l y n o m i a l o f R , b u t a s w e w a n t s h o r t

e x p r e s s i o n s i n t h e g i v e n g e n e r a t o r s f o r o u r t r a n s v e c t i o n , w e u s e t h e p r e c i s e

o r d e r o f R , s e e [ 1 ] .

W e n o w e s t i m a t e t h e p r o p o r t i o n o f e l e m e n t s i n G L ( d , q ) o f t h i s f o r m . T h e

f i r s t l e m m a c o u n t s t h e e l e m e n t s i n G L ( d , q ) h a v i n g a g i v e n e i g e n v a l u e , t h e

s e c o n d l e m m a c o u n t s t h e s e m i s i m p l e e l e m e n t s .

L e m m a 2 . 1 L e t a b e a n e l e m e n t o f F q * a n d l e t M a b e t h e s e t o f e l e m e n t s i n

G L ( d , q ) h a v i n g e i g e n v a l u e a . T h e n

1 1

2

<

I M c I

<

1

q - 1 -

( q - 1 )

I G L ( d , q ) I

q - 1



1 4


P r o o f : I n o r d e r t o g e t t h e s t a t e d u p p e r b o u n d w e u s e a c o u n t i n g a r g u -

m e n t s i m i l a r t o t h a t i n [ 4 ] : f o r e a c h n o n - z e r o v e c t o r v c h o o s e a v e c t o r s p a c e

c o m p l e m e n t W s u c h t h a t F q d = ( v ) ® W , , .

L e t E b e t h e s e t o f t r i p l e s

{ ( v , 0 , T ) I v E F q d , 0 E

T E H o m ( W , , , ( v ) ) } . N o w i f A E G L ( d , q )

h a s a n e i g e n v a l u e a , a n d w e c h o o s e a c o r r e s p o n d i n g e i g e n v e c t o r v , t h e n t h e

p a i r ( A , v ) c o r r e s p o n d s t o e x a c t l y o n e t r i p l e i n E . O n t h e o n e h a n d

d - 2

I E I = ( q d - 1 ) I G L ( d - 1 , q ) I

q d - 1

= ( q d - 1 ) q d - 1 I I

( q d - 1

- q i ) = I G L ( d , q )

i = O

O n t h e o t h e r h a n d e a c h A w i t h e i g e n v a l u e a h a s a t l e a s t q - 1 e i g e n v e c t o r s .

T h e r e f o r e t h e n u m b e r o f m a t r i c e s i n G L ( d , q ) w i t h e i g e n v a l u e a i s a t m o s t

I G L ( d , q ) / ( q - 1 ) .

I n o r d e r t o g e t t h e s t a t e d l o w e r b o u n d w e c o u n t t h e m a t r i c e s w h o s e c h a r a c -

t e r i s t i c p o l y n o m i a l s h a v e a a s r o o t w i t h m u l t i p l i c i t y o n e ; t h a t i s , t h e m a t r i c e s

c o n j u g a t e t o d i a g ( a , R ) f o r R E R a C G L ( d - 1 , q ) w h e r e R a i s t h e s e t o f

m a t r i c e s w h i c h d o n o t h a v e e i g e n v a l u e a . L e t C a b e a s e t o f r e p r e s e n t a -

t i v e s o f t h e c o n j u g a c y c l a s s e s i n R a u n d e r t h e a c t i o n o f G L ( d - 1 , q ) . T h e n

E R E C « [ G L ( d , q ) : C G L ( d , q ) ( d i a g ( a , R ) ) ] m a t r i c e s i n G L ( d , q ) a r e c o n j u g a t e t o

d i a g ( a , R ) . T h e c e n t r a l i z e r o f d i a g ( a , R ) i s i s o m o r p h i c t o F q * x C G L ( d - l , q ) ( R ) ;

s o t h a t t h e a b o v e s u m g i v e s

I M a I >

I G L ( d , q )

R E C D

( q

- 1 )

I C G L ( d - l , q ) ( R )

-

I G L ( d , q )

E [ G L ( d

- 1 , q ) : C G L ( d - 1 > q ) ( R ) ]

( q - 1 ) I G L ( d - 1 , q ) I

R E C a

I G L ( d , g ) I

I R a I

q - 1

I G L ( d - 1 , q ) I

>

1

( 1

-

1

1

/

I G L ( d , q )

q - 1 \

q -

s i n c e f r o m t h e f i r s t p a r t o f t h e p r o o f a b o v e w e a l r e a d y k n o w t h a t a t l e a s t

( q - 2 ) I G L ( d - 1 , q ) 1 1 ( q - 1 ) m a t r i c e s d o n o t h a v e e i g e n v a l u e a , a n d t h e r e f o r e

I R a I > ( q - 2 ) I G L ( d - 1 , q ) I 1 ( q - 1 ) . .

L e m m a 2 . 2 L e t S b e t h e s e t o f s e m i s i m p l e , r e g u l a r e l e m e n t s i n G L ( d , q ) ; t h a t

i s t o s a y , t h e s e t o f e l e m e n t s w h o s e c h a r a c t e r i s t i c p o l y n o m i a l i s s q u a r e - f r e e .

T h e n

( 2 J _ i ) 2 I G L ( d , q ) I

< -

I S I .

q

P r o o f : L e t P b e t h e s e t o f a l l s q u a r e - f r e e p o l y n o m i a l s o f d e g r e e d w i t h

l e a d i n g c o e f f i c i e n t o n e a n d n o n - z e r o c o n s t a n t t e r m . T h e s e t S i s a u n i o n o f



C o n s t r u c t i v e r e c o g n i t i o n a l g o r i t h m f o r S L 1 5

G L ( d , q ) - c o n j u g a c y c l a s s e s . W e c a n c h o o s e a s a r e p r e s e n t a t i v e f o r e a c h c l a s s

t h e c o m p a n i o n m a t r i x C f o f a p o l y n o m i a l f i n P .

L e t f = f l

1 f ; E P , w h e r e f ; i s i r r e d u c i b l e o f d e g r e e d i .

T h e n t h e

c e n t r a l i z e r o f C f i s i s o m o r p h i c t o C G L ( d , , q ) ( C 1 , ) x

. . . x

C G L ( d r > q ) ( C 1 , ) , s o

t h a t I C G L ( d , q ) ( C f ) I = f 1 ( g d i - 1 ) < q d . T h e r e f o r e w e g e t

I S I = E [ G L ( d , q ) : C G L ( d , q ) ( C f ) ]

f E P

>

I G L ( d , q ) I

d

f E P

q

I P

I I

I G L ( d , q ) I

N o w l e t A l b e t h e s e t o f a l l p o l y n o m i a l s o f d e g r e e d w i t h l e a d i n g c o e f f i c i e n t

o n e a n d n o n - z e r o c o n s t a n t t e r m t h a t d o h a v e a n o n - t r i v i a l s q u a r e f a c t o r . I n

o r d e r t o g e t a n u p p e r b o u n d o n I N I w e u s e t h e f o l l o w i n g c o u n t i n g a r g u m e n t .

A s f E N i s n o t s q u a r e - f r e e i t c o n t a i n s a n o n - t r i v i a l f a c t o r h o f d e g r e e k < d / 2

a t l e a s t t w i c e . C o u n t i n g a l l p o s s i b i l i t i e s f o r k , t h e f a c t o r h , a n d t h e c o - f a c t o r

f / h 2 , w e c o u n t e a c h p o l y n o m i a l w i t h r e p e a t e d f a c t o r s a t l e a s t o n c e .

A l l

L d / 2 j

<

( q k - 1 ( q

- 1 ) ) ,

l ( q d - 2 k - 1 ( q

- 1 ) )

k = 1

( q - 1 ) 2

( d / 2 J

q d - k

q 2

L k = 1

1

( q

1 )

( q d

_

q l d / 2 1 )

q 2

<

( q

- 1 ) q d .

q 2

H e n c e w e h a v e I P I = ( q -

1 ) q d - 1 - I N I > ( q

-

1 ) q d - 1 ( 1

- 9 ) a n d t h e r e f o r e

I S I > ( 0 9 1 ) 2 I G L ( d , q ) I .

L e m m a 2 . 3 L e t q > 3 . L e t N , , b e t h e s e t o f e l e m e n t s A o f G L ( d , q ) s u c h

t h a t b o t h t h e c h a r a c t e r i s t i c p o l y n o m i a l c ( x ) a n d t h e m i n i m a l p o l y n o m i a l o f A

h a v e a a s a r o o t o f m u l t i p l i c i t y t w o a n d c ( x ) / ( x - a ) 2 i s s q u a r e f r e e . T h e n

1

( ( q _ 1 ) 2 _

1

< I U a E F , . N « I

q q

q - 1

I G L ( d , q ) l



1 6 F . C e l l e r a n d C . R . L e e d h a m - G r e e n

P r o o f : L e t A b e a n e l e m e n t o f N a . T h e n A i s c o n j u g a t e t o d i a g ( J 2 ( a ) , R ) ,

w h e r e R E G L ( d - 2 , q ) , a i s n o t a n e i g e n v a l u e o f R a n d R i s s e m i s i m p l e . T h e

s e t R a o f a l l s u c h R i s a u n i o n o f G L ( d - 2 , q ) - c o n j u g a c y c l a s s e s ; l e t C a b e a

s y s t e m o f r e p r e s e n t a t i v e s f o r t h e s e c l a s s e s . A s a i s n o t a n e i g e n v a l u e o f R t h e

c e n t r a l i z e r o f d i a g ( J 2 ( a ) , R ) i s i s o m o r p h i c t o C G L ( 2 q ) ( J 2 ( a ) ) x C G L ( d - 2 , q ) ( R ) ,

t h e r e f o r e i t s o r d e r i s q ( q - 1 )

I C G L ( d _ 2 , q ) ( R ) I . T a k i n g t h e s u m o f t h e i n d i c e s

[ G L ( d , q ) : C ( d i a g ( J 2 ( a ) , R ) ) ] f o r a l l R E C a , w e g e t

I N « I

=

q ( q

1

1 ) .

I G L ( d , q ) I - I ' R « I l I G L ( d - 2 ,

q ) 1 .

A c c o r d i n g t o L e m m a 2 . 2 a t l e a s t k a l e - I G L ( d - 2 , q ) I m a t r i c e s a r e s e m i -

s i m p l e , a n d a c c o r d i n g t o L e m m a 2 . 1 a t m o s t 1 i n q - 1 m a t r i c e s h a v e e i g e n v a l u e

a ; t h e r e f o r e I R a I / I G L ( d - 2 , q ) I i s a t l e a s t

i a

- 1 .

A s R i s s e m i s i m p l e i t

d o e s n o t c o n t a i n a n y o t h e r 2 - d i m e n s i o n a l J o r d a n b l o c k , s o N a f l N p = 0 f o r

a 0 , 6 . T h e r e f o r e t h e t o t a l p r o p o r t i o n o f m a t r i c e s o f t h e r e q u i r e d f o r m i s a t

2

l e a s t 1

( ( q - 1 ) - 1 )

q 9

q - 1

W e c a n n o w a n a l y s e a n a l g o r i t h m f o r f i n d i n g a t r a n s v e c t i o n i f ( X ) _

G L ( d , q ) . T h e g e n e r a l c a s e S L ( d , q ) < ( X ) i s d i s c u s s e d a t t h e e n d o f t h i s

s e c t i o n .

T h e o r e m 2 . 4 I t i s p o s s i b l e t o f i n d a t r a n s v e c t i o n i n G L ( d , q ) = ( X ) a s a w o r d

i n X u s i n g L a s V e g a s O ( g d 3 ) f i n i t e f i e l d o p e r a t i o n s i f O ( q ) r a n d o m e l e m e n t s

a s w o r d s i n X a r e g i v e n .

P r o o f : I f d = 2 t h e n 1 i n q + 1 m a t r i c e s i n G L ( d , q ) a r e c o n j u g a t e t o J 2 ( a )

f o r s o m e a .

N o w a s s u m e d > 2 a n d q > 2 . L e m m a 2 . 3 s h o w s t h a t t h e p r o p o r t i o n o f

s u i t a b l e e l e m e n t s i s a t l e a s t 1 / ( 5 q ) . T h e r e f o r e t h e p r o b a b i l i t y o f f a i l u r e i s l e s s

t h a n a - 1 i f w e l o o k a t 5 q r a n d o m e l e m e n t s .

N o w a s s u m e d > 2 a n d q a r b i t r a r y . C o u n t i n g t h e m a t r i c e s c o n j u g a t e t o

d i a g ( J 2 ( a ) , R ) , w h e r e t h e c h a r a c t e r i s t i c p o l y n o m i a l o f R i s s q u a r e - f r e e , i n t h e

s a m e w a y a s i n L e m m a 2 . 3 , s h o w s t h a t t h e r e a r e a t l e a s t

k g 5 ) 2

I G L ( d , q ) I s u c h

m a t r i c e s . H e n c e t h e p r o p o r t i o n S

Z o f

s u i t a b l e e l e m e n t s i s i n d e p e n d e n t o f

d f o r q = 2 a n d 3 .

I t f o l l o w s t h a t t h e p r o p o r t i o n o f s u i t a b l e e l e m e n t s i s a t l e a s t 1 / 3 2 f o r q = 2 ,

a t l e a s t 4 / 2 4 3 f o r q = 3 , a n d a t l e a s t 1 / ( 5 q ) f o r q > 3 . H e n c e t h e p r o b a b i l i t y

o f f a i l u r e w i l l b e l e s s t h e n a - 1 f o r a n y q i f w e c h o o s e 2 1 q e l e m e n t s .

C o m p u t i n g e a c h c h a r a c t e r i s t i c p o l y n o m i a l c ( x ) r e q u i r e s O ( d 3 ) f i n i t e f i e l d

o p e r a t i o n s [ 1 ] . B y l o o k i n g a t t h e g r e a t e s t c o m m o n d i v i s o r o f c ( x ) a n d i t s

d e r i v a t i v e i t i s p o s s i b l e t o c h e c k i f c ( x ) h a s a r o o t o f m u l t i p l i c i t y 2 a n d s q u a r e -

f r e e c o - f a c t o r w i t h o u t q u a n t i f y i n g o v e r t h e f i e l d . C o m p u t i n g t h e g c d r e q u i r e s




1 7

O ( d 2 ) f i n i t e f i e l d o p e r a t i o n s . W e d o n o t n e e d t o c o m p u t e t h e m i n i m a l p o l y -

n o m i a l b e c a u s e t h e c o n d i t i o n o n t h e m i n i m a l p o l y n o m i a l g i v e n i n L e m m a 2 . 3

c a n b e c h e c k e d b y l o o k i n g a t t h e d i m e n s i o n o f t h e e i g e n s p a c e f o r t h e e i g e n -

v a l u e a . T h i s a g a i n r e q u i r e s O ( d 3 ) f i n i t e f i e l d o p e r a t i o n s . T h e r e f o r e w e c a n

c h e c k i f w e h a v e f o u n d a s u i t a b l e e l e m e n t u s i n g 0 ( d 3 ) f i n i t e f i e l d o p e r a t i o n s .

W e h a v e t o l o o k a t 2 1 q e l e m e n t s t o g e t a p r o b a b i l i t y o f f a i l u r e o f l e s s

t h a n a - ' ; c o m p u t i n g a n d c h e c k i n g o n e e l e m e n t r e q u i r e s 0 ( d 3 ) f i n i t e f i e l d

o p e r a t i o n s . H a v i n g f o u n d a s u i t a b l e e l e m e n t d i a g ( J 2 ( a ) , R ) w e c a n c o m p u t e

t h e o r d e r o f R u s i n g 0 ( d 3 l o g g l o g t ) f i n i t e f i e l d o p e r a t i o n s , w h e r e t i s t h e

m a x i m a l n u m b e r o f p r i m e f a c t o r s i n q = - 1 f o r i < d ( s e e [ 1 ] ) .

R e m a r k : A f t e r a p r e p r o c e s s i n g p h a s e , f i n d i n g a r a n d o m e l e m e n t u s i n g t h e

m e t h o d d e s c r i b e d i n [ 3 ] r e q u i r e s o n e m a t r i x m u l t i p l i c a t i o n .

R e m a r k : N o t e t h a t w e d o n o t h a v e t o r a i s e t h e e l e m e n t t o t h e p o w e r

l c m ( o ( R ) , o ( a ) ) e x p l i c i t l y , w h i c h w o u l d r e q u i r e 0 ( d 4 l o g q ) f i n i t e f i e l d o p e r -

a t i o n s . H o w e v e r , a l t h o u g h w e n e e d o n l y O ( q ) m a t r i x m u l t i p l i c a t i o n s t o f i n d

t h e t r a n s v e c t i o n , e v a l u a t i n g t h e c o r r e s p o n d i n g s t r a i g h t l i n e p r o g r a m r e q u i r e s

O ( q + d l o g q ) m u l t i p l i c a t i o n s b e c a u s e o f t h i s l a s t p o w e r i n g s t e p .

W e n o w c o n s i d e r t h e g e n e r a l c a s e w h e n S L ( d , q ) < ( X ) < G L ( d , q ) .

I f d > 3 , t h e d e t e r m i n a n t w i l l s i m p l y p a r t i t i o n t h e s e t o f s u i t a b l e e l e m e n t s

i n t o s u b s e t s o f a p p r o x i m a t e e q u a l c a r d i n a l i t y . I f d > 1 t h e c h a n c e t h a t a

r a n d o m e l e m e n t h a s a n e i g e n v a l u e a i s s t i l l a b o u t o n e i n q - 1 e v e n i f w e

i m p o s e a c o n d i t i o n o n t h e d e t e r m i n a n t o f R .

I f d = 3 a n d G = S L ( 3 , q ) , h o w e v e r , t h e d e t e r m i n a n t c o n d i t i o n f o r c e s

R E G L ( 1 , q ) t o b e ( a - ' ) . H e n c e , i f F q * h a s e l e m e n t s o f o r d e r 3 w e g e t a

s l i g h t l y w o r s e c h a n c e , w i t h t h e e x c e p t i o n o f t h e r o g u e g r o u p S L ( 3 , 4 ) w h i c h

h a s n o e l e m e n t s o f t h e r e q u i r e d f o r m .

T o c a t c h t h e s e e x c e p t i o n s w e u s e t h e f o l l o w i n g v a r i a t i o n o f t h e a l g o r i t h m .

W e t r y t o f i n d a r a n d o m e l e m e n t A w i t h m i n i m a l p o l y n o m i a l m A a n d c h a r -

a c t e r i s t i c p o l y n o m i a l C A , s u c h t h a t m A h a s a r o o t a o f m u l t i p l i c i t y t w o ,

M A / ( x - a ) 2 i s s q u a r e - f r e e a n d C A h a s a a s r o o t o f m u l t i p l i c i t y t w o o r t h r e e .

I f q i s e v e n a n d w e f i n d a n e l e m e n t w h e r e a i s a r o o t o f m u l t i p l i c i t y t h r e e o f

m A , w e t r y A 2 i n s t e a d .

3

C o n s t r u c t i n g a t r a n s v e c t i o n b a s i s

W e a s s u m e i n t h i s s e c t i o n t h a t ( X ) c o n t a i n s S L ( d , q ) .

W e n o w d e s c r i b e a n a l g o r i t h m t o f i n d a s e t o f t r a n s v e c t i o n s t h a t g e n e r a t e

S L ( d , q ) . W e f i r s t f i n d a s e t o f t r a n s v e c t i o n s t h a t c e n t r a l i z e a c o m m o n s u b -

s p a c e M o f c o - d i m e n s i o n o n e . W e t h e n l o o k f o r c o n j u g a t i n g e l e m e n t s g 3 s u c h

t h a t M f l f t M g t i s t r i v i a l .



1 8


A s s u m e t h a t w e h a v e f o u n d a t r a n s v e c t i o n u s i n g T h e o r e m 2 . 4 . H e n c e w e

k n o w a n e l e m e n t A E ( X ) , w h e r e A h a s o r d e r p m , t l = A ' i s a t r a n s v e c t i o n ,

a n d A i s c o n j u g a t e t o d i a g ( J 2 ( a ) , R ) , w h e r e R i s s e m i s i m p l e a n d r e g u l a r .

L e t M b e t h e s u b s p a c e o f c o - d i m e n s i o n 1 t h a t i s c e n t r a l i z e d b y t 1 , a n d l e t

b b e a v e c t o r n o t i n M . F o r a t r a n s v e c t i o n t c e n t r a l i s i n g M d e f i n e i r ( t ) t o b e

b - b t E M . L e t M = S ® T b e t h e A - i n v a r i a n t d e c o m p o s i t i o n o f M i n t o a

o n e - d i m e n s i o n a l s u b s p a c e S a n d a ( d - 2 ) - d i m e n s i o n a l s u b s p a c e T .

O u r g o a l i s t o f i n d a s e t o f ( d - 1 ) k t r a n s v e c t i o n s { t i } w i t h c e n t r a l i z e d

s u b s p a c e M , s u c h t h a t { i r ( t i ) } i s a b a s i s f o r M < F q d o v e r t h e p r i m e f i e l d

o f F q . U s i n g t h e s e t r a n s v e c t i o n s i t i s p o s s i b l e t o w r i t e a n y t r a n s v e c t i o n t

c e n t r a l i s i n g M a s a w o r d i n t h e t r a n s v e c t i o n s t i ; i f - 7 r ( t ) = E a i 7 r ( t i ) f o r

0 < a i < p t h e n t = j j t i " '

W e f i n d s u c h a s e t o f t r a n s v e c t i o n s i n t w o s t a g e s . I n t h e f i r s t s t a g e w e f i n d

a n o t h e r t r a n s v e c t i o n b y t a k i n g c o n j u g a t e s o f t 1 w i t h r a n d o m e l e m e n t s o f ( X )

u n t i l w e f i n d a t r a n s v e c t i o n t h a t a l s o n o r m a l i z e s M . I n t h e s e c o n d s t a g e w e

c o n j u g a t e o u r t r a n s v e c t i o n s w i t h A . W e t h e n i t e r a t e u n t i l w e f i n d a b a s i s .

T h e n e x t l e m m a e s t i m a t e s t h e c h a n c e s o f f i n d i n g a c o n j u a g t e o f t 1 t h a t

w i l l n o r m a l i z e M o r f i x b .

L e m m a 3 . 1 L e t t b e a t r a n s v e c t i o n , M i t s c e n t r a l i z e d s u b s p a c e a n d b a v e c t o r

o u t s i d e M . L e t g b e a r a n d o m e l e m e n t o f G L ( d , q ) .

( 1 ) T h e p r o b a b i l i t y t h a t t o n o r m a l i z e s M i s a t l e a s t 1 i n q + 1 .

( 2 ) T h e p r o b a b i l i t y t h a t t o f i x e s b i s a t l e a s t 1 i n q + 1 .

P r o o f : I t i s c l e a r t h a t t o n o r m a l i z e s M i f a n d o n l y i f t o e i t h e r c e n t r a l i z e s M

o r i r ( t ) g l i e s i n M .

I f d = 2 a n d t 9 n o r m a l i z e s M i t m u s t a l s o c e n t r a l i z e t h i s o n e - d i m e n s i o n a l

s u b s p a c e . W e h a v e a p r o b a b i l i t y o f 1 i n q + 1 t h a t M g a n d M a r e e q u a l a s

w e c a n a s s u m e t h a t g i s a r a n d o m i n v e r t i b l e m a t r i x , a n d s o M g m u s t b e a

r a n d o m , o n e - d i m e n s i o n a l s u b s p a c e .

I f d > 2 t h e p r o b a b i l i t y t h a t t o c e n t r a l i z e s M i s o n e i n ( q d - 1 ) / ( q - 1 )

a n d w e i g n o r e t h i s p o s s i b i l i t y f o r t h e a n a l y s i s . N o w g i s a r a n d o m e l e m e n t

o f G L ( d , q ) , s o 7 r ( t ) g i s a r a n d o m , n o n - z e r o v e c t o r . T h e p r o b a b i l i t y t h a t a

r a n d o m , n o n - z e r o v e c t o r o f F q d l i e s i n a g i v e n h y p e r p l a n e i s q d - 1 - 1 i n q d - 1 .

P a r t ( 2 ) i s p r o v e d i n t h e s a m e w a y .

U s i n g a t r a n s v e c t i o n n o r m a l i s i n g M w e c a n n o w c o n s t r u c t a c o n j u g a t e o f

t c e n t r a l i s i n g M .

L e m m a 3 . 2 L e t t b e t r a n s v e c t i o n w i t h c e n t r a l i z e d s u b s p a c e M . I t i s p o s s i b l e

t o f i n d a c o n j u g a t e t ' o f t c e n t r a l i s i n g t h e s a m e s u b s p a c e M u s i n g L a s V e g a s

O ( d 3 q ) f i n i t e f i e l d o p e r a t i o n s i f O ( q ) r a n d o m e l e m e n t s o f G L ( d , q ) a r e g i v e n .

P r o o f : L e m m a 3 . 1 s t a t e s t h a t a c o n j u g a t e s o f t h a s a c h a n c e o f a t l e a s t 1

i n q + 1 o f n o r m a l i s i n g M .



C o n s t r u c t i v e r e c o g n i t i o n a l g o r i t h m f o r S L 1 9

I f d = 2 t h a n a t r a n s v e c t i o n n o r m a l i s i n g M a l r e a d y c e n t r a l i z e s M a n d w e

c a n c h o o s e t ' = s .

I f d > 2 , t h e n e i t h e r s c e n t r a l i z e s M a n d w e c h o o s e t ' = s o r i t d o e s n o t .

I n t h e l a t t e r c a s e w e c h o o s e t ' = t $ w h i c h d o e s c e n t r a l i z e M .

F o r t h e s e c o n d s t a g e w e a s s u m e t h a t w e h a v e f o u n d a n o t h e r t r a n s v e c t i o n

t 2 f i x i n g M s u c h t h a t t h e T - c o m p o n e n t o f 7 r ( t 2 ) i s n o n - t r i v i a l . T h e c o n j u g a t e

t

2

A s t i l l c e n t r a l i z e s M a n d A

a c t s a s R o n t h e T - c o m p o n e n t o f 7 r ( t 2 ) .

W e n o w f o r m t 3 = t 2 A , t 4 = t 3 A ,

. . . , u n t i l s o m e

l i n e a r r e l a t i o n o c c u r s

b e t w e e n t h e 7 r ( t i ) , 1 < i . W e a r e l o o k i n g f o r a b a s i s o v e r t h e p r i m e f i e l d o f

F q f o r T ; i f a l i n e a r r e l a t i o n o c c u r s b e f o r e w e h a v e s u c h a b a s i s , w e a d d i n a

n e w t r a n s v e c t i o n c o n s t r u c t e d i n t h e s a m e w a y a s t 2 . I t e r a t i n g t h i s p r o c e s s ,

w e g e t a b a s i s f o r T . W e s h a l l s e e l a t e r t h a t w e e x p e c t t o c o n s t r u c t t h i s b a s i s

w i t h O ( k ) i t e r a t i o n s .

R e m a r k : U s i n g [ 3 ] f o r f i n d i n g r a n d o m e l e m e n t s , w e n e e d O ( q ) m u l t i p l i c a -

t i o n s t o e v a l u a t e t h e s t r a i g h t l i n e p r o g r a m f o r A , O ( d l o g q ) a d d i t i o n a l m u l -

t i p l i c a t i o n s t o e v a l u a t e t h e s t r a i g h t l i n e p r o g r a m f o r t 1 . W e e x p e c t t o n e e d

O ( k ) i t e r a t i o n s , t h e r e f o r e e v a l u a t i n g t h e s t r a i g h t l i n e p r o g r a m s f o r a l l t i s i -

m u l t a n e o u s l y r e q u i r e s 0 ( q k + d l o g q ) m u l t i p l i c a t i o n s .

A f t e r w e h a v e f o u n d t h e { t i } , o u r n e x t g o a l i s t o f i n d d - 1 e l e m e n t s

g j E ( X ) s u c h t h a t M n n i M g 3 _ { 0 } .

T a k i n g r a n d o m e l e m e n t s w e e x p e c t t o f i n d s u c h a s e t { g j } a f t e r O ( d ) t r i e s .

H o w e v e r , a s w e a s s u m e t h a t c o n s t r u c t i n g a r a n d o m e l e m e n t a l r e a d y r e q u i r e s

O ( d 3 ) f i n i t e f i e l d o p e r a t i o n s , t h i s w o u l d r e q u i r e 0 ( d 4 ) f i n i t e f i e l d o p e r a t i o n s

a l t o g e t h e r . S o i n s t e a d o f t a k i n g O ( d ) r a n d o m e l e m e n t s , w e s t a r t w i t h j u s t

o n e r a n d o m e l e m e n t g l . W e n o w f o r m g 2 = g 1 A , 9 3 = g 2 A , a n d s o o n . I f w e

d o n o t g e t M f l f l y M g t = { 0 } , w e a d d i n a n e w r a n d o m e l e m e n t . A s R i s

s e m i s i m p l e a n d r e g u l a r , w e c a n c h o o s e a b a s i s s u c h t h a t A i s s p a r s e . H e n c e

m u l t i p l i c a t i o n b y A c a n b e d o n e i n O ( d 2 ) f i n i t e f i e l d o p e r a t i o n s .

W e n o w p r o v e t h a t , w i t h p o s i t i v e p r o b a b i l i t y i n d e p e n d e n t o f d a n d q , t w o

r a n d o m v e c t o r s o f t h e u n d e r l y i n g v e c t o r s p a c e w i l l g e n e r a t e t h e v e c t o r s p a c e

a s a n A - m o d u l e .

L e m m a 3 . 3 L e t R b e a s e m i s i m p l e , r e g u l a r e l e m e n t o f G L ( d , q ) . T h e n t h e

u n d e r l y i n g r o w s p a c e

F q d

i s g e n e r a t e d a s a n R - m o d u l e b y L a s V e g a s 0 ( 1 )

r a n d o m v e c t o r s .

P r o o f : W e c a n a s s u m e t h a t R i s d i a g ( R 1 i

. . . ,

R i ) , w h e r e R i h a s a n i r r e d u c i b l e

c h a r a c t e r i s t i c p o l y n o m i a l . L e t F q d = ® L = 1 [ i b e t h e c o r r e s p o n d i n g d e c o m p o -

s i t i o n o f F q d i n t o i r r e d u c i b l e A - m o d u l e s V i . T h e n e a c h n o n - t r i v i a l v e c t o r i n

V g e n e r a t e s V a s R - m o d u l e .

L e t a ( j ) b e t h e n u m b e r o f j - d i m e n s i o n a l s u b s p a c e s o c c u r r i n g i n t h e a b o v e

d e c o m p o s i t i o n . F i r s t o f a l l w e a s s u m e t h a t t h e r e a r e o n l y b l o c k s o f d i m e n s i o n



2 0


j . T a k i n g t w o r a n d o m n o n - t r i v i a l v e c t o r s w e h a v e a c h a n c e o f o n e i n 1 / g 2 2

t h a t b o t h v e c t o r s h a v e a t r i v i a l V c o m p o n e n t f o r a f i x e d i . H e n c e w e h a v e a

c h a n c e o f ( 1 - 1 / q 2 j ) a ( i ) t o g e n e r a t e t h e w h o l e v e c t o r s p a c e w i t h t w o r a n d o m

v e c t o r s . I t i s c l e a r t h a t a ( j ) < q j . H e n c e

( 1 - 1 / g 2 2 ) a ( i )

>

( 1

-

1 / q 2 j ) 9 '

> ( 1 -

q 2 ) 9 - j

>

4 - q '

N o w , i f t h e r e a r e b l o c k s o f v a r i o u s d i m e n s i o n s , w e h a v e a c h a n c e o f s u c c e s s

o f a t l e a s t f 1 4 = 1 4 - 9 ' >

4 - 1 1 ( 9 - 1 )

4

R e c o g n i s i n g S L c o n s t r u c t i v e l y

P u t t i n g t h e a l g o r i t h m s o f s e c t i o n s 2 a n d 3 t o g e t h e r w e h a v e n o w p r o v e d

T h e o r e m 4 . 1 G i v e n ( X ) = G L ( d , q ) , w e c a n c o n s t r u c t s t r a i g h t l i n e p r o g r a m s

f o r a s e t o f ( d - 1 ) k t r a n s v e c t i o n s { t i } w i t h c o m m o n c e n t r a l i z e d s u b s p a c e M ,

s u c h t h a t { 7 r ( t i ) } i s l i n e a r l y i n d e p e n d e n t o v e r t h e p r i m e f i e l d o f F q u s i n g L a s

V e g a s O ( g k d 3 ) f i n i t e f i e l d o p e r a t i o n s p r o v i d e d t h a t O ( q k ) r a n d o m e l e m e n t s a s

w o r d s i n X a r e g i v e n .

U s i n g a n a d d i t i o n a l L a s V e g a s O ( d 3 ) f i n i t e f i e l d o p e r a t i o n s w e c a n c o n -

s t r u c t a s e t o f e l e m e n t s { g ; } a s s t r a i g h t l i n e p r o g r a m s s u c h t h a t n j M g t = { 0 } .

U s i n g t h e t r a n s v e c t i o n s { t i } a n d t h e e l e m e n t s { g j } w e c a n n o w w r i t e a n y

e l e m e n t o f G = ( X ) a s a w o r d i n X . T h i s w o r d i s r e p r e s e n t e d a s a s t r a i g h t

l i n e p r o g r a m . I f G > S L ( d , q ) , i t i s a t r i v i a l i t y t o f i n d a n e l e m e n t Z o f G s u c h

t h a t G = ( Z , S L ( d , q ) ) , a n d t o g i v e Z a s a w o r d i n X .

A s f l M g t i s t r i v i a l , w e c a n c h o o s e a b a s i s 1 3 = { b 1 ,

. .

. ,

b d } f o r F q d s u c h

t h a t b j V M g , a n d b , E M g t , f o r j '

j . F r o m n o w o n a s s u m e t h a t B i s t h e

s t a n d a r d b a s i s o f F q

.

I f w e h a v e a t r a n s v e c t i o n t c e n t r a l i s i n g M a n d 7 r ( t ) _ E a i i r ( t i ) t h e n w e

k n o w t h a t t = f f t i ' ' . A s w e k n o w s t r a i g h t l i n e p r o g r a m s f o r t h e t i w e c a n

p r o d u c e a s t r a i g h t l i n e p r o g r a m f o r t . I f w e h a v e a t r a n s v e c t i o n t c e n t r a l i s i n g

M g t , t h e n 0 . , c e n t r a l i z e s M , a n d w e c a n t h e r e f o r e p r o d u c e a s t r a i g h t l i n e

p r o g r a m f o r t u s i n g t h e s t r a i g h t l i n e p r o g r a m s f o r t h e { t i } a n d g j a s b e f o r e .

I n o r d e r t o w r i t e a n e l e m e n t A o f G a s a w o r d i n X , w e p r o c e e d a s f o l l o w s .

F i r s t s e t A ' = Z n A , w h e r e n i s t h e i n t e g e r o f s m a l l e s t m o d u l u s s u c h t h a t

d e t ( A ' ) = 1 . T h e a l g o r i t h m t h e n u s e s a G a u s s i a n e l i m i n a t i o n , t h a t i s b i a s e d

t o p r e f e r c o l u m n o p e r a t i o n s , t o w r i t e A ' a s a p r o d u c t o f t r a n s v e c t i o n s T k ,

w h e r e e a c h t r a n s v e c t i o n T k c e n t r a l i z e s M i k f o r s o m e i k . B y s o l v i n g a s y s t e m




2 1

o f l i n e a r e q u a t i o n s t h e a l g o r i t h m i s n o w a b l e t o w r i t e e a c h T k a s a p r o d u c t o f

t a k o , . T h i s e n a b l e s o n e t o w r i t e A a s a s t r a i g h t l i n e p r o g r a m i n X U Z .

5

V a r i a t i o n s

5 . 1 C o m p u t i n g a t r a n s v e c t i o n , q l a r g e

I f q > d + 1 > 3 , t h e f o l l o w i n g a l g o r i t h m c a n b e u s e d t o f i n d a t r a n s v e c t i o n

i n G .

F i r s t w e t r y t o f i n d a n e l e m e n t A t h a t i s a l m o s t i r r e d u c i b l e , t h a t i s , t h a t

a c t s i r r e d u c i b l y o n a s u b s p a c e o f c o - d i m e n s i o n 1 . A b o u t 1 i n d o f t h e e l e m e n t s

o f G h a v e t h i s p r o p e r t y i f G c o n t a i n s S L ( d , q ) , s e e [ 6 ] . A f t e r r a i s i n g A t o t h e

p o w e r o ( A ) / g c d ( o ( A ) , q - 1 ) , t h i s p o w e r B w i l l e i t h e r b e a s c a l a r m a t r i x , i n

w h i c h c a s e w e t r y a g a i n , o r i t w i l l b e a d i a g o n a l m a t r i x w i t h t w o e i g e n v a l u e s ,

s a y a o f m u l t i p l i c i t y 1 a n d 3 o f m u l t i p l i c i t y d - 1 .

I f G i s S L ( d , q ) , w e k n o w t h a t a R d - 1 = 1 ; s i n c e q i s l a r g e r t h a n d + 1 ,

3 d - 1 = ± 0 - 1 . I f / 3 d - 1 = , 3 - 1 t h e n

t h e w o r s t c a s e i s q = 2 d - 1 , i n w h i c h

p d - 1

B i s a s c a l a r m a t r i x a n d w e h a v e t o t r y a g a i n .

W h e n w e f i n d s u c h a B , w e c o n j u g a t e B b y a r a n d o m e l e m e n t o f G . S i n c e

q i s l a r g e , t h e e i g e n s p a c e s o f B a n d C w i t h e i g e n v a l u e , 3 w i l l a l m o s t c e r t a i n l y

b e d i s t i n c t . T h e s e s p a c e s t h e n i n t e r s e c t i n a s u b s p a c e W o f c o - d i m e n s i o n

2 w h i c h i s i n v a r i a n t u n d e r t h e a c t i o n o f B a n d C . L e t B a n d r b e t h e

i m a g e s o f B a n d C a c t i n g o n V / W , a n d G t h e g r o u p t h e y g e n e r a t e . W e s h a l l

n o w s e a r c h f o r a t r a n s v e c t i o n i n G u s i n g t h e a l g o r i t h m d e s c r i b e d i n s e c t i o n

2 h o p i n g t h a t G c o n t a i n s S L ( 2 , q ) a n d t r y t o p u l l i t b a c k . I n a n a t t e m p t t o

a v o i d t h e s i t u a t i o n w h e r e S L ( d , q ) $ G w e d e m a n d t h a t t h e s q u a r e s o f B , C ,

B C d o n o t c o m m u t e . H e n c e G i s n e i t h e r a b e l i a n n o r i m p r i m i t i v e .

A s s u m e t h a t w e h a v e f o u n d a t r a n s v e c t i o n i n G L ( 2 , q ) . I t s p r e - i m a g e S i n

G L ( d , q ) , a f t e r u s i n g a s u i t a b l e b a s i s t r a n s f o r m a t i o n , i s o f t h e f o r m

1

6

t l

S =

1

t 2 ,

/ I d - 2

w h e r e 6 5 4 0 a n d t i a r e r o w v e c t o r s o f l e n g t h d - 2 .

F i r s t a s s u m e t h a t Q # 1 a n d l e t n b e t h e o r d e r o f , 3 . U s i n g t h e s a m e b a s i s

a s a b o v e w e s e e t h a t

1

n 6

S " =

0 1

( E n 0

1

) f i n - 1 - t )

( t l

i = O

6

1

I ` t 2

I

N o t e t h a t n d : 0 b e c a u s e n a n d p a r e c o p r i m e . N o w w e n e e d t o l o o k m o r e



2 2


c l o s e l y a t t h e u p p e r r i g h t c o r n e r . E x p a n d i n g t h e s u m g i v e s

n - 1

1

1

d I

-

V '

a n - 1 - Y

2 8 # n - 1 - Y

1 - i

n -

£ = 0 1 i = 0

L e t x = E 1 0 0 i ; t h e n x Q = x b e c a u s e n i s t h e o r d e r o f , Q . A s w e a s s u m e

6 # 1 , x m u s t b e z e r o , a n d t h e r e f o r e E b o

( 0

1

/

Y

R n - 1 - i i s

a m a t r i x w i t h

\ 1

n b

z e r o s o n a n d b e l o w t h e d i a g o n a l . W e g e t S n =

0

1

, w h i c h i s a

I

t r a n s v e c t i o n .

N o w a s s u m e t h a t , Q = 1 a n d q i s e v e n . I n t h i s c a s e i t f o l l o w s t h a t

1

0 S t 2

S 2 = 0

1

0

0 0

I

1

6

t 1

I f t 2 i s t r i v i a l t h e n S =

0

1

0

i s a l r e a d y a t r a n s v e c t i o n o r t 2 # 0 a n d

0

0

I

S 2 i s a t r a n s v e c t i o n .

I f Q = 1 b u t q i s o d d t h e n t h e o r d e r o f S i s p a n d S i s a t r a n s v e c t i o n

i f a n d o n l y i f t 2 = 0 . S o t h e o n l y b a d c a s e i s i f w e f i n d a n e l e m e n t S w i t h

, 6 = 1 , t 2 # 0 a n d q i s o d d . W e a v o i d t h i s c a s e f r o m t h e b e g i n n i n g b y u s i n g

o n l y d i a g o n a l e l e m e n t s w i t h , 6 # 1 i f p # 2 . A s a i s t h e p o w e r o f a n e l e m e n t

f r o m a f i e l d w i t h q d - 1 e l e m e n t s l y i n g i n t h e s u b f i e l d w i t h q e l e m e n t s w e h a v e

a c h a n c e o f o n e i n W ( l ) o f g e t t i n g a b a d , 6 , w h e r e l i s t h e 7 r - p a r t o f q d - 1 - 1 ,

f o r i t t h e s e t o f p r i m e s o c c u r i n g i n q - 1 , a n d c p i s t h e E u l e r p h i f u n c t i o n .

5 . 2 C o m p u t i n g a t r a n s v e c t i o n b a s i s , k l a r g e

I f k i s l a r g e t h e f o l l o w i n g c a n r e d u c e t h e i t e r a t i o n r e q u i r e d i n s e c t i o n 3 . W e

u s e t h e s a m e n o t a t i o n a s i n s e c t i o n 3 .

A f t e r w e h a v e f o u n d t h e s e c o n d t r a n s v e c t i o n t 2 , w e f o r m t 3 = t 2

, . . . , u n t i l

s o m e l i n e a r r e l a t i o n o c c u r s a s i n s e c t i o n 3 . B u t n o w i n s t e a d o f i t e r a t i n g w e

c o n s t r u c t a n e l e m e n t B t h a t l e a v e s t h e s u b s p a c e M i n v a r i a n t a n d c e n t r a l i z e s

b . C o n j u g a t i n g o u r t r a n s v e c t i o n t i w i t h B w i l l m o s t l i k e l y e x t e n d o u r b a s i s .

W e l o o k f o r a c o n j u g a t e t 1 9 o f t 1 t h a t f i x e s b . I f a n o n - t r i v i a l l i n e a r c o m b i -

n a t i o n E a i , 7 r ( t i ) g l i e s i n M t h e n t h e c o r r e s p o n d i n g t r a n s v e c t i o n B = ( 1 1 t i ' s ) 9

f i x e s b a n d n o r m a l i z e s M . W e n o w c o n j u g a t e t h e g i v e n t i w i t h B .




2 3

5 . 3

B l a c k b o x r e c o g n i t i o n

I t w o u l d n o t b e h a r d t o p r o d u c e a n a n a l o g o u s a l g o r i t h m t h a t w o r k s i n a

b l a c k b o x g r o u p . T h a t i s t o s a y , w e a s s u m e t h a t G i s a n a r b i t r a r y g r o u p

i s o m o r p h i c t o a g r o u p l y i n g b e t w e e n S L ( d , q ) a n d G L ( d , q ) . W e a s s u m e , o f

c o u r s e , t h a t w e h a v e e f f i c i e n t a l g o r i t h m s t o m u l t i p l y a n d c o m p a r e e l e m e n t s

o f G . W e a l s o a s s u m e t h a t w e h a v e a n e f f i c i e n t a l g o r i t h m t o c o m p u t e t h e

o r d e r o f a n y e l e m e n t o f G , a n d t h a t , g i v e n a n e l e m e n t a r y a b e l i a n p - s u b g r o u p

W o f G , w h e r e p i s t h e c h a r a c t i s t i c o f t h e f i e l d o v e r w h i c h G i s d e f i n e d , w e

c a n e f f i c i e n t l y d e t e r m i n e l i n e a r r e l a t i o n s i n W . T h e s e c o n d i t i o n s w o u l d b e

s a t i s f i e d i f , f o r e x a m p l e , G w a s g i v e n b y s o m e f a i t h f u l r e p r e s e n t a t i o n o v e r a

f i n i t e f i e l d o f c h a r a c t i s t i c p . I t w o u l d b e p o s s i b l e t o a d a p t o u r a l g o r i t h m t o

w o r k i n G , t h u s g e t t i n g a n i s o m o r p h i s m o f s o m e s u b g r o u p o f G i n t o G L ( d , q ) .

T h e q u e s t i o n t h e n a r i s e s o f c o m p u t i n g t h e i m a g e o f X i n G L ( d , q ) , t h u s

p r o v i n g t h a t t h e w h o l e o f G i s e m b e d d e d i n G L ( d , q ) . W e a r e i n v e s t i g a t i n g

a n e l a b o r a t i o n o f t h e s e i d e a s i n t o a n e f f i c i e n t a l g o r i t h m .

6 T i m i n g s a n d e x a m p l e s

W e h a v e i m p l e m e n t e d t h e a l g o r i t h m i n G A P [ 8 ] a n d t h i s i m p l e m e n t a t i o n i s

d i s t r i b u t e d w i t h G A P .

W e i n v e s t i g a t e t h e g r o u p G g e n e r a t e d b y

5

1 3 4

3

1 1 4

1 4

1 4

2 1 6

7

I

d

1 1 5 1 0 1 1

1

3

a n

3 4

1 6 1 5 1

o v e r t h e f i e l d G F ( 1 7 ) . L e t t h e m a t r i c e s a c t f r o m t h e r i g h t , s o t h e u p p e r l e f t

h a n d c o r n e r d e s c r i b e s t h e a c t i o n o n a t w o - d i m e n s i o n a l q u o t i e n t s p a c e . F i r s t

w e i n v e s t i g a t e t h e g r o u p a c t i n g o n t h i s q u o t i e n t s p a c e .

g a p > x 1 : = [ [ S , 1 3 , 4 , 3 ] , [ 2 , 1 6 , 7 , 0 ] , [ 0 , 0 , 1 , 3 ] , [ 0 , 0 , 1 6 , 1 5 ] ] * Z ( 1 7 ) 0 ; ;

g a p > x 2 : = [ [ 1 , 1 4 , 1 5 , 1 4 ] , [ 1 , 1 5 , 1 0 , 1 1 ] , [ 0 , 0 , 3 , 4 ] , [ 0 , 0 , 0 , 1 ] ] * Z ( 1 7 ) ' 0 ; ;

g a p > y l

[

[ 5 , 1 3 ] ,

[ 2 , 1 6 ] ] * Z ( 1 7 ) 0 ; ;

g a p > y 2

[

[ 1 , 1 4 ] ,

[ 1 , 1 5 1 ] * Z ( 1 7 ) 0 ; ;

g a p > c r C R e c o g n i z e S L ( G r o u p ( y l , y 2 ) , [ y l , y 2 ] ) ;

# I

< G > i s G L ( 2 , 1 7 )

< < c o n s t r u c t i v e S L r e c o g n i t i o n r e c o r d > >

T h i s s h o w t h a t G a c t s a s G L ( 2 , 1 7 ) o n t h e q u o t i e n t s p a c e ; r e w r i t i n g t w o

" r a n d o m " e l e m e n t s w e g e t t w o e l e m e n t s i n t h e k e r n e l . W e n o w i n v e s t i g a t e

t h e a c t i o n o f t h e k e r n e l o n t h e i n v a r i a n t s u b s p a c e .

g a p > v 1 : = R e w r i t e ( c r , y 2 ) ;



2 4


( t 2 _ 1 ) - 4 * ( t 1 _ 1 ) - 3 * ( t 2 _ 1 ) - 7

g a p > D i s p l a y M a t ( ( x 2 ) / V a l u e ( w 1 , [ x l , x 2 ] ) ) ;

1

.

7

2

1 1 4 4

5

2

8

6

g a p > w 2 : = R e w r i t e ( c r , y l 2 * y 2 ) ;

z 2 * ( t 2 _ 1 ) - 4 * ( t l _ l ) - 3 * ( t 2 _ 1 ) - 7

g a p > D i s p l a y M a t ( ( x 1 ' 2 * x 2 ) / V a l u e ( w 2 , [ x l , x 2 ] ) ) ;

1 .

8 .

1 1 6

5 1 0

5

6

g a p > z i

[

[ 5 ,

2 ] ,

[ 8 , 6 ]

] * Z ( 1 7 ) ' 0 ; ;

g a p > z 2

[

[ 5 , 1 0 1 , [ 5 , 6 1 1

* Z ( 1 7 ) 0 ; ;

g a p > c r

C R e c o g n i z e S L ( G r o u p ( z l , z 2 ) , [ z l , z 2 ] ) ;

# 1

< G > i s G L ( 2 , 1 7 )

< < c o n s t r u c t i v e S L r e c o g n i t i o n r e c o r d > >

H e n c e t h e k e r n e l a c t s a s G L ( 2 , 1 7 ) o n t h e i n v a r i a n t s u b s p a c e .

R e w r i t i n g

a " r a n d o m " e l e m e n t i n t h e k e r n e l s h o w s t h a t G i s 1 7 4 . G L ( 2 , 1 7 ) . G L ( 2 , 1 7 )

b e c a u s e G L ( 2 , 1 7 ) a c t s f r o m b o t h s i d e s o n t h e u p p e r r i g h t c o r n e r ; t h e r e f o r e

w e e i t h e r g e t 1 7 4 o r t h e t r i v i a l s u b s p a c e i n t h i s c o r n e r .

g a p > D i s p l a y M a t ( ( x x l ) / V a l u e ( R e w r i t e ( c r , z i ) , [ x x l , x x 2 ]

) ) ;

I

. 1 4

8

1 1 1 1 6

.

. 1

T h e t i m i n g s i n F i g . 1 w e r e o b t a i n e d b y r u n n i n g t h e p r o g r a m o n a n I n t e l

P e n t i u m P 5 , 1 3 3 M h z , r u n n i n g F r e e B S D 2 . 1 . 0 . T h e y a r e a n a v e r a g e o f 1 0 0

r u n s o f r u n n i n g t h e a l g o r i t h m u s i n g 2 r a n d o m m a t r i c e s g e n e r a t i n g S L ( d , q ) .

N o t e t h a t G A P c o m p u t e s i n f i n i t e f i e l d s u s i n g a Z e c h l o g a r i t h m t a b l e ; t h e r e f o r e

t h e t i m e r e q u i r e d f o r o n e f i n i t e f i e l d m u l t i p l i c a t i o n d o e s n o t d e p e n d o n q .


W e a r e g r a t e f u l t o M . G e c k , K . L u x , W . N i c k e l , a n d E . A . O ' B r i e n f o r h e l p f u l

c o n v e r s a t i o n s .

R e f e r e n c e s

[ 1 ] F r a n k C e l l e r a n d C . R . L e e d h a m - G r e e n , C a l c u l a t i n g t h e o r d e r o f a n i n -




2 5

2 5 0

2 0 0

5 0

0

1 0

2 0

3 0

R e c o g n i s i n g S L ( d , q )

4 0

5 0

6 0

d i m e n s i o n

7 0

F i g u r e 1 : T i m i n g s

6 0

v e r t i b l e m a t r i x , D I M A C S p r o c e e d i n g s , t o a p p e a r .

9 0 1 0 0

[ 2 ] F r a n k C e l l e r a n d C . R . L e e d h a m - G r e e n , A n o n - c o n s t r u c t i v e r e c o g n i t i o n

a l g o r i t h m f o r t h e s p e c i a l l i n e a r a n d o t h e r c l a s s i c a l g r o u p s , i n G r o u p s a n d

c o m p u t a t i o n I I ( e d s . L . F i n k e l s t e i n a n d W . M . K a n t o r ) . D I M A C S s e r i e s ,

v o l . 2 8 , A m e r . M a t h . S o c . , 1 9 9 7 .

[ 3 ]

F r a n k C e l l e r , C h a r l e s R . L e e d h a m - G r e e n , S c o t t H . M u r r a y , A l i c e C . N i e -

m e y e r , a n d E . A . O ' B r i e n , G e n e r a t i n g r a n d o m e l e m e n t s o f a f i n i t e g r o u p ,

C o m m . A l g e b r a 2 3 ( 1 9 9 5 ) , 4 9 3 1 - 4 9 4 8 .

[ 4 ] D e r e k F . H o l t a n d S a r a h R e e s , T e s t i n g m o d u l e s f o r i r r e d u c i b i l i t y , J . A u s -

t r a l . M a t h . S o c . S e r i e s A 5 7 ( 1 9 9 4 ) , 1 - 1 6 .

[ 5 ]

P e t e r K l e i d m a n a n d M a r t i n L i e b e c k , T h e s u b g r o u p s t r u c t u r e o f t h e f i n i t e

c l a s s i c a l g r o u p s , L o n d o n M a t h . S o c . L e c t u r e N o t e S e r i e s 1 2 9 , C a m b r i d g e

U n i v e r s i t y P r e s s , 1 9 9 0 .

[ 6 ] P e t e r M . N e u m a n n a n d C h e r y l E . P r a e g e r , A r e c o g n i t i o n a l g o r i t h m f o r

s p e c i a l l i n e a r g r o u p s , P r o c . L o n d o n M a t h . S o c . ( 3 ) 6 5 ( 1 9 9 2 ) , 5 5 5 - 6 0 3 .

[ 7 ]

A l i c e C . N i e m e y e r a n d C h e r y l E . P r a e g e r , A r e c o g n i t i o n a l g o r i t h m f o r

c l a s s i c a l g r o u p s o v e r f i n i t e f i e l d s , P r o c . L o n d o n M a t h . S o c . , t o a p p e a r .



2 6


[ 8 ] M a r t i n S c h o n e r t e t a l . , G A P - G r o u p s , A l g o r i t h m s a n d P r o g r a m m i n g ,

L e h r s t u h l D f u r M a t h e m a t i k , R W T H A a c h e n , 1 9 9 4 .




J o h n H . C o n w a y

a n d

C h r i s t o p h e r S . S i m o n s

A b s t r a c t

W e s k e t c h g e o m e t r i c a l p r o o f s o f t h e e q u i v a l e n c e o f v a r i o u s r e l a t i o n s

w h i c h h o l d i n t h e B i m o n s t e r .

1


T h e I v a n o v - N o r t o n t h e o r e m [ 4 , 5 ] a s s e r t s t h a t t h e " B i m o n s t e r " , o r w r e a t h e d

s q u a r e ( M x M ) : 2 o f t h e M o n s t e r g r o u p M , i s t h e a b s t r a c t g r o u p d e f i n e d b y

t h e C o x e t e r r e l a t i o n s o f t h e M 6 6 6 d i a g r a m ( s e e F i g . 1 ) t o g e t h e r w i t h a s i n g l e

a d d i t i o n a l r e l a t i o n , i n i t i a l l y t a k e n a s

( a b l c l a b 2 c 2 a b 3 c 3 ) 1 0 = 1 ( S )

T h e p u r p o s e o f t h i s p a p e r i s t o p r o v i d e p u r e l y g e o m e t r i c a l p r o o f s o f t h e

e q u i v a l e n c e b e t w e e n v a r i o u s a l t e r n a t i v e s t o t h i s s o - c a l l e d " s p i d e r " r e l a t i o n

( S ) . T h e o r i g i n a l p r o o f s o f t h e s e e q u i v a l e n c e s , m o s t l y d u e t o L . S o i c h e r [ 2 ] ,

i n v o l v e d m a c h i n e c o s e t e n u m e r a t i o n s . W e f o u n d t h o s e g i v e n h e r e d u r i n g t h e

p r e p a r a t i o n o f S i m o n s ' s P h . D . d i s s e r t a t i o n [ 6 ] .

T h e r e i s c o n s i d e r a b l e p o i n t i n p r o v i d i n g m a c h i n e - f r e e p r o o f s , b e c a u s e t h e

c o s e t e n u m e r a t i o n s t h a t w o u l d b e r e q u i r e d t o c o m p l e t e t h i s w o r k i n t o a n e w

p r o o f o f t h e I v a n o v - N o r t o n t h e o r e m a r e m u c h t o o l a r g e e v e r t o b e d o n e

b y m a c h i n e . H o w e v e r t h e r e i s n o s i m i l a r b a r t o e x t e n d i n g o u r g e o m e t r i c

a r g u m e n t s , a n d a p u r e l y g e o m e t r i c a l p r o o f o f t h e I v a n o v - N o r t o n t h e o r e m

w o u l d a l m o s t c e r t a i n l y y i e l d a n e w a n d s i m p l e w a y t o c o m p u t e i n s i d e t h e

M o n s t e r .

W e s h a l l u s e c K 6 6 f o r t h e C o x e t e r g r o u p d e f i n e d b y t h e g r a p h i n F i g . 1 ,

a n d c M p q , , . f o r t h e s u b g r o u p o f t h i s g e n e r a t e d b y

t h e f i r s t p o f a , b l , c l , d l , e l , f i ,

t h e f i r s t q o f a , b 2 , c 2 , d 2 , e 2 , f 2 ,

a n d

t h e f i r s t r o f a , b 3 , c 3 , d 3 , e 3 , f 3

-

2 7



2 8

J o h n C o n w a y a n d C h r i s t o p h e r S i m o n s

f b 3

t C 3

f d 3

t e 3

l f 3

F i g u r e 1 : T h e M 6 6 6 d i a g r a m

T h e " c " i n c M p q , s t a n d s f o r " C o x e t e r " .

T o i n d i c a t e t h a t o t h e r r e l a t i o n s

a r e t o b e a d d e d w e c h a n g e " c " t o s o m e o t h e r l e t t e r , o r o m i t i t t o i n d i c a t e

t h e c o r r e s p o n d i n g s u b g r o u p s l q , o f t h e B i m o n s t e r . T h e s e s u b g r o u p s a r e

d e s c r i b e d i n T a b l e 1 .

I n [ 1 ] t h e s e g r o u p s a r e c a l l e d Y p _ l , q _ 1 , r _ 1 , b u t o u r

r e p a r a m e t r i z a t i o n h a s m a n y a d v a n t a g e s .

T h e p h r a s e " p q r c o r r e c t s P Q R ( i n P Q R ) " m e a n s t h a t i f w e s u b j e c t t h e

C o x e t e r g r o u p M p Q 7 z t o t h e r e l a t i o n s t h a t c o n v e r t c M y q , t o M p g r , t h e n t h e

s u b g r o u p c M P Q R i s c o n v e r t e d t o M P Q R . I f P , Q , R a r e u n s p e c i f i e d , w e a r e t o

u n d e r s t a n d t h e i r m i n i m a l v a l u e s , n a m e l y

m a x ( p , P ) ,

m a x ( q , Q ) ,

m a x ( r , R ) .

W e d i s c u s s t h e f i r s t f e w c a s e s i n w h i c h c K q , d i f f e r s f r o m l q a n d i n d i c a t e

t h e a p p r o p r i a t e r e l a t i o n s . A s i s c o n v e n i e n t i n t h i s s u b j e c t , w e u s e l o w e r c a s e

l e t t e r s f o r s p h e r i c a l D y n k i n d i a g r a m s a n d u p p e r c a s e l e t t e r s f o r E u c l i d e a n

D y n k i n d i a g r a m s .

T h u s c M 6 2 2 i s t h e W e y l g r o u p o f d 8 , n a m e l y 2 7 : S 8 , b u t M 6 2 2 i s i t s c e n t r a l

q u o t i e n t o b t a i n e d b y a d j o i n i n g t h e r e l a t i o n

( 5 8 = ( a b i b 2 b 3 c l d l e l f l ) 7 = 1 ,

w h e r e S 8 i s t h e c e n t r a l i n v e r s i o n o f d 8 .




2 9

T a b l e 1 : M p g r s u b g r o u p s o f M 6 6 6

p q r

M V q ,

# o f i n e q u i v a l e n t r o o t s

p q l

S p + q

( p + q ) ( p + q - 1 ) / 2

2 2 2 2 3 : 5 4

1 2

3 2 2

2 4 : 5 5

2 0

4 2 2 2 5 : S 6

3 0

5 2 2

2 6 : S 7

4 2

6 2 2

2 6 : S 8

5 6

3 3 2

0 6 ( 2 ) : 2 2 - 4 0 5 ( 3 ) : 2 3 6

4 3 2 0 7 ( 2 ) x 2

6 3

6 3 2

O 8 ( 2 ) : 2

1 2 0

4 4 2 2 7 : ( 2 x 0 7 ( 2 ) ) 1 2 6

6 4 2

0 9 ( 2 ) x 2 2 5 5

6 6 2 0 1 0 ( 2 ) : 2 5 2 8

3 3 3 3 5 : 0 5 ( 3 ) : 2 = 3 5 : 0 6 ( 2 ) : 2 1 0 8

4 3 3

0 7 ( 3 ) x 2

3 5 1

6 3 3

0 + ( 3 ) : 2

1 0 8 0

4 4 3

2 2 . F i 2 2

3 5 1 0

6 4 3

2 x F i 2 3

3 1 6 7 1

6 6 3

3 . F i 2 4

9 2 0 8 0 8

4 4 4 2 3 . 2 E 6 ( 2 )

3 9 6 8 0 5 5

6 4 4

2 2 . B 1 3 5 7 1 9 5 5 0 0 0

6 6 4

2 x M

6 6 6

( M x M ) : 2

I M l

1 0 5 4



3 0


I n g e n e r a l , i f a C o x e t e r g r o u p h a s a c e n t r a l i n v e r s i o n , i t i s t h e p r o d u c t o f

t h e c e n t r a l i n v e r s i o n s o f i t s c o n n e c t e d c o m p o n e n t s ( w h i c h t o g e t h e r g e n e r a t e

i t s c e n t r e ) . T h e c e n t r a l i n v e r s i o n o f a c o n n e c t e d C o x e t e r g r o u p , w h e n i t h a s

o n e , i s t h e p r o d u c t o f i t s g e n e r a t o r s r a i s e d t o t h e p o w e r 1 h , w h e r e h i s t h e

o r d e r o f t h i s p r o d u c t ( t h e " C o x e t e r n u m b e r " ) .

I n a s i m i l a r w a y , c M 5 3 2 i s t h e W e y l g r o u p o f e 8 , n a m e l y 2 G : 2 , w h e r e G i s

t h e s i m p l e g r o u p O g ( 2 ) , w h i l e 1 5 3 2 i s i t s c e n t r a l q u o t i e n t G : 2 , o b t a i n e d b y

a d j o i n i n g 6 8 = 1 , w h e r e

e 8 = ( a b 1 b 2 b 3 c l c 2 d 1 e 1 ) 1 5

i s t h e c e n t r a l i n v e r s i o n o f e 8 .

W e s e e a n e w t y p e o f r e l a t i o n i n t h e c a s e 6 3 2 . T h e C o x e t e r g r o u p c M 6 3 2

( b e i n g a s s o c i a t e d t o t h e E u c l i d e a n d i a g r a m E 8 ) h a s s t r u c t u r e Z 8 : 2 G : 2 , w h i l e

1 M s 3 2 c o l l a p s e s t h i s t o t h e g r o u p G : 2 w e h a v e j u s t s e e n . I t m a y b e o b t a i n e d

b y k i l l i n g n o t o n l y e 8 b u t a l s o a l l t h e t r a n s l a t i o n s t b y v e c t o r s v o f t h e E 8

r o o t l a t t i c e .

S i m i l a r l y , c K 4 2 i s t h e W e y l g r o u p o f t h e E u c l i d e a n d i a g r a m E 7 , n a m e l y

7 6 7 : ( 2 x H ) , w h e r e 2 x H i s t h e W e y l g r o u p o f t h e c o r r e s p o n d i n g s p h e r i c a l

d i a g r a m e 7 . T h i s c o l l a p s e s t o

2 7 : ( 2 x H )

i n M 4 4 2 , o b t a i n e d b y k i l l i n g t h e t r a n s l a t i o n s f o r w h i c h v b e l o n g s t o t w i c e t h e

r o o t l a t t i c e o f E 7 .

F i n a l l y , t h e W e y l g r o u p c M 3 3 3 o f t h e E u c l i d e a n d i a g r a m E 6 h a s s t r u c t u r e

Z 6 : K : 2 , w h e r e K : 2 i s t h e W e y l g r o u p o f t h e s p h e r i c a l d i a g r a m e 6 , a n d t h i s

b e c o m e s

3 5 : K : 2

i n M 3 3 3 , w h i c h w e c a n o b t a i n b y k i l l i n g t h e t r a n s l a t i o n s f o r w h i c h v b e l o n g s

t o t h r e e t i m e s t h e w e i g h t l a t t i c e o f E 6 . ( T h e s p i d e r r e l a t i o n h a s p r e c i s e l y t h i s

e f f e c t . )

2

S o m e r e s u l t s

T h e o r e m 1 6 2 2 c o r r e c t s 5 3 2 ( i n 6 3 2 ) .

P r o o f : W e c a n o b t a i n v a r i o u s s p h e r i c a l C o x e t e r g r o u p s b y r e m o v i n g s i n g l e

n o d e s f r o m a E u c l i d e a n D y n k i n d i a g r a m . I f t w o o f t h e s e b o t h h a v e c e n t r a l

i n v e r s i o n s , t h e n t h e p r o d u c t o f t h e s e i s a t r a n s l a t i o n o f t h e E u c l i d e a n g r o u p .

T h i s i s i l l u s t r a t e d b y t h e f i g u r e f o r t h e E u c l i d e a n g r o u p G 2 ( s e e F i g . 2 ) ,

d e f i n e d a s

G 2 = ( a , b , c I 1 = a 2 = b 2 = c 2 = ( a b ) 3 = ( b c ) 6 = ( c a ) 2 ) .




3 1

F i g u r e 2 : T h e E u c l i d e a n g r o u p G 2

F i g u r e 3 : T h e 6 3 2 d i a g r a m

T h e s u b g r o u p s ( a , c ) a n d ( b , c ) h a v e c e n t r a l i n v e r s i o n s a = a c a n d a = ( b c ) 3

w h i c h a r e t h e h a l f - t u r n s a b o u t t h e t w o m a r k e d v e r t i c e s , a n d a , 6 i s t h e v e r t i c a l

t r a n s l a t i o n t h r o u g h t w i c e t h e i r d i s t a n c e .

I n a s i m i l a r w a y , b y d r o p p i n g e i t h e r o f t h e s t a r r e d n o d e s i n t h e 6 3 2 d i a g r a m

( s e e F i g . 3 ) w e o b t a i n t h e d 8 o r e 8 d i a g r a m s , h a v i n g t h e r e s p e c t i v e c e n t r a l

i n v e r s i o n s d 8 a n d e 8 . S o w e h a v e

6 8 E 8 = t v

f o r s o m e v e c t o r v i n t h e E 8 r o o t l a t t i c e . T h e r e f o r e t o i m p o s e t h e r e l a t i o n

8 8 = 1 i s t o e q u a t e E 8 w i t h t , .

N o w v h a p p e n s t o b e a v e c t o r o f n o r m 4 ( s e e [ 6 , 7 ] ) , a n d a l l s u c h v e c t o r s

a r e e q u i v a l e n t u n d e r t h e W e y l g r o u p o f e 8 , a n d s o w e a l s o h a v e

6 8 = t w

f o r a n y o t h e r n o r m 4 v e c t o r w . W e c a n e v e n c h o o s e w s o t h a t v + w a l s o h a s

n o r m 4 , s o t h a t

E 8 = t v + w = t v t w = ( 6 8 ) 2 ,



3 2


f r o m w h i c h w e s e e t h a t E 8 = 1 a s d e s i r e d .

T h e o r e m 2 6 2 2 c o r r e c t s 6 3 2 .

P r o o f :

I n t h e a b o v e , s i n c e E 8 = t , a n d 6 8 = 1 , w e h a v e t = 1 f o r a n y n o r m

4 v e c t o r v . B u t t h e n o r m 4 v e c t o r s g e n e r a t e t h e r o o t l a t t i c e .

T h e o r e m 3 6 2 2 c o r r e c t s 6 3 3 .

P r o o f :

S i n c e 6 3 3 i s n e i t h e r s p h e r i c a l n o r E u c l i d e a n , w e m u s t u s e a d i f f e r e n t

m e t h o d , t h a t o f e x p l i c i t e n u m e r a t i o n o f r o o t s . S i n c e t h i s h a s b e e n d e s c r i b e d

i n d e t a i l i n [ 6 ] , w e o n l y b r i e f l y s k e t c h i t h e r e . W e o b s e r v e t h a t ( i n t h e s o - c a l l e d

" s y s t e m 1 " c o o r d i n a t e s o f [ 3 ] ) w e h a v e t h e r e l a t i o n

. 1 1 1 1 1

1

. 1 1 1

1 1

1

2

2 1

s i n c e t h e e l e m e n t s r e p r e s e n t e d b y t h e t w o s i d e s d i f f e r b y a t r a n s l a t i o n . U s i n g

t h i s , w e f i n d t h a t t h e 1 0 8 0 r o o t e l e m e n t s r e p r e s e n t e d b y

( 6 )

( 3 0 )

( 1 5 )

( 1 2 0 )

1

. 1 1

1

.

1 1

1 . 1 1

( 5 4 )

( 1 3 5 )

1 1

2

1 1

2 2

1 1 2

1

2

3

1 1

2

1

2

3

( 5 4 0 ) ( 1 8 0 )

f o r m a c o n j u g a c y c l a s s . [ T h e e l e m e n t s a r e o b t a i n e d f r o m t h o s e s h o w n b y

p e r m u t i n g a l l s i x c o o r d i n a t e s o f t h e t o p r o w , t h e l a s t t h r e e c o o r d i n a t e s o f

e a c h o f t h e o t h e r t w o r o w s , o r i n t e r c h a n g i n g t h o s e t w o r o w s .

P a r e n t h e s e s

s h o w t h e n u m b e r s o f e l e m e n t s s o o b t a i n e d . ]

M o r e o v e r , t h e s e r o o t s a r e t r a n s f o r m e d t h e w a y O 8 ( 3 ) : 2 p e r m u t e s i t s r o o t

e l e m e n t s , a n d s o t h e g r o u p g e n e r a t e d i s a c e n t r a l e x t e n s i o n o f t h e l a t t e r g r o u p .

B u t t h e m u l t i p l i e r o f t h e s i m p l e s u b g r o u p O 8 ( 3 ) i s k n o w n - i t i s a 4 - g r o u p

w h o s e e l e m e n t s a r e a n n i h i l a t e d b y o u r r e l a t i o n s , w h i c h t h e r e f o r e c o r r e c t 6 3 3

t o O $ ( 3 ) : 2 .




3 F r o m 6 2 2 t o t h e s p i d e r

W e c h e c k i n s i d e 0 ' ( 3 ) t h a t t h e t h r e e p r o d u c t s

3 3

+ - 0

0

2

1

.

+ 0 - 0

1

2

. . 1 1 1

. . 1 1 1

. . 1 1 1

. .

1

1

1

. . 1

1 1

. . 1

1 1

.

+ - 0

0

2 1

.

+ 0 -

0

1

2

. .

1 1 1

. .

1 1 1

. .

1

1

1

. .

1 1

1

. . 1 1 1 . . 1 1 1

. .

+ - 0

0

2

1

. .

+ 0 - 0

1

2

( o f f o u r r e f l e c t i o n s e a c h ) a r e e q u a l . N o w t h e t o p l i n e i s t h e p r o d u c t o f t h e

c 1 3 3 t r a n s l a t i o n s i n

a n d

a n d s o i s t h e t r a n s l a t i o n i n

s o t h e q u o t i e n t o f t h e f i r s t t w o r o w s i s t h e t r a n s l a t i o n i n

B u t t h i s v e c t o r i s o r t h o g o n a l m o d u l o 3 t o a l l t h e f u n d a m e n t a l r o o t s o f M 3 3 3 ,

a n d s o i t i s e a s y t o s e e t h a t i t a n d i t s i m a g e s g e n e r a t e 3 t i m e s t h e w e i g h t

l a t t i c e o f E 6 . H e n c e t h e e q u a l i t y o f a n y t w o o f t h e a b o v e p r o d u c t s i s a

r e l a t i o n e q u i v a l e n t t o o u r s p i d e r r e l a t i o n P .

S i n c e 6 2 2 c o r r e c t s 3 3 3 , i t e n t a i l s t h e s e r e l a t i o n s .

4 F r o m t h e s p i d e r t o 6 2 2

W e n o w w o r k i n t h e o t h e r d i r e c t i o n , f r o m 3 3 3 t o w a r d s 6 2 2 .

T h e o r e m 4 3 3 3 h a l f - c o r r e c t s 5 3 3 .



3 4 J o h n C o n w a y a n d C h r i s t o p h e r S i m o n s

W h a t w e m e a n i s t h a t t h e r e l a t i o n s j u s t d i s c u s s e d ( w h i c h a r e a w a y o f

c o r r e c t i n g 3 3 3 ) c o n v e r t c M 5 3 3 t o t h e g r o u p 2 0 $ ( 3 ) : 2 , w h e r e a s M 5 3 3 O 8 ( 3 ) : 2

i s o n l y h a l f a s l a r g e .

P r o o f : T h i s i s a g a i n p r o v e d b y r o o t e n u m e r a t i o n , a n d a g a i n w e o n l y s k e t c h

t h e p r o o f . T h e r e l a t i o n s a r e u s e d t o s h o w t h a t t h e 1 0 8 0 e l e m e n t s

( 6 )

. 1 1

. 1 1

.

1 1

( 9 0 )

1

1

2

1 1 2

1 1

2

( 2 7 0 )

. 1 1 1 1 1

1

2 2

2

3

( 9 )

( 5 )

( 1 0 )

( 2 0 )

. 1 1 1 1

1 1

2

0

2 2

( 4 5 )

1 1

2 2

1

1

2

3

1

2

3

( 1 8 0 )

1 1 1

2 2

1

1 3 3

1

2

4

( 9 0 )

1

1

1

( 4 5 )

. 1

. 1

0

1

1

1

1

1

2

( 1 2 0 )

1 1

1

1

1

1

2

2

3

2

( 1 8 0 )

1 1

2

1

2

3

2

2

3

( 5 )

1 1

3

1

2

3

4

4

3

4

( 5 )

f o r m a c o n j u g a c y c l a s s i n t h e g r o u p t h e y g e n e r a t e , a n d s o a s b e f o r e t h i s

m u s t b e a c e n t r a l e x t e n s i o n o f O $ ( 3 ) : 2 . [ T h e e l e m e n t s a r e o b t a i n e d f r o m

t h o s e s h o w n b y p e r m u t i n g t h e l a s t f i v e c o o r d i n a t e s o f t h e t o p r o w , t h e l a s t

t h r e e c o o r d i n a t e s o f e a c h o f t h e o t h e r t w o r o w s , o r i n t e r c h a n g i n g t h o s e t w o

r o w s . P a r e n t h e s e s s h o w t h e n u m b e r s o f e l e m e n t s s o o b t a i n e d . ] T h i s t i m e

t h e e x t e n s i o n t h a t h a p p e n s i s n o n - t r i v i a l , s o t h a t C M

, 5 3 3 i s t w i c e a s l a r g e a s

M 5 3 3

0

5 T r a n s l a t i o n s

O n e o f t h e t h i n g s w e m u s t p r o v e i s t h a t t h e E 8 t r a n s l a t i o n s o f t h e v a r i o u s

s u b d i a g r a m s 6 3 2 , 6 2 3 , . . . , 2 3 6 a r e a l l t r i v i a l . O n e s u c h t r a n s l a t i o n i s




3 5

+ -

0

2

1

1

1

1

2 2 2

3 3

a n d w e c a n o b t a i n a n o t h e r f o r a n y r o o t v e c t o r r o f 6 3 2 , n a m e l y

r

w h e r e

e i =

e l - r

1 1 1 1 1 1

2 2 2

3

3

i s t h e " n u l l v e c t o r " o f 6 3 2 . B u t s o m e r o o t v e c t o r s b e l o n g t o s e v e r a l E 8

s u b d i a g r a m s - f o r i n s t a n c e t h e a b o v e e x a m p l e b e l o n g s a l s o t o 6 2 3 , w h o s e n u l l

v e c t o r i s

e 2 =

1 1 1 1 1 1

3 3

2 2 2

F o r t u n a t e l y t h i s d o e s n o t m a t t e r :

T h e o r e m 5 F o r t h e a b o v e r , w e h a v e

e l - r

n a m e l y

0

2 1 1

1 1

2

2

2

3

3

0

2

1 1 1 1

3 3

2

2

2

P r o o f :

C o n j u g a t i o n q u i c k l y r e d u c e s t h i s t o

.

1 1 1 1

2 2

2

1 1

w h i c h c a n b e e s t a b l i s h e d b y t r a n s f o r m i n g

1

0 0 0

1

0 0

1

0

0

b y t h e s e c o n d a n d t h i r d o f t h e t h r e e e q u i v a l e n t p r o d u c t s i n s e c t i o n 3 .



3 6


I n a p r e c i s e l y s i m i l a r w a y , w e c a n s h o w t h a t i f a f u n d a m e n t a l r o o t r b e l o n g s

t o t w o o r m o r e o f t h e E 8 d i a g r a m s

6 3 2 , 6 2 3 , 2 6 3 , 3 6 2 , 2 3 6 , 3 2 6

t h e n t h e t w o a s s o c i a t e d t r a n s l a t i o n s a r e e q u a l . ( U p t o c o n j u g a t i o n t h e r e a r e

v e r y f e w c a s e s . ) W e c a n a l s o s h o w t h a t a n y t w o o f t h e s e 1 6 t r a n s l a t i o n s

c o m m u t e , s i n c e t h e y c a n b e c o n j u g a t e d i n t o t h e s a m e c o p y o f E 8 .

S o t h e t r a n s l a t i o n s

F r i

g e n e r a t e s o m e q u o t i e n t o f t h e f r e e a b e l i a n g r o u p o f r a n k 1 6 . S i n c e a l s o t h e

c o r r e s p o n d i n g v e c t o r s r a d d i t i v e l y g e n e r a t e a f r e e a b e l i a n g r o u p o f r a n k 1 6 ,

t h i s j u s t i f i e s t h e n o t a t i o n

I I r l + r 2 + r 3 + . .

r l

I I

L

r 2

U

I I I I I I

T h e o r e m 6 T h e t r a n s l a t i o n s a r e t r i v i a l .

P r o o f :

I f w e c o n j u g a t e t h e t r a n s l a t i o n

. + - 0

0

r 2

b y t h e l a s t t w o o f o u r t h r e e e q u i v a l e n t e x p r e s s i o n s f r o m s e c t i o n 3 , w e o b t a i n

1

2

3

3

1 4 4

3

3

3

s o t h a t t h e i r d i f f e r e n c e

1

2

3

3

3 3

3

1 4 4

0

0

0

2

- 1 - 1

- 2 1 1

B u t a f u r t h e r c o n j u g a t i o n c o n n e c t s t h i s t o

- 1 2

- 1 0

- 2 1

1

a n d s o t h e i r d i f f e r e n c e , n a m e l y

= 0 .

= 0 ,

i s a l s o 0 . B u t t h i s i s o n e o f t h e 1 6 f u n d a m e n t a l t r a n s l a t i o n s .



R e l a t i o n s i n M 6 6 6 3 7

T h e o r e m 7 3 3 3 c o r r e c t s 5 4 2 ( i n 5 4 3 ) .

P r o o f :

O n c e w e k n o w t h a t t h e t r a n s l a t i o n s a r e t r i v i a l i t i s v e r y e a s y t o

d e d u c e t h e c o r r e c t n e s s o f 5 4 2 b y r o o t - e n u m e r a t i o n . [ N o p r o p e r c e n t r a l e x t e n -

s i o n c a n a r i s e , b e c a u s e t h e i n d e x 2 s u b g r o u p 0 9 ( 2 ) h a s t r i v i a l m u l t i p l i e r . ]

C o r o l l a r y 8 3 3 3 c o r r e c t s 5 3 3 i n 5 4 3 .

( R e c a l l t h a t 3 3 3 o n l y h a l f - c o r r e c t e d 5 3 3 i n 5 3 3 i t s e l f . )

W e n o w w o r k i n 6 6 6 . I n v i e w o f t h e l a s t c o r o l l a r y w e h a v e i n 6 6 6

3 3 3 c o r r e c t s 5 3 2

a n d s o s i n c e t h e t r a n s l a t i o n s a r e t r i v i a l

3 3 3 c o r r e c t s 6 3 2

a n d s o

3 3 3 c o r r e c t s 6 2 2 .

N o w b y s y m m e t r y , i n 6 6 6 w e h a v e t h a t

3 3 3 c o r r e c t s 2 6 2 a n d 2 2 6 ,

a n d s o , s i n c e w e p r o v e d i n 6 6 6 t h a t 6 2 2 i m p l i e s 3 3 3 , w e o b t a i n o u r f i n a l r e s u l t :

T h e o r e m 9 I n s i d e 6 6 6 t h e c o r r e c t n e s s o f a n y o n e o f 6 2 2 , 2 6 2 , 2 2 6 i m p l i e s

t h a t o f a l l t h r e e .

R e f e r e n c e s

[ 1 ]

J . H . C o n w a y , R . T . C u r t i s , S . P . N o r t o n , R . A . P a r k e r a n d R . A . W i l s o n ,


[ 2 ]

J . H . C o n w a y , S . P . N o r t o n a n d L . H . S o i c h e r , T h e B i m o n s t e r , t h e g r o u p

Y 5 5 5 a n d t h e p r o j e c t i v e p l a n e o f o r d e r 3 , i n C o m p u t e r s i n a l g e b r a ( e d . M .

C . T a n g o r a ) , p p . 2 7 - 5 0 . M a r c e l D e k k e r , 1 9 8 8 .

[ 3 ]

J . H . C o n w a y a n d A . D . P r i t c h a r d , H y p e r b o l i c r e f l e c t i o n s f o r t h e B i -

m o n s t e r a n d 3 F i 2 4 , i n G r o u p s , c o m b i n a t o r i c s a n d g e o m e t r y ( e d s . M . W .

L i e b e c k a n d J . S a x l ) , p p . 2 4 - 4 5 . L M S L e c t u r e N o t e S e r i e s 1 6 5 , C a m b r i d g e


[ 4 ] A . A . I v a n o v , A g e o m e t r i c c h a r a c t e r i z a t i o n o f t h e M o n s t e r , i n G r o u p s ,

c o m b i n a t o r i c s a n d g e o m e t r y ( e d s . M . W . L i e b e c k a n d J . S a x l ) , p p . 4 6 - 6 2 .

L M S L e c t u r e N o t e S e r i e s 1 6 5 , C a m b r i d g e U n i v e r s i t y P r e s s , 1 9 9 2 .



3 8


[ 5 ] S . P . N o r t o n , C o n s t r u c t i n g t h e M o n s t e r , i n G r o u p s , c o m b i n a t o r i c s a n d

g e o m e t r y ( e d s . M . W . L i e b e c k a n d J . S a x l ) , p p . 6 3 - 7 6 . L M S L e c t u r e N o t e

S e r i e s 1 6 5 , C a m b r i d g e U n i v e r s i t y P r e s s , 1 9 9 2 .

[ 6 ] C . S . S i m o n s , H y p e r b o l i c r e f l e c t i o n g r o u p s , c o m p l e t e l y r e p l i c a b l e f u n c -

t i o n s , t h e M o n s t e r a n d t h e B i m o n s t e r , P h . D . t h e s i s , P r i n c e t o n U n i v e r s i t y ,

N o v e m b e r 1 9 9 7 .

[ 7 ] C . S . S i m o n s , M o n s t e r r o o t s , i n M o n s t e r I I a n d L i e a l g e b r a s , ( e d s . J . F e r -

r a r a n d K . H a r a d a ) , W a l t e r d e G r u y t e r , t o a p p e a r .



A s u r v e y o f s y m m e t r i c g e n e r a t i o n o f s p o r a d i c

s i m p l e g r o u p s

R o b e r t T . C u r t i s

A b s t r a c t

M a n y o f t h e s p o r a d i c s i m p l e g r o u p s p o s s e s s h i g h l y s y m m e t r i c g e n -

e r a t i n g s e t s w h i c h c a n o f t e n b e u s e d t o c o n s t r u c t t h e g r o u p s , a n d

w h i c h c a r r y m u c h i n f o r m a t i o n a b o u t t h e i r s u b g r o u p s t r u c t u r e . W e

g i v e a s u r v e y o f r e s u l t s o b t a i n e d s o f a r .

1

I n t r o d u c t i o n a n d m o t i v a t i o n

T h i s p a p e r i s c o n c e r n e d w i t h g r o u p s w h i c h a r e g e n e r a t e d b y h i g h l y s y m m e t r i c

s u b s e t s o f t h e i r e l e m e n t s : t h a t i s t o s a y b y s u b s e t s o f e l e m e n t s w h o s e s e t

n o r m a l i z e r w i t h i n t h e g r o u p t h e y g e n e r a t e a c t s o n t h e m b y c o n j u g a t i o n i n a

h i g h l y s y m m e t r i c m a n n e r . R a t h e r t h a n i n v e s t i g a t e t h e b e h a v i o u r o f v a r i o u s

k n o w n g r o u p s , w e t u r n t h e p r o c e d u r e a r o u n d a n d a s k w h a t g r o u p s c a n b e

g e n e r a t e d b y a s e t o f e l e m e n t s w h i c h p o s s e s s e s c e r t a i n a s s i g n e d s y m m e t r i e s .

I t t u r n s o u t t h a t t h i s a p p r o a c h e n a b l e s u s t o d e f i n e a n d c o n s t r u c t b y h a n d

a l a r g e n u m b e r o f i n t e r e s t i n g g r o u p s - i n c l u d i n g m a n y o f t h e s p o r a d i c s i m p l e

g r o u p s .

A c c o r d i n g l y w e l e t m * n d e n o t e C , n * C , n * . . . * C , n , a f r e e p r o d u c t o f n c o p i e s

o f t h e c y c l i c g r o u p o f o r d e r m . L e t F = T o * T 1 * . . . * T n _ 1 b e s u c h a g r o u p , w i t h

T i = ( t i ) = C , n . C e r t a i n l y p e r m u t a t i o n s o f t h e s e t o f s y m m e t r i c g e n e r a t o r s

T = { t o , t 1 , . . . , t n _ 1 } i n d u c e a u t o m o r p h i s m s o f F . F u r t h e r a u t o m o r p h i s m s

a r e g i v e n b y r a i s i n g a g i v e n t i t o a p o w e r o f i t s e l f c o p r i m e t o m , w h i l e f i x i n g

t h e o t h e r s y m m e t r i c g e n e r a t o r s . T o g e t h e r t h e s e g e n e r a t e t h e g r o u p M o f

m o n o m i a l a u t o m o r p h i s m s o f F w h i c h i s a w r e a t h p r o d u c t H , 2 S n , w h e r e H ,

i s a n a b e l i a n g r o u p o f o r d e r r = Q o ( m ) , t h e n u m b e r o f p o s i t i v e i n t e g e r s l e s s

t h a n m a n d c o p r i m e t o i t . A s p l i t e x t e n s i o n o f t h e f o r m

P = ' m * n : N

w h e r e N i s a s u b g r o u p o f M w h i c h a c t s t r a n s i t i v e l y o n t h e s e t o f c y c l i c

s u b g r o u p s T = { T o , T 1 i . . . , T n _ 1 } , i s c a l l e d a p r o g e n i t o r . T h e g r o u p A l i s

k n o w n a s t h e c o n t r o l s u b g r o u p a n d i t s e l e m e n t s a r e m o n o m i a l p e r m u t a t i o n s

o r , m o r e i n f o r m a l l y , p e r m u t a t i o n s .

3 9



4 0


1 . 1 T h e M a t h i e u g r o u p s

A s i s w e l l k n o w n , c e r t a i n s u b s e t s o f 4 v e r t i c e s o f a r e g u l a r d o d e c a h e d r o n

f o r m t h e v e r t e x s e t o f a r e g u l a r t e t r a h e d r o n . I n d e e d t h e 2 0 v e r t i c e s c a n b e

p a r t i t i o n e d ( i n t w o w a y s ) i n t o f i v e s u c h t e t r a h e d r a , t h e t w o p a r t i t i o n s b e i n g

i n t e r c h a n g e d b y r e f l e c t i v e s y m m e t r i e s a n d e a c h s e t o f 5 b e i n g a c t e d o n b y t h e

f u l l g r o u p o f r o t a t i o n a l s y m m e t r i e s i s o m o r p h i c t o t h e a l t e r n a t i n g g r o u p A 5 .

G i v e n o n e s u c h t e t r a h e d r o n , w e d e f i n e a p e r m u t a t i o n o f t h e 1 2 f a c e s o f t h e

d o d e c a h e d r o n a s f o l l o w s : e a c h o f i t s f o u r v e r t i c e s i s a d j a c e n t t o 3 f a c e s , r o t a t e

t h e m c l o c k w i s e t o o b t a i n t h e p e r m u t a t i o n o f c y c l e s h a p e 3 4 i l l u s t r a t e d i n F i g .

1 . A s w a s d e s c r i b e d a n d i n v e s t i g a t e d i n d e t a i l i n [ 8 , 9 ] , t h e f i v e p e r m u t a t i o n s

c o r r e s p o n d i n g t o o n e o f t h e p a r t i t i o n s g e n e r a t e a c o p y o f t h e M a t h i e u g r o u p

M 1 2 . T h u s M 1 2 i s a h o m o m o r p h i c i m a g e o f t h e p r o g e n i t o r

3 * 5 : A 5 i

i n w h i c h t h e c o n t r o l s u b g r o u p A l = A 5 s i m p l y p e r m u t e s t h e f i v e s y m m e t r i c

g e n e r a t o r s . I n d e e d , w e s a w f u r t h e r t h a t i f A l i s e x t e n d e d t o t h e s y m m e t r i c

g r o u p S 5 i n w h i c h t h e o u t e r e l e m e n t s p e r m u t e a n d i n v e r t t h e s y m m e t r i c

g e n e r a t o r s , t h e n A u t M 1 2 = M 1 2 : 2 i s a h o m o m o r p h i c i m a g e o f

3 * 5 S

5

A h o m o m o r p h i s m w h i c h a c t s f a i t h f u l l y o n A l a n d o n t h e c y c l i c s u b g r o u p s T i ,

i s s a i d t o b e a t r u e h o m o m o r p h i s m o f t h e p r o g e n i t o r . W e r e s t r i c t o u r a t t e n t i o n

t o t r u e h o m o m o r p h i c i m a g e s a n d s o i t c a u s e s n o c o n f u s i o n t o a l l o w A l a n d T i

t o d e n o t e b o t h s u b g r o u p s o f t h e i n f i n i t e p r o g e n i t o r P , a n d t h e i r i s o m o r p h i c

i m a g e s . N o t e t h a t P = ( A l , T ) a n d , s i n c e t h e a c t i o n b y c o n j u g a t i o n o f A l

o n T i s k n o w n , p e r m u t a t i o n s c a n b e g a t h e r e d o n t h e l e f t ; s o e a c h e l e m e n t

o f P c a n b e w r i t t e n ( e s s e n t i a l l y u n i q u e l y ) a s i r w , w h e r e i t E A l a n d w i s a

w o r d i n T . T h u s a n y r e l a t o r b y w h i c h w e f a c t o r P t o o b t a i n a f i n i t e g r o u p

G m a y b e t a k e n t o h a v e t h i s f o r m . N o w i f t h e f i v e s y m m e t r i c g e n e r a t o r s f o r

M 1 2 a r e t a k e n t o b e T = { t o , t 1 , . . . , t 4 } t h e n i t t u r n s o u t t h a t t h e e l e m e n t

( t o l t l ) 2 i s t h e p e r m u t a t i o n o f t h e f a c e s i n d u c e d b y t h e r o t a t i o n a l s y m m e t r y

o f t h e d o d e c a h e d r o n c o r r e s p o n d i n g t o t h e 3 - c y c l e ( 2 3 4 ) o f A 5 . I f w e f a c t o r

o u r p r o g e n i t o r b y t h i s r e l a t i o n w e f i n d t h a t

3 * 5 . A

( 2 3 4 ) = ( t 0 l t l ) 2

3 x M 1 2 ,

a n d t h a t

3 * s . S

( 3 x M 1 2 ) : 2 .

( 2 3 4 ) = ( t

0

l t l ) 2

T h e n o r m a l s u b g r o u p o f o r d e r 3 i n e i t h e r c a s e i s g e n e r a t e d b y , f o r i n s t a n c e ,

[ ( 0 1 2 3 4 ) t o ] 8 .




4 1

0

F i g u r e 1 : A s y m m e t r i c g e n e r a t o r f o r M 1 2 a c t i n g o n t h e 1 2 f a c e s o f a r e g u l a r

d o d e c a h e d r o n

E

A

F i g u r e 2 : A s y m m e t r i c g e n e r a t o r f o r M 2 4 a c t i n g o n t h e 2 4 f a c e s o f t h e K l e i n

m a p



4 2


T o o b t a i n a n a n a l o g o u s r e s u l t f o r t h e M a t h i e u g r o u p M 2 4 w e c o n s i d e r t h e

K l e i n m a p , a g e n u s 3 m a p h a v i n g 2 4 h e p t a g o n a l f a c e s m e e t i n g t h r e e a t e a c h

v e r t e x . T h e s e m a y b e l a b e l l e d o o , 0 , 1 , o o i , O i a n d 1 i , f o r i E { 0 , 1 , . . . , 6 } ,

w h e r e t h e s u b s c r i p t s a r e t o b e r e a d m o d u l o 7 a n d a d j a c e n c y o f f a c e s i s g i v e n

b y :

( 0 0 o 0 i ) , ( 0 O i ) , ( 1 l i ) , ( o o i 0 0 i f 1 ) , ( O i O i ± 2 ) , ( 1 i 1 i f 4 ) ,

( O i 1 i ± ) , ( 1 i 0 0 i ± 2 ) , ( o o i O 1 ± 4 )

I t s g r o u p o f r o t a t i o n a l s y m m e t r i e s i s i s o m o r p h i c t o L 2 ( 7 ) a n d a 7 - f o l d s y m -

m e t r y c o r r e s p o n d i n g t o X i H X i + 1 f o r X E t o o , 0 , 1 } i s e x h i b i t e d i n F i g . 2

w h o s e f a c e s a r e l a b e l l e d w i t h t h e e l e m e n t s o f t h e 2 4 - p o i n t p r o j e c t i v e l i n e , i n

w h i c h t h e f a c e s { o o , 0 , 1 } r e t a i n t h e i r l a b e l s . T h e t a b l e b e l o w , i n w h i c h t h e

t o p r o w d e n o t e s s u b s c r i p t s , s h o w s t h e c o r r e s p o n d e n c e b e t w e e n t h e l a b e l s f o r

t h e o t h e r 2 1 f a c e s . A n e l e m e n t o f o r d e r 3 n o r m a l i z i n g t h i s 7 - f o l d s y m m e t r y

i s g i v e n b y X i H X 2 i f o l l o w e d b y a r o t a t i o n o f t h e s y m b o l s { o o , 0 , 1 1 .

i 0

1 2

3 4 5 6

o o i 1 1 1 2 4 1 8

6

1 4 2 0

O i

2 2 1 5

7 3 8 9

1 0

1 i

2

1 7 2 1

5

1 6 1 3 1 9

T h e c o r r e s p o n d e n c e b e t w e e n t h e t w o l a b e l l i n g s

o f t h e 2 4 f a c e s o f t h e K l e i n m a p .

T h e K l e i n m a p i n F i g . 2 i s d r a w n o n a h e p t a g o n t o e m p h a s i s e t h e 7 - f o l d

s y m m e t r y . I t s 1 4 e x t e r n a l e d g e s a r e i d e n t i f i e d i n p a i r s ( a s i n d i c a t e d b y t h e

c a p i t a l r o m a n l e t t e r s ) t o d e f i n e a s u r f a c e o f g e n u s 3 . T h u s f a c e 8 , f o r i n s t a n c e ,

i s s p l i t a c r o s s t h e t w o e x t e r n a l e d g e s l a b e l l e d A .

N o w u n d e r t h e a c t i o n o f L 2 ( 7 ) t h e 8 4 e d g e s o f t h e m a p f a l l i n t o 7 b l o c k s

o f i m p r i m i t i v i t y o f s i z e 1 2 , i n t w o w a y s w h i c h a r e i n t e r c h a n g e d b y r e f l e c t i v e

s y m m e t r i e s , s o t h a t e a c h f a c e h a s a n e d g e f r o m e a c h b l o c k . E a c h s u c h b l o c k ,

a n e x a m p l e o f w h i c h i s s h o w n b y t h e h e a v y l i n e s i n F i g . 2 , d e f i n e s a p e r m u t a -

t i o n o f t h e 2 4 f a c e s o f c y c l e s h a p e 2 1 2 b y i n t e r c h a n g i n g t h e t w o f a c e s i n c i d e n t

w i t h a n y o n e o f i t s 1 2 e d g e s . W e l e t T = { t o , t 1 i

. . . ,

t 6 } b e t h e s e t o f s e v e n

p e r m u t a t i o n s r e s u l t i n g f r o m o n e o f t h e p a r t i t i o n s , l a b e l l e d t o c o r r e s p o n d t o

t h e p o i n t s o f t h e F a n o p l a n e w h o s e l i n e s a r e { 1 , 2 , 4 } a n d i t s t r a n s l a t e s ; t h e y

g e n e r a t e t h e M a t h i e u g r o u p M 2 4 , w h i c h i s t h u s a n i m a g e o f 2 * 7 : L 3 ( 2 ) . I n f a c t

w e f i n d t h a t

2 * 7 : L 3 ( 2 )

M 2 4

[ t ' O ' , t 3 ] , ( 2 4 ) ( 5 6 ) = ( t o t 3 3 , [ ( 1 2 4 ) ( 3 6 5 ) ) t 3 ] 1 1

T o s h o w t h i s , f i r s t o b s e r v e t h a t t h e s u b g r o u p g e n e r a t e d b y f o u r e l e m e n t s o f




4 3

T o n a n o v a l , s u c h a s { t o , t 3 , t 6 , t 5 } , i s t h u s a n i m a g e o f

2 * 4 : S

4

[ ( 3 6 5 ) t 3 ] 1 1 , ( 5 6 ) =

( t o t 3 ) 3 .

T h e l a t t e r g r o u p m a y b e s h o w n , e i t h e r b y a m e c h a n i c a l ( s i n g l e ) c o s e t e n u -

m e r a t i o n o r b y a m a n u a l d o u b l e c o s e t e n u m e r a t i o n o v e r t h e c o n t r o l s u b g r o u p

H = S 4 , t o b e i s o m o r p h i c t o L 2 ( 2 3 ) , a n d t h e n a m e c h a n i c a l c o s e t e n u m e r a -

t i o n o v e r t h i s s u b g r o u p g i v e s t h e c o r r e c t i n d e x . O f c o u r s e t h e l a b e l l i n g h a s

b e e n c h o s e n s o t h a t a l l t h e s e p e r m u t a t i o n s o n 2 4 l e t t e r s l i e i n t h e f a m i l i a r

c o p y o f M 2 4 .

F u r t h e r i n f o r m a t i o n a b o u t h o w t h e s e s y m m e t r i c g e n e r a t o r s m a y b e d e f i n e d

c o m b i n a t o r i a l l y a n d a l g e b r a i c a l l y i s g i v e n i n [ 8 , 9 ] , a n d t h e s i x w a y s i n w h i c h

t h e b i n a r y G o l a y c o d e c a n b e d e f i n e d o n t h e f a c e s o f t h e K l e i n m a p a r e

d e s c r i b e d .

1 . 2

T h e m o d u l a r g r o u p a n d t r i a n g l e g r o u p s

A s i s w e l l k n o w n , t h e m o d u l a r g r o u p P = P S L 2 ( Z ) i s i s o m o r p h i c t o a f r e e

p r o d u c t C 2 * C 3 . I n d e e d i t c a n b e s h o w n , s e e f o r e x a m p l e J o n e s a n d S i n g e r m a n

[ 2 3 , p a g e 2 9 6 ] , t h a t

T H - 1

a n d 7 H

- 1

T

1 + T

a r e f r e e g e n e r a t o r s o f o r d e r s 2 a n d 3 r e s p e c t i v e l y . T h i s m e a n s t h a t a n y g r o u p

w h i c h i s g e n e r a t e d b y a n e l e m e n t o f o r d e r 2 a n d a n e l e m e n t o f o r d e r 3 i s

a h o m o m o r p h i c i m a g e o f P , w h i c h i n p a r t i c u l a r m e a n s a l m o s t a l l t h e f i n i t e

s i m p l e g r o u p s , s e e L i e b e c k a n d S h a l e v , T a m b u r i n i a n d W i l s o n [ 2 4 , 2 8 , 2 9 ] . T o

t r a n s l a t e t h i s i n t o t h e l a n g u a g e o f p r o g e n i t o r s l e t P = ( t , x I

t 2 = x 3 = 1 )

a n d w r i t e t = t o , t ' = t 1 , t x - ' = t 2 . T h e n T = { t o , t 1 , t 2 } g e n e r a t e s a f r e e

p r o d u c t o f t h r e e c o p i e s o f C 2 , w h i c h i s n o r m a l i z e d b y a c y c l i c a u t o m o r p h i s m

o f o r d e r 3 , t h u s

P ^ - = C 2 * C 3 - 2 * 3 : C 3 .

N o w P c l e a r l y p o s s e s s e s a n o u t e r a u t o m o r p h i s m w h i c h i n v e r t s x w h i l e c o m -

m u t i n g w i t h t , a n d t h i s h a s t h e e f f e c t o f e x t e n d i n g i t t o a p r o g e n i t o r 2 * 3 : 5 3 . I n

a h o m o m o r p h i c i m a g e o f P t h i s a u t o m o r p h i s m m a y s u r v i v e a s e i t h e r a n i n n e r

o r a n o u t e r a u t o m o r p h i s m , o r i t m a y n o t e x i s t a t a l l . I n d e e d , x = ( 0 1 2 )

a n d t = ( 1 4 ) ( 2 3 ) g e n e r a t e A 5 i n w h i c h c o n j u g a t i o n b y ( 1 2 ) ( 3 4 ) E ( x , t )

r e a l i s e s t h i s a u t o m o r p h i s m . O n t h e o t h e r h a n d , x = ( 1 2 4 ) ( 3 6 5 ) a n d

t = ( o o 2 ) ( 1 6 ) ( 3 5 ) ( 0 4 ) g e n e r a t e L 2 ( 7 ) a n d t h e a u t o m o r p h i s m i s a c h i e v e d

b y c o n j u g a t i n g b y t h e e l e m e n t ( o o 0 ) ( 2 4 ) ( 3 5 ) o f P G L 2 ( 7 ) b u t b y n o i n n e r

a u t o m o r p h i s m .



4 4


A n i m a g e G o f P w h i c h d o e s n o t a d m i t t h i s a u t o m o r p h i s m m u s t c o n t a i n

a w o r d w i n T w h i c h h a s a d i f f e r e n t o r d e r f r o m i t s c o n j u g a t e s b y o d d p e r m u -

t a t i o n s o f S 3 ; w e s e e k t h e s h o r t e s t s u c h w . I f w = w ( t i , t j ) i n v o l v e s o n l y t w o

s y m m e t r i c g e n e r a t o r s t h e n e i t h e r i t i s a n i n v o l u t i o n ( i f i t h a s o d d l e n g t h ) o r

i n t e r c h a n g i n g i a n d j i n v e r t s i t ; s o w e m a y a s s u m e t h a t w i n v o l v e s a l l t h r e e

e l e m e n t s o f T . B u t c o n j u g a t i o n o f w b y i t s l e a d i n g s y m m e t r i c g e n e r a t o r h a s

t h e e f f e c t o f c y c l i n g t h e g e n e r a t o r s i n t h e w o r d w , a n d s o w e m a y i m a g i n e

t h e m a r r a n g e d a s a n n - g o n o n w h i c h r e f l e c t i o n s c o r r e s p o n d t o i n v e r s i o n . F o r

a , b E G l e t

a b i f , a n d o n l y i f , a a n d b h a v e t h e s a m e o r d e r ,

a n d l e t i s t a n d f o r t i . W e s e e t h a t :

1 0 2

2 0 1 ( b y i n v e r t i n g )

0 1 0 2 0 2 0 1 ( b y c y c l i n g )

1 2 0 1 2 2 1 0 2 1 ( b y i n v e r t i n g )

2 0 1 2 0 1 1 0 2 1 0 2 ( b y i n v e r t i n g )

1 0 1 2 0 2

2 0 2 1 0 1 ( b y i n v e r t i n g )

s o e a c h o f t h e s e h a s t h e s a m e o r d e r a s i t s c o n j u g a t e u n d e r ( 1 2 ) . T h e s h o r t e s t

w o r d w w h i c h m a y s a t i s f y w

w ( 1 2 ) i s t h u s

0 1 0 1 0 2 . A c c o r d i n g l y , w e s e e k

G i n w h i c h u = 0 1 0 1 0 2 = [ t , x ] 2 [ t , x - 1 ] a n d v = 0 2 0 2 0 1 = [ t , x - 1 ] 2 [ t , x ] h a v e

d i f f e r e n t o r d e r s . W e r e s t r i c t o u r s e l v e s t o i m a g e s o f t h e L - g r o u p ( 2 , 3 , 7 ) i n

w h i c h x t = ( 0 1 2 ) t o h a s o r d e r 7 . I f w e p u t u 3 = 1 t h e n v a s s u m e s o r d e r 6 a n d

t h e i m a g e i s a n o n - s p l i t e x t e n s i o n o f s h a p e 2 3 ' L 3 ( 2 ) . P u t t i n g u 4 = 1 f o r c e s

v a l s o t o h a v e o r d e r 4 a n d s o t h e i m a g e , w h i c h i s i s o m o r p h i c t o L 2 ( 4 1 ) , d o e s

n o t p o s s e s s t h e p r o p e r t y w e a r e s e e k i n g . N o r d o e s L 2 ( 2 9 ) w h i c h i s t h e i m a g e

w h e n u a n d v a r e b o t h r e q u i r e d t o h a v e o r d e r 5 . H o w e v e r , i f u h a s o r d e r 5

a n d v h a s o r d e r 6 t h e n w e o b t a i n t h e s m a l l e s t J a n k o g r o u p J 1 , w h i c h t h u s

h a s t h e f o l l o w i n g p r e s e n t a t i o n .

( x , t

I

x 3 = t 2 = ( x t ) 7

= ( [ t ,

x ] 2 [ t , x - 1 ] ) 5

= ( [ t ,

x - 1 ] 2 [ t ,

x ] ) 6 = 1 ) = J 1 .

I m a g e s o f ( 2 , 3 , 7 ) a r e k n o w n a s H u r w i t z g r o u p s a n d t h e y h a v e b e e n e x t e n s i v e l y

s t u d i e d , i n p a r t i c u l a r i t i s k n o w n ( e x c e p t i n t h e c a s e o f t h e M o n s t e r ) w h i c h

o f t h e 2 6 s p o r a d i c s i m p l e g r o u p s c a n b e s o g e n e r a t e d ( s e e C o n d e r , W i l s o n

a n d W o l d a r [ 4 ] a n d J o n e s [ 2 2 , S S 4 ] , a n d t h e e x t e n s i v e b i b l i o g r a p h y t o J o n e s

[ 2 2 ] ) .

I t i s i n t e r e s t i n g , h o w e v e r , t o s e e h o w e a s i l y J 1 e m e r g e s f r o m t h e s e

c o n s i d e r a t i o n s .

O f c o u r s e w e m a y i n t e r c h a n g e t h e r o l e s o f x a n d t a n d s e e t h a t

P = ( x , t

I

x 2 = t 3 = 1 ) = 3 * 2 : C 2 .




4 5

a r - 1

a , .

F i g u r e 3 : A C o x e t e r d i a g r a m w i t h t a i l

B u t t h e f u l l g r o u p M o f m o n o m i a l a u t o m o r p h i s m s o f 3 * 2 i s i s o m o r p h i c t o t h e

d i h e d r a l g r o u p D 8 g i v e n b y

M

X ,

w h e r e t h e f i r s t m a t r i x c o r r e s p o n d s t o o u r e l e m e n t x w h i c h i n t e r c h a n g e s t h e

t w o s y m m e t r i c g e n e r a t o r s , a n d t h e s e c o n d i n v e r t s t h e f i r s t g e n e r a t o r a n d f i x e s

t h e s e c o n d . I t i s o f i n t e r e s t t o a s k w h i c h f i n i t e i m a g e s o f t h e m o d u l a r g r o u p

p o s s e s s t h e s e a d d i t i o n a l a u t o m o r p h i s m s . A n e x a m p l e w h i c h d o e s i s a f f o r d e d

b y

3 * 2 : D 8

s

N P G L 2 ( 1 9 ) .

f ( l

L \ 1 t 1 ]

1 . 3 C o x e t e r d i a g r a m s a n d Y - d i a g r a m s

A C o x e t e r d i a g r a m o f a p r e s e n t a t i o n i s a g r a p h i n w h i c h t h e v e r t i c e s c o r r e -

s p o n d t o i n v o l u t o r y g e n e r a t o r s a n d a n e d g e i s l a b e l l e d w i t h t h e o r d e r o f t h e

p r o d u c t o f i t s t w o e n d p o i n t s . C o m m u t i n g v e r t i c e s a r e n o t j o i n e d , a n d a n

e d g e i s l e f t u n l a b e l l e d i f t h e c o r r e s p o n d i n g p r o d u c t h a s o r d e r 3 . O f c o u r s e a

p r e s e n t a t i o n d i s p l a y e d i n t h i s m a n n e r m a y h a v e f u r t h e r r e l a t i o n s a d d e d , a n d

S o i c h e r ( s e e [ 2 7 ] ) a n d o t h e r s h a v e o b t a i n e d C o x e t e r p r e s e n t a t i o n s f o r m a n y

i n t e r e s t i n g g r o u p s . S h o u l d s u c h a d i a g r a m h a v e a " t a i l " o f l e n g t h a t l e a s t t w o ,

a s i n F i g . 3 , t h e n w e s e e t h a t t h e g e n e r a t o r c o r r e s p o n d i n g t o t h e t e r m i n a l v e r -

t e x a , c o m m u t e s w i t h t h e s u b g r o u p g e n e r a t e d b y t h e s u b g r a p h g o . I f w e t a k e

N = ( 9 o , a , . - 1 ) a s o u r c o n t r o l s u b g r o u p t h e n w e s e e t h a t G = ( G o , a , . - 1 ) a , . )

i s a h o m o m o r p h i c i m a g e o f 2 * n : N , w h e r e n i s t h e i n d e x o f ( C o ) i n N . A s a n

e x a m p l e c o n s i d e r S o i c h e r ' s p r e s e n t a t i o n f o r t h e a u t o m o r p h i s m g r o u p o f t h e

H a l l - J a n k o g r o u p , s e e t h e A T L A S [ 6 , p a g e 4 2 ] :

A s s h o w n i n F i g . 4 , w e h a v e M = ( a , b , c , d , e ) = U 3 ( 3 ) : 2 a n d ( G o ) _

( a , b , c , d ) = P G L 2 ( 7 ) w i t h i n d e x 3 6 . T h u s H J : 2 i s a h o m o m o r p h i c i m a g e o f

2 * 3 6 : ( U 3 ( 3 ) : 2 ) ( s e e s e c t i o n 2 . 2 ) .

N o w Y - d i a g r a m s a r e C o x e t e r d i a g r a m s i n w h i c h t h e g r a p h h a s t h e s h a p e

o f t h e l e t t e r Y w i t h a l l e d g e s u n l a b e l l e d , s e e t h e A T L A S [ 6 , p a g e 2 3 3 ] . T h e y



4 6


a

b

c

8

d e f

a = ( c d ) 4

( b c d e ) 8

F i g u r e 4 : A C o x e t e r d i a g r a m f o r H J : 2

w e r e i n v e s t i g a t e d b y C o n w a y , N o r t o n a n d o t h e r s , a n d C o n w a y ' s c o n j e c t u r e

t h a t Y 5 5 5 t o g e t h e r w i t h a s i n g l e a d d i t i o n a l r e l a t i o n c o n s t i t u t e d a p r e s e n t a t i o n

o f M 1 2 = ( M x M ) : 2 , t h e s o - c a l l e d B i M o n s t e r , w a s f i n a l l y p r o v e d i n [ 5 , 1 8 , 2 5 ]

u s i n g f u r t h e r g e o m e t r i c t e c h n i q u e s d u e t o I v a n o v . O f c o u r s e s u c h g r a p h s h a v e

f i n e t a i l s a n d t h u s l e n d t h e m s e l v e s t o t h e m e t h o d s o f s y m m e t r i c g e n e r a t i o n .

F o r i n s t a n c e , t o g e t h e r w i t h t h e n e c e s s a r y a d d i t i o n a l r e l a t i o n s , w e s e e o n p a g e

2 3 3 o f t h e A T L A S [ 6 ] t h a t Y 4 4 1

^ _ ' O 1 0 ( 2 ) : 2 , Y 4 3 1

0 9 ( 2 ) x 2 a n d Y 4 2 1

O 8 ( 2 ) : 2 . T h u s 0 i o ( 2 ) : 2 i s a n i m a g e o f 2 * 1 2 : ( O 9 ( 2 ) x 2 ) . N o t e t h a t t h e a c t i o n

o f 0 9 ( 2 ) o n 2 7 2 l e t t e r s i s i m p r i m i t i v e w i t h b l o c k s o f s i z e 2 , a n d t h e c e n t r a l

e l e m e n t o f A l t r a n s p o s e s e a c h o f t h e s e p a i r s .

C a m p b e l l , J o h n s o n , R o b e r t s o n a n d o t h e r s h a v e i n v e s t i g a t e d s y m m e t r i c

p r e s e n t a t i o n s o f g r o u p s f r o m a s l i g h t l y d i f f e r e n t p o i n t o f v i e w , s e e [ 2 1 , 2 6 , 2 1 -

2

I n v o l u t o r y g e n e r a t o r s

2 . 1

T h e L e m m a

I n t h i s s e c t i o n w e c o n s i d e r t r u e h o m o m o r p h i c i m a g e s o f p r o g e n i t o r s o f s h a p e

2 * " : N , w h e r e A l i s a t r a n s i t i v e , a n d u s u a l l y p r i m i t i v e , p e r m u t a t i o n g r o u p

a c t i n g b y c o n j u g a t i o n o n t h e n i n v o l u t o r y g e n e r a t o r s . S u p p o s e , f o r n o w o n l y ,

t h a t A l i s a l s o p e r f e c t . T h e n , s i n c e [ i , 7 r ] = i i " , w e h a v e

P ' > ( A ( , i j

I i 0 j ) a n d , t h e r e f o r e , I P : P ' I = 2 .

F u r t h e r m o r e [ i j , i n ] = j i i " j ' r = j j " i f i n i s c h o s e n t o f i x i b u t m o v e j .

I n

p a r t i c u l a r , i f A l i s d o u b l y t r a n s i t i v e w e s e e t h a t P ' = P " . C o n s i d e r a t i o n o f a

g r a p h i n w h i c h i j o i n s j i f , a n d o n l y i f , i j E P " s h o w s t h a t t h e s a m e i s t r u e

p r o v i d e d A l i s p r i m i t i v e . S o a f i n i t e i m a g e o f P c o n t a i n s a p e r f e c t s u b g r o u p t o

i n d e x 1 o r 2 . A n a l o g o u s s t a t e m e n t s h o l d w h e n A l c o n t a i n s a p e r f e c t g r o u p t o

l o w i n d e x , a n d s o t h e p r o g e n i t o r s i n v a r i a b l y p o s s e s s i n t e r e s t i n g f i n i t e i m a g e s .

W e m u s t n o w d e c i d e b y w h a t r e l a t o r s t o f a c t o r P . B u t i f a p e r m u t a t i o n

i n E A l c a n b e w r i t t e n a s a w o r d i n { t k , , t k 2 , . . . , t , } t h e n i t m u s t c o m m u t e

w i t h a l l p e r m u t a t i o n s w h i c h f i x { k 1 , k 2 , . . . , k , . } . T h e 2 - g e n e r a t o r f o r m o f t h i s

i s t h e o b v i o u s , b u t s u r p r i s i n g l y e f f e c t i v e :



A s u r v e y o f s y m m e t r i c g e n e r a t i o n o f s p o r a d i c s i m p l e g r o u p s 4 7

L e m m a 2 . 1 ( s e e C u r t i s [ 1 0 ] )

N n ( t i , t ; ) C C I J ( N i ' ) ,

w h e r e A N d e n o t e s t h e s t a b i l i z e r i n A l o f i a n d j .

I f t h e c e n t r a l i z e r o f a 2 - p o i n t s t a b i l i z e r i n N i s c y c l i c o f o r d e r 2 w e w r i t e

C A ( ( N i j ) = ( 7 r i j )

C 2 , a n d n o t e t h a t i f 7 r i j E ( t i , t j ) t h e n i r i j t i h a s o d d o r d e r

i n t h e c a s e w h e n 7 r i j i n t e r c h a n g e s i a n d j , a n d 7 r i j = ( t i t ; ) ' o t h e r w i s e .

2 . 2

T h e S u z u k i c h a i n

A s a n e x a m p l e u s i n g t h e l e m m a t a k e A l ' = ' G 2 ( 2 ) = ' U 3 ( 3 ) : 2 , a c t i n g t r a n s i t i v e l y

o n 3 6 l e t t e r s , w h e n P = 2 * 3 f i : ( U 3 ( 3 ) : 2 ) a n d N i = P G L 2 ( 7 ) w i t h o r b i t l e n g t h s

1 , 1 4 a n d 2 1 . I f j i s i n t h e 1 4 - o r b i t w e h a v e N i ' = S 4 a n d C , , v ( N i j ) = ( 7 r i j ) = '

C 2 i i n t e r c h a n g i n g i a n d j .

I f w e f a c t o r P b y t h e r e l a t o r ( i r i j t i ) 3 , a m a n u a l

d o u b l e c o s e t e n u m e r a t i o n a s p e r f o r m e d i n [ 1 1 , 1 2 , 1 4 ] c o n s t r u c t s a r a n k 3

p e r m u t a t i o n g r o u p o n 1 0 0 = 1 + 3 6 + 6 3 l e t t e r s o f o r d e r 1 0 0 x 6 0 4 8 x 2 , w h i c h

i s o f c o u r s e t h e a u t o m o r p h i s m g r o u p o f t h e H a l l - J a n k o s i m p l e g r o u p . T h u s

2 * 3 6 : ( U 3 ( 3 ) : 2 )

_ H J : 2 .

( i r 1 2 t 1 ) 3

A s i m i l a r p r o c e d u r e , f a c t o r i n g i n e a c h c a s e b y t h e a n a l o g o u s r e l a t o r , y i e l d s

a l l g r o u p s o f t h e S u z u k i c h a i n u p t o 3 ' S u z : 2 . T h e C o n w a y g r o u p C o l i s b e s t

o b t a i n e d b y a s l i g h t l y m o d i f i e d a p p r o a c h ( s e e s e c t i o n 3 ) .

2 . 3

T h e H i g m a n - S i m s g r o u p

N o w l e t A l U 3 ( 5 ) : 2 , a c t i n g t r a n s i t i v e l y o n 5 0 l e t t e r s , w h e n P = ' 2 * 5 0 : ( U 3 ( 5 ) : 2 ) ,

a n d N i = ' S 7 w i t h o r b i t l e n g t h s 1 , 7 a n d 4 2 . I f j i s i n t h e 7 - o r b i t , A N S 6

w h i c h h a s t r i v i a l c e n t r a l i z e r . H o w e v e r , i f k i s i n t h e 4 2 - o r b i t w e h a v e A I

= S 5

a n d C N ( N i k ) _ ( 7 r i k )

C 2 . M o r e o v e r , t h e r e i s a u n i q u e j i n t h e 7 - o r b i t s o f

b o t h i a n d k a n d s o A l ' i = N i c k . I f w e s u p p o s e 7 r i k E ( t i , t t k ) w e f i n d t h a t t h e

s h o r t e s t w o r d w h i c h d o e s n o t l e a d t o c o l l a p s e i s 7 r i k = t i t k t i t j . A m a n u a l d o u -

b l e c o s e t e n u m e r a t i o n c o n s t r u c t s a p e r m u t a t i o n g r o u p o n ( 1 7 6 + 1 7 6 ) l e t t e r s

w h i c h i s e a s i l y s e e n t o b e H S : 2 , t h e a u t o m o r p h i s m g r o u p o f t h e H i g m a n - S i m s

g r o u p ( s e e [ 1 2 ] ) . T h a t i s ,

2 * 5 0 : ( U 3 ( 5 ) : 2 )

l -

H S : 2 .

7 r i k = i k i j



4 8


2 . 4

T h e J a n k o g r o u p J 1 a n d t h e O ' N a n g r o u p

L e t A l = ' L 2 ( 1 1 ) , a c t i n g d o u b l y t r a n s i t i v e l y o n 1 1 l e t t e r s , w h e n

P - 2 * 1 1 : L 2 ( 1 1 ) , J V i = A 5 , A N = S 3 a n d C N ( A l )

= ( - 7 r i j ) = C 2 .

N o w ( 7 r i j t i ) 3 = 1 l e a d s t o c o l l a p s e a n d s o s u p p o s e ( ? r i j t i ) 5 = 1 .

I f { i , j , k } i s

t h e f i x e d p o i n t s e t o f a n i n v o l u t i o n o f A l , t h i s r e l a t i o n f o r c e s

( t i , t i , t k ) = 2 X A 5 ,

( o r a h o m o m o r p h i c i m a g e o f t h i s ) . I f w e n o w f a c t o r b y a s e c o n d r e l a t i o n w h i c h

s e t s t h e c e n t r a l i n v o l u t i o n h e r e ( a s a w o r d i n t i , t t k ) e q u a l t o t h e i n v o l u t i o n

o f A l f i x i n g i , j a n d k , a m a n u a l d o u b l e c o s e t e n u m e r a t i o n c o n s t r u c t s a r a n k

5 p e r m u t a t i o n g r o u p o n 2 6 6 l e t t e r s o f o r d e r 2 6 6 x 6 6 0 w h i c h i s e a s i l y s e e n t o

b e J 1 , t h e s m a l l e s t J a n k o g r o u p . I t i s r e a d i l y s h o w n , s e e [ 1 1 , 1 5 ] , t h a t t h e t w o

r e l a t i o n s d e s c r i b e d a b o v e a r e b o t h c o n s e q u e n c e s o f t h e s i n g l e r e l a t i o n ( a t i ) 5

w h e r e v i s a n y p e r m u t a t i o n o f c y c l e s h a p e 2 . 3 . 6 a n d i i s i n i t s 3 - c y c l e . T h u s ,

i f N = ( ( 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 X ) , ( 3 4 ) ( 2 X ) ( 5 9 ) ( 6 7 ) ) , t h e n

2 * 1 1 . L 2 ( 1 1 )

( Q t o ) 5

= J 1 ,

w h e r e a = ( 3 4 ) ( 0 1 8 ) ( 2 5 6 X 9 7 ) E J V .

I t t u r n s o u t t h a t f i v e o f t h e s e

s y m m e t r i c g e n e r a t o r s ( o n e o f t h e 1 1 s p e c i a l p e n t a d s p r e s e r v e d b y L 2 ( 1 1 ) ) a r e

s u f f i c i e n t t o g e n e r a t e J l a n d w e h a v e

2 * 5 : A

5 ,

( 9 r t 1 ) 7

-

J 1

w h e r e i r = ( 1 2 3 4 5 ) E A 5 .

N o w l e t A l b e i s o m o r p h i c t o t h e M a t h i e u g r o u p M 1 1 a c t i n g t r a n s i t i v e l y o n

t h e 1 2 e l e m e n t s e t A = { o o , 0 , 1 , . . . , X } . S o P = 2 * 1 2 : M 1 1 a n d J V i = L 2 ( 1 1 ) .

L e t s i = ( t o " t i ) 2 b e a n i n v o l u t i o n f o r e a c h i E { 0 , 1 , 2 , . . , X } , a n d d e f i n e

o r = ( o o ) ( 3 4 ) ( 0 1 8 ) ( 2 5 6 X 9 7 ) E A l .

F a c t o r i n g P b y ( a s o ) 5 e n s u r e s

t h a t ( s o , s 1 , . . . , s X ) i s i s o m o r p h i c t o J 1 a n d c o m m u t e s w i t h t . . . A f u r t h e r

r e l a t i o n ( a 3 t . t 3 ) 5 f o r c e s ( t o m , t o , t 1 i t 8 ) = 4 ' L 3 ( 4 ) : 2 3 ( s e e T a b l e 5 o f [ 1 4 ] ) , a n d

c o m p a r i s o n w i t h S o i c h e r ' s C o x e t e r - s t y l e p r e s e n t a t i o n f o r t h e O ' N a n g r o u p

( n o w p r o v e d c o m p l e t e ) o n p a g e 1 3 2 o f t h e A T L A S s h o w s t h a t

2 * 1 2 : M 1 1

= O ' N : 2 .

( t o o t o ) 4 = ( a 3 t o o t 3 ) 5 = ( a ( t , , t o ) 2 ) 5 = 1




4 9

3

G e n e r a t o r s o f h i g h e r o r d e r

L e m m a 2 . 1 ( s u i t a b l y m o d i f i e d ) c a n s t i l l b e u s e d w h e n t h e s y m m e t r i c g e n e r a -

t o r s a r e o f h i g h e r o r d e r , b u t i t i s u s u a l l y m o r e p r o f i t a b l e t o c o n s i d e r w h a t t h e

s u b g r o u p s ( t i , t j ) c a n b e i n a f i n i t e i m a g e . T h e s e g r o u p s o f t e n h a v e s e v e r a l

a u t o m o r p h i s m s v i s i b l e i n t h e c o n t r o l s u b g r o u p , w h i c h r e s t r i c t s t h e p o s s i b i l -

i t i e s . A g e n e r i c e x a m p l e f o r l i n e a r f r a c t i o n a l g r o u p s h a s s i g n i f i c a n t s p o r a d i c

r a m i f i c a t i o n s :

E x a m p l e 3 . 1 L e t . A b e a p r i m i t i v e e l e m e n t i n t h e m u l t i p l i c a t i v e g r o u p o f t h e

f i e l d Z , , p p r i m e . A s i s w e l l k n o w n , s e e f o r e x a m p l e D i c k s o n [ 1 6 ] ,

t i _ T H r + 1 , x = T H A T a n d

y - T H 1

T

g e n e r a t e t h e g r o u p P G L 2 ( p ) . T a k i n g ( x , y ) = D 2 ( p - 1 ) a s c o n t r o l s u b g r o u p A l

i t i s r e a d i l y s h o w n t h a t

p * 2 D 2 C v - l i

3

= P G L 2 ( p ) w h e r e D

2 ( p - 1 ) _

1 1 /

L \ 1

/

t 1 ]

I f w e t a k e A l = ( x 2 , y ) = ' D p _ 1 i n s t e a d , t h e n t h e s a m e r e l a t o r y i e l d s P S L 2 ( p )

o r 2 x P S L 2 ( p ) i n t h e c a s e s p - 3

( m o d 4 ) a n d p = 1

( m o d 4 ) r e s p e c t i v e l y .

S p o r a d i c s i m p l e g r o u p s c a n b e o b t a i n e d d i r e c t l y i n t h i s m a n n e r . F o r e x -

a m p l e ,

w h e r e

a n d

w h e r e

7 * 2 : ( 3 x D 8 )

7 H J : 2 ,

f (

l

l

L \ 3

. t 1

3 x D 8 = \ C 2

. , \ 1

7 * 2 : D 1 2

f (

1

] 5 ,

3 = J 1 ,

5

2

t 1

K t i t - I t ' ]

D 1 2 =

< ( 5 3 ) ' ( 1

1 ) )

N o t e t h a t i n t h e l a t t e r c a s e t w o r e l a t o r s a r e n e c e s s a r y f o r a p e r f e c t i m a g e

s i n c e P / P = V 4 .



5 0


3 . 1

M o n o m i a l m o d u l a r r e p r e s e n t a t i o n s

A s o u r n o t a t i o n i n d i c a t e s , s e e i n g h o w a g r o u p c a n a c t a s c o n t r o l s u b g r o u p i n

a p r o g e n i t o r a m o u n t s t o c o n s t r u c t i n g a m o n o m i a l m o d u l a r r e p r e s e n t a t i o n f o r

i t o v e r a s u i t a b l e f i n i t e f i e l d . T h e t w o m a t r i c e s

- 1

1

y _

- 1

.

- 1

w r i t t e n o v e r Z 3 , y i e l d a 3 - m o d u l a r m o n o m i a l r e p r e s e n t a t i o n o f t h e g r o u p 2 ' S 4

( s e e [ 1 3 ] ) a n d s o d e f i n e a u n i q u e p r o g e n i t o r P 2 _ ' - 3 * 4 : 2 ' S 4 .

F a c t o r i n g t h i s b y

t h e r e l a t o r ( x t l ) 5 , w h i c h w e m a y w r i t e a s [ ( 1 2 ) ( 4 4 ) t l ] 5 , y i e l d s t h e s m a l l e s t

M a t h i e u g r o u p M 1 1 .

3 . 2

T h e H e l d g r o u p

S p o r a d i c g r o u p s w i l l g e n e r a l l y f o l l o w w h e n w e s t a r t w i t h a n ` u n u s u a l ' c o n t r o l

s u b g r o u p , a n d s o i t i s n a t u r a l t o c o n s i d e r . N = ' 3 ' A 7 i t h e t r i p l e c o v e r o f t h e

a l t e r n a t i n g g r o u p o n 7 l e t t e r s . I n o r d e r t o g e t a f a i t h f u l m o n o m i a l m o d u l a r

r e p r e s e n t a t i o n f o r H w e i n d u c e a n o n - t r i v i a l l i n e a r r e p r e s e n t a t i o n o f a s u b -

g r o u p i s o m o r p h i c t o 3 x L 2 ( 7 ) , o f i n d e x 1 5 , u p t o N . C l e a r l y t h e f i e l d i n

w h i c h w e w o r k m u s t p o s s e s s c u b e r o o t s o f u n i t y , a n d s o w e c h o o s e Z 7 . T h i s

d e f i n e s a p r o g e n i t o r

P r v 7 * 1 5 : 3 ' A 7 ,

b u t w e p r e f e r t o ` d o u b l e u p ' t o

P - 7 * ( 1 5 + 1 5 ) : 3 S 7 ,

i n w h i c h a ` c e n t r a l ' e l e m e n t o f o r d e r 3 s q u a r e s o n e s e t o f f i f t e e n 7 - e l e m e n t s ,

w h i l e f o u r t h - p o w e r i n g t h e o t h e r . N o w , w h e n S 7 a c t s o n 3 0 = ( 1 5 + 1 5 ) l e t -

t e r s , t h e L 2 ( 7 ) s t a b i l i z i n g a p o i n t h a s o r b i t s 1 , 1 4 , 7 a n d 8 , a n d t h e s u b g r o u p

i s o m o r p h i c t o S 4 f i x i n g a f u r t h e r p o i n t i n t h e 7 - o r b i t c o m m u t e s w i t h a u n i q u e

i n v o l u t i o n i n S 7 , i t s a y , w h i c h i n t e r c h a n g e s t h e s e t w o f i x e d p o i n t s . T h e s u b -

g r o u p g e n e r a t e d b y t h e c o r r e s p o n d i n g s y m m e t r i c g e n e r a t o r s r 1 , s 1 p o s s e s s e s

t h e D 6 o f a u t o m o r p h i s m s d e s c r i b e d i n E x a m p l e 3 . 1 w i t h p = 7 , a n d f a c t o r i n g

b y ( 7 r r l ) 3 y i e l d s t h e i m a g e L 2 ( 7 ) . F a c t o r i n g t h e w h o l e p r o g e n i t o r b y t h i s s a m e

r e l a t o r ( a n d n o t i n g t h a t i t h a s t h r e e p r e i m a g e s i n H ) g i v e s

7 * ( 1 5 + 1 5 ) : 3 - S 7

=

F I e

i r r l ) 3

H e ,

t h e H e l d s i m p l e g r o u p . T h e o u t e r a u t o m o r p h i s m m a y b e r e a l i s e d b y a d -

j o i n i n g a n i n v o l u t i o n w h i c h c o m m u t e s w i t h H a n d i n v e r t s a l l 3 0 s y m m e t r i c

g e n e r a t o r s . F o r f u r t h e r d e t a i l s t h e r e a d e r i s r e f e r r e d t o [ 1 3 ] .




3 . 3

T h e H a r a d a - N o r t o n g r o u p

N o w t a k e A l = ' 2 ' H S , t h e d o u b l e c o v e r o f t h e H i g m a n - S i m s g r o u p . T h e n A l

h a s a s u b g r o u p U t o i n d e x 1 7 6 o f s h a p e ( 2 x U 3 ( 5 ) ) ' 2 , w h i c h c o n t a i n s o u t e r

e l e m e n t s n o r m a l i z i n g t h e c o p y o f U 3 ( 5 ) a n d s q u a r i n g t o t h e c e n t r a l i n v o l u t i o n .

T h u s H / H '

C 4 . I f w e i n d u c e a f a i t h f u l l i n e a r r e p r e s e n t a t i o n o f t h i s g r o u p

u p t o N w e o b t a i n a 1 7 6 - d i m e n s i o n a l m o n o m i a l m o d u l a r r e p r e s e n t a t i o n o f

A l o v e r a n y f i e l d w h i c h p o s s e s s e s f o u r t h r o o t s o f u n i t y , s u c h a s Z 5 . A s i n t h e

p r e v i o u s c a s e w e d o u b l e u p t o o b t a i n a p r o g e n i t o r

p , . , 5 * ( 1 7 6 + 1 7 6 ) : 2 ' H S : 2 .

A s w e s a w i n t h e c o n s t r u c t i o n o f H S : 2 , t h e p o i n t s t a b i l i z e r i n t h e a c t i o n

o n 3 5 2 = ( 1 7 6 + 1 7 6 ) l e t t e r s h a s o r b i t s 1 , 1 7 5 , 5 0 a n d 1 2 6 . T h e s u b g r o u p

o f t h i s s t a b i l i z e r f i x i n g a f u r t h e r p o i n t i n t h e 5 0 o r b i t i s i s o m o r p h i c t o S 7 ;

i t c e n t r a l i z e s a u n i q u e i n v o l u t i o n i n H S : 2 w h i c h i n t e r c h a n g e s t h e t w o f i x e d

p o i n t s . I f 7 r d e n o t e s o n e o f i t s t w o p r e i m a g e s i n A l a n d r 1 , s i t h e t w o f i x e d

s y m m e t r i c g e n e r a t o r s o f o r d e r 5 , t h e n a s i n E x a m p l e 3 . 1 w i t h p = 5 t h e

r e l a t o r ( i r r i ) 3 i m p l i e s ( r l , s l ) A 5 . F a c t o r i n g t h e w h o l e p r o g e n i t o r b y t h i s

r e l a t o r g i v e s

5 * ( 1 7 6 + 1 7 6 ) : 2 ' H S . 2

( x r l ) 3

= H N ,

t h e H a r a d a - N o r t o n s i m p l e g r o u p .

I f w e e x t e n d o u r c o n t r o l s u b g r o u p t o a

g r o u p o f s h a p e 4 " H S : 2 ( a c e n t r a l p r o d u c t o f a c y c l i c g r o u p C 4 w i t h 2 ' H S ,

e x t e n d e d b y a n i n v o l u t i o n n o r m a l i z i n g t h e 2 ' H S a n d i n v e r t i n g t h e c e n t r a l

e l e m e n t s o f o r d e r 4 ) , b y a d j o i n i n g a n e l e m e n t o f o r d e r 4 w h i c h s q u a r e s o n e

s e t o f 1 7 6 s y m m e t r i c g e n e r a t o r s a n d c u b e s t h e o t h e r , w e o b t a i n t h e g r o u p

A u t ( H N ) ^ _ ' H N : 2 . T h e a c t i o n o f H N o n t h e c o s e t s o f 2 ' H S . 2 i s d e s c r i b e d

b y I v a n o v , L i n t o n , L u x , S a x l a n d S o i c h e r [ 1 9 ] a s a r e m a n y o f t h e g r a p h s

r e l e v a n t t o t h i s w o r k .

3 . 4 N o n - c y c l i c s y m m e t r i c g e n e r a t o r s

O f c o u r s e t h e r e i s n o n e e d t o r e s t r i c t o u r m o n o m i a l r e p r e s e n t a t i o n s t o b e i n g

o v e r p r i m e f i e l d s . I n d e e d , w h e n w e r e q u i r e c u b e r o o t s o f u n i t y w e c a n t a k e

G F 4 , t h e g a l o i s f i e l d o f o r d e r 4 , r a t h e r t h a n Z 7 . T h e c y c l i c g r o u p s T i a r e t h e n

r e p l a c e d b y c o p i e s o f t h e K l e i n f o u r g r o u p l a b e l l e d V = ( t i i , t i e , t a i ) a n d w e

w r i t e a p r o g e n i t o r a s ( 2 2 ) ' ' : A ( . A s a n e x a m p l e c o n s i d e r

P ^ _ '

( 2 2 ) ' ' ' 6 : 3

A 6 ,

w h e r e a c e n t r a l e l e m e n t o f o r d e r 3 f i x e s e a c h o f t h e s i x f o u r g r o u p s w h i l e c y c l i n g

i t s n o n - t r i v i a l e l e m e n t s . T h e c o n t r o l s u b g r o u p A l = 3 ' A 6 c o n t a i n s a u n i q u e

c l a s s o f e l e m e n t s o f o r d e r 4 , a n d t h e e l e m e n t i t - ( 1 2 3 4 ) ( 5 6 ) i s a u n i q u e l y



5 2


d e f i n e d e l e m e n t i n t h i s c l a s s . B r a y h a s d e m o n s t r a t e d t h a t i f w e f a c t o r P b y

( 7 r t 1 1 ) 6 w e o b t a i n t h e H a l l - J a n k o g r o u p . O n t h e o t h e r h a n d i f o - ( 1 2 3 4 5 )

i s a n e l e m e n t o f o r d e r 5 i n A l , t h e n f a c t o r i n g P b y ( a t 1 1 ) 6 y i e l d s G 2 ( 4 ) .

I t i s n o w a p p a r e n t t h a t g r o u p s w h o s e m u l t i p l i e r s h a v e o r d e r d i v i s i b l e b y

3 a r e e x c e l l e n t c a n d i d a t e s t o b e c o n t r o l s u b g r o u p s o v e r t h e f i e l d s G F 4 a n d

Z 7 . T h e t r i p l e c o v e r 3 ' S u z o f t h e S u z u k i g r o u p c o n t a i n s a c l a s s o f s u b g r o u p s

i s o m o r p h i c t o 3 x G 2 ( 4 ) a n d s o w e o b t a i n a p r o g e n i t o r

P = ( 2 2 ) * 1 7 8 2 : 3 ' S u z .

N o w t h e o u t e r a u t o m o r p h i s m o f 3 ' S u z i n v e r t s c e n t r a l e l e m e n t s o f o r d e r 3 ;

e l e m e n t s i n t h e o u t e r h a l f o f t h e g r o u p 3 ' S u z : 2 c a n t h u s a c t a s p e r m u t a t i o n s

o f t h e 1 7 8 2 K l e i n f o u r g r o u p s f o l l o w e d b y t h e f i e l d a u t o m o r p h i s m o , o f G F 4 .

S o a n i n v o l u t i o n i n t h e o u t e r h a l f , t o g e t h e r w i t h t h e c e n t r a l e l e m e n t o f o r d e r

3 , c o m p l e t e a K l e i n f o u r g r o u p V , w h i c h i t f i x e s , t o a c o p y o f S 4 . W i t h t h i s

u n d e r s t a n d i n g w e e x t e n d t h e p r o g e n i t o r t o

P - ( 2 2 ) * 1 7 8 2 : 3 ' S u z : 2 ,

w h i c h c a n r e a d i l y b e s e e n t o c o n t a i n a p e r f e c t s u b g r o u p t o i n d e x 2 . N o w t h e

c e n t r a l i z e r i n A l o f o n e o f t h e f o u r g r o u p s i s i s o m o r p h i c t o G 2 ( 4 ) , w i t h o r b i t s

1 + 4 1 6 + 1 3 6 5 . C e n t r a l i z i n g a f u r t h e r f o u r g r o u p i n t h e 4 1 6 - o r b i t i s a s u b g r o u p

i s o m o r p h i c t o H J w h o s e c e n t r a l i z e r i n A l i s a c o p y o f S 3 . E l e m e n t s o f o r d e r

3 i n t h i s c e n t r a l i z e r c y c l e t h e i n v o l u t i o n s i n e a c h o f t h e t w o f i x e d f o u r g r o u p s ,

w h i l e i t s i n v o l u t i o n s ( w h i c h l i e o u t s i d e A l ' ) i n t e r c h a n g e t h e m a n d a p p l y t h e

f i e l d a u t o m o r p h i s m a . W e t h u s s e e k a n i m a g e o f

( 2 2 ) * 2 : S 3

w h e r e S 3

( x =

( W

' ) y = C 1

F a c t o r i n g t h i s b y t h e r e l a t o r ( y t l l ) 3 i s e a s i l y s e e n t o g i v e t h e i m a g e A 5 ( w i t h

f o r e x a m p l e x = ( 3 4 5 ) , y = ( 1 2 ) ( 4 5 ) , t 1 1 = ( 1 3 ) ( 4 5 ) ) . I f t h e p r o g e n i t o r

P i s f a c t o r e d b y a c o r r e s p o n d i n g r e l a t o r w e o b t a i n t h e l a r g e s t C o n w a y g r o u p

C o l . T h i s c o n s t r u c t i o n i s b e i n g i n v e s t i g a t e d b y M o h a m e d S a y e d .

3 . 5

T h e F i s c h e r g r o u p s

T h e F i s c h e r g r o u p s F i 2 2 , F i 2 3 a n d F i 2 4 a r e g e n e r a t e d b y a c l a s s o f i n v o l u t i o n s

c a l l e d t r a n s p o s i t i o n s w h i c h h a v e t h e p r o p e r t y t h a t t h e p r o d u c t o f a n y t w o o f

t h e m h a s o r d e r 1 , 2 o r 3 . I n d e e d , i n e a c h c a s e t h e a c t i o n b y c o n j u g a t i o n o n

t h e t r a n s p o s i t i o n s i s r a n k 3 w i t h t h e t w o n o n - t r i v i a l o r b i t s c o n s i s t i n g o f t h o s e

e l e m e n t s w h i c h g e n e r a t e a c o p y o f V 4 w i t h t h e f i x e d t r a n s p o s i t i o n , a n d t h o s e

w h i c h g e n e r a t e a c o p y o f S 3 . C l e a r l y e l e m e n t s i n t h e f o r m e r o r b i t c o m m u t e

w i t h t h e f i x e d t r a n s p o s i t i o n , a n d s o c a n n o t g e n e r a t e t h e w h o l e g r o u p . H o w -

e v e r , t h e 2 n e l e m e n t s i n t h e l a t t e r o r b i t ( w h i c h a r e p a i r e d u n d e r c o n j u g a t i o n




5 3

b y t h e f i x e d t r a n s p o s i t i o n ) d o g e n e r a t e . W e c o u l d t a k e a s p r o g e n i t o r 2 * 2 n : N ,

w h e r e A l i s t h e c e n t r a l i z e r o f a t r a n s p o s i t i o n , b u t p r e f e r t o t a k e P = 3 * n : N ,

w h e r e e a c h s y m m e t r i c g e n e r a t o r i s a p r o d u c t o f t h e t w o i n v o l u t i o n s i n a p a i r .

T h i s l e a d s u s t o t h e h o m o m o r p h i s m s

3 * 1 4 0 8 0 : 2 '

F i 2 2

3 * 1 3 7 6 3 2 : F 2 2 3

H

F i 2 2 ,

F i 2 3 ,

F i i g ,

w h i c h a r e b e i n g i n v e s t i g a t e d b y J o h n B r a y . A l t h o u g h t h e n u m b e r s i n v o l v e d

a r e l a r g e , t h e l o w r a n k f a c i l i t a t e s c o n s t r u c t i o n . I n t h e t h i r d c a s e t h e o u t e r

a u t o m o r p h i s m i s a c h i e v e d b y a d j o i n i n g a t r a n s p o s i t i o n w h i c h c o m m u t e s w i t h

A l a n d i n v e r t s a l l t h e s y m m e t r i c g e n e r a t o r s .

4 L a r g e r g r o u p s

T h e c l a i m s m a d e s o f a r i n t h i s p a p e r c a n b e v e r i f i e d e i t h e r b y t h e m a n u a l d o u -

b l e c o s e t e n u m e r a t i o n t e c h n i q u e s d e s c r i b e d i n [ 1 1 , 1 2 , 1 4 ] , o r b y m e c h a n i c a l

T o d d - C o x e t e r s i n g l e c o s e t e n u m e r a t i o n u s i n g f o r i n s t a n c e t h e i m p l e m e n t a t i o n

d u e t o H a v a s i n t h e M A G M A p a c k a g e , s e e [ 3 ] . T h e l a r g e r s p o r a d i c g r o u p s a r e

o u t o f r a n g e o f s u c h m e t h o d s a n d m o r e s o p h i s t i c a t e d g e o m e t r i c t e c h n i q u e s

a r e r e q u i r e d .

4 . 1

T h e F i s c h e r - G r i e s s M o n s t e r

A s s t a t e d a t t h e b o t t o m o f p a g e 2 3 0 o f t h e A T L A S t h e B i M o n s t e r i s i n f a c t

g e n e r a t e d b y 2 6 i n v o l u t i o n s c o r r e s p o n d i n g t o t h e p o i n t s a n d l i n e s o f t h e p r o -

j e c t i v e p l a n e o f o r d e r 3 , y i e l d i n g a C o x e t e r d i a g r a m i n w h i c h t h e 1 3 p o i n t s

a n d 1 3 l i n e s a r e j o i n e d b y i n c i d e n c e . T h a t i s t o s a y , M t 2 i s a n i m a g e o f

2 * ( 1 3 + 1 3 ) : ( L 3 ( 3 ) : 2 )

( p l p 2 ) 2 , ( p l ) 2 f o r p ¢ 1 , ( p l ) 3 f o r p E l

( N o t e t h a t , s i n c e o u r c o n t r o l s u b g r o u p i n t e r c h a n g e s p o i n t s a n d l i n e s , t h e

r e l a t o r ( 1 1 1 2 ) 2 i s i m p l i e d . ) C o n s i d e r n o w A ( = 3 ' F i 2 4 , t h e t r i p l e c o v e r o f t h e

d e r i v e d g r o u p o f t h e l a r g e s t F i s c h e r g r o u p ; l e t f = I F ' 1 , a n d h = I H e l

,

2 4

t h e o r d e r o f t h e H e l d g r o u p . A l p o s s e s s e s a s u b g r o u p H = 3 x H e : 2 w i t h

H / H '

C 6 . T a k e a f a i t h f u l l i n e a r r e p r e s e n t a t i o n o f t h i s c y c l i c g r o u p o v e r t h e

f i e l d Z 7 a n d i n d u c e i t u p t o A l t o o b t a i n a 7 - m o d u l a r m o n o m i a l r e p r e s e n t a t i o n

o f A l o f d e g r e e f / 2 h . A s i n p r e v i o u s e x a m p l e s w e ` d o u b l e u p ' t o o b t a i n a

p r o g e n i t o r

P - 7 * 4 2 h +

0 : 3 F i . ,



5 4


i n w h i c h a ` c e n t r a l ' 3 - e l e m e n t s q u a r e s o n e s e t o f f / 2 h s y m m e t r i c g e n e r a t o r s

w h i l e f o u r t h p o w e r i n g t h e o t h e r s e t . N o w t h e c e n t r a l i z e r i n A l o f a s y m m e t r i c

g e n e r a t o r t l , w h i c h i s i s o m o r p h i c t o H e , p o s s e s s e s a s u b g r o u p i s o m o r p h i c t o

S 4 ( 4 ) : 2 w h i c h c e n t r a l i z e s a n o t h e r s y m m e t r i c g e n e r a t o r , s l s a y , i n t h e o t h e r

s e t . T h e c e n t r a l i z e r i n A l o f t h i s s u b g r o u p i s a c o p y o f S 3 g e n e r a t e d b y t h e

c e n t r e o f N ' t o g e t h e r w i t h t h r e e i n v o l u t i o n s l y i n g o u t s i d e A l ' , w h i c h t h u s

i n t e r c h a n g e ( t 1 ) a n d ( s l ) . I f 7 r i s o n e o f t h e s e i n v o l u t i o n s t h e r e l a t o r ( 7 r t 1 ) 3

e n s u r e s t h a t ( t 1 , s l ) ^ = P S L 2 ( 7 ) , a s i n E x a m p l e 3 . 1 w i t h p = 7 . W e c o n j e c t u r e

t h a t

7 * ( 4 + 0 : 3 - F i 2 4

= M .

A g a i n w e c a n c o n s i d e r A l = ' 2 ' B , t h e d o u b l e c o v e r o f t h e B a b y M o n s t e r ;

l e t b = J B I a n d r = 1 H N I , t h e o r d e r o f t h e H a r a d a - N o r t o n g r o u p . B y

r e s t r i c t i n g t h e 4 3 7 1 - c h a r a c t e r o f B t o H N : 2 w e s e e t h a t t h e u n i q u e o u t e r

c l a s s o f i n v o l u t i o n s i n H N : 2 f u s e s t o c l a s s 2 C i n B .

S i n c e p r e - i m a g e s o f

e l e m e n t s i n t h i s c l a s s h a v e o r d e r 4 w e s e e t h a t a s u b g r o u p o f s h a p e H N : 2 i n

B l i f t s t o a s u b g r o u p H = ( 2 x H N ) ' 2 i n 2 ' B , w h e r e H / H ' = ' C 4 . T a k e a

f a i t h f u l l i n e a r r e p r e s e n t a t i o n o f t h i s c y c l i c g r o u p o v e r Z 5 a n d i n d u c e i t u p t o

A l t o o b t a i n a 5 - m o d u l a r m o n o m i a l r e p r e s e n t a t i o n o f A l o f d e g r e e b / 2 r . T h i s

d e f i n e s t h e p r o g e n i t o r

P 5 * * : 2 ' B ,

i n w h i c h t h e c e n t r a l i n v o l u t i o n o f t h e c o n t r o l s u b g r o u p i n v e r t s a l l t h e s y m -

m e t r i c g e n e r a t o r s . N o w A P = C A t ( t l ) = H N , a n d t h e r e e x i s t s a f u r t h e r

s y m m e t r i c g e n e r a t o r t 2 s u c h t h a t N 1 2 = C , v ( ( t l , t 2 ) )

U 3 ( 8 ) : 3 . F u r t h e r -

m o r e C , v ( . l V 1 2 ) = ' V 4 g e n e r a t e d b y t h e c e n t r a l e l e m e n t o f A l , w h i c h i n v e r t s t i

a n d t 2 i a n d a n i n v o l u t i o n 7 r w h i c h i n t e r c h a n g e s t h e m . S i m i l a r l y , t h e r e e x i s t s

a s y m m e t r i c g e n e r a t o r t 3 , s a y , s u c h t h a t

N 1 3 = A , 2 , a n d C V ( N 1 3 ) = V 4

g e n e r a t e d b y t h e c e n t r a l e l e m e n t o f A l a g a i n a n d a n i n v o l u t i o n o , w h i c h i n -

t e r c h a n g e s t h e m . A s i n E x a m p l e 3 . 1 w i t h p = 5 , f a c t o r i n g b y ( 7 r t , ) 3 e n s u r e s

t h a t ( t 1 i t 2 ) = A 5 i a n d f a c t o r i n g b y ( a t l ) 3 e n s u r e s t h a t ( t 1 , t 3 ) = A 5 . W e

c o n j e c t u r e t h a t

_ 5 - 1 6 : 2 - B

^ ' M ,

( n - t l ) 3 , ( o t l ) 3

-

a l t h o u g h e i t h e r o f t h e s e a d d i t i o n a l r e l a t o r s m a y b e r e d u n d a n t . F i n a l l y w i t h

A l = 2 ' B , l e t t = I T h l , t h e o r d e r o f t h e T h o m p s o n g r o u p . I n d u c i n g a n o n -

t r i v i a l l i n e a r r e p r e s e n t a t i o n o v e r Z 3 o f t h e s u b g r o u p 2 x T h u p t o A l w e o b t a i n

a 3 - m o d u l a r m o n o m i a l r e p r e s e n t a t i o n o f A l o f d e g r e e b / t . T h i s d e f i n e s t h e

p r o g e n i t o r

P = ' 3 * t : 2 ' B ,

w h i c h a l s o h a s M a s a h o m o m o r p h i c i m a g e .




5 C o n c l u s i o n

I n t h i s p a p e r w e h a v e d e s c r i b e d a m e t h o d o f c o n s t r u c t i n g n e w g r o u p s b y

u s i n g a f a m i l i a r g r o u p a s c o n t r o l g r o u p o v e r a s u i t a b l e f i e l d . I f t h e c o n t r o l

s u b g r o u p h a s a n u n u s u a l p e r m u t a t i o n a c t i o n ( s u c h a s L 2 ( 1 1 ) o n 1 1 l e t t e r s )

o r a n e x c e p t i o n a l m u l t i p l i e r ( s u c h a s 3 ' A 7 ) t h e n w e a r e f r e q u e n t l y l e d t o

a s p o r a d i c s i m p l e g r o u p , a n d s o i n a s e n s e t h e c o n s t r u c t i o n ` e x p l a i n s ' t h e

e x i s t e n c e o f t h e s p o r a d i c g r o u p s .

A l t h o u g h w e h a v e n o t d e s c r i b e d t h e p r o c e s s h e r e , t h e d o u b l e c o s e t c o n -

s t r u c t i o n r e f e r r e d t o c a n r e a d i l y b e p e r f o r m e d b y h a n d f o r t h e s m a l l e r s p o -

r a d i c g r o u p s . E l e m e n t s o f t h e n e w g r o u p c a n t h e n b e r e p r e s e n t e d a s 7 r w ,

w h e r e i t E N a n d w i s a w o r d i n t h e s y m m e t r i c g e n e r a t o r s , a n d i t i s p o s s i b l e

t o w o r k w i t h e l e m e n t s o f t h e g r o u p s o r e p r e s e n t e d ( s e e o u r w o r k w i t h H a s a n

[ 1 5 ] )

F i n a l l y I s h o u l d l i k e t o a c k n o w l e d g e t h e c o n s i d e r a b l e c o n t r i b u t i o n m a d e

b y B r a y , H a m m a s a n d J a b b a r [ 1 , 1 7 , 2 0 ] t o t h i s p r o g r a m m e .

R e f e r e n c e s

[ 1 ]

J . N . B r a y , S y m m e t r i c p r e s e n t a t i o n s o f f i n i t e g r o u p s , M . P h i l . ( S c . , Q u a l . )

t h e s i s , B i r m i n g h a m , 1 9 9 5 .

[ 2 ] C . M . C a m p b e l l , G . H a v a s , S . A . L i n t o n a n d E . F . R o b e r t s o n , S y m m e t r i c

p r e s e n t a t i o n s a n d o r t h o g o n a l g r o u p s , t h e s e p r o c e e d i n g s , p p . 1 - 1 0 .

[ 3 ]

J . C a n n o n a n d C . P l a y o u s t , A n i n t r o d u c t i o n t o M A G M A , S c h o o l o f

M a t h e m a t i c s a n d S t a t i s t i c s , U n i v e r s i t y o f S y d n e y , 1 9 9 3 .

[ 4 ] M . D . E . C o n d e r , R . A . W i l s o n a n d A . J . W o l d a r , T h e s y m m e t r i c g e n u s

o f s p o r a d i c g r o u p s , P r o c . A m e r . M a t h . S o c . 1 1 6 ( 1 9 9 2 ) , 6 5 3 - 6 6 3 .

[ 5 ] J . H . C o n w a y , Y 5 5 5 a n d a l l t h a t , G r o u p s , c o m b i n a t o r i c s a n d g e o m e t r y

( e d s . M . W . L i e b e c k a n d J . S a x i ) , p p . 2 2 - 2 3 . C a m b r i d g e U n i v e r s i t y P r e s s ,

1 9 9 2 .

[ 6 ]


A n A T L A S o f F i n i t e G r o u p s , O x f o r d U n i v e r s i t y P r e s s , 1 9 8 5 .

[ 7 ] H . S . M . C o x e t e r a n d W . O . J . M o s e r , G e n e r a t o r s a n d r e l a t i o n s f o r

d i s c r e t e g r o u p s , 4 t h e d i t i o n , S p r i n g e r - V e r l a g , 1 9 8 4 .

[ 8 ] R . T . C u r t i s , N a t u r a l c o n s t r u c t i o n s o f t h e M a t h i e u g r o u p s , M a t h . P r o c .

C a m b r i d g e P h i l o s . S o c . 1 0 6 ( 1 9 8 9 ) , 4 2 3 - 2 9 .



5 6


[ 9 ] R . T . C u r t i s , G e o m e t r i c i n t e r p r e t a t i o n s o f t h e ` n a t u r a l ' g e n e r a t o r s o f t h e

M a t h i e u g r o u p s , M a t h . P r o c . C a m b r i d g e P h i l o s . S o c . 1 0 7 ( 1 9 9 0 ) , 1 9 - 2 6 .

[ 1 0 ] R . T . C u r t i s , S y m m e t r i c p r e s e n t a t i o n s I : I n t r o d u c t i o n , w i t h p a r t i c u l a r

r e f e r e n c e t o t h e M a t h i e u g r o u p s M 1 2 a n d M 2 4 , G r o u p s , c o m b i n a t o r i c s

a n d g e o m e t r y ( e d s . M . W . L i e b e c k a n d J . S a x l ) , p p 3 8 0 - 3 9 6 . C a m b r i d g e


[ 1 1 ] R . T . C u r t i s , S y m m e t r i c p r e s e n t a t i o n s I I : T h e J a n k o g r o u p J 1 i J . L o n d o n

M a t h . S o c . ( 2 ) 4 7 ( 1 9 9 3 ) , 2 9 4 - 3 0 8 .

[ 1 2 ] R . T . C u r t i s , S y m m e t r i c g e n e r a t i o n o f t h e H i g m a n - S i m s g r o u p , J . A l g e -

b r a 1 7 1 ( 1 9 9 5 ) , 5 6 7 - 5 8 6 .

[ 1 3 ] R . T . C u r t i s , M o n o m i a l m o d u l a r r e p r e s e n t a t i o n s a n d c o n s t r u c t i o n o f t h e

H e l d g r o u p , J . A l g e b r a 1 8 4 ( 1 9 9 6 ) , 1 2 0 5 - 1 2 2 7 .

[ 1 4 ] R . T . C u r t i s , A . H a m m a s a n d J . N . B r a y , A s y s t e m a t i c a p p r o a c h t o

s y m m e t r i c p r e s e n t a t i o n I : i n v o l u t o r y g e n e r a t o r s , M a t h . P r o c . C a m b r i d g e

P h i l . S o c . 1 1 9 ( 1 9 9 6 ) , 2 3 - 3 4 .

[ 1 5 ] R . T . C u r t i s a n d Z . H a s a n , S y m m e t r i c r e p r e s e n t a t i o n o f e l e m e n t s o f t h e

J a n k o g r o u p J 1 , J . S y m b o l i c C o m p u t . 2 2 ( 1 9 9 6 ) , 2 0 1 - 2 1 4 .

[ 1 6 ] L . E . D i c k s o n , L i n e a r g r o u p s w i t h a n e x p o s i t i o n o f t h e G a l o i s f i e l d t h e o r y ,

T e u b n e r , L e i p z i g , 1 9 0 1 ; r e p r i n t e d , D o v e r , 1 9 5 8 .

[ 1 7 ] A . H a m m a s , S y m m e t r i c p r e s e n t a t i o n s o f s o m e f i n i t e g r o u p s , P h . D . t h e -

s i s , B i r m i n g h a m , 1 9 9 1 .

[ 1 8 ] A . A . I v a n o v , G e o m e t r i c c h a r a c t e r i z a t i o n o f t h e M o n s t e r , G r o u p s , c o m -

b i n a t o r i c s a n d g e o m e t r y ( e d s . M . W . L i e b e c k a n d J . S a x l ) , p p . 4 6 - 6 2 .

C a m b r i d g e U n i v e r s i t y P r e s s , 1 9 9 2 .

[ 1 9 ] A . A . I v a n o v , S . A . L i n t o n , K . L u x , J . S a x l a n d L . H . S o i c h e r , D i s t a n c e -

t r a n s i t i v e r e p r e s e n t a t i o n s o f t h e s p o r a d i c g r o u p s , C o m m . A l g e b r a 2 3

( 1 9 9 5 ) , 3 3 7 9 - 3 4 2 7 .

[ 2 0 ] A . J a b b a r , S y m m e t r i c p r e s e n t a t i o n s o f s u b g r o u p s o f t h e C o n w a y g r o u p s

a n d r e l a t e d t o p i c s , P h . D . t h e s i s , B i r m i n g h a m , 1 9 9 2 .

[ 2 1 ] D . L . J o h n s o n , P r e s e n t a t i o n s o f g r o u p s , L o n d o n M a t h . S o c . L e c t u r e

N o t e s 2 2 , C a m b r i d g e U n i v e r s i t y P r e s s , 1 9 7 6 .

[ 2 2 ] G . A . J o n e s , C h a r a c t e r s a n d s u r f a c e s : a s u r v e y , t h e s e p r o c e e d i n g s , p p .

9 0 - 1 1 8 .




[ 2 3 ] G . A . J o n e s a n d D . S i n g e r m a n , C o m p l e x f u n c t i o n s - a n a l g e b r a i c a n d

g e o m e t r i c v i e w p o i n t , C a m b r i d g e U n i v e r s i t y P r e s s , 1 9 8 7 .

[ 2 4 ] M a r t i n W . L i e b e c k a n d A n e r S h a l e v , P r o b a b i l i s t i c m e t h o d s i n s i m p l e

g r o u p s , t h e s e p r o c e e d i n g s , p p . 1 6 3 - 1 7 3 .

[ 2 5 ] S . P . N o r t o n , C o n s t r u c t i n g t h e M o n s t e r , i n G r o u p s , c o m b i n a t o r i c s a n d

g e o m e t r y ( e d s . M . W . L i e b e c k a n d J . S a x l ) , p p . 6 3 - 7 6 . L M S L e c t u r e N o t e


[ 2 6 ] E . F . R o b e r t s o n a n d C . M . C a m p b e l l , S y m m e t r i c p r e s e n t a t i o n s , i n P r o -

c e e d i n g s o f t h e 1 9 8 7 S i n g a p o r e c o n f e r e n c e o n f i n i t e g r o u p s ( e d s . K . N .

C h e n g a n d Y . K . L e u n g ) , p p . 4 9 7 - 5 0 6 . W a l t e r d e G r u y t e r , 1 9 8 9 .

[ 2 7 ] L . H . S o i c h e r , P r e s e n t a t i o n s o f s o m e f i n i t e g r o u p s , P h . D . t h e s i s , C a m -

b r i d g e , 1 9 8 5 .

[ 2 8 ] M . C . T a m b u r i n i a n d J . S . W i l s o n , O n t h e ( 2 , 3 ) - g e n e r a t i o n o f s o m e

c l a s s i c a l g r o u p s , I I , J . A l g e b r a 1 7 6 ( 1 9 9 5 ) , 6 6 7 - 6 8 0 .

[ 2 9 ] J . S . W i l s o n , E c o n o m i c a l g e n e r a t i n g s e t s f o r f i n i t e s i m p l e g r o u p s , i n

G r o u p s o f L i e t y p e a n d t h e i r g e o m e t r i e s ( e d s . W . M . K a n t o r a n d L . D i

M a r t i n o ) , C a m b r i d g e U n i v e r s i t y P r e s s , 1 9 9 5 .



H a r i s h - C h a n d r a t h e o r y , q - S c h u r a l g e b r a s , a n d

d e c o m p o s i t i o n m a t r i c e s f o r f i n i t e c l a s s i c a l

g r o u p s

G e r h a r d H i s s

A b s t r a c t

W e g i v e a s u r v e y o n t h e p r e s e n t s t a t e o f k n o w l e d g e i n t h e r e p r e -

s e n t a t i o n t h e o r y o f f i n i t e g r o u p s o f L i e t y p e i n t h e n o n - d e f i n i n g c h a r -

a c t e r i s t i c c a s e . A s y s t e m a t i c u s e o f H a r i s h - C h a n d r a i n d u c t i o n l e a d s t o

t h e d e f i n i t i o n o f q - S c h u r a l g e b r a s . T h e i r r e p r e s e n t a t i o n t h e o r y y i e l d s

e x p l i c i t i n f o r m a t i o n o n t h e d e c o m p o s i t i o n m a t r i c e s f o r c l a s s i c a l g r o u p s .

1


T h i s p a p e r i s a n e x t e n d e d v e r s i o n o f m y t a l k g i v e n a t t h e c o n f e r e n c e . I t i s

i n t e n d e d a s a b r i e f s u r v e y o n r e c e n t d e v e l o p m e n t s i n t h e r e p r e s e n t a t i o n t h e o r y

o f f i n i t e g r o u p s o f L i e t y p e i n n o n - d e f i n i n g c h a r a c t e r i s t i c .

L e t G = G ( q ) d e n o t e a f i n i t e g r o u p o f L i e t y p e . E x a m p l e s a r e c l a s s i c a l

g r o u p s s u c h a s G L , , ( q ) o r S p , , ( q ) , b u t a l s o e x c e p t i o n a l g r o u p s s u c h a s E 8 ( q ) .

L e t k b e a n a l g e b r a i c a l l y c l o s e d f i e l d o f c h a r a c t e r i s t i c . f > 0 a n d a s s u m e t h a t

£ d o e s n o t d i v i d e q . W e a r e i n t e r e s t e d i n t h e c a t e g o r y k G - m o d o f f i n i t e l y

g e n e r a t e d l e f t k G - m o d u l e s .

I f t = 0 ( o r , m o r e g e n e r a l l y , P ] ' I G I , t h e o r d e r o f G ) , e v e r y f i n i t e d i m e n s i o n a l

k G - m o d u l e i s c o m p l e t e l y r e d u c i b l e . H e n c e i t s u f f i c e s t o f i n d t h e s i m p l e k G -

m o d u l e s .

I n 1 9 5 5 , G r e e n d e t e r m i n e d t h e o r d i n a r y c h a r a c t e r t a b l e f o r t h e

g e n e r a l l i n e a r g r o u p s G L , , ( q ) [ 2 6 ] , t h u s s o l v i n g t h e p r o b l e m f o r t h e s e g r o u p s .

B e g i n n i n g w i t h t h e s e m i n a l p a p e r [ 7 ] o f D e l i g n e a n d L u s z t i g i n 1 9 7 6 , L u s z t i g

a r r i v e d a t a c o m p l e t e c l a s s i f i c a t i o n o f t h e s i m p l e k G - m o d u l e s f o r a l l f i n i t e

g r o u p s o f L i e t y p e G ( s e e L u s z t i g [ 3 6 ] ) .

T h e r e p r e s e n t a t i o n t h e o r y f o r t h e s e g r o u p s i n c h a r a c t e r i s t i c s £ 0 0 , e { q ,

s t a r t e d i n 1 9 8 2 w i t h t h e f u n d a m e n t a l p a p e r [ 1 6 ] b y F o n g a n d S r i n i v a s a n , i n

w h i c h t h e s e a u t h o r s d e t e r m i n e d t h e t - b l o c k s o f t h e g e n e r a l l i n e a r g r o u p s a n d

t h e u n i t a r y g r o u p s . T h i s w o r k w a s c o n t i n u e d i n [ 1 8 ] w i t h t h e d e s c r i p t i o n o f

t h e f - b l o c k s i n t h e o t h e r c l a s s i c a l g r o u p s . S i n c e t h e n , t h e i r w o r k h a s b e e n

p u t i n t o a c o n c e p t u a l f r a m e w o r k a n d t h e f - b l o c k s o f a l l f i n i t e g r o u p s o f L i e

5 8



H a r i s h - C h a n d r a t h e o r y , q - S c h u r a l g e b r a s , d e c o m p o s i t i o n m a t r i c e s 5 9

t y p e a r i s i n g f r o m a l g e b r a i c g r o u p s w i t h c o n n e c t e d c e n t r e , h a v e b e e n f o u n d

u p t o a f e w e x c e p t i o n s ( s e e t h e w o r k o f B r o u e , C a b a n e s , E n g u e h a r d , M a l l e

a n d M i c h e l [ 4 , 3 , 5 ] ) .

T h e c o m p u t a t i o n o f d e c o m p o s i t i o n m a t r i c e s w a s i n i t i a t e d b y w o r k o f F o n g

a n d S r i n i v a s a n [ 1 7 ] a n d b y D i p p e r [ 9 ] . M u c h w o r k h a s b e e n d o n e o n t h e d e -

c o m p o s i t i o n m a t r i c e s f o r c l a s s i c a l g r o u p s i n t h e c y c l i c d e f e c t c a s e [ 1 9 ] , a n d ,

w i t h o u t r e s t r i c t i o n s o n t h e d e f e c t , f o r t h e g e n e r a l l i n e a r g r o u p s . S u b s t a n t i a l

p r o g r e s s w a s m a d e i n t h e l a t t e r c a s e w i t h t h e i n t r o d u c t i o n o f t h e q - S c h u r

a l g e b r a b y D i p p e r a n d J a m e s [ 1 3 ] , l e a d i n g t o t h e d e t e r m i n a t i o n o f t h e d e -

c o m p o s i t i o n m a t r i c e s f o r G L , , ( q ) f o r a l l n < 1 0 b y J a m e s [ 3 4 ] .

I n t h i s p a p e r w e i n d i c a t e h o w t h e r e s u l t s o f D i p p e r a n d J a m e s c a n b e e x -

t e n d e d t o o t h e r c l a s s i c a l g r o u p s . T h i s i s a c h i e v e d u n d e r a d d i t i o n a l c o n d i t i o n s

o n . f . T h e m e t h o d s i n c l u d e t h e i n t r o d u c t i o n o f q - S c h u r a l g e b r a s a s s o c i a t e d t o

W e y l g r o u p s o f t y p e s B a n d D .

2

H a r i s h - C h a n d r a t h e o r y

I n t h i s s e c t i o n w e p r e s e n t s o m e o f t h o s e a s p e c t s o f H a r i s h - C h a n d r a t h e o r y

w h i c h c a n b e f o r m u l a t e d a n d p r o v e d e n t i r e l y i n t h e f r a m e w o r k o f g r o u p s w i t h

s p l i t B N - p a i r s .

L e t G b e a f i n i t e g r o u p w i t h a s p l i t B N - p a i r o f c h a r a c t e r i s t i c p , a n d l e t k

b e a f i e l d o f c h a r a c t e r i s t i c t > 0 , e 0 p . L e t L b e a L e v i s u b g r o u p o f G a n d P

a p a r a b o l i c s u b g r o u p w i t h L e v i c o m p l e m e n t L , i . e . , P = U L , w h e r e U i s t h e

l a r g e s t n o r m a l p - s u b g r o u p o f P , a n d u f l L = { 1 } . T h e r e a r e t w o f u n c t o r s

R i

P :

k L - m o d - * k G - m o d , M H I n d p ( M ) ,

a n d

* R G

P : k G - m o d - 4 k L - m o d , M H

I n v u ( M ) .

H e r e , I n d P i s t h e u s u a l i n d u c t i o n f u n c t o r f r o m P t o G , a n d M i s c o n s i d e r e d

a s a k P - m o d u l e v i a i n f l a t i o n . A l s o , I n v u ( M ) d e n o t e s t h e U - i n v a r i a n t s o f t h e

k G - m o d u l e M , c o n s i d e r e d a s a k L - m o d u l e . T h e f i r s t o n e o f t h e s e f u n c t o r s

i s c a l l e d H a r i s h - C h a n d r a i n d u c t i o n , t h e s e c o n d o n e H a r i s h - C h a n d r a r e s t r i c -

t i o n o r t r u n c a t i o n . T h e y c o n s t i t u t e a p a i r o f m u t u a l l y a d j o i n t f u n c t o r s , a r e

t r a n s i t i v e , a n d s a t i s f y a M a c k e y f o r m u l a ( s e e D i p p e r a n d F l e i s c h m a n n [ 1 1 ] ) .

T h e n e x t t h e o r e m i s o f f u n d a m e n t a l i m p o r t a n c e i n H a r i s h - C h a n d r a t h e o r y .

T h e o r e m 2 . 1 ( D e l i g n e , D i p p e r / D u , H o w l e t t / L e h r e r ) L e t P a n d Q b e t w o

p a r a b o l i c s u b g r o u p s o f G s u c h t h a t L i s a L e v i c o m p l e m e n t i n P a n d i n Q .

T h e n t h e t w o f u n c t o r s R L p a n d R L Q a r e n a t u r a l l y i s o m o r p h i c . T h e s a m e i s

t h e n t r u e f o r t h e i r a d j o i n t f u n c t o r s * R G P a n d * R G Q .



6 0


T h i s t h e o r e m w a s f i r s t p r o v e d i n t h e c a s e o f f = 0 b y D e l i g n e ( s e e L u s z t i g

a n d S p a l t e n s t e i n [ 3 7 ] ) , a n d i n t h e c a s e o f t > 0 b y D i p p e r a n d D u [ 1 0 ]

a n d , i n d e p e n d e n t l y , b y H o w l e t t a n d L e h r e r [ 3 3 ] . B e c a u s e o f t h i s r e s u l t w e

m a y , a n d w i l l , o m i t t h e s u b s c r i p t P f r o m t h e n o t a t i o n f o r H a r i s h - C h a n d r a

i n d u c t i o n a n d r e s t r i c t i o n . O n e c o n s e q u e n c e o f T h e o r e m 2 . 1 i s t h e f a c t t h a t

R G ( X ) ^ _ ' R L ( X ' ) i f t h e p a i r s ( L , X ) a n d ( L ' , X ' ) a r e c o n j u g a t e i n G .

D e f i n i t i o n 2 . 2 ( H a r i s h - C h a n d r a , D i p p e r / F l e i s c h m a n n ) A k G - m o d u l e M i s

c a l l e d c u s p i d a l , i f * R G ( M ) = { 0 } f o r a l l L e v i s u b g r o u p s L p r o p e r l y c o n t a i n e d

i n G .

T h e c o n c e p t o f c u s p i d a l m o d u l e s w a s i n t r o d u c e d b y H a r i s h - C h a n d r a i n [ 3 0 ,

S e c t i o n 3 ] i n t h e c a s e o f . f = 0 , a n d b y D i p p e r a n d F l e i s c h m a n n i n g e n e r a l [ 1 1 ] .

T h e f o l l o w i n g t h e o r e m g i v e s s t r u c t u r a l i n f o r m a t i o n a b o u t m o d u l e s H a r i s h -

C h a n d r a i n d u c e d f r o m s i m p l e c u s p i d a l m o d u l e s .

T h e o r e m 2 . 3 ( G e c k / H i s s / M a l l e , G e c k / H i s s ) L e t L b e a L e v i s u b g r o u p o f G .

S u p p o s e t h a t X i s a s i m p l e c u s p i d a l k L - m o d u l e , a n d t h a t Y i s a n i n d e c o m -

p o s a b l e d i r e c t s u m m a n d o f R ' ( X ) . T h e n

( a ) Y h a s a u n i q u e s i m p l e q u o t i e n t a n d a u n i q u e s i m p l e s u b m o d u l e ; t h e s e

a r e i s o m o r p h i c t o e a c h o t h e r .

M o r e o v e r , i f L ' i s a n o t h e r L e v i s u b g r o u p , X ' a c u s p i d a l s i m p l e k L ' - m o d u l e

a n d Y ' a n i n d e c o m p o s a b l e d i r e c t s u m m a n d o f R L ( X ' ) , w e h a v e

( b ) Y i s i s o m o r p h i c t o Y ' i f a n d o n l y i f t h e s i m p l e q u o t i e n t o f Y i s i s o m o r -

p h i c t o t h e s i m p l e q u o t i e n t o f Y ' .

( c ) I f Y a n d Y ' a r e i s o m o r p h i c , t h e n t h e p a i r s ( L , X ) a n d ( L ' , X ' ) a r e

c o n j u g a t e i n G .

W e g i v e a f e w r e f e r e n c e s f o r t h e p r o o f o f t h e a b o v e t h e o r e m . T h e f i r s t p a r t i s

p r o v e d i n [ 2 4 , T h e o r e m 2 . 9 ] b u i l d i n g u p o n e a r l i e r w o r k i n [ 2 5 ] . T h e l a s t t w o

s t a t e m e n t s f o l l o w f r o m [ 2 5 , T h e o r e m 2 . 4 ] a n d [ 3 1 , T h e o r e m 5 . 8 ] .

N o t e t h e f o l l o w i n g i m p o r t a n t c o r o l l a r y , w h i c h g i v e s a c l a s s i f i c a t i o n o f t h e

s i m p l e k G - m o d u l e s .

C o r o l l a r y 2 . 4 ( G e c k / H i s s / M a l l e [ 2 5 , T h e o r e m 2 . 4 ] ) T h e r e i s a b i j e c t i o n b e -

t w e e n t h e s e t o f i s o m o r p h i s m c l a s s e s o f s i m p l e k G - m o d u l e s a n d t h e s e t o f

t r i p l e s ( L , X , v ' ) , w h e r e L i s a L e v i s u b g r o u p o f G , X i s a s i m p l e c u s p i d a l

k L - m o d u l e a n d i p a s i m p l e E n d k G ( R G

( X ) ) - m o d u l e ( w h e r e t h e p a i r ( L , X ) h a s

L

t o b e t a k e n m o d u l o c o n j u g a t i o n i n G a n d , 0 m o d u l o i s o m o r p h i s m ) .




L e t u s o b s e r v e h o w t h i s c o r o l l a r y i s d e r i v e d f r o m t h e s t a t e m e n t s o f T h e o -

r e m 2 . 3 . S t a r t w i t h a s i m p l e k G - m o d u l e M . L e t L b e a L e v i s u b g r o u p , m i n -

i m a l w i t h t h e p r o p e r t y t h a t * R L ( M )

{ O } . T a k e a s i m p l e k L - s u b m o d u l e X

o f * R L ( M ) . T h e n X i s c u s p i d a l b y m i n i m a l i t y o f L a n d t h e t r a n s i t i v i t y o f

H a r i s h - C h a n d r a r e s t r i c t i o n . I t f o l l o w s f r o m a d j o i n t n e s s t h a t M i s a q u o t i e n t

o f R G ( X ) . B y T h e o r e m 2 . 3 , M d e t e r m i n e s a n i n d e c o m p o s a b l e d i r e c t s u m -

m a n d Y o f R L ( X ) , u p t o i s o m o r p h i s m . B y F i t t i n g ' s L e m m a , Y c o r r e s p o n d s

t o a p r i n c i p a l i n d e c o m p o s a b l e m o d u l e o f E n d k G ( R L ( X ) ) , w h i c h i n t u r n d e -

t e r m i n e s a s i m p l e m o d u l e f o r t h i s a l g e b r a . B y P a r t ( c ) o f t h e t h e o r e m , Y

( a n d h e n c e M ) d e t e r m i n e t h e p a i r ( L , X ) u p t o c o n j u g a t i o n i n G .

T h e c o r o l l a r y a l l o w s o n e t o p a r t i t i o n t h e s e t o f i s o m o r p h i s m c l a s s e s o f

s i m p l e k G - m o d u l e s i n t o H a r i s h - C h a n d r a s e r i e s . T w o s i m p l e k G - m o d u l e s M

a n d M ' b e l o n g t o t h e s a m e H a r i s h - C h a n d r a s e r i e s , i f a n d o n l y i f t h e y c o r -

r e s p o n d t o p a i r s ( L , X , V ) ) a n d ( L ' , X ' , v ' ) s u c h t h a t ( L , X ) a n d ( L ' , X ' ) a r e

c o n j u g a t e i n G .

W e n e x t t u r n t o t h e q u e s t i o n o f f i n d i n g t h e s t r u c t u r e o f t h e e n d o m o r p h i s m

a l g e b r a s E n d k G ( R L ( X ) ) , w h e r e X i s a s i m p l e c u s p i d a l k L - m o d u l e . W e p u t

H ( L , X ) : = E n d k G ( R G ( X ) ) . L e t W ( L , X ) b e t h e i m a g e o f t h e i n e r t i a s u b -

g r o u p o f X i n ( N G ( L ) f l N ) L / L . T h e n , b y a r e s u l t o f D i p p e r a n d F l e i s c h m a n n

[ 1 1 ] , t h e d i m e n s i o n o f H ( L , X ) e q u a l s t h e o r d e r o f W ( L , X ) .

T h e o r e m 2 . 5 ( H o w l e t t / L e h r e r , G e c k / H i s s / M a l l e ) ( a ) T h e i n e r t i a g r o u p

W ( L , X ) h a s a s e m i d i r e c t p r o d u c t d e c o m p o s i t i o n

W ( L , X ) = R ( L , X ) C ( L , X )

( 1 )

w i t h n o r m a l s u b g r o u p R ( L , X ) a n d c o m p l e m e n t C ( L , X ) . M o r e o v e r , R ( L , X )

i s a C o x e t e r g r o u p .

( b ) H ( L , X ) i s a C ( L , X ) g r a d e d k - a l g e b r a , i . e . , t h e r e a r e s u b s p a c e s H x

o f H ( L , X ) , x E C ( L , X ) , s u c h t h a t

H ( L , X ) H x ,

x E C ( L , X )

H l i s a s u b a l g e b r a o f H ( L , X ) a n d H x H y = H x b f o r a l l x , y E C ( L , X ) .

( c ) H l i s a n I w a h o r i - H e c k e a l g e b r a a s s o c i a t e d t o t h e C o x e t e r g r o u p

R ( L , X ) , w i t h m u l t i p l i c a t i o n p o s s i b l y t w i s t e d b y a 2 - c o c y c l e .

S p e c i a l c a s e s o f t h i s t h e o r e m f o r c h a r ( k ) = 0 w e r e p r o v e d b y I w a h o r i ,

H a r i s h - C h a n d r a , L u s z t i g a n d K i l m o y e r . T h e g e n e r a l c a s e w a s s e t t l e d b y

H o w l e t t a n d L e h r e r i n c h a r a c t e r i s t i c 0 [ 3 2 ] a n d , b u i l d i n g o n t h e i r w o r k , b y

G e c k , H i s s a n d M a l l e [ 2 5 , S e c t i o n 3 ] i n p o s i t i v e c h a r a c t e r i s t i c .

I f R L ( X ) h a s a n i n d e c o m p o s a b l e d i r e c t s u m m a n d w i t h m u l t i p l i c i t y 1 , o r

i f X c a n b e e x t e n d e d t o i t s i n e r t i a s u b g r o u p i n ( N G ( L ) f l N ) L , t h e n t h e

2 - c o c y c l e a p p e a r i n g i n T h e o r e m 2 . 5 ( c ) i s t r i v i a l ( s e e [ 2 5 , C o r o l l a r y 3 . 1 3 ] ) .



6 2


W e r e c a l l t h e d e f i n i t i o n o f a n I w a h o r i - H e c k e a l g e b r a a s s o c i a t e d t o a C o x -

e t e r s y s t e m . L e t S b e a f i n i t e s e t a n d f o r s , s ' E S , l e t m ( s , s ' ) E Z , s u c h

t h a t m ( s , s ' ) = m ( s ' , s ) , m ( s , s ) = 1 a n d m ( s , s ' ) > 2 f o r s # s ' . T h e C o x e t e r

g r o u p a s s o c i a t e d t o t h e m a t r i x o f t h e m ( s , s ' ) i s t h e g r o u p w i t h t h e p r e s e n -

t a t i o n

W = ( s E S J

N o w l e t R b e a c o m m u t a t i v e r i n g w i t h 1 , a n d l e t q 8 , s E S , b e i n v e r t i b l e

e l e m e n t s o f R s u c h t h a t q 8 = q 8 ' , w h e n e v e r s a n d s ' a r e c o n j u g a t e i n W . L e t

u s d e n o t e t h e v e c t o r o f t h e q 8 b y q . T h e I w a h o r i - H e c k e a l g e b r a a s s o c i a t e d t o

t h e s e d a t a i s t h e a s s o c i a t i v e R - a l g e b r a p r e s e n t e d b y

m ( s , s ' ) m ( s , s ' )

H R , q ( W ) : =

T 2 = g 8 T i + ( q 8 - 1 ) T 8 , s E S

w h e r e T i d e n o t e s t h e i d e n t i t y o f t h e a l g e b r a . T h e e l e m e n t s q 8 , s E S , o f R

a r e c a l l e d t h e p a r a m e t e r s o f H R q ( W ) .

W e c a n n o w f o r m u l a t e t h r e e f u n d a m e n t a l p r o b l e m s i n t h e r e p r e s e n t a t i o n

t h e o r y o f f i n i t e g r o u p s w i t h s p i t B N - p a i r s i n n o n - d e f i n i n g c h a r a c t e r i s t i c .

( A ) D e t e r m i n e t h e p a i r s ( L , X ) o f L e v i s u b g r o u p s L o f G h a v i n g a s i m p l e

c u s p i d a l k L - m o d u l e X ( u p t o c o n j u g a t i o n ) .

( B ) F o r a l l p a i r s ( L , X ) a s i n ( A ) , d e t e r m i n e t h e s t r u c t u r e o f H ( L , X ) _

E n d k G ( R G ( X ) ) , t h a t i s , d e t e r m i n e t h e i n e r t i a s u b g r o u p W ( L , X ) , t h e

s e m i d i r e c t p r o d u c t d e c o m p o s i t i o n ( 1 ) , a n d t h e v a l u e s o f t h e p a r a m e t e r s

o f t h e I w a h o r i - H e c k e a l g e b r a a s s o c i a t e d t o t h e C o x e t e r g r o u p R ( L , X ) .

( C ) F o r a l l p a i r s ( L , X ) a s i n ( A ) , f i n d t h e i n d e c o m p o s a b l e d i r e c t s u m m a n d s

o f R G ( X ) o r , e q u i v a l e n t l y , t h e p r i n c i p a l i n d e c o m p o s a b l e m o d u l e s o f

H ( L ) X ) .

3 C u s p i d a l m o d u l e s o f c l a s s i c a l g r o u p s

L e t G b e a f i n i t e g r o u p o f L i e t y p e a n d l e t k b e a s p l i t t i n g f i e l d f o r G o f

c h a r a c t e r i s t i c 0 . I n t h i s c a s e a l l t h r e e p r o b l e m s a t t h e e n d o f t h e p r e c e d i n g

s e c t i o n h a v e b e e n c o m p l e t e l y s o l v e d . B y f a r t h e h a r d e s t o n e w a s t o f i n d t h e

s i m p l e c u s p i d a l k G - m o d u l e s . T h i s p r o b l e m h a s b e e n s e t t l e d b y L u s z t i g i n a

l o n g s e r i e s o f p a p e r s . A n e x c e l l e n t s o u r c e f o r a n a c c o u n t o f L u s z t i g ' s r e s u l t s

i s t h e b o o k b y C a r t e r [ 6 ] . T h e e n d o m o r p h i s m a l g e b r a s o f H a r i s h - C h a n d r a

i n d u c e d c u s p i d a l s i m p l e m o d u l e s a r e a l l k n o w n . I t t u r n s o u t t h a t t h e r e i s




n o 2 - c o c y c l e t w i s t i n g t h e m u l t i p l i c a t i o n i n T h e o r e m 2 . 5 ( c ) ( s e e G e c k [ 2 1 ,

C o r o l l a r y 2 ] ) . M o r e o v e r , t h e I w a h o r i - H e c k e a l g e b r a H l i s i s o m o r p h i c t o t h e

g r o u p a l g e b r a k R ( L , X ) b y t h e T i t s d e f o r m a t i o n t h e o r e m . T h i s o b s e r v a t i o n

s o l v e s ( C ) .

T o d e s c r i b e t h e k n o w l e d g e i n t h e c a s e o f c h a r ( k ) = f > 0 , w e i n t r o d u c e a

s p l i t t i n g t - m o d u l a r s y s t e m ( K , 0 , k ) f o r G . T h a t i s , 0 i s a c o m p l e t e , d i s c r e t e

v a l u a t i o n r i n g w i t h f i e l d o f f r a c t i o n s K o f c h a r a c t e r i s t i c 0 , a n d r e s i d u e c l a s s

f i e l d k o f c h a r a c t e r i s t i c t > 0 . F u r t h e r m o r e , K a n d k a r e s p l i t t i n g f i e l d s f o r G

a n d a l l o f i t s s u b g r o u p s . W e r e s t r i c t o u r a t t e n t i o n t o t h e c l a s s i c a l g r o u p s . B y

a c l a s s i c a l g r o u p w e s h a l l u n d e r s t a n d h e r e o n e o f t h e f o l l o w i n g g r o u p s :

( a ) T h e

( b ) T h e

( c ) T h e

( d ) T h e

( e ) T h e

( f ) T h e

g e n e r a l l i n e a r g r o u p G L , , ( q ) , n > 2 .

g e n e r a l u n i t a r y g r o u p G U , , ( q ) , n > 3 .

s y m p l e c t i c g r o u p S p , ( q ) , n > 4 , n e v e n .

o r t h o g o n a l g r o u p S O n ( q ) , n > 7 o d d , q o d d .

o r t h o g o n a l g r o u p S O ( q ) ,q ) , n > 8 , n e v e n .

o r t h o g o n a l g r o u p S O ; ( q ) ,q ) , n > 8 , n e v e n .

S u p p o s e f i r s t t h a t G = G L , , ( q ) f o r s o m e p r i m e p o w e r q , a n d t h a t , a s

a l w a y s , t f q . B y w o r k o f D i p p e r a n d J a m e s , a l l c u s p i d a l s i m p l e k G - m o d u l e s

a r e k n o w n .

T h e o r e m 3 . 1 ( D i p p e r / J a m e s ) L e t G = G L n ( q ) . A s i m p l e K G - m o d u l e i s

c u s p i d a l , i f a n d o n l y i f i t s c h a r a c t e r i s ( - 1 ) n + 1 R T ( j 9 ) , w h e r e T i s t h e C o x e t e r

t o r u s o f G , t 9 i s a n i r r e d u c i b l e c h a r a c t e r o f T i n g e n e r a l p o s i t i o n ( a n d R /

d e n o t e s D e l i g n e - L u s z t i g i n d u c t i o n ) .

E v e r y s i m p l e c u s p i d a l k G - m o d u l e i s o b t a i n e d f r o m s o m e c u s p i d a l K G -

m o d u l e b y r e d u c t i o n m o d u l o f . T w o s u c h c u s p i d a l K G - m o d u l e s w i t h c h a r a c -

t e r s ( - 1 ) n + 1 R T ( 0 ) a n d ( - 1 ) n + 1 R T ( i 9 ' ) r e d u c e t o i s o m o r p h i c k G - m o d u l e s , i f

a n d o n l y i f t 9 a n d 7 9 ' h a v e t h e s a m e a - p a r t .

F o r a p r o o f o f t h i s t h e o r e m s e e t h e p a p e r s b y D i p p e r a n d J a m e s [ 9 , 1 2 ] .

T h e k n o w l e d g e f o r t h e o t h e r c l a s s i c a l g r o u p s i s f a r l e s s c o m p l e t e . T o s a y

m o r e , w e h a v e t o i m p o s e f u r t h e r c o n d i t i o n s o n t h e c h a r a c t e r i s t i c t .

D e f i n i t i o n 3 . 2 L e t G b e o n e o f t h e c l a s s i c a l g r o u p s o f t h e l i s t g i v e n a b o v e .

S u p p o s e f i r s t t h a t G i s n e i t h e r a g e n e r a l l i n e a r n o r a u n i t a r y g r o u p . A p r i m e B

i s c a l l e d l i n e a r f o r G , i f a i s o d d , a n d i f t h e o r d e r o f q m o d u l o P i s o d d .

M o r e o v e r , i f G = G L , , ( q ) , a l l p r i m e s a r e c a l l e d l i n e a r , a n d , i n c a s e G =

G U , , ( q ) , t i s l i n e a r i f t h e o r d e r o f - q m o d u l o t i s e v e n .



6 4


T h e o r e m 3 . 3 ( G e c k / H i s s / M a l l e , G r u b e r / H i s s ) L e t G # G L , , ( q ) b e a c l a s s i -

c a l g r o u p , a n d l e t 2 b e a l i n e a r p r i m e f o r G . T h e n t h e r e i s a b i j e c t i o n b e t w e e n

t h e i s o m o r p h i s m t y p e s o f t h e c u s p i d a l s i m p l e K G - m o d u l e s a n d t h e i s o m o r -

p h i s m t y p e s o f t h e c u s p i d a l s i m p l e k G - m o d u l e s , g i v e n b y r e d u c t i o n m o d u l o Q .

I n t h e c a s e o f u n i p o t e n t c h a r a c t e r s , t h e a b o v e t h e o r e m i s d u e t o G e c k , H i s s

a n d M a l l e [ 2 5 ] a n d G r u b e r [ 2 7 ] . A p u b l i c a t i o n o f t h e p r o o f i n t h e g e n e r a l c a s e

i s i n p r e p a r a t i o n a n d w i l l a p p e a r e l s e w h e r e [ 2 9 ] .

W e c l o s e t h i s s e c t i o n w i t h a r e s u l t w h i c h i n d i c a t e s t h e e x i s t e n c e o f m a n y

c u s p i d a l s i m p l e k G - m o d u l e s , w h i c h d o n o t a r i s e a s r e d u c t i o n s m o d u l o f o f

K G - m o d u l e s .

T h e o r e m 3 . 4 ( G e c k , G e c k / H i s s / M a l l e , G r u b e r ) L e t G = G U , , ( q ) .

T h e

u n i p o t e n t k G - m o d u l e s h a v e a n a t u r a l p a r a m e t r i z a t i o n b y p a r t i t i o n s o f n .

I f P i s a n o d d p r i m e d i v i d i n g q + 1 , t h e n a u n i p o t e n t k G - m o d u l e i s c u s p i d a l

i f a n d o n l y i f i t c o r r e s p o n d s t o a p a r t i t i o n p w h o s e c o n s e c u t i v e p a r t s d i f f e r b y

a t m o s t 1 . ( T h i s i s t h e s a m e a s s a y i n g t h a t t h e p a r t i t i o n c o n j u g a t e t o t i s

2 - r e g u l a r , i . e . , h a s n o e q u a l p a r t s ) .

T h e f i r s t p a r t o f t h e t h e o r e m o n t h e p a r a m e t r i z a t i o n f o l l o w s f r o m a t h e o r e m

o f G e c k o n t h e d e c o m p o s i t i o n m a t r i c e s o f

[ 2 0 ] . T h e s e c o n d p a r t w a s

p r o v e d i n [ 2 5 , T h e o r e m 4 . 1 2 ] i n c a s e f > n a n d b y G r u b e r i n g e n e r a l [ 2 8 ] .

4

D e c o m p o s i t i o n n u m b e r s

T o d e s c r i b e t h e m a t r i c e s o f d e c o m p o s i t i o n n u m b e r s o f a c l a s s i c a l g r o u p w e

i n t r o d u c e s o m e m o r e n o t a t i o n . L e t G b e a f i n i t e g r o u p o f L i e t y p e o f c h a r a c -

t e r i s t i c p , a n d l e t f b e a p r i m e d i f f e r e n t f r o m p . F o r a s e m i s i m p l e e l e m e n t s

i n t h e ( f i n i t e ) g r o u p G * d u a l t o G , l e t E ( G , s ) d e n o t e t h e r a t i o n a l s e r i e s o f

c h a r a c t e r s c o r r e s p o n d i n g t o t h e G * - c o n j u g a c y c l a s s o f s ( s e e D i g n e a n d M i c h e l

[ 8 , p . 1 3 6 ] ) . M o r e o v e r , i f t h e o r d e r o f s i s p r i m e t o £ , l e t

E i ( G , s ) : = U E ( G , s t ) .

t E C G » ( 8 ) 1

T h e o r e m 4 . 1 ( B r o u e / M i c h e l [ 4 ] ) E L ( G , s ) i s a u n i o n o f e - b l o c k s o f G .

T o f i n d t h e d e c o m p o s i t i o n m a t r i x o f G , i t t h e r e f o r e s u f f i c e s t o d e t e r m i n e t h e

d e c o m p o s i t i o n n u m b e r s o f t h e c h a r a c t e r s i n t h e s e t s E t ( G , s ) , w h e r e s r u n s

o v e r a s y s t e m o f r e p r e s e n t a t i v e s o f t h e G * - c o n j u g a c y c l a s s e s o f e l e m e n t s o f

o r d e r p r i m e t o . £ .

N o w l e t G b e a c l a s s i c a l g r o u p a s i n s e c t i o n 3 , a n d s u p p o s e t h a t f i s o d d ,

i f G i s n e i t h e r a l i n e a r n o r a u n i t a r y g r o u p .



H a r i s h - C h a n d r a t h e o r y , q - S c h u r a l g e b r a s , d e c o m p o s i t i o n m a t r i c e s

6 5

T h e o r e m 4 . 2 ( G e c k / H i s s ) T h e c h a r a c t e r s o f E ( G , s ) f o r m a b a s i c s e t f o r

E e ( G , s ) . T h i s m e a n s t h a t e v e r y i r r e d u c i b l e B r a u e r c h a r a c t e r o f S S ( G , s ) c a n

b e e x p r e s s e d u n i q u e l y a s a Z - l i n e a r c o m b i n a t i o n o f t h e r e s t r i c t i o n s o f t h e

c h a r a c t e r s o f E ( G , s ) t o t h e f - r e g u l a r c l a s s e s o f G .

T h i s i s a s p e c i a l c a s e o f a r e s u l t o f G e c k a n d H i s s [ 2 3 , T h e o r e m 5 . 1 ] . M o r e o v e r ,

i f t h e d e c o m p o s i t i o n n u m b e r s f o r t h e c h a r a c t e r s i n E ( G , s ) a r e k n o w n , o n e c a n

d e t e r m i n e a l l d e c o m p o s i t i o n n u m b e r s o f E t ( G , s ) . T h e y c a n b e d e d u c e d f r o m

a k n o w l e d g e o f t h e L u s z t i g m a p R L f o r v a r i o u s ( n o n - s p l i t ) L e v i s u b g r o u p s L

o f G .

T h u s t h e p r o b l e m o f f i n d i n g d e c o m p o s i t i o n m a t r i c e s f o r G i s r e d u c e d t o

f i n d i n g t h e s q u a r e m a t r i x o f d e c o m p o s i t i o n n u m b e r s f o r t h e c h a r a c t e r s i n

E ( G , s ) . T h e s e s q u a r e m a t r i c e s h a v e b e e n g i v e n a n i c e i n t e r p r e t a t i o n i n t e r m s

o f q - S c h u r a l g e b r a s b y D i p p e r a n d J a m e s [ 1 3 ] .

O n e w a y o f d e f i n i n g t h e q - S c h u r a l g e b r a i s a s f o l l o w s . L e t R d e n o t e a

c o m m u t a t i v e r i n g w i t h 1 , a n d l e t q b e a n i n v e r t i b l e e l e m e n t o f R . F o r a

n o n - n e g a t i v e i n t e g e r n l e t I l : = f l R , q ( S n ) d e n o t e t h e I w a h o r i - H e c k e a l g e b r a

o v e r R w i t h a l l p a r a m e t e r s e q u a l t o q , a s s o c i a t e d t o t h e s y m m e t r i c g r o u p S n

o n n l e t t e r s . L e t P ( n ) d e n o t e t h e s e t o f p a r t i t i o n s o f n . F o r a p a r t i t i o n A

o f n , l e t S a d e n o t e t h e Y o u n g s u b g r o u p o f S n d e t e r m i n e d b y A . F i n a l l y , d e f i n e

y , E I i b y

y a

( - q ) - f ( w ) T w .

( 2 )

W E S ,

H e r e , T w i s t h e b a s i s e l e m e n t o f f - l c o r r e s p o n d i n g t o w , a n d £ ( w ) d e n o t e s t h e

l e n g t h o f w E S n .

D e f i n i t i o n 4 . 3 ( D i p p e r / J a m e s [ 1 3 ] ) T h e R - a l g e b r a

S R , q ( n )

: = E n d x

® y a , h

( A E P ( n )

w i t h 7 l = f R , q ( S n ) i s c a l l e d q - S c h u r a l g e b r a .

N o w l e t , a s i n s e c t i o n 3 , ( K , 0 , k ) b e a s p l i t t i n g e - m o d u l a r s y s t e m f o r G .

D e c o m p o s i t i o n m a t r i c e s o f 0 - o r d e r s w i l l a l w a y s b e w i t h r e s p e c t t o t h i s m o d -

u l a r s y s t e m . S u p p o s e f i r s t t h a t G = G L n ( q ) a n d c o n s i d e r t h e s e t E ( G , 1 ) o f

u n i p o t e n t c h a r a c t e r s o f G . T h e y h a v e a n a t u r a l l a b e l l i n g b y p a r t i t i o n s o f n ,

r e s u l t i n g f r o m t h e f a c t t h a t t h e u n i p o t e n t m o d u l e s o f G a r e t h e c o m p o s i -

t i o n f a c t o r s o f M , t h e p e r m u t a t i o n m o d u l e o f G o v e r K o n t h e c o s e t s o f a

B o r e l s u b g r o u p . W e h a v e E n d K G ( M ) = 3 t K , q ( S n ) . T h e l a t t e r K - a l g e b r a i s

i s o m o r p h i c t o t h e g r o u p a l g e b r a K S n b y t h e T i t s d e f o r m a t i o n t h e o r e m . W e

t h u s o b t a i n a n a t u r a l b i j e c t i o n b e t w e e n t h e u n i p o t e n t c h a r a c t e r s o f G a n d

t h e s i m p l e K S n - m o d u l e s .



6 6


S i n c e f x , q ( S n ) i s s e m i s i m p l e , i t i s M o r i t a e q u i v a l e n t t o t h e q - S c h u r a l g e b r a

S K , q ( n )

T h e o r e m 4 . 4 ( D i p p e r / J a m e s , [ 1 3 ] ) L e t R b e o n e o f t h e f i e l d s K o r k . T h e

u n i p o t e n t R G L n ( q ) - m o d u l e s a n d t h e s i m p l e m o d u l e s o f S R , q ( n ) c a n b e p a r a m -

e t e r i z e d b y p a r t i t i o n s o f n s u c h t h a t t h e d e c o m p o s i t i o n m a t r i x o f S G , q ( n ) i s t h e

s a m e ( w i t h r e s p e c t t o t h e s e p a r a m e t e r i z a t i o n s ) a s t h e d e c o m p o s i t i o n m a t r i x

o f E ( G L n ( q ) , 1 ) .

M o r e g e n e r a l l y , c o n s i d e r E , ( G , s ) f o r s o m e s e m i - s i m p l e t ' - e l e m e n t s o f G =

G L n ( q ) . L e t C = C G ( s ) . T h e n C = G L n , ( g d l ) x G L n 2 ( g d 2 ) x .

T h e o r e m 4 . 5 ( D i p p e r / J a m e s , [ 1 3 ] ) T h e d e c o m p o s i t i o n m a t r i x o f E ( G , s ) i s

e q u a l t o t h e d e c o m p o s i t i o n m a t r i x o f S o , g d , ( n i ) ® S G , g d 2 ( n 2 ) ® ' -

L e t v b e a n i n d e t e r m i n a t e , p u t A : = 7 G [ v , v - 1 ] a n d u : = v 2 . C o n s i d e r t h e

g e n e r i c I w a h o r i - H e c k e a l g e b r a f A , u ( S n ) a n d t h e c o r r e s p o n d i n g q - S c h u r a l g e -

b r a S A , u ( n ) . L e t U ( g l n ) d e n o t e t h e q u a n t i z e d u n i v e r s a l e n v e l o p i n g a l g e b r a

o v e r A c o r r e s p o n d i n g t o t h e L i e a l g e b r a g f n . B e i l i n s o n , L u s z t i g a n d M a c P h e r -

s o n h a v e c o n s t r u c t e d a s u r j e c t i v e h o m o m o r p h i s m o f A - a l g e b r a s f r o m U ( g f n )

t o a n a s s o c i a t i v e A - a l g e b r a , f r e e o v e r A a n d o f f i n i t e r a n k [ 1 ] . T h i s q u o t i e n t

o f U ( g f n ) t u r n s o u t t o b e M o r i t a e q u i v a l e n t t o S A , u ( n ) ( s e e D u [ 1 5 ] ) . T h u s , i n

a c e r t a i n s e n s e t h e r e p r e s e n t a t i o n t h e o r y o f t h e q - S c h u r a l g e b r a i s g o v e r n e d

b y t h e r e p r e s e n t a t i o n t h e o r y o f t h e q u a n t u m g r o u p U ( g f n ) .

B y s p e c i a l i z i n g t h e i n d e t e r m i n a t e u t o a n i n v e r t i b l e e l e m e n t x o f K , w e

o b t a i n a r i n g h o m o m o r p h i s m

f K , x ( S n ) . A n y s i m p l e ? l Q ( ) , u ( S ) -

m o d u l e c a n b e r e a l i z e d o v e r t h e r i n g A , a n d t h u s g i v e s r i s e t o a n

m o d u l e . W e t h u s o b t a i n a d e c o m p o s i t i o n m a p f r o m t h e G r o t h e n d i e c k g r o u p

o f

t o t h e G r o t h e n d i e c k g r o u p o f f K , x ( S n ) - m o d u l e s ( s e e

G e c k , [ 2 2 , K a p i t e l 4 ] f o r a g e n e r a l d i s c u s s i o n o f s u c h d e c o m p o s i t i o n m a p s ) -

A d e c o m p o s i t i o n m a p c a n , o f c o u r s e , a l s o b e d e f i n e d f o r t h e q - S c h u r a l g e b r a

S A , u ( n ) .

S u p p o s e n o w t h a t t ; i s a n e t h r o o t o f u n i t y i n K f o r s o m e p o s i t i v e i n t e g e r e .

S p e c i a l i z i n g u t o , w e o b t a i n a d e c o m p o s i t i o n m a p f r o m t h e G r o t h e n d i e c k

g r o u p o f

( S n ) - m o d u l e s t o t h e G r o t h e n d i e c k g r o u p o f f K , g ( S 1 , ) - m o d u l e s .

L e t M e d e n o t e t h e c o r r e s p o n d i n g d e c o m p o s i t i o n m a t r i x , a l s o c a l l e d t h e ' D , -

m o d u l a r d e c o m p o s i t i o n m a t r i x o f

S i m i l a r l y , o n e c a n d e f i n e a

( 1 , - m o d u l a r d e c o m p o s i t i o n m a t r i x N e o f S Q ( ) , u ( n ) .

T h e f o l l o w i n g c o n j e c t u r e o f J a m e s i s r e l e v a n t t o t h e p r o b l e m o f f i n d i n g t h e

d e c o m p o s i t i o n n u m b e r s o f t h e g e n e r a l l i n e a r g r o u p s . F o r a p o s i t i v e i n t e g e r q

a n d a p r i m e . l n o t d i v i d i n g q , l e t e ( q , t ) d e n o t e t h e s m a l l e s t p o s i t i v e i n t e g e r r

s u c h t h a t f d i v i d e s 1 + q + q 2 +

+ q r - 1 . N o w s u p p o s e t h a t q i s a p o w e r

o f a p r i m e , t a p r i m e n o t d i v i d i n g q , a n d e : = e ( q , t ) . T h e n t h e c o n j e c t u r e




6 7

o f J a m e s c a n b e s t a t e d a s f o l l o w s ( s e e [ 3 4 , S e c t i o n 4 ] ) . S u p p o s e t h a t n < e t .

T h e n t h e d e c o m p o s i t i o n m a t r i x o f t h e u n i p o t e n t c h a r a c t e r s o f G L n ( q ) , i n

o t h e r w o r d s , t h e d e c o m p o s i t i o n m a t r i x o f S o , q ( n ) , i s e q u a l t o N e 7 t h e 1 e

m o d u l a r d e c o m p o s i t i o n m a t r i x o f ( n ) . G e c k h a s s h o w n [ 2 2 , S a t z 4 . 2 . 8 ]

t h a t t h e a n a l o g o u s s t a t e m e n t i s t r u e f o r t h e d e c o m p o s i t i o n m a t r i x o f t h e

I w a h o r i - H e c k e a l g e b r a f l d , q ( S n ) , p r o v i d e d t i s l a r g e e n o u g h ( w i t h o u t g i v i n g

a n e x p l i c i t b o u n d ) .

T h e % - m o d u l a r d e c o m p o s i t i o n m a t r i x M e o f t h e I w a h o r i - H e c k e a l g e b r a

f l Q ( ) , u ( S n ) i s c o n t a i n e d a s a s u b m a t r i x i n t h e d e c o m p o s i t i o n m a t r i x N e o f

S Q ( v ) , u ( n ) . I n f a c t , M e c o n s i s t s o f t h o s e c o l u m n s o f N e w h i c h c o r r e s p o n d t o

e - r e g u l a r p a r t i t i o n s . T h e r e i s a v e r y b e a u t i f u l c o n j e c t u r e o f L a s c o u x , L e c l e r c

a n d T h i b o n o n t h e 4 e - m o d u l a r d e c o m p o s i t i o n m a t r i x o f

i n t e r m s

o f t h e c a n o n i c a l b a s i s o f a n i n t e g r a b l e h i g h e s t w e i g h t r e p r e s e n t a t i o n o f t h e

q u a n t i z e d u n i v e r s a l e n v e l o p i n g a l g e b r a U ( . 5 1 , ) c o r r e s p o n d i n g t o t h e a f f i n e L i e

a l g e b r a . 5 1 e ( f o r m o r e d e t a i l s s e e [ 3 5 ] ) .

W e n e x t t u r n t o t h e d e c o m p o s i t i o n n u m b e r s o f t h e o t h e r c l a s s i c a l g r o u p s .

T o d e s c r i b e t h e s e f o r l i n e a r p r i m e s , w e r e c a l l t h e d e f i n i t i o n o f q - S c h u r a l g e b r a s

o f t y p e B ( s e e G e c k a n d H i s s [ 2 4 ] ) . L e t W n d e n o t e t h e W e y l g r o u p o f t y p e B n ,

g e n e r a t e d b y f u n d a m e n t a l r e f l e c t i o n s c o r r e s p o n d i n g t o t h e f o l l o w i n g D y n k i n

d i a g r a m .

t

S i $ 2

S n _ 1

L e t S n b e t h e s u b g r o u p o f W

n g e n e r a t e d b y -

1 ,

. . , s n _ 1 .

L e t R b e a c o m m u -

t a t i v e r i n g w i t h 1 a n d l e t Q a n d q b e t w o i n v e r t i b l e e l e m e n t s o f R . D e n o t e

b y f l t h e I w a h o r i - H e c k e a l g e b r a f l : = ? I R , Q , q ( W n ) , w h e r e t h e p a r a m e t e r Q

c o r r e s p o n d s t o t h e f u n d a m e n t a l r e f l e c t i o n t .

D e f i n i t i o n 4 . 6 ( G e c k / H i s s [ 2 4 ] ) T h e R - a l g e b r a

S R , Q , q ( B n ) : = E n d n

® y a f l

a E P ( n )

w i t h f l = f I R , Q , q ( W n ) , i s c a l l e d q - S c h u r a l g e b r a o f t y p e B . H e r e , t h e y a a r e

d e f i n e d a s i n ( 2 ) , c o n s i d e r e d a s e l e m e n t s o f f R , Q , q ( W n ) l y i n g i n t h e p a r a b o l i c

s u b a l g e b r a s p a n n e d b y t h e T , , , f o r w E S n .

O n e m a y a l s o d e f i n e q - S c h u r a l g e b r a s a s s o c i a t e d t o W e y l g r o u p s o f t y p e D .

C o n s i d e r t h e f o l l o w i n g D y n k i n d i a g r a m o f t y p e D n .



6 8


T h e c o r r e s p o n d i n g W e y l g r o u p w i l l b e d e n o t e d b y W , , . W e m a y , a n d s h a l l ,

v i e w i t a s t h e s u b g r o u p o f W n g e n e r a t e d b y t ' : = t s 1 t , s 1 , S 2 , . . . , s n _ 1 . T h e n

t h e s u b g r o u p S , , o f W n g e n e r a t e d b y s l , . . . , s n _ 1 i s c o n t a i n e d i n W , " . F o r

a n i n v e r t i b l e e l e m e n t q E R l e t f : = I I R , q ( W n ) d e n o t e t h e I w a h o r i - H e c k e

a l g e b r a o f t y p e D .

D e f i n i t i o n 4 . 7 ( G r u b e r / H i s s [ 2 9 ] ) T h e R - a l g e b r a

S R , q ( D n ) : = E n d - U

® y a I {

A E P ( n )

w i t h I i : = I I R , q ( W n ) i s c a l l e d q - S c h u r a l g e b r a o f t y p e D .

T h e o r e m 4 . 8 ( G e c k / H i s s , G r u b e r / H i s s ) L e t G # G L , , ( q ) b e o n e o f t h e c l a s -

s i c a l g r o u p s i n t r o d u c e d i n s e c t i o n 3 . I f G i s u n i t a r y , l e t S = 2 , o t h e r w i s e l e t

S = 1 . L e t f b e a l i n e a r p r i m e f o r G . T h e n t h e d e c o m p o s i t i o n m a t r i x M o f

E ( G , 1 ) i s a b l o c k d i a g o n a l m a t r i x

f M l 0

. . .

0

0

M 2

M =

M , _ 1

0

0

. . .

0

M ,

T h e M i s c o r r e s p o n d t o t h e H a r i s h - C h a n d r a s e r i e s o f o r d i n a r y c h a r a c t e r s i n

E ( G , 1 ) .

E x c e p t i n c a s e ( e ) , e a c h M i i s t h e d e c o m p o s i t i o n m a t r i x o f a n a l g e b r a

S o , Q ; , g s ( B , n ) , w h e r e Q i i s s o m e p o w e r o f q a n d m < n .

I n c a s e ( e ) , o n e o f t h e M i s , s a y M 1 , i s t h e d e c o m p o s i t i o n m a t r i x o f

S o , q ( D n / 2 ) , a n d M 2 , . . . , M , a r e d e c o m p o s i t i o n m a t r i c e s o f q - S c h u r a l g e b r a s

o f t y p e B a s a b o v e .

T h i s t h e o r e m w a s p r o v e d b y G e c k a n d H i s s i n [ 2 4 , T h e o r e m s 4 . 7 , 4 . 1 1 ] f o r

g r o u p s o f t y p e s ( b ) - ( d ) . A p r o o f f o r t h e r e m a i n i n g c a s e s w i l l b e g i v e n i n a

f o r t h c o m i n g p u b l i c a t i o n b y G r u b e r a n d H i s s [ 2 9 ] .




6 9

T h e r e s u l t o f T h e o r e m 4 . 8 c a n b e g e n e r a l i z e d t o a r b i t r a r y L u s z t i g s e r i e s

E ( G , s ) f o r s e m i - s i m p l e P ' - e l e m e n t s s E G * . T h e d e c o m p o s i t i o n m a t r i c e s

o c c u r i n g h e r e a r e a g a i n g i v e n b y t h o s e o f c e r t a i n 0 - o r d e r s . T h e s e a r e t e n s o r

p r o d u c t s w i t h f a c t o r s o f t h e f o r m S o , g a ( m ) , S Q , g d ( D m ) a n d S Q , Q , g d ( B m ) ( Q '

a p o w e r o f q ) f o r v a r i o u s m < n a n d d > 0 . T h e r e a r e a l s o f a c t o r s w h i c h a r e

d e f i n e d l i k e t h e q - S c h u r a l g e b r a s i n D e f i n i t i o n s 4 . 3 , 4 . 6 a n d 4 . 7 , b u t w i t h t h e

I w a h o r i - H e c k e a l g e b r a s 1 1 r e p l a c e d b y m o r e g e n e r a l a l g e b r a s .

T h e f o l l o w i n g t h e o r e m r e d u c e s t h e d e t e r m i n a t i o n o f d e c o m p o s i t i o n m a t r i -

c e s o f c l a s s i c a l g r o u p s f o r l i n e a r p r i m e s t o t h e p r o b l e m o f f i n d i n g d e c o m p o s i -

t i o n n u m b e r s f o r t h e q - S c h u r a l g e b r a s a s s o c i a t e d t o s y m m e t r i c g r o u p s .

T h e o r e m 4 . 9 ( G r u b e r [ 2 7 ] ) L e t q b e a r o o t o f u n i t y i n 0 o f o d d o r d e r a n d

l e t Q b e a p o w e r o f q . T h e n S O , Q , q ( B n ) i s M o r i t a e q u i v a l e n t t o ® i o S o , q ( i )

S o , q ( n - i ) .

I n p a r t i c u l a r , t h e d e c o m p o s i t i o n m a t r i x M o f S O , Q , q ( B n ) i s a

b l o c k d i a g o n a l m a t r i x

N o ® N n

0

1

0

N 1 ® N n _ 1

0

M =

0

N n - 1 ® N 1

0

0

N n ® N o

w h e r e N i i s t h e d e c o m p o s i t i o n m a t r i x o f t h e u n i p o t e n t m o d u l e s o f G L i ( q ) .

M o s t o f t h e d e c o m p o s i t i o n n u m b e r s o f t h e q - S c h u r a l g e b r a S d , q ( D n 1 2 )

c a n a l s o b e c o m p u t e d f r o m t h o s e o f g e n e r a l l i n e a r g r o u p s , b u t t h e r e s u l t i s

m o r e t e c h n i c a l t o s t a t e . F o r d e t a i l s s e e G r u b e r a n d H i s s [ 2 9 ] . W e r e m a r k

t h a t t h e d e c o m p o s i t i o n m a t r i c e s f o r t h e q - S c h u r a l g e b r a s S o , q ( n ) h a v e b e e n

c o m p u t e d b y J a m e s u p t o n = 1 0 ( s e e [ 3 4 ] ) .

F r o m t h e a b o v e r e s u l t s w e

o b t a i n t h e d e c o m p o s i t i o n m a t r i c e s f o r l i n e a r p r i m e s f o r a l l c l a s s i c a l g r o u p s

u p t o G L 1 0 ( q ) , G U 2 1 ( q ) , S P 2 0 ( q ) , S 0 2 1 ( q ) a n d S O ' ( q ) .

5

O n a c o n j e c t u r e o f B r o u e

W e f i n a l l y i n d i c a t e t h a t o u r r e s u l t s g i v e a r e m a r k a b l e p r o p e r t y o f t h e J o r d a n

d e c o m p o s i t i o n o f c h a r a c t e r s . L e t G d e n o t e a c o n n e c t e d s i m p l e a l g e b r a i c

g r o u p , d e f i n e d o v e r t h e f i n i t e f i e l d l F q . L e t F d e n o t e t h e F r o b e n i u s m o r p h i s m

c o r r e s p o n d i n g t o t h i s F q - s t r u c t u r e o f G a n d w r i t e G : = G ' f o r t h e f i n i t e g r o u p

o f F - f i x e d p o i n t s o f G . A s a l w a y s , . £ i s a p r i m e n o t d i v i d i n g q , a n d ( K , 0 , k ) i s

a s p l i t t i n g Q - m o d u l a r s y s t e m f o r G . L e t s E G * d e n o t e a s e m i s i m p l e , F - s t a b l e

e ' - e l e m e n t s u c h t h a t C G . ( s ) i s a L e v i s u b g r o u p o f G * . L e t C b e a n F - s t a b l e

L e v i s u b g r o u p o f G , d u a l t o C G . ( s ) , a n d w r i t e C : = C ' .



7 0


B r o u e h a s c o n j e c t u r e d ( s e e [ 2 , S e c t i o n 3 ] ) t h a t t h e t w o a l g e b r a s e s O G a n d

e ° Q C a r e M o r i t a e q u i v a l e n t . H e r e , e s a n d e i d e n o t e t h e c e n t r a l i d e m p o t e n t s

o f C M G , r e s p e c t i v e l y O C , c o r r e s p o n d i n g t o E 1 ( G , s ) r e s p e c t i v e l y E 1 ( C , 1 ) .

I f B r o u e ' s c o n j e c t u r e w e r e t r u e , t h e n E 1 ( G , s ) a n d E r ( C , 1 ) w o u l d h a v e t h e

s a m e d e c o m p o s i t i o n m a t r i c e s . I f G i s o n e o f t h e c l a s s i c a l g r o u p s i n t r o d u c e d

i n s e c t i o n 3 a n d 2 a l i n e a r p r i m e f o r G , t h i s s t a t e m e n t c a n b e m a d e p r e c i s e

a n d p r o v e d i n t h e f o l l o w i n g w a y .

T h e r e i s a b i j e c t i o n ( a s p e c i a l c a s e o f t h e J o r d a n d e c o m p o s i t i o n o f c h a r -

a c t e r s )

G , z , t : 6 1 ( C , 1 ) - * E l ( G , z )

i n d u c e d b y t h e L u s z t i g m a p R C G ( s e e D i g n e a n d M i c h e l [ 8 ] , T h e o r e m 1 3 . 2 5 ( i i ) ) .

L e t C F ( E P ( G , z ) ) d e n o t e t h e K - v e c t o r s p a c e o f c l a s s f u n c t i o n s o n G s p a n n e d

b y t h e e l e m e n t s o f

z ) , a n d l e t C F 1 ' ( E 1 ( G , z ) ) d e n o t e t h e s u b s p a c e o f

f u n c t i o n s v a n i s h i n g o n f - s i n g u l a r c o n j u g a c y c l a s s e s . B r a u e r c h a r a c t e r s a r e

e x t e n d e d t o f u n c t i o n s o n a l l o f G b y l e t t i n g t h e i r v a l u e s b e 0 o n £ - s i n g u l a r

e l e m e n t s . H e n c e B r a u e r c h a r a c t e r s a r e e l e m e n t s o f C F 1 , ( E l ( G , z ) ) . T h e m a p

G , z , t i s e x t e n d e d t o C F ( E e ( C , 1 ) ) b y l i n e a r i t y . N o t e t h a t i t s e n d s C F e 1 ( E r ( C , 1 ) )

t o C F I 1 ( E 1 ( G , z ) ) b y D i g n e a n d M i c h e l [ 8 , P r o p o s i t i o n 1 2 . 6 ] .

T h e o r e m 5 . 1 ( G r u b e r / H i s s ) L e t G b e o n e o f t h e c l a s s i c a l g r o u p s o f s e c t i o n 3

a n d l e t e b e a l i n e a r p r i m e f o r G . T h e n G , z , t s e n d s t h e s e t o f i r r e d u c i b l e B r a u e r

c h a r a c t e r s o f E r ( C , 1 ) ) t o t h e s e t o f i r r e d u c i b l e B r a u e r c h a r a c t e r s o f E 1 ( G , z ) ) .

W i t h r e s p e c t t o t h e b i j e c t i o n s b e t w e e n t h e i r r e d u c i b l e c h a r a c t e r s i n d u c e d b y

G z , t h e d e c o m p o s i t i o n n u m b e r s o f £ l ( G , z ) a n d o f £ l ( C , 1 ) a r e t h e s a m e .

T h e L u s z t i g m a p R C G c o m m u t e s w i t h r e d u c t i o n m o d u l o . f , a n d , 6 ( G , z ) a n d

E ( C , 1 ) a r e b a s i c s e t s f o r E 1 ( G , z ) r e s p e c t i v e l y £ , ( C , 1 ) . T h u s i t s u f f i c e s t o

p r o v e t h a t E ( G , z ) a n d £ ( C , 1 ) h a v e t h e s a m e d e c o m p o s i t i o n m a t r i c e s w i t h

r e s p e c t t o s u i t a b l e o r d e r i n g s o f t h e i r r e d u c i b l e B r a u e r c h a r a c t e r s . T h i s l a t t e r

f a c t i s t h e n e s t a b l i s h e d b y s h o w i n g t h a t t h e t w o ( q - S c h u r ) a l g e b r a s d e s c r i b i n g

t h e d e c o m p o s i t i o n m a t r i c e s o f E ( G , s ) a n d E ( C , 1 ) r e s p e c t i v e l y , a r e i s o m o r -

p h i c .


I t h a n k J o c h e n G r u b e r f o r m a n y h e l p f u l c o n v e r s a t i o n s o n t h e s u b j e c t o f t h i s

p a p e r .

R e f e r e n c e s

[ 1 ] A . A . B e i l i n s o n , G . L u s z t i g a n d R . M a c P h e r s o n , A g e o m e t r i c s e t t i n g f o r

t h e q u a n t u m d e f o r m a t i o n o f G L , D u k e M a t h . J . 6 1 ( 1 9 9 0 ) , 6 5 5 - 6 7 7 .




[ 2 ] M . B r o u e , I s o m e t r i e s d e c a r a c t e r e s e t e q u i v a l e n c e s d e M o r i t a o u

d e r i v e e s , I n s t . H a u t e s E t u d e s S c i . P u b l . M a t h . 7 1 ( 1 9 9 0 ) , 4 5 - 6 3 .

[ 3 ]

M . B r o u e , G . M a l l e a n d J . M i c h e l , G e n e r i c b l o c k s o f f i n i t e r e d u c t i v e

g r o u p s , i n R e p r e s e n t a t i o n s u n i p o t e n t e s g e n e r i q u e s e t b l o c s d e s g r o u p e s

r e d u c t i f s f i n s , A s t e r i s q u e 2 1 2 ( 1 9 9 3 ) , 7 - 9 2 .

[ 4 ] M . B r o u e a n d J . M i c h e l , B l o c s e t s e r i e s d e L u s z t i g d a n s u n g r o u p e

r e d u c t i f f i n i , J . r e i n e a n g e w . M a t h . 3 9 5 ( 1 9 8 9 ) , 5 6 - 6 7 .

[ 5 ] M . C a b a n e s a n d M . E n g u e h a r d , L o c a l m e t h o d s f o r b l o c k s o f r e d u c t i v e

g r o u p s o v e r a f i n i t e f i e l d , i n F i n i t e r e d u c t i v e g r o u p s : r e l a t e d s t r u c t u r e s

a n d r e p r e s e n t a t i o n s ( e d . M . C a b a n e s ) , p p . 1 4 1 - 1 6 3 . B i r k h a u s e r , 1 9 9 7 .

[ 6 ] R . W . C a r t e r , F i n i t e g r o u p s o f L i e t y p e : C o n j u g a c y c l a s s e s a n d c o m p l e x

c h a r a c t e r s , W i l e y , 1 9 8 5 .

[ 7 ]

P . D e l i g n e a n d G . L u s z t i g , R e p r e s e n t a t i o n s o f r e d u c t i v e g r o u p s o v e r

f i n i t e f i e l d s , A n n . o f M a t h . 1 0 3 ( 1 9 7 6 ) , 1 0 3 - 1 6 1 .

[ 8 ] F . D i g n e a n d J . M i c h e l , R e p r e s e n t a t i o n s o f f i n i t e g r o u p s o f L i e t y p e ,

L o n d o n M a t h . S o c . S t u d e n t s T e x t s 2 1 , C a m b r i d g e U n i v e r s i t y P r e s s ,

1 9 9 1 .

[ 9 ]

R . D i p p e r , O n t h e d e c o m p o s i t i o n n u m b e r s o f t h e f i n i t e g e n e r a l l i n e a r

g r o u p s , T r a n s . A m e r . M a t h . S o c . 2 9 0 ( 1 9 8 5 ) , 3 1 5 - 3 4 3 ; I I , i b i d . 2 9 2

( 1 9 8 5 ) , 1 2 3 - 1 3 3 .

[ 1 0 ] R . D i p p e r a n d J . D u , H a r i s h - C h a n d r a v e r t i c e s , J . r e i n e a n g e w . M a t h .

4 3 7 ( 1 9 9 3 ) , 1 0 1 - 1 3 0 .

[ 1 1 ] R . D i p p e r a n d P . F l e i s c h m a n n , M o d u l a r H a r i s h - C h a n d r a t h e o r y I ,

M a t h . Z . 2 1 1 ( 1 9 9 2 ) , 4 9 - 7 1 .

[ 1 2 ] R . D i p p e r a n d G . D . J a m e s , I d e n t i f i c a t i o n o f t h e i r r e d u c i b l e m o d u l a r

r e p r e s e n t a t i o n s o f G L n ( q ) , J . A l g e b r a 1 0 4 ( 1 9 8 6 ) , 2 6 6 - 2 8 8 .

[ 1 3 ] R . D i p p e r a n d G . D . J a m e s , T h e q - S c h u r a l g e b r a , P r o c . L o n d o n M a t h .

S o c . 5 9 ( 1 9 8 9 ) , 2 3 - 5 0 .

[ 1 4 ] R . D i p p e r a n d G . D . J a m e s , R e p r e s e n t a t i o n s o f H e c k e a l g e b r a s o f

t y p e B n , J . A l g e b r a 1 4 6 ( 1 9 9 2 ) , 4 5 4 - 4 8 1 .

[ 1 5 ] J . D u , A n o t e o n q u a n t i z e d W e y l r e c i p r o c i t y a t r o o t s o f u n i t y , A l g e b r a

C o l l o q . 4 ( 1 9 9 5 ) , 3 6 3 - 3 7 2 .



7 2


[ 1 6 ] P . F o n g a n d B . S r i n i v a s a n , T h e b l o c k s o f f i n i t e g e n e r a l l i n e a r a n d u n i t a r y

g r o u p s , I n v e n t . M a t h . 6 9 ( 1 9 8 2 ) , 1 0 9 - 1 5 3 .

[ 1 7 ] P . F o n g a n d B . S r i n i v a s a n , B r a u e r t r e e s i n G L ( n , q ) , M a t h . Z . 1 8 7

( 1 9 8 4 ) , 8 1 - 8 8 .

[ 1 8 ] P . F o n g a n d B . S r i n i v a s a n , T h e b l o c k s o f f i n i t e c l a s s i c a l g r o u p s , J . r e i n e

a n g e w . M a t h . 3 9 6 ( 1 9 8 9 ) , 1 2 2 - 1 9 1 .

[ 1 9 ] P . F o n g a n d B . S r i n i v a s a n , B r a u e r t r e e s i n c l a s s i c a l g r o u p s , J . A l g e b r a

1 3 1 ( 1 9 9 0 ) , 1 7 9 - 2 2 5 .

[ 2 0 ] M . G e c k , O n t h e d e c o m p o s i t i o n n u m b e r s o f t h e f i n i t e u n i t a r y g r o u p s i n

n o n - d e f i n i n g c h a r a c t e r i s t i c , M a t h . Z . 2 0 7 ( 1 9 9 1 ) , 8 3 - 8 9 .

[ 2 1 ] M . G e c k , A n o t e o n H a r i s h - C h a n d r a i n d u c t i o n , M a n u s c r i p t a M a t h . 8 0

( 1 9 9 3 ) , 3 9 3 - 4 0 1 .

[ 2 2 ] M . G e c k , B e i t r a g e z u r D a r s t e l l u n g s t h e o r i e v o n I w a h o r i - H e c k e - A l g e b r e n ,

H a b i l i t a t i o n s s c h r i f t , A a c h e n , 1 9 9 4 . A a c h e n e r B e i t r a g e z u r M a t h e m a t i k ,

B a n d 1 1 , A a c h e n , 1 9 9 5 .

[ 2 3 ] M . G e c k a n d G . H i s s , B a s i c s e t s o f B r a u e r c h a r a c t e r s o f f i n i t e g r o u p s

o f L i e t y p e , J . r e i n e a n g e w . M a t h . 4 1 8 ( 1 9 9 1 ) , 1 7 3 - 1 8 8 .

[ 2 4 ] M . G e c k a n d G . H i s s , M o d u l a r r e p r e s e n t a t i o n s o f f i n i t e g r o u p s o f

L i e t y p e i n n o n - d e f i n i n g c h a r a c t e r i s t i c , i n F i n i t e r e d u c t i v e g r o u p s : r e -

l a t e d s t r u c t u r e s a n d r e p r e s e n t a t i o n s ( e d . M . C a b a n e s ) , p p . 1 9 5 - 2 4 9 .

B i r k h a u s e r , 1 9 9 7 .

[ 2 5 ] M . G e c k , G . H i s s a n d G . M a l l e , T o w a r d s a c l a s s i f i c a t i o n o f t h e i r r e -

d u c i b l e r e p r e s e n t a t i o n s i n n o n - d e f i n i n g c h a r a c t e r i s t i c o f a f i n i t e g r o u p

o f L i e t y p e , M a t h . Z . 2 2 1 ( 1 9 9 6 ) , 3 5 3 - 3 8 6 .

[ 2 6 ] J . A . G r e e n , T h e c h a r a c t e r s o f t h e f i n i t e g e n e r a l l i n e a r g r o u p s , T r a n s .

A m e r . M a t h . S o c . 8 0 ( 1 9 5 5 ) , 4 0 2 - 4 4 7 .

[ 2 7 ] J . G r u b e r , C u s p i d a l e U n t e r g r u p p e n a n d Z e r l e g u n g s z a h l e n k l a s s i s c h e r

G r u p p e n , D i s s e r t a t i o n , H e i d e l b e r g , 1 9 9 5 .

[ 2 8 ] J . G r u b e r , G r e e n v e r t e x t h e o r y , G r e e n c o r r e s p o n d e n c e a n d H a r i s h -

C h a n d r a i n d u c t i o n , J . A l g e b r a 1 8 6 ( 1 9 9 6 ) , 4 7 6 - 5 2 1 .

[ 2 9 ] J . G r u b e r a n d G . H i s s , D e c o m p o s i t i o n n u m b e r s o f f i n i t e c l a s s i c a l g r o u p s

f o r l i n e a r p r i m e s , J . r e f i n e a n g e w . M a t h . , t o a p p e a r .




[ 3 0 ] H a r i s h - C h a n d r a , E i s e n s t e i n s e r i e s o v e r f i n i t e f i e l d s , i n F u n c t i o n a l a n a l -

y s i s a n d r e l a t e d f i e l d s , p p . 7 6 - 8 8 . S p r i n g e r , N e w Y o r k , 1 9 7 0 .

[ 3 1 ] G . H i s s , H a r i s h - C h a n d r a s e r i e s o f B r a u e r c h a r a c t e r s i n a f i n i t e g r o u p

w i t h a s p l i t B N - p a i r , J . L o n d o n M a t h . S o c . 4 8 ( 1 9 9 3 ) , 2 1 9 - 2 2 8 .

[ 3 2 ] R . B . H o w l e t t a n d G . I . L e h r e r , I n d u c e d c u s p i d a l r e p r e s e n t a t i o n s a n d

g e n e r a l i z e d H e c k e r i n g s . I n v e n t . M a t h . 5 8 ( 1 9 8 0 ) , 3 7 - 6 4 .

[ 3 3 ] R . B . H o w l e t t a n d G . I . L e h r e r , O n H a r i s h - C h a n d r a i n d u c t i o n f o r m o d -

u l e s o f L e v i s u b g r o u p s . J . A l g e b r a 1 6 5 ( 1 9 9 4 ) , 1 7 2 - 1 8 3 .

[ 3 4 ] G . D . J a m e s , T h e d e c o m p o s i t i o n m a t r i c e s o f G L , , ( q ) f o r n < 1 0 , P r o c .

L o n d o n M a t h . S o c . 6 0 ( 1 9 9 0 ) , 2 2 5 - 2 6 5 .

[ 3 5 ] A . L a s c o u x , B . L e c l e r c a n d J . - Y . T h i b o n , U n e c o n j e c t u r e p o u r l e c a l c u l

d e s m a t r i c e s d e d e c o m p o s i t i o n d e s a l g e b r e s d e H e c k e d u t y p e A a u x

r a c i n e s d e l ' u n i t e , C . R . A c a d . S c i . P a r i s S e r . 1 3 2 1 ( 1 9 9 5 ) , 5 1 1 - 5 1 6 .

[ 3 6 ] G . L u s z t i g , C h a r a c t e r s o f r e d u c t i v e g r o u p s o v e r a f i n i t e f i e l d , A n n . M a t h .

S t u d i e s 1 0 7 , P r i n c e t o n U n i v e r s i t y P r e s s , 1 9 8 4 .

[ 3 7 ] G . L u s z t i g a n d N . S p a l t e n s t e i n , I n d u c e d u n i p o t e n t c l a s s e s , J . L o n d o n

M a t h . S o c . 1 9 ( 1 9 7 9 ) , 4 1 - 5 2 .



T h e M e a t a x e a s a t o o l i n c o m p u t a t i o n a l

g r o u p t h e o r y

D e r e k F . H o l t

A b s t r a c t

T h e M e a t a x e i s a p r a c t i c a l a l g o r i t h m , f i r s t i n t r o d u c e d b y R i c h a r d

P a r k e r , f o r t e s t i n g f i n i t e d i m e n s i o n a l m o d u l e s o v e r f i n i t e f i e l d s f o r i r -

r e d u c i b i l i t y , a n d f o r f i n d i n g e x p l i c i t s u b m o d u l e s i n t h e r e d u c i b l e c a s e .

T h i s a n d a s s o c i a t e d a l g o r i t h m s a r e d e s c r i b e d b r i e f l y , t o g e t h e r w i t h

m o r e r e c e n t i m p r o v e m e n t s . T h e p o s s i b i l i t y o f e x t e n d i n g t h e s e m e t h -

o d s t o f i e l d s o f c h a r a c t e r i s t i c z e r o , s u c h a s t h e r a t i o n a l n u m b e r s , i s a l s o

d i s c u s s e d .

1

C h o p p i n g u p m o d u l e s

T h e p r o b l e m o f e x p l i c i t l y f i n d i n g t h e i r r e d u c i b l e c o n s t i t u e n t s o f a f i n i t e d i -

m e n s i o n a l K G - m o d u l e , w h e r e K i s a f i e l d a n d G i s a f i n i t e g r o u p , i s w i t h o u t

d o u b t t h e m o s t b a s i c p r o b l e m i n c o m p u t a t i o n a l g r o u p - r e p r e s e n t a t i o n t h e o r y .

I t c o r r e s p o n d s r o u g h l y t o f i n d i n g t h e o r b i t s o f a f i n i t e p e r m u t a t i o n g r o u p ,

e x c e p t t h a t i t i s c o n s i d e r a b l y m o r e d i f f i c u l t .

M o s t o f t h e r e s e a r c h o n t h i s p r o b l e m t o d a t e h a s b e e n r e s t r i c t e d t o t h e c a s e

w h e r e K = G F ( q ) i s f i n i t e , a n d w e s h a l l a s s u m e t h i s t o b e t r u e i n t h e f i r s t

t w o s e c t i o n s o f t h i s p a p e r . T h e c h a r a c t e r i s t i c z e r o c a s e w i l l b e d i s c u s s e d i n

s e c t i o n 3 . W e s h a l l d e n o t e t h e d e g r e e o f t h e r e p r e s e n t a t i o n b y d , t h r o u g h o u t .

T h e t h e o r e t i c a l c o m p l e x i t y o f t h e p r o b l e m w a s p r o v e d t o b e p o l y n o m i a l

i n d l o g ( q ) b y R o n y a i i n [ 1 2 ] , b u t t h e a l g o r i t h m d e s c r i b e d t h e r e d o e s n o t

a p p e a r t o b e p r a c t i c a l a s i t s t a n d s , a n d h a s c o m p l e x i t y a t l e a s t a s b a d a s

O ( d s l o g ( q ) ) . F o r c u r r e n t a p p l i c a t i o n s , i t i s e s s e n t i a l t o f i n d m e t h o d s t h a t a r e

p r a c t i c a l f o r d e q u a l t o a t l e a s t s e v e r a l t h o u s a n d a n d , t o a c h i e v e t h i s , w e m u s t

a i m f o r c o m p l e x i t y O ( d 3 l o g ( q ) ) . I n p r a c t i c e , t h i s i s e q u a l t o t h e c o m p l e x i t y

o f m u l t i p l y i n g t w o m a t r i c e s , i n v e r t i n g a m a t r i x , o r p e r f o r m i n g a G a u s s i a n

r e d u c t i o n .

T h e M e a t a x e a l g o r i t h m , d u e t o R i c h a r d P a r k e r a n d d e s c r i b e d i n [ 8 ] , s t i l l

a p p e a r s t o b e t h e o n l y m e t h o d w i t h e f f i c i e n t i m p l e m e n t a t i o n s t h a t c o m e s

a n y w h e r e c l o s e t o a c h i e v i n g t h i s a i m . T h e m a i n a p p l i c a t i o n f o r w h i c h i t

w a s c o n c e i v e d w a s c o n s t r u c t i n g t h e i r r e d u c i b l e r e p r e s e n t a t i o n s o f s o m e o f t h e

7 4




7 5

l a r g e r ( u s u a l l y s p o r a d i c ) f i n i t e s i m p l e g r o u p s o v e r s m a l l f i e l d s , a n d i t p r o v e d

t o b e v e r y w e l l - s u i t e d f o r t h i s p u r p o s e . F o r e x a m p l e , i t p l a y e d a n e s s e n t i a l

r o l e i n N o r t o n ' s c o n s t r u c t i o n a n d e x i s t e n c e p r o o f o f t h e s i m p l e g r o u p J 4 ( s e e

[ 7 ] ) . I t w a s u s e d f r e q u e n t l y a n d m o r e r o u t i n e l y a s o n e o f t h e p r i n c i p a l t o o l s

f o r c a l c u l a t i n g t h e B r a u e r c h a r a c t e r s a n d B r a u e r t r e e s o f t h e s p o r a d i c f i n i t e

s i m p l e g r o u p s ( s e e [ 6 ] a n d [ 2 ] ) i n c a s e s w h e r e i t w a s n e c e s s a r y o r e x p e d i e n t

t o f i n d e x p l i c i t i r r e d u c i b l e r e p r e s e n t a t i o n s o f t h e s e g r o u p s o v e r f i n i t e f i e l d s .

I n a d d i t i o n t o P a r k e r ' s i m p l e m e n t a t i o n i n F O R T R A N , t h e r e h a s b e e n

a n e f f i c i e n t i m p l e m e n t a t i o n i n C b y R i n g e a n d L u x ( s e e [ 1 1 ] ) t h a t h a s t h e

a d d i t i o n a l f a c i l i t y o f b e i n g a b l e t o c o m p u t e t h e c o m p l e t e s u b m o d u l e l a t t i c e

o f t h e g i v e n m o d u l e . E a c h o f t h e s e i m p l e m e n t a t i o n s i s s t r o n g l y g e a r e d t o w a r d s

p o t e n t i a l l y l a r g e d e g r e e r e p r e s e n t a t i o n s o v e r v e r y s m a l l f i e l d s , w i t h p a r t i c u l a r

e m p h a s i s o n t h e f i e l d o f o r d e r 2 , w h e r e o n l y a s i n g l e b i t i s u s e d f o r e a c h m a t r i x

e n t r y , a n d t h e n u m b e r o f m a t r i c e s t h a t a r e h e l d i n m a i n m e m o r y a t a n y o n e

t i m e i s k e p t a s s m a l l a s p o s s i b l e ( u s u a l l y , a t m o s t 2 o r 3 ) .

I t i s c l e a r f r o m t h e a b o v e t h a t t h e r a n g e o f a p p l i c a t i o n o f t h e s e s p e c i f i c

m e t h o d s i s r a t h e r r e s t r i c t e d .

I n f a c t , a n a l y s i s s h o w s t h a t t h e i r e f f i c i e n c y

d e p e n d s n o t o n l y o n q b e i n g s m a l l , b u t o n t h e s p l i t t i n g f i e l d s o f t h e i r r e d u c i b l e

c o n s t i t u e n t s o f t h e m o d u l e b e i n g s m a l l . T h e t h e o r e t i c a l c o m p l e x i t y i s l i n e a r

i n t h e o r d e r o f t h e s e s p l i t t i n g f i e l d s , a n d t h e r e f o r e e x p o n e n t i a l i n d .

O n e o t h e r m a j o r a p p l i c a t i o n o f t h e m o d u l e c h o p p i n g p r o c e s s o c c u r s i n t h e

c a l c u l a t i o n o f t h e c o m p o s i t i o n f a c t o r s o f a f i n i t e g r o u p . I f t h e g r o u p H h a s

a c h i e f f a c t o r K / L w h i c h i s a n e l e m e n t a r y a b e l i a n p - g r o u p f o r s o m e p r i m e p ,

t h e n t o f i n d t h e c o m p o s i t i o n f a c t o r s o f H t h a t l i e b e t w e e n L a n d K , w e n e e d

t o r e g a r d K / L a s a n H / K - m o d u l e o v e r G F ( p ) , a n d t h e n f i n d i t s i r r e d u c i b l e

c o n s t i t u e n t s . T h e o r i g i n a l M e a t a x e d i d n o t a l w a y s p e r f o r m s a t i s f a c t o r i l y i n

t h i s s i t u a t i o n ; f o r e x a m p l e , w h e n H / K i s a s o l u b l e g r o u p , t h e n r e l a t i v e l y

l a r g e s p l i t t i n g f i e l d s c a n e a s i l y a r i s e , e v e n w h e n t h e d i m e n s i o n o f K / L i s

q u i t e s m a l l .

F o r t u n a t e l y , i n [ 4 ] H o l t a n d R e e s d e s c r i b e a n d a n a l y s e a r e l a t i v e l y s i m p l e

e x t e n s i o n o f t h e b a s i c a l g o r i t h m , w h i c h r e n d e r s i t e f f i c i e n t a n d p r a c t i c a l i n

a m u c h l a r g e r r a n g e o f s i t u a t i o n s . S o m e f u r t h e r i d e a s b y C h a r l e s L e e d h a m -

G r e e n a p p e a r t o m a k e i t w o r k w e l l i n a l l s i t u a t i o n s .

A s w i t h t h e P a r k e r M e a t a x e , t h e s e n e w t e c h n i q u e s c a n a l s o b e u s e d t o

p r o v i d e e f f i c i e n t p r o c e d u r e s f o r c a l c u l a t i n g e n d o m o r p h i s m a l g e b r a s o f m o d -

u l e s , t e s t i n g m o d u l e s f o r i s o m o r p h i s m a n d , m o r e g e n e r a l l y , f o r c a l c u l a t i n g

H o m K G ( V , W ) , f o r m o d u l e s V a n d W . T h e y a r e e x t r e m e l y f a s t f o r i r r e -

d u c i b l e s ( o r w h e n a t l e a s t o n e o f V a n d W i s i r r e d u c i b l e ) , b u t a r e q u i t e

p r a c t i c a l i n f u l l g e n e r a l i t y .

A b r i e f d e s c r i p t i o n o f a l l o f t h e s e m e t h o d s w i l l b e g i v e n i n t h e n e x t s e c -

t i o n . T h e y h a v e b e e n i m p l e m e n t e d w i t h i n t h e M A G M A c o m p u t a t i o n a l a l g e b r a

s y s t e m ( s e e [ 1 ] ) b y A l l a n S t e e l , w i t h t h e h e l p o f H o l t a n d L e e d h a m - G r e e n .



7 6


A s w e l l a s b e i n g u s a b l e e x p l i c i t l y o n K G - m o d u l e s , t h e y a r e u s e d i m p l i c i t l y

b y s o m e M A G M A f u n c t i o n s w h i c h f i n d c o m p o s i t i o n f a c t o r s a n d , i n p a r t i c u -

l a r , b y t h e s o l v a b l e g r o u p f u n c t i o n s . A l t h o u g h t h e r e h a s b e e n n o s y s t e m a t i c

c o m p a r i s o n u s i n g a l a r g e r a n g e o f e x a m p l e s , i t a p p e a r s a s t h o u g h t h e g e n -

e r a l e n d o m o r p h i s m a l g e b r a m e t h o d m a y b e s u p e r i o r i n m a n y s i t u a t i o n s , a n d

g e n e r a l l y m o r e r e l i a b l e , t h a n t h a t p r o p o s e d b y S c h n e i d e r i n [ 1 3 ] .

T h e s e a l g o r i t h m s h a v e a l s o b e e n i m p l e m e n t e d b y H o l t a n d R e e s w i t h i n t h e

G A P s y s t e m ( s e e [ 1 4 ] ) a s p a r t o f t h e e x t e r n a l S M A S H p a c k a g e ( s e e [ 5 ] ) . F u r -

t h e r m o r e , t h e e x t e n s i o n s p r o p o s e d b y H o l t a n d R e e s h a v e b e e n i n c o r p o r a t e d

w i t h i n t h e s t a n d a l o n e M e a t a x e p a c k a g e w r i t t e n b y R i n g e a n d L u x ( s e e [ 1 1 ] ) ,

w h i c h i s a l s o a c c e s s i b l e a s a n e x t e r n a l G A P p a c k a g e . T h i s i m p l e m e n t a t i o n

a n d t h e o n e w i t h i n M A G M A a r e p a r t i c u l a r l y w e l l a d a p t e d f o r w o r k i n g w i t h

r e p r e s e n t a t i o n s o f v e r y l a r g e d e g r e e , s i n c e t h e y s t o r e a s m a n y m a t r i x e n t r i e s

a s p o s s i b l e w i t h i n a s i n g l e m a c h i n e w o r d , a n d u s e l o o k u p t a b l e s t o f a c i l i t a t e

f a s t m a t r i x m u l t i p l i c a t i o n , b y p r o c e s s i n g s e v e r a l e n t r i e s a t a t i m e . F i n a l l y ,

i t s h o u l d b e m e n t i o n e d t h a t t h e L u x - R i n g e p a c k a g e i s a c c e s s i b l e f r o m t h e

Q U O T P I C i n t e r a c t i v e g r a p h i c s p a c k a g e f o r s t u d y i n g f i n i t e q u o t i e n t s o f f i n i t e l y

p r e s e n t e d g r o u p s ( s e e [ 3 ] ) . I t i s u s e d t h e r e f o r f i n d i n g t h e c o m p o s i t i o n f a c t o r s

w i t h i n e l e m e n t a r y a b e l i a n s e c t i o n s .

2 A d e s c r i p t i o n o f t h e M e a t a x e m e t h o d s

P a r k e r ' s s t a n d a r d M e a t a x e u s e s t h e f o l l o w i n g t e s t , k n o w n a s N o r t o n ' s i r r e -

d u c i b i l i t y t e s t .

L e t M b e a r i g h t K G - m o d u l e o f d i m e n s i o n d d e f i n e d b y

e x p l i c i t d x d - m a t r i c e s f o r t h e g e n e r a t o r s o f G , l e t A d e n o t e t h e K - a l g e b r a

g e n e r a t e d b y t h e s e m a t r i c e s , a n d l e t M T d e n o t e t h e K G - m o d u l e d e f i n e d b y

t h e t r a n s p o s e s o f t h e s e m a t r i c e s . ( S o M T , a l s o r e g a r d e d a s a r i g h t m o d u l e ,

i s t h e c o n t r a g r e d i e n t m o d u l e o f M , w h e r e t h e d e f i n i n g m a t r i c e s c o r r e s p o n d

t o t h e i n v e r s e s o f t h e g e n e r a t o r s o f G . ) A n e l e m e n t

o f A i s c h o s e n , a n d t h e

n u l l s p a c e s N o f 6 , a n d N ' o f i t s t r a n s p o s e 6 T a r e c o m p u t e d . T h e n p r o v i d e d

t h a t

( a ) N i s n o n z e r o ,

( b ) e v e r y n o n z e r o v e c t o r v i n N g e n e r a t e s t h e w h o l e o f M a s a K G - m o d u l e ,

a n d

( c ) a t l e a s t o n e v e c t o r w o f N ' g e n e r a t e s t h e w h o l e o f M T a s a K G - m o d u l e ,

M i s p r o v e d i r r e d u c i b l e . O t h e r w i s e M i s r e d u c i b l e , a n d a p r o p e r s u b m o d u l e

h a s b e e n f o u n d e x p l i c i t l y i n ( b ) o r ( c ) .

N o t e t h a t o n l y t h e b a s i c m a t r i x o p e r a t i o n s , m u l t i p l i c a t i o n , t r a n s p o s i n g ,

a n d G a u s s i a n e l i m i n a t i o n ( f o r c a l c u l a t i n g n u l l s p a c e s , a n d p e r f o r m i n g p a r t ( c ) )



T h e M e a t a x e a s a t o o l i n c o m p u t a t i o n a l g r o u p t h e o r y 7 7

a r e i n v o l v e d h e r e . P a r t ( b ) o f t h e t e s t i s c l e a r l y t h e o n e w h i c h c o u l d b e t i m e -

c o n s u m i n g i f w e r e n o t w e l l c h o s e n . I n P a r k e r ' s M e a t a x e , e l e m e n t s a r e c h o s e n

u n t i l

i s f o u n d w i t h a n o n t r i v a l n u l l s p a c e o f l o w d i m e n s i o n , p r e f e r a b l y 1 -

d i m e n s i o n a l . I n [ 8 ] , a l i s t o f c h o i c e s o f

t h a t w o r k w e l l f o r 2 - g e n e r a t o r g r o u p s

o v e r s m a l l f i e l d s , a n d i n v o l v e o n l y o n e e x t r a m a t r i x m u l t i p l i c a t i o n f o r e a c h

n e w c h o i c e , i s g i v e n . A g e n e r a l p r o b l e m w i t h t h i s a p p r o a c h h o w e v e r i s t h a t ,

i f t h e f i e l d h a s o r d e r q , t h e n t h e p r o b a b i l i t y o f t h e n u l l s p a c e b e i n g n o n t r i v i a l

i s a b o u t 1 / q a n d s o , f o r l a r g e q , w e m i g h t h a v e t o m a k e a l a r g e n u m b e r o f

c h o i c e s . A n o t h e r , m o r e s e r i o u s , p r o b l e m a r i s e s w h e n t h e d i m e n s i o n , e s a y ,

o f t h e e n d o m o r p h i s m r i n g o f M i s l a r g e b e c a u s e , f o r e x a m p l e , w h e n M i s

i r r e d u c i b l e w e c a n n o t f i n d a

w i t h n o n t r i v i a l n u l l s p a c e o f d i m e n s i o n s m a l l e r

t h a n e .

I n t h e H o l t - R e e s e x t e n s i o n , r a t h e r t h a n g e n e r a t e

i t s e l f r a n d o m l y , w e

s e l e c t a r a n d o m e l e m e n t 0 o f t h e K - a l g e b r a A , c a l c u l a t e t h e c h a r a c t e r i s t i c

p o l y n o m i a l c ( x ) o f 0 , a n d t h e n f a c t o r i z e i t . T h e n w e s e t

= p ( 9 ) , w h e r e

p ( x ) i s a n i r r e d u c i b l e f a c t o r o f c ( x ) . I n t h i s w a y , w i l l a l w a y s h a v e n o n t r i v i a l

n u l l s p a c e N . I n t h e s i t u a t i o n w h e r e N i s i r r e d u c i b l e a s a K ( 9 ) - m o d u l e ( w h i c h

i s t h e c a s e , f o r e x a m p l e , w h e n e v e r p ( x ) i s a n o n - r e p e a t i n g f a c t o r o f c ( x ) ) , i t i s

s u f f i c i e n t t o c a r r y o u t p a r t ( b ) o f t h e t e s t f o r a s i n g l e n o n z e r o v e c t o r v i n t h e

n u l l s p a c e o f . I n o t h e r c a s e s , e x a m i n a t i o n o f a s i n g l e v e c t o r w i l l n o t g i v e a

c o n c l u s i v e t e s t f o r i r r e d u c i b i l i t y , b u t m i g h t p r o v e r e d u c i b i l i t y . I f n o t , a n o t h e r

f a c t o r p ( x ) o f c ( x ) , o r a n o t h e r e l e m e n t 0 i s s e l e c t e d .

N o t e t h a t t h e o n l y a d d i t i o n a l c a l c u l a t i o n s c o m p a r e d w i t h P a r k e r ' s a l g o -

r i t h m a r e t h e c a l c u l a t i o n a n d f a c t o r i z a t i o n o f t h e c h a r a c t e r i s t i c p o l y n o m i a l .

B o t h o f t h e s e c a n b e a c c o m p l i s h e d i n t i m e O ( d 3 l o g ( q ) ) , w h e r e d i s t h e d i -

m e n s i o n o f M , w h i c h i s t h e s a m e c o m p l e x i t y a s t h a t o f t h e o t h e r p a r t s o f t h e

p r o c e s s , s u c h a s c a l c u l a t i n g n u l l s p a c e s .

A s o n e m i g h t e x p e c t f r o m t h e a b o v e d e s c r i p t i o n , t h i s i s a L a s V e g a s a l g o -

r i t h m , w h i c h m e a n s t h a t t h e r e i s n o c e r t a i n t y t h a t i t w i l l e v e r s t o p . H o w e v e r ,

i f i t d o e s s t o p , t h e n i t w i l l a l w a y s r e t u r n t h e c o r r e c t a n s w e r . I t i s p r o v e d i n [ 4 ]

t h a t , w i t h h i g h p r o b a b i l i t y , t h e a l g o r i t h m w i l l c o m p l e t e i n t i m e O ( d 3 l o g ( q ) )

i n a l m o s t a l l s i t u a t i o n s ( w h e r e t h e p r o b a b i l i t y r a p i d l y a p p r o a c h e s 1 a s t h e

c o n s t a n t i n t h e t i m e e s t i m a t e i n c r e a s e s ) .

T h e e x c e p t i o n a l s i t u a t i o n i n w h i c h t h i s a n a l y s i s f a i l s i s w h e r e t h e m o d u l e

i s r e d u c i b l e b u t u n i s e r i a l , w i t h a l l o f i t s c o m p o s i t i o n f a c t o r s b e i n g i s o m o r p h i c

a n d h a v i n g a l a r g e e n d o m o r p h i s m a l g e b r a . A s p e c i f i c e x a m p l e o f t h i s t y p e f o r

w h i c h t h e m e t h o d r e a l l y d o e s c o m e t o g r i e f i s d e s c r i b e d i n [ 4 ] . F o r t u n a t e l y ,

a f i x h a s b e e n s u g g e s t e d f o r t h i s s i t u a t i o n b y C h a r l e s L e e d h a m - G r e e n , a n d i t

h a s b e e n s u c c e s s f u l l y i m p l e m e n t e d i n M A G M A , s o t h e r e n o w a p p e a r s t o b e a

s a t i s f a c t o r y s o l u t i o n t o t h e c h o p p i n g p r o b l e m t h a t w o r k s i n a l l s i t u a t i o n s .

T h e i d e a i s t h a t w h e n i t b e c o m e s c l e a r t h a t t h e m a i n a l g o r i t h m i s n o t

w o r k i n g ( b e c a u s e t h e d i m e n s i o n s o f a l l o f t h e n u l l s p a c e s f o u n d a r e t o o l a r g e ) ,



7 8


w e g i v e u p a n d c a l c u l a t e t h e f u l l e n d o m o r p h i s m a l g e b r a E o f M . ( T h e r e

a r e t r i c k s f o r d o i n g t h i s q u i c k l y b a s e d o n t h e m e t h o d s f o r i r r e d u c i b l e m o d u l e s

d e s c r i b e d i n [ 4 ] . ) T h e n , s i n c e w e a r e i n t h e e x c e p t i o n a l u n i s e r i a l r e d u c i b l e s i t -

u a t i o n , E w i l l c e r t a i n l y c o n t a i n n o n z e r o s i n g u l a r m a t r i c e s p , a n d t h e n u l l s p a c e

o f a n y s u c h m a t r i x w i l l b e a s u b m o d u l e o f M . T h e o n l y p r o b l e m i s t o f i n d

s u c h a p . I f E i s n o t c o m m u t a t i v e ( w h i c h i s t h e c a s e i n t h e d i f f i c u l t e x a m p l e

m e n t i o n e d a b o v e ) , t h e n w e c a n f i n d p a s a , 6 - # a , w h e r e a a n d , 6 a r e r a n d o m l y

c h o s e n e l e m e n t s o f E . O t h e r w i s e , a r a n d o m e l e m e n t a o f E i s l i k e l y t o h a v e

o r d e r d i v i s i b l e b y p , a n d a s u i t a b l e p o w e r a n o f a w i l l h a v e o r d e r a p o w e r o f

p a n d t h e n p : = a n - I d w i l l b e n o n z e r o a n d s i n g u l a r . T h e p o w e r n m i g h t b e

v e r y l a r g e b u t , f o r t u n a t e l y , r a i s i n g e l e m e n t s t o p o w e r n r e q u i r e s o n l y a b o u t

l o g ( n ) m u l t i p l i c a t i o n s . T h e c o m p l e x i t y o f t h i s f i x i s p r o b a b l y s l i g h t l y w o r s e

t h a n O ( d 3 l o g ( q ) ) ( I s u s p e c t i t m i g h t b e O ( d 4 l o g ( q ) ) i n t h e w o r s t c a s e ) , b u t

f o r t u n a t e l y t h e b a d s i t u a t i o n d o e s n o t a r i s e v e r y o f t e n ( o r i n d e e d a t a l l ) i n

t h e c o n t e x t o f c u r r e n t a p p l i c a t i o n s .

3

R e d u c i n g m o d u l e s i n c h a r a c t e r i s t i c z e r o

I n t h i s s e c t i o n w e c o n s i d e r a n d s p e c u l a t e o n t o w h a t e x t e n t , i f a n y , t h e

M e a t a x e t e c h n i q u e s d i s c u s s e d s o f a r f o r f i n i t e f i e l d s c a n b e m a d e t o a p p l y

t o r e p r e s e n t a t i o n s o v e r t h e f i e l d Q o f r a t i o n a l n u m b e r s , o r t o a l g e b r a i c e x -

t e n s i o n s t h e r e o f . T h e r e h a s b e e n v e r y l i t t l e w o r k o n t h i s p r o b l e m t o d a t e ,

a n d e v e n l e s s a t t e m p t a t i m p l e m e n t a t i o n s , a n d s o w e s h a l l h a v e t o b e c o n t e n t

f o r t h e t i m e b e i n g w i t h p i n p o i n t i n g t h e l i k e l y d i f f i c u l t i e s , a n d s p e c u l a t i n g o n

m e a n s o f o v e r c o m i n g t h e m .

W e a r e n o t y e t a t t h e s t a g e o f b e i n g a b l e t o p r o p o s e a p u s h - b u t t o n t y p e

g e n e r a l p u r p o s e a l g o r i t h m , a n d s o w e s h o u l d b e p r e p a r e d t o a s s u m e t h a t t h e

u s e r c a n a p p l y e x p e r i e n c e a n d d i s c r e t i o n ( p o s s i b l y b a s e d o n k n o w l e d g e o f t h e

p a r t i c u l a r g r o u p i n v o l v e d ) , i n t h e c h o i c e o f w h i c h t e c h n i q u e s t o e m p l o y i n a

p a r t i c u l a r s i t u a t i o n .

P l e s k e n a n d S o u v i g n i e r c o n s i d e r t h i s p r o b l e m i n [ 1 0 ] , a n d d e s c r i b e m e t h o d s

t h a t s h o u l d w o r k f o r d i m e n s i o n s u p t o a b o u t 2 0 0 . T h e y j u s t i f y t h e s e c l a i m s

b y f i n d i n g r e p r e s e n t a t i v e s o f a l l i r r e d u c i b l e Q G - r e p r e s e n t a t i o n s o f t h e g r o u p

S 4 ( 3 ) , w h i c h i n v o l v e s c h o p p i n g u p m o d u l e s o f d e g r e e s u p t o 2 4 0 . ( H e r e , t h e y

m a k e u s e o f t h e k n o w n c h a r a c t e r t a b l e o f t h e g r o u p . ) R o u g h l y s p e a k i n g , t h e i r

m e t h o d i s t o c o m p u t e a l l o r p a r t o f t h e e n d o m o r p h i s m a l g e b r a o f t h e m o d u l e

M t o b e r e d u c e d , a n d t o f i n d s u b m o d u l e s a s n u l l s p a c e s o f e n d o m o r p h i s m s .

I n a d d i t i o n , R i c h a r d P a r k e r i s w o r k i n g o n a c h a r a c t e r i s t i c z e r o m e a t a x e u s i n g

p - a d i c m e t h o d s ( s e e [ 9 ] ) .

I n c o n t r a s t , t h e a u t h o r , w o r k i n g w i t h A l l a n S t e e l i n M A G M A , h a s b e e n

t r y i n g t o e x t e n d t h e M e a t a x e t e c h n i q u e s t h e m s e l v e s t o t h e r a t i o n a l c a s e . I n

f a c t , t h e s a m e t w o m a j o r p r o b l e m s a r e i n v o l v e d i n b o t h o f t h e s e a p p r o a c h e s .




7 9

T h e f i r s t i s t h e t h e o r e t i c a l p r o b l e m t h a t , u n l i k e i n t h e f i n i t e c a s e , t h e e n d o -

m o r p h i s m a l g e b r a o f a n i r r e d u c i b l e r e p r e s e n t a t i o n i n c h a r a c t e r i s t i c z e r o c a n

b e a n o n c o m m u t a t i v e d i v i s i o n r i n g ; t h a t i s , t h e S c h u r i n d e x o f t h e r e p r e s e n t a -

t i o n c a n b e g r e a t e r t h a n 1 . T h i s m a k e s i t v e r y d i f f i c u l t t o d i s t i n g u i s h b e t w e e n

s u c h a n i r r e d u c i b l e r e p r e s e n t a t i o n , a n d t h e s u m o f i s o m o r p h i c i r r e d u c i b l e r e p -

r e s e n t a t i o n s o f s m a l l e r d i m e n s i o n s , e v e n i f o n e s u c c e e d s i n c o m p u t i n g a b a s i s

f o r t h e e n d o m o r p h i s m a l g e b r a E . O f c o u r s e , i n t h e s e c o n d c a s e , E w i l l c o n t a i n

n o n z e r o s i n g u l a r e l e m e n t s , b u t t h e y a r e n o t e a s y t o f i n d .

T h e s e c o n d p r o b l e m i s p r a c t i c a l , a n d i s t h a t t h e i n t e g e r s a r i s i n g i n t h e

m a t r i c e s w i t h w h i c h o n e i s w o r k i n g t e n d t o g r o w v e r y r a p i d l y w i t h e a c h s t e p

i n t h e c o m p u t a t i o n , a n d e a c h i n d i v i d u a l r e d u c t i o n . U n l e s s o n e f i n d s m e a n s

o f p r e v e n t i n g t h i s h a p p e n i n g , t h e b a s i c m a t r i x o p e r a t i o n s i n v o l v e d r a p i d l y

g r i n d t o a h a l t . O n e p o s s i b i l i t y i s t o u s e t h e L L L - a l g o r i t h m , b u t m o r e r e f i n e d

a n d g o a l - d i r e c t e d m e t h o d s a r e n e e d e d t o f i n d a s a t i s f a c t o r y s o l u t i o n .

F o r

e x a m p l e , P l e s k e n a n d S o u v i g n i e r s u g g e s t k e e p i n g a n i n v a r i a n t b i l i n e a r f o r m

f o r e a c h r e p r e s e n t a t i o n , b e c a u s e t h i s a l l o w s o n e t o m a n i p u l a t e t h e b a s i s b y

v a r i o u s r e d u c t i o n r o u t i n e s t o k e e p s m a l l c o e f f i c i e n t s f o r t h e m a t r i x e n t r i e s i n

t h e r e p r e s e n t a t i o n .

T h e d i r e c t u s e o f t h e M e a t a x e t e c h n i q u e s d e s c r i b e d i n s e c t i o n 2 o n r a t i o n a l

r e p r e s e n t a t i o n s i s n o t v e r y e a s y o r p r a c t i c a l f o r d e g r e e s a b o v e a b o u t 5 0 o r 1 0 0

( d e p e n d i n g o n t h e s p a r s i t y o f t h e m a t r i c e s ) s i n c e , f o r e x a m p l e , t h e c a l c u l a t i o n

o f t h e c h a r a c t e r i s t i c p o l y n o m i a l o f a m a t r i x b e c o m e s m u c h t o o s l o w .

O n e c a n , h o w e v e r , c o n s i d e r t h e r e p r e s e n t a t i o n M m o d u l o p , w h e r e p i s a

p r i m e n u m b e r n o t d i v i d i n g a n y o f t h e d e n o m i n a t o r s a r i s i n g i n t h e r e p r e s e n t a -

t i o n , r e d u c e i t o v e r G F ( p ) , a n d t h e n a t t e m p t t o r e w r i t e t h e r e d u c t i o n o v e r Q

( b y r e w r i t i n g p - 1 a s - 1 , ( p + 1 ) / 2 a s 1 / 2 , a n d s o o n ) . I t c a n t h e n b e c h e c k e d

e a s i l y w h e t h e r t h e r e s u l t i s a g e n u i n e r e d u c t i o n o f t h e Q G - m o d u l e M . T h i s

s i m p l e t e c h n i q u e h a s b e e n i m p l e m e n t e d i n M A G M A b y A l l a n S t e e l . I t i s o f

c o u r s e l i m i t e d , b u t i t d o e s w o r k s u r p r i s i n g l y o f t e n , e s p e c i a l l y f o r l a r g e s p a r s e

r e p r e s e n t a t i o n s , s u c h a s p e r m u t a t i o n r e p r e s e n t a t i o n s , a n d i t i s v e r y f a s t , s o

i t s h o u l d c e r t a i n l y n o t b e d i s c a r d e d c o m p l e t e l y . I n f a c t , b y i n t e l l i g e n t a p p l i -

c a t i o n a n d c o r r e c t c h o i c e o f t h e p r i m e ( w h i c h c a n b e v e r y l a r g e i f n e c e s s a r y ) ,

o n e c a n u s u a l l y r e d u c e M t o h o m o g e n e o u s c o n s t i t u e n t s ( i . e . d i r e c t s u m s o f

i s o m o r p h i c i r r e d u c i b l e s ) , a n d c e r t a i n l y t o d i r e c t s u m s o f i r r e d u c i b l e s o f t h e

s a m e d e g r e e . O f c o u r s e , i f t h e r e d u c t i o n o f a r e p r e s e n t a t i o n o v e r G F ( p ) i s

i r r e d u c i b l e , t h e n i t i s i r r e d u c i b l e o v e r Q , b u t t h e c o n v e r s e i s n o t t r u e . F o r

i r r e d u c i b l e r a t i o n a l r e p r e s e n t a t i o n s w i t h S c h u r i n d e x g r e a t e r t h a n 1 , w h e n p

i s c o p r i m e t o t h e g r o u p o r d e r , t h e r e d u c t i o n o v e r G F ( p ) w i l l b e a d i r e c t s u m

o f m o d u l e s o f t h e s a m e d i m e n s i o n f o r a l l p r i m e s p , a n d s o w e a r e u p a g a i n s t

t h e t h e o r e t i c a l d i f f i c u l t y d e s c r i b e d a b o v e .

I n t h i s s i t u a t i o n , w e p r o p o s e t h e f o l l o w i n g a p p r o a c h . L e t t h e a l g e b r a A

g e n e r a t e d b y t h e m a t r i c e s o f M b e d e f i n e d a s i n s e c t i o n 2 .

S i n c e a l l r e p -



8 0


r e s e n t a t i o n s i n c h a r a c t e r i s t i c z e r o a r e c o m p l e t e l y r e d u c i b l e , t h e p a r t o f t h e

M e a t a x e i n v o l v i n g t h e d u a l m o d u l e , w h e r e w e t r a n s p o s e t h e m a t r i c e s , c a n

b e o m i t t e d c o m p l e t e l y . F u r t h e r m o r e , w e c a n u s e s u m s a n d i n t e r s e c t i o n s o f

n u l l s p a c e s o f e l e m e n t s o f A i n p l a c e o f t h e n u l l s p a c e s t h e m s e l v e s . S o , w e f i n d

a n u m b e r o f n o n t r i v i a l n u l l s p a c e s N i o f e l e m e n t s : E A ( f o r e x a m p l e , c h o o s e

i = g i - 1 , w h e r e f i t i s t h e m a t r i x o f a n e l e m e n t o f G i t s e l f ) . B y r e p l a c i n g N i

b y t r a n s l a t e s u n d e r G i f n e c e s s a r y , w e s e e k t o c o n s t r u c t a s u b s p a c e N : = f l N 1

t h a t i s n o n t r i v i a l , b u t h a s a s s m a l l a d i m e n s i o n a s p o s s i b l e . W e c a n a l s o u s e

s u m s o f s o m e o f t h e N i . ( F o r e x a m p l e , i f w e h a v e N l o f d i m e n s i o n 4 , a n d

N 2 o f d i m e n s i o n 6 , a n d M i t s e l f h a s d e g r e e 2 4 , t h e n b y t a k i n g a p p r o p r i a t e

t r a n s l a t e s , s u m s a n d i n t e r s e c t i o n s , w e c a n a l w a y s f i n d a n N o f d i m e n s i o n 2 . )

W e n o w c a l c u l a t e t h e e n d o m o r p h i s m a l g e b r a E o f M , u s i n g t h e f a c t t h a t

a l l o f i t s e l e m e n t s m u s t f i x t h e s u b s p a c e N . I f N i s n o t t o o l a r g e , t h e n t h i s

c a l c u l a t i o n i s v e r y q u i c k . I f , a t t h i s s t a g e , d i m ( E ) > d i m ( N ) , t h e n w e c a n

d e t e r m i n e r e d u c i b i l i t y o f M a s f o l l o w s . I f E a c t s f r e e l y o n N t h e n , a s i n t h e

e x t e n s i o n o f t h e M e a t a x e d e s c r i b e d i n s e c t i o n 2 , i t i s e n o u g h t o c a l c u l a t e w G

f o r a s i n g l e n o n z e r o v e c t o r w i n N ; e i t h e r i t i s a p r o p e r s u b m o d u l e o f M , o r

i t i s e q u a l t o M a n d M i s i r r e d u c i b l e . I f E d o e s n o t a c t f i x e d - p o i n t - f r e e l y ,

t h e n w e c a n f i n d a n o n z e r o s i n g u l a r m a t r i x i n E , a n d i t s n u l l s p a c e w i l l b e a

s u b m o d u l e o f M .

B y c o m b i n i n g t h e t e c h n i q u e s o f r e d u c i n g t o G F ( p ) a n d l i f t i n g b a c k t o Q ,

a n d w o r k i n g w i t h n u l l s p a c e s a s j u s t d e s c r i b e d , t h e a u t h o r s u c c e e d e d , w i t h

s o m e d i f f c i u l t y , i n c o n s t r u c t i n g t h e i r r e d u c i b l e r a t i o n a l r e p r e s e n t a t i o n s o f

S 4 ( 3 ) ( t h e s a m e e x a m p l e a s i n [ 1 0 ] ) . T h e d i f f i c u l t i e s e n c o u n t e r e d r e s u l t e d

p u r e l y f r o m i n t e g e r e n t r y e x p l o s i o n . T h e r e w a s n o i n h e r e n t d i f f i c u l t y i n f i n d -

i n g n u l l s p a c e s w i t h t h e r e q u i r e d p r o p e r t i e s , b u t t h e r e l a t e d s u m a n d i n t e r s e c -

t i o n c a l c u l a t i o n s t e n d e d t o r e s u l t i n h u g e i n t e g e r s .

R e f e r e n c e s

[ 1 ] W . B o s m a a n d J . C a n n o n , M A G M A H a n d b o o k , U n i v e r s i t y o f S y d n e y ,

1 9 9 3 .

[ 2 ] G . H i 1 3 a n d K . L u x , B r a u e r t r e e s o f s p o r a d i c g r o u p s , O x f o r d U n i v e r s i t y

P r e s s , 1 9 8 9 .

[ 3 ] D e r e k F . H o l t a n d S a r a h R e e s , A g r a p h i c s s y s t e m f o r d i s p l a y i n g f i n i t e

q u o t i e n t s o f f i n i t e l y p r e s e n t e d g r o u p s , i n G r o u p s a n d c o m p u t a t i o n : w o r k -

s h o p o n g r o u p s a n d c o m p u t a t i o n , O c t o b e r 7 - 1 0 , 1 9 9 1 ( e d s . L . F i n k e l s t e i n

a n d W . M . K a n t o r ) , p p . 1 1 3 - 1 2 6 . D I M A C S S e r i e s , V o l . 1 1 , A m e r i c a n

M a t h e m a t i c a l S o c i e t y , 1 9 9 3 .




8 1

[ 4 ] D e r e k F . H o l t a n d S a r a h R e e s , T e s t i n g m o d u l e s f o r i r r e d u c i b i l i t y , J .

A u s t r a l . M a t h . S o c . S e r . A 5 7 ( 1 9 9 4 ) , 1 - 1 6 .

[ 5 ] D e r e k F . H o l t , C . R . L e e d h a m - G r e e n , E . A . O ' B r i e n a n d S a r a h R e e s ,

C o m p u t i n g m a t r i x g r o u p d e c o m p o s i t i o n s w i t h r e s p e c t t o a n o r m a l s u b -

g r o u p , J . A l g e b r a 1 8 4 ( 1 9 9 6 ) , 8 1 8 - 8 3 8 .

[ 6 ] C . J a n s e n , K . L u x , R . P a r k e r a n d R . W i l s o n , A n A t l a s o f B r a u e r c h a r a c -

t e r s , L o n d o n M a t h e m a t i c a l S o c i e t y M o n o g r a p h s , N e w S e r i e s 1 1 , C l a r e n -

d o n P r e s s , O x f o r d , 1 9 9 5 .

[ 7 ] S i m o n N o r t o n , T h e c o n s t r u c t i o n o f J 4 , i n T h e S a n t a C r u z c o n f e r e n c e o n

f i n i t e g r o u p s ( e d s . B . C o o p e r s t e i n a n d G . M a s o n ) , p p . 2 7 1 - 2 7 7 . P r o c e e d -

i n g s o f S y m p o s i a i n P u r e M a t h e m a t i c s , V o l . 3 7 , A m e r i c a n M a t h e m a t i c a l

S o c i e t y , 1 9 8 0 .

[ 8 ] R . P a r k e r , T h e c o m p u t e r c a l c u l a t i o n o f m o d u l a r c h a r a c t e r s - t h e M e a t -

A x e , i n C o m p u t a t i o n a l g r o u p t h e o r y ( e d . M . D . A t k i n s o n ) , p p . 2 6 7 - 2 7 4 .

A c a d e m i c P r e s s , L o n d o n , 1 9 8 4 .

[ 9 ]

[ 1 0 ]

R . P a r k e r , A n i n t e g r a l m e a t a x e , t h e s e p r o c e e d i n g s , p p . 2 1 5 - 2 2 8 .

W . P l e s k e n a n d B . S o u v i g n i e r , C o n s t r u c t i n g r a t i o n a l r e p r e s e n t a t i o n s o f

f i n i t e g r o u p s , i n P r o c e e d i n g s o f t h e M a g m a c o n f e r e n c e , L o n d o n , 1 9 9 3 , t o

a p p e a r .

[ 1 1 ] M i c h a e l R i n g e , T h e C M e a t A x e , L e h r s t u h l D f u r M a t h e m a t i k , R W T H

A a c h e n , 1 9 9 2 .

[ 1 2 ] L a j o s R o n y a i , C o m p u t i n g t h e s t r u c t u r e o f f i n i t e a l g e b r a s , J . S y m b o l i c

C o m p u t . 9 ( 1 9 9 0 ) , 3 5 5 - 3 7 3 .

[ 1 3 ] G e r h a r d S c h n e i d e r , C o m p u t i n g w i t h e n d o m o r p h i s m r i n g s o f m o d u l a r

r e p r e s e n t a t i o n s , J . S y m b o l i c C o m p u t . 9 ( 1 9 9 0 ) , 6 0 7 - 6 3 6 .

[ 1 4 ] M . S c h o n e r t

e t a l . ,

G A P - G r o u p s , A l g o r i t h m s , a n d P r o g r a m m i n g ,




B r a n c h i n g r u l e s f o r m o d u l a r p r o j e c t i v e

r e p r e s e n t a t i o n s o f t h e s y m m e t r i c g r o u p s

J o h n H u m p h r e y s

A b s t r a c t

I n t h i s s u r v e y w e s h a l l d i s c u s s k n o w n r e s u l t s c o n c e r n i n g t h e d e c o m -

p o s i t i o n n u m b e r s f o r t h e p - m o d u l a r p r o j e c t i v e r e p r e s e n t a t i o n s o f t h e

s y m m e t r i c g r o u p s ( f o r p o d d ) . S e v e r a l o p e n q u e s t i o n s a r e m e n t i o n e d .


I t i s w e l l - k n o w n ( s e e [ 4 ] ) , t h a t t h e p r o b l e m o f d e t e r m i n i n g t h e d e c o m p o s i t i o n

n u m b e r s f o r p - m o d u l a r p r o j e c t i v e r e p r e s e n t a t i o n s o f t h e s y m m e t r i c g r o u p s

( f o r o d d p ) i s t h e s a m e p r o b l e m a s d e t e r m i n i n g t h e d e c o m p o s i t i o n n u m b e r s

f o r t h e f a i t h f u l r e p r e s e n t a t i o n s o f a d o u b l e c o v e r o f t h e s y m m e t r i c g r o u p s .

T h e r e a r e , i n g e n e r a l , t w o n o n - i s o m o r p h i c s u c h d o u b l e c o v e r s , o n e o f w h i c h

i s d e n o t e d b y S ( n ) a n d i s g e n e r a t e d b y e l e m e n t s t 1 i . . .

, t , _ 1

t o g e t h e r w i t h a

c e n t r a l i n v o l u t i o n z s a t i s f y i n g t h e r e l a t i o n s

( t , ) 2 = 1 ( f o r t 2 ) .

A r e s u l t o f G . D . J a m e s [ 6 ] s h o w s t h a t i t i s p o s s i b l e t o i n d e x t h e i r r e d u c i b l e

p - m o d u l a r B r a u e r c h a r a c t e r s a n d t h e o r d i n a r y c h a r a c t e r s i n s u c h a w a y t h a t

t h e d e c o m p o s i t i o n m a t r i x i s u p p e r u n i - t r i a n g u l a r . T h i s i s n o t t h e c a s e f o r

p r o j e c t i v e r e p r e s e n t a t i o n s , a n d w e f i r s t u s e t h e m o d u l a r A T L A S [ 7 ] t o l o o k a t

s o m e o f t h e s i t u a t i o n s t h a t a r i s e . T h e s i t u a t i o n i s m o r e c o m p l i c a t e d h e r e t h a n

i n t h e l i n e a r c a s e s i n c e n o a n a l o g u e h a s y e t b e e n f o u n d o f t h e c o n s t r u c t i o n o f

t h e i r r e d u c i b l e m o d u l e s g i v e n b y S p e c h t m o d u l e s . I t i s a w e l l - k n o w n r e s u l t

o f S c h u r ( s e e T h e o r e m 8 . 6 o f [ 4 ] ) t h a t t h e i r r e d u c i b l e c o m p l e x p r o j e c t i v e

r e p r e s e n t a t i o n s o f t h e s y m m e t r i c g r o u p S ( n ) m a y b e l a b e l l e d b y p a r t i t i o n s o f

n i n t o d i s t i n c t p a r t s . H o w e v e r , t h i s m e t h o d o f l a b e l l i n g i s n o t b i j e c t i v e . I f A

h a s a n e v e n n u m b e r o f e v e n p a r t s t h e n t h e r e i s a u n i q u e i r r e d u c i b l e a s s o c i a t e d

w i t h A d e n o t e d b y ( A ) . W h e n A h a s a n o d d n u m b e r o f e v e n p a r t s t h e r e a r e t w o

8 2



M o d u l a r p r o j e c t i v e r e p r e s e n t a t i o n s o f S ( n )

8 3

i r r e d u c i b l e s a s s o c i a t e d w i t h A d e n o t e d ( A ) a n d ( A ) a . T h e c h a r a c t e r s o f t h e s e

t w o r e p r e s e n t a t i o n s a g r e e e v e r y w h e r e e x c e p t o n e l e m e n t s w h i c h p r o j e c t i n t o

p e r m u t a t i o n s o f c y c l e t y p e A a n d h a v e t h e v a l u e z e r o f o r a l l o t h e r e l e m e n t s

w h i c h p r o j e c t i n t o o d d p e r m u t a t i o n s .

T h i s s u r v e y i s d i v i d e d i n t o t h r e e s e c t i o n s . I n s e c t i o n 1 , w e l o o k a t e x a m p l e s

t o t r y t o f o r m u l a t e a s e n s i b l e i d e a o f w h a t t h e d e c o m p o s i t i o n m a t r i x m i g h t

l o o k l i k e . I n s e c t i o n 2 , t h e m o s t g e n e r a l k n o w n r e s u l t i s d i s c u s s e d , a n d f i n a l l y ,

i n s e c t i o n 3 , t h e b r a n c h i n g r u l e s o f t h e t i t l e a r e c o n s i d e r e d .

1

E x p e r i m e n t a l e v i d e n c e

I n t h i s s e c t i o n , w e u s e t h e m o d u l a r A T L A S [ 7 ] t o c o n s i d e r h o w n e a r t h e

d e c o m p o s i t i o n m a t r i x i s t o b e i n g a n u p p e r - t r i a n g u l a r m a t r i x . W e s h a l l d i s c u s s

t h e d e c o m p o s i t i o n m a t r i x a s s o c i a t e d w i t h e a c h p - b l o c k . T h e s e a r e e a s i l y

e x p l a i n e d u s i n g [ 5 ] . F i r s t o f a l l a p - b a r a s s o c i a t e d w i t h t h e Y o u n g d i a g r a m

o f a p a r t i t i o n A o f n i n t o d i s t i n c t p a r t s a r i s e s i n t w o w a y s .

T h e f i r s t o f

t h e s e o c c u r s w h e n o n e o f t h e r o w s o f t h e Y o u n g d i a g r a m h a s m o r e t h a n p

n o d e s . I n t h i s c a s e t h e p - b a r i s d e l e t e d b y r e m o v i n g p n o d e s f r o m t h i s r o w

p r o v i d e d t h a t t h e r e s u l t i n g d i a g r a m h a s d i s t i n c t p a r t s . T h e s e c o n d t y p e o f

p - b a r o c c u r s w h e n t h e n u m b e r o f n o d e s i n t w o d i s t i n c t r o w s a d d s u p t o p .

I n t h i s c a s e , t h e p - b a r i s r e m o v e d b y d e l e t i n g t h e s e t w o r o w s . T h e p - c o r e i s

o b t a i n e d b y r e p e a t i n g t h i s p r o c e s s a s o f t e n a s p o s s i b l e . F o r e x a m p l e , w h e n

n = 1 2 a n d p = 3 t h e 3 - c o r e o f e a c h d i a g r a m i s e m p t y e x c e p t f o r t h e d i a g r a m

c o r r e s p o n d i n g t o t h e p a r t i t i o n ( 7 4 1 ) , w h i c h c a n n o t h a v e a 3 - b a r r e m o v e d

w i t h o u t v i o l a t i n g t h e r e q u i r e m e n t f o r d i s t i n c t p a r t s . A c c o r d i n g t o t h e r e s u l t s

o f [ 5 ] , t h e r e a r e t h r e e b l o c k s i n t h i s c a s e , t h a t c o n t a i n i n g ( n ) t o g e t h e r w i t h a l l

c h a r a c t e r s w i t h e m p t y 3 - c o r e ( i n g e n e r a l , w e s h a l l c a l l t h e b l o c k c o n t a i n i n g ( n )

t h e m a i n b l o c k ) , a s w e l l a s t w o f u r t h e r b l o c k s , o n e c o n t a i n i n g t h e c h a r a c t e r

c o r r e s p o n d i n g t o ( 7 4 1 ) , t h e o t h e r c o n t a i n i n g t h e c h a r a c t e r c o r r e s p o n d i n g t o

( 7 4 1 ) a .

T h e f i r s t i n t e r e s t i n g c a s e o c c u r s w h e n n = 6 w h e n t h e d e c o m p o s i t i o n

m a t r i x f o r t h e o n l y b l o c k o f p r o j e c t i v e r e p r e s e n t a t i o n s m o d u l o 3 i s

& 0 2

( 6 )

1

( 6 ) a

1

( 5 1 )

1 1

( 4 2 )

2 1

( 3 2 1 ) 1

( 3 2 1 ) a

1

w h e r e , a s u s u a l , a b l a n k e n t r y i n t h e m a t r i x r e p r e s e n t s t h e n u m b e r z e r o a n d



8 4


0 1 , 0 2 d e n o t e t h e i r r e d u c i b l e m o d u l a r p r o j e c t i v e B r a u e r c h a r a c t e r s o f d e g r e e s

4 a n d 1 2 r e s p e c t i v e l y .

N o t e h e r e t h a t t h e i r r e d u c i b l e 4 5 1 a r i s e s f r o m t h e r e s t r i c t i o n t o p - r e g u l a r

c l a s s e s o f t w o o r d i n a r y i r r e d u c i b l e s ( ( 6 ) a n d ( 6 ) a ) , b e c a u s e t h e s e d i f f e r o n a

c o n j u g a c y c l a s s w h i c h c o n t a i n s e l e m e n t s o f o r d e r d i v i s i b l e b y p b u t w h i c h i s

a - r e g u l a r . I t f o l l o w s t h a t t h e d e c o m p o s i t i o n m a t r i x c a n h a v e s m a l l " c l i f f s " o f

h e i g h t 2 .

N e x t c o n s i d e r t h e c a s e o f 3 - m o d u l a r r e p r e s e n t a t i o n s w h e n n = 9 . I n t h i s

c a s e t h e d e c o m p o s i t i o n m a t r i x f o r t h e u n i q u e b l o c k m o d u l o 3 i s

0 1

0 2 0 3

0 4

0 5 0 6

( 9 )

1

1

( 8 1 )

1 1

( 8 1 ) a

1

1

( 7 2 )

1 1

1

( 7 2 ) -

1

1 1

( 6 3 )

1

1

1 1

( 6 3 ) '

1

1

1 1

( 6 2 1 )

2 2 1 1

( 5 4 )

1 1

( 5 4 ) '

1

1

( 5 3 1 )

2 2 1 1 1 1

( 4 3 2 )

1 1

w h e r e 0 1 ,

. . . , 0 6 a r e t h e B r a u e r c h a r a c t e r s o f t h e m o d u l a r i r r e d u c i b l e p r o j e c -

t i v e r e p r e s e n t a t i o n s o f S ( 9 ) o f d e g r e e s 8 , 8 , 4 8 , 4 8 , 1 0 4 a n d 1 0 4 r e s p e c t i v e l y .

T h e f e a t u r e t o n o t e h e r e i s t h a t t h e i r r e d u c i b l e c h a r a c t e r i s t i c z e r o p r o -

j e c t i v e r e p r e s e n t a t i o n c o r r e s p o n d i n g t o ( 9 ) h a s t w o i r r e d u c i b l e m o d u l a r c o n -

s t i t u e n t s s o t h a t t h e d e c o m p o s i t i o n m a t r i x h a s a s m a l l " p l a t e a u " o f w i d t h

2 .

N e x t , c o n s i d e r t h e c a s e n = 1 2 a g a i n w h e n p = 3 .

A s w e h a v e s e e n ,

t h e r e a r e t h r e e b l o c k s i n t h i s c a s e . I n w r i t i n g d o w n t h e d e c o m p o s i t i o n m a -

t r i x f o r t h e m a i n b l o c k , w e d o n o t u s e l e x i c o g r a p h i c o r d e r o f p a r t i t i o n s a s

i n t h e p r e v i o u s e x a m p l e s , b u t r a t h e r f i r s t c o n s i d e r S c h u r - r e g u l a r p a r t i t i o n s ,

o r d e r e d l e x i c o g r a p h i c a l l y , t h e n S c h u r - i r r e g u l a r p a r t i t i o n s , a l s o o r d e r e d l e x i c o -

g r a p h i c a l l y ( a p a r t i t i o n A = ( A 1 ,

. . . ,

A t ) i s S c h u r - r e g u l a r i f A i - A i + 1 > 3 f o r

1 3 w h e n e v e r A i - 0 ( m o d 3 ) , s e e [ 3 ] ) . T h e d e -

c o m p o s i t i o n m a t r i x f o r t h e m a i n b l o c k i s t h e n a s i n T a b l e 1 , w h e r e q 5 1 i . . . , 0 5

a r e t h e B r a u e r c h a r a c t e r s o f t h e m o d u l a r i r r e d u c i b l e c h a r a c t e r s i n t h e m a i n

b l o c k o f a d o u b l e c o v e r o f S ( 1 2 ) o f d e g r e e s 3 2 , 2 8 8 , 6 4 0 , 1 0 0 8 , 2 8 8 0 a n d 7 7 7 6

r e s p e c t i v e l y . T h e f e a t u r e t o n o t e h e r e i s t h e e n t r y o f 2 o n t h e " d i a g o n a l " .




8 5

A s c a n b e s e e n f r o m t h e s e e x a m p l e s , t h e d e c o m p o s i t i o n m a t r i x o f e a c h

b l o c k o f p r o j e c t i v e c h a r a c t e r s o f S ( n ) i s o n l y a p p r o x i m a t e l y u p p e r t r i a n g u -

l a r .

I t h a s b e e n c o n j e c t u r e d ( s e e [ 2 ] ) t h a t a p a r t f r o m " c l i f f s " o f h e i g h t 2

a n d " p l a t e a u x " o f w i d t h 2 , t h e d e c o m p o s i t i o n m a t r i x i s o f u p p e r - t r i a n g u l a r

s h a p e . A m o r e p r e c i s e c o n j e c t u r e a b o u t t h e w a y t o l a b e l i r r e d u c i b l e m o d u l a r

p r o j e c t i v e c h a r a c t e r s i s f o r m u l a t e d i n [ 2 ] , a n d t h i s i s a l s o e s t a b l i s h e d i n t h e

c a s e p = 3 . T h e c a s e p = 5 i s e s t a b l i s h e d i n [ 1 ] , w h e r e i t i s a l s o e x p l a i n e d

w h y t h i s m o r e p r e c i s e c o n j e c t u r e f a i l s f o r p = 7 a n d p = 1 1 . T h e l a b e l l i n g o f

t h e m o d u l a r p r o j e c t i v e c h a r a c t e r s r e m a i n s a v e r y d i f f i c u l t p r o b l e m .

T a b l e 1 : D e c o m p o s i t i o n o f t h e m a i n b l o c k f o r n = 1 2 a n d p = 3

0 1 0 2

0 3

0 4

0 5

( 1 2 )

1

( 1 2 ) a

1

( 1 1 1 ) 1 1

( 1 0 2 )

1 1 1

( 9 3 )

2 2 2

( 8 4 )

1 1

2

1

( 9 2 1 )

2 1 1

( 9 2 1 ) a

2

1 1

( 7 5 )

2 2

1

( 7 3 2 )

3

1

1 2 1

( 7 3 2 ) ' 3

1 1

2

1

( 6 5 1 )

1 1

1 1

( 6 5 1 ) °

1 1 1 1

( 6 4 2 )

4 1 2

3

1

( 6 4 2 ) '

4 1

2

3

1

( 6 3 2 1 )

2 2 2

( 5 4 3 )

1

1

1

( 5 4 3 ) '

1 1

1

( 5 4 2 1 )

1 2

1

2

W a l e s ' r e s u l t s

I n t h i s s e c t i o n , w e d i s c u s s t h e m o s t g e n e r a l r e s u l t y e t p r o v e d a b o u t t h e r e -

d u c t i o n m o d u l o p o f c h a r a c t e r i s t i c z e r o p r o j e c t i v e c h a r a c t e r s . T h i s i s a r e s u l t

o f W a l e s [ 1 0 ] , w h i c h m a y b e s t a t e d a s f o l l o w s .

T h e o r e m 2 . 1 L e t p b e a n o d d p r i m e . T h e r e i s a n i r r e d u c i b l e p - m o d u l a r

c h a r a c t e r c b ( ( n ) ) a s s o c i a t e d w i t h t h e p r o j e c t i v e c h a r a c t e r ( n ) a s f o l l o w s :

( i ) i f n i s e v e n , o r i f n i s o d d a n d p d o e s n o t d i v i d e n , t h e n c b ( ( n ) ) i s e q u a l

t o t h e r e s t r i c t i o n t o p - r e g u l a r c l a s s e s o f ( n ) ;



8 6


( i i ) i f n i s o d d a n d p d i v i d e s n t h e n t h e r e s t r i c t i o n t o p - r e g u l a r c l a s s e s o f

( n ) i s c b ( ( n ) ) + ¢ ( ( n ) ) a w h e r e t h e r e s t r i c t i o n o f t h e c h a r a c t e r c b ( ( n ) ) 4 . S ( n - 1 )

t o p - r e g u l a r c l a s s e s i s e q u a l t o ( n - 1 ) .

T h e r e i s a s i m i l a r r e s u l t f o r t h e c h a r a c t e r ( n - 1 , 1 ) , b u t n o s u c h r e s u l t i s

k n o w n f o r a n y o t h e r p r o j e c t i v e r e p r e s e n t a t i o n i n g e n e r a l .

T h e o r e m 2 . 2 T h e r e s t r i c t i o n o f ( n - 1 , 1 ) t o p - r e g u l a r c o n j u g a c y c l a s s e s i s

a n i r r e d u c i b l e p - m o d u l a r r e p r e s e n t a t i o n i f p d o e s n o t d i v i d e n a n d p d o e s n o t

d i v i d e n - 1 .

I f p d i v i d e s n , t h e r e s t r i c t i o n o f ( n - 1 , 1 ) t o p - r e g u l a r c o n j u g a c y c l a s s e s

i s e q u a l t o q ( ( n - 1 , 1 ) ) + q 5 ( ( n ) ) . F i n a l l y i f p d i v i d e s n - 1 t h e r e s t r i c t i o n o f

( n - 1 , 1 ) t o p - r e g u l a r c o n j u g a c y c l a s s e s i s e q u a l t o ¢ ( ( n - 1 , 1 ) ) + ¢ ( ( n ) ) i f n

i s o d d a n d i s c b ( ( n - 1 , 1 ) ) + q ( ( n - 1 , 1 ) ) a + 4 ( ( n ) ) + q 5 ( ( n ) ) ° i f n i s e v e n .

R e m a r k : I n a f u t u r e p u b l i c a t i o n , w e h o p e t o p r e s e n t a n a l t e r n a t i v e p r o o f o f

t h e s e f a c t s w h i c h i s m o r e s t r a i g h t f o r w a r d t h a n t h e o r i g i n a l p r o o f .

3

B r a n c h i n g r u l e s

I n t h i s s e c t i o n , w e d i s c u s s t h e b r a n c h i n g r u l e s f o r p r o j e c t i v e m o d u l a r r e p r e -

s e n t a t i o n s . W e f i r s t d i s c u s s r e p r e s e n t a t i o n s o f t h e s y m m e t r i c g r o u p s . T h u s ,

t h e J a m e s i n d e x i n g o f m o d u l a r i r r e d u c i b l e r e p r e s e n t a t i o n s o f t h e s y m m e t r i c

g r o u p s ( a c c o r d i n g t o w h i c h t h e d e c o m p o s i t i o n m a t r i x i s u p p e r - u n i t r i a n g u l a r )

i s u s e d t o l a b e l t h e i r r e d u c i b l e s .

T h e m o t i v a t i o n f o r c o n s i d e r i n g b r a n c h -

i n g r u l e s f o r p r o j e c t i v e r e p r e s e n t a t i o n s i s t h e J a n t z e n - S e i t z c o n j e c t u r e [ 8 ] f o r

r e p r e s e n t a t i o n s o f t h e s y m m e t r i c g r o u p w h i c h g i v e s n e c e s s a r y a n d s u f f i c i e n t

c o n d i t i o n s f o r t h e m o d u l a r r e p r e s e n t a t i o n a s s o c i a t e d w i t h a p a r t i t i o n A t o b e

i r r e d u c i b l e o n r e s t r i c t i o n t o t h e s u b g r o u p S ( n - 1 ) o f S ( n ) . T h i s w a s e s t a b -

l i s h e d i n o n e d i r e c t i o n i n [ 8 ] , a n d p r o v e d i n t h e r e v e r s e d i r e c t i o n i n d e p e n d e n t l y

i n [ 3 ] a n d [ 9 ] . T h e r e i s a s y e t n o a n a l o g u e o f t h i s r e s u l t f o r m o d u l a r p r o j e c t i v e

r e p r e s e n t a t i o n s . H o w e v e r , t h e f o l l o w i n g p a r t i a l r e s u l t m a y b e o b t a i n e d f r o m

t h e r e s u l t o f W a l e s d i s c u s s e d i n t h e l a s t s e c t i o n .

T h e o r e m 3 . 1 T h e p - m o d u l a r i r r e d u c i b l e ¢ ( ( n ) ) i s i r r e d u c i b l e o n r e s t r i c t i o n

t o S ( n - 1 ) i f n i s e v e n a n d p d i v i d e s n - 1 , o r i f n i s o d d a n d p d i v i d e s n .

T h e i r r e d u c i b l e q ' ( ( n - 1 , 1 ) ) i s a l s o i r r e d u c i b l e o n r e s t r i c t i o n t o S ( n - 1 )

i f e i t h e r p d i v i d e s n - 1 , o r n i s o d d a n d p d i v i d e s n .

P r o o f : W e f i r s t c o n s i d e r t h e c h a r a c t e r ( n ) . T h i s h a s d e g r e e 2 ( n - 2 ) / 2 i f n i s

e v e n a n d h a s d e g r e e

2 ( n - 1 ) / 2 i f

n i s o d d . A s w e h a v e s e e n i n T h e o r e m 2 . 1 ,

( n ) i s i r r e d u c i b l e m o d u l o p i f n i s e v e n o r i f n i s o d d a n d p d o e s n o t d i v i d e

n . I f n i s o d d a n d p d i v i d e s n , t h e n i ( ( n ) ) i s o f d e g r e e

2 ( n - 3 ) / 2 . T o c o n s i d e r




8 7

b r a n c h i n g r u l e s , f i r s t s u p p o s e t h a t n i s e v e n s o t h a t ( n ) i s i r r e d u c i b l e m o d u l o

p . T h u s n - 1 i s o d d , a n d b y t h e o r d i n a r y b r a n c h i n g r u l e s ,

( n ) 4 . S ( n - 1 ) = ( n - 1 ) .

S i n c e t h e r e s t r i c t i o n o f ( n ) 4 . S ( n - 1 ) t o p - r e g u l a r c l a s s e s i s e q u a l t o t h e

c h a r a c t e r o b t a i n e d b y r e s t r i c t i n g t o S ( n - 1 ) t h e r e s t r i c t i o n o f ( n ) t o p - r e g u l a r

c l a s s e s , w e s e e t h a t ( n - 1 ) i s a l s o i r r e d u c i b l e m o d u l o p u n l e s s p d i v i d e s n - 1 ,

i n w h i c h c a s e ( n - 1 ) i s r e d u c i b l e . N o w c o n s i d e r t h e c a s e w h e n n i s o d d s o

t h a t

( n ) , . S ( n - 1 ) = ( n - 1 ) + ( n - 1 ) a .

T h e p - m o d u l a r c h a r a c t e r i s t h e r e f o r e r e d u c i b l e u n l e s s p d i v i d e s n , i n w h i c h

c a s e ' ( ( n ) ) 4 . S ( n - 1 ) = ( n - 1 ) a n d i s i r r e d u c i b l e b e c a u s e n - 1 i s e v e n .

N o w c o n s i d e r ( n - 1 , 1 ) w h i c h h a s d e g r e e 2 ( n - 2 ) / 2 ( n - 2 ) i f n i s e v e n a n d

h a s d e g r e e 2 ( n - 3 ) / 2 ( n - 2 ) w h e n n i s o d d . C o n s i d e r f i r s t t h e c a s e w h e n n i s

e v e n s o t h a t ¢ ( ( n - 1 , 1 ) ) h a s d e g r e e

2 ( n - 2 ) / 2 ( n

- 2 ) i f p d i v i d e s n e i t h e r n n o r

n - 1 ; t h e d e g r e e i s

2 ( n - 2 ) / 2 ( n

- 3 ) i f p d i v i d e s n a n d i s

2 ( n - 4 ) / 2 ( n

- 4 ) i f p

d i v i d e s n - 1 . S i n c e n - 1 i s o d d , ¢ ( ( n - 2 , 1 ) ) h a s d e g r e e

2 ( n - \ 4 ) / 2 ( n

- 3 ) ,

2 ( n - 4 ) / 2 ( n

- 4 ) , o r

2 ( n - 4 ) / 2 ( n

- 5 ) r e s p e c t i v e l y i n t h e t h r e e s i t u a t i o n s w h e n

p d i v i d e s n e i t h e r n - 1 n o r n - 2 , p d i v i d e s n - 1 , o r p d i v i d e s n - 2 . O n

d e g r e e g r o u n d s , w e s e e t h a t q 5 ( ( n - 1 , 1 ) ) c o u l d o n l y p o s s i b l y b e i r r e d u c i b l e

o n r e s t r i c t i o n t o S ( n - 1 ) w h e n n i s e v e n a n d p d i v i d e s n - 1 , s o w e n o w

c o n s i d e r t h i s c a s e i n m o r e d e t a i l . B y T h e o r e m 2 . 2 , t h e r e d u c t i o n m o d u l o p

o f ( n - 1 , 1 ) i s

0 ( ( n - 1 , 1 ) ) + 0 ( ( n - 1 , 1 ) ) a + q 5 ( ( n ) ) + 0 ( ( n ) ) a .

T h e o r d i n a r y b r a n c h i n g r u l e s h o w s t h a t

( n - 1 , 1 ) 4 S ( n - 1 ) = ( n - 1 ) + ( n - 2 , 1 ) + ( n - 2 , 1 ) a ,

s o w h e n t h i s r e s t r i c t i o n i s r e d u c e d m o d u l o p w e o b t a i n ( s i n c e p d i v i d e s n - 1 )

0 ( ( n - 1 ) ) + 0 ( ( n - 1 ) ) a + ¢ ( ( n - 1 ) ) + 0 ( ( n - 2 , 1 ) )

+ c d ( ( n - 1 ) ) a + 0 ( ( n - 2 , 1 ) ) a .

S i n c e n - 1 i s o d d a n d p d i v i d e s n - 1 ,

0 ( ( n ) ) 4 . S ( n - 1 ) = 0 ( ( n ) ) a 4 . S ( n - 1 ) = 0 ( ( n - 1 ) ) + ¢ ( ( n

- 1 ) ) a ,

s o w e s e e t h a t 0 ( ( n - 1 , 1 ) ) 4 . S ( n - 1 ) i s e q u a l t o c b ( ( n - 2 , 1 ) ) , a s r e q u i r e d .



8 8


F i n a l l y , c o n s i d e r t h e c a s e w h e n n i s o d d . T h e n t h e d e g r e e o f 0 ( ( n - 1 , 1 ) )

i s 2 ( n - 3 ) / 2 ( n - 2 ) ,

2 ( n - 3 ) / 2 ( n

- 3 ) , o r

2 ( n - 3 ) / 2 ( n

- 4 ) i n t h e t h r e e c a s e s w h e n

p d i v i d e s n e i t h e r n n o r n - 1 , p d i v i d e s n , o r p d i v i d e s n - 1 r e s p e c t i v e l y .

S i n c e n - 1 i s e v e n t h e d e g r e e o f 0 ( n - 2 , 1 ) ) i s

2 ( n - 3 ) / 2 ( n - 3 ) ,

2 ( n - 3 ) / 2 ( n

- 4 ) ,

o r

2 ( n - 3 ) / 2 ( n

- 5 ) r e s p e c t i v e l y i n t h e c a s e s p d i v i d e s n e i t h e r n - 1 n o r n - 2 ,

p d i v i d e s n - 1 , o r p d i v i d e s n - 2 . T h u s o n d e g r e e g r o u n d s , w e s e e t h a t

0 ( ( n - 1 , 1 ) ) c a n o n l y p o s s i b l y b e i r r e d u c i b l e o n r e s t r i c t i o n t o S ( n - 1 ) e i t h e r

i f p d i v i d e s n a n d a t t h e s a m e t i m e p d i v i d e s n e i t h e r n - 1 n o r n - 2 , o r i f

p d i v i d e s n - 1 . H o w e v e r , i f p d i v i d e s n , s i n c e p i s o d d i t i s g r e a t e r t h a n o r

e q u a l t o 3 a n d s o c a n n o t d i v i d e e i t h e r n - 1 o r n - 2 . T h u s t h e c o n d i t i o n

t h a t p d i v i d e s n i m p l i e s t h a t p c a n n o t d i v i d e e i t h e r n - 1 o r n - 2 . W h e n n

i s o d d , w e t h e r e f o r e o n l y n e e d t o c o n s i d e r t h e c a s e s t h a t p d i v i d e s n o r t h a t

p d i v i d e s n - 1 . I n e i t h e r o f t h e s e t w o c a s e s t h e p - m o d u l a r c o n s t i t u e n t s o f

( n - 1 , 1 ) a r e ¢ ( ( n ) ) a n d q ( ( n - 1 , 1 ) ) w h e r e a s

( n - 1 , 1 ) 4 . S ( n - 1 ) = ( n - 1 ) + ( n - 2 , 1 ) .

S i n c e ( n ) 4 . S ( n - 1 ) = ( n - 1 ) , i t f o l l o w s t h a t t h e r e s t r i c t i o n o f 0 ( ( n - 1 , 1 ) )

m u s t c o n t a i n 0 ( ( n - 2 , 1 ) ) a n d s i n c e w e h a v e j u s t s h o w n t h a t t h e s e h a v e e q u a l

d e g r e e s , t h e y m u s t b e e q u a l .

R e f e r e n c e s

[ 1 ]

G . E . A n d r e w s , C . B e s s e n r o d t a n d J . B . O l s s o n , P a r t i t i o n i d e n t i t i e s a n d

l a b e l s f o r s o m e m o d u l a r c h a r a c t e r s , T r a n s . A m e r . M a t h . S o c . 3 4 4 ( 1 9 9 4 ) ,

5 9 7 - 6 1 3 .

[ 2 ] C . B e s s e n r o d t , A . M o r r i s a n d J . B . O l s s o n , D e c o m p o s i t i o n m a t r i c e s f o r

s p i n c h a r a c t e r s a t c h a r a c t e r i s t i c 3 , J . A l g e b r a 1 6 4 ( 1 9 9 4 ) , 1 4 6 - 1 7 2 .

[ 3 ]

B . F o r d , I r r e d u c i b l e r e s t r i c t i o n s o f r e p r e s e n t a t i o n s o f t h e s y m m e t r i c

g r o u p s , B u l l . L o n d o n M a t h . S o c . 2 7 ( 1 9 9 5 ) , 4 5 3 - 4 5 9 .

[ 4 ] P . N . H o f f m a n a n d J . F . H u m p h r e y s , P r o j e c t i v e r e p r e s e n t a t i o n s o f t h e

s y m m e t r i c g r o u p s , O x f o r d U n i v e r s i t y P r e s s , 1 9 9 2 .

[ 5 ]

J . F . H u m p h r e y s , B l o c k s o f p r o j e c t i v e r e p r e s e n t a t i o n s o f t h e s y m m e t r i c

g r o u p s , J . L o n d o n M a t h . S o c . ( 2 ) 3 3 ( 1 9 8 6 ) , 4 4 1 - 4 5 2 .

[ 6 ] G . D . J a m e s , T h e i r r e d u c i b l e r e p r e s e n t a t i o n s o f t h e s y m m e t r i c g r o u p s ,

B u l l . L o n d o n M a t h . S o c . 8 ( 1 9 7 6 ) , 2 2 9 - 2 3 2 .

[ 7 ]

C . J a n s e n , K . L u x , R . P a r k e r a n d R . W i l s o n , A n A T L A S o f B r a u e r c h a r -

a c t e r s , O x f o r d U n i v e r s i t y P r e s s , 1 9 9 5 .




8 9

[ 8 ]

J . C . J a n t z e n a n d G . M . S e i t z , O n t h e r e p r e s e n t a t i o n t h e o r y o f t h e

s y m m e t r i c g r o u p s , P r o c . L o n d o n M a t h . S o c . ( 3 ) 6 5 ( 1 9 9 2 ) , 4 7 5 - 5 0 4 .

[ 9 ] A . S . K l e s h c h e v , O n r e s t r i c t i o n s o f i r r e d u c i b l e m o d u l a r r e p r e s e n t a t i o n s

o f s e m i s i m p l e a l g e b r a i c g r o u p s a n d s y m m e t r i c g r o u p s t o s o m e n a t u r a l

s u b g r o u p s , I , P r o c . L o n d o n M a t h . S o c . ( 3 ) 6 9 ( 1 9 9 4 ) , 5 1 5 - 5 4 0 .

[ 1 0 ] D . B . W a l e s , S o m e p r o j e c t i v e r e p r e s e n t a t i o n s o f S , , , J . A l g e b r a 6 1 ( 1 9 7 9 ) ,

3 7 - 5 7 .




G a r e t h A . J o n e s

A b s t r a c t

T h i s i s a s u r v e y o f s o m e r e c e n t a p p l i c a t i o n s o f t h e c h a r a c t e r t h e o r y

o f f i n i t e g r o u p s t o t h e t h e o r y o f s u r f a c e s . T h e e m p h a s i s i s o n c o m -

p a c t R i e m a n n s u r f a c e s , t o g e t h e r w i t h t h e i r a s s o c i a t e d a u t o m o r p h i s m

g r o u p s , c o v e r i n g s , h o m o l o g y g r o u p s , c o m b i n a t o r i a l s t r u c t u r e s , f i e l d s o f

d e f i n i t i o n , a n d l e n g t h s p e c t r a .

1


W i t h t h e p u b l i c a t i o n o f t h e A T L A S o f F i n i t e G r o u p s [ 1 6 ] , a n d s u b s e q u e n t l y

o f i t s c o m p a n i o n , t h e A T L A S o f B r a u e r C h a r a c t e r s [ 4 4 ] , t h e r e i s a n o w c o n -

s i d e r a b l e w e a l t h o f i n f o r m a t i o n a v a i l a b l e a b o u t t h e c h a r a c t e r t h e o r y o f f i n i t e

s i m p l e g r o u p s a n d r e l a t e d g r o u p s . T h i s m e a n s t h a t t h e g r e a t a p p a r a t u s o f

r e p r e s e n t a t i o n t h e o r y d e v e l o p e d b y F r o b e n i u s , S c h u r , B r a u e r a n d o t h e r s c a n

b e a p p l i e d m o r e e f f e c t i v e l y t h a n e v e r t o c o n s t r u c t e x a m p l e s , t o s o l v e s p e c i f i c

p r o b l e m s a n d t o t e s t g e n e r a l c o n j e c t u r e s . M o s t o f t h e s e a p p l i c a t i o n s h a v e

b e e n w i t h i n f i n i t e g r o u p t h e o r y i t s e l f , b u t m a t h e m a t i c i a n s i n o t h e r a r e a s a r e

a l s o b e g i n n i n g t o m a k e u s e o f t h e s e m e t h o d s . M y a i m h e r e i s t o g i v e a s u r v e y

o f s o m e o f t h e w a y s i n w h i c h c h a r a c t e r t h e o r y c a n c o n t r i b u t e t o t h e s t u d y

o f s u r f a c e s , w i t h p a r t i c u l a r e m p h a s i s o n c o m p a c t R i e m a n n s u r f a c e s .

I h a v e

n o t a t t e m p t e d t o b e c o m p r e h e n s i v e : t h e a p p l i c a t i o n s I h a v e c h o s e n a r e s i m -

p l y t h o s e w h i c h I h a v e r e c e n t l y f o u n d u s e f u l o r i n t e r e s t i n g . N e v e r t h e l e s s , I

h o p e t h a t t h e s e b r i e f c o m m e n t s , t o g e t h e r w i t h t h e r e f e r e n c e s , w i l l p r o v i d e t h e

i n t e r e s t e d r e a d e r w i t h a t l e a s t a s k e t c h - m a p f o r f u r t h e r e x p l o r a t i o n .

2

C o u n t i n g s o l u t i o n s o f e q u a t i o n s

O n e o f t h e m o s t e f f e c t i v e c h a r a c t e r - t h e o r e t i c t e c h n i q u e s i s t h e e n u m e r a t i o n o f

t h e s o l u t i o n s o f a n e q u a t i o n i n a f i n i t e g r o u p . T r a d i t i o n a l l y , t h i s i s a p u r e l y

a l g e b r a i c a c t i v i t y , a s i n t h e i n v e s t i g a t i o n b y F r o b e n i u s [ 2 2 ] o f t h e n u m b e r o f

s o l u t i o n s o f x ' = a , b u t c l a s s i c a l r e s u l t s o f H u r w i t z [ 3 8 ] i m p l y t h a t t h e s e

m e t h o d s c a n a l s o b e a p p l i e d t o t h e r e l a t i o n s h i p b e t w e e n f i n i t e g r o u p s a n d

9 0




9 1

s u r f a c e s .

B e f o r e c o n s i d e r i n g t h e s e a p p l i c a t i o n s , l e t m e s t a t e a w e l l - k n o w n

c h a r a c t e r - t h e o r e t i c f o r m u l a .

L e t K 1 , .

. . ,

K r b e c o n j u g a c y c l a s s e s ( n o t n e c e s s a r i l y d i s t i n c t ) i n a f i n i t e

g r o u p G , a n d l e t n ( K i , . . . , K r ) d e n o t e t h e n u m b e r o f r - t u p l e s ( g l , . . . , g , . ) E

K l s u c h t h a t g l . . . g r = 1 . T h e n w e h a v e

I K i I . . . I K r l E x ( g l ) . . . x ( g r )

I G 1

( 1 ) r - 2

( 1 )

X

x

w h e r e g 2 E K , f o r e a c h i , a n d w h e r e x r a n g e s o v e r t h e i r r e d u c i b l e c o m p l e x

c h a r a c t e r s o f G . S e r r e g i v e s a p r o o f i n [ 8 7 , T h e o r e m 7 . 2 . 1 ] , a n d a f o r m u l a

e q u i v a l e n t t o t h e m o s t u s e f u l c a s e r = 3 i s p r o v e d i n [ 2 7 , § 4 . 2 ] a n d [ 4 3 , § 2 8 ] .

T h e b a s i c i d e a o f t h e p r o o f i s t o w o r k i n t h e c e n t r e o f t h e g r o u p - a l g e b r a C G ,

u s i n g t h e o r t h o g o n a l i t y r e l a t i o n s t o c o m p u t e n ( K I , . . . , K r ) a s t h e c o e f f i c i e n t

o f 1 i n t h e p r o d u c t o f t h e c l a s s - s u m s c o r r e s p o n d i n g t o t h e c l a s s e s K i .

H e u r i s t i c a l l y , o n e c a n r e g a r d I K 1 I

. . .

I K r I / I G I a s a f i r s t a p p r o x i m a t i o n t o

t h e n u m b e r o f s o l u t i o n s o f g l . . . g r = 1 , o b t a i n e d b y a s s u m i n g t h a t e a c h

e l e m e n t o f G o c c u r s e q u a l l y o f t e n a s a v a l u e o f g l . . . g r f o r ( g 1 , . . . , g r ) E

K l x x K r . O f c o u r s e , g r o u p s r a r e l y b e h a v e a s s t r a i g h t f o r w a r d l y a s t h i s ,

a n d t h e s u m m a t i o n f a c t o r i n ( 1 ) c o m p e n s a t e s f o r t h e f a c t t h a t t h e p r o d u c t s

g i

g r m a y n o t b e u n i f o r m l y d i s t r i b u t e d . T h i s s u m i s o f t e n d o m i n a t e d b y

t h e c o n t r i b u t i o n ( e q u a l t o 1 ) f r o m t h e p r i n c i p a l c h a r a c t e r o f G , i n w h i c h c a s e

t h e f i r s t a p p r o x i m a t i o n i s n o t f a r f r o m t h e t r u t h . T h e e v a l u a t i o n o f t h i s s u m

i s o f t e n s i m p l i f i e d b y t h e t e n d e n c y f o r m a n y c h a r a c t e r s x t o t a k e t h e v a l u e 0

o n a t l e a s t o n e o f t h e c l a s s e s K t .

F o r m u l a ( 1 ) i s u s e f u l i n d e t e r m i n i n g w h e t h e r a g i v e n f i n i t e g r o u p G i s a n

e p i m o r p h i c i m a g e o f t h e g r o u p

A = A ( k l , . . . , k l ) = ( X l , . . . , X r I X l '

F i r s t o n e c o m p u t e s n ( K i , . . . , K r ) f o r e a c h c h o i c e o f c l a s s e s K ; o f e l e m e n t s o f

o r d e r d i v i d i n g k E i n G ; t h e s u m o f t h e s e n u m b e r s i s t h e n u m b e r o f s o l u t i o n s

i n G o f t h e d e f i n i n g r e l a t i o n s o f A , t h a t i s , t h e n u m b e r o f h o m o m o r p h i s m s

0 : A - - G ; b y a p p l y i n g t h e s a m e f o r m u l a t o a p p r o p r i a t e s u b g r o u p s o f G , o n e

e s t i m a t e s h o w m a n y s o l u t i o n s g e n e r a t e p r o p e r s u b g r o u p s , a n d h e n c e o n e c a n

d e t e r m i n e w h e t h e r a n y s u c h 0 i s a n e p i m o r p h i s m . ( A m o r e r e f i n e d v e r s i o n o f

t h i s p r o c e d u r e , d u e t o P h i l i p H a l l , i s d e s c r i b e d i n s e c t i o n 6 . )

3

F i n i t e g r o u p s a n d s u r f a c e s

M a n y o f t h e b a s i c r e s u l t s i n t h i s a r e a w e r e p r o v e d b y H u r w i t z i n [ 3 8 ] ; f o r

m o d e r n t r e a t m e n t s , s e e [ 5 1 , 9 8 , 1 0 7 ] . L e t S b e a c o m p a c t , c o n n e c t e d , o r i e n t e d

s u r f a c e w i t h o u t b o u n d a r y , a n d l e t G b e a f i n i t e g r o u p o f o r i e n t a t i o n - p r e s e r v i n g



9 2


h o m e o m o r p h i s m s f r o m S t o i t s e l f . T h e n G p r e s e r v e s a c o m p l e x s t r u c t u r e o n

S , s o w e c a n a s s u m e t h a t S i s a R i e m a n n s u r f a c e a n d G i s c o n t a i n e d i n t h e

g r o u p A u t S o f c o n f o r m a l a u t o m o r p h i s m s o f S . T h e r e a r e j u s t f i n i t e l y m a n y

n o n - r e g u l a r o r b i t s Q 1 , .

. , r o f G o n S , t h e f i b r e s o f t h e b r a n c h - p o i n t s o f t h e

n a t u r a l p r o j e c t i o n S - * T : = S / G . I f T h a s g e n u s h t h e n G h a s g e n e r a t o r s

a l , b 1 , . . . , a h , b h , x l , . . . X . s a t i s f y i n g

h

x i l =

=

x k ,

_

H [ a i , b i ] H x i = 1

i = 1

i = 1

w h e r e e a c h x i g e n e r a t e s t h e s t a b i l i z e r i n G o f s o m e p o i n t i n D i . T h e a b s t r a c t

g r o u p

h

r

r = ( A 1 , B 1 , . . . , A h , B h , ) C l , . . . , X r I X i `

=

1 )

i = 1

i = 1

i s s a i d t o h a v e s i g n a t u r e ( h ; k 1 ,

. .

. ,

k r ) . T h e e p i m o r p h i s m r - * G g i v e n b y

A i , B i , X i i - 3 a i , b i , x i h a s k e r n e l A , a n o r m a l s u b g r o u p o f r w i t h r / A - G .

T h e o n l y e l e m e n t s o f f i n i t e o r d e r i n r a r e t h e c o n j u g a t e s o f t h e p o w e r s o f t h e

g e n e r a t o r s X i , s o A i s t o r s i o n - f r e e ; i n f a c t , A i s i s o m o r p h i c t o t h e f u n d a m e n t a l

g r o u p 7 r l ( S ) o f S , s o i t h a s s i g n a t u r e ( g ; - ) w h e r e g i s t h e g e n u s o f S .

C o n v e r s e l y , e v e r y t o r s i o n - f r e e n o r m a l s u b g r o u p A o f f i n i t e i n d e x i n r h a s

s i g n a t u r e ( g ; - ) f o r s o m e g , a n d i t a r i s e s i n t h e a b o v e w a y f r o m a f i n i t e g r o u p

a c t i o n . I f w e d e f i n e M ( r ) = 2 h - 2 + E i ( 1 - k i 1 ) , t h e n I F a c t s a s a d i s c o n -

t i n u o u s g r o u p o f a u t o m o r p h i s m s o f a s i m p l y - c o n n e c t e d R i e m a n n s u r f a c e

U ( t h e u p p e r h a l f - p l a n e )

i f M ( r ) > 0 ,

X =

C

( t h e c o m p l e x p l a n e ) i f M ( r ) = 0 ,

E ( t h e R i e m a n n s p h e r e C U { o o } ) i f M ( r ) < 0 ,

e a c h g e n e r a t o r X i i n d u c i n g a r o t a t i o n t h r o u g h 2 i r / k i a b o u t s o m e p o i n t i n X .

T h e q u o t i e n t - s u r f a c e S = X / A i s a c o m p a c t R i e m a n n s u r f a c e o f g e n u s g , t h e

q u o t i e n t - g r o u p G = 1 7 / A a c t s a s a g r o u p o f a u t o m o r p h i s m s o f S w i t h p o i n t -

s t a b i l i z e r s ( X i A ) o f o r d e r s k i , a n d S / G = X / r h a s g e n u s h . T h e R i e m a n n -

H u r w i t z f o r m u l a ( a m o r e g e n e r a l v e r s i o n o f w h i c h i s p r o v e d i n s e c t i o n 8 )

a s s e r t s t h a t M ( A ) = I G I M ( F ) , o r e q u i v a l e n t l y

g = 1 + I G I

( h - 1 + 2 1 : ( 1 - k i 1 ) ) .

( 2 )

i = 1

W e h a v e s e e n t h a t f a i t h f u l a c t i o n s o f G o n c o m p a c t R i e m a n n s u r f a c e s S

c o r r e s p o n d t o e p i m o r p h i s m s r - * G w i t h t o r s i o n - f r e e k e r n e l s A . T h e r e i s

p a r t i c u l a r i n t e r e s t i n t h e c a s e w h e r e S / G i s t h e R i e m a n n s p h e r e E . T h e n




9 3

h = 0 , s o F = A ( k 1 , . . .

, k , . ) a n d t h e c h a r a c t e r - t h e o r e t i c m e t h o d o f s e c t i o n 2

c a n b e a p p l i e d t o d e t e r m i n e w h e t h e r a g i v e n f i n i t e g r o u p G i s a n e p i m o r p h i c

i m a g e o f r . T o s t u d y t o r s i o n - f r e e k e r n e l s A , o n e r e s t r i c t s t h e c l a s s e s K i i n G

t o c o n s i s t o f e l e m e n t s o f o r d e r e x a c t l y k i . T h e s e g r o u p s A = L ( k 1 i . . . , k 1 ) a r e

s o m e t i m e s c a l l e d p o l y g o n a l g r o u p s ( a n d t h o s e w i t h r = 3 t r i a n g l e g r o u p s ) s i n c e

t h e i r g e n e r a t o r s X i a r e r o t a t i o n s a r o u n d t h e v e r t i c e s o f a n r - s i d e d p o l y g o n i n

X w i t h i n t e r n a l a n g l e s i / k i .

T h e n o t i o n o f t h e s i g n a t u r e o f a g r o u p w a s d e v e l o p e d m a i n l y b y M a c b e a t h

a n d h i s f o r m e r s t u d e n t s [ 3 7 , 6 4 , 9 2 , 1 0 0 ] , i n r a t h e r m o r e g e n e r a l i t y t h a n h e r e ,

t o p r o v i d e a n a l g e b r a i c a p p r o a c h t o N E C g r o u p s ( n o n - E u c l i d e a n c r y s t a l l o -

g r a p h i c g r o u p s ) a n d t h e i r a c t i o n s o n s u r f a c e s . T h e s i g n a t u r e c a n b e r e g a r d e d

a s a c o m b i n a t o r i a l d e s c r i p t i o n o f t h e q u o t i e n t - o r b i f o l d , o r a l t e r n a t i v e l y a s a n

e n c o d e d p r e s e n t a t i o n f o r t h e g r o u p w h i c h r e v e a l s m u c h o f t h e g e o m e t r y o f

i t s a c t i o n . C o m p r e h e n s i v e a c c o u n t s o f g r o u p a c t i o n s o n s u r f a c e s ( i n c l u d i n g

a n t i c o n f o r m a l a c t i o n s ) c a n b e f o u n d i n [ 4 , 1 0 7 ] , w h i l e T u c k e r g i v e s a c o n c i s e

s u m m a r y i n [ 9 8 ] .

4 H u r w i t z g r o u p s

T h e s e a r e t h e g r o u p s a t t a i n i n g H u r w i t z ' s u p p e r b o u n d I G I < 8 4 ( g - 1 ) f o r

t h e a u t o m o r p h i s m g r o u p G o f a c o m p a c t R i e m a n n s u r f a c e S o f g e n u s g > 1 .

H u r w i t z u s e d ( 2 ) t o s h o w t h a t t h i s i s e q u i v a l e n t t o G b e i n g a n o n - t r i v i a l f i n i t e

e p i m o r p h i c i m a g e o f L ( 2 , 3 , 7 ) ( s e e [ 5 1 , T h e o r e m 5 . 1 1 . 2 ] , f o r e x a m p l e ) . S i n c e

2 , 3 a n d 7 a r e m u t u a l l y c o p r i m e , a H u r w i t z g r o u p m u s t b e p e r f e c t , w i t h a

n o n a b e l i a n s i m p l e H u r w i t z g r o u p a s a n e p i m o r p h i c i m a g e , s o m u c h o f t h e

e f f o r t h a s g o n e i n t o d e t e r m i n i n g t h e s i m p l e H u r w i t z g r o u p s . M a l l e [ 6 9 ] h a s

s h o w n t h a t G 2 ( q ) i s a H u r w i t z g r o u p f o r q > 4 , a s i s t h e R e e g r o u p 2 G 2 ( 3 e )

f o r o d d e > 1 ( s e e a l s o [ 4 5 , 8 2 ] f o r t h e R e e g r o u p s ) . A m o n g t h e s p o r a d i c

s i m p l e g r o u p s , J 1 i J 2 , J 4 , F i 2 2 , F i ' 2 4 , C o 3 i H e , R u , H N , L y a n d T h a r e H u r w i t z

g r o u p s , t h e s t a t u s o f t h e M o n s t e r M i s u n k n o w n , w h i l e t h e o t h e r f o u r t e e n

a r e n o t H u r w i t z g r o u p s [ 1 5 , 1 0 1 , 1 0 3 , 1 0 4 ] .

I n a l l t h e s e c a s e s , o n e c a n u s e ( 1 ) t o c o u n t s o l u t i o n s o f x 1 x 2 x 3 = 1 i n

G w h e r e x 1 , x 2 a n d x 3 h a v e o r d e r s 2 , 3 a n d 7 . S o m e s o l u t i o n s m a y g e n e r a t e

p r o p e r s u b g r o u p s o f G , a n d t h e s e a r e o f t e n o f t y p e L 2 ( q ) . M a c b e a t h [ 6 3 ]

h a s s h o w n t h a t L 2 ( q ) i s a H u r w i t z g r o u p p r e c i s e l y f o r q = 7 , f o r p r i m e s

q - ± 1 m o d 7 , a n d w h e n q = p 3 f o r p r i m e s p - ± 2 o r ± 3 m o d 7 . H i s

p r o o f u s e s a m o r e d i r e c t m e t h o d t h a n ( 1 ) , a p p l i c a b l e o n l y t o l o w - d i m e n s i o n a l

l i n e a r g r o u p s ; C o h e n [ 1 0 ] h a s u s e d a s i m i l a r m e t h o d t o s h o w t h a t a m o n g t h e

g r o u p s L 3 ( q ) , o n l y L 3 ( 2 ) ( = L 2 ( 7 ) ) i s a H u r w i t z g r o u p . C o n d e r [ 1 2 ] h a s u s e d

H i g m a n ' s m e t h o d o f c o s e t d i a g r a m s t o s h o w t h a t t h e a l t e r n a t i n g g r o u p A t , i s

a H u r w i t z g r o u p f o r a l l n > 1 6 8 a n d f o r a l l b u t 6 4 i n t e g e r s n < 1 6 8 ; h e g i v e s

a u s e f u l s u r v e y o f H u r w i t z g r o u p s , c o r r e c t i n g s o m e e r r o r s i n t h e l i t e r a t u r e ,



9 4


i n [ 1 4 ] .

5

S y m m e t r i c g e n u s

T h e s t r o n g s y m m e t r i c g e n u s a 0 ( G ) o f a f i n i t e g r o u p G i s t h e l e a s t g e n u s

o f a n y c o m p a c t R i e m a n n s u r f a c e S s u c h t h a t G < A u t S .

( B y a l l o w i n g

e l e m e n t s o f G t o a c t a n t i c o n f o r m a l l y , o n e o b t a i n s t h e s y m m e t r i c g e n u s o r ( G ) <

o - 0 ( G ) ; i f G h a s n o s u b g r o u p o f i n d e x 2 t h e n i t m u s t a c t c o n f o r m a l l y a n d

s o o r ( G ) = o ° ( G ) . )

I n m o s t c a s e s , i n c l u d i n g a l l f i n i t e s i m p l e g r o u p s , t h e

R i e m a n n - H u r w i t z f o r m u l a i m p l i e s t h a t a ° ( G ) i s a t t a i n e d w i t h S / G h a v i n g

g e n u s h = 0 , t h a t i s , w i t h G r e p r e s e n t e d a s a n i m a g e o f s o m e p o l y g o n a l

g r o u p A , s o t h e m e t h o d o f s e c t i o n 2 c a n b e a p p l i e d t o d e t e r m i n e w h i c h o f

t h e s e g r o u p s A m a p o n t o G a n d h e n c e t o c o m p u t e Q ° ( G ) .

F o r e x a m p l e ,

e v e r y H u r w i t z g r o u p G h a s ( s t r o n g ) s y m m e t r i c g e n u s 1 + I G I / 8 4 , a n d i t i s

s h o w n i n [ 4 8 ] t h a t t h e S u z u k i g r o u p s 2 B 2 ( q ) , b e i n g i m a g e s o f 0 ( 2 , 4 , 5 ) , h a v e

s y m m e t r i c g e n u s 1 + I G I / 4 0 . C o n d e r , W i l s o n a n d W o l d a r h a v e n o w d e a l t w i t h

a l l o f t h e s p o r a d i c s i m p l e g r o u p s e x c e p t t h e M o n s t e r ; a g o o d a c c o u n t o f t h e i r

r e s u l t s i s g i v e n i n [ 1 5 ] , b u t s e e a l s o [ 1 0 1 , 1 0 2 ] f o r G = B a n d F i 2 3 , w h i c h h a v e

s y m m e t r i c g e n u s 1 + I G I / 4 8 a s i m a g e s o f A ( 2 , 3 , 8 ) . U s i n g d i f f e r e n t m e t h o d s ,

H a r v e y [ 3 6 ] a n d M a c l a c h l a n [ 6 7 ] r e s p e c t i v e l y h a v e d e a l t w i t h c y c l i c a n d n o n -

c y c l i c a b e l i a n g r o u p s , T u c k e r [ 9 8 ] a n d C o n d e r [ 1 3 ] w i t h t h e a l t e r n a t i n g a n d

s y m m e t r i c g r o u p s , a n d G l o v e r a n d S j e r v e [ 3 1 ] w i t h L 2 ( q ) . T u c k e r g i v e s a

g o o d i n t r o d u c t i o n t o t h e g e n e r a l t h e o r y o f t h e s y m m e t r i c g e n u s a n d r e l a t e d

t o p i c s i n [ 9 8 ] .

6

H a l l ' s t h e o r y

O n e o f t e n n e e d s t o k n o w i n h o w m a n y w a y s a f i n i t e g r o u p G i s a n i m a g e o f a

g r o u p I ; m o r e p r e c i s e l y , o n e r e q u i r e s t h e n u m b e r I E p i ( I ' , G ) I o f e p i m o r p h i s m s

F - + G , o r e q u i v a l e n t l y t h e n u m b e r n r ( G ) o f n o r m a l s u b g r o u p s A o f r w i t h

F / A G . F o r i n s t a n c e , M a c b e a t h [ 6 3 ] h a s s h o w n t h a t i f r = 0 ( 2 , 3 , 7 ) a n d

G = L 2 ( q ) t h e n n r ( G ) = 3 w h e n q = p - ± 1 m o d 7 , t h e t h r e e k e r n e l s ( a n d

t h e t h r e e a s s o c i a t e d s u r f a c e s ) c o r r e s p o n d i n g t o t h e t h r e e c l a s s e s o f e l e m e n t s

x 3 o f o r d e r 7 i n G ; i n t h e o t h e r c a s e s w h e r e G = L 2 ( q ) i s a H u r w i t z g r o u p w e

h a v e n r ( G ) = 1 , a l l s u c h e l e m e n t s x 3 b e i n g c o n j u g a t e i n A u t G .

O n e c a n o f t e n e v a l u a t e n r ( G ) b y c o m b i n i n g c h a r a c t e r t h e o r y w i t h H a l l ' s

g r o u p - t h e o r e t i c g e n e r a l i s a t i o n o f t h e M o b i u s i n v e r s i o n f o r m u l a [ 3 3 ] . I f r i s a

f i n i t e l y g e n e r a t e d g r o u p , a n d G a f i n i t e g r o u p , t h e n e p i m o r p h i s m s 0 , 9 ' : F - +

G h a v e t h e s a m e k e r n e l i f a n d o n l y i f 0 ' = 0 o a f o r s o m e a E A u t G , s o n r ( G )

i s t h e ( f i n i t e ) n u m b e r o f o r b i t s o f A u t G a c t i n g b y c o m p o s i t i o n o n E p i ( F , G ) .




9 5

T h i s a c t i o n i s s e m i - r e g u l a r , s o

n r ( G )

E p i ( r , G ) I

I A u t G I

N o w H o m ( F , G ) i s t h e d i s j o i n t u n i o n o f t h e s e t s E p i ( r , H ) w h e r e H r a n g e s

o v e r t h e s u b g r o u p s o f G , s o

I H o m ( I ' , G ) I

=

I E p i ( r , H ) 1 .

H < G

H a l l i n v e r t e d t h i s e q u a t i o n t o o b t a i n

I E p i ( r , G ) I =

P G ( H ) I H o m ( r , H ) I

,

H < G

w h e r e µ G i s t h e M o b i u s f u n c t i o n o n t h e l a t t i c e o f s u b g r o u p s o f G , d e f i n e d

r e c u r s i v e l y b y

s o w e h a v e

E

_ _ 1 i f K = G

I L G ( H )

S K , G

0 i f K < G ,

H > K

n r ( G )

1 A

1

G I

E / G ( H ) I H o r n ( r , H ) I

( 3 )

G i v e n s u f f i c i e n t k n o w l e d g e o f G , o n e c a n c o m p u t e I A u t G I a n d A G ( H ) , t h u s

r e d u c i n g t h e p r o b l e m t o t h a t o f d e t e r m i n i n g I H o m ( r , H ) I f o r s u b g r o u p s H

o f G . A s w e h a v e s e e n , c h a r a c t e r - t h e o r e t i c m e t h o d s s u c h a s f o r m u l a ( 1 ) w i l l

d o t h i s f o r c e r t a i n g r o u p s r , a n d f u r t h e r e x a m p l e s w i l l b e g i v e n i n s e c t i o n 7 .

A s a n i l l u s t r a t i o n , i f r = 0 ( 2 , 4 , 5 ) a n d G i s t h e S u z u k i g r o u p 2 B 2 ( 2 e ) f o r

o d d e > 1 , t h e n

n r ( G )

e

p d

( 2 d - 8 ( d ) 2 ( d + i ) / 2 ) ,

d l e

w h e r e p i s t h e M o b i u s f u n c t i o n o n N , a n d 8 ( d ) = 1 o r - 1 a s d - ± 1 o r ± 3

m o d 8 ; t h i s f o r m u l a , p r o v e d i n [ 4 8 ] , g i v e s t h e n u m b e r o f i s o m o r p h i s m c l a s s e s

o f R i e m a n n s u r f a c e s o f g e n u s o ° ( G ) = 1 + I G I / 4 0 w i t h a u t o m o r p h i s m g r o u p

G . A s i m i l a r f o r m u l a f o r t h e R e e g r o u p s 2 G 2 ( 3 e ) , w i t h r = 0 ( 2 , 3 , 7 ) , i s g i v e n

i n [ 4 5 ] .

7

S u r f a c e g r o u p s

B e s i d e s t h e p o l y g o n a l g r o u p s r , c h a r a c t e r t h e o r y a l s o a l l o w s o n e t o c o u n t

h o m o m o r p h i s m s r - + G w h e n r i s a s u r f a c e g r o u p . I f r = 7 r l ( S ) w h e r e S



9 6


i s o r i e n t a b l e a n d o f g e n u s g > 0 , t h e n F h a s s i g n a t u r e ( g ; - ) , s o h o m o m o r -

p h i s m s F - * G c o r r e s p o n d t o s o l u t i o n s i n G o f t h e e q u a t i o n j l

1 [ a i , b i ] = 1 .

F r o b e n i u s [ 2 1 ] ( f o r g = 1 ) a n d M e d n y k h [ 7 4 ] ( f o r g > 1 ) h a v e s h o w n t h a t

I H o m ( F , G ) I =

I G I 2 9 - 1

E

x ( 1 ) 2 - 2 9

,

( 4 )

X

w h e r e x r a n g e s o v e r t h e i r r e d u c i b l e c o m p l e x c h a r a c t e r s o f G . ( A s w i t h ( 1 ) ,

o n e c a n r e g a r d

I G I 2 9 - 1

a s a f i r s t a p p r o x i m a t i o n , b a s e d o n t h e a s s u m p t i o n t h a t

t h e v a l u e s o f f l [ a i , b i ] a r e u n i f o r m l y d i s t r i b u t e d i n G . ) T h i s f o r m u l a , t o g e t h e r

w i t h H a l l ' s t h e o r y i n s e c t i o n 6 , h a s b e e n u s e d i n [ 4 6 ] t o d e t e r m i n e n r ( G )

f o r v a r i o u s f i n i t e g r o u p s G , t h u s g i v i n g t h e n u m b e r o f e q u i v a l e n c e c l a s s e s

o f r e g u l a r c o v e r i n g s o f S w i t h c o v e r i n g g r o u p G . ( T h e s e a r e t h e c o v e r i n g s

R - * S = R I G i n d u c e d b y a n a c t i o n o f G o n a s u r f a c e R . ) T y p i c a l e x a m p l e s

a r e

n r ( C n ) =

O ( n 1

) ,

, p ( - ) m 2 9

w h e r e a a n d 0 a r e t h e M o b i u s a n d E u l e r f u n c t i o n s o n N , a n d

( 2 2 9 - 1 ) ( p 2 9 - 2 - 1 )

( p - 1 )

w h e r e D p i s t h e d i h e d r a l g r o u p o f o r d e r 2 p f o r a n o d d p r i m e p .

T h e r e i s a f o r m u l a a n a l o g o u s t o ( 4 ) f o r a n o n - o r i e n t a b l e s u r f a c e S o f g e n u s

g > 0 , w h e r e F = - 7 r 1 ( S ) h a s g e n e r a t o r s R 1 , . . . , R 9 w i t h a s i n g l e d e f i n i n g

r e l a t i o n R ' . . . R 9 = 1 . F r o b e n i u s a n d S c h u r [ 2 3 ] s h o w e d t h a t

I H o m ( F , G ) I

= I G I 9 - 1 E c

x ( 1 ) 2 - 9

,

( 5 )

X

w h e r e x r a n g e s o v e r t h e i r r e d u c i b l e c o m p l e x c h a r a c t e r s o f G , a n d c X i s t h e

F r o b e n i u s - S c h u r i n d i c a t o r o f x ,

1

1 ,

i f x i s t h e c h a r a c t e r o f a r e a l r e p r e s e n t a t i o n ,

c X =

I G I

x ( x 2 ) _

- 1 ,

i f x i s r e a l b u t i t s r e p r e s e n t a t i o n i s n o t r e a l ,

B E G

0 , i f x i s n o t r e a l .

A s i n t h e o r i e n t a b l e c a s e , o n e c a n c o m b i n e ( 5 ) w i t h H a l l ' s t h e o r y t o f i n d t h e

n u m b e r n r ( G ) o f e q u i v a l e n c e c l a s s e s o f r e g u l a r c o v e r i n g s o f S w i t h a g i v e n

f i n i t e c o v e r i n g - g r o u p G . E x a m p l e s g i v e n i n [ 4 6 ] i n c l u d e

n r ( C n ) =

m l n



C h a r a c t e r s a n d s u r f a c e s : a s u r v e y 9 7

a n d

n r ( D n ) =

f i ( n ) '

I

' , u ( m ) m 9 - a ( m

. + r l m ( 2 9

- 2 ) )

w h e r e 7 1 m = 1 o r 2 a s m i s o d d o r e v e n .

M e d n y k h [ 7 6 ] h a s c o m b i n e d t h e i d e a s u n d e r l y i n g ( 1 ) a n d ( 4 ) t o c o u n t

h o m o m o r p h i s m s F - * G w h e r e F h a s s i g n a t u r e ( g ; k 1 ,

.

. .

,

k , . ) .

H a l l ' s t h e -

o r y t h e n a l l o w s o n e t o e n u m e r a t e t h e r e g u l a r b r a n c h e d c o v e r i n g s o f a n o r i -

e n t a b l e s u r f a c e , w i t h a g i v e n c o v e r i n g g r o u p G , w i t h v a r i o u s r e s t r i c t i o n s o n

t h e b r a n c h i n g - p a t t e r n ; b y r e p l a c i n g ( 4 ) w i t h ( 5 ) , o n e c a n a l s o d e a l w i t h r e g u -

l a r b r a n c h e d c o v e r i n g s o f n o n - o r i e n t a b l e s u r f a c e s . T h e s e r e s u l t s , g i v e n i n [ 4 6 ] ,

a r e e x t e n d e d i n [ 4 7 ] t o e n u m e r a t e n o r m a l s u b g r o u p s o f N E C g r o u p s w i t h o u t

r e f l e c t i o n s , o r e q u i v a l e n t l y r e g u l a r c o v e r i n g s o f 2 - d i m e n s i o n a l o r b i f o l d s w i t h -

o u t b o u n d a r y .

8

M o n o d r o m y g r o u p s

F i n i t e g r o u p s c a n o c c u r i n c o n n e c t i o n w i t h s u r f a c e s a s m o n o d r o m y g r o u p s

o f f i n i t e - s h e e t e d c o v e r i n g s . L e t 0 : S - * T b e a n n - s h e e t e d c o v e r i n g , l e t

P = { p l , . . . ,

p r } C T b e t h e s e t o f b r a n c h - p o i n t s o f V ) , l e t T o = T \ P a n d

l e t S o

- 1 ( T o ) .

T h e n

r e s t r i c t s t o a n n - s h e e t e d u n b r a n c h e d c o v e r i n g

' 0 0 : S o - * T o , w h i c h i n d u c e s a n i s o m o r p h i s m f r o m i r 1 ( S o ) t o a s u b g r o u p M

o f i n d e x n i n H : = 7 r 1 ( T o ) . T h e m o n o d r o m y g r o u p G o f 0 i s t h e t r a n s i t i v e

p e r m u t a t i o n g r o u p o f d e g r e e n i n d u c e d b y I I o n t h e c o s e t s o f M . O n e c a n

i d e n t i f y t h e s e c o s e t s w i t h t h e s h e e t s o f t h e c o v e r i n g , o r m o r e p r e c i s e l y , w i t h

t h e f i b r e a b o v e t h e c h o s e n b a s e - p o i n t , s o t h a t e a c h h o m o t o p y c l a s s [ - Y ] E 1 I

p e r m u t e s t h e s h e e t s b y f o l l o w i n g t h e l i f t e d p a t h 0 0 1 ( - y ) f r o m s t a r t t o f i n i s h .

N o w 1 1 h a s a p r e s e n t a t i o n

1 1 = ( A 1 , B i , . . . , A h , B h , X 1 , . . . , X r I

[ A 1 , B 1 ] . . . [ A h , B h ] X 1 . . . X , . = 1 ) ,

w h e r e h i s t h e g e n u s o f T , s o G i s g e n e r a t e d b y t h e c o r r e s p o n d i n g p e r m u t a -

t i o n s a i , b i , x i , s a t i s f y i n g

[ a 1 , b 1 ] . . . [ a h , b h ] x 1 . . . x , . = 1 .

( 6 )

E a c h g e n e r a t o r X i i s t h e h o m o t o p y c l a s s o f a l o o p a r o u n d p i , a n d t h e d i s j o i n t

c y c l e s o f x i c o r r e s p o n d t o t h e p o i n t s i n 0 - 1 ( p i ) , t h e l e n g t h o f e a c h c y c l e g i v i n g

t h e n u m b e r o f s h e e t s m e e t i n g a t s u c h a p o i n t .

C o n v e r s e l y , e v e r y t r a n s i t i v e f i n i t e p e r m u t a t i o n g r o u p ( G , S 2 ) a r i s e s i n t h i s

w a y . L e t J 1 = n a n d l e t G b e g e n e r a t e d b y p e r m u t a t i o n s a i , b i , x i s a t i s f y -

i n g ( 6 ) . I f w e c h o o s e a s e t P = { p i , . . . , p , . } C T a n d l e t I I = 7 r 1 ( T o ) w h e r e

T o = T \ P , t h e n t h e m a p p i n g A i , B i , X i H a i , b i , x i e x t e n d s t o a t r a n s i t i v e p e r -

m u t a t i o n r e p r e s e n t a t i o n 0 : 1 1 - * G o f I I o n Q . T h e s t a b i l i z e r M = 9 - 1 ( G , , , )



9 8


o f a n y a E S l i s a s u b g r o u p o f i n d e x n i n H , s o b y g e n e r a l c o v e r i n g s p a c e

t h e o r y [ 7 2 , C h a p t e r 5 ] , i t c o r r e s p o n d s t o a n n - s h e e t e d u n b r a n c h e d c o v e r i n g

, 0 0

:

S o - + T o ; t h i s c a n b e e x t e n d e d t o a n n - s h e e t e d c o v e r i n g ' 0

: S - + T ,

b r a n c h e d a t P , b y c o m p a c t i f y i n g S o w i t h f i n i t e l y m a n y a d d i t i o n a l p o i n t s , o n e

p o i n t o v e r p i f o r e a c h d i s j o i n t c y c l e o f x i . D i f f e r e n t c h o i c e s o f a E I l g i v e c o n -

j u g a t e s t a b i l i z e r s a n d h e n c e e q u i v a l e n t c o v e r i n g s , a l l w i t h m o n o d r o m y g r o u p

G .

E a c h c y c l e o f l e n g t h l i 7 o f x i c o r r e s p o n d s t o a c r i t i c a l p o i n t o f o r d e r l i . 9 - 1

o n 5 , s o t h e o r d e r o f b r a n c h i n g o f 0 a b o v e p i i s / 3 ( x i ) = E 3 ( l i j - 1 ) = n - v ( x i ) ,

w h e r e v ( x i ) i s t h e n u m b e r o f c y c l e s o f x i o n S Z , a n d h e n c e t h e t o t a l o r d e r o f

b r a n c h i n g o f 0 i s B = E i # ( x i ) ; s i n c e S i s a n n - s h e e t e d b r a n c h e d c o v e r i n g

o f T , i t h a s E u l e r c h a r a c t e r i s t i c x ( S ) = n x ( T ) - B = n ( 2 - 2 h ) - B , s o i t s

g e n u s i s g i v e n b y t h e R i e m a n n - H u r w i t z f o r m u l a

g = 1 - x ( 1 ) = 1 + n ( h - 1 ) + 1 ) E / ( x i )

( 7 )

i _ 1

T o s u m m a r i z e , n - s h e e t e d b r a n c h e d c o v e r i n g s

c o r r e s p o n d t o s o l u t i o n s o f

( 6 ) w h i c h g e n e r a t e t r a n s i t i v e s u b g r o u p s G o f t h e s y m m e t r i c g r o u p S n , t h e

c y c l e - s t r u c t u r e s o f t h e p e r m u t a t i o n s x i g i v i n g t h e p a t t e r n o f b r a n c h i n g . T w o

s u c h ( 2 h + r ) - t u p l e s c o r r e s p o n d t o e q u i v a l e n t c o v e r i n g s i f a n d o n l y i f t h e y

a r e c o n j u g a t e i n S n , a f a c t w h i c h h a s b e e n e x p l o i t e d b y M e d n y k h [ 7 4 - 7 8 ] t o

e n u m e r a t e e q u i v a l e n c e c l a s s e s o f c o v e r i n g s w i t h g i v e n b r a n c h i n g - p a t t e r n s i n

t e r m s o f t h e i r r e d u c i b l e c h a r a c t e r s o f t h e s y m m e t r i c g r o u p .

T h e c o v e r i n g t r a n s f o r m a t i o n s o f 0 a r e t h e s e l f - h o m e o m o r p h i s m s a o f S

s u c h t h a t a o V ) = V ) ; t h e s e f o r m t h e a u t o m o r p h i s m g r o u p A u t V o f 0 , w h i c h

c a n b e i d e n t i f i e d w i t h t h e c e n t r a l i z e r o f G i n S o , a n d s o A u t V ) = N n ( M ) / M .

R e g u l a r c o v e r i n g s V c o r r e s p o n d t o r e g u l a r p e r m u t a t i o n g r o u p s ( G , 1 1 ) , a n d

h e n c e t o n o r m a l s u b g r o u p s M o f I I , w i t h A u t 0 = I I / M

G ; i n t h i s c a s e

n = I G I a n d v ( x i ) = 1 G I / k i w h e r e k i i s t h e o r d e r o f x i , s o t h a t ( 7 ) i m p l i e s

f o r m u l a ( 2 ) o f s e c t i o n 3 .

I f T i s t h e R i e m a n n s p h e r e E t h e n b y u s i n g O t o l i f t t h e c o m p l e x s t r u c t u r e

f r o m E t o S , o n e c a n a s s u m e t h a t S i s a R i e m a n n s u r f a c e a n d V ) i s m e r o m o r -

p h i c . T h e m o n o d r o m y g e n u s y ( G ) o f a f i n i t e g r o u p G i s d e f i n e d t o b e t h e l e a s t

g e n u s o f a n y c o n n e c t e d c o v e r i n g o f E w i t h m o n o d r o m y g r o u p i s o m o r p h i c t o

G . T h i s i s o b t a i n e d b y p u t t i n g h = 0 , a n d m i n i m i s i n g t h e v a l u e o f g i n ( 7 )

o v e r a l l f a i t h f u l t r a n s i t i v e p e r m u t a t i o n r e p r e s e n t a t i o n s o f G , a n d o v e r a l l s e t s

o f g e n e r a t o r s x 1 , . . . , x , f o r G s a t i s f y i n g [ I x i = 1 . F i r s t o n e c a l c u l a t e s , Q ( x )

f o r e a c h c o n j u g a c y c l a s s o f e l e m e n t s x E G a n d f o r e a c h t r a n s i t i v e r e p r e s e n -

t a t i o n ( i n f a c t , i t i s s u f f i c i e n t t o c o n s i d e r j u s t t h e p r i m i t i v e r e p r e s e n t a t i o n s ) ;

t h e n o n e u s e s t h e c h a r a c t e r - t h e o r e t i c m e t h o d s o f s e c t i o n 2 , a n d i n s o m e c a s e s

H a l l ' s t h e o r y , t o d e t e r m i n e t h e p o s s i b l e g e n e r a t i n g s e t s , c o m p a r i n g t h e i r c o r -

r e s p o n d i n g v a l u e s o f g . K u i k e n [ 5 8 ] h a s s h o w n t h a t G = C , , , D n , A n a n d S n




9 9

a l l h a v e - y ( G ) = 0 , a t t a i n e d b y t h e i r n a t u r a l r e p r e s e n t a t i o n s . O n t h e o t h e r

h a n d , G u r a l n i c k a n d T h o m p s o n [ 3 2 ] h a v e c o n j e c t u r e d t h a t o n l y f i n i t e l y m a n y

s i m p l e g r o u p s o f L i e t y p e c a n b e c o m p o s i t i o n f a c t o r s o f m o n o d r o m y g r o u p s

o f a g i v e n g e n u s - y ; L i e b e c k a n d S a x l [ 6 0 ] h a v e s h o w n t h a t t h e o r d e r o f t h e

u n d e r l y i n g f i e l d i s b o u n d e d i n t e r m s o f - y , a n d t h e r e i s s o m e e v i d e n c e t h a t

t h e L i e r a n k i s a l s o b o u n d e d ; f o r m o r e o n t h i s p r o b l e m , s e e [ 3 0 ] . I n [ 4 9 ] i t

i s s h o w n t h a t t h e S u z u k i g r o u p 2 B 2 ( q ) h a s m o n o d r o m y g e n u s ( q 2 + 1 6 ) / 4 0 ,

a t t a i n e d b y i t s d o u b l y t r a n s i t i v e r e p r e s e n t a t i o n o f d e g r e e q 2 + 1 a s a n i m a g e

o f A ( 2 , 4 , 5 ) ; t h e c o r r e s p o n d i n g v a l u e g i v e n i n [ 4 5 ] f o r t h e R e e g r o u p 2 G 2 ( q )

i s ( q 3 - 2 1 q + 3 6 ) / 8 4 , i n i t s d o u b l y t r a n s i t i v e r e p r e s e n t a t i o n o f d e g r e e q 3 + 1 ,

a s a n i m a g e o f i ( 2 , 3 , 7 ) .

9

M a p s a n d h y p e r m a p s

T r i a n g l e g r o u p s a n d t h e i r f i n i t e i m a g e s p l a y a m a j o r r o l e i n t h e t h e o r i e s o f

o r i e n t a b l e m a p s a n d h y p e r m a p s , s o f o r m u l a ( 1 ) h a s p r o v e d t o b e a n e f f e c t i v e

t o o l i n s t u d y i n g t h e s e o b j e c t s . L e t M b e a m a p o n S , t h a t i s , a n e m b e d d i n g

o f a f i n i t e g r a p h C i n S w i t h o u t c r o s s i n g s , s o t h a t t h e f a c e s ( c o n n e c t e d c o m -

p o n e n t s o f S \ 9 ) a r e h o m e o m o r p h i c t o d i s c s . W e d e f i n e t w o p e r m u t a t i o n s

x 1 a n d 1 2 o f t h e s e t S l o f d i r e c t e d e d g e s o f M : x 1 r e v e r s e s t h e d i r e c t i o n o f

e a c h a E ( 1 , w h i l e x 2 u s e s t h e o r i e n t a t i o n o f S t o r o t a t e e a c h a t o t h e n e x t

d i r e c t e d e d g e p o i n t i n g t o t h e s a m e v e r t e x a s a . T h u s t h e c y c l e s o f x 1 a n d x 2

c o r r e s p o n d t o t h e e d g e s a n d v e r t i c e s o f M , a n d o n e e a s i l y s e e s t h a t t h e c y c l e s

o f 1 3 : = ( 1 1 x 2 ) - 1 c o r r e s p o n d t o i t s f a c e s . O u r t o p o l o g i c a l a s s u m p t i o n s i m p l y

t h a t 9 i s c o n n e c t e d , s o x 1 a n d x 2 g e n e r a t e a t r a n s i t i v e s u b g r o u p G = ( x i , 1 2 )

o f S . I n g e n e r a l , G d o e s n o t c o n s i s t o f a u t o m o r p h i s m s o f M o r 9 , s i n c e x 1

a n d x 2 d o n o t p r e s e r v e i n c i d e n c e . I n d e e d , t h e a u t o m o r p h i s m g r o u p A u t M

o f M ( p r e s e r v i n g o r i e n t a t i o n ) c a n b e i d e n t i f i e d w i t h t h e c e n t r a l i z e r o f G i n

S u . W e s a y t h a t M i s r e g u l a r ( o r r o t a r y ) i f A u t M a c t s t r a n s i t i v e l y o n Q , o r

e q u i v a l e n t l y i f G i s a r e g u l a r p e r m u t a t i o n g r o u p , i n w h i c h c a s e G ^ _ ' A u t M .

C l e a r l y x i = 1 , a n d t h e o r d e r s o f x 2 a n d x 3 a r e t h e l e a s t c o m m o n m u l t i p l e s

m a n d n o f t h e v e r t e x - v a l e n c i e s a n d t h e f a c e - v a l e n c i e s o f M , s o t h e r e i s a n

e p i m o r p h i s m 0 : A = A ( 2 , m , n ) - 4 G , X i H x i w i t h t o r s i o n - f r e e k e r n e l A ;

e x t e n d i n g t h e t e r m i n o l o g y o f [ 1 9 ] f o r r e g u l a r m a p s , w e s a y t h a t M h a s t y p e

i n , m } . C o n v e r s e l y , a n y t r a n s i t i v e f i n i t e p e r m u t a t i o n r e p r e s e n t a t i o n 9 : A - +

G < S n w i t h t o r s i o n - f r e e k e r n e l c o r r e s p o n d s t o a m a p M o f t y p e { n , m } i n

t h e a b o v e w a y . T o c o n s t r u c t M , w e u s e t h e u n i v e r s a l m a p M o f t y p e i n , m } ;

t h i s i s a p o l y g o n a l t e s s e l l a t i o n o f X = E , C o r U a s 2 - 1 + m - 1 + n - 1 > 1 , = 1

o r < 1 , a n d i t i s i n v a r i a n t u n d e r A , i t s v e r t i c e s , e d g e - c e n t r e s a n d f a c e - c e n t r e s

f o r m i n g t h e t h r e e n o n - r e g u l a r o r b i t s o f A o n X . W e t h e n t a k e M = M / M

w h e r e M = 0 - 1 ( G a ) i s t h e s t a b i l i z e r i n A o f s o m e a E 0 , s o t h a t t h e k e r n e l A

o f 0 i s t h e c o r e o f M i n A . ( A n y f i x e d - p o i n t s o f X 1 o n 0 w i l l c o r r e s p o n d t o ` f r e e



1 0 0


e d g e s ' , i n c i d e n t w i t h o n e v e r t e x a n d c a r r y i n g o n e d i r e c t e d e d g e , a s i n F i g . 3 . )

W e c a l l G t h e m o n o d r o m y g r o u p o f M , s i n c e i t i s p e r m u t a t i o n - i s o m o r p h i c t o

t h e m o n o d r o m y g r o u p o f t h e b r a n c h e d c o v e r i n g S = ' X / M - * X / 0 = E . T h e

g e n u s g o f M i s g i v e n b y

2 - 2 g = x ( S ) = v ( x l ) + v ( x 2 ) + v ( x 3 ) - J Q J .

I f w e s t a r t w i t h a n y t o p o l o g i c a l o r c o m b i n a t o r i a l m a p M a n d f o r m t h e p e r -

m u t a t i o n r e p r e s e n t a t i o n A - * G , t h e a b o v e p r o c e s s y i e l d s a m a p . M / M i s o -

m o r p h i c t o M l y i n g o n a R i e m a n n s u r f a c e S = X / M . T h i s c a n b e r e g a r d e d

a s a c a n o n i c a l c o n f o r m a l m o d e l f o r M : f o r i n s t a n c e , i t s e d g e s a r e a l l g e o d e s i c s

o f S .

T h e s e g e n e r a l i d e a s , d e v e l o p e d m o r e f u l l y i n [ 5 0 , 6 8 ] , s h o w t h a t i s o m o r -

p h i s m c l a s s e s o f m a p s o f t y p e i n , m } c o r r e s p o n d t o c o n j u g a c y c l a s s e s o f s u b -

g r o u p s M o f f i n i t e i n d e x i n A ( 2 , m , n ) w i t h t o r s i o n - f r e e c o r e , a n d t h a t r e g u l a r

m a p s c o r r e s p o n d t o n o r m a l s u b g r o u p s o f A . T h u s a f i n i t e g r o u p G o c c u r s a s

t h e m o n o d r o m y g r o u p o f s u c h a m a p , o r e q u i v a l e n t l y a s t h e a u t o m o r p h i s m

g r o u p o f s u c h a r e g u l a r m a p , i f a n d o n l y i f i t i s a n i m a g e o f A w i t h t o r s i o n -

f r e e k e r n e l . A s b e f o r e , t h i s a l l o w s t h e c h a r a c t e r - t h e o r e t i c m e t h o d s o f s e c t i o n

2 ( w i t h r = 3 ) t o b e a p p l i e d e f f e c t i v e l y . F o r i n s t a n c e t h e r e s u l t s i n s e c t i o n

4 i m p l y t h a t H u r w i t z g r o u p s s u c h a s 2 G 2 ( q ) a r i s e i n t h i s w a y i n c o n n e c t i o n

w i t h m a p s o f t y p e { 7 , 3 } ( a n d t h e i r d u a l s , o f t y p e { 3 , 7 } ) , a n d l i k e w i s e t h e

S u z u k i g r o u p s f o r m a p s o f t y p e { 4 , 5 } ; t h e v a l u e o f n o ( G ) p r o v i d e d b y H a l l ' s

t h e o r y g i v e s t h e n u m b e r o f r e g u l a r m a p s o f t h e g i v e n t y p e a s s o c i a t e d w i t h

e a c h g r o u p G .

A s e x a m p l e s o f n o n - r e g u l a r m a p s , t h e p l a n a r ( g e n u s 0 ) m a p i n F i g . 1

h a s m o n o d r o m y g r o u p G = L 2 ( 7 ) i n i t s n a t u r a l r e p r e s e n t a t i o n o f d e g r e e 8 ,

w i t h A = 0 ( 2 , 3 , 7 ) , w h i l e F i g s . 2 a n d 3 h a v e t h e M a t h i e u g r o u p M 1 2 a s

m o n o d r o m y g r o u p , a c t i n g w i t h d e g r e e 1 2 , w i t h A = A ( 2 , 3 , 1 1 ) .

0 0 0

/ \ \ \ * / \ 4 / / * \

F i g u r e 1

F i g u r e 2

F i g u r e 3




1 0 1

I n t h e f i r s t c a s e , n o ( L 2 ( 7 ) ) = 1 a n d L 2 ( 7 ) h a s a s i n g l e t r a n s i t i v e r e p r e s e n t a -

t i o n o f d e g r e e 8 , s o t h e m a p i s u n i q u e ; h o w e v e r , i f w e u s e t h e r e g u l a r r e p r e -

s e n t a t i o n o f L 2 ( 7 ) w e o b t a i n K l e i n ' s m a p 1 C , a r e g u l a r m a p o f g e n u s 3 a n d

t y p e { 7 , 3 } c o n s i s t i n g o f 2 4 h e p t a g o n s , w i t h a u t o m o r p h i s m g r o u p L 2 ( 7 ) [ 5 7 ,

§ § 1 1 , 1 4 ] . I n t h e s e c o n d c a s e n o ( M 1 2 ) = 2 : t h e m e t h o d s o f s e c t i o n 2 a n d s e c -

t i o n 6 s h o w t h a t A u t M 1 2 h a s f o u r o r b i t s o n t h e n o n - t r i v i a l h o m o m o r p h i s m s

0 : A - + M 1 2 , a n d ( i n t h e A T L A S n o t a t i o n ) t h e c h o i c e s o f c o n j u g a c y c l a s s e s

( 2 A , 3 B ) a n d ( 2 B , 3 A ) f o r ( x 1 , x 2 ) g i v e m a x i m a l a n d n o n - m a x i m a l p r o p e r

s u b g r o u p s L 2 ( 1 1 ) a s i m a g e s 9 ( 0 ) = ( x 1 i x 2 ) , w h i l e ( 2 A , 3 A ) a n d ( 2 B , 3 B ) ,

c o r r e s p o n d i n g t o F i g s . 2 a n d 3 , g i v e M 1 2 . S i n c e M 1 2 h a s t w o i n e q u i v a l e n t

r e p r e s e n t a t i o n s o f d e g r e e 1 2 , t r a n s p o s e d b y a n o u t e r a u t o m o r p h i s m f i x i n g x 1

a n d i n v e r t i n g x 2 i e a c h o f t h e t w o k e r n e l s A a A y i e l d s a c h i r a l p a i r o f m a p s ,

c o n s i s t i n g o f F i g s . 2 o r 3 a n d t h e i r m i r r o r - i m a g e s .

A n o t h e r a p p l i c a t i o n o f c h a r a c t e r t h e o r y i s t o t h e e n u m e r a t i o n o f m a p s . A

m a p c a n b e i d e n t i f i e d w i t h a p a i r x 1 i x 2 E S n s a t i s f y i n g x i = 1 a n d g e n e r a t i n g

a t r a n s i t i v e g r o u p ; s i n c e i s o m o r p h i s m o f m a p s c o r r e s p o n d s t o c o n j u g a c y o f

s u c h p a i r s i n S o , o n e c a n u s e t h e c h a r a c t e r t h e o r y o f t h e s y m m e t r i c g r o u p

t o c o u n t m a p s ( r o o t e d o r u n r o o t e d ) w i t h s p e c i f i e d p r o p e r t i e s , a s s h o w n b y

J a c k s o n a n d V i s e n t i n i n [ 4 1 , 4 2 ] f o r i n s t a n c e . B y r e g a r d i n g a m a p a s a c o v e r i n g

S - 4 X / 0 = E , b r a n c h e d o v e r t h r e e p o i n t s , o n e c a n v i e w t h i s a s p a r t o f t h e

g e n e r a l t h e o r y o f e n u m e r a t i o n o f c o v e r i n g s c o n s i d e r e d i n s e c t i o n s 7 - 8 .

T h e r e i s a n u n e x p e c t e d a p p l i c a t i o n o f t h i s c h a r a c t e r - t h e o r e t i c e n u m e r a t i o n

o f m a p s t o t h e c o m p u t a t i o n o f t h e o r b i f o l d c h a r a c t e r i s t i c s o f m o d u l i s p a c e s .

A n y p a i r i n g o f t h e s i d e s o f a 2 n - g o n g i v e s r i s e , b y i d e n t i f i c a t i o n o f p a i r e d s i d e s ,

t o a n o r i e n t a b l e m a p w i t h n e d g e s a n d a s i n g l e 2 n - g o n a l f a c e . L e t E 9 ( n ) d e n o t e

t h e n u m b e r o f p a i r i n g s f o r w h i c h t h i s m a p h a s g e n u s g ; f o r i n s t a n c e E o ( n ) i s

t h e n t h C a t a l a n n u m b e r C ( n ) = ( 2 n ) / ( n + 1 ) , a n d E 9 E 9 ( n ) = ( 2 n - 1 ) _

( 2 n - 1 ) ( 2 n - 3 )

. . . 3 . 1 ,

t h e t o t a l n u m b e r o f s u c h p a i r i n g s . T h e p r e c e d i n g

t h e o r y , a p p l i e d t o t h e d u a l m a p , s h o w s t h a t E 9 ( n ) i s t h e n u m b e r o f f i x e d - p o i n t -

f r e e i n v o l u t i o n s x 1 E S t n s u c h t h a t v ( x l x 2 ) = n + 1 - 2 g , w h e r e x 2 i s a f i x e d

2 n - c y c l e i n S e n . I n [ 3 5 ] , H a r e r a n d Z a g i e r p e r f o r m e d a l e n g t h y c o m p u t a t i o n o f

t h e n u m b e r s E 9 ( n ) , i n v o l v i n g i n t e g r a t i o n o v e r s p a c e s o f m a t r i c e s , t o s h o w t h a t

t h e m o d u l i s p a c e . M 9 o f R i e m a n n s u r f a c e s o f g e n u s g w i t h o n e b a s e - p o i n t h a s

o r b i f o l d c h a r a c t e r i s t i c x ( M 9 ) _ ( ( 1 - 2 g ) ; t h i s i s a l s o t h e E u l e r c h a r a c t e r i s t i c

o f t h e m a p p i n g c l a s s g r o u p 1 7 9 o f i s o t o p y c l a s s e s o f o r i e n t a t i o n - a n d b a s e -

p o i n t - p r e s e r v i n g s e l f - h o m e o m o r p h i s m s o f s u c h a s u r f a c e .

J a c k s o n [ 4 0 ] a n d

Z a g i e r [ 1 0 6 ] h a v e s u b s e q u e n t l y u s e d t h e c h a r a c t e r t h e o r y o f S t n t o d e t e r m i n e

E 9 ( n ) f r o m f o r m u l a ( 1 ) , t h u s g r e a t l y s i m p l i f y i n g t h e p r o o f .

H a m i l t o n o r i g i n a t e d t h e u s e o f p e r m u t a t i o n s t o s t u d y m a p s i n [ 3 4 ] , w h e r e

h e u s e d t h e m t o c o n s t r u c t H a m i l t o n i a n c i r c u i t s i n t h e i c o s a h e d r o n ; h e n o t e d

t h a t t h e r e g u l a r p o l y h e d r a c a n a l l b e d e s c r i b e d b y p e r m u t a t i o n s i n t h i s w a y .

C o x e t e r a n d M o s e r g i v e a d e t a i l e d s t u d y o f r e g u l a r m a p s i n [ 1 9 , C h a p t e r 8 ] ,



1 0 2


t h o u g h t h e y u s e a u t o m o r p h i s m g r o u p s r a t h e r t h a n m o n o d r o m y g r o u p s , w h i c h

a r e m o r e e f f e c t i v e f o r n o n - r e g u l a r m a p s . T h e r e i s a g e n e r a l i s a t i o n o f t h i s

t h e o r y t o t r i a n g l e g r o u p s A ( l , m , n ) w i t h 1 n o t n e c e s s a r i l y e q u a l t o 2 ; t h e

c o r r e s p o n d i n g c o m b i n a t o r i a l o b j e c t s a r e h y p e r m a p s , i n t r o d u c e d b y C o r i i n [ 1 7 ]

a s s u r f a c e - e m b e d d i n g s o f h y p e r g r a p h s , w h e r e a n e d g e m a y b e i n c i d e n t w i t h a n

a r b i t r a r y n u m b e r o f v e r t i c e s a n d f a c e s . ( A t y p i c a l e x a m p l e o f a h y p e r g r a p h i s

a p r o j e c t i v e p l a n e , w i t h v e r t i c e s a n d e d g e s g i v e n b y t h e p o i n t s a n d l i n e s . ) T h e

g e n e r a l t h e o r y o f h y p e r m a p s i s v e r y s i m i l a r t o t h a t o f m a p s , w h i c h a r e s p e c i a l

c a s e s o f h y p e r m a p s ; C o r i a n d M a c h g i v e a c o m p r e h e n s i v e s u r v e y i n [ 1 8 ] , a n d

c o n n e c t i o n s w i t h t r i a n g l e g r o u p s a r e d i s c u s s e d i n [ 5 2 ] .

1 0

D e s s i n s d ' e n f a n t s

A R i e m a n n s u r f a c e S i s c o m p a c t i f a n d o n l y i f i t i s i s o m o r p h i c t o t h e R i e m a n n

s u r f a c e o f a n a l g e b r a i c c u r v e f ( x , y ) = 0 f o r s o m e p o l y n o m i a l f E C [ x , Y ] . W e

s a y t h a t S i s d e f i n e d o v e r a s u b f i e l d K o f { C i f w e c a n t a k e f E K [ x , y ] . B e l y i ' s

T h e o r e m [ 2 ] s t a t e s t h a t S i s d e f i n e d o v e r t h e f i e l d Q o f a l g e b r a i c n u m b e r s i f

a n d o n l y i f t h e r e i s a B e l y i f u n c t i o n o n S , t h a t i s , a m e r o m o r p h i c f u n c t i o n

f i : S - * E w h i c h i s u n b r a n c h e d o u t s i d e { 0 , 1 , o o } . ( I n f a c t , B e l y i p r o v e d t h a t

t h i s c o n d i t i o n i s n e c e s s a r y ; i t s s u f f i c i e n c y f o l l o w s f r o m W e i l ' s c r i t e r i o n [ 9 9 ] , a s

e x p l a i n e d b y W o l f a r t i n [ 1 0 5 ] . ) T h i s c o n d i t i o n i s e q u i v a l e n t t o S h a v i n g t h e

f o r m X / M w h e r e M i s a s u b g r o u p o f f i n i t e i n d e x i n a t r i a n g l e g r o u p A a c t i n g

o n a s i m p l y - c o n n e c t e d R i e m a n n s u r f a c e X , i n w h i c h c a s e , 6 c o r r e s p o n d s t o t h e

p r o j e c t i o n X / M - * X / 0

E . I t f o l l o w s t h a t t h e R i e m a n n s u r f a c e s d e f i n e d

o v e r Q a r e p r e c i s e l y t h o s e o b t a i n e d f r o m m a p s o r h y p e r m a p s a s i n s e c t i o n 9 .

E x a m p l e 1 T h e F e r m a t c u r v e x " + y n = 1 d e f i n e s a R i e m a n n s u r f a c e S o f

g e n u s ( n - 1 ) ( n - 2 ) / 2 d e f i n e d o v e r 0 ( i n f a c t , o v e r Q ) , w h i c h h a s a B e l y i

f u n c t i o n f i

:

( x , y ) H x n o f d e g r e e n 2 . W e c a n t a k e S = X / O n w h e r e A '

i s t h e d e r i v e d g r o u p o f t h e t r i a n g l e g r o u p A n : = A ( n , n , n ) , a n d X i s U , C

o r E a s n > 4 , n = 3 o r n < 2 . T h i s s u r f a c e S c a r r i e s a r e g u l a r h y p e r m a p

o f t y p e ( n , n , n ) , c a l l e d t h e F e r m a t h y p e r m a p F n , w i t h m o n o d r o m y g r o u p

a n d a u t o m o r p h i s m g r o u p A n / O n = ' C n x C n ; t h e v e r t i c e s a n d e d g e s o f t h e

e m b e d d e d h y p e r g r a p h a r e t h e r o w s a n d c o l u m n s o f a n n x n c h e s s - b o a r d ,

a n d t h e a u t o m o r p h i s m s a r e o b t a i n e d b y m u l t i p l y i n g x a n d y b y p o w e r s o f

S n = e x p ( 2 7 r i / n ) [ 5 2 ] .

E x a m p l e 2 A L e f s c h e t z s u r f a c e S h a s e q u a t i o n y P = x m ( x - 1 ) , w h e r e p i s a

p r i m e g r e a t e r t h a n 3 a n d 1 < m < p - 1 ; i t h a s g e n u s ( p - 1 ) / 2 a n d h a s a n

a u t o m o r p h i s m a : y H y ( r o f o r d e r p . I t i s v i s i b l y d e f i n e d o v e r Q , a n d i t h a s

a B e l y i f u n c t i o n ( x , y ) - a x , a r e g u l a r b r a n c h e d c o v e r i n g S - + E o f d e g r e e p

i n d u c e d b y t h e g r o u p G = ( a ) . T h i s c o r r e s p o n d s t o a n o r m a l s u b g r o u p M o f

i n d e x p i n O p , s o i t d e f i n e s a r e g u l a r h y p e r m a p o f t y p e ( p , p , p ) o n S , o f t h e




1 0 3

f o r m F p / C p s i n c e M c o n t a i n s L , a s a n o r m a l s u b g r o u p o f i n d e x p .

E x a m p l e 3 K l e i n ' s q u a r t i c c u r v e , g i v e n b y u 3 v + v 3 w + w 3 u = 0 i n h o m o g e -

n e o u s p r o j e c t i v e c o o r d i n a t e s , d e f i n e s a R i e m a n n s u r f a c e S = U / K o f g e n u s 3 ,

w h e r e K i s t h e u n i q u e n o r m a l s u b g r o u p o f A = 0 ( 2 , 3 , 7 ) w i t h A / K = L 2 ( 7 )

[ 6 , § § 2 6 7 , 3 0 3 ; 5 7 ; 8 0 , p p . 1 3 0 - 1 3 3 ] . T h e p r o j e c t i o n S - 4 I t / A

E i s a B e l y i

f u n c t i o n o f d e g r e e 1 6 8 , c o r r e s p o n d i n g t o K l e i n ' s m a p K o n S , b u t a s i m p l e r

f u n c t i o n i s o b t a i n e d f r o m t h e f a c t t h a t K < A 7 < A : p u t t i n g u / w = - x / y 2

a n d v / w = - x / y 3 w e g e t y 7 = x 2 ( x - 1 ) , s o b y E x a m p l e 2 t h e r e i s a B e l y i

f u n c t i o n ( x , y ) - * x o f d e g r e e 7 , c o r r e s p o n d i n g t o a r e g u l a r h y p e r m a p o f t y p e

( 7 , 7 , 7 ) o n S .

T h e s e c o m b i n a t o r i a l s t r u c t u r e s a s s o c i a t e d w i t h R i e m a n n s u r f a c e s o v e r Q

a r e c a l l e d d e s s i n s d ' e n f a n t s b y G r o t h e n d i e c k [ 2 9 ] , n o d o u b t m o t i v a t e d b y

p i c t u r e s l i k e F i g s . 1 , 2 a n d 3 . H e f i r s t p o i n t e d o u t t h e i r c o n n e c t i o n s w i t h

a l g e b r a i c g e o m e t r y a n d G a l o i s t h e o r y , a n d a n u m b e r o f i n t e r e s t i n g e x a m p l e s

w e r e d e v e l o p e d b y S h a b a t a n d V o e v o d s k y [ 8 8 ] . M u c h o f t h e c u r r e n t i n t e r e s t

i n t h e s e o b j e c t s l i e s i n t h e i n s i g h t t h e y p r o v i d e i n t o t h e G a l o i s g r o u p o f Q o v e r

Q : t h i s u n c o u n t a b l e p r o f i n i t e g r o u p ( t h e p r o j e c t i v e l i m i t o f t h e G a l o i s g r o u p s

o f t h e a l g e b r a i c n u m b e r f i e l d s ) h a s a f a i t h f u l a c t i o n o n d e s s i n s , i n d u c e d b y i t s

n a t u r a l a c t i o n o n B e l y p a i r s ( S , # ) . E x a m p l e s 1 - 3 , d e f i n e d o v e r Q , a r e f i x e d

b y G a l Q , b u t t h e d e s s i n s i n F i g s . 2 a n d 3 c o r r e s p o n d t o B e l y p a i r s d e f i n e d

o v e r Q ( - 1 1 ) [ 7 0 , p . 1 6 3 ] , a n d c o m p l e x c o n j u g a t i o n t r a n s p o s e s e a c h w i t h i t s

m i r r o r - i m a g e .

A n i m p o r t a n t t o o l i n s t u d y i n g d e s s i n s d ' e n f a n t s i s t h e m o n o d r o m y g r o u p

( o f M , o r e q u i v a l e n t l y o f , Q ) : f o r i n s t a n c e , i t i s i n v a r i a n t u n d e r G a l Q [ 5 4 ] . A s

w e h a v e s e e n , c h a r a c t e r t h e o r y i s e f f e c t i v e i n d e t e r m i n i n g h o w a g i v e n f i n i t e

g r o u p G c a n a r i s e i n t h i s w a y a s a n i m a g e o f a t r i a n g l e g r o u p A , s o i t h a s a n

i m p o r t a n t r o l e t o p l a y i n t h i s t h e o r y . F o r s u r v e y s o n d e s s i n s s e e [ 1 1 , 5 3 ] , a n d

f o r r e c e n t r e s e a r c h s e e [ 8 3 , 8 9 ] .

1 1 T h e I n v e r s e G a l o i s P r o b l e m

T h e o r i g i n a l p r o b l e m , c l o s e l y r e l a t e d t o t h e p r e v i o u s t o p i c , i s t o p r o v e H i l b e r t ' s

c o n j e c t u r e t h a t e v e r y f i n i t e g r o u p G i s t h e G a l o i s g r o u p ( o v e r Q ) o f a n a l g e -

b r a i c n u m b e r f i e l d . M o r e g e n e r a l l y , o n e w o u l d l i k e t o r e a l i s e G a s t h e G a l o i s

g r o u p o f a r e g u l a r e x t e n s i o n E o f t h e r a t i o n a l f u n c t i o n f i e l d Q ( T ) , w h e r e ' r e g -

u l a r ' m e a n s t h a t Q f l E = Q ; i f G h a s t h i s p r o p e r t y , d e n o t e d b y G a 1 T , t h e n

H i l b e r t ' s i r r e d u c i b i l i t y t h e o r e m i m p l i e s t h a t b y a s s i g n i n g s u i t a b l e v a l u e s t o T

o n e c a n r e a l i s e G a s a G a l o i s g r o u p o v e r e v e r y a l g e b r a i c n u m b e r f i e l d . ( F o r

t h e d e t a i l s , s e e [ 7 3 , 8 7 ] , a n d f o r f u r t h e r g e n e r a l b a c k g r o u n d t o t h i s p r o b l e m ,

s e e [ 3 9 , 8 6 , 9 6 ] . ) S h a f a r e v i c h [ 9 0 ] h a s s h o w n t h a t e v e r y f i n i t e s o l u b l e g r o u p

c a n b e r e a l i s e d a s a G a l o i s g r o u p o v e r Q , a n d a b e l i a n g r o u p s a r e k n o w n t o



1 0 4


s a t i s f y G a 1 T , b u t i n g e n e r a l t h e p r o b l e m s e e m s t o b e v e r y d i f f i c u l t , e v e n f o r

s i m p l e g r o u p s o f l o w r a n k o v e r p r i m e f i e l d s . F o r i n s t a n c e , a l t h o u g h r e s u l t s

o f M a l l e , M a t z a t a n d S h i h [ 7 1 , 9 1 ] s h o w t h a t L 2 ( p ) s a t i s f i e s G a I T f o r ` m o s t '

p r i m e s p , t h e r e r e m a i n i n f i n i t e l y m a n y g r o u p s L 2 ( p ) y e t t o b e r e a l i s e d a s

G a l o i s g r o u p s o v e r Q .

A l t h o u g h t h i s p r o b l e m i s a l g e b r a i c , s o l u t i o n s u s u a l l y s t a r t t o p o l o g i c a l l y ,

r e a l i s i n g G a s t h e m o n o d r o m y g r o u p o f a b r a n c h e d c o v e r i n g o f E , a n d h e n c e

a s t h e G a l o i s g r o u p o f t h e c o r r e s p o n d i n g e x t e n s i o n o f t h e f u n c t i o n - f i e l d C ( T )

o f E . R i g i d i t y t h e n a l l o w s d e s c e n t t o a r e g u l a r e x t e n s i o n o f Q ( T ) w i t h G a l o i s

g r o u p G .

L e t G b e g e n e r a t e d b y e l e m e n t s x 1 , . . .

, x , .

s a t i s f y i n g x 1 . . . x , . = 1 ,

a n d

l e t P = { p i , .

. . ,

p r } C E . I f w e a p p l y t h e i d e a s i n s e c t i o n 8 t o t h e r e g u l a r

r e p r e s e n t a t i o n o f G , w e o b t a i n a R i e m a n n s u r f a c e S a n d a r e g u l a r c o v e r i n g

, 0

: S - * E , b r a n c h e d o v e r P , w i t h c o v e r i n g g r o u p a n d m o n o d r o m y g r o u p

i s o m o r p h i c t o G ; e a c h x i d e s c r i b e s t h e b r a n c h i n g o f V ) o v e r p i . N o w t h e m e r o -

m o r p h i c f u n c t i o n s f : E - + E f o r m t h e r a t i o n a l f u n c t i o n f i e l d C ( T ) , w i t h C

a n d T c o r r e s p o n d i n g t o t h e c o n s t a n t a n d i d e n t i t y f u n c t i o n s , a n d c o m p o s i t i o n

w i t h V ) e m b e d s C ( T ) i n t h e f i e l d F o f m e r o m o r p h i c f u n c t i o n s o n S . T h i s i s a

n o r m a l e x t e n s i o n o f C ( T ) w i t h G a c t i n g a s i t s G a l o i s g r o u p [ 9 7 ] . T h e d i f f i c u l t

p a r t o f t h e m e t h o d i s n o w t o c h o o s e t h e p o i n t s p i a n d t h e g e n e r a t o r s x i s o

t h a t t h i s e x t e n s i o n r e s t r i c t s t o a n e x t e n s i o n E o f Q ( T ) w i t h t h e s a m e G a l o i s

g r o u p .

A c o n j u g a c y c l a s s K i n G i s r a t i o n a l i f e v e r y c h a r a c t e r o f G t a k e s r a t i o n a l

v a l u e s o n K , o r e q u i v a l e n t l y , i f g E K i m p l i e s g i E K f o r e v e r y g e n e r a t o r g i

o f ( g ) . I f K 1 , .

. . ,

K r a r e c o n j u g a c y c l a s s e s i n G , l e t

E ( K 1 i

. . . , K , . )

= { ( g l , . . . , g r ) E

K 1 x . . . x K r I g l

. . . g r = 1 ,

( g i , . . . , g r ) =

G }

N o w G a c t s b y c o n j u g a t i o n o n t h i s s e t , a n d i f G h a s t r i v i a l c e n t r e t h e n i t

a c t s s e m i - r e g u l a r l y ; i n [ 9 5 ] , T h o m p s o n h a s d e f i n e d ( K 1 , . . . , K r ) t o b e r i g i d

i f E ( K 1 , . . . ,

K r ) i s n o n - e m p t y a n d i s p e r m u t e d r e g u l a r l y b y G , t h a t i s , i f

I E ( K 1 , .

. .

,

K r ) I = I G I . U s i n g t h e c h a r a c t e r t h e o r y i n s e c t i o n 2 o n e c a n c a l c u -

l a t e n ( K 1 , . . . , K r ) , t h e n u m b e r o f s o l u t i o n s ( g i ) E K l x . . . x K r o f g 1

. . . g r = 1 ,

a n d s e c t i o n 6 s h o w s h o w t o c o u n t t h o s e w h i c h g e n e r a t e G , s o t h e s e t e c h n i q u e s

e n a b l e o n e t o f i n d r i g i d r - t u p l e s i n f i n i t e g r o u p s . T h e f o l l o w i n g t h e o r e m , d u e

i n v a r i o u s f o r m s t o B e l y i , F r i e d , M a t z a t , S h i h a n d T h o m p s o n , n o w g i v e s

s u f f i c i e n t c o n d i t i o n s f o r d e s c e n t f r o m C t o Q

T h e o r e m 1 I f G i s a f i n i t e g r o u p w i t h t r i v i a l c e n t r e , a n d ( K 1 ,

. . .

,

K r ) i s a

r i g i d r - t u p l e o f r a t i o n a l c o n j u g a c y c l a s s e s o f G , t h e n t h e r e i s a r e g u l a r G a l o i s

e x t e n s i o n E o f Q ( T ) w i t h G a l o i s g r o u p G .

( T h i s e x t e n s i o n i s r a m i f i e d o v e r a s e t o f r a t i o n a l p o i n t s p i E E , a n d t h e

g e n e r a t o r s o f t h e c o r r e s p o n d i n g i n e r t i a g r o u p s b e l o n g t o t h e c l a s s e s K i . )



C h a r a c t e r s a n d s u r f a c e s : a s u r v e y 1 0 5

F o r i n s t a n c e S n h a s t r i v i a l c e n t r e ( f o r n > 3 ) a n d a l l i t s c o n j u g a c y c l a s s e s

a r e r a t i o n a l ; c h a r a c t e r t h e o r y o r a s i m p l e d i r e c t a r g u m e n t s h o w s t h a t t h e

c l a s s e s c o n s i s t i n g o f t h e t r a n s p o s i t i o n s , ( n - 1 ) - c y c l e s a n d n - c y c l e s f o r m a

r i g i d t r i p l e , s o S n s a t i s f i e s G a 1 T . I n g e n e r a l , t h e h y p o t h e s e s o f t h e t h e o r e m

a r e t o o s t r o n g t o a p p l y t o m a n y g r o u p s : t h u s A 5 h a s r i g i d t r i p l e s ( o f e l e m e n t s

o f o r d e r s 2 , 3 a n d 5 ) , b u t h a s n o r a t i o n a l r i g i d r - t u p l e s . H o w e v e r , t h e r e a r e

l e s s r e s t r i c t i v e c o n d i t i o n s w h i c h a r e s u f f i c i e n t t o i m p l y G a I T f o r s e v e r a l c l a s s e s

o f g r o u p s , i n c l u d i n g t h e a l t e r n a t i n g g r o u p s a n d a l l t h e s p o r a d i c s i m p l e g r o u p s

e x c e p t p o s s i b l y M 2 3 [ 8 7 ] .

1 2

A c t i o n o n h o m o l o g y

S o f a r , I h a v e s h o w n h o w c h a r a c t e r t h e o r y c a n b e u s e d t o c o u n t s o l u t i o n s o f

e q u a t i o n s , a n d t h e u n d e r l y i n g r e p r e s e n t a t i o n s h a v e n o t p l a y e d a s i g n i f i c a n t

r o l e .

H o w e v e r , a n y G < A u t S h a s i n d u c e d a c t i o n s o n v a r i o u s m o d u l e s ,

s u c h a s t h e h o m o l o g y a n d c o h o m o l o g y g r o u p s a s s o c i a t e d w i t h S , a n d t h e s e

r e p r e s e n t a t i o n s c a n b e v e r y u s e f u l i n s o l v i n g s p e c i f i c p r o b l e m s ( s e e [ 8 2 , 1 0 7 ]

f o r t h e g e n e r a l t h e o r y ) .

A s i n s e c t i o n 3 , l e t G = F / A b e a f i n i t e g r o u p o f a u t o m o r p h i s m s o f a

c o m p a c t R i e m a n n s u r f a c e S = X / A o f g e n u s g . T h e f i r s t i n t e g e r h o m o l o g y

g r o u p H l = H 1 ( S ; Z ) o f S c a n b e i d e n t i f i e d w i t h t h e a b e l i a n i z e d f u n d a m e n t a l

g r o u p

A a b

= A / A ' = Z 2 9 , a n d t h e n a t u r a l a c t i o n o f G o n H l c o r r e s p o n d s t o

t h e a c t i o n ( i n d u c e d b y c o n j u g a t i o n ) o f F / A o n A a b

M u c h o f t h e i n f o r m a t i o n a b o u t t h e r e p r e s e n t a t i o n o f G o n H l i s e m b o d i e d

i n i t s c h a r a c t e r , w h i c h c a n b e c o m p u t e d a s f o l l o w s . T a k e a t r i a n g u l a t i o n o f

S / G w i t h v e r t i c e s i n c l u d i n g a l l t h e n o n - r e g u l a r o r b i t s o f G . B y l i f t i n g t h i s

t o S w e o b t a i n a G - i n v a r i a n t t r i a n g u l a t i o n o f S , w i t h G a c t i n g f r e e l y o n t h e

i - s i m p l i c e s f o r i > 0 . I f a i a n d T i a r e t h e c h a r a c t e r s o f t h e r e p r e s e n t a t i o n s o f

G o n t h e a s s o c i a t e d c h a i n - g r o u p s C i a n d h o m o l o g y g r o u p s H i ( w i t h i n t e g e r

c o e f f i c i e n t s ) , t h e n t h e H o p f t r a c e f o r m u l a [ 1 , § 9 . 4 ] g i v e s

t h e v a l u e o f t h e r i g h t - h a n d s i d e a t e a c h x e G b e i n g t h e L e f s c h e t z n u m b e r o f

x . B y o u r c h o i c e o f t r i a n g u l a t i o n , e a c h n o n - i d e n t i t y x E G s a t i s f i e s a i ( x ) = 0

f o r i > 0 , w h i l e a o ( x ) i s t h e n u m b e r ¢ ( x ) o f f i x e d - p o i n t s o f x o n S . S i n c e S i s

c o n n e c t e d , H o i s 1 - d i m e n s i o n a l , a f f o r d i n g t h e t r i v i a l r e p r e s e n t a t i o n o f G , a n d

t h e s a m e a p p l i e s t o H 2 s i n c e G p r e s e r v e s t h e o r i e n t a t i o n o f S . S i n c e H i = 0

f o r i > 2 w e t h e r e f o r e h a v e

T l ( x ) - { 2 _ ( x )

i f x 1 ( 8 )

2 g

i f x = 1 .



1 0 6


I n [ 6 2 ] M a c b e a t h h a s u s e d ( 8 ) t o f i n d e x p l i c i t e q u a t i o n s f o r a R i e m a n n

s u r f a c e S o f g e n u s 7 w i t h A n t S

L 2 ( 8 ) ; i n g e n e r a l , t h i s p a s s a g e f r o m g r o u p

t o e q u a t i o n s i s v e r y d i f f i c u l t . I n [ 6 5 ] h e p r o v e d t h a t

O ( x ) = I N G ( ( x ) ) I E " k - ( 9 )

f o r x 0 1 , w h e r e c 2 ( x ) = 1 o r 0 a s x i s o r i s n o t c o n j u g a t e t o a p o w e r o f o n e

o f t h e g e n e r a t o r s x E o f G , a n d t h e n u s e d t h i s t o c o m p u t e T i f o r s e v e r a l c l a s s e s

o f g r o u p s G , s u c h a s C , , a n d L 2 ( q ) .

A n i m p o r t a n t c o r o l l a r y o f ( 8 ) i s H u r w i t z ' s t h e o r e m t h a t G a c t s f a i t h f u l l y o n

H 1 f o r g > 2 ( t h e r e a r e o b v i o u s c o u n t e r e x a m p l e s f o r g < 1 ) ; s i n c e G p r e s e r v e s

o r i e n t a t i o n i t i s t h e r e f o r e e m b e d d e d i n S L 2 9 ( Z ) . I n f a c t G i s e m b e d d e d i n

t h e s y m p l e c t i c g r o u p S p 2 9 ( Z ) , s i n c e t h e i n t e r s e c t i o n f o r m , g i v i n g t h e a l g e b r a i c

n u m b e r o f i n t e r s e c t i o n s o f t w o 1 - c y c l e s i n S , i s a G - i n v a r i a n t n o n d e g e n e r a t e

s k e w - s y m m e t r i c b i l i n e a r f o r m o n H 1 .

H u r w i t z ' s t h e o r e m i m p o s e s s t r o n g r e s t r i c t i o n s o n t h e e l e m e n t s x E G . F o r

e x a m p l e , b y f a c t o r i s i n g t h e c h a r a c t e r i s t i c p o l y n o m i a l o f x a s a p r o d u c t o f

c y c l o t o m i c p o l y n o m i a l s , K i r b y [ 5 6 ] h a s s h o w n t h a t 2 g >

' ( k ) f o r a c e r t a i n

f u n c t i o n '

( k ) o f t h e o r d e r k o f x . I f k = p i s p r i m e t h e n ? p ( p ) c o i n c i d e s w i t h

E u l e r ' s f u n c t i o n 0 ( p ) = p - 1 , s o p < 2 g + 1 f o r g > 2 . T h e s u r f a c e s a t t a i n i n g

t h i s b o u n d a r e t h e L e f s c h e t z s u r f a c e s i n E x a m p l e 2 o f s e c t i o n 1 0 ; R i e r a a n d

R o d r i g u e z h a v e a n a l y s e d t h e m i n d e t a i l i n [ 8 1 ] , u s i n g s o m e o f t h e i d e a s i n

t h i s s e c t i o n .

A n o t h e r i m m e d i a t e c o r o l l a r y o f ( 8 ) , o b t a i n e d b y c o n s i d e r i n g e i g e n v a l u e s

o n H 1 , i s t h a t e a c h n o n - i d e n t i t y a u t o m o r p h i s m o f S h a s a t m o s t 2 g + 2

f i x e d - p o i n t s , a n d t h a t a n y a u t o m o r p h i s m a t t a i n i n g t h i s b o u n d m u s t b e a

c e n t r a l i n v o l u t i o n . T h e s u r f a c e s p o s s e s s i n g s u c h a n a u t o m o r p h i s m a r e t h e

h y p e r e l l i p t i c s u r f a c e s y 2 = ( x - a l ) . . . ( x - a 2 9 + 2 ) , w h e r e t h e a u t o m o r p h i s m

( x ) y ) N ( x , - y ) h a s f i x e d - p o i n t s ( a ; , 0 ) .

S i n c e H o i s t o r s i o n - f r e e , t h e u n i v e r s a l c o e f f i c i e n t t h e o r e m [ 2 8 , § 2 9 ] i m p l i e s

t h a t H i ( S ; R ) = H ® ® z R f o r a n y c o m m u t a t i v e r i n g o f c o e f f i c i e n t s R , s o o n e

c a n v i e w ( 8 ) a s g i v i n g t h e c h a r a c t e r o f t h e r e p r e s e n t a t i o n p i o f G o n H 1 ( S ; R ) .

T h i s i s p a r t i c u l a r l y u s e f u l i f R = C , w h e n o n e c a n u s e ( 8 ) t o c a l c u l a t e t h e

m u l t i p l i c i t y

( T 1 , x ) G = I G I - 1 E T i ( x ) x ( x )

X E G

o f e a c h i r r e d u c i b l e c h a r a c t e r x o f G i n T 1 . A s w e s a w i n s e c t i o n s 9 - 1 0 , a n

i m p o r t a n t c a s e i s t h a t i n w h i c h I F i s a t r i a n g l e g r o u p . I n t h i s s i t u a t i o n ,

S t r e i t [ 9 3 ] h a s d e t e r m i n e d a n i d e a l i n t h e g r o u p - a l g e b r a C G a f f o r d i n g p 1 , a n d

h a s u s e d t h i s ( w i t h t h e a i d o f G A P [ 8 4 ] ) t o o b t a i n e x p l i c i t r e p r e s e n t i o n s o f

c e r t a i n a u t o m o r p h i s m g r o u p s G a n d s u r f a c e s S b y m a t r i c e s a n d p o l y n o m i a l s .




1 0 7

O n e c a n a l s o s t u d y p i t h r o u g h t h e n a t u r a l a c t i o n o f G a s a g r o u p o f a u t o -

m o r p h i s m s o f t h e c o h o m o l o g y r i n g o f S . T h e f i r s t d e R h a m c o h o m o l o g y g r o u p

H ' ( S ; C ) i s t h e 2 g - d i m e n s i o n a l v e c t o r s p a c e o f s m o o t h c l o s e d d i f f e r e n t i a l s

m o d u l o t h e s m o o t h e x a c t d i f f e r e n t i a l s , o r e q u i v a l e n t l y t h e s p a c e o f h a r m o n i c

d i f f e r e n t i a l s o n S [ 2 0 , § 1 1 1 . 2 , § V . 3 ] . I n t e g r a t i o n o f d i f f e r e n t i a l s a l o n g 1 - c h a i n s

g i v e s a G - i n v a r i a n t n o n - s i n g u l a r p a i r i n g H ' ( S ; C ) x H l ( S ; C ) - 4 C ( t h e c a p

p r o d u c t ) , s o t h e r e p r e s e n t a t i o n o f G o n H 1 ( S ; C ) i s t h e d u a l o f p i ; s i n c e

G i s f i n i t e a n d T l i s r e a l , t h e s e r e p r e s e n t a t i o n s a r e i n f a c t e q u i v a l e n t . N o w

H ' ( S ; C ) i s t h e d i r e c t s u m o f t h e G - i n v a r i a n t g - d i m e n s i o n a l s p a c e s Q ( S ) a n d

Q ( S ) o f h o l o m o r p h i c a n d a n t i - h o l o m o r p h i c d i f f e r e n t i a l s , t h e s e t w o s u m m a n d s

a f f o r d i n g d u a l ( a n d h e n c e c o n j u g a t e ) r e p r e s e n t a t i o n s p 1 , 0 a n d p 0 , 1 = 5 T o f

G . I f x E G h a s o r d e r k > 1 , t h e n a t e a c h o f i t s f i n i t e l y m a n y f i x e d - p o i n t s

o n S i t s d e r i v a t i v e ( i n l o c a l c o o r d i n a t e s ) i s ( k f o r s o m e j c o p r i m e t o k , w h e r e

S k = e x p ( 2 1 r i / k ) ; t h e E i c h l e r t r a c e f o r m u l a [ 2 0 , § V . 2 . 9 ] s t a t e s t h a t x h a s t r a c e

1 + E ( Q ) - 1 ) - 1 o n Q ( S ) , s u m m i n g o v e r a l l t h e f i x e d - p o i n t s o f x , a n d f r o m

t h i s o n e c a n d e d u c e t h e d e c o m p o s i t i o n o f T i i n t o i r r e d u c i b l e c o m p o n e n t s . F o r

i n s t a n c e i f G a c t s f r e e l y o n S t h e n p 1 , o i s t h e s u m o f t h e p r i n c i p a l r e p r e s e n -

t a t i o n a n d h - 1 c o p i e s o f t h e r e g u l a r r e p r e s e n t a t i o n , w h e r e S / G h a s g e n u s

h .

T h e G - m o d u l e Q ( S ) i s t h e s p e c i a l c a s e q = 1 o f t h e r e p r e s e n t a t i o n o f

G o n t h e s p a c e o f h o l o m o r p h i c q - d i f f e r e n t i a l s : w h e n q > 1 , t h i s h a s d e g r e e

( 2 q - 1 ) ( g - 1 ) o r g a s g > 2 o r g < 1 . C h e v a l l e y a n d W e i l [ 8 ] s h o w e d t h a t

i n t h i s r e p r e s e n t a t i o n , a n i r r e d u c i b l e r e p r e s e n t a t i o n p o f G o f d e g r e e d h a s

m u l t i p l i c i t y

r k ; - 1

m p = d ( 2 q - 1 ) ( h - 1 ) + E E N i , j ( ( q - 1 ) ( 1 -

i = 1 j = 0

( q

k i - j ) ) + a ;

h e r e o r = 1 i f q = 1 a n d p i s t h e p r i n c i p a l r e p r e s e n t a t i o n ( s o m p = h ) , a n d

a = 0 o t h e r w i s e ; ( t ) = t - . [ t ] i s t h e f r a c t i o n a l p a r t o f a r e a l n u m b e r t , a n d

N i , j i s t h e m u l t i p l i c i t y o f ( k ' : a s a n e i g e n v a l u e o f p ( x i ) . F o r f u r t h e r d e t a i l s a n d

a p p l i c a t i o n s o f t h i s r e p r e s e n t a t i o n o f G , s e e [ 2 0 , 5 9 ] .

1 3

A b e l i a n c o v e r i n g s

I f , i n s e c t i o n 1 2 , w e t a k e R = Z a s t h e r i n g o f c o e f f i c i e n t s , w e o b t a i n t h e

r e d u c t i o n o f p l m o d n , t h a t i s , t h e r e p r e s e n t a t i o n o f G o n t h e h o m o l o g y g r o u p

H l ( S ; Z ) = A / A ' A n = ( Z n ) 2 9 ; S e r r e [ 8 5 ] s h o w e d t h a t i f g > 2 t h e n t h i s i s

f a i t h f u l f o r a l l n > 3 , w h e r e a s f o r n = 2 i t s k e r n e l h a s e x p o n e n t d i v i d i n g

2 . O n e c a n u s e t h i s r e p r e s e n t a t i o n t o c o n s t r u c t r e g u l a r a b e l i a n c o v e r i n g s o f

S : a n y G - s u b m o d u l e o f A , , : = A / A ' A " ` c o r r e s p o n d s t o a n o r m a l s u b g r o u p

M o f I ' l y i n g b e t w e e n A a n d A ' A ' A , s o i t g i v e s a r e g u l a r u n b r a n c h e d c o v e r i n g



1 0 8


X / M - + X / A = S , w i t h t h e f i n i t e a b e l i a n g r o u p A / M a s t h e g r o u p o f c o v e r i n g

t r a n s f o r m a t i o n s .

T o i l l u s t r a t e t h i s t e c h n i q u e , l e t F b e t h e t r i a n g l e g r o u p A = A ( 2 , 3 , 7 )

a n d l e t G b e t h e H u r w i t z g r o u p L 2 ( 7 ) . T h e n n o ( G ) = 1 , t h a t i s , t h e r e i s a

s i n g l e n o r m a l s u b g r o u p A o f A w i t h A / A = ' G , n a m e l y t h e s u b g r o u p A = K

a s s o c i a t e d w i t h K l e i n ' s s u r f a c e S = U / K o f g e n u s g = 3 i n s e c t i o n 1 0 . T h e

z e r o s u b m o d u l e o f A n l i f t s t o t h e s u b g r o u p M = A ' A n , w h i c h i s c h a r a c t e r i s t i c

i n A a n d h e n c e n o r m a l i n A ; t h i s g i v e s a H u r w i t z g r o u p A / M o f g e n u s 1 + 2 n 6

a n d t y p e n 6 . L 2 ( 7 ) , t h a t i s , a n e x t e n s i o n o f a n o r m a l s u b g r o u p ( Z n ) 6 b y L 2 ( 7 ) .

I n d e e d , t h i s i s h o w M a c b e a t h f i r s t p r o v e d t h e e x i s t e n c e o f i n f i n i t e l y m a n y

H u r w i t z g r o u p s i n [ 6 1 ] .

F o r c e r t a i n v a l u e s o f n , f u r t h e r H u r w i t z g r o u p s c a n b e o b t a i n e d f r o m

p r o p e r s u b m o d u l e s o f A n , a n d t o f i n d t h e s e w e n e e d t o r e d u c e p l m o d n . F o r

s i m p l i c i t y , I w i l l f o l l o w S a h [ 8 2 ] a n d t a k e n t o b e a p r i m e q . N o w ( 9 ) g i v e s

t h e c h a r a c t e r - v a l u e s T l ( x ) = 6 , - 2 , 0 , 2 , - 1 a s x E G h a s o r d e r 1 , 2 , 3 , 4 , 7

r e s p e c t i v e l y , s o r i = X 2 + X 3 i n t h e A T L A S n o t a t i o n [ 1 6 ] , t h e s u m o f t w o

c o n j u g a t e i r r e d u c i b l e c h a r a c t e r s o f d e g r e e 3 w i t h v a l u e s i n Q ( ) . W i t h

k n o w l e d g e o f t h e o r d i n a r y a n d m o d u l a r r e p r e s e n t a t i o n s o f G [ 5 , 1 6 , 4 4 ] o n e

c a n u s e t h i s t o d e t e r m i n e t h e s t r u c t u r e o f t h e Z q G - m o d u l e A q . ( O n t h i s p o i n t ,

c o m m e n t ( b ) o n p . 3 7 o f [ 8 2 ] i s i n c o r r e c t , a n d i n f a c t t h e r e i s n o H u r w i t z g r o u p

o f g e n u s 5 5 ; s i m i l a r l y , i n c o m m e n t ( e ) o n p . 3 8 , t h e v a l u e g = 5 5 s h o u l d b e

d e l e t e d , a n d l i k e w i s e 7 3 s i n c e U 3 ( 3 ) i s n o t a H u r w i t z g r o u p . )

I f q - 1 , 2 o r 4 m o d 7 t h e n - 7 i s a q u a d r a t i c r e s i d u e m o d q , a n d A q

i s a d i r e c t s u m o f t w o i r r e d u c i b l e 3 - d i m e n s i o n a l G - s u b m o d u l e s ; t h e s e g i v e

t w o n o r m a l s u b g r o u p s M l , M 2 o f A o f i n d e x q 3 i n A , a n d h e n c e t w o n o n -

i s o m o r p h i c s u r f a c e s U / M i o f g e n u s 1 + 2 q 3 , e a c h a c t e d o n b y a H u r w i t z g r o u p

o f t y p e g 3 . L 2 ( 7 ) . I f q = 7 t h e n A q i s r e d u c i b l e b u t i n d e c o m p o s a b l e , w i t h a

s i n g l e p r o p e r G - s u b m o d u l e o f d i m e n s i o n 3 , s o w e g e t a s i n g l e s u r f a c e o f g e n u s

1 + 2 . 7 3 = 6 8 7 a s s o c i a t e d w i t h a H u r w i t z g r o u p o f t y p e 7 3 . L 2 ( 7 ) . I f q - 3 , 5

o r 6 m o d 7 t h e n - 7 i s n o t a q u a d r a t i c r e s i d u e m o d q , a n d A q i s i r r e d u c i b l e ,

s o w e o b t a i n n o f u r t h e r H u r w i t z g r o u p s i n t h i s c a s e . I n f a c t , C o h e n [ 9 ] h a s

d e t e r m i n e d a l l t h e H u r w i t z g r o u p s h a v i n g a n a b e l i a n n o r m a l s u b g r o u p A

w i t h q u o t i e n t - g r o u p L 2 ( 7 ) ; t h o s e d e s c r i b e d h e r e a r e t h e e x a m p l e s w h e r e A i s

e l e m e n t a r y a b e l i a n .

1 4

A p p l i c a t i o n s t o m a p s a n d h y p e r m a p s

T h e i d e a s i n s e c t i o n s 1 2 a n d 1 3 c a n b e c o m b i n e d w i t h t h o s e i n s e c t i o n 9 t o

o b t a i n f u r t h e r r e s u l t s a b o u t m a p s a n d h y p e r m a p s . F o r i n s t a n c e B i g g s [ 3 ] a n d

M a c h [ 6 6 ] h a v e a p p l i e d ( 8 ) t o a u t o m o r p h i s m s o f t h e s e s t r u c t u r e s , w i t h ¢ ( x )

t h e t o t a l n u m b e r o f v e r t i c e s , e d g e s a n d f a c e s i n v a r i a n t u n d e r x ; a s b e f o r e ,

t h i s g i v e s a f a i t h f u l s y m p l e c t i c r e p r e s e n t a t i o n o n H l f o r g > 2 .

S i m i l a r l y ,




1 0 9

b y f i n d i n g s u i t a b l e s u b m o d u l e s o f H 1 ( M ; Z n ) o n e c a n c o n s t r u c t m a p s w i t h

s p e c i f i c p r o p e r t i e s a s a b e l i a n c o v e r i n g s o f a g i v e n m a p M . F o r e x a m p l e , t h e

n o r m a l s u b g r o u p s M o f A ( 2 , 3 , 7 ) c o n s t r u c t e d i n s e c t i o n 1 3 c o r r e s p o n d t o

r e g u l a r m a p s o f t y p e { 7 , 3 } w h i c h a r e a b e l i a n c o v e r i n g s o f K l e i n ' s m a p K

o f g e n u s 3 . I n p a r t i c u l a r , t h e n o r m a l s u b g r o u p s M 1 a n d M 2 o b t a i n e d f r o m

p r i m e s q - 1 , 2 o r 4 m o d 7 a r e c o n j u g a t e i n t h e e x t e n d e d t r i a n g l e g r o u p

A * ( 2 , 3 , 7 ) ( w h i c h c o n t a i n s i ( 2 , 3 , 7 ) w i t h i n d e x 2 ) , s o t h e i r a s s o c i a t e d m a p s

f o r m c h i r a l p a i r s . B y D i r i c h l e t ' s t h e o r e m o n p r i m e s i n a r i t h m e t i c p r o g r e s s i o n s ,

i n f i n i t e l y m a n y s u c h p a i r s c a n b e o b t a i n e d i n t h i s w a y .

1 5

I s o s p e c t r a l s u r f a c e s

A c l a s s i c p r o b l e m a s k s t o w h a t e x t e n t a p e r m u t a t i o n r e p r e s e n t a t i o n i s d e t e r -

m i n e d b y i t s c h a r a c t e r . T h i s h a s u n e x p e c t e d a p p l i c a t i o n s t o a l g e b r a i c n u m b e r

f i e l d s [ 2 4 , 7 9 1 , t o R i e m a n n s u r f a c e s [ 7 ] , a n d t o K a c ' s f a m o u s q u e s t i o n ` C a n

o n e h e a r t h e s h a p e o f a d r u m ? ' [ 5 5 ] .

T w o s u b g r o u p s H 1 a n d H 2 o f a f i n i t e g r o u p G a r e a l m o s t c o n j u g a t e i f t h e

r e p r e s e n t a t i o n s o f G o n t h e c o s e t s o f H 1 a n d H 2 h a v e t h e s a m e c h a r a c t e r , o r

e q u i v a l e n t l y J H 1 f l K I = J H 2 f l K I f o r e a c h c o n j u g a c y c l a s s K o f G . C o n j u g a t e

s u b g r o u p s a r e a l m o s t c o n j u g a t e , b u t t h e c o n v e r s e i s f a l s e . F o r i n s t a n c e i f H 1

a n d H 2 a r e n o n - i s o m o r p h i c g r o u p s w i t h t h e s a m e n u m b e r s o f e l e m e n t s o f e a c h

o r d e r ( p - g r o u p s p r o v i d e p l e n t y o f e x a m p l e s ) , t h e n t h e y h a v e t h e s a m e o r d e r

n , a n d t h e i r r e g u l a r r e p r e s e n t a t i o n s e m b e d t h e m a s n o n - c o n j u g a t e s u b g r o u p s

o f G = S n ; h o w e v e r , t h e y a r e a l m o s t c o n j u g a t e s i n c e e a c h e l e m e n t o f o r d e r

k i n H i c o n s i s t s o f n / k k - c y c l e s , a n d s u c h p e r m u t a t i o n s f o r m a s i n g l e c l a s s

i n S n . S i m i l a r l y , i f n > 3 t h e n t h e s t a b i l i z e r s H l a n d H 2 o f a p o i n t a n d a

h y p e r p l a n e i n G = P G L n ( q ) a r e n o t c o n j u g a t e , b u t t h e y a r e a l m o s t c o n j u g a t e :

t o s e e t h i s , c h o o s e H 2 t o b e r e p r e s e n t e d b y t h e t r a n s p o s e s o f t h e m a t r i c e s

r e p r e s e n t i n g H 1 , a n d u s e t h e f a c t t h a t e v e r y s q u a r e m a t r i x o v e r a f i e l d i s

c o n j u g a t e t o i t s t r a n s p o s e . G u r a l n i c k a n d S a x l [ 3 1 ] g i v e a n i n f i n i t e s e q u e n c e

o f a l t e r n a t i n g g r o u p s G i n w h i c h a m a x i m a l s u b g r o u p H 1 i s a l m o s t c o n j u g a t e

t o a n o n - m a x i m a l s u b g r o u p H 2 , s o i n g e n e r a l a p e r m u t a t i o n c h a r a c t e r d o e s

n o t d e t e r m i n e p r i m i t i v i t y .

I f S i s a c o m p a c t R i e m a n n s u r f a c e o f g e n u s g > 1 t h e n , a s a q u o t i e n t o f

t h e h y p e r b o l i c p l a n e , S i s a 2 - d i m e n s i o n a l R i e m a n n i a n m a n i f o l d o f c u r v a t u r e

- 1 ; i n t h i s m e t r i c , i s o m e t r i e s c o r r e s p o n d t o c o n f o r m a l o r a n t i c o n f o r m a l i s o -

m o r p h i s m s o f R i e m a n n s u r f a c e s . T h e l e n g t h s p e c t r u m o f S i s t h e i n c r e a s i n g

s e q u e n c e o f l e n g t h s o f i t s p r i m i t i v e c l o s e d g e o d e s i c s ( w h e r e ` p r i m i t i v e ' h e r e

m e a n s n o t a p r o p e r i t e r a t e o f a n o t h e r g e o d e s i c ) . T w o s u r f a c e s a r e i s o s p e c t r a l

i f t h e y h a v e t h e s a m e l e n g t h s p e c t r a ; b y H u b e r ' s t h e o r e m , t h i s i s e q u i v a -

l e n t t o t h e i r L a p l a c e o p e r a t o r s h a v i n g t h e s a m e e i g e n v a l u e s p e c t r a . I s o m e t r i c

s u r f a c e s a r e i s o s p e c t r a l , a n d G e l ' f a n d c o n j e c t u r e d t h a t t h e c o n v e r s e i s t r u e .



1 1 0


H o w e v e r , c o u n t e r e x a m p l e s c a n b e f o u n d a s f o l l o w s ( s e e [ 7 ] f o r t h e d e t a i l s a n d

f o r t h e b a c k g r o u n d t o t h i s p r o b l e m ) . I f G < A u t S f o r s o m e c o m p a c t R i e -

m a n n s u r f a c e S , a n d i f H 1 , H 2 a r e a l m o s t c o n j u g a t e s u b g r o u p s o f G a c t i n g

f r e e l y ( w i t h o u t f i x e d p o i n t s ) o n S , t h e n S u n a d a ' s t h e o r e m [ 9 4 ] i m p l i e s t h a t

t h e s u r f a c e s S / H = a r e i s o s p e c t r a l . H o w e v e r , i f H 1 a n d H 2 a r e n o t c o n j u g a t e ,

o n e c a n c h o o s e S s o t h a t t h e s e t w o s u r f a c e s a r e n o t i s o m e t r i c : t h e b a s i c i d e a

i s t o ` t h i c k e n o u t ' a C a y l e y d i a g r a m C f o r G , r e p l a c i n g i t s v e r t i c e s a n d e d g e s

w i t h s p h e r e s a n d t u b e s , t o o b t a i n a R i e m a n n s u r f a c e S o n w h i c h G a c t s c o n -

f o r m a l l y a n d f r e e l y ; s i n c e t h e t w o c o s e t d i a g r a m s C / H ; a r e n o t i s o m o r p h i c ( a s

l a b e l l e d d i r e c t e d g r a p h s ) , a n d s i n c e t h e g e o m e t r y o f t h i s t h i c k e n i n g c a n b e

a r r a n g e d s o t h a t C / H a c a n b e r e c o n s t r u c t e d f r o m S / H t , i t f o l l o w s t h a t S / H 1

a n d S / H 2 c a n n o t b e i s o m e t r i c . F o r a n e g a t i v e a n s w e r t o K a c ' s q u e s t i o n , i n -

v o l v i n g a n e x t e n s i o n o f t h i s i d e a t o o r b i f o l d s a n d h e n c e t o s i m p l y c o n n e c t e d

d o m a i n s i n R 2 , s e e [ 2 6 ] .


I a m v e r y g r a t e f u l t o P e t e r B u s e r , D a v i d S i n g e r m a n , M a n f r e d S t r e i t , R o b e r t

W i l s o n a n d A l e x a n d e r Z v o n k i n f o r t h e i r h e l p f u l c o m m e n t s o n e a r l y d r a f t s o f

t h i s p a p e r .

R e f e r e n c e s

[ 1 ] M . A . A r m s t r o n g , B a s i c t o p o l o g y , M c G r a w - H i l l , L o n d o n , 1 9 7 9 .

[ 2 ] G . V . B e l y i , O n G a l o i s e x t e n s i o n s o f a m a x i m a l c y c l o t o m i c f i e l d ,

I z v . A k a d . N a u k S S S R 4 3 ( 1 9 7 9 ) , 2 6 9 - 2 7 6 ( R u s s i a n ) ; M a t h . U S S R

I z v e s t i y a 1 4 ( 1 9 8 0 ) , 2 4 7 - 2 5 6 ( E n g l i s h t r a n s l . ) .

[ 3 ] N . L . B i g g s , T h e s y m p l e c t i c r e p r e s e n t a t i o n o f m a p a u t o m o r p h i s m s ,

B u l l . L o n d o n M a t h . S o c . 4 ( 1 9 7 2 ) , 3 0 3 - 3 0 6 .

[ 4 ] E . B u j a l a n c e , J . J . E t a y o , J . M . G a m b o a a n d G . G r o m a d z k i , A u t o -

m o r p h i s m g r o u p s o f c o m p a c t b o r d e r e d K l e i n s u r f a c e s , L e c t u r e N o t e s

i n M a t h e m a t i c s 1 4 3 9 , S p r i n g e r - V e r l a g , B e r l i n / H e i d e l b e r g / N e w Y o r k ,

1 9 9 0 .

[ 5 ] R . B u r k h a r d t , D i e Z e r l e g u n g s m a t r i z e n d e r G r u p p e n P S L ( 2 , p f ) , J . A l -

g e b r a 4 0 ( 1 9 7 6 ) , 7 5 - 9 6 .

[ 6 ] W . B u r n s i d e , T h e o r y o f g r o u p s o f f i n i t e o r d e r , C a m b r i d g e U n i v e r s i t y

P r e s s , 1 9 1 1 .




1 1 1

[ 7 ] P . B u s e r , G e o m e t r y a n d s p e c t r a o f c o m p a c t R i e m a n n s u r f a c e s ,

B i r k h a u s e r , B o s t o n , 1 9 9 2 .

[ 8 ] C . C h e v a l l e y a n d A . W e i l , U b e r d a s V e r h a l t e n d e r I n t e g r a l e

1 .

G a t t u n g b e i A u t o m o r p h i s m e n d e s F u n k t i o n e n k o r p e r s , A b h . M a t h .

S e m . U n i v . H a m b u r g 1 0 ( 1 9 3 4 ) , 3 5 8 - 3 6 1 .

[ 9 ]

J . M . C o h e n , O n H u r w i t z e x t e n s i o n s b y P S L 2 ( 7 ) , M a t h . P r o c . C a m -

b r i d g e P h i l o s . S o c . 8 6 ( 1 9 7 9 ) , 3 9 5 - 4 0 0 .

[ 1 0 ] J . M . C o h e n , O n n o n - H u r w i t z g r o u p s a n d n o n - c o n g r u e n c e s u b g r o u p s o f

t h e m o d u l a r g r o u p , G l a s g o w M a t h . J . 2 2 ( 1 9 8 1 ) , 1 - 7 .

[ 1 1 ] P . B . C o h e n , C . I t z y k s o n a n d J . W o l f a r t , F u c h s i a n t r i a n g l e g r o u p s a n d

G r o t h e n d i e c k d e s s i n s . V a r i a t i o n s o n a t h e m e o f B e l y i , C o m m . M a t h .

P h y s . 1 6 3 ( 1 9 9 4 ) , 6 0 5 - 6 2 7 .

[ 1 2 ] M . D . E . C o n d e r , G e n e r a t o r s f o r a l t e r n a t i n g a n d s y m m e t r i c g r o u p s ,

J . L o n d o n M a t h . S o c . ( 2 ) 2 2 ( 1 9 8 0 ) , 7 5 - 8 6 .

[ 1 3 ] M . D . E . C o n d e r , T h e s y m m e t r i c g e n u s o f a l t e r n a t i n g a n d s y m m e t r i c

g r o u p s , J . C o m b i n a t o r i a l T h e o r y ( B ) 3 9 ( 1 9 8 5 ) , 1 7 9 - 1 8 6 .

[ 1 4 ] M . D . E . C o n d e r , H u r w i t z g r o u p s : a b r i e f s u r v e y , B u l l . A m e r . M a t h .

S o c . ( N . S . ) 2 3 ( 1 9 9 0 ) , 3 5 9 - 3 7 0 .

[ 1 5 ] M . D . E . C o n d e r , R . A . W i l s o n a n d A . J . W o l d a r , T h e s y m m e t r i c g e n u s

o f s p o r a d i c g r o u p s , P r o c . A m e r . M a t h . S o c . 1 1 6 ( 1 9 9 2 ) , 6 5 3 - 6 6 3 .

[ 1 6 ] J . H . C o n w a y , R . T . C u r t i s , S . P . N o r t o n , R . A . P a r k e r a n d R . A . W i l s o n ,

A n A T L A S o f F i n i t e G r o u p s , C l a r e n d o n P r e s s , O x f o r d , 1 9 8 5 .

[ 1 7 ] R . C o r i , U n c o d e p o u r l e s g r a p h e s p l a n a i r e s e t s e s a p p l i c a t i o n s , A s t e -

r i s q u e 2 7 ( 1 9 7 5 ) .

[ 1 8 ] R . C o r i a n d A . M a c h , M a p s , h y p e r m a p s a n d t h e i r a u t o m o r p h i s m s : a

s u r v e y I , I I , I I I , E x p o s i t i o n e s M a t h . 1 0 ( 1 9 9 2 ) , 4 0 3 - 4 2 7 , 4 2 9 - 4 4 7 , 4 4 9 -

4 6 7 .

[ 1 9 ] H . S . M . C o x e t e r a n d W . O . J . M o s e r , G e n e r a t o r s a n d r e l a t i o n s f o r d i s -

c r e t e g r o u p s , S p r i n g e r - V e r l a g , B e r l i n / G o t t i n g e n / H e i d e l b e r g / N e w Y o r k ,

1 9 6 5 .

[ 2 0 ] H . M . F a r k a s a n d I . K r a , R i e m a n n s u r f a c e s , S p r i n g e r - V e r l a g , N e w

Y o r k / H e i d e l b e r g / B e r l i n , 1 9 8 0 .



1 1 2


[ 2 1 ] G . F r o b e n i u s , U b e r G r u p p e n c h a r a k t e r e , S i t z b e r . K o n i g l i c h P r e u s s .

A k a d . W i s s . B e r l i n ( 1 8 9 6 ) , 9 8 5 - 1 0 2 1 .

[ 2 2 ] G . F r o b e n i u s , U b e r e i n e n F u n d a m e n t a l s a t z d e r G r u p p e n t h e o r i e , I I ,

S i t z b e r . K o n i g l i c h P r e u s s . A k a d . W i s s . B e r l i n ( 1 9 0 7 ) , 4 2 8 - 4 3 7 .

[ 2 3 ] G . F r o b e n i u s a n d I . S c h u r , U b e r d i e r e e l l e n D a r s t e l l u n g e n d e r e n d l i c h e n

G r u p p e n , S i t z b e r . K o n i g l i c h P r e u s s . A k a d . W i s s . B e r l i n ( 1 9 0 6 ) , 1 8 6 -

2 0 8 .

[ 2 4 ] F . G a s s m a n n , B e m e r k u n g e n z u r v o r s t e h e n d e n A r b e i t v o n H u r w i t z ,

M a t h . Z . 2 5 ( 1 9 2 6 ) , 6 6 5 - 6 7 5 .

[ 2 5 ] H . G l o v e r a n d D . S j e r v e , T h e g e n u s o f P S L 2 ( q ) , J . r e i n e a n g e w . M a t h .

3 8 0 ( 1 9 8 7 ) , 5 9 - 8 6 .

[ 2 6 ] C . G o r d o n , D . L . W e b b a n d S . W o l p e r t , O n e c a n n o t h e a r t h e s h a p e o f

a d r u m , B u l l . A m e r . M a t h . S o c . ( N . S . ) 2 7 ( 1 9 9 2 ) , 1 3 4 - 1 3 8 .

[ 2 7 ] D . G o r e n s t e i n , F i n i t e g r o u p s , H a r p e r a n d R o w , N e w Y o r k , 1 9 6 8 .

[ 2 8 ] L . G r e e n b e r g , L e c t u r e s o n a l g e b r a i c t o p o l o g y , B e n j a m i n , N e w Y o r k ,

1 9 6 6 .

[ 2 9 ] A . G r o t h e n d i e c k , E s q u i s s e d ' u n p r o g r a m m e , P r e p r i n t , M o n t p e l l i e r ,

1 9 8 4 .

[ 3 0 ] R . M . G u r a l n i c k , T h e g e n u s o f a p e r m u t a t i o n g r o u p , i n G r o u p s , c o m b i -

n a t o r i c s a n d g e o m e t r y , D u r h a m 1 9 9 0 ( e d s . M . W . L i e b e c k a n d J . S a x l ) ,

p p . 3 5 1 - 3 6 3 . L o n d o n M a t h . S o c . L e c t u r e N o t e S e r i e s 1 6 5 , C a m b r i d g e


[ 3 1 ] R . M . G u r a l n i c k a n d J . S a x l , P r i m i t i v e p e r m u t a t i o n c h a r a c t e r s , i n

G r o u p s , c o m b i n a t o r i c s a n d g e o m e t r y , D u r h a m 1 9 9 0 ( e d s . M . W . L i e b e c k

a n d J . S a x l ) , p p . 3 6 4 - 3 6 7 . L o n d o n M a t h . S o c . L e c t u r e N o t e S e r i e s 1 6 5 ,


[ 3 2 ] R . M . G u r a l n i c k a n d J . G . T h o m p s o n , F i n i t e g r o u p s o f g e n u s z e r o ,

J . A l g e b r a 1 3 1 ( 1 9 9 0 ) , 3 0 3 - 3 4 1 .

[ 3 3 ] P . H a l l , T h e E u l e r i a n f u n c t i o n s o f a g r o u p , Q u a r t . J . M a t h . ( O x f o r d ) 7

( 1 9 3 6 ) , 1 3 4 - 1 5 1 .

[ 3 4 ] W . R . H a m i l t o n , L e t t e r t o J o h n T . G r a v e s ` O n t h e I c o s i a n ' ( 1 7 t h O c t o -

b e r 1 8 5 6 ) , i n M a t h e m a t i c a l p a p e r s , V o l . I I I , A l g e b r a ( e d s . H . H a l b e r s t a m

a n d R . E . I n g r a m ) , p p . 6 1 2 - 6 2 5 . C a m b r i d g e U n i v e r s i t y P r e s s , 1 9 6 7 .




1 1 3

[ 3 5 ] J . H a r e r a n d D . Z a g i e r , T h e E u l e r c h a r a c t e r i s t i c o f t h e m o d u l i s p a c e o f

c u r v e s , I n v e n t . M a t h . 8 5 ( 1 9 8 6 ) , 4 5 7 - 4 8 5 .

[ 3 6 ] W . J . H a r v e y , C y c l i c g r o u p s o f a u t o m o r p h i s m s o f a c o m p a c t R i e m a n n

s u r f a c e , Q u a r t . J . M a t h . ( O x f o r d ) ( 2 ) 1 7 ( 1 9 6 6 ) , 8 6 - 9 7 .

[ 3 7 ] A . H . M . H o a r e , S u b g r o u p s o f N E C g r o u p s a n d f i n i t e p e r m u t a t i o n

g r o u p s , Q u a r t . J . M a t h . ( O x f o r d ) ( 2 ) 4 1 ( 1 9 9 0 ) , 4 5 - 5 9 .

[ 3 8 ] A . H u r w i t z , U b e r a l g e b r a i s c h e G e b i l d e m i t e i n d e u t i g e n T r a n s f o r m a t i o -

n e n i n s i c h , M a t h . A n n . 4 1 ( 1 8 9 3 ) , 4 0 3 - 4 4 2 .

[ 3 9 ] Y . I h a r a , K . R i b e t a n d J . - P . S e r r e ( e d s . ) , G a l o i s g r o u p s o v e r Q ,

S p r i n g e r - V e r l a g , N e w Y o r k , 1 9 8 9 .

[ 4 0 ] D . M . J a c k s o n , C o u n t i n g c y c l e s i n p e r m u t a t i o n s b y g r o u p c h a r a c t e r s ,

w i t h a n a p p l i c a t i o n t o a t o p o l o g i c a l p r o b l e m , T r a n s . A m e r . M a t h . S o c .

2 9 9 ( 1 9 8 7 ) , 7 8 5 - 8 0 1 .

[ 4 1 ] D . M . J a c k s o n a n d T . I . V i s e n t i n , A c h a r a c t e r t h e o r e t i c a p p r o a c h t o

e m b e d d i n g s o f r o o t e d m a p s i n a n o r i e n t a b l e s u r f a c e o f g i v e n g e n u s ,

T r a n s . A m e r . M a t h . S o c . 3 2 2 ( 1 9 9 0 ) , 3 4 3 - 3 6 3 .

[ 4 2 ] D . M . J a c k s o n a n d T . I . V i s e n t i n , C h a r a c t e r t h e o r y a n d r o o t e d m a p s i n

a n o r i e n t a b l e s u r f a c e o f g i v e n g e n u s : f a c e - c o l o r e d m a p s , T r a n s . A m e r .

M a t h . S o c . 3 2 2 ( 1 9 9 0 ) , 3 6 5 - 3 7 6 .

[ 4 3 ] G . D . J a m e s a n d M . W . L i e b e c k , R e p r e s e n t a t i o n s a n d c h a r a c t e r s o f

g r o u p s , C a m b r i d g e U n i v e r s i t y P r e s s , 1 9 9 3 .

[ 4 4 ] C . J a n s e n , K . L u x , R . P a r k e r a n d R . W i l s o n , A n A T L A S o f B r a u e r

c h a r a c t e r s , C l a r e n d o n P r e s s , O x f o r d , 1 9 9 5 .

[ 4 5 ] G . A . J o n e s , R e e g r o u p s a n d R i e m a n n s u r f a c e s , J . A l g e b r a 1 6 5 ( 1 9 9 4 ) ,

4 1 - 6 2 .

[ 4 6 ] G . A . J o n e s , E n u m e r a t i o n o f h o m o m o r p h i s m s a n d s u r f a c e - c o v e r i n g s ,

Q u a r t . J . M a t h . ( O x f o r d ) ( 2 ) 4 6 ( 1 9 9 5 ) , 4 8 5 - 5 0 7 .

[ 4 7 ] G . A . J o n e s , C o u n t i n g n o r m a l s u b g r o u p s o f n o n - e u c l i d e a n c r y s t a l l o -

g r a p h i c g r o u p s , p r e p r i n t , U n i v e r s i t y o f S o u t h a m p t o n , 1 9 9 4 .

[ 4 8 ] G . A . J o n e s a n d S . A . S i l v e r , S u z u k i g r o u p s a n d s u r f a c e s , J . L o n d o n

M a t h . S o c . ( 2 ) 4 8 ( 1 9 9 3 ) , 1 1 7 - 1 2 5 .



1 1 4


[ 4 9 ] G . A . J o n e s a n d S . A . S i l v e r , T h e m o n o d r o m y g e n u s o f t h e S u z u k i

g r o u p s , i n P r o c . 2 n d i n t e r n a t . c o n f . o n a l g e b r a ( e d s . L . A . B o k u t ' ,

A .

I .

K o s t r i k i n a n d K . K . K u t a t e l a d z e ) , p p . 2 1 5 - 2 2 4 . A m e r i c a n

M a t h . S o c . C o n t e m p o r a r y M a t h e m a t i c s S e r . 1 8 4 ( 1 9 9 5 ) .

[ 5 0 ] G . A . J o n e s a n d D . S i n g e r m a n , T h e o r y o f m a p s o n o r i e n t a b l e s u r f a c e s ,

P r o c . L o n d o n M a t h . S o c . ( 3 ) 3 7 ( 1 9 7 8 ) , 2 7 3 - 3 0 7 .

[ 5 1 ] G . A . J o n e s a n d D . S i n g e r m a n , C o m p l e x f u n c t i o n s , a n a l g e b r a i c a n d

g e o m e t r i c v i e w p o i n t , C a m b r i d g e U n i v e r s i t y P r e s s , 1 9 8 7 .

[ 5 2 ] G . A . J o n e s a n d D . S i n g e r m a n , M a p s , h y p e r m a p s a n d t r i a n g l e g r o u p s ,

i n T h e G r o t h e n d i e c k t h e o r y o f d e s s i n s d ' e n f a n t s ( e d . L . S c h n e p s ) ,

p p . 1 1 5 - 1 4 5 . L o n d o n M a t h . S o c . L e c t u r e N o t e S e r i e s 2 0 0 , C a m b r i d g e


[ 5 3 ] G . A . J o n e s a n d D . S i n g e r m a n , B e l y i f u n c t i o n s , h y p e r m a p s a n d G a l o i s

g r o u p s , B u l l . L o n d o n M a t h . S o c . , t o a p p e a r .

[ 5 4 ] G . A . J o n e s a n d M . S t r e i t , G a l o i s g r o u p s , m o n o d r o m y g r o u p s a n d c a r -

t o g r a p h i c g r o u p s , P r e p r i n t , F r a n k f u r t a n d S o u t h a m p t o n , 1 9 9 5 .

[ 5 5 ] M . K a c , C a n o n e h e a r t h e s h a p e o f a d r u m ? , A m e r . M a t h . M o n t h l y 7 3

( 1 9 6 6 ) , 1 - 2 3 .

[ 5 6 ] D . K i r b y , I n t e g e r m a t r i c e s o f f i n i t e o r d e r , R e n d i c o n t i M a t . 2 ( 1 9 6 9 ) ,

1 - 6 .

[ 5 7 ] F . K l e i n , U b e r d i e T r a n s f o r m a t i o n e n s i e b e n t e r O r d n u n g d e r e l l i p t i s c h e n

F u n c t i o n e n , M a t h . A n n . 1 4 ( 1 8 7 9 ) , 4 2 8 - 4 7 1 . ( G e s a m m e l t e M a t h e m a -

t i s c h e A b h a n d l u n g e n I I I , S p r i n g e r - V e r l a g , B e r l i n , 1 9 2 3 . )

[ 5 8 ] K . K u i k e n , O n t h e m o n o d r o m y g r o u p s o f R i e m a n n s u r f a c e s o f g e n u s

z e r o , J . A l g e b r a 5 9 ( 1 9 7 9 ) , 4 8 1 - 4 8 9 .

[ 5 9 ] J . L e w i t t e s , A u t o m o r p h i s m s o f c o m p a c t R i e m a n n s u r f a c e s , A m e r . J .

M a t h . 8 5 ( 1 9 6 3 ) , 7 3 4 - 7 5 2 .

[ 6 0 ] M . W . L i e b e c k a n d J . S a x l , M i n i m a l d e g r e e s o f p r i m i t i v e p e r m u t a t i o n

g r o u p s , w i t h a n a p p l i c a t i o n t o m o n o d r o m y g r o u p s o f R i e m a n n s u r f a c e s ,

P r o c . L o n d o n M a t h . S o c . ( 3 ) 6 3 ( 1 9 9 1 ) , 2 6 6 - 3 1 4 .

[ 6 1 ] A . M . M a c b e a t h , O n a t h e o r e m o f H u r w i t z , P r o c . G l a s g o w M a t h . A s s o c .

5 ( 1 9 6 1 ) , 9 0 - 9 6 .

[ 6 2 ] A . M . M a c b e a t h , O n a c u r v e o f g e n u s 7 , P r o c . L o n d o n M a t h . S o c . ( 3 )

1 5 ( 1 9 6 5 ) , 5 2 7 - 5 4 2 .




1 1 5

[ 6 3 ] A . M . M a c b e a t h , G e n e r a t o r s o f t h e l i n e a r f r a c t i o n a l g r o u p s , P r o c . S y m -

p o s . P u r e M a t h . 1 2 ( 1 9 6 7 ) , 1 4 - 3 2 .

[ 6 4 ] A . M . M a c b e a t h , T h e c l a s s i f i c a t i o n o f n o n - e u c l i d e a n p l a n e c r y s t a l l o -

g r a p h i c g r o u p s , C a n a d . J . M a t h . 1 9 ( 1 9 6 7 ) , 1 1 9 2 - 1 2 0 5 .

[ 6 5 ] A . M . M a c b e a t h , A c t i o n o f a u t o m o r p h i s m s o f a c o m p a c t R i e m a n n s u r -

f a c e o n t h e f i r s t h o m o l o g y g r o u p , B u l l . L o n d o n M a t h . S o c . 5 ( 1 9 7 3 ) ,

1 0 3 - 1 0 8 .

[ 6 6 ] A . M a c h , H o m o l o g y o f h y p e r m a p s , J . L o n d o n M a t h . S o c . ( 2 ) 3 1 ( 1 9 8 5 ) ,

1 0 - 1 6 .

[ 6 7 ] C . M a c l a c h l a n , A b e l i a n g r o u p s o f a u t o m o r p h i s m s o f c o m p a c t R i e m a n n

s u r f a c e s , P r o c . L o n d o n M a t h . S o c . ( 3 ) 1 5 ( 1 9 6 5 ) , 6 9 9 - 7 1 2 .

[ 6 8 ] J . M a l g o i r e a n d C . V o i s i n , C a r t e s c e l l u l a i r e s , C a h i e r s M a t h e m a t i q u e s

d e M o n t p e l l i e r 1 2 ( 1 9 7 7 ) .

[ 6 9 ] G . M a l l e , H u r w i t z g r o u p s a n d G 2 ( q ) , C a n a d i a n M a t h . B u l l . 3 3 ( 1 9 9 0 ) ,

3 4 9 - 3 5 7 .

[ 7 0 ] G . M a l l e , F i e l d s o f d e f i n i t i o n o f s o m e t h r e e p o i n t r a m i f i e d f i e l d e x t e n -

s i o n s , i n T h e G r o t h e n d i e c k t h e o r y o f d e s s i n s d ' e n f a n t s ( e d . L . S c h n e p s ) ,

p p . 1 1 5 - 1 4 5 . L o n d o n M a t h . S o c . L e c t u r e N o t e S e r i e s 2 0 0 , p p . 1 4 7 - 1 6 8 .


[ 7 1 ] G . M a l l e a n d B . H . M a t z a t , R e a l i s i e r u n g v o n G r u p p e n P S L 2 ( F p ) a l s

G a l o i s g r u p p e n f i b e r Q , M a t h . A n n . 2 7 2 ( 1 9 8 5 ) , 5 4 9 - 5 6 5 .

[ 7 2 ] W . S . M a s s e y , A l g e b r a i c t o p o l o g y : a n I n t r o d u c t i o n , H a r c o u r t , B r a c e a n d

W o r l d , N e w Y o r k , 1 9 6 7 .

[ 7 3 ] B . H . M a t z a t , K o n s t r u k t i v e G a l o i s t h e o r i e , L e c t u r e N o t e s i n M a t h . 1 2 8 4 ,

S p r i n g e r - V e r l a g , B e r l i n , 1 9 8 7 .

[ 7 4 ] A . D . M e d n y h , D e t e r m i n a t i o n o f t h e n u m b e r o f n o n e q u i v a l e n t c o v e r i n g s

o v e r a c o m p a c t R i e m a n n s u r f a c e , D o k l . A k a d . N a u k S S S R 2 3 9 ( 1 9 7 8 ) ,

2 6 9 - 2 7 1 ( R u s s i a n ) ; S o v i e t M a t h . D o k l . 1 9 ( 1 9 7 8 ) , 3 1 8 - 3 2 0 ( E n g l i s h

t r a n s l . ) .

[ 7 5 ] A . D M e d n y h , O n u n r a m i f i e d c o v e r i n g s o f c o m p a c t R i e m a n n s u r -

f a c e s , D o k l . A k a d . N a u k S S S R 2 4 4 ( 1 9 7 9 ) , 5 2 9 - 5 3 2 ( R u s s i a n ) ; S o v i e t

M a t h . D o k l . 2 0 ( 1 9 7 9 ) , 8 5 - 8 8 ( E n g l i s h t r a n s l . ) .



1 1 6


[ 7 6 ] A . D . M e d n y h , O n t h e s o l u t i o n o f t h e H u r w i t z p r o b l e m o n t h e

n u m b e r o f n o n e q u i v a l e n t c o v e r i n g s o v e r a c o m p a c t R i e m a n n s u r -

f a c e , D o k l . A k a d . N a u k S S S R 2 6 1 ( 1 9 8 1 ) , 5 3 7 - 5 4 2 ( R u s s i a n ) ; S o v i e t

M a t h . D o k l . 2 4 ( 1 9 8 1 ) , 5 4 1 - 5 4 5 ( E n g l i s h t r a n s l . ) .

[ 7 7 ] A . D . M e d n y k h , O n t h e n u m b e r o f s u b g r o u p s i n t h e f u n d a m e n t a l g r o u p

o f a c l o s e d s u r f a c e , C o m m . A l g e b r a 1 6 ( 1 9 8 8 ) , 2 1 3 7 - 2 1 4 8 .

[ 7 8 ] A . D . M e d n y k h , B r a n c h e d c o v e r i n g s o f R i e m a n n s u r f a c e s w h o s e b r a n c h

o r d e r s c o i n c i d e w i t h t h e m u l t i p l i c i t y , C o m m . A l g e b r a 1 8 ( 1 9 9 0 ) , 1 5 1 7 -

1 5 3 3 .

[ 7 9 ] R . P e r l i s , O n t h e e q u a t i o n ( K ( S ) = ( K ' ( S ) , J . N u m b e r T h e o r y 9 ( 1 9 7 7 ) ,

3 4 2 - 3 6 0 .

[ 8 0 ] E . R e y s s a t , Q u e l q u e s a s p e c t s d e s s u r f a c e s d e R i e m a n n , B i r k h a u s e r ,

B o s t o n / B a s e l / B e r l i n , 1 9 8 9 .

[ 8 1 ] G . R i e r a a n d R . R o d r i g u e z , R i e m a n n s u r f a c e s a n d a b e l i a n v a r i e t i e s w i t h

a n a u t o m o r p h i s m o f p r i m e o r d e r , D u k e M a t h . J . 6 9 ( 1 9 9 3 ) , 1 9 9 - 2 1 7 .

[ 8 2 ] C . - H . S a h , G r o u p s r e l a t e d t o c o m p a c t R i e m a n n s u r f a c e s , A c t a M a t h .

1 2 3 ( 1 9 6 9 ) , 1 3 - 4 2 .

[ 8 3 ] L . S c h n e p s ( e d . ) , T h e G r o t h e n d i e c k t h e o r y o f d e s s i n s d ' e n f a n t s , L o n d o n

M a t h . S o c . L e c t u r e N o t e S e r i e s 2 0 0 , C a m b r i d g e U n i v e r s i t y P r e s s , 1 9 9 4 .

[ 8 4 ] M . S c h o n e r t e t . a l . , G A P - G r o u p s , A l g o r i t h m s , a n d P r o g r a m m i n g ,


[ 8 5 ] J . - P . S e r r e , R i g i d i t e d u f o n c t e u r d e J a c o b i d ' e c h e l o n n > 3 , S e m . H e n r i

C a r t a n 1 7 - 2 0 ( 1 9 6 0 / 6 1 ) , 1 7 - 1 8 .

[ 8 6 ] J . - P . S e r r e , G r o u p e s d e G a l o i s s u r Q , A s t e r i s q u e 1 6 1 - 1 6 2 ( 1 9 8 8 ) , 7 3 -

8 5 .

[ 8 7 ] J . - P . S e r r e , T o p i c s i n G a l o i s t h e o r y , J o n e s a n d B a r t l e t t , B o s t o n / L o n -

d o n , 1 9 9 2 .

[ 8 8 ] G . B . S h a b a t a n d V . A . V o e v o d s k y , D r a w i n g c u r v e s o v e r n u m b e r f i e l d s ,

i n G r o t h e n d i e c k F e s t s c h r i f t I I I ( e d s . P . C a r t i e r e t a l . ) , p p . 1 9 9 - 2 2 7 .

B i r k h a u s e r , B a s e l , 1 9 9 0 .

[ 8 9 ] G . S h a b a t a n d A . Z v o n k i n , P l a n e t r e e s a n d a l g e b r a i c n u m b e r s , i n

J e r u s a l e m c o m b i n a t o r i c s ' 9 3 ( e d s . H . B a r c e l o a n d G . K a l a i ) , p p . 2 3 3 -

2 7 5 . A m e r . M a t h . S o c . C o n t e m p o r a r y M a t h . S e r . 1 7 8 ( 1 9 9 4 ) .




1 1 7

[ 9 0 ] I . R . S h a f a r e v i c h , C o n s t r u c t i o n o f f i e l d s o f a l g e b r a i c n u m b e r s w i t h g i v e n

s o l v a b l e G a l o i s g r o u p , I z v . A k a d . N a u k . S S S R 1 8 ( 1 9 5 4 ) , 5 2 5 - 5 7 8 ( I n

R u s s i a n ) ; A m e r . M a t h . T r a n s l . 4 ( 1 9 5 6 ) , 1 8 5 - 2 3 7 ( E n g l i s h t r a n s l . ) .

[ 9 1 ] K . - Y . S h i h , O n t h e c o n s t r u c t i o n o f G a l o i s e x t e n s i o n s o f f u n c t i o n f i e l d s

a n d n u m b e r f i e l d s , M a t h . A n n . 2 0 7 ( 1 9 7 4 ) , 9 9 - 1 2 0 .

[ 9 2 ] D . S i n g e r m a n , O n t h e s t r u c t u r e o f n o n - E u c l i d e a n c r y s t a l l o g r a p h i c

g r o u p s , P r o c . C a m b r i d g e P h i l o s . S o c . 7 6 ( 1 9 7 4 ) , 1 7 - 3 2 .

[ 9 3 ] M . S t r e i t , H o m o l o g y , B e l y i f u n c t i o n s a n d c a n o n i c a l c u r v e s , M a n u s c r i p t a

M a t h . , t o a p p e a r .

[ 9 4 ] T . S u n a d a , R i e m a n n i a n c o v e r i n g s a n d i s o s p e c t r a l m a n i f o l d s , A n n . o f

M a t h . 1 2 1 ( 1 9 8 5 ) , 1 6 9 - 1 8 6 .

[ 9 5 ] J . G . T h o m p s o n , S o m e f i n i t e g r o u p s w h i c h a p p e a r a s G a l ( L / K ) , w h e r e

K C Q ( µ n ) , J . A l g e b r a 8 9 ( 1 9 8 4 ) , 4 3 7 - 4 9 9 .

[ 9 6 ] J . G . T h o m p s o n , G a l o i s g r o u p s , i n G r o u p s - S t . A n d r e w s 1 9 8 9 ( e d s .

C . M . C a m p b e l l a n d E . F . R o b e r t s o n ) , v o l . 2 , p p . 4 5 5 - 4 6 2 . L o n d o n

M a t h . S o c . L e c t u r e N o t e S e r i e s 1 6 0 , C a m b r i d g e U n i v e r s i t y P r e s s , 1 9 9 1 .

[ 9 7 ] M . T r e t k o f f , A l g e b r a i c e x t e n s i o n s o f t h e f i e l d o f r a t i o n a l f u n c t i o n s ,

C o m m . P u r e A p p l . M a t h . 2 4 ( 1 9 7 1 ) , 4 9 1 - 4 9 6 .

[ 9 8 ] T . W . T u c k e r , F i n i t e g r o u p s a c t i n g o n s u r f a c e s a n d t h e g e n u s o f a g r o u p ,

J . C o m b i n a t o r i a l T h e o r y ( B ) 3 4 ( 1 9 8 3 ) , 8 2 - 9 8 .

[ 9 9 ] A . W e i l , T h e f i e l d o f d e f i n i t i o n o f a v a r i e t y , A m e r . J . M a t h . 7 8 ( 1 9 5 6 )

5 0 9 - 5 2 4 .

[ 1 0 0 ] M . C . W i l k i e , O n n o n - E u c l i d e a n c r y s t a l l o g r a p h i c g r o u p s , M a t h . Z . 9 1

( 1 9 6 6 ) , 8 7 - 1 0 2 .

[ 1 0 1 ] R . A . W i l s o n , T h e s y m m e t r i c g e n u s o f t h e B a b y M o n s t e r , Q u a r t .

J . M a t h . ( O x f o r d ) ( 2 ) 4 4 ( 1 9 9 3 ) , 5 1 3 - 5 1 6 .

[ 1 0 2 ] R . A . W i l s o n , T h e s y m m e t r i c g e n u s o f t h e F i s c h e r g r o u p F i 2 3 , T o p o l o g y

3 6 ( 1 9 9 6 ) , 3 7 9 - 3 8 0 .

[ 1 0 3 ] A . J . W o l d a r , O n H u r w i t z g e n e r a t i o n a n d g e n u s a c t i o n s o f s p o r a d i c

g r o u p s , I l l i n o i s J . M a t h . 3 3 ( 1 9 8 9 ) , 4 1 6 - 4 3 7 .

[ 1 0 4 ] A . J . W o l d a r , S p o r a d i c s i m p l e g r o u p s w h i c h a r e H u r w i t z , J . A l g e b r a

1 4 4 ( 1 9 9 1 ) , 4 4 3 - 4 5 0 .



1 1 8


[ 1 0 5 ] J . W o l f a r t , T h e ` o b v i o u s ' p a r t o f B e l y i ' s t h e o r e m a n d R i e m a n n s u r f a c e s

w i t h m a n y a u t o m o r p h i s m s , P r e p r i n t , F r a n k f u r t , 1 9 9 5 .

[ 1 0 6 ] D . Z a g i e r , O n t h e d i s t r i b u t i o n o f t h e n u m b e r o f c y c l e s o f e l e m e n t s i n

s y m m e t r i c g r o u p s , P r e p r i n t , B o n n , 1 9 9 5 .

[ 1 0 7 ] H . Z i e s c h a n g , E . V o g t a n d H - D . C o l d e w e y , S u r f a c e s a n d p l a n a r d i s -

c o n t i n u o u s g r o u p s , L e c t u r e N o t e s i n M a t h e m a t i c s 8 3 5 , S p r i n g e r - V e r l a g ,

B e r l i n / H e i d e l b e r g / N e w Y o r k , 1 9 8 0 .



O n t h e c h a r a c t e r i z a t i o n o f f i n i t e g r o u p s b y

c h a r a c t e r s

W o l f g a n g K i m m e r l e

A b s t r a c t

T h e f i r s t o b j e c t i s a s u r v e y o n t h e i s o m o r p h i s m p r o b l e m o f i n t e g r a l

g r o u p r i n g s a n d t h e Z a s s e n h a u s c o n j e c t u r e s r e l a t e d t o t h i s q u e s t i o n .

T h e n i t i s s h o w n h o w a u t o m o r p h i s m s o f c h a r a c t e r t a b l e s m a y b e u s e d

t o g e t i n f o r m a t i o n a b o u t a u t o m o r p h i s m s o f i n t e g r a l g r o u p r i n g s . T h i s

p e r m i t s t h e p r o o f o f o n e o f t h e Z a s s e n h a u s c o n j e c t u r e s f o r s e r i e s o f

s i m p l e o r a l m o s t s i m p l e g r o u p s . F i n a l l y a s h o r t p r o o f i s g i v e n t h a t

{ 1 , 2 , 3 1 - c h a r a c t e r s d e t e r m i n e a f i n i t e g r o u p u p t o i s o m o r p h i s m .


R . B r a u e r i n h i s f a m o u s l e c t u r e s i n 1 9 6 3 o n r e p r e s e n t a t i o n s o f f i n i t e g r o u p s

p o s e d m o r e t h a n 4 0 p r o b l e m s w h i c h h a v e h a d a b i g i n f l u e n c e o n t h i s t o p i c

s i n c e t h e n [ 7 ] . M a n y o f t h e s e p r o b l e m s c o n c e r n t h e q u e s t i o n o f w h i c h p r o p e r -

t i e s o f a f i n i t e g r o u p G a r e r e f l e c t e d b y i t s c h a r a c t e r t a b l e . T h e b a s i c p r o b l e m

i s t o d e t e r m i n e w h a t k i n d o f i n f o r m a t i o n a b o u t G a d d i t i o n a l t o i t s c h a r a c t e r

t a b l e i s n e e d e d i n o r d e r t o d e t e r m i n e G u p t o i s o m o r p h i s m . W e s h a l l c o n s i d e r

t w o a s p e c t s o f t h e s e q u e s t i o n s .

T h e f i r s t o n e i s t h e i s o m o r p h i s m p r o b l e m o f i n t e g r a l g r o u p r i n g s o f f i n i t e

g r o u p s . T h i s i s a n o l d a n d s t i l l o p e n p r o b l e m . I t w a s c o n s i d e r e d f o r t h e f i r s t

t i m e i n G . H i g m a n ' s t h e s i s i n 1 9 3 9 [ 3 8 , p . 1 0 0 ] . T h e q u e s t i o n i s w h e t h e r

Z G = ' Z H i m p l i e s t h a t G = H . I t i s a r e s u l t o f G . G l a u b e r m a n t h a t f i n i t e

g r o u p s G a n d H w i t h i s o m o r p h i c i n t e g r a l g r o u p r i n g s Z G a n d Z H h a v e t h e

s a m e c h a r a c t e r t a b l e [ 1 6 , ( 3 . 1 7 ) ] . T h u s t h e i s o m o r p h i s m p r o b l e m f i t s w e l l

i n t o t h e c o n t e x t o f B r a u e r ' s p r o b l e m s . N o t e t h a t K . W . R o g g e n k a m p a n d

A . Z i m m e r m a n n r e c e n t l y c o n s t r u c t e d t w o n o n - i s o m o r p h i c i n f i n i t e p o l y c y c l i c

g r o u p s G a n d H w h o s e i n t e g r a l g r o u p r i n g s a r e M o r i t a e q u i v a l e n t . T h i s g i v e s

m o r e o r l e s s a c o u n t e r e x a m p l e t o t h e i s o m o r p h i s m p r o b l e m f o r i n f i n i t e g r o u p s

[ 3 6 , C o r o l l a r y 1 ] .

I n s e c t i o n 1 w e d i s c u s s t h e i s o m o r p h i s m p r o b l e m u n d e r t h e a d d i t i o n a l

a s p e c t o f c o n j e c t u r e s o f H . Z a s s e n h a u s c o n c e r n i n g t h e s t r u c t u r e o f t o r s i o n

1 1 9



1 2 0


s u b g r o u p s o f t h e u n i t g r o u p o f Z G . A t t h e e n d o f s e c t i o n 1 w e g i v e a s u r v e y

o n r e c e n t r e s u l t s c o m p a r i n g t h e k n o w l e d g e f o r t h e c a s e w h e n G i s s o l u b l e

w i t h t h a t w h e n G i s a g e n e r a l f i n i t e g r o u p . T h i s s h o w s t h a t i t i s n e c e s s a r y t o

c o n s i d e r t h e q u e s t i o n s i n p a r t i c u l a r f o r n o n - a b e l i a n s i m p l e g r o u p s .

S e c t i o n 2 i s d e v o t e d t o t h e c o n t r i b u t i o n o f c h a r a c t e r t a b l e s t o t h e Z a s s e n -

h a u s c o n j e c t u r e s . I t w i l l b e c o m e c l e a r t h a t t h e A T L A S [ 8 ] w a s o f g r e a t h e l p i n

o r d e r t o f i n d a m e t h o d t o a t t a c k t h e Z a s s e n h a u s c o n j e c t u r e s f o r n o n - a b e l i a n

s i m p l e g r o u p s . W e s k e t c h t h i s m e t h o d w h i c h w a s s t u d i e d f i r s t i n [ 5 ] a n d

h a s b e e n f u r t h e r d e v e l o p e d b y F . M . B l e h e r i n [ 2 ] a n d [ 3 ] .

I t w i l l a l s o b e -

c o m e t r a n s p a r e n t t h a t t h e m o d u l a r A T L A S [ 1 7 ] i s e v e n m o r e h e l p f u l a n d t h a t

k n o w l e d g e o f g e n e r i c c h a r a c t e r t a b l e s p e r m i t s p r o o f o f t h e r e s u l t s . T h u s t h e

c o m p u t e r a l g e b r a s y s t e m s G A P [ 4 0 ] a n d C H E V I E [ 1 1 ] a r e e x t r e m e l y u s e f u l .

I n s e c t i o n 3 w e c o m e t o t h e s e c o n d a s p e c t a n d p r o v e t h a t k n o w l e d g e o f t h e

2 - a n d 3 - c h a r a c t e r s a d d e d t o t h e c h a r a c t e r t a b l e d e t e r m i n e s a f i n i t e g r o u p u p

t o i s o m o r p h i s m . H i s t o r i c a l l y k - c h a r a c t e r s a r o s e a s f o l l o w s . I n 1 8 9 6 G . F r o b e -

n i u s s t u d i e d i n d e t a i l t h e g r o u p d e t e r m i n a n t D ( G ) o f a f i n i t e g r o u p G [ 1 0 ] ,

w h i c h h a d b e e n i n t r o d u c e d b y R . D e d e k i n d i n 1 8 8 6 . I n p a r t i c u l a r F r o b e n i u s

s t u d i e d t h e p r i m e f a c t o r s o f t h i s d e t e r m i n a n t a n d i n t r o d u c e d , v i a t h e c o e f f i -

c i e n t s o f t h e m o n o m i a l s a r i s i n g i n t h e p r i m e f a c t o r s o f D ( G ) , f u n c t i o n s f r o m

G k i n t o C . T h e s e f u n c t i o n s w e r e l a t e r c a l l e d k - c h a r a c t e r s [ 1 8 ] a n d t h e y c o i n -

c i d e f o r k = 1 w i t h t h e o r d i n a r y i r r e d u c i b l e c h a r a c t e r s . I t w a s p r o v e d i n 1 9 9 0

b y E . F o r m a n e k a n d D . S i b l e y [ 9 , T h e o r e m 5 ] t h a t t h e g r o u p d e t e r m i n a n t o f

a f i n i t e g r o u p d e t e r m i n e s t h e g r o u p u p t o i s o m o r p h i s m . L a t e r a d i f f e r e n t -

s h o r t a n d c o n s t r u c t i v e - p r o o f w a s g i v e n b y R . M a n s f i e l d [ 2 8 ] . H . J . H o e h n k e

a n d K . W . J o h n s o n [ 1 4 ] p r o v e t h a t t h e i r r e d u c i b l e 1 - , 2 - , 3 - c h a r a c t e r s a l -

r e a d y d e t e r m i n e t h e g r o u p b y s h o w i n g t h a t t h e s e c h a r a c t e r s d e t e r m i n e a l l

k - c h a r a c t e r s a n d t h u s t h e g r o u p d e t e r m i n a n t , w h i c h t h e n , t h a n k s t o t h e r e -

s u l t o f F o r m a n e k a n d S i b l e y , d e t e r m i n e t h e g r o u p . T h e a i m o f s e c t i o n 3 i s t o

g i v e a v e r y s h o r t a r g u m e n t w h i c h s h o w s d i r e c t l y t h a t t h e 1 - , 2 - , 3 - c h a r a c t e r s

o f a f i n i t e g r o u p G d e t e r m i n e G u p t o i s o m o r p h i s m . T h i s r e p o r t s o n j o i n t

w o r k w i t h K . W . R o g g e n k a m p [ 2 4 ] . S i n c e t h e 1 - , 2 - , 3 - c h a r a c t e r s c a n b e d e -

r i v e d f r o m D ( G ) , t h i s g i v e s a l s o a s h o r t p r o o f o f t h e r e s u l t o f F o r m a n e k a n d

S i b l e y .

1 T o r s i o n u n i t s o f i n t e g r a l g r o u p r i n g s

1 . 1

N o t a t i o n

T h r o u g h o u t , R d e n o t e s a n i n t e g r a l d o m a i n o f c h a r a c t e r i s t i c z e r o a n d G i s

a f i n i t e g r o u p . W e a s s u m e t h a t n o p r i m e d i v i s o r o f I G I i s i n v e r t i b l e i n R .

L e t K d e n o t e a f i e l d c o n t a i n i n g R . T h e m a p E : R G - > R d e f i n e d b y

c ( E r 9 g ) = E r 9 i s c a l l e d t h e a u g m e n t a t i o n m a p . A u n i t u o f R G i s c a l l e d



O n t h e c h a r a c t e r i z a t i o n o f f i n i t e g r o u p s b y c h a r a c t e r s 1 2 1

n o r m a l i z e d , i f e ( u ) = 1 . T h e g r o u p o f n o r m a l i z e d u n i t s o f R G i s d e n o t e d b y

V ( R G ) . A s u b g r o u p H o f V ( R G ) i s c a l l e d a g r o u p b a s i s , i f H i s a n R - b a s i s

o f R G . L e t H b e a g r o u p b a s i s o f R G a n d l e t C b e a c o n j u g a c y c l a s s o f H .

T h e n t h e s u m t a k e n o v e r a l l e l e m e n t s o f C i s c a l l e d t h e c l a s s s u m C .

1 . 2

T h e c l a s s s u m c o r r e s p o n d e n c e

S e e [ 2 9 , T h e o r e m C ] , [ 3 7 ] , [ 3 5 , I V . 1 1 . I f H i s a g r o u p b a s i s o f R G , t h e n H i s i n

c l a s s s u m c o r r e s p o n d e n c e t o G , i . e . t h e r e i s a b i j e c t i o n o r : G H s u c h t h a t

t h e i m a g e o f a c o n j u g a c y c l a s s C o f G i s a c o n j u g a c y c l a s s o f H . M o r e o v e r

t h e i r c l a s s s u m s a ( C ) a n d C c o i n c i d e . I n p a r t i c u l a r t h e R - l i n e a r e x t e n s i o n o f

o r f i x e s t h e c e n t r e o f R G e l e m e n t - w i s e , s i n c e c l a s s s u m s f o r m a n R - b a s i s o f t h e

c e n t r e o f R G . N o t e h o w e v e r t h a t a i s n o t a p r i o r i a g r o u p h o m o m o r p h i s m .

B y [ 2 9 , P r o p o s i t i o n 2 ] o r i s c o m p a t i b l e w i t h t h e p o w e r m a p , i . e .

f o r e a c h n

t h e c o n j u g a c y c l a s s o f a ( g ' ° ) c o i n c i d e s w i t h t h a t o n e o f ( a ( g ) ) " .

A s s u m e n o w f o r a m o m e n t t h a t R = Z . I t i s a n o p e n q u e s t i o n w h e t h e r

t h e t o r s i o n s u b g r o u p s o f V ( Z G ) a r e d e t e r m i n e d b y G . M o r e p r e c i s e l y t h e

f o l l o w i n g q u e s t i o n s h a v e b e e n s t u d i e d e x t e n s i v e l y i n t h e l a s t t w e n t y y e a r s

( s e e [ 4 2 , p . 4 9 7 - 9 8 ] ) .

1 . 3

T h e Z a s s e n h a u s C o n j e c t u r e s

( Z C 1 ) L e t u b e a u n i t o f f i n i t e o r d e r o f V ( Z G ) . T h e n u i s c o n j u g a t e w i t h i n

Q G t o a n e l e m e n t o f G .

( Z C 2 ) L e t H b e a s u b g r o u p o f V ( Z G ) w i t h t h e s a m e o r d e r a s G . T h e n H i s

c o n j u g a t e t o G b y a u n i t o f Q G .

( Z C 3 ) L e t U b e a f i n i t e s u b g r o u p o f V ( Z G ) . T h e n U i s c o n j u g a t e w i t h i n Q G

t o a s u b g r o u p o f G .

( Z C 3 ) , i f t r u e f o r Z G ,

d e s c r i b e s t h e t o r s i o n p a r t o f V ( Z G ) a s G m o d u l o

c o n j u g a t i o n . F o r G a b e l i a n t h i s m e a n s t h a t t h e e l e m e n t s o f G a r e t h e o n l y

t o r s i o n u n i t s o f V ( Z G ) . N o t e t h a t t h i s w a s p r o v e d b y G . H i g m a n i n h i s

t h e s i s [ 1 3 , T h e o r e m 3 ] , [ 3 8 ] . I t s h o u l d b e r e m a r k e d t h a t Z a s s e n h a u s h i m s e l f

i n h i s l e c t u r e s c a l l e d ( Z C 2 ) B r a u e r a n d H i g m a n i n v a r i a n c e . B y t h e N o e t h e r -

S k o l e m t h e o r e m t h e c o n j e c t u r e ( Z C 2 ) m a y b e r e p h r a s e d - r e p l a c e Z b y R a s

i n 1 . 1 - i n t h e f o l l o w i n g w a y .

( * ) F o r e a c h g r o u p b a s i s H o f R G t h e r e e x i s t s a n R - a l g e b r a a u t o m o r p h i s m

a o f R G s u c h t h a t a ( G ) = H a n d s u c h t h a t a f i x e s t h e c e n t r e Z ( R G ) e l e m e n t -

w i s e .

A n a r b i t r a r y g r o u p i s o m o r p h i s m f r o m G t o a g r o u p b a s i s H e x t e n d s b y

R - l i n e a r e x t e n s i o n t o a r i n g a u t o m o r p h i s m o f R G . T h i s p e r m i t s t h e s t u d y



1 2 2


o f c o n j e c t u r e ( Z C 2 ) f o r m a n y g r o u p s G b y c o n s i d e r a t i o n s o f n o r m a l i z e d r i n g

a u t o m o r p h i s m s ( s e e s e c t i o n 2 ) .

1 . 4 T h e p - v e r s i o n

W h e r e a s c o n j e c t u r e ( Z C 1 ) i s s t i l l o p e n , R o g g e n k a m p a n d S c o t t c o n s t r u c t e d a

m e t a b e l i a n c o u n t e r e x a m p l e t o ( Z C 2 ) [ 2 7 ] , [ 3 5 , I X , § 1 ] , [ 3 1 ] . T h u s t h e c e n t r a l

q u e s t i o n i s , w h e t h e r t h e r e i s a s u i t a b l e r e p l a c e m e n t o r a m o d i f i c a t i o n o f ( Z C 2 ) ,

w h i c h i s t r u e i n g e n e r a l a n d s t i l l i m p l i e s a p o s i t i v e s o l u t i o n t o t h e i s o m o r p h i s m

p r o b l e m ( I P ) . N o c o u n t e r e x a m p l e i s k n o w n t o t h e f o l l o w i n g l o c a l v e r s i o n o f

( Z C 2 ) .

( Z C 2 ) p L e t H b e a g r o u p b a s i s o f R G a n d l e t p b e a r a t i o n a l p r i m e . T h e n

t h e r e e x i s t s a r i n g a u t o m o r p h i s m u p s u c h t h a t a p ( G ) = H a n d o " p r e s t r i c t e d

t o t h e c l a s s s u m s o f p - e l e m e n t s i s t h e i d e n t i t y .

B y ( * ) i t i s c l e a r t h a t ( Z C 2 ) p i s a w e a k e r v e r s i o n o f ( Z C 2 ) a n d m a y b e

r e g a r d e d a s a S y l o w v a r i a n t o f ( Z C 2 ) .

N o t e t h a t , i f ( Z C 2 ) p i s t r u e , t h e

i s o m o r p h i s m p r o b l e m ( I P ) h a s a p o s i t i v e a n s w e r .

F o r o t h e r v a r i a t i o n s o f

( Z C 2 ) w e r e f e r t o [ 2 0 ] .

1 . 5

S o m e m a i n r e s u l t s

W e g i v e a b r i e f s u r v e y o n r e s u l t s a b o u t ( I P ) a n d ( Z C 2 ) , ( Z C 2 ) p r e s p e c t i v e l y

f r o m a p o i n t o f v i e w w h i c h e s p e c i a l l y r e g a r d s t h e c h i e f f a c t o r s t r u c t u r e o f t h e

g r o u p G . F o r f i n i t e s o l u b l e g r o u p s q u i t e a l o t i s k n o w n .

T h e o r e m 1 . 5 . 1 [ 3 3 , C o r o l l a r y 3 ]

( Z C 2 ) i s t r u e p r o v i d e d G i s n i l p o t e n t .

A . W e i s s g a v e a s h o r t e r p r o o f o f T h e o r e m 1 . 5 . 1 [ 4 4 ] a n d f i n a l l y p r o v e d t h a t

e v e n ( Z C 3 ) h o l d s i f G i s n i l p o t e n t [ 4 5 , T h e o r e m 1 ] .

T h e o r e m 1 . 5 . 2 [ 3 4 ] [ 4 1 , p . 2 6 6 ] ( Z C 2 ) i s t r u e p r o v i d e d t h e g e n e r a l i z e d F i t -

t i n g g r o u p F * ( G ) i s a p - g r o u p .

T h e o r e m 1 . 5 . 3 [ 1 9 , 5 . 2 0 ]

( Z C 2 ) p i s t r u e f o r e v e r y p r i m e p , i f G i s s u p e r -

s o l u b l e .

C a l l a f i n i t e g r o u p G a n S - g r o u p i f a l l c h i e f f a c t o r s o f G a r e i s o m o r p h i c t o

o n e a n d t h e s a m e s i m p l e g r o u p S . I f S i s n o n - a b e l i a n s i m p l e , t h e n S - g r o u p s

a r e d i r e c t p r o d u c t s o f c o p i e s o f S b y S c h r e i e r ' s c o n j e c t u r e . T h u s , i f G = f G i

i s a d i r e c t p r o d u c t o f S i - g r o u p s G i , t h e n G i s a d i r e c t p r o d u c t o f a n i l p o t e n t

g r o u p a n d a p e r f e c t s e m i s i m p l e g r o u p . T h e n i l p o t e n t g r o u p s a r e p r e c i s e l y

t h e s o l u b l e g r o u p s w h i c h a r e d i r e c t p r o d u c t s o f S - g r o u p s . T h u s t h e f o l l o w i n g

r e s u l t i s a k i n d o f g e n e r a l a n a l o g u e t o T h e o r e m 1 . 5 . 1 .




1 2 3

T h e o r e m 1 . 5 . 4 [ 2 2 , 2 . 8 ]

I f G i s a d i r e c t p r o d u c t o f a n i l p o t e n t g r o u p a n d

a s e m i s i m p l e g r o u p , t h e n ( I P ) h a s a p o s i t i v e a n s w e r f o r G . M o r e o v e r ( Z C 2 )

h o l d s p r o v i d e d ( Z C 2 ) h o l d s f o r e v e r y n o n - a b e l i a n c o m p o s i t i o n f a c t o r G .

N o t e t h a t t h e s e c o n d p a r t o f T h e o r e m 1 . 5 . 4 f o l l o w s f r o m t h e g e n e r a l f a c t

t h a t ( Z C 2 ) , ( I P ) r e s p e c t i v e l y h o l d f o r d i r e c t p r o d u c t s p r o v i d e d t h e y h o l d f o r

e a c h f a c t o r [ 2 0 , 2 . 4 ] , [ 1 9 , 5 . 4 1 . C l e a r l y t h e s e c o n d p a r t o f 1 . 5 . 4 o n l y m a k e s

s e n s e i f t h e r e a r e n o n - a b e l i a n s i m p l e g r o u p s f o r w h i c h ( Z C 2 ) i s v a l i d . S o t h i s

g i v e s o n e m o t i v a t i o n t o c h e c k ( Z C 2 ) f o r n o n - a b e l i a n s i m p l e g r o u p s .

N i l p o t e n t g r o u p s a r e a l s o t h o s e s o l u b l e g r o u p s w h o s e g e n e r a l i z e d F i t t i n g

s u b g r o u p i s t h e g r o u p i t s e l f . T h i s g i v e s a s e c o n d p o s s i b i l i t y t o g e n e r a l i z e t h e

n o t i o n n i l p o t e n t t o t h e c l a s s o f a l l f i n i t e g r o u p s a n d l e a d s t o q u a s i - n i l p o t e n t

g r o u p s [ 1 5 , X , § 1 3 ] . N o t e t h a t t h e s e a r e p r e c i s e l y t h o s e g r o u p s w i t h t h e p r o p -

e r t y t h a t e a c h e l e m e n t a c t s a s a n i n n e r a u t o m o r p h i s m o n e a c h c h i e f f a c t o r o f

t h e g r o u p .

T h e o b v i o u s g e n e r a l i z a t i o n o f t h e c l a s s o f f i n i t e s u p e r s o l u b l e g r o u p s i s t h e

c l a s s C 7 o f f i n i t e g r o u p s w h i c h c o n s i s t s o f t h o s e g r o u p s w h o s e c h i e f f a c t o r s

a r e s i m p l e .

N e i t h e r f o r a l l q u a s i - n i l p o t e n t g r o u p s n o r f o r a l l g r o u p s o f 6

i s a p o s i t i v e a n s w e r t o ( I P ) k n o w n . T h e r e i s a l s o n o g e n e r a l a n a l o g u e t o

T h e o r e m 1 . 5 . 2 . I t i s c l e a r t h a t i n o r d e r t o g e t r e s u l t s i n t h e d i r e c t i o n o f s u c h

g e n e r a l i z a t i o n s o n e h a s t o d e a l w i t h a l m o s t s i m p l e g r o u p s a n d q u a s i s i m p l e

g r o u p s . S o m e r e s u l t s o n s u c h g r o u p s a r e k n o w n ( s e e s e c t i o n 2 . 9 ) .

1 . 6 P r o j e c t i v e l i m i t s

A s u s u a l l e t O p , ( G ) b e t h e l a r g e s t n o r m a l s u b g r o u p o f G o f o r d e r n o t d i v i s i b l e

b y t h e p r i m e p . W r i t e G a s a f i n i t e p r o j e c t i v e l i m i t ( o r i n o t h e r w o r d s a s a

s u b d i r e c t p r o d u c t ) o f q u o t i e n t s G / O p , ( G ) , i . e .

k

G ( g O p ,

, ( G ) , . . . , g O p k ( G ) ) E f l G / O O ( G ) ; g E G } ,

, ( G ) = 1 . N o t e t h a t i t i s n o t

h e r e t h e p r i m e s p i a r e t a k e n s u c h t h a t n p ; O p ,

n e c e s s a r y t o t a k e a l l p r i m e s d i v i d i n g t h e o r d e r o f G . I n t h e c a s e w h e n G

i s p - c o n s t r a i n e d , i t f o l l o w s f r o m T h e o r e m 1 . 5 . 2 t h a t t h e c o n j e c t u r e ( Z C 2 )

i s v a l i d f o r G / O p , ( G ) . T h u s a s o l u b l e g r o u p m a y a l w a y s b e r e g a r d e d a s a

p r o j e c t i v e l i m i t o f g r o u p s f o r w h i c h ( Z C 2 ) h o l d s . I n s e c t i o n 2 . 4 w e d i s c u s s

t h i s c o n s t r u c t i o n i n a l i t t l e b i t m o r e d e t a i l w i t h r e s p e c t t o a u t o m o r p h i s m s

o f R G . T h e c o u n t e r e x a m p l e s t o ( Z C 2 ) s h o w t h a t t h e c o r r e c t n e s s o f ( Z C 2 )

i n g e n e r a l d o e s n o t c a r r y o v e r t o s u c h a p r o j e c t i v e l i m i t .

B u t a c e r t a i n

v a r i a t i o n l i k e ( Z C 2 ) p m i g h t h o l d a t l e a s t f o r c l a s s e s o f g r o u p s a s d i s c u s s e d i n

s e c t i o n 1 . 5 . N o t e t h a t t h e p r o o f o f T h e o r e m 1 . 5 . 3 m a k e s u s e o f t h e p r o j e c t i v e

l i m i t c o n s t r u c t i o n [ 2 3 , 4 . 1 5 a n d 5 . 4 ] . I t i s a n a t u r a l q u e s t i o n w h e t h e r s u c h



1 2 4


a c o n s t r u c t i o n h o l d s f o r a g e n e r a l f i n i t e g r o u p . I n t h e c a s e w h e n G b e l o n g s

t o t h e c l a s s C a m , o n e s e e s i m m e d i a t e l y t h a t t h i s i s p o s s i b l e i f ( Z C 2 ) i s t r u e f o r

q u a s i s i m p l e o r a l m o s t s i m p l e g r o u p s .

2 A u t o m o r p h i s m s

2 . 1 N o r m a l i z e d g r o u p r i n g a u t o m o r p h i s m s

A n R - a l g e b r a a u t o m o r p h i s m a o f R G i s c a l l e d n o r m a l i z e d i f i t p r e s e r v e s t h e

a u g m e n t a t i o n , i . e . e ( a ( g ) ) = e ( g ) . T h e n o r m a l i z e d R - a l g e b r a a u t o m o r p h i s m s

o f R G f o r m a n o r m a l s u b g r o u p A u t n ( R G ) o f t h e g r o u p A u t ( R G ) o f a l l R -

a l g e b r a a u t o m o r p h i s m s o f R G . C l e a r l y t h e u n i t g r o u p U ( R G ) i s a d i r e c t

p r o d u c t o f t h e n o r m a l i z e d u n i t s V ( R G ) a n d R * . T h u s n o i n f o r m a t i o n i s l o s t ,

i f o n e s t u d i e s o n l y A u t n ( R G ) . M o r e o v e r J A u t ( R G )

: A u t n ( R G ) I c o i n c i d e s

n a t u r a l l y w i t h t h e n u m b e r o f d i f f e r e n t g r o u p h o m o m o r p h i s m s f r o m G t o R * .

I f a i s a g r o u p a u t o m o r p h i s m o f a g r o u p b a s i s X o f R G , t h e n o r i n d u c e s

n a t u r a l l y a n o r m a l i z e d R - a l g e b r a a u t o m o r p h i s m o f R G b y e x t e n d i n g a R -

l i n e a r l y t o R G .

2 . 2

Z a s s e n h a u s d e c o m p o s i t i o n

W e s a y t h a t o r E A u t n ( R G ) a d m i t s a Z a s s e n h a u s d e c o m p o s i t i o n w i t h r e -

s p e c t t o a g r o u p b a s i s X o f R G , i f o r i s t h e c o m p o s i t i o n o f a n o r m a l i z e d

a u t o m o r p h i s m i n d u c e d f r o m a g r o u p a u t o m o r p h i s m o f X f o l l o w e d b y a c e n -

t r a l a u t o m o r p h i s m r y ( i . e . a n a u t o m o r p h i s m w h i c h f i x e s t h e c e n t r e o f R G

e l e m e n t - w i s e ) . I f r y f i x e s o n l y t h e c l a s s s u m s o f t h e p - e l e m e n t s o f G , w e s a y

t h a t a a d m i t s a Z a s s e n h a u s v a r i a t i o n d e c o m p o s i t i o n .

C l e a r l y t h e c o n j e c t u r e ( Z C 2 ) o f Z a s s e n h a u s f o l l o w s i f t h e i s o m o r p h i s m

p r o b l e m h a s a p o s i t i v e a n s w e r f o r R G a n d e a c h n o r m a l i z e d a u t o m o r p h i s m

h a s a Z a s s e n h a u s d e c o m p o s i t i o n w i t h r e s p e c t t o G .

T h e l i n k b e t w e e n t h e c o n j e c t u r e a n d n o r m a l i z e d a u t o m o r p h i s m s i s e v e n

s t r o n g e r . I n [ 1 9 , 5 . 3 ] i t i s s h o w n t h a t ( Z C 2 ) i s t r u e f o r R G p r o v i d e d e a c h

a E A u t n R ( G x G ) a n d e a c h r E A u t ( R G a d m i t s a Z a s s e n h a u s d e c o m p o s i t i o n

w i t h r e s p e c t t o e a c h g r o u p b a s i s o f R ( G x G ) , R G , r e s p e c t i v e l y .

T h e f o l l o w i n g i s n o w - a n i m m e d i a t e c o n s e q u e n c e .

I f f o r a c l a s s r o f f i -

n i t e g r o u p s w h i c h i s c l o s e d u n d e r t a k i n g d i r e c t p r o d u c t s , e a c h n o r m a l i z e d

R - a l g e b r a a u t o m o r p h i s m a d m i t s a Z a s s e n h a u s d e c o m p o s i t i o n w i t h r e s p e c t t o

e a c h g r o u p b a s i s , t h e n ( Z C 2 ) i s t r u e f o r a l l G E r .

2 . 3

C e c h s t y l e c o h o m o l o g y

A s i n s e c t i o n 1 . 6 w r i t e G a s t h e p r o j e c t i v e l i m i t o f i t s q u o t i e n t s G / O p s ( G ) .

T h i s p r o j e c t i v e l i m i t o f g r o u p s c o r r e s p o n d s o f c o u r s e t o t h e p r o j e c t i v e l i m i t




F o f t h e g r o u p r i n g s R ( G / O p ; ( G ) ) . N o t e t h a t r d o e s n o t c o i n c i d e w i t h R G

b u t i t i s a c h a r a c t e r i s t i c i m a g e o f R G .

S t a r t i n g w i t h a E A u t n ( R G ) o n e o b t a i n s i n d u c e d a u t o m o r p h i s m s o , o j

a n d v i j o f R ( G / O p s ( G ) ) , R ( G / O p j , ( G ) ) a n d

0 p ; ( G ) ) .

T h e

Z a s s e n h a u s d e c o m p o s i t i o n s

Q i = P i , 7 i , Q j = P j ' Y j ,

w h e r e p i a n d p j a r e i n d u c e d f r o m g r o u p a u t o m o r p h i s m s o f G / O p t ( G ) a n d

G / O p , ( G ) , i n d u c e o n G / ( O p ; ( G ) O , ( G ) ) c e n t r a l g r o u p a u t o m o r p h i s m s

P i j

1

N o w o r a d m i t s a Z a s s e n h a u s v a r i a t i o n d e c o m p o s i t i o n ( s e c t i o n 2 . 2 ) , i f t h e s e p i j

a r e i n d u c e d s i m u l t a n e o u s l y f r o m a g r o u p a u t o m o r p h i s m o f G . T h i s o b s t r u c -

t i o n m a y b e i n t e r p r e t e d i n t h e f o r m o f C e c h s t y l e c o h o m o l o g y s e t s c o m p a r a b l e

t o t h e c o v e r i n g o f a s p h e r e b y o p e n s e t s , f o r d e t a i l s s e e [ 2 3 , S e c t i o n 3 ] , [ 3 5 ,

I X , § 2 ] .

2 . 4

C h i e f s e r i e s

W e s a y t h a t f i n i t e g r o u p s G a n d H h a v e t h e s a m e c h i e f s e r i e s , i f g i v e n a c h i e f

s e r i e s

i s a c h i e f s e r i e s o f H o f t h e

f o r m 1 = M o < M 1 <

. < M k = G s u c h t h a t f o r e a c h l < i < k t h e i t h c h i e f

f a c t o r s M i / M a _ , a n d N i / N j _ 1 a r e i s o m o r p h i c , a n d v i c e v e r s a , f o r e a c h c h i e f

s e r i e s o f H t h e r e i s o n e o f t h e s a m e l e n g t h o f G s u c h t h a t i t h c h i e f f a c t o r s a r e

i s o m o r p h i c f o r e a c h i .

T h e o r e m 2 . 4 . 1 [ 1 9 , S a t z 6 . 3 ] A s s u m e t h a t G a n d H h a v e t h e s a m e c h a r a c t e r

t a b l e . T h e n G a n d H h a v e t h e s a m e c h i e f s e r i e s , i n p a r t i c u l a r t h e i r c h i e f

f a c t o r s a r e i s o m o r p h i c a n d h a v e t h e s a m e m u l t i p l i c i t y .

T h e h y p o t h e s i s o f h a v i n g t h e s a m e c h a r a c t e r t a b l e a l w a y s h a s t o b e u n -

d e r s t o o d i n t h e s e n s e o f B r a u e r ' s p r o b l e m s , i . e . t h e h e a d l i n e o f t h e t a b l e i s

n o t g i v e n , i n p a r t i c u l a r t h e o r d e r s o f t h e r e p r e s e n t a t i v e s o f t h e c o n j u g a c y

c l a s s e s a r e n o t k n o w n . U n d e r t h e s t r o n g e r h y p o t h e s i s Z G = Z H , T h e o r e m

2 . 4 . 1 h a s b e e n p r o v e d i n [ 2 2 , T h e o r e m 2 . 3 ] . T h e a s s u m p t i o n s o f t h e t h e o r e m

h o w e v e r m a y e v e n b e w e a k e n e d . I t s u f f i c e s t o a s s u m e t h a t G a n d H a r e i n

J o r d a n - H o l d e r c l a s s c o r r e s p o n d e n c e . F o r d e t a i l s w e r e f e r t o [ 2 5 , T h e o r e m 5 ] .

T h e f o l l o w i n g r e s u l t c o n t a i n s a p o s i t i v e a n s w e r t o B r a u e r ' s p r o b l e m 1 2 [ 7 ] .

I t m a y b e d e r i v e d f r o m T h e o r e m 2 . 4 . 1 .

T h e o r e m 2 . 4 . 2 [ 1 9 , S a t z 6 . 2 ] , [ 2 5 , T h e o r e m 6 a ] T h e c h a r a c t e r t a b l e o f a

f i n i t e g r o u p d e t e r m i n e s a b e l i a n H a l l s u b g r o u p s u p t o i s o m o r p h i s m .

A g a i n t h e a s s u m p t i o n s m a y b e w e a k e n e d . I t s u f f i c e s t o a s s u m e t h a t G a n d

H h a v e t h e s a m e c o n j u g a c y c l a s s s t r u c t u r e [ 2 6 ] .



1 2 6 W o l f g a n g K i m m e r l e

2 . 5 A u t o m o r p h i s m s o f c h a r a c t e r t a b l e s

T h e a i m o f t h i s s u b s e c t i o n i s t h e r e f o r m u l a t i o n o f t h e c o n j e c t u r e ( Z C 2 ) i n

t e r m s o f a u t o m o r p h i s m s o f c h a r a c t e r t a b l e s .

D e n o t e b y I r r ( G ) t h e s e t o f t h e o r d i n a r y i r r e d u c i b l e c h a r a c t e r s o f G . E x -

t e n d n o r m a l i z e d a u t o m o r p h i s m s o f R G K - l i n e a r l y t o K G a n d c h o o s e K t o b e

s u f f i c i e n t l y l a r g e . A u t n ( R G ) a c t s n a t u r a l l y o n t h e s e t o f o r d i n a r y i r r e d u c i b l e

c h a r a c t e r s I r r ( G ) . O n t h e o t h e r h a n d b y t h e c l a s s s u m c o r r e s p o n d e n c e a

n o r m a l i z e d a u t o m o r p h i s m o r o f R G m a p s c l a s s s u m s i n t o c l a s s s u m s . T h u s

l i n k i n g C w i t h t h e c o n j u g a c y c l a s s C w e g e t a n a c t i o n o f a o n t h e c o n j u g a c y

c l a s s e s C l ( G ) o f G . L e t a E A u t n ( R G ) a n d d e n o t e i t s a c t i o n o n I r r ( G ) a n d

o n C l ( G ) a l s o b y a t h e n w e h a v e t h e e q u a t i o n

a ( X ) ( a ( C ) ) = X ( C )

( 1 )

L e t C T ( G ) b e t h e o r d i n a r y c h a r a c t e r t a b l e o f G . D e f i n e i t s a u t o m o r p h i s m

g r o u p A u t ( C T ( G ) ) a s t h e g r o u p o f a l l p e r m u t a t i o n s i t o f I r r ( G ) U C l ( G ) w h i c h

m a p I r r ( G ) i n t o I r r ( G ) s u c h t h a t f o r e a c h X E I r r ( G ) a n d f o r e a c h C E C l ( G )

t h e e q u a t i o n

i r ( X ) ( i r ( C ) ) = X ( C )

( 2 )

h o l d s . T h e n b y e q u a t i o n 1 w e h a v e a m a p p o f A u t n ( R G ) i n t o A u t ( C T ( G ) ) .

D e n o t e t h e i m a g e o f p b y A u t R G ( C T ( G ) ) . F i x i n g a g r o u p b a s i s i s o m o r p h i c

t o G e a c h g r o u p a u t o m o r p h i s m o f G e x t e n d s R - l i n e a r l y t o a n o r m a l i z e d R -

a l g e b r a a u t o m o r p h i s m o f R G . T h u s w e m a y r e g a r d A u t ( G ) i n t h i s w a y a s a

s u b g r o u p o f A u t n ( R G ) . D e n o t e p ( A u t G ) b y A u t G ( C T ( G ) ) .

P r o p o s i t i o n 2 . 5 . 1 E a c h n o r m a l i z e d a u t o m o r p h i s m o f R G a d m i t s a Z a s s e n -

h a u s d e c o m p o s i t i o n w i t h r e s p e c t t o G i f ,

a n d o n l y i f , A u t G ( C T ( G ) ) _

A u t R G ( C T ( G ) ) .

E x a m p l e s 2 . 5 . 2 a ) L e t G b e t h e a u t o m o r p h i s m g r o u p o f A 6 . T h e n

A u t ( C T ( G ) ) = 1 . H e n c e b y P r o p o s i t i o n 2 . 5 . 1 ( Z C 2 ) i s v a l i d f o r G .

b ) L e t G = A 6 , G = S 6 = A 6 . 2 1 o r G = M 1 0 = A 6 . 2 3 . T h e n A u t ( C T ( G ) ) _

A u t G ( C T ( G ) ) . A g a i n w e c a n a p p l y 2 . 5 . 1 a n d g e t t h a t ( Z C 2 ) i s v a l i d f o r

t h e s e g r o u p s . I f G = P G L ( 2 , 9 ) = A 6 . 2 2 , t h e n A u t G ( C T ( G ) ) = C 2 w h e r e a s

A u t ( C T ( G ) ) = ' C 2 x C 2 . S o w e n e e d i n t h i s c a s e a d d i t i o n a l a r g u m e n t s t o

c o n c l u d e t h a t A u t G ( C T ( G ) ) = A u t R G ( C T ( G ) ) , s e e E x a m p l e 2 . 7 . 1 .

2 . 6

A u t o e q u i v a l e n c e s o f b l o c k s

T h e o b j e c t o f t h i s s u b s e c t i o n i s t o d e m o n s t r a t e t h a t t h e s t u d y o f m o d u l a r

r e p r e s e n t a t i o n s , i n p a r t i c u l a r t h e u s e o f B r a u e r t r e e s , g i v e s a d d i t i o n a l i n f o r -

m a t i o n o n A u t R G ( C T ( G ) ) .




L e t ( K , R , k ) b e a p - m o d u l a r s y s t e m s u f f i c i e n t l y l a r g e f o r G . T h e b a s i c

i d e a i s n o w t o c o n s i d e r v i a t h i s p - m o d u l a r s y s t e m s i m u l t a n e o u s l y t h e a c t i o n

o f a n o r m a l i z e d a u t o m o r p h i s m o r E A u t n ( R G ) o n K G a n d o n k G . T h e

a u t o m o r p h i s m a g i v e s r i s e t o a n a u t o e q u i v a l e n c e o f t h e c a t e g o r i e s o f f i n i t e l y

g e n e r a t e d m o d u l e s o f K G , R G a n d k G s e n d i n g a m o d u l e M t o i t s t w i s t e d

m o d u l e M ° b y a c t i n g v i a a .

L e t M b e a s i m p l e K G - m o d u l e , l e t M o b e a n R - f o r m o f M a n d d e n o t e t h e

r e d u c t i o n o f M o m o d p b y M . I f C i s a c o m p o s i t i o n f a c t o r o f M , t h e n C ° i s

a c o m p o s i t i o n f a c t o r o f W . T h e m u l t i p l i c i t i e s c o i n c i d e . M o r e o v e r a i n d u c e s

a n a u t o e q u i v a l e n c e o f t h e c a t e g o r y o f f i n i t e l y g e n e r a t e d k G - m o d u l e s a n d a l s o

o f t h e c a t e g o r y o f f i n i t e l y g e n e r a t e d B - m o d u l e s f o r a n y b l o c k B f i x e d b y o r .

C l e a r l y t h e t r i v i a l s i m p l e m o d u l e i s f i x e d a n d t h u s s o i s t h e p r i n c i p a l b l o c k

B 0 o f k G .

T h e o r e m 2 . 6 . 1 [ 5 , T h e o r e m 2 ] A s s u m e t h a t t h e f i n i t e g r o u p G h a s c y c l i c

S y l o w p - s u b g r o u p s . T h e n e a c h n o n - t r i v i a l a u t o e q u i v a l e n c e o f t h e p r i n c i p a l

p - b l o c k B o w h i c h f i x e s t h e t r i v i a l s i m p l e m o d u l e p r e s e r v e s t h e i s o m o r p h i s m

c l a s s e s o f a l l f i n i t e l y g e n e r a t e d B o - m o d u l e s .

T h e c o n s e q u e n c e i n t e r m s o f i r r e d u c i b l e c h a r a c t e r s i s t h a t x E I r r ( G )

i s f i x e d b y a p r o v i d e d i t s r e s t r i c t i o n t o t h e p - r e g u l a r c l a s s e s o f C l ( G ) i s i n

t h e p r i n c i p a l p - b l o c k a n d x i s n o n - e x c e p t i o n a l . T h i s c l e a r l y g i v e s a d d i t i o n a l

i n f o r m a t i o n f o r A u t R G ( C T ( G ) ) a n d s u f f i c e s t o p r o v e ( Z C 2 ) f o r t h e g r o u p s

P S L ( 2 , p ) . T h i s w a s t h e f i r s t i n f i n i t e s e r i e s o f n o n - a b e l i a n s i m p l e g r o u p s f o r

w h i c h ( Z C 2 ) w a s e s t a b l i s h e d [ 5 , T h e o r e m 1 ] .

E x a m p l e 2 . 6 . 2 W e c o n s i d e r t h e o r d i n a r y c h a r a c t e r t a b l e o f t h e g r o u p

G = A u t ( J 3 ) = J 3 . 2 , s h o w n i n T a b l e 1 . T h e i r r e d u c i b l e c h a r a c t e r s a n d t h e

c o n j u g a c y c l a s s e s a r e o r d e r e d a s i n G A P o r i n t h e A T L A S . F o r t h e e x a m p l e a

p a r t o f C T ( G ) s u f f i c e s . H e r e , a n d l a t e r o n , u p p e r c a s e l e t t e r s d e n o t e c e r t a i n

i r r a t i o n a l i t i e s w h o s e a c t u a l v a l u e s a r e n o t i m p o r t a n t .

T h e o t h e r i r r e d u c i b l e c h a r a c t e r s X i ,

. . . , X 7 , X i o , X i t , x i s , X 1 7 , X 2 4 , . .

, X 3 o

a r e f i x e d b y e a c h a E A u t n ( R G ) .

T h i s f o l l o w s f r o m t h e i r d e g r e e s a n d

t h e i r c h a r a c t e r v a l u e s o n c l a s s e s o u t s i d e J 3 . I n t e r m s o f c o n j u g a c y c l a s s e s ,

A u t ( C T ( G ) ) i s g e n e r a t e d b y t h e p e r m u t a t i o n s ( 2 4 a , 2 4 b ) , ( 1 7 a , 1 7 b ) ( 3 4 a , 3 4 b )

a n d ( 9 a , 9 b , 9 c ) ( 1 8 a , 1 8 b , 1 8 c ) . N o t e t h a t i n t h e t a b l e a l l c o n j u g a c y c l a s s e s

w h i c h a r e f i x e d b y e a c h c h a r a c t e r t a b l e a u t o m o r p h i s m a r e o m i t t e d e x c e p t l a

a n d 1 9 a . T h e l a t t e r c l a s s e s w i l l b e n e e d e d b e l o w . N o t e a l s o t h a t O u t ( G ) = 1 .

T h u s A u t c ( C T ( G ) ) = 1 .

I n o r d e r t o s h o w t h a t A u t R G ( C T ( G ) ) = 1 w e c o n s i d e r t h e p r i m e p = 1 9 .

N o t e t h a t 1 J 3 . 2 1 = 2 8

3 5 5

1 7 . 1 9 . T h e i r r e d u c i b l e c h a r a c t e r s g i v e n i n t h e

t a b l e a b o v e a r e a l l n o n - e x c e p t i o n a l w i t h r e s p e c t t o p = 1 9 . T h e l e n g t h o f a

c o n j u g a c y c l a s s C l ( g ) o f g E G i s d i v i s i b l e b y 1 9 p r o v i d e d g d o e s n o t b e l o n g




T a b l e 1 : P a r t o f t h e c h a r a c t e r t a b l e o f J 3 . 2

l a 9 a 9 b 9 c 1 7 a 1 7 b 1 9 a 1 8 a 1 8 b 1 8 c 2 4 a 2 4 b

3 4 a 3 4 b

X 8

8 1 6

. . . .

- 1

. E - E

X 9

8 1 6

.

. . .

- 1

. - E E

X 1 2 1 2 1 5

.

. .

A * A - 1

. - A - * A

X 1 3 1 2 1 5

.

. . A * A - 1

A * A

X 1 4 1 2 1 5

. . . * A A - 1 . - * A - A

X 1 5 1 2 1 5

.

. .

* A A - 1 * A A

X 1 8 1 9 2 0

B C D - 1 - 1 1 F G H

- 1

- 1

X 1 9

1 9 2 0

B C D

- 1 - 1

1 - F - G - H

1 1

X 2 o

1 9 2 0 D B C - 1 - 1 1 H F

G

- 1

- 1

X 2 1 1 9 2 0

D B C - 1 - 1

1 - H - F - G

1

1

X 2 2 1 9 2 0

C D B

- 1 - 1 1

G H F . - 1 - 1

X 2 3 1 9 2 0

C D B - 1 - 1

1 - G - H - F

1

1

t o t h e c l a s s 1 9 a . H e n c e a l l t h e i r r e d u c i b l e c h a r a c t e r s X l i s t e d a b o v e b e l o n g t o

t h e p r i n c i p a l 1 9 - b l o c k b e c a u s e

x ( 9 ) .

I C l ( 9 ) I = I C 1 ( 9 ) I

m o d 1 9

f o r a l l 1 9 - r e g u l a r e l e m e n t s o f G . B y T h e o r e m 2 . 6 . 1 i t f o l l o w s t h a t a l l t h e s e

c h a r a c t e r s X a r e f i x e d b y a l l a E A u t , s ( R G ) a n d t h e r e f o r e A u t R G ( C T ( G ) ) = 1 .

2 . 7

B r a u e r t a b l e s a n d t e n s o r p r o d u c t s

T h e a c t i o n o f A u t n ( R G ) o n t h e c a t e g o r y m o d ( k G ) i n d u c e s a n a c t i o n o n t h e

i r r e d u c i b l e B r a u e r c h a r a c t e r s o f G a n d t o g e t h e r w i t h t h e a c t i o n o n t h e c o n j u -

g a c y c l a s s e s o f p - e l e m e n t s , o r E A u t n ( R G ) y i e l d s a c h a r a c t e r t a b l e a u t o m o r -

p h i s m o f t h e p - B r a u e r t a b l e o f G [ 3 , P r o p o s i t i o n 2 . 1 ] , [ 2 , L e m m a 2 . 6 ] .

E x a m p l e 2 . 7 . 1 C o n s i d e r t h e c h a r a c t e r t a b l e o f G = P G L ( 2 , 9 ) , s h o w n i n

T a b l e 2 . A u t ( C T ( G ) ) i s g e n e r a t e d b y ( X 4 , X 6 ) ( 5 a , 5 b ) ( X 5 , X 7 ) ( 1 0 a , 1 O b ) a n d

( 8 a , 8 b ) ( X i o , X 1 1 ) . T h e o n l y p r i m e f o r w h i c h G h a s c y c l i c S y l o w s u b g r o u p s i s

5 . H o w e v e r f o r p = 5 t h e c h a r a c t e r s X i o a n d X 1 1 h a v e d e f e c t z e r o a n d X 4 , X 5

a r e e x c e p t i o n a l w i t h m u l t i p l i c i t y 2 . T h u s t h e c o n s i d e r a t i o n o f t h e 5 - b l o c k s

g i v e s n o n e w i n f o r m a t i o n a b o u t A u t R G ( C T ( G ) ) . T h e B r a u e r t a b l e f o r p = 3

i s a s i n T a b l e 3 ( s e e [ 1 7 , p . 4 ] ) .

A n a u t o m o r p h i s m o f t h i s t a b l e w h i c h m o v e s t h e c l a s s 5 a m u s t m o v e t h e

c l a s s 8 a a s w e l l . C o n s e q u e n t l y A u t R o ( C T ( G ) ) h a s o r d e r 2 a n d c o i n c i d e s w i t h

A u t G ( C T ( G ) ) . B y P r o p o s i t i o n 2 . 5 . 1 i t f o l l o w s t h a t ( Z C 2 ) h o l d s f o r P G L ( 2 , 9 ) .




T a b l e 2 : T h e c h a r a c t e r t a b l e o f P G L ( 2 , 9 )

l a 2 a

3 a

4 a

5 a 5 b

2 b

8 a 8 b

1 0 a 1 0 b

1 1 1 1 1 1

1

1

1

1 1

1 1 1 1 1 1 - 1 - 1 - 1 - 1 - 1

1 0

2

1 - 2

8

- 1

A * A

2

- A - * A

8

.

- 1

A * A - 2

A

* A

8

.

- 1

.

* A A 2

.

- * A

- A

8

.

- 1

. * A A - 2

* A A

9

1

1

- 1 - 1 - 1

1 1

- 1 - 1

9

1 1

- 1 - 1 1

- 1 - 1

1 1

1 0 - 2

1 B - B

1 0 - 2

1 .

- B B

T a b l e 3 : T h e 3 - m o d u l a r c h a r a c t e r t a b l e o f P G L ( 2 , 9 )

l a

2 a 4 a 5 a 5 b

2 b

8 a

8 b

1 0 a

1 0 b

1

1 1 1

1

1 1

1

1 1

1

1 1

1

1 - 1 - 1

- 1

- 1

- 1

3 - 1

1

A * A - 1

B

* B

C

* C

3 - 1

1

A * A

1 - B - * B - C - * C

3 - 1

1 * A A - 1 * B

B * C

C

3 - 1

1

* A

A 1 - * B - B - * C - C

4 - 2 - 1 - 1

D

- D

E - E

4

- 2 - 1 - 1

- D D

- E

E

9

1

1

- 1 - 1 - 1 1

1

- 1 - 1

9

1 1

- 1 - 1

1

- 1

- 1

1 1




F . B l e h e r o b s e r v e d t h a t n o r m a l i z e d a u t o m o r p h i s m s a c t n a t u r a l l y o n t e n s o r

p r o d u c t s o f B r a u e r c h a r a c t e r s .

L e m m a 2 . 7 . 2 [ 3 , P r o p o s i t i o n 2 . 1 ] L e t ( a n d

b e B r a u e r c h a r a c t e r s a n d

o r E A u t n ( R G ) . T h e n

o , ( C ( D 0 = U ( s ) ® 0 ' ( i .

T h i s a l l o w s t h e a p p l i c a t i o n o f S t e i n b e r g ' s t e n s o r p r o d u c t t h e o r e m a n d

l e a d s t o a s y s t e m a t i c t r e a t m e n t o f s e r i e s o f s i m p l e g r o u p s o f L i e t y p e u s i n g

t h e d e f i n i n g c h a r a c t e r i s t i c .

T h e o r e m 2 . 7 . 3 [ 2 , S e c t i o n 3 ]

T h e Z a s s e n h a u s c o n j e c t u r e ( Z C 2 ) h o l d s f o r

t h e f o l l o w i n g g r o u p s o f L i e t y p e .

S L ( 2 , p 1 ) , P S L ( 2 , p f ) , 2 B 2 ( 2 2 m + 1 ) ' 2 G 2 ( 3 2 m + 1 )

2 F 4 ( 2 2 m + 1 ) , S L ( 3 , 3 m ) , S U ( 3 , 3 2 m ) ,

S p ( 4 , 2 m ) , G 2 ( p m ) , 3 D 4 ( p 3 m ) ,

w h e r e p a l w a y s d e n o t e s a r a t i o n a l p r i m e .

T h e f o l l o w i n g r e s u l t s f o l l o w f r o m T h e o r e m 2 . 7 . 3 .

T h e o r e m 2 . 7 . 4 [ 3 , T h e o r e m s 1 a n d 2 ] , [ 2 , T h e o r e m 3 . 2 6 ]

( Z C 2 ) h o l d s f o r

e v e r y m i n i m a l s i m p l e g r o u p , f o r e v e r y s i m p l e Z a s s e n h a u s g r o u p a n d f o r e v e r y

s i m p l e g r o u p w i t h a b e l i a n S y l o w 2 - s u b g r o u p s .

2 . 8

A l t e r n a t i n g a n d s p o r a d i c g r o u p s

W i t h r e s p e c t t o t h e a l t e r n a t i n g g r o u p s A n i t i s u n k n o w n w h e t h e r n o r m a l i z e d

g r o u p r i n g a u t o m o r p h i s m s a d m i t a Z a s s e n h a u s d e c o m p o s i t i o n . I t i s p r o v e d

f o r n < 1 0 a n d n = 1 2 . T h e g r o u p A u t n ( G ) d o e s n o t a c t o n l y o n C G , i t a c t s

a l s o o n Q G . A t t h e l e v e l o f t h e r a t i o n a l g r o u p a l g e b r a Q G t h e f o l l o w i n g i s

t r u e .

T h e o r e m 2 . 8 . 1 [ 1 9 ,

S a t z 5 . 9 ] F o r a l t e r n a t i n g g r o u p s A n e a c h a E

A u t n ( Z A n ) m a y b e m o d i f i e d b y T E A u t ( A n ) s u c h t h a t r - o r f i x e s e a c h b l o c k

o f t h e W e d d e r b u r n d e c o m p o s i t i o n o f Q A n . I n o t h e r w o r d s e a c h i r r e d u c i b l e

Q - c h a r a c t e r o f A n i s f i x e d b y T - a .

I n t h e p r o o f o f T h e o r e m 2 . 8 . 1 i t i s s h o w n t h a t f o r n 6 a b i j e c t i o n o f t h e

s e t o f c o n j u g a c y c l a s s e s o f A n w h i c h r e s p e c t s t h e l e n g t h o f t h e c l a s s e s a s w e l l a s

t h e o r d e r o f a r e p r e s e n t a t i v e f i x e s e a c h c o n j u g a c y c l a s s o f A n w h i c h i s i n v a r i a n t

u n d e r c o n j u g a t i o n i n S n . N o t e t h a t b y 1 . 2 a n o r m a l i z e d a u t o m o r p h i s m o f R G

a l w a y s i n d u c e s s u c h a b i j e c t i o n o n t h e s e t o f c o n j u g a c y c l a s s e s o f G . S i n c e

t h e c o n j u g a c y c l a s s o f a n e v e n p e r m u t a t i o n i t o f a s y m m e t r i c g r o u p S n s p l i t s

o n r e s t r i c t i o n t o A n i f a n d o n l y i f t h e c y c l e t y p e o f i t c o n s i s t s o f o d d c y c l e s

o f p a i r w i s e d i f f e r e n t l e n g t h , t h e f o l l o w i n g f o l l o w s .




1 3 1

C o r o l l a r y 2 . 8 . 2 F o r A n t h e v a r i a t i o n ( Z C 2 ) p h o l d s f o r e a c h p r i m e p .

P r o o f : F o r a g i v e n d e g r e e n a n d a g i v e n p r i m e p t h e r e i s a t m o s t o n e s u m

p t '

= n w i t h 0 < i t < . < i k . T h u s t h e r e i s a t m o s t o n e c o n j u g a c y

c l a s s o f a p - e l e m e n t i n S n w h i c h s p l i t s i n t o t w o c l a s s e s r e s t r i c t e d t o A n . T h e s e

t w o c l a s s e s a r e l i n k e d b y a n o u t e r a u t o m o r p h i s m T o f A . C o n s e q u e n t l y , i f

o r E A u t n ( R A n ) d o e s n o t f i x a l l c o n j u g a c y c l a s s e s o f p - e l e m e n t s , t h e n t h e

c o m p o s i t i o n o f o r w i t h T f i x e s a l l t h e s e c l a s s e s . T h u s e a c h a a d m i t s a Z a s s e n -

h a u s v a r i a t i o n d e c o m p o s i t i o n w i t h r e s p e c t t o p .

W i t h r e s p e c t t o t h e s p o r a d i c g r o u p s t h e f o l l o w i n g i s k n o w n .

T h e o r e m 2 . 8 . 3 [ 5 , S e c t i o n 4 ] , [ 2 , S e c t i o n 2 a n d A . 2 ] ( Z C 2 ) i s v a l i d f o r t h e

s p o r a d i c g r o u p s

M 1 1 , M 1 2 , M 2 2 , M 2 3 , M 2 4 , H S , C o 3 i C o t , C o l , H N , T h , J 1 , J 2 , R u , B .

F o r t h e o t h e r s p o r a d i c g r o u p s ( Z C 2 ) p i s t r u e f o r m o s t p r i m e s p . I n p a r t i c -

u l a r f o r t h e M o n s t e r M i t h o l d s f o r e a c h p r i m e 1 1 1 -

2 . 9

O t h e r i n s o l u b l e g r o u p s

W e c l o s e t h i s s e c t i o n w i t h s o m e r e s u l t s f o r i n s o l u b l e g r o u p s w h i c h a r e n o t

s i m p l e .

T h e o r e m 2 . 9 . 1 [ 4 ]

( Z C 2 ) h o l d s f o r f i n i t e C o x e t e r g r o u p s .

N o t e t h a t 2 . 9 . 1 c o n t a i n s t h e r e s u l t t h a t ( Z C 2 ) i s v a l i d f o r t h e s y m m e t r i c

g r o u p s S n [ 3 0 ] . A n o t h e r s u b c a s e i s t h a t ( Z C 2 ) i s v a l i d f o r t h e W e y l g r o u p s o f

t y p e B . T h a t f o r t h e s e g r o u p s n o r m a l i z e d a u t o m o r p h i s m s a d m i t a Z a s s e n h a u s

d e c o m p o s i t i o n f o l l o w s f r o m r e s u l t s o f G i a m b r u n o , S e h g a l a n d V a l e n t i [ 4 3 ,

( 4 4 . 1 7 ) ] , [ 1 2 ] . F o r r e s u l t s o n o t h e r w r e a t h p r o d u c t s o f t h e t y p e H 1 S n s e e [ 4 3 ,

§ 4 4 ] .

T h e n e x t r e s u l t i s a n i m m e d i a t e c o n s e q u e n c e o f t h e r e s u l t s o n c h i e f s e r i e s

( s e e s e c t i o n 2 . 4 ) .

T h e o r e m 2 . 9 . 2 [ 2 2 , 2 . 7 ]

( I P ) h o l d s f o r t h e a u t o m o r p h i s m g r o u p o f a s e m i -

s i m p l e g r o u p .

T h e o r e m 2 . 9 . 3 L e t G b e a q u a s i s i m p l e g r o u p . A s s u m e t h a t t h e c e n t r e Z ( G )

i s c y c l i c o f o r d e r p a n d t h a t t h e a b e l i a n i z e d g r o u p G i s c y c l i c o f o r d e r q w h e r e q

a n d p d e n o t e p r i m e s . A s s u m e f u r t h e r t h a t f o r r d i f f e r e n t f r o m q t h e v a r i a t i o n

( Z C 2 ) , i s v a l i d f o r G / Z ( G ) a n d a s s u m e t h a t ( I P ) i s t r u e f o r t h e d e r i v e d g r o u p

G ' . T h e n ( Z C 2 ) , h o l d s f o r G .



1 3 2


A s a c o r o l l a r y o n e o b t a i n s t h a t ( Z C 2 ) p h a s a p o s i t i v e a n s w e r f o r t h e d o u b l e

c o v e r g r o u p s o f t h e s y m m e t r i c g r o u p s .

N o t e t h a t b y t h e t h e o r y o f S c h u r

m u l t i p l i e r s t h e d o u b l e c o v e r s o f S n h a v e i s o m o r p h i c c o m p l e x g r o u p a l g e b r a s .

I n a r e c e n t l e t t e r J . H u m p h r e y s p o i n t e d o u t t o m e t h a t t h e s a m e i s t r u e f o r

t h e m o d u l a r g r o u p a l g e b r a s o f t h e s e d o u b l e c o v e r s o v e r a f i e l d o f c h a r a c t e r i s t i c

p , w h e r e p d e n o t e s a n o d d p r i m e .

F i n a l l y f o r a d d i t i o n a l i n f o r m a t i o n a b o u t ( I P ) o r t h e Z a s s e n h a u s c o n j e c -

t u r e s t h e r e a d e r m a y c o n s u l t t h e f o l l o w i n g r e f e r e n c e s w h i c h c o n t a i n s u r v e y s

o n t h e s e t o p i c s w r i t t e n u n d e r d i f f e r e n t a s p e c t s : [ 3 2 ] , [ 3 5 ] , [ 3 9 ] , [ 4 3 ] , [ 2 1 ] .

3 k - c h a r a c t e r s

D e f i n i t i o n 3 . 1 L e t K b e f i e l d a n d l e t x E I r r K ( G ) . F o r e a c h k E N t h e

k - c h a r a c t e r x ( k ) i s t h e m a p X ( k ) : G k - * K d e f i n e d r e c u r s i v e l y b y x ( l ) = x

a n d X ( k ) ( 9 l ,

. . . , g k ) = X ( 9 l ) .

X ( k - 1 )

( 9 2 , . . .

,

9 k ) -

X ( k - 1 )

( 9 1 9 2 ) . . .

,

9 k )

x ( k - 1 )

( 9 2 , . . . ) g 1 9 k )

P r o p o s i t i o n 3 . 2 F o r a g i v e n x E I r r K ( G ) t h e 2 - a n d 3 - c h a r a c t e r s a r e e x -

p l i c i t l y g i v e n b y t h e f o r m u l a e

X ( 2 ) ( x , y )

= X ( x ) . X ( y ) - X ( x . y )

a n d

X 3 ( x , y , z ) = X ( x )

- X ( y ) - X ( z ) - X ( x ) - X ( y - z ) - X ( y ) - X ( x -

z )

- X ( z ) . X ( x - y ) X ( x . y - z ) + X ( x - z - y )

N o t e t h a t t h e 2 - c h a r a c t e r x ( 2 ) i s j u s t t h e o b s t r u c t i o n f o r x t o b e a h o m o -

m o r p h i s m .

D e f i n i t i o n 3 . 3 L e t r c C N . W e s a y t h a t t w o f i n i t e g r o u p s G a n d H h a v e t h e

s a m e r c - c h a r a c t e r s o v e r K p r o v i d e d t h e r e e x i s t b i j e c t i o n s

, 6 : G - * H a n d I r r K ( G ) - + I r r K ( H )

,

s u c h t h a t f o r e a c h k E r c ,

X ( k ) ( x l ,

. . . , x k ) = V ) ( , 3 ( x l ,

. . . , x k ) )

f o r a l l x l E G , x E I r r K ( G ) .

R e m a r k s 3 . 4 T h e g r o u p d e t e r m i n a n t D K ( G ) o f G o v e r K i s d e f i n e d a s t h e

d e t e r m i n a n t o f t h e m a t r i x ( X 9 1 , 9 _ , ) , w h e r e t h e X 9 , a r e i n d e t e r m i n a t e s o v e r

K l a b e l l e d b y t h e g r o u p e l e m e n t s g i . T h e i r r e d u c i b l e f a c t o r s o f D K ( G ) a r e i n

o n e - t o - o n e c o r r e s p o n d e n c e w i t h t h e i r r e d u c i b l e c h a r a c t e r s x E I r r K ( G ) . T h e

c o e f f i c i e n t s o f t h e i r r e d u c i b l e f a c t o r s m a y b e c a l c u l a t e d f r o m t h e k - c h a r a c t e r s




1 3 3

o f G a n d c o n v e r s e l y t h e y d e t e r m i n e t h e k - c h a r a c t e r s [ 1 0 ] . T h u s t h e k n o w l e d g e

o f t h e g r o u p d e t e r m i n a n t i s e q u i v a l e n t t o t h e k n o w l e d g e o f t h e k - c h a r a c t e r s .

N o t e i n t h i s c o n t e x t t h a t , i f x c o r r e s p o n d s t o t h e i r r e d u c i b l e f a c t o r D , t h e

d e g r e e o f 1 c o i n c i d e s w i t h t h e d e g r e e d o f x a n d x k i s z e r o p r o v i d e d k > d + 1 .

M o r e o v e r t h e c h a r a c t e r v a l u e x ( g ) i s t h e c o e f f i c i e n t o f

X ( d - 1 )

. X 9 i n L e t m

d e n o t e t h e m a x i m u m o f t h e d e g r e e s o f t h e x E I r r K ( G ) . T h e n f i n i t e g r o u p s G

a n d H h a v e t h e s a m e g r o u p d e t e r m i n a n t i f , a n d o n l y i f , t h e y h a v e t h e s a m e

{ 1 ,

. . .

,

m } - c h a r a c t e r s .

T h e p r o o f o f t h e f o l l o w i n g r e s u l t i s j o i n t w o r k w i t h K . W . R o g g e n k a m p

[ 2 4 ] -

P r o p o s i t i o n 3 . 5 L e t G a n d H b e f i n i t e g r o u p s w i t h t h e s a m e { 1 , 2 , 3 } -

c h a r a c t e r s o v e r K a n d a s s u m e t h a t t h e c h a r a c t e r i s t i c o f K d o e s n o t d i v i d e

I G I . T h e n G a n d H a r e i s o m o r p h i c .

P r o o f :

B y a s s u m p t i o n w e h a v e b i j e c t i o n s /

:

G - * H a n d

I r r K ( G ) - * I r r K ( H ) s u c h t h a t x ( x ) = x i ' i ( / ( x ) ) f o r a l l x E G , X E

I r r K ( G ) . A n i m m e d i a t e c o n s e q u e n c e o f t h i s i s t h a t

, Q ( 1 ) = 1 .

( 3 )

C o n s i d e r n o w t h e 2 - c h a r a c t e r s . S i n c e

x ( 2 ) ( x , y ) = V ) ( O W , N O

` d x , y E G , d x E I r r K ( G ) w e c o n c l u d e t h a t f o r e v e r y 1 < i < n a n d ` d x , y E G ,

x ( x ) - x ( y ) - x ( x . y ) = X ( / 3 ( x ) ) . X ( a ( y ) ) X ( / 3 ( x ) . / 3 ( y ) ) .

H o w e v e r , t h e 1 - c h a r a c t e r s o f G a n d H a r e i s o m o r p h i c , a n d s o w e g e t

x ( 3 ( x ) . / 3 ( y ) ) = x ( x . y ) = X ( / 3 ( x . y ) ) )

U s i n g t h e i s o m o r p h i s m o f t h e 1 - c h a r a c t e r s , w e c o n c l u d e t h a t f o r a l l

E

I r r K ( H ) , a n d f o r a l l x , y E G , w e h a v e

( a ( x - y ) ) = O ( x ) . a ( y )

( 4 )

S i n c e t h i s e q u a t i o n h o l d s f o r e v e r y i r r e d u c i b l e c h a r a c t e r o f H , w e c o n c l u d e -

u s i n g t h e s e c o n d o r t h o g o n a l i t y r e l a t i o n f o r c h a r a c t e r s o f H - t h a t

/ 3 ( x . y ) - a ( x ) . 0 ( y ) ,

( 5 )

w h e r e - d e n o t e s a s u s u a l c o n j u g a c y o f g r o u p e l e m e n t s . I n p a r t i c u l a r w e g e t

f r o m e q u a t i o n 4 t h a t f o r e v e r y i r r e d u c i b l e c h a r a c t e r ( 1 ) = ( / 3 ( x ) , 6 ( x - 1 ) )

w h e n c e

/ 3 ( x - 1 ) = ' 3 ( X ) - 1

-

( 6 )



1 3 4


W e n o w u s e t h e 3 - c h a r a c t e r s . F r o m t h e d e f i n i t i o n i t f o l l o w s t h a t f o r a l l

x E I r r K ( G ) , a n d f o r a l l x , y , z E G w e h a v e

x ( x ) - x ( y ) - x ( z ) - x ( x ) - x ( y - z ) - x ( y ) - x ( x - z ) - x ( z ) - x ( x - y )

x ( / 3 ( x ) ) - x ( / 3 ( y ) ) - 7 ( x ) ) ( ) 3 ( z ) ) - X ( 3 ( x ) ) .

X ( / 3 ( y ) - , 3 ( z ) ) - X ( , 3 ( y ) ) - ' W ( x ) - ' 3 ( z ) ) - ? C ( / 3 ( z ) ) - X ( O ( x ) - , 3 ( y ) )

+ A / 3 ( x ) - ' 3 ( Y ) - / 3 ( z ) ) + ' V O W - , 3 ( z ) - / 3 ( y ) )

B e c a u s e G a n d H h a v e t h e s a m e { 1 , 2 } - c h a r a c t e r s t h e a b o v e e q u a t i o n r e -

d u c e s t o

x ( x y - z ) + x ( x - z y ) = X ( / ( x ) - / 3 ( y ) - O ( z ) ) + X ( / ( x ) - , 3 ( z ) - / 3 ( y ) ) .

( 7 )

T h u s V E I r r K ( H ) a n d V x , y , z E G :

( , 3 ( x - y z ) ) z - y ) ) = ( ) 3 ( x ) - , 3 ( y ) - a ( z ) )

/ 3 ( z ) - / 3 ( y ) )

.

( 8 )

A p p l y t h e s e c o n d o r t h o g o n a l i t y r e l a t i o n s a g a i n . T h e n e q u a t i o n 8 i m p l i e s

/ 3 ( x ) - , 3 ( y ) - # ( z ) - , 3 ( x - y z ) o r

/ 3 ( x ) - N O - / 3 ( z )

^ ' / 3 ( x z - y ) ,

a n d

, 6 ( x ) , 6 ( z ) - , 3 ( y ) N , 6 ( x y z ) o r

Q ( x ) - , 3 ( z ) - N O ^ '

, 3 ( x - z - y ) .

( 9 )

W e n o w s p e c i a l i z e , 3 ( z ) = ( , 3 ( x )

/ 3 ( y ) ) - 1 , a n d g e t f r o m t h e p o s s i b i l i t i e s

l i s t e d i n e q u a t i o n 9

1

1 =

, 3 ( x - y - z ) N , 3 ( x - y ) - / 3 ( z )

/ 3 ( x - y ) - ( , 3 ( x ) -

/ 3 ( y ) ) - 1

o r

/ 3 ( z - y - x )

N , 3 ( z ) ' N y - x )

( 0 ( x ) - ) 3 ( y ) ) - 1 . 3 ( y - x )

H e r e w e h a v e u s e d t h a t e q u a t i o n 5 i m p l i e s t h a t

/ 3 ( ( x - y ) - z ) - , 3 ( x - y ) / 3 ( z )

B e c a u s e t h e e l e m e n t s x z . y a n d z . y x a r e c o n j u g a t e t h e e l e m e n t s , 3 ( x z

y ) a n d , 6 ( z y x ) a r e c o n j u g a t e . I n f a c t , w e h a v e t h e f o l l o w i n g c h a i n :

/ 3 ( x - y ) - , 3 ( x ) - ) 3 ( y ) - / 3 ( y ) - , 3 ( x ) - , 3 ( y x ) .




1 3 5

S u m m a r i z i n g , w e h a v e f o r x , y E G e i t h e r

a ( x - y ) = , 6 ( x ) . , 3 ( y ) o r , 3 ( x - y ) = / 3 ( y ) . , 3 ( x )

B u t t h i s i m p l i e s t h a t , Q i s e i t h e r a n i s o m o r p h i s m o r a n a n t i - i s o m o r p h i s m [ 6 ,

4 , E x . 2 6 ] , [ 2 8 ] .

C o n s e q u e n t l y t h e g r o u p s G a n d H a r e i s o m o r p h i c , s i n c e e v e n i f a i s a n

a n t i - i s o m o r p h i s m , w e c a n c o m p o s e i t w i t h t h e n a t u r a l a n t i - i s o m o r p h i s m g - - 3

g - 1 o f G .

W e o b t a i n t h e f o l l o w i n g t h e o r e m o f F o r m a n e k a n d S i b l e y a s a n i m m e d i a t e

c o n s e q u e n c e o f t h e a b o v e p r o p o s i t i o n a n d R e m a r k 3 .

C o r o l l a r y 3 . 6 T h e g r o u p d e t e r m i n a n t o f a f i n i t e g r o u p G o v e r a f i e l d K o f

c h a r a c t e r i s t i c n o t d i v i d i n g t h e g r o u p o r d e r d e t e r m i n e s G u p t o i s o m o r p h i s m .

T h e n e x t c o n s e q u e n c e m a y b e r e g a r d e d a s o n e a n s w e r t o t h e p r o b l e m s a n d

q u e s t i o n s r a i s e d b y R . B r a u e r i n [ 7 ] .

C o r o l l a r y 3 . 7 A f i n i t e g r o u p G i s d e t e r m i n e d b y i t s c h a r a c t e r t a b l e a n d a

m a p % F f r o m G 3 i n t o t h e s e t o f c o n j u g a c y c l a s s e s C I ( G ) w h i c h a s s o c i a t e s t o

e a c h t r i p l e ( x , y , z ) t h e c l a s s C , , . y . z .

R e f e r e n c e s

[ 1 ] F . M . B l e h e r , Z a s s e n h a u s V e r m u t u n g a n d e i n f a c h e G r u p p e n , D i p l o m a r -

b e i t , S t u t t g a r t , 1 9 9 3 .

[ 2 ] F . M . B l e h e r , A u t o m o r p h i s m e n v o n G r u p p e n r i n g e n a n d B l o c k t h e o r i e ,

D i s s e r t a t i o n , S t u t t g a r t , 1 9 9 5 .

[ 3 ] F . M . B l e h e r , T e n s o r p r o d u c t s a n d a c o n j e c t u r e o f Z a s s e n h a u s , A r c h .

M a t h . 6 4 ( 1 9 9 5 ) , 2 8 9 - 2 9 8 .

[ 4 ] F . M . B l e h e r , M . G e c k a n d W . K i m m e r l e , A u t o m o r p h i s m s o f g e n e r i c

I w a h o r i - H e c k e a l g e b r a s a n d i n t e g r a l g r o u p r i n g s o f f i n i t e C o x e t e r g r o u p s ,

J . A l g e b r a , t o a p p e a r .

[ 5 ] F . M . B l e h e r , G . H i s s a n d W . K i m m e r l e , A u t o e q u i v a l e n c e s o f b l o c k s a n d

a c o n j e c t u r e o f Z a s s e n h a u s , J . P u r e A p p l . A l g e b r a 1 0 3 ( 1 9 9 5 ) , 2 3 - 4 3 .

[ 6 ] N . B o u r b a k i , A l g e b r e I , H e r m a n , P a r i s , 1 9 7 0 .

[ 7 ] R . B r a u e r , R e p r e s e n t a t i o n s o f f i n i t e g r o u p s , i n L e c t u r e s o n m o d e r n m a t h -

e m a t i c s , V o l . I , p p . 1 3 3 - 1 7 5 , J . W i l e y , 1 9 6 3 . R e p r i n t e d i n R . B r a u e r

C o l l e c t e d p a p e r s V o l . I I , p p . 1 8 3 - 2 2 5 , M I T P r e s s , C a m b r i d g e , M A , 1 9 8 0 .



1 3 6


[ 8 ]


A T L A S o f f i n i t e g r o u p s , O x f o r d U n i v e r s i t y P r e s s , 1 9 8 5 .

[ 9 ] E . F o r m a n e k a n d D . S i b l e y , T h e g r o u p d e t e r m i n a n t d e t e r m i n e s t h e

g r o u p , P r o c . A m e r . M a t h . S o c . 1 1 2 ( 1 9 9 1 ) , 6 4 9 - 6 5 6 .

[ 1 0 ] G . F r o b e n i u s , U b e r d i e P r i m f a k t o r e n d e r G r u p p e n d e t e r m i n a n t e , S i t z -

u n g s b e r i c h t e A k a d . W i s s . B e r l i n ( 1 8 9 6 ) , 1 3 4 3 - 1 3 8 2 .

[ 1 1 ] M . G e c k , G . H i s s , F . L i i b e c k , G . M a l l e a n d G . P f e i f f e r , C H E V I E - A s y s -

t e m f o r c o m p u t i n g a n d p r o c e s s i n g g e n e r i c c h a r a c t e r t a b l e s , I W R P r e p r i n t

9 5 - 0 5 , H e i d e l b e r g , 1 9 9 5 .

[ 1 2 ] A . G i a m b r u n o , S . K . S e h g a l a n d A . V a l e n t i , A u t o m o r p h i s m s o f t h e i n -

t e g r a l g r o u p r i n g s o f s o m e w r e a t h p r o d u c t s , C o m m . A l g e b r a 1 9 ( 1 9 9 1 ) ,

5 1 9 - 5 3 4 .

[ 1 3 ] G . H i g m a n , T h e u n i t s o f g r o u p r i n g s , P r o c . L o n d o n M a t h . S o c . ( 2 ) 4 6

( 1 9 4 0 ) , 2 3 1 - 2 4 8 .

[ 1 4 ] H . - J . H o e h n k e a n d K . W . J o h n s o n , T h e 1 - , 2 - , 3 - c h a r a c t e r s a r e s u f f i c i e n t

t o d e t e r m i n e a g r o u p , P r e p r i n t , 1 9 9 1 .

[ 1 5 ] B . H u p p e r t a n d N . B l a c k b u r n , F i n i t e g r o u p s I I I , S p r i n g e r , B e r l i n , 1 9 8 2 .

[ 1 6 ]

I . M . I s a a c s , C h a r a c t e r t h e o r y o f f i n i t e g r o u p s , A c a d e m i c P r e s s , N e w

Y o r k , 1 9 7 6 .

[ 1 7 ] C . J a n s e n , K . L u x , R . A . P a r k e r , R . A . W i l s o n , A n A T L A S o f B r a u e r

c h a r a c t e r s , L o n d o n M a t h . S o c . M o n o g r a p h s , N e w S e r i e s 1 1 , O x f o r d U n i -

v e r s i t y P r e s s , 1 9 9 5 .

[ 1 8 ] K . W . J o h n s o n , O n t h e g r o u p d e t e r m i n a n t , M a t h . P r o c . C a m b r i d g e P h i -

l o s . S o c . 1 0 9 ( 1 9 9 1 ) , 2 9 9 - 3 1 1 .

[ 1 9 ] W . K i m m e r l e , B e i t r a g e z u r g a n z z a h l i g e n D a r s t e l l u n g s t h e o r i e e n d l i c h e r

G r u p p e n , B a y r e u t h e r M a t h . S c h r . 3 6 ( 1 9 9 1 ) , 1 - 1 3 9 .

[ 2 0 ] W . K i m m e r l e , V a r i a t i o n s o f t h e Z a s s e n h a u s c o n j e c t u r e , i n [ 3 5 ] , p p . 1 1 7 -

1 2 4 .

[ 2 1 ] W . K i m m e r l e , O n a u t o m o r p h i s m s o f Z G a n d t h e Z a s s e n h a u s c o n j e c t u r e s ,

P r o c e e d i n g s o f t h e I C R A V I I , C o c o y o c , M e x i c o ( e d s . R . B a u t i s t a , R .

M a r t i n e z - V i l l a a n d J . A . d e l a P e n a ) , C a n a d . M a t h . S o c . C o n f . P r o c . ,

v o l . 1 8 , 1 9 9 6 .




[ 2 2 ] W . K i m m e r l e , R . L y o n s , R . S a n d l i n g a n d D . T e a g u e , C o m p o s i t i o n f a c t o r s

f r o m t h e g r o u p r i n g a n d A r t i n ' s t h e o r e m o n o r d e r s o f s i m p l e g r o u p s , P r o c .

L o n d o n M a t h . S o c . ( 3 ) 6 0 ( 1 9 9 0 ) , 8 9 - 1 2 2 .

[ 2 3 ] W . K i m m e r l e a n d K . W . R o g g e n k a m p , P r o j e c t i v e l i m i t s o f g r o u p r i n g s ,

J . P u r e A p p l . A l g e b r a 8 8 ( 1 9 9 3 ) , 1 1 9 - 1 4 2 .

[ 2 4 ] W . K i m m e r l e a n d K . W . R o g g e n k a m p , G r o u p d e t e r m i n a n t s a n d 3 -

c h a r a c t e r s , P r e p r i n t , 1 9 9 1 .

[ 2 5 ] W . K i m m e r l e a n d R . S a n d l i n g , G r o u p t h e o r e t i c a n d g r o u p r i n g t h e o r e t i c

d e t e r m i n a t i o n o f c e r t a i n S y l o w a n d H a l l s u b g r o u p s a n d t h e r e s o l u t i o n o f

a q u e s t i o n o f R . B r a u e r , J . A l g e b r a 1 7 1 ( 1 9 9 5 ) , 3 2 9 - 3 4 6 .

[ 2 6 ] W . K i m m e r l e a n d R . S a n d l i n g , T h e d e t e r m i n a t i o n o f A b e l i a n H a l l s u b -

g r o u p s b y a c o n j u g a c y c l a s s s t r u c t u r e , P u b l i c a c i o n s M a t . 3 6 ( 1 9 9 2 ) , 6 8 5 -

6 9 1 .

[ 2 7 ] L . K l i n g l e r , C o n s t r u c t i o n o f a c o u n t e r e x a m p l e t o a c o n j e c t u r e o f Z a s s e n -

h a u s , C o m m . A l g e b r a 1 9 ( 1 9 9 1 ) , 2 3 0 3 - 2 3 3 0 .

[ 2 8 ] R . M a n s f i e l d , A g r o u p d e t e r m i n a n t d e t e r m i n e s i t s g r o u p , P r o c . A m e r .

M a t h . S o c . 1 1 6 ( 1 9 9 2 ) , 9 3 9 - 9 4 1 .

[ 2 9 ] D . S . P a s s m a n , I s o m o r p h i c g r o u p s a n d g r o u p r i n g s , P a c i f i c J . M a t h . ( 2 )

3 5 ( 1 9 6 5 ) , 5 6 1 - 5 8 3 .

[ 3 0 ] G . L . P e t e r s o n , A u t o m o r p h i s m s o f t h e i n t e g r a l g r o u p r i n g o f S , , , P r o c .

A m e r . M a t h . S o c . 5 9 ( 1 9 7 6 ) , 1 4 - 1 8 .

[ 3 1 ] K . W . R o g g e n k a m p , O b s e r v a t i o n s t o a c o n j e c t u r e o f H . Z a s s e n h a u s , i n

G r o u p s - S t . A n d r e w s 1 9 8 9 ( e d s . C . M . C a m p b e l l a n d E . F . R o b e r t s o n ) ,

V o l . 2 , p p . 4 2 7 - 4 4 4 . L o n d o n M a t h . S o c . L e c t u r e N o t e S e r i e s 1 6 0 , C a m -

b r i d g e U n i v e r s i t y P r e s s , 1 9 9 1 .

[ 3 2 ] K . W . R o g g e n k a m p , T h e i s o m o r p h i s m p r o b l e m f o r i n t e g r a l g r o u p r i n g s

o f f i n i t e g r o u p s , i n P r o c e e d i n g s o f t h e i n t e r n a t i o n a l c o n g r e s s o f m a t h e -

m a t i c i a n s , K y o t o 1 9 9 0 ( e d . I . S a t a k e ) , p p . 3 6 9 - 3 8 0 . S p r i n g e r , 1 9 9 1 .

[ 3 3 ] K . W . R o g g e n k a m p a n d L . L . S c o t t , I s o m o r p h i s m s o f p - a d i c g r o u p r i n g s ,

A n n . o f M a t h . 1 2 6 ( 1 9 8 7 ) , 5 9 3 - 6 4 7 .

[ 3 4 ] K . W . R o g g e n k a m p a n d L . L . S c o t t , A s t r o n g a n s w e r t o t h e i s o m o r p h i s m

p r o b l e m f o r f i n i t e p - s o l v a b l e g r o u p s w i t h a n o r m a l p - s u b g r o u p c o n t a i n i n g

i t s c e n t r a l i z e r , P r e p r i n t , 1 9 8 7 .



1 3 8


[ 3 5 ] K . W . R o g g e n k a m p a n d M . T a y l o r , G r o u p r i n g s a n d c l a s s g r o u p s , D M V -

S e m i n a r 1 8 , B i r k h a u s e r , B a s e l / B o s t o n / B e r l i n , 1 9 9 2 .

[ 3 6 ] K . W . R o g g e n k a m p a n d A . Z i m m e r m a n n , A c o u n t e r e x a m p l e f o r t h e

i s o m o r p h i s m p r o b l e m o f p o l y c y c l i c g r o u p s , J . P u r e A p p l . A l g e b r a 1 0 3

( 1 9 9 5 ) , 1 0 1 - 1 0 3 .

[ 3 7 ] A . I . S a k s o n o v , O n t h e g r o u p r i n g o f f i n i t e g r o u p s I , P u b l . M a t h . D e b r e c e n

1 8 ( 1 9 7 1 ) , 1 8 7 - 2 0 9 .

[ 3 8 ] R . S a n d l i n g , G r a h a m H i g m a n ' s t h e s i s ` U n i t s i n g r o u p r i n g s ' , i n I n t e g r a l

r e p r e s e n t a t i o n s a n d a p p l i c a t i o n s ( e d . K . W . R o g g e n k a m p ) , p p . 9 3 - 1 1 6 .

L e c t u r e N o t e s i n M a t h . 8 8 2 , S p r i n g e r , 1 9 8 1 .

[ 3 9 ] R . S a n d l i n g , T h e i s o m o r p h i s m p r o b l e m f o r g r o u p r i n g s ; a s u r v e y , i n

O r d e r s a n d t h e i r a p p l i c a t i o n s ( e d s . I . R e i n e r a n d K . W . R o g g e n k a m p ) ,

p p . 2 5 6 - 2 8 8 . L e c t u r e N o t e s i n M a t h . 1 1 4 2 , S p r i n g e r , 1 9 8 5 .

[ 4 0 ] M . S c h o n e r t

e t

a l . ,


L e h r s t u h l D f u r M a t h e m a t i k , R h e i n i s c h - W e s t f a l i s c h e T e c h n i s c h e H o c h -

s c h u l e , A a c h e n , 1 9 9 2 .

[ 4 1 ] L . L . S c o t t , R e c e n t p r o g r e s s o n t h e i s o m o r p h i s m p r o b l e m , i n P r o c . S y m -

p o s i a i n P u r e M a t h . ( e d . P . F o n g ) , V o l . 4 7 , P a r t I , p p . 2 5 9 - 2 7 4 . A m e r .

M a t h . S o c . , 1 9 8 7 .

[ 4 2 ] S . K . S e h g a l , T o r s i o n u n i t s i n g r o u p r i n g s , i n P r o c e e d i n g s N a t o I n s t i t u t e

o n m e t h o d s i n r i n g t h e o r y , A n t w e r p ( e d . F . v a n O y s t a e y e n ) , p p . 4 9 7 - 5 0 4 .

D . R e i d e l , D o r d r e c h t , 1 9 8 3 .

[ 4 3 ] S . K . S e h g a l , U n i t s o f g r o u p r i n g s , L o n g m a n , 1 9 9 3 .

[ 4 4 ] A . W e i s s , p - a d i c r i g i d i t y o f p - t o r s i o n , A n n . o f M a t h . 1 2 7 ( 1 9 8 7 ) , 3 1 7 - 3 3 2 .

[ 4 5 ] A . W e i s s , T o r s i o n u n i t s i n i n t e g r a l g r o u p r i n g s , J . r e i n e a n g e w . M a t h .

4 1 5 ( 1 9 9 1 ) , 1 7 5 - 1 8 7 .





A b s t r a c t

T h i s p a p e r i s a s u r v e y o f r e s u l t s i n t h e s t u d y o f f i n i t e s u b g r o u p s

o f l o w - d i m e n s i o n a l c l a s s i c a l g r o u p s . T h e a u t h o r d i s c u s s e s m a i n l y h i s

c l a s s i f i c a t i o n o f t h e c o n j u g a c y c l a s s e s a n d t h e n o r m a l i z e r s o f f i n i t e a b s o -

l u t e l y i r r e d u c i b l e q u a s i s i m p l e l i n e a r g r o u p s o v e r f i n i t e a n d a l g e b r a i c a l l y

c l o s e d f i e l d s u p t o d e g r e e 2 7 .

O u r a i m i s t o d i s c u s s r e c e n t d e v e l o p m e n t s i n t h e f o l l o w i n g c l a s s i c a l p r o b -

l e m .

P r o b l e m 1 D e s c r i b e t h e f i n i t e l i n e a r g r o u p s o f s m a l l d e g r e e , i . e . f i n i t e s u b -

g r o u p s i n G L , , ( K ) f o r e v e r y f i e l d K a n d s m a l l n .

B e g i n n i n g i n t h e m i d d l e o f t h e l a s t c e n t u r y , t h i s p r o b l e m a t t r a c t e d t h e a t -

t e n t i o n o f m a n y m a t h e m a t i c i a n s . B y t h e s e v e n t i e s o f o u r c e n t u r y i t w a s s o l v e d

f o r K = C a n d n < 9 i n t h e p a p e r s b y J o r d a n , K l e i n , V a l e n t i n e r , B l i c h f e l d

( s e e [ 4 ] ) , B r a u e r [ 7 ] , L i n d s e y [ 4 1 ] , H u f f m a n a n d W a l e s [ 1 6 ] , [ 1 7 ] , a n d F e i t [ 1 3 ] .

T h e c a s e c h a r K = p > 0 a n d n < 5 o f P r o b l e m 1 w a s c o n s i d e r e d b e f o r e 1 9 8 2

i n t h e p a p e r s b y M o o r e [ 4 4 ] , B u r n s i d e [ 8 ] , W i m a n [ 5 2 ] , D i c k s o n [ 1 0 ] , [ 1 1 ] ,

M i t c h e l l [ 4 3 ] , H a r t l e y [ 1 5 ] , B l o o m [ 5 ] , M w e n e [ 4 5 ] , [ 4 6 ] , W a g n e r [ 5 0 ] , D i M a r -

t i n o a n d W a g n e r [ 1 2 ] , Z a l e s s k i i [ 5 3 ] , [ 5 4 ] , S u p r u n e n k o [ 4 9 ] , a n d Z a l e s s k i i a n d

S u p r u n e n k o [ 5 7 ] . F o r f i n i t e K t h i s p r o b l e m s t a n d s a s P r o b l e m 4 0 i n t h e l i s t

o f i m p o r t a n t p r o b l e m s o f g r o u p r e p r e s e n t a t i o n t h e o r y f o r m u l a t e d b y B r a u e r

i n h i s l e c t u r e s [ 6 ] . R e s u l t s r e l a t e d t o P r o b l e m 1 ( s e e , f o r e x a m p l e , t h e s u r v e y s

o f Z a l e s s k i i [ 5 5 ] , [ 5 6 ] a n d t h e a u t h o r [ 2 6 ] ) h a v e f o u n d n u m e r o u s a p p l i c a t i o n s ,

i n p a r t i c u l a r , i n t h e c l a s s i f i c a t i o n o f f i n i t e s i m p l e g r o u p s ( C F S G ) . A f t e r t h e

a n n o u n c e m e n t o f t h e c o m p l e t i o n o f C F S G ( s e e [ 1 4 ] ) p r o g r e s s i n s o l v i n g P r o b -

l e m 1 i s r e l a t e d t o i n t e n s i v e d e v e l o p m e n t o f i n v e s t i g a t i o n s m o d u l o C F S G o f

t h e f o l l o w i n g p r o b l e m ( s e e s u r v e y s o f K l e i d m a n a n d L i e b e c k [ 2 2 ] , L i e b e c k a n d

S a x l [ 4 2 ] a n d S e i t z [ 4 8 ] ) .

P r o b l e m 2 D e t e r m i n e t h e m a x i m a l s u b g r o u p s o f f i n i t e a l m o s t s i m p l e g r o u p s ,

i . e . g r o u p s G w i t h n o n a b e l i a n s i m p l e s o c l e S o c ( G ) .

1 3 9



1 4 0


A s c h b a c h e r [ 1 ] a n d K l e i d m a n a n d L i e b e c k [ 2 3 ] r e d u c e d t h e p r o b l e m o f

f i n d i n g t h e m a x i m a l s u b g r o u p s M o f a f i n i t e a l m o s t s i m p l e c l a s s i c a l g r o u p G

h a v i n g t h e n a t u r a l p r o j e c t i v e m o d u l e V = V ( n , q ) o f d i m e n s i o n n o v e r t h e

f i e l d G F ( q ) t o t h e c a s e w h e n S = S o c ( M ) i s a n o n a b e l i a n s i m p l e g r o u p , V

i s a n a b s o l u t e l y i r r e d u c i b l e G F ( q ) S - m o d u l e f o r s o m e c o v e r i n g g r o u p S o f S ,

a n d V i s n o t r e a l i z e d o v e r a p r o p e r s u b f i e l d o f G F ( q ) . T h u s t h e p r o b l e m o f

d e s c r i b i n g t h e s u b g r o u p s t r u c t u r e o f f i n i t e c l a s s i c a l g r o u p s i s r e d u c e d i n c o n -

s i d e r a b l e d e g r e e t o t h e s t u d y o f m o d u l a r r e p r e s e n t a t i o n s o f f i n i t e q u a s i s i m p l e

g r o u p s , i . e . c o v e r i n g s o f f i n i t e s i m p l e n o n a b e l i a n g r o u p s ( s e e [ 3 3 ] ) . W e s h a l l

m a i n l y u s e t h e s t a n d a r d n o t a t i o n s a n d t e r m i n o l o g y a s g i v e n i n [ 9 ] a n d [ 1 9 ] .

I n h i s u n p u b l i s h e d m o n o g r a p h [ 2 1 ] K l e i d m a n d e t e r m i n e d a l l m a x i m a l s u b -

g r o u p s o f f i n i t e c l a s s i c a l a l m o s t s i m p l e g r o u p s o f d i m e n s i o n < 1 2 . A l i s t o f

t h e m a x i m a l s u b g r o u p s o f t h e s i m p l e c l a s s i c a l g r o u p s o f d i m e n s i o n a t m o s t 1 1

i s c o n t a i n e d i n [ 2 0 ] . N o t e t h a t w e i n d e p e n d e n t l y d e t e r m i n e d t h e c o n j u g a c y

c l a s s e s a n d t h e n o r m a l i z e r s o f a b s o l u t e l y i r r e d u c i b l e q u a s i s i m p l e s u b g r o u p s i n

G L 6 ( q ) [ 3 1 ] a n d t h e i r r e d u c i b l e s u b g r o u p s i n G L , , , ( 2 ) f o r 7 < n < 1 0 [ 2 4 ] , [ 2 5 ] ,

[ 2 7 ] , [ 2 8 ] . S o f a r t h e r e s u l t o f K l e i d m a n w a s t h e s t r o n g e s t o n e o n P r o b l e m 1 .

N o w w e s o l v e P r o b l e m 1 u p t o t h e d e g r e e 2 7 . I n t h e f u t u r e w e h o p e t o e x t e n d

K l e i d m a n ' s c l a s s i f i c a t i o n [ 2 1 ] u p t o d i m e n s i o n 2 7 . T h e n u m b e r 2 7 i s t a k e n

d e l i b e r a t e l y , a s t h i s i s t h e m i n i m a l d e g r e e o f f a i t h f u l r e p r e s e n t a t i o n s o f t h e

g r o u p E 6 ( q ) .

A s c h b a c h e r [ 2 ] c l a s s i f i e d a l l i r r e d u c i b l e F L - m o d u l e s o f d i m e n s i o n < 2 7 f o r

e v e r y q u a s i s i m p l e g r o u p L o f L i e t y p e o v e r a f i n i t e o r a l g e b r a i c a l l y c l o s e d f i e l d

F . H e u s e s t h i s r e s u l t i n t h e i n v e s t i g a t i o n o f t h e s u b g r o u p s t r u c t u r e o f t h e

g r o u p E 6 ( q ) c o n s i d e r e d a s a n i s o m e t r y g r o u p o f a s y m m e t r i c 3 - l i n e a r f o r m o n

t h e 2 7 - d i m e n s i o n a l m o d u l e ( s e e [ 3 ] ) .

I n [ 3 2 ] , w e o b t a i n e d a c o m p l e t e c l a s s i f i c a t i o n o f a b s o l u t e l y i r r e d u c i b l e p -

m o d u l a r r e p r e s e n t a t i o n s o f d e g r e e < 2 7 o f q u a s i s i m p l e g r o u p s o f L i e t y p e

d e f i n e d o v e r a f i n i t e f i e l d o f c h a r a c t e r i s t i c 0 p .

I n p a r t i c u l a r , w e h a v e t h e

f o l l o w i n g t h e o r e m .

T h e o r e m 1 A f i n i t e n o n a b e l i a n s i m p l e g r o u p G o f L i e t y p e d e f i n e d o v e r a

f i e l d o f c h a r a c t e r i s t i c p h a s a n o n t r i v i a l a b s o l u t e l y i r r e d u c i b l e p r o j e c t i v e r e p -

r e s e n t a t i o n o f d e g r e e < 2 7 o v e r a f i e l d o f c h a r a c t e r i s t i c # p i f a n d o n l y i f

G i s i s o m o r p h i c t o o n e o f t h e f o l l o w i n g g r o u p s : L 2 ( q ) f o r 4 < q < 5 3 a n d

q # 3 2 , L 3 ( q ) f o r q E { 3 , 4 } , U 3 ( q ) f o r q E { 3 , 4 , 5 } , L 4 ( 2 ) , L 4 ( 3 ) , P S p 4 ( q )

f o r q E { 3 , 4 , 5 , 7 } , U 4 ( 3 ) , U 5 ( 2 ) , S z ( 8 ) , P S p 6 ( 2 ) , P S p 6 ( 3 ) , U 6 ( 2 ) , S l

( 2 ) ,

P c 1 7 ( 3 ) , G 2 ( 3 ) , G 2 ( 4 ) , 3 D 4 ( 2 ) , 2 F 4 ( 2 ) ' .

I n [ 3 4 ] , w e o b t a i n e d t h e c o r r e s p o n d i n g c l a s s i f i c a t i o n f o r t h e r e m a i n i n g c a s e

o f t h e f i n i t e q u a s i s i m p l e g r o u p s o f a l t e r n a t i n g o r s p o r a d i c t y p e s . I n p a r t i c u l a r ,

w e h a v e t h e f o l l o w i n g t h e o r e m .




1 4 1

T h e o r e m 2 A f i n i t e s i m p l e n o n a b e l i a n a l t e r n a t i n g o r s p o r a d i c g r o u p G h a s a

n o n t r i v i a l a b s o l u t e l y i r r e d u c i b l e p r o j e c t i v e ( m o d u l a r ) r e p r e s e n t a t i o n o f d e g r e e

< 2 7 i f a n d o n l y i f G i s i s o m o r p h i c t o o n e o f t h e f o l l o w i n g g r o u p s : A n f o r

5 < n < 2 9 , M 1 1 , M 1 2 , M 2 2 , M 2 3 , M 2 4 , J 1 , J 2 , J 3 , H S , M c L , S u z , C o 3 i

C o 2 i C o l , F i 2 2 .

I n t h e p r o o f o f T h e o r e m s 1 a n d 2 w e u s e t h e r e s u l t s o f L a n d a z u r i a n d

S e i t z [ 4 0 ] a n d J a m e s [ 1 8 ] w h i c h g i v e s o m e l o w e r b o u n d s f o r t h e d e g r e e s o f p r o -

j e c t i v e r e p r e s e n t a t i o n s o f t h e f i n i t e s i m p l e g r o u p s o f L i e t y p e i n n o n - d e f i n i n g

c h a r a c t e r i s t i c , a n d o f t h e a l t e r n a t i n g g r o u p s , r e s p e c t i v e l y . T h e b i g s p o r a d i c

g r o u p s a r e r e j e c t e d b y u s i n g k n o w n i n f o r m a t i o n a b o u t t h e i r s u b g r o u p s t r u c -

t u r e ( s e e [ 9 ] ) a n d t h e f o l l o w i n g e l e m e n t a r y l e m m a .

L e m m a 1 L e t X b e a f i n i t e s u b g r o u p o f G L n ( F ) , w h e r e F i s a n a l g e b r a i c a l l y

c l o s e d f i e l d o f c h a r a c t e r i s t i c p , a n d l e t . A b e a n o r m a l e l e m e n t a r y a b e l i a n r -

s u b g r o u p i n X , p # r , a n d m b e t h e m i n i m a l l e n g t h o f X - o r b i t s i n A - { 1 } .

T h e n m < n .

F u r t h e r , w e c a l c u l a t e d i r r e d u c i b l e m o d u l a r c h a r a c t e r s f o r t h e m a n y c o n -

c r e t e " s m a l l " f i n i t e q u a s i s i m p l e g r o u p s f r o m t h e l i s t s i n t h e c o n c l u s i o n s o f

T h e o r e m s 1 a n d 2 . A t y p i c a l s i t u a t i o n i n t h e s e c o n c r e t e c a l c u l a t i o n s i s t h a t

t h e m o d u l a r c h a r a c t e r s a r e f o u n d u p t o s e v e r a l n o n n e g a t i v e i n t e g e r p a r a m -

e t e r s . B u t f o r P r o b l e m s 1 a n d 2 e v e n s u c h s p e c i a l r e s u l t s a r e o f t e n e n o u g h .

F o r e x a m p l e , o f t e n w e n e e d o n l y a f e w i r r e d u c i b l e m o d u l a r c h a r a c t e r s o f

" s m a l l " d e g r e e s ( o f m i n i m a l d e g r e e o r o f s o m e f o l l o w i n g d e g r e e s ) . W e u s e d

a l s o P a r k e r ' s c o l l e c t i o n o f m o d u l a r c h a r a c t e r s [ 4 7 ] .

R e m a r k 1 S o f a r e v e n t h e f o l l o w i n g p r o b l e m i s n o t f u l l y s o l v e d .

P r o b l e m 3 D e t e r m i n e a l l f a i t h f u l p - m o d u l a r a b s o l u t e l y i r r e d u c i b l e r e p r e s e n -

t a t i o n s o f t h e m i n i m a l d e g r e e f o r e a c h f i n i t e q u a s i s i m p l e g r o u p a n d e a c h

p r i m e p .

R e m a r k 2 W e h a v e a l s o s o m e c o m p l e t e c o m p u t e r f r e e r e s u l t s o n c a l c u l a t -

i n g p - m o d u l a r i r r e d u c i b l e c h a r a c t e r s f o r c o n c r e t e f i n i t e q u a s i s i m p l e g r o u p s

( s e e [ 3 9 ] ) .

F o r e x a m p l e , J 2 [ 2 9 ] , [ 3 0 ] , P 1 1 7 ( 3 ) ( p 0 3 ) [ 3 2 ] , [ 3 7 ] , U 6 ( 2 )

( p # 2 ) [ 3 2 ] , [ 3 5 ] .

R e c e n t l y w e u s e d t h e c o m p u t e r s y s t e m G A P f o r c a l c u -

l a t i n g m o d u l a r c h a r a c t e r s .

I n p a r t i c u l a r , w e c o n s i d e r e d t h e c a s e s C o 3 f o r

p = 2 , 5 [ 3 6 ] , [ 3 8 ] . O f c o u r s e , i n a l l o u r r e s u l t s w e u s e t h e A T L A S [ 9 ] .

O n t h e b a s i s o f a c o m p l e t e c l a s s i f i c a t i o n o f a b s o l u t e l y i r r e d u c i b l e m o d u l a r

r e p r e s e n t a t i o n s o f d e g r e e < 2 7 o f a l l f i n i t e q u a s i s i m p l e g r o u p s w e p r o v e d

r e c e n t l y t h e f o l l o w i n g r e s u l t .



1 4 2 A . S . K o n d r a t i e v

T a b l e 1 : A b s o l u t e l y i r r e d u c i b l e q u a s i s i m p l e s u b g r o u p s o f G L 1 3 ( p m )

G

R e s t r i c t i o n s R e s t r i c t i o n s

N u m b e r o f

N P G L 1 3 ( q ) ( G )

o n p

o n m

c o n j . c l a s s e s

L 2 ( p k )

p > 1 1 k 1 m

1

S 4 ( 5 k )

p = 5

k I m

1

S 6 ( 3 k )

p = 3

k I m

1

S L 1 3 ( p k )

k 1 m

1

Q 1 3 ( p k )

p 5 4 2

k 1 m

1

S U 1 3 ( p k )

2 k I m

1

L 2 ( 1 3 )

2 0 p

7 1

L 2 ( 2 5 )

2 p 5

1

L 2 ( 2 7 )

p 0 3

2 1 m b y p - 2 ( 3 )

1

L 3 ( 3 )

p > 3

1

U 3 ( 4 )

2 # p # 5

4 1 m b y p

2 , 3 ( 5 )

1

5 4 ( 5 )

2 # p # 5 2 1 m b y p

2 , 3 ( 5 )

1

S 6 ( 3 )

p # 3

2 1 m b y p = 2 ( 3 )

1

A 7 p = 3 , 5 1

A 8

p = 3 , 5 1

A 1 4

2 # p # 7

1

A 1 5

p = 3 , 5

1

J 2

p = 3

2 1 m

1

P G L 2 ( p k )

S 4 ( 5 k ) : 2

S 6 ( 3 k ) : 2

P G L 1 3 ( p k )

P G 0 1 3 ( p k )

P G U 1 3 ( p k )

P G L 2 ( 1 3 )

L 2 ( 2 5 ) : 2 2

L 2 ( 2 7 ) : 3

A u t L 3 ( 3 )

U 3 ( 4 )

S 4 ( 5 )

S 6 ( 3 )

S 7

S 8

S 1 4

S 1 5

J 2

T h e o r e m 3 T h e c o n j u g a c y c l a s s e s a n d t h e n o r m a l i z e r s o f a b s o l u t e l y i r r e -

d u c i b l e q u a s i s i m p l e s u b g r o u p s i n G L n ( q ) f o r 1 3 < n < 2 7 a r e k n o w n .

S o , w e h a v e s o l v e d P r o b l e m 1 u p t o d e g r e e 2 7 f o r f i n i t e a n d a l g e b r a i c a l l y

c l o s e d f i e l d s K .

T h e e x a c t f o r m u l a t i o n o f T h e o r e m 3 c o n t a i n s a t a b l e w h i c h i s t o o l o n g t o

g i v e h e r e , t h e r e f o r e w e g i v e o n l y a n e x a m p l e o f t h i s r e s u l t f o r n = 1 3 , i . e . a

f r a g m e n t o f t h e t a b l e .

E x a m p l e L e t G d e n o t e a f i n i t e q u a s i s i m p l e a b s o l u t e l y i r r e d u c i b l e s u b g r o u p

i n G L n ( q ) , w h e r e q = p " n f o r a p r i m e p a n d a n a t u r a l n u m b e r m . D e n o t e b y

G t h e i m a g e o f G i n P G L n ( q ) . T h e n T a b l e 1 g i v e s t h e c l a s s i f i c a t i o n o f t h e

c o n j u g a c y c l a s s e s a n d t h e n o r m a l i z e r s o f s u b g r o u p s G i n G L n ( q ) f o r n = 1 3 .



F i n i t e l i n e a r g r o u p s o f s m a l l d e g r e e 1 4 3

I n t h e p r o o f o f T h e o r e m 3 t h e f o l l o w i n g t w o p r o b l e m s a r i s e .

( a ) F i n d i n g t h e f i e l d o f d e f i n i t i o n o f a ( p - m o d u l a r ) i r r e d u c i b l e r e p r e s e n t a -

t i o n T : G - * G L n ( K ) ( K = K ) w i t h t h e g i v e n B r a u e r c h a r a c t e r c p = N T .

T h e f i e l d o f d e f i n i t i o n o f T i s d e f i n e d a s t h e l e a s t s u b f i e l d o f K = G F ( p )

o v e r w h i c h T m a y b e r e a l i z e d .

I t i s w e l l k n o w n t h a t t h e f i e l d o f d e f i n i t i o n

o f T i s e q u a l t o G F ( p ) ( c p ( x j ) µ I 1 < j < r ) , w h e r e x 1 , . . . , X . f o r m a c o m p l e t e

s y s t e m o f r e p r e s e n t a t i v e s o f c o n j u g a c y c l a s s e s o f p ' - e l e m e n t s o f t h e g r o u p G

a n d i t : Z [ U ] - - + K i s a r i n g h o m o m o r p h i s m , U i s a s u i t a b l e s e t o f r o o t s o f

u n i t y i n C o f o r d e r p r i m e t o p .

( b ) C o u n t i n g c o n j u g a c y c l a s s e s a n d n o r m a l i z e r s o f a b s o l u t e l y i r r e d u c i b l e

q u a s i s i m p l e s u b g r o u p s i n G L , , ( q ) .

L e t G b e a f i n i t e q u a s i s i m p l e g r o u p , T : G - * G L n ( q ) b e a f a i t h f u l

a b s o l u t e l y i r r e d u c i b l e r e p r e s e n t a t i o n o f G , a n d N b e t h e n o r m a l i z e r o f T ( G ) i n

G L n ( q ) . F o r a n y s u b g r o u p X o f G _ L , , ( q ) , l e t X b e t h e i m a g e o f X i n P G L n ( q ) .

I t i s e a s y t o p r o v e t h a t T ( G ) < N < A u t ( T ( G ) ) , a n d t h e c o n j u g a c y c l a s s e s

o f a b s o l u t e l y i r r e d u c i b l e s u b g r o u p s o f G L n ( q ) i s o m o r p h i c t o G a r e i n o n e - t o -

o n e c o r r e s p o n d e n c e w i t h t h e A u t ( G ) - o r b i t s o f f a i t h f u l i r r e d u c i b l e p - m o d u l a r

B r a u e r c h a r a c t e r s o f d e g r e e n o f G , a n d , c o n s e q u e n t l y , J A u t ( T ( G ) : N J i s t h e

o r d e r o f t h e A u t ( G ) - o r b i t c o n t a i n i n g W .

T h e r e f o r e , i f w e k n o w t h e s e t o f t h e i r r e d u c i b l e p - m o d u l a r B r a u e r c h a r -

a c t e r s o f d e g r e e n o f G a n d t h e a c t i o n o f A u t ( G ) o n t h i s s e t t h e n w e s o l v e

t h e p r o b l e m s ( a ) a n d ( b ) . T h e m e t h o d o f p r o o f o f T h e o r e m s 1 a n d 2 p e r m i t s

c a l c u l a t i o n o f t h e B r a u e r c h a r a c t e r s o f r e p r e s e n t a t i o n s c o n s i d e r e d i n t h e s e

t h e o r e m s .


T h e a u t h o r w i s h e s t o t h a n k t h e L o n d o n M a t h e m a t i c a l S o c i e t y f o r f i n a n c i a l

s u p p o r t o f h i s p a r t i c i p a t i o n i n t h e c o n f e r e n c e " T h e A T L A S t e n y e a r s o n " . T h e

r e s e a r c h d e s c r i b e d i n t h i s p u b l i c a t i o n w a s m a d e p o s s i b l e i n p a r t b y G r a n t s

9 3 - 0 1 - 0 1 5 2 9 f r o m R F F I , N M C 0 0 0 f r o m I S F a n d N M C 3 0 0 f r o m I S F a n d t h e

R u s s i a n G o v e r n m e n t .

R e f e r e n c e s

[ 1 ] M . A s c h b a c h e r , O n t h e m a x i m a l s u b g r o u p s o f t h e f i n i t e c l a s s i c a l g r o u p s ,

I n v e n t . M a t h . 7 6 ( 1 9 8 4 ) , 4 6 9 - 5 1 4 .

[ 2 ] M . A s c h b a c h e r , S m a l l d e g r e e r e p r e s e n t a t i o n s o f g r o u p s o f L i e t y p e ,

P r e p r i n t , C a l i f . I n s t . T e c h n o l . , P a s a d e n a , 1 9 8 7 .



1 4 4


[ 3 ]

M . A s c h b a c h e r , T h e 2 7 - d i m e n s i o n a l m o d u l e f o r E 6 , I , I n v e n t . M a t h . 8 9

( 1 9 8 7 ) , 1 5 9 - 1 9 5 ; I I , J . L o n d o n M a t h . S o c . 3 7 ( 1 9 8 8 ) , 2 7 5 - 2 9 3 ; I I I , T r a n s .

A m e r . M a t h . S o c . 3 2 1 ( 1 9 9 0 ) , 4 5 - 8 4 ; I V , J . A l g e b r a 1 3 1 ( 1 9 9 0 ) , 2 3 - 3 9 .

[ 4 ] H . F . B l i c h f e l d , F i n i t e c o l l i n e a t i o n g r o u p s , U n i v e r s i t y o f C h i c a g o P r e s s ,

1 9 1 7 .

[ 5 ]

D . M . B l o o m , T h e s u b g r o u p s o f P S L ( 3 , q ) f o r o d d q , T r a n s . A m e r . M a t h .

S o c . 1 2 7 ( 1 9 6 7 ) , 1 5 0 - 1 5 8 .

[ 6 ] R . B r a u e r , R e p r e s e n t a t i o n s o f f i n i t e g r o u p s , i n L e c t u r e s o n m o d e r n m a t h -

e m a t i c s ( e d . T . L . S a a t y ) , V o l . 1 , p p . 1 3 3 - 1 7 5 . W i l e y , 1 9 6 3 .

[ 7 ] R . B r a u e r , U b e r e n d l i c h e l i n e a r e G r u p p e n v o n P r i m z a h l g r a d , M a t h . A n n .

1 6 9 ( 1 9 6 7 ) , 7 3 - 9 6 .

[ 8 ] W . B u r n s i d e , O n a c l a s s o f g r o u p s d e f i n e d b y c o n g r u e n c e s , P r o c . L o n d o n

M a t h . S o c . 2 5 ( 1 8 9 4 ) , 1 1 3 - 1 3 9 ; 2 6 ( 1 8 9 5 ) , 5 8 - 1 0 6 .

[ 9 l



[ 1 0 ] L . E . D i c k s o n , L i n e a r g r o u p s w i t h a n e x p o s i t i o n o f t h e G a l o i s f i e l d t h e o r y ,

T e u b n e r , L e i p z i g , 1 9 0 1 ; r e p r i n t e d , D o v e r , N e w Y o r k , 1 9 5 8 .

[ 1 1 ] L . E . D i c k s o n , D e t e r m i n a t i o n o f t h e t e r n a r y m o d u l a r l i n e a r g r o u p s ,

A m e r . J . M a t h . 2 7 ( 1 9 0 5 ) , 1 8 9 - 2 0 2 .

[ 1 2 ] L . D i M a r t i n o a n d A . W a g n e r , T h e i r r e d u c i b l e s u b g r o u p s o f P S L ( V 5 , q ) ,

w h e r e q i s o d d , R e s u l t a t e M a t h . 2 ( 1 9 7 9 ) , 5 4 - 6 1 .

[ 1 3 ] W . F e i t , O n f i n i t e l i n e a r g r o u p s i n d i m e n s i o n a t m o s t 1 0 , i n P r o c e e d i n g s

o f c o n f e r e n c e o n g r o u p t h e o r y ( e d s . W . R . S c o t t a n d F . G r o s s ) , p p . 3 9 7 -

4 0 7 . A c a d e m i c P r e s s , 1 9 7 6 .

[ 1 4 ] D . G o r e n s t e i n , F i n i t e s i m p l e g r o u p s . A n i n t r o d u c t i o n t o t h e i r c l a s s i f i c a -

t i o n , P l e n u m P r e s s , N e w Y o r k / L o n d o n , 1 9 8 2 .

[ 1 5 ] R . W . H a r t l e y , D e t e r m i n a t i o n o f t h e t e r n a r y c o l l i n e a t i o n g r o u p s w h o s e

c o e f f i c i e n t s l i e i n G F ( 2 n ) , A n n . M a t h . 2 7 ( 1 9 2 6 ) , 1 4 0 - 1 5 8 .

[ 1 6 ] W . C . H u f f m a n a n d D . B . W a l e s , L i n e a r g r o u p s o f d e g r e e e i g h t w i t h n o

e l e m e n t s o f o r d e r s e v e n , I l l i n o i s J . M a t h . 2 0 ( 1 9 7 6 ) , 5 1 9 - 5 2 7 .

[ 1 7 ] W . C . H u f f m a n a n d D . B . W a l e s , L i n e a r g r o u p s o f d e g r e e n i n e w i t h n o

e l e m e n t s o f o r d e r s e v e n , J . A l g e b r a 5 1 ( 1 9 7 8 ) , 1 4 9 - 1 6 3 .




[ 1 8 ] G . D . J a m e s , O n t h e m i n i m a l d i m e n s i o n s o f i r r e d u c i b l e r e p r e s e n t a t i o n s

o f s y m m e t r i c g r o u p s , M a t h . P r o c . C a m b r i d g e P h i l o s . S o c . 9 4 ( 1 9 8 3 ) ,

4 1 7 - 4 2 4 .

[ 1 9 ] C . J a n s e n , K . L u x , R . P a r k e r a n d R . W i l s o n , A n A T L A S o f B r a u e r c h a r -

a c t e r s , C l a r e n d o n P r e s s , O x f o r d , 1 9 9 5 .

[ 2 0 ] P . B . K l e i d m a n , T h e s u b g r o u p s t r u c t u r e o f s o m e f i n i t e s i m p l e g r o u p s , P h .

D . T h e s i s , C a m b r i d g e , 1 9 8 6 .

[ 2 1 ] P . B . K l e i d m a n , T h e l o w - d i m e n s i o n a l f i n i t e c l a s s i c a l g r o u p s a n d t h e i r

s u b g r o u p s , L o n g m a n R e s e a r c h N o t e s S e r i e s , t o a p p e a r .

[ 2 2 ] P . B . K l e i d m a n a n d M . W . L i e b e c k , A s u r v e y o f t h e m a x i m a l s u b g r o u p s

o f t h e f i n i t e s i m p l e g r o u p s , G e o m . D e d i c a t a 2 5 ( 1 9 8 8 ) , 3 7 5 - 3 9 0 .

[ 2 3 ] P . B . K l e i d m a n a n d M . W . L i e b e c k , T h e s u b g r o u p s t r u c t u r e o f t h e f i n i t e

c l a s s i c a l g r o u p s , L M S L e c t u r e N o t e S e r i e s 1 2 9 , C a m b r i d g e U n i v e r s i t y

P r e s s , 1 9 9 0 .

[ 2 4 ] A . S . K o n d r a t i e v , I r r e d u c i b l e s u b g r o u p s o f t h e g r o u p G L ( 7 , 2 ) , M a t h .

N o t e s 3 7 ( 1 9 8 5 ) , n o . 3 - 4 , 1 7 8 - 1 8 1 .

[ 2 5 ] A . S . K o n d r a t i e v , I r r e d u c i b l e s u b g r o u p s o f t h e g r o u p G L ( 9 , 2 ) , M a t h .

N o t e s 3 9 ( 1 9 8 6 ) , n o . 3 - 4 , 1 7 3 - 1 7 8 .

[ 2 6 ] A . S . K o n d r a t i e v , S u b g r o u p s o f f i n i t e C h e v a l l e y g r o u p s , R u s s i a n M a t h .

S u r v e y s 4 1 ( 1 9 8 6 ) , n o . 1 , 6 5 - 1 1 8 .

[ 2 7 ] A . S . K o n d r a t i e v , L i n e a r g r o u p s o f s m a l l d e g r e e s o v e r t h e f i e l d o f o r d e r

2 , A l g e b r a a n d L o g i c 2 5 ( 1 9 8 6 ) , 3 4 3 - 3 5 7 .

[ 2 8 ] A . S . K o n d r a t i e v , T h e i r r e d u c i b l e s u b g r o u p s o f t h e g r o u p G L 8 ( 2 ) , C o m -

m u n . A l g e b r a 1 5 ( 1 9 8 7 ) , 1 0 3 9 - 1 0 9 3 ( I n R u s s i a n ) .

[ 2 9 ] A . S . K o n d r a t i e v , D e c o m p o s i t i o n n u m b e r s o f t h e g r o u p J 2 , A l g e b r a a n d

L o g i c 2 7 ( 1 9 8 8 ) , 3 3 3 - 3 4 9 .

[ 3 0 ] A . S . K o n d r a t i e v , D e c o m p o s i t i o n n u m b e r s o f t h e g r o u p s J 2 a n d A u t ( J 2 ) ,

A l g e b r a a n d L o g i c 2 7 ( 1 9 8 8 ) , 4 2 9 - 4 4 4 .

[ 3 1 ] A . S . K o n d r a t i e v , O n f i n i t e l i n e a r g r o u p s o f d e g r e e 6 , A l g e b r a a n d L o g i c

2 8 ( 1 9 8 9 ) , 1 2 2 - 1 3 8 .

[ 3 2 ] A . S . K o n d r a t i e v , M o d u l a r r e p r e s e n t a t i o n s o f s m a l l d e g r e e s o f f i n i t e

g r o u p s o f L i e t y p e , P r e p r i n t , U r O A N S S S R , S v e r d l o v s k , 1 9 8 9 ( I n R u s -

s i a n ) .



1 4 6 A . S . K o n d r a t i e v

[ 3 3 ] A . S . K o n d r a t i e v , S u b g r o u p s a n d m o d u l a r r e p r e s e n t a t i o n s o f f i n i t e q u a -

s i s i m p l e g r o u p s , i n T o p i c s i n a l g e b r a . P a r t 2 ( e d s . S . B a l c e r z y k , T .

J 6 s e f i a k , J . K r e m p a , D . S i m s o n a n d W . V o g e l ) , p p . 3 5 7 - 3 6 4 . B a n a c h

C e n t e r P u b l i c a t i o n s , V o l . 2 6 , P t . 2 , P W N , 1 9 9 0 .

[ 3 4 ] A . S . K o n d r a t i e v , M o d u l a r r e p r e s e n t a t i o n s o f d e g r e e < 2 7 o f f i n i t e q u a -

s i s i m p l e g r o u p s o f a l t e r n a t i n g a n d s p o r a d i c t y p e s , T r u d y I M M U r O R A N

1 ( 1 9 9 2 ) , 2 1 - 4 9 ( I n R u s s i a n ) .

[ 3 5 ] A . S . K o n d r a t i e v , T h e d e c o m p o s i t i o n m a t r i c e s o f t h e g r o u p U 6 ( 2 ) , i n

P r o b l e m s i n g r o u p t h e o r y a n d h o m o l o g i c a l a l g e b r a ( e d . A . L . O n i s h c h i k ) ,

p p . 4 4 - 6 2 . Y a r o s l a v l ' S t a t e U n i v e r s i t y , 1 9 9 2 ( I n R u s s i a n ) .

[ 3 6 ] A . S . K o n d r a t i e v , O n t h e 2 - m o d u l a r c h a r a c t e r s o f t h e g r o u p C o 3 i i n

A l g e b r a a n d a n a l y s i s . A b s t r a c t s o f r e p o r t s o f t h e i n t e r n a t i o n a l c o n f e r e n c e

i n h o n o u r o f N . G . C h e b o t a r e v . P a r t I ( e d s . F . G . A v k h a d i e v e t a l . ) , p p .

5 2 - 5 3 . K a z a n ' U n i v e r s i t y P r e s s , 1 9 9 4 ( I n R u s s i a n ) .

[ 3 7 ] A . S . K o n d r a t i e v , T h e 2 - m o d u l a r c h a r a c t e r s o f t h e g r o u p P S 1 7 ( 3 ) , T r u d y

I M M U r O R A N 3 ( 1 9 9 5 ) , 5 0 - 5 9 ( I n R u s s i a n ) .

[ 3 8 ] A . S . K o n d r a t i e v , O n t h e 5 - m o d u l a r c h a r a c t e r s o f t h e C o n w a y g r o u p C o 3 i

i n A l l - U k r a i n e c o n f e r e n c e o n " D e v e l o p m e n t s a n d a p p l i c a t i o n o f m a t h e -

m a t i c a l m e t h o d s i n s c i e n t i f i c - t e c h n i c a l i n v e s t i g a t i o n s " . A b s t r a c t s . P a r t I .

( e d . 0 . B . C h e r n i g e n k o ) , p p . 5 8 - 5 9 . S t a t e U n i v e r s i t y " L v i v P o l y t e c h n i c " ,

1 9 9 5 .

[ 3 9 ] A . S . K o n d r a t i e v , D e c o m p o s i t i o n m a t r i c e s o f f i n i t e q u a s i s i m p l e g r o u p s ,

i n A l g e b r a . P r o c e e d i n g s o f t h e I I I r d i n t e r n a t i o n a l c o n f e r e n c e o n a l g e b r a

( e d s . Y u . L . E r s h o v , E . I . K h u k h r o , V . M . L e v c h u k a n d N . D . P o d u f a l o v ) ,

p p . 1 3 3 - 1 4 4 . W a l t e r d e G r u y t e r , 1 9 9 6 .

[ 4 0 ] V . L a n d a z u r i a n d G . M . S e i t z , O n t h e m i n i m a l d e g r e e o f p r o j e c t i v e

r e p r e s e n t a t i o n s o f t h e f i n i t e C h e v a l l e y g r o u p s , J . A l g e b r a 3 2 ( 1 9 7 4 ) , 4 1 8 -

4 4 3 .

[ 4 1 ] J . H . L i n d s e y I I , F i n i t e l i n e a r g r o u p s o f d e g r e e s i x , C a n a d . J . M a t h . 2 3

( 1 9 7 1 ) , 7 7 1 - 7 9 0 .

[ 4 2 ] M . W . L i e b e c k a n d J . S a x ] , M a x i m a l s u b g r o u p s o f f i n i t e s i m p l e g r o u p s

a n d t h e i r a u t o m o r p h i s m g r o u p s , C o n t e m p . M a t h . 1 3 1 ( 1 9 9 2 ) , 2 4 3 - 2 5 9 .

[ 4 3 ] H . H . M i t c h e l l , D e t e r m i n a t i o n o f t h e o r d i n a r y a n d m o d u l a r t e r n a r y l i n e a r

g r o u p s , T r a n s . A m e r . M a t h . S o c . 1 2 ( 1 9 1 1 ) , 2 0 7 - 2 4 2 .




[ 4 4 ] E . H . M o o r e , D e t e r m i n a t i o n o f t h e o r d i n a r y a n d m o d u l a r t e r n a r y l i n e a r

g r o u p s , D e c e n n i a l P u b l . U n i v . C h i c a g o ( 1 9 0 4 ) , 1 4 1 - 1 9 0 .

[ 4 5 ] B . M w e n e , O n s o m e s u b g r o u p s o f t h e g r o u p P S L 4 ( 2 m ) , J . A l g e b r a 4 1

( 1 9 7 6 ) , 7 9 - 1 0 7 .

[ 4 6 ] B . M w e n e , O n s o m e s u b g r o u p s o f P S L ( 4 , q ) , q o d d , G e o m . D e d i c a t a 1 2

( 1 9 8 2 ) , 1 8 9 - 1 9 9 .

[ 4 7 ] R . A . P a r k e r , A c o l l e c t i o n o f m o d u l a r c h a r a c t e r s , P r e p r i n t , C a m b r i d g e ,

1 9 8 9 .

[ 4 8 ] G . M . S e i t z , S u b g r o u p s o f f i n i t e a n d a l g e b r a i c g r o u p s , i n G r o u p s , c o m -

b i n a t o r i c s a n d g e o m e t r y ( e d s . M . W . L i e b e c k a n d J . S a x l ) , p p . 3 1 6 - 3 2 6 .


[ 4 9 ] I . D . S u p r u n e n k o , F i n i t e i r r e d u c i b l e g r o u p s o f d e g r e e 4 o v e r f i e l d s o f

c h a r a c t e r i s t i c 3 a n d 5 , V e s c i A k a d . N a v u k B S S R S e r . F i z . - M a t . N a v u k

1 9 8 1 , n o . 3 , 1 6 - 2 2 ( I n R u s s i a n ) .

[ 5 0 ] A . W a g n e r , T h e s u b g r o u p s o f P S L ( 5 , 2 a ) , R e s u l t a t e M a t h . 1 ( 1 9 7 8 ) , 2 0 7 -

2 2 6 .

[ 5 1 ] D . B . W a l e s , F i n i t e l i n e a r g r o u p s o f d e g r e e s e v e n , I , C a n a d . J . M a t h . 2 1

( 1 9 6 9 ) , 1 0 2 5 - 1 0 5 6 ; I I , P a c i f i c J . M a t h . 3 4 ( 1 9 7 0 ) , 2 0 7 - 2 3 5 .

[ 5 2 ] A . W i m a n , B e s t i m m u n g a l l e r U n t e r g r u p p e n e i n e r d o p p e l t u n e n d l i c h e n

R e i h e v o n e n d l i c h e n G r u p p e n , B i h a n g . t i l l K . S v e n s k a V e t . - A k a d . H a n -

d l i n g a r 2 5 ( 1 ) ( 1 8 9 9 ) , 1 - 4 7 .

[ 5 3 ] A . E . Z a l e s s k i i , T h e c l a s s i f i c a t i o n o f f i n i t e l i n e a r g r o u p s o f d e g r e e 5 o v e r

a f i e l d o f c h a r a c t e r i s t i c n o t e q u a l t o 0 , 2 , 3 , 5 , D o k l . A k a d . N a u k B S S R

2 0 ( 1 9 7 6 ) , 7 7 3 - 7 7 5 ( I n R u s s i a n ) .

[ 5 4 ] A . E . Z a l e s s k i i , T h e c l a s s i f i c a t i o n o f f i n i t e l i n e a r g r o u p s o f d e g r e e s 4 a n d

5 o v e r a f i e l d o f c h a r a c t e r i s t i c 2 , D o k l . A k a d . N a u k B S S R 2 1 ( 1 9 7 7 ) ,

3 8 9 - 3 9 2 ( I n R u s s i a n ) .

[ 5 5 ] A . E . Z a l e s s k i i , L i n e a r g r o u p s , R u s s i a n M a t h . S u r v e y s 3 6 ( 1 9 8 1 ) , n o . 5 ,

6 3 - 1 2 6 .

[ 5 6 ] A . E . Z a l e s s k i i , L i n e a r g r o u p s , i n P r o g r e s s i n s c i e n c e a n d t e c h n o l o g y . S e r .

C u r r e n t p r o b l e m s i n m a t h e m a t i c s . F u n d a m e n t a l d i r e c t i o n s . V o l . 3 7 ( e d .

R . W . G a m k r e l i d z e ) , p p . 1 1 4 - 2 2 8 . A k a d . N a u k S S S R , V I N I T I , 1 9 8 9 ( I n

R u s s i a n ) . T r a n s l a t i o n i n A l g e b r a . I V . E n c y c l o p e d i a M a t h . S c i . V o l . 3 7 ,

p p . 9 7 - 1 9 6 . S p r i n g e r , 1 9 9 3 .



1 4 8


[ 5 7 ] A . E . Z a l e s s k i i a n d I . D . S u p r u n e n k o , T h e c l a s s i f i c a t i o n o f f i n i t e i r r e -

d u c i b l e l i n e a r g r o u p s o f d e g r e e 4 o v e r a f i e l d o f c h a r a c t e r i s t i c p > 5 ,

V e s c i A k a d . N a v u k B S S R S e r . F i x . - M a t . N a v u k , 1 9 7 8 , n o . 6 , 9 - 1 5 ; C o r -

r i g e n d u m , i b i d . , 1 9 7 9 , n o . 3 , 1 3 6 ( I n R u s s i a n ) .



M i n i m a l p a r a b o l i c s y s t e m s f o r t h e

s y m m e t r i c a n d a l t e r n a t i n g g r o u p s

W o l f g a n g L e m p k e n ,

C h r i s t o p h e r P a r k e r

a n d

P e t e r R o w l e y

A b s t r a c t

W e d e t e r m i n e t h e m i n i m a l p a r a b o l i c s u b g r o u p s a n d m i n i m a l p a r a -

b o l i c s y s t e m s o f t h e a l t e r n a t i n g a n d s y m m e t r i c g r o u p s w i t h r e s p e c t t o

a S y l o w 2 - s u b g r o u p .

1


U s i n g t h e f i n i t e g r o u p s o f L i e t y p e a s a r o l e m o d e l R o n a n a n d S m i t h [ 5 ] a n d

R o n a n a n d S t r o t h [ 6 ] s t u d i e d c e r t a i n s u b g r o u p s o f t h e s p o r a d i c f i n i t e s i m p l e

g r o u p s . T h e u n d e r l y i n g i d e a w a s t o o b t a i n g e o m e t r i c s t r u c t u r e s a n a l o g o u s

t o b u i l d i n g s v i a s u i t a b l e s y s t e m s o f s u b g r o u p s i n e a c h o f t h e s e g r o u p s . H e r e

w e i n v e s t i g a t e t h e a l t e r n a t i n g a n d s y m m e t r i c g r o u p s f o r t h e p r i m e 2 f r o m a

p e r s p e c t i v e s i m i l a r t o [ 6 ] , t h e e m p h a s i s b e i n g o n m i n i m a l p a r a b o l i c s u b g r o u p s ,

w h i c h w e n o w d e f i n e .

L e t G b e a f i n i t e g r o u p , p a p r i m e d i v i d i n g t h e o r d e r o f G a n d T E S y l p ( G ) .

P u t B = N G ( T ) . T h e n a s u b g r o u p P o f G w h i c h p r o p e r l y c o n t a i n s B i s c a l l e d

a m i n i m a l p a r a b o l i c s u b g r o u p ( o f G ) w i t h r e s p e c t t o B i f B i s c o n t a i n e d i n

a u n i q u e m a x i m a l s u b g r o u p o f P . N o t e t h a t , u n l i k e R o n a n a n d S t r o t h [ 6 ] ,

h e r e w e d o n o t r e q u i r e t h a t O p ( P ) # 1 . W e d e n o t e t h e c o l l e c t i o n o f m i n i m a l

p a r a b o l i c s u b g r o u p s o f G w i t h r e s p e c t t o B b y M ( G , B ) . I n t h e c a s e w h e n

G i s a f i n i t e g r o u p o f L i e t y p e d e f i n e d o v e r a f i e l d o f c h a r a c t e r i s t i c p , t h e

s u b g r o u p s i n M ( G , B ) a r e i n d e e d m i n i m a l p a r a b o l i c s u b g r o u p s o f G a n d o u r

n o m e n c l a t u r e c o i n c i d e s w i t h t h e s t a n d a r d o n e .

L e t P 1 i

. . . , P m E M ( G , B ) . T h e n w e c a l l S = { P 1 ,

. .

. , P , n } a m i n i m a l

p a r a b o l i c s y s t e m o f r a n k m p r o v i d e d t h a t G = ( 8 ) a n d n o p r o p e r s u b s e t o f S

g e n e r a t e s G .

1 4 9



1 5 0

L e m p k e n , P a r k e r a n d R o w l e y

T h r o u g h o u t t h i s p a p e r a l l s e t s c o n s i d e r e d a r e f i n i t e ( i n p a r t i c u l a r , a l l

g r o u p s a r e f i n i t e ) a n d p = 2 .

L e t c i b e a s e t o f c a r d i n a l i t y n > 2 . W e

f i x t h e f o l l o w i n g n o t a t i o n f o r t h e 2 - a d i c d e c o m p o s i t i o n o f n :

n =

2 n , + 2 n 2

_ } . . . . . + 2 " ' w h e r e n i > n 2 > . . . > n , . > 0 .

S e t G = S y m ( S 2 ) a n d G * = A l t ( S 2 ) . L e t T b e a f i x e d S y l o w 2 - s u b g r o u p o f

G a n d p u t T * = G * n T . R e c a l l t h a t N C ( T ) = T a n d , p r o v i d e d n > 5 , w e

a l s o h a v e t h a t N G . ( T * ) = T * . T h e d i s t i n c t o r b i t s o f T o n S l w i l l b e d e n o t e d

b y S 2 1 i Q 2 , . . . , 0 , w h e r e 1 f 1 i ) = 2 n * .

P u t I = { 1 ,

. . . ,

r } . N o t e a l s o t h a t

T = T l x T 2 x

. . . x

T , w h e r e , f o r i E I , T i E S y 1 2 ( S y m ( Q i ) ) . R e c a l l t h a t

e a c h T i i s a c e r t a i n i t e r a t e d w r e a t h p r o d u c t o f c y c l i c g r o u p s o f o r d e r 2 , s e e

H u p p e r t [ 2 , S a t z 1 5 . 3 ] . L e t i E I . T h e n f o r j E { 1 ,

. . .

, n i -

1 } l e t E i ; j b e

t h e c o l l e c t i o n o f T - i n v a r i a n t b l o c k s y s t e m s o f S Z i c o n s i s t i n g o f s e t s o f o r d e r 2 '

w h e r e k E { 0 , . . . , n i } \ { j } , a n d d e f i n e

P ( 2 ; j ) = S t a b s y m ( n ; ) E i ; j x

f i T k

k E I \ { i }

P u t

G ( G , T ) = { P ( i ; j ) I i E I , j E { 1 , . . . , n i - 1 } } .

F o r i , j E I , w i t h i < j ( s o n j < n i ) s e t A i + j = 9 2 i U S 2 j . L e t I ' i b e t h e

c o l l e c t i o n o f a l l b l o c k s y s t e m s f o r T o n S 2 i a n d r j t h e c o l l e c t i o n o f a l l b l o c k

s y s t e m s o f T o n 1 2 j . W e d e f i n e E i + j t o b e t h e c o l l e c t i o n o f T - i n v a r i a n t s y s t e m s

o f s u b s e t s o f A i + j w h i c h a r e t h e u n i o n o f o n e b l o c k s y s t e m f r o m r i a n d o n e

f r o m F j w i t h t h e p r o v i s o t h a t t h e b l o c k s o f t h e t w o c h o s e n b l o c k s y s t e m s h a v e

e q u a l n u m b e r s o f e l e m e n t s . T h e n

P ( i + j ) = S t a b s y m ( A i + ; ) ( E i + j ) x

f i T k

k E I \ { i , j }

. F ( G , T ) = { P ( i + j ) I i , j E I , i < j } .

P ( G , T ) = 1 ( G , T ) U . F ( G , T )

P ( G * , T * ) = { P n G * I P E P ( G , T ) } .

I n P r o p o s i t i o n 3 . 1 w e v e r i f y t h a t P ( G , T ) C _ M ( G , T ) . O u r f i r s t t h e o r e m ,

p r o v e d i n s e c t i o n 4 , a s s e r t s t h a t t h e s e s e t s a r e i n f a c t e q u a l .



M i n i m a l p a r a b o l i c s y s t e m s f o r s y m m e t r i c g r o u p s

1 5 1

T h e o r e m 1 . 1 A s s u m e t h a t i i s a s e t w i t h 1 0 1 > 2 , G = S y m ( S 2 ) a n d T E

S y 1 2 ( G ) . T h e n M ( G , T ) = P ( G , T ) .

T h e s i t u a t i o n f o r G * , g i v e n i n o u r n e x t r e s u l t , i s s i m i l a r , w i t h s o m e s m a l l

e x c e p t i o n a l c a s e s w h i c h w e s h a l l d i s c u s s i n s e c t i o n 5 .

T h e o r e m 1 . 2 A s s u m e t h a t S 2 i s a s e t w i t h I c i > 9 , G * = A l t ( c ) a n d T * E

S y 1 2 ( G * ) . T h e n , M ( G * , T * ) = P ( G * , T * ) .

T h e o r e m s 1 . 1 a n d 1 . 2 t h e n g i v e u s a c o n c r e t e d e s c r i p t i o n o f t h e m i n i m a l

p a r a b o l i c s u b g r o u p s o f G a n d G * , a n d w i t h t h i s i n f o r m a t i o n t o h a n d w e p r o v e

T h e o r e m 1 . 3 S u p p o s e t h a t S t i s a s e t w i t h I c I = n > 2 , G = S y m ( c ) ,

G * = A l t ( S 2 ) , T E S y l 2 ( G ) a n d T * = G * n T .

( i ) I f n = 2 " ' , t h e n t h e r e i s a u n i q u e m i n i m a l p a r a b o l i c s y s t e m S o f G ,

S = M ( G , T ) = G ( G , T ) a n d S h a s r a n k n 1 - 1 .

( i i ) I f n i s o d d , t h e n t h e r e a r e r ' ' - 2 d i s t i n c t m i n i m a l p a r a b o l i c s y s t e m s o f G

w i t h r e s p e c t t o T , e a c h o f w h i c h h a s r a n k r - 1 . F u r t h e r m o r e , i f S i s a

m i n i m a l p a r a b o l i c s y s t e m o f G , t h e n t h e r e i s a s p a n n i n g t r e e t = ( V , E )

i n t h e c o m p l e t e l a b e l l e d g r a p h o n r v e r t i c e s f o r w h i c h

S = { P ( i + j ) E F ( G , T ) I

( i , j ) E E }

a n d , m o r e o v e r , e v e r y d i s t i n c t c h o i c e o f I F g i v e s r i s e t o a d i s t i n c t m i n i m a l

p a r a b o l i c s y s t e m o f G w i t h r e s p e c t t o T .

( i i i ) I f n i s e v e n a n d r > 1 , t h e n t h e r e a r e r " r + r - 3 ( r - 1 ) d i s t i n c t m i n i m a l

p a r a b o l i c s y s t e m s o f G w i t h r e s p e c t t o T e a c h o f w h i c h h a s r a n k n r +

r - 1 . I f S i s a m i n i m a l p a r a b o l i c s y s t e m o f G w i t h r e s p e c t t o T , t h e n

I S n . F ( G , T ) I = r - 1 , S n C ( G , T ) I = n r a n d t h e r e i s a s p a n n i n g

t r e e I F = ( V , E ) i n t h e c o m p l e t e l a b e l l e d g r a p h o n r v e r t i c e s a n d a s e t

T = { ( i 1 , 1 ) , . . . , ( i n , , n r ) 1 1 < i j < r , i n , # r } f o r w h i c h

S = { P ( i + j ) E . F ( G , T ) ( i , j ) E E } U { P ( i ; j ) E C ( G , T ) I

( i , j ) E T }

a n d , m o r e o v e r , e v e r y d i s t i n c t c h o i c e o f I F a n d T g i v e s r i s e t o a d i s t i n c t

m i n i m a l p a r a b o l i c s y s t e m o f G w i t h r e s p e c t t o T .

( i v ) I f n > 9 , t h e n i n t e r s e c t i o n o f m i n i m a l p a r a b o l i c s u b g r o u p s o f G w i t h G *

g i v e s a o n e t o o n e c o r r e s p o n d e n c e b e t w e e n m i n i m a l p a r a b o l i c s y s t e m s o f

G w i t h r e s p e c t t o T a n d m i n i m a l p a r a b o l i c s y s t e m s o f G * w i t h r e s p e c t

t o T * .

A n u n e x p e c t e d , a n d p e r h a p s s u r p r i s i n g , f e a t u r e o f t h e s e m i n i m a l p a r a b o l i c

s y s t e m s i s



1 5 2 L e m p k e n , P a r k e r a n d R o w l e y

C o r o l l a r y 1 . 4 S u p p o s e t h e h y p o t h e s i s o f T h e o r e m 1 . 3 h o l d s . T h e n a l l m i n -

i m a l p a r a b o l i c s y s t e m s o f G ( r e s p e c t i v e l y G * ) w i t h r e s p e c t t o T ( r e s p e c t i v e l y

T * ) h a v e t h e s a m e r a n k .

W e a l s o r e m a r k t h a t w h e n e v e r t h e r a n k o f a m i n i m a l p a r a b o l i c s y s t e m i s

g r e a t e r t h a n o r e q u a l t o 2 ( t h a t i s n # 2 n , + 1 ) , t h e n t h e s u b g r o u p s i n t h e

s y s t e m a r e a l l 2 - l o c a l s u b g r o u p s . A d d i t i o n a l l y , a l l t h e s e 2 - l o c a l s u b g r o u p s P

a r e 2 - c o n s t r a i n e d ( m e a n i n g t h a t C P ( O 2 ( P ) ) < 0 2 ( P ) ) i f a n d o n l y i f n i s e v e n .

M i n i m a l p a r a b o l i c s y s t e m s f o r s y m m e t r i c g r o u p s w i t h r e s p e c t t o t h e n o r -

m a l i z e r o f a S y l o w p - s u b g r o u p , p # 2 , a r e b e i n g i n v e s t i g a t e d b y S a n d r a

C o v e l l o a t B i r m i n g h a m .

2

P r e l i m i n a r y r e s u l t s

O u r f i r s t l e m m a , w h i c h i s a c o r o l l a r y o f a t h e o r e m o f J o r d a n [ 3 ] a n d M a r g g r a f

[ 4 ] , p l a y s a n i m p o r t a n t r o l e i n t h e p r o o f s o f T h e o r e m s 1 . 1 a n d 1 . 2 . W e r e c a l l

t h a t a p r i m i t i v e p e r m u t a t i o n g r o u p i s a t r a n s i t i v e p e r m u t a t i o n g r o u p w h i c h

p r e s e r v e s o n l y t r i v i a l s y s t e m s o f b l o c k s .

L e m m a 2 . 1 ( J o r d a n , M a r g g r a f ) S u p p o s e t h a t E i s a s e t a n d L < S y m ( E )

i s p r i m i t i v e .

( i ) I f L c o n t a i n s a t r a n s p o s i t i o n , t h e n L = S y m ( E ) .

( i i ) S u p p o s e L c o n t a i n s a f o u r s - g r o u p w h i c h i s t r a n s i t i v e o n 4 p o i n t s a n d

f i x e s a l l t h e o t h e r p o i n t s o f E . I f J E l > 9 , t h e n L > A l t ( E ) .

P r o o f : S e e W i e l a n d t [ 8 , T h e o r e m s 1 3 . 3 a n d 1 3 . 5 ] .

L e m m a 2 . 2 L e t E b e a s e t o f c a r d i n a l i t y n o t e q u a l t o 4 , H l = S y m ( E ) ,

H o = A l t ( E ) a n d f o r i = 0 , 1 , S i E S y 1 2 ( H i ) .

( i ) H l E M ( H i , S l ) i f a n d o n l y i f I E I = 2 ' n + 1 f o r s o m e m > 1 .

( i i ) H o E M ( H o , S o ) i f a n d o n l y i f J E J = 2 ' n + 1 f o r s o m e m > 2 .

P r o o f : W e p r o v e ( i i ) , p a r t ( i ) b e i n g s i m i l a r . F o r J E T < 9 w e u s e t h e A T L A S

[ 1 ] t o v e r i f y t h e r e s u l t . T h u s w e n o w a s s u m e t h a t J E J > 9 .

S u p p o s e t h a t A E I = 2 " ` + 1 f o r s o m e m > 1 . T h e n w e k n o w t h a t S o f i x e s a

u n i q u e p o i n t o r E E a n d o p e r a t e s t r a n s i t i v e l y o n E \ { a } . S u p p o s e t h a t L ¢

S t a b H 0 ( u ) a n d H o > L > S o . T h e n L i s 2 - t r a n s i t i v e o n E , a n d , a s S o c o n t a i n s

a f o u r s - g r o u p w h i c h i s t r a n s i t i v e o n f o u r p o i n t s a n d f i x e s t h e r e m a i n i n g p o i n t s

o f E , L e m m a 2 . 1 ( i i ) i m p l i e s t h a t L = H o . T h u s a l l p r o p e r s u b g r o u p s o f H o

w h i c h c o n t a i n S o a r e c o n t a i n e d i n S t a b H o ( o ) a n d s o H o E , M ( H o , S o ) .




1 5 3

C o n v e r s e l y , s u p p o s e t h a t J E l # 2 m + 1 f o r a n y m > 1 . I f J E J = 2 k , k # 2 ,

t h e n l e t L l ( r e s p e c t i v e l y , L 2 ) b e t h e s t a b i l i z e r i n H o o f t h e S o - i n v a r i a n t b l o c k

s y s t e m w i t h b l o c k s i z e 2 ( r e s p e c t i v e l y , 4 ) . I f J E l : 2 k , t h e n S o h a s a t l e a s t 2

o r b i t s o n E , s a y A l , A 2 . I f A l U A 2 # E , t h e n s e t L i = S t a b H 0 ( A i ) , i = 1 , 2 .

O t h e r w i s e w e t a k e L l t o b e t h e s t a b i l i z e r i n H o o f t h e S o - i n v a r i a n t b l o c k

s y s t e m w i t h b l o c k s i z e 2 a n d l e t L 2 = S t a b H , , ( A 2 ) . T h e n , u s i n g L e m m a 2 . 1 ( i i ) ,

w e s e e t h a t H o = ( L I , L 2 ) a n d s o H o ¢ M ( H o , S o ) .

L e m m a 2 . 3 S u p p o s e t h a t E i s a s e t , H l = S y m ( E ) , H o = A l t ( E ) a n d ,

f o r i = 0 , 1 , S i E S y 1 2 ( H i ) .

T h e n N H , ( S l ) = S l a n d , p r o v i d e d A E I > 5 ,

N H 0 ( S o ) = S o .

L e m m a 2 . 4 S u p p o s e t h a t J E l = 2 m , H = S y m ( E ) a n d S E S y 1 2 ( H ) . L e t 6

b e t h e c o l l e c t i o n o f a l l b l o c k s y s t e m s o f E w h i c h a r e p r e s e r v e d b y S . I f K < H

l e a v e s i n v a r i a n t e a c h o f t h e b l o c k s y s t e m s i n O , t h e n K < S .

L e m m a 2 . 5 S u p p o s e t h a t H = X x Y i s a d i r e c t p r o d u c t o f g r o u p s X a n d Y

a n d s u p p o s e t h a t S E S y l , . ( H ) w h e r e r i s a p r i m e w h i c h d i v i d e s t h e o r d e r o f

b o t h X a n d Y . A s s u m e t h a t L i s a s u b g r o u p o f H w h i c h c o n t a i n s B : = N H ( S ) .

T h e n L = ( ( B n X ) L ) x ( ( B n Y ) L ) . I n p a r t i c u l a r , i f L E M ( H , B ) , t h e n

e i t h e r L = ( ( B n X ) L ) x ( B n Y ) o r L = ( ( B n Y ) L ) X ( B n X ) .

P r o o f : S e t B X = B n X a n d B y = B n Y . S i n c e o v e r g r o u p s o f t h e n o r m a l i z e r

o f a S y l o w r - s u b g r o u p a r e s e l f - n o r m a l i z i n g w e g e t L = ( B Y ) ( B X ) , w h i c h ,

a s ( B Y ) < _ Y a n d ( B X ) < X , g i v e s L = ( B Y ) x ( B X ) . N o w s u p p o s e t h a t

L E M ( H , B ) a n d l e t M b e t h e u n i q u e m a x i m a l s u b g r o u p o f L w h i c h c o n t a i n s

B . T h e n , i f L n o r m a l i z e s n e i t h e r B x n o r B y , M m u s t c o n t a i n b o t h o f ( B Y )

a n d ( B X ) , w h i c h i s a c o n t r a d i c t i o n . T h e r e f o r e , L n o r m a l i z e s o n e o f B X a n d

B y a n d h e n c e e i t h e r L = ( B X ) x B y o r L = ( B Y ) X B X .

A p p l y i n g i n d u c t i o n , L e m m a 2 . 5 g i v e s

C o r o l l a r y 2 . 6 S u p p o s e t h a t I C i s a s e t a n d H = f X k w h e r e e a c h X k ,

k E 1 C

k E K , h a s o r d e r d i v i s i b l e b y t h e p r i m e r .

I f L i s a s u b g r o u p o f H w h i c h

c o n t a i n s B : = N H ( S ) , w h e r e S E S y l , . ( H ) , t h e n L = f l ( ( B n X k ) L )

k E 1 C

L e m m a 2 . 7 S u p p o s e t h a t H i s a g r o u p , r i s a p r i m e w h i c h d i v i d e s t h e o r d e r

o f H , S E S y l , . ( H ) a n d t h a t B = N H ( S ) . I f P E M ( H , B ) a n d K i s n o r m a l

i n P , t h e n e i t h e r

( i ) K B = P , o r

( i i ) S n K i s n o r m a l i n P .



1 5 4


I n p a r t i c u l a r , i f N K ( S n K ) = B n K , t h e n e i t h e r K < B o r P = K B .

P r o o f : L e t M b e t h e u n i q u e m a x i m a l s u b g r o u p o f P c o n t a i n i n g B a n d

s e t S o = S n K . T h e n S o E S y l , . ( K ) . B y t h e F r a t t i n i a r g u m e n t w e h a v e

P = N p ( S 0 ) K . N o t i c e t h a t S o i s n o r m a l i n B a n d s o B < N P ( S o ) . T h e r e f o r e ,

e i t h e r ( i i ) h o l d s o r N p ( S 0 ) < M . I f t h e l a t t e r c a s e h o l d s , t h e n , a s P # M , w e

m u s t h a v e K ¢ M . B u t t h e n K B M a n d , a s P E M ( H , B ) , w e c o n c l u d e

t h a t ( i ) h o l d s .

N o w s u p p o s e t h a t N K ( S o ) = B n K . T h e n i f ( i ) d o e s n o t h o l d , t h e n S o i s

n o r m a l i n P a n d , i n p a r t i c u l a r , S o i s n o r m a l i n K . B u t t h e n K = N K ( S o ) _

B n K < B .

3

M i n i m a l p a r a b o l i c s u b g r o u p s o f S y m ( 1 ) a n d A l t ( 1 l )

I n t h i s s e c t i o n w e r e s u m e t h e n o t a t i o n s e t f o r t h i n t h e i n t r o d u c t i o n . W h e n

e x a m i n i n g t h e i n t e r s e c t i o n o f s u b g r o u p s o f G w i t h G * w e w i l l e n c o u n t e r t h e

f o l l o w i n g s p e c i a l s i t u a t i o n : S 2 = A u e w i t h I A A > 1 < 1 6 1 , L < S y m ( A ) x

S y m ( e ) a n d T < L . S o L = L A x L o w h e r e L A = S y m ( A ) n L a n d L o =

S y m ( e ) n L , b y L e m m a 2 . 5 . I n s u c h c i r c u m s t a n c e s , w e d e n o t e L n G * b y

L A A L e . O f c o u r s e , L A A L e c a n b e a l t e r n a t i v e l y d e s c r i b e d a s

( ( A l t ( A ) n L ) x ( A l t ( e ) n L ) ) > 4 ( t )

w h e r e t E T i s a p r o d u c t o f t w o t r a n s p o s i t i o n s , o n e f r o m T n S y m ( A ) a n d o n e

f r o m T n S y m ( e ) .

T h e p u r p o s e o f t h i s s e c t i o n i s t o d e m o n s t r a t e t h a t t h e m e m b e r s o f P ( G , T )

( r e s p e c t i v e l y P ( G * , T * ) w h e n n > 9 ) a r e i n f a c t m i n i m a l p a r a b o l i c s u b g r o u p s

o f G ( r e s p e c t i v e l y G * ) w i t h r e s p e c t t o T ( r e s p e c t i v e l y T * ) .

P r o p o s i t i o n 3 . 1 W e h a v e t h a t P ( G , T ) C _ M ( G , T ) . F u r t h e r m o r e , i f P E

£ ( G , T ) , t h e n T i s a m a x i m a l s u b g r o u p o f P .

P r o o f : S u p p o s e f i r s t t h a t P E . F ( G , T ) . F r o m t h e d e f i n i t i o n o f P , t o v e r i f y

P E M ( G , T ) w e m a y p l a i n l y a s s u m e t h a t S Z = S 2 1 U 1 1 2 .

L e t D n 2 b e t h e

b l o c k s y s t e m l e f t i n v a r i a n t b y P w h i c h c o n t a i n s b l o c k s o f o r d e r 2 n 2 a n d l e t K

b e t h e k e r n e l o f t h e o p e r a t i o n o f P o n D n 2 . T h e n P / K o p e r a t e s p r i m i t i v e l y

o n D n 2 a n d , a s P / K c o n t a i n s e l e m e n t s w h i c h a c t a s t r a n s p o s i t i o n s o n D n 2 ,

L e m m a 2 . 1 ( i ) i m p l i e s t h a t P / K = S y m ( D n 2 ) . T h u s , b y L e m m a 2 . 2 , P / K E

M ( S y m ( D n 2 ) , T K / K ) . T o c o m p l e t e t h e p r o o f o f t h e p r o p o s i t i o n i n t h i s c a s e

w e o n l y h a v e t o n o t e t h a t K i s a 2 - g r o u p .

T h i s f o l l o w s a s , a g a i n b y t h e

d e f i n i t i o n o f P , K p r e s e r v e s a l l t h e b l o c k s y s t e m s i n E 1 + 2 a n d i n d i v i d u a l l y

f i x e s e a c h o f t h e b l o c k s i n D n 2 . T h u s K e m b e d s i n t o a d i r e c t p r o d u c t o f

2 n ' - n 2 + 1 c o p i e s o f t h e s y m m e t r i c g r o u p o n 2 n 2 p o i n t s a n d i n e a c h o f t h e

d i r e c t f a c t o r s o p e r a t e s a s d o e s a S y l o w 2 - s u b g r o u p .




1 5 5

S u p p o s e n o w t h a t P E £ ( G , T ) . T h e n , b y t h e d e f i n i t i o n o f P , i t s u f f i c e s

t o d e a l w i t h t h e c a s e w h e n Q = 0 1 . L e t D , , . . . . . D o b e t h e d i s t i n c t s y s t e m s

o f b l o c k s o f S Z w h i c h a r e p r e s e r v e d b y T a n d a s s u m e n o t a t i o n c h o s e n s o t h a t ,

f o r k E { 1 ,

. . . , n 1

} , t h e b l o c k s o f D k h a v e 2 k e l e m e n t s . W e w i l l p r o v e t h a t

T i s a m a x i m a l s u b g r o u p o f P a r g u i n g b y i n d u c t i o n o n n 1 . T h i s t h e n s h o w s

t h a t P E M ( G , T ) . I f n 1 = 2 , t h e n , b y d e f i n i t i o n , P = P ( 1 ; 1 ) o n l y s t a b i l i z e s

D o a n d D 2 w h i c h i s n o r e s t r i c t i o n a t a l l . T h u s P = G = S y m ( 4 ) a n d s o

a S y l o w 2 - s u b g r o u p h a s i n d e x 3 i n P a n d i s t h u s m a x i m a l . T h e r e f o r e , w e

s u p p o s e t h a t n 1 > 2 . I f P # P ( 1 ; 1 ) , t h e n w e c o n s i d e r t h e a c t i o n o f P o n D 1 .

T h e k e r n e l , K , o f t h i s a c t i o n i s a 2 - g r o u p . S i n c e P / K E C ( S y m ( D 1 ) , T / K )

i t f o l l o w s b y i n d u c t i o n t h a t T / K i s a m a x i m a l s u b g r o u p o f P / K . H e n c e

T i s m a x i m a l i n P i n t h i s c a s e .

T h e r e f o r e , w e a s s u m e t h a t P = P ( 1 ; 1 ) .

T h e n P p r e s e r v e s t h e b l o c k s y s t e m V , _ 1 = { 0 1 , A 2 } a n d s o e m b e d s i n t o

A : = ( S y m ( A 1 ) X S y m ( A 2 ) ) A ( t ) w h e r e t i s a n i n v o l u t i o n i n T i n t e r c h a n g i n g

A l a n d A 2 . L e t A , = S y m ( D i ) , i = 1 , 2 a n d s e t A O = A l x A 2 . T h e n

P n A O = ( P n A 1 ) x ( P n A 2 ) , b y L e m m a 2 . 5 a n d , a s A ' = A 2 , i n d u c t i o n

i m p l i e s t h a t T n A i i s a m a x i m a l s u b g r o u p o f P n A , f o r i = 1 , 2 . N o w s u p p o s e

t h a t M i s a s u b g r o u p o f P s t r i c t l y c o n t a i n i n g T . T h e n , b y L e m m a 2 . 5

M = ( M n A 0 ) T = ( ( M n A 1 ) x ( M n A 2 ) ) x ( t ) .

S i n c e M # T , M n A O $ T n A O a n d s o t h e m a x i m a l i t y o f T n A i i n P n A i f o r

i = 1 , 2 , a n d t h e f a c t t h a t ( M n A 1 ) t = M n A 2 i m p l i e s t h a t M n A O = P n A 0 .

T h u s M = P , w h e n c e T i s a m a x i m a l s u b g r o u p o f P , a s d e s i r e d .

P r o p o s i t i o n 3 . 2 S u p p o s e t h a t 1 0 1 > 9 . T h e n P ( G * , T * ) C M ( G * , T * ) .

P r o o f : S u p p o s e t h a t P E P ( G , T ) a n d s e t P * = G * n P . A s s u m e t h a t P i s

i n t r a n s i t i v e 0 a n d l e t A b e a P - o r b i t o f l e n g t h a t l e a s t 2 . P u t O = S Z \ A , H A =

S y m ( A ) a n d H o = S y m ( O ) . A s s u m e n o w t h a t J ® J > 2 . T h e n P < H A x H e

a n d , b y L e m m a 2 . 5 , w e m a y s u p p o s e t h a t P = ( P n H A ) x ( T n H o ) a n d , b y

P r o p o s i t i o n 3 . 1 , t h a t P n H A E M ( H A , T n H A ) . N o w P * < H A A ( T n H e ) a n d

( H A A ( T n H O ) ) / ( ( T n H O ) n G * ) = H A . T h e r e f o r e , a s P * / ( ( T n H 0 ) n G * ) = '

P n H A , w e c o n c l u d e t h a t P * E M ( G * , T * ) . S u p p o s e n o w t h a t C O I = 1 .

T h e n , a s 6 i s a T - o r b i t , i t f o l l o w s t h a t n i s o d d a n d t h u s t h a t n - 1 > 1 0 .

F u r t h e r m o r e , w e h a v e P < S y m ( A ) a n d P * < A l t ( A ) . H e n c e , a s J A I > 9 a n d

J A I i s e v e n , w i t h o u t l o s s o f g e n e r a l i t y w e m a y s u p p o s e t h a t P i s t r a n s i t i v e o n

1 . S u p p o s e t h a t D i s a s y s t e m o f b l o c k s o f P w i t h b l o c k s o f s i z e 2 . L e t K

b e t h e k e r n e l o f t h e a c t i o n o f P o n D . T h e n K i s a 2 - g r o u p a n d P c o n t a i n s

a c o m p l e m e n t , P 1 , t o K w h i c h c o n s i s t s o n l y o f e v e n p e r m u t a t i o n s . A l s o , P 1

e m b e d s i n t o S y m ( D ) a n d , b y P r o p o s i t i o n 3 . 1 , i s a m i n i m a l p a r a b o l i c s u b g r o u p

t h e r e i n . A s P * = P 1 ( K n G * ) w e c o n c l u d e t h a t P * E M ( G * , T * ) i n t h i s c a s e .

T h u s P p r e s e r v e s n o b l o c k s y s t e m w i t h b l o c k s o f s i z e 2 . I f P E F ( G , T ) , w e




i n f e r f r o m t h e d e f i n i t i o n o f P t h a t n = 2 ' + 1 a n d t h a t P = G . B u t t h e n

P * = G * a n d L e m m a 2 . 2 i m p l i e s t h a t P * E . M ( G * , T * ) . S o w e m a y a s s u m e

t h a t P E L ( G , T ) . T h e n , b e c a u s e P p r e s e r v e s n o b l o c k s y s t e m w i t h m e m b e r s

o f s i z e 2 , i t d o e s , b y d e f i n i t i o n , l e a v e a b l o c k s y s t e m w i t h b l o c k s , A a n d A 2 , o f

s i z e n / 2 i n v a r i a n t . S o P < S y m ( A 1 ) Z S y m ( 2 ) . L e t P 1 = P n S y m ( A 1 ) a n d P 2 =

P n S y m ( A 2 ) . T h e n P = ( P 1 x P 2 ) x ( t ) a n d P * = R x ( t ) w h e r e t E T * i s a n

i n v o l u t i o n w h i c h i n t e r c h a n g e s A l a n d A 2 a n d R = P * n ( P 1 x P 2 ) . M o r e o v e r ,

f o r i = 1 , 2 , t h e d e f i n i t i o n o f P s h o w s t h a t P i E L ( S y m ( A ) , T n S y m ( A ) ) .

I t f o l l o w s f r o m P r o p o s i t i o n 3 . 1 t h a t f o r i = 1 , 2 , T n P i i s m a x i m a l i n P i .

W e w i l l p r o v e t h a t T * i s a m a x i m a l s u b g r o u p o f P * ; t h i s p l a i n l y s u f f i c e s t o

s h o w t h a t P * E M ( G * , T * ) . L e t M 1 b e a s u b g r o u p o f P * w h i c h p r o p e r l y

c o n t a i n s T * . T h e n , b y t h e D e d e k i n d M o d u l a r L a w , M : = M 1 n R i s a l s o n o t

a 2 - g r o u p . S i n c e n i s a 2 - p o w e r a n d n > 9 , n / 2 > 5 a n d s o , b y L e m m a 2 . 3 , f o r

i = 1 , 2 , T n A l t ( A ; ) i s s e l f - n o r m a l i z i n g i n A l t ( s ) . H e n c e , b y L e m m a 2 . 5 , M n

( A l t ( A 1 ) x A l t ( A 2 ) ) = ( M n A l t ( A 1 ) ) x ( M n A l t ( A 2 ) ) w i t h ( M n A l t ( A 1 ) ) t =

M n A l t ( A 2 ) . W e n o w c o n s i d e r M A l t ( A 1 ) / A l t ( A 1 ) . I f t h i s i s n o t a 2 - g r o u p ,

t h e n a s R A I t ( A 1 ) / A l t ( A 1 ) i s a m i n i m a l p a r a b o l i c s u b g r o u p w i t h a m a x i m a l

S y l o w 2 - s u b g r o u p w e s e e t h a t M A l t ( A 1 ) / A l t ( A 1 ) = R A l t ( A 1 ) / A l t ( A l ) a n d

t h u s M n A l t ( A 1 ) = P 1 n A l t ( A l ) . S i n c e ( M n A l t ( A 1 ) ) t = M n A l t ( A 2 ) i t

f o l l o w s t h a t M 1 = P * a n d s o T * i s m a x i m a l i n P * , a s d e s i r e d .

0

4

P r o o f o f t h e m a i n t h e o r e m s

I n t h i s s e c t i o n w e c o n t i n u e t h e n o t a t i o n o f s e c t i o n 3 .

P r o o f o f T h e o r e m 1 . 1 : W e p r o v e t h e t h e o r e m b y i n d u c t i o n o n n . F o r n = 3

w e c l e a r l y h a v e { G } = M ( G , T ) = P ( G , T ) = . F ( G , T ) . T h u s w e s u p p o s e

t h a t n > 3 . L e t P b e a m i n i m a l p a r a b o l i c s u b g r o u p o f G w i t h r e s p e c t t o T .

S u p p o s e t h a t P i s n o t t r a n s i t i v e o n 0 a n d l e t A b e a n o r b i t o f P o f l e n g t h

g r e a t e r t h a n 1 . S e t o = 0 \ A . T h e n P < S y m ( 0 ) x S y m ( A ) . B y L e m m a 2 . 5

w e m a y a s s u m e w i t h o u t l o s s o f g e n e r a l i t y t h a t P = ( T n S y m ( 6 ) ) x ( ( T n

S y m ( A ) ) P ) a n d s o P A : _ ( ( T n S y m ( A ) ) P ) i s a m i n i m a l p a r a b o l i c s u b g r o u p o f

S y m ( A ) w i t h r e s p e c t t o T n S y m ( A ) . B u t t h e n , P A E P ( S y m ( A ) , T n S y m ( A ) )

b y i n d u c t i o n a n d t h u s P = P A x ( T n S y m ( 6 ) ) E P ( G , T ) . H e n c e f o r t h w e

a s s u m e t h a t P o p e r a t e s t r a n s i t i v e l y o n Q .

L e t D b e a b l o c k s y s t e m f o r P o n 1 2 w h i c h c o n t a i n s m o r e t h a n o n e b l o c k .

W e c l a i m t h a t e v e r y b l o c k , A , o f D m u s t b e c o n t a i n e d i n s o m e Q j , i E I .

S u p p o s e t h a t t h i s i s f a l s e . T h e n t h e r e e x i s t s A E D a n d i , j E I , i # j , s u c h

t h a t o n c e 5 4 0 a n d A n f I 3 0 . S i n c e T i ( r e s p e c t i v e l y T j ) o p e r a t e s t r a n s i t i v e l y

o n D i ( r e s p e c t i v e l y c i , ) a n d f i x e s a l l t h e e l e m e n t s i n c i ( r e s p e c t i v e l y Q j ) , a n d

A i s a b l o c k f o r P , w e c o n c l u d e t h a t c j U D i < A . T h e r e f o r e , w e d e d u c e t h a t

A i s a u n i o n o f a t l e a s t t w o o r b i t s o f T . A s J A I d i v i d e s n i t n o w f o l l o w s t h a t




1 5 7

f l , . < A . O n t h e o t h e r h a n d , J A I i s n o t a 2 - p o w e r a n d s o n o b l o c k o f D i s

c o n t a i n e d i n a T - o r b i t . H e n c e , b y t h e p r e c e d i n g a r g u m e n t , e v e r y b l o c k o f D

m u s t c o n t a i n i , a n d s o I D S = 1 , w h i c h i s a g a i n s t o u r o r i g i n a l a s s u m p t i o n .

T h i s p r o v e s t h e c l a i m . I n p a r t i c u l a r w e n o t e t h a t t h e r e i s a m e m b e r o f D

w h i c h i s c o n t a i n e d i n I l , . .

S u p p o s e , f o r t h e m o m e n t , t h a t r > 1 . A d d i t i o n a l l y w e a s s u m e t h a t D i s

c h o s e n s o t h a t P a c t s p r i m i t i v e l y o n t h e b l o c k s o f D . L e t K b e t h e k e r n e l

o f t h e o p e r a t i o n o f P o n D . T h e n P / K e m b e d s i n t o S y m ( D ) . B e c a u s e P / K

o p e r a t e s p r i m i t i v e l y o n D a n d T K / K c o n t a i n s a t r a n s p o s i t i o n w e g e t P / K

S y m ( D ) b y L e m m a 2 . 1 .

S i n c e T K / K i s c o n t a i n e d i n a u n i q u e m a x i m a l

s u b g r o u p o f P a n d r > 1 , L e m m a 2 . 2 i m p l i e s S D I = 2 ' + 1 f o r s o m e m .

T h u s a s s o m e m e m b e r o f D i s c o n t a i n e d i n I l , . , w e c o n c l u d e t h a t S 1 , . E D a n d

r = 2 . W e n o w d e t e r m i n e t h e s t r u c t u r e o f K . L e t M b e t h e u n i q u e m a x i m a l

s u b g r o u p o f P w h i c h c o n t a i n s T . T h e n , a s T K i s n o t t r a n s i t i v e o n S Z , w h i l e

P i s , w e m u s t h a v e K T < M . L e t L b e t h e s u b g r o u p o f G w h i c h f i x e s a l l t h e

b l o c k s i n D . T h e n , s i n c e L i s a d i r e c t p r o d u c t o f s y m m e t r i c g r o u p s o f d e g r e e

2 ' a n d K n T i s a S y l o w 2 - s u b g r o u p o f L , L e m m a s 2 . 3 a n d 2 . 7 i m p l y t h a t

T n K = K . H e n c e P E . F ( G , T ) .

F i n a l l y w e a s s u m e t h a t r = 1 ( s o n = 2 " i s a 2 - p o w e r ) . A s n > 3 ,

w e h a v e n 1 > 2 .

I f n 1 = 2 , t h e n G

S y m ( 4 ) E P ( G , T ) = L ( G , T ) a n d

w e a r e d o n e . T h u s w e a s s u m e n j > 3 . T h e n , b y L e m m a 2 . 2 , P # G a n d

s o , b y L e m m a 2 . 1 , P i s n o t p r i m i t i v e o n Q . L e t D b e a n o n - t r i v i a l b l o c k

s y s t e m f o r P o n c i a n d K b e t h e k e r n e l o f t h e a c t i o n o f P o n D . T h e n e i t h e r

P / K E L ( S y m ( D ) , T K / K ) o r P / K = T K / K . I n t h e f o r m e r c a s e i t f o l l o w s

t h a t K = T n K a s i n t h e e a r l i e r c a s e a n d s o P E L ( G , T ) . T h u s t h e l a t t e r

c a s e p e r t a i n s . L e t L b e t h e s u b g r o u p o f G w h i c h f i x e s a l l t h e b l o c k s o f D .

S o L = L 1 x . . . x L s w h e r e e a c h L i = S y m ( A ) f o r A E D . M o r e o v e r , T a c t s

t r a n s i t i v e l y o n t h e s e t { L i

1 T i .

W e c l a i m t h a t K 1 i s a m i n i m a l p a r a b o l i c s u b g r o u p o f L 1 w i t h r e s p e c t t o T 1 .

L e t M 1 b e a m a x i m a l s u b g r o u p o f K 1 c o n t a i n i n g T i . S u p p o s e t h a t M i < K l

f o r s o m e t E T , t h e n K i n K 1 # 1 a n d s o K 1 = K i a n d L i = L 1 .

A s

L 1 = S y m ( A ) f o r s o m e A E D w i t h J A I = 2 d i t f o l l o w s t h a t t o p e r a t e s o n L 1

a s a n i n n e r a u t o m o r p h i s m ( s e e H u p p e r t [ 2 , S a t z 5 ] . ) S i n c e T 1 < K 1 n T = T 1 ,

t o p e r a t e s o n L 1 l i k e a n e l e m e n t o f T 1 a n d t h u s n o r m a l i z e s M 1 . I t f o l l o w s

t h a t I ( M T ) l = J M 1 1 s < I K I a n d t h u s ( M T ) T < M w h e r e M i s t h e u n i q u e

m a x i m a l s u b g r o u p o f P w h i c h c o n t a i n s T . A s K 1

M i t f o l l o w s t h a t M 1

i s t h e u n i q u e m a x i m a l s u b g r o u p o f K 1 c o n t a i n i n g T 1 . T h e r e f o r e , a s J A I i s a

2 - p o w e r , K 1 E L ( L 1 i T 1 ) f o l l o w s b y i n d u c t i o n . F i n a l l y ( K T ) T E L ( G , T ) a n d

t h e t h e o r e m i s c o m p l e t e .

0

L e m m a 4 . 1 S u p p o s e t h a t A a n d A a r e s e t s w i t h I A A > 5 a n d I O I > 1 .



1 5 8


S e t X = S y m ( A ) x S y m ( 6 ) , X * = S y m ( A ) A S y m ( 6 ) , S E S y 1 2 ( X ) a n d

s * = S n x * . I f Y < X * c o n t a i n s S * , t h e n S < N x ( Y ) .

P r o o f : S e t Z = A l t ( A ) x A l t ( 6 ) a n d l e t s = S A S e b e a p r o d u c t o f t h e

t r a n s p o s i t i o n s S A E S n S y m ( A ) a n d s o E S n S y m ( 6 ) . S i n c e S * c l e a r l y

n o r m a l i z e s Y n A l t ( A ) a n d s e c e n t r a l i z e s Y n A l t ( A ) , S = ( S * , s o ) n o r m a l i z e s

Y n A l t ( A ) . S i m i l a r l y , S n o r m a l i z e s Y n A l t ( 6 ) . T h u s w e m a y s u p p o s e t h a t

Y n Z > ( Y n A l t ( A ) ) x ( Y n A l t ( 6 ) ) . B u t , t h e n L e m m a s 2 . 3 a n d 2 . 5 t o g e t h e r

w i t h o u r h y p o t h e s i s i m p l y t h a t I 6 I = 4 o r 5 a n d t h a t Y n Z

N Z ( S n Z ) . O n

t h e o t h e r h a n d , ( Y n A l t ( A ) ) x ( Y n A l t ( 6 ) ) i s a n o r m a l s u b g r o u p o f Y a n d s o

t h e F r a t t i n i a r g u m e n t i m p l i e s t h a t Y = N y ( S n Z ) ( ( Y n A l t ( A ) ) x ( Y n A l t ( 6 ) ) ,

w h i c h , a s [ N Z ( S n Z ) : S n Z ] = 3 , i m p l i e s t h a t N Z ( S n Z ) < Y n Z , a

c o n t r a d i c t i o n .

T o p r o v e T h e o r e m 1 . 2 w e p r o v e a s t r o n g e r r e s u l t w h i c h w i l l i m p l y i t .

T h e o r e m 4 . 2 S u p p o s e t h a t n > 9 a n d P i s a n y s u b g r o u p o f G * w h i c h c o n -

t a i n s T * . T h e n T < N G ( P ) .

P r o o f : L e t M b e a c o u n t e r e x a m p l e t o t h e t h e o r e m w i t h I P I + J Q 1 m i n i m a l .

S u p p o s e t h a t P ¢ M ( G * , T * ) . T h e n t h e r e e x i s t d i s t i n c t m a x i m a l s u b g r o u p s

M 1 a n d M 2 o f P w h i c h p r o p e r l y c o n t a i n T . S i n c e P i s c h o s e n m i n i m a l s u b j e c t

t o n o t b e i n g n o r m a l i z e d b y T , M 1 a n d M 2 a r e b o t h n o r m a l i z e d b y T . T h u s

P = ( M 1 , M 2 ) i s n o r m a l i z e d b y T w h i c h i s a c o n t r a d i c t i o n . T h e r e f o r e , w e

m a y a s s u m e t h a t P E . M ( G * , T * ) .

I f P f i x e s a p o i n t , a E S Z , t h e n P e m b e d s i n t o A l t ( S l \ { a } ) a n d t h e n ,

a s T h a s t h e s a m e o r b i t s t r u c t u r e a s T * , T < S y m ( 1 \ { a } ) a n d w e h a v e a

c o n t r a d i c t i o n t o t h e m i n i m a l c h o i c e o f I P I + I S u J . T h u s P f i x e s n o p o i n t o f Q .

N o w a s s u m e t h a t P i s i n t r a n s i t i v e . L e t A b e a P - o r b i t a n d s e t 6 = S 2 \ A .

S i n c e 1 0 1 > 9 , w e m a y a s s u m e t h a t J A I > 5 a n d s o w e c a n a p p l y L e m m a 4 . 1

t o f i n d t h a t P i s n o r m a l i z e d b y T , w h i c h i s a c o n t r a d i c t i o n . T h u s w e m a y

a s s u m e t h a t P i s t r a n s i t i v e o n Q . S i n c e n > 9 , L e m m a 2 . 1 ( i i ) i m p l i e s t h a t P

i s i m p r i m i t i v e . W e m a y d e a l w i t h t h e c a s e w h e n n i s n o t a 2 - p o w e r e x a c t l y

a s i n t h e p r o o f o f T h e o r e m 1 . 1 . S o w e a s s u m e t h a t n = 2 1 1 . L e t D b e a

s y s t e m o f i m p r i m i t i v i t y f o r P o n w h i c h P a c t s p r i m i t i v e l y a n d l e t K b e t h e

k e r n e l o f t h e o p e r a t i o n o f P o n D . I f K i s a 2 - g r o u p , t h e n , a s T p r e s e r v e s a l l

t h e b l o c k s y s t e m s p r e s e r v e d b y T * , K i s n o r m a l i z e d b y T a n d , a s P o p e r a t e s

p r i m i t i v e l y o n D a n d c o n t a i n s a t r a n s p o s i t i o n , P / K = S y m ( D ) = S y m ( 4 )

b y L e m m a 2 . 2 . T h u s w e s e e t h a t P < P ( 1 ; n 1 - 1 ) E G ( G , T ) a n d s o P i s

n o r m a l i z e d b y T . T h e r e f o r e w e m a y n o w a s s u m e t h a t K i s n o t a 2 - g r o u p . A s

P o p e r a t e s p r i m i t i v e l y o n D w e h a v e I P : K I = 2 a n d K < S y m ( A ) A S y m ( O )

w h e r e 0 = A U 6 a n d I A A = 1 0 1 > 8 . L e t T 1 = T n ( S y m ( A ) x S y m ( 6 ) ) .

T h e n L e m m a 4 . 1 i m p l i e s t h a t T 1 n o r m a l i z e s K . B u t P = K T * a n d s o P i s

n o r m a l i z e d b y T * T 1 = T , a n d w e a r e d o n e .



M i n i m a l p a r a b o l i c s y s t e m s f o r s y m m e t r i c g r o u p s 1 5 9

P r o o f o f T h e o r e m 1 . 2 : S u p p o s e t h e h y p o t h e s i s o f T h e o r e m 1 . 2 h o l d s .

L e t P E M ( G * , T * ) . T h e n T h e o r e m 4 . 2 i m p l i e s t h a t P i s n o r m a l i z e d b y

T , w h e n c e P T i s a s u b g r o u p o f G . I f P E . M ( G , T ) , t h e n t h e t h e o r e m

h o l d s . L e t M 1 a n d M 2 b e d i s t i n c t m a x i m a l s u b g r o u p s o f P T w h i c h c o n t a i n

T a n d l e t M b e t h e u n i q u e m a x i m a l s u b g r o u p o f P w h i c h c o n t a i n s T * . T h e n

( M l n P ) ( M 2 n P ) < M . T h u s , u s i n g T h e o r e m 4 . 2 , M T > M 1 M 2 = P a n d

w e c o n c l u d e t h a t P = M , a c o n t r a d i c t i o n . H e n c e T h e o r e m 1 . 2 h o l d s .

P r o o f o f T h e o r e m 1 . 3 : B e c a u s e o f T h e o r e m 1 . 1 t h e q u e s t i o n n o w i s , h o w d o

w e g e n e r a t e G w i t h a m i n i m a l s e t o f s u b g r o u p s f r o m P ( G , T ) ? F i r s t o f a l l w e

o b s e r v e t h a t t h e m e m b e r s o f £ ( G , T ) p r e s e r v e e a c h o f t h e T - o r b i t s f 2 ; , i E I ,

w h i l e a m e m b e r P ( i + j ) o f F ( G , T ) i s t r a n s i t i v e o n I l , U f 1 , a n d p r e s e r v e s

a l l t h e s y s t e m s o f i m p r i m i t i v i t y o n Q j U f t j w i t h b l o c k s o f s i z e d i v i d i n g I S Z , 1 .

N o w t o g e n e r a t e G w e m u s t , b y L e m m a 2 . 1 ,

( a ) f u s e a l l t h e T - o r b i t s o n f ; a n d

( b ) d e s t r o y a n y i m p r i m i t i v i t y .

W e b e g i n w i t h ( a ) . T o d o t h i s w e u s e t h e e l e m e n t s i n . F ( G , T ) . S i n c e T

h a s e x a c t l y r o r b i t s , a n d P ( i + j ) E . F ( G , T ) f u s e s t h e o r b i t s Q j a n d Q j w e

c a n f o r m t h e c o m p l e t e l a b e l l e d g r a p h F = ( V , E ) w h e r e V = { S Z j

I j E I }

a n d E = T ( G , T ) a n d S Z ; , S t j a r e t h e v e r t i c e s o n t h e e d g e P ( i + j ) .

T o

r e a c h t h e g o a l o f ( a ) w i t h a m i n i m a l n u m b e r o f s u b g r o u p s f r o m P ( G , T )

i t i s n e c e s s a r y a n d s u f f i c i e n t t o s e l e c t t h e e d g e s f r o m a n y s p a n n i n g t r e e o f

F . T h u s a m i n i m a l t r a n s i t i v e s y s t e m o f m i n i m a l p a r a b o l i c s u b g r o u p s o f G

w i t h r e s p e c t t o T c o n t a i n s e x a c t l y r - 1 o f t h e m e m b e r s o f . P ( G , T ) a n d , b y

C a y l e y ' s T h e o r e m [ 7 , T h e o r e m 2 . 1 ] , t h e n u m b e r o f w a y s o f s e l e c t i n g r - 1

s u i t a b l e s u b s e t s o f . F ( G , T ) i s r ' ' - 2 .

N o w l e t { P 1 i P 2 ,

. . . ,

P , . _ 1 } b e a s e t o f r - 1 s u b g r o u p s o f . F ( G , T ) w h i c h

g e n e r a t e a t r a n s i t i v e s u b g r o u p o f G a n d p u t H = ( P 1 , P 2 , . . . , P , . _ 1 ) . T h e n H

o n l y p r e s e r v e s b l o c k s y s t e m s w h i c h h a v e a b l o c k c o n t a i n e d i n S Z , . T h e r e f o r e ,

i f n , = 0 , H i s p r i m i t i v e a n d s o , b y L e m m a 2 . 1 , H = G a n d p a r t ( i i ) h o l d s .

W e n o w u s e i n d u c t i o n o n n , . N o t i c e t h a t H p r e s e r v e s b l o c k s o f i m -

p r i m i t i v i t y o f e v e r y s i z e d i v i d i n g 2 ' y " . L e t V b e a b l o c k s y s t e m f o r H i n

w h i c h t h e b l o c k s h a v e o r d e r 2 . T h e n D i s p r e s e r v e d b y t h e s u b g r o u p s

P ( i ; j ) E L * : = { P ( i ; j ) E C ( G , T ) I

i E I , j > 2 } . W e c o n s i d e r t h e e m -

b e d d i n g o f H a n d t h e s u b g r o u p s i n L * i n t o S y m ( D ) a n d l e t K b e t h e c o r -

r e s p o n d i n g k e r n e l . W e s e e t h a t t h e i m a g e o f L * i s L ( S y m ( D ) , T / K ) ( w h i c h

i f n , = 1 i s e m p t y ) . W e n e x t a p p l y i n d u c t i o n t o o b t a i n m i n i m a l p a r a b o l i c

s y s t e m s ( a n d t h e i r d e s c r i p t i o n s ) f o r S y m ( D ) . E a c h s u c h s y s t e m t h e n g i v e s

a s e t o f s u b g r o u p s i n G w h i c h g e n e r a t e S t a b G ( D ) ( = 2 Z S y m ( D ) ) i n G . W e

n o w i n v e s t i g a t e t h e v a r i o u s c a s e s o f t h e t h e o r e m . I f r = 1 , t h e n , a s n > 3 a n d

n , > 2 , i n d u c t i o n i n d i c a t e s t h a t t h e r e i s a u n i q u e s y s t e m f o r S y m ( D ) . T h i s



1 6 0


i s t h e n e x t e n d e d t o t h e u n i q u e s y s t e m f o r G b y a d d i n g t h e u n i q u e r e m a i n -

i n g e l e m e n t i n C ( G , T ) \ , C * . H e n c e p a r t ( i ) a l s o h o l d s . N e x t a s s u m e t h a t

n , = 1 . T h e n w e h a v e I D I i s o d d a n d s o w e h a v e , b y p a r t ( i i ) , r r - 2 s y s t e m s

f o r S y m ( D ) , a n d a d d i n g a n y o f t h e r - 1 m e m b e r s o f C ( G , T ) \ , C * w i l l g i v e

a m i n i m a l p a r a b o l i c s y s t e m f o r G . T h u s i n t h i s c a s e w e o b t a i n r r - 2 ( r - 1 )

s y s t e m s . I f n , > 1 , t h e n w e h a v e

r n * - 1 + r - 3 ( r

- 1 ) s y s t e m s g e n e r a t i n g H a n d

r c h o i c e s f o r t h e e x t r a m i n i m a l p a r a b o l i c s u b g r o u p i n £ ( G , T ) \ , C * g i v i n g a

g r a n d t o t a l o f r n ° + r - 3 ( r - 1 ) s y s t e m s i n t h i s c a s e , s o g i v i n g ( i i i ) . T h i s c o m -

p l e t e s t h e v e r i f i c a t i o n o f p a r t s ( i ) - ( i i i ) . F r o m P r o p o s i t i o n 3 . 2 w e d e d u c e t h a t

i n t e r s e c t i o n d o e s i n d e e d d e f i n e a f u n c t i o n f r o m t h e p a r a b o l i c s y s t e m s o f G t o

t h e p a r a b o l i c s y s t e m s o f G * . T h e o r e m s 1 . 3 a n d 4 . 2 s h o w t h a t t h i s f u n c t i o n

i s a b i j e c t i o n . H e n c e p a r t ( i v ) h o l d s a n d t h i s c o m p l e t e s t h e p r o o f o f t h e t h e -

o r e m . 0

5 S o m e e x a m p l e s

T o i l l u s t r a t e t h e c o n s t r u c t i v e a s p e c t s o f T h e o r e m s 1 . 1 a n d 1 . 3 w e n o w w o r k

o u t a l l t h e m i n i m a l p a r a b o l i c s u b g r o u p s a n d p a r a b o l i c s y s t e m s f o r S y m ( S 1 )

w i t h n = I Q I = 2 6 . W e m a i n t a i n t h e n o t a t i o n i n t r o d u c e d i n s e c t i o n s 3 a n d

4 . S o n = 1 6 + 8 + 2 = 2 4 + 2 3 + 2 w i t h 1 = Q 1 U Q 2 U 1 3 w h e r e I l l I = 1 6 ,

I Q 2 I = 8 a n d I Q 3 I = 2 . A l s o T = T 1 x T 2 x T 3 w i t h I T 1 I = 2 1 5 , I T 2 I =

2 7

a n d I T 3 I = 2 , a n d I T I = 2 2 3 . S i n c e r = 3 a n d n , = 1 , b y T h e o r e m 1 . 3 ( i i i ) , G

p o s s e s s e s

3 1 + 3 - 3 ( 3

- 1 ) = 6 d i s t i n c t m i n i m a l p a r a b o l i c s y s t e m s w i t h r e s p e c t

t o T . W e b e g i n b y l i s t i n g t h e s u b g r o u p s i n F ( G , T )

P ( 1 + 2 ) = ( ( ( C 2 l C 2 ) 2 C 2 ) I S y m O ) x T 3

P ( 1 + 3 ) ( C 2 2 S y m ( ) ) x T 2

P ( 2 + 3 ) ( C 2 2 S y m ( 5 ) ) x T 1

I n t h e a b o v e t h e s y m m e t r i c g r o u p s S y m ( 3 ) , S y m ( 9 ) a n d S y m ( 5 ) a r e a c t i n g

i n t h e i r n a t u r a l p e r m u t a t i o n r e p r e s e n t a t i o n s o n t h e s y s t e m s o f i m p r i m i t i v e

b l o c k s g i v e n b y ( r e s p e c t i v e l y ) c i 2

( 1 + 2 ) ,

I 3 ( 1 + 3 )

a n d S 2 3

( 2 + 3 )

T u r n i n g t o t h e s e t 1 ( G , T ) , w e f i r s t e x a m i n e t h e P ( 1 ; j ) a n d s u p p o s e

t h a t o u r n o t a t i o n i s c h o s e n s o t h a t t h e b l o c k s y s t e m s p r e s e r v e d b y T i n

S Z l : = { 1 , 2 , . . . , 1 6 } a r e

D l = { { 1 , 2 } , { 3 , 4 } , { 5 , 6 } , { 7 , 8 } , { 9 , 1 0 } , { 1 1 , 1 2 } , { 1 3 , 1 4 } , { 1 5 , 1 6 } }

D 2 = { { 1 , 2 , 3 , 4 } , { 5 , 6 , 7 , 8 } , { 9 , 1 0 , 1 1 , 1 2 } , { 1 3 , 1 4 , 1 5 , 1 6 } } a n d

D 3 = { { 1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6 , 7 , 8 } , { 9 , 1 0 , 1 1 , 1 2 , 1 3 , 1 4 , 1 5 , 1 6 } }

W e t h e n h a v e E 1 ; 1 = { D 2 , D 3 1 , E 1 ; 2 = { D i , D 3 } a n d E 1 ; 3 = { D 1 i D 2 } . T h e n

t h e g r o u p s P ( 1 ; j ) , ( j = 1 , 2 , 3 ) a r e a s f o l l o w s :

P ( 1 ; 1 ) = ( ( S y m ( ) 2 C 2 ) I C 2 ) x T 2 x T 3



M i n i m a l p a r a b o l i c s y s t e m s f o r s y m m e t r i c g r o u p s 1 6 1

( w h e r e S y m ( 4 ) o p e r a t e s i n i t s n a t u r a l p e r m u t a t i o n r e p r e s e n t a t i o n o n t h e s e t

{ 1 , 2 , 3 , 4 } ) ,

P ( 1 ; 2 ) = ( ( C 2 ? S y m ( 4 ) ) 2 C 2 ) x T 2 x T 3


{ { 1 , 2 } , { 3 , 4 } , { 4 , 5 } , { 5 , 6 } } ) ,

P ( 1 ; 3 ) = ( ( C 2 2 C 2 ) 2 S y m ( 4 ) ) x T 2 x T 3


{ { 1 , 2 , 3 , 4 } , { 5 , 6 , 7 , 8 } , { 9 , 1 0 , 1 1 , 1 2 } , { 1 3 , 1 4 , 1 5 , 1 6 } } ) .

T h e r e m a i n i n g m e m b e r s o f G ( G , T ) a r e

P ( 2 ; 1 ) = T 1 x ( S y m ( 4 ) I C 2 ) ' x T 3

a n d

P ( 2 ; 2 ) = T 1 x ( C 2 1 S y m ( 4 ) ) x T 3 .

F i n a l l y u s i n g T h e o r e m 1 . 3 ( i i i ) w e h a v e t h a t t h e m i n i m a l p a r a b o l i c s y s t e m s

f o r G w i t h r e s p e c t t o T a r e a s f o l l o w s .

{ P ( 1 + 2 ) , P ( 1 + 3 ) ,

P ( 1 ; 1 ) )

{ P ( 1 + 2 ) , P ( 1 + 3 ) , P ( 2 ; 1 ) }

{ P ( 1 + 2 ) , P ( 2 + 3 ) ,

P ( 1 ; 1 ) }

{ P ( 1 + 2 ) , P ( 2 + 3 ) , P ( 2 ; 1 ) }

{ P ( 1 + 3 ) , P ( 2 + 3 ) ,

P ( 1 ; 1 ) }

{ P ( 1 + 3 ) , P ( 2 + 3 ) , P ( 2 ; 1 ) }

W e c o n c l u d e t h i s s e c t i o n , a n d t h e p a p e r , w i t h a l i s t o f t h e m i n i m a l p a r a -

b o l i c s u b g r o u p s a n d s y s t e m s f o r A l t ( n ) , 5 < n < 9 . A m o n g t h e s e e x c e p t i o n a l

c a s e s A l t ( 7 ) s t a n d s o u t a s b e i n g p a r t i c u l a r l y w e l l e n d o w e d w i t h m i n i m a l p a -

r a b o l i c s y s t e m s .

n = 5

M ( G * , T * ) = { G * }

n = 6

M ( G * , T * ) = { 2 2 S y m ( 3 ) , 2 2 S y m ( 3 ) }

n = 7

. M ( G * , T * ) = { P o ? ' S y m ( 5 ) , P 1 = S y m ( 4 ) , P 2

S y m ( 3 ) A D 5 ,

P 3 ' - ' S y m ( 4 ) , P 1

S y m ( 4 ) , P 4 = S y m ( 4 ) }

n = 8

M ( G * , T * ) = { 2 5 S y m ( 3 ) , 2 5 S y m ( 3 ) , 2 5 S y m ( 3 ) }

n = 9

. M ( G * , T * ) = { 2 5 S y m ( 3 ) , 2 5 S y m ( 3 ) , 2 5 S y m ( 3 ) , G * }

I n a l l o f t h e a b o v e c a s e s e x c e p t f o r n = 7 , A l t ( n ) h a s a u n i q u e m i n i m a l

p a r a b o l i c s y s t e m , w h e r e a s A l t ( 7 ) h a s e i g h t m i n i m a l p a r a b o l i c s y s t e m s a s

d e t a i l e d b e l o w ( s e e [ 6 , A p p e n d i x t o S e c t i o n 2 ] ) .




{ P 1 , P 3 , P 4 } , { P 1 , P 3 , P 4 } , { P 1 , P 3 , P 1 } ,

{ P 2 i P 3 } , { P o , P 1 } , { P o , P 2 } , { P o , P 3 } , { P 0 , P I } .

A s a f i n a l o b s e r v a t i o n , w e p o i n t o u t t h a t o u r t h e o r e m s a l l h o l d f o r A l t ( n )

w h e n n = 5 o r 6 , w h i l e T h e o r e m 1 . 2 f a i l s f o r n = 7 , 8 a n d 9 , T h e o r e m 1 . 3

f a i l s f o r n = 7 a n d 8 a n d C o r o l l a r y 1 . 4 f a i l s f o r n = 7 .


P a r k e r a n d R o w l e y w e r e p a r t i a l l y s u p p o r t e d b y a n L M S s c h e m e 3 g r a n t .

R e f e r e n c e s


A n A T L A S o f f i n i t e g r o u p s , C l a r e n d o n P r e s s , O x f o r d , 1 9 8 5 .

[ 2 ] B . H u p p e r t , E n d l i c h e G r u p p e n I , S p r i n g e r , B e r l i n , 1 9 6 7 .

[ 3 ] C . J o r d a n , T h e o r e m e s s u r l e s g r o u p e s p r i m i t i f s , J . M a t h . P u r e s A p p l . 1 6

( 1 8 7 1 ) , 3 8 3 - 4 0 8 .

[ 4 ] B . M a r g g r a f , U b e r p r i m i t i v e G r u p p e n m i t t r a n s i t i v e n U n t e r g r u p p e n g e r i n -

g e r e n G r a d e s , D i s s e r t a t i o n , G i e s s e n , 1 8 9 2 .

[ 5 ] M . A . R o n a n a n d S . D . S m i t h , 2 - l o c a l g e o m e t r i e s f o r s o m e s p o r a d i c g r o u p s ,

i n T h e S a n t a C r u z c o n f e r e n c e o n f i n i t e g r o u p s ( e d s . B . C o o p e r s t e i n a n d

G . M a s o n ) , p p . 2 8 3 - 2 8 9 . P r o c e e d i n g s o f S y m p o s i a i n P u r e M a t h e m a t i c s ,

V o l . 3 7 , A m e r i c a n M a t h e m a t i c a l S o c i e t y , 1 9 8 0 .

[ 6 ] M . A . R o n a n a n d G . S t r o t h , M i n i m a l p a r a b o l i c g e o m e t r i e s f o r t h e s p o r a d i c

g r o u p s , E u r o p e a n J . C o m b i n . 5 ( 1 9 8 4 ) , 5 9 - 9 1 .

[ 7 ]

D . S t a n t o n a n d D . W h i t e , C o n s t r u c t i v e c o m b i n a t o r i c s , S p r i n g e r B e r l i n ,

1 9 8 6 .

[ 8 ] H . W i e l a n d t , F i n i t e p e r m u t a t i o n g r o u p s , A c a d e m i c P r e s s , N e w Y o r k ,

1 9 6 4 .



P r o b a b i l i s t i c m e t h o d s i n t h e g e n e r a t i o n o f

f i n i t e s i m p l e g r o u p s

M a r t i n W . L i e b e c k

a n d

A n e r S h a l e v

A b s t r a c t

W e s u r v e y r e c e n t p r o g r e s s , m a d e u s i n g p r o b a b i l i s t i c m e t h o d s , o n

s e v e r a l p r o b l e m s c o n c e r n i n g g e n e r a t i o n o f f i n i t e s i m p l e g r o u p s . F o r

e x a m p l e , w e o u t l i n e a p r o o f t h a t a l l b u t f i n i t e l y m a n y c l a s s i c a l g r o u p s

d i f f e r e n t f r o m P S p 4 ( q ) ( q = 2 ° o r 3 ° ) c a n b e g e n e r a t e d b y a n i n v o l u -

t i o n a n d a n e l e m e n t o f o r d e r 3 .

1

R e s u l t s

I n t h i s s u r v e y w e p r e s e n t s o m e n e w m e t h o d s a n d r e s u l t s i n t h e s t u d y o f

g e n e r a t i n g s e t s f o r t h e f i n i t e ( n o n a b e l i a n ) s i m p l e g r o u p s . T h e r e s u l t s a r e

l a r g e l y t a k e n f r o m t h e t h r e e p a p e r s [ 1 6 ] , [ 1 7 ] , [ 1 8 ] . W e s h a l l p r e s e n t t h e

r e s u l t s i n t h i s f i r s t s e c t i o n , a n d o u t l i n e s o m e p r o o f s i n s e c t i o n s 2 a n d 3 . W e

b e g i n b y d e s c r i b i n g s o m e o f t h e b a s i c q u e s t i o n s a n d w o r k i n t h e a r e a .

I t i s a w e l l k n o w n c o n s e q u e n c e o f t h e c l a s s i f i c a t i o n t h a t e v e r y f i n i t e s i m p l e

g r o u p c a n b e g e n e r a t e d b y t w o e l e m e n t s . T h i s r e s u l t w a s e s t a b l i s h e d e a r l y t h i s

c e n t u r y f o r t h e a l t e r n a t i n g g r o u p s b y M i l l e r [ 2 3 ] a n d f o r t h e g r o u p s P S L 2 ( q )

b y D i c k s o n [ 8 ] . V a r i o u s o t h e r s i m p l e g r o u p s w e r e h a n d l e d b y B r a h a n a [ 5 ]

a n d b y A l b e r t a n d T h o m p s o n [ 1 ] , b u t i t w a s n o t u n t i l 1 9 6 2 t h a t S t e i n b e r g

[ 2 6 ] s h o w e d t h a t a l l f i n i t e s i m p l e g r o u p s o f L i e t y p e c a n b e g e n e r a t e d b y t w o

e l e m e n t s . T o c o m p l e t e t h e p i c t u r e , i n 1 9 8 4 A s c h b a c h e r a n d G u r a l n i c k [ 2 ]

e s t a b l i s h e d t h e s a m e c o n c l u s i o n f o r s p o r a d i c g r o u p s .

A r e f i n e m e n t o f t h e t w o e l e m e n t g e n e r a t i o n q u e s t i o n a s k s w h e t h e r e v e r y

f i n i t e s i m p l e g r o u p c a n b e g e n e r a t e d b y a n i n v o l u t i o n a n d a f u r t h e r e l e m e n t .

P a r t i a l r e s u l t s o n t h i s q u e s t i o n w e r e o b t a i n e d i n t h e a b o v e - m e n t i o n e d p a p e r s

[ 2 3 ] , [ 5 ] , [ 1 ] , [ 2 ] , b u t o n l y r e c e n t l y h a s t h e q u e s t i o n b e e n a n s w e r e d c o m p l e t e l y ,

i n t h e a f f i r m a t i v e , b y M a l l e , S a x l a n d W e i g e l [ 2 2 ] .

A n o t h e r , m u c h - s t u d i e d , r e f i n e m e n t a s k s w h i c h f i n i t e s i m p l e g r o u p s a r e

( 2 , 3 ) - g e n e r a t e d ( t h a t i s , a r e g e n e r a t e d b y a n e l e m e n t o f o r d e r 2 a n d a n e l -

e m e n t o f o r d e r 3 ) . T h i s q u e s t i o n h a s a t t r a c t e d w i d e a t t e n t i o n t h r o u g h o u t

1 6 3



1 6 4


t h i s c e n t u r y , o n e r e a s o n b e i n g t h a t ( 2 , 3 ) - g e n e r a t e d g r o u p s a r e p r e c i s e l y t h e

i m a g e s o f P S L 2 ( Z ) . ( N o t i c e t h a t s o m e s i m p l e g r o u p s a r e d e f i n i t e l y n o t ( 2 , 3 ) -

g e n e r a t e d ; f o r e x a m p l e , t h e S u z u k i g r o u p s 2 B 2 ( q ) d o n o t p o s s e s s e l e m e n t s o f

o r d e r 3 . ) T h e q u e s t i o n i s f a r f r o m b e i n g c o m p l e t e l y a n s w e r e d , a l t h o u g h t h e r e

h a s b e e n c o n s i d e r a b l e r e c e n t p r o g r e s s , m a i n l y f o r c l a s s i c a l g r o u p s . F o r e x a m -

p l e , a s t h e c u l m i n a t i o n o f w o r k o f m a n y a u t h o r s , i t i s n o w k n o w n t h a t f o r a l l

o d d p r i m e p o w e r s q a n d f o r a l l n ( w i t h t h e e x c e p t i o n o f ( n , q ) = ( 2 , 9 ) ) , t h e

s i m p l e g r o u p P S L n ( q ) i s ( 2 , 3 ) - g e n e r a t e d ( s e e [ 2 1 ] f o r n = 2 , [ 1 0 ] f o r n = 3 ,

[ 2 7 ] f o r n = 4 , [ 2 5 ] f o r n > 1 3 ( w h e r e t h e r e s t r i c t i o n o n q i s n o t n e e d e d ) , a n d

[ 6 ] , [ 7 ] f o r t h e r e m a i n i n g c a s e s ) . S o m e o t h e r c l a s s i c a l g r o u p s o f l a r g e r a n k

( s u c h a s P S p 2 n ( q ) f o r n > 3 7 ) a r e d e a l t w i t h i n [ 2 8 ] . A l l t h i s w o r k i s d e t e r -

m i n i s t i c i n n a t u r e ; s u i t a b l e p a i r s o f e l e m e n t s o f t h e g r o u p s i n q u e s t i o n a r e

c o n s t r u c t e d , a n d a r e s h o w n t o g e n e r a t e t h e g r o u p . A w i d e v a r i e t y o f t o o l s

a n d m e t h o d s i s e m p l o y e d i n t h e s e p a p e r s , a n d t h e p r o o f s t e n d t o b e c o m e

i n c r e a s i n g l y c o m p l i c a t e d . T h e b a s i c c o n j e c t u r e i n t h e f i e l d i s t h a t a l l f i n i t e

s i m p l e c l a s s i c a l g r o u p s , e x c e p t f o r s o m e g r o u p s o f l o w r a n k i n c h a r a c t e r i s t i c

2 a n d 3 , a r e ( 2 , 3 ) - g e n e r a t e d .

I n f a c t , e a c h o f t h e a b o v e q u e s t i o n s c a n p r o f i t a b l y b e l o o k e d a t f r o m a

p r o b a b i l i s t i c p o i n t o f v i e w . T h e s t o r y s t a r t s i n 1 8 9 2 , w i t h a c o n j e c t u r e o f

N e t t o [ 2 4 ] , t h a t m o s t p a i r s o f e l e m e n t s o f t h e s y m m e t r i c g r o u p g e n e r a t e t h e

s y m m e t r i c g r o u p o r t h e a l t e r n a t i n g g r o u p . T h i s c o n j e c t u r e w a s p r o v e d b y

D i x o n [ 9 ] i n 1 9 6 9 . I n h i s p a p e r ( w r i t t e n p r i o r t o t h e c l a s s i f i c a t i o n ) , D i x o n

m a k e s t h e f o l l o w i n g r a t h e r g e n e r a l c o n j e c t u r e .

D i x o n ' s C o n j e c t u r e T w o e l e m e n t s c h o s e n a t r a n d o m f r o m a f i n i t e s i m p l e

g r o u p G g e n e r a t e G w i t h p r o b a b i l i t y - + 1 a s I G I - + o o .

I n o t h e r w o r d s , t h e c o n j e c t u r e s t a t e s t h a t i f

P ( G ) =

I { ( x , y ) E G x G : ( x , y ) = G } 1

I G 1 2

( s o t h a t P ( G ) i s t h e p r o b a b i l i t y t h a t a r a n d o m l y c h o s e n p a i r o f e l e m e n t s

g e n e r a t e s G ) , t h e n P ( G ) - 4 1 a s I G I - 4 o o . D i x o n ' s p a p e r [ 9 ] c o n t a i n s a p r o o f

o f h i s c o n j e c t u r e f o r t h e a l t e r n a t i n g g r o u p s A l t ( n ) . T w e n t y y e a r s l a t e r B a b a i

[ 4 ] w a s a b l e t o f i n d t h e e x a c t g e n e r a t i o n p r o b a b i l i t y ( u p t o a s m a l l e r r o r t e r m ) :

h e s h o w e d t h a t P ( A l t ( n ) ) = 1 - n - 1 + O ( n - 2 ) . ( T h e n - 1 t e r m c o m e s f r o m

t h e f a c t t h a t t h i s i s t h e p r o b a b i l i t y t h a t t w o r a n d o m l y c h o s e n p e r m u t a t i o n s

f i x a p o i n t . ) F o r g r o u p s o f L i e t y p e , a n i m p o r t a n t c o n t r i b u t i o n w a s m a d e b y

K a n t o r a n d L u b o t z k y [ 1 3 ] i n 1 9 9 0 ; t h e y c o n f i r m e d D i x o n ' s c o n j e c t u r e f o r t h e

c l a s s i c a l g r o u p s , a n d f o r s o m e s m a l l r a n k e x c e p t i o n a l g r o u p s o f L i e t y p e ( s e e

a l s o [ 1 2 ] ) . U n l i k e t h e w o r k o f D i x o n , w h i c h u s e s o n l y e l e m e n t a r y a r g u m e n t s ,

t h e p r o o f s o f B a b a i a n d o f K a n t o r a n d L u b o t z k y r e l y o n t h e C l a s s i f i c a t i o n

T h e o r e m , a n d o n s u i t a b l e i n f o r m a t i o n o n t h e s u b g r o u p s t r u c t u r e o f t h e s i m p l e



P r o b a b i l i s t i c m e t h o d s f o r s i m p l e g r o u p s 1 6 5

g r o u p s i n q u e s t i o n .

O u r f i r s t r e s u l t i s a s f o l l o w s .

T h e o r e m 1 [ 1 6 ] D i x o n ' s c o n j e c t u r e h o l d s .

W e o u t l i n e o u r p r o o f o f t h i s r e s u l t i n s e c t i o n s 2 a n d 3 .

P r e c i s e e s t i m a t e s f o r t h e g e n e r a t i o n p r o b a b i l i t i e s P ( G ) f o r g r o u p s G o f L i e

t y p e a r e o b t a i n e d i n [ 1 8 ] , 6 . 1 a n d 6 . 2 ( s e e a l s o [ 1 2 ] , 3 . 3 ) . R o u g h l y s p e a k i n g ,

t h e s e e s t i m a t e s i m p l y t h a t i f t w o r a n d o m l y c h o s e n e l e m e n t s d o n o t g e n e r a t e

G , t h e n w i t h p r o b a b i l i t y t e n d i n g t o 1 , t h e y l i e i n o n e o f a f e w s p e c i f i e d " l a r g e "

s u b g r o u p s o f G . W i t h a f e w e x c e p t i o n s , t h e s e s p e c i f i e d s u b g r o u p s a r e ( 1 ) t h e

p a r a b o l i c s u b g r o u p s o f l a r g e s t o r d e r , a n d ( 2 ) t h e s t a b i l i z e r s i n c e r t a i n c l a s s i c a l

g r o u p s o f n o n s i n g u l a r 1 - s p a c e s . F o r e x a m p l e , i f n > 8 t h e n

P ( L n ( q ) ) = 1 -

p ( n ,

2

q ) +

O ( p ( n ,

q ) - 5 1 4 ) ,

w h e r e p ( n , q ) = ( q n - 1 ) / ( q - 1 ) , a n d

P ( E 8 ( q ) ) = 1 - 1 + O ( p ( q ) - i s / i 5 ) ,

p ( q )

w h e r e p ( q ) i s t h e i n d e x i n E 8 ( q ) o f a p a r a b o l i c s u b g r o u p o f t y p e E 7 .

A s a r e f i n e m e n t o f D i x o n ' s c o n j e c t u r e , K a n t o r a n d L u b o t z k y ( [ 1 3 ] , C o n -

j e c t u r e 1 ) s u g g e s t e d t h a t t h e r e s u l t s u b s e q u e n t l y p r o v e d i n [ 2 2 ] ( t h a t e v e r y

s i m p l e g r o u p i s g e n e r a t e d b y a n i n v o l u t i o n a n d a f u r t h e r e l e m e n t ) m i g h t h a v e

a p r o b a b i l i s t i c v e r s i o n .

K a n t o r - L u b o t z k y C o n j e c t u r e L e t G b e a f i n i t e s i m p l e g r o u p . T h e n t h e

p r o b a b i l i t y t h a t a r a n d o m l y c h o s e n i n v o l u t i o n o f G a n d a r a n d o m l y c h o s e n

a d d i t i o n a l e l e m e n t g e n e r a t e G t e n d s t o 1 a s I G I - > o o .

O u r n e x t r e s u l t i s :

T h e o r e m 2 ( [ 1 7 ] , 1 . 1 a n d [ 1 8 ] , 1 . 1 ) T h e K a n t o r - L u b o t z k y c o n j e c t u r e h o l d s .

T h i s i s p r o v e d f o r c l a s s i c a l g r o u p s i n [ 1 7 ] a n d f o r e x c e p t i o n a l g r o u p s i n

[ 1 8 ] ; w e o u t l i n e t h e p r o o f f o r c l a s s i c a l g r o u p s i n s e c t i o n 2 , a n d m a k e s o m e

r e m a r k s o n t h e p r o o f f o r e x c e p t i o n a l g r o u p s a t t h e e n d o f s e c t i o n 3 .

J u s t t o s h o w t h a t n o t a l l c o n j e c t u r e s i n t h i s f i e l d a r e t r u e , w e n o t e t h a t

a s t r o n g e r c o n j e c t u r e m a d e b y K a n t o r a n d L u b o t z k y ( s e e [ 1 3 ] , C o n j e c t u r e 2 )

h a s r e c e n t l y b e e n r e f u t e d b y G u r a l n i c k , K a n t o r a n d S a x ] [ 1 1 ] . T h i s c o n j e c t u r e

s t a t e s t h a t i f G i s a s i m p l e g r o u p , x i s a f i x e d n o n - i d e n t i t y e l e m e n t o f G , a n d

y i s r a n d o m l y c h o s e n i n G , t h e n ( x , y ) = G w i t h p r o b a b i l i t y t e n d i n g t o 1 a s

I G I

o o . I n [ 1 1 ] i t i s s h o w n t h a t t h e c o n j e c t u r e i s f a l s e w h e n G i s a l t e r n a t i n g



1 6 6


a n d x i s a 3 - c y c l e , a n d a l s o w h e n G i s a c l a s s i c a l g r o u p o v e r l F q w i t h q f i x e d ,

a n d x i s a l o n g r o o t e l e m e n t o f G . O n t h e o t h e r h a n d , i n [ 1 1 ] t h e c o n j e c t u r e

i s p r o v e d t o b e t r u e i f G = G ( q ) i s o f L i e t y p e o f b o u n d e d r a n k o v e r l F q , a n d

q - 4 0 0 .

O u r m e t h o d o f p r o v i n g T h e o r e m 2 h a s s o m e a d d i t i o n a l b y - p r o d u c t s .

T h e o r e m 3 ( [ 1 7 ] , 1 . 2 ) L e t G b e a f i n i t e s i m p l e c l a s s i c a l g r o u p .

( i ) T h e p r o b a b i l i t y t h a t t h r e e r a n d o m l y c h o s e n i n v o l u t i o n s x , y , z o f G g e n -

e r a t e G t e n d s t o 1 a s I G I - + o o .

( i i ) T h e s a m e i s t r u e i f w e l e t x , y , z b e r a n d o m l y c h o s e n e l e m e n t s o f a

l a r g e s t c o n j u g a c y c l a s s o f i n v o l u t i o n s i n G .

I t f o l l o w s f r o m p a r t ( i ) a b o v e t h a t a l l b u t f i n i t e l y m a n y s i m p l e c l a s s i c a l

g r o u p s c a n b e g e n e r a t e d b y t h r e e i n v o l u t i o n s , a r e s u l t w h i c h a l r e a d y f o l l o w s

f r o m [ 2 2 ] . H o w e v e r , t h e p r o b l e m o f f i n d i n g t h e f i n i t e s i m p l e ( c l a s s i c a l ) g r o u p s

w h i c h c a n b e g e n e r a t e d b y t h r e e c o n j u g a t e i n v o l u t i o n s i s s t i l l v e r y m u c h o p e n .

P a r t ( i i ) o f T h e o r e m 3 g i v e s r i s e t o t h e f o l l o w i n g n e w r e s u l t .

C o r o l l a r y 4 A l l b u t f i n i t e l y m a n y o f t h e f i n i t e s i m p l e c l a s s i c a l g r o u p s c a n b e

g e n e r a t e d b y t h r e e c o n j u g a t e i n v o l u t i o n s .

T h e n e x t r e s u l t i s t h e a n a l o g u e o f t h e K a n t o r - L u b o t z k y c o n j e c t u r e , w i t h

e l e m e n t s o f o r d e r 3 r e p l a c i n g i n v o l u t i o n s . N o t e t h a t t h e S u z u k i g r o u p s a r e o f

c o u r s e g e n u i n e e x c e p t i o n s i n t h e s t a t e m e n t , a s t h e y d o n o t c o n t a i n e l e m e n t s

o f o r d e r 3 .

T h e o r e m 5 ( [ 1 7 ] , 7 . 1 ( i i i ) a n d [ 1 8 ] , 1 . 2 ) L e t G b e a f i n i t e s i m p l e g r o u p w h i c h

i s n o t a S u z u k i g r o u p . T h e n t h e p r o b a b i l i t y t h a t a r a n d o m l y c h o s e n e l e m e n t

o f o r d e r 3 a n d a r a n d o m l y c h o s e n a d d i t i o n a l e l e m e n t o f G g e n e r a t e G t e n d s

t o 1 a s I G I - 4 o o .

C o n s e q u e n t l y , a p a r t f r o m t h e S u z u k i g r o u p s a n d f i n i t e l y m a n y o t h e r p o s s i -

b l e e x c e p t i o n s , a l l f i n i t e s i m p l e g r o u p s c a n b e g e n e r a t e d b y t w o e l e m e n t s , o n e

o f w h i c h h a s o r d e r 3 .

A g a i n , t h i s i s p r o v e d f o r c l a s s i c a l g r o u p s i n [ 1 7 ] a n d f o r e x c e p t i o n a l g r o u p s

i n [ 1 8 ] ; w e s k e t c h t h e p r o o f f o r c l a s s i c a l g r o u p s i n s e c t i o n 2 .

N e x t w e m o v e o n t o t h e ( 2 , 3 ) - g e n e r a t i o n p r o b l e m d i s c u s s e d a b o v e . O u r

m a i n c o n t r i b u t i o n i s t h e n e x t r e s u l t ; t h e p r o o f i s s k e t c h e d i n s e c t i o n 2 .

T h e o r e m 6 ( [ 1 7 ] , 1 . 4 ) L e t G b e a f i n i t e s i m p l e c l a s s i c a l g r o u p d i f f e r e n t f r o m

P S p 4 ( q ) . T h e n t h e p r o b a b i l i t y t h a t a r a n d o m l y c h o s e n i n v o l u t i o n o f G a n d a

r a n d o m l y c h o s e n e l e m e n t o f o r d e r 3 g e n e r a t e G t e n d s t o 1 a s I G I - + 0 0 .

I f G = P S p 4 ( p a ) , w h e r e p i s a p r i m e e x c e e d i n g 3 , t h e n t h e a b o v e p r o b a b i l i t y

t e n d s t o 2 a s I G I - + o o .




C o r o l l a r y 7 A l l b u t f i n i t e l y m a n y o f t h e f i n i t e s i m p l e c l a s s i c a l g r o u p s w h i c h

a r e d i f f e r e n t f r o m P S p 4 ( q ) ( q = 2 a o r 3 a ) a r e ( 2 , 3 ) - g e n e r a t e d .

S i n c e n o r e s t r i c t i o n s a r e m a d e o n t h e c h a r a c t e r i s t i c o f t h e u n d e r l y i n g f i e l d ,

t h i s r e s u l t s e e m s t o b e n e w e v e n f o r g r o u p s s u c h a s P S L n ( q ) f o r 5 < n < 1 2 , i f

q i s e v e n . F o r m a n y o t h e r f a m i l i e s o f c l a s s i c a l g r o u p s t h e r e s u l t i s a l s o n e w i n

o d d c h a r a c t e r i s t i c . I t w o u l d b e i n t e r e s t i n g t o k n o w w h e t h e r t h e d e t e r m i n i s t i c

m e t h o d s u s e d s o f a r i n t h e i n v e s t i g a t i o n o f t h e ( 2 , 3 ) - g e n e r a t i o n p r o b l e m c o u l d

y i e l d r e s u l t s s u c h a s C o r o l l a r y 7 .

T h e n e x t r e s u l t s e t t l e s t h e r e m a i n i n g c a s e o f 4 - d i m e n s i o n a l s y m p l e c t i c

g r o u p s i n c h a r a c t e r i s t i c 2 a n d 3 .

T h e o r e m 8 ( [ 1 7 ] , 1 . 6 ) L e t p = 2 o r 3 , a n d l e t q = p a . T h e n P S p 4 ( q ) i s n o t

( 2 , 3 ) - g e n e r a t e d .

W e t h e r e f o r e o b t a i n t w o i n f i n i t e f a m i l i e s o f s i m p l e c l a s s i c a l g r o u p s w h i c h

a r e n o t i m a g e s o f t h e m o d u l a r g r o u p . T h i s i s r a t h e r u n e x p e c t e d . T h e o n l y

p r e v i o u s l y k n o w n i n f i n i t e f a m i l y o f n o n ( 2 , 3 ) - g e n e r a t e d f i n i t e s i m p l e g r o u p s

w a s t h a t o f t h e S u z u k i g r o u p s , w h i c h s i m p l y d o n o t p o s s e s s e l e m e n t s o f o r d e r

3 . O f c o u r s e , i t f o l l o w s f r o m T h e o r e m 6 t h a t t h e r e a r e n o m o r e e x c e p t i o n a l

f a m i l i e s a m o n g t h e c l a s s i c a l g r o u p s .

I t m u s t b e a d m i t t e d t h a t o u r p r o b a b i l i s t i c a p p r o a c h h a s s o m e d i s a d v a n -

t a g e s .

F i r s t , i t d o e s n o t y i e l d a n e x p l i c i t l i s t o f e x c e p t i o n s i n C o r o l l a r y 7

( t h o u g h i n p r i n c i p l e s u c h a l i s t c o u l d b e w o r k e d o u t b y a c a r e f u l a n a l y s i s o f

t h e p r o o f ) . S e c o n d l y , e v e n w h e n w e c o n c l u d e t h a t a c e r t a i n g r o u p i s ( 2 , 3 ) -

g e n e r a t e d , w e d o n o t o b t a i n a n e x p l i c i t p a i r o f g e n e r a t o r s x , y d e m o n s t r a t i n g

t h i s . H o w e v e r , t h e n e x t r e s u l t s h o w s t h a t a t l e a s t o n e o f t h e r e q u i r e d g e n e r -

a t o r s c a n b e d e t e r m i n e d r a t h e r e a s i l y .

T h e p o i n t i s t h a t t h e p r o o f o f T h e o r e m 6 a c t u a l l y s h o w s a b i t m o r e ,

n a m e l y : i f C 2 , C 3 C G a r e c o n j u g a c y c l a s s e s o f l a r g e s t s i z e o f e l e m e n t s o f

o r d e r 2 a n d 3 r e s p e c t i v e l y , t h e n a r a n d o m e l e m e n t o f C 2 a n d a r a n d o m e l e -

m e n t o f C 3 w i l l a l m o s t c e r t a i n l y g e n e r a t e G . T h i s g i v e s r i s e t o t h e f o l l o w i n g .

C o r o l l a r y 9 [ 1 7 ] T h e r e e x i s t s a c o n s t a n t c w i t h t h e f o l l o w i n g p r o p e r t y : l e t

G 0 P S p 4 ( q ) b e a f i n i t e s i m p l e c l a s s i c a l g r o u p o f o r d e r a t l e a s t c , a n d l e t

C 2 , C 3 C G b e a s a b o v e ; t h e n f o r e a c h e l e m e n t x E C 2 t h e r e e x i s t s a n e l e m e n t

y E C 3 s u c h t h a t ( x , y ) = G .

C o n v e r s e l y , w e c a n f i x y E C 3 a n d c o n c l u d e t h a t f o r s o m e x E C 2 w e h a v e

( x , y ) = G .

T h e e s t i m a t e s o b t a i n e d i n t h e p r o o f o f o u r ( 2 , 3 ) - g e n e r a t i o n r e s u l t s a l s o

e s t a b l i s h t h e f o l l o w i n g .



1 6 8 M . W . L i e b e c k a n d A . S h a l e v

T h e o r e m 1 0 ( [ 1 7 ] , 1 . 7 ) L e t G # P S p 4 ( q ) b e a f i n i t e s i m p l e c l a s s i c a l g r o u p .

T h e n t h e p r o b a b i l i t y t h a t t w o r a n d o m l y c h o s e n e l e m e n t s x , y o f o r d e r 3 i n G

g e n e r a t e G t e n d s t o 1 a s I G I o o . F u r t h e r m o r e , t h e s a m e h o l d s i f w e c h o o s e

x , y f r o m a l a r g e s t c o n j u g a c y c l a s s o f e l e m e n t s o f o r d e r 3 i n G .

C o r o l l a r y 1 1 A l l b u t f i n i t e l y m a n y o f t h e f i n i t e s i m p l e c l a s s i c a l g r o u p s w h i c h

a r e d i f f e r e n t f r o m P S p 4 ( q ) c a n b e g e n e r a t e d b y t w o c o n j u g a t e e l e m e n t s o f

o r d e r 3 .

I t i s w o r t h m e n t i o n i n g t h a t a l l t h e r e s u l t s a b o v e a l s o h o l d f o r a l t e r n a t i n g

g r o u p s ( w i t h m u c h e a s i e r p r o o f s ) . M o r e g e n e r a l r e s u l t s f o r a l t e r n a t i n g g r o u p s

w i l l a p p e a r i n a f o r t h c o m i n g p a p e r o f P y b e r ( s e e a l s o L u c z a k a n d P y b e r [ 2 0 ] ) .

I t s h o u l d a l s o b e m e n t i o n e d t h a t o u r t e c h n i q u e s c a n p r o b a b l y h a n d l e m o r e

g e n e r a l ( a , b ) - g e n e r a t i o n p r o b l e m s ( a g r o u p i s s a i d t o b e ( a , b ) - g e n e r a t e d i f i t

c a n b e g e n e r a t e d b y a n e l e m e n t o f o r d e r a a n d a n e l e m e n t o f o r d e r b ) .

2

P r o o f s : c l a s s i c a l g r o u p s

I n t h i s s e c t i o n w e m a k e s o m e r e m a r k s o n t h e p r o o f s o f s o m e o f t h e r e s u l t s

s t a t e d i n s e c t i o n 1 c o n c e r n i n g c l a s s i c a l g r o u p s .

L e t G b e a f i n i t e s i m p l e g r o u p . F o r a f i n i t e g r o u p H a n d a p o s i t i v e i n t e g e r

s , l e t i s ( H ) d e n o t e t h e n u m b e r o f e l e m e n t s o f H o f o r d e r s . I f s , t a r e p o s i t i v e

i n t e g e r s , l e t P 8 , t ( G ) b e t h e p r o b a b i l i t y t h a t t w o r a n d o m l y c h o s e n e l e m e n t s o f

o r d e r s s a n d t g e n e r a t e G , T h u s

P s t ( G ) -

i { ( x , y ) E G x G : J x J = s , J y j = t , ( x , y ) = G } J

i s ( G ) i t ( G )

L e t Q B , t ( G ) = 1 - P 3 , t ( G ) b e t h e c o m p l e m e n t a r y p r o b a b i l i t y . D e f i n e P 9 , t , r ( G ) ,

Q s , t , r ( G ) f o r p o s i t i v e i n t e g e r s s , t , r i n s i m i l a r f a s h i o n . W e u s e * t o d e n o t e

u n s p e c i f i e d o r d e r ; t h u s i , ( G ) = I G I , a n d t h e q u a n t i t y P ( G ) d e f i n e d i n s e c t i o n

1 i s t h e s a m e a s P # , * ( G ) .

W i t h t h e a b o v e n o t a t i o n , D i x o n ' s c o n j e c t u r e s t a t e s t h a t P . , . ( G ) - 4 1 ( a s

I G I - + o o ) ; t h e K a n t o r - L u b o t z k y c o n j e c t u r e t h a t P 2 , * ( G ) - 4 1 ; T h e o r e m 3 ( i )

t h a t P 2 , 2 , 2 ( G ) - + 1 ( f o r G c l a s s i c a l ) ; T h e o r e m 5 t h a t P 3 , . ( G ) - * 1 ( f o r G n o t a

S u z u k i g r o u p ) ; T h e o r e m 6 t h a t P 2 , 3 ( G ) - * 1 ( f o r G c l a s s i c a l , G # P S p 4 ( q ) ) ;

a n d T h e o r e m 1 0 t h a t P 3 , 3 ( G ) - + 1 ( f o r G c l a s s i c a l , G : h P S p 4 ( q ) ) .

A s s u m e n o w t h a t G i s c l a s s i c a l . W e d e s c r i b e a u n i f o r m a p p r o a c h t o a l l t h e

a b o v e r e s u l t s . L e t s , t E { 2 , 3 , * } , a n d c h o o s e a t r a n d o m e l e m e n t s x , y E G

o f o r d e r s , t r e s p e c t i v e l y .

I f ( x , y ) # G , t h e n x , y E M f o r s o m e m a x i m a l

s u b g r o u p M o f G . T h e p r o b a b i l i t y o f t h i s e v e n t , g i v e n M , i s

i N r i M

C o n s e q u e n t l y

= 8 ( G )

i t ( G )

i 8 ( M ) i t ( M )

Q , , t ( G ) C

E

M a x c

i 5 ( G )

i t ( G )




L e t t i n g M b e a s e t o f r e p r e s e n t a t i v e s f o r t h e c o n j u g a c y c l a s s e s o f t h e m a x i m a l

s u b g r o u p s o f G , w e s e e t h a t

t Q s ( G )

s ( M ) i ( M )

, I G : M I .

M E M

i s ( G )

i t ( G )

( 1 )

T o s h o w t h a t P 3 , t ( G )

1 i n t h e v a r i o u s c a s e s , i t s u f f i c e s t o s h o w t h a t t h e

r i g h t h a n d s i d e o f t h e i n e q u a l i t y ( 1 ) t e n d s t o 0 a s I G I - * o o . C l e a r l y o n e o f

t h e k e y s t o d o i n g t h i s l i e s i n e s t i m a t i n g t h e q u a n t i t i e s , 4

f o r s = 2 , 3 .

T o d o t h i s , w e f i r s t o b t a i n e s t i m a t e s f o r i 2 ( G ) a n d i 3 ( G ) . S i n c e t h e c o n j u -

g a c y c l a s s e s i n G o f i n v o l u t i o n s a n d o f e l e m e n t s o f o r d e r 3 a r e k n o w n , t h i s c a n

b e c a r r i e d o u t q u i t e r o u t i n e l y . F o r g r o u p s o f l a r g e r a n k w e f i n d t h a t i 2 ( G ) i s

r o u g h l y I G I 1 / 2 a n d i 3 ( G ) i s r o u g h l y I G I 2 / 3

H a v i n g d o n e t h i s , w e n e x t e s t i m a t e i 2 ( M ) a n d i 3 ( M ) f o r e a c h m a x i m a l

s u b g r o u p M o f G . T h i s i s t h e h a r d c o r e o f t h e p r o o f . T h e r e s u l t s o n t h e

m a x i m a l s u b g r o u p s o f G g i v e n i n [ 3 ] , [ 1 4 ] p l a y a c r u c i a l r o l e h e r e . F o r m a x i m a l

s u b g r o u p s M w h i c h a r e c l o s e t o s i m p l e g r o u p s t h e e s t i m a t e s o f t h e p r e v i o u s

p a r a g r a p h a r e a p p l i c a b l e , b u t i n g e n e r a l ( f o r e x a m p l e w h e n M i s p a r a b o l i c )

m u c h e x t r a w o r k n e e d s t o b e d o n e . I t u l t i m a t e l y f o l l o w s f r o m o u r e s t i m a t e s

t h a t t h e r e e x i s t s a c o n s t a n t c s u c h t h a t

i 2 ( M )

< c I G : M I - 2 / 5

( 2 )

i 2 ( G ) -

a n d , w i t h a f e w e x c e p t i o n s ( s u c h a s G = P S p 4 ( q ) ) ,

i 3 ( M )

< c I G : M I - 8 / 1 3

( 3 )

i 3 ( G ) -

P u t t i n g t o g e t h e r ( 1 ) , ( 2 ) a n d ( 3 ) w e o b t a i n

Q s , t ( G ) <

I G : M I - - 1 , 1

( 4 )

M E M

w h e r e a . , , = 1 , a 2 , . = 2 / 5 , a n d w i t h a f e w e x c e p t i o n s , a 3 , . = 8 / 1 3 , a 2 , 3 =

1 / 6 5 , a 3 , 3 = 3 / 1 3 . ( A n d s i m i l a r l y Q 2 , 2 , 2 ( G ) < E I G :

M I - 1 1 5 . )

I n p a r t i c u l a r ,

a s , t i s p o s i t i v e i n e a c h c a s e .

T h u s w e a r e l e d t o d e f i n e a " z e t a f u n c t i o n " ( G ( s ) , e n c o d i n g t h e i n d i c e s o f

m a x i m a l s u b g r o u p s , a s f o l l o w s :

( G ( s )

I G : M I - s .

M E M

T h e f i n a l s t e p i n t h e p r o o f i s t o s h o w t h a t i f s > 0 t h e n ( G ( s ) - 3 0 a s I G I - 4 o o

( f o r c l a s s i c a l g r o u p s G ) . T h i s i s c a r r i e d o u t i n [ 1 7 ] , T h e o r e m 2 . 1 . T h e o r e m s

1 , 3 , 5 , 6 a n d 1 0 ( f o r c l a s s i c a l g r o u p s G ) f o l l o w f r o m t h i s f a c t , c o m b i n e d w i t h

( 4 ) .



1 7 0


3

P r o o f s : e x c e p t i o n a l g r o u p s

T h e a p p r o a c h d e s c r i b e d i n s e c t i o n 2 f o r t h e c l a s s i c a l g r o u p s d o e s n o t w o r k f o r

e x c e p t i o n a l g r o u p s ( a t l e a s t t h o s e o f r a n k 4 o r m o r e ) , b e c a u s e o f i n s u f f i c i e n t

k n o w l e d g e a b o u t t h e m a x i m a l s u b g r o u p s o f s u c h g r o u p s . I n d e e d , f o r o u r

p r o o f s o f T h e o r e m s 1 , 2 a n d 5 i n t h e c a s e w h e r e G i s e x c e p t i o n a l , w e f i n d i t

n e c e s s a r y f i r s t t o o b t a i n n e w i n f o r m a t i o n o n m a x i m a l s u b g r o u p s ( a l t h o u g h

f o r t h e m o s t p a r t t h i s f o l l o w s q u i c k l y f r o m t h e r e c e n t w o r k i n [ 1 5 ] , [ 1 9 ] o n

s u c h m a t t e r s ) .

T o i l l u s t r a t e , w e s k e t c h o u r p r o o f o f T h e o r e m 1 f o r G e x c e p t i o n a l . A s i n

s e c t i o n 2 , w e k n o w t h a t

Q ( G ) = 1 - P ( G ) < E I G : M I - 2 .

M m a x G

( 5 )

T h u s t h e a i m i s t o s h o w t h a t t h e r i g h t h a n d s i d e t e n d s t o 0 a s I G I - + o o . W e

m a y a s w e l l a s s u m e t h a t G i s o f t y p e F 4 , E 6 , 2 E 6 , E 7 o r E 8 ( a s t h e m a x i m a l

s u b g r o u p s o f t h e o t h e r ( s m a l l r a n k ) e x c e p t i o n a l g r o u p s a r e k n o w n ) .

T o e s t i m a t e t h e r i g h t h a n d s i d e o f ( 5 ) , w e p a r t i t i o n t h e s e t o f m a x i m a l

s u b g r o u p s o f G i n t o t w o s e t s , K a n d U : t h e s e t U c o n s i s t s o f a l l a l m o s t

s i m p l e m a x i m a l s u b g r o u p s o f G o f o r d e r a t m o s t I G I 5 1 1 3 , a n d K c o n s i s t s o f

t h e r e m a i n i n g m a x i m a l s u b g r o u p s . I n [ 1 6 ] , T h e o r e m 1 . 2 , w e s h o w t h a t K

c o n s i s t s o f a s m a l l n u m b e r o f c o n j u g a c y c l a s s e s o f s u b g r o u p s , a l l o f w h i c h a r e

k n o w n . F r o m t h i s i t f o l l o w s e a s i l y t h a t

E I G : M I - 2 _ + 0 .

M E 1 C

( 6 )

I t r e m a i n s t o e s t i m a t e E M E U I G : M I - 2 . L e t M E U , s o M h a s s i m p l e s o c l e , S

s a y , o f o r d e r s . B y [ 2 2 ] , S i s g e n e r a t e d b y a n i n v o l u t i o n a n d a f u r t h e r e l e m e n t

o f G , s o t a k i n g a c c o u n t o f m u l t i p l i c i t i e s w e f i n d t h a t t h e n u m b e r o f c h o i c e s

f o r M E U w i t h s o c l e i s o m o r p h i c t o S i s a t m o s t i 2 ( G ) I G I / s . H e n c e t h e

c o n t r i b u t i o n o f t h e s e s u b g r o u p s t o t h e s u m i n q u e s t i o n i s , r o u g h l y s p e a k i n g ,

a t m o s t

i 2 ( G ) I G I

s 2 i 2 ( G ) s

- I G I

s

I G I 2

N o w b y d e f i n i t i o n o f i t , w e k n o w t h a t s <

I G I 5 / 1 3 . a n d

w e c h e c k f r o m t h e

l i t e r a t u r e o n i n v o l u t i o n s i n e x c e p t i o n a l g r o u p s t h a t i 2 ( G ) < c I G l 7 / 1 3 f o r s o m e

c o n s t a n t c . C o n s e q u e n t l y t h e a b o v e c o n t r i b u t i o n i s a t m o s t

c I G I - 1 1 1 3 .

S i n c e

t h e n u m b e r o f d i v i s o r s s o f I G I i s a t m o s t I G I a M , a n d t h e r e a r e a t m o s t t w o

s i m p l e g r o u p s o f a n y g i v e n o r d e r s ( u p t o i s o m o r p h i s m ) , w e c o n c l u d e t h a t

I G : M I - 2 - * 0 .

( 7 )

M E U




T h e o r e m 1 n o w f o l l o w s f r o m ( 5 ) , ( 6 ) a n d ( 7 ) .

W e n o t e t h a t t h e p r o o f o f T h e o r e m 2 f o r e x c e p t i o n a l g r o u p s o f L i e t y p e

i n v o l v e s m o r e d e l i c a t e a r g u m e n t s . I n f a c t , i n c o u n t i n g " u n k n o w n " a l m o s t

s i m p l e m a x i m a l s u b g r o u p s M i n a n e x c e p t i o n a l g r o u p G , w e u s e t h e f a c t ( e s -

t a b l i s h e d i n C o r o l l a r y 7 ) t h a t t h e c l a s s i c a l g r o u p s a r e u s u a l l y ( 2 , 3 ) - g e n e r a t e d .

N o w , i f t h e s o c l e S o f t h e m a x i m a l s u b g r o u p M i s ( 2 , 3 ) - g e n e r a t e d , t h e n b y

c o u n t i n g g e n e r a t i n g p a i r s c o n s i s t i n g o f e l e m e n t s o f o r d e r s 2 a n d 3 ( a n d t a k i n g

a c c o u n t o f m u l t i p l i c i t i e s ) w e f i n d t h a t G h a s a t m o s t i 2 ( G ) i 3 ( G ) / I S J m a x i m a l

s u b g r o u p s w h i c h a r e i s o m o r p h i c t o M ( o r w h o s e s o c l e i s i s o m o r p h i c t o S ) .

W h i l e t h i s u p p e r b o u n d i s p r o b a b l y s t i l l f a r f r o m b e s t p o s s i b l e , i t i m p r o v e s

t h e b o u n d o b t a i n e d i n t h e p r e v i o u s p a r a g r a p h , a n d i t i s s t r o n g e n o u g h f o r

t h e p u r p o s e o f p r o v i n g T h e o r e m 2 . W e t h e r e f o r e s e e t h a t ( 2 , 3 ) - g e n e r a t i o n

o f c l a s s i c a l g r o u p s y i e l d s n e w r e s u l t s o n r a n d o m g e n e r a t i o n o f e x c e p t i o n a l

g r o u p s o f L i e t y p e .

R e f e r e n c e s

[ 1 ] A . A . A l b e r t a n d J . G . T h o m p s o n , T w o e l e m e n t g e n e r a t i o n o f t h e p r o -

j e c t i v e u n i m o d u l a r g r o u p , I l l i n o i s J . M a t h . 3 ( 1 9 5 9 ) , 4 2 1 - 4 3 9 .

[ 2 ] M . A s c h b a c h e r a n d R . G u r a l n i c k , S o m e a p p l i c a t i o n s o f t h e f i r s t c o h o -

m o l o g y g r o u p , J . A l g e b r a 9 0 ( 1 9 8 4 ) , 4 4 6 - 4 6 0 .

[ 3 ] M . A s c h b a c h e r , O n t h e m a x i m a l s u b g r o u p s o f t h e f i n i t e c l a s s i c a l g r o u p s ,

I n v e n t . M a t h . 7 6 ( 1 9 8 4 ) , 4 6 9 - 5 1 4 .

[ 4 ] L . B a b a i , T h e p r o b a b i l i t y o f g e n e r a t i n g t h e s y m m e t r i c g r o u p , J . C o m b i n .

T h e o r y S e r . A . 5 2 ( 1 9 8 9 ) , 1 4 8 - 1 5 3 .

[ 5 ] H . R . B r a h a n a , P a i r s o f g e n e r a t o r s o f t h e k n o w n s i m p l e g r o u p s w h o s e

o r d e r s a r e l e s s t h a n o n e m i l l i o n , A n n . o f M a t h . ( 2 ) 3 1 ( 1 9 3 0 ) , 5 2 9 - 5 4 9 .

[ 6 ] L . D i M a r t i n o a n d N . V a v i l o v , ( 2 , 3 ) - g e n e r a t i o n o f S L ( n , q ) , I , c a s e s n =

5 , 6 , 7 , C o m m . A l g e b r a 2 2 ( 1 9 9 4 ) , 1 3 2 1 - 1 3 4 7 .

[ 7 ] L . D i M a r t i n o a n d N . V a v i l o v , ( 2 , 3 ) - g e n e r a t i o n o f S L ( n , q ) , I I , c a s e s

n > 8 , C o m m . A l g e b r a 2 4 ( 1 9 9 6 ) , 4 8 7 - 5 1 5 .

[ 8 ] L . E . D i c k s o n , L i n e a r g r o u p s w i t h a n e x p o s i t i o n o f t h e G a l o i s f i e l d t h e o r y ,

T e u b n e r , L e i p z i g , 1 9 0 1 ; r e p r i n t e d , D o v e r , 1 9 5 8 .

[ 9 ] J . D . D i x o n , T h e p r o b a b i l i t y o f g e n e r a t i n g t h e s y m m e t r i c g r o u p , M a t h .

Z . 1 1 0 ( 1 9 6 9 ) , 1 9 9 - 2 0 5 .



1 7 2


[ 1 0 ] D . G a r b e , U b e r e i n e K l a s s e v o n a r i t h m e t i s c h d e f i n i e r b a r e n N o r m a l t e i l e r n

d e r M o d u l g r u p p e , M a t h . A n n . 2 3 5 ( 1 9 7 8 ) , 1 9 5 - 2 1 5 .

[ 1 1 ] R . M . G u r a l n i c k , W . M . K a n t o r a n d J . S a x l , T h e p r o b a b i l i t y o f g e n e r -

a t i n g a c l a s s i c a l g r o u p , C o m m . A l g e b r a 2 2 ( 1 9 9 4 ) , 1 3 9 5 - 1 4 0 2 .

[ 1 2 ] W . K a n t o r , S o m e t o p i c s i n a s y m p t o t i c g r o u p t h e o r y , i n G r o u p s , c o m b i n a -

t o r i c s a n d g e o m e t r y ( e d s . M . W . L i e b e c k a n d J . S a x l ) , p p . 4 0 3 - 4 2 1 . L o n -

d o n M a t h . S o c . L e c t u r e N o t e S e r i e s 1 6 5 , C a m b r i d g e U n i v e r s i t y P r e s s ,

1 9 9 2 .

[ 1 3 ] W . M . K a n t o r a n d A . L u b o t z k y , T h e p r o b a b i l i t y o f g e n e r a t i n g a f i n i t e

c l a s s i c a l g r o u p , G e o m . D e d i c a t a 3 6 ( 1 9 9 0 ) , 6 7 - 8 7 .

[ 1 4 ] P . B . K l e i d m a n a n d M . W . L i e b e c k , T h e s u b g r o u p s t r u c t u r e o f t h e f i n i t e

c l a s s i c a l g r o u p s , L o n d o n M a t h . S o c . L e c t u r e N o t e S e r i e s 1 2 9 , C a m b r i d g e


[ 1 5 ] M . W . L i e b e c k a n d G . M . S e i t z , M a x i m a l s u b g r o u p s o f e x c e p t i o n a l

g r o u p s o f L i e t y p e , f i n i t e a n d a l g e b r a i c , G e o m . D e d i c a t a 3 6 ( 1 9 9 0 ) , 3 5 3 -

3 8 7 .

[ 1 6 ] M . W . L i e b e c k a n d A . S h a l e v , T h e p r o b a b i l i t y o f g e n e r a t i n g a f i n i t e

s i m p l e g r o u p , G e o m . D e d i c a t a 5 6 ( 1 9 9 5 ) , 1 0 3 - 1 1 3 .

[ 1 7 ] M . W . L i e b e c k a n d A . S h a l e v , C l a s s i c a l g r o u p s , p r o b a b i l i s t i c m e t h o d s ,

a n d t h e ( 2 , 3 ) - g e n e r a t i o n p r o b l e m , A n n . o f M a t h . 1 4 4 ( 1 9 9 6 ) , 7 7 - 1 2 5 .

[ 1 8 ] M . W . L i e b e c k a n d A . S h a l e v , S i m p l e g r o u p s , p r o b a b i l i s t i c m e t h o d s , a n d

a c o n j e c t u r e o f K a n t o r a n d L u b o t z k y , J . A l g e b r a 1 8 4 ( 1 9 9 6 ) , 3 1 - 5 7 .

[ 1 9 ] M . W . L i e b e c k , J . S a x l a n d D . M . T e s t e r m a n , S i m p l e s u b g r o u p s o f l a r g e

r a n k i n g r o u p s o f L i e t y p e , P r o c . L o n d o n M a t h . S o c . 7 2 ( 1 9 9 6 ) , 4 2 5 - 4 5 7 .

[ 2 0 ] T . L u c z a k a n d L . P y b e r , O n r a n d o m g e n e r a t i o n o f t h e s y m m e t r i c g r o u p ,

C o m b i n . P r o b a b . C o m p u t . 2 ( 1 9 9 3 ) , 5 0 5 - 5 1 2 .

[ 2 1 ] A . M . M a c b e a t h , G e n e r a t o r s o f t h e l i n e a r f r a c t i o n a l g r o u p s , P r o c . S y m -

p o s . P u r e M a t h . 1 2 ( 1 9 6 7 ) , 1 4 - 3 2 .

[ 2 2 ] G . M a l l e , J . S a x l a n d T . W e i g e l , G e n e r a t i o n o f c l a s s i c a l g r o u p s , G e o m .

D e d i c a t a 4 9 ( 1 9 9 4 ) , 8 5 - 1 1 6 .

[ 2 3 ] G . A . M i l l e r , O n t h e g r o u p s g e n e r a t e d b y t w o o p e r a t o r s , B u l l . A m e r .

M a t h . S o c . 7 ( 1 9 0 1 ) , 4 2 4 - 4 2 6 .



P r o b a b i l i s t i c m e t h o d s f o r s i m p l e g r o u p s

1 7 3

[ 2 4 ] E . N e t t o , T h e t h e o r y o f s u b s t i t u t i o n s , C h e l s e a , N e w Y o r k , 1 9 6 4 ( r e p r i n t

o f t h e 1 8 9 2 e d i t i o n ) .

[ 2 5 ] P . S a n c h i n i a n d M . C . T a m b u r i n i , C o n s t r u c t i v e ( 2 , 3 ) - g e n e r a t i o n : a p e r -

m u t a t i o n a l a p p r o a c h , R e n d . S e m . M a t . F i s . M i l a n o L X I V ( 1 9 9 4 ) , 1 4 1 -

1 5 8 .

[ 2 6 ] R . S t e i n b e r g , G e n e r a t o r s f o r s i m p l e g r o u p s , C a n a d . J . M a t h . 1 4 ( 1 9 6 2 ) ,

2 7 7 - 2 8 3 .

[ 2 7 ] M . C . T a m b u r i n i a n d F . V a s s a l o , ( 2 , 3 ) - g e n e r a z i o n e d i S L ( 4 , q ) i n c a r a t -

t e r i s t i c a d i s p a r i e p r o b l e m i c o l l e g a t i , B o l l . U n . M a t . I t a l . ( 7 ) 8 - B ( 1 9 9 4 ) ,

1 2 1 - 1 3 4 .

[ 2 8 ] M . C . T a m b u r i n i , J . S . W i l s o n a n d N . G a v i o l i , T h e ( 2 , 3 ) - g e n e r a t i o n o f

s o m e c l a s s i c a l g r o u p s , J . A l g e b r a 1 6 8 ( 1 9 9 4 ) , 3 5 3 - 3 7 0 .




K l a u s L u x

a n d

M a r k u s W i e g e l m a n n

A b s t r a c t

W e d e s c r i b e a n a l g o r i t h m t h a t p e r f o r m s t h e c o n d e n s a t i o n o f a r -

b i t r a r y t e n s o r p r o d u c t m o d u l e s f o r g r o u p a l g e b r a s o v e r f i n i t e f i e l d s .

T h i s a l g o r i t h m i s v e r y h e l p f u l i n s t u d y i n g t h e s u b m o d u l e s t r u c t u r e

a n d d e t e r m i n i n g s u b q u o t i e n t s o f t e n s o r p r o d u c t s .


L e t G b e a f i n i t e g r o u p , p b e a p r i m e n u m b e r , F b e a f i n i t e f i e l d o f c h a r a c -

t e r i s t i c p , F G b e t h e g r o u p a l g e b r a , H b e a s u b g r o u p o f G o f o r d e r p r i m e

t o p , a n d e H : _ > h E H h . T h e o b j e c t i v e o f t h i s p a p e r i s t o d e s c r i b e a n

a l g o r i t h m w h i c h , g i v e n t w o F G - m o d u l e s V a n d W , c o n s t r u c t s t h e c o n d e n s e d

t e n s o r p r o d u c t m o d u l e ( V O F W ) e H f o r t h e c o n d e n s a t i o n a l g e b r a e H F G e H .

T h i s a l g o r i t h m p l a y s a n i m p o r t a n t r o l e i n d e t e r m i n i n g p - m o d u l a r c h a r a c t e r

t a b l e s o f f i n i t e s i m p l e g r o u p s , s e e f o r e x a m p l e [ 4 ] . I t s m a i n a p p l i c a t i o n i s t h e

a n a l y s i s o f l a r g e t e n s o r p r o d u c t m o d u l e s f o r t h e g r o u p a l g e b r a F G u s i n g t h e

c o n d e n s a t i o n m e t h o d , s e e [ 1 3 ] . T h e c o n d e n s a t i o n m e t h o d i s b a s e d o n a c l o s e

r e l a t i o n s h i p b e t w e e n t h e c a t e g o r y o f f i n i t e l y g e n e r a t e d , r i g h t F G - m o d u l e s a n d

t h e c a t e g o r y o f f i n i t e l y g e n e r a t e d , r i g h t e H F G e H - m o d u l e s f o r t h e s u b a l g e b r a

e H F G e H o f F G , s e e f o r e x a m p l e [ 3 ] .

I f o n e w a n t s t o e x p l o i t t h i s r e l a t i o n s h i p o n e i s f a c e d w i t h t h e f o l l o w i n g t a s k :

G i v e n a m a t r i x r e p r e s e n t a t i o n o f F G o n t h e F G - m o d u l e V , d e t e r m i n e a m a -

t r i x r e p r e s e n t a t i o n o f e H F G e H o n t h e c o n d e n s e d e H F G e H - m o d u l e V e H . T h i s

p r o c e s s i s c a l l e d c o n d e n s a t i o n o f t h e F G - m o d u l e V , a n d t h e m a t r i x r e p r e s e n -

t a t i o n o n V e H w i l l b e c a l l e d t h e c o n d e n s e d m a t r i x r e p r e s e n t a t i o n . O b s e r v e

t h a t t h e e H F G e H - m o d u l e V e H i s a n F - s u b s p a c e o f t h e F G - m o d u l e V . G i v e n

a n e H F G e H - s u b m o d u l e W o f V e H , t h e c a l c u l a t i o n o f t h e e m b e d d i n g o f W

i n t o V i s c a l l e d u n c o n d e n s i n g W . T h i s c a n b e d o n e i f t h e e x p l i c i t e m b e d d i n g

o f V e H i n t o V h a s b e e n d e t e r m i n e d b e f o r e h a n d . S i n c e t h e c o n d e n s e d m o d u l e

o f t h e F G - s u b m o d u l e W F G i s a g a i n W , s e e [ 7 ] , w e c a n u s e t h e p r o c e s s o f

1 7 4




1 7 5

u n c o n d e n s i n g t o c o n s t r u c t F G - s u b m o d u l e s o f V f r o m e H F G e H - s u b m o d u l e s

o f V e H .

T h e f i r s t p r o g r a m s f o r c a l c u l a t i n g c o n d e n s e d m o d u l e s w e r e w r i t t e n b y

P a r k e r a n d T h a c k r a y , s e e [ 1 5 ] , f o r t h e c l a s s o f F G - p e r m u t a t i o n m o d u l e s . N o t e

t h a t i n t h i s c a s e t h e c o n d e n s e d m a t r i x r e p r e s e n t a t i o n c a n b e o b t a i n e d w i t h -

o u t f i r s t c o n s t r u c t i n g a m a t r i x r e p r e s e n t a t i o n o f F G o n t h e F G - p e r m u t a t i o n

m o d u l e .

I n [ 1 3 ] , A . R y b a g a v e a g e n e r a l d e s c r i p t i o n o f c o n d e n s a t i o n i n c l u d i n g a n a l -

g o r i t h m f o r t h e c o n d e n s a t i o n o f a n t i s y m m e t r i c p o w e r s o f a g i v e n F G - m o d u l e .

H e r e w e p r o v e b y g i v i n g a n e x p l i c i t a l g o r i t h m t h a t t h e c o n d e n s a t i o n o f

a r b i t r a r y t e n s o r p r o d u c t s c a n b e p e r f o r m e d w i t h o u t c o n s t r u c t i n g a r e p r e -

s e n t a t i o n f o r t h e t e n s o r p r o d u c t m o d u l e i t s e l f . F o r t h e r e a d e r f a m i l i a r w i t h

t h e M e a t A x e , s e e [ 1 0 ] , w e d e s c r i b e h o w u s e f u l t h i s m e t h o d i s f o r a n a l y s i n g

m o d u l e s t r u c t u r e s o f l a r g e t e n s o r p r o d u c t m o d u l e s a n d t h u s f o r d e t e r m i n i n g

p - m o d u l a r c h a r a c t e r t a b l e s o f f i n i t e s i m p l e g r o u p s , f o r e x a m p l e .

I n s e c t i o n 1 , w e s t a t e s o m e b a s i c r e s u l t s a b o u t t h e c o n d e n s a t i o n o f t e n s o r

p r o d u c t s .

I n a d d i t i o n t o t h e t h e o r e t i c a l d e s c r i p t i o n , w e g i v e a f i r s t r o u g h

o u t l i n e o f o u r c o n d e n s a t i o n m e t h o d .

T h e m a i n p r o g r a m i s d e s c r i b e d i n s e c t i o n 2 . I t r e l i e s o n a v e r y e f f i c i e n t w a y

o f s t o r i n g a b a s i s f o r t h e c o n d e n s e d m o d u l e a n d o f p e r f o r m i n g t h e p r o j e c t i o n

o n t o t h e c o n d e n s e d m o d u l e . H e r e w e r e q u i r e s p e c i a l b a s e s w i t h r e s p e c t t o

w h i c h t h e i n p u t m a t r i x r e p r e s e n t a t i o n s o f F G o n t h e F G - m o d u l e s a r e g i v e n .

I n a d d i t i o n , w e d e s c r i b e a p r o g r a m f o r e m b e d d i n g e l e m e n t s o f t h e c o n d e n s e d

t e n s o r p r o d u c t m o d u l e i n t o t h e t e n s o r p r o d u c t m o d u l e . I t c a n b e u s e d t o

u n c o n d e n s e a g i v e n s u b m o d u l e o f t h e c o n d e n s e d t e n s o r p r o d u c t m o d u l e a n d

h e n c e c a n b e u s e d t o c o n s t r u c t m a t r i x r e p r e s e n t a t i o n s o n s u b m o d u l e s o f t h e

t e n s o r p r o d u c t m o d u l e .

I n s e c t i o n 3 , w e d e s c r i b e t w o m e t h o d s f o r c a l c u l a t i n g t h e s p e c i a l b a s e s ,

r e f l e c t i n g t h e s e m i s i m p l i c i t y o f t h e r e s t r i c t i o n o f a g i v e n F G - m o d u l e t o F H .

T h e s e s p e c i a l b a s e s a r e r e q u i r e d f o r t h e c o n d e n s a t i o n a l g o r i t h m s t a t e d i n

s e c t i o n 2 . T h e f i r s t i s b a s e d o n p e a k w o r d s , w h i c h w e r e i n t r o d u c e d b y L u x ,

M u l l e r a n d R i n g e i n [ 7 ] , a n d t h e s e c o n d m e t h o d i s b a s e d o n t h e g e n e r a l i z e d

S c h u r r e l a t i o n s .

F i n a l l y , s e c t i o n 4 d e m o n s t r a t e s t h e u s e o f o u r p r o g r a m s . W e c o n s t r u c t a

n e w m a t r i x r e p r e s e n t a t i o n o f d i m e n s i o n 5 1 7 o v e r G F ( 5 ) f o r t h e s p o r a d i c s i m -

p l e L y o n s g r o u p . I t a p p e a r s - a s p r e d i c t e d b y A . R y b a - i n t h e t e n s o r p r o d u c t

o f t h e k n o w n 1 1 1 - d i m e n s i o n a l r e p r e s e n t a t i o n w i t h i t s e l f . A t a b l e c o n t a i n i n g

t h e r u n n i n g t i m e s a n d s o m e r e f e r e n c e s t o f u r t h e r a p p l i c a t i o n s c o m p l e t e t h i s

s e c t i o n .



1 7 6


1 P r e l i m i n a r y r e s u l t s

T h r o u g h o u t t h i s p a p e r l e t G b e a f i n i t e g r o u p a n d F G b e t h e g r o u p a l g e b r a o f

G o v e r a f i n i t e f i e l d F o f c h a r a c t e r i s t i c p . F u r t h e r m o r e , l e t H b e a s u b g r o u p o f

G o f o r d e r p r i m e t o p a n d l e t e H : _ j x > h E H h . N o t e t h a t e H i s a n i d e m p o t e n t

a n d t h a t f o r a g i v e n F G - m o d u l e V t h e s p a c e V e H i s t h e s u b s p a c e o f e l e m e n t s

o f V f i x e d b y H . M o r e o v e r , w e d e n o t e t h e r e s t r i c t i o n o f t h e F G - m o d u l e V

t o F H b y V F H . I f V a n d W a r e t w o F G - m o d u l e s t h e n w e u s e t h e s h o r t h a n d

n o t a t i o n V ® W f o r t h e t e n s o r p r o d u c t m o d u l e V O F W . F u r t h e r m o r e , i f

V i s a n F G - m o d u l e t h e n V * = H o m F ( V , F ) d e n o t e s t h e c o n t r a g r e d i e n t F G -

m o d u l e .

D e f i n i t i o n 1 . 1 W e d e f i n e t h e c o n d e n s a t i o n a l g e b r a c o r r e s p o n d i n g t o e H a s

t h e s u b a l g e b r a e H F G e H o f F G . F o r a n F G - m o d u l e V , t h e e H F G e H - m o d u l e

V e H i s c a l l e d t h e c o n d e n s e d m o d u l e .

T h e a i m o f t h i s s e c t i o n i s t o g i v e a t h e o r e t i c a l , b a s i s i n d e p e n d e n t d e s c r i p -

t i o n o f a n a l g o r i t h m w h i c h g i v e n F G - m o d u l e s V a n d W i n t h e f o r m o f m a t r i x

r e p r e s e n t a t i o n s o f F G c o m p u t e s t h e c o n d e n s e d r e p r e s e n t a t i o n o f e H F G e H o n

t h e c o n d e n s e d t e n s o r p r o d u c t m o d u l e . B e f o r e w e g i v e a n o u t l i n e o f t h e a l g o -

r i t h m , w e f i r s t m e n t i o n t h e f o l l o w i n g r e d u c t i o n .

P r o p o s i t i o n 1 . 2 L e t V a n d W b e F G - m o d u l e s .

T h e i r r e s t r i c t i o n s t o t h e

s e m i s i m p l e s u b a l g e b r a F H c a n b e d e c o m p o s e d i n t o d i r e c t s u m s o f s i m p l e F H -

s u b m o d u l e s , s a y

M S

n s *

V F H = ® ® S i a n d W F H = ® ® T j ,

S i = 1 S j = 1

w h e r e S r u n s t h r o u g h a s e t o f r e p r e s e n t a t i v e s f o r t h e i s o m o r p h i s m t y p e s o f

s i m p l e F H - m o d u l e s , m s a n d n s a r e t h e m u l t i p l i c i t i e s o f S r e s p e c t i v e l y S * a s

a c o n s t i t u e n t o f V F H r e s p e c t i v e l y W F H , a n d S = ' S i , S * - T j f o r 1 < i < m s

a n d 1 < j < n s . . N o t e t h a t w e a l l o w m s a n d n s . t o b e z e r o . T h e n

m s , n s *

( V ® W ) e H = ® ® ( S i ( 9 T j ) e H .

S i = 1 , j = 1

P r o o f : T h e s t a t e m e n t f o l l o w s i m m e d i a t e l y f r o m t h e d i s t r i b u t i v i t y o f t h e t e n -

s o r p r o d u c t a n d t h e o b s e r v a t i o n t h a t f o r g i v e n s i m p l e F H - m o d u l e s S a n d T

w e h a v e ( S & T ) - F H H o m F ( S * , T ) , s e e [ 2 ] , a n d t h e r e f o r e ( S ® T ) e H

H o m F H ( S * , T ) i s n o n - z e r o i f a n d o n l y i f S * = T .

W e n o w t r a n s l a t e t h e a b o v e r e d u c t i o n i n t o a n a l g o r i t h m f o r c o n d e n s i n g

t e n s o r p r o d u c t s .




1 7 7

A l g o r i t h m 1 . 3 ( C o n c e p t u a l ) L e t t h e n o t a t i o n b e a s i n P r o p o s i t i o n 1 . 2 .

T h e n t h e c o n d e n s e d e H F G e H - m o d u l e ( V ( D W ) e H c a n b e d e t e r m i n e d b y t h e

f o l l o w i n g s t e p s .

1 . D e t e r m i n e t h e p a i r w i s e n o n i s o m o r p h i c c o n s t i t u e n t s S l , . . . , S 8 o f V F H

a n d T 1 , . . . , T t o f W F H t o g e t h e r w i t h t h e i r m u l t i p l i c i t i e s m i o f S i a n d n j

o f T j . S o r t t h e m s u c h t h a t S i = T i f o r 1 < i < s . T h i s i m p l i e s t h a t w e

h a v e t o a l l o w t h e m u l t i p l i c i t y o f T 3 i n W t o b e z e r o .

2 . F o r a l l i w i t h 1 < i < s a n d b o t h m i a n d n i n o n - z e r o , d e t e r m i n e a b a s i s

Q i o f ( S i ( 9 T i ) e H . T h e n a b a s i s Q o f ( V ® W ) e H c a n b e e a s i l y d e r i v e d

f r o m t h e Q i b y a " c o n c a t e n a t i o n " p r o c e d u r e . S e e s e c t i o n 2 .

3 . F o r g E G d e t e r m i n e t h e a c t i o n o f e H g e H o n ( V ® W ) e H w i t h r e s p e c t

t o t h e b a s i s Q . T h i s i s d o n e b y p r o j e c t i n g t h e e l e m e n t s q g f o r q E Q b y

e H o n t o ( V ( 9 W ) e H a n d e x p r e s s i n g t h e r e s u l t a s a l i n e a r c o m b i n a t i o n

o f t h e e l e m e n t s o f Q .

O f c o u r s e t h e m a t r i x o f e H g e H o n ( V 0 W ) e H w i t h r e s p e c t t o Q s h o u l d

b e c a l c u l a t e d w i t h o u t b u i l d i n g t h e l a r g e t e n s o r p r o d u c t m a t r i c e s e x p l i c i t l y .

I t w i l l b e s h o w n i n t h e n e x t s e c t i o n , t h a t t h i s i s i n d e e d p o s s i b l e , p r o v i d e d t h e

b a s e s f o r t h e m a t r i x r e p r e s e n t a t i o n s o f V a n d W a r e c h o s e n c a r e f u l l y .

2

T h e c o n d e n s a t i o n a l g o r i t h m

2 . 1

N o t a t i o n s a n d b a s i c d e f i n i t i o n s

T h r o u g h o u t t h i s s e c t i o n w e w i l l a s s u m e t h a t w e a r e g i v e n t w o F G - m o d u l e s

V o f d i m e n s i o n m a n d W o f d i m e n s i o n n w i t h b a s e s B o f V a n d C o f W . W e

d e n o t e t h e m a t r i x r e p r e s e n t a t i o n o f F G o n V w i t h r e s p e c t t o B b y M a n d

t h e m a t r i x r e p r e s e n t a t i o n o f F G o n W w i t h r e s p e c t t o C b y N . M o r e o v e r ,

w e d e f i n e a b a s i s B 0 C o f V ® W b y

( b l ® c l , b l ® C 2 , . . . , b i ® c n , b 2 ( 9 C l , . . . , b 2 ® C n , . . . , b m ® c i , . . . , b m ® c n . ) .

T h e m a t r i x o f g E G w i t h r e s p e c t t o t h e b a s i s B ® C i s t h e n g i v e n b y t h e

K r o n e c k e r p r o d u c t o f t h e m a t r i c e s M ( g ) w i t h N ( g ) .

W e a r e n o w g o i n g t o d e s c r i b e a n a l g o r i t h m t h a t d e r i v e s a m a t r i x r e p r e -

s e n t a t i o n f o r t h e e H F G e H - m o d u l e ( V 0 W ) e H d i r e c t l y f r o m M a n d N .

D e f i n i t i o n 2 . 1 L e t A b e a f i n i t e - d i m e n s i o n a l F - a l g e b r a a n d l e t V b e a

s e m i s i m p l e A - m o d u l e . M o r e o v e r , l e t t h e c o n s t i t u e n t s o f V b e t h e p a i r w i s e

n o n i s o m o r p h i c s i m p l e A - m o d u l e s S l ,

. . .

, S 8 f w h e r e S i o c c u r s w i t h m u l t i p l i c i t y

m i > 0 . F u r t h e r m o r e , l e t M i b e a m a t r i x r e p r e s e n t a t i o n f o r t h e A - m o d u l e S i ,



1 7 8


w h e r e 1 < i < s . A b a s i s B o f V i s c a l l e d a s y m m e t r y b a s i s o f V w i t h r e s p e c t

t o t h e s e q u e n c e [ M l , . . . , M 3 ] , s e e a l s o [ 1 4 ] , i f t h e m a t r i x r e p r e s e n t a t i o n M o f

A o n t h e A - m o d u l e V w i t h r e s p e c t t o B s a t i s f i e s t h e f o l l o w i n g c o n d i t i o n : t h e

m a t r i c e s M ( a ) f o r a l l a E A a r e b l o c k d i a g o n a l m a t r i c e s , t h e s e q u e n c e o n

t h e d i a g o n a l b e i n g [ M l ( a ) , . . . , M l ( a ) , M 2 ( a ) , . . . , M S ( a ) , . . . , M S ( a ) ] , w h e r e

t h e m a t r i x M i ( a ) a p p e a r s m i t i m e s f o r 1 < i < s , t h a t i s

n

M ( a ) =

M l ( a )

M i ( a )

0

0

M 3 ( a )

M S ( a )

V

I n t h e n e x t s e c t i o n , w e w i l l g i v e t w o a l g o r i t h m s t h a t c o m p u t e a s y m m e t r y

b a s i s f o r a s e m i s i m p l e A - m o d u l e g i v e n b y a m a t r i x r e p r e s e n t a t i o n . I n t h i s

s e c t i o n , w e w i l l a s s u m e t h a t w e a r e g i v e n s y m m e t r y b a s e s f o r t h e s e m i s i m p l e

F H - m o d u l e s V F H a n d W F H .

M o r e p r e c i s e l y a n d i n o r d e r t o f i x t h e n o t a t i o n , l e t S l , . . .

,

S s b e t h e p a i r -

w i s e n o n i s o m o r p h i c c o n s t i t u e n t s o f V F H w i t h m u l t i p l i c i t i e s m l , . . .

, m s a n d

l e t

T 1 , . . . , T t b e t h e p a i r w i s e n o n i s o m o r p h i c c o n s t i t u e n t s o f W F H . F o r 1 0 b e t h e m u l t i p l i c i t y o f T i , 1 < j < t , a s a c o n s t i t u e n t

o f W F H . F i n a l l y , l e t M i a n d N 1 b e m a t r i x r e p r e s e n t a t i o n s f o r S i a n d T j f o r

1 < i < s a n d 1 < j < t , r e s p e c t i v e l y . W e a l s o a s s u m e t h a t t h e c h o s e n b a s e s

B a n d C o f V a n d W a r e s y m m e t r y b a s e s f o r V F H a n d W F H w i t h r e s p e c t t o

t h e s e q u e n c e o f M i ' s a n d t h e s e q u e n c e o f N o ' s , r e s p e c t i v e l y .

2 . 2

R e d u c t i o n t o s i m p l e b l o c k s

B y t h e a s s u m p t i o n s m a d e i n t h e p r e c e d i n g s u b s e c t i o n , w e c a n r e s t r i c t t h e

a n a l y s i s t o a f i x e d i , w i t h 1 < i < s .

F r o m S t ^ = ' T i f o r 1 < i < s w e g e t t h a t 0

E i : = j H E h E H M 2 ( h ) 0 N 2 ( h )

i s t h e m a t r i x o f e H w i t h r e s p e c t t o t h e b a s i s B i ® C i . H e r e B i a n d C i d e n o t e

b a s e s o f S i a n d T i s u c h t h a t M i a n d N i a r e t h e m a t r i x r e p r e s e n t a t i o n s o f F H

o n S i a n d T i w i t h r e s p e c t t o B i a n d C i . T h e n a c h o s e n b a s i s o f t h e r o w s p a c e

o f E i c a n b e i n t e r p r e t e d a s t h e c o e f f i c i e n t m a t r i x q j = m ( Q i , B ® ® C i ) o f t h e

d e c o m p o s i t i o n o f a b a s i s Q i f o r ( S i 0 T 1 ) e H i n t e r m s o f t h e b a s i s B i 0 C i .

M 2 ( a )

M 2 ( a )




1 7 9

S i n c e t h e r o w s o f E i c a n b e w r i t t e n u n i q u e l y a s l i n e a r c o m b i n a t i o n s o f q i ,

t h e r e i s a u n i q u e m a t r i x p i w i t h E i = p i g i . A s E , = E i i t f o l l o w s t h a t g i p i

i s t h e i d e n t i t y m a t r i x . F r o m t h e s e p r o p e r t i e s w e c a n d e d u c e t h e f o l l o w i n g

p r o j e c t i o n f o r m u l a f o r a n e l e m e n t o f S i 0 T i .

P r o p o s i t i o n 2 . 2 F o r a g i v e n v i E S i ® T i w i t h c o e f f i c i e n t r o w m ( v i , B i ( 9 C i )

t h e c o e f f i c i e n t v e c t o r m ( v i e H , Q i ) i s g i v e n b y m ( v i e H , Q i ) = m ( v i , B i ( D C i ) p i .

2 . 3

T h e c o m p l e t e b a s i s

S i n c e P r o p o s i t i o n 1 . 2 i m p l i e s t h a t o n l y t h e s u b p r o d u c t s o f t h e a b o v e t y p e

S i ® T i c o n t a i n e l e m e n t s o f t h e c o n d e n s e d m o d u l e , t h e n e x t s t e p i s t o c o n s t r u c t

a b a s i s Q o f ( V ® W ) e H f r o m t h e b a s e s Q i o f t h e ( S i 0 T i ) e H . W e r e o r d e r t h e

b a s i s B 0 C o f t h e t e n s o r p r o d u c t V 0 W i n t h e f o l l o w i n g w a y . A c c o r d i n g

t o t h e d e c o m p o s i t i o n o f V F H a n d W F H i n t o s i m p l e F H - s u b m o d u l e s a s i n

P r o p o s i t i o n 1 . 2 , w h i c h i s r e f l e c t e d i n t h e b l o c k s t r u c t u r e o f M a n d N o n F H ,

w e p a r t i t i o n t h e b a s e s B a n d C a s f o l l o w s :

B = B 1 1 U B 1 2 U . . . U B i m , U B 2 1 U . . . U B s 1 U . . . U B s m s .

( 1 )

H e r e B i a i s a b a s i s o f t h e s i m p l e s u b m o d u l e o f t y p e S i o f V F H c o r r e s p o n d i n g

t o t h e b l o c k n u m b e r a o f t y p e M i i n M . S i m i l a r l y

C = C 1 1 U C 1 2 U . . . U C 1 , y , U C 2 1 U . . . U C s 1 U . . . U C t n t .

( 2 )

W e c h o o s e a n e w b a s i s P f o r V ® W i n t h e f o l l o w i n g w a y

U s

U n ;

U m ;

P = U L 1 2 = 1

p = 1

a = 1 B i a

® C j p ,

w h e r e U s t a n d s f o r a p p e n d i n g t h e s e q u e n c e s B i a ® C ; p i n t h e i n c r e a s i n g o r d e r

o f t h e i n d i c e s . N o t e t h a t P a n d B 0 C a r e e q u a l a s s e t s b u t d i f f e r i n t h e

o r d e r i n g u n l e s s a l l b l o c k s h a v e s i z e o n e , a n d t h a t t h e m a t r i x f o r h E H o n

V ® W w i t h r e s p e c t t o P i s a b l o c k d i a g o n a l m a t r i x , t h e b l o c k s b e i n g t h e

K r o n e c k e r p r o d u c t m a t r i c e s M i ( h ) 0 N ; ( h ) .

B y P r o p o s i t i o n 1 . 2 a l l e l e m e n t s o f Q h a v e n o n - z e r o c o e f f i c i e n t s o n l y f o r

t h e p a r t s B i a ® C i p f o r i < s . C h o o s i n g t h e Q i f o r t h o s e p a r t s w e g e t t h e

f o l l o w i n g r e s u l t .

L e m m a 2 . 3 W i t h q i a s a b o v e , a b a s i s Q o f ( V 0 W ) e H i s g i v e n b y

m ( Q , P ) : = U = 1 U p =

1 U a t

1 g i m ( B i a ® Q 6 , P ) ,

w h e r e U s t a n d s f o r p a s t i n g m a t r i c e s t o g e t h e r .

O b s e r v e t h a t t h e b a s i s Q r e s p e c t s t h e d e c o m p o s i t i o n o f P i n t o t h e p a r t s

B i a 0 C . T h e r e f o r e , w e c a n a p p l y P r o p o s i t i o n 2 . 2 i n o r d e r t o d e t e r m i n e t h e

d e c o m p o s i t i o n o f a n e l e m e n t v E ( V 0 W ) e H a s a l i n e a r c o m b i n a t i o n o f t h e

e l e m e n t s o f Q f o r e a c h p a r t o f Q i n t u r n .



1 8 0


2 . 4

T h e p a r t i a l a c t i o n

F r o m t h e p r e v i o u s s u b s e c t i o n i t f o l l o w s t h a t t h e p r o j e c t i o n w i t h e H o n t o

( V ( 9 W ) e H a n d t h e d e c o m p o s i t i o n a s a l i n e a r c o m b i n a t i o n i n t o t h e e l e m e n t s

o f Q c a n b e d o n e p a r t b y p a r t b y m u l t i p l y i n g w i t h t h e p i ' s .

H e n c e , t h e

a c t i o n o f a g r o u p e l e m e n t g E G c a n b e d e t e r m i n e d p a r t b y p a r t , t o o . M o r e

p r e c i s e l y , w e s u b d i v i d e t h e m a t r i x M ( g ) w i t h r e s p e c t t o t h e p a r t i t i o n o f B

g i v e n i n e q u a t i o n ( 1 ) a s

M 1 1 1 1 ( 9 )

M i l l . , ( 9 )

M l l s l ( 9 )

M i l s m , ( g )

M 1 2 1 1 ( 9 )

. . .

M 1 2 1 m , ( 9 )

. . .

M 1 2 3 1 ( 9 )

M 1 2 s m , ( 9 )

M 1 m 1 1 1 ( 9 )

. . .

M l m l l m i ( 9 )

. . .

M l m i s l ( 9 )

M l m i s m , ( 9 )

4 s 1 1 1 ( 9 )

. . . M s l l m , ( g )

. . .

M 3 ( g )

M s 1 s m , ( 9 )

M s m s 1 1 ( 9 )

. . .

M s m s i m , ( 9 )

M s m , s l ( g )

M s m s s m s ( 9 )

a n d N ( g ) w i t h r e s p e c t t o t h e p a r t i t i o n o f C g i v e n i n e q u a t i o n ( 2 ) a s

N 1 1 1 1 ( g )

N 1 1 1 n , ( 9 )

N 1 1 t 1 ( 9 )

. . .

N , i t . , ( g )

N 1 2 1 1 ( 9 )

N 1 2 1 . 1 ( 9 )

.

N 1 2 t 1 ( 9 )

. . .

N 1 2 t n t ( 9 )

N 1 n 1 1 1 ( g )

N 1 n 1 1 n 1 ( 9 )

. . .

N l n , t 1 ( 9 ) N l n l t n t ( 9 )

N t 1 1 1 ( 9 )

. . .

N t l l n l ( g ) N t 1 t 1 ( 9 )

. . . N t l t n t ( g )

k N t n t 1 1 ( 9 )

N t n e l n l ( 9 )

. . .

N t n t t l ( 9 )

. . .

N t n t t n t ( g )

a n d w o r k w i t h t h e K r o n e c k e r p r o d u c t s M i a k - y ( 9 ) 0 N j , 6 1 6 ( g ) d u r i n g a l l t h e

c a l c u l a t i o n s . T h i s i s p o s s i b l e b e c a u s e o f t h e f o l l o w i n g r e s u l t .

P r o p o s i t i o n 2 . 4 L e t x b e a n e l e m e n t o f t h e b a s i s Q w h o s e n o n - z e r o c o e f f i -

c i e n t s e x p r e s s e d i n t e r m s o f t h e b a s i s P b e l o n g t o t h e p a r t B i a ® C i , 6 o f t h e

b a s i s P . T h e n t h e c o e f f i c i e n t r o w

( y l l l l )

. . . , y k y 1 6 ,

,

y s m , t n t )

m ( x g , P )

i s g i v e n b y y k 7 1 6 = x i a i ( i - ( M i a k y ( 9 ) ( 9 N i p 1 6 ( 9 ) )

2 . 5

T h e a l g o r i t h m

T h e r e s u l t s o f s u b s e c t i o n s 2 . 2 a n d 2 . 3 y i e l d t h e f o l l o w i n g e x p l i c i t m e t h o d f o r

d e t e r m i n i n g t h e m a t r i x o f a g i v e n e l e m e n t e H g e H w i t h g E G o n ( V ( D W ) e H

w i t h r e s p e c t t o t h e b a s i s Q .



C o n d e n s i n g t e n s o r p r o d u c t m o d u l e s 1 8 1

A l g o r i t h m 2 . 5 ( T e n s o r c o n d e n s e )

I N P U T :

F o r g E G m a t r i c e s M ( g ) a n d N ( g ) w i t h r e s p e c t t o s y m m e t r y b a s e s .

T h e b a s i s m a t r i c e s q 1 ,

.

. .

, q s

a n d p r o j e c t i o n m a t r i c e s p i ,

. . . , p s .

T h e i n t e g e r s s , t , m i , n i , d i m F ( S i ) , d i m F ( E n d F H ( S i ) ) .

C A L C U L A T I O N :

D e f i n e c : = E a _ 1 m i n i d i m F ( E n d F H ( S i ) ) ;

I n i t i a l i z e R : = 0 E F c x c ;

F o r i f r o m 1 t o s , a f r o m 1 t o m i , , 6 f r o m 1 t o n i

F o r j f r o m 1 t o s , l y f r o m 1 t o m i , 6 f r o m 1 t o n i

D e f i n e 0 ( g ) : = M i n j 7 ( g ) ® N i p j 6 ( g ) ;

D e t e r m i n e R i « p j 7 6 : = q i Q ( g )

- P j ;

1 1 , ( , , 6 j y 6 i n t o R ;

O U T P U T :

T h e m a t r i x R r e p r e s e n t i n g e H g e H o n ( V ® W ) e H w i t h r e s p e c t t o t h e

b a s i s Q .

2 . 6 U n c o n d e n s e

F r o m t h e d e s c r i p t i o n o f t h e l a s t s e c t i o n , i t f o l l o w s t h a t w e c a n s o l v e t h e

f o l l o w i n g p r o b l e m c o m p u t a t i o n a l l y : g i v e n t h e c o e f f i c i e n t r o w m ( v , Q ) o f a n

e l e m e n t v E ( V 0 W ) e H , c o m p u t e t h e c o e f f i c i e n t r o w m ( v , B 0 C ) . T h i s

s o l v e s t h e p r o b l e m o f c a l c u l a t i n g t h e e m b e d d i n g o f ( V ( 9 W ) e H i n t o V 0 W

m e n t i o n e d i n t h e i n t r o d u c t i o n .

M o r e p r e c i s e l y , t h e p r o g r a m w h i c h i m p l e m e n t s t h i s i d e a i s g i v e n t h e m a t r i -

c e s q i a n d , i n a d d i t i o n , t h e m u l t i p l i c i t i e s a n d d i m e n s i o n s o f t h e c o n s t i t u e n t s

o f V F H a n d W F H . N o t e t h a t t h e s e d a t a e n c o d e t h e d e c o m p o s i t i o n o f t h e b a s i s

Q a s a l i n e a r c o m b i n a t i o n o f t h e b a s i s P o f V ® W . T h e b a s e c h a n g e m a t r i x

f r o m t h e b a s i s P t o t h e b a s i s B ® C i s a p e r m u t a t i o n m a t r i x a n d c a n b e

d e r i v e d f r o m t h e g i v e n m u l t i p l i c i t i e s a n d d i m e n s i o n s . W e r e f e r t o [ 1 6 ] f o r a

m o r e d e t a i l e d d e s c r i p t i o n o f t h e p r o g r a m .

L e m m a 2 . 6 L e t G , V , W b e a s a b o v e .

L e t B = [ b 1 , . . . , b m ] b e a b a s i s o f

V , a n d C = [ c l ,

. . .

,

c , , , ] b e a b a s i s o f W , l e t M b e t h e m a t r i x r e p r e s e n t a t i o n

o f F G o n V w i t h r e s p e c t t o B a n d l e t N b e t h e m a t r i x r e p r e s e n t a t i o n o f F G

o n W w i t h r e s p e c t t o C . T h e n t h e v e c t o r s p a c e o f m x n m a t r i c e s F ` i s

a n F G - m o d u l e w i t h t h e a c t i o n o f g E G g i v e n b y X g : = M ( g ) T X N ( g ) f o r

a l l X E F m x n

M o r e o v e r , t h e l i n e a r m a p D : V ® W F ` w h i c h m a p s

b i ® c j t o t h e i , j - t h e l e m e n t a r y m a t r i x E i j f o r 1 < i < m , 1 < j < n , i s a n

F G - i s o m o r p h i s m .



1 8 2 K . L u x a n d M . W i e g e l m a n n

W e a p p l y t h i s i n t h e f o l l o w i n g w a y , s e e a l s o [ 6 ] .

S u p p o s e w e w a n t t o

d e t e r m i n e t h e a c t i o n o f t h e K r o n e c k e r p r o d u c t o f M ( g ) a n d N ( g ) o n a g i v e n

v e c t o r v i n t h e t e n s o r p r o d u c t m o d u l e V 0 W . T h e n t a k e t h e m a t r i x ( b ( v ) ,

m u l t i p l y b y M ( g ) T f r o m t h e l e f t a n d b y N ( g ) f r o m t h e r i g h t , a n d u s e d ) - ' t o

g e t t h e a n s w e r i n t h e o r i g i n a l s p a c e V O W . T h i s a p p r o a c h a v o i d s c a l c u l a t i n g

e x p l i c i t l y w i t h t h e K r o n e c k e r p r o d u c t m a t r i x M ( g ) 0 N ( g ) . S o , u s i n g t h e

u n c o n d e n s e p r o g r a m a n d t h e m e t h o d d e s c r i b e d a b o v e f o r d e t e r m i n i n g t h e

a c t i o n o f e l e m e n t s i n G o n V O W , w e c a n c o n s t r u c t e f f i c i e n t l y t h e s u b m o d u l e

W F G o f a g i v e n e H F G e H s u b m o d u l e W i n ( V ( D W ) e H . I n t h e l a s t s e c t i o n ,

w e w i l l u s e t h i s m e t h o d t o c o n s t r u c t a 5 1 7 - d i m e n s i o n a l s u b m o d u l e o f t h e

s p o r a d i c s i m p l e L y o n s g r o u p i n a t e n s o r p r o d u c t m o d u l e o f d i m e n s i o n 1 2 3 2 1 .

3 C a l c u l a t i n g s y m m e t r y b a s e s

3 . 1 P r e l i m i n a r i e s

I n A l g o r i t h m 2 . 5 , t h e i n p u t r e p r e s e n t a t i o n s w e r e e x p e c t e d t o b e g i v e n w i t h

r e s p e c t t o s y m m e t r y b a s e s . T h e t w o a l g o r i t h m s p r e s e n t e d h e r e f o r c a l c u l a t i n g

s u c h b a s e s d e t e r m i n e a p p r o p r i a t e v e c t o r s l y i n g i n s i m p l e s u b m o d u l e s a n d t h e n

f o r m t h e s p a n o f t h e s e v e c t o r s u n d e r t h e a c t i o n o f F H . I n o r d e r t o c a l c u l a t e

s u i t a b l e v e c t o r s , t h e f i r s t m e t h o d u s e s k e r n e l s o f s o - c a l l e d d e l t a w o r d s a n d t h e

s e c o n d o n e u s e s t h e i m a g e s o f c e r t a i n w e i g h t e d s u m s o v e r g r o u p e l e m e n t s i n

F H , b o t h a s s o c i a t e d w i t h e v e r y i s o m o r p h i s m t y p e o f s i m p l e s u b m o d u l e s .

G i v e n a v e c t o r v E V w e u s e t h e f o l l o w i n g w e l l - k n o w n p r o c e d u r e , s e e [ 1 0 ] ,

t o c a l c u l a t e t h e s p a n o f v u n d e r t h e a c t i o n o f t h e F - a l g e b r a A w i t h r e s p e c t

t o a f i x e d o r d e r e d g e n e r a t i n g s y s t e m E o f A .

A l g o r i t h m 3 . 1 ( S p i n n i n g A l g o r i t h m )

I N P U T :

A f i n i t e o r d e r e d g e n e r a t i n g s y s t e m E o f A .

A n e l e m e n t 0 v E V .


I n i t i a l i z e B : = [ v ] ;

F o r a l l x E B :

F o r a l l a E E :

I f x a ¢ ( B ) F :

A p p e n d x a t o B ;

O U T P U T :

A n F - B a s i s B o f v A < A V .




1 8 3

I n t h e f o l l o w i n g , w e d e n o t e b y B E ( v ) t h e b a s i s o f v A < V p r o d u c e d

b y t h e a b o v e a l g o r i t h m . N o t e t h a t t h e a l g o r i t h m c o m m u t e s w i t h a n y A -

m o n o m o r p h i s m 0 , t h a t i s : B E ( q ( v ) ) = ¢ ( B E ( v ) ) .

3 . 2

T h e d e l t a w o r d m e t h o d

T h e m e t h o d d e s c r i b e d i n t h i s s u b s e c t i o n w o r k s f o r a n a r b i t r a r y f i n i t e - d i m e n -

s i o n a l F - a l g e b r a A a n d a n y s e m i s i m p l e A - m o d u l e V . L e t S i , i = 1 , . . . , s ,

b e t h e p a i r w i s e n o n i s o m o r p h i c c o n s t i t u e n t s o f V . F o r a g i v e n a E A d e n o t e

b y a v t h e l i n e a r m a p o n V i n d u c e d b y a . A d e l t a w o r d f o r S i i s a n e l e m e n t

a i o f A s a t i s f y i n g t h e f o l l o w i n g p r o p e r t i e s :

K e r ( ( a i ) s , ) = 0 i f j 0 i a n d

d i m F ( K e r ( ( a i ) s , ) ) = d i m F ( E n d A ( S i ) ) .

I f i t a l s o s a t i s f i e s K e r ( ( ( a i ) 2 ) s , ) =

K e r ( ( a i ) s , ) i t i s c a l l e d a p e a k w o r d f o r S i . F o r r e s u l t s o n t h e e x i s t e n c e a n d

p r o p e r t i e s o f p e a k w o r d s w e r e f e r t o [ 7 ] . W e w i l l m a k e u s e o f t h e f o l l o w i n g

L e m m a .

L e m m a 3 . 2 I f v i E K e r n e l ( ( a i ) v ) , t h e n V : _ ( B E ( v i ) ) F i s a s i m p l e s u b m o d -

u l e o f V i s o m o r p h i c t o S i . F u r t h e r m o r e , t h e m a t r i x r e p r e s e n t a t i o n X i o f A

o n V w i t h r e s p e c t t o t h e b a s i s B E ( v i ) i s i n d e p e n d e n t o f t h e c h o s e n v i .

P r o o f : A l l w e h a v e t o p r o v e i s t h a t t h e e n d o m o r p h i s m a l g e b r a E n d A ( V )

a c t s t r a n s i t i v e l y o n t h e n o n - z e r o v e c t o r s o f K e r ( ( a i ) v ) . B u t , s i n c e E n d A ( V )

i s i s o m o r p h i c t o a d i r e c t s u m o f f u l l m a t r i x a l g e b r a s o v e r E n d A ( S 1 ) a n d

s i n c e K e r ( ( a i ) v ) i s a n i r r e d u c i b l e E n d A ( V ) - m o d u l e , t h e r e i s a n e l e m e n t o f

E n d A ( V ) m a p p i n g a g i v e n n o n - z e r o v e c t o r o f K e r ( ( a i ) v ) t o a n y o t h e r v e c t o r

o f K e r ( ( a i ) v ) .

T h e f o l l o w i n g a l g o r i t h m c o m p u t e s a s y m m e t r y b a s i s o f V w i t h r e s p e c t t o

t h e s e q u e n c e o f m a t r i x r e p r e s e n t a t i o n s [ X 1 , X 2 , . . . , X s ] d e f i n e d b y L e m m a 3 . 2 .

A l g o r i t h m 3 . 3 ( D e l t a w o r d m e t h o d f o r a s y m m e t r y b a s i s )

I N P U T :

A f i n i t e o r d e r e d g e n e r a t i n g s y s t e m E o f A .

F o r e a c h c o n s t i t u e n t S i , 1 < i < s , o f V , a d e l t a w o r d a i E A .


I n i t i a l i z e B : = [ ] ;

F o r i f r o m 1 t o s :

D e t e r m i n e a b a s i s a i f o r K e r ( ( a i ) v ) ;

F o r a l l v e c t o r s z i n a 2 :

I f z V ( B ) :

A p p e n d B E ( z ) t o B ;



1 8 4


O U T P U T :

A s y m m e t r y b a s i s B o f V .

P r o o f : B y t h e d e f i n i t i o n o f a d e l t a w o r d , t h e d i m e n s i o n o f K e r ( ( a i ) v ) i s

n i t i m e s t h e d i m e n s i o n o f K e r n e l ( ( a i ) S . ) . S i n c e t h e s u b s p a c e g e n e r a t e d b y

o n e e l e m e n t o f Q i u n d e r t h e a c t i o n o f A c o n t a i n s a s u b s p a c e o f d i m e n s i o n

d i m F ( K e r ( ( a i ) S . ) ) = [ E n d A ( S i ) : F ] o f K e r ( ( a i ) v ) , o n e g e t s a t l e a s t n i s i m -

p l e s u b m o d u l e s o f t y p e S i f o r e v e r y i . S i n c e t h e i n t e r s e c t i o n o f t w o d i f f e r e n t

s i m p l e s u b m o d u l e s i s t r i v i a l , t h e c o n c a t e n a t e d s e q u e n c e B s t a y s l i n e a r l y i n -

d e p e n d e n t d u r i n g t h e w h o l e p r o c e d u r e . A c o u n t i n g a r g u m e n t i m m e d i a t e l y

i m p l i e s t h a t w e f i n a l l y g e t a b a s i s f o r V a t t h e e n d o f t h e a l g o r i t h m .

T h e m a t r i x o f a E A w i t h r e s p e c t t o t h e b a s i s B i s c l e a r l y a b l o c k d i a g o n a l

m a t r i x , t h e b l o c k s b e i n g X 2 ( a ) b y L e m m a 3 . 2 .

N o t e t h a t t h i s a l g o r i t h m c a n b e g e n e r a l i z e d t o a n a l g o r i t h m t h a t c o m p u t e s

t h e s o c l e s e r i e s o f a n A - m o d u l e f o r a n a r b i t r a r y f i n i t e - d i m e n s i o n a l a l g e b r a A ,

s e e [ 8 ] .

3 . 3 T h e o p e r a t o r m e t h o d

W e n o w d e s c r i b e a s e c o n d m e t h o d f o r d e t e r m i n i n g a p p r o p r i a t e v e c t o r s g e n -

e r a t i n g s i m p l e s u b m o d u l e s . I n c o n t r a s t t o t h e d e l t a w o r d m e t h o d , w e n e e d t o

b e a b l e t o r u n t h r o u g h t h e e l e m e n t s o f H . T h e o p e r a t o r s w e a r e i n t e r e s t e d

i n a r e g i v e n a s t h e f o l l o w i n g w e i g h t e d s u m s o v e r t h e e l e m e n t s o f H .

D e f i n i t i o n 3 . 4 L e t X b e a n i r r e d u c i b l e m a t r i x r e p r e s e n t a t i o n o f F H . B y

X ( h ) i d w e d e n o t e t h e e n t r y a t p o s i t i o n ( i , j ) i n t h e m a t r i x X ( h ) . T h e n t h e

e l e m e n t y x : = > h E H X ( h - ' ) l l h E F H i s c a l l e d t h e y - o p e r a t o r w i t h r e s p e c t

t o X .

I n o r d e r t o p r o v e t h e c o r r e c t n e s s o f t h e m e t h o d , w e n e e d t h e f o l l o w i n g

p r o p e r t y o f t h e - y - o p e r a t o r .

P r o p o s i t i o n 3 . 5 L e t S b e a s i m p l e F H - m o d u l e , B b e a b a s i s o f S , s i b e t h e

f i r s t b a s i s v e c t o r o f B a n d l e t X b e t h e i r r e d u c i b l e m a t r i x F H - r e p r e s e n t a t i o n

o n S w i t h r e s p e c t t o B . A s s u m e t h a t w e a r e g i v e n a n a r b i t r a r y F H - m o d u l e

V . T h e n t h e f o l l o w i n g s t a t e m e n t h o l d s

V ' Y x = S i H o m F H ( S , V ) .

P r o o f : I t s u f f i c e s t o p r o v e t h e p r o p o s i t i o n f o r a s i m p l e m o d u l e T = V . T h e

g e n e r a l r e s u l t f o l l o w s i m m e d i a t e l y , s i n c e a n a r b i t r a r y F H - m o d u l e i s s e m i s i m -

p l e .




1 8 5

L e t Y b e a m a t r i x r e p r e s e n t a t i o n f o r T a n d d e f i n e f o r a m a t r i x P E

F d i m ( s ) x d i m ( T ) t h e

t r a c e m a t r i x

T r H ( P ) E X ( h - ' ) P Y ( h ) .

h E H

R e c a l l t h a t X ( g ) T r H ( P ) = T r H ( P ) Y ( g ) f o r a l l g E H . T h i s m e a n s t h a t

T r H ( P ) i s a n F H - h o m o m o r p h i s m f r o m S t o T .

T a k i n g P t o b e a n e l e m e n t a r y m a t r i x E l i y i e l d s a s t h e f i r s t r o w o f T r H ( E l i )

e x a c t l y r o w j o f Y ( l y x ) . N o w i n c a s e S 9 t T w e g e t t h a t T r H ( E 1 3 ) i s t h e z e r o

h o m o m o r p h i s m a n d Y ( r y x ) i s z e r o , t o o . H e n c e t h e s t a t e m e n t h o l d s i n c a s e

S S T .

F u r t h e r m o r e , i f T = S w e g e t t h a t T r y x g s l . H o m F H ( S , T ) . T o p r o v e

e q u a l i t y i t s u f f i c e s t o c o m p a r e t h e d i m e n s i o n s o f b o t h v e c t o r s p a c e s .

A s T y x # 0 f o r T = S ( s i n c e o t h e r w i s e ` y x w o u l d h a v e t o b e 0 ) , t h e d i m e n -

s i o n o f T y x i s a t l e a s t a s l a r g e a s t h e d i m e n s i o n o f E n d F H ( T )

H o m F H ( S , T ) .

B u t t h i s i s a n u p p e r b o u n d f o r t h e d i m e n s i o n o f t h e r i g h t h a n d v e c t o r s p a c e .

T h i s c o m p l e t e s t h e p r o o f .

T h e p r o p o s i t i o n a b o v e s h o w s t h a t t h e e l e m e n t y x ; f o r i = 1 , . . . , s h a s a

p r o p e r t y a n a l o g o u s t o t h a t o f a d e l t a w o r d f o r X i , n a m e l y t h a t d i m F ( S i r y x ; ) =

d i m F ( E n d F H ( S S ) ) a n d t h a t S j Y x ; i s z e r o f o r j # i . I t f o l l o w s f r o m L e m m a 3 . 5

t h a t e a c h v e c t o r i n V r y x , g e n e r a t e s a s u b m o d u l e i s o m o r p h i c t o S i u n d e r t h e

a c t i o n o f F H . F u r t h e r m o r e , w e c a n n o w u s e A l g o r i t h m 3 . 3 a s b e f o r e i n o r d e r

t o d e t e r m i n e a s y m m e t r y b a s i s o f V i f w e r e p l a c e K e r ( ( a i ) v ) i n A l g o r i t h m 3 . 3

b y V - y x ; .

A l g o r i t h m 3 . 6 ( O p e r a t o r m e t h o d f o r c o n s t r u c t i n g a s y m m e t r y b a s i s )

I N P U T :

A f i n i t e o r d e r e d g e n e r a t i n g s y s t e m E o f A

M a t r i x r e p r e s e n t a t i o n s X i f o r a l l c o n s t i t u e n t s S i , 1 < i < r , o f V .


I n i t i a l i z e B : = [ ] ;

F o r i f r o m 1 t o r :

D e t e r m i n e a b a s i s o f o f V r y x ; ;

F o r a l l z i n o :

I f z ¢ ( B ) :

A p p e n d B E ( z ) t o B ;

O U T P U T :

A s y m m e t r y b a s i s B o f V .




4

A p p l i c a t i o n s

4 . 1

N o t a t i o n s a n d p r e l i m i n a r y r e s u l t s o n L y

T h e a i m o f t h i s s e c t i o n i s t o g i v e a f l a v o u r o f h o w o u r m e t h o d o f t e n s o r c o n -

d e n s a t i o n w o r k s i n p r a c t i c e . I n o r d e r t o s h o w t h e e f f i c i e n c y o f t h e a l g o r i t h m s ,

w e a p p l y t h e m e t h o d t o a r a t h e r l a r g e p r o b l e m : w e a r e g o i n g t o c o n s t r u c t a

n e w i r r e d u c i b l e m a t r i x r e p r e s e n t a t i o n o f t h e s p o r a d i c s i m p l e L y o n s g r o u p L y

o v e r t h e f i e l d F w i t h 5 e l e m e n t s . T h e e x i s t e n c e o f s u c h a r e p r e s e n t a t i o n w a s

p r e d i c t e d b y A . R y b a , w h e n h e s t u d i e d t h e 5 - m o d u l a r i r r e d u c i b l e c h a r a c t e r s

o f L y .

L e t F b e t h e f i e l d w i t h 5 e l e m e n t s a n d G b e t h e s p o r a d i c s i m p l e L y o n s

g r o u p o f o r d e r 5 1 , 7 6 5 , 1 7 9 , 0 0 4 , 0 0 0 , 0 0 0 , s e e [ 1 ] . T h e g e n e r a t o r s f o r G w e c h o o s e

a r e t h e s t a n d a r d g e n e r a t o r s a a n d b d e f i n e d i n [ 1 7 ] , [ 1 8 ] . T h e y a r e g i v e n b y

t h e c o n d i t i o n s t h a t a i s a n i n v o l u t i o n , t h a t b b e l o n g s t o t h e c o n j u g a c y c l a s s

5 A , t h a t t h e o r d e r o f a b i s 1 4 a n d t h a t t h e o r d e r o f a b a b a b 2 i s 6 7 .

T h e s m a l l e s t k n o w n n o n - t r i v i a l F - m a t r i x r e p r e s e n t a t i o n D i l l o f G h a s

d i m e n s i o n 1 1 1 . I t w a s c o n s t r u c t e d b y R . A . P a r k e r , s e e [ 9 ] , a n d t h e m a t r i c e s

f o r t h e s t a n d a r d g e n e r a t o r s o f G a r e c o n t a i n e d i n R . A . W i l s o n ' s A T L A S

o f f i n i t e g r o u p r e p r e s e n t a t i o n s , s e e [ 1 7 ] . W e d e n o t e t h e c o r r e s p o n d i n g F G -

m o d u l e b y V i i i .

F o l l o w i n g t h e c o n j e c t u r e o f A . R y b a , w h i c h s a y s t h a t t h e n e w r e p r e s e n t a -

t i o n i s c o n t a i n e d i n V 1 1 1 ® V 1 1 1 , w e a r e g o i n g t o a n a l y s e t h i s t e n s o r p r o d u c t .

4 . 2

C o n d e n s i n g V 1 1 1 0 V 1 1 1

W e c h o o s e t h e s u b g r o u p H t o b e a s u b g r o u p o f o r d e r 6 7 o f G g e n e r a t e d b y

h : = a b a b a b 2 . T h e f i r s t s t e p i s t o c o m p u t e a s y m m e t r y b a s i s f o r V 1 1 1 F H

u s i n g t h e d e l t a w o r d m e t h o d d e s c r i b e d i n s e c t i o n 3 . 3 .

L e t D i 1 1 8 t b e t h e m a t r i x r e p r e s e n t a t i o n o f V 1 1 1 w i t h r e s p e c t t o t h e s y m -

m e t r y b a s i s d e t e r m i n e d b y t h e d e l t a w o r d m e t h o d a n d d e n o t e i t s c a n o n i c a l

m o d u l e b y V 1 i 1 3 1 . U s i n g A l g o r i t h m 2 . 5 w e p r o d u c e t h e m a t r i c e s o f e H a e H

a n d e H b e H a c t i n g o n t h e c o n d e n s e d m o d u l e ( V 1 1 1 s 1 ( 9 V l l l 3 t ) e H . T h e a n a -

l y s i s o f t h e c o n d e n s e d m o d u l e l e a d s t o t h e f o l l o w i n g r e s u l t .

L e m m a 4 . 1 T h e r e p r e s e n t a t i o n K o f t h e s u b a l g e b r a o f e H F G e H g e n e r a t e d

b y e H a e H a n d e H b e H o n t h e c o n d e n s e d m o d u l e h a s t h e c o m p o s i t i o n f a c t o r s

l a , i b , 1 1 a , l l a , 3 8 a , 3 8 b , 9 9 a .

M o r e o v e r , t h e s o c l e s e r i e s o f K i s

l a ® l l a ® 9 9 a , 3 8 a , i b , 3 8 b , i l a .




1 8 7

P r o o f : A p p l y i n g t h e s t a n d a r d M e a t A x e p r o g r a m c h o p , s e e [ 1 2 ] , t o K , g i v e s

t h e a b o v e l i s t o f c o n s t i t u e n t s . T h e M e a t A x e p r o g r a m s o c l e s e r i e s f o r c o m p u t -

i n g t h e s o c l e s e r i e s , s e e [ 8 ] , g i v e s t h e e x p l i c i t s t r u c t u r e o f t h e s o c l e s e r i e s .

4 . 3

C o n s t r u c t i n g t h e n e w r e p r e s e n t a t i o n

W e n o w t a k e t h e s i m p l e s u b m o d u l e o f K w h i c h h a s d i m e n s i o n 1 1 a n d c h o o s e

a n o n - z e r o v e c t o r v 1 1 0 i n i t . W e e m b e d t h e v e c t o r v l l a i n t o t h e o r i g i n a l F G -

m o d u l e V 1 1 1 3 t ® V 1 1 1 3 t u s i n g t h e p r o g r a m u n c o n d e n s e , i m p l e m e n t i n g t h e

a l g o r i t h m d e s c r i b e d i n s u b s e c t i o n 2 . 6 . W e d e n o t e t h e r e s u l t i n g v e c t o r b y

V 5 1 7 E F 1 2 3 2 1

W e t h e n g e t t h e f o l l o w i n g r e s u l t .

T h e o r e m 4 . 2 T h e F G - s u b m o d u l e v 5 1 7 F G o f V 1 1 1 3 t ® V 1 1 1 3 t i s a s i m p l e

F G - m o d u l e S 5 1 7 o f d i m e n s i o n 5 1 7 .

P r o o f : W e p r o v e t h e a b o v e s t a t e m e n t b y u s i n g t h e t e c h n i q u e d e s c r i b e d i n

s e c t i o n 2 . 6 a n d a p p l y s t a n d a r d M e a t A x e r o u t i n e s , s e e [ 1 2 ] , t o d e t e r m i n e t h e

a c t i o n o f F G o n t h e s u b s p a c e .

4 . 4

R u n n i n g t i m e s

T h e f o l l o w i n g t a b l e s g i v e t h e t i m e s m e a s u r e d o n a D E C s t a t i o n 5 0 0 0 / 1 2 0

u s i n g t h e C - i m p l e m e n t a t i o n o f t h e a l g o r i t h m s w r i t t e n b y t h e s e c o n d a u t h o r

i n h i s d i p l o m a t h e s i s , s e e [ 1 6 ] .

P R O G R A M o r O P E R A T I O N

C P U T I M E

S T E P 1 : D e t e r m i n a t i o n o f t h e c o n d e n s e d r e p r e s e n t a t i o n

p r e l i m i n a r y o p e r a t i o n s o n D 1 1 1 F H 1 1 s e c o n d s

p r e c o n d e n s a t i o n

( b a s i s - a n d p r o j e c t i o n - m a t r i c e s )

6 8 0 s e c o n d s

d e t e r m i n a t i o n o f s t a n d a r d b a s e s

( u s i n g t h e d e l t a w o r d m e t h o d )

8 0 s e c o n d s

c o n d e n s a t i o n o f t h e t e n s o r p r o d u c t 8 1 0 s e c o n d s

P R O G R A M o r O P E R A T I O N C P U T I M E

S T E P 2 : A n a l y s i s o f t h e c o n d e n s e d r e p r e s e n t a t i o n

c o n s t i t u e n t s 6 2 s e c o n d s

p e a k w o r d c o n d e n s a t i o n

9 2 s e c o n d s

s o c l e s e r i e s

6 9 s e c o n d s




P R O G R A M o r O P E R A T I O N

C P U T I M E

S T E P 3 : G e n e r a t i o n o f t h e 5 1 7 - d i m e n s i o n a l s u b m o d u l e

u n c o n d e n s a t i o n o f t h e s e e d v e c t o r v 1 1 a

1 s e c o n d

c o n s t r u c t i n g t h e i n v a r i a n t s u b s p a c e v 5 1 7 F G 8 0 m i n u t e s

c o n s t r u c t i o n o f D 5 1 7

2 5 m i n u t e s

t e s t i n g i r r e d u c i b i l i t y 7 m i n u t e s

4 . 5 F u r t h e r a p p l i c a t i o n s

T h e a l g o r i t h m s h a v e a l r e a d y b e e n u s e d b y s e v e r a l p e o p l e f o r d e t e r m i n i n g t h e

p - m o d u l a r c h a r a c t e r t a b l e s o f s o m e f i n i t e s i m p l e g r o u p s . I n [ 5 ] , C . J a n s e n

s u c c e s s f u l l y a n a l y s e d t h e t e n s o r p r o d u c t o f a m o d u l e o f d i m e n s i o n 1 2 6 w i t h a

m o d u l e o f d i m e n s i o n 7 7 0 f o r t h e s p o r a d i c s i m p l e g r o u p C o 3 o v e r G F ( 3 ) i n o r -

d e r t o d e t e r m i n e i t s 3 - m o d u l a r c h a r a c t e r t a b l e . H e a l s o a n a l y s e d s u c c e s s f u l l y

t h e t e n s o r p r o d u c t o f a m o d u l e o f d i m e n s i o n 2 8 6 w i t h a m o d u l e o f d i m e n s i o n

7 8 6 f o r t h e d o u b l e c o v e r o f t h e S u z u k i s p o r a d i c s i m p l e g r o u p o v e r G F ( 3 ) .

G . H i s s a n d J . M u l l e r , s e e [ 4 ] , u s e d t h e p r o g r a m s f o r a n a l y s i n g t h e t e n s o r

p r o d u c t o f a m o d u l e o f d i m e n s i o n 1 3 3 w i t h a m o d u l e o f d i m e n s i o n 1 2 2 0 f o r

t h e d o u b l e c o v e r o f t h e R u d v a l i s s i m p l e g r o u p o v e r G F ( 5 ) . T h e y a l s o u s e d

t h i s r e s u l t i n o r d e r t o d e t e r m i n e t h e 5 - m o d u l a r c h a r a c t e r t a b l e o f t h i s g r o u p .

F i n a l l y , t h e a u t h o r s a p p l i e d t h e p r o g r a m s i n o r d e r t o g e t t h e s o c l e s e r i e s

o f t h e c o n d e n s e d p r o j e c t i v e i n d e c o m p o s a b l e m o d u l e s f o r t h e M a t h i e u g r o u p

M 2 3 i n c h a r a c t e r i s t i c 2 . F r o m t h e s e i t w a s p o s s i b l e t o d e s c r i b e t h e s o c l e s e r i e s

o f t h e p r o j e c t i v e i n d e c o m p o s a b l e m o d u l e s o f M 2 3 i n c h a r a c t e r i s t i c 2 , s e e [ 8 ] .


T h i s p a p e r i s a c o n t r i b u t i o n t o t h e D F G r e s e a r c h p r o j e c t " A l g o r i t h m i c N u m -

b e r T h e o r y a n d A l g e b r a . " R e s e a r c h o f t h e s e c o n d a u t h o r i s s u p p o r t e d b y t h e

D F G t h r o u g h t h e g r a d u a t e p r o g r a m " M a t h e m a t i s c h e O p t i m i e r u n g " , U n i v e r -

s i t a t T r i e r . M o r e o v e r , w e w i s h t o t h a n k L e h r s t u h l D f u r M a t h e m a t i k a t t h e

R W T H A a c h e n f o r p r o v i d i n g t h e n e c e s s a r y c o m p u t e r e n v i r o n m e n t w i t h o u t

w h i c h w e w o u l d n o t h a v e b e e n a b l e t o d e v e l o p a n d t e s t o u r i d e a s . W e w o u l d

a l s o l i k e t o t h a n k T . B r e u e r , C . J a n s e n , J . M u l l e r a n d A . R y b a f o r f r u i t f u l

d i s c u s s i o n s .

R e f e r e n c e s


A n A T L A S o f f i n i t e g r o u p s , O x f o r d U n i v e r s i t y P r e s s , 1 9 8 5 .

[ 2 ] W . F e i t ,

T h e r e p r e s e n t a t i o n t h e o r y o f f i n i t e g r o u p s ,

N o r t h - H o l l a n d

M a t h e m a t i c a l L i b r a r y , 1 9 8 2 .




1 8 9

[ 3 ]

J . A . G r e e n , P o l y n o m i a l r e p r e s e n t a t i o n s o f G L n , L e c t u r e N o t e s i n M a t h -

e m a t i c s 8 3 0 , S p r i n g e r - V e r l a g , B e r l i n / H e i d e l b e r g / N e w Y o r k , 1 9 8 0 .

[ 4 ] G . H i s s a n d J . M i i l l e r , T h e 5 - m o d u l a r c h a r a c t e r s o f t h e s p o r a d i c s i m p l e

R u d v a l i s g r o u p a n d i t s c o v e r i n g g r o u p , C o m m . A l g e b r a 2 3 ( 1 9 9 5 ) , 4 6 3 3 -

4 6 6 7 .

[ 5 ] C . J a n s e n ,

E i n A t l a s d r e i - m o d u l a r e r C h a r a k t e r t a f e l n ,

P h . D . T h e s i s ,

R W T H A a c h e n , 1 9 9 5 .

[ 6 ] W . L e m p k e n a n d R . S t a s z e w s k i , A c o n s t r u c t i o n o f 3 M c L a n d s o m e

r e p r e s e n t a t i o n t h e o r y i n c h a r a c t e r i s t i c 5 , L i n . A l g e b r a a n d I t s A p p l . 1 9 2

( 1 9 9 3 ) , 2 0 5 - 2 3 4 .

[ 7 ]

K . L u x , J . M i i l l e r a n d M . R i n g e , P e a k w o r d c o n d e n s a t i o n a n d s u b m o d u l e

l a t t i c e s : a n a p p l i c a t i o n o f t h e M e a t - A x e , J . S y m b o l i c C o m p u t . 1 7 ( 1 9 9 4 ) ,

5 2 9 - 5 4 4 .

[ 8 ] K . L u x a n d M . W i e g e l m a n n , A n a p p l i c a t i o n o f c o n d e n s a t i o n : t h e P I M

s t r u c t u r e s o f t h e M a t h i e u g r o u p M 2 3 , i n p r e p a r a t i o n .

[ 9 ] W . M e y e r , W . N e u t s c h a n d R . P a r k e r , T h e m i n i m a l 5 - r e p r e s e n t a t i o n o f

L y o n s ' s p o r a d i c g r o u p , M a t h . A n n . 2 7 2 ( 1 9 8 5 ) , 2 9 - 3 9 .

[ 1 0 ] R . A . P a r k e r , T h e c o m p u t e r c a l c u l a t i o n o f m o d u l a r c h a r a c t e r s ( t h e M e a t -

A x e ) , i n C o m p u t a t i o n a l g r o u p t h e o r y ( e d . M . D . A t k i n s o n ) , p p . 2 6 7 - 2 7 4 .

A c a d e m i c P r e s s , 1 9 8 4 .

[ 1 1 ] R . A . P a r k e r a n d R . A . W i l s o n , T h e c o m p u t e r c o n s t r u c t i o n o f m a t r i x

r e p r e s e n t a t i o n s o f f i n i t e g r o u p s o v e r f i n i t e f i e l d s , J . S y m b o l i c C o m p u t . 9

( 1 9 9 0 ) , 5 8 3 - 5 9 0 .

[ 1 2 ] M . R i n g e , T h e C - M e a t A x e , R e l e a s e 2 . 2 . 0 , M a n u a l . R W T H A a c h e n , 1 9 9 4 .

[ 1 3 ] A . J . E . R y b a , C o m p u t e r c o n d e n s a t i o n o f m o d u l a r r e p r e s e n t a t i o n s , J .

S y m b o l i c C o m p u t . 9 ( 1 9 9 0 ) , 5 9 1 - 6 0 0 .

[ 1 4 ] E . S t i e f e l a n d A . F a s s l e r , G r u p p e n t h e o r e t i s c h e M e t h o d e n a n d i h r e A n -

w e n d u n g e n , T e u b n e r , 1 9 7 9 .

[ 1 5 ] J . G . T h a c k r a y , M o d u l a r r e p r e s e n t a t i o n s o f s o m e f i n i t e g r o u p s , P h . D .

T h e s i s , U n i v e r s i t y o f C a m b r i d g e , 1 9 8 1 .

[ 1 6 ] M . W i e g e l m a n n ,

F i x p u n k t k o n d e n s a t i o n v o n T e n s o r p r o d u k t m o d u l n ,

D i p l o m a r b e i t , L e h r s t u h l D f u r M a t h e m a t i k , R W T H A a c h e n , 1 9 9 4 .




[ 1 7 ] R . A . W i l s o n , A w o r l d - w i d e - w e b A T L A S o f f i n i t e g r o u p r e p r e s e n t a t i o n s ,

h t t p : / / w w w . m a t . b h a m . a c . u k / a t l a s , 1 9 9 6 .

[ 1 8 ] R . A . W i l s o n , S t a n d a r d g e n e r a t o r s f o r s p o r a d i c s i m p l e g r o u p s , J . A l g e b r a

1 8 4 ( 1 9 9 6 ) , 5 0 5 - 5 1 5 .



I n t e r s e c t i o n s o f S y l o w s u b g r o u p s i n f i n i t e

g r o u p s

V . D . M a z u r o v

a n d

V . I . Z e n k o v

A b s t r a c t

F o r e v e r y f i n i t e g r o u p G a n d e v e r y p r i m e p , i p ( G ) < 3 , w h e r e

i p ( G ) d e n o t e s t h e s m a l l e s t n u m b e r o f S y l o w p - s u b g r o u p s o f G w h o s e

i n t e r s e c t i o n c o i n c i d e s w i t h t h e i n t e r s e c t i o n o f a l l S y l o w p - s u b g r o u p s o f

G . F o r a l l s i m p l e g r o u p s G , i p ( G ) < 2 .


L e t G b e a f i n i t e g r o u p a n d p b e a p r i m e . D e n o t e b y O p ( G ) t h e i n t e r s e c t i o n

o f a l l S y l o w p - s u b g r o u p s o f G a n d b y i p ( G ) t h e s m a l l e s t n u m b e r i s u c h t h a t

O p ( G ) i s e q u a l t o t h e i n t e r s e c t i o n o f i S y l o w p - s u b g r o u p s . O b v i o u s l y , i p ( G ) =

1 i f a n d o n l y i f G h a s a n u n i q u e S y l o w p - s u b g r o u p . J . B r o d k e y [ 2 ] p r o v e d

t h a t i p ( G ) < 2 i f a S y l o w p - s u b g r o u p o f G i s a b e l i a n a n d N . I t o [ 5 ] f o u n d

s u f f i c i e n t c o n d i t i o n s f o r a f i n i t e s o l v a b l e g r o u p t o s a t i s f y i p ( G ) < 2 .

T h i s p a p e r d i s c u s s s o m e r e c e n t r e s u l t s i n t h i s d i r e c t i o n . T h e m a i n t h e o -

r e m s a r e t h e f o l l o w i n g :

T h e o r e m 1 [ 1 0 ] I f G i s a s i m p l e n o n - a b e l i a n g r o u p t h e n i p ( G ) = 2 f o r e v e r y

p r i m e p d i v i d i n g t h e o r d e r o f G .

T h e o r e m 2 [ 9 ] F o r e v e r y f i n i t e g r o u p G a n d e v e r y p r i m e p , i p ( G ) < 3 .

S e c t i o n 2 c o n t a i n s a s k e t c h o f a p r o o f o f T h e o r e m 1 w h i c h u s e s t h e C l a s s i f i -

c a t i o n o f F i n i t e S i m p l e G r o u p s . S e c t i o n 3 p r e s e n t s r e s u l t s a b o u t i n t e r s e c t i o n s

o f S y l o w s u b g r o u p s i n a r b i t r a r y f i n i t e g r o u p s . W e u s e t h e n o t a t i o n o f t h e

A T L A S [ 3 ] .

1 P r e l i m i n a r y r e s u l t s

T h e f o l l o w i n g e l e m e n t a r y r e s u l t s , t h e f i r s t o f w h i c h i s t r i v i a l , g i v e a b a s e f o r

i n d u c t i o n a r g u m e n t s i n t h e p r o o f o f t h e m a i n t h e o r e m s o f t h i s p a p e r .

1 9 1



1 9 2


L e m m a 1 L e t P a n d Q b e S y l o w p - s u b g r o u p s o f a f i n i t e g r o u p G a n d a E

Z ( P ) , b E Z ( Q ) . I f C G ( a b ) c o n t a i n s n o n o n - t r i v i a l p - e l e m e n t t h e n P n Q = 1 .

L e m m a 2 L e t N b e a s u b g r o u p o f a f i n i t e g r o u p G a n d l e t P , Q b e S y l o w

p - s u b g r o u p s o f N . D e n o t e V = P n Q .

( i ) I f N N ( V ) < N t h e n t h e i n t e r s e c t i o n o f a n y S y l o w s u b g r o u p s R a n d S

o f G c o n t a i n i n g P a n d Q r e s p e c t i v e l y c o i n c i d e s w i t h V .

( i i ) I f N < N G ( V ) t h e n , f o r a n y g E G , t h e s u b g r o u p V n V 9 c o n t a i n s

t h e i n t e r s e c t i o n o f s o m e S y l o w p - s u b g r o u p o f N a n d s o m e S y l o w p - s u b g r o u p

o f N 9 .

P r o o f : ( i ) f o l l o w s f r o m t h e i n c l u s i o n s R n S > V a n d

N R n s ( V ) = R n S n N c ( V ) < R n S n N =

= ( R n N ) n ( S n N ) = P n Q = V .

T o p r o v e ( i i ) w e c a n s u p p o s e w i t h o u t l o s s o f g e n e r a l i t y t h a t N n V 9 < _ P .

L e t P 1 b e a S y l o w p - s u b g r o u p o f N 9 c o n t a i n i n g Q n N 9 a n d Q 1 b e a S y l o w

p - s u b g r o u p o f N 9 s u c h t h a t P 1 n Q i = V 9 . T h e n

Q n Q l = Q n ( Q 1 n N 9 ) = ( Q n N 9 ) n Q 1 < _ P 1 n Q 1 = V I .

H e n c e Q n Q 1 < Q n ( N n V 9 ) < Q n P = V .

2 S y l o w i n t e r s e c t i o n s i n s i m p l e g r o u p s

B y a r e s u l t o f J . G r e e n ( T h e o r e m 5 o f [ 4 ] ) a d e f e c t g r o u p o f a p - b l o c k o f

c h a r a c t e r s i s a l w a y s e q u a l t o t h e i n t e r s e c t i o n o f s o m e t w o S y l o w p - s u b g r o u p s .

S i n c e G . M i c h l e r [ 7 ] a n d W . W i l l e m s [ 8 ] p r o v e d t h a t a n y s i m p l e g r o u p o f L i e

t y p e h a s a p - b l o c k o f d e f e c t z e r o f o r a n a r b i t r a r y p r i m e p , T h e o r e m 1 i s t r u e

f o r t h o s e g r o u p s . U s i n g t h e A T L A S [ 3 ] i t i s e a s y t o c h e c k t h a t a s p o r a d i c

g r o u p G h a s n o p - b l o c k o f d e f e c t z e r o o n l y i f

p = 2 a n d G E { M 1 2 , M 2 2 , M m e , J 2 , H S , S u z , R u , C o 1 , C o 3 , F 2 }

o r

p = 3 a n d G E { S u z , C 0 3 1

M o s t o f t h e s e e x c e p t i o n a l c a s e s c a n b e c o n s i d e r e d u s i n g i n d u c t i o n a n d t h e

f o l l o w i n g l e m m a .

L e m m a 3 L e t M b e a m a x i m a l p - l o c a l s u b g r o u p o f a f i n i t e g r o u p G w h i c h

c o n t a i n s a S y l o w p - s u b g r o u p o f G a n d l e t H b e a s u b g r o u p o f M s u c h t h a t



I n t e r s e c t i o n s o f S y l o w s u b g r o u p s

1 9 3

N G ( H ) L t M . S u p p o s e O p ( M ) i s e q u a l t o t h e i n t e r s e c t i o n o f t w o S y l o w p -

s u b g r o u p s o f M . T h e n G c o n t a i n s t w o S y l o w p - s u b g r o u p s w i t h t r i v i a l i n t e r -

s e c t i o n i f o n e o f t h e f o l l o w i n g c o n d i t i o n s h o l d s :

( i ) V = S l 1 ( O p ( M ) ) i s e l e m e n t a r y a b e l i a n a n d H a c t s o n V i r r e d u c i b l y b y

c o n j u g a t i o n .

( i i ) V = O p ( M ) i s a n e x t r a s p e c i a l g r o u p o f

o r d e r p l + 2 m . , S 2 1 ( C v ( O p ( H ) ) ) <

I ( V ) a n d O ' ( H ) h a s n o n o n - t r i v i a l i r r e d u c i b l e r e p r e s e n t a t i o n o f d e g r e e < m

o v e r a f i e l d o f o r d e r p .

T h e A T L A S [ 3 ] s h o w s t h a t q u a r t e t s ( p , G , M , H ) i n T a b l e 1 s a t i s f y t h e c o n d i -

t i o n s o f L e m m a 3 .

p

G

T a b l e 1

M

H

2

M 2 2

2 : A 6

5

2 M 2 4 2 4 : A 8

5

2

J 2

2 1 + 4 : A 5

5

2 H S

4 3 : L 3 ( 2 )

7

2

S u z

2 1 + 6 U 4 ( 2 )

[ 3 4 ]

3

S u z 3 5 : M 1 1

1 1

2

C o l

2 1 + 8 : O 8 + ( 2 ) A g

2

C o 3

2 S 6 ( 2 ) 1

3

C o 3 3 1 + 4 : 4 5 6

5

2 F 2

2 1 + 2 2 . C o 2 H S : 2

I f G = M 1 2 t h e n A = A u t G c o n t a i n s a n i n v o l u t i o n t ¢ G w h o s e c e n t r a l i z e r

i n A i s i s o m o r p h i c t o ( t ) x A 5 . B y L e m m a 2 ( i ) A c o n t a i n s t w o S y l o w 2 -

s u b g r o u p s w i t h i n t e r s e c t i o n e q u a l t o ( t ) . T h e i r i n t e r s e c t i o n s w i t h G a r e S y l o w

2 - s u b g r o u p s o f G i n t e r s e c t i n g t r i v i a l l y .

F i n a l l y , l e t G = R u . D e n o t e b y v a n i n v o l u t i o n l y i n g i n t h e c l a s s 2 B o f G .

T h e n C G ( v ) = V x U w h e r e V ^ _ 2 2 , U - - S z ( 8 ) a n d I N G ( V ) : C G ( V ) I = 3 .

A n y i n v o l u t i o n i n U i s e q u a l t o t h e s q u a r e o f s o m e e l e m e n t o f U , h e n c e i t i s

n o t a c o n j u g a t e o f v a n d b e l o n g s t o t h e c e n t r e o f s o m e S y l o w 2 - s u b g r o u p o f

G . L e t X b e a s u b g r o u p o f o r d e r 5 i n U . S i n c e X c e n t r a l i z e s v , i t s g e n e r a t i n g

e l e m e n t s b e l o n g t o t h e c l a s s 5 A . T h e n o r m a l i z e r o f X i n U i s a s e m i - d i r e c t

p r o d u c t o f X a n d a c y c l i c g r o u p Z o f o r d e r 4 , a n d N G ( X ) = X Y x A , w h e r e

Y

Z , A - A 5 . I t i s o b v i o u s t h a t V < A < C G ( z ) , w h e r e z i s t h e i n v o l u t i o n

i n Z . T h u s , C G ( z ) c o n t a i n s A a n d a S y l o w 2 - s u b g r o u p P o f N G ( V ) , h e n c e

V n 0 2 ( C G ( z ) ) = 1 .

L e t Q b e a S y l o w 2 - s u b g r o u p o f N G ( V ) i n t e r s e c t i n g P i n V , l e t R b e a

S y l o w 2 - s u b g r o u p o f C G ( v ) w h i c h c o n t a i n s P , l e t S b e a S y l o w 2 - s u b g r o u p o f

G , w h i c h c o n t a i n s Q , a n d l e t u b e a n i n v o l u t i o n i n t h e c e n t r e S . B y L e m m a



1 9 4


0 2 ( C G ( z ) ) n V = 0 2 ( C G ( z ) ) n ( R n s ) > 0 2 ( C G ( z ) ) n 0 2 ( C G ( u ) ) .

S i n c e 0 2 ( C G ( z ) ) n V = 1 , L e m m a 2 ( i i ) s h o w s t h a t G c o n t a i n s t w o S y l o w

2 - s u b g r o u p s w i t h t r i v i a l i n t e r s e c t i o n . T h u s , w e r e d u c e t h e p r o o f o f T h e o r e m

1 t o t h e c a s e o f a l t e r n a t i n g g r o u p s .

T h e o r e m 3 L e t p b e a p r i m e .

( i ) L e t G = S n b e a s y m m e t r i c g r o u p o f d e g r e e n . T h e n G c o n t a i n s t w o

S y l o w p - s u b g r o u p s w i t h t r i v i a l i n t e r s e c t i o n i f a n d o n l y i f

( p , n ) ¢ { ( 3 , 3 ) , ( 2 , 2 ) , ( 2 , 4 ) , ( 2 , 8 ) } .

( i i ) i p ( A n ) = 2 i f n > 5 a n d p d i v i d e s I A n I .

S t e p ( i i ) i s c o n s e q u e n c e o f ( i ) . T o p r o v e ( i ) w e u s e i n d u c t i o n a n d L e m m a s

1 a n d 2 . T h e m o s t c o m p l i c a t e d c a s e s a r e n = 8 a n d n = 1 6 f o r p = 2 .

L e t n = 8 .

L e t I b e t h e s e t { ( 1 , 2 ) , ( 3 , 4 ) , ( 5 , 6 ) , ( 7 , 8 ) } o f f o u r i n d e -

p e n d e n t t r a n s p o s i t i o n s . C o n s i d e r a S y l o w 2 - s u b g r o u p P o f G c o n t a i n e d i n

N = N G ( ( I ) ) . W e p o i n t o u t t h a t a n y 2 - e l e m e n t o f N w h i c h i n d u c e s b y c o n j u -

g a t i o n a n e v e n p e r m u t a t i o n o n I i s c o n t a i n e d i n 0 2 ( N ) . S u p p o s e t h a t t h e r e

e x i s t s a S y l o w 2 - s u b g r o u p Q o f G s u c h t h a t P n Q = 1 . S i n c e I Q , w e c a n

s u p p o s e t h a t ( 1 , 3 ) E Q .

I f ( 2 , 4 ) E Q t h e n , u p t o r e n u m b e r i n g o f l e t t e r s , w e h a v e ( 5 , 7 ) , ( 6 , 8 ) E Q .

I f ( 2 , 4 ) ¢ Q , t h e n w e c a n s u p p o s e t h a t ( 2 , 5 ) , ( 4 , 7 ) , ( 6 , 8 ) E Q . S e t

U = ( ( 1 , 3 ) , ( 2 , 4 ) , ( 5 , 7 ) , ( 6 , 8 ) )

i n t h e f i r s t c a s e a n d

U = ( ( 1 , 3 ) , ( 2 , 5 ) , ( 3 , 7 ) , ( 6 , 8 ) )

i n t h e s e c o n d c a s e .

I n t h e f i r s t c a s e a = ( 1 3 ) ( 2 4 ) ( 5 7 ) ( 6 8 ) E U a n d a a c t s b y c o n j u g a t i o n o n I

a s a n e v e n p e r m u t a t i o n . T h u s , a E 0 2 ( N G ( V ) ) , i . e . a C P n Q . I n t h e s e c o n d

c a s e b = ( 1 , 8 ) ( 2 , 7 ) ( 3 , 6 ) ( 5 , 4 ) a c t s b y c o n j u g a t i o n a s a n e v e n p e r m u t a t i o n o n

I a n d o n { ( 1 , 3 ) , ( 2 , 5 ) , ( 4 , 7 ) , ( 6 , 8 ) } , h e n c e

b E O 2 ( N G ( V ) ) n 0 2 ( N G ( U ) ) < P n Q .

L e t n = 1 6 , p = 2 . S e t X = { 1 , 2 , . . . , 6 } , Y = { 7 , 8 , . . . , 1 6 } .

L e t P x b e a S y l o w 2 - s u b g r o u p o f t h e s y m m e t r i c g r o u p S x n o r m a l i z -

i n g ( ( 1 , 2 ) , ( 3 , 4 ) , ( 5 , 6 ) ) a n d c e n t r a l i z i n g a = ( 1 , 2 ) ( 3 , 4 ) a n d l e t Q x b e a

S y l o w 2 - s u b g r o u p o f S x n o r m a l i z i n g ( ( 2 , 3 ) , ( 4 , 5 ) , ( 1 , 6 ) ) a n d c e n t r a l i z i n g




1 9 5

b = ( 2 , 3 ) ( 4 , 5 ) . T h e n a b = ( 1 , 3 , 5 , 4 , 2 ) d o e s n o t c e n t r a l i z e a n y n o n - t r i v i a l

2 - e l e m e n t o f S x . B y L e m m a 1 , P x n Q x = 1 .

S i m i l a r l y , P y n Q y = 1 , w h e r e P y i s a S y l o w 2 - s u b g r o u p o f S y w h i c h

n o r m a l i z e s t h e g r o u p ( ( 7 , 8 ) , ( 9 , 1 0 ) , . . . , ( 1 5 , 1 6 ) ) a n d c e n t r a l i z e s t h e i n v o l u -

t i o n ( 7 , 8 ) ( 9 , 1 0 ) ( 1 1 , 1 2 ) ( 1 3 , 1 4 ) , a n d Q y i s a S y l o w 2 - s u b g r o u p o f S y w h i c h

n o r m a l i z e s ( ( 8 , 9 ) , ( 1 0 , 1 1 ) , . . . , ( 1 4 , 1 5 ) , ( 7 , 1 6 ) ) a n d c e n t r a l i z e s t h e i n v o l u t i o n

( 8 , 9 ) ( 1 0 , 1 1 ) ( 1 2 , 1 3 ) ( 1 4 , 1 5 ) .

H e n c e ( P x , P y ) = P x x P y h a s t r i v i a l i n t e r s e c t i o n w i t h ( Q x , Q Y ) = Q x X

Q Y .

I t i s o b v i o u s t h a t P x x P y i s c o n t a i n e d i n t h e n o r m a l i z e r o f t h e g r o u p

V p = ( ( 1 , 2 ) , ( 3 , 4 ) , . . . , ( 1 5 , 1 6 ) ) , a n d Q x x Q y i s c o n t a i n e d i n t h e n o r m a l i z e r

o f V Q = ( ( 1 , 6 ) , ( 2 , 3 ) , ( 4 , 5 ) , ( 7 , 1 6 ) , ( 8 , 9 ) , ( 1 0 , 1 1 ) , ( 1 2 , 1 3 ) , ( 1 4 , 1 5 ) ) .

L e t P b e a S y l o w 2 - s u b g r o u p o f N G ( V p ) c o n t a i n i n g P x x P y a n d l e t Q

b e a S y l o w 2 - s u b g r o u p o f N G ( V Q ) c o n t a i n i n g Q x x Q y . T h e n P a n d Q a r e

S y l o w 2 - s u b g r o u p s o f G .

W e p r o v e n o w t h a t P n Q = 1 . L e t u E P n Q . I f y " E X f o r s o m e y E Y

t h e n z " E X f o r e v e r y z E Y s u c h t h a t ( y , z ) E V p U V Q . S i n c e t h e g r a p h

w i t h v e r t e x s e t Y , a n d e d g e s e t c o n s i s t i n g o f t h o s e t r a n s p o s i t i o n s i n V p U V Q

w h i c h p e r m u t e e l e m e n t s o f Y , i s c o n n e c t e d , Y " C X . T h i s i s i m p o s s i b l e ,

s i n c e I Y I > I X I . H e n c e Y " = Y a n d X " = X f o r a n y u E P n Q . T h u s ,

P n Q = ( P n Q ) n ( S x x S y ) =

= ( P n ( S x x S Y ) ) n ( Q n ( S x x S Y ) ) =

= ( P x x P Y ) n ( Q x x Q Y ) = 1 .

T h e o r e m 1 i m p l i e s t h e f o l l o w i n g c o n j e c t u r e o f R . B r a u e r [ 1 ] :

C o r o l l a r y 1 L e t G b e a f i n i t e s i m p l e n o n - a b e l i a n g r o u p a n d l e t p b e a p r i m e .

I f p a d i v i d e s I G I t h e n I G I > p 2 a .

A n u m b e r - t h e o r e t i c a l p r o o f o f B r a u e r ' s c o n j e c t u r e h a s b e e n g i v e n b y W .

K i m m e r l e , R . L y o n s , R . S a n d l i n g a n d D . N . T e a g u e [ 6 ] .

3

S y l o w i n t e r s e c t i o n s i n a r b i t r a r y g r o u p s

F o r a n a r b i t r a r y f i n i t e g r o u p G t h e n u m b e r i p ( G ) c a n b e l a r g e r t h a n 2 a n d

t h e c o r r e s p o n d i n g p o s s i b i l i t i e s a r e d e s c r i b e d i n t h e f o l l o w i n g t h e o r e m .

T h e o r e m 4 L e t G b e a f i n i t e g r o u p , p b e a p r i m e , S = S ( G ) b e t h e l a r g e s t

s o l u b l e n o r m a l s u b g r o u p o f G a n d P b e a S y l o w p - s u b g r o u p o f G . A s s u m e t h a t

P n P X 0 O p ( G ) f o r a l l x E G . T h e n o n e o f t h e f o l l o w i n g c o n d i t i o n s h o l d s :



1 9 6


1 . ( P n S ) n ( P n S ) x # O p ( G ) f o r a l l x E G a n d , f o r S = S / O p ( G ) , e i t h e r

( a ) p = 2 a n d S c o n t a i n s a s u b g r o u p i s o m o r p h i c t o g 2 : D 2 n + 1 w h e r e

q = 2 n - 1 i s a M e r s e n n e p r i m e , o r

( b ) p = 2 a n d S c o n t a i n s a s u b g r o u p i s o m o r p h i c t o q 2 :

z

( 4 x D e n + i )

w h e r e q = 2 n + 1 i s a F e r m a t p r i m e , o r

( c ) p = 2 n - 1 i s a M e r s e n n e p r i m e a n d S c o n t a i n s a s u b g r o u p i s o -

m o r p h i c t o ( 2 n : p ) 1 p , o r

( d ) p = 3 a n d S c o n t a i n s a s u b g r o u p i s o m o r p h i c t o 2 1 + 6 : ( 3 1 3 ) .

2 . ( P n S ) n ( P n S ) y = O p ( G ) f o r s o m e y E G a n d , f o r G = G / S , e i t h e r

( a ) p = 3 a n d d c o n t a i n s a n o r m a l s u b g r o u p i s o m o r p h i c t o K w h e r e

( O 8 ( 3 ) ) t < K < ( O 8 ( 3 ) ( g ) ) t , t i s a n a t u r a l n u m b e r a n d g i s a

g r a p h a u t o m o r p h i s m o f O $ ( 3 ) o f o r d e r 3 , o r

( b ) p = 2 a n d G c o n t a i n s a s u b n o r m a l s i m p l e s u b g r o u p i s o m o r p h i c t o

e i t h e r

i . a g r o u p o f L i e t y p e o v e r a f i e l d o f o r d e r 2 ' n ± 1 , o r

i i . o n e o f g r o u p s L 3 ( 4 ) , L n ( 2 ) , n > 3 , O n ( 2 ) , n > 7 , F 4 ( 2 ) , E 6 ( 2 ) ,

E 7 ( 2 ) , E s ( 2 ) , 2 F 4 ( 2 ) ' .

A l l t h e c a s e s d e s c r i b e d i n T h e o r e m 4 a c t u a l l y o c c u r . I n p a r t i c u l a r , i 3 ( G ) >

2 f o r G = O 8 ( 3 ) : 3 a n d i 2 ( G ) > 2 i f G i s e q u a l t o A u t L 2 ( 9 ) , A u t L 2 ( p ) , p =

2 ' - 1 o r ( A u t L 2 ( p ) ) 1 2 ) , p = 2 1 + 1 . P o s s i b l y , s o m e g r o u p s i n 2 ( b ) ( i ) c a n b e

e x c l u d e d , b u t n e v e r t h e l e s s t h e f o l l o w i n g i s t r u e :

T h e o r e m 5 I f p = 2 o r p i s a M e r s e n n e p r i m e t h e n t h e r e e x i s t s a f i n i t e

g r o u p G w i t h O p ( G ) = 1 s u c h t h a t I G I < 1 P l 2 w h e r e P i s a S y l o w p - s u b g r o u p

o f G . F o r o t h e r p r i m e s p a n d f o r a n y f i n i t e g r o u p G , i p ( G ) < 2 , a n d , i n

p a r t i c u l a r , I G / O p ( G ) I > I P / O p ( G ) 1 2 .

L e t P b e a S y l o w p - s u b g r o u p o f a f i n i t e g r o u p G . D e n o t e b y k p ( G ) t h e

n u m b e r o f o r b i t s o f P o n t h e s e t o f o r d e r e d p a i r s ( P 1 , P 2 ) o f S y l o w p - s u b g r o u p s

o f G w i t h t h e c o n d i t i o n P n P l n P 2 = O p ( G ) . T h e f o l l o w i n g t h e o r e m s h o w s

t h a t k p ( G ) # 0 .

T h e o r e m 6 F o r a f i n i t e g r o u p G , o n e o f t h e f o l l o w i n g c o n d i t i o n s h o l d s :

( i ) k p ( G ) = 1 a n d G h a s a n u n i q u e S y l o w p - s u b g r o u p ,

( i i ) k p ( G ) = 2 , p = 2 a n d G c o n t a i n s e x a c t l y t h r e e S y l o w 2 - s u b g r o u p s ,

( i i i ) k p ( G ) > 3 .

T h e o r e m 2 i s a d i r e c t c o n s e q u e n c e o f T h e o r e m 6 .




1 9 7


T h i s w o r k i s s u p p o r t e d b y t h e g r a n t 9 6 - 0 1 - 0 1 8 9 3 o f t h e R u s s i a n F o u n d a t i o n

o f B a s i c I n v e s t i g a t i o n s . T h e w o r k o f t h e f i r s t a u t h o r i s p a r t l y s u p p o r t e d b y

t h e L o n d o n M a t h e m a t i c a l S o c i e t y

R e f e r e n c e s

[ 1 ]

R . B r a u e r , O n s o m e c o n j e c t u r e s c o n c e r n i n g f i n i t e s i m p l e g r o u p s , i n C o l -

l e c t e d p a p e r s , V o l . 2 , p p . 1 7 1 - 1 7 6 . M I T P r e s s , C a m b r i d g e , M a s s . , 1 9 8 0 .

[ 2 ]

J . B r o d k e y , A n o t e o n f i n i t e g r o u p s w i t h a n a b e l i a n S y l o w g r o u p , P r o c .

A m e r . M a t h . S o c . 1 4 ( 1 9 6 3 ) , 1 3 2 - 1 3 3 .



[ 4 ]

J . G r e e n , B l o c k s o f m o d u l a r r e p r e s e n t a t i o n s , M a t h . Z . 7 9 ( 1 9 6 2 ) , 1 0 0 -

1 1 5 .

[ 5 ] N . I t o , U b e r d e n k l e i n s t e n p - D u r c h s c h n i t t a u f l o s b a r e r G r u p p e n , A r c h .

M a t h . 9 ( 1 9 5 8 ) , 2 7 - 3 2 .

[ 6 ] W . K i m m e r l e , R . L y o n s , R . S a n d l i n g , D . N . T e a g u e , C o m p o s i t i o n f a c t o r s

f r o m t h e g r o u p r i n g a n d A r t i n ' s t h e o r e m o n o r d e r s o f s i m p l e g r o u p s , P r o c .

L o n d o n M a t h . S o c . 6 0 ( 1 9 9 0 ) , 8 9 - 1 2 2 .

[ 7 ]

G . M i c h l e r , A f i n i t e s i m p l e g r o u p o f L i e - t y p e h a s p - b l o c k s w i t h d i f f e r e n t

d e f e c t s , p 2 , J . A l g e b r a 1 0 4 ( 1 9 8 6 ) , 2 2 0 - 2 3 0 .

[ 8 ] W . W i l l e m s , B l o c k s o f d e f e c t z e r o i n f i n i t e g r o u p s o f L i e t y p e , J . A l g e b r a

1 1 3 ( 1 9 8 8 ) , 5 1 1 - 5 2 2 .

[ 9 ] V . I . Z e n k o v , I n t e r s e c t i o n s o f n i l p o t e n t s u b g r o u p s i n f i n i t e g r o u p s , F u n -

d a m e n t a l ' n a y a i p r i k l a d n a y a m a t e m a t i k a 1 ( 1 9 9 6 ) , 1 - 9 1 ( I n R u s s i a n ) .

[ 1 0 ] V . I . Z e n k o v a n d V . D . M a z u r o v , O n t h e i n t e r s e c t i o n o f S y l o w s u b g r o u p s

i n f i n i t e g r o u p s , A l g e b r a a n d L o g i c 3 5 ( 1 9 9 6 ) , 2 3 6 - 2 4 0 .



A n a t o m y o f t h e M o n s t e r : I

S . P . N o r t o n

A b s t r a c t

W e s u m m a r i s e m u c h o f w h a t i s c u r r e n t l y k n o w n a b o u t t h e s u b g r o u p

s t r u c t u r e o f t h e F i s c h e r - G r i e s s M o n s t e r .


T h e p u b l i c a t i o n o f t h e A T L A S o f F i n i t e G r o u p s [ 1 ] ( h e n c e f o r t h r e f e r r e d t o a s

t h e A T L A S ) m a r k e d t h e e n d o f a c h a p t e r i n t h e h i s t o r y o f g r o u p t h e o r y i n m o r e

w a y s t h a n o n e . T h e c l a s s i f i c a t i o n o f f i n i t e s i m p l e g r o u p s h a d b e e n c o m p l e t e d ;

a n d , u s i n g n e w c o m p u t a t i o n a l t e c h n i q u e s , t h e l a s t o f t h e s p o r a d i c g r o u p s h a d

b e e n c o n s t r u c t e d , a n d e n o u g h p r o g r e s s h a d b e e n m a d e i n c l a s s i f y i n g t h e i r

m a x i m a l s u b g r o u p s t o m a k e t h e r e s t s e e m l i k e a " t i d y i n g u p " j o b .

S i n c e t h e p u b l i c a t i o n o f t h e A T L A S , t h e s e c o m p u t a t i o n a l m e t h o d s h a v e

b e e n p u s h e d f u r t h e r . T h e c l a s s i f i c a t i o n o f t h e m a x i m a l s u b g r o u p s f o r F i 2 2 ,

T h , F i 2 3 , J 4 a n d F i 2 4 w a s c o m p l e t e d b y K l e i d m a n , L i n t o n , P a r k e r a n d W i l s o n

i n [ 7 , 8 , 9 , 1 0 , 1 2 , 1 3 , 1 4 ] . T h i s m e a n s t h a t A p p e n d i x 2 o f t h e A T L A S o f B r a u e r

C h a r a c t e r s [ 1 1 ] , w h e n c o l l a t e d w i t h t h e A T L A S i t s e l f , c o m p l e t e s t h e l i s t i n g

f o r a l l s p o r a d i c g r o u p s e x c e p t t h e B a b y M o n s t e r a n d M o n s t e r . F o r t h e B a b y

M o n s t e r , f o u r n e w m a x i m a l s u b g r o u p s ( ( S 6 x L 3 ( 4 ) : 2 ) : 2 , ( S 6 x S 6 ) : 4 , L 2 ( 3 1 )

a n d L 2 ( 4 9 ) . 2 3 ) w e r e g i v e n i n A p p e n d i x 2 o f [ 1 1 ] , a n d W i l s o n h a s s i n c e f o u n d

f o u r m o r e ( M 1 1 , L 3 ( 3 ) , L 2 ( 1 7 ) : 2 a n d L 2 ( 1 1 ) : 2 ) ; f o r r e f e r e n c e s s e e [ 2 3 , 2 4 , 2 5 ] .

W i t h w o r k o n t h e 2 - l o c a l s b y M e i e r f r a n k e n f e l d a n d S h p e k t o r o v [ 1 5 ] , a n e n d

t o t h e B a b y M o n s t e r p r o b l e m i s i n s i g h t .

W i t h a l o t o f w o r k a l s o h a v i n g b e e n d o n e o n m a x i m a l s u b g r o u p s o f g e n e r i c

g r o u p s , t h i s l e a v e s o n l y t h e M o n s t e r . U n f o r t u n a t e l y , t h e d e g r e e o f i t s s m a l l e s t

r e p r e s e n t a t i o n o v e r a n y f i e l d , 1 9 6 8 8 2 , i s t o o b i g f o r p r e s e n t d a y c o m p u t a t i o n a l

t e c h n i q u e s t o m a k e a n y h e a d w a y . N o r d o w e h a v e a n y a l t e r n a t i v e m e a n s o f

c o m p u t i n g w i t h t h e M o n s t e r .

A n d y e t t h e M o n s t e r i s p e r h a p s t h e m o s t i n t e r e s t i n g o f t h e s p o r a d i c g r o u p s .

W e s e e f r o m p a g e 2 3 1 o f t h e A T L A S t h a t i t i n v o l v e s a l l b u t s i x o f t h e s p o r a d i c

g r o u p s ( n o t e t h a t t h e o n e d o u b t f u l c a s e , J 1 , w a s s e t t l e d i n t h e n e g a t i v e b y

W i l s o n [ 2 1 ] ) a s w e l l a s m a n y g e n e r i c g r o u p s ; a n d w e s h a l l s e e i n s e c t i o n 2 t h a t

1 9 8




1 9 9

m a n y o f t h e r e l a t i o n s b e t w e e n t h e s e g r o u p s c a n b e s t b e s e e n i n s i d e t h e M o n -

s t e r . T w o p r o p e r t i e s o f t h e M o n s t e r o f p a r t i c u l a r i n t e r e s t a r e " M o o n s h i n e "

a n d t h e " p r o j e c t i v e p l a n e " f o r m u l a t i o n , m e n t i o n e d r e s p e c t i v e l y o n p a g e s 2 3 1

a n d 2 3 2 o f t h e A T L A S . T h e f o r m e r , a n d t o s o m e e x t e n t t h e l a t t e r , h a s s p a w n e d

a h o s t o f p a p e r s s t a r t i n g w i t h [ 2 , 3 ] . D e s p i t e t h e e m e r g e n c e o f l i n k s w i t h c o n -

f o r m a l f i e l d t h e o r y a n d K a c - M o o d y a l g e b r a s , M o o n s h i n e i s s t i l l n o t f u l l y

u n d e r s t o o d . B u t i t h a s n o w b e e n p r o v e d b y I v a n o v a n d t h e a u t h o r t h a t t h e

p r o j e c t i v e p l a n e f o r m u l a t i o n p r o v i d e s a p r e s e n t a t i o n [ 5 , 6 , 1 7 , 1 8 ] . I n c i d e n -

t a l l y , [ 1 7 ] h a s a m i s p r i n t i n t h e p r o o f o f L e m m a 5 - t h e e l e m e n t ( 0 2 ) ( 3 9 ) ( 0 2 )

s h o u l d b e r e p l a c e d b y ( ( 0 2 ) ( 3 9 ) ) 2 . W i t h t h i s c o r r e c t i o n t h e c a l c u l a t i o n s t h a t

u s e t h i s l e m m a w o r k o u t c o r r e c t l y a n d n o o t h e r c h a n g e s t o t h e p a p e r a r e

n e c e s s a r y .

D o e s t h i s r e p r e s e n t t h e s t a r t o f t h e n e x t c h a p t e r i n t h e h i s t o r y o f g r o u p

t h e o r y ? H o w e v e r t h i s i s t o b e a n s w e r e d , w e f e e l t h a t i t i s a p p r o p r i a t e t h a t

t h e P r o c e e d i n g s o f t h e " A T L A S t e n y e a r s o n " c o n f e r e n c e s h o u l d c o n t a i n a

s u m m a r y o f w h a t i s k n o w n a b o u t t h e s u b g r o u p s t r u c t u r e o f t h e M o n s t e r .

T h r o u g h o u t t h e p a p e r a l l n o t a t i o n i s a s i n t h e A T L A S . A l l r e s u l t s a r e

g i v e n w i t h o u t p r o o f . W e h o p e t o p r e s e n t s o m e p r o o f s i n d u e c o u r s e i n f u r t h e r

p a p e r s i n t h e " A n a t o m y o f t h e M o n s t e r " s e r i e s .

1

p - l o c a l s u b g r o u p s

F o r o d d p , c o m p l e t e l i s t s o f m a x i m a l p - l o c a l s u b g r o u p s a r e s h o w n o n p a g e 2 3 4

o f t h e A T L A S , e x c e p t f o r o n e 7 - l o c a l ( s e e H o a n d W i l s o n [ 4 , 2 2 ] ) w h i c h h a d

b e e n o m i t t e d a n d i s s h o w n i n A p p e n d i x 2 o f [ 1 1 ] . W i l s o n ' s p a p e r p r o v e s t h e

c l a s s i f i c a t i o n . F o r p = 2 , a c l a s s i f i c a t i o n h a s b e e n o b t a i n e d b y M e i e r f r a n k e n -

f e l d a n d S h p e k t o r o v [ 1 5 ] ; t h i s y i e l d s n o s u b g r o u p s o t h e r t h a n t h o s e s h o w n i n

t h e A T L A S .

2 M o n s t r a l i z e r s

W e s t a r t w i t h s o m e r e s u l t s t h a t a r e s t a t e d h e r e f o r t h e M o n s t e r b u t w h i c h

c a n e a s i l y b e s e e n t o b e t r u e f o r a l l g r o u p s .

L e t G 1 b e a s u b g r o u p o f t h e M o n s t e r M . A s i n [ 1 6 ] w e d e f i n e t h e m o n -

s t r a l i z e r o f G 1 t o b e t h e c e n t r a l i z e r C M ( G s ) = G 2 , s a y . T h e n G 1 i s c o n t a i n e d

i n t h e m o n s t r a l i z e r o f G 2 ; i f G 1 = C M ( G 2 ) w e c a l l G 1 c l o s e d , a n d i n a n y c a s e

w e c a l l _ C M ( G 2 ) t h e c l o s u r e o f G 1 a n d d e n o t e i t b y G 1 . N o t e t h a t G 2 , a n d

h e n c e G 1 , a r e a u t o m a t i c a l l y c l o s e d .

I f G 1 i s c l o s e d , t h e n Z ( G 1 ) = Z ( G 2 ) = G 1 n G 2 = H , s a y ; a n d w e a l s o h a v e

N M ( G l ) = N M ( G 2 ) = G , s a y . W e n o w d e f i n e G 3 = G / ( G 1 , G 2 ) . T h e n G 3

w i l l b e a s u b g r o u p o f t h e o u t e r a u t o m o r p h i s m g r o u p s o f b o t h G 1 a n d G 2 . T o



2 0 0 S . P . N o r t o n

s h o w t h e p a i r o f m u t u a l l y c e n t r a l i z i n g s u b g r o u p s G 1 a n d G 2 , w e m a y e x p a n d

G a s [ G 1 o G 2 ] . G 3 i o r , i f H = 1 , a s [ G 1 x G 2 ] . G 3 i w e c a l l t h i s e x p a n s i o n a

m o n s t r a l i z e r p a i r . T h e u s e o f s q u a r e b r a c k e t s w i l l n o t c a u s e a n y c o n f u s i o n

w i t h t h e n o t a t i o n f o r c o m m u t a t o r s . I f G 3 i s t r i v i a l , w e a b b r e v i a t e t h i s t o

G o H o r G x H .

A s w e s a i d a b o v e , a l l t h i s i s u n i v e r s a l l y t r u e . B u t i t i s o f p a r t i c u l a r i m -

p o r t a n c e f o r t h e M o n s t e r . W h y ? B e c a u s e o n e f i n d s t h a t m o s t " l a r g e " p e r f e c t

s u b g r o u p s o f M a r e c l o s e d , o r h a v e s o l u b l e e x t e n s i o n s t h a t a r e c l o s e d . T h i s

m e a n s t h a t l a r g e s u b g r o u p s o f t h e M o n s t e r a r e c h a r a c t e r i z e d b y t h e i r m o n -

s t r a l i z e r s , a n d a n y c o n t a i n m e n t b e t w e e n s u b g r o u p s i s l i k e l y t o b e " e x p l a i n e d "

b y a c o n t a i n m e n t ( t h e o t h e r w a y r o u n d ) b e t w e e n t h e i r m o n s t r a l i z e r s . T h i s i s

w h a t w e m e a n t w h e n w e s a i d i n t h e i n t r o d u c t i o n t h a t m a n y r e l a t i o n s b e t w e e n

s i m p l e g r o u p s c o u l d b e s t b e s e e n i n s i d e t h e M o n s t e r ; a n d i t g i v e s a s p e c i a l

s i g n i f i c a n c e t o t h e c o n c e p t o f " m o n s t r a l i z e r " , w h i c h , w e b e l i e v e , j u s t i f i e s t h e

u s e o f s u c h a s p e c i a l n a m e .

T a b l e 1 s h o w s a l l m o n s t r a l i z e r p a i r s w h e r e G 2 i s t h e c l o s u r e o f a p e r f e c t

g r o u p w h i c h h a s a n e l e m e n t g o f p r i m e o r d e r p , p > 1 1 . T h e e n u m e r a t i o n c a n

b e d o n e b y l o o k i n g t h r o u g h a l l s u b g r o u p s o f C M ( g ) .

W e l i s t o u r m o n s t r a l i z e r p a i r s i n d e c r e a s i n g o r d e r o f o ( g ) , p u t t i n g G 2 ' s

c o n t a i n i n g 1 3 B ' s b e f o r e t h o s e c o n t a i n i n g 1 3 A ' s a n d o m i t t i n g s u b s e q u e n t o c -

c u r r e n c e s o f G 2 w i t h g ' s o f l o w e r o r d e r . W i t h i n e a c h o f t h e s e s e c t i o n s , o u r

l i s t i s i n d e c r e a s i n g o r d e r o f I G 1 I , I G 3 1 a n d I G 2 1 ( i n t h a t o r d e r o f p r e f e r e n c e ) .

3

O r b i t s o n t r a n s p o s i t i o n s

T h e r e a r e f o u r p r o p e r p e r f e c t s u b g r o u p s o f t h e M o n s t e r w h o s e o r b i t s t r u c t u r e

o n t r a n s p o s i t i o n s ( i . e . e l e m e n t s o f c l a s s 2 A ) i s k n o w n . T h e s e a r e 2 B , 2 1 + 2 4 C o j ,

2 4 E 6 ( 2 ) . T h e f i r s t a n d l a s t w e r e g i v e n b y t h e a u t h o r i n [ 1 6 ] a n d

F i ' a n d 2 2 . 2

t h e t h i r d i n [ 1 9 ] . H e r e w e c o n s i d e r t h e s e c o n d .

A s u b g r o u p o f t y p e 2 1 + 2 C o l i s d e t e r m i n e d b y i t s c e n t r a l e l e m e n t o f c l a s s

2 B , w h i c h w e m a y c a l l z . T h e 1 2 o r b i t s o f t h i s g r o u p o n t r a n s p o s i t i o n s a r e i n

o n e - t o - o n e c o r r e s p o n d e n c e w i t h t h e p o s s i b l e c o n j u g a c y c l a s s e s o f t h e p r o d u c t

o f z w i t h a t r a n s p o s i t i o n t .

T a b l e 2 s h o w s t h e s e o r b i t s : t h e f i r s t c o l u m n

s h o w s t h e c o n j u g a c y c l a s s o f t z , t h e s e c o n d t h e o r b i t l e n g t h , a n d t h e t h i r d

t h e s t r u c t u r e o f t h e o r b i t s t a b i l i z e r , w h i c h i s t h e c e n t r a l i z e r o f t h e g r o u p

g e n e r a t e d b y t a n d z .



A n a t o m y o f t h e M o n s t e r : 1

2 0 1

T a b l e 1 : M o n s t r a l i z e r p a i r s

o ( g )

[ G 1 o G 2 ] . G 3

o ( g )

[ G 1 0 G 2 1 . G 3

7 1 : l x M

4 7 :

2 o 2 B

3 1 : S 3 x T h

2 9 :

[ 3 0 3 F i ' 2 4 ] . 2

2 3 :

S 4 x 2 1 1 M 2 3

[ A 4 x 2 1 1 M ] . 2

D 8 0 2 1 + 2 2 M 2 3

S 3 x F 2 2 3

[ 2 2

0

2 2 + 1 1 + 2 2

[ 2 2

o 2 1 + 2 3 C 0 2 1 . 2

[ 4 0 2 1 + 2 3 C o 3 ] . 2

2 o 2 1 + 2 4 C O ,

1 9 : [ A 5 x U 3 ( 8 ) . 3 1 ] . 2

[ D 1 0 x H N ] . 2

[ 2 2 - 2

2 . 2 E 6 ( 2 ) ] . S 3

1 7 : [ L 2 ( 7 ) x S 4 ( 4 ) . 2 ] . 2

S 4 x S 8 ( 2 )

[ 7 . 3 x H e ] . 2

[ A 4 x 0 i o ( 2 ) ] . 2

[ D 8 0 2 F 4 ( 2 ) ] . 2

1 3 B :

[ 1 3 . 6 x L 3 ( 3 ) ] . 2

[ 2 A 4 0 ( 2 x U 3 ( 4 ) ) . 2 ] . 2

[ Q 8 0 2 . 2 1 2 . U 3 ( 4 ) . 2 ] . S 3

[ 6 0

6 S u z ] . 2

[ 4 0 4 . 2 1 2 ( G 2 ( 4 ) . 2 ) ] . 2

[ 3 0 3 1 + 1 2 2 S u z ] . 2

1 3 A :

3 2 . 2 S 4 x L 3 ( 3 ) . 2

[ 3 1 + 2 . 2 2

x G 2 ( 3 ) ] . 2

[ 3 2 . D 8 x L 4 ( 3 ) . 2 2 1 . 2

[ 2 5 4 0 ( 2 x 2 F 4 ( 2 ) ' ) } . 2

[ ( S 3 x S 3 ) x

0 7 ( 3 ) ] . 2

S 4 X 3 D 4 ( 2 ) . 3

[ 3 2 . 2 x D 4 ( 3 ) ] . S 4

[ ( 2 x 5 3 ) o ( 2 x F i 2 2 ) 1 . 2

1 1 :

[ M 1 2 x L 2 ( 1 1 ) ] . 2

S 6 . 2 x M i l

[ L 2 ( 1 1 ) X M 1 2 ] . 2

[ ( 2 x S S ) 0 2 M 2 2 ] . 2

[ 3 2 . 2 A 4 x 3 5 L 2 ( 1 1 ) ] . 2

[ 4 2 . 2 S 3 x 2 ' 0 L 2 ( 1 1 ) ] . 2

[ 4 2 S 3 x 2 1 ° M 1 1 ] . 2

[ 3 2 Q 8 x

[ ( A 4 x S 3 ) x U 5 ( 2 ) ] . 2

[ A 5 x A 1 2 ] . 2

[ 4 2 . 3 x 2 1 0 M 1 2 . 2 ] . D 8

[ ( 2 x S 4 ) 0 2 1 1 M 2 2 ] . 2

[ ( 2 x S 4 ) 0 2 M 1 2 ] . 2

[ ( 2 x 5 . 4 )

0 2 H S ] . 2

[ 2 1 + 4 o 2 1 + 2 0 L 2 ( 1 1 ) ] . ( 2

x S 3 )

[ 8 . 2 2 0 2 . 2 1 ° M 1 1 ] . 2

[ 3 1 + 2 0 3 1 + 1 0 L 2 ( 1 1 ) ] . D 8

[ ( 2 2 x S 3 ) 0

[ ( 3 x S 3 ) x 3 6 M 1 1 ] . 2

[ ( 2 x D 8 ) 0 2 2 . 2 1 0 . M 1 2 ] . ( 2 2

2 )

[ ( 2 x D 8 ) 0 2 1 + 2 1 M 2 2 ] . 2 2

[ 4 . 2 2 o 4 . 2 2 0 M I l l . 2 2

[ 8 . 2 0 2 . 2 1 0 M i 2 ] . 2 2

[ 3 2

3 2 + 5 + 1 O M 1 1 ] . 2 S 4

[ 3 2 0 3 1 + 1 1 U 5 ( 2 ) ] . ( 2 x S 3 )

[ 2 3 o 2 3 . 2 2 O U 6 ( 2 ) ] . S 4

[ 2 3 o 2 3 + 2 0 + 1 0 M 2 2 1 . S 4

[ 2 3 o 2 3 . 2 2 0 M 1 2 . 2 1 . S 4

[ ( 2 x 4 ) o ( 2 x 4 ) . 2 2 0 H 5 ] . D 8

[ ( 2 x 4 ) o ( 2 x 4 ) . 2 2 0 . 2 M 1 2 ] . D 8

[ Q 8 0 2 1 + 2 2 . 3 5 M 1 1 ] . S 3

[ D 8 0 2 1 + 2 2 M c L ] . 2

S 3 x 3 6 . 2 M 1 2






2 0 3

o t h e r s i x c a s e s , a s t h e s e q u e n c e o f l e t t e r s i n t h e f i r s t c o l u m n : f o r e x a m p l e , a n

A 5 w i t h m o n s t r a l i z e r M 1 1 h a s t y p e B B A .

T h e c e n t r a l i z e r o f e a c h o f t h e f i r s t t h r e e t y p e s o f A 5 c o n t a i n s v a r i o u s A 5 ' s

o f i t s o w n , a n d w e c a n a s k w h a t t h e c o n j u g a c y c l a s s e s o f t h e s e a n d t h e v a r i o u s

d i a g o n a l A 5 ' s a r e . T h e a n s w e r s a r e s h o w n i n T a b l e 4 .

T a b l e 4 : D i a g o n a l A 5 ' s

N o .

G O r b i t s

H

D i a g o n a l N o r m a l i z e r ( H , G )

1

A A A

5 + 1 7

A A A B A A

2

( S 5 l 2 x S 7 )

1

2 A A A

6 + 1 6

A A A B B A

( 5 5 1 2 x S 6 . 2 ) 2

3 A A A

5 2 + 1 2

B A A

T

S 5 x S 5 x 2

8

4 A A A 1 0 + 1 2 B B A

T S 5 X S 5 1 3

5 A A A 6 + 5 + 1

B B A B A 5 x S 5 1 2

6 A A A

6 2

B A A B

A 5 X S 5 x 2

1 0

7 A A A

1 2

A A A

B

( A 5 x A 5 x 2 ) . 4

7

8 B A A

1 5 + 5 + 1 2

A A A

T S 5 x S 5 x 2

3

9 B A A

1 5 + 5 + 1 2

B A A

B 4 ( D 8 x ( S 5 x S 5 ) )

1 1

1 0

B A A

1 0 + 6 + 5 + 1

A A A B

S 5 x A 5 x 2 6

1 1

B A A

1 0 + 6 + 5 + 1

B A A

B

. ( D 8 X ( S 5 X S 5 ) )

9

1 2 B B A

1 0 + 1

A A A

B

S 5 x A 5

5

1 3

B B A

6 + 5

A A A

T S 5 x S 5 4

N o t e : i n t h i s t a b l e t h e f i r s t c o l u m n l a b e l s t h e c l a s s e s o f o r d e r e d p a i r s

( G , H ) o f c o m m u t i n g A 5 ' s a n d t h e l a s t g i v e s t h e c l a s s l a b e l f o r ( H , G ) . T h e

s e c o n d , f o u r t h a n d f i f t h c o l u m n s s h o w t h e t y p e s o f G , H a n d d i a g o n a l A 5 ' s .

T h e t h i r d c o l u m n g i v e s t h e o r b i t s t r u c t u r e o f H i n t h e p e r m u t a t i o n r e p r e s e n -

t a t i o n o f ( t h e c e n t r a l q u o t i e n t o f ) C M ( G ) o n 1 2 , 2 2 o r 1 1 p o i n t s . T h e s i x t h

c o l u m n s h o w s t h e n o r m a l i z e r o f G x H . N o t e t h a t i n c l a s s 7 t h e g r o u p i s

( G x H ) : 8 w h i l e t h e g r o u p i n c l a s s e s 9 a n d 1 1 c o n t a i n s S 5 x A 5 a n d A 5 X S 5

b u t n o t S 5 x S 5 .

I n T a b l e 5 w e g i v e a c o m p l e t e l i s t o f s i m p l e s u b g r o u p s o f t h e M o n s t e r

c o n t a i n i n g 5 A ' s , e x c e p t f o r A 5 ' s ( f o r w h i c h s e e T a b l e 3 ) . E x c e p t f o r t h e

g r o u p S z ( 8 ) , w h i c h w a s e l i m i n a t e d b y R . A . W i l s o n b y c a l c u l a t i n g ( 2 , 4 , 5 )

s t r u c t u r e c o n s t a n t s , t h e s e c a n b e c l a s s i f i e d b y w o r k i n g u p w a r d s f r o m t h e

A 5 ' s t h e y c o n t a i n . N o t e t h a t t h e r e i s n o c a n o n i c a l w a y o f d o i n g t h i s ; t h e

c o n t a i n m e n t s s h o w n i n t h e t a b l e w e r e c h o s e n t o b e a s c l o s e a s p o s s i b l e t o

t h o s e a c t u a l l y u s e d i n t h e c l a s s i f i c a t i o n .

T h e f i r s t c o l u m n o f T a b l e 5 s h o w s t h e s t r u c t u r e o f o u r g r o u p G , t o g e t h e r

w i t h f u r t h e r i d e n t i f i c a t i o n w h e n t h e r e i s m o r e t h a n o n e c o n j u g a c y c l a s s i n

t h e M o n s t e r o f t h i s i s o m o r p h i s m t y p e ; t h e s e c o n d c o l u m n s h o w s a s u b g r o u p



2 0 4 S . P . N o r t o n

t h a t c a n b e u s e d t o d e f i n e ( a n d , n o r m a l l y , t o p r o v e t h e u n i q u e n e s s o f ) G ; t h e

t h i r d a n d f o u r t h c o l u m n s s h o w t h e m o n s t r a l i z e r a n d c l o s u r e o f G .

T a b l e 5 : S i m p l e s u b g r o u p s c o n t a i n i n g 5 A - e l e m e n t s

G s u b g r o u p C M ( G ) G

A 6 ( A A A ) A 5 ( A A A )

2 ( S 6 2 2 )

A 6

A 6 ( B A A ) A 5 ( B A A ) 2 . M 2 1 . 2

2 x A 6

A 6 ( B B A )

A 5 ( B B A )

M 1 1

S 6 . 2

L 2 ( 1 1 ) ( A A A )

A 5 ( A A A ) M 1 2

L 2 ( 1 1 )

L 2 ( 1 1 ) ( B B A ) A 5 ( B B A )

L 2 ( 1 1 )

M 1 2

A 7 A 6 ( A A A )

2 ( S 5

2 2 )

A 7

L 2 ( 1 6 )

A 5 ( B A A ) L 3 ( 2 )

S 4 ( 4 ) . 2

L 2 ( 2 5 ) A 5 ( B B A ) 2 S 4

2 x 2 F 4 ( 2 ) '

M 1 1 ( A A A )

A 6 ( A A A ) S 6 . 2 M 1 1

M 1 1 ( B B A )

A 6 ( B B A )

L 2 ( 1 1 ) M 1 2

A 8

A 7 2 ( S 5 X S 4 )

A 8

U 4 ( 2 )

A 6 ( A A A )

( A 4 x S 3 x S 3 ) . 2

U 4 ( 2 )

U 3 ( 4 )

A 5 ( B C A ) 2 A 4 U 3 ( 4 ) . 2

M 1 2

M 1 1 ( B B A )

L 2 ( 1 1 )

M 1 2

U 3 ( 5 )

A 7

5 2 . 4 . 2 2 U 3 ( 5 )

A 9

A 8

2 ( S 5 X S 3 )

A 9

S 4 ( 4 )

L 2 ( 1 6 ) L 3 ( 2 )

S 4 ( 4 ) . 2

S 6 ( 2 )

U 4 ( 2 ) S 4 X S 3

S 6 ( 2 )

A l o A 9 S 5

S 1 0

L 4 ( 3 )

U 4 ( 2 )

3 2 . D 8

L 4 ( 3 ) . 2 2

U 5 ( 2 )

U 4 ( 2 )

S 3 x A 4

U 5 ( 2 )

2 F 4 ( 2 ) ' L 2 ( 2 5 )

2 S 4

2 x 2 F 4 ( 2 ) '

A l l

A 1 0

A 5 A 1 2

O 8 ( 2 )

S 6 ( 2 )

1 2 ( 5 4 x S 3 )

O 8 ( 2 )

0 8 ( 2 )

S 6 ( 2 )

S 4

S 8 ( 2 )

A 1 2

A l l

A 5

A 1 2

H e

S 4 ( 4 ) 7 . 3

H e

0 7 ( 3 ) S 6 ( 2 ) S 3 X S 3 0 7 ( 3 )

S 8 ( 2 )

S 4 ( 4 )

S 4 S 8 ( 2 )

O S ( 3 )

0 7 ( 3 )

3 2 . 2 0 g ( 3 )

0 1 0 ( 2 )

S 8 ( 2 )

A 4

0 1 o ( 2 )

H N

A 1 2 D 1 0 H N

F i 2 3

0 , + , ( 3 )

S 3

F 2 2 3




2 0 5

5 ( 2 , 3 , 7 ) s u b g r o u p s

A s w i t h t h e c a s e o f A 5 , w e c a l c u l a t e a l l t w e l v e ( 2 , 3 , 7 ) s t r u c t u r e c o n s t a n t s . O f

t h e s e , f i v e a r e z e r o , a n d f i v e o f t h e o t h e r s a r e r e s o l v e d b e l o w ; t h e r e m a i n i n g

t w o a r e ( 2 B , 3 B , 7 B ) a n d ( 2 B , 3 C , 7 B ) , f o r w h i c h t h e r e s p e c t i v e s t r u c t u r e

c o n s t a n t s a r e 6 1 a n d 2 4 2 8 9 1 / 8 4 0 = 2 8 9 8 4 0 . W e h a v e n o t t r i e d t o r e s o l v e t h e

l a t t e r , b u t w e g i v e a p a r t i a l r e s o l u t i o n o f t h e f o r m e r b e l o w . W e d e n o t e o u r

( 2 , 3 , 7 ) - g r o u p b y L .

T h e s i x f u l l y o r p a r t l y r e s o l v e d c a s e s a r e a s f o l l o w s :

1 . ( 2 A , 3 A , 7 A ) . H e r e t h e s t r u c t u r e c o n s t a n t i s 1 / 2 9 3 2 5 2 1 7 , a n d L ' - ' L 3 ( 2 ) ,

w h o s e m o n s t r a l i z e r i s S 4 ( 4 ) . 2 , a n d w h i c h i s c l o s e d .

2 . ( 2 B , 3 A , 7 A ) . H e r e L i s e i t h e r L 3 ( 2 ) o r 2 3 L 3 ( 2 ) , a c c o u n t i n g r e s p e c -

t i v e l y f o r 1 / 2 9 3 3 5 . 7 a n d 2 / 2 8 3 3 o f s t r u c t u r e c o n s t a n t . T h e r e s p e c t i v e

m o n s t r a l i z e r s a r e 2 2 M 2 1 . S 3 a n d 2 6 . 3 1 + 2 . 2 2 , a n d b o t h g r o u p s a r e c l o s e d .

3 . ( 2 B , 3 C , 7 A ) . H e r e t h e s t r u c t u r e c o n s t a n t i s 2 / 1 2 , a n d L = 2 3 L 3 ( 2 ) ,

w h o s e m o n s t r a l i z e r i s A 4 , a n d w h o s e c l o s u r e i s 2 1 1 M 2 4 -

4 . ( 2 A , 3 C , 7 B ) . H e r e t h e s t r u c t u r e c o n s t a n t i s 1 / 2 3 3 2 7 2 , a n d L

L 3 ( 2 ) ,

w h o s e m o n s t r a l i z e r i s 7 2 . 6 A 4 , a n d w h i c h i s c l o s e d .

5 . ( 2 B , 3 B , 7 A ) . T h i s c a s e i s m o r e d i f f i c u l t . T h e g r o u p L c a n b e L 3 ( 2 ) ,

L 2 ( 8 ) , L 2 ( 1 3 ) , 3 D 4 ( 2 ) , 2 F i 2 2 , H N o r T h . T h e c a s e L 3 ( 2 ) a c c o u n t s

f o r 1 / 2 4 o f s t r u c t u r e c o n s t a n t ; t h e m o n s t r a l i z e r i s S 4 a n d t h e c l o s u r e

i s S 8 ( 2 ) .

T h e r e a r e t h r e e t y p e s o f L 2 ( 8 ) a c c o u n t i n g r e s p e c t i v e l y f o r

1 / 2 1 6 0 , 3 / 4 8 a n d 1 / 8 o f s t r u c t u r e c o n s t a n t . T h e m o n s t r a l i z e r s a r e 3 S 6 ,

2 x S 4 a n d 2 3 , a n d t h e c l o s u r e s a r e L 2 ( 8 ) . 3 , 2 7 S 6 ( 2 ) a n d 2 3 + 2 0 U 6 ( 2 ) . N o t e

t h a t i n t h e s e c o n d c a s e t h e o u t e r a u t o m o r p h i s m o f L 2 ( 8 ) i s n o t r e a l i z e d

i n s i d e t h e M o n s t e r . T h e c a s e L 2 ( 1 3 ) a c c o u n t s f o r 3 / 1 0 8 o f s t r u c t u r e

c o n s t a n t a n d h a s m o n s t r a l i z e r 3 1 + 2 . 2 2 a n d c l o s u r e G 2 ( 3 ) . T h e

g r o u p

3 D 4 ( 2 ) a c c o u n t s f o r 1 / 2 4 o f s t r u c t u r e c o n s t a n t a n d h a s m o n s t r a l i z e r S 4

a n d c l o s u r e 3 D 4 ( 2 ) . 3 . T h e r e m a i n i n g g r o u p s 2 F i 2 2 , H N a n d T h a c c o u n t

f o r 9 / 1 2 , 3 / 1 0 a n d 3 / 6 o f s t r u c t u r e c o n s t a n t , h a v e m o n s t r a l i z e r 2 x S 3 i

D 1 0 a n d S 3 , a n d a r e c l o s e d .

6 . ( 2 B , 3 B , 7 B ) . H e r e L c l o s e s e i t h e r t o 3 F i 2 4 ( s o t h a t i t s m o n s t r a l i z e r i s

g e n e r a t e d b y a 3 A ) , o r t o t h e e n t i r e M o n s t e r . I n t h e f o r m e r c a s e L i s

e i t h e r L 2 ( 1 3 ) ( s t r u c t u r e c o n s t a n t 3 / 3 ) o r 3 7 L 2 ( 1 3 ) ( s t r u c t u r e c o n s t a n t

1 2 / 3 ) . T h i s l e a v e s a 5 6 o f s t r u c t u r e c o n s t a n t f o r w h i c h L h a s t r i v i a l

c e n t r a l i z e r . W e s u s p e c t t h a t s o m e o f t h i s c a n b e a c c o u n t e d f o r b y g r o u p s

o f t y p e L 2 ( q ) f o r q - ± 1 ( m o d 7 ) - s e e n e x t s e c t i o n .



2 0 6

S . P . N o r t o n

6

G r o u p s o f t y p e L 2 ( q )

O n p a g e 2 3 1 o f t h e A T L A S , t h e r e i s a l i s t o f t h e s i m p l e g r o u p s w h o s e o r d e r

d i v i d e s t h a t o f t h e M o n s t e r , a n d f o r e a c h o f t h e m i t i s s t a t e d w h e t h e r i t w a s

k n o w n t o b e i n v o l v e d , o r n o t t o b e i n v o l v e d , i n t h e M o n s t e r . T h e d o u b t f u l

c a s e s w e r e L 2 ( q ) ( q E Q = { 1 9 , 2 7 , 2 9 , 3 1 , 4 1 , 4 9 , 5 9 , 7 1 } ) , S z ( 8 ) a n d J 1 . S i n c e

t h e n L i n t o n a n d W i l s o n h a v e s h o w n t h a t L 2 ( 1 9 ) , L 2 ( 3 1 ) a n d L 2 ( 4 9 ) a r e i n -

v o l v e d b u t t h a t J 1 i s n o t [ 1 2 , 2 1 , 2 3 ] . W e c a n a l s o r e m o v e L 2 ( 4 1 ) f r o m t h e l i s t

o f " p o s s i b l e s " - a p r o o f i s o u t l i n e d b e l o w . T h i s l e a v e s j u s t f i v e d o u b t f u l c a s e s .

I n s e c t i o n 4 w e m e n t i o n e d t h a t a n y 5 - e l e m e n t i n a n y S z ( 8 ) m u s t h a v e c l a s s

5 B . H e r e i s w h a t i s k n o w n a b o u t t h e c o n j u g a c y c l a s s s t r u c t u r e s o f v a r i o u s

L 2 ( q ) ' s t h a t m i g h t b e c o n t a i n e d i n t h e M o n s t e r .

W e c o n s i d e r t h e c a s e s w h e r e q E Q . B y o b t a i n i n g a n u p p e r b o u n d o f 1 7

f o r t h e 2 - r a n k o f t h e M o n s t e r a n d B a b y M o n s t e r o n e c a n s h o w t h a t i f L 2 ( q )

i s i n v o l v e d i t m u s t b e c o n t a i n e d . I t i s c l e a r t h a t t h e i n v o l u t i o n s o f L 2 ( q ) m u s t

h a v e c l a s s 2 B , a s t h e p r o d u c t o f a n y p a i r o f 2 A ' s h a s o r d e r a t m o s t 6 . A n d i t

f o l l o w s f r o m t h e r e s u l t s o f s e c t i o n 4 t h a t t h e e l e m e n t s o f o r d e r 5 ( w h i c h e x i s t

e x c e p t i n t h e c a s e q = 2 7 ) h a v e c l a s s 5 B .

T h i s e n a b l e s u s t o s h o w t h a t L 2 ( 4 1 ) i s n o t i n v o l v e d i n t h e M o n s t e r . O t h e r -

w i s e t h e 4 1 - n o r m a l i z e r 4 1 : 4 0 i n M w o u l d c o n t a i n e l e m e n t s o f c l a s s 5 B , h e n c e

4 0 C / D a n d 8 D ; b u t o n e c a n s e e i n s i d e t h e g r o u p 3 8 0 8 ( 3 ) . 2 t h a t a n e l e m e n t

o f o r d e r 8 n o r m a l i z i n g a 4 1 a c t s r e g u l a r l y o n t h e 0 3 - s u b g r o u p a n d s o i n v e r t s

s o m e 3 A . T h e f u s i o n m a p f r o m 3 F i 2 4 t o M t h e n y i e l d s a c o n t r a d i c t i o n .

R e t u r n i n g t o t h e g e n e r a l p r o b l e m o f L 2 ( q ) f o r q E Q , o n e c a n a l s o s h o w

t h a t t h e e l e m e n t s o f o r d e r 3 h a v e c l a s s 3 B . I f q = 2 9 o r 7 1 , t h e 7 ' s h a v e c l a s s

7 B ( a s 7 A d o e s n o t n o r m a l i z e 2 9 o r c e n t r a l i z e 5 B ) , b u t i f q = 4 9 t h e y h a v e

c l a s s 7 A ( a s 3 B d o e s n o t p r o p e r l y n o r m a l i z e 7 B ) . B y b u i l d i n g u p L 2 ( 4 9 )

f r o m L 3 ( 2 ) a n d 7 2 : 3 i n t e r s e c t i n g i n 7 : 3 ( w i t h r e s p e c t i v e m o n s t r a l i z e r s S 4 ,

L 3 ( 2 ) , 3 A 7 ) o n e c a n s h o w t h a t a n y s u c h g r o u p i n t h e M o n s t e r c e n t r a l i z e s a

2 A , a n d h e n c e l i e s i n t h e d o u b l e c o v e r o f a B a b y M o n s t e r i n s i d e i t . A s s t a t e d

e a r l i e r , s u c h a n L 2 ( 4 9 ) i s k n o w n t o e x i s t u n i q u e l y .

7 M a t r i c e s i n t h e M o n s t e r

W e r e f e r a g a i n t o t h e " p r o j e c t i v e p l a n e " f o r m u l a t i o n f o r t h e B i m o n s t e r M l 2 ,

w h i c h i s d e s c r i b e d o n p a g e 2 3 2 o f t h e A T L A S . W e k n o w s e t s o f w o r d s i n

t h e 2 6 g e n e r a t o r s w h i c h d e f i n e t h e s u b g r o u p s

2 1 + 2 6 . ( 2 2 4 : C o 1 ) , 0 ' ( 3 )

1 2 a n d

2 3 . 2 E 6 ( 2 ) . I n [ 1 7 ] w e o b t a i n e d 2 6 x 2 6 m a t r i c e s o v e r G F ( 2 ) w h i c h g e n e r a t e

t h e g r o u p 2 1 + 2 4 C o 1 i a d o u b l e c o v e r o f a q u o t i e n t g r o u p o f t h e f i r s t o f t h e s e ;

t h e i r i m a g e s u n d e r t h e n a t u r a l q u o t i e n t m a p t o 2 2 4 : C o 1 a r e t h e s a m e a s t h o s e

o f t h e w o r d s i n t h e g e n e r a t o r s o f M 1 2 .

W e n o w d o t h e s a m e f o r t h e t w o o t h e r g r o u p s . T h e r e s u l t s a r e s h o w n i n



A n a t o m y o f t h e M o n s t e r : 1 2 0 7

T a b l e s 6 a n d 7 . T h e m a t r i c e s o f T a b l e 6 a r e 1 6 x 1 6 o r t h o g o n a l o v e r G F ( 3 )

a n d g e n e r a t e t h e n a t u r a l r e p r e s e n t a t i o n o f ( 2 . 0 8 ' ( 3 ) ) 2 2 , w h i l e t h o s e o f T a b l e

7 a r e 2 7 x 2 7 u n i t a r y o v e r G F ( 4 ) a n d g e n e r a t e 3 . 2 E 6 ( 2 ) .

T h e s e r e s u l t s a r e o f c o n s i d e r a b l e u s e w h e n o n e w a n t s t o c a l c u l a t e w i t h i n

t h e M o n s t e r , a s q u i t e o f t e n t h e e l e m e n t s o n e i s s t u d y i n g c a n b e s e e n w i t h i n

o n e o f t h e t h r e e s u b g r o u p s m e n t i o n e d h e r e . I t i s , t h e r e f o r e , p l a n n e d t o i n s e r t

t h e s e m a t r i c e s i n t o a l i b r a r y i n t h e G A P s y s t e m [ 2 0 ] .

I n b o t h t a b l e s t h e n o t a t i o n f o r t h e e l e m e n t s o f t h e B i m o n s t e r i s a s i n

[ 1 , 1 7 , 1 8 ] . W e d e n o t e t h e e l e m e n t s o f G F ( 4 ) , o t h e r t h a n 0 a n d 1 , b y w

a n d U .

I n b o t h t a b l e s z e r o e s a r e d e n o t e d b y d o t s f o r c l a r i t y .

S e v e r a l o f

o u r m a t r i c e s a r e m o n o m i a l ; i n s u c h c a s e s , f o r t h e s a k e o f b r e v i t y , w e h a v e

w r i t t e n t h e c o r r e s p o n d i n g e l e m e n t s i n " p e r m u t a t i o n " f o r m a t w i t h t h e r o w s

a n d c o l u m n s o f o u r m a t r i c e s i n d e x e d a s A , B ,

. . .

, P

( i n T a b l e 6 ) a n d A

, B ,

. . .

, Z , $

( i n T a b l e 7 ) . T h e " b a r " i n ( a , 6 ) , w h e r e a a n d , 3 a r e t w o o f o u r i n d e x

l e t t e r s , m e a n s t h a t i n t h e m a t r i x t h e e n t r i e s i n t h e a ' t h r o w a n d , 3 ' t h c o l u m n ,

a n d i n t h e , 3 ' t h r o w a n d a ' t h c o l u m n , a r e n o t 1 , b u t ( i n T a b l e 6 ) b o t h 2 = - 1

o r ( i n T a b l e 7 ) r e s p e c t i v e l y w a n d U .

T a b l e 6 : G e n e r a t o r s f o r ( 2 . 0 ' ( 3 ) ) 2 2

e l e 2 e 3

1

2

2

1 1

2

1

1 2

2

1 1

2

1

1 1

1

2

2 2

1

1

1 1 . 2 2 2

1

2 2 1 1 . 1 2 1

2 2

1

1 1 . 2

1

1

1

1

1

1 1 . 2

2 2 2 2 2

2 2 .

1 1 1

2 2

1 2 . . . . . . . .

1 . 1 1

2

2

1

2 .

.

.

.

. .

.

.

2 2

. 1 1 1 1

2

. . . . . . . .

2 2

1 .

1 1 1 2 . . . . . . . .

1

1

2 2

. 1 1

2

.

.

.

.

. .

.

.

1

1

2 2

1 . 1

2

.

. .

. .

. . .

2 2

2

2

2

2

.

2

. . . . . .

.

.

1 1 1 1 1 1

2

. . . . . . .

.

.



2 0 8

S . P . N o r t o n

a l c l g l

. 1

2 2 1

1

2 2

1 . 2

2 1 1 2 2

1 1 . 1 2

2 2 2

1 1 1 . 2 2 2 2

2 2

1 1 . 1

2 2

2 2

1

1 1 . 2 2

1

1 1 1

1 1 . 1

1 1 1 1 1 1 1 .

. 1

1 1

2 2

1

1

1 . 1

1

2 2

1 1

2 2 . 1 1 1 1 1

2 2 1 .

1

1 1 1

1

1

2 2 . 1

1

1

1

1

2

2 1 . 1

1

2

2

2

2

2 2 . 1

2

2

2 2 2

2 1 .

a 2 c 2 g 2

2

1

1 .

2

.

2

1 .

1

.

. . 2 . .

1

2

. 1 .

.

.

.

2

2

2

.

2 .

1 .

1 .

. .

1 .

.

.

1 .

2

2

1

2

. 1 .

2

1 1 . 2 . 2

. . 2 . . .

2

1 .

1 . 2

2

. 1

1 . 1 . 1

2




2 0 9

a 3 C 3 9 3

. 1 . 1 .

2

. 1

.

2 .

.

.

. .

2 1 . 1 . 1

2

. . .

1 2

.

1 .

1

2

.

2

.

2

.

2 .

1

1 .

2

. 1 .

2

. 2 . . . . .

1 .

1 .

2

.

2

2

.

.

.

2

. 1 . 1 .

2

2 .

1 . 1 . 1 . 1

2

2

a = ( A I ) ( B J ) ( C M ) ( D N ) ( E K ) ( F L ) ( T O ) ( H P )

f = ( A l ) ( B J ) C K ) D L ) ( E O ) ( F P ) ( G M ) ( H N )

b l = ( A l ) ( B J ) C K ) D L ) ( E O ) F P ) ( G M ) H N )

b 2 = ( A K ) ( B L ) ( C I ) ( D J ) ( E M ) ( F N ) ( G 0 ) ( H P )

b 3 = ( A L ) ( B K ) ( C J ) ( D I ) ( E M ) ( F N ) G O ) H P )

d l d 2 d 3 f l f 2 f 3 z l z 2 z 3 = ( A I ) ( B J ) ( C K ) ( D L ) ( E M ) ( F N ) ( G O ) ( H P )



1

3

1

3

1

3

1

3

3

-

'

1

3

1

3

1

3

1

3

3

3

-

'

1

3

1

3

1

3

1

3

3

3

3

3

'

+

+

+

'

1

3

1

3

3

1

3

3

3

-

-

1

3

1

3

3

1

3

3

3

3

-

'

1

3

1

3

1

3

1

3

3

3

3

3

1

3

1

3

1

3

1

3

3

3

+

'

'

1

3

3

1

3

1

3

3

3

3

'

-

1

3

3

3

1

3

3

3

33

'

-

r

1

3

1

3

1

3

1

3

3

3

33

r

1

3

1

3

1

3

1

3

3

3

33

-

3

1

3

1

3

3

3

3

'

'

^

'

'

r

1

3

1

3

3

1

3

3

3

3

3

3

3

-

-

1

3

1

3

1

3

1

3

1

3

1

3

1

3

3

1

3

3

3

1

3

1

3

13

3

1

3

1

3

3

1

3

3

3

3

1

3

1

3

3

1

3

1

3

3

1

3

3

1

3

1

3

3

1

3

31

3

1

3

3

1

3

1

3

.

1

3

1

3

1

3

1

3

1

3

1

3

1

3

.

1

3

3

3

3

1

3

3

3

3

3

3

3

3

3

3

13

3

3

3

3

3

3

3

-

3

3

3

3

3

3

3

1

3

3

3

3

3

3

3

1

3

3

3

3

3

1

3

3

3

3

3

3

3

3

3

3

3

1

3

3

3

3

3

3

3

3

3

3

3

3

3

3

3

1

3

1

3

1

3

1

3

3

1

3

1

3

1

3

'

1

3

1

3

1

3

3

3

3

3

1

3

+

1

3

1

3

3

1

3

1

3

3

3

-

1

3

1

3

1

3

1

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2 1 3

R e f e r e n c e s

[ 1 ]



[ 2 ] J . H . C o n w a y a n d S . P . N o r t o n , M o n s t r o u s m o o n s h i n e , B u l l . L o n d o n

M a t h . S o c . 1 1 ( 1 9 7 9 ) , 3 0 8 - 3 3 9 .

[ 3 ] J . H . C o n w a y , S . P . N o r t o n a n d L . S o i c h e r , T h e B i m o n s t e r , t h e g r o u p

Y 5 5 5 , a n d t h e p r o j e c t i v e p l a n e o f o r d e r 3 , i n C o m p u t e r s i n A l g e b r a ( e d .

M . C . T a n g o r a ) , p p . 2 7 - 5 0 . L e c t u r e n o t e s i n P u r e a n d A p p l i e d M a t h .

1 1 1 , M a r c e l D e k k e r , 1 9 8 8 .

[ 4 ] C . Y . H o , A n e w 7 - l o c a l s u b g r o u p o f t h e M o n s t e r , J . A l g e b r a 1 1 5 ( 2 )

( 1 9 8 8 ) , 5 1 3 - 5 2 0 .

[ 5 ] A . A . I v a n o v , G e o m e t r i c p r e s e n t a t i o n s o f g r o u p s w i t h a n a p p l i c a t i o n

t o t h e M o n s t e r , i n P r o c . I C M K y o t o 1 9 9 0 ( e d . I . S a t a k e ) , V o l . 2 , p p .

3 8 5 - 3 9 5 . S p r i n g e r - V e r l a g , 1 9 9 1 .

[ 6 ] A . A . I v a n o v , A g e o m e t r i c c h a r a c t e r i z a t i o n o f t h e M o n s t e r , i n G r o u p s ,

c o m b i n a t o r i c s a n d g e o m e t r y ( e d s . M . W . L i e b e c k a n d J . S a x l ) , p p . 4 6 - 6 2 .


[ 7 ] P . B . K l e i d m a n a n d R . A . W i l s o n , T h e m a x i m a l s u b g r o u p s o f F i 2 2 , M a t h .

P r o c . C a m b r i d g e P h i l o s . S o c . 1 0 2 ( 1 9 8 7 ) , 1 7 - 2 3 .

[ 8 ] P . B . K l e i d m a n a n d R . A . W i l s o n , C o r r i g e n d u m : " T h e m a x i m a l s u b -

g r o u p s o f F i 2 2 " , M a t h . P r o c . C a m b r i d g e P h i l o s . S o c . 1 0 3 ( 1 9 8 8 ) , 3 8 3 .

[ 9 ]

P . B . K l e i d m a n a n d R . A . W i l s o n , T h e m a x i m a l s u b g r o u p s o f J 4 , P r o c .

L o n d o n M a t h . S o c . ( 3 ) 5 6 ( 1 9 8 8 ) , 4 8 4 - 5 1 0 .

[ 1 0 ] P . B . K l e i d m a n , R . A . P a r k e r a n d R . A . W i l s o n , T h e m a x i m a l s u b g r o u p s

o f t h e F i s c h e r g r o u p F i 2 3 i J . L o n d o n M a t h . S o c . ( 2 ) 3 9 ( 1 9 8 9 ) , 8 9 - 1 0 1 .

[ 1 1 ] C . J a n s e n , K . L u x , R . A . P a r k e r a n d R . A . W i l s o n , A n A T L A S o f B r a u e r

c h a r a c t e r s , C l a r e n d o n P r e s s , O x f o r d , 1 9 9 5 .

[ 1 2 ] S . A . L i n t o n , T h e m a x i m a l s u b g r o u p s o f t h e T h o m p s o n g r o u p , J . L o n d o n

M a t h . S o c . ( 2 ) 3 9 ( 1 9 8 9 ) , 7 9 - 8 8 .

[ 1 3 ] S . A . L i n t o n , C o r r e c t i o n t o " T h e m a x i m a l s u b g r o u p s o f t h e T h o m p s o n

g r o u p " , J . L o n d o n M a t h . S o c . ( 2 ) 4 3 ( 1 9 9 1 ) , 2 5 3 - 2 5 4 .

[ 1 4 ] S . A . L i n t o n a n d R . A . W i l s o n , T h e m a x i m a l s u b g r o u p s o f t h e F i s c h e r

g r o u p s F i 2 4 a n d F i 2 4 , P r o c . L o n d o n M a t h . S o c . ( 3 ) 6 3 ( 1 9 9 1 ) , 1 1 3 - 1 6 4 .



2 1 4

S . P . N o r t o n

[ 1 5 ] U . M e i e r f r a n k e n f e l d a n d S . K . S h p e k t o r o v , T h e m a x i m a l 2 - l o c a l s u b -

g r o u p s o f t h e M o n s t e r , P r e p r i n t .

[ 1 6 ] S . P . N o r t o n , T h e u n i q u e n e s s o f t h e F i s c h e r - G r i e s s M o n s t e r , i n F i n i t e

g r o u p s - c o m i n g o f a g e ( e d . J . M c K a y ) , p p . 2 7 1 - 2 8 5 . C o n t e m p . M a t h .

S e r i e s 4 5 , A M S , 1 9 8 5 .

[ 1 7 ] S . P . N o r t o n , P r e s e n t i n g t h e M o n s t e r ? , B u l l . S o c . M a t h . B e l g . ( A ) 4 2

( 1 9 9 0 ) , 5 9 5 - 6 0 5 .

[ 1 8 ] S . P . N o r t o n , C o n s t r u c t i n g t h e M o n s t e r , i n G r o u p s , c o m b i n a t o r i c s a n d

. g e o m e t r y ( e d s . M . W . L i e b e c k a n d J . S a x l ) , p p . 6 3 - 7 6 . L M S L e c t u r e N o t e


[ 1 9 ] S . P . N o r t o n , T h e M o n s t e r a l g e b r a : s o m e n e w f o r m u l a e , i n M o o n s h i n e ,

t h e M o n s t e r , a n d r e l a t e d t o p i c s ( e d s . C . D o n g a n d G . M a s o n ) , p p . 4 3 3 -

4 4 1 . C o n t e m p . M a t h . S e r i e s 1 9 3 , A M S , 1 9 9 6 .

[ 2 0 ] M . S c h o n e r t e t

a l . ,



[ 2 1 ] R . A . W i l s o n , I s J l a s u b g r o u p o f t h e M o n s t e r ? , B u l l . L o n d o n M a t h . S o c .

1 8 ( 1 9 8 6 ) , 3 4 9 - 3 5 0 .

[ 2 2 ] R . A . W i l s o n , T h e o d d - l o c a l s u b g r o u p s o f t h e M o n s t e r , J . A u s t r a l . M a t h .

S o c . S e r i e s A 4 4 ( 1 9 8 8 ) , 1 - 1 6 .

[ 2 3 ] R . A . W i l s o n , S o m e n e w s u b g r o u p s o f t h e B a b y M o n s t e r , B u l l . L o n d o n

M a t h . S o c . 2 5 ( 1 9 9 3 ) , 2 3 - 2 8 .

[ 2 4 ] R . A . W i l s o n , M o r e o n m a x i m a l s u b g r o u p s o f t h e B a b y M o n s t e r , A r c h .

M a t h . ( B a s e l ) 6 1 ( 1 9 9 3 ) , 4 9 7 - 5 0 7 .

[ 2 5 ] R . A . W i l s o n , T h e s y m m e t r i c g e n u s o f t h e B a b y M o n s t e r , Q u a r t . J .

M a t h . ( O x f o r d ) ( 2 ) 4 4 ( 1 9 9 3 ) , 5 1 3 - 5 1 6 .



A n i n t e g r a l m e a t a x e

R i c h a r d A . P a r k e r

A b s t r a c t

W e d e s c r i b e a l g o r i t h m s f o r w o r k i n g w i t h m a t r i c e s o f i n t e g e r s , p e r -

f o r m i n g m o s t o f t h e M e a t a x e f u n c t i o n s o n t h e m . I n p a r t i c u l a r , w e c a n

c h o p i n t e g r a l r e p r e s e n t a t i o n s o f g r o u p s i n t o i r r e d u c i b l e s , a n d p r o v e

i r r e d u c i b i l i t y .

1


T h i s p a p e r d e s c r i b e s s o m e a l g o r i t h m s s u f f i c i e n t t o c o n s t r u c t a n d w o r k w i t h

r e p r e s e n t a t i o n s o f f i n i t e g r o u p s o v e r t h e o r d i n a r y i n t e g e r s . T h e m e t h o d s a r e ,

h o w e v e r , o f q u i t e g e n e r a l u s e w h e n w o r k i n g w i t h m a t r i c e s o f i n t e g e r s .

I n g e n e r a l , t h e a l g o r i t h m s a n d p r o g r a m s c l o s e l y m a t c h t h o s e u s e d f o r w o r k -

i n g w i t h m a t r i c e s o v e r f i n i t e f i e l d s , b u t s e v e r a l n e w p r o b l e m s a r i s e .

T h e f i r s t p r o b l e m i s t o f i n d a n e f f e c t i v e r e p l a c e m e n t f o r G a u s s i a n e l i m -

i n a t i o n - t h e w o r k h o r s e m e t h o d f o r f i n i t e f i e l d s . T h e r e p l a c e m e n t d e s c r i b e d

h e r e , c a l l e d " T h e M o d u l e H a n d l e r " , a l t h o u g h o f r e s t r i c t e d f u n c t i o n a l i t y , s e e m s

t o d o t h e j o b , a n d m u c h o f t h e w o r k o f t h i s p a p e r c o n s i s t s o f d o i n g s u c h j o b s

a s " N u l l s p a c e " a n d " F i n d a Z - b a s i s " u s i n g o n l y t h i s f u n c t i o n a l i t y .

A n o t h e r p r o b l e m i s t o w o r k w i t h i n t e g e r s o f u n b o u n d e d s i z e , a n d y e t t o

p r e v e n t t h e s i z e g r o w i n g t o o m u c h . I h a v e s o m e h o p e s t h a t t h e m e t h o d s

d e s c r i b e d h e r e a r e q u i t e g o o d i n t h i s r e s p e c t , b u t h a v e m a d e n o s e r i o u s e f f o r t

t o a n a l y s e t h e i r b e h a v i o u r .

A t h i r d " p r o b l e m " t h a t I e x p e c t e d i s t h a t m a t r i c e s o f n o n - z e r o n u l l i t y a r e

v a n i s h i n g l y r a r e i n c h a r a c t e r i s t i c z e r o .

A s t o n i s h i n g l y , i n m y w o r k s o f a r I

h a v e n o t e n c o u n t e r e d t h i s p r o b l e m a t a l l . W e h a v e

R e s e a r c h P r o b l e m 1 U n d e r s t a n d w h y " s m a l l " c o m b i n a t i o n s o f g r o u p e l e -

m e n t s o f t e n h a v e n o n - z e r o n u l l i t y .

I n s e c t i o n 2 , t h e c o n c e p t o f a M o d u l e H a n d l e r i s d e f i n e d a n d i n t r o d u c e d . I n

s e c t i o n 3 , a n i m p l e m e n t a t i o n b a s e d o n p - a d i c l i f t i s d e s c r i b e d . I n s e c t i o n 4 ,

t h e m a i n p r o g r a m s t h a t u s e t h e m o d u l e h a n d l e r a r e d e s c r i b e d .

2 1 5






2 1 7

2 . R e t u r n t h e i t h b a s i s e l e m e n t v i .

3 . D r o p t h e l a s t m o d u l e b a s i s e l e m e n t , r e d u c i n g t h e r a n k d b y 1 .

A l l a l g o r i t h m s s t a r t w i t h t h e m o d u l e h a n d l e r h a v i n g a m o d u l e o f r a n k d

= 0 .

3

A m o d u l e h a n d l e r u s i n g p - a d i c l i f t

H o w c a n t h e f u n c t i o n s d e s c r i b e d i n s e c t i o n 2 . 2 b e p e r f o r m e d ?

T h e r e i s n o p r o b l e m w i t h t h e s e c o n d a n d t h i r d f u n c t i o n s - h a n d b a c k a n

e l e m e n t a n d t h r o w o n e a w a y - w h i c h a r e e s s e n t i a l l y a d m i n i s t r a t i v e i n n a t u r e .

T h e f i r s t o n e , h o w e v e r , r e q u i r e s a l i t t l e t h o u g h t .

I n t h e p - a d i c i m p l e m e n t a t i o n , t h e m o d u l e h a n d l e r h o l d s a p r i m e ( i n m y

o w n p r o g r a m s t h i s w a s i n v a r i a b l y 1 9 4 9 ) m o d u l o w h i c h t h e g i v e n b a s i s e l e -

m e n t s a r e l i n e a r l y i n d e p e n d e n t . I t c a n s o m e t i m e s h a p p e n , o f c o u r s e , t h a t t h e

v ; a n d w ( t h e n e w v e c t o r ) a r e i n d e p e n d e n t o v e r Z , b u t d e p e n d e n t m o d u l o p .

I n t h i s c a s e a n e w p r i m e m u s t b e c h o s e n . I s u s p e c t t h a t t h e r e i s a n a l g o r i t h m

t o h a n d l e t h i s c a s e w i t h o u t c h a n g i n g t h e p r i m e , b u t i n s t e a d r e m e m b e r i n g

w h i c h p o w e r s o f p w e r e d i v i d e d b y t o g e t t h e i n d e p e n d e n t e l e m e n t s - w e h a v e

R e s e a r c h P r o b l e m 2 F i n d a n a l g o r i t h m t h a t o p e r a t e s m o d u l o a f i x e d p r i m e

e v e n i f t h e m o d u l e h a s l o w e r r a n k m o d u l o t h a t p r i m e .

A l s o h e l d i s t h e m a t r i x V o f m o d u l e e l e m e n t s v i .

T o p e r f o r m t h e c a l c u l a t i o n s , t w o f u r t h e r m a t r i c e s , t h i s t i m e o f n u m b e r s

m o d p , m u s t b e h e l d , r e f e r r e d t o h e r e a s A a n d B . T h e m a t r i c e s a r e s u c h

t h a t

1 . A i s i n " s e m i - e c h e l o n f o r m " - t h e f i r s t e n t r y o f e a c h r o w i s 1 , a n d b e l o w

i t a r e o n l y z e r o s .

2 . A - B . V ( m o d p )

T h i s s t r u c t u r e e n a b l e s u s t o f i n d c t ( m o d p ) s u c h t h a t

d

w m c t v ;

( m o d p )

( i f s u c h c t e x i s t ) .

I f s u c h G d o n o t e x i s t , w c a n b e a p p e n d e d t o t h e m o d u l e b a s i s .

O t h e r w i s e w e " l i f t " t h e c a t o C j i n 7 G , c h o o s i n g f o r e a c h c i t h e i n t e g e r c i

n e a r e s t t o z e r o t h a t i s c o n g r u e n t t o G ( m o d p ) , a n d s e t



2 1 8


d

w 1 = ( w - c v i ) / P .

% = 1

I f w 1 i s z e r o , w e h a v e f o u n d w = E d 1 c i v i a n d w e a r e d o n e . O t h e r w i s e w e

p r o c e e d m u c h a s b e f o r e t o e x p r e s s w 1 ( d e r i v i n g w 2 ) , a n d t h e n t o e x p r e s s W 2 ,

a n d s o o n .

I f a t a n y s t a g e o t h e r t h a n t h e f i r s t , w e a r e u n a b l e t o e x p r e s s w j

( m o d p )

i n t e r m s o f t h e v i , w e k n o w o u r p r i m e p i s " b a d " a n d m u s t b e d i s c a r d e d . W e

m u s t s t a r t t h e p r o c e s s o f f a g a i n w i t h a n e w p r i m e .

A n o t h e r p o s s i b i l i t y i s t h a t a t s o m e s t a g e w e g e t s o m e w j = 0 .

I n t h i s

c a s e w w a s i n t h e Z - s p a n o f t h e m o d u l e b a s i s a n d w e h a v e f o u n d t h e l i n e a r

c o m b i n a t i o n r e q u i r e d .

T h e h a r d e s t p o s s i b i l i t y i s t h a t t h e p r o c e s s g o e s o n " i n d e f i n i t e l y " . W e m u s t

t h e r e f o r e s e t a m a x i m u m n u m b e r o f l o o p s - 3 K , s a y - a n d i f t h e p r o c e s s l o o p s

3 K t i m e s , w e s w i t c h t o a s s u m i n g t h a t w i s i n t h e Q - s p a n b u t n o t i n t h e Z -

s p a n o f t h e e l e m e n t s v i , a n d t h a t K i s l a r g e e n o u g h t h a t N a n d a l l t h e I c i 1

a r e l e s s t h a n p K , a n d t r y t o f i n d t h e s m a l l e s t p o s i t i v e i n t e g e r N s u c h t h a t

N . w i s i n t h e Z - s p a n o f t h e v i .

B y k e e p i n g t r a c k ( i n e i , s a y ) o f w h a t h a p p e n e d d u r i n g t h e l o o p i n g , w e

k n o w t h a t

d

w e i v i

( m o d p 3 K )

i - 1

a n d w e s e e k N s u c h t h a t

d

N . w =

d

c i v i .

i = 1

H e n c e , f o r e a c h i , w e h a v e N . e i = c i + p 3 K . s i f o r s o m e i n t e g e r s i , s o

e i / p 3 K = s i / N + c j / N . p 3 K . A s t h e s e c o n d t e r m i s v e r y s m a l l , w e h a v e t h a t

s i / N i s a g o o d a p p r o x i m a t i o n t o e i / p 3 x

I t i s u s e f u l t o r e c a l l a l e m m a , t r u e f o r a n y r e a l n u m b e r x a n d p o s i t i v e

i n t e g e r t , t h a t x h a s a t m o s t o n e r a t i o n a l a p p r o x i m a t i o n a / b w i t h b < t a n d

( x - 6 ) 2 < 1 / ( 4 t 2 ) . A p p l y i n g t h e l e m m a w i t h t = p K t o e i / p 3 K w e g e t t h a t

t h e r e i s a t m o s t o n e r a t i o n a l a i / b i w i t h ( e i / p 3 K - a i / b i ) 2 < 1 / ( 4 p 2 K ) , a n d

b i < p K .

U s i n g c o n t i n u e d f r a c t i o n s , w e f i n d a n a i / b i t h a t i s a g o o d e n o u g h a p p r o x -

i m a t i o n t o e i / p 3 K , a n d t h e r e f o r e a i / b i = s i / N , s i n c e s i / N i s t h e o n l y s u c h

a p p r o x i m a t i o n . H e n c e

e i a i

c i

p 3 K

b i

+ N p 3 K

w h i c h i m p l i e s b i e i = a i p 3 K + c i . b i / N , s o c i b i / N m u s t b e a n i n t e g e r . H e n c e ,

i f n = l c m ( b i ) , t h e n n . w i s a n i n t e g r a l l i n e a r c o m b i n a t i o n o f t h e v i , s o b y




2 1 9

m i n i m a l i t y , N = n .

A s w e d o n o t i n f a c t k n o w w h e t h e r p 3 ' a c t u a l l y w a s l a r g e e n o u g h , w e

c a l c u l a t e n = l c m ( b i ) a n d a t t e m p t t o e x p r e s s n . w i n t e r m s o f t h e v i , f o r 3 K

l o o p s . I f w e s u c c e e d , w e h a v e f o u n d N a s d e s i r e d . I f w e f a i l , i t i s b e c a u s e p 3 K

i s n o t s u f f i c i e n t a c c u r a c y t o d e t e r m i n e N , s o w e i n c r e a s e K ( t r i p l e i t , s a y )

a n d r e t u r n t o t h e l o o p i n g p r o c e s s .

4 A l g o r i t h m s t h a t u s e t h e m o d u l e h a n d l e r

4 . 1

G e n e r a l D e s c r i p t i o n

I n t h i s s e c t i o n w e d e s c r i b e f i v e r a t h e r s i m i l a r p r o g r a m s t h a t u s e t h e m o d u l e

h a n d l e r . T h e s e p r o g r a m s a r e

N u l l s p a c e ( N S ) . G i v e n a m a t r i x M o f i n t e g e r s , f i n d a s e t o f i n d e p e n d e n t

v e c t o r s s p a n n i n g ( o v e r Q ) t h e s p a c e o f a l l v e c t o r s v s u c h t h a t v . M = 0 .

E x p r e s s i o n ( C L ) . ( T h i s p r o g r a m w a s o r i g i n a l l y c a l l e d c l e a n b y T h a c k r a y

a n d m y s e l f m a n y y e a r s a g o ) . G i v e n t w o m a t r i c e s A a n d B , w h e r e A i s

o f f u l l r o w r a n k ( a l l t h e r o w s a r e l i n e a r l y i n d e p e n d e n t ) f i n d a m a t r i x X

s u c h t h a t B = X . A ( i f s u c h a m a t r i x X e x i s t s ) -

F i n d a b a s i s ( F B A ) . G i v e n a m a t r i x A , f i n d a m a t r i x B w h o s e r o w s a r e

l i n e a r l y i n d e p e n d e n t , a n d w h i c h s p a n t h e s a m e Z - m o d u l e a s t h e r o w s

o f A .

S p i n ( o r s u b m o d u l e S M ) . G i v e n a m a t r i x A a n d s o m e m a t r i c e s G i , f i n d

a f r e e Z - b a s i s f o r t h e s m a l l e s t Z - m o d u l e c o n t a i n i n g t h e r o w s o f A , a n d

i n v a r i a n t u n d e r t h e a c t i o n o f a l l t h e m a t r i c e s G i . [ N o t e - t h i s i s d o n e i n

a " s t a n d a r d b a s i s " w a y a s d e s c r i b e d l a t e r ] .

P u r i f y ( P U ) . G i v e n a m a t r i x X o f f u l l r o w r a n k , f i n d a f r e e b a s i s f o r t h e

( p o s s i b l y l a r g e r ) m o d u l e o f a l l i n t e g r a l r o w s i n t h e Q - s p a n o f t h e r o w s

o f X .

4 . 2

N u l l s p a c e ( N S )

T h i s i s a s i m p l e p r o g r a m o n c e a m o d u l e h a n d l e r i s a v a i l a b l e . T h e g i v e n i n p u t

m a t r i x i s p r o c e s s e d o n e r o w a t a t i m e , a n d e a c h r o w i s g i v e n t o t h e m o d u l e

h a n d l e r , k e e p i n g t r a c k o f w h i c h r o w s w e r e a c c e p t e d a s l i n e a r l y i n d e p e n d e n t .

I f a r o w i s n o t l i n e a r l y i n d e p e n d e n t o f t h e p r e v i o u s o n e s , t h e m o d u l e h a n d l e r

r e t u r n s a n N , s u c h t h a t N . w = E d , c i . v i .

B y k e e p i n g t r a c k o f t h e r e l a t i o n s h i p b e t w e e n t h e i n p u t m a t r i x a n d t h e

s t o r e d r o w s ( a s u b s e t ) t h e l i n e a r d e p e n d e n c e i s c o n v e r t e d t o a r o w o f t h e

n u l l s p a c e a n d w r i t t e n o u t .



2 2 0


N o t i c e t h a t n o a t t e m p t i s m a d e b y t h i s p r o g r a m t o f i n d a Z - b a s i s f o r t h e

w h o l e n u l l s p a c e .

T h i s c a n b e o b t a i n e d - i f n e e d e d - b y r u n n i n g t h e p u r i f y

p r o g r a m d e s c r i b e d i n s e c t i o n 4 . 6 .

4 . 3

E x p r e s s i o n , o r c l e a n ( C L )

G i v e n t w o m a t r i c e s , A a n d B , w h e r e t h e r o w s o f A a r e l i n e a r l y i n d e p e n d e n t ,

a n d t h e r o w s o f B a r e i n t h e Z - s p a n o f t h e r o w s o f A , f i n d a m a t r i x X s u c h

t h a t B = X . A .

T h i s i s a n o t h e r s i m p l e a p p l i c a t i o n o f t h e m o d u l e h a n d l e r . E a c h r o w o f A

i s f i r s t g i v e n t o t h e m o d u l e h a n d l e r . I f a l i n e a r l y d e p e n d e n c y a r i s e s , t h i s i s ,

o f c o u r s e , a n e r r o r c o n d i t i o n .

E a c h r o w o f B i s t h e n g i v e n t o t h e m o d u l e h a n d l e r , a n d t h e e x p e c t e d r e s u l t

i s t h a t t h i s r o w i s > s c j . v z a s u s u a l , s o t h e r o w c j i s w r i t t e n t o t h e o u t p u t f i l e .

I f a n y o t h e r r e s u l t o c c u r s , t h i s i s a g a i n a n e r r o r c o n d i t i o n .

4 . 4 F r e e B a s i s ( F B A )

G i v e n a m a t r i x A , f i n d a m a t r i x B w h o s e r o w s a r e a b a s i s f o r t h e m o d u l e

s p a n n e d b y t h e r o w s o f A . I n o t h e r w o r d s , f i n d a m a t r i x B w h o s e r o w s a r e

l i n e a r l y i n d e p e n d e n t , a n d s p a n t h e s a m e m o d u l e a s t h a t s p a n n e d b y t h e r o w s

o f A .

T h i s i s d o n e b y p r e s e n t i n g e a c h r o w o f t h e m a t r i x A i n t u r n t o t h e m o d u l e

h a n d l e r . I f t h i s r o w i s i n d e p e n d e n t i t i s a p p e n d e d t o t h e m o d u l e , a n d t h e r e

i s n o t h i n g m o r e t o d o . I f t h i s r o w i s i n t h e 7 G - s p a n o f t h e p r e v i o u s r o w s , t h e

n e w r o w m a y s i m p l y b e d i s c a r d e d a n d a g a i n t h e r e i s n o t h i n g m o r e t o d o .

T h e o n l y r e m a i n i n g ( a n d t h e h a r d e s t ) c a s e i s w h e r e t h e n e w r o w w s a t i s f i e s

d

N . w =

C Z - V i

w i t h N > 1 .

I n t h i s c a s e , w e f i r s t l o o k a t t h e G C D ( N , c ; ) f o r t h e v a r i o u s v a l u e s o f i .

W e n e e d t o p i c k a j w h e r e G C D ( N , c 3 ) < N . I f t h e r e i s n o s u c h j , t h i s i s a n

e r r o r c o n d i t i o n . S e e t h e e n d o f t h i s s e c t i o n f o r a d i s c u s s i o n o f w h a t t o d o i f

t h e r e i s m o r e t h a n o n e p o s s i b l e j .

O n c e a j h a s b e e n s e l e c t e d , w e c a l c u l a t e G C D ( N , c j ) = g = a . N + b . c j .

F o r a n y s e t S o f v e c t o r s , l e t ( S ) d e n o t e t h e Z - s p a n o f S . L e t U = ( v ; l i

j ) .

W e s e t v j ' = b . w + a . v , - [ ( b . c 2 ) / N ] v ; w h e r e [ x ] m e a n s t h e n e a r e s t i n t e g e r

t o x . W e a l s o h a v e t h a t G C D ( a , b ) = 1 = e . a + f b , s o w e s e t w ' = e . w - f . v j .

W e t h e n h a v e t h a t v j = - b . w ' + e . v i ' a n d w = a . w ' + f . v j ' m o d u l o U s o t h e

n e w v e c t o r s s p a n t h e s a m e m o d u l e a s t h e o l d o n e s .



A n i n t e g r a l m e a t a x e 2 2 1

W e c l a i m t h a t

( U , v j , w ) = ( U , v ' , w ' ) = H ( s a y )

a n d t h a t I H / ( U , v v ) I = I H / ( U , v j ) J . g / N i s l e s s t h a n N .

( R e f e r t o r e s e a r c h p r o b l e m 9 f o r a n a d m i s s i o n t h a t I a m n o t s a t i s f i e d w i t h

t h e t r e a t m e n t g i v e n h e r e )

F i n a l l y w e r e t u r n t o t h e q u e s t i o n o f w h i c h j s h o u l d b e u s e d . I n m y o w n

i m p l e m e n t a t i o n , t h e l a r g e s t n u m e r i c a l v a l u e o f j w a s u s e d - t h e l a t e s t o n e i n

t h e m o d u l e . T h i s h a s t w o a d v a n t a g e s . F i r s t l y , i t e n s u r e s t h a t t h e Q - s p a n o f

t h e f i r s t k i n d e p e n d e n t v e c t o r s i s t h e s a m e b e f o r e t h e r u n a s a f t e r , a f e a t u r e

t h a t i s u s e d i n t h e " p u r i f y " p r o g r a m f o r e x a m p l e . S e c o n d l y , l o o k i n g a h e a d

t o " s p i n " , i t m e a n s t h a t t h e d i s r u p t i o n i s c a r r i e d a m i n i m u m d i s t a n c e b a c k

i n t o t h e m o d u l e , f o r c i n g a s f e w r o w s a s p o s s i b l e t o b e r e m u l t i p l i e d b y t h e

g e n e r a t o r s . T h i s i s , o f c o u r s e o n l y a n a d v a n t a g e b e c a u s e o f t h e p o o r s t r a t e g y

I u s e t o r e m e m b e r w h a t v e c t o r s h a v e b e e n m u l t i p l e d b y t h e g e n e r a t o r s .

4 . 5

S p i n

G i v e n a m a t r i x A , a n d s o m e m a t r i c e s G i , f i n d a f r e e Z - b a s i s f o r t h e s m a l l e s t

Z - m o d u l e c o n t a i n i n g t h e r o w s o f A , a n d i n v a r i a n t u n d e r t h e a c t i o n o f a l l t h e

m a t r i c e s G i .

T h i s i s v e r y s i m i l a r t o t h e F B A p r o g r a m d e s c r i b e d i n t h e p r e v i o u s s e c -

t i o n , e x c e p t t h a t o n c e t h e i n p u t v e c t o r s o f A a r e p r o c e s s e d , f u r t h e r v e c t o r s

a r e o b t a i n e d b y m u l t i p l y i n g t h e r o w s o f t h e b a s i s a l r e a d y o b t a i n e d b y t h e

g e n e r a t o r s G i t o o b t a i n f u r t h e r r o w s , w h i c h a r e i n c l u d e d i n t h e m o d u l e u n t i l

i t i s s t a b l e .

T h e i n t e r e s t i n g q u e s t i o n h e r e i s h o w t o k e e p t r a c k o f w h i c h e l e m e n t s o f

t h e b a s i s h a v e b e e n m u l t i p l i e d b y w h i c h g e n e r a t o r s , b e a r i n g i n m i n d t h a t t h e

i n c l u s i o n o f o n e s i n g l e n e w r o w c a n ( i n p r i n c i p l e ) c h a n g e e v e r y r o w o f t h e

b a s i s , t h u s r e q u i r i n g t h e w h o l e m u l t i p l i c a t i o n p r o c e s s t o b e r e s t a r t e d f r o m

t h e b e g i n n i n g . I n t h e i m p l e m e n t a t i o n , t h i s i s e x a c t l y t h e a l g o r i t h m I u s e d ,

s i n c e i n p r a c t i c e t h e e a r l y r o w s a r e v e r y s e l d o m c h a n g e d . I t h e r e f o r e k e p t a

m a r k e r t o n o t e w h i c h r o w s h o u l d b e m u l t i p l i e d b y w h i c h G i n e x t , a n d i f a t

a n y s t a g e t h e r o w , o r a n e a r l i e r o n e , i s c h a n g e d , t h e m a r k e r i s s e t t o s t a r t

a g a i n a t t h e b e g i n n i n g o f t h e c h a n g e d r o w .

I s u s p e c t t h a t t h e i m p l e m e n t e d a l g o r i t h m i s n o t , t h e r e f o r e , c u b i c i n c o m -

p l e x i t y , t h o u g h w h e t h e r o n e c o u l d a c t u a l l y f i n d a s e q u e n c e o f p r o b l e m s t h a t

b e h a v e d p e v e r s e l y e n o u g h i s n o t c l e a r . I n a n y c a s e m y s t r a t e g y i s c l e a r l y a

l o o n y o n e f r o m a c o m p l e x i t y p o i n t o f v i e w .

R e s e a r c h P r o b l e m 3 F i n d a s t r a t e g y f o r d o i n g s p i n t h a t g i v e s a b o u n d t o

t h e c o m p l e x i t y . I s i t c u b i c ?



2 2 2


4 . 6 P u r i f y ( P U )

G i v e n a m a t r i x X o f f u l l r o w r a n k , f i n d a f r e e b a s i s f o r t h e ( p o s s i b l y l a r g e r )

m o d u l e o f a l l i n t e g r a l r o w s i n t h e Q - s p a n o f t h e r o w s o f X .

T h i s i s d o n e b y s i m p l y a p p e n d i n g t h e i d e n t i t y m a t r i x t o X a n d r u n n i n g

t h e F B A p r o c e d u r e

I t i s a ( p r e v i o u s l y u n d e s c r i b e d ) f e a t u r e o f t h e F B A a l g o r i t h m t h a t , i f t h e j

i s a l w a y s c h o s e n t o b e t h e l a r g e s t p o s s i b l e v a l u e s u b j e c t t o G C D ( N , c j ) < N ,

t h e v j ' w i l l a l w a y s b e i n t h e Q - s p a n o f t h e v i ( i < j ) , a s t h e " - [ ( b . c i ) / N ] . v i "

t e r m w i l l r e m o v e a l l l a t e r v i f r o m t h e e x p r e s s i o n .

I t f o l l o w s , t h e r e f o r e , t h a t a t t h e e n d o f t h e p r o c e d u r e , t h e Q - s p a n o f t h e

f i r s t k r o w s ( f o r a l l k < r a n k ( X ) ) i s n o t c h a n g e d , a n d i n p a r t i c u l a r t h e Q - s p a n

o f t h e f i r s t r a n k ( X ) r o w s i s n o t c h a n g e d .

I n t h e c a s e o f a m a t r i x w i t h f e w r o w s b u t m a n y c o l u m n s , t h i s p u r i f y

p r o g r a m i s c l e a r l y a s l e d g e - h a m m e r t o c r a c k a n u t . F o r e x a m p l e , i t i s c l e a r l y

c r a z y t o w o r k w i t h 1 0 0 0 x 1 0 0 0 m a t r i c e s t o p u r i f y a 1 x 1 0 0 0 r o w . M u c h b e t t e r

i s t o f i n d t h e G C D o f t h e e n t r i e s . I h a v e n o t f o u n d t h e c o r r e c t g e n e r a l i z a t i o n

t o 2 o r m o r e d i m e n s i o n s , a n d w e h a v e

R e s e a r c h P r o b l e m 4 G i v e n a ( r e c t a n g u l a r ) m a t r i x M , f i n d a n i n t e g r a l b a -

s i s f o r t h e s p a c e o f a l l i n t e g r a l r o w s i n t h e Q - s p a n o f t h e r o w s o f M e f f i c i e n t

f o r t h e c a s e w h e r e t h e r e a r e m a n y c o l u m n s a n d f e w r o w s .

5 R e p r e s e n t a t i o n s o f g r o u p s o v e r Z

I n t h i s s e c t i o n w e g i v e a d e s c r i p t i o n o f h o w t o w o r k w i t h i n t e g r a l r e p r e s e n -

t a t i o n s o f f i n i t e g r o u p s . T h e m e t h o d i s v e r y s i m i l a r t o t h a t u s e d o v e r f i n i t e

f i e l d s , a n d ( a m a z i n g l y ) n o t h i n g m u c h g o e s w r o n g i n t h e p a s s a g e f r o m f i n i t e

f i e l d t o i n t e g e r s .

T h e f u n d a m e n t a l p r o g r a m s a r e e s s e n t i a l l y e x a c t l y t h e s a m e .

M U - M u l t i p l y t w o m a t r i c e s

A D - A d d t w o m a t r i c e s

N S - F i n d a Q - b a s i s f o r t h e n u l l s p a c e

S P - M a k e t h e i n v a r i a n t s u b s p a c e c o n t a i n i n g a v e c t o r , a n d f i n d t h e

a c t i o n o f t h e g i v e n g e n e r a t o r s o n t h i s s u b s p a c e a n d o n t h e q u o t i e n t

s p a c e .

T E - T e n s o r t w o m a t r i c e s t o g e t h e r .

M U , A D a n d T E a r e s i m p l e , a n d s h o u l d n e e d n o f u r t h e r e x p l a n a t i o n . S P

a n d N S w e r e d e s c r i b e d i n t h e p r e v i o u s s e c t i o n . I t s h o u l d a l s o b e n o t i c e d t h a t




2 2 3

t h e C L p r o g r a m c a n b e u s e d t o i n v e r t a n i n v e r t i b l e m a t r i x b y e x p r e s s i n g t h e

r o w s o f a n i d e n t i t y m a t r i x i n t e r m s o f t h e r o w s o f t h e g i v e n m a t r i x .

I n m y i m p l e m e n t a t i o n , t h e s t a n d a r d b a s e p r o g r a m i s n o t n e e d e d a s t h e

s p i n n i n g p r o c e s s ( t h e f i r s t p a r t o f S P ) i s d o n e i n a b a s i s i n v a r i a n t w a y .

W h a t p a r t i c u l a r l y a s t o n i s h e d m e a b o u t t h i s w o r k i s h o w e a s y i t s e e m e d

t o b e t o f i n d e l e m e n t s o f t h e i n t e g r a l g r o u p a l g e b r a w i t h m i n i m a l n o n - z e r o

n u l l i t y . I c a n o f f e r n o c o n v i n c i n g h e u r i s t i c s a s t o w h y t h i s s h o u l d b e s o , a n d

i n d e e d h a v e n o f e e l i n g a t a l l e v e n a s t o w h e t h e r a n d u n d e r w h a t c o n d i t i o n s

t h e r e s h o u l d b e s u c h a n a b u n d a n c e o f g r o u p a l g e b r a e l e m e n t s o f m i n i m a l

n o n - z e r o n u l l i t y .

G i v e n t w o ( " r a n d o m " ) e l e m e n t s X a n d Y a n d a l s o a n i n v o l u t i o n T o f a

g r o u p , I d e f i n e K ( X , Y , T ) t o b e t h e f o l l o w i n g s e t o f 3 6 e l e m e n t s o f t h e g r o u p

a l g e b r a

X + Y + m I - 2 < m < 2

X - Y + m I 0 < m < 2

X T X + Y + Y - 1 + m I

- 3 < m < 3

X T X

- Y - Y - 1 + m I

- 3 _ < m _ < 3

X T X + Y T Y + T + m I

- 3 < m < 3

X T X + Y T Y - T + m I

- 3 < m < 3

T h e n l o o k i n g a m o n g t h e K ( X , Y , T ) f o r a m o d e r a t e n u m b e r o f t r i p l e s X , Y , T

a n e l e m e n t o f m i n i m u m n o n - z e r o n u l l i t y i s r e a d i l y f o u n d .

O n c e s u c h a n e l e m e n t F h a s b e e n f o u n d , w e c a n l o o k f o r t h e s m a l l e s t

i n v a r i a n t s u b m o d u l e c o n t a i n i n g a p a r t i c u l a r n u l l - v e c t o r ( o r a l l n u l l - v e c t o r s )

o f F . T h i s s u b m o d u l e c a n o n l y c o n t a i n c o n s t i t u e n t s o n w h i c h F n a s n o n - z e r o

n u l l i t y .

A s t h e s p i n n i n g u p i s d o n e i n a b a s i s - i n d e p e n d e n t f a s h i o n , t h e b a s i s f o r

t h e r e s u l t i n g s u b s p a c e w i l l d e p e n d o n l y o n t h e n u l l - v e c t o r c h o s e n , a n d i f t h e

n u l l i t y o f F i s 1 , t h e b a s i s i s a b s o l u t e l y s t a n d a r d , a n d t h e r e p r e s e n t a t i o n i s

a b s o l u t e l y i r r e d u c i b l e . I f t h e s a m e F i s u s e d t o f i n d t h e s a m e i r r e d u c i b l e , t h e

r e s u l t i n g m a t r i c e s w i l l b e i d e n t i c a l .

M o r e g e n e r a l l y , i f c i s t h e d i m e n s i o n o f t h e s p a c e o f m a t r i c e s c o m m u t i n g

w i t h a l l t h e m a t r i c e s o f a ( r a t i o n a l l y ) i r r e d u c i b l e r e p r e s e n t a t i o n , t h e n a l l

n u l l i t i e s w i l l b e m u l t i p l e s o f c , a n d i f a n F c a n b e f o u n d o f n u l l i t y c , a n y

v e c t o r o f t h e n u l l - s p a c e w i l l s p i n u p t o g i v e a s t a n d a r d b a s e , w i t h r e s p e c t t o

w h i c h t h e m a t r i c e s w i l l a l w a y s b e i d e n t i c a l .

G i v e n g e n e r a t o r s f o r a p a r t i c u l a r i n t e g r a l r e p r e s e n t a t i o n o f a f i n i t e g r o u p ,

i t a p p e a r s t o b e p o s s i b l e t o f i n d e l e m e n t s o f n u l l i t y c , a n d h e n c e w e c a n

1 . C h o p u p a n y r e p r e s e n t a t i o n i n t o t h e ( r a t i o n a l l y ) i r r e d u c i b l e m o d u l e s i t

c o n t a i n s .

2 . M a k e m o r e ( l a r g e r ) r e p r e s e n t a t i o n s b y t e n s o r i n g s m a l l e r o n e s .



2 2 4 R i c h a r d A . P a r k e r

3 . M a k e m u l t i p l e 7 G - m o d u l e s f o r t h e s a m e Q - i r r e d u c i b l e , b y s p i n n i n g u p

t h e n u l l v e c t o r s o f v a r i o u s g r o u p a l g e b r a e l e m e n t s .

4 . M a k e t h e q u a d r a t i c f o r m f i x e d b y s o m e g e n e r a t o r s . W h a t i s a c t u a l l y

d o n e i s t o c a l c u l a t e a m a t r i x X t h a t c o n j u g a t e s t h e g e n e r a t o r s t o t h e i r

t r a n s p o s e i n v e r s e . I f t h i s q u a d r a t i c f o r m i s p o s i t i v e d e f i n i t e ( w h i c h i t

i s i f t h e r e p r e s e n t a t i o n i s e i t h e r a b s o l u t e l y i r r e d u c i b l e , o r i s t h e s u m o f

t w o c o m p l e x c o n j u g a t e r e p r e s e n t a t i o n s ) t h e q u a d r a t i c f o r m , a n d h e n c e

u s u a l l y t h e m a t r i x e n t r i e s , c a n b e m a d e s m a l l e r u s i n g t h e L L L b a s i s

r e d u c t i o n a l g o r i t h m ( s e e [ 1 ] ) .

5 . M a k e t h e m a t r i c e s g e n e r a t i n g t h e c o m m u t i n g a l g e b r a . T h i s i s d o n e b y

s p i n n i n g u p v a r i o u s v e c t o r s i n t h e n u l l s p a c e .

6 . M a k e a m a t r i x n o r m a l i z i n g a g r o u p b y a n o u t e r a u t o m o r p h i s m . T h i s

i s d o n e b y d o i n g t h e a u t o m o r p h i s m ( a s w o r d s ) t o t h e g e n e r a t o r s , a n d

t h e n f i n d i n g t h e t r a n s f o r m a t i o n t h a t t a k e s t h e m b a c k . T h i s i s u n i q u e

u p t o m u l t i p l i c a t i o n b y t h e c o m m u t i n g a l g e b r a .

7 . U s i n g t h e q u a d r a t i c f o r m Q , t h e p e r p e n d i c u l a r t o a n i n v a r i a n t s u b s p a c e

c a n b e f o u n d u s i n g t r a n s p o s e a n d n u l l - s p a c e . T h i s g i v e s v e c t o r s t h a t

c a n e i t h e r b e p u r i f i e d o r s p u n u p t o a n i n v a r i a n t s u b m o d u l e p e r p e n -

d i c u l a r t o t h e i n i t i a l i n v a r i a n t s u b s p a c e . T h i s g i v e s a n e f f i c i e n t m e t h o d

o f c h o p p i n g u p a n e w m o d u l e , a s t h e " o l d " s t u f f - t h e r e p r e s e n t a t i o n s

a l r e a d y k n o w n - c a n b e a s s u m e d t o b e w e l l - s t u d i e d , a n d a s u i t a b l e F

k n o w n w h o s e n u l l v e c t o r s p i n s u p t o i t . T h e p e r p e n d i c u l a r t o t h e o l d

s t u f f i s t h e n e w s t u f f t h e r e p r e s e n t a t i o n s n o t y e t m a d e a n d s t u d i e d .

6 F u r t h e r r e f i n e m e n t s u s i n g t h e q u a d r a t i c f o r m

I t i s a w e l l - k n o w n f a c t t h a t a c o m p l e x i r r e d u c i b l e r e p r e s e n t a t i o n f i x e s a H e r -

m i t i a n f o r m . I t t h u s s e e m s s e n s i b l e , w h e n w o r k i n g w i t h r e p r e s e n t a t i o n s o f

f i n i t e g r o u p s o v e r t h e i n t e g e r s , t o k e e p a n y k n o w n q u a d r a t i c f o r m s h a n d y . I n

s i m p l e c a s e s - a c o m p l e x i r r e d u c i b l e w r i t a b l e o v e r Z - f i n d i n g o n e i s m e r e l y

a q u e s t i o n o f f i n d i n g t h e m a t r i x t h a t c o n j u g a t e s t h e r e p r e s e n t a t i o n t o i t s

t r a n s p o s e i n v e r s e .

R e s e a r c h P r o b l e m 5 G i v e n a r b i t r a r y m a t r i c e s o v e r Z t h a t f i x a p o s i t i v e

d e f i n i t e m a t r i x , f i n d o n e .

I f t h e q u a d r a t i c f o r m i s h a n d y , i t c a n b e u s e d t o




T a b l e 1 : T h e n u m b e r o f e l e m e n t s o f m i n i m u m n o n - z e r o n u l l i t y

2 2 5

G r o u p R e p r e s e n t a t i o n

N u m b e r ( o u t o f 1 8 0 0 ) w i t h

n u l l i t y 1

J l 7 7

4 7

J 1

1 1 2

5 6 + 5 6 ( b 5 )

0 ( 1 o f n u l l i t y 2 )

A 9 8

2 2 8

A 9 2 7

1 9 1

A 9 2 8

1 7 6

A 9

3 5 a

1 1 5

A 9

3 5 b

1 1 4

A 9 4 2 1 2 3

A 9 4 8

1 1 7

A 9

5 6

9 4

A 9

1 0 5

5 8

A 9 1 6 2

5 8

A 9

1 8 9

5 3

L 2 ( 1 1 ) 1 0 2 A = - 2 , 3 A = 1 1 4 7

L 2 ( 1 1 ) 1 0 2 A = 2 , 3 A = 1

1 4 8

L 2 ( 1 1 )

1 0

5 + 5 ( b l l )

0 ( 2 0 4 o f n u l l i t y 2 )

L 2 ( 1 1 )

1 1

2 5 7

L 2 ( 1 1 )

2 4

1 2 + 1 2 1

0 ( 1 3 7 o f n u l l i t y 2 )

L 3 ( 3 )

1 2

2 2 4

L 3 ( 3 )

2 7 2 5 2

L 3 ( 3 )

3 9

2 3 8

L 3 ( 3 )

6 4

1 6 + 1 6 + 1 6 + 1 6 ( d 1 3 )

0 ( 2 2 2 o f n u l l i t y 4 )

T h e t a b l e a b o v e s h o w s t h a t e l e m e n t s o f n u l l i t y 1 a r e " c o m m o n " i n i n t e g r a l

r e p r e s e n t a t i o n s . 5 0 p a i r s o f w o r d s i n t w o g e n e r a t o r s T a n d S ( w h e r e T 2 =

1 ) a r e c h o s e n - X 1 . . . .

X 5 0 a n d Y l

. . . . Y 5 0 .

T h e s e t K ( T , X i , Y ) w a s t h e n

c a l c u l a t e d , r e s u l t i n g i n 5 0 x 3 6 = 1 8 0 0 g r o u p a l g e b r a e l e m e n t s . T h e n u m b e r

o f t h e s e o f m i n i m u m n o n - z e r o n u l l i t y ( 1 u n l e s s o t h e r w i s e s t a t e d ) i s g i v e n i n

t h e t a b l e f o r t h e g e n e r a t o r s I h a p p e n e d t o c h o o s e f o r t h e g r o u p i n q u e s t i o n .






2 2 7

I f t h e p r e v i o u s r o w s a r e l i n e a r l y i n d e p e n d e n t , b u t w i t h t h e n e w r o w t h e r e

i s a l i n e a r d e p e n d e n c e , t h e n t h e n e w r o w i s n o t m u l t i p l i e d b y z e r o i n t h e

d e p e n d e n c e .

W i t h o u t s e r i o u s m o d i f i c a t i o n , h o w e v e r , t h e m o d u l e h a n d l e r w i l l b e i n t r o u -

b l e i f t h e r i n g h a s n o n - p r i n c i p a l r i g h t i d e a l s , a s t h e n a l g o r i t h m s l i k e F B A h a v e

n o p o s s i b l e m o v e s i f p r e s e n t e d w i t h a l i n e a r d e p e n d e n c e w h o s e d ; s s p a n a n o n -

p r i n c i p a l i d e a l .

R e s e a r c h P r o b l e m 8 G e n e r a l i z e t h e F B A r o u t i n e t o w o r k w i t h d e p e n d e n t

r o w s i f n e c e s s a r y t o g e t o v e r t h e p r o b l e m o f n o n - p r i n c i p a l i d e a l s .

E v e n i f w e a s s u m e t h a t a l l r i g h t i d e a l s a r e p r i n c i p a l , w e s t i l l n e e d a n

a l g o r i t h m ( f o r F B A , s a y ) t h a t c a n f i n d t h e g e n e r a t o r o f a n i d e a l . B u t i s t h i s

e n o u g h ?

R e s e a r c h P r o b l e m 9 G i v e n a l i n e a r l y d e p e n d e n t s e t o f r o w s , a n a l g o r i t h m

f o r f i n d i n g d e p e n d e n c i e s , a n d a n a l g o r i t h m f o r f i n d i n g a g e n e r a t o r o f a p r i n -

c i p a l i d e a l , w h a t m o r e i s n e e d e d t o m a k e F B A w o r k ?

T h e n e x t s t e p i s t o f i n d a n a l g o r i t h m f o r f i n d i n g l i n e a r d e p e n d e n c i e s . T h e

p - a d i c l i f t a p p r o a c h t a k e n i n t h i s p a p e r n e e d s a h o m o m o r p h i s m f r o m D i n t o

a f i n i t e f i e l d ( c a l l i t r e d u c e ( ) ) , a n d a l i f t f r o m t h a t f i e l d b a c k t o D ( c a l l i t

l i f t ( ) ) w i t h t h e c o n v e r g e n c e p r o p e r t y :

F o r a l l d i n D , t h e o p e r a t i o n d H ( d - l i f t ( r e d u c e ( d ) ) / p r e a c h e s 0 i n a

f i n i t e n u m b e r o f s t e p s .

R e s e a r c h P r o b l e m 1 0 I n v e s t i g a t e d o m a i n s f o r t h e e x i s t e n c e o f p r i m e s w i t h

a n d w i t h o u t t h i s p r o p e r t y .

8 T h e L L L a l g o r i t h m

A s p a r t o f t h e i m p l e m e n t a t i o n , a n L L L a l g o r i t h m i s c r u c i a l t o r e d u c e t h e

i n t e g e r s i n a n i r r e d u c i b l e r e p r e s e n t a t i o n b e f o r e g o i n g o n t o t e n s o r f u r t h e r .

H e r e a r e a f e w t h o u g h t s o n t h i s p a r t o f t h e p r o j e c t .

I u s e d a d o u b l e - p r e c i s i o n f l o a t i n g - p o i n t m o d e l , a n d w a s a b l e t o w o r k h a p -

p i l y i n 1 8 9 d i m e n s i o n s - I d i d n o t t r y i t o n a n y l a r g e r e x a m p l e s . T o a c h i e v e

t h i s , I w a s r a t h e r c a r e f u l i n t h a t a n y c h a n g e s m a d e t o t h e b a s i s o f i n t e g r a l

v e c t o r s w e r e n o t d o n e t o t h e m o d e l a s w e l l , b u t i n s t e a d t h e r e l e v a n t r o w o f

t h e m o d e l w a s r e c a l c u l a t e d f r o m t h e v e c t o r s .

R e s e a r c h P r o b l e m 1 1 F o r a g i v e n " a c c u r a c y " o f f l o a t i n g p o i n t m o d e l , p r o v e

t h a t L L L w o r k s u p t o a g i v e n n u m b e r o f d i m e n s i o n s .






W . P l e s k e n

A b s t r a c t

T h e i n t e r p l a y b e t w e e n f i n i t e r a t i o n a l m a t r i x g r o u p s a n d i n t e g r a l

l a t t i c e s i n E u c l i d e a n s p a c e i s e x p l a i n e d , i n p a r t i c u l a r a p p l i c a t i o n s o f t h e

t h e o r y o f f i n i t e r a t i o n a l m a t r i x g r o u p s t o t h e c o n s t r u c t i o n o f m o d u l a r

l a t t i c e s a r e d i s c u s s e d . T h e f i n i t e r a t i o n a l m a t r i x g r o u p s o f a g i v e n

d i m e n s i o n a r e i n t e r r e l a t e d b y t h e w a y t h e y i n t e r s e c t a n d c l a s s i f i c a t i o n

r e s u l t s u p t o d i m e n s i o n 3 1 a r e b r i e f l y s u r v e y e d .

1


T h e i n v e s t i g a t i o n o f f i n i t e r a t i o n a l m a t r i x g r o u p s i s a n o l d t o p i c o f g r o u p

t h e o r y . H o w e v e r , w i t h t h e c l a s s i f i c a t i o n o f f i n i t e s i m p l e g r o u p s o n t h e t h e o -

r e t i c a l s i d e , a n d t h e a d v a n c e o f a l g o r i t h m i c a n d c o m p u t a t i o n a l m e t h o d s o n

t h e p r a c t i c a l s i d e , a f r e s h l o o k a t t h e s u b j e c t m i g h t r e v e a l n e w i n s i g h t s , a s

s u g g e s t e d i n [ 2 0 ] . T h i s h a s m e a n w h i l e r e s u l t e d i n a f u l l c l a s s i f i c a t i o n o f t h e

m a x i m a l f i n i t e r a t i o n a l m a t r i x g r o u p s u p t o d e g r e e 3 1 i n [ 2 0 ] , [ 1 7 ] , [ 1 4 ] , [ 1 5 ] ,

[ 1 6 ] , a s w e l l a s t h e i n v e s t i g a t i o n o f c e r t a i n i n f i n i t e s e r i e s o f m a x i m a l f i n i t e

r a t i o n a l m a t r i x g r o u p s .

A s o n e m i g h t e x p e c t , c f . [ 2 0 ] P r o p o s i t i o n ( 1 1 . 6 ) , t h e r e d u c i b l e g r o u p s a r e

n o t s o i n t e r e s t i n g i n t h e i n v e s t i g a t i o n s . I n t h i s p a p e r , t h e r e f o r e , I s h a l l o n l y

d e a l w i t h r a t i o n a l i r r e d u c i b l e m a x i m a l f i n i t e g r o u p s , h e n c e f o r t h a b b r e v i a t e d

r . i . m . f . g r o u p s . F r o m t h e p o i n t o f v i e w o f s i m p l y e n u m e r a t i n g t h e s e g r o u p s ,

o n l y t h e p r i m i t i v e o n e s p l a y a r o l e , i . e . t h o s e w h o s e n a t u r a l r e p r e s e n t a t i o n i s

n o t i n d u c e d u p ( o v e r t h e r a t i o n a l s ) f r o m a p r o p e r s u b g r o u p , c f . [ 2 0 ] P r o p o s i -

t i o n ( 1 1 . 7 ) . H o w e v e r , f r o m t h e p o i n t o f v i e w o f i n t e r r e l a t i n g t h e r . i . m . f . g r o u p s

o f a g i v e n d e g r e e , t h e i m p r i m i t i v e o n e s a r e a l s o r e l e v a n t , a s w i l l b e c o m e c l e a r

i n s e c t i o n 3 .

T h e r e a r e e s s e n t i a l l y t w o d i f f e r e n t s o r t s o f p r o b l e m s t h a t a r i s e :

a ) C l a s s i f y t h e r . i . m . f . g r o u p s i n a g i v e n d i m e n s i o n .

b ) E x h i b i t i n f i n i t e s e r i e s o f r . i . m . f . g r o u p s .

F o r b o t h s o r t s o f p r o b l e m s t h e A T L A S [ 4 ] p l a y s a v e r y h e l p f u l r o l e : i n

g e t t i n g r o u g h i d e a s , p r o v i n g n o n - e x i s t e n c e o f g r o u p s w i t h c e r t a i n p r o p e r t i e s ,

e t c . I n o d d d i m e n s i o n s w i t h f e w p r i m e d i v i s o r s t h i s m i g h t s o m e t i m e s b e

2 2 9






2 3 1

D e f i n i t i o n 2 . 1 L e t G b e a f i n i t e s u b g r o u p G o f G L n ( Q ) a n d V =

Q l x n

t h e

n a t u r a l Q G - m o d u l e .

( i ) 2 ( G )

{ M O M i s a f u l l Z G - s u b l a t t i c e o f V } ,

( i i ) F ( G )

{ F E Q n x n I F = F t ' a n d g F g t ' ' = F f o r a l l g E G }

a n d F > o ( G )

I F E . F ( G ) I F p o s i t i v e d e f i n i t e } .

. F ( G ) i s a Q - v e c t o r s p a c e t h e d i m e n s i o n o f w h i c h i s e q u a l t o t h e m u l t i p l i c i t y

o f t h e 1 - c h a r a c t e r o f G i n t h e s y m m e t r i c s q u a r e o f t h e n a t u r a l c h a r a c t e r o f

G . B y a n o l d r e s u l t o f B u r n s i d e Z ( G ) i s n o t e m p t y , a n d b y o n e o f t h e

s t a n d a r d p r o o f s o f M a s c h k e ' s T h e o r e m . F > 0 ( G ) i s n o t e m p t y . C l e a r l y , t h e

c e n t r a l i z e r

a c t s o n b o t h 2 ( G ) a n d . F ( G ) . T h e c l a s s i c a l J o r d a n -

Z a s s e n h a u s T h e o r e m s a y s t h a t t h e n u m b e r o f o r b i t s o n 2 ( G ) , i . e . t h e n u m b e r

o f i s o m o r p h i s m c l a s s e s o f f u l l Z G - l a t t i c e s i n V , i s f i n i t e . T h e a c t i o n o f t h e

c e n t r a l i z e r c a n b e e x t e n d e d t o t h e n o r m a l i z e r N G L n ( Q ) ( G ) i n b o t h c a s e s . I n

t h e c a s e o f 2 ( G ) t h e o r b i t s a r e i n b i j e c t i o n w i t h t h e c o n j u g a c y c l a s s e s o f

s u b g r o u p s o f G L n ( Z ) w h i c h a r e c o n j u g a t e u n d e r G L n ( Q ) t o G .

F o r t h e

a c t u a l c o m p u t a t i o n o f s u f f i c i e n t l y b i g p o r t i o n s o f 2 ( G ) a n e w i m p l e m e n t a t i o n

o f t h e c e n t e r i n g a l g o r i t h m o f [ 2 1 ] i s a v a i l a b l e . T h e a c t i o n o f C G L n i o i ( G )

o r N G L n i o i ( G ) o n . F ( G ) o r F > o ( G ) h a s n o t s o i n t e n s i v e l y b e e n s t u d i e d , c f .

h o w e v e r [ 6 ] , [ 3 2 ] , a n d [ 3 1 ] . F o r t h e a c t u a l c o m p u t a t i o n o f r . i . m . f . g r o u p s t h e

f o l l o w i n g n o t i o n i s i m p o r t a n t .

D e f i n i t i o n 2 . 2 L e t G < G L n ( Q ) b e f i n i t e a n d f o r ( F , L ) E . F > O ( G ) x 2 ( G )

l e t

A u t ( F , L ) : _ { g E G L n ( Q ) J L 9 = L a n d g F g t r = F }

b e t h e a u t o m o r p h i s m g r o u p o f t h e p a i r ( F , L ) .

C l e a r l y , G < A u t ( F , L ) . S i n c e o r t h o g o n a l g r o u p s o f p o s i t i v e d e f i n i t e q u a d -

r a t i c f o r m s a r e c o m p a c t a n d l a t t i c e s t a b i l i z e r s a r e d i s c r e t e , A u t ( F , L ) i s f i n i t e .

F o r i t s e l e c t r o n i c c o m p u t a t i o n t h e r e i s a v e r y e f f i c i e n t i m p l e m e n t a t i o n a v a i l -

a b l e , w h i c h f o r i n s t a n c e c o m p u t e s g e n e r a t o r s f o r t h e a u t o m o r p h i s m g r o u p

o f t h e L e e c h l a t t i c e i n a b o u t 2 0 m i n u t e s o n a n H P 9 0 0 0 / 7 3 0 , c f . [ 2 2 ] . T h e

f o l l o w i n g c r i t e r i o n i s o b v i o u s .

R e m a r k 2 . 3 L e t G < G L n ( Q ) b e f i n i t e . G i s m a x i m a l f i n i t e i f a n d o n l y i f

G = A u t ( F , L ) f o r a l l ( F , L ) E . F > o ( G ) x i ( G ) .

T o t u r n t h i s i n t o a p r a c t i c a l c r i t e r i o n , o n e w a n t s t o l o o k a t a s f e w p a i r s

( F , L ) a s p o s s i b l e . F o r e x a m p l e , c o n s i d e r t h e s i m p l e s t b u t m o s t c o m m o n c a s e

o f u n i f o r m g r o u p G , i . e . d i m . F ( G ) = 1 . H e r e i t s u f f i c e s t o f i x o n e p o s i t i v e

d e f i n i t e m a t r i x F E . F ( G ) a n d t o l e t L r u n t h r o u g h a s e t o f r e p r e s e n t a t i v e s

o f N G L , ( Q ) ( G ) - o r b i t s . B u t t h e r e a r e s o m e g e n e r a l i d e a s w h i c h m i g h t r e d u c e

t h e a m o u n t o f w o r k e v e n i n t h i s e a s y s i t u a t i o n .



2 3 2

W . P l e s k e n

D e f i n i t i o n 2 . 4 L e t G o ( G ) x i ( G ) .

( i ) L # F : _ { x E V j x F y t r E Z } i s c a l l e d t h e r e c i p r o c a l o r d u a l l a t t i c e o f L

w i t h r e s p e c t t o F .

( i i ) L i s c a l l e d i n t e g r a l w i t h r e s p e c t t o F o r F i s c a l l e d i n t e g r a l o n L ,

i f L < L # F . I n t h i s c a s e , d e t ( F , L ) : = I L # F / L I i s c a l l e d t h e d e t e r m i n a n t

o f ( F , L ) . T h e i s o m o r p h i s m t y p e o f t h e d i s c r i m i n a n t g r o u p L # F / L i s o f t e n

r e f e r r e d t o a s t h e e l e m e n t a r y d i v i s o r s o f ( F , L ) ( w h i c h o f c o u r s e a r e e q u a l t o

t h e e l e m e n t a r y d i v i s o r s o f F i f L = Z i l " ' L )

( i i i ) I f ( F , L ) i s i n t e g r a l , L - ( F ) : _ { x E L I x F x t r E 2 Z } i s c a l l e d t h e e v e n

s u b l a t t i c e o f L ( w i t h r e s p e c t t o F ) .

C l e a r l y , L # F a n d L e " ( F ) l i e a g a i n i n Z ( G ) . I t t u r n s o u t t h a t q u i t e a l a r g e

p r o p o r t i o n o f r . i . m . f . g r o u p s G a c t o n r a t h e r f e w l a t t i c e s i n t h e f o l l o w i n g

s e n s e .

D e f i n i t i o n 2 . 5 A r . i . m . f . g r o u p G i s c a l l e d l a t t i c e s p a r s e , i f a l l l a t t i c e s i n

2 ( G ) c a n b e o b t a i n e d b y t h e f o l l o w i n g p r o c e s s e s s t a r t i n g f r o m a n y l a t t i c e i n

2 ( G ) : m u l t i p l y i n g w i t h e l e m e n t s o f C G L , ( Q ) ( G ) , t a k i n g s u m s a n d i n t e r s e c -

t i o n s , a n d t a k i n g d u a l s ( w i t h r e s p e c t t o a n y F E . F > o ( G ) ) a n d e v e n s u b l a t -

t i c e s .

A g o o d e x a m p l e o f l a t t i c e s p a r s e g r o u p s a r e t h o s e a u t o m o r p h i s m g r o u p s

o f l a t t i c e s i n E u c l i d e a n s p a c e w h i c h T h o m p s o n c a l l s u t t e r l y i r r e d u c i b l e , c f .

[ 2 7 ] , i . e . w h e r e t e n s o r i n g o f t h e l a t t i c e w i t h a n a r b i t r a r y f i e l d a l w a y s y i e l d s

a n i r r e d u c i b l e m o d u l e f o r t h e g r o u p . T h e b e s t k n o w n e x a m p l e s a r e t h e W e y l

g r o u p W ( E 8 ) a s t h e a u t o m o r p h i s m g r o u p o f t h e r o o t l a t t i c e E 8 , t h e c o v e r i n g

g r o u p o f t h e C o n w a y g r o u p C o l a s t h e a u t o m o r p h i s m g r o u p o f t h e L e e c h

l a t t i c e , t h e T h o m p s o n g r o u p T h , m o r e p r e c i s e l y C 2 x T h , a s t h e a u t o m o r p h i s m

g r o u p o f t h e 2 4 8 - d i m e n s i o n a l T h o m p s o n - S m i t h l a t t i c e , c f . [ 2 8 ] , [ 1 2 ] . I n f i n i t e l y

m a n y f u r t h e r ( t e n s o r - i n d e c o m p o s a b l e ) e x a m p l e s h a v e b e e n c o n s t r u c t e d b y R .

G o w u s i n g t h e b a s i c s p i n m o d u l e f o r c o v e r i n g g r o u p s o f S , ' a n d A l t n f o r c e r t a i n

n , c f . [ 9 ] . T h e n o t i o n o f u t t e r l y i r r e d u c i b l e h a s b e e n g e n e r a l i z e d t o g l o b a l l y

i r r e d u c i b l e i n [ 1 0 ] , c f . a l s o [ 2 9 ] .

C o m i n g b a c k t o t h e p r o b l e m o f m a k i n g ( 2 . 3 ) m o r e p r a c t i c a l , t h e f o l l o w i n g

d e f i n i t i o n i s u s e f u l .

D e f i n i t i o n 2 . 6 I n t h e s i t u a t i o n o f ( 2 . 4 ) , ( F , L ) E . F ' > o ( G ) x 2 ( G ) i s c a l l e d

n o r m a l i z e d , i f L i s i n t e g r a l w i t h r e s p e c t t o F s u c h t h a t L # F / L h a s o n l y

e l e m e n t a r y a b e l i a n p - S y l o w s u b g r o u p s o f r a n k l e s s t h e n o r e q u a l t o h a l f t h e

r a n k o f L .

I t f o l l o w s f r o m r e s u l t s i n [ 3 3 ] , c f . a l s o [ 7 ] , t h a t o n e c a n r e s t r i c t o n e s e l f t o

n o r m a l i z e d p a i r s ( F , L ) i n ( 2 . 3 ) , t o c h e c k f o r m a x i m a l f i n i t e n e s s . T h e n e x t




2 3 3

q u e s t i o n i s , w h e t h e r t h e p r i m e s d i v i d i n g t h e d e t e r m i n a n t s c a n b e r e s t r i c t e d .

I f G i s a b s o l u t e l y i r r e d u c i b l e t h e f o l l o w i n g r e s u l t f o l l o w s i m m e d i a t e l y f r o m

S c h u r ' s r e l a t i o n s .

T h e o r e m 2 . 7 ( [ 1 7 ] p . 7 6 ) L e t G b e a u n i f o r m s u b g r o u p o f G L , , ( Q ) , a n d l e t

( F , L ) E . F > o ( G ) x i ( G ) b e i n t e g r a l a n d p r i m i t i v e , i . e . ( p 1 F , L ) n o t i n t e g r a l

f o r a n y p r i m e n u m b e r p .

T h e n e a c h p r i m e d i v i s o r o f d e t ( F , L ) d i v i d e s t h e

o r d e r o f G .

O b v i o u s l y , t h i s t h e o r e m i s o f b a s i c i m p o r t a n c e i f o n e w a n t s t o f i n d t h e

u n i f o r m f i n i t e r . i . m . f . s u p e r g r o u p s o f a f i n i t e r a t i o n a l g r o u p H , i n c a s e o n e h a s

a g o o d c o n t r o l o v e r t h e s p a c e o f i n v a r i a n t f o r m s . I n p a r t i c u l a r , i f d i m . F ( H ) =

2 o n e i s i n a s t r o n g p o s i t i o n , c f .

[ 1 7 ] , P a r t I I . F o r r . i . m . f . g r o u p s w i t h a

2 - d i m e n s i o n a l s p a c e o f i n v a r i a n t f o r m s , t h e s i t u a t i o n i s n o t q u i t e a s g o o d ,

h o w e v e r s t i l l g o o d e n o u g h f o r p r a c t i c a l p u r p o s e s .

T h e o r e m 2 . 8 ( [ 1 7 ] p . 7 8 ) L e t G b e a n i r r e d u c i b l e s u b g r o u p o f G L f , ( Q ) w i t h

d i m . F ( G ) = 2 . A s s u m e t h a t t h e m a x i m a l r e a l s u b f i e l d o f t h e c e n t r e o f t h e

c o m m u t i n g a l g e b r a C Q X n ( G ) h a s a n i d e a l c l a s s g r o u p w h i c h i s g e n e r a t e d b y

i d e a l c l a s s e s w h i c h a r e r e p r e s e n t e d b y p r i m e i d e a l d i v i s o r s o f I G I . T h e n f o r

e a c h L E Z ( G ) t h e r e e x i s t s a n F E F > o ( G ) i n t e g r a l o n L s u c h t h a t e v e r y

p r i m e d i v i s o r o f d e t ( F , L ) d i v i d e s t h e o r d e r o f G .

T h i s r e s u l t i s g o o d e n o u g h t o s u c c e s s f u l l y s e a r c h m o s t 4 - d i m e n s i o n a l f o r m

s p a c e s . F ( H ) f o r f o r m s u b s p a c e s o f r . i . m . f . s u p e r g r o u p s o f a r a t i o n a l m a t r i x

g r o u p H . I n d i m e n s i o n 1 6 w e f o u n d t h e f i r s t t w o e x a m p l e s o f r . i . m . f g r o u p s G

f o r w h i c h d e t ( F , L ) h a s p r i m e d i v i s o r s n o t o c c u r r i n g i n I G I f o r e a c h i n t e g r a l

p a i r ( F , L ) E . F > o ( G ) x Z ( G ) , c f . [ 1 7 ] p . 8 7 . T h e g r o u p s i n b o t h c a s e s w e r e

n o n - s p l i t e x t e n s i o n s o f c y c l i c g r o u p s o f o r d e r 6 0 b y a K l e i n f o u r g r o u p a n d

d i m Z ( G ) = 4 .

T h o u g h i t h a s n o t b e e n u s e d u p t o n o w f o r t h e c l a s s i f i c a t i o n o f r . i . m . f .

g r o u p s , b e c a u s e i t w a s d e v e l o p e d l a t e r , o n e m u s t m e n t i o n a n a l g o r i t h m t o

f i n d t h e n o r m a l i z e r o f a f i n i t e u n i m o d u l a r g r o u p G i n G L , , ( Z ) i n [ 1 8 ] . I n o u r

c o n t e x t i t i s i m p o r t a n t t h a t t h i s m e t h o d a l s o y i e l d s a f u n d a m e n t a l d o m a i n

o f t h e n o r m a l i z e r i n t h e r e a l c o n v e x h u l l o f Y > 0 ( G ) , w h i c h i s a b i g r e d u c t i o n

f o r t h e s e a r c h o f f i n i t e i n t e g r a l s u p e r g r o u p s o f G . T h i s w o r k e x t e n d s w o r k

o n p e r f e c t f o r m s i n [ 1 ] . I t i s p a r t i c u l a r l y u s e f u l t o f i n d f i n i t e o v e r g r o u p s , i n

w h i c h G i s n o r m a l . I n t h i s c o n t e x t , [ 1 7 ] ( 1 1 . 1 1 ) w a s v e r y h e l p f u l , w h e r e i t w a s

p r o v e d t h a t w i t h a n o r m a l s u b g r o u p N o f a r . i . m . f . g r o u p G a p o s s i b l y b i g g e r

n o r m a l s u b g r o u p 1 3 ° ( N ) > N , d e p e n d i n g o n l y o n N a n d n o t o n G , m u s t b e

c o n t a i n e d a n d n o r m a l i n G .

T h e r e i s a n a l t e r n a t i v e t o u s i n g ( 2 . 3 ) t o f i n d r . i . m . f . g r o u p s , p a r t i c u l a r l y

i f t h e d i m e n s i o n g e t s t o o b i g f o r u s i n g t h e c o m p u t e r . T h i s m e t h o d l e a d s t o



2 3 4 W . P l e s k e n

r e s u l t s o n l y f o r g r o u p s c l o s e t o s i m p l e g r o u p s a n d u s e s t h e c l a s s i f i c a t i o n o f t h e

f i n i t e s i m p l e g r o u p s i n a s e r i o u s w a y : o n e s t a r t s o u t w i t h a f a i t h f u l i r r e d u c i b l e

c h a r a c t e r o f a f i n i t e g r o u p w h i c h i s a f f o r d e d b y a r a t i o n a l r e p r e s e n t a t i o n .

O n e c h e c k s w i t h t h e h e l p o f [ 1 3 ] a n d [ 2 5 ] t h a t t h e r e s u l t i n g m a t r i x g r o u p i s

m a x i m a l f i n i t e i n G L , , ( Q ) , c f . [ 2 0 ] ( 1 1 . 1 5 ) f o r a n e x a m p l e o f t h i s p r o c e d u r e ,

w h e r e t h e f i r s t n o n - u n i f o r m r . i . m . f . g r o u p w a s f o u n d . I n l e t t e r d a t e d 2 1 J u n e

1 9 9 1 , R o d G o w t e l l s m e t h a t h e c a n p r o v e i n t h i s w a y t h a t c e r t a i n o f h i s b a s i c

s p i n c h a r a c t e r s g i v e r i s e t o m a x i m a l f i n i t e s u b g r o u p s o f P G L , , ( C ) . T h e r e a r e

v a r i o u s s i t u a t i o n s i n v e s t i g a t e d b y T i e p , c f . [ 3 0 ] a n d v a r i o u s o f h i s p a p e r s l i s t e d

i n [ 1 2 ] , w h e r e s u c h a n a r g u m e n t c o u l d b e a p p l i e d . A l s o t h e c l a s s i f i c a t i o n o f

t h e r . i . m . f . g r o u p s o f d e g r e e p - 1 w h o s e o r d e r i s d i v i s i b l e b y t h e p r i m e p i n

[ 1 7 ] , P a r t I , u s e s r e s u l t s i n [ 2 ] , w h i c h i n t u r n u s e t h e c l a s s i f i c a t i o n o f t h e f i n i t e

s i m p l e g r o u p s , t h o u g h n o t v i a t h e s c h e m e s e t u p a b o v e .

T o f i n i s h t h i s s e c t i o n I l i s t s o m e o p e n p r o b l e m s .

F i n d n e w m e t h o d s , c o m p u t a t i o n a l o r t h e o r e t i c a l , t o d e t e r m i n e t h e m i n i -

m u m o f a l a t t i c e i n E u c l i d e a n s p a c e w i t h a b i g g r o u p , s a y a n r . i . m . f . g r o u p ,

a c t i n g o n i t . T h e a v a i l a b l e a l g o r i t h m s o p e r a t e u p t o d i m e n s i o n 5 0 o r 6 0 a t

a t o l e r a b l e s p e e d .

C o m p a r i s o n s w i t h t h e m i n i m u m o f f i x e d s u b l a t t i c e s o f

s u b g r o u p s e t c . h a v e n o t b e e n s t u d i e d s y s t e m a t i c a l l y .

I f a n r . i . m . f . g r o u p G i s g i v e n i n a n a b s t r a c t w a y , a s d e s c r i b e d j u s t b e f o r e ,

i n v e s t i g a t e t h e m i n i m u m f o r s o m e i n t e g r a l p a i r i n . F > O ( G ) x S ( G ) . V i r t u a l l y

n o t h i n g i s k n o w n o n t h i s . I f t h e t r i v i a l 2 - B r a u e r c h a r a c t e r d o e s n o t s h o w u p

i n t h e r e s t r i c t i o n o f t h e n a t u r a l c h a r a c t e r t o t h e 2 ' - c l a s s e s , t h e l a t t i c e h a s t o

b e e v e n . I f t h e m i n i m u m i s 2 , i t c a n b e e a s i l y i d e n t i f i e d v i a t h e r o o t l a t t i c e

o f a r e f l e c t i o n g r o u p . I n f o r m a t i o n o n t h e d e c o m p o s i t i o n n u m b e r s , f o r w h i c h

[ 1 1 ] i s n o w a n e x c e l l e n t s o u r c e , c a n b e u s e d t o s a y s o m e t h i n g a b o u t Z ( G ) , c f .

[ 1 9 ] .

S t u d y t h e e n v e l o p i n g a l g e b r a Q G ( s p a n n e d b y t h e m a t r i c e s i n G ) o f a n i r -

r e d u c i b l e r a t i o n a l m a t r i x g r o u p G a s a s i m p l e a l g e b r a w i t h i n v o l u t i o n , w h e r e

t h e i n v o l u t i o n i s i n d u c e d b y t h e s t a n d a r d i n v o l u t i o n o f t h e g r o u p r i n g Q G

i n v e r t i n g t h e e l e m e n t s o f G . C e r t a i n l y a l o t h a s b e e n s a i d a b o u t S c h u r i n -

d i c e s , b u t h e r e , o f c o u r s e , t h e s t o r y g o e s f u r t h e r . T h i s p r o b l e m w a s a l r e a d y

s u g g e s t e d i n [ 2 4 ] .

3 S i m p l i c i a l c o m p l e x e s o f r . i . m . f . g r o u p s

T h e r e i s t h e q u e s t i o n o f i n t e r r e l a t i n g t h e r . i . m . f . g r o u p s o f a g i v e n d e g r e e .

I n t h e f o l l o w i n g d e f i n i t i o n t h i s w i l l b e d o n e v i a c o m m o n s u b g r o u p s w i t h t h e

s a m e c o m m u t i n g a l g e b r a . O t h e r c o n c e p t s a r e o b v i o u s l y p o s s i b l e , h o w e v e r t h i s

o n e c a n a l s o b e m o t i v a t e d f r o m t h e l a t t i c e p o i n t o f v i e w : w h e n d o i r r e d u c i b l e

g r o u p s a c t o n l a t t i c e s c o m i n g f r o m m o r e t h a n o n e r . i . m . f . g r o u p ?




2 3 5

D e f i n i t i o n 3 . 1 M i T ( Q ) d e n o t e s t h e f u l l s i m p l i c i a l c o m p l e x o f r . i . m . f . g r o u p s

o f d e g r e e n . T h e s e t M a x i r r ( Q ) o f a l l r . i . m . f . s u b g r o u p s o f G L n ( Q ) i s t h e

s e t o f v e r t i c e s o f m n r ( Q ) . T h e p a i r w i s e d i f f e r e n t g r o u p s G o , G 1 , . . . , G k E

M a x n ' ( Q ) f o r m t h e v e r t i c e s o f a k - s i m p l e x o f M i r r ( Q ) , i f a n d o n l y i f t h e y

a n d t h e i r i n t e r s e c t i o n a l l h a v e t h e s a m e c o m m u t i n g a l g e b r a i n Q n x n , i . e .

k

C Q n x n ( n G i ) = C Q n x n ( G i ) f o r a l l 0 < i < k

i = o

R e m a r k 3 . 2 m a x { d i m ( S ) I S i s a s i m p l e x o f M ' " ( Q ) } i s f i n i t e .

P r o o f : F o r f i n i t e i r r e d u c i b l e H < G L n ( Q ) l e t

M a x ( H ) : = { G E M a x ' n ' ( Q ) I H < G w i t h C Q n x n ( G ) = C Q n x n ( H ) } .

S i n c e G L n ( Q ) h a s o n l y f i n i t e l y m a n y c o n j u g a c y c l a s s e s o f f i n i t e s u b g r o u p s ,

w e o n l y h a v e t o p r o v e t h a t M a x ( H ) i s f i n i t e . T o t h i s e n d n o t e t h a t e a c h

G E M a x ( H ) i s o f t h e f o r m U ( L ) : = { h E U ( Q H ) I L h = L } w i t h L E 2 ( H ) .

H e r e U ( Q H ) d e n o t e s t h e u n i t a r y g r o u p o f t h e e n v e l o p i n g a l g e b r a Q H o f

H c o n s i s t i n g o f a l l e l e m e n t s o f Q H i n v e r t e d b y t h e i n v o l u t i o n i n d u c e d b y

t h e s t a n d a r d i n v o l u t i o n o f Q H . C l e a r l y , f o r L 1 , L 2 E 2 ( H ) o n e h a s U ( L 1 ) =

U ( L 2 ) i f L 1 a n d L 2 a r e i n t h e s a m e o r b i t u n d e r t h e a u t o m o r p h i s m g r o u p o f t h e

n a t u r a l Q H - m o d u l e , i . e . u n d e r C Q n x n ( H ) * . B u t b y t h e J o r d a n - Z a s s e n h a u s

T h e o r e m t h e n u m b e r o f t h e s e o r b i t s i s f i n i t e .

O b v i o u s l y t h e c o n j u g a t i o n a c t i o n o f G L , , ( Q ) o n i t s s u b g r o u p s , m o r e s p e c i f -

i c a l l y o n M a x i r r ( Q ) , i n d u c e s a s i m p l i c i a l a c t i o n o n M r r ( Q ) , i . e . t h e s i m -

p l i c e s a r e p e r m u t e d .

( T h e m a p s b e t w e e n s i m p l i c e s w h i c h t u r n u p a r e a l -

w a y s a s s u m e d t o b e ` a f f i n e l y ' i n d u c e d b y t h e m a p s o n t h e v e r t i c e s . )

T h i s

a l l o w s u s t o f o r m t w o d i f f e r e n t q u o t i e n t s : e i t h e r f i r s t b y t a k i n g t h e s e t o f

o r b i t s M a x n ' ' ( Q ) / G L n ( Q ) a n d t h e n g r o u p i n g t h e o r b i t s t o g e t h e r i n ( p o s s i -

b l y s m a l l e r d i m e n s i o n a l ) s i m p l i c e s , o r i n t h e t o p o l o g i c a l s e n s e . I n t h e s e c o n d

a p p r o a c h o n e h a s t o t a k e a b a r y c e n t r i c s u b d i v i s i o n f i r s t t o g e t a s i m p l i c i a l

c o m p l e x a s q u o t i e n t . T h i s q u o t i e n t o f c o u r s e c o n t a i n s a l o t m o r e i n f o r m a t i o n

a n d i s m u c h h a r d e r t o c o m p u t e t h e n t h e f i r s t q u o t i e n t .

D e f i n i t i o n 3 . 3 ( i ) T h e s i m p l i c i a l c o m p l e x M n r r ( Q ) o f r . i . m . f . g r o u p s o f d e -

g r e e n i s t h e s i m p l i c i a l c o m p l e x w h o s e v e r t i c e s a r e t h e c o n j u g a c y c l a s s e s

o f r . i . m . f . s u b g r o u p s o f G L n ( Q ) , i . e . M a x n ' ( Q ) / G L n ( Q ) . A ( k + 1 ) - s u b s e t

{ G o " « ) ,

. . .

G k L n i Q i } o f M a x i s ' ( Q ) / G L n ( Q ) f o r m s a s i m p l e x i n M n ' ' ( Q ) ,

i f t h e r e p r e s e n t a t i v e s G o , . . . , G k c a n b e c h o s e n t o f o r m a s i m p l e x i n M i r ( Q ) .

( i i ) T h e ( t o p o l o g i c a l ) q u o t i e n t M n ' ( Q ) / G L n ( Q ) i s t h e s i m p l i c i a l c o m p l e x

w h o s e s i m p l i c e s a r e t h e G L n ( Q ) o r b i t s o n t h e s e t o f s i m p l i c e s o f t h e b a r y c e n -

t r i c s u b d i v i s i o n o f M i r ( Q ) w i t h t h e i d e n t i f i c a t i o n s i n d u c e d f r o m M ' r r ( Q ) .



2 3 6 W . P l e s k e n

I t i s M M ' ' ( Q ) t h a t h a s b e n c o m p u t e d i n [ 2 0 ] , [ 1 7 ] , [ 1 5 ] , [ 1 6 ] u p t o n = 3 1 .

N o t e t h a t a n e r r o r f o r n = 8 i n [ 2 0 ] h a s b e e n c o r r e c t e d i n [ 1 7 ] , P a r t I I .

T h e o t h e r t w o s i m p l i c i a l c o m p l e x e s h a v e n o t b e e n s t u d i e d u p t o n o w . T h e

m a i n p u r p o s e o f t h i s s e c t i o n i s t o p o i n t o u t t h a t t h e s e a r e i n t e r e s t i n g o b j e c t s

t o s t u d y w h i c h g i v e g o o d i n s i g h t i n t h e i n t e r r e l a t i o n s b e t w e e n t h e v a r i o u s

r . i . m . f . g r o u p s o f a g i v e n d e g r e e . O b v i o u s l y t h e o r b i t m a p M a x n ' ' ( Q )

M a x n ' ( Q ) / G L n ( Q ) i n d u c e s b o t h a s i m p l i c i a l m a p o f M ; r ' ' ( Q ) o n t o M M ' ' ( Q )

a n d o n t o M " ' r ( Q ) / G L n ( Q ) , w h e r e t h e f i r s t f a c t o r s o v e r t h e s e c o n d ( i f e v -

e r y t h i n g i s s e t u p p r o p e r l y ) . O n e c h e c k s e a s i l y t h a t t h e r e s u l t i n g m a p o f

M i r ( Q ) / G L n ( Q ) o n t o M M ' ' ( Q ) s e t s u p a b i j e c t i o n b e t w e e n t h e c o n n e c t e d

c o m p o n e n t s o f t h e t w o s i m p l i c i a l c o m p l e x e s . F r o m t h e d e f i n i t i o n i t i s c l e a r

t h a t t h e c o r r e s p o n d i n g c o m p o n e n t s n e e d n o t h a v e t h e s a m e d i m e n s i o n , s i n c e

i t m i g h t w e l l b e t h e c a s e t h a t t w o c o n j u g a t e r . i . m . f . g r o u p s h a v e a n i n t e r s e c -

t i o n w i t h t h e s a m e c o m m u t i n g a l g e b r a a s t h e t w o i n t e r s e c t i n g g r o u p s .

T h e p r e - i m a g e o f a c o m p o n e n t o f M M ' ' ( Q ) i n M n ' ( Q ) o b v i o u s l y d e c o m -

p o s e s i n t o c o m p o n e n t s w h i c h a r e p e r m u t e d t r a n s i t i v e l y b y G L n ( Q ) . T h e r e f o r e

a k e y q u e s t i o n i s , w h a t t h e s e c o m p o n e n t s l o o k l i k e .

P r o p o s i t i o n 3 . 4 L e t C b e a c o n n e c t e d c o m p o n e n t o f . M i r r ( Q ) a n d d e n o t e i t s

b a r y c e n t r i c s u b d i v i s i o n b y C .

( i ) T o e a c h v e r t e x v o f C ' a m a t r i x g r o u p G i s a t t a c h e d , n a m e l y t h e

i n t e r s e c t i o n o f t h e r . i . m . f g r o u p s o f t h e v e r t i c e s o f t h e s i m p l e x o f C , w h o s e

b a r y c e n t r e v i s . A l l t h e g r o u p s G h a v e e q u a l c o m m u t i n g a l g e b r a s i n Q n x n

a n d e q u a l e n v e l o p i n g a l g e b r a s Q G , t h e l a t t e r b e i n g e q u a l a s a l g e b r a s w i t h

i n v o l u t i o n , w h e r e t h e i n v o l u t i o n i s i n d u c e d b y t h e s t a n d a r d i n v o l u t i o n o f Q G , , .

D e n o t e t h i s s i m p l e a l g e b r a w i t h i n v o l u t i o n b y A ( C ) a n d i t s c o m m u t i n g a l g e b r a

i n Q n x n b y C ( C ) .

( i i ) F o r a l l v e r t i c e s v o f C ' t h e m a t r i x g r o u p s G h a v e t h e s a m e s p a c e

F ( C ) : =

a n d t h e i n v o l u t i o n o f A ( C ) i s g i v e n b y F a t ' F - 1 f o r a l l

a E A ( C ) , w h e r e F E . F ( C ) > 0 i s a r b i t r a r y .

( i i i ) T h e s t a b i l i z e r i n G L n ( Q ) o f a v e r t e x v i n C ' i s t h e n o r m a l i z e r o f G

i n G L n ( Q ) .

( i v ) F o r a n y f i n i t e s u b g r o u p G o f U ( A ( C ) ) : = { g E A ( C ) I g g = 1 1 w h i c h

h a s C ( C ) a s i t s c o m m u t i n g a l g e b r a i n Q n x n o n e o f t w o p o s s i b i l i t i e s o c c u r s :

e i t h e r G b e l o n g s t o e x a c t l y o n e s i m p l e x S o f C , r e s p . v e r t e x v = v ( S ) o f C '

s u c h t h a t G < G , a n d S i s m a x i m a l w i t h t h i s p r o p e r t y , o r e a c h r . i . m . f . g r o u p

c o n t a i n i n g G h a s a c o m m u t i n g a l g e b r a p r o p e r l y c o n t a i n e d i n C ( C ) .

( v ) L e t C k d e n o t e t h e s e t o f v e r t i c e s o f C ' w h i c h a r e b a r y c e n t r e s o f k -

d i m e n s i o n a l s i m p l i c e s o f C . T h e n

C k ' - * { H I H < G L , , ( Q ) } : v H G

i s i n j e c t i v e f o r t h e b i g g e s t k w i t h C k ' n o n - e m p t y .




2 3 7

P r o o f : ( i ) T h e v e r t i c e s o f C ' a r e i n b i j e c t i o n w i t h t h e s i m p l i c e s o f C . B y d e f i -

n i t i o n o f M " r ( Q ) a l l t h e G h a v e t h e s a m e c o m m u t i n g a l g e b r a , a n d t h e r e f o r e

a l s o t h e s a m e e n v e l o p i n g a l g e b r a . T h e s a m e a p p l i e s t o t h e . F ( G 0 ) . F o r g E G

o n e h a s g - 1 =

F g t ' ' F - 1

f o r a n y F E . F > o ( C ) = F > O ( G , ) , t h u s p r o v i n g t h a t

t h e i n v o l u t i o n i s t h e s a m e , a s w e l l a s ( i i ) .

( i i i ) C l e a r .

( i v ) B y ( 3 . 2 ) t h e n u m b e r o f r . i . m . f . g r o u p s w i t h c o m m u t i n g a l g e b r a C ( C )

c o n t a i n i n g G i s f i n i t e . T h e i r i n t e r s e c t i o n i s t h e G i n t h e s t a t e m e n t .

( v ) F o l l o w s f r o m ( i v ) .

1 1

T h a t t w o p o s s i b i l i t i e s i n ( i v ) a r i s e i s u n n a t u r a l a n d d u e t o t h e f a c t t h a t t h e

i n t e r e s t l i e s i n r . i . m . f . g r o u p s . T h i s o f c o u r s e c a n b e a v o i d e d b y c o n s i d e r i n g t h e

m a x i m a l f i n i t e s u b g r o u p s o f U ( A ( C ) ) w i t h c o m m u t i n g a l g e b r a C ( C ) . I n c a s e

C ( C ) = Q t h e s e c o n d p o s s i b i l i t y d o e s n o t o c c u r . O b v i o u s l y t h e n o r m a l i z e r s

N G L , . ( Q )

o f t h e v e r t e x g r o u p s G , , l i e i n t h e s e t s t a b i l i z e r o f C f o r a n y v e r t e x

o f t h e c o m p o n e n t C . O f t e n t h e y s e e m t o g e n e r a t e t h e w h o l e s t a b i l i z e r . S o m e

e x a m p l e s m i g h t g i v e a n i d e a o f w h a t a c o m p o n e n t m i g h t l o o k l i k e a n d h o w

M n T ( Q ) / G L n ( Q ) c o m p a r e s w i t h t h e m u c h s i m p l e r M M ' ' ( Q ) .

C o r o l l a r y 3 . 5 L e t G < G L , , ( Q ) b e a b s o l u t e l y i r r e d u c i b l e a n d m a x i m a l f i n i t e

a n d M i n ( G ) b e t h e s e t o f m i n i m a l l y C - i r r e d u c i b l e s u b g r o u p s o f G . T h e c o n -

n e c t e d c o m p o n e n t C . o f M " r ( Q ) c o n t a i n i n g G c o n s i s t s o n l y o f G , i f a n d o n l y

i f f o r a l l H E M i n ( G ) ( u p t o c o n j u g a c y i n G L n ( Q ) ) a n d a l l L E Z ( H ) ( u p

t o i s o m o r p h i s m ) o n e h a s

U ( L ) : = { g e Q n x " I g g = 1 , L g = L } < G .

N o t e , U ( L ) o f t h e l a s t c o r o l l a r y i s j u s t A u t ( F , L ) f o r s o m e F E . F > o ( G ) .

T h e c r i t e r i o n a p p l i e s t o a l l b u t o n e c o n j u g a c y c l a s s o f r . i . m . f . g r o u p s u p t o

d e g r e e 5 . I t i s w o r t h w h i l e t o l o o k a t t h e e x c e p t i o n i n d e t a i l . B e f o r e h a n d s o m e

n o t a t i o n a n d c o m m e n t s a r e n e e d e d .

C o n v e n t i o n 3 . 6 T h e v e r t i c e s o f M M ' ( Q ) , o f M r i r ( Q ) , a n d a l s o t h o s e o f

M r i r ( Q ) / G L n ( Q ) w h i c h c o m e f r o m a v e r t e x o f . M ' " ( Q ) , i . e . b e l o n g t o a n

r . i . m . f . g r o u p , a r e d r a w n w i t h f i l l e d b l a c k c i r c l e s . T h o s e v e r t i c e s o f t h e q u o -

t i e n t M n r ( Q ) / G L , , ( Q ) w h i c h c o m e f r o m t h e b a r y c e n t r e s o f M ; ; r ( Q ) , i . e .

b e l o n g t o p r o p e r i n t e r s e c t i o n s o f r . i . m . f . g r o u p s , a r e d r a w n w i t h o p e n c i r c l e s .

C l e a r l y , i n p a s s i n g f r o m M ; r ' ' ( Q ) / G L n ( Q ) t o M M r ( Q ) , t h e o p e n c i r c l e s

a r e l e f t o u t . H o w e v e r , t h e l a t t e r o n e s d e t e r m i n e w h i c h b l a c k v e r t i c e s a r e

g r o u p e d t o g e t h e r i n t o a s i m p l e x . W h e r e a s o n e c a n a t t a c h a g r o u p G t o e a c h

s i m p l e x o f M " r ( Q ) , a n d a u n i q u e c o n g u g a c y c l a s s o f g r o u p s t o e a c h v e r t e x o f

M r i r ( Q ) / G L . ( Q ) , o n e c a n n o l o n g e r d o t h i s w i t h t h e s i m p l i c e s o f M n ' ( Q ) .



2 3 8 W . P l e s k e n

I n [ 1 7 ] e t c . a g r o u p i s c h o s e n w h i c h i s c o n t a i n e d i n s u i t a b l e r e p r e s e n t a t i v e s o f

t h e g r o u p s b e l o n g i n g t o t h e v e r t i c e s o f t h e s i m p l e x i n M ; r ( Q ) .

O n t h e f a c e o f i t , t h e r e i s a f o r m a l c o n n e c t i o n b e t w e e n t h e a f f i n e b u i l d -

i n g o f r e d u c t i v e p - a d i c g r o u p s a s s t u d i e d i n [ 3 ] a n d M ; r ? ( Q ) . W h e r e a s t h e

B r u h a t - T i t s b u i l d i n g o r g a n i s e s t h e r e l a t i o n s o f t h e m a x i m a l c o m p a c t s u b -

g r o u p s o f p - a d i c g r o u p s a s a n i n c l u s i o n s c h e m e f o r c e r t a i n o f t h e i r i n t e r s e c -

t i o n s , n a m e l y t h e p a r a h o r i c s u b g r o u p s , . M n r ( Q ) d o e s t h e s a m e f o r r . i . m . f .

g r o u p s a n d c e r t a i n o f t h e i r i r r e d u c i b l e i n t e r s e c t i o n s . H o w e v e r , o f t e n t h e c o n -

n e c t i o n g o e s f u r t h e r , a s t h e n e x t e x a m p l e s h o w s . B u t o n e s h o u l d n o t b e t o o

o p t i m i s t i c , s i n c e t h e b e h a v i o u r o f r . i . m . f . g r o u p s s e e m s t o b e m o r e c o m p l e x .

N o t o n l y m i g h t m o r e t h a n o n e p r i m e b e i n v o l v e d , a l s o v a r i o u s o t h e r p r o b l e m s

i n m a t c h i n g t h e v e r t i c e s o f a c o m p o n e n t C o f M ' r r ( Q ) w i t h t h a t o f t h e p - a d i c

c o m p l e t i o n o f U ( A ( C ) ) t u r n u p . N e v e r t h e l e s s , o n e m i g h t s o m e t i m e s u s e t h e

b u i l d i n g s t o s a y s o m e t h i n g a b o u t g l o b a l p r o p e r t i e s o f a c o m p o n e n t C .

C o m i n g t o t h e e x a m p l e , l e t A u t ( A n ) d e n o t e t h e a u t o m o r p h i s m g r o u p o f

t h e r o o t s y s t e m A n , a n d J n r e s p . I n t h e ( n x n ) - a l l - l - m a t r i x r e s p . u n i t m a t r i x .

T h e n A u t ( A n ) = A u t ( I n + J n , Z 1 i n ) = C 2 X S n + 1 i s a r . i . m . f . g r o u p w i t h t h e

e x c e p t i o n o f n = 8 , c f . [ 2 0 ] .

E x a m p l e 3 . 7 L e t G = A u t ( A 4 ) .

( i ) T h e c o m p o n e n t o f G i n M 4 i , r ( Q ) c o n s i s t s o f o n e p o i n t .

( i i ) T h e c o m p o n e n t o f G i n M r ( Q ) / G L 4 ( Q ) c o n s i s t s o f a 1 - s i m p l e x a s

f o l l o w s :

G

± C 5 : C 4

( i i i ) T h e c o m p o n e n t C o f G i n M 4 ' ( Q ) i s a t r e e h a v i n g s i x e d g e s c o m i n g

o f f e a c h v e r t e x . T h i s t r e e c a n n a t u r a l l y b e i d e n t i f i e d w i t h t h e B r u h a t - T i t s

b u i l d i n g o f S O ( Q . 5 , 1 4 + J 4 ) .

( i v ) T h e o u t e r a u t o m o r p h i s m g r o u p i n d u c e d b y t h e n o r m a l i z e r o f G i n

G L n ( Q ) , r e s p . o f ± C 5 : C 4 , i s t r i v i a l , r e s p . o f o r d e r 2 . T h e s e t w o n o r m a l i z e r s

g e n e r a t e t h e s e t s t a b i l i z e r o f C i n G L n ( Q ) , w h i c h i s e q u a l m o d u l o s c a l a r s t o

t h e g r o u p r O ( Z [ 5 ] , 1 4 + J 4 ) o f o r t h o g o n a l s i m i l i t u d e s o f 1 4 + J 4 o v e r 7 G [ 5 ] .

P r o o f : M i n ( G ) c o n s i s t s u p t o c o n j u g a c y u n d e r G L n ( Q ) o f j u s t t w o g r o u p s

H 1 ( ^ = ' C 5 : C 4 ) a n d H 2 ( = ' A I t 5 ) .

T h e g r o u p H 2 o n l y g i v e s r i s e t o t h e 0 -

d i m e n s i o n a l s i m p l e x G a n d t h e g r o u p H l d e f i n e s a 1 - s i m p l e x i n C , w h o s e v e r -

t i c e s a r e r e p r e s e n t e d b y G a n d G 9 f o r s o m e g E G L n ( Q ) w i t h g ( I 4 + J 4 ) g ' =

5 ( 1 4 + J 4 ) . M o r e o v e r G f l G 9 = ± H i s n o r m a l i z e d b y g a n d o f i n d e x 6 = 1 + 5

i n b o t h G a n d G 9 . T h e r e s t i s s t r a i g h t f o r w a r d s i n c e e a c h G l i e s i n e x a c t l y a

u n i q u e s m a l l e s t p a r a h o r i c s u b g r o u p o f S O ( Q 5 i 1 4 + J 4 ) .

A f i n a l e x a m p l e m i g h t b e h e l p f u l .




2 3 9

E x a m p l e 3 . 8 ( i ) ( [ 2 0 ] ) M 7 i r r ( Q ) l o o k s a s f o l l o w s :

B 7

*

G o

E 7

w h e r e t h e n a m e s f o r t h e r o o t s y s t e m s a r e a l s o u s e d a s n a m e s f o r t h e i r a u t o -

m o r p h i s m g r o u p s .

( i i ) M 7 T ( Q ) / G L 7 ( Q ) l o o k s a s f o l l o w s :

( T h e d o t t e d l i n e s t o g e t h e r w i t h t h e i r e n c l o s e d s i m p l i c e s d o n o t b e l o n g t o

M r ( Q ) / G L 7 ( Q ) b u t c o m p l e m e n t t h e s i m p l i c e s o f M 7 r ( Q ) / G L 7 ( Q ) t o t h e

b a r y c e n t r i c s u b d i v i s i o n o f a f u l l s i m p l e x i n M 7 r ( Q ) i n t h e p r e i m a g e . )

P r o o f : ( i i ) T h e r e a r e t w o c o n j u g a c y c l a s s e s o f m i n i m a l C - i r r e d u c i b l e s u b -

g r o u p s o f G L , a ( Q ) , c f . [ 2 1 ] p a r t I . T h e y g i v e r i s e t o t w o d i f f e r e n t t y p e s o f

2 - s i m p l i c e s i n M r i T ( Q ) h a v i n g v e r t i c e s o f t y p e s ( B 7 , B 7 , E 7 ) o r ( B 7 , E 7 , E 7 ) .

T h e i n t e r s e c t i o n s o f t h e r . i . m . f . g r o u p s o n e o b t a i n s b y t a k i n g t h e s t a b i l i z e r i n

o n e g r o u p o f a l a t t i c e o f t h e o t h e r g r o u p . T h e r e s t i s s t r a i g h t f o r w a r d .

I n t h e c o u r s e o f t h i s s e c t i o n m o r e o p e n t h a n s o l v e d p r o b l e m s h a v e o c -

c u r r e d a l r e a d y i m p l i c i t l y o r e x p l i c i t l y . N e v e r t h e l e s s a f e w m i g h t b e s i n g l e d

o u t . N o t e , t h e l a s t p r o b l e m o f s e c t i o n 2 o n t h e c h a r a c t e r i z a t i o n o f t h e s i m p l e

c o m p o n e n t s o f r a t i o n a l g r o u p a l g e b r a s a s a l g e b r a s w i t h i n v o l u t i o n s b e c o m e s

c l e a r e r n o w . A l s o a l l t h e p r o b l e m s o n M r i r ( Q ) c a n b e r e p l a c e d b y t h e c o r r e -

s p o n d i n g q u e s t i o n o n t h e m a x i m a l f i n i t e s u b g r o u p s o f t h e u n i t g r o u p o f s u c h

a n a l g e b r a w i t h i n v o l u t i o n .



2 4 0

W . P l e s k e n

I s i t t r u e t h a t c o m p o n e n t s o f . M ; " ( Q ) e i t h e r h a v e j u s t o n e v e r t e x o r i n -

f i n i t e l y m a n y ? A t t h e s a m e t i m e o n e m i g h t c l a r i f y t h e c o n n e c t i o n w i t h t h e

B r u h a t - T i t s b u i l d i n g s .

I s t h e s e t s t a b i l i z e r o f a c o n n e c t e d c o m p o n e n t C o f M r i r ( Q ) i n G L n ( Q )

g e n e r a t e d b y t h e

w i t h v r u n n i n g t h r o u g h t h e v e r t i c e s o f C ? I f

t h i s w e r e t h e c a s e , c e r t a i n l y f i n i t e l y m a n y s u c h v e r t i c e s w o u l d s u f f i c e . O n e

c a n f o r m u l a t e s u f f i c i e n t c o n d i t i o n s f o r t h i s t o h o l d . I t s e e m s t o b e n e c e s s a r y t o

g e t s o m e d e e p e r i n s i g h t i n t o h o w a v e r t e x s t a b i l i z e r c a n p e r m u t e t h e v e r t i c e s

o f t h e s i m p l e x i n M " ( Q ) i t b e l o n g s t o a s b a r y c e n t r e . A l s o t h i s m i g h t g i v e

s o m e i n s i g h t i n t o t h e s t r u c t u r e o f t h e s t a b i l i z e r s . F o r i n s t a n c e i n e x a m p l e 3 . 7

t h e g r o u p a c t s o n a t r e e a n d t h e r e f o r e a f r e e p r o d u c t s t r u c t u r e c a n b e f o u n d ,

c f . [ 2 6 ] . T h e s a m e g a m e c o u l d b e p l a y e d w i t h t h e r . i . m . f . g r o u p s t h e m s e l v e s

i n s t e a d o f t h e i r n o r m a l i z e r s .

4

C l a s s i f i c a t i o n r e s u l t s

A s m e n t i o n e d i n t h e i n t r o d u c t i o n t h e r . i . m . f . g r o u p s u p t o d e g r e e 3 1 h a v e

b e e n c l a s s i f i e d i n c l u d i n g t h e s i m p l i c i a l c o m p l e x e s M n ' ' ( Q ) , c f . [ 2 0 ] , [ 1 7 ] , [ 1 4 ] ,

[ 1 5 ] , [ 1 6 ] . T h e M n r ( Q ) / G L n ( Q ) , i n t r o d u c e d i n t h e l a s t c h a p t e r a r e m o r e

c o m p l i c a t e d t o c o m p u t e a n d n o t y e t d o n e . T a b l e 1 g i v e s a s t a t i s t i c a l o v e r v i e w

o n h o w m a n y c o n j u g a c y c l a s s e s o f r . i . m . f . g r o u p s t h e r e a r e i n e v e r y d e g r e e ,

h o w M M ' ' ( Q ) s p l i t s u p i n t o c o n n e c t e d c o m p o n e n t s e t c .

U s u a l l y , c f . [ 2 0 ] ( 1 1 . 7 ) f o r a s u f f i c i e n t c o n d i t i o n ( w h i c h h o w e v e r i s f a r f r o m

n e c e s s a r y ) , t h e w r e a t h p r o d u c t G 2 S n i s a n r . i . m . f . g r o u p o f d e g r e e n d , i f G i s

a p r i m i t i v e r . i . m . f . g r o u p o f d e g r e e d . T h e o n l y k n o w n e x c e p t i o n i s { ± 1 } 1 S 4 .

T h e r e f o r e , i n T a b l e 1 o n e h a s m a ( n )

= E d I n

p r ( d ) , u n l e s s n = 4 . T o d e s c r i b e

t h e f u l l d e t a i l o f a p r i m i t i v e r . i . m . f . g r o u p i s u s u a l l y q u i t e i n v o l v e d b e c a u s e i t

o f t e n i n v o l v e s t a k i n g v a r i o u s k i n d s o f t e n s o r p r o d u c t s a n d e x t e n s i o n s o f t h e s e .

D e t a i l s a r e d e s c r i b e d i n [ 1 7 ] , P a r t I , w h i l e T a b l e 2 i n t h e n e x t s e c t i o n g i v e s

a n i m p r e s s i o n .

T u r n i n g t o t h e s i m p l i c i a l c o m p l e x M M ' ' ( Q ) , o n e o b s e r v e s t h a t t h e d i m e n -

s i o n s d i v i s i b l e b y 8 a l w a y s h a v e o n e c o m p o n e n t M M ' ( Q ) w h i c h h a s m o r e

v e r t i c e s t h a n t h e o t h e r s . I t i s a n i n t e r e s t i n g o b s e r v a t i o n h o w t h e c o m p o n e n t s

b e h a v e u n d e r d o u b l i n g o f t h e d i m e n s i o n . R o u g h l y s p e a k i n g , t a k i n g w r e a t h

p r o d u c t s w i t h C 2 ( i n t h e c a s e o f p r i m i t i v e g r o u p s ) r e s u l t s i n t o n e w c o m p o -

n e n t s i n t h e d o u b l e d d i m e n s i o n . H o w e v e r , d i f f e r e n t c o m p o n e n t s i n d i m e n s i o n

n m i g h t g i v e r i s e t o t h e s a m e c o m p o n e n t i n d i m e n s i o n 2 n . T h i s i s v a g u e l y

c o n n e c t e d t o t h e f a c t , c f . [ 2 4 ] , t h a t m o d u l o t h e W i t t g r o u p W ( R ) o f t h e r e a l s ,

t h e W i t t g r o u p W ( Q ) h a s e x p o n e n t 4 , c f . [ 2 0 ] ( 1 1 . 9 ) .

T u r n i n g t o i n f i n i t e s e r i e s o f r . i . m . f . g r o u p s , B n ( - C 2 1 S n ) f o r n # 4 a n d

A n ( = ' C 2 x S n + 1 ) f o r n # 8 a r e t h e o n l y k n o w n s e r i e s w h i c h g i v e a g r o u p

i n a l m o s t e v e r y d i m e n s i o n , c f .

[ 2 0 ] ( 1 1 . 8 ) ( w h e r e a u t o m o r p h i s m g r o u p s o f




T a b l e 1 : C l a s s e s o f r . i . m . f . g r o u p s

n 1

2

3

4

5 6

7 1 8

p r ( n ) 1 1

0

2

1

4

1 1 5

m a ( n )

C O ( n )

1

1

2

1 2

1

1 1

3

1

2

1 2

6

1 2 2 2

2

2

9

1 2 7 1

c o ( n )

1 2 1 3 2

4 1

3

n 9

1 0

1 1

1 2

1 3

1 4 1 5

1 6

p r ( n )

1

5

1 1 1

3 9

4 2 2

m a ( n )

C O ( n )

2

1 2

8

1 1 2 2 3 1

2

2 1

1 9

1 5 2 2 3 2 4 1

4

1 2 2 1

1 2

1 5 2 2 3 1

6

1 4 2 1

3 1

1 8 2 1 2 1 1

c o ( n )

2 4 1 1 0

3

7 5 1 0

2 4 1

n

1 7

1 8 1 9

2 0 2 1

2 2

2 3 2 4

p r ( n )

2

1 0

1

2 1

6

9

3

4 1

m a ( n )

C O ( n )

3

1 3

1 7

1 5 2 3 3 2

2

1 2

3 1

1 9 2 2 3 2 5 1 7 1

8

1 4 4 1

1 2

1 5 2 2 3 1

4

1 4

6 5

1 1 0 2 2 3 1 4 2 4 0 1

c o ( n ) 3

1 0 2 1 5

5 8

4

1 6

n 2 5

2 6 2 7 2 8 2 9

3 0

3 1

p r ( n ) 3

1 1

3

2 3

1

1 7

3

m a ( n )

C O ( n )

5

1 5

1 6

1 1 0 2 1 4 1

5

1 3 2 1

3 7

1 1 6 2 4 4 1 9 1

2

1 2

3 3

1 1 2 2 3 3 2 9 1

4

4 1

c o ( n )

5

1 2

4

2 2 2

1 8

1

p r ( n ) : = n u m b e r o f c o n j u g a c y c l a s s e s o f p r i m i t i v e r . i . m . f . s u b g r o u p s o f

G L n ( Q ) .

m a ( n ) : = n u m b e r o f c o n j u g a c y c l a s s e s o f r . i . m . f . s u b g r o u p s o f G L n ( Q ) .

C O ( n ) : = s p l i t t i n g o f M n r , F ( Q ) i n t o c o n n e c t e d c o m p o n e n t s , e . g . C O ( n )

l a 2 b m e a n s t h a t M r i

r , F / Q ) s p l i t s

u p i n t o a c o n n e c t e d c o m p o n e n t s w i t h

o n e v e r t e x e a c h , b c o n n e c t e d c o m p o n e n t s w i t h 2 v e r t i c e s e a c h , e t c .

c o ( n ) : = n u m b e r o f c o n n e c t e d c o m p o n e n t s o f M r i r ( Q )



2 4 2

W . P l e s k e n

r o o t s y s t e m s a r e a l s o d e n o t e d b y t h e n a m e o f t h e r o o t s y s t e m ) . O f c o u r s e ,

l i k e { ± 1 } , a l m o s t a n y p r i m i t i v e r . i . m . f . g r o u p G o f d e g r e e d g i v e s r i s e t o a n

i n f i n i t e s e r i e s o f r . i . m . f . g r o u p s G 1 S n < G L n d ( Q ) . C o m i n g t o t h e p r i m i t i v e

g r o u p s , i n [ 1 7 ] , P a r t I , t h e r . i . m . f . g r o u p s o f d e g r e e p ± 1 , w h i c h a r e o f t y p e

L 2 ( p ) , p a p r i m e , a r e c l a s s i f i e d , t o g e t h e r w i t h t h e c o m p o n e n t s o f M n ' ' ( Q )

t o w h i c h t h e y b e l o n g . P r o v i n g m a x i m a l f i n i t e n e s s o f t h e s e g r o u p s c a n b e

d o n e u s i n g F e i t ' s r e s u l t s o n g r o u p s o f t y p e L 2 ( p ) , e . g . [ 7 ] T h e o r e m A o r [ 8 ]

T h e o r e m 3 . 3 ( p . 3 4 7 ) . A l l t h e s e g r o u p s g i v e r i s e t o i n f i n i t e s e r i e s o f r . i . m . f .

g r o u p s . H o w e v e r , t h e f e w r e s u l t s b e y o n d t h e s e a l l s e e m t o d e p e n d o n t h e

c l a s s i f i c a t i o n o f f i n i t e s i m p l e g r o u p s , i n c l u d i n g t h e c o m p l e t e n e s s s t a t e m e n t o f

t h e c l a s s i f i c a t i o n o f a l l r . i . m . f . g r o u p s o f d e g r e e p - 1 w i t h o r d e r d i v i s i b l e b y

p i n [ 1 7 ] , P a r t I , T h e o r e m ( V . 1 0 ) . A f u r t h e r s e r i e s o f r . i . m . f . g r o u p s i s g i v e n

i n [ 1 6 ] , T h e o r e m 3 . 1 ; t h e g r o u p s a r e o f d e g r e e

p 2 2 1

a n d a r e i s o m o r p h i c t o

C 2 x P S L 2 ( p 2 ) : 2 , w h e r e p i s a p r i m e a n d t h e o u t e r a u t o m o r p h i s m i s i n d u c e d

b y t h e F r o b e n i u s a u t o m o r p h i s m . A s m e n t i o n e d i n s e c t i o n 2 , v a r i o u s o t h e r

g r o u p s h a v e n o t b e e n e x p l i c i t l y m e n t i o n e d i n t h e l i t e r a t u r e s u c h a s c e r t a i n

g l o b a l l y i r r e d u c i b l e g r o u p s .

H e r e a r e s o m e o p e n p r o b l e m s :

F i n d n e w i n f i n i t e s e r i e s o f p r i m i t i v e r . i . m . f . g r o u p s . I f p o s s i b l e i n v e s t i g a t e

t h e g e o m e t r y o f t h e a s s o c i a t e d l a t t i c e s , l i k e t h e m i n i m u m ( v e r y d i f f i c u l t ) a n d

d e t e r m i n a n t . I f p o s s i b l e , d e s c r i b e i t s c o m p o n e n t i n M M ' ' ( Q )

F i n d u p p e r a n d l o w e r b o u n d s f o r t h e n u m b e r o f c o n j u g a c y c l a s s e s o f p r i m -

i t i v e r . i . m . f . g r o u p s i n t e r m s o f t h e d e g r e e . E v e n f o r c e r t a i n d e g r e e s l i k e p r i m e

d e g r e e s v e r y l i t t l e i s k n o w n . O f c o u r s e e a c h i n f i n i t e s e r i e s c o n t r i b u t e s t o w a r d s

a l o w e r b o u n d . U p p e r b o u n d s a r e n o t k n o w n a t a l l .

F i n d u p p e r a n d l o w e r b o u n d s f o r t h e n u m b e r o f c o n n e c t e d c o m p o n e n t s o f

M n r ( Q ) i n t e r m s o f

n .

T h e r e a r e s t i l l s o m e s p e c i f i c d i m e n s i o n s f o r w h i c h p a r t i a l c l a s s i f i c a t i o n s

a r e o f i n t e r e s t , e . g . i n d i m e n s i o n 3 2 a l l t h e r . i . m . f . g r o u p s a c t i n g o n a n e v e n

u n i m o d u l a r l a t t i c e . O r u p t o n o w n o c o m p o n e n t o f M n ' ( Q ) h a s b e e n i n v e s t i -

g a t e d w i t h m o r e t h a n t w o v e r t i c e s , w h e r e t h e c e n t r e o f t h e a s s o c i a t e d a l g e b r a

w i t h i n v o l u t i o n i s o f d i m e n s i o n b i g g e r t h a n 1 .

5 M o d u l a r l a t t i c e s

T h e c l a s s o f 1 - m o d u l a r l a t t i c e s f o r s o m e s m a l l n a t u r a l n u m b e r s l h a s r e c e n t l y

g a i n e d s o m e i n t e r e s t , b e c a u s e t h e y o f t e n g i v e r i s e t o r a t h e r d e n s e l a t t i c e s .

D e f i n i t i o n 5 . 1 L e t L b e a l a t t i c e i n E u c l i d e a n n - s p a c e ( l R n , ( , ) ) .

T h e m i n i m u m o f L i s d e f i n e d a s m i n ( L ) : = M i n { ( 1 , 1 ) 1 0 # 1 E L } .

T h e d e t e r m i n a n t o f L i s d e f i n e d a s d e t ( L ) : = D e t ( ( b i , b j ) ) w h e r e ( b l , . . .

,

b , , )

i s a 7 G - b a s i s o f L .




2 4 3

T h e d e n s i t y o f L i s t h e q u o t i e n t

m a n L

d e t ( L ) n

L i s c a l l e d i n d e c o m p o s a b l e , i f i t i s n o t t h e d i r e c t s u m o f p a i r w i s e o r t h o g o n a l

n o n - z e r o s u b l a t t i c e s .

N o t e , t h e u s u a l d e f i n i t i o n o f d e n s i t y i s a m o n o t o n e f u n c t i o n o f t h e d e n s i t y

d e f i n e d h e r e , c f . [ 5 ] , b u t f o r c o m p a r i s o n s t h e p r e s e n t d e f i n i t i o n w i l l d o . C l e a r l y ,

f o r a n y r . i . m . f . g r o u p G o f d e g r e e n a n d a n y p a i r ( F , L ) E F > o ( G ) x Z ( G )

o n e g e t s a l a t t i c e i n E u c l i d e a n n - s p a c e , w h i c h w i l l b e i n d e c o m p o s a b l e , i f G

i s p r i m i t i v e . N o t e v e r y l a t t i c e o b t a i n e d i n t h i s w a y h a s a h i g h d e n s i t y , b u t

q u i t e a f e w g i v e v e r y d e n s e l a t t i c e s i n d e e d , e . g . t h e C o n w a y g r o u p y i e l d s t h e

L e e c h l a t t i c e . T h e r e i s a c l a s s o f l a t t i c e s , w h e r e o n e c a n g i v e b o u n d s o n t h e

d e n s i t y .

D e f i n i t i o n 5 . 2 A n i n t e g r a l , e v e n l a t t i c e L i n E u c l i d e a n s p a c e i s c a l l e d 1 -

m o d u l a r , i f t h e s c a l e d v e r s i o n , I I - L # o f t h e r e c i p r o c a l l a t t i c e L # o f L i s i s o -

m e t r i c t o L .

O b v i o u s l y , l m u s t b e a n a t u r a l n u m b e r a n d t h e d e t e r m i n a n t o f L i s I n . I n

c a s e 1 i s s q u a r e - f r e e t h e d i s c r i m i n a n t g r o u p L # / L i s i s o m o r p h i c t o t h e d i r e c t

s u m o f 2 c o p i e s o f Z / 1 Z a n d n i s e v e n . Q u e b b e m a n n [ 2 3 ] p r o v e s t h a t t h e

t h e t a f u n c t i o n

v . v

2 7 r i %

O L ( z ) q 2

q = e

v E L

i s a m o d u l a r f o r m o f w e i g h t k : = z f o r t h e F r i c k e g r o u p F . ( l ) w i t h a c e r -

t a i n c h a r a c t e r .

I n T a b l e 2 b e l o w , 1 - m o d u l a r l a t t i c e s a r e c a l l e d e x t r e m a l ,

i f t h e i r m i n i m u m i s a s b i g a s Q u e b b e m a n n ' s r e s u l t a l l o w s , i . e . i f O L ( Z ) =

1 + > j > N a j q j w i t h a N # 0 , t h e n t h e r e i s n o I ' . - m o d u l a r f o r m o f w e i g h t k

w i t h t h e p r e s c r i b e d c h a r a c t e r h a v i n g a n e x p a n s i o n 1 + b N + 1 q N + i + . . . .

I f

1 = 1 o r a p r i m e t h e n Q u e b b e m a n n p r o v e s :

( i ) k i s a m u l t i p l e o f k o w i t h k o = 4 f o r 1 = 1 ( c l a s s i c a l c a s e ) , k o = 2 f o r

l 1 , 2 ( m o d 4 ) , a n d k o = 1 f o r l m 3 ( m o d 4 ) .

( i i ) I n c a s e k l : = t + i i s i n t e g r a l , t h e m i n i m u m 2 N o f a n e x t r e m a l l a t t i c e

i s e q u a l t o 2 + 2 [ k 1 ] .

I n t h e t a b l e b e l o w , o t h e r s i m i l a r i t y f a c t o r s 1 a l s o t u r n u p . I n t h e s e c a s e s

G . N e b e h a s c h e c k e d e x t r e m a l i t y b y c o m p u t i n g a b a s i s o f t h e r e l e v a n t s p a c e

o f m o d u l a r f o r m s , i n c a s e a + o r - s h o w s u p i n t h e s e c o n d l a s t c o l u m n o f t h e

s u b s e q u e n t t a b l e . F i n a l l y , a l a t t i c e i s c a l l e d b e s t i n t h e t a b l e b e l o w , i f i t i s t h e

d e n s e s t l a t t i c e i n i t s g e n u s , c f . [ 5 ] C h a p t e r 1 5 f o r d e f i n i t i o n o f g e n u s . I t s h o u l d

b e n o t e d t h a t i t i s w o r t h w h i l e t o l o o k a t 1 - m o d u l a r l a t t i c e s f o r o t h e r f i n i t e

r a t i o n a l m a t r i x g r o u p s , n o t j u s t r . i . m . f . g r o u p s . I n t h i s w a y , G . N e b e h a s

f o u n d a n e x t r e m a l 3 - m o d u l a r l a t t i c e i n d i m e n s i o n 2 4 , w h i c h w a s s u s p e c t e d

n o t t o e x i s t , c f . [ 1 4 ] , [ 1 5 ] .



2 4 4

W . P l e s k e n

T a b l e 2 : T h e i n d e c o m p o s a b l e l - m o d u l a r l a t t i c e s o f t h e r . i . m . f . g r o u p s i n

G L , a ( Q )

n l a t t i c e L

1

m i n

d e n s i t y e x t r e m a l b e s t

1

B 1

1 1 1

+

+

2

A 2

3 2 1 . 1 5

+

+

4

F 4

2 2

1 . 4 1

+ +

6

M 6 , 2 5

3

1 . 3 4

+

A 6 2 ) ( C r a i g )

7 4 1 . 5 1

+ +

8

E 8 1 2 2

+

+

2

[ ( S L 2 ( 5 ) 0 S L 2 ( 5 ) ) : 2 ] 8 5

4 1 . 7 9

+ +

A 2 ® F 4

6

4

1 . 6 3

+ +

1 0

A 1 0 ( C r a i g ) 1 1

6

1 . 8 1

+ +

1 2

[ 6 . S U 4 ( 3 ) . 2 ] 1 2 ( C o x e t e r , T o d d )

3

4

2 . 3 1

+ +

A 2 0 M 6 , 2

1 5

6

1 . 5 5 - -

[ i 3 . A 1 t 6 . 2 2 ] 1 2

1 5

8

2 . 0 7

-

+

[ L 2 ( 7 ) z ®

D 8 ] 1 2

1 4

8

2 . 1 4

-

+

A 2 ® A 6 2 >

2 1

8

1 . 7 5

-

1 4

[ G 2 ( 3 ) ] 1 4

3 4

2 . 3 1

+ +

M 1 9 2

1 3

7

1 . 9 4

1 6

F 4 ® F 4 ( B a r n e s , W a l l )

2

4

2 . 8 3

+ +

S L 2 ( 9 )

2 ® )

S L 2 ( 9 ) ) . 2 ] 1 6

[ (

3

4

2 . 3 1

+ +

o 0 3

A 2 0 E 8

3 4

2 . 3 1

+ +

2

[ ( S p 4 ( 3 ) o C 3 ) E l S L 2 ( 3 ) ] 1 6 6

6

2 . 4 5 -

+

[ 2 . A l t 1 0 } 1 6

5 6

2 . 6 8

+

+

[ S L 2 ( 5 )

2 ®

2 1 + 4 ' . A 1 t 5 1 1 6

1 0

8

2 . 5 3

0 0 , 2

A 2 ® [ ( S L 2 ( 5 )

D

S L 2 ( 5 ) ) . 2 ] 8

1 5

8

2 . 0 7

- -

[ S L 2 ( 5 )

2 ( 3 )

S L 2 ( 9 ) ] 1 6 1 5 1 0 2 . 5 8

-

+

o o , 3

2

[ ( S L 2 ( 5 )

2 ( 3 )

( S L 2 ( 3 )

C 3 ) ] 1 6

3 0

1 2 2 . 1 9

0 0 , 3

[ 2 . A 1 t 7

2 ( 3 )

5 3 ] 1 6

2 1 1 2 2 . 6 2

-

+

[ S L 2 ( 7 ) x S 3 ] 1 6

2 1

1 0

2 . 1 8

-

-

1 8

[ 4 L 2 ( 7 ) l L 2 ( 7 ) ) . 2 ] 1 8

7

6

2 . 2 7

-

M 1 8 , 2

1 7

9

2 . 1 8

A 1 8 ) ( C r a i g )

1 9 1 0 2 . 2 9




2 4 5

n

l a t t i c e L

1

m i n

d e n s i t y e x t r e m a l b e s t

2 0

[ S U 5 ( 2 ) 2 2 S L 2 ( 3 ) ] 2 0

2 4 2 . 8 3

+ +

[ 2 . M 1 2 . 2 ] 2 0

2

4

2 . 8 3

+ +

[ 2 . M 2 2 . 2 ] 2 0

7 8 3 . 0 2

+ +

[ 2 . L 3 ( 4 ) . 2 2 ] 7 5 1 . 8 9 - -

A 3 A 6 7

4 1 . 5 1 - -

[ L 2 ( 1 1 )

2 D

D 1 2 ] 2 0 1 1

8

2 . 4 1

-

A 2 ® A i o )

3 3

1 2 2 . 0 9

2 2

A 2 2 ( C r a i g ) 2 3 1 2 2 . 5 0

2 4

[ 2 . C o 1 ] 2 4 ( L e e c h )

1 4 4

+ +

2

[ 6 . U 4 ( 3 ) . 2

S L 2 ( 3 ) ] 2 4

2

4 2 . 8 3

+ +

[ 6 . A 1 t 7 : 2 ] 2 4 2

4 2 . 8 3

+ +

[ 6 . L 3 ( 4 ) . 2 2 ® )

D 8 ] 2 4

6 8 3 . 2 7

-

+

2 ( 3 )

[ ( S L 2 ( 3 ) ° C 4 ) . 2 U 3 ( 3 ) ] 2 4 6 8 3 . 2 7

-

+

[ 2 . J 2 S L 2 ( 5 ) ] 2 4

5 8 3 . 5 8

+

+

2 ( 2 )

[ L 2 ( 7 ) ® F 4 ] 2 4

7

8

3 . 0 2

-

F 4 ® A ( 2 )

1 4 8

2 . 1 4

[ S L 2 ( 1 3 )

2 ( 2 )

S L 2 ( 3 ) ] 2 4 1 3 1 2 3 . 3 3

-

2 ( 2 )

S L 2 ( 3 ) ] 2 4 1 0

8

2 . 5 3

[ 3 . M i o 2 ® D 8 ] 2 4 3 0

1 6 2 . 9 2

A 2 ® [ L 2 ( 7 )

® ) D 8 ]

1 2

4 2

1 6

2 . 4 7

[ S L 2 ( 1 1 )

2 ( 2 )

S L 2 ( 3 ) ] 2 4

2 2 1 2

2 . 5 6

- 1 1

2 6

[ f S 4 ( 5 ) . 2 ] 2 6

1

3 3

-

+

2

[ 4 S 6 ( 3 ) C 3 ] 2 6 3 6 3 . 4 6

+ +

[ f S 4 ( 5 ) : 2 ] 2 B 5 5

2 . 2 4

2 8

F 4 ® E 7

2 4

2 . 8 3

+ +

[ f S 3

2 ® ) G 2 ( 3 ) ] 2 8

3 6 3 . 4 6

+ +

A 2 ® M 1 4 , 2

3 9

1 4

2 . 4 2 - -

[ ± - L 2 ( 1 3 )

x

S 3 ] 2 8

3 9

2 2

3 . 5 2

3 0

[ } 3 . U 4 ( 3 ) . 2 2 1 3 0 3 6 3 . 4 6

+ +

A 2 ® A 1 5

3

4

2 . 3 1

- -

M 3 0 , 2

2 9 1 5 2 . 7 9

A 3 0 ) ( C r a i g )

3 1

1 6 2 . 8 7



2 4 6

W . P l e s k e n

T h e n o t a t i o n f o r t h e l a t t i c e s i n T a b l e 2 i s e x p l a i n e d i n [ 1 7 ] , P a r t I . B u t

e v e n w i t h o u t t h a t e x p l a n a t i o n i t i s o f t e n e a s y t o e x t r a c t a s i m p l e n o n - a b e l i a n

c o m p o s i t i o n f a c t o r o f t h e a u t o m o r p h i s m g r o u p o f t h e l a t t i c e f r o m t h e s y m b o l .

I n t h e t a b l e a l s o o d d 1 - m o d u l a r l a t t i c e s a r e l i s t e d , w h i c h s t r i c t l y s p e a k i n g w e r e

e x c l u d e d f r o m t h e d i s c u s s i o n a b o v e .

A m o n g t h e m a n y p r o b l e m s o f w h e n e x t r e m a l l a t t i c e s e x i s t , I s i n g l e o u t

j u s t o n e w h i c h i s s t i l l o p e n : d o e s t h e r e e x i s t a n e v e n u n i m o d u l a r l a t t i c e o f

d i m e n s i o n 7 2 a n d m i n i m u m 8 ?

R e f e r e n c e s

[ 1 ]

A . - M . B e r g e ,

J .

M a r t i n e t a n d F .

S i g r i s t , U n e g e n e r a l i s a t i o n d e

l ' a l g o r i t h m e d e V o r o n o i , A s t e r i s q u e 2 0 9 ( 1 9 9 2 ) , 1 3 7 - 1 5 8 .

[ 2 ] H . I . B l a u , O n r e a l a n d r a t i o n a l r e p r e s e n t a t i o n s o f f i n i t e g r o u p s , J . A l -

g e b r a 1 5 0 ( 1 9 9 2 ) , 5 7 - 7 2 .

[ 3 ]

F . B r u h a t a n d J . T i t s , G r o u p e s r e d u c t i v e s s u r u n c o r p s l o c a l I . D o n n e e

r a d i c i e l l e s v a l u e e s , P u b l . M a t h . I . H . E . S . 4 1 ( 1 9 7 2 ) , 5 - 2 5 1 .

[ 4 ]

J . H . C o n w a y , I t . T . C u r t i s , S . P . N o r t o n , R . A . P a r k e r a n d R . A . W i l s o n ,

A T L A S o f f i n i t e g r o u p s , O x f o r d U n i v e r s i t y P r e s s , 1 9 8 5 .

[ 5 ]

J . H . C o n w a y , N . J . A . S l o a n e , S p h e r e p a c k i n g s , l a t t i c e s a n d g r o u p s ,

S p r i n g e r - V e r l a g , 1 9 8 8 .

[ 6 ] A . W . M . D r e s s , I n d u c t i o n a n d s t r u c t u r e t h e o r e m s f o r o r t h o g o n a l r e p r e -

s e n t a t i o n s o f f i n i t e g r o u p s , A n n . o f M a t h . 1 0 2 ( 1 9 7 5 ) , 2 9 1 - 3 2 5 .

[ 7 ]

W . F e i t , O n i n t e g r a l r e p r e s e n t a t i o n s o f f i n i t e g r o u p s , P r o c . L o n d o n M a t h .

S o c . ( 3 ) 2 9 ( 1 9 7 4 ) , 6 3 3 - 6 8 3 .

[ 8 ] W . F e i t , T h e r e p r e s e n t a t i o n t h e o r y o f f i n i t e g r o u p s , N o r t h - H o l l a n d , 1 9 8 2 .

[ 9 ] R . G o w , U n i m o d u l a r i n t e g r a l l a t t i c e s a s s o c i a t e d w i t h t h e b a s i c s p i n r e p -

r e s e n t a t i o n s o f 2 A n a n d 2 S n , B u l l . L o n d o n M a t h . S o c . 2 1 ( 1 9 8 9 ) , 2 5 7 -

2 6 2 .

[ 1 0 ] B . H . G r o s s , G r o u p r e p r e s e n t a t i o n s a n d l a t t i c e s , J . A m e r . M a t h . S o c . 3

( 1 9 9 0 ) , 9 2 9 - 9 6 0 .

[ 1 1 ] C . J a n s e n , K . L u x , R . P a r k e r a n d R . W i l s o n , A n A T L A S o f B r a u e r c h a r -

a c t e r s , L o n d o n M a t h . S o c . M o n o g r a p h s , N e w S e r i e s 1 1 . O x f o r d U n i v e r -

s i t y P r e s s , 1 9 9 5 .



F i n i t e r a t i o n a l m a t r i x g r o u p s : a s u r v e y 2 4 7

[ 1 2 ] A . I . K o s t r i k i n a n d P h a m H u u T i e p , O r t h o g o n a l d e c o m p o s i t i o n s a n d

i n t e g r a l l a t t i c e s , D e G r u y t e r E x p o s i t i o n e s i n M a t h . 1 5 , B e r l i n , 1 9 9 4 .

[ 1 3 ] V . L a n d a z u r i a n d G . M . S e i t z , O n t h e m i n i m a l d e g r e e s o f p r o j e c t i v e

r e p r e s e n t a t i o n s o f t h e f i n i t e C h e v a l l e y g r o u p s , J . A l g e b r a 3 2 ( 1 9 7 4 ) , 4 1 8 -

4 4 3 .

[ 1 4 ] G . N e b e , E n d l i c h e r a t i o n a l e M a t r i x g r u p p e n v o m G r a d 2 4 , D i s s e r t a t i o n .

A a c h e n e r B e i t r a g e z u r M a t h e m a t i k 1 2 , V e r l a g A u g u s t i n u s B u c h h a n d -

l u n g , A a c h e n , 1 9 9 5 .

[ 1 5 ] G . N e b e , F i n i t e s u b g r o u p s o f G L 2 4 ( Q ) , E x p e r i m e n t a l M a t h . 5 ( 1 9 9 6 ) ,

1 6 3 - 1 9 5 .

[ 1 6 ] G . N e b e , F i n i t e s u b g r o u p s o f G L A ) f o r 2 5 < n < 3 1 , C o m m . A l g e b r a

2 4 ( 1 9 9 6 ) , 2 3 4 1 - 2 3 9 7 .

[ 1 7 ] G . N e b e a n d W . P l e s k e n , F i n i t e r a t i o n a l m a t r i x g r o u p s , A M S M e m o i r s

5 5 6 , ( 1 9 9 5 ) , P a r t I : F i n i t e r a t i o n a l m a t r i x g r o u p s , 1 - 7 3 ; P a r t I I : F i n i t e

r a t i o n a l m a t r i x g r o u p s o f d e g r e e 1 6 , 7 4 - 1 4 4 .

[ 1 8 ] J . O p g e n o r t h , N o r m a l i s a t o r e n a n d B r a v a i s m a n n i g f a l t i g k e i t e n e n d l i c h e r

u n i m o d u l a r e r G r u p p e n , D i s s e r t a t i o n . A a c h e n e r B e i t r a g e z u r M a t h e m a t i k

1 6 , V e r l a g A u g u s t i n u s B u c h h a n d l u n g , A a c h e n , 1 9 9 6 .

[ 1 9 ] W . P l e s k e n , G r o u p r i n g s o v e r p - a d i c i n t e g e r s , L e c t u r e N o t e s i n M a t h e -

m a t i c s , 1 0 2 6 , S p r i n g e r , 1 9 8 3 .

[ 2 0 ] W . P l e s k e n , S o m e a p p l i c a t i o n s o f r e p r e s e n t a t i o n t h e o r y , i n P r o g r e s s i n

m a t h e m a t i c s , V o l . 9 5 : R e p r e s e n t a t i o n t h e o r y o f f i n i t e g r o u p s a n d f i n i t e -

d i m e n s i o n a l a l g e b r a s , ( e d s . G . O . M i c h l e r a n d C . M . R i n g e d ) , p p . 4 7 7 -

4 9 6 . B i r k h a u s e r , 1 9 9 1 .

[ 2 1 ] W . P l e s k e n a n d M . P o h s t , O n m a x i m a l f i n i t e i r r e d u c i b l e s u b g r o u p s

o f G L ( n , 7 L ) . I . T h e f i v e - a n d s e v e n - d i m e n s i o n a l c a s e . I I . T h e s i x -

d i m e n s i o n a l c a s e , M a t h . C o m p . 3 1 ( 1 9 7 7 ) , 5 3 6 - 5 7 7 ; I I I . T h e n i n e -

d i m e n s i o n a l c a s e . I V . R e m a r k s o n e v e n d i m e n s i o n s w i t h a p p l i c a t i o n s

t o n = 8 . V . T h e e i g h t - d i m e n s i o n a l c a s e a n d a c o m p l e t e d e s c r i p t i o n o f

d i m e n s i o n s l e s s t h a n t e n , M a t h . C o m p . 3 4 ( 1 9 8 0 ) , 2 4 5 - 3 0 1 .

[ 2 2 ] W . P l e s k e n a n d B . S o u v i g n i e r , C o m p u t i n g i s o m e t r i e s o f l a t t i c e s , J . S y m -

b o l i c C o m p u t . , t o a p p e a r .

[ 2 3 ] H . - G . Q u e b b e m a n n , M o d u l a r l a t t i c e s i n E u c l i d e a n s p a c e s , J . N u m b e r

T h e o r y 5 4 ( 1 9 9 5 ) , 1 9 0 - 2 0 2 .



2 4 8 W . P l e s k e n

[ 2 4 ] W . S c h a r l a u , Q u a d r a t i c a n d H e r m i t i a n f o r m s , S p r i n g e r - V e r l a g , 1 9 8 5 .

[ 2 5 ] G . M . S e i t z a n d A . E . Z a l e s s k i i , O n t h e m i n i m a l d e g r e e s o f p r o j e c t i v e

r e p r e s e n t a t i o n s o f t h e f i n i t e C h e v a l l e y g r o u p s , I I , J . A l g e b r a 1 5 8 ( 1 9 9 3 ) ,

2 3 3 - 2 4 3 .

[ 2 6 ] J . - P . S e r r e , T r e e s , S p r i n g e r - V e r l a g , 1 9 8 0 .

[ 2 7 ] J . G . T h o m p s o n , F i n i t e g r o u p s a n d e v e n l a t t i c e s , J . A l g e b r a 3 8 ( 1 9 7 6 ) ,

5 2 3 - 5 2 4 .

[ 2 8 ] J . G . T h o m p s o n , A s i m p l e s u b g r o u p o f E 8 ( 3 ) , i n F i n i t e g r o u p s s y m p o -

s i u m ( e d . N . I w a h o r i ) , p p . 1 1 3 - 1 1 6 . J a p a n S o c i e t y f o r t h e P r o m o t i o n o f

S c i e n c e , 1 9 7 6 .

[ 2 9 ] P h a m H u u T i e p , B a s i c s p i n r e p r e s e n t a t i o n s o f 2 S , , a n d 2 A a s g l o b a l l y

i r r e d u c i b l e r e p r e s e n t a t i o n s , A r c h . M a t h . 6 4 ( 1 9 9 5 ) , 1 0 3 - 1 1 2 .

[ 3 0 ] P h a m H u u T i e p , G l o b a l l y i r r e d u c i b l e r e p r e s e n t a t i o n s o f f i n i t e g r o u p s a n d

i n t e g r a l l a t t i c e s , G e o m . D e d i c a t a 6 4 ( 1 9 9 7 ) , 8 5 - 1 2 3 .

[ 3 1 ] A . T u r u l l , B i l i n e a r f o r m s f o r S L ( 2 , q ) , A , , , a n d s i m i l a r g r o u p s , P u b l i c .

M a t h e m d t i q u e s 3 6 ( 1 9 9 2 ) , 1 0 0 1 - 1 0 1 0 .

[ 3 2 ] A . T u r u l l , S c h u r i n d e x t w o a n d b i l i n e a r f o r m s , J . A l g e b r a 1 5 7 ( 1 9 9 3 ) ,

5 6 2 - 5 7 2 .

[ 3 3 ] G . L . W a t s o n , T r a n s f o r m a t i o n s o f a q u a d r a t i c f o r m w h i c h d o n o t i n c r e a s e

t h e c l a s s - n u m b e r , P r o c . L o n d o n M a t h . S o c . ( 3 ) 1 2 ( 1 9 6 2 ) , 5 7 7 - 5 8 7 .



C h a m b e r g r a p h s o f s o m e s p o r a d i c g r o u p

g e o m e t r i e s


1 I n t r o d u c t i o n

E a r l y d e f i n i t i o n s o f b u i l d i n g s , f o l l o w i n g t h e f u n d a m e n t a l w o r k o f T i t s [ 1 9 ] ,

w e r e c o u c h e d i n t e r m s o f s i m p l i c i a l c o m p l e x e s ( s e e a l s o [ 1 8 , p a g e 3 1 9 ] ) . M o r e

r e c e n t l y a n a l t e r n a t i v e v i e w p o i n t , a s e x p o u n d e d i n [ 2 0 ] ( o r [ 1 1 ] ) , w h i c h b r i n g s

c h a m b e r s y s t e m s t o t h e f o r e , h a s g r o w n i n i m p o r t a n c e .

B e g i n n i n g w i t h [ 1 ] a s e a r c h c o m m e n c e d f o r g e o m e t r i c s t r u c t u r e s w h i c h

w o u l d p e r f o r m a s i m i l a r s e r v i c e f o r t h e s p o r a d i c f i n i t e s i m p l e g r o u p s a s b u i l d -

i n g s d o f o r t h e f i n i t e s i m p l e g r o u p s o f L i e t y p e . T h a t i s , i l l u m i n a t e t h e i n t e r n a l

s t r u c t u r e o f t h e s p o r a d i c f i n i t e s i m p l e g r o u p s a n d a l s o p l a c e t h e m i n a w i d e r

c o n t e x t . T h i s a i m h a s y e t ( i f e v e r ? ) t o b e r e a l i z e d . N e v e r t h e l e s s , m a n y i n t e r -

e s t i n g a n d v a r i e d g e o m e t r i e s h a v e b e e n u n e a r t h e d i n t h e p a s t 1 5 o r s o y e a r s

( s e e , f o r e x a m p l e , [ 2 ] , [ 9 ] , [ 1 0 ] , [ 6 ] ) . V a r i o u s a s p e c t s o f t h e s e g e o m e t r i e s h a v e

b e e n s t u d i e d - f o r e x a m p l e a g r e a t d e a l o f e f f o r t h a s b e e n e x p e n d e d o n t h e i r

p o i n t - l i n e c o l l i n e a r i t y g r a p h s ( s e e , f o r e x a m p l e , [ 1 2 ] , [ 1 3 ] , [ 1 4 ] , [ 1 7 ] ) .

T h e

a s s o c i a t e d c h a m b e r g r a p h h a s r e c e i v e d m u c h l e s s a t t e n t i o n t o d a t e . T h i s i s

s u r p r i s i n g g i v e n t h a t t h e b u i l d i n g a x i o m s a n d m a n y o f t h e c o n c e p t s r e l a t i n g

t o b u i l d i n g s c a n b e e n c o d e d i n t h e c h a m b e r g r a p h ( o f a b u i l d i n g ) .

H e r e w e s u r v e y s o m e o f t h e m a t e r i a l i n [ 1 5 ] a n d [ 1 6 ] , w h e r e s o m e t e n t a t i v e

s t e p s a r e t a k e n i n t h e s t u d y o f c h a m b e r g r a p h s o f c e r t a i n s p o r a d i c g r o u p

g e o m e t r i e s .

B e l o w w e r e c a l l t h e d e f i n i t i o n o f a g e o m e t r y a n d a c h a m b e r

s y s t e m t o g e t h e r w i t h s o m e r e l a t e d c o n c e p t s , a n d n o t a t i o n s u f f i c i e n t f o r o u r

p u r p o s e s .

I n s e c t i o n 2 w e b e g i n b y p a r a d i n g t h e t h r e e g e o m e t r i e s w e s h a l l b e p u t t i n g

t h e s p o t l i g h t o n - t h e C 3 - g e o m e t r y f o r A l t ( 7 ) , t h e a l t e r n a t i n g g r o u p o f d e g r e e

7 , t h e M 2 3 P e t e r s e n g e o m e t r y a n d t h e M 2 4 m a x i m a l 2 - l o c a l g e o m e t r y . T h e r e

t h e n f o l l o w s a n a s s o r t m e n t o f p r o p e r t i e s a n d o b s e r v a t i o n s a b o u t t h e i r c h a m b e r

g r a p h s , w i t h p a r t i c u l a r e m p h a s i s o n t h e g e o d e s i c c l o s u r e o f o p p o s i t e c h a m b e r s

( d e f i n e d i n s e c t i o n 2 . 3 ) . S e c t i o n 3 i s d e v o t e d e x c l u s i v e l y t o t h e c h a m b e r g r a p h

o f t h e M 2 4 m a x i m a l 2 - l o c a l g e o m e t r y , c o n c e n t r a t i n g o n m a x i m a l o p p o s i t e s e t s

o f c h a m b e r s . M u c h t a b u l a t e d i n f o r m a t i o n i s i n c l u d e d w h i c h , w i t h f u r t h e r

2 4 9



2 5 0


s t u d y , m a y p o s s i b l y l e a d t o i n t e r e s t i n g c o n f i g u r a t i o n s . A l s o i n t h i s s e c t i o n

w e a n s w e r i n T h e o r e m 3 . 1 a q u e s t i o n r a i s e d b y C o n w a y a t " T h e A T L A S T e n

Y e a r s O n " c o n f e r e n c e , a f t e r t h e l e c t u r e , o f w h i c h t h i s p a p e r i s a n e x t e n d e d

a c c o u n t .

1 . 1

G e o m e t r i e s a n d c h a m b e r s y s t e m s

A g e o m e t r y ( o v e r a s e t I ) i s a t r i p l e ( t , T , * ) w h e r e r i s a s e t , r a n o n t o m a p

f r o m I F t o I a n d * a s y m m e t r i c r e l a t i o n o n F w h i c h s a t i s f i e s t h e p r o p e r t y

t h a t , f o r x , y E I F , x * y i m p l i e s r ( x )

T ( y ) . U s u a l l y T i s c a l l e d t h e t y p e m a p

a n d * t h e i n c i d e n c e r e l a t i o n o f t h e g e o m e t r y I F , w h e r e ( F , T , * ) i s a b b r e v i a t e d

t o I F .

F o r x E r w i t h r ( x ) = i w e s a y x h a s t y p e i , a n d a f l a g i s a s e t o f

p a i r w i s e i n c i d e n t e l e m e n t s o f F . T h e r a n k o f r i s t h e c a r d i n a l i t y o f I a n d t h e

r a n k o f a f l a g F i s t h e c a r d i n a l i t y o f r ( F ) = { T ( x ) I X E F } . F o r i E I , p u t

F i = { x E F 1 T ( x ) = i } . T h e a u t o m o r p h i s m g r o u p , A u t I F , o f r c o n s i s t s o f

a l l p e r m u t a t i o n s o f F w h i c h l e a v e F i i n v a r i a n t f o r e a c h i E I a n d p r e s e r v e t h e

i n c i d e n c e r e l a t i o n . W e s a y G < A u t r i s f l a g t r a n s i t i v e o n r i f f o r a n y t w o

f l a g s F 1 , F 2 o f r o f t h e s a m e t y p e , t h e r e e x i s t s g E G s u c h t h a t g ( F i ) = F 2 .

F o r e x a m p l e , l e t V b e a n m - d i m e n s i o n a l v e c t o r s p a c e w i t h m > 2 . T a k e r

t o b e t h e s e t o f a l l p r o p e r n o n - z e r o s u b s p a c e s o f V a n d I = { 1 , .

. . , m -

1 } .

T h e n f o r x , y E I F , w e d e f i n e x * y i f e i t h e r x C y o r y C x h o l d s ( a s s u b s e t s o f

V ) - t h i s g i v e s u s a g e o m e t r y . A f l a g i n t h i s g e o m e t r y i s j u s t a t o t a l l y o r d e r e d

( b y i n c l u s i o n ) s e t o f s u b s p a c e s o f V .

A c h a m b e r s y s t e m ( o v e r t h e s e t I ) , d e n o t e d ( C , ( P i ) E E I ) , o r C f o r s h o r t ,

c o n s i s t s o f a s e t C a n d a s y s t e m ( P i ) i E I o f p a r t i t i o n s o f C i n d e x e d b y I .

T h e e l e m e n t s o f C a r e c a l l e d c h a m b e r s . T w o c h a m b e r s b o t h i n t h e s a m e

m e m b e r o f P i f o r s o m e i E I a r e s a i d t o b e i - a d j a c e n t ; w e s a y t w o c h a m b e r s

a r e a d j a c e n t i f t h e y a r e i - a d j a c e n t f o r s o m e i E I . S t a r t i n g w i t h a g e o m e t r y

I F ( o v e r I ) w e m a y c o n s t r u c t a c h a m b e r s y s t e m C ( o v e r I ) a s f o l l o w s . L e t C

b e t h e s e t o f a l l m a x i m a l f l a g s o f r ( a f l a g i s m a x i m a l i f i t h a s r a n k e q u a l t o

t h e r a n k o f r ) . F o r i E I a n d F 1 , F 2 E C d e f i n e F 1 a n d F 2 t o b e i - a d j a c e n t

w h e n e v e r r ( F l n F 2 ) = I \ { i } . T h i s y i e l d s a n e q u i v a l e n c e r e l a t i o n o n C a n d

h e n c e a p a r t i t i o n P i o f C - w e c a l l C t h e c h a m b e r s y s t e m o f F . O b s e r v e t h a t

a n a u t o m o r p h i s m o f r i n d u c e s a n a u t o m o r p h i s m o f C - t h a t i s , a p e r m u t a t i o n

o f t h e c h a m b e r s w h i c h r e s p e c t s i - a d j a c e n c y f o r a l l i E I . F u r t h e r m o r e , i f G

i s a f l a g t r a n s i t i v e g r o u p o f a u t o m o r p h i s m s o f F , t h e n G w i l l a c t t r a n s i t i v e l y

u p o n C . I n t h e e x a m p l e m e n t i o n e d a b o v e , t h e c h a m b e r s y s t e m c o n s i s t s o f a l l

t o t a l l y o r d e r e d s e t s o f m - 1 ( p r o p e r n o n - t r i v i a l ) s u b s p a c e s a n d t w o s u c h w o u l d

b e i - a d j a c e n t i f t h e y h a v e t h e s a m e s u b s p a c e s f o r a l l d i m e n s i o n s o t h e r t h a n

i . W e r e m a r k t h a t t h i s c h a m b e r s y s t e m i s c l o s e l y c o n n e c t e d w i t h b u i l d i n g s

o f t y p e A , , , - , ( s e e [ 1 9 ] a n d [ 1 8 , S e c t i o n 3 . 3 ] ) .



C h a m b e r g r a p h s

2 5 1

1 . 2 C h a m b e r g r a p h s

L e t C b e a c h a m b e r s y s t e m . T h e c h a m b e r g r a p h o f C ( a l s o d e n o t e d b y C ) h a s

C a s i t s v e r t e x s e t a n d i t s e d g e s e t c o n s i s t s o f a l l p a i r s o f a d j a c e n t c h a m b e r s .

T h e c h a m b e r g r a p h s w e c o n s i d e r w i l l b e c o n n e c t e d a n d h a v e G < A u t C w i t h

G a c t i n g t r a n s i t i v e l y o n C . W e t a k e c o t o b e a f i x e d c h a m b e r o f C , a n d s e t

B = S t a b G ( c o ) . T h e d i s t a n c e f u n c t i o n o n t h e g r a p h C w i l l b e d e n o t e d b y

d ( , ) , a n d w e p u t

D 3 ( c o ) = { c E C I d ( c o , c ) = j } ,

t h e j t h d i s c ( o f c o ) . F i n a l l y , a g e o d e s i c ( a l s o c a l l e d a m i n i m a l g a l l e r y ) f r o m c

t o c ' , w h e r e c , c ' E C , i s a s h o r t e s t p a t h i n t h e c h a m b e r g r a p h C w h i c h s t a r t s

w i t h c a n d e n d s w i t h c ' .

2 T h r e e c h a m b e r g r a p h s

2 . 1

T h r e e g e o m e t r i e s

F o r e a c h o f A l t ( 7 ) , M 2 3 a n d M 2 4 w e d e s c r i b e a g e o m e t r y u p o n w h i c h t h e

g r o u p a c t s f l a g t r a n s i t i v e l y .

C 3 g e o m e t r y f o r A l t ( 7 ) .

L e t c b e a 7 - e l e m e n t s e t . O n I l i t i s p o s s i b l e

t o d e f i n e 3 0 ( d i s t i n c t ) c o p i e s o f a p r o j e c t i v e p l a n e , u p o n w h i c h A l t ( 7 ) h a s

t w o o r b i t s o f s i z e 1 5 . N o w l e t F 0 = 9 2 , F 1 b e t h e s e t o f 3 - e l e m e n t s u b s e t s

o f S 2 a n d I ' 2 b e o n e o f t h e A l t ( 7 ) o r b i t s o n p r o j e c t i v e p l a n e s . W e c a l l t h e

e l e m e n t s i n I ' o , F 1 i F 2 , p o i n t s , l i n e s , p l a n e s r e s p e c t i v e l y . A p o i n t i s i n c i d e n t

w i t h a l i n e i f i t i s c o n t a i n e d i n t h e 3 - e l e m e n t s u b s e t a n d a p o i n t i s i n c i d e n t

w i t h a l l t h e p l a n e s , w h i l e a l i n e i s i n c i d e n t w i t h a p l a n e w h e n e v e r t h e l i n e i s

a l i n e o f t h e p r o j e c t i v e p l a n e . T h i s g e o m e t r y w a s d i s c o v e r e d b y N e u m a i e r [ 7 ] .

T h e f o l l o w i n g d i a g r a m m a y b e a s s i g n e d t o t h i s r a n k 3 g e o m e t r y ( s e e [ 8 , p a g e

1 5 2 ] ) .

0

1 2

M 2 3 P e t e r s e n g e o m e t r y . T h i s r a n k 4 g e o m e t r y h a s a s i t s d i a g r a m

0

P 1

0 - - - C

2

3

O

w h e r e 0 - 0 i s t h e g e o m e t r y o f t h e v e r t i c e s a n d t h e e d g e s o f t h e

P e t e r s e n g r a p h ( w i t h a v e r t e x a n d e d g e i n c i d e n t w h e n e v e r t h e v e r t e x i s o n

t h e e d g e ) . T o d e f i n e t h i s g e o m e t r y w e s t a r t w i t h a 2 4 - e l e m e n t s e t S Z u p o n

w h i c h w e h a v e t h e S t e i n e r s y s t e m S ( 2 4 , 8 , 5 ) . L e t a b e a f i x e d e l e m e n t o f Q .



2 5 2


N o w l e t F 0 c o n s i s t o f a l l o c t a d s o f 1 n o t c o n t a i n i n g a , T i o f a l l t r i o s a n d I ' 2 o f

a l l t h e s e x t e t s o f f I ( f o r t h e d e f i n i t i o n o f o c t a d s , t r i o s a n d s e x t e t s a n d o t h e r

d e t a i l s c o n c e r n i n g S ( 2 4 , 8 , 5 ) s e e e i t h e r [ 4 ] o r [ 5 ] ) .

F i n a l l y , l e t I 7 3 = 1 l \ { a } .

A n e l e m e n t i n F j a n d a n e l e m e n t i n r k ( 0 < j < k < 2 ) a r e d e f i n e d t o

b e i n c i d e n t w h e n e v e r t h e c o r r e s p o n d i n g p a r t i t i o n s o f f a r e c o m p a t i b l e , a n d

b E F 3 i s d e f i n e d t o b e i n c i d e n t w i t h p E I T , ( 0 < j < 2 ) w h e n e v e r { a , b } i s i n

t h e s a m e p a r t o f t h e p a r t i t i o n p ( o r i n t h e o c t a d i n t h e c a s e j = 0 ) . F u r t h e r

i n f o r m a t i o n o n t h i s g e o m e t r y i s g i v e n i n [ 6 ] .

M 2 4 m a x i m a l 2 - l o c a l g e o m e t r y . T h i s g e o m e t r y i s p a r t i c u l a r l y i m p o r t a n t

a s i t o c c u r s a s a r e s i d u e i n a n u m b e r o f o t h e r g e o m e t r i e s r e l a t e d t o t h e s p o r a d i c

s i m p l e g r o u p s ( s e e [ 9 ] ) . A g a i n w e s t a r t w i t h a 2 4 - e l e m e n t s e t f a n d t h e S t e i n e r

s y s t e m 8 ( 2 4 , 8 , 5 ) . T a k e r o t o b e a l l t h e o c t a d s o f S l , T i t o b e a l l t h e t r i o s

o f c i a n d r 2 t o b e a l l t h e s e x t e t s o f S I . I n c i d e n c e i s a l s o g i v e n b y w h e n t h e

c o r r e s p o n d i n g p a r t i t i o n s o f S Z a r e c o m p a t i b l e . S o h e r e a c h a m b e r c o n s i s t s o f

a n o c t a d , t r i o a n d s e x t e t w h e r e t h e t r i o m a y b e o b t a i n e d f r o m t h e s e x t e t b y

p a i r i n g u p t h e t e t r a d s o f t h e s e x t e t a n d t h e o c t a d i s o n e o f t h e o c t a d s o f t h e

t r i o . T h i s g e o m e t r y w a s f i r s t o b s e r v e d i n [ 9 ] .

T o d e s c r i b e s u c h c h a m b e r s w e u s e a l a b e l l i n g o f C u r t i s ' s M O G [ 5 ] . S o , f o r

e x a m p l e , w e d e s c r i b e a c h a m b e r c ' b y

c =

1 1

1 1

2 2

2 2

3 3

3 3

4 4

4 4

5 5

5 5

6 6

6 6

H e r e , t h e p o s i t i o n s o f t h e M O G l a b e l l e d b y j ( 1 < j < 6 ) g i v e t h e t e t r a d s

o f t h e s e x t e t o f c ' . T h e t r i o o f c ' i s u n d e r s t o o d t o b e s p e c i f i e d b y t h e p a i r i n g

1 2 1 3 4 1 5 6 a n d t h e o c t a d o f c ' i s g i v e n b y t h e p a i r 1 2 .

F o r t h i s g e o m e t r y w e l e t

C O =

1 2

1 2

1 2

1 2

3 4

3 4

3 4

3 4

5 6

5 6

5 6

5 6

N o t e t h a t c ' a n d c o h a v e t h e s a m e o c t a d a n d t r i o b u t d i f f e r e n t s e x t e t s a n d s o

t h e y a r e 2 - a d j a c e n t .

2 . 2

D i s c s i z e s

T h e d i s c s i z e s o f t h e t h r e e g e o m e t r i e s a r e l i s t e d i n T a b l e s 1 , 2 a n d 3 .




2 5 3

T a b l e 1 : D i s c s i z e s i n t h e C 3 - g e o m e t r y f o r A l t ( 7 )

D i s c

S i z e

D i s c

S i z e

1 1

1 2 1 3 1 4

3 8 5 2 8 5 1 8 4 0

2 6 3 0 4 1 6 0 0

( 1 5 9 3 9 0 c h a m b e r s i n t o t a l ) [ 1 6 ]

D i s c

S i z e

1

2 3

4

5

6

2 0

5 6

1 2 8 1 0 4

( 3 1 5 c h a m b e r s i n t o t a l ) [ 1 6 ]

T a b l e 2 : D i s c s i z e s i n t h e M 2 3 P e t e r s e n g e o m e t r y

1 2

3

4 5 6 7

8 9

1 0

7

2 8

8 6

2 2 0

5 1 2

1 1 2 8 2 4 3 2 5 1 5 2 1 0 5 2 8

2 1 0 2 4

T a b l e 3 : D i s c s i z e s i n t h e M 2 4 m a x i m a l 2 - l o c a l g e o m e t r y

1 2

3

4

5

6 7 8

9

1 0

1 0

4 4

1 8 4 5 4 4 1 5 3 6 4 8 0 0 1 0 3 6 8

2 2 2 7 2

3 8 4 0 0

1 5 3 6

( 7 9 6 9 5 c h a m b e r s i n t o t a l ) [ 1 5 ]

T a b l e 4 : S i z e s o f t h e A j ( c k ) f o r t h e A l t ( 7 ) C 3 - g e o m e t r y

C 1

C 2

C 3

C 4 C 5

C 6

C 7 C 8 C 9

C 1 0

C 1 1

C 1 2

C 1 3

I z

( c k ) I

4

3

4 1 1

3 5

1 2

3 3

4 2

I A 2 ( C k ) I

4 3

4

1

2

4

5 2 2

4 3 6

2

I A 3 ( C k ) I

4

3

4

2 2

4

6

1

2 4 3

5

2

I A 4 ( C k ) I

3

3

4 1 2 4 4 1 1

3 3 5

2



2 5 4


R e m a r k 2 . 1 F o r t h e A l t ( 7 ) C 3 - g e o m e t r y , B = D 8 h a s t h i r t e e n o r b i t s ( e a c h

o f s i z e 8 ) o n D r ( c o ) . R e p r e s e n t a t i v e s f o r e a c h o f t h e s e o r b i t s a r e g i v e n i n

[ 1 6 , S e c t i o n 3 ] w h e r e i t i s a l s o s h o w n t h a t t h e i n d u c e d s u b g r a p h o f D 5 ( c o ) i s

c o n n e c t e d . Q u i t e t h e o p p o s i t e i s t r u e f o r D 1 0 ( c o ) i n t h e M 2 4 m a x i m a l 2 - l o c a l

g e o m e t r y . T h e r e n o t w o o f t h e 1 5 3 6 c h a m b e r s i n D i o ( c o ) a r e a d j a c e n t i n C

( t h a t i s , D i o ( c o ) i s a c o c l i q u e ) .

M o r e o v e r , B a c t s t r a n s i t i v e l y o n D i o ( c o )

T h i s i s a r a r e p h e n o m e n o n a m o n g t h o s e c h a m b e r s y s t e m s s t u d i e d i n [ 1 6 ] . F o r

i n s t a n c e , i n t h e M 2 3 P e t e r s e n g e o m e t r y 1 D 1 4 ( c o ) I = 1 6 0 0 a n d I B 2 6 a n d s o

B d o e s n o t a c t t r a n s i t i v e l y o n D 1 4 ( c o )

2 . 3 G e o d e s i c c l o s u r e s

L e t X b e a s u b s e t o f C , a c h a m b e r g r a p h . T h e g e o d e s i c c l o s u r e X o f X i s

d e f i n e d t o b e t h e s e t o f a l l c h a m b e r s o f C w h i c h l i e o n s o m e g e o d e s i c f r o m

c t o c ' w h e r e c , c ' E X . ( N o t e , h o w e v e r , t h a t a ` g e o d e s i c c l o s u r e ' a s h e r e

d e f i n e d i n n o t n e c e s s a r i l y g e o d e s i c a l l y c l o s e d i n t h e u s u a l s e n s e . ) L e t r E N

b e m a x i m a l s u c h t h a t D r ( c o ) # 0 . T w o c h a m b e r s o f C w h i c h a r e d i s t a n c e r

a p a r t w i l l b e c a l l e d a n o p p o s i t e p a i r o f c h a m b e r s . I n t h i s s e c t i o n w e l o o k a t

g e o d e s i c c l o s u r e s o f o p p o s i t e p a i r s o f c h a m b e r s w h i c h s h o u l d r e v e a l c e r t a i n

a s p e c t s o f C . I n f a c t , t h e g e o d e s i c c l o s u r e o f a n o p p o s i t e p a i r o f c h a m b e r s i n

t h e c h a m b e r g r a p h o f a b u i l d i n g o f s p h e r i c a l t y p e g i v e s ( t h e c h a m b e r s o f ) a n

a p a r t m e n t . A l s o e v e r y a p a r t m e n t o f t h e b u i l d i n g a r i s e s i n t h i s m a n n e r ( s e e ,

f o r e x a m p l e , T h e o r e m s 2 . 1 5 a n d 3 . 8 o f [ 1 1 ] ) . F o r c ' E D r ( c o ) w e p u t

L , ( c ' ) = D e ( c o ) n { c o , c ' }

( 0 < j < r ) .

C 3 g e o m e t r y f o r A l t ( 7 ) .

L e t c o b e a s i n [ 1 6 , S e c t i o n 3 ] a n d l e t c 1 ,

. . . , c 1 3

b e t h e B - o r b i t r e p r e s e n t a t i v e s o f D r ( c o ) t a b u l a t e d i n [ 1 6 , ( 3 . 1 ) ] . T h e n t h e

s i z e s o f t h e L 3 ( c k ) a r e a s g i v e n i n T a b l e 4 .

I n F i g . 1 w e g i v e t h e i n d u c e d

s u b g r a p h o f { c o , c 2 } . T h e l a b e l s 0 , 1 , 2 o n t h e e d g e i n d i c a t e t h e i - a d j a c e n c y .

S o t w o c h a m b e r s a r e 0 - a d j a c e n t ( r e s p e c t i v e l y 1 - , 2 - a d j a c e n t ) i f t h e y d i f f e r b y

a p o i n t ( r e s p e c t i v e l y a l i n e , a p l a n e ) .

M 2 4 m a x i m a l 2 - l o c a l g e o m e t r y .

L e t c l o d e n o t e t h e c h a m b e r

6 4

3 3

5 1

2 3

3 2

5 1

2 2

6 4

5 4

5 6

1 6

4 1

T h e n c l o E D l o ( c o ) ( s e e t h e o o t a b l e i n ( 3 . 2 ) o f [ 1 5 ] ) .

S i n c e D i o ( c o ) i s a

B - o r b i t w e n e e d o n l y e x a m i n e { c o , c l o } . W e w i l l w r i t e A j i n s t e a d o f A j ( c l o ) .




2 5 5

F i g u r e 1 : T h e i n d u c e d s u b g r a p h o f { c o , c 2 } i n t h e A l t ( 7 ) C 3 - g e o m e t r y

T a b l e 5 : C u r t i s ' s M O G n u m b e r i n g

0 0

1 4 1 7 1 1 2 2 1 9

0 8 4

1 3

1

9

3

2 0 1 6

7 1 2 5

1 5

1 8

1 0

2

2 1 6

A l t o g e t h e r { c o , c l o } h a s 1 1 8 c h a m b e r s , t h e s i z e s o f L b e i n g a s f o l l o w s :

j

0

1

2 3 4

5 6 7 8 9

1 0

I L

1

1 0

1 2

1 4 1 5 1 4

1 5

1 4

1 2

1 0 1

T h e s y m m e t r y o f t h e A j s i z e s i s a c o n s e q u e n c e o f B h a v i n g o n e o r b i t o n

D l o ( c o ) . I n f a c t , t h e s t a b i l i z e r i n M 2 4 o f { c o , c l o } h a s o r d e r 4 a n d i s g e n e r a t e d

b y

x = ( o o , 3 ) ( 8 , 1 8 ) ( 4 , 1 0 ) ( 7 , 1 1 ) ( 1 9 , 2 1 ) ( 9 , 2 2 ) ( 1 , 5 ) ( 6 , 1 2 )

y = ( o o , 6 ) ( 0 , 1 3 ) ( 3 , 1 2 ) ( 1 5 , 2 0 ) ( 1 4 , 1 6 ) ( 8 , 1 1 ) ( 7 , 1 8 ) ( 2 , 1 7 ) ( 4 , 2 1 )

( 1 0 , 1 9 ) ( 1 , 2 2 ) ( 5 , 9 )

w h e r e t h e M O G e l e m e n t s a r e n a m e d a s i n [ 5 ]

( s e e T a b l e 5 ) .

C l e a r l y y

m u s t s t a b i l i z e { c o , c i o } . I n A p p e n d i x B o f [ 1 5 ] t h e i n d u c e d s u b g r a p h ( p l u s

i - a d j a c e n c i e s ) o f { c o } U O l U A 2 U A 3 U A 4 U A 5 i s g i v e n - w i t h t h e a i d o f

y a l l o f { c o , c l o } m a y t h e n b e c o n s t r u c t e d . F r o m t h i s w e s e e t h a t i n A 3

f o r 2 < j < 8 t h e r e i s v e r y l i t t l e s i d e w a y s a d j a c e n c y ( t h a t i s a d j a c e n c y

w i t h i n A j ) , w h i c h i s v e r y r e m i n i s c e n t o f C o x e t e r c o m p l e x e s ( s e e L e m m a 2 4

o f [ 1 1 ] ) .

A l s o , p a r t i c u l a r l y s t r i k i n g i s t h a t a l l t h o s e c h a m b e r s i n { c o , c l o }



2 5 6


h a v i n g v a l e n c y 3 ( i n { c o , c l o } ) h a v e a d j a c e n c i e s o n e o f e a c h t y p e , w h i l e t h o s e

c h a m b e r s i n { c o , c l o } o f v a l e n c y 2 ( i n c o , c l o } ) a l l h a v e a d j a c e n c i e s o f t y p e s

0 a n d 2 . A f u r t h e r i n s p e c t i o n o f { c o , c l o } r e v e a l s t h a t i t c o n t a i n s t w o c h a m -

b e r s o f v a l e n c y 1 0 ( n a m e l y c o a n d c l o ) , t w o o f v a l e n c y 8 , t e n o f v a l e n c y 7 ,

s i x o f v a l e n c y 5 , f i f t y - t w o o f v a l e n c y 3 a n d t w e n t y - s i x o f v a l e n c y 2 . C o n s e -

q u e n t l y , S t a b M 2 4 ( { c o , c 1 0 } ) = ( x , y ) w h e r e x ( g i v e n a b o v e ) i s o f o r d e r 2 a n d

( x ) = S t a b a ( c l o )

I n a b u i l d i n g e v e r y p a i r o f c h a m b e r s i s c o n t a i n e d i n s o m e a p a r t m e n t . T h i s

i s f a r f r o m t h e c a s e f o r g e o d e s i c c l o s u r e s ( o f o p p o s i t e c h a m b e r s ) i n t h e c h a m -

b e r g r a p h o f t h e M 2 4 m a x i m a l 2 - l o c a l g e o m e t r y . C o n s u l t i n g t h e Q o 1 6 )

0 ` 0 1 9 2 )

o r

( 3 8 4 ) 7

O F

( 7 6 8 )

t a b l e s i n [ 1 5 w e s e e t h a t D 9 ( c o ) i s t h e u n i o n o f 1 6 B - o r b i t s . N o w ,

a s t h e v a l e n c y o f c 1 0 i n { c o , c 1 0 } i s 1 0 a n d D 1 0 ( c o ) i s a B - o r b i t , i t f o l l o w s t h a t

t h e r e a r e a t l e a s t s i x o f t h e s e B o r b i t s s u c h t h a t n o c h a m b e r i n t h e m c a n b e

i n t h e g e o d e s i c c l o s u r e ( o f o p p o s i t e c h a m b e r s ) w i t h c o .

O f c o u r s e , e v e r y g e o d e s i c f r o m c o t o c 1 0 i s c o n t a i n e d i n { c o , c 1 0 } - f o r t h e

r e c o r d t h e r e a r e 7 4 s u c h g e o d e s i c s . B e a r i n g i n m i n d t h a t C h a s 7 9 6 9 5 c h a m -

b e r s , { c o , c l o } h a s t h e a p p e a r a n c e o f a v e r y n a r r o w c o r r i d o r .

3 M a x i m a l o p p o s i t e s e t s o f c h a m b e r s

I n t h i s s e c t i o n C d e n o t e s t h e c h a m b e r g r a p h o f t h e M 2 4 m a x i m a l 2 - l o c a l

g e o m e t r y . W e c a l l a s e t X o f c h a m b e r s o f C a n o p p o s i t e s e t o f c h a m b e r s i f

f o r a l l c , c ' E X w i t h c # c ' , w e h a v e d ( c , c ' ) = 1 0 . A m a x i m a l o p p o s i t e s e t o f

c h a m b e r s i s a n o p p o s i t e s e t o f c h a m b e r s o f m a x i m a l p o s s i b l e s i z e . W e r e c o r d

t h e f o l l o w i n g f a c t .

T h e o r e m 3 . 1 A m a x i m a l o p p o s i t e s e t o f c h a m b e r s i n C h a s s i z e 5 .

I n v i e w o f t h e t r a n s i t i v i t y o f M 2 4 o n p a i r s o f c h a m b e r s d i s t a n c e 1 0 a p a r t ,

t h e r e i s n o l o s s i n e x a m i n i n g m a x i m a l o p p o s i t e s e t s o f c h a m b e r s w h i c h c o n t a i n

c o a n d c 1 0 . W i t h t h e a i d o f C A Y L E Y [ 3 ] i t w a s d i s c o v e r e d t h a t t h e r e a r e

e x a c t l y 7 0 c h a m b e r s i n D i o ( c o ) n D 1 o ( c i o ) T h e n , b y h a n d , t h e s e 7 0 c h a m b e r s

w e r e s c r u t i n i z e d a n d a s a c o n s e q u e n c e T h e o r e m 3 . 1 w a s o b s e r v e d . I n f a c t ,

a m o n g t h e 7 0 c h a m b e r s i n D i o ( c o ) n D i o ( c i o ) , 5 2 o f t h e m a r e c o n t a i n e d i n a t

l e a s t o n e m a x i m a l o p p o s i t e s e t o f c h a m b e r s w h i c h a l s o c o n t a i n s C O a n d c 1 0 . I n

T a b l e 6 w e l i s t t h e 1 7 o r b i t s o f ( x , y ) o n t h e s e 5 2 c h a m b e r s , ' y ( 1 < i < 5 2 ) ,

t o g e t h e r w i t h t h e s i x o r b i t s o n t h e r e m a i n i n g 1 8 . ( T h e n u m b e r s i n b r a c k e t s

a r e t h e o r b i t s i z e s . ) T h e f u l l s e t o f 5 2 c a n b e r e a d i l y r e c o n s t r u c t e d f r o m t h e

a c t i o n o f x a n d y , w h i c h p e r m u t e t h e s u b s c r i p t s o f t h e - y j a s f o l l o w s :




2 5 7

T a b l e 6 : O r b i t r e p r e s e n t a t i v e s f o r ( x , y ) o n D i o ( c o ) n D i o ( c i o )

5 6 1 5 3 4 6 4 3 2 5 5

3 2 4 5 4 6 3 4 1 5 6 4

2 1 6 2 2 2

5 2 2 1 1 3

1 5 6 5 2 2

6 3 2 3 2 2

6 4 4 1 3 5

1 6 6 5 4 1

4 6 1 4 2 3 1 2 1 6 4 5

6 3 3 1 5 4

6 3 4 2 4 3

3 3 6 1 1 5 5 3 4 1 6 5

r y i

( 2 )

r y 2

( 4 )

r y 4

( 4 )

r y 5

( 4 )

1 2 2 3 3 6

3 5 2 1 1 4

5 4 6 2 1 2

3 6 5 3 2 4

5 3 1 5 3 4

2 6 4 2 6 6 6 4 2 5 4 3 1 5 1 6 2 2

6 5 2 4 6 4 4 5 5 6 3 1 1 3 3 3 6 1 4 2 3 1 3 6

5 4 6 2 1 1 5 1 3 2 3 4

4 2 6 5 5 1

4 4 5 6 1 5

r y 6

( 2 )

r y a

( 2 )

' Y i o

( 2 )

7 1 1

( 4 )

1 2 2 2 1 4

4 3 2 2 3 2

5 4 5 3 6 2 5 4 3 4 4 2

6 3 4 5 5 1 2 1 6 5 1 4 6 2 1 5 4 5 5 3 6 6 3 2

3 4 6 5 3 2

3 5 4 5 6 1

6 6 4 3 3 1

1 5 3 1 2 1

5 3 6 4 6 1 3 6 6 4 5 1

1 3 4 1 2 2 6 2 1 4 5 6

7 1 2 ( 4 )

7 1 3

( 4 )

7 1 4

( 4 )

r y a s ( 2 )

2 4 3 5 3 6 4 6 2 1 5 2 5 4 5 6 6 1

2 6 5 1 2 6

6 1 2 2 5 6

2 4 1 6 5 6

3 3 4 6 3 2 3 5 4 5 5 3

4 4 1 6 5 1 4 5 3 4 2 6 2 3 5 1 2 2

6 6 4 3 2 2

5 3 2 4 1 3

3 1 1 5 3 3

6 1 1 4 5 4

4 1 1 3 1 4

7 2 o

( 4 )

7 2 1

( 4 )

' y 2 6

( 2 )

' y 2 9

( 2 )

4 5 6 2 2 1 2 1 1 4 2 2

3 5 1 4 6 4

1 6 3 1 3 2

3 1 3 3 1 6 3 5 6 1 6 4

2 1 6 1 2 2 4 5 1 2 6 6

2 4 6 5 1 5 4 3 3 2 6 5 3 6 3 2 4 5 3 5 5 6 3 4

4 6 2 5 3 4

3 6 5 1 4 5

4 3 5 1 6 5

5 2 4 1 2 4

7 3 0 ( 2 )

( 4 ) ( 4 )

( 4 )

5 5 6 1 2 2 6 1 2 3 4 2

2 6 6 5 5 3

6 4 1 4 4 6 5 4 1 1 4 3 4 4 2 5 4 1

1 3 3 6 3 1 6 6 5 4 5 3

3 5 3 2 6 2

5 2 3 4 5 2

2 3 1 6 2 5 4 1 6 3 1 1

( 2 ) ( 2 ) ( 2 )

T a b l e 7 : O r b i t r e p r e s e n t a t i v e s f o r ( x , y ) o n t h e 5 4 m a x i m a l o p p o s i t e s e t s

1 , 1 2 , 1 5

2 , 4 , 2 9 2 , 4 1 , 4 7 4 , 3 5 , 4 6 5 , 1 0 , 2 0 5 , 1 0 , 2 4

5 , 2 0 , 3 0 6 , 1 3 , 3 5 6 , 2 1 , 3 6 8 , 1 1 , 2 3

8 , 1 1 , 3 1

8 , 2 3 , 4 3

8 , 2 5 , 3 1 1 0 , 2 0 , 2 7 1 1 , 1 3 , 3 1 1 3 , 2 6 , 3 5 1 4 , 1 8 , 2 9



2 5 8


x

( 1 , 3 8 ) ( 2 , 3 4 ) ( 3 , 4 5 ) ( 4 , 5 0 ) ( 5 , 3 3 ) ( 6 , 3 2 ) ( 7 , 1 9 ) ( 8 , 9 ) ( 1 0 , 1 6 ) ( 1 1 , 2 8 )

( 1 2 , 4 2 ) ( 1 3 , 2 2 ) ( 1 4 , 3 1 ) ( 1 5 , 4 8 ) ( 1 7 , 4 6 ) ( 1 8 , 2 5 ) ( 2 0 , 2 3 ) ( 2 1 , 2 4 )

( 2 6 , 4 4 ) ( 2 7 , 4 3 ) ( 2 9 , 5 1 ) ( 3 0 , 4 1 ) ( 3 5 , 3 7 ) ( 3 6 , 3 9 ) ( 4 0 , 5 2 ) ( 4 7 , 4 9 )

y

( 1 , 3 8 ) ( 2 , 4 5 ) ( 3 , 3 4 ) ( 4 , 7 ) ( 5 , 4 9 ) ( 6 ) ( 8 , 9 ) ( 1 0 , 1 6 ) ( 1 1 , 4 6 ) ( 1 2 , 5 2 )

( 1 3 , 3 5 ) ( 1 4 , 2 5 ) ( 1 5 ) ( 1 7 , 2 8 ) ( 1 8 , 3 1 ) ( 1 9 , 5 0 ) ( 2 0 , 4 3 ) ( 2 1 , 3 6 ) ( 2 2 , 3 7 )

( 2 3 , 2 7 ) ( 2 4 , 3 9 ) ( 2 6 ) ( 2 9 , 5 1 ) ( 3 0 ) ( 3 2 ) ( 3 3 , 4 7 ) ( 4 0 , 4 2 ) ( 4 1 ) ( 4 4 ) ( 4 8 ) .

I n T a b l e 7 w e t a b u l a t e a l l t h e ( o r b i t s u n d e r ( x , y ) o f ) m a x i m a l o p p o s i t e s e t s

o f c h a m b e r s w h i c h c o n t a i n c o a n d c l o ( t h e r e w e w r i t e i i n s t e a d o f r y = a n d a l s o

o m i t c o a n d c l o ) . T h e r e a r e 5 4 s u c h s e t s , a n d h e n c e t h e t o t a l n u m b e r o f

m a x i m a l o p p o s i t e s e t s i n C i s

7 9 6 9 5 x 1 5 3 6 x 5 4

2 x 1 0

2 8 . 3 6 . 7 . 1 1 . 2 3

= 3 3 0 , 5 1 1 , 1 0 4 .

W i t h t h e h e l p o f x a n d y , a p e r u s a l o f T a b l e 7 r e v e a l s t h a t t h e r e i s q u i t e

a v a r i a t i o n i n t h e n u m b e r o f m a x i m a l o p p o s i t e s e t s t h a t c o n t a i n { c o , c l o , r y l }

( 1 < i < 5 2 ) . I n d e e d , 8 o f t h e y , a r e c o n t a i n e d i n a u n i q u e m a x i m a l o p p o s i t e

s e t , 1 6 a r e i n 2 , 4 a r e i n 3 , 1 6 a r e i n 4 , 6 a r e i n 5 a n d 2 a r e i n 6 m a x i m a l

o p p o s i t e s e t s . F r o m t h i s a n g l e t h i n g s l o o k ( p o s s i b l y ) m o r e i n t e r e s t i n g .


I a m g r a t e f u l t o R . T . C u r t i s a n d R . A . W i l s o n f o r p e r m i s s i o n t o i n c l u d e t h e

o b s e r v a t i o n s b e l o w o n t h e M 2 4 o r b i t s o n m a x i m a l o p p o s i t e s e t s .

R e f e r e n c e s

[ 1 ] F . B u e k e n h o u t , D i a g r a m s f o r g e o m e t r i e s a n d g r o u p s , J . C o m b i n . T h e o r y

( A ) 2 7 ( 1 9 7 9 ) , 1 2 1 - 1 5 1 .

[ 2 ] F . B u e k e n h o u t , D i a g r a m g e o m e t r i e s f o r s p o r a d i c g r o u p s , i n F i n i t e

g r o u p s - c o m i n g o f a g e ( e d . J . M c K a y ) , p p . 1 - 3 2 . C o n t e m p . M a t h . S e r . ,

V o l . 4 5 , A m e r . M a t h . S o c . , 1 9 8 5 .

[ 3 ] J . J . C a n n o n , A n i n t r o d u c t i o n t o t h e g r o u p t h e o r y l a n g u a g e , C a y l e y ,

i n C o m p u t a t i o n a l g r o u p t h e o r y ( e d . M . D . A t k i n s o n ) , p p . 1 4 5 - 1 8 3 . A c a -

d e m i c P r e s s , L o n d o n / N e w Y o r k , 1 9 8 4 .

[ 4 ] J . H . C o n w a y , T h r e e l e c t u r e s o n e x c e p t i o n a l g r o u p s , i n F i n i t e s i m p l e

g r o u p s ( e d s . M . B . P o w e l l a n d G . H i g m a n ) , p p . 2 1 5 - 2 4 7 . A c a d e m i c

P r e s s , N e w Y o r k , 1 9 7 1 .



C h a m b e r g r a p h s 2 5 9

[ 5 ]

R . T . C u r t i s , A n e w c o m b i n a t o r i a l a p p r o a c h t o M 2 4 , M a t h . P r o c . C a m -

b r i d g e P h i l o s . S o c . 7 9 ( 1 9 7 6 ) , 2 5 - 4 2 .

[ 6 ] A . A . I v a n o v a n d S . V . S h p e c t o r o v , G e o m e t r i e s f o r s p o r a d i c g r o u p s r e -

l a t e d t o t h e P e t e r s e n g r a p h , I I , E u r o p e a n J . C o m b i n . 1 0 ( 1 9 8 9 ) , 3 4 7 - 3 6 2 .

[ 7 ] A . N e u m a i e r , S o m e s p o r a d i c g e o m e t r i e s r e l a t e d t o P G ( 3 , 2 ) , A r c h . M a t h .

( B a s e l ) 4 2 ( 1 9 8 4 ) , 8 9 - 9 6 .

[ 8 ] A . P a s i n i , D i a g r a m g e o m e t r i e s , O x f o r d U n i v e r s i t y P r e s s , 1 9 9 4 .

[ 9 ]

M . A . R o n a n a n d S . D . S m i t h , 2 - l o c a l g e o m e t r i e s f o r s o m e s p o r a d i c

g r o u p s , P r o c . S y m p . P u r e M a t h . 3 7 ( 1 9 8 0 ) , 2 8 3 - 2 8 9 .

[ 1 0 ] M . R o n a n a n d G . S t r o t h , M i n i m a l p a r a b o l i c g e o m e t r i e s f o r t h e s p o r a d i c

g r o u p s , E u r o p e a n J . C o m b i n . 5 ( 1 9 8 4 ) , 5 9 - 9 1 .

[ 1 1 ] M . R o n a n , L e c t u r e s o n b u i l d i n g s , A c a d e m i c P r e s s , 1 9 8 9 .

[ 1 2 ] P . R o w l e y a n d L . W a l k e r , A c h a r a c t e r i z a t i o n o f t h e C o t - m i n i m a l

p a r a b o l i c g e o m e t r y , N o v a J . A l g e b r a G e o m . 3 ( 1 9 9 4 ) , 9 7 - 1 5 7 .

[ 1 3 ] P . R o w l e y a n d L . W a l k e r , O n t h e F i 2 2 - m i n i m a l p a r a b o l i c g e o m e t r y ,

G e o m . D e d i c a t a 6 1 ( 1 9 9 6 ) , 1 2 1 - 1 6 7 .

[ 1 4 ] P . R o w l e y a n d L . W a l k e r , T h e m a x i m a l 2 - l o c a l g e o m e t r y f o r J 4 , I ,

P r e p r i n t 1 9 9 4 / 1 1 , M a n c h e s t e r C e n t r e f o r P u r e M a t h e m a t i c s .

[ 1 5 ] P . R o w l e y , T h e c h a m b e r g r a p h o f t h e M 2 4 m a x i m a l 2 - l o c a l g e o m e t r y ,

P r e p r i n t 1 9 9 6 / 8 , M a n c h e s t e r C e n t r e f o r P u r e M a t h e m a t i c s .

[ 1 6 ] P . R o w l e y , D i s c s t r u c t u r e o f c e r t a i n c h a m b e r g r a p h s , i n p r e p a r a t i o n .

[ 1 7 ] Y . S e g e v , O n t h e u n i q u e n e s s o f t h e C o l 2 - l o c a l g e o m e t r y , G e o m . D e d i c a t a

2 5 ( 1 9 8 8 ) , 1 5 9 - 2 1 9 .

[ 1 8 ] M . S u z u k i , G r o u p t h e o r y 1 , S p r i n g e r - V e r l a g , B e r l i n , 1 9 8 2 .

[ 1 9 ] J . T i t s , B u i l d i n g s o f s p h e r i c a l t y p e a n d f i n i t e B N - p a i r s , L e c t u r e N o t e s

3 8 6 , S p r i n g e r , B e r l i n , 1 9 7 4 .

[ 2 0 ] J . T i t s , A l o c a l a p p r o a c h t o b u i l d i n g s , i n T h e g e o m e t r i c v e i n : C o x e t e r

F e s t s c h r i f t ( e d s . C . D a v i s , B . G r i i n b a u m , F . A . S h e r k ) , p p . 5 1 9 - 5 4 7 .

S p r i n g e r , N e w Y o r k , 1 9 8 1 .



2 6 0 P e t e r R o w l e y

E d i t o r s ' n o t e . I t i s n a t u r a l t o a s k w h a t t h e o r b i t s o f M 2 4 a r e o n t h e

m a x i m a l o p p o s i t e s e t s o f c h a m b e r s . I t t u r n s o u t t h a t t h e r e a r e j u s t f i v e o r b i t s ,

r e p r e s e n t e d b y ( 6 , 1 3 , 3 5 ) , ( 1 3 , 2 6 , 3 5 ) , ( 8 , 1 1 , 3 1 ) , ( 6 , 2 1 , 3 6 ) a n d ( 1 0 , 2 0 , 2 7 ) .

T h e s t a b i l i z e r s a r e r e s p e c t i v e l y 2 , 2 , 4 , 5 : 4 a n d 5 : 4 . T o s e e t h a t t h e r e a r e a t

l e a s t f o u r o r b i t s , w e i n t r o d u c e a n i n v a r i a n t . F o r e a c h m a x i m a l o p p o s i t e s e t

o f c h a m b e r s , w e c o n s i d e r t h e f i v e c o r r e s p o n d i n g o c t a d s , a n d f o r e a c h o f t h e s e

o c t a d s w e j o i n t w o p o i n t s i n t h e o c t a d w h e n e v e r t h e y b o t h l i e i n o n e o f t h e

o t h e r f o u r o c t a d s . T h i s g i v e s u s a s e t o f f i v e g r a p h s , e a c h w i t h e i g h t p o i n t s

a n d f o u r e d g e s . I n t h e f i v e c a s e s l i s t e d a b o v e , t h e s i z e s o f t h e c o m p o n e n t s o f

t h e s e f i v e g r a p h s g i v e t h e r e s p e c t i v e i n v a r i a n t s :

6 , 1 3 , 3 5

:

( 3 3 1 1 , 4 2 1 1 , 4 2 1 1 , 5 1 1 1 , 5 1 1 1 )

1 3 , 2 6 , 3 5

: ( 2 2 2 2 , 3 2 2 1 , 3 2 2 1 , 4 2 1 1 , 4 2 1 1 )

8 , 1 1 , 3 1

:

( 4 1 1 1 1 , 4 2 1 1 , 4 2 1 1 , 4 2 1 1 , 4 2 1 1 )

6 , 2 1 , 3 6 a n d 1 0 , 2 0 , 2 7 :

( 2 2 2 2 , 2 2 2 2 , 2 2 2 2 , 2 2 2 2 , 2 2 2 2 )

I n e a c h c a s e e x c e p t t h e c o m p o n e n t o f s i z e 4 i n t h e f i r s t g r a p h f o r t h e t h i r d

c a s e , w h i c h i s a s q u a r e , a l l t h e s e c o m p o n e n t s a r e p a t h s .

W e k n o w t h a t t h e s t a b i l i z e r o f c o a n d c l o i s a g r o u p o f o r d e r 2 , g e n e r a t e d

b y x , a n d x d o e s n o t f i x a n y o f t h e l i s t e d m a x i m a l o p p o s i t e s e t s o f c h a m b e r s .

I t f o l l o w s a t o n c e t h a t t h e s t a b i l i z e r o f a m a x i m a l o p p o s i t e s e t c o n t a i n s n o

e l e m e n t s o f o r d e r 3 , a n d n o e l e m e n t s a c t i n g a s a t r a n s p o s i t i o n o f S 5 o n t h e

f i v e c h a m b e r s . T h e r e f o r e i n a l l f i v e c a s e s t h e s t a b i l i z e r c a n b e n o b i g g e r t h a n

t h a t s t a t e d a b o v e .

O n t h e o t h e r h a n d , w e c a n e x h i b i t g r o u p s o f a t l e a s t t h e g i v e n s i z e s w h i c h

s t a b i l i z e t h e r e s p e c t i v e m a x i m a l o p p o s i t e s e t s . T h e f i r s t t w o a r e s t a b i l i z e d b y

y o n l y , w h i l e t h e t h i r d i s f i x e d b y t h e e l e m e n t

( o o , 8 , 3 , 1 4 ) ( 0 , 1 8 , 1 5 , 2 0 ) ( 1 , 1 3 , 2 1 , 1 1 ) 1 1 ) ( 2 , 1 2 , 7 , 2 2 ) ( 4 , 5 , 1 0 , 6 ) ( 9 , 1 7 , 1 9 , 1 6 )

o f M 2 4 . T h e c a s e ( 6 , 1 3 , 3 5 ) i s i n v a r i a n t u n d e r y a n d t h e e l e m e n t

( o o , 2 0 , 0 , 8 ) ( 1 , 9 , 5 , 2 2 ) ( 2 , 1 6 , 1 1 , 1 0 ) ( 3 , 1 4 , 1 5 , 1 8 ) ( 4 , 7 , 1 3 , 1 7 ) ( 6 , 1 2 , 1 9 , 2 1 )

o f M 2 4 , w h i c h t o g e t h e r g e n e r a t e 5 : 4 . I n p a r t i c u l a r , t h e s t a b i l i z e r i s 2 - t r a n s i t i v e

o n t h e f i v e c h a m b e r s , w h i c h i m p l i e s t h a t t h e o n l y o t h e r i m a g e o f i t w h i c h a l s o

c o n t a i n s c o a n d c l o i s i t s i m a g e u n d e r x . I t f o l l o w s t h a t i t i s n o t i n t h e s a m e

M 2 4 - o r b i t a s ( 1 0 , 2 0 , 2 7 ) , w h o s e s t a b i l i z e r i s a l s o 5 : 4 , g e n e r a t e d b y x y a n d t h e

e l e m e n t

( o o , 1 4 , 1 5 , 1 8 ) ( 0 , 2 0 , 3 , 8 ) ( 1 , 2 , 9 , 1 7 ) ( 4 , 2 1 , 7 , 6 ) ( 5 , 1 0 , 1 2 , 1 1 ) ( 1 3 , 1 9 , 1 6 , 2 2 ) .




R o b e r t A . W i l s o n

A b s t r a c t

W e d e s c r i b e a c o l l e c t i o n o f s e v e r a l h u n d r e d r e p r e s e n t a t i o n s o f 2 5 o f

t h e 2 6 s p o r a d i c g r o u p s , a n d m a n y r e l a t e d g r o u p s . A l l t h e s e r e p r e s e n -

t a t i o n s a r e a v a i l a b l e o n t h e w o r l d - w i d e w e b .


T h e ` A T L A S o f f i n i t e g r o u p s ' [ 5 ] w a s o r i g i n a l l y c o n c e i v e d b y i t s a u t h o r s a s V o l -

u m e 1 o f a s e r i e s , a s i t s s u b t i t l e ` M a x i m a l s u b g r o u p s a n d o r d i n a r y c h a r a c t e r s

f o r s i m p l e g r o u p s ' m i g h t s u g g e s t . I n t h e e v e n t , s u b s e q u e n t v o l u m e s h a v e b e e n

r a t h e r s l o w t o a p p e a r , w i t h V o l u m e 2 , t h e ` s c A t l a s o f B r a u e r c h a r a c t e r s ' ( o r

` A B C ' f o r s h o r t [ 8 ] ) , b e i n g p u b l i s h e d i n 1 9 9 5 , j u s t i n t i m e f o r t h i s c o n f e r e n c e .

I n d e e d , e v e n t h i s i s o n l y P a r t 1 o f V o l u m e 2 , a s t h e a c c i d e n t a l l y u n d e l e t e d

s u b t i t l e o n p a g e 1 p r o c l a i m s , i n t h a t i t o n l y i n c l u d e s g r o u p s o f o r d e r u p t o

1 0 9 .

A t t h i s c o n f e r e n c e , s e v e r a l s u g g e s t i o n s f o r V o l u m e 3 h a v e b e e n m a d e , m o s t

i n v o l v i n g l a r g e q u a n t i t i e s o f d a t a s t o r e d o n c o m p u t e r s . I t s e e m s l i k e l y t h a t

w h a t e v e r V o l u m e 3 e v e n t u a l l y t u r n s o u t t o b e , i t w i l l n o t b e a b i g h e a v y b o o k

o f t h e t y p e h i t h e r t o a s s o c i a t e d w i t h t h e w o r d ` A T L A S ' .

M y o w n s u b m i s s i o n a s a c a n d i d a t e f o r V o l u m e 3 i s a c o l l e c t i o n o f e x p l i c i t

r e p r e s e n t a t i o n s o f g r o u p s . A n u m b e r o f t h e s e w e r e m e n t i o n e d i n t h e ` A T L A S

o f f i n i t e g r o u p s ' u n d e r t h e n o w n o t o r i o u s p h r a s e ` E x p l i c i t m a t r i c e s h a v e b e e n

c o m p u t e d . ' M a n y o t h e r s h a v e b e e n c o m p u t e d s i n c e .

I n f a c t , i t i s d i f f i c u l t

t o k n o w w h e r e t o s t o p w i t h s u c h a c o l l e c t i o n o f r e p r e s e n t a t i o n s , a n d i t ( l i k e

m a n y d a t a b a s e s ) c o u l d e a s i l y b e a l l o w e d t o e x p a n d t o f i l l a l l t h e d i s k - s p a c e

a v a i l a b l e .

F o r t h e m o m e n t , t h i s ` A T L A S o f g r o u p r e p r e s e n t a t i o n s ' c o n c e n t r a t e s o n t h e

s p o r a d i c s i m p l e g r o u p s , a n d w e n o w h a v e ( i n p r i n c i p l e ) r e p r e s e n t a t i o n s o f a l l

o f t h e s e a n d t h e i r c o v e r s a n d a u t o m o r p h i s m g r o u p s , w i t h t h e t w o e x c e p t i o n s

o f t h e M o n s t e r s a n d t h e d o u b l e c o v e r o f t h e B a b y M o n s t e r . A l i s t o f t h e

1 N o t e a d d e d i n p r o o f . T h i s d e f i c i e n c y h a s n o w b e e n c o r r e c t e d . A c o m p u t e r c o n s t r u c t i o n ,

c o m p l e t e d o n 2 9 t h M a y 1 9 9 7 , i s d e s c r i b e d i n [ 1 4 ] ( s e e a l s o [ 3 8 ] ) .

2 6 1



2 6 2 R o b e r t A . W i l s o n

g r o u p s a n d r e p r e s e n t a t i o n s t h a t a r e i n c l u d e d i s g i v e n i n T a b l e 1 , t h o u g h i t

w i l l s u r e l y b e o u t - o f - d a t e b y t h e t i m e i t i s p r i n t e d . T h e r e a d e r m a y o b j e c t

t h a t t h e r e i s n o r e p r e s e n t a t i o n o f

o r

i n t h e l i s t , b u t t h i s s h o u l d

n o t m a t t e r t o o m u c h , a s r e p r e s e n t a t i o n s o f a n d a r e g i v e n .

( I n f a c t , t h e r e s e e m s t o b e n o c o n v e n i e n t f a i t h f u l r e p r e s e n t a t i o n o f

t o

c o n s t r u c t . P e r h a p s t h e b e s t w o u l d b e a s a g r o u p o f p e r m u t a t i o n s o n 3 7 0 6 5 6

p o i n t s . )

O n e o b v i o u s d i r e c t i o n i n w h i c h t h i s ` A T L A S ' c o u l d b e e x t e n d e d i s t o i n c l u d e

a l l e x c e p t i o n a l c o v e r s o f g e n e r i c g r o u p s . T h e r e s e e m s t o b e n o s e r i o u s o b s t a c l e

( e x c e p t l a c k o f t i m e a n d e n e r g y ) t o d o i n g s o , a l t h o u g h i t m a y b e q u i t e a

c h a l l e n g e t o c o n s t r u c t a r e p r e s e n t a t i o n o f ( 2 2 x

A n o t h e r p o s s i b l e

d i r e c t i o n i s t o c o n s i d e r c h a r a c t e r i s t i c 0 m a t r i x r e p r e s e n t a t i o n s o f r e a s o n a b l y

s m a l l d e g r e e - t h i s i s a n o b v i o u s a r e a f o r a p p l i c a t i o n o f R . A . P a r k e r ' s n e w

i n t e g r a l M e a t - a x e [ 2 4 ] .

I n d e e d , i n t h e y e a r s s i n c e t h i s p a p e r w a s f i r s t w r i t t e n w e h a v e a d d e d a

g r e a t d e a l , a n d s e t u p a w o r l d - w i d e - w e b s i t e t o m a k e t h e s e r e p r e s e n t a t i o n s

g e n e r a l l y a v a i l a b l e . T h e U R L i s h t t p : / / w w w . m a t . b h a m . a c . u k / a t l a s / . T h e

t o t a l n u m b e r o f r e p r e s e n t a t i o n s c o n t a i n e d h e r e i s n o w o v e r 6 0 0 .

T h e r e p r e s e n t a t i o n s c o l l e c t e d h e r e h a v e b e e n o b t a i n e d i n v a r i o u s w a y s ,

w h i c h c a n b e r o u g h l y d i v i d e d i n t o t h e f o l l o w i n g f o u r c a t e g o r i e s .

1 . F r o m e x i s t i n g l i t e r a t u r e o n h a n d c o n s t r u c t i o n s , o r c o n s t r u c t i o n s i n v o l v -

i n g l i m i t e d u s e o f a c o m p u t e r . F o r e x a m p l e , s o m e r e p r e s e n t a t i o n s o f

t h e M a t h i e u g r o u p s a n d L e e c h l a t t i c e g r o u p s , a s w e l l a s J 1 a n d R u .

2 . F r o m e x i s t i n g c o m p u t e r c o n s t r u c t i o n s . F o r e x a m p l e , r e p r e s e n t a t i o n s o f

t h e F i s c h e r g r o u p s , L y , T h , a n d J 4 .

3 . B y c o n s t r u c t i n g r e p r e s e n t a t i o n s a b i n i t i o . F o r e x a m p l e , r e p r e s e n t a t i o n s

o f 4 - M 2 2 , H N , B , a n d n e w r e p r e s e n t a t i o n s o f O ' N , L y , F i 2 4 a n d H e .

4 . B y c o n s t r u c t i n g n e w r e p r e s e n t a t i o n s f r o m o l d o n e s . F o r e x a m p l e , o t h e r

r e p r e s e n t a t i o n s o f t h e M a t h i e u g r o u p s , J 1 , R u , S u z , F i 2 2 , a n d o t h e r s .

W e n o w c o n s i d e r t h e s e v a r i o u s m e t h o d s i n m o r e d e t a i l .

1 E x i s t i n g ` h a n d ' c o n s t r u c t i o n s

H e r e w e a l s o i n c l u d e s o m e c o n s t r u c t i o n s w h i c h w e r e o r i g i n a l l y c o m p u t e r -

a s s i s t e d , b u t w h i c h a r e s m a l l e n o u g h f o r g r o u p g e n e r a t o r s t o b e e n t e r e d b y

h a n d . M o s t o f t h e s e c o n s t r u c t i o n s a r e d e r i v e d e i t h e r f r o m t h e c o n s t r u c t i o n s o f

M 1 2 a n d M 2 4 b y M a t h i e u [ 1 7 ] , [ 1 8 ] , o r t h e c o n s t r u c t i o n o f C o l b y C o n w a y [ 2 ] .

I n p a r t i c u l a r , a l l t h e l i s t e d p e r m u t a t i o n r e p r e s e n t a t i o n s o f t h e M a t h i e u g r o u p s




2 6 3

T a b l e 1 : A v a i l a b l e r e p r e s e n t a t i o n s o f s p o r a d i c g r o u p s

G r o u p D e g r e e F i e l d

G r o u p

D e g r e e F i e l d

M 1 1 1 1 1 4 - M 2 2

5 6

2 5

1 2 1

1 6 4 9

1 0 2

5 6

1 2 1

5

3

4

1 6 4 6 -

1 1 2 - M 2 2 4 8 2 5

1 0

2

2 4 1 2 1

2 - M 1 2 2 4 1

1 2 - M 2 2 : 2

4 8

1 1

2 - M 1 2 : 2

4 8 1 J 2 6 4

1 0

3

J 2 : 2 1 0 0 1

1 2

3

1 4

5

J 1

2 6 6 1 2 - J 2

6 9

1 0 4 5

1

2 - J 2 : 2 1 2

3

1 4 6 3 1 M 2 3 2 3 1

1 5 4 0

1

1 1

2

1 5 9 6

1 2 8 0

2 3

2 9 2 6 1 H S 1 0 0 1

4 1 8 0

1 1 7 6

1

2 0 2

H S : 2 1 0 0 1

5 6

9

3 5 2 1

5 6 5

1 5 4 0 0

1

3 1 7

2 0 2

7

1 1 2 2

3

2 2

1 9

2 1

5

M 2 2 2 2 1

8 9 6

1 1

M 2 2 : 2 2 2 1

2 - H S

2 8

5

7 7

1

2 - H S : 2 1 1 2

3

1 0 2

5 6 5

2 M 2 2

1 0 7

J 3

1 8

9

2 M 2 2 : 2

1 0

7

J 3 : 2 6 1 5 6 1

3 - M 2 2

6 4 3 6

3

2 1

2 5

3 - J 3 9

4

2 1

7

1 8

2

2 1 1 2 1 M 2 4 2 4

1

3 - M 2 2 : 2

1 2 2



2 6 4 R o b e r t A . W i l s o n

G r o u p

D e g r e e F i e l d G r o u p

D e g r e e F i e l d

M c L

2 1 5

C o t

2 3 0 0 1

1 2 0 0 2 5 4 6 0 0

1

M c L : 2

2 1

5

2 2

2

3 - M c L

3 9 6

4 2 4 2

4 5 2 5 2 3 3

3 - M c L : 2 9 0 5

F i 2 2

3 5 1 0

1

H e

5 1

4 F i 2 2 : 2 3 5 1 0 1

5 1

2 5 7 8

2

H e : 2 2 0 5 8 1

7 7 3

1 0 2

2 2 F i 2 2

2 8 1 6 0 1

1 0 2

5

1 7 6

3

5 0

7

3 5 2 5

R u 4 0 6 0 1

2 - F i 2 2 : 2

3 5 2 3

2 8 2 3 5 2 5

2 - R u

1 6 2 4 0 1

3 - F i 2 2

2 7

4

2 8

5

3 - F i 2 2 : 2

5 4

2

S u z

1 7 8 2 1

H N 1 3 2

4

S u z : 2

6 4

3

H N : 2

2 6 4

2

1 7 8 2 1 1 3 3

5

2 - S u z 1 2 3

L y

1 1 1

5

2 - S u z : 2 1 2 3

6 5 1

3

3 - S u z

1 2 4 2 4 8 0 4

3 - S u z : 2

2 4

2 T h 2 4 8 2

5 3 4 6

1 2 4 8

3

6 - S u z

2 4

3

F i 2 3

3 1 6 7 1

1

6 - S u z : 2

2 4

3

7 8 2 2

O ' N

1 5 4

3

2 5 3

3

O ' N

4 0 6 7 C o l

2 4

2

O ' N : 2

1 5 4

9

2 - C o l 2 4

3

O ' N : 4

1 5 4

3 J 4

1 1 2 2

3 . 0 ' N

1 5 3

4 F i ' 2 4 : 2

3 0 6 9 3 6

1

3 . O ' N : 2

9 0

7

7 8 1

3

3 0 6

2 3 - F i 2 4

9 2 0 8 0 8

1

C o 3

2 2 2

7 8 3

4

2 2

3

3 - F i 2 4 : 2

1 5 6 6 2

2 7 6

1

B

4 3 7 0

2

N o t e : w e a d o p t t h e c o n v e n t i o n t h a t a n u n d e r l y i n g ` f i e l d ' o f o r d e r 1 s i g n i f i e s

a p e r m u t a t i o n r e p r e s e n t a t i o n .



A n A t l a s o f s p o r a d i c g r o u p r e p r e s e n t a t i o n s 2 6 5

a r e e a s i l y o b t a i n e d i n t h i s w a y . S i m i l a r l y , t h e 2 4 - d i m e n s i o n a l c h a r a c t e r i s t i c

z e r o m a t r i x r e p r e s e n t a t i o n o f 2 - C o l c a n b e w r i t t e n o v e r t h e i n t e g e r s a n d

r e d u c e d m o d u l o a n y p r i m e , a n d e a s i l y g i v e s r i s e t o a l l t h e l i s t e d m a t r i x r e p r e -

s e n t a t i o n s o f C o 2 i C o 3 , S u z a n d i t s d e c o r a t i o n s , a s w e l l a s t h o s e o f d i m e n s i o n

2 0 , 2 1 a n d 2 2 f o r H S a n d M c L .

O t h e r c o n s t r u c t i o n s o f t h i s t y p e a r e t h e 2 8 - d i m e n s i o n a l r e p r e s e n t a t i o n o f

b y C o n w a y a n d W a l e s [ 4 ] ( s e e a l s o C o n w a y ' s l a t e r s i m p l i f i c a t i o n [ 1 ] ) ,

a s w e l l a s t h e 3 6 - d i m e n s i o n a l r e p r e s e n t a t i o n o f 3 - J 3 : 2 [ 3 ] . E a s i e s t o f a l l i s

t h e 7 - d i m e n s i o n a l r e p r e s e n t a t i o n o f J l d e s c r i b e d b y J a n k o [ 7 ] . P e r h a p s h e r e

w e s h o u l d a l s o m e n t i o n t h e 9 - d i m e n s i o n a l r e p r e s e n t a t i o n o f

o v e r G F ( 4 ) ,

f i r s t f o u n d b y R i c h a r d P a r k e r u s i n g t h e M e a t - a x e , l a t e r t i d i e d u p b y B e n s o n

a n d C o n w a y i n t o t h e f o r m g i v e n i n t h e A T L A S .

S o m e s m a l l p e r m u t a t i o n r e p r e s e n t a t i o n s w h i c h c a n b e o b t a i n e d b y h a n d

i n c l u d e t h e r e p r e s e n t a t i o n s o f H S a n d J 2 , a n d t h e i r a u t o m o r p h i s m g r o u p s ,

o n 1 0 0 p o i n t s , a n d H S : 2 o n 3 5 2 p o i n t s .

2

E x i s t i n g c o m p u t e r c o n s t r u c t i o n s

U n d e r t h i s h e a d i n g t h e r e a r e s o m e f a m o u s c o n s t r u c t i o n s , a s w e l l a s a n u m b e r

o f u n p u b l i s h e d o n e s w h i c h h a v e o f t e n b e e n d u p l i c a t e d .

I n a d d i t i o n , t h e r e

a r e s o m e c o n s t r u c t i o n s w h i c h w e r e e s s e n t i a l l y d o n e b y h a n d , b u t w h i c h a r e

s i m p l y t o o b i g t o e n t e r i n t o a c o m p u t e r i n a n y s i m p l e - m i n d e d m a n n e r .

P e r h a p s t h e m o s t i m p o r t a n t o r i g i n a l m a t r i x c o n s t r u c t i o n w a s t h a t o f J 4 i n

d i m e n s i o n 1 1 2 o v e r G F ( 2 ) b y N o r t o n a n d P a r k e r [ 2 1 ] , p i o n e e r i n g a t e c h n i q u e

t h a t h a s s i n c e b e c o m e s t a n d a r d ( s e e [ 2 5 ] ) . O t h e r i m p o r t a n t o n e s t o m e n t i o n

a r e P a r k e r ' s c o n s t r u c t i o n [ 1 9 ] o f t h e L y o n s g r o u p i n 0 1 1 1 ( 5 ) , a n d 3 - O ' N i n

G L 4 5 ( 7 ) ( s e e [ 2 8 ] ) , a s w e l l a s i n G U 2 7 ( 2 ) . T h e T h o m p s o n g r o u p w a s

c o n s t r u c t e d b y S m i t h [ 3 1 ] i n c h a r a c t e r i s t i c 0 , a n d a n a n a l o g o u s c o n s t r u c t i o n

i n c h a r a c t e r i s t i c 3 w a s g i v e n b y L i n t o n [ 1 2 ] . A n e x p l i c i t c o n s t r u c t i o n o f t h e

H e l d g r o u p w a s g i v e n b y R y b a [ 2 7 ] .

T h e r e a r e a l s o s o m e i m p o r t a n t c o n s t r u c t i o n s o f p e r m u t a t i o n r e p r e s e n t a -

t i o n s b y c o s e t e n u m e r a t i o n . A n e a r l y e x a m p l e w a s t h e c o n s t r u c t i o n o f J 3

b y H i g m a n a n d M c K a y a s a p e r m u t a t i o n g r o u p o n 6 1 5 6 p o i n t s [ 6 ] .

T h e

p e r m u t a t i o n r e p r e s e n t a t i o n s o f t h e F i s c h e r g r o u p s c a n a l s o b e c o n s i d e r e d i n

t h i s c a t e g o r y , e s p e c i a l l y t h e r e p r e s e n t a t i o n s o f F i 2 4 a n d 3 - F i 2 4 w h i c h w e r e

p r o v i d e d f o r u s b y S t e v e L i n t o n , u s i n g h i s d o u b l e - c o s e t e n u m e r a t o r [ 1 3 ] .

3 A b i n i t i o c o n s t r u c t i o n s

T h e i m p e t u s t o s t a r t m a k i n g a s y s t e m a t i c c o l l e c t i o n o f m a t r i x r e p r e s e n t a -

t i o n s o f t h e s p o r a d i c g r o u p s c a m e i n J u n e 1 9 9 1 w h e n K l a u s L u x a s k e d m e



2 6 6 R o b e r t A . W i l s o n

f o r r e p r e s e n t a t i o n s o f s e v e r a l o f t h e l a r g e s p o r a d i c g r o u p s . S e a r c h i n g t h r o u g h

m y f i l e s , I f o u n d t w o o r t h r e e o f t h e s e , b u t d i d n o t f i n d H N o r F i 2 4 . A c -

c o r d i n g l y , I t r i e d t o c o n s t r u c t H N , c h o o s i n g t h e 1 3 3 - d i m e n s i o n a l o r t h o g o n a l

r e p r e s e n t a t i o n o v e r G F ( 5 ) . T h i s c o n s t r u c t i o n t o o k m e t h r e e d a y s [ 3 0 ] , s o

I n e x t t a c k l e d t h e 7 8 1 - d i m e n s i o n a l o r t h o g o n a l r e p r e s e n t a t i o n o f F i 2 4 o v e r

G F ( 3 ) , w h i c h t o o k o n l y t w o d a y s [ 4 0 ] . T h e f o l l o w i n g w e e k I c o n s t r u c t e d t h e

4 3 7 0 - d i m e n s i o n a l r e p r e s e n t a t i o n o f t h e B a b y M o n s t e r o v e r G F ( 2 ) ( s e e [ 3 9 ] ) .

I n e a c h c a s e , t h e c o n s t r u c t i o n f o l l o w s P a r k e r ' s m e t h o d [ 2 5 ] .

S u b s e q u e n t l y I r e t u r n e d t o t h e s u b j e c t a t i n t e r v a l s w h e n s u i t a b l e i n t e r -

e s t i n g c o n s t r u c t i o n p r o b l e m s p r e s e n t e d t h e m s e l v e s . I b r a h i m S u l e i m a n a n d I

g a v e t h e f i r s t ( s o f a r a s w e a r e a w a r e ) e x p l i c i t c o n s t r u c t i o n o f

a g r o u p

w h i c h a f e w y e a r s p r e v i o u s l y h a d b e e n ` p r o v e d ' n o t t o e x i s t .

W h i l e w o r k i n g w i t h C h r i s t o p h J a n s e n o n c o m p u t i n g m o d u l a r c h a r a c t e r

t a b l e s , w e d e c i d e d t o t a c k l e t h e v e r y c h a l l e n g i n g p r o b l e m o f d e t e r m i n i n g

t h e 2 - m o d u l a r c h a r a c t e r t a b l e o f t h e O ' N a n g r o u p . A f t e r s o m e e x p l o r a t o r y

c a l c u l a t i o n s h e s u g g e s t e d t h a t i t w a s p o s s i b l e t h a t t h e r e d u c t i o n o f t h e d e g r e e

4 9 5 c h a r a c t e r s m o d u l o 2 m i g h t c o n t a i n a d e g r e e 3 4 2 c h a r a c t e r - i f s o t h e n

3 . O ' N w o u l d h a v e a n i r r e d u c i b l e ( u n i t a r y ) 1 5 3 - d i m e n s i o n a l r e p r e s e n t a t i o n

o v e r G F ( 4 ) . I t s e e m e d c l e a r t o m e t h a t t h e e a s i e s t w a y t o p r o v e t h i s w o u l d b e

t o c o n s t r u c t t h e r e p r e s e n t a t i o n f r o m s c r a t c h - w h i c h w e d i d t h e n e x t d a y [ 9 ] .

( I n f a c t , w e w e n t o n t o c o m p l e t e t h e 2 - m o d u l a r c h a r a c t e r t a b l e [ 1 0 ] s o o n

a f t e r w a r d s . )

B y a r e m a r k a b l e c o i n c i d e n c e , a v e r y s i m i l a r c h a i n o f e v e n t s l e d u s t o

t h e c o n s t r u c t i o n o f a 1 5 4 - d i m e n s i o n a l o r t h o g o n a l r e p r e s e n t a t i o n o f O ' N o v e r

G F ( 3 ) . T h i s s u g g e s t e d t o u s t h a t w e s h o u l d l o o k f o r o t h e r s u c h ` s u r p r i s i n g '

r e p r e s e n t a t i o n s t o c o n s t r u c t , a n d i n f a c t w e s h o w e d t h a t t h e r e w a s o n l y o n e

m o r e ( w i t h a s u i t a b l e d e f i n i t i o n o f ` s u r p r i s i n g ' ) , n a m e l y a 6 5 1 - d i m e n s i o n a l

o r t h o g o n a l r e p r e s e n t a t i o n o f t h e L y o n s g r o u p o v e r G F ( 3 ) , a c o n s t r u c t i o n o f

w h i c h i s d e s c r i b e d i n [ 1 1 ] . A s i m i l a r c o n s t r u c t i o n g i v e s t h e 2 4 8 0 - d i m e n s i o n a l

u n i t a r y r e p r e s e n t a t i o n o v e r G F ( 4 ) ( s e e [ 4 1 ] ) .

4

S t a n d a r d g e n e r a t o r s

B e f o r e c o n s i d e r i n g t h e v a r i o u s w a y s o f c o n s t r u c t i n g n e w r e p r e s e n t a t i o n s f r o m

o l d o n e s , i t i s w o r t h p a u s i n g b r i e f l y t o d i s c u s s g e n e r a t o r s f o r t h e g r o u p s . E a c h

r e p r e s e n t a t i o n i s m o s t c o n v e n i e n t l y s t o r e d a s a l i s t o f m a t r i c e s ( o r p e r m u t a -

t i o n s ) g i v i n g t h e i m a g e s o f c e r t a i n g r o u p g e n e r a t o r s i n t h a t r e p r e s e n t a t i o n .

F o r v a r i o u s r e a s o n s i t i s i m p o r t a n t t o s t a n d a r d i z e t h e g e n e r a t o r s f o r e a c h g i v e n

g r o u p . F o r e x a m p l e , t h e t e n s o r p r o d u c t o f t w o r e p r e s e n t a t i o n s o f a g r o u p G

c a n o n l y b e m a d e i f t h e s a m e g e n e r a t o r s f o r G a r e a v a i l a b l e i n b o t h r e p r e s e n -

t a t i o n s . A d i s c u s s i o n o f s o m e o f t h e i s s u e s i n v o l v e d i n c h o o s i n g s u c h ` s t a n d a r d

g e n e r a t o r s ' c a n b e f o u n d i n [ 4 2 ] , a n d s o m e i m p l i c a t i o n s a n d a p p l i c a t i o n s a r e




e x p l o r e d i n [ 3 4 ] , u s i n g t h e s p e c i f i c e x a m p l e o f t h e g r o u p J 3 .

H e r e w e s i m p l y l i s t i n T a b l e s 2 a n d 3 t h e d e f i n i n g p r o p e r t i e s o f o u r s t a n d a r d

g e n e r a t o r s f o r t h e g r o u p s G a n d G : 2 , w h e r e G i s a s p o r a d i c s i m p l e g r o u p . F o r

t h e p r e s e n t , w e c o n s i d e r g e n e r a t o r s f o r c o v e r i n g g r o u p s t o b e s t a n d a r d i f t h e y

m a p t o s t a n d a r d g e n e r a t o r s o f G o r G : 2 u n d e r t h e n a t u r a l q u o t i e n t m a p .

T h u s t h e y a r e n o t ( y e t ) d e f i n e d u p t o a u t o m o r p h i s m s 2 .

5

N e w r e p r e s e n t a t i o n s f r o m o l d

T h e r e a r e m a n y t e c h n i q u e s a v a i l a b l e f o r o b t a i n i n g n e w r e p r e s e n t a t i o n s f o r

a g r o u p f r o m o l d o n e s . T h e b a s i c m e t h o d , w h i c h w a s t h e r a t i o n a l e b e h i n d

t h e o r i g i n a l d e v e l o p m e n t o f t h e M e a t - a x e [ 2 3 ] , i s t o t e n s o r t w o m a t r i x r e p -

r e s e n t a t i o n s ( o v e r t h e s a m e f i e l d ) t o g e t h e r , a n d t h e n c h o p u p t h e r e s u l t i n t o

i r r e d u c i b l e s . T h i s e n a b l e s m a n y r e p r e s e n t a t i o n s i n t h e s a m e c h a r a c t e r i s t i c

a s t h e o r i g i n a l t o b e c o n s t r u c t e d . V a r i o u s t e c h n i c a l r e f i n e m e n t s c a n b e u s e d

t o e x t e n d t h e r a n g e o f t h i s b a s i c t e c h n i q u e . F o r e x a m p l e , u s e o f s y m m e t r i c

a n d e x t e r i o r s q u a r e s , a n d o t h e r h i g h e r s y m m e t r i z e d p o w e r s , i n a d d i t i o n t o

t e n s o r p r o d u c t s . T h e i d e a s o f c o n d e n s a t i o n , e x p l o i t e d b y R y b a [ 2 9 ] , L u x a n d

W i e g e l m a n n [ 1 5 ] , a n d o t h e r s , c a n a l s o b e u s e d h e r e .

A m a t r i x r e p r e s e n t a t i o n w i l l y i e l d a p e r m u t a t i o n r e p r e s e n t a t i o n b y c a l -

c u l a t i n g t h e a c t i o n o f t h e g r o u p o n a n o r b i t o f v e c t o r s ( o r 1 - d i m e n s i o n a l

s u b s p a c e s , o r k - d i m e n s i o n a l s u b s p a c e s , o r a n y o t h e r c o n v e n i e n t o b j e c t s ) . A

p e r m u t a t i o n r e p r e s e n t a t i o n c a n b e r e d u c e d m o d u l o a n y p r i m e a n d c h o p p e d

u p w i t h t h e M e a t - a x e i n t o i r r e d u c i b l e s - i n t h i s c o n t e x t t h e c o n d e n s a t i o n

m e t h o d r e a l l y c o m e s i n t o i t s o w n ( s e e f o r e x a m p l e [ 1 0 ] , a m o n g m a n y o t h e r s ) .

T h e s e t w o i d e a s t o g e t h e r e n a b l e o n e t o c h a n g e c h a r a c t e r i s t i c - t h a t i s , g i v e n

a r e p r e s e n t a t i o n o f G o v e r a f i e l d o f c h a r a c t e r i s t i c p , o b t a i n o n e o v e r a f i e l d

o f c h a r a c t e r i s t i c q .

S o m e o f t h e s e t e c h n i q u e s c a n c h a n g e t h e g r o u p b e i n g r e p r e s e n t e d . F o r

e x a m p l e , t h e t e n s o r p r o d u c t o f t w o f a i t h f u l i r r e d u c i b l e r e p r e s e n t a t i o n s o f a

d o u b l e c o v e r w i l l r e p r e s e n t o n l y G , s i n c e t h e c e n t r a l i n v o l u t i o n a c t s a s t h e

s c a l a r ( - 1 ) x ( - 1 ) = + 1 . S i m i l a r l y , i f a n o r b i t o f s u b s p a c e s i s p e r m u t e d i n a

m a t r i x r e p r e s e n t a t i o n , t h e n i n t h e r e s u l t i n g p e r m u t a t i o n r e p r e s e n t a t i o n t h e

s c a l a r s a c t t r i v i a l l y . A n o t h e r u s e f u l e x a m p l e h e r e i s t h e f o l l o w i n g : t o o b t a i n a

r e p r e s e n t a t i o n o f

t a k e t h e t e n s o r p r o d u c t o f a r e p r e s e n t a t i o n o f

a n d a r e p r e s e n t a t i o n o f

T h e r e a r e t w o o t h e r i m p o r t a n t w a y s o f c h a n g i n g t h e g r o u p . F i r s t , i f H i s

a s u b g r o u p o f G , a n d w e c a n f i n d w o r d s i n o u r g e n e r a t o r s o f G w h i c h g i v e

g e n e r a t o r s o f H , t h e n a n y r e p r e s e n t a t i o n o f G c a n b e r e s t r i c t e d t o H . S e c o n d ,

i f w e h a v e a r e p r e s e n t a t i o n o f G t h e n w e c a n c o n s t r u c t a r e p r e s e n t a t i o n o f

2 N o t e a d d e d i n p r o o f . T h i s d e f i c i e n c y h a s a l s o

n o w b e e n c o r r e c t e d i n m o s t c a s e s .



2 6 8


T a b l e 2 : S t a n d a r d g e n e r a t o r s o f s p o r a d i c s i m p l e g r o u p s

G r o u p T r i p l e ( a , b , a b )

M i l

2 , 4 , 1 1

M 1 2

2 B , 3 B , 1 1

J 1 2 , 3 , 7

M 2 2

J 2

2 A , 4 A , 1 1

2 B , 3 B , 7

M 2 3

2 , 4 , 2 3

H S

2 A , 5 A , 1 1

J 3

2 A , 3 A , 1 9

M 2 4

2 B , 3 A , 2 3

M c L 2 A , 5 A , 1 1

H e

2 A , 7 C , 1 7

R u

2 B , 4 A , 1 3

S u z

2 B , 3 B , 1 3

O ' N

2 A , 4 A , 1 1

C o 3

3 A , 4 A , 1 4

C o 2 2 A , 5 A , 2 8

F i 2 2 2 A , 1 3 , 1 1

H N 2 A , 3 B , 2 2

L y

2 , 5 A , 1 4

T h

2 , 3 A , 1 9

F i 2 3 2 B , 3 D , 2 8

C o l

2 B , 3 C , 4 0

J 4

2 A , 4 A , 3 7

F i 2 4 ' 2 A , 3 E , 2 9

B

2 C , 3 A , 5 5

M 2 A , 3 B , 2 9

F u r t h e r c o n d i t i o n s

o ( ( a b ) 2 ( a b a b 2 ) 2 a b 2 ) = 4

n o n e

o ( a b a b 2 ) = 1 9

o ( a b a b 2 ) = 1 1 ( o ( a b 2 ) = 5 )

o ( [ a , b ] )

= 1 2

o ( ( a b ) 2 ( a b a b 2 ) 2 a b 2 ) = 8

n o n e

o ( [ a , b ] ) = 9

o ( a b ( a b a b 2 ) 2 a b 2 ) = 4

o ( ( a b ) 2 ( a b a b 2 ) 2 a b 2 ) = 7

n o n e

n o n e

o ( [ a , b ] ) = 1 5

n o n e

n o n e

n o n e

o ( ( a b ) 2 ( a b a b 2 ) 2 a b 2 ) = 1 2

o ( [ a , b ] ) = 5

o ( a b a b a b 2 ) = 6 7

n o n e

n o n e

n o n e

o ( a b a b 2 ) = 1 0

o ( ( a b ) 3 b ) = 3 3

o ( ( a b ) 2 ( a b a b 2 ) 2 a b 2 ) = 2 3

n o n e




T a b l e 3 : S t a n d a r d g e n e r a t o r s o f a u t o m o r p h i s m g r o u p s o f s p o r a d i c g r o u p s

G r o u p T r i p l e ( a , b , a b )

F u r t h e r c o n d i t i o n s

A A

1 2 : 2

2 C , 3

, 1 2

a b E 1 2

o ( [ a , b ] ) = 1 1 )

M 2 2 : 2

2 B , 4 C , 1 1

n o n e

J 2 : 2

2 C , 5 A B , 1 4 n o n e

H S : 2

2 C , 5 C , 3 0

n o n e

J 3 : 2

2 B , 3 A , 2 4

o ( [ a , b ] ) = 9

M c L : 2

2 B , 3 B , 2 2

o ( ( a b ) 2 ( a b a b 2 ) 2 a b 2 ) = 2 4

H e : 2

2 B , 6 C , 3 0 n o n e

S u z : 2

2 C , 3 B , 2 8 n o n e

O ' N : 2

2 B , 4 A , 2 2 n o n e

F i 2 2 : 2 2 A , 1 8 E , 4 2 n o n e

H N : 2 2 C , 5 A , 4 2 n o n e

F i 2 4 ' : 2 2 C , 8 D , 2 9 n o n e

G . ( T ) , w h e r e T a c t s a s a n o u t e r a u t o m o r p h i s m o f G . E x a m p l e s a r e d e s c r i b e d

i n [ 3 2 ] ,

[ 9 ] ,

[ 3 4 ] , a m o n g o t h e r s .

E s s e n t i a l l y , g i v e n a s e t { g i } o f s t a n d a r d

g e n e r a t o r s f o r G , w o r d s i n t h e g i a r e f o u n d g i v i n g i m a g e s h i o f g i u n d e r a n

o u t e r a u t o m o r p h i s m T . T h e n a ` s t a n d a r d b a s i s ' m e t h o d ( s e e [ 2 3 ] ) i s u s e d t o

f i n d e x p l i c i t l y a m a t r i x ( o r p e r m u t a t i o n ) c o n j u g a t i n g t h e g i t o t h e h i .

6

F u t u r e d e v e l o p m e n t s

T h e r e i s c l e a r l y a g r e a t d e a l o f r o o m f o r f u r t h e r d e v e l o p m e n t o f t h i s ` A T L A S

o f g r o u p r e p r e s e n t a t i o n s ' . F i r s t , t h e r e a r e o t h e r r e p r e s e n t a t i o n s o f t h e s p o -

r a d i c g r o u p s w h i c h a r e n o t e a s y t o o b t a i n f r o m t h e g i v e n o n e s , b u t w h i c h

m a y b e i n t e r e s t i n g i n t h e i r o w n r i g h t . S e c o n d , i t w o u l d b e v e r y n i c e t o h a v e

c h a r a c t e r i s t i c 0 m a t r i x r e p r e s e n t a t i o n s . O f c o u r s e , p e r m u t a t i o n r e p r e s e n t a -

t i o n s c a n b e m a d e i n t o c h a r a c t e r i s t i c 0 m a t r i x r e p r e s e n t a t i o n s , b u t t h e y a r e

o f t e n f a r t o o b i g t o h a n d l e i n t h i s w a y . A n u m b e r o f e x a m p l e s e x i s t i n t h e

l i t e r a t u r e , i n v a r y i n g d e g r e e s o f e x p l i c i t n e s s ( s e e f o r e x a m p l e , C o n w a y a n d

W a l e s [ 3 ] , [ 4 ] , N o r t o n [ 2 0 ] , [ 2 2 ] , M a r g o l i n [ 1 6 ] ) , a n d s o m e w o r k h a s b e e n d o n e

b y S t e p h e n R o g e r s [ 2 6 ] o n i n t e g r a t i n g t h e s e a n d o t h e r s i n t o t h e ` A T L A S o f

g r o u p r e p r e s e n t a t i o n s ' .

T h i r d l y , t h e r e a r e o t h e r i n t e r e s t i n g g r o u p s w h i c h c o u l d b e i n c l u d e d . F o r

e x a m p l e , a s t h e r e f e r e e p o i n t e d o u t , t h e e x c e p t i o n a l c o v e r s o f g e n e r i c g r o u p s

a r e c l o s e l y r e l a t e d t o t h e s p o r a d i c g r o u p s , a n d s h o u l d b e i n c l u d e d .

S i n c e

r e c e i v i n g t h e r e f e r e e ' s r e p o r t , I h a v e m a d e s i g n i f i c a n t p r o g r e s s o n c o n s t r u c t i n g

r e p r e s e n t a t i o n s o f t h e s e g r o u p s ( s e e [ 3 5 ] , [ 3 6 ] ) , b u t p l e n t y r e m a i n s t o b e d o n e



2 7 0 R o b e r t A . W i l s o n

i n t h i s a r e a .

A n o t h e r w a y o f e x t e n d i n g t h e d a t a b a s e w o u l d b e t o i n c l u d e t h e m a x i m a l

s u b g r o u p s o f t h e s p o r a d i c g r o u p s . T h i s c o u l d b e d o n e b y i n c l u d i n g a l i b r a r y

o f p r o c e d u r e s w h i c h , g i v e n s t a n d a r d g e n e r a t o r s f o r a g r o u p G , w o u l d p r o d u c e

a r e p r e s e n t a t i v e o f e a c h c l a s s o f m a x i m a l s u b g r o u p s o f G . S o m e w o r k o n t h i s

h a s a l r e a d y b e e n d o n e b y P e t e r W a l s h [ 3 7 ] .

A l l t h e s e i d e a s , a n d o t h e r s , a r e p a r t o f o u r p l a n s f o r t h e w o r l d - w i d e - w e b

A T L A S o f g r o u p r e p r e s e n t a t i o n s [ 4 3 ] , a n d a r e g r a d u a l l y b e i n g i n c l u d e d t h e r e i n .


I w o u l d l i k e t o t h a n k t h e r e f e r e e , a n d C h r i s P a r k e r , f o r h e l p f u l c o m m e n t s . I

w o u l d l i k e t o t h a n k t h e S E R C ( n o w E P S R C ) f o r t w o g r a n t s w h i c h p a r t i a l l y

s u p p o r t e d t h i s w o r k . A n d l a s t b u t n o t l e a s t I w o u l d l i k e t o t h a n k R i c h a r d

P a r k e r f o r g i v i n g f r e e l y o f h i s i d e a s , w h i c h l i e b e h i n d a l m o s t e v e r y t h i n g d i s -

c u s s e d i n t h i s p a p e r .

R e f e r e n c e s

[ 1 ]

J . H . C o n w a y , A q u a t e r n i o n i c c o n s t r u c t i o n f o r t h e R u d v a l i s g r o u p , i n

T o p i c s i n g r o u p t h e o r y a n d c o m p u t a t i o n ( e d . M . P . J . C u r r a n ) , p p . 6 9 -

8 1 . A c a d e m i c P r e s s , 1 9 7 7 .

[ 2 ]

J . H . C o n w a y , A g r o u p o f o r d e r 8 , 3 1 5 , 5 5 4 , 6 1 3 , 0 8 6 , 7 2 0 , 0 0 0 , B u l l . L o n d o n

M a t h . S o c . 1 ( 1 9 6 9 ) , 7 9 - 8 8 .

[ 3 ] J . H . C o n w a y a n d D . B . W a l e s , M a t r i x g e n e r a t o r s f o r J 3 , J . A l g e b r a 2 9

( 1 9 7 4 ) , 4 7 4 - 4 7 6 .

[ 4 ] J . H . C o n w a y a n d D . B . W a l e s , T h e c o n s t r u c t i o n o f t h e R u d v a l i s s i m p l e

g r o u p o f o r d e r 1 4 5 , 9 2 6 , 1 4 4 , 0 0 0 , J . A l g e b r a 2 7 ( 1 9 7 3 ) , 5 3 8 - 5 4 8 .

[ 5 ]



[ 6 ] G . H i g m a n a n d J . M c K a y , O n J a n k o ' s s i m p l e g r o u p o f o r d e r 5 0 , 2 3 2 , 9 6 0 ,

B u l l . L o n d o n M a t h . S o c . 1 ( 1 9 6 9 ) , 8 9 - 9 4 .

[ 7 ] Z . J a n k o , A n e w f i n i t e s i m p l e g r o u p w i t h A b e l i a n S y l o w 2 - s u b g r o u p s ,

a n d i t s c h a r a c t e r i z a t i o n , J . A l g e b r a 3 ( 1 9 6 6 ) , 1 4 7 - 1 8 6 .

[ 8 ] C . J a n s e n , K . L u x , R . P a r k e r a n d R . W i l s o n , A n A T L A S o f B r a u e r c h a r -

a c t e r s , C l a r e n d o n P r e s s , O x f o r d , 1 9 9 5 .




2 7 1

[ 9 ]

C . J a n s e n a n d R . A . W i l s o n , T w o n e w c o n s t r u c t i o n s o f t h e O ' N a n g r o u p ,

J . L o n d o n M a t h . S o c . , t o a p p e a r .

[ 1 0 ] C . J a n s e n a n d R . A . W i l s o n , T h e 2 - m o d u l a r a n d 3 - m o d u l a r d e c o m p o s i -

t i o n n u m b e r s f o r t h e s p o r a d i c s i m p l e O ' N a n g r o u p a n d i t s t r i p l e c o v e r ,

J . L o n d o n M a t h . S o c . , t o a p p e a r .

[ 1 1 ] C . J a n s e n a n d R . A . W i l s o n , T h e m i n i m a l f a i t h f u l 3 - m o d u l a r r e p r e s e n -

t a t i o n f o r t h e L y o n s g r o u p , C o m m . A l g e b r a 2 4 ( 1 9 9 6 ) , 8 7 3 - 8 7 9 .

[ 1 2 ] S . A . L i n t o n , T h e m a x i m a l s u b g r o u p s o f t h e T h o m p s o n g r o u p , J . L o n d o n

M a t h . S o c . 3 9 ( 1 9 8 9 ) , 7 9 - 8 8 .

[ 1 3 ] S . A . L i n t o n , D o u b l e c o s e t e n u m e r a t i o n , J . S y m b o l i c C o m p u t . 1 2 ( 1 9 9 1 ) ,

4 1 5 - 4 2 6 .

[ 1 4 ] S . A . L i n t o n , R . A . P a r k e r , P . G . W a l s h a n d R . A . W i l s o n , T a m i n g t h e

M o n s t e r , i n p r e p a r a t i o n .

[ 1 5 ] K . L u x a n d M . W i e g e l m a n n , T e n s o r c o n d e n s a t i o n , t h e s e p r o c e e d i n g s , p p .

1 7 4 - 1 9 0 .

[ 1 6 ] R . S . M a r g o l i n , A g e o m e t r y f o r M 2 4 , J . A l g e b r a 1 5 6 ( 1 9 9 3 ) , 3 7 0 - 3 8 4 .

[ 1 7 ] E . M a t h i e u , M e m o i r e s u r 1 ' e t u d e d e s f o n c t i o n s d e p l u s i e u r s q u a n t i t e s , J .

M a t h . P u r e e t A p p l . 6 ( 1 8 6 1 ) , 2 4 1 - 3 2 3 .

[ 1 8 ] E . M a t h i e u , S u r l e s f o n c t i o n s c i n q f o i s t r a n s i t i v e s d e 2 4 q u a n t i t e s , J .

M a t h . P u r e e t A p p l . 1 8 ( 1 8 7 3 ) , 2 5 - 4 6 .

[ 1 9 ] W . M e y e r , W . N e u t s c h a n d R . P a r k e r , T h e m i n i m a l 5 - r e p r e s e n t a t i o n o f

L y o n s ' s p o r a d i c g r o u p , M a t h . A n n . 2 7 2 ( 1 9 8 5 ) , 2 9 - 3 9 .

[ 2 0 ] S . P . N o r t o n , F a n d o t h e r s i m p l e g r o u p s , P h . D . t h e s i s , C a m b r i d g e , 1 9 7 5 .

[ 2 1 ] S . P . N o r t o n , T h e c o n s t r u c t i o n o f J 4 , i n P r o c e e d i n g s o f t h e S a n t a C r u z

c o n f e r e n c e o n g r o u p t h e o r y ( e d s . B . C o o p e r s t e i n a n d G . M a s o n ) , p p .

2 7 1 - 2 7 7 . A m e r . M a t h . S o c . , 1 9 8 0 .

[ 2 2 ] S . P . N o r t o n , O n t h e F i s c h e r g r o u p F i 2 4 , G e o m . D e d i c a t a 2 5 ( 1 9 8 8 ) ,

4 8 3 - 5 0 1 .

[ 2 3 ] R . A . P a r k e r , T h e c o m p u t e r c a l c u l a t i o n o f m o d u l a r c h a r a c t e r s - t h e

M e a t - a x e , i n C o m p u t a t i o n a l g r o u p t h e o r y ( e d . M . D . A t k i n s o n ) , p p . 2 6 7 -

2 7 4 . A c a d e m i c P r e s s , 1 9 8 4 .

[ 2 4 ] R . A . P a r k e r , A n i n t e g r a l M e a t - a x e , t h e s e p r o c e e d i n g s , p p . 2 1 5 - 2 2 8 .



2 7 2 R o b e r t A . W i l s o n

[ 2 5 ] R . A . P a r k e r a n d R . A . W i l s o n , T h e c o m p u t e r c o n s t r u c t i o n o f m a t r i x

r e p r e s e n t a t i o n s o f f i n i t e g r o u p s o v e r f i n i t e f i e l d s , J . S y m b o l i c C o m p u t . 9

( 1 9 9 0 ) , 5 8 3 - 5 9 0 .

[ 2 6 ] S . J . F . R o g e r s , R e p r e s e n t a t i o n s o f f i n i t e s i m p l e g r o u p s o v e r f i e l d s o f

c h a r a c t e r i s t i c z e r o , P h . D . t h e s i s , B i r m i n g h a m , 1 9 9 7 .

[ 2 7 ] A . J . E . R y b a , M a t r i x g e n e r a t o r s f o r t h e H e l d g r o u p , i n C o m p u t e r s i n

a l g e b r a ( e d . M . C . T a n g o r a ) , p p . 1 3 5 - 1 4 1 . M a r c e l D e k k e r , 1 9 8 8 .

[ 2 8 ] A . J . E . R y b a , A n e w c o n s t r u c t i o n o f t h e O ' N a n s i m p l e g r o u p , J . A l g e b r a

1 1 2 ( 1 9 8 8 ) , 1 7 3 - 1 9 7 .

[ 2 9 ] A . J . E . R y b a , C o n d e n s a t i o n p r o g r a m s a n d t h e i r a p p l i c a t i o n t o t h e d e -

c o m p o s i t i o n o f m o d u l a r r e p r e s e n t a t i o n s , J . S y m b o l i c C o m p u t . 9 ( 1 9 9 0 ) ,

5 9 1 - 6 0 0 .

[ 3 0 ] A . J . E . R y b a a n d R . A . W i l s o n , M a t r i x g e n e r a t o r s f o r t h e H a r a d a -

N o r t o n g r o u p , E x p e r i m e n t a l M a t h . 3 ( 1 9 9 4 ) , 1 3 7 - 1 4 5 .

[ 3 1 ] P . E . S m i t h , A s i m p l e s u b g r o u p o f M ? a n d E 8 ( 3 ) , B u l l . L o n d o n M a t h .

S o c . 8 ( 1 9 7 6 ) , 1 6 1 - 1 6 5 .

[ 3 2 ]

I . A . I . S u l e i m a n a n d R . A . W i l s o n , C o m p u t e r c o n s t r u c t i o n o f m a t r i x

r e p r e s e n t a t i o n s o f t h e c o v e r i n g g r o u p o f t h e H i g m a n - S i m s g r o u p , J . A l -

g e b r a 1 4 8 ( 1 9 9 2 ) , 2 1 9 - 2 2 4 .

[ 3 3 ]

I . A . I S u l e i m a n a n d R . A . W i l s o n , C o n s t r u c t i o n o f t h e f o u r f o l d c o v e r o f

t h e M a t h i e u g r o u p M 2 2 , E x p e r i m e n t a l M a t h . 2 ( 1 9 9 3 ) , 1 1 - 1 4 .

[ 3 4 ]

I . A . I . S u l e i m a n a n d R . A . W i l s o n , S t a n d a r d g e n e r a t o r s f o r J 3 , E x p e r i -

m e n t a l M a t h . 4 ( 1 9 9 5 ) , 1 1 - 1 8 .

[ 3 5 ]

I . A . I . S u l e i m a n a n d R . A . W i l s o n , C o v e r i n g a n d a u t o m o r p h i s m g r o u p s

o f U 6 ( 2 ) , Q u a r t . J . M a t h . ( O x f o r d ) , t o a p p e a r .

[ 3 6 ] I . A . I . S u l e i m a n a n d R . A . W i l s o n , C o n s t r u c t i o n o f e x c e p t i o n a l c o v e r s

o f g e n e r i c g r o u p s , M a t h . P r o c . C a m b r i d g e P h i l o s . S o c . , t o a p p e a r .

[ 3 7 ] P . G . W a l s h , S t a n d a r d g e n e r a t o r s o f s o m e s p o r a d i c s i m p l e g r o u p s , M .

P h i l . t h e s i s , B i r m i n g h a m , 1 9 9 4 .

[ 3 8 ] P . G . W a l s h , C o m p u t a t i o n a l s t u d y o f t h e M o n s t e r a n d o t h e r s p o r a d i c

s i m p l e g r o u p s , P h . D . t h e s i s , B i r m i n g h a m , 1 9 9 6 .

[ 3 9 ] R . A . W i l s o n , A n e w c o n s t r u c t i o n o f t h e B a b y M o n s t e r , a n d i t s a p p l i c a -

t i o n s , B u l l . L o n d o n M a t h . S o c . 2 5 ( 1 9 9 3 ) , 4 3 1 - 4 3 7 .




2 7 3

[ 4 0 ] R . A . W i l s o n , M a t r i x g e n e r a t o r s f o r F i s c h e r ' s g r o u p F i 2 4 i M a t h . P r o c .

C a m b r i d g e P h i l o s . S o c . 1 1 3 ( 1 9 9 3 ) , 5 - 8 .

[ 4 1 ] R . A . W i l s o n , A r e p r e s e n t a t i o n o f t h e L y o n s g r o u p i n G L 2 4 8 o ( 4 ) , P r e p r i n t

9 5 / 2 9 , S c h o o l o f M a t h e m a t i c s a n d S t a t i s t i c s , U n i v e r s i t y o f B i r m i n g h a m ,

1 9 9 5 .

[ 4 2 ] R . A . W i l s o n , S t a n d a r d g e n e r a t o r s f o r s p o r a d i c s i m p l e g r o u p s , J . A l g e b r a

1 8 4 ( 1 9 9 6 ) , 5 0 5 - 5 1 5 .

[ 4 3 ] R . A . W i l s o n e t a l . , A w o r l d - w i d e - w e b A T L A S o f g r o u p r e p r e s e n t a t i o n s ,

h t t p : / / w w w . m a t . b h a m . a c . u k / a t l a s / .



P r e s e n t a t i o n s o f F i s c h e r g r o u p s

F r a n c o i s Z a r a

A b s t r a c t

W e s u r v e y r e s u l t s o n p r e s e n t a t i o n s o f t h e f i n i t e F i s c h e r 3 - t r a n s p o s i t i o n

g r o u p s .

1 I n t r o d u c t i o n

L e t G b e a g r o u p a n d l e t D b e a g e n e r a t i n g s e t o f G s u c h t h a t e a c h e l e m e n t o f

D i s a n i n v o l u t i o n a n d f o r e a c h p a i r d a n d e f r o m D , t h e o r d e r o f t h e p r o d u c t

d e i s 1 , 2 o r 3 . I f D i s a c o n j u g a c y c l a s s o f G , w e s a y t h a t G i s a F i s c h e r

g r o u p , D i s a F i s c h e r c l a s s a n d ( G , D ) i s a F i s c h e r p a i r .

T h e r e e x i s t s a n a t u r a l g r a p h s t r u c t u r e o n D , i t s C o x e t e r g r a p h , r = F ( D ) ,

d e f i n e d b y t h e c o n d i t i o n t h a t { d , x } i s a n e d g e o f r i f a n d o n l y i f d x i s o f

o r d e r 3 .

L e t ( G , D ) b e a F i s c h e r p a i r . I f p : G - + G / Z ( G ) i s t h e c a n o n i c a l p r o j e c -

t i o n , t h e n ( p ( G ) , p ( D ) ) i s a F i s c h e r p a i r a n d F ( p ( D ) ) i s i s o m o r p h i c t o I ' ( D ) .

W e s a y t h a t t h e f i n i t e g r o u p G i s r e d u c t i v e i f t h e l a r g e s t n o r m a l s o l u b l e

s u b g r o u p o f G i s c e n t r a l .

F i s c h e r i n [ 3 ] h a s p r o v e d t h e f o l l o w i n g t h e o r e m .

T h e o r e m 1 . 1 L e t ( G , D ) b e a f i n i t e F i s c h e r p a i r . S u p p o s e t h a t G i s a r e -

d u c t i v e g r o u p , a n d l e t p : G - * G / Z ( G ) b e t h e c a n o n i c a l p r o j e c t i o n . T h e n

( p ( G ) , p ( D ) ) i s o n e o f t h e f o l l o w i n g p o s s i b i l i t i e s ( G t i , D i ) .

1 . C l a s s i c a l g r o u p s .

( a ) G o = S n ,

( n > 5 ) , D o t h e c l a s s o f t r a n s p o s i t i o n s ;

( b ) G l S p 2 n ( 2 ) ( n > 2 ) , D l t h e c l a s s o f s y m p l e c t i c t r a n s v e c t i o n s ;

( c ) G 2

G O Z n ( 2 )

( n > 3 , E E { + , - } ) , D 2 t h e c l a s s o f o r t h o g o n a l

t r a n s v e c t i o n s ;

( d ) G 3 a n o r t h o g o n a l g r o u p o v e r F ' 3 ( s e e b e l o w ) ;

( e ) G 4 = U n ( 2 )

( n > 4 ) , D 4 t h e c l a s s o f u n i t a r y t r a n s v e c t i o n s .

2 . S p o r a d i c g r o u p s .

2 7 4




2 7 5

( a ) G 5 = F i 2 2 ;

( b ) G 6

F i 2 3 ;

( c ) G 7 = F i 2 4 .

I n e a c h c a s e D i i s u n i q u e l y d e t e r m i n e d .

3 .

T r i a l i t y g r o u p s .

( a ) G 8 = D 4 ( 2 ) : S 3 ;

( b ) G 9 = D 4 ( 3 ) : S 3 .

I n e a c h c a s e D i i s u n i q u e l y d e t e r m i n e d .

L e t E b e a n - d i m e n s i o n a l v e c t o r s p a c e o v e r t h e f i n i t e f i e l d i F 3 . T h e r e a r e

t w o t y p e s o f n o n - d e g e n e r a t e s y m m e t r i c b i l i n e a r f o r m s f o v e r E . F o r o n e t y p e

t h e r e i s a n o r t h o n o r m a l b a s i s , f o r t h e o t h e r t y p e t h e r e i s n o s u c h b a s i s . L e t

E E { + , - } b e d e f i n e d a s f o l l o w s :

E = + i f t h e r e i s a n o r t h o n o r m a l b a s i s ,

E = -

i f n o t .

( N o t e t h a t t h i s d e f i n i t i o n o f e i s n o t t h e s a m e a s i n t h e A T L A S . I n f a c t , t h e

d e f i n i t i o n s a g r e e f o r n - 0

( m o d 4 ) a n d d i s a g r e e f o r n - 2

( m o d 4 ) , w h i l e

f o r n o d d t h e A T L A S m a k e s n o d i s t i n c t i o n . )

L e t u s c a l l G 6 ( n , 3 ) t h e s u b g r o u p o f t h e f u l l o r t h o g o n a l g r o u p g e n e r a t e d

b y t h e s e t D 3 o f o r t h o g o n a l r e f l e c t i o n s a s s o c i a t e d w i t h v e c t o r s v s u c h t h a t

f ( v , v ) = 1 , t h e n i n 1 d , G 3 i s i s o m o r p h i c t o G " ( n , 3 ) / Z ( G e ( n , 3 ) ) . ( I n t h e

A T L A S , t h e r e i s n o c o m p a c t n o t a t i o n f o r t h e s e g r o u p s . )

R e m a r k 1 . 2 I n l d a n d l e i t i s r e a l l y t h e i m a g e o f t h e c l a s s o f o r t h o g o n a l

r e f l e c t i o n s o r t h e c l a s s o f u n i t a r y t r a n s v e c t i o n s i n t h e c o r r e s p o n d i n g g r o u p .

L e t u s g i v e a d e f i n i t i o n .

D e f i n i t i o n 1 . 3 L e t ( G , D ) b e a F i s c h e r p a i r . W e s a y t h a t t h e p r e s e n t a t i o n

( X , R ) o f G i s a l a F i s c h e r i f t h e f o l l o w i n g c o n d i t i o n s a r e s a t i s f i e d :

1 . X i s a s u b s e t o f D ; a n d

2 . t h e r e l a t i o n s i n R a r e a l l o f t h e f o r m ( x 9 y ) m = 1 , w h e r e x a n d y a r e i n

X , g i s i n G a n d m i s 2 o r 3 .



2 7 6


T h e g o a l o f t h i s p a p e r i s t o g i v e p r e s e n t a t i o n s a l a F i s c h e r f o r t h e g r o u p s

o f T h e o r e m 1 . 1 , w i t h t h e a d d e d c o n d i t i o n t h a t X i s o f m i n i m a l s i z e .

I n f a c t , a s s t a t e d , t h i s g o a l i s u n a t t a i n a b l e . F o r e x a m p l e , i f a g r o u p G h a s

a p r e s e n t a t i o n a l a F i s c h e r , t h e n i t i s e a s y t o s e e t h a t G / [ G , G ] i s o f o r d e r 2 ;

b u t t h i s i s n o t t r u e , f o r e x a m p l e , o f t h e s y m p l e c t i c g r o u p . F u r t h e r m o r e , w e

c a n n o t k i l l t h e c e n t r e w i t h r e l a t i o n s o f t h e f o r m ( g h ) m = 1 f o r g , h i n X a n d

m = 2 o r 3 , b e c a u s e I ' ( p ( D ) ) i s i s o m o r p h i c t o F ( D ) .

T h e r e f o r e w e w i l l g i v e p r e s e n t a t i o n s f o r s o m e c e n t r a l e x t e n s i o n s ( w h i c h a r e

F i s c h e r g r o u p s ) o f t h e g r o u p s i n T h e o r e m 1 . 1 . T h e r e s u l t f o r t h e s y m m e t r i c

g r o u p i s w e l l k n o w n ( s e e [ 7 ] ) . T h e c l a s s i c a l g r o u p s h a v e b e e n h a n d l e d b y

M . M . V i r o t t e - D u c h a r m e ( s e e [ 8 ] a n d [ 9 ] ) . T h e s p o r a d i c g r o u p s h a v e b e e n

h a n d l e d b y J . I . H a l l a n d L . H . S o i c h e r ( s e e [ 6 ] ) . T h e t r i a l i t y g r o u p s h a v e

b e e n h a n d l e d b y F . Z a r a ( s e e [ 1 0 ] ) .

I t i s t o b e r e m a r k e d t h a t , w i t h t h e e x c e p t i o n o f t h e t h r e e s p o r a d i c g r o u p s ,

e v e r y t h i n g h a s b e e n d o n e " b y h a n d " t h a t i s , w i t h o u t t h e u s e o f a c o m p u t e r .

2

M e t h o d

T h e p r e c e d i n g g o a l i s a t t a i n e d b y u s i n g t h e f o l l o w i n g r e s u l t s w h i c h p e r m i t u s

t o p r o c e e d i n d u c t i v e l y .

T h e o r e m 2 . 1 ( V i r o t t e - D u c h a r m e [ 8 ] ) L e t G b e a g r o u p h a v i n g t h e p r e s e n -

t a t i o n ( X , R ) w h e r e X i s a s e t o f e l e m e n t s o f o r d e r 2 , o f c a r d i n a l i t y a t l e a s t

3 . L e t b b e a n e l e m e n t o f X s u c h t h a t :

1 . K : = ( X - { b } ) i s a p r o p e r s u b g r o u p o f G h a v i n g a F i s c h e r c l a s s D

c o n t a i n i n g X - { b } .

2 . F o r a l l x i n X - { b } , w e h a v e ( x b ) 2 = 1 o r ( x b ) 3 = 1 .

L e t B : = C K ( b ) . L e t u s c o n s i d e r t h e f o l l o w i n g c o n d i t i o n s :

( C . 0 ) B a c t s t r a n s i t i v e l y o n D - C D ( b ) ;

( C . 1 ) V k E K , 3 d , e E D s u c h t h a t k E B d U B d e ;

( C . 2 ) 3 z E Z ( K ) - B , z o f o r d e r 2 , s u c h t h a t

( a ) ( b b b ) 3 = 1 a n d V X E X - { b } , ( x b z b ) 2 = 1 ;

( b ) d k E K , 3 d , e E D s u c h t h a t k E B d U B d e U B z U B z d .

T h e n

1 . I f ( C . 0 ) a n d ( C . 1 ) a r e s a t i s f i e d , t h e n E : = D U { b k I k E K } i s a F i s c h e r

c l a s s o f G a n d J E l = I D I + [ K : B ] .




2 7 7

2 . I f ( C . 0 ) a n d ( C . 2 ) a r e s a t i s f i e d , t h e n E : = D U { b k I k E K } U { b x b } i s

a F i s c h e r c l a s s o f G a n d J E l = S D I + [ K : B ] + 1 .

T h i s t h e o r e m g i v e s u s t w o p i e c e s o f i n f o r m a t i o n .

1 . T h e f a c t t h a t ( G , E ) i s a F i s c h e r p a i r ;

2 . T h e c a r d i n a l i t y o f t h e c l a s s E .

T o o b t a i n m o r e i n f o r m a t i o n w e c a n u s e t h e f o l l o w i n g r e s u l t :

P r o p o s i t i o n 2 . 2 ( V i r o t t e - D u c h a r m e [ 8 ] ) L e t ( G , E ) b e a F i s c h e r p a i r s u c h

t h a t G = ( X ) , w h e r e X = { x i

I

i E I } C E , a n d t h e e l e m e n t s o f X s a t i s f y

c e r t a i n r e l a t i o n s R . L e t L b e a g r o u p g e n e r a t e d b y a s e t o f i n v o l u t i o n s Y =

{ y i

I

i E I } s u c h t h a t x i H y j : X - 4 Y i s a b i j e c t i o n a n d s u c h t h a t ( Y , R ) i s

a p r e s e n t a t i o n o f L . T h e n :

1 .

T h e r e e x i s t s a h o m o m o r p h i s m f : L - * G s u c h t h a t f ( y i ) = x i f o r a l l i

i n I .

2 . L e t F b e t h e c o n j u g a c y c l a s s o f y

( y E Y ) i n L . I f E a n d F h a v e t h e

s a m e c a r d i n a l i t y , t h e n t h e e x t e n s i o n

1 - K e r f - + L - 4 G - * 1

i s c e n t r a l a n d ( L , Y ) i s a F i s c h e r p a i r .

W e a p p l y t h e s e r e s u l t s t o f i n d p r e s e n t a t i o n s o f t h e c l a s s i c a l F i s c h e r g r o u p s .

T h i s i s e l e m e n t a r y b u t w e m u s t k n o w a l l t h e S c h u r m u l t i p l i e r s o f t h e F i s c h e r

g r o u p s ( s e e R . G r i e s s [ 4 ] a n d [ 5 ] ) .

I n m o s t o f t h e c a s e s , t h e F i s c h e r g r o u p G c o n t a i n s a " b i g " s u b g r o u p H i , , . ,

w h i c h i s i s o m o r p h i c t o W ( A r ) / 2 T i f i = 2 o r t o W ( A r ) / 3 T i f i = 3 , w h e r e

W ( A r ) i s t h e a f f i n e W e y l g r o u p o f t y p e A r , T i s i t s t r a n s l a t i o n s u b g r o u p a n d

k T = { t k

I

t E T } . I f i = 2 a n d r + 1 i s e v e n , t h e n Z ( H j , r ) i s o f o r d e r 2 a n d

i s c e n t r a l i n G ; i f i = 3 a n d r + 1 i s a m u l t i p l e o f 3 , t h e n Z ( H i , r ) i s o f o r d e r

3 a n d i s c e n t r a l i n G .

T o f i n d t h e p r e s e n t a t i o n s , w e m u s t s t a r t w i t h K , w h o s e p r e s e n t a t i o n i s

k n o w n b y i n d u c t i o n , a n d t h e n f i n d a B w h i c h s a t i s f i e s r e l a t i o n s ( C . 0 ) , ( C . 1 )

o r ( C . 0 ) , ( C . 2 ) . T o s t a r t t h e i n d u c t i o n w e c a n u s e t h e p r e s e n t a t i o n s w h i c h

a r e g i v e n i n t h e A T L A S [ 1 ] .

A s a n e x a m p l e , I s h a l l g i v e t h e r e s u l t f o r t h e g r o u p s G E ( n , 3 ) .

P r o p o s i t i o n 2 . 3 L e t ( G , E ) b e a F i s c h e r p a i r s u c h t h a t G = G E ( n , 3 ) w i t h

n > 5 a n d e E { + , - } . L e t V b e t h e n a t u r a l I F 3 G - m o d u l e a n d l e t f : V x



2 7 8


V - 4 1 F 3 b e t h e s y m m e t r i c i n v a r i a n t b i l i n e a r f o r m s u c h t h a t i f d i s i n E ,

f ( v d , V d ) = 1 ( w h e r e v d i s a d e f i n i n g v e c t o r o f t h e r e f l e c t i o n d ) . L e t v b e a

n o n - z e r o v e c t o r i n V . W e d e f i n e G ( v ) : = { g

I

g E G , g ( v ) = v } ; i f v i s

i s o t r o p i c , w e d e f i n e G ( v ) : = ( r a

I a E V , f ( a , a ) = 1 , f ( a , v ) = 0 ) , w h e r e r a

d e n o t e s t h e r e f l e c t i o n i n t h e v e c t o r a , a n d G " ( v )

{ g I g E G , g ( v ) E ( v ) } .

T h e n :

1 . ( a ) I f f ( v , v ) = 1 , t h e n G ( v ) = W ( D 4 ) : C 3 i f n = 5 , a n d G ( v )

G E ( n - 1 , 3 ) i f n > 6 ;

( b ) i f f ( v , v ) _ - 1 , t h e n G ( v ) = G - ( n - 1 , 3 ) ;

( c ) i f f ( v , v ) = 0 , t h e n w e h a v e I G " ( v ) / G ( v ) I = 2 , G ' ( v ) = G ( v ) i f

e = + a n d n > 5 , o r i f e = - a n d n > 7 , a n d I G ( v ) / G ' ( v ) I = 3

i f e = - a n d n E { 5 , 6 } . F u r t h e r m o r e G ' ( v ) i s i s o m o r p h i c t o

C 3 - 2 : G - E ( n

- 2 , 3 ) .

2 . E x c e p t i n t h e c a s e f ( v , v ) = 1 , G ( v ) a c t s t r a n s i t i v e l y o n E - ( G ( v ) f 1 E ) .

I f f ( v , v ) = 1 , t h e n G ( v ) a c t s t r a n s i t i v e l y o n E - ( ( G ( v ) n E ) U

3 . L e t g b e i n G . T h e n t h e r e e x i s t d a n d e i n E s u c h t h a t i f v i s n o t

i s o t r o p i c , t h e n g E G ( v ) d U G ( v ) d e , w h i l e i f v i s i s o t r o p i c , t h e n g e

G " ( v ) d U G " ( v ) d e .

T h i s s h o w s t h a t s m a l l d i m e n s i o n s c r e a t e p r o b l e m s , a n d w e h a v e t h e s a m e

k i n d o f p r o b l e m s w i t h t h e u n i t a r y g r o u p s o v e r 1 F 4 .

3 P r e s e n t a t i o n s o f t h e c l a s s i c a l g r o u p s

I n t h i s p a r t w e g i v e p r e s e n t a t i o n s o f t h e c l a s s i c a l F i s c h e r g r o u p s a s o b t a i n e d

b y t h e a b o v e m e t h o d . I t i s t o b e r e m a r k e d t h a t f o r s m a l l d i m e n s i o n s , t h e

r e s u l t s a r e w e l l k n o w n a n d a r e d u e t o C o x e t e r ( s e e [ 2 ] ) .

3 . 1

S y m m e t r i c g r o u p s . G = S n ( n > 5 )

x n - 1




2 7 9

3 . 2

S y m p l e c t i c g r o u p s o v e r 1 F 2 . G = C 2 X S p 2 n ( 2 )

( n > 3 )

x 1 x 2

x 3

X 4

X 5

O x o

( x 2 k x 2 k + 1 ) 2 = 1

( 3 < k < n - 1 )

x 6

x 2 n

- - - - 0

w h e r e x 2 k i s d e f i n e d i n d u c t i v e l y i n t h e f o l l o w i n g w a y : x 2 = x 1 , x ' 4 = x 0 a n d

f o r k > 3 , '

k

i s t h e u n i q u e e l e m e n t o f ( x 2 k - 4 , x 2 k - 2 , x 2 k - J

( 0 < j < 4 ) ) s u c h

t h a t w e h a v e a g r a p h o f t y p e E 7 a s f o l l o w s .

I

x 2 k - 4

x 2 k - 1

X 2 k

2 k - 2

'

3 . 3

O r t h o g o n a l g r o u p s o v e r F 2 . G = G O n ( 2 ) ( n > 3 )

W e h a v e s e v e r a l c a s e s :

1 . e = - a n d n - 0 o r 1 ( m o d 4 ) , o r e = + a n d n - 2 o r 3 ( m o d 4 ) .

x 1

a

x 2 k - 4

x 2 k - 3

x 2 k - 2

x 2

X 3

x 4

x 2 n - 1

x 5

X 6

x 2 n - 2

o - - - - o

O x 2 n

( x 2 k x 2 k + 1 ) 2 = 1

( 3 < k < n - 2 )

( x 2 k x 2 n ) 2 = 1

( 3 < k < n - 2 , k o d d )



2 8 0 F r a n c o i s Z a r a

2 . E = - a n d n - 1 o r 2 ( m o d 4 ) , o r e = + a n d n = 0 o r 3 ( m o d 4 ) .

x 2 n - 1

0 -

x 1 x 2

x 3

x 4

x 5

x 2 n - 2

O x 2 n

( x 2 k x 2 k + 1 ) 2 = 1

( 3 < k < n - 2 )

( x z k x 2 n - 1 ) 2 = 1

( 3 < k < n - 2 , k e v e n ) .

3 . E = - a n d n - 3 ( m o d 4 ) , o r e = + a n d n - 1 ( m o d 4 ) .

x 2 n - 1

x 2 n - 2

x 1

x 2 x 3

X 4

0 X 2 n

x 5

x 2 n - 3

- - - 0

( x ' 2 k x 2 k + 1 ) 2 = 1

( 3 < k < n - 3 )

( x ' 2 k x 2 n _ 2 ) 2 = 1

( 3 < k < n - 3 , k e v e n )

( y x 2 n _ l ) 2 = 1 .

I n e a c h c a s e x ' 2 k h a s t h e s a m e m e a n i n g a s i n s e c t i o n 3 . 2 a n d y i s t h e

u n i q u e e l e m e n t o f ( x 2 n _ 2 i x 1 , x 2 , . . .

) x 6 ,

x 2 n ) s u c h t h a t w e h a v e a g r a p h

o f t y p e E 8 a s f o l l o w s .

y

x 2 n - 2

x l

x 2

X 3

x 4

0 X 2 n

x 5 x 6

3 . 4 O r t h o g o n a l g r o u p s o v e r I F 3 . G = G 6 ( n , 3 )

( n > 5 )

1 . G + ( 5 , 3 )

( = C 2 x U 4 ( 2 ) ) :



P r e s e n t a t i o n s o f F i s c h e r g r o u p s 2 8 1

L e t x ' = x 2 3 x 5 x 4 x 3 x l x 5 x 3 a n d x " = x 2 3 x 4 x 5 x 3 x I x 5 x 4 x 3 . I f p = x 2 x 4 x i x ' x / /

t h e n ( p ) = Z ( G + ( 5 , 3 ) ) .

T h e " 3 " i n s i d e t h e t r i a n g l e m e a n s t h a t H = ( x 3 i x 4 , x 5 ) i s i s o m o r p h i c

t o t h e g r o u p H 3 , 2 , t h a t i s , w e a d d t h e r e l a t i o n ( x 3 4 x 5 ) 3 = 1 .

2 . G - ( 6 , 3 ) :

x 4

w i t h t h e r e l a t i o n ( x i x 6 ) 2 = 1 , w h e r e s =

( x 3 x 4 x 5 ) 2 .

W e h a v e H = ( x 3 i x 4 , x 5 ) = H 3 , 2 a n d s g e n e r a t e s t h e c e n t r e o f H .

3 .

3 ) :

w i t h t h e r e l a t i o n s ( x i x 6 ) 2 = 1 , s = ( x 3 x 4 x 5 ) 2 .

W e h a v e H = ( x 3 i x 4 , x 5 ) = H 3 , 2 a n d s g e n e r a t e s t h e c e n t r e o f H . L e t

p b e a g e n e r a t o r o f t h e c e n t r e o f ( x i 2 < i < 6 ) .

D e f i n e x ' 7 : = x 7 x ' ,

L : = ( x j , x ' 7 1 3 < j < 7 ) = H 3 , 5 a n d ( z ) = Z ( L ) ; t h e n z i s o f o r d e r

3 a n d z i s c e n t r a l i n G . W e h a v e p = x 2 x 4 x 6 e e ' , e = x 3 5 x 2 x 4 x 6 x 3 x 5 x 3

e / = x x 2 e x 4 x 3 a n d

z = ( x

x ) ( x x ) x 5 ( x x ) x 5 x 5 ( x x ) x 5 x 6 x 7 ( x x ) x 5 x s x ' x ' .

3

3 4

3

9 3 4

3

4

3

4

4 . G £ ( n , 3 ) , e = ( - 1 ) n - 1

( n > 8 ) :



2 8 2 F r a n c o i s Z a r a

w i t h t h e r e l a t i o n s ( x i x 6 ) 2 = 1 , s = ( x 3 x 4 x 5 ) 2 ,

a b o v e i n t h e p r e c e d i n g g r o u p ) .

5 . G - ( 5 , 3 ) = W ( E 6 ) .

6 . 3 ) :

( x 8 x 8 ) 2 = 1 ( z i s d e f i n e d

L e t M O : = x 6 x 5 x 4 x 3 x 2 x 1 i t h e n Z ( G ) = ( m o ) i s o f o r d e r 6 .

7 . G E ( n , 3 ) , s = ( - 1 ) n

( n > 7 ) :

w i t h t h e r e l a t i o n s ( x s x 7 ) 2 = 1 , s = ( x 3 x 4 x 5 ) 2 , ( x 7 x 7 ) 2 = 1 , w i t h z = m o o

( m o i s d e f i n e d a b o v e i n t h e p r e c e d i n g g r o u p ) .

3 . 5 U n i t a r y g r o u p s o v e r F 4 . G = C 2 x S U n ( 2 )

( n > 5 )

1 . C 2 x S U 5 ( 2 ) :

w i t h t h e r e l a t i o n ( x 3 7 x " x 5 ) 3 = 1 .

L e t Q : = ( x 2 , x 3 , x 4 , x 5 ) . T h e n Q i s i s o m o r p h i c t o t h e c e n t r a l i z e r o f

a t r a n s v e c t i o n i n S U 5 ( 2 ) .

L e t z 1 = ( x 2 x 3 x 5 ) 2 , z 2 = ( x 3 x 5 x 4 ) 2 a n d




2 8 3

q = 1 2 1 4 1 2 2 x 4 ' . T h e n q i s o f o r d e r 2 , a n d ( q ) = Z ( Q ) . D e f i n e x o : =

x 9 X ' .

T h e n w e h a v e t h e f o l l o w i n g d i a g r a m :

1 0

1 1

x 2 x 3

1 4

2 . C 2 x U 6 ( 2 )

X 1

0

X 3

X 4

X 6

0

W e d e f i n e b =

x ° x 2 X 3 X 4

a n d w e a d d t h e r e l a t i o n s ( X 3 2 a 4 1 5 ) 3 = 1 a n d

( x 6 b ) 2 = 1 ; t h e n G - C 2 x U 6 ( 2 ) w h e r e U 6 ( 2 ) i s t h e n o n - s p l i t c e n t r a l

e x t e n s i o n o f S U 6 ( 2 ) b y C 2 x C 2 .

L e t Z b e t h e 2 - p a r t o f t h e c e n t r e o f G . W e h a v e Z = ( m l , m 2 ) w h e r e

m 1 a n d m 2 a r e o f o r d e r 2 . W e n o w g i v e e x p r e s s i o n s f o r m 1 a n d m 2 . F o r

R 1 : = ( 1 1 i 1 2 , 1 4 , x 5 , 1 6 , b ) w e h a v e t h e d i a g r a m :

x 1

a

X 2

X 5

X 4 X 6

0

a n d m 1 = m o t , w h e r e m o = x 6 x 4 b x 5 x 2 x 1 i s a s d e f i n e d f o r t h e g r o u p

3 ) .

L e t ( p ) = Z ( ( x 2 i x s , x 4 , x 6 , b ) ) . W e h a v e p = x 2 b x 6 u v

w h e r e u = 1 2 5 X 4 b X I X 6 X 4 X 5 a n d v =

x 2 5 6 2 4 2 5 2 6 2 4 6 2 5

L e t

2 5 2 4 x 1 2 3 2 6 2 4 2 5 2 2 2 5 2 4 2 5 2 3 6

f - 1 2

a n d y = f z ' w h e r e z 1 = ( 1 2 1 5 x 3 ) 2 a n d t = x p x ' f y .

T h e n R 2 : =

( x l , t , x 5 i x 4 , x 6 , b ) i s i s o m o r p h i c t o C 3 . G + ( 6 , 3 ) a n d i s n o t c o n j u g a t e

t o R 1 ; w e h a v e t h e d i a g r a m :

X 1

t x 5

1 4 1 6

W e h a v e ( m 2 ) = Z ( R 2 ) a n d m 2 = ( x 6 x 4 b x 5 t x l ) 2 1



2 8 4


3 . C 2 x S U n , ( 2 )

( n > 7 ) :

= 1 , ( x 6 x x 2 x 3 x a ) 2 = 1

( x 7 x 7 ) 2 - 1 a n d

i t h t h e r e l a t i o n s ( x 3 2 y 4 X 5 ) 3

9

7 ) 2 = 1 .

X ' 7 2

4

T h e t w o t r i a l i t y g r o u p s

L e t S b e a g r o u p i s o m o r p h i c t o t h e s y m m e t r i c g r o u p o f d e g r e e 5 a n d l e t D

b e i t s c l a s s o f t r a n s p o s i t i o n s , i d e n t i f i e d w i t h t h e s e t o f t r a n s p o s i t i o n s 1 ( i 1 j )

I

1 < i < j < 5 } .

L e t G o : = ( S , y I y 2 = 1 , ` d d E

D , ( d y ) 3 = 1 ) a n d E : = { g d g - 1 I g E G o , d e

D } , s o t h a t w e h a v e t h e f o l l o w i n g d i a g r a m :

x 3 x 4

W e g i v e s o m e p r o p e r t i e s o f t h e g r o u p G o . W e h a v e C s ( y ) = { 1 } ; t h e r e

e x i s t s a n e n d o m o r p h i s m f o f G o s u c h t h a t f ( x i ) = x 1

( 1 < i < 4 ) , f ( y ) = y ;

w e h a v e

f 2

= f s o t h a t G o = K e r f : I m f , I m f = S 3 , t h e s y m m e t r i c g r o u p

o f d e g r e e 3 a n d E = E l U E 2 U E 3 w i t h E i f l E j e m p t y i f i

j , w h e r e E l =

f - 1 ( x l ) n E , E 2 = f - 1 ( y ) n E a n d E 3 = f - 1 ( x l ) f l E . W e h a v e [ S , S ] C K e r f ,

{ y s I s e [ S , S ] } C E 2 i { y S I s E S - [ S , S ] } C E 3 , { y S y I s E S - [ S , S ] } C E 1

a n d I G o / [ G o , G o ] I = 2 . L e t G i = ( E i ) ( 1 < i < 3 ) . I n T h e o r e m 5 . 2 ( r e s p .

5 . 3 ) w e i d e n t i f y G i w i t h a n o r t h o g o n a l g r o u p o v e r t h e f i e l d 1 F 2 ( r e s p . 1 F 3 ) .

P u t T : = { ( i j k l )

I I { i , j , k , l } I = 4 } . W e s a y t h a t t a n d t ' , e l e m e n t s o f T ,

a r e a s s o c i a t e d i f t a n d t ' f i x t h e s a m e e l e m e n t o f { 1 , 2 , 3 , 4 , 5 } .

L e t t = ( i j k l ) b e i n T a n d l e t z = y t y . T h e n N = ( ( i j ) , ( j k ) , ( k l ) , z )

W ( D 4 ) a n d N n E l c o n t a i n s a l l t h e e l e m e n t s y t " Y w i t h t ' a s s o c i a t e d w i t h t .

L e t I b e a s u b s e t o f { 1 , 2 , 3 , 4 , 5 } . W e d e f i n e

W I : = ( S , y t y I t E T , t h e f i x e d p o i n t o f t i s i n I ) .

A l s o , W = W { 1 , 2 , 3 , 4 , 5 } , a n d W i = W { i } .



P r e s e n t a t i o n s o f F i s c h e r g r o u p s 2 8 5

W e h a v e t h e f o l l o w i n g r e s u l t s . L e t t i

( 1 < i < 4 ) b e p a i r w i s e n o n a s s o -

c i a t e d e l e m e n t s o f T . T h e n W = ( S , y t i y ( 1 < i < 4 ) ) a n d [ G o : W ] = 1 8 0 ,

w i t h G o a c t i n g a s A 5 w r S 3 o n G o / W .

L e t z : = y ( 1 2 3 4 ) y ; t h e n z c o m m u t e s w i t h ( 1 , 3 ) a n d ( 2 , 4 ) . L e t p , q c

( N - { 0 } ) U { o o } . W e d e f i n e t h e f o l l o w i n g q u o t i e n t s o f G o :

G o ( p , q ) : = ( S , y

I V d E

D , ( d y ) 3 = y 2 = 1 = ( z ( 1 , 5 ) ) ° = ( z ( 2 , 5 ) ) P )

.

I f W ( p , q ) i s t h e i m a g e o f W i n G o ( p , q ) , a n d i f ( 5 , p ) = 1 o r ( 5 , q ) = 1 w e h a v e

[ G o ( p , q ) : W ( p , q ) ] = 3 . W e c a n n o w g i v e t h e r e s u l t s f o r t h e t r i a l i t y g r o u p s .

T h e o r e m 4 . 1 1 . G o ( 2 , 3 ) = D 4 ( 2 ) : S 3 a n d G o ( 3 , 3 ) = D 4 ( 3 ) : S 3 .

2 . I f p = 2 , t h e n q = 3 ;

( a ) i f I I I = 1 , t h e n W , W ( D 5 ) ;

( b ) i f I I I = 2 , t h e n W , = W ( E 6 ) ;

( c ) i f I I I = 3 , t h e n W , = W ( E 7 ) ;

( d ) i f I I = 4 , t h e n W , = W ( E 8 ) / Z ( W ( E 8 ) ) = G O ' ( 2 ) .

3 . I f p = q = 3 t h e n

( a ) i f I I I = 1 , t h e n W , = G + ( 5 , 3 ) ;

( b ) i f I I I = 2 , t h e n W , =

C 3 : G + ( 5 , 3 ) ;

( c ) i f I I = 3 , t h e n W ,

G - ( 7 , 3 ) ;

( d ) i f I I I = 4 , t h e n W , =

G + ( 8 , 3 ) / Z ( G + ( 8 , 3 ) ) .

I n t h e p r o o f o f t h i s t h e o r e m , e s s e n t i a l u s e i s m a d e o f P r o p o s i t i o n 2 . 3 .

5

T h e s p o r a d i c F i s c h e r g r o u p s

H e r e w e r e p o r t o n t h e w o r k o f H a l l a n d S o i c h e r ( s e e [ 6 ] ) . A s m o s t o f t h e i r

c a l c u l a t i o n s h a v e b e e n d o n e b y c o m p u t e r , w e c o n t e n t o u r s e l v e s t o g i v e t h e

r e s u l t s .

1 . C 2 X

( C 6 F i 2 2 ) :



2 8 6


w i t h t h e r e l a t i o n s ( a b c d ) 3 = 1 , ( e d s ) 3 = 1 a n d ( f d s ) 2 = 1 , w h e r e s =

( a b c ) 2 .

2 . C 2 x F i 2 3 :

w i t h t h e r e l a t i o n s ( a b c ) 3 = ( a b d ) 3 = ( a d c ) 3 = ( b d C ) 3 = ( a b e d ) 3 =

( a d b c ) 3 = ( a c b d ) 3 = ( a s e ) 3 = ( e d b a d c b f ) 2 = 1 , w h e r e

s = ( b c d ) 2 .

3 . F i 2 4 :

b

d

w i t h t h e r e l a t i o n s ( a b C ) 3 = ( a b d ) 3 = ( a d e ) 3 = ( b d c ) 3 = ( a b e d ) 3 =

( a d b c ) 3 = ( a c b d ) 3 = ( b c e ) 3 = ( b d e ) 3 = ( C d e ) 3 = ( C d b e ) 3 = ( b d c e ) 3 =

( b c d e ) 3 _ ( a b c e ) 3 = ( a b d e ) 3 _ ( a c d e ) 3 _

( b r a d e ) 3

=

( a s e ) 2 _ ( b x b y ) 2 =

( b x c y ) 2 = ( b x d y ) 2 = ( c t e ) 2 = 1 , w h e r e s = ( b c d ) 2 , x = a s a , y = e e s a n d

t = b a d c e b a d c a d b e b d .

6

C o n c l u s i o n

L e t ( G , D ) b e a F i s c h e r p a i r . L e t u s d e f i n e t h e l e n g t h o f G t o b e l ( G ) : _

i n f { I X I

: X c D , G = ( X ) } . W e h a v e g i v e n , f o r e a c h g r o u p o f T h e o r e m 1 . 1 ,

a p r e s e n t a t i o n ( X , R ) a l a F i s c h e r w i t h g e n e r a t o r s t a k e n i n t h e c l a s s D a n d

X o f c a r d i n a l i t y l ( G ) . W e r e m a r k t h a t l ( S p 2 , , ( 2 ) ) = 2 n + 1 , b u t , f o r a l l o t h e r

c l a s s i c a l F i s c h e r g r o u p s G i n d i m e n s i o n n , 1 ( G ) = n ; a s a l l F i s c h e r g r o u p s o f

l e n g t h 4 h a v e b e e n c l a s s i f i e d , w e s e e t h a t t h e t w o t r i a l i t y g r o u p s h a v e l e n g t h

5 , a n d i n [ 6 ] , i t i s p r o v e d t h a t l ( F i 2 2 ) = l ( F i 2 3 ) = 6 , b u t l ( F i 2 4 ) = 5 .




2 8 7

R e f e r e n c e s

[ 1 ]



[ 2 ] H . S . M . C o x e t e r a n d W . O . J . M o s e r , G e n e r a t o r s a n d r e l a t i o n s f o r

d i s c r e t e g r o u p s , S p r i n g e r , 1 9 5 7 .

[ 3 ]

B . F i s c h e r , F i n i t e g r o u p s g e n e r a t e d b y 3 - t r a n s p o s i t i o n s , I , I n v e n t . M a t h .

1 3 ( 1 9 7 1 ) , 2 3 2 - 2 4 6 .

[ 4 ] R . G r i e s s , S c h u r m u l t i p l i e r s o f f i n i t e s i m p l e g r o u p s o f L i e t y p e , T r a n s .

A m e r . M a t h . S o c . 1 8 3 ( 1 9 7 3 ) , 3 5 5 - 4 2 1 .

[ 5 ] R . G r i e s s , S c h u r m u l t i p l i e r s o f s o m e s p o r a d i c s i m p l e g r o u p s , J . A l g e b r a

2 0 ( 1 9 7 2 ) , 3 2 0 - 3 4 9 .

[ 6 ] J . I . H a l l a n d L . H . S o i c h e r , P r e s e n t a t i o n s o f s o m e 3 - t r a n s p o s i t i o n g r o u p s ,

C o m m . A l g e b r a 2 3 ( 1 9 9 5 ) , 2 5 1 7 - 2 5 5 9 .

[ 7 ]

E . H . M o o r e , C o n c e r n i n g t h e a b s t r a c t g r o u p s o f o r d e r k a n d 1 / 2 k , P r o c .

L o n d o n M a t h . S o c . ( 1 ) 2 8 ( 1 8 9 7 ) , 3 5 7 - 3 6 6 .

[ 8 ] M . M . V i r o t t e - D u c h a r m e , P r e s e n t a t i o n s d e s g r o u p e s d e F i s c h e r 1 , I I ,

G e o m . D e d i c a t a 4 1 ( 1 9 9 2 ) , 2 7 5 - 3 3 5 ; 4 5 ( 1 9 9 3 ) , 1 2 1 - 1 6 2 .

[ 9 ] M . M . V i r o t t e - D u c h a r m e , P r e s e n t a t i o n s d e c e r t a i n s c o u p l e s f i s c h e r i e n s

d e t y p e c l a s s i q u e , B u l l . S o c . M a t h . F r a n c e 1 2 1 ( 1 9 9 3 ) , 2 2 7 - 2 7 0 .

[ 1 0 ] F . Z a r a , P r e s e n t a t i o n s d e s g r o u p e s d e F i s c h e r D 4 ( 2 ) : S 3 e t D 4 ( 3 ) : S 3 , J .

A l g e b r a 1 7 0 ( 1 9 9 4 ) , 7 0 5 - 7 3 4 .



A b r i e f h i s t o r y o f t h e A T L A S

J o h n H . C o n w a y ,


a n d


T h e b e g i n n i n g s o f t h e A T L A S g o b a c k t o a r o u n d 1 9 7 0 i n C a m b r i d g e . I n

a b o u t 1 9 6 9 J o h n C o n w a y h a d d i s c o v e r e d h i s ( t h e n ) n e w s i m p l e g r o u p . 1 , a n d

i n t h e e n s u i n g y e a r J o h n T h o m p s o n a n d C o n w a y e x p l o r e d i t s p r o p e r t i e s i n

g r e a t d e t a i l . O n e o f o u r a i m s w a s t o c o m p u t e t h e c h a r a c t e r t a b l e o f t h e n e w

g r o u p .

T h i s p r o c e s s t o o k m o r e t h a n a y e a r , a l t h o u g h m o s t o f t h e t i m e s p e n t w a s

i n t w o s h o r t p e r i o d s a t t h e s t a r t a n d e n d o f t h a t y e a r . I n t h e e a r l i e r p o r t i o n ,

M i k e G u y p r e p a r e d a c o m p u t e r s y s t e m f o r w o r k i n g w i t h c h a r a c t e r t a b l e s - a

p r i m i t i v e v e r s i o n o f C A S - a n d i n t h e l a t e r o n e w e a p p l i e d t h i s t o a n u m b e r

o f s t a r t i n g c h a r a c t e r s t h a t w e r e p r o d u c e d r a t h e r l a b o r i o u s l y b y h a n d . S e v e r a l

o f t h e t r i c k i e s t c h a r a c t e r s w e r e f o u n d b y N i c k P a t e r s o n , a n d t h e s e e n a b l e d u s

t o c o m p l e t e t h e w o r k .

S o m e t i m e l a t e r , w e c o l l a b o r a t e d w i t h D o n L i v i n g s t o n e , w h o u s e d t o t r a v e l

f r o m B i r m i n g h a m t o C a m b r i d g e a n d w o r k o v e r n i g h t w i t h u s f o r t h e p u r p o s e ,

i n f i n d i n g a n u m b e r o f o t h e r c h a r a c t e r t a b l e s .

I t t h e n o c c u r r e d t o C o n w a y t h a t s o m e k i n d o f h a n d b o o k l i s t i n g " a l l i n t e r -

e s t i n g p r o p e r t i e s o f a l l i n t e r e s t i n g g r o u p s " w o u l d b e e x t r e m e l y u s e f u l . A f t e r

t a k i n g a d v i c e f r o m F r a n k A d a m s , h e a p p l i e d t o t h e S c i e n c e R e s e a r c h C o u n c i l

f o r a g r a n t t o s u p p o r t a n a s s i s t a n t t o h e l p i n p r o d u c i n g s u c h a w o r k , a n d t h e

A T L A S w a s b o r n

T h e s a i d a s s i s t a n t w a s C o n w a y ' s f i r s t s t u d e n t i n g r o u p t h e o r y , R o b e r t

C u r t i s , w h o h a d j u s t w r i t t e n h i s t h e s i s o n t h e s u b g r o u p s o f 0 , a n d w e g a m e l y

s e t a b o u t c o l l e c t i n g i n f o r m a t i o n a b o u t a s m a n y g r o u p s a s w e c o u l d .

W e b o u g h t , f o r w h a t t h e n s e e m e d t h e a s t o n i s h i n g l y l a r g e c o s t o f £ 8 2 , a

" g u a r d b o o k " . T h i s w a s a l a r g e b o o k w i t h a s p e c i a l b i n d i n g t h a t a l l o w e d f o r

t h e i n s e r t i o n o f e x t r a p a g e s w i t h o u t b u r s t i n g . C o n w a y s t i l l h a s t h i s b o o k ,

a l t h o u g h i n f a c t w e s t u f f e d s o m u c h i n t o i t t h a t i t d i d b u r s t a t o n e t i m e .

F o r t u n a t e l y o n e o f t h e c h a i r s i n t h e D P M M S c o m m o n r o o m h a d a l s o r e c e n t l y

b u r s t , a n d h e u s e d t h e r e s u l t i n g s u p p l y o f f a k e l e a t h e r t o m a k e a n e w b i n d i n g

w h i c h w a s s e w n o n u s i n g a l a r g e b o d k i n . T h e b o o k i s n o w a b o u t 6 " ( 1 5 c m )

2 8 8



A b r i e f h i s t o r y o f t h e A t l a s

2 8 9

a t t h e b i n d i n g

I n i t i a l l y w e h a d n o c l e a r i d e a j u s t w h a t i n f o r m a t i o n t o c o l l e c t , b u t w e s o o n

d i s c o v e r e d t h a t t h e c h a r a c t e r t a b l e o f a g r o u p c o n t a i n s s o m u c h i n f o r m a t i o n

t h a t i t i s b y f a r t h e m o s t i m p o r t a n t t h i n g , a n d f r o m t h e n o n w e c o n c e n t r a t e d

m o s t l y o n c h a r a c t e r t a b l e s , a l t h o u g h w e a l s o w o r k e d o u t l o t s o f o t h e r t h i n g s

( s u c h a s p a r a m e t e r s o f g r a p h s , e t c . ) n o t a l l o f w h i c h a p p e a r s i n t h e A T L A S

a s p u b l i s h e d .

T h e c h a r a c t e r t a b l e s i n t h e l i t e r a t u r e w e r e p r i n t e d i n a w i d e v a r i e t y o f

s t y l e s , a n d C o n w a y a n d C u r t i s s p e n t s o m e t i m e d e t e r m i n i n g u p o n t h e s y s t e m

u s e d i n t h e A T L A S . W e ' d l i k e t o c o m m e n t o n t h i s , s i n c e w e ' r e q u i t e p r o u d o f

i t .

M a n y a u t h o r s p r i n t t h e c o n j u g a c y c l a s s e s i n v a r i o u s k i n d s o f o r d e r t h a t

r e f l e c t s t h e i r m a k e u p . F o r i n s t a n c e a n e l e m e n t o f o r d e r p m i g h t i m m e d i a t e l y

b e f o l l o w e d b y t h e e l e m e n t s o f o r d e r s 2 p , 3 p , . . . t h a t h a v e i t f o r t h e i r p - p a r t .

T h i s h e l p s t h e a u t h o r o f t h e t a b l e ( s i n c e i t c o n v e y s s o m e i n f o r m a t i o n a b o u t

p o w e r m a p s , a n d s i n c e ( s ) h e w i l l u s u a l l y c o m p u t e t h e c h a r a c t e r v a l u e s o f

t h e s e e l e m e n t s a t t h e s a m e t i m e ) , b u t t h e h e l p i t o f f e r s t o t h e r e a d e r i s o f f s e t

b y t h e g r e a t e r d i f f i c u l t y o f f i n d i n g t h e e l e m e n t s ( s ) h e w a n t s . W e d e c i d e d t o

e n u m e r a t e " i n o r d e r o f o r d e r " , a n d w h e n o r d e r s w e r e e q u a l , b y d e c r e a s i n g

o r d e r o f c e n t r a l i z e r .

R a t h e r t h a n t r y t o s p e c i f y s o m e p o w e r m a p i n f o r m a t i o n b y o r d e r i n g t h e

e l e m e n t s , w e d e c i d e d t o g i v e c o m p l e t e p o w e r m a p s a n d p - p a r t s , a n d w o r k e d

o u t a s i m p l e w a y o f d o i n g s o .

T h e r e i s a l s o a w i d e v a r i e t y o f c o n v e n t i o n s f o r p r i n t i n g t h e i r r a t i o n a l n u m -

b e r s t h a t o c c u r i n c h a r a c t e r t a b l e s . S o m e a u t h o r s p r i n t e x p r e s s i o n s s u c h a s

" ( - 1 + f ) / 2 " , s o m e u s e G r e e k l e t t e r s e x p l a i n e d b y f o o t n o t e s , a n d o t h e r s

e x p r e s s e v e r y t h i n g i n t e r m s o f s u m s o f r o o t s o f u n i t y .

W e w a n t e d a s y s t e m w h i c h w o u l d c o n v e y c o m p l e t e i n f o r m a t i o n w i t h o u t

t h e n e e d f o r f o o t n o t e s , w o u l d b e p e r m a n e n t , a n d w o u l d u s u a l l y f i t i n t o o u r

s t a n d a r d c o l u m n - w i d t h o f f o u r s p a c e s , t h e f i r s t o f w h i c h i s p r e f e r a b l y l e f t

b l a n k . W e s u c c e e d e d , b y i n v e n t i n g s p e c i a l n a m e s f o r v a r i o u s " G a u s s i a n s u m s "

t h a t u s u a l l y t u r n u p , a n d s e p a r a t i n g t h e s e f r o m t h e G a l o i s g r o u p e l e m e n t s

" * k " t h a t a c t o n t h e m .

T h i s s y s t e m h a s s t o o d u p w e l l , a n d s e e m s t o h a v e a l r e a d y b e c o m e " t h e

i n d u s t r y s t a n d a r d " , a l t h o u g h f o r m o d u l a r c h a r a c t e r t a b l e s i t i s s o m e t i m e s

s o r e l y s t r e t c h e d ( s e e [ 2 ] ) .

C u r t i s h a d a n o f f i c e o f f t h e C o m m o n R o o m i n D P M M S , w h i c h w a s c h r i s -

t e n e d " A t l a n t i s " b e c a u s e t h a t w a s w h e r e t h e A T L A S l i v e d . A c h a r a c t e r t a b l e

w h i c h h a d b e e n c o n v e r t e d i n t o A T L A S f o r m a t w a s s a i d t o h a v e b e e n " a t l a n t i -

f i e d " , a n d m o r e g e n e r a l l y , e v e r y t h i n g t o d o w i t h t h e A T L A S w a s d e s c r i b e d a s

" a t l a n t i c " . W h e n a c h a r a c t e r t a b l e o r o t h e r m a t e r i a l w a s i n r e a s o n a b l y g o o d

s h a p e , i t w a s t y p e d o n t o b l u e p a p e r , a n d p h o t o c o p i e d f o r p o s t e r i t y . T h e s e



2 9 0

C o n w a y , C u r t i s a n d W i l s o n

" a t l a n t i c b l u e " p a g e s w e r e f i l e d a w a y i n f o l d e r s w h i c h w e r e l a b e l l e d w i t h t h e

n a m e o f t h e g r o u p . T h e s e f o l d e r s a l s o c o n t a i n e d c o p i e s o f a l l t h e p a p e r s w e

c o u l d f i n d o n t h e g r o u p s , a n d a n y o t h e r i n f o r m a t i o n w e c o u l d g e t h o l d o f .

S i m o n N o r t o n j o i n e d i n t h e w o r k f r o m a v e r y e a r l y s t a g e , a n d h e a n d

C o n w a y w o r k e d a l o n e f o r a t i m e a f t e r C u r t i s t o o k u p a p o s i t i o n i n B i r m i n g -

h a m . T h e n o n e d a y C l i v e B a c h t o l d u s o f s o m e o n e w h o " w a s v e r y i n t e r e s t e d i n

g r o u p s a n d c o m p u t e r s " , a n d s o w e m e t R i c h a r d P a r k e r , w h o t o o k o v e r t h e j o b

o f " m e c h a n i z i n g t h e A T L A S " . R i c h a r d l a t e r m a d e a s t o n i s h i n g c o n t r i b u t i o n s

t o c o m p u t a t i o n a l g r o u p t h e o r y , a n d m a n y p e o p l e w i l l b e s u r p r i s e d t o l e a r n

t h a t h e d i d n o t h o l d a n y a c a d e m i c p o s i t i o n , b u t s u p p o r t e d h i m s e l f b y d o i n g

f r e e l a n c e p r o g r a m m i n g j o b s . H e w o u l d w o r k o n g r o u p s f o r s o m e t i m e , u n t i l

h e r a n o u t o f m o n e y , a n d t h e n d i s a p p e a r t o h e l p s o m e l a r g e c h a i n o f s t o r e s

i n s t a l l a n e w c o m p u t e r s y s t e m . A f t e r t h i s h e w o u l d r e t u r n t o C a m b r i d g e w i t h

s o m e c a s h i n p o c k e t , a n d t h e c y c l e w o u l d b e g i n a g a i n .

R i c h a r d d e s i g n e d " F O R M A T X " , t h e s y s t e m b y w h i c h w e i n p u t k n o w n

c h a r a c t e r t a b l e s i n t o t h e m a c h i n e . T h i s w a s a t e d i o u s b u s i n e s s , r e p l e t e w i t h

a c c i d e n t s . T h e w o r s t o f t h e s e c a m e w h e n , a f t e r s p e n d i n g 1 4 1 h o u r s t y p i n g

i n t h e 1 1 4 b y 1 1 4 c h a r a c t e r t a b l e o f O $ ( 3 ) , o n e o f u s i n a d v e r t e n t l y p r e s s e d a

k e y t h a t d e l e t e d i t a l l , a n d h a d t o s t a r t a g a i n f r o m s c r a t c h

A n o t h e r o f C o n w a y ' s g r a d u a t e s t u d e n t s , R o b e r t W i l s o n , j o i n e d t h e t e a m ,

a n d t o o k o v e r t h e m a s s i v e j o b o f o r g a n i z i n g o u r r e s u l t s .

W i l s o n ' s t h e s i s

p r o j e c t h a d b e e n t h e e n u m e r a t i o n o f m a x i m a l s u b g r o u p s o f c e r t a i n g r o u p s ,

a n d h e b e c a m e k n o w n a s " M r M a x i m a l S u b g r o u p s " . H e n c e t h e i n c l u s i o n o f

l i s t s o f m a x i m a l s u b g r o u p s i n t h e A T L A S .

T h e s e q u e n c e o f n a m e s i s e a s y t o r e m e m b e r , b e c a u s e ( a s i s p o i n t e d o u t i n

t h e i n t r o d u c t i o n t o t h e A T L A S ) t h e i r a l p h a b e t i c a l o r d e r i s a l s o t h e c h r o n o -

l o g i c a l o n e i n w h i c h t h e y j o i n e d t h e w o r k . W e a l s o n o t i c e d t h a t w e e a c h h a d

t w o i n i t i a l s f o l l o w e d b y a s u r n a m e o f s i x l e t t e r s , t h e s e c o n d a n d f i f t h o f w h i c h

a r e v o w e l s

J . H . C O N W A Y

R . T . C U R T I S

S . P . N O R T O N

R . A . P A R K E R

R . A . W I L S O N

A t a r o u n d t h e s a m e t i m e , J o n T h a c k r a y b e c a m e i n v o l v e d i n t h e c o m -

p u t a t i o n a l p a r t o f t h e p r o j e c t . H e a b o l i s h e d F O R M A T X , a n d d e v i s e d a

m o r e u s e r - f r i e n d l y f o r m a t f o r c h a r a c t e r t a b l e s , a s w e l l a s w r i t i n g p r o g r a m s

f o r c h e c k i n g t h e o r t h o g o n a l i t y r e l a t i o n s b e t w e e n t h e c h a r a c t e r s , a n d s o o n .

I t w a s u n d e r s t o o d a l m o s t f r o m t h e s t a r t t h a t O x f o r d U n i v e r s i t y P r e s s

w o u l d b e t h e p u b l i s h e r , a n d t h e b e n i g n f o r m o f A n t h o n y W a t k i n s o n w o u l d b e



A b r i e f h i s t o r y o f t h e A t l a s

2 9 1

F i g u r e 1 : T h e C o n w a y S e a l o f G r u d g i n g A p p r o v a l

s e e n i n C a m b r i d g e e v e r y n o w a n d t h e n , " p r o d d i n g t h e w o r k a l o n g " . W h e n i t

g o t c l o s e t o p u b l i c a t i o n , t h i s r o l e w a s t a k e n o v e r b y M a r t i n G i l c h r i s t .

W e a g r e e d t o d e l i v e r t h e p a g e s i n " f a s c i c u l e s " o f a b o u t 2 0 g r o u p s e a c h ,

a n d a s d e l i v e r y d a y a p p r o a c h e d , w e w o u l d f r a n t i c a l l y b e w o r k i n g o n t h e l a s t

p r o b l e m s w i t h t h e a s s o c i a t e d g r o u p s . T h e d a y b e f o r e , w e w o u l d v i r t u a l l y t a k e

o v e r t h e C o m m o n R o o m , a l l o t t i n g o n e p a g e t o e a c h s e a t .

P r i o r t o t h i s , w e p r e p a r e d o n e g r o u p a t a t i m e , i n n o p a r t i c u l a r o r d e r , u n t i l

t h e m a t e r i a l o n t h a t g r o u p r e a c h e d a d e g r e e o f c o m p l e t e n e s s , a n d h a d b e e n

s u f f i c i e n t l y c h e c k e d , t o b e a w a r d e d t h e " C o n w a y S e a l o f G r u d g i n g A p p r o v a l "

( s e e F i g . 1 ) .

W h e n a l l t h e g r o u p s i n t h e f a s c i c u l e h a d b e e n a w a r d e d t h e C S G A , w e

w e r e r e a d y t o p r i n t o u t t h e m a s t e r c o p y o n t h e C o m p u t i n g S e r v i c e ' s D i a b o l o

p r i n t e r . A t f i r s t , t h e p r i n t e r w a s r e a s o n a b l y r e l i a b l e , a n d w e f e l t t h a t t h e

o u t p u t w a s w e l l w o r t h t h e 1 0 p p e r p a g e t h a t w e p a i d f o r i t . A s t h e m o n t h s

w e n t b y , h o w e v e r , a n d w e r e a c h e d t h e s i x t h a n d l a s t f a s c i c u l e , t h e p r i n t e r

w a s w e a r i n g o u t , a n d s t a r t e d t o l i v e u p t o i t s n a m e i n a w a y w h i c h t h e

m a n u f a c t u r e r s n o d o u b t d i d n o t i n t e n d . I t b e c a m e m o r e a n d m o r e d i f f i c u l t t o

p r i n t o u t a w h o l e p a g e w i t h o u t a t l e a s t o n e s y m b o l b e i n g m i s p r i n t e d o r l e f t

o u t a l t o g e t h e r . N o t a l l s u c h e r r o r s w e r e s p o t t e d i n t i m e , a s t h e a l e r t r e a d e r

o f t h e A T L A S w i l l h a v e n o t i c e d .

W e p h o t o c o p i e d a l l t h e m a s t e r p a g e s , a n d s t a r t e d t r y i n g t o a r r a n g e t h e

p i e c e s i n t o f u l l A 3 p a g e s . T h e f i r s t f e w p a g e s w e r e r e l a t i v e l y s t r a i g h t f o r w a r d ,

b u t a s t i m e w e n t b y , w e f o u n d o u r s e l v e s f o r c e d i n t o s e v e r a l u n c o m f o r t a b l e

c o m p r o m i s e s . F i r s t w e c o n c e d e d t h a t c e r t a i n c h a r a c t e r t a b l e s ( a n d l a t e r o t h e r

i n f o r m a t i o n ) h a d t o b e t u r n e d t h r o u g h 9 0 ° i n o r d e r t o u t i l i z e t h e a v a i l a b l e

s p a c e e f f i c i e n t l y . T h e n w e a c c e p t e d t h e n e e d , o r i g i n a l l y a n a t h e m a , f o r t w o

g r o u p s o c c a s i o n a l l y t o s h a r e t h e s a m e p a g e . L a t e r o n , w e e v e n a l l o w e d t h e

" o t h e r i n f o r m a t i o n " t o i n f i l t r a t e b l a n k s p a c e s i n t h e c h a r a c t e r t a b l e i t s e l f .

T h e b i g g e s t h e a d a c h e w a s p r o v i d i n g i n s t r u c t i o n s t o t h e P r o d u c t i o n D e -

p a r t m e n t a t O U P a s t o h o w t o c u t a n d p a s t e o u r s m a l l p a g e s i n t o t h e f i n a l

p a g e s , a n d t o a d d i n t h e b i t s t h a t o u r D i a b o l o p r i n t e r w a s i n c a p a b l e o f .

T h e s e i n c l u d e d t h e n u m b e r i n g o f c h a r a c t e r s b y X i a t t h e b e g i n n i n g a n d e n d ,

t h e " m a p s " , d r a w i n g i n t h e f u s i o n l i n e s i n t h e " f u s " c o l u m n s o f t h e c h a r a c t e r

t a b l e s , a d d i n g p a g e s n u m b e r s a n d p a g e h e a d i n g s , e t c . I t i s a t r i b u t e t o t h e m



2 9 2 C o n w a y , C u r t i s a n d W i l s o n

t h a t t h e y f o l l o w e d o u r i n s t r u c t i o n s e x t r e m e l y a c c u r a t e l y , a n d t h e v e r y f e w

e r r o r s t h a t c r e p t i n a t t h i s s t a g e w e r e a s l i k e l y a s n o t d u e t o u s g i v i n g t h e m

w r o n g i n s t r u c t i o n s .

W h e n w e g o t t o t h e e n d , w e f e l t t h e r e w e r e s o m e i m p o r t a n t t h i n g s w e

h a d l e f t o u t . F o r e x a m p l e , w e h a d s t r i p p e d o f f t h e p a r t i t i o n l a b e l s f r o m t h e

c h a r a c t e r t a b l e s o f t h e s y m m e t r i c g r o u p s , i n t h e i n t e r e s t s o f u n i f o r m i t y , b u t

l a t e r r e g r e t t e d i t , a n d r e i n s t a t e d t h e i n f o r m a t i o n i n a s e p a r a t e t a b l e o n p a g e

2 3 6 . A g a i n , w e h a d d e c i d e d a g a i n s t i n c l u d i n g r e f e r e n c e s , b u t W i l s o n f e l t

s t r o n g l y e n o u g h t h a t w e s h o u l d i n c l u d e t h e m , t h a t h e v o l u n t e e r e d t o t r a w l

t h r o u g h t h e p a g e s o f M a t h e m a t i c a l R e v i e w s t o p r o d u c e a b i b l i o g r a p h y o f

t h e s p o r a d i c g r o u p s . L e o n a r d S o i c h e r h a d m e a n w h i l e b e e n p r o d u c i n g l a r g e

n u m b e r s o f p r e s e n t a t i o n s o f s p o r a d i c g r o u p s . W e m a n a g e d t o i n f i l t r a t e s e v e r a l

o f t h e s e i n t o t h e b o o k a t a v e r y l a t e s t a g e , b y p u t t i n g t h e m o n p a g e 2 3 2 , u n d e r

t h e M o n s t e r , a n d i n s e r t i n g f o r w a r d r e f e r e n c e s a t t h e r e l e v a n t p l a c e s .

T h e p a g e s w e r e p r e p a r e d b y t a k i n g p h o t o c o p i e s o f t h e m a c h i n e p r i n t e d

c h a r a c t e r t a b l e s a n d o t h e r i n f o r m a t i o n , a n d p a s t i n g t h e m r o u g h l y o n t o l a r g e

s h e e t s o f p a p e r . W h e n M a r t i n G i l c h r i s t c a m e , h e w a s h a n d e d t h e s e r o u g h

p a s t e - u p s t o g e t h e r w i t h c l e a n c o p i e s o f t h e t h i n g s t h e y w e r e m a d e u p f r o m ,

f o r t h e p r i n t e r s t o m a k e n e a t e r v e r s i o n s f r o m .

U n f o r t u n a t e l y t h i s p r o c e s s , l i k e a l l o t h e r s , w a s s u b j e c t t o e r r o r . O n e o f

t h e n u m b e r s i n t h e A T L A S i s w r o n g m e r e l y b e c a u s e i t s m i n u s s i g n h a s b e e n

g u i l l o t i n e d o f f ( y o u c a n s t i l l s e e a b o u t a n e i g h t h o f i t ) . P e r h a p s t h e w o r s t

e r r o r h a p p e n e d b e c a u s e a t h i n s t r i p c o n t a i n i n g f i v e c o l u m n s o f t h e c h a r a c t e r

t a b l e f o r t h e a u t o m o r p h i s m g r o u p o f F i 2 2 g o t l o s t i n t h e p a s t e - u p p r o c e s s .

T h e m e n t i o n o f t h e s e e r r o r s r e m i n d s u s t h a t o f c o u r s e w e k e p t a n e r r o r -

b o o k , a n d t h a t t h e r a t e a t w h i c h w e d i s c o v e r e d e r r o r s r o s e f r o m a b o u t o n e

p e r w e e k t o a b o u t o n e p e r d a y a s t h e p u b l i c a t i o n d a t e a p p r o a c h e d B u t

f o r t u n a t e l y t h e p r e d i c t i o n i n t h e A T L A S i n t r o d u c t i o n w a s c o r r e c t - t h e r e a r e

v e r y f e w e r r o r s i n t h e a c t u a l c h a r a c t e r t a b l e e n t r i e s , t h e a b o v e b e i n g t h e

m o s t s e r i o u s . I t w a s o u r p o l i c y t h r o u g h o u t t h a t w e t o o k c o l l e c t i v e a n d n o t

i n d i v i d u a l r e s p o n s i b i l i t y f o r e r r o r s , s o t h a t e v e n w h e n a n i n d i v i d u a l c o u l d b e

i d e n t i f i e d a s t h e s o u r c e o f a n e r r o r , h e n e v e r w a s . W e d o s t i l l o c c a s i o n a l l y f i n d

n e w e r r o r s , o r h a v e t h e m p o i n t e d o u t t o u s , b u t t h e r a t e h a s s l o w e d t o a b o u t

o n e e v e r y s i x m o n t h s , a n d w e a r e o n l y a w a r e o f f o u r e r r o r s i n a d d i t i o n t o

t h o s e c o r r e c t e d i n t h e A B C [ 2 ] . I t h a s t o b e a d m i t t e d , h o w e v e r , t h a t t h i s l i s t

o f c o r r e c t i o n s h a s i t s e l f a t l e a s t o n e k n o w n e r r o r - o n p a g e 3 1 0 , t h e c e n t r a l i z e r

o r d e r s o f 1 2 L , 1 2 M a n d 1 2 N s h o u l d b e 3 4 5 6 , 1 2 9 6 a n d 5 7 6 r e s p e c t i v e l y .

T h e n a t l a s t t h e f i n a l p r o o f s o f t h e s i x t h f a s c i c u l e h a d b e e n s e n t b a c k a n d

i t w a s a l l o v e r - o r w a s i t ? W e h a d n o t y e t w r i t t e n t h e I n t r o d u c t i o n T h i s

h a d t o b e s u b s t a n t i a l i n o r d e r t o e x p l a i n a l l o u r n o t a t i o n , b u t i t w a s a l w a y s

i n t e n d e d t o b e m o r e t h a n t h i s , a k i n d o f i n t r o d u c t i o n t o s i m p l e g r o u p s i n

g e n e r a l . T h e r e s u l t i n g t o u r - d e - f o r c e w a s a l m o s t e n t i r e l y t h e w o r k o f C o n w a y ,

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the Atlas of Finite Groups Ten Years On