8/14/2019 tgdh

1/7

1

T GIC IU HPhan Nguyn Vn Trng - Lc nh Khnh - Bi H ng Quang

Lp 10 Ton trng PhThng Nng KhiuTrong qu trnh hc ton hnh hc chng ti pht hin c mt t gic kh c bit v c nhiu

tnh cht p, nhiu ngi thng gi l tgic p, tuy nhin v t gic ny c lin quan nhiun hng im iu ha nn cng c gi l Tgic iu ha. Trong bi vit nh ny chng tixin gii thiu mt s tnh cht ca tgic iu ha v ng dng ca n trong vic gii cc bi tonhnh hc khc.

1. nh ngha v tnh cht c bnnh ngha. T gic ABCD ni tip v tha AB/AD = CB/CD c gi l t gic iu ha.V d 1.Cho ng trn (O) im M nm ngoi ng trn. MA v MB l tip tuyn v tM n (O), Mt ct t uyn qua M ct (O) ti P v Q. Khi APBQ l tgic iu ha.

Chng minhChng ta ch cn chng minh

AQ BQ

AP BP

Ta c . AQ MQ MAQ MPA g g AP MP

V .BQ MQ

MBQ MPB g g BP MP

Suy ra AQ BQ

AP BP , do t gic AQBP l t gic

iu ha

Nhn xt. Qua v d trn ta thy nu t gic ni t ip c giao im hai t ip tuyn v t hainh i nm trn ng cho cn th tgic iu ha. Ty ta c tht cu hi

ngc li : Nu t gic APBQ l tgic iu ha th giao im hai tip tuyn ca ng

trn ngoi t ip v t A v B c thuc ng thng PQ khng? Chng ta s c cu tr li

phn sau.

2. Tnh cht.

8/14/2019 tgdh

2/7

2

1) Cho tgic iu ha ABCD ni t ip (O) c AB/ BC = DA/ DC = k, th (O) trc giao ving trn Apolloius t s k dng trn on AC.

Chng minhGi E, F ln lt l chn ng phn gic trong v

ngoi ca gc B. Khi ng trn Apollonius t s

k l ng trn tm I ng knh EF, r rng B, D (I ). Ta cn chng minh IB l tip tuyn ca (O) ,

Thc vy, ta c (ACEF) = - 1 v I l trung im EF

nn IE2 = IA. IC m tam gic IBE cn ti I, suy ra IE

= IB, do IB2 = IA.IC suy ra IB l tip tuyn ca

(O) (ccm)

2) T gic ABCD ni t ip ng trn (O) l tgic iu ha khi v ch khi AC, tip tuynti B, tip tuyn ti D ca (O) ng quy. (AC, BD khc ng knh)

Chng minh) ng theo v d 1

) ng theo tnh cht 1

3) Cho ABCD l tgic iu ha th AC.BD = 2AB.CD = 2BC.ADChng minhTgic ABCD iu ha nn ta c . .

AB CB AB C D AD C B

AD CD

Mt khc ta c ABCD ni ti p nn theo nh l Ptolemy th . . . AC BD AB C D AD BC

Do . 2 . 2 . AC BD AB CD AD BC

4) Cho tgic iu ha ABCD ni t ip (O), tip tuyn ti B v D ct nhau ti M, I l giaoim ca AC v BD. Khi (MIAC) = - 1

Chng minh

Ta c

.sin

.sin

MCD

MAD

S MC CD MDC

MA SAD MDA

V

sin

.sin

ICB

ICB

S IC BC IBC

IA S BA IBA

8/14/2019 tgdh

3/7

3

M , sin sin , sin sinCD BC

ABI ADM IBC MDC AD AB

Suy ra 1 MC IC

MICA MA IA

Nhn xt. Cho mt im M nm ngoi ng trn, t M v hai t ip tuyn tuyn MA, MBn (O). Mt ct tuyn qua M ct (O) ti P, Q v ct AB ti N th (MNPQ) = -1

5) Cho tgic iu ha ABCD ni t ip O, gi M l giao ca hai t ip tuyn ca (O) ti B vD. Gi I l giao im ca OM v BD. Khi IB l phn gic ca gc AIC

Chng minhTa c AC ct BD ti K th (MKAC) = - 1. Ta c I(MKAC) = - 1 v IM vung gc IK nn

IM, IK ln lt l phn gic trong v phn gic ngoi ca gc AKC

Tnh cht 1, 2 cho ta cc tng chng minh 3 im thng hng hay 3 ng thng ng

quy, tnh cht 3 l mt tnh cht kh p v tnh cht 4 l cho ta bit l do ti sao tgic gi l

tgic iu ha. Sau y chng ta xt mt vi v dng dng ca tgic iu ha.

3. p dng vo gii cc bi ton hnh hc s cpBi 1. Tim A nm ngoi (O), k 2 t ip tuyn AB, AC (B, C l tip im) v ct tuyn

ADE. Qua D kng thng vung gc OB ct BC, BE ti H, K. Chng minh : DH = HK.

Chng minhGi I l giao im ca BC v ED, ta c t gic

ECDB l tgic iu ha nn B(EDIA) = - 1,

m DK/ / AB (cng vung gc vi OB)

Do H l trung im ca DK. @

Bi 2(TST 2001) . Trong mt phng cho hai ng trn 1 v 2 ct nhau ti A v B. Mt

tip tuyn chung ca hai ng trn tip xc vi 1 P v2 T. Cc tip tuyn ti P v T

ca ng trn ngoi t ip tam gic APT ct nhau ti S. Gi H l im i xng ca B qua

PT. Chng minh rng A, H, S thng hng.

Chng minh

8/14/2019 tgdh

4/7

4

Ta ch cn chng minh APHT l t gic

iu ha.

Ta chng minh APHT ni t ip, tht vy ta

c:

BPT = PAB v BTP = BAT, suy raBPT +BTP = PAT hay PAT =1800 -

BPT = 1800 - PHT

Do t gic APHT ni tip.

Gi M l giao im ca AB v PT

Ta c MB.MA = MP2 v MB.MA = MT2 nn

MP = MT

Ta c MPB MAP , suy ra BP/AP = MB/MP

Tng t th BT/ AT = MB/ MT

Suy ra BP/ AP = BT/ AT, suy ra BP/ BT = AP/ AT

Hn na ta c BP = HP v BT = HT

Do AP/AT = HP/HT

T ta c t gic APHT l tgic iu a, theo tnh cht 2 th A, H, S thng hng. @

Bi 3. Gi s ABCD l mt t gic ni t ip. Gi P, Q, R l chn cc ng vung gc h t D

ln lt trn cc ng thng BC, CA v AB. Chng t rng PQ = QR khi v ch khi phn

gic ca cc gc ABC v ADC ct nhau trn AC.

Chng minh

Ta bit rng P, Q, R thng hng (ng thng

Simson)

Qua B vng thng song song vi PR ct AC ti M

Phn gic ca gc B v D ct nhau ti mt im trnAC khi v ch khi BA/ BC = DA/ DC v QP = QR khi v

ch khi (MQAC) = - 1.

Vy ta ch cn chng minh tgic ABCD iu ha khi

v ch khi (MQAC) = - 1.

8/14/2019 tgdh

5/7

5

Ta c AM/ AQ = AB/ AR v CM/ CQ = CB/ CP

Mt khc DAR DCP (gg), suy ra AR/CP = DA/DC

Do (MQAC) = - 1 AM/ AQ = CM/ CQ AB/ AR = CB/ CP AB/ CB = AR/ CP

AB/ CD = DA/ DC. @

Bi 4. Cho tam gic ABC. ng trn tm I ni t ip tam gic ABC v tip xc vi BC, AC v

AB ln lt ti D, E, F. AD ct (I) ti im th hai l M, BM, CM ct (I) ti Y v Z. Chngminh rng BZ, CY v AD ng quy.

Chng minhT gic MEYD l tgic iu ha nn ta c

MY.DE = 2ME.DY , suy ra MY/ YC = 2ME.DY/ YC.DE

T gic MFZD l tgic iu ha nn ta c:

MZ.DF = 2MF.DZ, suy ra BZ/ MZ = BZ.DF/ 2MF.DZ

Do

DC.YM.ZB/ DB.YC.ZM= (DC/ DB).(2ME.DY/ YC.DE).(BZ.DF/ 2MF.DZ) (1)

Mt khc tgic MEDF iu ha nn ME/ MF = DE/ DF

Do (1) VT = (DC/ DB)( DY/ DZ)(BZ/ CY)

M CY/ DY = CD/ DM v BZ/ BD = DZ/ DM

Suy ra (DC/ DB)(DY/ DZ)(BZ/ CY) = 1Vy DC.YM.ZB/DB.YC.ZM = 1 nn theo nh l Ceva th MD, BY v CZ ng quy. @

T tnh cht ny ta c th suy ra thm mt tnh cht: EF, YZ v BC ng quy v ZF, YE v

AD ng quy.. Tht vy nu EF ct BC ti K th (KDBC) = - 1 v YZ ct BC ti H th (HDBC)

= - 1 v MD, BY v CZ ng quy.

Do K trng H, ta c iu cn chng minh.

Khi xt hai tam gic BZF v CYE theo nh l Desarge th ZF v EY ct nhau ti mt

im nm trn ng thng AM.

Bi 5. (TST 2001) Trong mt phng cho hai ng trn 1 tm O1v ng trn 2 tm

O2 ct nhau ti hai im A v B. Cc tip tuyn ti A v B ca1 ct nhau ti K. Gi s M l

8/14/2019 tgdh

6/7

6

mt im nm trn 1nhng khng trng vi A v B. ng thng AM ct li 2 ti P,

ng thng KM ct 1 ti C v ng thng AC ct 2 ti Q.

a) Chng minh trung im PQ thuc ng thng MCb) ng thng PQ lun i qua mt im cnh khi M di chuyn trn 1Chng minh

a) Gi N l giao im ca MK v PQ,ta chng minh N l trung im ca PQ.

Ta c t gic AMBC l t gic iu ha

nn AC/ AM = CB/ MB.

Ta c MBP CBQ(g.g), suy ra CB/ MB

= CQ/ MP.

T ta c AC/AM = CQ/MP

p dng nh l Menelaus cho tam gic

APQ vi ct tuyn MKN th

(NP/ NQ).(MP/ MA).(CA/ CQ) = 1

T ta c NP = NQ hay N l trung im

ca PQ.

b) Gi J l giao im ca AK v (2), suy ra J cnh. Ta chng minh tgic BQJP iu ha.Ta c CMB = BAC =BPQ v MBC = CAP = PBQ, suy ra CBM QBP (g.g), t

BC/ BM = BQ/ BP.

Chng minh tng t ta cng c AC/AM = JQ/JP

M BC/ BM = AC/ AM nn BQ/ BP = JQ/ JP, suy ra t gic BQJP l tgic iu ha.

Do PQ i qua giao im I ca hai tip tuyn v t B v J ca (2). @

4. Bi tp rn luynBi 1. Cho ng trn (O), mt im A nm ngoi ng trn. T A v hai t ip tuyn AB

v AC n (O) (B, C l hai t ip im), v hai ct tuyn AMQ, ANP n (O) (M nm gia A, Q

v N nm gia A, P). Chng minh rng BC, PM, QN ng quy.

Bi 2. Cho tam gic ABC cn ti A, M l trung im BC. P l im tha mn ABP = PCB.

Chng minh rng BPM + CPA = 1800

8/14/2019 tgdh

7/7

7

Bi 3. Cho (O) v mt im cnh nm ngoi (O); k tip tuyn MB v mt ct tuyn

MAC bt k. Mt ng thng d song song vi MB ct BA; BC ti N v P. Chng minh rng

trung im I ca NP thuc mt ng cnh.

Bi 4. Cho hai ng trn (O1) v (O2) ngoi nhau, AB l tip tuyn chung ngoi (A (O1)

v B (O2)) . Gi C l im i xng ca A qua O1O2, D l trung im ca AC. Gi E l giao

im ca BD v (O2). Chng minh rng CE tip xc vi (O2)

Bi 5. Cho tam gic ABC ni tip ng trn (O). Mt ng thng qua A ct t ip tuyn ti

B; C ti M; N v ct (O) ti E. Gi F l giao im ca BN v CM. Chng minh rng EF lun i

qua mt im cnh khi thng thay i nhng lun qua A.

Bi 6. Cho ABCD l t gic ni t ip. Gi L v N ln lt l trung im ca AC v BD, chng

minh rng DB l phn gic ca gc ANC khi v ch khi AC l phn gic ca gc BLD

TI LIU THAM KHO[1] Hng im iu ha Vp ca ton hc, Kim Lun[2] Ti nguyn internet:http:/ / diendantoanhoc.net, http:/ / mathscope.org