Tgas Heri Renormalization Group

7/31/2019 Tgas Heri Renormalization Group

1/83


2/83


3/83

where J = e/kT and hH/kT. Assume the model has acritical point at T = Tc

corresponding to a critical coupling Jc. Let

The partition function for N spins is

Dimana

being the free energy.

Since the coupling constants J and h are

dimensionless, the unit of length is set by the latticespacing (which does not actually appear in the

Hamiltonian). For example, the correlation function T(i,

j) refers only to site numbers i and j, the "distance"

between sites i and j being defined as the number of

lattice spacings between the sites along a minimal path.

Now divide the lattice into blocks of size bd, and define

the block spin s' = +1 of a given block as some sort ofaverage of the spins contained in the block. For example,

we can use the "majority rule," s' = +1, if the majority of

the spins in the block is +. In case of a tie, we arbitrarily

define s' = s, where st is a particular spin, say the one at

the upper left corner of the block. Denoting by S the sum

of all spins in the block, we have


4/83

Dimana J = /Kt dan h = H/Kt dan Asumsikanmodel memiliki titik kritis pada T=Tc sesuai dengan Jc

kopling kritis. Membiarkan

Fungsi partisi untuk berputar N adalah

Dimana

menjadi energi bebas.

Karena konstanta kopling J dan h adalah berdimensi,

satuan panjang adalahditetapkan oleh jarak kisi (yangtidak benar-benar muncul di Hamiltonian).Misalnya,

fungsi korelasi T (i, j) mengacu hanya untuk nomor yang

situs i dan j,"jarak" antara situs i dan j didefinisikan

sebagai jumlah kisi jarak antara lokasi di sepanjang jalan

minimal. Sekarang membagi kisi menjadi blok bd

ukuran, dan mendefinisikan spin blok 's = +1 dari suatu

blok tertentu sebagai semacam rata dari spin yang

terkandung dalam memblokir. Sebagai contoh, kita dapat

menggunakan "kekuasaan mayoritas," 's = +1, jika

mayoritas berputar dalam blok +. Dalam kasus dasi, kita

sewenang-wenang mendefinisikan 's = s , dimana st

adalah spin tertentu, misalnya yang di sudut kiri atas dari

blok. yang menunjukkan dengan S jumlah semua

berputar di blok tersebut, kita harus


5/83

After one block-spin transformation, the number of spins

in the system is reduced by a factor b~d:

The new lattice spacing is increased 6-fold, which means

that the unit of length is automatically increased by a

factor b. For example, if the site spins are correlated over

n lattice spacings, the block spins are correlated over n/b

lattice spacings. The process is illustrated in Fig. 18.1.


6/83


7/83

Fig. 18.1 Block-spin transformation:

averaging the spins in a block, and then

rescaling the lattice to the original size. Inmore than one dimension, the indirect

interaction between B and C gives rise to next-

to-nearest-neighbor interactions of the block

spins.

Kadanoff assumes that sufficiently close to the critical

point one can describe the system by a block-spin

Hamiltonian, which again contains only nearest-neighbor interactions:

The partition function of the block-spin system is thus

Note that the free energy g is the same function

as in (18.3), because by assumption E' is the same

function as E, except for the values of the couplingconstants.

Kadanoff now argues that the block-spin system

is merely another way of describing the original system,

and hence we must have QN. = QN. Using A8.5) one

can write


8/83

Gambar. 18,1 Blok-spin transformasi:

rata-rata berputar dalam blok, dan kemudian

rescaling kisi ke ukuran aslinya. Dalam lebih

dari satu dimensi, interaksi langsung antara B

dan C menimbulkan depan-ke-tetangga

terdekat-interaksi dari spin blok.

Kadanoff mengasumsikan bahwa cukup dekat

dengan titik kritis seseorang dapat menggambarkan

sistem dengan blok-spin Hamilton, yang lagi-lagi hanya

berisi terdekat tetangga interaksi:

Fungsi partisi dari sistem blok-spin sehingga

Perhatikan bahwa g energi bebas adalah fungsi

yang sama seperti pada (18.3), karena dengan asumsi E

'adalah fungsi yang sama dengan E, kecuali untuk nilai-

nilai kopling konstanta.

Kadanoff sekarang berpendapat bahwa sistem blok-

spin hanyalah cara lain untuk menggambarkan sistem

yang asli, dan karenanya kita harus memiliki QN. = QN.

Menggunakan (18.5) seseorang dapat menulis


9/83

Now assume

Then

which is the homogeneity rule (16.55). We have alreadyseen how it leads to Widom's scaling form. Kadanoffs

ideas have great heuristic value, but do not lead to a

calcula- tional scheme. There are simply too many ad

hoc assumptions, some of them clearly wrong. For

example, block spins generally have more complicated

interactions than just nearest neighbor. One can see this

in the two-dimensional case illustrated in Fig. 18.1. The

sites B and C both interact with A. Thus one expects that

the block to which B belongs interacts with the block to

which C belongs, giving rise to next-to-nearest-neighbor

interactions.

18.2 THE ONE-DIMENSIONAL ISING MODEL

A block-spin transformation in one dimension preserves

the nearest-neighbor nature of the interactions, as onecan see by inspecting Fig. 18.2. Unfortunately the model

does not have a critical point, so that its pedagogical

value is somewhat limited. Nevertheless we have here

the only case in which a block-spin transformation can

be carried out analytically. It is worth examining for that

alone.


10/83

Sekarang diasumsikan

Kemudian

yang merupakan aturan homogenitas A6.55). Kitatelah melihat bagaimana hal itu mengarah ke Widom

yang scaling bentuk. Kadanoffs ide memiliki nilai

heuristik yang besar, tetapi tidak mengarah pada

perhitungan yang skema nasional. Ada terlalu banyak ad

hoc asumsi, beberapa dari mereka jelas salah. Misalnya,

berputar blok umumnya memiliki interaksi yang lebih

rumit tions dari sekedar tetangga terdekat. Satu dapatmelihat ini dalam kasus dua dimensi diilustrasikan pada

Gambar. 18,1. B dan C kedua situs berinteraksi dengan

A. Jadi kita mengharapkan bahwa blok yang B milik

berinteraksi dengan blok C yang berasal, sehingga

menimbulkan depan-ke-tetangga terdekat-interaksi.

18.2 MODEL ISING SATU-DIMENSI

Sebuah transformasi blok-spin dalam satu dimensimempertahankan terdekat-tetangga sifat interaksi, seperti

yang terlihat dengan memeriksa Gambar. 18,2.

Sayangnya model tidak memiliki titik kritis, sehingga

nilai pedagogis adalah agak terbatas. Namun kita miliki

di sini satu-satunya kasus di mana suatu blok-spin

transformasi dapat dilakukan secara analitis. Perlu

memeriksa untuk itu saja.


11/83


12/83

Gambar. 18,2 Blok-spin transformasi dalam

satu dimensi. Itu blok berputar hanya memiliki

terdekat-tetangga interaksi.

Fungsi partisi untuk rantai N spin adalah jejak kekuatan

dari N. Dari matriks transfer P, seperti terlihat pada

(14.81). Jika kita ingin menggambarkan sistem dalam

hal 2-berputar blok, fungsi partisi yang sama harus

kembali dinyatakan sebagai melacak dari matriks

transfer baru 'P pangkat N/2. Hal ini dicapai melalui

sepele menulis ulang fungsi partisi:

dimana

Batas u dan v berasal dari kondisi J > 0 dan h > 0. yang

pertama membatasi kita untuk kasus feromagnetik.


13/83


14/83

Kesempatan kondisi kedua tanpa kehilangan

umum karena model adalah invarian dalam h ---> ---h.

Matriks transfer untuk berputar blok adalah

Kami menuntut 'P memiliki bentuk yang sama dengan P:

yang mendefinisikan parameter u 'dan v' dalam

sistem blok-spin. Sebuah baru

C parameter harus diperkenalkan, karena untukmencocokkan A8.13) dengan A8.14) membutuhkan

pencocokan elemen matriks tiga, yang umumnya tidak

mungkin dengan hanya dua variabel u 'dan v'. Dengan C,

kami memiliki tiga tidak diketahui untuk memenuhi tiga

kondisi


15/83

The solution is

The block-spin transformation can be regarded as

a mapping (u, v) - (', f') in parameter space. By

carrying out the block-spin transformation repeatedly, an

initial point (u, v) in parameter space generates a

sequence of points, which may be connected to form atrajectory. By doing this for different initial points, we

obtain the "flow diagram" of Fig. 18.3.

A salient feature of the mapping are the "fixed

points"values (u, v) that remain unchanged under thetransformation:

w = 0, v = 1 ( interaction, 0 field)

u = 1, all v (0 interaction, any field)

The fixed point @,1) is unstable in the sense that any

point in its neighborhood will tend to go away from it

under a block-spin transformation. The fixed points on

the line u = 1 are stable. At the fixed points the

correlation length ? is invariant under a scale change,


16/83

Solusinya adalah

Transformasi blok-spin dapat dianggap sebagai

pemetaan (u, v) - (', F') di ruang parameter. Dengan

melakukan transformasi blok-spin berulang kali, sebuah

titik awal (u, v) di ruang parameter menghasilkan urutan

poin, yang dapat dihubungkan untuk membentuklintasan. Dengan melakukan ini untuk berbagai poin

awal, kita mendapatkan "diagram alir" Gambar. 18,3.

Sebuah fitur menonjol dari pemetaan adalah "titik

tetap"-nilai (u, v) yang tetap tidak berubah dalam

transformasi:

u = 0, v = 1 ( interaksi, 0 lapangan)

u = 1, semua v (0 interaksi, bidang apapun)

Titik tetap (0,1) tidak stabil dalam arti bahwa setiap titik

di lingkungan yang akan cenderung pergi dari bawah

transformasi blok-spin. Tetap poin pada baris u = 1

adalah stabil. Pada titik tetap panjang korelasi? adalah

invarian dalam perubahan skala,


17/83

and therefore can only be 0 or oo. The line u = 0

corresponds to T = 0, with ? = oo at @,1). The line u = 0

corresponds to T = oo, with ? = 0 all along this line.Unfortunately the fixed point @,1) is inaccessible. You

are either already there or you go away from it. This

expresses the fact that the system has no critical point.

Fig. 18.3 Flow diagram of one-dimensional Ising

model, showing how the coupling constant e and

the external field H change under successive

block-spin transformations.


18/83

dan karena itu hanya bisa 0 atau oo. Garis u = 0

sesuai dengan T, = 0 dengan = di (0,1). Jalur ini u =0 sesuai dengan T = , dengan = 0 selama ini line.Sayangnya titik tetap (0,1) tidak dapat diakses. Anda

baik yang sudah ada atau Anda pergi jauh dari itu. Hal

ini mengungkapkan fakta bahwa sistem tidak memiliki

kritis titik.

Gambar. 18,3 Aliran diagram satu-dimensi Ising,

menunjukkan bagaimana e konstan kopling dan eksternal

bidang H perubahan di bawah blok berturut-spin

transformasi tions.


19/83

18.3 RENORMALIZATION-GROUP

TRANSFORMATION

The operation of coarse-graining followed by

rescalmg is called a "renormalization-group" (RG)

transformation, of which the block-spin transformation

in an Ising model is an example. We now give a formal

and general definition of the latter. This is possible

owing to the simplicity of the model.* But the results are

very instructive, and the concepts illustrated in this case

are useful in more general models.

Consider an Ising model with N spin variables s,,

= +1 defined on sites of a ^-dimensional cubic lattice.

We will have to include the most general types of

interactions, in order that a block-spin transformation,

which may generate arbitrarily complicated interactions,

can be described as a mapping in parameter space. To

this end, let / denote an arbitrary set of site labels. LetSa denote the product of all spins on the sites in Ia:

The most general Hamiltonian (in units of kT) is

where Ka is a coupling constant for the set of

spins in Sa, and the sum over a extends over all possible

sets Ia. Note that


20/83

18.3 RENORMALIZATION-GROUP

TRANSFORMASI

Pengoperasian kasar-kembang kayu diikuti oleh

rescalmg disebut "renormalization-kelompok "(RG)

transformasi, dimana transformasi blok-spin dalam Ising

model contoh. Kami sekarang memberikan definisi

formal dan umum terakhir. Hal ini karena mungkin

untuk kesederhanaan model * Tapi. Hasilnya sangat

instruktif, dan konsep diilustrasikan dalam hal iniberguna untuk lebih model umum. Pertimbangkan model

Ising dengan N berputar variabel s1 = 1 didefinisikan

pada situs dari d-dimensi kisi kubik. Kami harus

menyertakan jenis yang paling umum interaksi, agar

transformasi blok-spin, yang dapat menghasilkan

interaksi sewenang-wenang rumit, dapat digambarkan

sebagai pemetaan pada parameter ruang. Untuk tujuan

ini, mari / "menunjukkan set sewenang-wenang labelsitus. Mari Sa menyatakan produk dari semua berputar

pada lokasi di Ia:

Hamiltonian yang paling umum (dalam satuan kT)

adalah

dimana Ka adalah konstanta kopling untuk set spin di Sa,

dan jumlah lebih dari membentang di atas semua set Ia

mungkin. Perhatikan bahwa


21/83

In principle we can solve for Ka through

For formal manipulations it costs us nothing toregard Ka as completely arbitrary. For practical purposes

it suffices for us to think of E{s} as

where (i, j) denote nearest-neighbor pairs, ((i,j))

next-to-nearest pairs, and (i,j, k) nearest-neighbor

triplets, etc. Now divide the entire lattice into identical

cubical blocks that cover the whole lattice, with b sites

along each edge of the block. There are thus bd spins in

the block B, which we denote collectively as {s}B. The

block spin is

where f is a mapping of {s }B into the set {1, -1}.

For example, for the majority rule with tiebreaker, f is

the function defined in (18.4). It is convenient to define


22/83

Pada prinsipnya kita bisa mencari melalui Ka

Untuk manipulasi resmi harganya kita tidak

menganggap Ka sebagai benar-benar sewenang-wenang.

Untuk tujuan praktis itu sudah cukup bagi kita untukmemikirkan E {s} sebagai

dimana (i,j) menyatakan terdekat tetangga-

pasangan, ((i,j)) berikutnya ke terdekat pasangan, dan(i,j,k)-tetangga terdekat kembar tiga, dll Sekarang

membagi kisi tersebut ke dalam blok kubus identik yang

menutupi seluruh kisi, dengan situs b sepanjang setiap

ujung blok. Ada berputar sehingga bd di blok B, yang

menunjukkan kita secara kolektif sebagai {s} B. Spin

blok adalah

dimana f adalah pemetaan dari {s} B ke himpunan

{1, -1}. Misalnya, bagi mayoritas memerintah dengan

tiebreak, f adalah fungsi didefinisikan dalam (18.4). Hal

ini mudah untuk mendefinisikan


23/83

where SK is the Kronecker S. This function tells

us whether a particular configuration {s}B gives s'B = 1

or s'B =1. Taking the product of PB over all blocks,we have a weight function

which depends on the set of all block spins {s1}

and the set of all original spins {s}. It is equal to 1 if {s}

gives rise to {s'}, and 0 otherwise. Clearly,

These are the only properties of a block spin we

shall use. The partition function of the system can now

be written as

where we have used (18.25). The block-spin

Hamiltonian E'{s'} is denned by


24/83

mana SK adalah S. Kronecker Fungsi ini

memberitahu kita apakah suatu tertentu

konfigurasi {s} B memberikan s'B = 1 atau s'B = - 1.

Mengambil produk PB atas semua blok, kita memiliki

fungsi bobot

yang tergantung pada himpunan semua berputar

blok {s1} dan himpunan semua berputar asli {s}. Hal ini

sama dengan 1 jika {s} menimbulkan {'s}, dan 0 jika

tidak. jelas,

Ini adalah sifat hanya dari spin blok yang akan kita

gunakan. Fungsi partisi dari sistem sekarang dapat ditulis

sebagai

mana kita telah menggunakan (18.25). Blok-spin

Hamiltonian E '{s'} yang didefinisikan oleh


25/83

where the constant ft is to be so chosen that

which conforms to A8.19). Thus, E' is again of

the form A8.18), except that Ka is replaced by a new

value K^.* We can now rewrite (18.24) as

The transformation from E to E' is called a

renormalization-group (RG) transformation, formally

indicated by

In the limit of an infinite system, the sets {s} and{s'} become the same, and only the coupling constants

Ka change in an RG transformation. Thus it is more

appropriate to represent an RG transformation in the

form

Regarding K as components of a vector, and R a matrix

operator, we can also write


26/83


27/83

The RG transformations are so named because they

"renormalize" the coupling constants, and that they have

group property: If Ri(K) and R2(K) are RGtransformations, so is R1R2(K). They do not form a

group because block spins cannot be "unblocked," and

thus there are no inverse transformations. (Mathe-

matically one can invert the map R, except possibly at

isolated singular points; but this has no physical

relevance.)

Define the free energy per spin g(K) (in units ofkT) by

In the block-spin system we have

where N' = b~dN. The same function g appears in

both (18.33) and (!8.34) because E{s) and E'{s'} axe the

same functions except for the values of thecoupling

constants. Using (18.29) we obtain

This, together with (18.32), describes how the

system behaves under an RG transformation, which

increases the unit of length by a factor b.


28/83

Transformasi RG yang dinamakan demikian karena

mereka "renormalize" koplingkonstanta, dan bahwa

mereka memiliki properti kelompok: Jika Ri (K) dan R2(K) adalah RG transformasi, begitu juga R1R2 (K).

Mereka tidak membentuk kelompok karena blok

berputar tidak dapat "dibuka," dan dengan demikian

tidak ada transformasi invers. (Mathe- matically

seseorang dapat membalikkan R peta, kecuali mungkin

pada titik-titik singular terisolasi; tapi ini tidak memiliki

relevansifisik.)Tentukan energi bebas per putaran g (K) (dalam

satuan kT) oleh

Dalam sistem blok-spin kita memiliki

di mana 'N = b ~ dN. G fungsi yang sama muncul

di kedua (18.33) dan (18.34)

karena E {s) dan E '{s'} kapak fungsi yang sama kecuali

untuk nilai-nilai konstanta thecoupling. Menggunakan

(18.29) kita memperoleh

Ini, bersama dengan (18.32), menjelaskan

bagaimana sistem berperilaku bawah RG sebuah

transformasi, yang meningkatkan satuan panjang dengan

b faktor.


29/83

18.4 FIXED POINTS AND SCALING FIELDS

Let a'("-) denote the coupling constants resultingfrom n successive applications of a given RG

transformation. These coupling constants are given by

the recursion relation

It is important to note that R is independent of n,a fact that can be proven by constructing R formally

through (18.22).

A fixed point K * of the map R is defined by

We assume that A'*"-1 approaches a fixed point

as n> oo.* The Hamiltonian E * corresponding to K *is called the fixed-point Hamiltonian. A fixed point

could be physically significant, because it is a point at

which the system becomes invariant under a change of

length scale. That means the correlation length is either 0

or oo. The latter corresponds to a critical point, which is

the physically interesting case. The case with zero

correlation length, as we have encountered in the one-

dimensional Ising model, corresponds to infinite

temperature, and usu- ally can be recognized and

rejected. We now investigate the behavior of the system

near a fixed point, which we assume to correspond to a

critical point. Subtracting A8.37) from A8.36), we have


30/83

18.4 TETAP POIN DAN BIDANG PENSKALAAN

Biarkan '("-) menyatakan konstanta kopling yangdihasilkan dari aplikasi n berturut-turut dari transformasi

RG diberikan. Konstanta ini kopling diberikan oleh

rekursi hubungan

Penting untuk dicatat bahwa R adalah

independen dari n, sebuah fakta yang dapat dibuktikandengan membangun R secara resmi melalui A8.22).

Sebuah K * titik tetap R peta didefinisikan oleh

Kami berasumsi bahwa A '* "-1 mendekati titik

tetap sebagai n -.> Oo * E Hamiltonian * sesuai dengan

* K disebut fixed-point Hamiltonian. Sebuah titik tetapbisa secara fisik yang signifikan, karena merupakan titik

di mana sistem menjadi lain dalam suatu perubahan

skala panjang. Itu berarti panjang korelasi 0 atau .Yang terakhir ini berkaitan dengan suatu titik kritis, yang

secara fisik menarik kasus. Kasus dengan nol panjang

korelasi, seperti yang kita temui dalam model Ising satu

dimensi, sesuai dengan suhu yang tak terbatas, dan USU-sekutu dapat diakui dan ditolak. Kita sekarang

menyelidiki perilaku dari sistem dekat titik tetap, yang

kami asumsikan sesuai dengan titik kritis.

Mengurangkan (18.37) dari (18.36), kita memiliki


31/83

Assuming n to be very large we can make the linearapproximation

where W is the matrix whose elements are

Substituting (18.39) into (18.38), using (18.37), we

obtain

Now choose K * as the origin in the coupling-constantspace, and introduce new coordinate axes along the

directions defined by the left eigenvectors of the matrix

W:

There are of course many different eigenvectors. We

suppressed their labeling for simplicity. The vector K(n)

can be represented by the coordinates

which are called "scaling fields." Their usefulness lies in

the fact that they do not mix with one another under the

RG transformation, as the following calculation shows:


32/83

Dengan asumsi n menjadi sangat besar kita dapat

membuat aproksimasi linier

mana W adalah matriks yang elemen

Mengganti (18.39) ke (18.38), menggunakan (18.37),

kita memperoleh

Sekarang pilih * K sebagai asal dalam ruang kopling-

konstan, dan memperkenalkan baru koordinat sumbu

sepanjang arah didefinisikan oleh vektor eigen kirimatriks W:

Tentu saja ada vektor eigen yang berbeda. Kami ditekan

label mereka untuk kesederhanaan. K vektor (n) dapat

diwakili oleh koordinat

yang disebut "bidang scaling." Kegunaannya terletak

pada kenyataan bahwa mereka tidak mencampur satu

sama lain dalam transformasi RG, seperti perhitungan

berikut menunjukkan:


33/83

Under the RG transformation, v is said to "scale" with a

factor X. It increases if X > 1, and decreases if X < 1.

Since the RG transformation increases the unit of length

by a factor b, we expect X to have the form

where y is the dimension of v.

In the neighborhood of a fixed point, it is

convenient to use the scaling fields {v1, v, ...} as

independent variables, replacing the coupling constants {

K1 K2...} The fixed point corresponds to all v = 0. We

can rewrite (18.35) in the form

There being no reason for ft to be singular at the fixed

point, we shall assume it is regular. We identify the fixed

point with a critical point, and identify the second term

in A8.46) as the singular part of the free energy. It

satisfies the homogeneity rule


34/83

Berdasarkan transformasi RG, v dikatakan "skala"

dengan faktor X. Ini meningkat jika X > 1, dan menurun

jika X < 1. Sejak transformasi RG meningkatkan unit

panjang dengan b faktor, kami berharap X untuk

memiliki bentuk

dimana y adalah dimensi v Disekitar titik tetap, akan

lebih mudah untuk menggunakan bidang scaling {v,, v2,

} sebagai variabel independen, menggantikankonstanta kopling

{Kv K2, |. |} | Titik tetap sesuai dengan semua v = 0.

Kita bisa menulis ulang (18.35) di

formulir

Karena tidak ada alasan untuk kaki menjadi tunggal pada

titik tetap, kita akan menganggap itu adalah biasa. Kami

mengidentifikasi titik tetap dengan titik kritis, danmengidentifikasi kedua istilah dalam (18.46) sebagai

bagian tunggal dari energi gratis. Ini memenuhi

homogenitas yang mengesampingkan


35/83

A scaling field is called "irrelevant" if X < 1,

because it tends to 0 under repeated coarse-graining. In

the neighborhood of a critical point the system behavesas if it had never existed. It is called "relevant" if X > 1,

for any nonzero initial value will be magnified under

coarse-graining. To be at the critical point, we have to

specially set it to zero. The case X = 1 is called

"marginal," which we shall not consider, for it depends

on the details of the system. In the coupling-constant

space (K space), the fixed point lies on a hypersurface,called the "critical surface," defined by y, = 0 for all the

relevant scaling fields Vj. A point on the critical surface

will approach the fixed point under successive RG

transformations, while a point not on the surface will

eventually veer away from the fixed point, as illustrated

schematically in Fig. 18.4. Since


36/83

Bidang skala disebut "tidak relevan" jika X < 1,

karena cenderung di bawah 0 diulang kasar-kembang

kayu. Di sekitar titik kritis sistem berperilaku seolah-olah tidak pernah ada. Hal ini disebut "relevan" jika X >

1, untuk setiap nol nilai awal akan diperbesar di bawah

kasar-kembang kayu. Berada di titik kritis, kita harus

khusus mengatur ke nol. Kasus X = 1 disebut "marjinal",

yang kita tidak akan mempertimbangkan, karena

tergantung pada rincian dari sistem. Dalam ruang

kopling-konstan (K spasi), titik tetap terletak pada hiper-permukaan, yang disebut "permukaan kritis,"

didefinisikan oleh y = 0 untuk semua skala yang relevan

bidang Vj. Sebuah titik pada permukaan kritis akan

mendekati titik tetap bawah berturut RG transformasi,

sedangkan titik tidak di permukaan akhirnya akan

membelok jauh dari titik tetap, seperti yang digambarkan

secara skematis pada Gambar. 18,4. Sejak


37/83

Fig. 18.4 The critical surface for a particular

fixed point. It is a hypersurface in coupling-

constant space obtained by setting all rele- vantvariables to zero. Points on this surface

correspond to systems in the same universality

class, with the same critical exponents.

each point in K space represents a physical system, the

critical surface contains different systems belonging to a

universality class, sharing the same critical properties.

To illustrate how the critical exponents can be obtainedfrom the eigenvalues X, let us specialize to a familiar

case by assuming that there are two relevant fields, v1

and v2, identified respectively with field h and

temperature t:

The behavior of the correlation length ? at h = 0 can be

deduced as follows. Under an RG transformation the unit

of length increases by a factor b. Hence ' = ,/b. Bydefinition t =bD1 . Hence D1 t is invariant under theRG, i.e., D1t ~ 1. Therefore

a result we had assumed earlier in (16.56).


38/83

Gambar. 18,4 Permukaan penting untuk tertentu

tetap titik. Ini adalah hypersurface di kopling-

ruang konstan diperoleh dengan mengatur semuarele- relevan ju variabel ke nol. Titik pada

permukaan ini sesuai dengan sistem di sama

universality kelas, dengan eksponen kritis yang

sama

setiap titik dalam ruang K mewakili sistem fisik,

permukaan kritis mengandung sistem yang berbeda yang

termasuk kelas universalitas, berbagi kritis yang samaproperti. Untuk menggambarkan bagaimana para

eksponen kritis dapat diperoleh dari nilai eigen X, mari

kita mengkhususkan diri pada kasus akrab dengan

mengasumsikan bahwa ada dua yang relevan bidang, v1

dan v2, diidentifikasi masing-masing dengan bidang h

dan t suhu:

Perilaku panjang korelasi di h = 0 dapat disimpulkan

sebagai berikut.

Dalam transformasi RG satuan panjang meningkat

dengan b faktor. karenanya

= T, / b. Dengan definisi = t 'b'D < t. Oleh karena itu

D't Adalah invarian dalam RG tersebut, yaitu,

D> t ~

1. oleh karena itu

hasil kami telah diasumsikan sebelumnya di (16.56).


39/83

The argument above can be rephrased more

physically. Under successive block-spin transformations,

there will be come a point when the correlation length isequal to the size of a block, so that nearest-neighbor

blocks are uncorrelated. This point must correspond to a

definite tQ, which cannot depend on the initial

temperature. Suppose one starts at some temperature t,

and arrives at t0 after n RG transformations. Then

Noting that ? = b" at this point, we obtain A8.49).

Substituting A8.48) into A8.47), we obtain

which is the same as (16.55). The discussion then

reduces to that following (16.55). The crucial step in

obtaining the Widom scaling form, from which the

critical exponents can be calculated, is the condition

which chooses the block size to be the order of thecorrelation length. This step is the "true"

renormalization. With it, the block size b disappears

from the problem, blotting out all reference to the

microscopic structure. The critical exponents are given

in terms of Dh and Dt in (16.59). In conclusion, we have

shown that


40/83

Argumen di atas dapat diulang lebih secara fisik.

Di bawah berturut-turut blok-spin transformasi, ada akan

datang satu titik ketika korelasi panjangnya sama denganukuran blok, sehingga tetangga-terdekat blok

berkorelasi. Hal ini harus sesuai dengan tQ pasti, yang

tidak dapat bergantung pada suhu awal. Misalkan

seseorang mulai di beberapa t suhu, dan tiba

di t0 setelah transformasi RG n. kemudian

Memperhatikan bahwa = B "pada titik ini, kita

memperoleh (18.49).

Mengganti (18.48) ke (18.47), kita memperoleh

yang sama dengan (16.55). Diskusi kemudiandisederhanakan menjadi berikut yang

(16.55). Langkah penting dalam memperoleh bentuk

skala Widom, dari mana

eksponen kritis dapat dihitung, adalah kondisi

yang memilih ukuran blok untuk menjadi urutan panjangkorelasi. Langkah ini yang "benar" renormalization.

Dengan itu, b ukuran blok menghilang dari masalah,

blotting semua referensi ke struktur mikroskopis. Kritis

eksponen diberikan dalam hal Dh dan Ulangan di

(16.59). Kesimpulannya, kami telah menunjukkan bahwa


41/83

1. A calculation of the eigenvalues of the

matrix W, which represents the RG

transformation near a fixed point, willyield all the critical exponents

corresponding to that fixed point.

2. The critical exponents are the same for all

systems in the universality class defined

by the critical surface containing the fixed

point.

18.5 MOMENTUM-SPACE FORMULATION

We shall define the RG transformation for the physically

more interesting Landau theory. In principle we have to

consider the most general form of the Hamiltonian (in

units of kT) in Landau theory:

where terms not written out involve higher derivatives

of m(x), each with its own coupling constant. The

coefficient of the first term is chosen to be \ to fix the

scale of the order parameter. The coupling constantsare functions of the cutoff A, which eventually tends to

infinity. Our goal is to obtain finite physical answers in

that limit. To that end, we continue the coarse-graining,

which introduced A in the first place, to ever longer

wavelengths. As before, the RG transformation is

defined as coarse-graining followed by rescaling, to


42/83

1. Sebuah perhitungan nilai eigen dari matriksW, yang mewakili RG transformasi dekat

titik tetap, akan menghasilkan semuaeksponen kritis yang sesuai dengan titik

tetap.

2. Para eksponen kritis adalah sama untuksemua sistem di universalitas kelas

didefinisikan oleh permukaan kritis yang

berisi titik tetap.

18.5 MOMENTUM SPACE FORMULASI

Kita akan mendefinisikan transformasi RG bagi

penyandang lebih menarik Landau teori. Pada prinsipnya

kita harus mempertimbangkan bentuk paling umum dari

Hamilton (dalam satuan kT) dalam teori Landau:

mana hal tidak ditulis melibatkan turunan yang lebih

tinggi dari m (x), masing-masing dengan sendiri kopling

konstan. Koefisien suku pertama dipilih untuk menjadi \

untuk memperbaiki skala parameter ketertiban.

Konstanta kopling adalah fungsi dari cutoff A, yangakhirnya cenderung tak terhingga. Tujuan kami adalah

untuk mendapatkan jawaban fisik terbatas di batas itu.

Untuk itu, kami melanjutkan kembang kayu-kasar, yang

memperkenalkan A dalam pertama menempatkan, untuk

panjang gelombang pernah lagi. Seperti sebelumnya,

transformasi RG didefinisikan sebagai kasar-kembang

kayu diikuti dengan rescaling,


43/83

make the system look like the original one. We shall

define the procedure in "momentum space," the k

space of Fourier


44/83

untuk membuat tampilan sistem seperti aslinya satu. Kita

harus menetapkan prosedur dalam "ruang momentum," k

ruang Fourier


45/83


46/83

Gambar. 18,5 kasar-kembang kayu dalam ruang momentum

dan secara real ruang. Pada yang pertama, satu efektif

menurunkan cutoff. Di yang terakhir, satu bercak keluar

perincian yang lebih bagus, memperbesar efektif kisi spasi.

analisis. Gambar 18.5 menunjukkan perbandingan antara

kasar-kembang kayu dalam momentum dan di ruang

yang "nyata": Daripada memperluas sel satuan dalam

ruang nyata, kita menurunkan cutoff efektif dalam ruang

momentum. Dalam hal transformasi Fourier m (k) dari

urutan parameter yang didefinisikan dalam (17,8),

Hamiltonian mengambil formulir

dimana kita hanya menampilkan istilah Gaussian(menempatkan K2 = ro / 2) untuk menetapkan

normalisasi m (k). Fungsi partisi diberikan oleh

di mana perdana menunjukkan bahwa produk itu harus

diambil hanya lebih dari setengah dari ruang k (karenakita berhadapan dengan urutan parameter nyata). Kita

juga bisa mengabaikan prima, tetapi mengambil akar

kuadrat dari jawabannya. Transformasi RG terdiri dari

"mengintegrasikan keluar" nilai-nilai k dalam shell

antara jari-jari A dan A / b (b> 1), dan kemudian

rescaling. Secara khusus prosedur terdiri dari tiga

langkah:


47/83

1. Integration. Define a new Hamiltonian E' by"integrating out" the k values whose magnitude

lies between A and A/b (b >1):

where the constant 0 is a function of A and all

the coupling constants. The new Hamiltonian

E'[m] depends only on m{k) with \k\ < A/b. Apart

from that, it has the same form as (18.53) with

new coupling constants:

Note that the coefficient of the k2 term is

changed. The partition function can be rewritten

as

2. Rescaling. Restore the cutoff to A by increasingthe unit of length by a factor b, by changing the

variable of integration to

The Hamiltonian now reads


48/83


49/83

3. Normalization. Restore the standardnormalization of the order parameter, i.e., make

the coefficient of the k'2 term in (18.59) equal to

2

1. This can be done by replacing m {k) by

which is the analog of the block-spin

transformation. The final RG-transformed

Hamiltonian is

The partition function is, in terms of E',

where J/"' is a new normalization constant. (It is

infinite both in the infinite-volume limit and the

infinite-cutoff limit, but physically irrelevant.)

The net result is a mapping in coupling-constant

space, of the same form as (18.32). The free energy also

satisfies a relation like (18.35). Therefore the formal

analysis in the last section can be taken over without

change.


50/83

3. Normalisasi. Mengembalikan normalisasi standardari urutan parameter, yaitu, membuat koefisien

jangka K `2 di (18.59) sebesar2

1. Ini dapat

dilakukan dengan menggantikan m {k) dengan

yang merupakan analog dari transformasi blok-

spin. Final RG-transformasi Hamiltonian adalah

Fungsi partisi, dalam hal 'E,

dimana J / "'adalah normalisasi baru konstan.

(Tidak terbatas baik dalam batas yang tak

terbatas-volume dan batas yang tak terbatas-

cutoff, tetapi secara fisik tidak relevan.)

Hasil akhirnya adalah pemetaan di kopling-konstan ruang,

bentuk sama dengan (18,32). Energi bebas juga memenuhi

hubungan seperti (18,35). Oleh karena itu analisis formal

dalam bagian terakhir dapat diambil alih tanpa perubahan.


51/83


52/83

Karena sifat kontinyu dari model di sini, kita dapat

melakukan transformasi RG dalam langkah-langkah yang

sangat kecil, yaitu, kita dapat mengambil b ~ 1. Transformasiinfinitesi-mal berisi semua informasi yang dibutuhkan untuk

mendapatkan sifat kritis dari sistem. Secara khusus, semua

kita perlu tahu adalah tingkat, perubahan dari konstanta

kopling sehubungan dengan b. Dengan demikian, masalah

dapat dikurangi untuk memecahkan satu set persamaan

diferensial. Kita tidak harus mengembangkan teori umum

lebih lanjut, tetapi hanya menggambarkan poin utama

melalui contoh.18,6 ATAS GAUSSIAN MODEL

Tiga Langkah

Kami menggambarkan resep untuk momentum-ruang

transformasi RG di Gaussian model. Hamiltonian adalah

where h = H/kT is a spatially constant external field.

Langkah 1 adalah sepele, karena hal k dapat

diintegrasikan secara individu:

Perhatikan bahwa E '= E. Satu-satunya perubahan

adalah cutoff, dan normalisasi konstan.


53/83

Step 2 restores the old cutoff by changing the

variable of integration to

k' = bk:

Step 3 restores the normalization of m(k):

Where

The only fixed point is r0 = h = 0, and both r0 and h are

relevant variables, (since b > 1). The scaling of these

variables are just what naive dimensional analysis would

predict.

The correlation length can be obtained by

setting ?2r0 = const., by the same reasoning as in the

derivation of (18.48). Thus


54/83

Langkah 2 mengembalikan cutoff tua dengan

mengubah variabel integrasi untuk

k '= bk:

Langkah 3 mengembalikan normalisasi m (k):

Dimana

Satu-satunya titik tetap adalah r0 = h = 0, dan keduanya

r0 dan h adalah variabel yang relevan, (karena b> 1).

Skala dari variabel-variabel ini hanya naif apa dimensi

analisis akan memprediksi.

Panjang korelasi dapat diperoleh dengan

pengaturan? 2R0 = konstan, dengan sama. penalaran

seperti pada derivasi dari (18.48). demikian


55/83

The critical exponents can be obtained from (16.59)

using Dt and Dh, with results as given earlier in (17.91).

Though trivial, the above example illustrates an

important point: To obtain the critical exponents in a

continuous system, it suffices to make an infinitesimal

RG transformation, because all we need is the rate of

change of the coupling constants.

Renormalization of the Partition Function Since

the partition function can be calculated exactly, we canshow explicitly how one can renormalize it to obtain a

finite free energy in the limit of infinite cutoff. For

simplicity consider the case of no external field. The

partition function has been explicitly calculated in

(17.79):

We see that Q would diverge as A , if a0 werefixed. But a0 may depend on A. (It is an

"unrenormalized" coupling constant.) Hence we can

hope to make the above finite.

It is trivial to push the effective cutoff down,

from A to A/b (b > 1):

We can set t = 0 in the second factor, since it is a regular

at t = 0. This makes it a constant, which can be absorbed

into the normalization factor:


56/83

Para eksponen kritis dapat diperoleh dari (16.59)

menggunakan Ulangan dan Dh, dengan hasil seperti yang

diberikan sebelumnya di (17,91).Meskipun sepele, contoh di atas menggambarkan

sebuah hal yang penting: Untuk mendapatkan eksponen

penting dalam sistem kontinyu, cukup untuk membuat

sebuah transformasi RG sangat kecil, karena semua yang kita

butuhkan adalah laju perubahan dari konstanta kopling.

Renormalization Fungsi Partisi

Karena fungsi partisi dapat dihitung dengan tepat, kita dapatmenunjukkan secara eksplisit bagaimanaseseorang dapat

renormalize untuk memperoleh energi bebas terbatas dalam

batas cutoff tak terbatas.Untuk mempermudah

mempertimbangkan kasus ada bidang eksternal. Fungsi

partisi memiliki secara eksplisit dihitung (17.79):

Kita melihat bahwa Q akan menyimpang sebagai A,jika a0 yang tetap. Tapi a0mungkin tergantung padaA.

(Ini adalah "unrenormalized" kopling konstan.) Oleh

karena itu kita bisa berharap untuk membuatyang

terbatas atas.

Hal ini sepele untuk mendorong cutoff efektif

bawah, dari A ke A / b (b> 1):

Kita dapat mengatur t = 0 dalam faktor kedua, karena

merupakan teratur pada t = 0. Hal ini membuat konstan,

yang dapat diserap ke dalam faktor normalisasi:


57/83

Now put k = k'/b to restore the cutoff to A:

where N(A) is the number of k values contained in a J-

sphere of radius A. Equating the right sides of (18.72)

and (18.73) yields the relation

where N(A) is the number of k values contained in a J-

sphere of radius A. Equating the right sides of (18.72)

and (18.73) yields the relation

which can be rewritten

Choosing b = A/, where is arbitrary, we have


58/83


59/83

where a is called the renormalized coupling constant. It

is an arbitrary parameter of the theory, since a0 is

unknown and physically unknowable. The constant Z =(A/)-N() is physically irrelevant. Thus, the originalcutoff disappears from the problem.

Dropping an irrelevant additive constant, we

obtain a finite expression for the Gibbs free energy per

unit volume:

where Sd(k) is the surface area of a J-sphere of radius k.

The arbitrary constant is called the renormalization

point. Changing it only leads to a finite additive constantto the free energy density, without affecting the infrared

singularities of the integral in the limit t 0. Thisexplains why all dimensions are canonical in the

Gaussian model. In more complicated models could beentangled with the infrared singularity at t 0 and leadto anomalous dimensions. We can of course obtain the

critical exponents by direct calculation of the

thermodynamic functions, as was done in Section 17.7,except that there are no divergent constants anywhere.

18.7 THE LANDAU-WILSON MODEL

We now discuss m4 theory, the simplest nontrivial case

in Landau theory*:


60/83


61/83


62/83

Renormallzatlon-Group Persamaan

Kita akan mengintegrasikan keluar cangkang amat sangat

tipis nilai k dalam momentumruang, efektif menurunkancutoff untuk A / b (b ~ 1). Dalam volume besar tetapi

terbatasV, jumlah negara bagian di shell adalah:

mana Sd (A) adalah luas permukaan bola-^ A. radius Kami

menulis m (x) = m (x) + m (x), dimana m (x) hanya berisikomponen Fourier untuk diintegrasikan keluar, dan m (x)

adalah parameter pesanan rata-rata, sedikit lebih kasar dari

m(x).

Daripada Fourier analisa m (x) kitamengembangkannya dalam satu set N nyata gelombang paket (x), ..., N (x), yang dibentuk olehmensuperposisikan gelombang bidang yang k nilai-nilai

terletak pada shell tipis, dan pusat mereka sehingga

dipilih bahwa mereka menutupi seluruh ruang dari

sistem. Mereka agak diperpanjang objek dengan dimensi

Ax ~ 1/k, mengandung gelombang panjang gelombangsangat pendek (~ I / ), dan memiliki sifat sebagaiberikut:


63/83

Only approximate orthogonality is required, to avoid

having long tails in the wave packets. In view of the

qualitative nature of subsequent calculations, there is nopoint in specifying these states in greater detail. Thus, in

summary,

To carry out step 1 in the RG recipe, substitute (18.81)into (18.78) and integrate out the terms containing

m(x). We use (18.80) plus the following

approximations:

(a) m(x) is assumed to be constant over a wave packet.

(b) (dx)|Vi|2

~ A2.

(c) (m)4 terms are neglected.Some estimates are given below:

where w(x,) denotes w(x) at the center of the /th wave

packet. Thus


64/83

Hanya orthogonality perkiraan diperlukan, untuk

menghindari ekor panjang digelombang paket.

Mengingat sifat kualitatif perhitungan berikutnya,adaada gunanya menentukan negara-negara ini secara

lebih rinci. Dengan demikian, secara ringkas,

Untuk melaksanakan langkah 1 dalam resep RG, pengganti(18,81) menjadi (18,78) dan mengintegrasikan keluar istilah

yang mengandung m (x). Kami menggunakan (18,80)

ditambah sebagai berikut

perkiraan:

(a) m (x) diasumsikan konstan selama paket gelombang.

(b) (dx) | Vi|2~ A

2.

(c) (m) 4 istilah diabaikan.Beberapa perkiraan diberikan di bawah ini:

dimana w (x,) menandakan w (x) di pusat dari paket

gelombang / th. Demikian


65/83

The RG-transformed Hamiltonian E' is defined by

which gives

Note that in this approximation the coefficient of |Vm|2

is not changed by coarse-graining. This immediately tells

us that the rescaling of m(x) will be dictated by naive

dimensional analysis, as in the Gaussian model. The

same considerations as we went through in the Gaussian

model will yield a canonical value for the dimension of

the external field:

Returning to (18.86), we can replace the sum there by an

integral, by noting (18.79):

Expanding the logarithm in (18.86), keeping only terms

up to second order in r0 and u0, and dropping an

irrelevant constant, we obtain


66/83

RG-transformasi Hamilton 'E didefinisikan oleh

yang memberikan

Perhatikan bahwa dalam pendekatan ini koefisien | Vm|2

tidak berubah dengan kasar-kembang kayu. Hal ini langsung

mengatakan kepada kita bahwa rescaling m (x) akan

ditentukan oleh analisis dimensi naif, seperti dalam model

Gaussian. Pertimbangan yang sama seperti yang kita pergi

melalui dalam model Gaussian akan menghasilkan nilai

kanonik untuk dimensi bidang eksternal:

Kembali ke (18,86), kita dapat mengganti jumlah yang ada

oleh integral, dengan mencatat (18.79):

RExpanding logaritma di (18,86), menjaga hal hanya sampai

urutan kedua di r0 dan U0, dan menjatuhkan sebuah

konstanta tidak relevan, kita memperoleh


67/83


68/83

Menggunakan (18,78), kita menulis ulang ini dalam bentuk

Pada langkah 2 dari transformasi RG kita meningkatkan

satuan panjang dengan b faktor, sehingga mengubah variabel

integrasi spasial dari x ke x '= x / b. Pada langkah 3, kita

mengembalikan normalisasi standar m (x). Hasil bersih

adalah untuk menggantikan r0 dan U0, masing-masing,

dengan

Sejak b ~ 1, kita menulis b "= 1 + n log b Mengganti (18,90)

menjadi (18,91), menjaga hal hanya untuk urutan pertama di

log b,. Kita memperoleh

Istilah pertama di sisi kanan memberikan perubahan

yang diharapkan di bawah naif dimensi-professional analisis.

Persyaratan tambahan menimbulkan non-Gaussian

eksponen.


69/83

The cutoff A is defined only up to a finite factor.

The same is true of r, for we only require that it be

proportional to t. Thus the factor Cd in A8.92) can beabsorbed by changing A and r by suitable factors.

Since the RG transformations here proceeds by

infinitesimal steps instead of finite steps, we regard the

transformed coupling constants as continuous functions

of log b. Let us define

with the "initial" values r(0) = r0, u(0) = u0. We then have

the differential equations

These are called renormalization-group equations.

development above is of the nature of a fable, it

is not really true, but illustrates a point. Specifically, it isnot true that m(x) is approximately constant over a

wave packet, for it contains wavelengths only

infinitesimally longer than those in the latter. But if we

did not make believe it was true, the RG transformation

would have generated arbitrary powers of m(x), which

would have to be included from the beginning, making


70/83


71/83

the problem hopeless. The simplification has enabled us

to illustrate the spirit of the method in a simple way.

The real reason we could be so bold is that the resulting

RG equations turn out to be valid in the neighborhood

of d = 4, namely, they are correct to first order in = 4

d. Somehow the approximations work, at least in a

limiting case.

Fixed Points and Trajectories

To analyze the implications of the RG equations A8.94),it is convenient to convert them into dimensionless

forms, by introducing the dimensionless coupling

constants

Then

Where

which we shall consider a small quantity.

The fixed points x* and y* are defined to be

points at which dx/dr = dy/dr 0. There are two fixed

points:


72/83

masalah harapan. Penyederhanaan ini telah

memungkinkan kita untuk menggambarkan semangat

dari metode ini dengan cara yang sederhana. Alasansebenarnya kita bisa menjadi begitu berani adalah bahwa

persamaan RG yang dihasilkan berubah menjadi berlaku

di lingkungan d = 4, yaitu, mereka adalah benar untuk

urutan pertama di = 4 - d. Entah bagaimana perkiraanbekerja, setidaknya dalam kasus yang membatasi.

Tetap Poin dan Lintasan

Untuk menganalisis implikasi dari persamaan RGA8.94), akan lebih mudah untuk mengkonversikannya

menjadi bentuk berdimensi, dengan memperkenalkan

berdimensi cou-

pling konstanta

Kemudian

Dimana

yang akan kita mempertimbangkan jumlah kecil.

Poin yang tetap x * dan y * didefinisikan sebagai titik di

mana dx / dy = dr / dr - 0. Ada dua titik tetap:


73/83

We see that the nontrivial fixed point approach the

Gaussian fixed point as e - 0. This is reason why one

can solve this problem for small it is close to the

trivial Gaussian model.

In the neighborhood of a fixed point write

Then

Fig. 18.6 Coordinate system determined by the

scaling fields vx and v2, in the neighborhood of a fixed

point.


74/83

Kita melihat bahwa pendekatan titik trivial tetap titik

tetap Gaussian sebagai e - 0. Ini adalah alasan

mengapa seseorang dapat memecahkan masalah ini

untuk kecil -dekat dengan Gaussian Model sepele.

Di sekitar titik tetap menulis

Kemudian

Gambar. 18,6 Koordinat sistem ditentukan oleh

scaling bidang v1 dan v2, di lingkungan dari tetap titik.


75/83

The left eigenvectors , and eigenvalues , of T areeasily found to be

Now define scaling fields v1, v2 by

Under the RG transformation we have dvd = ,v.

Hence

Exph'citly we have

Figure 18.6 shows the direction along which each

scaling field increases with the other held fixed, in the

neighborhood of a fixed point.

The scaling fields and eigenvalues for the two

fixed points are given below:


76/83

Para vektor eigen kiri, dan nilai eigen , T mudahditemukan

Sekarang mendefinisikan bidang scaling v1, v2 oleh

Berdasarkan transformasi RG kita memiliki dv d = , v

karenanya

Exph'citly kita memiliki

Gambar 18.6 menunjukkan arah sepanjang yang masing-masing bidang scaling meningkat denganlain diselenggarakan

tetap, di sekitar titik tetap.

Bidang scaling dan nilai eigen untuk dua titik tetap

diberikan di bawah ini:


77/83

Fig. 18.7 Flow diagram of Landau-Wilson model for d 0 (d < 4). For the nontrivialfixed point, v2 is an irrelevant scaling field and v1 a

relevant one. Hence the critical surface is the line v1 = 0.

Neglecting the irrelevant field means setting y = 0,hence v1 = x. Hence Dt is the temperature variable t.

From (18.103) we have

For illustration, we call attention to the points A,

B, C, which correspond to three different initial

temperatures. The system at B has t = 0, and will tend

toward the fixed point under RG transformations. The

system at A has t < 0, and will veer off to a region of

increasing negative r0, with pronounced broken

symmetry. The system at C has t > 0, and will run off to

higher temperatures.

The correlation length can be obtained, as in the

derivation of (18.48), by setting ~ b when b1t ~ 1.Thus we again have ~ t-1/D1, or v = l/Dt The rest of the

critical exponents can now be obtained from (16.59)using Dh and Dt.


80/83

Poin yang tetap dan lintasan dari konstanta kopling dalam

transformasi RG berturut ditunjukkan pada Gambar. 18,7 dan

18,8. Perhatikan bahwa pesawat bagian bawah termasuk

sumbu x negatif adalah unphysical. Gambar 18.7

menunjukkan kasus untuk> 0 (d


81/83

Fig. 18.8 Flow diagram of Landau-Wilson model for d >

4.

The nontrivial fixed point is in an unphysical region. To

stabilizethe system, one needs an mb term, which probably will

bring

about a first-order phase transition, as indicated by

mean-field

theory.

The results to first order in e are given below:


82/83


83/83

Documents

Tgas Heri Renormalization Group