STATISTIK

Dipl. Mathematiker (FH) Roland Geiger Rosenstr. 23

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Formelsammlung Statistik

Textil & Design

STATISTIK

2-31

Grundlagen

Bezeichnungen

𝑥𝑖 einzelnen Messergebnisse einer Stichprobe

𝑛𝑖 absolute Häufigkeit

ℎ𝑖 relative Häufigkeit

𝑁𝑖 absolute Summenhäufigkeit oder absolute kumulierte Häufigkeit

𝐻𝑖 relative Summenhäufigkeit oder relative kumulierte Häufigkeit

Ω Menge aller Merkmalsausprägungen

∅ Leere Menge

Relative Häufigkeit

ℎ𝑖 =𝑛𝑖

𝑛

𝑛𝑖: absolute Häufigkeit

𝑛: Anzahl aller Möglichkeiten

STATISTIK

3-31

Lage- und Streumaße

Arithmetisches Mittel

�� =1

𝑛∙ ∑ 𝑥𝑖

𝑛

𝑖=1

n: Gesamtanzahl der Werte in der Stichprobe

Median

Die Merkmalsausprägung des genau in der Mitte liegenden Einzelwertes. Dabei müssen die Messergebnisse der Größe nach sortiert werden.

n: Anzahl der Messergebnisse

n ist gerade

xMedian =1

2∙ (x

(n2

)+ x

(n2

+1))

n ist ungerade

xMedian = x(

n+12

)

Modus oder Modalwert

Derjenige Wert der am häufigsten in einer Stichprobe vorkommt.

Schiefe

𝑣 =1

𝑛∙ ∑ (

𝑥𝑖 − ��

𝑠)

3𝑛

𝑖=1

n: Anzahl der Messergebnisse

s: Standardabweichung

Wölbung

𝑤 =1

𝑛∙ ∑ (

𝑥𝑖 − ��

𝑠)

4𝑛

𝑖=1

Gewogenes(gewichtetes arithmetisches Mittel

�� =1

𝑛∙ ∑ 𝑥�� ∙ 𝑛𝑖

𝑘

𝑖=1

𝑥𝑖: unterschiedliche Mittelwerte der Teilmengen

𝑛𝑖: absolute Häufigkeit in den einzelnen Teilmengen

STATISTIK

4-31

Geometrisches Mittel

��𝑔𝑒𝑜 = √𝑥1 ∙ 𝑥2 ∙ … ∙ 𝑥𝑛𝑛

Harmonisches Mittel

��ℎ =𝑎1 + 𝑎2 + 𝑎3 + ⋯ + 𝑎𝑛

𝑎1

𝑥1+

𝑎2

𝑥2+

𝑎3

𝑥3+∙∙∙∙∙∙∙∙ +

𝑎𝑛

𝑥𝑛

=𝑛

1𝑥1

+1𝑥2

+1𝑥3

+∙∙∙∙∙∙∙∙ +1

𝑥𝑛

=𝑛

∑1𝑥𝑖

𝑛1

Spannweite

𝑅 = 𝑥𝑚𝑎𝑥 − 𝑥𝑚𝑖𝑛

Quartil

Einteilung in 25%-ige Intervalle (n: Anzahl der Werte der Stichprobe)

Q0: Der kleinste Wert

Q1 = Qunten: x = 0,25 ∙ (n + 1)

Q2 = xMed: Median

Q3 = Qoben: x = 0,75 ∙ (n + 1)

Q4: Der größte Wert

Quartilsabstand

𝑄𝐴 = 𝑄3 − 𝑄1

Durchschnittliche Abweichung

𝑥𝐷 =1

𝑛∙ ∑|(𝑥𝑖 − ��)|

𝑛

𝑖=1

Varianz

𝑠2 =1

𝑛∙ ∑(𝑥𝑖 −

𝑛

𝑖=1

��)²

Standardabweichung

𝑠 = √1

𝑛∙ ∑(𝑥𝑖 −

𝑛

𝑖=1

��)²

Variationskoeffizient

𝑉 =𝑠

��∙ 100%

STATISTIK

5-31

Graphische Darstellung von Lage- und Streumaßen

Box-Plot oder Whiskers-Diagramm

STATISTIK

6-31

Wahrscheinlichkeitsrechnung

Kombinatorik-Modelle

Anzahl der Möglichkeiten, n Elemente anzuordnen

𝑛!

Geordnete Stichprobe mit zurücklegen

𝑛𝑘

𝑛: Anzahl der zur Verfügung stehenden Elemente

𝑘: Anzahl der Ziehvorgänge

Geordnete Stichprobe ohne zurücklegen

𝑛!

(𝑛 − 𝑘)!

Taschenrechner: nPr

𝑛: Anzahl der zur Verfügung stehenden Elemente

𝑘: Anzahl der Ziehvorgänge

Ungeordnete Stichprobe ohne zurücklegen

(𝑛𝑘

) =𝑛!

𝑘! ∙ (𝑛 − 𝑘)!

Taschenrechner: nCr

𝑛: Anzahl der zur Verfügung stehenden Elemente

𝑘: Anzahl der Ziehvorgänge

Ungeordnete Stichprobe mit zurücklegen

(𝑛 + 𝑘 − 1

𝑘)

Taschenrechner: nCr

𝑛: Anzahl der zur Verfügung stehenden Elemente

𝑘: Anzahl der Ziehvorgänge

Anzahl der Kombinationen n-ter Ordnung aus N Elementen:

mit Zurücklegen ohne Zurücklegen

mit Reihenfolge 𝑛𝑘

𝑛!

(𝑛 − 𝑘)!

ohne Reihenfolge (

𝑛 + 𝑘 − 1𝑘

) (𝑛𝑘

) =𝑛!

𝑘! ∙ (𝑛 − 𝑘)!

STATISTIK

7-31

Berechnung der Wahrscheinlichkeit

𝑃(𝐴) =𝑛𝑖

𝑛

𝑛𝑖: Anzahl der günstigen Möglichkeiten

𝑛: Anzahl aller Möglichkeiten

Rechenregeln für Wahrscheinlichkeiten

Sicheres Ereignis

A ∪ A = Ω

P(Ω) = 1

Unmögliches Ereignis

𝐴 ∩ 𝐴 = ∅

𝑃(∅) = 0

Unvereinbarkeit

A ∩ B = ∅ → unvereinbarkeit

Negierte Wahrscheinlichkeit

𝑃(A) = 1 − 𝑃(𝐴)

𝑃(A|𝐵) = 1 − 𝑃(𝐴|𝐵)

STATISTIK

8-31

Pfadregel

Produktregel

Die Wahrscheinlichkeit eines Pfades in einem Baumdiagramm ist gleich dem Produkt der Wahrscheinlichkeiten entlang dieses Pfades im Baumdiagramm.

Summenregel

Gibt es mehrere Pfade als mögliche Lösungen, so werden die Wahrscheinlichkeiten die-ser einzelnen Pfade addiert.

Additionsgesetz

Additionsgesetz für unvereinbare Ereignisse (ODER-Verknüpfung)

𝑃(𝐴 ∪ 𝐵) = 𝑃(𝐴) + 𝑃(𝐵)

Additionsgesetz für vereinbare Ereignisse (ODER-Verknüpfung)

𝑃(𝐴 ∪ 𝐵) = 𝑃(𝐴) + 𝑃(𝐵) − 𝑃(𝐴 ∩ 𝐵)

Multiplikationsgesetz

Multiplikationsgesetz für unvereinbare Ereignisse (UND-Verknüpfung)

𝑃(𝐴 ∩ 𝐵) = 0

Multiplikationsgesetz für vereinbare Ereignisse (UND-Verknüpfung)

𝑃(𝐴 ∩ 𝐵) = 𝑃(𝐴) ∙ 𝑃(𝐵)

Bedingte Wahrscheinlichkeit

𝑃(𝐴|𝐵) =𝑃(𝐴 ∩ 𝐵)

𝑃(𝐵)

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9-31

Binomialverteilung

Formel der Binomialverteilung

𝑏(𝑘; 𝑛; 𝑝) = 𝑃(𝑋 = 𝑘) = (𝑛𝑘

) ∙ 𝑝𝑘 ∙ (1 − 𝑝)𝑛−𝑘 = (𝑛𝑘

) ∙ 𝑝𝑘 ∙ 𝑞𝑛−𝑘

𝑛: Anzahl der Ziehversuche

𝑘: Anzahl der "Treffer" die erzielt werden sollen

𝑝: Wahrscheinlichkeit für einen "Treffer"

𝑞: Wahrscheinlichkeit für eine "Niete" oder keinen "Treffer

Erwartungswert einer binomialverteilten Zufallsvariable

𝐸(𝑥) = 𝑛 ∙ 𝑝

Varianz einer binomialverteilten Zufallsvariable

𝑉(𝑥) = 𝑛 ∙ 𝑝 ∙ 𝑞

Standardabweichung einer binomialverteilten Zufallsvariable

𝑆(𝑥) = √𝑛 ∙ 𝑝 ∙ 𝑞

STATISTIK

10-31

Tabellen zur Binomialverteilung

STATISTIK

11-31

STATISTIK

12-31

STATISTIK

13-31

STATISTIK

14-31

STATISTIK

15-31

STATISTIK

16-31

STATISTIK

17-31

Hypergeometrische Verteilung

Zufallsgröße

h(x|N; M; n) =(

Mx

) ∙ (N − Mn − x

)

(Nn

)

N: Die Elementanzahl der Grundgesamtheit

M: Die Zahl der Elemente mit einer bestimmten Eigenschaft

n: Die Zahl der Elemente in einer Stichprobe die gezogen werden

x: Die Anzahl der Elemente mit der bestimmten Eigenschaft, die sich in der gezogenen Stichprobe befinden

Erwartungswert

E(x) = n ∙M

N

Varianz

V(x) = n ∙M

N∙ (1 −

M

N) ∙ (

N − n

N − 1)

Standardabweichung

S(x) = √V(x)

STATISTIK

18-31

Poisson-Verteilung

Zufallsgröße

P(X = k) =μk

k!∙ e−μ

μ: durchschnittlicher zu erwartender Wert

k: Anzahl der gesuchten Treffer

Erwartungswert

E(x) = μ

Varianz

V(x) = μ

Standardabweichung

S(x) = √V(x)

STATISTIK

19-31

Tabellen zur Poisson-Verteilung

STATISTIK

20-31

STATISTIK

21-31

STATISTIK

22-31

Normal-/Standardnormalverteilung

Dichtefunktion der Normalverteilung

𝑓(𝑥) =1

𝑠 ∙ √2𝜋∙ 𝑒

(−12

∙(𝑥−��

𝑠)

2)

𝑠: Standardabweichung

��: arithmetische Mittel

Verteilungsfunktion der Normalverteilung

𝑓(𝑥; ��; 𝑠) =1

𝑠 ∙ √2𝜋∙ ∫ 𝑒

(−12

∙(𝑥−��

𝑠)

2)

𝑑𝑥

z-Transformation zur Bildung einer Standardnormalverteilung

𝑧 =𝑥 − ��

𝑠

Erwartungswert einer normalverteilten Zufallsvariable

𝐸(𝑥) = ��

Varianz einer normalverteilten Zufallsvariable

𝑉(𝑥) = 𝑠2

Standardabweichung einer normalverteilten Zufallsvariable

𝑆(𝑥) = √𝑠2

STATISTIK

23-31

STATISTIK

24-31

STATISTIK

25-31

STATISTIK

26-31

Indexberechnung

Preisindex nach Laspeyres

n

i

ii

n

i

ii

tL

t

mp

mp

P

1

00

1

0

,0

𝑚0𝑖 : Menge das Basisjahres

𝑝0𝑖 : Preis das Basisjahres

𝑝𝑡𝑖: Preis das Berichtsjahres

Preisindex nach Paasche

n

i

i

t

i

n

i

i

t

i

tP

t

mp

mp

P

1

0

1,0

𝑚𝑡𝑖 : Menge das Berichtsjahres

𝑝0𝑖 : Preis das Basisjahres

𝑝𝑡𝑖: Preis das Berichtsjahres

Mengenindex nach Laspeyres

n

i

ii

n

i

i

t

i

L

t

mp

mp

M

1

00

1

0

,0

𝑚0𝑖 : Menge das Basisjahres

𝑚𝑡𝑖 : Menge das Berichtsjahres

𝑝0𝑖 : Preis das Basisjahres

STATISTIK

27-31

Mengenindex nach Paasche

n

i

ii

t

n

i

i

t

i

tP

t

mp

mp

M

1

0

1,0

𝑝𝑡𝑖: Preis das Berichtsjahres

𝑚0𝑖 : Menge das Basisjahres

𝑚𝑡𝑖 : Menge das Berichtsjahres

Umsatzindex

n

1i

i

0

i

0

n

1i

i

t

i

t

t,0

mp

mp

U

𝑝0𝑖 : Preis das Basisjahres

𝑝𝑡𝑖: Preis das Berichtsjahres

𝑚0𝑖 : Menge das Basisjahres

𝑚𝑡𝑖 : Menge das Berichtsjahres

Fisher-Preisindex

𝑃𝐹(𝑡) = √𝑃𝐿(𝑡) ∙ 𝑃𝑃(𝑡)

STATISTIK

28-31

Regressions- und Korrelationsrechnung

Regressionsgleichung

iii bxay

xbya

)xx(

)yy()xx(

bn

1i

2

i

n

1i

ii

Korrelationskoeffizient nach Bravais-Pearson

1r1-

)yy()xx(

)yy)(xx(

rn

1i

n

11

2

i

2

i

n

1i

ii

STATISTIK

29-31

Lorenzkurve

Mit der Lorenzkurve lassen sich Konzentrationsphänomene in Beobachtungen grafisch darstellen.

Ausgangspunkt für die Lorenzkurve ist eine geordnete und nicht negative statistische Reihe mit positiver Summen der Beobachtungswerten.

Die Lorenzkurve ergibt sich, in dem man nach und nach Punkte in einem Koordinaten-system verbindet, wobei der Ausgangspunkt der Ursprung (0|0) ist. Auf der x -Achse berechnet man den Anteil an der statistischen Masse (u k), während auf der y-Achse der Anteil an der Merkmalssumme vk entscheidend ist.

Statistische Masse

uk =k

n

n: Anzahl der Elemente

k: Nummer des entsprechenden Elements

Merkmalssumme

𝑣𝑘 =∑ 𝑥𝑖

𝑘𝑖=1

∑ 𝑥𝑖𝑛𝑖=1

=𝑥1 + ⋯ + 𝑥𝑘

𝑥1 + ⋯ + 𝑥𝑛

Bezeichnungen

Eigenschaften der Lorenzkurve

Sie beginnt immer im Ursprung(0|0) und endet immer im Punkt (1|1) Steigung ist monoton Kurve ist Konvex Lorenzkurve verläuft nirgendwo oberhalb der Diagonalen

STATISTIK

30-31

Gini-Koeffizient

Der Ginikoeffizient oder auch Gini-Index ist ein statistisches Maß für Verteilungsgleich-heit. Als Ginikoeffizient G wird bezeichnet der Anteil der Fläche, die durch die Winkel-halbierende und die Lorenzkurve gebildet wird, an der Gesamtfläche unter der Winkel-halbierenden.

Gini-Ungleichverteilungskoeffizient (GUK)

GUK =A − B

A=

0,5 − 𝐵

0,5

Normierter G-Koeffizient

G∗ =G

Gmax=

n

n − 1∙ G

STATISTIK

31-31

Testverfahren

Ein statistischer Test dient in der mathematischen Statistik dazu, anhand vorliegender Beobachtungen eine begründete Entscheidung über die Gültigkeit oder Ungültigkeit einer Hypothese zu treffen.

Vorgehensweise

Formulierung einer Nullhypothese H0 und ihrer Alternativhypothese H1

Wahl des geeigneten Tests (Testgröße oder Teststatistik T)

Bestimmung des kritischen Bereiches K zum Signifikanzniveau α, das vor Realisa-tion der Stichprobe feststehen muss. Der kritische Bereich wird aus den unter der Nullhypothese nur mit geringer Wahrscheinlichkeit auftretenden Werten der Test-statistik gebildet.

Berechnung des Werts der Beobachtung tobs der Testgröße T aus der Stichprobe (je nach Testverfahren etwa den t-Wert oder U oder H oder χ2…).

Treffen der Testentscheidung:

Liegt tobs nicht in K, so wird H0 beibehalten.

Liegt tobs in K, so lehnt man H0 zugunsten von H1 ab.