24

Testing Properties of Directed Graphs: Acyclicity and Connectivity

  • Upload
    others

  • View
    1

  • Download
    0

Embed Size (px)

Citation preview

Page 1: Testing Properties of Directed Graphs: Acyclicity and Connectivity

������� �� ������ � ���� ��� ����� � � � �� ��� ��� ���� ��� ��� �

� ������ ! "�#$�%&'()* '+,-. /0,,1

2�#� 34#5678 9:;: (-;:70<;+.

=>?@ABC@6D;< EFE70 ;- ;+;F+7< +D7 <+GH. ,I +7<+;-J E0,E70+;7< ,I H;07K+7H J0FED< L M- EF0+;KG8F0 N +D7

EFE70 K,-<;H70< +D7 O,<+ PF<;K E0,E 70+. ,I H;07K+7H J0FED< Q RSTS UVS VWT L /7KFG<7 +D7 KD,;K7,I 07E07<7-+F+;,- FX7K+< +D7 KD,;K7 ,I F8J,0;+DO N +D7 +Y, OF;- 07E07<7-+F+;,-< ,I J0FED< F07<+GH;7H L Z,0 +D7 FH[ FK7-K.\O F+0;] 07E07<7-+F+;,- N O ,<+ FEE0,E0;F+7 I,0 H7-<7 J0FED< N F +7<+;-JF8J,0;+DO ;< H7:78,E 7H +DF+ 07^G;07< ^G70. F-H +;O7 K,OE87] ;+. ,I _̀ abcde f N YD707 d ;< F H;<+F-K7EF0FO 7+70 ghijk jhijhl ,I +D7 <;m7 ,I +D7 J0FED L 6D7 F8J,0;+DO N YD;KD KF- E0,P7 +D7 FH[ FK7-K.O F+0;] ,I +D7 J0FED N FKK7E+< 7:70. J0FED +DF+ ;< FK.K8;K N F-H 07[ 7K+< N Y ;+D E0,PFP;8;+. F+ 87F<+nco N 7:70. J0FED YD,<7 FH[ FK7-K. OF+0;] <D,G8H P 7 O,H;p7H ;- F+ 87F<+ d I0FK+;,- ,I ;+< 7-+0;7<<, +DF+ ;+ P 7K,O 7< FK.K8;K L Z,0 +D7 ;-K;H7-K7 8;<+ 07E07<7-+F+;,- N O ,<+ FEE0,E0;F+7 I,0 <EF0<7J0FED< N F- q ars rtuv f 8,Y70 P,G-H ;< E0,:7H ,- +D7 -GOP70 ,I ^G70;7< F-H +D7 +;O 7 07^G ;07H I,0+7<+;-J N YD707 s ;< +D7 <7+ ,I :70+;K7< ;- +D7 J0FED L

9 8,-J Y ;+D FK.K8;K;+.N +D;< EFE70 K,-<;H70< +D7 E0,E 70+. ,I wlxyhz {yhhj{lg|gl} L ~,-+0F<+;-JGEE70 F-H 8,Y70 P,G-H< F07 E0,:7H I,0 +D7 ;-K;H7-K7 8;<+ 07E07<7-+F+;,- L M- EF0+;KG8F0 N ;I +D7+7<+;-J F8J,0;+DO KF- ^G70. ,- P,+D ;-K,O ;-J F-H ,G+J,;-J 7HJ7< F+ 7FKD :70+7] N +D7- ;+ ;<E,<<;P87 +, +7<+ <+0,-J K,--7K+;: ;+. ;- _̀ abcdf +;O 7 F-H ^G70. K,OE87] ;+.L �- +D7 ,+D70 DF-H N;I +D7 +7<+;-J F8J,0;+DO ,-8. DF< FKK7<< +, ,G+J,;-J 7HJ7< N +D7- q a�� f ^G70;7< F07 07^G ;07H +,+7<+ I,0 <+0,-J K,--7K+;: ;+.L� ����A�? � �0,E70+. 67<+;-J N � ;07K+7H FK.K8;K J0FED< N �F-H,O ;m7H F8J,0;+DO < N 9EE0,];O F+;,-F8J,0;+DO < N �0FED F8J,0;+DO < L

��� ������� ������� �� �� �� ����� ��� ��������� �� ��� ����  ������������ ¡���� ¢£�£¤ �� �£��¤ ��� ¥ ¦��§£�§�� ¥��� ¨��§��¤¤ ��§ © ¡�¦¨ �ªªª« ¬­®�����¤ ��� �� ¡�¤�£��� ¯°���°� ¥ ¯���� ±��������² �� ³ �� ´��µ �� ¯���² ¶���µ ¥ ¯���² ¶���µ ¥ ³´ ··�¸¹º¹¹ªª ¥

± ¯� ¬ »¤ ��� ¼ ½¾¿À¾ÁÂÃÄ ÅÄÆ¿ÇĽ žÀÆ Å ¯£������� �� ���� Ȳ Éʦ ¦�È��������� ¥ ���  ¯Ë ¡���������� ¥ ��� ¯�����³ ������� ¦�È��������� ¬Ì®�����¤ ��� �� »��°���°�� »�§�������§ Í ¯²���¤ � ¥ Î�� ���� ±��������²¥ Ê�¤ �� ���� ¥  ����� ¬ »¤ ��� ¼

ÀÏ¿ÏÁ¾¿Ð ÅÑÏÆ ÅÏà ÅÒÓ Å ¯£������� Ȳ ���  ����� ¯°���°� Ô�£������� ¥ §���� �£¤È�� Õ�Öªªº ·¬

×

Page 2: Testing Properties of Directed Graphs: Acyclicity and Connectivity

� �����������

�� ������ � ����� ��� ������� � ��� � �! "#$#%&# �! '�� '( ��� )�!�� �*�'����+ �� ,-�!��'�!'� �������� ��� �! . /� �! ��** 0�'�� ���� ���! �') *�+ ��� ) � !'*1�� )2 �� �� 3�!� !����� ����+� *����� �� ��� !�4� '( ��� ��� � . 5 ���-��* ������*�4���'� '( ���! �') *�+ �! �!0��� �'� #%67896 "#$#%&# �! � ��1�� ��� � . :��� �! ; ���� �! ��� + ���+-+ �-+)�� '( ����! <'� 1������!= ����!�'-*� )� ��+'1�� (�'+ ��� ��� � !' ���� ����� ��� �' ��+������ �������� �2�*�! . :��! �') *�+�! 0�'�� �! ��� > &?&>@> A 88BC"#D "E# F6E G8E98HI 789 �') *�+ . J�('��-����*2; ���! �') *�+ �!KLM���� NOPQ ��� �1�� 5LRM���� NOSQ . T'�!�,-���*2 ��!�������! ��1� ��1�*' �� � �'U �+���'��*�'����+ ! �� 1���'-! !������! <���*-���� !�-�2��� ��� �'+ *�+ �����2 �') *�+ '( ��� > "H &>@>"#$#%&# 7@ CVE"W X = N×O ; ×Y ; ZO ; O[ ; [ ; OO ; Z ; ×\Q .

�]^_`a b�cd� ��d��^_�] � :�� 3�*� '( e879&?V fE"W X g E6W 8E9&87 N×hQ !-���!�! �� �*�������(��+��'�0 � ��� ����� �' !�-�2 ��� �) '1� �') *�+ ; ��� ���! �! ��� � �'��� ���� �� ��0� �� ���! � �� . 5 W E6W 8E9$ 98798E �����+ ���! ������� � ��� � i j <k l m = ��! � ��1�� �' ���2 '� �! A "EA E6> ��1��� ��� �' ���2. n'�� ('�+�**2; :�!���� i�� � L�' �����! �! ��� !�-�2 '( ��� (' **'� ���(�+ �*2 '( ��!0! . o�� L ) � � �������+ ���� ��� � �' ���2 <!-�� �! ��2�*����2; �'������1 ��2; '�ZM�'*'��) �*��2 = . 5 ��!���� �*�'����+ ('� �' ���2 L �! ��1�� "##877 �' � ��� � i !' �� ��� p@8E$ ������������ ��*���'�!�� ! ) ������ 1������! . /( i ��! �' ���2 L ���� ��� �*�'����+ ! !�'-*� qrrstu� ��� �')�)�*��2 �� *��!� OvZ . /( + ��2 ���� +'��3����'�! !�'-*� ) � ��('�+�� !' ���� i ��! ��� �' ���2; ���� ��� �*�'����+ !�'-*� wsx sru � ��� �')�)�*��2 �� *��!� OvZ . :�� !-���!! �')�) �*��2 '(��� �*�'����+ ��� �*���*2 ) � �+ *�3�� )2 �� �����'�! �' ) � ��) ������*2 �*'!� �' × .

y� ��-! ��*�U ��� ��!0 '( �������� 8H "#9%$ ������� ��� ��� � ��! ��� �' ���2; )-� �U ��� '(��� �*�'����+ �' ��('�+ ��! ��!0 )2 ')!��1 ��� �! (�� 1������! ��� ����! �� ��� ��� � �! '!!�) *� .z ���3��**2; �� ��� '�*2 � �**��� �' ! ��� ��+� ���� �! 7@ C%&? 8"E &? '� �1�� &?B8W 8?B8? 9 6A ���!�4� '( ��� ��� � . :�-! ; �� �'����!� �' ��� !������� �'��'� '( ��� � �*�'����+ ! ; �' ���2 ��!�����*�'����+ ! ��� �'� �'1 ���� ��� ��'*� ��� � ��� ��,-���� �' �-� �� ��+ � '*2�'+ ��* �� ��� !�4�'( ��� ��� � . {����� ; ���2 ��� �'1 ���� ����!! �' ��� ��� � ��� ��� �U ����� �' �-� �� !-)*�������+� .

n'�� �'������*2; �� ���! � �� �� !�-�2 ��� ,-�!��'� '( ������� � ��� � i �! ��2�*�� '� (�� (�'+��2�*�� . /( ��� ��� � �! (�� (�'+ ��2�*�� <���� �! ; + ��2 ����! !�'-*� ) � ��+'1�� !' ���� �' �2�*���+���!= ; ���� ��� ��!��� !�'-*� wsx sru | �( ��� ��� � ���-�**2 &7 ��2�*�� ; ��� ��!��� !�'-*� qrrstu | �(��� ��� � �! ? 8"E%$ ��2�*�� ; ���� ��� ��!��� +�2 ��!��� ������ ��2. :�-! ; �� �U�-!� ��� ��!��� (�'+��!������ ��� +'!� ��} �-*� ��!�����! �'�����*2; )-� �� ��,-��� ��� ��!��� �' �U��-�� +-�� +'��,-��0 *2 ���� ��2 �U��� ����!�'� �*�'����+ .

~�^��`c^� ��^_�` �� ~dd���_�c^_�` � /� 1��� '( ��� �)'1� ; �' ���2 ��!���� !-���!�! ���*�������1� �'��'� '( � �'U �+���'� ���� �! ��*���� �' ��� �'��'� '( B@"% "WW E6H &> "9&6? NOZ ; O\Q . 5�� �'U �+���'� �*�'����+ �! � +������!+ ���� �����! "##@E"#$ ('� 7W 88B . i �1�� �� ' ��+ �4���'� �') *�+ ���� �!!' �����! �'!�! � ��� !'*-��'�! ; ��� +'�� !������� �'��'� '( � �'U �+ ���'� �! �' 3��

O

Page 3: Testing Properties of Directed Graphs: Acyclicity and Connectivity

� !'*-��'� ���� �! #%678 �' ��� �'!� '( ��� ' ��+ �* !'*-��'� . �2 ��*'!� ;� �� +��� ���� ��� 1�*-�('-�� �! � ����� !'+� +-*�� *�����1� (���'� '( ��� ' ��+ �* �'!� .

5 �' ���2 ��!��� �*!' �����! ���-���2 ('� ! ��� ; )-� +�2 -!� � � ������� �'��'� '( ��!����� .z ���3��**2; ��!����� �! +��!-��� �� ���+ ! '( ��� �-+)�� '( 8BV 8 &?78E9&6?7 ��� B8%89&6?7 ����!!��2�' ')���� � �����- *�� �' ���2 <����� ; �� �����-*�� ; + �2 )� ��1��� � !'*-��'� � ��� � ��1�� �'!�= .

:�� ('**'� ��� �U�+ *� �**-!�����! ��� ��' �'��'�! '( ��!����� . 5 ��� � i + ���� ) � ?8"E%$ ZM�'*'��) *� �� ��� !��!� ���� ����� �! � ZM�'*'��) *� ��� � i � �� !+�** ���� ��!����� �' i ; )-� A "E A E6>ZM�'*'��) *� �� ��� !��!� ���� +��2 �'*'�! ��� ��,- ���� �' �'*'� i . 5 *�������1�*2; � ��� � i + ����) � ����*2 ZM�'*'��) *� �� ��� !��!� ���� �� �! \M�'*'��) *� ; )-� (�� (�'+ ZM�'*'��) *� �� ��� !��!� ���� �'��� �! ��1 ��� !+�** ���� ��!����� �' i ��� ZM�'*'��) *� . �'�� �'��'�! ��� ���-��* ��� ��� ��(�������'��� �� ���! '� ��� �'���U� . /� !'+� ��!�! ��� ��' �'��'�! �'������ <� .� .; n �UMT-� N×hQ= .�

~dd�_�c^_�`] � 5 ��� �M �' ���2 ��!��� +�2 ) � �+ *'2�� �� !�1���* �'���U�! . <×= 5 (�!� �' ���2��!��� ��� ) � -!�� �' ! ��� - ��� !*'� �U��� ����!�'� �' ���-�� �! (' **'� ! . ��('�� �-����� ���!*'� ����!�'� �' ���-�� ; �-� ��� ��!��� . /( ��� (�!� ���U��� ��!��� wsx sru� ; ���� �� 0�'� � ��� �����'�3����� ���� ��� �' ���2 �' �! �'� �'*� ��� �� �! -�����!!��2 �' �-� ��� !*'� ��!��� . /� (��� ;�� �! '(��� ��� ��!� ���� ���� ��� ��!���� �*�'����+ ��� ���! ; �� �'1 ���! � &9? 877 ���� ��� ��� ��'�! �'� ��1� ��� �' ���2 <�� '-� ��!� ; � �2�*� = . /( ��� (�!� ���U��� ��!��� qrrstu� ; ���� � !*'��U��� ����!�'� �' ���-�� � �** �����+ ��� ������� ��� �' ���2 �! �*'!� �' �'*���� '� ���-�**2 �'*�! .<O= :���� ��� ����-+ !�����! �� ����� 0�'� ��� ���� � �' ���2 ����*2 �'*�! �! �''� ��'-�� ����'�!�,-���*2 �U��� ����!�'� �! -�����!!��2. <Z= /� + �2 �1�� ) � KLM���� �' ��!��� ��� ,-�!��'��U���*2; ��� !' !'+� ('�+ '( � �'U �+���'� �! ���1 ���) *� .

�dc�^ �� b�cd� ��d��]�`^c^_�` � y� �'� ��3�� ����!�*2 ��� �'��'� '( ��!����� ��� �'���� ��!��� ���-�**2 �') �! ��� ��� � . /� (��� ; ����� ��� ��' �������'��* �� ��!������'�! ('� ��� �! ;"B� "#8?#$ > "9E&#87 ��� &?#&B8?#8 %&7 97 . :�� ��'��� '( �� ��!������'� !��'��*2 �����! ���!� �!!-�! ; �!��** �! ��� � *���) *� �*�'����+ �� ������,-�! . y� !-++���4� ��� �' �����! '( ���� �� ��!������'����� .

�B� "#8?#$�� "9E&H � 6B8%� i'*������ ; i'*���!!�� ; ��� {'� N×hQ �'�!���� ��� ��� �����2M+����U�� ��!������'� '( ��� �! ; ����� ��� ��!���� �*�'����+ �! �**'��� �' �') � ���' ��� +����U . :����! ; ��� �*�'����+ ��� ,-��2 ������� ����� �! �� ���� ) ������ ��2 ��' 1������! '( ��! ��'��� . /���� -��������� ��!� ��� +����U �! !2++����� ; ������! �� ��� �������� ��!� �� + �2 �'� ) � . /� ���!�� ��!������'� ��� ��!����� ) ������ ��� �! �! ��� A E"#9&6? 6A 8? 9E&87 �� ��� ��� �����2 + ����U '������ ��� ��' ��� �! � ���� . �2 ���! ��3����'� ; ('� � ��1�� ��!����� ���+���� � ; ��� �*�'����+!�'-*� ��� ��� �1��2 ��� � ���� ��,- ���! +'�� ���� � � �k �� ���� +'��3����'�! �� '���� �' ��,-������ ��!��� �' ���2. :��! �� ��!������'� �! +'!� � �' ����� ('� ���!� ��� �! ; ��� ��� ��!-*�!('� ��!���� �� �� �! +'��* ��� +'!� +������(-* ('� !-�� ��� �! .� � ��� °��� �� �°²°��°��²¥ ��� ������ �� ������°� �� ��� °������ �� ���� ���² ������§ ��� ��� °��� ������ �¤ ���� ��

��� ¤ ���¤£¤ ����È�°µ ��° ��� ���È��¤ ��� �� ��°� ��� ��¤ � ¬ É������ ¥ ��� ��� ���È��¤ � �� ����� ¤ ����² È �°�£�� ������¤ �� �� � ����¤ ���� ���È��¤ ��� �� ������§ �� ��¢£���� �� ��� ��§�����¤ �� °��� ��� §���� �� °���� �� �°²°��° ¬

Z

Page 4: Testing Properties of Directed Graphs: Acyclicity and Connectivity

F� 6@?B8B��8?V 9XI �?#&B8?#8�� &797 � 6B8%� i'*������ ��� {'� NO� Q �'�!���� ��� ���������M*�!�!�� ��!������'� '( ��� �! . /� ���! +'��* ; ��� �! ��� �� ��!����� )2 *�!�! '( %8?V 9X � ; ����� � �! �)'-�� '� ��� ������ '( ��� ��� � . ���� ��� ��!���� �*�'����+ ��� ,-��2; ('� �1��2 1����U � �������U � � × l l � � ; ����� �! ��� � ��� �����) '� '( � . /( �' !-�� �����) '� �U �!�! ���� ��� ��!����! � �. /� ��� ��!� '( �������� ��� �! ���� !-�� *�!� �'���! '��! �' ��� '-��'��� ����! (�'+ �1����U .� 5��*'�'-!*2 �' ��� ��� �����2 +����U +'��* ; ��� ��!����� ) ������ ��� �! �! ��3��� �')� ��� (�����'� '( ������! '� ����� ��� ��� �! ����� ���'�� ��� �' ���! �� ��!������'� . z���� ����'��* �-+)�� '( ���������M*�!� ������! �! � � �k �; � ��� � !�'-*� ) � ��� ����� �( ��� �-+)�� '( ����!+'��3����'�! ��,-���� �� '���� �' ')���� ��� �' ���2 �! ������� ���� � � � �k �. �

���`_���] � :�� � *���) *� ������,-�! �� ��� '� ��� ��'��� '( �� ��!������'� . 5 ������* ����M��,-� ���� �! -!�� ('� ��� "B� "#8?#$ > "9E&H �� ��!������'� �! E"?B6> 7">W %&?V . z ���3��**2; �!�� ���! � �� ; ��� �*�'����+ ����'+ *2 !�*���! � !+�** !�� J '( 1������! (�'+ ��� ��� � i ; 3��!��� ����! ������'�������� ��� 1������! ; ��� �����+ ���! ������� ��� �' ���2 �'*�! ('� ��� !+�**!-)��� � ���-��� )2 J . /( !' ; ���� ��� �*�'����+ qrrstu� . /( �'� ; ��� �*�'����+ wsx sru� . � (��� �����-U '( ��� �''( �! �� !�'� ��� ���� �( � ��� � �! (�� (�'+ ��1��� ��� �' ���2; ���� �� �'�����!+��2 <1��2 !+�**= !-)��� �! ���� �' �'� ��1� ��� �' ���2.

:�� ���������M*�!�! �� ��!������'� ��,-���! � �������� !�� '( ������,-�! ; +'�� � *���) *� �' ! ��!���� �! . z ���3��**2; ) ���-!� ��� ��� �! ��1� (�� ����! ; � !+�** ����'+ !�+ *� '( 1������! �2 ���**2��! �' ����! �������* �' ��� !�+ *� ; ���� �! ; �� �! �-!� ��� �+ �2 ��� � . :�-! ; �!� �*�'����+ ! ('����! !������ -!� ������'��* ������,-�! ) �!���! -�� ����'+ !�+ *��� . /� �����-*�� ; !'+� �*�'����+ !� *2 1���'-! ('�+ ! '( �U��-!��1� *' ��* !����� <!-�� �! ��('�+ ��� � )������M3�!�M!����� -���* � �����-*�� �-+)�� '( 1������! ��� ')!��1�� = NO� ; OhQ . � ���� �*�'����+ ! -!� ����'+ ��*0! !�������(�'+ ����'+ *2 !�*����� 1������! NO ×Q .

�]^_`a � _���^�� b�cd�] � :��! � �� !�-���! �' ���2 ��!���� ('� B&E8#98B V E"W X7 � :2 ���**2;� ��1�� �') *�+ '� � �������� ��� � �! +'�� ��} �-*� ���� ��� !�+� �')*�+ '� �� -������������ � . /� �����-*�� ; ��!���� ��2�*����2 '( -��������� ��� �! �� ��� ��� �����2M+����U �� ��!������'��! !�������('����� � 5!!-+� � � ��� � <'� '����� �!� �� �! '!!�) *� �' +�0� �� �U��� ����!�'� �� ��+� '*2�'+ ��* �� ×v� )2 *' '0��� �� ��� ��'*� ��� �=. :�� )�!�� ')!��1���'� �! ���� "?$ ��� � ��1����� +'!� � �k �� ����! �! ����*2 ��2�*�� <) ���-!� �� �! �M�*'!� �' ��� �+ �2 ��� �=; ���*� 6?%$ 1��2! ��!� ��� �! <��1��� �� +'!� �k � � × � �� �k �� ����!= + �2 ) � ��2�*�� . ����� ��� �*�'����+ ����!��+ ��� ��� �-+)�� '( ����! �� ��� ��� � )2 !�+ *��� ; ��� ���� � '� ��� ��� )�!�� '� ���! �!��+ ��� .:�!���� ��2�*����2 '( -��������� ��� �! �� ��� ���������M*�!� <) '-����M������= �� ��!������'� ; �!+'�� ������!���� ��� �! !�-���� �� NO� Q . �'��1�� ; ���! ��!-*� �'�! �'� �U���� �' ��!���� � ���������� �! .

��°�£���²¥ ��� ����� È�£�� �� ����� ��� ���� ¤ ���� ����� ���� ���� ��� ��§�����¤ °�� ¢£��² �È�£� ��� �� �� ��!��§�� �� ��°� ������ ©����� ��� �£¤È�� �� ��°�¤ ��§ ��§�� �� È�£���� �� ����« ¬ "� ���� ���� ����� ��§ �� ¢£��² �È�£���°�¤ ��§ ��§�� °�� ¤ �µ� ������§ ����°��² ������ ¬#� ������� �� ��� �È��� ¤���� ����� � ��� ��°����°� ����� �� È � �� �������� ���§��� $�¸ % ¬  � �£°� � °��� ¥ ��� ������°��� ��&��� � ��� ���� �°� �� ��� ����� �£¤È�� �� ��§�� �� ��� §���� ¬

\

Page 5: Testing Properties of Directed Graphs: Acyclicity and Connectivity

��� ��]��^] � y� 3�!� �'�!���� ��� �') *�+ '( ��!���� ��2�*����2 �� ��� ��� �����2 + ����U �� ��!��M����'� . y� ��!���) � � ��!��� ��'!� ,-��2 �'+ *�U ��2 ��� �-����� ��+� ��� &?B8W 8?B8?9 '( ��� !�4�'( ��� ��� � ��� W6%$?6> &"% �� ��� ��1�� ��!����� ���+���� � . z ���3��**2; ��� ,-��2 �'+ *�U ��2��� �-����� ��+� ��� ) '�� � ���� � ������� . 5 ! +����'��� �)'1� ; ��� �*�'����+ �'�0! )2 ����'+ *2��� -��('�+ *2 !�*������ � !�� '( � <×v�= 1������! ; ��� 1���(2 ��� ������� ��� !+�** !-)��� � ���-���)2 ���!� 1������! �! ��2�*�� . :�-! ; �� ��2�*�� ��� � �! �*��2! ���� ��� ; ��� ('� �** ��� ����� ��� �! ;��� �*�'����+ ! �'1���! � �� ����!!� ���� ��� ��� � �! �'� ��2�*�� �� ��� ('�+ '( � !�'�� �2�*� . 50�2 <�'+)����'���*= *�++� -!�� �� �'1 ��� ��� �'�������!! '( ��� �*�'����+ ! !�'� ! ���� � ��� ����� �! (�� (�'+ ��2�*�� �'�����! � ��*���1�*2 *���� !-)!�� '( 1������! ('� ����� �1��2 1����U �� ���!-)!�� ��! +��2 '-��'��� ����! �U������� �' '���� 1������! �� ��� !-)!�� . y� ���� !�'� ���� �!�+ *� '( 1������! (�'+ � ����� ���! !-)!�� *�0�*2 ���-��! � !-)��� � ���� �'�����! � �2�*� .

y� ��U� �-�� �' ��� �') *�+ '( ��2�*����2 ��!���� �� ��� ���������M*�!�! �� ��!������'� . y���+'�!����� ���� ��� �') *�+ �! !����3����*2 ������ �� ���! !������ . z ���3��**2; �� !�'� ��� < �k ���� = *'��� )'-�� '� ��� �-+)�� '( ,-����! ��,- ���� ('� ��!���� �� ���! !������ . :' �'1���� ) '-�� �� ��3�� ��' (�+ �*��! '( �������� ��� �! � '�� �'�������� '�*2 ��2�*�� ��� �! ��� '���'�������� +'!�*2 ��� �! ���� ��� (�� (�'+ ��2�*�� . y� !�'� ���� � < �k ���� = ,-����! ��� ��,-���� ��'���� �' �����+ ��� (�'+ ����� (�+ �*2 � ����'+ *2 !�*����� ��� � ��! ��'!�� .

/� � ���! ���� ��� ������,-�! -!�� �� ��!���� -��������� ��� �! �� ��� ���������M*�!�! �� ��M!������'� ; ����'� ) � � *��� � �����*2 �' ')���� �� �} ����� ��2�*����2 ��!���� �*�'����+ ('� � ���������� �! . T'�!���� � ��� � ���� �'�����! � ��*���1�*2 *���� !-)��� � ���� �! (�� (�'+ ��2�*�� ; )-�!-�� ���� +��2 ����! �'����� ���! !-)��� � �' ��2�*�� ����'�! '( ��� ��� � . �2 '-� *'��� ) '-�� ;��2 ��!���� �*�'����+ !�'-*� ��('�+ +��2 ,-����! �'�������� ����! � ��� �� �� �! !-)��� � <�' ��!M����- �!� �� (�'+ ��� ��!� �� ����� ��� !-)��� � �! ��2�*��= . �'��1�� ; ) '�� �U��-!��1� *' ��* !������!��� ����'+ ��*0! � �** �����2 ��� �*�'����+ ���2� �' ��� ��2�*�� ����'�! '( ��� ��� � . /� �'-*� ) �������!���� �' ��1�*' �� ��2�*����2 ��!��� ���� -!�! � < �k �� � = ,-����! ; ('� "?$ � � � .�]^_`a �^��� ��d��^_�] �� � _���^�� b�cd�] � 5 ! �'��� �� N×h ; z-)!����'� ×� .× .OQ ; !'+�'( ��� �' �����! !�-���� �� ���� � �� <�� ��� ��� �����2 +����U +'��*= ��1� ���*'���! �� � ���������� �! . �-�����+'�� ; ��� �*�'����+ ! ('� ��!���� ���!� �' �����! ��� )� �U������ �' � ������� ��� �! ./� �����- *�� ; ���!� �' �����! ��� ��3��� )2 ������'�! '( ��� 1������! �� ��� ��� � � ��� ��������'�!������! '� ��� !�4�! '( ��� !��! �� ��� ������'� �! ��** �! '� ��� ���!��2 '( ����! ) ���������!� !��! . :�� ������,-�! '( N×Q <('� ��!���� �' �����! '( -��������� ��� �! �� ��� ��� �����2M+����U �� ��!������'� = ; ��� �*!' ) � �U������ �' ��!���� �' �����! '( �������� ��� �! <L��1����'++-������'�! � ��� K'�� 5 *'�= .

5�'���� )�!�� �' ���2 '( �������� ��� �! ; �! <79E6?V = #6??8#9&G&9$ . K�+�*2; � �������� ��� ��! !��'��*2 �'������� �( ����� �! � �������� ��� �� ��� ��� � (�'+ ��2 1����U �' ��2 '���� 1����U .:�!���� ���! �' ���2 �! +'!� +������(-* �� ��� ���������M*�!�! +'��* ; �! �1��2 ��� � ��� ) � +���!��'��*2 �'������� )2 ������ �� +'!� O� �������� ����! . :�� -��������� 1��!�'� '( �� �! �') *�+�! !�-���� �� NO� Q ; � ���� �� �*�'����+ ��1��� ,-��2 ��� ��+�! �'+ *�U ����! � <×v�= �! ��!�������� ���*24�� . 5 ! �� !�'� �� z����'� S ; �� �! �*�'����+ ��� ) � �U������ �' ��� �������� ��!� &A

S

Page 6: Testing Properties of Directed Graphs: Acyclicity and Connectivity

9X 8 "%V 6E&9X> #"? "%76 W 8EA 6E> p@8E&87 "C6@9 9X 8 &?#6> &?V 8BV 87 96 8"#X G8E98H . � ����� �!� ; <����*�'����+ ��� '�*2 ��('�+ ,-����! �) '-� '-��'��� ����!= ; � *'��� ) '-�� '( � <�� = '� ��� �-+)��'( ,-����! ��� ) � ')������ .

���c^�� � ��� � L�' ���2 ��!���� '( (-����'�! ��! 3�!� �U *����*2 ��3��� �� NZ ×Q ��� �U�������� N×hQ . :�!���� �*��)���� �' �����! <� .� .; *�������2 '� ) ���� � '*2�'+ ��* '( *'�M������= *�2! ���+ '����� �'*� �� ��� !������! '( L�'���+ :�!���� <� .� .; Nh ; Z × ; Z� Q= ��� L�')�)�*�!����**2MT���0�) *�L�''( !2!��+ ! <� .� .; NY ; P ; ×Z ; S ; \Q= . 5 ! +����'��� ��1 �'-!*2; ��� !�-�2 '( ��!���� ��� � �' �����!��! ��������� �� N×hQ ; ����� ; �� �����-*�� ; ��� ��� �����2M+����U +'��* ��! �'�!������ . z'+� '(��� �' �����! !�-� ��� �� ���� �'�0 ��� ) � �������!! ; � M�' *'��) �*��2; ��1 ��� � �*�,-� '( � ������� !�4���� +'�� . /� NO� Q ; ��!���� �' �����! '( ��� �! �� ��!����� )2 ����� ��������� *�!�! ��! �'�!������ .z'+� '( ��� ��� �' �����! !�-���� �� ���� �'�0 ��� � M�'������1 ��2 ��� ��2�*����2.

m��-� 89� "%� N××Q � �1� � '*2 <×v�=M��+ � �*�'����+ ('� ��!���� ������� � ��*���'� �! � �'��* '���� .:��! ��� )� 1����� �! � ! ����* ��!� '( ��!���� ��2�*����2 �� ��� ��� �����2M+����U +'��* ; ����� ���! �!!-+�� ���� � �������� ���� �U �!�! ) ������ 8G8E$ ��' 1������! .

� ���� � ��! �'�������� ��!���� '( ��� � �' �����! ��� '���� �'+)����'���* �' �����! ��M�*-�� NO × ; ×× ; OY ; ×[ ; ×� Q . { �����*2; 5 *'� 89� "%� N×Q ��!����� � ������* (�+ �*2 '( ��� � �' �����!���� ��� ) � ��!��� -!��� � !�+ *� ���� �! ���� ������ '( ��� !�4� '( ��� ��� � <��'-�� ��� �� ��M����� '� ��� ��!����� ���+���� � �! !'+����� � ���= . /� NOQ �� �! !�'�� ���� �** �' �����! ��3���)2 ���- *�� *���-���! ��� ) � ��!��� -!��� � !�+ *� '( !�4� �*+ '!� *����� �� ��� ��!����� ���+���� .

5 ! +����'��� ��1 �'-!*2; ��� ��*���� + ���+-+ (���)��0 !�� �') *�+ �! 5LRM���� NOSQ ; ��� ��!�'+ *�+�����2; +�U �+-+ ��2�*�� !-)��� � �! 5LRMT'+ *��� NO[Q . :�� ('�+ �� ��� ) � � �'U �M+ ���� �' � ��� �� � (���'� '( � <*'� �k � *'� *'� �k �= N×OQ ; ��� ��� *����� �' � ����� Ov <× � � <×v�� ==����� � �! ��� +�U�+-+ ������ N[ ; OOQ . k������! '( ���!� �') *�+ ! ��� !�-���� �� ��� (' **'� ��� � ��! NZO ; ×Y ; ZQ . L���� ! ��� ��!-*� +'!� �*'!�*2 ��*���� �' '-� �'�0 �! ���� '( ����4� ��� � ��M��� N×\Q . :��2 !�'� �'� �' � �'U �+��� ��� !�4� '( ��� +�U �+-+ ��2�*�� !-)��� � �' � ����� ��������1� (���'� '( � �k �� ; �� ��+� �U '������* �� ×v� . /� �'+ ���!'� �' ����� ��!-*� ; �� !'*1� � +'����!������� �') *�+ �� ��+� '*2�'+ ��* �� ×v� �! ' '!�� �' �U '������* . /� ������'� ; !���� '-����*2!�! �! ���*'��� �' ��� �����-*�� �') *�+ <�! ' '!�� �' �����! ����� ('**'� ! (�'+ � ������* ���� ��+ ���� ��1�! ��!� �' � (�+ �*2 '( � �'U �+���'� �*�'����+ != ; �� + �2 ��1� +'�� ��!���� ���'��� �') *�+ �� ,-�!��'� .

y ��� ��� �-����� ����� '( ������!��� +�+'�2 ��� !�'���� !�4�! ; ��� �') *�+ '( �U�+ �����*���� !��-��-��! �� !-)*����� ��+� ��! ) ��� !�-���� �� '���� �'���U�! . �'� �U�+ *� ; i �)) '�! ���n����! N×S ; ×PQ ��1�*' � 1�����2 '( ���� !��-��-��! ���� �*��� ��('�+���'� (�'+ *���� ����)�!�! !'���2 ��� ) � �U�+ ���� �� !-)*����� ��+� .

��ac`_�c^_�` � :��! � �� �! '�����4�� �! (' **'� ! � /� !����'� O �� ��!��� ��3����'�! ��� ���M+ ��'*'�2 ���� � �** ) � -!�� �� ��� ��!� '( ��� � �� . /� z����'� Z �� ��!�� � �' ���2 ��!��� ('���� ���������M*�!�! �� ��!������'� . /� z����'� \ �� ��!��� � *'��� ) '-�� '� ��� �-+)�� '( ,-����!��,-���� ('� �' ���2 ��!���� �� ��� ��� �����2M+����U �� ��!������'� . /� z����'� S �� �'�!���� ���

P

Page 7: Testing Properties of Directed Graphs: Acyclicity and Connectivity

�') *�+ '( ��!���� ��� �' ���2 '( !�'�� �'������1 ��2.

� ��������

o�� i j <k l m = ) � � �������� ��� � ; ����� �k � j � ; ��� m � k � k �'�!�!�! '( 6EB8E8B W"&E7 '(1������! . �'� � ��1�� !�� '( 1������! J � k ; *�� i <J = ���'�� ��� !-)��� � '( i ���-��� )2 J ; ���('� ��2 ��' !��! '( 1������! J � ��� J � ; *�� m <J � l J � = ���'�� ��� !�� '( ����! �'��� (�'+ 1������! ��J � �' 1������! �� J � . :��� �! ; m <J � l J � = ��j < � l � = � m � � � J � l � � J � � .

y� !�2 ���� � ��� � i �! "#$#%&# �( �� �'�����! �' �������� �2�*�! . /� '���� �'��! ; i �! ��2�*���( ��� '�*2 �( ����� �U �!�! � <'��M�'M'��= '������� (-����'� � � k � × l l� � ; !-�� ���� ('� �1��2<� l = � m ; � <� = � � < = . y� !�2 ���� �� ���� <� l = � m �! � G&6%"9&?V 8BV 8 � ��� ��! ��� �' ��'������� � <�= ; �( � <� = � � < = .

y� �'�!���� ��' �� ��!������'�! '( <�������� = ��� �! . /� ��� "B� "#8?#$�>"9E&H �� ��!������'� ; ���� � i �! �� ��!����� )2 � ��× 1�*-�� � �� +����U n � ; ����� ('� �1��2 ��� '( 1������! l � � k ;n � N l � Q j × �( ��� '�*2 �( < l � = � m . :��! �� ��!������'� �! +'�� � �' ����� ('� ���!� ��� �!���� ! ��!� ��� �! ; ) ���-!� � ��� ! ��!� ��� �! ��� �� ��!������'� �����*! � *���� ! ��� ��!���� ./� ��� &?#&B8?#8� %&797 �� ��!������'� ; � ��� � i �! �� ��!����� )2 �� � � � +����U o� ; <����� ���) � 1����� �! � %&7 97 = ; ����� � �! � ) '-�� '� ��� '-������� '( ���� 1����U �� i . �'� � � k ���� � N�Q ; o� N� l �Q j ; �( �� '�*2 �( ��� � ��� ���� �'��� '-� '( � �! �������� �' . /( !-�� �� ���� �' �!�'� �U �!� ���� ��� 1�*-� '( ��� ����2 �! � �.

�'� ��2 � � � � × ; � ��� � i �� ������ '( ��� ��' �� ��!������'�! ; �! !��� �' ) � �M #%67 8 96 "#$#%&# ;�( �� +'!� �� �M(�����'� '( ������! �� i �! �� ��!������'� ���� �' ) � +'��3�� �' +�0� i ��2�*�� . /(> 6E8 ���� �� � (�����'� '( ������! +-!� ) � +'��3�� ; ���� �� �! �MA "E A E6> "#$#%&# . ����-!� ������ �����2M+����U �� ��!������'� ��! !�4� � � ; �� �! +���! ���� � ��� � i �� ��� ��� �����2M+����U�� ��!������'� �! �M�*'!� �' ) ���� ��2�*�� �( �� +'!� � �� � ����! ��� ) � ��+'1�� �' +�0� i ��2�*�� .����-!� ��� ���������M*�!�! �� ��!������'� ��! !�4� � �� ; ��� �-+)�� '( ����! ���� !�'-*� )� ��+'1���� �� �! �� ��!������'� �! �� +'!� � � �� . K'�� ���� � ��� � �! �M�*'!� �' ��2�*�� �( ��� '�*2 �( ������U �!�! �� '���� (-����'� � <�= ; � ��� ��! ��� �' ����� ����� ��� �� +'!� �� � <!�+ �*��*2; � � �� = ;1 �' *����� ����! .

5 ��!���� �*�'����+ ('� ��2�*����2 �! � �1�� � ��!����� ���+���� � ; ��� '���*� ����!! �' ��-�0�'�� ��� � i . /� ��� ��� �����2M+����U �� ��!������'� �� �! + ���! ���� ��� �*�'����+ ���,-��2 ('� ��2 ��' 1������! ��� � ������� < l � = � m . /� ��� ���������M*�!�! �� ��!������'� ���!+���! ���� ��� �*�'����+ ��� ,-��2; ('� ��2 1����U � ��� ����U � � N�Q ; ���� 1����U �' �! ���� ��� ���� �'��� '-� '( � '��� �' . /( ��� ��� � i �! ��2�*�� ���� ��� �*�'����+ !�'-*� qrrstu� ��� �')�)�*��2 �� *��!� OvZ ; ��� �( �� �! �M(�� (�'+ ��2�*�� ���� ��� �*�'����+ !�'-*� wsx sru � ��� �')�)�*��2 �� *��!� OvZ .

Y

Page 8: Testing Properties of Directed Graphs: Acyclicity and Connectivity

� ������ � ��� �� �� � ��� ��� ������ ���� � � ����������

y� ��U� ��1� '-� �*�'����+ ('� ��!���� ��2�*����2 ���� ��� ��� � �! �� ��!����� )2 ��! ��� �����2+����U . z�+ �*��*2 �' !�1���* ��1 �'-! ��!���� �*�'����+ ! �� ��� <-�M�������� = ��� �����2M+����U+'��* ; ��� �*�'����+ �! ��� ����-��*� '�� . K�+�*2; �� !�*���! � ����'+ !-)��� � '( i <��1��� '�*2� <×v�= 1������!= ; ��� ����0! ������� ���! !-)��� � �! ��2�*�� <�� ����� ��!� �� ���� �!= '� �'� <������� ��!� �� ��� ���!= . �)!��1� ���� ��� !�+ *� !�4� �! ���� ������ '( ��� !�4� '( i .� ��������� ���� ��� � ��������× . J��('�+ *2 ��� ���� ������*2 !�*��� � !�� '( � <*'� <×v�=v�= 1������! ��� ���'�� ��� !�� )2 J .

O . �'� �1��2 ��� '( 1������! � � l �� � J ; ,-��2 ������� ������ <� � l �� = � m '� <�� l � � = � m ; ��-!')������� ��� !-)��� � i <J = ���-��� )2 J .

Z . /( i <J = �'�����! � �2�*� ; ���� E8� 8#9 ; '����� �!� "##8W 9 .

� ������ � eX8 "%V 6E&9X> B87#E&C8B "C6G8 &7 " 9879&?V "%V 6E&9X> A 6E "#$#%&#&9$ X"G&?V p@8E$ "?B9&> 8 #6>W %8H &9$ � <×v�� = � �@E9X 8E> 6E8 &A 9X 8 V E"W X i &7 "#$#%&# &9 &7 "% "$7 "##8W 98B "?B X8?8G8E9X 8 "%V 6E&9X> E8� 8#97 " V E"W X &9 W E6G&B87 " #8E9&! #"98 6A 9X 8 V E"W X "7 #$#%&#&9$ F&? 9X 8 A 6E> 6A " 7X6E9#$#%8I �

:�� )'-�� '� ��� ,-��2 ��� ��+ � �'+ *�U ��2 '( ��� �*�'����+ ('**'� ! ������*2 (�'+ ��� ��!��� M��'� '( ��� �*�'����+ . /� �����-*�� ; ����� ��� � <*'� � <×v�=v�� = ���! '( 1������! �� J ; ����� *�+ ��!��� �-+)�� '( ,-����! + ��� �! ��** �! ��� �-+)�� '( ����! �� i <J =. :' 1���(2 ������� i <J = �!��2�*�� '� �'� ; � �� ��M� ��!�Mz����� <��z= ��� )� ��('�+ �� . :�� ��+� �'+ *�U ��2 '( ���! !������! ) '-���� )2 ��� �-+)�� '( ����! �� i <J =; �! ��!���� . :�� !��'�� !����+��� �� ��� ���'��+�! �++������ �! ��** . /� ��+���! �' ) � !�'�� ���� �1��2 ��� � ���� �! �M(�� (�'+ )���� ��2�*�� �!��� ����� � ��� �')�)�*��2 �� *��!� OvZ .

���� ��c � y� �'1� :��'��+ × -!��� ��' *�++�! . o�++� O !�'� ! ���� �( � ��� � i �!(�� (�'+ ��2�*�� ; ���� i �'�����! � ��*���1�*2 *���� !�� y !-�� ���� ���� 1����U �� y ��! +��2'-��'��� ����! �' '���� 1������! �� y . </� (��� ; �! �� !�'��� �� �� ���*��� 1��!�'� '( ���! � �� ;�1��2 1����U �� y �*!' ��! +��2 ���'+ ��� ����! (�'+ '���� 1������! �� y . �'��1�� ; �� �' *'�������� ���! !��'���� �' ���2.= o�++� Z !�'� ! ���� �( �� -��('�+ *2 !�*��� � !-} ����� �-+)�� '(1������! (�'+ y ; ���� � ��� �')�)�*��2 �� *��!� hv×� ��� -����*2 ��� ��� � ���-��� )2 ���!� 1������!�'�����! � �2�*� . :' �'1� :��'��+ × ; �� !�'� ���� � ��� !-} �����*2 ���� �')�)�*��2; � *������'-�� �'�!����M!�4� !�+ *� '( 1������! �� i �'�����! ��'-�� 1������! �� y �' 3�� � �2�*� � ��� �����!���� �')�) �*��2.

���_`_^_�`] � :' ('�+�*�4� ��� �) '1� ����! ; �� -!� ��� (' **'� ��� ��3����'�! . �'� ��2 1����U � � k ;*�� � <� = ��j � <� l = � m � )� ��� !�� '( � �! '-��'��� ����! . i �1�� � !�� y � k ; �� !�2 ���� � ��!%6 6@9B8VE88 &9X E87W 8#9 96 y ; �( �� <� = # y � � ��� | '����� �!� �� ��! X &VX 6@9B8V E88 &9X E87W 8#996 y .

[

Page 9: Testing Properties of Directed Graphs: Acyclicity and Connectivity

��� � � � �A i &7 � �A "E A E6> "#$#%&# 9X 8? 9X 8E8 8H &7 97 " 789 y � k 7@#X 9X"9 �y � � � ��� "?B8G8E$ G8E98H � � y X"7 X&VX 6@9B8V E88 &9X E87W 8#9 96 y �

��� � � � �89 y � k C8 " 789 6A G8E9&#87 7@#X 9X"9 A 6E 8G8E$ � � y �� <� = # y � � �� �y � A 6E 76> 8� � �� � ×vO � �@WW678 8 @?&A 6E> %$ "?B &?B8W 8?B8?9%$ 78%8#9 � <*'� <×v�� =v�� = G8E9&#87 &? y � eX8? &9X W E6C"C&%&9$ "9 %8"79 hv×� F6G8E 9X &7 78%8#9&6?I 9X 8 7@ CVE"W X &?B@#8B C$ 9X 878 G8E9&#87 #6?9"&?7 "#$#%8�

y� �'1� ��� ��' *�++�! +'+������*2; )-� 3�!� �� !�'� �'� :��'��+ × (' **'� ! (�'+ ��� ��'*�++�! .

� ��� � � � � ������ � � /( i �! ��2�*�� ; ���� �*���*2 �� �*��2! �!!�! ��� ��!� . :�-! ; �'�!���� �����!� �� ����� i �! �M(�� (�'+ ��2�*�� . �2 o�++� O ; ����� �U �!�! � !�� y � k ; !-�� ���� �y � � � ��� ;��� �1��2 � � y ��! ���� '-������� � ��� ��! ��� �' y . o�� � ��j �y �v� ) � ��� A E"#9&6? 6A V E"W XG8E9&#87 9X "9 C8%6?V 96 y ; !' ���� � � � �� . �2 � *2��� � <+-*�� *�����1�= T����'� )'-�� ����1� ���� ('� �1��2 ������� � ×O ; � ��� �')�)�*��2 �� *��!� hv×� ; � -��('�+ *2 ��� ���� ������*2!�*����� !�+ *� '( O v� 1������! �'�����! �� *��!� <�'� ����!!���*2 ��!�����= 1������! �� y <��������!� 1������! ��� -��('�+ *2 ��!���)-��� �� y =. 5!!-+� �� �! �! �� (��� ��� ��!� <����� �� ���'-��('� ��� �')�)�*��2 '( ���'� ��� !�� ) �*'� =.

o�� �� ��j + ��×vO l ��� � !' ���� )2 ��3����'� '( � ; ('� �1��2 � � y ; �� <� = # y � � �� �y �. �2!������ ��� ,-�����2 �' ) � � <*'� <×v�� =v�� = ; ��� � *2 ��� o�++� Z ; �� ')���� ���� �'�����'���'� ����� ) ���� �*�+���! �� ��� !�+ *� ���� ) �*'�� �' y ; � �2�*� �! ')!��1�� � ��� �')�)�*��2�� *��!� hv×� . 5����� ��� ��' ���'� �')�)�*����! ; ��� �'���� ���� ��� �'��* !�4� '( ��� !�+ *� �!� < v� = j � <*'� <×v�=v�= ; ��� ���'��+ ('**'� ! .

K'� ���� �� ��1� ��+'�!������ �'� :��'��+ × (' **'� ! (�'+ o�++�! O ��� Z ; �� �'1� ���*�++�! ���+ !�*1�! .

� ��� � � � ��� � � � � y� �'1� ��� #6?9E"W67&9&G8 '( ��� !����+��� �� ��� *�++� � /( !-�� � !��y �'�! �'� �U �!� ; ���� ��� ��� � �! �M�*'!� �' ) ���� ��2�*�� . /� '���� �'��! ; �� !�'� ���� �( ('��1��2 !-)!�� � k ��1��� !�4� �� *��!� � ��� ; ����� �U �!�! �� *��!� '�� 1����U �� ��1��� !+�**'-������� � ��� ��! ��� �' ; ���� ��� (' **'� ��� �'*�! . :���� �U �!�! �� '���� � � k � N� Q ; ��� � !��'( ����! : '( !�4� �� +'!� �� � ; !-�� ���� ��� ����! '( : ��� ��� '�*2 1 �' *����� ����! � ��� ��! ����' � .

y� ��3�� � ��� �'�!��-�� : �� � !�� ! . 5� ���� !�� �� !�*��� � 1����U � ('� ����� � �! �'�2�� �����+ ���� ; ��� !�� ��� 1�*-� '( � <� = . y� +������� �� ����U � <%"79 = ; � ���� �� ����**2 � j � . 5���� !���� '( � ��1�� !�� ; *�� � k ���'�� ��� !�� '( 1������! ('� ����� � �! 2�� -���3��� <�����������**2; j k =. 5! *'�� �! � � � � ��� ; �� �' ��� (' **'� ��� . T'�!���� ��2 1����U � ���� ��!*'� '-������� � ��� ��! ��� �' <����� ��� �U �!����� '( !-�� � 1����U �! ��!-��� )2 '-� <�'-����=�!!-+ ��'�= . :��� �� !�� � <� = j � ; ������!� � )2 × ; ��� *�� : � : <� l = � m � � � . � ���� ;�� ���� !�� ; ��� !�4� '( : ������!�! )2 �� +'!� ��� .

h

Page 10: Testing Properties of Directed Graphs: Acyclicity and Connectivity

� ���**2; ���� � � � � ��� ; !' ���� ��� 1������! �� +�2 �** ��1� ���� '-������� � ��� ��! ����' ; �� '���� ��� 1������! �� ��) ������*2 ) ������ × ��� � ; ��� ��� �' : �** <�� +'!� � �� � ��� � =����! ) ������ 1������! �� . :�-! ; ��� �'��* �-+)�� '( ����! �� : �! ) '-���� )2 �� � ; �! ��!���� .

/� ��+���! �' !�'� ���� ����� ��� �' '���� 1�' *����� ����! � ��� ��! ��� �' � . K�+�*2; ('� �1��2<� l = � m � : ; �� �'*�! ���� � <� = � � < = . T'�!���� ��2 !-�� ���� <� l = � m � : . y� �*��+ ��������!!���*2 ��� 1�*-� '( � ��! 3�!� ��3��� ('� ; �+ *2��� ���� �� (��� � <� = � � < = <�! ��� 1�*-� ���1�� )2 � = ������!�! �! ��� �)'1� �' ��!! �'���!!�!= . :��! +-!� ) � ��� ��!� !���� '����� �!� ; �(��� 1�*-� '( � ��! 3�!� ��3��� ('� � ���� ��� ���� <� l = �'-*� ��1� ) ��� ����� �' : ; �'�����������'-� �!!-+ ��'� ���� <� l = � m � : .

� ��� � � � ��� � � � � o�� j � ��� ����� ��� � × ) � ��� �-+)�� '( 1������! !�*����� <-��('�+ *2 ������� ������*2 = (�'+ y ; ����� � �! � �'�!���� ���� �! !�� ) �*'� . y� !�'� ���� � ��� �')�)�*��2 ��*��!� hv×� '1�� ��� ��'��� '( !-�� � !�+ *� J ; ('� �1��2 1����U � � J ; ����� �! ��'���� 1����U � J!-�� ���� <� l = � m . :��! �+ *��! ���� ��� !-)��� � ���-��� )2 J ��! �' !��0 1����U ; ��� ������'�����! � �2�*� .

o�� ��� 1������! !�*����� �� ��� !�+ *� J ) � ���'��� � � l l �� . �'� ���� ����U × � � � ;*�� �� ) � ��� �1��� ���� ����� �U �!�! � 1����U � !-�� ���� <� � l � = � m . /� '���� �'��! ; �� �! ���<��!���) *� = �1��� ���� � � ��! �'�M4��' '-������� �� ��� !-)��� � ���-��� )2 J . y� ��� ������!����� �'1����� �� - �� )'-�� '� ��� �')�)�*��2 ���� ����� �U �!�! �� ����U � ; !-�� ���� ��� �1����� �'�! �'� �'*� ; ���� �! ; ���� L� N��� � ���Q . z���� ��� 1������! �� ��� !�+ *� ��� ��'!�� -��('�+ *2��� ���� ������*2; ��� �1��2 1����U �� y ��! '-������� �� *��!� �� � �y �; ('� ���� 3U�� � ;

L � N��� Q � × � �� �� � � �U <� < � ×=�� = j �U <�� *� <×v�� == j <�� =� <×=

�2 � *2 ��� � �')�)�*��2 -��'� )'-�� ;

L� � ���� ����� �

���� �L� N��� Q � �� � *� <×v�� =

�� � � � <�� =� <O=

z������ � �' ) � � !-} �����*2 *���� �'�!���� <!�2; � � ×� = ; ('� ��2 �� � ×vO ��� �) '1� �')�) �*��2 �!�� +'!� ×v×� �! ��,- ���� .

:�� L�''( '( o�++� Z �'��*-��! ��� ���*2!�! '( '-� �*�'����+ ('� ��!���� ��2�*����2 �� ������ �����2M+����U �� ��!������'� . /� ��� ��U� !����'� �� �'�!���� ��� !�+ � �') *�+ �� ��� ���������M*�!�! �� ��!������'� ; ��� �� !�'� ���� ��� �') *�+ ��! � 1��2 �������� �'+ *�U ��2.

� ������ � ��� �� �� � ��� ��������� ��� � � ����������

/� ���! !����'� �� �'1� � *'��� )'-�� '( � <� ��� = ('� ��!���� ��2�*����2 �� ��� ���������M*�!�!�� ��!������'� ; ���� � ��� � ��� �'�!���� . :��! *'��� ) '-��! �'*�! �1�� ���� ��� �*�'����+ +�2,-��2 �) '-� ��� ���'+ ��� ����! �' ���� 1����U <����� ��� �������� '( ���� 1����U �! �*!' �� +'!�� = . y� �'�� ���-�� ���� ��� �') *�+ �! �1�� ������ ���� ���! *'��� ) '-�� !-���!�! ��� ��!�-!! ���

�

Page 11: Testing Properties of Directed Graphs: Acyclicity and Connectivity

N 2/3

N 1/3

S

S1

S2

2

� ��-�� × � ��� � � �� �W ��SW��� � R �� ����� WRW V�� � �R�� V W�� R VUT � t � � UU � �R��� V � t R �� RSTS UVS � ��WW� �� �� �W ��SW��� � R �� ����� WRW V�� � �R�� V W�� R VUT �e � � U ��W R UU � �R��� V �e R �� R � �� RSTS UVS � ���W� W�RW� � �R�� � ����� WRW V� � W�� �� �W VS�� V 't R �� �� �� UT �� ����� W�� V W�� W� � ��� R� V W�� ��WW� ��� ��

������!! (-����� �� ��� ��� '( ���! !����'� . :�� ,-�!��'� '( �'� �' ')���� � ('�+ �* ���-+��� ('� ������� *'��� ) '-�� ��+ ���! �! �� ' �� �')*�+ .

� ������ � e879&?V �#$#%&#&9$ &? 9X 8 &?#&B8?#8� %&7 97 E8W E878?9"9&6? &9X B&7 9"?#8 W"E"> 898E � � ��� E8p@&E87 > 6E8 9X"? �� � � ��� p@8E&87 �

:' �'1� ��� ) '-�� �� ��3�� ��' (�+ �*��! '( <�������� = ��� �! ; � � ��� �� ; ���� '1�� � 1������! ;� ��� ������ ) '-�� � . 5 ** ��� �! �� � � ��� ��2�*�� ; ��� �*+'!� �** ��� �! �� �� ��� �M(�� (�'+ ��2�*��<('� � j ��� = . y� ���� !�'� ���� �' �*�'����+ ��� ��!����-�!� )������ � ��� � ��'!�� ����'+ *2�� � � ��� � ��� � ��'!�� ����'+ *2 �� �� �� *�!! ���� � �� ��� ,-����! ; ('� � � � � �� . :�� (�+ �*��!��� ��3��� �! (' **'� ! <!�� � ��-�� ×= . m��� ��� � �� � � �'�!�!�! '( � j � ��� *�2��! ; o � l l o� ; ���� ��1��� � j � ��� 1������! .��'+ ���� *�2�� o � ����� ��� � � �o � � j � � � ����! �'��� �' *�2�� o � � ; ����� ���!� ����! ���

�����+ ���� )2 � +�������! ) ������ ��� ��� 1������! �� ��� ��' *�2��! . m��� ��� � �� �� �'�!�!�! '( ��' �,-�*M!�4� !-)!��! '( 1������! ; z � ��� z� . :���� ��� � � !� ����!

�'��� (�'+ z � �' z� ; ��� � � !� ����! �'��� (�'+ z� �' z � . :�� ��' !��! '( ����! ��� ���� ��3���)2 � +������� )������ z � ��� z� .

/� ) '�� ��!�! ; �1��2 ���� ��! ��� !�+� *�) �* �� ) '�� ��! ���! <�����+ ���� )2 ��� +������� = .T*���*2; �** ��� �! �� � � ��� ��2�*�� . y� ��U� !�'� ���� �*+'!� �** ��� �! �� �� ��� (�� (�'+ ��2�*�� .

××

Page 12: Testing Properties of Directed Graphs: Acyclicity and Connectivity

��� � � � �6E 8G8E$ � � � � ×O[ &9X W E6C"C&%&9$ "9 %8"79 × � O ! " E"?B6> %$ 78%8#98B VE"W X &?�� &7 � �A "E A E6> "#$#%&# A 6E � j ×v×P �

� ��� � � T'�!���� �** '�������! � � k � � ; ��� *�� -! ������'� ���+ ���' �*�!!�! �! (' **'� ! . m����*�!! �! ��3��� )2 �� �,-�* ������'� <k � l k � = '( k ; ����� ���� '������� � �� ��� �*�!! + � ! ���1������! �� k � �' × l l� vO� ��� ��� 1������! �� k � �' � vO� × l l� � . �'� � ��1�� 3U�� ������'�<k � l k � = �� !�'� ���� ��� �')�)�*��2 ���� � ����'+ ��� � �� �� ��! *�!! ���� ��� ����! �'���(�'+ 1������! �� k � �' 1������! �� k � <� .� .; �� 1 �' *���'� '( ���� '������� �� ��� �*�!!= ; �! �� +'!�O �! . /� (' **'� ! ���� ��� �')�)�*��2 ���� !'+� '������� ; ) �*'����� �' ��2 '�� �( ��� �*�!!�! ; ��!*�!! ���� ��� 1�'*����� ����! �! )'-���� )2 O ! �! ��!���� . �����*! (' **'� .

5 ����'+ ��� � �� �� �! ��'!�� )2 !�*������ � ����'+ +�������! �'���! '����� �' ����!�'��� (�'+ z � �' z� ; ��� � ����'+ +������� �'���! '����� �' ����! �'��� ('�+ z� �' z � . o��k �� ��j k � # z � ; ��� *�� k �� ; k �� ; ��� k �� ) � ��3��� ���*'�'-!*2. y ���'-� *'!! '( ������*��2; �!!-+��k �� � � �k �� �; !' ���� �k �� � � � v\ <!���� �k �� �� �k �� � j �z � � j � vO= . K'�� ���� !���� �k �� �� �k �� � j � vO ;�� �'*�! ���� �k �� � j �k �� � � � v\ �! ��** . y� !�'� ���� � ��� �U '������**2 ���� �')�)�*��2 �������� �� *��!� ��� ����! �U������� (�'+ 1������! �� k �� �' 1������! �� k �� <��� ('� !�+ *����2 �� ���'����� �'����)-��'� '( ����! �'��� (�'+ k �� �' k �� = .

T'�!���� � !���*� ����'+ +������� . z-�� � +������� ��� ) � �����+ ���� )2 � ��'��� '( �����'+ !-)!�� : � � z � '( !�4� �k �� �; ��� ��' ����'+ +�������! � '�� ) ������ ��� 1������! '(k �� ��� ��� 1������! : � ; ��� '�� ) ������ k �� ��� z � � : � . y� ��U� ) '-�� ��� �')�)�*��2 �����: � # k �� � � � v[ ; ���� �! ; ���� ����� ��� *�!! ���� � v[ ����! �� �� �! + ������� ���� �' (�'+ k �� �'k �� . z���� �k �� � j �k �� � � � v\ ; ����� �! ��*( ��� !�4� '( z � ; ��� �')�)�*��2 ���� �: � # k �� � � � v[������!�! �! �k �� � ������!�! . ����� �� !-} ��! �' ���*24� ��� ��!� �k �� � j �k �� � j � v\ . �-�����+'�� ;('� ��2 ������� � � � v[ ; ��� �')�)�*��2 ���� �� ��''!��� � v\ �*�+ ���! &9X6@9 E8W 89&9&6?7 (�'+z � ; ��� �-+)�� '( �*�+���! !�*����� (�'+ k �� �! � ; �! �� - �� ) '-�� '� ��� �')�)�*��2 ����!-�� � �-+)�� '( �*�+���! ��� !�*����� ���� E8W 89&9&6?7 "E8 "% %6 8B . <:�� ('�+�� �')�) �*��2 �!<���� = �< ���

�����=< ����=

; ��� ��� *����� �! <���� =���� .= ����� ; ��� �')�) �*��2 ���� �: � # k �� � � � v[ �! ) '-���� )2

��� �')�)�*��2 ���� �� � vO � ���'-**� �� ��*! <����� ��� �')�)�*��2 ���� ��� '-��'+ � �! × �! ×vO= ;��� �-+)�� '( ����*! � ��� '-��'+� × �! *�!! ���� ��*( ��� �U ����� 1�*-� . :��! �')�) �*��2 �! ��+'!� �U <� <×vO= � <×vO=� � <� v\== j �U <�� vZO= .

/( �+'�� ��� � ����'+ +�������! ; �� *��!� �vO ��1� �� *��!� � v[ ����! �'��� (�'+ k �� �' k �� ;���� ��� �-+)�� '( 1 �' *����� ����! �! �� *��!� ��� � � �� . z���� ��� � ����'+ +�������! ��� !�*��������� ������*2; ��� �')�) �*��2 ���� �� +'�� ���� ��*( '( ���+ ����� ��� *�!! ���� � v[ ����! �����' (�'+ k �� ��� k �� ; �! *�!! ����

O� � �U <� <� vZO= � <�vO== � �U <�� � <� vP\ � ×==����� �! *�!! ���� O �! ('� � � ×O[ .

o�� 5 )� �� �*�'����+ ('� ��!���� ��2�*����2 -!��� j <� = ,-����! <����� � �! �'�!����= .K�+�*2; 5 �! � < '!!�) *2 �')�)�*�!���= +� ��� (�'+ p@8E$�"?7 8E X&796E&87 N<� � l � = l l <� l =Q

×O

Page 13: Testing Properties of Directed Graphs: Acyclicity and Connectivity

�' � � ; ('� �1��2 � � ; ��� �' qrrstu l wsx sru � ; ('� � j . 5 ,-��2 � �! � ��� *�� <� l � l � = ; � ����� � k ; � � N�Q ; ��� � � �� l � �� . 5� ��!��� �! !�+ *2 � 1����U � k ; ����� ; �� ��!� � j � ����! +���! ���� ����� �! �� ���� �'��� (�'+ � �' *�) �*�� )2 � ; ��� �� ��!� � j �� �� �! + ���!���� ����� �! �� ���� �'+ ��� ���' � (�'+ *�) �*�� � . y� �!!-+� ���� ��� +� ��� �! ��3���'�*2 '� ��!�'���! ���� ��� �'�!�!���� � ��� !'+� ��� � . 5�2 ,-��2M��!��� ��!�'�2 '( *����� � � ×��� ) � -!�� �' ��3�� � D?6 %8BV 8 ��� � ; i�� ; �� ��+ � � � × <� .� .; ) �('�� ��� ��� ,-��2 = . :�� 1����U!�� '( i�� �'�����! �** 1������! ���� � ��� �� ��� � �!�'�2 <������ �� ,-����! '� �! ��!���!= ; ��� ��!���� !�� �'�����! ��� ����! ) ������ � � ��� � ('� �** � � � � <� ��� ��� � �' ����� *�) �*���! ����������'�!= . :�-! ; i�� �! � *�) �*�� !-)��� � '( ��� *�) �*�� ��� � ��!��� )2 5 .

/� ���� (' **'� ! �� ��!���) � ��' ����'+ �' ��!!�! ; � � ��� � � ; ����� �������� � ��� �� ��) �����2�*�'����+ 5 ; !' ���� ('� � � × l O� ; � ��!���! 5 �! ,-����! ���*� �'�!��-����� � ����'+ ��� �(�'+ � . �'� � 3U�� 5 ���� -!�! ,-����! ; ��� ('� � � × l O� ; *�� ���'�� ��� ��!���)-��'� '�,-��2M��!��� � �!�'���! <'( *����� = ���-��� )2 ��� ���������'� '( 5 ��� � . y� !��** !�'� ����('� ��2 ��1�� 5 ���� -!�! � �� ��� ,-����! ; ��� !����!����* ��������� ) ������ � ��� � �! ��+'!� � <× � � = . y� ���� �'+)��� �� �! � ��� o�++� S �' ')���� ��� *'��� ) '-�� '( :��'��+ \ .

���_`_^_�` �� � � � :�� �' ��!! ��! ��' !����! . :�� 3�!� !���� �' ����! �! *'�� �! ��� �*�'����+ ��('�+ ! ,-����! . /� ���! !���� ��� �' ��!! ��!���! ��� �*�'����+ �! ,-����! ��� - ����! ��� 0�'� *M���� ��� � . /� ��� !��'�� !���� ��� �' ��!! �'+ *���! ��� 0�'� *���� ��� � ���' � ��� � �� � � . /���� 3�!� !���� ; �����1�� � ��� 1����U �! ����� �' ��� 0�'� *���� ��� � ; ��� �' ��!! �!!���! �� �' � �����-*�� *�2�� . K'�� ���� ���! ��('�+���'� �! ?69 ���*-��� �� ��� 0�'� *���� ��� � ; ��� �� �! '�*2�+ *���� �� ��� ��!�! ����� � 1����U �! 0�'�� �' ) � � !'-��� '� � !��0 . z������� (�'+ � j × ; ('� ����,-��2 � j <� l � l �= '( 5 ; �' ��!! � � �' ����! �! (' **'� ! �× . /( � �'�! �'� ) �*'�� �' ��� 0�'� *���� ��� � i �� ; ���� � � 3�!� �!!���! � �' '�� '( ��� *�2��!

o �� ��� (' **'� ��� + ����� . o�� � ) � ��� �-+)�� '( 1������! �� i�� ���� ��� �*����2 �!!������' *�2�� o . :��� � �! �!!����� �' o � ��� �')�) �*��2 � �

! � � . <{���** ���� � j � ��� �! ���!�4� '( ���� *�2�� .=

o�� o ) � ��� *�2�� ���� 1����U � �! �!!����� �' ��� �!!-+� � j � � <��� ��!� � j �� �!������� ���*'�'-!*2 = . /( � j � ���� ��� ��!��� �! � � <�! �** 1������! �� ��� *�!� *�2�� ��� !��0!= .� ����� �!� ; ��� ��!��� �! ��'!�� �+'�� ��� 1������! �� o � ��� ��� 1������! ?69 2�� �� ���0�'� *���� ��� � <��'!� !�� �� ���'�� )2 { = �! (' **'� ! . o�� � �� � ) � ��� �-+)�� '( 1������! ��o � ���� �*����2 ��1� �� ���'+ ��� ���� *�) �*�� � . :��� � ��� �')�) �*��2 � � � � �� � �

� � �� � � � 1����U�! ��'!�� -��('�+ *2 �+'�� ��� 1������! �!!����� �' o � ���� �' �'� ��1� �� ���'+ ��� ����*�) �*�� � ; ��� � ��� �')�)�*��2 × � � � � � �� � �

� � �� � � ; � 1����U �! ��'!�� -��('�+ *2 �� { <��� �!!������' *�2�� o �= .

O . /( � ) �*'��! �' i�� ; ��� ��� ���� ,-����� �! �� i�� �! ��** ; ���� � � ��!���! �'�!�!����*2 � ���i�� .

Z . /( � ) �*'��! �' i�� )-� ��� ���� ,-����� �' �! �'� ) �*'�� �' ��� 0�'� *���� ��� � ���� ���

×Z

Page 14: Testing Properties of Directed Graphs: Acyclicity and Connectivity

��!��� �! ��'!�� �! ��!���) �� �� ��� !��'�� ��� '( /��+ × �) '1� .

/� ��� !��'�� !���� '( � � ��� �' ��!! -��('�+ *2 !�*���! � ��� � �� � � �+'�� �** ��'!� �'�!�!����� ��� ��� 3��* 0�'� *���� ��� � i�� . n'�� ����!�*2; ('� ���� � � N� Q *�� � )� ��� �-+)�� '(1������! �!!����� �' o . :��� ��� �*�'����+ 3�!� ����'+ *2 ������'�! ��� 1������! �'� �� i �� ���'� !-)!��! ; � ���� ��� � �! !-)!�� ��! !�4� � � � ; ��� �!!���! ���+ �' ��� ��! ����1� *�2��! . :�� �' ��!! ���� ����'+ *2 �'+ *���! ��� � +�������! (�'+ ���� o �' o � .

���_`_^_�` �� � � � z�+ �*��*2 �' � � ; �' ��!! � � �'�!�!�! '( ��' !����! . /� ��� 3�!� !���� ; ('� ����,-��2 � j <� l � l �= '( 5 ; �' ��!! � � �' ����! �! (' **'� ! �× . /( � �'�! �'� ) �*'�� �' i�� ; ���� � � 3�!� �!!���! � ������ �' z � '� �' z� �� ��� (' **'� ���

<����'+ = +����� . o�� � � ) � ��� �-+)�� '( 1������! �� ��� �-����� 0�'� *���� ��� � ���� ����*����2 �� z � ; ��� *�� � � ) � ��� �-+)�� '( 1������! �� z� . :��� ; ('� � � × l O� ; � �! �!!����� �'z � ��� �')�)�*��2 ! �� � ! �� � � � � .z- '!� � �! �!!����� �' z � ��� �!!-+� � j � � <��� '���� ��!�! � � �!!����� �' z� ����'�� j �� � ��� ������� ���*'�'-!*2 = . :�� ��!��� �! ��'!�� �+'�� ��� 1������! �� z� ��� ���1������! �'� 2�� �� ��� 0�'� *���� ��� � <��'!� !�� �� ���'�� )2 { = �! (' **'� ! . o�� � ��� )� ����-+)�� '( 1������! �� z� ���� �*����2 ��1� �� ���'+ ��� ���� *�) �*�� � . :��� � ��� �')�)�*��2� � � ���! �� � ��� � 1����U �! ��'!�� -��('�+ *2 (�'+ ��� '���� 1������! ���� ���� �*����2 �!!����� �' z� ;

��� � ��� �')�)�*��2 × � � � � ���! �� � ��� ; � 1����U �� { �! ��'!�� -��('�+ *2 <��� ����� �' z� = .O . /( � ) �*'��! �' i�� ; ��� ��� ���� ,-����� �! �� i�� �! ��** ; ���� � � ��!���! �'�!�!����*2 � ���

i�� .Z . /( � ) �*'��! �' i�� )-� ��� ���� ,-����� �' �! �'� ) �*'�� �' ��� 0�'� *���� ��� � ���� ���

��!��� �! ��'!�� �! ��!���) � �� /��+ × �)'1� ./� ��� !��'�� !���� '( � � ��� �' ��!! -��('�+ *2 !�*���! � ��� � �� �� �+'�� �** ��'!� �'�!�!����

� ��� ��� 3��* 0�'� *���� ��� � i �� . n '�� ����!�*2; �( � � ��� � � ��� ��� �-+)�� '( 1������! �!!������' z � ��� z� ; ��! ����1�*2; ���� ��� �*�'����+ 3�!� ����'+ *2 !�*���! � !-)!�� '( !�4� � vO � � � �+'����� 1������! �'� �� i�� ��� �!!���! ���+ �' z � . :�� ��!� '( ��� 1������! �'� �� i �� ��� �!!����� �'z� . :�� �' ��!! ���� ����'+ *2 �'+ *���! ��� � +�������! (�'+ z � �' z� ��� ��� � +�������! (�'+z� �' z � .

��� � � � �6E 8G8E$ "%V 6E&9X> 5 9X 8 W E6#877 � � F� �I X8? &?98E"#9&?V &9X 5 @?&A 6E> %$ V 8? �8E"987 V E"W X7 &? � � F��I �

:�� *�++� ��!�*2 (' **'� ! )2 ���-���'� '� ��� +�U �+-+ �-+)�� '( ,-����! ��('�+�� )2 5 ;����� '�� +�2 �'�!���� '�*2 �����+ ���!��� �*�'����+ ! ; �! �1��2 �')�)�*�!��� �*�'����+ ��� ) �1 ����� �! � ��!���)-��'� '1�� �����+ ���!��� '��! . :�� )�!� ��!� �! �*��� ; !���� �( �' ,-��2 �! +������� ��� ��!���)-��'� '� ��� ��!-*���� ��� � �! �*���*2 -��('�+ . :�� ���-���'� !�� ('**'� ! ������*2(�'+ ��� ��3����'� '( ��� �' ��!!�! . /� �����- *�� ; ��� ��!���)-��'� '� ��!���! ('� ��2 ��1�� ,-��2

×\

Page 15: Testing Properties of Directed Graphs: Acyclicity and Connectivity

�! !-�� ���� ��� (' **'� ��� �'*�! . :�� ��!���)-��'� '� ��� �! ��!-*���� (�'+ ��� �' ��!! !� ������� �'��� !��'�� !���� "A 98E �� ��!���! ��� ,-��2 �! �U���*2 ��� !�+ � �! ��� ��!���)-��'� ��!-*���� (�'+��� �' ��!! ��('�+ ��� ��� !��'�� !���� &9X6@9 ��!������ ��� ,-��2.

��� � � � �89 � � × "?B � �� ��� � eX8? A 6E 8G8E$ "%V 6E&9X> 5 9X"9 "7D7 p@8E&87 9X 879"9&7 9&#"% B&7 9"?#8 C89 88? � "?B � &7 "9 > 679 � <× � � = �{���** ���� � ���'��! ��� ��!���)-��'� '� ,-��2M��!��� ��!�'���! <'( *����� = ���-��� )2 ������������'� '( 5 ��� � � .� ��� � � y� �!!-+� � ���'-� *'!! '( ������*��2 ���� 5 �'�! �'� �!0 ,-����! ��'!� ��!��� ��� ) �����1�� (�'+ ��! 0�'� *���� ��� � ; !���� ��'!� ��1� �� �' ��� ��('�+ ���'� . J���� ���! �!!-+ ��'� ;�� !�'� ���� ) '�� �� � ��� �� � ; ��� �'��* ������ '( ,-��2M��!��� � �!�'���! �� ����� ('� !'+�� � ������ � 1����U �� i�� �! ���-���� �! �� ��!��� �' ��� ��� ,-��2 <� .� .; ����� �U �!� � � � � !-������ j � � '� j � = ; '� ; ��� ��!��� �! � �; �! �� +'!� � <× � � = . K'�� ���� )2 ��� ��3����'� '(� � ��� � � ; �� )'�� ��!���)-��'�! ; ('� �1��2 ��!�'�2 ��3U ; �'�����'��� '� ��� �1��� ���� ��� �����!��� �! �'� � � ��� �'�! �'� �,-�* !'+� ��1 �'-! ,-��2 '� ��!��� ; ��� ��� ��!��� �! -� �('�+ *2��!���)-��� �+'�� �** 1������! �'� � ������ �� ��� ��!�'�2. z���� 5 �! ,-����! '�*2 �� ��� '���� ����� ��� ,-��2M��!��� ��!�'�2; ��� ��' ��!���)-��'�! ����� '�*2 �� ��� �')�)�*��2 �!!������' !�,-����! ������ �'����� ��� ��� ��!��� � �; '� � 1����U ���� �*����2 ) �*'��! �' ��� ���-���0�'� *���� ��� � . z���� �� !�'� ���� ��� �'��* ������ '( !-�� !�,-����! �! �� +'!� � <× � � = ; ���) '-�� '� ��� !����!����* ��������� ) ������ ��� ��' ��!���)-��'�! (' **'� ! .

�'� ��2 � � ; �'�!���� 3�!� ��� �1��� ���� � 1����U �� i�� �! ���-���� �! �� ��!��� �' ������ ,-��2. /� '���� �'��! ; � �! + ������ <������ 1 �� ��! '-��'��� ���� ; � ; '� 1 �� ��! ���'+ ��� ���� ;� = ; �' !'+� 1����U �� i�� . /� ��� �'�!� ��!� ; ('� ) '�� �' ��!!�! ; ����� ��� �� +'!� � � × 1������!�� ��� 0�'� *���� ��� � . /� ��� ��!� '( � � ; � ��� � j �� ���2 + �2 �** ) �*'�� �' ��� *�1�* (' **'� ������� '( � ; ��� �'� ��1� �� ���'+ ��� ���� *�) �*�� � ; ��� ���� � j � � ���2 + �2 �** ) �*'�� �' ���*�1�* �������� � <��� �'� ��1� �� '-��'��� ���� *�) �*�� � = . /� ������ ��!� ; ��� �')�)�*��2 ����� �! + ������ �' ��2 '( ���+ �! �� +'!� � ��! ��# � �� ; ����� ('� � � � ��� �! *�!! ���� � � ��! ��# . /� �����!� '( � � ��� �')�)�*��2 ���� !-�� �� �1��� ' ��-�! �! '�*2 �� +'!� � ��! �� � �� � � � ��! �� . :�-! ; ��� �')�)�*��2 ���� !-�� �� �1��� ' ��-�! ('� ������ �' ��!! �� � !�,-���� '( �� ��� ,-����! �! �� +'!���

� �� � ��! ��# � � � .

y� ��U� ) '-�� ��� �')�)�*��2 ���� ���� ��� �*�'����+ ��������! � ��� � � ; �� ��!���! � � <� .� .;� �! � !��0 ��� � j � � '� � �! � !'-��� ��� � j �� = . y� )'-�� ���! �')�) �*��2 �'�����'���'� �' ��!��� ) ���� !�*����� (�'+ ��� 0�'� *���� ��� � <!���� �� ��1� ) '-���� ��� �')�)�*��2���� !-�� �� �1��� ' ��-�! �) '1�= . y� 1��� ��� �*�'����+ �! � !������2 ���� ����! �' + �U�+ �4� ��� �')�)�*��2 '( �������� ������ � !'-��� '� � !��0 . m��� !-�� !������2; �'������ � ��� ��� ��!���! �������1�! <����� ��1�� '-� �'�����'���� ; ���� ��!��� �! � -��('�+ *2 ��!���)-��� 1����U = ; ���-��! ���!���)-��'� '� � �-+)�� � '( 79"E9&?V G8E9&#87 ��� O� %8?V 9X7 . m��� !������� 1����U �'���! '��! �'� ,-��2 <� l � l � = ; ����� � �! �'� �� ��� �-����� 0�'� *���� ��� � . �'� ���� !-�� !������� 1����U � ;����� ��� ��' *�����! � '�� �����+ �� ��� ��� *����� '( ��� ��� ; !������� (�'+ � ; -!��� ���'+ ���

×S

Page 16: Testing Properties of Directed Graphs: Acyclicity and Connectivity

����! ; ��� '�� -!��� '-��'��� ����! . <5 ! ��� �*�'����+ �! ��2��� �' +�U �+ �4� ��� �')�)�*��2 '(�������� � !'-��� '� � !��0 ; )�������� (�'+ !-�� ���! '�*2 ��!��! ,-����! .= 5 ! ��� �*�'����++�0�! �� ��� ,-����! ; ��� !-+ '( �** *�����! �! �� ��� . /� ��-! !-} ��! �' ) '-�� ��� �')�)�*��2 '(�������� ������ � !'-��� '� � !��0 ; ('� ��2 3U�� ��'��� '( � ; ��� ��� *�����! � �� l ��� l l � �� l ��� !-������ � � � � <� � � �� = j �� ��� . o�� � )� � ����'+ 1����) *� ��'!� 1�*-� �! ��� *�1�* ��� � ��� !�������1����U ) �*'��! �' . :��� ��� �) '1� �')�)�*��2 �,-�*!��� �

L� �� � � � '� � � � � �� � j ��� �

�� �� �

��� � <Z=

j � � ��� �

<� � � �� = <\ =

j � <S=

� ��� � � � ������� � � 5!!-+� ; �'�����2 �' ��� �*��+ ���� ����� �U �!�! � ��!���� �*�'����+ 5���� -!�! �� +'!� ��� ��� ,-����! . {���** ���� )2 o�++� P ; ��� �' ��!! � � ; ���� ����������� � ��� 5 ;-��('�+ *2 ��������! ��� �! �� � � ; ��� ��� �' ��!! � � ; ���� ����������� � ��� 5 ; -��('�+ *2 ��������!��� �! �� �� . z���� �** ��� �! �� � � ��� ��2�*�� ; �*�'����+ 5 ; ���� ����������� � ��� � � ; !�'-*����� � � ��� �')�) �*��2 �� *��!� OvZ . �2 o�++� Y ; ��� !����!����* ��������� ) ������ � ��� � �!�� +'!� �� <× � �� = j ��� . /� (' **'� ! ���� ��� �')�)�*��2 ���� �*�'����+ 5 ; ���� ����������� � ��� � � ;���� �! ; �! �� *��!� �� � ��� j ���� . �� ��� '���� ���� ; )2 o�++� S <��� ��� *'��� ) '-�� '� ��� !�4�'( � = ; +-�� (���� ���� ��� '( ��� ��� �! �� �� ��� ��� M�*'!� �' ��2�*�� . z���� 5 !�'-*� ���� � ������� � ���� �! ��� M(�� (�'+ ��2�*�� � ��� �')�) �*��2 !+ �**�� ���� ×vZ ; �� ��� ���� ��� �')�)�*��2�� ���� �! ���� ����������� � ��� � � �! *�!! ���� �� � ��� j ���� ; �'����������� ��� *'��� ) '-�� ��')������ �) '1� '� ���! �')�)�*��2.

� � � ����� �� �� � ���� ��y� �*'!� �� �! !����'� )2 ��!�-!!��� ��� � ����� ��} �-*���! ���� � ��!���� �*�'����+ +-!� '1���'+� ;����� *���! -! �' ) �*��1� ���� ��� �') *�+ +�2 ) � ������ ���� ��� � <� ��� = ) '-�� '( :��'��+ \ .:�� '��� '( �� �! !����'� �! �' ��!��� ����������!���! '( ��' (�+ �*��! '( ��� �! ���� !��+ ��} �-*��' ��!����-�!� -!��� '�*2 � <� ��� = ,-����! . /� �! �� ' �� �')*�+ �'� �' ('�+�*�4� �� �! ���-���'����' � ('�+�* ) '-�� .

T'�!���� � �������� ��� � i ���� �! �M(�� (�'+ ��2�*�� . o�� T � l l T� ) � ��! 7 9E6?V %$ #6??8#98B#6>W6?8? 97 <����� !'+� '( ���!� �'+ '����! +�2 ���*-�� '�*2 � !���*� 1����U = . �'� × � � � � ; *���� ) � ��� + ���+-+ �-+)�� '( ����! ���� ���� �' ) � ��+'1�� (�'+ T � �� '���� �' +�0� �� ��2�*�� .:��� ; )2 ��3����'� ; � � �� � ��� . /� �����-*�� ; �� �! �+ *��! ���� ����� �! � ��*���1�*2 *���� (�����'�'( 1������! ���� ) �*'�� �' !��'��*2 �'������� �'+ '����! ('� ����� �� �! ��*���1�*2 *���� . :�-! ; � ����'�M���*�� �) *� �')�)�*��2; � -��('�+ *2 !�*����� 1����U � �** ) �*'�� �' !-�� � �'+ '���� . �'��1�� ; ��'���� �' ������ ���� ��� �'+ '���� �'�����! �2�*�! ; ��� �*�'����+ +-!� �!��2 ��!��� ��� �'+ '�����

×P

Page 17: Testing Properties of Directed Graphs: Acyclicity and Connectivity

<���� �! ; ��('�+ +��2 ,-����! �'�������� ����! ) ������ 1������! �� ��� �'+ '����= . :�� ��} �-*�2�! �'� �' ��!����- �!� )������ ����! ��!��� ��� �'+ '����! ��� ����! ) ������ �'+ '����! <������*��� ��� �*�'����+ '-� '( ��� �'+ '����� = .

/� 1 ��� '( ��� �) '1� ; �� �'�� ���-�� ���� !'+ � �'�!��-���'� �*'�� ��� (' **'� ��� *���! �'-*� )�����) '-� � *'��� )'-�� ���� �+ �'1�! '� :��'��+ \ . z�+ �*��*2 �' ��� �''( '( :��'��+ \ ; �� ��3����' (�+ �*��! '( <�������� = ��� �! ; � � ��� �� ; ���� '1�� � 1������! ; � ��� ������ )'-�� � . 5 ** ��� �!�� � � ��� ��2�*�� ; ��� �*+'!� �** ��� �! �� �� ��� �M(�� (�'+ ��2�*�� <('� !'+� �'�!���� �= . /� ) '��(�+ �*��! ; ��� 1������! ��� ������'��� ���' ����� !-)!��! � k � ; k� ��� k � <����� � !����! ('� *�(� �; !����! ('� +���*� � ��� � !����! ('� ����� �= . :�� !�4�! '( k � ��� k � ��� �� ��� ��� !�4� '( k� .:�� ����! ) ������ ��� !��! '�*2 �' (�'+ k � �' k� ��� (�'+ k� �' k � .

/� � � ; ��� ����! � ����� ��� ����� !��! ��� !�+ �*�� �' ��'!� �� ��� (�+ �*2 '( ��2�*�� ��� �!�'�!��-���� �� ��� �''( '( :��'��+ \ ; �U�� � ���� �� �**'� ('� !'+� 1����) �*��2 �� ��� �-+)�� '(���'+ ����'-��'��� ����! ���� 1����U ��! (�'+ ��' ��� ��1�'-!���U� *�2�� . /� ������'� ; 1������! ����� *�!� *�2�� '( k� ��1� ����! �'��� �' ��� 3�!� *�2�� '( k� ; ��� 1������! �� ��� *�!� *�2�� '( k���1� ����! �'��� �' ��� 3�!� *�2�� '( k � . � ���**2; �1��2 1����U �� k� ��! '�� ���'+ ��� ���� (�'+!'+� 1����U �� ��� *�!� ��*( *�2��! '( k � ��� �� ���� �'��� �' !'+ � 1����U �� ��� 3�!� ��*( *�2��!'( k � . <:�� ���!'� ('� 1����) �*��2 �� ������! �! !' ���� 1������! �� k � � �** �'� ����!!���*2 ��1� ������� '-������� ���� ��'!� �� k� ; ��� 1������! �� k � � �** �'� �** ��1� ������ ��������! ; �����+ ���� �**'� �� �*�'����+ �' ���!�'1��� ��� *�2�� '( � 1����U .=

/� �� ; ��� ����! � ����� ��� !��! k � ��� k � ��� ��� !�+ � �! �� � � . :�� ����! � ��� �� k� ���!�+ �*�� �' ��'!� ��3��� ('� ��� (�+ �*2 '( ��� �! ���� ��� (�� (�'+ ��2�*�� �� ��� �''( '( :��'��+ \ ;����� ����� �� �**'� ('� 1����) �*��2 '( ������! . � ��� �'' �1��2 1����U �� k� ��! '�� ���'+ ������� (�'+ !'+� 1����U �� ��� *�!� ��*( *�2��! '( k � ��� �� ���� �'��� �' !'+� 1����U �� ��� 3�!���*( *�2��! '( k � . � ���**2; ����� ��� ����! �'��� (�'+ ��� *�!� *�2�� '( k � �' � !-)!�� '( 1������! '(��� !�+� !�4� �� k� ; ��� !�+ �*��*2 ����! �'+ ��� (�'+ ��'���� !-�� !-)!�� �' ��� 3�!� *�2�� �� k �<��� 3�!� !�� +�2 ��1� '�*2 '-��'��� ����! �' '���� 1������! �� k� ; ��� ��� !��'�� +�2 ��1� '�*2���'+ ��� ����! (�'+ '���� 1������! �� k� = . /� )'�� (�+ �*��! ��� *�) �*! '( ��� ����! �'��� ) ��������� !��! 1��2 <!' ����� �! �' �����- *�� ���� *�) �* ���� �*��2! �)����!� (�'+ '�� !�� �' ��� '����= .

:�� ���� �! ���� ��� '�*2 ��2 �' ��!����-�!� ) ������ ��� ��' (�+ �*��! �! �' �!0 � !-} ������-+)�� '( ,-����! ���� �'���! '�� �' ����! � ����� k� . 5 ���**���� '( ��� �*�'����+ �! �'� �'�����+ ��� ���� �� ��! ��U ����� k� 1�� �� ���'+ ��� ���� �' k � '� �� '-��'��� ���� �' k � ; !' �! �') � �)*� �' �!��2 ��!���� k� �' ������ ��� �2�*�! . /� �! �� ' �� ,-�!��'� �'� �' ('�+�*�4� ��� �)'1����-���'� ���' � ���'�'-! *'��� )'-�� .

� ������ ������ ������� � ��

y� !�2 ���� � �������� ��� � �! !��'��*2 �'������� �( ����� �! � �������� ��� (�'+ �1��2 1����U ����� ��� � �' �1��2 '���� 1����U . 5 ! �'��� �� ��� ����'�-���'� ; ��� ���-��* +'��* ('� ��!���� ���! �' ���2 �! ��� ���������M*�!�! +'��* . y� 3�!� !�'� ���� �( ��� ��!���� �*�'����+ ��� ,-��2 �'�

×Y

Page 18: Testing Properties of Directed Graphs: Acyclicity and Connectivity

'�*2 '� '-��'��� ����! (�'+ ���� 1����U ; )-� �*!' '� ���'+ ��� ����! ; ���� �� �! '!!�) *� �' ��!�!��'�� �'������1 ��2 �� � <×v�= ��+ � . y� ��U� !�'� ���� �( ��� ��!���� �*�'����+ '�*2 ��! ����!! �''-��'��� ����! ; ���� ��� !�+� ��!� ��,-���! � <�� = ,-����! . :��!� �'����!���� ��!-*�! ��+'�!������'� !��!���1� �' ���2 ��!���� �*�'����+ ! ��� ) � �' ��� �2 � '( ,-����! �**'��� .

� � ���� �� � � �� ���� �� �� ���� ����� �� ��� ���� �� ����y� 3�!� ����'�-�� !'+ � ��3����'�! . :�� 79E6?V %$ #6??8#98B #6>W6?8?97 '( � ��� � i j <k l m = ���+�U �+�* !-)!��! T � k !-�� ���� ����� �! � �������� ��� (�'+ ���� 1����U �� T �' �1��2 '����1����U �� T . /� �����-*�� ; � !��'��*2 �'������� ��� � ��! � !���*� !��'��*2 �'������� �'+ '���� ;��� ('� �** ��� �! ; ��� !��'��*2 �'������� �'+ '����! ��� ��!� '��� . y� ��3�� �� �-U �*���2 � ���������� � ; � <i =; ��'!� 1������! �'���! '�� �' ��� �'+ '����! '( i . :���� �! �� ���� (�'+ ��� 1����U�� ��!������ �'+ '���� T ; �' ��� 1����U �� ��!������ �'+ '���� T � ; �( ��� '�*2 �( ; ����� �! �� *��!�'�� ���� �� i (�'+ !'+� 1����U �� T �' !'+ � 1����U �� T � . :��! �-U �*���2 ��� � �! �*���*2 ��2�*�� ;�! � �2�*� �� � <i = �'-*� �+ *2 ���� �** 1������! ) �*'����� �' �'+ '����! '� ��� �2�*� ��� ���-�**2�'������� �' ���� '���� <�'����������� ��� + �U�+ �*��2 '( ��� �'+ '����!= . y� !�2 ���� � 1����U�� � <i = �! � 76@E#8 1����U ; �( �� ��! '�*2 '-��'��� ����! ; ��� ���� �� �! � 7&?D 1����U ; �( �� ��!'�*2 ���'+ ��� ����! . y� ��(�� �' ��� �'���! '����� �'+ '����! �! 76@E#8 #6>W6?8?97 ��� 7&?D#6>W6?8? 97 ; ��! ����1�*2.

:�� ('**'� ��� *�++� ������*�4�! ���� �! !�'�� �� NO� Q ('� -��������� ��� �! . :�� *�++� ; ������ ��!�-!!�'� ('**'� ��� ��(�� �' ��� )'-����M������ ���������M*�!�! +'��* ; )-� ��� ) � ������*�4���' ��� ��!� �� ����� ����� �! '�*2 � ) '-�� '� ��� �-+)�� '( ����! �� ��� ��� � <�! �'�� ('� ���-��������� ��!� �� NOhQ= . �'� !�0� '( !2++���2; �� �!!-+� ���� ) '�� ��� '-������� ��� ��� ��������'( ��� 1������! ��� ) '-���� )2 � .

��� � � � �A " B&E8#98B VE"W X i &7 � �A "E A E6> 9X8 #%"77 6A 7 9E6?V %$ #6??8#98B VE"W X7 6? � G8E9&#87 "?B 9X 8 > "H &>@> &?B8VE88 "?B 6@9B8VE88 &7 � 9X 8? 9X 8 ?@> C8E 6A #6>W6?8?97 &? i 9X"9 "E8 8&9X 8E76@E#8 #6>W6? 8?97 6E 7&?D #6>W6?8?97 &7 V E8"98E 9X"? �� � �� �

y� �'�� ���� ����� ��! �� ���'� �� ��� (' **'� ��� �''( ; ����� ��! )�'-��� �' '-� �������'�<�'������ � ��� � !-���!��'� ('� 3U ��� ��= )2 z���*�2 � �*�12. y� ����0 ��� ('� ��� ��* .� ��� � � 5!!-+� ; �'�����2 �' ���� �! �*��+�� �� ��� *�++� ; ���� ����� ��� �� +'!� �� ��� �'+ '����!�� i ���� ��� ������ !'-��� '� !��0 �'+ '����! . y� ��U� !�'� ���� )2 ������ <��� '!!�) *2��+'1��� = �� +'!� � � �� ����! �' i �� ��� +�0� �� !��'��*2 �'������� . �-� ���! �'��������! ��� ��+ �!� '( ��� *�++� )2 ����� i �! �M(�� (�'+ )���� !��'��*2 �'������� ; ��� ��� *�++� ('**'� ! .

5 !!-+� 3�!� ���� �� ���� �'+ '���� '( i ���� �! ������ � !'-��� '� � !��0 �'+ '���� ; ����� �!�� *��!� '�� 1����U ���� ��! �������� �� +'!� � � × ; ��� '�� 1����U ���� ��! '-������� �� +'!� � � × .T'�!���� ��2 '������� T ��� l l T �� '� ��� !'-��� �'+ '����! ; ��� ��2 '������� T � � l l T � � '� ���!��0 �'+ '����! . :��� �� ��� �'����� ��� �'+ '����! �� � �2�*� T ��� l l T �� l T � � l l T � � <!' ��������� �! �� ���� �'��� (�'+ ���� �'+ '���� �' ��� ��U� ��� (�'+ T � � �' T ��� ; ����� ��� ����! ���

×[

Page 19: Testing Properties of Directed Graphs: Acyclicity and Connectivity

) ������ ��� 1������! ��1 ��� ������ *�!! ���� � = . /� �! ��!2 �' 1���(2 ���� ('� ��2 ��' 1������! � ��� ; ����� �! � �������� ��� (�'+ � �' �� ��� +'��3�� ��� � . :�� �-+)�� '( ����! ����� �! �,-�*�' ��� �-+)�� '( !'-��� ��� !��0 �'+ '����! ; ��� !' �! )'-���� )2 �� � �� .

/( ����� �U �!� !'-��� '� !��0 �'+ '����! �� ����� ����� �! �' 1����U � ��� '-������� �� +'!�� � × '� �' 1����U � ��� �������� �� +'!� � � × ; ���� �� �' ��� (' **'� ��� . 5 !!-+� 3�!� ���� ����!-�� �'+ '���� �'�!�!�! '( +'�� ���� '�� 1����U . :��� �� ��+'1� '�� ���� <� l = ) ������ !'+� ��� '( 1������! � ��� �� ��� �'+ '���� ; ��� ���� ��� ����! �! ��!���) �� �) '1� . z ���3��**2; ������ ���� �'��� '-� '( ��� �'+ '���� �! �������� �' � ; ��� ��� ��� ���� �'��� ���' ��� �'+ '�����! �������� �' . /( ����� �! �� ������'��* ��� (�'+ � �' <�'��� ���'-�� '���� 1������! �� ����'+ '����= ; ���� �� ��� �'� ����� ��� �'������1 ��2 '( ��� �'+ '���� . � ����� �!� ; ����� �! �'�� ��� ��� (�'+ � �' �� ��� +'��3�� ��� � -!��� ��� ����� ����! . :�� �'��* �-+)�� '( ����+'��3����'� �! O � �� � �� .

� ���**2 �� ���� �' ������ �' ��� ��!� �� ����� ����� ��� !'-��� �'+ '����! ���� �'����� � !���*�1����U � ��� +�U �+-+ '-������� '� ����� ��� !��0 �'+ '����! ���� �'����� � !���*� 1����U � ���+�U �+-+ �������� . �2 ������ �� +'!� �� � �� ����! ; �� !��** +'��(2 ��� ��� � !' ���� �(��� ���+'��3����'� �** ���!� 1������! � �** ��1� �'�M4��' �������� ��� �'�M4��' '-������� . /� '���� �'��! ;���� '( ���+ � �** ������ ) �*'�� �' � !'-��� '� !��0 �'+ '����! � ��� +'�� ���� '�� 1����U ; '� ���'� �� ) �*'�� �' !'-��� '� !��0 �'+ '����! �� �** . :��! � �** ���-�� ��� �') *�+ �' ��� '�� �)'1�<�� �� ������'��* �'!� '( �� +'!� �� � �� ���� +'��3����'�!= .

:' �� �! ��� �� 3�!� 3�� � +�U �+-+ +������� ) ������ ��� !'-��� �'+ '����! ���� �'����� �!���*� 1����U <��1 ��� +�U �+-+ '-�������= ��� ��� !��0 �'+ '����! ���� �'����� � !���*� 1����U<��1��� +�U�+-+ ��������= . y� ���� ��� �� ���� (�'+ ���� !��0 1����U �� ��� ��� �' ��� !'-���1����U �� ��� ��� . 5 !!-+� � ���'-� *'!! '( ������*��2 ���� �� ��+��� � ��� -�+������ !'-��� 1������!<�( ����� ��� �' -�+������ 1������! ���� �� ��� �'��= . z���� ��� �'��* '1�� ��� ��������! '( �**1������! �� ��� ��� � �,-�*! ��� �'��* '1�� ��� '-�������! ; ��� �** ���!� -�+������ 1������! ��1�+�U �+-+ '-������� ; �� ��� 3�� � !-)!�� '( 1������! � ��� *�!! ���� +�U �+-+ '-������� ; ��� �������! (�'+ ���+ �' ��� ��+������ -�+������ !'-��� 1������! .

y� ��-! ')���� � !��'��*2 �'������� ��� � �� ��� �'!� '( �� +'!� � � �� ���� +'��3����'�! .

�2 -!��� � !�+ *� �'-����� ���-+��� ; �� ')���� ��� (' **'� ��� �'�'**��2 �

���� ����� � �A " V E"W X i &7 � �A "E A E6> 9X8 #%"77 6A � �G8E98H 79E6?V %$ #6??8#98B VE"W X7 &9X &?B8VE88"?B 6@9B8V E88 C6@?B8B C$ � 9X 8? i X"7 "9 %8"79 ��!� 76@E#8 "?B 7&?D #6>W6?8?97 8"#X #6? 9"&? &?V%877 9X "? ��� G8E9&#87 �

:��! �'�'**��2 !-���!�! ��� (' **'� ��� �*�'����+ � J��('�+ *2 ��� ���� ������*2 !�*��� j� <×v <�� == 1������! �� i . ��'+ ���� 1����U !�*����� ; ��('�+ '�� � ������ � ��!� z����� <��z=-!��� 6@9V 6&?V ����! ��� '�� -!��� &?#6> &?V ����! <���� �! ; �'��� �����!� ��� �������'� '( �������!= . z�' ���� '( ���!� !������! ���� ��� 1������! ��1� )��� ������� '� ���� �' ��� 1����U ���) � ������� . <y� �!!-+� ���� ��� �'��* �-+)�� '( 1������! �� ��� ��� � �! �� *��!� ��� '� �*!� ��

×h

Page 20: Testing Properties of Directed Graphs: Acyclicity and Connectivity

� <×v�= ��+ � �� �! '!!�) *� �' �U���*2 ������ ������� ��� ��� � �! !��'��*2 �'������� )2 *' '0��� ����� ��'*� ��� �=. /� ��� *����� ��!� ��� �*�'����+ ��! ��!�'1���� � !+�** !'-��� '� !��0 �'+ '���� ;�+ *2��� ���� ��� ��� � �! �'� !��'��*2 �'������� ; ��� �� ��� ���! . /( �' !����� ��-!�! ��� �*�'����+�' ��� ��� ; �� ���� �! .

T*���*2; ��� �*�'����+ �*��2! ���� �! � !��'��*2 �'������� ��� � . /( ��� ��� � �! �M(�� (�'+!��'��*2 �'������� ���� )2 T'�'**��2 h �� ��! �� *��!� ��!� !'-��� ��� !��0 �'+ '����! � ��� *�!!���� ��� 1������! . :�� �')�)�*��2 ���� �'�� '( ��� -��('�+ *2 !�*����� 1������! ) �*'��! �' !-�� ��'+ '���� �! �� +'!� �× � ���

�; ����� �! *�!! ���� ×vZ ('� ��� � �' ����� �'�!���� �� ��� � <�=

�'����'� '( . i �1�� ���� �� *��!� '�� !-�� 1����U �! !�*����� ; ��� �*�'����+ ��� ���! ��� ��� � �!��,-���� . :�� �-����� ��+� '( ��� �) '1� �*�'����+ �! � <×v <�� �� == <�! ����� ��� � <×v <� �� == !�������1������! ��� (�'+ ���� ��� �*�'����+ ��('�+ ! ��' !������! ���� �� � �'!� '( �� +'!� � � ��� j � <×v�== .J !��� ������,-�! (�'+ NO� Q ; �� �! '!!�) *� �' ���-�� ��� �'+ *�U ��2 '( ��� �*�'����+ )2 � (���'� '(� <*'� <×v <�� ==v <�� == )2 !*����*2 +'��(2 ��� ��� �*�'����+ .

� � ���� �� � � �� ���� �� �� ����� �� ���� ����J�('��-����*2; �( ��� �*�'����+ ��� '�*2 ��('�+ ,-����! �)'-� '-��'��� ����! <�! ��� )�!�� +'��*�**'� != ; ���� ��!���� !��'�� �'������1 ��2 ��,- ���! � <�� = ,-����! ('� �'�!���� � ��� � . ��*'� ��!0���� ��� �����*! .

T'�!���� ��� (' **'� ��� ��' (�+ �*��! '( �������� ��� �! <!�� � ��-�� O= �

× . :�� 3�!� (�+ �*2; � � ; �'�!�!�! '( �** ��� �! ��'!� � 1������! *�� '� '�� !���*� � ������� �2�*� .

O . :�� !��'�� (�+ �*2; �� �'�!�!�! '( �** ��� �! !-�� ���� � vO '( ��� 1������! *�� '� � �2�*� ; ������� '( ��� ��+������ 1������! ��! � !���*� '-��'��� ���� �' � -��,-� 1����U '� ��� �2�*� .

/� ) '�� (�+ �*��! ; ��� '-������� '( �1��2 1����U �! × ; ��� ��� �������� �! �� +'!� O . 5 ** ��� �!�� ��� 3�!� (�+ �*2 ��� !��'��*2 �'������� ; !���� ����� �! � ��� �*'�� ��� �2�*� ) ������ �1��2 ��'1������! . �� ��� '���� ���� �** ��� �! �� ��� !��'�� (�+ �*2 ��� �� *��!� �� M(�� (�'+ ��� �*�!! '(!��'��*2 �'������� ��� �! � ��� ������ ) '-�� × ; !���� ���� '( ��� � vO 1������! � ��� �������� � +-!���1� �������� �� *��!� × �� '���� ('� ��� ��� � �' ) � !��'��*2 �'������� .

�'��1�� ; �� �*��+ ���� ('� !'+� �'�!���� � � × ; ��2 �*�'����+ ���� ��('�+ ! *�!! ���� � ���,-����! ; ����'� ��!����-�!� ) ������ � ����'+ *2 !�*����� ��� � �� � � ��� � ����'+ *2 !�*����� ��� ��� �� <� ��� !-} ����� !-���!! �')�)�*��2 = . :�� !��-��-�� '( ��� �''( �! !�+ �*�� �' ���� '( :��'��+ \��� �! ����� '�*2 !0������ )����2.

� ��� �'' �� ��3�� ��' �' ��!!�! ���� ��!��� ,-����! '( ��2 ��!���� �*�'����+ ���*� �'�!��-������ -��('�+ *2 ��'!�� ��� � �� '�� '( ��� ��' (�+ �*��! . :�� 3�!� �' ��!! <����� �'�!��-��! ��� �!�� � �= �! 1��2 !�+ *� . J '� ���� ��� ,-��2 <����** ���� ����� �! '�*2 � !���*� ���� �'��� '-� '(���� 1����U = ; �� ������ -��('�+ *2 !�*���! � ��� 1����U ���� �! �'� 2�� �� ��� 0�'� *���� ��� � ; '��� !�*���! <-��('�+ *2 = � 1����U ���� �*����2 ) �*'��! �' ��� 0�'� *���� ��� � ��� ��! �' ���'+ ������� (�'+ ��'���� 1����U �� ��� 0�'� *���� ��� � . :�� ����!�'� ) ������ !�*������ � ��� 1����U '�

O�

Page 21: Testing Properties of Directed Graphs: Acyclicity and Connectivity

<�= <) =

� ��-�� O � � �R� � W�� �W ��SW��� � W�� � �R��� V � t V� � ��� � � ��� � W�� �W ��SW��� � W�� � �R��� V �e V� ���� �� �� � �R��� V R R VUT � V�� � � UT V W�� UR�� U� R�� V� �� W� W�� �� �W VS�� �

� 0�'�� 1����U ; �! �'�� ����'+ *2 )�!�� '� ��� �-����� !�4� '( ��� 0�'� *���� ��� � . y ��� �����!���� �*�'����+ ���+ �����! ; ��� �' ��!! -��('�+ *2 !�*���! � ��� � �� � � ���� �! �'�!�!���� � ��� ���0�'� *���� ��� � . :�� !��'�� �' ��!! �! !�+ �*�� ; �U�� � ���� �����1�� � ,-��2 �) '-� � ��� 1����U�! +��� ; ��� �*�'����+ ������! ������� ��� ��� 1����U �! � ��2�*� 1����U� '� �� �'-�!��� 1����U�<��1��� �������� � = . :��! ����!�'� ����� �! +��� ���'����� �' ��� �' '���'� '( !-�� 1������! ����� 0�'� *���� ��� � .

/� �! ��!2 �' 1���(2 ���� ��� ��' �' ��!!�! �� (��� �'�!��-�� -��('�+ *2 !�*����� ��� �! �� �����! ����1� (�+ �*��! '( ��� �! . �-�����+'�� ; ('� ) '�� �' ��!!�! �� ��� )'-�� ��� �')�)�*��2 ������� �' ��!! ��!���! � ,-��2 � ��� � 1����U �*����2 �� ��� 0�'� *���� ��� � �� ��2 !�,-���� '( ��+'!� ��� ,-����! . i �1�� ���� !-�� �� �1��� �' �! �'� ' ��-� ; ���� ��� ��!���! �' ��� ,-����!�� )'�� ��!�! ��� -��('�+ *2 !�*����� 1������! ; ��� �' �*�'����+ ��� ��!����-�!� ) ������ ��� ��' �' ��!!�! .

� ����� ������ ����y� �'-*� *�0� �' ����0 �� ��'�2+'-! /T5oL �'���+ �'++ ����� +�+)�� ('� ��* ��� -! !�+ *�(2��� �''( '( :��'��+ × .

� ���������

N×Q K . 5 *'� ; m . � �!���� ; n . � ��1�*�1 ��� ; ��� n . z4����2. m} ����� ��!���� '( *���� ��� �! . /�g E6#88B&?V7 6A 9X 8 �6E9&89X �??@"% �$>W67&@> 6? �6@?B"9&6?7 6A �6>W @98E �#&8?#8; ���!PSP�PPP ; ×hhh .

NOQ K . 5 *'� ; n . � ��1�*�1��� ; / . K��+�� ; ��� n . z4����2. {��-*�� *���-���! ��� ��!��) *� � ��� ��'�!���� �-+)�� '( ,-����! . /� g E6#88B&?V7 6A 9X 8 �6E9&89X �??@"% �$>W67&@> 6? �6@?B"9&6?76A �6>W @98E �#&8?#8; ���! P\S�PSS ; ×hhh .

O ×

Page 22: Testing Properties of Directed Graphs: Acyclicity and Connectivity

NZQ z . 5�'�� ; 5 . ����4� ; ��� � . � � *�� . 5 ��� �'-����� �' ���-�� ('� ��� �!!���+��� �') *�+ � ���� *�����'�! �' ���!� ��� � �������+��� �') *�+ ! . /� � �9X �??@"% �$>W67&@> 6? �6@?B"9&6?76A �6>W @98E �#&8?#8; ���! O ×�Z� ; ×hhP .

N\Q z . 5�'�� ; T . o-�� ; { . n'����� ; n . z-��� ; ��� n . z4����2. L�''( 1���3����'� ��� ��������) �*��2'( � �'U �+���'� �') *�+ ! . �6@E?"% 6A 9X 8 � 776#&"9&6? A 6E �6>W @9&?V � "#X&? 8E$; \S <Z= �S� ×�SSS ; ×hh[ .

NSQ z . 5�'�� ��� z . z�(�� . L�')�)�*�!��� ����0�) *� �''(! � 5 ��� ����������4���'� '( KL . �6@E?"%6A 9X 8 � 776#&"9&6? A 6E �6>W @9&?V � "#X&? 8E$; \S <×= �Y�� ×OO ; ×hh[ .

NPQ o . ��)�� ; o . �'���'� ; o . o�1 �� ; ��� n . z4����2. T���0 ��� �'+ -����'�! �� '*2*'������+ ����+� . /� g E6#88B&?V7 6A 9X 8 e 8?9$�eX&EB �??@"% � �� �$>W67&@> 6? eX86E$ 6A �6>W @9&?V ; ���! O ×�Z × ; ×hh × .

NYQ o . ��)�� ; o . �'���'� ; ��� T . o-�� . K'�M�����+ ���!��� �U '������* ��+ � ��! ��'M �'1�� �����M����1� �'�' �'*! . �6>W @9"9&6?"% �6>W %8H &9$; ×<×= �Z�\� ; ×hh × .

N[Q � . ������ ��� L. y . z�'� . : ���� ) '-��! ('� ��� +�U �+-+ ��2�*�� !-)��� � �')*�+ . �6@E?"%6A � %V 6E&9X>7; OS <×= �×� ×[ ; ��� . ×hhY .

NhQ n . � *-+ ; n . o-)2; ��� { . {-)��(�*� . z�*(M��!������'�������� � ��� � *�����'�! �' �-+�����* �') *�+ ! . �6@E?"% 6A 9X 8 � 776#&"9&6? A 6E �6>W @9&?V � "#X &? 8E$; \Y �S\h�ShS ; ×hhZ .

N×�Q � . �'��! ; � . i'*������ ; m . o��+�� ; z . {�!0�'���0'1� ; � . {'� ; ��� 5 . z�+'�'����!02. /+ M �'1�� ��!���� �*�'����+ ! ('� +'�'�'�' ���2. /� g E6#88B&?V7 6A ���� �� ��; ���! hY� ×�[ ;×hhh .

N××Q � . m��-� ; z . � ����� ; z . { . �-+�� ; { . {-)��(�*� ; ��� n . k �!�������� . z '�M����0��! . /�g E6#88B&?V7 6A 9X 8 eX&E9$�� 8#6?B �??@"% � �� �$>W67&@> 6? 9X 8 eX86E$ 6A �6>W @9&?V ; ���!OSh�OP[ ; ×hh[ .

N×OQ i . m1�� ; . K�'� ; � . z�� ��) �� ; ��� n . z-��� . 5 �'U �+����� + ���+-+ (���)��0 !��! ���+-*���-�! �� �������� ��� �! . � %V 6E&9X> &#"; O� <O= �×S ×� ×Y\ ; ×hh[ .

N×ZQ J . ����� ; z . i'*���!!�� ; o . o'1 �!4 ; z . z�(�� ; ��� n . z4����2. 5 �'U �+ ����� �*�,-� �! �*+'!�KLM�'+ *��� . �6@E?"% 6A 9X 8 � 776#&"9&6? A 6E �6>W @9&?V � "#X &? 8E$; \Z <O= �OP[�OhO ; ×hhP .

N×\Q 5 . ����4� ��� { . � ���� . �-��0 � �'U �+���'� �' +������! ��� � *�����'�! . �6> C&?"96E&#";×h <O= �×YS�OO� ; ×hhh .

N×SQ L. � . i �)) '�! ��� � . n ����! . K�� !�+ *���M)�!�� !-++��2 !����!���! ('� �+ �'1 ��� � �'U �M+ ��� ,-��2 ��!���! . ��f� �� � 8#6EB � gE6#� � �� ��f� �� �?9� �6?A � � "?"V 8> 8?9 6A � "9";OY <O= �ZZ ×�Z\O ; O�\ -�� ×hh[ .

OO

Page 23: Testing Properties of Directed Graphs: Acyclicity and Connectivity

N×PQ L. � . i �)) '�! ��� � . n ����! . z2�' !�! ���� !��-��-��! ('� +�!!�1� ���� !��! . � ��� �� �� 8E&87 &? � &7#E898 � "9X 8> "9&#7 "?B eX86E89&#"% �6>W @98E �#&8?#8� �W 8#&"% �77@ 8 6? �H 98E?"%� 8> 6E$ � %V 6E&9X>7 "?B �&7@"%&�"9&6? ; 5 ; ×hhh .

N×YQ n . i'�+��! ��� � . y �**��+ !'� . L��+ �*M�-�* � �'U �+���'� �*�'����+ ! ('� (���)��0 �') *�+ !�� *���� ��� �! . �6> C&?"96E&#"; ×[ <×= �ZY�Sh ; ×hh[ .

N×[Q � . i'*������ ; z . i'*���!!�� ; m . o��+ �� ; � . {'� ; ��� 5 . z�+'����!02. :�!���� +'�'�'�����2.�6> C&?"96E&#"; O� <Z= �Z� ×�Z�Y ; O��� .

N×hQ � . i'*������ ; z . i'*���!!�� ; ��� � . {'� . L�' ���2 ��!���� ��� ��! �'������'� �' *������� ���� �'U �+���'� . �6@E?"% 6A 9X 8 � 776#&"9&6? A 6E �6>W @9&?V � "#X&? 8E$; \S <\ = �PSZ� YS� ; ×hh[ .5� �U������ �)!����� � ����� �� ��TzhP ; ���! ZZh�Z\[ .

NO�Q � . i'*������ ��� � . {'� . L�' ���2 ��!���� �� ) '-���� ������ ��� �! . /� g E6#88B&?V 7 6A 9X 8eX&E9$�� &E7 9 �??@"% � �� �$>W67&@> 6? 9X 8 eX86E$ 6A �6>W @9&?V ; ���! \�P�\ ×S ; ×hhY . :'� ��� �� � %V 6E&9X> &#" .

NO ×Q � . i'*������ ��� � . {'� . 5 !-)*����� ) � ������ ��!��� ('� ) '-���� ������ ��� �! . �6> C&?"�96E&#"; ×h <Z= �ZZS�ZYZ ; ×hhh .

NOOQ { . � �!!�� ��� z . {-)��!���� . 5 �'U �+���'�! ('� ��� +�U �+-+ ��2�*�� !-)��� � �')*�+ .�?A 6E> "9&6? g E6#877&?V �8998E7; S ×<Z= �×ZZ� ×\� ; 5-� . ×hh\ .

NOZQ � . z . �' ��)�-+ ��� � . � . z�+'2! . J!��� �-�* � �'U �+���'� �*�'����+ ! ('� !����-*��� �')M*�+ ! � :��'������* ��� �������* ��!-*�! . �6@E?"% 6A 9X 8 � 776#&"9&6? A 6E �6>W @9&?V � "#X&? 8E$;Z\ <×= �×\\� ×PO ; �� . ×h[Y .

NO\Q � . z . �' ��)�-+ ��� � . � . z�+'2! . 5 '*2�'+ ��* � �'U �+���'� !���+� ('� +������ !����-*M��� '� -��('�+ �' ��!!'�! � J!��� ��� �-�* � �'U �+���'� � �'��� . ���� �6@E?"% 6? �6> �W @9&?V ; ×Y <Z= �SZh�SS × ; ×h[[ .

NOSQ k . � ��� . �? 9X 8 �WW E6H &> "C&%&9$ 6A �g ��6>W %898 �W 9&> &�"9&6? g E6C%8> 7. L�� ���!�! ; �� ���M+ ��� '( K-+)�����* 5��*2!�! ��� T'+ -��� z������ ; {'2�* /�!���-�� '( :����'*'�2; z�' �0�'*+ ;×hhO .

NOPQ { . n . � �� . {��-��) �*��2 �+'�� �'+)����'���* �') *�+ ! . /� { . m . n �**�� ��� . y . :������� ;�� ��'�! ; �6>W %8H &9$ 6A �6>W @98E �6>W @9"9&6?7; ���! [S� ×�Z ; K�� �'�0 ; ×hYO . L *��-+ L��!! .

NOYQ n . � ����! ��� � . {'� . :�!���� �') *�+ ! � ��� !-)M*������� !�+ *� �'+ *�U ��2. �6@E?"% 6A�6>W @98E "?B �$798> �#&8?#87; P ×<Z= �\O[�\SP ; O��� .

NO[Q T . L� ���+ ����'- ��� n . �����0�0 �! . � ��+ �4���'� ; � �'U �+ �4���'� ��� �'+ *�U ��2 �*�!!�! .�6@E?"% 6A �6>W @98E "?B �$798> �#&8?#87; \Z �\OS�\\� ; ×hh × .

OZ

Page 24: Testing Properties of Directed Graphs: Acyclicity and Connectivity

NOhQ n . L����! ��� � . {'� . :�!���� ��� ���+���� '( ��� �! . /� g E6#88B&?V7 6A �"?B6> ��; ���![S�hP ; ×hhh . :' � ��� �� �"?B6> � 9E@#9@E87 "?B � %V 6E&9X>7 .

NZ�Q { . {-)��(�*� . {')-!� (-����'��* �,-���'�! ��� ����� � *�����'�! �' �'���+ ��!���� . �����6@E?"% 6? �6>W @9&?V ; O[ <P= �×hYO� ×hhY ; ×hhh .

NZ ×Q { . {-)��(�*� ��� n . z-��� . {')-!� ����������4���'� '( '*2�'+ ��*! � ��� � *�����'�! �' �'���+ ��!���� . ���� �6@E?"% 6? �6>W @9&?V ; OS <O= �OSO�OY× ; ×hhP .

NZOQ L. � . z�2+'-� . L��0��� �������� ����-��! (�����'��**2. �6> C&?"96E&#"; ×S <O= �O[ ×�O[[ ; ×hhS .

O\