tesis doctorial mates

U N IV E R S ID AD D E C O N C E P C IÓ N FAC U LT AD D E C IE N C IAS F ÍS IC AS Y M AT E M ÁT IC AS

P R O G R AM A D E M AG IS TE R E N M AT E M ÁTIC AS -AC AD É M IC O

Productos Interiores No-Arquimedeanos

P rofesor G uía: José Aguayo G arrido D epartamento de M atemática Facultad de C iencias F ísicas y M atemáticas U niversidad de C oncepción

Tesis para ser presentada a la D irección de P ostgrado de la U niversidad de C oncepción

D AN IE L E D U AR D O IN ZU N ZA H E R R E R A C O N C E P C IÓ N -C H ILE

2011

Productos Interiores No-Arquimedeanos

Daniel Inzunza Herrera

Enero de 2011

Índice general

Agradecimientos i

Introducción ii

1. Conceptos Básicos 11.1. Espacios Ultramétricos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11.2. Campos Ultramétricos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

1.2.1. Espacios de Banach . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91.3. Los espacio c0(I) y !!(I) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

1.3.1. Bases . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111.4. Ortogonalidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 171.5. Espacios de Tipo contable . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 211.6. Conjuntos Compactoides . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

2. Producto Interior No-Arquimedeano 242.1. Normalidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 262.2. Productos Interiores Compatibles . . . . . . . . . . . . . . . . . . 282.3. Producto Interior Simétrico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 312.4. Gram-Schmidt en c0 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 362.5. La propiedad de Riemann-Lebesgue . . . . . . . . . . . . . . . . 372.6. Complementos Normales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41

3. Operadores sobre c0 463.1. Proyecciones Normales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 463.2. Operadores Adjuntos y Auto-Adjuntos . . . . . . . . . . . . . . . 533.3. Operadores Compactos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60

4. El Espacio E! 704.1. Complementos Normales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 754.2. Proyecciones Normales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 764.3. Adjunto de un Operador . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79

1

Agradecimientos

Quiero agradecer de forma muy especial a mi profesor guia, JoséAguayo, por su infinita paciencia, constante preocupación y estímu-lo permamente en el desarrollo de esta tesis.

A mis padres y hermanos por su incondicional apoyo en todos losaños de mi vida, como también a las muchas personas con quienescomparto a diario, que de una u otra forma hicieron posible eldesarrollo de esta tesis.

i

Introducción

Desde 1945 se ha intentado definir, de manera apropiada, un producto interiorno-arquimedeano y con ello un espacio con producto interior no-arquimedeano.Estos espacios muestran una cercana analogía con los espacios de Hilbert clásicospero, al contrario de estos, no son ortomodulares: es decir, dado X espacio deBanach y M ! X subespacio, se tiene

M"" = M "# X = M $M" (1)

La existencia de un espacio no arquimedeano de dimensión infinita (no clásico)ortomodular fue una pregunta abierta durante cierto tiempo, hasta que A. Kellerdio una respuesta positiva en 1980 [10].Tales espacios deben ser poco comunes, según el siguiente teorema de M.P. Solér[11]: “Sea X un espacio ortomodular y supongamos que contiene una sucesiónortonormal e1, e2, . . .(en el sentido del producto interior). Entonces el campo debase es R o C y X es un espacio de Hilbert clásico”.

El objetivo de este trabajo es lograr definir un producto interior sobre un espa-cio de Banach E, y analizar las condiciones necesarias y suficientes para que lossubespacios cerrados de E admitan un complemento normal. En particular, seenfocará el estudio al espacio de Banach c0(T ).

Esta tesis está estructurada de la siguiente forma: en el Capítulo 1 se revisanalgunas definiciones y resultados necesarios para el desarrollo de este trabajo.Así, por ejemplo, se estudian los campos y espacios ultramétricos. Además, dedefinir los espacios de Banach c0(T ) y !!(T ) se demuestra que todo espacio quetiene una base es linealmente homeomorfo a algún c0(T ). Por otro lado, con laidea de utilizar conjuntos compactos que también son convexos, se definen losconjunto compactoides, y se muestran algunas propiedades generales sobre éstos.

En el Capítulo 2, se entrega la definición de producto interior no-arquimedeano,y se muestra la relación que existe entre los vectores ortogonales y los produc-tos interios no-arquimedeanos utilizando el concepto de Normalidad. También,dado un espacio de Banach E, se dan condiciones necesarias y suficientes paraque éste admita un producto interior no-arquimedeano. Además, se muestraque el espacio c0(T ) admite un producto interior no-arquimedeano, que induce

ii

INTRODUCCIÓN iii

la norma natural de c0(T ) si y sólo si el campo de clases residuales de K esformalmente real. Sobre c0(N), o simplemente c0, se da un teorema del tipoGram-Schmidt, y se define la propiedad de Riemann-Lebesgue, la cual se uti-lizará para caracterizar los subespacios espacios ortomodulares existentes en c0.A tales subespacios se les denominará normalmente complementado.

En el Capítulo 3, se definen lo operadores Proyección Normal, y se relacionanéstos con la propiedad de Riemann-Lebesgue y los subespacios normalmentecomplementado. Se construyen operadores Proyección Normal a a partir de unasucesión de elementos de c0 que tienen la propiedad de Reimann-Lebesgue. Pos-teriormente se estudian los operadores compactos y auto-adjuntos demostrandouna análogo no-arquimedeano de un teorema de descomposición espectral.

En el Capítulo 4 y final, se generalizan los resultados de los capítulosanteriores para el espacio de Banach E! = c0

!N, K, |"i|1/2

", obtienendo

condiciones necesarias y suficientes para que E! admita un producto interiorno-arquimedeano que induzca su norma. Por otro lado, se muestra que E! no esortomodular y, al mismo tiempo se caracterizan los subespacios que admiten uncomplemento normal. Se asocian las proyecciones normales a cada subespacioque admite un complemento normal y, al final del capítulo, se caracterizan lasproyecciones normales sobre E!.

Capítulo 1

Conceptos Básicos

En este capítulo presentamos nociones y resultados básicos necesarios paracomprender la teoría que en esta tesis se presenta. Definimos los conceptosde espacios y campos ultramétricos, espacios de tipo contable, como tambiénel de espacio de Banach no-arquimedeano y base. En particular, se dedica unasección al estudio del espacio de Banach c0(I), y se muestra un resultado clavepara el desarrollo de este trabajo.

1.1. Espacios UltramétricosDefinición 1.1. Sea X un conjunto. Un métrica sobre X es una funciónd : X %X & [ 0,'[ que satisface las siguientes propiedades:

1. d(x, y) = 0 "# x = y.

2. d(x, y) = d(y, x).

3. d(x, y) ( d(x, z) + d(z, y).

para todo x, y ) X. El par (X, d) se llamará espacio métrico.

Observación 1.1. Sea (X, d) un espacio métrico. Sea a ) X y r > 0. Entonces,el conjunto

B(a, r) := {x ) X : d(x, a) ( r}

se llama “bola cerrada de radio r y centro a”. Del mismo modo, el conjunto

B(a, r#) := {x ) X : d(x, a) < r}

se llama ”bola abierta de radio r y centro a”.

Definición 1.2. Un espacio métrico (X, d) se dice “espacio ultramétrico” si sumétrica asociada d satisface además

d(x, y) ( max{d(x, z), d(z, y)} *x, y ) X ,

1

CAPÍTULO 1. CONCEPTOS BÁSICOS 2

llamada “desigualdad triangular fuerte”.En este caso, d se llama “ultramétrica”.

Observación 1.2. A continuación, enumeramos algunas hechos básicos sobrelos espacios ultramétricos que lo diferencian del caso clásico. Si bien estosresultados son sencillos de obtener, es necesario conocerlos para todo lo quesigue.

1. Cada punto de una bola es el centro de ésta.

2. Cada bola es abierta y cerrada a la vez.

3. Dos bolas o bien son disjuntas, o bien una está contenida en la otra.

4. Sean x, y, z ) X. Entonces, para d(x, y) += d(y, z), se tiene

d(x, z) = max{d(x, y), d(y, z)}

El siguiente concepto también es parte de los espacio ultramétricos.

Definición 1.3. Un espacio ultramétrico (X, d) se dirá esféricamente completosi cada sucesión de bolas B1, B2, . . . ! X con B1 , B2 , . . . tiene intersecciónno vacía.

Notar que, los espacios ultramétricos compactos son espacios esféricamentecompletos. Además, todo espacio ultramétrico esfericamente completo escompleto, sin embargo el recíproco de este resultado es falso como lo muestra elsiguiente contra-ejemplo:Se define en N la siguiente métrica

#(m,n) =

#$$%

$$&

0 si m = n

max'

1 +1n

, 1 +1m

(si m += n

.

Notar que #(n, m) > 1 para todo n, m ) N, n += m, (-).Afirmamos que (N, #) es completo. En efecto, sea (xn)n$N una sucesión de cauchyen N. Así, para cada $ > 0, existe N ) N tal que

*n, m . N =# #(xn, xm) < $ .

Luego, de ésto y utilizando (-), se sigue que

*n, m . N =# #(xn, xm) = 0=# xn = xm

=# xn = c , para algún c ) N

Así, para este mismo N ) N, se obtiene

*n . N =# #(xn, xm) = 0 < $ ,


en otras palabras, (xn)n$N es una sucesión de cauchy.Por otro lado, para cada n ) N, se definen los conjuntos,

Bn = B

'n, 1 +

1n

(=

)m ) N : #(m,n) < 1 +

1n

*! N ,

los cuales cumplen la relación: B1 , B2 , . . . y, claramente,!+

n=1

Bn = /. Esto

muestra que (N, #) no es esféricamente completo.

Al igual como ocurre con los espacio vectoriales y la completitud de estos, todoespacio vectorial normado está contenido en un espacio esféricamente completo.

Teorema 1.1 ([3] , 4.43). Cada espacio vectorial normado tiene unacompletación esférica. Además, dos completaciones esféricas de un espaciovectorial normado son isomorfas.

1.2. Campos UltramétricosLlamaremos “valuación” sobre un campo K a una función |·| : K & R quesatisface,

1. |x| . 0, x ) K.

2. |x| = 0 "# x = 0K, x ) K.

3. |x y| = |x| |y|, x, y ) K.

4. |x + y| ( |x| + |y|, x, y ) K.

Llamaremos “campo valuado” o “campo con valuación” al par (K, |·|).

Observación 1.3.

1. Una valuación |·| induce una métrica d de la manera siguiente

d(x, y) := |x0 y| , x, y ) K .

La adición, la multiplicación y la inversión son continuas respecto de éstamétrica d. K se dirá completo si lo es respecto a la métrica d.

2. La bola cerrada unitaria es el conjunto

BK := {% ) K : |%| ( 1} .

Del mismo modo, se define la bola abierta unitaria, como el conjunto

B#K := {% ) K : |%| < 1} .


Definición 1.4. Dos valuaciones se dirán “equivalentes” si inducen la mismatopología.

El foco de estudio de esta tesis son los campos valuados no-arquimedeanos.

Definición 1.5. Sea (K, |·|) una campo con valuación. La valuación |·| se dirá“no-arquimedeana”, y K se dirá un “campo con valuación no-arquimedeana”, si|·| satisface además la “desigualdad triangular fuerte”, es decir,

|x + y| ( max{|x| , |y|} , x, y ) K .

Un importante, y muy utilizado, resultado sobre valuaciones no-arquimedeanases el siguiente:

Teorema 1.2. Sea |·| una valuación en K. Las siguientes aseveraciones sonequivalentes:

1. La valuación es no-arquimedeana.

2. |n| ( 1, para todo n ) N.

3. Si a, b ) K y |a| < |b|, entonces |b0 a| = |b|.

Demostración.1.# 2. Inducción sobre n.

2.# 1. Sea r = sup{|n| : n ) N}, el cual existe pues el conjunto {|n| : n ) N} esacotado. Entonces, |nx| ( r |x| para todo n ) N y x ) K. Ahora, sean a, b ) Ky llamemos s = max{|a| , |b|}. Luego, para cada m ) N, se tiene

|a + b|m = |(a + b)m| (m,

j=0

----

'mj

(aj bm#j

---- ( (m + 1) r sm .

Así,|a + b| (

!lım

m%!m.

(m + 1) r"

s = s = max{|a| , |b|} .

1.# 3. Supongamos que |b| > |a| y notemos que

|b| = |a + b0 a| ( max{|a| , |b0 a|} = |b0 a| (pues |b| > |a|) .

Así,|b| ( |b0 a| ( max{|b| , |0a|} = |b| ,

lo cual implica|b0 a| = |b| = max{|a| , |b|} .

3.# 1. Si |a + b| > |a|, entonces |b| = |(a + b)0 a| = |a + b|. En particular,|a + b| ( |b|. Del mismo modo, |a + b| ( |a| y así,

|a + b| ( max{|a| , |b|} .


Corolario 1.1. Sea K un campo con valuación no-arquimedeana completo ysean x1, x2, . . . ) K.

1. Si lımn%!

xn = x += 0, entonces |xn| = |x| para n suficientemente grande.

2. Si lımn%!

xn = 0, entonces!,

n=1

xn converge en K.

Demostración.

1. Supongamos que lımn%!

xn = x += 0, mostremos que |xn| = |x| para cierton suficientemente grande. En efecto, para $ = |x| > 0, existe N" ) N, talque

*n , n . N" =# |xn 0 x| < |x|=# |xn 0 x + x| = |x|=# |xn| = |x|

lo que muestra el resultado.

2. Como lımn%!

xn = 0, se tiene que dado $ > 0, existe N ) N tal que

* n, n . N =# |xn| < $ .

Sea Sn =n,

k=1

xn. Mostraremos que (Sn)n$N es una sucesión de cauchy. En

efecto, notar que para n, m ) N, n . m, obtenemos

|Sn 0 Sm| =

-----

n,

k=m+1

xk

----- ( max{|xk| : k = m + 1,m + 2, . . . , n} .

Así,

*n, m . N =# |Sn 0 Sm| ( max{|xk| : k = m + 1,m + 2, . . . , n} < $ ,

lo que muestra que (Sn)n$N es de cauchy. Luego, como K es completo, sesigue que (Sn)n$N converge a algún elemento de K, es decir, la serie

!,

n=1

xn

converge.

Observación 1.4. Denotaremos por K& a K \ {0}, K& es un grupo multiplica-tivo sobre K. De esto y de las propiedades de |·|, se concluye que |K&| = {|%| :% ) K&} es un grupo multiplicativo de números reales positivos, llamado “grupode valores de K”. Para éste, tenemos tres posibilidades:


1. 1 no es un punto de acumulación de |K&|. Entonces, |K&| es un subgrupodiscreto de (0,'), en tal caso la valuación se llama “discreta”.Se demuestra que

# = max{|%| : % ) B#K }

existe y que |K&| = {#n : n ) Z}.

2. Puede ocurrir que |K&| = {1}. Entonces, la valuación es conocida como“valuación trivial” y esta dada por

|%| :=)

0 si % = 01 si % ) K&

cuya métrica asociada es la trivial, la cual induce la topología discreta.

3. 1 es un punto acumulación de |K&|. Entonces, |K&| es un subgrupo densode (0,+'), en tal caso la valuación se llama “densa”.Notar que, la bola unitaria BK de K no sólo es cerrada para lamultiplicación, si no que también es cerrada para la adición, gracias ala desigualdad triangular fuerte. Así, BK es un anillo conmutativo conidentidad. La bola abierta B#

K es un ideal maximal en BK, pues cadaelemento de BK \B#

K es invertible. Luego, BK/B#K es un campo, llamado

“campo de clases residuales de K”, comunmente denotado por k.

Para & ) K, |&| ( 1, el elemento de k determinado por & se denotará por &.

Ejemplo 1.1. Cada número primo p determina una valuación no-arquimedeana(valuación p-ádica) |·|p sobre Q, definida por

|n| :=)

p#r(n) si n += 00 si n = 0 ,

donde r(n) es el número positivo más grande tal que p r(n) divide a n.

El siguiente teorema clasifica todas las valuaciones sobre Q.

Teorema 1.3 ([3] , 1.2). Sea |·| una valuación no-arquimedeana sobre Q.Entonces, |·| es la valuación trivial o es equivalente a alguna una valuaciónp-ádica.

Al igual que en el caso caso clásico (Q, |·|), donde |·| es el valor absoluto, (Q, |·|p)no es completo. La completación de (Q, |·|p) se llama Qp, ”campo de los númerosp-ádicos”.

El siguiente teorema nos muestra como construir campos con valuación no-arquimedena. Daremos un bosquejo de su demostración, y para más detalles ver[3, 1.3]


Teorema 1.4. Sea F un campo y ! un subgrupo aditivo de R. Entonces, existeun campo con valuación no-arquimedeana K cuyo campo de clases residuales esisomorfo a F y cuyo grupo de valores es {es : s ) !}.

Demostración. Se define la colección

S = {S ! ! : para cada s ) R, S 1 (0', s) es un conjunto finito} .

Esta colección satisface las siguientes propiedades:

1. {s} ) S, * s ) !.

2. Si S ) S y S += /, entonces S tiene un primer elemento.

3. Si S ) S y T ! S, entonces T ) S.

4. Si S, T ) S, entonces S 2 T ) S.

5. Si S, T ) S, entonces S + T ) S, donde S + T = {s + t : s ) S, t ) T}.

6. Si S, T ) S y u ) !, entonces existe una cantidad finita de elementos s deS tales que u0 s ) T .

7. Si S ! ! y si a1, a2, . . . ) R es una sucesión tal que lım an = ' mientrasque (0', an) 1 S ) S para todo n, entonces S ) S.

Ahora, para una función f : ! & F , se consideramos el conjunto

supp(f) = {s ) ! : f(s) += 0}

y se defineK = {f : ! & F/ supp(f) ) S} ,

el cual es un espacio vectorial sobre F , con la operaciones de adicción y productopor escalar de funciones. Además, para f, g ) K se define f - g : ! & F como

(f - g)(u) =,

s

f(s)g(u0 s) , u ) ! .

Así, (K,+, -) resulta ser un campo.Para f ) K\{0}, se denota r(f) = mın supp(f). Así, se define

|f | =)

e#r(f) si f += 00 si f = 0 .

Se demuestra que, |·| resulta ser una valuación no-arquimedeana sobre K, cuyogrupo de valores es justamente {es : s ) !}.Ahora, se define el homomorfismo de anillos

H : {f ) K : |f | ( 1} & Ff 3& H(f) = f(0)


Notar que el kernel de H es {f ) K : |f | < 1}. Entonces, al aplicar el primerteorema de isomorfía se obtiene

{f ) K : |f | ( 1}/{f ) K : |f | < 1} 4= F ,

es decir, el campo de clases residuales de K es isomorfo a F .Notar también que,

|f 0 g| ( $ "# f = g en (0',0 log($)) ,

con esto se muestra que K es completo.

Observación 1.5. Si consideramos “F = R y ! = Q” en el teorema anterior,entonces el campo K se conoce como “campo de Levi-Civita” y se denota por R.

Definición 1.6. Un campo F se dirá formalmente real si para cada

{a1, a2, . . . , an} ! F , conn,

i=1

a2i = 0, se tiene que ai = 0, para todo i =

1, 2, . . . , n.

Como un ejemplos conocido de la definición anterior es el campo de los númerosreales R. En cambio el campo de los números complejos C no es formalmentereal. Notar también que, el campo de clases residuales de R es formalmente real,pues es isomorfo a R, en cambio, el campo de clases residuales de Qp no lo es,pues es un campo finito.

Observación 1.6. Sean F y ! como en el Teorema 1.4 y sea S la colecciónde todos los subconjuntos bien ordenados de !. Entonces, S satisface todas laspropiedades de 1. a 7. mencionadas en el Teorema 1.4 . Se define,

L = {S ! ! : S es bien ordenado}

y de la misma forma que en la demostación del Teorema 1.4 , L tiene unaestructura de campo con valuación no-arquimedeana, que resulta ser completopara esta valuación, cuyo grupo de valores es el conjunto {es : s ) !} y sucampo de clases residuales es isomorfo a F .El campo K construido en la demostración del Teorema 1.4 es un subcampocerrado de L.Los campos K y L coinciden si y sólo si ! es un subgrupo discreto de R.

La siguiente proposición muestra una importante propiedad de los camposdefinidos anteriormente.

Proposición 1.1 ([3] , pág. 25).

1. El campo K dado en el Teorema 1.4 es esféricamente completo si y sólosi ! es discreto.

2. El campo L mencionado en la observación anterior es siempre esférica-mente completo, más aún, L es la completación esférica de K.


1.2.1. Espacios de BanachA partir de ahora, (K, |·|) denotará un campo con valuación no-arquimedeana ycompleto. Además, se asumirá que la valuación de K no es la trivial.

Definición 1.7. Una norma no-arquimedeana en un espacio vectorial E sobreK es una función 5·5 : E & K que satisface:

1. 5x5 += 0, si x += 0, x ) E.

2. 5x + y5 ( max{5x5 , 5y5}, x, y ) E.

3. 5& x5 = |&| 5x5, & ) K, x ) E.

Observación 1.7.

1. Si E posee una norma no-arquimedeana, diremos que E es un espacionormado no-arquimedeano.

2. E se dirá “espacio de Banach”, si éste es completo respecto a la métricainducida por la norma

d(x, y) = 5x0 y5 , x, y ) E .

3. La bola cerrada unitaria del espacio normado E, es el conjunto

BE := {x ) E : 5x5 ( 1} .

Del mismo modo, la bola unitaria abierta del espacio normado E es elconjunto

B#E := {x ) E : 5x5 < 1} .

Se define, también5E5 := {5x5 : x ) E} .

Notar que, en general 5E5 +! |K|. Para ver esto, basta tomar s ) [0,' [\ |K| ydefinir la norma

5%5 = |%| s

en K. En este caso 5K5 += |K|.

Observación 1.8. Dos normas se dirán equivalente si ellas inducen la mismatopología.

Al igual que el caso clásico, si se consideran dos normas 5·51 y 5·52 definidassobre un mismo espacio vectorial E, éstas serán equivalentes si, y sólo si, existenconstantes c > 0 y C > 0 tales que

c 5x51 ( 5x52 ( C 5x51 , *x ) E .


Sean E y F espacio normados. Denotaremos por L(E,F ) a la colección detodos los operadores lineales continuos de E en F , y por L(E) si F = E. Esbien conocido que E' denota a L(E, K).Bajo las operaciones de adicción y producto por escalar de funciones, el espacioL(E,F ) es un espacio normado, con norma

5T5 = supx(=0

5T (x)55x5 .

Por otro lado, la fórmula

5T5o = sup)x)*1

5T (x)5

también define una norma en L(E,F ) y, que a diferencia del caso clásico,5·5 += 5·50, pero sin embargo son equivalentes. En efecto, se considera F = Q3

provisto de la valuación 3-ádica como norma, y E = Q3 con la norma 5x5 = 2 |x|.Luego, para la función identidad I : E & E, se obtiene

5I5 =12

, y 5I5o =13

.

Similarmente al caso clásico, si E y F son espacios normados, con F un espaciode Banach, entonces L(E,F ) será también un espacio de Banach. En particular,E' es un espacio de Banach.

1.3. Los espacio c0(I) y !'(I)

Para un conjunto I, se define el espacio !!(I) como el espacio de todas lasfunciones acotadas x : I & K.El espacio !!(I) es un espacio de Banach bajo la norma

5x5! = maxi$I

|x(i)| .

Si I = N, entonces se denotará a !!(N) por !!.

Se define el espacio c0(I) como el espacio de todas las funciones x : I & K talque para cada $ > 0, el conjunto {i ) I : |x(i)| . $} es finito.El espacio c0(I) es un espacio de Banach bajo la norma 5·5!.

Observación 1.9. Si I = N, entonces es fácil ver que

c0(N) = {xn ) K : lımn%!

xn = 0} .

Se denotará por c0 a c0(N).


1.3.1. BasesSea E un espacio normado no-arquimedeano, y sea I un conjunto. Diremos que(xi)i$I es “sumable” con “suma” x ) E, si $ > 0, existe un conjunto finito J0 ! Ital que, para cada subconjunto finito J , con J0 ! J ! I, se tiene

/////x0,

i$J

xi

///// < $ .

La siguiente proposición muestra algunas propiedades importantes de lasfamilias sumables.

Proposición 1.2 ([5] , 2.5.1). Sea E un espacio normado y sea (xi)i$I unafamilia de elementos de E. Entonces,

1. Si (xi)i$I es sumable, entonces existe un conjunto numerable J ={i1, i2, . . .} ! I tal que xi = 0 si i /) J , y

,

i$I

xi =!,

n=1

xin .

2. (xi)i$I es sumable si lımi$I

xi = 0, es decir, si para cada $ > 0 el conjunto

{i ) I : 5xi5 . $} es finito. Reciprocamente, si E es un espacio de Banachy lım

i$Ixi = 0, entonces (xi)i$I es sumable.

Sea E un espacio de Banach y sea X un subconjunto de E, con 0 +) X. Seconsidera la función

S : c0(X) & E

f 3& S(f) =,

x$X

f(x) x (1.1)

la cual está bien definida, puesto que para f ) c0(X), el conjunto{x ) X : 5f(x) x5 . $} es finito cualquier sea $ > 0.

Definición 1.8. Diremos que X es una base de E si la función S es biyectiva,es decir, si para cada a ) E, existe una única f : X & K tal que

a =,

x$X

f(x) x .

Si X es una base de E, entonces X es un conjunto linealmente independientes y[X] = E, donde [X] denota el clausura del conjunto generado por X. Además,si para cada x ) X, existe x' tal que x' es un múltiplo escalar de x, entonces{x' : x ) X} es también una base de E.Sea # ) K, 0 < |#| < 1. Notar que

lımn%!

|#|n = 0 y lımn%#!

|#|n = '


y así,R+ =

0

n$Z] |#|n+1 , |#|n ] .

Luego, para cada x ) E, x += 0, existirá m ) Z tal que

|#|m+1 ( 5x5 ( |#|m

o equivalentemente|#| (

//##mx// ( 1 .

Así, si E tiene una base X, entonces también tendrá una base Y con la propiedad

|#| ( 5y5 ( 1 , y ) Y

Observación 1.10.

1. Si I es un conjunto cualquiera, y si x ) I, x fijo, entonces las funciones

ex =)

1 , x ) {x}0 , x ) I\{x}

forman una base de c0(I). Además, si I es numerable, entonces, para i ) I,se tiene ei = (0, 0, . . . , 1, 0, . . .)

2. Si X es una base numerable en E, entonces X se dirá base Schauder.

3. Si X = {e1, e2, e3 . . .} es una base Schauder de E, y a =!,

n=1

%n en en E,

entonces la función fa : X & K, dada en Definición 1.8, tendrá la forma

fa(x) =)

%i si x = ei

0 si x += ei

Observación 1.11. Notemos que, en el caso clásico, el dual de c0(I) esisometricamente isormofo a !1(I). Sin embargo, en el caso no-arquimedeanoc'0(I) es isometricamente isomorfo a !!(I), como veremos a continuación.Notar que, para cada x = (xi)i$I ) c0(I) y cada y = (yi)i$I ) !!(I), se tiene

|xi yi| ( |xi| 5y5 & 0 .

Así, la fórmulaB(x, y) =

,

i$I

xi yi

define una forma bilineal B : c0(I)% !!(I) & K. Además,

|B(x, y)| =

-----,

i$I

xi yi

----- ( maxi$I

|xi yi| ( 5x5! 5y5!


por lo que se sigue que B es continua.Para cada y fijo en !!(I) se define la función fy = B(·, y). Se afirma que fy esun elemento de c'0(I). En efecto, dado x ) c0(I) se tiene

|fy(x)| = |B(x, y)| ( 5x5! 5y5!

y así,5fy5 ( 5y5! ,

lo que muestra la continuidad de fy.Por otro lado, aplicando fy a los vectores unitarios ei de c0(I) se tiene que

|fy(ei)| = |yi| = |yi| 5ei5! .

Así, para cada i ) I, se obtiene

5fy5 . |yi| .

Luego,5fy5 . 5y5! ,

de lo que se concluye 5fy5 = 5y5!, es decir,

" : !!(I) & c'0(I)y 3& "(y) = fy

es una isometría.

Teorema 1.5. c'0(I) 4= !!(I).

Demostración. En base a lo anterior, basta probar que " es sobreyectiva. Enefecto, sea g ) c'0(I), luego z = (g(ei))i$I ) !!(I) pues

|g(ei)| ( 5g5 5ei5! = 5g5 < +' .

Ahora, para un x = (%i)i$I =1

i$I %i ei ) c0(I), la linealidad y la continuidadde fy muestra que

fz(x) =,

i$I

%i g(ei) = g(,

i$I

%i ei) = g(x) ,

es decir, fz = g. Así, "(z) = fz = g.

De aquí en adelante, identificaremos !!(I) y c'0(I) usando el teorema anterior.

Con el fin de demostrar el principal resultado de esta sección, se enunciarán lossiguientes resultados:


Lema 1.1 ([5] , 2.1.18). Sean E,F espacios normados, y sea T ) L(E,F ).Entonces,

1. Si T es sobreyectiva y F es completo, entonces T (BE) es abierto.

2. Si E es completo y T (BE) es abierto, entonces T (BE) = T (BE).

Demostración.

1. Sea %1,%2, . . . ) K, 0 ( |%1| (| %2| ( . . . , lımn |%n| = '. Ahora, delhecho que E = 2n$N%n BE y de la sobreyectividad de T se tiene queF = 2n$N%n T (BE) = 2n$N%n T (BE). Luego, por la completitud de Fy del Lema de las Categorias de Baire, se tiene que existe m tal queA := %m T (BE) tiene interior no vacío, es decir, así existen x ) A y r > 0tal que x + BF (0, r) ! A. Notar que gracias a la desigualdad triangularfuerte, el conjunto A es un grupo aditivo. Por lo tanto, para cada y ) A,se tiene

y + BF (0, r) ! y 0 x + x + BF (0, r) ! A + A + A ! A ,

se sigue de esto que A es abierto y, por lo tanto, también lo será%#1

m A = T (BE).

2. Notemos que como T (BE) es un grupo aditivo, por lo que es suficienteprobar que si BF (0, r) ! T (BE) para algún r > 0, entonces BF (0, r) !T (BE). En efecto, sea y ) BF (0, r) y sea # ) K, 0 < |#| < 1. Comoy ) T (BE), existe x0 ) BE tal que

5y 0 T (x0)5 < |#| r ,

por tanto,//##1(y 0 T (x0))

// < r. Desarrollando los mismos pasos,obtenemos que existe x1 ) BE tal que

//##1(y 0 T (x0))0 T (x1)// < |#| r,

es decir 5y 0 T (x0)0 T (x1)5 < |#|2 r. Continuando de esta manera, seencontrará inductivamente una sucesión x0, x1, . . . ) BE tal que, paratodo n,

5y 0 T (x0 + # x1 + # x2 + · · · + #n xn)5 < |#|n+1 r (-) .

Ahora, comolım

n%!#n xn = 0 ,

se obtiene

x =!,

n=0

#n xn y x ) BE .

Luego, por (-) y la continuidad de T se obtiene que T (x) = y, es decir,y ) T (BE) y el resultado se sigue.


El siguiente teorema es análogo al caso clásico del análisis funcional, cuyademostración sigue del lema previo.

Teorema 1.6 ([5] , 2.1.17). Sean E,F espacios de Banach y sea T ) L(E,F )sobreyectiva. Entonces, T es una aplicación abierta.

El resultado se sigue del siguiente lema.

Corolario 1.2 ([3] , 2.1.19).Si T es una transformación lineal biyectiva y continua entre espacio de Banach,entonces T es un homeomorfismo.

Como consecuencia de este corolarios se tiene un segundo resultado.

Corolario 1.3. Si B es una base de E, entonces existe t > 0 tal que/////,

b$B

f(b) b

///// . t maxb$B

5f(b) b5

para todo f ) c0(B)

Demostración. Sea B una base de E. Luego, existe un único f ) c0(B) tal quepara cada x ) E, se tiene

x =,

b$B

f(b) b

así,lımb$B

f(b) b = 0

por lo que 5x5B = maxb$B 5f(b) b5 existe. Además,

5x5 =

/////,

b$B

f(b) b

///// ( maxb$B

5f(b) b5 = 5x5B .

Ahora, como (E, 5·5) es un espacio de Banach, se sigue que (E, 5·5B) es tambiénun espacio de Banach gracias a que

5f(b) b5 ( maxb$B

5f(b) b5 .

Así, aplicando el Corolario 1.2, obtenemos que existe C . 1 tal que 5·5B (C 5·5. Así, /////

,

b$B

f(b) b

///// . C#1 5x5B = C#1 maxb$B

5f(b) b5

lo cual muestra lo pedido.


A continuación se enuncia el principal resultado de esta sección:

Teorema 1.7. Un espacio de Banach E posee una base si y sólo si eslinealamente homeomorfo a c0(B), para algún B ! E.

Demostración.

"6 El homeomorfismo estará dado por la función S, introducida en laDefinición 1.8.

#6 Supongamos que E posee una base B, y probemos que E es linealmentehomeomorfo a c0(B). En efecto, sin perdida de generalidad podemosasumir que para un # ) K con 0 < |#| < 1, se tiene que |#| ( 5b5 ( 1para todo b ) B. Ahora, dado f ) c0(B) y $ > 0, tenemos que el conjunto{b ) B : 5f(b) b5 . $} es finito. De aquí

lımb$B

f(b) b = 0

y así, ,

b$B

f(b) b

existe en E, pues es sumable. Luego, la fórmula

(f(b))b$B 3&,

b$B

f(b) b

define una transformación lineal T : c0(B) & E, en la cual T (c0(B)) esdenso en E. Luego,

5T (f)5 =

/////,

b$B

f(b) b

///// ( maxb$B

5f(b) b5 = maxb$B

|f(b)| 5b5 ( maxb$B

|f(b)| = 5f5! .

Por otro lado, por el corolario anterior, existe t > 0 tal que/////,

b$B

f(b) b

///// . t maxb$B

5f(b) b5 .

Por lo que,

5T (f)5 =

/////,

b$B

f(b) b

///// . t maxb$B

5f(b) b5 = t max |f(b)| 5b5

. t |#|maxb$B

|f(b)| = t |#| 5f5!

De lo que se sigue que T es un homeomorfismo. Así, T (c0(B)) es completo,y por tanto cerrado en E. Luego, T (c0(B)) = T (c0(B)) = E, lo quemuestra la sobreyectividad, y el resultado se sigue.


1.4. OrtogonalidadEl siguiente concepto de ortogonalidad es una adaptación del caso clásico en losespacios normados.

Definición 1.9. Sea X un espacio normado y sean x, y ) X. Diremos que xes ”ortogonal” a y, notación x7 y, si

5x5 ( 5x + ay5 *a ) K .

Teorema 1.8. Sean x, y ) X y t ) ] 0, 1] tal que 5x + y5 . t 5x5. Entonces,

5x + y5 . t 5y5

Demostración. Si 5x5 . 5y5, entonces 5x + y5 . t 5x5 . t 5y5. Si 5x5 < 5y5 ,entonces 5x + y5 = max{5x5 , 5y5} = 5y5 . t 5y5.

El siguiente teorema caracteriza los vectores que son ortogonales.

Teorema 1.9. Sean x, y ) X. Entonces, x7 y si y sólo si,

*a, b ) K , 5ax + by5 = max{5ax5 , 5by5} .

Demostración.

"6 Considerando a = 1 ) K, obtenemos

5x + by5 = max{5x5 , 5by5} . 5x5 * b ) K

#6 Por la desigualdad triangular fuerte, tenemos que 5ax + by5 ( max{5ax5 , 5by5}.Ahora, supongamos que x es ortogonal a y. Entonces, 5ax + by5 =|a|

//x + a#1by// . |a| 5x5 = 5ax5 y por el teorema anterior 5ax + by5 .

5by5. Así, max{5ax5 , 5by5} ( 5ax + by5 y el resultado se sigue.

Definición 1.10.

1. Sean E1, E2 ! X. Diremos que E1 es ortogonal a E2, notación E17E2,si x7 y para todo x ) E1, y ) E2. Si x ) X, denotaremos x7E1 en vezde {x}7E1.

2. Sea {x1, x2, . . . , xn} un conjunto finito de elementos de X. Diremos que{x1, x2, . . . , xn} es un conjunto ortogonal si, para cada i ) N,

xi7 [{x1, x2, . . . , xi#1, xi+1, . . . , xn }]

donde [ ] indica el espacio generado por {x1, x2, . . . , xn}. Un conjuntoortogonal {x1, x2, . . . , xn} se dirá ortonormal si 5xi5 = 1 para todoi ) {1, 2, 3, . . . , n}.


3. Un conjunto arbitrario es “ortogonal” si todo subconjunto finito de éste loes.

El siguiente resultado es una generalización del Teorema 1.9.

Proposición 1.3. Sea {x1, x2, . . . , xn} un conjunto finito de elementos de X.Entonces, {x1, x2, . . . , xn} es ortogonal si, y sólo si, para cada {a1, a2, . . . , an} !K, tenemos que

/////

n,

i=1

aixi

///// = max{5aixi5 : i = 1, 2, . . . , n}

Demostración.

#6 Supongamos que {x1, x2, . . . , xn} ! X es un conjunto ortogonal.Mostraremos que para cada {a1, a2, . . . , an} ! K, se tiene

/////

n,

i=1

aixi

///// = max{5aixi5 : i = 1, 2, . . . , n} .

En efecto, como {x1, x2, . . . , xn} es ortogonal, para cada i ) {1, 2, . . . , n}se tendrá que

aixi7 [x1, x2, . . . , xi#1, xi+1, . . . , xn ]

y por definición de ortogonalidad, obtenemos//////aixi +

,

j (=i

ajxj

//////. 5aixi5 .

Luego, /////

n,

i=1

aixi

///// . max{5aixi5 : i = 1, 2, . . . , n} .

Por otro lado, como el conjunto {a1, a2, . . . , an} es arbitrario, podemosaplicar la desigualdad triangular fuerte para obtener

/////

n,

i=1

aixi

///// ( max{5aixi5 : i = 1, 2, . . . , n} ,

lo que muestra la igualdad.

"6 Recíprocamente, supongamos que para cada {a1, a2, . . . , an} ! K,se cumple que

/////

n,

i=1

aixi

///// = max{5aixi5 : i = 1, 2, . . . , n} .


Mostremos que {x1, x2, . . . , xn} es un conjunto ortogonal. En efecto, dados%1,%2, . . . ,%n ) K y i ) {1, . . . , n}, se toma

u =,

j (=i

%jxj ) [{x1, x2, . . . , xi#1, xi+1, . . . , xn }] .

Así, dado a ) K se tiene

5xi + au5 =

//////xi +

,

j (=i

a%jxj

//////= max{5xi5 , 5a%1x15 , . . . , 5a%nxn5} . 5xi5 ,

como i ) {1, . . . , n} es arbitrario, se tiene que {x1, x2, . . . , xn} es ortogonal.

Definición 1.11. Sea {xn}n$N una sucesión de elementos no nulos de E.Diremos que {xn}n$N es una base ortogonal (ortonormal) de X si

1. {xn : n ) N} es ortogonal.

2. para cada x ) E, existen %1,%2, . . . ) K tal que

x =!,

n=1

%n xn

Algunas propiedades de las bases ortonormales son las siguientes.

Proposición 1.4. Sea {xn}n$N una base ortonormal de X y sea x =!,

n=1

%n xn )

E, para ciertos %1,%2, . . . ) K. Entonces,

1. lımn%!

%n = 0.

2. 5x5 = max{|%n| : n ) N}.

3. Si además x =!,

n=1

&n xn con &1,&2, . . . ) K, entonces &n = %n para todo

n ) N.

Demostración.

1. Como!,

n=1

%n xn es una serie convergente, se sigue que

0 = lımn%!

5%n xn5 = lımn%!

|%n| 5xn5 = lımn%!

|%n|


2. Sea xm =m,

n=1

%n xn y notemos que, como {xn} es un conjunto ortonormal,

obtenemos

5ym5 = max{5%n xn5 : n = 1, . . . ,m}= max{|%n| 5xn5 : n = 1, . . . ,m}= max{|%n| : n = 1, . . . ,m}( max{|%n| : n ) N}

Así,5x5 = lım

m%!5ym5 ( max{|%n| : n ) N} .

Por otro lado, sea i0 ) N tal que |%i0 | = max{|%n| : n ) N} y tomemos

k ) N tal que i0 < k. Luego, para yk =k,

n=1

%n xn se tiene

|%i0 | ( 5yk5

y así,|%i0 | ( lım

k%!5yk5 = 5y5


3. Notemos que 0 =!,

n=1

(%n 0 &n)xn y aplicando 2. obtenemos que

|%n 0 &n| ( max{|%i 0 &i| : i ) N} = 0 , *n ) N

y el resultado se sigue.

Definición 1.12. Sea E un espacio normado y sea E1 un subespacio cerradode E. Diremos que E1 es “complementado” si existe un subespacio E2 de E talque

1. E1 1 E2 = {0}.

2. E = E1 + E2.

El subespacio E2 se dirá complemento de E1.Si, además, E17E2, entonces E2 se dirá ortocomplemento de E1.


1.5. Espacios de Tipo contableUn importante concepto, en los espacios normados no-arquimedeanos es elsiguiente.

Definición 1.13. Un espacio normado E se dirá de tipo contable, si éste tieneun subconjunto numerable D tal que [D] = E.

Los espacios no-arquimedeanos también cuentan con el teorema de Hahn-Banach, como lo muestra el siguiente resultado probado en [5, pág. 171].

Teorema 1.10. Sea E un espacio vectorial definido sobre un campo esféri-camente completo K, y sea p una seminorma sobre E. Entonces, para cadasubespacio D de E y cada f ) D& con |f | ( p sobre D, existe una extensiónf ) E& de f tal que

--f-- ( p sobre E.

Como consecuencias inmediatas del Teorema 1.10, se tienen los siguientesresultados (Ver [5, pág. 171]).

Corolario 1.4. Sea E un espacio normado definido sobre un campo esferica-mente completo K, y sea D un subespacio de E. Entonces, cada f ) D' se puedeextender a un f ) E' tal que

//f// = 5f5.

Corolario 1.5. Sea E un espacio localmente convexo definido sobre un campoesféricamente completo K, y sea D un subespacio de E. Entonces, cada f ) D'

se puede extender a un f ) E'

Aún sin ser K un campo esféricamente completo, se pueden extender funcionaleslineales, como lo muestra el siguiente teorema (Ver [5, pág. 176]).

Teorema 1.11. Sea E un espacio de Banach de dimensión infinita y de tipocontable, y sean D un subespacio de E, f ) D' y $ > 0 dados. Entonces, f sepuede extender a una función f ) E' tal que

//f// ( (1 + $) 5f5

1.6. Conjuntos CompactoidesDefinición 1.14. Sea E un espacio vectorial normado. Diremos que unsubconjunto D de E es “absolutamente convexo” si % x + µ y ) D para todox, y ) X y %, µ ) BK.

Para cada Y ! E, se define la cápsula convexa cerrada de Y , denotada porco(Y ), como la intersección de todos los subconjuntos cerrados y absolutamenteconvexos de E que contienen a Y .

Observación 1.12.

1. co(Y ) es el conjunto cerrado y absolutamente convexo más pequeño de E,que contiene a Y .


2. Si a1, . . . , an ) E, entonces

co{a1, . . . , an} = {%1 a1 + · · · + %n an : %i ) BK}

3. Si a1, a2, . . . es una sucesión en E y si existe t ) (0, 1] tal que/////

!,

i=1

%i ai

///// . t maxi$N

5%i ai5

entonces

co{a1, a2, . . .} =

2,

i$N%i ai : %i ) BK, lım

i$N%i ai = 0

3

Los conjuntos acotados se definen de igual forma que en el caso clásico.

Definición 1.15. Un subconjunto X de un espacio localmente convexo E se diráacotado si cada vecindad de cero es absorbente, es decir, si para cada vecindadde cero U , existe % ) K tal que X ! % U .

Un problema que surge al definir conjuntos convexos-compactos en un espaciolocalmente convexo definido sobre K, es que, en general, K no es localmentecompacto; es decir, los conjuntos convexos-compactos resultan ser los triviales.Con el fin de “convexificar” los conjuntos compactos, nace el siguiente concepto,el cual es propio de los espacios no-arquimedeanos.

Definición 1.16. Un subconjunto X de un espacio vectorial normado E se dirácompactoide, si para cada $ > 0 existe un conjunto finito F ! E tal que

X ! B"(0) + co(F )

donde B"(0) = {x ) E : 5x5 ( $}.

A continuación se anuncian algunas propiedades de los conjuntoscompactoides:

1. La clausura y la cápsula cerrada absolutamente convexa de compactoideses compactoide.

2. Cada subconjunto de un conjunto compactoide es compactoide.

3. Si X e Y son compactoides, también lo son X 2 Y y X + Y .

4. Dados E y F espacios vectoriales normados. Si X ! E es compactoide yT ) L(E,F ), entonces T (X) es compactoide en F .

5. Todo compactoide es acotado.

6. Si E es finito dimensional, entonces los conjuntos compactoides de E sonlos conjuntos acotados.


7. Si X ! E es compactoide, entonces [X] es de tipo contable.

8. Si a1, a2, . . . ) E y si lımn an = 0, entonces co{a1, a2, . . .} es compactoide.

El siguiente teorema caracteriza los conjuntos compactoides (Ver [3, pág. 141]).

Teorema 1.12 ([3] , 4.38). Sea X un subconjunto acotado y absolutamenteconvexo de un espacio de Banach E y sea 0 < t < 1.

1. Supongamos que cada subespacio uno-dimensional de E es ortocomple-mentado. Entonces, las siguientes aseveraciones son equivalentes:

a) X es compactoide.b) Existe una sucesión ortogonal a1, a2, . . . ) X tal que lımn an = 0 y

X ! co{a1, a2, . . .}.c) Cada sucesión ortogonal en X tiende a cero.

2. Si la valuación de K es discreta, entonces las siguientes aseveraciones sonequivalentes

a) X es compactoide.b) Existe una sucesión ortogonal a1, a2, . . . ) E tal que lımn an = 0 y

X = co{a1, a2, . . .}.

Capítulo 2

Producto InteriorNo-Arquimedeano

Este capítulo se desarrollará el artículo [7] de L. Narici y E. Beckenstein,y parte del artículo [1] de J. Aguayo y M. Nova. En éste estudiaremos losespacios de tipo Hilbert, y daremos condiciones necesarias para que un espaciode Banach no-arquimedeano admita un producto interior. En particular, parac0(I) mostraremos una condición necesaria y suficiente para que éste espacioadmita un producto interno, y además la norma inducida por éste coincida consu norma natural.Finalmente, se mostrarán condiciones para que un subespacio cerrado admita,lo que vamos a llamar, un “complemento normal”.

Definición 2.1. Sea K un campo con valuación no-arquimedeana y sea E unespacio vectorial sobre K. Se define el “Producto Interior no-arquimedeano”como una función 8·, ·9 : E % E & K que satisface las siguientes propiedades:

i) 8x, x9 += 0 *x ) K0 {0}.

ii) 8ax + by, z9 = a 8x, z9+ b 8y, z9 *a, b ) K, *x, y, z ) E.

iii) |8x, y9|2 ( |8x, x9| |8y, y9| *x, y ) E. (Desigualdad de Cauchy-Schwarz)

Si 8x, y9 = 8y, x9 *x, y ) E, entonces éste se llamará “Producto InteriorSimétrico”.

Observación 2.1. El par (E, 8·, ·9) se conocerá como “Espacio con ProductoInterior no-Arquimedeano”.

Teorema 2.1. Un producto interior no arquimedeano induce la siguiente normano-arquimedeana

5x5 = |8x, x9|1/2

24

CAPÍTULO 2. PRODUCTO INTERIOR NO-ARQUIMEDEANO 25

Demostración. Dado a ) K, con a += 0, y x ) E, con x += 0, se tiene

5ax52 = |8ax, ax9| = |a| 8x, ax9 ( |a| 5x5 5ax5

y así,5ax5 ( |a| 5x5

Utilizando lo anterior, obtenemos

5x5 =////

'1a

(ax

//// (----1a

---- 5ax5

es decir,|a| 5x5 ( 5ax5

En conclusión,5ax5 = |a| 5x5

Para la desigualdad triangular fuerte, supongamos que 5x + y5 += 0. Entonces,

5x + y52 = |8x + y, x + y9| = |8x, x + y9+ 8y, x + y9|( max{|8x, x + y9| , |8y, x + y9|}

Además, como |8x, x + y9| ( 5x5 5x + y5 y |8y, x + y9| ( 5y5 5x + y5, se obtieneque

5x + y52 ( 5x + y5max{5x5 , 5y5}

Luego,5x + y5 ( max{5x5 , 5y5}

En lo que sigue, cuando se haga referencia al espacio normado E, se harárespecto de la norma proveniente del producto interior no arquimedeano5x5 = |8x, x9|1/2.

Notemos que 5E5 ! |K|1/2 = {|a|1/2 : a ) K}.

Ejemplo 2.1. Consideremos el espacio E = K2. Para x = (x1, x2), y = (y1, y2)en K2, se define

8x, y9 =

#%

&

x1 y1 , |y1| . |y2|

x2 y2 , |y1| < |y2|

Esta función es un producto interior que induce la norma del máximo en K2.

En efecto, notemos que 8x, x9 = x21 o 8x, x9 = x2

2 dependiento si |x1| .| x2| o|x1| < |x2| respectivamente. Entonces,

5x52 = |8x, x9| = max{|x1|2 , |x2|2} # 5x5 = max{|x1| , |x2|} = 5x5!


Así, para x += 0 se tiene 8x, x9 += 0. Por otro lado, para z = (z1, z2) ) K2 ya, b ) K tenemos

8ax + by, z9 =

#%

&

(ax1 + by1) z1 , |z1| . |z2|

(ax2 + by2) z2 , |z1| < |z2|= a 8x, z9+ b 8y, z9

Finalmente, para la desigualdad de Cauchy-Schwarz, supongamos que |y1| .|y2|. Entonces,

|8x, y9|2 = |x1 y1|2 = |x1|2 |y1|2 ( max{ |x1|2 , |x2|2 } |y1|2

( 5x52! max{ |y1|2 , |y2|2 } = 5x52! 5y52!El caso |y1| < |y2| se desarrolla de manera similar.

Para el caso particular K = Q2 y para x = (2, 4) ) Q22, obtenemos que

8x, x9 = 2 · 2, pues |2|2 . |4|2. Así,

|8x, x9|2 =14

de lo que se sigue que5x5 = |8x, x9|1/2

2 =12

Definamos ' =12, y notemos que ' ) Q2. Así, considerando u = '#1x = (4, 8),

obtenemos que5u5 = max{|4|2 , |8|2} =

14+= 1

por lo que se concluye que no siempre es posible crear vectores unitarios.

2.1. NormalidadDefinición 2.2. Sea E un espacio con producto interior no arquimedeano ysean x, y ) E.

1. Diremos que x es normal a y, si 8y, x9 = 0.

2. Dado B ! E. Se define el complemento normal de B como el conjunto,

B+ = { y ) E : 8x, y9 = 0 *x ) B }

3. Dado A ! E. Se define el complemento transversal de B como el conjunto,

A, = { y ) E : 8y, x9 = 0 *x ) A }

4. Dados A,B ) E. Diremos que A es normal a B, y lo denotaremos porA : B, si

8y, x9 = 0 , *x ) A, *y ) B


Observación 2.2. Si 8·, ·9 es simétrico, entonces B+ se dirá “perpendicular” ylo denotaremos, simplemente, por Bp

Proposición 2.1. Si 8·, ·9 es simétrico, entonces Bp es un subespacio cerrado.

Demostración. Para x ) B, x fijo, se define la función fx : E & K, y 3& fx(y) =8x, y9. La cual resulta ser continua, pues

|fx(y)| = |8x, y9| ( 5x5 5y5

Así, como Ker(fx) = Bp se concluye que Bp es cerrado.

La relación entre normalidad y ortogonalidad se muestra en el siguiente teorema.

Teorema 2.2. Sea E es un espacio con producto interior no-Arquimedeano. Six es normal a y, entonces x es ortogonal a y.

Demostración. Supongamos que x += 0. Como 8y, x9 = 0, entonces para todob ) K

5x52 = |8x, x9| = |8x, x9+ 8by, x9| = |8x + by, x9| ( 5x + by5 5x5

De lo anterior, se sigue que

5x5 ( 5x + by5 *, b ) K

El recíproco no necesariamente se cumple, como lo muestra que siguienteejemplo.

Ejemplo 2.2. Consideremos el el producto interior del Ejemplo 2.1 , conx = (1, 1) e y = (1, 0). Entonces,

5x + ay5 = max{|1 + a| , 1} . 1 = 5x5 * a ) K

de lo que se concluye que x es ortogonal a y, pero en cambio, como 1 . 1 sesigue que

8y, x9 = 1 · 1 += 0

por lo que ortogonalidad no implica normalidad.

Observación 2.3. Si {x1, x2, . . .} es un conjunto ortonormal, entonces{x1, x2, . . .} es linealmente independiente (Proposición 1.4 ).

Teorema 2.3. Sean M,N subespacios de E, con M normal a N y sean (xn) e(yn) sucesiones en M y N respectivamente. Entonces (zn), con zn = xn + yn,es una sucesión de Cauchy en M + N si y sólo si (xn) e (yn) son sucesiones deCauchy en M y N respectivamente.


Demostración. Notemos que si x, y ) M y v, w ) N , entonces por los Teoremas1.9 y 2.2, se tiene que

5(x0 y) + (v 0 w)5 = max{5x0 y5 ; 5v 0 w5}

Así, para todo m,n ) N obtenemos

5zm 0 zn5 = 5(xn 0 xm) + (yn 0 ym)5 = max{ 5xm 0 xn5 , 5ym 0 yn5 }

de lo cual se sigue que la sucesión (zn)n$N es de Cauchy en M + N si y sólo si(xn)n$N y (yn)n$N lo son en M y N respectivamente.

Corolario 2.1. Si M y N son subespacios cerrados de E, con M normal a N ,entonces M + N es un subespacio cerrado.

Demostración. Como M y N son subespacios cerrados de E, y E es un espaciode Banach, se sigue que M y N son espacios de Banach. Luego, el resultado seobtiene aplicando el teorema anterior.

2.2. Productos Interiores CompatiblesProposición 2.2. Sea E un espacio normando no-arquimedeano sobre uncuerpo esféricamente completo K tal que 5E5 ! |K|. Entonces, existe unproducto interior no-arquimedeano sobre E que induce la norma original.

Demostración. Sea x ) E, x += 0. Como 5E5 ! |K| podemos escoger a ) K talque |a| = 5x5. Luego, para todo b ) K se define

f : [x] & Kbx 3& f(bx) = ba2

donde [x] es el subespacio generado por x. Entonces,

5f5 = supbx (=0

|f(bx)|5bx5 = sup

bx (=0

--ba2--

|b| 5x5 = supbx (=0

|b| |a|2

|b| 5x5 = 5x5

Así, como K es esfericamente completo, podemos aplicar el teorema de Hahn-Banach para extender f a un funcional lineal fx ) E', tal que 5fx5 = 5x5.Denotemos por P(E') a la colección de todos los subconjuntos de E' y definamosla función

D : E 0& P(E')x 30& Dx = { f ) E' : f(x) = a2 donde |a| = 5x5 } .

Ahora, para cada x ) E, escogemos fx ) Dx y denotemos por

S = {fx ) Dx : x ) E} .

Con lo anterior se define 8·, ·9S : E % E & K por

8x, y9S = fy(x) .


Esta función satisface i) y ii) de la definición 2.1, además como

|8x, y9|S = |fy(x)| ( 5fy5 5x5 = 5y5 5x5

con lo que se demuestra que 8·, ·9S es un producto interior en E que induce sunorma.

Observación 2.4. El producto interior definido en la proposición anterior seconoce como “Producto Interior de Hanh Banach”. Este, en general, no es único,en efecto, consideremos E = K = Q7 y tomemos x = 1,a1 = 1 y a2 = 5. Así,|1|7 = |6|7 = 1. Luego, se definie los funcionales lineales

f : [1] & Q7

& 1 3& f(& 1) = & 12

yg : [6] & Q7

' 5 3& f(' 1) = ' 62

Además,5f5 = 1 y 5g5 = 1

Por lo que, aplicando el teorema de Hahn-Banach, podemos extender losfuncionales f y g a los funcionales fx, gx ) E', tales que 5fx5 = 1 y 5gx5 = 1.Con lo anterior, podemos definir los productos interiores de Hahn-Banach

8x, y9Sf= fy(x) y 8x, y9Sg

= gy(x)

los cuales inducen la norma de E.

El siguiente teorema caracteriza los espacios de Banach E que admiten unproducto interior compatible.

Teorema 2.4. Para un espacio de Banach no-arquimedeano E sobre un cuerpoK, las siguientes afirmaciones son equivalentes:

1. E admite un producto interior que induce la norma de E.

2. 5E5 ! |K|1/2 y cada subespacio 1-dimensional de E es ortocomplementa-do.

3. Existe una función y 30& fy de E en E' que satisface 5fy5 = 5y5 y|fy(y)| = 5y52 para todo y ) E.

Demostración.1.# 2. Sea 8·, ·9 el producto interior que induce la norma original de E. Entonces,para cada x ) E, 5x52 = |8x, x9| ) |K|. Así 5E5 ! |K|1/2. Ahora, dadoy ) E, y += 0, el complemento transverso {y}+ es un subespacio cerrado deE (Proposición 2.1); además {y}+ es ortogonal a {y} (Teorema 2.2).Ahora, notemos que, para cada x ) E, se tiene

x = x0 8x, y98y, y9y +

8x, y98y, y9y


conx0 8x, y9

8y, y9y ) {y}+ y8x, y98y, y9y ) [y]

Así,E = {y}+ + [y]

2. # 3. Dado y ) E, y += 0, existe un subespacio My tal que

E = My $ [ y] y [ y]7My

Además, como 5y5 ) 5E5 ! |K|1/2, existe ay ) K tal que |ay| = 5y52. Con estopodemos definir el funcional lineal continuo

fy : My $ [ y] & Kx + by 3& fy(x + by) = bay

Ahora, dado z ) E, existen x ) My y b ) K tales que z = x + by y así,

|fy(z)| = |bay| = |b| 5y52

= 5by5 5y5( 5x + by5 5y5 = 5z5 5y5

Por lo que, 5fy5 ( 5y5. Pero como |fy(y)| = |ay| = 5y52, se sigue que5fy5 = 5y5.

3. # 1. 8x, y9 = fy(x) define un producto interior sobre E con

|8x, x9| = |fx(x)| = 5x52

El siguiente corolario es una versión débil de ortogonalidad implica lanormalidad.

Corolario 2.2. Sea E un espacio de Banach no-arquimedeano con laspropiedades que todo subespacio 1-dimensional de E es ortocomplementado yque 5E5 ! |K|1/2. Sea M subespacio finito-dimensional y sea S un conjunto devectores ortogonales a M . Entonces existe un producto interior 8·, ·9 sobre E queinduce la norma, y que además 8x, y9 = 0 para todo x ) M , y ) S.

Demostración. Notemos que, como cada subespacio 1-dimensional admite unortocomplemento, entonces los subespacios finito-dimesionales también losadmiten. Luego, para cada y ) S, y += 0, el subespacio finito-dimensional M +[y]admite un ortocomplemento que lo denotaremos por Ny, es decir,

E = Ny $ (M + [y]) y Ny7(M + [y])


De lo anterior, se sigue que My = M + Ny es un ortocomplemento de [y].Ahora, como 5y5 ) 5E5 ! |K|1/2, existe ay ) K tal que |ay| = 5y52. Con estose define el funcional lineal continuo

gy : My $ [ y] & Kx + by 3& gy(x + by) = bay

Notemos que gy(x) = 0, para todo x ) My.Luego, definiendo 8x, y9 = gy(x), se obtiene un producto interior sobre E, elinduce su norma. Como M ! My, para cada y ) S, se sigue que

8x, y9 = 0 *x ) M , * y ) S

2.3. Producto Interior SimétricoComenzamos la sección demostrando un lema tecnico.

Lema 2.1. El campo de clases residuales de K es formalmente real si, y sólosi, para cada subconjunto finito {%1,%2, . . . ,%n} ! K, se tiene

--%21 + %2

2 + · · · + %2n

-- = max4--%2

1

-- ,--%2

2

-- , . . . ,--%2

n

--5

Demostración.

#6 Supongamos que el campo de clases residuales de K es formalmente real.Probemos que si {%1,%2, . . . ,%n} ! K, entonces

--%21 + %2

2 + · · · + %2n

-- = max4--%2

1

-- ,--%2

2

-- , . . . ,--%2

n

--5

En efecto, definamos

5%5 = max {|%1| , |%2| , . . . , |%n|} e I = {i ) {1, 2, . . . , n} : |%i| = 5%5}

Entonces, |%i| = 5%5 para i ) I y |%i| < 5%5 para i +) I. Ahora,supongamos por un instante que 5%5 = 1, entonces |%i| = 1 para i ) I yasí %i += 0. Luego, como k es formalmente real, se tiene que

,

i$I

%2i =

,

i$I

%2i += 0

y así, -----,

i$I

%2i

----- = 1

Por otro lado, como |%i| < 1 para i +) I, obtenemos------

,

i ($I

%2i

------< 1 =

-----,

i$I

%2i

-----


con lo que se obtiene-----

n,

i=1

%2i

----- =

------

,

i ($I

%2i +

,

i$I

%2i

------=

-----,

i$I

%2i

----- = 1 = 5%52

Ahora, si 5%5 += 0 y 5%5 += 1, escogemos a ) K tal que|a| = 5%5 y aplicamos el procedimiento anterior al conjunto finito{a#1 %1, a#1 %2, . . . , a#1 %n} ! K.

"6 Recíprocamente, supongamos que, para cada subconjunto finito{%1,%2, . . . ,%n} ! K, se tiene

--%21 + %2

2 + · · · + %2n

-- = max4--%2

1

-- ,--%2

2

-- , . . . ,--%2

n

--5

Mostrermos que k es formalmente real. En efecto, sea {%1, . . . ,%n} ! ktal que

n,

i=1

%2i =

n,

i=1

%i2

= 0

Luego,

-----

n,

i=1

%2i

----- = 0 y

--%2i

-- ( max{--%2

1

-- , . . . ,--%2

n

--} =

-----

n,

i=1

% 2i

----- = 0

de lo que sigue que %i = 0, para todo i = 1, . . . , n.

Observación 2.5.

1. Notemos que si x ) c0(T ), entonces |x(t)| ( 5x5! para todo t ) T .Por otro lado, si x += 0 y $ = 5x5!, entonces el conjunto{t ) T : |x(t)| = 5x5!} es, a lo más, finito, pues {t ) T : |x(t)| . $} esfinito por la definición de c0(T ).Denotemos por ((x) al conjunto {t ) T : |x(t)| = 5x5!}.

2. Consideremos x, y ) c0(T ). Entonces,,

t$T

x(t)y(t)

es una forma bilineal simétrica y continua, pues-----,

t$T

x(t)y(t)

----- ( maxt$T

{|x(t)| , |y(t)|} ( 5x5! 5y5! < +'

Además, para cada &, ' ) K, y cada x, y, z ) c0(T ) se tiene,

t$T

(& x(t) + ' z(t))y(t) = &,

t$T

x(t)y(t) + ',

t$T

z(t)y(t)


Con lo anterior, podemos mostrar el siguiente resultado.

Teorema 2.5. Consideremos la forma bilineal

8x, y9 =,

t$T

x(t)y(t)

en c0(T ). Entonces, 8·, ·9 es un producto interior si y sólo si la clase residual deK es formalmente real. Además, cuando 8·, ·9 es un producto interior, se tiene

|8x, x9| = 5x52! =

-----,

t$T

x2(t)

----- , *x = (x(t)) ) c0(T )

Demostración.

"6 Supongamos que la clase residual de K es formalmente real. Por el punto2 de la Observación 2.5, basta mostrar que |8x, x9| = 5x52!. En efecto,si consideramos ((x) = {t1, t2, . . . , tn}, se tiene que |x(ti)| = 5x5! parai = 1, 2, . . . , n y |x(t)| < 5x5! para t +) {t1, t2, . . . , tn}. Además,

------

,

t($#(x)

x2(t)

------( max

4--x2(t)-- : t +) ((x)

5< 5x52!

Por lo que basta mostrar que--x2(t1) + x2(t2) + · · · + x2(tn)

-- = 5x52!

para obtener -----,

t$T

x2(t)

----- = 5x52!

En efecto, notemos que {x(t1), x(t2), . . . , x(tn)} es un conjunto finito deK. Luego, como el campo de clases residuales de K es formalmente real,podemos aplicar el Lema 2.1 para obtener

5x52 = |8x, x9| =

------

,

t$#(x)

x2(t)

------= 5x52!

Así,|8x, y9| ( 5x5! 5y5! = 5x5 5y5

lo que muestra que 8·, ·9 es un producto interior no-arquimedeano queinduce la norma de c0(T ).

#6 Supongamos que 8·, ·9 es un producto interior que induce la norma dec0(T ). Mostremos que el campo de clases residuales de K es formalmente


real. En efecto, sea {%1, . . . ,%n} ! K y para t1, t2, . . . , tn ) T definamosx(ti) = %i para i = 1, 2, . . . , n y x(t) = 0 en otros casos. Así,

--%21 + · · · + %2

n

-- = |8x, x9| =

-----,

t$T

x2(t)

-----

= max{--x2(t)

-- : t ) T}= max{

--%2i

-- : i = 1, 2, . . . , n}

Luego, por el Lema 2.1 obtenemos que el campo de clases residuales esformalmente real.

Corolario 2.3. Sean a1, a2, . . . , an ) K. Si el campo de clases residuales de Kes formalmente real y |ai| = c para i = 1, 2, . . . , n, entonces

-----

n,

i=1

a2i

----- = c2

Demostración. Para t1, t2, . . . , tn ) T definamos x(ti) = ai para i = 1, 2, . . . , ny x(t) = 0 para otros casos. Así,

-----

n,

i=1

a2i

----- =

-----,

t$T

x2(t)

----- = max{|x(t)|2 : t ) T} = c2

Corolario 2.4. Sean x, y ) c0(T ) y supongamos que el campo de clasesresiduales de K es formalmente real. Entonces,

|8x, x9+ 8y, y9| = max{ |8x, x9| , |8y, y9| } .

Demostración. Si |8x, x9| += |8y, y9|, entonces el resultado se sigue aplicando elTeorema 1.2.Sin perdidad de generalidad, supongamos que |8x, x9| = 5x52! = 5y52! =|8y, y9| = 1 y consideremos ((x) = {t1, t2, . . . , tn}, ((y) = {s1, s2, . . . , sm}.Luego, aplicando el Lema 2.1 a los conjuntos {x(t1), . . . , x(tn)} y {y(s1), . . . , y(sm)}se tiene -----

n,

i=1

x2(ti)

----- = 1 y

------

m,

j=1

y2(sj)

------= 1

y aplicando nuevamente el Lema a {x(t1), . . . , x(tn), y(s1), . . . , y(sm)}, se


concluye

|8x, x9+ 8y, y9| =

------

,

t($#(x)

x2(t) +,

t$#(x)

x2(t) +,

t($#(y)

y2(t) +,

t$#(y)

y2(t)

------

=

------

,

t$#(x)

x2(t) +,

t$#(y)

y2(t)

------

=--x2(t1) + . . . + x2(tn) + y2(s1) + · · · + y2(sm)

--

= max1!i!n

1*j*m

{|xti |2 ,

--ysj

--2 } = 1

= max

#%

&

-----

n,

i=1

x2(ti)

----- ,

------

m,

j=1

y2(sj)

------

67

8

= max{|8x, x9| , |8y, y9|}

Siguiendo los mismos argumentos que en la demostración del corolario anterior,se obtiene:

Corolario 2.5. Si x1, x2, . . . , xn ) c0(T ), entonces-----

n,

i=1

8xi, xi9

----- = max{|8xi, xi9| : i = 1, . . . , n}

Demostración. Mostremos el Corolario para tres elementos x, y, z ) c0(T ). Si|8x, x9| += |8y, y9| += |8z, z9|, el resultado se sigue de la desigualdad triangularfuerte.Si |8x, x9| = |8y, y9| pero |8x, x9| += |8z, z9|, entonces por el Corolario 2.4, se tiene

|8x, x9+ 8y, y9+ 8z, z9| = max{|8x, x9+ 8y, y9| , |8z, z9|}= max{max{|8x, x9| , |8y, y9|}, |8z, z9|}= max{|8x, x9| , |8y, y9| , |8z, z9|}

Si |8x, x9| = |8y, y9| = |8z, z9| = 1, entonces, siguiendo la demostración delCorolario 2.4, se tiene-----

3,

i=1

8xi, xi9

----- =

------

,

t($#(x1)

x21(t) +

,

t$#(x1)

x21(t) + . . . +

,

t($#(xn)

x2n(t) +

,

t$#(xn)

x2n(t)

------

=

------

,

t$#(x1)

x21(t) + . . . +

,

t$#(xn)

x2n(t)

------= 1

= max{|8x, x9| , |8y, y9| , |8z, z9|}


Observación 2.6. Notemos que en el caso real o complejo, cuando tenemos unproducto interior que cumple con

|8x, y9| = 5x5 5y5 ,

entonces existe a ) K tal que y = ax.Este no es el caso para los productos interiores no arquimedeanos. En efecto,supongamos que el campo de clases residuales de K es formalmente real.Luego, en K3 consideramos el producto interior simétrico natural. Así, paralos elementos y = (0, 1, 1) y x = (1, 0, 1) se tiene que {x, y} es un conjuntolinealmente independiente, pero en cambio

1 = 5x5! = 5y5! = |8x, y9| = 5x5! 5y5!

2.4. Gram-Schmidt en c0

Aún cuando se mencionó en el Ejemplo 2.1 que, en general, no es posible crearvectores unitarios en espacios de Banach, cada elemento no nulo de c0 puedeser normalizado. En efecto, si x ) c0, con x += 0, se define p(x) = mın((x);entonces, |x(p(x))| = 5x5!. Luego, tomando a = x(p(x))#1, se obtiene quey = ax es un vector unitario.

Teorema 2.6. Sea (xn) ) c0 una sucesión de vectores linealmente independi-entes. Entonces existe una sucesión ortonormal de vectores (yn) ) c0 tal que[x1, x2, . . . , xn] = [y1, y2, . . . , yn] para todo n ) N

Demostración. Sea w1 = x1 y w2 = x2 0 8x2, w19 8w1, w19#1 w1 (notemos quew2 += 0 pues si lo fuera, x2 sería múltiplo de x1, contradiciendo la independencialineal). Luego,

8w1, w29 =9x1, x2 0 8x2, x19 8x1, x19#1 x1

:

= 8x1, x29 0 8x2, x19 8x1, x19#1 8x1, x19= 0

de lo que se sigue, w1 es ortogonal a w2.De la misma forma, se define

w3 = x3 0 8x3, w19 8w1, w19#1 w1 0 8x3, w29 8w2, w29#1 w2

(w3 += 0 pues si no lo fuera, x3 sería combinación lineal de x1 y de x2) con loque obtenemos 8w1, w39 = 0 y 8w2, w39 = 0.Iterando de la misma forma, obtenemos que, para k > 1

wk = xk 0k#1,

i=1

8xk, wi9 8wi, wi9#1 wi , con 8wi, wj9 = 0 * i, j , i += j

Para normalizar la sucesión obtenida definimos, yk = akwk con ak =wk(p(wk))#1, y así [x1, x2, . . . , xn] = [y1, y2, . . . , yn].


2.5. La propiedad de Riemann-LebesgueNotemos que, si (xn) es una base ortonormal de c0, entonces todo x ) c0 sepuede escribir como x =

1n$N anxn, con an ) K. Así, por la continuidad del

producto interior y utilizando el hecho que la sucesión (xn) es normal obtenemosque para todo x ) c0, 8x, xn9 = an, *n ) N, y por la Proposición 1.4 concluimos

8x, xn9 & 0 cuando n &'

Con este hecho podemos dar la siguiente definición.

Definición 2.3. Sea (xn) una sucesión en c0. Diremos que (xn) tiene la“Propiedad de Riemann-Lebesgue” si 8x, xn9 & 0 para todo x ) c0

A continuación mostraremos que toda sucesión ortonormal con la Propiedad deRiemann-Lebesgue esta “dentro de una base ortonormal”.

Teorema 2.7. Si S ! c0

1. es un conjunto ortonormal finito {x1, x2, . . . , xn}, o

2. es una sucesión ortonormal (xn)n$N con la propiedad de Riemann-Lebesgue,

entonces S puede completarse a una base ortonormal de c0.

Demostración.

1. Sean M = [{x1, x2, . . . , xn}] e I = {k ) N : ek +) M}. Para cada k ) I,definimos

wk = ek 0n,

j=1

8ek, xj9 8xj , xj9#1 xj

y consideramos un subconjunto linealmente independiente maximal W de{wk : k ) N}. Sea {yk : k ) N} el conjunto obtenido al aplicar el Teoremade Gram-Schmitd a W . Pongamos N = cl[{yk : k ) N}]. Ahora, para todowm ) W tenemos

wm =!,

i=1

µiyi µi ) K, yi ) N

Así,

em =n,

j=1

8em, xj9 8xj , xj9#1 xj +!,

i=1

µiyi ) M + N



2. Sean M = cl[{xn : n ) N}] += c0 y I = {n ) N : en +) M}. Por la propiedadde Riemann-Lebesgue de (xn)n$N obtenemos

lımj8en, xj9 = 0 *n ) I

y así, la serie ,

j$N8en, xj9 8xj , xj9#1 xj

converge para todo n ) I. Ahora, para n ) N, se define

wn = en 0,

j$N8en, xj9 8xj , xj9#1 xj += 0 (en +) M) .

Luego,

8wn, xi9 = 8en, xi9 0,

j$N8en, xj9 8xj , xj9#1 8xj , xi9

= 8en, xi9 0 8en, xi9 = 0 *n ) I, *i ) N

De esto se sigue que wn es normal a M , para todo n ) N. Siguiendo lasmismas ideas del caso anterior, consideramos un subconjunto linealmenteindependiente maximal W de {wn : n ) N} y aplicamos el Teorema 2.6para obtener un conjunto ortonormal {yn : n ) N}. Luego, definiendoN = cl[ yn : n ) N], obtenemos que N es normal a M y resultado se siguede igual forma que el caso anterior.Ahora, como M + N es cerrado (Corolario 2.1) y {en : n ) N} ! M + N ,se tiene c0 = M + N .

Corolario 2.6. Sea M un subespacio de c0. Entonces, si M es de dimensiónfinita o M es de dimensión infinita y tiene una base ortonormal con la propiedadde Riemann-Lebesgue, entonces c0 = M $Mp.

Demostración. Si M es finito-dimensional, entonces M posee una baseortonormal {x1, x2, . . . , xn}, por el Teorema 2.6. Ahora, si z ) c0, entonces

n,

k=1

8z, xk9 8xk, xk9#1 xk ) M .

Pues bien, si consideremos

y = z 0n,

k=1

8z, xk9 8xk, xk9#1 xk .

entonces para xj ) M tenemos

8y, xj9 = 8z, xj9 0 8z, xj9 = 0 .


Esto implica que y ) Mp. Por lo tanto, para cada z ) c0 tenemos larepresentación

z =n,

k=1

8z, xk9 8xk, xk9#1 xk + y ) M + Mp

donde el primero sumando de la derecha pertenece a M y el segundo sumandoa Mp. En consecuencia c0 = M $Mp.

Supongamos que M es de dimensión infinita y que posee una base ortonormal{xn : n ) N} con la Propiedad de Riemann-Lebesgue.Por el teorema anterior, existe una base ortonormal numerable {yn : n ) N} talque {xn : n ) N} 2 {yn : n ) N} es una base ortonormal para c0. DefiniendoM = cl[xn : n ) N], obtenemos que N = cl[yn : n ) N] = Mp.

Observación 2.7. No toda sucesión ortonormal posee la Propiedad de Riamnn-Lebesgue, como lo muestra el siguiente ejemplo.

Ejemplo 2.3. Consideremos los vectores,

x1 = (1, 1, 0, . . .)x2 = (1,01, 1, 0, . . .)x3 = (1,01, 2,06, 1, 0, . . .)x4 = (1,01, 2,06,042, 1, 0, . . .)...

...xn = (a1, a2, a3, . . . , an, 1, 0, 0, . . .)

Para n > 2,

xn+1 =

;a1, a2, a3, . . . , an,0

n,

i=1

a2i , 1, 0, 0, . . .

<

Continuando de esta manera, obtenemos una sucesión de vectores tales que

5xn5 = max{|ai| : i ) N} = 1 (con ai entero, para todo i ) N)

Además, como |8xn, e19| = 1 para todo n ) N, se sigue que (xn) no posee laPropiedad de Riemann-Lebesgue.

A continuación damos un criterio para identificar sucesiones con la Propiedadde Riemann-Lebesgue.

Teorema 2.8. Una sucesión ortonormal (xn) = (xn(k)k$N) tiene la Propiedadde Riemann-Lebesgue si, y sólo si, para todo $ > 0 y para todo m > 0, existeN = N(m, $) > 0 tal que

n > N =# |xn(i)| < $ , * i, 1 ( i ( m


Demostración.

"6 Sea $ > 0 dado, y supongamos que para todo m > 0, existeN = N(m, $) ) N tal que

n > N =# |xn(i)| < $ , * i, 1 ( i ( m

Mostremos que (xn) tiene la propiedad de Riemann-Lebesgue. En efecto,dado x = (x(n)) ) c0, escojemos m > 0 tal que

|x(i)| < $ para i > m

Por hipótesis, para este m, existe N ) N tal que

n . N # |xn(i)| < $ para 1 ( i ( m

Ahora, como |xn(i)| < $ para i ( m y n . N y que |x(i)| (5 x5! paratodo i, se sigue de esto que

|x(i)xn(i)| ( $ 5x5! para n . N y i ( m

y así, ------

,

i*m

x(i)xn(i)

------( max {|x(i)xn(i)| : i ( m} ( 5x5! $

Por otro lado, para i > m se tiene que |x(i)| < $ y |xn(i)| (5 xn5! = 1,cualquiera sea n ) N. Luego,

|x(i)xn(i)| < $ para i > m y n . N

y por tanto,-----,

i>m

x(i)xn(i)

----- ( max {|x(i)xn(i)| : i > m} < $ para n . N .

En consecuencia, para n . N ,

|8x, xn9| =

-----,

i$Nx(i)xn(i)

----- =

------

,

i*m

x(i)xn(i) +,

i>m

x(i)xn(i)

------

( max{5x5! $, $}

lo que muestra que 8x, xn9 & 0.

#6 Ahora, supongamos que existen $ > 0 y m > 0 tales que para infinitos nse tiene |xn(in)| . $ para cierto in ( m. Luego, para x = ()n,i0), con )n,i0

delta de Kronecker, se tiene |8x, xn9| . $, es decir,

8x, xn9 +& 0


2.6. Complementos NormalesEn la sección anterior, gracias al Corolario 2.6 hemos encontrado condicionessuficientes para las cuales un subespacio cerrado M cumple con

c0 = M $Mp

En la presente sección se encontrarán condiciones necesarias que permitiráncaracterizar tales subespacios cerrados.

Definición 2.4. Sean M y N dos subespacios cerrados de c0. Diremos que Nes un complemento normal de M si

1. 8x, y9 = 0 *x ) M , * y ) N .

2. c0 = M $N .

Teorema 2.9. Sea f un funcional lineal continuo, distinto del nulo, definidosobre c0. Entonces, f es un funcional de Riesz si y sólo si N(f)p += {0}. Paraesto último, se tiene que

c0 = N(f)$N(f)p

Demostración.

#6 Supongamos que f es un funcional de Riesz. Luego, existe y ) c0, y += 0,tal que f(·) = 8 ·, y9. Notar que y +) N(f), pues |8y, y9| = 5y52 > 0. Ahora,como

8x, y9 = 0 *x ) N(f)

se concluye que y ) N(f)p, lo que muetra que N(f)p += {0}.

"6 Reciprocamente, supongamos ahora que existe w ) N(f)p, w += 0. Así,w +) N(f) y con esto se define M = [y], donde y = w/f(w). Ahora,para x ) c0, definamos ' = f(x). Notar que, x 0 ' y ) N(f), y quex = x0 ' y + ' y ) N(f) + M . Además, N(f)1M = {0}, lo que muestraque c0 = N(f)$M . Luego, dado x ) c0, existe z ) N(f) y a ) K tal quex = z + ay. Notar que,

f(x) = f(z + ay) = f(z) + af(y) = a

Así, tomando b = 8y, y9#1 obtenemos que

8x, by9 = 8z + ay, by9 = 8ay, by9 = a = f(x)

lo que muestra que f es un funcional de Riesz. Se sigue del Corolario 2.6que

c0 = [by]p $ [by] = N(f)$N(f)p


Corolario 2.7. Sea f un funcional lineal, no trivial, continua definida sobrec0. Si N(f) tiene una base ortonormal (xn)n$N con la Propiedad de Riemann-Lebesgue, entonces f es un funcional de Riesz.

Demostración. Supongamos que N(f) tiene una base ortonormal (xn)n$N conla Propiedad de Rienamm-Lebesgue. Entonces, por el Corolario 2.6, se tiene

c0 = N(f)$N(f)p

Además, como f +; 0, se sigue que N(f) += c0, es decir, existe w ) N(f)p conw += 0, en otras palabras N(f)p += {0}. Por el Teorema 2.9 f es un funcional deRiesz.

El siguiente teorema caracteriza las bases ortormales de N(f) que tienen laPropiedad de Riemann-Lebesgue.

Teorema 2.10. Sea f un funcional no nulo, continuo definido en c0 y sea(xn)n$N una base ortonormal de N(f). Entonces, (xn)n$N tiene la Propiedadde Riemann-Lebesgue si, y sólo si, lım

n%!8ej , xn9 = 0 cuando ej +) N(f).

Demostración.

"6 Supongamos que lımn 8ej , xn9 = 0 cuando ej +) N(f).Consideremos la sucesión (f(en))n$N = (an)n$N. Notar que (an)n$N )!!(= c'0), por la continuidad de f . Por otro lado, notar también quex0 f(x)a#1

j ej ) N(f). En efecto,

f(x0 f(x)a#1j ej) = f(x)0 f(x)a#1

j f(ej) = f(x)0 f(x)a#1j aj = 0

Por tanto, como {xn : n ) N } es una base de N(f), se tiene

lımn%!

=x0 f(x)a#1

j ej , xn

>= 0

Sea x ) c0,

8x, xn9 ==x0 f(x)a#1

j ej , xn

>+

=f(x)a#1

j ej , xn

>

==x0 f(x)a#1

j ej , xn

>+ f(x)a#1

j 8ej , xn9

Tomando límite cuando n tiende al infinito y aplicando la hipótesis,tenemos

lımn%!

8x, xn9 = 0

lo que muestra que (xn)n$N tiene la Propiedad de Riemann-Lebesgue.

#6 Ahora, supongamos que (xn)n$N es una base ortonormal de N(f) con laPropiedad de Riemann-Lebesgue, es decir,

8x, xn9 & 0 *x ) c0

En particular,lım

n%!8ej , xn9 = 0

para ej +) N(f).


Observación 2.8. Como el dual de c0 es !!, entonces existen f ) c'0 que noson funcionales de Riesz. Para estos funcionales, N(f)p = {0} por el teoremaanterior.

Teorema 2.11. Si f ) c'0 es un funcional de Riesz, entonces cualquier baseortonormal de N(f) tiene la Propiedad de Riemann-Lebesgue.

Demostración. Si f ; 0, entonces N(f) = c0 y así, cualquier base de c0 tiene lapropiedad de Riemann-Lebesgue.Supongamos que f +; 0 y como f es un funcional de Riesz, existe y ) c0, y += 0,tal que f(·) = 8·, y9. Por el Teorema 2.10, basta mostrar que lım

n%!8ej , xn9 = 0

cuando ej +) N(f).Sea ej un elemento de la base canónica tal que ej +) N(f) y consideremos lasucesión (f(en))n$N = (an)n$N ) !!. Luego,

=y, y 0 8y, y9 a#1

j ej

>= 8y, y9 0 8y, y9 a#1

j 8y, ej9 = 8y, y9 0 8y, y9 a#1j aj = 0

Es decir, y 0 8y, y9 a#1j ej ) N(f). Ahora, si (xn) es una base ortonormal de

N(f), entonces

0 = 8y, xn9 ==y 0 8y, y9 a#1

j ej , xn

>+ 8y, y9 a#1

j 8ej , xn9

y luego,

lımn%!

8ej , xn9 = 0 lımn%!

aj

8y, y9=y 0 8y, y9 a#1

j ej , xn

>= 0 .

Observación 2.9. Dada la base canónica (en)n$N ) c0, se define el funcionallineal,

e'i : c0 & Kx 3& e'i(x) = xi

donde x =,

n$Nxnen. Notemos que e'i ) c'0 = !! y que

5e'i5 = supx(=0

|e'i(x)|5x5 = 1

Además, e'i es un funcional de Riesz, ya que e'i(x) = xi = 8ei, x9.

Proposición 2.3. cl[{e'i : i . 1}] 4= c0.

Demostración. Definamos la aplicación lineal

# :[ {e'i : i ) N}] & c0

por #(e'i) = ei en su base. Como

5#(e'i)5 = 5e'i5 = 1 = 5ei5


# resulta ser isometría.Se extiende continuamente # a la claususra de [{e'i : i ) N}]

# : cl[{e'i : i . 1}] & c0

la cual resulta ser también una isometría. Afirmamos que # es sobreyectiva. Enefecto, sea (an)n$N ) c0 y definamos

x' =,

n$Nan e'n .

Como0 = lım

n%!|an| = lım

n%!|an| 5e'n5 ,

se tiene que x' ) !!. En particular,

x' =,

n$Nane'n = lım

n%!

n,

i=1

aie'i ) cl[{e'i : i . 1}] .

Ahora,

#(x') = lımn%!

n,

i=1

ai #(e'i)

= lımn%!

n,

i=1

ai ei

=,

n$Nai ei = (an)

lo que muestra que # es sobreyectiva.

La siguiente proposición es una caracterización de los funcionales de Riesz sobrec0.

Proposición 2.4. f ) cl[{e'i : i . 1}] si, y sólo si, f es un funcional de Riesz.

Demostración.

#6 Sea f ) cl[{e'i : i . 1}]. Luego, existe (&n)n$N ) c0 tal que

f =!,

k=1

&k e'k

conlım

n%!|&n| 5e'k5 = lım

n%!|&n| = 0

Por lo tanto, definiendoy =

,

n$N&n en


se tiene que y ) c0, y que

f =!,

k=1

&k e'k = lımn%!

n,

k=1

&ke'k

= lımn%!

?n,

k=1

&kek, ·@

=

?lım

n%!

n,

k=1

&kek, ·@

= 8y, ·9

lo que muestra que f es un funcional de Riesz.

"6 Supongamos que f es un funcional de Riesz. Entonces, existe y ) c0, cony += 0, tal que f(·) = 8·, y9. Ahora, notemos que

y =!,

k=1

&n en ) c0

y así,

f = 8y, ·9 =!,

k=1

&k 8ei, ·9 = lımn%!

n,

k=1

&k e'i ) cl[{e'i : i . 1}]

Capítulo 3

Operadores sobre c0

En este capítulo se estudiarán en detalle los trabajos [1] y [2] de J. Aguayo yM. Nova.En estos trabajos se caracterizan los espacios que admiten un complementonormal y cómo estos se relacionan con los operadores proyección.Además, utilizando las proyecciones normales, se mostrará un análogo no-arquimedeano de un teorema de descomposición espectral.

3.1. Proyecciones NormalesSea T : c0 & c0 un operador lineal. Entonces,

1. llamaremos “espacio nulo de T ” al conjunto

N(T ) = {x ) c0 : T (x) = 0}

2. llamaremos “Rango de T ” al conjunto

R(T ) = {y ) c0 : y = T (x);para algún x ) c0}

3. Además, denotaremos por L(c0) al espacio de todos los operadores linealesT definidos sobre c0.

Definición 3.1. Sea P ) L(c0). Entonces, P se dirá “Proyección Normal” sisatisface

1. P 2 = P

2. P es continua.

3. 8x, y9 = 0, para x ) N(P ) e y ) R(P ).

46

CAPÍTULO 3. OPERADORES SOBRE C0 47

Observación 3.1.

1. De 1. y 3. en la definición anterior, obtenemos que c0 = N(P )$R(P ).

2. Si x ) c0, entonces x0 Px ) N(P ). En efecto,

P (x0 Px) = Px0 P 2x = Px0 Px = 0

3. Si x ) R(P ), entonces x = P (x). En efecto, dado x ) R(P ) existe z ) c0

tal que x = P (z). Así,

P (x) = P (P (z)) = P 2(z) = P (z)

Teorema 3.1. Sea P una proyección normal. Si (xn)n$N es una baseortonormal de N(P ), entonces ésta tiene la Propiedad de Riemann-Lebesgue.

Demostración. Supongamos que (xn)n$N es una base ortogonal de N(P ) y seax ) c0 arbitrario. Si x ) N(P ), entonces lım

n%!8x, xn9 = 0, ya que (xn)n$N es

una base ortonormal de N(P ). Supongamos que x +) N(P ); como P es unaproyección normal, se tiene x0 Px ) N(P ) y que 8Px, xn9 = 0. Así,

8x, xn9 = 8x0 Px, xn9+ 8Px, xn9 = 8x0 Px, xn9

y por tantolım

n%!8x, xn9 = lım

n%!8x0 Px, xn9 = 0

Corolario 3.1. Si P es proyección normal sobre c0, entonces I0P es tambiénuna proyección normal. Además, N(P )p = R(P ) = N(I 0 P ) y R(P )p =N(P ) = R(I 0 P ).

Demostración.

1. I 0 P es continua, pues I y P los son. Además,

(I 0 P )2(x) = (I 0 P )(x0 P (x)) = x0 P (x)0 P (x) + P 2(x) = x0 P (x)

Así, (I 0 P )2 = I 0 P . Finalmente, 8x, y9 = 0 con x ) N(I 0 P )e y ) R(I 0 P ), se obtiene de las igualdades R(P ) = N(I 0 P ) yN(P ) = R(I 0 P ), las cuales se prueban a continuación.

2. N(P )p = R(P ).Sea x ) N(P )p y sea (u, v) ) N(P )%R(P ) tal que x = u+v (Observación3.1). Como 8x, u9 = 0 y 8v, u9 = 0, se tiene que 8u, u9 = 0, lo cual implicaque u = 0. Luego, x = v ) R(P ).Por otro lado, dado x ) R(P ) e y ) N(P ) obtenemos que 8x, y9 = 0, porel punto 3 de la Definición 3.1. Así, x ) N(P )p.


3. R(P ) = N(I 0 P ).

x ) R(P ) < x = P (x)< x0 P (x) = 0< (I 0 P )(x) = 0< x ) N(I 0 P )

4. N(P ) = R(I 0 P ).

x ) N(P ) < P (x) = 0< x = x0 P (x) ) R(I 0 P )

Proposición 3.1. Sea M un subespacio cerrado de c0. Si M posee unabase ortonormal con la Propiedad de Riemann-Lebesgue, entonces existe unaproyección normal P tal que M = N(P ).

Demostración. Por el Corolario 2.6, se tiene c0 = M $Mp. Si x ) c0, entoncesexiste un único par (u, v) ) M %Mp tal que x = u + v. Definiendo PM (x) = v,obtenemos la proyección normal que cumple con N(P ) = M .

Corolario 3.2. Sea M un subespacio cerrado y finito-dimensional de c0.Entonces, las siguientes aseveraciones son equivalentes:

1. M admite un complemento normal.

2. M tiene una base ortonormal con la propiedad de Riemann-Lebesgue.

3. Existe una proyección normal P tal que N(P ) = M .

Demostración.1.# 2. Supongamos que M admite un complemento normal, es decir, existe unsubespacio N tal que

c0 = M $N y que 8x, y9 = 0 , x ) M , y ) N

Luego, dado z ) c0 existen únicos (x, y) ) M % N tales que z = x + y. En-tonces, definiendo PM (z) = y, obtenemos un proyección normal que satisfaceN(PM ) = M . Así, dada una base ortonormal (xn)n$N de N(PM ), ésta tendrála Propiedad de Riemann-Lebesgue gracias al Teorema 3.1.

2.# 3. Sea M un subespacio cerrado tal que admite una base ortonormal conla Propiedad de Riemann-Lebesgue. Luego, aplicando la Proposición 3.1obtenemos la existencia de una proyección normal P tal que N(P ) = M .


3.# 1. Supongamos que existe una proyección normal P tal que N(P ) = M .Luego, por el Corolario 3.1 tenemos que R(P ) = N(P )p = Mp, y utilizando laObservación 3.1, item 1. se tiene que,

c0 = M $Mp

lo cual muestra el resultado.

Corolario 3.3. Sea M un subespacio cerrado de c0. Entonces,

1. Si M es finito-dimensional o tiene una base ortonormal con la Propiedadde Riemann-Lebesgue, entonces Mp tiene una base con la propiedad deRiemann-Lebesgue o es finito-dimensional.

2. Si M tiene una base ortonormal con la Propiedad de Riemann-Lebesgue,entonces cualquier otra base ortonormal tiene la misma propiedad.

Demostración.

1. Supongamos que M es finito dimensional, luego por el Corolario 2.6se tiene c0 = M $ Mp. Así, si x ) c0, entonces existe un único par(u, v) ) M%Mp tal que x = u+v. Definiendo PMp(x) = u, obtenemos unaproyección normal que satisface que N(PMp) = Mp. Luego, el resultadose sigue del Corolario 3.2.

2. Supongamos que M tiene una base ortonormal con la Propiedad deRiemann-Lebesgue, entonces por el Corolario 3.2 existe una proyecciónnormal P tal que N(P ) = M . Así, si (xn)n$N es una base ortonormalcualquiera de M = N(P ), podemos aplicar el Teorema 3.1 para obtenerque (xn)n$N también satisface la Propiedad de Riemann-Lebesgue.

Definición 3.2. Un subespacio cerrado M de c0 se dirá que tiene la Propiedadde Riemann-Lebesgue si M es finito-dimensional o tiene una base ortonormalcon la Propiedad de Riemann-Lebesgue.

Lo siguiente, generaliza la Observación 2.9

Observación 3.2. Sea {ei : i ) N} la base canónica de c0. Se define el operadorlineal

e'j = ei : c0 & c0

x 3& e'j = ei(x) = e'j(x) ei .

Notemos que,

//e'j = ei

// = supx(=0

--e'j(x)-- 5ei5

5x5 = supx(=0

--e'j(x)--

5x5 =//e'j

// = 1

Por lo que e'j = ei ) L(c0).


Proposición 3.2. Sea (ei)i$N la base canónica de c0. Entonces, cada u ) L(c0)se puede escribir de forma única como

u =,

j,i

&ij e'j = ei

donde para cada j ) N, se tiene

lımi%!

|&ij | = 0

Además,5u5 = sup

j,i|&ij |

Demostración. Sea u ) L(c0). Entonces, para cada j ) N se tiene queu(ej) ) c0. Luego, como (ei)i$N es una base ortonormal de c0, existen únicos&1j ,&2j . . . ) K, para cada j ) N tales que

u(ej) =,

i$N&ij ei con lım

i%!|&ij | = 0

Se sigue de esto que,

u(x) =,

j$Nxju(ej) =

,

j$N

,

i$N&ij xj ei =

,

j$N

,

i$N&ij e'j(x)ei

=,

j$N

,

i$N&ij e'j = ei(x)

Además,lım

i%!|&ij |

//e'j = ei

// = lımi%!

|&ij | = 0 *j ) N

Así,u =

,

j$N

,

i$N&ij e'j = ei

es una suma puntualmente convergente. Por otro lado, notemos que

5u(ej)55ej5

( 5u5 *j ) N

Ahora, para cada x ) c0, se tiene

5u(x)5 =

//////

,

j$Nxj u(ej)

//////( sup

j$N|xj | 5u(ej)5 ( 5x5 sup

j$N5u(ej)5

por lo que

5u5 = supx(=0

5u(x)55x5 ( sup

j$N5u(ej)5


lo que muestra que5u5 = sup

j$N5u(ej)5

Finalmente

5u5 = supj$N

5u(ej)5 = supj$N

)supi$N

|&ij |*

= supj,i

|&ij |

Observación 3.3. Por la proposición anterior, sabemos que si u ) L(c0),entonces u se puede escribir de forma única como una suma puntualmenteconvergente

u =,

i,j$N&ije

'j = ei

en términos matriciales, lo anterior puede representarse comoA

BBBBBBBBBBBBBC

&11 &12 &13 · · · &1j · · ·&21 &22 &23 · · · &2j · · ·&31 &32 &33 · · · &3j · · ·...

. . .&i1 &i2 &i3 · · · &ij · · ·...

......

...

> > > · · · >. . .

0 0 0 0

D

EEEEEEEEEEEEEF

Proposición 3.3. Sea u ) L(c0), con u =,

i,j$N&ije

'j = ei. Entonces, las

siguientes aseveraciones son equivalentes:

1. u2 = u

2.,

k$N&ik&kj = &ij, para todo i, j ) N.

Demostración.1. # 2. Basta probarlo para los elementos de la base canónica. En efecto, seaej un elemento de la base canónica. Entonces,

u(ej) =,

i$N&ij ei = (&1j ,&2j ,&3j , . . .)


lo que implica que,

u2(ej) = u(u(ej))

= u

;,

i$N&ijei

<

= u(&1j ,&2j ,&3j , . . .)

=

A

BBBBBBBBC

&11 &12 &13 · · · &1k · · ·&21 &22 &23 · · · &2k · · ·&31 &32 &33 · · · &3k · · ·...

. . .&i1 &i2 &i3 · · · &ik · · ·...

......

...

D

EEEEEEEEF

·

A

BBBBBBBBC

&1j

&2j

&3j...

&kj...

D

EEEEEEEEF

=

A

BBBBBBBBC

1j$N &1k&kj1j$N &2k&kj1j$N &3k&kj

...1j$N &ik&kj

...

D

EEEEEEEEF

=,

i$N

;,

k$N&ik&kj

<ei .

Así,,

i$N

;,

k$N&ik&kj

<ei = u2(ej) = u(ej) =

,

i$N&ijei

en vista de la unicidad, ,

k$N&ik &kj = &ij

2." 1. De la parte anterior, se sabe que

u2(ej) =,

i$N

;,

k$N&ik&kj

<ei y que u(ej) =

,

i$N&ij ei

Así,

u2(ej) =,

i$N

;,

k$N&ik&kj

<ei =

,

i$N&ij ei = u(ej)

lo que muestra que u2 = u.


Observación 3.4. Sea ek un elemento de la base canónica y u como en laProposición 3.3 . Entonces,

8ek 0 u(ek), u(ek)9 =

?(0, . . . , 1GHIJ

k-ésimo, 0, . . .)0 (&1k,&2k, . . .), (&1k,&2k, . . .)

@

= 0&21k 0 . . .0 &2

(k#1)k + &kk(10 &kk)0 &2(k+1)k 0 . . .

= &kk 0,

i$N&2

ik

Así, u una proyección será normal si, y sólo si,,

i$N&2

ik = &kk

Utilizando la Proposición 3.3 y la Observación 3.4 se obtiene el siguienteresultado.

Proposición 3.4. Sea u =,

i,j$N&ije

'j = ei ) L(c0). Entonces, las siguientes

aseveraciones son equivalentes:

1. u es proyección normal.

2. Para cada k ) N, ,

i$N&2

ik = &kk

y, para cada i, k ) N, ,

j$N&ij&jk = &ik

Demostración. Por la Proposición 3.3, se tiene que u es proyección si, y sólo si,,

j$N&ij &jk = &ik * i, k ) N

Además, por la Observación 3.4, obtenemos que u es proyección normal si, ysólo si, ,

i$N&2

ik = &kk


3.2. Operadores Adjuntos y Auto-AdjuntosDefinición 3.3. Sean u, v ) L(c0). Diremos que v es adjunto de u (con respectoa 8·, ·9) si, para todo x, y ) c0, se tiene que

8u(x), y9 = 8x, v(y)9

En tal caso, diremos que u admite un adjunto y que denotaremos por u&. Siu = u& diremos que u es auto-adjunto.


Observación 3.5.

1. El adjunto de u es único.

2. Para cada % ) K y cada x, y ) c0, obtenemos (% u)& = % u&.En efecto, dados % ) K, x, y ) c0 se tiene

8(% u)(x), y9 = 8% u(x), y9 = % 8u(x), y9= % 8x, u&(y)9 = 8x, % u&(y)9= 8x, (% u&)(y)9

y por la unicidad (% u)& = % u&.

3. (uv)& = v&u&.En efecto, dados x, y ) c0 se tiene

8(uv)(x), y9 = 8u(v(x)), y9 = 8v(x), u&(y)9= 8x, v&(u&(y))9 = 8x, v&u&(y)9

y por la unicidad (uv)& = v&u&.

4. No todo elemento u ) L(c0) admite adjunto. Como contra-ejemplo,consideremos

u =

; !,

i=1

xi

<e1

y supongamos que éste admite un adjunto u&. Luego,

1 = 8u(ei), e19 = 8ei, u&(e1)9

cualquiera sea i ) N. Como (u&(e1)) = (yi) debes er un elemento de c0 y8ei, u&(e1)9 = yi & 0, obtenemos una contradicción a lo anteior.

Teorema 3.2. Si P es una proyección normal, entonces P es operador auto-adjunto. Reciprocamente, si P es un operador auto-adjunto y P 2 = P , entoncesP es un proyección normal.

Demostración. Supongamos que P es una proyección normal y sean x, y ) c0.Luego, se tiene que x0 Px, y 0 Py ) N(P ) y

8Px, y 0 Py9 = 8Px0 x, Py9 = 0 .

Por tanto,

8Px, y9 = 8Px, y 0 Py9+ 8Px, Py9 = 8Px, Py9= 8Px0 x, Py9+ 8x, Py9= 8x, Py9

Reciprocamente, supongamos P un operador auto-adjunto y P 2 = P , y seanx ) N(P ) e y ) R(P ). Luego, existe z ) c0 tal que y = Pz. Así,

8x, y9 = 8x, Pz9 = 8Px, z9 = 0



Teorema 3.3. Sea u =,

i,j

&ij e'j = ei ) L(c0). Entonces, u admite un único

operador adjunto si, y sólo si,

lımj%!

|&ij | = 0 * i . 0

Bajo esta condición, se tiene

u& =,

i,j

&ji e'j = ei

Demostración. Sean u, v ) L(c0). Por la Proposición 3.2, u y v se escriben deforma única como,

u =,

i,j

&ij e'j = ei y v =,

i,j

'ij e'j = ei

conlım

i%!|&ij | = 0 y lım

i%!|'ij | = 0

Luego, v es un adjunto de u si y sólo si

8u(x), y9 = 8x, v(y)9 *x, y ) c0

Entonces, si consideramos la base ortonormal (en)n$N de c0, obtendremos que

&ji =

?,

k$N&ki ek, ej

@= 8u(ei), ej9

= 8ei, v(ej)9 =

?ei,

,

k$N'kj ek

@

= 'ij *i, j ) N

Además,lım

i%!|&ji| = lım

i%!|'ij | = 0 *j ) N

Por lo tanto, v se puede escribir como

v =,

i,j

&ji e'j = ei

Observación 3.6. Por la proposición anterior, sabemos que si u ) L(c0),entonces u =

,

i,j

&ij e'j = ei admite un adjunto si, y sólo si,

lımj%!

|&ij | = 0 * i ) N


en términos matriciales, lo anterior nos dice que

u =

A

BBBBBBBBC

&11 &12 &13 . . . &1j . . . & 0&21 &22 &23 . . . &2j . . . & 0&32 &32 &33 . . . &3j . . . & 0...

......

. . .&i1 &i2 &i3 . . . &ij . . . & 0...

......

. . .

D

EEEEEEEEF

Observación 3.7. Sea f(·) = 8·, y9 un funcional de Riesz, donde y = (yn) ) c0,y += 0. Notemos que f(ei) = yi, 8y, y9 =

,

i$Ny2

i =,

i$N8ei, y92 ) K. El operador

lineal u definido como

u =

A

BBBBBC

y1 y2 y3 y4 · · ·0 0 0 0 · · ·0 0 0 0 · · ·0 0 0 0 · · ·...

......

.... . .

D

EEEEEF

es continuo, su nucleo es igual N(f), y su adjunta es

u& =

A

BBBBBC

y1 0 0 0 · · ·y2 0 0 0 · · ·y3 0 0 0 · · ·y4 0 0 0 · · ·...

......

.... . .

D

EEEEEF

Proposición 3.5. Si f y u están definidos como en la observación anterior,entonces

P =1

8y, y9 u& ? u

es un proyección normal y N(P ) = N(u) = N(f).

Demostración.

P & ='

18y, y9 u& ? u

(&=

18y, y9 (u& ? u)& =

18y, y9 u& ? (u&)& =

18y, y9 u& ? u = P

Lo que muestra que P es un operador auto-adjunto. Ahora, la matriz asociadaa P es la siguiente:

P =1

8y, y9

A

BBBBBC

y21 y1y2 y1y3 y1y4 · · ·

y1y2 y22 y2y3 y2y4 · · ·

y1y3 y2y3 y23 y3y4 · · ·

y1y4 y2y4 y3y4 y24 · · ·

......

......

. . .

D

EEEEEF


Para probar que P es proyección normal, por la Proposición 3.4, basta mostrarque ,

k$N&ik&kj = &ij , *i, j ) N

y ,

i$N&2

ik = &kk , k ) N

donde&ij =

18y, y9 yiyj

En efecto,,

k-1

&ik&kj =1

8y, y92,

k-1

(yiyk)(ykyj) =yiyj

8y, y92,

k-1

y2k

=yiyj

8y, y928y, y9 =

yiyj

8y, y9 = &ij

y,

i-1

&2ik =

18y, y92

,

i-1

(yiyk)2 =y2

k

8y, y92,

i-1

y2i

=y2

k

8y, y928y, y9 =

y2k

8y, y9 = &kk

Observación 3.8.

1. Notemos que,

P (x) =1

8y, y9

A

BBBBBC

y21 y1y2 y1y3 y1y4 · · ·

y1y2 y22 y2y3 y2y4 · · ·

y1y3 y2y3 y23 y3y4 · · ·

y1y4 y2y4 y3y4 y24 · · ·

......

......

. . .

D

EEEEEF·

A

BBBBBC

x1

x2

x3

x4...

D

EEEEEF

=1

8y, y9

A

BBBBBC

y1x1y1 + y1x2y2 + y1x3y3 + y1x4y4 + · · ·y2x1y1 + y2x2y2 + y2x3y3 + y2x4y4 + · · ·y3x1y1 + y3x2y2 + y3x3y3 + y3x4y4 + · · ·y4x1y1 + y4x2y2 + y4x3y3 + y4x4y4 + · · ·

...

D

EEEEEF

=1

8y, y9

A

BBBBBC

y1 ·1

i$N xiyi

y2 ·1

i$N xiyi

y3 ·1

i$N xiyi

y4 ·1

i$N xiyi...

D

EEEEEF=

18y, y9

A

BBBBBC

y1 · 8x, y9y2 · 8x, y9y3 · 8x, y9y4 · 8x, y9

...

D

EEEEEF


=8x, y98y, y9

A

BBBBBC

y1

y2

y3

y4...

D

EEEEEF=8x, y98y, y9 y

Además,

5P (x)5 =////8x, y98y, y9y

//// =----8x, y98y, y9

---- 5y5 =|8x, y9||8y, y9| 5y5 =

|8x, y9|5y5 ( 5x5 5y5

5y5 = 5x5

por lo que5P5 ( 1

Por otro lado, sea a ) K tal que |a| = 5y5. Entonces,

1 =15y5

|8y, y9||8y, y9| 5y5 =

--=a#1 y, y>--

|8y, y9| 5y5 ( 5P5

Luego, P es proyección normal con 5P5 = 1.

2. Generalizando el punto anterior, consideremos {y1, y2, . . . , yn} ! c0 talque

=yi, yj

>= 0 si i += j. Entonces, el operador

P (x) =n,

i=1

=x, yi

>

8yi, yi9 yi

define una proyección normal con 5P5 = 1. En efecto, notemos que

P (yj) =n,

i=1

=yj , yi

>

8yi, yi9 yi =

#%

&

yi si i = j

0 si i += j

Entonces,

P 2(x) = P (P (x)) = P

;n,

i=1

=x, yi

>

8yi, yi9 yi

<=

n,

i=1

=x, yi

>

8yi, yi9 P (yi)

=n,

i=1

=x, yi

>

8yi, yi9 yi = P (x)

Notar, por lo anteior, que cada Pi(x) ==x, yi

>

8yi, yi9yi define un operador auto-

adjunto y así se tiene,

8P (x), y9 =

?n,

i=1

Pi(x), y

@=

n,

i=1

8Pi(x), y9

=n,

i=1

8x, Pi(y)9 =

?x,

n,

i=1

Pi(y)

@

= 8x, P (y)9


es decir, P es un operador auto-adjunto. Además,

5P (x)5 = max

2--=x, yi>--

|8yi, yi9|//yi

// : i = 1, 2, . . . , n

3

( max

25x5

//yi//

5yi52//yi

// : i = 1, 2, . . . , n

3= 5x5

# 5P5 ( 1

Por otro lado, sea ai ) K tal que |ai| =//yi

// para todo i = 1, . . . , n.Luego,

1 =15yi5

--=yi, yi>--

|8yi, yi9|//yi

// =--=a#1

i yi, yi>--

|8yi, yi9|//yi

// ( 5P5

Así, P es proyección normal con 5P5 = 1.

El siguiente teorema presenta una generalización del punto 2 de la observaciónanterior.

Teorema 3.4. Sea {y1, y2, . . .} una sucesión ortonormal con la propiedad deRiemann-Lebesgue. Entonces, P : c0 & c0 es una proyección normal conR(P ) = [{y1, y2, . . .}] si, y sólo si,

P (x) =!,

i=1

=x, yi

>

8yi, yi9 yi

Demostración.

#6 Supongamos que P : c0 & c0 es una proyección normal con R(P ) =[{y1, y2, . . .}]. Entonces, dado x ) c0, se tiene que P (x) ) R(P ). Luego,existen &i ) c'0, i ) N, tales que

P (x) =!,

i=1

&i(x) yi .

Luego, del hecho que,

=x, yj

>=

=x, Pyj

>=

=Px, yj

>=

? !,

i=1

&i(x)yi, yj

@

=!,

i=1

&i(x)=yi, yj

>= &j(x)

=yj , yj

>

se concluye que

&j(x) ==x, yj

>

8yj , yj9 ,


es decir &i es un funcinal de Riesz. Ahora, definamos

Pi(x) ==x, yi

>

8yi, yi9 yi

y notemos que, como {y1, y2, . . .} una sucesión ortonormal con laPropiedad de Riemann-Lebesgue, se tiene

lımi%!

Pi(x) = lım%!

=x, yi

>

8yi, yi9 yi = 0

por lo que

P (x) =!,

i=1

=x, yi

>

8yi, yi9 yi


"6 Si

P (x) =!,

i=1

=x, yi

>

8yi, yi9 yi

entonces

P (x) =!,

i=1

=x, yi

>

8yi, yi9 yi = lımn%!

n,

i=1

=x, yi

>

8yi, yi9 yi ) [{y1, y2, . . .}] = R(P )

Por otro lado, notemos cada Pi(x) ==x, yi

>

8yi, yi9 yi define un operador auto-

adjunto, además

Pi(yj) =)

yi si i = j0 si i += j

por lo que P 2i = Pi. Luego,

P 2 = lımn%!

n,

i=1

P 2i = lım

n%!

n,

i=1

Pi = P

y así, P es una proyección normal.

3.3. Operadores CompactosDefinición 3.4. Sean E y F espacios de Banach sobre el campo K. Unatransformación lineal T : E & F se dirá compacta si T (BE) es compactoide.

Al igual que el caso clásico, tenemos el siguiente resultado, probado en[3, pág. 142], para operadores compactos en espacios no-arquimedeanos.


Teorema 3.5. Sean E e F espacios de Banach sobre el campo K y seaT ) L(E,F ). Entonces, T es compacto si, y sólo si, para cada $ > 0, existeS ) L(E,F ) tal que S(E) es de dimensión finita y

5T 0 S5 ( $

El siguiente teorema nos muestra cómo construir operadores compactos en c0,considerando sucesiones ortonormales.

Teorema 3.6. Sea (%i) un elemento de c0 y sea {y1, y2, . . .} una sucesiónortonormal con la Propiedad de Riemann-Lebesgue. Entonces, T : c0 & c0

definido por

T (·) =!,

i=1

%iPi(·) ,

dondePi(·) =

8 ·, yi98yi, yi9

yi ,

es un operador compacto y auto-adjunto.

Demostración. Notemos que si (%i) un elemento de c0, entonces 5%i Pi5 &0 cuando i &', por tanto T está bien definida. Por otro lado,

/////Tx0n,

i=1

%iPi(x)

///// =

/////

!,

i=n+1

%iPi(x)

///// (

/////

!,

i=n+1

%i8x, yi98yi, yi9

yi

/////

( max)|%i|

----8x, yi98yi, yi9

---- 5yi5 : i = n + 1, n + 2, . . .

*

( max {|%i| 5x5 : i = n + 1, n + 2, . . .}= 5x5max {|%i| : i = n + 1, n + 2, . . .}

Entonces,/////T 0

n,

i=1

%iPi

///// = supx(=0

5Tx01n

i=1 %iPi(x)55x5

( max {|%i| : i = n + 1, n + 2, . . .}& 0

Como cada Pi tiene rango finito y la convergencia es uniforme, T se convierteen un operador compacto gracias al Teorema 3.5

Observación 3.9. No todo operador compacto es una proyección normal. Enefecto, consideremos el operador Ma, con a = (ai) ) c0 y cuya matriz asociada[Ma] es:

[Ma] =

A

BBBBBBC

a1 0 0 0 . . .0 a2 0 0 . . .0 0 a3 0 . . .

0 0 0. . . . . .

......

......

. . .

D

EEEEEEF


Así,

Ma =!,

i=1

aiPi , donde Pix =8x, ei98ei, ei9

ei = 8x, ei9 ei

es un operador compacto (Teorema 3.5 ) y auto-adjunto, pero no es proyecciónnormal ya que M2

a (ei) = a2i ei += aiei = Ma(ei) (Proposición 3.4 ).

Ahora, sea T un operador compacto y auto-adjunto. La pregunta natural quesurge es ¿ existen (%i) ) c0 y una sucesión de proyecciones normales (Pi) tales

que T =!,

i=1

%iPi?

La respuesta es afirmativa y comenzaremos el estudio con aquellos operadorescompactos y auto-adjuntos de rango finito.

Teorema 3.7. Sea T : c0 & c0 un operador compacto y auto-adjunto conR(T ) = [{y1, y2, . . . , yn}], donde {y1, y2, . . . , yn} es una sucesión ortonormal.Entonces, existen %1,%2, . . . ,%n ) K tal que

T =n,

i=1

%i Pi ,

dondePi =

8·, yi98yi, yi9

yi .

Demostración. Notar que, para cada x ) c0, T (x) es una combinación lineal dela forma

Tx =n,

i=1

&i(x) yi ,

donde &i ) c'0, para i = 1, 2, . . . , n, puesto que T un operador continuo. Así,como T es un operador auto-adjunto se tiene

8x, Tyj9 = 8Tx, yj9 =

?n,

i=1

&i(x)yi, yj

@

= &j(x) 8yj , yj9

Luego,

&j(x) =8x, Tyj98yj , yj9

y por tanto, cada &i es un funcional de Riesz y

Tx =n,

i=1

8x, Tyj98yj , yj9

yi


Ahora, para x ) c0, x fijo, se plantea el siguiente sistema de ecuaciones conincógnitas %i, i = 1, 2, . . . , n

n,

i=1

8x, Tyi98yi, yi9

yi =n,

i=1

%i8x, yi98yi, yi9

yi

o equivalentementen,

i=1

K8x, Tyi98yi, yi9

0 %i8x, yi98yi, yi9

Lyi = 0 <

n,

i=1

18yi, yi9

[8x, Tyi9 0 %i 8x, yi9] yi = 0

<n,

i=1

8x, Tyi 0 %i yi98yi, yi9

yi = 0

Como {y1, y2, . . . , yn} es un conjunto linealmente independiente, se tiene

8x, Tyi 0 %i yi9 = 0

Como x fue elegido de forma arbitraria, se concluye 8x, Tyi 0 %i yi9 = 0 paratodo x ) c0, lo que implica que

Tyi 0 %i yi = 0 < Tyi = %i yi

< 8yi, T yi9 = %i 8yi, yi9

< %i =8yi, T yi98yi, yi9

Así,

Tx =n,

i=1

8x, Tyj98yj , yj9

yi =n,

i=1

8yi, T yi98yi, yi9

8x, yi98yi, yi9

yi =n,

i=1

%i Pi(x)

con%i =

8yi, T yi98yi, yi9

y Pi(x) =8x, yi98yi, yi9

yi

A continuación, generalizaremos el teorema anterior para operadores compactosy auto-adjuntos de rango infinito.

Teorema 3.8. Si T : c0 & c0 es un operador compacto y auto-adjunto, entoncesexiste a = (%n) ) c0 y una sucesión ortonormal {y1, y2, . . .} tal que

T =!,

n=1

%nPn

dondePn =

8·, yn98yn, yn9

yn

es la proyección normal definida por yn


Demostración. Como T es un operador compacto, se tiene X = T (B) escompactoide, donde B es la bola unitaria en c0. Además, cada subespacio uno-dimensional de c0 admite un complemento normal (Corolario 2.6). Por otrolado, como X = T (B) es absolutamente convexo, compactoide y acotado, todasucesión ortogonal en X converge a 0 (Teorema 1.12).Ahora, construiremos una sucesión ortonormal (yn) en X tal que X ! co{yn :n ) N}. En efecto, supongamos que la valuación de K es densa y sea ( ) K talque 0 < |(| < 1. Escogemos ', &1,&2, . . . ) K y v1, v2, . . . ) R tal que

|'|2 < |(|#1

1 < vn < |&n| ; |&1&2 . . .&n| < |'| *n ) N

Se define P0 = Idc0 y se escoge a1 ) P0(X) = X tal que

5a15 . v#11 sup

x$X5P0x5 = v#1

1 supx$X

5x5

El subespacio [{a1}] admite un complemento normal [{a1}]p. Se define laproyección Q0 : c0 & c0 como

Q0(x) =8x, a198a1, a19

a1

la cual resulta ser una proyección normal (Observación 3.8).El operador P1 = P00Q0 : c0 & c0 es también una proyección normal (Corolario3.1) cuyo rango es [{a1}]p. Esta proyección normal es definida por

P1x = x0 8x, a198a1, a19

a1

y satisface las siguientes propiedades

5P15 ( 1 ; P1P0 = P1 ; y P0 0 P1 es una proyección normal

El siguiente paso es escoger a2 ) P1(X) tal que

5a25 . v#12 sup

x$X5P1x5

Como P1(X) ! R(P1) = [{a1}]p, tenemos que 8a1, a29 = 0. Una vez más, comoantes, se define la proyección normal Q1 : c0 & c0 por

Q1(x) =8x, a298a2, a29

a2

Notemos que

Q1P1(x) = Q1

'x0 8x, a19

8a1, a19a1

(

= Q1(x)0 8x, a198a1, a19

Q1(a1) = Q1(x)


Se define P2 = P1 0Q1, y notemos que satisface

P2(x) = (P1 0Q1)(x)= P1(x)0Q1(x)

='

x0 8x, a198a1, a19

a1

(0 8x, a298a2, a29

a2

= x0 8x, a198a1, a19

a1 08x, a298a2, a29

a2

la cual es una proyección normal (Observación 3.8) y por tanto 5P25 ( 1.Además,

P2P1 = (P1 0Q1)P1 = P 21 0Q1P1 = P1 0Q1 = P2

Resumiendo,

P2P0 = P2 ; P2P1 = P2 ; P2P2 = P2

P1 0 P2 = Q1 es proyección normaly R(P2) = [{a1, a2}]p

Siguiendo con el proceso, escogemos a3 ) P2(X) tal que

5a35 . v#13 sup

x$X5P2x5

Otra vez, ya que a3 ) P2(X) ! R(P2) = [{a1, a2}]p tenemos que 8a3, a29 =8a3, a19 = 0.Se define la proyección normal Q2 : c0 & c0 como

Q2(x) =8x, a398a3, a39

a3

Como se hizo anteriormente

Q2P2(x) = Q2

'x0 8x, a19

8a1, a19a1 0

8x, a298a2, a29

a2

(

= Q2(x)0 8x, a198a1, a19

Q2(a1)08x, a298a2, a29

Q2(a2) = Q2(x)

y el operadorP3 = P2 0Q2

es tal que

P3(x) = (P2 0Q2)(x)= P2(x)0Q2(x)

='

x0 8x, a198a1, a19

a1 08x, a298a2, a29

a2

(0 8x, a398a3, a39

a3

= x0 8x, a198a1, a19

a1 08x, a298a2, a29

a2 08x, a398a3, a39

a3


el cual resulta ser una proyección normal (Observación 3.8).Procediendo inductivamente, escogemos una sucesión (ai)i$N ) c0 tal que8ai, aj9 = 0 para i += j, y obtenemos una sucesión (Pi)i$N de proyeccionesnormales en L(c0) tal que

an ) Pn#1(X), 5an5 . v#1n sup

x$X5Pn#1x5

Pn#1 0 Pn = Qn#1 es una proyección normalPnPi = Pn ; i = 0, 1, 2, . . . , n.

Es claro que Pn(c0) ! Pn#1(c0), ya que [{a1, a2, . . . , an#1}] ! [{a1, a2, . . . , an#1, an}]lo cual es equivalente a [{a1, a2, . . . , an}]p ! [{a1, a2, . . . , an#1}]p.También notemos que si i > n, entonces ai ) Pi#1(c0) ! Pn(c0) y Pn(ai) = ai.Por otro lado, si i ( n, entonces

Pn(ai) = ai 0n,

j=1

8ai, aj98aj , aj9

aj = 0

Así,

Qn#1(ai) = (Pn#1 0 Pn)(ai) =)

0 si i += nan si i = n

Tambien, notemos que Qn#1 Pn#1 = Qn#1. En efecto,

Qn#1 Pn#1(x) = Qn#1(Pn#1(x))

= Qn#1

A

Cx0n#1,

j=1

8x, aj98aj , aj9

aj

D

F

= Qn#1(x)0n#1,

j=1

8x, aj98aj , aj9

Qn#1(aj) = Qn#1(x)

ya que Qn#1(aj) = 0, j = 1, 2, . . . , n0 1.Ahora, para cada x ) X y para cada n ) N, % = .x,an/

.an,an/ ) K es tal queQn#1(x) = % an. Por lo tanto,

|%| 5an5 = 5%an5 = 5Qn#1(x)5 = 5Qn#1 Pn#1(x)5( 5Qn#15 5Pn#1(x)5 ( 5Pn#1(x)5

Así,

|%| 5an5 ( 5Pn#1(x)5 ( supx$X

5Pn#1(x)5 ( vn 5an5

# |%| ( vn < |&n| #----

%

&n

---- < 1

# Qn(x) = %an = &n

'%

&n

(an ) &nBKan


Esto dice que

Pn(X) ! Pn#1(X)0Qn(X) ! Pn#1(X)0 &nPn#1(X)= (10 &n)Pn#1(X)! &nPn#1(X)

y entonces

Pn(X) ! &n&n#1 . . .&1P0(X)= (&n&n#1 . . .&1)X ! 'X, ya que |&1&2 . . .&n| < |'| *n ) N

Así, {a1, a2, . . .} ! 'X. Como {a1, a2, . . .} es una sucesión ortonormal (loque implica que es ortogonal) de un conjunto compactoide 'X, se tiene quelım

n%!an = 0 (Teorema 1.12). Si se define yn = 'an, entonces

lımn%!

yn = 0 ; yn ) '2X ! (#1X ; y 8yi, yj9 = 0 para i += j,

Se afirma que X ! co{y1, y2, . . .}. En efecto, sea x ) X, entonces

5Pn(x)5 ( supx$X

5Pn(x)5 ( vn 5an5

( |&n| 5an5 < ' 5an5

lo cual implica quelım

n%!Pn(x) = 0

De esto

x = P0(x) =!,

n=1

(Pn#1(x)0 Pn(x)) =!,

n=1

Qn#1(x)

y ya que

Qn#1(x) ) &nBKan =&n

'BK'an =

&n

'BKyn ! co{y1, y2, . . .}

se prueba que x ) co{y1, y2, . . .}, esto es,

x =!,

n=1

*n(x)yn, |*n(x)| ( 1

Ahora, sabemos que para todo u = (un) ) c0, existe n ) N tal que 5u5 = |un|;escogemos n0 = mın{n ) N : 5u5 = |un|}. De la linealidad de T , obtenemos

T (u) = "uT

'1"u

u

(= "u

!,

n=1

*nyn

=!,

n=1

"u*nyn =!,

n=1

gn(u)yn


donde |"u| = |un0 | = 5u5. Notemos que cada gn es un funcional lineal continuoy |gn| ( 1.Por la ortogonalidad de {y1, y2, . . .} respecto de 8·, ·9, tenemos que

8Tx, yi9 =

? !,

n=1

gn(x)yn, yi

@= gi(x) 8yi, yi9

y, como T es auto-adjunto, tenemos que

gi(x) =8Tx, yi98yi, yi9

=8x, Tyi98yi, yi9

Esta expresión nos dice que cada gi es un funcional de Riesz y

Tx =!,

n=1

8x, Tyn98yn, yn9

yn

Por otro lado, si definimos

TNx =N,

i=1

8x, Tyi98yi, yi9

yi

Entonces

5Tx0 TNx5 =

/////

!,

i=N+1

8x, Tyi98yi, yi9

yi

/////

= max)----8x, Tyi98yi, yi9

---- 5yi5 : i = N + 1, N + 2, . . .

*({y1, y2, . . .} es ortogonal)

( max{5x5 5gi5 5yi5 : i = N + 1, N + 2, . . .}( 5x5max{5yi5 : i = N + 1, N + 2, . . .}

De esto, obtenemos que

5T 0 TN5 = sup5Tx0 TNx5

5x5 ( max{5yi5 : i = N + 1, N + 2, . . .}& 0

esto es,

T = lımn%!

Tn < T =!,

n=1

8·, T yn98yn, yn9

yn

y la convergencia es uniforme.Ahora, para n ) N y x ) c0, ambos fijos, definimos el siguiente sistema deecuaciones para incógnitas %i, i = 1, 2, . . . , n

Tnx =n,

i=1

8x, Tyi98yi, yi9

yi =n,

i=1

%i8x, yi98yi, yi9

yi (-)


Analicemos la existencia de soluciones del sistema:

(-) =#n,

i=1

'8x, Tyi98yi, yi9

0 %i8x, yi98yi, yi9

(yi = 0

=#n,

i=1

18yi, yi9

(8x, Tyi9 0 %i 8x, yi9)yi = 0

=#n,

i=1

18yi, yi9

(8x, Tyi 0 %iyi9)yi = 0

Ahora, como {y1, y2, . . . , yn} es linealmente independiente, se concluye que, paracada i = 1, 2, . . . , n,

8x, Tyi 0 %iyi9 = 0

Ahora, como x fue elegido de forma arbitraria, se tiene que 8x, Tyi 0 %iyi9 = 0para todo x ) c0, lo cual implica

Tyi 0 %iyi = 0 < Tyi = %iyi

y entonces

8Tyi, yi9 = %i 8yi, yi9 < %i =8Tyi, yi98yi, yi9

Así,

Tnx =n,

i=1

8x, Tyi98yi, yi9

yi =n,

i=1

8Tyi, yi98yi, yi9

8x, yi98yi, yi9

yi =n,

i=1

%i Pi(x)

con%i =

8yi, T yi98yi, yi9

y Pi(x) =8x, yi98yi, yi9

yi

Capítulo 4

El Espacio E"

En este capítulo mostraremos algunas generalizaciones de los resultadosobtenidos en el capítulo 2. Comenzaremos definiendo el espacio E!.

Sea K un campo completo con respecto a una valuación no arquimedeana y sea" = ("i)i-0 una familia de elementos no nulos de K. Entonces, denotaremos porE! al espacio

c0

'N, K,

!|"i|1/2

"

i-0

(=

2x : N & K/x =

,

i$I

xi ei : lımi%!

|xi| |"i|1/2 = 0

3

Observación 4.1. Notemos que !!(X : s) es un espacio de Banach bajo lanorma

5f5s = sup{|f(x)| s(x) : x ) X} ,

donde s : X & (0,+') es una función (ver [3], Ejemplo 3.H, p. 49). Además,c0(X : s) es un subespacio cerrado de !!(X : s). Luego, considerando X = Ny s : N & (0,+'), i 3& |"i|1/2, entonces E! = c0(N : s), es decir, E! es unespacio de Banach.

Observación 4.2. Notar que 5ei5! = |"i|1/2, donde ei = ()ij)j-0, con )ij deltade Kronecker.

Para x =!,

i=1

xiei ) E!, e y =!,

i=1

yiei ) E!, la forma

8x, y9! =!,

i=1

xi yi wi

resulta ser una forma bilineal simétrica.

70

CAPÍTULO 4. EL ESPACIO E! 71

Observación 4.3. Notemos que, dados x, y ) E!

|8x, y9!| =

-----

!,

i=1

xiyi "i

----- ( maxi$N

|xi| |yi| |"i|

= maxi$N

|xi| |"i|1/2 |yi| |"i|1/2

( 5x5! 5y5!

De aquí en adelante, supondremos que para cada "i existe µi ) K, tal que"i = µ2

i , i ) N. Un ejemplo de un campo no-arquimedeano que cumple con lacondición anterior es el campo R de Levi-Civita (Ver [6]).

El siguiente resultado es una generalización del Teorema 2.5

Teorema 4.1. La forma bilineal simétrica, definida anteriormente, es unproducto interior no-arquimedeano sobre E! la cual induce la norma originaldel espacio si, y sólo si, el campo de clases residuales de K es formalmente real.En este caso,

|8x, x9!| = 5x52! =

-----

!,

i=1

x2i "i

-----

Demostración.

"6 Supongamos que el campo de clases residuales de K es formalmentereal. Como 8·, ·9! es una forma bilineal simétrica, basta mostrar que éstainduce la norma original del espacio. En efecto, consideremos (!(x) ={i1, i2, . . . , in}, y recordemos que "i = µ2

i , para cada i ) N. De estose tiene que |xi µi| = |xi| |"i|1/2 = 5x5!, para i ) (!(x), y |xi µi| =|xi| |"i|1/2 < 5x5!, para i += (!(x). Además,

------

,

i ($#!(x)

x2i µ2

i

------=

------

,

i ($#!(x)

x2i "i

------( max

4--x2i

-- |"i| : i +) (!(x)5

< 5x52!

Ahora, como {xi1 µi1 , xi2 µi2 , . . . , xin µin} es un conjunto finito de K,podemos utilizar el Teorema 2.1 para obtener

------

,

i$#!(x)

x2i µ2

i

------=

------

,

i$#!(x)

x2i "i

------= 5x52!

Así,|8x, y9!| ( 5x5! 5y5! = 5x5 5y5

lo cual muestra que 8·, ·9! es un producto interior que induce la norma deE!, donde 5·5 = |8·, ·9!|

1/2.


#6 Ahora, supongamos que 8·, ·9! es un producto interior que induce la normaoriginal del espacio E!. Mostremos que el campo de clases residuales deK es formalmente real. En efecto, sea {%1, . . . ,%n} ! K y consideremosel conjunto finito {%1 µ#1

1 , . . . ,%n µ#1n } ! K. Además, definamos x =

(xi)i$N ) E! como

xi =)

%i µ#1i , i ( n

0 , i > n

Por otro lado, se tiene que--%2

1 + · · · + %2n

-- =--(x1 µ1)2 + · · · + (xn µn)2

--

=--x2

1 "1 + · · · + x2n "n

--

= |8x, x9!|

= max{|%i|2--µ#1

i

--2 |"i| : i = 1, 2, . . . , n}

= max{|%i|2--µ#1

i

--2 |µi|2 : i = 1, 2, . . . , n}= max{|%i|2 : i = 1, 2, . . . , n}

Luego, por el Teorema 2.1, se sigue que el campo de clases residuales deK es formalmente real.

Notemos que si "i = 1 para todo i ) N, entonces el producto interior no-arquimedeano resulta el producto interior trabajado en el capítulo 2.

Corolario 4.1. Si el campo de clases residuales de K es formalmente real,entonces

1. para toda colección finita {ai ) K : |ai| |"i|1/2 = c}, se tiene-----

n,

i=1

a2i "i

----- = c2

2. para todo x, y ) E!,

|8x, x9! + 8y, y9!| = max{|8x, x9!| , |8y, y9!|}.

Demostración.

1. Para t1, t2, . . . , tn ) N se define xti = ai y xt = 0 para otros casos. Así,-----

n,

i=1

a2i "i

----- =

-----

!,

i=1

x2ti

"i

----- = max{|xt|2 |"i| : t ) I} = c2


2. Si |8x, x9!| += |8y, y9!|, entonces el resultado se obtiene directo dela desigualdad triangular fuerte. Supongamos por un momento que|8x, x9!| = 5x52! = 5y52! = |8y, y9!| = 1 y consideremos los conjuntos(!(x) = {t1, t2, . . . , tn} y (!(y) = {s1, s2, . . . , sm}. Así, |xt| |"t|1/2 = 1para t ) ((x) y |xt| |"t|1/2 < 1 para t +) ((x); del mismo modo,|ys| |"s|1/2 = 1 para s ) ((y) y |ys| |"s|1/2 < 1 para s +) ((y).Luego, como el k es formalmente real, podemos aplicar el Teorema 2.1al conjunto {xt1 µt1 , . . . , xtn µtn , ys1 µs1 , . . . , ysm µsm} (donde µk ) K estal que µ2

k = "k para todo k ) N) para obtener

|8x, x9! + 8y, y9!| =--x2

t1 "t1 + · · · + x2tn

"tn + y2s1

"s1 + · · · + y2sm

"sm

--

= max1!i!n

1*j*m

{|xti |2 |"ti | ,

--ysj

--2 --"sj

--}

= 1

Repitiendo el procedimiento anterior, aplicamos el Teorema 2.1 a losconjuntos {xt1 µt1 , . . . , xtn µtn} y {, ys1 µs1 , . . . , ysm µsm} para obtener

|8x, x9!| =

-----

n,

i=1

x2ti

"ti

----- = max1*i*n

|xti |2 |"ti | = 1

y

|8y, y9!| =

------

m,

j=1

y2sj

"sj

------= max

1*j*m

--ysj

--2 --"sj

-- = 1

Así,--x2

t1 + · · · + x2tn

+ y2s1

+ · · · + y2sm

-- = 1

= max

#%

&

-----

n,

i=1

x2ti

"i

----- ,

------

m,

j=1

y2sj

"j

------

67

8

= max{|8x, x9!| , |8y, y9!|}

Si 5x5! = 5y5! += 1, escogemos a ) K tal 5x5! = 5y5! = |a| y se aplicael desarrollo anterior a los elementos v = a#1 x y z = a#1 y.

Observación 4.4. Definamos el espacio

E!"1 = c0

;N, K,

;1

|"i|1/2

<<

y notemos que5ei5!"1 =

1|"i|1/2

=1

5ei5!


donde ei = ()ij)j$N. Entonces, para e'i ) E'! definido en la Observación 2.9,

obtenemos que5e'i5 =

15ei5!

= 5ei5!"1

Además, =x, ei "#1

i

>!

= "#1i xi "i = xi = e'i(x)

es decir, e'i ) E'! es un funcional de Riesz.

Con elementos de la observación anterior, podemos generalizar el resultado dela Proposición 2.3, como lo muestra la siguiente proposición.

Proposición 4.1.cl[{e'i : i ) N}] 4= E!"1

Demostración. Definamos la aplicación lineal

# :[ {e'i : i . 0}] & E!"1

en su base {e'i : i . 0} por #(e'i) = ei. Notar que

5#(e'i)5!"1 = 5ei5!"1 =1

5ei5!

= 5e'i5

es decir, # es una isometría y por tanto inyectiva.Extendemos # a

# : cl[{e'i : i . 0}] & E!"1

la cual resulta ser una isometría por la continuidad de #. Afirmamos que # essobreyectiva. En efecto, para (an)n$N ) E!"1 escribimos

x' =,

n-0

ane'n .

Ahora, comolım

n%!|an| 5e'n5!"1 = lım

n%!|an|

1|"n|1/2

= 0

se tiene que x' está bien definida. En particular,

x' =,

n-0

ane'n = lımn%!

n,

i=0

aie'i ) cl[{ e'i : i . 0 }]

Ahora,

#(x') = lımn%!

n,

i=0

ai#(e'i) = lımn%!

n,

i=0

aiei =,

n-0

anen = (an)

lo que muestra que # es sobreyectiva.


De lo anterior, se sigue de forma natural la siguiente proposición.

Proposición 4.2. Si f ) cl[{e'i : i . 0}], entonces f es un funcional de Riesz.

Demostración. Sea f ) cl[{e'i : i . 1}]. Luego, existe (&i)i$N ) c0 tal que

f =!,

i=1

&i e'i = lımn%!

n,

i=1

&ie'i ) cl[{e'i : i . 1}]

conlım

i%!|&i| 5e'i5 = 0

Ahora,

lımi%!

--&i "#1i

-- 5ei5 = lımi%!

|&i| |"i|#1 |"i|1/2

= lımi%!

|&i| |"i|#1/2

= lımi%!

|&i| 5e'i5 = 0

Por lo tanto, definiendo

y =,

n$N&n "#1

n en ) E!"1

se tiene

f =!,

k=1

&k e'k = lımn%!

n,

k=1

&ke'k

= lımn%!

?·,

n,

k=1

&k "#1k ek

@

!

=

?·, lım

n%!

n,

k=1

&k "#1k ek

@

!

= 8·, y9!lo que muestra que f es un funcional de Riesz.

4.1. Complementos NormalesDado un subsespacio M de E!, denotaremos por Mp al subespacio de todos loelementos x de E!, tales que 8x, y9! = 0, para todo y ) M , es decir,

Mp = {x ) E! : 8x, y9! = 0 for all y ) M }

Supongamos que la valuación de K es densa y consideremos la sucesión (%i) talque 1 < |%1| < |%2| < . . . < 2. Afirmamos que Mp = {0}, donde

M =

#%

&x = (xi) ) E! :,

i-1

xi µi %i = 0

67

8


En efecto, supongamos que existe z = (zi) en Mp, z += 0; se define z = &#1 z,donde & =

1i-1 zi µi %i. Ahora, si x = (xi) ) E!, entonces x0 ' z ) M , donde

' =1

i-1 xi µi %i, ya que,

i-1

(xi 0 ' zi)µi %i =,

i-1

xi µi %i 0 ' &#1,

i-1

zi µi %i =,

i-1

xi µi %i 0 ' = 0

Luego, si b = 8z, z9#1! , entonces

8x, b z9! = 8x0 ' z, b z9! + 8' z, b z9! = 0 + ' b 8z, z9! = '

en particular, para un elemento de la base canónica ei, se tiene

µi %i = 8ei, b z9! = b zi "i

lo que implica1 < |%i| = |b| |zi| |"i|1/2

Lo anterior es una contradicción, pues el miembro derecho de la desigualdadconverge a cero. En otras palabras, Mp = {0}. Esto muestra que existensubespacios cerrados sobre E!, que no admiten un complemento.

Definición 4.1. Sean M y N dos subespacios cerrados de E!. Diremos que Nes un complemento normal de M si

(x ) M , y ) N # 8x, y9! = 0) and E! = M $Mp.

Si tal complemento normal existe para M , entonces diremos que M admite uncomplemento normal.

Definición 4.2. Si una sucesión (xn)n$N de E! satisface que 8x, xn9! & 0, paracada x ) E!, entonces diremos que (xn)n$N tiene la Propiedad de Riemann-Lebesgue.

Ejemplo 4.1. La sucesión (yn), donde yn = ()in µ#1n ), tiene la Propiedad de

Riemann-Lebesgue. En efecto,

|8x, yn9!| =--µ#1

n xn "n

-- =--µ#1

n xn µ2n

-- = |xn µn| = |xn| |"n|1/2 & 0

4.2. Proyecciones NormalesPara un operador lineal T : E! & E!, se definen los conjuntos N(T ) = {x )E! : T (x) = 0} y R(T ) = {y ) E! : y = T (x) para algún x ) E!}. También,se define el conjunto de todos los operadores lineales continuos de E! sobre simismo, como L(E!).Recordemos que, para ei ) E! y e'j ) E!,

e'j = ei : E! & E!

x 3& e'j = ei(x) = e'j(x) ei


es un operador lineal y como además,

//e'j = ei

// = supx(=0

--e'j(x)-- 5ei5!

5x5!

= supx(=0

--e'j(x)-- |"i|1/2

5x5 =//e'j

// |"i|1/2 = 1

se concluye que e'j = ei ) L(E!).

Con lo anterior, podemos dar una caracterización de los operadores linealescontinuos definidos sobre E!.

Proposición 4.3. Sea (ei)i$N base de E!. Entonces, cada u ) L(E!) se puedeescribir como una única serie doble

u =,

j,i

&ij e'j = ei ,

donde &ij ) K, ylım

i%!|&ij | |"i|1/2 = 0 , * j ) N .

Además,

5u5 = supj,i

|&ij | |"i|1/2

|"j |1/2

Demostración. Sean (ei)i$N base de E! y u ) L(E!). Entonces, para cada j ) Nse tiene que u(ej) ) E!. Luego, como (ei)i$N es una base de E!, existen únicos&1j ,&2j . . . ) K, para cada j ) N tales que

u(ej) =,

i$N&ij ei , con lım

i%!|&ij | |"i|1/2 = 0

Se sigue de esto que,

u(x) =,

j$Nxju(ej) =

,

j$N

,

i$N&ij xj ei =

,

j$N

,

i$N&ij e'j(x)ei

=,

j$N

,

i$N&ij e'j = ei(x)

Además,lım

i%!|&ij |

//e'j = ei

// = lımi%!

|&ij | = 0 *j ) N

Así,u =

,

j$N

,

i$N&ij e'j = ei

es una suma puntualmente convergente. Por otro lado, notemos que

5u(ej)55ej5!

( 5u5 *j ) N


Ahora, para cada x ) E!, se tiene

5u(x)5 =

//////

,

j$Nxj u(ej)

//////( sup

j$N|xj | 5u(ej)5 ( sup

j$N

5u(ej)55ej5!

5x5!

por lo que

5u5 = supx(=0

5u(x)55x5!

( supj$N

5u(ej)55ej5!

lo que muestra que

5u5 = supj$N

5u(ej)55ej5!

Así,

5u5 = supj$N

5u(ej)55ej5!

= supj$N

)supi$N

|&ij |5ei5!

5ej5!

*= sup

j,i

|&ij | |"i|1/2

|"j |1/2

Siguiendo las mismas ideas de la Proposición 3.3, se obtiene el siguienteresultado:

Proposición 4.4. Sea u ) L(E!), con u =,

i,j$N&ije

'j = ei. Entonces las

siguientes aseveraciones son equivalentes:

1. u2 = u

2.,

k$N&ik&kj = &ij, para todo i, j ) N.

Observación 4.5. Por lo anterior, si u satisface una de las condicionesProposición 4.4, entonces

8ek 0 u(ek), u(ek)9! =

?(0, . . . , 1GHIJ

k-ésimo, 0, . . .)0 (&1k,&2k, . . .), (&1k,&2k, . . .)

@

!

= 0&21k "1 0 . . .0 &2

(k#1)k "k#1 + &kk(10 &kk)"k 0 . . .

= &kk "k 0,

i$N&2

ik "i

Así, una proyección u será normal si, y sólo si,,

i$N&2

ik "i = &kk "k

De lo anterior y utilizando la Proposición 4.4, se obtiene queu =

1i,j$N &ije'j = ei ) L(c0) es una proyección normal si, y sólo si, u satisface:

1.1

j$N &ij&jk = &ik para todo i, k ) N.

2.1

i$N &2ik "i = &kk "k, para todo k ) N.


4.3. Adjunto de un OperadorDado u ) L(E!), se define

D(u&) = {y ) E! : @ y& ) E! , 8u(x), y9! = 8x, y&9! *x ) E!}

el cual resulta ser un subespacio de E!.Notemos que y& ) E! es único, ya que si existe otro elemento z& ) E! tal que

8u(x), y9! = 8x, z&9! *x ) E! ,

se obtendrá8x, y&9! = 8u(x), y9! = 8x, z&9! *x ) E! ,

lo cual es equivalente a

8x, y& 0 z&9! = 0 *x ) E! ,

es decir, y& = z&.Denotemos L0(E!) = {u ) L(E!) : D(u&) = E!}. Ahora, por la unicidad dey&, podemos definir el operador lineal

u& : E! & E!

y 3& u&(y) = y&

El operador u& se llama adjunto de u, el cual cumple la relación

8u(x), y9! = 8x, u&(y)9! *x, y ) E!

Con lo anterior, podemos dar la siguiente definición.

Definición 4.3. Dado u ) L(E!), se dice que u admite un operador adjunto siexiste u& ) L(E!) tal que

8u(x), y9! = 8x, u&(y)9! *x, y ) E!

En el espacio E!, podemos caracterizar los operadores que admiten adjunto, talcomo lo muestra el siguiente teorema.


i,j

&ij e'j = ei ) L(E!). Entonces, u admite un único

operador adjunto v = u& ) L(E!) si, y sólo si, para cada i . 0 se tiene

lımj|&ij | |"j |#1/2 = 0

Bajo esta condición, obtenemos que

u& =,

i,j

"#1i "j &ji e'i = ej


Demostración. Sean u, v ) L(E!). Luego,

u =,

i,j

&ij e'j = ei y v =,

i,j

'ij e'j = ei

conlım

i|&ij | |"i|1/2 = lım

i|'ij | |"i|1/2 = 0

Además, si (ei)i$I es base ortogonal de E!, entonces

u(ei) =!,

k=0

&ki ek y v(ej) =!,

k=0

'kj ek

Así, v es el adjunto de u si, y sólo si,

8u(ei), ej9! = 8ei, v(ej)9! ,

es decir,

&ji "j =

? !,

k=0

&ki ek, ej

@

!

=

?ei,

!,

k=0

'kj ek

@

!

= 'ij "i * i, j . 0 .

Entonces,'ij = "#1

i "j &ji * i, j . 0

Además, para cada i ) N, se tiene

lımi|&ji| |"i|#1/2 = lım

i|"j |#1 |"i|#1 |"j | |&ji| |"i|1/2

= |"j |#1 lımi

--"#1i "j &ji

-- |"i|1/2

= |"j |#1 lımi|'ij | |"j |1/2 = 0


Observación 4.6. Del teorema anterior se sigue que no todo operador linealcontinuo en E! admite un adjunto. En efecto, consideremos el operador

T : E! & E!

x =!,

i=1

xi ei 3& T (x) =

; !,

i=1

xi

<e1 "#1

1

Luego,

5T5 = supi$N

|T (ei)|5ei5!

=1

|"1|2

por lo que T ) L(E!). Por otro lado, supongamos que T tiene un adjunto T &

tal que T &(e1) = (yi)i$N ) E!. Así, para cada i ) N se tiene que

8 ei, T&(e1)9! = 8T (ei), e19! =

=e1"

#1, e1

>!

= 1

lo cual implica que yi = 1 ,para todo i ) N, lo cual es una contradicción.



i,j

&ij e'j = ei ) L(E!). Entonces, u admite un

operador adjunto si, y sólo si, para cada y ) E!, se tiene

lımi%!

8u(ei), y9! = 0

Demostración.

#6 Supongamos que u admite un adjunto. Tomemos y ) E! y escojamosi ) N. Luego, como

8u(ei), y9! = 8ei, u&(y)9! = ai "i

donde u&(y) = (ai)i$N ) E!, se tiene

lımi%!

8u(ei), y9! = 0

"6 Supongamos que para cada y ) E!, se tiene

lımi%!

8u(ei), y9! = 0

Basta mostrar quelım

j%!|&ij | |"j |#1/2 = 0

En efecto, consideremos i ) N fijo y tomemos cualquier elemento base ek.Así, se tiene

u(ek) =,

i,j-0

&ij e'j(ek) ei

=,

i,j-0

&ij ei

= (&1k,&2k, . . . ,&ik, . . .)

de lo que se sigue que

0 = lımk%!

--=u(ek), ei µ#3i

>!

-- = lımk%!

|&ik| |"k|#1/2

Observación 4.7. Si consideramos un funcional de Riesz f(·) = 8y, ·9!, cony = (yn) ) E!, y += 0, podemos definir el operador lineal continuo u como

u =

A

BBBBBC

y1"1 y2"2 y3"3 y4"4 · · ·0 0 0 0 · · ·0 0 0 0 · · ·0 0 0 0 · · ·...

......

.... . .

D

EEEEEF


Notar que N(u) = N(f) y que su adjunta es

u& =

A

BBBBBC

"#11 (y1 "1) "1 0 0 0 · · ·

"#12 (y2 "2) "1 0 0 0 · · ·

"#13 (y3 "3) "1 0 0 0 · · ·

"#14 (y4 "4)"1 0 0 0 · · ·

......

......

. . .

D

EEEEEF= "1 ·

A

BBBBBC

y1 0 0 0 · · ·y2 0 0 0 · · ·y3 0 0 0 · · ·y4 0 0 0 · · ·...

......

.... . .

D

EEEEEF

Con lo anterior podemos mostrar el siguiente resultado

Proposición 4.5. Si u y u& están definidos como en la observación anterior,entonces

P =1

"1 8y, y9!u& ? u

es una proyección normal.

Demostración. Notemos que la matriz asociada a P está dada por

P =1

8y, y9!

A

BBBBBC

y21"1 y2y1"2 y3y1"3 y4y1"4 · · ·

y1y2"1 y22"2 y2y3"3 y4y2"4 · · ·

y1y3"1 y2y3"2 y23"3 y4y3"4 · · ·

y1y4"1 y2y4"2 y3y4"3 y24"4 · · ·

......

......

. . .

D

EEEEEF

Luego, para probar que P es proyección normal, gracias a la observación 4.5,basta motrar que ,

k$N&ik &kj = &ij , * i, j ) N

y ,

i$N&2

ik = &kk , k ) N

donde&ij =

yiyj"j

8y, y9!En efecto,

,

k-1

&ik&kj =,

k-1

yiyk"k

8y, y9!ykyj"j

8y, y9!

=yiyj"j

8y, y92!

,

k-1

y2k"k

=yiyj"j

8y, y92!8y, y9!

=yiyj"j

8y, y9!= &ij , i, j ) N


y,

i-1

&2ik"i =

,

i-1

y2i y2

k"2k"i

8y, y92!

=y2

k"2k

8y, y92!

,

i-1

y2i "i

=y2

k"2k

8y, y92!8y, y9!

=y2

k"2k

8y, y9!=

ykyk"k"k

8y, y9!= &kk "k , k ) N

El siguiente teorema generaliza la proposición anterior:

Teorema 4.4. Si P : E! & E! es una proyección normal con R(P ) =cl[{y1, y2, . . .}], donde {y1, y2, . . .} es un subconjunto ortonormal finito o unasucesión ortonormal con la Propiedad de Riemann-Lebesgue sobre E!. Entonces,

P (x) =!,

i=1

=x, yi

>!

8yi, yi9!yi

Demostración. Supongamos que P : E! & E! es una proyección normal conR(P ) = [{y1, y2, . . .}]. Entonces, dado x ) E!, se tiene que P (x) ) R(P ). Luego,existen &i ) E'

!, i ) N, tales que

P (x) =!,

i=1

&i(x) yi

Por lo que,

=x, yj

>!

==x, Pyj

>!

==Px, yj

>!

=

? !,

i=1

&i(x)yi, yj

@

!

=!,

i=1

&i(x)=yi, yj

>!

= &j(x)=yj , yj

>!

Así,

&j(x) ==x, yj

>!

8yj , yj9!Ahora, definamos

Pi(x) ==x, yi

>!

8yi, yi9!yi


y notemos que, como {y1, y2, . . .} una sucesión ortonormal con la Propiedad deRiemann-Lebesgue, se tiene

lımi%!

Pi(x) = lım%!

=x, yi

>!

8yi, yi9!yi = 0

por lo que

P (x) =!,

i=1

=x, yi

>!

8yi, yi9!yi .

Bibliografía

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