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TEMA 4Modelos discretos elementales.

Ecuaciones en diferenciasChelo Ferreira Gonzalez

Avicenna (980-1037)


1. Introduccion. Modelos matematicos

2. Metodos numericos. Resolucion de sistemas lineales y ecuaciones no lineales

3. Aproximacion de funciones: interpolacion y ajuste

4. Modelos discretos elementales. Ecuaciones en diferencias

5. Estadstica descriptiva. Analisis de datos

6. Variable aleatoria. Distribuciones de probabilidad

7. Distribuciones de probabilidad importantes

8. Estimacion de parametros por intervalos de confianza

9. Contraste de hipotesis. Introduccion al analisis de la varianza

10. Correlacion y regresion. El modelo de regresion simple


Introduccion a las ecuaciones en diferencias Ecuacion en diferencias de segundo ordencon coeficientes constantes Sistemas de ecuaciones en diferencias

Clases estimadas para este tema: 4 clases


1.INTRODUCCION A LAS ECUACIONES EN DIFERENCIAS

Objetivo: Plantear y resolver modelos deterministas elementalesdiscretos en el tiempo

Problema (Malthus) el tamano de la poblacion en un ano es pro-porcional al tamano en el ano anterior

y(k) = Ay(k 1), A R

Problema (Verhulst) modelo mas realista: el crecimiento esta limi-tado por alguna causa (espacio, alimento,...)

y(k) y(k 1) = Ay(k 1) (M y(k 1)) , A > 0, M R


una ecuacion en diferencias (ED) de orden n relaciona las fun-ciones reales y(k + n), y(k + n 1), . . . , y(k + 1), y(k), n N

ED lineal de orden n con coeficientes constantes

any(k + n) + an1y(k + n 1) + + a1y(k + 1) + a0y(k) = h(k)

si h(k) = 0 se denomina ecuacion homogenea

Propiedad Si y1(k), y2(k), . . . , yn(k) son soluciones de la ED linealhomogenea anterior, entonces cualquier combinacion lineal suyatambien es solucion de la ecuacion.

un conjunto de n soluciones linealmente independientes para unaED lineal homogenea se denomina sistema fundamental de so-luciones.


Propiedad Cualquier solucion de una ED lineal homogenea puedeexpresarse como combinacion lineal del sistema fundamental desoluciones

yh(k) = C1y1(k) + C2y2(k) + + Cnyn(k),

donde las n constantes se determinaran a partir de las n condicio-nes iniciales del problema que vendran dadas en la forma

y(0) = a1, y(1) = a2, , y(n 1) = an

Una solucion particular es una solucion cualquiera de la ecuacioncompleta


Propiedad Si yh(k) es la solucion de la ecuacion homogenea e yp(k)es una solucion particular de la ecuacion completa, entonces la su-ma de ambas soluciones es la solucion de la ecuacion completa.

solucion = solucion homogenea + solucion particular

ED lineal de primer orden con coeficientes constantes

a1y(k + 1) + a0y(k) = h(k)

HOMOG ENEA:

a1y(k + 1) + a0y(k) = 0 y(k + 1) = Ay(k)

solucion (sustituciones sucesivas): y(k) = Aky(0)


2.ED LINEAL DE SEGUNDO ORDEN CON COEFICIENTES CONSTANTES

ED lineal de segundo orden con coeficientes constantes

y(k + 2) + a1y(k + 1) + a0y(k) = h(k) observar el coeficiente de mayor orden

HOMOG ENEA: y(k + 2) + a1y(k + 1) + a0y(k) = 0buscamos las soluciones de la denominada ecuacion caracterstica

s2 + a1s + a0 = 0,

para la que distinguiremos:

1. dos races reales y distintas s1 y s2. y1(k) = sk1, y2(k) = sk2 formanun sistema fundamental. La solucion general de la homogeneasera

yh(k) = C1sk1 + C2s

k2


2. raz real doble s1. y1(k) = sk1, y2(k) = ksk1 forman un sistemafundamental. La solucion general de la homogenea sera

yh(k) = C1sk1 + C2ks

k1

3. dos races complejas conjugadas s1 = a + ib, s2 = a ib. Lasolucion general de la homogenea la podremos escribir en laforma

yh(k) = C1rk cos (k + C2) , r =

a2 + b2, = arctan

(b

a

)Ejercicio: Resolver las siguientes ecuaciones en diferencias:

y(k + 2) 2y(k + 1) 3y(k) = 0, y(0) = 1, y(1) = 2y(k + 1) 6y(k) + 9y(k 1) = 0, y(0) = 2, y(1) = 2


B USQUEDA DE SOLUCIONES PARTICULARES: aplicaremos elmetodo de los coeficientes indeterminados. Consideraremos dosaspectos:

El primer aspecto segun sea la funcion h(k) (vemos las mas senci-llas)

Si es h(k) = dk y d no es solucion de la caracterstica, ensaya-remos soluciones particulares en la forma yp(k) = Adk determi-nando la constante A por substitucion directa en la ecuacion.

Ejemplo. Resolver la EDy(k + 2) 2y(k + 1) 3y(k) = 2k


Si es h(k) = sk y s es solucion de la caracterstica, ensayaremossoluciones particulares en la forma yp(k) = Akdk determinandola constante A por sustitucion directa en la ecuacion. Ademas,iremos aumentando el grado de k en yp(k) por cada una de lasveces que esta repetida la raz.

Ejemplo. Resolver la EDy(k + 1) 3y(k) + 2y(k 1) = 2k

Si es h(k) = kn hay que ensayar un polinomio de grado n en kEjemplo. Resolver la ED

y(k + 2) 2y(k + 1) 3y(k) = 4k


El segundo aspecto que consideraremos es:si h(k) es la suma de funciones conocidas ensayaremos como so-lucion particular la suma de las soluciones particulares para cadafuncion,si fallan las soluciones anteriores propuestas, las multiplicamos pork, k2,... y probaremos si alguna de estas funciona.

Como evoluciona la poblacion para k ? caso de races reales:

- Si los valores absolutos de races < 1 se extingue. Estable

- Si raz de mayor valor absoluto =1 tiende a un proceso estacio-nario (situacion de equilibrio). Neutralmente estable

- Si hay una raz con valor absoluto > 1 crece indefinidamente.Inestable


3.SISTEMAS DE ECUACIONES EN DIFERENCIAS

un sistema de tres ecuaciones en diferencias de primer ordenx(k + 1) = a11x(k) + a12y(k) + a13z(k)

y(k + 1) = a21x(k) + a22y(k) + a23z(k)

z(k + 1) = a31x(k) + a32y(k) + a33z(k)

Xk+1 = AXk, Xk =

x(k)

y(k)

z(k)

, A =

a11 a12 a13

a21 a22 a23

a31 a32 a33

el sistema tiene solucion si la matriz es diagonalizable, por lo quetendremos tres vectores propios independientes (tantos vectorescomo el numero de ecuaciones en diferencias del sistema)


supongamos que 1, 2,..., n, son los n valores propios de vectorespropios v1, v2,..., vn, de un sistema de n ecuaciones en diferenciasde orden 1. Entonces, la solucion viene dada por

Xk = C1k1v1 + C2

k2v2 + + Cnknvn

Un caso de sistemas de ED son los denominados procesos deMarkov, y verifican

- Todos los elementos de la matriz son no negativos.

- La suma de los elementos de cada columna es exactamente 1.

- Uno de los valores propios es siempre 1.

- Los demas valores propios tienen valor absoluto menor que 1.


la estabilidad de las soluciones de un sistema de ED viene dadopor la norma del vector solucion Xk cuando k :

- Si tiende a 0 la poblacion se extingue y el sistema es estable.

- Si tiende a un valor estacionario denominado poblacion de equi-librio el sistema es neutralmente estable.

- Si tiende a la poblacion crece indefinidamente y el sistemaes inestable.

los valores absolutos de los valores propios gobiernan la estabilidaddel sistema:

- Si los valores propios tienen valor absoluto < 1, el proceso esestable.


- Si todos los valores propios tienen valor absoluto 1 el procesoes neutralmente estable. El estado estacionario (de equilibrio)se determina con el vector propio asociado al valor propio 1.

- Si alguno de los valores propios tiene un valor absoluto > 1,entonces el proceso es inestable.

Problema Los ratones tienen dos caminos: el A con un trozo dequeso y el B con queso y descarga electrica. Aprenden cada da,de modo que si un da van al A, al siguiente da el 90 % va al A y el10 % al B; mientras que los que van al B un da, al da siguiente el70 % va al A y el resto sigue por el B.

- Construir la matriz del proceso, es de Markov?

- Que ocurrira en una situacion de tiempo indefinido?


Si denominamos Ak los que van por el camino A en el da k y Bk losque van por B, entonces tendremos:

Ak+1 = 0.9Ak + 0.7BkBk+1 = 0.1Ak + 0.3Bk

(AB

)k+1

=

(0.9 0.7

0.1 0.3

)(AB

)k

claramente es un proceso de Markov.

Los valores propios son 1 y 0.2. El vector propio asociado al valorpropio 1 es (7, 1).

Sobre el total de ratones (7+1=8), tendremos que a lo largo deltiempo el 87.5 % (7 de 8) ira por el camino A, y el 12.5 % (1 de 8)ira por el camino B .

introducccinorden1sistema

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