Tema 8: Geometría analítica. Problemas afines y …eues.ugr.es/wiris/images/stories/file/mates1/tema8maI/Tema8maI.pdf · RESOLUCIÓN DE EJERCICIOS GUIADOS TEMA 8. Geometría analítica

Tema 8: Geometría analítica. Problemas afines y métricos.

Ejercicio 1.

Hallar las coordenadas de PQ y las de QP , siendo )3,5(P y ).1,7(Q

Solución:

)2,12()31,57()35()1,7( PQ

)2,12()13,75()1,7()3,5( QP - Ahora lo resolveremos con Wiris:

Figura 1.

Enlace con el ejercicio resuelto en la Web:

Ejercicio 2.

Comprobar si los puntos , y están alineados. )1,2( A )1,6(B )2,8(C Solución:

Para ver si A, B, C están alineados, hemos de comprobar si las coordenadas de los vectores AB y BC son

proporcionales:

MATEMATICAS I EDUCANDO CON WIRIS

)1,2(

)2,4(

BC

AB Evidentemente son proporcionales. Por tanto, los puntos A, B y C están alineados.

- Ahora lo resolveremos con Wiris:

Figura 2.

Figura 3.

Figura 4.


2

RESOLUCIÓN DE EJERCICIOS GUIADOS TEMA 8. Geometría analítica.

Ejercicio 3.

Averiguar el valor de m para que )2,5(),4,1( QP y estén alineados. ),6( mRSolución:

Para ver si A, B, C están alineados, hemos de comprobar si las coordenadas de los vectores AB y BC son

proporcionales:

5,34

62

2

6

1

4

)2,1(

)6,4(

mmmmQR

PQ


Figura 5.

Figura 6.


3


Ejercicio 4.

Hallar el punto medio del segmento de extremos )2,5(A y )4,7( B .

Solución: Las coordenadas del punto medio, M, son la semisuma de las coordenadas de los extremos del segmento:

)1,1(2

)4(2,

2

75

M


Figura 7.


Ejercicio 5.

Hallar el simétrico, A', del punto respecto de )4,7(A )11,3( P .

Solución:

Llamamos a las coordenadas de . Se cumple que: )''.( yx 'A )26,1('26'

1'

112

'4

32

'7

Ay

xy

x

4


5

Ahora lo resolveremos con Wiris:

Figura 8.

-

Figura 9.


Ejercicio 6.

punto P en el segmento MN tal que la distancia de M a P sea la

itad de la distancia de P a N.

Solución:

;

Si )4,7(M y )1,2(N , hallar un

m

; )1,3(3

1 MNMP MNMPPNMP

11 )3,9()47()1,2( MN

32

)3,4()1,3()4,7( OP MPOM


6

as coordenadas del punto P son (4,3).


Figura 10.

L -

Figura 11.


Ejercicio 7.

ar la ecuación vectorial y paramétricas de r: D


Solución:

Figura 12. )6,3(p Vector posición:

)2,3(d Vector dirección:

7

Ecuación vectorial: dtpOX

)2,3()6,3( tOX

Ecuaciones paramétricas:


Figura 13.

ty

tx

26

33

-

Figura 14.

Figura 15.


Figura 16.


Ejercicio 8.

allar las ecuaciones paramétricas de la recta que pasa por )1,3( A H y

olución:

ector posición:

)5,1(B . S

)1,3( p V

)6,2()15,31( ABd Vector dirección:

Ecuaciones paramétricas: )(

Tomando como vector posición

ty

tx

61

23

)5,1('p y como vector dirección cualquiera paralelo a d , por ejemplo )3,1(' d ,

bas se obtienen los mismos puntos.

Obtenemos las ecuaciones: )(

as ecuaciones y son equivalentes, es decir, con am

sy

sx

35

1

)( )(L

8


Por ejemplo, tomando las ecuaciones , para , )( 54234 xt 23461 y , obtenemos

el punto (-5,23). Este punto se obtiene con las ecuaciones )( dándole al parámetro s el valor . )6s(6


Figura 17.

Figura 18.

Figura 19.

9


Figura 20.


Ejercicio 9.

Dada la recta r:

ty

tx

27

53

a) Obtener puntos de r.

b) Dados y )4,10(P )7,38( Q . ¿Pertenecen P y Q a r?

c) Hallar el valor de m para que pertenezca a r. ),7( mR

Solución: a) Obtenemos puntos de r:

0t );7,3( 1t );5,8( 3t );13,12( ...

b) ¿Pertenece a )4,10(P r ? 2/3

5/13

274

5310

t

t

t

t

Los dos valores de t son distintos. Por tanto, no pertenece a P r .

¿Pertenece a )7,38( Q r ? 7

7

277

5338

t

t

t

t

10


Los dos valores de t son el mismo. Por tanto, sí pertenece a Q r .

c) Hallamos para que pertenezca a m ),7( mR r :

11)2(27

2

27

537

mm

t

tm

t

Hallamos pertenece a )11,7(R r . Se obtiene dándole a el valor -2. t


Figura 21.

Figura 22.

11


Figura 23.


Ejercicio 10.

ty

txr

1

23:1

ty

txr

3

21:2

ty

txr

22

47:3

Hallar: a) Ángulo de y . 1r 2r

b) Ángulo de y . 1r 3r

Solución: a) Los vectores dirección de y son, respectivamente, 1r 2r )1,2( y )3,2( .

'44º29868,0135

7

)3,2()1,2(

)3,2()1,2(cos

Por tanto, y forman un ángulo de 29º44'. 1r 2r b) Los vectores dirección de y son y 1r 3r )1,2( )2,4( .

º01100

10

205

10

)2,4()1,2(

)2,4()1,2(cos

1r y forman un ángulo de 0º, es decir, o son paralelas o son la misma recta. 3r

12



Figura 24.

Figura 25.

Figura 26.

13



Ejercicio 11.

Hallar una recta paralela y otra perpendicular a que pasen por .

ty

txr

27

53: )4,6(P

Solución:

r que pasa por es: P

ty

tx

24

56La recta paralela a

r que pasa por es: P

ty

tx

54

26La recta perpendicular a


Figura 27.


14


Ejercicio 12.

Determinar la posición relativa de estas rectas:

ty

txr

3

5:1

sy

sxr

36

21:2

Solución:

st

st

363

215

633

62

st

st

2

62

st

st

2

4

t

s

Solución única. Se cortan en un punto.

Punto de corte o bien

6)2(3

7)2(5

0

0

y

x

6436

7421

0

0

y

x

Las dos rectas se cortan en el punto . )6,7( - Ahora lo resolveremos con Wiris:

Figura 28.

Figura 29.

15



Ejercicio 13.

Hallar la posición relativa de:

ty

txr

35

2:1

sy

sxr

63

2:2

Solución:

st

st

6335

22

263

22

st

st

)22(3

22

s

st

80266626 ssss El sistema no tiene solución. Por tanto, las rectas son paralelas ya que no tienen ningún punto común. - Ahora lo resolveremos con Wiris:

Figura 30.


16


Ejercicio 14.

Determinar la posición relativa de estas rectas:

ty

txr

35

2:1

sy

sxr

611

2:2

Solución:

st

st

61135

22

663

22

st

st

Multiplicando la 1ª por 3 y sumándole la 2ª )ª2ª13( , se obtiene 000 st . El sistema tiene infinitas soluciones. Las rectas son la misma, pues tienen infinitos puntos en común. - Ahora lo resolveremos con Wiris:

Figura 31.


Ejercicio 15.

Obtener la ecuación implícita de la recta:

ty

txr

26

33:

17


Solución: Multiplicamos la primera ecuación por 2: tx 662 Multiplicamos la segunda ecuación por 3: ty 6183 Restamos: 1232 yx La ecuación implícita es 01232 yx - Ahora lo resolveremos con Wiris:

Figura 32.


Ejercicio 16.

Obtener las ecuaciones paramétricas de la recta: 0115: yxr

Solución: Primer método. Igualamos al parámetro una de las variables:

18

tx r 115tyty

tx

511:

Segundo método. El vector es perpendicular a )1,5( r . Por tanto, el vector es paralelo a )5,1( r . Lo

tomamos como vector dirección. )5,1(d


Para obtener el vector posición, necesitamos un punto de r . Lo hallamos dando un valor a una de las variables.

Por ejemplo:

0x Un vector posición es . 11y )11,0(

Las ecuaciones paramétricas son:

ty

tx

511

0


Figura 33.


Ejercicio 17.

Hallar las pendientes de las rectas que pasan por:

a) ) b) ),1,2(A 4,5(B ),2,4(P )7,1(Q Solución:

),1,2(A )4,5(B Pendiente 7

3

)2(5

14

m

),2,4(P Pendiente )7,1(Q3

5

3

5

41

27

m

19



Figura 34.

Figura 35.


Ejercicio 18.

Hallar la ecuación de la recta que pasa por )7,5( y tiene pendiente .4/3m Solución:

)5(4

37 xy 153284 xy 01343 yx

La ecuación implícita de la recta buscada es: 01343 yx

20



Figura 36.

Figura 37.


Ejercicio 19.

Hallar la ecuación de la recta que pasa por: )1,2(A y . )4,5(B Solución:

Pendiente: 7

3

)2(5

14

m

La forma punto-pendiente se puede obtener tomando el punto A o el punto B . Son la misma recta y, por tanto,

adoptan la misma ecuación.

21


22

Punto )1,2(A )2(7

31 xy 01373 yx

Punto )4,5(B )5(7

34 xy 01373 yx


Figura 38.


Ejercicio 20.

Hallar la ecuación de la recta que pasa por )5,2( y . )5,7( Solución:

Pendiente: 027

55

m La ecuación es: 5y

Podríamos haberlo advertido sin necesidad de hallar la pendiente: si pasa por dos puntos de ordenada 5 es,

necesariamente, la recta (todos sus puntos tienen esa ordenada). 5y



Figura 39.


Ejercicio 21.

Hallar la ecuación de la recta que pasa por y . )8,3( )6,3( Solución: Es una recta paralela al eje . No tiene pendiente. 3: xY No se puede poner de forma explícita. (¡Atención! No es correcto decir que su pendiente es infinita).


Figura 40.


23


Ejercicio 22.

Hallar una recta perpendicular y otra paralela a 0452: yxr que pasen por ).0,3(P Solución:

Pasamos la ecuación a forma explícita: .5

4

5

2 xy La pendiente es

5

2m .

La pendiente de una recta perpendicular a ella es: .2

51

mLas rectas buscadas son:

PARALELA: )3(5

2 xy

PERPENDICULAR: )3(2

5 xy


Figura 41.

24


Figura 42.


Ejercicio 23.

Hallar el ángulo que forman estas rectas: ,53 xy .12 xy Solución:

Sus pendientes son ,31 m .22 m

25

El ángulo que forma es: 15

5

3)2(1

3)2(

tg º45


Figura 43.



Ejercicio 24.

Hallar la posición relativa de los siguientes pares de rectas:

a) b) c)

063

0543

yx

yx

0442

042

yx

yx

0842

042

yx

yx

Solución:

a)

063

0543

yx

yx

3,101313054)63(3

63

xyyyy

yx

Se cortan en el punto (3,-1).

b)

0442

042

yx

yx.01200)ª2()ª1(2 yx Imposible.

El sistema no tiene solución. Por tanto, las rectas son paralelas. (Podríamos haberlo advertido sin resolver el sistema observando que los coeficientes de x e son

proporcionales, pero los términos independientemente no guardan la proporcionalidad

y

4

4

4

2

2

1

c)

0842

042

yx

yx

IntermedioSistema

yx 0000)ª2()ª1(2

El sistema tiene infinitas soluciones. Por tanto, son la misma recta.

(Podríamos haberlo advertido sin resolver el sistema observando que sus términos son proporcionales. Es decir,

que son, en esencia, la misma ecuación).


Figura 44.

26


Figura 45.

Figura 46.

Figura 47.

27


Figura 48.

Figura 49.


Ejercicio 25.

Los puntos de coordenadas y ),8,3(P )3,11(Q )2,8( R son vértices de un triángulo.

a) Comprueba que el triángulo es isósceles.

b) Halla el área del triángulo.

28


Solución: a) Las longitudes de sus lados son:

221)83()311(),( 22 QPd

221)82()38(),( 22 RPd

34)32()118(),( 22 RQd Como , el triángulo es isósceles. ),(),( RPdQPd

b) Tomaremos como base QR . La altura es la distancia de P a QR .

Ecuación de 04635)11(3

53

3

5

118

32

yxxymQR

Altura34

85

35

468335),(

22

QRPd

2

85

34

8534

2

1Área

Como el triángulo es isósceles, también se puede calcular la altura como la distancia entre P y el punto medio de

.QR


Figura 50.

29


Figura 51.

Figura 52.


Ejercicio 26.

Encuentra el punto de la recta 0784: yxr que equidista de los puntos y )1,2(A )3,1( B . Solución: Sea el punto que buscamos. ),( yxP

BPAP 0582)3()1()1()2( 2222 yxyxyx

Como, además, P debe ser un punto de la recta dada 0784 yx

8

1,2PResolviendo el sistema obtenemos el punto buscado:

30



Figura 53.

Figura 54.

Figura 55.

31



Ejercicio 27.

Halla la ecuación de las rectas paralelas a 0643: yxr que disten de ella 2 unidades. Solución: Las rectas paralelas a r tienen por ecuación .043 kyx La distancia de un punto cualquiera de P r a esa recta debe ser igual a 2. Para ; obtenemos 0064)2(32 yyx ).0,2(P

1062)4(3

04)2(3),(

22

k

krPd

4106

16106

kk

kk

32

Hay dos soluciones: 01643: yxs 0443: yxt y - Ahora lo resolveremos con Wiris:

Figura 56.


Figura 57.

Figura 58.


Ejercicio 28.

Un rombo tiene el vértice A en el eje de abscisas. Otros dos vértices opuestos son y

. Halla y .

)1,3(B

)3,5( D A C

Solución: Las diagonales del rombo son perpendiculares en su punto medio (cada una es mediatriz de la otra). El punto A está en la diagonal . Hallamos la ecuación de : AC AC

33


.

Re

0,

032:)1(21

22

1

53

31

)1,1(2

31,

2

53

Apuntoelobtenemos

sistemaelsolviendo

yabscisasdeeje

elenéstáAComoyxAC

xy

ACdePendiente

BDdePendiente

M

34

032 x 2

3x , 0y

0,

2

3A

El vértice C es el simétrico de respecto de A M . Escribimos esta condición:

2,2

1)1,1(

2

0,

2

2/3yx

yx

2,

2

1C


Figura 59.

Figura 60.


Figura 61.

Figura 62.

Figura 63.

Figura 64.

Figura 65.

35



Ejercicio 29.

En el triángulo de vértices , y )0,2(A )1,0(B )2,3( C halla: a) El ortocentro.

b) El circuncentro. Solución: a) El ortocentro es el punto de intersección de las alturas.

:ch Altura que parte de C y es perpendicular a .AB

042)3(22:2,2

1 yxxymm

chAB

:bh Altura que parte de B y es perpendicular a .AC

02252

51:

2

5,

5

2 yxxymm

bhAC

36

Punto de intersección de y Ortocentro: ch :bh

0225

042

yx

yx

3

8,

3

2H

b) El circuncentro es el punto de intersección de las mediatrices.

:ct Mediatriz sobre . Punto medio de AB 2;2

1,1,

ctmAB

0324)1(22

1 yxxy

:ct Mediatriz sobre . Punto medio de AC2

5;1,

2

1,

btmAC

094102

1

2

51

yxxy

Punto de corte: Circuncentro:

09410

0324

yx

yx

6

11,

6

1C



Figura 66.

Figura 67.a. Figura 67.b.


Ejercicio 30.

En el triángulo conocemos el vértice, ABC );3,2(A la ecuación de la altura que parte de

; y la mediana que parte del mismo vértice,

,C

0823 yx 0154 yx . Halla los vértices B y .C

Solución:

Vértice C (punto de corte de las rectas)

0154

0823

yx

yx)5,6(C

37


Para obtener el vértice buscamos el punto medio de como intersección de y de la mediana que

parte de

,B AB AB

.C

Ecuación de , lado perpendicular a la altura AB :ch

0532)2(3

23)3,2(,

3

2 yxxyAmAB

AB 0532 yx

)1,1(M Vértice 0154 yx

B :

112

3

412

)2(

yy

xx

)1,4( B Punto medio de


Figura 68.

Figura 69.

Figura 70.

38


Figura 71.

Figura 72.

Figura 73.

Figura 74.


Ejercicio 31.

Dados los dos puntos y , escribe la condición que deben cumplir las coordenadas del

punto para que el triángulo sea:

)1,1(A )3,5(BABC),( yxC

a) Isósceles, con el lado desigual. ABb) De área 5. c) Equilátero. d) Rectángulo en C .

39


Solución: a) Si el triángulo es isósceles:

2222 )3()5()1()1( yxyxBCAC 083 yx

b) Tomamos como base 102)13()15( 22 AB

Hallamos la altura: 10

5102

2

15 hh

El punto debe cumplir C10

5),( ABCd

Ecuación de 043: yxAB

10

5

10

43),(

yxABCd 013 yx 093 yx

c) El punto C estará en cualquiera de las dos rectas paralelas a a una distancia igual a la altura. ,AB

Debe ser 102 ACAB y BCAC , condición de a).

xyyxBCAC

yxAC

38083

40)1()1(102 22

Resolvemos este sistema

Las soluciones son: 332,32 y 332,32

C puede ser cualquiera de esos puntos.

d) Para que sea rectángulo en : C 0 CBCACBCA

0)3,5()1,1( yxyx 024422 yxyx

Ecuación que verificará . C

40



Figura 75.

Figura 76.

41


Figura 77.

Figura 78.

Figura 79.

Figura 80.

42


Figura 81.

Figura 82.

Figura 83.

Figura 84.


43

Documents

Tema 8: Geometría analítica. Problemas afines y …eues.ugr.es/wiris/images/stories/file/mates1/tema8maI/Tema8maI.pdf · RESOLUCIÓN DE EJERCICIOS GUIADOS TEMA 8. Geometría analítica