Tema 4 Introducci on a la interpolaci on y a la integraci ...Tema 4: Introducci on a la interpolaci on y a la integraci on num erica. 3 donde, para cada i 2f0;1; ;ng, L i(x) es el

Tema 4

Introduccion a la interpolacion ya la integracion numerica

1. Introduccion a la interpolacion

Un problema que se presenta con frecuencia en las ciencias experimentales y eningenierıa es tratar de construir una funcion (denominada “funcion interpolante”)de la que se conoce una serie de valores en ciertos puntos (denominados “datosde interpolacion”). Estos datos pueden ser obtenidos, por ejemplo, a partir de ob-servaciones realizadas en un determinado experimento. El objetivo sera determinaruna funcion cuyos valores en los puntos considerados coincidan con los datos y queademas sea facil de construir y manipular. Por su sencillez y operatividad los po-linomios se usan frecuentemente como funciones interpolantes. En ocasiones, esteproblema comprende tambien otros datos, especialmente los valores de las derivadasde la funcion en ciertos puntos.

1.1. Generalidades

Un problema de interpolacion en general puede enunciarse de la siguiente forma:

Dado un conjunto de datos, generalmente valores de una funcion y/o sus de-rivadas en determinados puntos xi, i = 0, 1, · · · , n, que llamaremos nodos,nuestro objetivo es construir otra funcion que coincida con la funcion dada enlos datos de interpolacion.

Segun el tipo de los datos de interpolacion, podemos considerar los siguientestipos de interpolacion:

Interpolacion de Lagrange: Conocemos los valores de la funcion f (xi) en n+1puntos distintos, xi, i = 0, 1, · · · , n

Interpolacion de Taylor: Los datos son el valor de la funcion y sus derivadassucesivas en un punto x0 hasta el orden n.

f i) (x0), i = 0, 1, · · · , n.

Interpolacion de Hermite: Disponemos de los valores de una funcion y de al-gunas de sus derivadas sucesivas en determinados puntos. Por ejemplo, f (xi)y f ′ (xi) en n+ 1 puntos distintos, xi, i = 0, 1, · · · , n

1

2 Calculo Numerico I

En general, las funciones interpolantes forman un espacio vectorial de dimensionfinita, es decir son del tipo:

ψ (x) = a0 ψ0 (x) + a1 ψ1 (x) + · · · + an ψn (x),

donde ψ0 (x), ψ1 (x), · · · , ψn (x), son funciones dadas que forman base del espaciovectorial correspondiente y ai, i = 0, 1, · · · , n numeros reales a determinar.

Dependiendo del tipo de funciones que utilicemos como funciones interpolantes,la interpolacion se llamara polinomica, racional, trigonometrica, spline polinomi-co,... Entre las diferentes funciones interpolantes, por su sencillez y facilidad paraoperar, los polinomios son los utilizados con mayor frecuencia en problemas de in-terpolacion, en este caso las funciones de base son ψi (x) = xi, i = 0, 1, · · · , n. Sinembargo, no siempre dan una respuesta satisfactoria, especialmente si la solucion delproblema requiere el uso de polinomios de alto grado o, por ejemplo, si se observaun comportamiento periodico en los datos de interpolacion.

Por simplicidad, nos centraremos en este Tema en el estudio del caso particularde la interpolacion polinomica de Lagrange.

1.2. La interpolacion de Lagrange

El problema de la interpolacion polinomica de Lagrange consiste en lo siguiente:

Conocidos los valores de una funcion f en n + 1 puntos distintos xi, i =0, 1, · · · , n de un intervalo [a, b], nos planteamos obtener un polinomio Pn degrado no superior a n, que coincida con la funcion f en estos n+ 1 puntos, esdecir,

Pn (xi) = f (xi), para i = 0, 1, · · · , n.

El polinomio Pn buscado forma parte del conjunto de los polinomios de gradomenor o igual que n y, por tanto, Pn (x) sera de la forma

Pn (x) = an xn + an−1 x

n−1 + · · · + a1 x + a0,

y, para determinarla, habra que hallar los n + 1 coeficientes reales a0, a1, · · · , an.En el caso que an sea no nulo, diremos que Pn (x) tiene exactamente grado n.

La existencia y unicidad del polinomio de interpolacion Pn (x) se prueba en elsiguiente resultado, ademas se determina una primera forma de construirlo.

Teorema 1.1 (Formula de interpolacion de Lagrange)Sean f : [a, b] → IR y {x0, x1, · · · , xn}, n + 1 puntos distintos del intervalo [a, b].Entonces, existe un unico polinomio Pn(x) de grado menor o igual que n, que verifica

Pn (xi) = f (xi), i = 0, 1, · · · , n.

A este polinomio se le denomina polinomio de interpolacion de f en los nodos{x0, x1, · · · , xn}.

Ademas, el polinomio de interpolacion puede ser calculado mediante la formula

Pn (x) =n∑i=0

f (xi) Li (x), (1.1)

Tema 4: Introduccion a la interpolacion y a la integracion numerica. 3

donde, para cada i ∈ {0, 1, · · · , n}, Li(x) es el polinomio de grado n definido por

Li (x) =n∏

j=0

j 6=i

x − xjxi − xj

.

Demostracion.-

1. Existencia: Observemos que para cada i ∈ {0, 1, · · · , n},

Li (x) =x − x0xi − x0

x − x1xi − x1

· · · x − xi−1xi − xi−1

x − xi+1

xi − xi+1

· · · x − xnxi − xn

,

Entonces, Li (xj) = δij para cada j ∈ {0, 1, · · · , n}, siendo δij la delta deKronecker. En consecuencia, Pn (x) es un polinomio de grado n como maximoy Pn (xj) = f (xj), para cada j ∈ {0, 1, · · · , n}.

2. Unicidad: Supongamos que existen Pn (x) y Qn (x) dos polinomios de gradomenor o igual que n, que verifican Pn (xi) = f (xi) = Qn (xi), para cadai = 0, 1, · · · , n. Entonces, el polinomio Dn (x) = Pn (x) − Qn (x) es tambienun polinomio de grado menor o igual que n y satisface Dn (xi) = Pn (xi) −Qn (xi) = 0, para cada i = 0, 1, · · · , n.

Es decir, Dn (x) es un polinomio de grado menor o igual que n con n+1 raıcesdistintas, por tanto, por el teorema Fundamental del Algebra, Dn (x) ≡ 0 dedonde se concluye que Pn (x) ≡ Qn (x).

Observacion 1.2

La expresion (1.1) se conoce como formula de Lagrange del polinomio de in-terpolacion. El Teorema 1.1 proporciona un metodo constructivo para obtenerel polinomio de interpolacion Pn (x) mediante la formula (1.1).

Ejemplo.- Obtener el polinomio que interpola a los valores (−1, 3), (2, 1), (3, 2),(4, 4).

Si algun dato es f (xj) = 0, no hace falta calcular Lj (x).

Los polinomios Lk(x) solo dependen de los nodos de interpolacion {x0, x1, · · · ,xn}. De modo que, una vez calculado cada Lk (x) se construyen los polinomiosde interpolacion poniendo los f (xk) como coeficientes de una combinacionlineal, lo cual es una ventaja si queremos resolver varios problemas de interpo-lacion con los mismos nodos xk. En este sentido, {L0 (x), L1 (x), · · · , Ln (x)}es una base del espacio vectorial de los polinomios de grado n de interpolacionasociados a los nodos {x0, x1, · · · , xn}.

Tomando f(x) = 1 en (1.1), se tiene,n∑i=0

Li(x) = 1, para todo x ∈ IRN .

No obstante, la formula de Lagrange (1.1) tiene el inconveniente de que hayque realizar numerosos calculos y sobre todo que si anadimos un dato mas deinterpolacion, hemos de volver a calcular todos los polinomios Lk (x).


1.3. Formula de interpolacion de Newton

En esta seccion vamos a estudiar otra forma de calcular el polinomio de inter-polacion Pn (x) que no presenta los inconvenientes de la formula de Lagrange. Estanueva forma es la denominada formula de interpolacion de Newton para el polinomiode interpolacion de Lagrange, que nos va a permitir una representacion del polino-mio de interpolacion en terminos de “diferencias”. Comencemos con la definicion deesta “diferencias”

Definicion 1.3 Sean f : [a, b] → IR y {x0, x1, · · · , xn}, n + 1 puntos distintos delintervalo [a, b]. Para cada i ∈ {0, . . . , n} y m ∈ {1, . . . , n− i}, sean f [xi] = f (xi),

f [xi, xi+1, · · · , xi+m] =f [xi+1, xi+2, · · · , xi+m]− f [xi, xi+1, · · · , xi+m−1]

xi+m − xi.

f [xi, xi+1, · · · , xi+m] se denomina diferencia dividida de orden m de f en el puntoxi.

Para expresar la formula de Newton del polinomio de interpolacion usaremos lasiguiente notacion:

Π0(x) = 1 y Πj (x) =

j−1∏i=0

(x − xi) = (x − x0) (x − x1) · · · (x − xj−1).

Teorema 1.4 (Formula de interpolacion de Newton)Sean f : [a, b] → IR y {x0, x1, · · · , xn}, n + 1 puntos distintos del intervalo [a, b].Entonces, el polinomio de interpolacion de f en los nodos {x0, x1, · · · , xn} vienedado por

Pn (x) =n∑i=0

f [x0, x1, · · · , xi] Πi(x) =

= f (x0) + f [x0, x1] (x − x0) + f [x0, x1, x2] (x − x0) (x − x1)+ · · · + f [x0, x1, · · · , xn] (x − x0) (x − x1) · · · (x − xn−1).

(1.2)Ademas, si x 6∈ {x0, x1, · · · , xn}, entonces

En (x) = f (x) − Pn (x) = f [x0, x1, · · · , xn, x] Πn+1 (x). (1.3)

Demostracion.- Lo probaremos por induccion sobre el numero de nodos (n+ 1):

1. Para n = 0, P0 (x) = f (x0) es el polinomio de interpolacion de f en x0.

2. Suponemos cierto el resultado para n y nos planteamos probarlo para n + 1.Observemos que podemos expresar Pn+1 en la forma

Pn+1(x) = Pn(x) + Cn+1 (x− x0)(x− x1) · · · (x− xn)

para cierto coeficiente Cn+1. En efecto: Pn+1 es un polinomio de grado menoro igual que n+ 1, tal que


Si i = 0, 1, · · · , n, Pn+1(xi) = f(xi).

Si

Cn+1 =f(xn+1)− Pn(xn+1)

(xn+1 − x0)(xn+1 − x1) · · · (xn+1 − xn),

entonces Pn+1(xn+1) = f(xn+1).

Entonces, bastara probar que f [x0, x1, · · · , xn, xn+1] es el coeficiente lıder dePn+1. Para ello, consideremos el polinomio de interpolacion de f en los nodosx1, x2, · · · , xn+1, que denotamos Qn. Buscamos Pn+1 en la forma

Pn+1(x) = (a1x+ b1)Qn(x) + (a2x+ b2)Pn(x).

siendo a1, b1, a2, b2 coeficientes a determinar. Pedimos que Pn+1(xi) = f(xi),i = 0, 1, · · · , n+ 1:

Si i = 1, 2, · · · , n, tenemos

Pn+1(xi) = (a1xi + b1)f(xi) + (a2xi + b2)f(xi),

con lo que se cumplira Pn+1(xi) = f(xi) si

a2 = −a1 y b2 = 1− b1.

Por tanto, si ponemos θ(x) = a1x+ b1, tendremos a2x+ b2 = 1− θ(x), y

Pn+1(x) = θ(x)Qn(x) + (1− θ(x))Pn(x). (1.4)

Si i = 0, tenemos

Pn+1(x0) = θ(x0)Qn(x0) + (1− θ(x0))Pn(x0).

Pidiendo θ(x0) = 0 tendremos Pn+1(x0) = f(x0).

Por ultimo, si i = n+ 1, tenemos

Pn+1(xn+1) = θ(xn+1)Qn(xn+1) + (1− θ(xn+1))Pn(xn+1).

Pidiendo θ(xn+1) = 1 tendremos Pn+1(xn+1) = f(xn+1).

Ahora bien, como θ(x) es un polinomio de grado 1, lo tenemos definido unıvo-camente dando sus valores en x0 y xn+1:

θ(x) =x− x0

xn+1 − x0.

Identificando los coeficientes lıderes en (1.4) y usando la hipotesis de recurren-cia, deducimos

Cn+1 =f [ x1, · · · , xn+1]− f [ x0, · · · , xn]

xn+1 − x0= f [ x0, x1 · · · , xn+1].


Usamos ahora (1.2) para deducir la expresion del error (1.3). Consideramos un puntox ∈ [a, b] fijo distinto a x0, x1, · · · , xn , y el polinomio Qn+1 que interpola a f en losnodos x0, x1, · · · , xn, x. Este polinomio viene dado por

Qn+1(y) = Pn(y) + f [ x0, x1 · · · , xn, x] (y − x0)(y − x1) · · · (y − xn).

Tomando y = x deducimos

f(x)− Pn(x) = f [ x0, x1 · · · , xn, x] (x− x0)(x− x1) · · · (x− xn).

que es precisamente (1.3).

Observacion 1.5

Si en particular los puntos {x0, x1, · · · , xn} estan uniformemente espaciadosen el intervalo [a, b] con paso h > 0, entonces el polinomio de interpolacionde f en {x0, x1, · · · , xn}, viene dado por:

Pn (x) =n∑i=0

∆i f (x0)

i! hiΠi(x)

= f (x0) + (x − x0)∆ f (x0)

h+ (x − x0) (x − x1)

∆2 f (x0)

2 h2

+ · · · + (x − x0) (x − x1) · · · (x − xn−1)∆n f (x0)

n! hn,

donde ∆i f(x0) son las diferencias finitas de f en x0, dadas de forma recursivapor

∆0 f(x0) = f(x0), ∆i+1 f(x0) = ∆i f(x1)−∆i f(x0).

El calculo de las diferencias divididas para construir el polinomio de interpola-cion de f en {x0, x1, · · · , xn} se realizan mediante el algoritmo que muestrala siguiente tabla:

f (x0) f [x0, x1] · · · f [x0, x1, · · · , xn−1] f [x0, x1, · · · , xn]f (x1) f [x1, x2] · · · f [x1, x2, · · · , xn]f (x2) f [x2, x3] · · ·· · · · · · · · ·

f (xn−2) f [xn−2, xn−1]f (xn−1) f [xn−1, xn]f (xn)

El calculo de las diferencias finitas es similar.

Si conocemos Pn el polinomio de interpolacion de f en {x0, x1, · · · , xn} ydeseamos calcular Pn+1 el polinomio de interpolacion de f en {x0, x1, · · · , xn, xn+1},bastara determinar la diferencia dividida f [x0, x1, · · · , xn, xn+1], ya que

Pn+1 (x) = Pn (x) + Πn+1 (x) f [x0, x1, · · · , xn, xn+1],


1.4. Error de interpolacion

Una vez calculado el polinomio de interpolacion, pretendemos ahora usarlo paraestimar el valor de la funcion f en cualquier punto del intervalo [a, b]. Si el puntoelegido coincide con alguno de los nodos de interpolacion {x0, x1, · · · , xn}, entoncesf (xi) = Pn (xi). Sin embargo, si tomamos un punto x ∈ [a, b] distinto de los nodosde interpolacion, en general f (x) 6= Pn (x). Se produce entonces un error quellamaremos error de interpolacion que denotaremos por

En (x) = f (x) − Pn (x).

Nuestro objetivo en esta seccion es estimar este error. Para ello, notemos enprimer lugar que sin hipotesis adicionales, no podemos decir nada acerca de estacantidad pues podemos cambiar la funcion f en puntos que no sean los de interpo-lacion sin que cambie el polinomio.

No obstante, vamos a probar que cuando la funcion f es suficientemente regular,podemos precisar el error que se comete en cada punto de interpolacion en terminode las derivadas de f .

Teorema 1.6 Sean f ∈ Cn+1 ([a, b]), {x0, x1, · · · , xn}, n + 1 puntos distintosdel intervalo [a, b] y Pn el polinomio de interpolacion de f en {x0, x1, · · · , xn}.Entonces, para cada x ∈ [a, b] existe ξx ∈ Ix (con Ix el menor intervalo cerradoque contiene a {x0, x1, · · · , xn, x}), tal que

En (x) = f (x) − Pn (x) =fn+1) (ξx)

(n+ 1)!Πn+1 (x). (1.5)

Demostracion.- Sea x ∈ [a, b] cualquiera, entonces pueden presentarse dos casos:

1. Si x = xi para algun i ∈ {0, 1, · · · , n}, entonces el resultado es trivial, puesf (xi) = Pn (xi) y Πn+1 (xi) = 0.

2. Si x 6= xi para todo i ∈ {0, 1, · · · , n}, entonces, consideramos la funcionF : [a, b]→ IR definida, para cada y ∈ [a, b], por

F (y) = [f (y) − Pn (y)] Πn+1 (x) − [f (x) − Pn (x)] Πn+1 (y),

que verifica F ∈ Cn+1 ([a, b]),

F (xi) = [f (xi) − Pn (xi)] Πn+1 (x) − [f (x) − Pn (x)] Πn+1 (xi) = 0,

para cada i ∈ {0, 1, · · · , n} y

F (x) = [f (x) − Pn (x)] Πn+1 (x) − [f (x) − Pn (x)] Πn+1 (x) = 0.

Es decir, F es una funcion de clase n+1 en un intervalo donde, ademas, poseen + 2 raıces reales distintas, entonces, por el Teorema de Rolle, la funcionF ′ es de clase n en Ix y tiene al menos n + 1 raıces en Ix, repitiendo este


razonamiento llegarıamos a que F n+1) es una funcion continua en Ix y poseeal menos una raız ξx ∈ Ix. De aquı, como para cada y ∈ [a, b], es

F n+1) (y) = [fn+1) (y) − Pn+1)n (y)] Πn+1 (x) − [f (x) − Pn (x)] Π

n+1)n+1 (y)

= fn+1) (y) Πn+1 (x) − [f (x) − Pn (x)] (n+ 1)!,

donde hemos usado que Pn es un polinomio de grado menor o igual que ny que Πn+1 es un polinomio monico (de coeficiente lıder igual a 1) de gradoexacto n+ 1. En particular, se deduce que

0 = F n+1) (ξx) = fn+1) (ξx) Πn+1 (x) − [f (x) − Pn (x)] (n+ 1)!,

de donde se concluye el resultado.

Por otra parte, la expresion (1.5) permite obtener una cota del error de interpo-lacion en norma uniforme:

Corolario 1.7 El polinomio de interpolacion satisface la siguiente estimacion deerror:

maxa≤x≤b

|f (x) − Pn (x)| ≤ Mn+1

(n+ 1)!maxa≤x≤b

|Πn+1 (x)|, (1.6)

siendoMn+1 = max

a≤x≤b|fn+1)(x)|.

Observacion 1.8

Existe un gran paralelismo entre la formula de error (1.5) y la expresion delerror para el polinomio de Taylor Tn(x), cuyas derivadas en un punto (ponga-mos x0) hasta el orden n coinciden con las de f . El error en este caso es

f(x)− Tn(x) =fn+1)(ρx)

(n+ 1)!(x− x0)n+1,

donde ρx es un punto intermedio entre x0 y x. Esta formula aparece como ellımite formal del error para el polinomio de interpolacion, cuando todos losnodos xi tienden a x0.

La estimacion del error precedente es optima en el sentido de que existeuna funcion para la que se da la igualdad. En efecto, si consideramos la funcion

f (x) = Πn+1 (x) =n∏i=0

(x − xi),

se verifica que Pn (x) ≡ 0 y fn+1) (x) = (n + 1)! en cada x ∈ [a, b]. Enconsecuencia,

|f (x) − Pn (x)| = |Πn+1 (x)| =Mn+1

(n+ 1)!|Πn+1 (x)|.


Del corolario anterior podemos plantearnos condiciones bajo las cuales el poli-nomio de interpolacion convergera a la funcion f cuando el numero de nodos deinterpolacion tienda a infinito. Es un problema de la misma naturaleza que la con-vergencia del polinomio de Taylor cuando el orden del desarrollo tiende a infinito.

Segun la estimacion (1.6), podemos esperar convergencia cuando la funcion fsea muy regular (en el sentido de que las derivadas sucesivas crezcan con suficientelentitud), al igual que ocurre con el polinomio de Taylor. En realidad, es necesarioque f sea analıtica en un intervalo suficientemente grande respecto a [a, b] para quehaya convergencia del polinomio de interpolacion de Lagrange.

1.5. Interpolacion polinomica a trozos

Construimos a continuacion una tecnica alternativa de interpolacion para ga-rantizar la convergencia del proceso de interpolacion para funciones mucho menosregulares, bastara que sean continuas. La idea es subdividir el intervalo [a, b] ensubintervalos, e interpolar en cada subintervalo por un polinomio de grado fijo, demodo que la funcion interpolante sea globalmente continua.

Consideremos un soporte de interpolacion ∆ = {a = x0 < x1 < · · · < xn = b } ⊂[a, b]. Construimos el espacio de funciones de interpolacion

Vh = {vh ∈ C0([a, b]) tales que vh|[xi−1,xi]∈ IP1([xi−1, xi]), i = 1, · · · , n }

Vh esta formado por funciones continuas en todo el intervalo [a, b] cuya restricciona cada subintervalo [xi−1, xi] es un polinomio de grado a lo mas uno.

El subındice h representa el diametro de ∆,

h = max{xi − xi−1, i = 1, · · · , n }.

Planteamos el mismo problema de interpolacion de Lagrange, pero ahorasobre Vh:

(P )

Conocidos los valores de una funcion f en los n+ 1 puntos distintos de ∆,obtener una funcion fh ∈ Vh tal que

fh (xi) = f (xi), para i = 0, 1, · · · , n.

Este problema tiene la misma naturaleza que el de la interpolacion polinomica:Admite solucion unica, que se puede calcular a partir de ciertas funciones de base:

Teorema 1.9 El problema (P ) admite una unica solucion.Esta solucion se puede calcular mediante la expresion

fh(x) =n∑i=0

f(xi)φi(x), (1.7)

donde las fuciones φi ∈ Vh, i = 0, 1, · · · , n estan determinadas por

φi(xj) = δij, j = 0, 1, · · · , n, (1.8)

siendo δij la δ de Kronecker.


Demostracion.- En cada intervalo [xi−1, xi], i = 0, 1, · · · , n la funcion fh es un poli-nomio de grado menor o igual que 1, que debe satisfacer

fh(xi−1) = f(xi−1), fh(xi) = f(xi).

Por tanto,

fh(x) =f(xi)− f(xi−1)

xi − xi−1(x− xi−1) + f(xi−1), ∀x ∈ [xi−1, xi]. (1.9)

De este modo la funcion fh esta definida sobre todo el intervalo [a, b], y es unpolinomio de grado menor o igual que uno sobre cada subintervalo [xi−1, xi]. Bastaprobar que es continua para concluir que pertenece a Vh y que, por tanto, es solucionde (P ).

Ahora bien, fh es continua en el interior de cada subintervalo [xi−1, xi], porcoincidir con un polinomio. Por otra parte, segun la expresion (1.9), en cada nodointerior xi, i = 1, · · · , n− 1 se tiene

lımx→x−i

fh(x) = lımx→x+i

fh(x) = f(xi),

y por tanto f es continua tambien en los nodos interiores. Por ultimo, f es continuaen los extremos a = x0 y b = xn ya que coincide con un polinomio en [a, x1] y en[xn−1, b].

Para demostrar la unicidad de soluciones de (P ), consideremos dos posibles so-luciones fh, gh ∈ Vh. Entonces la diferencia eh = fh − gh ∈ Vh se anula en todos losnodos xi, i = 0, 1, · · · , n. Esto significa que eh satisface la expresion (1.9), con valo-res de interpolacion f(xi) = 0, i = 0, 1, · · · , n. Por tanto, eh es identicamente nulaen cada subintervalo, y entonces es la funcion nula en todo [a, b]. Por consiguiente,gh = fh.

Para demostrar la expresion (1.7), observemos en primer lugar que existe unaunica funcion φi ∈ Vh que satisface las condiciones (1.8), ya que estas condicionesconstituyen un problema de interpolacion (P ) con datos f(xj) = δij, j = 0, 1, · · · , n.

Por otra parte, para probar (1.7) bastara demostrar que la funcion

gh(x) =n∑i=0

f(xi)φi(x) ∈ Vh

toma los mismos valores que fh en cada nodo xi, i = 0, 1, · · · , n, ya que entonces fhy gh seran soluciones de (P ) y por tanto deberan coincidir. Ahora bien,

gh(xj) =n∑i=0

f(xi)φi(xj) = f(xj).

Por tanto, se verifica (1.7).

Observacion 1.10

La expresion (1.9) proporciona explıcitamente el valor del interpolante fh encada punto de [a, b].


Usando la expresion (1.9), las funciones φi vienen dadas por

φi(x) =

x− xi−1xi − xi−1

si x ∈ [xi−1, xi],

x− xi+1

xi − xi+1

si x ∈ [xi, xi+1],

0 en otro caso

Se llaman funciones sombrero.

De la expresion (1.7), usando que cada φi(x) es positiva, deducimos

|fh(x)| ≤n∑i=0

|f(xi)|φi(x) ≤ maxy∈[a,b]

|f(y)|n∑i=0

φi(x) ≤ maxy∈[a,b]

|f(y)|,

ya quen∑i=0

φi(x) = 1. De aquı concluimos la estabilidad de la interpolacion a

trozos:maxx∈[a,b]

|fh(x)| ≤ maxx∈[a,b]

|f(x)|.

Esto no es cierto para la interpolacion polinomica, ya que el maximo de |Pn(x)|,en general, no esta acotado.

Existen otras posibilidades de interpolacion a trozos: Por una parte, pedir quelas funciones de Vh en cada subintervalos coincidan con polinomios de grado2, 3, etc. Por otra parte, pedir que su regularidad global sea C1, C2, etc. Engeneral, los interpolantes polinomicos a trozos se llaman funciones spline.

El siguiente resultado formaliza la estimacion de error para la interpolacion a trozos:

Teorema 1.11 Supongamos que f ∈ C2([a, b]). Entonces,

maxx∈[a,b]

|f(x)− fh(x)| ≤ M2

8h2, (1.10)

siendo M2 = maxx∈[a,b]

|f ′′(x)|.

Demostracion Sea x ∈ [a, b]. Existe un subintervalo [xi−1, xi] al que pertenece x. Eneste subintervalo pi(x) = fh(x) es solucion del problema de interpolacion polinomica

pi ∈ IP1, pi(xi−1) = f(xi−1), pi(xi) = f(xi).

Por tanto el error de interpolacion viene dado por la expresion

f(x)− fh(x) =f ′′(ξx)

2(x− xi−1)(x− xi),

donde ξx es un punto de (xi−1, xi). Entonces,

|f(x)− fh(x)| ≤ M2

2(x− xi−1)(xi − x) ≤ M2

2

h2

4∀x ∈ [xi−1, xi].

Como esta estimacion es cierta en cada uno de los subintervalos, de aquı se deduce(1.10).


Observacion 1.12

La estimacion (1.10) significa que si h se divide por dos (O sea, si se duplica elnumero de puntos), entonces el error max

x∈[a,b]|f(x)− fh(x)| se divide por cuatro,

aproximadamente.

De (1.10) se deduce que si f es de clase C2, entonces

lımh→0

maxx∈[a,b]

|f(x)− fh(x)| = 0

Si f es continua en lugar de C2 tambien es cierta esta convergencia, aunquemaxx∈[a,b]

|f(x)− fh(x)| puede tender a cero muy lentamente cuando h→ 0.

2. Introduccion a la integracion numerica

Uno de los problemas matematicos mas antiguos es el del calculo del area queencierra una curva. Como sabemos, este problema da lugar al calculo integral (masconsideraciones de signo a tener en cuenta cuando se pretende calcular un area y noun area signada).

La regla de Barrow resuelve el problema de calcular la integral de una funcionen un intervalo [a, b], mediante la formula∫ b

a

f (x) dx = F (b) − F (a),

siendo F una primitiva de la funcion f en el intervalo [a, b], es decir, F ′ (x) = f (x),∀ x ∈ [a, b]. Sin embargo, en muchos casos esto no es posible, dado que:

Para ciertas funciones no es posible calcular dicha primitiva, a pesar de saberque existe. Por ejemplo, para las funciones

f (x) = ex2

, f (x) =senx

x, f (x) =

√x5 + 1,

no es posible encontrar una primitiva expresable en termino de funciones ele-mentales.

En muchos de los problemas que se plantean, a la hora de integrar funciones,estan relacionados con funciones definidas en forma de tabla de valores o graficay no se conoce una expresion analıtica de f (x).

En ambos casos se precisa de formulas de integracion numerica (tambien llamadasformulas de cuadratura), que nos van a permitir calcular un valor aproximado de laintegral en la forma ∫ b

a

f (x) dx 'n∑i=0

ai f (xi),

donde los xi, i = 0, 1, · · · , n, son puntos del intervalo [a, b] y los coeficientes ai,i = 0, 1, · · · , n, son numeros reales elegidos convenientemente.


2.1. Formulas de integracion de tipo interpolatorio

Para obtener formulas de integracion numerica seguiremos, basicamente, el proce-dimiento basado en calcular el polinomio de interpolacion de la funcion f en algunospuntos del intervalo [a, b] y aproximar el valor de la integral de la funcion por elvalor de la integral del polinomio de interpolacion. En concreto,∫ b

a

f (x) dx '∫ b

a

Pn (x) dx,

donde

Pn (x) =n∑i=0

f (xi) Li (x), x ∈ [a, b]

es el polinomio de interpolacion de f en los n+1 puntos distintos, xi, i = 0, 1, · · · , n,del intervalo [a, b]. Integrando esta expresion en [a, b] obtenemos∫ b

a

Pn (x) dx =n∑i=0

ci f (xi),

siendo

ci =

∫ b

a

Li (x) dx,

para i = 0, 1, · · · , n. Observese que los coeficientes ci, i = 0, 1, · · · , n, sonindependientes de f y, por tanto, una vez calculados proporcionan una formula quese puede aplicar a cualquier funcion f : [a, b]→ IR.

Ademas, sera necesario estudiar el error que se comete en este tipo de formulas,es decir, el valor de

Rn (f) =

∫ b

a

f (x) dx −∫ b

a

Pn (x) dx =

∫ b

a

En (x) dx.

con En (x) = f (x) − Pn (x). En este sentido, en el estudio del error de interpolacion,probamos que si f ∈ Cn+1 ([a, b]), se tiene que

En (x) =fn+1) (ξx)

(n+ 1)!Πn+1 (x),

con Πn+1 (x) = (x − x0) (x − x1) · · · (x − xn) y donde ξx es un punto intermedioentre x0, x1, · · · , xn, x. En realidad, hay un ligero abuso de notacion en la expresionanterior, ya que ξx solo esta definido para los x ∈ [a, b] \ {xi}ni=0; no obstante, Ese anula en los nodos por propia construccion, y ademas se tiene que Πn+1(xi) = 0para i = 0, ...n, y fn+1) esta acotada, con lo que el valor de fn+1)(ξx) en los nodosno es importante y podemos considerar el convenio de que la expresion de arribaesta siempre definida (incluso en los nodos1).

Entonces, en este caso el error de integracion que se comete es

Rn (f) =

∫ b

a

En (x) dx =

∫ b

a

fn+1) (ξx)

(n+ 1)!Πn+1 (x) dx.

1En los casos que analizaremos mas adelante, se puede comprobar de hecho que hay una exten-sion continua de la aplicacion [a, b] \ {xi}ni=0 3 x 7→ fn+1)(ξx) ∈ R a todo el intervalo [a, b].


Para determinar una expresion explıcita del error de integracionRn(f), resulta deutilidad el siguiente resultado conocido como teorema del valor medio generalizado,que es una aplicacion del Teorema de los valores intermedios de Darboux unido alcaracter monotono del operador integral.

Teorema 2.1 Sean h, g ∈ C([a, b]) y supongamos que g no cambia de signo en[a, b], entonces existe ξ ∈ [a, b] tal que∫ b

a

h (x) g (x) dx = h (ξ)

∫ b

a

g (x) dx.

Demostracion: Supongamos que g(x) ≥ 0 para todo x ∈ [a, b] (si fuera al contrario,la prueba es analoga) y supongamos que g 6≡ 0 (si no, el resultado serıa trivial).Como

mhg(x) ≤ h(x)g(x) ≤Mhg(x)∀x ∈ [a, b]

donde mh = mın[a,b] h(x) y Mh = max[a,b] h(x), integrando tenemos

mh

∫ b

a

g(x)dx ≤∫ b

a

h(x)g(x)dx ≤Mh

∫ b

a

g(x)dx.

Por tanto, (∫ b

a

h(x)g(x)dx

)/(∫ b

a

g(x)dx

)∈ [mh,Mh].

Por el Teorema de los Valores Intermedios de Darboux, existe ξ ∈ [a, b] tal que

h(ξ) =(∫ b

ah(x)g(x)dx

)/(∫ bag(x)dx

).

Por otro lado, es obvio que si f es un polinomio de grado menor o igual quen, entonces f coincidira con su polinomio de interpolacion. En consecuencia, lasformulas de tipo interpolatorio sobre n+ 1 puntos distintos son exactas para todoslos polinomios de grado menor o igual que n, en el sentido de que

Rn (f) = 0.

En relacion con esta observacion, se tiene la siguiente definicion:

Definicion 2.2 Se llama orden o grado de precision de un formula de integracional mayor entero positivo m tal que la formula es exacta para todos los polinomios degrado menor o igual que m.

En la practica, para probar que una formula de integracion es de orden m, es sufi-ciente comprobar que

Rn (xk) = 0, para k = 0, 1, · · · , m y Rn (xm+1) 6= 0.

Observacion 2.3 Observese que las formulas de integracion de tipo interpolatoriobasadas en n + 1 nodos son de orden al menos n, pues el error a integrar serıaEn(x) ≡ 0.


2.2. Formulas basicas de integracion numerica

Para simplificar las demostraciones de estimacion del error en los resultados quesiguen, en lugar de recurrir directamente al Teorema 2.1 (lo que nos conducirıa aprobar la continuidad de la aplicacion [a, b] 3 x 7→ fn+1)(ξx) ∈ R), adaptaremos laprueba en cada caso2.

2.2.1. Formula del rectangulo

La formula de integracion mas sencilla es aquella que utiliza el valor de la funcionf en un solo punto x0 ∈ [a, b]. En este caso el polinomio de interpolacion de lafuncion f es de grado cero, es decir, P0 (x) = f (x0), por lo que∫ b

a

f (x) dx '∫ b

a

P0 (x) dx =

∫ b

a

f (x0) dx = f (x0) (b − a).

Si x0 = a se obtiene la formula del rectangulo izquierda dada por∫ b

a

f (x) dx ' f (a) (b − a). (2.11)

El error cometido viene expresado como sigue:

Lema 2.4 Sea f ∈ C1 ([a, b]). Entonces existe ξ ∈ [a, b] tal que

R0 (f) =

∫ b

a

f (x) dx − f (a) (b − a) =f ′ (ξ)

2(b − a)2. (2.12)

Demostracion.-∫ b

a

f (x) dx − f (a) (b − a) =

∫ b

a

(f(x)− f(a))dx =

∫ b

a

f ′(ξx)(x− a)dx,

donde hemos usado el Teorema del Valor Medio (TVM) para cada valor x. Ahoraen la ultima expresion podemos aplicar el Teorema del Valor Medio Generalizado,con lo que existe ξ ∈ [a, b] tal que∫ b

a

f ′(ξx)(x− a)dx = f ′(ξ)

∫ b

a

(x− a)dx = f ′(ξ)(b− a)2

2.

Observacion 2.5

Un resultado similar se obtiene si tomamos x0 = b, en este caso la formulade integracion se denomina formula del rectangulo derecha,∫ b

a

f (x) dx ' f (b) (b − a), R0 (f) = −f′ (ξ)

2(b − a)2.

2No obstante, como se indico antes, dicha comprobacion es factible en los casos que presentamos.


Geometricamente, si f (x) ≥ 0 en [a, b], el valor de∫ baf (x) dx se aproxima

por el area del rectangulo de base (b − a) y altura f (a) o f (b).

En el caso de que x0 = c =a + b

2, se obtiene la formula del punto medio dada

por ∫ b

a

f (x) dx ' f (c) (b − a). (2.13)

La expresion del error de integracion viene dada por

Lema 2.6 Sea f ∈ C2([a, b]). Entonces existe ξ ∈ [a, b] tal que

R0(f) =

∫ b

a

f(x)dx− f (c) (b− a) =f ′′(ξ)

24(b− a)3. (2.14)

Demostracion.- Consideramos el desarrollo de Taylor de la funcion f en el punto chasta el orden 2:

f (x) = f (c) + f ′ (c) (x − c) +f ′′ (ξx)

2(x − c)2 .

Integrando ambos miembros obtenemos

R0 (f) =

∫ b

a

f (x) dx − f (c) (b − a) = f ′ (c)

∫ b

a

(x − c) dx

+

∫ b

a

f ′′ (ξx)

2(x − c)2 dx =

∫ b

a

f ′′ (ξx)

2(x − c)2 dx

con ξx ∈ (a, b).

Usando que la funcion (x − c)2 no cambia de signo en [a, b], podemos aplicar elTeorema del Valor Medio Generalizado y concluir que existe un punto ξ ∈ [a, b] enel que se tiene

R0 (f) =

∫ b

a

f ′′ (ξx)

2(x − c)2 dx =

f ′′(ξ)

2

∫ b

a

(x − c)2 dx,

de donde se obtiene (2.14).

La expresion (2.14) prueba que la formula del punto medio es de orden 1. Enefecto, f ′′(x) ≡ 0 si f es un polinomio de grado menor o igual que 1. Ademas, laformula es inexacta para f(x) = x2, por lo que su orden es exactamente 1.

Cualquier otra eleccion del punto x0 genera una formula de orden 0. Esto se debea que el punto x0 = c es simetrico respecto a los extremos del intervalo, lo que haceque la contribucion al error del termino lineal en el desarrollo de Taylor de f seanula. Las simetrıas juegan un papel fundamental en la construccion de formulas decuadratura de alto orden.


2.2.2. Formula del trapecio

Se trata de un formula de integracion con dos puntos. En este caso el polinomiode interpolacion de la funcion f es de grado uno. En concreto, si consideramos lospuntos x0 , x1 ∈ [a, b], el polinomio de interpolacion de la funcion f sera

P1 (x) = f (x0) + f [x0, x1] (x − x0) = f (x0) +f (x1) − f (x0)

x1 − x0(x − x0).

Podemos entonces obtener la siguiente formula de integracion numerica∫ b

a

f (x) dx '∫ b

a

(f (x0) +

f (x1) − f (x0)

x1 − x0(x − x0)

)dx

Para el caso particular x0 = a y x1 = b se obtiene la formula del trapecio queviene dada por ∫ b

a

f (x) dx ' b− a2

(f (a) + f (b)). (2.15)

La expresion del error para esta formula viene dada como sigue:

Lema 2.7 Sea f ∈ C2 ([a, b]). Entonces existe ξ ∈ [a, b] tal que

R1 (f) =

∫ b

a

f (x) dx − b− a2

(f (a) + f (b)) = −f′′ (ξ)

12(b − a)3. (2.16)

Demostracion.- Expresamos el error como

R1 (f) =

∫ b

a

(f (x)− P1(x)) dx.

El error de interpolacion viene dado por

f (x)− P1(x) =f ′′(ξx)

2Π1 (x),

con Π1 (x) = (x − a) (x − b). Dado que la funcion Π1 no cambia de signo en elintervalo [a, b], el Teorema del Valor Medio Generalizado implica que existe ξ ∈ [a, b]tal que

R1(f) =

∫ b

a

f ′′(ξx)

2!(x − a)(x − b)dx =

f ′′(ξ)

2

∫ b

a

(x−a)(x− b)dx = −f′′(ξ)

12(b−a)3.

Observacion 2.8

La expresion del error nos asegura que la formula (2.15) es exacta para poli-nomios de grado menor o igual que 1, pero inexacta para f(x) = x2, por loque su orden es exactamente 1.

Geometricamente, si f (x) ≥ 0 en [a, b], la formula del trapecio aproxima el

valor de∫ baf (x)dx por el area del trapecio resultante de unir los puntos (a, 0),

(b, 0), (b, f (b)) y (a, f (a)).


2.2.3. Formula de Simpson

Se trata de una formula para 3 puntos, pero consigue exactitud para los polino-mios de grado menor o igual que 3, considerando los puntos x0 = a, x1 = (a + b)/2y x2 = b. (Al disponer de f para evaluar en cualquier punto, la simetrıa en la elec-cion de los nodos simplifica la expresion dada a continuacion.) Por integracion delpolinomio de interpolacion, se deduce facilmente que∫ b

a

f (x) dx ' b− a6

(f (a) + 4 f

(a + b

2

)+ f (b)

). (2.17)

La deduccion del error en la formula (2.17) es un poco mas laboriosa. Antes deenunciarlo, y para dar las lıneas principales de la prueba, recordamos el Teoremade Taylor (e.g. cf. [T. Apostol, Calculus Vol. 1, Th.7.6, p.342 y Sec.7.7, p.347]) yaintroducido en el Tema 2, pero con una expresion distinta para el resto.

Teorema 2.9 Sean I ⊂ R, a ∈ I y f ∈ Cn+1(I). Entonces

f(x) =n∑j=0

f j)

j!(x− a)j + En(x) ∀x ∈ I,

siendo el error

En(x) =1

n!

∫ x

a

(x− s)nfn+1)(s)ds.

Observacion 2.10 La forma mas usual (y simplificada) del resto, que fue utilizadareiteradamente en el Tema 2, a saber, para cada x ∈ I existe c entre x y a tal que

En(x) =fn+1)(c)

(n+ 1)!(x− a)n+1,

es una consecuencia de aplicar el Teorema 2.1 del Valor Medio Generalizado a laforma del error en el resultado previo.

Ahora enunciamos y esbozamos la prueba de la expresion del error para la formulade Simpson.

Lema 2.11 Sea f ∈ C4([a, b]). Entonces, para la formula de cuadratura (2.17)existe ξ ∈ [a, b] tal que

R2 (f) = −f4) (ξ)

2880(b − a)5, (2.18)

Demostracion.- Reescribimos la integral de f en [a, b] como∫ c+(b−a)/2

c−(b−a)/2f(x)dx,

donde hemos denotado c = (a+ b)/2.Ahora introducimos la funcion error de Simpson

ES(h) =

∫ c+h

c−hf(x)dx− h

3[f(c− h) + 4f(c) + f(c+ h)], h ∈

[0,b− a

2

].


Se puede observar que ES(0) = E ′S(0) = E ′′S(0) = 0 y que

E ′′′S (h) = −h3

[f ′′′(c+ h)− f ′′′(c− h)].

Gracias a que f ∈ C4([a, b]), podemos definir

F (h) =

{f ′′′(c+h)−f ′′′(c−h)

2hsi h ∈ (0, b−a

2],

f (4(c) si h = 0.

Observese que F es continua, pues F (h)→ F (0) si h→ 0 y por el teorema del valormedio para cualquier z ∈ (0, (b− a)/2], existe ξ ∈ (a, b) con F (z) = f (4(ξ).

Usando el desarrollo de Taylor centrado en cero para ES(·) hasta orden dos y laexpresion integral del error del Teorema 2.9, se tiene que

ES(h) =1

2

∫ h

0

(h− t)2E ′′′S (t)dt = −1

3

∫ h

0

(h− t)2t2F (t)dt.

Como G(t) = (h − t)2t2 es continua y no cambia de signo en (0, h), por el TVMGconcluimos que existe z ∈ [0, h] tal que

ES(h) = −1

3F (z)

∫ h

0

(h− t)2t2dt = − 1

90f (4(ξ)h5, ξ ∈ (c− h, c+ h).

Ahora, (2.18) se deduce de lo anterior con h = (b− a)/2.

Observacion 2.12

La formula de Simpson es una de las formulas de integracion numerica masusadas en la practica.

La expresion del error R2(f), en terminos de la derivada cuarta de f , confirmaque la formula es exacta para los polinomios de grado menor o igual que 3.Sin embargo, se obtiene a partir de la integracion de un polinomio de grado 2.La formula (2.17) tiene pues un grado extra de exactitud.

La formula de Simpson es exactamente de orden 3 (ver error para f(x) = x4).

Si solo se dispone de tres puntos {x0, x1, x2} y los respectivos valores de fen ellos, si los nodos no son equiespaciados, la filosofıa es la misma pero elresultado final tiene una forma menos elegante que la anterior. Utilizando lospolinomios de Lagrange L0, L1 y L2, se considerarıa la aproximacion∫ x2

x0

f(x)dx ∼∫ x2

x0

P2(x)dx =

∫ x2

x0

2∑i=0

f(xi)Li(x)dx =2∑i=0

f(xi)wi,

donde wi :=∫ x2x0Li(x)dx para i = 0, 1, 2.

Ejemplo.- Obtener un valor aproximado de la integral

∫ 1

0

e−x2

dx aplicando las

formulas vistas en teorıa. Dar, en cada caso, una estimacion del error cometido.


2.3. Formulas de integracion compuesta

Las formulas de integracion anteriores no son apropiadas cuando el intervalo deintegracion [a, b] es bastante grande, ya que el error que se comete al utilizarlas sueleser tambien bastante grande, como se deduce de las expresiones del error.

Con objeto de conseguir una mayor precision, podrıa pensarse en utilizar formu-las de tipo interpolatorio con mayor numero de puntos. Sin embargo este procedi-miento, a parte de ser mas engorroso, no conduce necesariamente a formulas masexactas debido a los problemas que puede presentar el polinomio de interpolacioncuando el grado es muy alto. Por esta razon, es aconsejable un metodo distinto yen la practica mas efectivo. Consiste en dividir el intervalo inicial en un numeroapropiado de subintervalos y aplicar un metodo de integracion numerica simple encada uno de ellos. De esta forma aparecen las formulas de integracion numericacompuestas.

Si llamamos h = (b − a)/n, entonces los puntos xj = a + j h, para j =0, 1, · · · , n, constituyen una particion (uniforme) del intervalo [a, b] y se tiene que∫ b

a

f (x) dx =n∑j=1

∫ xj

xj−1

f (x) dx.

Ahora aplicamos una formula de integracion numerica para aproximar la integralde la funcion en cada uno de los intervalos [xj−1, xj] para j = 1, 2, · · · , n.

2.3.1. Formula del punto medio compuesta

Si utilizamos la formula del punto medio para aproximar la integral en cada unode los subintervalos [xj, xj+1], obtenemos la formula de integracion compuesta∫ b

a

f (x) dx ' IPMC(f) =n∑j=1

f

(xj−1 + xj

2

)(xj − xj−1) = h

n∑j=1

f(xj−1/2

),

(2.19)

donde xj−1/2 =xj−1 + xj

2.

El error cometido al utilizar la formula (2.19) sera la suma de los errores come-tidos en cada uno de los subintervalos. La expresion del error es:


RPMC(f) =

∫ b

a

f(x) dx− IPMC(f) =f ′′(ξ)

24h2(b− a).

Demostracion.- Escribimos el error como

RPMC(f) =

∫ b

a

f(x) dx− IPMC(f) =n∑i=1

[∫ xi

xi−1

f(x) dx− (xi − xi−1) f(xi−1/2)

].

Aplicando la expresion del error para la formula del rectangulo con el punto medio,∫ xi

xi−1

f(x) dx− (xi − xi−1) f(xi−/2) =f ′′(ξi)

24(xi − xi−1)3,


siendo ξi ∈ [xi−1, xi]. Entonces,

RPMC(f) =n∑i=1

f ′′(ξi)

24h3 =

h3

24

n∑i=1

f ′′(ξi).

Ahora bien,

m = mınx∈[a,b]

f ′′(x) ≤ f ′′ (ξi) ≤M = maxx∈[a,b]

f ′′(x), ∀i = 1, 2, · · · , n

de donde nm ≤∑n

i=1 f′′(ξi) ≤ nM, y por tanto

m ≤ RPMC(f)h2

24(b− a)

≤M.

Como f ′′ es continua en [a, b], existe un punto ξ ∈ [a, b] tal que

RPMC(f) =f ′′(ξ)

24(b− a)h2.

Ejemplo.- Calcular un valor aproximado de la integral

∫ 16

10

x1/3 dx aplicando la

formula del punto medio compuesta, dividiendo el intervalo en 3 partes iguales. Daruna estimacion del error cometido.

2.3.2. Formula del trapecio compuesta

Si utilizamos la formula del trapecio en cada subintervalo, se llega a la formulade integracion compuesta∫ b

a

f (x) dx ' ITC(f) =n∑j=1

(f (xj−1) + f (xj)

2

)(xj − xj−1). (2.20)

Agrupando terminos,

ITC(f) =h

2

[f(a) + 2

(n−1∑j=1

f(xj)

)+ f(b)

].

El error viene dado como sigue:


RTC(f) =

∫ b

a

f(x)dx− ITC(f) = −f′′(ξ)

12h2(b− a).

La demostracion es totalmente analoga a la del error para la formula del puntomedio compuesta.

Ejemplo.- Hallar, por el metodo del trapecio compuesto, un valor aproximado de

la integral

∫ π/2

0

sen x dx, dividiendo el intervalo en 4 partes. Dar una estimacion

del error cometido.


2.3.3. Formula de Simpson compuesta

Siguiendo con la subdivision de un intervalo [a, b] en n subintervalos equiespa-ciados segun la particion {xi}ni=0 con xi = a+ ih donde h = (b− a)/n, aplicando laformula de Simpson simple vista antes, se tiene que∫ b

a

f(x)dx ∼n∑i=1

b− a6n

[f(xi−1) + 4f

(xi−1 + xi

2

)+ f(xi)

]

=b− a6n

[f(a) + 2

n−1∑i=1

f(xi) + 4n∑i=1

f

(xi−1 + xi

2

)+ f(b)

].

Veamos un ejemplo (academico) de esto ultimo, con una funcion f dada. Con-

sideramos f(x) = x3 − 3x2 + x + 4. Es facil comprobar que∫ 3

0f(x)dx = 9′75.

Supongamos que nos dan solo el conjunto de nodos {0, 0′5, 1′5, 2, 2′5}. Aunque nosean nodos equiespaciados ni uniformemente distribuidos por el intervalo [0, 3], po-demos plantearnos calcular los polinomios de interpolacion de grado menor o igualque dos de f en los subconjuntos de nodos x1 = {0, 0′5, 1′5} y x2 = {1′5, 2, 2′5}. Sidenotamos por p2, p2 ∈ P2[x] a dichos polinomios, se puede comprobar que∫ 1′5

0

p2(x)dx+

∫ 3

1′5

p2(x)dx = 5′1562 + 4′5937 ∼ 9′75 =

∫ 3

0

f(x)dx.

0 0.5 1 1.5 2 2.5 31

2

3

4

5

6

7Simpson compuesto para nube de puntos

y=x3-3x

2+x+4

(x1,f(x1)) con x1=[0 0.5 1.5](x2,f(x2)) con x1=[1.5 2 2.5]p2 pol.interp. (x1,f(x1))p2tilde en (x2,f(x2))


2.3.4. Aplicacion de formulas de cuadraturas a datos experimentales

Si no se tiene f, para poder aplicar las formulas anteriores en los puntos que sedesee, si los valores son dados, entonces desconocemos los errores cometidos y solo sepuede aplicar las formulas de trapecio compuesta y si el numero de nodos es impar,2n + 1, y no inferior a tres, de Simpson compuesto, acorde a la Observacion 2.12final, en cada subintervalo [x2j−2, x2j] con j = 1, . . . , n. Damos un ejemplo de ello acontinuacion.

Se tiene la siguiente tabla de valores experimentales, a partir de observacionesclınicas.

Tiempo (h) 0 3 4 6 8 15 18 21 24Conc. Plasm. (mg/ml) 1’1 3’3 5 9’3 21’9 47’2 35’4 29’2 19’1

No se conoce el error que se comete sobre la funcion que representarıa la evolucionen tiempo real; simplemente se tiene dicha nube de puntos. La integral de la funcion(desconocida) tiene un significado clınico de interes. Para aproximarla, o bien seusa la poligonal P1 y a partir de ella se aplica la regla de trapecios compuesta, obien, agrupando de tres en tres los pares de valores, se usa la regla de Simpsoncompuesta. En ambos casos, los valores obtenidos (compruebese) de las integralesnumericas compuestas son 591’35 y 635’94 respectivamente.

Tiempo (horas)0 5 10 15 20 25

Concentr

ació

n (

mg/1

00 m

l)

0

5

10

15

20

25

30

35

40

45

50Nube de puntos: datos experimentales

Tiempo (horas)0 5 10 15 20 25

Concentr

ació

n (

mg/1

00 m

l)

0

5

10

15

20

25

30

35

40

45

50Datos experimentales y P1 para trapecio compuesto

Tiempo (horas)0 5 10 15 20 25

Concentr

ació

n (

mg/1

00 m

l)

0

5

10

15

20

25

30

35

40

45

50Datos experimentales y Simpson compuesto


Referencias

[1] A. Aubanell, A. Benseny & A. Delshams, Utiles basicos de Calculo Numerico,Labor, Barcelona 1993.

[2] J. A. Infante y J. M. Rey, Metodos Numericos: Teorıa, problemas y practicascon MATLAB , Ediciones Piramide, Madrid, 1999.

[3] J. M. Quesada, C. Sanchez, J. Jodar & J. Martınez, Analisis y Metodos Numeri-cos, Publicaciones de la Universidad de Jaen, Jaen, 2004.

Como referencias complementarias destacamos:

[4] F. Garcıa & A. Nevot, Metodos Numericos, Universidad Pontificia de Comillas,Madrid, 1997.

[5] D. Kincaid & W. Cheney, Analisis Numerico, Addison-Wesley Iberoamericana,Wilmington, 1994.

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