Tema 4 - INGENIERIA DE TELECOMUNICACIONES · con ancho de banda B, se denomina tasa de Nyquist. El teorema de muestreo es la base de la equivalencia entre señales analógicas y digitales

Profa. Gabriela Leija Hernández

ESIME Unidad Zacatenco

Materia: Comunicaciones Digitales Semestre: 6to. Carrera: ICE Febrero-Julio 2017

Tema 4 Conversión de Señales Analógicas a Digitales

ICE 6to.Semestre Comunicaciones Digitales Prof. Gabriela Leija Hernández

TEMA 4. Conversión ADC 1 / 18

¿QUÉ ES ANALÓGICO? ¿QUÉ ES DIGITAL?

El término ANALÓGICO en la industria de las telecomunicaciones y el cómputo significa, todo aquel proceso entrada/salida cuyos valores son continuos. Algo continuo es todo aquello que puede tomar una infinidad de valores dentro de un cierto límite, superior e inferior. Una señal analógica se muestra en la figura 1.

El término DIGITAL, involucra valores de entrada/salida discretos. Algo discreto puede tomar valores finitos. El caso de las comunicaciones digitales y el cómputo, esos valores son el CERO (0) o el UNO (1) o Bits (BInary DigiTs). Ver Fig. 1.

Fig. 1 Señal analógica, señal digital

Los ojos y los oídos son receptores de información analógica y digital. Los ojos reconocen y distinguen los niveles discretos de una gama de señales y además perciben una variedad infinita de tonalidades de los colores. Los oídos distinguen

separadamente los tonos de una amplia escala de sonidos y al mismo tiempo pueden apreciar la variación continua de los tonos, como es el caso de las composiciones musicales.

Algo similar ocurre con los sistemas de comunicación analógicos. Mientras las señales digitales caigan dentro de la gama del sistema no existirá dificultad para transmitir información digital por canales analógicos.

En cambio las señales analógicas no se pueden enviar o recibir con equipos de comunicación digital a menos que sean previamente muestreadas, cuantificadas (o cuantizadas) y codificadas.Fig. 2.

La base del proceso de digitalización de señales analógicas está constituida por los siguientes pasos:

Fig. 2 Paso 1 muestreo, paso 2 cuantificación, paso 3 codificación

Las señales de video son complicadas. Se codifican constantemente cambiando imágenes, y en muchos casos, sonido. Si uno observara la televisión de cerca, se podría ver que la imagen está formada por muchas líneas horizontales dibujadas una

sobre otra. La señal de video contiene información para dibujar estas líneas, detallando si la parte de la línea debe ser obscura o clara y como los colores deben mostrarse. El sonido también se codifica en la señal.



CONVERSIÓN DE UNA SEÑAL ANALÓGICA A DIGITAL

El pasar una señal analógica a una señal digital, además de la simplicidad del diseño de circuitos digitales, tenemos la capacidad de codificar las señales digitales para minimizar los efectos de ruido e interferencia.

Hay diferentes etapas a seguir para convertir una señal analógica a una señal digital. Primero en el transmisor la señal de información se muestrea, después se cuantifica y por último se codifica, posteriormente la señal pasa a un modulador para pasar al canal. Ver fig. 3

Fig. 3 Formato y transmisión de una señal de banda base

PRIMER PASO – TEOREMA DE MUESTREO o TEOREMA DE NYQUIST

En la Naturaleza nos encontramos con señales continuas en el tiempo, frente a las señales discretas, tipo de señales “manejables” por los sistemas digitales.

Señales Continuas (en el tiempo): x(t)

Señales Discretas (en el tiempo): x[n]

Bajo ciertas condiciones una señal continua puede ser representada y recuperada a partir de valores instantáneos,

consistentes en muestras equiespaciadas de dicha señal. Fig. 4.

Fig. 4 Proceso de conversión de continuo a discreto a) Diagrama a bloques b) señales

En la figura anterior es la señal muestreada.



Teorema de Nyquist

Harry Nyquist estudió la cantidad de información que era posible enviar a través de un canal sin ruido y de ancho de banda finito, en 1924 y 1928 publicó una serie de artículos, esos estudios permitieron demostrar que esa cantidad de información estaba limitada en función al ancho de banda del canal.

Sea una función limitada en banda, entonces, si está muestreada de forma tal que la frecuencia de muestreo fS tenga relación con el ancho de banda de la señal original, resultará que a partir de la función muestreada se podrá recuperar la totalidad de la información contenida en la primera.

En este instante nos centraremos en determinar bajo qué condiciones podemos recuperar de forma perfecta e inequívoca x(t) a partir de pues existen infinitas señales que en los instantes de muestreo pasan por los valores de , tal y

como muestra la figura 5.

Fig. 5 Infinidad de señales que pasan por ciertos instantes.

Para que la señal se pueda recuperar a partir de , ocupamos el Teorema de Muestro, el cual establece la

frecuencia mínima de muestreo, fs . Se puede enunciar el teorema de muestreo o teorema de Nyquist para señales limitadas en banda de energía finita de la siguiente forma: Una señal limitada en banda de energía, se puede recuperar de forma exacta a partir de sus muestras tomadas a una tasa de fs=2fmax muestras por segundo. Donde fs, es la frecuencia de

muestreo y fmax es la frecuencia máxima de la señal de información. La tasa de muestreo fs= 2fmax definida para una señal con ancho de banda B, se denomina tasa de Nyquist. El teorema de muestreo es la base de la equivalencia entre señales analógicas y digitales.

Cuando la tasa de muestreo fs excede a la de Nyquist 2fmax, las replicas de requeridas para la construcción de están más separadas por lo que no existe ningún problema a la hora de recuperar la señal original a partir de la señal

muestreada con el procedimiento descrito.

Sin embargo, cuando la tasa de muestreo fs es menor que 2fmax , se puede ver que al construir la señal ), las replicas

de aparecen solapadas. En este caso el espectro pasaría a ser el de la figura 8. Las altas frecuencias de se

ven reflejadas hacia las bajas frecuencias en . Este fenómeno se denomina aliasing. Es evidente comprobar que si la

tasa de muestreo fs es menor que la de Nyquist 2B, la señal original no se puede recuperar de forma exacta a partir de

las muestras y, por lo tanto, se pierde información en el proceso de muestreo. Ver fig. 6.

Fig. 6 Frecuencias de muestreo



Entonces concluimos que, se debe de cumplir la condición:

fs≥ 2fmax

max2

1

fTS

Para el proceso de reconstrucción de la señal, además es necesario un filtro pasa bajos. Fig. 7.

Fig. 7 Filtro paso bajo ideal de reconstrucción

El muestreo solo, no es una técnica digital. El resultado inmediato del muestreo es una señal de modulación por pulsos. Ver fig. 8

Fig. 8 El proceso de muestreo da a la salida una señal de pulsos

En la figura 9, se realiza un muestreo de duración finita, pero como se observa la señal muestreada no tiene amplitud homogénea en los pulsos, sin embargo no es problema realizar los cálculos correspondientes para este tipo de señal, a este

muestreo se le conoce como Muestreo Natural, en este tipo de muestreo, el espectro de frecuencia de la salida muestreada es distinto al de una muestra ideal.

Fig. 9 Muestreo Natural



Fig. 10 Muestreo ideal

Para casos más prácticos, Vamos a considerar ahora la situación en la que la señal analógica g(t) se muestrea de forma

instantánea a una tasa fs = 1/Ts y cada muestra se mantiene o alarga una duración T tal y como se muestra en la figura 11. Este tipo de muestreo se denomina Muestreo Flat-Top. (o de cresta-plana).

Una razón para incrementar intencionalmente la longitud de las muestras es para evitar el uso de un ancho de banda de transmisión excesivo, ya que el ancho de banda es inversamente proporcional a la duración de los pulsos. Se denomina s(t) a la señal muestreada empleando muestras Flat-Top.

Fig.11 Muestreo Flat-Top



Matemáticamente sería: Recordando:

Función tren de Impulsos



Recordemos que toda señal analógica en función del tiempo tiene su correspondiente señal en función de la frecuencia llamado espectro de frecuencia. Ver fig. 8 y 9.

Fig. 8 Ejemplo de la forma de la voz y su espectro de frecuencia

Fig. 9 Una onda triangular representada en el dominio del tiempo (arriba) y en el dominio frecuencia (abajo)

Matemáticamente el análisis espectral está relacionado con una herramienta llamada transformada de Fourier. Ese análisis puede llevarse a cabo para pequeños intervalos de tiempo, o menos frecuentemente para intervalos largos, o incluso puede

realizarse el análisis espectral de una función determinista (tal como ). Además la transformada de Fourier de una

función no sólo permite hacer una descomposición espectral de los formantes de una onda o señal oscilatoria, sino que con el espectro generado por el análisis de Fourier incluso se puede reconstruir la función original mediante la transformada

inversa. Para poder hacer eso, la transformada no solamente contiene información sobre la intensidad de determinada frecuencia, sino también sobre su fase.



Función muestreada

(1)

Recordando:

(a)

Donde:

(2)

Sustituyendo ecuación (2) en ecuación (1):

(3)

Objetivo

(4)

Por propiedad:

(5)

Por la ecuación (a):

(6)

Sustituyendo: y

en la ecuación (6)

Recordando:



SEGUNDO PASO – CUANTIFICACIÓN En la práctica, es imposible transmitir información sobre la amplitud exacta de las señales analógicas, ya que sólo se admiten ciertas amplitudes discretas del tamaño de una muestra. Después que la señal analógica es muestreada en un sistema PAM, se transmite el nivel más próximo a la amplitud verdadera. En el extremo receptor se reconstruye la señal a este nivel. Este procedimiento de representación de la señal admitiendo sólo ciertas amplitudes discretas se llama cuantificación.

La cuantificación introduce un error inicial en la amplitud de las muestras, dando lugar al ruido de cuantificación o distorsión de cuantificación.

Siempre que una reducción de la calidad de la línea no impida la adopción de una decisión correcta en cuanto a la presencia

o ausencia de un impulso, el proceso de regeneración eliminará el ruido de línea. Por lo tanto, el único ruido presente en la señal reconstruida en el extremo receptor será el ruido de cuantificación. En consecuencia, en los sistemas de transmisión de señales cuantificadas, el ruido máximo se selecciona intencionalmente, mientras que en los sistemas analógicos el ruido

máximo depende de las características del trayecto de transmisión.

Si la transformación de señal analógica a digital se efectúa más de una vez, es decir, si se usan varios enlaces PCM en tándem (la palabra tándem se emplea asimismo para señalar elementos de un mismo tipo que se posicionan en serie, es decir uno atrás de otro, y que cumplen la misma función en un mecanismo), el ruido de cuantificación se acumula.

Si el resultado del muestreo es una serie de pulsos con valores de amplitud entre un máximo y un mínimo de la señal (señal

PAM), el conjunto de amplitudes puede ser infinito con valores continuos ente los dos límites. Estos valores no pueden utilizarse en el proceso de la codificación.

Pasos a seguir para cuantificar una señal

Los siguientes puntos son los pasos a seguir para cuantificar la señal PAM, ver fig. 16:

1. Asumimos que la señal analógica original tiene amplitudes instantáneas ente Vmin y Vmax.

2. Dividimos el intervalo en L zonas, cada una con altura Δ.

L= 2n

donde : L es el nivel de cuantificación

L

VV minmax

Δ es nivel de reconstrucción, escalón o resolución

3. Aproximamos el valor de la amplitud de las muestras a cada valor de cuantificación usando

cuantificación uniforme, la cual se redondea al valor más próximo, generalmente ±0.5Δ, aunque hay sistemas que redondean el valor hacia abajo, lo cual se llama cuantificación por truncamiento, es decir, si

hay una altura de 5.9 Δ, lo deja en un valor de 5Δ)

4. Por último asignamos valores de cuantificación de 0 a L-1 a los puntos medios de cada zona Δ, lo cual permite digitalizar la señal.



La cuantificación consiste en redondear las amplitudes de la señal PAM en un número discreto de niveles preestablecidos. Ver fig. 12

Fig.12 Cuantificación de algunas muestras

Fig.13 Redondeo de las amplitudes PAM



Ruido ó Error de Cuantificación

Es la diferencia entre la señal de entrada y la señal de salida. Fig. 14.

Fig.14 Señal cuantificada junto con su error de cuantificación.

De acuerdo a la fig. 15 lo definimos:

Fig. 15 Error de cuantificación

Al cuantificar una señal, si L es muy bajo aumenta el error de cuantificación, y si L aumenta, disminuye el error de

cuantificación. El valor de error de cualquier muestra es Δ/2. En otras palabras: 22

error .

Fig. 16 Reconstrucción de la señal cuantificada Fig. 17 Calidad de la señal con más escalones



CUANTIFICACIÓN UNIFORME O LINEAL Tiene una implementación simple, es robusta a cambios pequeños en las estadísticas en la entrada, algunas características de un cuantificador uniforme son:

Todos los intervalos tienen un mismo tamaño , excepto quizá los intervalos extremos. Salvo la primera y la última

región si las muestras no son finitas. Todos los niveles de reconstrucción están uniformemente espaciados, y en los intervalos internos son los puntos

medios de los intervalos Se aplica en el procesamiento de las señales, aplicaciones gráficas, aplicaciones en el control de procesos.

Hay dos tipos de cuantificadores uniformes:

Midrise

El cero no es un nivel de reconstrucción Número de niveles par, ver fig. 18

Fig. 18 Cuantificación Midrise

Midtread

El cero es un nivel de reconstrucción Es útil, por ejemplo, en control y audio, para poder producir salida nula Número de niveles impar, ver fig. 19

Fig. 19 Cuantificación Midtread



CUANTIFICACIÓN NO UNIFORME

El problema de la cuantificación uniforme es que conforme aumenta la amplitud de la señal, también aumenta el error. Este problema lo resuelve el cuantificador logarítmico de forma parcial. Sin embargo, si conocemos la función de la distribución de

probabilidad, podemos ajustar los niveles de reconstrucción a la distribución de forma que se minimice el error cuadrático medio. Esto significa que la mayoría de los niveles de reconstrucción se den en la vecindad de las entradas más frecuentes y, consecuentemente, se minimice el error (ruido). Ver fig. 20

Fig. 20 Cuantificación no uniforme

En la práctica, un cuantificar no uniforme pude ser difícil de diseñar, se puede usar una estimación de la distribución para

diseñar los cuantificadores. Esta estimación se puede obtener a partir de los datos al cuantificar de forma iterativa, es decir dando valores aleatorios de niveles de cuantificación. Los cuantificadores no lineales se usan para la voz.

Cuantificación logarítmica

Dentro de la cuantificación no uniforme tenemos la cuantificación logarítmica. Las señales de voz pueden tener un rango dinámico superior a los 60 dB, por lo que para conseguir una alta calidad de voz se deben usar un elevado número de

niveles de reconstrucción. Sin embargo, interesa que la resolución del cuantificador sea mayor en las partes de la señal de menor amplitud que en las de mayor amplitud.

Por tanto, en la cuantificación lineal se desperdician niveles de reconstrucción y, consecuentemente, ancho de banda. Esto se puede mejorar incrementando la distancia entre los niveles de reconstrucción conforme aumenta la amplitud de la señal.

Un método sencillo para conseguir esto es haciendo pasar la señal por un compresor logarítmico antes de la cuantificación. Esta señal comprimida puede ser cuantificada uniformemente. A la salida del sistema, la señal pasa por un expansor, que realiza la función inversa al compresor. A esta técnica se le llama compresión. Ver fig. 28.

Su principal ventaja es que es muy fácil de implementar y funciona razonablemente bien con señales distintas a la de la voz. Para llevar a cabo la compresión existen dos funciones muy utilizadas: Ley-µ (Ley Mu, utilizada en Estados Unidos y Japón) y Ley-A (utilizada en Europa y resto del mundo).

Fig. 21 Compresión de una señal



Ley A La ley A (A-Law) es un sistema de cuantificación logarítmica de señales de audio, usado habitualmente con fines de compresión en aplicaciones de voz humana. Está estandarizada por la ITU-T, norma G.711. La Unión Internacional de

Telecomunicaciones (ITU, siglas en ingles) es el organismo especializado en telecomunicaciones de la Organización de las Naciones Unidas (ONU), encargado de regular las telecomunicaciones a nivel internacional entre las distintas

administraciones y empresas operadoras. La sede de la ITU se encuentra en la ciudad de Ginebra, Suiza.

Este algoritmo se utiliza principalmente para la codificación de voz humana, ver fig. 22, ya que su funcionamiento explota las características de ésta. Las señales de voz están formadas en gran parte por amplitudes pequeñas, ya que son las más

importantes para la percepción del habla, por lo tanto éstas son muy probables. En cambio, las amplitudes grandes no aparecen tanto, por lo tanto tiene una probabilidad de aparición muy baja.

Fig. 22 Señal de voz

En el caso de que una señal de audio tuviera una probabilidad de aparición de todos los niveles de amplitud por igual, la cuantificación ideal sería la uniforme, pero en el caso de la voz humana esto no ocurre, estadísticamente aparecen con

mucha más frecuencia niveles bajos de amplitud.

El algoritmo Ley A explota el factor de que los altos niveles de amplitud no necesitan tanta resolución como los bajos. Por lo tanto, si damos más niveles de cuantificación a las bajas amplitudes y menos a las altas conseguiremos más resolución, un

error de cuantificación inferior y por lo tanto una relación SNR (Relación señal a ruido)0 superior que si efectuáramos directamente una cuantificación uniforme para todos los niveles de la señal.

Esto provoca que si para un determinado SNR fijado necesitamos por ejemplo 16 bits usando una cuantificación uniforme,

para el mismo SNR usando la codificación Ley A necesitemos 8 bits, dado que el error de cuantificación es menor y podemos permitirnos usar menos bits para obtener el mismo SNR.

El algoritmo Ley A basa su funcionamiento en un proceso de compresión y expansión llamado companding. Se aplica una compresión/expansión de las amplitudes y posteriormente una cuantificación uniforme. Las amplitudes de la señal de audio

pequeñas son expandidas y las amplitudes más elevadas son comprimidas.

Esto se puede entender de la siguiente forma; cuando una señal pasa a través de un compander, el intervalo de las amplitudes pequeñas de entrada es representado en un intervalo más largo en la salida, y el intervalo de las amplitudes más

elevadas pasa a ser representado en un intervalo más pequeño en la salida.

http://es.wikipedia.org/wiki/Companding



Compander, es un sistema de cuantificación formado por:

Compresor: Amplifica el nivel de las muestras que caen en regiones de alta probabilidad y reduce el nivel de las que caen en zonas de baja probabilidad

Usa un cuantificador uniforme, pero el efecto global es el de un cuantificador no-uniforme

Descompresor (expander): Implementa la función inversa del compresor

Digitalmente, todo este esquema es equivalente a aplicar una cuantificación no uniforme (logarítmica) a la señal original, donde tendremos pequeños pasos de cuantificación para los valores pequeños de amplitud y pasos de cuantificación grandes para los valores grandes de amplitud. Para recuperar la señal en el destino tendremos que aplicar la función inversa.

Por lo tanto, la implementación del sistema consiste en aplicar a la señal de entrada una función logarítmica y una vez procesada realizar una cuantificación uniforme. Es lo mismo que decir que el paso de cuantificación sigue una función del tipo logarítmico.

Para una entrada x dada, la ecuación Ley A de salida es:

dónde:

A = Es el parámetro de compresión.

En Europa, A = 87.7. También se usa el valor 87.6.

La función inversa es la siguiente:

La figura 23 muestra la gráfica de la ley-A.

Fig. 23 Características entrada/salida compresor ley A

http://es.wikipedia.org/wiki/Archivo:Formulamulaw.PNG



Ley Mu (Ley μ)

Nosotros empleamos la ley μ, donde μ indica el factor de compresión usado que comúnmente es μ = 255. Si μ = 0, la entrada es igual a la salida.

En la ley A la cuantificación logarítmica emplea funciones logarítmicas para comprimir la señal así mismo en la ley μ, tenemos:

La figura 24 muestra la gráfica de la ley-µ para distintos valores de µ:

Fig. 24 Características entrada/salida compresor ley Mu

http://es.wikipedia.org/wiki/Archivo:Formulamulaw.PNG



TERCER PASO – CODIFICACIÓN Una vez que la señal analógica ha sido discretizada en tiempo (muestreo) y discretizada en amplitud (cuantificación), se dispone de una señal de M símbolos.

La codificación es el último proceso que tiene lugar durante la conversión analógica-digital. Consiste en la traducción de los valores de tensión eléctrica analógicos que ya han sido cuantificados al sistema binario mediante códigos preestablecidos. La señal analógica va a quedar transformada en un tren de impulsos digital (sucesiones de ceros y unos).

Si se quiere una transmisión binaria, faltaría convertir los símbolos a bits. Esto implica que los unos y ceros resultantes deben ser representados con formas de onda específicas que influirán en: Potencia de transmisión, ancho de banda

reducido, facilidad de recuperación del reloj en el receptor (sincronismo), detección y corrección de errores, etc. A la asignación de formas de ondas arbitrarias para los unos y ceros se le llama Codificación de línea.

Existen dos categorías principales: con retorno a cero (RZ, por sus siglas en inglés: return-to-zero) y sin retorno a cero (NRZ, por sus siglas en inglés: nonreturn-to-zero).

Codificación Digital

Digitalmente se aplica una cuantificación no uniforme (logarítmica) a la señal original, donde tendremos pequeños pasos de cuantificación para los valores pequeños de amplitud y pasos de cuantificación grandes para los valores grandes de amplitud.

El algoritmo de la ley A es un sistema de compresión con pérdidas en comparación con la codificación lineal normal. Esto

significa que al recuperar la señal, ésta no será exactamente igual a la original.

La codificación de la ley A, toma una muestra de audio de 13 bits (ó 16 bits convertida a 13) como entrada y la comprime a un valor de 8 bits, así:

Código de entrada lineal Código comprimido

s0000000wxyza... s000wxyz

s0000001wxyza... s001wxyz

s000001wxyzab... s010wxyz

s00001wxyzabc... s011wxyz

s0001wxyzabcd... s100wxyz

s001wxyzabcde... s101wxyz

s01wxyzabcdef... s110wxyz

s1wxyzabcdefg... s111wxyz

Donde s es el bit de signo. Por ejemplo, 1000000010101111 es convertido en 10001010 (de acuerdo a la primera fila de la

tabla), y 0000000110101111 es convertido en 00011010 (de acuerdo a la segunda fila).

Adicionalmente, el estándar G.711 especifica que los bits pares resultantes son invertidos antes de enviar el octeto de bits. Esto es para aumentar la cantidad de bits en 1 para facilitar el proceso de recuperación de la señal de reloj del sistema en el

receptor PCM.

En la mayoría de los sistemas telefónicos, A se fija a 87.56 y µ a 255.

En los sistemas PCM reales, los sistemas compresores no son una réplica exacta de las características de la ley Mu o de la ley

A, sino que son una aproximación por intervalos lineales a la curva deseada. Utilizando un número elevado de segmentos lineales, la aproximación llega a ser bastante buena.

La figura 25, muestra un diagrama a bloques básico, para la conversión de una señal analógica a digital y donde se aplica la

ley µ. Todo el proceso de conversión se le llama también Modulación por Código del Pulso. (PCM).



Fig. 25 Diagrama simplificado de PCM y donde se aplica la ley µ

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