Tema 3 Estatica 04 EPSGS

7/28/2019 Tema 3 Estatica 04 EPSGS

1/17

rea de Mecnica de Fluidos. ESTTICA DE FLUIDOS 1

rea de Mecnica de Fluidos

Escuela Politcnica Superior Guillermo SchulzCurso de Complementos de Ingeniero Gelogo

HIDRULICA

ESTTICA DE FLUIDOS

1. ECUACIN FUNDAMENTAL DE LA ESTTICA.

2. APLICACIN A CAMPOS GRAVITATORIOS.

3. APLICACIONES EN CAMPO INERCIAL Y CAMPO CENTRFUGO.

4. FUERZAS DE PRESIN SOBRE SUPERFICIES.

5. FLOTACIN Y ESTABILIDAD DE CUERPOS SUMERGIDOS.

6. MANOMETRA.

7. PROBLEMAS.


2/17


1. ECUACIN FUNDAMENTAL DE LA ESTTICA.

Antes de estudiar la dinmica de los fluidos, es necesario conocer las interacciones mecnicas que estos poseen enreposo. LaEsttica de Fluidos o Hidrostticaes la parte de la Mecnica de Fluidos que estudia los fluidos en reposo ysu interaccin con los contornos slidos que los contienen. Es decir, se estudia el comportamiento de un fluido cuandono hay movimiento relativo entre sus partculas. Esta condicin implica la no existencia de tensiones tangenciales,reducindose el tensor de tensiones a los valores normales (presin).

Una caracterstica fundamental de cualquier fluido en reposo es que la fuerza ejercida sobre cualquier partculade dicho fluido es la misma en todas las direcciones. Si las fuerzas fueran desiguales, la partcula se desplazara en ladireccin de la fuerza resultante. Esta condicin aplicada en las superficies slidas o contornos que contienen al fluidoimplica que la fuerza que el fluido ejerce en dichas superficies ha de ser normal a las mismas. Si no fuera as, la fuerzatendra una componente tangencial no equilibrada y el fluido se movera a lo largo de la pared.

Este concepto fue formulado por primera vez por el matemtico y filsofo francs Blaise Pascal en 1647 y seconoce como principio de Pascal (siempre que se puedan despreciar las diferencias de presin debidas al peso de unfluido, la presin aplicada sobre cualquier zona de ese fluido se transmite por igual en todas las direcciones).

La presin media se define como el cociente entre una fuerza normal y la superficie sobre la que acta.

Sobre una partcula en equilibrio existen bsicamente dos tipos de fuerzas: superficiales y volumtricas. Lasfuerzas superficiales son debidas a la interaccin de cada partcula con las que la rodean y las volumtricas son debidasa la masa de cada partcula (a veces se denominan tambin fuerzas msicas).

En equilibrio dinmico, para cualquier sistema fsico dado:

=== 0dt)vm(d

dtvd

mFrr

r

(1)

Es decir, atendiendo a la nomenclatura de la figura 1, se tiene:

s

m

P P PdF i j k dxdydz Pd

x y z

dF f d

= =

=

r r rr

rr

(2)

dy

dz

dx

X

Z

Y

P (P + dy)/ y/

P

Figura 1. Partcula de fluido en equilibrio (se muestra slo la direccin del eje Y).

Por lo tanto, se debe cumplir:

Pf =

r

(3)

que constituye laecuacin fundamental de la ESTTICA de fluidos.


3/17


2. APLICACIN A CAMPOS GRAVITATORIOS.

Cuando las fuerzas msicas derivan de un potencial, es decir cuando se trata de fuerzas conservativas, se tiene

que existe un campo U tal que Uf =r

. Entonces:

pU = (4)que proyectada en una determina direccin, permite expresar:

pddU= (5)En el caso del potencial gravitatorio: zgU = . Por tanto:

pddzg = (6)De donde se deduce:

0yp

;0xp

=

=

(7)

Integrando la ecuacin disponible, se obtiene:

dzgpp

dzgpd

12

=

=(8)

a) Fluido incompresible ( =cte):

)zz(gpp 1212 = (9)b) Fluido compresible: hace falta conocer la relacin entre la densidad y la cota geomtrica. Por ejemplo: gas

ideal ( RTp

= ) o atmsfera normal (evolucin de la temperatura con la altura en troposfera yestratosfera).

Para el estudio de la variacin de la presin en la atmsfera se considera sta dividida en dos zonas, la troposfera (0-11 km), donde la temperatura varia linealmente, la estratosfera (11-48 km) donde la temperatura se mantiene casi constantehasta los 22 km, luego evoluciona linealmente hasta los 32 km y con distinta variacin hasta los 48 km y la mesosfera, msall de los 48 km (figura 2).

0

10

20

30

4050

60

100 150 200 250 300216.5 288

z [km]

T [K]

11

48

Estratosfera

Troposfera

Mesosfera

32

270228

22

Figura 2. Evolucin de la temperatura en funcin de la altura para unas condiciones normal.


4/17


Las ecuaciones necesarias para estudiar cada una de las evoluciones, entre dos cotas distintas, son las siguientes:

- Ecuacin de estado de los gases perfectos:p

=RT

(10)

- Ecuaciones del proceso de cambio:

- Cambio isotermo: p =cte

(11)

- Cambio adiabtico:

- 1 1

00 0 0

p T p p= ; = ; =cte

p p T

(12)

donde es el coeficiente de expansin adiabtico.

Debido a la diferente variacin de la temperatura en la atmsfera se tienen que hacer los clculos separados en lasdistintas partes en las que se divide la grfica de la figura 2. Por ejemplo, para la troposfera (0-11 km) y para la estratosfera(zona inicial, entre 11 y 32 km), se tiene:

a) Troposfera. T =T0 - z, con T0 =15C y =0.0065 K/m

0

0 00

d p g d z p g - zT=- => Ln =- Lnp R - z R pT T

(13)

de donde, se obtiene:

g- 2

R

0 0 00

p z g z g g 1 z= 1 - =1 - + - 1 - ......

R R R 2!p T T T

(14)

Sustituyendo:

00

p g z1 -

Rp T (15)

Para incrementos de cota inferiores a 300 m la variacin de presin es inferior al 2%, por lo que sta se puedeconsiderar constante (fluido incompresible). Eliminando, entre la ecuacin anterior y la ecuacin de estado, la temperatura,se obtiene la siguiente expresin:

0 0

0 0 0 0

- g zp p g z1 - =

/p p p (16)

b) Estratosfera, zona inicial: T=- 56.5C

Sustituyendo, se tiene:

0

0

d p g d z p g=- => Ln =- ( z - )z

p R T R Tp(17)

Integrando, se llega a:

0g

- ( z - )zR T

0

p=e

p

(18)


5/17


Algunas consecuencias interesantes de los apartados anteriores:

Para un fluido en reposo, las superficies equipotenciales son isobaras. Si solo est presente el efecto de lagravedad y el fluido es incompresible, se tratar de planos horizontales.

Si un fluido es barotrpico (la densidad es slo funcin de la presin), las superficies equipotenciales son

isocoras e isobaras a la vez. Para un gas ideal, sern adems isotermas.

La superficie superior de un lquido en reposo situado en un recipiente abierto siempre ser perpendicular a lafuerza total que acta sobre ella. Si la gravedad es la nica fuerza, la superficie ser horizontal. Si actan otras fuerzasadems de la gravedad, la superficie libre se ajustar a ellas. Por ejemplo, si se hace girar rpidamente un vaso de aguaen torno a su eje vertical, habr una fuerza centrfuga sobre el agua adems de la fuerza de la gravedad.

3. APLICACIONES EN CAMPO INERCIAL Y CAMPO CENTRFUGO.

Si el fluido se mueve con una aceleracin lineal constante o gira con una velocidad uniforme, cuando sumovimiento se estabilice, desaparece el movimiento relativo de unas partculas respecto a otras y, por tanto, desaparececualquier tensin cortante. Se dice que el fluido se comporta entonces como un slido rgido y se pueden aplicar lasecuaciones de la esttica.

a) Aceleracin lineal uniforme.

Adems de la fuerza de la gravedad, aparece una segunda fuerza msica debida a la inercia. Al igual que en elcaso esttico puro, existe un potencial de fuerzas msicas:

agfrr

r

= (19)

donde el potencial del que derivara la funcin fr

tendra como expresin fundamental:

zgzayaxaU zyx +++= (20)

y entonces:

)zgzayaxa(p zyx +++= (21)

Igualando las componentes, se llega a las expresiones:

)ga(zp

ayp

axp

zyx +=

=

=

(22)

Para un fluido incompresible, se pueden integrar fcilmente estas tres expresiones, obtenindose

)]zz)(ga()yy(a)xx(a[pp 12z12y12x12 +++= (23)

A partir de esta ecuacin se puede obtener el ngulo de inclinacin de la superficie libre en un movimiento coneste tipo de aceleracin constante. En nomenclatura de la figura 3, por un lado se tiene:

xapp x10 = (24)


6/17


Y

X

0

0

1

Figura 3.- Recipiente con lquido movindose con aceleracin constante.

y, por otro lado, tambin se cumple:

zgpp 10 = (25)

Si igualamos ambas expresiones, se tiene:

xaz tgx g

= =

(26)

b) Rotacin uniforme.

Cuando el movimiento se estabiliza, las partculas giran formando lo que se denomina vrtice forzado (orotacin como slido rgido). Las fuerzas actuantes son la centrfuga y la gravitatoria. Se utilizan coordenadas

cartesianas.

agfrr

r

= (27)

Si ahora expresamos el potencial en coordenadas polares, se tendr como funcin de partida:

zg2u

U2r += (28)

Es decir, que el gradiente del campo de presin ser:

+= zg

2up

2r (29)

Igualando las componentes, y teniendo en cuenta que rur = , se tiene:

gzp

0p

rp 2 =

=

=

(30)

Para un fluido incompresible, se pueden integrar fcilmente estas tres expresiones, obtenindose

= )zz(g)rr(2pp 12

2122

2

12 (31)


7/17


Expresin que permite asegurar que las superficies equipotenciales (isobaras) son paraboloides de revolucin. Enconcreto, la superficie libre, tendra una ecuacin del tipo:

22

0

r = g(z z )

2 (32)

Es decir, se trata de parbolas como la de la figura 4:

Figura 4.- Superficie libre de un recipiente con un lquidogirando a velocidad constante.

4. FUERZAS DE PRESIN SOBRE SUPERFICIES.

4.1. FUERZAS DE PRESIN SOBRE SUPERFICIES PLANAS.

En muchos problemas de aplicacin prctica no slo interesa conocer la presin en determinados puntos en elinterior de un fluido sino que surge la pregunta de cul ser el efecto del fluido sobre un cuerpo sumergido (total oparcialmente).

Cuando un cuerpo slido se sumerge en un fluido, ste ejercer sobre el cuerpo determinadas fuerzas. Se trata dedeterminar la resultante de las fuerzas actuantes as como su lugar de actuacin.

Sea una superficie plana sumergida en un fluido. Se representa su rea por unidad de ancho (figura 5), formando unngulo con la horizontal. Para su estudio se analiza el esfuerzo sobre un rea elemental, de forma que todas sus partculasestn situadas a la misma profundidad h por debajo de la superficie libre del lquido, siendo la presin p uniforme sobredichas partculas.

La fuerza que acta sobre el rea dA es:

dF =pdA = ghdA (33)

La fuerza actuante sobre toda la superficie A se obtiene integrando la fuerza elemental dF, es decir:

F = dF = ghdA =gsen ydA (34)

Si yG es la distancia (tomada en la direccin de la superficie) a la que se encuentra el centro de gravedad desde lasuperficie libre del lquido, se obtiene:

Gy dA = Ay (35)

Sustituyendo en la ecuacin (34):

GF = g sen Ay (36)


8/17


Y

dy

C

G

h

dA

O

Figura 5. Fuerzas de presin sobre una superficie plana.

Una vez calculada la fuerza slo queda localizar su punto de aplicacin (C), que se denomina habitualmentecentrode presiones.

Para ello se busca el par respecto al punto en el que se cortan la recta que contiene a la superficie plana y la recta dela superficie libre (punto O en la figura 5). La suma de los momentos de las fuerzas elementales respecto a ese punto esigual al momento de la fuerza resultante respecto a ese punto:

CdF y =F y (37)Sustituyendo por sus valores respectivos:

G C g y sen dA y = g sen Ay y (38)

2G CdA = Ay y y (39)

es decir:

AyI

yC

OYC = (40)

siendo IOY el momento de inercia del rea plana respecto del eje OY.

Por el teorema de Steiner, se puede poner en funcin del momento de inercia respecto del centro de gravedad ocentroide de la seccin, Ixx:

GG

xx

G

2Gxx

C yAyI

AyyAI

y +=+

= (41)

Se observa que la posicin del centro de presiones est siempre a mayor profundidad que el centro de gravedad dela superficie.

Si la placa est sumergida en un fluido y si el espesor es pequeo, las fuerzas a ambos lados son iguales. No ocurrelo mismo si se trata de una compuerta o existen diferentes alturas de lquido a ambos lados de dicha superficie.


9/17


4.2. EMPUJ E SOBRE SUPERFICIES CURVADAS.

Se sigue una estrategia de proyectar la fuerza sobre cada uno de los ejes y luego sumarlas vectorialmente. Acontinuacin se pueden componer ambas fuerzas para obtener la resultante.

4.2.1. COMPONENTE HORIZONTAL.

La componente horizontal de la fuerza de presin sobre una superficie curvada (figura 6) es igual a la fuerza depresin ejercida sobre una proyeccin de la superficie perpendicular al eje horizontal. Su lnea de accin pasa por el centrode presiones.

yGAy

yyAx

xGxx AzgdApF;AzgdApF ==== (42)

Fx

Figura 6. Componente horizontal sobre una superficie curva.


10/17


4.2.2. COMPONENTE VERTICAL.

En cuanto a la componente vertical, como la presin en el elemento de rea (sobre la superficie curva) es distintaque su proyeccin en un plano z =0, no se puede seguir el mismo procedimiento; sin embargo, si consideramos solosobrepresiones sobre la presin de la superficie libre (z =0 ), se tiene que la componente vertical de las fuerzas depresin es igual al peso de la masa de lquido contenida en el volumen engendrado por la traslacin vertical de la

superficie curva hasta la superficie libre , (figura 7):

=== gdAzgdAzgFAz

zAz

zz (43)

El centro de presiones se obtiene a partir de los centros de aplicacin de cada una de las tres componentes: lascomponentes horizontales tiene su centro de presin, respectivamente, en los centros de presin de las reasproyectadas; y la componente vertical, en el centro de gravedad de volumen generado verticalmente ( ).

Fz

Figura 7. Fuerza vertical sobre cuerpos sumergidos.

Si no hubiese superficie libre, como ocurre en un recipiente cerrado sometido a pR, se debera considerar unasuperficie imaginaria situada a una alturapR/( g) por encima de la superficie libre del lquido dentro del recipiente.4.3. EMPUJ E SOBRE CUERPOS SUMERGIDOS. PRINCIPIO DE ARQUMEDES.

El principio de Arqumedes dice que un cuerpo sumergido total o parcialmente en un medio fluido, experimentaun empuje hacia arriba igual al peso del volumen del fluido desalojado. Este empuje se encuentra situado en el centro degravedad del volumen desplazado y se llama centro de empuje.

El empuje que experimenta un cuerpo sumergido parcial o totalmente (figura 8) en un fluido, de acuerdo con lovisto anteriormente, es la diferencia entre la componente vertical de la fuerza de presin en su lado inferior y la misma

componente de la fuerza en su lado superior, coherente con lo expuesto en el apartado anterior.

Figura 8. Principio de Arqumedes.


11/17


5. FLOTACIN Y ESTABILIDAD DE CUERPOS SUMERGIDOS.

Cuando se tiene un cuerpo totalmente sumergido en un fluido, el centro de aplicacin del empuje, es el centro depresin (C), y coincide con el centro de gravedad del volumen sumergido. Evidentemente, si el cuerpo no eshomogneo, su centro de gravedad, o centro de masa, no tiene porque coincidir con el centro de empuje (figura 9).

C

G

GC

Peso =mg

Empuje = g V

C

Figura 9. Fuerzas sobre un cuerpo sumergido.

En el caso de objetos flotando, la parte inferior del objeto est sumergida, y la parte superior est emergida; laseparacin entre ambas partes es la interseccin del plano horizontal de la superficie libre con la superficie del objeto, yse denomina lnea de flotacin. La resultante de las fuerzas de presin distribuidas a lo largo de toda la superficie

mojada (evidentemente solo la parte sumergida) es una fuerza vertical hacia arriba, de mdulo igual al peso delvolumen de lquido desalojado, con su centro de aplicacin en el centro de gravedad del volumen sumergido:

Fp E g k= = r rr

(figura 10).

CG

GC

Peso = mg

Empuje = g V

Lnea de flotacinCalado

Figura 10. Fuerzas sobre un cuerpo flotante.


12/17


Considrese un cuerpo sumergido, en el seno de un lquido; si est en equilibrio, la suma de fuerzas que actansobre l debe ser nula. Sobre el cuerpo actan dos campos de fuerzas: las fuerzas msicas, distribuidas uniformementeen toda la masa del cuerpo; cuya resultante tiene direccin vertical, hacia abajo, de mdulo m g, y aplicada en el centrode gravedad de la masa del cuerpo, G; y las fuerzas de presin del lquido, distribuidas en toda la superficie delcuerpo, cuya resultante tiene direccin vertical, hacia arriba, de modulo g, y aplicada en el centro de gravedad delvolumen del cuerpoC (figura 11).

C

G

Peso =mg

Empuje = g V

GC

Figura 11. Equilibrio de cuerpo sumergido (GC >0).

En equilibrio, los mdulos de las resultantes deben ser iguales. La clave est en la posicin relativa de los doscentros de aplicacin, se tienen los siguientes casos de equilibrio:

Equilibrio estable: GC > 0, el centro de gravedad est por debajo del centro de empuje, con lo que cualquierdesequilibrio, genera un par de fuerzas equilibrantes, que devuelve al cuerpo a su posicin de equilibrio inicial. El valordel par equilibrante,T, viene determinado por el ngulo de desequilibrio y la distancia entre el centro de gravedad delcuerpo y el centro de empuje (figura 12):T =E GC sen

CG

Peso =mg

Empuje = g V

Figura 12. Giro en el equilibrio de cuerpo sumergido (GC >0).


13/17


Equilibrio inestable: GC


14/17


6. MANMETRA.

Manmetro inclinado Manmetro Bourdon


15/17


7. PROBLEMAS.

1)Un manmetro diferencial est unido a dos secciones rectas A y B de una tubera horizontal por la que circula agua.La lectura del manmetro de mercurio es de 0.60 m, siendo el nivel ms cercano a A el ms bajo, como se muestra en lafigura.

Calclese la diferencia de presiones entre A y B en Pascales.

DATOS: Ag =1000 kg/m3; Hg =13540 kg/m

3.

2) En el depsito A del dispositivo de la figura existe una presinmanomtrica de 10890 Pascales.

Calclese la densidad del lquido B.

3) Cuando se pone suero fisiolgico (1030 kg/m3) a un enfermo, la aguja se introduce en una vena donde la presinsangunea es bastante uniforme y de alrededor de 6 cm de mercurio (13600 kg/m3), relativa a la atmosfrica (porsupuesto).

Calclese:

1. A qu altura mnima sobre el punto de insercin debe situarse la botella de suero?2. Cul sera esa altura si tuviese que introducirse en una arteria donde la presin oscila habitualmente entre un mnimode 7 y un mximo de 12 cm de Hg?

4) El agua de mar, puede considerarse un lquido barotrpico (mdulo de compresibilidad constante); con lo que ladensidad () va aumentando con la profundidad (h).

Obtngase la relacin=(h); ydetermnese la densidad a una profundidad de 2000 m.

DATOS:-Mdulo de compresibilidad: K = (dp/d) =2128 MPa.-Densidad en la superficie libre: h=0 =1025 kg/m

3.


16/17


5) La figura representa la seccin cuadrada de una barrera de contencin de petrleo.Calclese:

1. El calado de agua (c).

2. El peso (por unidad de longitud) de la barrera, paraconseguir el citado calado.3. La resultante de las fuerzas horizontales (mdulo y lneade aplicacin).

DATOS:-La mancha de petrleo est centrada respecto a la barrera.-Densidad del fuel: P =717.5 kg/m

3; densidad del agua de mar: A =1025 kg/m3.

6) Calclese el peso que debe tener y la fuerza horizontal que soporta una manga de retencin de manchas depetrleo (por unidad de longitud). La capa de petrleo est centrada respecto a la manguera.

DATOS:-Dimetro de la manga: d =0.6 m.-Espesor de la capa de petrleo: e =0.2 m.-Densidad relativa del agua de mar: rA =1.03.-Densidad relativa del petrleo: rP =0.78.

- RcarccosRA 2torsec = .

- 222segmento cRcRcarccosRA = .

7) Una compuerta como la indicada en la figuraha de ser utilizada para regular el nivel superior de un depsito que va acontener agua. El peso de la compuerta es de 20 kN y su centro de gravedadG est indicado en la figura.

Calclese para qu valores de H la compuerta se mantiene en equilibrio,sabiendo que B es un simple apoyo.

DATOS: Ag =1000 kg/m3.

8) Un vaso de sidra tiene una masa de 49 gr. La altura del vaso es h =12 cm. El radio en la boca es r1 =5 cm y el radio enla base es r2 =4 cm. Dicho vaso se introduce en posicin invertida, es decir, boca abajo en un tonel de sidra hasta unaprofundidad de 10 m medida respecto a la boca del vaso.

Calclese la fuerza que hay que ejercer sobre el vaso para mantenerlo inmvil a dicha profundidad.

DATOS:-El proceso se desarrolla a una temperatura constante de 18C (R =287.3 J /kg K).-Presin atmosfrica: 101 kPa.-Densidad del cristal: 5 gr/cm3.

-Densidad relativa de la sidra: 1.1.

C

R


17/17


9) Una boya de sealizacin martima consiste en un cilindro con una pieza de acero en la parte inferior, de forma queflote verticalmente. La boya es de madera (rB =0.6), de seccin transversal circular de 0.5 m

2 y de 2 m de altura, yflota en agua salada (rA =1.025).

1. Calclese la masa de la pieza de acero (rP =7.85) para que sobresalgan 20 cm de la boya por encima del nivel del

agua.

2. A la boya del apartado anterior se le ha colocado una pieza de acero de 400 kg y ha embarrancado en una roca a 1 mde profundidad. Calclese el ngulo que formar la boya con la direccin vertical suponiendo que la roca no ejerceningn momento sobre la boya.

10) Una compuerta de 2 m de ancho y 2 m de radio de curvatura tiene una masa de 200 kg y cierra un depsito encuyo interior hay gas a una presin manomtrica de 300 kPa y un lquido de densidad 950 kg/m3. Dicha compuerta estarticulada en el punto A situado en la parte superior.

Calcleseel valor de la fuerza F que se debe aplicar en el punto B para que la compuerta permanezca cerrada.

DATOS: La lnea de aplicacin del peso de la compuerta est situada a una distancia 0.7267 m de A.

Documents

Tema 3 Estatica 04 EPSGS