Technique Network

8/13/2019 Technique Network

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PROCEEDINGSOF THE I - R - E

S o m eTe c h n i q u e sf o rN e t w o r kS y n t h e s i s *GEORGEL . MATTHAEIt ,A S S O C I AT E ,I R E

Summary-Par tI : S y n t h e s i so fI m m i t t a n c e sw i t hTwoP o l e sa n dTwoZ e r o s .C a u e r ' sc o n t i n u e d - f r a c t i o nt e c h n i q u ei s g e n e r a l i z e df o ru s e i nr e a l i z i n gRL Cn e t w o r ki m m i t t a n c e s .U s i n gt h i sm e t h o d ,e l e -m e n tv a l u e sa r e d e t e r m i n e db y s i m p l e p r oc e s s eso f f o r w a r d a n d

r e v e r s ed i v i s i o n .I m m i t t a n c e sF ( p )w i t ht w op o l e sa n dz e r o sm a yb e g r o u p e di nt h r e ec l a s s e sa c c o r d i n gt ot h e f r e q u e n c yj w ma tw h i c hRe F ( j w )i s am i n i m u m .F o r C l a s sI , w , m= 0 ;f o rC l a s sI I , j = ; a n df o rC l a s sI I I ,w O r ni s f i ni te .C l a s sI a n dI I F ( p )c a nb e r e a l i z e di m m e d i a t e l yb ym a k i n ga c o n t i n u e d - f r a c t i o ne x p a n s i o n .I fb o t hF ( p )a n d1 / F ( p )a r eC l a s sI I I ,t oo b t a i na r e a l i z a t i o nw i t h o u tu n i t y - c o u p l e dc o i l st h e f u n c -t i o nm u s tb e s p l i ti n t ot w ot e r m sw h i c hm a yt h e nb e e x p a n d e di nc o n -t i n u e df r a c t i o n s .S i m p l ef o r m u l a sa r e p r e s e n t e dw h i c he n a b l eo n et oe a s i l yc l a s s i f yF ( p )a n dd e t e r m i n ea n a p p r o p r i a t er e a l i z a t i o nm e t h o d .

P a r t I I : A C o n s t a n t - R e s i s t a n c eL a d d e rf o rT r a n s f e rF u n c t i o nS y n t h e s i s .T h ep h y s i c a lf a c t o r st h a t d e t e r m i n et h e p o l e sa n dz e r o so fa t r a n s f e rf u n c t i o na r e e x a m i n e d .Byu s eo fp h y s i c a li n s i g h t ,a d e-s i g np r o c e d u r ef o ra c o n s t a n t - r e s i s t a n c el a d d e rn e t w o r ki s a r r i v e da t .T h i sl a d d e rn e t w o r ki s f o u n dt oh a v et h e s a m er e a l mo f a p p l ic a -t i o na s t h e c o n v e n t i o n a l ,R L C ,

c o n s t a n t - r e s i s t a n c eb r i d g e d - T.How-

e v e r ,t h e l a d d e rh a st h e a d v a n t a g e so f :f e w e re l e m e n t s ,m o r ef l e x i -b i l i t y,a n dr e q u i r i n gl e s sf l a tl o s si f t h e b r i d g e d - Tr e q u i r e sf l a tl o s s .C o m p l i c a t e dt r a n s f e rf u n c t i o n sm a yb e r e a l i z e di na c ha ino fl a d d e rs e c t i o n sh a v i n ga rm i m m i tt a n c e s w i tho n l yt w op o l e sa n dt w oz e r o s .T h et e c h n i q u e sd e s c r i b e di nP a r t I m a yb e u t i l i z e dt of a c i l i t a t et h ed e s i g no fs u c hs e c t i o n s .

PA R TI : S Y N T H E S I SO FI M M I T TA N C E SW I T HT w oP O L E SANDT w oZ E R O S

SYSTEMS HAVINGt r a n s f e rf u n c t i o n so fa n yc o m -p l e x i t yc a nb e s y n t h e s i z e di na c h a i no fs t r u c t u r e sw h o s ec o m p o n e n ti m p e d a n c e sh a v en o m o r et h a n

t w op o l e sa n dt w oz e r o s .Somes t r u c t u r e sw h i c hm a yb eu s e di n t h i sm a n n e ra re t h e c o n s t a n t - r e s i s t a n c el a t t i c e ,t h e c o n s t a n t - r e s i s t a n c eb r i d g e d - T,a n d a c o n s t a n t -r e s i s t a n c el a d d e rs t r u c t u r ew h i c hw i l lb e d e s c r i b e di nP a r t I I o f t h i sp a p e r .In P a r t I we s h a l le n d e a v o rt os e ehow we c a n f i n dt h e s i m p l e s tr e a l i z a t i o nf o ra n yg i v e ni m p e d a n c eo ra d m i t t a n c ew i t ht w op o l e sa n d t w oz e r o s( m i n i m u mn u m b e ro f c i r c u i te l e m e n t sr e q u i r e dm a yv a r y f ro m t w ot o n i n e i f u n i t y - c o u p l e dc o i l sa re e x -c l u d e d ) .I n P a r t I I a c o n s t a n t - r e s i s t a n c el a d d e rs t r u c -t u r e h a v i ng a dv a n t ag esf o rt h e s y n t h e s i so f t r a n s f e rf u n c t i o n sw i l lb e i n t r o d u c e d .The t e c h n i q u e sd e s c r i b e di n P a r t I w i l lb e s e e n t ob e o fc o n s i d e r a b l eh e l pi n t h es y n t h e s i so fs u c hn e t w o r k s .T h eC o n d i t i o n sf o rR e a l i z a b i l i t y

Any i m p e d a n c eor a d m i t t a n c ef u n c t i o nh a v i n gt w op o l e s 'm a yb e r e p r e s e n t e di n t h e f o r m

Fg p '+ a p + bp 2 + e p+ d

* D e c i m a lc l a s s i f i c a t i o n :R 1 4 3 .O r i g i n a lm a n u s c r i p tr e c e i v e db yt h e I R E ,J a n u a r y1 9 ,1 9 5 4 .

t D i v.o f E le c .E n g . ,U n i v .o fC a l i f . ,B e r k e l e y4 ,C a l i f .' S i n c e ,when i n c l u d i n gt he p oi n ta t i n f i n i t y,e v e r y r a t i o n a lf u n c -

t i on h a s a s many p o l e sa s z e r o s , we n e e do n l yr e f e rt o t h e numbero fp o l e s .

F o l l o w i n gB o d e , 2we s h a l lc a l lF ( p )a n i m m i t t a n c es i n c ei t m a yb e r eg a r de de q u a l l yw e l la s e i t h e ra n i m p e d a n c eor a n a d m i t t a n c e .A n e c e s s a r ya n ds u f f i c i e n tc o n d i t i o nf o rF ( p )to b e r e a l i z a b l ea s a p h y s i c a l ,p a s s i v ei m i t t a n c ei s t h a t F ( p ) must b e w h a tB r u n e 3h a s d e f i n e da s ap o s i t i v e - r e a lf u n c t i o n . 4I t c a n b e s e e n t h a t i n t h e c a s eo f t h e r e l a t i v e l ys i m p l ef u n c t i o n( 1 )t h ec o n d i t i o n sf o rp - rc h a r a c t e rm a yb e r ed uc edt o :

A . A l ln o n z e r oc o e f f i c i e n t sm u s tb e r e a la n dp o s i t i v eB . R eF ( j w ). 0 f o ra l lw .

C o n d i t i o nA i se a s i l yc h e c k e d ,b u t we s h a l lw i s hto h a v ea s i m p l emethod f o rc h e c k i n gc o n d i t i o nB .

N o t et h a t a n yi m m i t t a n c ef u n c t i o nc a n b e e x p r e s s e da s

m l + n iF( p ) m -+

M 2 + n 2( 2 )

w h e r et h e m' s a re p ol y n om i a l s w i t h on l ye v e n - p o w e r et e r m sa n d t h e n ' sa r e p o l y n o m i a l sw i t h o n l y o d d - p o w -ered t e rms .A sG u i l l em in s h ow s 5

R eF ( j w o )=-mm2- n l l 2

M 2 -n2 p j w( 3 )

From ( 3 ) ,i t c a nb e seen t h a t i f p - rc o n d i t i o nA i s s a t i s -f i e d ,t h e n p - rc o n d i t i o nB w i l lb e s a t i s f i e di f t h e e q u a -t i o n

m l m 2- nn2 = 0 ( 4 )

h a sn orootso fo d dm u l t i p l i c i t yo n t h ej wa x i s .T h i si ss ob e c a u s et h e n u m e r a t o ro f( 3 )w i l lh a v eo d d - o r d e rz e r o so n t h e j c oa x i si f R e F ( j w )s w i n g sf r o mp o s i t i v ev a l u e st on e g a t i v ev a l u e s .C o n s t r u c t i n g( 4 )f r o m( 1 )a n du s i n gs o m ee l e m e n t a r yt h e o r yo fe q u a t i o ni t c a nb e s e e n t h a t( 4 )w i l lh a v en o r o o t s o fo d dm u l t i p l i c i t yo n t h e j w a x i si f

b - a e+ d g. 2 V g b d . ( 5 )T h u sw e a r r i v ea t t h ei m p o r t a n tc o n c l u s i o nt h a ti f p - rc o n d i t i o nA i s s a t i s f i e df o r( 1 ) ,t h e n c o n d i t i o nB w i l lb es a t i s f i e di f ,a n do n l yi f ( 5 )i ss a t i s f i e d .

T h r e eC l a s s e so fF u n c t i o n sThe n a t u r eo ft h e R e F ( j w )c h a r a c t e r i s t i cc a n t e l lu s

m u cha b o u th owd i f f i c u l ta g i v e ni m m i t t a n c ew i l lb e t or e a l i z e .In g e n e r a lwe c a n c l a s s i f yi m m i t t a n c e so f t h ef o r mo f( 1 )i nt h r e ec l a s s e s :C l a s sI h a v i n gR eF ( j t o ) m

2 H . W. B o d e , Ne t wor kA n a l y s i sa n dF e e d b a c kA m p l i f i e rD e -s i g n ,D . Van N o s t r a n dC o . ,I n c . ,Ne wYo r k ,N . Y . ;1 9 4 5 .

30 . B r u n e , S y n t h e s i so fa f i n i t et w o - t e r m i n a ln e t w o r kw h o s ed r i v i n g - p o i n ti m p e d a n c ei sa p r e s c r i b e df u n c t i o no ff r e q u e n c y,J o u r.M a t h . P h y s . ,v o l .1 0 ,p p . 1 9 1 - 2 3 6 ;1 9 3 1 .

4 H e r e i nwe s h a l la b b r e v i a t ep o s i t i v e - r e a la s p - r .6 E . A . G u i l l e m i n , M o d e r nM e t h o d so f N e t w o r kS y n t h e s

A d v a n c e si nE l e c t r o n i c s ,E d i t e db y L . M a r t o n ,A c a d e m i cP r e s s ,I n c . ,Ne wYork ,N . Y . ,v o l .I I I ,p p . 2 6 1 - 3 0 3 ;1 9 5 1 .

11 2 6 J u l y

( 1 )


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M a t t h a e i :S o m eTe c h n i q u e sf o rN e t w o r kS y n t h e s i s

a t w=0; C l a s sI I h a v i n gR e F ( j w ) m i n ja t w= m ; a n dC l a s sI I Ih a v i n gR eF ( j w ) ) m i n .a t f i n i t ev a l u e so f c o( s e eF i g s .1 ,2 ,a n d3 ,r e s p e c t i v e l y ) .

m l m 2 - n 1 n 2M22- n 2 2i P = i X

- a k

m l m 2- n 1 n 2- C k m 2 2+ a k f l 2 2

WhenF ' ( p )i s a C l a s sI I I ,mi n im u mr e a l - p a r tf u n c t i of r o m( 1 0 )i t c a n b e seen t h a t

Re F(jw) CLASS I

0 cc

CLASSIIRe F ( j w )

0 c o

F i g s .1 ,2 ,a n d3-Real p a r t c h a r a c t e r i s t i c sw h i c hd e p i c tt h r e ec l a s s e so fp o s i t i v e - r e a lf u n c t i o n s .

An i m p o r t a n tp roces s i n t h e s y n t h e s i so fn e t w o r k si st h e p r o c e d u r eo fr e m o v i n ga c o n s t a n tf r o mt h e i m m i t -t a n c ef u n c t i o nso t h a t t h e r e s u l t i n gf u n c t i o nF ' ( p )h a st h e p r o p e r t yt h a t

mIm2 - n 1 n 2- C Z k m 2 2+ a k n 2 2= 0 ( 1 1 )( ap o l y n o m i a li np )must h a v es e c o n d - o r d e rr o o t son t h ej w a x i sa t t h e f r e q u e n c i e sw h e r e( 6 ) i s s a t i s f i e d .Bya n a l y s i so f( 1 1 )i t c a n b e s h o w nt h a t d o u b l er oo t s w i l la p p e a r o n t h e j w - a x i sf o rv a l u e so fa , kw h i c hs a t i s f yt h ee q u a t i o n s :( U 2 - 4 d 2 ) a k 2 +( 4 g d 2 + 4 b d -2UW)ak+( W 2 - 4 g b d )= 0 ( 1 2 )a n d

W a A ; UXk = ,>

2g - 2 ( a k( 1 3 )

w h e r eW = b - a e + d g ,

a n d

U = 2 d -e

t h e a , b ,e , d ,a n dg p a r a m e t e r sb e i n gt h o s eo f( 1 ) .I t i sp o s s i b l ef o rt h e r et o b e two v a l u e so fa w h i c hw i l ls a t -i s f y( 1 2 )a n d ( 1 3 ) .T h e no n e o ft he v a lu esi s t h e h e i g h to ft h e R e F ( j w )c u r v e a t a min imu mw h i l et he o th eri st h e h e i g h ta t a m a x i m u ma s i l l u s t r a t e dby a1 a nd a2 i nF i g .3 .T h u st h e f u n c t i o n

R eF ' ( j c o ) m i n .= 0 . ( 6 )I m m i t t a n c ef u n c t i o n sw h i c hs a t i s f y( 6 )a r e o f t e nc a l l e dm i n i m u m - r e s i s t a n c e ,m i n i m u m - c o n d u c t a n c ef u n c t i o n s ;b u t h e r e we s h a l lr e f e rt o t h e ma s m i n i m u m - r e a l - p a r tf u n c t i o n s .

I t i s o f t e n necessa ry t o d e t e r m i n eh ow l a r g ea ' c o n -s t a n t m u s t b e s u b t r a c t e df r o ma f u n c t i o nt o make t h er e m a i n d e rs a t i s f y( 6 ) .I fa l lo ft h e c o e f f i c i e n t si n ( 1 )a r enonze ro , t h e n i f F ( p )i s a C l a s sI i m m i t t a n c e

Re F ( j c o ) m i n .= F ( j O )= b / d .T h u sf o rt h i scase,

F p )= F ( p ) - b /d

F ' ( p ) = F ( p ) -c ( 1 4 )w i l lb e a C l a s sI I I , m in imumr e a l - p a r tp - r f u n c t i o n .

S o m e t i m e si t i snecessa ry t o knowa t what f r e q u e n c yt h e m i n i m u mor m a x i m u mo fRe F ( j w )o c c u r s f o rC l a s sI I I f u n c t i o n s .T h e s ef r e q u e n c i e sa r e e a s i l yc o m p u t e df r o m

j W k = j \ X k ,w h e r eXk i s d e f i n e db y ( 1 3 ) .

( 1 5 )

( 7 )

( 8 )w i l lb e a m i n i m u mr e a l - p a r t ,p - r f u n c t i o n .

S i m i l a r l yi f F ( p )i s C l a s sI I a n da l lo ft h e c o e f f i c i e n t si n ( 1 )a r e n o n z e r o ,

R eF ( j w ) m i n .= F ( j f )= g , ( 9 )a n dr e m o v a lo fa c o n s t a n te q u a lt o g w i l lg i v et h e d e -s i r e dr e s u l t .

F o r t h e C l a s sI I I c a s e we may u t i l i z et h e f o l l o w i n ga n a l y s i s .U s i n g( 3 ) ,l e t

Re F ' ( j w ) = Re F(jw)-ak

F i g . 4 I m p e d a n c e r e a l i z a t i o no f a c o n t i n u e df r a c t i o no fp o s i t i v e - r e a lt e r m s .

C o n t i n u e d - F r a c t i o nExpansions

The input i m p e d a n c e f u n c t i o no f th e l a d d e rne tworko f F i g . 4 may b e represented b y t h e c o n t i n u e d - f r a c t i o nexpansion

( 1 0 )

1 9 5 4 11 2 7

I P = j c o )2 2- n 2 2


3/12


Z i n= Z i + -Y 2+

1

1

Z 3 + Y4 + e t c .

z e r oa t t h e o r i g i nb e c o m ea p o l ea n d t h e n o p e r a t i o n1i s a p p l i e dt or e m o v et h e p o l e .In t h i sc a s et h e r e s u l ti so ft h e f o r i n

( 1 6 )F o ( p )=

A l s ot h e i n p u ta d m i t t a n c eo ft h e n e t w o r ki nF i g .5 m a ya n a l o g o u s l yb e r e p r e s e n t e db y

1Y i n= Y i + 1

Z2 +Y 3+

Z 4 - - - e t c .

1

-- + F 2 ( p )g l p

( 2 2 )

w h e r eF 2 ( p )w i l ln o t h a v ea p o l ea t t h e o r i g i na n dw i l lb e p - ro fF o ( p )i s p - r .3 . I f t e r m sg oa n dh oa r ep r e s e n ta n dF o ( p )i s a C l a s s

( 1 7 ) I p - rf u n c t i o n ,t h e n a s t e po fr e v e r s ed i v i s i o nw i l lr e -movea c o n s t a n te q u a lt oR eF ( j r ) m i n .=R e F ( j O )= F ( O )a n d t h e r e m a i n d e rf u n c t i o nF 3 ( p )w i l lb e a m i n i m u mr e a l - p a r tp - rf u n c t i o n .Th e r e s u l ti s o ft h e f o r m

F o ( p )= -+ F 3 ( p ) .h o

F i g .5 - A d m i t t a n c er e a l i z a t i o no fa c o n t i n u e df r a c t i o no fp o s i t i v e - r e a lt e r m s .

Some k i n d so f i m m i t t a n c e sa r e very e a s i l yr e a l i z e di nt h e s e f o r m sb y m a k i n ga c o n t i n u e d - f r a c t i o ne x p a n s i o nb y u se o fwhat s h a l lh e r e i nb e r e f e r r e dt o a s f o r w a r da n dreverse d i v i s i o n .L e t

F pgpn + g _ l p n - 1+ * + g l p + g o 18

h k p k+ h k - l pk l 1+ + h 1 p+ h ob e an i m m i t t a n c eo f a r b i t r a r y c o m p l e x i t y. 'We s h a l ld e f i n ef o r w a r dd i v i s i o na s l o n g d i v i s i o nc a r r i e dou t i nt h e manner i n d i c a t e db y :

h k p k+ * + h l p+ h o ) g p n+ *+ g l p+ g o . ( 1 9 )S i m i l a r l yreverse d i v i s i o nw i l lb e d e f i n e da s l o n gd i v i s i o nc a r r i e do u t i n t h e manner i n d i c a t e db y :

ho+ h 1 p+ + h k p k ) g o+ g l p +. + g p n . ( 2 0 )A n i m p o r t a n tk i n d of c o n t i n u e d - f r a c t i o ne x p a n s i o n

c a n b e m a d eb y u se of t h e f o l l o w i n go p e r a t i o n si n v o l v i n gf o r w a r da n dr eve r s e d i v i s i o n :

1 . I f go>0 b u t h o = O ,t h e n F o ( p )h a s a p o l e a t t h e

o r i g i n ,a n d i t can b e removed b y one s t e p of r e v e r s ed i v i s i o n .Th e r e s u l t w i l lb e of t h e f o r m

F o ( p )= -- + F 1 ( p ) , ( 2 1 )h i p

w h e r eF 1 ( p )w i l ln o t h a v ea p o l ea t t h e o r i g i na nd w i l lb e p - r i f F o ( p )i s p - r .

2 . I f g o = 0 ,b u t h o > 0 ,t h e n F o ( p )h a s a ze r o a t t h eo r i g i n .I n t h i sc a se t h e f u n c t i o ni s i n v e r t e dt o m a k e t h e

6 Since F o ( p )i n ( 1 8 ) i s to b e p - r , t h e h i g h e s tpowers in t h e numer-ator a n d d e n o m i n a t o r polynomials c a n n o t d i ff e r b y more than onea n d l ikewise fo r t h e lowest p o w e r s .

Th e r e m a i n d e rf u n c t i o nF 3 ( p )w i l ln e c e s s a r i l yh a v eaz e r o a t t h e o r i g i nso i t can b e b r o k e ndown f u r t h e rby

o p e r a t i o n2 .4 . I fn = k 1, t h e n F o ( p )h a s a p o l ea t i n f i n i t yw h i c hcan b e r e m o v e db y f o r w a r dd i v i s i o nt o g i v e

F o ( p )= n - -+ F 4 ( P )vh k

( 2 4 )

F 4 ( p )w i l ln o t h a v ea p o l ea t i n f i n i t ya n dw i l lb e p - r i fF o ( p )i s p - r .

5 . I f n =k-1 , t h e n F o ( p )h a s a z e r o a t i n f i n i t y.Int h i sca se t h e f u n c t i o ni s i n v e r t e dt o make t h e z e r o ap o l e ,a n d t h e no p e r a t i o n4 i s a p p l i e dt o g i v e

F o ( p )=

-- + F 5 ( p )g n

( 2 5 )

F s ( p )w i l lnot h a v ea p o l ea t i n f i n i t ya n dw i l lb e p - r i fF o ( p )i s p - r .

6 . I f F o ( p )i s C l a s sI I f u n c t i o nand n=k, t h e n a s t e po f f o r w a r dd i v i s i o nw i l lremove a c o n s t a n te q u a l t oRe F o ( j w ) m i n j= Re F ( j ) = F ( o o ) ,a n d t h e r e m a i n d e rf u n c t i o nF 6 ( p )w i l lb e a m i n i m u mr e a l - p a r tf u n c t i o n .The r e s u l ti s o ft h e f o r m

F o ( p )=

+ F 6 ( p ) .h k ( 2 6 )

Th e f u n c t i o nF 6 ( p )w i l ln e c e s s a r i l yh a v ea z e r o a t i n -f i n i t yso i t i n t u r n can b e b r o k e nup b y u se o fo p e r a t i o n5 .

B y u se o ft h e s es i xo p e r a t i o n s ,numerous i m m i t t a n c ef u n c t i o n scan b e c o m p l e t e l yb r o k e ni n t o a c o n t i n u e df r a c t i o no f s i m p l ep- r t e r m s . These t e rms can t h e n bei d e n t i f i e da s s e r i e si m p e d a n c e so r s h u n ta d m i t t a n c e so fa l a d d e rn e t w o r ki n a c c o r d a n c ew i t h ( 1 6 )o r ( 1 7 ) .M a n yr e a d e r sw i l lr e c o g n i z et h a t C a u e r ' sc o n t i n u e d - f r a c t i omethod f o rs y n t h e s i sof R C ,R L ,a n d LC immi t t ance s

( 2 3 )

11 2 8 J u l y


4/12

M a t t h a e i :S o m eTe c h n i q u e sf or N e t w o r kS y n t h e s i s

u t i l i z e st h e s eo p e r a t i o n s . 7T h e s es i xo p e r a t i o n sa r e , h o w -e v e r , a l s o u s e f u lf o rs y n t h e s i so f some RLC n e t w o r k s .The necessa ry c o n d i t i o nw h i c hmakes i t p o s s i b l et o c o m -p l e t e l ye x p a n dan i m m i t t a n c et h i sway i s t h a t a f t e re a c hs t e p o ff o r w a r do r r eve r s e d i v i s i o n ,t h e r e m a i n d e rf u n c t i o nor i t s r e c i p r o c a lmust b e a C l a s s I or II p - rf u n c t i o n .I f t h e r e m a i n d e rf u n c t i o nand i t s r e c i p r o c a la r e b o t hC l a s sI I I ,a d d i t i o n a lt e c h n i q u e smust b e i n t r o -d u c e di no r d e rt o b r e a kt h e r e m a i n d e rf u n c t i o nd o w n .S y n t h e s i so fM i n i m u mR e a l - P a r t ,C l a s sI and II I m i t -t a n c e sH a v i n gTwoP o l e s

To i l l u s t r a t et h e u se o ft h e f o r w a r dand r ev e r s e d i v i -s i o no p e r a t i o n s ,l e tu s c o n s i d e rt h e s y n t h e s i sof C l a s sIa n d II m i n i m u mr e a l - p a r tf u n c t i o n sh a v i n gtwo p o l e s .Any t w o - p o l e ,m i n i m u mr e a l - p a r t ,C l a s sI f u n c t i o nc a nb e w r i t t e ni n t h e f o r m

F g p2 + ap 7F p) = g P P 27)

p2+ep+d

b y l e t t i n gb=0 i n ( 1 ) .I fp - r c o n d i t i o nA i s s a t i s f i e d ,wef i n df r o m( 5 )t h a t p - r c o n d i t i o nB w i l lb e s a t i s f i e d f o rt h i sca se i f

a / g d / e . ( 2 8 )T h u si t i se a s y t o c h e c k( 2 7 )f o rp - r c h a r a c t e r.Th e f u n c -t i o n

F ( p ) =

+ 4 / 9 )

1( 3 3

1

+2 7 9

9 5 p 5 ,I t i s i n t e r e s t i n gt o n o t e t h a t a s o m e w h a td i f f e r e

e x p a n s i o ncan b e o b t a i n e db y i n v e r t i n gt h e F 2 ( p )p a r to f( 3 0 )b e f o r eb r e a k i n gi t u p. I n v e r t i n gF 2 ( p )a n du s i n go p e r a t i o n6 l e a d st o t h e e x p a n s i o n :

F ( p ) - =2

3p

1

11

3 1 p _5 5 / 4

( 3 4 )

I f F ( p )i s an i m p e d a n c e ,t h e n e x p a n s i o n s( 3 3 )a n d( 3 4 )c a n b e i d e n t i f i e dw i t h ( 1 6 )a n d F i g .4 . E q u a t i o n( 3 3 )g i v e st h e c i r c u i ts h o w ni nF i g .6 ( a )w h i l e( 3 4 )g i v e st h e c i r c u i ti n F ig . 6 (b ) .N o t et h a t f o rt h e s ep a r t i c u le x p a n s i o n sth e Z ,i m p e d a n c ei s zero . I f F ( p ) i s d e f i n ea s an a d m i t t a n c e ,e x p a n s i o n s( 3 3 )a n d ( 3 4 )may b ei d e n t i f i e dw i t h ( 1 7 )a n dF i g .5 , a n d t h e i n v e r s e n e t -w o r k st o t h o s ei n F i g s .6 ( a )a n d6 ( b )w i l lb e o b t a i n e

z 3 ( p ) -Sp+ p * h+ R 3A AA

F ( p ) = p2 3 p _

p 2+ 2 p+ 2 ( 2 9 )

i s o ft h e f o r mo f( 2 7 )a n ds a t i s f i e s( 2 8 ) .S i n c e( 2 9 )h a s az e r o a t t h e o r i g i n ,we can b r e a kF ( p )up some b y a p p l y -i n go p e r a t i o n2 t o g i v e

F( p )= 2 4 / 3 + p3 p 3 + p

( 3 0 )

T h er e m a i n d e rf u n c t i o n ,

F 2 ( P )= 4/3 ( 3 1 )3 + ph a s o n l yone p o l ea n d one zero . A l lp - r f u n c t i o n sw i t ho n l y one p o l ea n d one z e r o m u s t b e e i t h e rC l a s sI o rC l a s sII f u n c t i o n s .E v a l u a t i o no f ( 3 1 )a t z e r o a n d i n -f i n i t ys h o w st h a t F 2 ( p )i s a C l a s sI f u n c t i o n .B y o p e r a -t i o n3 t h e e x p a n s i o nb e c o m e s

( b )

F i g .6 - ( a ) An i m p e d a n c er e a l i z a t i o no f a C l a s s I, m i n i m u mr e a lp a r t f u n c t i o nh a v i n gtwo p o l e s( a s pe c i a lcase c l a s s i f i a b l ease i t h e ra T y p eA or B r e a l i z a t i o n ) .( b )A r e a l i z a t i o ne q u i v a l e n tt ot h a ti n( a ) .

A n yC l a s sII , mi n imu mr e a l - p a r tf u n c t i o nw i t h tw op o l e sc a n b e e x p r e s s e di nt h e f o r m

a p + bp2 + e p+ d

1

2 ( 5 / 9 ) p-+ 4 / 9 +3 p 3+p

I n v e r t i n gt h e l a s tte rm a n dd i v i d i n ga g a i ng i v e s

7 E . A . G u i l l e m i n , C o m m u n i c a t i onN e t w o r k s ,J o h nW i l e y S o n s ,I n c . ,Ne wYo r k ,N . Y . ,v o l .I I ,pp . 1 9 8 - 2 1 6 ;1 9 3 5 .

T h i si s s i m p l y( 1 )w i t h g = 0 . E q u a t i o n( 5 )s h o w st h a ti f p - r c o n d i t i o nA i s f u l f i l l e d ,t h e n f u n c t i o n( 3 5 ) i sp- r i f

b / a< e . ( 3 6 )F u n c t i o n( 3 5 )i sa l s oe a s i l ye x p a n d e db y use o ff o r w a r da n d reverse d i v i s i o n ,a n d t h e n e t w o r kcan a g a i n b ef o u n db y i d e n t i f y i n gt h e e x p a n s i o nw i t h 1 6 ) or ( 1 7 )a n dF i g s .4 or 5, r e s p e c t i v e l y .I n g e n e r a lno more t h a n

1 1 -- v v~

Z ( P ) -F ( P ) 9

p ( a )

u i f\IV\l - - - - ~ - - - Ah

1 9 5 4 11 2 9

( 3 5 )


5/12


f o u re l e m e n t sw i l lb e r e q u i r e dt o r e a l i z ea C l a s sI o rI I ,m i n i m u mr e a l - p a r tf u n c t i o nw i t ht w op o l e s .

T h eG e n e r a lC a s ew i t hTwoP o l e sa n dZ e r o sNo wwe s h a l lr e v i e wp r o c e d u r e sw h i c ht a k e nt o g e t h e r

p r o v i d em e a n sf o rr e a l i z i n ga n yi m m i t t a n c eh a v i n gt h ef o r mo f( 1 ) .

T y p eA R e a l i z a t i o n :T h i sp r o c e d u r ew o r k sf o rC l a s sI

o rI I i m m i t t a n c e so n l y .I f i n ( 1 )g > b / d , ( 3 7 )

t h e n F ( p ) m a y p o s s i b l yb e a C l a s sI f u n c t i o n .A s i ss h o w ni nA p p e n d i xA , F ( p )i s a C l a s sI , p - rf u n c t i o ni f( 3 7 )a n dp - rc o n d i t i o nA a re s a t i s f i e dw h i l e

T y p eB R e a l i z a t i o n :Some F ( p) f u nc ti on sw h i c ha r eC l a s sI I Ia st h e ys t a n db e c o m eC l a s sI or I I f u n c t i o n si fi n v e r t e d .I fF ( p )f a i l st oq u a l i f yf o ra Type A r e a l i z a t iwe m a yn e x tt e s tf o rt h e p r o p e r t i e s

L 2* 2 S 4 3

G

3

GY I N G 1T S 3 1 3 G * ]5 2

F i g .7 - A d m i t t a n c er e a l i z a t i o no fa n o n m i n i m u mr e a lp a r t ,C l a s sI If u n c t i o nh a v i n gt w op o l e s( Ty p eA r e a l i z a t i o n ) .

a d - b e dg d - b - e

I f i n ( 1 )

( 3 8 )b - d g

g > b / d a n d 0 < a / ga - e g

or

g < b / d , ( 3 9 )

t h e n F ( p ) i s p o s s i b l ya C l a s sI I f u n c t i o n .A p p e n d i xAs h o w st h a t F ( p )i sa C l a s sII, p - r f u n c t i o ni f ( 3 9 )a n dp - rc o n d i t i o nA a r e s a t i s f i e dw h i l e

b - g d0 < .e . ( 4 0 )

a - e

I f F ( p )i s a C l a s sI f u n c t i o n( n o n m i n i m u mr e a l - p a r t )t h e n a r e a l i z a t i o ni s e a s i l yo b t a i n e db y m a k i n ga c o n -t i n u e d - f r a c t i o ne x p a n s i o ns t a r t i n gw i t hr ev e r s e d i v i s i o n o p e r a t i o n3 )a n d t h e n c o n t i n u i n gw i t h t h e f o r w a r dorr e ve r s e d i v i s i o no p e r a t i o n st h a t become a p p r o p r i a t e .Th e same i s t r u e f o rt h e C l a s sI I case, o n l y t h e n t h e

e x p a n s i o nb e g i n sw i t hf o r w a r dd i v i s i o n o p e r a t i o n6 ) .F o ra n u m e r i c a le x a m p l ec o n s i d e rt h e f u n c t i o n2 2 p 2+ 4 6 p+ 4 5

F p) 44p2 + 48p + 54 41)

T h i sf u n c t i o ni s s e e n t o s a t i s f y ( 3 9 )a n d ( 4 0 ) ,h e n c ei ti s a C l a s sI I ,nonminimumr e a l - p a r tf u n c t i o n .On e pos-s i b l ef o r mf o rt h e c o n t i n u e d - f r a c t i o ne x p a n s i o ni s

1 1F ( p )=-+ 1 ( 4 2 )

2

2p+ 1

3 3 1p 3 / 2 )

S u p p o s i n gF ( p ) t o b e an a d m i t t a n c e ,b y i d e n t i f y i n g( 4 2 )w i t h ( 1 7 )a n dF i g .5 we g e t t h e n e t w o r kshown i nF i g .7 .

F ( p ) f u n c t i o n so f t h e f o r mo f ( 1 )w h i c hs a t i s f yp - rc o n d i t i o nA a n d ( 3 7 )a n d ( 3 8 )o r ( 3 9 )and ( 4 0 )a r e a l ls u s c e p t i b l et o t h i st y p eo fr e a l i z a t i o nw h i c hw i l lb e h e r e -i nr e f e r r e dt o a s a Type A r e a l i z a t i o n .Type A r e a l i z a -t i o n sw i l lr e q u i r eno more t h a n f i v ee l e m e n t s ,t h o u g hsome s p e c i a lc a s e s w i l lr e q u i r el e s s .

e b d ag < b i d a n d b- b / a ,b -dg ( 4 4 )

( p - rc o n d i t i o nA a s s u m e dt o b e s a t i s f i e d ) .I fc o n d i t i o n s( 4 3 )a r e s a t i s f i e dt h e r e c i p r o c a lo fF ( p )i sa C l a s sI I f u n c -t i o nw h i l ei f c o n d i t i o n s( 4 4 )a r e s a t i s f i e dt h e r e c i p r o co f F ( p ) i s a C l a s sI f u n c t i o n .To g e t t h e n e t w o r kwemay s t a r t w i t h

1 p / = I F ( p ) ' ( 4 5 )

a n dt h e ne x p a n d1 / F ( p )a s i na Type A r e a l i z a t i o n .Thus( 4 5 )w i l ll e a d t o a c o n t i n u e df r a c t i o nw h i c hi s w i t h o u tw h a tw o u l do r d i n a r i l yb e t h e f i r s tt e r m . T h i swas a l s ot h e c a s e i n ( 3 3 )a n d ( 3 4 ) ,a n d c a u s e s no t r o u b l e .TypeB r e a l i z a t i o n sa l s or e q u i r eno more t h a n f i v ee l e m e n t s .

I t s h o u l db e n o t edt h a t s o m e t i m e swhen F ( p )i s C l a s sI o r I I , 1 / F ( p )may b e r e s p e c t i v e l yC l a s sI I o r I , h e n c eb o t hType A and B r e a l i z a t i o n smay b e p o s s i b l e .

T y p eC R e a l i z a t i o n :I f n e i t h e rF ( p )n o r i t sr e c i p r o ci s a C l a s s I or I I f u n c t i o nt h e n t h e Type A a n d Bp r o c e d u r e sf a i l .Any C l a s sI I If u n c t i o ncan b e r e a l i z e db y B r u n e ' sm e t h o d , 3b u t h i smethod r e q u i r e su n i t y -c o u p l e dc o i l si n o r d e r t o r e a l i z ea C l a s sI I If u n c t i o noft h e f o r mo f( 1 ) .I I f u n i t y - c o u p l e dc o i l sa r e t o b e e x c l u d edt h e s i m p l e s tp r o c e d u r ea p p e a r s t o r e s u l t f rom b r e a k i n gt h e C l a s sI I If u n c t i o ni n t o t h e sum of a C l a s sI , m i n i -mum r e a l - p a r tf u n c t i o np l u s a C l a s sI I ,m i n i m u mr e a l -p a r t f u n c t i o n .T h i sg i v e s

F p =gp2 + t p + ( a - t ) p + b

p 2 + e p + d p2 + e p + d( 4 6 )

I t can b e s h o w nt h a t b o t h te rms i n ( 4 6 )w i l lb e p - r i fp - r c o n d i t i o nA i s s a t i s f i e da n d

g d / e t a b / e . ( 4 7 )8 B r u n ea l s os h o w sh owt o o b t a i nwhat were h e r e i nc a l l e dT y p eA

a n d B r e a l i z a t i o n s .Th e Type A a nd B p r o c e d u r e sd e s c r i b e di n t h i spape r d i f f e rf r o mh i s i n m a t h e m a t i c a lt e c h n i q u eo n l y .

( 4 3 )

J u l y1 3 0


6/12


C o n s i d e rt h e e x a m p l e :

p 2+ 4 p+ 7p2 2p 1 ~ ~ ~ 4 8

In t h i sc a s e ( 4 7 )c a n b e s a t i s f i e do n b o t h s i d e sb y a ne q u a ls i g ni f t = 1 / 2 .E q u a t i o n( 4 6 )b e c o m e s

p 2 + 0 . 5 p 3.5p+ 7

p2+2p+ 1 p2+2p+ 1( 4 9 )

The t w o t e r m s i n ( 4 9 )c a n b e e x p a n d e di n c o n t i n u e df r a c t i o n st og i v e

1 1F p )= + ( 5 0 )2 1 1 1

+ A .1 r , P + . 4p 1 3 . 51 +-

2 pI

3 . 5 p+ ( 1 / 7 )

h a v i n ga z e r o a t i n f i n i t ya n dz e r o sa t p = j w l ;a n d as e c o n dt e r mh a v i n ga z e r oa t t h eo r i g i na n dz e r or e a l -p a r t a t p = j w 1 .T h i sm a yb e a c c o m p l i s h e db y m u l t i -p l y i n gth e n u m e r a t o ra n d d e n o m i n a t o ro f F ' ( p )b y(p+K) t og i v e 9

( p )= ( g p 2+ a p+ b ) ( p+ K ) ,( p 2 +e p + d ) ( p + K )

( 5 2 )

a n dt h e ns p l i t t i n g( 5 2 )t oy i e l d

F ' ( p )= J ( p+ j w l ) (p- j ' l )( p 2+ e p+ d ) ( p+ K )

+ ( g p 2+ a p + b ) ( p+ K ) - J ( p j w ) ( p- j c o i )( I 2+ e p+ d ) ( p+ K )

I t can b e s h o w nt h a t th e f i r s tt e r mw i l lb e p - ri f

E q u a t i o n( 5 0 )r ep resen t stwo , l a d d e r n e t w o r k sc o n -n e c t e dt o g e t h e r .I f F ( p )i s c o n s t r u e dt o b e a n i m p e d -a n c e ,t h e r e a l i z a t i o ni sa s s h o w ni nF i g .8 .

R 2 . I

e d w 2K =

d - W 1 2( 5 4 )

w h i l et h e s e c o n dt e r m w i l lb e p - ra n dw i l lh a v ea z e r oa t th e o r i g i ni f K h a s t h ea b o v ev a l u ea n d

bKJ=- ( 5 5 )C 3 2

T h ef i n a lr e s u l ti s :Z I N

F ( p )=

F i g .8- A T y p eC r e a l i z a t i o ne x a m p l e .

O b s e r v et h a t

F i g .8 r ep resen t stwo , t h r e e - e l e m e n t

l a d d e r sc o n n e c t e di ns e r i e s .I n most c a s e si t w i l lo n l yb ep o s s i b l et o s a t i s f y( 4 7 )b y a n e q u a ls i g no n o n es i d e .T h e no n e o ft h el a d d e r sw i l lh a v ef o u r e l e m e n t sw h i l et h eo t h e rw i l lh a v eo n l yt h r e e .I n g e n e r a li t w i l lb e f o u n dt h a tt h i st y p eo fr e a l i z a t i o nw i l lr e q u i r eno mo re t h a ns e v e ne lemen t s .I t c a n b e s h o w nt h a t i f F ( p )f a i l st oq u a l i f yf o rT y p eC r e a l i z a t i o n ,t h e n 1 / F ( p )a l s of a i l sto q u a l i f y.

T y p eD R e a l i z a t i o n :I f F ( p )s a t i s f i e sp - rc o n d i t i o nAa n d ( 5 ) ,b u t d o e s n ' ts a t i s f yt h e c o n d i t i o n sf o rT y p eA ,B , or C r e a l i z a t i o n ,t h e n w h a tw i l lh e r e i nb e c a l l e daType D r e a l i z a t i o nm a yb e u t i l i z e dt o o b t a i na c i r c u i tw i t h o u tu n i t y - c o u p l e dc o i l s .I n t h e s ec a s e s T y p eCr e a l i z a t i o nf a i l sb e c a u s eR eF ( j o ' ) m i n .i ss o s m a l lt h a t t h eC l a s sI I I ,F ( p )f u n c t i o nc a n n o tb e b r o k e ni n t ot h e su mo fa p - rC l a s sI f u n c t i o np l u sa p - rC l a s sI I f u n c t i o na ss p e c i f i e db y ( 4 6 )a n d( 4 7 ) .

The f i r s ts t e po ft h i sp r o c e d u r ei s to b r e a kF ( p )u pi n t oa c o n s t a n tp l u sa minimumr e a l - p a r tf u n c t i o n .T h u sb y ( 1 0 )t o ( 1 4 )we c a no b t a i n

F ( p ) = a + F ' ( p ) , ( 5 1 )w h e r e F ' ( p ) i s a f u n c t i o n s u c h t h a t Re F ' P ( j )= 0 a tiw = j w l .The next s t e p i s t o b r e a k F ' ( p ) up i n t o a t e r m

J p 2+ J o1 2p 3+ ( e+ K ) p 2+ ( d+ K e ) p+ dK

g p 3+ ( a+ g K- J ) p 2+ ( b+ a K ) p ( 5 6 )p 3+ ( e+ K ) p 2+ ( d+ K e ) p+ d K

T h ef i r s tt e r mo f( 5 6 )c a n b e e x p a n d e di n a c o n t i n u e df r a c t i o nb ys t a r t i n gw i t hi n v e r s i o na n df o r w a r dd i v i s i o( o p e r a t i o n5 )w h i l et h e s e c o n dt e r m c a n b e e x p a n d e db y s t a r t i n gw i t hi n v e r s i o na n dr e v e r s ed i v i s i o n( o p e r at i o n2 ) .

C o n s i d e rt h ee x a m p l e

- 1 .l p 2+ 0 . 8 1 3 0 p+ 0 . 2 9 3 9 4 2+ 2 p 2 ( 5 7 )

B o t hf u n c t i o n( 5 7 )a n di t sr e c i p r o c a la re C l a s sI I If u n c -t i o n s .T h ec o e f f i c i e n t si n ( 5 7 )f a i lt o s a t i s f y( 4 7 )s oType D r e a l i z a t i o ni s n e c e s s a r y .

W em a yu s e ( 1 2 ) ,( 1 3 ) ,a n d ( 1 5 )t of i n da , 1 = 0 . 1a n dj w 1 = j O . 6 5 8 8 .By ( 1 4 )

F ( p ) p 2 0 . 6 1 3 0+ 0 . 0 9 3 9 4F ( p ) --=-+ p 2+ 2 p + 2 ( 5 8 )

B y ( 5 4 )a n d ( 5 5 ) ,K = 0 . 5 5 4 2a n d J = 0 . 1 1 9 7 ,r e s p e ct i v e l y.E q u a t i o n( 5 6 )g i v e s

- ( p ) 0 . 1 1 9 7 p 2+ 0 . 0 5 2 0 6p 3+ 2 . 5 5 4 p 2+ 3 . 1 0 9 p+ 1 . 1 0 9

9 F o r t h e r e m a i n d e ro f t h i sT y p eD r e a l i z a t i o nd i s c u s s i o nt h eg , a , b , e , a n dd pa rame te r sw i l lb e u s e dt o r e f e rt o F ' ( p ) .

1 9 5 4 11 3 1

G 37


7/12


p 3+ 1 . 0 4 7 p 2+ 0 . 4 3 3 7 pp 3+ 2 . 5 5 4 p 2+ 3 . 1 0 9 p+ 1 . 1 0 9

A d d i n ga1 t o ( 5 9 )a n d e x p a n d i n gi n two, c o n t i n u e df r a c t i o n swe o b t a i n

F ( p ) = 0 . 1+( 8 . 3 5 5 p+ 2 1 . 3 4 )+

2 . 5 5 6 0

pI +

1

( 0 . 0 4 4 7 7 p 0 . 0 1 9 4 5p

1

1

0 . 9 5 4 8 p+2. 423p

Rs 0 . 1

F i g .9-A T y p eD r e a l i z a t i o ne x a m p l e .

I f F ( p )i s t a k e n t o b e an i m p e d a n c et h e n ( 6 0 )r e p r e -s e n t s t h e c i r c u i tshown i n F i g .9 . T h i sc i r c u i th a s n i n ee l e m e n t sw h i c hi s t h e m a x i m u mnumberr e q u i r e df o raType D r e a l i z a t i o n .Some r e a d e r sw i l lnote t h a t t h i ssame c i r c u i tc o u l db e o b t a i n e db y t h e m e t h o do fB o t ta n d D u f f i n . ' 0H o w e v e r ,t h i sa p p r o a c hi s b e l i e v e dt o b esomewhate a s i e rs i n c e t h e B o t t a n d D u f f i nm e t h o dr e-q u i r e s f i n d i n gt h e r e a l ,p o s i t i v er o o t o f a t h i r d -o r d e rp o l y n o m i a l .

T h eR a n g e so fR e a l i z a t i o nT o g i v e a bet te r i n s i g h ti n t o when t h e s e d i f f e r e n t

k i n d so fr e a l i z a t i o na r e p o s s i b l e ,F i g .1 0 i l l u s t r a t e st h ev a r i o u sr a n g e s o fze ro l o c a t i o n so f F ( p ) , ( 1 ) ,when t h ep o l e sa r e l o c a t e da t p = 2 j l . O n l yt h e s e c o n dq u a d -r a n t o ft h e p - p l a n ei s shown s i n c eno z e r o s can o c c u r i nt h e f i r s to r f o u r t hq u a d r a n t sand t h e s e c o n da n d t h i r dq u a d r a n t sa r e s y m m e t r i c a lw i t hr e s p e c tt o t h e r e a la x i s .With t h e s eg i v e np o l e s ,F ( p )w i l lb e p - r i f i t h a s a r e a l ,p o s i t i v e m u l t i p l i e ra n d t h e z e r o s o c c u r i n c o n j u g a t e

p a i r ss u c ht h a tt h es e c o n d - q u a d r a n tz e r ol i e sw i t h i nth eo u t e r c u r v e dc o n t o u r.I f t h ez e r o l i e sw i t h i nt h ec r o s sh a t c h e dr e g i o nm a r k e dA 1( 4 5d e g r e ec r o s s - h a t c hl i n e sf a l l i n gf r o ml e f tt o r i g h t ) ,t h e n t he f u nc ti oni s C l a s sIa n dc a n b e r e a l i z e dw i t ha T y p eA r e a l i z a t i o n .I f t h ez e r o i s i n t h e A , ,r e g i o n ( 4 5d e g r e ec r o s s - h a t c hr i s i n gf r o ml e f tt or i g h t ) ,F ( p )i s a C l a s sI I f u n c t i o na n dT y p eA r e a l i z a t i o ni s a g a i np o s s i b l e .N o t et h a t t h e r e g i o no fType B r e a l i z a t i o n( h o r i z o n t a lc r o s s - h a t c h i n g )o v e r l a p st h e T y p eA r e g i o ni np l a c e s .W h e r et h e yo v e r l a p ,b o t hF ( p )a n d i t sr e c i p r o c a la r e C l a s sI or I I f u n c t i o n s ;a n dw h e r et h e yd o n o t o v e r l a p ,e i t h e rF ( p )or i t sr e c i p r o ci s a C l a s sI I If u n c t i o n .I f t h e s e c o n d - q u a d r a n tz e r o l i e sw i t h i nt h eo u t e r c o n t o u rb u t o u t s i d eo ft h er e g i o n so fType A o r B r e a l i z a t i o n ,t h e n b o t h F ( p )a n di t sr e c i pr o c a la r e C l a s sI I Ip - rf u n c t i o n s .

The r e g i o no fType C r e a l i z a b i l i t yo v e r l a p sa l lo ft h er e g i o no fT y p eA r e a l i z a t i o na n dp a r t o f t h e r e g i o no fType B r e a l i z a t i o n ;h o w e v e r ,s i n c em o r ee l e m e n t sa r er e q u i r e d ,o n ew o u l dp r o b a b l yo n l ywant t o u s eT y p eCr e a l i z a t i o nw h e nt h e z e r o l i e si n o n e o f t h e u n s h a d e dr e g i o n sm a r k e dC .T h er e g i o no f T y p eD r e a l i z a t io v e r l a p sp a r t o f t h e r e g i o no fT y p eC r e a l i z a t i o na n dp a r t o ft h er e g i o no fType B ; b u t a g a i ns i n c eT y p eDr e a l i z a t i o nr e q u i r e st h em o s te l e m e n t so fa l l ,i t w o u l du s u a l l yb e u n d e s i r a b l eu n l e s sth e s e c o n d - q u a d r a n tz e r ol i e si no n eo ft h ev e r t i c a l l yc r o s s - h a t c h e dr e g i o n sm a r k e dD . I f F ( p )h a s s i m p l ez e r o so n th e r e a la x i s ,a n yo ft h eType A , B , C ,o rD r e a l i z a t i o n sm a yb e p o s s i b l ed e p e n d -i n go n r e l a t i v el o c a t i o n so fz e r o s .I t i s i n t e r e s t i n gt h a tth e b o u n d a r i e so fv a r i o u sr e g i o n so fr e a l i z a t i o ni nF i g .1 0a l lh a v eg e o m e t r i cs y m m e t r yw i t hr e s p e c tt o t h e c i r c l ea b o u tt h e o r i g i nw h i c hp a s s e st h r o u g ht h e p o l e s .

C o n c l u s i o nI m m i t t a n c e sh a v i n gt w op o l e sa r e c o m m o n l yu s e da s

b u i l d i n gb l o c k si n t h ed e s i g no ff i l t e r s ,e q u a l i z e r s ,a n da m p l i f i e r s .By u s e o f t h e f o r m u l a sp r e s e n t e di n t h i sp a p e ri t i s p o s s i b l et o r e l a t i v e l yq u i c k l yd e t e r m i n et h es i g n i f i c a n tp r o p e r t i e so fs u c h i m mi t t a nc e sa n dc h o o s ea na p p r o p r i a t es y n t h e s i sp r o c e d u r e .C o n t i n u e d - f r a c t i o nex -p a n s i o n sb a s e do n f o r w a r da n dr e v e r s ed i v i s i o na r e s e e nt o p r o v i d ea s t r a i g h t - f o r w a r d ,y e t f l e x i b l et o o lf o rs y n -t h e s i so fRL Cn e t w o r k s ,a s w e l la s n e t w o r k sw i t ho n l yt w o k i n d so fe l e m e n t s .T h eT y p eA , B ,C ,a n d D s y n -t h e s i sp r o c e d u r e sd e s c r i b e da r e a l s os u g g e s t i v eo f t h es y n t h e s i sm e t h o d sw h i c ha r e p o s s i b l ew h e nt h e i m m i t -t a n c eh a smore t h a n t w op o l e sa n dz e r o s .

A p p e n d i xAI f ( 1 )i s a C l a s sI f u n c t i o nt h e n

Re F ( jo o )= g > Re F ( j O )= Re F ( j w ) m i n . , js oF ' ( p )= F ( p ) - b l d

1 0R . B o t ta n dR . J . D u f f i n , I m p e d a n c es y n t h e s i sw i t h o u tt h e u seo f t r a n s f o r m e r s ,J o u r. A p p l .P h y s . ,v o l .2 0 ,p . 8 1 6 ;A u g u s t ,1 9 4 9 .A l s o Modern m e t h o d so fn e t w o r ks y n t h e s i s ,i b i d . ,p a r t XVI.

1 1 M o d e r nm e t h o d so f n e t w o r ks y n t h e s i s ,i b i d . ,p . 2 9 4 .

( g -- p 2+ ( a - pp dp 2+ e p+ d

11 3 2 J u l y


8/12


a ~a x i sF i g .1 0 - R a n g e so fs e c o n d - q u a d r a n tz e r ol o c a t i o n sf o rth e v a ri o us k i n dso fr e a l i z a t i o n swhen t h e i m m i t t a n c e - f u n c t i o np o l e s a r ea tp= -2 + j l .

g p 2+ b ' pp =+p+d - 61p 2+ e p+ d

m u s tb e a C l a s sI , m i n i m u mr e a l - p a r t ,p - rf u n c t i o n .Bya p p l y i n gc o n d i t i o n( 2 8 )t o ( 6 1 ) ,c o n d i t i o n( 3 8 )i s ob -t a i n e d .

I f ( 1 )i s a C l a s sI I f u n c t i o nt h e n

R e F ( j c ) m i n .= R e F ( jo o )= g < R eF ( j O )= b / d , s o

F ( p ) = F ( p ) - g= ( a - g e ) p+ ( b - d g ) a p + b

- ~ ~ ~ ~ 6 2p 2+ e p+ d p2 + e p+ dmust b e a C l a s s I I , m i n i m u mr e a l - p a r t ,p - rf u n c t i o n .A p p l i c a t i o no fc o n d i t i o n( 3 6 )t o ( 62 ) y i e l d sc o n d i t i o n( 4 0 ) .

PART I I :A C O N S TA N T- R E S I S TA N C ELADDERFO RTRANSFERF U N C T I O NS Y N T H E S I S

G e n e r a t i o no fP o i n t so fI n f i n i t eG a i na n dL o s sI f a t r a n s f e rf u n c t i o ni s d e f i n e ds o t h a t

I n p u tT( p ) I n u t 6 3 )

O u t p u t

t h e n t h e z e r o so fT ( p )w i l lb e p o i n t so fi n f i n i t eg a i na n dw i l lo c c u ra t f r e q u e n c i e so fn a t u r a lv i b r a t i o no ft h e c i r -c u i t ,w h i l et h e p o l e sw i l lb e p o i n t so fi n f i n i t el o s s .I f t h es y s t e mi s d r i v e nb y a z e r o i n t e r n a li m p e d a n c ev o l t a g eg e n e r a t o r ,t h e n t h e f r e q u e n c i e so fn a t u r a lv i b r a t i o nw i l lo c c u ra t t h e same f r e q u e n c i e sa s t h e z e r o so ft h e i n p u ti m p e d a n c e .E x c e p tf o rp o s s i b l ec a n c e l l a t i o ne f f e c t s ,t h ez e r o s o f t h e i n p u t i m p e d a n c ew i l lb e t h e s a m ea s t h e

z e r o so f T ( p ) . ' 2On t h e ot h erh a n d i f t h e s y s t e mi sd r i v e nb y a n i n f i n i t ei n t e r n a li m p e d a n c ec u r r e n tg e n e r -a t o r ,t h e n t h e f r e q u e n c i e so fn a t ur a l v i br a ti onw i l lc o r -r e s p o n dw i t h t h e p o l e so ft h e i n p u ti m p e d a n c e .In t h i sc a s e t h e ze roso fT ( p )w i l lb e t h e same a s t h e p o l e so ft h e i n p u ti m p e d a n c ee x c e p tf o rp o s s i b l ee x c e p t i o n sd u et o c a n c e l l a t i o nb e t w e e np o l e sa n dz e r o si nt h e i n p u ti m-p e d a n c eor i nt h e t r a n s f e rf u n c t i o n .T h u swe s ee t h a t i nm a n yc a s e st h e z e r o so fT ( p )w i l lb e c o m p l e t e l yd e f i n e dwhen t h e i n p u ti m p e d a n c eo ft h e s y s t e mi s d e f i n e d .

The p o l e so fT ( p )a r e p o i n t sa t w h i c ha l lt r a n s m i s s i o ni s s t o p p e d .T h e ya r i s ep h y s i c a l l yi nt h e f o l l o w i n gw a y s :

1 . I f p a r t o ft h e c i r c u i th a s m o r et h a n o n e r o u t e o ft r a n s m i s s i o n ,p o i n t so fi n f i n i t el o s s( p o l e so fT ( p ) )w i l lb e g e n e r a t e da t f r e q u e n c i e sa t w h i c hth e o u p u t sf r o mt he v a ri ou sr o u t e sc a n c e l .

2 . By t h e p o l e so fs e r i e si m p e d a n c e s( s u c ha s Z , i nt h e l a d d e ro fp a r t I , F i g .4 )b l o c k i n gt r a n s m i s s i o np r o -v i d e dt ha t t hei m p e d a n c eo ft h e n e t w o r kto t h e r i g h to fZ 1d o e sn o t h a v et h e s a m ep o l e s .W h e nZ , a n d t h e i m-p e d a n c et o t h e r i g h th a v et h e same p o l e st h e ya c t a s a

v o l t a g ed i v i d e ra n dt r a n s m i s s i o ni s

n o t b l o c k e d .3 . By t h ep o l e so fs h u n ta d m i t t a n c e s( s u c ha s Y 1i nt h e l a d d e ro f p a r t I , F i g .5 ) s h o r t i n go u t t h e s i g n a lp r o v i d e dt h a t t h ea d m i t t a n c eo f t h e n e t w o r kt o t h er i g h to f Y id o e sn o t h a v et h e same p o l e s .I f Y 1a n d t h en e t w o r kt o t h e r i g h th a v et h e s a m ep o l e so fa d m i t t a n c et h e n t h e yw i l la c t a s a c u r r e n td i v i d e ra n dt r a n s m i s s i o nw i l ln o t b e b l o c k e d .

1 2S o m e t i m e st h e p r e s e n c eo fs o m ei n p u t - i m p e d a n c ez e r o si s ob -s c u r e db ec a us e t he ya r ec a n c e l l e db y p o l e sa t t h e s a m ef r e q u e n c iT h e s ec a n c e l l e dz e r o sa r en e v e r t h e l e s si n d i c a t i v eo fn a t u r a lm o d e sw h i c hw i l lb e a p p a r e n ti n o t h e rm e s h e s ,a n dt h e yw i l lc o t r r e s p o nt oz e r o so fT ( p ) i f t h e r e a r en o f u r t h e rc a n c e l l a t i o n sb e t w e e nt r a n s f ef u n c t i o np o l e sa n dz e r o s .

1 9 5 4 I 1 1 3 3


9/12


T h ep o i n t so fi n f i n i t e l o sso fl a t t i c e ,b r i d g e d - T,a n dp a r a l l e l - l a d d e rn e t w o r k sa r e g e n e r a t e dp r i m a r i l yb y t h ef i r s tm e t h o d .H a v i n go n l yo n e r o u t e o ft r a n s m i s s i o n ,as i n g l e - l a d d e rn e t w o r kg e n e r a t e si t sp o i n t so fi n f i n i t el o s se n t i r e l yb y t h e s e c o n da n dt h i r dm e t h o d s .

S y n t h e s i so fa C o n s t a n t - R e s i s t a n c eL a d d e rL e t u s now c o n s i d e rth e d e s i g no fa l a d d e rn e t w o r k

h a v i n ga c o n s t a n t - r e s i s t a n c ei n p u ta n d a p r e s c r i b e d ,m i n i m u m - p h a s et r a n s f e r f u n c t i o n .W e s h a l ls t i p u l a t et h a t t h e n e t w o r ki s t o b e d r i v e nb y a g e n e r a t o rw i t hao n e - o h mi n t e r n a li m p e d a n c e ,a n dl a d d e ri m p e d a n c ei st om a t c ht h i s .Tr a n s f e rf u n c t i o n( 6 3 )m a yb e w r i t t e n

= 1+Z1 + --y a

( 7 0 )

S i n c e( 6 4 )w a s s t i p u l a t e dt o b e a nonmin imumr e a l -p a r t p - rf u n c t i o n ,a s h u n tc o n d u c t a n c ec a nb e r e m o v e df r o mY ai n ( 7 0 )t og i v e :

i /= + K2H - H 2 )K 2 H 1

+( K I H i_ K 1 K 2 )+ K j K 2

H iT ( p )= Al- = A i T m ( p )H 2 ( 6 4 )

w h e r eH 1a n dH 2a r e p o l y n o m i a l s ,A 1i s a c o n s t a n t ,a n dT m ( p )w i l lb e d e f i n e dl a t e r .W es h a l lt e m p o r a r i l ys t i p u -l a t et h a t T ( p )i s a nonminimumr e a lp a r t p - rf u n c t i o n ;h o w e v e ra s we s h a l ls e e ,t h i ss t i p u l a t i o ni s e a s i l yr e -m o v e d .

I ft h eg e n e r a t o rh a sa n i n t e r n a l r e s i s t a n c eo fo n eohma n d t h en e t w o r kh a s an i n p u tr e s i s t a n c eo fone o h m ,t h e n t h e z e r o - i m p e d a n c ev o l t a g eg e n e r a t o ri na T h e v e -n i n e q u i v a l e n tc i r c u i tw i l ls e e t h e r e s i s t a n c e :

H I H 1Z i ,= 2=2 = 1 + - - * ( 6 5 )H 1 H i

The p o l y n o m i a lH 1h a s b e e ni n t r o d u c e di n ( 6 5 )t o g i v eth e c i r c u i tt h e p r o p e rf r e q u e n c i e so fn a t u r a lv i b r a t i o n .No wl e tu s d e f i n e

v l = Re H l ( j w )H 2 ( j W )m i n .

> 0

and

H 2 ( j C O ) |V 2 Re j) m

Hl(jwo) max.> 0.

B o t hv P a nd P2 w i l lbe g rea t e r t h an z e r o s i n c e T ( p )wass t i p u l a t e dt o be a n o n m i n i m u mr e a l - p a r tp - r f u n c t i o n .Then ( 6 5 )c a n be w r i t t e n

lHi H2 H2Z i n= I + tH K 2 - + HHiK2H,/ K2H,

= 1 + Zl + Z a , (68)

w h e r e

K 2 ._ V 2 ( 6 9 )

Both Z 1 a nd Z a a r e g u a r a n t e e dt o be p - rd u e t o ( 6 7 ) ,( 6 9 ) ,a nd t h e s t i p u l a t i o nthat ( 6 4 )i s p - r .

E q u a t i o n( 6 8 )can a l s obe e x p r e s s e da s t h e cont inued-f r a c t i o n :

K2H H2\

Zin 1 + K2H, + K2H,H2

( 71 )1

=1 +Z 1 Y 2+ G L

w h e r e

0 < K , . p i . ( 7 2 )

I E L U H I 1 2| THEVENIN-iT NS K 2 1 - K 1 KI H 2 L

THEVENIN_GENERAT~J~T R A N S M I S S I O NNETWORK LY~

F i g .1 1 A c o n s t a n t - r e s i s t a n c el a d d e rs e c t i o n .

E q u a t i o n( 7 1 )c o r r e s p o n d st o t h e c i r c u i ti n F i g .1 1 .N o t et h a t ( 6 5 )c a u s e st h i sn e t w o r kt oh a v en a t u r a lf r e -q u e n c i e so f v i b r a t i o na t t h e z e ros o fH 1when Z i ni sd r i v e nb y e i t h e ra z e r o - i m p e d a n c ev o l t a g eg e n e r a t o ro ra n i n f i n i t e - i m p e d a n c ec u r r e n tgene ra to r.S i n c et h e z e r o so fT ( p )a r e n a t u r a lf r e q u e n c i e so fv i b r a t i o n ,t h e t r a n s f ef u n c t i o nf o rt h i sn e t w o r kh a st h e s a m eze rosa st h o s ei n( 6 4 ) .By ( 6 8 ) ,s i n c et h ei m p e d a n c eZ as e e n t o t h e r i g h to fZ , h a s t h esame p o l e sa s Z , ,t h e i m p e d a n c eZ , s e rve sa s w h a tG u i l l e m i na n do t h e r sr e f e rt oa s a z e r o - s h i f tb r a n c h , a n d i t does n o t c r e a t e a n y p o i n t s o f i n f i n i tl o s s . 3H o w e v e r ,p o i n t so fi n f i n i t el o s sw i l lb e c r e a t e da tt h e p o l e so fY 2a n dt h e s ea re s e e nt ob e t h e s a m ea s t h ep o l e s( p o i n t so fi n f i n i t el o s s )o f t h e t r a n s f e rf u n c t i o n( 6 4 ) .T h en e t w o r ki n F i g .1 1h a s t h e t r a n s f e rf u n c t i o n

( 6 4 )w i t h i na c o n s t a n tm u l t i p l i e r .C a r r y i n go u t t he s yn -t h e s i si na s i m i l a rb u t d u a lm a n n e r ,c o n s t a n t - r e s i s t a n c en e t w o r ki nF i g .1 2i so b t a i n e d .T h i sn e t w o r ka l s oh a st h et r a n s f e rf u n c t i o n( 6 4 )w i t h i na c o n s t a n tm u l t i p l i e r .

S i n c et h ei n p u t i m p e d a n c eo f t he t ra n sm is s io nn e t -w o r ki n F i g .1 1( o ri n F i g .1 2 )i s a c o n s t a n t - r e s i s tt h e i m p e d a n c el e v e lo fo n e s e c t i o no ft h i st y p e c a n b ea d j u s t e ds o t h a t i t si n p u tw i l ls e r v ea s t h e p r o p e rc o n -s t a n t l o a dr e s i s t a n c ef o ra n o t h e rs e c t i o n .I n t h i sm a n n e ra n y n u m b e ro f s u c hs i m p l es e c t i o n sc a n b ed e s i g n e ds e p a r a t e l ya n d t h e n c a s c a d e dt o g e t h e rt og i v ea l a d d e r

13 M o d e r nm e t h o d so fn e t w o r ks y n t h e s i s ,i b i d . ,p p .2 8 6 - 2 9 0 .

1 1 3 4 J u l y


10/12


n e t w o r kw h o s et r a n s f e rf u n c t i o ni s t h e p r o d u c to f t h es e c t i o nt r a n s f e rf u n c t i o n . 1 4T h u sa s w i t ho t h e r c o n s t a n t -r e s i s t a n c en e t w o r k s , ' 5t h e r e a l i z a t i o no fa c o m p l i c a t e dt r a n s f e rf u n c t i o nc a n b e g r e a t l ys i m p l i f i e db y r e a l i z i n gi t i na n u m b e ro fs i m p l ep a r t s .I t s h o u l db e n ot e dt h a tt h e t r a n s f e rf u n c t i o nf o re a c hc o m p o n e n ts e c t i o nmustb e a nonminimumr e a l - p a r tp - rf u n c t i o n ,b u tt h eo v e r - a l lt r a n s f e rf u n c t i o nn e e dn ot b ep - r T h ep r o c e s st h e n i s tos e l e c tp o l e sa n dz e r o s f o re a c hs e c t i o no ft he l ad de rs ot h a t t h e s e c t i o nt r a n s f e rf u n c t i o nw i l lb e nonmin imumr e a l - p a r tp - r .I f i t s h o u l db e i m p o s s i b l eto f a c t o rt h eo v e r - a l lt r a n s f e rf u n c t i o ni n t oa c o m p l e t es e to fp - rf a c -t o r s ,a d d i t i o n a lf a c t o r so ft h ef o r m( p - p j ) / ( p - p , )c a na l w a y sb e i n t r o d u c e ds o a s t omakep - rf a c t o r i z a t i o np o s -s i b l e .T h u sa n yminimump h a s et r a n s f e rf u n c t i o nc a nb er e a l i z e dw i t h i na f l a t - l o s sf a c t o ri na c o n s t a n t - r e s i s t a n c el a d d e r .

l~ lK2 K 2 1TK 2

R u

K 2 H 1 - H I L RL E K

t h i sg e n e r a t o rw o u l dc a u s ea c r o s st h eg i v e nl o a dG Li ft h e g e n e r a t o ra n d l o a d w e r ep e r f e c t l ym a t c h e db y a ni d e a lt r a n s f o r m e r.From ( 7 3 ) ,

1EL Av a i l . = _ _ _ E g _2 V \ R o G L E . ( 7 4 )

I t a p p e a r sl o g i c a lt od e f i n et h e t r a n s f e rf u n c t i o nt h e na s

EL Ava i l .

E L ( 7 5 )

t h e r a t i oo ft h e a v a i l a b l el o a dv o l t a g et o t h ed e l i v e rl o a dv o l t a g e . ' 6S i n c et h em a g n i t u d eo f t h e d e l i v e rl o a dv o l t a g ec a n n o te x c e e dt h a t o ft h e a v a i l a b l ev o l t a g ea c r o s sa n yg i v e nG L ,

T ( j w ) = EL Av a i l . > 1EL

( 7 6 )

Any t r a n s f e rf u n c t i o n( 7 5 )t h a t s a t i s f i e s( 7 6 )w i t h a ne q u a ls i g na t a n ys t e a d y - s t a t ef r e q u e n c yj w i s a m i n i -m u m - l o s st r a n s f e rf u n c t i o n .L e t u s d e f i n e

T 1 , , ( p )= --H 2 ( 7 7 )

T rLT R A N S M I S S I O NNETWORK

a s a m i n i m u m - l o s st r a n s f e rf u n c t i o n .T h e nA , i n ( 6 4 )i sa c o n s t a n tf a c t o r ,e q u a lt o o rg r e a t e rt h a n o n e ,w h i c hi n d i c a t e st h e f l a tl o s so ft h e n e t w o r k .F o r t h e n e t w o r k so fF i g s .1 1 o r1 2 ,A l i s c o m p u t e dt ob e

F i g .12-An a l t e r n a t ec o n s t a n t - r e s i s t a n c el a d d e rs e c t i o n .

I f t h eo v e r - a l lt r a n s f e rf u n c t i o ni s f a c t o r e ds o t h a te a c hs e c t i o n t r a ns f e rf u n c t i o nh a se i t h e ro n eo r two p o l e sa n d

z e r o s ,t h e n t h e

t e c h n i q u e sd i s c u s s e di n P a r t I c a n

b e u s e dt os i m p l i f yt h ec a l c u l a t i o n sc o n s i d e r a b l y .E q u a -t i o n s( 3 8 ) ,( 4 0 ) ,a n d ( 5 )c a n b e u s e d t o d e t e r m i n ei ft h es e c t i o nt r a n s f e rf u n c t i o n sa r e C l a s sI , I I ,o r I I Ip - rf u n c t i o n s ;a n d t h e n ( 7 ) , ( 9 ) ,( 1 2 ) ,a n d ( 1 3 )c a n b ea d a p t e df o rc o m p u t a t i o no fP i a n dP 2 .T h eb r a n c hi m -m i t t a n c e sw i l lh a v en o more t h a n two p o l e sa n dz e r o sa n d t h e r e f o r ec a n b e r e l a t i v e l yq u i c k l ys y n t h e s i z e db yt h em e t h o d so fP a r t I .

C o n s t a n t - R e s i s t a n c eL a d d e rF l a t - L o s sC o m p a r i s o nS i n c et h e s en e t w o r k sw i l lo f t e nh a v eu n e q u a lt e r m i n a -

t i o n s ,l e tu s d e f i n eo u r t r a n s f e rf u n c t i o ni n t e r m so ft h ev o l t a g ea v a i l a b l ea t t h e l o a dc o n d u c t a n c eG L( o rr e s i s t -a n c eR L ) .T h u s ,

Pg Av a i l . - = PL A v a i l . = GLEL Av a i l . , ( 7 3 )4 R a

w h e r eP gAv a i l .i s t h e a v a i l a b l ep o w e ro ft h e g e n e r a t o r ,E ga n dR ga re a sd e f i n e di nF i g .1 1 ,P LAv a i l .i st h ep o w e ra v a i l a b l ea t t h e l o a d ,a n dE LA v a i l .i s t h ev o l t a g ew h i c h

1 4D e p e n d i n go n howt h et r a n s f e rf u n c t i o ni sd e f i n e d ,t h e o v e r - a l lt r a n s f e rf u n c t i o nm a ye q u a lth e p r o d u c to fth e p a r t s ,o n l yw i t h i nac o n s t a n tm u l t i p l i e r .

1 6B o d e ,o p .c i t . ,c h a p .1 2 .

A= K 2 . ( 7 8 )T h es m a l l e s tv a l u ef o rA l ( a n dt h el e a s tf l a t l o s s)w i l lb e o b t a i n e dw h e n( 6 9 )a n d( 7 2 )a re s a t i s f i e dw i t he q u a ls i g n st o g i v e :

A , 1I m m n .= 1 ( 7 9 )

S i n c ea n yt r a n s f e rf u n c t i o nw h i c hc a n b e r e a l i z e di no n e c o n v e n t i o n a l ,R L C ,c o n s t a n t - r e s i s t a n c eb r i d g e d - Ts e c t i o n ' 7c a na l s ob e r e a l i z e di no n ec o n s t a n t - r e s il a d d e rs e c t i o n ,t h e t w o h a v ea b o u tt h e s a m er e a l mo fa p p l i c a t i o n ,a n d i t a p p e a r sr e l e v a n tt o c o m p a r et h e i ra t t e n u a t i o nf a c t o r s .Th e s m a l l e s ta t t e n u a t i o nf a c t o rf o rt h ec o n v e n t i o n a l ,RL Cb r i d g e d - Ti s c o m p u t e dt ob e :

A2 i m i n .=-- ( 80

S i n c et r a n s f e rf u n c t i o n( 7 7 )h a s n o f l a t l os s,f r o m( 6 6 )a n d ( 6 7 )i t c a n b e seen t h a t b o t hv ,a n dv 2m u s tb e n og r e a t e rt h a no n e . H e n c et h e l a d d e rA l m i n .w i l la l w a y sb el e s st h a nt h eb r i d g e d - TA 2m i n .e x c e p twhen b o t hm e t h -o d s o fr e a l i z a t i o ng i v em i n i m u m - l o s st r a n s f e rf u n c t i oi . e . ,e x c e p tw h e nA lm i n .. = 2 1 |m i n 1 .1 .

1 6 E q u a t i o n( 7 5 )i s i n n a t u r ea n i n p u t / o u t p u tr a t i oa nd i s c o n -s i s t e n tw i t ht h e d e f i n i t -o n o fT ( p )i n ( 6 3 ) .

1 B o d e ,o p . c i t . ,p p .2 7 0 - 2 7 5 .

1 9 5 4 I I1 3 5

41

( 8 0 )


11/12

PROCEEDINGSOF T H - ii j u j y

S o m eP r a c t i c a lC o n s i d e r a t i o n sL e t u s a s s u m et h a t t h e p o l e sa n dz e r o so fa c o m p l i -

c a t e d t r a n s f e rf u n c t i o na r e to b e f a c t o r e di n t o g r o u p sa n d t h e n r e a l i z e di n a c ha ino fc o n s t a n t - r e s i s t a n c el a d -d e r s e c t i o n s .L e t u s s u p p o s ef u r t h e rt h a t e a c hs e c t i o ni st oc o n t r i b u t et w op o l e sa n dz e r o sto t h e o v e r - a l lt r a n s f e rf u n c t i o n .I t m a yb e p o s s i b l et o g r o u pt h e p o l e sa n dz e r o ss ot h a t m o s tor a l lo ft h e s e c t i o nt r a n s f e rf u n c t i o n sa r eC l a s sI o r I I p - rf u n c t i o n s .E a c hs e c t i o nt h a t h a sa C l a s sI o rI I t r a n s f e rf u n c t i o nw i l lh a v eC l a s sI or I I i m m i t -t a n c e si n b o t ha r m s , a n d c o n s i d e r a b l yf e w e re l e m e n t sw i l lb e r e q u i r e dt h a n i f C l a s sI I I i m m i t t a n c e sw e r ei n -v o l v e d .L e t u s s u p p o s e

g p 2+ a p + b lI n p u tp 2+ e p+ d O u t p u t

i m p r a c t i c a lB r u n er e a l i z a t i o n sw i t h u n i t y - c o u p l e dc o i l sw i l lb e r e q u i r e d .Th e b ra n c h i mm i t t an c esw o u l db em i n i m u i mr e a l - p a r tf u n c t i o n sa n d Type D r e a l i z a t iw o u l dreq ui re e i gh te l e m e n t sf o rea ch C l as sI I I i m-m i t t a n c e .I f ( 6 9 )a n d ( 7 2 )a re s a t i s f i e db y t h e i n e q u a l -i t y s i g n s ,t h e n t h e b r a n c hi m m i t t a n c e sw i l ln o t b em i n i m u mr e a l - p a r tf u n c t i o n s .B y d o i n g t h i si t w i l lb e p o s s i b l es o m e t i m e st o o b t a i n Type C r e a l i z a t i o

( u s u a l l y7 e l e m e n t s ) ,or Type B r e a l i z a t i o n s( f i v ee l -e m e n t s )f o rt h e C l a s s I I I i m m i t t a n c eb r a n c h e s .O fc o u r s et h e p r i c ef o rt h e r e d u c t i o ni nnumbero fe l e m e n t si sa d d i t i o n a lf la t l o s s.

( 8 1 )

h a sb e e nf a c t o r e do u t t o b e r e a l i z e da s o n e s e c t i o no fal a d d e r .I t c a n b e s h o w nt h a t i f ( 8 1 )s a t i s f i e s( 3 7 )a n d( 3 8 )o fP a r t I , t h e n ( 8 1 )a n da l lo ft h e a r m i m m i t t a n c e si n F i g s .1 1a n d 1 2 w i l lb e C l a s sI f u n c t i o n s .Then t h e

c o r r e s p o n d i n gm i n i m u m - l o s st r a n s f e rf u n c t i o n( 7 7 )i sT m ( p )=d [ g p 2+ a p + b - E LA v a i l . ( 8 2 )

f o rw h i c hv = v 2 =1 . ( 8 3 )

I f ( 8 1 )s a t i s f i e s( 3 9 )a n d( 4 0 )o fP a r t I , t h e n ( 8 1 )a n dt h e a rm i m m i t t a n c e si nF i g s .1 1a n d1 2 w i l la l lb e C l a s sI I f u n c t i o n s .Th e c o r r e s p o n d i n gm i n i m u m - l o s st r a n s f e rf u n c t i o ni s

I_ g p 2+ a p + b= EL Av a i l .

T m ( p )YLp+e- i E

( 8 4 )f o rw h i c h

V l = V 2 - 1 . ( 8 5 )L e t u s r e a l i z et h e C l a s sI , p - rm i n i m u m - l o s sf u n c t i o n

2 . 7 5 9 p 2+ 6 . 8 9 7 p+ 5 . 0 0 0T . ( p )= - - 7 - -p 2+ 4 . 0 0 0 p+ 5 . 0 0 0

2 . 7 5 9 ( p+ 1 .2 5 + j O . 5 ) ( p+ 1 . 2 5- j O . 5 )(p+2+ j l ) ( p +2- j l )

I f i n t h e d e s i g n ,( 6 9 )a n d ( 7 2 )a r e s a t i s f i e dw i t he q u a ls i g n s ,t h e a r m i m m i t t a n c e sw i l lb e m i n i m u mr e a l - p a r tf u n c t i o n s .Then b y ( 8 3 )a n d( 7 8 ) ,A 1= 1 i n d i c a t i n gt h a tt h e s e c t i o nt r a n s f e rf u n c t i o n( 6 4 )w i l lh a v eno f l a tl o s s .U s i n gt h e c o n f i g u r a t i o ni n F i g .1 1 ,t h e n e t w o r ki s a ss h o w ni n F i g .1 3 .I t i s i n t e r e s t i n gt o n o t e t h a t t h i sc i r -c u i tr e q u i r e so n l ye i g h te l e m e n t s( e x c l u d i n gt e r m i n a -t i o n s )i norde rt o r e a l i z et h e t r a n s f e rf u n c t i o n( 8 6 ) ,w h i l ea c o n v e n t i o n a l ,RL C b r i d g e d - Tw o u l du s e t e n ,a n d ac o n s t a n t - r e s i s t a n c el a t t i c ew o u l dr e q u i r es i x t e e n .

I f a n yo ft h e b r a n c hi m m i t t a n c e su s e da r e two p o l ea n d z e r o C l a s sI I I f u n c t i o n sa n d i f ( 6 9 )a n d ( 7 2 )a r es a t i s f i e dw i t he q u a ls i g n s ,e i t h e rT y p eD r e a l i z a t i o n so r

F i g .13-Example o fa c o n s t a n t - r e s i s t a n c el a d d e rd e s i g n .

In s o m ec a s e st he d es i gn erm a y w i s ht o a c c o u n tf o rc o i la n d c o n d e n s e rd i s s i p a t i o n .I f t h e c i r c u i tr e s u l t i n gw h e n( 6 9 )a n d( 7 2 )a re s a t i s f i e dw i t ha n e q u a ls i g nc a n -n o t b e a d a p t e dt o t h i s ,b y u s i n g th ei n e q u a l i t ys i g n s( t h u si n c r e a s i n gt h e f l a tl o s s )i t w i l lu s u a l l yb e p o s s i b lt o m o d i f yth e r e a l i z a t i o nt o a c c o u n tf o rc o i la n d c o n -d e n s e rd i s s i p a t i o n .

I n s o m ec a s e st h i sm e t h o do fs y n t h e s i sw i l lg i v eu n -e q u a lt e r m i n a t i o n s .I t s ho u ld b e n ot e dt h a t i f t h e c o n -f i g u r a t i o ni nF i g .1 1g i v e sa r i s e i ni m p e d a n c el e v e lf r o mi n p u tt oo ut p ut , t hec i r c u i t o f F i g .1 2w i l ly i e l dt h e i d e n -t i c a lt r a n s f e rf u n c t i o nw i t h a d r o p i n i m p e d a n c el e v e lf r o mi n p u tt o o u t p u t .T h u si f a c h a i no fs e c t i o n sw i t hu n e q u a lt e r m i n a t i o n sa re t ob ec o n n e c t e dt o g e t h e r ,s o m ec o n t r o lc a nb e exe r t edo v e rt h e i m p e d a n c el e v e l sa t t h ee n d sb y c h o o s i n gb e t w e e nt h e s e c t i o n so fF i g .1 1a n dF i g .1 2 ,or b y u s i n gs o m eo fe a c h .

Whent r a n s f e rf u n c t i o n sa r e d e f i n e da s i n ( 7 5 ) ,t h e nt h e o v e r - a l lt r a n s f e rf u n c t i o nf o ra c h a i no fc o n s t a n t -r e s i s t a n c es e c t i o n si s e x a c t l y

( 8 7 )

w h e r eth e T k ( p )a r e t h e t r a n s f e rf u n c t i o n so ft h e i n d i -v i d u a ls e c t i o n s .O n em i g h ta t f i r s tt h i n kt h a t i f a l lo ft h ec o m p o n e n ts e c t i o n sh a v em i n i m u m - l o s st r a n s f e rf u n c -t i o n s ,t h e n T ( p )w o u l da l s oh a v ea m i n i m u m - l o s st r a n s -f e rf u n c t i o n .However n o t e t h a t t h i si s t r u e o n l ywhent h e m a g n i t u d e so ft h e i n d i v i d u a lt r a n s f e rf u n c t i o n sa l lh a v et h ev a l u eo n ea t t h es a m ef r e q u e n c yp = j f .F o r t h i sr e a s o nt h e d e s i g n e rw i l ls o m e t i m e si n t r o d u c ee x t r a l o s sb yr e a l i z i n ga c o m p l i c a t e dt r a n s f e rf u n c t i o ni na c ha ino fs i m p l es e c t i o n sr a t h e r t h a n i no n ec o m p l i c a t e ds e c t i o nThe d e s i g ns i m p l i c i t yo b t a i n e dw i l lu s u a l l yb e w o r t ht h ep r i c e ,h o w e v e r.

11 3 6 J u l y

T ( p )= [ T l ( p ][ T 2 ( p )I . . . t T- ( p ) ] y


12/12

Ti e n :B i f i l a rH e l i xf o rB a c k w a r d -Wa v eO s c i l l a t o r s

I t i su s e f u lt o n o t et h a t t r a n s f e rf u n c t i o n( 8 2 )s a t i s f i e s( 7 6 )w i t ha n e q u a ls i g na t j w= 0 w h i l e( 8 4 )s a t i s f i e s( 7 6 )w i t ha n e q u a ls i g nf o rj o = j o . Th e c o r r e s p o n d i n gn o -l o s sf r e q u e n c i e sf o ro t h e r c l a s s e so f t r a n s f e rf u n c t i o n sw i t h t w o p o l e sa n d z e r o s c a n b e e s t a b l i s h e db y t h em e t h o do fA p p e n d i xB .

m a t t e ri se a s i l yh a n d l e da sw a sp r e v i o u s l yn o t e d .O t h e rc a s e sm a yb e t r ea t eda s f o l l o w s :

L e tu sd e f i n ej w ma st h ef r e q u e n c ya t w h i c hT m ( j ) )m i no c c u r s .T h es l o p eo f T m ( j c )m u s tb e z e r oa t j w m, h e n cwe m a yf i n dt h ep r o p e rv a l u eo fB b yc h e c k i n gT m ( j c Wa t i t sf r e q u e n c i e so fz e r os l o p e .I fj w m= j O ,t h e n

C o n c l u s i o n

C o n s t a n t - r e s i s t a n c el a d d e r n e t w o r k sc a n b e u s e dw h e v e rc o n v e n t i o n a l ,RLC c o n s t a n t - r e s i s t a n c eb r i d g e d -T n e t w o r k sc a n b e u s e d ,i . e . ,f o rt h e r e a l i z a t i o no fa n ym i n i m u m - p h a s eT ( p ) .Th e c o n s t a n t - r e s i s t a n c el a d d e rh a s s o m ea d v a n t a g e so v e r t h e b r i d g e d - T,n a m e l y :i tu s e s f e w e re l e m e n t s ;i f t h e b r i d g e d - Tn e t w o r kr e q u i r e sf l a tl o s st he l a dd erw i l lr e q u i r el e s s ;a n d s i n c et h e twol a d d e rb r a n c hi m p e d a n c e sf o re a c hs e c t i o na r e n o t r e -c i p r o c a l so fe a c ho t h e r a s a r e t h e b r i d g e d - Ti m p e d a n c e s ,t h ed e s i g n i n go fl a d d e r si s more f l e x i b l e .By u s e o fs i m -p l ef o r m u l a si t i sp o s s i b l et o e a s i l yd e t e r m i n et h e n a t u r eo ft h e b r a n c hi m m i t t a n c ef u n c t i o n ss o t h a t a n a p p r o p r i -a t e r e a l i z a t i o nt e c h n i q u ec a n b e s e l e c t e d .

A p p e n d i xBWhenc o m p u t i n gt h e a t t e n u a t i o nf a c t o rA 1i s i s o f t e n

n e c e s s a r yt o d e t e r m i n ew h a tm u l t i p l i e rB w i l lmakep 2+ a p+ b

T m ( p )= B = B M ( p )p 2+ e p+ d

B = d l b . ( 8 9 )

I fj w m-

O ,t h e nB = 1 . ( 9 0 )

To c h e c kf o rj wma t o the r f r e q u e n c i e so n em a y u s e t h ef o l l o w i n ga n a l y s i sb a s e d o n a s t u d y o f t h e z e r o so f[ T m ( p )T m ( - p ) - 1] . Form t h e p o l y n o m i a li n Q :

( C 2 -4 b 2 ) Q 2 +( 2 D C + 4 b 2 + 4 d 2 ) Q +( D 2 - 4 d 2 )= O , ( 9 1 )

w h e r eC=2 b - a 2a n dD = e 2- 2 d . F i n da n yroo t s Q= Q ko f( 9 0 )w h i c hs a t i s f yt h ec o n d i t i o n :

( Q k C+ D )X k= = ( ar e a l ,p o s i t i v en u m b e r ) .2 ( Qk - 1 ) ( 9 2

F o re a c hv a l u eQ=Qkw h i c hs a t i s f i e sb o t h ( 9 1 )a n d( 9 2 )t h e r ei s a z e r o - s l o p ep o i n to f T m ( j w )a t t h e f r e q u e n c y

j Ak = j \ X k .I f t h eminimump o i n ti s a t j W k ,t h e n

( 9 3 )

( 8 8 )B = N / Q k . ( 9 4 )

a m i n i m u m - l o s st r a n s f e rf u n c t i o n ,i . e . ,make T m ( j w )m i n .= 1 . I f t h e c o n d i t i o n sf o r( 8 2 )or ( 8 4 )a r e s a t i s f i e d ,t h i s

T h ep r o p e rv a l u eo fB i s t h e l a r g e s tv a l u e o bt ai n ab lf r o m( 89 ) , ( 90 ) ,o r( 9 4 ) .

B i f i l a rH e l i xf or B a c k w a r d - Wa v eO s c i l l a t o r s*PING KING TIENt, ASSOCIATE,IR E

Summary -Ab i f i l a rh e l i xu s e da s t h e s l o wwave c i r c u i tf o rth eb a c k w a r d - w a v eo s c i l l a t o ri s i n v e s t i g a t e di nt h i sp a p e r .C a l c u l a t i o n ss h o wt h a tt h e b i f i l a rh e l i xh a s a h i g h e ri m p e d a n c et h a nt h a to ft h eo r d i n a r ys i n g l e - w i r eh e l i x .The p r o p a g a t i n gc h a r a c t e r i s t i c so f t h eb i f i l a rh e l i xa r e a n a l y z e da n d some e x p e r i m e n t a lr e s u l t so fc o l dm e a s u r e m e n t sa r e p r e s e n t e d .

I t i s a l s os h o w nt h a tw i t ha b i f i l a rh e l i x ,a p e r i o d i ce l e c t r o s t a t i cf i e l dw h i c hc a nb e u s e dt o f o c u st h e e l e c t r o ns t r e a mi s r e a d i l yo b -t a i n e db ya p p l y i n ga p r o p e rd cp o t e n t i a ld i f f e r e n c eb e t w e e nt w oh e l i -c a lw i r e s .T h esame b i f i l a rs t r u c t u r em a yt h u sb e u s e db o t hf o rth ep r o p a g a t i n ga n df o rt h e f o c u s i n gc i r c u i t .A t u b eo f t h i sk i n dh a sb e e nc o n s t r u c t e da n dt h e e x p e r i m e n t a lr e s u l t sa r e d e s c r i b e d .

* D e c i m a lc l a s s i f i c a t i o n :R 1 3 8 X R 3 3 9 . 2 .O r i g i n a lm a n u s c r i p tr e -c e i v e db y t h e I R E ,N o v e m b e r2 7 ,1 9 5 3 ;r e v i s e dm a n u s c r i p tr e c e i v e d ,F e b r u a r y1 8 ,1 9 5 4 .

t B e l lTe l e p h o n eL a b s . ,M u r r a yH i l l ,N . J .

I N T R O D U C T I O NT - HIS PAPERDISCUSSESt h e u s eo fa b i f i l a rh e l i x

i na b a c k w a r d - w a v eo s c i l l a t o r ,b o t h a s a c i r c u ie l e m e n ta n da n e l e c t r o s t a t i cf o c u s i n gm e a n s .A h e l i xw o u n do fa s i n g l ew i r e i s g e n e r a l l yu s e d i n

t r a v e l i n gwave t u b e sa s t h e s l o w - w a v ec i r c u i t ,b e c a u s eo f i t s b r o a d b a n dn a t u r e i n p r o p a g a t i o na n d i t s s i m -p l i c i t yo fc o n s t r u c t i o n .A b i f i l a rh e l i xi s a h e l i xwoundo n t w o w i r e si n p a r a l l e l( F i g .1 ( b ) ) .E a c hw i r e i s as e p a r a t ep a t h f o rt h e m i c r o w a v ec u r r e n t .The e l e c t r om a g n e t i cf i e l dd i s t r i b u t i o na l o n gt h e h e l i xd e p e n d su p o nt h e m a g n i t u d e sa n dt h e p h a s e so ft h e c u r r e n te x c i t e do nt h e t w o h e l i c a lw i r e s .In s l o w - w a v es t r u c t u r e s ,i t i sd e s i r a b l eto h a v ea h i g hi m p e d a n c e ,s o t h a t g r e a t e rg a i n

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