TANGENT PEOPLE

OTHER TANGENT PEOPLE

TANGENCYTangency is the property of being tangent. Geometric elements are tangent when they share just one common point.Geometry studies several cases of tangency:

1) Tangent lines to a circumference. A line is tangent to a circumference when there is only one common point between them.

It always happens that the radius for a point of the circumference is perpendicular to the tangent line at that point.

So radius r is perpendicular to the line m at the point T.

C - Centre of the circumference.

r - Radius of the circumference for point T.

T - Tangent point.

m - tangent line to the circumference.T

C mr

1) Tangent lines to a circumference from an external point. How do we draw the lines which are tangent to a circumference passing through a point which is not in the circumference?

P

C

PM

C

T1

T2

segm

ent b

isect

or o

f CP

PM

C

segm

ent b

isect

or o

f CP

PM

C

T1

t1

T2

t2se

gmen

t bise

ctor

of C

P

1 2

43

1) Circumference with centre C and external point P.

2) Segment bisector of CP. We get midpoint M.

3) Arc with radius MC and centre C, so we get T1 and T2.

4) T1 and T2 are the tangent points.

If we join P with T1 and T2 we get tangent lines t1 and t2, which are the solu on.

As t1 and t2 are the solu on, we trace over them with an HB pencil, so they are thicker.

No ce that t1 and t2 are lines, so we use small le ers for labels.Magenta colour is only illustra ve.

Graphite will be used for exercises.

Do it yourself:Trace the tangent lines to the circumference of centre C from the external point P.

P C

Do it yourself:Trace the tangent lines to the circumference of centre O from the external point Q.

Q

O

3) Tangent circumferences and intersec ng circumferences. We are going to study four basic cases about posi ons between two circumferences:I) Externally tangent circumferences.

TANGENT PROPERTIESThe line which connects centres O1 and O2 always passes through the tangent point T.

Tangent line t is perpendicular to O1O2 Tangent line t is perpendicular to O1O2

TANGENT PROPERTYThe line which connects centres O1 and O2 always passes through the tangent point T.

TANGENT PROPERTYThe line r, which connects points P and Q, is perpendicular to the line m, which connects the centres O1 and O2.

Circumferences 1 and 2 are externally tangent because they share only one common point T and one circumference is outside the other.

Circumferences 1 and 2 are internally tangent because they share only one common point T and one circumference is inside the other.

Circumferences 1 and 2 are intersec ng because they share two common points P and Q , so there is a common area between them.

II) Internally tangent circumferences. III) Intersec ng circumferences.

1

1

O1

O1O1

O1T

t t

T

2

2

O2

O2

T

O2

2

2

2

2

1

1

1

1

O1 O2

Pm

r

P

Q

Q

IV) External circumferences.

Circumferences 1 and 2 are external because they share no common point.

Circumferences 1 and 2 are concentric because they share the same common centre.

V) Concentric circumferences.

1

O1O1≡ O2

2

O2

2

1

EXERCISE 1:Draw four concentrical circumferences.

EXERCISE 2:Draw four intersec ng circumferences.

EXERCISE 3:Draw again circumferences 1 an 2 so they are externally tangent.

EXERCISE 4:Draw circumferences 1 an 2 so they are internally tangent.

1 12 2

O1

O1

O2 O2

EXERCISE 5:Draw a similar composi on with externally tangent circumferences.

EXERCISE 6:Draw a similar composi on with internally tangent circumferences.

O1

O2

T12

T23

T34

T13

T12

O3

O4

O3

O2

O11

2

3

VOLUMEThere is a way to colour a circle so it looks like a sphere.

We have to colour elip c rings. Darkest rings are for shadows.Brighter rings are for bright areas.

Colour the rings of the following circle so it looks like a sphere.You can use any colour.Control the pressure you apply for diff erent levels of lignt.

TANGENCIATangencia es al propiedad de ser tangente. Las formas geométricas son tangentes cuando comparte un sólo punto común.Las geometría estudia varios casos de tangencia.

1) Líneas tangentes a una circunferencia. Una línea es tangente a una circunferencia cuando hay un sólo punto común entre ambas.

Siempre ocurre que el radio para un punto de la circunferencia es perpendicular a la tangente en ese punto.

Se ve que el radio r es perpendicular a la línea m en el punto T.

C - Centro de la circunferencia.

r - Radio de la circunferencia para el punto T.

T - Punto de tangencia.

m - línea tangente a la circunferencia.T

C mr

1) Lineas tangentes a una circunferencia desde un punto externo. ¿Cómo dibujar líneas tangentes a una circunferencia desde un punto exterior a la misma?

P

C

PM

C

T1

T2

segm

ent b

isect

or o

f CP

PM

C

segm

ent b

isect

or o

f CP

PM

C

T1

t1

T2

t2se

gmen

t bise

ctor

of C

P

1 2

43

1) Circunferencia con centro C y punto exterior P.

2) Mediatriz del segmento CP. Se ob ene el punto medio M.

3) Arco con radio MC y centro C, tal que obtenemos T1 y T2.

4) T1 y T2 son los puntos de tangencia.

Si unimos P con T1 y T2 obtenemos las líneas tangentes t1 y t2, que son la solución.

Dado que las líneas t1 y t2 son la solución, las repasamos con lápiz HB, para un mayor grosor.

Ver que t1 y t2 son líneas, y por tanto son nombradas con letras minúsculas.El color magenta se solo orienta vo.

En una lámina todo sería grafi to.

Hazlo tú mismo:dibuja las líneas tangentes a la circunferencia de centro C desde el punto externo P.

P C

Hazlo tú mismo:dibuja las líneas tangentes a la circunferencia de centro C desde el punto externo P.

Q

O

3) Circunferencias tangentes y circunferencias secantes. Vamos a estudiar cinco posiciones básicas entre circunferencias:I) Circunferencias tangentes externas.

PROPIEDAD DE TANGENCIASLa línea que conecta los centros O1 y O2 siempre pasa por el punto de tangencia T.

PROPIEDAD DE TANGENCIASLa línea que conecta los centros O1 y O2 siempre pasa por el punto de tangencia T.

PROPIEDAD DE TANGENCIASLa línea r, que conecta los puntos P y Q, es perpendicular a la línea m, que conecta los centros O1 y O2.

Las circunferencias 1 y 2 son tangentes exteriores porque comparten solo un punto en común (T) y ambas están la una fuera de la otra.

Las circunferencias 1 y 2 son tangentes interiores porque comparten solo un punto en común (T) y una de ellas está dentro de la otra.

Las circunferencias 1 y 2 son secantes porque comparten dos puntos en común (P y Q), tal que hay un área común entre ambas.

II) Circunferencias tangentes internas. III) Circunferencias secantes.

1

O1O1T

2

O2

T

22

2

1 1

1

O1 O2

Pm

r

P

Q

Q

La línea tangente t es perpendiculara a la línea de O1O2.

La línea tangente t es perpendiculara a la línea de O1O2.

1

O1O1

T

t t

2

O2O2

2

1

IV) Circunferencias exteriores.

Las circunferencias 1 y 2 son exteriores porque no comparten ningún punto en común.

Las circunferencias 1 y 2 son concéntricas porque comparten el mismo centro.

V) Circunferencias concéntricas.

1

O1O1≡ O2

2

O2

2

1

EJERCICIO 1:Dibuja cuatro circunferencias concéntricas.

EJERCICIO 2:Dibuja cuatro circunferencias secantes.

EJERCICIO 3:Vuele va dibujar las circunferencias 1 y 2, tal que sean tangentes externas.

EJERCICIO 4:Vuelve a dibujar las circunferencias 1 y 2 tal que sean tangentes interiores.

1 12 2

O1 O1O2 O2

EJERCICIO 5:Dibuja una composición similar de circunferencias tangentes exteriores.

EJERCICIO 6:Dibuja una composición similar de circunferencias tangentes interiores..

O1

O2

T12

T23

T34

T13

T12

O3

O4

O3

O2

O11

2

3

VOLUMENHay una forma de colorear las circunferencias para que parezcan esferas.

Se trata de colorear anillos elíp cos. Los anillos más oscuros son los correspondientes a la sombra.Los anillos más claros son los correspondientes a las zonas de luz y brillo.

Colorea los anillos de esta circunferencia para que parezca una esfera.Puedes u lizar cualquier color.Hay que controlar la presión ejercida para los niveles de luz.

CIRCUNFERENCIAS TANGENTESLos siguientes dibujos representan posibles formas de relacionar circunferencias.

Algunas prác cas sobre tangencias.

a) Circunferencias tangentes exteriores.

EJERCICIOU liza monedas o tapones redondos para dibujar dos circunferencias diferentes que sean tangentes exteriores.

EJERCICIOU liza monedas o tapones redondos para dibujar dos circunferencias diferentes que sean tangentes interiores.

EJERCICIOU liza monedas o tapones redondos para dibujar dos circunferencias diferentes que sean secantes.

Las circunferencias 1 y 2 son tangentes exteriores porque solo se tocan en un punto y quedan una fuera de la otra.

Las circunferencias 1 y 2 son tangentes interiores porque solo se tocan en un punto y quedan una dentro de la otra.

Las circunferencias 1 y 2 son secantes porque se cortan y enen dos puntos en común.

b) Circunferencias tangentes interiores. c) Circunferencias secantes.

1

22

21 1

EJERCICIOEscribe qué po de circunferencias se da en cada caso.

Circunferencias _______________ Circunferencias _______________ Circunferencias _______________

Circunferencias _______________

Circunferencias _______________

Circunferencias _______________

Circunferencias _______________

Circunferencias _______________

Circunferencias _______________

VOLUMENHay una forma de colorear las circunferencias para que parezcan esferas.

Se trata de colorear anillos elí cos. Los anillos más oscuros son los correspondientes a la sombra.Los anillos más claros son los correspondientes a las zonas de luz y brillo.

Colorea los anillos de esta circunferencia para que parezca una esfe-ra.Puedes u lizar cualquier color.Hay que controlar la presión ejercida para los niveles de luz.

Crea tu propio personaje u lizando circunferencias.Puedes u lizar monedas, tapones u otros objetos circulares para dibujar tu personaje.