TALLER 2CALCULO MULTIVARIADO

CURVAS

1. Grafique la curva con la ecuacion vectorial dada. Indique con flechas la direccion a la cua se incre-menta.

a) r(t) = sen ti+ tj

b) r(t) = t3i+ t2j

c) r(t) = ti+ cos 2tj + sen 2tk

d) r(t) = (1 + t)i+ 3tj − tke) r(t) = t2i+ ln tj + tk

2. Repaso de algebra lineal. Determinar los objetos geometricos que se solicitan a continuacion:

a) Sea u = (1, 2, 3) y v = (−1, 1, 0). Halle la ecuacion parametrica de la recta que pasa por esosdos puntos.

b) Sea u = (1, 0, 1) y v = (2, 3, 1). Halle la ecuacion parametrica de la recta que pasa por esosdos puntos.

c) Halle la ecuacion del plano que pasa por el punto (−2, 0, 1) y cuyo vector normal es n =(1,−4, 1).

d) Halle la ecuacion del plano que pasa por los tres puntos A(1, 1,−3), B(2,−1, 0), C(−1,−1, 4).

e) Halle la ecuacion de la recta que pasa por (4,−3, 8) y cuyo vector director es v = (1, 5, 9)

3. Resuelve o demuestra, segun sea el caso:

a) Demuestra que la curva cuyas ecuaciones parametricas son x(t) = t2, y(t) = 1−3t, z(t) = 1+t3

pasa por los puntos (1, 4, 0) y por (9,−8, 28) pero no pasa por (4, 7,−6)

b) Demuestra qued

dt[r(t)× r′(t)] = r(t)× r′′(t)

c) Si r(t) 6= 0, demuestra qued

dt=

1

‖r(t)‖r(t) · r′(t)

d) Si una curva tiene la propiedad de que el vector posicion r(t) siempre es perpendicular alvector tangente r′(t), demuestre que la curva queda sobre una esfera con centro en el origen.

4. Determina el vector tangente unitario en el instante t indicado. Ademas determina si la curva essuave o no.

a) r(t) = te−ti+ 2 tan−1 tj + 2etk, t = 0

b) r(t) = 4√ti+ t2j + tk, t = 1

c) r(t) = cos ti+ 3tj + 2 sen 2tk, t = 0

d) r(t) = 2 sen ti+ 2 cos tj = tan tk, t =π

2

5. Halla la longitud de arco de las siguientes curvas, generadas en el intervalo indicado:

a) r(t) = 2 sen ti+ 5tj + 2 cos t, −10 ≤ t ≤ 10

b) r(t) = 2ti+ t2j + 13 t

3k, 0 ≤ t ≤ 1

c) r(t) =√

2ti+ etj + e−tk, 0 ≤ t ≤ 1

d) r(t) = cos ti+ sen tj + ln(cos t)k, 0 ≤ t ≤ π4

e) s(t) = i+ t2j + t3k, 0 ≤ t ≤ 1

f ) s(t) = cos3 ti+ sen3 tj, 0 ≤ t ≤ π2

g) s(t) = et sen ti+ et cos tj, 0 ≤ t ≤ 1

h) s(t) = 12ti+ 8t32 j + 3t2k, 0 ≤ t ≤ 1

i) r(t) = (√t, t, t2), 1 ≤ t ≤ 4

j ) r(t) = (t, ln t, t ln t), 1 ≤ t ≤ 2

k) r(t) = (sen t, cos t, tan t), 0 ≤ t ≤ π4

6. Suponga que una partıcula se mueve a lo largo de la curva r(t) = (3 sen t, 4t, 3 cos t) Empieza en elpunto (0, 0, 3) y recorre exactamente 5 unidades. En donde esta en ese momento?

7. Halle la curvatura de las funciones vectoriales siguientes. Use WxMaxima para graficarlas y halleel valor de sus curvaturas para t = 1. Compare con la grafica.

a) r(t) = (2 sen t, 5t, 2 cos t)

b) r(t) = (t2, sen t− t cos t, cos t+ t sen t)

c) r(t) =√

2ti+ etj + e−tk

d) r(t) = ti+ 12 t

2j + t2k

e) r(t) = t2i+ tj

f ) r(t) = ti+ tj + (1 + t2)k

g) s(t) = (3t, 4 sen t, 4 cos t)

h) r(t) = (et cos t, et sen t, t) en el punto (1, 0, 0)

i) s(t) = (t, t2, t3) en el punto (1, 1, 1)

8. Demuestre que una circunferencia tiene curvatura constante. Si el radio de dicha circunferencia esigual a a > 0. Analice los valores de la curvatura si a tiende a cero, o si aumenta desmesurada.

9. Determina en donde, las siguientes funciones tienen curvatura maxima. Analice esta curvaturacuando x→∞

a) y = lnx

b) y = ex