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Interes Simple y Compuesto
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Universidad de San Carlos de GuatemalaFacultad de Ciencias Económicas Escuela de AuditoríaSeminario de Integración ProfesionalJornada Fin de Semana
FASE ITRABAJO No. 7 - INTERÉS SIMPLE E INTERÉS COMPUESTO
GRUPO No. 3Salón 105, Edificio S-6
Guatemala, enero 2014
ÍNDICE
INTRODUCCIÓN I
CAPÍTULO IMATEMÁTICA FINANCIERA
1.1. Antecedentes 11.1.1. Etimología de la palabra matemáticas 1
1.1.2. Origen y evolución de las matemáticas 2
1.1.3. Las matemáticas como ciencia 3
1.2. Matemática Financiera 51.2.1. Matemática 5
1.2.2. Financiero 6
1.2.3. Matemática Financiera 6
1.2.4. Origen y Evolución de la Matemática Financiera 7
1.3. Operaciones Financieras 91.3.1. Concepto 9
1.3.2. Elementos 10
1.3.3. Clases 11
1.3.4. Rédito y tanto de interés 12
CAPÍTULO IIINTERÉS SIMPLE
2.1. Conceptos Generales 142.1.1. Interés o rendimiento 14
2.1.2. Aplicación del Interés 14
2.1.3. Interés Simple 15
2.2. Explicación del Cálculo del interés simple 152.3. Ejemplos 18
CAPÍTULO IIIINTERÉS COMPUESTO
3.1. Conceptos Generales 203.2. ¿Qué es interés compuesto? 223.3. Ejemplos 23
CAPÍTULO IVRESOLUCIÓN DE EJERCICIOS DE INTERÉS SIMPLE Y COMPUESTO
CASO PRÁCTICO
4.1. Interés simple 244.2. Interés compuesto 32
CONCLUSIONES 40RECOMENDACIONES 41BIBLIOGRAFÍA 42ANEXO 43
ÍNDICE DE TABLAS
Tabla No. Pág.1 Simbología de Interés compuesto 152 Ilustración de estandarización de datos 163 Ilustración de los cuatro métodos de sustitución del
factor “n”17
INTRODUCCIÓN
Según historiadores, desde las épocas primarias, incluso antes que existieran
registros hechos por el hombre, evidencia dibujos en cuevas de África que
demuestran un conocimiento básico de matemáticas, ya sea por la necesidad de
medir el tiempo o el conteo de sus pertenencias.
A medida que el tiempo y las necesidades del hombre evolucionan, así mismo
evolucionan las ciencias. Las matemáticas pueden ser muy fáciles desde el
aprender uno más uno en primer grado hasta determinar cuál es el resultado de
una ecuación cuadrática o hasta la misma utilizada en las complejas invenciones
de la NASA. Esto demuestra la importancia de la matemática en el desarrollo de
la humanidad, pues es necesaria para todas las actividades.
Sin embargo, para un profesional de las Ciencias Económicas y más aún para
un Contador Público y Auditor, es de vital importancia el entendimiento y dominio
de esta ciencia, especialmente de aquéllas actividades financieras.
El conocimiento de la matemática financiera es importante tanto a nivel personal
como profesional, si se está considerando la adquisición de una vivienda con un
préstamo hipotecario, un préstamo prendario para iniciar una inversión, o el
inicio de un fondo de ahorro y determinar con qué monto contar a cierto tiempo,
surgirán conceptos como anualidades, cuotas, capital, interés, monto; todos
estos conceptos son elementos básicos del interés simple y el interés
compuesto.
Al hablar de una operación financiera en la mayoría de ocasiones, se originarán
intereses, los cuales son el producto del trabajo de determinada cantidad de
dinero, al decir del trabajo, se refiere a el otorgamiento de préstamos o
inversiones.
Por lo tanto, el presente informe ha sido divido en cuatro capítulos los cuales se
detallan de la siguiente forma:
El capítulo I, se basa en las generalidades de la matemática financiera, sus
antecedentes y la evolución, los conceptos generales, las ramas de la
matemática, así como una breve descripción de las operaciones financieras más
comunes.
El capítulo II contiene la explicación teórica de la aplicación básica del interés
simple así como algunos ejemplos de dichas operaciones.
El capítulo III explica la diferencia entre el interés simple y el interés compuesto,
así como aporta la explicación teórico-práctica de esta variante del interés.
Finalmente en el capítulo IV se presenta la resolución de 15 problemas de
interés simple y 15 problemas de interés compuesto.
ii
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Interés Simple e Interés Compuesto
CAPÍTULO IMATEMÁTICA FINANCIERA
1.1. Antecedentes 1.1.1. Etimología de la palabra matemáticas“La palabra matemática (del griego μαθηματικά, cosas que se aprenden) viene
del griego antiguo μάθημα (máthēma), que quiere decir “campo de estudio o
instrucción”. El significado se contrapone a μουσική (musiké) lo que se puede
entender sin haber sido instruido, que refiere a poesía, retórica y campos
similares, mientras que μαθηματική se refiere a las áreas del conocimiento que
sólo pueden entenderse tras haber sido instruido en las mismas
(astronomía, aritmética). Aunque el término ya era usado por
los pitagóricos (matematikoi) en el siglo VI a. C., alcanzó su significado más
técnico y reducido de estudio matemático en los tiempos de Aristóteles (siglo
IV a. C.). Su adjetivo es μαθηματικός (mathēmatikós), relacionado con el
aprendizaje, lo cual, de manera similar, vino a significar matemático. En
particular, μαθηματική τέχνη (mathēmatikḗ tékhnē; en latín ars mathematica),
significa el arte matemática.
La forma más usada es el plural matemáticas, que tiene el mismo significado
que el singular y viene de la forma latina mathematica (Cicerón), basada en el
plural en griego τα μαθηματικά (ta mathēmatiká), usada por Aristóteles y que
significa, a grandes rasgos, todas las cosas matemáticas. Algunos autores, sin
embargo, hacen uso de la forma singular del término; tal es el caso de Bourbaki,
en el tratado Élements de mathématique (Elementos de matemática), (1940),
destaca la uniformidad de este campo aportada por la visión axiomática
moderna, aunque también hace uso de la forma plural como en Éléments
d'histoire des mathématiques (Elementos de historia de las matemáticas) (1969),
posiblemente sugiriendo que es Bourbaki quien finalmente realiza la unificación
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de las matemáticas. Así mismo, en el escrito L'Architecture des
mathématiques (1948) plantea el tema en la sección “Matemáticas, singular o
plural” donde defiende la unicidad conceptual de las matemáticas aunque hace
uso de la forma plural en dicho escrito.” 1
1.1.2. Origen y evolución de las matemáticas“Históricamente, las matemáticas surgieron con el fin de hacer los cálculos en el
comercio, para medir la tierra y para predecir los acontecimientos astronómicos.
Estas tres necesidades pueden ser relacionadas en cierta forma con la
subdivisión amplia de las matemáticas en el estudio de la estructura, el espacio
y el cambio.
El estudio de la estructura comienza con los números, inicialmente los números
naturales y los números enteros. Las reglas que dirigen las operaciones
aritméticas se estudian en el álgebra elemental, y las propiedades más
profundas de los números enteros se estudian en la teoría de números. La
investigación de métodos para resolver ecuaciones lleva al campo del álgebra
abstracta. El importante concepto de vector, generalizado a espacio vectorial, es
estudiado en el álgebra lineal, y pertenece a las dos ramas de la estructura y el
espacio. El estudio del espacio origina la geometría, primero la geometría
euclídea y luego la trigonometría.
La comprensión y descripción del cambio en variables mensurables es el tema
central de las ciencias naturales, y el cálculo. Para resolver problemas que se
dirigen en forma natural a relaciones entre una cantidad y su tasa de cambio, y
de las soluciones a estas ecuaciones, se estudian las ecuaciones diferenciales.
1 (2013, 01). Etimología de las matemáticas. Wikipedia.org. Recuperado 01, 2013, de http://es.wikipedia.org/wiki/Matem%C3%A1ticas#Etimolog.C3.ADa
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Los números usados para representar las cantidades continuas son los números
reales. Para estudiar los procesos de cambio se utiliza el concepto de función
matemática.
Los conceptos de derivada e integral, introducidos por Newton y Leibniz, juegan
un papel clave en este estudio, que se denomina análisis. Por razones
matemáticas, es conveniente para muchos fines introducir los números
complejos, lo que da lugar al análisis complejo.
El análisis funcional consiste en estudiar problemas cuya incógnita es una
función, pensándola como un punto de un espacio funcional abstracto.
Un campo importante en matemáticas aplicadas es la probabilidad y
la estadística, que permiten la descripción, el análisis y la predicción de
fenómenos que tienen variables aleatorias y que se usan en todas las ciencias.”2
1.1.3. Las matemáticas como ciencia“Carl Friedrich Gauss se refería a la matemática como “la reina de las ciencias”.
Tanto en el latín original Scientiarum Regina, así como en alemán Königin der
Wissenschaften, la palabra ciencia debe ser interpretada como (campo de)
conocimiento. Si se considera que la ciencia es el estudio del mundo físico,
entonces las matemáticas, o por lo menos las matemáticas puras, no son una
ciencia.
Muchos filósofos creen que las matemáticas no son experimentalmente
falseables, y, por tanto, no es una ciencia según la definición de Karl Popper. No
obstante, en la década de 1930 una importante labor en la lógica matemática
demuestra que las matemáticas no puede reducirse a la lógica, y Karl Popper
llegó a la conclusión de que “la mayoría de las teorías matemáticas son, como
2 (2013, 01). Origen y evolución de las matemáticas. Wikipedia.org. Recuperado 01, 2013, de http://es.wikipedia.org/wiki/Matem%C3%A1ticas#Etimolog.C3.ADa
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las de física y biología, hipotético-deductivas. Por lo tanto, las matemáticas
puras se han vuelto más cercanas a las ciencias naturales cuyas hipótesis son
conjeturas, así ha sido hasta ahora”. Otros pensadores, en particular Imre
Lakatos, han solicitado una versión de Falsacionismo para las propias
matemáticas.
Una visión alternativa es que determinados campos científicos (como la física
teórica) son matemáticas con axiomas que pretenden corresponder a la realidad.
De hecho, el físico teórico, J. M. Ziman, propone que la ciencia es “conocimiento
público” y, por tanto, incluye a las matemáticas. En cualquier caso, las
matemáticas tienen mucho en común con muchos campos de las ciencias
físicas, especialmente la exploración de las consecuencias lógicas de las
hipótesis. La intuición y la experimentación también desempeñan un papel
importante en la formulación de conjeturas en las matemáticas y las otras
ciencias. Las matemáticas experimentales siguen ganando representación
dentro de las matemáticas. El cálculo y simulación están jugando un papel cada
vez mayor tanto en las ciencias como en las matemáticas, atenuando la objeción
de que las matemáticas no se sirven del método científico. En 2002 Stephen
Wolfram sostiene, en su libro Un nuevo tipo de ciencia, que la matemática
computacional merece ser explorada empíricamente como un campo científico.
Las opiniones de los matemáticos sobre este asunto son muy variadas. Muchos
matemáticos consideran que llamar a su campo ciencia es minimizar la
importancia de su perfil estético, además supone negar su historia dentro de las
siete artes liberales. Otros consideran que hacer caso omiso de su conexión con
las ciencias supone ignorar la evidente conexión entre las matemáticas y sus
aplicaciones en la ciencia y la ingeniería, que ha impulsado considerablemente
el desarrollo de las matemáticas. Otro asunto de debate, que guarda cierta
relación con el anterior, es si la matemática fue creada (como el arte) o
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descubierta (como la ciencia). Este es uno de los muchos temas de incumbencia
de la filosofía de las matemáticas.
Los premios matemáticos se mantienen generalmente separados de sus
equivalentes en la ciencia. El más prestigioso premio dentro de las matemáticas
es la Medalla Fields, fue instaurado en 1936 y se concede cada cuatro años. A
menudo se le considera el equivalente del Premio Nobel para la ciencia. Otros
premios son el Premio Wolf en matemática, creado en 1978, que reconoce el
logro en vida de los matemáticos, y el Premio Abel, otro gran premio
internacional, que se introdujo en 2003. Estos dos últimos se conceden por un
excelente trabajo, que puede ser una investigación innovadora o la solución de
un problema pendiente en un campo determinado. Una famosa lista de esos 23
problemas sin resolver, denominada los “Problemas de Hilbert”, fue recopilada
en 1900 por el matemático alemán David Hilbert. Esta lista ha alcanzado gran
popularidad entre los matemáticos y, al menos, nueve de los problemas ya han
sido resueltos. Una nueva lista de siete problemas fundamentales, titulada
“Problemas del milenio”, se publicó en 2000. La solución de cada uno de los
problemas será recompensada con 1 millón de dólares. Curiosamente, tan solo
uno (la hipótesis de Riemann) aparece en ambas listas.”3
1.2. Matemática Financiera4
1.2.1. MatemáticaLa matemática es una ciencia orientada al estudio de las propiedades de
las entidades abstractas y de sus vínculos. Su objeto de interés son
los símbolos, las figuras geométricas y los números.
3 (2013, 01). La matemática como ciencia. Wikipedia.org. Recuperado 01, 2013, de http://es.wikipedia.org/wiki/Matem%C3%A1ticas#Etimolog.C3.ADa4 Editorial educativa (s.f); Cálculo Mercantil y Financiero. (pp. 37-45)
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1.2.2. FinancieroCon origen en el francés financier, es aquello relacionado con asuntos de
la bolsa o de los bancos, los negocios más grandes del mercado, o con
la Hacienda pública.
1.2.3. Matemática FinancieraEstas dos definiciones nos permiten comprender las bases de las matemáticas
financieras, que se centran en el estudio de las operaciones de tipo financiero. El
concepto de operación financiera refiere al reemplazo de uno o de
varios capitales por otro u otros que tengan equivalencias en distintos periodos
temporales, a través de la entrada en vigencia de la legislación financiera.
Las operaciones financieras pueden ser simples (que involucren un único
capital) o complejas (las rentas, que suponen pagos en etapas o continuados:
por ejemplo, una cuota).
Tomemos el caso de un banco que concede un préstamo de 8.000 dólares a un
cliente. La entidad bancaria realizará un pago inicial que será su único
desembolso, mientras que cobrará periódicamente una cuota de devolución del
préstamo, que estará determinada por la suma del capital más los intereses. El
cliente, en cambio, recibirá un cobro inicial (los 8.000 dólares), pero tendrá que
pagar cuotas de manera periódica.
La operación financiera, en este caso, incluye la sustitución de capital (el
préstamo por las cuotas) a partir de la aplicación de una ley financiera (un
acuerdo sobre el establecimiento de los importes) que genera una equivalencia.
Las matemáticas financieras, pues, analizan estos cálculos.
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1.2.4. Origen y Evolución de la Matemática FinancieraLas matemáticas han sido aplicadas a muchas áreas de las finanzas a través de
los años. No hay mucha información acerca de la historia de las matemáticas
financieras, ni de cuál era el problema que se intentaba solucionar con ellas, lo
que se cree es que se dieron como un desarrollo involuntario, pero necesario,
que complementaba algunas transacciones comerciales o determinados pagos,
por ejemplo los que habían de realizar los aldeanos a sus señores feudales en la
época del feudalismo en Europa. Las matemáticas financieras aparecieron
inicialmente con los intereses, se cree que "alguien" se dio cuenta que si otro le
debía dinero, vacas, cabras o lo que fuera, él debía recibir una compensación
por el tiempo que esta persona tardara en cancelar la deuda.
En la segunda mitad del siglo XX hemos asistido a una notable evolución de la
economía financiera, que sólo ha sido posible mediante la aplicación sistemática
y con intensidad creciente del pensamiento matemático. Una vez más, las
matemáticas han permitido formular con rigor los principios de otra ciencia, y han
proporcionado un método de análisis que conduce al establecimiento de
propiedades y relaciones que, lejos de ser triviales, incorporan un alto nivel de
complejidad, son fáciles de contrastar desde el punto de vista empírico y tienen
aplicación práctica inmediata.
La prueba más clara de lo anterior se encuentra en la teoría de los mercados
financieros, los planteamientos de Markowitz, Sharpe, Fama, Black, Scholes y
Merton, entre otros muchos, cambiaron radicalmente los análisis que se hacían
hasta entonces. Este nuevo enfoque, que coincide con el nacimiento de la teoría
de los mercados eficientes, permite que disciplinas como la teoría de la
optimización, el cálculo de probabilidades, el cálculo estocástico, la teoría de
ecuaciones diferenciales y en derivadas parciales, pasen a ser de vital
importancia en el estudio de problemas de valoración de activos financieros,
selección de inversiones o equilibrio en los mercados de capitales.
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Otro paso importante se da cuando Ross introduce el concepto de arbitraje,
verdadera piedra angular en el estudio de la valoración de activos y el equilibrio
de mercados. Fueron numerosos economistas y matemáticos los que
consiguieron extender este concepto y caracterizar la ausencia de arbitraje a
través de la existencia de funciones lineales de valoración neutral al riesgo o la
teoría de la martingala. Vemos que disciplinas como el análisis funcional o la
teoría de la medida pasan a jugar un papel esencial para probar resultados
fundamentales de la economía financiera.
Un mundo como el financiero, en constante crecimiento y evolución, está
generando problemas que tienen cada vez mayor complejidad. Hoy nos
encontramos ante cuestiones que tienen un gran contenido matemático y del
máximo interés para las instituciones financieras, quienes se encuentran ante
una competitividad muy intensa, un mercado con márgenes cada vez menores y
un mundo sin fronteras. Temas como la gestión y medición de riesgos, el riesgo
de crédito, la valoración de nuevos activos o la valoración de nuevos derivados
con subyacente no negociable (temperaturas, catástrofes naturales, sequías), no
almacenable (electricidad) o al menos no financiero (mercancías) presenta cada
vez más dificultades matemáticas.
Finalmente, la teoría de mercados financieros está motivando el desarrollo de
otras partes de la economía financiera (finanzas empresariales, gestión de
tesorería, mercados emergentes etc.) en las que también hay un alto contenido
en formulación y razonamiento matemático. Por consiguiente, desde el análisis
funcional hasta el cálculo de probabilidades, todas las ramas que constituyen la
matemática han jugado un papel esencial en el proceso de desarrollo de la
economía financiera.
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1.3. Operaciones Financieras1.3.1. ConceptoSe entiende por operación financiera la sustitución de uno o más capitales por
otro u otros equivalentes en distintos momentos de tiempo, mediante la
aplicación de una ley financiera.
En definitiva, cualquier operación financiera se reduce a un conjunto de flujos de
caja (cobros y pagos) de signo opuesto y distintas cuantías que se suceden en
el tiempo. Así, por ejemplo, la concesión de un préstamo por parte de una
entidad bancaria a un cliente supone para este último un cobro inicial (el importe
del préstamo) y unos pagos periódicos (las cuotas) durante el tiempo que dure la
operación. Por parte del banco, la operación implica un pago inicial único y unos
cobros periódicos.
La realización de una operación financiera implica, por tanto, que se cumplan
tres puntos:
1. Sustitución de capitales. Ha de existir un intercambio de un(os) capital
(es) por otro(s).
2. Equivalencia. Los capitales han de ser equivalentes, es decir, debe
resultar de la aplicación de una ley financiera.
3. Aplicación de una ley financiera. Debe existir acuerdo sobre la forma de
determinar el importe de todos y cada uno de los capitales que
compongan la operación, resultado de la consideración de los intereses
generados.
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1.3.2. Elementosa) PersonalesEn una operación financiera básica interviene un sujeto (acreedor) que pone a
disposición de otra (deudor) uno o más capitales y que posteriormente
recuperará, incrementados en el importe de los intereses.
La acción de entregar por parte del acreedor y de recibir por parte del deudor se
considerará la prestación de la operación financiera. La operación concluirá
cuando el deudor termine de entregar al acreedor el capital (más los intereses);
a esta actuación por ambas partes se le denomina la contraprestación de la
operación financiera.
En toda operación financiera las cantidades entregadas y recibidas por cada una
de las partes no coinciden. El aplazamiento (o adelantamiento) de un capital en
el tiempo supone la producción de intereses que formarán parte de la operación
y que habrá que considerar y cuantificar. Por tanto, prestación y
contraprestación nunca son aritméticamente iguales. No obstante, habrá una ley
financiera que haga que resulten financieramente equivalentes, es decir, que si
valorásemos prestación y contraprestación en el mismo momento, con la misma
ley y con el mismo tanto, entonces sí se produciría la igualdad numérica entre
ambas.
Tanto la prestación como la contraprestación pueden estar formadas por más de
un capital que incluso se pueden solapar en el tiempo.
b) TemporalesAl momento de tiempo donde comienza la prestación de la operación financiera
se le denomina origen de la operación financiera. Donde concluye la
contraprestación de la operación financiera se le llama final de la operación
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financiera. Al intervalo de tiempo que transcurre entre ambas fechas se le
denomina duración de la operación financiera, durante el cual se generan los
intereses.
c) ObjetivosLa realización de la operación financiera exige un acuerdo sobre aspectos tales
como: la cuantía del capital de partida, la ley financiera que se va a emplear y,
finalmente, el tanto de interés (coste/ganancia) unitario acordado.
1.3.3. Clasesa) Según la duración
A corto plazo: la duración de la operación no supera el año.
A largo plazo: aquellas con una duración superior al año.
b) Según la ley financiera que opera Según la generación de intereses:
o En régimen de simple: los intereses generados en el pasado no se
acumulan y, por tanto, no generan, a su vez, intereses en el futuro.
o En régimen de compuesta: los intereses generados en el pasado sí
se acumulan al capital de partida y generan, a su vez, intereses en
el futuro.
Según el sentido en el que se aplica la ley financiera:
o De capitalización: sustituye un capital presente por otro capital
futuro.
o De actualización o descuento: sustituye un capital futuro por otro
capital presente.
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c) Según el número de capitales de que consta Simples: constan de un solo capital en la prestación y en la
contraprestación.
Complejas (o compuestas): cuando constan de más de un capital en la
prestación y/o en la contraprestación.
1.3.4. Rédito y tanto de interésSe entiende por rédito (r) el rendimiento generado por un capital. Se puede
expresar en tanto por cien (%), o en tanto por uno.
Si en el momento t1 disponemos de un capital Q y éste se convierte en un
capital C2 en un determinado momento t2, el rédito de la operación será:
r =C2 -
C1
C1
Sin embargo, aunque se consideran las cuantías de los capitales inicial y final,
no se tiene en cuenta el aspecto temporal, es decir, en cuánto tiempo se ha
generado ese rendimiento. Surge la necesidad de una medida que tenga en
cuenta el tiempo: el tanto de interés (i).
Se define el tipo de interés (i) como el rédito por unidad de tiempo, es decir:
C2 -
C1
i = r = C1
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T2 - T1 T2 - T1
Rédito y tanto coincidirán cuando el intervalo de tiempo es la unidad.
Ejemplo:
Un capital de 1.000 euros se sustituye hoy por otro de 1.100 disponible dentro
de un año. ¿Cuál es el rédito de la operación? ¿Y el tanto de interés anual?
r =1.100-1.000
= 0.1 = 10%1.000
1.100-1.000
i =1.000
= 0.1 = 10%1 -0
Pero si la operación dura 2 años:
r =1.100-1.000
= 0.1 = 10%1.000
1.100-1.000
i =1.000
= 0.1 = 5%2 - 0
Por lo tanto, el rédito permanece constante ante variaciones del horizonte
temporal, no ocurriendo lo mismo con el tipo de interés que es, permaneciendo
invariable el resto de elementos, inversamente proporcional al plazo de la
operación.
CAPÍTULO IIINTERÉS SIMPLE
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2.1. Conceptos generales2.1.1. Interés o rendimientoEl interés en materia financiera, según el diccionario de la Real Academia
Española de la Lengua, es el lucro producido por el capital.
Se dice que el interés es un índice, el cual es utilizado para medir la rentabilidad
de los ahorros o también el costo de un crédito. Se expresa generalmente como
un porcentaje.
Dada una cantidad de dinero y un plazo o término para su devolución o su uso,
el tipo de interés indica qué porcentaje de ese dinero se obtendría como
beneficio, o en el caso de un crédito, qué porcentaje de ese dinero habría que
pagar. Es habitual aplicar el interés sobre períodos de un año, aunque se
pueden utilizar períodos diferentes como un mes o el número días. El tipo de
interés puede medirse como el tipo de interés nominal o como la tasa anual
equivalente. Ambos números están relacionados aunque no son iguales.
Por lo tanto el interés es el rendimiento del capital entregado en calidad
préstamo, o bien un capital.
2.1.2. Aplicación del InterésLas aplicaciones que conlleva el interés son múltiples, las cuales van desde el
simple pago de interés a aquellas en donde existe la capitalización.
En la actualidad el interés es aplicable a las siguientes actividades financieras:
Depósitos a término fijo.
La inflación.
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Devaluación.
Préstamos bancarios.
El uso de compras al crédito por medio de tarjetas de casa de crédito.
2.1.3. Interés SimpleEs claro que el interés es la ganancia como tal de del manejo de un capital. El
interés simple como se conoce comúnmente se puede definir como aquél
rendimiento que es calculado siempre por el capital original, dicho capital
permanecerá invariable durante todo el tiempo o plazo de la operación. Por lo
tanto, el rendimiento que se obtiene cada periodo es el mismo.
2.2. Explicación del cálculo del interés simple Previo a desarrollar la explicación de la aplicación del interés simple, a
continuación se presenta la simbología así como es significado de la misma:
Tabla No. 1Simbología de Interés compuesto
Fuente: Elaboración propia
Principal o Capital: Es el dinero sobre el que se aplica el interés
El tiempo: período durante el que se presta el dinero
Tasa de interés: medida de cobro o pago que se utiliza, se expresa en forma
porcentual, por ejemplo 7%, 10%.
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Símbolo SignificadoP Capital o Principal
N Plazo o tiempo
I Tasa de interés
I Interés
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Interés: es el rendimiento recibido, que es el valor expresado en moneda
local.
La fórmula básica para su cálculo es la siguiente:
I=Pni
La forma de calcular el interés simple es verdaderamente sencilla, una vez
teniendo claro los simbología únicamente se deben tomar los valores y
reemplazarlo en la fórmula. Sin embargo se deberá estandarizar u homogenizar
los factores, es decir de todos los elementos sobre la misma base. Por ejemplo:
Tabla No. 2Ilustración de estandarización de datos
Datos EstandarizaciónCapital de Q 15,000.00 P= Q 15,000.00
Deuda de Q 25.5 miles P= Q 25,500.00
Plazo de 8 años n= 8
Plazo de 8 meses N=8/12 ó 0.666666666
Fuente: Elaboración propia
Existen algunas variables que se pueden presentar en el cálculo del interés
simple, a continuación se presentará la explicación de cada una de ellas:
a. Sustitución de la variable “n”, cuando el plazo es menor a un año
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17Grupo No. 3
Interés Simple e Interés Compuesto
Existen cuatro métodos para la determinación del tiempo, cuando este es
menor a un año, sin embargo lo que se debe considerar es el ámbito en el cual
se estará aplicando, los métodos son:
Tabla No. 3Ilustración de los cuatro métodos de sustitución del factor “n”
Método Factor ExplicaciónExacto n=t/365 t=número exacto de días entre las fechas
Ordinario n=t/360 h=número de días entre fechas considerando
todos los meses de 30 díasDe las obligaciones
n=h/360
Mixto n=h/365
h=366
Fuente: Elaboración propia
Para el cálculo de los días entre fechas intermedias, se debe considerar que se
debe incluir el día de la apertura de la cuenta o entrega de fondos y se debe
excluir la fecha de vencimiento de la obligación.
Por ejemplo: Del 15 de enero al 18 de septiembre del 2014:
t=31-15+16+28+31+30+31+30+31+31+18=246 días
b. Cálculo del principal, tasa de interés o tiempoEs posible que sea necesario partir del valor del interés, para determinar
cualquiera de los otros elementos que intervienen, por lo tanto para determinar
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18Grupo No. 3
Interés Simple e Interés Compuesto
la fórmula a aplicar, se deberá despejar la fórmula básica, descrita
anteriormente.
c. Cálculo del monto (S)El monto es el la suma del capital más los intereses, la simbología a aplicar
será la misma, sin embargo la fórmula es la descrita a continuación:
S=P (1+ni)
2.3. Ejemplos2.3.1. Se desea saber, qué cantidad producirá de interés un capital de Q575,
000.00, invertido durante 12 meses a una tasa de interés del 4% de
interés trimestral.
DatosI = ? I = PinP = 575,700.00Q I = 575,700.00Q * 0.16 * 1n = 1 año I = 92,112.00Q i = 4% tirmestral = 0.04*4 = 0.16
2.3.2. ¿Qué capital es necesario depositar en un banco del sistema, que abona
el 3% de interés simple mensual, si queremos ganar Q2, 800.00 de
interés en un período de 6 meses?
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Interés Simple e Interés Compuesto
Datos FórmulaI = ? P = IP = 2,800.00Q nin = 06/12i = 3% mensual 0.03*12 = 0.36 P = 2,800.00Q
06/12*0.36P = 2,800.00Q
0.18P = 15,555.56Q
2.3.3. ¿Qué cantidad de pagará al final de 5 años por un préstamo de Q.130,
000.00, si se reconoce el 0.5% de interés mensual?
Datos FórmulaS = ? S = P ( 1 +ni)P = 130,000.00Q S = 130,000.00Q ( 1 +5*0.06)n = 5 S = 130,000.00Q ( 1 + 0.3)i = 0.5% mensual 0.5*12 = 0.06 S = 130,000.00Q ( 1 0.3)
S = 169,000.00Q
CAPÍTULO IIIINTERES COMPUESTO
3.
Seminario de Integración Profesional
20Grupo No. 3
Interés Simple e Interés Compuesto
3.1. Conceptos GeneralesSegún L. A. C. y Mtra. Gabriela Montero Montiel dice “El interés compuesto tiene
lugar cuando el deudor no paga, al concluir cada periodo que sirve como base
para su determinación, los intereses correspondientes. Así provoca que los
mismos intereses se conviertan en un capital adicional, que a su vez producirá
intereses (es decir, los intereses se capitalizan para producir más intereses).
Cuando el tiempo de la operación es superior al periodo al que se refiere la tasa,
los intereses se capitalizan: nos encontramos ante un problema de interés
compuesto y no de interés simple. En la práctica, en las operaciones a corto
plazo, aun cuando los periodos a que se refiere la tasa sean menores al tiempo
de la operación y se acuerde que los intereses sean pagaderos hasta el fin del
plazo total, sin consecuencias de capitalizaciones, la inversión se hace a interés
simple.
Por eso, es importante determinar los plazos en que van a vencer los intereses,
para que se puedan especificar las capitalizaciones, y, en consecuencia,
establecer el procedimiento para calcular los intereses (simple o compuesto).
Cuando no se indican los plazos en que se deben llevar a cabo las
capitalizaciones, se da por hecho que se efectuarán de acuerdo con los periodos
a los que se refiere la tasa. En caso de que la tasa no especifique su
vencimiento, se entenderá que ésta es anual, y las capitalizaciones, anuales.”5
Jorge Luis Rivera Ávila comenta “El Interés compuesto, es el rendimiento que si
no se paga en el período, se aumenta al capital, y junto con él, produce más
interés. Por lo tanto, en cada periodo posterior, el interés es mayor, ya que está
calculado sobre el capital original más los intereses de los periodos anteriores.
5 Apuntes para la asignatura Matemáticas Financieras, Primera edición, octubre, 2005. Pág. 41
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21Grupo No. 3
Interés Simple e Interés Compuesto
Cuando esto sucede, se dice entonces que el interés se capitaliza, lo que
sucede únicamente con el interés compuesto.”6
Las diferencias entre el interés compuesto y el interés simple:
El interés simple muestra un crecimiento aritmético, El interés compuesto un
crecimiento geométrico.
3.1.1. InterésSegún la Real Academia Española indica “interés de un capital al que se van
acumulando sus réditos para que produzcan otros.”7
Atendiendo a esta afirmación podemos decir que el interés es un aserie de
cálculos de interés simple, aplicados cada vez sobre el capital más los intereses
devengados en los periodos anteriores.
3.1.2. Principales AplicacionesEl interés compuesto se aplica generalmente en operaciones financieras cuyo
término excede del año, es decir a largo plazo, ya que mientras mayor sea el
tiempo, más capitalizaciones del mismo se dan y mayor es el rendimiento que
produce en relación con el interés simple.
También se aplica en otros campos no financieros como por ejemplo en el
estudio de fenómenos relacionados con los seres vivos que se reproducen de
manera geométrica. Nos ayuda a determinar la tasa de natalidad y el
crecimiento de las poblaciones, tanto de seres humanos como de otras especies
naturales, como por ejemplo peces, ganado, bosques y otros.
3.2. ¿Qué es interés compuesto?
6 APUNTES DE MATEMATICA FINANCIERA I, Lic. Jorge Luis Ávila, 2009. Pág. 697 http://lema.rae.es/drae/?val=inter%C3%A9s
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22Grupo No. 3
Interés Simple e Interés Compuesto
El interés compuesto es cuando los intereses generados en cada periodo de
capitalización no son pagados si no que son agregados al capital original para
ser pagados ambos al final del préstamo.
En la gráfica de tiempo y valor siguiente vemos como de un capital inicial de Q
100.00, invertido al 10% anual de interés compuesto, cada año que pasa el
rendimiento que se obtiene es mayor al que se obtuvo en el periodo anterior,
debido a la acumulación periódica del interés al capital, lo que conocemos como
la capitalización del interés. En el interés simple esta situación no se da, siendo
igual el rendimiento del interés periodo anual:
Interés compuestoP= 100.00 P =110.00 P=121.00 P=133.10 P=146.41
1er. Año 2do. Año 3er. Año 4to. Año 5to. Año
|----------------|----------------|-----------------|-----------------|-----------------|
I = 10.0 I = 11.0 I = 12.10 I = 13.31 I = 14.64
Interés simpleP= 100.00 P=100.00 P=100.00 P=100.00 P=100.00
1er. Año 2do. Año 3er. Año 4to. Año 5to. Año
|----------------|----------------|-----------------|-----------------|-----------------|
I = 10.0 I = 10.0 I = 10.0 I = 10.0 I = 10.0
3.3. EjemplosPedimos prestado Q 100.00 para devolverlos a los cuatro años, al 15% anual de
interés año por año nos da Q 15.00 para el primer periodo; para el segundo año
de interés lo calculamos sobre los Q 100.00 más los Q 15.00 de intereses del
primer año y entonces obtenemos Q 17.25 de interés, para el tercer año el
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23Grupo No. 3
Interés Simple e Interés Compuesto
cálculo debe hacerse sobre los Q 100.00 del capital original más los intereses
de los dos años anteriores (15.00 + 17.25 = 32.25) es decir sobre Q 132.25, lo
que produce intereses por Q 19.84, y para el cuarto año el interés se calcula
sobre el capital original de Q 100.00 más Q 52.09 de intereses de los tres
primeros años, (15 + 17.25+ 19.84= 52.09) lo cual produce Q 22.81 de intereses.
Quiere decir que al final de los cuatro años tendremos que pagar Q 74.90 de
intereses calculados sobre los Q 100.00 prestados.
Si vemos el interés correspondiente a cada periodo anual, notamos que cada
vez es mayor porque se ha ido calculando sobre el capital original más los
intereses acumulados, tal como lo observamos a continuación:
Capital: Q 100.00
1er. Año 2do. Año 3er. Año 4to. Año Total
Intereses: Q 15.00 Q 17.25 Q 19.84 Q 22.81= Q 74.90
CAPÍTULO IVRESOLUCIÓN DE EJERCICIOS DE INTERÉS SIMPLE Y COMPUESTO
CASO PRÁCTICO
4.1. Interés simple
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Interés Simple e Interés Compuesto
1. El 6 de abril del próximo año, vencerá una letra de cambio con valor de
Q.100,000.00 la cual fue negociada con el acreedor, en cancelarla el 15 de
julio del presente año, reconociendo una tasa del 3% trimestral de interés
simple ¿Qué cantidad se deberá pagar por el documento?
Datos:
S = 100,000 P = S / (1+Ni)
i = 0.03 * 4 = 0.12 P = 100,000 / (1+ 266/365*0.12)
n = 266/365 P = 91,958.08P =?
2. Dentro de 175 días se debe cancelar una letra de cambio de Q50, 000.00
¿Cuál es su valor actual hoy, si se considera en la operación el 6% semestral
de interés simple exacto?
Datos:
S = 50,000 P = S / (1+Ni)
i = 0.06 * 2 = 0.12 P = 50,000 / (1+ 175/365*0.12)
n = 175/365 P = 47,279.79P =?
3. Un pagare de Q.75,000.00 emitido el 1 de abril con vencimiento el 1 de
diciembre del mismo año, que devenga el 11% anual de interés simple
método de las obligaciones, fue negociado el 18 de julio, considerando en la
operación una tasa de interés del 9% anual de interés simple exacto.
¿Cuánto se pagó por el documento el 18 de julio?
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Interés Simple e Interés Compuesto
1/ abr 18 Jul 1 dic
11% n1 S
P 9%
Datos:
P = 75,000.00 S = P(1+ ni)
i ob = 0.11 S = 75,000(1+ 240/360*0.11)
n = 240/360 S = 80,500
S = ?
Datos:
S = 80,500 P = S /(1+ni)
ie = 0.09 P = 80,500 / (1+ 136/365*0.09)
n = 136/365 P = 77, 888.08P =?
4. Una escritura privada, con valor nominal de Q.50, 000.00 devenga el 4%
cada cuatro meses de interés simple ordinario, fue emitida el 15 de febrero
de 2007 y deberá ser cancelada el 18 de noviembre del año siguiente.
El 11 de agosto del año en que se emitió la escritura, se negoció con una
financiera al 15% de interés anual simple exacto.
¿Qué cantidad se recibió por la escritura privada?
15/ 02/07 11/08/07
18/11/08
io = 4% c /4 meses n1 =287 días S
50,000 P ie = 15% n2 = 99 días
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Interés Simple e Interés Compuesto
Datos:
P = 50,000.00 S = P(1+ ni)
i o =0.04 * 3 = 0.12 S = 50,000(1+ 1.76944*0.12)
n = 1+ 277/360 =1.76944... S = 60,716.67
S = ?
Datos:
S = 60,716.67 P = S /(1+ni)
ie = 0.15 P = 60,716.67 / (1+ 1.27123*0.15)
n = 1+ 99/365 = 1.27123... P = 50,993.06P =?
5. Para obtener fondos una organización benéfica, firmo con una financiera el
20 de junio de 2007, dos pagares y dos letras de cambio, por los valores de
Q.15, 000.00 Q30, 000.00, Q60, 000.00 y Q90, 000.00 respectivamente.
Dichos valores tienen vencimientos sucesivos el 29 de julio, 12 de
septiembre, 20 de noviembre y 28 de diciembre del mismo año.
Los pagarés devengaron el 15% anual de interés simple ordinario. Por no
poder cumplir con el calendario de pagos, la organización acordó con la
financiera cancelar todas las obligaciones en un solo pago el 8 de diciembre
de 2007 y reconoció de tasa de interés el 18% anual simple exacto. ¿Qué
cantidad hizo como pago único?
20 jun 29 jul 12 sep 20 nov 8 dic 28
dic
15,000 io = 15% S= P ie =18% S1
30,000 io = 15% S= P ie = 18% S2
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Interés Simple e Interés Compuesto
60,000 ie = 18% S3
P1 ie = 18%
90,000
Documento = S1 + S2 + S3 + P1
Datos:
P = 15,000.00 S = P(1+ ni)
i o = 0.15 S = 15,000(1+ 39/360*0.15)
n = 39/360 S = 15,243.75
S = ?
Datos:
P = 15,243.75 S = P(1+ni)
ie = 0.18 S1 = 15,243.75 (1+ 132/365*0.18)
n = 132/365 S1 = 16,236.06
S1 =?
Datos:
P = 30,000.00 S = P(1+ ni)
i o = 0.15 S = 30,000(1+ 84/360*0.15)
n = 84/360 S = 31,050
S = ?
Datos:
P = 31,050 S = P(1+ni)
ie = 0.18 S2 = 31,050 (1+ 87/365*0.18)
n = 87/365 S2 = 32,382.17
S2 =?
Datos:
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Interés Simple e Interés Compuesto
P = 60,000 S = P(1+ni)
ie = 0.18 S3 = 60,000 (1+ 18/365*0.18)
n = 18/365 S3 = 60,532.60
S1 =?
Datos:
S = 31,050 P = S / (1+ni)
ie = 0.18 P1 = 90,000 (1+ 20/365*0.18)
n = 20/365 P1 = 89,121.00
P1 =?
Pago único = S1 + S2 + S3 + P1 = 16,236.06 + 32,382.17 + 60,532.60 +
89,121.00 = 198,271.83
6. Un comerciante pagará mañana Q18,450.00, cancelará un crédito recibido
hace 15 meses exactos, al 15% anual de interés simple ordinario. ¿Cuál es el
importe de los intereses?
P = S / ( 1 + n * i ) P = 18,450.00 / (1 + 1.25 * 0.15) P = 15,536.84
I = S - P I = 18,450 - 15536.84 I = 2,913.16
7. Se depositan Q7,500.00 en un banco, 48 días después se retiraron capital e
intereses. Si la tasa ofrecida fue del 1.5% de interés simple, ¿Qué cantidad
se retiró?
S = P (1 + n * i) S = 7,500 (1 + 48/360 x 0.015) S = 7,515
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Interés Simple e Interés Compuesto
8. Un señor colocó 3/8 de su capital al 6% anual de interés simple, el resto al
4.5% anual, la primera produce Q697.50 de interés por un año. ¿Cuánto
produce anualmente en concepto de intereses todo su capital?
P = I / n i P = 697.50 / 1 x 0.06 P = 11,625.00
I = P.n.i I = 19,375 x 1 x 0.045 I = 871.88
9. El 14 de julio se invierten Q250,000.00 a una tasa del 28% anual de interés.
Encontrar el monto al 15 de septiembre utilizando.
S = P (1 + n * i) S = 250,000.00 (1 + 63/365 x 0.28 ) S = 262,082.19
10.Calcular a cuánto asciende el interés simple producido por un capital de
Q.25,000 invertido durante 4 años a una tasa del 6 % anual.
I = P.n.i I = 25,000 * 0.06 * 4 I = 6,000
11.Si se invierten Q40,000.00 a una tasa del 10% semestral simple; ¿Cuánto se
genera por concepto de interés semestre a semestre?
DatosI = ? I = PinP = 40,000.00Q I = 40,000.00Q * 0 * 1n = 06 / 12 I = 4,000.00Q / 2i = 10% semestral0.10*2 = 0.2
I = 2,000.00Q
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30Grupo No. 3
Interés Simple e Interés Compuesto
12.Se depositan Q7,500.00 en un banco, 48 días después se retiraron capital e
intereses, si la tasa ofrecida fue del 1.5% de interés simple. ¿Qué cantidad
se retiró?
DatosI = ? I = PinP = 7,500.00Q I = 7,500.00Q * 0.015 * 0.133333333n = 48/360 I = 15.00 i = 0.015 S = 7,500.00Q + 15.00 S = ? S = 7,515.00Q
13.Por una inversión a 18 meses se recibieron Q600,000.00 con un rendimiento
del 14% anual de interés simple exacto.
a. ¿Cuál fue el capital invertido?
b. ¿Cuánto fueron los intereses generados durante los 18 meses?
Datos FórmulaS = 600,000.00Q P = S I = PinP = ? 1+nin = 18 / 12 I = 495,867.77Q * 18/12*0.14i = 0.14 P = 600,000.00Q I = 495,867.77Q * 0.21I = ? 1 + (18/12 * 0.14) I = 104,132.23Q
P = 600,000.00Q 1.21
P = 495,867.77Q
14.Un señor colocó 3/8 de su capital al 6% anual de interés simple, el resto al
4.5.% anual, la primera produce Q697.50 de interés por un año.
¿Cuánto produce anualmente en concepto de intereses todo su capital?
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31Grupo No. 3
Interés Simple e Interés Compuesto
Datos FórmulaS = 697.50Q P = IP = ? nin = 1ie = 0.06 P = 697.50Q I = ? (1*0.06)
P = 697.50Q 11,625.00Q -------------- 0.375 0.06
X -------------- 0.625 P = 11,625.00Q 19,375.00Q
Datos I = PinS = ?P = 19,375.00Q I = 19,375.00Q * 1*0.045n = 1 I = 19,375.00Q * 0.045i = 0.045 I = 871.88Q I = ?
I = 871.88Q S = 697.50Q
1,569.38Q
15.Por un depósito de Q1,500.00 hecho el 24 de enero nos ofrecieron devolver
Q1,771.43 el 15 de septiembre.
a. ¿Cuál será la tasa de interés simple ordinario aplicada?
b. ¿Cuál sería la tasa de interés simple si se aplicará el método de las
obligaciones?
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32Grupo No. 3
Interés Simple e Interés Compuesto
Datos Fórmulaa) S = 1,771.43Q i = I
P = 1,500.00Q Pnn = 283/365io = ? I = 271.43Q I = 271.43Q 1500* (235/365)
P = 271.43Q 965.75Q
P = 0.2811Q
Datos Fórmulab) S = 1,771.43Q i = I
P = 1,500.00Q Pnn = 1iob = ? I = 271.43Q I = 271.43Q 1500* (232/360)
P = 271.43Q 966.67Q
P = 0.2808Q
4.2. Interés compuesto1. Un préstamo de Q200.00 en un año producen Q18.41 de intereses al 9%
anual capitalizable semestralmente:
I= 200*(4.5/100)*1 = 9
I= 2009*(4.5/100)*1 = 9.41
TOTAL 9+9.41=18.41
2. ¿Cuál es el monto compuesto sobre un capital inicial de Q.10,000.00 al final
de 6 años, si la tasa de interés es de 15% anual?
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33Grupo No. 3
Interés Simple e Interés Compuesto
mn
2*6
S = P ( 1+ j / m)
= 10,000 ( 1+ 0.15 / 2) = 23,817.80
3. ¿Cuál es el valor actual de una deuda de Q.20,000.00 a pagar dentro de 5
años con un interés del 6% anual, capitalizable semestralmente?
P = S P = 20,000
= 14,881.88
mn
2*5
P ( 1+ j / m)
( 1+ 0.06/2 )
4. ¿En qué tiempo un capital de Q.20,000.00 se convertirá en Q.33,500.00, si
la tasa de interés efectiva es de 5% anual?
N = log S - log P
N = log 33,500 - log 20,000 N =
10.57 años
log ( 1 + i )
log ( 1 + 0.05)
5. ¿En qué tiempo un capital de Q.2,000.00 se convertirá en Q.3,500.00, si la
tasa de interés es del 4% anual capitalizable semestralmente?
N =
log S - colog P
N =
log 3,500 - log 2,000
log ( 1 + j / m )
log ( 1 + 0.04/2)
m
2
N =
14.13 años
6. Encontrar la tasa nominal capitalizable semestralmente equivalente a una
tasa del 28% anual:
Datos: j = m [ (1+i)1/m – 1 ]
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34Grupo No. 3
Interés Simple e Interés Compuesto
i = 0.28 j = 2 [ (1+ 0.28) ½ - 1]
m = 2 j = 2 x 13.1370849
j = ? j = 26.27
7. Encontrar la tasa nominal capitalizable trimestralmente equivalente a una
tasa del 24% anual capitalizable bimestralmente: R 24.2384238%
Tasa: Determinar:
j = 24% j = ¿?
m = 6 m = 4
i = (1 + j/m)m - 1 j = m [ (1+i)1/m – 1 ]
i = (1+ 0.24/6)6 – 1 j = 4 [(1+ 0.28) ¼ - 1]
i = (1.06) 6 - 1 j = 4 x 0.060596058
i = 0.265319018 j = 24.2384232%
8. El día de hoy se retiraron de un fondo Q 20,048.10, en el cual se realizaron
depósitos mensuales vencidos de Q 1,250.00. Si la tasa ofrecida fue del
12% anual, ¿Durante cuánto tiempo se efectuaron los depósitos?
Datos:
P = 1,250.00 n = Log (S/P)
S = 20,048.10 Log (1+i)
i = 0.12 n = 20,048.10 / 1,250.00
n = ¿? Log (1+ 0.12)
n = 1.205163207 = 24.48621781
1 año 5 meses 0.049218022
9. Un crédito de Q 10,000.00 será amortizado mediante 3 pagos cada 4
meses, si se paga una tasa de interés del 18% anual capitalizable
semestralmente. Determina la cuantía de cada abono cuatrimestral y
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35Grupo No. 3
Interés Simple e Interés Compuesto
elaborar el cuadro de amortización que demuestre como se extingue la
deuda.
R = ¿? S [(1+j/m)m/p – 1]
A = 10,000 R = (1+j/m) m.n – 1
n = 1 año
P = 3 R = 10,000 [ (1 + 0.18/3) 2/3 -1]
j = 0.18 (1+0.18/2) 2.1 -1)
m = 2
R = 10,000 x 0.059134216 R = 3,735.11 0.15832006
Datos:
P = 3 i = (1+j / m ) m/p -1
m = 2 i = (1 + 0.18/3) 2/3 - 1
j = 18% i = 0.059134216
Estado de AmortizacionesPeriodo Renta Intereses Abono Total
0 Deuda org. 0.05913422 10,000.00
1.00
3,735.11 591.34
3,143.77 6,856.23
2.00
3,735.11 405.44
3,329.67 3,526.56
3.00
3,735.11 208.54
3,526.56 0.00
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36Grupo No. 3
Interés Simple e Interés Compuesto
10. Con los datos del problema anterior determine la renta y elabore el cuadro
respectivo tomando en cuenta que el primero de los pagos se va efectuar al
final del primer cuatrimestre del segundo año de adquirida la deuda.
Vendida Diferida.
R = 591.34216 (1+j/m) m.n
0.158320006
R= 591.34216 (1+0.18/2) 2.1
0.158320006
R = 3,735.11 x 1.1881 = 4,437.68
Tercer pago
Determinación del monto por medio del IC por el periodo de diferimiento.
S = P (1 + j / m) m.n
S = 10,000 ( 1+ 0.18/2) 2.1
S = 11,881.00
n = 2
n =1 4/2 4/2 4/2 4/2
10,000.00
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37Grupo No. 3
Interés Simple e Interés Compuesto
Estado de AmortizacionesVencido Diferido
Periodo Renta Intereses Abono Total0 Deuda org. 0.05913422 10,000.00
A
Deuda con
Diferimiento 11,881.00
1 4,437.68 702.57 3,735.11 8,145.89
2 4,437.68 481.70 3,955.98 4,189.91
3 4,437.68 247.77 4,189.91 0.00
11.Una deuda contraída a 10 años, será liquidada con un pago de Q.80,000.00
si la tasa cobrada fue del 20% anual capitalizable en forma trimestral, ¿De
cuánto fue el préstamo?
FórmulaDatos -mnS = 80,000.00 P = S(1 + j/m)j = 0.2 -4*10m = 4 P = 80,000(1+0.20/4)n = 10 P = 11,363.65P = ?
12.Se desea tener reunidos Q150,000.00 para comprar un terreno dentro de 5
años. Si la tasa de interés a la que se puede invertir el dinero es de 10%
anual capitalizable mensualmente, ¿Qué cantidad debe ser depositada el día
de hoy para reunir en el plazo estipulado los Q150,000.00?
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38Grupo No. 3
Interés Simple e Interés Compuesto
FórmulaDatos -mnS = 150,000.00 P = S(1 + j/m)j = 0.1 -12*5m = 12 P = 150,000(1+0.10/12)n = 5 P = 91,168.29P = ?
13.Por una inversión de Q32,765.00 a una tasa del 15.6% anual de interés
capitalizable en forma mensual se logró acumular Q36,331.70 por concepto
de capital e intereses, se desea establecer ¿Por cuánto tiempo fue la
inversión?
FórmulaDatosS = 36,331.70 n = Log(S/P)j = 0.156 m Log(1+j/m)m = 12n = ? n = Log(36,331.70/32,765.00)P = 32765 12 Log(1+0.156/12)
n = 0.66667 *12 8.00 Mesese
14.Establecer la tasa de interés capitalizable mensualmente, que fue pagada por
un capital de Q5,000.00 y que permaneció invertido durante 15 años. Al final
de los cuales se retiró Q23,280.00
FórmulaDatos '1/mn
S = 23,280.00 j= m((S/P) - 1)j = ?m = 12 ' 1/(12*15)
n = 15 j= 12((23,280/5,000) - 1)P = 5,000.00
j= 0.102983 = 10.30%
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39Grupo No. 3
Interés Simple e Interés Compuesto
15.Una persona de 25 ¼ de edad realiza un deposito por la cantidad de
Q1,000.00 el día de hoy, en una institución que le acreditará el 11% anual de
interés capitalizable 3 veces en el año, desea establecer de que valor podrá
disponer cuando cumpla 50 años de edad.
Si existe fracción de periodo de capitalización utilizar, el tipo de interés aplicable
para cada periodo. (I. compuesto e I. simple)
Datos FórmulaS = ?j = 0.11m = 3 mn
n = 24 años y 9 meses S = P(1+j/m) (1+ni)P = 1,000.00
3*24.6666
Interés compuesto S = 1,000(1+0.11/3) (1+0.08333*0.11)n1 = 24 8/12 = 24.66666
Interés Simple n2 = 1/12 = 0.0833333 S = 14,496.36
Interés Compuesto
Interés Interés Simple
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40Grupo No. 3
Interés Simple e Interés Compuesto
CONCLUSIONES
1. La importancia de la matemática financiera radica en su aplicación a las
operaciones bancarias, en temas económicos y en muchas áreas de las
finanzas, ya que permiten tomar decisiones financieras de forma rápida y
acertada.
2. El interés es el producto que se obtiene de un capital. El interés juega el
papel fundamental en las actividades financieras, este puede ser simple y
compuesto.
3. La diferencia principal entre interés simple e interés compuesto es que en el
interés simple, no el capital y el interés manual permanecen constantes,
mientras que en el interés puesto existe la capitalización de intereses al
capital, por lo que continúa aumentando.
4. El interés compuesto es el rendimiento que si no se paga en el periodo, se
aumenta el capital y junto con el produce más intereses. En cada periodo
posterior, el interés es mayor, pues está calculado sobre el capital original
más los intereses de los periodos anteriores.
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41Grupo No. 3
Interés Simple e Interés Compuesto
RECOMENDACIONES
1. Derivado que la matemática financiera es una herramienta fundamental para
la comprensión de ciertos problemas financieros, comerciales, y ayuda a
tomar decisiones importantes en el campo financiero, se recomienda que se
tengan presentes los conocimientos básicos adquiridos sobre matemática
financiera.
2. Se recomienda que al momento de realizar una inversión u obtener un
financiamiento, se comprendan los términos que giran alrededor del interés,
pues un Contador Público y Auditor debe ser capaz de analizar un
rendimiento financiero, así como el costo de un financiamiento y de esta
manera tomar decisiones objetivas.
3. Mantener una constante actualización y capacitación en el ámbito de las
actividades financieras, principalmente de aquéllas normas y regulaciones
emitidas por la Junta Monetaria, y de esta manera evitar contingencias y
errores potencialmente materiales al momento de ejecutar una función.
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42Grupo No. 3
Interés Simple e Interés Compuesto
BIBLIOGRAFÍA
Obras LiterariasEditorial educativa (s.f); Cálculo Mercantil y Financiero. (pp. 37-45)
Jorge Luis Ávila. APUNTES DE MATEMATICA FINANCIERA I, 2009. Guatemala
Pág. 69
FolletosApuntes para la asignatura Matemáticas Financieras, Primera edición, octubre,
2005. Pág. 41
Apuntes para la asignatura Matemáticas Financieras, Junio, 2011. Lic. Portillo
E – grafía(2013, 01). Etimología de las matemáticas. Wikipedia.org. Recuperado 01, 2013,
de http://es.wikipedia.org/wiki/Matem%C3%A1ticas#Etimolog.C3.ADa
(2013, 01) Significado de interés. rae.es Recuperado 01, 2013, de
http://lema.rae.es/drae/?val=inter%C3%A9s
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43Grupo No. 3
Interés Simple e Interés Compuesto
ANEXO CUESTIONARIO
Interés Simple e Interés Compuesto
1. ¿Se entiende por la sustitución de uno o más capitales por otro u otros equivalentes en distintos momentos de tiempo, mediante la aplicación de una ley financiera?
Operación financiera
2. ¿Tipo de matemática que se centra en el estudio de las operaciones de tipo financiero?
Matemática Financiera
3. ¿Es una ciencia orientada al estudio de las propiedades de las entidades abstractas y de sus vínculos. Su objeto de interés son los símbolos, las figuras geométricas y los números?
La matemática
4. ¿Cuáles son los elementos de una operación financiera?Elementos personales, temporales y objetivos
5. ¿Por qué se le llama interés simple?
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44Grupo No. 3
Interés Simple e Interés Compuesto
Porque tanto el capital y el interés o rendimiento mensual permanecen,
es decir que no existe capitalización.
6. ¿Cómo se deben de contar los días de fechas intermedias?El día de la entrega del capital no debe ser incluido y el día del
vencimiento del plazo sí debe ser incluido, según resolución de la Junta
Monetaria. 7. ¿Cuáles son los cuatro métodos para la sustitución del factor “n” por
“h” y “t”?
Método Factor ExplicaciónExacto n=t/365 t=número exacto de días entre las fechas
Ordinario n=t/360 h=número de días entre fechas
considerando todos los meses de 30
días
De las obligaciones
n=h/360
Mixto n=h/365
h=366
8. ¿Qué es interés compuesto? Es cuando los intereses generados en cada periodo de capitalización no
son pagados si no que son agregados al capital original para ser
pagados ambos al final del préstamo
9. ¿Cuál es la diferencia entre el interés compuesto y el interés simple? El interés simple muestra un crecimiento aritmético, El interés compuesto
un crecimiento geométrico.
10.El interés compuesto se aplica generalmente a:
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45Grupo No. 3
Interés Simple e Interés Compuesto
Operaciones financieras cuyo término excede del año, es decir a largo
plazo.
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