Profesor:

T R I G O

NO

M E T R Í A

ALFREDO QUISPE JAUREGUI

Mentes

Brillantes AQJ

Mundo de matemáticas

http://www.ranamizekazora.sitew.org

P r e g u n t a 2

Determinar el valor de "x"

P r e g u n t a 1

P r e g u n t a 3

x+10° 20°- 4x

O

30°- 5x

3x+40°

Determinar el valor de "x", además OF es bisectriz

O

B

F

A

P r e g u n t a 4

3x+20°

20°- 2x

Determinar el valor de "x".

ᵦ

a

-40°

Del gráfico, halle relación entre los ángulos.

APLICACIÓN

Determinar una relación entre los ángulos "a" "b" "u"

P r e g u n t a 5

θ

ᵦ

a

02 "Sirviendo al pueblo con la educación"

TRIGONOMETRÍA ÁNGULO TRIGONOMÉTRICO

Ing. Alfredo Quispe Jauregui

T r i

g

o n

o m e

t

r í

a

-

A l

f

r e

d o

Q u i

s

p e

-

T r i

g

o n

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-

A l

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-

T r i

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-

A l

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Q u i

s

p e

-

T r i

g

o n

o m e

t

r í

a

Mundo de matemáticas: http://www.ranamizekazora.sitew.org

Es una figura generada por la rotación de un rayo (la rotación se

realiza en un mismo plano), alrededor de un punto fijo llamado

vértice, desde una posición inicial hasta una posición final.

Características del

ángulo trigonométrico

Sentido

Magnitud

Horario Antihorario

Genera ángulos (-)

Genera ángulos (+)

-θ +θ

1 vuelta

2 vueltas

- ꝏ <m trigonométrico <+ꝏ

Si a un ángulo trigonométrico cambiamos el sentido de rotación,

entonces el valor de su medida cambia de signo.

Veamos: Sea un ángulo que mide: 40º - X. Si cambiamos el sentido

entonces mide: X - 40º

Para sumar ángulos trigonométricos formados alrededor de un

mismo vértice, estos ángulos deben tener el mismo sentido de

rotación.

Son

Pueden ser

Pueden ser

θ

ᵦ

θ

-ᵦ

θ+(-ᵦ) = 180°

θ- ᵦ = 180°

40°-x x - 40°

ÁNGULO TRIGONOMÉTRICO

Posición inicial

P

o

s

i

c

i

ó

n

f

i

n

a

l

P

o

s

i

c

i

ó

n

f

i

n

a

l

(+)

(-)

Rayo

giro

giro

bservación

bservación

x+10° 30°-x

Determinar el valor de "x"

P r e g u n t a 6

Determinar una relación entre los ángulos "a" y "b"

P r e g u n t a 7

a

ᵦ

P r e g u n t a 8

θ a

130° x

Halle "x" en términos de "a" y "θ"

En la figura mostrada, halle la medida del ángulo AOB en radianes

P r e g u n t a 9

B

O

A

3/5x°

(4-6x)

g

De la figura mostrada, calcula el valor de b aproximadamente.

P r e g u n t a 11

b

m

b´

En el siguiente gráfico, obtenga el valor de 114x-y

P r e g u n t a 12

y´

(x-4)°

-x

g

Se tiene los ángulos trigonométricos:

θ=(1 + x - x2)rad; ᵦ = (x2 - 2)rad

Según el gráfico calcule ø, cuando θ tome su máximo valor.

Considere 1rad=57°17´44´´

P r e g u n t a 13

θ

ᵦ

ø

A) 245°24´32´´

B) 188°08´44´´

C) 245°20´18´´

D) 229°54´36´´

E) 188°06´48´´

P r e g u n t a 14

θ a

135° x

Halle "x" en términos de "a" y "θ"

o

P

B

C A

a ᵦ

Determinar la relación correcta entre los ángulos, si: OP es

bisectriz del ángulo AOB.

P r e g u n t a 10

03 "Sirviendo al pueblo con la educación"

TRIGONOMETRÍAÁNGULO TRIGONOMÉTRICO

Ing. Alfredo Quispe Jauregui

T r i

g

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-

T r i

g

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a

Mundo de matemáticas: http://www.ranamizekazora.sitew.org

En este sistema consideramos al ángulo de una vuelta dividido en

360 partes ¡guales y a cada parte se le denomina un “grado

sexagesimal”, a cada grado se le divide en 60 partes iguales y a

cada parte de le denom ina “minuto sexagesimal”, a su vez a cada

minuto se le divide en 60 partes iguales y a cada parte se le

denomina “segundo sexagesimal”.

P r e g u n t a 4

Sistema sexagesimal (sistema inglés)

Notación Equivalencias

1 grado sexagesimal: 1° 1° = 60´ = 3600´´

1 minuto sexagesimal: 1´ 1´ = 60´´

1segundo sexagesimal:1´´ 1° =

m‚ 1vuelta

360

P r e g u n t a 5

P r e g u n t a 6

P r e g u n t a 7

Unidad que quiero

Unidad que no quiero

a°b´c´´ =a°+b´+c´´ = (a +

b

60

+

c

3600

)°

P r e g u n t a 1

P r e g u n t a 2

Convierte los siguientes ángulos a minutos sexagesimales:

I. 7°

II. 25°

III. 11°

Dé como respuesta I + II -III

Convierta los siguientes segundos sexagesimales a grados

sexagesimales:

I. 28 800´´

II. 39 600´´

III. 46 800´´

Dé como respuesta el valor de I + II -III

P r e g u n t a 3

Sume la siguiente expresión:

9° 20´ + 25° 22´ + 31° 18´

El profesor Alfredo encarga a dos de sus mejores estudiantes.

Aarón y Camila, realizar las siguientes sumas, a Aarón le encargó

sumar 12° 50´con 14° 10´y a Camila sumar 20° 10´con 8° 50´.

a. Indique el resultado de cada uno

b. Indique cuál es el menor resultado.

Calcule P + Q si:

P =

3° 3´

3´

y Q =

7° 20´

11´

En el triángulo isósceles mostrado, halle el valor de x.

4200´ x°

Halle el valor de:

A =

10´ + 20´ + 30´ + ... + 60´

2´´ + 4´´ + 6´´ + ... + 12´´

bservación

APLICACIÓN

En este sistema consideramos al ángulo de una vuelta dividido en

400 partes iguales y a cada parte se le denomina un “grado

centesimal", a cada grado se le divide en 100 partes ¡guales y a

cada parte se le denom ina “minuto centesimal”, a su vez a cada

minuto se le divide en 100 partes iguales y a cada parte se le

denomina “segundo centesimal”.

Sistema centesimal (sistema francés)

En este sistema la unidad angular es el radián. Un radián se

define como la medida del ángulo central que subtiende en

cualquier circunferencia un arco de longitud igual al radio.

(En la figura adjunta el ángulo θ mide un radián).

En este sistema el ángulo de una vuelta mide 2p radianes.

m

‚

1 vue lta = 2p rad

Sistema radial (sistema circular)

θ L

r

r

O θ= 1 rad

Si: L= r

Valores aproximados de p:

p = 3,1416; p =

22

7

; p = 3 + 2

1rad < > 57° 17´44´´

1rad > 1° > 1

g

; 27´<> 50

m

; 81´´<> 250

s

Como: 180° = 200

g

= p rad

180°

p rad

= 1

9°

10

g

= 1

200

g

p rad

= 1

No olvidemos nuestro método para la conversión de

un sistema a otro.

Unidad que quiero

Unidad que no quiero

04 "Sirviendo al pueblo con la educación"

TRIGONOMETRÍASISTEMA DE MEDICIÓN ANGULAR

Ing. Alfredo Quispe Jauregui

T r i

g

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→ m ‚1vuelta = 360°

Factor de conversión=

Notación Equivalencias

1 grado centesimal: 1

g

1

g

= 100

m

= 10 000

s

1 minuto centesimal: 1

m

1

m

= 100

s

1segundo centesimal:1

s

1

g

=

m‚ 1vuelta

400

→ m ‚1vuelta = 400

g

bservación

Factores

de

conversión

P r e g u n t a 12

Un niño está haciendo volar dos cometas

simultáneamente. Ambos pabilos tienen la misma

longitud. Si el ángulo que forman ambos es 40

g

, halle

el valor de x.

40

g

(7x+2)°

Cometa A

Cometa B

APLICACIÓN

P r e g u n t a 8

Sabiendo que: 27´ = ab

m

. Determine el valor de a + b.

Unidad que quiero

Unidad que no quiero

1°

60´

27´.

10

g

9°

100

m

1g

= 50

m

. .

27´<> 50

m

9° = 10

g

→ 9(1°) = 10(1

g

)

→ 9(60´) = 10(100

m

)

→ 27´= 50

m

O así:

P r e g u n t a 9p rad

24

= x° y´; Hallar: y-x

Si:

Resolución

180°

p =

90

12

=

15

2

=7,5°=7° 30´

p rad

24

.

y-x = 30-7=23

Unidad que quiero

Unidad que no quiero

P r e g u n t a 10

Si: 24983´´ = a°+bc´ + de´´ . Halle el valor de a+b+c+d+e

1°24983´´

3600´´

.

Resolución(1)

= (

24983

3600

)°=6°+(

3383

3600

)°.

60´

1°

=6°+56´+(

23

60

)´.

60´´

1´

=6°+56´+23´´

a+b+c+d+e=6+5+6+2+3=22

24983 60

24960 316 60

23 360 6

56

24983´´ = 6°+56´+23´´

a+b+c+d+e=6+5+6+2+3=22

Resolución

Resolución(2)

S:N° de grados sexagesimales de "u"

C:N° de grados centesimales de "u"

R:N° de radianes contenidos en "u"

RELACIÓN DE CONVERSIÓN DE LOS

TRES SISTEMAS

bservación

u

S°

C

g

Rrad

O

Sabemos que: 360° = 400

g

= 2 p rad

Entonces se cumple:

S°

360°

=

C

g

400

g

=

Rrad

2prad

Entonces se cumple: Fórmula o relación

de conversión

S

180

=

C

200

=

R

p

S

9

=

C

10

=

20R

p = k

También: S=9k ; C=10k ; R=

pk

20

u(+): C>S>R u(-): R>S>C

Sistema Sexagesimal Centesimal Radial

m

‚ S° C

g

Rrad

# de grados

S C R

# de minutos

60S 100C

#

de segundos

3600S 10000C

Suplemento(a)

(S°; C

g

y Rrad)

(180-S)°

(200-C)

g

(p-R)rad

Complemento(a)

(S°; C

g

y Rrad)

(90-S)°

(100-C)

g

(p/2-R)rad

P r e g u n t a 11

P r e g u n t a 3

P r e g u n t a 4

Halle la medida circular si:

10R

p + 37

Señale la medida centesimal de un ángulo que verifica:

CR

S

-

SR

C

= 0,19p

Halle la medida sexagesimal de un ángulo mayor de una vuelta, si

en la siguiente ecuación R representa el número de radianes que

mide dicho ángulo.

4R

p -

9p R

= 5

a) Convertir:120

g

a grado sexagesimal

b) Convertir:150° a grado centesimal

c) Convertir:p/5rad a grado sexagesimal

P r e g u n t a 2

3C-2S

2S-C

6R

5p =

Halle los ángulos en los tres sistemas. Sabiendo que:

S + C =

180°=200

g

9°=10

g

120

g

(9°/10

g

)=108°

150° (10

g

/9°)=500

g

/3= 166

g

180°=200

g

=prad

p/5. (180°/p)=36°

P r e g u n t a 1

05 "Sirviendo al pueblo con la educación"

TRIGONOMETRÍASISTEMA DE MEDICIÓN ANGULAR

Ing. Alfredo Quispe Jauregui

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P r e g u n t a 5

Halle la medida circular si:

S = n

2

-1/19 ; C= n

2

+1/19

P r e g u n t a 6Halle la medida en radianes si:

S+C+R = 383,1416

P r e g u n t a 7

Halle la medida circular de un ángulo.

S

5

-

C

2

= -4

P r e g u n t a 8

P r e g u n t a 10

Si a, b, c y d son los valores de la medida de un

mismo ángulo, expresados en minutos

sexagesimales, minutos centesimales, segundos

sexagesimales y segundos centesimales,

respectivamente. Entonces, al calcular :

A=

a

5b

+

c

d

+

142

250

, se obtiene:

b

m

a´

c´´

d

s

Hallar el error en radianes si se escribe 36

g

en lugar

de escribir 36°.

P r e g u n t a 9

06 "Sirviendo al pueblo con la educación"

TRIGONOMETRÍASISTEMA DE MEDICIÓN ANGULAR

Ing. Alfredo Quispe Jauregui

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P r e g u n t a 14

P r e g u n t a 16

Sean S, C y R las medidas en grados sexagesimales,

centesimales y radianes de un mismo ángulo, respectivamente.

Se cumple: (

S

3

-

C

5

)

2

-

20R

π

> 0

Calcule el menor valor posible (en radianes) para dicho ángulo

positivo, sabiendo que S y C son números enteros.

P r e g u n t a 15

Dados dos ángulos, calcule la medida del menor ángulo en

radianes, si la diferencia de los cuatro tercios del número de

grados sexagesimales de uno y los tres quintos del número de

grados centesimales del otro es 20. Además son

complementarios.

(UNI)

En un nuevo sistema de medición angular, un ángulo de ; grados

sexagesimales mide ;-3

. Si un ángulo de p radianes mide 120

en el nuevo sistema, halle ;-3.

P r e g u n t a 11

P r e g u n t a 13

Los números S = k

3

-

1

19

y C = k

3

+

1

19

son las medidas de un ángulo

en los sistemas sexagesimal y centesimal respectivamente.

Determine la medida del ángulo en radianes.

(UNI)

P r e g u n t a 12

Se ha creado un nuevo sistema de medida angular UNI(U) en

donde un grado U equivale a la 1000 ava parte del ángulo de una

vuelta. ¿A cuántos grados U equivale 0,00314 rad. (π

Si S y C representan los valores de un ángulo en grados

sexagesimales y centesimales, respectivamente, y se cumplke que:

C

2

+ S

2

=2C

3

- 5SC

2

+ 4S

2

C - S

3

- 2SC

Si: 40° = aa

g

aa

m

aa

s

; determine el valor de "a"

ÁNGULOS COTERMINALES

Se denomina de esta manera a todos aquellos ángulos que

tienen los mismos elementos (vértice, lado inicial y lado final). En

las figuras adjuntas a y f son ángulos coterminales, lo mismo

que a y u

af

u

a

Una característica fundamental de los ángulos coterminales es

que se diferencian en un número entero de vueltas.

Si a y u son dos ángulos coterminales, se cumple:

a - u = (360°)k= (2prad)k; k∈Z

En forma práctica para determinar si dos ángulos son

complementarios:

1. Restamos dichos ángulos

2. Dividimos la diferencia entre 360° o 2prad

3. Si el resultado es un número entero entonces los ángulos

son coterminales.

EJEMPLOS:

a) 80° y 440° son coterminales: 80°-440°=-360°

-360° entre 360° es igual a -1

b) -150° y 570° son coterminales: -150°-570°= -720°

-720° entre 360° es igual a -2

c) -750° y -510° no son coterminales: -750°-(-510°)=1260°

1260° entre 360° es igual a 3,5

Etc, el mismo procedimiento si los ángulos están en radianes.

APLICACIÓN

P r e g u n t a 1

Dos ángulos a y u son coterminales y además complementarios.

Hallar la medida del ángulo a si 200° < a < 300°.

RESOLUCIÓN

a - u =360°K ...................(1)

a + u =90°.......................(2)

Sumando (1) y (2)

a =180k+45°

k=0 entonces a =45°

k=1 entonces a =225°

k=2 entonces a =405°

Por dato 200°< a <300°

Entonces de los valores obtenidos el único que satisface la

desigualdad es a =225°

P r e g u n t a 2Se tienen dos ángulos coterminales tales que el mayor es al menor

como 23 es a 2. Su suma está comprendida entre 2820º y 3100º.

¿Cuál es la medida del mayor?

A) 2540º B) 2760º C) 2820º

D) 2420º E) 3000º

P r e g u n t a 3

Indicar el ángulo que no es coterminal al ángulo -10°

A) 350º B) 710º C) 1420º

D) -730º E) 1070º

P r e g u n t a 4

Los ángulos a y b son coterminales y para ellos es cierto que a es

mayor que cero y menor que 360° y b es mayor que 6p y menor

que 8p.

Si: a + 2b = 2535°, calcular la suma de dichos ángulos.

A) 1330º B) 1280º C) 1380º

D) 1220º E) 1480º

07 "Sirviendo al pueblo con la educación"

TRIGONOMETRÍASISTEMA DE MEDICIÓN ANGULAR

Ing. Alfredo Quispe Jauregui

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MATEMÁTICAS PARA

TODOS

Aritmética

Álgebra

Geometría

Trigonometría

Razonamiento Matemático

Razonamiento Lógico

Física

Química

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