Talents- t-

1- a) Vexer , x" (1- FIND = ûffltdt

x

Or tu > o, Y t > n ,

• ça"

çt' dbù o E sîfltçtnflt)

dcà par croissance de l' int de m à + •

en sachantque [

"

t"

fltldt existe

puisque El XD existe,

oe ûfeiflttdt ± FÏÎfctdt-→ o qd n → tas

comme le reste d'une

int. convergente .

D'où, par encadrement,n¥çzAHn

•si x ça et l' Ex alors .

Itt > bel dbù tt en

° ± lxlnflt) ± IH"

ff4

Par croissance de l' int.de

_a à se

° ← lait"

Fln) ç !! ltthfltldt÷x → - N Comme un

reste d'int . N .

D'où ¥tur encadrement .-

b. Par definition,E- LXY ={Îîfltdt +!! faut

•tort A > 0 . On réalise un IPP

sur ÇA tnfltdt en posant

• alt) = t"

,vlt = Flt - 1 .

qui sont ce'

sur [o , t - [ .µ

D'à ÇA t' fltdt : [ t " ( FLA - d).

A

+f mtn - "

(a - Fitr) dt°

A-

donc / nt " " (n - FLA ) dt-0

§ " tnfltdt + A" (1-Fln )-

→ o

a -7.["

tnflttdt / A → + a

d'où [ont" (s - F dtcv et

[ont " "(r - FLTDDT :["

Efltdt .

•On montre de même que

] ! t' fltdt =!!-nt" " FH) dtAinsi E- (xD = [Î EX - FLTD dt

-

fjntn-tfltdt.ie#*nis;::::::2. a) -

fu c- R, gtx) = Flxtl) - Fla) .

Mq - g e C ° Cnr) ( immédiat)

• gest à valeurs positives( car Fast moissonne)

• SÏG Cmdt cvet vaut 1.

En effet , sort CA , B) c- RY A ← B

/! glttdt = § toi - Fett) dt

= { Btttnldt - /! FlttdtOn réalise le chgt de variable se = txt

dans la première int .

:S! gltdt = {Ïfcadn - fbafltdt=/}

,

Flat me + /!"

Fin de par

{ hein .sn?gmdt.fpftt-cddu-$ttcnsdn .

Or pour croissance de F :

E Spf"

FIN du E FCBA )-

t -

B → + a - 1 B-s + as

et F- (A) E #"

Flnldu E Flan )- -

-° → 0

A → - on A → - •

Ainsi ÇÏGI des cv et vaut 1 - o= 1

.

CaptTour les meilleurs uniquement .

b). On a

,x"- ln - D

"

= se" (1- (b -LI)

au "→Ï÷:•

Posons,A te R

,Glt) = A - Flt) .

On a ( t - s)"

alt) - t" Colt) et

+ → ta

done ( t - 1)"

alt) # g d'aprês 1. a)

d'où KE > o,3- A / A t > A,

o E (t - 1)"

Colt E E .Alors

ta> A, offrait - D " Gltdt ça

d'où alimoofult-IJGltdt.co* Maintenant

,montrons

que :

[Ça" (Fau ) - FH) du ACVie ! nitrant - Flat) du CV

•tort A > o .

§ x" ( Flan ) -Fla) ) de= [ x" ( Gmt - Glati ) ) du

D' où [ Ax" ( God - Glan)) duA

= 5. û bla ) du III.Iain) du= f! n" Gta) du +JÎ (x " - on -F) Ghilde

- S!"

ln - 1)"

Glxldn

#A star

• De plus,

là - tu - 5) coca)÷âx"Glr)Or on sait que § - n" " GIN du CV

d' après 1 , dbù pour équivalence,

{Ià - mitaine cu .

A

Aimé fin ↳ x"

( Flat ) -Flat ) du

existe et vaut :

{ un cathare # {Îû - ca - Dm) Gade.On montre de même que!Îû ( Forti-Ford

du

-3 .

Vu que f e V ([on - E) alors

F c- C ' ( G , toc) et F ' - f dbù

Fest str .croissante sur [paf . Done

Vx > 0, Fla) c- Jo , IL .

D'où ["

x" '

ln Cfcm) dn est

impropre en 0 et + a . tout ce ça,

deux réels positifs, réalisons un IPP

sur SGA sen -'

ln (Fm) da .On obtient

,

{ se

""ln ( Fulda = [¥ luttait]!- {÷¥ on

• qd A → + a,

FLA) → 1,dbù

A-"

ln (FIA)) m A"

(Flat - 1)÷A → ta

.

• qd E → 0,on a le dll en 0

F (x) = se f6) + da) dbù

ln ( ptn ) on luta) .

dbù lu ( F (d) ~ lu (E) et{→ O

aim c" ln ( Fcd ) → °

JE → o

•Montrons pour finir que ÏâfÇ de

CV si E- ( XD existe ce qui prouvera

le résultat attendu.

• Ey Flat u n f- (a) dbù

â¥çJ ~ à"

,ilya done

prolongement par continuité .

. : rififi ûfcn)dbù { Î¥n¥ Cv ni [ûfaidncv

si E (xn ) existe . car f c- 942am - C)• En conclusion

, ÜÊ¥ du CV

si ECXY existe et grâce à

l' IPP [TE ¥ndx Cv soi

[Ie" lutins ) du CV,on a

bien ElxDexiskri§Û"lntYd