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MECNICA VECTORIAL PARA INGENIEROS:
DINMICA
Novena edicin
Ferdinand P. Beer
E. Russell Johnston, Jr.
Notas:
J. Walt Oler
Texas Tech University
CAPTULO
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14 Sistemas de partculas
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Mecnica vectorial para ingenieros: Dinmica
No
ve
na
e
dic
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Contenido
14 - 2
Introduccin
Aplicacin de las leyes de
Newton: Fuerzas efectivas
Cantidad de movimiento lineal y
angular
Movimiento del centro de masa de
un sistema de partculas
Cantidad de movimiento angular
alrededor del centro de masa
Conservacin de la cantidad de
movimiento
Problema resuelto 14.2
Energa cintica
Principio del trabajo y la energa
Conservacin de la energa
Principio del impulso y la cantidad de
movimiento
Problema resuelto 14.4
Problema resuelto 14.5
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Introduccin
14 - 3
En el presente captulo se estudia el movimiento de los sistemas
de
partculas.
La fuerza efectiva de una partcula se define como el producto de
su
masa y aceleracin. Como se ver, el sistema de fuerzas
externas
que actan sobre un sistema de partculas es equiparable con
el
sistema de fuerzas efectivas del sistema.
Se definir el centro de masa de un sistema de partculas, as como
su
movimiento descrito.
Se describir la aplicacin del principio del trabajo y la energa
y el
principio del impulso-cantidad de movimiento a un sistema de
partculas.
Los resultados obtenidos tambin son aplicables a un sistema
de
partculas rgidamente conectados, es decir, un cuerpo rgido.
Se presentarn mtodos de anlisis para los sistemas variables
de
partculas, es decir, sistemas en los que las partculas se
incluyen en el
cambio de sistema.
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Aplicacin de las leyes de Newton. Fuerzas efectivas
14 - 4
Segunda ley de Newton para cada partcula
Pi en un sistema de n partculas:
efectiva fuerza
internas fuerzas externa fuerza
1
1
ii
iji
iii
n
j
ijiii
ii
n
j
iji
am
fF
amrfrFr
amfF
El sistema de fuerzas externas e internas
sobre una partcula es equivalente a la fuerza
efectiva de la partcula.
El sistema de fuerzas externas e internas
que actan en todo el sistema de partculas
es equivalente al sistema de fuerzas
efectivas.
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Aplicacin de las leyes de Newton. Fuerzas efectivas
14 - 5
Sumando todos los elementos:
n
iiii
n
i
n
jiji
n
iii
n
iii
n
i
n
jij
n
ii
amrfrFr
amfF
11 11
11 11
Dado que las fuerzas internas se
presentan en pares alineados iguales y
opuestos, la fuerza resultante y el par
debido a las fuerzas internas son iguales a
cero:
iiiii
iii
amrFr
amF
El sistema de fuerzas externas y el
sistema de fuerzas efectivas son
equipolentes por no equivalentes.
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Cantidad de movimiento lineal y angular
14 - 6
Cantidad de movimiento lineal del
sistema de partculas:
n
iii
n
iii
n
iii
amvmL
vmL
11
1
La cantidad de movimiento angular
respecto al punto fijo O del sistema de
partculas:
n
iiii
n
iiii
n
iiiiO
n
iiiiO
amr
vmrvmrH
vmrH
1
11
1
La resultante de las fuerzas
externas es igual a la tasa de
cambio del momento lineal del
sistema de partculas:
LF
OO HM
El momento resultante respecto al punto
fijo O de las fuerzas externas es igual a
la razn de cambio de la cantidad de
movimiento angular del sistema de
partculas:
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Movimiento del centro de masa de un sistema de partculas
14 - 7
El centro de masa G del sistema de partculas est definido
por
el vector de posicin que cumpla: Gr
n
iiiG rmrm
1
Diferenciando dos veces:
FLam
Lvmvm
rmrm
G
n
iiiG
n
iiiG
1
1
El centro de masa se mueve como si toda la masa y todas las
fuerzas externas estuvieran concentradas en ese punto.
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Cantidad de movimiento angular alrededor del centro de masa
14 - 8
G
n
iii
n
iiii
G
n
ii
n
iiii
n
iGiii
n
iiiiG
n
iiiiG
M
Framr
armamr
aamramrH
vmrH
11
11
11
1
La cantidad de movimiento angular del sistema
de partculas alrededor del centro de masa se
define as:
El momento resultante alrededor de G de las
fuerzas externas es igual a la razn de cambio de
la cantidad de movimiento angular alrededor de
G del sistema de partculas.
El sistema de referencia
centroidal no es, en general,
un sistema de referencia
newtoniano.
Considerar el sistema de
referencia Gxyz, que se
traduce en lo relativo a la
estructura newtoniana Oxyz.
iGi aaa
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Cantidad de movimiento angular alrededor del centro de masa
14 - 9
Cantidad de movimiento angular alrededor de
G de las partculas en su movimiento absoluto
en relacin con el marco newtoniano Oxyz de
referencia.
GGG
n
iiiiG
n
iii
n
iiGii
n
iiiiG
MHH
vmrvrm
vvmr
vmrH
11
1
1
Cantidad de movimiento angular
alrededor de G de las partculas
en su movimiento relativo al
sistema de referencia centroidal
Gxyz:
n
iiiiG vmrH
1
GGi vvv
La cantidad de movimiento angular alrededor
de G de las cantidades de movimiento de las
partculas puede ser calculada con respecto a
cualquiera de los marcos de Newton o del
centro de gravedad de referencia.
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Conservacin de la cantidad de movimiento
14 - 10
Si no actan fuerzas externas sobre
las partculas de un sistema,
entonces la cantidad de movimiento
lineal y de movimiento angular
alrededor del punto fijo O se
conserva:
constante constante
00
O
OO
HL
MHFL
En algunas aplicaciones, tales como
los problemas de las fuerzas
centrales:
constante constante
00
O
OO
HL
MHFL
El concepto de conservacin de la
cantidad de movimiento tambin se
aplica al anlisis de la propuesta del
centro de masa:
constante constante
constante
00
GG
G
GG
Hv
vmL
MHFL
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Problema resuelto 14.2
14 - 11
Un proyectil de 20 lb se mueve con una
velocidad de 100 ft/s cuando explota en
dos fragmentos que pesan 5 y 15 lb.
Inmediatamente despus de la explosin,
los fragmentos viajan en las direcciones
qA = 45o y qB = 30
o.
Determinar la velocidad de cada
fragmento.
SOLUCIN:
Puesto que no hay fuerza externa, la
cantidad de movimiento lineal del
sistema se conserva.
Escriba las ecuaciones componentes
independientes para la conservacin
de la cantidad de momento lineal.
Resuelva las ecuaciones de manera
simultnea para las velocidades de
los fragmentos.
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Problema resuelto 14.2
14 - 12
SOLUCIN:
Puesto que no hay fuerza externa, la
cantidad de movimiento lineal del
sistema se conserva.
x
y
Escriba las ecuaciones componentes
independientes para la conservacin
de la cantidad de momento lineal:
0
0
20155 vgvgvg
vmvmvm
BA
BBAA
componentes x:
1002030cos1545cos5 BA vv
componentes y:
030sen1545sen5 BA vv
Resuelva las ecuaciones de manera
simultnea para las velocidades de los
fragmentos.
sft6.97sft207 BA vv
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Energa cintica
14 - 13
Energa cintica de un sistema de
partculas:
n
iii
n
iiii vmvvmT
1
221
121
iGi vvv
Expresando la velocidad en funcin del
sistema de referencia centroidal:
n
iiiG
n
iii
n
iiiGG
n
ii
n
iiGiGi
vmvm
vmvmvvm
vvvvmT
1
2
212
21
1
2
21
1
2
121
121
La energa cintica es igual a la energa
cintica del centro de masa ms la energa
cintica relativa al marco centroidal.
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Principio del trabajo y la energa. Conservacin de la energa
14 - 14
El principio del trabajo y la energa se puede aplicar a cada
partcula Pi :
2211 TUT
donde representa el trabajo realizado por las fuerzas
internas
y la fuerza resultante externa que acta sobre Pi. ijf
iF21U
El principio del trabajo y la energa se puede aplicar a todo
el
sistema mediante la adicin de las energas cinticas de todas
las
partculas y teniendo en cuenta la labor realizada por todas
las
fuerzas externas e internas.
Aunque son iguales y opuestas, el trabajo de estas fuerzas
no, y en general se anulan. jiij ff
y
Si las fuerzas que actan sobre las partculas son conservadoras,
el
trabajo es igual a la variacin de energa potencial y
2211 VTVT
que expresa el principio de conservacin de energa para el
sistema
de partculas.
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Principio del impulso y la cantidad de movimiento
14 - 15
21
12
2
1
2
1
LdtFL
LLdtF
LF
t
t
t
t
21
12
2
1
2
1
HdtMH
HHdtM
HM
t
tO
t
tO
OO
Las cantidades de movimiento de las partculas en el tiempo t1 y
el
impulso de las fuerzas de t1 a t2 forman un sistema de
vectores
equipolentes al sistema de impulsos de las partculas en el
tiempo t2 .
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Problema resuelto 14.4
14 - 16
La bola B, de masa mB, se suspende de
una cuerda de longitud l, unida al carro
A, de masa mA, que rueda libremente
sobre una pista horizontal sin friccin.
Mientras el carro est en reposo, la bola
toma una velocidad inicial
Determinar a) la velocidad de B cuando
sta alcanza su elevacin mxima, y b)
la distancia vertical mxima h a que se
elevar B.
.20 glv
SOLUCIN:
Sin fuerzas horizontales externas, se
deduce del principio del impulso-
cantidad de movimiento que la
componente horizontal de la cantidad de
movimiento se conserva. Esta relacin
puede ser resuelta por la velocidad de B
en su elevacin mxima.
El principio de conservacin de la
energa se puede aplicar para relacionar
la energa cintica inicial con la energa
potencial mxima. La distancia vertical
mxima es determinada a partir de esta
relacin.
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Problema resuelto 14.4
14 - 17
SOLUCIN:
Sin fuerzas horizontales externas, se deduce del
principio del impulso-cantidad de movimiento que la
componente horizontal de la cantidad de movimiento
se conserva. Esta relacin puede ser resuelta por la
velocidad de B en su elevacin mxima.
21
2
1
LdtFL
t
t
(la velocidad de B relativa a A
es cero en la posicin 2)
2,2,2,2,
01,1, 0
AABAB
BA
vvvv
vvv
Las velocidades en las posiciones 1 y 2 son:
2,0 ABAB vmmvm
02,2, vmm
mvv
BA
BBA
ecuacin componente x:
2,2,1,1, BBAABBAA vmvmvmvm
x
y
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Problema resuelto 14.4
14 - 18
El principio de conservacin de la energa se puede
aplicar para relacionar la energa cintica inicial con la
energa potencial mxima:
2211 VTVT
Posicin 1 - Energa potencial: glmV A1202
11 vmT B
ghmglmV BA 2
2 2,21
2 ABA vmmT
ghmglmvmmglmvm BAABAAB 2
2,212
021
g
v
mm
mh
BA
A
2
20
2
0
20
22,
20
2222
v
mm
m
mg
mm
g
v
g
v
m
mm
g
vh
BA
B
B
BAA
B
BA
g
v
mm
m
g
vh
BA
B
22
20
20
Energa cintica:
Posicin 2 - Energa potencial:
Energa cintica:
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Problema resuelto 14.5
14 - 19
La bola A tiene una velocidad inicial
v0 = 10 ft/s paralela al eje de la mesa. Esta
bola choca con la bola B y luego con la bola
C, las cuales se encuentran en reposo. Las
bolas A y C inciden de manera perpendicular
en los lados de la mesa en los puntos A y C,
y la bola B choca de manera oblicua en B.
Considerando impactos perfectamente
elsticos, determinar las velocidades vA, vB y
vC con las cuales las bolas chocan con los
lados de la mesa.
SOLUCIN:
Escribir las ecuaciones de
conservacin en trminos de las
velocidades desconocidas y
resolver de manera simultnea.
La solucin requiere cuatro
ecuaciones: principios de
conservacin de la cantidad de
movimiento lineal (ecuaciones de
dos componentes), cantidad de
movimiento angular y energa.
Hay cuatro incgnitas: vA, vB,x,
vB,y y vC.
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Problema resuelto 14.5
14 - 20
x
y
ivv
jvivv
jvv
CC
yBxBB
AA
,,
SOLUCIN:
Hay cuatro incgnitas: vA,
vB,x, vB,y y vC.
Ecuaciones de la conservacin de la cantidad de
movimiento y energa:
yBACxB mvmvmvmvmv
LdtFL
,,0
21
0
2212
,2
,212
212
021
2211
CyBxBA mvvvmmvmv
VTVT
CyBA
OOO
mvmvmvmv
HdtMH
ft3ft7ft8ft2 ,0
2,1,
Resolviendo las primeras tres ecuaciones en
trminos de vC:
CxBCyBA vvvvv 10203 ,,
Sustituyendo en la ecuacin de la energa:
080026020
100102032
2
222
CC
CCC
vv
vvv
sft47.4sft42sft8sft4
BB
CA
vjiv
vv
