Systematic stochastic modeling

of atmospheric variability

Christian FranzkeMeteorological Institute

Center for Earth System Research and Sustainability 

University of Hamburg

Daniel Peavoy and Gareth Roberts (Warwick)

Daan Crommelin (CWI) and Andy Majda (NYU)

  2

Outline

1) Motivation

2) Stochastic Mode Reduction

3) Physical Constraints

4) Bayesian Parameter Estimation

5) Results

6) Summary

  3

Scales

  4

Long­Range Forecasts

  5

Reduced Stochastic Climate Models

 → Computationally much cheaper

 → Capture essential dynamics

­ Improved extended range forecasting­ Large ensemble forecasting­ Long­term climate studies (e.g. paleo­climate)­ Long control simulations to estimate extremes­ Extreme Event Prediction

  6

Reduced Order Models

Slow Climate Modes

Fast Weather Modes

Reduced Model

Assumption: Time scale separation

  7

Reduced Order Models

Assumption: Time scale separation

  8

Stochastic Modeling

  9

Outline

1) Motivation

2) Stochastic Mode Reduction

3) Physical Constraints

4) Bayesian Parameter Estimation

5) Results

6) Summary

  10

Stochastic Mode Reduction

           Equations of motions         Energy conservation 

Decompose u into (x,y)

x: slow compomenty: fast component

dudt

=F+Lu+ I (u ,u) u∗I (u ,u)=0

  11

Stochastic Mode Reduction

Fast nonlinear interactions: I(y,y)

e.g. Ohrnstein­Uhlenbeck Process → Continous time version of AR(1)

Majda et al.1999, 2001, 2008; Franzke et al. 2005; Franzke and Majda 2006

  12

Stochastic Mode Reduction

           Equations of motions         Energy conservation 

dudt

=F+Lu+ I (u ,u) u∗I (u ,u)=0

dx=(~F+

~L x+~I (x , x)+M (x , x , x))dt+σA dW A+σM (x)dW M

Reduced Model:

Mode Reduction

  13

Stochastic Mode Reduction

  14

Stochastic Mode Reduction

Solve for y:

  15

Stochastic Mode Reduction

For

  16

Stochastic Mode Reduction

Plug into equation for x:

  17

Stochastic Mode Reduction

Plug into equation for x:

CAM Noise

  18

Stochastic Mode Reduction

Plug into equation for x:

CAM Noise

Cubic Term

  22

Outline

1) Motivation

2) Stochastic Mode Reduction

3) Physical Constraints

4) Bayesian Parameter Estimation

5) Results

6) Summary

  23

Constraints on Stochastic Climate Models

  24

Constraints on Stochastic Climate Models

Only considering cubic terms

Majda et al. 2009; Peavoy et al. 2015

  25

Constraints on Stochastic Climate Models

Majda et al. 2009; Peavoy et al. 2015

Stability: 

Quadratic form Q is negative­definite

Allows the system to be linearly unstable

  26

Peavoy et al. 2015

Physical Constraints

Without constraint about40% of parameterestimates lead to unstablesolutions

  27

Outline

1) Motivation

2) Stochastic Mode Reduction

3) Physical Constraints

4) Bayesian Parameter Estimation

5) Results

6) Summary

  28

Bayesian Parameter Estimation Procedure

Imputing of Data

Discretisation: Euler­Maruyama scheme

Modified Linear Bridge

Likelihood based parameter estimation (MCMC)

Peavoy et al. 2015

  29

Peavoy et al. 2015

How to sample negative­definite matrices?

Wishart Distribution

Truncated Normal Algorithm:A n×n matrix is negative definite if and only if all k≤n 

leading principal minors obey |Mk|(­1)k > 0. The k­th principal minor is the determinant of the upperleft k×k sub­matrix.

Diagonal ElementsOff­Diagonal Elements

  30

Peavoy et al. 2015

Modelling Memory Effects via Latent Variables

Red Noise

  31

Outline

1) Motivation

2) Stochastic Mode Reduction

3) Physical Constraints

4) Bayesian Parameter Estimation

5) Results

6) Summary

  32

Triad Model Example

ModelReduction

Peavoy et al. 2015

  33

Triad Model Example

Peavoy et al. 2015

  34

Test: Chaotic Lorenz Model

ε = 0.1 ε = 0.01

Reduced order model:

Peavoy et al. 2015

  35

Peavoy et al. 2015

Flow over topography on a ß­plane

  36

Arctic Oscillation Index 

Autocorrelation Function

From NCAR­NCEP reanalysis datacovering period 1948­2010

  37

● North Atlantic Jet Stream has three persistent states

● Persistent states exhibit variability on interannual and decadal time scales

● Propensity of extreme wind speeds depend on persistent states

  38

Summary● Normal form for reduced stochastic climate models 

predict a cubic nonlinear drift and a correlated additive and multiplicative CAM noise.

● Bayesian Framework for Physics Constrained Parameter Estimation 

● Reduced stochastic climate models perform wellReferences:● Majda, Franzke and Crommelin, 2009: Normal forms for reduced stochastic 

climate  models. Proc. Natl. Acad. Sci. USA, 106, 3649­3653.● Peavoy, Franzke and Roberts, 2015: Physics constrained parameter estimation of 

stochastic differential equations. Comp. Stat. Data Ana., 83, 182­199.● Franzke, C., T. O'Kane, J. Berner, P. Williams and V. Lucarini, 2015: Stochastic 

Climate Theory and Modelling. WIREs Climate Change, 6, 63­78.● Gottwald, G., D. Crommelin and C. Franzke, 2016: Stochastic Climate Theory. To 

appear in Nonlinear and Stochastic Climate Dynamics, Cambridge University Press.