SWorld – 18-30 March 2014 http://www.sworld.com.ua/index.php/ru/conference/the-content-of-conferences/archives-of-individual-conferences/march-2014

MODERN DIRECTIONS OF THEORETICAL AND APPLIED RESEARCHES ‘2014 Технічні науки –Інформатика, обчислювальна техніка і автоматизація

УДК 681.516.77:622.24

Семенцов Г.Н., Кизима Л.В., Копистинський Л.О.

ЕКСПЕРИМЕНТАЛЬНА ОЦІНКА СТАТИСТИЧНИХ ХАРАКТЕРИСТИК

ВИПАДКОВИХ ПРОЦЕСІВ В СИСТЕМІ АВТОМАТИЧНОГО

КЕРУВАННЯ ПРОЦЕСОМ БУРІННЯ СВЕРДЛОВИН ЕЛЕКТРОБУРОМ

Івано-Франківський національний технічний університет нафти і газу,

Івано-Франківськ, Карпатська 15, 76019

UDC 681.516.77:622.24

Sementsov G.N., Kyzyma L.V., Kopystynsky L.O.

THE EXPERIMENTAL EVALUATION OF STATISTICAL

CHARACTERISTIC FOR RANDOM PROCESSES IN THE SYSTEM OF

AUTOMATIC CONTROL FOR WELLS DRILLING WITH

ELECTRODRILL

Ivano-Frankivsk National Technical University of Oil and Gas,

Ivano-Frankivsk, Carpathian 15, 76019

Анотація. Уроботінаведено результати досліджень статистичних

характеристик випадкових процесів у системі автоматичного керування

процесом буріння свердловин електробуром, яка має змінну структурує

Досліджено закони розподілу, оцінки автокореляційних функцій і спектральної

густини осьового зусилля на долото і струму навантаження двигуна

електробура, які є керованими параметрами в залежності від глибини

свердловини. Знайдено амплітудно-фазові характеристики формуючих

фільтрів для досліджуваних параметрів.

Ключові слова: автоматичне керування, буріння електробуром,

автокореляційна функція, спектральна густина, формуючий фільтр.

Abstract. In this paper there was summarized research results of statistical

characteristic for random processes in the system of automatic control for wells

drilling process with electrodrill, which does have an variable structure. There was

explored the regularities of distribution and evaluation peculiarities for

autocorrelation functions and the spectral density of weight on bit characteristic and

the load current for electrodrill engine, which are considered as an controlled

parameters dependently from well depth. There was disclosed amplitude and phase

characteristics of shaping filters for studied parameters.

Keywords: automatic control, drilling with electrodrill, autocorrelation

function, spectral density, shaping filter.

Визначення оцінок статистичних характеристик випадкових процесів у

системі автоматичного керування процесом буріння свердловин електробурами

є актуальною науково-прикладною задачею, оскільки він є нелінійним

стохастичним процесом, що розвивається в часі, здійснюється за умов

апріорної та поточної невизначеності і перебуває під впливом різного типу

адитивних і мультиплікативних завад. Проте, аналіз літературних джерел

(наприклад, [1-3 та ін.]) показав недостатній обсяг досліджень в контексті

вивчення статистичних характеристик процесу буріння свердловин

електробурами.

Тому метою даної роботи є – визначити оцінки таких статистичних

характеристик випадкових процесів як закони розподілу, оцінки

автокореляційних функцій, спектральної густини та запропонувати амплітудно-

фазові характеристики формуючих фільтрів.

Для встановлення виду функції густини розподілу, оцінок

автокореляційних функцій і спектральної густини використані дані про зміну

осьової сили на долото F(t) і струму навантаження двигуна електробура І(t), які

отримані при бурінні свердловин «Спас 101» на Прикарпатті з використанням

електробуру Е215-8м.

Для знаходження відповідних показників використовували програмну

систему MathCadта відповідні оператори.

ORIGIN:=1

Вектор спостереження

І:= (117.5 118.5 120 120 121.5 121.5 123 123123 126 129 129.5 129 123 124.5

124.5 126 127.5 126 124.5 126 126 124.5 124.5 124.5 125.5

126 125 126 126 126 126 126 126 123 120 120.5 123 123 123.5 126 126 126 126.5

126 127.5 129 126)Т

n:=rows (I)

Математичне сподівання: mean(I) = 124.704 704.1241

1

n

i

iIn

m:=mean(I)

Середнє геометричне: gmean(I) = 124.674 674.1241

n

n

i

iI

Середнє гармонічне: hmean(I) = 124.644 644.124)11

( 1

1

n

i iIn

Дисперсія:

зміщена оцінка: var(I) = 7.387 387.7m)(1 2

1

n

i

iIn

незміщена оцінка: Var(I) = 7.541 541.7m)(1

1 2

1

n

i

iIn

Середньоквадратичне відхилення:

зміщена оцінка: stdev(I)=2.718 718.2 var(I)

незміщена оцінка: Stdev(I)=2.746 746.2 Var(I)

Медіана: median(I)=126

Мода: mode(I)=126

Ексцес: kurt(I)=0.249

Ассиметрія: skew(I)= -0.616

Характеристика вибірки даних для осьової сили на долото F, кН

ORIGIN:=1

Вектор спостереження

F:= (12.0 30.0 78 78 84 96 108 114 114 144 150 162 162 162 54

42 108 120 120 132 132 132 144 132 138 132 138 138 156 156.5

141 132 144 141 138 144 138 138 156 156 144 162 144 156 162 156 156)Т

n:=rows (F)

Математичне сподівання: mean(F) = 129.092 092.129F1

1

n

i

in

m:=mean(F)

Середнє геометричне: gmean(F) = 119.599 599.119F1

n

n

i

i

Середнє гармонічне: hmean(F) =98.306 306.98)11

( 1

1

n

i iIn

Дисперсія:

зміщена оцінка: var(F) = 1.317·103 32

1

10317.1m)F(1

n

i

in

незміщена оцінка: Var(F) = 1.344·103

1.344·10m)F(1

1 32

1

n

i

in

Середньоквадратичне відхилення

зміщена оцінка: stdev(F)=36.285 285.36 var(F)

незміщена оцінка: Stdev(F)=36.661 661.36 Var(F)

Медіана: median(F)=138

Мода: mode(F)=156

Ексцес: kurt(F)=2.299

Ассиметрія: skew(F)= -1.521

Завдяки асиметрії і ексцесу можемо судити про вигляд самого закону

розподілу, а саме напрям і міру скошеності (правостороння чи лівостороння

асиметрія), гостровершинний чи плоско вершинний розподіл.

Для того, щоб визначити закон розподілу, за допомогою програми

MathCad опрацювали кожну вибірку даних і побудували інтегральні функції

розподілу. Використовуватимемо 3 основні закони розподілу : нормальний,

логарифмічний та рівномірний.

Нехай дані відповідають таким законам розподілу:

нормальний розподіл (функція ймовірності pnorm);

логарифмічний розподіл(plogis);

рівномірний розподіл (punif)

Спочатку опрацюємо першу вибірку даних, яка відповідає силі струму І, А

(рис.1).

ORIGIN:=1 i:=1..n pi:= in

1 x:=0..129.5

n-кількість чисел у вибірці

X:=rnorm(n,117.5,129.5) X:=rlogis(n,117.5,129.5) X:=rpunif(n,117.5,129.5)

X:=sort(I) m:=mean(I) σ:=stdev(I) m=124.704 σ=2.718

pn:= pnorm (X,m,σ) pl:= plogis (X,m,σ) pn:= punif (X,117.5,129.5)

Коефіцієнт и кореляції corr(pp):=corr(pp,p)

cor(pn)=0.966

cor(pl)=0.959

cor(pu)=0.94

Рис.1. Інтегральна функція розподілу сили струму

Далі побудуємо теоретичні закони розподілу (нормальний, логарифмічний,

рівномірний) та розподіл отриманий за експериментальними даними і

порівняємо їх (рис. 2). Для цього спершу знайдемо імовірності появи кожного

елементу у вибірці та згрупуємо їх:

i:=1..15 n:=49

eli:= keli:= peli:= n

kel i

Рис. 2.- Графіки нормального, логарифмічного, рівномірного розподілів та

розподілу, побудованого за експериментальними даними

Отже, як видно з графіку (рис. 2), найкраще підходить нормальний закон

розподілу. Перевіримо наше припущення за допомогою критерію Пірсонаχ2.

Критерій Пірсона χ2 знаходиться за формулою:

χ2

mti

mtimi 2)(:

, (1)

де mi – абсолютні частоти випадкових значень;

el³

117.5

118.5

120

120.5

121.5

123

123.5

124.5

125

125.5

126

126.5

127.5

129

129.5

kel³

1

1

3

1

2

7

1

6

1

1

17

1

2

4

1

pel³

0.02

0.02

0.061

0.02

0.041

0.143

0.02

0.122

0.02

0.02

0.347

0.02

0.041

0.082

0.02

mti – теоретичні частоти.

Перевірка за критерієм Пірсона:

χ2

n

i i

ii

dp

dpdhn

1

2)(: - критерій Пірсона

r:=n-3

χ2(dn)=226.059 χ

2(dl)=160.413 χ

2(du)=177.268

pχ2(dp):=pchisq(χ

2(dp),r)

pχ2(dn)=1 pχ

2(dl)=0.889 pχ

2(du)=0.901

Отже, згідно критерію Пірсона, даний розподіл близький до нормального.

Аналогічні операції здійснимо для даних вибірки F, кН (рис. 3).

ORIGIN:=1 i:=1..n pi:= in

1 x:=0..162

n-кількість чисел у вибірці

X:=rnorm(n,12,162) X:=rlogis(n,12,162) X:=rpunif(n,12,162)

X:=sort(F) m:=mean(F) σ:=stdev(F) m=129.092 σ=36.285

pn:= pnorm(X,m,σ) pl:= plogis(X,m,σ) pn:= punif(X,12,162)

Коефіцієнт и кореляції corr(pp):=corr(pp,p)

cor(pn)=0.946

cor(pl)=0.924

cor(pu)=0.865

Рис.3. Інтегральна функція розподілу осьовоїсили на долото

i:=1..15 n:=49

eli:= keli:= peli:= n

kel i

Рис.4. Графіки розподілів осьової сили на долото

Зграфіку видно (рис. 4), що найкраще підходить нормальний розподіл.

Перевірка за критерієм Пірсона:

r:=n-3

χ2(dn)=109.361χ

2(dl)=90.398χ

2(du)=100.385

pχ2(dp):=pchisq(χ

2(dp),r)

pχ2(dn)=1 pχ

2(dl)=0.999pχ

2(du)=0.999

Згідно критерію Пірсона, даний розподіл близький до нормального.

Для випадкової функції одномірний розподіл імовірності і отримані на

основі нього характеристики, такі як оцінка математичного сподівання та

дисперсія, ще не є достатніми для оцінки характеру протікання випадкового

процесу в часі. Необхідно ще встановити зв’язок між значеннями випадкового

процесу в різні моменти часу. Це можна зробити за допомогою двохмірної

функції розподілу автокореляційної функції або функції спектральної густини.

Автокореляційна функція визначається за формулою[4]:

𝑅𝑥𝑥 𝜏 = 𝑥 𝑡 𝑥′(𝑡 − 𝜏)𝑑𝑡∞

−∞. (2)

де τ – кореляційний зсув.

Щоб отримати оцінки автокореляційних функцій скористаємось

програмним пакетом MatLab (рис. 5).

Рис. 5. Графік автокореляційної функції для струму

Графік отриманої автокореляційної функції підтверджує, що

досліджуваний процес x(t) є стаціонарним і ергодичним, оскільки функція

прямує до 0.

Для одержання рівняння автокореляційної функції скористаємось

програмою CurveExpert. Під час апроксимації отримали декілька кривих і

обрали з них найкращу (рис. 6).

Рис. 6. Рівняння автокореляційної функції (ExponentialFit)

Найкращий результат отримали при апроксимації кривої за експонентою,

оскільки коефіцієнт кореляції для неї r=0,997, а похибка рівна 0,02.

Отже, рівняння автокореляційної функції для струму наступне:

.84,1)( 76,5 eR (3)

Побудуємо автокореляційну функцію для наступного параметру, а саме

осьової сили на долото (рис. 7). В командному рядку запишемо наступні

команди:

>>Rxx=xcorr(F,t,'coef');

>>plot(Rxx)

Рис.7. Графік автокореляційної функції для F

Одержавши графік автокореляційної функції, апроксимуємо її в програмі

CurveExper для одержання рівняння функції.

Найкращий коефіцієнт апроксимації r=0,999 і одночасно найменшу

похибку отримали при апроксимації автокореляційної функції експонентою

(рис. 7).

Рис. 8. Рівняння автокореляційної функції для F

Отже, рівняння автокореляційної функції для параметру сила

навантаження на долото наступне:

885.524,1)( eR . (4)

Спектральна густина є додатною функцією у всьому діапазоні частот від 0

до . Вона не містить відомостей про фази окремих гармонійних складових.

Застосовуючи до кореляційної функції )()( DeR перетворення

знаходимо спектральну густину [4]:

0

22

)( 2cos2)(

DdDeS . (5)

Оскільки, одержані нами кореляційні функції експоненціальні, то

запишемо їх спектральну густину за формулою (5) і побудуємо їх графік за

допомогою програмного пакету MatCad (рис.9, рис. 10).

Для струму І автокореляційна функція така: 76,584,1)( eR , де

D=1,84, =5,76.

Отже, запишемо формулу для спектральної густини струму:

218,33

2,21)(

S

218.33

312.21:)(

wwS

500..002.0,0:w

Рис.9. Графік спектральної густини для струму

Згідно рівняння автокореляційної функції осьвої сили на долото (4)

D=1,24, =5,885.Тоді формула для спектральної густини буде наступна:

26,34

6,14)(

S .

26.34

6.14:)(

wwS

500..002.0,0:w

Рис.10. Графік спектральної густини для F

При дослідженні автоматичних систем виникає необхідність створювати

типові випадкові впливи штучно – за допомогою спеціальних генераторів.

Найпростіше ця задача вирішується з використанням методу формуючого

фільтра. Суть методі полягає в тому, що потрібний випадковий сигнал

отримується шляхом пропускання білого шуму через фільтр з відповідною

частотною характеристикою.

Частотна передавальна функція (ФW j ) фільтра зв’язана з спектральною

густиною S(ω) формуючого сигналу наступним співвідношенням[4]:

{Wф(jω)}2 = S(ω). (6)

Для пошуку функції Wф(jω) необхідно розкласти спектральну густину S(ω)

на спряжені множники Wф(jω) і Wф(-jω). З цих двох множників фізично

реалізуємо у вигляді фільтра тільки перший множник, в якому нулі і полюси

(корені чисельника і знаменника) знаходяться у верхній півплощині.

Для сигналу з експоненціальною кореляційною функцією частотна

функція фізично реалізованого фільтра:

Wф(jω)=

j

2

D. (7)

Формула для спектральної густини струму наступна:

218,33

2,21)(

S .

Тоді частотна передавальна функція формуючого фільтру для струму буде

такою:

Wф(jω)j76,5

6,4

. (8)

Для того, щоб побудувати АФХ спершу необхідно розділити дійсну і

уявну частини, помноживши чисельник і знаменник на спряжений вираз. Далі в

програмному пакеті MatCad будуємо АФХ (рис. 11, рис. 12).

218.33

61.26:)(

wwP

218.33

62.4:)(

w

wwQ

500..002.0,0:w

Рис.11.АФХ формуючого фільтру для струму двигуна електробура

Частотна передавальна функція формуючого фільтру для осьової сили на

долото буде такою:

Wф(jω)j885,5

82,3

. (9)

26.34

48.22:)(

wwP

26.34

82.3:)(

w

wwQ

500..002.0,0:w

Рис.12.АФХ формуючого фільтру дляосьової сили на долото

Висновок

На основі результатів експериментальних досліджень статистичних

характеристик випадкових процесів зміни осьової сили на долото і струму

навантаження двигуна електробура у системі автоматичного керування

процесом буріння свердловин електробуром виявили їх закони розподілу,

оцінки автокреляційних функцій і спектральної густини, що дозволило

запропонувати амплітудно-фазові характеристики формуючих фільтрів.

Література:

1. Фоменко Ф. Н. Бурение скважин электробуром / Ф. Н. Фоменко // М.:

Недра – 1974. – 272 с.

2. Балденко Ф.Д. Автоматизированные системы управления режимом

бурения скважин забойними двигателями / Ф.Д. Балденко, А.П. Шмидт //

Бурение и нефть, 2003. –№ 4. – С. 14-17.

3. Бунчак З. Електробур. Парадокси і реальність / З.Бунчак, О.Дудар,

О.Кекот, О.Турянський. – Електроінформ, №4. – 2003. – С. 8-11.

4. Семенцов Г.Н. Теорія автоматичного керування: [навч. посібник] /

Г.Н.Семенцов. – Івано-Франківськ: ІФНТУНГ. – 1999. – 610 с.

Статья відправлена: 24.01.2014г.

© Семенцов Г.Н., Кизима Л.В., Копистинський Л.О.