Surface Plasmon Resonance using FDTD for Single Gold Nanoparticles

STUDI SURFACE PLASMON TERLOKALISASI PADA NANOSPHERE

LOGAM DENGAN METODE FINITE-DIFFERENCE TIME DOMAIN

(FDTD)

TUGAS AKHIR

Karya tulis sebagai salah satu syarat

untuk memperoleh gelar Sarjana Sains dari Institut Teknologi Bandung

Oleh

Zamzam Ibnu Sina

NIM 10208098

PROGRAM STUDI FISIKA

FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM

INSTITUT TEKNOLOGI BANDUNG

2013

Lembar Pengesahan

STUDI SURFACE PLASMON TERLOKALISASI PADA NANOSPHERE

LOGAM DENGAN METODE FINITE-DIFFERENCE TIME DOMAIN

(FDTD)

Oleh

Zamzam Ibnu Sina

NIM 10208098 Program Studi Fisika

Institut Teknologi Bandung

Menyetujui,

Tim Pembimbing

Bandung, 21 Juni 2013

Pembimbing I

Agoes Soehianie Ph.D

NIP: 19640510 198903 1 002

Pembimbing II

Alexander A.P. Iskandar Ph.D NIP: 19640808 199001 1 001

i

ABSTRAK

Ketika suatu logam berada pada suatu medan elektromagnetik eksternal, terjadi

eksitasi gelombang elektromagnetik pada perbatasan antara logam dan dielektrik yang

disebut Surface Plasmons atau Surface Plasmons-Polaritons. Hal ini menyebabkan terjadinya

penguatan medan (field enhancement) pada perbatasan antara logam dan dielektrik. Surface

Plasmon terlokalisasi terjadi pada nanopartikel logam. Pengamatan dilakukan dengan

membangun simulasi perambatan gelombang elektromagnetik dengan menempatkan

nanopartikel emas sebagai penghambur. Fenomena resonansi dapat diamati melalui spektrum

hamburan dan serapan yaitu berupa puncak spektrum. Simulasi dilakukan dengan

memecahkan persamaan Maxwell menggunakan metode Finite Difference Time Domain.

Sifat optik logam ketika berinteraksi gelombang elektromagnetik yang bergantung oleh

frekuensi dijelaskan dengan model Drude. Akan tetapi, permitivitas sebagai fungsi frekuensi

dinyatakan dalam fungsi permitivitas model Drude+2 Critical Points (D+2CP) sehingga

dapat digunakan untuk rentang frekuensi yang lebih besar. Hasil simulasi menunjukkan

adanya kebergantungan letak panjang gelombang resonansi terhadap ukuran nanopartikel.

Untuk itu, digunakan teori Mie orde satu untuk memperoleh spektrum hamburan sebagai

pembanding dengan hasil simulasi FDTD.

ii

ABSTRACT

When a metal is under effect of external electromagnetic wave, excitation of

electromagnetic wave occurs at the interface of metal and dielectric known as Surface

Plasmons or Surface Plasmons Polaritons. Excitation of Surface Plasmon leads to field

enhancement at the interface. Localized Surface Plasmon exists in metal nanoparticle.

Observation performed by building a simulation of propagation of electromagnetic wave and

using metal nanoparticle as scatterer. Resonance can be observed via scattering and

absorption spectra. Simulation performed by solving Maxwell equation using Finite

Difference Time Domain method. Optical properties of metal as a function of frequency

explained by Drude Model. However, to make this simulation valid for a wider range of

frequencies, permittivity function of Drude+2 Critical Points model is used. Results show

that resonance wavelength depends on size of the nanoparticles. As a comparison, the results

from calculation with first order Mie theory is used.

iii

KATA PENGANTAR

Maha Suci Allah atas nikmat kehidupan, nikmat ilmu, dan nikmat kesehatan yang

telah diberikan, sehingga karya tulis berjudul “Studi Surface Plasmon Terlokalisasi pada

Nanosphere Logam dengan Metode Finite-Difference Time Domain (FDTD)” dapat

terselesaikan dengan baik. Sholawat serta salam bagi insan terbaik Rasulullah Muhammad

SAW atas perjuangan beliau dan para sahabatnya yang telah membuka sebuah cakrawala

zaman baru dari kegelapan menuju terang-benderang.

Karya tulis ini tidak akan selesai tanpa kontribusi berbagai pihak. Oleh karena itu,

saya ingin mengucapkan terima kasih kepada :

Allah Subhanahu Wata’ala yang telah melindungi, memberi petunjuk, dan memberikan

segala nikmat serta kasih-Nya yang tiada terkira sehingga penelitian ini dapat

diselesaikan .

Ibu dan Bapak yang telah memberikan amanah kepada penulis untuk menyelesaikan

studi di ITB. Terima kasih atas dukungan dan doa yang selalu menyertai hari-hari penulis,

Semoga Allah selalu memberikan perlindungan dan rahmat kepada Ibu dan Bapak.

Seluruh keluarga yang selalu mendoakan dan memotivasi.

Bapak Agoes Soehianie Ph.D sebagai pembimbing yang telah banyak memberikan ilmu,

membantu, serta memberikan masukkan dan dukungan yang besar kepada penulis

sehingga terselesaikannya tugas akhir ini.

Bapak Alexander A.P. Iskandar dan Bapak Prof. Tjia May On atas dukungan dan saran-

sarannya dalam diskusi.

Staff tata usaha prodi fisika, Pak Yeye, Pak Dedi, Pak Imbalo, Bu Ratna, dan staff lain,

yang telah sabar dan bekerja keras memberikan pelayanan yang terbaik kepada

mahasiswa-mahasiswa fisika.

Saudara Panji Achmari sebagai sahabat dan pelopor dari studi ini yang banyak

membantu dan memberi saran-saran yang bermanfaat bagi keberjalanan tugas akhir ini.

Teman-teman Pengurus lab UPK Fisika sebagai tempat penulis menghabiskan waktu.

Saudara Dani Irawan yang banyak membantu penulis dalam mengolah data. Alderizal,

Edi Parlindungan, dan Khoerudin atas pinjaman laptopnya. Serta kawan-kawan lab

lainnya Haekal, James, Ifa, Chandra dan Abu Rizal.

iv

Demikian kata pengantar sebagai pembuka dari karya tulis ini. Saya sampaikan maaf

yang sebesar-besarnya jika terdapat kekurangan pada karya tulis ini. Saya sangat menghargai

jika terdapat kritik dan saran yang ingin disampaikan pembaca dapat dikirimkan melalui

email saya, zamzam.itb@gmail,com.

Bandung, Juni 2013

Zamzam Ibnu Sina

v

DAFTAR ISI

Daftar Isi ............................................................................................................................... v

Daftar Gambar .................................................................................................................... vii

Daftar Tabel .......................................................................................................................... x

Bab I Pendahuluan ................................................................................................................ 1

1.1 Latar Belakang ..................................................................................................... 1

1.2 Tujuan Penelitian .................................................................................................. 3

1.3 Metode Penelitian ................................................................................................ 3

1.4 Sistematika Penulisan .......................................................................................... 4

Bab II Teori Dasar.................................................................................................................. 6

2.1 Sifat Dielektrik Logam ......................................................................................... 7

2.2 Model Gas Elektron Bebas / Model Drude ........................................................... 8

2.3 Model Analitik Surface Plasmon ........................................................................ 10

2.3.1 Pendekatan Quasi-statik ....................................................................... 10

2.3.2 Teori Mie Orde Pertama ...................................................................... 12

2.3.3 Penampang-Lintang Hamburan dan Serapan ........................................ 13

Bab III Simulasi Gelombang Elektromagnetik Dengan Metode Finite-Difference Time

Domain (FDTD) ..................................................................................................... 15

3.1 Persamaan Gelombang dan Persamaan Maxwell ................................................ 15

3.2 Algoritma FDTD ............................................................................................... 16

3.3 Perbatasan Medan Total / Medan Terhambur (TFSF) .......................................... 21

3.4 Gelombang Sumber ........................................................................................... 23

3.5 FDTD untuk 3 Dimensi ...................................................................................... 25

3.6 Syarat Batas Penyerap ........................................................................................ 26

3.7 Impelementasi Model Drude+2 Critical Points ................................................... 27

Bab IV. Analisis Surface Plasmon Terlokalisasi Melalui Spektrum Hamburan & Serapan

Serta Profil Medan .................................................................................................. 34

4.1 Surface Plasmon Berdasarkan Tinjauan Analitik ................................................ 35

4.2 Data Eksperimen Spektrum Hamburan ............................................................... 37

4.3 Hasil Simulasi Finite Difference Time Domain ................................................... 38

vi

4.3.1 Spektrum Hamburan, Serapan dan Extinction oleh Nanopartikel Emas

Tunggal .................................................................................................. 38

4.3.2 Profil Medan Elektromagnetik pada Daerah Simulasi ............................. 45

4.3.3 Spektrum Hamburan dan Serapan oleh Nanopartikel Emas dengan Objek

Tambahan ............................................................................................... 47

Bab V Kesimpulan dan Saran ............................................................................................... 49

5.1 Kesimpulan......................................................................................................... 49

5.2 Saran .................................................................................................................. 49

Daftar Pustaka ..................................................................................................................... 50

vii

DAFTAR GAMBAR

Gambar 1.1. Osilasi awan elektron (plasmon) pada nanopartikel logam akibat

pengaruh medan listrik ................................................................................... 1

Gambar 2.1. Contoh distribusi medan listrik di sekitar nanopartikel emas

berdiameter 60 nm ketika terjadi resonansi yang dihasilkan dengan

metode numerik Discrete Dipole Approximation (DDA).................................. 6

Gambar 2.2. Permitivitas logam emas dengan bagian imajiner (a) dan bagian real (b)

sebagai fungsi panjang gelombang yang diperoleh model Drude (garis)

dan juga data eksperimen Johnson dan Christy (titik) ....................................... 8

Gambar 2.3. Sketsa bola homogen dalam medan elektrostatik dengan potensial

ditinjau pada titik P........................................................................................ 10

Gambar 3.1. Sketsa susunan titik-titik medan dalam ruang dan waktu. Titik medan

listrik digambarkan dengan simbol lingkaran dan medan magnet dengan

simbol segitiga .............................................................................................. 19

Gambar 3.2. Susunan titik-titik medan setelah persamaan update H diberlakukan ke

seluruh titik medan magnet ............................................................................ 20

Gambar 3.3. Skema letak kotak detektor serapan dan detektor hamburan yang pada

daerah simulasi .............................................................................................. 21

Gambar 3.4. Skema titik-titik medan pada daerah perbatasan medan total/medan

terhambur ...................................................................................................... 22

Gambar 3.5. Kisi Yee yang menggambarkan lokasi titik-titik medan dalam ruang .............. 25

Gambar 3.6. Contoh susunan parameter � dalam algoritma PML pada bidang �

konstan pada daerah simulasi ......................................................................... 27

Gambar 3.7. Perbandingan permitivitas model D+2CP, Drude, dan data eksperimen

Johnson & Christy. Bagian imajiner permitivitas (a) dan bagian real

permitivitas (b) .............................................................................................. 28

Gambar 4.1. Spektrum hamburan dan serapan dengan model quasi-statik dan teori

Mie untuk bola emas dengan diameter 20 nm................................................. 36

Gambar 4.2. Spektrum serapan untuk nanopartikel emas dengan diameter 20 nm, 40

nm, 60 nm, 80 nm, 100 nm, 120 nm, dan 150 nm dengan teori Mie................ 36

viii

Gambar 4.3 Spektum hamburan nanopartikel emas tunggal berbagai ukuran dengan

dark-field microscopy (hitam) yang dicocokkan dengan perhitungan

teori Mie (biru) dengan data permitivitas empirik ........................................... 38

Gambar 4.4. Flux serapan (a) dan hamburan (b) untuk nanopartikel logam dengan

diameter 40 nm ketika disinari oleh cahaya dengan panjang gelombang

520 nm .......................................................................................................... 40

Gambar 4.5. Spektrum nanopartikel emas dengan diameter 20 nm. Nilai intensitas

ternormalisasi terhadap spektrum extinction. Keadaan resonansi terjadi

pada panjang gelombang 537 nm atau setara 2.308 eV ................................... 40


ternormalisasi terhadap spektrum extinction. Keadaan resonansi terjadi

pada panjang gelombang 544 nm atau setara 2.27 eV ..................................... 41


ternormalisasi terhadap spektrum extinction. Puncak spektrum

hamburan terjadi pada panjang gelombang 554 nm atau setara 2.23 eV .......... 42



hamburan terjadi pada panjang gelombang 588 nm atau setara 2.108 eV ........ 42










Gambar 4.12. Perbandingan pengaruh diameter terhadap panjang gelombang resonansi

berdasarkan hasil simulasi dengan teori Mie orde satu .................................... 45

Gambar 4.13. Pola intensitas medan listrik nanopartikel emas dengan diameter 100

nm ketika terjadi tidak terjadi resonansi yaitu � = 500 nm (a), dan

ketika terjadi resonansi � = 615 nm(b). Gambar diambil pada bidang y

konstan yang mengiris bola pada pusatnya ..................................................... 46

ix

Gambar 4.14. Spektrum balok emas dengan ketebalan 150 nm dan bidang normal

100 × 100 nm. Nilai intensitas ternormalisasi terhadap spektrum

extinction. Puncak spektrum hamburan terjadi pada panjang gelombang

sekitar 650 nm ............................................................................................... 47

Gambar4.15. Spektrum nanopartikel emas berdiameter 20 nm yang (a)menempel

pada ;(b) berjarak 35 nm dari; balok emas dengan ketebalan 150 nm .............. 48

x

DAFTAR TABEL

Tabel 3.1. Nilai parameter yang digunakan dengan optimasi pada rentang panjang

gelombang 200-1000 nm .................................................................................... 33

Tabel 4.1. Perhitungan puncak spektrum serapan dari nanopartikel emas berbagai

ukuran dengan teori Mie orde satu yang dinyatakan dalam panjang

gelombang dan energi ......................................................................................... 37

Tabel 4.2. Posisi puncak pada spektrum serapan nanopartikel emas berbagai ukuran

yang diperoleh dengan simulasi FDTD, dinyatakan dalam panjang

gelombang dan energi .................................................................................. 44

1

BAB I

PENDAHULUAN

1.1. Latar Belakang

Cabang studi dalam fisika optik yang mempelajari respon dari suatu logam

ketika berinteraksi dengan medan elektromagnetik dikenal sebagai plasmonik.

Beberapa gejala optik yang menarik dapat terjadi ketika logam berinteraksi

dengan gelombang EM. Bila terjadi kecocokan fasa (phase matching) antara fasa

plasma elektron dengan medan EM, akan terjadi eksitasi medan elektromagnetik

pada antarmuka (interface) antara logam dan dielektrik yang disebut surface

plasmon polaritons (SPP). Ketika cahaya yang datang memiliki energi yang tepat,

dapat terjadi resonansi antara gelombang tersebut dengan SPP. Efek resonansi ini

disebut Surface Plasmon Resonance (SPR)[1].

Dalam beberapa tahun terakhir, penelitian-penelitian dan pengembangan

yang berkaitan dengan SPPs juga mulai banyak diminati karena sifat-sifatnya

yang unik dan aplikasinya dalam optik misalnya, Surface-Enhanced Raman

Spectroscopy (SERS), penyimpanan data, sel surya, sensor, dan lain-lain[1].

Pada studi ini, dilakukan simulasi dan analisis interaksi antara gelombang

EM dengan nanopartikel emas berbagai ukuran. Karena yang digunakan adalah

nanopartikel logam, maka yang teramati adalah Surface Plasmon Terlokalisasi

(Localized Surface Plasmon (LSPR)). Ketika terjadi LSPR terjadi pengumpulan

(lokalisasi) muatan dan energi di sekitar permukaan nanopartikel.

Gambar 1.1. Osilasi awan elektron (plasmon) pada nanopartikel logam akibat pengaruh

medan listrik[2].

2

Secara garis besar, LSPR dipengaruhi oleh sifat dielektrik berupa

permitivitas bahan dan ukuran serta bentuk partikel logam yang digunakan[3,4].

Studi ini merupakan kelanjutan dan perluasan dari studi sebelumnya[5], tentang

surface plasmons pada nanopartikel emas dilakukan menggunakan simulasi

FDTD. Studi tersebut menyatakan permitivitas logam sebagai fungsi frekuensi

berdasarkan model Drude. Akan tetapi, model Drude memiliki kelemahan yaitu

tidak mampu menggambarkan permitivitas secara akurat pada daerah interband

transitions untuk logam emas pada energi lebih dari 1.8 eV (� kurang dari 600

nm), model Drude tidak dapat digunakan[4,5].

Kelemahan lain model Drude adalah, simulasi FDTD dengan model Drude

tidak mencapai keadaan tunak (steady state) pada rentang panjang gelombang

400-500 nm, sehingga data rata-rata yang diambil pada rentang tersebut menjadi

kurang valid. Karena keterbatasan model Drude tersebut, dibutuhkan perbaikan

pada model permitivitas yang digunakan. Dalam studi ini, perbaikan model Drude

dilakukan dengan mengadopsi model Drude dengan tambahan 2 Critical

Points[6,7,8]. Dengan perbaikan tersebut diharapkan simulasi FDTD ini dapat

digunakan untuk rentang panjang gelombang yang lebih besar sehingga dapat

digunakan untuk analisis plasmonik untuk ukuran nanopartikel yang lebih kecil.

Perumusan Masalah

Topik dalam penelitian tugas akhir ini adalah “Studi surface plasmon

terlokalisasi untuk nanopartikel emas dengan metode Finite Difference Time

Domain (FDTD) dengan model Drude + 2 Critical Points”.

Studi ini, digunakan program simulasi dari studi sebelumnya[5] dengan

memodifikasinya pada bagian implementasi model Drude. Pada studi

sebelumnya[5], model Drude diimplementasikan dengan metode Auxilliary

Differential Equation (ADE)[9]. Pendekatan ADE yaitu mengubah respon

frekuensi permitivitas logam menjadi bentuk persamaan differensial dalam

domain waktu sehingga dapat dijalankan secara simultan dalam perhitungan solusi

persamaan Gelombang EM dalam domain waktu. Dengan perbaikan model Drude

3

menjadi model Drude + 2 Critical Points, implementasi ke dalam algoritma FDTD

perlu disesuaikan juga. Hal ini dikarenakan bentuk permitivitas dalam model

Drude-Critical Points menjadi lebih rumit untuk diselesaikan dengan ADE,

sehingga digunakan metode Trapezoidal Recursive Convolution (TRC) [5,6].

1.2. Tujuan Penelitian

Tujuan studi tugas akhir ini adalah:

i. Membangun program simulasi FDTD untuk rentang panjang

gelombang yang lebih besar.

ii. Simulasi surface plasmon untuk nanopartikel dengan berbagai ukuran

diameter.

iii. Membandingkan hasil simulasi dengan berbagai studi dan metode

selain FDTD.

1.3. Metode Penelitian

Studi tugas akhir ini dilakukan melalui beberapa tahap antara lain :

a. Studi Pustaka

Studi pustaka digunakan untuk mempelajari teori-teori dasar gelombang EM dan

interaksinya dengan logam dan juga mempelajari hasil-hasil eksperimen terkait,

serta mempelajari hasil simulasi FDTD sebelumnya.

b. Pengembangan Program Simulasi

Program simulasi dilakukan menggunakan MATLAB dengan metode FDTD.

Input program adalah geometri nanopartikel, jenis bahan nanopartikel, serta

panjang gelombang (�) gelombang EM yang digunakan. Output program berupa

nilai medan E dan H sebagai fungsi ruang dan waktu. Selanjutnya, dari output

tersebut dapat diolah lebih jauh untuk mendapatkan besaran-besaran seperti, flux

hamburan dan flux serapan sebagai fungsi waktu (timestep). Spektrum hamburan

4

dan serapan dihitung berdasarkan nilai rata-rata flux terhadap waktu setelah

fluxnya telah mencapai keadaan tunak untuk setiap panjang gelombang.

c. Analisis data simulasi

Sebelum digunakan dalam perhitungan, program simulasi divalidasi dengan

menjalankan program tanpa adanya nanopartikel. Hal ini dilakukan untuk melihat

kinerja syarat batas penyerap (PML) [9,10]. Selanjutnya, analisis data simulasi

dikalibrasikan dengan membandingkan bentuk spektrum serapan dan hamburan

serta letak daerah resonansi nanopartikel emas berbentuk bola berbagai ukuran

dengan prediksi teori analitik pada daerah-daerah panjang gelombang tertentu,

dan juga dibandingkan secara kualitatif dengan hasil eksperimen.

1.4. Sistematika Penulisan

Pada bab 1, secara sekilas digambarkan fenomena Surface Plasmon Resonance

dan beberapa aplikasi yang umum. Selain itu, dijelaskan beberapa kekurangan

pada studi sebelumnya untuk diperbaiki pada studi ini.

Selanjutnya pada bab 2, diuraikan teori-teori dasar yang berkaitan dengan sifat

optik logam yang secara umum dapat dijelaskan oleh model Drude. Dijelaskan

juga fenomena Surface Plasmon Resonance beserta analisisnya dengan model-

model yang berkaitan, sampai dengan perhitungan penampang lintang hamburan

dan serapan untuk memperoleh spektrum hamburan dan serapan.

Pada bab 3, metode yang digunakan yaitu Finite Difference Time Domain (FDTD)

dibahas secara sederhana mulai dari persamaan Maxwell sampai dengan algoritma

FDTD. Selanjutnya, dijelaskan juga implementasi model Drude + 2CP ke dalam

algoritma FDTD.

Pada bab 4, data eksperimen, data teoretik, dan hasil simulasi FDTD ditampilkan

dan dibandingkan. Selain itu juga ditunjukkan adanya lokalisasi terjadi ketika

panjang gelombang yang digunakan adalah panjang gelombang resonansi yaitu

5

ketika panjang gelombang ketika terjadi puncak pada spektrum hamburan atau

serapan.

Bab 5 berisi beberapa kesimpulan dari tugas akhir ini dan juga saran terkait

dengan kelanjutan dari studi tugas akhir ini.

6

BAB II

TEORI DASAR

Interaksi Logam dengan Gelombang Elektromagnetik

Cahaya merupakan gelombang elektromagnetik yang memiliki komponen

medan listrik dan medan magnet. Ketika suatu nanopartikel logam berada dalam

pengaruh gelombang elektromagnetik (disinari cahaya), osilasi medan listrik dari

gelombang tersebut menyebabkan adanya osilasi kolektif dari elektron-elektron

permukaan nanopartikel logam (gambar 1.1). Osilasi kolektif dari elektron-

elektron menghasilkan adanya eksitasi medan elektromagnetik yang terlokalisasi

pada permukaan batas antara nanopartikel logam dengan medium latar belakang

(background). Ketika frekuensi cahaya sama dengan frekuensi osilasi dari

elektron, terjadilah surface plasmon resonance. Pada keadaan ini, intensitas

medan elektromagnetik di sekitar nanopartikel logam lebih besar dibandingkan

daerah lainnya karena terjadinya near-field enhancement. Selain itu, pada saat

terjadi resonansi, energi yang hilang oleh nanopartikel akibat serapan dan

hamburan bernilai maksimum.

Gambar 2.1. Contoh distribusi medan listrik di sekitar nanopartikel emas

berdiameter 60 nm ketika terjadi resonansi yang dihasilkan dengan metode

numerik Discrete Dipole Approximation (DDA).

7

Karakteristik surface plasmon resonance sangat dipengaruhi oleh sifat

dielektrik dari logam yang digunakan. Selain itu, ukuran dan bentuk dari

nanopartikel logam juga memiliki pengaruh yang kuat terhadap pola spektrum

hamburan dan serapannya. Pada bab ini akan dijelaskan bagaimana hal-hal

tersebut mempengaruhi karakteristik surface plasmon dengan menghitung

intensitas yang dihamburkan dan diserap oleh nanopartikel logam.

2.1. Sifat Dielektrik Logam

Dalam mempelajari interaksi gelombang elektromagnetik dengan logam,

sifat optik dari logam (khususnya logam mulia) perlu dibahas terlebih dahulu. Hal

ini dikarenakan, respon logam terhadap gelombang elektromagnetik yang

dinyatakan dalam permitivitas atau indeks bias kompleksnya sangat bergantung

pada frekuensi gelombang elektromagnetik.

Telah diketahui dengan baik, bahwa pada rentang panjang gelombang

cahaya tampak (400-700 nm) logam tidak memungkinkan adanya gelombang

elektromagnetik yang dapat merambat melaluinya. Dengan kata lain, logam

bersifat sangat reflektif. Pada daerah panjang gelombang yang lebih rendah (UV

10-390 nm), gelombang elektromagnetik dapat menembus logam.

Sifat optik logam ini digambarkan oleh konstanta dielektrik kompleks

sebagai fungsi frekuensi �(�) = ��(�) + ��(�) . Konstanta dielektrik atau

disebut juga permitivitas relatif suatu bahan memiliki hubungan dengan indeks

bias kompleks �(�) = ��(�) + ��(�) yang dinyatakan dengan[11]

)2()( 2122

21

2 nninnn (2.1)

Bagian real dari indeks bias kompleks memberikan informasi tentang kecepatan

fasa dalam medium (dalam hal ini logam), sedangkan bagian imajiner dari indeks

bias terkait dengan penurunan amplitudo (atenuasi) gelombang elektromagnetik

serta koefisien serapan[4].

8

Data eksperimen indeks bias kompleks sebagai fungsi energi untuk logam-

logam mulia seperti tembaga, perak, dan emas telah diperoleh oleh Johnson dan

Christy[12].

2.2. Model Gas Elektron Bebas/ Model Drude

Pada rentang frekuensi tertentu, konstanta dielektrik kompleks sebagai

fungsi frekuensi dapat dijelaskan dengan model gas elektron bebas atau disebut

model plasma[4]. Model ini menjelaskan gerak osilasi gas elektron bebas secara

kolektif ketika diberi medan listrik luar serta adanya redaman akibat tumbukan

antar elektron dengan frekuensi � = 1/� dengan � disebut waktu relaksasi gas

elektron bebas. Jikalau energi foton gelombang EM yang dipakai mencapai nilai

tertentu, energi foton ini dapat mengeksitasi elektron dari pita valensi ke pita

konduksi yang disebut transisi antarpita (interband transitions). Untuk emas, hal

ini terjadi pada rentang cahaya tampak (sekitar 600 nm).

(a) (b)

Gambar 2.2. Permitivitas logam emas dengan bagian imajiner (a) dan bagian real (b)

sebagai fungsi panjang gelombang yang diperoleh model Drude (garis) dan juga data

eksperimen Johnson dan Christy (titik)[12].

Persamaan gerak plasma elektron dalam pengaruh medan listrik luar � dan

koefisien redaman � dapat dituliskan

9

Exx emm (2.2)

dengan � adalah massa efektif plasma elektron dan � adalah muatan elektron.

Jika diasumsikan medan listrik luar berupa medan harmonis �(�) = ��

maka solusi umum untuk � persamaan (2.2) adalah

tim

et Ex

2

(2.3)

Perpindahan elektron menghasilkan polarisasi pada bahan dengan

hubungan � = − ��, dengan � adalah jumlah elektron per volume. Selain itu,

terdapat polarisasi akibat kontribusi ion-ion di latar belakang yang disebut

polarisasi residu �� sebesar

EP 10 (2.4)

dengan �� adalah permitivitas residu. Sehingga, polarisasi total adalah

EP

102

2

im

ne

(2.5)

Hubungan medan perpindahan � dengan medan listrik � dan polarisasi bahan �

adalah

PED 0 (2.6)

Dengan persamaan (2.5), persamaan (2.6) dapat ditulis ulang menjadi

ED 0

(2.7)

dengan permitivitas relatif adalah

i

p

2

2

(2.8)

10

dengan �� =

��

�� adalah frekuensi plasma dari gas elektron bebas. Persamaan ini

dikenal sebagai permitivitas Model Drude[4,10].

2.3. Model Analitik Surface Plasmon

2.3.1. Pendekatan Quasi-statik

Setelah karakteristik logam dan model analitik dari permitivitas logam

dibahas, pembahasan dilanjutkan dengan meninjau bagaimana interaksi antara

nanopartikel logam dengan gelombang elektromagnetik (cahaya) sampai

terpenuhi syarat terjadinya resonansi untuk melihat bagaimana bentuk dan ukuran

logam mempengaruhi resonansi. Pertama-tama, surface plasmon dimodelkan

dengan pendekatan yang paling sederhana yaitu dengan model quasi-statik.

Pendekatan ini berlaku ketika ukuran partikel jauh lebih kecil dibandingkan

dengan panjang gelombang cahaya di medium sekelilingnya (� ≪ �)[4].

Tinjau suatu bola logam homogen isotropik dengan jari-jari � yang

diletakkan dalam suatu medan listrik statis (Gambar 2.3), respon dielektrik bola

logam ini dilihat dari permitivitas � sebagai fungsi dari frekuensi �.

Gambar 2.3. Sketsa bola homogen dalam medan elektrostatik dengan potensial ditinjau

pada titik P[4].

Dengan pendekatan elektrostatik, medan listrik dapat diperoleh dengan solusi

persamaan Laplace untuk potensial ∇�Φ = 0 dengan hubungan � = −∇Φ . Karena

11

pada kasus ini potensial bersimetri azimuth, maka solusi umum persamaan

Laplace

cos,0

1l

l

ll

ll PrBrAr

(2.9)

dimana ��(cos�) merupakan polinomial Legendre orde �. Karena potensial pada

pusat bola harus berhingga, maka solusi umum potensial di dalam dan luar bola

adalah

cos,0

ll

llin PrAr

(2.10)

cos,0

1l

l

ll

llout PrCrBr

(2.11)

Dengan syarat batas pada permukaan bola dan bahwa potensial pada � → ∞

adalah –��cos�, diperoleh

cos

2

3, 0rEr

m

min

(2.12)

2

300

cos

2cos,

raErEr

m

mout

(2.13)

Secara fisis, dapat diinterpretasi bahwa Φ �� merupakan superposisi dari

kontribusi medan luar dan juga dipol yang terletak di pusat bola. Oleh karena itu,

persamaan (2.13) dapat ditulis ulang sebagai

3

0

04

cos,r

rErm

out

rp

(2.14)

dengan

0

30

24 Ep

m

mma

(2.15)

Dapat dilihat bahwa medan luar menginduksi momen dipol di pusat bola dengan

nilai sebanding dengan |��|. Dengan mendefinisikan polarizabilitas � melalui

hubungan � = �� , diperoleh

12

m

ma

24 3

(2.16)

Polarizabilitas maksimum dicapai dengan memenuhi syarat yang disebut kondisi

Frohlich[4] yaitu

m 2Re

(2.17)

2.3.2 Teori Mie Orde Pertama

Seperti yang telah dijelaskan, pendekatan quasi-statik dapat digunakan

untuk partikel dengan diameter yang jauh lebih kecil dibanding panjang

gelombang cahaya, sedangkan untuk ukuran yang lebih besar pendekatan ini tidak

dapat digunakan lagi.

Untuk ukuran yang lebih besar, polarizabilitas diperoleh dengan

perhitungan menggunakan teori Mie orde satu yang diusulkan oleh Gustav Mie

pada tahun 1908[13,14].

4

3

42301

31

42101

30

2/32

10

1

xOix

xOxV

m

m

m

m

m

(2.18)

dengan � =��

� disebut size parameter (parameter ukuran).

Pendekatan yang dilakukan oleh Mie adalah dengan mengekspansi medan

internal dan medan terhambur ke dalam suatu set mode normal dari vektor

harmonik. Dalam teori Mie, efek keterlambatan fasa gelombang dan medan

depolarisasi dimasukkan dalam perhitungan yaitu masing-masing pada suku

kedua pembilang dan suku kedua penyebut di persamaan(2.18). Sedangkan suku

ketiga penyebut dari persamaan (2.18) adalah kontribusi redaman radiasi

(radiation damping) yang disebabkan oleh radiasi meluruhnya osilasi elektron

koheren menjadi foton[4].

13

2.3.3 Penampang-lintang Hamburan dan Serapan

Pada studi ini, analisis interaksi nanopartikel logam dengan gelombang

elektromagnetik diarahkan pada kasus hamburan dengan nanopartikel sebagai

penghambur dan juga penyerap cahaya.

Fenomena resonansi diindikasikan oleh spektrum hamburan dan serapan

dari partikel yaitu ketika spektrum hamburan dan serapan bernilai maksimum.

Besarnya radiasi yang dihamburkan dan diserap oleh nanopartikel logam dapat

dilihat dari nilai penampang-lintang hamburan dan serapan. Penampang-lintang

hamburan �� dan serapan �� dapat diturunkan dari vektor Poynting radiasi

gelombang elektromagnetik dan juga berhubungan dengan polarizabilitas �

yaitu[4,14]

2

4

6

kCsca (2.19)

ImkCabs (2.20)

dengan � =��

� adalah bilangan gelombang dan � adalah polarizabilitas partikel

logam. Dapat dilihat bahwa persamaan di atas juga menunjukkkan kesesuaian

bahwa hamburan dan serapan bernilai maksimum (resonansi) ketika kondisi

Frohlich(2.17) terpenuhi. Penjumlahan penampang-lintang hamburan dan

penampang-lintang serapan disebut penampang-lintang kepunahan �� yang

menyatakan banyaknya gelombang elektromagnetik yang hilang dari gelombang

datang.

absscaext CCC

(2.21)

Ketika digunakan pendekatan quasi-statik, ukuran nanopartikel hanya

mempengaruhi nilai maksimum pada spektrum. Akan tetapi, dengan pendekatan

teori Mie yang lebih lengkap dibandingkan pendekatan quasi-statik, dapat dilihat

bahwa ukuran juga mempengaruhi letak frekuensi resonansi (frekuensi puncak

spektrum). Ketika ukuran nanopartikel diperbesar, terjadi pergeseran letak

frekuensi resonansi menuju frekuensi yang lebih rendah (red-shift) yang

14

disebabkan oleh efek keterlambatan fasa gelombang. Untuk diameter nanopartikel

kurang dari 20 nm, efek tersebut sangat kecil sehingga pergeseran frekuensi

resonansi sudah tidak dapat dilihat. Oleh karena itu, dapat disimpulkan bahwa

batasan pendekatan quasi-statik yaitu untuk nanopartikel dengan diameter kurang

dari 20 nm.

15

BAB III

SIMULASI GELOMBANG ELEKTROMAGNETIK DENGAN

METODE FINITE-DIFFERENCE TIME DOMAIN (FDTD)

3.1 Persamaan Gelombang dan Persamaan Maxwell

Perambatan gelombang EM dapat diturunkan melalui persamaaan

Maxwell. Tinjau 2 buah persamaan Maxwell yaitu Hukum Ampere dan Hukum

Faraday.

sumbert

JHEE

(3.1)

sumbermt

MEHH

(3.2)

dengan � : permitivitas bahan, � : konduktivitas bahan, � : permeabilitas bahan,

�� : rugi ekivalen magnetik, �� : arus listrik sumber, � �� : magnetisasi

sumber.

Dalam kasus bebas sumber � �� = �� = �� = � = 0, persamaan (3.2)

dapat dituliskan menjadi

t

HE (3.3)

yaitu dengan melakukan operasi curl pada persamaan (3.2). Terdapat hubungan

identitas vektor yang menyatakan bahwa

EEE 2 (3.4)

Karena tidak ada muatan bebas, maka ∇ ∙� = 0 sehingga persamaan (3.3)

menjadi

HE

t2 (3.5)

16

Berdasarkan hubungan pada Hukum Ampere (3.1), maka persamaan (3.5) dapat

ditulis sebagai

01

2

2

2

2

tc

EE (3.6)

Persamaan di atas adalah persamaan gelombang untuk medan listrik yang

menjalar dengan kecepatan �= 1/√�� . Persamaan gelombang untuk medan

magnet � dapat diperoleh dengan cara yang sama dan akan menghasilkan

persamaan yang sama dengan (3.6) dengan mengganti � dengan H[10].

Bentuk persamaan gelombang (3.6) adalah bentuk persamaan gelombang

homogen yaitu dengan syarat � �� = �� = �� = � = 0. Untuk kasus

umum ketika nilai-nilai tersebut tidak 0, persamaan gelombang yang diperoleh

bukan persamaan gelombang yang homogen sehingga cenderung lebih sulit untuk

dipecahkan. Untuk itu, pada studi ini digunakan metode Finite Difference Time

Domain (FDTD) untuk menangani kasus yang lebih umum termasuk konfigurasi

geometri bahan yang dilalui gelombang EM.

3.2 Algoritma FDTD

Analisis plamonik dilakukan dengan menghitung hamburan dan serapan

oleh logam dengan metode FDTD yaitu dengan memecahkan persamaan Maxwell

untuk gelombang elektromagnetik yang berinteraksi dengan logam. Untuk

memecahkan persamaan Maxwell, algoritma FDTD menggunakan beda-tengah

orde dua (second order central differences).

2020

0

)(

xfxf

xxdx

xdf

(3.7)

Dengan menggunakan beda-tengah (central difference), kita dapat

menghitung aproksimasi turunan dari suatu fungsi pada titik tertentu, dengan

mengetahui nilai fungsi tersebut di titik tetangganya. Contohnya dalam persamaan

17

(3.8), yaitu untuk menghitung turunan fungsi pada titik �� dilakukan dengan

menghitung nilai fungsi tersebut pada titik �� +�

� dan �� −

�

�.

Secara umum, algoritma FDTD untuk solusi persamaan gelombang yang

diperkenalkan oleh Kane Yee bisa diringkas sebagai berikut[10]:

1. Mengganti seluruh turunan dalam persamaan Hukum Ampere (3.1) dan

Hukum Faraday (3.2) dengan beda hingga. Medan listrik dan magnet

didiskritisasi secara berselang-seling baik dalam ruang maupun waktu.

2. Memecahkan persamaan Hukum Ampere dan Hukum Faraday yang sudah

didiskritisasi untuk mendapatkan persamaan pembaruan (update) untuk

medan listrik dan magnet, untuk menghitung medan pada suatu timestep

berdasarkan medan pada satu timestep sebelumnya.

3. Medan magnet dievaluasi satu timestep ke depan, kemudian nilai medan

magnet tersebut digunakan pada langkah waktu berikutnya.

4. Medan listrik dievaluasi satu timestep ke depan, kemudian nilai medan

listrik tersebut digunakan pada langkah waktu berikutnya.

5. Ulangi poin 3 dan 4 sampai nilai medan didapat untuk durasi yang

diinginkan.

Informasi medan listrik dan medan magnet disimpan pada titik-titik yang

membentuk suatu kisi. Medan tersebut diperbaharui (update) di setiap titik

menggunakan persamaan pembaharuan yang diturunkan dari persamaan Hukum

Ampere dan Hukum Faraday.

Sebagai ilustrasi, penerapan algoritma di atas akan diaplikasikan untuk kasus 1

dimensi terlebih dahulu.

Tinjau medan dalam1 dimensi ruang dengan variasi hanya pada arah

sumbu x. Asumsikan medan listrik hanya memiliki komponen arah z, sehingga

Hukum Faraday dapat ditulis

18

x

Ea

Ex

aaa

tz

y

z

zyx

ˆ

00

00

ˆˆˆ

EH

(3.8)

Berdasarkan persamaan di atas, hanya komponen medan magnet pada arah y (Hy)

yang bervariasi terhadap waktu, sehingga Hukum Ampere dapat ditulis sebagai

x

Ha

Hx

aaa

t

y

z

y

zyx

ˆ

00

00

ˆˆˆ

HE

(3.9)

Sehingga didapatkan sepasang persamaan differensial orde-n tergandeng

x

Ea

tz

y

ˆ

H (3.10)

x

Ha

t

y

z

ˆ

E (3.11)

Langkah berikutnya yaitu mendiskritisasi ruang dan waktu, dan

mengganti turunan waktu dan ruang dari medan dengan beda-hingga (finite-

difference). Notasi berikut digunakan untuk menyatakan lokasi medan dalam

dimensi ruang dan waktu

mEtqxmEtxE qzzz ),(),( (3.12)

mHtqxmHtxH qyyy ),(),( (3.13)

Dengan mendiskritisasi ruang dan waktu, medan listrik dan medan magnet

dihitung pada lokasi titik (node) berbeda. Tinjau persamaan Hukum Faraday pada

titik ((� + 1/2)∆�,�∆�) seperti pada Gambar 3.1.

19

Gambar 3.1. Sketsa susunan titik-titik medan dalam ruang dan waktu. Titik medan listrik

digambarkan dengan simbol lingkaran dan medan magnet dengan simbol segitiga[10].

tqxm

z

tqxm

y

x

E

t

H

,)2/1(,)2/1(

(3.14)

Masing-masing turunan di atas, diganti dengan beda-hingga (central difference),

sehingga menjadi

x

mEmE

t

mHmH qz

qz

q

y

q

y

121

21 2

121

(3.15)

Persamaan (3.15) dapat dipecahkan untuk mendapatkan ��/�

mEmE

x

tmHmH q

zqz

q

y

q

y

12

121 2

121

(3.16)

Persamaan di atas adalah persamaan update medan magnet untuk memperoleh

��/�

. Selanjutnya ��/�

digunakan untuk menghitung persamaan untuk

mendapatkan ��

.

20

Selanjutnya, tinjau persamaan Hukum Ampere pada titik (� ∆�,(� +�

�)∆�)

seperti pada Gambar 3.2.

Gambar 3.2. Susunan titik-titik medan setelah persamaan update H diberlakukan ke

seluruh titik medan magnet[10].

Dapat dilihat bahwa perbedaan Gambar 3.1 dan Gambar 3.2 terletak pada

posisi garis yang membatasi antara daerah dengan nilai diketahui dan belum

diketahui naik setengah langkah waktu.

tqxm

y

tqxm

z

x

H

t

E

)2/1(,)2/1(,

(3.17)

Dengan langkah yang sama seperti di atas didapatkan

x

mHmH

t

mEmEq

y

q

yqz

qz

21

211 2

121

1

(3.18)

Kemudian dipecahkan sehingga mendapatkan ��

21

211 2

121

mHmHx

tmEmE

q

y

q

yqz

qz

(3.19)

21

Persamaan di atas adalah persamaan update medan listrik satu timestep ke depan.

Indeks-indeks pada persamaan update bersifat umum sehingga dapat diberlakukan

di semua titik kemudian proses update diulang sampai langkah waktu yang

diinginkan seperti langkah-langkah yang telah dijelaskan sebelumnya[10].

3.3 Perbatasan Medan Total – Medan Terhambur (TFSF)

Pada simulasi ini, medan yang dihamburkan dan diserap oleh nanopartikel

dihitung. Untuk mempermudah perhitungan, dibuat 2 daerah simulasi yaitu daerah

medan total (Total Field) dan daerah medan terhambur (Scattered Field) untuk

memisahkan perhitungan flux serapan dan flux hamburan. Pada daerah medan

total dihitung flux serapan, sedangkan ada daerah medan terhambur dihitung flux

hamburan. Flux dapat dihitung dengan menempatkan kotak detektor nonfisis pada

daerah simulasi dengan hubungan

i

ii

iP AHEAS (3.20)

dengan S adalah vektor Poynting dan ∆�� adalah vektor permukaan detektor. Pada

masing-masing kotak detektor, disimpan nilai medan listrik dan medan magnet

untuk kemudian dihitung flux hamburan dan serapan dengan persamaan (3.20).

Gambar 3.3. Skema letak kotak detektor serapan dan detektor hamburan yang pada

daerah simulasi[5].

22

Konsekuensi pembagian daerah simulasi menjadi 2 bagian adalah perlunya

koreksi pada perbatasan kedua daerah. Seperti telah dijelaskan sebelumnya,

perhitungan update medan pada suatu titik adalah dengan menggunakan informasi

medan pada langkah waktu sebelumnya dan juga medan pada titik sekitarnya.

Pada daerah perbatasan, titik pada daerah medan total bersebelahan dengan titik

pada daerah medan terhambur. Akibatnya, update medan pada titik di daerah

medan total bergantung pada titik di daerah medan terhambur dan juga

sebaliknya[5,10].

Tinjau medan datang didefinisikan ��[� ,�] dan dihasilkan pada titik-

titik dan waktu tertentu. Medan magnet harus dirumuskan mengikuti syarat bahwa

arah rambat ��× ��

��sesuai dengan arah propagasi gelombang sehingga

qmEqmH inc

zincy ,

1,

(3.21)

Gambar 3.4. Skema titik-titik medan pada daerah perbatasan medan total/medan

terhambur[10].

Berdasarkan penjelasan sebelumnya, persamaan update untuk ez[50] tanpa

koreksi TFSF adalah

scattered

q

y

total

q

y

total

qz

total

qz HH

x

tEE

21

211 50505050 2

121

(3.22)

Dapat dilihat bahwa persamaan di atas tidak konsisten sesuai dengan

pembagian daerah simulasi sebab terjadi pencampuran antara perhitungan titik di

daerah medan total dan titik di daerah medan terhambur. Hal ini dapat diatasi

23

dengan melakukan koreksi pada perbatasan TFSF. Untuk koreksi Ez[50] dapat

dilakukan dengan menambahkan medan datang pada suku medan terhambur

sehingga menjadi

total

inc

incz

scattered

q

y

total

q

y

total

qz

total

qz qEHH

x

tEE 2

1211

21

211 ,5050505050 2

121

(3.23)

Selanjutnya untuk Hy[59-1/2], persamaan update-nya adalah

scattered

qz

total

qz

scattered

q

y

scattered

q

y EEx

tHH 4950

2

150

2

150 2

121

(3.24)

Dengan koreksi perbatasan TFSF maka suku medan total dikurangi dengan medan

datang sehingga persamaan update-nya menjadi

scattered

qz

scattered

inc

incz

total

qz

scattered

q

y

scattered

q

y EqEEx

tHH 49

2

1,

2

15050

2

150

2

150 2

121

(3.25)

Pada kasus 3 dimensi, koreksi perbatasan TFSF dilakukan dengan cara

yang sama dengan kasus 1 dimensi. Perlu diingat bahwa untuk kasus 3 dimensi,

daerah TFSF berupa kotak sehingga koreksi perlu dilakukan si setiap perbatasan.

3.4. Gelombang Sumber

Gelombang sumber yang digunakan pada simulasi ini yaitu berupa

gelombang bidang harmonik dan monokromatik. Hal ini dilakukan dengan

memberikan nilai medan listrik yang berosilasi pada titik tertentu secara harmonik

24

terhadap waktu dan merambat dalam arah � + . Dengan demikian, medan listrik

dapat dinyatakan dalam fungsi harmonik

x

ktkxttxfh

sinsin, (3.26)

Dikarenakan sumber yang tidak langsung muncul seketika pada �= 0, digunakan

fungsi sinus yang memiliki nilai awal 0 ketimbang fungsi cosinus dengan nilai

awal 1. Akibat sifat fungsi sinus ini, secara umum penggunaannya dapat

mengurangi kesalahan secara numerik. Fungsi harmonik tersebut perlu dirubah

menjadi bentuk diskrit dengan mengubah parameter-parameter kontinyu di

dalamnya dengan parameter diskrit.

Untuk gelombang bidang yang merambat dalam ruang, frekuensi dapat

dinyatakan dalam panjang gelombang dengan hubungan

cf

(3.27)

Dalam simulasi ini, panjang gelombang dinyatakan dalam bentuk

xN (3.28)

dengan �� adalah jumlah titik per panjang gelombang dengan nilai yang tidak

harus berupa bilangan bulat dan Δ� merupakan lebar grid. Dengan bilangan

Courant (akan dijelaskan lebih detail pada bab 4) yaitu

x

tcSc

(3.29)

serta

ck rr

rr

00

(3.30)

25

Maka fungsi harmonik pada persamaan (3.26) dapat dinyatakan dalam bentuk

diskrit yaitu

mqS

Nqmf rrch

2sin],[

(3.31)

3.5. FDTD untuk 3 Dimensi

Perluasan metode FDTD untuk kasus 3 dimensi, titik-titik medan yang

dihitung, disusun dalam sebuah kisi yang disebut kisi Yee[9,10]. Pada setiap sel

satuan kisi Yee, terdapat titik-titik medan listrik di kedua belas rusuknya (4 titik

medan listrik tiap komponen) dan juga titik-titik medan magnet di keenam sisinya

(2 titik medan magnet tiap komponen). Dengan demikian, tiap titik medan magnet

H dikelilingi oleh medan listrik E, demikian juga sebaliknya (Gambar 3.5).

Kisi Yee hanya menggambarkan lokasi titik-titik medan dalam ruang.

Lokasi titik medan dalam waktu (temporal location) tidak digambarkan secara

eksplisit. Diasumsikan bahwa titik medan listrik berada pada kelipatan bilangan

bulat dari langkah waktu, sedangkan titik medan magnet terletak sejauh setengah

langkah waktu dari titik medan listrik.

Gambar 3.5. Kisi Yee yang menggambarkan lokasi titik-titik medan dalam ruang[10].

26

Dengan demikian, persamaan update medan dapat dihitung dengan menyelesaikan

Hukum Faraday dan Hukum Ampere pada kasus 3 dimensi sebagai berikut :

tqtzpzynyxmx

yzxxm

z

E

y

E

t

HH

,2/1,2/1,

(a)

tqtzpzynyxmx

zxy

ymx

E

z

E

t

HH

,2/1,,2/1

(b) (3.32)

tqtzpzynyxmx

xyzzm

y

E

x

E

t

HH

,,2/1,2/1

(c)

tptzpzynyxmx

yzxx

z

H

y

H

t

EE

2/1,,,2/1

(a)

tptzpzynyxmx

zxy

yx

H

z

H

t

EE

2/1,,2/1,

(b) (3.33)

tptzpzynyxmx

xyzz

y

H

x

H

t

EE

2/1,2/1,,

(c)

3.6. Syarat Batas pada Daerah Simulasi

Dalam suatu simulasi numerik, daerah komputasinya pasti terbatas

sehingga persamaan update di perbatasan daerah komputasi perlu ditangani

secara khusus karena dibutuhkan nilai-nilai medan di luar daerah komputasi. Oleh

karena itu, algoritma FDTD yang telah dijelaskan di atas perlu dikoreksi pada

daerah batas simulasi pada daerah batas simulasi. Jika penanganan pada daerah

perbatasan simulasi kurang baik akan menyebabkan terjadinya pantulan

27

gelombang yang artifisial sehingga menimbulkan kesalahan yang akan merusak

perhitungan daya hamburan dan serapan.

Untuk mensimulasikan perambatan gelombang yang lebih baik, diperlukan

syarat batas tertentu agar pada batas daerah simulasi tidak ada pantulan

gelombang. Dengan menerapkan syarat batas ini, daerah simulasi yang merupakan

daerah berhingga dapat berfungsi seolah-olah sebagai daerah tak berhingga.

Gambar 3.6. Contoh susunan parameter � dalam algoritma PML pada bidang � konstan

pada daerah simulasi[9].

Syarat batas ini diterapkan dengan menggunakan lapisan anisotropic

dengan mengatur parameter sigma berdasarkan susunan pada gambar 3.6. Lapisan

anisotropik digunakan untuk menyerap gelombang dengan arah rambat tertentu.

Pada simulasi ini, digunakan teknik yang disebut Perfectly Matched Layer (PML)

sebagai syarat batas penyerap[5]. Penjelasan lengkap mengenai PML dapat dibaca

pada ref[10].

28

3.7. Implementasi Model Drude+2Critical Points (D+2CP) pada FDTD

Dalam simulasi interaksi gelombang elektromagnetik dengan nanopartikel

logam menggunakan metode FDTD, dibutuhkan keakuratan model analitik untuk

menggambarkan permitivitas logam dalam suatu rentang panjang gelombang.

Model yang sederhana untuk logam adalah model Drude dengan tambahan satu

suku Lorentzian atau lebih[8]. Tingkat keakuratan model Drude ini dapat

ditingkatkan dengan memberikan suku tambahan. Namun, perlu diketahui bahwa

semakin banyak suku tambahan yang digunakan membutuhkan memori komputer

yang lebih besar[8]. Kemudian, diperkenalkan model Drude+2Critical Points

(D+2CP), yang hanya menggunakan 2 suku Critical Points akan tetapi memiliki

akurasi yang baik[8].

Model D+2CP ini dikalibrasi dengan melakukan fitting dengan data

eksperimen dari Johnson & Christy dapat dilihat pada Gambar 3.6. Kedua

komponen baik komponen real maupun komponen imajiner dengan model

D+2CP terlihat berimpit dengan data eksperimen. Dapat dilihat juga bahwa model

D+2CP lebih baik dalam menggambarkan permitivitas emas pada panjang

gelombang rendah (frekuensi tinggi) dibandingkan dengan model Drude. Model

D+2CP digunakan dengan nilai parameter pada Tabel 3.1.

(a) (b)

Gambar 3.6. Perbandingan permitivitas model D+2CP, Drude, dan data eksperimen

Johnson & Christy[12]. Bagian imajiner permitivitas (a) dan bagian real permitivitas (b).

29

Pada studi sebelumnya[5], digunakan model Drude untuk menyatakan

kebergantungan permitivitas terhadap

i

p

2

2

)(

(3.28)

Persamaan ini di-inverse Fourier Transform agar diperoleh persamaan differensial

dalam domain waktu yang selanjutnya dijalankan bersama-sama dengan

persamaan Maxwell memakai metode FDTD.

Pada studi ini, digunakan model Drude+2 Critical Points, yang merupakan

modifikasi (perbaikan) dari model Drude[6,7,8]

2

12

2

)(p

p

p

i (3.29)

dimana

pp

i

pp

i

pppi

e

i

eA

pp

(3.30)

Model Drude+2 Critical Points (D+2CP) yang menyatakan pemitivitas

dalam domain frekuensi sehingga membutuhkan teknik-teknik tertentu agar bisa

diimplementasikan ke dalam algoritma FDTD yang berdomain waktu. Salah

satunya adalah metode Trapezoidal Recursive Convolution (TRC)[6,7]. Untuk

memahami implementasi model D+2CP masuk ke dalam algoritma FDTD dan

menjadi berdomain waktu, tinjau persamaan medan displacement D pada domain

waktu yang dinyatakan dengan

tqPtE

dtqEtEtDtq

00

0

00

(3.31)

Pada metode TRC, Polarisasi P diaproksimasi dengan rata-rata medan

listrik dari dua langkah waktu yang berurutan[6,7]

30

m

q

m

mqmq EEtqP

1

0

1

2 (3.32)

dengan

tm

tm

m d1

(3.33)

Dapat dilihat bahwa TRC hanya membutuhkan satu kali integral konvolusi

yang dapat diselesaikan secara analitik dan membuat metode ini sederhana.

Dengan mensubstitusikan aproksimasi polarisasi dengan TRC, didapatkan medan

�

11

0

1

00

1

01

01

22

m

q

m

mqmqqqqq EEEE

ED

(3.34)

Dengan cara yang sama, bisa diperoleh medan � pada langkah waktu (� �).

Selisih nilai D yang berurutan ini menghasilkan

mq

m

mqmq

qqqq

EE

EEDD

1

0

1

0

0

01

0

01

2

22

(3.35)

dengan ∆�� = �� − �� . Kemudian dengan bantuan hukum Ampere

t

DDH

qqq

12/1

(3.36)

dan persamaan (3.35), serta dipecahkan untuk mendapatkan �� , diperoleh

persamaan update untuk medan listrik yang berbentuk

2/1

2022

21000

0

1

qqqq H

tEE

(3.37)

dengan

31

101

2

qrec

qqq C

EE

(3.38)

dan

m

recm C 1

(3.39)

��dikenal sebagai Recursive Accumulator[10].

Persamaan update di atas bersifat umum untuk metode TRC. Model

permitivitas yang digunakan masuk ke perhitungan melalui �� ,Δ�� dan ��.

Untuk model D+2CP, Recursive Accumulator dan �� merupakan kombinasi

linear dari suku Drude dan suku Critical Points.

2

1p

qp

qD

q (3.40)

2

1

000

ppD (3.41)

dengan

101

2

q

DrecD

qqqD C

EE (3.42)

101

2

q

precp

qqqp C

EE (3.43)

Simbol dengan indeks � dipengaruhi oleh suku Drude dan simbol dengan

indeks � dipengaruhi oleh suku Critical Points dan indeks � adalah langkah

waktu (time step). Nilai yang dipengaruhi oleh suku Drude seperti �� , Δ��

� dan

�� dapat diturunkan dengan mudah melalui integral suseptibilitas dalam

domain waktu. Berdasarkan persamaan (3.28), suseptibilitas elektrik dalam

domain frekuensi adalah

i

p

D

2

2

(3.44)

32

Untuk mendapatkan suseptibilitas elektrik dalam domain waktu, dilakukan

inverse Fourier Transform dan didapatkan

tuet tp

D

1

2

(3.45)

dengan �(�)adalah unit step function.

tedttptpt

DD

22

0

01

(3.46)

22

0 1 tp

D e

(3.47)

t

Drec eC

(3.49)

Sedangkan untuk nilai yang dipengaruhi oleh suku Critical Points, dengan cara

yang sama didapatkan

ti

pp

i

pp

ppp

p

ei

eAi

)(0 12

(3.50)

2)(0 12 ti

pp

i

pp

ppp

p

ei

eAi

(3.51)

ti

precppeC

)(

(3.52)

Dengan demikian, model D+2CP diimplementasikan ke dalam algoritma

FDTD dengan koreksi update medan listrik dengan persamaan (3.37) dan nilai-

nilai pada persamaan (3.38) sampai dengan (3.52), serta nilai parameter hasil

fitting dengan data eksperimen Johnson & Christy pada tabel berikut.

33

Tabel 3.1. Nilai parameter yang digunakan dengan optimasi pada rentang panjang

gelombang 200-1000 nm[13].

�� 1.1431

��(rad/s) 1.3202E16

� (rad/s) 1.0805E14

�� 0.26698

�� 3.0834

Ω� (rad/s) 3.8711E15

Ω� (rad/s) 4.1684E15

�� -1.2371

�� -1.0968

Γ� (rad/s) 4.4642E14

Γ� (rad/s) 2.3555E15

34

BAB IV

ANALISIS SURFACE PLASMON TERLOKALISASI MELALUI

SPEKTRUM HAMBURAN & SERAPAN SERTA PROFIL

MEDAN

Pada studi sebelumnya (ref[5]), simulasi dilakukan pada diameter 150 nm,

100 nm, dan 80 nm yaitu ketika daerah resonansi ketiganya berada pada daerah

model Drude dan juga bisa dibandingkan dengan data hasil eksperimen. Untuk

diameter 60 nm, 40 nm, dan 20 nm, simulasi tidak dilakukan karena keterbatasan

model Drude. Simulasi tersebut relatif sukses untuk menghasilkan data seperti

data eksperimen untuk diameter 100 nm dan 80 nm. Akan tetapi, pada diameter

150 nm, data simulasi pada panjang gelombang rendah tidak diketahui. Hal ini

disebabkan oleh alasan yang sama yaitu keterbatasan model Drude.

Pada studi ini, perbaikan model permitivitas yang digunakan bertujuan

untuk menyempurnakan simulasi dari studi sebelumnya. Oleh karena itu, pertama-

tama data yang diambil melalui simulasi disesuaikan dengan simulasi sebelumnya

untuk dibandingkan dan kemudian dilengkapi. Data hasil simulasi juga

dibandingkan dengan model analitik surface plasmon yang telah dibahas pada bab

2 dan juga dengan data eksperimen dari ref[15].

Simulasi yang sudah stabil dan sesuai dengan eksperimen digunakan lebih

lanjut untuk mengamati pola spektrum jika diberi objek tambahan. Objek yang

ditambahkan berupa dinding logam dengan ketebalan tertentu yang diletakkan

pada bidang x konstan di belakang bola logam. Hal ini dilakukan karena pada

eksperimen, nanopartikel bola tidak bisa berdiri sendiri. Dibutuhkan substrat

sebagai tempat nanopartikel tersebut menempel (seperti sampel yang diletakkan

pada preparat). Selain itu, tujuan dilakukan simulasi ini adalah untuk menyelidiki

adanya interaksi antara kedua objek yang dapat terlihat melalui pergeseran

panjang gelombang resonansi.

35

4.1 Surface Plasmon Berdasarkan Tinjauan Analitik

Dengan model analitik yang telah dijelaskan pada bab 2, spektrum

hamburan dan serapan dapat diperoleh melalui penampang-lintang hamburan dan

serapan yaitu persamaan (2.19) dan (2.20) yang dihitung pada rentang panjang

gelombang yang diinginkan untuk masing-masing ukuran. Polarizabilitas untuk

model quasi-statik dan teori Mie orde satu masing-masing diberikan oleh

persamaan (2.16) dan (2.18).

Kondisi quasi-statik terpenuhi ketika ukuran jauh lebih kecil dari panjang

gelombangnya. Ketika ukuran diperbesar, pada spektrum hamburan dan serapan

yang dihitung dengan polarizabilitas quasi-statik tidak dapat dilihat pergeseran

panjang gelombang resonansi (letak puncak spektrum) akibat perubahan ukuran

bola. Perubahan ukuran bola hanya mengakibatkan perubahan pada nilai

penampang-lintang secara keseluruhan. Pada kenyataannya, perubahan ukuran

bola mempengaruhi letak puncak spektrum yaitu semakin besar ukuran akan

semakin bergeser ke kanan (red-shifted).

Untuk ukuran yang lebih besar, pergeseran panjang gelombang resonansi

dapat dijelaskan oleh teori Mie orde satu. Gambar 4.1 yang menunjukkan

perbandingan model quasi-statik dengan perhitungan teori Mie orde satu

membuktikkan bahwa model quasi-statik hanya dapat digunakan untuk bola yang

berukuran jauh lebih kecil dari panjang gelombang cahaya. Dapat dilihat bahwa

untuk ukuran diameter 20 nm perhitungan quasi-statik dan teori Mie mengalami

kecocokkan. Namun untuk ukuran yang lebih besar, pendekatan quasi-statik tidak

sesuai lagi sehingga tidak dapat digunakan.

36

Gambar 4.1. Spektrum hamburan dan serapan dengan model quasi-statik dan teori Mie

untuk bola emas dengan diameter 20 nm[5].

Hal ini disebabkan karena ketika ukuran bola makin kecil, pergeseran pada

panjang gelombang resonansi semakin kecil sehingga untuk model quasi-statik

pergeseran panjang gelombang resonansi tidak terlihat.

Gambar 4.2. Spektrum serapan untuk nanopartikel emas dengan diameter 20 nm, 40 nm,

60 nm, 80 nm, 100 nm, 120 nm, dan 150 nm dengan teori Mie.

Tingkat keakuratan hasil perhitungan teori Mie orde satu dapat dilihat dengan

membandingkan hasil eksperimen (gambar 4.3) dengan tabel 4.1.

37

Tabel 4.1. Perhitungan puncak spektrum serapan dari nanopartikel emas berbagai ukuran

dengan teori Mie orde satu yang dinyatakan dalam panjang gelombang dan energi.

diameter (nm)

panjang gelombang resonansi

(nm)

energi resonansi

(eV)

20 536 2.31

40 543 2.28

60 557 2.22

80 577 2.14

100 602 2.06

120 637 1.94

150 674 1.84

4.2 Data Eksperimen Spektrum Hamburan

Data eksperimen diperoleh dari ref[15] berupa grafik intensitas medan

yang terhambur terhadap energi resonansi. Untuk diameter 20 nm, terlihat

banyaknya noise. Hal ini disebabkan pada partikel yang berukuran kecil, efek

serapan lebih dominan dan efek hamburan sangat kecil. Hal ini sesuai dengan

perumusan penampang-lintang hamburan dan serapan pada bab 2. Gambar 4.3

juga menunjukkan kebergantungan letak puncak spektrum terhadap ukuran logam

yaitu resonansi mengalami pergeseran ke energi lebih rendah dengan

meningkatnya ukuran logam.

Dapat dilihat bahwa sampai dengan ukuran 80 nm, perhitungan teori Mie

dan hasil eksperimen relatif menunjukkan kesesuaian pada energi resonansi yang

diperoleh. Akan tetapi, pada ukuran 150 nm, perhitungan teori Mie orde satu

memberikan energi resonansi yang tidak sesuai dengan hasil eksperimen. Hal ini

dapat disebabkan oleh efek bahan kimia yang digunakan pada pengukuran[15].

Perbedaan tersebut juga disebabkan karena pada ukuran tersebut dibutuhkan orde

teori Mie yang lebih tinggi.

38

Gambar 4.3. Spektum hamburan nanopartikel emas tunggal berbagai ukuran dengan

dark-field microscopy (hitam) yang dicocokkan dengan perhitungan teori Mie (biru)

dengan data permitivitas empirik[15].

4.3 Hasil Simulasi Finite-Difference Time-Domain

4.3.1. Spektrum Hamburan, Serapan dan Extinction oleh Nanopartikel Emas

Tunggal

Simulasi ini dilakukan dengan parameter simulasi yang masing-masing

berbeda untuk setiap ukuran. Hal ini dilakukan untuk mempertahankan kestabilan

perhitungan secara numerik. Salah satunya terlihat pada pada beda-hingga waktu

∆� dan beda-hingga ruang ∆� = ∆� = ∆� = � yang dinyatakan dalam bilangan

Courant yaitu [9]

3

1

tcSc

(4.1)

Dengan bilangan Courant, nilai beda-hingga waktu dan beda-hingga ruang (lebar

grid) memiliki batasan tertentu agar tetap sesuai dengan fenomena fisis dari

perambatan gelombang. Artinya, kita cukup menentukan satu nilai antara nilai ∆�

39

atau � kemudian bilangan Courant digunakan untuk memperoleh nilai yang belum

ditentukan.

Untuk bola dengan diameter 150 nm, jumlah sel yang digunakan

berukuran 70× 70 × 70 yaitu dengan ukuran sel � = 5�� , sehingga nilai ∆�

yang digunakan agar syarat bilangan Courant terpenuhi adalah ∆�= 9.53×

10�� . Untuk bola dengan diameter 100 nm dan 80 nm, jumlah sel yang

digunakan sedikit berbeda yaitu berukuran 60 × 60× 60. Untuk bola dengan

diameter 60 nm, 40 nm, dan 20 nm, jumlah sel yang digunakan adalah 60 × 60 ×

60 tetapi ukuran sel yang digunakan berbeda-beda yaitu 3 nm untuk diameter 60

nm dan 2 nm untuk diameter 40 nm dan 20 nm.

Daerah medan total berada pada jarak 15 sel dari masing-masing tepi

daerah simulasi dengan kotak detektor serapan di dalamnya yang berjarak 1 sel

dari tepi daerah medan simulasi. Sedangkan kotak detektor hamburan berjarak 13

sel dari tepi daerah simulasi. Skema kotak detektor dapat dilihat kembali di

gambar 3.3. PML sebagai syarat batas penyerap diletakkan tepi-tepi daerah

simulasi dengan ketebalan 10 sel[5]. Medan datang berupa gelombang bidang

harmonik yang muncul pada bidang � = 13 dengan polarisasi �� − �� dan arah

rambat �+.

Gambar 4.4 merupakan contoh salah satu hasil keluaran dari simulasi yang

dilakukan yaitu berupa flux hamburan dan serapan. Data yang diambil dari flux

tersebut hanya pada bagian yang sudah stabil (steady). Ketika parameter simulasi

dirubah, waktu yang dibutuhkan agar flux untuk menjadi stabil juga berubah

sehingga untuk masing-masing ukuran digunakan jumlah langkah waktu yang

berbeda-beda. Untuk diameter 150 nm, 100 nm, 120 nm, dan 80 nm digunakan

2500 sampai dengan 3000 langkah waktu. Sedangkan untuk diameter 60 nm, 40

nm, dan 20 nm digunakan 7000 sampai dengan 8000 langkah waktu. Data flux

yang sudah stabil kemudian diambil nilai rata-ratanya. Proses yang sama

dilakukan untuk suatu rentang panjang gelombang sehingga menghasilkan

spektrum hamburan dan serapan.

40

(a) (b)

Gambar 4.4. Flux serapan (a) dan hamburan (b) untuk nanopartikel logam

dengan diameter 40 nm ketika disinari oleh cahaya dengan panjang gelombang 520 nm.

Untuk diameter 100 nm dan 80 nm, simulasi menunjukkan pola yang sama

dengan simulasi sebelumnya. Hasil ini cukup sesuai dengan perhitungan panjang

gelombang resonansi dengan teori Mie orde satu dan juga dengan hasil

eksperimen. Spektrum hamburan dan serapan untuk diameter 100 nm dan 80 nm

dapat dilihat pada gambar 4.9 dan gambar 4.8. Pada diameter yang lebih besar

dari 80 nm, efek hamburan lebih dominan dibandingkan efek serapan.

Gambar 4.5 Spektrum nanopartikel emas dengan diameter 20 nm. Nilai intensitas

ternormalisasi terhadap spektrum extinction. Keadaan resonansi terjadi pada panjang

gelombang 537 nm atau setara 2.308 eV.

41


ternormalisasi terhadap spektrum extinction. Keadaan resonansi terjadi pada panjang

gelombang 544 nm atau setara 2.27 eV.

Ketika diameter nanopartikel emas lebih dari 80 nm, spektrum hamburan

lebih dominan dibandingkan spektrum serapannya. Akan tetapi, efek serapan

masih dapat terlihat pada spektrum. Hal ini terjadi karena pengaruh ukuran pada

efek hamburan jauh lebih besar dibandingkan pengaruh ukuran pada efek serapan.

Untuk diameter 60 nm, 40 nm, dan 20 nm, hasil simulasi juga

menunjukkan kecocokkan dengan teori Mie orde satu dan hasil eksperimen. Dapat

dilihat juga bahwa pada pada ukuran-ukuran ini pengaruh absorpsi semakin

mendominasi dan pengaruh hamburan semakin mengecil dengan ukuran bola

yang semakin kecil. Selain itu, posisi puncak spektrum hamburan, serapan dan

extinction menjadi tidak sama. Untuk itu, dalam membandingkan dengan

spektrum hasil eksperimen, yang diamati hanya spektrum serapannya saja karena

untuk diameter 20 nm, efek hamburan sangat kecil sehingga dapat diabaikan..

42


ternormalisasi terhadap spektrum extinction. Puncak spektrum hamburan terjadi pada

panjang gelombang 554 nm atau setara 2.23 eV.




43







44




Hasil simulasi untuk bola emas dengan diameter 120 nm dan 150 nm dapat

dilihat pada gambar 4.10 dan gambar 4.11. Hasil tersebut menunjukkan bahwa

terjadi penyimpangan puncak spektrum (panjang gelombang resonansi) yang

cukup besar dengan perhitungan teori Mie orde satu. Akan tetapi, keadaan

resonansi dengan simulasi FDTD lebih mendekati data eksperimen.

Tabel 4.2. Posisi puncak pada spektrum serapan nanopartikel emas berbagai ukuran yang

diperoleh dengan simulasi FDTD, dinyatakan dalam panjang gelombang dan energi.

diameter (nm)

panjang gelombang resonansi

(nm)

energi resonansi

(eV)

20 537 2.3

40 544 2.28

60 554 2.23

80 588 2.1

100 615 2.01

120 676 1.83

150 747 1.66

45

Secara keseluruhan, hasil simulasi menunjukkan kecocokkan dengan hasil

eksperimen dari ref[15]. Pada diameter kecil (20-60 nm), ukuran perbedaan

puncak spektrum antara hasil simulasi dengan teori Mie orde satu kurang terlihat.

Ketika diameter diperbesar, terlihat perbedaan yang signifikan antara kedua hasil

tersebut (gambar 4.12). Gambar tersebut juga menunjukkan kurva fitting dengan

fungsi polinomial kuadratik dengan data hasil simulasi FDTD dan teori Mie. Nilai

�� dari fitting fungsi kuadratik dengan data FDTD adalah 0.994 dan dengan teori

Mie adalah 0.991.

Gambar 4.12 Perbandingan pengaruh diameter terhadap panjang gelombang resonansi

berdasarkan hasil simulasi dengan teori Mie orde satu.

4.3.2. Profil Medan Elektromagnetik pada Daerah Simulasi

Setelah mengamati spektrum hamburan dan serapan, analisis juga

dilakukan dengan mengamati profil medan ataupun intensitas dari gelombang

elektromagnetik di sekitar nanopartikel emas. pada Profil medan dapat dihasilkan

karena dengan algoritma FDTD nilai medan di seluruh titik dalam daerah simulasi

disimpan setiap langkah waktu.

Dalam keadaan resonansi, terjadi pengumpulan muatan di sekitar

permukaan bola sehingga energi di sekitar permukaan bola lebih besar

dibandingkan di daerah lain. Pengumpulan muatan ini disebabkan oleh interaksi

46

gas elektron bebas dengan medan listrik dan medan magnet. Akan tetapi,

interaksinya dengan medan listrik jauh lebih kuat dibandingkan dengan medan

magnet. Hal ini diindikasikan dengan terbentuknya dipol listrik pada arah � searah

dengan arah medan listrik �� .

Panjang gelombang resonansi yang diperoleh dari hasil simulasi FDTD

dikonfirmasi dengan melihat pola intensitas medan listriknya. Misalnya untuk

diameter 100 nm, panjang gelombang resonansinya adalah 615 nm. Selanjutnya,

dihasilkkan pola intensitas medan listrik ketika nanopartikel emas dengan

diameter 100 nm dalam pengaruh gelombang EM dengan panjang gelombang 615

nm seperti pada gambar 4.13.

(a) (b)

Gambar 4.13 Pola intensitas medan listrik nanopartikel emas dengan diameter 100 nm

ketika terjadi tidak terjadi resonansi yaitu � = 500 nm (a), dan ketika terjadi resonansi

� = 615 nm(b). Gambar diambil pada bidang y konstan yang mengiris bola pada

pusatnya.

Gambar 4.13. menunjukkan perbandingan antara pola intensitas medan

listrik ketika ketika diberi gelombang EM dengan panjang gelombang 500 nm dan

panjang gelombang 615 nm. Lokalisasi energi terlihat di sekitar nanopartikel

ketika panjang gelombangnya 615 nm yang merupakan letak puncak spektrum

serapan nanopartikel berdiameter 100 nm.

47

4.3.3 Spektrum Hamburan dan Serapan oleh Nanopartikel Emas dengan

Objek Tambahan

Dengan data spektrum hamburan oleh nanopartikel emas tunggal sebagai

pembanding, akan diamati juga bagaimana pengaruh objek tambahan terhadap

spektrum hamburan yang dihasilkan. Pada kesempatan ini, objek tambahan yang

digunakan adalah balok emas dan balok dielektrik dengan ukuran yang sama.

Balok logam atau dielektrik dengan ketebalan tertentu diletakkan pada bidang x

konstan di belakang bola logam.

Gambar 4.14 Spektrum balok emas dengan ketebalan 150 nm dan bidang normal

100× 100 nm. Nilai intensitas ternormalisasi terhadap spektrum extinction. Puncak

spektrum hamburan terjadi pada panjang gelombang sekitar 650 nm.

Untuk mengamati pengaruh adanya balok emas, hal yang perlu diketahui

adalah bagaimana spektrum nanopartikel bola tanpa balok (sub-bab 4.3.1), dan

juga spektrum balok emas tanpa nanopartikel bola (gambar 4.13). Pada simulasi

ini, nanopartikel bola yang digunakan berdiameter 20 nm.

Spektrum balok emas tanpa adanya nanopartikel bola menunjukkan

adanya puncak pada panjang gelombang sekitar 650 nm, sedangkan spektrum

nanopartikel bola emas tanpa adanya balok puncaknya terletak pada panjang

gelombang sekitar 540 nm. Hasil simulasi dengan nanopartikel bola dan balok

emas menunjukkan puncak spektrum pada panjang gelombang sekitar 650 nm.

48

(a) (b)

Gambar 4.15 Spektrum nanopartikel emas berdiameter 20 nm yang (a)menempel

pada ;(b) berjarak 35 nm dari; balok emas dengan ketebalan 150 nm.

Pada simulasi ini juga dilihat pengaruh jarak antara nanopartikel emas

dengan balok emas untuk mengamati adanya interaksi antara keduanya. Hasil

menunjukkan bahwa tidak terdapat perbedaan yang signifikan ketika nanopartikel

emas dan balok emas menempel maupun ketika jarak antara kedua permukaan

objek adalah 35 nm.

Dapat disimpulkan bahwa balok emas yang ukurannya lebih besar dari

nanopartikel mendominasi spektrum. Selain itu, interaksi antara nanopartikel

emas dan balok emas sangatlah lemah sehingga tidak dapat mempengaruhi letak

panjang gelombang resonansi.

49

BAB V

KESIMPULAN DAN SARAN

5.1 Kesimpulan

Dengan memperbaiki model permitivitas yang digunakan yaitu

menggunakan model Drude-Critical Points, simulasi dapat digunakan untuk

rentang panjang gelombang yang lebih besar. Data-data simulasi dari studi

sebelumnya (ref[5]) dapat dilengkapi dan secara keseluruhan hasilnya sudah

sesuai dengan data eksperimen dan teori Mie orde satu.

Perbedaan terlihat pada perhitungan teori Mie orde satu dengan hasil

eksperimen dan hasil simulasi yaitu pada diameter lebih dari 100 nm. Pada

ukuran-ukuran ini, keakuratan teori Mie orde satu berkurang sehingga dibutuhkan

perhitungan dengan teori Mie dengan orde lebih tinggi. Dalam hal ini, energi

resonansi hasil simulasi tetap sesuai dengan hasil eksperimen.

Pengamatan pada profil intensitas menunjukkan terbentuknya dipol listrik

searah medan listrik gelombang datang ketika panjang gelombang yang digunakan

adalah panjang gelombang resonansi. Terbentuknya dipol listrik juga

menunjukkan adanya pengumpulan energi (lokalisasi) yang menunjukkan

karakteristik Localized Surface Plasmon Resonance.

5.2 Saran

Pada studi ini, objek yang digunakan adalah nanopartikel emas tunggal

dengan berbagai ukuran. Simulasi dapat dikembangkan untuk nanopartikel emas

dengan jumlah yang lebih banyak. Karena secara eksperimen, pengukuran pada

nanopartikel emas biasanya dalam bentuk cluster. Selain itu, jika nanopartikel

emas yang digunakan lebih dari satu, dapat menimbulkan terjadinya coupling

antar nanopartikel.

50

Daftar Pustaka

1. Zhang, J.X., et al., Surface Plasmon Polaritons:physics and applications. J.

Phys. D: Appl. Phys. 45(2012) 113001 (19pp).

2. Hutter, E. and Fendler, J.H., Exploitation of Surface Plasmon Resonance.

2004. Advanced Material Review:Wiley.

3. Petryayeva, E., Krull, U.J., Localized Surface Plasmon Resonance:

Nanostructures, bioassays, and biosensing-A review. Analytica Chimica

Acta 706 (2011) 8–24. Elsevier.

4. Maier, S.A., Plasmonics:Fundamental and Applications. 2007. Springer.

5. Achmari, P., Studi Surface Plasmon Terlokalisasi pada Nanopartikel

Emas Tunggal Berbentuk Bola Menggunakan Metode Finite-Difference

Time-Domain (FDTD). 2012: Tugas Akhir Sarjana Fisika ITB.

6. Shibayama, et al., Frequency-Dependent Formulations of a Drude-Critical

Points Model for Explicit and Implicit FDTD Method Using the

Trapezoidal RC Technique. IEICE TRANS. ELECTRON., VOL.E95-C,

NO.4 APRIL 2012.

7. Shibayama, et al., Simple Frequency-Dependent FDTD Algorithm for a

Drude-Critical Points Model. Proceedings of Asia-Pacific Microwave

Conference 2010.

8. Vial, A. and T. Laroche, Comparison of gold and silver dispersion laws

suitable for FDTD simulations. Appl Phys B (2008) 93: 139–143 DOI

10.1007/s00340-008-3202-4.

9. Taflove, A. and S.C. Hagness, Computational Electrodynamics: The

Finite-Difference Time-Domain Method. 2005: Artech House.

10. Schneider, J.B., Understanding the Finite-Difference Time-Domain,

http://www.eecs.wsu.edu/~scheneidj/ufdtd/. 2011.

11. Ordal, M.A., et al., Optical Properties of the Metals Al, Co, Cu, Au, Fe, Pb,

Ni, Pd, Pt, Ag, Ti, and W in infrared and far infrared. 1 April 1983/ Vol.

22, No.7/APPLIED OPTICS.

12. Johnson, P.B., R.W. Christy, Optical Constants of the Noble Metals.

Physical Review B, 1972. 6(12):p. 4370-4379.

51

13. Kuwata, H., et al., Resonant Light Scattering From Metal Nanoparticles:

Practical Analysis beyond Rayleigh Approximation. Applied Physics

Letters, 2003. 83(22): p. 4625-4627.

14. Bohren, C.F., E. Clothiaux, and D.R. Huffman, Absorption and Scattering

of Light by Small Particles. 2010:Wiley VCH Verlag GmbH

15. Sonnichsen, C., et al., Plasmon resonance in large noble-metals clusters.

New Journal of Physics, 2002. 4(1): p.93.

Documents

Surface Plasmon Resonance using FDTD for Single Gold Nanoparticles