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8/3/2019 Superficies Cuadraticas - Jana Rodriguez Hertz
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superficies cudricas clasificacin de las cudricas ejemplos
Superficies cudricas
Jana Rodriguez Hertz
GAL2
IMERL
9 de noviembre de 2010
http://find/8/3/2019 Superficies Cuadraticas - Jana Rodriguez Hertz
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superficies cudricas clasificacin de las cudricas ejemplos
definicin
superficie cudrica
definicin (forma cuadrtica)
una superficie cudrica est dada por la ecuacin:
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superficies cudricas clasificacin de las cudricas ejemplos
definicin
superficie cudrica
definicin (forma cuadrtica)
una superficie cudrica est dada por la ecuacin:
a11x2+a22y
2+a33z2+2a12xy+2a13xz+2a23yz+2b1x+2b2y+2b3z+c=0
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superficies cudricas clasificacin de las cudricas ejemplos
definicin
superficie cudrica
definicin (forma cuadrtica)
una superficie cudrica est dada por la ecuacin:
a11x2+a22y
2+a33z2+2a12xy+2a13xz+2a23yz+2b1x+2b2y+2b3z+c=0
o, equivalentemente,
XtAX+ 2BtX+ c= 0
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superficies cudricas clasificacin de las cudricas ejemplos
definicin
superficie cudrica
definicin (forma cuadrtica)
una superficie cudrica est dada por la ecuacin:
a11x2+a22y
2+a33z2+2a12xy+2a13xz+2a23yz+2b1x+2b2y+2b3z+c=0
o, equivalentemente,
XtAX+ 2BtX+ c= 0
con A matriz simtrica, Bvector de R3, cconstante.
fi i d i l ifi i d l d i j l
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superficies cudricas clasificacin de las cudricas ejemplos
definicin
ejemplo 1
ejemplo 1
la esfera unitaria
x2 + y2 + z2 = 1
es una cudrica
fi i d i l ifi i d l d i j l
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superficies cudricas clasificacin de las cudricas ejemplos
definicin
ejemplo 1
ejemplo 1
la esfera unitaria
x2 + y2 + z2 = 1
es una cudrica
superficies cudricas clasificacin de las cudricas ejemplos
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superficies cudricas clasificacin de las cudricas ejemplos
definicin
ejemplo 2
ejemplo 2
la cudrica xy = 0
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superficies cudricas clasificacin de las cudricas ejemplos
definicin
ejemplo 2
ejemplo 2
la cudrica xy = 0
es la unin del plano x = 0 con el plano y = 0
superficies cudricas clasificacin de las cudricas ejemplos
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superficies cudricas clasificacin de las cudricas ejemplos
definicin
ejemplo 2
ejemplo 2
la cudrica xy = 0
es la unin del plano x = 0 con el plano y = 0
superficies cudricas clasificacin de las cudricas ejemplos
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superficies cudricas clasificacin de las cudricas ejemplos
forma reducida
ecuacin reducida
Nuestro objetivo es hacer un cambio de variables para que la
cudrica quede en una forma reducida:
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p j p
forma reducida
ecuacin reducida
Nuestro objetivo es hacer un cambio de variables para que la
cudrica quede en una forma reducida:
definicin
ecuacin reducida de una cudrica:
se obtiene por un cambio de variables ortogonal
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p j p
forma reducida
ecuacin reducida
Nuestro objetivo es hacer un cambio de variables para que la
cudrica quede en una forma reducida:
definicin
ecuacin reducida de una cudrica:
se obtiene por un cambio de variables ortogonal
y tiene uno de los siguientes tipos:
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forma reducida
ecuacin reducida
Nuestro objetivo es hacer un cambio de variables para que la
cudrica quede en una forma reducida:
definicin
ecuacin reducida de una cudrica:
se obtiene por un cambio de variables ortogonal
y tiene uno de los siguientes tipos:
1 tipo I: x2 + y2 + z2 + = 0
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forma reducida
ecuacin reducida
Nuestro objetivo es hacer un cambio de variables para que la
cudrica quede en una forma reducida:
definicin
ecuacin reducida de una cudrica:
se obtiene por un cambio de variables ortogonal
y tiene uno de los siguientes tipos:
1 tipo I: x2 + y2 + z2 + = 02 tipo II: x2 + y2 + z= 0
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forma reducida
ejemplos
ejemplo
el ejemplo 1 (esfera) es de tipo I con = = = 1 y = 1
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forma reducida
ejemplos
ejemplo
el ejemplo 1 (esfera) es de tipo I con = = = 1 y = 1
el ejemplo 2 (xy = 0) no est en su forma reducida, yaveremos cul es
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forma reducida
objetivos
1 ver cmo se llega a una ecuacin reducida
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forma reducida
objetivos
1 ver cmo se llega a una ecuacin reducida
2 ver cul es el dibujo de la superficie en su forma reducida
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centro de una cudrica
centro de una cudrica
definicin
XtAX+ 2BtX+ c= 0 cudrica
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centro de una cudrica
centro de una cudrica
definicin
XtAX+ 2BtX+ c= 0 cudrica
Q= (xQ, yQ, zQ) centro de la cudrica si
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centro de una cudrica
centro de una cudrica
definicin
XtAX+ 2BtX+ c= 0 cudrica
Q= (xQ, yQ, zQ) centro de la cudrica si
A
xQyQ
zQ
+ B= 0
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centro de una cudrica
observacin
puede haber un nico centro (sistema compatible
determinado)
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centro de una cudrica
observacin
puede haber un nico centro (sistema compatible
determinado)
puede haber infinitos centros (sistema compatible
indeterminado)
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centro de una cudrica
observacin
puede haber un nico centro (sistema compatible
determinado)
puede haber infinitos centros (sistema compatible
indeterminado)
puede no haber centros (sistema incompatible)
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teoremas
centro y clasificacin de cudricas
teorema 1
F(x, y, z) = XtAX+ 2BtX+ c= 0 cudrica
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teoremas
centro y clasificacin de cudricas
teorema 1
F(x, y, z) = XtAX+ 2BtX+ c= 0 cudrica
P
1
AP= diag( , , ) con Portogonal
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teoremas
centro y clasificacin de cudricas
teorema 1
F(x, y, z) = XtAX+ 2BtX+ c= 0 cudrica
P
1
AP= diag( , , ) con PortogonalSi existe un centro Q= (xQ, yQ, zQ)
t, entonces
superficies cudricas clasificacin de las cudricas ejemplos
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teoremas
centro y clasificacin de cudricas
teorema 1
F(x, y, z) = XtAX+ 2BtX+ c= 0 cudrica
P
1
AP= diag( , , ) con PortogonalSi existe un centro Q= (xQ, yQ, zQ)
t, entonces
haciendo el cambio de variables X = PX + Q
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teoremas
centro y clasificacin de cudricas
teorema 1
F(x, y, z) = XtAX+ 2BtX+ c= 0 cudrica
P
1
AP= diag( , , ) con PortogonalSi existe un centro Q= (xQ, yQ, zQ)
t, entonces
haciendo el cambio de variables X = PX + Q
la cudrica queda tipo I:
x2 + y2 + z2 + F(Q) = 0
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teoremas
cuando no hay centro
teorema 2
Si la cudrica XtAX+ 2BtX+ c= 0 no tiene centro
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teoremas
cuando no hay centro
teorema 2
Si la cudrica XtAX+ 2BtX+ c= 0 no tiene centro
PtAP= diag(,, 0) y
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t
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teoremas
cuando no hay centro
teorema 2
Si la cudrica XtAX+ 2BtX+ c= 0 no tiene centro
PtAP= diag(,, 0) y
la ecuacin reducida es de tipo II:
x2 + yz + z = 0 con = 0
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tipo I
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tipo I
cudricas de tipo I
tipo I
x2 + y2 + z2 + = 0 cudrica de tipo I
superficies cudricas clasificacin de las cudricas ejemplos
tipo I
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tipo I
cudricas de tipo I
tipo I
x2 + y2 + z2 + = 0 cudrica de tipo I
hay dos casos importantes:
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tipo I
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tipo I
cudricas de tipo I
tipo I
x2 + y2 + z2 + = 0 cudrica de tipo I
hay dos casos importantes:1 = 0
superficies cudricas clasificacin de las cudricas ejemplos
tipo I
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tipo I
cudricas de tipo I
tipo I
x2 + y2 + z2 + = 0 cudrica de tipo I
hay dos casos importantes:1 = 02 = 0
superficies cudricas clasificacin de las cudricas ejemplos
tipo I
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t po
cudricas de tipo I
tipo I
x2 + y2 + z2 + = 0 cudrica de tipo I
hay dos casos importantes:1 = 0 x2 + y2 + z2 = 12 = 0
superficies cudricas clasificacin de las cudricas ejemplos
tipo I
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p
cudricas de tipo I
tipo I
x2 + y2 + z2 + = 0 cudrica de tipo I
hay dos casos importantes:1 = 0 x2 + y2 + z2 = 12 = 0 x2 + y2 + z2 = 0
superficies cudricas clasificacin de las cudricas ejemplos
tipo I
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clasificacin de cudricas de tipo I
clasificacin
cmo se clasifican?
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tipo I
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clasificacin de cudricas de tipo I
clasificacin
cmo se clasifican?
1ero por = 0 o = 0
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tipo I
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clasificacin de cudricas de tipo I
clasificacin
cmo se clasifican?
1ero por = 0 o = 0
luego por signo de , y
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tipo I - = 0
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elipsoide
elipsoide
elipsoide
+ + + 1
3x
2
+ y2
+ 4z2
= 1
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tipo I - = 0
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elipsoide
elipsoide
elipsoide
+ + + 1
3x
2
+ y
2
+ 4z
2
= 1
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tipo I - = 0
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hiperboloide de una hoja
hiperboloide de una hoja
hiperboloide de 1
hoja
+ + 1
x2 3y2 + z2 = 1
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tipo I - = 0
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hiperboloide de una hoja
hiperboloide de una hoja
hiperboloide de 1
hoja
+ + 1
x2 3y2 + z2 = 1
superficies cudricas clasificacin de las cudricas ejemplos
tipo I - = 0
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hiperboloide de dos hojas
hiperboloide de dos hojas
hiperboloide de 2
hojas
+ 1
x2 + y2 z2 = 1
superficies cudricas clasificacin de las cudricas ejemplos
tipo I - = 0
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hiperboloide de dos hojas
hiperboloide de dos hojas
hiperboloide de 2
hojas
+ 1
x2 + y2 z2 = 1
superficies cudricas clasificacin de las cudricas ejemplos
tipo I - = 0
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cilindro elptico
cilindro elptico
cilindro elptico
+ + 0 1
x
2
+ 2y
2
= 1
superficies cudricas clasificacin de las cudricas ejemplos
tipo I - = 0
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51/88
cilindro elptico
cilindro elptico
cilindro elptico
+ + 0 1
x
2
+ 2y
2
= 1
superficies cudricas clasificacin de las cudricas ejemplos
tipo I - = 0
ili d hi bli
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52/88
cilindro hiperblico
cilindro hiperblico
cilindro elptico
+ 0 1
x2 y2
=1
superficies cudricas clasificacin de las cudricas ejemplos
tipo I - = 0
ili d hi bli
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53/88
cilindro hiperblico
cilindro hiperblico
cilindro elptico
+ 0 1
x2 y2
=1
superficies cudricas clasificacin de las cudricas ejemplos
tipo I - = 0
d l l l
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dos planos paralelos
dos planos paralelos
dos planos
paralelos
+ 0 0 1
4x2 = 1
superficies cudricas clasificacin de las cudricas ejemplos
tipo I - = 0
d l l l
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55/88
dos planos paralelos
dos planos paralelos
dos planos
paralelos
+ 0 0 1
4x2 = 1
superficies cudricas clasificacin de las cudricas ejemplos
tipo I - = 0
otros casos
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56/88
otros casos
1 0 1
0 0 1
superficies cudricas clasificacin de las cudricas ejemplos
tipo I - = 0
cono
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57/88
cono
cono
cono
+ + 0
+ 0
x2
+ 2y2
z2
= 0
superficies cudricas clasificacin de las cudricas ejemplos
tipo I - = 0
cono
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58/88
cono
cono
cono
+ + 0
+ 0
x2
+ 2y2
z2
= 0
superficies cudricas clasificacin de las cudricas ejemplos
tipo I - = 0
planos que se cortan
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planos que se cortan
planos que se cortan
planos que secortan
+ + 0
+ 0
x2 y2 = 0
superficies cudricas clasificacin de las cudricas ejemplos
tipo I - = 0
planos que se cortan
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60/88
planos que se cortan
planos que se cortan
planos que secortan
+ + 0
+ 0
x2 y2 = 0
superficies cudricas clasificacin de las cudricas ejemplos
tipo I - = 0
otros casos
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otros casos
0 un punto 0 0 una recta
0 0 0 un plano
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tipo II
tipo II
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tipo II
tipo II
x2 + y2 + z= 0 con = 0
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tipo II
tipo II
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63/88
tipo II
tipo II
x2 + y2 + z= 0 con = 0
cmo se clasifican:
superficies cudricas clasificacin de las cudricas ejemplos
tipo II
tipo II
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tipo II
tipo II
x2 + y2 + z= 0 con = 0
cmo se clasifican:
por el signo de . (el signo de no incide)
superficies cudricas clasificacin de las cudricas ejemplos
tipo II
paraboloide elptico
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65/88
paraboloide elptico
paraboloide elptico
paraboloideelptico
. > 0
x2
+ 2y2
= z
superficies cudricas clasificacin de las cudricas ejemplos
tipo II
paraboloide elptico
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66/88
paraboloide elptico
paraboloide elptico
paraboloideelptico
. > 0
x2
+ 2y2
= z
superficies cudricas clasificacin de las cudricas ejemplos
tipo II
paraboloide hiperblico
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67/88
pa abo o de pe b co
paraboloide hiperblico
paraboloidehiperblico
. < 0
4x2
2y2
= z
superficies cudricas clasificacin de las cudricas ejemplos
tipo II
paraboloide hiperblico
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68/88
p p
paraboloide hiperblico
paraboloidehiperblico
. < 0
4x2
2y2
= z
superficies cudricas clasificacin de las cudricas ejemplos
tipo II
cilindro parablico
http://goforward/http://find/http://goback/8/3/2019 Superficies Cuadraticas - Jana Rodriguez Hertz
69/88
p
cilindro parablico
cilindro parablico
. = 0
2x2 = z
superficies cudricas clasificacin de las cudricas ejemplos
tipo II
cilindro parablico
http://goforward/http://find/http://goback/8/3/2019 Superficies Cuadraticas - Jana Rodriguez Hertz
70/88
p
cilindro parablico
cilindro parablico
. = 0
2x2 = z
superficies cudricas clasificacin de las cudricas ejemplos
ejemplo 1
ejemplo 1
http://goforward/http://find/http://goback/8/3/2019 Superficies Cuadraticas - Jana Rodriguez Hertz
71/88
j p
ejemplo 1Clasificar
9x2 + 9y2 + 3z2 + 6xy 10xz 6yz+ 28x+ 12y 16z+ 15 = 0
superficies cudricas clasificacin de las cudricas ejemplos
ejemplo 1
ejemplo 1
http://goforward/http://find/http://goback/8/3/2019 Superficies Cuadraticas - Jana Rodriguez Hertz
72/88
ejemplo 1Clasificar
9x2 + 9y2 + 3z2 + 6xy 10xz 6yz+ 28x+ 12y 16z+ 15 = 0
A =
9 3 5
3 9 35 3 3
superficies cudricas clasificacin de las cudricas ejemplos
ejemplo 1
ejemplo 1
http://goforward/http://find/http://goback/8/3/2019 Superficies Cuadraticas - Jana Rodriguez Hertz
73/88
ejemplo 1Clasificar
9x2 + 9y2 + 3z2 + 6xy 10xz 6yz+ 28x+ 12y 16z+ 15 = 0
A =
9 3 5
3 9 35 3 3
B=
14
6
8
superficies cudricas clasificacin de las cudricas ejemplos
ejemplo 1
ejemplo 1
http://goforward/http://find/http://goback/8/3/2019 Superficies Cuadraticas - Jana Rodriguez Hertz
74/88
ejemplo 1Clasificar
9x2 + 9y2 + 3z2 + 6xy 10xz 6yz+ 28x+ 12y 16z+ 15 = 0
A =
9 3 5
3 9 35 3 3
B=
14
6
8
Ecuacin de centro: AQ+ B= 0
superficies cudricas clasificacin de las cudricas ejemplos
ejemplo 1
ejemplo 1
http://goforward/http://find/http://goback/8/3/2019 Superficies Cuadraticas - Jana Rodriguez Hertz
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ejemplo 1Clasificar
9x2 + 9y2 + 3z2 + 6xy 10xz 6yz+ 28x+ 12y 16z+ 15 = 0
A =
9 3 5
3 9 35 3 3
B=
14
6
8
Ecuacin de centro: AQ+ B= 0 Q= (3y 1, y, 6y+ 1)( centros)
superficies cudricas clasificacin de las cudricas ejemplos
ejemplo 1
ejemplo 1
http://goforward/http://find/http://goback/8/3/2019 Superficies Cuadraticas - Jana Rodriguez Hertz
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ejemplo 1Clasificar
9x2 + 9y2 + 3z2 + 6xy 10xz 6yz+ 28x+ 12y 16z+ 15 = 0
A =
9 3 5
3 9 35 3 3
B=
14
6
8
Ecuacin de centro: AQ+ B= 0 Q= (3y 1, y, 6y+ 1)( centros)
TIPO I
http://goforward/http://find/http://goback/8/3/2019 Superficies Cuadraticas - Jana Rodriguez Hertz
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superficies cudricas clasificacin de las cudricas ejemplos
ejemplo 1
ejemplo 1
8/3/2019 Superficies Cuadraticas - Jana Rodriguez Hertz
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ejemplo 1
Clasificar
9x2 + 9y2 + 3z2 + 6xy 10xz 6yz+ 28x+ 12y 16z+ 15 = 0
A =
9 3 5
3 9 35 3 3
B=
14
6
8
Ecuacin de centro: AQ+ B= 0 Q= (3y 1, y, 6y+ 1)( centros)
TIPO I
vap de A: det(A I) = 3 + 212 92 = 0
(x regla Descartes) dos races + una 0 superficies cudricas clasificacin de las cudricas ejemplos
ejemplo 1
ejemplo 1
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ejemplo 1
Clasificar
9x2 + 9y2 + 3z2 + 6xy 10xz 6yz+ 28x+ 12y 16z+ 15 = 0
Q= (3y 1, y, 6y+ 1)
superficies cudricas clasificacin de las cudricas ejemplos
ejemplo 1
ejemplo 1
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ejemplo 1
Clasificar
9x2 + 9y2 + 3z2 + 6xy 10xz 6yz+ 28x+ 12y 16z+ 15 = 0
Q= (3y 1, y, 6y+ 1)
ecuacin reducida: x2 + y2 + 0z2 + F(Q) = 0
superficies cudricas clasificacin de las cudricas ejemplos
ejemplo 1
ejemplo 1
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ejemplo 1
Clasificar
9x2 + 9y2 + 3z2 + 6xy 10xz 6yz+ 28x+ 12y 16z+ 15 = 0
Q= (3y 1, y, 6y+ 1)
ecuacin reducida: x2 + y2 + 0z2 + F(Q) = 0
F(Q) = F(1, 0, 1) = 7 < 0
superficies cudricas clasificacin de las cudricas ejemplos
ejemplo 1
ejemplo 1
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ejemplo 1
Clasificar
9x2 + 9y2 + 3z2 + 6xy 10xz 6yz+ 28x+ 12y 16z+ 15 = 0
Q= (3y 1, y, 6y+ 1)
ecuacin reducida: x2 + y2 + 0z2 + F(Q) = 0
F(Q) = F(1, 0, 1) = 7 < 0ecuacin reducida: 7 x
2 + 7y2 = 1
superficies cudricas clasificacin de las cudricas ejemplos
ejemplo 1
ejemplo 1
http://goforward/http://find/http://goback/8/3/2019 Superficies Cuadraticas - Jana Rodriguez Hertz
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ejemplo 1
Clasificar
9x2 + 9y2 + 3z2 + 6xy 10xz 6yz+ 28x+ 12y 16z+ 15 = 0
Q= (3y 1, y, 6y+ 1)
ecuacin reducida: x2 + y2 + 0z2 + F(Q) = 0
F(Q) = F(1, 0, 1) = 7 < 0ecuacin reducida: 7 x
2 + 7y2 = 1
cilindro elptico
superficies cudricas clasificacin de las cudricas ejemplos
ejemplo 1
ejemplo 1
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ejemplo 1Clasificar
9x2 + 9y2 + 3z2 + 6xy 10xz 6yz+ 28x+ 12y 16z+ 15 = 0
ecuacin reducida: 7 x2 +7y2 = 1
cilindro elptico
superficies cudricas clasificacin de las cudricas ejemplos
ejemplo 1
ejemplo 2
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ejemplo 2Clasificar
5x2 y2 + z2 + 4xy+ 6xz+ 2x+ 4y+ 6z 8 = 0
(clculo en pizarrn)
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ejemplo 1
ejemplo 2
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ejemplo 2Clasificar
5x2 y2 + z2 + 4xy+ 6xz+ 2x+ 4y+ 6z 8 = 0
(clculo en pizarrn)
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ejemplo 1
ejemplo3
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ejemplo 3Clasificar
x2 + yz+ 2x 4z 5 = 0
(clculo en pizarrn)
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ejemplo 1
ejemplo3
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ejemplo 3Clasificar
x2 + yz+ 2x 4z 5 = 0
(clculo en pizarrn)
http://goforward/http://find/http://goback/