Upload
aitor-ramil-vizoso
View
236
Download
0
Embed Size (px)
Citation preview
7/23/2019 Superficie Helicoidal
http://slidepdf.com/reader/full/superficie-helicoidal 1/12
2015EPS FERROL
Aitor Ramil Vizoso
[ESTUDIO DE UN HELICOIDE] AMPLIACIÓN DE MATEMÁTICAS
7/23/2019 Superficie Helicoidal
http://slidepdf.com/reader/full/superficie-helicoidal 2/12
Ampliación de MatemáticasESTUDIO DE UNA SUPERFICIE
Alumno: Aitor Ramil Vizoso
1
ÍNDICEINTRODUCCIÓN ............................................................................................................................. 2
PARAMETRIZACIÓN DE LA SUPERFICIE. ........................................................................................ 4
VECTOR NORMAL .......................................................................................................................... 4
BIBLIOGRAFÍA .............................................................................................................................. 11
7/23/2019 Superficie Helicoidal
http://slidepdf.com/reader/full/superficie-helicoidal 3/12
Ampliación de MatemáticasESTUDIO DE UNA SUPERFICIE
Alumno: Aitor Ramil Vizoso
2
INTRODUCCIÓNEl estudio de superficies en tres dimensiones resulta de interés no sólo para los
matemáticos, sino que es de gran utilidad en el ámbito ingenieril, como por ejemplo
es el caso de lograr estructuras resistentes compatibles con el diseño pretendido.
“Una superficie es de hecho un conjunto de puntos de un espacio euclídeo que
forma un espacio topológico bidimensional que localmente, es decir, visto de cerca
se parece al espacio euclídeo bidimensional. Así alrededor de cada punto de unasuperficie esta se aproxima lo suficiente por el plano tangente a la superficie en
dicho punto ” (Wikipedia, 2015) .
Ilustración 1. EJEMPLO SUPERFICIE. A la hora de estudiar una superficie, es importante conocer la forma en la que ésta
se origina. Atendiendo a esto se definen algunos de los tipos de superficies
existentes:
Superficies de revolución. Este tipo de superficie es generada mediante la
rotación de una curva plana (conocida como generatriz), alrededor de una
recta llamada directriz, que desempeña la labor de eje de rotación. Algunos
subtipos de estas superficies son las superficies de revolución cilíndrica, de
revolución cónica, de revolución esférica y de revolución toroidal.
Superficies regladas. Este otro tipo es generada por una recta también
conocida como generatriz al desplazarse por una o varias curvas, llamadas
directrices.
7/23/2019 Superficie Helicoidal
http://slidepdf.com/reader/full/superficie-helicoidal 4/12
Ampliación de MatemáticasESTUDIO DE UNA SUPERFICIE
Alumno: Aitor Ramil Vizoso
3
Superficies helicoidales. Estas superficies se originan por el movimiento
helicoidal que sigue una curva, cuyos puntos definirán hélices del mismo eje
y paso.
Como es de esperar, la superficie a estudiar en el presente trabajo, es una superficie
helicoidal. El helicoide es una curva que se obtiene engendrando un punto al
componer un movimiento de giro más otro de traslación. Si dicho punto es unido al
eje de revolución por líneas rectas, se obtiene una superficie helicoidal llamada
helizoide. Por otra parte, si las líneas de unión entre el eje de rotación y el punto son
perpendiculares al eje, se obtiene un helicoide recto.
Ilustración 2. HELICOIDE RECTO. El descubrimiento de esta superficie se le atribuye a J. B. M. C. Meusnier en el año
1776.
7/23/2019 Superficie Helicoidal
http://slidepdf.com/reader/full/superficie-helicoidal 5/12
Ampliación de MatemáticasESTUDIO DE UNA SUPERFICIE
Alumno: Aitor Ramil Vizoso
4
PARAMETRIZACIÓN DE LA SUPERFICIE.A la hora de estudiar la parametrización de esta superficie, se pretende generarla a
partir de dos parámetros: uno que contenga el radio del cilindro, y otro que defina
el avance de la curva a lo largo del eje “Z”.
Estos dos parámetros suelen denominarse con las letras “v” para el radio del cilindro
y “u” para la variación en el eje “Z”.
De este modo, la parametrización resulta:
= · cos
, = = · , , = ·
, = · , ·, ·
Con 0 < u < 2π, -∞ < v < +∞.
VECTOR NORMALUna vez expresada la superficie mediante una parametrización, las derivadas
parciales de la misma en un punto ofrecen sendos vectores tangentes a la superficie
en dicho punto. Estos dos vectores pueden generar un plano tangente a la superficieen dicho punto. A su vez, multiplicando vectorialmente estos dos vectores
obtenidos, se obtiene un vector perpendicular a ambos, que corresponde al vector
normal a la curva en el punto seleccionado.
, = , , =
7/23/2019 Superficie Helicoidal
http://slidepdf.com/reader/full/superficie-helicoidal 6/12
Ampliación de MatemáticasESTUDIO DE UNA SUPERFICIE
Alumno: Aitor Ramil Vizoso
5
, = = · , · cos,
, = = cos, ,0 = ̂ ̂ cos cos 0 = ̂ cos ̂
De este modo se ha calculado un vector perpendicular a los dos vectores tangentes
sin necesidad de disponer del plano tangente.
ÁREA DE LA SUPERFICIEEl área de una superficie parametrizada se define como la integral doble del módulo
del producto vectorial de los vectores tangentes. Los límites de integración harán
referencia al radio del cilindro y al avance de la superficie sobre el eje “Z”.
= ∬| |
Recordando del apartado anterior:
= ̂ cos ̂ Por lo que el módulo será:
| | = ( ) ( ) = cos =
Una vez obtenido el módulo de este producto vectorial, estableciendo unos límites
de integración que harán referencia al radio mínimo y máximo, y a la variación de la
superficie en el eje “Z”, se puede obtener el área de la superficie helicoidal.
7/23/2019 Superficie Helicoidal
http://slidepdf.com/reader/full/superficie-helicoidal 7/12
Ampliación de MatemáticasESTUDIO DE UNA SUPERFICIE
Alumno: Aitor Ramil Vizoso
6
PRODUCTO ESCALAR EN EL PLANO TANGENTE YPRIMERA FÓRMULA FUNDAMENTALSe conoce como la primera fórmula fundamental al tensor simétrico que está
definido sobre el espacio tangente a cada punto de la superficie del helicoide. Gracias
a esta primera fórmula fundamental es posible estimar longitudes de curvas
definidas sobre el helicoide, ángulos de intersección entre curvas y otros conceptos
métricos como es el área de una región sobre la superficie.
Como datos de partida para el cálculo del área mediante la primera fórmula
fundamental, se utilizarán los dos vectores obtenidos anteriormente:
= · , · cos,
= cos, ,0 Por tradición, para hacer este cálculo se definen las componentes de la primera
forma fundamental con las nomenclaturas E, F y G:
= · = (cos ) = 1
= · · cos · cos· = 0
= · = ( · ) · cos =
Estableciendo los límites de integración para delimitar la región a estudiar dentro
de una superficie, se puede calcular el área por la siguiente expresión:
= ∬ · = ∬
Se observa que a la hora de estimar el área de la superficie, se llega a la misma
expresión empleando cualquiera de los dos métodos expuestos en este trabajo.
7/23/2019 Superficie Helicoidal
http://slidepdf.com/reader/full/superficie-helicoidal 8/12
Ampliación de MatemáticasESTUDIO DE UNA SUPERFICIE
Alumno: Aitor Ramil Vizoso
7
DIFERENCIAL DE LA APLICACIÓN DE GAUSS.SEGUNDA FORMA FUNDAMENTALUna vez se dispone de la superficie parametrizada, es posible asociar a cada punto
un vector normal unitario del siguiente modo:
= | | Estos factores ya han sido obtenidos en apartados anteriores:
= ̂ cos ̂ | | =
Finalmente resulta:
= | | = ̂ cos ̂ √ = · √ , · √ , √ Además, para obtener el diferencial de la aplicación de Gauss:
, = = · , · sen,0
, = = ,cos,0
, = = 0,0,0
Sustituyendo:
, = · = − ·√ + , ·√ + , √ + · · , ·sen,0 = 0
7/23/2019 Superficie Helicoidal
http://slidepdf.com/reader/full/superficie-helicoidal 9/12
Ampliación de MatemáticasESTUDIO DE UNA SUPERFICIE
Alumno: Aitor Ramil Vizoso
8
, = · = − ·√ + , ·√ + , √ + · ,cos,0 = √ +
, = · = − ·√ + , ·√ + , √ + · 0,0,0 = 0
Una vez hechos los cálculos, se sustituirán en la expresión de la matriz asociada de
la dN p.
11 1221 22 = 1 ·
11 1221 22 = 1 · 0 √ · 0 0
CURVATURA DE GAUSSLa curvatura de Gauss se calculará como el determinante de la matriz asociada:
= 11 1221 22 = 1 · 0 √ · 0 0 = 0
OTROS ASPECTOS DE LA SUPERFICIEEl helicoide se puede definir como una superficie reglada, ya que se genera por el
movimiento de una recta generatriz que se apoya en una hélice y en el eje de uncilindro, manteniendo el ángulo con respecto al eje constante.
Como ejemplos de aplicación, este superficie se puede ver en los siguientes casos:
Rosca cuadrada
Esta rosca está formada por una ranura helicoidal, de sección cuadrada en un
cilindro de metal, y cada superficie lateral es un helicoide recto.
7/23/2019 Superficie Helicoidal
http://slidepdf.com/reader/full/superficie-helicoidal 10/12
Ampliación de MatemáticasESTUDIO DE UNA SUPERFICIE
Alumno: Aitor Ramil Vizoso
9
Ilustración 3. ROSCA CUADRADA.
Muelle de arrollamiento helicoidal
Ilustración 4. MUELLE DE ARROLLAMIENTO HELICOIDAL.
Broca helicoidal
Ilustración 5. BROCA HELICOIDAL.
7/23/2019 Superficie Helicoidal
http://slidepdf.com/reader/full/superficie-helicoidal 11/12
Ampliación de MatemáticasESTUDIO DE UNA SUPERFICIE
Alumno: Aitor Ramil Vizoso
10
Otros
Dentro de este grupo, destacar la caja de escalera circular o de caracol, el plano
inclinado helicoidal o la rosca en V de 60º.
7/23/2019 Superficie Helicoidal
http://slidepdf.com/reader/full/superficie-helicoidal 12/12
Ampliación de MatemáticasESTUDIO DE UNA SUPERFICIE
Alumno: Aitor Ramil Vizoso
11
BIBLIOGRAFÍA https://books.google.es/books?id=Gv9Uqt2ppnMC&pg=PA230&lpg=PA230
&dq=generacion+helicoide&source=bl&ots=ZVA_7KIojw&sig=EcmANQgka9cMKlGr-FFTnyQ9yFo&hl=gl&sa=X&ved=0ahUKEwiLrtq-n7bJAhVItBoKHV2hD0UQ6AEIJDAB#v=onepage&q=generacion%20helicoide&f=false
http://www.ugr.es/~fjlopez/_private/Curso_Propiedades_Geometricas.pdf https://books.google.es/books?id=49HuAAAAMAAJ&q=parametrizacion+helicoide&dq
=parametrizacion+helicoide&hl=en&sa=X&ved=0ahUKEwis59asorbJAhXShhoKHSohCnAQ6AEIKTAB
http://www.nebrija.es/~abustind/Industriales/Matematicas2/14-15/Superficies.pdf http://www.mat.ucm.es/~dazagrar/docencia/cintegral13.pdf http://dma.aq.upm.es/profesor/rosado_e/ApuntesSuperficies.pdf http://www.mat.ucm.es/~edaguirr/cys06.pdf http://www.uam.es/personal_pdi/ciencias/jgonzalo/GCS/Cap-5-2015.pdf