Dipartimento di Matematica Applicata Università di Firenze

Multiband transport models for semiconductor devices

Giornata di lavoro sulle Nanoscienze Giornata di lavoro sulle Nanoscienze Firenze 16 dicembre 2005Firenze 16 dicembre 2005

n. 1 di 6

Super-lattice HAMILTONIAN Super-lattice HAMILTONIAN (Barletti, Bonilla,Escobedo)Super-lattice HAMILTONIAN Super-lattice HAMILTONIAN (Barletti, Bonilla,Escobedo)

Consider the two-band periodic Hamiltonian

The spectrum of the “free Hamiltonian” is

1 cos sin

sin 1 cos

( )( ) ( )

( )( ) ( )

kl eV x g i kl

i kl kl eV x g

written in terms of Pauli matrices, , as0 1 2 3, , ,

00( , ) ( ) ( ) ( )H k x H k eV x H k

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• We decompose the Wigner matrix in terms of Pauli matrices

• The expected value of the observable when system is at the state is given by integration over the phase-space of the following function

Wigner spinorial functionsWigner spinorial functionsWigner spinorial functionsWigner spinorial functions

3

0

( , , )i i ii

i

W f f f k x t

where

0( , , ) ( ) ( , , )f k x t k f k x t

• Electron densities in the band at time tE

( )t

0 0( , ) ( , , ) ( , ) ( , , )A k x f k x t A k x f k x t

ij ijw W

A / 2

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if• The evolution equations for the Wigner functions

are the Wigner functions at local equilibrium, written in terms of Fermi-Dirac distributions for the two bands, as function of the two band densities

where

( )( , ) : ( , / 2) ( , / 2)f k x f k x l f k x l

0 0' '0 0 0 0

0' '0

1( )

1( )

f H Hf f V f f

t l l

f H H Hf f f B f V f f

t l l

����������������������������

������������������������������������������

������������������������������������������������������������������������������������

is the pseudo-differential operator

02 , 2 ( ) ����������������������������

,n n

2 1: ( ) / ( 2)( , ,0)B f g f f ��������������

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SCALING • Hyperbolic scaling: potential and collisions are dominant

• Weak coupling: is small with respect to , , g

CHAPMAN-ENSKOG expansionCHAPMAN-ENSKOG expansionCHAPMAN-ENSKOG expansionCHAPMAN-ENSKOG expansion

/ 0

/( )( , ) : ( , , ) ( ) ( , , )

2

l

l

lN f x t f k x t k f k x t dk

We define the moment operators: band densities

Chapman-Enskog ansatz:

( )

0

( )

0

( , , ) ( ; ( , ), ( , ))m m

m

mm

m

f k x t f k n x t n x t

n n

t t

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( ) ( )

0

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

:

p qm

m p q m

p q q p q p

f f

t t

f f n f n

t n t n t

Then

We obtain a hierarchy of equations for (0) (1) ( ), , mf f f

Expanding up to the order m=1, we can write explicitly

(0) (1)n n n

t t t

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QDDQDD

Drift-diffusion equationsDrift-diffusion equationsDrift-diffusion equationsDrift-diffusion equations

( ) ( , )

( ) ( , )

nD n Q n n

t

nD n Q n n

t

2

2

( ) 11 1 1 1 1 1( ) ( ) 2 ( )D n J I J J

n

1 21 2 1 2 2

1( ) ( )

2I n I J J

where

etc., etc.

( , )Q n n is the generation-recombination operator