Sumário e Objectivos - fe.up.ptldinis/3aulaef.pdf · Setembro Método dos Elementos Finitos 3ªAula 11 Método dos Resíduos Pesados-Se se considerar w j =N j o método designa-se

Setembro Método dos Elementos Finitos3ªAula

1

Sumário e Objectivos

Sumário: Método dos Resíduos Pesados. Princípio Variacional. Discretização Pelo Método dos Elementos Finitos (MEF). Objectivos da Aula: Apreensão do Processo de Discretização pelo MEF.


2

Estruturas


3

Propagação de Fendas

σ22


4

Forma Forte das Equações Diferenciais

0+ =L cLU fTα

uin ∂ Γu = u tin⋅ ∂ Γn = tσe B(u)=0 são: Valores Prescritos na Fronteira


5

Equações Diferenciais

0+ =L cLU fTα

Tx 0 0 0 z y

0 y 0 z 0 x0 0 z y x 0

L∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂⎡ ⎤⎢ ⎥= ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂⎢ ⎥⎢ ⎥∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂⎣ ⎦

⎧ ⎫⎪ ⎪= ⎨ ⎬⎪ ⎪⎩ ⎭

fx

y

z

fff

α

Caso 3D

⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧=

wvu

UCaso 2D

T x 0 y

0 y xL∂ ∂ ∂ ∂⎡ ⎤

= ⎢ ⎥∂ ∂ ∂ ∂⎣ ⎦⎧ ⎫

= ⎨ ⎬⎩ ⎭

f x

y

ffα

uv⎧ ⎫

= ⎨ ⎬⎩ ⎭

U


6

Método dos Resíduos Pesados

1T

2A(u)d 0 sendo w= um conjunto arbitrário de funções

igual ao número de componentes de U envolvidas

ww w

Ω

⎧ ⎫⎪ ⎪Ω = ⎨ ⎬⎪ ⎪⎩ ⎭

∫

Forma Fraca ou Integral das Equações Diferenciais A(u)=0

1

T

2d 0 sendo w=B(u)w

ww

Ω

⎧ ⎫⎪ ⎪⎪ ⎪Ω = ⎨ ⎬⎪ ⎪⎪ ⎪⎩ ⎭

∫Na fronteira é:


7


Forma Integral Domínio mais Fronteira

11TT

2 2A(u)d + B(u)d 0 sendo w= e w=

www ww w

Ω Γ

⎧ ⎫⎧ ⎫ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪Ω Γ = ⎨ ⎬ ⎨ ⎬⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎩ ⎭ ⎪ ⎪

⎩ ⎭

∫ ∫

As funções W são conhecidas por funções de Peso e podem ter valores distintos conforme o método utilizado.


8


in

i i i ii 1

i

uU U =NU sendo no caso 3D N u u v

w=

⎧ ⎫⎪ ⎪≈ = = ⎨ ⎬⎪ ⎪⎩ ⎭

∑

Admitindo que U (no caso dos Problemas de Elasticidade Tridimensional, este vector é constituído pelo deslocamentos) é aproximado da seguinte forma:

n representa o número total de incógnitas do Problema

No caso das funções de peso podem considerar-se aproximações com a seguinte forma:

n n

j j jjj 1 j 1

w w w u uw= =

= δ = δ∑ ∑


9


TTA(u)d + B(u) d 0 w wΩ Γ

Ω Γ =∫ ∫n n

TT Tj j i i i ij

i 1 i 1A( )d + B( )d 0 para j=1 até n u w N u N uw

= =Ω Γ

⎡ ⎤δ Ω Γ =⎢ ⎥

⎣ ⎦∑ ∑∫ ∫

Inserindo estas aproximações na forma integral

Obtém-se:

Tendo em conta que δuj é arbitrário obtém-se o sistema de equações seguintes:

n nTT

j i i i iji 1 i 1

A( )d + B( )d 0 para j=1 até n w N u N uw= =Ω Γ

Ω Γ =∑ ∑∫ ∫Tendo em conta que A(NU) e B(NU) representam o resíduo ou erro resultante da aproximação introduzida, os integrais nas equações anteriores representam valores pesados dos referidos erros.


10


Teoricamente a função wj podia ser uma função qualquer os valores mais usuais são os seguintes, estando a cada um deles associada uma designação para o método.

-Se se considerar wj=δj de tal modo que δj é tal que é igual a zero para x≠xj e y ≠yj sendo ∫ΩwjdΩ=I o método designa-se por Método da Colocação Pontual. Neste método impõe-se que o resíduo seja nulo num conjunto discreto de pontos n.

- Se se considerar wj=I em Ωj e zero no resto do domínio o método designa-se por Método de Colocação por Subdomínios.


11


-Se se considerar wj=Nj o método designa-se por Método de Galerkin. As funções de forma utilizadas na aproximação dos deslocamentos (no caso da Mecânica dos Sólidos) são utilizadas como função de peso.

-Se se considerar wj≠Nj o método designa-se por Método de Petrov-Galerkin. As funções de Peso têm forma distinta das funções de forma.


12

Princípio de HamiltonMecânica dos Sólidos

No caso geral considerando a energia cinética, dinâmica

02

1=∫ dtLt

t

δ sendo L=T−Π+W

VUUT T

Vdρ∫=

21

VcVΠ T

V

T

Vdd εε

21σε

21

∫∫ ==

f

T Tb s f

V S

W dV dS= +∫ ∫U f U f

(energia cinética)

(energia potencial)

(trabalho realizado pelasforças exteriores)


13

Princípio de HamiltonMecânica dos Sólidos

No caso da Estática

L 0δ = sendo L=-Π+W

VcVΠ T

V

T

Vdd εε

21σε

21

∫∫ ==

f

T Tb s f

V S

W dV dS= +∫ ∫U f U f

(energia potencial)

(trabalho realizado pelasforças exteriores)

δL=-δΠ+δW=0 Mínimo da Energia


14

Método dos Elementos Finitos MEF

O Método dos Elementos Finitos (MEF) é um Método de obtenção de Soluções Aproximadas das Equações Diferenciais que regem determinado problema de Engenharia.

O MEF envolve um número de procedimentos que podem ser sumariados do seguinte modo:

-Discretização. Uma Região do Meio Contínuo é discretizada num número finito de formas simples os chamados Elementos.

trabalho de Pedro Moreira, e Paulo Matos usando o software Franc2D/L


15


- As propriedades e as relações que regem o problema são estabelecidas ao nível do Elemento através de relações matemáticas em termos dos valores das incógnitas num conjunto discreto de pontos do elemento, os chamados Nós.

2D

3D 1D


16


- Um processo de Assemblagem é considerado com vista a reconstruir o domínio global do Problema tendo em conta as condições de fronteira e o carregamento. Obtém-se em geral um sistema de equações algébricas linear ou não linear.

- Por resolução do Sistema de Equações obtêm-se o valor das incógnitas num conjunto discreto de pontos, os Nós. No caso da formulação em termos dos deslocamentos de Mecânica dos Sólidos, as referidas incógnitas são os Deslocamentos nos pontos nodais. A partir dos Deslocamentos podem obter-se por uso das funções de forma, as deformações e as tensões.


17


Discretização: O Sólido é dividido em N Elementos com conectividade adequada - compatibilidade. O conjunto dos Elementos forma o domínio total do Problema sem sobreposições o que assegura a compatibilidade.

Os elementos a considerar podem ter geometrias distintas (rectangular, triangular no caso 2D) e podem ter número de nós distintos ( 3, 6, 8etc.) .

Com malhas mais refinadas obtêm-se em geral resultados mais precisos. As malhas podem ser irregulares devendo ser mais refinadas nas zonas onde existe um gradiente mais elevado das grandezas, por exemplo, em Mecânica dos Sólidos dos Deslocamentos.

Uma má discretização pode produzir erros, os chamados erros de discretização.


18

Discretização-MEF

Erro de Discretizaçãosignificativo

Discretização Aceitável


19

Interpolação no Elemento -MEF

e

i ii 1

nU(x, y, z) (x, y, z)N d

=

= =∑ N(x, y, z)d

No caso de um formulação em Mecânica dos Sólidos em termos dos Deslocamentos, o campo de deslocamentos, U éconstituído por u,v no caso 2D e por u,v,w no caso 3D

No caso 2D (Elemento com 4 nós):

1 1 2 2 3 3 4 4

1 1 2 2 3 3 4 4

u(x, y) (x, y) (x, y) (x, y) (x, y)N u N u N u N uv(x, y) (x, y) (x, y) (x, y) (x, y)N v N v N v N v

= + + += + + +


20

Interpolação no Elemento –MEFExemplo: Elemento de 4 nós-2D

e

i ii 1

nU(x, y, z) (x, y, z)N d

=

= =∑ N(x,y, z)d

3 3

T

1 1 2 2 4 4, , , , , , ,u v u v u v u v=dO vector d é:

A matriz das funções de forma N é:

1 2 3 4

1 2 3 4

0 0 0 0N N N N(x, y)0 0 0 0N N N N

⎡ ⎤= ⎢ ⎥⎣ ⎦

N

1 2

34


21


1 (x1,y1) 2 (x2,y2)

3 ( x3,y3)4 (x4,y4)


22



23

Interpolação dos deslocamentos

e−= 1α P d

Construção das Funções de Forma Função de aproximação dos deslocamentos, caso 1D

1

( ) ( ) ( )dn

hi i

i

Tu p α=

= =∑x x p x α 1 2 3= , , , ......, d

Tnα α α αα

pT(x)=1, x, x2, x3, x4,..., xp

(1D)

di = pT(xi)α i = 1, 2, 3, …,n ou de=PTαObrigue-se a terem os valores dos deslocamentos nos nós

Determinação de α:Definindo uh(x) = N( x) de

1 2

1 1 1 11 2

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( )− − − −⎡ ⎤⎢ ⎥= =⎢ ⎥⎣ ⎦x x x

N x p x P p x P p x P p x Pn

T T T Tn

N N N


24

Triângulo de Pascal -2D

xy x2

x3

x4

x5

y2

y3

y4

y5

x2y

x3y

x4y x3y2

xy2

xy3

xy4x2y3

x2y2

Termo constante 1

x y

1

Termos Quadráticos: 3

Termos Cúbicos: 4

Termos de 4ª Ordem: 5

Termos de 5ª Ordem: 6

Termos Lineares: 2 3 termos

6 termos

10 termos15 termos

21 termos

2 2( ) ( , ) 1, , , , , ,..., ,T T p px y x y xy x y x y= =p x p


25

Pirâmide de Pascal

x

x2

x3

x4

y

y2

y3

y4

xy

z

xz yz

x2y xy2

x2z zy2

z2

xz2 yz2

xyz

z3

x3y

x3z

x2y2

x2z2 x2yz

xy3

zy3

z2y2xy2z

xyz2

xz3 z4 z3y

1 Constante: 1

Linear: 3

Quadrático: 6

Cúbico: 10

4ªordem: 15

4 termos

10 termos

20 termos

35 termo

2 2 2( ) ( , , ) 1, , , , , , , , , ,..., , ,T T p p px y z x y z xy yz zx x y z x y z= =p x p


26

Interpolação no Elemento –MEFPropriedades das Funções de Forma

( ) 1 , 1,2, ,0 , , 1,2, ,

di j ij

d

i j j nN

i j i j nδ

= =⎧= = ⎨ ≠ =⎩

x

1.

1

( ) 1n

ii

N=

=∑ x2. Partição da Unidade

1

( )dn

i ii

N x x x=

=∑

3. Reprodução de um campo Linear

Propriedade δij de Kronecker


27

Equações ao nível do elementoCoordenadas Locais

e

Te

v

⎛ ⎞⎜ ⎟=⎜ ⎟⎝ ⎠

κ ∫ B DBdV

e e

T Te

1 1dV D dV2 2v v

Π = =∫ ∫ε σ ε ε

e e

T Te b s fW dV dS

v S= +∫ ∫U f U f δL=-δΠ+δW=0

U=Ndε=LU ε= LN d ε = B d

B=LN Matriz de Deformação

Substituindo na energia potencial obtém-se:

e e

e

T Te

Matriz de Rigidez do Elemento

1 1 dV2 2v v

Π−

⎛ ⎞⎜ ⎟= =⎜ ⎟⎝ ⎠

κ

∫ ∫ε Dε d B DBdV d


28

Equações ao nível do elementoCoordenadas Locais-Estática

V S V S

` Volume ` Superfície

W d d ( d ) ( d )

W F F

= =

= + = +

= +

∫ ∫ ∫ ∫d N f d N f d N f d N f

d d

e e e e

V s

T T T T T T T Te V s V s

Forças de Forças de

T TV se

V S V S

F F

Substituindo no Trabalho realizado pelas forcas exteriores obtém-se:

δLe=-δΠe+δWe=0

ou seja κede=fe

sendoe

Te

v=κ ∫ B cBdV fe=FV+Fse

δLe=∑(δLe/δdi)δdi=0 ou δLe/δdi=0


29

Equações ao nível do elementoEstática

Te edD T= T

e eF T f=

No caso do sistema de Eixos Local (associado ao elemento) não coincidir com o sistema de Eixos Global há necessidade de proceder à mudança de eixos fazendo uso da Matriz de Transformação.

x

yx´y´

No sistema de Eixos Global

Te eTK T= κ KeDe=Fe


30

Equações GlobaisEstática

Assemblagem das Equações Elementares por forma a obter as Equações Globais. Devem-se adicionar as contribuições elementares para um mesmo nó por forma a obter o sistema

de equações globais que é: KΔ=F sendo: K = (∑) Ke , D= (∑) De e F= (∑) Fe

Devem incluir-se as Condições de Fronteira, no caso dos valores fixos serem nulos, a inclusão das condições de fronteira implica a remoção das linhas e colunas correspondentes aos valores prescritos, também podem ser incluídas considerando o Método dos Multiplicadores de Lagrange.


31

Equações GlobaisEstática

A matriz dos Coeficientes, K, é designada por Matriz de Rigidez Global e é uma Matriz Semi-positiva Definida. Uma vez obtido o Sistema de Equações KΔ=F, tem de resolver-se este sistema de equações que no caso correspondente a um comportamento linear elástico, corresponde à solução de um sistema de equações lineares que pode ser resolvido pelo Método de Eliminação de Gauss. Existem divulgadas e disponíveis na Internet subrotinas que procedem à Assemblagem e àResolução do Sistema de Equações Final.


32

Equações ao nível do elemento Estática – Tensões e Deformações

Uma vez conhecidos os deslocamentos Δpodem obter-se os deslocamentos de e obter as deformações fazendo uso das relações ε=BU sendo a Matriz de Deformação a Matriz calculada inicialmente a partir do operador L e da Matriz das funções de forma, B=LN. As tensões obtém-se recorrendo àLei de Hooke, σ=cε=cΒU.

Documents

Sumário e Objectivos - fe.up.ptldinis/3aulaef.pdf · Setembro Método dos Elementos Finitos 3ªAula 11 Método dos Resíduos Pesados-Se se considerar w j =N j o método designa-se