INTRODUCTION TO TENSOR CALCULUS AND CONTINUUM MECHANICS

PART 1 : INTRODUCTION TO TENSOR CALCULUS

Medan scalar menggambarkan suatu kesesuaian terhadap yang lain di antara titik dan

bilangan scalar tunggal. Konsep dapat digeneralisasi dengan menetapkan bilangan kuadrat n

ke titik tunggal atau bilangan pangkat tiga ke titik tunggal. Ketika bilangan ini mematuhi

hokum transformasi mereka menjadi contoh dari medan tensor. Secara umum medan scalar

disebut sebagai medan tensor pangkat atau orde nol mengingat medan vector disebut medan

tensor pangkat atau orde satu.

Secara dekat yang berkaitan dengan kalkulus tensor yaitu indisial atau notasi index.

Kita juga mendefinisikan medan scalar, vector dan tensor ketika mereka diperlakukan sebagai

berbagai transformasi koordinat, itu menunjukkan bahwa tensor memiliki sifat yang tidak

tergantung pada system koordinat yang digunakan untuk menggambarkan tensor. Karena

sifat tersebut, tensor dapat digunakan untuk menunjukkan berbagai hokum fundamental yang

terjadi dalam fisika, teknik, sains dan matematika.

1.1Notasi Index

Dua vector A dan B dapat diekspresikan dalam bentuk komponen :

A=A1 e1+ A2 e2+ A3 e3 dan B=B1 e1+B2 e2+B3 e3

Dimana e1, e2 dan e3 merupakan vector basis orthogonal. Vector A dan B sering

diringkas sebagai triple bilangan. Misalnya, dapat dituliskan :

A=( A1 , A2, A3 ) dan B=( B1 , B2 ,B3 )

Itu menunjukkan bahwa hanya komponen vector A dan B yang diberikan. Unit vector

akan menunjukkan :

e1=(1 , 0 ,0 ) e2=(0 , 1 ,0 ) e3=(0 , 0 ,1 )

Pada notasi indeks, besaran Ai , i=1 ,2 , 3 dan Bp , p=1 ,2 , 3 menunjukkan komponen

vector A dan B.

Dimensi vector yang lebih tinggi mungkin didefinisikan sebagai orde n. misalnya vector :

X=( X1 , X2 ,… XN )

Dengan komponen X i , i=1 ,2 , … N disebut vector dimensi N.

Notasi yang lain uang digunakan untuk menunjukkan vector ini yaitu :

X=X1 e1+ X2 e2+…+X N eN

Dimana e1, e2, …, eN merukan unit vector basis independent.

Bilangan subscript ( tulisan di bawah garis) dan superscript ( huruf atau angka yang

ditulis di atas) menentukan orde system. System dengan satu index adalah system orde

pertama. System dengan dua index adalah system orde dua. Secara umum system dengan

N index disebut system orde N. system dengan tidak ada index disebut system scalar atau

system berorde nol.

Tipe system tergantung pada bilangan subscript dan superscript yang terjadi dalam

ekspresi. Misalnya A jki dan A st

m (range semua indeks 1 sampai N) adalah tipe sama karena

mereka mempunyai bilangan subscript dan superscript yang sama. Secara berbeda,

system A jki dan C p

mn bukan tipe yang sama karena satu system mempunyai dua superscript

dan sistem yang lain hanya mempunyai satu superscript.

δ11=1 δ12=0 δ 13=0δ 21=0 δ 22=1 δ 23=0δ 31=0 δ32=0 δ33=1

e1 . e1=1 e1. e2=0 e1 . e3=0e2 . e1=0 e2 .e2=1 e2 . e3=0e3 .e1=0 e3. e2=0 e3 . e3=1

Symetric and Skew Symetric System

Suatu system didefinisikan oleh range subscript dan superscript di atas aturan nilai

dikatakan menjadi simetri dalam dua indeksnya jika komponen-komponen tidak berubah

ketika indeks ditukar. Misalnya system orde tiga T ijk adalah simetri dalam indeks I dan k

jika :

T ijk=T kji untuk semua nilai i, j, dan k

Suatu system didefinisikan oleh subscript dan superscript dikatakan menjadi skew-

symetric dalam dua indeksnya jika komponen-komponen mengubah tanda ketika indeks

ditukar. Misalnya, system orde empat T ijkl adalah skew-symmetric dalam indeks i dan l jika

T ijk=−T ljki untuk semua nilai i j k dan l

Summation Convention

Aturan penjumlahan menyatakan bahwa apapun yang muncul pada suatu ekspresi

dimana ada indeks yang terjadi dua kali pada persamaan yang sama, atau bentuk dalam

persamaan, itu dimengerti untuk menunjukkan penjumlahan pada indeks berulang ini.

Contoh 1.1-1 : dua persamaan dapat ditunjukkan sebagai satu persamaan dengan

mengenalkan indeks tiruan

y1=a11 x1+a12 x2

y2=a21 x1+a22 x2

yk=ak 1 x1+ak 2 x2 k=1, 2

Contoh 1.1-2 : untuk penyelesaian y i=aij x j , i , j=1,2,3 dan x i=b ij z j ,i , j=1,2,3 untuk

variable y dalam bentuk variable z.

Solution : dalam bentuk matrik diberikan persamaan yang dapat diekspresikan :

( y1

y2

y3)=(a11 a12 a13

a21 a22 a23

a31 a32 a33)(x1

x2

x3) dan (x1

x2

x3)=(b11 b12 b13

b21 b22 b23

b31 b32 b33)( z1

z2

z3)

Sekarang menyelesaikan untuk variable y dalam bentuk variable z dan mendapatkan

( y1

y2

y3)=(a11 a12 a13

a21 a22 a23

a31 a32 a33)(b11 b12 b13

b21 b22 b23

b31 b32 b33)(z1

z2

z3)

Notasi indeks menggunakan indeks yang merupakan indeks tiruan dan dapat ditulis :

yn=anm xm , n , m=1 ,2, 3 dan xm=bmj z j, m , j=1,2,3

Di sini kita bertujuan untuk mengubah indeks sehingga ketika kita mensubstitusikan xm ,, dari

satu persamaan ke dalam persamaan yang lain, indeks penjumlahan tidak diulang lebih dari

dua kali. Dengan mensubstitusikan, bentuk indeks dari persaman matrix di atas sebagai

berikut :

yn=anm bmj z j , m ,n , j=1,2,3

Dimana n adalah indeks bebas dan m, j adalah indeks penjumlahan tiruan.

Contoh 1.1-3 dot produk dua vector Aq, q=1, 2, 3 dan B j, j=1, 2, 3 dapat ditunjukkan

dengan notasi indeks oleh produk Ai B i=ABcosθ i=1, 2, 3, A=|A| , B=|B|, karena

subscript I diulang itu untuk menunjukkan indeks penjumlahan. Menjumlahkan i di atas

range yang ditetapkan, hasilnya :

A1 B1+ A2 B2+A3 B3=ABcos θ

Untuk system yang mengandung subscript dan superscript satu dapat mengaplikasikan

operasi aljabar. Kita menunjukkan dalam cara informal pada opersai penjumlahan, perkalian

dan kontraksi.

Penjumlahan, Perkalian dan Kontraksi

Simbol Permutasi e dan Kronecker Delta

Contoh 1.1-4 : total bilangan yang tersusun pada digit 1 2 3 adalah enam. Kita punya tiga

pilihan untuk digit pertama. Digit pertama yang terpilih, hanya ada dua pilihan kiri untuk

digit kedua. Karena bilangan yang tetap adalah untuk digit terakhir. Hasil (3)(2)(1)=3 !=6

adalah bilangan permutasi digit 1, 2 dan 3. Enam permutasi ini yaitu :

1 2 3 permutasi genap

1 3 2 permutasi ganjil

3 1 2 permutasi genap

3 2 1 permutasi ganjil

2 3 1 permutasi genap

2 1 3 permutasi ganjil

Permutasi 1 2 3 disebut genap atau ganjil tergantung adanya bilangan transformasi digit

genap atau ganjil. Cara untuk mengingat permutasi genap dan ganjil dari 1 2 3 diilustrasikan

seperti gambar di bawah ini. Catatan bahwa permutasi genap diperoleh dengan menyeleksi

tiga bilangan berurutan apa saja dari urutan 123123 dan permutasi ganjil diperoleh dengan

menyeleksi tiga bilangan berurutan apa saja dari urutan 321321.

Secara umum bilangan permutasi n terhadap m diberikan dengan hubungan :

P (n ,m)=n (n−1 ) (n−2 ) … (n−m+1 )

Dengan menyeleksi objek m dari kumpulan objek n, m ≤n,

(a+b )n=∑m=0

n

( nm)an−m bm

Definisi permutasi dapat digunakan untuk mendefinisi symbol permutasi e.

Definisi : (symbol permutasi e atau tensor bolak balik)

Sibol permutasi e didefinisikan

e ijk … le ijk … l{ 1 jika ijk …ladalah permutasi genapbilangan bulat 123…n−1 jika ijk …ladalah permutasi ganj il bilangan bulat 123 …n

0 semua kasus yang lain

Contoh 1.1-5 : Tentukan e612453

Solusi : untuk menentukan apakah 612453 adalah permutasi genap atau ganjil pada 123456,

kita tulis bilangan yang diberikan dan di bawah ini kita tuliskan bilangan bulat 1 sampai 6.

Kemudian bilangan sama dihubungkan dengan garis dan kita peroleh gambar di bawah ini :

Pada gamabar di atas, ada tujuh titik potong/pertemuan garis yang menghubungkan bilangan

sama. Bilangan yang bertitik potong adalah bilangan ganjil dan menunjukkan bahwa

perubahan bilangan ganjil harus dilakukan. Hasil ini menyatakan e612453=−1.

Definisi yang lain yang sering digunakandalam menujukkan besaran matematika dan teknik

yaitu Kronecker delta yang didefinisikan dalam bentuk keduanya subscript dan superscript.

Definisi : (Kronecker delta) Kronecker delta didefinisikan :

δ ij δ ij={ 1 jikai sama dengan j

0 jikai berbedadengan j

Contoh 1.1-6 : beberapa contoh symbol permutasi e dan kronecker delta adalah :

e123=e123=+1 δ 11=1 δ 12=0

e213=e213=−1 δ 21=0 δ 22=1

e112=e112=0 δ 31=0 δ 32=0

Contoh 1.1-7 :

Contoh 1.1-8 : dalam symbol Kronecker delta δ ij kita mengatur j sama dengan I dan

melakukan penjumlahan. Operasi ini disebut kontraksi. Hasil δ ii, yang dijumlahkan di atas

range indeks i. dengan menggunakan range 1, 2, …, N kita punya

δ ii=δ 1

1+δ22+…+δN

N

δ ii=1+1+…+1

δ ii=N

Dalam tiga dimensi kita punya δ ij, i, j =1, 2, 3 dan

δ kk=δ1

1+δ 22+δ3

3=3

Dalam keadaan tertentu Kronecker delta dapat ditulis dengan hanya subscript. Misalnya, δ ij,

i , j=1 ,2 ,3. Pada keadaan tertentu ini mengijinkan kita untuk melakukan kontraksi pada

indeks yang lebih rendah sehingga δ ii=3.

Contoh 1.1-9 : determinan matrik A=(aij ) dapat ditunjukkan dalam notasi indeks. Dengan

menggunakan symbol permutasi e determinan suatu matrik N × N yaitu :

|A|=e ij …k a1 i a2 j …aNk

Dimana e ij …k merupakan system orde N.dalam kasusu special matrik 2 ×2 kita tulis :

|A|=e ija1i a2 j

Dimana penjumlahan di atas range 1,2 dan symbol permutasi e adalah orde 2. Dalam kasus

khusus matrik 3 ×3 kita punya :

|A|=|a11 a12 a13

a21 a22 a23

a31 a32 a33|=e ijk ai 1 a j 2 ak 3=eijk a1 ia2 j a3k

Dimana i, j, k adalah indeks penjumlahan dan penjumlahannya di atas range 1, 2, 3. Di sini

e ijk menunjukkan symbol permutasi e orde 3. Catatan bahwa dengan menukar baris matrik

3 ×3 kita dapat memperoleh hasil yang lebih umum. Anggap ( p , q , r ) sebagai beberapa

permutasi bilangan bulat (1, 2, 3), dan mengobservasi bahwa determinan dapat

diekspresikan :

∆=|ap 1 a p2 ap 3

aq 1 aq 2 aq 3

ar 1 ar 2 ar 3|=eijk apiaqjark

Jika ( p ,q , r ) adalah suatu permutasi genap (1, 2, 3) maka ∆=|A|

Jika ( p ,q , r ) adalah suatu permutasi ganjil (1, 2, 3) maka ∆=−|A|

Jika ( p ,q , r ) adalah bukan permutasi (1, 2, 3) maka ∆=0

Kemudian kita dapat menuliskan :

e ijk api aqj ark=e pqr|A|

Contoh 1.1-10 : Ekspresi e ijk B ij Ci tak berarti karena indeks I mengulang dirinya lebih dari

dua kali dan aturan penjumlahan tidak mengijinkan ini.

Contoh 1.1-11 : cross product unit vector e1 ,e2 , e3 dapat ditunjukkan dalam notasi indeks

dengan :

e i× e j={ ek jika ( i , j , k )adalah permutasi genapdari(1,2,3)−ek jika ( i , j , k )adalah permutasi ganjildari(1,2,3)

0 dalam semua kasuslain

Hasil ini dapat dituliskan dalam bentuk e i× e j=ekij ek. Indeks ini selanjutnya dapat dibuktikan

dengan menjumlahkan indeks k dan menuliskan semua 9 kombinasi kemungkinan untu i dan

j.

Contoh 1.1-12 : diberikan vector Ap, p=1,2,3 dan Bp, p=1,2,3. Croos product dua vector ini

adalah vector C p , p=1 , 2,3 dengan komponen :

C i=e ijk A j Bk ,i , j , k=1 , 2,3 (1.1.2)

Besaran C menunjukkan komponen vector cross product

C= A × B=C 1 e1+C2 e2+C3 e3

Persamaan (1.1.2), yang mendefinisikan komponen C, djumlahkan pada setiap indeks yang

mengulang dirinya. Kita harus menjumlahkan pada indeks k

C i=e ij1 A j B1+eij 2 A j B2+eij 3 A j B3 (1.1.3)

Selanjutnya menjumlahkan pada indeks j yang mengulang dirinya dalam setiap bentuk

persamaan (1.1.3). ini memberikan :

C i=e i 11 A1 B1+e i21 A2 B1+e i 31 A3 B1+e i 12 A1 B2+ei 22 A2 B2+ei 32 A3 B2+e i 13 A1 B3+ei 23 A2 B3+e i33 A3 B3

Sekarang

C1=A2 B3−A3 B2

C2=A3 B1−A1 B3

C3=A1 B2−A2 B1

Cross product dapat juga diekspresikan dalam bentuk A × B=eijk A j Bk e i. Hasil ini dapat

dibuktikan dengan penjumlahan indeks i , j dan k

Contoh 1.1-13 : tunjukkan

e ijk=−eikj=e jkiuntuk i , j , k=1 ,2 ,3

Solusi : aturan i k j menunjukkan bilangan ganjil dari transportasi indeks i j k dan setiap

perubahan ada tanda perubahan symbol permutasi e. dengan sama, j k i adalah suatu

transportasi genap i j k dan tidak ada tanda perubahan symbol permutasi e.

The e−δ identity

Suatu identitas yang berhubungan dengan symbol permutasi e dan kronecker delta, yang

berguna dalam menyederhanakan bentuk tensor yaitu identitas e−δ. Identitas ini dapat

dinyatakan dalam bentuk yang berbeda. Bentuk subscript untuk identitas ini adalah :

e ijk e imn=δ jmδ kn−δ jnδ km i , j , k , m,n=1,2,3

Dimana i merupakan indeks sumasi dan j,k,m,n merupakan indeks bebas. Cara yang

digunakan untuk mengingat posisi subscript diberikan pada gambar 1.1-3.

Subscript pada empat Kronecker delta pada siis kanan identitas e−δ kemudian dibaca :

( first ) ( second )−( outer ) ( inner )

Dengan begitu, j,m adalah indeks pertama setelah sumasi indeks dan k,n adalah indeks kedua

setelah sumasi indeks. Indeks j , n adalah indeks outer ketika membandingkan indeks inner

k ,m sebagai indek yang diperlihatkan pada sisi kiri dari identitas.

Bentuk lain dari identitas ini memakai subscript dan superscript dan mempunyai bentuk :

e ijk e imn=δmj δ n

k−δ nj δm

k (1.1.5)

Salah satu cara untuk membuktikan identitas ini yaitu mengobservasi persamaan (1.1.5) yang

mempunyai indeks bebas j,k,m,n. setipa indeks ini dapat mempunyai nilai apa saja 1,2, atau

3. Ada tiga pilihan kita dapat menandai masing-masing j,k,m atau n dan totalnya 34=81

kemungkinan persamaan yang dinyatakan dengan identitas dari persamaan (1.1.5).

Bukti lain dari identitas e−δ yaitu determinant

|δ11 δ2

1 δ31

δ12 δ2

2 δ32

δ13 δ2

3 δ33|=|1 0 0

0 1 00 0 1|=1

Dengan menyatakan permutasi baris matrik ini kita dapat menggunakan symbol permutasi

dan menuliskan :

|δ1i δ2

i δ3i

δ1j δ2

j δ3j

δ1k δ2

k δ3k|=e ijk

Dengan menyatakan permutasi kolom, kita dapat menuliskan :

|δri δ s

i δti

δrj δ s

j δ tj

δrk δ s

k δtk|=e ijk erst

Sekarang menyatakan kontraksi pada indeks i dan r untuk memperoleh ;

|δii δ s

i δti

δij δ s

j δ tj

δik δ s

k δtk|=e ijk e ist

Menjumlahkan i kita punya δ ii=δ 1

1+δ22+δ3

3=3 dan mengekspansikan determinan untuk

memperoleh hasil yang diinginkan

δ sj δ t

k−δ tj δ s

k=e ijk e ist

Generalized Kronecker delta

Kronecker delta secara umum didefinisikan dengan determinan matrik (n× n )

δ mn… pi , j …k =[δ m

i δ ni

δ mj δ n

j⋯ δ p

i

δ pj

⋮ ⋱ ⋮δ m

k δ nk ⋯ δ p

k ]Misalnya dalam tiga dimensi kita dapat menuliskan

δ mnpijk =|δm

i δni δ p

i

δmj δn

j δ pj

δmk δn

k δ pk|=e ijk emnp

Menyatakan kontraksi pada indeks k dan pkita peroleh system orde empat

δ mnrs =δ mnp

rsp =ersp emnp=e prs e pmn=δ mr δn

s−δnr δm

s

Additional Aplications of the Indicial Notation

Notasi indeks, bersama dengan identitas e−δ, dapat digunakan untuk membuktikan identitas

vector.

Contoh 1.1-14 : Tunjukkan, menggunakan notasi indeks, bahwa A × B=−B × A

Solusi :

C= A × B=C1 e1+C2 e2+C3 e3=C i e i

D=B × A=D1 e1+D2 e2+D e3=D e i

Kita harus menunjukkan bahwa komponen cross product dapat ditunjukkan dalam notasi

indeks dengan :

C i=e ijk A j Bk dan Di=eijk B j A k

Kita menginginkan untuk menunjukkan bahwa Di=−C i untuk semua nilai i. dengan

memanipulasi B j=B s δ sj dan Ak=Am δ mk dan menuliskan

Di=eijk B j Ak=eijk Bs δ sj Am δmk

Dimana semua indeks mempunyai range 1, 2, 3.pada persamaan (1.1.6) catatan bahwa tidak

ada indeks penjumlahan yang muncul lebih dari dua kali karena jika indeks muncul lebih dari

dua kali aturan penjumlahan akan menjadi tidak berarti. Dengan menyusun kembali bentuk

pada persamaan (1.1.6) kita punya :

Di=eijk δ sj δmk B s Am=e ism Bs Am

Pada persamaan ini indeks s dan m merupakan indeks penjumlahan tiruan dan dapat diganti

dengan yang lain. Kita mengganti s dengan k dan m dengan j untuk memperoleh ;

Di=eikj A j Bk=−eijk A j Bk=−Ci

Sehingga kita dapatkan D=−C atau B × A=− A × B. Yang mana D=D i e i=−C i ei=−C

D=−C atau B × A=− A × B yang mana D=D e i=−C i ei=−C

Catatan 1 : ekpresi

C i=e ijk A j B k danCm=emnp An Bp

Dengan semua indeks mempunyai range 1,2,3 muncul berbeda karena perbedaan yang

digunakan sebagai subscript. Itu harus diingat bahwa indeks tetap dijumlahkan berdasarkan

ketentuan sumasi dan indeks yang lain yaitu indeks bebas. Maka setelah sumasi, ketika nilai

numeric disubstitusikan untuk indeks yang terlibat, tidak ada letter dummy yang digunakan

untuk menyatakan komponen yang muncul pada jawaban.

Catatan 2 : titik penting yang kedua yaitu ketika salah satu bekerja dengan ekspresi

melibatkan notasi indeks, indeks dapat diubah secara langsung. Misalnya pada persamaan di

atas untuk Di kita dapat mengganti j dengan k dan k dengan j secara serempak untuk

memperoleh :

Di=eijk B j Ak=ei k j B j A k=−e ijk B j Ak=−C i

Catatan 3 : hati-hati dalam menhubungkan dan empat di antara notasi vector dan notasi

indeks. Mengobservasi bahwa vector A dapat dinyatakan

A=A i ei atau A . e i=Ai i=1,2,3

Contoh 1.1.15 : Buktikan identitas vector :

A . (B × C )=B . (C × A )

Solusi :

B× C=D=Di e idimana Di=eijk B j C k

C × A=F=F i e i dimana F i=eijk C j Ak

Dimana semua indeks mempunyai range 1, 2, 3. Untuk membuktikan identitas di atas, kita

punya :

A . (B × C )=A . D=A i Di=Ai eij k B j Ck

A . (B × C )=B j (e ijk A iC k )

A . (B × C )=B i ( e jkiC k Ai )

Karena e ijk=e jki. Kita juga mengobservasi dari persamaan :

F i=e ijkC j Ak

Kita mungkin memperoleh, dengan mengubah susunan symbol, persamaan yang sama

F j=e jkiC k A i

Ini mengijinkan untuk menuliskan :

A . (B × C )=B j F j=B . F=B . (C × A )

Contoh 1.1-16 : Buktikan identitas vector

( A × B ) × (C × D )=C ( D . A × B )−D (C . A × B )

Solusi :

F= A × B=F i ei dan E=C × D=Ei ei . vector ini mempunyai komponen :

F i=e ijk A j B k dan Em=emnpCn DP

Dimana semua indeks mempunyai range 1, 2, 3. Vector G=F × E=Gi e i mempunyai

komponen :

Gq=eqim Fi Em=eqim eijk emnp A j B k Cn DP

Dari identitas eqim=emqi ini dapat diekspresikan :

Gq=(emqi emnp ) eijk A j Bk C n DP

Dimana pada bentuk sekarang kita dapat menggunakan identitas e−δ untuk menghasilkan ;

Gq=(δ qnδ ip−δ qpδ ¿) e ijk A j Bk Cn DP

Menyederhanakan ekpresi ini kita punya :

Gq=eijk [ ( DP δ ip) (Cn δqn ) A j Bk−( DP δ qp ) (Cn δ¿ ) A j Bk ]

Gq=eijk [ Di C q A j B k−Dq Ci A j Bk ]

Gq=Cq [ Di eijk A j Bk ]−Dq [Ci e ijk A j Bk ]

Yang merupakan komponen vector dari vektor

C ( D . A × B )−D (C . A × B )

Persamaan Transformasi

Anggap N variabel independent yang ditunjukkan oleh simbol barred dan unbarred x i dan x i

dengan i=1,…,N. variabel independent x i , i=1 ,…,N dapat mendefinisikan koordinat titik

dalam ruang dimensi N. dengancara yang sama, variabe barred independent mendefinisikan

titik dalam beberapa ruang dimensi N yang lain. Koordinat ini diasumsikan menjadi besaran

nyata dan bukan besaran kompleks. Lebih lanjut, kita mengasumsikan bahwa variabel ini

dihubungkan oleh persamaan transformasi.

x i=x i ( x1 , x2 ,… xN ) i=1 ,…, N

Itu mengasumsikan bahwa persamaan transformasi ini adalah independent. Kondisi yang

dibutuhkan persamaan transfoemasi ini menjadi independent yaitu deteerminan jacobian

berbeda dari nol, yang mana :

J ( xx )=|∂ x i

∂ x j|=[∂ x1

∂ x1∂ x1

∂ x2

∂ x2

∂ x1∂ x2

∂ x2

⋯

∂ x1

∂ x N

∂ x2

∂ x N

⋮ ⋱ ⋮∂ xN

∂ x1∂ xN

∂ x2 ⋯ ∂ x N

∂ x N]≠0

Asumsi ini memperoleh hubungan invers :

x i=x i ( x1 , x2 ,…,x N ) i=1 , …, N

Contoh 1.1-17 : Di bawah ini merupakan contoh persamaan transformasi pada bentuk yang

didefinisikan dengan persamaan (1.1.7) dan (1.1.8) dalam ksus N=3. Transformasi dianggap

dari koordinat silinder (r , α , z ) ke koordinat bola ( ρ , β , α ). Dari geometri gambar 1.1-5 kita

dapat menemukan persamaan transformasi :

r=ρ sin β

α=α 0<α <2 π

z=ρ cos β 0<β<π

Dengan transformasi invers ρ=√r2+z2 α=α β=arctan ( rz )

Sekarang buat substitusi

( x1 , x2 , x3 )= (r ,α , z ) dan ( x1 , x2 , x3 )= ( ρ , β ,α )

Hasil transformasi harus dalam bentuk persamaan (1.1.7) dan (1.1.8)

Contoh 1.1-18 : Φ=Φ (r , θ ) dimana r , θ adalah koordinat polar yang terhubung pada

koordinat Cartesian ( x , y ) dengan persamaan transformasi x=rcos θ , y=rsin θ. Tentukan

turunan parsial ∂Φ∂ x

dan ∂2 Φ∂ x2

Solusi :

∂Φ∂ x

= ∂Φ∂r

∂r∂ x

+ ∂ Φ∂ θ

∂ θ∂ x (1.1.13)

∂2Φ∂ x2 =∂Φ

∂ r∂2r∂ x2 + ∂ r

∂ x∂

∂ x [ ∂Φ∂ r ]+ ∂Φ

∂θ∂2θ∂ x2 +

∂θ∂ x

∂∂ x [∂ Φ

∂θ ]∂2Φ∂ x2 =∂Φ

∂ r∂2r∂ x2 + ∂ r

∂ x∂2 Φ

∂ x∂ r+ ∂Φ

∂θ∂2θ∂ x2 +

∂θ∂ x

∂2Φ∂ x ∂ θ

∂2Φ∂ x2 = ∂Φ

∂ r∂2r∂ x2 + ∂ r

∂ x∂

∂ r [ ∂ Φ∂ x ]+ ∂ Φ

∂ θ∂2θ∂ x2 +

∂ θ∂ x

∂∂ θ [ ∂Φ

∂ x ]∂2Φ∂ x2 = ∂Φ

∂ r∂2r∂ x2 + ∂ r

∂ x∂

∂ r [ ∂ Φ∂ r

∂ r∂ x

+ ∂ Φ∂ θ

∂θ∂ x ]+ ∂ Φ

∂θ∂2θ∂ x2 +

∂θ∂ x

∂∂θ [ ∂ Φ

∂r∂ r∂ x

+ ∂ Φ∂ θ

∂ θ∂ x ]

∂2Φ∂ x2 = ∂Φ

∂ r∂2r∂ x2 +

∂r∂x [ ∂2 Φ

∂ r2∂ r∂ x

+ ∂2Φ∂ r ∂θ

∂ θ∂ x ]+ ∂ Φ

∂ θ∂2 θ∂ x2 +

∂ θ∂ x [ ∂2Φ

∂θ2∂θ∂ x

+ ∂2 Φ∂ r ∂ θ

∂ r∂ x ] (1.1.15)

Dari persamaan transformasi kita peroleh hubungan r2=x2+ y2 dan tanθ= yx dan dari

hubungan ini kita dapat menghitung semua turunan yang dibutuhkan untuk menyederhanakan

persamaan (1.1.13) dan (1.1.15). turunan tersebut yaitu :

Untuk r2=x2+ y2

2 r ∂r∂ x

=2x+0

r ∂ r∂ x

=x

∂r∂ x

= xr

∂r∂ x

= rcos θr

∂r∂ x

=cos θ

Untuk tanθ= yx

sin θcosθ

= yx

∂ θ∂ x ( cosθ cosθ−sin θ (−sin θ )

(cosθ )2 )=− yx2

∂ θ∂ x ( cos2 θ+sin2 θ

cos2θ )=− yx2

∂ θ∂ x ( 1

cos2 θ )=− yx2

∂ θ∂ x

( sec2 θ )=− yx2

∂ θ∂ x

( sec2 θ )= −rsinθ(rcos θ )2

∂ θ∂ x

( sec2 θ )=−sec2θ sin θr

∂ θ∂ x

=−sin θr

∂2r∂ x2 =−sin θ ∂ θ

∂ x= sin2 θ

r ∂2 θ∂ x2 =

−r cosθ ∂ θ∂ x

+sin θ ∂ r∂ x

r2 =2sinθ cosθr

Maka dari itu turunan dari persamaan (1.1.13) dan (1.1.15) dapat diekspresikan dalam bentuk

:

∂Φ∂ x

= ∂Φ∂r

∂r∂ x

+ ∂ Φ∂ θ

∂ θ∂ x

∂Φ∂ x

= ∂Φ∂r

cosθ−∂ Φ∂ θ

sin θr

∂2Φ∂ x2 = ∂Φ

∂ r∂2r∂ x2 +

∂r∂x [ ∂2 Φ

∂ r2∂ r∂ x

+ ∂2Φ∂ r ∂θ

∂ θ∂ x ]+ ∂ Φ

∂ θ∂2 θ∂ x2 +

∂ θ∂ x [ ∂2Φ

∂θ2∂θ∂ x

+ ∂2 Φ∂ r ∂ θ

∂ r∂ x ]

∂2Φ∂ x2 =∂Φ

∂ rsin2θ

r+cos θ[ ∂2Φ

∂ r2 cosθ+ ∂2Φ∂ r ∂ θ (−sinθ

r )]+ ∂ Φ∂ θ

2 sinθ cosθr

+(−sin θr ) [ ∂2 Φ

∂ θ2 (−sin θr )+ ∂2Φ

∂ r ∂θcosθ]

∂2Φ∂ x2 =∂Φ

∂ rsin2θ

r+cos2θ ∂2 Φ

∂ r2 − cosθsinθr

∂2 Φ∂r ∂ θ

+2 ∂ Φ∂ θ

sin θ cosθr

+ s ¿2θr2

∂2Φ∂θ2 −sin θcos θ

r∂2 Φ

∂r ∂ θ

∂2Φ∂ x2 =∂Φ

∂ rsin2θ

r+ ∂2 Φ

∂ r2 cos2θ−2 ∂2Φ∂r ∂ θ

cosθsin θr

+2 ∂ Φ∂θ

sin θ cosθr

+ ∂2Φ∂θ2

s¿2θr2

Contoh 1.1.19 : dalam koordinat Cartesian buktikan identitas vector

curl ( f A )=∇× ( f A )= (∇ f )× A+f (∇× A )

Solusi : B=curl ( f A )dan menuliskan komponen sebagai berikut :

Bi=e ijk ( f Ak ), j

Bi=e ijk [ f Ak , j+ f , j A k ]

Bi=f eijk A k , j+eijk f , j Ak

Bentuk indeks ini sekarang dapat dituliskan dalam bentuk vector :

B=curl ( f A )=(∇ f )× A+ f (∇× A )

Contoh 1.1.20 : Buktikan identitas vector ∇ . ( A+ B )=∇ . A+∇ . B

Solusi : A+ B=C dan tuliskan persamaan vector ini dalam notasi indeks sebagai Ai+Bi=C i.

Kita kemudian mempunyai :

∇ .C=C i ,i=( A i+B i) ,i=A i ,i+B i ,i=∇ . A+∇ . B

Contoh 1.1.21 : Dalam koordinat Cartesian, buktikan identitas vector ( A .∇ ) f = A .∇ f

Solusi : dalam notasi indeks dituliskan :

( A .∇ ) f =A i f ,i=A1 f , 1+ A2 f ,2+ A3 f ,3

( A .∇ ) f =A1∂ y∂ x1 +A2

∂ y∂ x2 + A3

∂ y∂ x3 = A .∇ f

Contoh 1.1-22 : Dalam kooerdinat Cartesian, buktikan identitas vector :

∇× ( A × B )=A (∇ . B )−B (∇ . A )+ (B .∇ ) A−( A .∇ ) B

Solusi : komponen pth dari vector ∇× ( A × B ) adalah :

e p . [∇× ( A × B ) ]=e pqk [ekji A j B i ],q

e p . [∇× ( A × B ) ]=e pqk ekji A j B i ,q+e pqk ekji A j , q Bi

Dengan mengaplikasikan identitas e−δ, persamaaan di atas menyederhanakan hasil yang

didinginkan. Yang mana :

e p . [∇× ( A × B ) ]=( δ pj δqi−δ pi δqj ) A j Bi ,q+ (δ pj δ qi−δ pi δ qj ) A j , q Bi

e p . [∇× ( A × B ) ]=Ap Bi ,i−Aq Bp , q+ Ap , q Bq−Aq ,q B p

Dalam bentuk vector dituliskan :

∇× ( A × B )=A (∇ . B )−( A .∇ ) B+ (B .∇ ) A−B (∇ . A )

Contoh 1.1.23 : dalam koordinat Cartesian, buktikan identitas vector

∇× (∇× A )=∇ (∇ . A )−∇2 A

Solusi : untuk komponen ith dari ∇× A diberikan oleh e p . [∇× A ]=eijk A k , j dan maka dari itu

komponen pth dari ∇× (∇× A )=∇ adalah :

e p . [∇× (∇× A ) ]=e pqr [erjk A k , j ], q

e p . [∇× (∇× A ) ]=e pqr erjk Ak , jq

Identitas e−δmenghasilkan :

e p . [∇× ( A × B ) ]=( δ pj δqk−δ pk δqj ) Ak , jq

e p . [∇× ( A × B ) ]=A k , pk−Ap , qq

Hasil ini dalam bentuk vector yaitu :

∇× (∇× A )=∇ (∇ . A )−∇2 A

Contoh 1.1.24 : Dalam kasus n=2 kita punya :

|A|=|a11 a12

a21 a22|=enm a1n a2 m

|A|=e1 m a11a2m+e2 m a12a2 m

|A|=e12a11a22+e21 a12 a21

|A|=a11 a22−a12 a21

Contoh : 1.1-25 : dalam kasus n=3 dapat menggunakan notasi

A=(a11 a12 a13

a21 a22 a23

a31 a32 a33)atau(a1

1 a21 a3

1

a12 a2

2 a32

a13 a2

3 a33)

Dapat determinan A dalam bentuk lain :

det A=e ijk a1 i a2 j a3k

det A=e ijk ai 1 a j2 ak3

det A=e ijk a1i a2

j a3k

det A=e ijk ai1 a j

2 ak3

Ini menunjukkan ekspansi baris dan kolom dari determinan.