Erhvervsøkonomisk institut Forfattere:

Bachelorafhandling Thomas Lauritsen

Christian Forsom

Kenneth Madsen

Vejleder:

Henning Rud Jørgensen

Strukturerede produkter på det danske marked

Analyse af aktieindekserede obligationer

Handelshøjskolen i Århus

2010

Summary

In the past several years there has been an increased amount of interest from the private sector, in

investments in stocks, bonds and derivatives. As a consequence structured bonds were invented.

The incentive was a desire to generate cheap finance via private capital. Furthermore there was a

need among private investors for products that were relatively safe investments with a high poten-

tial for return.

In Denmark large banks, such as Danske Bank and Nordea are the leading issuers in the marked for

structured bonds. These parties have been the main reason behind the high acquaintance by Danish

investors. In relation to new exotic investment possibilities, private investors have welcomed these

products with open arms. There is a god connection between investors risk profile and the abilities

of the product, and this is another reason for the success.

The first part of the paper contains a definition and description of structured bonds in general. Their

overall structure is outlined and their yield and costs are described. Subsequently the different par-

ties involved are defined in order to show which incentives they each have to selling or buying

structured bonds. This is followed by a description of the current market situation where the prod-

ucts are criticized for not being transparent enough and having hidden costs incorporated.

As introduction to the actual valuation of the structured bonds the relevant option theories are intro-

duced. Firstly the different option types are examined and then the assumptions on which the Black-

Scholes model is based is scrutinized since our final model also underlies these assumptions. Our

model is based upon a number of stochastic processes and these are therefore also examined. The

options included in the products contain Asian tales, baskets, quanto and caps, and do to these all

being elements in the options, the Black-Scholes model for valuing Plain Vanilla European options

is therefore insufficient. Instead Monte Carlo Simulation is used, since it is seen as a suitable tool

for valuing the options given this methods ability to value complex exotic options by generating the

same path numerous times. In order to obtain a greater precision of the option estimates, different

variance reduction techniques can be used. Among these techniques the antithetic variance tech-

nique is preferred and is therefore incorporated into the Monte Carlo Simulation model.

Before the actual valuation can be conducted the different input parameters influencing the valua-

tion process needs to be estimated. These are estimated using those methods available by which the

theoretically most accurate input parameters can be estimated. The structured bonds chosen for the

valuation is then presented and the values of the bonds and options of the products are estimated.

The valuation of the chosen products shows that the selling price of the products exceeds their theo-

retical correct values which indicate that the products are being overcharged. Some of this over-

charge is however used to cover a fee to the issuer of the option and it is therefore virtually imposs-

ible to determine the actual size of this overcharge. However, do to the size of the overcharge it is

highly unlikely that the fee to the issuer of the option makes up the entire overcharge and the paper

thereby concludes that the selling price of the products is too high. This conclusion is supported by

a number of Danish and international studies which show that structured products on average are

priced above their theoretical values.

Do to the fact that the valuation is conducted on basis of very sensitive input parameters a sensitivi-

ty analysis is carried out. This analysis shows that the theoretical value is very sensitive to wrong

estimates of the input parameters. Nevertheless minor deviations in the input parameters have no

effect on the conclusions of the paper.

All things considered, structured bonds make investors able to invest in new kinds of exotic topics

which aren’t offered as investment objects elsewhere. On the other hand the issuers handled in this

paper overcharge their products so you indeed pay extra for the more exotic investment possibili-

ties.

Indholdsfortegnelse

1. Indledning .................................................................................................................................................. 1

1.1. Problemformulering ............................................................................................................................... 2

1.2. Metodevalg ............................................................................................................................................. 2

1.3. Afgrænsning ............................................................................................................................................ 4

2. Strukturerede produkter ........................................................................................................................... 5

2.1 Opbygning ................................................................................................................................................ 5

2.1.1. Obligationsdel .................................................................................................................................. 6

2.1.2. Optionsdel ....................................................................................................................................... 8

2.1.3. Deltagelsesgrad ............................................................................................................................. 10

2.1.4. Afkast ............................................................................................................................................. 11

2.1.5. Omkostninger ................................................................................................................................ 11

2.2. Parterne ................................................................................................................................................ 12

2.2.1. Udsteder ........................................................................................................................................ 12

2.2.2. Arrangør ......................................................................................................................................... 14

2.2.3. Distributør ..................................................................................................................................... 14

2.3. Markedet .............................................................................................................................................. 15

2.3.1. Udvikling og vækst ......................................................................................................................... 15

2.3.2. Likviditet ........................................................................................................................................ 16

2.3.3. Kritik af produkterne ..................................................................................................................... 17

2.4. Delkonklusion ....................................................................................................................................... 19

3. Teoretisk værdiansættelse af optionselement ....................................................................................... 21

3.1. Optionstyper ......................................................................................................................................... 22

3.1.1. Plain Vanilla ................................................................................................................................... 22

3.1.2. Asiatiske optioner .......................................................................................................................... 23

3.1.3. Basketoptioner .............................................................................................................................. 24

3.1.4. Quanto optioner ............................................................................................................................ 24

3.2. Antagelser bag Black-Scholes modellen ............................................................................................... 25

3.3. Modelvalg ............................................................................................................................................. 27

3.3.1. Stokastiske processer .................................................................................................................... 27

3.3.1.1. Markovproces ......................................................................................................................... 28

3.3.1.2. Wienerproces ......................................................................................................................... 28

3.3.1.3. Generaliseret Wienerproces .................................................................................................. 29

3.3.1.4 Lognormal Random Walk ........................................................................................................ 30

3.3.2. Ito’s lemma .................................................................................................................................... 30

3.3.3. Endelig model ................................................................................................................................ 31

3.4. Monte Carlo Simulation ........................................................................................................................ 32

3.4.1. Variansreduktionsmetoder ............................................................................................................ 35

3.5. Delkonklusion ....................................................................................................................................... 36

4. Definition af parametre ........................................................................................................................... 38

4.1. Risikofri rente ....................................................................................................................................... 38

4.2. Udbytte ................................................................................................................................................. 39

4.3. Volatilitet .............................................................................................................................................. 41

5. Udvalgte produkter ................................................................................................................................. 43

5.1. Garanti Invest: Europæiske Aktier 2007-2012 ..................................................................................... 44

5.1.1. Prisfastsættelse af obligationsdel .................................................................................................. 46

5.1.2. Prisfastsættelse af optionsdel ....................................................................................................... 47

5.1.3. Teoretisk værdi .............................................................................................................................. 49

5.1.4. Følsomhedsanalyse ....................................................................................................................... 50

5.2. Danske Bank: Danske Dow Jones EURO STOXX 50 Single 2010 ........................................................... 53

5.2.1. Prisfastsættelse af obligationsdel .................................................................................................. 54

5.2.2. Prisfastsættelse af optionsdel ....................................................................................................... 56

5.2.3. Teoretisk værdi .............................................................................................................................. 58

5.2.4. Følsomhedsanalyse ....................................................................................................................... 59

5.3. Nordea: Aktiekurv 2012 ........................................................................................................................ 62

5.3.1. Prisfastsættelse af obligationsdel .................................................................................................. 63

5.3.2. Prisfastsættelse af optionsdel ....................................................................................................... 65

5.3.3. Teoretisk værdi .............................................................................................................................. 67

5.3.4. Følsomhedsanalyse ....................................................................................................................... 68

5.4. Delkonklusion ....................................................................................................................................... 70

6. Tidligere undersøgelser ............................................................................................................................... 72

7. Konklusion ................................................................................................................................................... 75

8. Litteraturliste

9. Bilagsoversigt

Side 1 af 84

1. Indledning

Der har de sidste mange år været en øget interesse fra private i at investere i aktier, obligationer,

ejendomme, valuta, indeks for sådanne eller lignende. I starten af firserne var der nogle investe-

ringsfolk, der tog skridtet videre og lavede det, der i dag er kendt som strukturerede produkter. De

spekulerede i at kombinere sikkerheden ved en obligation med det høje afkastpotentiale, der er ved

for eksempel aktier, valuta eller lignende. Incitamentet for tilblivelsen af de strukturerede produkter

var ønsket om billig finansiering via private formuer. Incitamentet for udstedelse er dog ikke alene

det, der har skabt grundlaget for produkterne, da der samtidig har været et behov hos investorer for

investering i mere sikre instrumenter med afkastpotentiale.

Denne idé blev i slutningen af halvfemserne i Danmark taget op af Garanti Invest, et firma, der spe-

cialiserede sig i strukturerede produkter. Da delelementerne i disse produkter hver for sig har været

kendt i mange år forinden, er det spændende at se på hele dette koncept. Store danske banker, som

Nordea og Danske Bank, fulgte hurtigt efter og gik ind på markedet for strukturerede produkter ikke

mange år efter. Med bedre muligheder for rådgivning, salg og markedsføring gennem egne filialer,

har disse hurtigt overtaget som de førende på det danske marked. Dette har også øget kendskabet til

produkterne, og danske privatinvestorer har i høj grad taget disse produkter til sig. Kombinationen

af obligationssikkerhed og aktivers afkastmulighed er gået rent ind hos danske investorer, der synes

dette passer til deres ønske om investering med hensyn til deres risikoprofil. Dette ses alene i Dan-

mark på en omsætning af produkterne på ca. én mia. kroner i 2000 med en efterfølgende stigning til

60 mia. kroner i 2008.

Denne fortsat store investeringslyst i disse produkter skal samtidig ses i lyset af en voksende kritik

fra medier, professorer og investeringsanalytikere landet over. Der har fra denne side lydt en kritik

at uigennemskuelighed af produkterne med hensyn til de stadig mere komplicerede sammensætnin-

ger og tiltag i form af nyere og mere eksotiske optioner, samt kritik af omkostningsallokeringen og

oplysninger herom. Det menes fra denne side, at der - mere eller mindre konsekvent - optræder

skjulte omkostninger, der ikke direkte bliver gjort opmærksom på gennem informationsmateriale

eller anden tilgængelig information (Finans/Invest 4/09)(Kvartalsoversigt - 2. + 3. kvartal 2007).

Side 2 af 84

1.1. Problemformulering

Formålet med opgaven er at beskrive, analysere og vurdere strukturerede produkter, som er udstedt

på det danske marked. Dette gøres med udgangspunkt i produkter fra de tre store arrangører på

markedet; Nordea, Garanti Invest og Danske Bank. Dette ønskes gjort med baggrund i den megen

kritik, produkterne har mødt fra både medier og den danske nationalbank. Produkterne er blevet

kritiseret for uigennemskuelighed samt skjulte omkostninger. Opgaven vil søge at besvare følgende

punkter:

Hvordan prisfastsættes udvalgte aktieindekserede produkter?

o Hvilke teoretiske begreber gør sig gældende, når strukturerede produkter værdian-

sættes?

o Hvad bliver de udvalgte optioner prisfastsat til?

Hvordan er sammenhængen mellem teoretisk værdi og emissionskurs?

Der vil i de to følgende afsnit blive redegjort for, hvilke metoder der vil blive brugt til fremskaffelse

af resultater vedrørende problemstillingen, samt hvilke områder opgaven vil afgrænse sig fra.

1.2. Metodevalg

Nærværende opgave har til formål at analysere en række udvalgte strukturerede produkter fra fø-

rende danske arrangører, særligt med henblik på at undersøge, hvorvidt der i forbindelse med udste-

delsen af disse tages en overpris for produkterne.

I det indledende afsnit vil en generel definition og beskrivelse af strukturerede produkter være at

finde, hvor deres struktur, afkastprofil, generelle markedsvilkår samt de involverede parter vil blive

uddybet. Formålet med denne del er at give et grundigt indblik i den bagvedliggende teori og der-

ved danne ramme for opgavens analysedel. Datagrundlaget er her hovedsageligt artikler fra velanse-

te tidsskrifter så som Finans/Invest og Journal of Banking & Finance. Artikler fra dagspressen er

ligeledes anvendt, men kun i begrænset omfang og er hovedsageligt anvendt som inspiration, og er

Side 3 af 84

derfor holdt på et minimum, da dette kildemateriale ikke anses for at have samme troværdighed som

det øvrige kildemateriale.

Efterfølgende introduceres noget grundlæggende optionsteori, hvilket er en klar forudsætning for, at

en værdiansættelse af strukturerede produkter kan udføres. Relevante optionstyper gennemgås, og

forudsætningerne bag Black-Scholes modellen, med relevans for den efterfølgende værdiansættelse,

udspecificeres. Herefter beskrives de stokastiske processer, der ligger til grund for modellen ud fra

hvilken, en Monte Carlo Simulation kan udføres, hvilket alt sammen ender ud i et estimat på opti-

onsværdien. Hull og Wilmott er begge anerkendte forfattere på området, og lærebøger fra disse ud-

gør også stort set hele grundlaget for dette afsnit. Dette kildemateriale anses derfor for at være sær-

deles validt.

De udvalgte produkter vil herefter blive introduceret, hvorefter hvert produkts obligations- og opti-

onselement værdiansættes. Sammenholdt med de emissionsomkostninger, der har været i forbindel-

se med udstedelsesprocessen, kan en ”teoretisk rigtig værdi” af produktet fastsættes, ud fra hvilken

det kan konkluderes, om arrangør har taget en overpris for produktet. Efterfølgende udføres en føl-

somhedsanalyse, der har til formål at bestemme den teoretiske værdis følsomhed overfor eventuelle

fejlestimeringer af parametre. Datagrundlag til dette afsnit er først og fremmest de udvalgte pro-

dukters respektive informationsmaterialer, hvori størstedelen af den information, der er nødvendig

for værdiansættelsen, kan findes. Derudover er Datastream anvendt, hvilket er en anerkendt finan-

siel database, der indeholder alverdens historiske data, bl.a. aktiekurser, udbytterater og rentesatser,

samt anden for opgaven relevant finansiel information. Data fra Datastream er anvendt til at estime-

re de parametre, der ikke står skrevet i informationsmaterialerne. Denne database vurderes at inde-

holde troværdigt data, og validiteten af analysedelen anses derfor for at være stor. Monte Carlo Si-

mulationen, ud fra hvilken optionsværdien er estimeret, er udført i et Excel regneark, og der er såle-

des ikke anvendt VBA-programmering i Excel, da dette ligger uden for opgaveskriveres kompeten-

ceområde.

Opgaven afsluttes med et afsnit, der beskriver hvad der tidligere har været af undersøgelser på om-

rådet. Formålet med dette afsnit er at bruge resultaterne fra de tidligere undersøgelser til at under-

bygge eller afvise de i opgaven fundne konklusioner.

Side 4 af 84

De samme notationer er brugt konsekvent i alle opgavens formler, og notationerne kan derfor godt

afvige fra, hvad der er anvendt i det kildemateriale, der løbende vil blive henvist til.

1.3. Afgrænsning

Indeværende opgave afgrænses til kun at beskæftige sig med aktieindekserede obligationer, og der

ses således bort fra alle øvrige typer af strukturerede produkter. Datamaterialet udgøres derfor af tre

udvalgte aktieindekserede obligationer fra de tre største udbydere af strukturerede produkter i Dan-

mark. Årsagen til det meget begrænsede datamateriale er, at det ikke har været muligt for opgave-

skrivere at analysere samtlige strukturerede produkter på det danske marked, dels grundet opgavens

omfang og dels pga. manglende tidsmæssige ressourcer. Det har derfor været nødvendigt kun at

udvælge nogle enkelte produkter og ud fra dem forsøge at nå frem til et så generaliserbart resultat

som muligt. De tre produkter er desuden alle med asiatisk hale, da det derved er muligt at anvende

samme model på dem alle. Ligeledes indeholder alle produkterne nulkuponobligationer, og der ses

således bort fra kuponbærende obligationer i indeværende opgave.

De udvalgte strukturerede produkter værdiansættes alle på udstedelsestidspunktet, og analysen har

således til formål at belyse, hvorvidt de enkelte produkter er ”fair” prissat af arrangørerne ved ud-

stedelse. Udstedelses- og indfrielsestidspunkt er forskellig fra produkt til produkt, og fluktueringer i

bl.a. aktiekurser og rentesatser, som øver indflydelse på produktets værdiansættelse, er således for-

skellige de enkelte produkter imellem. Til trods for denne forskel mellem produkterne vil der blive

sammenlignet og draget konklusioner på tværs af de tre produkter, hvilket vurderes at være nød-

vendigt for at kunne ende ud med en konklusion, ud fra hvilken der kan generaliseres til alle aktie-

indekserede obligationer.

Indeholdt i alle tre produkter er et quantoelement, men i opgaven er dette element dog valgt udeladt.

En uddybning af, hvorfor dette er valgt, foretages ikke her, men vil være at finde i et særskilt afsnit

senere i opgaven. Korrelationen de underliggende aktiver imellem er ligeledes udeladt dels som

følge af, at kun et af de tre produkter indeholder flere underliggende aktiver og dels som følge af en

antagelse om, at korrelationen allerede er indeholdt i den udarbejdede værdiansættelsesmodel. En

uddybning af denne antagelse vil ligeledes være at finde senere i opgaven.

Side 5 af 84

I virkeligheden følger rentesatser og volatiliteter diverse stokastiske processer. Det er dog uden for

opgaveskriveres kompetencefelt at konstruere en model, der tager højde for dette faktum, og opga-

vens prisfastsættelsesafsnit bygger således på en antagelse om, at rente og volatilitet er konstant.

2. Strukturerede produkter

Der vil i de følgende afsnit være en præsentation af strukturerede produkters opbygning, hvilke par-

ter der er involveret, samt hvilket marked de bliver handlet i. Det være sig markedssituationen og

andre markedsmæssige forhold.

2.1 Opbygning

Strukturerede obligationer er et sammensat finansielt instrument, der i alt sin enkelthed består af et

traditionelt finansielt produkt, sammensat med et eller flere afledte produkter. I dets grundform er

strukturerede produkter meget ens, dog kan de to elementer variere i større eller mindre grad. Det

mest simple af de to er det finansielle element, der oftest er en nulkuponobligation, som lover inve-

storer en sikkerhed mod tab på deres investering.

Det andet element er der, hvor arrangør virkelig kan variere deres strukturerede produkter med hen-

blik på sammensætningen og indholdet af afkastelementet. Produktet indeholder i langt de fleste

tilfælde en option, men kan eksempelvis også indeholde et swap eller andet (Finans/Invest 4/07, s.

11).

Side 6 af 84

Figur 2.1. Simpelt eksempel på opbygning af et struktureret produkt

Kilde: Egen tilvirkning

Anm: Købsprisen for obligationen er med udgangspunkt i en rente på 3 % og en løbetid på 5 år. Illustreret en stigning i indeks på 75

%, og initiale omkostninger på 5 %.

Udover de to grundelementer, der samlet set udgør et struktureret produkt, er der et par andre ele-

menter, der har indflydelse på opbygningen, og som derfor skal præsenteres, inden der ses nærmere

på de i opgaven valgte produkter. Det ene er deltagelsesgraden, der har indflydelse på mere end et

aspekt af det strukturerede produkt. Denne størrelse har indflydelse på såvel afkastet som markeds-

føringen. Det markedsføringsmæssige aspekt vil blive beskrevet senere i opgaven under afsnittet

omkring deltagelsesgrad, mens der i afsnittet omkring afkast vil blive præsenteret, hvordan en reel

afkastberegning bliver foretaget med hensyn til de ovenstående elementer. Det være sig hvordan

obligationsdelen, optionen og deltagelsesgraden influerer på hinanden med henblik på et muligt

merafkast til investor.

2.1.1. Obligationsdel

Det største delelement af det strukturerede produkt er oftest kendetegnet ved en obligationsdel, der

som udgangspunkt er en nulkuponobligation (Finans/Invest 4/09, s. 5). Der vil i denne opgave, jf.

afgrænsning, kun blive valgt strukturerede produkter, hvor obligationsdelen er af arten nulkupo-

nobligation. Det skal dog nævnes, at disse finansielle aftaler kommer i mange former og afskygnin-

ger. Hovedstolsgarantien er i langt de fleste tilfælde kurs pari, men denne kan sagtens værre mindre.

Obligationen kan også være lavet således, at der udbetales kuponudbetalinger i løbetiden. Dette vil

som oftest være for strukturerede produkter, der har en længere løbetid end normalt, da de pålagte

Side 7 af 84

kuponudbetalinger vil øge værdien af obligationselementet, der bevirker, at der er et mindre beløb

til rådighed til køb af optioner.

Tilbage til nulkuponobligationen der, som navnet siger, er en obligation uden kuponudbetalinger,

og hvor den teoretiske værdi er lig indløsningskursen på 100, tilbagediskonteret med den gældende

løbetid samt en risikofri rente. Formlen, der bruges i denne opgave, ser ud som følger, hvor P er den

tilbagediskonterede værdi, der beregnes ved at gange indløsningskursen med en tilbagediskonte-

ringsfaktor.

𝑃 = 𝐻 ∗ 𝑒−𝑟∗𝑡 (2.1)

Denne formel kræver en nærmere forklaring, da det ikke er sådan, man oftest tilbagediskonterer en

værdi. Der bliver indenfor værdiansættelse vurderet, at renter ikke er noget, der bliver tilskrevet på

specifikke forudbestemte tidspunkter, men noget der bliver tilskrevet kontinuerligt. Derfor ser ren-

testrukturen på obligationsdelen en smule anderledes ud i forhold til tidspunktsbestemte rentetil-

skrivninger (Hull 2006, s. 263). Dette ses ud fra (2.2) nedenfor, der viser hvorledes den brugte til-

bagediskonteringsformel bliver udledt ud fra den ordinære tidspunktsbestemte:

1 + r => (1 +r

2)2 => (1 +

r

n)n => en (2.2)

Ved en årlig rentetilskrivning regnes rentefaktoren, som vist i det første led, hvor der kun er en en-

kelt rentetilskrivning udtrykt ved (1+r). Ved en halvårlig rentetilskrivning deles den ”helårlige”

rente med to og opløftes i anden, da der her bliver tillagt et halvt års rentes rente. Da rentetilskriv-

ning i vores værdiansættelse antages at være kontinuert, er der derfor n antal rentetilskrivninger på

et år. Ved simpel logaritme regning kan det andensidste led forkortes til Eulers tal, opløftet i n ren-

tetilskrivninger, hvor den negative rente ganges med løbetiden. Det er denne faktor, der bliver brugt

i (2.1).

Som det fremgår af (2.1), er løbetiden en faktor, der har stor indflydelse på det strukturerede pro-

dukt samt obligationens prisfastsættelse. Hvad løbetiden angår, er der nogle elementer, en mulig

investor skal tage højde for, inden han investerer i et struktureret produkt. Jo længere løbetiden er,

jo mindre vil obligationsdelen koste ved købstidspunktet, da indløsningskursen tilbagediskonteres

med en uændret rente over en længere periode. Dette vil medføre et større initialt beløb til køb af

Side 8 af 84

optioner. Dette lyder umiddelbart som en fordel, da upside chancen for investor derved bliver høje-

re. Dog skal investor tage højde for den bundne kapital, han har lagt i investeringen, da dette er et

produkt, der er ment som et buy-and-hold produkt. Det vil sige, det er penge, han umiddelbart ikke

kan trække uden tab, da det sekundære marked er meget illikvidt. Derudover skal han tage højde for

et muligt rentetab, han vil lide i forhold til en investering i statsobligationer. Hvis det underliggende

aktiv ikke giver noget afkast ved udløb, er det reelle rentetab, hvad investor kunne have fået som

kuponudbetalinger ved en simpel statsobligation.

Rent teknisk er det udsteder der, ved at udstede obligationerne, låner penge, og derved er det også

disse udstedere, der hæfter for obligationsdelen, og for at investor får udbetalt hovedstolsgarantien.

I denne sammenhæng spiller udsteders likviditet og soliditet en rolle for, hvor gode chancer der er

for, at investor får indløst sin nulkuponobligation til den lovede kurs. Dette spiller en vigtig rolle for

investor og derfor også for udbyder, men da det ikke er et reel element i opbygningen, vil dette bli-

ve beskrevet i det senere afsnit omkring udsteder (Finans/Invest 4/09, s. 5-8).

2.1.2. Optionsdel

I kraft af at der ikke er kuponudbetalinger på obligationen, bruges den udeladte udbetaling af for-

rentningen til køb af optioner på underliggende aktiver. I mange tilfælde ses der en sammensætning

af en obligation og en call-option, men der laves også andre sammensætninger med eksempelvis en

put-option eller swaps. Der bliver i denne opgave set på sammensætninger med europæiske call-

optioner, da de kun kan bruges ved udløbsdatoen, og er de mest alment brugte. Optionsdelen giver

investor en mulighed for at købe det underliggende aktiv ved udløb til den fastsatte exercisekurs, og

derefter sælge til den nye højere kurs umiddelbart efter. Det er derfor kun, hvis det underliggende

aktiv udvikler sig i den ønskede retning, at investor bruger sin option, og ved den modsatte udvik-

ling er denne del af det strukturerede produkt ikke til nogen nytte, og vil ikke blive brugt. Med hen-

syn til brugen af optionsdelen er det ikke investor selv, der skal sørge for at købe til exercisekursen

og sælge til den nye højere kurs, men noget der sker automatisk fra arrangørs side. Optionsdelen af

det strukturerede produkt er en del mere kompliceret end obligationsdelen. Hvor obligationsdelen

stort set altid har den samme struktur, kan optionselementet variere utroligt meget. De fleste optio-

ner er lavet på baggrund af et ”tema”, som udbyderen mener, har en god historie, og er noget den

Side 9 af 84

private investor kan relatere til. Det kan være alt lige fra valutaoptioner i et udviklingsland til den

generelle udvikling på et nordisk aktieindeks. Med de mere eksotiske optioner prøver udbyder at

sælge den gode investeringsidé, idet det for den private investor næsten er umuligt selv at investere

i et eksotisk indeks eller valuta. I langt de fleste tilfælde er det call optioner, der bliver brugt, da

disse giver afkast til investor, hvis det underliggende aktiv klarer sig godt og udvikler sig positivt

over løbetiden. Den positive historie virker bedre som salgsargument, og investor opnår positivt

afkast, når det underliggende udvikler sig positivt (Finans/Invest 4/09)(Finans/Invest 4/07).

Ikke alene varierer de underliggende indeks og temaer; også afkastudregningerne kan til tider være

uoverskueligt komplekse. I takt med at optionselementet er blevet mere eksotisk og mere komplice-

ret, er den måde, hvorpå investors mulige afkast bliver beregnet også blevet tilsvarende mere kom-

pliceret. Da de første strukturerede produkter blev lanceret, var det meget simpelt at se, om de un-

derliggende indeks gav et positivt afkast, ved blot at se, om den på indløsningsdagen gældende kurs

for det underliggende var i en højere kurs end ved udstedelsen. Så simpelt er afkastberegningen

langtfra længere på alle produkter. I mange nye udstedelser beregnes optionen ved en gennemsnits-

beregning, også kaldet en asiatisk option. Denne metode har visse fordele og ulemper, der bliver

beskrevet i afsnittet omkring afkast. Andre faktorer som den maksimale indfrielseskurs, også kaldet

”caps”, er noget investor skal have i mente, inden der investeres. Disse kan begrænse den upside,

optioner ellers tilbyder ved at have en maksimal værdi, indekset kan stige til, og derved påvirkes

værdien af den købte option. Dette kan umiddelbart ses som en klar ulempe for investor, dog vil

dette medføre billigere optioner, der alt andet lige vil øge deltagelsesgraden.

Volatiliteten på det underliggende indeks er også en faktor, der har indflydelse på optionsdelen. Jo

større udsving, der er i det underliggende indeks, jo større er upsiden på optionen. Da der samtidig

er risiko for en lav slutkurs, men også mulighed for et stort afkast på et meget volatilt indeks, bliver

optioner på sådanne prissat meget højt. Omvendt vil mere stabile indeks bevirke en lavere options-

pris, da optionsudstederne ikke har lige så stor risiko for at skulle hæfte for pludselige store stignin-

ger i indekset. De lave priser på sådanne optioner giver investor mulighed for at købe flere optioner

for samme pris og derved øge deltagelsesgraden. Dog skal det tages i mente, at grunden til denne

lave pris netop er et indeks, der relativt ikke har den store fluktuering, og derfor hænger chancen for

meget høje afkast nøje sammen med prisen på optionen.

Side 10 af 84

I sammenhæng med dette har kombinationer af flere indeks som underliggende aktiv også indfly-

delse på volatiliteten. Hvis optionen bygger på flere forskellige underliggende indeks, vil denne

forskellighed teoretisk virke volatilitetsreducerende, da de forskellige indeks ikke er 100 % korrele-

rede. Denne lavere volatilitet vil nedsætte prisen på optionerne og maksimere deltagelsesgraden.

Generelt gælder det, at jo mere diversificeret et basketindeks er, jo lavere er volatiliteten (Fi-

nans/Invest 8/00).

2.1.3. Deltagelsesgrad

Deltagelsesgraden er et forholdsvist vigtigt element i strukturerede produkter. Det gælder både

markedsføring, afkastberegning samt betegnelse for, hvor stor en portion optioner der er til rådighed

for investor.

Ved markedsføringen fokuseres der på en så høj deltagelsesgrad som muligt, da dette er et godt

salgsargument, i og med deltagelsesgraden forklarer, hvor mange optioner der er inkluderet i pro-

duktet, og er derfor den deltagelse investor har i markedet. Det kan derfor virke tillokkende med en

høj deltagelsesgrad. For eksempel vil en deltagelsesgrad på 200 % give investor 200 % af en mulig

stigning i det underliggende indeks. En højere deltagelsesgrad udtrykker dog, at der er investeret i

nogle billigere optioner. Umiddelbart ville mange optioner lyde som en god ting for investor, da

dette ville give større afkastpotentiale, men billige optioner er blandt andet også et udtryk for min-

dre volatile indeks, der derved ikke har et særligt stort afkastpotentiale. Mængden af optioner til

rådighed for investor bestemmes ud fra det restbeløb, der er tilbage af den investerede emissions-

kurs, fratrukket prisen på obligationsdelen samt omkostninger. Groft sagt er det antal optioner, der

bliver købt svarende til de ikkeeksisterende kuponudbetalinger, der er på obligationen samt eventuel

overkurs (COIN slideshow).

Som nævnt tidligere i opgaven har renten og løbetiden en stor betydning for værdiansættelsen og

dermed sammensætningen af produktet. Også angående deltagelsesgraden spiller disse to faktorer

ind. Jo lavere en rente der er på det strukturerede produkt, jo større vil den tilbagediskonterede vær-

di af obligationselementet være, og derfor påvirke hvor stor en del af emissionskursen, der kan gå til

optionskøb. Ved lavere rente vil denne del derfor blive mindre, og omvendt. Løbetiden influerer på

Side 11 af 84

samme vis, da en længere løbetid nedbringer obligationsprisen og kan dermed øge deltagelsesgrad

og vice versa.

Mange arrangører gør i informationsmaterialet opmærksom på en minimum, deltagelsesgraden skal

ende på, for eksempel 125 %. Da den liciterede optionspris først bliver fastsat ved slutdagen for

tegningsperioden, vil den præcise deltagelsesgrad i de fleste tilfælde også først blive sat denne dag.

Hvis denne deltagelsesgrad er under de 125 %, som i eksemplet, vil denne serie af strukturerede

produkter ikke blive udstedt, jf. diverse informationsmaterialer.

2.1.4. Afkast

Ved produktets udløb er det arrangørens opgave at bruge den vedlagte option, hvis dette er til fordel

for investor eller ikke gøre brug ad denne, hvis det underliggende indeks ikke har udviklet sig for-

delagtigt. Ved udregning af afkastet skal arrangøren ved hjælp af følgende formel bruge nogle af de

elementer, der er blevet beskrevet tidligere i opgaven.

Afkast = Hovedstol + Hovedstol * (Afkast på underliggende * Deltagelsesgrad) (2.3)

Kilde: Diverse informationsmaterialer

Denne formel viser, hvorledes et underliggende indeks ikke vil give et afkast, hvis indekset ikke

udvikler sig i en favorabel retning. Samtidig viser formlen, hvorledes en højere deltagelsesgrad vil

bidrage til et højere slutafkast.

2.1.5. Omkostninger

Omkostningerne vedrørende strukturerede produkter er et emne, der har været udsat for megen om-

tale i den seneste tid, og der vil derfor blive afsat et afsnit til en uddybning af disse. Ved udstedelsen

af produkterne er der nogle omkostninger, der afholdes med det samme såsom omkostninger til

børsnotering, markedsføring af produktet, licenser til produktet samt provisions til de personer, der

sammensætter og tegner produkterne, jf. diverse informationsmaterialer. Langt de fleste af disse

omkostninger bliver afholdt i starten af produkternes løbetid, og omkostningsniveauet i denne peri-

ode bliver derfor meget højere end de følgende år. Jf. nye retningslinjer fra Finansrådet 2008 blev

Side 12 af 84

det lovpligtigt at medtage alle disse omkostninger i produktets informationsmateriale som en årlig

omkostning i procent, herefter benævnt som ÅOP. Dette begreb er dog blevet brugt af arrangørerne

i en del år før 2008, da ÅOP er et godt markedsføringsinstrument, i og med en lavere ÅOP er lettere

at sælge end en initial høj omkostningsprocent. Arrangører har dermed let ved at manipulere med

denne ”markedsføringsfaktor” ved at sætte løbetiden op, og dermed få en lavere ÅOP (Fi-

nans/Invest 4/09, s. 10-11).

2.2. Parterne

Der er potentielt 4 parter, der har et økonomisk incitament for at være med i tilblivelsen af struktu-

rerede obligationer udover investor, som ønsker afkast. De tre parter kan være helt adskilte, men i

mange tilfælde vil det være den samme part, som varetager flere roller. Det kan således godt lade

sig gøre, at en større bank er udsteder, optionsleverandør, arrangør og distributør (Finans/Invest

4/09, s. 6).

2.2.1. Udsteder

Der er to udstedere bag en typisk struktureret obligation, udsteder af optionen og udsteder af obliga-

tionen. Udsteder af obligationerne er institutioner, der ser nulkuponobligationerne som en fordelag-

tig måde at løse et finansieringsbehov på. Ved de danske udstedelser er det i høj grad Kommune-

kredit og den Svenske Kommuninvest, som er obligationsudsteder, men der er dog også andre min-

dre udstedere som f.eks. banker. Disse institutioner har som udgangspunkt gode kreditratings, og

det er da også disse institutioners kreditværdighed, som bærer den ofte lovede hovedstolsgaranti.

Der er dog grundet finanskrisen set eksempler på, at udsteder som følge af konkurs ikke har kunnet

varetage sin forpligtelse. I denne kategori kan nævnes Lehman Brothers, som havde udstedt obliga-

tioner, der var blevet distribueret af Saxo bank (www.borsen.dk). Obligationsudsteders mål er at

opnå den billigst mulige finansiering til en på forhånd kendt rente. Til gengæld yder denne kredit-

værdighed og lægger navn til produktet. Obligationsudstederen ønsker kun at benytte sig af denne

finansieringsmulighed i tilfælde af, at det er et billigere alternativ end de øvrige udstedelsesmulig-

Side 13 af 84

heder på markedet, og der kan på dette grundlag laves den antagelse, at produkterne generelt bliver

solgt dyrere, og udstedelseskursen derfor er højere end på det generelle obligationsmarked.

Hvilken institution der udbyder obligationen, har også betydning for produktet, da kursen, som nul-

kuponobligationen kan tilbagediskonteres til, afspejler det generelle renteniveau i samfundet og den

risiko, som er forbundet med udsteder. Selvom der som før nævnt er tale om institutioner med ofte

gode kreditratings, er kreditværdigheden dog ikke helt uden betydning, når renteniveauet for pris-

fastsættelsen skal fastsættes. Forskellen mellem den rente der teoretisk skal bruges for værdiansæt-

telsen og den risikofrie nulkuponrente, må nødvendigvis være den ”rentemarkup”, der er i form af

kreditrisikoen fra udstederen. Denne ”rentemarkup” vil dog komplicere fastsættelsen af den risikofri

rente unødigt i forhold til den ekstra præcision det bibringer, med hensyn til opgavens optionspris-

fastsættelse. Nærmere omkring dette kommes der ind på i afsnit 4.1 omkring renten.

Optionsudsteder er typisk en international investeringsbank, som har den fornødne ekspertise i han-

del med mere eller mindre eksotiske derivater. Investeringsbanken leverer den efterspurgte option

og tager sig naturligvis betalt for dette. Betalingen kan ske som en engangsbetaling eller som et

spread. Som hovedregel sender investeringsbanken optionen i licitation for at skabe den størst muli-

ge profit. Konkurrencen mellem bankerne burde medføre, at denne profit formegentlig ikke bliver

helt urimelig. Brugen af licitation og markedsudviklingen gør, at den endelige deltagelsesgrad ikke

kendes før tegningsperioden er udløbet. Investorerne kender derfor ikke ved købstidspunkt de ende-

lige detaljer på det købte produkt. Udover den før omtalte kreditrisiko på obligationen er der også

en risiko forbundet med optionsmodparten. Ved optionsudstederen er der, ligesom ved alle andre

firmaer, en risiko for konkurs, og i tilfældet af konkurs vil det eventuelle optionsafkast ikke blive

udbetalt. Både obligation og optionsudsteders rating bliver beregnet af et ratingbureau som eksem-

pelvis Moodys, og denne rating fremgår af informationsmaterialet. Det er i princippet det eneste

værktøj, den private investor har at forholde sig til, da det er umuligt selv at beregne eller vurdere

den egentlige risiko. Udstedelser på det danske marked vil i høj grad være præget af, at udsteder har

den højeste kreditrating, Aaa1 (Finans/Invest 4/09, s. 6).

1 Rating går fra Aaa til c hvor Aaa er den bedste rating som er mulig at opnå.

Side 14 af 84

2.2.2. Arrangør

Arrangør og distributør kan være to adskilte parter. For de store bankers vedkommende kan de dog

have mulighed for både at være begge parter og i nogle tilfælde endda udbyder af obligationen. Ar-

rangøren bestemmer, hvad ”pakken” skal bestå af, og bestemmer således, hvad der skal være det

underliggende indeks for optionen. Mange gange ses det, at deltagelsesgraden bruges aktivt som et

salgsargument, og derfor kan arrangøren have incitament for at finde billige optioner for at ”booste”

deltagelsesgraden. Man kan selvfølgelig ikke påstå, at arrangøren blot går efter den billigste option i

stedet for, hvad der formodes at give et fornuftigt afkast. Arrangøren finder via optionsudbyderen

en formodet pris på optionen for at kunne videregive et estimat til distributøren, selvom prisen sta-

dig kan svinge. Arrangøren får i de fleste tilfælde en fast provision for de produkter der sælges, og

derfor er målet for arrangøren at få afsat et så stort kvantum som muligt. Selvom det ikke er arran-

gøren, som direkte skal sælge produkterne, kan der, pga. den faste provision, være et stort incita-

ment for arrangør i at skabe produkter, som har stort salgspotentiale hos private investorer, og sam-

tidig er arrangør og distributør ofte inden for samme koncern (Finans/Invest 4/19, s. 12). Arrangø-

ren ønsker at vælge investeringsemner med en hvis aktualitet, som investorer kan referere til. Det er

jo alt andet lige nemmere at sælge produkter, som investor kan forholde sig til og ser et potentiale i.

Det er dog straks en anden side af sagen, om så alle private investorer kan vurdere potentialet i det

produkt, de køber. Arrangørens omkostninger indgår i de emissionsomkostninger, der oplyses i in-

formationsmaterialet sammen med omkostninger til distributøren. Der er ikke forpligtigelser om et

sekundært marked, men det vil være arrangørens rolle at prissætte produkter til salg i det sekundære

marked. Samtidig er produkterne designet til ”buy-and-hold” investering, så derfor er det som regel

en meget dårlig ide for investor at sælge før udløb.

2.2.3. Distributør

De strukturerede produkter bliver solgt og markedsført af distributøren, som oftest er banker. Det er

derfor distributøren som, via salgsmateriale og sine bankrådgivere, skal sælge produktet til sine

kunder, investorerne. Distributørernes rolle bliver at fremstille markedsføring, som rammer de øn-

skede kunder, og samtidig kan medarbejderne aktivt forsøge at sælge produktet. I kraft af finanskri-

sen og sager omkring rådgivernes rolle overfor kunder og investor har der været et øget fokus på en

Side 15 af 84

mindre aggressiv adfærd. Diskussionen opstår, da bankernes ansatte både bliver betragtet som råd-

givere for kunderne, og dermed investorer, og samtidig skal varetage bankens interesser. Det er

derfor en balancegang, hvor de strukturerede produkter skal sælges til dem, der får gavn af det og

ikke til kunder, som bagefter sidder med en fornemmelse af, at de er blevet rådgivet forkert.

2.3. Markedet

For at få et bredere overblik over de strukturerede produkter vil de følgende afsnit omhandle den

markedsmæssige del af disse produkter. Det være sig produktets historie omkring udviklingen gen-

nem tiden, omhandlende blandt andet vækst, hvor den kraftigt stigende popularitet hos den danske

befolkning har været en essentiel faktor for den store vækst (Finans/Invest 4/09, s. 5). Likviditeten

på markedet har også været et stort emne i nyere tid, og vil derfor også blive behandlet i et særskilt

afsnit, der især vil omhandle omsætteligheden på markedet. Slutteligt vil et afsnit omkring generel

kritik af markedet blive præsenteret med henblik på at se, hvilke emner og faktorer der skal tages

højde for ved omgang med strukturerede produkter. Dette afsnit kommer også til at spille ind på en

senere evaluering af de i opgaven fundne resultater.

2.3.1. Udvikling og vækst

De enkelte delelementer, der udgør de strukturerede produkter, har længe været kendt i den finan-

sielle verden, men det er først fra sidst i 90’erne, at det i Danmark er blevet muligt at købe det som

et sammensat produkt (Kvartalsoversigten – 2. kvartal 2007, s. 47). Siden indførelsen af disse er der

sket en kraftig udvikling i udbuddet af forskellige produkter og i mængden af udstedelser. Både den

investerede kapitalmængde og det antal der er udstedt, er steget eksplosivt over en relativ kort tids-

horisont. I år 2000 var der udstedt for ca. 1 mia. kr., og ved udgangen af 2008 var der noteret for ca.

60 mia. kr. i strukturerede produkter på Københavns fondsbørs (Kvartalsoversigten – 2. kvartal

2007, s. 52)(www.business.dk).

De først udstedelser på det danske marked var med Garanti Invest som arrangør, men i 2003 kom

også bankerne på banen i det voksende marked. Her var det i særdeleshed Nordea og Danske Bank,

der virkelig gik ind på markedet med store skridt. De to banker overhalede Garanti Invest, så de i

Side 16 af 84

2009 tilsammen udgjorde ca. 54 % af det samlede marked for nominelle udstedelser i Danmark.

Tilsammen udgjorde de tre største; Nordea Bank, Danske Bank og Garanti Invest nu over to tredje-

dele af markedet (Finans/Invest 4/09, s. 7).

I takt med den stigende udstedte mængde af strukturerede produkter er kompleksiteten af produk-

terne også steget. I begyndelsen var der, som udgangspunkt, tale om en nulkuponobligation og en

option i et relativt kendt aktieindeks. Senere er opfindsomheden og kreativiteten fra arrangørerne

steget, så investorerne nu får adgang til en lang række eksotiske investeringsobjekter (Finans/Invest

3/06, s. 18). Investering i denne type af aktiver har tidligere været forbeholdt de ”professionelle”

investorer, men er nu, gennem udviklingen i de strukturerede produkter, gjort muligt for private

investorer. Mulighederne er derfor øget for den private investor, men kompleksiteten gør dog, at

den egentlige værdi af produktet og sammenhængen kan være svær at gennemskue.

Den initiale sammensætning af sikkerhed ved obligationen og afkastpotentiale ved optionen har vist

sig som en rigtig profitabel konstruktion fra arrangørernes side. Investorerne har nærmest kastet sig

over disse produkter trods megen kritik fra professorer og lignende. Konstruktionen har efter mange

private investorers mening passet perfekt ind i deres porteføljer i forhold til deres risikovillighed

(Finans/Invest 4/09, s. 5). Under indflydelse af finanskrisen har arrangørerne været presset på grund

af den øgede risikoaversion fra investorernes side, og dette er gået ud over salget af deres produkter

i de sidste par år.

2.3.2. Likviditet

Likviditeten i det sekundære marked er i de fleste tilfælde begrænset. Produkterne er udviklet til

”buy-and-hold” formål og ikke til daytrading. Der vil som udgangspunkt derfor være en stor forskel

mellem den salgspris, der er mulighed for at få og den købspris, der er givet. Arrangør er ikke for-

pligtet til at give investor mulighed for handel på et sekundært marked. Det er netop derfor, at der

opstår den markante forskel mellem køb og salgspris ved salg inden udløb. Dette danner grund for

den lave likviditet, der er på det forholdsvis lille marked for salg og køb af strukturerede produkter

(Kvartalsoversigten – 2. kvartal 2007, s. 51). Dette kan også ses i det spread, der er i det sekundære

marked. Det vil sige den forskel, der er på købsprisen og salgsprisen. Denne er for strukturerede

Side 17 af 84

obligationer meget større end for eksempel for statsobligationer, der er med til at bekræfte den me-

get lavere likviditet, der er på dette marked. Likviditetspræmien på markedet for strukturerede pro-

dukter er dermed meget mindre, da investor ikke er villig til at betale en særlig stor præmie, da

markedet er så illikvidt.

I forlængelse af dette vil renten på for eksempel en statsobligation være noget lavere end renten på

et struktureret produkt, da obligationsmarkedet er mere likvidt eller ”sikkert”, om man vil.

2.3.3. Kritik af produkterne

I samme takt som den investerede kapitalmængde er steget, er omtalen og fokus fra forskellige fron-

ter samtidig intensiveret. Debatten har i stor grad været præget af negativ omtale. Kritikken har

blandt andet gået på, at produkterne har været for uigennemskuelige og komplekse for forbrugerne

(www.business.dk). Samtidig er omkostningsniveauet også blevet kritiseret, og netop omkostnin-

gernes niveau hænger i høj grad sammen med gennemskueligheden, da synligheden af hvad der

reelt skal betales i omkostninger gennem produktets løbetid, ikke altid er udpenslet klart. En stor del

af kritikken har gået på, hvad arrangørerne anerkender som omkostninger, og som de har fremlagt i

informationsmaterialet for de enkelte produkter. Disse omkostninger er udelukkende administrative

omkostninger, arrangørerne har haft i forbindelse med tegnelsen såsom tegningsprovision til distri-

butør såvel som arrangør, omkostninger til markedsføring af produktet i form af brochurer og in-

formationsmateriale, samt omkostninger til børsnotering (Finans/Invest 4/09, s. 10)(diverse infor-

mationsmaterialer). Professorer som Peter Løchte Jørgensen fra Århus Handelshøjskole mener, at

disse omkostninger kun er en nedre grænse for, hvad de reelle omkostninger er og burde være opgi-

vet til, i og med der er andre faktorer, der burde spille ind under samme kategori. Optionsleverandø-

rernes provenu er omkostninger, der ligger ind under prisen på optionen, men denne burde reelt

være en del af ÅOP, da disse omkostninger ikke er samme konstante rater for alle produkter, men

varierer fra produkt til produkt. Dette honorar er påvirket af arrangørernes forhandlingsevne i for-

bindelse med licitationsprocessen såvel som typen af option – jo mere eksotisk karakter denne har,

jo mere vil prisen stige (Finans/Invest 4/09, s. 11).

Side 18 af 84

Markedsføringen er blevet kritiseret for til tider at være meget aggressiv (Peter Løchte slideshow,

slide 65). Derudover kan det, med henblik på rådgivning af investorer, diskuteres, hvorvidt investe-

ringsrådgivere udelukkende agerer til fordel for investor. Rådgivers dobbeltrolle kan her virke en

smule ufordelagtig, da denne både skal rådgive investor efter bedste evne, men samtidig fungere

som sælger af disse produkter, og der derigennem vil skabes en skævvridning af investors interes-

ser. Der er dog enkelte tiltag, der er med til at beskytte investor, såsom Markets in Financial Instru-

ments Directive, også kaldet MiFID, der trådte i kraft i Danmark den 1. november 2007 (Fi-

nans/Invest 4/07, s. 18).

Udover kritikken af selve opbygningen og markedsføringen er kreditvurderingen af obligationsud-

steder også et punkt, der er blevet kritiseret. Kreditvurderingsbureauerne er blevet beskyldt for at

sætte ratings for højt i forhold til, hvad der er belæg for. Kritikken går primært på to punkter. Det

første er de modeller, bureauerne bruger til fastsættelse af ratings. Disse er kvantitative modeller,

der bruger historiske data, hvor mindre perioder med store udsving bliver udjævnet af den store

masse af historiske data (Kvartalsoversigten – 3. kvartal 2007, s. 41). Sådan en periode befinder

markedet for obligationer sig i nu, især markedet for amerikanske subprimelån. Kreditrisikoen for

disse lån bliver solgt videre til europæiske investeringsforeninger og banker, der i nogle tilfælde

bruger disse til at lægge grund for strukturerede produkter. Det vil sige højere usikkerhed ved obli-

gationsudsteder end hvad rating anfægter. I forlængelse af dette kommer det næste store kritik-

punkt. Kreditvurderingsbureauerne har en fordel i at finjustere deres kreditrating af udsteder, så de

netop får den ønskede rating, der giver større attraktivitet på markedet for strukturerede produkter,

samtidig med at udstedelsen af højere ratede lån vil åbne muligheder for en større indtjening. Hele

denne problematik sætter markedsføringen om 100 % sikkerhed for den indskudte kapital i et dår-

ligt lys, og der bliver i flere medier sået tvivl om denne garanti (www.borsen.dk). Et eksempel på

denne ”garanti” ses på forsiden af Garanti Invests hjemmeside, hvor de skriver ”Investering med

100 % hovedstolsgaranti”, hvilket i lyset af kritikken kan argumenteres for at være falsk reklame.

Hvad angår omkostninger kan der også argumenteres for nogle problemer angående uafhængighe-

den mellem optionsleverandør, udsteder, arrangør samt distributør. Blandt andet ved de store banker

kan det forekomme, at de både er udsteder, arrangør samt distributører gennem deres egne filialer.

Her vil der givetvis være nogle omkostninger, der kan spares væk, da store dele af tegnelsen bliver

Side 19 af 84

indenfor virksomheden, og der derfor vil være belæg for at skabes en større ”kunstig” profit, hvis

ikke omkostninger bliver sat ned til et reelt niveau (Finans/Invest 4/09, s. 12).

Det kan også diskuteres, hvorvidt deltagelesgraden er præcis, hvad den teoretisk set burde være.

Hvis et produkt for eksempel har en deltagelsesgrad på 100 %, betyder dette rent teoretisk, at emis-

sionskursen fratrukket obligationsprisen samt omkostningerne efterlader et beløb, der svarer præcist

til prisen på én option. Set i lyset af at obligationsprisen ikke fluktuerer ved tilbagediskontering, og

det samme gælder de omkostninger, der er anført i informationsmaterialet samt en mulig licitering

af optionspriserne, burde det rent rationelt virke meget heldigt eller mærkværdigt, at denne options-

pris præcis er lig det tilbageværende beløb. Da det i langt de fleste tilfælde er prisen på det samlede

produkt, der bliver fastsat ved start, og deltagelsesgraden først efter optionerne er tilvejebragt, vil

der alt andet lige være en mulighed for en mindre profit allerede her, ved at arrangørerne sætter del-

tagelsesgraden til 100 %, hvor den muligvis ville være et par procent point højere, ved at optionerne

er købt til en pris, der er en anelse lavere end hvad, der ville svare til en deltagelsesgrad på 100 %.

Denne problemstilling vil dog ikke efterfølgende blive berørt i opgaven.

Sluttelig har der været megen kritik af afkastet, der i mange omfattende undersøgelser i gennemsnit

kun har vist sig at givet det samme, eller et minimalt merafkast i forhold til en statsobligation med

samme løbetid. Dette skal ses i sammenhæng med den noget større risiko, der er på strukturerede

produkter sammenholdt med den meget sikre investering, en statsobligation er. Med andre ord har

disse undersøgelser vist, at investor ikke får et afkast, der passer til den risiko, de påtager sig ved at

investerer i sådanne produkter (Finans/Invest 4/09, s. 12)(Kvartalsoversigten – 2. kvartal 2007, s.

57).

2.4. Delkonklusion

Som opsummering af de foregående afsnit kan der tegnes et noget alsidigt billede af disse produk-

ter. En gruppe af produkter, der befinder sig i et marked, der har undergået en voldsom udvikling

indenfor såvel størrelse som produktkompleksitet. Inden for de sidste ti år er markedet for disse

produkter eksploderet, da mange investorer har fundet dem meget interessante i henhold til deres

portefølje og risikoprofil. Samtidig har udviklingen også medført en mere kompleks sammensæt-

Side 20 af 84

ning af produkterne. Diverse nye optionstyper har været en af hovedårsagerne til dette. Nye elemen-

ter i form af caps, asiatiske haler med mere har været med til at gøre produkterne mere komplekse

og for nogle uoverskuelige. Med hensyn til at købe og sælge disse produkter undervejs i løbetiden

er det for det meste en dårlig idé. De er fremstillet til et ”buy-and-hold” formål, og da arrangørerne

heller ikke er forpligtiget til at levere et sekundært marked til en sådan handel, er dette marked der-

for meget illikvidt. Investor skal samtidig have den bundne kapital, investeringen derfor er, for øje,

netop da det er et ”buy-and-hold” produkt. Investor skal være klar til at binde hele investeringen til

produktet helt til udløb.

Med henblik på kritik af disse produkter og alt hvad der ligger bagved, kan det diskuteres, hvorvidt

der er uafhængighed mellem udstedelsesparterne eller ej. Nogle af parterne kan være indenfor

samme koncern såsom Danske Bank, der både kan være udsteder, arrangør og distributør. Denne

sameksistens vil alt andet lige kunne nedbringe omkostningerne, hvilket der dog bliver stillet

spørgsmålstegn ved af kritikere og professorer. Det er heller ikke sikkert, at investor kan være sik-

ker på at rådgiveren i banken, der sælger produkterne, udelukkende handler for investors bedste.

Denne har et dobbeltincitament som rådgiver men samtidig at skulle tjene penge til banken.

Kritikere har også haft fokus på udstedernes kreditratings og de bureauer, der laver disse. Det me-

nes, at der bliver givet alt for høje ratings, der kun underminerer fundamentet for investors beslut-

ningstagen om, hvorvidt der skal investeres i disse produkter. Derudover har der været meget fokus

på det afkast, investor får sammenholdt med den risiko, der tages. Flere undersøgelser viser afkast,

der kun er marginalt større end en sikker investering i statsobligationer, og hvor strukturerede pro-

dukter samtidig har en væsentlig højere risikoprofil (Kvartalsoversigten – 2. kvartal 2007, s. 57).

Hvad angår omkostninger har diverse professorer kritiseret denne del som ikke værende fyldestgø-

rende eller retvisende. Det menes at det element, der går som provenu til udstederne af optionerne,

skal oplyses som omkostninger og ikke blot være en del af optionsprisen. Investor skal have fuldt

overblik over, hvad der betales for og for hvilke beløb. Dette er med til at øge uigennemskuelighe-

den af produktet, og for nogle gå ud over troværdigheden med hensyn til fair disponering af det

investerede beløb. Kort sagt – om investor får udnyttet sin investering maksimalt, eller om der bli-

ver taget en overpris i form af uigennemskuelig omkostningsformidling.

Side 21 af 84

3. Teoretisk værdiansættelse af optionselement

Når strukturerede obligationer skal gennemanalyseres, og de enkelte elementer i produktet skal

værdiansættes, er der flere problematiske aspekter. Obligationsdelen, som blev behandlet i et fore-

gående afsnit, er forholdsvis let at værdiansætte. Langt sværere er det derimod når optionselemen-

tet, der ligeledes er inkorporeret i de strukturerede produkter, skal værdiansættes. Dennes opbyg-

ning er i langt de fleste tilfælde yderst kompleks og analytiske modeller, hvoraf Black-Scholes mo-

dellen til prisfastsættelse af europæiske call og put optioner er klart den bedst kendte, er derfor ikke

tilstrækkelige. Der vil derfor i indeværende afsnit blive diskuteret, om der findes mere anvendelige

modeller, der på tilfredsstillende vis kan værdiansætte optionselementet i de strukturerede produk-

ter.

Inden en konkret model til værdiansættelse af optionselementet kan bestemmes, er det nødvendigt

at have styr på optionsteorien samt de stokastiske processer, der udgør de underliggende aktiver.

Afsnittet indledes derfor med, at de forskellige typer af optioner gennemgås med henblik på at af-

dække, hvilke egenskaber hver optionstype har og deres indflydelse på det endelige afkast. Derefter

behandles de antagelser, der ligger til grund for Black-Scholes modellen. Dette gøres ikke fordi

modellen kan anvendes på de i opgaven udvalgte produkter, men derimod fordi en lang række af de

antagelser, modellen bygger på, også er gældende, når optionerne i det efterfølgende skal værdian-

sættes. En passende model til denne værdiansættelse kan dog ikke bestemmes uden at vide, hvordan

optionens underliggende aktiver agerer, hvorfor en række stokastiske processer vil blive behandlet.

Slutteligt diskuteres fordele og ulemper ved de forskellige metoder til værdiansættelse af strukture-

rede produkters optionselement, og en endelig model udfærdiges, hvoraf en metode udvælges.

Det skal understreges, at formålet med denne opgave ikke er at udlede og bevise de medtagne form-

ler og nævnte teorier. Derimod har de efterfølgende afsnit til formål at påvise sammenhænge mel-

lem udvalgte finansielle teorier og vise, hvorledes de hver især bidrager til, at en endelig model til

værdiansættelse af komplekse optionstyper kan udfærdiges.

Side 22 af 84

3.1. Optionstyper

Det er svært for investor at vurdere det egentlige afkastpotentiale, da der som opgaven senere viser,

ligger meget komplekse beregninger bag. Samtidig er det her i optionselementet, produkterne ad-

skiller sig fra hinanden, og kreativiteten fra arrangør og optionsudbyder kommer til udtryk. Det

sværeste for investor er derfor at forstå og vurdere optionsdelen i produkterne. På den baggrund er

det nødvendigt med en introduktion til de optionstyper, der har relevans for opgaven. Mangfoldig-

heden ved optionerne betyder, at det er her, der skal laves den skarpeste afgrænsning i forhold til,

hvilke optioner der ønskes belyst. Der findes flere forskellige typer af underliggende aktiver, og

oftest drejer det sig om aktier, valutaer, renter, råvarer, ejendomme og andre mere eksotiske såsom

eksponering overfor naturkatastrofer (Finans/Invest 4/07, s. 12). Som nævnt i den indledende af-

grænsning vil omdrejningspunktet for opgaven være de aktieindekserede obligationer. Udstedelser

med aktier som det underliggende aktiv udgør ca. 35 % af den samlede udstedelsesfrekvens (Fi-

nans/Invest 4/09, s. 9). Samtidig findes der et hav af optionstyper, der er eksponeret overfor forskel-

lige udviklinger i det underliggende aktiv. Langt de fleste udstedelser er en obligation, kombineret

med en call-option, hvilket jo giver en positiv eksponering overfor stigninger i det underliggende

aktiv, og gør dem, som tidligere nævnt, derved nemmere at sælge til private investorer. De produk-

ter, der analyseres, indeholder ligeledes call-optioner, og på nuværende tidspunkt vil det være mere

eller mindre umuligt at finde strukturerede produkter med put-optioner, da det er lettere at sælge en

god historie end en dårlig (Finans/Invest 4/09, s. 9). Som følge af det lagte fokus og valget af pro-

dukter bliver bl.a. loockback, bedst-af-3 og himalaya-optioner udeladt.

3.1.1. Plain Vanilla

Plain Vanilla er den simpleste form for option, der kan sammensættes med en obligation til et struk-

tureret produkt, og grunden til at dette afsnit er medtaget. Plain Vanilla kaldes også en europæisk

option, men anvendes kun sjældent i forbindelse med aktieindekserede obligationer, formentlig for-

di optionsprisen set i forhold til andre typer er relativ dyr. Der er for en Plain Vanilla option kun to

målepunkter, uanset hvad der er det underliggende aktiv. De europæiske optioner kan kun indløses

på selve udløbsdagen, i modsætning til amerikanske optioner, som kan indløses i hele perioden op

til udløbsdatoen (Hull 2009, s. 6). Den amerikanske optionstype er generelt meget handlet, men når

Side 23 af 84

det gælder strukturerede produkter, er det lige omvendt, og optionerne indløses som udgangspunkt

ved udløb, og derfor er strukturerede produkter sammensat med europæiske optioner.

3.1.2. Asiatiske optioner

Prisen på den europæiske call-option kan reduceres på flere forskellige måder, og en af måderne er,

at den i en eller anden form gøres asiatisk. Denne optionstype er meget benyttet, når det gælder

strukturerede produkter. Forskellen mellem Plain Vanilla og asiatiske optioner er måden, hvorpå

indeksstigningen udregnes. Asiatiske optioners afkast afhænger mere af forløbet for det underlig-

gende aktiv end blot hvilken slutværdi, aktivet har. Det betyder, at volatiliteten reduceres på det

underliggende aktiv i forhold til Plain Vanilla, hvor slutværdien ville være skrevet direkte på in-

deksværdien ved udløb. Dette gør optionen mindre værdifuld for investor, og dermed kan der for

det samme beløb købes flere asiatiske optioner og dermed en højere deltagelsesgrad (Finans/Invest

8/00, s. 19). Asiatiske optioner er en fællesbetegnelse for optioner, hvis afkast er beregnet på en

form for gennemsnit. Der er ikke nogle retningslinjer for antallet af målepunkter gennem løbetiden,

og hvordan de skal være placeret. Der er dog under alle omstændigheder tale om en udjævning af

afkastet i større eller mindre grad alt efter placering af målepunkterne. Jo højere antallet af måle-

punkter er, jo mindre er volatiliteten, og på den måde kan prisen reduceres. Logisk er det givet, at

når upsidemuligheden reduceres i forhold til en standardoption må optionen blive billigere. I mange

tilfælde laves der en asiatisk hale. Den asiatiske hale betyder, at værdien af indeksets slutkurs ikke

opgøres til en dato, men i stedet som et gennemsnit over flere forskellige målepunkter. Ligesom ved

de øvrige gennemsnitsoptioner mindskes den betydning, pludselige kursudsving har, og derved

mindskes volatiliteten. Halen opstår, da gennemsnittet tages på datoer i slutningen af perioden. ”Ha-

lerne” kan være meget forskellige i længde og interval mellem målepunkterne. Investor skal være

opmærksom på længden af halen, da det jo har betydning for afkast og volatilitet. Derudover vil der

være ”stier”, hvor den asiatiske hale vil være en fordel eller ulempe for investor. Det vil eksempel-

vis være en fordel, hvis det underliggende aktiv starter lavt og slutter lavt, da man pga. den asiatiske

hale får del i de mellemliggende højere indeksværdier. Samtidig er det en ulempe, hvis indekset

ikke stiger før helt til sidst, da investor derved ikke får del i hele gevinsten pga. de tidligere måle-

Side 24 af 84

punkters dårlige niveau. De asiatiske optioner er stærkt stiafhængige, da værdien til udløb afhænger

af den gennemløbne sti og ikke blot den opnåede slutværdi (Wilmott 2005, s. 221).

Da de asiatiske optioner udregnes ved hjælp af gennemsnitsberegninger, er det afgørende, hvilken

type gennemsnit der bruges. Gennemsnittet kan beregnes på to måder; som et aritmetisk eller et

geometrisk gennemsnit. Samtidig kan der differentieres mellem et diskret og et kontinueret gen-

nemsnit. Det kontinuerte gennemsnit er i praksis meget svært at estimere, da der er et uendeligt an-

tal målepunkter. Det diskrete gennemsnit er derfor nemmere da der jo helt givet er færre målepunk-

ter. Det aritmetiske diskrete gennemsnit er det mest simple, der kan vælges, men det er naturligvis

ikke sværhedsgraden, der skal være argumentet for valg af gennemsnitstype. Langt de fleste asiati-

ske optioners afkast er beregnet som et diskret aritmetisk gennemsnit. Det er op til den enkelte ar-

rangør af optionen at deklarere hvilken type af gennemsnit, der er brugt ved det enkelte produkt.

Der vil være en lille forskel mellem de to gennemsnitsformer, og normalt vil det aritmetiske gen-

nemsnit give en værdi, der er større end det geometriske.

3.1.3. Basketoptioner

I stedet for blot at lade optionen afhænge af et underliggende aktiv bliver der i høj grad lavet struk-

turerede produkter med basketoptioner eller rainbowoptioner (Wilmott 2005, s. 199). Basketoptio-

ners afkast afhænger af den ”kurv”, der vælges som underliggende aktiv. Det kan enten være ud-

valgte enkeltaktier eller indeks, der sammen udgør det underliggende aktiv (Hull 2009, s. 567). Pris-

fastsættelsen af basketoptioner er anderledes i forhold til et enkelt underliggende aktiv på den måde,

at den afhænger af bl.a. aktivantal, korrelation mellem aktiverne og aktivernes volatilitet. Der kan

findes argumenter for og imod basketoptionerne, men en af fordelene er den spredning af risiko,

investor opnår. Ved at investere i flere aktier eller indeks vil det samlet set give en lavere volatilitet,

og, som før nævnt, er det ensbetydende med en billigere option.

3.1.4. Quanto optioner

Quantooptioner anvendes ligeledes i strukturerede obligationer i tilfælde, hvor det underliggende

aktiv handles i en fremmed valuta. Afkastgrundlaget er således givet i én valuta, mens afkastet til

Side 25 af 84

investor er givet i en anden valuta (Hull 2009, s. 673). Et såkaldt quantoelement er derfor ofte an-

vendt i strukturerede obligationer for at eliminere valutarisiko. Arrangører vælger nemlig ofte ekso-

tiske sammensætninger i det underliggende aktiv, hvilket medfører et afkastgrundlag i en fremmed

valuta. Som følge af quantoelementet beskyttes investor derved mod et eventuelt fald i den frem-

mede valuta, men får på samme tid heller ikke del i en eventuel kursgevinst.

Et sådant quantoelement er inkorporeret i alle de udvalgte produkter, men det antages dog at quan-

toelementet, som regel, kun har en meget lille indflydelse på det endelige afkast, og der ses derfor i

indeværende opgave bort fra denne egenskab i de udvalgte strukturerede produkter. Denne antagel-

se underbygges af, at to af de tre udvalgte produkter har underliggende aktiver, der udelukkende

noteres i Euro, mens det tredje produkt består af tre underliggende aktiver, hvoraf det ene noteres i

Euro. Grundet fastkurspolitikken mellem Euroen og kronen er fluktueringerne mellem valutaerne

meget små, og quantoelementet har derfor så godt som ingen indflydelse på produkternes afkast.

3.2. Antagelser bag Black-Scholes modellen

Modellen, der i de efterfølgende afsnit vil blive udarbejdet til prisfastsættelse af optioner, tager ud-

gangspunkt i Black-Scholes. Black-Scholes gør sig en række antagelser om, hvorledes markedet ser

ud, hvilket er nødvendigt for at en specifik formel for prisfastsættelse af afledte aktiver, kan opstil-

les. I den virkelige verden er de fleste antagelser ikke gældende, og det er derfor relevant at få ind-

blik i de enkelte antagelser (Hull 2009, s. 286, samt Wilmott 2005, s. 145). De enkelte antagelser,

der ligger til grund for Black-Scholes modellen, er listet op nedenfor, efterfulgt af en uddybning af

de vigtigste af punkterne:

Der er ingen transaktionsomkostninger ved handel med det underliggende

Deltarisikoafdækning sker kontinuert

Der er ingen arbitragemuligheder i markedet

Det underliggende aktiv følger en geometrisk brownsk bevægelse

Det er muligt at shortsælge

Det underliggende aktiv betaler ikke udbytte

Den risikofri rente er konstant og en kendt funktion af tiden

Side 26 af 84

Volatiliteten er konstant

Når der handles med aktier og lignende, vil der altid være en eller anden form for omkostninger

forbundet med det, hvorfor antagelsen om at der ikke er nogen transaktionsomkostninger ved han-

del med det underliggende aktiv, ikke kan overføres til praksis. Hvis antagelsen om at deltarisikoaf-

dækning sker kontinuert var gældende i virkeligheden, ville det medføre uendeligt høje transakti-

onsomkostninger grundet det bid-ask spread, der er på det underliggende aktiv. Deltarisikoafdæk-

ningen sker derfor i diskret tid, og tidsintervallet mellem hvornår der risikoafdækkes, vil ofte af-

hænge af, hvor høje transaktionsomkostningerne er.

At den risikofrie rente er konstant og kendt på forhånd er også en antagelse, der ikke er gældende i

praksis. I virkeligheden er den risikofrie rente ikke kendt på forhånd og følger en stokastisk proces,

og der burde således anvendes en stokastisk rentemodel til estimering af den risikofrie rente. Det

antages dog, at den risikofrie rente er en på forhånd kendt variabel, der udelukkende afhænger af

løbetiden samt tidspunktet.

Antagelsen, om at det underliggende aktiv følger en lognormal random walk med konstant volatili-

tet, er heller ikke gældende i praksis, da volatiliteten i den virkelige verden vil variere over tid. Lige

som det var gældende for den risikofrie rente, er volatiliteten i virkeligheden stokastisk, og der kun-

ne således anvendes en stokastisk model til at estimere volatiliteten. I indeværende opgave vil vola-

tiliteten dog blive estimeret ud fra historisk data, og en diskussion af hvorfor dette gøres vil være at

finde i afsnit 4..

Black-Scholes gør ligeledes en antagelse om, at der ikke betales udbytte på de underliggende akti-

ver, men denne antagelse kan relativt let omgås, da modellen kan udvides, så den også kan anven-

des på underliggende aktiver, der udbetaler udbytte. Dette vil blive uddybet i et kommende afsnit,

hvor den endelige model udvides til også at omfatte udbyttebetalende aktiver.

Udover de ovenfor nævnte antagelser er også risikoneutral værdiansættelse et yderst vigtigt princip

inden for værdiansættelse af optioner. Det bygger på en antagelse om, at verden er risikoneutral, når

optioner værdiansættes. Med det menes, at alle investorer er indifferente over for risiko. Investorer

kræver således ikke kompensation for at påtage sig ekstra risiko, og det forventede afkast på alle

værdipapirer svarer til den risikofri rente. Umiddelbart vil man tro, at den risikoneutrale værdian-

Side 27 af 84

sættelse kun kan bruges i teorien, da investorer i ”den virkelige verden” vil kræve kompensation for

at påtage sig ekstra risiko, men dette er ikke tilfældet. Princippet om risikoneutral værdiansættelse

kan også overføres til eksempelvis en risikoavers verden. Denne er forskellig fra den risikoneutrale

verden både ved, at investors afkastkrav er højere, da han forventer kompensation for ekstra risiko.

Aktiens forventede vækstrate ændrer sig samtidig med at tilbagediskonteringsrenten, der bruges til

at tilbagediskontere det forventede afkast, også er tilsvarende højere. Disse to ændringer vil altid

udligne hinanden, hvorfor resultaterne der opnås ud fra princippet om risikoneutral værdiansættelse,

kan antages at være valid i alle verdener, hvilket gør dette princip yderst brugbart, når optioner skal

værdiansættes (Hull 2009, s. 290).

3.3. Modelvalg

Da optionerne der er tilknyttet de strukturerede produkter, som regel er yderst komplicerede, kan

analytiske formler, som Black-Scholes formlen, som nævnt ikke anvendes til værdiansættelse. An-

dre metoder skal derfor anvendes, og der findes her både approksimative og numeriske metoder, der

kan anvendes, hvilket er, hvad dette afsnit vil undersøge nærmere. Inden der ses nærmere på, hvilke

konkrete metoder der kunne være velegnede til formålet, skal fokus dog først falde på optionens

underliggende aktiver, hvilket indeværende opgave har afgrænset sig til kun at være udgjort af akti-

er. De stokastiske processer som antages at ligge til grund for en akties udvikling er således yderst

relevante at få belyst, da de danner grundlaget for modellen til simulering af aktiekurser.

3.3.1. Stokastiske processer

En variabel, hvis værdi ændrer sig på en tilfældig måde over tid, følger en såkaldt stokastisk proces.

Der skelnes her mellem diskrete og kontinuerte stokastiske processer. Førstnævnte proces kan kun

antage bestemte diskrete værdier og kan kun ændre værdi på bestemte tidspunkter. Kontinuerte sto-

kastiske processer kan derimod ændre værdi på et hvilket som helst tidspunkt og kan antage alle

værdier inden for et givent område.

Aktiekurser er et eksempel på en stokastisk proces. Det er en diskret variabel, fordi dens værdi må-

les i hele kr. og øre, og fordi dens værdi udelukkende stiger eller falder, når den respektive børs er

Side 28 af 84

åben. De stokastiske processer, der i de efterfølgende afsnit vil blive behandlet for at finde frem til

den stokastisk proces for aktiekurser, er derimod alle kontinuerte processer, men på trods af denne

forskel er de stadig særdeles anvendelige til formålet. (Hull 2009, s. 259).

3.3.1.1. Markovproces

Markovprocessen er en stokastisk proces, hvor kun den nutidige værdi af variablen er relevant i

forsøget på at forudsige den fremtidige værdi. Historiske værdier af variablen er således irrelevante

og skal ikke medtages, når fremtidige værdier forsøges estimeret. Markovprocesser anvendes ofte,

når der skal opstilles modeller for data, der beskriver tilfældige udfald over et givent tidsforløb.

Markovprocesser er derfor et meget anvendt redskab inden for bl.a. køteori og bruges ligeledes i

diverse økonomiske modeller herunder modeller til beskrivelse af aktiekurser. Årsagen til at aktier

antages at følge en Markovproces er, at aktiens nuværende værdi indeholder al historisk information

om tidligere værdier. En aktieinvestor skal således udelukkende fokusere på aktiens nuværende

kurs, og helt se bort fra hvad kursen tidligere har været, da denne allerede er inkorporeret i den nu-

værende kurs (Hull 2009, s. 259).

3.3.1.2. Wienerproces

Wienerprocessen er en stokastisk Markovproces og er den matematiske model for brownske bevæ-

gelser. En sådan proces har et gennemsnit på 0 og en varians på 1,0 per tidsenhed. Ændringen i en

stokastisk variabel antages her at følge en normalfordeling, med en standardafvigelse på 𝑇. Føl-

gende er herudover gældende for stokastiske variabler der følger en Wienerproces (Hull 2009, s.

261):

Ændringen i en variabel (Δz) over en kortere tidsperiode (Δt) er:

Δz = ϵ 𝛥𝑡 (3.1)

, hvor ϵ er et tilfældigt tal, der følger en standardiseret normal fordeling φ(0,1), og t er tiden. Jf.

formel 3.1., følger Δz en normalfordeling med et gennemsnit på 0 og en standardafvigelse på 𝑇.

Side 29 af 84

Værdien af Δz for to tilfældige korte tidintervaller, Δt, er desuden uafhængig af hinanden, hvilket

blot vil sige, at z følger en Markovproces.

Den gennemsnitlige ændring over en bestemt tidsperiode er lig 0 i en Wienerproces, og variansen

per tidsenhed er lig 1, hvorfor den ikke er videre anvendelig på aktiekurser, da værdien af en aktie-

kurs på et givent fremtidigt tidspunkt ikke forventes at være lig med den oprindelige værdi og lige-

ledes ikke nødvendigvis forventes at variere med 1.

3.3.1.3. Generaliseret Wienerproces

Den ovenstående Wienerproces, dz, kan udvides, til hvad der kendes som den generaliserede Wie-

nerproces. Hvor den oprindelige Wienerproces havde en driftrate på 0 og en variansrate på 1, erstat-

tes disse i den generalisere Wiener Proces med konstanter, henholdsvis a og b. Formlen for den ge-

neraliserede Wienerprocessen for en variabel x ser derfor ud som følger:

dx = adt + bdz (3.2)

,a og b er konstanter. adt er driftleddet, hvoraf følger, at x har en forventet driftrate på a per tidsen-

hed. bdz er variansleddet, som beskriver variationen i den sti, som x følger. Størrelsen på denne

variation er b multipliceret med en Wienerproces. Over et mindre tidsinterval, Δt, er ændringen i x,

Δx, givet ved følgende formel (Hull 2009, s. 263):

Δx=aΔt+bϵ 𝛥𝑡 (3.3)

, ϵ er et tilfældigt tal, der følger en standardiseret normal fordeling φ(0,1). I formel 3.3. er Wiener-

processen altså blevet udvidet til en såkaldt Generaliseret Wienerproces bestående af en driftrate

såvel som en variansrate, der begge er konstante. Trods denne udvidelse af den stokastiske proces er

det stadig langt fra optimalt at antage, at aktier følger denne stokastiske proces. Årsagen er, at aktie-

investorers afkastkrav er uafhængig af aktiens værdi. En aktieinvestors afkastkrav er altså det sam-

me, uanset om aktiekursen er 50 eller 100, og denne meget vigtige forudsætning er ikke inkorpore-

ret i den Generaliserede Wienerproces, hvorfor det endnu en gang er nødvendigt at udvide den sto-

kastiske proces, som aktiekurser antages at følge.

Side 30 af 84

3.3.1.4 Lognormal Random Walk

Den generelle Wienerproces kan udvides til en såkaldt Lognormal Random Walk. Hvor der i først-

nævnte var inkorporeret et konstant driftled, hvilket ikke kunne anvendes på aktier, er det i en Log-

normal Random Walk i stedet gældende, at det forventede afkast er konstant. Hvis S er aktiekursen

på tidspunkt t, så må aktiekursens forventede driftrate være µS, hvor µ er en akties forventede af-

kastkrav. Derudover er standardafvigelsen, σ, tilknyttet som procent af aktiekursen, og en formel

for den Lognormale Random Walk ser derfor ud som følger:

dS = µSdt + σSdz (3.4)

Modellen er en differentialligning for aktiekursens udvikling, hvor µ er det forventede afkast på

aktien, S er aktiekursen, σ er volatiliteten på aktien og dz er en Wienerproces (Hull 2009, s. 265).

Den stokastiske proces indeholdt i formel 3.4. afspejler på tilfredsstillende vis aktiekursers udvik-

ling. Indeværende opgave antager derfor, at aktiekurser følger en Lognormal Random Walk, hvilket

er i overensstemmelse med antagelserne inden for den Black-Scholes verden, jf. tidligere afsnit, der

ligger til grund for den endelige model til værdiansættelse af optioner.

3.3.2. Ito’s lemma

Hidtil har modelvalgsafsnittet beskæftiget sig med at finde frem til den stokastiske proces, som en

aktie antages at følge. Denne stokastiske proces er yderst relevant i det videre forløb, når værdien af

en aktieoption skal findes, da værdien af en option er en funktion af det underliggende aktiv og ti-

den. Da den stokastiske proces bag en aktie nu kendes, kan værdien af aktieoptioner, G, som funkti-

on af aktiekursen, S, og tiden, t, nu bestemmes ved hjælp af Ito’s lemma. Ito’s lemma kan altså si-

ges at være en slags hjælpesætning til at differentiere stokastiske processer. Formel 3.5. er det gene-

relle udtryk for Ito’s lemma, tilpasset at det underliggende aktiv antages at følge en Lognormal

Random Walk 2

.

2 Hvis en uddybelse af Ito’s lemma ønskes, henvises der til Wilmott 2005 og Hull 2009

Side 31 af 84

dG = 𝜕𝐺

𝜕𝑆µ𝑆 +

𝜕𝐺

𝜕𝑡 + ½

𝜕2𝐺

𝜕𝑆2 𝜎2𝑆2 𝑑𝑡 +

𝜕𝐺

𝜕𝑆𝜎𝑆𝑑𝑧 (3.5)

Ovenstående formel er først og fremmest kendt som værktøj til udledning af Black-Scholes form-

len. Ito’s lemma kan desuden også bruges til at finde frem til en helt konkret formel ud fra hvilken

aktiekursen direkte kan simuleres, hvilket er hvad den benyttes til i det efterfølgende afsnit (Hull

2006, side 273-275).

3.3.3. Endelig model

Som tidligere nævnt er en af forudsætningerne, der ligger til grund for den efterfølgende værdian-

sættelse af optionselementet, at det underliggende aktiv følger en Lognormal Random Walk. At

aktiekursen følger en lognormal fordeling betyder, at fordelingen er normalfordelt, såfremt der tages

den naturlige logaritme, ln, til den givne variabel. Derfor opstilles funktionen G(S,t) = ln S, hvor det

antages at S følger en Lognormal Random Walk, og ud fra den ovenstående formel for Ito’s lemma,

formel 3.5. kan det udledes, at ændringen i G ser ud som følger (Wilmott 2005, s. 132):

dG = (μ-½σ2)dt+ σdz (3.6)

I denne formel er princippet om risikoneutral prisfastsættelse ikke inkorporeret, og prisfastsættelsen

er således stadig afhængig af investors afkastkrav, μ. Der skal derfor stadig tages højde for forvent-

ningerne omkring den fremtidige udvikling på det underliggende aktiv. Ud fra princippet om risiko-

neutral prisfastsættelse kan det dog antages, at alle investorer er risikoneutrale, og investors afkast-

krav, μ, kan derfor i modellen erstattes af den risikofrie rente, r.

Indeværende opgave er som bekendt afgrænset til udelukkende at omhandle aktieindekserede pro-

dukter, hvorfor en udvidelse af den generelle Black-Scholes verden er nødvendig. En forholdsvis

stor andel af aktier må nemlig antages at udbetale udbytte, og det er derfor nødvendigt at udvide

vores model til også at medtage udbyttebetalinger på de underliggende aktiver for at komme frem

til et så validt resultat som muligt. Det underliggende aktiv antages at udbetale kontinuerte udbytte-

betalinger som en konstant andel, d, af aktivet. En diskussion af udbytteraten vil finde sted under

parameterestimeringen. Af nedenstående ligning fremgår det, at formel 3.6. er udvidet, og μ således

er erstattet af (r-d).

Side 32 af 84

dG = ((r-d)-½σ2)dt+ σdz (3.7)

dz er igen en Wienerproces, r er den risikofrie rente og d er udbyttebetalingerne. Denne formel dan-

ner grundlag for, at en Monte Carlo simulation af aktiekurser kan udføres i opgavens følgende af-

snit, og det bliver således muligt at simulere den helt eksakte værdi af aktiekursen på et givent tids-

punkt, t, i et enkelt skridt.

Som nævnt i afsnittet omkring optionstyper er det ikke givet, at det underliggende aktiv udgøres af

kun en aktie eller kun et aktieindeks. Ofte udgøres det af en basket af flere forskellige aktier eller

aktieindeks, imellem hvilke der er en større eller mindre grad af korrelation. Jo mindre korrelatio-

nen er, jo mere forskelligt udvikler de sig, og en eventuel stigning i eksempelvis et indeks udlignes

af, at de øvrige indeks ikke oplever samme stigning. Derfor er korrelationen relevant, når optioner

skal værdiansættes, og optionsværdiansættelsesmodellen burde umiddelbart udvides til også at om-

fatte denne korrelation. I indeværende opgave antages det dog, at den model der bruges til værdian-

sættelse af optioner også passer på en basket bestående af flere aktieindeks og således ikke kun på

et enkelt aktieindeks. Korrelationen de enkelte aktieindeks imellem skal således ikke inkorporeres i

modellen, da det antages allerede at være indeholdt i modellen. Dette kan muligvis virke som et

forsøg på at springe over, hvor gæret er lavest, men der er ingen garanti for at en model, hvor korre-

lationen er medtaget, er mere retvisende end en model, hvor denne udelades. En model, der antages

at være gældende for en basket af indeks, kan således være en lige så god approksimation til virke-

ligheden, som en model hvor korrelationen imellem de enkelte indeks er inkorporeret.

3.4. Monte Carlo Simulation

På grund af den store kompleksitet der oftest er forbundet med strukturerede produkter, kan analyti-

ske metoder som Black-Scholes ikke anvendes, hvilket efterhånden er nævnt en del gange i opga-

ven. I stedet må alternative metoder tages i brug, og til formålet er numeriske metoder aldeles an-

vendelige. Af disse kan nævnes Binomialmetoden, Finite Difference metoden og Monte Carlo Si-

mulering. Førstnævnte metode kan bruges til at værdiansætte både europæiske og amerikanske op-

tioner. Black-Scholes har som bekendt udfærdiget analytiske formler til at værdiansætte europæiske

optioner, hvorfor denne naturligvis er at foretrække frem for binomialmetoden. Der findes derimod

Side 33 af 84

ingen analytiske formler til værdiansættelse af amerikanske optioner, og binomialmetoden er derfor

mest brugbar til værdiansættelse af denne type (Hull 2009, s. 407). Finite Difference metoden er en

anden numerisk metode, som anvendes på noget nær de samme optionstyper som binomialmetoden,

og kan således anvendes på både europæiske og amerikanske optioner. Ved meget stiafhængige

optionstyper, eksempelvis asiatiske optioner, hvor optionens payoff afhænger af den sti, som det

underliggende aktiv har fulgt i løbet af optionens løbetid, er de to metoder dog ikke videre anvende-

lige (Hull 2009, s. 445). Den sidstnævnte numeriske metode var Monte Carlo Simuleringen, og

denne er klart den mest numerisk efficiente metode, når der er tre eller flere stokastiske variable,

hvilket bl.a. er gældende ved Basketoptioner. Tiden det tager at udføre en Monte Carlo Simulering

stiger approksimativt lineært med antallet af variable, hvorimod tiden det tager for de to andre me-

toder stiger eksponentielt med antallet af variable. Desuden kan denne metode tilpasses meget kom-

plekse payoffstrukturer og komplekse stokastiske processer og er således yderst bevendt, når der

arbejdes med meget stiafhængige optioner. Ved hjælp af Monte Carlo Simulation kan der desuden

også beregnes standardafvigelser, hvilket giver et fingerpeg om hvor præcist estimatet på payoff er

(Hull 2009, s. 431).

Jf. de indledende afsnit er det danske marked for aktieindekserede produkter domineret af meget

komplekse produkter. Disse består som sagt ofte af europæiske call optioner, hvori der indgår en

basket af aktier eller aktieindeks af meget stiafhængige karakter. Af denne grund må det konstate-

res, at Monte Carlo Simulering er klart den bedst egnede numeriske metode til at værdiansætte opti-

onselementet i aktieindekserede produkter på det danske marked. Den efterfølgende værdiansættel-

se vil derfor udelukkende være med udgangspunkt i denne metode.

Monte Carlo Simulationens anvendelighed indenfor optionsværdifastsættelse blev for første gang

introduceret af Phelim P. Boyle i 1977, da han udgav artiklen – ”Options: A Monte Carlo ap-

proach”. Idéen bag Monte Carlo Simulationen er i bund og grund relativ simpel. En options værdi

er nutidsværdien af den forventede kurs af det underliggende aktiv ved optionens udløb, forudsat at

det underliggende aktiv følger en risikoneutral random walk. Selve simuleringen udføres ved at

følge fremgangsmåden udfærdiget nedenfor (Wilmott 2005, s. 454).

Side 34 af 84

1. Simuler stien på det underliggende aktiv vha. modellen udfærdiget i det foregående af-

snit. Start med værdien på tidspunkt 0, S0, og simuler værdien over udvalgte tidsskridt

indtil optionen udløber. Dette giver os én simulering af optionens værdi.

2. For denne simulering udregnes optionens payoff

3. Udfør punkt 1. og 2. tilstrækkeligt mange gange (n gange)

4. Udregn den gennemsnitlige payoff for alle de simulerede optionsværdier

5. Udregn nutidsværdien af dette gennemsnit ved hjælp af formlen:

𝑒−𝑟 𝑇−𝑡 𝐸(𝑃𝑎𝑦𝑜𝑓𝑓 𝑆 ) = Optionsværdi

Før de enkelte punkter kan gennemløbes, er det nødvendigt med en model, ud fra hvilken det under-

liggende aktivs sti kan simuleres. En åbenlys måde hvorved dette kan gøres er ved at anvende den

risikoneutrale random walk for det underliggende aktiv, S, over et tidsskridt på Δt. Denne diskrete

metode til at simulere udviklingen i S kaldes Eulers Metode, og formlen for denne ser ud som føl-

ger:

ΔS = (r-d)SΔt + σSϵ 𝛥𝑡 (3.8)

Denne metode er meget let at anvende, men giver ikke et helt eksakt resultat, da det er en approksi-

mationsformel baseret på den risikoneutrale random walk, hvilket er årsagen til, at driften udeluk-

kende udgøres af den risikofrie rente fratrukket udbytteraten. Mere korrekt er det at simulere en

Lognormal Random Walk, da der for denne findes en helt eksakt formel til at simulere det under-

liggende aktivs sti. Jf. formel 3.7., kan den risikoneutrale stokastiske differentialligning for S skri-

ves på følgende måde:

dG = d(ln S) = ((r-d)-½σ2)dt+ σdz (3.9)

Hvis der integreres over denne differentialligning, giver det, over et tidsskridt på Δt, en helt eksakt

formel, ud fra hvilken aktiekursen, S, kan simuleres:

S(t+Δt) = S(t) exp((r-d-½σ2)Δt + σϵ 𝛥𝑡 (3.10)

Side 35 af 84

Når denne formel benyttes frem for Eulers Metode, er størrelsen af Δt uden betydning. Ved anven-

delse af Eulers Metode skal Δt være små korte tidsintervaller for ikke at være behæftet med fejl. Da

denne formel er eksakt, er størrelsen af Δt ikke et problem, og tidsskridtene kan således tilpasses, så

de passer til den givne optionstype (Wilmott 2005, s. 454-457).

Da den eksakte formel til værdiansættelse af optionerne nu kendes, formel 3.10., kan den resterende

del af Monte Carlo Simulationen udføres. Det eneste der nu skal gøres er at udføre mange simule-

ringer for at opnå et pålideligt estimat på optionsværdien. Helt præcis hvor mange simuleringer vil

blive diskuteret i det efterfølgende.

Som nævnt tidligere kan der ud fra Monte Carlo Simuleringen beregnes standardafvigelser på esti-

matet, og der kan således findes ud af, hvor præcist det simulerede estimat er ved at udregne stan-

dardfejlen på estimatet. Denne udregnes som 𝜔 𝑁 , hvor ω er standardafvigelsen på estimatet, og

N er antallet af simuleringer. Ved hjælp af denne kan et 95 % konfidensinterval for optionens pris,

f, opstilles. Dette ser ud som følger (Hull 2009, s. 430):

𝜇 −1,96𝜔

𝑁< 𝑓 < 𝜇 +

1,96𝜔

𝑁 (3.11)

Det fremgår af ovenstående, at standardfejlen på estimatet er den inverse kvadratrod af antallet af

simuleringer. For at fordoble præcisionen af estimatet skal antallet af simuleringer således firedob-

les. Det er derfor nødvendigt at foretage et meget stort antal af simuleringer for at opnå et nogen-

lunde præcist estimat for optionsværdien. Heldigvis er en forøgelse af stikprøvestørrelsen ikke den

eneste måde, hvorved usikkerheden på estimatet kan reduceres. Der findes også forskellige varians-

reduktionsmetoder, hvilke vil blive undersøgt i afsnittet herunder.

3.4.1. Variansreduktionsmetoder

Formålet med at reducere variansen er naturligvis at forbedre præcisionen på estimatet og derved

undgå, at der skal udføres et alt for stort antal af simuleringer for at opnå et nogenlunde præcist

estimat på optionsværdien. Til at reducere variansen findes der forskellige metoder, som inkluderer

Control Variate Technique, Antithetic Variable Technique, Importance Sampling, Stratified Sam-

pling, Moment Matching og Quasi-Random Sequences, hvoraf de to førstnævnte er de bedst kendte

Side 36 af 84

og mest anvendte, og fokus vil derfor kun være på disse to (Hull 2009, s. 433). Anvendeligheden af

den første metode, Control Variate Technique, afhænger af, at der findes et lignende derivat, der

kan anvendes som en god approksimation til det pågældende derivat, samtidig med at dens værdi

kan bestemmes ud fra en analytisk formel. Denne metode kan derfor være problematisk at anvende i

denne opgave, da strukturerede produkter oftest indeholder komplekse optionstyper, og et lignende

derivat der kan værdiansættes ud fra en analytisk formel, men som stadig er en god approksimation

til den givne option vil alt andet lige ikke kunne findes. Af denne grund vil Control Variate Techni-

que ikke blive brugt.

I den anden af de to metoder, Antithetic Variable Technique, udregnes to estimater på optionsvær-

dien ved hjælp af de genererede tilfældige tal, ϵ. Først udregnes et estimat på optionsværdien, f1,

ved at benytte den hidtidige fremgangsmåde. Dernæst udregnes endnu et estimat på optionsværdien,

f2, ved at ændre fortegn på de tilfældige tal, -ϵ, og ellers benytte samme fremgangsmåde igen. På

baggrund af disse to estimater kan det antitetiske Monte Carlo estimat beregnes ud fra et simpelt

gennemsnit af simuleringerne. Formlen for dette ser ud som følger (Hull 2009, s. 433):

fgns = 𝑓1+𝑓2

2 (3.12)

Hvor fgns er gennemsnittet af de to simuleringer. Det endelige estimat på optionsværdien findes ved

at tilbagediskontere gennemsnittet af alle fgns’erne. Denne metode udnytter, at den standardiserede

normalfordeling er symmetrisk ved at spejlvende de enkelte simuleringer, således at der for hvert

tilfældigt udtrukket tal, ϵ, genereres en sti for både ϵ og -ϵ. Hvis det ene af estimaterne er større end

den virkelige værdi, er det andet estimat som regel mindre, og fejlene i de to udligner til en vis grad

hinanden. Antithetic Variable Technique reducerer således variansen i Monte Carlo simulationens

estimat, og vil derfor blive benyttet, når optionselementet i de udvalgte strukturerede produkter skal

værdiansættes (Wilmott 2005, s. 467).

3.5. Delkonklusion

Teorien der danner grundlag for, at en prisfastsættelse af optionselementet i udvalgte strukturerede

produkter kan foretages, er gennemgået i dette afsnit. Indledningsvis er den mest basale optionsty-

Side 37 af 84

pe, Plain Vanilla, blevet gennemgået efterfulgt af en gennemgang af de optionstyper, som de ud-

valgte strukturerede produkter indeholder, hvilket inkluderer asiatiske-, basket- og quantooptioner.

Plain Vanilla er den mest simple optionstype, hvor afkastet beregnes ud fra kun to målepunkter,

som er start- og slutkurs. Sammenlignet med andre optionstyper er den relativt dyr og bruges derfor

sjældent i forbindelse med aktieindekserede obligationer. Asiatiske optioner anvendes derimod ofte

i strukturerede produkter, og er da også anvendt i de i opgaven udvalgte produkter. Grunden til de-

res hyppige anvendelse er, at de er billigere end Plain Vanilla-optioner, da afkastet ved udløb be-

regnes som et gennemsnit af nogle forudbestemte observationsdage. En anden optionstype, der lige-

ledes anvendes hyppigt, når strukturerede produkter skal sammensættes, er basketoptioner. Denne

udgøres af en ”kurv” af underliggende aktiver, og på grund af korrelationen de enkelte aktiver imel-

lem har denne optionstype en lavere volatilitet og er derfor også billigere end Plain Vanilla-

optioner. Endeligt er der i strukturerede produkter, hvor det underliggende aktiv handles i uden-

landsk valuta, indbygget quantoelementer. Dette medfører at valutakursen fastlåses ved udstedelse,

og investor er således ikke udsat for den valutarisiko, der normalt er forbundet med at investere i

aktiver handlet i udenlandsk valuta.

Herefter er de enkelte antagelser, der ligger til grund for Black-Scholes modellen, oplistet hvoraf de

vigtigste er uddybet, da disse antagelser danner grundlaget for den efterfølgende Monte Carlo Simu-

lering. De stokastiske processer, som en aktie kunne tænkes at følge, er efterfølgende gennemgået,

og der er fundet frem til en antagelse om, at aktier følger en såkaldt Lognormal Random Walk. Her-

efter anvendes Ito’s lemma til at udlede en eksakt formel, ud fra hvilken udviklingen i det underlig-

gende aktiv direkte kan simuleres.

Til sidst er forskellige numeriske metoder til beregning af optionsprisen blevet gennemgået, hvoraf

det kan konkluderes, at Monte Carlo Simuleringen er klart den bedst egnede metode. Til at forbedre

Monte Carlo Simulationen er der gennemgået udvalgte variansreduktionsmetoder, hvoraf Antithetic

Variable Technique er valgt som den bedst egnede metode til at reducere variansen i modellen.

Side 38 af 84

4. Definition af parametre

Der er en række parametre der spiller en vigtig rolle i den senere prisfastsættelse af optionsdelen, og

disse skal naturligvis præsenteres, inden de tages i brug, da en forståelse af disse vil gøre brugen af

dem mere overskuelig. De tre parametre er henholdsvis den risikofri rente, udbytteraten, samt vola-

tilitet.

4.1. Risikofri rente

En af de vigtige parametre til værdiansættelse af optionselementet er den risikofri rente, som bruges

til tilbagediskontering af både obligations- og optionsdel samt i modellens driftled. For meget korte

løbetider er renten ikke helt så afgørende en faktor, som når der er tale om prisfastsættelse over en

længere periode. Da der i opgaven analyseres produkter med op til 5 års varighed, er renten, som

der ses senere i opgaven, bestemt ikke en uvæsentlig faktor. En helt risikofri rente er kun et begreb,

der eksisterer rent teoretisk, da der ved alle former for udstedelser er en eller anden form for risiko

forbundet.

De fleste vil argumentere for, at renten på en statsobligation er det nærmeste man kommer en risiko

på nul. Der er dog ikke enighed om dette, og der kan laves mere eller mindre komplicerede bereg-

ninger for at komme frem til den risikofri rente, som menes at være teoretisk rigtig at anvende. Der

argumenteres for at netop en rente baseret på statsobligationer er for lav, og det kan derfor fore-

komme, at den reelle risikofrie rente kan vurderes højere end renten på statsobligationer. Der er

flere teoretikere, som har lavet analyser af hvad den korrekte risikofrie rente som benchmark til

analyser er. Det beskrives i Hull (2009), hvordan det vil være naturligt at bruge en rente på statsob-

ligationer som benchmark3.

Oftest bruges LIBOR som en kortsigtet risikofri rente, da det tilsvarer investorernes alternativom-

kostninger. Der antydes, at renten på statsobligationer er for lav som risikofri rente fordi efter-

spørgslen for statsobligationer er presset op mens renten er presset ned. Det lave renteniveau kan

skyldes, at der er regulatoriske krav for banker om beholdning af statsobligationer, og samtidig er

3 Hull 2009 side 75

Side 39 af 84

den mængde der kræves som sikkerhedsstillelse væsentlig mindre når der er tale om statsobligatio-

ner end i tilsvarende lavrisiko investeringer. Renten på statsobligationer er som det ses af argumen-

terne jf. Hull (2006, s. 77) for lav i forhold til det der forventes er den teoretisk rigtige risikofri ren-

te. Alternativet til renten på statsobligationer er derfor at bruge CIBOR eller LIBOR, men disse

renter er kun børsnoterede op til 12 måneder. Da der ikke er strukturerede produkter med en løbetid

på under 12 måneder er disse renter heller ikke brugbare som proxy for den risikofrie rente. Rente-

kurven for LIBOR eller CIBOR kan dog vha. bootstrapping forlænges så den dækker løbetider der

er længere end 12 måneder. Til brug for opgaven skal der dog bruges renter med løbetider op til 5

år, og derfor findes denne mulighed at være unødig kompliceret.

Selvom der altså ikke er helt enighed om hvorvidt renten på statsobligationer tilsvarer den teoretisk

rigtige risikofrie rente, anses det stadig for det bedste alternativ til bootstrapping. Som følge heraf

bruges der for analysen i opgaven nulkuponrenter fra Datastream, for de enkelte produkters udste-

delseskurs. Disse renter er baseret på statsobligationer hvor der er korrigeret for den ellers normale

kuponudbetaling. Der vil ved analysen af de enkelte udvalgte produkter blive lavet en nulkuponren-

testrukturkurve, og derved kan den ønskede rente for den ønskede løbetid aflæses. Det teoretiske

udgangspunktet for analysen af de udvalgte produkter bliver derfor, at værdiansættelsen tager ud-

gangspunkt i den risikofri nulkuponrente, uden korrektion for den risiko der er forbundet med ud-

steder. Ikke at lave et risikotillæg tilsvarende til den enkelte udsteder vil i disse tider umiddelbart

give det indtryk, at den brugte risikofrie rente er helt fejlagtig. Der er dog kun udstedernes ratings at

tage udgangspunkt i, og da de er så gode, AAA, at risikotillægget er yderst begrænset, kan det der-

for forsvares at se bort fra denne. De yderligere krævende beregninger vil ikke have nogen betyd-

ning for analysens endelige konklusioner, og derfor vurderes nulkuponrenterne fra Datastream at

have en ubetydelig afvigelse fra den teoretisk rigtige værdi.

4.2. Udbytte

Som nævnt i afsnit 3.3.3. omkring den endelige model skal den udbytterate som virksomhederne

udbetale til deres aktionærer trækkes ud af modellen, før optionsværdien beregnes. Dette skal gøres,

da man som optionsholder ikke får nogen del i udbyttet for den aktie eller det indeks, som optionen

skygger. Hvis udbyttet ikke trækkes ud, vil optionsprisen blive beregnet for højt, da udbyttet er med

Side 40 af 84

til at hæve aktiekursen og dermed også den beregnede pris på optionen. Med hensyn til størrelse på

udbytte og tidspunktet for udbetaling er der et par antagelser, der skal gennemgås.

På kort sigt kan aktiers udbytte forudsiges relativt præcist, da børsnoterede virksomheder som regel

offentliggør den slags information et stykke ud i fremtiden. På længere sigt kan det straks være svæ-

rere at forudsige, men da virksomheder har tendens til ikke at lave de helt store ændringer i deres

udbyttepolitik, kan tidligere års udbytterater som regel anvendes som approksimation for fremtidige

udbytterater. Hvis en underliggende virksomhed har et godt år, og aktiekursen stiger, vil de som

regel udbetale en større mængde til udbytte, så udbytteraten derfor antagelsesvist forbliver konstant

fra år til år. Hvis det underliggende aktiv er et aktieindeks i stedet for en enkelt aktie, kan tidligere

års udbyttebetalinger benyttes som en endnu mere præcis approksimation, da der sker en udglatning

af udbyttebetalingerne over tid. Udbyttebetalingerne vedrørende et aktieindeks tilnærmer sig derved

en kontinuert tilskrivning. Denne antagelse understøttes af idéen omkring tidspunkterne for udbeta-

ling af udbytte. Det antages, at alle virksomhederne i et indeks ikke udbetaler udbytte på samme

tidspunkt men jævnt fordelt over året, og derfor vil udbytteraten blive mere udglattet og estimatet

herpå mere valid, jo flere forskellige aktier der indgår i et indeks. Det er således en relativ præcis

approksimation, hvis det antages, at udbytteraterne er kontinuerte og den samme som de foregående

år. I tilfælde med flere indeks skal udbyttet på de enkelte indeks vægtes i forhold til deres relative

andel af størrelsen på den samlede ”indekskurv”. For at denne antagelse skal holde stik, skal disse

rater beregnes ud fra en antagelse om, et fast antal dage hvor aktierne handles. Der vil i denne op-

gave blive anvendt 252 handelsdage om året som proxy (Hull, 2009). Ved egne observationer af

blandt andet det japanske Nikkei 225 indeks ses der 260 handelsdage på et år, men da vi i denne

opgave bruger de 180 handelsdage før udstedelsen som beregningsgrundlag, spiller dette ingen rol-

le. Det kan diskuteres hvorvidt det er disse dage, der skal bruges som grundlag, men da der så vidt

mulig vil blive forsøgt at bruge de samme tal, som arrangøren før udstedelsen havde adgang til, er

denne historiske periode blevet valgt. Den konkrete årlige udbytterate er fundet som en dagligt op-

dateret rate. Forskelligheden i dem har baggrund i eventuel ny markedsinformation fra de enkelte

virksomheder i indekset. Det være sig ændringer i udbyttepolitik, nye offentliggørelser af udbeta-

linger, mulige udskiftning af virksomheder i indekset og lignende der dagligt bliver korrigeret for.

Side 41 af 84

4.3. Volatilitet

De vigtigste elementer der har betydning for prisen på et derivat eller en option, er værdien af det

underliggende aktiv og det tidsrum, der er til udløb. Samtidig har volatiliteten dog også en stor be-

tydning for optionsværdien. Hvis der startes med den teoretiske del, er volatiliteten et udtryk for den

årlige standardafvigelse på aktivets kurs. Forklaret på en anden måde beskriver volatiliteten de

svingninger og den tilfældighed, der er i prisen på det underliggende aktiv (Wilmott 2005, s. 41-42).

Volatiliteten er forårsaget af nye informationer til markedet, som får kurserne til at ændre sig og

giver udsving. Når volatiliteten bliver nævnt som vigtig for prisfastsættelsen af optionselementet, er

det fordi, der er en stærk sammenhæng mellem volatiliteten og afkastpotentialet. Jo højere volatili-

teten er, jo større afkastpotentiale er der for optionen, hvilket er ensbetydende med en højere pris.

Korrelationen mellem prisen og volatiliteten er positiv, og en høj deltagelsesgrad vil ofte betyde

optioner, der er billige og har en lav grad af udsving.

En estimation af volatiliteten på de underliggende aktiver til den videre analyse er som følge af

ovenstående en nødvendighed. Der er to måder, hvorved volatiliteten kan estimeres. Det værende

enten ud fra historiske data eller vha. implicit volatilitet (Hull 2009). Der nogle fordele og ulemper

ved de to metoder man skal være opmærksom på. Den implicitte volatilitet afspejler markedets for-

ventninger til volatiliteten på det underliggende aktiv (Hull 2009, s. 297). Fordelen er, at metoden

ser frem i tiden og estimerer den volatilitet, der tilsvarer markedets forventninger. Den implicitte

metode udmærker sig ved, at den ikke lader volatiliteten blive estimeret forkert som følge af histori-

ske uregelmæssigheder. Volatiliteten afhænger af optionstypen, og da den implicitte volatilitet kun

kan beregnes for Plain Vanilla optioner, kan den ikke uden videre anvendes til de produkter, der

bliver analyseret i denne opgave (Hull 2009). Ofte baserer arrangørerne deres beregninger på den

implicitte volatilitet, men det kræver, at der kan findes markedspriser for optionerne, hvilket kan

være vanskeligt. De optioner der bruges til strukturerede produkter bliver oftest ikke udbudt separat

i markedet, og derfor kan manglende optionspriser gøre det umuligt at estimere den implicitte vola-

tilitet.

Alternativet til at udregne volatiliteten vha. implicitte volatilitet er at bruge historiske volatilitet.

Når der bruges historiske data, er datamængden afgørende, og et større datasæt kan give større præ-

cision, men dog stadig kun præcision fra historiske data. Volatiliteten har en tendens til at ændre sig

Side 42 af 84

med tiden, og derfor kan meget gamle data ikke være relevant, og i værste fald kan det forvrænge

den reelle nuværende volatilitet. Ved brug af historiske data vil det alt andet lige være mest retvi-

sende at benytte lukkekurserne fra de seneste 90-180 dage. Fordelen ved beregning via de historiske

data er, at det er relativt simpelt, hvis der er adgang til de korrekte data for den periode, som ønskes

analyseret. Ulempen er dog, at volatiliteten er svingende over tid og vil kun give et retvisende bille-

de, hvis den er relativt stationær gennem den tidsperiode, som bruges til at estimere volatiliteten.

Problemet opstår når volatiliteten i en periode har været historisk høj eller lav. Hvis den er historisk

lav, vil markedets forventninger alt andet lige være, at den inden for et givet tidsrum vil stige. Da

der kan være tale om en selvopfyldende profeti, vil de historiske tal alt andet lige give et forkert

billede af fremtiden. På nuværende tidspunkt skal der være særlig opmærksomhed omkring de vola-

tilitetsændringer, der har fundet sted i forbindelse med finanskrisen. Den historiske volatilitet er en

værdi, der beregnes ud fra nogle fastsatte målepunkter, og i denne opgave er der brugt de daglige

lukkekurser 180 dage forud for produkternes udstedelsesdag (Hull 2003, s. 239). Den historiske

volatilitet kan jf. Hull (2009) beregnes således:

𝑠 = 1

𝑛−1 (𝑢𝑖 − 𝑢 )2𝑛

𝑖=1 (4.1)

For at få den årlige volatilitet skal standardafvigelsen, s, divideres med kvadratet på længden af det

valgte tidsinterval.

𝜎 =𝑠

𝑡 (4.2)

Dette er således måden, hvorpå den historiske volatilitet rent teknisk beregnes. Det næste bliver så

at bestemme, hvilke data der skal anvendes til beregningerne. Som nævnt tidligere, kan det anvend-

te datamateriale have afgørende betydning for korrektheden af den beregnede volatilitet, specielt i

de perioder hvor aktiekurserne har været påvirket af finanskrisen. I opgaven tages der udgangspunk-

tet i Hull, som siger, at volatiliteten som regel bliver retvisende, hvis der bruges lukkekurser for de

seneste 90-180 dage (Hull 2003, s. 239). Som udgangspunkt anvendes der til brug for denne opgave

lukkekurser for de seneste 180 handelsdage op til udstedelsesdagen. Dette gøres for at have konsi-

stens i beregningerne, da udbytteraterne som udgangspunkt også er beregnet for de seneste 180 da-

ge op til udstedelsestidspunktet. Det kan være meget svært at sige, om de 180 dage er repræsentati-

Side 43 af 84

ve for en retvisende volatilitet. Den senere analyse vil dog kunne give et billede af den historiske

volatilitetsændring, da produkterne ikke har samme udstedelsesdage. I denne type analyse har input-

parametrene en stor betydning for det endelige resultat, og parametrenes værdi afhænger derfor af

de estimationsmetoder, der er valgt af opgaveskrivere. I forlængelse af analysen af de enkelte pro-

dukter vil der derfor blive lavet en følsomhedsanalyse af de nu gennemgåede parametre, som alle er

af afgørende betydning for den videre værdiansættelse.

5. Udvalgte produkter

Som grundlag for den kommende undersøgelse og prisfastsættelse vælges der tre strukturerede pro-

dukter, som alle er fra danske arrangører. Der er tale om produkter fra henholdsvis Garanti Invest,

Danske Bank og Nordea, som er de tre største aktører på det danske marked. De valgte produkter

indeholder alle nulkuponobligationer og har en løbetid på mellem to og fem år.

I dag bliver langt de fleste aktieindekserede obligationer lavet med en indbygget asiatisk element.

Denne giver produktet en mindre upsidechance ved at beregne det endelige afkast som et gennem-

snit af nogle på forhånd fastsatte observationsdage. Dette element giver produktet en lavere volatili-

tet, hvilket gør optionerne billigere. Dette kan virke spændende for investor, da deltagelsesgraden

derved kan øges.

De efterfølgende tre afsnit vil indeholde en præsentation, prisfastsættelse, omkostningsestimering

og følsomhedsanalyse af de tre udvalgte strukturerede produkter i nævnte rækkefølge. Værdiansæt-

telsen og følsomhedsanalyse udføres i forskellige Excel regneark udarbejdet på baggrund af resulta-

terne i afsnit 3 vedrørende valg af model og Monte Carlo Simulering. Disse vil være nærmere be-

skrevet i bilag 5-7 samt bilag i 16.

Monte Carlo Simulation er som nævnt tidligere meget krævende hvad angår computerkraft, hvorfor

det kun har været muligt at simulere 20.000 stier i et regneark. Til trods for at Antithetic Variable

Technique er anvendt, er dette antal stier dog ikke tilstrækkeligt til at få et estimat på optionsværdi-

en, der er præcist helt ned på decimalen. Optionsestimatet afviger således med op til 0,2 alt afhæn-

gig af størrelsen af volatiliteten på produktet. Præcisionen af estimatet anses dog for at være til-

Side 44 af 84

fredsstillende, givet at der kun er anvendt et Excel regneark. Afvigelsen er desuden så lille, at den er

uden større betydningen for opgavens konklusioner. I tilfælde af at et mere præcist estimat ønskes,

er det nødvendigt at benytte sig af VBA-kodning eller lignende værktøjer, hvilket ligger udenfor

opgaveskriveres kompetencer.

En følsomhedsanalyse foretages på de parameterværdier, der øver indflydelse på værdien af de for-

skellige elementer i hvert enkelt struktureret produkt, men som ikke står beskrevet i produkternes

informationsmateriale. Det værende renten, volatiliteten og udbytteraterne, der alle er estimater på

den sande værdi. Værdien af hver enkel parameter er afhængig af hvilken metode, de er udregnet på

baggrund af, og da det som bekendt kun er muligt at anvende estimeringsmetoder, må det antages,

at de er behæftiget med en vis grad af usikkerhed. Dertil kommer også Black-Scholes antagelserne

der ligger til grund for værdiansættelsesmodellen, hvori det antages, at renten og volatiliteten er

konstant over produktets løbetid, hvilket ikke er tilfældet i den virkelige verden. Det er ganske

sandsynligt at disse er behæftet med en større eller mindre grad af usikkerhed, og at de vil ændre sig

over tid, og det er derfor nødvendigt at undersøge, hvor følsom optionsværdien er over for ændrin-

ger i disse.

5.1. Garanti Invest: Europæiske Aktier 2007-2012

Garanti Invest var pionererne på det danske marked for strukturerede produkter. De var den førende

arrangør på det danske marked, indtil de store banker hoppede med på vognen i 2003 og overhalede

Garanti Invest, så de i dag nu kun er den tredje største udbyder. Garanti Invests forretningsområde

dækker udelukkende handel med strukturerede produkter. Der distribueres gennem mindre banker

og online gennem deres hjemmeside. I denne opgave er der valgt et forholdsvist simpelt produkt fra

denne arrangør, hvor det underliggende aktiv udgøres af kun et indeks, hvilket gør det regnetekni-

ske arbejde i forbindelse med værdiansættelse af produktet en smule lettere. Produktet der er blevet

valgt til videre analyse er følgende:

Europæiske Aktier 2007-2012

Fondskode DK0030060181

Side 45 af 84

Med simplicitet forstås sammensætningen og kompleksiteten af det underliggende indeks. I dette

tilfælde udgøres det underliggende aktiv af det europæiske aktieindeks Dow Jones Euro Stoxx 50,

der består af 50 europæiske topvirksomheders aktiekurser fordelt ud over 12 europæiske lande. Det

værende Østrig, Belgien, Finland, Frankrig, Tyskland, Grækenland, Irland, Italien, Luxembourg,

Holland, Portugal og Spanien (www.stoxx.com). Dette indeks kan handles som et samlet indeks, og

investor slipper således for at købe separate andele i hvert af de underliggende.

Der er her tale om et produkt, hvis løbetid strækker sig over 5 år fra den 27. juni 2007 til den 27.

juni 2012, og hvor obligationselementet udgøres af en nulkuponobligation. Samtidig har den en

deltagelsesgrad på 100 %, der rent teoretisk betyder, at der af emissionskursen efter fratrukket obli-

gationspris og omkostninger har været et beløb til rådighed, der præcist har været svarende til prisen

på én option.

Produktet har en såkaldt asiatisk hale, hvor den endelige udvikling på det underliggende indeks bli-

ver beregnet ud fra gennemsnittet af syv observationer fordelt over det sidst halve år af produktets

løbetid (bilag 1, s. 4). Denne måde at beregne det endelige afkast er med til at udglatte eventuelle

enkeltstående udsving i kursen i løbetidens sidste periode og tager derved toppen af den upside-

chance, der er ved store udsving lige før udløb.

Obligationsudsteder er det danske KommuneKredit, der til dagligt har til formål at yde finansiering

til danske kommuner og regioner. Denne har fået en udstederrating fra det internationale Moody’s

Investor Service på Aaa, der er det højest mulige, der kan opnås fra denne indenfor denne rating.

Samtidig har det anerkendte rating bureau Standard & Poor’s givet KommuneKredit en rating på

AAA. Det skal nævnes, at denne rating ikke er for det specifikke produkt, men for selve udstederen

af den obligation der er indeholdt i produktet. For investorer i dette produkt betyder det en høj grad

af sikkerhed for at få udbetalt hovedstolsgarantien på obligationen på kurs 100. Obligationen er et

stående lån, der derfor ikke kan indløses før udløb, hvilket er med til at mindske kompleksiteten af

produktet samt det regnetekniske aspekt senere i opgaven.

Hovedstolen, der udgør sikkerhedselementet i det strukturerede produkt, dækker ikke hele investe-

ringen, da produktet er udstedt til kurs DKK 103,30. Så såfremt det underliggende aktiv udvikler sig

i negativ retning, hvorved kun hovedstolen udbetales, lider investor et tab på 3,30 kurspoint. Dertil

Side 46 af 84

kommer også det mistede alternativafkast, som ville være opnået ved at have investeret beløbet an-

det sted.

5.1.1. Prisfastsættelse af obligationsdel

Obligationen, der danner grundlag for tilbagebetalingen af pari-beløbet til investor ved produktets

udløb, er som nævnt en nulkuponobligation, og den simple tilbagediskonteringsformel, fremført i

afsnit 2.1.1., kan derfor anvendes. Værdiansættelse af obligationselementet er derfor relativt sim-

pelt, da hovedstolen blot skal tilbagediskonteres med en diskonteringsrente over produktets løbetid.

Det eneste der er problematisk er således at få estimeret en korrekt rente, hvormed hovedstolen kan

tilbagediskonteres. Produktet løber over 5 år, og den anvendte rente er således baseret på den 5-

årige rente på statsobligationer, korrigeret for kuponrenten, jf. afsnit om parameterestimering af

renten. Rentestrukturen på udstedelsesdagen for produktet, d. 27.06.07, ses afbilledet i figur 5.1.1.

og viser, hvorledes renten stiger, i takt med at løbetiden forøges. D. 27.06.07 er den 5 årige rente

således lig med 4,9247 % jf. bilag 9.

Figur 5.1.1. Rentestrukturkurve 0-74 mdr.

Kilde: Datastream og egen tilvirkning

På baggrund af den fundne rente og produktets løbetid kan hovedstolen tilbagediskonteres, hvorved

værdien af obligationen fremkommer, jf. formel (2.1):

4,4

4,5

4,6

4,7

4,8

4,9

5

0 12 24 36 48 60 72

Rente, %

Udstedt 27.06.2007

Side 47 af 84

𝑃 = 𝐻 ∗ 𝑒−𝑟∗𝑡 = 100 ∗ e(−0,049247∗5) = 78,17

5.1.2. Prisfastsættelse af optionsdel

Produktet indeholder som sagt et asiatisk element konstrueret som en såkaldt asiatisk hale over pro-

duktets sidste halve år, hvilket udjævner eventuelle tilfældige udsving i kursen i den sidste del af

produktets løbetid. Dette medfører alt andet lige en lavere volatilitet, som gør at optionen bliver

billigere, og en højere deltagelsesgrad kan derved opnås. Det asiatiske elements indflydelse på opti-

onsprisen er dog ikke så markant, som hvis målepunkterne var fordelt ud over hele produktets leve-

tid, hvorved en endnu billigere option formentlig kunne være fastsat. Som følge af dette asiatiske

element er det, jf. tidligere afsnit, nødvendigt at anvende Monte Carlo Simulation til at værdiansæt-

te produktets optionselement. Til at udføre denne har det været essentielt at få bestemt en række

forskellige parameterværdier, der alle øver indflydelse på den endelige estimation på optionsværdi-

en. Disse værdier kan alle ses nedenfor i tabel 5.1.1.:

Tabel 5.1.1. Parameterværdier for Garanti Invest: Europæiske Aktier 2007-2012

Udstedelseskurs 103,3

Deltagelsesgrad 100 %

Omkostninger (p.a.) 1,40 %

Løbetid (T) 5

Risikofri rente (rf)* 4,9247 %

Volatilitet (σ)* 12,7010 %

Udbytterate (d)* 2,7904 %

Antal Simulationer (n) 20.000 Kilde: Datastream, informationsmateriale og egne beregninger

Anm: * er efter egne beregninger og findes i bilag 9-11

Som det fremgår af denne tabel er det ikke alle parametre, der kan tages direkte ud af informati-

onsmaterialet. Den risikofrie rente, volatiliteten og udbytteraten er alle beregnet på baggrund af

diverse data, hovedsageligt genereret ved hjælp at Datastream. Metoden hvorved de er estimeret

står udførligt beskrevet i afsnittet ”parameterestimering”, og de konkrete udregninger fremgår desu-

den af bilag 9-11.

Side 48 af 84

Den risikofrie rente, der er anvendt til værdiansættelse af optionselementet, er på 4,9247 % og er

den samme, som blev anvendt til at værdiansætte obligationselementet, hvorfor en uddybning af

denne er overflødig. Volatiliteten er som bekendt beregnet vha. historisk volatilitet på baggrund af

kurserne på det underliggende aktiv, Dow Jones Euro Stoxx 50, over en periode på 180 handelsdage

forud for udstedelsesdagen. Produktets volatilitet er estimeret til 12,7010 %, hvilket må anses for at

være på et meget lavt niveau, og det er da også det produkt blandt de tre udvalgte, der har klart den

laveste volatilitet. Udbytteraten på produktets underliggende aktiv er estimeret til 2,7904 % om året,

hvilket ligeledes er udregnet på baggrund af niveauet over en 180 dages periode forud for udstedel-

sen af produktet. En mere dybdegående diskussion og analyse af disse parametre vil finde sted i den

efterfølgende følsomhedsanalyse.

Monte Carlo Simulationen er udført på baggrund af de ovenstående parametre og ved at simulere

modellen 20.000 gange. Resultatet heraf er opstillet i nedenstående tabel 5.1.2.:

Tabel 5.1.2. Resultat af Monte Carlo Simulation

Optionsværdi 12,13298

Standardfejl 0,0848

Øvre 95 % KI 12,13390

Nedre 95 % KI 12,13206 Kilde: Egne beregninger

Modellen har således fundet frem til et estimat på optionsværdien på DKK 12,13. Dette estimat har

en standardfejl på blot 0,0848, hvilket medfører, at værdien af optionen med 95 % sikkerhed er in-

deholdt i intervallet fra DKK 12,13206 til DKK 12,13390, hvilket må siges at være et relativt lille

interval. Det vil sige, at såfremt de anvendte parametre er estimeret, så de nogenlunde svarer til den

sande værdi, synes værdien af optionen at være estimeret ret så præcist og sammenholdt med esti-

matet på obligationsværdien fundet i det tidligere afsnit, kan der findes frem til en teoretisk rigtig

værdi af det strukturerede produkt. Dette vil blive gjort i det efterfølgende afsnit.

Side 49 af 84

5.1.3. Teoretisk værdi

I forbindelse med udstedelsen af Europæiske Aktier 2012 har Garanti Invest afholdt en række om-

kostninger til bl.a. provisioner og markedsføring, og af informationsmaterialet fremgår det, at emis-

sionsomkostningerne udgør 1,40 % p.a.. Dette giver over produktets 5 årige løbetid samlede om-

kostninger på 7 %, hvilket betyder, at en teoretisk rigtig værdi af produktet kan estimeres ud fra

følgende formel:

Teoretisk værdi = (Nulkuponobligation + Optionsværdi) * (1 + Emissionsomk.) (5.1)

Teoretisk værdi = (78,17 + 12,13) * (1 + 7 %) = 96,62

Sammenlignes den estimerede værdi af produktet på DKK 96,621 med den af Garanti Invest fast-

satte emissionskurs på DKK 103,3, må forskellen siges at være betydelig. Ifølge ovenstående be-

regninger tager Garanti Invest altså en overpris på 6,91 %, hvilket må anses for ikke at være til-

fredsstillende for investor. Det skal dog påpeges, at emissionsomkostningerne anført i informati-

onsmaterialet ikke er de eneste omkostninger forbundet med udstedelse af denne type produkt. Pro-

venu til optionsudsteder er ikke inkluderet i disse omkostninger, men er i stedet inkluderet i prisen

på den option, der er blevet strikket sammen specielt til dette produkt, hvorfor det praktisk talt er

umuligt at finde frem til størrelsen af denne omkostning. Det er dog ikke sandsynligt, at omkostnin-

gerne til optionsudsteder udgør hele overprisen på 6,91 % af produktets emissionskurs, hvorfor den

resterende del af overprisen altså må tilfalde de øvrige involverede parter. Problemet er, at emissi-

onsomkostningerne allerede omfatter tegningsprovision til både arrangør og distributør, og alle om-

kostninger der tilfalder dem burde allerede være inkluderet heri. Derfor burde den del af overprisen

som de hver især får del i ligeledes være inkluderet i emissionsomkostningerne, hvilket ikke er til-

fældet. Det betyder, at det er mere eller mindre umuligt for private investorer at gennemskue pro-

duktet, da de formentlig vil tro, at de omkostninger der er anført i informationsmaterialet, rent fak-

tisk er de reelle omkostninger. Analysen af produktet foretaget i dette afsnit viser dog en anden vir-

kelighed, hvor omkostningerne anført i prospektet kun udgør en lille del af de faktiske omkostnin-

ger, der er forbundet med investering i det pågældende produkt.

Når dette er sagt, er det også vigtigt at nævne, at den ”teoretisk rigtige værdi” af dette produkt skal

tages med en smule forbehold, da de forskellige parametre brugt til at komme frem til denne værdi

Side 50 af 84

er fremkommet ved hjælp af diverse estimationsmetoder og kan derfor være behæftiget med en stør-

re eller mindre grad af usikkerhed. Det er derfor nærliggende at lave en følsomhedsanalyse, hvilket

vil blive gjort i det efterfølgende afsnit, hvorved det kan undersøges, hvor stor indflydelse mindre

ændringer i de estimerede parameterværdier har på den teoretiske værdi af det pågældende produkt.

5.1.4. Følsomhedsanalyse

Den herunder følgende følsomhedsanalyse vil blive udført på henholdsvis volatiliteten, udbytteraten

og den risikofrie rente, da ingen af de tre parametre har kunnet aflæses i informationsmaterialet og

er derfor beregnet ud fra diverse estimationsmetoder. Følsomhedsanalysen udføres ved enkeltvis at

ændre på de pågældende parametre, mens de øvrige holdes konstant. Derved fås det ønskede indblik

i, hvor stor indflydelse mindre ændringer i parametrene har på produktets teoretiske værdi.

Volatiliteten er formentlig den parameter, der er størst usikkerhed omkring, bl.a. fordi den valgte

estimationsmetode har stor indflydelse på hvilken værdi der fås. Dette er dog også gældende for de

øvrige parametre, men deres udfaldsrum spænder ikke over så bredt et interval, som er gældende for

volatiliteten, der jf. Hull normalt kan antage værdier mellem 10 % og 60 %.

Som tidligere nævnt beregnes volatiliteten ud fra historiske aktiekurser på baggrund af 180 han-

delsdage forud for udstedelsesdagen. Udsvingene på det underliggende aktiv har i dette tidsinterval

været rimeligt begrænsede, hvilket er årsagen til at der er estimeret en volatilitet på kun 12,7010 %.

Som følge af at volatiliteten klart ligger i den lave ende af hvad der er almindeligt forekommende,

udføres følsomhedsanalysen kun på volatiliteter, der er større end det estimerede, da det ikke er

sandsynligt, at volatiliteten kan være estimeret for højt.

Side 51 af 84

Tabel 5.1.3. Følsomhedsanalyse af volatilitetsændringer (+ 2,5 % -point)

Volatilitet Optionsværdi Teoretisk værdi Overpris

12,701 % 12,13298 96,62 6,91 %

15,201 % 14,0100 98,63 4,73 %

17,701 % 15,5702 100,30 2,99 %

20,201 % 17,7355 102,62 0,66 %

22,701 % 18,9056 103,87 -0,55 % Kilde: Datastream og egne beregninger

Som det fremgår af tabellen varierer værdien af optionen og derfor også den teoretiske værdi af

produktet betydeligt, hvilket betyder, at de er meget følsomme over for ændringer i volatiliteten. En

stigning i volatiliteten på 2,5 % -point medfører således en stigning i optionsværdien til DKK 14,01

og derved også et betydeligt fald i overprisen. Hvis volatiliteten sættes op med hele 10 % -point,

medfører det en forøgelse af optionsværdien på næsten 56 % samt en teoretisk værdi, der overstiger

emissionskursen, hvilket naturligvis ikke er realistisk. I tilfælde af en så høj volatilitet havde der

formentlig været inkorporeret en cap i produktet, som havde medført en lavere optionsværdi og

derved også en lavere teoretisk værdi, hvilket er tilfældet ved de to efterfølgende produkter. Rigtig-

heden af volatilitetsestimatet er altså essentiel, da en fejlestimering af denne vil medføre en betyde-

lig fejl i den estimerede optionsværdi og således også i den teoretiske værdi af produktet.

På samme måde kan optionens følsomhed over for den estimerede udbytterate bestemmes. Over en

periode på 180 forud for udstedelsesdagen er udbyttebetalingerne fluktueret mellem 2,28 og 3,08,

hvilket må siges at være meget beskedent. En følsomhedsanalyse for henholdsvis en 2 % stigning

og fald må derfor siges at være mere end tilstrækkeligt.

Jf. tabel 5.1.4. vil en ændring i udbytteraten på +/- 2 % -point medfører en optionsværdi på hen-

holdsvis DKK 7,69 og DKK 18,30, så lige som det var tilfældet ved volatiliteten, er optionen altså

meget følsom over for ændringer i udbytteraten. En ændring i udbytteraten har dog den modsatte

effekt på optionsværdien end en ændring i volatiliteten, da udbytteraten kun optræder i modellens

driftled, hvor den står med negativt fortegn. En stigning i udbytteraten medfører således en lavere

optionsværdi.

Side 52 af 84

Tabel 5.1.4. Følsomhedsanalyse af udbytterateændringer (+/- 0,5 % -point)

Udbytterate Optionsværdi Teoretisk værdi Overpris

0,7904 % 18,3045 103,23 0,07 %

1,2904 % 16,5597 101,36 1,91 %

1,7904 % 15,0571 99,75 3,56 %

2,2904 % 13,534 98,12 5,28 %

2,7904 % 12,13298 96,62 6,91 %

3,2904 % 10,8241 95,22 8,48 %

3,7904 % 9,7393 94,06 9,82 %

4,2904 % 8,7252 92,98 11,10 %

4,7904 % 7,6915 91,87 12,44 % Kilde: Datastream og egne beregninger

Den risikofrie rente er formentlig den parameter med den største indflydelse på prisfastsættelsen af

produktet, da den både har indflydelse på obligations- og optionselementet. En rentestigning bety-

der for obligationselementet en højere diskonteringsfaktor og derved en lavere obligationsværdi.

Vedrørende optionselementet er der en modsatrettet effekt, i og med den risikofrie rente optræder to

steder når denne værdiansættes. En rentestigning vil således også her betyde en højere diskonte-

ringsfaktor og derved en lavere optionsværdi, men betyder samtidig et højere driftled i værdiansæt-

telsesmodellen og således en højere optionsværdi. Som det fremgår af nedenstående tabel, er den

samlede effekt på optionsværdien dog positiv, da driftleddet har den største indflydelse på værdien

af optionen.

Tabel 5.1.5. Følsomhedsanalyse af renteændringer (+/- 0,5 % -point)

Rente Optionsværdi Ny obl-pris Teoretisk værdi Overpris

2,9247 % 8,4014 86,40 101,43 1,84 %

3,4247 % 9,3884 84,26 100,21 3,09 %

3,9247 % 10,1499 82,18 98,80 4,56 %

4,4247 % 11,2105 80,15 97,76 5,67 %

4,9247 % 12,13298 78,17 96,62 6,91 %

5,4247 % 13,2562 76,24 95,76 7,87 %

5,9247 % 14,2055 74,36 94,77 9,00 %

6,4247 % 15,3264 72,53 94,00 9,89 %

6,9247 % 16,5902 70,73 93,44 10,56 % Kilde: Datastream og egne beregninger

Side 53 af 84

En stigning i den risikofrie rente på eksempelvis 2 % -point medfører en stigning i optionsværdien

til DKK 16,59 og et fald i obligationsværdien til DKK 70,73. Sammenlagt betyder det et fald i den

teoretiske værdi til DKK 93,44. Ændringer i den risikofrie rente har altså størst effekt på obligati-

onsværdien pga. den modsatrettede effekt, der er indeholdt i modellen til udregning af optionsvær-

dien.

Følsomhedsanalysen viser altså, at den teoretiske værdi er meget følsom over for større fejlestime-

ringer af alle tre analyserede parametre, så såfremt der er betydelige fejl på bare en af parametrene,

vil det medføre en forkert teoretisk værdi. Ved indeværende produkt vurderes niveauet for udbytte-

raten og renten at være korrekt, da de stemmer nogenlunde overens med niveauerne på parametrene

for de efterfølgende produkter. Volatiliteten er, som følge af den anvendte estimationsmetode, kun

estimeret til 12,7010 %, hvilket er meget lavt, sammenlignet med de øvrige analyserede produkter

og sammenlignet med hvad der, jf. Hull er ”almindeligt” forekommende. Den lave volatilitet med-

fører, som nævnt tidligere, en teoretisk værdi på DKK 96,62 og derved en overpris på 6,91 %, hvil-

ket er en større overpris, end hvad der er tilfældet for de efterfølgende produkter.

5.2. Danske Bank: Danske Dow Jones EURO STOXX 50 Single 2010

Danske Bank er i dag den næststørste udbyder af strukturerede produkter i Danmark. De har derfor

også et bredt udvalg af forskellige typer med hensyn til det underliggende indeks, der rækker lige

fra råvareindekser til valutakryds relaterede. Der er her valgt et produkt fra Danske Bank, med et

underliggende indeks der er det samme som for Garanti Invest. Produktet er som følger:

Danske Dow Jones EURO STOXX 50 Single 2010

Fondskode DK0030088943

Det vil derfor være overflødigt endnu engang at give en beskrivelse af, hvad indekset indebærer.

Produktet løber over en relativ kort periode fra den 10. marts 2008 til den 12. april 2010. Trods den

korte løbetid bliver produktets afkast dog beregnet ud fra princippet om en asiatisk hale, hvor den

endelige ændring i indekset bliver taget som et gennemsnit af lukkepriserne for perioden den 15.

marts 2010 til og med den 19. marts 2010. Denne har, som det normalt forekommer, en indfrielses-

Side 54 af 84

kurs på minimum 100 men har dog en lille krølle på halen ved et eventuelt positivt afkast. Danske

Bank har her lagt en såkaldt cap på dette produkt i form af en maksimal indfrielseskurs på 142,5.

Denne er som før beskrevet i opgaven med til at sænke værdien af optionselementet. Optionen bli-

ver helt enkelt billigere, da den har et loft på indfrielseskursen. Deltagelesgraden er ved udstedelsen

blevet sat til 100 % (bilag 2, s. 1), så ud fra denne indeholder produktet kun én enkelt option.

Danske Bank har opgivet ÅOP til 0,9 %, der må siges at være forholdsvist lavt i forhold til det fra

Garanti Invest udstedte produkt på 1,4 %. Dette giver over de to år og én måned samlede omkost-

ninger på 1,9 %.

Det er i dette tilfælde Danske Bank A/S, der selv er udsteder af obligationen, og er i følge internati-

onale rating bureauer som Moody’s Investors Service, S&P og Fitch ikke lige så likvide som andre

store udstedere, da de giver dem ratings på henholdsvist Aa1 og AA-, der ikke er topkarakterer (bi-

lag 3, s. 3). Obligationen er her et stående lån, da der ikke er nogle kuponudbetalinger (bilag 2, s. 4,

pkt. 17).

5.2.1. Prisfastsættelse af obligationsdel

Værdien på obligationsdelen findes på samme måde som ved det forrige produkt. Der ligger som

sagt tre simple faktorer til grund for obligationens pris: indfrielseskursen, løbetiden og renten. Ind-

frielseskursen er ganske enkel at finde, da den altid er oplyst i informationsmaterialet. For dette

produkt er den 100, som ved langt de fleste produkter.

Løbetiden er som først nævnt forholdsvist kort, da den normalt ligger mellem tre og fem år, og her

kun er på to år og én enkelt måned (Finans/Invest 4/09, s. 5). Dette står også opført i informations-

materialet, og er en ganske betydelig faktor med hensyn til tilbagediskontering og dermed prisfast-

sættelsen af obligationselementet.

I figur 5.2.1. ses hvorledes en rentestrukturkurve for nulkuponobligationer den 10. marts 2008 så

ud. Renteniveauet for en løbetid på 25 måneder ligger på 4,0751 %, jf. figur 5.2.1. omkring nulku-

ponrenter (bilag 9). Figuren viser som før nævnt, hvor vigtig løbetiden er for prisfastsættelsen. Det-

te er især gældende for produkter udstedt på denne dato, da strukturen for renteniveauet er atypisk,

Side 55 af 84

hvilket med høj sandsynlighed har grund i finanskrisen, der slog igennem på de indlandske renter i

denne periode. Havde løbetiden på dette produkt været nogle måneder kortere, ville der skulle tilba-

gediskonteres med en noget højere rente, dog har en ændring i løbetiden langt større indvirkning på

den tilbagediskonterede værdi, end en ændring i renten jf. formel (1.1). Det kan derfor også ses, at

det på denne dag ville have været mere gunstigt for investor at investere i produkter med en længere

løbetid, grundet højere renter. Dette medfører en lavere obligationsværdi, og derved et større beløb

til optioner. En kortere løbetid vil dog være urealistisk for sådanne produkter.

Figur 5.2.1. Rentestrukturkurve 0-74 mdr.

Kilde: Datastream og egen tilvirkning

Ved hjælp af samme formel som ved forrige produkt, formel (1.1), vil obligationsprisen blive be-

regnet. Formlen bruger antagelsen omkring kontinuert rentetilskrivning som baggrund for tilbage-

diskonteringen. Værdien beregnes som følger:

𝑃 = 𝐻 ∗ 𝑒−𝑟∗𝑡 = 100 ∗ e(−0,040751 ∗2,0833) = 91,86

Det vil sige der er ud fra en teoretisk værdiansættelse er blevet brugt DKK 91,86 på obligationsde-

len. Dette vil som udgangspunkt synes som en stor del af det samlede produkt, men der skal her

tages i betragtning, at produktet har en forholdsvis kort løbetid, der derfor ikke lader megen værdi

blive tilbage til optionselementet.

3,8

4

4,2

4,4

4,6

4,8

5

0 12 24 36 48 60 72

Rente, %

Udstedt 10.03.2008

Side 56 af 84

5.2.2. Prisfastsættelse af optionsdel

Det underliggende aktiv på produktets option udgøres som tidligere nævnt af samme indeks, Dow

Jones EURO STOXX 50, som ved det foregående produkt. Dog adskiller den sig fra det tidligere

produkt ved at der er inkorporeret en cap, og produktet har således begrænset upsidechance. Neden-

stående tabel 5.2.1., viser de faktorer der alle har indflydelse på den efterfølgende Monte Carlo Si-

mulation ud fra hvilken et estimat på optionsværdien simuleres.

Tabel 5.2.1. Parameterværdier for Danske Bank: Danske DJ EURO STOXX 50 Single 2010

Udstedelseskurs 105

Deltagelsesgrad 100 %

Omkostninger (p.a.) 0,90 %

Løbetid (T) 2,0833

Risikofri rente (rf)* 4,0751 %

Volatilitet (σ)* 22,699 %

Udbytterate (d)* 2,5108 %

Cap 142,50

Antal Simulationer (n) 20.000 Kilde: Datastream, informationsmateriale og egne beregninger

Anm: * er efter egne beregninger og findes i bilag 9-11

Der er i opgaven blevet udfærdiget en model til beregning af denne værdi, der ligger som bilag 6.

Som før nævnt, kan den risikofrie rente, volatilitet og udbytteraten ikke aflæses i informationsmate-

rialet, og er derfor udregnet ved hjælp af diverse estimationsmetoder. En kort gennemgang af dette

vil følge herunder.

Jf. tabel 5.2.1. kan det ses, at volatiliteten for denne periode er på 22,699 %. Denne er som nævnt

tidligere beregnet ved hjælp af historisk volatilitet. Volatiliteten på dette produkt er den mest mid-

delmådige af de volatiliteter der er på de tre respektive produkter i opgaven. Udbytteraten bliver

brugt til at nedjustere driftleddet i Monte Carlo simuleringsmodellen, da denne fratrækkes den risi-

kofrie rente ved simuleringen. For at gøre opgaven så konsistent og retvisende som muligt, er ud-

bytteraten blevet beregnet som gennemsnittet af de selv samme handelsdage som for volatiliteten.

Dow Jones EURO STOXX 50, der er det eneste aktiv i dette produkt, har således haft en gennem-

Side 57 af 84

snitlig udbytterate over den 180 dage lange periode på 2,5108 % af indeksets værdi. Denne værdi er

opnået over en periode hvor raten har fluktueret mellem 2,29 % og 3,01 %.

De to sidste faktorer er henholdsvis renten og løbetiden. Der vil her blive brugt den samme rente

som ved tilbagediskonteringen af obligationsdelen, på 4,0751 %. Dertil kommer løbetiden, der i

dette tilfælde skal forklares en smule nærmere. Der er indtil nu i udregningen af optionsprisen ble-

vet brugt hundrede tidsskridt, da dette har været tilstrækkeligt for de øvrige to produkter. I så fald

ville dette produkt have en løbetid på 2,0833, hvilket svarer til to år og én enkelt måned. Derfor

burde hvert tidsskridt være på 0,020833, men som konsekvens af meget tætliggende observations-

dage i den asiatiske hale, som værende fem på hinanden følgende dage, er tidsskridtene blevet æn-

dret til 0,00020833, hvilket svarer til 10 000 tidsskridt. 10.000 tidsskridt er anvendt fordi, da alle

disse observationer ellers ville have ligget under ét enkelt tidsskridt, i tilfælde af at kun hundrede

tidsskridt havde været anvendt, som ved de to andre produkter.

En sidste og forholdsvis afgørende faktor er den cap på 142,5 der er blevet lagt på indeksudviklin-

gen. Denne vil alt andet lige reducere prisen på optionen, da der er risiko for et lavere payoff der

tilbagediskonteres.

Tabel 5.2.2. Resultat af Monte Carlo Simulation

Optionsværdi

8,4935

Standardfejl

0,0516

Øvre 95 % KI 8,4941

Nedre 95 % KI 8,4928 Kilde: Egne beregninger

Af tekniske årsager blev der i modellen kun udført 20 000 simuleringer indeholdt antitetisk varians

reduktion. Alligevel har modellen formået at komme med et godt bud på en optionspris for det un-

derliggende indeks.

På baggrund af ovennævnte beregnede faktorer, samt den pålagte cap, blev der ved brug af den i

informationsmaterialet oplyste asiatiske sti, fundet en optionspris på DKK 8,4935. Dette betyder, at

der i opgaven er fundet en pris på at skygge det underliggende aktiv i præcis den periode der svarer

Side 58 af 84

til produktets løbetid, på DKK 8,4935. Placeringen af observationsdagene kan have haft en hæm-

mende effekt, da disse dage ligger lige efter hinanden, og en mulig ”lav periode” for indekset kan

her blive opfanget, og resultere i et lavere gennemsnitligt afkast.

Til optionsprisen hører der også en standardfejl, der i dette tilfælde er fundet til 0,0516 – hvilket

betyder at den gennemsnitlige fejl per simulering er helt nede på anden decimal. Dette må siges at

være et ganske fornuftigt resultat med hensyn til troværdighed og konsistens af modellen.

Med hensyn til validiteten af dette resultat bliver der opstillet konfidensintervaller, der ud fra mo-

dellen med 95 % sikkerhed kan fortælle i hvilket interval denne pris ligger. Dette gøres for at finde

ud af hvor meget denne kan fluktuerer, og konkludere på om dette kan have nogen indflydelse på

senere konklusioner.

Der er blevet lavet et 95 % KI der giver intervallet [8,4928;8,4941]. Dette viser selvfølgelig igen, at

estimatet er ganske fornuftigt, da forskellen ligger helt nede på tredje decimal. Denne meget lille

usikkerhed, vil derfor ikke have nogen form for indflydelse på de senere konklusioner, med hensyn

til den oprindelige problemstilling.

5.2.3. Teoretisk værdi

Inden den egentlige følsomhedsanalyse, vil der kort blive samlet op på de hidtil fundne resultater.

Der blev i afsnit 5.2.1. fundet en obligationspris på DKK 91,86, og i afsnit 5.2.2. en optionspris på

DKK 8,49.

Når arrangørerne finder værdierne af disse to elementer, sammensætter dem, markedsfører dem

osv., medfølger der selvfølgelig visse omkostninger. Disse bliver i informationsmaterialet opgivet

til at være en ÅOP på 0,9 %, eller 1,9 % sammenlagt over løbetiden. Dette vil resultere i en teore-

tisk pris på produktet på:

𝑇𝑒𝑜𝑟𝑒𝑡𝑖𝑠𝑘 𝑣æ𝑟𝑑𝑖 = 91,86 + 8,49 ∗ 1 + 0,019 = 102,26

Denne teoretiske værdi er hvad denne opgave har fundet, at det samlede produkt skulle koste. Reelt

havde Danske Bank sat emissionskursen til DKK 105, hvilket er 2,74 kurspoint mere, eller 2,68 %

højere.

Side 59 af 84

Der skal dog tages højde for et enkelt element med hensyn til denne forskel. Det provenu options-

udstederen skal have, er ikke medtaget, da disse data ikke har været tilgængelige. Da dette er tilfæl-

det kan det diskuteres hvor vidt hele denne forskel er gået til optionsudsteder, eller om noget er gået

til en såkaldt ”overkurs” for produktet, der i sidste ende ville gå til de bagvedliggende parter.

Da forskellen i den fundne teoretiske værdi og den egentlige emissionskurs er forholdsvis lav, kan

det ikke endegyldigt konkluderes om der har været en overpris til stede. Der kan dog argumenteres

for, at omkostningerne til optionsudsteder formentlig ikke er større end emissionsomkostninger på

1,9 %, og der derfor er taget en overpris. Dog skal det igen nævnes, at enkelte indflydelsesrige fak-

torer skal tages med forbehold, da det ganske givet ikke er sikkert, at arrangøren har brugt de sam-

me data som grundlag for den daværende optionsanalyse og prisfastsættelse. Ved sådanne faktorer

vil der altid være en hvis form for usikkerhed, og for objektivitetens skyld vil der senere i opgaven

blive lavet en følsomhedsanalyse på henholdsvis volatiliteten, udbytteraten og den risikofri rente.

Disse er de tre faktorer opgaveskrivere selv har frembragt på baggrund af specifikke data hentet fra

Datastream, og der vil som følge heraf blive lavet en analyse af hvordan en ændring i hver af disse

faktorer vil påvirke den fundne optionspris, og dermed hvordan disse kan have en mulig indflydelse

på den senere konklusion.

5.2.4. Følsomhedsanalyse

Volatiliteten vil i det følgende blive analyseret med henblik på dennes indvirkning på optionsprisen

og fairprisen, ved forskellige niveauer. I tabel 5.2.3. ses optionsprisen, den dertilhørende teoretiske

værdi, samt den eventuelle overpris der har været i forskellen mellem emissionskursen og den be-

regnede teoretiske værdi, som funktion af forskellige niveauer af volatilitet. Ud af de tre produkter i

opgaven, samt generelt, jf. afsnit 5.1.4., har dette produkt en volatilitet der er forholdsvis gennem-

snitlig. Der er derfor blevet valgt et interval for følsomhedsanalysen der har den fundne værdi på

22,699 % samt +/- 10 % i intervaller af 2,5 %, for se indvirkningen af meget større og meget lavere

volatiliteter på produktet.

Side 60 af 84

Tabel 5.2.3. Følsomhedsanalyse af volatilitetsændringer (+/- 2,5 % -point)

Volatilitet Optionsværdi Teoretisk værdi Overpris

12,699 % 5,7938 99,51 5,52 %

15,199 % 6,7105 100,44 4,54 %

17,699 % 7,4583 101,21 3,75 %

20,199 % 8,0108 101,77 3,18 %

22,699 % 8,4935 102,26 2,68 %

25,199 % 8,7865 102,56 2,38 %

27,699 % 9,1471 102,93 2,01 %

30,199 % 9,3021 103,08 1,86 %

32,699 % 9,5177 103,30 1,64 % Kilde: Datastream og egne beregninger

Ud fra tabel 5.2.3. vil en meget lavere volatilitet være med til at sænke prisen på optionen drastisk.

Da markedskursen på det underliggende indeks fluktuerer mindre vil chancen for pludselige meget

store udsving tilsvarende være mindre, og dette ville gøre det billigere at skygge indekset. Man skal

i alt sin enkelthed, ikke give så meget for at kunne udnytte den alt andet lige begrænsede upside-

chance man har ved denne call option. Hvis produktet havde en lavere volatilitet ville den teoretiske

værdi også blive lavere, og man ville mere og mere kunne argumenterer for en overpris. Det mod-

satte ville selvfølgelig være tilfældet, da et indeks med en mulighed for større upside selvfølgelig vil

være dyrere at skygge.

Udbytte er også negativt korreleret med optionsprisen, og har procent for procent også større ind-

flydelse end volatiliteten. Der skal derfor ikke udbetales meget mere eller mindre udbytte fra de

underliggende virksomheder før det rykker kraftigt den ene eller anden vej ved optionsprisen. En to

procents ændring i udbytteraten vil således ændre optionsprisen med ca. 1,3 procentpoint, jf. tabel

5.2.4., hvorimod en to og en halv procents ændring i volatiliteten ”kun” vil ændre prisen mellem ca.

0,3 og 0,5 procentpoint.

Side 61 af 84

Tabel 5.2.4. Følsomhedsanalyse af udbytterateændringer (+/- 0,5 % -point)

Udbytterate Optionsværdi Teoretisk værdi Overpris

0,5108 % 9,7817 103,57 1,38 %

1,0108 % 9,4542 103,24 1,71 %

1,5108 % 9,0667 102,84 2,10 %

2,0108 % 8,8562 102,63 2,31 %

2,5108 % 8,4935 102,26 2,68 %

3,0108 % 8,1218 101,88 3,06 %

3,5108 % 7,8117 101,57 3,38 %

4,0108 % 7,4831 101,23 3,72 %

4,5108 % 7,2299 100,97 3,99 % Kilde: Datastream og egne beregninger

Hvis der i modellen ikke var blevet brugt gennemsnittet over de 180 handelsdage, men blot udbytte-

raten på dagen for udstedelsen på 3,01, jf. bilag 10, ville produktet være udstedt til en overpris på

3,06 %. Dette viser også nyttigheden af den i modellen brugte udbytterate der er regnet som gen-

nemsnittet, da denne rate igennem de 180 dage har ligget imellem 2,29 og 3,01, hvilket er et spænd

der kan påvirke optionsprisen kraftigt. Hvis udbyttepolitikken i de respektive underliggende virk-

somheder i indekset, blev ændret så deres investorer ville få større del i et eventuelt overskud, ville

dette også tilgodese optionsinvestorer, da disse ville få en billigere mulighed for at følge og udnytte

en eventuel upsidechance.

Tabel 5.2.5. Følsomhedsanalyse af renteændringer (+/- 0,5 % -point)

Rente Optionsværdi Ny obl-pris Teoretisk værdi Overpris

2,0751 % 7,4578 95,77 105,19 -0,18 %

2,5751 % 7,7452 94,78 104,47 0,51 %

3,0751 % 8,0406 93,79 103,77 1,19 %

3,5751 % 8,3015 92,82 103,05 1,90 %

4,0751 % 8,4935 91,86 102,26 2,68 %

4,5751 % 8,7020 90,91 101,50 3,44 %

5,0751 % 8,9258 89,97 100,77 4,20 %

5,5751 % 9,2538 89,03 100,16 4,84 %

6,0751 % 9,3623 88,11 99,33 5,71 % Kilde: Datastream og egne beregninger

Side 62 af 84

Den sidste faktor er som før nævnt den risikofri rente. Denne har en smule mere kompleks effekt på

det samlede produkt, hvilket ses afbilledet i tabel 5.2.5.. Twisten ligger i den måde en renteændring

også påvirker obligationsdelen. Da det er den samme rente der bliver brugt i både options- såvel

som obligationselementet, skal der også laves et nyt estimat af obligationsprisen. Denne skal helt

enkelt tilbagediskonteres med den ændrede rente.

Renten har en meget større effekt på obligationen end på optionen, og dette resulterer i den twist,

der viser en større teoretisk værdi hvis renten falder og vise versa. Det kan i forlængelse af dette ses

i tabel 5.2.5., at renten klart er den faktor der påvirker, om end ikke optionsprisen alene, men hele

produktet mest. En ændring på 0,7 til 0,8 procentpoint pr halve procentændring i renten, hvilket er

meget i forhold til volatiliteten og udbytteraten. En to procent stigning i renten ville således resulte-

re i en overpris på 5,71 %, der er mere en dobbelt så meget som ved det aktuelle renteniveau.

5.3. Nordea: Aktiekurv 2012

Det sidste strukturerede produkt der vil blive analyseret i opgaven er fra Nordea. Nordea er den

største udbyder af disse produkter, og var bl.a. med i det opløb af banker der i starten af det nye

årtusinde trådte ind på markedet for disse produkter, og øgede konkurrencen for de allerede eksiste-

rende arrangører, såsom Garanti Invest. Inden en nærmere præsentation, skal det nævnes, at nogle

af de faktorer der også bliver brugt senere i opgaven er indikative. Størrelserne af disse kommer fra

informationsmaterialet og er sat ud fra den dato prospektet blev udfærdiget, og ikke efter det reelle

markedsmæssige omstændigheder kort tid efter, ved den egentlige udstedelse. Dette kan evt. have

en negativ effekt på senere beregninger, men det vil som udgangspunkt ikke have nogen nævne-

værdig indflydelse på de endelig konklusioner. Det valgte produkt er:

Aktiekurv 2012

Fondskode DK0030119334

Der er valgt et produkt der løber over tre og et halvt år, fra den 12. december 2008 til den 12. juni

2012 (bilag 4, s. 5), og blev solgt til en emissionskurs på 103. Obligationen er et stående lån, hvilket

vil sige, at der ikke bliver udbetalt kuponudbetalinger igennem løbetiden. KommuneKredit har stået

Side 63 af 84

for udstedelsen, og er dermed hæfter for den garanterede indfrielseskurs på 100. Disse har som før i

opgaven nævnt, fået ratings på Aaa og AAA, fra de største ratingbureauer. Dertil kommer en ÅOP

på 0,70 % eller som samlede omkostninger på 2,43 % over alle løbetidens tre og et halvt år (bilag 4,

s. 23).

Med hensyn til det underliggende indeks, er der her tale om en basket option, der består af tre in-

deks, det være sig Dow Jones Euro STOXX 50, Standard & Poor’s 500 Index samt Nikkei 225 In-

dex. Denne basket af indeks, er samtidig den mest omfattende af de tre i opgaven hvad angår risiko-

spredning. Disse tre rækker lige fra DJ Euro STOXX 50 der er 50 af de største børsnoterede virk-

somheder i Europa, til S&P’s 500 der er 500 af de største børsnoterede virksomheder i USA og til

Nikkei 225 der igen er de 225 største i Japan. Da det antages af alle disse virksomheder dækker

over en lang række af forskellige brancher og verdensdele, og en høj korrelationen derfor ikke må

antages forekommende. Produktet har en deltagelsesgrad der indikativ blev sat til 97 %, med en

yderligere cap på 150 % der giver en maksimal indfrielseskurs på 148,5.

Der bliver ved afkastberegningerne brugt en asiatisk hale, jævnfør det i informationsmaterialet præ-

senterede gennemsnittet af lukkekurser på syv forskellige dage, der strækker sig fra den 28. novem-

ber 2011 til og med den 28. maj 2012, med observationsintervaller på en måned (bilag 4, s. 10).

5.3.1. Prisfastsættelse af obligationsdel

Til værdiansættelse af obligationen skal der fastsættes den risikofrie rente, og for Aktiekurv 2012

skal der findes en risikofri rente for en løbetid på 3,5 år. Strukturudviklingen på udstedelsestids-

punktet er atypisk, set i forhold til det billede der teoretisk burde være ”normalen” for sammenhæn-

gen mellem løbetid og rente. Normalt ville der ved lange løbetider være en højere rente ligesom det

kendes ved boligfinansiering, hvor renten på lån med lange løbetider som udgangspunkt ligger over

de kortere renter. Samtidig er kurven også helt anderledes i forhold til det første analyserede pro-

dukt ”Europæiske aktier 2007-2012”, fra Garanti Invest. Som det ses af figur 5.1., er det dog på

løbetider mellem 0 og 24 måneder hvor der er stort udsving, mens der efter 24 måneder er en mere

jævn kurve med en svagt stigende tendens. Den risikofri rente til brug for analysen af Aktiekurv

2012 skal aflæses ved en løbetid på 42 måneder. Ved denne løbetid er renten 3,9532 %, og det er

Side 64 af 84

den rente der bruges for den videre analyse. Senere laves der følsomhedsberegninger på renteni-

veauet, da der jo som det er vist i den indledende parameterestimering er forskellige vurderinger af

hvad der skal bruges som risikofri rente.

Figur 5.3.1. Rentestrukturkurve 0-74 mdr.

Kilde: Datastream og egen tilvirkning

Når renten er fastlagt er det næste der skal bruges for værdiansættelsen, hvilken indfrielseskurs ob-

ligationen har. Aktiekurv 2012 har en indfrielseskurs på 100, og derfor er investor, med mindre ud-

steder går konkurs, sikker på at få kursværdien til udløb.

Den endelige værdi af obligationen bliver således:

𝑃 = 𝐻 ∗ 𝑒−𝑟∗𝑡 = 100 ∗ e(−0,039532∗3,5) = 87,08

Med den overfor stående rente og en indfrielseskurs bliver værdien af nulkuponobligationen DKK

87,08. Indfrielseskursen er fastlagt til DKK 100, og løbetiden er 3,5 år. Disse to størrelser er indi-

skutable, og derfor er renten den eneste faktor som kan variere i forhold til den værdiansættelse som

Nordea selv har foretaget. Det vil ses i følsomhedsanalysen hvordan renteniveauet har indflydelse

på den endelige pris.

3,8

4

4,2

4,4

4,6

4,8

5

5,2

5,4

5,6

0 12 24 36 48 60 72

Rente, %

Udstedt 12.12.2008

Side 65 af 84

5.3.2. Prisfastsættelse af optionsdel

Selvom det som før nævnt er nulkuponobligationen der udgør den største andel af produktet, er det

alligevel optionsdelen der kræver det største arbejde hvad angår værdiansættelsen. Dette faktum gør

sig i høj grad gældende for Aktiekurv 2012, da det er det udvalgte produkt i opgaven som har det

højeste kompleksitetsniveau, som følge at det inkorporerede basketelement. I tabel 5.3.1. ses hvilke

inputparametre der er brugt for den videre analyse af Aktiekurv 2012’s optionsdel.

Tabel 5.3.1. Parameterværdier for Nordea: Aktiekurv 2012

Udstedelseskurs 103

Deltagelsesgrad 97 %

Omkostninger (p.a.) 0,70 %

Løbetid (T) 3,5

Risikofri rente (rf)* 3,9532 %

Volatilitet (σ)* 45,215 %

Udbytterate (d)* 2,6472 %

Cap 148,50

Antal Simulationer (n) 20.000 Kilde: Egen tilvirkning

Anm: * er efter egne beregninger og findes i bilag 9-15

Inputparametrene er en kombination af værdier taget direkte fra informationsmaterialet, og værdier

der er lavet ud fra egne beregninger og estimeringer. De øverste fire parametre, udstedelseskurs,

deltagelsesgrad, omkostninger og løbetiden er alle parametre taget direkte fra informationsmateria-

let, og som udgangspunkt må de antages at være rigtige. Analysen vil så vise om der efter nærmere

analyse, vil kunne sås tvivl om eksempelvis omkostningsniveauet. Indtil videre bliver de mere eller

mindre ukritisk antaget at være korrekte, og vil først senere blive kommenteret nærmere. Den risi-

kofri rente på 3,95 % fra værdiansættelsen af obligationen, er den samme der bliver brugt her for at

skabe konsistens. Ved værdiansættelsen af optionsdelen for Aktiekurv 2012 skal man dog være

opmærksom på den i informationsmaterialet anførte cap. Der er en maksimal indfrielseskurs på

DKK 148,50 som gør, at der ikke er tale om et ubegrænset afkast, som følge af større stigninger i de

underliggende aktiver. I modellen er der inkorporeret et max på DKK 148,50 hvilket betyder, at

payoff maksimalt bliver DKK 45,50 for de enkelte simulationer, som følge af emissionskursen på

DKK 103. Der skal ikke ledes længe for, at finde simulationer i modellen, hvor den maksimale ind-

Side 66 af 84

frielseskurs har reduceret afkastet til DKK 45,50. Capen er som følge af den reducerende effekt på

afkast med til at gøre optionen billigere. Logisk følges afkastpotentialet og prisen ad, og den pålagte

Cap er derfor noget investor skal være opmærksom på.

Modsat den maksimale indfrielseskurs som har en reducerende effekt på optionsværdien, er der pga.

udstedelsesdatoen d. 12.12.2008, en højere volatilitet for de underliggende indeks end der er set i

analysen på de to foregående produkter, hvilket medfører en højere optionsværdi. Finanskrisen har

haft en stor indflydelse på den periode, og dermed volatiliteten som giver en mulighed for højere

afkast. Da optionen i aktiekurv 2012 er en basket option med asiatisk hale, er volatiliteten beregnet

som et gennemsnit af volatiliteten for hver af de tre indeks og vægter derfor hver 1/3 af den samlede

værdi, hvilket fremgår af informationsmaterialet4. Det samme er gældende for den udbytterate der

er brugt for analysen, som også er et gennemsnit hvor de alle tre vægter lige meget. Niveauet for

volatiliteten kræver en særlig opmærksomhed da det har en stor indflydelse på værdien. Grunden til,

at volatiliteten ikke er altafgørende for den endelige pris på netop dette produkt, er den maksimale

indfrielseskurs som er pålagt optionen, og derfor har en modsatrettet effekt i forhold til den høje

volatilitet. Det er fra arrangørs side et bevidst valg at have en cap på optionen, da den ellers vil blive

for dyr, og resultere i en lav deltagelsesgrad. En sideeffekt der er af den høje volatilitet for de tre

underliggende indeks, er udførslen af Monte Carlo simulationen. Der er i analysen af alle de tre

udvalgte produkter brugt 20.000 simulationer, men desto større volatilitet, desto flere simulationer

kræves for at få en optionsværdi uden udsving. Til analysen af Aktiekurv 2012 vil det have været

ønskværdigt med flere simulationer, men pga. den tilgængelige computerkraft og afgrænsning er det

ikke muligt. Samtidig vil det ikke have indflydelse på de endelige konklusioner.

Tabel 5.3.2. Resultat af Monte Carlo Simulation

Optionsværdi 10,5872

Standardfejl

0,0717

Øvre 95 % KI 10,5880

Nedre 95 % KI 10,5863 Kilde: Egne beregninger

4 De præcise beregninger findes i bilag 17

Side 67 af 84

I tabel 5.3.2. fremgår alle resultater fra simuleringen med de tidligere omtalte parametre som input.

Den vigtigste værdi er optionsværdien eller den teoretiske værdi som optionen har. Når middelvær-

dien tilbagediskonteres fås der en optionspris på DKK 10,59. som er den teoretiske værdi som inve-

stor skal betale for optionen. Det er den værdi der kan konkluderes og laves videre analyser ud fra.

For den tilbagediskonterede optionsværdi er der lavet 95 % konfidensinterval. Både de øvre og ned-

re værdier for intervallet er næsten de samme værdier med 4 betydende cifre. Det tyder altså på en

stor præcision når der simuleres. Der er dog ikke tale om konfidensintervaller der er repræsentative

for alle udfald der er mulige ved en evt. ny simulation. Der vil stadig være tale om samme præcision

mellem optionsværdi og konfidensintervallerne ved en ny simulation, men som tidligere nævnt kan

optionsværdien variere som følge af den høje volatilitet. Disse udsving er inden for små intervaller,

og selvom man kunne ønske sig en model med endnu mere præcision, er denne model tilstrækkelig

til en sikker fastsættelse af optionsværdien. Præcisionen på optionsværdien af Aktiekurv 2012 er

ikke helt som man kunne ønske, men har alligevel minimal betydning sammenlignet med de input-

parametre der er brugt til analysen. Det er derfor en god ide at se om, og i givet fald hvordan, den

endelige værdi og konklusion ændrer sig i kraft af ændringer i de afgørende parametre. Der bliver

derfor lavet en følsomhedsanalyse ligesom det er set for de andre produkter.

5.3.3. Teoretisk værdi

Nu når både obligations- og optionsdel er blevet værdiansat, kan der opsummeres hvad den samlede

værdi er, og hvad der kan vurderes og konkluderes derud fra. Der er som tidligere nævnt en obliga-

tionsværdi på DKK 87,08. Optionsværdien blev simuleret til en værdi på DKK 10,59. Det giver

altså i alt DKK 97,67. Udover de enkelte dele skal der selvfølgelig tillægges omkostninger til teg-

ning, markedsføring osv. som i informationsmaterialet er anført til 2,43 % eller 0,70 % p.a.

Teoretisk værdi = (87,08 + 10,59) * (1 + 2,43 %) = 100,04

Det vil sige, at den teoretiske værdi af Aktiekurv 2012 inklusiv omkostninger bliver DKK 100,04.

Det er ca. 3 kurspoint lavere end den emissionskurs som den ifølge informationsmaterialet har væ-

ret solgt til. Der er altså tale om en overpris på næsten DKK 3, hvilket svarer til en overpris på

2,96 %, som ikke kan findes en forklaring på i informationsmaterialet. Hele problematikken om-

Side 68 af 84

kring omkostninger til optionsudsteder er også gældende her, og det kan således ikke med sikkerhed

siges hvad en evt. overpris er gået til. Hvis værdiansættelsen er sket teoretisk korrekt, og den teore-

tisk rigtige værdi derfor er DKK 100,04 bliver investor ikke informeret om alle omkostninger. Der

skal dog ikke drages nogle forhastede konklusioner, uden kritisk at forholde sig til det resultat der er

kommet frem og parametrene sommer danner grundlag.

I kraft af analysen må resultatet blive, at der bliver taget en overpris på ca. 3 %, som for investor

udgøres af nogle skjulte omkostninger. Der er i informationsmaterialet afsat samlede omkostninger

på 2,43 %, og et provenu til optionsudsteder må ikke formodes at overstige denne værdi. I kraft af,

at vi ikke kender størrelsen af provenuet til optionsudsteder, kan vi ikke estimere den præcise over-

pris, men vi må dog antage at dette fee ikke overstiger 2,43 % af emissionskursen, og som følge

heraf må det konkluderes, at der tages en overpris.

5.3.4. Følsomhedsanalyse

Også for dette produkt bliver der lavet en følsomhedsanalyse for renten, volatiliteten og udbyttera-

ten, da disse er estimater på den sande værdi. Det første der bliver lavet følsomhed overfor, er ren-

teniveauet. Renteniveauet har som før nævnt både betydning for obligationsdelen og optionsdelen

når der tilbagediskonteres.

Tabel 5.3.3. Følsomhedsanalyse af renteændringer (+/- 0,5 % -point)

Rente Optionsværdi Ny obl-pris Teoretisk værdi Overpris

1,9532 % 10,2981 93,39 106,21 -3,02 %

2,4532 % 10,3636 91,77 104,62 -1,55 %

2,9532 % 10,4892 90,18 103,12 -0,11 %

3,4532 % 10,5359 88,62 101,56 1,42 %

3,9532 % 10,5872 87,08 100,04 2,96 %

4,4532 % 10,6495 85,57 98,56 4,51 %

4,9532 % 10,7178 84,08 97,10 6,07 %

5,4532 % 10,8691 82,62 95,77 7,55 %

5,9532 % 10,9467 81,19 94,38 9,14 %

Kilde: Datastream og egne beregninger

Side 69 af 84

Som det ses af tabel 5.3.3 er der i forhold til optionen og obligationen tale om modsatrettede effek-

ter. Ved faldende rente bliver optionsværdien mindre mens obligationsværdien bliver større. Det er

dog obligationsdelen der vejer tungest samlet set, og derfor vil den samlede værdi af produktet være

stigende ved en faldende rente og omvendt. Det mest interessante er, at se ved hvilket renteniveau

vi rammer den emissionskurs som Nordea har fastsat. For at ramme den udbudte pris skal der være

et renteniveau ca. 1 % lavere end udgangspunktet. Dette gør sig selvfølgelig kun gældende når de

andre faktorer: volatilitet og dividende er fastholdt på deres oprindelige niveauer.

Som før omtalt er volatiliteten for de underliggende indeks ved Aktiekurv 2012 høj, set i forhold til

de tidligere analyserede produkter, og hvad den historisk set har været. Volatiliteten ændrer dog

”kun” på optionsværdien og derfor vil effekten på den samlede teoretiske værdi ikke være så stor

ved ændringer som det var gældende for renten.

Tabel 5.3.4. Følsomhedsanalyse af volatilitetsændringer (+/- 2,5 % -point)

Volatilitet Optionsværdi Teoretisk værdi Overpris

27,715 % 10,5872 100,04 2,96 %

30,215 % 10,5872 100,04 2,96 %

32,715 % 10,5872 100,04 2,96 %

35,215 % 10,5872 100,04 2,96 %

37,715 % 10,5872 100,04 2,96 %

40,215 % 10,5872 100,04 2,96 %

42,715 % 10,5872 100,04 2,96 %

45,215 % 10,5872 100,04 2,96 %

47,715 % 10,5872 100,04 2,96 %

Kilde: Datastream og egne beregninger

Som det ses af tabel 5.3.4. har volatiliteten, inden for de angivne intervaller, ingen betydning for

optionsprisen. Det kan synes, at være meget underligt, men der kan argumenteres for, at options-

værdien i forhold til den først angivne volatilitet på 45,215 % er for lav, og bliver ”kunstigt” holdt

nede af den cap der er lagt på optionen. Der vil normalt forventes en lavere optionspris når volatili-

teten falder, men følsomhedsanalysen viser det modsatte. At der er pålagt en cap underbygger kon-

klusionen omkring den høje volatilitet, da det har været en nødvendighed for at bibeholde en relativt

Side 70 af 84

høj deltagelsesgrad. Uden en cap, ville optionsprisen være meget høj og deltagelsesgraden flere

gange lavere. Vores konklusioner må derfor siges at være meget sikre, når vi sætter dem i relation

til den volatilitet som er estimeret, da ændringer i den ingen betydning har. Derimod har værdien af

den pålagte maksimale indfrielseskurs en stor betydning for optionsprisen. Sidste parameter der

bliver lavet følsomhedsanalyse for er udbytteraten.

Tabel 5.3.5. Følsomhedsanalyse af udbytterateændringer (+/- 0,5 % -point)

Udbytterate Optionsværdi Teoretisk værdi Overpris

0,6472 % 11,6535 101,13 1,85 %

1,1472 % 11,3636 100,84 2,15 %

1,6472 % 11,0043 100,47 2,52 %

2,1472 % 10,9173 100,38 2,61 %

2,6472 % 10,5872 100,04 2,96 %

3,1472 % 10,2528 99,70 3,31 %

3,6472 % 10,0102 99,45 3,57 %

4,1472 % 9,7803 99,21 3,82 %

4,6472 % 9,6339 99,06 3,97 %

Kilde: Datastream og egne beregninger

Udbytteraten har betydning for optionsprisen, men som det ses af tabel 5.3.5. skal der relativt store

udsving til før der sker markante ændringer i den teoretiske værdi. Uanset om udbytteraten reduce-

res til 0,6472 % vil der stadig være tale om, at emissionskursen som Nordea sælger Aktiekurv 2012

til er højere end den teoretisk beregnede værdi. Opgaveskrivere er generelt relativt sikre gennem

følsomhedsanalysen på, at uanset om nogle af parametrene skulle have været estimeret en smule

forkert i den ene eller anden retning, vil det ikke have nogen nævneværdig indflydelse på den hidti-

dige konklusion.

5.4. Delkonklusion

Afsnittet er indledt med en gennemgang af det første produkt, Europæiske Aktier 2007-2012, som

er fra Garanti Invest. Produktets obligationselement er værdiansat til DKK 78,17, som følge af en

løbetid på 5 år og en tilbagediskonteringsrente på 4,9247 %, som er baseret på den 5 årige rente på

Side 71 af 84

statsobligationer korrigeret for kuponrenter. Til værdiansættelse af optionselementet er Monte Carlo

Simulation anvendt, ud fra hvilken en optionsværdi på DKK 12,13 er simuleret. På baggrund af

estimaterne på obligations- og optionselementet, samt omkostninger over produktets levetid på 7 %,

er en teoretisk rigtig værdi af Europæiske Aktier 2007-2012 estimeret til DKK 96,62, og sammen-

holdes denne med emissionskursen på DKK 103,3, tages der en overpris på 6,91 % i forbindelse

med salg af produktet. I den teoretiske værdi er der dog ikke inkluderet omkostninger til optionsud-

steder, men til trods for dette må det stadig antages, at Garanti Invest tager en overpris for produk-

tet, da det er højest usandsynligt at omkostninger til optionsudsteder udgør alle 6,91 % af produktets

pris. Følsomhedsanalysen af produktet viser, at optionsværdien er meget følsom overfor ændringer i

både volatiliteten og udbytteraten og, at værdien af både obligation og option er følsom overfor æn-

dringer i den risikofrie rente. Så såfremt der er fejl af betydning på bare en af parametrene medfører

det en forkert teoretisk værdi.

Efterfølgende er produktet, Danske Dow Jones EURO STOXX 50 Single 2010, fra Danske Bank

blevet gennemgået, og ud fra samme metoder som ved det foregående produkt, er en teoretisk værdi

af denne er estimeret til DKK 102,26. Danske Bank har udstedt produktet til DKK 105, hvilket gi-

ver en overpris på 2,68 %. Denne overpris er betydeligt lavere end hvad var gældende for produktet

fra Garanti Invest, og tages der højde for de omkostninger der er forbundet med betaling af provenu

til optionsudsteder, er det svært at sige om Danske Bank har taget overpris for produktet. Det anta-

ges dog, at omkostninger til optionsudsteder ikke overstiger emissionsomkostningerne, hvorfor det

kan konkluderes, at der tages en mindre overpris for produktet. Følsomhedsanalysen kommer frem

til samme resultater som ved det foregående produkt, og den teoretiske værdi af produktet er således

meget følsomt overfor eventuelle fejlestimater på de førnævnte parametre.

Det sidste afsnit omhandler produktet, Aktiekurv 2012, fra Nordea. På baggrund af en obligations-

værdi på DKK 87,08, en optionsværdi på DKK 10,59 og emissionsomkostninger svarende til

2,43 % over produktets levetid, er en teoretisk værdi af produktet udregnet til DKK 100,04. Produk-

tet er udstedt til DKK 103 og overprisen er således på 2,96 %. Hvor stor en del der reelt er overpris

kan ikke siges, men det antages ligeledes ved dette produkt, at omkostninger til optionsudsteder

ikke overstiger emissionsomkostningerne på 2,43 %, og at der således tages en overpris af ukendt

størrelse for produktet. Igen viser følsomhedsanalysen en teoretisk værdi, der er følsom overfor

fejlestimater på parametrene.

Side 72 af 84

6. Tidligere undersøgelser

Da det er meget omfangsrigt at lave en analyse som kan generaliseres til alle typer af strukturerede

obligationer, vil en sammenligning med tidligere undersøgelser på området som følge heraf være en

nødvendighed. På den måde kan de fremkomne resultater fra denne analyse valideres, i kraft af de

resultater der er opnået i lignende analyser. Inden for området ”strukturerede produkter” er der na-

turligvis lavet flest analyser på de markeder, hvor produkterne er mest udbredte. Selvom produkter-

ne har haft stor udbredelse de senere år i Danmark, er udbredelsen kommet senere end i eksempel-

vis USA og andre lande. Derfor er mængden af videnskabelige undersøgelser på det danske marked

stadig relativt begrænset, og på den baggrund bruges der også en undersøgelse omkring et uden-

landsk marked. Der ses, først på en undersøgelse af det tyske marked, og derefter på tre danske un-

dersøgelser.

Stoimenov & Wilkens har i 2005 publiceret en undersøgelse, der undersøger om strukturerede pro-

dukter på det tyske marked er prisfastsat ”fair” (www.sciencedirect.com). Der er her både lavet en

analyse af det primære og det sekundære marked, og der er foretaget sammenligninger mellem disse

for at underbygge konklusioner om det primære marked. Den generelle konklusion af undersøgel-

sen er, at i det primære marked er alle typer af produkter gennemsnitlig prissat over deres teoretiske

værdi. Samtidig kan de konkludere, at jo tættere man kommer på indfrielsesdagen desto mere er

overprisen reduceret i det sekundære marked. Det mener Stoimenov og Wilkens bekræfter deres

hypotese om, at overprisen alt sammen er forbundet med udstedelsen. Konklusionen er gældende

uanset om der er tale om de mest simple produkter på markedet med Plain Vanilla optioner, eller

om der er tale om produkter sammensat med de mest eksotiske derivater. Det er dog ikke den sam-

me overpris der bliver taget for de forskellige typer af produkter viser undersøgelsen. Desto mere

komplekst produktet er, desto mere unfair er prissætningen i forhold til investor. Dette kan have en

naturlig sammenhæng med optionsudsteder, som ønsker et højere honorar jo mere komplekst pro-

duktet er. Den samlede konklusion af det tyske marked for strukturerede produkter bliver altså, at

prissætningen er ”unfair” for investor.

Svend Jakobsen har i 2000 lavet en undersøgelse af nogle udvalgte strukturerede produkter på det

danske marked. Han når frem til, at der er den fordel for en privat investor, at produkterne giver

mulighed for at investere i optioner med lang løbetid. Jakobsens konklusion er, at private investorer

Side 73 af 84

ikke ønsker at investere i standard-optioner, da tidshorisonten er for kort, og derfor er de strukture-

rede produkter et nyttigt instrument. Der er dog stadig nogle faldgrupper ved produkterne som inve-

stor skal være opmærksom på. For det første er det meget svært for investor at kunne vurdere vær-

dien af optionen, og i de fleste tilfælde ville det være umuligt, hvis der ikke er indgående kendskab

til optionstyper og hvordan de prisfastsættes. Jakobsen mener, at der i informationsmaterialerne

kunne være en bedre information til investor omkring betydning af eventuelle asiatiske haler, og

manglende dividendeudbetalinger i forhold til direkte investering i det underliggende. Jakobsen er i

publiceringen positiv stillet overfor de strukturerede produkter, men der er nogle kriterier der skal

være opfyldt før det er et godt investeringsinstrument. Eksempelvis mener han ikke det er noget

problem med de eksotiske optionstyper, så længe prisen er fair. Noget tyder dog på, at fairprisen

ikke helt er tilfældet, og i mindre grad netop ved det eksotiske produkter. Alt dette vil stille krav til

rådgivningen omkring produkterne, og om rådgivningen så har været tilstrækkelig indtil videre kan

være svært at svare på.

Lars Knøsgaard Jensen har i 2003 publiceret en artikel omkring hvorvidt aktieindekserede obligati-

oner er oplagt som investeringsobjekt (Finans/Invest 6/03, s. 18-23). Han mener investor er stillet

dårligt, og at det hører til sjældenheder at en kunde køber en generel handelsvare af en sælger uden

at have mulighed for at vurdere dets værdi. Som Lars Jensen skriver, viser analysen af aktieindekse-

rede obligationer en tendens til, at udsteder tager sig godt betalt for at tilbyde dette finansielle pro-

dukt. Investor burde ud fra en fair værdiansættelse modtage en langt større andel i den gennemsnit-

lige stigning i de underliggende aktiver. Lars Jensen mener således, at der i produkterne er en for

lav deltagelsesgrad, og således en overpris forbundet med produktet. Samtidig kan investor kun

investere i blinde, da værdiansættelse heraf er alt for kompliceret for en privat investor.

Det nyeste skud på stammen inden for undersøgelser af det danske marked for strukturerede pro-

dukter, er en analyse fra forskningsgruppen i finansiering ved ASB, med Peter Løchte Jørgensen i

spidsen (Finans/Invest 4/09, s. 5-12). Der er tale om en stort set komplet analyse af alle strukturere-

de produkter på det danske marked i perioden 1998-2008. Analysen er dog ikke helt færdiggjort, og

derfor kommer der senere publiceringer omkring analyse af omkostninger og afkast. Den nuværen-

de tilgængelige analyse fra Finans/Invest giver dog en god indikation af det resultat der forventes af

analysen. Da der er tale om en fuld analyse af det danske marked er alle interessante dele medtaget,

Side 74 af 84

men specielt omkostningsdelen har relevans for sammenligning med denne opgave. Der gives en

kritik af begrebet ÅOP, som efter forskningsgruppens mening ikke giver et retvisende billede af

omkostningerne. Omkostningerne er stort set alle forekomne på udstedelsestidspunktet, da der er

tale om et passivt investeringsobjekt. Ved at angive omkostningerne i ÅOP spredes omkostningerne

ud over løbetiden, og derfor kan en forlængelse af løbetiden give et billede af færre omkostninger.

Dette gør, at det ikke er muligt for investor at gennemskue de reelle omkostninger. Samtidig inde-

holder den angivende ÅOP kun omkostninger til administration, og det tal der er angivet i informa-

tionsmaterialet er derfor blot de mindst mulige omkostninger investor betaler. Der mangler angivel-

se af provenu til optionsudsteder, og dette vil selvfølgelig variere afhængig af optionstype og licita-

tionsprocessen. Licitationsprocessens effektivitet afhænger af arrangørs forhandlingsevne, vilje og

incitamentet. Der er tendens til, at mere eksotiske optionstyper kræver et større honorar til options-

udsteder. I analysen af de tre produkter i opgaven, er der konkluderet, at emissionskursen var hen-

holdsvis 2,96 %, 2,68 % og 6,91 % over den teoretiske fundne værdi. Forskellen mellem teoretisk

værdi og den udbudte emissionskurs er derfor ikke helt så markant som det er set ved tidligere ana-

lyser. Der er dog stadig intet grundlag for, på denne baggrund at konkludere, at opgavens overpriser

er fejlagtigt mindre sammenlignet med hvad de tidligere undersøgelser har vist.

Opgavens forskel mellem teoretisk værdi og emissionskurs stemmer fint overens med resultaterne i

Stoimenow & Wilkens, Lars Knøsgaard samt forskningsgruppen fra ASB’s undersøgelser. De ud-

valgte Produkters investeringstema er noget af det mindre eksotiske, da der på trods af de asiatiske

haler og basket element, er tale om produkter hvor det underliggende er nogle af de tre mest kendte

indeks i verden. I forlængelse af disse to undersøgelser kan det konkluderes, at overpriserne fundet i

opgaven heller ikke skal være videre store, som følge at deres mindre eksotiske karakter. Samtidig

med, at niveauet af overpriser er forskellige i forhold til hvilken optionstype der er tale om, viser

tidligere undersøgelser, at der også er forskel på den overpris som de forskellige arrangøre tager. En

sådan konklusion kan dog ikke laves ud fra analysen i denne opgave, da der kun er analyseret et

produkt fra hver af det tre største udstedere, men blot konstatere, at der ved de tre analyserede pro-

dukter er en forskel i de fastsatte overpriser.

Side 75 af 84

7. Konklusion

Strukturerede produkter har igennem tiden haft en tendens til at blive mere komplekse i deres struk-

tur. Produkterne der optræder på meget turbulent marked, hvor der hele tiden sker nye tiltag i form

af nye, spændende og lokkende optioner med et tilknyttet tema eller historie, der gør det spændende

for investor at involverer sig i. Disse produkter har haft en kæmpe succes på det danske marked,

siden de i slutningen af halvfemserne blev introduceret i Danmark af Garanti Invest. Danske privat-

investorer har taget imod denne type produkter med åbne arme, og omsætningen er igennem de sid-

ste ti år steget med raketfart.

En aggressiv markedsføring af strukturerede produkter samt mangel på objektiv rådgivning har ført

til voldsom kritik. Nogle professorer og investeringsanalytikere mener sågar, at det er falsk reklame

at kalde investeringen for en garanti, da sikkerheden afhænger af udsteders likviditet og dermed

udstederrating. Meget af kritikken er gået på de skjulte omkostninger, som professorer og lignende

mener, der er ved disse produkter i form af provenu til optionsudsteder, der ikke bliver opgivet

blandt de samlede omkostninger i informationsmaterialet, men som i stedet er inkorporeret i den

egentlige optionspris. Produkterne er ligeledes blevet kritiseret for uigennemskuelighed, da det ikke

er muligt for investor at vurdere, om prisen på produkterne også er den teoretisk korrekte pris, eller

om der er taget en overpris. Denne uvidenhed er som følge af manglende oplysninger omkring om-

kostningsdisponeringen ved investeringen.

Der er i opgaven, fundet frem til en model, der danner grundlaget for, at en værdi på optionselemen-

tet for tre strukturerede produkter kan estimeres. Disse produkter er udbudt af henholdsvist Garanti

Invest, Danske Bank og Nordea. De tre produkter indeholder alle asiatiske haler, og deres options-

værdi udregnes således ud fra et gennemsnit på nogle på forhånd udvalgte observationsdage. Samti-

dig er der ved egne udregninger af volatilitet og udbytterate taget højde for den basketoption, der er

indeholdt i det ene af produkterne.

Der er blevet gennemgået forskellige numeriske metoder til beregning af et estimat på optionspri-

sen, hvoraf Monte Carlo simulering er valgt som den klart mest brugbare. For at forbedre modellen

bliver der valgt Antithetic Variable Technique til variansreducering. Modellen tager udgangspunkt i

de antagelser, der ligger til grund for Black-Scholes model for optionsprisfastsættelse. Der bliver

fundet frem til en antagelse om, at de underliggende aktieindeks følger en Lognormal Random

Side 76 af 84

Walk. Slutteligt bliver Ito’s lemma brugt til at udlede den endelige formel, der bliver brugt i Monte

Carlo simuleringen af estimatet på optionspriserne hos de enkelte produkter.

De estimerede parametre, der bliver brugt i Monte Carlo Simulationen, er af afgørende betydning

for den endelige konklusion på prisfastsættelsen og den derefter følgende konklusion på opgavens

problemstilling. Renten er den faktor der har størst indflydelse på værdiansættelsen af produkterne,

da det er den samme rente, der anvendes til både værdiansættelsen af obligations- og optionsele-

menterne. Et eventuelt risikotillæg bliver ikke lagt oven i renten, da de enkelte udstedere har en

særdeles høj kreditrating, og et sådan tillæg vurderes derfor at være overflødigt. I opgaven bliver

der brugt de nulkuponrenter, der er gældende på tidspunktet for de enkelte produkters udstedelser,

tilpasset deres respektive løbetider. Denne valgte rente er således ikke særlig forskellig fra andre

estimater på langt mere komplicerede risikofrie renter. De anvendte udbytterater er beregnet for de

enkelte indeks på baggrund af dagligt angivende rater. Volatiliteten er beregnet ud fra historisk vo-

latilitet med udgangspunkt i lukkekurser på de respektive indeks på specifik udvalgte dage.

Der er ved Monte Carlo Simulering fundet valide optionspriser på de tre udvalgte produkter. Sam-

menholdes disse udregninger med de sideløbende udregninger af obligationspriserne samt med de, i

informationsmaterialerne, opgivne omkostninger, er der ved alle tre produkter fundet teoretiske

overpriser på henholdsvis 6,91 %, 2,68 % og 2,96 %. Der skal dog tages det forbehold, at provenu

til optionsudsteder ikke er med i den teoretisk korrekte pris. Dette provenu vurderes dog ikke at

udgøre hele den forskel, der er mellem den teoretiske pris og emissionskursen, og det kan således

konkluderes, at der ved alle tre produkter er taget en overpris.

Endvidere har opgaven belyst vigtigheden af de anvendte estimerede parametre, der har indflydelse

på optionsprisen og til dels på obligationsprisen. Volatiliteten har en meget stor indflydelse på det

underliggende aktivs simulerede udvikling, og volatiliteten kan derfor være en afgørende faktor ved

beregning af en eventuel overpris. Dog har den cap, der er sat på produkterne fra henholdsvis Dan-

ske Bank og Nordea, haft en hæmmende virkning, der har undermineret volatilitetens positive ind-

flydelse på de underliggende indeks. Volatiliteten har været en afgørende faktor til de fundne opti-

onspriser samt overpris. Dog har volatiliteten ved Aktiekurv 2012 ikke haft nogen indflydelse på

optionsværdien pga. den pålagte cap.

Side 77 af 84

Udbytteraten har derimod haft den modsatte effekt, hvor en højere udbytterate giver en større over-

pris, da udbytteraten skal trække ud af indekset inden optionsprisfastsættelsen. Dette gøres, da der

ikke udbetales udbytte til optionsholdere. Den lavere optionspris vil give en lave teoretisk pris og

derved en højere overpris set i forhold til emissionskursen.

Den sidste og mest betydningsfulde faktor er den risikofrie rente. En rentestigning har en positiv

indvirkning på optionsprisen, da indekset bliver simuleret med en højere faktor i driftleddet. Dog

tilbagediskonteres der også med en højere faktor, hvilket medfører en reduktion i optionsprisen.

Den sammenlagte effekt bliver en stigning i optionsprisen, da driftleddet har en større effekt på op-

tionsprisen end tilbagediskonteringsfaktoren har. Dog har en rentestigning større indflydelse på ob-

ligationsdelen end på optionsdelen, og som følge af at obligationsdelen bliver lavere, da der tilbage-

diskonteres med en større faktor, vil en rentestigning alt i alt medføre en mindre teoretisk værdi og

derved en højere overpris.

Tidligere undersøgelser på området har alle anført nogle kritikpunkter. Selvom Sven Jacobsen i

2000 stillede sig positivt overfor strukturerede produkter, som følge af at investorerne herigennem

har mulighed for at investerer i markeder de ikke før kunne investere i, lød der allerede på dette

tidspunkt kritik af, at produkterne ikke var fair prissat, samt at der var ufyldestgørende informatio-

ner omkring omkostningsallokeringen. Undersøgelser udført i årene efter og frem til i dag kommer

frem til de samme resultater, og arrangørerne af strukturerede produkter i Danmark tager således en

systematisk overpris for deres produkter. Foruden dette er undersøgelserne komme frem til, at op-

lysningerne, omkring hvad det investerede beløb helt præcist bruges til, er mangelfulde, især med

henblik på størrelsen af de reelle omkostninger. Med hensyn til størrelsen af overpriserne på de i

opgaven analyserede produkter er disse ikke nær så store, som de tidligere undersøgelser er kommet

frem til. Dette er på grund af optionstypen. Normalt kræver optionsudsteder mere i provenu, jo mere

eksotisk optionen er. Da der i opgaven er tale om tre af de mest kendte indeks i verden, og optio-

nerne derved er af mindre eksotisk karakter, så passer det meget godt, at indeværende opgave er

kommet frem til overpriser, der er mindre end ved de tidligere undersøgelser. Resultaterne, som

disse undersøgelser er kommet frem til, underbygger således i høj grad de konklusioner, som inde-

værende opgave er nået frem til og gør dem derfor mere troværdige.

Side 78 af 84

8. Litteraturliste

Bøger:

Som det ses af nedenstående er der brugt flere udgaver af Hull, da det pga. udlånsperioden ikke var

muligt at have den nyeste version i hele perioden.

Hull John C. 2009: Options, futures, and other derivatives. 7th

international edition. Prentice

Hall.

Hull John C. 2006: Options, futures, and other derivatives. 6th

international edition. Prentice

Hall.

Hull John C. 2003: Options, futures, and other derivatives. 5th

international edition. Prentice

Hall.

Wilmott Paul. 2005: Paul Wilmott introduces quantitative finance. 4th

edition. John Wiley &

Sons, 2005

Christensen, Michael 2009: Aktieinvestering: Teori og praktisk anvendelse. 3 udgave. Jurist-

og økonomforbundets forlag, 2009.

Tidsskriftartikler:

Boyle P. Phelim. 1976. Options: a Monte Carlo approach. Journal of financial economics 4

1977. (Findes i pdf- format på vedlagt cd-rom)

Jørgen Peter Løchte mfl. 1998. Hvad praktikere bør vide om optionsprisfastsættelse i prak-

sis. Finans/Invest nr. 1 1998. (Findes i pdf- format på vedlagt cd-rom)

Plesner S.2007: Strukturerede produkter – værdiskabelse gennem kreativ og ansvarlig fi-

nansiel ingeniørkunst?. Finans/Invest nr. 4 2007 side 11-21. (Findes i pdf- format på vedlagt

cd-rom)

Jakobsen. S. 2000: Aktie-, valuta- og råvareindekserede obligationer. Finans/Invest nr.8

2000 side 17-21 (Findes i pdf- format på vedlagt cd-rom)

Side 79 af 84

Jørgensen Løchte Peter Mfl. Garantiobligationer for private investorer – et markedsover-

blik. Finans/Invest nr. 4 2009. side 5-12 (er endnu ikke tilgængelig for download pga. op-

havsret)

Jensen Lars K. 2003. Er aktieindekserede obligationer oplagte investeringsobjekter? Fi-

nans/Invest nr. 6 2003. side 18-23 (Findes i pdf- format på vedlagt cd-rom)

Stoimenov Pavel A., Wilkens Sascha. Are structured products ”fairly” priced? Journal of

banking and finance nr. 29 2005 side 2971-2993. Direkte link:

http://www.sciencedirect.com/science?_ob=MImg&_imagekey=B6VCY-4F8TKCV-1-

9&_cdi=5967&_user=6461235&_pii=S0378426604002511&_orig=search&_coverDate=12

%2F31%2F2005&_sk=999709987&view=c&wchp=dGLzVtb-

zSkzk&md5=cd211e0b4b57a19558f8419908d4799d&ie=/sdarticle.pdf

Hjemmesider:

Stoxx:

http://www.stoxx.com/indices/index_information.html?symbol=SX5E

Nordeas produkter:

http://www.nordea.dk/Privat/Opsparing%2bog%2binvestering/Produkter/Aktieindekserede

%2bobligationer/27667.html

Danske Banks produkter:

http://danskebank.dk/da-dk/Privat/Opsparing-og-

investering/Investering/Produkter/strukturerede-produkter/Pages/aabneprodukter.aspx

Garanti Invest’s produkter:

http://www.garanti-invest.dk/Garantiobligationer/tabid/54/Default.aspx?status=aktive

Side 80 af 84

Artikler i dagspresse:

Brahm Kristoffer. Banker tjener tykt på ”garanti”. D. 03.04.2010 Jp-Erhverv.

http://epn.dk/brancher/finans/bank/article2028618.ece

Kjærgaard Christian. Små banker fastlåser kunder til investeringer. Børsen 7. maj 2007

http://borsen.dk/arkiv/dagensnyheder/nph-

brs?l=25&p=1&u=%2Farkiv%2FFOBO%2Favanceret.html&r=12&f=G&d=FOBO&op1=A

ND&Sect1=NEWWEB&SECT2=AND&s1=(GARANTI-INVEST%3ADNK).VIRK.

Jessen Christian. Store skjulte fortjenester i forstædernes bank. Børsen 26. april. 2006

http://borsen.dk/nyhed/87823/

Dengsøe Povl. Nationalbanken advarer mod garanti-obligationer. 30.03.2007 Business.dk

http://www.business.dk/finans/nationalbanken-advarer-mod-garanti-obligationer

Børsen. Garantien vakler under garantiobligationer. 06.10.2008 Børsen.dk

http://borsen.dk/investor/nyhed/141963/

Lehman Notes. Bankruptcy Information for Lehman Brothers Structured Products Investors.

17.03. 2009

http://www.lehmannotes.com/principal-protected-notes/

Side 81 af 84

Diverse:

Rasmussen, Anne Sofie Reng. Kvartalsoversigten – 2. kvartal 2007. Nationalbanken 2007

23 (Findes i pdf- format på vedlagt cd-rom)

www.nationalbanken.dk

Anders Møller Christensen mfl. Kvartalsoversigten – 3. kvartal 2007. Nationalbanken 2007.

(Findes i pdf- format på vedlagt cd-rom)

www.nationalbanken.dk

Danmarks nationalbank. Statens låntagning og gæld 2008 (Findes i pdf- format på vedlagt

cd-rom)

www.nationalbanken.dk

Jensen Kim og Schøtt Birgitte 2008. Risikoafdækning under udstedelse af strukturerede ob-

ligationer.

http://www.plesner.com/resources2/262.pdf

Jørgen Peter Løchte 2009. Forelæsningsslides privatøkonomi efterår generelt om strukture-

rede produkter. Handelshøjskolen valgfag 5 semester. (Findes i pdf- format på vedlagt cd-

rom)

COIN fondsmæglerselskab. Hvad er et struktureret produkt. Fra coin-as.dk (Findes i pdf-

format på vedlagt cd-rom)

Side 82 af 84

Podcast:

Jørgen Peter Løchte, giver en kort introduktion til strukturerede produkter med fokus på,

hvilke problemstillinger, der ligger i denne form for investeringsværktøj.

http://www.business.dk/webtv/clip/218/5559

Inspiration:

Jønson Thorbjørn og Alnøe Søren 2007. Strukturerede produkter på det danske marked.

handelshøjskolen 2007

Sørensen Rune og Overgaard Kristian 2004. Analyse af indekserede obligationer. Handels-

højskolen 2004

Højgaard Jeppe og Nielsen Martin 2008. Prisfastsættelse af strukturerede obligationer.

Handelshøjskolen 2008

Side 83 af 84

9. Bilagsoversigt

Alle opgavens bilag er at finde på vedlagte Cd-rom.

Bilag 1: Garanti Invest: Europæiske Aktier 2007-2012 - Informationsmateriale (pdf-fil)

Bilag 2: Danske Bank: Danske DJ euro Stoxx 50 Single 2010 - Informationsmateriale (pdf-

fil)

Bilag 3: Danske Bank: Danske DJ euro Stoxx 50 Single 2010 - Faktaark (pdf-fil)

Bilag 4: Nordea: Aktiekurv 2012 - Informationsmateriale (pdf-fil)

Bilag 5: Garanti Invest: Monte Carlo Simulation (Excel-fil)

Med antithetic variable technique og 20.000 simuleringer. Automatisk opdatering kan slås

fra ved at sætte denne til manuel under fanen ”Formler” og videre under beregningsindstil-

linger (Excel 2007). Dette letter arbejdet med arket en stor del, da ”radomcellerne” ikke op-

daterer medmindre bruger selv beder om det (Shift+F9).

Bilag 6: Danske Bank: Monte Carlo Simulation (Excel-fil)

Se beskrivelse af bilag 5

Bilag 7: Nordea: Monte Carlo Simulation (Excel-fil)

Se beskrivelse af bilag 5

Bilag 8: Observationsdage på produkterne (Excel-fil)

Dataene i dette bilag er anvendt til beregning af de specifikke observationsdage i simule-

ringsmodellen. Det bruges ved asiatiske haler, hvilket alle produkterne har.

Bilag 9: Renter på produkterne (Excel-fil)

Side 84 af 84

Bilag 10: Udbytterater – DJ euro Stoxx 50 (Excel-fil)

Bilag 11: Volatilitet – DJ euro Stoxx 50 (Excel-fil)

Volatiliteten er udregnet ud fra formel 4.1. og formel 4.2.

Bilag 12: Udbytterater – Nikkei 225 (Excel-fil)

Bilag 13: Volatilitet – Nikkei 225 (Excel-fil)

Se beskrivelse af bilag 10

Bilag 14: Udbytterater – S&P 500 (Excel-fil)

Bilag 15: Volatilitet – S&P 500 (Excel-fil)

Se beskrivelse af bilag 10

Bilag 16: Følsomhedsanalyse på produkterne (Excel-fil)

De enkelte resultater tager udgangspunkt i optionsprisfastsættelsesmodellerne, hvor de re-

spektive faktorer der laves følsomhedsanalyse på ændres, samtidig med at alle andre fakto-

rer holdes fast på deres oprindelige niveau.

Bilag 17: Brugt data (Word-fil)

Beregnet inputdata til brug i Monte Carlo simulering